N° d'ordre: 2023
Année 1977
THESE
présentée
A L'UNIVERSITE PAUL SABATIER DE TOULOUSE (SCIENCES)
pour obtenir
le titre de DOCTEUR DE SPECIALITES - MATHEMATIQUES APPLIQUEES
Option Physique MBthémBtique
par
Komenan KOUADJA
Martra h Sciences
CONTRIBUTION A L'ETUDE DE L'EFFET,
TUNNEL
RESONNANT DANS LES BARRIERES SCHOTTKY
Soutenue le 12juillet 1977, devantla commission d'examen:
MM.
E. DURAND
Président
P. GAUTIER
D. ESTEVE
} Examinateurs
J. BUXO
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. . •
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UNIVERSITE PAUL SABATIER
PRESIOENCE
M MARTIN
P,.,.df!nf
M IARFNG
lrf VU"ft Pr"\\nlfOnt
Mil. GOUVON
7"",_ V,C,. P,puc1,nl
CORPS PROFESSORAL
ORDRE DES SCIENCES
HONOflARIAT
M COULOM8
Ptlyuqu..
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M 8l00~
P'(I'I!'\\'W"(It hOftO'"""
M
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M 8LAIlOT
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M REETSCHfN
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M CAPDECO,,"ME
OOVAn hnnn"u,." R~I"u' tuuu""" ..,
M.DERACtH
Phy\\,oIOV.e Animale
f:orttunonr'.nl ",.l'In'''luI
M ~ArGl
Chlm.. O,O"'ntque
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P,nt"'VO\\J' hhnn"u'"
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Prn'""'''' hflnor"IJ"
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C6oph Vt.IQUfl
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Mf'rnhrf' ri,. l'I"t'lll1l. OIlV." hnmN"lr~.
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GAohlQle
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Glionlll [ IKU ,que
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M IIo'ORUCCI
C~"le RIOIOCJIQIIP el W:~dlc..1
M GAUTIER
fJ'hY"QUp.
M RONEl
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M CRU"'EYROI~[
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M SOrlROPOULOS
Chimie O'ilol"'QU~
M. GOUR INARD
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M CUPPENS
Ma,hp.matIQuf.o\\
M PULOU
M .n~Ji,IDClIf"
M VERDIER
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M CAMROU
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MAlh;'moll,ques
M LACOSTE
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Rloloqle
M THIBAUL T
M;'un'tlue R .. tlonn"U" et Appliquee
M. JOSSERANO
Mf!\\u'f!I PhY\\'f'Jue:'
M MASCART
Mol.hf'môtttques
M ROUTIE
Gitn," ChimIque
M MEDIONI
P!ychOphY1.IOloqlf!
M RAYNAUOP
Phy'uoloqle Alllmilile
M ZALTA
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M SEVEl y
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PROHSSEIIR ASSOCIE
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Milthpl""11I1U"~
M RFY Poul
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MAIT ~ES Of C'I111, l Rl NCfS
M TRUCHASSON
HyrirBuhqut"
M.D/,BOSI
M~C.llufQII~ ~I RM'aclalf~
Mil. SARRANCE
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M lffEUVRf
E',~clfOnttlUe
M GillY
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M. conu
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M. MARAl
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M.MATHIEU
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TOULOUSE
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M ASKENAZY
PhV"'IUlt AwnllClue, Phy ..que du Solide
PRESIDENCE
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M
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M HAMANI
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ADMINISTRA liON
et ".tholo'iJie V~t.I"\\
M rAllOI
f fOcllI\\ulc~l" V~."l.
M CIIOS
M ENJIIlll!H1
0""." C 1\\lC1'\\UIUf'
M HOffMANN
r "Kil onIII""
A LA MEMOIRE DE MON PERE,
A MA MERE,
A MON ONCLE,
et de notre reconnaissance.
A MES FRERES et SOEURS,
A MES AMIS,
AVEC TOUTE MON AFFECTION.
A V A N T
PRO P 0 S
Le travail pr~sent~ dans ce m~moire a ~t~ effectu~
dans le cadre de la DIVISION
"COMPOSANTS ELECTRONIQUES"
du
LABORATOIRE D'AUTOMATIQUE ET D'ANALYSE DES SYSTEMES du
C. N. R. S.
de
TOULOUSE.
Monsieur H. ~RTINOT~ Directeur de Recherches au
C.N.R.S.~ Directeur du L.A.A.S.~ a bien voulu nous accueillir.
Nous lui exprimons notre reconnaissance pour la con-
fiance qu'il nous a accord~e.
Nous remercions Monsieur Emile DURAND~ Doyen Honoraire~
Professeur de l'Universit~ Paul Sabatier de TOULOUSE~
pour l'honneur qu'il nous fait d'accepter la PRESIDENCE
de notre Jury.
Nous lui exprimons notre profonde gratitude.
Nous sommes tr~s honor~s de la pr~sence dans la com-
mission d'examen de
Monsieur Pierre GAUTIER~ Professeur d l 'Universit~
Paul Sabatier de TOUWUSE.
Nous le remercions tr~s sinc~rement~ pour l'int~rêt
qu'il porte d nos travaux.
Nous expl"l.Inons notre profonde gratitude d
Monsieur Daniel ESTEVE~ Mattre de Recherches du C.N.R.S.
et Directeur Adjoint du L.A.A.S. qui~ par ses suggestions et ses conseils ju-
dicieux~ nous a guid~ tout au long de notre travail de recherche.
Nous devons beaucoup à la comp~tence de Monsieur JEAN
BUXO~ Charg~ de Recherche au C.N.R.S.~ dont la p~cieuse coUabo!'ation a con-
tribu~ pou!' une t!'~s Za!'ge pa!'t à Z' aboutissemen t de not1'e trovai Z.
A Monsieur GERARD SARRABAYROUSSE qui nous a grondemen t
ai~ pa!' ses conseiZs et qui n'a ce8s~ de nous guide!' tout au Zong de ce tro-
vaiZ~ qu'i Z trouve ici une juste !'~compense aux effo!'ts que nous avons fournis
ensembZe.
Nous remercions aussi tous ceu:x:~ qui~ d'une mani~!'e
ou d 'une aut!'e~ nous ont fait b~n~ficie!' de Zeurs services dans la ~alisation
de ce m~moi!'e.
• 1 .
l N T R 0 0 U C T ION
.3.
L'étude des mécanismes de conduction électrique, mis en jeu
dans différents types de dispositifs à semi-conducteur. a souvent conduit à la
mise en évidence de phénomènes de conduction où de "piégeage" dus à la transi-
tion de porteurs en provenance de la bande de conduction ou de valence d'un
semi-conducteur vers des états localisés profonds.Ces états localisés profonds,
appelés pièges. et susceptibles d'interagir avec les porteurs libres, peuvent
se situer soit dans la bande interdite du semi-conducteur. soit à proximité de
celui-ci. lorsqu'ils sont contenus dans une couche de passivation superfici811e.
Dans le cadre de la physique des dispositifs à semi-conducteur.
notamment. deux modes d'interaction ont été observés et discutés jusqu'ici:
la transition thermique et la transition tunnel.
Le rôle prépondérant que jouent les transitions thermiques
dans la définition de certaines caractéristiques électriques des dispositifs à
jonction. a depuis longtemps été mis en évidence (1). Ces phénomènes rendent
également compte de certains types de spectre de bruit de fond que l'on a pu 1
déceler dans ces dispositifs (2).
L'interaction entre les bandes et les pièges peut également
avoir lieu au travers d'une transition tunnel. c'est-à-dire qui concerne unique-
ment des porteurs qui ont l'énergie correspondant à l'état fondamental du piège
mais qui se trouvent à une certaine distance de celui-ci. C'est l'étude détaillée
de ce phénomène qui sera l'objet de notre étude.
Il est apparu dans certains cas que nous explicitons ci-dessous,
que ce mécanisme tunnel peut rendre compte des caractéristiques électriques ob-
servées expérimentalement et qu'il est par conséquent le phénomène de conduction
orépondérant.
L'amplitude des courants de conduction par effet tunnel "di-
rect" qui n'interviennent qu'à basse température ou bien à température ambiante
pour des valeurs suffisamment faibles de la largeur de la barrière de potentiel.
c'est-à-dire dans le cas de dopages élevés ou des tensions inverses fortes. peut-
être amplifiée gr~ce au rôle de "relais" que jouent les pièges profonds sur cet
effet tunnel direct: on parle alors d'effet tunnel assisté par pièges ou encore
.4.
d'effet tunnel résonnant.
En ce qui concerne les effets de piégeage. l'action des
centres profonds qui se trouvent à proximité du semi-conducteur. contenus en
général dans les couches d'oxyde
de passivation superficielle jouent au
travers de cette transition assistée un rôle essentiel dans la définition
des phénomènes d'instabilité temporelle dans les dispositifs MDS (3)(4) ou
,
de bruit de fond aux "basses fréquences" (5) au niveau des surfaces.
