ECOLE
CENTRALE
PARIS
THE8E
Présentee
pa.r
tfarùadou
DOSSO
pour
l'obtention
du
TITRE
DE
DOCTEU'R
.
----------
,.,,---"--
MALGACHE
\\ (,ONS, E!l AFR\\CA\\N ET
, .' UR \\
,
\\ . OUR l'ENSEIGNEMENT SUPERiE
p
•
OUAGADOUGOU 1
CAM. E. S. - .
j
\\
FORMATION DOCTORAL~:
; A' ,"e
41.
\\\\J\\~.\\~~j
\\
\\
mve
.. r.,. \\1'
\\
SPECIALITE
:
:1atériau;~ Enre~~~J~
LABORATOIRE
D' ACCUEIL~ïatériaL1x
Suj et :
DIS CR L Il NAT 10;;
li L T RAS 0 J 0 R;::
DES
DE F Ali T SPA R T ~ AIT LE :n
~U:1ERIQUE DE
LSURS ECHOS.
Soutenue
le
23
janvier
1986
devant
la Commission d'examen
Messieurs
D.
FRA~ÇOIS
P r.é si de n t
L •
PARADIS
Rapporteur
G.
BLA:~C
Rapporteur
D.
Dt:
VADDER
Examinateur
A.
ZARC'1 BOWI TeH
Examinateur
Ecole Centrale des Arts et Manufactures
1986.3
Grand Etal::lissllment sous tu:elle du M:nistère de l'EduClltio~ Nationale
GRANDE VOIE OES VIGNES - '32295 CHATENAY MALABRY CEDEX . T~L. (lI 46613310 • T~lEX : EC PARIS 250659 F
DISCRIMINATION ULTRASONOR~ DES DEFAUTS PAR
TRAITEMENT NUMERIQUE DE LEURS ECHOS.
A Frantz
Fanon,
"notre
frère".
"La
fonction
d'une
structure
sociale
est
de
mettre
en
place
des
institutions
traversées
par
le
souci
de
l'homme.
Une
société .qui
accule
ses membres
à
des
so-
lutions
de
désespoir
est
une
société
non
viable,
une
société
à
remplacer."
Fra.ntz
Fanon:
"Lettre de
démission
au
~tinistre rési-
dent,
Gouverneur Général
de
l'Algérie,
Robert
Lacoste,
Alger
1955".
l
Avant-propos
Les
pages
qu~ suivent sont consacrées à un travail effectué
au
Centre
de
Recherche
de
l'Ecole
Centrale
de
Paris.
Le Professeur François,
Directeur
du
Laboratoire
Matériaux,
a
bien voulu
accepter
de
présider
le Jury
de
thèse.
Je
l'en
remerc~e vivement.
Monsieur
De
Va~der, Responsable de l'Equipe Ultrasons, m'a
aidé
pour
la
réalisation
de
cette
étude.
Je
lui
en
su~s
reconnaissant.
J'exprime
toute
ma
gratitude
à
Monsieur
le
Professeur
Zarembowitch
d'avoir
accepté
de
participer
au
Jury.
Que Hessieurs
Paradis
et
Blanc,
rapporteurs
de
cette
thèse,
trouvent
ici
l'expression
de mes
remerciements.
II
P13n
Page
A)
Introduction
B)
Première
partie
bibliograpnie
4
C)
Deuxième
partie
étude
théorique
27
C-j
définitions
28
C-2
application
des
~quations de
30
Preedman
au
traducteur
large
bande-
C-3
tnéorie
du
profil
réflecteur
62
C-4
les
fonctions
d'intercorrélation
83
D)
Troisième
partie
discrimination,
par
93
in~er~orrélation, desécho~ ; expériences
~) Quatrième partie
dimensionnement
d'un
144
petit
défaut
par
calcul
àe
la
fonction
d'autocorrélation
de
son écho
F)
Conclusion
160
G)
Liste bibliographique
163
H)
Annexes
170
AO
transformée
de
Fourier
171
Al
amortissement
numérique
175
A2
filtrage
numérique
idéal
182
A3
algorithme
de
discrimination
186
A4
algorithme
de
lissage
des
202
signaux
A5
tracé
des
courbes
d'inter-
208
corrélation
sur
table
tra-
çante
III
Annexes
(suite)
Page
AG:
cepstre
d'énergie
d'un
21 3
signal
à
structure
d'échos
A7
fonction
d'autocorréla-
230
tion
d'un
signal
à
structure
d'échos
AS
Les
fonctions
d'intercor-
245
rélation
quelques
propriétés
fondamentales
1 •
INTRODUCTION.
La
d~tection, la localisation et le dimensionnement des d~
fauts
par
des
techniques
ultrasonores
ont
fait
l'objet
de
nombreux
travaux.
Plusieurs
m~t~odes ont ~t~ proposées.
Cel-
les
relatives
au dimensionnement
comprennent
les
procédés
exploitant
les
variations
de
l'amplitude de
l'écho
renvoyé
par
le
d~faut (un exemple de
tels
proc~dés est
la méthode
Krautkramer,
la plus
ancienne
m~thode de d~termination de
dimensions
des
d~fauts de
taille
inf~rieure à la section
transversale
du
faisceau.
Elle
est
bas~e sur les diagrammes
JAG-Distance,
Amplitude,
Grossissernent-
ou
AVG
en
allemand,
DGS
en anglaisY,
les
méthodes
cartographiques
basées
sur
la
vari.ation
de
l'intensité
de
l'éc\\lo
en
fonction
du déplace-
ment
du
trad~cteur (~éthodes à -6dB,
à
-2ùdB,
trace
C scan)
enfin
les
t~chniques analytiques, plus récentes et plus fi-
nes,
qui
etJùient
les
modifications
introduites
par
le
dé-
faut
dans
les
informations
contenues
dans
le
signal,
éven-
tuellewent
en
fonction
du
déplacement du
traducteur
(analy-
se
fr~quentielle, ph~nomêne de diffraction des
ultrasons
par
les bords
de
défauts,
etc . . . ).
Ces
travaux,
qui
font
partie
du
contrôle
non
destructif,
ont
pour
certains
d'entre
eux,
trouvé
de
larges
applications
tant
dans
l'industrie
que
dans
le
domaine
médical
exa~en et
fiabilité
de
pi~ces mécaniques,
notamment
dans
des
installa-
tions
nucléaires
et
en
aéronautique,
utilisation
de
sonars,
échographie
médicale
(aétection
de
tumeurs
malignes,
etc . . . )etc . . .
Comme
je
l ' a i
indiqué
plus haut,
le
phénomêne
de
diffraction
des
ultrasons
par
les
bords
de
défauts
peut
per~ettre de dé-
terminer
leurs
dimensions.
Mais
les
images
obtenues
en
repré-
sentations
type
C ou B,
ou
les
courbes
échodynamiques
ne
per-
mettent pas
toujours
de
faire
la
distinction
entre
les
deux
bords
d'un
défaut
(une
fissure
par
exemple)
et
deux petits
défauts:
par exemple,
de
telles
images
peuvent
faire
appa-
raître
comme
deux
d~fauts distincts les bords d'un seul et
même défaut
plan incliné.
La
figure
montre
l'image
type
C
d'un
trou
à
fond
plat
de
10 mm de
diam8tre
incliné
de
30
de-
ADDENDA
Ce travail a été effectué dans le cadre du contrat
GIS n° 81-P °169 financé par le Ministère de la Recherche
et de la Technologie.
Certains des résultats qui y sont présentés ont été
repris en Mars 1984 dans le rapport:
"Reconnaissance de la nature et de la morphologie des
défauts par l'analyse des composant? du signal ultra-
sonore" .
DGRT GIS n° 81 - P 0469
Rapport final CEA-ECP
Rapport complémentaire
publié sous la responsabilité conjointe du CEA (M. SERRUYS)
et de l'tèp (M. DE VADDER).
')
L.
•
grés
par
rapport
à
l'axe
du
faisceau
ultrasonore
incident
...• ,
•
t1
~
100111
OdB
+ 6dB
+ 12 dB
+ 18 dB
Figure 1 . Imageries type C d'un trou d fond pLat
Diam~t1"6 1Qmm, IncLinaison 30°. Traducteur D = 30mm
F = 65rmz'
À = 1,4rmz
Ondes longitudinales
Les
trois
premières
représentations
(gains
de
OdB,
+
6dB
et
+
12dB)
font
apparaître
deux
taches
blanches
distinctes,
ce
qui
pourrait
faire
croire
après
une
analyse
traditionnelle,
à
l'existence
de
défauts
séparés.
On
peut
faire
la
discri-
mination
par
une
représentation
de
l'écho
non
redressé
la
présence
de
deux
échos
de
polarités
opposées
indique
qu'il
s ' a g i t
des
bords
du
même
défaut
(c'est
le
phénomène
d'inver-
sion
de
polarité),
alors
que
l ' i d e n t i t é
de
polarité
laisse
supposer
la
présence
de
deux
défauts
distincts.
L'onde
ul-
trasonore
utilisée
~c~ est
une
onde
longitudinale.
Dans
le
cas
où
un
seul
bord
de
la
cible
est
accessible
au
faisceau
ultrasonore
incident,
aucune
des
représentations
type
C,
B ou
A ne
permet
de
faire
la
discrimination
entre
l'écho
dû
d
un
bord
de
défaut
(défaut
type
fissure
par
exem-
ple)
et
celui
renvoyé
par
un
p e t i t
défaut.
Or
une
telle
dis-
tinction
est
capitale
dans
un
diagnostic
de
f i a b i l i t é .
Le
travail
présenté
i c i
se
propose
de
résoudre
ce
problème.
La
première
partie
est
consacrée
à
la
bibliographie,
la
se-
conde
à
la mise
en
évidence
des
relations
existant
entre
les
différents
échos
étudiés.
Celle-ci
est
basée
sur
le
phéno-
mène
de
diffraction
de
l'onde
ultrasonore
par
les
bords
de
défauts,
le
mécanisme
de
formation
d'écho
démontré
par
A.
Freedman
et
la
théorie
du
profil
réflecteur.
Cette
partie
contient
également
le
rappel
et
l ' e x p l i c i t a t i o n
de
quelques
3.
propriétés
fondamentales
des
fonctions
d'intercorr~lation.
L'utilisation de
l'hypothèse
d'une
onde
incidente
plane
et
homo~ène rend possible une explication mathématique du phé-
nomène
d'inversion
de
polarité.
L'élaboration
d'un
algorithme
de
discrimination
entre
diffé-
rents
défauts
par
calcul
de
la
fonction
d'intercorrélation
entre
leurs
échos
et
un
signal
de
référence
fait
l'objet
de
la
troisième
partie.
Pour
terminer,
j'expose
une
méthode
de
dimensionnement
fondée
sur
certaines propriétés
de
la
fonc-
tion
d'autocorrélation
ùes
signaux
à
structure
d'échos.
Seules
les
ondes
longitudinales
sont
prises
en
compte
en
effet,
quand
l'onde
incidente
est
longitudinale,
on
constate
une
opposition
de
polarité
entre
les
ondes
diffractées
par
les
deux bords
d'un
défaut
pour
une
onde
transversale,
la
différence
de
phase
entre
les
ondes
renvoyées
par
ces
deux
bords
dépend
à
la
fois
des
angles
d'incidence
et
de
diffrac-
tion
(réf.
26).
Je
plus,
la vitesse
des
ondes
longitudinales
valant
environ
le
double
de
celle
des
ondes
transversales,
celles-ci
(et
les ondes
converties)
arrivent
au
récepteur
avec
un
retard notable
sur
celles-là.
C'est
aussi
la
raison
pour
laquelle
les
conversions
de
mode
seront
ignorées
dans
le
présent
travail.
J ' a i
considéré
des
défauts
plans,
ceux-c~ étant les plus dan-
gereux:
i l
apparaît
à
leur
périphérie
une
concentration
de
contraintes pouvant
entraîner
la
rupture
fragile
ou par
fati-
gue
de
la pièce.
Les
expé~iences ont été faites sur des cibles immergées dans
l'eau,
pu~s sur des défauts artificiels créés dans un bloc
d'acier.
Pour
ce travail,
j 'ai m~s au point des programmes utilitaires
de
traitement numérique
du
signal
qui
n'~xistaient pas dans
le mini-ordinateur
utilisé
(S/140
de
DATA GENERAL):
transfor-
mée
de
Fourier
rapide
(directe
ou
inverse),
fonctions
d'inter-
corrélation,
de
convolution et
de
déconvolution,
calculs
de
spectre et
de
cepstre
de
s~gnaux, etc . . .
4.
B)
Première
partie
BIBLIOGRAPHIE.
5 •
BI BLIOGRAPH lE
B-l)
Introduction
Le
phênomêne
de
diffract~on des ultrasons par les dêfauts
peut
être
analysê
soit
dans
le
domaine
des
frêquences,
soit
dans
celui
des
temps,
ou
d 1 un
point
de
vue
spatial.
Dans
le
paragraphe
B-2,
je
fais
un
survol
de
quelques
mêtho-
1
des
de
dimensionnement.
Dans
le
suivant,
Je
m êtends
un
peu
plus
longuement
sur
la
discrimination
entre
d~fauts.
B-2)
Dimensionnement
de
dêfauts
Le
calcul
des dimensions
des
défauts
par
des
techniques
ul-
trasonores
a
fait
11 0 bjet
de
nombreuses
êtudes.
Je
prêsente
ici bri~vement quelques
unes
d 1entre
elles.
Adler
et
Hhaley(rêf.
1)
étudient
les
variations
spectrales
d 1 une
impulsion
br~ve rêflêchie en fonction de
la
dimension
et
de
11 or ientation
du
réflecteur.
Ils
montrent
que
les
1n-
terférences
entre
les
ondes provenant
des
bords
du
dêfaut
sont
responsables
des
variations
du
spectre
fréquentiel
du
signal
reçu.
Ils
arrivent
ainsi
à
déterminer
les
dimensions
et
11 or ientation d'l un défaut
dans
un milieu
solide
(métal).
On
notera
ici
la
nécessité
de
sonder
la
pièce
sous
au m01ns
deux
incidences
(détermination
des
deux
inconnues
que
sont
la
t a i l l e
du
défaut
et
son
orientation
par
rapport
à
la
sur-
face
d~ bloc le contenant).
silk (rêf.
6)
détecte
et
calcule
les
dimensions
de
défauts
type
fissure
par mesure
du
temps
de
vol
des
ondes
diffrac-
tées
par
leurs
bords
c 1est
la
technique
dite
TOFD,
Time-
Of-Flight
Diffraction technique
en
Anglais.
Carter
(réf.
7)
présente
un
syst~me d 1 application industriel-
le
(appareil
dit
Zipscan)
dont
une
configuration
est basée
sur
cette
étude
de
Silk
(technique
TOFD nécessitant
11 emp l o i
de
deux
traducteurs),
11autre utilisant
la
méthode
d 1 émission-
réception
impulsionnelle.
6.
De
Vadder
et
Saglio
(référence
8)
exploitent
le
phénomène
de
surintensité de
bord pour
le
dimensionnement
de
défauts
à
l'aide de
traducteurs
focalisés:
en effet,
i l
a
été constaté
expérimentalement
(réf.
9)
que
l'amplitude
de
l'écho d'un dé-
faut
plan
(ou quasi-plan)
incliné
par
rapport
à
l'axe
du
fais-
ceau
ultrasonore
incident
passe
par un maximum quand
cet axe
coupe
le
bord
du
défaut.
Il
suffit
alors
de
mesurer
le déplace-
ment
du
traducteur qui
correspond au
passage
d'un maximum d'é-
cho
à
un
autre
et
le
temps
d'arrivée
relatif
à
chacun des ma-
Xlma.
L'intérêt de
cette méthode
utilisant
des
ondes
focali-
sées
est que,
contraireffient
à
l'étude
spectrale de Whaley et
.
Ad l e r
( réf.
1),
e Ile
ne
s u p po s e p a s
que
l a t ail l e
d u d é f a u t
est
inférieure au diamètre
du
faisceau
incident.
Elle
diffère
aussi
des
autres
par
le
fait
qu'elle
exploite
l'aspect
spatial
du phénomène
de
diffraction.
Blanc
(réf.
5)
a
établi
une
bibliographie
intéressante des
méthodes
de
dimensionnement
de
défauts
diagramme
AVG
(ou
DAG,
ou Krautkramer),
méthode
à
-6 dB
ou à
-20
dB,
enregis-
trement
en mode
C,
etc . . .
Une
technique,
mise
au
point
au
C.E.A.
(réf.
42,
43
et
44),
décompose
le défaut
réel
(dont
la
réflectivité
n'est
pas
for-
cément
constante)
en une
somme
de
défauts
plus
petits
de
ré-
flectivité
constante.
Le
principe
de
dimensionnement
consiste
alors à
effectuer
des
cartographies
successives
en augmentant
le
gain de
6 dB en 6 dB.
En
incidence
normale,
on
arrête
les
tracés
quand
une
augmentation
de
gain de
6 dB correspond à
un
élargissement
de
l'image
cartographique
égal
à
la moitié
du
diamètre
du
faisceau
utile.
La
dimension
du défaut
dans
un
plan
perpendiculaire
à
l'axe
du
faisceau
incident
corres-
pond
à
l'avant-dernière
cartographie.
Dans
le
cas d'une
in-
cidence
oblique,
on
tient
compte
de
la déformation de
l'ima-
ge
du défaut
causée par
le phénomène
de
réfraction
lors
du
passage
de
l'onde
du
milieu
contenant
le
traducteur à
celui,
constitué
par
la pièce
à
contrôler
(pièce
où
se
trouve
le
défaut).
Notons
qu'une normalisation
de
cette
technique
est en
cours
d'examen
7 •
P.
J.
Aclntyre
(réf.
4),
par
déconvolution
des
signaux
ultra-
sonores
réfléchi et
incident,
mesure
l'épaisseur
d'une
couche
d'araldite
(ou d'oxyde)
soit
h(t)
le
signal
incident,
g(t)
le
signal
réfléchi
par
un matériau
d'épaisseur
d
(on
tient
1C1
compte
des
réflexions multiples).
Soit
H(~)
la
transfor-
mée
de Fourier
de
h(t)
et
G(v)
celle
de
g ( t ) , V
étant
la
fré-
quence
et
t
le
temps.
On
a
la
relation
suivante
g(t)
r(t)*h(t).
r(t)
§tant
la
fonction
de
transfert
de
la
couche
étudiée
et
~ indiquant le produit de
convolution.
Dans
le
domaine
des
fréquences,
i l
vient
R(V) • H ü)) ,
d ' 0 ù
R (iJ)
=
G (\\)) / H (v) .
r(t)
s'obtient
en
calculant
la
transformée
de Fourier
inver-
se
de R (1))
r(t)
est
formée
d'impulsions
séparées
de
2.d/c
(c
vitesse
de
propagation dans
le
milieu d'épaisseur
d
;
l'incidence
est
ici supposée
normale).
Par cette
~éthode, Mclntyre
a
pu
mesurer
des
épaisseurs
1n-
férieures
au millimètre
(de
l'ordre
de
288 microns pour
l ' a -
raldite et
650 microns pour
l'oxyde).
Il
faut
cependant
no-
ter
l'importance
des bruits
d'origine
électronique
en
hautes
fréquences
et
ceux
dus
à
l ' é t a t
de
surface
du bloc
à
analy-
se r.
En
se
servant
des
travaux
de
Balluet
(réf.
10)
et
de
Gra -
bisch
(réf.
I I ) ,
Paradis
(réf.
12)
expose
une
technique
de
détection
de
défauts proches
de
la
surface
du milieu
où
i l s
se
trouvent
et
de
mesure
de
faibles
épaisseurs
par utilisa-
tion de
l'opérateur
cepstre
d'énergie
qui,
à
une
suite numé-
rique,
associe
une
autre
suite numérique
définie
comme
la
transformée de Fourier
inverse
du
logarithme
de
sa densité
spectrale.
Cet
opérateur
accroît
les
possibilités
de
détec-
tion
et
de
résolution
des
techniques
se
servant
du
calcul
de
l'intervalle
de
temps
entre
échos.
L'annexe A6 présente
l'opérateur
cepstre
d'énergie
dans
le
cas de
signaux
à
structure
d'échos.
Dans
le
paragraphe E-3,
je
développe
une
méthode
de
dimen-
sionnement
basée
sur
le
calcul
de
la
fonction
d'autocorré-
8.
lat ion
d'un
signal
à structure
d'échos.
Je
suppose
que
le
diamètre
du
faisceau
ultrasonore
incident
est
supérieur
à
la
t a i l l e
du
défaut.
En
résumé,
on
peut
regrouper
les
méthodes
de
dimensionne-
ment
par
ultrasons
en
deux
grands
groupes
suivant
qu'elles
ignorent
ou
qu'elles
prennent
en
compte
la
diffraction de
l'onde
incidente
par
la
cible.
Les
premières,
qui
considèrent
que
le
défaut
est
non
dif-
fractant,
utilisent
l'amplitude
de
l'onde
reçue
(après
ré-
flexion
ou
transmission
on
peut
y
ajouter
le
phénomène
des ondes
rampantes).
Elles ne
donnent
que
les
dimensions
du défaut
dans
un
plan
perpendiculaire
à
l'axe
du
faisceau
incident.
Plus
le
défaut
est
incliné,
plus
sa
t a i l l e
mesurée
sera plus
petite
que
sa
t a i l l e
réelle
on
est
limité
par
l'angle d'incidence;
au-delà
de
la degrés,
ces
techniques
donnent
des
résultats peu
fiables.
Le
fait
qu'elles
sont
basées
sur
l ' u t i l i s a t i o n
de
l'amplitude
de
l'écho
expliquent
leur
sensibilité
a~x bruits.
Elles supposent
généralement
que
le milieu
de
propagation
de
l'onde
est
homogène
et
iso-
trope
(méthode
AVe, méthode à -6dB ou à -20dB).
Les
diagram-
mes
Ave en particulier donnent non pas la taille réelle du
défaut
mais
celle
d'un
dlique
plan
équivalent,
perpendiculaire
à
l'axe
du
faisceau
incident,
qui
donnerait
un
écho
de
même
amplitude
(en
supposant
identiques
les
conditions
expérimen-
tales)
on
obtient
ainsi
la
t a i l l e
minifuale
du
défaut
alors
qu'on
souhaite
connaitre
la maximale.
Malgré
tous
ces
inconvénients,
ces
méthodes,
qui
ont
été
largement
industrialisées,
sont d'un emploi
aisé,
peu coû-
teux.
Les
techniques
exploitant
le phénomène
de
diffraction
de
l'onde
incidente
par
la
cible
donnent
des
résultats
plus
fiables.
Elles
permettent~ d'accéder aux dimensions réelles
du défaut
et
à
son orient~tion~ Ici
on ne
se
sert
plus
de
l'amplitude de
l'écho
pour
l'évaluation
de
la
t a i l l e
du
ré-
flecteur,
ce qui
rend
ces
méthodes
pratiquement
insensibles
aux
bruits •. Elles
nécessitent
cependant
un matériel
mieux
9 •
élaboré
et
supposent
des
défauts
à
bords
francs.
B-3)
Aéthodes
de
discrimination
B-3-1)
~éthodes de discrimination explicite
Ces
méthodes,
plus
ou mo~ns insensibles
à
la
structure
à
con-
trôler
et
aux
conditions
expérimentales,
permettent
de
faire
une
discrimination
dont
les
critères
sont
la
t a i l l e ,
la
natu-
re
ou l'orientation
du
défaut.
Paradis
(réf.
12)
fait
un
bref
exposé
de
la méthode
dite
ALN
(Adaptive
Learning
Network
rés e au
d' a pp r e'n t i s sa g e
par
a d a pt a t ion)
e t c e 11 e
a pp el é e
" cl i s-
crimination
linéaire
de Fischer".
L'ALN
est
une
méthode
de
discrimination
basée
sur
la
caracté-
risation
de
formes
d'ondes
ultrasonores
par
des
paramètres
temporels et
par par
des
paramètres
fréquentiels.
Un classi-
ficateur
de
données
fait
correspondre
à
chaque
forme
d'onde
un
type
de
défaut.
Cette
technique permet
de
distinguer
un
défaut
d'un
autre
(~issure, inclusion,
etc . . . ).
ElIe
sert
aussi
à
reconnaître
les
échos
parasites
(réf.
13
et
14).
Soit
une
population d'individus
répartis
en
plusieurs
groupes
disjoints.
Il
s'agit
de
savoir
à
quel
groupe
affecter
un
~n
dividu nouvellement
arrivé.
La"discrimination
linéaire
de
Fischer"
permet
de
réduire
les
redondances
apparaissant
dans
les
informations
obtenues
grice
aux
différents
paramètres
(réf.
15 et
16).
B-3-2)
Méthodes
de
discrimination
implicite
Je
résume
~c~ des
travaux
qu~, bien que ne portant pas expli-
citement
sur
la
discrimination entre
défauts,
y
aboutissent
logiquement,
directement
ou
indirectement.
B-3-2-1)
Profil
Réflecteur
Dory
(réf.
17)
utilise
la
notion de
Profil
Réflecteur
pour
exprimer
le signal
réfléchi
par
un obstacle
en
fonction
du
10.
signal
incident.
