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CE COTE-D'IVOIRE ~
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. ~. .
Présentée à
Université Nationale de Côte d'Ivoire
Faculté des Sciences et Techniques
Pour obtenir le grade de
Docteur ès Sciences
par
NffiNGONffiNGODONATIEN
··;;t\\/:: ".-,".;.
Soutenue le 12 avril 1988 devant la Corrunission d'Examen.
Président:
Professeur Saliou TOURE
Examinateurs:
Professeur Jean DHOMBRES
Professeur Boubakar BA
Professeur Pierre NEZIT
Professeur Daouda SANGARE

Je ne sourois trouver les mots pour exprimer mo très profonde et
respectueuse grotitude il f"lonsieur Jeon DHm·1BRES, Professeur de
110thématiques il l'Université de NANTES, pour m'ovoir occordé so confionce
en occeptont de di ri ger mes trovoux en dépit de 10 gronde di stonce qui
sépore NANTES d'ABIDJAN, et de ses nombreuses responsobilités
noti ono1es et i nternoti one1es.
Je n'ouroi s j omoi s pu souteni r cette thèse sons ses conseil s
éclôirés et ovisés.
110nsi eur DHOMBRES ne s'est pos contenté de di ri ger mes trovoux,
ill el moni ère du Prof esseur oustère et di stont. lo gronde di sporl'i bil ité dont
il 0 foa preuve, son inestimoble omobilité, l'extrême cordiolité qui 0
marqué nos rapports ont été détermi nontes et ont sons doute f aei! i té 10
conduite il terme de ces recherches. Fout-il que je dise qu'il m'o offert de
veiller 1ui-même il 10 doctylogrophie de plus de 10 moitié de 10 thèse,
oimob1ement ossurée por so Secrétoire que je tiens il remercier ici, ovec
votre permi ssi on 1·lonsi eur, 1e Prof esseur !
11erci encore une fois, mois je ne puis dire que celo, Monsieur le
Directeur!
Je tiens 0 remercier 1·lonsieur Soliou TaURE, Professeur de
Mothémotiques il l'Université d'Abidjon, non seulement pour ovoir occepté
de présider le Jury de cette thèse, mais aussi pour l'oide opprécioble qu'il m'o
opportée.

INTRODUCTION
C'étoit en 1621 que Couchy 0 démontré que 1es seul es sol utions
continues
C : IR ---t IR lje l'équation fonctionnelle de d'Alembert
(0)
C (t+s) + C (t-s) =2 C (t) C(s) s, t E IR
C (0) = 1
sont de 1a forme C (t) =cosat, C (t) =chat (avec a E IR)
Oll C (t) == 1 selon que C est born~et non constonte, non bornée ou
cons tonte sur IR.
Au j ourd'hui et surtout au cours des trente derni ères années, 1es
publicotions sur l'équation de d'Alembert ne manquent pas.
Plusieurs chercheurs se sont attaqués avec plus ou moins de
bonheur au problème qui consiste 6 trouver des résultats analogues 6 ceux
de Couchy, sous des hypothèses plus faibles. Nous citerons notamment les
travaux de Aczél , Swa, Corovei, Kuczma, Rukhin, Lutz, Dhombres,
Szeke1yhi di, Naggy, Baker etc...
Voici quelques ospects de l'équotion de d'Alembert que nous avons
jugé utile de plublier sous le titre "QUELQUES REALISATIONS DE L'EQUATION
DE D'ALEt1BERT".