Nous passerons en revue dans le premier chapItre. les
principales expériences et théories concernant des phénomènes de conduction
éléctriques ou de piégeage. par effet tunnel assisté qui ont été décrites
dans le domaine de la physique des dispositifs à semi-conducteur.
Nous in-
sisterons sur les limitations des différents modèles. notamment en ce qui
concerne l'évalu~tion précise de la section efficace de capture des pièges
par effet tunnel.
Dans le deuxième chapItre. nous décrirons le formalisme
physique utilisé pour aboutir à l'expression du courant tunnel résonnant
traversant une barrière de potentiel quelconque contenant des pièges profonqs.
Enfin. dans un troisième chapItre. nous appliquerons les
résultats obtenus au cas particulier de la barrière Schottky.
,-
.5.
CHA PIT R E l
-----
.~- -.- ... -,...- -~-._-
.....- ~
PRINCIPALES
EXPERIENCES
ET
THEORIES
.7.
1.1.
LES ASPECTS EXPERIMENTAUX
Les effets dUB à la présence de pièges profonds dans le
processus d'effet tunnel. ont été évoqués par un grand nombre d'auteurs pour
expliquer la présence de composantes de conduction électrique en excès autant
dans les jonctions que dans les hétérojonctions.
En effet. ce type d'effet physique permit à A.R.RIBEN
et D.L.FEUCHT (1966) (6) de rendre compte des caractéristiques courant-
tension. ainsi que de leur évolution en température. des hétérojonctions
n Ge-p Ga As.
Dans leur étude des barrières Schottky au cd Te.
G.H.PARKER et C.A.MEAD (1969) (7) ont montré que la pente des courbes log I-V.
obtenue pour une polarisation directe à basse température ne dépend pas de
la valeur particulière de celle-ci dans la gamme 4.2 DK - 77 DK. Ceci montre
que le courant circule par effet tunnel au travers de la barrière de surface.
De plus. il ressort de cette étude que la valeur de cette pente passe d'une
-4
2
valeur So dans la gamme 1-10
A/cm
à une valeur so/2 dans la gamme
-4
-8
2
10
-10
A/cm
ainsi que le montre la figure 1.
C'est la présence de ce courant en excès dans la gamme
-4
-8
2
10
-10
A/cm
par rapport au courant tunnel direct que les auteurs justi-
fient par l'intervention de niveaux piège dans la bande interdite jouant
le rôle de relais dans le mécanisme d'effet tunnel direct. Nous verrons ci-
dessous comment cet effet implique l'apparition d'une pente égale à s o/2
pour la courbe expérimentale Log I-V.
L'apparition d'un phénomène de conduction en excès "dans
les jonctions" ESAKI. fig.2. a été mise en évidence par A.G.CHYNOWETH et
al(8). Dans ce type de dispositif. un courant dG à l'effet tunnel "bande à
bande" circule à faible tension directe ; pour des tensions suffisamment
élevées. le courant circule grâce aux phénomènes classiques d'injection
thermique. Entre ces deux modes de fonctionnement. un courant beaucoup
plus élevé que prévu circule cependant. Cette composante excédentaire est
appelée :
"COURANT EXPONENTIEL EN EXCES" fig. 3.
.B.
o
10
T =77°K
-2
~ _Cc{~ (N)
10
17 3
Cour~nt"tunnel"direct
N=5~O/cm
o
-6
10 .
1
,
1
1
1
-0
10 '--_ _.l--_ _..L-_ _...l--_ _....l....-
~V tV)
0.1
0.2
0.3
0.4
Fi~ 1
Caractéristiques directes. densité de courant -tension de
diodc~ Schottky au Pd sur substrat de CdT
de type n. pour
E
diff~rnntes concentrations. (7)
.....
.9.
L'origine de ce courant a été attribuée par Chynoweth
et al (8) à un mécanisme d'effet tunnel activé par la présence de pièges
profonds dans la bande interdite du semi-conducteur.
Nous décrivons maintenant des phénomènes expérimentaux
(9)(10) qui montrent le rôle que peuvent jouer les pièges lorsqu'ils inter-
agissent par effet tunnel avec les porteurs libres à la surface des dispo-
sitifs à semi-conducteurs. Nous ne discuterons pas l'action. dans certains
cas déterminante. que jouent également les pièges dans les surfaces de ces
dispositifs lorsqu'ils interagissent par effet thermique donnant naissance
<.lUX
l-UUI d'''.:;
du l',ol!6r "tioci rucorrtblnal gon on 91Jrfjwn (11).
La préparation de couches de Si02par le procédé de crois-
sance thermique sur silicium est un processus si maitrisé qu'il est possible
10
-2
de réduire à des valeurs aussi faibles que quelques 10
cm
la densité de
pièges présentes à l'interfaceSi."Si02' Les dispositifs obtenus sont cepen-
dant encore sensibles à la présence d'une densité de pièges située "à
l'intérieur" de l'oxyde.
1
L'effet de ces
derniers pièges a pu. en effet. être
étudié au travers des mesures de capacité en fonction de la tension (12)(13).
L'étude de :
- la réponse en fréquence,
(14)
- l'hystéresis en tension associé aux mesures de capactté. (15)
- l'évolution temporelle des caractéristiques électriques.(10)
des structures métal-oxyde-semiconducteur. a permis de reconnattre les lois
physiques afférantes à l'interaction d'un porteur libre avec un piège sépa-
rés par une certaine distance compatible avec l'échange tunnel.
De plus. les dispositifs à mémoire du type MN OS (Métal-
Nitride-Oxyde-Semi-conducteur) (16) tirent de ce type d'interaction le
principe même de leur fonctionAement.
.10.
Fig.2
Diaerilmffie we b~nda d'énereie simpIifi6 avec un champ
6Iuclrique con5tant dans Id zona de charge d'espace.
2
thermique
J~fcm ) ..tunn~l"
bancje.
1.
/
/~courant exponentiel
0·5
~ t'
C(·".Jr ..··.·,,·l.-tcns·ion
d'une dimlH fSI\\Kl.
rig.J
\\ _",1
Sdrr.-" ~:~, r i 3 t i qU8
5 toi]
lqdf~
.J
.11.
1.2.
LES MODELES THEORIQUES
En relation avec chacune des expériences décrites dans
le paragraphe précédent. les auteurs ont proposé des modèles qui rendent
compte de certains aspects des phénomènes observés.
Nous décrirons en détail dans ce qui suit. le modèle
proposé par G.H.PARKER et C.A.MEAD (7).
sisté par pièges intervenant dans la bande interdite de la barrière d'une
jonction Schottky à l'aide d'une statistique analogue à celle de HALL-
SCHOCKLEY-READ (17).
1
Il apparaît alors que les constantes C
et C
des re-
1
2
lations (1.17) et (1.18) liées aux probabilités de transition avec les-
quelles les porteurs libres &ont piégés dans les centres profonds par effet
tunnel. ne sont pas explicitées 1 leur traitement permet. cependant. aix
auteurs de dégager la valeur de la pente à basse température de la courbe
Log J (V).
En effet. d'après G.H.PARKER et C.A.MEAD (7). le courant
tunnel dans une barrière Schottky. sous polarisation directe. vaut :
( 1.1)
J
~ C.exp (_2~Ok dxl
- 1: représente l'épaisseur de la région de charge d'espace.
- c : est une fonction qui dépend faiblement de la tension et
de la température.
- k
représente le nombre d'onde.
- x
distance mesurée à partir du métal (voir fig.4l.
L'expression de l'énergie potentielle
définissant la
barrière. s'écrit
(1.2)
E - ~(l_x).2.
-
~E ~
~
f
- qN.t! .
(1. 3)
IB- -V --yr
.12.
charge à l'électron.
concentration en impureté du semi-conducteur.
permittivité du semi-conducteur.
hauteur de barrière.
énérgie de Fermi du semi-conducteur.
- V
tension appliquée.
Si l'on prend la relation de dispersion parabolique
1ï2k2.
(1 .4 )
E
02frt.~
qui est valable au voisinage du fond de la bande de conduction J nous
aurons donc pour les fortes tensions appliquées. c'est-à-dire lorsque la
tension appliquée est comparable à l'énergie de la barrière:
( 1. 5)
k =V~l1r* ~1 -x)
- or: masse effective de l'électron.
- ~ : constante de Planck réduite.
avec
jkO Jx _ ~ ~ N ~ e2-
'(
-
tir
2-
( 1 .6)
=-ï-(~-J-V)
où
S.=21~
( 1 .71
il VtN
Il arrive donc que
( 1 .8)
] =C.exPt-s.(~- f -\\Il]
Et par conséquent :
dLejJ
( 1 .9)
::. S.
