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CE COTE-D'IVOIRE ~
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. ~. .
Présentée à
Université Nationale de Côte d'Ivoire
Faculté des Sciences et Techniques
Pour obtenir le grade de
Docteur ès Sciences
par
NffiNGONffiNGODONATIEN
··;;t\\/:: ".-,".;.
Soutenue le 12 avril 1988 devant la Corrunission d'Examen.
Président:
Professeur Saliou TOURE
Examinateurs:
Professeur Jean DHOMBRES
Professeur Boubakar BA
Professeur Pierre NEZIT
Professeur Daouda SANGARE

---

Je ne sourois trouver les mots pour exprimer mo très profonde et
respectueuse grotitude il f"lonsieur Jeon DHm·1BRES, Professeur de
110thématiques il l'Université de NANTES, pour m'ovoir occordé so confionce
en occeptont de di ri ger mes trovoux en dépit de 10 gronde di stonce qui
sépore NANTES d'ABIDJAN, et de ses nombreuses responsobilités
noti ono1es et i nternoti one1es.
Je n'ouroi s j omoi s pu souteni r cette thèse sons ses conseil s
éclôirés et ovisés.
110nsi eur DHOMBRES ne s'est pos contenté de di ri ger mes trovoux,
ill el moni ère du Prof esseur oustère et di stont. lo gronde di sporl'i bil ité dont
il 0 foa preuve, son inestimoble omobilité, l'extrême cordiolité qui 0
marqué nos rapports ont été détermi nontes et ont sons doute f aei! i té 10
conduite il terme de ces recherches. Fout-il que je dise qu'il m'o offert de
veiller 1ui-même il 10 doctylogrophie de plus de 10 moitié de 10 thèse,
oimob1ement ossurée por so Secrétoire que je tiens il remercier ici, ovec
votre permi ssi on 1·lonsi eur, 1e Prof esseur !
11erci encore une fois, mois je ne puis dire que celo, Monsieur le
Directeur!
Je tiens 0 remercier 1·lonsieur Soliou TaURE, Professeur de
Mothémotiques il l'Université d'Abidjon, non seulement pour ovoir occepté
de présider le Jury de cette thèse, mais aussi pour l'oide opprécioble qu'il m'o
opportée.

---

INTRODUCTION
C'étoit en 1621 que Couchy 0 démontré que 1es seul es sol utions
continues
C : IR ---t IR lje l'équation fonctionnelle de d'Alembert
(0)
C (t+s) + C (t-s) =2 C (t) C(s) s, t E IR
C (0) = 1
sont de 1a forme C (t) =cosat, C (t) =chat (avec a E IR)
Oll C (t) == 1 selon que C est born~et non constonte, non bornée ou
cons tonte sur IR.
Au j ourd'hui et surtout au cours des trente derni ères années, 1es
publicotions sur l'équation de d'Alembert ne manquent pas.
Plusieurs chercheurs se sont attaqués avec plus ou moins de
bonheur au problème qui consiste 6 trouver des résultats analogues 6 ceux
de Couchy, sous des hypothèses plus faibles. Nous citerons notamment les
travaux de Aczél , Swa, Corovei, Kuczma, Rukhin, Lutz, Dhombres,
Szeke1yhi di, Naggy, Baker etc...
Voici quelques ospects de l'équotion de d'Alembert que nous avons
jugé utile de plublier sous le titre "QUELQUES REALISATIONS DE L'EQUATION
DE D'ALEt1BERT".

---

Le chopitre 0 regroupe les définitions, les notations, les
propriétés et les théorèmes générôw< sôns démonstrôtion dont nous ôurons
besoi n dôns 1e texte.
Dons le chapitre l, nous troitons d'abord l'équotion de d'Alembert sur
IR et retrouvons oinsi les solutions de Cauchy en utillsônt une méthode due à
Acz~1et Dhombres. Ensui te nous l'exômi nons sur un groupe obéI ien 1oCô1ement
compoct, c'est -à-di re dans 1e domai ne de l'Ano 1yse Harmoni que. Dans un
troisième pôragrophe, nous traitons la même équation sôns hypothèse de
régul ôri té. Et ceci nous 0 permi s, ôu pôragrophe 4 de donner 1es sol ut i ons de
l'équot ion.
g(xy) + g(x/y) = 2g(x) g(y) sur IR
Enfi n, pour termi ner ce chopi tre l, nous ôvons étudi é successi vement
1es équot ions.
g(x+y) + g(x-y) = ~ g(x) g(y)
(~ * 2)
~ g(x+y) + ~ g(x-y) = (~+~) g(x) g(y)
~, ~ réels positifs.
où
9 : G-----+ F, G étant un groupe obéI i en et F un corps commutot if
de côroctéri stique di ft érente de 2.
Nous ovons prouvé notomment quelo seconde équotion ne dépend
pos de ~ et ~,mais se romène à une équation de d'Alembert.

---

Le chôpitre Il concerne 1es équaU ons de f oncU ons tri gonométri ques et
simi1elires, c'est-â-dire des équations de la forme
f(x*y) = f(x) g(y) + g(x) f(y) et g(x*y) = g(x) g(y) + k2 f(x) f(y).
où f .. g: G---+ F dôns lesquelles G est un semi-groupe ou quelquefois un
groupoïde et F un corps non nécessoirement commutotif ou porfais un onneou.
Ici, après avoir donné les solutions génén:J1es de ces équôtions, nous
avons tn:Jité de nombreux exemples pour illustrer les résultats théoriques. c'est
oi nsi que nous ovons troi té l'équotion
11(x+y) = M(x) N(y) + N(x) M(y)
ou Iv!, N : IR ---+ <ro,n (IR), (JT\\,n (IR) désigant l'anneau des môtrices carrées
d'ordre n, ÈI coeffi ci ents réels.
Nous avons aussi traité dans ce chapitre au paragraphe 3, 1es équati ons
de la forme
f(x*y-l) = f(x) g(y) - g(x) f(y) et g(x*y-l) = g(x) g(y) - k2 f(~<) f(y)
où f, 9 : G---+ F dans lesquelles G est un groupe quelconque; nous avons
dési gné ces équations sous 1e nom de formu1 es de "soustraction" ou de
"syrnétri sat ion".
Les résultats théoriques que nous avons obtenus, nous ont permi s
de retrouver les solutions mesurables sur IR des équations
f(x+y) =f(x) g(y) + g(x) f(y)

---

g(x+y) =g(x) g(y) - f(x) f(y)
ou
g(x+y) =g(x) g(y) + f(x) f(y)
ainsi que des équations
f(x-y) =f(x) g(y) -g(x) f(y)
g(x-y) =g(x) g(y) + f(x) f(y)
ou
g(x-y) = g(x) g(y) - f(x) f(y)
Puis ou porogrophe 6, nous ovons troité les éQuotions suivontes
sur IR:
1)
f(xy) =f(x) g(y) + g(x) f(y)
2)
f(x/y) =f(x) g(y) - g(x) f(y)
3)
f(x+y+xy = f(x)+f(y)
4)
f(x+y+xy) =f(x) f(y)
Enfin pour terminer, nous ovons étudié ]'intéressonte éQuotion
f(x) + f(x+y) =<P (y) f(x+y/2)
où
f, <P : IR ~ IR
Après ovoir montré Que 10 fonction tP est solution de l'éQuotion
tP (x+Y) + <P (x-y) =<P (x) <P (y),
nous avons trouvé comme solutions mesurables (voir proposition 7-1)
f(x) =b Si n 2(S'x ,
tP (x) =2 cos (S'x
ou
f(x) =a + bx
,
<P (x) = 2

---

ou
f( \\
.... ""
b C'
' ) v
Xj =ii COS L:OX +
win :c..oX ..
.;p (x) =2 cos '6x
ou encore
f(x) =fi ch2ü'x + b sh 2Q'~< .. .;p (x) =2 ch Q'x
où 0 .. b et ~ sont des constontes réelles orbitroires
Le chôpi tre III est consacré il 1ô généra1i sat i on des éQuElt i ons de
d'Alembert et de Couchy-Pexider.
1ci .. nOlis twons lorgement ut i Ji sé une méthode de Aczé 1ond Dhombres
[5]. Nous ovons montré que sous des condi t i ons de régul arité et
lorsque les fonctions f k et gk sont linéairement indépendemtes lô résolution de
l'équation
n
( 1)
f(x+y) + g(x-y) =L f k (x) gk (y)
~~= 1
peut se ramener ô la résolution d'équations différentielles linéaires
homogènes à coefficients constants où tous les termes sont d'ordre pair
pour les fonctions
cp (x) = f(x) + g(x)
en faisant dans (1) y =0
et
4J (r;) = f'(x) - g'(x) obt.enue en déri vont (1) par n:Jpport cl y
et en y faisant y =O.

---

Pour illustrer la théorie nous avons traité l'équation
f(x+y) + g(x-y) = f 1(x) g1(y) + f 2(x) g2(y)
avec application numérique, puis l'équation
f(x+y) + g(x-y) =2 h(x) k(y)
dans IR.
Le chapitre IV concerne l'étude des opérateurs de fonctions cos'inus, la
génération de l'opérateur cosinus régulier, le problème linéaire du second ordre
de Cauchy, une rapide étude comparative de l'opérateur cosinus régulier et des
Semi-groupes d'opérateurs; nous terminons ce chapitre par la méthode des
perturbations (cf Lutz [38] et Sowa [51])
Dans le chapitre V, nous sommes revenus à des équations
fonctionnelles sur des groupes abéliens et généralisant les équations de
Cauct1y-Pexider et de d'Alembert. Mais ici nous avons utilisé des méthodes
matricielles (cf Szekelyhidi [53], [54])
Le chapitre VI nous offr'ira une autre occasion de revenir sur l'équation
de d'Alembert, mais cette fois-ci sur des groupes nilpotents en montrant que
lorsque les éléments du groupe sont d'ordre impair, la solution générale de
l'équation de d'Alembert.
f(xy) + fxy-1) = 2 f(x) f(y)
est sous la forme
(2)
f(x) =~ [g(x) + (g(x)t 1]

---

où g est un homomorphisme du groupe G dans (*
Par un contre-exemp1e traité sur 1e groupe des quaterni ons
(d'ordre 4) nous avons montré que lorsque les éléments de G sont d'ordre
impair, la solution n'est pas nécessairement sous la forme (2).
Le chapitre VII a été consacré à l'étude d'extensions de l'équation de
10 forme
f(xy) + f(xy-l) = 2 f(x) g(y)
Ol!
f: G--+ K ; g: S --+ K
G étant un groupe. S un seml-groupe de G et K un corps non commutatH de
caractérlst1que différente de 2.

---

T A BLE DES MAT 1 E RES
PAGES
CHAPITRE
o
Définitions Propriétés et
Théorèmes Généraux
1
CHAPITRE
l
Equation Fonctionnelle de d'Alembert
Sur un groupe localement compact
7
1)
Equation fonctionnelle de d'Alembert sur E
7
2)
Equation de d'Alembert sur un groupe
abélien localement compact
11
3)
Equation de d'Alembert SUr un groupe
abelien
18
4)
Exemple d'application
22
5)
Exemples d'équation se ramenant à
l'équation de d'Alembert
30
CHAPITRE
II
Equations de fonctions trigonométriques et
Similaires
33
1)
Résolution des équations
(3)
et
(4)
ou
(3)
et
(5)
33
2)
Résolution de l'équation
(3)'
seule
38
3) Les formules de soustraction ou de
symétrisation
49
4)
Résolution de
(43)'
seule
54
5)
Solutions complexes et réelles de
(3)
et
(43) .
57
6)
Quelques exemples sur E
60
7)
Exemple
: solutions mesurables
f / ~
E
lR
de l'équation
f(x)
+ f(x+y)
= ~
(y)
f(x +y/2)
67

---

CHAPITRE
III Généralisation des équations de d'Alembert
et de Caucby-Pexider
75
1)
Résultats preleminaires
75
2)
Résolution de l'équation
n
f·(x + y) + g (x -y)
=
E
f
(x)
gk (y)
k
k=1
sous des hypothèses fortes
79
3)
Exemple
1
83
4)
Exemple
2
89
CHAPITRE
IV
Opérateurs de Fonctions cosinus
Réguliers
92
0)
Préliminaires
1)
Eléments bases sur l'opérateur de Fonction
Cosinus et leurs générateurs
94
2)
Le problème linéaire du second ordre de
Cauchy
110
3)
Caractérisation des générateurs infinité-
simaux et la théorie de la perturbation
117
CHAPITRE
V
EquationsFonctionnelles Matricielles sur
des Groupes Abéliens
125
1)
Notations et Définitions
126
2)
L'équation fonctionnelle
(1)
3)
L'équation matricielle
C (x+y)
+ C(x-y)
= 2C(x)C(y)
129
4)
L'équation fonctionnelle
(2)
138
5)
Solutions mesurables de
(1)
et
(2)
145
CHAPITRE VI
L'Equation de l'Alembert pour des
groupes nulpotents
148
1)
Introduction
148
2)
Résolution de l'équation
=
2 f~x)
f(y)
149

---

CHAPITRE
VI
(Suite)
3 )
Cas où le corps K est un corps
quadratiquement clos, de caractéristique
différente de 2
154
A)
G est un groupe nulpotent
154
B)
G est un groupe nulpotent généralisé
157
4)
Contre-Exemple
162
5)
Equation Similaire
164
CHAPITRE
VII
Extensions des Solutions de l'équation
f(xy)
+ f(xy-1)
::
2
f(x)
g(y)
165
BIBLIOGRAPHIE
177.

---

-
1 -
CHAPITRE 0
Nous regroupons dans ce chapitre. les définitions, les notations. les
propriétés et les théoré mes généraux, sans démonstrations, dont nous
aurons besoin dans tout le texte.
Définition 1
On appelle ordre d'un groupe fini G, le nombre de ses
éléments.
Définition 2 : Un sous- groupe H d'un groupe G est dit distingué si
H'"' x- 1 H x (ou H '"' x H x- 1)pour tout xEG. Tout sous-groupe d'un groupe
abélien est évidemment distingué.
Définition 3 : Une suite de composition d'un groupe G est une suite finie
stricte ment croissante (G.). 1 ~ i ~ n, telle que:
1
de sorte que G. soit un sous-goupe distingué de G. 1" Les groupes
l
l +
quotients G. I/G. s'appellent les facteurs de composition de la suite, e
l +
1
désignant l'élément neutre du groupe G.
Définition 4 : Un groupe G est dit nilpotent s'il admet une suite de
composition (G.), 0 ~ i ~ n, telle que chaque groupe quotient G. I/G. soit
1
1+
1
dans le centre de G/G.. Une telle suite est dite centrale.
1

---

2
-
Définition S : Un p-groupe Gest un groupe dont l'ordre est une puissance
pk> 1 du nombre premier p.
Notation 6 : On notera Z(G) le centre d'un groupe G, c'est- à - dire
l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tout élément de G.
Propriété 7 : Le centre d'un p- groupe
G est non
trivial, c'est - à- dire
Z(G) ;z: (e). Tout p- groupe est nilpotent.
Définition 8 : Soit G un groupe abélien localement compact, une fonction X
définie et continue sur G, à valeurs complexes, est un caractère sur G si elle
vérifie:
lx (x)1 = l,
et
x(xy) = X(x) X(y)
(!,YE G).
En d'autres termes, X est un homomorphisme
de G dans le groupe
localement compact:
T = jZ E C, Iz1
1f·
Rappelons que T ~ RIZ.
Le caractère identiquement égal à l est appelé caractére unité.
Propriété 9 : L'ensemble G1 des caractères sur un groupe G localement
compact est un groupe multiplicatif dont l'élément neutre est le caractère
unité. Nous munissons ce groupe d'une topologie de la façon suivante:

---

3
Pour tout ensemble compact CeG et pour tout C > 0, soit :
U (c, c) = jx, lX (x) - 11< c. V x E cf
Les ensembles U (C, c), pour tout compact CeG et pour tout C > 0,
constituent une base de voisinage pour le caractére unité, et définissent la
topologie de G1.
Théorème et définition 10 : Dual d'un groupe topologique localement
compact
Pour la topologie précédente, les caractéres de G forment un groupe
topologique localement compact, noté êi et appelé le dual topologique de G.
Définition Il : Un semi groupe est la donnée d'un ensemble et d'une loi
associative.
Définition 12 : Un groupoide est la donnée d'un ensemble et d'une loi.
Définition 13 : Une fonction $ à valeurs complexes définie sur un groupe
G (non nécessairement localement compact. ni abélien) est dite définie
positive si :
m = N
n = N
1:
1:
(x
-1 l
) C C ~ 0
m = 1
n =1
m
n
m n
pour toutes les suites finies (x ), 1~ n ~ N et (C ), 1~ n ~ N. de points de G
n
n
et de C respectivement.

---

- 4
-
Notation 14 : Si G est un groupe abélien localement compact et dx une
mesure de Haar sur G, f une fonction définie sur G à valeurs complexes,
l'intégrale de f sera notée:
L'espace des classes de fonctions intégrables sur G sera noté LI (G).
Définition 15 : Transformée de Fourier d'un élé ment f de LI Jill.
Si Gest un groupe abélien localement compact, muni d'une mesure de Haar
dx, C son dual topologique et f EL 1 (G), la transformée de Fourier de f,
"
notée f est définie par:
(1)
A
"
X E G
on a les relations
(2)
X E Ù
où
(X,"j > est mis pour i (x) et
Il f III
J
=
1 f (x)1 dx.
G
De plus f est une fonction continue sur C.
Propriétés 16 :
(i) Lemme de Riemann- Lebes~
La transformée de Fourier de tout f E LI (G) s'annule à l'infini.
(in Théorème d'unicité

---

5 -
Toute fonction f E LJ (G) est déterminée d'une maniére unique par sa
transformée de Fourier:
SI
f (i) = 0 pour tout i E G, alors
[(x) = 0 (p. p sur G)
(HU Théorème d'inversion
Si dx est une mesure de Haar donnée sur G, alors il existe une unique
mesure de Haar di sur C. telle que pour tout f E LI (G), continu et ayant
une transformée de Fourier f E LJ (C), nous avons:
[(x) = JêJ < x, i > f(ÎldÎ
pour tout x E G.
Définition 17 : di donnée par le théorème d'inversion est appelée la
mesure de Haar duale de dx.
Le second membre de (3) est dit inverse de la transformée de Fourier de f.
Propriété 18 : Si Il est une mesure bornée sur le groupe topologique
localement compact G, sa transformée de Fourier est donnée par:
~ (Î) J~
=
< ~> dll
i E G.
Et si dll (x) '" [ (x) dx, pour [ E LJ (G), alors ~ = f et ~ est une [onction
continue sur G.
Notation 19 : E étant un espace vectoriel, on notera L(E) l'ensemble des

---

-
6 -
opérateurs linéaires de E dans E.
Définition 20 : Une transformation T de R+ dans L(E) (où E est un
R- espace vectoriel) est appelée semi- groupe d'opérateur si :
T(s+t) = T(s) T(t)
+
+ ( +
SE R ,tE R
R
10, + oo[ )
Définition 21 : Un semi-groupe d'opérateur T est dit régulier si:
T( t)x -tl quand t -t0
tER T
Vx E E, selon la topologie de la convergence
uniforme sur Lm).

---

- 7 -
CHAPITRE 1
EQUATION FONCTIONNELLE DE D'ALEMBERT SUR UN GROUPE LOCALEMENT
COMPACT
Eguotion fonctionnelle de d'Alembert sur IR
Nous nous proposons de déterminer toutes les solutions continues
f : IR+ ---t IR
de l'équôt1on de d'Alembert
(t)
«1' + 1.jJ) + «(1> - 1.jJ) =2 «<P) «1.jJ)
sur le domaine ~ de jR2+, défini par;
Ô. ={ (..p, t.lJ), 0 ~ l.jJ ~ ..p }
Cette restri cti on il ~ est nécessôi re, pui sQue f n'est défi ni e il pri ori Que
sur !R+, et qu'intervient 10 différence ~ - q.. dons l'équotion (1). En foit, on peut
s'arranger pour que l'équatlon (1) soit val1de dans lR2 tout entIer en étendant f
convenab1ement.
En effet, excluant la solution triviale
(2)
f(q,) =0
pour laquelle l'extension est évidente, nous avons en faisant 4-' =0 dans (1)
(3)
((0) = 1
Si l'on veut Que (1) reste valide partout, on constate Que
f(..p - q..) =f(q.. - <p).

---

- 8 -
Qutrement dit, f doit être poire. On définit Qlors f sur tout IR en étendont
f
définie sur IR+ par parité. On vérifie que (1) est alors valide pour tous 4',4J
dans IR.
Comme f est continue, 11 exlste C >0 tel Que
(4)
f(4)) >0
pour tout 4> E [0, c]
on peut distinguer deux cas:
D'une part
(5)
HC) > 1
D'autre part
(6)
f(C) ~ 1.
ces deux cas peuyent être traités sensiblement de la même manière.
La condit ion (5) conduit aux seul es sa 1utions cont i nues de 18
forme
(7)
H4» =ch(C 4»
10 condition (6) conduisont QUX seules solutions continues du type:
(8)
On vér1fle que (7) et (5) sont effectlvement solutlons de (1).
Exôml nons en détôi Ile ces (6)
Grèce ôux reletions (4) et (6), on est assuré qu'il existe un \\X E [o. n/2 [
tel que
( Q'
-)
cos lX =fCC)

---

- 9 -
avec t!J =4> =~ J et tenant compte de (3), (1) donne:
2
(10)
r(x) + 1 = 2 f(X!2)
En parti cul i er pour x = C, on aura, pui sque
f(x) >0 sur [0, C ]
( 11 )
r(~):: I( r(e) + 0/2 :: I{ 1 + cos ex)12 :: cos ~
plus généra1ement, il résulte de (4), (9) et (10), per i nducti on, que
(12)
f(2~) = cos ~n pour tout n :: 0, 1, 2,...
Nous 011 ons prouver por récurrence que pour tout entier k ~ 0 et tout
entiern~OJono:
(13)
fC2~ c):: cos C2~ fX)
En fait (13) est déjà vraie pour k =0 et pour k = 1, d'après (3) et (2).
C
Dans (1), en remplaçant 4l et 4J par les valeurs: ~n C et 2n ' on trouve
(14)
f(;~1 C)~f(~~1 C)::2f(2~ c) f(2r~, c)
Supposons Que (13) soit vraie pour 0 ~ k ~ m.
D'ôprès (14)
( m+ 1)'
' m )
(1
)
(m 1
f zn- C = 2 ft2"fl C f 2il C - f 2~ C)
:: 2 cos C;n ex) cos Cin ex) - cos C;~ 1 ex)
( m+ 1
)
:: cos .-::;n- IX
...

---

- 10 -
Et la relation (13) est démontrée avec k =m + 1. En d'outres termes,
pour toute froction non négotive diodique ô, c'est-o-dire :
6 =;n
où m et n sont des entiers non négEltifs, on El :
( 15)
f(oC) =cos (6~)
Comme f et la fonction cosinus sont toutes deux continues, en utilisant
une suite am de fractions diadiques tendant vers un nombre positif donné x, mais
arbitraire, nous dédl.~isons :
f(Cx) =cos (~x)
ou, avec Ë=0 , cx =cp ,
HCP) =cos ("0 CP) pour tout (p ~ 0 et (8) est démontrée.
De façon analogue, dans le cas (5), nous déduisons (7) en uUlisant cette
fois, la relaUon
ch ~ = vtchx + Vl2
Nous pouvons énoncer:
THECIREnE 1-1
La solution générale continue f: R+ -+ R de réQuatlon de
d"Alembert (1) sur le domaine A, est donnée par les formules H+> =0
pour tout
+E R+, ou H+> =ch(lf +> +E R+ ou encore H+> =cos (lf +>
~ E R+ où ~ est une constante réelle arbitraire.

---

- 11 -
RErvlARQUE 1-2
En foH, 10 solution générole continue de l'équotion de d'Alembert sur iR+
trouvée par cette méthode s'étend à IR tout entier en vertu de la remarque Que
nous avons faite plus haut. En particulier nous avons résolu l'équation de
d'Alembert sur IR.
Dans le paragraphe 3, nous déterminons les solutions générales de
l'équation de d'Alembert sur IR, sous des conditions plus faibles quant à la
régularité présupposée de la fonction f.
Nous étudions maintenant l'équation de d'Alembert dans le domaine plus
général de l'analyse harmonique, c'est -Èl-dire sur un groupe abélien localement
compact.
2
EQUATION DE D'ALE~1BERT SUR UN GROUPE ABELIEN LOCALEI'"IENT COMPACT
Soit G un groupe abélien localement compact. Nous supposons de plus que
G est connexe. Nous désignons par G, le ljual topologique de G.
THEOPU1E 2-1
Soit G un groupe topologique obélien connexe, locolement
compoct. Une fonction f: G -+ Rest 10 porti e réelle d'un coroctère l1e G
s1 et seulement s1 f est cont1nue, non identiquement nulle, bornée et
sot1 sfoH l'éQuot1on fonctiOnnelle de d'Alembert
(16)
f(x"y) .. f(x-y) = 2 f(x) f(y)
(x, y e G)

---

-
12 -
DEHON5TRAT ION
1)
Salt :t un coroctere contlnu sur G. Por detlnltlOn meme ..'t est borne et
non laentlquement nul. Donc :tW) =!
[J'ou
1 = :t(0) =~(y-yj =:dy) ~(-y)
D'outre port
1 :t(y) 1 = 1
donne
:t (y) i(y) =
on en dédui t
:t(-y) =l(y).
Por suite, SI nous prenons
f(x) = ôte (:t(xl olors t(x) $ 0 cor un coroctère n'est pos
ldenti quement nul. En outre f( -x) = f(x)
Et nous avons
f(x+y) = f(x) f(y) - 1m::t(x) ~m ::t(y)
f(x-y) = f(x) f( -y) - 1m :t(x) ~m i:(y)
= f(~<) f(y) + 1m ::t(x) 1m :t(y)
Et donc f soUsfoi t l'équotion (16).
2)
Inversement, supposons que f: G~ IR sotisfosse (16), soit bornée et
continue sur ·G.
Pour y = 0, nous oyons toujours «0) = 1. Si f ~ l, olors le théorème 2-1
est triviolement vroi.
Por suite, nous supposons que
f:$! 1
Nous ollans d'obord montrer que f, étont bornée, est en foit mojorée en
valeur absolue
'par
1.