Le chopitre 0 regroupe les définitions, les notations, les
propriétés et les théorèmes générôw< sôns démonstrôtion dont nous ôurons
besoi n dôns 1e texte.
Dons le chapitre l, nous troitons d'abord l'équotion de d'Alembert sur
IR et retrouvons oinsi les solutions de Cauchy en utillsônt une méthode due à
Acz~1et Dhombres. Ensui te nous l'exômi nons sur un groupe obéI ien 1oCô1ement
compoct, c'est -à-di re dans 1e domai ne de l'Ano 1yse Harmoni que. Dans un
troisième pôragrophe, nous traitons la même équation sôns hypothèse de
régul ôri té. Et ceci nous 0 permi s, ôu pôragrophe 4 de donner 1es sol ut i ons de
l'équot ion.
g(xy) + g(x/y) = 2g(x) g(y) sur IR
Enfi n, pour termi ner ce chopi tre l, nous ôvons étudi é successi vement
1es équot ions.
g(x+y) + g(x-y) = ~ g(x) g(y)
(~ * 2)
~ g(x+y) + ~ g(x-y) = (~+~) g(x) g(y)
~, ~ réels positifs.

9 : G-----+ F, G étant un groupe obéI i en et F un corps commutot if
de côroctéri stique di ft érente de 2.
Nous ovons prouvé notomment quelo seconde équotion ne dépend
pos de ~ et ~,mais se romène à une équation de d'Alembert.

Le chôpitre Il concerne 1es équaU ons de f oncU ons tri gonométri ques et
simi1elires, c'est-â-dire des équations de la forme
f(x*y) = f(x) g(y) + g(x) f(y) et g(x*y) = g(x) g(y) + k2 f(x) f(y).
où f .. g: G---+ F dôns lesquelles G est un semi-groupe ou quelquefois un
groupoïde et F un corps non nécessoirement commutotif ou porfais un onneou.
Ici, après avoir donné les solutions génén:J1es de ces équôtions, nous
avons tn:Jité de nombreux exemples pour illustrer les résultats théoriques. c'est
oi nsi que nous ovons troi té l'équotion
11(x+y) = M(x) N(y) + N(x) M(y)
ou Iv!, N : IR ---+ <ro,n (IR), (JT\\,n (IR) désigant l'anneau des môtrices carrées
d'ordre n, ÈI coeffi ci ents réels.
Nous avons aussi traité dans ce chapitre au paragraphe 3, 1es équati ons
de la forme
f(x*y-l) = f(x) g(y) - g(x) f(y) et g(x*y-l) = g(x) g(y) - k2 f(~<) f(y)
où f, 9 : G---+ F dans lesquelles G est un groupe quelconque; nous avons
dési gné ces équations sous 1e nom de formu1 es de "soustraction" ou de
"syrnétri sat ion".
Les résultats théoriques que nous avons obtenus, nous ont permi s
de retrouver les solutions mesurables sur IR des équations
f(x+y) =f(x) g(y) + g(x) f(y)

g(x+y) =g(x) g(y) - f(x) f(y)
ou
g(x+y) =g(x) g(y) + f(x) f(y)
ainsi que des équations
f(x-y) =f(x) g(y) -g(x) f(y)
g(x-y) =g(x) g(y) + f(x) f(y)
ou
g(x-y) = g(x) g(y) - f(x) f(y)
Puis ou porogrophe 6, nous ovons troité les éQuotions suivontes
sur IR:
1)
f(xy) =f(x) g(y) + g(x) f(y)
2)
f(x/y) =f(x) g(y) - g(x) f(y)
3)
f(x+y+xy = f(x)+f(y)
4)
f(x+y+xy) =f(x) f(y)
Enfin pour terminer, nous ovons étudié ]'intéressonte éQuotion
f(x) + f(x+y) =<P (y) f(x+y/2)

f, <P : IR ~ IR
Après ovoir montré Que 10 fonction tP est solution de l'éQuotion
tP (x+Y) + <P (x-y) =<P (x) <P (y),
nous avons trouvé comme solutions mesurables (voir proposition 7-1)
f(x) =b Si n 2(S'x ,
tP (x) =2 cos (S'x
ou
f(x) =a + bx
,
<P (x) = 2