JV
F.A.PAOOVANI et R.STRATTON (18), ont discuté en détail
ce problème. L'équation précédente est en accord avec leur modèle.
Pour des tensions appliquées plus faibles. l'effet
tunnel intervient sur une portion plus large de la bande interdite et le
modèle à deux bandes (19) devrait alors être utilisé
(1.10)
(1.11)
.13.
M
Er'rn
- - - = - - - - - - - - - _ Ev
--------;:-----'
l
FiE.~
DiùEramme de l'énergie potontielle do l'électron
dans une barrière Schottky.
où Ec et Ev sont les bandes de conduction et de valence.
Nous aurons alors
(1.12)
c'est-à-dire,
(1.13)
E\\E..J-E)
où Eg = largeur de la bande interdite.
ce qui implique
k ={?"(ijf(f-x)v1-1TE/1- 4 ]
Nous aurons:
(0
3ti
[1.141
j}Jx=. ~V2.€EfV .2,;,"E-(~-f-0i:)-~
Il vient alors que :
9N
1i.
~
et
3\\ N~· E3 [(1-('fa-.f-Y)/Er~= ~ S[(1-(fe-.f-YJ/~:iJ
(1.15)
J =c. .exf\\-2 (kJ?J=Cexpf- ~So:'~1-(~-~-'0/E'f&.1l1
On aura donc :
1
[ 3
~
J)
.:JJ
(1.16)
d.l o9I _ ~(1- YJa-v- 1_\\"/1.
dv
-
\\:
~ Î
La correction apportée à la pente So par l'introduc-
tion d'un modèle à deux bandes est donc d'autant plus faible que la bande
interdite est large et que la tension est élevée.
Les résultats expétimentaux de G.H.PARKER et C.A.MEAD
(l~.HJ~J
II J ITiUriLlI:Hlt l1U8 Jd(IS hi CdS des biHT1ère5 SChottKY élU Cd Te
(Eg '" 1,44eV,
t =1D.74E. ~/~ .. 0.11). les caractéristiques directes à
faible niveau présentent une pente d~Og J) très proche de s o /2 J cette
valeur ne peut pas être fournie par l'expression (1.16) et par conséquent
.
le modèle à deux bandes est insuffisant pour rendre compte de cette par-
tie "faible niveau" de la courbe expérimentale.
L'effet des ~ièges profonds est alors envisagé par les
auteurs pour expliquer cet effet.
.15.
Nous considérons l'effet de la présente de niveaux
pièges sur le courant tunnel.
Puisque la probabilité de transition tunnel dépend
de l'épaisseur de la charge d'espace. cette probabilité sera d'autant
plus faible que la concentration de porteurs dans le ~emi-conducteur
sera faible.
La présence d'états localisés dans la bande interdite
peut cependant provoquer l'augmentation de cette probabilité de transi-
L1UII.
L'ùrlùly~8 4ul usl fdllU ~ül C.tI.PARI(CR ul C.A.MfAD (7) P:lt r,Hm
blable à celle effectuée par HALL-SCHOCKLEY-READ (17) pour décrire le
mécanisme de Génération-Recombinaison au travers de pièges intermédiaires.
On considère donc un processus de transport comportant
deux étapes
- PREMIERE ETAPE
L'électron de la bande de conduction tran-
site par effet tunnel sur un piège.
- DEUXIEME ETAPE
L'électron arrive ensuite au métal en prol
venance du piège.
Si N~
représente la concentration d'états profonds
et f leur probabilité d'occupation. par application du "principe de la
balance détaillée". nous obtenons pour les taux de transition R
et R
1
2
des deux processus :
X.
(1.17)
12." ::: Ci l'il ( 1. - 1) exp(-2.1"Ikc1x)
(Xl.
(1.18)
12.2 = C2 N.ttexP \\ -:2 ))(1 Je; dx)
Sur la figure S.a) et 5,b) appara!t la signification des bornes d'inté-
gration.
(1.19)
si bien
(1.20)
maximum
(1. 21 )
.16.
/77777777
>x
a)
b)
(b)
c)
F1~. 5:
Effet Tunnel
0
. .
.17.
Par conséquent. le taux de transition totale sera propor-
tionnel à la valeur maximale de (1.20), c'est-à-dire:
J><'.2,
(1.22)
~ ~ exp(- x. kdX)
qui est la racine carrée de l'expression du courant tunnel direct.
Compte tenu de cette expression et dans le cadre du modèle
parabolique. la forme du courant devient :
(1.23 )
logJ(V) à une valeur
Ce résultat est analogue à celui que l'on obti8nt dans les
jonctions P.N lorsqu'on étudie pour le cas des faibles tensions appliqll(~l)~;
la recombinaison au travers des états localisés intermédiaires. La présence
de ces états change alors la pente des courbes logJ.V de q/kT à q/2kT (1).
Au cours de ce chapitre. nous avons présenté les princiP1ux
faits expérimentaux qui ont été interprétés par la présence de
centres pro-
fonds dans les semi-conducteurs.
Nous avons ensuite développé l'approche théorique de l'effet tunnel résonnant
dans les barrières Schottky due à G.H.PARKER and C.A.MEAD (7). Nous devons
cependant insister sur les limitations de cette approche :
D'une part. le modèle reste purement phénoménologique et
en particulier la décomposition de la transition totale en deux transitions
élémentaires reste à priori injustifié. Nous verrons dans le chapftre suivant
les conditions de validité d'une telle approche.
Par ailleurs. le calcul des probabilités de transition est
incomplet et les sections de capture des centres ne sont pas explicitées. En
conséquence. une détermination quantitative des courants circulant par effet
tunnel résonnant est impassible.
Au cours du chapftre suivant. l'étude quantitative de l'ef-
fet tunnel résonnant dans les barrières Schottky permettra de lever cette in-
détermination; ceci permettra alors de mesurer l'importance de tels courants
dans ces dispositifs.
.1 g.
CHA PIT R E
II
EFFET
TUNNEL
RESONNANT
," ~.
.21.
Une image de l'effet tunnel assisté par piège ou effet
tunnel résonnant peut être donnée en reprenant les propos de D.BOHM (20). Con-
sidérons une barrière de potentiel contenant une impureté conduisant à un cen-
tre piège; la fonction d'onde d'un électron incident sur la barrière pénètre
dans celle-ci et dans le puits de potentiel crée par l'impureté. Il y a alors
réflexion d'une partie de l'onde sur les bords du puits et de la barrière de
potentiel. Lorsque la partie réTléchie est en phase avec l'onde incidente. on
assiste à un renforcement de l'onde totale au niveau de l'impureté qui conduit
à un accroissement de la transmission de la barrière et donc du courant qui la
traverse.
Le phé-lOmer-8 8!:l.t dlldlugu~ à L;~lui quI COnCOnH! ln trnf\\<;
mission de la lumière par une succession de lames transparentes d'indice de ré-
fraction différent.
Au cours de ce chapItre. nous allons décrire le formalis-
me physique utilisé pour déterminer l'expression du courant tunnel résonnnnt
ainsi crée.
Les différentes étapes de-cette détermination sont les
suivantes
- détermination d'un modèle mathématique représentant le puits dr
potentiel de l'impureté.
- expression de la fonction d'onde de l'électron dans tout l'espa-
ce.
- détermination du courant tunnel résonnant à partir de l'utilisa-
tion de l'opérateur densité de courant appliqué à la fonction
d'onde de l'électron.
II.1.
LES PIEGES PROFONDS
Comme nous l'avons déjà prQcisé. les imperfections du
réseau contenues dans les semi-conducteurs telles les impuretés substitutionnel-
les et intersticielles. ou les lacunes introduisent des états électroniques permis.
correspondant à des niveaux ou à des bandes d'énergie localisés dans la bande.in-
terdite du semi-conducteur.
Suivant la position de. ces niveaux permis dans la bande
interdite. on classe les impuretés en deux catégories donnant naissance soit à
des niveaux profonds J typiquement ces derniers étant situés à plus de D.1eV
des limites des bandes de valence ou de conduction. Cette séparation. purement
arbitraire. correspond moins à la réalité qu'aux difficultés rencontrées lors de
la détermination des états électroniques correspondant aux divers centres.
En effet. si de nombreux résultats ont été obtenus en ce qui concerne la modélisa-
tion des centres peu profonds. il n'en va pas de même en ce qui concerne les cen-
tres profonds.
Ces difficultés ont fait nattre un grand nombre de mé-
thode très différents au niveau de la modélisation mathématique du système con-
tenant le centre piège et du potentiel introduit par l'impureté. A l'heure ac-
tuelle. aucun critère ne permet d'accorder de préférence à un quelconque de ces
méthodes. Cependant. deux caractéristiques peuvent être attribuées aux centres
profonds.