---

- 13 -
Démonstrotion Ror l'obsurde
Supposons ou contraire que 1 f(xO) 1 = 1 + 0;
0; > 0, pour un Xo E
G, et
prouvons que pour cet xo' on a :
(n = 1, 2, ...,
D'oprès (16), on 0:
f(2xO) = 2 f(xo)2 - l , d'où f(2xO) = 2 ( 1+cd 2 -1
= 1 + 4(;( + 2(;(2 > 1 + 2(;(.
Ainsi la proposition est vraie pour n = 1. Supposons qU'elle soit vraie
j usqu'è l'ordre n = 1. Nous aurons:
ce qui achève la démonstration. Mais ce résultat serait en contradiction avec le
f ai t que f est bornée.
Donc
1 f(x) 1 ~ 1
(x E G)
comme f =1= 1 et que 1f(x) 1~ 1, soit YO E G tel que f(yO) = ~ < 1. on peut alors
trouver n E ~ tel que ~ <cos 2~ < 1. Et puisque f(0) = 1, que f est continue et que
G est connexe, d'après le théorème de la valeur intermédiaire; il existe un
Zo E G
tel que:

---

- 14 -
De 10 re loti on ( 16), nous dédui sons
2
f(2 20) = 2 «20) - 1 = cos 2~-1
De même, on 0 :
( 2 )
tr
f 2 20 =cos 2n- 2
etc, et finolement
Comme «0) = 1, que f est continue, et que G est connexe,il existe donc
ta E G tel que «ta) = O. Et l'équation (16) avec g(x) = f(tO- x) donne:
2 g(x) g(y) = fC2 to -x -y) + fCy-x)
Puis de (161/on tire:
f(2t o -x) =- f(x)
pour tout x
11ais comme f est paire on a :
2 g(x) g(y) = - f(x+y) + f(y-x)
D'où
2 g(x) g(y) + 2 ((x) ((y) = ((y-x) + ((x-y) = 2 ((x-y);
Ainsi nous avons une f ormul e pour détermi ner f(x-y) à parti r des val eurs
de f en x en y, en to-x et to-Y' Et elle convient pour prouver que f est définie
posa lve.
f est défjnie posjtive
En effet solent 21"'" 2n n complexes; Xl '''')<n
n éléments Ije G; on 8
puisque f et 9 sont è valeurs réelles

---

- 15 -
n
n
n
«Xi - xk) =
2: 2: 2i ~k
(2: g(xi) 2i) (2: g(xk) zk)
k= 1 i =1
i =1
k= 1
n
n
+ (2: f(xi) 2i) (2: f(xk) Zk)
i=l
k=l
n
2
n
2
= 12: f(xi) 2i 1 + 12: g(~<i) 2i 1 f O.
i =1
i =1
Le second membre de cette égal ité est positif ou nul. Donc aussi 1e
prerni er rnembre, c'est -à-di re Que f est défi ni e posit i V8.
Nous allons alors ut'iliser le ttiéorème de S. Bochner (voir REITER [47J)
THEDRH'lE DE Boctm8r
Si G un groupe abélien localement compact. une fonction
continue. f : G ---+ [
est définie positive si et seulement s"11 existe
A
une mesure positive bornée unique j1 sur le duol topologique G de G
telle que:
(17)
f(x) = JG:;tex) dj1(:;t).
(x E G)
(où l: est un can:ICtère sur G, donc un élément de G). Revenons alors d la
démonstn:ltion du théorème 2-1.
En vertu du théorème de Bochner, nous pouvons être assurés qu'i 1 exi ste
....
une mesure de Radon unique, non négative et bornée J..l sur G, telle que, pour tout x
E G f soit de 10 forme (17).
En d'autres termes, f est la transformée de Fourier de la mesure Ji.

---

-
16 -
:'n oeUT. noter, ~::lr f?:<embi'2 'J,~ns ie ::::3 ou :; = ?/Z que ;nx) = ,?:n:< ~our
n=+0Q
f(x) = l
~Hn)e 1n~~
n=-~
n=+oo
ou
,j..L(n)~; 0 et L
j..L(n) = 1 pUIsque HO) = 1
n=-oo
Reyenons au cas general. Nous allons traduIre l'équôtlon ( 16) en termes de
la mesure j..L. Nous a..... ons :
= JG:dx) ~(y) dU(~) + JG;tex) icy) dJ.l Ct)
Ainsi pour tout x. tout y de G
Solt ôlors
F(~) =JG:t'(y) dJ.l (~') - :t(y) + ~(y~ ,
2
où y peut être consIdéré comme un paramètre. Donc la fonct1on F est continue
~
A
sur G et la relation (1 ô) montre que la transformée de Founer (sur G) du produit
de F et de la mesure deR adon J.l est ident i quemen t nu Il e.
Du coup, en vertu de 1e propn été 16 chapitre 0 général isée aux mesures 1
nous en déduisons que F -:: Ou presque partout sur G. Soit pour tOllt y de f:.

---

- 17 -
(J.l P.P)
Comme le premier membre de l'égôlité précédente est indépendônte de ::r,
pour chaque y donné dans G, la partie réelle
-a\\e (;d!d») =:tCy)"+ i(Y1 est conshmte sur le support de J.l. (voir Loeve[35].)
...
A ce stade de la démonstration, nous allons utiliser le lemme suivant
LH'IME
(voir O'Connor [45]). Si G est un groupe abélien localement compact et si
:l:: 1 et Â: 2 sont deux caractères quelconques SUl- G tels que ate (:l:: 1(y» =
-a\\e (X2(Y»)
pour tout y € G, olors
Prenons deux caractères X et X' dans G.. non égaux et non conjugués. En
vertu du lemme précédent, il existe y E Gtel que Re (X(y)) =F 'Re (X'(y)). Par
suite, ceci implique que le support de Jl est réduit è deux points eu plus, un
caractère Xo et son con j ugué ia.
En d'autres termes, }l est une combinaison de mesures de Dirac
}l =ao,\\,_ + b àj:_
('" b ~ Ir)
AU
'ou
.... ,
- \\l"
car une mesure de SI 'pp
t f"
t
.
.
..
or
! tll es comb! nai son de mesure de Dl rec.
1'1oi s oui sque J.l est posi ti ve, on 0 :
a~O, b~O
Revenons à l'express i on de f à parti r de J.l.

---

- 18 -
comme por hypothèse, f est il voleurs réelles, on 0 nécessoirement
0 = b
D'outre port, comme ((0) = 1, nous ovons
f)i"b=1
ceci achève la démonstration du théorème 2-1
REt'1ARQUE :
La connexité du groupe topo 1ogi que 1oca1ement compact G, n'a été uti 1i sée
que pour prouver l'exi stence d'un zéro de f sur G. Le théorème 2-1 restera donc
valable en remplaçant la connexité de G, par une condition portant sur f, à savoir
que f possède un zéro t osur G (t(tO) = 0 sur G)
3 EQUATION DE D'ALEt'1BERT SUR UN GROUPE ABELIEN
Nous voulons ici étudier l'équation de d'Alembert sur un groupe abéllen
quelconque, sans hypothèse de régularité quant à la fonct.ion f. Nous acceptons
cette fols pour f des valeurs complexes.
Consi dérons l'équat ion
( 19)
g(x+y) + g(x-y) =2g(x) g(y)
(x, YE G)
oiJ g: G---+ C, lorsque G est un groupe abé11en quelconque (nous notons
additivement la loi sur G). D'abord nous écartons la solution triviale
(20)
g(x) =0
'v'XEG
Et pour toute autre solutlon, on a :
(21)
g(O) = 1. g(-x) =g(x)
XE G.

---

- 19 -
1ntrodui sons moi ntenont une f onetion f défi ni e por :
(22)
f(x) =g(x+p) -g(x-p)
OIJ P est un élément convenob 1e de G. Nous 011 ons prouver que 1el f oncti on h
définie par
(23)
h(~~) =g(x) + k f(x)
Sel ti Sf el it 1a re lot ion
(24)
h(:<+y) =h(x) h(y)
(x , y E G). ,
il condition de choi si r convenob1ement p et k.
En uti li sônt (23) , (22), ( 19) et 21, on el :
h(x) h(y) = g(x) g(y) + k [f(x) g(y) +g(x) f(y)] + k2 f(x) f(y)
=g(x) g(y) + k [g(x+p) g(y) - g(x-p) g(y) + g(x) g(y+p) +g(x) g(y-p) ]
+ k2 [g(~<+p) g(y+p) -g(~<-p) g(y+p) -g(x+p) g(y-p)+g(x-p) g(y-p)]
= ~ [g(x+y) +g(x-y)] + ~ k [g(x+y+p) +g(x-y+p)
-g(x+y-p) -g(:<-y-p) +gex+y+p) +g(x-y-p)
- gex+y-p) - g(x-y+p) ]
+ ~ k2 [g(:<+y+2p) +g(:<-y) -g(x+y) -g(x-y-p)
- g(x+y) -g(x-y+2p) +g(x+y-2p)+g(x-p)]
=[~ + k2 (g(2P)-I)] g(x+y) + [~ -k2 (g(2P)-I)] g(x-y) + k f(x+y)
Pour que 10 relotion (24) soit sotisfoite, le second membre de cette
dernière égôlité doit être

---

-
20 -
I~e)o ser~ reOilSe, 31 j'on 0
2
k
[g(~p)-l J =~
1''">
ce QUI permet de orendre ~'= ~ (::g ~::P) <::t l ':' ~our'~'u qlJ'l) e:<1ste un ~: IJans G
te 1que
(25)
g(2p) - 1 =*= 0
Supposons pour le moment Que toutes ces opérations soient possibles. Nous
choisissons alors p et k
dans (~~) et (~3).
M8 i son ti re auSSl de (2 1) et (22) :
(26)
f( -:<) : - f(x)
Et donc de (23), nous tirons:
h(-l<) : g(x) -k f(x)
Pui s en tenant compte de (23) â nouveau, on a :
(27)
g(x) : ~ [h(x) + h(-X)]
(x E G)
Revenons sur 1e choi x de p. Si
(28)
g(2x) = 1
pour tout x E G,
alors 11 n'existe aucun p vérifiant (25). Etudions le cas où g(2x) == 1. G n'est pas
nécessai rement di vi si ble par 2: la re lati on (28) nl,j rnp li que pas que g(x) == 1.
Cependant à l'aide de (19)et (21), nous avons (28), lorsque

---

- 21 -
En d'outres termes, on 0 :
(29)
"1 x € G ,
g(x) = 1 ou g(x) = -1
solt g(G) = { 1, -1}
f10ntrons que dons ce cos, 9 est de 10 forme (27) oyec (24) . Nous
di sU nguons deux cos:
0)
si g(x) g(y) = l
,olors grâce à (19)
g(x+y) + gex-y) =2 ,
et en uti 11 sant (29). on 0 nécessai rement
g(x+y) =gex-y) = 1 de sorte Que nous conservons
(30)
g(x+y) =g(x) g(y)
x , y E G.
b)
g(x) g(y) =-1 , en uU 11 sant 8 nouveau (19) et (29), on a :
g(x+y) + g(x-y) =-2 ,solt g(x+y) =g(x-y) =-1, et (30) est vraie
aussi. Comme (21) 'implique que
g(x) =~ [g(x) + g(-x)] ,nous avons
h(x) = g(x)
et nous oyons 810 fois (27) (por définition) et (24) por 10 relation (29).
REf1ARQUE:
Si G est diyisible por 2 10 reloUon (26) implique que g(x) == 1 et ce cos
se troi te comme précédemment en 0)
Lo solution triyiole (20) est oussi de cette forme (h= 0). Nous pouyons
énoncer.

---

-
22 -
THEOP~~-1:: 3- ,
les solutions générnles ri vnleurs complexes de l'éQunUon
fonctionnelle de d'Alembert ( J 9) sur Je produit li x G d'un groupe
nbéljen sont données pnr
g(x) = ~ [Mx) + h( -x)]
où
h: li -+ [
est telle Que
h(X+y) = h(x) h(y)
(x. y E G)
EXEMPLE D'APPLICATION
Résoudre l'équation
(3 J)
g(xy) + g(x/y) = 2 g(x) g(y)
où g: IR,{o } ---+ IR. C'est donc. 1e prao 1ème précédent oU 1e qroupe G= IR -{0}
est muni de la multiplication usuelle.
Nous allons reprendre exôctement 1à méthode precedente en remplaçant
l'adOltlon par la multlplicatlon.
Nous écartons la solution triviale
(32)
g(x) = 0
XEIR
on a .
g( 1) = J
(33)
g( I/y) = g(y)
NOUS introdUisons 18 10nctlon 1 aél1nie par:
(3..1)
f(x) = g(px) - g(g) J

---

- 23 -
et nous ol1ons prouver que 10 fonction E définie por:
(35 E(x) =g(x) + kf(x) soti sf oit l'équot i on
(36)
E(:<y) =E(x) E(y)
x, y E IR ,
pour p et k convenoblement choisis.
En utilisont (35), (34), (31) et (33), on 0 :
E(x) E(y) =, g(x) g(y) + k[f(x) g(y) + g(x) f(y) ] + k2 f(x) f(y)
=g(x) g(y) + k[g(px) g(y) - g(~) g(y) + g(x)g(py) + g(x) g(~)]
p
p
+ k2 [g(px) g(py) - g(~)g(py) -g(px) g(~) + g(~p) g(~)]
p p p
=1
1
-2 [g(xy) + g(~)] + -2 k[g(pxy) + g(Px) - g(XY) - g(~) + g(pxy) +g(2:)
y
Y
P
py
py
=[~+ k2 (g(p2) -1)] g(xy) + [~- k2 (g(p2)-1 )]g(x/y) + k f(xy)
Pour que la relation (36) soit satisfaite le second membre de cette
dernière égalité doit être:
E(xy) = g(~<y) + k f(xy)
Il en sera ainsi, si l'on a :
On prendro k =:!: (2g (p2)-2)-1I2
s''il existe un p tel que
1"\\
g(p~)-l '*' 0

---

- 24 -
On choisira p et k de cette manière dons les relations (34) et (35).
!1ois, nous tirons oussi de (33) et (34)
f( 1lx) = g(p/x) - g( 1/px)
=g(~) - g(px) =- «x)
D
Salt
(3ô)
f( 1/;-.:) = - f(;<).
Et donc (35) donne:
E( 1h<) =g(x) - k ((x)
Et donc, on fi :
(39)
g(x) = ~ [E(x) + E(~)]
(x E IR....{O})
Ce qui fournit lEI solution générElle de (31). t'1E1is si
(40)
pour tout x E IR {O}
810rs 11 n1exi ste aucun p E IR {o} vérifi ant (37). 1ci aussi nous pouvons di sti nguer
deux cas.
10 Cas:
l'équation x2 =y a une solution, ce qui suppose y >0, Elutrement dit 9
est déflnie sur IR\\: alors (40) donne:
g(y) = 1
y E IR\\
Et on El :
g(x) g(y) = 1
et donc g(xy) + g(~) =2 Elvec
!:l
g(xy) =g(~) = 1
!:l

---

- 25 -
Finol ement 9 =E
g(~~y) =g(x) g(y)
,
,<, y
l
-'= IR"+.
2('0 Cas:
l'équation gex2) = 1 n'implique pas que g(x) == 1. r1ais les relations (31) et
(33) donnent:
2
g(x 2) + 1 = 2 g(x)
, soit
(41)
g(x) = 1
ou g(x) =-1
a)
si g(x) g(y) = 1,
alors grâce à (31)
et en utilisant (41) , on a :
g(xy) =g(~) = 1 ;
!:l
ici aussi on :
(42)
g{~<y) =g{~<) g{y)
x, y E IR -{o}
b)
si g{x) g{y) =-1 , en utilisant encore (31) et (41),
on aura:
g(~<y) + g(~) =-2, soi t gü~y) =y(~) =-1
et le re leti on (42) est aussi vrai e.
Ici aussi un raisonnement analogue à celui dans le cas général, montre que:
E(x) = g(x)

---

- 26 -
THEORE~IE 3-2
En dehors de 10 fonction identiquement nulle 10 solution générole
ri voleurs réelles de réquotion
(31)
g(xy) + g(~) = 2 g{x) g{y) où g: R {O} -+ R est donnée par:
y
g(x) = ~ (E (x) .. E (k)]
où E (xy) = E(x) E<y)
pour tous x, y E R*
Remargue
Restreignons-nous à IR~ pour l'équation (31). Les fonctions continues
mult'iplicatives sur IR*+ à valeurs complexes sont les fonctions
X --t E(x) = xlX
(x e lR*+ 1 lX e rc
Et d'8près le théorème 3-2, nous aurons comme solutions continues sur
IR\\ , les fonctions
..
(42)
(x e lR.j. 1 lX E rc
Solutions réelles
Posons lX = a + ib
(a, b E IR)
ce qui donne
On aura donc des solutions réelles si
Sin(blogx) [xtl - x-tl] =0 pour tout x >0

---

- 27 -
Et ce10 est réollsé si
b =0 ou 0 =0 .
ce Qui donne
(~< >0
a
1
E IR)
ou
g(x) =cos (DLogx)
(D E IR 1 X >0)
Nous pouvons énoncer
PrQ.Qosi 1.1 on :
Les solutions continues g: IR\\ ---+ IR de l'équation
g(xy) + gex/y) =2 g(x) g(y)
sont données par
g(x) = 0
(~< >0)
ou
ou
g(x) = cos (bLogx)
(x >0)
où a et b sont des constantes réelles arbitraires. Le théorème suivant généralise
le théorème 3-1.
THEORH'IE 3-3
le théorème 3-1
est encore yalable, lorsqu'on y remplace le
corps C, par tout outre corps commutatif F, de caractéristique différente

---

- 28 -
de 2 # et quadratiquement clos.
Lo démonstroti on du théorème 3-3 se f oH en util i sont 1e théorème 3-4
sui vont.
THEDREt"IE 3-4
Si G est un groupe obélien# F un corps commutatif de
caractéristique différente de 2. Si 1 est l'ensemble des racines carrées de
l'unité dons F (r = {x E F# x2 = 1} où 1 est l'unité de F) olors g: G ~ F
est une solution de l'équotion de d'Alembert (19) si et seulement si 9 est
donnée por 10 formule (27).
Le Théorème 3-4 se démontre comme le théorème 3-1. La mention de 1=
{x E F , x2 = 1} permet de résoudre 1e cas parti cul i er où pour tout x E G
2
g(2x) = 1.. Qui donne d'aill eurs g(x) = 1. quant à 1a menti on "corps de
caractéri sti Que di ft érente de 2" elle est nécessai re pour expri mer g(x) sous 1a
forme
g(x) =~ [h(x) + f(-x)]
(x e G)
DEt1C1NSTRATIDN DU THEDREt1E 3-3
La différence du théorème 3-3 avec le théorème 3-1 est que le corps F
dans le théorème 3-3 n'est pas supposé quadratiquement clos. Mais nous
surmontons cette difficulté en utilisant le faH que tout corps (commutatif) peut être
plongé dans un corps quadrati quement clos.
Appelons CF le corps quadratiquement clos contenant F.

---

- 29 -
Les nototions étont les mêmes Que dons lô démonstrôtion du théorème 3-1, nous
obtiendrons 10 relotion:
k2 [g(2p) - 1] =~
dans F.
Cette re1aU on peut ne permettre de trouver aucun k dans F, même s1
g(2p) - l '*' O. ~1ais elle permet de trouver k dans CF et le reste du raisonnement
se f ei t. exectement comme dans 1e ces du théorème 3-1.
4 Solutions réelles de l'él~uetion de d'Alembert lorsQue G = C!!L~)
(IR , +) désigne le groupe additif de IR. Dens ce Cf:!S, le fonction h
serf:! définie per
X -+ h(x) =eCX
(c El[,
X E IR)
D'où
(43)
g(x) =~ (eC x + e-ex) =chcx
(c El[, X E IR)
ou
g(x) =0
(x E IR).
En posant C =e< +131
dans (43) , nous avons:
g(x) =ch (e<X + I3x1) = cI1(e<X) C11( I3xj) + sI1(e<X) St1( I3x1)
= ch(e<x) cos ~X - i sh(e<x) si n( f;x)
g(x) sera donc réel si , pour tout x E IR,
e< =0
ou 13 =o.
Et nous énonçons:

---

-
30 -
(OPOLL':H~E J- 1
Les solutions génén:llisées contfnues g.1R -+ IR de l'équation (19}sont données par
reelles oroltr~lres)
5
EXEr-1PLES D'EOUATIONS SE RAMENANT A L'EOUATION DE [r'ALEt'lBERT
1)
Soit l'équotlon
(44)
9(X+'d) + g(x-y) = ex g(x) g(y)
7)
1
~cc * :.... .
ou g: G- F G étont un groupe obelien F un corps commutôtif de coroctens-
tique différente de 2
si ex =0 , (44) devient:
(45)
g(x+y) + g(x-y) =0
(x, y E G)
en porticulier pour y =0 , on 0 :
(46)
2 g(x) =0 pour tout ;{ E G , c'est-ô-dire l~ solution triviale 9 = O.
Nous supposons donc ex * O.
Multiplions olors (44) membre 0 membre pôr cc ,il 'lient:
(47)
2
et: g(x+y) + et: g(x-y) =0:
g(x) g(y)
posons l' =;g : (47) devient alors
2 'P(x+y) + 2 'P(x-y) = 4 tp(x) tp(y)
Solt
(48)
'p (x+y) + 'p(x-y) =2 tp(x) 'p(y)
(x, y E G)
L'équatton (48) est une équation de d'Alembert. Et nous énoncons :

---

- 31 -
THEOREME 5-1
Si G est un groupe obélien et F un corps commutotif de
coroctéristique différente de 2~ les solutions ,généroles de l'équotion (44)
sont données por :
g(x) = 0
(x E G)
et en outre~ si IX * 0 por
g(x) = !.. [Mx) + M-xl]
(x e G)
oc
où h: G -+ F est une solutIon orb1tralre de l'éQuat1on exponentIelle
h(X+y) =h(x) My).
2)
Résoudre l'équati on
(49)
Cl: g(x+y) + 13 g(x-y) =(0:+ 13) g(x) g(y)
(Cl: >0 , 13 >0)
où g: G~ F étant un groupe abélien et F un corps commutatif, de caractéristique
différente de 2.
10 Si 0: = 13 , l'équation (49) s'écrit
Soit
g(x+y) + g(x-y) = 2 g(x) g(y)
et on est ramené à l'équatlon de d'Alembert. En faH ce Cl est général.
20 Sl 0: =P ~ ,en échangeant y en -y dans (49)
(50)
0: 9 (x-y) + ~ 9 (x+y) =(0: + ~) 9 (x) 9 (-y)
Additionnant (49) et (50),11 vient:
(o:+~) g(x+y) + (o:+~) g(x-y) =(o:+~) g(x) [g(y) + g(-y)]

---

- 32 -
ou encore
(51)
g(x+y) + g(:<-y) =g(x) [g(y) + g(-y) ]
rvlo1s dons (49) , sl on foH y =0 , on obUent :
(52)
lX g(x) + ~g(x) = (lX+~) g(x) g(O)
51 nous excluons 10 sol uti on tri vi 1.:11e gb<) =0 pour tout x, on déduit de
(52)
(53)
g(O) = 1
Puis dons (49) , s11'on foH x = 0 , on 0 :
lX g(y) + ~ g(-y) = (lX + ~) g(y)
ce qui donne
~ g(-y) = ~ g(y)
ou encore, pui sQue ~) 0 ,
(54)
g( -y) = g(y)
(y E G)
r'1oi ntenont , sl l'on ti ent compte de (54) , 10 rel oti on (51) donne:
g(~<+y) + g(x-y) = 2 g(x) g(y)
(x, y E G)
L'équot1on (49) est donc une équotion 1ndépendonte de lX et ~ lorsque
1
lX * ~ et 0:. ) 0 , ~ ) O. Nous pouvons énoncer
THEDREr1E 5-2
Si 6 est un groupe abél1en et F un corps commutatif de
caractéristique différente de 2.. les solutions générales g: ~ F de
l"équation cx g(x"'y) ... p gex-y) = (cx ... p) g(x) g(y) (cx > 0 .. p > 0) sont
celles de l"équatlon de d"Alembert.

---

- 33 -
CHAPITRE II
Equations de fonctions trigonométriques et similaires
Commençons par un exemple. Les deux paires de fonctions
(I)
[(x)= sin x
g(x)
1
= cos x
et
(2)
[(x)= sh x
, g(x) = ch x
sont solutions de l'équation fonctionnelle
(3)
f(x+y)=[(x) g(y)+g(x) [(y).
Tandis que la premiére paire (1) satisfait aussi l'équation
(4)
g(x+y)=g(x) g(y)-[(x) Hy),
l'autre paire (2), elle, satisfait l'équation
(5)
g(x+ y)=g(x) g(y)+[(x) [(y)
pour tous nombres réels ou complexes x et y.
1- Résolu tion des équations (3) et (4) ou (3) et tH
Nous allons résoudre simultanément (3) et (4) ou (3) et (5) dans le
cas où f. g : G -+ F , G étant un semi-groupe et F un corps commutatif
quadratiquement clos. c'est-à-dire un corps dans lequel l'équation K2 =c
possède une solution K dans F, quel que soit le choix de c dans F. Ensuite,
nous examinerons le cas particulier où F= R, R n'étant par quadratiquement
clos, mais pouvant être considéré comme sous corps du corps des
complexes, qui est clos, ce qui permettra de chercher les solutions qui
sont à valeurs réelles seulement. Enfin nous traiterons un exemple.