Ce
Profil
est
fonction
(entre
autres)
de
la
forme
du
défaut.
Haines
et
Langston
(réf.
18)
font
une
étude
semblable·;dans
le
cas de
cibles
à
surface
soit
plane,
soit
courbe
ou
rugueu-
se.
Le
Profil
Réflecteur
qui
peut
être
défini
comme
la
densi-
té
de
surface
(du défaut)
projetée
dans
la
direction
de
pro-
pagation
de
l'onde
ultrasonore
incidente,
fera
l'objet
du
paragraphe
C-3.
Cette
notion
constitue
la
base
fondamentale
de
la
méthode
de
discrimination
proposée
dans
la
présente
é t ud e.
B-3-2-2)
Champ
et
réflexion
d'ondes
acoustiques
impulsionnelles
Le
présent
paragraphe
a
pour
objet
une
étude
de
Jessel
et
Otani
(référence
19).
B- 3 - 2 - 2 - 1)
In t 1 0 duc t ion
Les
auteurs
s'intéressant
à
la
propagation ~t
à
la
réflexion
des
ondes
acoustiques
pulsées.
Deux
cas
sont
présentés
1)
Déformation
subie par
une
onde
impulsionnelle
en
fonc-
tion
de
l'azimut
du point
d'observation.
2)
Modulation
de
l'impulsion
réfléchie
sous
l ' e f f e t
des
fré-
quences
spatiales
caractéristiques de
la
cible.
Ils montrent
qu'on peut
par
des
considérations
graphiques
simples,
obtenir
des
résultats
dont
l'interprétation
physi-
que
est
aisée.
B-3-2-2-2)
Considérations
générales
Elles
sont
basées
sur
l'équation
de
d'Alembert
O~ - Q
(-1)
avec
O~- .~t.~ - V~
D~
est
le d'Alembertien de
~
"'-~
~ est le potentiel des vitesses et Q une quantité supposée
connue.
L'étude
est
limit~e aux solutions obéissant au prin-
cipe
de
causalité
rest~eint (
solution
s'annulant
quand Q
tend
vers
zéro).
Q,
le
ter:ne
"source",
représente
soit
des
sources
"primaires"
(émetteùrs réels),
soit
des
sources
1 1 •
"secondaires"
ou
"virtuelles"
(défauts
ou
hétérogénéités
du
milieu
de
propagation de
l'onde).
si
on
considère
la pression
acoustique
p,
qu~ est proportion-
nelle
à
la
dérivée,
par
rapport
au
temps,
du
potentiel
des
vitesses~,la solution de l'équation ( 1) a la fo rme suivante:
[QJ
\\~)
4.If,'
L'intégrale
(2)
peut
être
de
volume,
de
surface,
de
ligne
ou
équivalente
à
une
somme
discrète.
r'
désigne
la
distance AM entre
le
point
d'observation
A et
le
point-source M (figure
2).
Le
crochet
au~our de Q symbolise
le
retard entre
l'instant
d'émission et
celui
d'observation
on
remplace,
dans
l'ex-
pression de
Q,
t
(le
temps)
par
t - r ' / c ,
c
étant
la
vitesse
de
l'onde
dans
le milieu
de
propagation.
z
Aa
Fig.
2
émissioü,
,
par
un piston
rec-
tangulaire,. dans
\\ ,,
un plan médian.
l
,
1! - ,
1'" - ~ .-3:->1 e'
c
,
\\
-----~
'<
Les hypothèses
de
calcul
sont
les
suivantes
1)
la distance
r '
entre
le
point
d'observation
A et
le
point-
source
M est
très
grande
devant
les
dimensions
(2oet
2b
sur
la
figure
2)
de
la
source
(réelle ou virtuelle).
2)
la
répartition
de
sources
Q posséde un plan de symétrie con-
tenant
les
points
d'observation
(figure
2).
Otani
et
Jessel
étudient
différents
cas en fonction
de
la
for-
me
de ,la surface
émettrice et
de
celle
du
signal
émis.
Le
rectangle,
le
disque
et
le
réseau
linéaire
discret
ont
été
1 2 •
choisis
comme
émetteurs.
Les
signaux
émis
sont
soit
carrés
(ou
rectangulaires),
soit
triangulaires,
soit
sinusoïdaux
limités
à
un nombre
n
fini
d'arcades
(n=1
ou
2
le
plus
sou-
vent),
<soit
en
sinus
carré,
soit
en
sinusoïde
amortie:
quant
à
la nature
de
l'impulsion,
i l
s'agit
ici
de
l'accé-
l~ration qui
est
communiquée
au milieu
au
niveau
de
la
source.
Enfin,
Otani
et
Jessel
font
encore
les
hypoth~ses suivantes
relatives
aux
sources
premièrement,
ils
supposent
que
les
sources
réelles
(ou encore
sources
primaires)
sont
déclenchées
directement
par
celui
qui
fait
l'expérience.
Deuxièmement,
les
sources
virtuelles
(ou
seconàaires)
sont
constituées
par
des
réflecteurs: .1 'écho
correspond
au
signal
"émis"
par
la
source
virtuelle.
Pour
illustrer
le
travail
des
auteurs,
Je
me
su~s
limité
au cas
de
la
source
(réelle
ou virtuelle)
rectangulaire
(figure
4)
émettant
une
impulsion
rectangulaire.
B-3-2-2-3)
Champ
d'un émetteur
rectangulaire
dans
un
de
ses
plans
médians.
En
-Â e
la
press~on acoustique a la forme suivante
(aux
ap-
proximations
près)
1" tr , e, t:) -
es Co
(3)
Notations
.~...
densité
(ou masse
spécifique
volumique)
du
fluide
ambiant.
S
surface
du
piston mobile.
c
vitesse
du son.
u
vitesse
équivalente
du
fluide
au n~veau du piston.
t - r
t,-r
Cl.
b,1'J\\., e
(;.
c.
c..
u(t)
est
supposée
constante
sur
toute
la
surface
du
piston.
Pour
e (figure 2) tendant vers 0, l'équation (3) est indéter-
1 3.
minée.
Otani et
Jessel
la
remplace
par
l'équation
suivante
-il.
O,t);;.
( 4-)
~ (t) =: f-' (r
~ S _ oZ (t - -c- )
1
t ïï 1-
C
oZ le)
'0
avec
li- (t)
(accélération) .
<>t
La
figure
3
ci-dessous
illustre
la
construction
de
p(l"",e,t)
à
partir
de
l'équation
(3)
quand
le
signal
émis
(accéléra-
tion)
est
carré.
L'équation
(3)
fait
intervenir
u(t)
et
la
construction
se
fait
à
partir
de
l'accélération,
c'est-à-
dire de
la
dérivée
de
u(t),
la
figure
4 montre
différents
cas
suivant
la
valeur
de e et
de
la
dimension
a
du
rectangle
(piston
et
signal
rectangu-
1 air es)
( a)
a
5 c Zoe t
( b)
a
=
10 c 6'0 , ro é tan t 1 a dur é e
du
signal
émis.
1
~
1_("At)_ _
-~~t.~
uCt t
/
t...
t..
t•
Figure
3:
Construction
de
la
déformée
d'un
signal
carré.
.
.,
-5
-..
.j
ID
14.
9 - 0
.
,
L - - '
-1
-f
"
)
T
!J
T-
g • Z·52' (- O_OS rad)
/\\..S·..' (-0.1 rad)
L\\
9 - 10'
L
'" 9 - 20'
, 9 - 30'
/ "
(a)
,
,
1
0 e-0
1
1
!
1
1
1
-s
-. .J -,t -, 0
• , ... j~-
/\\ 9- 2·S2' (-O.OSrad)
~ 9 - S·••' (- 0.1 rad)
/
9 - 20·
...........
..........
(b)
Figure
4:
Piston
rectangulaire,
signal
rectangulaire.
1 5
8-3-2-2-4)
Echo
renvoy~ par une cible plane
rectangulaire.
Otani
et
Jessel
~tudient l'~cho d'une p~aque rectangulaire
de
surface S = 4ab,
de
côt~s 2a et
2b,1'onde
incidente
~tant
~mise par une source ponctuelle placée en 0 (figure 5).
y
x
o
figure
5
plaque
rectangulaire
insonifi~e par une
source
ponctuelle.
La
source émet
un
signal o<'(t) qU1 est à l'origine de
sources
v i r tue lie s
( sou r ces
sec on d air es)
sur
l a p i a que .
En
supposant
le
point
d'observation
confondu
avec
le
point
d'émission,
les
auteurs
trouvent
la
formule
suivante
pour
la
pression acoustique
r~fléchie :
-1\\- r lt) - Cote.. Cot~ ';( [ al- ((;~)
(5)
(
( Cb~
Co~~(\\,~ )
Otani
et
Jessel
font
remarquer
les
analogies
qu'il
y a
entre
les
équations
(5)
et
(3).
Notations
correspondant
à
l'équation
(5)
notations
de
la
figure
5
et
'Y ~ :; t - 1, r + t", .o'rn.'ô
t - ~r
C-
c
""""'C"
Quand
l'angle
~ tend vers 0, la formule (5) est indétermi-
née.
On
la remplace
p a r :
16.
ô2-ù"
CDlé, 0Z' (t - ~)
----
ot~
\\"~
(,
La
figure
6 illustre
le
cas
où
l'onde
incidente
est
de
forme
rectangulaire
et
la cible
une
plaque
rectangulaire
de
côtés
2a et
2b.
-----Lui,n_o('-(_'t"~:~_~'
_ . L . . - . . L - . . . L '
---'::'--.Je-
-5
-4
-J
-1
·f
0
Z
4
s-
r
{-
--------- 1~
r ","
1- 2·'8' (- 0.04 ra~i
n
1- J"
o
_ _ _.....r=J_.L-
~
1- 5v"~
-------c:..:..::r--.
Figure
6
échos d'une
plaque
rectangulaire
quand
le
signal
incident
est
de
forme
carrée.
Remarques
1 7 .
1)
Je
ne
partage
pas
l'opinion
de
Jessel
et
Otani
quand
i l s
affirment
dans
leur
texte
"la
base
théorique
de
notre
étude
est
presque
trop
classique
et
L'ON
EST
SURPRIS
QU'ELLE. N'AIT
PAS ETE
UTILISEE
PLUS
TOT."
(souligné
par moi).
En effet
dans
des
études
biea
~ntérieures à
la
leur,
Freedman
(réf.
20,
21,
22,
23,
24)
part
ùe
la
mêIïle
base
théorique
la
référence
21
est
un
texte
paru dans
la
revue
Acustica
en
1962.
Dans
la
référence
23
(date
de
parution
1971),
Freedman
trouve
pour
la
press~on en un point du plan médian d'un émetteur rectan-
gulaire
(plan),
une
expression tout
à
fait
semblable
à
la
formu-
le
(3)
donnée
par
Otani
et
Jessel .(dont
le
texte
est
de
1972).
2)
Limités
san~ doute par le nombre de pages à respecter pour la
rédaction
d'un texte
à
présenter
à un
colloque,
les
auteurs
ne
dévellopent
pas
suffisamment
leurs
calculs:
i l s ne
donnent
par
e~emple aucune explication justifiant le passage de l'expression
de
la
pression
pour
un
angle e
non
nul
(équation
(3))
à
celle
correspondant
au
cas o~
e est nul (équation (4)).
B- 3- 2- 3)
Mécanisme
de
formation
de
l'écho
acoustique
(réf.
21).
B-3-2-3-1)
Introduction
En
utilisant
une
méthode
d'analyse
semblable
à celle employée
en optique physique,
Freedman
(réf.
21)
étudie
le
mécanisme
de
formation
d'échos acoustiques.
La
cible
est
un corps
rigide
~m
mergé
dans
un
fluide
parfait.
L'onde
acoustique
incidente
est
une
impulsion de
type
général,
à grands intervalles.
L'explica-
tion
du mécanisme
de
formation
de
l'écho
s'applique
aux
ondes
courtes.
B-3-2-3-2)
Le modèle
Comme
indiqué
précédemment,
la
cible
à
l'origine
de
l'écho
est
sUpposéllrigide,
immergéodans
un
J:!Iili~u fluide
théoriqueIïlent
i l -
limité,
isotrope
et
non
dissipatif.
Le
traducteur,
la
cible
et
le milieu de
propagation de
l'onde
âcoustique
sont
fixes
dans
l'espace.
Freedman
s'intéresse
uniquement
au
phénomène
de
simple
18.
dispersion
(ou
dispersion
directe,
direct
scattering en
an-
glais)
i l
ne
considère
ni
la
dispersion
multiple
(multiple
scattering)
pr~pondérante quand
l'obstacle est
concave,
n1
les
ondes
rampantes
dont
l'influence
devient
notable
quand
les
longueurs
d'onde
croissent
jusqu'à être
de
l'ordre
de
grandeur
de
la
t a i l l e de
la
cible:
ainsi
Freedman
limite
son
étude
aux
cibles
convexes,
de
surface
non
rugueuse
et
de
di-
mensions
et
de
rayon
de
courbure
grands
vis-à-vis
des
lon-
gueurs
d'onde
é~ises
ce
qU1
lui
permet
de
faire
l'approxi-
mation
de
Kirchhoff:
dans
les
calculs,
on
ne
tiendra
compte
que
de
la parie
irradiée
de
l'obstacle.
Enfin,
les
traducteurs
sont
traités
comme
s ' i l s
étaient
ponc-
tuels,
avec
un diagramme
de
directivité
correspondant
à
l ' é -
mission
et
un
autre
à
la
réception.
Il
faut
rappeler
que
le
phénomêne
de
dispersion
(simple
ou multiple)
est
prépondérant
quand
les
longueurs
d'onde
utilisées
sont
petites
par
rapport
aux dimensions
de
la
cible.
B-3-2-3-3}
CAS
OU
~ ONDE
INCIDENTE
EST MONOFREQUENTIELLE
Soit
v.expl~wt) la tension appliquée a l'émetteur, v- étant
une
constante
réelle et
W
la
pulsation
angulaire,
Freedman
montre
que
la
tension
reçue
E(t)
est
donnée
par:
-t«J
tlt)
~)J d Wp l(')
.;)
d r'
(1-)
~I:> (~W t)
Avec
P
est
la
pression apparaissant
à
une
distance
d'une
unité
sur
l'axe
du
traducteur,
quand
la
tension
appliquée
à ses
bornes
est
un volt
(traducteur
fonctionnant
en émetteur)
c'est
la
constante
piézoélectrique
donnant
la
pression
en
fonction
de
la
tension.
1 9 •
-
H est
la
constante
piézoélectrique
permettant
d'exprimer
la
tension
apparaissant
aux
bornes
du
récepteur
en
fonction
de
la pression
incidente.
-
~ est la longueur d'onde
-
c
est
la
vitesse de
propagation
de
l'onde
dans
le milieu
où
se
trouve
la
cible,
V
est
la
fréquence
de
l'onde
émise
r t::,~~=) DH (1",8). Ft~e) dedr
r
j ~~)
\\Np ~r)
YL-
0
indique
la directivité
du
traducteur
à
l'émission
la directivité
à
la
réception
f(r,8)c:\\edj""
est
la
projection
de
l'élément
de
surface
ds
de
la
cible
dans
la
direction
de
l'onde
incidente
(coordonnées
polaires)
s~
y
est
l'angle
d'incidence
sur
ds,
on a
:
r (r,9)ded('
r
est
la distance
entre
l'.élément
de
surface
ds
et
le
tra-
ducteur
Wp(r)
est
l'angle
solide,
pondéré
par
la
directivité
à
l'émission et
à
la
réception,
sous
lequel
on
voit
le
traduc-
teur
à partir d'une
portion
S(r)
de
la
cible
la
partie de
S(r)
la
plus éloignée
du
traducteur
est
à
la
distance
r
de
celui-ci.
L'angle
solide
non pondéré,
W(r),
est
(9)
k
le nombre
d'onde
k
W/c. = 2.1f - 2lfV
est
:.
T
c..
Comme
indiqué
plus
haut,
y
est
l'angle d'incidence
su-r-l'é-
lément
de
surface ds.
La
figure
suivante
résume
les
défini-
tions
des
différents
paramètres
20.
1
Surface
insonifiée
bande
de
surface
entre
r
et
r+dr
ds
normale
à
ds
(9 , f )S:
émetteur
récepteur
Figure
7
Définition
des différents
paramètres
*
les
points
de
la
surface
irradiée
vérifient
une
relation
de
la
forme
r, e
et :f
étant
les coordonnées
sphériques
d'un
point
de
la
surface,
g
la
fonction
donnant
-:f
à
partir
de
r
et
de
e.
Reprenons
l'équation
(7)
E (t)
=
Soit
r~ la distance entre
le
traducteur et
le
point
de
la
c~
ble qui
lui est
le
plus
proche.
L'équation
(7)
est
valable
quand -i..r",
est
petite
devant
1 (défaut
à
très
grande
distance
du
traducteur).
Soi t
r
la distance
entre
le
traducteur
et
un
élément
de
sur-
t
face
pour
lequel
Wp(r)
ou
l'une
ou plusieurs
de
ses dérivées
nième
présentent une
discontinuité.
Soit ri
la distance entre
le
traducteur et
la partie
irradiée
de
la
cible
la plus éloignée
de
l'émetteur
2 1 •
Freedman montre
qu'on a
1
\\~
E ( t) =
avec E~ =
en
posant
:
avec
W {n) 1r )
p~ ~ ~'
, . 1 ( ..... ).
)
'w , tÎ
:
d é r. i v é e
n
i ème
de
Wp ( r )
n
=
0,
1 , 2 , . . . 00
r
iJ". P IL ~,( ~ l UJt - ~ft Î.~d)
J
Le
système'd'équations
(10)
peut
s'écrire
de
la
façon
su~van
te
0 0
E (t)
E.~ - L ((c} 1CI)
0=0
Quand
le
réflecteur
(on
appelle
a~ns~ le corps qui
réfléchit
et
(ou)
diffracte
l'onde
incidente)
est
suffisamment
éloigné
du
traducteur pour que
la
quantité ~/r~puisse être considérée
comme
constante
sur
toute
la
cible
(ou plus
exactement
sur
la partie
irradiée
de
celle-ci),
on
pose
et
on
a
Wp(r)
=
Aptr)
("t
trI
rm
est
la
distance moyenne
entre
le
traducteur et
le
réflec-
teur.
Pour chaque élément
de
surface
ds,
on
prend
sa
projection
dans
un
plan
perpendiculaire au
rayon
incident:
Ap(r)
est
la surfa-
ce
cumulée
ainsi
obtenue
à
la
distance
r
du
traducteus surface
pondérée
par
le
produit
de
la directivité
à
l'émission par
la
directivité
à
la
réception.
r
ApH =
5J>p«-,e)-1lHt.-,e). F(r,el dadr
a
Î~ CCffib~~
22.
A(r)
est
la
surface
c~mul~e, non pondérée,
à
la
distance
r:
1appelons que ~
est
l'angle
d'incidence
pour
l'élément
de
surface
ds.
Ainsi,
pour
une
cible
très
éloignée
du
traàucteur
et
de
di-
mensions
finies,
le
systèwe
d'équations
(la)
devient:
Quand
le
traducteur
est
de
plus
supposé
avo~r pour le réflec-
teur
considéré
une
directivité
uniforme
(à
l'émission
et
à
la
réception
),
les quantit~s pondérées Wp(r)
et
Ap(r)
sont
remplacées dans
les
êquations
précédentes
par
les
quantités
non
pondérées
W(r)
et
A(r)
respectivement
(on
enlève
l'indice
p
de
pondération)
B-3-2-3-4)
CAS
DU
aEGI~E
IMPULSIONNEL
En
régime
monofréquentiel
(cas
traité
dans
le
précédent
para-
graphe),
la
tension
appliquée
à
l'émetteur
était
V'. ~ (i...wt)
avec \\J
réel
et W
=.2..ïi.'\\>, \\) étant la fréquence de l'onde émi-
se.
En
régime
impulsionnel,
la
tension
appliquée
devient V-1.(t),
'V:t.(t) pouvant être complexe.
Soit
V(w)
la
transformée
de
Fourier
de '\\J"~(t) ; supposons
que
les
grandeurs
précédemment
utilisées,
P,
H, J>r\\(",e),
J)H (1", e), Wp(l") et])(Wp'~II1) vali"ient avec la fréquence (ou avec
la
pulsation
angulaire)
respectivement
sous
les
formes
sui-
vantes f(v,;) , H(uJ);
J)p(r,e,w)/ ])H(r,6,uJ), Wr(I"Jw) et J>(Wf'J<A)'T\\",'-'.Î).
L'équation
(12)
est
valable
pour
une
seule
fréquence
(régi-
me
monofréquentiel).
Considérons
maintenant
que
dE(g,n)
est
la
contribution
à
la
formation
de
l'écho
de
la
dérivée
n
iè-
me de Wp (rCj-J
(on
s u p pas e
que
Wp ( r )
présente
une
discontinui-
té
à
la
distance r cr du traducteur) dans la bande de fréquen-
23.
ce
dw :
de
l'équation
(12),
on
obtient
On
a
la
contribution
de
la
dérivée
nième
de
Hp«(''j)
sur
tou-
te
la bande
de
fréquence
en
intégrant
dE(g,n)
par
rapport
à
vJ
E[~,n) =.l~j~r ~~«") V(w) P(",)l1t"') 9' [ccv (t _l~)l ,-D(\\~~.~,,,,,'-')<1""}
B-3-2-3-5)
Solution
approchée.
Pour
calculer
l'intégrale
(13),
Freedman
fait
un
certain
nom-
bre
d'hypothèses
(approximations)
Il
suppose
d'abord que
le
produit
p(cv).
H(<..v)
est
constant
et
é gal
à
P (Wu ).
Il ( w:;)
pou r
v....)
co mp ris
en t r e
W,:,; - D. v.::/ 'L
e t
Wo+Aw/Let
nul
en
dehors
de
cet
i n t e r v a l l e : Wo-:=llT-vo
avec V:J
fréquence
centrale
de
la bande
de
largeur
Ô ,.J,).
L'équation
(13)
devient:
J)(yJPI~/11,u.J)V(~) .
.exrt- [~uJ(t - .z,~-Yl du.>
-
0-~
~
La
deuxième hypothèse
de
Freedman
est
que l W
J)('-'IfJ~ln,w)J
varie
très
peu
dans
la
bande
de
largeur
6..w,wc-Ô<~ ~w~w.:J+ bu..
Ainsi,
i l
v i e n t :
2 . . : t . .
. LU:) + thu/~
5
\\1 (uJ)e<r'-Gw(t -~?,-l] d cù
uJo -. Du) /2.
avec
Freedman
suppose
enfin que
tout
le
spectre
de
la
tension
V":i.lt)
appliquée
au
traducteur émetteur est
concentré
entre Wo -
(Jv.)/z,
et
Wo + /').v.;) (l
Ju..;'J+âu,,;/Z
V1.(t-:t~t_)~
.
V(~)ur-[Lw(t-~~'t_)]dc:.v
~v - âu;/l
24.
\\J(u..I)
est
la
transformée
de
Fourier
de
V:dt) (TF de if-dt)
Comme
le
spectre
de
Vi.(t) est concentré autour de wo, on
peut
écrire:
LJ-i(t) ~ çlt) «f-(~w:JL)
et\\:"1o lt -.z ~ Ci _) = \\} lt - .2 ~St_) U\\'", [~w
l
Q
t -- ~ ~~}-) ]
d ' o ù :
n)~ ~
E (g,
v--( t -1 <"'1_) p(u.;o) li (u;l ur-- [L('-'Jo t -2-L~ ~j')] ]) (~p, ~L;~~!
c..
Ac
(\\.-2.*..:;.)
co
'l~ ~=~ (W~~~~~~o)
Eg ",,, \\T (t - :I.r~~) J'("'~) k(uJo) Ur- f:-(,,",ot - 2. *0 <
c..
, 0
La
tension
totale
à
la
réception
est
t
E(t)
Eg[t)
1=1
Les
indices
g
correspondent
aux
distances
où
Wp(r) pré3e~teat
des
discontinuités
(Wp(r)
ou
l'une
ou
plusieur~ de ses déri-
vées
successives).
Pour
les
très
grandes
distances
justifiant
l ' llYpothèse
selon
laquelle
.4-
est
constante
et
égale
à
~
---,,-
, on pe ut rem-
-~-
r ....
ApJ.;
r""
m.
placer \\~p
par
(Wp
est
un
angle
so11de
et
Ap
une
su r-
Avec
les
hypothèses
énoncées
ci-dessus
et
en
remplaçant~~(ré
gime
monofréquentiel)
par
V(t-2r'h'Jc.) (régime impulsionnel),
on voit
donc
que
les
équations
donnant
E(g,n)
(et
donc
aussi
Eg
et
E)
sont
les mêmes,
qu'on
soit
en
régime
monofréquentiel
ou
impulsionnel
:
on
obtient
les
équations
en
régime
impulsion-
nel
à
partir
de
celles
du
régime
monofréquentiel
à
la
fréquen-
ce
Vo
(W:l =2.lT"o)
et
en
remplaçant
,,-
par
\\.T(t -:tr~/c..).
25.