ou
f( \\
.... ""
b C'
' ) v
Xj =ii COS L:OX +
win :c..oX ..
.;p (x) =2 cos '6x
ou encore
f(x) =fi ch2ü'x + b sh 2Q'~< .. .;p (x) =2 ch Q'x
où 0 .. b et ~ sont des constontes réelles orbitroires
Le chôpi tre III est consacré il 1ô généra1i sat i on des éQuElt i ons de
d'Alembert et de Couchy-Pexider.
1ci .. nOlis twons lorgement ut i Ji sé une méthode de Aczé 1ond Dhombres
[5]. Nous ovons montré que sous des condi t i ons de régul arité et
lorsque les fonctions f k et gk sont linéairement indépendemtes lô résolution de
l'équation
n
( 1)
f(x+y) + g(x-y) =L f k (x) gk (y)
~~= 1
peut se ramener ô la résolution d'équations différentielles linéaires
homogènes à coefficients constants où tous les termes sont d'ordre pair
pour les fonctions
cp (x) = f(x) + g(x)
en faisant dans (1) y =0
et
4J (r;) = f'(x) - g'(x) obt.enue en déri vont (1) par n:Jpport cl y
et en y faisant y =O.

Pour illustrer la théorie nous avons traité l'équation
f(x+y) + g(x-y) = f 1(x) g1(y) + f 2(x) g2(y)
avec application numérique, puis l'équation
f(x+y) + g(x-y) =2 h(x) k(y)
dans IR.
Le chapitre IV concerne l'étude des opérateurs de fonctions cos'inus, la
génération de l'opérateur cosinus régulier, le problème linéaire du second ordre
de Cauchy, une rapide étude comparative de l'opérateur cosinus régulier et des
Semi-groupes d'opérateurs; nous terminons ce chapitre par la méthode des
perturbations (cf Lutz [38] et Sowa [51])
Dans le chapitre V, nous sommes revenus à des équations
fonctionnelles sur des groupes abéliens et généralisant les équations de
Cauct1y-Pexider et de d'Alembert. Mais ici nous avons utilisé des méthodes
matricielles (cf Szekelyhidi [53], [54])
Le chapitre VI nous offr'ira une autre occasion de revenir sur l'équation
de d'Alembert, mais cette fois-ci sur des groupes nilpotents en montrant que
lorsque les éléments du groupe sont d'ordre impair, la solution générale de
l'équation de d'Alembert.
f(xy) + fxy-1) = 2 f(x) f(y)
est sous la forme
(2)
f(x) =~ [g(x) + (g(x)t 1]

où g est un homomorphisme du groupe G dans (*
Par un contre-exemp1e traité sur 1e groupe des quaterni ons
(d'ordre 4) nous avons montré que lorsque les éléments de G sont d'ordre
impair, la solution n'est pas nécessairement sous la forme (2).
Le chapitre VII a été consacré à l'étude d'extensions de l'équation de
10 forme
f(xy) + f(xy-l) = 2 f(x) g(y)
Ol!
f: G--+ K ; g: S --+ K
G étant un groupe. S un seml-groupe de G et K un corps non commutatH de
caractérlst1que différente de 2.

T A BLE DES MAT 1 E RES
PAGES
CHAPITRE
o
Définitions Propriétés et
Théorèmes Généraux
1
CHAPITRE
l
Equation Fonctionnelle de d'Alembert
Sur un groupe localement compact
7
1)
Equation fonctionnelle de d'Alembert sur E
7
2)
Equation de d'Alembert sur un groupe
abélien localement compact
11
3)
Equation de d'Alembert SUr un groupe
abelien
18
4)
Exemple d'application
22
5)
Exemples d'équation se ramenant à
l'équation de d'Alembert
30
CHAPITRE
II
Equations de fonctions trigonométriques et
Similaires
33
1)
Résolution des équations
(3)
et
(4)
ou
(3)
et
(5)
33
2)
Résolution de l'équation
(3)'
seule
38
3) Les formules de soustraction ou de
symétrisation
49
4)
Résolution de
(43)'
seule
54
5)
Solutions complexes et réelles de
(3)
et
(43) .
57
6)
Quelques exemples sur E
60
7)
Exemple
: solutions mesurables
f / ~
E
lR
de l'équation
f(x)
+ f(x+y)
= ~
(y)
f(x +y/2)
67