---

- 34 -
Nous allons adapter une méthode décrite dans J. Dhombres (voir
[5]) pour mettre (4) et (5) sous la forme la plus générale. (Nous notons * la
loi sur G) :
(6)
g(x * y)=g(x) g(y)+ K 2 f (x) f (y)
où Kest une constante, élément de F.
Les équations (3), (4) et (S) sont écrites sur G sous les formes
respectives
(3')
[(x * y)-[(x) g(y)+g(x) [(y),
( 4')
g(x * y)=g(x) g(y)-f(x) [(y),
(5')
g(x * y)=g(x) g(y)+g(x)f(y).
C'est donc (3') et (4') ou (3') et (5') que nous résolvons simultanément après
avoir mis (4') et (S') sous la forme (6), les variables x et y étant des
éléments du semi - groupe G (ou même dans certains cas, des éléments d'un
groupolde ).
Multiplions (3') par K et additionnons, puis soustrayons de (6),
nous obtenons le système d'équations fonctionnelles:
hl (x)=g(x)+kf(x)
(7)
h (x)=g(x)- k [(x)
2
avec
(8 )
h. (x * y)= h. (x) h. (y)
0= 1, 2).
,
' 1
De la relation (7), nous déduisons g et f en fonction de hl et h ,
2

---

- 3S -
(9)
Pour f, nous distinguons deux cas:
1°) Si K~ O. nous avons:
1
-1
(10)
[(x),= 2" k
[hl (x) - h (x)).
2
( 11)
a) Si h == 0 .
, .
(12)
et de la relation (3') nous tirons aussi,
(13 )
[(x)==o.
b) Si hl ~O, nous pouvons diviser (3') par (8) (pour j'= 1), et
tenant compte de (11) et pour la fonction 1 définie par:
-,
(14)
1(x),= [(x) [hl (x))
1
nous avons l'équation:
(15)
1(x· Y)'= 1(x) + l(y).
Et d'après ( 14), nous obtenons,
(t 6)
[(x)-1 (x) hl (x).
Remarquons que (1I) et (16) contiennent (12) et (13) (avec h - 0).
l
Nous venons de prouver le théorème suivant:

---

- 36 -
Théorème 1- 1 : Les solutions générales f. g : G ~ F du système
(3') et (6)
sur G2 où G est un semi - groupe et F un corps
commutatif quadratiquement clos. de caractéristique différente
de 2, sont données par les fbnrdes( 9) et (10) si' K 'f 0 et par les fomules (11)
et (16) si K = O. Ici
~-I1' H
et l sont des solUtions arbitraires de (8) et (15)
2
Remarque /- 2: Les couples de paires de fonctions (l) et (2) sont
solutions de (3) ou (3') et (6), si (8) et (15) sont vérifiées.
Dans le cas où K~ 0, le théorè me 1- 1 reste valide si G est un
groupoïde, pusique dans la démonstration du théorème 1- 1, nous
n'avons nullement utilisé l'associativité de la loi * sur G.
Remarque /- J : Si le corps F est de caractéristique égale à 2. la division
par 2 dans F n'est plus possible, et les solutions (9) et (la) (pour
K~ 0) ne sont plus nécessairement de cette forme. Il faut alors
1
utiliser une autre méthode de résolution. Donnons un exemple.
Exemple 1- 4 : Prenons F= Z/2 Z. La caractéristique de F est donc égale à
2. Comme Z/2 Z= j0, 1f, pour K~ 0 sur F, on a nécessairement K= 1
et
l'èquation (6) s'écrit:
(6')
g(x * y)= g(x) g(y) +[(x) f(y)
D'autre part sur F=Z/2 Z. l'équation (5') coïncide avec l'équation
(4') et les deux colncident avec (6'). On a donc à résoudre:
(7)
Hx * y) = [(x) g(y) + g(x) f(y)

---

- 37 -
VI, YE G
(l8)
g(x * y) = g(I) g(y) + [(X) [(y)
Les relations (7) et (8) donnent:
hl (x)= g(x) + [(x)
(k = 1)
h (x)= g(x) + [(x)
2
Donch =h eth (x* y)=h (x* y)=h (x )h (y).
1
2
1
2
1
2
D'ou les cas suivants:
a)Pourh (x)-h (x)-l
'Vx EG,ona:
1
2
h (x) = g(Xhf(I) = h (x)= 1
1
2
On a donc:
g(x)+ [(x)- 1 sur F- Z/2 Z
On a deux possibilités (5 ) et (5 ) données phr :
1
. 2
g(x)=O
:g(x)= 1
'Vx E G
VXEG
[(x)= 1
[(x)=O
Seul le deuxiéme systéme (S ) convient car pour le système
2
(5 ), 0') et (6') donnent:
1
f(x * y)= 1.0+ 0.1 = O~ 1
g(X * y) = 0,0 + 1.1 = 1~ a
b) Pour h = h
o.
=
c'est- à- dire h (x)= h (x)= 0,
'Vx EGo on
1
2
1
2

---

- 38 -
aura:
g(x)+f(x)=O ce qui donne
La solution (S3) convient, c'est la solution triviale, prévisible;
mais la solution (S) ne convient pas car le système
4
[(x)=g(x)= l, Vx E G n'est pas solution de (3') et (6').
Conclusion: Si le corps F est de caractéristique 2, les solutions (9) et (10)
(pour K ;oC 0) ne sont plus nécessairement sous la forme indiquée par le
théorème 1- 1.
2 - Résolution de J'équation (3') seule
Revenons aux systèmes d'équations (3') et (4') ou (3') et (5') ou
encore au système d'équations (3') et (6).
Vincze (voir [61]) a montré en 1926 que sur des produits
cartésiens de semigroupes, l'équation (3') seule est équivalente à (3') et (6)
à la fois, du moins pour des semigroupes abéliens ; par la suite, nous
utiliserons des méthodes récemment publiées par j. K. Chung. P. L.
Kannappan et cr. , Ng (voir [9]) pour des semigroupes plus généraux. C'est
l'ob jet de la proposition suivante.
Proposition 2 - 1 : Soit un semigroupe G dont la loi sera notée * et un

---

- 39 -
corps F (non nécessairement commutatif). Soient f, g : G 4F
2
verifiant (3') sur G et soit [(x) ~ O. Alors, il existe une constante A
2
dans F telle que l'on ait sur G :
(19 )
g(x * y)=g(x) g(y)+A [(x) [(y)
(x, y E G)
Démonstration: Si f ;;; 0, (3') est satifaite pour toute fonction g arbitraire.
Ce qui justifie l'hypothèse ft 0 faite dans l'énoncè du théorème.
Cam me (3') et l'associativité sur G sont les seuls hypothèses que
nous avons, nous allons les utiliser au maximum,
Nous avons pour tous x, y, z dans G.
[(x+y) g(z) .. g(x+y) [(x)- [[(x * y) * z]
= f lx * (y * z)J
Et
f lx * (y * z)] = [(x) g(y * z) + g(x) [( y * z) 1
f1(x* y)* z]-[(x)g(y)g(z)+ g(x)f(y)g(z)+ g(x* y)f(z)
D'où
[(x) g( y) g(z) + g(x)f( y) g(z) + g(x * y )f(z) =
[(x) g(y * z)+g(x) [(y) g(z)= g(x) g(y) [(z)
ou
(20)
[g(x * y)-g(x) g(y)] [(z) = [(x) [g(y * z)-g(y) g(z)J
Corn me [(x) ;r: 0, il existe Zo E G tel que [(zo) =0, et ainsi, avec:
l
h(y)= Ig(y * zo)-g(y) g(zo)] I[(zor • on a:
(2I)
g(x * y)-g(x) g(y) =[(x) h(y).
En portant cela dans (20), il vient:

---

- 40 -
(22)
f(x)h(y)f(z) = f(x)f(y)h(z)
En prenant A=h(zo) [f(zo)] -I, élément de F, la relation (22) devient
pour tout y E G,
h(y)= f(y) A
de sorte que (21) donne (19).
On peut noter que l'équation (22) montre aussi que l'élément A de
F commute avec f (il suffit pour cela d'échanger les rôles de y et z).
Nous disons donc que:
f(y)A= A f(y)
(y E G)
Remarque 2 - 2 : Dans la propositon 2-1, nous pouvons remplacer
l'hypothése F est un corps, par F est un anneau, à condition qu'il
existe un X
) sont inversible dans F. Il s'agit là
o E G tel que f(x o
d'une condition plus faible.
2
Enfin l'équation (19) est la même que l'équation (6) (K = A) pour
un corps quadratiquement clos.
Nous allons illustrer la remarque 2- 2 par l'exemple suivant:
EIemple 2 - 3 : Trouver toutes les fonctions,
M, N : R,J11, (R) telles que
fi
(24)
M(x+y)= M(x) N(y)+ N(x) M(y)
(x, y E R)
où ftt est l'algèbre des matrices carrées d'ordre n, à coefficients
n

---

41
réels.
L'équation (24) n'est autre que l'équation (3) ou (3') où G est
remplacé par R, qui est un groupe abélien et F remplacé par JV1,n
(Rl qui est un anneau non commutatif, non intègre, mais unifère.
Comme la clôture quadratique de Rest C, nous aHons rechercher
les solutions de (24) dans JV1, (C),
n
Nous allons distinguer deux cas:
I) Nous supposons que M=:O et qu'il existe 1
E
R tel que M(xo) soit
0
inversible dans JV1, (C).
n
II) Pour tout x E R, M(x) est non inversible dans JVl (C).
n
10 ) Il existe x E R tel que 01'1(1 ) r 1 existe dans J~Î/ (C)
o
0
Il
En adaptant la dé monstration de la proposition 3- 1. nous pouvons
déterminer la matrice H définie par:
(25 )
Et nous prenons,
- 1
A= HlX ) [M(x )]
(indépendante de x, y
o
o
E R)
Il reste a déterminer K E Jrl (C) telle que:
n
2
k =A
1er cas: n= 2 ou encore A E fl1 (C)
2

---

- 42 -
A) La matrice A est diagonalisable:
Alors la matrice A est semblable à sa réduite diagonale.
où al et a sont les valeurs propres de A. En d'autres termes, il existe une
2
matrice P inversible dans JVï (C) telle que:
2
A = PA'p-1
La matrice K'· ( ta 1 J~ dans la même base que A' est telle que K,2 ~ A'. Il
2
est clair que la matrice K semblable à K' dans la même base que A est telle
que:
Et le problème posé revient à la résolution de l'équation (19). Rappelons
que la méthode fournit les solutions:
1
(26 )
N(x) =
[H (x) + H (x)]
2"
1
2
(27)
avec
(28)
H .(x+ y)=H.(x)H.(y)]
(x, y ER) 0= 1, 2)
1
1
1
il est bien évident qu'on ne peut appliquer la formule (27) que si K est
inversible, c'est - à-dire si A est inversible. Cela suppose que a a ;.: O.
1
2
B) La matrice A n'est pas diagonalisable
C'est le cas où A admet une valeur propre double.

---

- 43 -
A ad met une valeur propre double:
Dans ce cas, A est semblable à la matrice:
(a 1)
-1
AI = \\0
a
avec A = PA' P
alors la matrice
la
KI
(
=
0
est telle q uc
Et la matrice K= P K' P-1 est telle que
2
K = A
Ici encore on obtient les mêmes solutions données par les formules (26) et
(27) à où H. (i= 1,2) est solution de (28), à condition que a :f 0
1
C) K ou A non inversible
C'est le cas où al a2 = 0 ou a =0 dans a) ou b). Ici encore N(x) est donnée par
la formule (26). Mais la relation:
KM(x)= 1 [H (x)- H (1)]
"2
1
2
tirée des relations
(29 )
HI (x)= N(x) + KM(x)
et
ne permet pas de déterminer M(x) ..

---

- 44 -
pour N, la solution:
(30)
(x ER),
et en tenant compte de la relation (29), il vient:
KM(x)=O
Ici aussi, comme dans la démonstration du théoréme 1-1, nous distinguons
deux cas:
a) Si H ~ a
1
(32)
N(x)=O
et de la relation (24), nous tirons:
M(x)= a
b) Si H ~ a
1
Nous "divisons" (24) par (28) (pour i= 1) et tenant compte de (30) et pour
la fonction L définie par:
-1
L(x) = M(x) (H (x))
1
1
nous avons
(35)
L(x+y)= L(x)+L(y) (L est une fonction additive)
et
(36)
M(x)= L(x) H (x) .
1
Nous aHons maintenant expliciter les solutions. obtenues (mais -non toutes les solutions)
Par définition, les H. sont des fonctions exponentielles et la
1
fonction L, une fonction additive. Donc on a: en supposant la régularité des solutions,

---

- 45 -
(37)
(i=1,2)(X b lR)
L(x)- x B
(x E R)
où C. (i = 1, 2) sont des matrices carrées d'ordre 2 arbitraires à coefficients
1
complexes, et B une matrice scalaire:B-ÂI (Â étant un nombre complexe
2
arbitraire ct 1 la matrice unité d'ordre 2). On aura donc:
2
a) Sil.:" est inversible
(x E R)
(On sait, selon la méthode de résolution que K commute avec M(x)). Ou
encore,
, XC
K -1 xc
(40 )
N(x)= _
el
, M(x)= _
el
2
2
(ici on a fait H}x)= 0 (x E R)
On peut aussi avoir, en posant dans (39) :
C = A + A
C=D+iD
1
1
2
1 1 2
ou
C = A - A
C=D-iD
2
1
2
2 1 2
où A. E M (C), mais D. E M (R) 0= 1, 2) 1
1
2
1
2
XD
N(x)=
el cos (x D)
{

---

- 46 -
(41)
ou
(x ER)
-1
XD
M(x)= K
el sin(x D)
b) k,' es' non inversIble
1
XC
XCI
(42)
N(x)=
el, M(x)= ÀXe
(x E R)
Les formules (39), (40), (41) et (42) permettent d'avoir également des
solutions réelles.
2ème cas: n ~3
Ici également, nous distinguons trois cas.
A) La matrice A est diagonalisable et inversible dans JlfI., (C).
n:
B) La matrice A n'est pas diagonalisable, mais est inversible.
C) La matrice A est non inversible dans JlfI., (C).
n
A) La matrice A est diagonalisable et aucune valeur propre
n'est nulle
A est semblable à sa réduite diagonale A' = diag. (al' ..., az ) à raide d'une
matrice de passage que nous notons encore P.
2
(A= PAl P-1) et la matrice K'= diag. (la, .'" la ) est telle que K, =A' et la
1
n
matrice Ksemblable à K' dans la même base que A est telle que:

---

- 47 -
Alors les résultats de I) A) s'appliquent.
B) A n'est pas diagonalisable, mais aucune valeur propre n'est
nulle
Nous remarquons que dans I) B) (cas où n= 2) nous avons utilisé la réduite
de Jordan de la matrice A. Nous utilisons ici aussi la réduite de Jordan de A
pour trouver lIne matrice Kinversible dans J\\1, (C) telle que:
n
Et nous obtenons les mêmes résultats qu'en I) B).
C) A est non inversible,
Dans ce cas, les relations (29) ne permettent pas de déterminer M(x) d'une
manière unique. Mais nous pouvons adapter la solution du cas n= 2.
2°) Pour tout x E R. M(x) est non inversible
Dans ce cas la résolution de l'équation (22) ne peut plus se régler comme
précédemment.
Nous allons cependant montrer, en traitant un exemple dans J\\1, (C) que
,
2
l'on peut avoir là aussi des solutions de (24), mais qui n'ont plus la même
forme. Prenons:
H (1) = (~s x - si n x )
1
sin x
cos x
o
ix)
e
Il est clair que:
H.(x+y)=H.(x) H.(y)
0= 1, 2)
1
1
1

---

- 48 -
Soit :
1
cos x+e ix - sinx
. )
- - ( .
2
sin x
cosx ~elx
1
cos x- ei x - sin x
. )
=
(.
"2 sin x
cos x _e1x
1
- i
- 1
=
-
sin x ( 1
. )
2
- 1
Il est clair que pour tout X, M(x) est non inversible. Mais si on vérifie que:
M(x+y)-M(x) N(y)+N(x) M(y)
(X, y ER).
Il n'existe aucune matrice A E JY~)C) telle que:
N(x+y)=N(x) N(y)+AM(x) M(y)
car pour tout x, M(x) est non inversible et la matrice M(x) M(y) est non
inversib le.
En conclusion, nous venons de prouver le résultat suivant:
Théorèmc 2 - 4 : Soit G un semigroupe dont la loi est notée • , et F
un
anneau. Soient f, g : G ~ F tclles que:
(1. y E G)
S'il eliste 1
E
G tel que f(l ) est inversible dans F. alors
0
o
il eliste A E F tel que l'on ait sur G2 :
g(l· y)=g(l) g(y)+ A f(I) f(y)
(1. y E G)
Si de plus dans F. l'équation k 2 = C a une solution dans F.

---

- 49 -
quel que soil le choiI de C. alors les solutions générales de
l'équation (3') sont données par les formules (9) et (10) ou (Il)
et (t 6) où .k est un élément inversible de F : hl h
: G --J F sont
2
des solutions arbitraires de (8) et 1 : G --J F une solution
arbitraire de (15).
3- Les formules de soustraction ou de symétrisation
Les fonctions (1) et (2) satisfont l'équation:
(43 )
f(x-y)=f(x) g(y)-g(x) [(y)
(x E R)
et les fonctions (1) satisfont l'équation:
(44 )
g(x-y)=g(x) g(y)+f(x) f(y)
(x. Y E R)
alors que les fonctions (2) vérifient l'équation:
(45)
g(x-y)=g(x) g(y)-f(x) [(y)
(x, y E R)
Notre but ici est de résoudre le systéme d'équations formé par
(43), (44) et (45) pour des fonctions:
f, g : G~F
ou G est un groupe et F un corps commutatif quadratiquement clos et
divisible par 2 (c'est-à-dire dans lequel les équations 2u=v possédent des
solutions ). Ici. G doit être nécessairement un groupe pour que tout élément
de G soit symétrisable ; les équations (43), (44) et (45) peuvent alors
s'écrire respectivement:
-1
(43')
f(x * y
)=[(x) g(y)-g(x) [(y)
(x, Y E G)
-1
(44')
g(x * y
) =g(x) g(y)+f(x) f(y)
(x, Y E G)

---

- 50 -
-1
(45')
g(x * y
) =g(x) g(y)-f(x) f(y)
(x, y E G)
Ici aussi, comme dans le paragraphe 1, nous pouvons remplacer (43') et
(44') par la seule équation:
-1
2
(46 )
g(x * y
)= g(x) g(y)- k
Hx) f(y)
Adaptant une méthode décrite dans Dhombres (voir 15]), nous pouvons
résoudre le système formé par (43) ou (43') et (45').
En permutant X et y dans (43') et (44') , on voit que:
-1
-1
(47)
f(z
)= - nz)
et g( (z
) = g(z)
(z E G)
En d'autres termes, f est impaire et g est paire.
Chaque fois que (47) a lieu, les équations (43') et (46) donnent:
f(x * y)=f(x) g(y)+g(x) f(y)
et
2
g(x" y)=g(x) g(y)+ k [(x) [(y)
on obtient alors les équations 0') et (6).
Examinuns maintenant les conséquences de la relation (47) sur les solutions
(9). (l0) et (lI), (I6) des équations (3') et (6).
Pour k ;rD, lorsqu'on a (46), les relations (9) et (ID) donnent:
-1
-1
h (x
)+h (x
)=h (x)+ h (x)
1
2
1
2
-1
-1
h (x
)-h (X
)= -h (x)+ h (x)
J
2
J
2
Et, par addition:
Par conséquent, nous avons:

---

- 51 -
1
-1
1
-1
(48)
g(x)-_[h (x) +h (x
)l,f(x)- __ [hl(x) -hl(x
)],
.
2
1
1
2 k
pour k~ 0, avec h solution arbitraire de (8), également solution de (43') et
1
de (46) si k~ o. Pour k=O, nous avons (11) et (16), c'est-à-dire:
(49 )
g(x)=h(x)
,[(x)=1(x)h(x)
-1
avech(x)-h(x
).
Et on vérifie que (49) avec une solution arbitraire de (15) et une solution
arbitraire du système:
11(x· y)=h(x)h(y)
(50)
-1
h(x
)= 11(x)
est une solution de (43') et (46) pour k =0, nous venons d'établir le
théorème suivant:
Théorè me 3 - 1 : Les solutions générales du système (43') (16) ou
du système équivalent (3'). (6) et (47) lorsque le domaine des
équations est G x G (où G est un groupe) et que les fonctions sont
à valeurs
dans
un corps commutatif quadratiquement
clos,
divisible par 2, sont données par (48) si k~ 0 et par (49) si k=O.
Ici, hl' 1 ct h sont des solutions arbitraires de (8), (lS) et (SO)
respective ment.
Remarque ]-2: Lorsque G est un groupe additif divisible par 2,

---

- 52 -
c'est-à-dire un groupe sur leque12x=x+x=z à une solution x E G,
que nous pouvons noter x=z/2 (pas nécessaire ment uniq ue), alors:
h(z)= h(2x)= h(x) h(x)-= h(x) h(-x)= h(O) ,
2
en utilisant (50). Donc h est constante sur G : Or h (0) =h( 0) ; donc
h(O)= 0 ou h(0)= 1 (sur F).
D'où la proposition:
Proposition 3 - 3 : Si dans le théorème 3- 1, le groupe G est un groupe
additu, divisible par 2, les solutions pour k =0 sont données par:
h; 0 ou h= 1 dans les relations (49). et L une solution arbitraire de (15),
c'est- à- dire:
g(x)= 0
g(x) = 1
ou
(x E G)
[(x)=o
[(x)=1(x)
avec 1(x+y)=1(x)+1(y)
Hemarqllé' 3-4: Mais si G est un groupe additif non divisible par 2, en
excluant la solution triviale h =O. les relations (49) donnent:
2
2
h(o)=h (x)
car
h(O)=h(x-x)=h(x) h(-x)=h (x)
11(0)= 1 car
h(x+O)=h(x+O)=h(x) h(0), soit h(O)= 1
On a donc:
h2(x)= 1
(x E G)
ou encore h(G)=1- 1, 1~ puisque h prend ses valeurs dans un corps

---

- 53 -
quadratiquement clos ; ce qui serait d'ailleurs vrai même si le
corps n'était pas quadratiquement clos, il suffirait de travailler
dans sa clôture quadratique.
Nous pouvons donc énoncer:
Proposition 3 - 5 : Si dans le théorème 3- l,le groupe G est abélien non
divisible par 2, les solutions du sytème (43') (46) ou du système
équivalent (3') (6) et (47) lorsque les fonctions f et g prennent
leurs valeurs dans un corps commutatif (pas nécessairement
quadratiquement clos), si k =(1 sont données par:
g(x)=O
g(x)=-l
g(x) = 1
ou
ou encore
(x E G)
f( x) = 0
[( x) = -1 (X)
[(x)= 1(x)
avec l(x+y)=1(x)+1(y), une fonction additive.
En résumé, nous pouvons énoncer:
Si G est un groupe et F un corps commutatif pas nécessairement
quadratiquement clos, mais de caractéristique différente de 2, les
solutions générales f, g : G-4F de l'équation:
2
g(x+y)=g(x) g(y)+k f(x)f(y)
sont données par:
a) Si k ~ 0
(x E G)

---

- 54 -
1
[(x)~
[h (X) - h (x)l
(x E G)
21:
1
2
où h h : G-4F sont des fonctions exponentielles ou multiplicatives:
1
1
2
h. (x+y)= h.(x) h.(,Y)
(x E G)
J
1
1
b) Si k = 0
g(x)= h (x)
1
[(x)- Hx) h (x)
1
où hl : G-4 F est une fonction exponentielle (hl (x+y)- hl (x) hl (y) )
et 1: G...... F une fonction additive:
1(x+y)= 1(x)+ 1(y)
4 - Résolution de (43 1 seule
)
De la même manière que nous avons traité (3') seule (sans (G)),
nous allons résoudre (43') seule sans (6).
Rappelons l'équation (43') :
-1
(43')
[(x.y
)=
f (x) g (y)
-
g (x)
f (y)
où f, g : G ---7F, lorsque G est un groupe abélien et F un corps commutatif
quadratiquement clos, divisible par 2.
En permutant x et y dans (43'), nous avons:
-1
[(x
)= - [(x)
(x E G)
(Donc f est une fonction impaire).