Les équations
(14)
et
(15)
donnant
Eg deviennent
respective-
ment
:
eO
~ -:D (Wp 1 (Â 1 11)
n =,:)
- (~2 -ir
(À 6)
~~~L
V-\\'t- [- L:L ~ ( rS- c~) ] L J)
.
n =,:)
l ~ .l~) Il
Hg
\\f (t - l rCj 1c ). P. li. ~v [l. (u) t ._.z, * r-1.}J
\\J'(t)
est
la
tension
appliquée
à
l'émetteur;
i l
est
sous-en-
.
tendu
que
les
quantités
P,
H, A , C"J
,
k,
D(Wp,g,n)
et
D(Ap,g,n)
correspondent
à
la
fréquence
centrale
d'émission \\V0
On voit
ainsi,
AVE~ CES HYPOTHESES DE FREEDMAN,
que
Eg
a
la
même
forme
temporelle que
la
tension appliquée
au
traducteur·
Comme
le signal
reçu est
{
E(t)
~ Eg(t), on peut en conclure que
~=1.
L'ECHO TOTAL REÇU
EST
UNE
~UITE D'I~PULSIONS,
CHAQUE
IMPUL-
SION AYANT LA MEME FORME
TEMPORELLE
QUE
LA TENSION
IMPULSION-
NELLE APPLIQUEE A L'EMETTEUR.
Remarques
Si
les
hypothèses
formulées
par
Freedman
(bande
passante pe-
tite
par
rapport
à
la
fréquence
centrale,
toutes
les
quanti-
tés
fonctions
de
la
fréquence
variant
très
peu
dans
la bande
~W 1 etc ... ), s i don c ces h y pot h è ses ne son t pas r e s p e ct é es,
l'écho
reçu
sera
toujours
composé
d'une
suite
d'impulsions,
chaque
impulsion prenant
naissance
aux
endroits
du
réflecteur
où
Wp(r)
(ou Ap(r))
ou
l'une
ou plusieurs
de
ses
dérivées
suc-
cessives présentent
une
discontinuité.
MAIS
CES IMPULSIONS
N'ONT PLUS FORCEMEilT LA ~1E!1E
FORHE
TEi1PORELLE
QUE
LA TENSION
IMPULSIONNELLE APPLIQUEE
AU TRADUCTEUR.
La
figure
suivante
résume
le mécanisme
de
formation
d'écho
26.
Shadow
Ù"~ittet'~
f'egion
___
Rece:ver
__
Tro!r.SlT\\Ï1 te
1
pulse •
1
1
1'1
1'2
rio
~rJ
1
1
1
1
1
1
~r1 Dlw~~\\t:=
Oisc.ontinuit:es oceur here
~(rJ
-l~_1 __L.-
•
f r i
r _
Discontinuities CCCIr here
,
1
l
,
~-n~J" C\\Jrves can be drawn for the n th denvative
1
1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1
1
1 1
1
ErlVe/ope of echo
-f1
Ln
1=0
~
lU:
1
1
1 Echo t'ange 21' _
1
1
1
Figure 8
Mécanisme
de
formation
d'écho
d'après
la référence
21.
27.
)
DEUXIEME PARTIE
ETUDE THEORIQUE.
28.
C)
ETUDe THEORIQUE
Dans
cette
étude,
les
termes
"défauts",
"obstacles" ou
"cibles"
ont
été
indifféremment
employés
les
uns
à
la
place
des
autres.
De
façon
générale,
par
"défaut"
on entend
toute
discontinui-
té
matérielle
dans
un
milieu
i l
peut
s'agir
par
exemple
d'un
petit
disque
m~tallique immergé dans
l'eau,
d'un
trou
dans
un
bloc
d'acier,
etc . . .
Les défauts
ont
été
classés
en
deux
grands
groupes
1)
Les
petits
défauts
2)
Les
grands
défauts
C-l )
Définitions
C-l-l)
Petit
défaut
On appelle
petit
défaut
un
défaut
dont
la
plus
grande
dimen-
sion
transversale est
inférieurè
au
diamètre
du
faisceau
ul-
trasonore
incident
/ '
, /
- -- -
--..
Figure
9
petit
défaut
DF
diamètre
du
faisceau
incident
DEF
plus
grande
dimension
transversale
du
défaut
On a
DF
plus
grand
que
D~F
(définition du
pe-
t i t
défaut).
29.
C-I-2)
Grand défaut
On
appelle grand défaut
un
défaut
dont
la plus
petite
dimen-
sion transversale
est
supérieure
au diamètre
du
faisceau
in-
cident
Figure
10
:
grand défaut
DF
= diamètre du faisceau incident
DEF
= p14s petite dimension transversale du
défaut.
C- 1- 3)
Bord proche
et bord
lointain
Pour un défaut
plan
incliné
par
rapport
à
l'axe
du faisceau
incident,
on d~finit un bord proche et un bord lointain:
Le
bord proche
est
le bord du défaut
le p~us proche du tra-
ducteur émetteur et
le
bord
lointain celui
qui
en est
le plus
êloigné
bord Froc.he:...
--- - -----
-
- - - - - - - - ' -
---------
bord
Figure
1 1
Bord
proche
et
bord
lointain
30.
C-2)
APPLICATION
DES
EQUATIO~S DE F&EEDMAN DANS LE CAS OU
L'EMETTEUR-~ECEPTEU~
EST
UN
TRADUCTEUR LARGE
8ANDE
C-2-1)
Introduction
Freedman a
êtudi~ le wécanisme de formation d'~cho en faisant
un certain nombre
~bypoth~ses (r~f. 21),
l'une
des
plus
~m
portantes
~tant que
la bande
passante
de
l'~metteur est peti-
te
par
rapport
à
la
fr~quence centrale:
Il
montre
ainsi que
l'~cho renvoy~ par un corps rigide ~m
merg~ dans un milieu fluide parfait est
compos~ d'une ou plu-
sieurs
impulsions,
chaque
impulsion
ayant
la même
forme
tem-
porelle que
la
tension
impulsionnelle
appliqu~e à l'~metteur,
J'applique
~c~ les ~quations de Freedman dans
le
cas
des
~met
teurs-récepteurs
de
large
bande
(la
condition
ÔU)
<:~ ~
~~
n'étant
plus
vraie)
insonifiant
des
d~fauts plans à bords
francs
i l
apparaît ainsi
que
les
impulsions
renvoyées
n'ont
plus n~cessairement la même
forme
temporelle
que
l'impulsion
appliqu~e au traducteur (contrairement au cas trait~ par FreeJ·
man
dans
la
r~f~rence 21).
Je
suppose
que
les
impulsions
suc-
cess~ves ne se
cheva~chent pas,
~.e.
leur
longueur
est
infé-
rieure
à
la distance entre
deux
discontinuit~s success~ves.
Je
fais
les
autres
hypothèses
suivantes
a)
L'onde
~mise est plane et homogène (je ne tiens pas compte
de
la
divergence
du
faisceau
ultrasonore)
b)
La distance
entre
le
traducteur et
la
cible
est
grande
v~s
à-vis
des dimensions de
celle-ci.
C-2-2)
Equations
de
Freedman
(réf.
21)
Soit
~~(~la tension impulsionnelle appliqu~e à l'émetteur,
Y(w) sa transform~e de Fourier, les ~quations ci-dessous
permettent
de
calculer
l'~cho E(t)
(cf
la partie
bibliogra-
phique
du pr~sent texte
ou
la
r~férence 21)'
00
31.
tld
L r(C};n)
1
n=o
Pour
les
notations, voir
le
paragraphe
13-J-2-3.
Il
faut
rappeler
que
ces équations
ont
été
établies
par
Freed-
man
dans
un
cas
général.
C'est
seulement
au
niveau
des
appli-
cations
(calcul
de
l'intégrale
donnant
E(g,n)
qu'il
fait
cer-
taines
restrictions).
Wp(r)
est
l'angle
solide,
pondéré
par
la
directivité
à
l'émis-
sion et
à
la
réception,
sous
leqùel
ont
voit
le
traducteur
d'une
portion 'S(r)
de
la
cible
(partie
de
S(r)
la
plus
éloi-
gnée
de
l'émetteur
EHT
â
une
distance
r
de
celui-ci).
Comme
l'onde
incidente
est
plane
et
homogène,
on
peut
rempla-
cer Wp(r)
par W(r)
(l'indice D indiquant
le
phénomène
de
pon-
dération)
(hypothèse
a)
)
J ' a i
supposé
aussi
(hypothèse
b)
)
que
la
distance
entre
le
traducteur
et
la
cible
est
très
grande
par
rapport
aux
dirnen-
sions
de
celle-ci
on
peut
substituer
à
W(r)
la quantité
Blr)
CDl>(\\V)
~
t'ri
avec
lm
distance
moyenne
entre
le
traducteur
et
la
cible
V
angle
d'incidence
(le même
pour
tous
les
éléments
de
sdilace car la
cible
est
supposée
plane)
B(r)
surface
cumulée
égale
à
la
somme
de
tous
les
éléments
de
surface à
une
distance
du
traducteur
inférieure
ou égale à
r
(bien
entendu,
i l
n'est
question
ici
que
de
la
partie
irra-
diée
de
la
cible).
Le
système
d'équations
( 18)
devient
+c:KJ
..1_
\\
.
E lt)
L
te
)
=···.L E((j / (1)
'J=-i }
n=o
+coa
\\~rJ W(H) Y(w)L(w)H(wl·
j)(J3I~
- . . 0
jli, w) ur- [~\\.Ù(t -~-fl d LV
32.
Supposons
que
P(<"'i)
et
H(w)
soient
des
constantes
(constantes
piézoélectriques à
l'émission
(P(w)
P
pour
toutw)
et
à
la
réception
(H(<..v)
H pour
tout w)
on
a
='""
i
E ll) :: 2. Ec\\,
E~
~; i
~
n:::)
ElCI ,n) - ( L ) e \\-1
J
.l'ire...
r~
v (w) est lat ra n s for lU é e de f 0 l1 rie r deI a te n s ion ""1. (t) a p pli-
quée
à
l'émet~eur.
B(r)
est
la
surface
irradiée
cumulée
à
la
distance
r
du
traducteur.
D(B,g,n,~) indique comment la discon-
tin u i té,
à
l a d i s tan ce
r g
d u t rad u ct eu r,
d e I a
f 0 n ct ion
() n B(r)
)
~ ~n
notée Bl ...... (t)
(dérivée
nième
de
B (r»
varie
avec w
("",:: <u'\\J
\\J
,
}
est
la
fréquence;
n,
de
façon
générale
peut
varier
de
0
à
l ' i n -
fini
n
=
0,1,2, . . • )
en
rg.
C-2-3)
Echo
renvoyé
par
un
petit
défaut
plan
rectangulaire
Dans
les
calculs qui
suivent,
l'écho
est
la
tension
électrique
qui
apparaît
aux
bornes
du
traducteur
émetteur-récepteur
après
réflexion
et
diffraction
de
l'onde
ultrasonore
par
le
défaut.
L' impuIS~o.n électrique appliquée
est ","-:!(t)
et
l'écho
électrique
E ( t) .
C-2-3-1)
Cas
général
Pour
calculer B(r)
(surface
irradiée
cumulée
à
la
distance
r
du
traducteur),
j ' u t i l i s e
les
résultats
établis
par
Freedman dans
la
référence
23.
Supposons
un
petit
défaut
plan
rectangulaire
de
côtés
2a
et
2b
(figure~~). Supposons que l'onde incidente soit plane et homo-
...
gene
;
que
le
diamètre
du
faisceau
ultrasonore
soit
plus
grand
que
la
plus
grande
distance
transversale
du
défaut
(hypothèse
du
petit
défaut).
La
direction de propagation
de
l'onde
fait
avec
les
côtés
2a
et
2b
du
rectangle
respectivement
les
angles J
et ~
33.
Dans
le
cas
général
traité
ici ,~ :f;: -i~_ et
r,
)
-...
z
Figure
12:
Petit
défaut
plan
rectangulaire
:0{*11
et
~1=1f.
~
2.-
( a)
définitions
(b)
lDp 0(
< b
1 b
cet:> C>
Q.
( c) :
UJJ.J ..1.
> b
COl)
l'}
Cl-
(.l!
/*
/
* Direction de propagation
de
l'onde
incidente.
8
"
, r
-- llb --
ID
D
C
D
c
(oi
11.::)
La
distance
entre
le
traducteur
et
le
défaut
est
supposée
grande
vis-à
vis
des
dimensions
de
celui-ci,
tous
les
rayons
incidents
sont
parallèles.
Appelons Y'1
la
distance
entre
l'émetteur
et
le
point
A du
rec-
tangle
(A
étant
le
point
de
la cible
le
plus
proche
du
traduc-
te ur)
la
distance
r
entre
un
point
M quelconque du défaut et
le
traducteur
est
r
= 'C'i
+
m.
d hl
dr
Pour
le
point
B
r6
r:1 T
.ta.. cos 0(
C
rc
r 1.
+ :l 6 ws. ~
D
rJ)
r-:1
t
.z (CL c..o.so( +- b CL6 f3)
Selon
que
~~
est
plus
petit
ou
plus
grand
que
bla,les
lieux
L"'''~
des
points
du
d~faut à une distance r
constante
de
l'émetteur,
contenant
ou
B ou
C,
divisent
le
rectangle
en
différentes
par-
ties illontrées
sur
les
figures A2.-b
(CV')J...J(,..?)~<b/a) et
"2 - L
( C-<>·~J....I c..~~"> b/ C\\... )
~-
On
recherche
comment
varie ~B(~
dans
ces
différentes
parties
~ 'C ......
èt
on
calcule les
discontinuités
éventuelles
(présentées
par
.~'-~(...> )
quand
on
passe
d'une
zone
à
la
suivante
(par
la
Ô~~
34.
a(·.... )
)
suite,
on note u
(r-
la
fonction
'On B(r)
:
dérivée
nième
èr-'"'
de
B(r),
surface
cumulée
irradiêe
j
la distance
r
de
l'émet-
teur
(n étant
un entier naturel
pouvant
varier
de
0 à
llinfi-
n~; pour n =
0,
on a
bien entendu
B(r)
)
({I)
Pour
r<.r-i.
B (r) =0
pour
tout
n
(n
0,
1,
2,
etc . . . )
Pou r
C1. <.. r Z r-1. + l l Q. ce.601...
Zone
l
:
B(r)
:L-
m
-
~ u-'~(o(j lo;(\\3)
B(A)
.n
.-
(r)
-
C..Jb(,,<) Cu/) (,,1'3)
-1..
( 0 6 (..J.) (cb (13)
B«(~) -::. 0 pour tout n).2-
(''1=3 14-,5 / --- 00)
20 n e
l 1-' b:
( (01,) J.. 1Co p ,3 < b / c,- )
B(r)
-
.tC\\...
(m - G...- cüb d...)
-
c~b f3
ln)
)
B (î)::
>
0
pou r
t 0 u t
n
-1...
(n = <" ~ 14- .. , 00
20 n e
11- c
:
((O.b J. /
CoJ) I~
> b1CL )
b(r) -
~ b
(m -.b Col:> 13)
(A1DJ..
(n)
B (r) = 0
pour
tout
n
supérieur ou égal
à
1.
35 .
En
remplaçant
m par
ses
différentes
valeurs
lors
du
passage
d'unE
région à
la
suivante,
on
obtient
les
tableaux
l
à
VI
qui
permet-
tent
donc
de
calculer
les
discontinuités
D(B,g,n).
g peut
pren-
dre
4 valeurs
1,2,3
ou
4
(pages
36,
37).
On
voit
ainsi
que
les discontinuités
D(B,g,n)
existent
un~que
men t
pov~ n =
2.
( pou r
n
d i f f é r e n t
de
2,
i 1 n 1 y
a
pas
de
dis con -
tinuité,
D(B,g,n)
étant
égal
à 0).
En A et
en D (points
extrêmes),
D(B,g,2)
=
- ptc(oZ). J)t(.(I~)
En
B et
en
C (points
intermédiaires),
D(B,g,2)
=
+ i'JU... (J.)- ,lvec..(13);
e n no t an t fJcuJ.,:. .J/(J5~
i /Jet:. [3 =. -i / (ub (1.
On
a
donc
des
discontinuités égales 2
à
2
(les
deux
points
ex-
trêmes,
A et 1),
et
les
deux
points
intermédiaires,
B et
C)
Il
faut
maintenant
a~pliquer ces résultats aux équations ~v
page
32
Je
rappelle
ces équations
:
~
00
f(t) = >- Ec(
E'} -=
L El~111)
)
~:1.
n =0
1-,>0
)
GtrJ
lob ['-') .
w l d - c y (eu) •
-coD
..D (Lj1 Cd 1n 1 w) Url.- [WJ (t - ~~~- )Jd LV .
~
est
l'angle
d'incidence,
V(w)
est
la
transformée
de
Fourier
de
la
tension
"V:.i.(l:.) appliquée à l'émetteur.
Ici,
seule
la valeur
n =
2 nous
intéresse.
g =
i
ou 2
ou 3.ou 4.
D(13,g,n)
est
indépendant
dew
:
on
a
une onde
plane, homogène;
on ne
tient
pas compte de
la
divergence
du
faisceau
ultrasonore.
+00
.e.H.C.
(~).
Lob
J)(B 1 CJ f Z) J
v. (w)
~ ïï rl~
-00
L-uJ
36.
Tableau 1:
Discontinuités
en
A.
n
B_ (..) (rl)
B+ (..) (ri)
D(B,l,n)
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
seca sec{j
-seca sec{j
3
0
0
0
Tableau
II:
Di~continuités en B S1. LO})al../CO/J~ < b/a.
n
B_l'.)(,~)
R... ln l (,.,)
1J(B,2,,,)
-....
0
2()' cot,o ~ec{3
2<.'~ cot,o s/:'c{j
0
1
211 ~('c{j
2a ~('c{j
0
2
scca ~cc{3
0
seCn <:-ecfJ
3
0
0
0
Ta b 1 eau 1 1 1:
Dis con tin u i tés
e n
B s 1.
CJJ,b "" 1c.o~ j3 )
b1Cl.-
n
B_(n) (rI)
B+(..) (rI)
D(B,3,n)
0
2b (2a - b seca cos{j)
2b(2a-b seca cos{j)
0
1
2b seca
2b seca
0
2
0
- seen sec{j
~eCa ~ec{j
3
0
0
0
Tableaux
l
à
III
(Réf.23):
A.J2C-J..
37.
Ta b 1 eau
IV:
Dis con tin u i tés
en
C s ~
CO/:) 01..1 CJ:)j.) ~ < b 1Q.,
n
B_ (n) ('J)
B+(n)('3)
D(B,3,1I)
0
2a (2n - a cr),,-. seep)
2a (2b-a co~ see(3)
0
1
2a ~1:(3
2a sec{3
0
2
0
-seCa sec{3
seca scef3
J
0
0
0
T a b 1 eau V:
ù i s con tin u i tés
e n
C s ~
(a}:) ci.. 1(i)j;) (3 >b / Q., .
n
B_ (nI ('1)
B+(") ('t)
D(B,2,n)
0
262 seOl eo0:-{3
262 seca cosf3
0
1
2b seca
26 seCa
0
2
seeo ",~ef3
0
seelY secf3
3
0
0
0
Tableau VI:
Discontinuités
en
D.
n
D(B,4,n)
o
4ab
4ab
o
1
o
o
o
2
-seca sec{3
o
-seca seefJ
3
o
o
o
Tableaux IV
à VI
(Réf. 23):
/.).e,~ ": ~
~.,t
38.
~emarque : Jusqu'ici,
j ' a i
suivi
la méthode
de
calcul de
Freed-
man.
A partir de maintenant,
je ne
fais
plus
ses
restrictions
( entre
autres celle
imposant
que
la bande
passante
du
traduc-
teur
soit petite devant
la
fréquence
centrale).
=
transformée
de Fourier
inverse
de V(w) / LW
( TF--l de V(uJ) 1~ uJ
)
La variable
temps ici est
t-2rg/c
(la
soustraction
indiquant
une
translation)
Or
TF -~ (~:) )
.
En effet,
la transformée
de
Fourier de
la primitive
d'une
fonction
(par
exemple x(t))
est
égale
à
la transformée de
Fourier de cette fonction
(par exemple X( Lù ))
divisée
par
Lw.
E.
Je
note P~~(t)
la primitive de
*"
~~(t); posons L
H. c..wb\\;l
Je
suppose
que
les
signaux sont nuls,pour
tous
les
instants
t
inférieurs ou égaux à
O.
On a
donc
l::-t~
t -t4
E(l,2)
= -LJ "\\11. (~)d r;
E(4,2)
- L j \\J-i.(1:) cl G
0
0
t-t-t,
JO -t,
de même
E(2,2)
+ LJU"~Cr.)d r,
EC3,2)
+ L
tri- ('0) J-C.
0
Q
avec
tg
+2rg/c
;
rit-
("~ + .2, ( "-- c.oiJ ri. -+ b c.ob 13)
("3
r-:l + lb CO_b r>
s__
Wb 01./ W.b l'ô .( b /0..-
et
r3
- ("1. -t ~Q.. CO,.O 0(
-
si
tQ,O <1./ c..J..o (3 >b(Cv
("<.
("~
+ ~o... wb 0(
si
(..0» 0(/ COÂ) (3 <bl~
et
r:t,
('-i.
-+.2,6 ecb f3
si
co):) ~I Cvb (3 >b f0... .
L'écho total
reçu.
est E(t)
=
E(1,2)
-J
+ E(2,2)
+ E(3,2)
+ E(4,2):
t -t ~
Jt;-tt.
ainsi E(t)
=L\\-
'\\r-i.{t)dt
+
\\ritc;)d"&
Le
J~-l:-3 Jl;-t-". l
+ 0 lT... (1;) dZ;
-
0
"". . (1;Jd 7;)
0
ATTENTION:
Il ne
faut pas confondre P~1(t)
(primitive de ~4~)
a v e c
1 e
pro d u i t
de \\T. (~) par 1 a con s tan tep i é zoé 1 e ct r i que P :
P
lie
la pression au niveau du traducteur à
la tension appliquée.
39.
avec
L
P. H. c. . ~O);) ~lJ)
et
P et
H constantes
piézoélectriques
(P
à
l'émission et H à
la réception) ,
y
angle
d'incidence
(an~le entre la direction
de
propagation
de
l'onde
incidente
supposée
plane et
homogè-
ne
et
la normale
à
la
surface du
défaut
plan).
c
:
vitesse
àe
propagation de
l'onde
ùltrasonore
dans
le m~
lieu de
propagation
~: angle entre le côté de dimension 2a du rectangle et la
direction
de
propagation
de
l'onde
13·: angle entre le côté de dimension 2b du rectangle et la
.
direction de
propagation
de
l'onde
~: distance entre le traducteur et le point du défaut qu~
lui
est
le plus
proche
(ici
le
sommet
A)
r,~: distance moyenne entre le rectangle et le
traducteur:
rm = r-1,. + CL. w/:;d., -+ b. COb ~ •
.. .
Comme
précédemment
indiqué,
je note ELT-:i."<t)
la primitive
pâr
rapport
au temps
de
la tension ~~(t) appliquée
à
l'émetteur~
l'~cho total reçu E(t) s'écrit finalement:.
E
Lf-i
)
(t)
\\T1.lt -t...)+ ru,,- (t -t",) + Pu>-lt -t 3) - .f\\,.~ (1: -t,)J
~(~{)
-
t~
J
a v e c
tg
= + 2 r g / c ( g =1, 2, 3, 4);
f\\r-:L( t - tg)
de:)
V"f. (1:)
o
Ainsi:
L'ECHO RENVOYE
PAR UN
PETIT DEFAUT
PLAN
RECTANGULAIRE
DONT AUCUN
COTE N'EST PERPErlDICULAIRE
A LA DIRECTION DE
PRO-
PAGATION DE
L'ONDE
INCIDENTE
(PLANE ET
HOMOGENE)
SE
COMPOSE
~E QUATRE
IMPULSIONS,
CHACUNE DE
CES
IMPULSIONS AYANT
LA ME-
~E FORME TEMPORELLE QUE LA PRIMITIVE PAR RAPPORT AU TE~PS
DE
LA TE~SION
IMPULSIONNELLE APPLIQUEE
AU TRADUCTEUR
(E;IETTEUR-
RECEPTEUR)
(Les deux impulsions
extrêmes
sont
de
même
polarité,
cette
polarité étant
opposée
à
celle des
deux
impulsions
intermé-
diaires) .(cf.
figure FI
page 46
).
40.
Remarque
:
Les
quatre
impulsions dues
au
petit défaut
plan rectangulai-
re
dont
aucun côté
n'est perpendiculaire à
la direction
de
propagation de
l'onde
incidente ont
toutes
la même
amplitu-
de;
elles prennent
naissance
aux quatre
sommets
du
rectangle.
C-2-3-2)
ECHO DU A UN PETIT DEFAUT PLAN
RECTANGULAIRE
DONT
DEUX
(ET
SEULEMENT DEU~)
COTE~ PARALLELES SONT PER-
PERPENDICULAIRES A LA DIRECTION DE
PROPAGATION ùE
L'ONDE
INCIDENTE PLANE
ET HOMOGENE
On
reprend
le illême
rectangle de
cStés
2a et
2b.
Ici,
on
sup-
J
If
()............
d .