D'une part. le potentiel coulombien généralement associé
aux impuretés ne permet pas de rendre compte des états électroniques profonds (21).
J'autre part. les résultats obtenus par S.T.PANllLIUlS et L.I.SAH l/Ll
[urs d'
une simulation numérique du potentiel des centres à l'aide de l'approximation
de Slater montrent que le potentiel associé au noyau d'un centre profond est lo-
calisé sur quelques unités atomiques.
Au vu de ces considérations. un modèle simple du puits
de potentiel est obtenu à l'aide de la représentation utilisée par G.LUCDVSKY
(23) qui simule mathématiquement le puits de potentiel par une fonction DELTA
DE DIRAC.
Ce potentiel associé à la théorie de la masse effective
a été utilisé par plusieurs auteurs en ce qui concerne la dépendance fréquentielle
de la section de photoionisation des centres profonds (24)(25)(26). l'absorption
.23.
optique en présence de champ électrique intense (27), les sections de capture
non radiative des centres profonds (28), le temps de transit tunnel des élec-
trons dans un isolant (29). Bien que cette représentation ne tienne pas compte
de la nature physique du centre profond, les résultats théoriques obtenus par
les différents auteurs sont en bon accord avec les résultats expérimentaux.
Par ailleurs, en ce qui concerne les problèmes que nous
nous proposons de traiter dans ce mémoire, il n'est pas nécessaire de connattre
la fonction d'onde de l'électron piège à l'intérieur du puits. De plus, dans le
cadre d'une représentation de l'impureté par une fonction Delta de Dirac, le po-
tentiel n'est pas affecté par la présence des impureté!:! l:!t UJc! dans tUIJt. J 'w,
pace excepté les positions des centres. En conséquence, le potentiel pouvant
être considéré comme lentement variable à l'extérieur des centres, l'approxi-
mation de la masse effective s'applique comme l'ont montré S.T.PANTELIDES et
C. T •SAH (22) •
Enfin, la fonction d'onde de l'électron piège sur un
centre profond étant très localisée dans l'espace, nous pouvons négliger l'in-
fluence des champs extérieurs sur cette fonction d'onde.
1
Dans ce cadre, l'équation dp.
SCHRODINGER qui définit l'état électronique fon-
damental d'un électron piég~ ~eut s'écrire:
~
2
,
(2.1 )
- .21nit \\7 t( r) + A ~(r) J;.(.r) =Eo!ter)
où
- A : est une constante représentant la force du puits.
- E:: l'énergie d'ionisation du centre.
-~(r) 1 est la fonction d'onde associée à ce niveau.
La solution de cette équation est donnée par (23)
'V(r) - {o(. '.
(2.2)
e.)( p (-0<' Y")
avec
0< _ (.;..",1( E~\\ 1/l.
Ik
-
l.n
'=
t'"
-
ft?--;
•i4 •
II.2
LE COURANT TUNNEL RESONNANT
Considérons une barrière de potentiel représentée par
une fonction uer) = U(1+f(z)) avec f(o) = 0 ne dépendant que de la coordonnée z
et contenant un centre profond en r = 0 représenté par une fonction ver) (Fig 6).
Le courant traversant la barrière e't transporté par un
électron incident est donné par l'expression:
(2.3)
dans laquelle m~ représente la masse effective de l'électron. -1
sa fonction
d'onde dans tout l'espace.
L'équation de Schrodinger définissant l'état d'un électron situé dans le poten-
tiel rjr)+v(r) s'écrit dans le cadre de la théorie de la masse effective que
l'on suppose constante dans tout l'espace:
~~.vr2'(r)-t(\\Jtr)1"îT(r)-~)
(2.4)
-
t'Cr) =0
où
- E : représente l'énergie de l'électron.
A.V.CHAPLIK et M.V.ENTIN (29) ont montré que si l'éner-
gie E est proche de l'énergie du niveau fondamental du piège. la fonction d'on-
de satisfaisant à cette équation se met sous la forme :
(2.5]
"fer) =i1rHJ:lli9(r, '1)11(l;)'ft"<.Jd'i'V(r,.)'f(tilt'(ti) [J.-E.- ~r
dans laquelle:
10([')
:
représente ld fonction d'onde de l'électron en
l'absence de l'impureté.
-g(r.r ): la fonction de Green de la barrière Uer)
1
- ~(r) et Eo
la fonction d'onde et l'énergie de l'élec-
tron piégé en l'absence de la barrière Uer)
fl
qui représente la modification subie par le
niveau piège par la présence du spectre continu hors de la barrière. comporte
deux parties : une partie réelle qui représente le déplacement du niveau et qui
ne présente pas d'intérêt dans le problème traité. sera introduite dans la valeur
Eo 1 une partie imaginaire.représentant la largeur de raie du niveau que nous
noterons ~ dans la suite de ce chapitre. satisf.ait à l'expression:
r
(2.
=
fi]
2. J",jdr.; dt;. 'l!{r.;) 'f( r;) vC'5. W(I\\.)GC11, '2) -9.(t:j, 'ill
.25.
u
l
TI
] [
ver)
b
o
a
d
z
figure 6
Aùrrièn~ étud iée.
/
dans laquelle go (r.r') est la fonction de Green de la barrière supposée illi-
mitée. c'est-à-dire pour f(z)=O. quelque soit z.
Cette largeur du niveau est liée à la durée de vie C- de l'électron sur le
piège par la relation de HEISENBERG.
(2.71
Par ailleurs. si nous considérons que l'électron ne
peut quitter le centre piège que par effet tunnel à travers la barrière de po-
tentiel. la durée de vie de l'électron sur le centre s'exprime à partir des
probabilités de transition TL et T
de l'électron du centre vers l'une ou
R
l'autre des deux électrodes:
(2.8)
Nous avons donc la relation :
(2.9)
r
Nous détaillerons ultérieurement le calcul de
r
Si nous conaidérons un piège en r= r j dans le cadre de notre {Tlodèle •.. c' est-à-
dire pour v(r-~. l = A ~(r-~ 1. la fonction d'onde de l'électron prend la forme
(2.10)
I(r)::: t:(r)+~l(,~rl;(~-)[Alt(r-Y1Ji[E_E.._.i[J--t
()
t'= ~
Appliquons l'opérateur densité de courant à la relation (2.10)
J
en ne consi-
dérant que le courant qui transite par effet tunnel résonnant. nous obtenons
pour le courant dans la direction z. l'expression:
2
i=~i,\\
(
• 11 )
E- f.-"-..ç(\\r.Ujl~1t(Y--lj]'"~(r,~)~\\IL9lr.ljf;'1"(r,~
Y-II".
?z
0 02
'J
-~
Afin de déterminer plus précisément cette expression.
il est nécessaire de connattre la fonction de Green g(r.~ ) de la barrière qui
satisfait à la relation :
(2.12)
E- ::*\\72.+ U(r) - ~ 9(r, ';") =- {)('1 '"J")
Par analyse de Fourier. la fonction de Green s'écrit
J
(2.13)
,:)(l'i 'j)= (2nr Jexp(.(~(~-C;-))9('1) 3'r)d2?
avec
(2.14
(':=:.( X2+'f2f/2.
)
g. =lxi+ ~2)-1h.
g(q.z.~.) est alors solution de l'équation
.27.
dans laquelle H(X) est la fonction de Heaviside et où 11 (q,z) et "i2(q,z) sont·
deux solutions linéairement indépendantes de l'équ8tion
- A
: est le wronskian des deux fonctions
(q,zJ et'f2(q,zJ.
12
l1
Dans le cadre de l'approximation 8.K.W. valable dans
la mesure où la barrière Ur) est suffisamment impénétrable pour que le cou-
rant tunnel direct puisse être négligé, deux solutions indépendantes de l'é-
quation (2.17) sont :
-11
JZ P,p})
.2.B('l'q(Z») Co.s[ b1l- azl + lb-l
z < b
(2.18) -rCq,z)=
B~(2»)1ie)(pC:: t~21i(~/)a'z'J
b <z ~'t
1
{
-".i.
Q
d /
·12.
,
i
B(ovqC2)) exp[- i-J ~ (2.') 2 + 1.. ~(Z~dz!r~l
'2 >a.
1.
1\\
b Cf
1ict
4-
(2.19)
{2B~(2)r~to.s[tjZp'(z/)dz/+RJ
2;> ct
't(1z)-
~ ~
4-
2. , -
B("1(Z))~exp(-~~ ~(2/)dz()
6«z ~q
dans lesquelles :
1i
a. <:::2 <. b
~(2) =1l[ 1?tlE- U(Z)_,,2~
(2.19')
Pq (2)::: tic. ~(U(Z)_E+~2.)J:2.