---

- 55 -
Mais nous ignorons si g est paire ou non. Décomposons alors g en
la somme d'une fonction paire, g
et d'une fonction impaire g .
1
e
0
(52 )
où
-1
-1
g (x
)=g (x)
g (x
)= -g (x)
1
e
e
0
0
En tenant compte de (52), (43') devient:
(54)
nx * y -1 )-[(x) g (y) + [(x) g (y)- g (x) [(y)- g (x) [(yi
e
0
e
0
- 1
- 1
changement x en x et y en y
,et tenant compte de (42) et (44) et de ce
-1
-1
-1
-1
que Gest abélien (x
1:
y= Y1: X = (x * y
)
), nous obtenons:
-1
(55 )
- nx 1: y
)= -[(x) g (y) + [(x) g (y)f g (x) [(y)- g (x) [(y)
e
0
e
0
a) Occu pons - nous d'abord de la fonction impaire g :
o
En additionnant les équations (541 et (55), nous obtenons aprés
division par 2 :
(56)
[(x)g (y) - g (x)f(y)
o
0
Si [(x) == 0 et si (43') est satisfaite (par g arbitraire), on a la solution:
(57)
f = 0
g arbitraire
1
où s'il existe Z E G tel que [(z ) ~ 0, ([(z )-1 existe et nous pouvons poser:
0 0 0

---

- 56 -
- 1
(58 )
C = I[(z )1
o
En faisant y =z dans (56) et en posant:
o
d=g (z ) c , nous avons
o 0
g (x)", d f(x) .
o
relation qui permet de déterminer g , une fois que f est connue.
o
b) Considérons maintenant la fonction paire ge
En soustrayant (55) de (54) ,
-1
(60 )
[(x+Y
)= [(x) g (y) - g (x) f(y)
e
e
Comme on le voit à partir des relations (50. (53) et (60), f et g satisfont
e
(3') et (47). D'où les solutions:
(61)
f(X) __
1 Ih (x) -h (x -I)J,
g (x)= ~[h (x) + h (x -1)1
si k ~ 0
2 k i l
e
2
1
1
ou
(62)
f(x )= Hx) h(x) , g (x) = 11 (x)
si k = 0
e
où hl ,let h sont données par:
h (x* y)=h (x)h (y)
1
1
.
1
1(x * y)= Hx) + Hy)
h(x * y)= h(x) h(y)
-1
h(x
) - h(x)
•

---

- 57 -
1
En posant as _ et b- d a et tenant compte des relations (52) et (59), nous
k
déduisons de (6 I) :
(63)
De (62), on tire:
(64)
[(x)= Hx) h(x). g (x)=[1 + d Hx)1 h(x)
Donc (63) et (64) sont solutions de (43') dès que hl' 1 et h sont définies
comme ci - dessus.
D'où le théorè me :
Théorème 4 - 1 :
Si F est un corps commutatif, divisible par 2 et G un
groupe abélien. Les solutions générales f. g : G -t F de l'équation
(43') sont données par les formules (57). (63) et (64). où a.b,d sont
des éléments arbitraires de F et h. 1 et h des solutions
1
arbitraires de (8). (15) et (50) respectivement.
Si de plus G est un groupe additif divisible par 2. alors en
vertu de
la
proposition 3 - 3, nous avons
h(x)= 1 dans
la
relation (64) et donc:
(65)
f(x)= Hx). g(x)= 1 .. d Hx)
(x E G)
5- Solutions complexes er réelles de (3) et de (43)

---

- 58 -
a) Solutions complexes et réelles de (3) et des systè mes (3) et (4)
ou (3) et ('))
Si nous prenons G = (R, +), c'est- à- dire l'ensemble des réels muni
de l'addition et F= C. le corps des nombres complexes. les fonctions hl et h2
des théorè mes 1- 1 et 2 - 4 sont des fonctions exponentielles et 1. une
fonction additive.
On peut prendre:
(où b. c, et d sont des constantes complexes arbitraires)
Et donc:
Les solutions de (3) seule seront:
Si k ;r: 0
(66)
g(x)=
(x E R)
2
ou
ex
(67)
[(x)= 1 e
,g(x)=
k
- 2
Si k= 0
ex
ex
(68)
[(x)= e
b X • g(x) = e
(X E R)
Les solutions de (3) et (5) seront:
ax
ax
f(x)= e
sh mx , g(x)= e
ch mx
ou

---

- 59 -
e ex
(70 )
[(x)= _
,g(X) - -
2
2
ou
e C x
eC x
[(X)= - _
i
,
g(X) = _
; ouf(X)=g(x)=O
2
2
(où a, cet m sont des constantes complexes arbitraires).
Par un choix convenable des constantes complexes. on aura des solutions
réeHes. Par exemple dans la formule (66). si l'on choisit c et d complexes
conjugés el k = <5; , on aura :
[(x)=8 sin x. g(x) = cos X
(x ER).
é une constante réeHe arbitraire.
b) Solutions complexes et réeJ.1es des équations (43) et (46) ou (43) et (44)
Les solutions générales : f, g : R ~ C de (43) et (46) pour des
fonctions mesurables sur un intervaHe réel en utilisant le théorème 3- 1
sont données par:
shcx
(71)
[(x)= _ _ . g(x)= chcx
si k ~ O.
k
(72)
[(x) =ex. g(x) =1
si k= 0
ou par
(73)
[(x)=g(x)=Q
dans les deux cas
où c est une constante complexe arbitraire.
Solutions réeHes de (43) et (44)
Dans ce cas, dans la relation (46) k=i et les relations (52) ne

---

- 60 -
peuvent avoir lieu, les applications f et g étant à valeurs réelles: (53) a des
valeurs rée11es.
Dans (51) posons c=a + pi (a. p réels).
Et comme:
ch p i = cos p et sh p i = i sin p
et Que (2) est solution de (3), nous avons:
f( x) = - i sh c x = - i sh (a x + p X il
= i sh (a x) ch (pxU - i ch (ax) sh (pxU
= ch (ax) sin p x - i sh (ax) cos (px)
[(x) sera rée11e si le coefficient (réel) de i est identiquement nul,
c'est - à - dire si 0= O. D'où:
(74)
[(x)= sinpxetg(x)= cos px,
et nous pouvons énoncer:
CoraHairc ) - 1 :
Les solutions générales f, g : R _ R de (43) et (44) mesurables sur
un intervalle sont données par:
f(x)=g(x)= 0
ou
f(x)=sinp x etg(x)=cos p x
6- Quclqucs cIcmplcs sur R
Nous venons de résoudre l'équation:
g(x * y)=g(x)g(y) +g(x)f(y)

---

- 61 -
,
lorsque f, g : G --. F où G est un groupe ou quelquefois un semigroupe ou
même un groupolde et F un corps commutatif ou un anneau dans certaines
conditions.
Nous avons explicité les solutions lorsque G est le groupe (R, +).
Nous allons maintenant rechercher les solutions de cette équation lorsque
l'on définit sur R d'autres lois que l'addition.
1) Soit l'équation:
(75)
f(x y)=f(x) g(y)+g(x) f(y)
Cg : (R* , x) ---+ R (R*, x) le groupe mulLiplicatif de R.
D'après le théorème 1- l, on a :
1
ou
g(x)= _ hl (x)
2
ou encore
où
h. (x y)=h.(x) h.(y)
0= l, 2)
1
1
1
l(xy)= l(x)+l(y)
a étant une constante complexe arbitraire.
Les fonctions multiplicatives h. <continues '311r R
à valeurs comolexes sont de
1
la forme:
lX
P
h.(x)=x ,h (x)=x
(x ER),
1
2
a et Pdes nombres complexes arbitraires.

---

- 62 -
la fonction additive 1étant de la forme:
Hx)= log x
D'où d'abord les solutions dans C :
a u p
1
u
p
(77)
f(x)= (x -x ) , g(x)= _(x + X )
2
2
ou
(78)
(x E R
a, a E C)
ou encore, en posant dans (77) :
(S, ~ E C)
~
~
(79 )
f(x)", a x sh(~ log x) , g(x)=x ch(~ log x)
(x E R)
(a, eS,~ E C)
ou enfin,
u
u
(80)
f(x)= x log x
(x > 0, a E C),
g(x)= x
solutions réeUes de (76)
10
Dans
les
formules
(77),
(78),
(79)
et
(80),
on
peut
choisir
convenablement les complexes a, a, p, S et ~ de teUe sorte que les solutions
correspondantes soient des solutions réeUes.
20 Dans les formules (79), si J'on f~tit a et eS réels et ~ imaginaire pur, on
aura la solution réelle:
(81)
f(x)-a xeS sin (~llog x) ,
g(X)"X6 cos (~log x)
(x > 0)
Pour nous résumer, nous disons que les solutions réeUes continues de l'équation (76)

---

- 63 -
sont de la forme:
a
ex
p
t
ex
p
[(X)= _(x -x )
1
g(X) '" _ (X + X )
2
2
(x > 0, a, Cl et ~ des nombres réels)
ou
a
ex
ex
[(x)- _ X
,
g(x)- _ X
2
2
(x > 0, a, Cl des nombres réels)
ou
6
ex
[(x)= a x
sh(P log x),
g(x)= x ch(P log x)
(X > 0, a, Cl et Pdes nombres réels)
ou
(x > 0, a, Cl et Pdes nombres réels)
ou
ex
(x > 0, Cl ER),
g(x)=x
2) Soit l'équation
(82)
[(x/y)= Hx) g(y)+g(x)f(y)
où les fonctions f et g sont définies à priori sur R* +, muni de l'opération de
division usuelle sur R.
Ici les fonctions h. 0= 1.2) et 1 qui interviennent dans les solutions doivent
t
vérifier:

---

-
64 -
(83)
*
x, y G IR +
(84)
t
(xy)
=
t(x)
+
t(y)
x, y G
IR
*
+
*
Les solutions continues sur IR
de
(83)
et
(84)
sont
+
respectivement
a
(85)
x
et t (x)
=
À
Log x,
x G IR
*
+
a et À des nombres réels arbitraires
D'où les solutions continues en f
et g en appliquant les formules
(57)
1
(63)
et
(64).
(86)
f
= 0, g arbitraire
ou
a
a
-a
1
(87)
f(x)
= "2
(x
-
x
), g (x)
= "2
ou encore
a
a
(88)
f(x)
= À x
Logx, g(x)
= x
[1 + d À Log xJ
*
OÙ x G
IR
a
, a, b,
À
et d des nombres réels arbitaires
+
3)
Résoudre l'équation
(89)
f(x+y+xy)
= f(x) + f(y)
x, y G
IR
- {-1l
Ici IR
est muni de la loi * définie par
x * y = x + y + xy.
On vérifie que cette loi est associative, commutative,
admet 0 pour élément neutre, que tout réel,
sauf -1
admet un opposé
x
l'opposé de x est ... - -
(x .,
-1) •
1 + x
Donc
(IR, *) est un semigroupe et on peut appliquer la Proposition
2 -
1 et le théorème 1 -
1 sur
(IR' {-1
l, *)

---

-
65 -
On pose X = 1 + x,
y = 1 + y et g(x) = f(x - 1). Ainsi 9 : m*
f
[( 1 + x)
(1
+ y) -1 J = f
(( 1 + x)
-1) + f
(( 1 + y)
-1)
f (XY -1)
= f ( X -
1)
+ f (Y -
1)
X, Y 6
*
m
(90)
9 (xy )
= 9 (X)
+ 9 (y)
Finalement, une solution de
(90)
s'écrit
f (x)
= 9 (x + 1)
(x t
-1)
où g(xy)
= g(x)
+ g(y)
x, y6
m*
Si donc on suppose f
mesurable sur un intervalle,
i l en est
de même de 9 et par conséquent 9 (x)
= a
Log 1 Xli soit
( 91)
f (x)
= a Log
1x + '1 1
Réciproquement,
a Log
Ix+'1 lest une solution de
(90)
puisque
(92)
f(x + y + xy)
= a Log 1 x + y + xy
= a
Log
1 (1 +x)
(1 + y) 1
= a Log 11 + x
+ a Log
11
+ Yi
Proposition
6 -
1
Les solutions réelles de
(90)
sur un inter-
valle ne contenant pas -1
sont de la forme a Loglx+1 1 où a 6
m.
(Le cas des valeurs complexes donnerait de même a
Loglx+1 1avec a 6 Q)
Par contre , on a
Proposition 6 -
2
La seule solution complexe de f(x+y+xy)
= f(x)+f(y)
pour toutes valeurs réelles de x et Y
est la fonction identiquement
nulle.
En effet, en reprenant la démonstration précèdente, on constate que
9 en définie et satisfait
(93)
g(xy)
=
g(x)
+ g(y)
En particulier g(O)
= g(x) + g(O) Donc g(x) _ a Donc à fortiori
f
_ 0

---

66 -
4)
Résoudre l'équation
(94)
f (x+y+xy)
= f (x) f (y)
x, y G
IR
{ -1}
De la même manière que dans l'équation
(89), nous effectuons
le changement de fonction.
(95)
f (x)
= 9 (x + 1)
et 9 (xy)
= 9 (x) 9 (y)
x, y G
IR *
.
Proposition
6 - 3
f
IR
-{-1}
((;
satisfait
(94)
(pour
x, y t-
-1)
si et seulement f(x)
:: 9 (x+ 1 ) où
*
*
9
:
IR
C
satisfait g(xy)
= g(x) g(y) x, y G IR
- Si l'on impose une régularité a f, cela restreint les
solutions. Par exemple, supposons f mesurable sur un intervalle ne
contenant pas -
1. Alors 9 est mesurable sur ce même intervalle
translaté de 1. Grâce à l'équation fonctionnelle de g, la mesurabilité
a lieu sur IR *
posons :
(96)
h(x)
=
Ig(x) 1 ,
soit h(xy)
= h(x) h(x) h>., O.
Si h est nulle en un point non nul, alors h ~ 0
i
nous
excluons ce cas.
Donc
h > O. On a
(97)
Log
(h(xy))
= Log
h(x)
+ Log h(y)
La mesurabilité donne aussitôt
(98)
Log h(x)
= a Logx
x > 0
soit
a
(99)
h(x)
= x
x > 0
ou encore
a
( 1 00)
Ig(x)
= x
x > 0

---

-
66 -
(bis)
a
( 100)
1g (x) 1
= x
x > 0
D'ou
Proposition
6 - 4
f
:
lR
{
-1
}
~
lR
satisfait
(94)
et
est mesurable sur un intervalle ne contenant
pas -1 si et seulement si
( 10 1 )
f (x)
= €
( 1 + x)a
x > 0
où
€
= 1
si x > -1
et €
= - 1 si x < - 1
2
Preuve
On a g(x )
=(g(x))2
donc comme g est réelle,
g(x)
>
0
V
x > 0
a
D'après ce qui prècède g(x)
= x
(x > 0) pour un
certain réel a.
Par ailleurs
g(-x)
= g(x)
g(-1) et g(_1)2
= 1 soit
g (-1)
=
€
et €
= 1.

---

- 67 -
7 EXEfvlPLE
Nous troitons mointenont un exemple d'équotion dont 10 résolution
se romène 6 une équotion de d'Alembert et ou cos d'équotions trigonométriques et
si mi loi res.
Trouver toutes les solutions mesurobles
f, 1': IR ~ IR de l'équotion
( 1(2)
((x) + ((x+y) = $ (y) ((x+y/2).
Ce problème est proposé dans Aczél-Dhombres [5] où il est
suggéré de montrer que la fonction 4> vérifie l'équation fondamentale
(1 (3)
4> (x+Y) + 4> (x-y) = 4> (x) 4> (y)
(x, y E IR.)
1" Nous ollons d'obord étoblir 10 relotion (103l
Remorquons que f =0 et ril orbitroi re est une sol uti on tri vi ole de
(102) que nous écartons désormais.
Par ailleurs, fa1sons x = - Y/2 dans (102):
(104)
f(-y 12) + f(Y/2) = 4> <y) HO)
<y E IR)
En particulier
(105)
(4) (y) - 4> (-y)) «0) =O.
Nous envisoqeons deux cos:
1 er cos:
«0) =O. En porticulier d'oprès (104) 10 fonction f est impoire
Foisons x = 0 dons (102) et tenons compte de HO) = O. Il vient:

---

- 68 -
(106)
((x) = 4' (x) ((x/2)
(x E IR)
Ecl18ngeons alors les rôles lje x et y dans (102)
(1 (7)
f(y) + ((x+y) =<t> (x) f(y + xh}
changeons x en x/2 dans (102)
( 10ô)
f(x/2) + f(x!2 + W) = <t> (y) f(x:~~)
-
L
"lultiplions les deux membres de (1 Oô) ptlr t (x) et tenons compte
de ( 106) et de (107):
(1 (9)
«x) -+- f(y) -+- f(x-+-y) =(f>(x) 4J(y) fC';~)
Par ailleurs effectuons un clolangernent de variable dans (102) en
posant x =u et x + y =v.
Il vient:
(110)
«u) + f(v) =(~(v-u) f(U;l))
(U, v.. E IR)
De·tellesortequ'enutilisant(110)avec xety
aulieude u et v
dans (1 (9), nous obtenons
(1 11)
<P (y-x) fC;Y) + f(x+y) =<P(x) <P(y) f(-<;Y)
De ( 106) on dédui t
( 112)
f(x+y) =~(X+Y)f(X;!::I)
D'où à parti r de (1 11) et (1 12).
Nous n'obtenons donc (103) qu'avec la condition restrictive
f(X;!:J) :1= O.

---

- 69 -
2èrne ct}s
f( 0) =*' O. En peu-ti cul i er d'ôprès ( 105) 1el f oneti on <p est poi re. Dès
lors on écr-it l'équation (102) en ctlangeant x en -x et y en - y
on ô.i ou te à (102) de sorte que
(1 15)
(f(X) + f( -:<») + (f(x+y) + f( -x-y») = 4>(Y) (f(x+y/2) + f( -x-Yh)
Grâce à (104), on dédui t
(116)
4)(2x) f(0) + 4>(2x+2y) HO) =4>(y) 4>(2x+y) f(0)
Soit, puisque f(0) =*' o.
Posons
2x+y = u et y = v de sorte que 2x+2y = U+ v.
et
u - v =2x.
Il vient
(11 i3)
4)(u - v) + 1)(U + v) =It)(U) 4)(v)
(u, v, E IR)
ce qui est bi en 1a rel ati on attendue (103).
Le résultat du cas HO) * 0 'indique alors une idée qui permettrait
d'obtenir (103) rnême dans le cas où HO) = O. Rernp1açons x par x - y et
y pat- 2y dans ( 102). Il vi ent
(119)
f(x+y) + f(x-y) = 4>(2y) f(x)
Supposons Hô) '*' 0 pour un a E IR, ee qui est toujours possible
puisque par hypothèse f n'est pas identiquement nulle. Alors d'après (119)
r(El + X~y ) + r(a - X~y ) = $(x+y) Ha)
t.
(.

---

- 70 -
et
f(a + X2~) + f(a - X2~) = 4J(l<-Y) ((a)
Donc en 13001 t1onnant
(120)
f(a + X?) + f(a + X;~) + f(a _ X;~) + f(a _ X;~)
=[ 4J(x+y) + 4J(x-y)] f(a).
~1ais f(a +~ +~) + f(a + ~ - y/2) =4>(y) f(a +~).
et
f(a - ; -~) + f(a - ~ + yi2) =4l(Y) f(8 - xh)
Soit, ÈI parti r de (120)
( 121 )
~(y) [f(B + ~) + f(B - x/2 )] = Ha) [4>(x+y) + ,t(x-y)]
f"1ais de même à partir de (120)
(122)
f(o +~) +f(o - xh) =~(x) Ho)
D'Oll fi nal ernent)
(123)
Ha) [(fi (:':) 4)(Y) - 4'(x+y) 4> (x-y)] = 0
Comme f(o) * 0) on déduit bien (103) en toute généralité.
20 Résolution de l'éguotion ( 102).
DMS 10 relation (103), si nous foisons le changement de fonction
( 124)
l.lJ (x) =~ 4l (l<)
(x E IR)
Nous obtenons l'éqUation de d'Alembert pour le fonctIon '-lI

---

- 71 -
( 125)
4i (x+y) + ,~ (x-y) =2 I~ (x) 4i(y)
En porti cul i er on constote 10 porité de '+1 dons tous 1es cos. On
connoit les solutions de (125) qui sont rnesurobles sur un intervolle de IR.
Elle::; sont données pôr
( 126)
4i == O} 4-' (x) =cos oX ou 4i(x) = chox ou 4-'(x) = 1 (6 E IR)
on en dédui t pour 4':
(127)
.1> == 0,
,1> (x) =2 cos ox
ou 1> (x) =2chox ou 1>(x) =2
(0 E IR)
Pour la fonction
f nous distinguons deux cas
a)
Dans ce cas nous calculons l'e)<pression
f.ü,~ +y1.2.1.(x- y>.
En échangeant les rôles de x et y dans (11 g)
(126)
f(y+x) + fey-x) = ~(2x) f(y)
addi t i onnant mai ntenant (119 et (128) et tenons compte de l'i mparité de f
( 129)
2 f(x+y) =4) (2y) f(x) + <}(2x) f(y).
Soit encore
( 130)
f(x+y) =~ [ ~(2y) f(x) + ~(2x) f(y)]
ou, en fonction de 4i: «P =2 4J )
( 131 )
f(x+y) = 4J (2y) f(x) + 4J (2x) f(y)

---

-
72 -
L'éQuôUon (131) est une équôtion de 10 forme de l'équotion
fonctionnelle (3). Comme on 0 :
I-IJ (x) =cos(j·x.. oU!.J.' (x) =ch(l"x ou encore '+1 (x) = 1
on ouro pour f , les solutions correspondôntes :
«x) =bsin 2"tl'x ou ((x) =bsh2üx ou encore
«x) = ox
(où 0, b et '0 sont des constontes réelles orbHrolres)
b)
HO) * O.
Dons ce cos 10 relôtion (104) donne
«x) + f( -x) = l' (2x) «0)
(x E IR
En désignant par f 0 et f e les parties irnpaire et paire de f.
on fi :
(132)
«x) = f e(x) + f O(X)'
Et donc
(133)
f e(x) =~ 4> (2x) f(0)
(x E IR)
La ra l ati on (133) déterml ne aussi tôt f e(x) :
(134)
f e(X) = fi COS 20'x
ou
f e(X) = 8ch 20'x
ou encore f s(x) = 0
(avec fi =f(O)
changeons mal ntenant x et y en -x et -y dans (102). Il vl ent
( 135)
f( -x) + f( ->~ -y) = ~(y) f(-x -Y!z)

---

- 73 -
Soi t, en soustrfiytmt (135) de (1 (2) :
( 136)
f(x) - f( -x) + f(x+y) - f( -x -y) = l' (y) [f(x +yh) - f(-x -Yh)]
La relat10n (136) permet d'écr1re:
2 f o(x) + 2 f o(X+Y) =2 4)(Y) f O(X+Y!2)
ou encore
autrernent dit la partie impaire de f satisfait encore l'équation
fonctionnelle (102).
Par conséquent, nous pouvons suivre la dérn~rche utilisée en 2 a,
ce qui fournit, pour fOl es sol uti ons
f O(x) =C si n 2üx
ou
f O(x) =C sh2ü::<
(x E IR)
(oll C et 0" sont des constantes réelles arbitraires)
Nous pouvons énoncer en défi ni ti ve
PROPOSITION 7-1
Les solutions mesurables sur un intervalle de l'axe réel
f, 1> : IR ~ IR de l'équation
f(x) + f(x+y) =1'(y) f(x+yh)
sont données par
f == 0
I~) arbl trai re
ou
f(X) =a cos 2'Q"x + b sin 2ox,
4>(x) =2 cos oX

---

- 74 -
ou
f(x) = 0 ch211X + b sh211x ,
4>(x) =2chl1X
ou
f(x) = 6 + bx
• 4> (X) =2
OÙ
8, b, et a sont des constantes réelles arbitraires, 0 * O.

---

- 75 -
CHAPITRE III
GENERALISATION DES EQUATIONS DE D'ALEMBERT ET DE
CAUCHY - PEXIDER
1ntrod uction
L'équation fonctionnelle
(1)
généralise les équations de d'Alembert et de Cauchy- Pexider. Comme l'ont
montré Speiser. Whitehouse et Berg en 1978, cette équation a des
applications importantes en théorie du signal.
Nous en diviserons l'étude en quatre paragraphes. Le premier sera
consacré à des résultats préliminaires qui seront utilisés dans toute la suite.
le second concernera l'étude de (1) sous des hypothèses fortes. de
continuite et de dériva bilité. Dans le troisiéme paragraphe, nous traiterons
le cas où n= 2 avec des applications numériques. Enfin. le
quatrième paragraphe sera consacré à l'étude d'un autre exemple. sous des
hypothèses de régularité.
- Résultats préliminaires
Nous supposons d'abord que fle: E -+ R. gle: E -+R. (k = l, 2, .... n), f
: E+ E' -+ R et g: E- E' -+R où E et E' sont des ense mbles non vides que nous
préciserons dans la suite.