CHAPITRE
III Généralisation des équations de d'Alembert
et de Caucby-Pexider
75
1)
Résultats preleminaires
75
2)
Résolution de l'équation
n
f·(x + y) + g (x -y)
=
E
f
(x)
gk (y)
k
k=1
sous des hypothèses fortes
79
3)
Exemple
1
83
4)
Exemple
2
89
CHAPITRE
IV
Opérateurs de Fonctions cosinus
Réguliers
92
0)
Préliminaires
1)
Eléments bases sur l'opérateur de Fonction
Cosinus et leurs générateurs
94
2)
Le problème linéaire du second ordre de
Cauchy
110
3)
Caractérisation des générateurs infinité-
simaux et la théorie de la perturbation
117
CHAPITRE
V
EquationsFonctionnelles Matricielles sur
des Groupes Abéliens
125
1)
Notations et Définitions
126
2)
L'équation fonctionnelle
(1)
3)
L'équation matricielle
C (x+y)
+ C(x-y)
= 2C(x)C(y)
129
4)
L'équation fonctionnelle
(2)
138
5)
Solutions mesurables de
(1)
et
(2)
145
CHAPITRE VI
L'Equation de l'Alembert pour des
groupes nulpotents
148
1)
Introduction
148
2)
Résolution de l'équation
=
2 f~x)
f(y)
149

CHAPITRE
VI
(Suite)
3 )
Cas où le corps K est un corps
quadratiquement clos, de caractéristique
différente de 2
154
A)
G est un groupe nulpotent
154
B)
G est un groupe nulpotent généralisé
157
4)
Contre-Exemple
162
5)
Equation Similaire
164
CHAPITRE
VII
Extensions des Solutions de l'équation
f(xy)
+ f(xy-1)
::
2
f(x)
g(y)
165
BIBLIOGRAPHIE
177.

-
1 -
CHAPITRE 0
Nous regroupons dans ce chapitre. les définitions, les notations. les
propriétés et les théoré mes généraux, sans démonstrations, dont nous
aurons besoin dans tout le texte.
Définition 1
On appelle ordre d'un groupe fini G, le nombre de ses
éléments.
Définition 2 : Un sous- groupe H d'un groupe G est dit distingué si
H'"' x- 1 H x (ou H '"' x H x- 1)pour tout xEG. Tout sous-groupe d'un groupe
abélien est évidemment distingué.
Définition 3 : Une suite de composition d'un groupe G est une suite finie
stricte ment croissante (G.). 1 ~ i ~ n, telle que:
1
de sorte que G. soit un sous-goupe distingué de G. 1" Les groupes
l
l +
quotients G. I/G. s'appellent les facteurs de composition de la suite, e
l +
1
désignant l'élément neutre du groupe G.
Définition 4 : Un groupe G est dit nilpotent s'il admet une suite de
composition (G.), 0 ~ i ~ n, telle que chaque groupe quotient G. I/G. soit
1
1+
1
dans le centre de G/G.. Une telle suite est dite centrale.
1