. . ,
d
Q (,,'(
)
*
pose
que 0\\=-,;
et
,...
r
.Les
1scont1nu1tes
e
':>
r
ont
lieu seulement
pour
le
cSté
de dimension
2a
(figure
13):
r
- - 2 0
•
ri
lb!
r.
r2
Figure
13
r~
plus
petite
distance
entre
le
traducteur
et
le rectangle
r.t., =
Pour
o pour tout n (n
0,
1 , 2 ,
.•• )
Pour
B(r)
= 0 pour n)1.
Pour
r >r~
B (r)
4ab
(surface
du
rectangle)
(Ill
B V")
o pour tout n supérieur à 0 ( n=l, 2, ••• )
Les
tableaux VII et VIII
(page suivante)
montrent
que
les
'D~)
discontinuités
de ~
(t)ont
lieu seulement
quand n
=
1
41.
D(B,g,n)
o pour tout n différent de 1
Tableau VII
Discontinuités en r~
n
J)(B,l ,fIl
o
o
o
o
1
o
2a ~t'cfj
- 2a !'("c{J
2
o
o
o
Tableau VIII
Discontinuités en
l"~
"
0(B,2,'I)
o
4ab
411b
o
1
2a sec{J •
o
2<1 ~ec{J
2
o
o
o
Pour
r =.r-i
D(B,I,I)
= - 2. a...
tableaû VII
Cob{3
Poûr
r =. ("t,
D(B,2,1)
-+
.2.0.-
tableau VIII
ûJbp
Tous
ce s
tableaux
(I
à
VIII)
sont extraits de
la
référence
23
Appliquons
ces résultats
(les
valeurs de
D(B,I,I)
et de D(B,2,1)
qu'on v1nt de
calculer)
aux équations J20)
de
la page 32.
Elt)~ ~E~
)
E~ ~ IE(~ln)
~-4
n~~
.
+00
EblnJ=(~~J ~l .Ul.l>(V) Ut r5w ,<.~")'JluJ}])l",jl n,u» •
-..0
~ [t.W lt- -2c.r~-lJ dLU
42.
Or
ici
n = 1 et g = l
ou 2.
Donc
l'écho
total
reçu e s t :
E(t)
=
El
+ E2
D(B, 1,1)
et D(B,2, 1)
ne
sont
pas
fonctions
de
la
fréquence;
ils
son t i n d é pe nd an t s
de
w
dan s
l ' in té g r ale
don n an t
E ( g , n)
je
peux donc
sortir D(B,g,n)
El
E(l,l)
E2
E(2,1)
Pour
g =
1 ou
2,
on
a
:
P. li. tD,t) (~) • J) ( ", q 1-1.)
Eg
J:7w) U{'- [è'" ct -2-~~-)J dCD
4-ïTt"~
- 0 0
1"..0
_
5"(w)€...<-r--Dw(l:-.z,~)JduJ est la transformée de Fourier inverse
,
de V(w)
pour
l'instant
t
-
2rg/c
(g
=
-cO
ou
2)
Avec
les
valeurs
de
D(B, 1,1)
et
D(B,2,1)
précédemment
calcu-
lées,
on déduit
El
et E2
:
:- ..P. 1-1.
El
t.OP (\\..1)
CL..
\\J-i. ( t - .2, ('4. )
.t:Tf r ~
W,l;JI~
Co
E2
+ .P. H . W~ (V)
0-
ü1.. (t -cZ r~ )
.t1T('~
w.n 1'3
c..
Posons
S't
.P. H . U)t (~). CL ; (1-> =1T-'-Y , y angle d' inci-
.11f('~
<.
dence)
L'écho
total
renvoyé par
le
petit
défaut
plan
rectangulaire
dont
seuls deux côtés
parallèles
sont
perpendiculaires
~ la
direction de propagation
de
l'onde
incidente plane et
homogè-
ne
est
E(t)
(
S~. est une constant'e égale à
P. H . Cl..-
tot (~) )
.2..Ir (' .t-
t11
43.
Ainsi:
L'ECHO RENVOYE PAR UN PETIT DEFAUT PLAN
RECTANGULAIRE
DONT
SEULS
DEUX COTES PARALLELES
SONT PERPENDICULAIRES
A LA DIREC-
TION
DE PROPAGATION DE L'ONDE
INCIDENTE PLANE ET
HOMOGENE SE
COMPOSE DE DEUX IMPULSIONS
DE POLARITE OPPOSEE
(inversion de
polarité),
CHACUNE DE CES
IMPULSIONS
AYANT LA MEME
FORME TEM-
PORELLE QUE LA TENSION
I:1PULSIONNELLE
APPLIQUEE
AUX BORNES DU
TRADUCTEUR EMETTEUR-RECEPTEUR
(cf.
figure F 2 page 46 ) •
Remarque
:
J'ai
remarqué
la même
inversion de
polarité dans
le paragra-
.
phe
C-3-3
(cf
infra page 67
)
en utilisant
la théorie du pro-
f i l
réflecteur:
dans
le paragraphe C-3-3,
on
a exprimé
l'é-
cho en fonction du signal
incident -(sur
le défaut)
alors
qu'i-
ci
l'écho
est donné
en fonction
de
la tension appliquée
à
l'é-
metteur,
\\.~(t).
C-2-3-3)
PETIT DEFAUT PLAN RECTANGULAIRE PERPENDICULAIRE A LA
DIRECTION DE PROPAGATION DE L'ONDE
INCTDENTE
SUPPO-
SEE PLANE ET HOMOGENE
L'onde
incidente est
toujours
plane et homogène;
le
petit
rectangle est
ici
perpendiculaire à
la direction
de propaga-
tion de
l'onde
incidente:
l'angle y
est
donc nul;
c{
~
~
ln)
S (r)
ne
présente
plus qu'une
seule discontinuité:
elle a
lieu pour
r
= n. et n = O.
a ln)
)
Pour
r<r~ ,u (r= 0 pour tout n (n = 0, 1,2,3, .•. )
Pour
r >("-1. 1 B(r) = 4ab (surface du rectangle)
ln)
(3 (r) = 0 pour tout n supérieur ou égal à 1
Il apparaît
ainsi que D(B,I,O)
=
-4ab
Reprenons encore une fois
les équations
(ZO}
et
faisons
n
0
et
g = l,
i l vie n t :
+eP
Jl.WV(w). Uf'[twl~- ~ r~ lJ dw (~S
.
)
-00
44.
V(oJ)
est
la transformée de Fourier de
\\J"-t..(t)
(qui est,
rap-
pelons
le encore
une
fois,
la tension appliquée
au traducteur
émetteur).
Donc
i..w.Y(w) e.shla transformée de Fourier de la
d~rivée de lJ1.(t) par rapport au temps, o~(~) (ou \\T~'(t».
La multiplication de
~.uJ. \\/(w) par Û-j\\..(-l,'\\'Ù·~\\-i./c..) correspond
à
la translation,
dans
le
domaine
temporel,
de
sa transfor-
m~e de Fourier inverse, translation d'une quantité .2.. Î-i-{C
Donc on a
:
E(t)
P H. Sn~..(..t
Posons Srect =' 4ab
(surface
du rectangle)
et
Q ~=
~lfc..("~
Il vient
E(t)
(-2.6)
D'où
L'ECHO DU A UN PETIT DEFAUT PLAN RECTANGULAIRE
PERPENDICU-
LAIRE A LA DIRECTION DE PROPAGATION DE L'ONDE
IUCIDENTE PLA-
NE ET HONOGENE A LA HEHE FORt-tE TEtlPORELLE QUE
LA DERIVEE PAR
RAPPORT AU 'TE~IPS
DE LA TENS IOn I:fPULS IONNELLE APPLIQUEE AU
TRADUCTEUR EMETTEUR
:
on retrouve
le même
résultat même si
le petit défaut
plan n'est
pas
rectangulaire,
s ' i l a
une
forme
quelconque;
la seule
condition est que ce soit un
dé-
faut
pian
(on retrouve
le
résultat
précédent en
rempl~çant
4ab
par
la surface du défaut
plan)
cf.
figure
F3 page 46 •
4
C-2-3-4)
Résumé
En étendant
les
formules
de Freedman
(réf.
21,
22,
23)
au
traducteur
large
bande
(ou
plus exactement
au
cas
où
la
ban-
de
fJ.w n'est pas petite devant la fréquence centrale), on a
les
résultats
suivants
(
ON
RAPPELLE
QUE L'ONDE
INCIDENTE EST
SUPPOSEE
PLANE
ET HO-
MOGErJE) .
1)
Un petit
défaut
plan
rectangulaire dont
aucun
côté
n'est
perpendiculaire à
la direction de propagation
de
l'onde
in-
cidente
renvoie un
écho
formé
de
quatre
impulsions,
chacune
de
ces
impulsions
ayant
la ~ême forme
temporelle
que
la
pri-
mitive par rapport
au
temps
de
la tension
impulsionnelle
ap-
pliquée
au traducteur émetteur-récepteur.
(Les
quatre
impulsions
sont dues
aux quatre
sommets
du
rec-
tangle.
Les
deux
impulsions extrêmes
sont,de mime
s~gne,op
posé
au signe
commun
des
deux i~pulsions intermédiaires.
El-
les
ont
toutes quatre
la mime
amplitude).
2)
Un petit
défaut
plan rectangulaire
dont
seuls
deux
côtés
parallèles
sont
perpendiculaires
à
l'axe
du
faisceau
inci-
dent
renvoie
un écho
formé
de deux
impulsions,
chacune de
ces
impulsions
ayant
la mime
forme
temporelle que
la
tension
1m-
pulsionnelle
appliquée
au
traducteur émetteur-récepteur.
(Les
deux
impulsions
sont
de
signes
opposés
(inversion de po-
larité)
elles sont
dues
aux deux bords
perpendiculaires à
la direction de propagation de
l'onde
incidente:
bord proche
et bord
lointain.)
3)
Un
petit
défaut
plan perpendiculaire
à
la direction de
propagation de
l'onde
incidente
(toujours
supposée
plane
et
homogène)
renvoie un écho
formé
d'une
seule
impulsion,
cette
impulsion ayant
la mime
forme
temporelle que
la
dérivée
par
rapport
au
temps
de
la tension
impulsionnelle
appliquée
au
traducteur ~metteur-récepteur.
(J'ai
fait
la démonstration dans
le
cas du petit
défaut
rec-
tangulaire).
Figures
FI.
F2
et
F3
46.
Echos
théoriques
dus
au petit
défaut
plan
rectangulaire
15 \\
/1
1
1
~ r\\ 111
~ 11
-15"
Figure FI : Echo théorique du rectangle quand cl 1;11
et it 1= ~
.l,
r
<..
4
2 5
fi " " F2 , i,h, 1hi,,;,ut dv "",,,1. ,,,.d J. =~" ~ l'V(,:AA J.. +- ~ ~\\: ~:1)
2 5
-1
FÏ!ure F3: icho théorique du rectlllll, perpendiculaire à l'axe du faisceau US : ~=~: Ti
.2.
47.
Remarque
:
Freedman.
en faisant
certaines hypothèses
(entre
autres
la
bande 6,u)
devant
être
petite
devant
la
fréquence
centrale).
trouve
que
l'écho
renvoyé
par
le défaut
est
toujours
compo-
sé
d'impulsions
ayant
la même
enveloppe q~e
la
tension
impul-
sionnelle
appliquée
à
l'émetteur.
Il
les
appelle
"image
de
l'impulsion"
("image
pulse").
C-2-4)
Extension des
résultats précédents
aux
grands
défauts
plans.
C-2-4-I)
Introduction.
Je
rappelle qu'un grand défaut a
été
défini
comme
un
défaut
dont
la plus
petite dimension
transversale est
nettement
su-
périeure
au diamètre du faisceau ultrasonore
incident
(conf.
paragraphe
C-I-2).
J'étends
ici.
par un
raisonnement
simple.
les
résultats
ob-
tenus
au paragraphe
C-2-3 précédent
aux
grands
défauts
plans.
L'onde
incidente
est
toujours supposée
plane
et homogène.
'Le grand défaut plan que Je considère es t en quelque sorte
un
rectangle
de
côtés
2a et
2b
pour a
et
b
très
grands
(dan s
le
cas
idéal.
a
et b
sont
infinis)
A
A 1---------
c.
a)
Petit
défaut
plan
b)
Grand défaut
plan
rectangulaire
Flgure
14
Définitions des
types
de
défauts.
48.
Pour
le grand défaut plan
idéal,
les sommets
B,
C et
D sont
rejetés
à
l'infini
(a
et
b
très
grands)
C-2-4-2)
Echo dû
à un
sommet
(écho de
so~met).
Je
reprends
l'exemple C-2-3-1)
petit
jéfaut plan
rectangu-
laire
(de
côtés
de dimensions
2a et
2b)
dont
aucun bord n'est
perpendiculaire à
la direction de
propagation de
l'onde
inci-
dente
supposée
plane et homogène
(
d.. *ïI et 1'5 "*1T ). Pour
z.-
-0
avoir
le grand défaut,
je considère
a
et b
très
grands
(dans
le cas
idéal,
a
et
b sont
i n f i n i s ;
dans
la pratique,
i l
suf-
fit
qu~ils sObent suffisamment grands pour que le faisceau
incident
ne
puisse
irradier
à
la
fois
qu'un
sommet
du rectan-
g 1 e) •
Ra yon
i n c i cl en t -.
- -..................
/
/
/
Figure
15
définition
d'un
sommet
0( :1: lT
1
A
-+ "lf'
T
t"'-r T
Dans Ces
conditions,
on
conçoit que
l'écho
renvoy~ ne sera
plus
formé que d'une
seule impulsion et non
de quatre
comme
dans
l'exewple
du petit défaut plan
rectangulaire:
en effet,
on a
vu que
les
impulsions qui
reviennent
sous
forme
d'écho
prennent naissance aux
sommets
du défaut quand aucun bord de
celui-ci
n'est perpendiculaire
à
la
direction
de propagation
de
l'onde
incidente,
qu'elles
ont
la même
forme
temporelle
que
la primitive par rapport
au temps
de
la tension
impulsion-
49.
nelle appliqu€e
au traducteurêmetteur-r€cepteur.
Or dans
le
cas prêsent,
le grand dêfaut
plan inclinê ne
prêsente
qu'un
sommet:
je fais
donc
la proposition suivante:
L'ECliO RENVOYE
PAR U~ SOMMET
(GRAND DEFAUT PLAN DONT AUCU~
BORD N'EST PERPENDICULAIRE A LA DIRECTION DE
PROPAGATION DE
L'ONDE
INCIDENTE)
A LA MEHE
FORME TEMPORELLE QUE
LA PRIMI-
TIVE PAR RAPPORT Au TE~PS DE LA TENSION
INPULSIONNELLE AP-
PLIQUEE AU TRADUCTEUR EMETTEUR-RECEPTEUR.
(Cet
êcho n'est
êvidemment
formê
que
d'une
seule
impulsion
je rappelle q~e ces
dêfauts plans
sont
supposés
avoir des
bords
rectilignes.)
C-2-4-3)
Echo de bord.
Je
reprends l'exemple
du paragraphe C-2-3-2
petit
défaut
plan
rectangulaire dont
seuls deux côtés parallèles sont
perpendiculaires à
la direction de propagation de
l'onde
~n
cidente.
Pour avoir
le
grand défaut,
je
considère que
a
et b
(dimensions du rectangle
:
2a et 2b)
sont
très
grands
rayon
incident
Fig.
16
définition
d'un bord
.J~' T
"'\\- r 1
L'écho
renvoyé
sera alors formé
d'une
seule
impulsion
(on n'a
qu'un bord)
de même
forme
temporelle que
la tension
impul-
sionnelle appliquée au traducteur émetteur-récepteur
(comme
au paragraphe C-2-3-2).
SO.
C-2-S)
Discussions
C-2-S-i)
Remarque
liminaire
Freedman montre
(réf.
22),
dans
le
cas
où
l'onde
émise est
plane et
homogène,
que
la quantité
D(B,g,n,w)(apparaissant
par exemple dans
le
système d'équations
(20))est
la même,
qu'on
soit en émission-réception ou
en
transmission.
Celd
est dû au fait
que D(B,g,n,w)
est
une
grandeur
caractéris-
tique de
la surface
(surface
réflectrice
en émission-récep-
tion,
surface émettrice
en
transmission).
On suppose
que
les
dimensions
et
le
rayon de
courbure
de
cette
surface
sont
grands par rapport aux
longueurs
d'onde
utilisées.
C-2-S-2)
Polarité de
l'écho
de
sommet
C-2-5-2-1)
Introduction
J'ai
fait
les
calculs
précédents
(paragraphe
C-2-3
et
SU1-
vants)
en
utilisant
le modèle
d'un
défaut
plan
rectangulaire;
ce faisant,
je me suis
limité aux
sommets
â
côtés
perpendi-
culaires
(paragraphes C-2-3 et C-2-4-2).
En
se plaçant en
transmission
(réf.
24),
Freedman a
calculé
la quantité D(B,g,n)
pour un
sommet
de
type
général
(l'angle
entre ses
côtés
pouvant être quelconque).
On
suppose
qu'on
a
une
onde plane et ho~ogène :
par conséquent,
D(B,g,n,w)
ne
dépend plus de w
et devient D(B,g,n).
Bien que
travaillant en émission-réception,
je peux,
en ver-
tu de
la remarque
liminaire
faite
en
introduction de
ce
para-
graphe C-2-S,
utiliser
les résultats
des
calculs
de
Freedman
relatifs
à D(B,g,n).
C-2-S-2-2)
Cas
général
Appelons
(figure
17,
page
suivante)
~
la projection de
l'axe
Ô
du
faisceau
incident
dans
le
plan du défaut
(supposé
plan).
51.
ët le côté du sommet correspondant au sens opposé à celui de
rotation des
aiguilles
d'une
lUontre
(Cf : counterclockwise
ed g e) ,
ë1 le côté correspondant au sens de rotation des aiguilles
d'une montre
(d : clockwise edge),
e~ l'angle que fait ci avec)(
e2. l' an g 1 e en t r e ct e t -::
t la normale à la surface du défaut
\\Y
l'angle d'incidence.
La
figure
ci-dessous
schématise
ces
différentes
définitions
(0...): 9A. < JI:
e~ < "..
z..
"l::
Figure
17
définitions
des
différents
symboles
Dans
ce
cas de
figure,
Freedman montre
que
D(B,g,n)
est non
n~l pour une
seule valeur de
n et
que
cette
valeur est
2.
Pour n =
2,
on a
:
- (t<t e~ - lC} 61.)
D(B,g,2)
avec
",im..t '+1
~emarques :
a)
Par souci de
clarté
et
d'homogénéité
de
mon
texte,
je n'a-
52.
dopte pas exactement
les
mêmes notations que
Freedman
(réf.24).
b)
Je
considère qu'on a
une onde incidente
plane et homogène,
que
D(B,g,n)
est
indépendante de ~
:
dans
l'intégral~ du sys-
tème d'équations
(20),
D(B,g,n)
est
donc
une
constante
(par
rapport
à
la variable d'intégration w)
:
elle ne modifie donc
pas
la forme
de
l'écho mais son amplitude.
c)
s i
e~ (0 u 6-t.
)
est
égal
à
90 degrés,
le
côté
correspon-
dant
du sommet est perpendiculaire à
l'axe
du faisceau
inci-
dent
et
renvoie un écho de bord
(paragraphes
C-2-3-2
et C-2-4-3)
~~~-2-3) Cas du sommet à côtés perpendiculaires
On a
alors
:J: ~.)
:2-
L'équation 27 devient
--1.
D(B,g,2)
(En effet,
4- e-j. - t~ e~
/<)irn.. (e 1. - 8;J,)
[COl<> e J
-i.
[(.0;'> e2]
Soit
toujours -:t la projection de l'axe!J.
du
faisceau acous-
tique incident, ? un axe perpendiculaire à 7 e t contenu dans
le plan du défaut
(supposé
plan)
: 7, y et rt forment une base
orthonormée.
On a quatre différentes possibilités
-~
suivant
que
Cl
se
trou-
ve dans
le
1er,
2ème.,
3ème ou 4ème quadrant
la
figure
18
de
la page suivante
résume
ces
cas
53.
(a)
(b)
----3jL------''----------)~
1
Cc)
(d)
Figure 18
sommet
à
côtés perpendiculaires.
On a
(équation 28)
D(B,g,2). =
-4
(~'8)
Le
signe de D(B,g,2)
dépend de
l'angle
S-:l. (pour un angle
d'incidence
\\fJ
donné,
la valeur de
D(B,g,2)
ne
dépend que
de
e-:i ).
On peut
é cr ire
D(B,g,2)
± -:i
54.
Le signe
-
correspond aux cas
(a)
et
(c)
et
le
signe
+
(de
D(B,g,2).)
aux cas
(b)
et
(d)
de
la
figure
18.
Remarque
:
Les cas
(a)
et
(c)
(D(B,g,2)
de
sl.gne
négat·if)
correspondent
aux
sommets proche A et
lointain Ddu défaut plan
rectangu-
laire du paragraphe
C-2-3,
les
cas
(b)
et
(d)
aux
sommets
in-
termédiaires
B et
C .
C-2-5-2-4)
Sommet axial
et
sommet non
axial
Comme on le voit
(figure
18 et
commentaire
suivant),
le
signe
+
ou
-
de
D(B~g,2) est lié au fait que les deux côtés du som-
met
se
trouvent
du même
côté
de
la projection ";t,
dans
le
plan du défaut,
de
l'axe 6
du faisceau
incident
(signe
+)
ou
,
~
d e
part
et d
autre de
cet
axe x
(signe
-).
Ou ce
qui
revient
,u même
le
signe +
correspond
au
cas où
les deux
côtés
du
sommet sont
du même
côté
du plan
(P)
perpendiculaire
au plan
du défaut et
contenant
l'axe
du faisceau
incident,
le
signe -
au cas où
ils
(les côtés)
sont de
part
et
d'autre
de
(P).
D'où ces définitions
a)
Un SOmŒT AXIAL
est un
sommet
dont
les
côtés
sont
de part
et d'autre du plan perpendiculaire
au plan
du défaut
et
conte-
nant
l'axe du faisceau
incident
(exemples;
sommets A et
D
du rectangle du paragraphe
C-2-3 et
cas
(a)
et
(c)
de
la
fi-
gure
18.)
b)
Un SOMMET NON AXIAL a
ses
deux côtés
du même
côté
du plan
perpendiculaire au plan du défaut
et
contenant
l'axe
du
fais-
ceau
incident
(exemples
les
sommets
B et
C du rectangle
uti-
lisé
au paragraphe C-2-3
et
les
cas
Cb)
et
(d)
de
la figure
18).
Ces
nouvelles
définitions
sont nécessaires.
Voici
pou~quoi::
, , "
1 · ·
'1
t
Les notions de
"sommet
proche
et
sommet
Ol.ntal.n
ne
son
pas
un
crit~re de discrimination de la polarité des échos de sommet:
en effet,
on vient de voir que
les
sommets
A (sommet proche)
et
D (sommet
lointain)
ont
la même
polarité.
L'important,
c'est la
position des côtés du sommet par rapport
au plan
contenant
55.
l'axe
du
faisceau
incident
et
normal
au plan du d~faut.
(Cornue on
le verra plus
loin cians
la partie
consacrée
a l'étu-
de
du
profil
réflecteur et
com~e il apparaît implicitement
j.
dans
le
paragrapue C-2-3-2
(pages
40 à
43,
équation
(24)
page
42
),
les notions
de
"bord proche"
et
"bord
lointain"
suffi-
sent
comme critère
de
discrimination
de
la polarité de
l'écho
de bord.)
En
résumé
D'après,
d'une part
l'équation
(28)
et
la
remarque
qu~ la suit
et d'autre part
l'équation
(22),
on a
les propriétés
suivantes
:1
a)
un SOMMET AXIAL renvo~e un ~cho de m~me forme que la pr1m~
tive
P\\T1.(t)
par
rapport
au::emps
de
l'impulsion électrique
~(t) appliquée au traducteur émetteur mais de polarité opposée
(à celle de
Pù'"-1.(t».
b)
UN SOMMET NOJ AXIAL renV01e
un écho de mêue
forme que
la
primitive PV~(t) par rapport au temps de l'iQPulsion électrique
~~(t) appliquée au traducteur émetteur et de m~me polarité
( que ce 11 e
cl e P Ir:!. ( t) ) •
C-2-S-2-S)
Relations
entre
les
dimensions
d'un
défaut
et
l'am-
plitude de son écho.
a)
Echo
de
sommet
Reprenons
les
équations
22
:
E(t)
= L.( -Pv1... (t-t-i.) + P\\.r~(t-t~ + PV;1.(t-t3) -
PUf-J (t-t4)
)
t'l
=
2rCff/c
(g
=
1,2,3 ou 4)
;
P~(t-t~) est la primitive par
ra pp 0 r t a u
t e mp s
d e
~( t - t If) .
-L.P"':t (t-t-i)'
+L.P'\\.l4(t-t~), +L.P"Ui. (t-t.3) et -L.P"! (t-tt..)
sont
les échos
dus
aux quatre
sommets.