~(2):: P"tz)('m,( )-1
- 8 : est une constante de normalisation et a et b sont définis
par P (a)
P (b)=D.
q
q
En introduisant (2.18) et (2.19) dans (2.16), nous
obtenons pour la région droite de la barrière;
a.
(2.20)
9('1,2,2j)= Y" (P1(;) P1(~))1k e><pt- i J;(z')dZ+~~~(2!)dz+.(2
Z>Q.)"),
.• "-o.
II.2.3.
Le Calcul Du Courant
La relation (2.17) n'est autre que l'équation de
Schr~dinger relative à la barrière ne contenant pas d'impuretés. la solution
~(z) représente donc la fonction d'onde d'un électron inc~dent sur la barriè-
re
ne contenant pas d'impureté. Si nous considérons un électron incident ayant
un vecteur d'onde Ke dans le plan (x.y) constant. nous pouvons écrire:
(2.21)
1:( r) =exp «ke e) 11'(ke1z)
Dans ces conditions. à droite de la barrière le courant
donné par la relation (2.11) s'écrit compte tenu de (2.20) et (2.21)
l' .::~rA1:'(r-~)l4.
L exp(- 2. (2ip"\\z') dz))
dke
2 (2. nY~ 1i ~:t
1 Ur=~.
'\\(1)
1i:lb "('
(2.22)
-1f"''1d,'l'txpE f-4P'(2').I:z.'- i~~,(2')dzj exp~('l-f)(e-~'J]
)( 11(2) + P',(.z) . f
-;1
L~(2) ~(Z.1) P.t,(2) P"(~ )J4/1 [lr-.E=-----:E=-"'.'Jnr--+"'=r/i-If."";:::J:--
Afin de déterminer le courant qui transite dans toute
la barrière, nous devons intégrer l'expression (2.22) sur le plan (x.y) et en
supposant que la barrière est suffisamment grande dans ce plan pour que
lexP(),(H')(e-~))
(2 .23)
oI(e- ~)::: (.2nf 'i>('H')
Nous obtenons :
4-
- 1 . : Z .
~ ::'(lnf2~IBI2 [All(t-~)Jr::rj [(E-Eo)2+ r.:]exPt~J ~l2')drJ
~
"Ii
~ l2 .)
4-
(q
b
J
(2.24)
~ 1
x
d.z. Cf e~)("p G- .2./1\\)z .§(z/)cl2. )..J
Pet (Z1") 1
La fonction à intégrer sur q présente un maximum aigu
pOLIr
rj=O. Now, rOlJ'jl)r:~; Junc développer l'argument de l'exponentielle sous le
signe d'intégration au premier ordre au voisinage de q = 0 et négliger le ter-
2
me q
dans P
(Zj) figurant au dénominateur.
q
Nous obtenons alors après intégration sur q :
J -.i-. ~e'Z. [A1;(Y-Y1J~:::~
1
e>çpE-1lzlp (z')clzJ
ke - 4fr
"Ii
~
(2.25)
1
[lE.- E.)l+ r7t.J
P.(~) p~t~·)
1\\ 0
xe)(p&1:.j"'P.<.z.')dz.'J [ jet az :41
li z..
2.,- p.t2:)j
~ La fonction'f'o(r) a été choisie telle qu'elle correspond
à un courant incident égal à (BI 2 . La transmission de la barrière s'exprime donc
par :
.29.
(2.26)
Comme nous l'avons précisé précédemment, la largeur de
raie rse calcule à partir des probùbilités de transition de l'électron du piè-
ge versl'une ou l'autre des d8ux électrodes. Ces deux quantités sont calculées
(voir annexe) à l'aide de la théorie de l'Hamiltonien de transfert (31) dans
j'dPPll)xifTInteorl nJ .W.
(2.26')
TL(It) =.2TTJd2.keITL~( È.!l.\\ . ~(E.-E..)
11
(~L)
~E ~~~
Jr.
(2.27)
TI.-ll. :::
(fj- E.) 1;cl} r::: 1l{p-(~)CA 't-(~-~'J0J
(~L)
L{R)
')
y=~.
où H représente l'hamiltonien total du système,
(barrière + impuretés)
-lIu(r) : est la fonction d'onde de l'électron dans l'électrode
"R..)
à l'énergie Eo et en l'absence de l'impureté.
En ce qui concerne l'électrode droite par exemple, et
afin de déterminer la fonction d'ondellR(r) à l'énergie Eo , nous découpons la
barrière en trois régions (fig 6) en supposant que la région III où le potentiel
est constant est suffisamment étendue pour que la normalisation de la 'fonction
d'onde puisse s'effectuer dans cette région uniquement. Nous avons dans cha-
cune des trois régions :
III -7 "1;.(r) =0exp ..(.\\(2.-0I) -r B expL-..ik2.(z.-d~)(Pl-<.\\-e)
-16.
J2
(2.28)
n.~ /R(r)= c ~(2)}ccsl ~ Pttz)dz - n/~ eXP<,~I«(e)
1
Ir
l ----p
lR.(rJ:: i~(Z)f l2e )(Pt! ';i2) dzJ e.xp(.,( kee)
ou
- d : représente l'abscisse de la limite entre les régions
II et III.
~A
- ~(2) =11 ll-W=~lf.-lJ(2)_~~1. 1/1
_ ~(:Z) ::: 'Ii. ( .1 ~*( U(z) -Eo-t-ki) 2.
- k
représente le vecteur moment dans la direction z et dans
z
la région III.
.30.
La condition de normalisation dans la région III ainsi
que les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée en
z=d donnent
(2.29)
le 1== ( 2. ~hf"2
3
où
L
représente le volume de l~électrode.
Sous la barrière. la fonction d'onde de l'électron
s'écrit donc
-1
-3;;
-1/1.
-1,i
1~ ) :\\
(2.30)
ter) =2- ~ L 2 (111<z.1 l~(z)) exP({1(ef)e><p0 zT dz)
Si nous considérons une relation de dispersion para-
bolique. la densité d'état à k
= cte dans l'électrode s'exprime par:
(2.31)
2.!t [
_ ( L)3
2l\\"1~
dE k~::"~
2 n '
1j2 kz.
Par ailleurs. en intégrant l'équation (2.1) entre
r
• 0 et r = f
et en prenant la limite pour Etendant vers zéro (28) il vient
(2.32 )
[A'1f(v-~)1 ::.- iï:[.ln ~O(2.1)J1/2.
JJJ r= ~.
171
1i.
el
avec
Zj)=-1t [ 2;;.~ (U(Z) - E..)]~
Tenant compte des relations (2.27)(2.30)(2.31)(2.32).
la reldtion (2.26) donne en intégrant au voisinage de ke = 0 comme précédem-
ment :
let
(2.33)
1: =: :-.-ot' [J~
-1
0/2 ~ e)(p/_~
~O(?l)d:t)
"
~ '"
OZi ~lz))J
\\: 1l. z..,
De meme en ce qui concerne la transition vers l'autre
électrorlo
(2.34)
(2.35)
Le courant total qui transite à travers la barrière
s'exprime en fonction de la transmission de la barrière et du taux d'occu-
pation électronique dans les électrodes par la relation (32)
(2.36)
.31.
dans laquelle
- s : représente le spin de l'électron.
le taux d'occupation électronique de l'électrode
gauche.
le taux d'occupation de l'électrode droite à
l'énergie E.
L'intégration sur ~ de la relation (2.36) se mène
de manière identique à celle sur q de la relation (2.24).
A~rè~ Intégrdi:f()!i.
i!
Jinrt
m, tl!r1drt
'lfllptf'
'if'
la reli'lt1nn (7.37L
_
(2.S+1)e ('t'n-.2'tf. E'o rr
2.
2.11 [ja dz'J-1. j2.i dz'
j - . &rr :J(\\J(2J)- E)L~E~-tf/'tJ Zi P,l2'l) [ b P.tz:iJ
(2.37]
>< e><pE-;j:~(ZI)d2J. ~~f) - ~(E: TI dE
Dans le cas des centres profonds. les probabilités
de transitions d'un piège vers les électrodes est faible en conséquence
~<:~Eo' Dans ces conditions. on a la relation
(2.36
[E- E~2.+ r7tJ-~ 2.rrr-1 ~(E -Eo)
L'expression (2.37) compte tenu de (2.36) et des
expressions (2.33~(2.34~(2.35) devient :
(2.39)
1 =-.le Tb10. [t(E o) - ~tEcjJ
{)
'L+Tll..
L
L'expression (2.39) représente donc le courant qui
circule à travers la barrière par effet tunnel résonnant. Elle a été obtenue
dans le cadre de l'approximation B.K.W. et son application au cas d'une bar-
rière de forme quelconque est immédiate. Par ailleurs. l'absence de tout
paramètre ajustable rend possible une évaluation quantitative des courants
tunnel résonnant qui circulent dans la barrière.