---

-
76 -
Remarque: Nous pouvons supposer que les rtet gk (k-l,...,n) sont
linéairement indépendantllS. Sinon, leur rang serait égal à p < n et en
supposant qu~ deules les f k et gk (K = 1, .. ~,p) soient linéaire-
ment indépendantes les autres fonctions les f
, gk
(K = p + 1, ... n)
k
seraient combinaisons
linéaires des premières et l'équation (1)
serait réduite à l'équation:
et donc on serait amené au cas de l'indépendance linéaire.
Dans ces conditions, nous aurons besoin du lemme
suivant
Lemme 1-1
Les n [onctions [ , ..., [ : E ~ R sont linéairement dépendantes si et
1
n
seulement si
pour tout n - uple
(x ' ... ,x )
e En
1
n
[ (1 )
[ (1 )
1
l I n
(2)
0
:<
[ (1 )
[ (1 )
n 1
n
n
Démonstration
Nous notons, le premier membre de (2) ,appelé déterminant de

---

- 77 -
Casorati, par:
f (x )
,f (x )
1
l i n
f (1 )
f (x )
n 1
n
n
a) Supposons f ,.." f dépendantes
1
n
La dépendance linéaire de f ,..., f sur E signifie qu'il existe des constantes
1
n
c ...., c non toutes nulles telles que:
1
n
(4)
+ C f
(x) = 0
(x E E)
n Il
En faisant x=x dans (4) pour k= 1,.." n nous obtenons un système
k
linéaire de n équations en c ,.." c . Comme nous savons qu'il existe une
1
n
solution (c ,..., c ) non nulle de (4), c'est que le déterminant du système est
1
n
nulm et nous avons la relation (2).
b) Nous supposons que l'on a (2)
Nous faisons ici la démonstration par récurrence sur n. Le résultat
est évident pour n= 1 pour lequel la dépendance linéaire et la relation (2)
signifient que:
f (x) = 0
'VX E E

---

- 78 -
Supposons que le résultat est vrai pour n- 1 et que l'on a (2) pour n.
Alors, il Y a deux cas:
ou bien:
f (x l
f (x
l
1
1
1
0-1
0-1
(S)
=0
V(x ..... x
)E E
1
0-1
f
(x)
f
(x
)
0-11
0-1
0-1
auouel
cas. à cause de l'hypothèse de récurrence. f ,.... f
sont
1
0-1
linéairement dépendants et alors f ...., f
f sont égaleOl4lt 'linéairement
1
t
0 -1
0
dépendants.
ou bien: (5) n'a pas lieu. ce qui veut dire qu'il existe al ..... a _
dans E tels
O
1
que
f (a )
f (a
)
1
1
1
n-I
c -
;Je
0
o
f
(a)
f
(a
)
0-1
1
n-l
n-I
En faisant dans (2) x =a
(k= 1,.... n- I) et x =x et en développant le
k
k
n
déterminant dans (2) suivant la dernière colonne. Alors (2) se transforme
en une équation de la forme (4) avec C ;Je 0, de sorte que f . f J".f sont
n
1 2 0

---

- 79 -
encore linéairement
dépendants et le lemme 1- 1 en résulte,
1
2 - Résolution de (l) sous des hypothèses fortes
Hypothèse H
Les f1; : E -+R et gt : E'-+ R (k-l,,,,, n), f : E+E' -+ R et g : E-E' -+ R ont des
dérivées de tous ordres. avec ici E et E' des ouverts de R.
Proposition 2 - 1
Soient E et E' deux intervalles ouverts non vides de R, nous
supposons que 0 E E', que l'hypothèse H est satisfaite que f"", f sont
1
n
indépendantes sur E ainsi que g ,..., g sur E' et qu'enfin f ,...,f ; g "",g f et
1
1
n
1
n
1
n
g sont solutions de l'équation (1 ).
Alors les ft et gt (k =1,..., n) satisfont des systèmes d'èq uations
différentielles linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants
sans termes du premier ordre tandis que f +g et f' - g' satisfont des
équations différentielles d'ordre 2n à coefficients constants avec tous les
termes d'ordre pair.
Démonstration (voir Aczél and Dhombres [S])
En dérivant l'équation (1) deux fois de suite, par rapport à x, nous
obtenons:
(6)
~ f"(x) gt(y)=f"(x+y)+g"(x-y)
t· 1
t

---

- 80 -
De même en dérivant (l) deux fois de suite par rapport à y, il vient:
(7)
~ ft(x) g"(y)..,f"(x+y)+g"(x-y)
t- 1
t
Comme g ,..., g sont linéairement indépendantes. d'après le lemme 1, il
1
n
existe y,..., y dans E' tels que:
1
n
(8)
En utilisant (6) et (7) avec y .. y. pour j.., 1,..., n, nous obtenons un système
,
de n équations de la forme;
(9 )
~ f"(x) g (yJ- ~ ft(x)+g"(y.)
(j - l,..., n)
k-l
k
k
J
k-l
k
J
Avec (9) nous obtenons un système linéaire d'équations en ["(x), (k = l,..., n)
k
dont le déterminant est non nul à cause de (8). La résolution de (9) permet
d'écrire chaque f"(x) comme une combinaison linéaire à coefficients
k
constants des f"(x), (k= 1,..., n) :
k
(} 0)
["(x) =
~
a
f
(x)
(k = l,..., n)
k
m-I
km m
de la même manière. on obtient pour les g ,(k= 1,.... n) :
k
(ll)
(k.., 1,.... n)
comme il est indiqué dans la proposition 2 - 1.
pour les fonctions f +g et f' - g'
En faisant y- 0 dans li), (on a supposé que 0 E E'), nous pouvons

---

- 81 -
définir la fonction ~ : E -+R par:
llJ=f+g
En posant co' k =gk (0), nous avons l'équation:
Dérivons (12 ) deux dois de suite:
0
~.. (1) = ~ c k ["( (1)
k • 1
0,
k
ou. en utilisant (10) avecc
(k = 1...., n),
1
k =
~ co' a'
1
; - 1 ' /
/k
~" (x) = ~ cf.. (x)
k • 1
l, k
a.
De façon analogue:
(12,)
(2j) ( )
~
f ( )
~
1
=
k _ 1 c
1
j • k
le 1
lj=O,l,.... n-l ,
n)
En particulier:
.. (20-2) ( )
0.
(12
)
~
X
=
2.
C
f (x),
D -1
k • 1
0-1,
k
le
(12)
(20)()
0.
~
X
=
2.
C
f (x),
D
k-I
D,k
k
pour tout x, E E.
Les fk(x) (k= 1,.... n) étant linéairement indépendants, engendrent
un sous- espace V de dimension n dans fF (E, R). Et les relations (I2,)
1
montrent que les ~(2j)(X) (j=0, 1,..., n) appartiennent à V. Comme ils sont

---

- 82 -
en nombre n+ 1, ils constituent un système lié. En d'autres termes, il existe
des constantes réelles b ,b ,.." b non toutes nulles telles que:
o
t
n
~ b. ~ (2 j) (x) = 0
(x E E)
j- 0
J
Ce qui veut dire que flJ satisfait à une équation différentielle linéaire
homogène à coefficients constants. (non tous nuls) où tous les termes sont
d'ordre pair,
Définissons maintenant la fonction 'JI : E ~ R par:
'i' (x)=f'(x)-g'(x)
XE E
Par dérivation de (l) par rapport à y et en faisant y- 0, c'est- à- dire avec
d '1. =g' (0) (k= l" .., n), on obtient:
o ..
k
Et, en dérivant cette équation deux fois de suite. quatre fois de suite,..., 2n
fois de suite, nous obtenons pour 'l'. le même résultat pour ~. Ceci achève
la démonstration de la proposition 2- 1.
Hemarque: La résolution des systèmes (l0) et (ll) pour les fonctions f ,.."
1
f ou g ,.." g se fait suivant les méthodes classiques relatives à la théorie
n
1
n
des équations différentielles
(même si cela peut paraître fastidieux), Il en est de même pour les
équations différentielles en flJ et en 'JI. et le calcul de f et g est aisé une fois

---

- 83 -
que ~ et '1' sont connues.
3- Elemple 1
Trouver toutes les solutions de classe C ~ lorsque E= E'= R de
l'équation:
(13)
où (f . f 'et (g ,g ) sont linéairement indépendants sur R.
\\
2
\\
2
i
Résolution : En dérivant (13) deux fois de suite par rapport à x, puis par
rapport à y. on obtient:
(14)
g (y)f"(x)+g (y) f"(x)-g"(y) f (x)+g" (y) f(x)
\\
\\
2 2
1
\\
2
2
Comme gl et g2 sont indépendants. il existe YI et Y2 E R tels que:
det (g. (y.))=
;z!
0
1
1
Faisant dans (14), y- y. (j - 1, 2), on obtient:
J
(16)
g (y) f"(x)+g (y) f"(x) .. g"(y ) f (x)+g" (y ) f (x)
1 f I
212
1 1 \\
2 1 2
g (y) f"(x)+g (y) f"(x)=g"(y) f (x)+g" (y ) f(x)
121
222
\\
2\\
2 2 2
Le systè me (6) est un systè me linéaire d'éq uations aux inconnues f "(x)
1
0= 1,2). Son déterminant n'est autre que le second membre de OS) qui est

---

- 84 -
non nul, donc, on peut écrire ["(x) sous forme d'une combinaison linéaire
t
des (f.) 0= 1, 2), soit:
1
(17)
["(x) = a
f (x) + a
f (x)
0= 1.2)
i
il
t
12
2
La relation (17) définit un système différentiel linéaire à coefficients
constants, dont la matrice associée est:
A=
On sait rèsoudre un tel système.
De la même manière on obtient pour les (g,) 0= 1,2) un système de
1
la forme:
(l8)
g"(x) - b
g (x) +b
g (x)
0- 1, 2)
i
il
1
i2
2
dont la matrice associée est:
B =
Les systè mes définis par (17) et (l8) per mettent donc de déter miner les f.1
et g. 0= 1, 2).
1

---

- 85 -
Posons 1lJ=f+g obtenue en faisant dans (13), y=O.
Pourc .=g.(O),ona:
0,1
1
(19)
En dérivant (19) deux fois de suite, il vient:
1lJ"(x)= c
f"(x) +C
f"(x)
0,1
1
0,2
ou encore, en utilisant. le système (17) :
.es"(x)=c
[a
f (x) + a
f (x)]+ c
[a
f (x) + a
f (x)]
0,1
Il
1
12
2
0,2
21
1
22
2
posant c
- c
a
+ C
a
et c
- c
a
+ C
a
on a :
1,1
0,1
11
0,2
21
1,2
0,1
12
0,2
22 '
Puis, en dérivant deux fois de suite, il vient:
= c
f (x) + C
f (x)
2,1
1
2,2
2
où l'on a posé :
c
=c
a
+c
a
c
=c
a
+c
a
2,1
2,1
Il
1.2
22
2.2
l,l
12
1,2
22
Les (f,) 0= 1, 2) étant indépendants, engendrent un sous- espace 'lJ2 de
1
dimension 2 de l'espace fF (R, R). et donc, llJ(x), 1lJ"(x) et llJ (4) (n) constituent
un système lié de 'lJ2. En d'autres termes, il existe (al' a ' (
z
) ~ (0,0,0)
3

---

- 86 -
tels que:
(20)
Cl
16 (4) (x) + Cl
f6"(x) + Cl
f6(x)" O.
.3
2
1
système homogène en 16, du quatrième ordre, à coefficients constants.
La même méthode. mutatis mutandi, permet d'obtenir. pour la
fonction \\}J .. f'+ g', une équation de la forme:
(21)
On peut remarquer que pour résoudre ce problème la condition Coo peut
être remplacée par la condition CS (à cause de \\}J .. f'-g').
Aoplication numérigues
a) Nous aHons nous donner d'abord les fonctions fi et f régulières
2
vérifiant les relations (17),
r(x)=a
f(x)+a
f(x)
0= 1,2)
i
il
1
i 2 2
de la façon suivante:
3
1
f"(x) ...
_f (x) __ f (x)
1
2
1
2
2
(22)
1
3
f"(x)- - _ f (x) + _ f (x)
2
2
1
2
2

---

- 87 -
La matrice associée est la matrice:
A=~ (3
-1)
2
-1
3
Elle est diagonalisable, (valeurs propres dl" 1 et d - 2) et les méthodes
2
classiq ues de résolution donnent:
x
-x
.../2 x
-Y2X
fi (x)Q A e + B e
- A e
- B e
1
1
2
2
x
-x
Y2X
-Y2X
f (x)- A e + B e
- A e
+ B e
2
1
1
2
2
Pour simplifier, nous choisissons:
A '"' B .. 1 et B .. B .. 0
t
2
1
2
d'où:
x
Y2X
1 f, (x) - ex - e-I2x
1f (x)-e + e
2
Les g. (i= 1. 2) jouant un rôle symétrique par rapport aux f. (] .. 1. 2), on a
1
1
pour les g. , un système semblable. En d'autres termes, on aura:
1
y
- y
Y2Y
-Y2Y
g (y)- Ce +D e
-C e
+D e
1
t
1
1
2
2
1
"1
y
- y
Y2Y
-Y2Y
g (y)=Ce +De
-Ce
+De
\\
2
1
1
2
2
Ici. nous prenons:
A = B = 1 et B = A = 0
1
2
1
2

---

- 88 -
Et donc:
y
- './2y
g (y) zo e - e
1
y
-V2Y
g (y) '" e - e
2
b) Nous avons alors à résoudre l'équation
x
V2x
y
-V2Y
x
V2X
y
-V2Y
(23)
f(x+y)+g(x-y)-(e -e
)( e -e
) +(e +e
)(e +e
)
La méthode de résolution exposée donne, pour ~ (x) :
obtenue en faisant dans (23), y- o.
Pour \\{'(x)=['(x)-g'(x) obtenue en dérivant (23) par rapport à Y, puis en Y
faisant yoc 0, on a :
•
1
x
V2X
y
V2Y
x
V2X
y
-V2Y,
\\{'(x)-f(x)+ g(x)-(e -e
)[ e -/2e
1 +(e +e
)[e +/2e
1
y=o
y=o
x
V2x
X
V2X
=(I+/2)(e -e
)+(I-/2)(e +e
)
= 2 eX _2/2 e -V2X
On a donc, pour trouver [(x) et g(x) les équations:
x
-V2X
(24) f(x)+g(x)= 2 (e -/2e
)
,
X
-V2X
(25) f'(x)-g(x)- 2 e -2/2e
La relation (25) donne par intégration:
(26) f(x)-g(x)- 2 eX -2e -V2x + Il: (où K est une constante arbitraire)

---

- 89 -
La résolution simultanée de (24) et (26) donne:
x
[(x)", 2e + K/2
(27)
V2X
l g(x)", 2e
- K/2
On vérifie que les fonctions f et g définies par les relations (27) sont
solutions de l'équation (23).
4- Exemple 2
Trouver toutes les solutions de classe COO de l'équation:
(28 )
f(x+y)+g(x-y)- 2h(x) k(y)
x, y ER
où r. g, h, k : R -+R
Nous pouvons remarquer que l'équation (28) n'est autre que l'équation
d'autre part sont dépendantes.
Cet exemple illustre donc la remarque faite au paragraphe 1. En dérivant
l'équation (28) deux fois de suite par rapport à x, nous obtenons:
(29)
f"(x+y)+g"(x-y)- 2 h"(x) k(y)
x, y E R
Puis en dérivant (28) deux fois de suite par rapport à y, il vient:
(30)
["(x+y)+g"(x-y)", 2 h(x) k"(y)
x, Y E R
(29) et (30) donnent:
h"(x) k(y)-h(x) k"(y)
x, Y E R
En-faisant dans(3l)successivement y=Y.' x=x.' on obtient respectivement

---

- 90 -
k(y ) h"(I)- k"(Y ) h(1)- 0
1 E R
1
I
h(x ) k"(y)- h"(1 ) k(y)- 0
YER
,
1
1
Les équations (32) et (33) sont des équations différentielle linéaires du
second ordre à coefficients constants. On sait les résoudre. Elles donnent
donc les fonctions h et k. Pour les fonctions f et g, on procède de la même
manière que pour l'éq uation (13).
Faire y= 0 dans (28). Ce qui donne:
(34)
.0(1)= f(x)+g(x)=2k(O) h(x)
Puis nous dérivons deux fois de suite par rapport à x, la relation (34), soit:
~"(x)= f"(x)+g"(x)
Mais selon (29), on a :
f"(x)+ g"(I)= 2k(O)h"(x)
Et comme d'après (32) :
h"(x)= ô h(X)
où Ôest une constante
L'éq uation donne :
9J"(x)= 2k(O) ô h(x)
soit :
~"(x)= Ô ~(x)
1ER
ou
(36)
X E R
L'équation (36) est une équation différentielle du second ordre à
coefficients constants. Elle donne l6(x), donc nx) + g(x).
Puis, com me dans (13), on posera:

---

- 91 -
(37)
'P (x)=f'(x)-g'(x)=2 h (x) k'(O)
Après avoir dérivé (28) par rapport à Y, et après Y avoir fait y= O.
Ensuite nous dérivons (37) deux fois de suite par rapport à x, cela donne;
'P" (x) .. f'''(x)-g'''(x) .. 2 k'(Q) h"(x)
Ce qui permet d'obtenir pour 'P(x), une équation de la forme:
'P" (x)= ~ 'P(x)
x ER
où
'P" (x)- ~ 'P(x) .. 0
XE R
Une fois que ~ et $ sont connues, les relations (34) et (37) permettent
de déterr.1i ner f et 9 .
En conclusion, l'équation (28) est un cas particulier de l'équation (13).
Elle se résoud donc comme l'équation (13).

---

- 92 -
CHA PIT R E IV
OPERATEURS DE FONCTIONS COSINUS REGULIERS
o - PRELIMINAIRES
Les éléments traités dans ce cl1apitre sont principalement dus à
SO'w'A et à LUTZ, le concept de générateur 'infinitésimal étant présenté
cornme dans LUTZ.
1"lais auparavant nous recensons dans ce paragrapl1e D, les
définitions, les notations et les tt1éorèmes sans démonstration que nous
util i serons spéci al ement ljans ce chapi tre.
DEFINITION 0-1
Soit Eun espace vectoriel normé et f un opérateur linéaire continu
de E dans E. Tout nornbre cornplexe)., est une valeur spectrale de
l"opération f si l"opérateur f-)"I n'est pas inversible dans l'algèbre Ijes
opérateurs linéaires continus de Edans E; )., est. une valeur propre si f-~\\I
n'y est pas injectH. Ici on a désigné par 1 l'opérateur iljentité sur E.
Il est clair qu'en dimension finie, les deux notions coïncident.

---

- 93
-
NOTATION 0-2
Nous noterons 0-(0 l'ensemble des voleurs spectrale de 1.
THEOREME Q-3
Solt E une algèbre de Banach, f un opérateur linéaire continu
défini sur E. W étant un nombre réel positH, si pour À> w, l'opérateur ÀI-f
est injectif, alors l'opérateur f est fermé et l'opérateur (ÀI-O- 1 est
appelé le résolvant de l'opérateur f et est noté R(À,O.
LEMr1E Q-4
Soit f un opérateur linéaire continu défini sur l'algèbre de Banach
E et W un nombre réel positif. 5i pour cllaQue À>w, ÀI-f est injectif, et si
pourcllaQue x E E: À(ÀI-f)(x) ----.x, Quand À----'oo, À > w, alors 0(0 est
dense dans E(où D(f) est le domaine de l'opérateur O.
THEORH'IE 0-5 OU THEDREt"IE DE BANACH-5TEINHAU55
Solt Eun espace de Banach, F un espace vectoriel normé et (ui)iel
une fomille d'opplicotions linéoires continues de E dons F.
Alors ou bien il existe un nombre réel positif tel Que
ou bi en
Supll ui (x)1I = +00
i E 1
pour x ôppartenant à un sous-ensemble dense dans E.

---

- 94 -
1 - ELEtv1ENTS DE BASE SUR L'OPERATEUR DE FONCT ION COS 1NUS ET LEURS
GENERATEURS
Soi t X un es poce de Bonoch et soi t B(X) 1'01 gèbre des opéroteurs
1i néoi res bornés sur X.
DEFINITION 1-1
Une fonction C: IR ~B(X) est dite opéroteur cosinus régulier sur
Xlorsque:
C(t+s) + C(t-s) =2 C(t)C(s)
(s, t e IR)
(1)
(ii)
C(O)=I
(iii) t ----+ C(t)x est continue sur IR pour tout x fixé dons X où 1
est l'opérateur identité sur B(X).
1)
X=C
aE(
C(t) hlal
~ pll
an
:c
a = ~ (2n) 1
niO
2)
x=1R2 C(t) =
1
~) telR.
( 1/2 t2
3)
X = Co(lR) = {f : IR----+C, f conUnue et bornée}
Ilrll =Supl f(O 1
telR
(C(OO(s) = ~ [ f(s+t) + f(s-t) ]
s,t E IR.

---

- .95 -
Les deux exemples représentent des opérateurs cosinus
nHormément continus C: IR -----t B(X) vérHiant :
(0,
(iO et (liO' : t -----t C(t) est continue sur R suivant 16
topologie de la norme sur B(X).
Nous déduisons immédiotement de 10 définition 1-1 que C est
poire
C(s) + C(-s) =2 C(s)
(2)
C(s) =C(-s)
s E IR
et que les valeurs de C commutent. soit
2 C( t) C(s)
=C( t+s) + C(t -s)
=C(t+s) + C(s-t)
=2C(s) C(t)
(s,t E IR)
THEOREME 1-2
Si C est un opérateur cosinus régulier, alors il existe deux
constantes M~ 1 et w ~ 0 telles Que
(3)
IIC(t)II ~ 11ew1tl
'fi t E IR.
Démonstration
Nous prouvons (3) uniquement pour t ? 0 grâce ola parité. D'après
le théorème de Bonoch-Steinhouss, il existe K ? 0, ovec
IIC( t)II ~ K
pour t E [0, 1]
et il résulte de (1) (ii) Que K ? 1. Et en utillsont (1)(0,

---

- ·96 -
il es t ai sé de prouver por récurrence sur n que
IIC(nOII ~ (3k)n
'v'te[O,I]neN
(voir aussi Sowa [51] et notre traitement de l'équation de d'Alembert sur
IR).
Prenons alors s e IR+. /1 ex1 ste un n e N avec n-1 <s ~ n.
En prenant
8
t = - , on a :
n
Car 3k ~ 1, n-s < 1. En prenant 11 =3k et w =Log 3k, on fi :
IIC(s)11 ~ Mews
COROLLAIRE 1-3
Pour C définie comme dans le théorème 1-2, il existe deux
constantes M ~ 1 et w ~ 0 telles que
(4)
IIC(OII ~ M ch vJt
'v' t e IR.
DEMONSTRATION
Pour M= 2 11 1 et w = w lIon e :
IIC(OII ~! Mewt ~! M (ewt + e -wt) =Mchwt. 't/ t E IR+
RH1ARQUE 1-4
On est tenté de se demander s'il existe un w minimal vérifiant (4)
pour Mflppropri é.

---

-
97 -
Ceci n'est pos vroi comme on peut le voir dons l'exemple
2 précéden t. 1ci selon 10 norme eue1i di enne sur
1R2 IIC( t)1I =/1+ 112 t2+1/4 t4- de sorte que pour tout w ) 0, il exi ste
l''ll1.1 ~ 1 tel que
mai s C n'est pos uniformément bornée sur IR, donc w = 0 ne convi ent pas.
Nous allons maintement introduire le concept du générateur
infinitésimal A de l'opérateur cosinus régulier. Habituellement
(voir Sowa [51] ) le générateur A: D(A) ~ X est ljéflni par:
D(A) ={x E X, t ~ C(t)x est 2 fois différentiables en o}
Ax = C"(Q)x por x E D(A)
Ici nous commencerons plutôt par déf'inir les opérateurs
résolvants de A, au lieu de A lui-même.
Soit C un opérateur cos'inus régUJ1er avec IIC(OII ~ 1"1chwt, t E IR.
Alors pour Z E II tel que
Rez> w
t ~ e-zt C(t)x
est intégrable sur [0,00 [ pour tout x E X. posons olors.
R(z)x =.1 f 00 e-zt C(t)x dt
x E X.
z
a
Alors de f eçon évi dente
R(z) E B(X)
et R(z) C(t) = C(t) R(z), Rez> w, t E IR.

---

-
98 -
De plus, on a :
I\\zR(z)1I ( f 00 e-(Rez)t IIchwtll dt
~
0
( Mf 00 e-(Rez)tchwt dt
~
0
~l M (1
+
1
)
~ 2
pez - w
pez + W
et d'une manière plus générale pour tout neN U { a}
Il ~: n (zR(z»)1I = IIf 00 tne-zt C(t)dtll
o
<.!. MnI [
1
+
1
]
~ 2
.
(Rez - w) 1\\+1
(Rez + w) 1\\+1
THEDREt'lE 1-5
Il existe un unique opéroteur linéoire fermé A sur X tel que pour
z e C, avec lRez > w
DEMDN5TRAT 1ON
Il suffit de prouver Que R(z) est injectif et Qu'il vérifie
l'équation résolvante en z2 !
(5)
(u 2_z 2) R(u) R(z) = R(z)- R(u)
La relation (5) s'établit aisément à partir de l'espress'ion de R(z).
Consi dérons l 'éQuat ion R(z)x =apour un z e 1[ avec Rez> w et
pour un x e X. Alors R(u)R(z)x =a 'fi u e C avec lReu > w.

---

- .99 -
D'après (5), on a :
R{u)x = 0
"ri u e (, lReu >w.
En utilisant le théorème d'unicité pour la transformée scalaire de
Laplace, appliquée o<R (u)x, x'y> x' e x' (où X' est le dual topologique de X),
nous avons
C(Ox =0
'v' t ~ 0, d'où en tenant compte de (1), X =O.
Posons:
A(z) = z2 1-(R(z)f 1
A(z) est un opérateur fermé sur X avec D(A(Z») =R (R(Z»), l'Image
de R(Z). Cela déflnH A(z) 1ndépendamment de Z s1 et seulement s1
Rez> w:
Soit
y = R(z)x, x E X alors
y =R(z)x = R(u)x + (u2_z 2) R(u) r(z)x E R(r(u») "ri u E ( ,
Reu >w .
D'ofJ
O(A(Z)) =R(R(Z») = R(R(U») = D(A(U») et pour tout x E X, on a
R(u)
R(z) [z2 x- (R(z)t 1 x - u2 x + (R(ult 1 x]
= (z2_u2) R(u) R(z)x - R(u)x + R(z)x =0
et donc
z2x - (R(Z)t 1x - u2x + (R(ur 1x =0
Soi t
A(z)x =A(u)x

---

-
100 -
Ainsi nous pouvons choisir un Quelconque z avec Rez > w et
poser por définition:
A : = A(z)
DEFINITION 1-6
A défi ni dons 1e théorème 1-5 est oppe1é 1e généroteur
infinitésimal de C ou second générateur de C.
THEOREME 1-7
Avec R(z) défini ci-dessus, on a :
1i m IIz2 R(z)x-xll = 0
'v'xeX
zelR
z~oo
DEMONSTRAT ION
Soit € >0 ljonné et choisissons 0 >0 tel que
IIC(Ux-xll <€ IIxll
pour tout t, 0 <t <0
pout z >w , on 8 8lors
IIz2 R(z)x-xll ~ f 00 e-2S IIc(s)x-xllds
~
0
2---+00
d'ofl le résultat.