La valeur
de
Lest
don-
née
au début
de
la page 39
c. P. H. CV.b(V)
L
<6 ïï f';; w_b 'l-)cû'oQ3}
P et
H sont
des
constantes
piézoélectriques,
c
est
la vites-
se de
propagation
des
ultrasons
dans
le milieu
contenant
le
défaut,r:
est
la
distance lnoyenne
entre
le
traducteur
et
la
l1
cible,
0\\
et
13
sont
les
angles
que
font
les
côtés
du
rec-
tangle
avec
l'axe du faisceau
incident, y
est
l'angle d'in-
cidence.
On voit
ainsi
que
L'AMPLITUDE DE
L'ECHO RENVOYE
PAR LES
SOMMETS
NE
DEPEND PAS
DES DIMENSIONS DU DEFAUT
(cette
amplitude
dépend,
entre
au-
tres
choses,
de
l'orientation du défaut
par
rapport
au
tra-
ducteur
émetteur
(et
ici
récepteur)
).
Le
rectangle utilisé comme modèle
a
les
côtés
de
dimensions
2a et 2b.
Remarque
Les positions des
différents
échos sont
données
par
les
ins-
tants b.-!., t~ , t3
, tl;. : d'après l'équation
(22),
tCJ =
2rfJJc
On trouve
les
différentes
valeurs
de
rC; à
la page 33
( g
=
1 ,
2 ,
3 ou 4)
('i,.
distance de A (soml!let du rectangle
le
plus
proc he
du
traàucteur)
à
l'émetteur.1
fit ::
roi
+ el ( CL U),bo{ -+ 6 CO,b~ li f?>:: ri. + .2, b co):> f' - ,
,Q\\-
-(OOb 1t1J.b ~J ( ~
- - - - - - - - - - - - - - - - _ . - - ~ - ._- ---
57
r3
r ~ -+ ~ 0..- cot> 0<
s~
UJ,.b 01../ Wb {3 > b /0..-
r t
r-1 ;.
~o. (0,00{
si
Wb 0{ 1w.b (3 <. b 1û..
r~
ri. + Zb co.bl3
s~
WPo<.l <-Q)) I~ ) 6/û.
Si on connaît
les angles 0< et ~
on peut calculer les dimen-
s~ons du défaut (ici 2a et 2b)
par
la
connaissance des
instants
t-i,t:~,t3 et t~ : il suffit de calculer les différences tif -
t~
(g =
2,
3, .4).
Si on ne
connaît
pas
ces angles,
une
série d'es-
sais pour différentes
positions
de
l'émetteur peut permettre
d'accéder aux dimensions
du défaut.
Ces mesures sont
(presque)
indépendantes du bruit.
b)
Echo de bord
D'après
l'équation
(24),
l'écho renvoyé
par
les
deux bords
du
défaut
perpendiculaires à
l'axe du
faisceau
incident e s t :
E ( t )
=
S't" ( -' \\1'"~ ( t - t l)
+ Ui( t - t ~)
? H. U)'t. (v) . .2.0.-
S't
4-11("~
On voit
ainsi que
l'AMPLITUDE
DE
L'ECHO DE BORD EST PROPORTION-
NELLE A LA DIMENSION DE
CE
BORD,
TOUTES CHOSES EGALES
PAR AIL-
LEURS.
Ici le bord concerné est de dimension
2a
(Il
s'agit en
fait
de
la dimension de
la partie diffractante
du bord:
partie
insonifiée par le faisceau
incident).
c)
Echo renvoyé par un petit défaut
plan perpendiculaire à
l'ax
du faisceau
incident.
D'après
l'équation
(26),
l'écho
renvoyé par un tel défaut
est
E ( t )
= - QS' \\J'~ (t - .2. r; )
Srect est
la surface du
rectangle.
Donc
l'AMPLITUDE DE L'ECHO D'UN PETIT DEFAUT PLAN PERPENDICULAI-
RE A L'AXE
DU FAISCEAU INCIDENT EST PROPORTIONNELLE A LA SURFACE
DE CE DEFAUT,
TOUTES
CHOSES EGALES PAR AILLEURS.
Remarque
:
L'équation (26)
a
été établie
dans
le
cas d'un petit défaut
plan
rectangulaire.
~ais on trouve 14 m~me forme d'équation pour
n'importe quel petit défaut plan perpendiculaire à
l'axe du
58.
faisceau
incident
(référence
46).
c-2-6)
Schématisation
Je résume
~c~ sur une figure l'ensemble des ondes réfléchies
et
diffractées par
le défaut
plan
rectangulaire
de
dimensions
2a sur
2b
:
" " "
"
" "
1
" " 1
-'1
1
1
or
~
O~èb
,
1
l.,2.b
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
"
1
'IV
,
Figure
19
:
"
Sc~ématisation des ondes renvoyées par le
défaut plan rectangulaire
(onde
incidente
plane et homogène
59
Signification des diff2rents
symboles
utilisés
sur la figure
precédente
:
T~
traducteur émetteur récepteur
2a et
2b sont
les
dimensions
du
rectangle
~
normale
à
la surface
du défaut
~
angle d'incidence
~
angle entre
le côté de dimension
2a et
l'axe b
du
fais-
ceau
incident.
\\3: angle entre le côté de dimension 2b et l'axe A du fais-
ceau
incident
01
onde
inciden te
(p lane)
: ~
OR
onde
réfléchie
(plane)
obéissant
aux lois
de
la réflexion:
Hl)
.
ODBa
:
ondes
diffractées
par
les
bords
de dimension
2a
:
ces
ondes sont
cylindriques
quand l'axe
du
faisceau incident est
perpendiculaire à
ces
côtés
(de
dimension 2a),
coniques dans
le
cas
contraire:
ODBb
:
ondes diffractées par
les
bords
de dimension
2b
:
ces
ondes
sont
cylindriques quand
l'axe
du faisceau
incident est
perpendiculaire à
ces
côtés
(de
dimension
2b),
coniques
dans
le cas contraire
:
ondes diffractées
par
~
DUS
les
sommets
(ondes
sphériques)
La figure
19 fait
~
comprendre que
suivant
l'orientation du tra-
ducteur
(à
la fois
émetteur et
récepteur)
par
rapport
au dé-
faut,
l'onde
totale
reçue
va se
composer de
chacune
des
ondes
précêdemment évoquées dans des
proportions diverses
(onde ré-
fléchie,
plane
comme
l'onde incidente,
onde
diffractée par
les bords
(bord de
dimension 2a ou bord de
dimension 2b),
onde diffractée par
les
sommets).
Il
apparaît ainsi que:
a)
plus on se rapproche
de
la position
y
= O( ~ =~ et J3 =~
plus i l y
a prépondérance,
dans
la composition de
l'onde
reçue,
de
l'onde
réfléchie OR ;
60.
b)
Plus on
se
rapproche
de
la position
~= ~ et J..=/= '1 (~* ~)
plus
l'importance des
ondes
diffractées
par
les bords
de
dimen-
sion 2b est
grande
;
*"
c )
Plu son t end ver s
l a p 0 s i t ion' tel l e
que 01... _ \\t
e t
Q
TL
~
P
.t
(
~~ 0), plus l'importance des ondes diffractées par les bords
de diillension 2a est
grande
d)
Plus
les
écarts
entre\\\\
et
chacun des
angles cL et~' seront
!J..
grands
en valeur absolue,
plus
l'importance
des
ondes
diffrac-
tées
par
les
sommets
sera grande
(on doit
avoir
si~ultanément
cL * ~ et ~ ~ f ).
Remarques
1)
Dans
les
cas
a),
b),
c)
et d)
ci-dessus,
i l
s'agit
toujours
de
l'importance d'un
type
d'onde par
rapport
aux autres
dans
la
composition de
l'onde
totale
reçue
par
le
récepteur.
2)
Un
travail
ultérieur pourrait être
consacré
à
une
étude
ap-
profondie
des
proportions dans
lesquelles
interviennent ces
différentes
ondes
dans
la composition de
l'onde
totale
reçue
par
le traducteur en
fonction
de
la position et
de
l'orienta-
tion de celui-ci.
C-2-7)
Conclusion
Tout ce paragraphe C-2 montre clairement que,
dans
le
cas
d'un
DEFAUT PLAN,
la diffraction de
l'onde
incidente est due
soit
aux
bords,
soit aux sommets
l'importance
relative
de
ces
on-
des
dépend,
toutes
choses égales par aill~urs, de 1'6rientation
du défaut
par rapport
au
traducteur
(ici
à
la fois
émetteur et
récepteur).
On voit ainsi que
le phénomène
de
surintensité
de
l'écho,
cons-
taté expérimentalement par De Vadder et al
(réf.
8 et
9),
ne
doit
pas,
en toute
rigueur,
être exclusivement
attribué
aux
bords de défaut:
dans
le
cas de
défauts
plans,
on devrait
plutôt parler de PHENOl-tENE
DE SURINTENSITE
DE BORD OU DE SOMMET,.
61
Je
rappelle,
pour
terminer,
que
j ' a i
supposé
qu'on
avait
une
onde plane et
homogène,
que
l'amplitude
de
l'onde
incidente
était
la même
pour
tous
les points
du défaut
cela m'a
per-
mis
de
considérer
la
quantité
D(B,g,n, W)
(ou D(W,g,n,'-'J))
comme
indépendante
de ~
(par exemple
dans
le
système
d'é-
quations
(21)).
Si,
pour
être plus
près
de
la réalité,
on
tient
compte
de
la variation de
D(B,g,n, W
)
en fonction
de W
i l
est évi-
dent
que
les
relations entre
les
différents échos
et
l'impul-
.
s~on électrique
(ici ·V (t)
)
appliquée à
l'émetteur
seront
1
modifiées
:
a~ns~, pour ne citer que cet exemple,
l'écho
de
sommet n'aura plus
nécessairement
la mime
forme
que
la .pri-
mitive
de
l'impùlsion -(~(t)). Hais il est important de noter
. :
c e c i :
la prise
en compte
de
l'influence
de t.v
sur D(B,g,n,w)
a
pour conséquence
une modificatioq.de
la
forme
des
impulsions
renvoyées
wais
ne
change évidemment
pas
leur
source
:
pour
un
angle
d'incidence
suffisamment
grand
(au-delà de
la degrés),
un défaut
plan dont
aucun bord n'est perpendiculaire
à
l'axe
du
faisceau
incident
renverra des échos
qui
prennent
leur
source à
ses
sommets
(la mime
remarque
est
valable
pour
les
échos
de bord).
Donc
LE PHENOUEHE DE
SURINTENSITE
DE BORD OU DE
S011~1ET
(précédem-
ment
évoqué)
A LIEU HEME
SI L'O:mE
INCIDENTE
N'EST PAS PLANE
ET HOHOGEiŒ.
Remarque
Par
la suite,
TOUS LES
DEFAUTS
UTILISES DANS
CETTE ETUDE SONT
SUPPOSES AVOIR UN AU MOINS DE LEURS BORDS PERPENDICULAIRES A
L'AXE DU FAISCEAU INCIDENT
(notamment
dans
la partie
consacrée
à
la théorie du profil
réflect~ur et dans celle relative à la
méthode de discrimination et
aux
résultats
expérimentaux).
52.
C-3)
Théorie
du
profil
réflecteur
(réf.
17,
18)
C-3-J)
Introduction
Bien que
la
théorie
du
PROFIL
REFLECTEUR,
qu~ fait
l'objet
du
présent
paragraphe,
soit
applicable
quels
que
soient
la
forme
et
le
type
de
défaut,
on
se
limite
ici
aux
obstacles
plans
ces
derniers
sont
en
effet
les
plus
à
craindre
car
des
concen-
trations
de
contraintes
se
produisent
au
vo~s~nage de
leur
pé-
ripnérie
sous
l ' e f f e t
de
sollicitations
de
la
pièce
(réf.
5).
Ceci
peut
entraîner
sa
destruction
soit
immédiatement,
soit
à
plus
long
terme
par
fatigue.
C-3-2)
Le
profil
réflecteur
(réf.
J 7)
_....~
( S)
\\
"-1
\\
ds
1
/
11\\
-------7--.------. ---
!
1
)
Figure
20:
Principe
général.
On
travaille
en émission-réception
d'impulsions
ultrasonores
l'onde,
après
réflexion
sur
l'obstacle
inconnu,
est
captée
par
le
traducteur.
Le
traitement
de
l'écho
a~ns~ recueilli donne
des
renseignements
sur
la
forme
et
sur
les
dimensions
du
dé-
faut.
63
Soit
s i ( t )
le
signal
électrique
d'émission
(fonction
du
temps
t;
et
Si(w)
sa
transformée
de Fourier.
Soit
sr(t)
le
signal
de
réception
et
Sr(w)
sa
transformée
de
Fourier.
(Les
lettres
minuscules
désignant
les
signaux
temporels
et
les
majuscules
leur
transformée
de Fourier
(TF)
La
théorie
du
PROFIL
REFLSCTEUR
permet
de
calculer
Sr(\\JJ) à par-
t i r
de S;(w)
le
rapport
de
ces
deux
grandeurs
étant
fonction
entre
autres,
de
la
forme,
des
dimensions,
de
la
rugosité
et
de
l'orientation
de
la
cible.
Dans
le
cas
o~ l'obstacle est un PLAN (INFINI)
PERPENDICULAI-
RE
au
faiscea~ d'ultrasons,
on
peut
admettre
q u ' i l
ne
modifie
pas
la
forme
du
signal
tout
se
passe
comme
s~
l'impulsion
était
directement
transmise
entre
deux
traducteurs
rigoureu-
sement
identiques
placés
face
à
face.
(On
suppose
ici
qu'on
a
une
onde
plane
infinie,
ce
qui
revient
à négliger
la
divergence
du
faisceau.)
Jans
ces
condition~ n'intervient que la fonction de transfert
du
traducteur
T(uJ)
(30)
Maintenant,
s~ la réflexion se fait
sur
un
obstacle
de
forme
et
d'orientation
quelconques,
on
doit
tenir
compte
d'un
autre
facteur, HcL{w),
qui
traduit
la
contribution
de
l'obstacle
à
la
déformation
du
signal
1 ' é qua t ion
(30)
c i - des sus
d e vie n t
(31)
H~(w) est la FONCTION DE TRANSFERT DE L'OBSTACLE considéré
elle
permet
de
calculer
son PROFIL
REFLECTEUR:
On
fait
les
hypothèses
suivantes
Figure
21
64.
-
L'onde
ultrasonore
réfléchie
par
l'obstacle
dans
une
direc-
tion
est
la
somme
des
ondes
élémentaires
réfléchies
par
chaque
élément
de
surface
ds
de
l'obstacle.
-
Les
ondes
incidente
et
réfléchie
sont
PLANES
ET
HOMOGENES
dans
la
zone
intéressée
par
les
calculs.
En
utilisant
le
principe
de
HUYGENS,
on montre
alors
que
l'am-
plitude
de
chaque
onde
élé~entaire est proportionnelle à
ave c ~
- e l'angle que fait la normale à l'élément de surface ds
avec
l'axe
du
faisceau
incident
-
c vite~se des
ultrasons
dans
le
milieu
considéré
-
r
distance
entre
le
traducteur
et
l'élément
de
surface
ds
Soit
ds'
la projection
de
ds
dans
un
plan
perpendiculaire
à
11 axe
du
faisceau
incident
ds'
=
ds.cos(e)
Soit
le
système
d'axes
d'origine
0
indiqué
sur
la
figure
22
(0
est
un
point
de
l ' o b s t a c l e :
théoriquement
ce
peut
être
un
point
quelconque.
Pour
simplifier
les
calculs,
on
pr~nd le point
le plus
proche du
traducteur
ou
un
point
de
symétrie).
Soit
XO
la distance
entre
le
traducteur
et
l'origine
0
des
axes.
La
projection
ds'
de
ds
dans
un
plan
perpendiculaire
à
l'axe
des
X (voir
figure
22)
est
fonction
de
x
(x
étant
l'abscisse
de
ds'
comptée
sur
l'axe
X)
on
pose
ds'
ds.cos(e)
R(x).dx
R(x)
est
par
définition
LE
PROFIL
REFLECTEUR DE
L'OBSTACLE
c'est
la
dérivée
de
ds'
par
rapport
à
x:
R(x)
ds'
/
dx.
si(t)
étant
le
signal
incident,
avec
les
hypothèses
précédem-
ment
émises,
le
signal
sr(t)
au
niveau
de
l'obstacle
est
-for:::>
sr (t)
w
S Q(x). si(t - ~: ) R(~) dX:
(32 )
XO.c.
-~
Ql~ est le coefficient de réflexion pour l'élément de surfa-
ce
ds
En
toute
rigueur/Q est
fonction
de
x,
ma~s pour simpli-
fier
les
calculs,
on
le
suppose
constant.
65
TR
-
xc
Figure 22:
Profil
réflecteur.
66.
L'~quation (32)
devient
+<:>0
J
(33)
sr(t) - Q.Lù
5, (t - Z~ ) il. (x) d x
XO.c..
-00
Si
on pose
2.x/c
t '
x
=
c.t'/2
L'équation
(33)
devient
1
J
Sl(t)
Q.w
+;; lt -l') R(c t/Zl(c/~) dt'
XO.c.
-~
si
on
prend
g(t')
( cl 2) .R. (c. t ' 12 ) on a
clt
5 r(t): Q.LU
j":. (t -tJ ~lt') J
XO.c.
-DO
Au coefficient multiplicateur
(Q.W)/ (XO.c.)
près,
sr(t)
est
le
produit
de
convolution entre ~i(t)
(signal
incident)
et
g(t)
(profil
réflecteur
exprimé
en
fonction
du
tewps)
(35)
(* indiquant,
comme on
sait,
la
convolution)
Si
on
indique,comme
précédemment,
les
transfor~ées de Fourier
par des
lettres
majuscules,
l'équation
35
devient:
Sr(w)~((Q,w)/(xo,c.))'S'(w). G(w)
(36)
(Q..u.J){(xo.c)). G(u.»
repr~sente la fonction de transfert de
l'obstacle
(grandeur traduisant
la
contribution
de
l'obstacle
à
la modification
du spectre de
l'onde
incidente).
La
fonction
de
transfert
de
l'obstacle
est
égale
au produit
de
la transfor-
mé e
de!? 0 uri e r
du pro f i l
ré f 1 e c t e ur
par Lv (e x a c t e lU e nt
p ar
Q.w/(xo.c). XO et c étant des constantes),. ce qui donne dans le
,
domaine
temporel
(à
QI ew.c)
p r è s )
.
LA TRANSFOR~EE
DE FOURIER
INVERSE
DE
LA FONCTION
DE TRANSFERT
D'UN OBSTACLE
EST EGALE
A LA
DERIVEE
(par
rapport
au
temps)
DE
SON
PROFIL REFLECTEUR.
67
(La multiplication
par u'J dans
le
domaine
fréquentiel
correspon-
dant
à
une
d~rivation dans
le
domaine
te~porel).
C-3-3)
Cas
particuliers
C-3-3-1)
Equation
générale
En
reprenant
les
notations
de
la
figure
22,
on
montre
que
l'on-
de
réfléchie
est
donnée
p a r :
(réf.
Id)
Avec
S'
projection,
dans
un
plan
perpendiculaire
à
l'axe
du
faisceau
incident,
de
la
surface
réfléchissante
S.
(En
posant
(i.x)/c
= t,
ds'
= R(x)dx
g ( t ) . d t )
( c / 2) .R ( c . t / 2) dt
=
g ( t) • dt) •
- Q co e f fic i e.n t
d e r é fIe x ion
(s u pp 0 s é
con s tan t ) .
-
XO
est
la
distance
traducteur-obstacle
(distance
moyennE
-
c
est
la
vitesse
de
propagation
de
l'onde
dans
le
miliel
considéré.
C-3-3-2)
Petit
défaut
plan
perpendiculaire
au
faisceau
lncident
D'après
(37)
Sr(w)=
02-ïT XC. C
Dans
le
cas
d'un
petit
défaut
plan
perpendiculaire
au
faisceau
incident,
tous
les
éléments
de
surface
ds
(ici
ds'
=
ds)
se
trouvent
à
la même
abscisse
(suppos~e nulle).
On
a
alors
Sr(Lù) =
~1T XO.(.
(s
= surface de l'obstacle supposé plan).
,
Cl
Ù
u .
d ' o ù :
s
Sr(w)
S'. (w) ex{L ( -l- ..~ , xo )
~. Q.U)
- - - -
-! 1\\ )(0. (.
(3~)
avec
A = (~:-S2_ _
.{.:iT )( 0 C-
Dans
le
domaine
temporel
et
en posant
t v - )(0
et si I(t):: ~hi{~l
c.
dt
on a
d'où:
UN
PETIT
DEFAUT
PLAN
PERPENDICULAIRE
AU
FAISCEAU
DERIVE
L'IMPULSION
INCIDENTE
(Le
déphasage
traduisant
simplement
le
décalage
entre défaut
et
traducteur).
REdARQUE
A=-( Q5)/ ( ~ Ir. X(). c... )
l e s i g ne
d e s r ( t )
dép end
de
Q,
coefficient
de
réflexion.
Dans
le
cas
d'un
obstacle
immer-
gé
dans
l'eau,
Q est positif de façon générale (impédance acous-
tique
de
la
cible
supérieure
à
celle de
l'eau).
C-3-3-3)
Petit
défaut
plan
rectangulaire
Figure
23
69.
Soit
un petit défaut
plan
rectangulaire
(figure
23)
d'après
l'équation
37,
on
a
:
S;(w) f--<r- ( - ~ ~ XO)
.(" Tf xO c-
( on
suppose
ici
que
les
deux côtés
parallèles
de
dimension
2e
sont
normaux
à
la
direction de
propagation de
l'onde
inci-
dente).
CALCUL DE L'INTEGRALE
L'élément
de
surface ds
(hachurée
sur
la
figure
de
la
page
précédente)
est
égale
à
2.e.dh
Soit
x
l'abscisse,
comptée
à
partir
de
0
sur
l'axe
(o,X),
de
M
\\
M
Figure
24
x
= h.si~(e)
:
d'on
dh = dx/sin(e).
(La
surface
étant plane,
e
est
une
constante)
ds
= 2.e.dh =
(2.e.dx)/(sin(e)).
La
projection
de
ds
dans
un plan perpendiculaire à
l'axe
(O,X)
es t
:
ds'
= ds.cos(e).
Or par définition,
ds'
= R(x).dx
,
(R(x)
étant
le profil
réflecteur)
ds'
=
(2.e.dx) .cos(e)/sin(B)
R(x).dx
d'on
:R(x)=
(2.e.cos(e))/sin(e) .
Pour x
compris entre
-d.sin(S)
et
+d.sin(e) ,on
a
R(x)=
(2.e.cos(e))/sin(S).
Et pour
tout
x en dehors
de
cet
intervalle/Rex)
0:
70.
~ e (C~.~__
/':),'11 C'
______---'----_-:-
=--
~.i.------.:;.
- cl fJ,'l1.. a
0
1- cl/JI 'n" e
Figure
25:
Profil
réflecteur
(espace).
si
donc
on
remplace
ds'
par
R(x)dx,
on
a
U~, ~
(-
l.c-tL: X,)J- cl pOOL :
"V L W
_ d 1;), "'- C1
:~\\rl'\\., (-2 T cl 7\\l1ffi. e)
,
...A-
lA)
C-
f;J1m. (-<- ~ d pirrL El )
(:<, ~ cl J:J~(Q G)
71.
En
reprenant
l'équation
(37)
et
en
remplaçant
l'intégrale
par
sa
valeur calculée
en
(40),
on
trouve
le
spectre
Sr (LU)
de
l'onde
renvoyée
en
fonction
de
celui
de
l'onde
incidente
Sr
LL'
xo)
(u:) = .9\\ ~ é-.d) cvb~G)
~
Û1V (-
c
L \\.l) •
-l..1\\, X\\)"L
-
4.e.d
est
l~ surface du rectangle de côtés 2.e et 2. d
(s
=
4.e.d).
- Q est le coefficient de réflexion
S '1.
on
po s e
Q.S
A
,
on
obtient
:;. IL >( o. c..
a)
9 DIFFERENT DS 0
(DEFAUT INCLINE PAR RAPPORT A L'AXE DU
FAISCEAU INCIDENT)
Dans
le
domaine
temporel,
l'équation
(41)
devient:
-
avec
sr(t)
transformée
de
Fourier
inverse
de
Sr(w)
-
si(~) ~ transformée de Fourier inverse de Si(w)
fJl~
F(w)
( ~. cl . r.>;m G)
L L'J.
l3 u) , cl· }v;rn G)
c
72.
tWTL- ( 2 ~'-i
e)
• cl _,JI 11
'------C~-0
cL. 1~,I.n- er est une fonction S1nus cardinal (sine)
sa
transformée
de
Fourier inverse est
la
fonction
rectangle.
(Pr~cédemment, on a trouvé ce résultat par un raisonnement;
on vient
de
le
retrouver
ici
par
calcul).
Si
on multiplie
la
fonction
S1nus
cardinal
(sine)
par
{"I-U
on
dérive
sa
transformée
de
Fourier
1nverse
(qui
est
encore
une
fois
la
fonction
rectangle):
l'équation
(42)
devient
A .c. l00(8)
4d. p,rn.Ce)
("{.ct (t
) est une f 0 net ion r e c tang 1e deI a r ge ur! tA'
oZ.c1.