.32.
Il est à remarquer que le résultat obtenu est iden-
tique à celui obtenu par le modèle phénoménologique du type Hall-Schockley-
Read. En effet. considérons un centre piège en communication avec deux
électrodes. Les courants qui circulent entre le piège et les électrodes
sont dans le cadre de ce modèle (voir fig.?).
11 :: 2. '1~ (T(Eo) [:1 - tL(E.)]
12. =2'1 TL(LlE.) [1 - tT(Eo)]
(2.40)
33 =. 2.~1R. tT(Eo) [1- !R(E.)]
j4 =2.q TR f(2..(Eo) [1 -fT( E.)]
où fT(E o ) représente le taux d'occupation du piège situé à
l'énergie Eo '
A l'équilibre. le taux d'occupation du piège est constant et nous avons la
relation
J2 -1-1 = ;/3 - J4-
ce qui permet de calculer
fT(E o )
(2.42)
~ E ) :: . TL Id&..) -tli /(1.. (fa)
o
TL -;-TR,
ce qui donne pour le courant
(2.43)
d :: J2. - J1 =: 29 ~~ [t6C;~)-tR(EoTI
L+ Il.
Cette analogie.qui découle ~u fait que la largeur
J8 raie est
très faible devant l'énergie d'ionisation du centre piège.
n'intervient donc que dans le cas des centres profonds.
~
*
~
Au cours de ce chapItre. nous avons déterminé une
expression du courant tunnel. assisté par la présence de pièges profonds
contenus dans une barrière quelconque et représentés mathématiquement par
une fonction DELTA DE DIRAC.
L'application pratique au cas des diodes Schottky
sera examinée dans le chapItre suivant. au cours duquel l'importance parfois
prépondérante des courants tunnel résonnant sera mise en évidence.
.33.
~Lfcmu[)t
?~-~
-~.
r!frTnnnf 7
Fig.7
Cou~ünt circulant entre les é18ctrodo5 et le piège.
.~5.
CHA PIT R E
III
APPLICATION
AU
CAS
D'UN
CONTACT
META~~EMI-CONDUCTEUR
.37.
La théorie de la diode Schottky a été largement utilisée
pour interprëter les caractéristiques J(V) d'un contact métal-semi-conducteur.
Cette théorie est basée sur la présence de centres peu profonds dans le semi-
conducteur qui entrent dans la définition de la barrière de potentiel créé par
leur influence électrostatique.
Récemment. des études r 33) ont montré que la nécessité
d'un recuit de stabilisation du contact rend inévitable l'introduction d'impu-
retés métalliques dans le semi-conducteur. impuretés qui donnent naissance à des
pièges profonds situés près de l'interface Métal-Semi-conducteur.
Par ailleurs. l'introduction de matériaux nouveaux dans
le domaine des composants électroniques à semi-conducteurs rend nécessaire une
étude détaillée de l'influence de ces centres sur les propriétés des contacts
établis sur ces types de matériaux. En effet. ces matériaux tels les composés
III-Vou II_VI. les semi-conducteurs amorphes ou polycristallins contiennent
une grande densité de centres profonds dont l'existence est liée soit à la pré-
sence d'impuretés introduites lors du processus d'élaboration. soit à une ab-
sence de périodicité dans l'arrangement atomique.
Certains auteurs ont introduit
au niveau théorique
l'influence des centres profonds soit au niveau de leur influence électrostati-
que (36) sur la définition 'de la barrière de potentiel et par là même sur le
courant tunnel direct. Afin que ce mécanisme permette d'expliquer les courants
en excès observés dans les barrières de Schottky. la densité de centres profonds
doit être très supérieure à celle des impuretés peu profondes.
D'autres auteurs ont introduit. comme nous l'avons vu
au premier chapitre. l'influence de ces centres au niveau du courant tunnel ré-
sonnant. Les résultats obtenus restent cependant qualitatifs et ne permettent
qu'une description des phénomènes sans po~voir atteindre une évaluation quanti-
tative des courants en excès observés.
Dans ce cadre. le but de ce chapitre est de présenter
l'application des résultats obtenus précédemment. au cas d'un contact m~tal
semi-conductèur contenant des centres profonds et polarisé en inverse,
·38.
IIL1.
COURANT TUNNEL RESONNANT OU A LA PRESENCE D'UN CENTRE PROFOND
DANS
UNE
BARRIERE
SCHOTTKY
Considérons un contact Métal-Semi-conducteur (n) pola-
risé en inverse et représenté sur la fig. B. La densité de centres profonds NT
est considérée inférieure à la densité de centres peu profonds NO' Dans ces
conditions. la barrière de potontiel ne dépend que de l'état d'ionisation des
centres peu profonds.
La relation U(Z) qui définit la barrière de potentiel ainsi créé s'écrit
(3.44)
U(z) = 'iNI) (d-z)~ QN.nd2. + A
2E~
2t
~~
où
- ND
représente la densité de centres peu profonds.
E
la constante diélectrique du semi-conducteur.
- d
la largeur de la charge d'espace.
-~a,,: la hauteur de la barrière.
En polarisation inverse. le chemp électrique étant éle-
vé. une bonne approximation de la barrière est donnée par la relation linéaire :
(3.45)
U(2) ::: ?f3.x- Pz-
où
~ F : qui représente le champ électrique maximum dans la barrière
satisfait à la relation :
1k
(3.46)
F- 9N.n d -
[.1 q N.n (y _V'I 2-
-
t
-
f
~ tH
)-1
où
- V
:
rn
représente la tension de rJi ffus1 or cll) 1_IHIL:lL t.
Les probabilités de transition TL et T
d'un électron
R
piégé sur un centre profond situé en Z=Zj vers ] ~une ou l'autre des électrodes
s'écrivent compte tenu de (2.33)(2.34)(3.45).
•
-1A-
~2. "'1: -1.
}
~ -1/~' ~ / h\\
~3.471
IL=' 1.J4&3.1J?rt""-·r-[(E'oT~Zi)-E .. 1]expE'J!2.(;·10 J11~ F\\~tf'}3J-Eo.J:iJ
li = 1,Lt-83 .lfO't '1t1~"1Jl FE~-·V1. eX.p [-&, 8l(;.10'fm'Jt-1h~-1E~312.J
(3.48)
-1
où
F est exprimé en vcm
• E~ qui représente l'énergie d'ionisation
du centre profond est exprimé en
ev et ZJ en cm.
.39.
u(z)
~
1
\\
\\
,
\\
1
\\
1
\\
\\
Eo 1
\\
1
\\
~:Tl..:....o::::.-+_--'~li:....:..3.----+--'r-----7'
\\
\\
~\\
z
o~ z. \\
V
\\
j
\\ , ,
EF~~
'" '"..... ... - - - - __ET(NT)
Fig.8
Diagrar.~e énergétique ='un contact Métal-semi.conducteur
contenant un niveau pr~7ond.
.40:
Le courant tunnel résonnant traversant la barrière
Schottky par l'intermédiaire du piège profond s'écrit compte tenu de (2.39J
( 3 . 47) . et ( 3 . 4ô ) .
rr l
'!Il 1..~1
'1 ~ -1. 1
J~r h
,~
..
,
_ 4.'f.t.- I01Z.F"".,~~ E~Yz.J..Eo;.f2-4)-E."~ exPE~~10",1l l~ E;tt=: V.Jl bl1f.)-F(J..(E:~!
d(~'1)- E:-l1exPE:-~g2'-1i",~p~1e:Jf~
(3.49)
+ (E:+~Zf-E: ~-exP["il~..l""·~ffLtE.t~~'3~
où
Eo représenté sur la fig. 8, représente l'énergie du centre piè-
ge par rapport au niveau de Fermi du métal.
Afin que cette relation soit valable, il est nécessaire
que le niveau énergétique Eo du piège se trouve au-dessus du fond de la bande
de conduction dans le volume du semi-conducteur. Le champ dans la barrière doit
donc être tel que :
1
l rot!.
(3.50J
Eo +PZI < .2.~N.ri
Généralement, les centres se trouvent introduits dans
le semi-conducteur, soit sous forme d'un niveau discret répartis dans tout le
volume de la jonction si le semi-conducteur est cristallin (Si' A G ... J, soit
s a
sous forme d'un quasi -conti n uum cn énergie si le semi -conducteur est amorphe
ouI polycristallin
(35) ..
Ce sont ces deux cas que nous allons étudier successi-
vernent.
.41.
III.2.
COURANT TUNNEL RESONNANT DU A LA PRESENCE D'UN NIVEAU PIEGE
REPARTI
DANS
LE
SEMI.CONDUCTEUR
Dans le cas d'une répartition spatiale de centre piège
et si la densité d'impureté n'est pas très élevée. chaque centre induit un ca-
nal tunmd ré~WIIJldnt lrlcJ€îpendammf3nt
r!RS
nutres r:entres. Dans le cas des fortes
densités. il apparaît non plus un niveau mais une bande d'impureté et l'effet
tunnel est un processus collectif.