---

-
101 -
COROLLAIRE 1-8
Le généroteur infinitésimol A de l'opéroteur cosinus régulier C
est un opéroteur défini sur un sous-ensemble dense de X. Cet opénüeur
est fermé sur X.
Dons 10 suite A désignero toujours le généroteur infinitésimol de
l'opérôteur cos'j nus réguli er C.
THEOREI1E 1-9
Pour tout t E IR.
C(t) D(A) C D(A)
(D(A) est stôble pôr C(t)
et C(t)Ax =A C(t)x pour x E D(A)
DElvlDN5TRAT ION
Si x E D(A), ôlors 'il existe y E X tel que pour ~ez) w
x =R(z)y =! f 00 e-zs C(s)yds
et nous avons:
z
0
C( t)x = C( t)R(Z)y =R(z) C(t)y
E D(A)
et donc
AC( t)x =z2 C( UX - C(o(R(z)t 1x
= z2 C(Ux - C(Uy
d'autre part
C(t)Ax =z2 C(t)x - C(Oy
THEOREt"'IE 1-10
Pour x E D(A)

---

-
102 -
lirn ~2 [C(-t)X - 2 C(o)x + C(Ox] =2 lim ~2 [C(O>-~ - x]
~o
~o
existe et est égale fi A~<.
DU10NSTRAT ION
Les quotients des deux membres de cette égalité sont égaux
1
pui sque C est Dai re. Pour ctlaque ~~ E D(A), nous avons x =R(Z)y pour un
y E >(
avec Rez> tù. Donc
=~ 2 .~ ft00 e-zs [C(s+t)y + C(t-s)y - 2 C(s)y] ds +
+ ~2' ~ f~ e-z(s-t) C(s)y ds + ~2
~ f~ e-z(t.-s) C(s)y ds
= 1
1 f 00 e-z(s-t) C(S)!-1 ds + _1 .l ft e-z(t-s) C(S)II Ijs
P'z
t
~
P
Z
0
;j
+
t12 ' 1. f
.1. f
C>Ç;
e-z(t.-s) C(s)y ds + 2
C>Ç;
e- ZS C(s)y ds
t2
z
0
z
0
=
~ 2' ~ Jo(>0 [ e-Z(8-t) + e-Z(5+0 - 2e-Z8] C(s)y ds
+
_1 ,1 ft [e-z(t-s) - e-z(s-t) ] C('s)y ,js
t 2 Z
0
'

---

-
103 -
= _1. ~ [ezt + e-zt - 2J f co e-zs C(S)y ds
t 2 Z
0
+
_1 l [ ezt ft eZS C(s)y ds - e-zt ft e-zs C(s)y dsJ
t 2 . Z o o
.
zt
Et comme lim h [ e + e-zt - 2J =z2, nous en déduisons que le
t-+o
premi er terme de cet te derni ère expressi on a pour 1imi te z2 R(z)y ; quant
au second terme, il tend vers - y.
Et en remplaçant y par (R(z))-l x, on a :
Ce Qui achève la démonstration du théorème.
THEDREtvlE 1-11
Pour x E D(A) et t E IR.
(i)
ft (t-u) C(u)x du E D(A).
a
C(Ox - X = ft (t-u) C(u) Ax du
a
= A( ft (t-u) C(u)x du)
o

---

-" 104 -
DElY10N5TRAT1ON
(i) : Pour x E D(A) nous pouvons écri re
x =R(z)y avec y E Xet Rez) w. La f oncti on
u ~ (t-u) C(u) y est intégrable sur [o,t]. de sorte que
ft (t-u) C(u)y du EX,
o
ft (t-u) C(u)x du = ft (t-u) C(u) R(z)y du
o
0
= Jt (t-u) R(z) C(u)y du
o
= R(z) ft (t-u) C(u)y du E R(R(z») =D(A)
o
(i i) : Posons y =ft (t-u) C(u)x du
o
Donc d'après 1e tt1éorème 1-10.
2
lim
[C(h)y-y] = Ay . D'autre part, comme on peut 1e voi r dans
h2
h~ 0
Sowa [51] pages 14-16,
lim ~2 [C(h)y-y] =C(t)x - x
h ~O
Ce qui nous condui t à :
C(Ox - x =A ft (t-u) C(u) x du
o
Approximant A par des différences divisées et utilisant la
commutativité des C(t), il vient

---

- 105 -
C(t)x - X = ft (t -u) C(u) Ax du
o
REMARQUE 1- 12
Le théorème 1-11 a été généra11sé sous forme de formule de
Taylor Dar Nagy [43].
THEOREME 1-13
Soit x E f)(A). Alors
(i)
t ----+ C(t)x est 2 fois dérivable sur IR.
(il)
d
C( t) x ----+ 0 pour t
dt
-----t 0
( .. ') d2
(
)
,111
dt2 C t x =C(t) Ax =A C{t)x
v t E IR.
DEtvlON5TRAT ION
D'ôprès le théorème t -11, on ô
C(Ux = x + J~(t-U) C(u) Al< du
= X + t ft ecu) Ax du - ft u C(u) Al< du
o
0
d'où
C'(t)x = ft C(U) Ax du)
o
IIC'(t)xll ~ Itl ~1elùltlllAxll ~ 0 Quand t ~O.

---

- ·106 -
En dérivont une fois de plus, on 0 :
C"(t)x =C(t)Ax
REf"IARQUE 1-14:
; Il Y0 icl trols types de généroteurs lnfinitésimoux :
o D(A) =R(R(z»), Rez> w
A=Z2 1- (R(z»-l
2)
D(B) ={x E X, lirn
~ (C(h)x - x) existe}
h'-'o
..,
Bx = Hm h (C(h)x - x)
2
11-+0
3)
D(C) ={ x E X, t----...,. C(t)x 2 fois différentioble sur IR}
Cx
= c" (o)x.
Nous venons de démontrer ci -dessus Que
A c B et A c C. En foit on 0 :
A =B =C (voir Sowo [51), Trovis et Webb [56), Lutz [36]).
Les généroteurs suivonls sont ossociés respectivement oux
exemples 0, 2) et 3) du début de ce chopitre
A=o

---

-
.107 -
2)
3)
En vertu du théorème 1-5, les opérateurs résolvants de A sont
donnés par la transformée de Laplace de l'opérateur cosinus associé.
On peut aussi appliquer l'opération inverse de la transformée de Laplace
(VOl r Lutz [38D. Nous contentons d'énoncer 1e résultat.
THEClREt"IE 1-15
Si Cest telle que IIC(OII ~ t1ew1tl, t E IR
Pour a > w et pour tout x E X, alors
OQ
1 f +i
C(t) x = -2'
Tf 1
.00
0-1
Nous termi nons ce paragraphe par des remarques sur l'opérateur
cosinus régulier.
Si
A E B(X)
C(t) =chtlA = 2:
n)o
déf'init un opérateur cosinus régulier.

---

-
108 -
A est le généroteur lnflnitéslmol de C. En foit cette situotion est 10 plus
génén.:lle, olnsl que le démontre le théorème SUl vont :
THEDREJvlE 1-16
Si C: IR~ B(X) est un opéroteur coslnus réguHer, 11 existe
A E B(X) tel que
C(t) =chtiA,
t E IR.
Et A = Hrn ~2 (C(s)-I) sulvant la topologie de la convergence
t1~0
uniforme.
DE~10NSTRAT ION
Pour f: 1[ ---+ 1(:, Hz) =C~I;Z: on a :
f'(o) =~ ;z! o. Donc 11 8xlst8 au volslnage de Ho) = 1 une fonction lnverse de
f, t"lolomorphe, c'est-à-dlre une fonction holomorphe 9 dans un voisinage de
0- (C(o)) ={1 L et donc dans un voisinage de 0- ([(t)) pour tout t tel que
1t 1 < t
pour E:) O.
Pour 1t 1 < €
H( t) =g( C(t») E B(X)
est déf'inle selon les proprlétés du calcul fonctionnel holomorphe.

---

- 109 -
En prenant t o avec 1to 1 <e et en posant
D'outre port, pour toute solution K de l'équotion fontionnelle de
d'Alembert (1), on 0 :
où les entiers 8 ,81"'" 8
0
n dépenljent de n, mais sont indépendants de K.
O'orJ pour C!1aQue n E N
et donc
s1 et seul ement s1
De façon analogue, POUt- chaque rationnel.'! ,avec I.'! 1<E, on voit
n
n
que
m2
2
(m)
i1I ta
A =H ri ta . Mais alors l'uniforme continuité de C fournit
pour Itl < 1

---

- 110 -
et donc
t2 A= H(t)
ce qui donne
C(t) = f(H(t») = cht/A
pour de tels
t.
En utilisant la relation (6), cette égalité s'étend 0 IR tout entier,
On 0:
00
,
2 chs4z-
l
= 2 ll'm'
lm
52
s2n-2
n
L..n=l (2n)! 2 =2,
s~o
S~O
uniformément pour z appartenant à des compacts de C. Et d'après les
propriétés des fonctions holomorphes ( z-+A ) et on a la 2e assertion.
REt1ARI]UE 1-17:
Pour les valeurs scalaires, une démonstration analogue a été
donnée par Kurepa (voir [32])
2- LE PROBLEt1E LINEAIRE DU SECOND ORDRE DE CAUCHY
Dans ce paragraphe, nous ne présentons QIJe les éléments
fondamentaux concernant les liens entre l'opérateur cosinus et les
équations différentielles linéaires du second ordre à valeurs dans des
espaces de Banach.
On pourra trouver force informations détall lée$, notamment en ce
IQUi concerne le problème de la transformation en un système différentiel
linéaire du premierordre dans les travaux de Fatlorini [20).

---

-
111'-
Trovis et Webb
[57],[58], Kisynski [30].
DEFINITION 2-1
Soit A un opéroteur fermé et dé fin i sur une porti e dense de X.
Nous dirons que le problème de Couchy pour l'équotion différentielle
li néôi re
est uni formément bi en-posé si et seul ement si
(1)
pour tout COU~ll e (x,y) E D(A) x D(A). 11 e~:1 ste exactement une
fonction deux fois contlnument différent1able
U: IR ~ D(A)
telle que
u"(t) =Au(t)
tEIR
(7)
u(O)
=x
u'(O) =y
(11)
La fonction u déf1nle dans (1) dépenlj cont.lnuement de (x,y)
sui vant la topologie de 18 convergence uniforme sur des cornpacts de IR.
DEFINITION 2-2
Si C est une fonction cos'Inus régulière sur X, alors
S : IR ~ B(X) défi ni e par
S( t)x =ft C(s)xds , x E x,
o

---

-
112 -
est ôppelée 10 fonction sinus ossociée. On 0 évidemment
5(0) = o.
Solt A le généroteur infinltésimol de l'opéroteur cosinus
régulier C et S lô fonction sinus ossociée il C.
Alors
(i)
le problème de Couchy pour
d2 u
dP =Au
est untformément bi en-posé.
Pour xJy E D(A) et pow- une fonction continument dtfférentiable
l'unique sol uUon de
u"(t) = Au(t) + g(t)
(8)
u(O) = x
1u'(O) =y
est donnée par
(9)
u(t) =C(t)x + S(t)y + ft S(t-s) g(s)ds , t E IR
o
DEr"10NSTRAT 1ON
a)
La fonction u définie par (9) vértfie (8) :
en effet pour x , y E D(A)

---

- 113 -
(10)
C"(t)x =A C(t)x ;
et il est oi sé de voi r que
(11)
S"(t) =C'(t)y =A S(Oy
de plus,. ,on 0 :
(12)
~~2 (J~ S(t-s) g(s)ds) = ~t (J~ C(t-s) g(s)ds + 5(0)9(0)
= ~t ( J~ S(t -8) g(s)ds)
= A ( f~ S(t-s)g(s)ds) + C{O)g{t)
=Au{t) + g(t)
où J~ S(t-S)g(S)dS E D(A). Comme u vérHie de facon éVldente les
voler.ws initioles, les relotions (10), (ll), (12) montrent que u vérifie (8)
b)
Soit u une solution de (8) ovec
u: IR ~ D(A). Alors
~3 ( S(t-s) u'{s») =- C(t-s)u'(s) + set-s)u"(s)
~s (s'{t-s) u(s») =- S(t-s)Au{s) + C{t-s)u'(s)
En intégrant membre 8 membre ces deux équations sur [o,t), et en
tenant compte de ce que C(o) = 1et 5(0) =0, on a :

---

- 114 -
- S(Oy =- S(Ou'(O)
=- Jl. C(t-s)u'(s)ds + JtS(t-S)u"(s)dS
o
0
i
u(t) - C(t)X =U(t) - C(t) U(Ü)
=- ft s(t -s) Au(s)ds .,. ft e(t-s) u'(s)ds.
o
0
En rernp 1Bçant u"(s) par
=u"(s) =Au(s) .f. 9(s) et en additionnant ces égalités
membre à membre, on obtient la relation (9).
c)
S'il existe deux ensembles de valeurs initiales sur D(A) :
(X O' Yo)' (XI' YI)' alors les solutions respectives de
(ô)
(avec g =0) sont donnés par
d'Oll
Comme il exi ste 1'1) 0 et tl) f 0 tel S Que
et 0 fortiori
ainsi u dépend continument des valeurs initiales.

---

- 115 -
REty lARQUE 2-4
1°) La partie b) dons 10 démonstration précédente montre Que
toute solution 9 continue de (7) est de 10 forme (8).
2°) Fottorini [20J 0 montré Qu'il y 0 équivalence entre le foit Que
"le problème de Cauchy
~~2 u =A u soit uniformément bien-posé
et le fait que A soit le générateur infinitésimal d'un opérateur cosinus
régul i er.
Dès lors, il est tout il fait naturel de se demander si le problème
,je second ordre aux valeurs initiales (7) peut toujours se ramener Ô un
problème uniformément bien-posé du premier ordre sur un sous-espace de
Xx Xcontenant D(A)i<: >L oui, cela est toUjours possIble en utilIsant la
réduct ion cl assi que
suivant une autre norme dont la définition fait intervenir des
i
bornes explicites pour la fonction cosinus engendrée par A.
(voir I<isynskl [30]). En effet suivant la nOl/velle norme,
18 «bonne position unHorme )} du problème de Caucllypeut se perdre dans
18 procéljure de réduction

---

-
116 -
Si A est défini sur une part ie dense de X et
possède une rôci ne carrée A 1/2 (au sens usue1) Qui engendre un groupe
d'opérateurs réguliers G sur IR, alors A est le générateur inflnitésimal
de la fonction cosinus C donnée par
(13)
C(t.) = ~ [G(t) + G(-t)]
...
Fattorini (voir [20]) a développé des conditions suffisantes pour
Qu'il en soit ainsi. r1ais par des exemples donnés par Kisynski (voir [30]),
une représentation de la forme (13) d'un opérateur cosinus régulier C
n'e~~iste pas touJours.
Ainsi, il semble plus approprié de développer des théories
séparées (quoique sensiblement similaires) pour les problèmes ,jes
premier et second ordres eu sens des Semi-groupes de fonctions cosinus.
On peut alors se demandet- s'il est possible d'élaborer des théories
séparées de tous ordres. Ceci n'est certainement pas vrai. Nous avons
le tl"léorème suivant dû à Fattorini [20].
THEDRElvlE 2-5 :
Soit A un opérateur linéaire fermé défini sur une partie
dense de X.

---

-'117 -
Alors le problème de Couchy pour l'équotion différentielle 1inéoire
o vo1eurs dons X
(n >2)
est "unitormément bien posé"
(un terme qui est défini mutetis mutendis comme dens le définition 2-1) si
et seul ement s1
(i)
A est borné
et
00
t J
(li)
E =0 (uJ) 1 Aj converge au sens de la topo1ogie de la
norme sur B(X),
3 - CARACTERISATION DES GENERATEURS INFINITESn"lAUX ET LA THEORIE DE
LA PERTUBAT 1ON
Après avoir établi le lien entre l'opérateur cosinus et le problème
de Cauchy du second ordre, 'il est tout à fait naturel de s'intéresser à une
caractérisation intrinsèque des générateurs infinitésimaux de l'opérateur
cosinus régLJlier.
Un tel critère a été développé par Sowa [St] et Fattorini [20]. Il
est proche du célèbre théorème de Hi lIe-Voshide
re1at if aux générateurs de semi -groupes d'opérateurs.

---

-' 118 -
THEDREt'IE 3-1
Soit A un opéroteur fermé défini sur une portie de X. Alors A est
le généroteur infinitésimal d'un opéroteur cosinus régulier, avec
IIC(011 ~ 1-1 chwt J t E IR.
si et seulement si pour tout Z E C, tlvec IRez> w.
Z2 E p(A)
(i 1)
/1 dt!
R( 2 Mil (t1 n' [ '
+
1
]
dz" z
Z,
~ -2- (Rez-w)"+1
(Rez+w)"+1
DEI"10NSTRAT 1ON
La démonstration de la nécessité des conditions
a été
fait e au paragraphe 1J après la remarque 1-4.
Le spectre du générateur infinitésimal de C est donc contenu
dans un domaine parabollQue de 1[, ouvert il gauche.
Si A est le générateur infinitésimal d'un opérateur cosinus
régul i er, 11 engendre égal ement un semi -groupe d'opérateurs régul i ers.
La réciproque n'est évidemment pas vraie puisque il ya des
serni-groupes dont le spectre contient un demi-plan gauche dans C. Il ya
Quelque chose de franchement déplaisant dans le théorème 3-1 de Sowa
(voir [51]), En effet le critère analogue pour le ces des semi-groupes
utilise des bornes de la forme

---

-,119 -
Habituellement, on uti11se des serni-groupes de contraction
c'est -à-di re 1e cas où t1 = l, lù =o. De sorte que tout ce qui est requi s pour
montrer que A est le générateur de semi-groupe de contraction est
a-(A) C {z ; Rez ~ o}
1
Il R(z,A)1I ~ -R '
Rez) O.
ez
Lo situotion est beoucoup plus cornp1exe même dons le cos où
t"'l = 1, lù =0 parcequ'on a à étab1i r des bornes pour ~:n (z R(Z2,A). Le
U"léorème su1vant donne une généra11sat1on de ces express10ns en termes
de R(z2,A)
THEDREtY1E 3-2 (vo1r Lutz [39])
51 n =2m
m E N, alors
dl)
(
(2
»)
'"
(" 1
(n+ 1) ! i !
()21-n (2
)1 +1
dzll
zR z,A
= L. =m -1) (n-i)! (2i-n+1) 1 z 2z
R z ,A
Si n = 2m+ 1
m E f~
dtl
(
(2
»)
'"
( ) i
(n+1)!i!
(2i-n
2
i+1
dzn
Z R Z ,A
= G = mi" 1 - 1 (n- i ) ! (2 i -nt 1) ! Z 2z)
R(z ,A)

---

-,120 -
Il est aisé de voir Qu'il ne suffit pas de s'assurer que R(z2,A) est
uniquement borné.
En termes prat iques, le critère de Sowa ne peut être directement
utilisé pour prouver Qu'un opérateur donné est un générateur infinitésimal.
Il semble alors tout afait naturel de chercher
des méthodes de
pertubations contournant le théorème 3-1 de Sowa.
Nous partons d'une classe d'opérateurs desquels il est facile de
voir, grâce au calcul fonctionnel, Qu'ils sont des générateurs.
THEOREr1E 3-3
Un opérateur normal avec une mesure spectrale E sur un espace
de Hilbert X est le générateur infinitésimal d'un opérateur de cosinus
réglJlier si et seulement s'il e>dste un 0J E IR tel que
Rez> w ~ z2 E p(A)
Dans ce cas C est donné par
C(t)x = Je chlf t d EO.)x , x E X.
DEt10N5TRATI ON
Par hypothèse la fonction À---t ch I f t est bornée sur o-(A) pour
tout t E IR.
Nagy (voi r [ 44] ) a prouvé en 1974 Que sous des pertubat ions

---

-
121 -
bornées, A est un généroteur. Ce résultot se générolise dons le théorème
3-4 ci -dessous.
Nous allons discuter "l'uniforme bonne position" du problème de
Couchy pour l'équot ion
d2
dP u =A(t)u ,
te IR.
oül'opérateur A(t) dépendant du temps peut s'expri mer par
A(t) =A + 5(t) , t E IR.
Pour la suite de la démonstration voir Lutz [40]
THEüREt1E 3-4
Soit A le générateur infinitésimal d'un opérateur de cosinus
régulier Co avec
IICo(OIl ~ t'le wltl, t E IR 1
et soit 50 la fonction sinus associée à Co'
Soit ô : IR ~ ô(X) une fonction deux fois continument
différentiable, alors:
1)
Le problème de CôuChy pour l'équation différentielle à valeurs
dans X,
d2
( 14)
dt 2 u(O =(A + 6(0) u(t) , t E IR,

---

- 122 -
est uni f ormément bi en-posé
2)
Lo solution de (14) ovec
u(O) = x
u'(O) =y.
pour x,y e D(A) est donnée par
!J( 0 = C( t)x'" S( t)y.
où C,S : IR - t B(X) sont réguliers,
t - t C(Ox et t-tS(Ox, sont pour x E D(A), des soluUons de
(14) deux fois conUnument différenUobles et vérifiont
C(O)x = x ,
C'(O)x =0
S(O)x =0 ,
S'(O)x =x
3)
C et S sont donnés por
C(Ox = Co(t)x + ~ co
~n =1
seux =So(t)x ... ~ 00
~n =1
où
Cn(Ox = f~ So(t-s) B(s) Cn- 1 (s)xds,
(f 5) 1Sn(t)x =f~ So(t-s) B(s) Sn-f(s)x ds ,n EN, XE X.
4)
avec f(s = Sup {IIB(UII, IIB'(OIl} , s E IR
t E [OIS] (t E [S,O])

---

-
123 -
Nous oyons pour tout t E [O,s ] (ou t E [S,O]), 1es bornes
Il C(OII ~ li ew/tl (ch /MKs t),
Il 5(011 ~
w1tl
Me
( ~~Ks sh !MKs t).
Il C(O - CO(OII ( Me wltl (ch /MKs t - 1)
Ol! pour
r, t E IR
~
ptlptl
ch,lrt
-
L..n~O (2n)! '
1
-
~
ptlt 2rI +1
Jr sh fr t = L..niO (2n+l)!
REI"lARQUE 3-5
Travis et Webb dans [59] ont prouvé un résultat analogue pour des
pertubations B indépendantes du temps, tell es Que:
(0
B est fermé et définie sur une partie dense de X
(i1i)
t ~ B5 (t)X est continue pour tout x E X.
0
Ils utilisèrent pour cele, ou lieu de (15), la formule de recurrence
suivante

---

- 124 -
que l'on retrouvero en intégront formellement (15) por portles.
Il existe beoueoup d'outres résultots sur les perturbotions
d'opéroteurs de f onet i ons dus ÈI Trovi s et Webb, Tokenoko et Okozowo,
Fottorini, Lutz et outres...

---

-
125 -
CHAPITRE V
EQUATIONS FONCTIONNELLES t'lATRICIELLES SUR DES GROUPES ABELIENS
Soit G un groupe abélien et considérons les équations
fonctionnelles
(2)
f(x+y) + g(x-y) E~=1 hi (x) k1(y) où n est un enti sr posi ti f et
f, g, hi ki (i= 1,2,...))) Ijes fonctions complexes sur le groupe G.
,
Les équôti ons (1) et (2) ont été troitées por pl usi eurs outeurs Aczé 1..
Vi ncze, Engert, r1cKi ernan, 5zeke 1yhi di etc. Au chapitre III, nous avons
troité l'éQuotion (2) notornment lorsque les fonctions sont réelles définies
sur des intervolles ouverts de IR, et même sur des semi-groupes.
Ici nous nous proposons d'uti li ser une méthode due il Kuczmo et
20jtz [3111vlc Kiernon [43] et Szekelyhidi [54] pour romener les équotions
(1) et (2)
d des équotions motricielles
(4)
C(x+y) + C(x-y) = 2 C(x) C(y).
Respect i vement
Reppe Ions que lorsque 1es f oncti ons hl et k (i = l
1
r ..n)
sont

---

-
-126 -
li néoi rement i ndépendontes sur IR, 1es sa1ut ions f,g sont des po1ynômes
exponentiels ainsi Que les fonctions
hi et ki. Nous entendons généraliser
cela au cas d'un groupe. Dans la première partie, nous supposons Que les
fonctions Qui interviennent dans les éQuotions fonctionnelles sont définies
et cont i nues sur des groupes topo1ogi Ques. Nous ne ferons aucune
restriction concernont 10 topologie du gr-oupe et nos résultots seront
volables dans le cas de la topologie discrète.
Dôns lô dernière partie, nous montt-erons que le fôit Que les
solutions de (1) et (2) soient mesurobles sur les groupes topologiques
1oco1ement compôcts entrlji ne 1eur cont i nuité
1/ NOTATIONS ET DEFINITIONS
'm.-n ([) désignera l'ensemble des matrices carrées d'ordre n, à
coefficients complexes.
Si toI E Tfl.n (0, t-lij désignera le je_ élément de la ie ligne de tt
et
Il t111 désignera la norme de tl, cornme opérateur llnéaire de C.
1 désIgner-a la matrIce unité d'ordre n.
Si G et H sont des groupes abéliens, n un nombre entier non négatif et
si f: g ----+ H est une f oncti on, alors

---

- 127 -
.6. (f{x») = f(x+y) - f(x) et oÔ 0+1
11
~
~
La fonction f sera dite polynôme généralisé de degré au plus égal
"+1
.
à n si
fl.~
f(x) =0 pour tous x et y dans G.
Lo fonction f: Gn ~ H est dite n-odditive si
X1""'Xn ' Y,,,,,, Yn dems G. Pour une fonction l-additive, on dit
,
qu'elle est additive tout court.
Un multi-index p est un n-uple de nombres entiers non négatlfs
p= (p l ,...,Pn)· Si a =(a l ,...,8n) est un n-uple de nombres compl exes a1 ...,an,
,
Le fonctIon complexe p sur le groupe topologIQue G est dite
polynôme de degré n si
p (x) = p(a 1(x),..., f.lm(x») où p est un polynôme complexe de m
variobles et de degré n et les 0i des fonctions complexes non nulles
continues et additives sur G.