-,J.
(On passe de
la
variable
d'espace
à
la
variable
temps
en écri-
vant X=.
ct
)
:t.
La
figure
26
de
la page
suivante
représente
la
fonction
rectan-
gle
:
73.
-..t-i
o
Figure
26
(On
rappelle
qu'on suppose
l'onde
plane
et
homogène).
Sa
dérivation par
rapport
au
temps
donne
donc
deux
impulsions
de
Dirac de
signes
opposés,
positionnées
en
-t-i et
-tt-1,.:
~ (1\\.uttt/.&t~) -
clt
L'équation
(43)
devient:
... -
•
Sl.
sr(l:) -
to
= XO/c tient compte de la distance entre le traducteur et
l'obstacle.
t {= -l-c\\ p~(1\\.. e
fait
intervenir
l'obstacle.
Co
Soi t
tl. =- t 0 - t-1..
Si
on place
l'origine
d'où
5("(~) = A c.. c..oP e
4 d p',(fl.8
74.
D'où
le résultat suivant
UN PETIT DEFAUT PLAN RECTANGULAIRE
INCLINE PAR RAPPORT A l'AXE
DU FAISCEAU INCIDENT RENVOIE DEUX ECHOS
DE
POLARITES OPPOSEES,
DE MEME FORME QUE L'IMPULSION INCIDENTE.
L'écho renvoyé
par le petit
défaut
plan
rectangulaire
incliné
par rapport
à t'axe du
faisceau ultrasonore incident et dont
deux côtés parallèles sont perpendiculaires à
cet axe
est donc
formé
de deux impulsions
l'impulsion
/\\. C- • (CD e
est due
au bord du défaut
le plus proche du traducteur
(BORD PROCHE)
et
- /1. Co. COb e si (t - t&)
4- cl . J:) IrQ e
à
son bord le plus éloigné du
traducteur
(BORD LOINTAIN).
On voit
ainsi que:
BORD PROCHE ET BORD LOINTAIN
RENVOIENT DES ECHOS
DE POLARITES
OPPOSEES,
DE MEME FORME QUE L'ONDE
IMPULSIONNELLE
INCIDENTE.
Remarque
: LE BORD PROCHE ET LE BORD LOINTAIN SONT LES DEUX
COTES PARALLELES DU RECT~NGLE
QUI SONT PERPENDICULAIRES A LA
DIRECTION DE PROPAGATION DE L'ONDE
INCIDENTE
(figure
ci-dessous).
Direction de propagation
de
l'onde incidente
Figure 27:
Bord proche
(BP)
Bord lointain (BL)
75.
Je
rappelle
que
tout
ce
qUi
précède
est
basé
sur
l'approxima-
tion
de
l'onde
plane
et
homogène.
De
plus
deux
côtés
parallèles
du
rectangle
sont
perpendiculaires
à
la
direction
de
propaga-
tion
de
l'onde
incidente.
b)
e = 0 : PETIT DEFAUT PLA~ (rectangulaire) PERPENDICULAIRE
AU FAISCEAU:
On
reprend
l'équation
(41)
x ----70
X
dDrn..c.. :
1~111\\. (L4IJI~lte), I.D )
1.
( 2- . d.~_;rn(e.)._ .1.0)
Ainsi,
pour 8
tendant
vers
0,
on
trouve
S r (w) - A. ex (l (- L.~~. )(0_) . ~ w. S; (w)
.'
Si
on
revient
dans
le
domaine
des
temps
sr (l-:) =
)(0
G
On
retrouve
ainsi
le
résultat
obtenu dans
le
cas
général
:
UN PETIT DEFAUT PLAN(ici
de
forme
rectangulaire mais
pouvant
être
de
forme
quelconque)
PERPENDICULAIRE
AU
FAISCEAU DERIVE
L'IMPULSION
INCIDENTE.
7 [) •
C-3-3-4)
BORD
PROCHE
ET
BORD
LOINTAIN
Avec
toujours
l'hypothèse
de
l'onde
incidente
plane
et
homo-
gène
(infinie),
j'étends
les
résùltats
obtenus
avec
le
petit
défaut
plan
rectangulaire
incliné
au
bord
d'un
grand
défaut
plan
défaut
incliné
dont
un
bord
est
perpendiculaire
à
la
direction
de
propagation
de
l'onde
incidente.
(défaut
type
fissure)
On
a
vu que
la
représentation
spatiale
du
profil
réflecteur
d'un
petit
défaut
plan
rectangulaire
dont
deux
côtés
paral-
lèles
sont
per.pendiculaires
à
l'axe
du
faisceau
ultrasonore
incident,
défaut
incliné
de
e
par
rapport
à
cet
axe,
est
une
fonction
rectangle
d'amplitude
lt:.lOIJ8 et
de
largeur -2.cL~,·'lt8.
')II'L 8
Au
lieu
de
placer
l'origine
des
x
à ~i-distance
des
extrémi-
tés
du
rectangle
(page
70),
choisissons
la
comme
début
de
la
fonction
porte
R(x)
2,.-(. c.ast3
.sine
o
FilSure
28
si
on
fait
tendre
d
(donc
2d)
vers
l ' i n f i n i
(d
très
grand
de-
vant
la
plus
grande
des
longueurs
d'onde
de
l'impulsion
inci-
dente),
l'angle
d'incidence
étant
différent
de
90
degrés,
on
obtient
comme
profil
réflecteur
une
fonction
de
Heaviside
(le
côté
de
dimension
2d n'est
pas
perpendiculaire
à
l'axe
du
faisceau
ultrasonore
incident)
R(x)
~ -e.{A)9
.5i~é 1 - - - - - - - -
o
Figure
2~
77.
En
théorie,
s~ on fait
tendre
e
(donc
2e,
dimension
du
côté
normal
à
l'axe
du
faisceau, incident)
vers
l ' i n f i n i ,
l'échelon
de
Heaviside
aura
une
amplitude
infinie.
En
pratique,
ce
ne
sera
pas
le
cas
car
le
diamètre
du
faisceau
incident
n'est
pas
infini.
D'où
les
résultats
suivants
(les
fonctions
sont
re-
présentées
dans
le
domaine
temporel
on
fait
le
changement
de
variable
espace-temps
en
posant
x
= c.t/2,
t
indiquant
la
variable
temps
et
x
la
variable
espace.
L'instant
de
début
de
l'émission
est
considéré
comme
origine
des
temps)
(On
suppose
que
les
obstacles
présentent
des
bords
francs).
C-3-3-4-1)
Bor·d
proche
Soit
un
demi-plan
incliné
son
bord
qu~ est
le
plus
proche
du
traducteur
est
son BORD PROCHE
TR
, ,.,,,,,,
Figure
30
(dans
les
calculs présentés
~c~, on ne prétend pas à la rigueur
mathématique).
Son
profil
réflecteur
a
la
forme
d'UN
ECHELON
DE
HEAVISIDE
p o s ï t i t
(bord
proche
et
coefficient
de
réflexion
supposé
po-
s i t i f )
. - - - - - - - - - - - - - - - - -
o
--->
to
t
Figure
31
78.
L'équation
(37)
peut s'écrire
aussi
sous
la
forme
suivante
En effet
:
) cl X
est bien
la transformée rie Fourier
(TF)
du PROFIL REFLECTEUR.
Jon c
:
c··
)
2Jr (i.L)
.... JI (vJ
'
~ans
le domaine
temporel,
l'équation
(45)
devient:
(4 (,)
( \\
G
Sr t);;
_ _-
~1f)(o. c-
sr(t)
se LDet SOlIS la forme:
B est une constante faisant intervenir la cotangente (cot) de
l 1 angl e d' i nc; dence 6: comme e es t compri s entre a et 11 , on a
,
~
cot('8) '> a
(CF supra page 73, équation 44-a, S'f(A:')
LE BORD PROCHE RENVOIE UN ECHO DE MEME FORME QUE LE SIG~AL
IN-
CIDENT (ET DE HEHE SIGNE SI:è> 1;)
,CE QUI EST LE
CAS SI LE
COEF-
FICIENT DE REFLEXION, Q.,
EST POSITIF
(exemple de
l'immersion
dans
l ' ea u) ) .
79
C-3-3-4-2)
Le bord
lointain
bord loinrain
~ /
...
Figure 32
LE PROFIL ~EFLLCTEUR a la forme suivante
......_ - - - - - - - - - - - - - >
to
~
Figure 33
La dérivée
(par rapport
au temps)
de
ce profil
est donc une
~m
pulsion de Dirac négative.
En reprenant
l'équation
(46),
on a alors:
srtt) = - B SOl- \\t- to)
(~~)
LE BORD LOINTAIN RENVOIE UN ECHO DE MEME FORME QUE LE SIGNAL
INClùENT.
LE BORD PROCHE ET LE BORD LOINTAIN RENVOIENT DES ECHOS DE PO-
LARITES OPPOSEES
(on retrouve L'INVERSIO~ DE POLARITE).
80.
RE;·IARQUE
L'approxi~ation du champ plan est valable
tant
que
les
dimen-
sions
transversales
du
réflecteur
sont
petites
devant
la
dimen-
sion
transversale
du
faisceau
(pour
la
plus
haute
fréquence
uti-
lisée).
Il
faut
aussi
que
dans
l'étendue
du
réflecteur,
la
dif-
férence
entre
les
surfaces
équiphases
réelles
(courbes)
et
le
modèle
(plan)
soit
négligeable
devant
la
longueur
d'onde.
A
l'évidence,
ces
conditions
ne
sont
pas
réalisées
pour
le
demi-
plan
étendu
jusqu'à
l ' i n f i n i .
Or
on
trouve
des
résultats
expé-
rimentaux
qui
semblent
confirmer
cette
théorie
dont
toutes
les
rrypothèses
ne
sont
pas
reun~es (voir plus loin).
On
propose
l'explication 'suivante
L'amplitude
du
champ
ùltrasonore
décroît
radialement
de
manière
progressive.
Lorsque
l'on
calcule
la
réflectivité
du
demi-plan
dont
le
bord
coupe
l'axe
du
faisceau
comme
indiqué
ci-dessous:
--,1
Figure
34
Un
élément
réflecteur,
ds,
correspond
à
la
fois
a)
à
un
retard
( 2.x)/c
par
rapport
au
début
de
l'échelon
de
Heaviside.
b)
â
une
diminution
de
l'amplitude
incidente.
(Dans
les
calculs
précédents,
on
ne
tient
en
fait
compte
que
de
la
première
condition -
hypothèse
d'onde
plane
).
On
propose
donc
un
modèle
de
profil
réflecteur
qui
serait
de
la
forme
suivante
Figure
35
81 .
Ce ~ror:il réflecteur rend compte
~ la fois de la transition
brusque
lorsque
l'onde
2horde.
le bord du réflecteur et de
la
décroi~Jance cie l'aQplitude corrélative à
l'augmentation du
retard.
Ce profil
réflecteur,
s~ la àécroissance n'est pas brusque,
donne en pratique des résûltats
très
proches de
ceux obtenus
précédemment,
tout en n'étant
pas
limité à
l'approximation
de
l'onde plane.
C-3-4)
~ésJmé des conclusions
théoriques
On rappelle q~'il est supposé qu'un grand obstacle plan per-
pendiculaire au faisceau d'ultrasons
renvoie un écho de même
forme que le signal incident
(hypoth~se de
l'onde plane).
CET
ECHO SERA L'ECHO DE ~EFERE~CE.
On a obtenu les résultats
triéoriques
suivants
1)
UN PETIT DEFAUT PLAN PERPENDICULAIRE AU FAISCEAU DERIVE
L'IMPULSIO~ INCIDENTE.
2)
U~ PETIT OBSTACLE PLAN RECTANGULAIRE INCLINE PAR RAPPORT
A L'A~E DU FAISCEAU INCIDENT (2 COTES PARALLELES DU DEFAUT
ETANT :~OR~jAUX A CET AXe)
~EnVOIE 2 ECHOS DE :1Ei·IE FORNE HAIS DE
SIGNES OPPOSES
(inversion de polarité).
3)
LE BORD PROCHE RENVOIE UN ECHO DE :·IE:1E FOR1:1E QUE LE SIGNAL
INC IDEiJT.
4)
LE
BORD LOIJ:nAIl~
RENVOIE UN BCHO DE BEHE FOrUm QUE LE SI-
GNAL INCIDE:-n.
5)
LES ECHOS DE BORD PROCHE ET DE BORD LOINTAIN SONT DE POLA-
RITES OPPOSEES
(inversion de polarité).
6)
L'ECHO DE BORD PROCHE A LA MEME POLARITE
QUE L'ECHO DE RE-
FERENCE,
ALORS QUE L'ECHO DE BORD LOINTAIN EST DE POLARITE
OPPOSEE.
82.
(Les
deux
échos
ont
13
forme
d~ signal
incident
on
s'intéres-
se
a la variation des signaux en fonction du temps).
Par
la
suite,
on
utilisera
ces
r~sultats et les propriétés
des
fONCTI01S
D'I~TERCOR~ELATI0~ pour la discrimination entre
les
défauts.
CLU:C-CI
DOIVE:n
AVOIr..
UH
AU
:lOI;~S
DE
LSURS
COTES
NORMAUX
A L'AXE
DU FAISCEAU
INCIDENT.
N.B:
Le
lecteur
familiarisé
avec
les
fonctions
d'intercorré-
lation
powrra
sauter
les
paragraphes
C-4-1
et
C-4-2.
83,
c-4)
Les
fonctions
d'i"tercorr~lation
C-4-j)
Rappels
C-4-;-;)
Produit
de
convolution
Soit deux fonctions
x(t)
et y(t)
cl
valeJrs
réelles:
le
P:\\O-
OUI T i) ::.:
CO ,'j VOL UT l 0 ~j
e n t r e
x ( t)
e t
y ( t ) .
n a t é
x ( t) ~ y ( t )
est
:
+cD
x(tl
J
*'j(t) -
X(0) '1 (t - I) n
- 0 0.
C-4-1-2)
Fonction
d'intercorrêlation
a)
Pour
deux
fonctions
x(t)
et
y(t)
dont
la
puissance
d'in-
teraction
est
finie.
LA FO~CTIO~
D'INTERCJRRELATIO~.
not~e
l
•
est
:
Xl Lt-)
J
·~T
Cxd(t)=
J X(0) 'J(Z;-t) d r,
(50)
-T
(
~(t) est la fonction conjuguée de y(t».
Si
les
deux
fonctions
sont
à
valeurs
réelles.
on
a
(Si]
b)
Pour
deux signaux x(t)
et
y(t)
dont
l'énergie
d'interac-
tion
est
finie.
LA FO~CTIOH
D'IUTERCORRELATION EST:
-+00
C"J (t) ~ j Xl'[) ~ (r -t) H
(st)
-0<.)
84.
Si
x(t)
et
y(t)
sont
à
valeurs
réelles
(cas
r~el), on a
-
ni..}
Par
la
suite,
on
considère unique~ent des
fonctions
à
valeurs
réelles
Gont
l'érrergie
d'interaction
est
finie
(cas
réel).
On a
ainsi
Pour
le
PRODUIT DE
CO~1VOl..UTIO;J
:
- 0(.;
Et
pour
la FONCTION
D'INTERCORRELATIOcl
, te":';
CXI.J(C): J X(r)
-- ,>C
C-4-2)
Quelques proprietés
ries
fonctions
d'intercorrêlation
C-4-2-1)
On
peut
définir
la FONCTION D'IHTERCORRELATIO~ entre
x(t)
et y(t)
cl
l'aide
àe
leur PRODUIT
DE
CONVOLUTION
C-4-2-2)
La FONCTION n'AUTOCORRELATION est
paire
(S'5)
C-4-2-3)
De
façon
plus
générale
85.
C-4-2-4)
En
posant:
on
a
:
POUR
DERIVE~ LE
PRODUIT
DE
CONVOLUTION
DE
DEU~
FONCTIONS,
IL
SilFFIT
D~ JERIV~R L'G]E D2 CES DEU~ FONCTIONS.
c- 4 - 2 - S )
CT") (l ) ~ - C:x
t
1 lj lt )
C-4-2-1)
Cas
particulier
x(t)
=
y(t)
On
obtient:
CX l-
X
t).::- C
(t)
(60j
t
XX 1
J'où
le
résultat
suivant
LA
POJCrIO:I
D'INT.2:P,CO:{RELArIO~l ~llTn.E UI~ SIGNAL ET SA DERIVEE
EST
U:Œ
F O,~ CT l 0 ~l
l ~ lPA l ]. E •
C-4-2-8)
LA
FO~~CTIOll D'IIITZI{CORRELATION EIHRE LA PRElITIVE
D'U~ SIGNA: x(t) ET SA DERIVEE x'(t) EST UNE FO~CTIOj PAIRE
JE
AAXE1U~l ]EGATIF
:
(61)
Sn
effet
- C (c)
xx
C-4-2-9)
LA
PRIMITIVE
DU
paODUIT
DE
CONVOLUTION
DE
DEUX FONC-
TIOi-l"S
~ST L2 PROJl.JIT û~ COI~VOLüTION
DE
LA
PRLIITIVE
DE
L'UNE
~ UE L CON QUr: DE CES li' 0 JeT l 0 Il SPA l{ L' Ali T Il. E F 0 Il CT l 0 H :
Si
~lt):. xle) .* ~(t)
Alors:
Itf.ll)dGo [tl(;)d~*~{th)«tJ~lJ~lG)dLJ (G2)
86.
C-4-2-10)
Aux
constantes d'intJgration
pr~s
Soit
Xp(t)
la
prirJitive
Je
x(t)
ct
Yp(t)
celle
de
y(t),
on
a
1i:-.:i'lAiqUl::
:
Toutes
ces
Dropriétés
des
fonctions
d'intercorrélation
sont
dêmontries
eil
annexe
Aù.
C-4-3)
Proc&dure
de
calcul
des
fonctions
d'intercorrélation
On
sait
que:
x(t) ~ ~(-t)
S ' i l
s'agit
de
fonctions}
valeurs
réelles
et
s~ on pose
TF(y(t»
= Y(~0) on a TF(y(-t»=
/\\.W)
donc
X ( w) . y (lA)
(D'apr~s la loi selon laq~elle la transforrnêe de Fourier du
produit
de
convolution
de
deux
fonctions
est
égale
au pro-
duit
des
transform~es de Fourier de
ces
fonctions).
On procède donc
comDe
s u i t :
1)
On
calcule
les
transfor~ées de Pourier de x(t)
et
de
y(t),
respective,aent X(w)
et
Y(uJ);
2)
On
fait
le
produit
X(uJ). Y(u.»
3)
On calcule
la
transform~e ùe Fourier inverse de X(uJ).Y(uJ)
ce qui
donne
LA FONCTION
D'INTERCOR~ELATIQ~ entre x(t)
et
y(t)
soit
:
C:x.~(t)
Figure
36
Le signe
-
correspond aux
cas
(a)
et
(c)
et
le
signe
+
(de
D(B,g,Z).)
aux cas
(b)
et
(d)
de
la
figure
18.
Remarque
:
Les cas
(a)
et
(c)
(D(B,g,2)
de
sl.gne
négat·if)
correspondent
aux
sommets
proche
A et
lointain D du
défaut
plan
rectangu-
laire du paragraphe
C-2-3,
les
cas
(b)
et
(d)
aux
sommets
in-
termédiaires
B et
C
C-2-5-2-4)
Sommet
axial
et
sommet
non
axial
Comme on le voit
(figure
18 et
commentaire
suivant),
le
sl.gne
+ ou
-
de
D(B~g,2) est lié au fait que
les deux
côtés
du
som-
met
se
trouvent
du même
côté
de
la projection }t,
dans
le
plan du défaut,
de
l'axe ~
du
faisceau
incident
(signe
+)
ou
de
part
et d'autre de
cet
axe --;t (signe
-).
Ou ce
qui
revient
:u même
le
signe + correspond
au
cas où
les deux
côtés
du
sommet sont
du même
côté
du plan
(p)
perpendiculaire
au plan
du défaut
et
contenant
l'axe
du
faisceau
incident,
le
signe -
au cas où
ils
(les côtés)
sont
de
part
et
d'autre
de
(P).
D'où
ces
définitions
a)
lin SOHlfET AXIAL
est
un
sommet
dont
les
côtés
sont
de part
et
d'autre
du plan perpendiculaire
au plan
du défaut
et
conte-
n an t
l ' a x e
d u
f ais ce au
in cid en t
( e xe mp le s ;
som met s
A e t
D
du
rectangle du paragraphe
C-2-3 et
cas
(a)
et
(c)
de
la
fi-
gure
18.)
b)
Un SOMMET NON AXIAL a
ses
deux côtés
du même
côté
du plan
perpendiculaire au plan du défaut
et
contenant
l'axe
du
fais-
ceau incident
(exemples
les
sommets
B et
C du
rectangle
uti-
lisé au paragraphe
C-2-3
et
les
cas
(b)
et
(d)
de
la figure
18).
Ces
nouvelles
définitions
sont nécessaires.
Voici
pou,quoi::
Les notions de
"sommet
proche" et
"sommet
lointain" ne
sont
pas
un
critère de discrimination de
la
polarité
des
échos
de
sommet:
en effet,
on vient
de
voir que
les
sommets
A (sommet
proche)
et
D (sommet
lointain)
ont
la même polarité.
L'important,
c'est
la
position des côtés du
sommet
par rapport
au plan
contenant
88.
Figure
37
Echo
d'un
pl~n perpendiculaire
l'axe
du
faisceau
ultrasonore
incident
(traducteur émetteur-récepteur
plan
large
bande)
• _cf.
HXi"
-...,.-
1
ri,iil;l',
l'
,'1
1!
ii
ii
1 !
il
1 \\
l '
'l i!
il !',
I l l !
,1 !
i 1
i
. i
i
/\\
..~.
\\
'1•••/
l '."i
le pas d'échantillonnage est Te = G.02 aicroseconde, le nbre déchanl.=lû24
90.
Pour
avoir,
entre 0
et
N-1,
Jne
représentation
semblable
à
la
coùrbe
2,
on
procéde
comme
suit
1)
On
translate
de
J/2
la
partie
de
la
courbe
3)
compr1se
entre
0
et
N/2-1.
2)
On
translate
de
-J/2 sa nartie
comprise
entre
ri/2 et
N-I.
Ces
deux op~rations reviennent
il
translater
de
(i~/'1.) .Te la
courhe
2).
On obtient
o r------r--"Iç-~f--------.Jt---7--~--N--~1.-)
N~
Figure
40
:tE!IA.RQUE
:
Là encore,
pour
une oeilleùre
visualisation
de
la
courbe,
on
représente
la fonction
dans
l'intervalle
où
elle n'est
pas
nulle Oil négligeable
(et
pas
forcément
entre
0
et
~-l).
Tout
ce qui
précède
est~.ussi valable pour les fonctions d'in-
tercorrélation
(calculées
d
partir
de
transformées
de
Fourier)
cf.
fig.
41-42.
92.
Figure
42
:
Fonction d'autocorrêlation
de
l'êcho
d'un
grand
dêfaut
plan
perpendiculaire
à
l'axe
du
faisceau
incident
N (nombre
d'échantillons)
est
égal
à
512.
13021 \\,
{\\ r
'\\
ri \\.1
\\, J ,}
.~
-7
0) COURBE DIRECTE~ENT DONNEE PAR LA FONCTION D'INTERCORRELATION DISCRETE
-7
b) COURBE D'AUTOCORRELATION ANALOGIQUE (ftEftE ECHO) TRANSLATEE DE N/2 (=256)
D)
TROISIEME PARTIE
DISCRIMINATION PAR INTERCORRELATION DES ECHOS,
EXPERIENCES.
94.
D-~) ~2thode cie discrimination
On
considêre
lG
variation des
Slgnaux en
fonction
du
temps
et
on
recherche
un C1ITERE
QUAJTITATIF
de
discrimination
des
d~
fauts.
0-1-1)
Utilisation de
la
fonction
ci'intercorr~lation
Comme
il
a
~té
vu précédemment,
un
petit
défaut
plan
perpendi-
c~laire au faisceau d'ultrasons d~rive (par rapport au temps)
l'impulsion
incidente.
Or
la
fonction
d'intercorr~lation entre
un signal
et
~a d~riv~e est une fonction impaire (voir para-
graphe
C-4-2).
De
la
même
façon,
un
bord
(proche
ou
lointain)
renVOle
un
écho
de même
forme
que
le
signal
incident
(paragraphe
C-3-3-4)
et
on
sait
que
la
fonction
ci'autocorrélation
est
paire.
Si
donc
on prend
comme
écho
de
r2f~rence l'écho dû à un grand
déÏaut
plan perpendiculaire au
faisceau
(cet
écho
aura
la même
forme
que
le
signal
incident,
supposition
faite
préc~demment)
et
qu'on
calcule
sa
fonction
d'intercorrélation
avec
des
échos
d'obstacles
inconnus,
et
si
ces
derniers
ont
les
propri~t~s
préc~demment énonc~es (d~faut plan et bord franc),
on
obtien-
dra
(th~oriquement) une fonction paire ou impaire.