Les centres peu profondg. de part l'étendue de la fonc-
tion d'onde d'un électron piégé. forment des bandeg d'impuretés pour des densi-
tés plus faibles que les centres profonds.
Généralement. pour les dopages habituels. il n'y a pas formation de bande d'im-
pureté.
Nous nous intéressons ici à des densités de centres
profonds inférieures au dopage du semi-conducteur et nous ng considérons donc
pas les problèmes d'effet tunnel collectif.
Dans ces conditions. le courant tunnel résonnant traver-
sant la barrière s'écrit :
(3.51)
Ô'(E:J = NT Jbdza"J{E.~;:ZI·)
et .....leY~
Le courant représenté par l'expression (3.49) présente
un maximum aigu pour une valeur de Zj telle que TL=T • En considérant que le
R
facteur préexponentiel dans l'expression (3.47) varie moins vite avec Zj que le
terme exponentiel, la valeur maximum du courant est obtenue pour une Yaleur de
Zj telle que les arguments des fonct~ons exponentielles dans [3.47) et (3.48)
soient égaux. c'est-à-dire pour:
(3.52)
L'rn -= (.l/'- 1) E: F-"
Cette position spatiale correspond à une position éner-
.42.
gétique du piège optimum invariante avec la tension appliquée. Cette énergie'
prise relativement au niveau de Fermi du métal est égale à :
(3.53)
E", ::. ?f?>ft-iI3E~
Dans ces conditiona. la densité de courant j(EJ) est
sensiblement égale à celle qui passe à l'énergie E • soit:
m
(3.54)
/CE;) = 3.10'1r\\.;'k't'n·-\\E:~ eXPE:-"8l(~.10=t1nft~çf1E:.~[((E~)-'(E~~
Afin que cette relation soit valable, il faut que la
tension appliquée satisfasse à la relation (3.50), soit:
(3.55)
V.::: \\1'31 - 22./3E ~
Une autre restriction à la relation intervient à la
basse température. En effet, dans ce cas, il n'y a pas de porteurs à des ni-
veaux d'énergie situés au-dessus du niveau de Fermi du métal. En conséquence.
la relation (3.54) n'est valable que si E
est négatif. Dans le cas contraire.
m
le courant possède un maximum au voisinage du niveau de Fermi du métal 1 la
position optimum Zm est alors donnée par :
=
(t56)
Z-n,
C?~?\\- E:)ç-1
et le courant tunnel .résonnant traversant la barrière s' exprime par :
-.1
(3.57)
iCE:) =2,3i-2.1 ~U ~/\\"Ii"~R~9:;~f1)exp~/h,;d",..".1f1~~~~~-t~'f~X~/t2C,J~1i~ij
Afin de mesuser l'importance de ce courant dans la défi-
nition des caractéristiques jrv) du contact. nous pouvons comparer le courant
tunnel résonnant au courant tunnel direct. En effet. en polarisation inverse.
le courant d'origine thermoionique passant au-dessus de la barrière de potentiel
devient très vite négligeable en fonction de la tension appliquée.
Oans le cadre de notre modèle et de nos approximations.
le courant tunnel direct s'exprime par:
·1' 2S-t1 (~~ J
.1
fE
(3.58)
~ =!J.TTh.'J [D~E)- bll,,(E5] oElE
dE
o
z ) dE2
En intégrant par partie sur l'énergie E et en utilisant
J
la statistique de Boltzman, il vient :
9.
J~::' k~
(3.59.)
4n '"
kT exp(- 4-",,1kiJ(1- exp(v/k-ry). ~P(~ - ?,,)/k~-~f\\:E) dl'
s
représente le spin de l'electron.
.43.
La probabilité peE) est obtenue à partir de l'opérateur
densité de courant et de la fonction d'onde
'ter) t2.21). Elle s'exprime par:
(3.60)
PCE) =- expG-o< (9e,- E)~J
7t
avec
J
"f
-J."1j;;.
-1
(3.61)
~ =b, 82(;. 10.111
P
La fonction à intégrer dans (3.59) présente un maximum
aigu pour une valeur de l'énergie approximativement égale à :
,
-2
)-2
(3.62)
E. 0"" =r.4... - ~ 0( ( kT - A _ X
YB"
~
-
I~ "1\\.-
Dans ces condit~ons, en développant la fonction à in-
tègrer à l'ordre deux au voisinage de E=E'
le courant s'exprime par:
m
(3.63)
~=1.,b1.-f~O1n*kTexpt- ~~jkT)~-exP(Y/k-r)).G
;~~:4) G=exp(~; -..<~~~-î[(~a;)(~-,çJt~x:.\\(~- -; o(~)~
La comparaison de ces deux courants tunnel résonnant etl
tunnel direct a été mené et est représentée sur la fig.9. la densité N
repré-
To
sente la densité superficielle de centres profonds dans le plan z~z
nécessaire
m
pour que les deux courants soient égaux. Ces courbes sont paramétrées en fonc-
tion de l'énergie d'ionisation du centre profond. Ces résultats ont été obtenus
dans le cas d'un contact établi sur de l'arseniure de Gallium, la barrière
étant définie par les paramètres suivants :
~.
/
11:
-3
T
·
C
1
=
'(1)11.- 1.ev ,
~ = b,S.10 C'1YI)
3 0 0 K,
c. = 3 5
1
Les résultats montrent clairement l'amplitude de la con-
tribution du courant tunnel résonnant dans la définition de la caractéristique
J(V) du contact. En effet, la densité N
correspond dans toute la gamme de po-
To
larisation inverse à des densités volumiques de centres profonds bien inférieures
à celles généralement rencontrées dans le cas de l'arséniu~e de Gallium. Nous
voyons donc que les propriétés du cont~ct seront essentiellement déterminées par
le courant tunnel résonnant. Cet effet sera d'autant plus important que la masse
effective de l'électron sera faible, ce qui est le cas en ce qui concerne l'
arseniure de Gallium pour lequel la masse effective de l'électron est égale à
0,07 mo , mo étant la -masse de l'électron libre.
."44.
A basse température. T=77°K
l'effet est amplifié. la
gamme pour N
pour les mêmes gammes de polarisation et d'énergie d'ionisation
To
1
9
du piège est de l'ordre de 10
- 10
cm~2
Par ailleurs. il apparait que l'influence de cette composante de courant sera
prépondérante pour les faibles tensions de polarisation.
Dans le cas d'un contact polarisé en direct l'approxi-
mation de la barrière triangulaire ne convient plus. Cependant. les résultats
extrapolés à V = 0 montrent que pour les faibles tensions directes. cet effet
sera prépondérant.
L'ensemble de ces résultats sont en accord avec ceux
de J.S.HELMAN et f.S.SINENCro (36) qui au cours d'une analyse sommaire prévoient
11
à basse température un courant tunnel rtsonnant 10
fois plus important que le
courant tunnel direct.
.45.
0,,55
O,,~-o
035
J
0,,2 5
Ga A5 _ T =300 0 K
1
N == 6 5 1017 cm-3
o
).
4BN= 1 eV
VR(V
2
3
"t.
5
6
7
8
9
10
III.3.
COURANT TUNNEL RESONNANT DANS LE CAS D'UN QUASI.CONTINUUM
DE
PIEGES
PROFONDS
Dans le cas d'une distribution quasi~continue des ni-
veaux pièges dans la bande interdite du semi-conducteurs, le courant tunnel
résonnant donné par la relation (3.54) doit être intégrée en énergie sur toute
la barrière.
En considérant une répartition continue NT des niveaux pièges et une statisti-
que d'occupation des porteurs du type Boltzman, i l vient:
.d:::'J~B"1(E:)dE'
~
V+V-n
.,
13 . 65)
J ::. 3. 1 ô'1~hp....-"'IleKp(-~(1-exp(ri1E:-~xPf'«É ~!~.';:~dE:
V+V."
-1
-3
où NT est exprimé en ev
cm
et ou V
est définie sur la fig. 8.
n
L'expression à intégrer dan5 (3.65) possède un maxi-
m
mum pour une valeur E~ = E~ • Ce maximum est dG au fait qUQ lorsque E~ augmente,
la probabilité de transition totale diminue alors que le taux d'occupation dans
l'électrode métallique augmente. La fonction E~-1/2 étant lentement variable
avec E~ devant l'exponentielle, la valeur de l'énergie E~ correspondant au ma-
ximum de courant s'exprime par:
(3.66)
Le courant, à son maximum, s'exprime par:
(3.67)
1
Ce courant a été à nouveau comparé au courant tunnel
direct dans le cas d'un contact métal-silicium pour différentes valeurs de do-
page du semi-conducteur et une hauteur de barrière de 0,6 ev. Les résultats
représentés sur la fig.10 montrent ~Je l'effet tunnel résonnant dans ce type
de contact est loin d'être négligeable bien que la masse effective des électrons
soit dans le cas du silicium égale à 0,34 mo.