---

- 126 -
Une fonction complexe m sur G est dite multiplicative si
m(x"'y) =m(x) m(y) pour tous x,y e G!
Lo fonction
f est appelée polynôme exponentiel si elle est de la forme
L~=1 mi Pi où mi est une fonction multiplicative et Pi un
polynôme.
Nous utiliserons le résultot connu (voir Djokovic [18], Szekelyhidi
[54]) Que tout polynôme généralisé 0 voleurs complexes de degré ou plus
n , peut s'expri mer sous 10 forme
L~=O A(k) où A(k) est 10 diogonolisotion d'une fonction
symétrique k-additive, Ak ., à savoir
A(k)(x) = A (x, ...,x) pour tout x
k
E G, A (0) étant constant.
Pour plus d'informations sur ces notations, polynômes
généralisés et exponentiels voir Hm-mander [24], Szekelyt1idi [54], Engert
[1 g], Laird [33] .
2.
L'éQuation fonctionnelle <11
Dans la suite nous utiliserons le théorème suivant, dont on
trouvera la démonstration dans Mc Kiernan [43]

---

-
129 -
Théorème 2-1
Soit G un groupe topo 1ogi que obéI i en, n un ent i er posit if
et f, hi' ki des fonctions complexes continues sur G pour lesquelles
l'équation (1) est satisfaite pour x, y E Go Alors f est un polynôme
exponenUel.
Si 1es f onct i ons hi (i = l, 00.' n) sont 1i néei rement i ndépendentes
alors les fonctions hi, ki sont aussi des polynômes exponentiels
30 L'éguation rnatricielle (~U
Dans ce pat-agraptle, nolis alIons rnontrer qu'avec l'hypothèse
C(o)=I, les composantes de toute solution C de (4) sont des pol!-jnômes
exponentiels.
LEl""1r·'lE 3-1
Soit G un groupe topologique abélien, n un entier positif et
C : G---+ mn (C) une f onction continue vérifi ant (4) pour tous x. YE Go Si
C(o) =1 et C2(X ) - 1 est t-égulière pout- un X
O
o E G. alors il existe une
f oncti on conti nue 1"'1:'---+ 1l\\.n«() sat i sf ai sant l'équation (3) et telle que
CCx) = ~ [fv1(x) + t01(-x)] pour tout x E G
.:.
(voir KANNAPPAN [27])

---

- 130 -
DEt'IDN5TRATIDN:
Nous ollons suivre 10 méthode de Konnoppon dons [27]. Comme
C(o) = l, nous tirons de 10 relotion (4) Que C est poire. Donc d'oprès (4)
CCx) C(y) =~ [C(x~y) ~ C(x-y)] =~ [C(y+x) + C(y-x)] =C(y) CCx)
Ce qui signifie que les matrices CCx) commutent. D'autre part, on a :
C(2x) + 1=2 C2(x) pour tout x E G.
Posons C(xo) =A
On sait alors (voir Hille et Phllipps [23]) qu'il existe une matrice régultère
ri
B qui commute avec toute matrice commutant avec AL - 1 et Que B
vérifie l'équation 82 =A2 - 1. Mais
A~ 1= c2 (xo) - 1=~ ( C(2xo) - 1) commute avec toute valeur
de C, donc aussi B.
En utiltsant la '-elat10n (4), nous avons les égalHés suivantes pour
tous x et y dans G
2C(X+y) CCx-y) =C(2x) + C (2y)
2
[ C (xo + x) C(y) ~ C(xo + y) CCx)] =
C(xo+ X + y) + C(xo + X - y) + C(xo+ y + x) + C(xo+ y - x) =

---

-
131 -
2
[C(Xo+ X + y) + A (2 C(x) C(y) - C(x+y»)]
et
2
[C(xO + x) C(xO + y) = C(2xO + X + y) + C(x-y) =
[2C(xO) C(xO+x+y) - C(x+y)] + [2 CCx) C(y) - C(x+y)] =
2
[C(x) C(y) + C(xO) C(xO + x+ y) - CCx + y)]
et finEllement
[CCx + y) - CCx - y)]2 =[C(:< + y) + C(:< - y)]2 - 4 C(x + y) CCx - y)
=4 C2(x) C2(y) - 4 C2(x) - 4 C2(y) + 4 1=4 (C 2(x) - 1) (C 2(y) - 1)
Salt, pOUl~ tout x E G
r''t(x) = C(x) + B- 1[ C( Xo +x) - C(xo) C(x)]
= B- 1 [ C(xO + x) + (8 - A) CCx) ]
Ce qui donne, après avoir changé x en - X :
; [M (x) + M(-X)] =; 5- 1 [C(xo + x) + C(Xo-x) + 2 (ô-A) C(x)] =C(X)
THEOREr"IE 3-2
Soit G un groupe topologique obélien divisible por 2, n un entier
positif et C: G~ '1Tl..n ([) une fonction continue vérifiant l'équation

---

- 132 -
matricielle (4) pour tous x et y E G. Si C(O) = l, alors il existe
des fonctions
M: G-+ 1T1.n- n1 (1[) satisfaisant (4) telle que M(~) soit
triangLllaire supérieure pour tout x E G, N(x) - 1 est strictement
triangulaire supérieure pour tout XE G; de plus il existe une matrice
régulière P dans 'Jfl.n(1[) telle que l'on ait
C(x) =p-I diag { N(x) , ~ (t1(x) + M(-x»)} P
pour tout x E G.
Dérnonstrat ion
Comme dans la démonstrat.1on du lemrne 3-1} toutes les matrices
C(x) comrnutent. Donc elles peuvent être trigonal1sées en rnême temps et
comme les soulutions de (4) sont ilwF.lriantes par trigonalisation nous
pouvons supposer que C(x) est une matrice triangulaire supérieure pour
tout ~~ E G. D'après 1e lemme 3-1, nous pouvons supposer que la n1atri ce
C2(x) - 1 est singulière .. autrement dit les éléments de la diagonale
principale de C2(x) sont égaux à 1 pour tout x E G. Si pour tout
XE G, la matrice C2(x) - 1 est strictement triangulaire, alors les Cii
sont uniqlJernent égaux il 1 ou -1 et (4) est satisfaite POUI- i = 1,...,n.

---

- - - - - - -
-
- 133 -
Par simple calcul, on montre que C11 (2x) = 1pour tout x E Get
pour tout 1 = 1,...n. Donc en posant N =C, on achève la démonstratlon.
Soit maintenant Xc E G tel Que Cn(X) ... ± 1 pour un i ..
c'est-à-dire que C(xO) possède une valeur propre différente de ± 1.
L'espace en est somme directe des sous-espaces
coroctéristiques E et F associées respectivement aux valeurs propres !
1 et )\\ '*' ± 1. Il est aisé de voir que E et F sont invariants par pour
toute fonction C(x). Rappelons que le sous-espace caractéristique F
ossocié 0 la valeur propre ).. * ± 1 est défini par:
(C(Xc) - À 1)k (u) = 0
où k est l'ordre de multiplicité de la valeur propre À. Mais
· (C(xO) - )'I)k et C(x) commutent et donc:
(C(Xo) - ÀI)k CCx) (u) = CCx) (C(XO) - )..I)k (u) =0
Par conséquent F est invariant par- C(x) pour tout x E G. Sur FIes
nombres! 1 ne sont pas valeurs propres de C(xo)' donc C(xO)- 1 est
régulière sur F et ceci act1ève la démonstration en appliquant
le lemme 3-1

---

- 134 -
Sur le sous-espoce E} il Y0 deux possibilités
(0
51il existe xl E G tel Que C(x 1) a une valeur propre différente
de ± l, alors on fait sur x 1 le même raisonnement Que sur Xc (ici (n est
remp1acé par E)
(ii)
Les CCx) n'ont pour valeurs propres Que 1 ou -1 et on a le
résultat. Comme n est fini le théorème est démontré.
Lemrne 3-3
Soit G un groupe abélien topologique, n un entier positif et V
un espace vectoriel de polynômes de degré au plus, m} de dirnension finie.
Si pour une fonction complexe f continue, définie sur G, ll.~ f E V pour
tout y E G, olors f est un polynôme de degré m + n ou plus.
(Voir Engert [19], Szekelyhidi [54])
Pour 1el fonction complexe f définie sur G, nous utilisons lel
nototion
D'après un théorème de Djokovic (voir[18]), ô "..,
f
~
Yn

---

- 135 -
est une comb1n81son llnéô1re de trôns18Uons de dHférences de 18 forme
6,n f, Donc sl nous prouvons le résultat pour n = l, il en sera de même, par
y
,
récurrence pour n arbi tr81 re. Solt al' ..., an une suite fi ni e de f oncti ons
add1t1ves telles Que tous les polynômes dansl'esp8ce vectoriel V soient
construits à partir de ces fonctions et Que {aP } soient linéairement
1ndépendantes pour une suite de p éléments avec 1p 1 ~ K. Alors on a :
pour tout y E G. Donc f satisfait l'éQuation 1:1n+2 f = 0 et peut
y
s'écrire donc
f = ,,",ITI+ 1 A(k)
L.k=o
ce QU1 donne
au second membre, seul 1e terme Arn+1 (x"..,x,y) est de degré rn en x.
résulte que

---

- 136 -
Lp Cp(y) aPex) =Am+1(x,...,x , y)
pour tous x et y E G.
18 somme au premier menibre est étendue à tous les indices p tels Que
1Diest maximal. Comme le second membre est addHif par rapport à y,
nous avons
Lp [Cp(Y+Z) - Cp(y) - (p(Z)] aP = 0
Ici les fonctions { aP } sont linéairement indépendantes et nous en
concluons que cp est additive pour tout p tel Que 1 p 1 est maximal. La
continu1té de Am+1et l'1ndépendance linéa1re des fonct10ns { aP}
entrainent la continuité de Cp" Et. donc A(mT 1) est un polynôme. On
act1ève la démonstration par récurrence en faisant le même ra1sonnement
sur la ronctton r - A(m+l)
Lemme 3-4
Solt G un groupe topologique abéllen, n un entier positif et
N: G-+ 1I\\'n(l[) une fonction continue pour laquelle l'équation (4) est
vér-ifée pour tous x et y E G. Si N(x)-I est strictement triangulaire
supérieure pour tout x E G, alors Nq est un polynôme de degré
2(j-O , i, j, = 1,...,n .i ~ i

---

-
137 -
DH'IDNSTRAT 1ON (por récurrence sur j-O
Pour j =i, le lemme est vroi, d'après le théorème 3-2
Supposons le vrai pour j-i ~ k et prouvons le pour j-i = k+ 1.
De (4) nous tirons
=2 N
(x) + 2 N
(y) + 2 "",Î +k
rLl · I(X) rLl ·+ + 1(y)
i,i+k+l
i,i+k+l
L.1=i+l'1,
11
'4,
k
En remp 1oçon t x par x+y,
2
(x)
N
(y) +
'Vi +k
ru
(x+y) N
(y)
l\\, Ni,i+k+l =2 i,i+k+l
2L.I=i+l
'i.]
l,i+k+l
Comme par hypothèse, Ni 1 est un polynôme de degré au plus
,
2(1-0 pour 1=1+ 1,...,1+k, le second mernbre est un élément d'un
espace vectorlel de polynômes de degré 2k au plus. Et d'après
le lemme 3-3, Ni i+k+ 1 est un polynôme de degré minimum 2(k+ 1)
,
THEOREt/IE 3-5
Soit G un groupe topologique abélien, divisible par 2, n un entier
positif et C: G-t cnbn(f[) une fonction continue pour laquelle l'équoUon
(4) est saUsfaite pour tous x,y E G. Si [(0) = l, alors toute composante
de C est un polynôme exponentiel.

---

- 138 -
DEMONSTRATION
Si G est infini, olors le résultot provient du théorème 3-2 et du
lemme 3-4.
Si G est fini, olors toute fonction sur G est un polynôme
exponent i el.
4-L'EQUATION FONCTIONNELLE (2)
LEt·WIE 4-1
Soit G un groupe topologique obélien divisible por 2, n un entier
posi tif et f, hi' kj (i = t ,...,n) des fonctions complexes continues sur G,
vérHlant l'équation
1
(6)
f(x+y) + fx-y) =L~=1 hj(X) ki(y) pour tous X.Y.E G. Alors f est un
polynôme exponent1el.
Si les fonctions
hi ( i= 1,...,n) sont linéairement indépendantes, alors les
fonctions hi, ki sont aussi des polynômes exponentiels.
DEt10NSTRAT ION
L'équation (6) est le cas particulier de l'éqlJation (2)
où f =g.
Supposons Que hi •...•hn sont linéairement indépendantes.

---

-
139 -
régl.J1ière (voir lemme 1-1 chapttre III). Sans nuire à la généralité. on peut
supposer Que cette matrice est égale et la matrice unité 1. Pour tout x E G.
soi t.
f (x) = (f(X+Xl),...•f(X+x »)
n
k(x) =(k 1(x),. .. ,kn(X»)
D'après (6) on fi :
...
IV
...
f(x+y) + f(x-y) =H(x) k(y)
pour tous x et y dans G.
Comme H(O) = 1. nous avons
' "
,...
fV
k(y) = f(y) + fe-y) pour tout y E G.
Rernp1açant x et y par - x et - y respecti vernent. nous obtenons après
addition
'\\1
fV
N
(7)
k(x+y) + k(X-y) =2 CCx) k(y)
où C désigne la pat-tie paire de H (C(x) =~ [H (x) + H(-x) ])
Icl
C{O) = 1et nous voyons Que le sous-espace r[n engendré par
l'irnaqe de k est invariant pat- C. Nous pouvons supposer Que ce
sous-esp6ce est en tout ent1er. de sorte Que pour tous x. y, z. on 6 :

---

- 140 -
[C(x+y) + C(x-y)] k(y) =~ [k (x+Y+z) + k(X+y-z) + k(X-y+z) +
k(X-y-z)] =C(x) [k(y+z) + k(y-z)] = 2 C(X) C(y) k(y)
et nous en concluons Que C vérifie (4) pour tous x et y dans G.
D'autre part, d'après (7) k(x) = C(x) k(O) pout tout x E G, et donc les
fonctions ki sont des combinaisons llnéait-es des composantes de C.
D'ôprès le théorème 3-5 les composôntes de C sont des polynômes
exponent i el s.
Si les fonctions 111,oo.,l1n sont linéairement dépendantes, en vertu
d'une remarque faite au début du chapitre III, nous pouvons transformer
l'équation (6) en une équation de la même forme,
avec le plus petit entier n tel Que les hi soient 1inéôirement
indépendantes. Ainsi les composantes de la partie paire de f sont des
polynôrnes e~<ponentlels. D'autre part on a :
f O(x+Y) + f e(x+y) + f O(x-y) + f (x-y) =H(x) k(y) oiJ f0 et fe
sont les parties impeires et peires de f respectivernent. En
remplaçant x et y par - ~< et - y respectivement, et en additionnant

---

- 141 -
-
les relations obtenues, il vient que les composantes de f 0 satisfont
l'équation (1) et donc sont des polynômes exponent1els. Nous en concluons
l~ue f est un polynôme exponentIel. Et le théorème est démontré.
THEOREME 4-2
Solt G un groupe t.opologique abéllen, divisible par 2, n un ent1er
posi t.i f et f, g, hi, ki (i = 1....,n) des foncti ons comp1exes conti nues sur G,
satisfaisant l'équation (4) pour tous x et y de G. Alors f et g sont des
polynômes exponentiels si les hi, kt (i = 1,2,...,n) sont telles que h1r..,hn
sont linéairement indépendantes.
DEI10NSTRAT ION
Solt If =f + 9 et '-IJ = f - g; alors d'après (4)
pour tous x et y E G.
En remarquant Que le cas général se ramène au cas où hl ""/hn
sont linéairement indépendontes, nous pouvons nous placer dons ce cos et,

---

- 142 -
ôvec les notôtions du 4-1 et en posemt
nous obt.enons
f(X+y) + gex-y) =H(x) k(y)
et
HI;U) =1
D'où
...~
- . . -
f(2x) =H(x) k(x) - g(o)
g(2X) = H( 1) k( -x) - t(o)
Et dans ( 10) en posant z =x - y et t = x + Y. 11 vlent
-
fi"'-
- , - .
r-
H(x-y) k(x+y) =H(x) k(x) + H(-y) k(y) - Ho) - 9(0)
Puts en échangeant les rôles de x et y.
H(y-x) k(x+y) =H(y) k(y) ... H( -x) k(x) - f(o) - 9(0)
Et en addit fonnant
~
,--
~
""
,..-
2 He(x-y) k(x"'y) = 2 He(x) k(x) + 2 He(y) k(y) - 2 f(o) - 2g(0)
Et donc (en f8tsant x =y)
-
.....
~
""..
k(2x) =2H/=l(x) k(x) - f(o} - 9(0)
'"'
En définlUve
--
,....
...,.
2H (x-y) k(x-y) =k(2x)
e
+ k(2y)
et
.....
__
_J
k(>;+y) + k(:~-IÛ =2H e(y) k(>~)

---

- 143 -
où He désigne la partie paire de H. Comme He(o) = l, d'après le théorème
4-1, k est un polynôme exponentiel et n en est de même des composantes
de He'
De la relation (6), nous déduisons en appliquant le théorème 4-1
Que 'f est un polynôme exponentiel.
Dans (9) introduisons qJ 0 et lI-'e respectivement les parties
impaire et paire de 41. On a alors
et remplaçant x et y par -x et -y respecti vement, 'il vient:
En additionnant les deux relations obtenues:
pour tous H et y dans G. Le premier membre est symétrique par rapport à
x et y, il en est de même pour le second membre. Donc on a

---

- 144 -
or
Oll
Pi(Y) :: ~ [hi (y) - hj(-y)l Qj(Y) :: ki(y) - ki(-y) (i :: 1,...,n)
Il est évident Que pour tout polynôme exponentiel Q, nous avons
q(x+y) =L~= ai (~<) bi (y) pour tous x,y E G
avec des fonctions
ai, b; (i = l ,...,m), continues.
Donc nous déduisons de (13) :
puisque les Qi sont des polynômes exponentiels (nous avons utilisé
le foit Que G est divisible par 2 pour remplacer 2y par y dons (13).
L'équaU on (14) est de l a même forme Que l'éQuaU on (1) ; donc l4J e est un
polynôme exponentjel.
Enfi n, on dédult de (11) et (12)

---

- 145 -
Echongeont les rôles de x et y, on 0 :
(16)
'.J.'o(x+y) + !.J.'o(x-y) =~ L~=1 [hl (y) + hl(-y)] [kl(x) - kl (-x)]
oddHl0nnont (15) et (16), il vlent:
(17)
1.J.'o(x+y) = ~ L~=1 [hj(x) + hi (-x)] [ki(y) - kl(-y)] + [hi(y) +
+hi(-y)] [ki(x) - ki(-X)]
relation Qui est de la fonne (1). En concluslon, ~o est un
polynôme exponentiel et donc '.J.! = '.J.!o + '.J.!e est un polynôme exponentiel.
Comme 'fi et !.J.I sont des polynômes exponentiels, 11 en est de
mêroe pour f =i (If' + I.IJ) et de 9 =i (If - r.lJ). Ceci achève la déroonstratlon.
5 - SOLUTIONS MESURABLES DE (1) ET (2.1
THEDREl"'IE 5-1
Sol t G un groupe abélien localement compact, divisible par 2, n
un entler positif et f,g hi' ki(i = 1,. .. ,n) des fonctions complexes
mesurables sur G. satisfaisant l'équation (2) pour tous x,y E G
Alors f et 9 sont des polynômes exponentiels

---

-
146 -
DEI'1ON5TRATIDN
En tenant compte de ce qui précède, 'il nous suffit de prouver que
tout polynôme mesurable sur G est continu et que toute fonction
mesurable M: --+ rrl n(1[) satisfaisant lléQuation (3) est continue
Pour ce qui concerne la première partie voir 5zekelyhidi [54].
QU6tlt à la deuxième partie, nous allons montrer que M est bornée sur un
compoct de G, ce qui suffin.l ci entrainer-l0 continuité de 1''1.
Soit K une partie compacte de Gtelle que m (K) >0 où m est
une mesure de Haar sur G. D'tlprès le théorème de Lusin (voir Federer [21 ]),
puisque Ivl est mesuroble,nous pouvons trouver une ptlrtie fermée
Fe K telle que m(F) > ; m(K) et Il M(x) Il <C
pour tout x E F. Si Mn'était pas bornée sur K, alors il exi sterai t une suite
convergente {xn } d'éléments de K tels que 1im xn =Xo et Il M(xn)1I Jn
5i YE (xn-F), c'est-à-dire y = xn - x avec x E F, alors
Ce qui donne Illvl(y)" JË. Donc pour tout y E lim sup(xn-F), nous
aurions Il f1(y)11 =+ 00. Ce qui est lrnposslbJe à molns que 1101 sup(xn-F) =4>.

---

- 147 -
11Bis alors m(lim sup(xn-F) ~ lim sup m(F) >0, ce Qui est contradictoire.
Salt 810rs € >0 flrb1tnHre et supposons Que C salt une borne pour M sur le
compact 1<, Alors il existe un voisinage U de l'élément neutre 0 de G
tel que
JKII11(X-y)- M(-y)1I dy <€ pour x € U(voir Hewitt et Ross [22]).
D'autre part, d'après (3), nous avons
Il M(x) - M(O)II ~ III(~) C.€
pour tout x EU;
Ce Qui prouve Que Ivl est continue en 0 €
G et l'éQuôtion (3) donne
la continuité de Iyl sur G tout entier.

---

-
148 -
CHAPITRE VI
L"EQUATION DE D"ALEMBERT POUR DES GROUPES NILPOTENTS
1 - INTRODUCTION
Considérons l'équation fonctionnelle
f : G~ K, f(xy) + f(xy-1) =2 f(x) f(y) (1)
ou G est un groupe, K un corps de caractéristique différente de 2.
Pour K =C, le corps des complexes, Pl KANNAPPAN 0 démontré le
résultôt suivant: Si f satisfait l'équation (1) et lô condition
f(xyz) =f(xzy),
olors f est de la forme
f(x) =g(x) "'2[g(x)]-1
(2)
ou 9 est un homomorphisme de 9 dans le groupe multiplicatif 1[* de lI:.
Toujours pour K =li: R. DACIE a montré dans [15] Que si f est une
sa1uti on de (1) et s'i 1exi ste eoE G tel que f(e o) =0 et f(xyeo) =
f(xeoy) "ri x . y E G olors f est de 10 forme (2).
Le but ici est de trouver des groupes non commutatifs sur
lesquels toute solution non nulle de (1) soit de la forme (2), sans avoir donc à
utiliser une condition supplémentaire.Nous 8110ns montrer que c'est le cas pour les
groupes nilpotents ou groupes nilpotents généralisés, dont les éléments sont
d'ordre irnpair. C'est le cas notamment pout tout p-groupe fini, avec p".. 2.

---

- 149 -
Nous utilisons ici 10 formule de Pl. KANNAPPAN sous des
tlypothèses légèrement modifiées et surtout la méthode de 1. (DROVEI,
contenues dtHlS le Lemme 2-1 et le théorème 2-2 ci-qessous.
2 - RESOLUTION DE (1 ~
FelÏsons x =y =e dans (1) où e est l'élément de G. On (:) :
f(e) = f 2(e) ,
donc f(e) =0 ou f(e) = 1
Si f(e) = 0, ôlors pour y =e dans (1), on obtient:
füd =0 TI X E G.
Il ne nous reste à examiner Que les solutions de (1) vérifiant
f(e) =1
(3)
Si f est. une solution de (1) satisfaisant (2), ôlors
f(y) =f(y-l)
(4)
f(~~y) =Hyx)
(5)
f(x2) + 1 =2 r2(x)
(6)
lEr1r1E 2- 1
Soit un groupe G et Z(G) le centre de G, K un corps de
caractéristique dlfférente de 2 et soit f: G-+ K une solutton ,je (1);
alors:
[Hxu)-Hx)f(u)]2=[f 2(x)- 1] [f2(U)-1]
VXEG
vueZ(G)
(7)

---

- 150 -
DEr'10NSTRATION
Dons l'éQuotion (1) remploçons x par xu et y par xu- 1 , 11 vient
Hx2) + Hu2) =2 Hxu) Hxu- 1)
et en tenant compte de (6):
r2<x) + r2<u) - 1 =f(xu) rrxu- 1)
Puis en utl1isant (1) à nouveau, avec
Hxu- 1)
=2 f(~<) Hu) - Hxu) ,on fi :
f 2(x) + f 2(u) - 1 = f(xu) [2 f(x) f(u) - f(xu)]
1
= 2 f(xu) f(x) Hu) - f 2(xu)
= - [f(xu) - f(x) Hu)]2 + f 2(x) f 2(u)
ce qui donne:
[f(~<u) - f(x) Hu)]2 =f 2(x) f2(u) - f2(x) - f2(u) +1
=[f2(u) - 1] [f2(X) - 1].
soi t encore
[H~~u) - f(x) Hu)]2 = [r2(x) - 1] [f2(u) -1] 't/ x E G 't/ U E ZCG),
c'est-à-dIre la relation (7) ctlerchée.