D'um point
de
vue
théorique,
les
deux
plus
grands
extrema
(en valeur
absolue)
de
la
fonction
d'intercorrélation
suffi-
1
1
~ent pour la reconnaissance des d~fauts
mals
la suite
de
F-
l'~tude fera apparaître progressivement la nécessit~ de pren-
r
dre
en
compte
un plus
grand nombre
J'extrema
(de
l'intercor-
r~lation) afin de rendre plus fiable la rn~thode de discrimi-
nation proposée.
tJ
D-1-2)
Définitions
1)
On
appellera,
par
la
suite,
fonction
"paire"
une
fonction
1
palre
à
la
translation
près
Soit
la
fonction
f(t)
f(t)
sera dite
"paire"
s ' i l
existe
1
to
tel
que
quel
que
soit
t
f(to+t)
= f(to-t)
ou
(f(2to-t)
f ( t » .
95.
(3i
to
0,
on
retrouve
la définition
classique
de
la parité).
J e
r: ê me,
u ~ e
f 0 n c t ion
g ( t )
s e r a
J i t e ' 1 i mp air e Il
s ~
e Ile est
~ m-
paire
à
la translation près
i l
existe
tl
tel
que quel
que
soit
t,
g(tl-t)
=-g(tl+t)
(ou
g(2tl-t)
=
-~(t».
(Si
tl
=
D,
g(-t)
=
-g(t),
on
retrouve
la
définition
classique
cie
la
fonction i~paire).
Ces d2finitions
sont nécessaires
car
les
différents
échos
é-
tant
d2calés
dans
le temps,
les
fonctions
d'intercorrêlation
seront
elles
aussi
décalées par
rapport
a l'origine. Je sup-
po se
que
t 0 ù t e's
ces
f 0 n c t ion s
son t
à
dur ~ e
1 i 1:1 i té e
et
d' a:TI pli -
tude
décroissante.
Z~::.E. :l'LE S
Figure
43
1)
:<O~'iCTIO:'J "PAI~i::"
-fi1.
o
2)
FO~'lCTloa "Il":PAIRE"
-+-------~'---'r-.--+-+--------?
f:;
96.
2)
L'écho
renvoy~ par un petit aéfaut plan rectangulaire
~n
clin~ par rapport à
l'axe
du
faisceau
se
compose
cie
deux
par-
ties
ùe
polarit~s oP?osées mais de même forme que l'impulsion
incidente.
La
fonction
d'intercorrêlation
entre
cet
~cho et
le
si~nal de
réf~rence cooportera donc deux parties de ~ême
.
-
rOri'le
,.lais
de
s~gnes
opposes,
C il a c une
é tan t
une
fonction
"pai-
re".
~-2) ~tude expérimentale
transducteur
plan
large
bande
ec
cibles
dans
l'eau.
D-2-1)
Re~arques préléninaires
On
essaie
i c i ,
en
se
basant
sur
les
conclusions
théoriques
pr~
c~dentes, de
faire
la
discriuination
entre
les
échos
de
petits
défauts
et
ceux
de
Dards
(proche
ou
lointain).
On
rappelle qu'un
PETIT
DEFAüT
est
un
défaut
dont
la
plus
grande
dimension
transversale est
inf~rieure au ciiam~tre du
faisceau
d'ultrasons
et
qu'un
GRA~D DEFAU~ est un défaut dont
la
plus
petite
dimension
transversale
est
supérieure
a ce mê-
me
dianêtre.
Les obstacles
consid~rés sont PLANS,
de
BORDS
FRANCS.
La
t~~orie du P~OFIL REFLECTEük est valable pour une cible de
forme
quelconque,
mais
les
conclusions
qu'on
en
t i r e
~c~ sup-
posent
les
restrictions
ci-dessus
imposées.
On
travaille
en
onde
plane.
D-2-2)
Discrimination
entre
petits
défauts,
bords
proches
et
bords
lointains.
1
Les
études
ont
été
faites
d'abord
pour
des
cibles
immergées
dans
l'eau,
ensuite pour
des
défauts
à
l ' i n t é r i e u r
d'un
bloc
d'acier.
On
utilise
un
traàucteur
plan p~~s un
traducteur
focalisé
pour
voir pratiquement
l'influence
de
la nature
de
l'émetteur
sur
les
r~sultats. On rappelle qu'on travaille en émission-récep-
tion
i~pulsionnelle.
97.
D-2-2-1)
Sche~a et
principe
de
fonctionnement
(Voir
figure
~~).
Le
traducteur
érnetteur-r~cepteur émet des
impulsions
ultraso-
nores
qU1
se
rêfl~chissent sur l'obstacle 1nconnu.
Oscil-
loscope
i
Numérisa-
1 - - - - - - -
-
BiomatioJ
teur
1
~'lit\\..v-.
émetteur
Eclipse
~----
- _.-.--
~.fi n i
or-
d'impùl:-
S/140
>
dinateur
S10n
i
sélecteur
d'écho
/ t
l , f'
--
amp
1
1ca-
vers
les
périphériques
--~)------
te ur
à
commande
manuelle
de
gain
Appareil
Ultrasonic
cible
Traducteur
Figure
!}4
:
Schéma
simplifié
du
dispositif
expérimental.
98.
Figure
45
Echos
d'un petit
défaut
plan
rectangulaire.
450
8.0
-3
a) ÉthO du petit défaut plan perpendicuJaire ~ J'axe du faisteau d'ultrasons
4 \\
-4
,
,
b) Echo du .ê.e petit défaut .ois incline de ~ de9rés par rapport 0 l'axe
99
L'2cho,
sélectionné,
amplifié
sans
être
redressé
(ainsi
on ne
perd pas
l'information
liée au signe)
est
numérisé
(échantil-
lonnage
+
quantification)
et
traité
par ordinateur.
(Un pro-
gramme
de
transformée
de Fourier
rapide,
~is au point au la-
boratoire,
permet,
entre
autres
choses,
l'étude
des
spectres).
On dispose
d'un numérisateur
type
iliomation
(fréquence max~mum
d'échantillonnage
50 ou
100 Xhz
suivant qu'on
utilise
ou non
la double base
de
temps),
d'un mini-ordinateur ECLIPSE
S/140.
Un programme
d'acquisition et
une
console
graphique permettent
la visualisation des
signaux et
des
différentes
fonctions
(intercorrélation,etc.) .(figure 45).
D-2-2-2)
Etude
Le
signal
de
référence
est
celui
renvoyé
par un
grand obsta-
cle plan
(théoriquement
infini),
perpendiculaire à
l'axe du
faisceau d'ultrasons.
La cible
est
placée
dans
la zone
de
tra-
vail
du traducteur
:
en
champ
lointain pour un
traducteur plan,
dans
le
faisceau
utile pour
un
traducteur
focalisé.
Comme
on
le constatera un peu plus
loin,
l'obstacle
renvoie
des
échos
différents
suivaat
la nature
du
traducteur
(traducteur plan
ou focalisé).
On rappelle que
dans
tout
ce
chapitre,
on utise
un
traducteur
plan.
D-2-2-2-1)
Discrimination par
utilisation de
la fonction
d'intercorrélation
:
On calcule
la fonction
d'intercorrélation
entre
l'écho de
ré-
f§rence et
l'écho de
l'obstacle inconnu.
D-2-2-2-1-1) ~ésultats théoriques
Un petit défaut plan perpendiculaire au faisceau
d'ultrasons
dérive,
par rapport
au temps,
le signal
incident.
L'intercor-
100.
rélation entre
le
signal
de
référence
(qui
a
la même
forme
que
le signal
incident)
et
l'écho
de
petit
défaut plan per-
pendiculaire au faisceau
est donc
une
FonCTION
IMPAIRE.
MO
Ml
figure
46.
Un bord
(proche
ou lointain)
renV01e
un
écho de mime
forme
que
le
signal
incident,
donc de même
forme
aussi
que
l'écho
de
référence.
L'intercorrélation entre
l'écho de
référence
et
l'écho
àe bùrd sera donc
une
fonction PAIRE.
(FONCTION
D~AUTOCORRELATION TRANSLATEE).
+------f-+--+---+--+-4------::::>-t;"
M{
Figure
47.
On cherche un CRITERE QUANTITATIF de
discrimination entre
les
courbes
1)
et
2).
Une
idée
consiste à
comparer
le plus
grand
maX1mum
(en valeur absolue)
MO
de
la
fonction
d'intercorréla-
tion
à MI
(le plus
grand,
en valeur absolue
des
2 extrema de
part
et
d'autre de MO).
On voit que:
l 0 l •
?our
la courbe
1)
(petit
difaut
plan perpendiculaire
au
fais-
ceau ))
MO
Mi
Pour
la
couroe
2)
(bord proche NO>
0
bord
lointain MO < J),
on
a
M.o
On a
Jonc
là une
grandeur
(
---M~~T--
)
et
un nomb re,
1
"1", qui
pourraient
servir de
critère QUA;nITATIF de discrimination.
.
Mais,
COi~lUe on le verra par la suite, ce critère n'est pas sa-
tisfaisant dans
tous
les
cas.
On décrit
en détail
toutes
les ~tapes suivies
pour bien montrer
la d6marche
de
l'esprit.
D-2-2-2-1-2)
Cas réels
On a
toujours
un
traducteur plan
large bande et
des
cibles
~m
mergées
dans
l'eau.
D-2-2-2-i-2-i)
Les
différents
échos
La piriorie J'échantillonnage des
signaux,
Te,
est
de
0,02 m~
crosec.
Ln abscisse,
on
a
le
temps
représenté
par
des multiples
de
Te.
N,
le nombre
d'échantillons,
doit
itre
une
pu~ssance
de
2 car par
la suite on
utilisera
des
transformées de lourier
Rapidès,
pour calculer par exemple
les fonctions
d'intercorré-
lation.
Au début,
j ' a i pris
N
1024.
Les
indices de
tableaux
vont de 0
à N-1.
(Donc
ici
de 0
à
1023).
Les
courbes sont
tra-
cées dans
la zone utile
pour avoir
une
bonne visualisation.
(Par exemple entre
450 et
800
(entre
450.Te et
eOO.Te)).
1)
Petit défaut plan
La figure
45-a représente
l'écho
àû au petit défaut plan
(rec-
tangulaire)
perpendiculaire au faisceau
incident.
La figure
45-b,
lorsque
le même
d~faut est incliné de
14 de-
grés par rapport
à l'axe du faisceau.
(On remarque
l'inversion
102.
de po1arit.i).
La
figure
48-b
reprGsente
la
J~riv2e, par rapport au temps,
ûe
l'écho du petit obstacle plan
rectangulaire
incliné par
rap-
port
à
l'axe ciu faisceau
ultrasonore
incident
confirmation
de
la
théorie.
2)
Grand d~faut, bord proche et bord lointain
Les figures
49-a,
49-b
et 49-c
repr2sentent
respectivement
l'~cho dO à un grand obstacle plan perpendiculaire au fais-
ceau,
un ~cho de
BORD PROCHE et un ~cho de
BORD LOINTAIN.
La figure 50 illustre
la relation
entre
l'écho
de référence
et
l'~cho ùu petit obstacle plan perpendiculaire au faisceau.
Un
simple examer.
visuel
de
toutes
ces
courbes
montre qu'elles
semblent confirmer
la théorie ùu
profil
réflecteur précédem-
ment exposée.
REHARQUE
'\\-'.
Les obstacles ayant
tous
des
impédances acoustiques
supérieu-
res
à
celle de
l'eau,
tous
les coefficients
de
réflexion
sont
positifs.
Donc
L'écho
de
bord proche a
la ~ême polarité que
l'écho de
réfé-
rence tandis que
l'écho
de
bord lointain
est de
polarité op-
?osée.
(voir figure
49).
Il
s'ensuit que
la fonction
d'intercorré1ation entre
l'écho
de référence
et
l'écho de
bord proche
aura non
seulement
la
force
d'une
fonction
paire mais aussi
son extremum MO àe plus
granàe valeur absolue
sera positif.
Au contraire,
pour
un bord
lointain,
MO sera négatif.
D-2-2-2-1-2-2)
La fonction
d'intercorré1ation
1)
aappe1
des
résultats
théoriques
Dans
le cas
id~a1 (toutes les hypoth~ses étant réunies), on
a vu que
la fonction
d'intercorré1ation entre
l'écho de
rê-
fârence
et
l'écho du petit
défaut
plan perpendiculaire au
103.
Figure
48:
Relation entre
l ' é -
cho
renvoyé
par
un
petit
défaut
plan
rectangulaire
in-
cliné
par
rapport
~
à
l'axe
du
fais-
ceau et
celui
ren-
voyé
par
le même
1
défaut
perpendicu-
Suo
laire
à
l'axe.
-4.
a -
PETIT DEFAUT PLAN RECTAHGULAIRE INCLiNE DE i4 D. PAR RAPPüRi AL'AXE
!l, \\1JI
-2
b
-
DERIVEE DE L'ECHO DU AU PETIT DEFAUT IHCLIHE
450
8 0'-
-3
c - <ECHO DU AUN PETIT DEFAUT PlAN(RECT.) PERPENDiCULAiRE ALiAxE DU FAiSCEAü
104.
Figure
49
Grand défaut
plan.
~(,
a)
458
-6
•
PLAN PERPEHD1CULA1RE AL'AXE DU FA1SCEAU D'ULTRASOHS
6 \\
~J---
b)
-6
PLAN INCLINE: BORD PROCHE
\\
7 \\
\\
"'
-1(-
~----~
-
c)
458
8 8
-9
PLAN INCLINE: BORD LOINTAIN
105
Figure
50
:
Relation entre
les
échos
renvoyés
par
un
grand
défaut
et
un
petit
défaut,
tous
les
deux étant
plans
et
perpendi-
cvlaires
à
l'axe
du
faisceau
d'ultrasons.
f\\
a)
-6
ECHO nu AUH PLAN PERPENnICULAIRE AL'AXE DU FAISCEAU
4
458
b)
DERIYEE DE L'ECHO nu AUN PLAH PERPEHDICULAIRE AL'AXE nu FAISCEAU
11 \\
458
8
c)
-87
ECHO DU AUN P~TIT DEFAUT PLAN<CIRC.) PERPENDICULAIP: AL'AXE!U F~IStrAY
106.
faisceau
est une
fonction
i~paire (Propriété de l'intercorré-
lation entre
une
fonction
(r~elle) et sa dérivée): '1)
MO
o
o
t
Figure 51.
L'intercorr~lation entre l'~cho de réf~rence et l'~cho de
•
bord
(bord procne ou bord
lointain)
est
une
fonction paire
2)
Pour la courbe
1),
on a v ait 1MO /
1"\\ -i 1 =1. e t
pou r
l a c 0 ur b e
2)
11'-10/ Mil> 1 (NO> a pour le bord proche et MO < 0 pour le
bord
lointain).
2)
Ca s rée 1
Dans
le cas réel,
on n'obtient
pas
des
fonctions
exactement
-paires ou des fonctions
exactement
impair&s.
La courbe 52-a représente
la fonct~o~ à'autocorrélation de
l'écho àe
référence.
(Idéal)
elle
est
exactement paire.
Maintenant,
si
on s'intéresse
à
la
fonction d'intercorrélation
entre l'écho de
référence
(PLANPER)
et
l'écho
de
bord proche,
fonction
représe~tée par la figure 52-b, on voit qu'elle n'est,
en
toute rigueur ni
paire,
ni
i~paire. (La théorie prévoit la
parité
de cette fonction
sous
certaines
conditions).
La fonction
à'intercorrélation entre
l'écho de
référence et
l'écho du petit défaut plan perpendiculaire au
faisceau
(figu-
re
52-c),
elle non plus,
n'est,
en
toute
rigueur,
ni
paire ni
impaire
(la théorie prévoit
son imparité sous
certaines condi-
tions) •
la 7 •
Cependant,
quand
on
compare
ces
2 courbes
(figures
52-b et
52-c)
à
celle de
la figure
52-a
(qui
représente
la fonction
pa~re type, étant une fonction d'autocorrilation), on remar-
que que
1)
Les
courbes
(figures 52-b et
figure
52-c)
sont notablement
différentes.
2)
Celle qu~ ressemble
le plus
à
la courbe
d'autocorrélation
(52-a),
c'est
indiscutablement
la courbe
52-b
on dira qu'el-
le est
"plutôt
paire"
.
\\
De
la mime
façon,
s~ on compare les deux courbes d la fonction
d'intercorrêlation entre
le signal
de
référence
et
sa dérivée,
on voit
que
la courbe
52-c est
"plutôt
impaire"
(quoique
cela
soit visible par examen de
la courbe
52-c
seule)
De
ces
constatati6ns expérimentales,
on peut
inférer que
1)
La fonction
d'intercorrélation
entre
l'écho de
référence
et
l'écho de bord
(proche
ou lointain)
est une
fonction
"plu-
tôt
paire"
(paire
en
théorie).
2)
Alors
que la fonction
d'intercorrélation entre
l'écho de
r~ffrence et l'écho d~ petit défaut plan perpendiculaire au
faisceau est "plutôt
impaire"
(impaire
en
théorie).
On rappelle que
l'écho pris
comme
référence est
celui
d'un
grand défaut plan
(sa plus
petite dimension est
sapérieure
au diamètre du faisceau) .perpendiculaire au faisceau.
On voit que
les constatations expérimentales
amènent
~ nuan-
cer
les conclusions
théoriques,
nuance
introduite par l'adver-
be
"plutôt".
Il
s'avère nécessaire de traduire en nombre
les notions
de
fonctions
"plutôt paires" ou "plutôt
impaires",
le but étant
de
trouver un CRITERE QUANTITATIF
de
DISCRIHINATION.
IDS.
Figure 52
65.\\1
a)
\\
Jf.:.':>-'S~-------~----+-+--+--1'---.l,,-,.----~------";;6~'
3
.
1
1 1
1
~ ~
-37.4
RUTOCORRELÀTlûN DE L'ECHO DE REFERENCEiPLAN PERPENDiCULAiRE RL'AXE)
73.1. \\
b)
1
J
51.82
IHTERCORRELATIOH EHTRE L/ECHC DE BORB PROCHE ET L'ECHO DE REFERENCE
56.35': '.
c)
v
-57.8
IHTERC. EHTRE ECHO DU AUN PETIT DEFAUT PLAN PERP. AL'AXE ET PLANPER-
109.
Figure
52
(suite)
541
~
l'
\\
1\\ 1l
d)
V
38
-70,J
J
INIERC, ENTRE L'ECHO DE BORB LOINTAIN El L'ECHO DE REFERENCEIPLANPERI
73.Y \\
e)
38
6 0
51.02
I~T:ERC. EHTRE L' ECHO DE BORB PROCHE ET L' ECHO DE REFERENCE<PLAHPERI
1 10 •
Figure 53
73.
5lü2
a)
INTERCORRELATION ENTRE L'ECHO DE BORD PROCHE ET L'ECHO DE REFERENCE
43.4' \\
. 0'
-49.7 ,
b)
INTERC. ENTRE'L'ECHO DE BORD PROCHE ET LA DERIVEE DE L'ECHO DE REFERENCE
1
11~1
1 1 1
Figure
53
(suite)
L'écho
de
référence
est
PLANPER
(écho
d'un
grand
défaut
plan perpendiculaire
ci
l'axe
àu faisceau
incident).
-57.8
J
c)
- IHTERCORRELATIOH EHTRE L'ECHO D'UH PETIT DEFAUT PLAH PERP. A L'AXE ET PLAHPER
51.431\\
6 C
-33.5
d)
d- IHTERC. EHTRE L'ECHO DU "E"E PETIT DEFAUT ET LA DERIVEE DE PLAHPER
1 1 2.
Figure 54
65.1
38.
6
1
-37.J
AUTOCORRELATiüH DE L'ECHO DU AUH GRAND DEFAUï PLAN PER. AL'AxE
a)
41.54 \\
84
41.54
b) INTERC. ENTRE L'ECHO D'UN CRAND BEFAUT PLAN PER. AL'AXE ET SA BERYEE
II:
A
•
•
"
1
f
t·
"p.lutot
'mnal.~rr,e
A
. "
3)
Fonction
'plutot
pa~re,
one
~on
.
L
~--
soient
les
courbes
1)
et
2)
ci-dessous
1)
Intercorrélation entre
l'écho
de
référence
et
l'zcho
de
bord proche:
Figure
55-).
2)
Intercorr~lation entre l'écho de référence et l'écho du pe-
t i t
défaut
plan perpendiculaire au faisceau:
M1.
®
Figure 55-2.
Pour chacune
de
ces
fonctions
d'intercorrélation
:
NO est
le plus grand
(en valeur
absolue)
des
maxima
(MO peut
être n~gatif comme dans
l'exemple du bord
lointain).
Ml
le plus
grand
(en valeur absolue)
des
2 extrema de
part
et d'autre de MO.
M2
:
le plus petit
(en valeur absolue)
des extrema de
part
et
d'autre de HO.
Soit RI
=
MO/Ml et R2
!1l /~12
1 14 •
Cas
idéal
:
Dans
le
cas
de
fonctions
exactement
pa1res
(fonctions
d'au-
tocorrélation
de
signaux à
durée
limitée
par exemple,
figure
52-a) on a
. IR~I::
R1
-1
)-1.
R-G,
Pour
les
fonctions
d'intercorr5lation
(de
signaux à
àurée
l i -
mitée)
exactement
impaires,
on
a
:
(L'exemple typique
étant
la fonction
d'intercorrélation entre
un
signal
et
sa dérivée).
Cas
réel
:
1)
Pour
l'intercorrêlation entre
le
signal
de
référence
et
l'écho àe
bord
(ici
i l
s'agit
du borà proche,
le résultat
é-
tant
le mêQe,
au
signe
de
l'extremum de
plus
granàe valeur
absolue près)
on
a
:
on
trouve
Vo i r
les rap port s
1~i 1 dan s le tab le au XI.
2)
Pour
l'intercorrélation entre
l'écho
de
référence et
l ' é -
cho du petit défaut
plan perpendiculaire
au
faisceau d'ultra-
sons
incident,
on a : l~tl:o,b5.
(voir les
rapports
I:~I
dans
le tableau XI).
1 15 •
En résl1mé
Si on prend
R
MO.Ml,
1'11 <,
et
S1
on considère
des fonctions
d'intercorrélation entre
S1-
gnaux à durée
limitée,
on obtient
-
quand les
fonctions
sont
"plutôt paires"
IRI >-1
- quand les fonctions sont "plutôt impaires" :IRI < 1-
Manifestement,
les
conditions
de
parité ou d'imparité de
la
fonction d'intercorrélation seule entre
l'écho
de
référence
et un écho
d'obstacle inconnu ne
sont
pas suffisantes
pour
connaître
la nature de
cette
cible.
C'est
pourquoi
i l a
fallu
ajouter
un autre
critère
au précé-
dent
pour chaque écho
d'obstacle
i~connu, on s'intéresse, non plus
à une,
mais
à
deux
fonctions
d'intercorrélation
1)
L'intercorrélation F entre
l'écho
d'obstacle 1nconnu et
l'écho de
référence.
2)
L'intercorrélation Pd entre
le même
écho
d'obstacle
1nconnu
~t 1 a dé r i v é e, cet te. foi s, de l' é cha der é f é r en ce.
Théoriquement
si
l'obstacle
inconnu est
soit
un bord
proche,
soit
un bord
lointain
(soit ùn grand
défaut
plan perpendiculaire
au fais-
ceau),
F sera une
fonction
PAIRE et Fd une
fonction IMPAIRE.
(En vertu du fait
que
chacun de
ces obstacles
renvoie
un écho
de même forme
que
l'écho de
référence,
que
la fonction
d'auto-
corrélation est
paire et
la
fonction
d'intercorrélation entre
un
signal
et
sa dérivée est
impaire).
Si
l'obstacle inconnu est
un petit défaut
plan perpendiculai-
re
au faisceau,
F
sera
UIPAIRE et Fd
PAIRE.
(même principe
d'explication que précéde~ment).
Tout
ce qU1
vient
d'être
dit est
résumé
dans
le
tableau
SU1-
vant
(Dans
le
tableau
DEF signifie défaut,
PL plan et
PER perpen-
diculaire)
1 16 •
Tableau
IX
Obstacle
:Bord proche
ou
:Bord
lointain
:Petit DEF
:grand ûEF
plan:
:PL PEU au
:PEù au faisceau:
:faisceau
Intercorrélation
'Fonction paire
'Fonction pa1re
:Impaire
entre
11écho
: ~w '>
0
: 110 < 0
d 10bstacle et
11écho de
réfé-
rence
Intercorrêlation
:Fonction impai-;Impaire
:Paire
entre
11écho
:re
dlobstacl~ et la
dérivée de
11écho de
réfé-
rence
.
,
~n pratique
:
En fait,
dans
le cas
théorique,
i l
suffit
de
calculer 11inter-
corrélation entre l'écho d'obstacle
et
l'écho
de
référence:
car
si cette
intercorrélation est
paire
(forme d'une
fonction
d'autocorrélation),
l'intercorrélation
entre
l'écho d'obstacle
et
la dérivée de
l'écho
de
référence est
ipso
facto
impaire et
V1ce-versa.
(Même remarque si
elle est
impaire).
Mais on ne
trouve pas des
résultats
aussi
tranchés que
dans
la
117
théorie
Les fonctions
calculées
sont
soit
"plutôt
paires",
soit
"plu-
tôt
impaires",
soit ni
l'une,
ni
l'autre!