En effet, pour la gamme de tension (OV-10V) et de dopa-
17
-3
17-3
ge (10
cm
- 510
cm
) la position des pièges optimum est située dans la
.
.
gamme (5Â-100Â).
Or, les résultats récents de A.MARTINEZ (33) concernant l'
étude de l'interface métal-silicium par des mesures de rétrodiffusion montrent
qu'il existe une très grande densité d'impuretés métallique :dans le semi-
.47.
conducteur
jusqu'à une profondeur pouvant atteindre 500 A •
Dans ces conditions. les propriétés de conduction du
contact polarisé en inverse seront essentiellement déterminées par' le COlJr'dnt
tunnel résonnant traversant la barrière.
o
•
0
o
Dans ce chapItre. nous avons appliqué la théorie
générale de l'effet tunnel résonnant au cas d'un contact métal-semi-conductour.
Il est apparu alors que les propriétés électriques d'un tel contact peuvnnt
être entièrement déterminées par les courants circulant dans la barrièro pdr
effet tunnel assisté soit par la présence d'un niveau piège. soit par cnlla
d'une répartition quasi-continue de pièges.
.48.
eV
17
3
~=5.1
cm-
V (v)
10
10
L - -
L -
.l..-
..l.-
..l.-
.L...-_ _. . .
o
2
4
6
8
10
FiC.10
Cumparuison entre le courRnt d'effet tunnel assisté par nièCe et le courant
[j'effet tunnel direct (dans le cas où la statistique de Ooltzman est. i1ppllquéeJ.
.49.
c o N c L u s
l
o N
, .
.51.
Nous avons discuté le problème du transport du courant
électrique dans les barrières par effet tunnel lorsq~'une densité de pièges
profonds active cette transition.
Dans une première partie, nous avons passé en revue
les principaux phénomènes expérimentaux décritsdans la littérature qui ont
conduit à l'hypothèse d'un transport électrique de ce type. L'analyse physique
qui en est faite bien que permettant de rendre souvent compte de certaines ca-
ractéristiques expérimentales ne permet pas de chiffrer quantitativement l'am-
plitude de la valeur absolue du courant qui circule à causa de ce mécnn1~mp.
Cette insuffisence vient notamment du fait que les mé-
thodes proposées jusqu'ici ne permettent pas où ne justifient pas de manière
satisfaisante l'évaluation de la section de capture tunnel d'un piège profond.
Nous avons donc entrepris dans le deuxième chapitre de
mener à bien cette évaluation à l'aide d'un formalisme physique général propo-
sé par A.V.CHAPLIK et M.V.ENTIN basé sur l'utilisat10n de la méthode des fo~c
tions de Green pour rechercher l'équation de la fonct10n d'onde d'un tel sys-
tème. Il apparalt que l'emploi de la transformée de Fourier inverse de la fonc-
tion de Green du système permet de se ramener à un problème unidimensionnel.
Ceci a fourni alors une expression simple pour la densité de courant et pour
la transmission de la barrière. Le calcul de la largeur de raie associée à la
durée de vie du système est alors évalué
à partir des probabilités de transi-
tion de l'électron du piège vers l'une où l'autre des deux électrodes J ces
deux quantités sont aisément renduespar la théorie de l'Hamiltonien de trans-
fert dans le cadre de l'approximation B.K.W.
Il appara1t alors que dans le cas où l'on considère
des centres profonds. le résultat obtenu est analogue à celui qui découle d'un
traitement phénoménologique semblable à celui utilisé par Haul-Schokley et
Read pour rendre compte des transitIons thermiques dans la bande interdite
d'un semi-conducteur.
Ces expressions sont enfin appliquées au cas d'une
barrière Schottky contenant des centres profonds et soumise à une polarisa-
tion 1nverse à température ambiante. Le résultat le plus intéressant, dans
k .
ce cadre. consiste à montrer que dans le cas d'un matériau à faible masse
Iifi."
IIW..<. :
.52.
effective tel que l'arseniure de Gallium. une densité de centres comprise
6
jO
entre 10
et 10
cm -2. selon l'énergie du piège et la tension appliquée.
suffit à transporter un courant d'ampl~tude comparable à celui qui traverse
la barrière par effet tunnel direct.
.53.
A N N E x E
.. 55.
Nous allons montrer
que la méthode de BARDEEN (31)
peut-être appliquée pour calculer soit TL SOIT
T •
R
Le piège est supposé Dien décrit par un potentiel
localisé V
contenant un seul état ; comme nous avons négligé ici le courant
p
tunnel direct. nous supposerons que la fonction ~(r) contient uniquement la
composante exponentielle décroissante. Si le piège est localisé assez loin
de la limite. le recouvrement entre '1f(r) et '"fr(rJ est petit et la fonction
d'onde totale de l'état fondamental du système est bien approximée par:
"l E f,
A'
A.1
'tt~t) -= Q(.t)1f<.r)~p(- tf..'-) -t b('<)~r(r) €Xp(-
;
A")
où E.,(
et Er sont respectivement les énergiea correspondant à li
et ""rr·
On suppose maintenant qu'au temps t·o l'électron est
dans l'état 1î si bien que a(o) =1 et E)(o) ..0
L'équation de Schr~dinger intégrée à travers. le·volu-
me V de la barrière avec lrr(r) et ~(r) conduit à :
A.2
~= ~eXP[;{:(E.--flj]~)
J
avec
A.3
T;,t = v'"'t;(r)(Ho +Vp-Ef)lî(~) d 3y-
On suppose que pour un piège à l'intérieur de la bar-
rière
A.4
L'intégration par rapport au temps de A.2 permet d'
obtenir
b(t). Le courant correspondant à la fonction d'onde A.1 est ensuite
donné par :
A.S
;} ~ 1t ~~1 Tr./(Ev-- [;:1f~"'ll [.t(E~-Ë.f)/~[1; V1.f-ll v1;.J
Dans le but d'obtenir la probabilité de.transition.
nous intégrons ce courant sur la surface de la Darrière. (Comme le volume de
la barrière est très grand. cette intégràle peut être transformée en intégra-
le de volume à travers la barrière avec l'aide du théorème de Gauss).
Ceci conduit à :
A.6
J =t ITrf 1\\E.. - E.(r~'''' U-<'Er- E.f )/~J
.56.
La probabilité moyenne est ensuite donnée par :
t
-{
{l-
A.7
'tm}~OÔ .Jo IIIdi::: .~n l~jl1.~lErEJ)
Cette formule a déjà été utilisée par I.LUNDSTRDM
et C.SWENSSDN (28).
Comme nous n'utilisons pas ici des formes particu~
lières de
~r et ~
• elle reste valable pour n'importe quelle barrière
et pour n'importe quel potentiel d'impureté. si le piège est suffisamment
loin de la frontière de la barrière.
.57.
B l B LlO G R A PHI E
.59 •.
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TABLE
DES
MATIERES
I1'JT RODUCTI OI\\J
p. 1
- Position du problème.
p. 3
l
PRINCIPALES EXPERIENCES ET THEORIES
p. S
l
1 Lu~ A!j~uctfl Expérimentaux.
p.
7
1-2 Les MOdèles Théoriques.
p. 11
II
EFFET TUNNEL RESONNANT
p. 19
II~1 Les Pièges Profonds.
p. 22
II ",2 Le Courant Tunnel Résonnant.
p. 24
II-2-1 Formalisme physique'
p. 24
II-2-2 Calcul de la fonction de Green g{r.r ' )
p. 26
II-2-3 Le calcul du courant
p. 28
II-2-4 Le modèle phénoménologique
p. 32
III
APPLICATION AU CAS D'UN CONTACT METAL-SEMI-CONDUCTEUR
p. 3S
111-1 Courant tunnel Résonnant dû à la Présence
d'un Centre Profond dans une barrière Schottky.P· 38
111-2 Courant tunnel Résonnant dû à la Présence
d'un Niveau Piège Réparti dans le Semi-
p. 41
conducteur.
111-3 Courant tunnel Résonnant dans le Cas d'un
Quasi-Continuum des Pièges Profonds.
p. 46
CONCLUSION
p. 49
ANNEXE
p. S3
REFERENCES
p. 57
TABLE DES MATIERES
P. 63
Aub:iS:lt!3~ ~ ~e.1We ea:O((~~:4
lQUtrn.;~S ~ --1-6-JYlN 1971
Le F'6$;~~"t
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