2
-
Définition S : Un p-groupe Gest un groupe dont l'ordre est une puissance
pk> 1 du nombre premier p.
Notation 6 : On notera Z(G) le centre d'un groupe G, c'est- à - dire
l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tout élément de G.
Propriété 7 : Le centre d'un p- groupe
G est non
trivial, c'est - à- dire
Z(G) ;z: (e). Tout p- groupe est nilpotent.
Définition 8 : Soit G un groupe abélien localement compact, une fonction X
définie et continue sur G, à valeurs complexes, est un caractère sur G si elle
vérifie:
lx (x)1 = l,
et
x(xy) = X(x) X(y)
(!,YE G).
En d'autres termes, X est un homomorphisme
de G dans le groupe
localement compact:
T = jZ E C, Iz1
1f·
Rappelons que T ~ RIZ.
Le caractère identiquement égal à l est appelé caractére unité.
Propriété 9 : L'ensemble G1 des caractères sur un groupe G localement
compact est un groupe multiplicatif dont l'élément neutre est le caractère
unité. Nous munissons ce groupe d'une topologie de la façon suivante:

3
Pour tout ensemble compact CeG et pour tout C > 0, soit :
U (c, c) = jx, lX (x) - 11< c. V x E cf
Les ensembles U (C, c), pour tout compact CeG et pour tout C > 0,
constituent une base de voisinage pour le caractére unité, et définissent la
topologie de G1.
Théorème et définition 10 : Dual d'un groupe topologique localement
compact
Pour la topologie précédente, les caractéres de G forment un groupe
topologique localement compact, noté êi et appelé le dual topologique de G.
Définition Il : Un semi groupe est la donnée d'un ensemble et d'une loi
associative.
Définition 12 : Un groupoide est la donnée d'un ensemble et d'une loi.
Définition 13 : Une fonction $ à valeurs complexes définie sur un groupe
G (non nécessairement localement compact. ni abélien) est dite définie
positive si :
m = N
n = N
1:
1:
(x
-1 l
) C C ~ 0
m = 1
n =1
m
n
m n
pour toutes les suites finies (x ), 1~ n ~ N et (C ), 1~ n ~ N. de points de G
n
n
et de C respectivement.

- 4
-
Notation 14 : Si G est un groupe abélien localement compact et dx une
mesure de Haar sur G, f une fonction définie sur G à valeurs complexes,
l'intégrale de f sera notée:
L'espace des classes de fonctions intégrables sur G sera noté LI (G).
Définition 15 : Transformée de Fourier d'un élé ment f de LI Jill.
Si Gest un groupe abélien localement compact, muni d'une mesure de Haar
dx, C son dual topologique et f EL 1 (G), la transformée de Fourier de f,
"
notée f est définie par:
(1)
A
"
X E G
on a les relations
(2)
X E Ù

(X,"j > est mis pour i (x) et
Il f III
J
=
1 f (x)1 dx.
G
De plus f est une fonction continue sur C.
Propriétés 16 :
(i) Lemme de Riemann- Lebes~
La transformée de Fourier de tout f E LI (G) s'annule à l'infini.
(in Théorème d'unicité

5 -
Toute fonction f E LJ (G) est déterminée d'une maniére unique par sa
transformée de Fourier:
SI
f (i) = 0 pour tout i E G, alors
[(x) = 0 (p. p sur G)
(HU Théorème d'inversion
Si dx est une mesure de Haar donnée sur G, alors il existe une unique
mesure de Haar di sur C. telle que pour tout f E LI (G), continu et ayant
une transformée de Fourier f E LJ (C), nous avons:
[(x) = JêJ < x, i > f(ÎldÎ
pour tout x E G.
Définition 17 : di donnée par le théorème d'inversion est appelée la
mesure de Haar duale de dx.
Le second membre de (3) est dit inverse de la transformée de Fourier de f.
Propriété 18 : Si Il est une mesure bornée sur le groupe topologique
localement compact G, sa transformée de Fourier est donnée par:
~ (Î) J~
=
< ~> dll
i E G.
Et si dll (x) '" [ (x) dx, pour [ E LJ (G), alors ~ = f et ~ est une [onction
continue sur G.
Notation 19 : E étant un espace vectoriel, on notera L(E) l'ensemble des

-
6 -
opérateurs linéaires de E dans E.
Définition 20 : Une transformation T de R+ dans L(E) (où E est un
R- espace vectoriel) est appelée semi- groupe d'opérateur si :
T(s+t) = T(s) T(t)
+
+ ( +
SE R ,tE R
R
10, + oo[ )
Définition 21 : Un semi-groupe d'opérateur T est dit régulier si:
T( t)x -tl quand t -t0
tER T
Vx E E, selon la topologie de la convergence
uniforme sur Lm).