---

- 151 -
THEOREME 2-2
Soit 6 un groupe, K un corps de coroctéristique différente de
2 el:
f: 6 ---+ K une solution de l'équotion (J).
Si
l)
il existe u E Z (G) tel que f 2(u) * l, et
2)
11 exIste Il E K tel que b2 = [r<u)]2 - 1
Alors f est de la forme
(2)
Dn10NSTRAT ION
Notons K* =K- -[o} ; posons
a = f(u)
et définissons
g: G~ 1(* par
gü;) = f(x) + b-1 [f(:~u) - f(::-;) Hu)]
= b- 1 [f(i{u)-(b-a)f(;<)]
'';J'XEG
(8)
Nous allons rnontrer d'abord Que g(;{) *0 et Qu'entre f et 9 on 8
la r~lation (2).
De (7) et (S), nous tirons
ou
g2(X) - 2 g(x) f(x) + 1 =0
et donc g(x) ... 0 et l'on a :
f(x) = g(x) + [g(X)]-l
2

---

-
152 -
Nous tillons môintemmt montrer que 9 définie par la relation (8)
est un homomorphisme de G dans le qroupe multiplicatif de Ko
0.
Nous avons:
g(x) g(y) =b-2 [f(xu) f(yu) + (b-ô) (f(xu) f(y) + f(yu) f(>d)
+ (b-a)2 f(x) f(X)]
(9)
et
f(~<u) Hyu) =Hu) f(W<\\d) - f(xy) + f(~<) f(y)
(11)
En tenant cornpte de (10) et (1 1), la relation (9) devient:
LEr"W1E 2-3
Si f 2(u) = 1 pour tout UEZ(G), alors l'ensernble
I\\J(G) ={ x E Z(G), f(:<) = 1 }
est un sous-groupe di sti ngué de G
DFlo'10NSTRA.T 1ON
La restri cti on f 1 =fi Z(G) est un I-Iornornorphi srne de Z(G) ljans
{ 1, -1}, comme on peut le voir d'après la relation Cp; mais

---

- 153 -
N(G) =Kerf l' Ainsi N(G) est un sous-groupe de Z(G), donc
un sous-groupe distingué de G.
Ln"n"lE 2-4
Si tout élément de Z(G) est d'ordre i mpai r et si
,-,
fL(U) = 1 9' U E Z(G), alors Hu) = l 't:I U E Z(G),
DEI'10N~;TRAT 1ON
..,
Soit fL.(u) = l
'v' U E Z(G) ; de (7) on t.ire
f(xu) =f(x) f(u)
'0;/:-< E G
'0;/ u E Z(G).
( 12)
Supposons qu'i 1 exi ste lJOE 2W) tel que
( 13)
ôlors .. il est aisé de voir d'après (12) que
( 14)
Comme les élérnent.s de Z(G) sont. d'onjre impôir.. il exist.e
k tel
Que
De 18 relation (14), on tire
f( IJ 21(-1) - fl'p') - -1
·0
-~, -', -
Ce qui contredit la relation (3).

---

-
154 -
COROLLAIRE 2-5
Si f 2(u) = 1
'ri U E Z(G) et Si G est un p-groupe
(p:t:2)} alors
f(u) = 1
'ri u E Z(G).
Ceci découle immédiatement du Lemme 2-4 et de la définition d'un
p-groupe ("loi r chapi tre 0)
LEt-1I1E 2-6
Si la fonction f satisfait l'équation (1) et f(u) = 1
'ri u E Z(G)}
alors on peut définir une fonction
F : Gj 2(G) ---t K par:
'V x E G} F(x) =f(x) où x =x Z(G).
DEt'lONSTRATIÜN
La formule (7) donne:
'v XEG 'v' UE Z(G) f(xu) = f(x) f(u) = f(x)
Donc f prend la même valeur sur la classe d'équivalence x de x
(modulo Z(G»)
(3) Cas où le con~s K est un con~s guadratiguement clos} de
caractéristigue différente de 2
Al
G est un grouQe nllQotent

---

-
155 -
THEORH'IE 3-1
Soit G un groupe nllpotent dont les éléments sont d'ordre impair
Si f: G--+ K est une solution de (1) olors f est de 10 forme (2).
DEt-'lONSTRATION
Comme G est nilpotent, 11 est engendré par 50 suite centrale
oscendtmte} c'es t -èJ-di re
{ e } =lo C Z1 C ... C lm =G} li +1/ 2 = l Wllj )
( 15)
1
où rn est. un entier non-négotif
Nous démontrons le Théorème 3-1 par récurrence sur la longueur
m de la suite centrale ascendante.
Si m = 1} le groupe G est commutatif et le Théorème 3-1 est
vt-a i.
Supposons 1e théorème 3-1 vrai si 1e longueur de 1e suite centre1e
ascendôt.e est <rn.
Nous allons le démontrer pOlW un groupe G dont la suite centrale
escenljônte est définie par (15). en distinguent deux ces:
1er Ces:
il existe Il E Zl~lle flf1!)~ Alors 1e théorème 3-1 résulte
du théorèrne 2-2.

---

- 156 -
2èrne CôS :
.....
fL-ü!l= l "VUEZl
Dans ce cas .. Hu) = l'Vu E Z1 d'après le lemme 2-4. En uti lisant
le lernrrl8 2-6, nous définissons une fonction
F : G /7 ~ K telle que
1..1
( 16)
Et maintenant la suite
.., 'z
G"
L rn 1 1 = / L.1
(17)
est 1ô suite centn~1e croi sst:mte de G/ '7 , pour
LI
~ Z(G/Z 1 /Zi /Z 1)
L'hypothèse de récurrence s'ôppl ique à
F : G/Z 1 -t K , puisque la longueur de la suite définie par
(17) est inférieure à rrl; tous les élérnents de G /ll sont impairs et F satisfait
"x', -G1Z
F(x",- H(x}+[H(x)]-1
'il
l;:
/
1,
(.' -
2
'
où H:G/Zl~K {o}, définie par
t",(x) =H(~:) est évldemrnent un Mrnomorptl1sme de Gdans le
groupe mu1tipllcatif de K et nous avons:
'v' x E G, f(x) = h(x) + [h(x)]-1
'1
'-

---

-
157 -
COROLLAIRE 3-2
Si G est un p-groupe fini (p*2) et f: G~K une solution de (1),
alors f est de la forme (2).
B)
Gest un grouQe n'ilQotent généralisé
Définition 3-3
Un groupe G est dit nilpotent généralisé si
G= U Z(:(
( 18)
(:«0'
où E = Zo C Z1 C ... C Zif,. c ..., (:( <0'
(19)
est lEi sui te centrEile ascendEinte de G. (lX et 0' étant deux ordinaux)
Les groupes Zex sont définis de la façon suivEinte :
Si Zf3 est défini pour f3 <0:
si l'ordinEil ex-l existe:
Si ex est un nombre ordinal limite (donc ex - 1 n'existe pas).
zex --
(20)
Dans la suite, G désignera un groupe nl1potent généralisé dont les
éléments seront d'ordres impairs.

---

-
158 -
Nous 6110ns étendre le lemme 2-6
Soit f: G~ K une solution de (1)
et supposons Que, pour un certain IX < o'
f(x) = l
'fi x E Z($. .
Alors on peut définir une fonction:
F0:: : G/Zo:. ~ K telle que
'v' XE G,
DElyl0N'3TRAT ION
Le cas ($. = 1 se ramène au Lernme 2-6.
Supposons 1e Lemme 3-4 vrai pour ~ <($.,
Et prouvons Qu'i 1 est vrai pour ($.. On a donc
'fi X E Zo:: ' f(x) = 1
(1)
Si 0:: - 1 exj ste nous défi ni ssons
'ri /0::-1) E G/20::- 1 , F($.-1 (x<o::- 1») =f(x)
(22)
(21) et (22) donnent
x(o::-O E Z($.!ZC(-I:::- FC(-1 (x(o::-O) = 1

---

- .159 -
(1), d'ôprès (22), nous pouvons eJppllquer le lemme 2-6 6 Fa::-l :
avec
Et d'après (22), on obtient
et , comme on sait qu'il exist.e un isomorphisme
pour la fonction Fa:: =F*0 h : G/Zo: -+ K,
nous avons
pour tout x E G.
(ii)
Si ~ est un nombre ordinal limi te :
1
Soit x et x' appartenant à la même classe d'équivalence de .,.
.
L(': •
Xl =xz (avec Z Ela::)
d' après (20). il exi ste ~ <0: tel que
Z E Z(3'
En ôpphquant l'hypothèse de récurrence 0 Z~ nous obtenons

---

-
160 -
En d'outres termes
f(x') =f(x). Donc f prend 10 même voleur sur 10 c10sse
résiduelle x(X =x Z(X et le lemme 3-4 est démontré également dons ce
cas.
THEClRH1E 3-5
Si G est un groupe nilpotent généralisé dont les éléments sont
d'ordres irnpairs, si K est un corps quadratiquement clos de caractéristique
différente de 2, et f: G----+ K une solution de l'équation (1), alors f est de 18
fonne (2).
DEMONSTRATION
(Par l'absurde)
Supposons que f ne soit pas de la forme (2).
Nous allons montrer par récurrence Que
'i (X <0
":/ X E Z(X
f(x) = 1
(23)
c'est-il-dire f(x) = l
'V x E G. Mais comme cela sera en contradiction
avec l'tlwpottlèse Que f n'est pas de la forme (2), on aura démontré le
tl1éorème 3-5.
Considérons le cas (:( = 1.
11 ne peut exister d'élément XE Z1 = Z(G) tel Que.

---

- 161 -
2
f (x) * 1,
puisque celo signifieroit, d'oprès le théorème 2-2, que f est de 10 forme
(2), ce qui est en controdiction ovec l'hypothèse.
Donc 'V x E Z(G)
r2(x) = 1
et d'après le lemme 2-4, f(x) = l
'V X E Z1 et ceci prouve le théorème 3-5
pour 0:: = 1.
Supposons le vreipour
~ <ex
(0 Si ~ - 1 existe
Nous 6vons f(x) = 1
\\ri X E Zer..-l
et nous pouvons définir:
F~-1 : G/Z/X-1 -;. K) en vertu du lemme 3-3) telle que
"'1 x E G,
F0::-1 (x Zo::-1) = f(x)
(24)
ce qui veut di re que F&(-1 est sol ut i on de (1).
s'il existe un élément u Zo:-1 dans l (G/Zo:- 1)
tel que:
F20::_1 (u Zex-1) *1, 1310rs F0::-1 et donc oussi f seroH de
la fom'Ie (2) (d'après le théorème 2-2).
ce qui contredi t notre hypothèse.
Donc
F~-1 (x) = 1 V X E Z (G/2~-1)

---

- 162 -
Et comme les éléments de G!Zcx;-l sont d'ordres impoirs, comme
les éléments de G, nous savons, d'après le lemme 2-4, que
autrement di t
W
XE'"
"
Lo:;
D'après la relet ion (24)
X E Zcc
f(x) = 1
donc le ,théorème est vrai pour cc.
(ii)
Si cc est un nombre 1imite:
alors la relation (23) résulte de la relation (20) et de l'hypothèse de
récurrence
4) CONTRE-EXEnPLE
Nous allons traiter l'e:<emple suivant, qui va nous montrer que si
G possède des éléments d'ordre pair, alors l'équation (1) peut avoir des
solutions différentes des solutions de la forme (2).
1
Nous prenons pour G, le groupe des Quaternions (matrices de
Pauli)
(1 0) (0 i)
(0 -1)
(i °~-J
1=,
0
y' U= i ~,' V = 1 0 ,W = 0

---

- 163 -
leur toble de rnultiplicotion est:
(
1
U
V
W
1
1
U
V
W
U
U
-1
W
-V
1
V
V
-w
-1
U
W
W
V
-u
-1
Posons 0 =-l, R =- U, 5 =-V> T =-w.
Soit f: G--... C définie de 10 foçon suivonte :
((1) = 1
HO) =-l,
f(x) =0 'v' x E G - { l, Q}
on véhfie oisément que f est une solution de (1):
f(~;Y) + f(,;y-l)= 2 f(x) f(y)
rotais f n'est pas de 113 forme (2). Sinon on âUn:lit :
g2 (x) =-1 ':f x E G - { l, q }
et par exemple,
g2(u) g2 (V) =g2WV) =g2(vn, c'est-à-dire
(-1) :<: (-1) = 1 = -1 ce I~ui est impossible ,jans i[

---

- 164 -
5 EQUATION 5lt1lLAIRE
On peut obtenir des résultats analogues pour l'éQul'ltion :
f(xy) + f(xy-l) =2 f(x) f(eoY)
(25)
OlJ
f: G~ K est une fonction inconnue et eo E G(eo'" e)
L'équation (25) fi été étudiée par R. Dacic dans [16] et par Pl.
KANNAPPAN dans [2ô].
Si on remplace dans (25), le: par eox, on a :
f(8 oXY) + f (8 xy-1) =2
x)
y)
0
f(8 0
f(8 0
V ~<,y E G
Définissons alors
11(X) = f( BOX)
'V X E G
(26)
L'équation (25) devient:
h(:<y) + h(~<y-1) = 2 h(x) h(y)
L'équation (27) n'est autre que l'équation (1)
Notons enfin Que 1. (OROVEI a obtenu des résultats analogues pour
l'équation fonctionnelle plus générale
f(xy) + f(xy-l) =2 f(>d g(y)
où G est un groupe (ou un groupe ni 1potent) et K un corps de
caractéri st i que di fférente de 2.

---

-
liJj -
CHAPITRE VII
1
Extens10n des sol uti ons de l"éQUBti or.
nxy) + nxy-I) = 2 nx) g(y)
Dans ce chapitre, lI{ es t un corps non comrnutati f de
caractéristique différente de 2.
THEOREME 1
Si G est un groupe et S un semi~groupe de G t.el que
G = SU S-I U {el, où e est l'élément neutre de G. Si
f : G ----'0 K,
9 : S ----'0 K,
sont des fonctIons satIsfaisant l'équation
il)
''Y''(x,y) E G x S
f(xy) + f(;.;y-I) = 2((x) 9('~)
alors il eXlste une extension umque
h:G-K
de 9 telle que
(2)
'v'(x,y) E G x G f(xy) + f(xy-I) =2f(x) h(y)

---

- 166 -
DEI1DNSTRATIDN
Soit XoE G tel que f{xo);i o. Défi~issons la fonction h par
(3)
'TI YE G
h(y) =~ [HxoY) + f(xoy-t)]
où
a =(f(x n- 1
o
En remplaçant x par X dans (1), il vient
o
donc h est une extension de g.
De (3) nous tirons
(5)
'0;/ Y E G h(y -1) = h(y)
Et (1), (3) et (4) donnent:
(6)
'v'(x,Y) E G x S,
f(xy) + f(xy-l) = 2 f(x) h(y)
Si YE S, alors la relatton (2) résulte de la relatton (6) ;
si y-1 E S, alors (2) résulte de (6) et (5). Et il Ya évi demment unicité de
l'extension h de g.

---

- 167 -
THEüREf1E 2
51 G est un groupe obéllen et 5 un sous-seml groupe de G tel
Que:
G=5 U 5- 1. 51
f:G----tK
g:S----tK
sont solutions de l'éQuotion
(7)
'v'(x,y) E 5 x 5 'f(xy) + f(xy-l) =2 f(x) g(y)
olors il existe une extension unique
h:G----tK
de 9 telle que
(8)
'v'(x,Y) E G x G
f(xy) + f(xy -1) =2 f(x) h(y).
DEt'lüNSTRATION
Nous distinguons deux cos
1er cos:
'v'X E S,
f(x) ~ O. 51 (Cg) est solution de (7), olors (fIk,g) est une
solution de (7) où k E K - {O}.
Donc nous pouvons supposer que
f(e) = 1

---

- 168 -
Soit
(9)
V'x E G f(x) =f e(x) + f o(x)
Oll
( 10)
f e(x) =f e(x- 1)
et
(11)
f o(x) = - f o(x- l )
(f e et f 0 sont les parUes paire et impaire de f respectivement)
En prenont x = e dons (7) et en tenont compte de (9), (10) et (11),
on obtient
( 12)
'ri YES. g(y) = f éy)
DéfinIssons
alors h est une extensi on de g.
Il nous reste à prouver que
( 14)
V' (x,y) E G x 5
f(xy) + f(xy-1) =2 f(x) g(y).
Des relations (7), (12) et (10) nous tirons
(15)
V (x,y) E G x S
f(xy) + f(xy-l) = 2 f(x) f s(y).

---

- 169 -
En remploçont y por xy, xy-l et x dons (15), il vient
'V(x,y) E S x S
f(x 2y) + f(y-l) :;: 2 f(x) f e(xy)
'V(x,y) E S X S
f(x 2y-1) + f(y) = 2 f(x) f e(xy-1)
et
V'x e S
ou
Hx2) + 1 = 2 Hx) f e(X)'
D'où pui sQue "ri x E 5 f(x) =1= 0
2 f(x) [f e (xy) + f e (xy-1)] =f(x 2y) + f(x 2y-1) + f(y-l) + f(y)
=2 f(X 2) g(y) + 2 g(y)
=2 [f(X2) + 1] g(y)
= 4 f(x) f e(x) g(y).
Soit
( 16)
'fi (x,y) E 5 x 5
Puis en tenant compte de (15), (9) et (16) nous avons
(17)
"ri (x,y) €
S X S,
f 0 (xy) + f 0 (xy-l) =2 f o(x) f e(y).
Et mointenont montrons que

---

- 170 -
(1 B)
'fi (X,y) E G x S
f 0 (xy) + f 0 (xy-l) =2 f 0 (x) g(y).
51 x € 5. alors (18) résulte de (17) et de (12).
51 x € 5- 1, alors de (17) et (11), nous tlrons
f o (xy) + fo(xf l ) =[fo(y-l x-l) + fo(yx- l )] =-[ fo(x- 1y) + fO(X- 1y-l)]
=- 2 f o(x- 1) f e(Y) =2 f o(x) g(y)
Ce Qui donne ( 18)
En faisant le même raisonnement, de (16) nous déduisons
'ri (X,y) €
G x S
f e (xy) + f e(xy- 1) =2 fe (x) g(y).
Additionnant cette dernière égalité ovec l'égolité (18) et en
tenont compte de (9), nous obtenons 10 relation (14).
Enfin nous oppliQuons le théorème 1 il (14) pour avoir (8).
2e cas
Soit Xo E 5 tel Que f(xO) =0 . Faisant x =Xo dans (7), il vient:
Ir( y E 5
f(xoY) + f(xoy-1) =0
Ce qui implique
'fi y E G
f(xoY) + f(xoy-l) =0
Remplaçant dans cette égalité y par xoy-l, nous avons:

---

- 171 -
Nous B11 ons prouver Que dans ce cas la re lat1 on ( 14) est aussi
vraie
Si x E S, alors (14) résulte de (7).
Si x- 1 E S, d'après (9) et (7) pour y E S, nous avons
= f(xy-l} + f{xy)
Ce Qui donne (14). Et nous appliquons le théorème 1 il (14).
Si Gn'est pas abélien, alors par une méthode analogue Il celle ut111sée
dans le théorème 2, nous pouvons obtenir les mêmes conclusions, il
condition Que
1
v (x,Y) E G x G f(xy) =f(yx).
Dans la suite nous supposons Que f n'est pas identifiquernent nulle.
THEDREtvlE 3
Si 5 est un sous-serni groupe de G tel Que
G: SS-l
si

---

- 172 -
sont solutions de l'équotion
(20)
f(xy) + f(xy - 1) =2 f(x) g(y)
olors il existe une extension unique
h:G~K
de 9 t.elle que
f(xy) + f(xy-1) = 2 f(x) h(y).
DEt·l0NSTRATION
Solt z =xy-1 E G ovec xlY ES. Définissons 10 fonction h por
(22)
h(xy-1) =2 g(x) g(y) - g(xy)
En posant x = y 2 nous voyons que h est une extensi on de g:
1
(23)
'TI YE S
h(y) = 2g(y2)g(y) - g(y3)
Soit x E G, YE S. D'oprès (20), nous avons:
2 f(x) [ 2 g(y2) g(y) - g(y3)] =2 [ f( xy 2) + f(xy-2)] g(y)
- f( xy3) - f(xy-3)
=f(xy) + f(xy -1) =2 f(x) g(y).
Divisant par 2 f(x) (* 0), il vient :
'TI y E S
g(y) =2 g(y2) g(y) - g(y3)
Nous ollons mointenant prouver 10 relotion (21) :

---

- 173 -
Soit X E G, yz-l E G ovec y, z E S. D'oprès (20) et (Q2) ,
on 0:
2 f(x) h(yz-l) = 2 f(x) [2g(y) g(z) - 9 (yz)]
=2 [ f(xy) T f(xy-1)] g(z) - 2 f(x) g(yz)
=Hxyz-l).,. f(x (yz-l)-l)
D'où l'unicité de l'extension h de g.
Si G n'est pos obélien, olors les solutions (f,g) de (20) peuvent
être étendues il (21) si 10 condition de pl Konnoppon est réolisée :
"ri (x,y,z) E S x (SUS- 1) x (SUS- 1)
f(xyz) = f(xzy).
THEüRH1E 4
Si G est un groupe et S un sous-Serni-groupe de G tel Que
G =S S- 1S .
Si
f: G~ K, g: S ~ K
sont solutions de l'éQuotion
(24)
'V (x,y) E G x S
f(xy) T f(xy-l =2 f(x) g(y)
et
(25)
'TI (x,y,z) E 5 x G x S
f(xyz) =f(xzy)
olors il existe une extension unique
de 9 telle que
'TI (x,y) E Gx G
f(xy) T f(xy -1 = 2 f(x) h(y)

---

- 174 -
DElvlDNSTRATION
Nous ol1ons d'obord prouver 10 relotion suivonte :
(26)
'v' (x,y) E G x 5
f(xy) + f(xy-l) = 2f(x) g(y).
Pour tous x et y E G, il existe u, v, w, r, s, t, dons 5 tels Que
x=uv- 1w, v- 1wy-l =rs- 1 t.
Et de
(24) et (25) nous t1 rons :
f(xy) + f(xy-l) = f(u r s- l t y2) + f(u r s-I t)
=f(u r s-1 t Yy) ... f(u r s-1 t Yy-l)
=Hu r t y s-1 y) + Hu r t y s-1 y-l) =
=2 f(u r t y s-1) g(y)
=2 f(u r s-1 t y) g(y) =2 f(x) g(y)
Qui n'est outre Que 10 relotion (26)
Définissons olors une fonction h*: 55- 1 --+ K por
(27)
'v' (x,y) E 5 x 5
h* (xy-l) =2 g(x) !y(y) - g(xy)
En foisont
x = y2 E S
dons 10 relotion (27) , on 0 :
(2B)
'v' YE 5
h*(y) =2 g(y2) g(y) - g(y3)
En utilisant 10 relation (26) plusieurs fois de suite, nous ovons :
2 f(x) [ 2 g(y2) g(y) - g(y3)] =2 [ f( xy 2) + f(xy -2)] g(y) - 2f(x) g(y3)
=f(xy) + f(xy -1) =2 f(x) g(y)
En divisont por 2 f(x) , on obtient:
'v' y E 5
g(y) =2 g(y2) g(y) - g(y3)

---

- 175 -
Il r~suHe de cette égolité et de 10 relotion (28) Que h est une
exlt!ltslon de g.
11 nous reste ô prouver que
'ri (x,y) e G x 5 5- 1
t(x y) ... t(x y-1) =2 t(x) h*(y)
1
501 t x E G et y, z eS. D'oprès (28), (26) et (25) > nous ovons
1
2 f(x) 11* (yz -1) =2 t(~<) [2 g(y) g(2) - g(yz)J
= 2 [f(x y)'" t(x y-1)] g(2) - 2 f(x) g(y z)
= t(x y 2- 1) ... f(x y-l z)
ce QUl donne (29)
Et rnolntenont nous ollans définir 10 fonction h por
(~()
\\..) .)
TI (x, y, z) E 5 ~< 5 x 5
h(x y-l z) =
=2 h* (x y- 1) 11* (z) - 11*(x Y- 12-1 )
Lo fonction 11 est une extension de 11*. En effet en foisont
...,
y: ?L E 5
dons (30), on 0 :
l1(x (.-1) =2 11* (x z-2) h* (z) - h* (x 2- 3)
Soit y E G, 01 ors de cette égo 1Hé et de (29) nous tirons
1
2 f(y) IIC-< /.-1) = 2 f(y) [ 2 11* (x z-2) 11*(2) - h*(x z-3)J
= 2 [ f(y-x z-2) + f( yz2 x -1) h* (z) - 2 f(y) h* (~<z-1)
Donc

---

- 176 -
Por conséquent h est une extensi on de
g. Cor pour x E G,
yz-l t E G , ovec y, z, tES, (30) , (29) et (25) donnent
2 f(x) h (yz-lt) =2 f(x) [2 h~ (yz-l) h~(t) - h~ (yz-1C 1)] =
=2 [f(xyz-l) + f(xzy-l)] h*(t) - 2f(x) h* (yz-1t- 1) =f(xyz-It-l) +
f(xt -1 z~)
D'où, de foçon évidente, )'unicHé de l'extenslon h de g.

---

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DIOPOH J Il KOR E
Vu, et permis d'imprimer
Abidjan, le 12 Avril 1988
Le Recteur de lJUniversité
Nationale de Côte d'I~~e
TaURE BAMAV

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