- 7 -
CHAPITRE 1
EQUATION FONCTIONNELLE DE D'ALEMBERT SUR UN GROUPE LOCALEMENT
COMPACT
Eguotion fonctionnelle de d'Alembert sur IR
Nous nous proposons de déterminer toutes les solutions continues
f : IR+ ---t IR
de l'équôt1on de d'Alembert
(t)
«1' + 1.jJ) + «(1> - 1.jJ) =2 «<P) «1.jJ)
sur le domaine ~ de jR2+, défini par;
Ô. ={ (..p, t.lJ), 0 ~ l.jJ ~ ..p }
Cette restri cti on il ~ est nécessôi re, pui sQue f n'est défi ni e il pri ori Que
sur !R+, et qu'intervient 10 différence ~ - q.. dons l'équotion (1). En foit, on peut
s'arranger pour que l'équatlon (1) soit val1de dans lR2 tout entIer en étendant f
convenab1ement.
En effet, excluant la solution triviale
(2)
f(q,) =0
pour laquelle l'extension est évidente, nous avons en faisant 4-' =0 dans (1)
(3)
((0) = 1
Si l'on veut Que (1) reste valide partout, on constate Que
f(..p - q..) =f(q.. - <p).

- 8 -
Qutrement dit, f doit être poire. On définit Qlors f sur tout IR en étendont
f
définie sur IR+ par parité. On vérifie que (1) est alors valide pour tous 4',4J
dans IR.
Comme f est continue, 11 exlste C >0 tel Que
(4)
f(4)) >0
pour tout 4> E [0, c]
on peut distinguer deux cas:
D'une part
(5)
HC) > 1
D'autre part
(6)
f(C) ~ 1.
ces deux cas peuyent être traités sensiblement de la même manière.
La condit ion (5) conduit aux seul es sa 1utions cont i nues de 18
forme
(7)
H4» =ch(C 4»
10 condition (6) conduisont QUX seules solutions continues du type:
(8)
On vér1fle que (7) et (5) sont effectlvement solutlons de (1).
Exôml nons en détôi Ile ces (6)
Grèce ôux reletions (4) et (6), on est assuré qu'il existe un \\X E [o. n/2 [
tel que
( Q'
-)
cos lX =fCC)

- 9 -
avec t!J =4> =~ J et tenant compte de (3), (1) donne:
2
(10)
r(x) + 1 = 2 f(X!2)
En parti cul i er pour x = C, on aura, pui sque
f(x) >0 sur [0, C ]
( 11 )
r(~):: I( r(e) + 0/2 :: I{ 1 + cos ex)12 :: cos ~
plus généra1ement, il résulte de (4), (9) et (10), per i nducti on, que
(12)
f(2~) = cos ~n pour tout n :: 0, 1, 2,...
Nous 011 ons prouver por récurrence que pour tout entier k ~ 0 et tout
entiern~OJono:
(13)
fC2~ c):: cos C2~ fX)
En fait (13) est déjà vraie pour k =0 et pour k = 1, d'après (3) et (2).
C
Dans (1), en remplaçant 4l et 4J par les valeurs: ~n C et 2n ' on trouve
(14)
f(;~1 C)~f(~~1 C)::2f(2~ c) f(2r~, c)
Supposons Que (13) soit vraie pour 0 ~ k ~ m.
D'ôprès (14)
( m+ 1)'
' m )
(1
)
(m 1
f zn- C = 2 ft2"fl C f 2il C - f 2~ C)
:: 2 cos C;n ex) cos Cin ex) - cos C;~ 1 ex)
( m+ 1
)
:: cos .-::;n- IX
...

- 10 -
Et la relation (13) est démontrée avec k =m + 1. En d'outres termes,
pour toute froction non négotive diodique ô, c'est-o-dire :
6 =;n
où m et n sont des entiers non négEltifs, on El :
( 15)
f(oC) =cos (6~)
Comme f et la fonction cosinus sont toutes deux continues, en utilisant
une suite am de fractions diadiques tendant vers un nombre positif donné x, mais
arbitraire, nous dédl.~isons :
f(Cx) =cos (~x)
ou, avec Ë=0 , cx =cp ,
HCP) =cos ("0 CP) pour tout (p ~ 0 et (8) est démontrée.
De façon analogue, dans le cas (5), nous déduisons (7) en uUlisant cette
fois, la relaUon
ch ~ = vtchx + Vl2
Nous pouvons énoncer:
THECIREnE 1-1
La solution générale continue f: R+ -+ R de réQuatlon de
d"Alembert (1) sur le domaine A, est donnée par les formules H+> =0
pour tout
+E R+, ou H+> =ch(lf +> +E R+ ou encore H+> =cos (lf +>
~ E R+ où ~ est une constante réelle arbitraire.

- 11 -
RErvlARQUE 1-2
En foH, 10 solution générole continue de l'équotion de d'Alembert sur iR+
trouvée par cette méthode s'étend à IR tout entier en vertu de la remarque Que
nous avons faite plus haut. En particulier nous avons résolu l'équation de
d'Alembert sur IR.
Dans le paragraphe 3, nous déterminons les solutions générales de
l'équation de d'Alembert sur IR, sous des conditions plus faibles quant à la
régularité présupposée de la fonction f.
Nous étudions maintenant l'équation de d'Alembert dans le domaine plus
général de l'analyse harmonique, c'est -Èl-dire sur un groupe abélien localement
compact.
2
EQUATION DE D'ALE~1BERT SUR UN GROUPE ABELIEN LOCALEI'"IENT COMPACT
Soit G un groupe abélien localement compact. Nous supposons de plus que
G est connexe. Nous désignons par G, le ljual topologique de G.
THEOPU1E 2-1
Soit G un groupe topologique obélien connexe, locolement
compoct. Une fonction f: G -+ Rest 10 porti e réelle d'un coroctère l1e G
s1 et seulement s1 f est cont1nue, non identiquement nulle, bornée et
sot1 sfoH l'éQuot1on fonctiOnnelle de d'Alembert
(16)
f(x"y) .. f(x-y) = 2 f(x) f(y)
(x, y e G)

-
12 -
DEHON5TRAT ION
1)
Salt :t un coroctere contlnu sur G. Por detlnltlOn meme ..'t est borne et
non laentlquement nul. Donc :tW) =!
[J'ou
1 = :t(0) =~(y-yj =:dy) ~(-y)
D'outre port
1 :t(y) 1 = 1
donne
:t (y) i(y) =
on en dédui t
:t(-y) =l(y).
Por suite, SI nous prenons
f(x) = ôte (:t(xl olors t(x) $ 0 cor un coroctère n'est pos
ldenti quement nul. En outre f( -x) = f(x)
Et nous avons
f(x+y) = f(x) f(y) - 1m::t(x) ~m ::t(y)
f(x-y) = f(x) f( -y) - 1m :t(x) ~m i:(y)
= f(~<) f(y) + 1m ::t(x) 1m :t(y)
Et donc f soUsfoi t l'équotion (16).
2)
Inversement, supposons que f: G~ IR sotisfosse (16), soit bornée et
continue sur ·G.
Pour y = 0, nous oyons toujours «0) = 1. Si f ~ l, olors le théorème 2-1
est triviolement vroi.
Por suite, nous supposons que
f:$! 1
Nous ollans d'obord montrer que f, étont bornée, est en foit mojorée en
valeur absolue
'par
1.