(cas inconnu).
(D'où
l'intérêt
~c~, dans le cas pratique, de calculer la deu-
xième fonction d' intercorrélation
(intercorrêlation entre
l'é-
cho d'obstacle et
la dérivée
de
l'écho de
référence),
celle-ci
?ermettant,
s~non de lever totalement
le doute,
du moins de
renforcer
la vraise~blance du résultat).
Pour passer de
la théorie}
la pratique,
on doit
remplacer
dans
le tableau IX
:
"fonction paire" par
"fonction plutôt
paire" et
"fonction impail
par "fonction plutôt
impaire",
ce qui
donne
le
tableau X suivant
Tableau X :
(DEF =
défaut
PL = plan
PEi\\
perpendiculaire) .
10bstacle
:Bord proche ou
:Bord loin-
:petit DEF
:grand DEF PL PER
:tain
:PL PER au
:au faisc.eau
:au faisceau
Intercorréla-
Plutôt
paire
:Plutôt
paire:Plütôt
impaire
tion entre
: Ha)
0
: 110
< 0
1 ' écho
d' 0 b-
stacle et
l'écho cie
(référence
Intercorréla-
Fonction plutôt
plutôt
plutôt paire
Ition entre
impaire
Î!a'p ai re
l'écho d'ob-
[stacle et
la
Idérivée
de
!l'écho de
référence
1 1 8 •
~~er'larques
:
1)
On
pourra
trouver
des
échos
qu~ ne satisfont à
aucun
de
ces
critères et
i l
sera
alors
impossible
de
conclure.
2)
On
s'intéresse
ici
uniquement
aux êchos
simples
(forrnês
d'une
seule
partie)
et
non aux ~chos doubles
(form~s de deux
parties bien distinctes):
1)
Echo
simple
2)
E C 110
do u b le
Figure
56.
Pour un écho
double
-
ou
ses
deux
parties sont
de même
polarité
et
alors
i l
s'agit
probablement de
défa".::s
ponctuels;
-
ou elles
sont
de
polarit~s opposées et alors il
s'agit
de
l'effet
de
bord.
(Bords
d'un
petit
dêfaut).
Pour
l'écho double,
on peut
donc
conclure par
simple examen
visuel,
sans
faire
de calculs.
N. B
:
Un défaut
ponctuel
est
un
défaut
dont
la plus
grande
dimension
est
très
faible
(voire nêgligeable)
devant
le
diamètre
du fais-
ceau d'ultrasons,
pour
la plus
haute
fréquence
utilisée.
(Un
tel
défaut ne peut
renvoyer qu'un
écho
simple).
Un petit
défaut
a
certes
sa plus
grande
dimension plus
petite
que
le diamètre du
faisceau ma~s pas négligeable devant
l u i :
i l
peut
renvoyer
un
écho
double
(effet
de
bord)
comme
dans
le
cas
du petit
rectangle
évoqué 9récédemment.
aemarques
sur
les
notations
Sur certaines figures,
les
noms
des
échos
sont notés
en
abr~gé
1 1 9 •
alnSl
disq
(ou
Disq)
ùésir,ne
l'écho d'un petit
disque perpen-
diculaire
au
faisceau et PLANP~a désigne
l'écho
de
référence.
PLANPER
:
écno dG
à
un
grand d~faut plan perpendiculaire
au
faisceau.
D-2-2-2-1-2-3)
Critère
quantitatif de
discrimination.
Considér~ns les
cas
exprim~s dans
le
tableau X
a)
Echo <le bord
-
La
fonction ~'intercorrélation Fb entre un écho de bord et
l'écho de
référence
est
plut8t paire.
-
La fonction
d'intercorrélation Fbd entre
l'écho de bord et
la dérivée de
l'écho de
référence est plut8t
impaire
Fb
Fbd
1 )
2)
Figure 57.
b)
Echo de petit
défaut
-
La fonction d'intercorrélation Fpt entre un écho de petit dé-
faut
plan perpendiculaire
au faisceau et
l'écho de
référence
est plutôt
impaire.
-
La fonction d'intercorrêlation Fptd entre un écho de petit
défaut plan perpendiculaire au
faisceau et la dérivée de
l'écno
1 20.
de
référence
est
plutôt
paire
Fpt
Fptd
1 )
2)
Figure
58.
Notations
-
Pour
Fb et
Fpt
(intercorrélation entre
l'echo
d'obstacle
et
l'écho de
reférence),
on pose:
NO
L'extremum de
plus
grande
valeur
absolue.
MI
Le
plus
grand
(en
valeur
absolue)
des
deux
extrema
de
part
et
d'autre
de MO.
M2
Le plus
petit
(en
valeur
absolue)
des
deux
extrema
qui
sont
de part
et
d'autre
de
MO.
(voir
les
courbes ci-dessus).
-
Pour Fbd
et Fptd
(intercorrélation entre
l'écho
d'obstacle
et
la derivée de
l'écho
de
référence)
Mad,
Mid et
M2d ont
respectivement
les
mimes
significations
que ao,
HI
et i12
ont
pour Fb
et Fpt.
Posons
R
(MO/MI)/(MI/M2)
=
(MO.M2)/(Mlf
R
(MO. H2) / (M 1 ) ~
et Rd
(HO d / HI cl) / (HI d nf 2 d )
(HO d . H2 d) / un d {
RD
(tfOd.H2d)/ (Mldr
1)
Dans
le
cas
idéal
1 2 1
a)
Pour
un
bord
(procne
ou
lointain,
le
sLgne
de
l'extremum de
plus
grande
valeur
absolue
permettant
de
faire
la
distinction
entre
ces
2
cas)
on
a
b)
Pour
un
petit
défaut
plan
perpendiculaire
au
faisceau
2)
Dans
la pratique.
Pour
un
bord,
"on n'a
pas
touj ours IR 1") 1
maL s
[RI
est
tou-
jours
supérieur
à lRd[-'
S i
don con n' a
pas
II~ 1>~
mai s
que
1(~I > \\R.d 1
on
déduit
qu'il
y
a
présence
d'un
bord
maLS
en
précisant
toutefois
que
cette
conclusion
comporte
un
certain
risque
d'erreur.
(La
con-
clusion est
certaine
quand
on
a
jH/
et
[Rd
<
1
~ ),
Je
même
pour
le
petit défaut
plan
perpendiculaire
au
faisceau,
on n'a
pas
to.ljours
les
conditions
IRI < /.l et IRdI > -1
maLS
\\R-I < Il~dl.
Dans
ce
cas
aUSSL
on
concl~_t à
la
présence
du
petit
défaut
mais
qyec
un
certain
risque
d'erreur.
Remarque
Si
l'obstacle inconnu
est
un
grand
défaut
plan
perpendiculaire
au
faisceau
d'ultrasons,
l'écho
sera
semblable
à
l'écho
de
réfé-
rence
au
coefficient
de
réflexion près
et
les
fonctions
d'inter-
corrélation
auront
les
mêmes
propriétés
que
celles
relatives
au
bord proche.
La
courbe
échodynamique
permettra
de
savoir
facilement
s ' i l
s'agit
d'un
bord ou d'un
plan perpendiculaire.
Récapitulation
1)
Cas
où
la
conclusion est
certaine
a)
si
\\R\\>1 et \\Rdl<1 ,il s'agit d'un ':Jord (proche ou loin-
tain)
ou d'un
défaut
plan
perpendiculaire
au
faisceau.
1 22.
0)
s i l R I < -1
et lRdl>-1 , on a un petit défaut plan perpen-
diculaire
au
faisceau
d'ultrasons.
2)
Cas
où
la
conclusion est
possible
ma1S
avec
une marge
d'erreur:
IRI et IRdl sont tous les deux inférieurs à
\\R 1 -(1
et
\\(\\d 1 <-1
a)
si
IR\\'> lR.al on a plutôt un bord (proche ou lointain) ou
un
grand
défaut
plan perpendiculaire
au
faisceau:
La
distinction entre bord oroche
et
bord
lointain
se
fera
par
le
signe
de
l'extremum de
plus
grande
valeur
absolue
de
la
fonction
d'in~ercorrélation entre l'écho de l'obstacle et l'é-
cho
de
référence et
la
discrimination
entre
bord et
grand
dé-
faut
plan
perpendiculaire
au
faisceau
se
fera
à
l'aide
de
la
courbe
échodynamique.
...
b)
Si
\\P,[ < \\(~JI on a plutôt un petit défaut plan perpendicu-
laire
au
faisceau.
3)
Cas
où
on ne
peut
pas
conclure
si
\\ RI
et
IRd\\ sont tous les deux sapériears à l, on ne peut
pas
conclure.
(lIême
chose
si
JRI
1Rd 1 ) .
On
rappelle que
pour
la
fonction
d'intercorrélation
entre
l ' é -
cho
de
défaut
et
l'écho
de
réference
R = (l10.U2)/(MI)l..-et
pour
la
fonction
d'intercorrélation entre
l'écho
de
défaut
et
la
dé-
rivée
de
l'écho
de
référence,
on a
:
•
1..-
Rd
010 d . ['·12 d) / (M 1 d) .
Remarque
Une
étude
ultérieure
portant
sur
des
cas
réels
plus
nombreux
permettra seule
de
proposer
des
limites
quantitatives
plus
précises
grâce
auxquelles
on pourra
ranger
l'écho
d' Jn
défaut
inconnu
dans
une
des
catégories
suivantes
-
bord
(proche
ou
lointain)
-
petit
défaut
-
cas
douteux.
123
Dans
les
cas
douteux,
on
se
propose
auss~ (dans
cette
étude
ul-
térieure)
de
calculer
la
probabilité
de
chaque
éventualité.
ReoarqLle
On
rappelle
que
la
distinction
entre
bord
proche
et
bord
loin-
tain
se
fait
par
le
signe
de
UO,
l'extremum de
plus
grande
va-
leur
absolue
de
la
fonction
d'intercorrélation
C~~(t)
entre
l'écho d'obstacle
x(t)
et
l'êcho
de
référence
y(t)
HO> a
Bord
proche
NO < a
bord
lointain.
4)
Tableau de
résultats
Plusieurs
expériences
ont
étê
menées.
Quelques
résultats
sont
regroupés
dans
le
tableau XI
(de
la
page
suivante).
Notations
~UCT
Echo
du
petit
défaut
plan
rectangulaire
perpendiculaire
au
faisceau.
nISQ
Echo
du
petit
défaut
plan
circulaire
perpendiculaire
au
faisceau.
BP
Echo
de
bord
proche.
BL
Echo
de
bord
lointain.
PLANPI
et
PLANP2
sont
des
échos
de
grands
défauts
plans
perpen-
diculaires
au
faisceau
d'ultrasons.
PLANPER est
l'écho
de
référence.
(on
désigne
par
le même
nom
une
cible
et
son
écho).
1 24 .
Ta b 1 e au
:~ l
( x '''-d (k)
c )( 't Ck )
Défauts
IRI
ua
IRdl
PLA]P~R
(référence)
1.7
65.05
0.45
RECT
0.69
49.1
0.813
DIS Q
:
0.524
-57.8
1 . 48
PLANPI
1. 31
72. 81
0.6
PLANP2
1. 15
66. 7
o. li
BP
1.1
73.3
0.65
BL
o.
:
97
-70.22
0.8
Commentaires
La fonction d'autocorrélation et
la fonction à'intercorrélation
de l'écho de
référence
(PLANPER)
avec sa dérivée
correspondent
au cas
idéal
I~I /'
( IR 1
1.7)
et
l:ld 1 <..
(IRdl
0.45)
(
tRI
etlildlsont de part
et d'autre de
1).
Les échos DISQ,
PLANPl,
PLANP2 et BP
correspondent au cas
1),
cas où
la conclusion est
certaine
(soit
IRI';> 1
et IRd' < l,
,,;oit
IRI <
et
IRdl > 1).
RECT
et BL représentent celui où
la conclusion peut se
faire,
ma~s avec
réserve.
125
L'amplit~de du waX1illurn de la fonction d'intercorr~lation entre
deux
signaux
dépend
Je
leur
degr~ de
ressemblance
mais
aussi
d e I eu r s
a ;;1 pli tu des
r e s pee t ive s.
Pou r
r end r e l a
f 0 net ion
d' in-
tercorrélation
indépendante
de
celles-ci,
on
nor~e les signaux:
on
peut
par
exemple
les
normer
par
leur maximum
(en
valeur
ab-
solue)
ou
par
leur
puissance:
Jorme
par
le maximu~
Soit
un
signal
de
N ~chantillons
K(O),
X(I), . . . ,
XCI), .•• ,
X ( N- 1 );
soi t
X'( K)
l ' ex t r e!il il n'
a yan t
l a p I u s
gr and e
val eu r a b s 0-
lue,
on
définit
une
nouvelle
suite
Xm(I)
p a r :
quel
que
soit
I,
cOrJpris
entre
ù
et
N-l
(bornes
comprises),
on
a
Xm(I)
=
x(I)/x(K)
Ainsi
toutes
les valeurs
de
Xm(I)
sont
comprises
entre
-1
et
+1
(bornes
cOillprises);
Par
définition,
Xm représente X normé par le maX1mum du signal.
Norme
par
la
pJissance
Soit
le même
signal
X de
N échantillons
X(O), ••. ,
X(I), •.• ,
X(l'l-I),
tJ-{
2
So i t
P
( 1 IN) • (
x~ I) )
1~ 0
Le
signal ~p obtenu en normant
X par
sa puissance
est
tel
que,
quel
que
soit
l
compris
entre
0 et N-I
(bornes
c08prises~ on
a
Kp (I)
k (I) Ir
1 26.
D-3)
Jiscriuination
utilisant
5
extrema
des
fonctions
d'inter-
correlation
indice
de
pa~ité.
J-3-1)
Introduction
Po ù r
r e Il l 0 r c e r I a
v!" ais e 1,1 Ü 1 an c e
<.l e
1 a
ID é t Ll 0 ci e
ci e
cl i s cri fIl i n a -
tion,
on
ùtilise
1C1
cinq
extrema
des
fonctions
J'intercorrê-
lat ion
(et
non
plus
seulement
trois
cornue
pr~cêdemment)
la
fonction
d'intercorrêlation f
entre
l'icno
d'obstacle
incon-
nu et
l'~cho de réf~rence d'une part,
la
fonction
d'intercorr~
lat ion ~d entre
le
~êrne écao de d~faut inconnu et la dériv~e de
l'èc~o de r~f~rence.
J'appelle
Hal e
plu s
g r a il d
e ~c t r e ra u ID env ale u r a b sol u e
( d e
Fou
cl e
F d) .
-
t·n
et t12
les
deux extrema
de
part
et
d'autre
de
~IO : !1l et
H2
sont
tels que
la
valeJr
absolue
de
~l est sup~rieure ou
~gale ~ celle
de
M2.
-
:13
pre1ll12r
extrer:Jum
apr~s i11
(en
partant
de
Ua).
~4 premier extremum après MZ
(en partant
de
MO).
~~A
Il,
M~II
1(11
1\\1
,
'.
,
V
c
~
M~ 1 1/
1
Il ~ ~l)
-23
-18~
IMQ
J igure
59
d~finition des extre@a MO, Ml, M2, M3 et M4
A gauche,
exemple
d'~ne fonction plutôt paire, ~ droite, cas
d'une
fonction
?lutôt
impaire.
La
courbe
de
gauche
repr2sente
l'intercorrêlation entre
un
~c~o de bord proc~e et l'~cho de
référence
(~c~o d'un d~faut plan perpendiculaire ~ la direction
de
propagation
de
l'onde
incidente);
Celle
ue
droite
est
relative
a l'intercorrêlation entre l'écho
de
bord
proche
et
la
deriv2e
de
l'~cho de référence
traduc-
1 27.
teur
Dla~ large
bande
1)-3-2)
Indice
cie
parité.
Si
la
fonction
d'intercorrêlation
(F
ou FJ
:
vo~r
introduction
ci-dessus)
est
plutôt
im?aire,
la
valeur
absolue
du
rapport
(MO-M1)/(MO-t12..')
et
celle
de
(Mi-i'i3)/(H2-tf4)
sont
sup;;;rieures
à
1.
Ces
2
valeurs
tenuenL
dU
contraire
vers
1 pour
une
fonc-
tion
plutôt
paire.
Soit
le
produit
((HO-~I)/(~10-112».(011-l'13)/(H2-M4»
appelons
Ap
sa valeur
absolue
dans
le
cas
de
l'intercorrêlation entre
1 ' é cil 0
ci u ci é f a·u t i n con nue t
l ' é c ho
d e r ê f é r e n c e e t
B p
s a
va -
leur
absolue
dans
le
cas
de
l'intercorrélation
entre
le
même
écho
d'obstacle
inconnu et
la
d~rivée de l'~cho de référence.
Par
définition,
l'Indice
de
Parité
(noté
IP)
est
IP
=
:3p -
Ap.
(64)
Si
IP est
positif,
les
deux ~C;lOs sont plutôt
semblables
Si
IP
est
nigatif,
ils
ont
plutôt
entre
eux un
rapport
de
dé-
rivation.
Le
signe
de MO
(plus
grand
extremum en
valeur
absolue)
sert
~
faire
la discrimination entre
bord
proche
et
bord
lointain
si
IP
est
positif.
J-3-3)
Application expérimentale
Les expériences
ont été
faites
d'abord
avec
des
traducteurs
plans
(large
bande)
puis
avec
des
traducteurs
focalisés
(lar-
ge
Jande).
Les
cibles
sont
des
bases
de
cylindres
ou un
plan
ou aem~
plan
quasi-infini
(cibles
dans
l'eau)
ou
des
trous
à
fond
plat
(défauts
artificiels
cre~s dans un bloc d'acier
figure
60).
D-3-J-l)
Traducteur
plan
large
bande.
Expérience et
thêorie
concordent
assez
bien quand
l'émetteur
est
un
traducteur plan
(large
bande),
tant
pour
des
défauts
en milieu
solide
qu'en milieu
liquide.
Nous
présentons
ce
der-
nier
cas.
l 28.
Le
traùucteur
pl~n utilisé a les caractéristiqJes suivantes
diametre
lOmm.
Spectre
de
l'écho
apr2s
réflexion
sur
un
grand
d~faut plan perpendiculaire â
Id direction de propagation de
l'onde
incidente
maximJm.}
la
fréqüence
3,0 !-1liz
;
limites
à
-5dJ
1,8 l11iz
et
s,a tlHz.
La
distance
entre
le
traducteur et
les
cibles
est
220mm.
Les
cibles
dans
l'eau
s o n t :
U3
granù
défaut
plan
perrendiculaire
à
la
direction
de
propa-
gation de
l'onde
incidente
dont
l'2cho
constitue
le
signal
de
référence,
un de@i-plan
(~chos de bord proche et de bord lointain),
disqüe
de
diamètre
5mm et
rectangle
de
côt~s 1,8mm et 3,9mm
(petits
défauts).
On
obtient
les
valeurs
suivantes
pour
l'indice
de
parité
-
Echo
de
bord
proche
(angle
d'inclinaison
=
i4
degrés)
IP = +2,97.
-
Echo
de bord
lointain
(angle
d'inclinaison
-iLf
degrês)
IP = +0,69.
-
Echo
du
rectangle
(petit
défaut
angle
d'inclinaison
o ùegr2)
IP = -4,05.
-
Echo
du
disque
(petit
défaut
angle
d'inclinaison
o degré)
IP=-1,03.
On constate que
le
cas
de
l'échO
de
bord
lointain
est
m01ns
âvident
qae
les
autres
l'indice
de
parité
(IP)
est
ici
trop
peu
ciiff~rent de O.
Une
explication
proposfe
est
que
l'écho
de
bord
lointain est
une
combinaison
du
signal
de
diffraction
et
d'ondes
ayant
suivi
d'autres
trajets
plus
complexes
(les
ondes
de
surface
entre
autres),
ceci
ayant
surtout
lieu
pour
des
cibles
immergées
dans
l ' e a u .
La
ressemblance
entre
l'~cho de r~férence et les échos de bord
est
attestâe
par
le
signe
positif
de
l'indice
de
parité
(IP).
Pour
les
petites
cibl~s, IP est négatif
leur
écho
est
sembla-
ble
à
la
d~rivée de l'écho de référence.
129
0-j-3-2)
Traducteurs
focalisés.
Il
a
~t~
utilis~ un traducteur focalisé
large
bande
de
fr~quen
ce
centrale
l,411Hz,
de
diamètre
3Gmm
;
le maxi::1urJ du spectre
diminue
de
6dB
po~r les
fréquences
0,6 MHz
et
2,7 MHz.
J-]-3-2-1)
Cibles
imoergées
dans
l'eau.
Ici,
le petit
défaut
est
un
disque
de
diamètre
I~m.
Le
tableau
suivant
pr2sente
les
résultats
obtenus
Tableaù XII.
Echo
de
l'obstacle
2cho
de
r~férence
Indice
ae
sÙPfosé
inconnJ
Paritê
Bord proche
Plan normal
à
l'axe
+0,05
la degrés
du
faisceau
ultra-
sonore
incident
Bord proche
Idem
-0,37
30 degr2s
Sorci
proche
Idem
+ 1 ,45
45
degrés
Bord
lointain
Idem
-2,57
10 degris
Bord
10 intain
Idem
+0,14
30 degrés
Idem
+2,44
ùisque
de
diamètre
,mm
Disque
de
diamètre
Bor ci
pro Cil e
-0,55
1mm
30 degrés
Disque
de
dimètre
30rd
lointain
- 1 , 4 1
Imm
30 degrés
130.
On
constate que
ùans
le
cas
du
traducteur
focalisé
large ban-
de,
les relations entre
les échos
de
bords
ou de
petits
d~fauts
et
l'écho
de
référence ne
sont pas
constantes.
Par contre,
les
relations
entre 6chos de bord
(proche
ou
lointain)
et échos
de
petits
ùéfauts
sont
reproductibles.
Je n'ai
pas encore trouvé
d'explication à
ces
phénomènes.
D-3-3-2-2)
Jéfauts
artificiels
dans
l'acier.
Les
petits
défauts
sont des
trous
à
fond plat
de
diamètre
0,5mm et
Imm respectivement
à
03
et
à
35mm de
la surface.
Les
bords
proche et
lointain
sont
ceux d'un
trou
à
fond plat
de
10mm de
diamèt~e, incliné de 30 degrés par rapport à la normale
à
la surface du bloc d'acier,
à
35mm de
la surface
(figure
60).
Le
fait
de n'avoir pas
des
bords
rectilignes
est
pénalisant
pour
cette méthode de discrimination mais
nous
rapproche
des
cas
r~els
de
contrôle.
La distance
entre
le fond
du bloc d'acier et
sa
surface est
55mill.
Dans
tous
les
cas,
la cible
doit
être
à
l'in-
térieur de
la zone
focale
du
traducteur émetteur.
Le
tableau suivant
résume
les
résultats
obtenus
:
Tableau XIII.
Echo
de
l'obstacle
Echo
de
Indice de
supposé
inconnu
réiérence
Parité
Bord p roc he
Surface
0,55
Bord lointain
Idem
0,09
Disque de diamètre 0,5mm
Idem
1 , 81
Disque de diamètre
Imm
Idem
1 , 9
Bord proche
Fond
0,52
Bord lointain
Idem
0,60
Disque de
diamètre
O,5rnm
Idem
-0,38
Disque de diametre
lem
Idem
1 , 41
Disque de diamètre
0,5mm
Bord proche
- 3, 15
Disque
de
diamètre
Imm
Idem
-1,95
Disque de diamètre 0,5mm
Bord lointain
-1,40
Disque de diamètre
l:nm
Idee
-1 ,53
1 3
Figure
60
:
Etude
dans
un milieu
so-
lide
trous
à
fond
plat
dans
un
bloc
d'acier.
0
a
.....
....
"~
•
....
Cl
~
..., «(
,
....
. '"
'""
0
..:t
'6-
-
-~
:.
G
<11
r0-
m
'S-
l'1
~
•
..,
0
...,
#~'
.. '
~,,""
/<
U"'l
~
,
('of
l.r)
~
e.
~-;:
~
t'4
a
~
If')
~
j
r---
.... - ...
'&
0
1::'
1
U1
~~
0'"
-g..
132.
disque O,5rnn
disque 1mm
bord prochè·
bord lointain
Figure
61
:
Echos
renvoyés
par des
trous
à
fond
plat
('l5 0,5 et Imm), le bord proche et le bord
lointain d'un
trou
à
fond plat de ~ 10mm incli-
né à 30°
par rapport
à
l'axe d'un
traducteur
large bande
focalisée
(D =
38mm F =
260mm).
En abcisse
unités de
temps
de
20nS.
Ap= 4,19
Br= 1,04
Disque O,51T11l 1 Bord proche
IP= -3,15
Figure
62
Première partie.
133.
Ar= 2,44
Bp= 1,04
Disque 0,5111T1 / BOI'd lointain IP
-1,40
Ar= 3,73
Bp= 1,78
Disque 1111T1 / Bord proche IP
-1,95
Ap= 2,89
Bp= 1,36
Disque 1111T1 / Bord lointain IP =-1,53
Figure 62
(suite)
:
Courbes d'intercorrélation
des échos revenant des
trous
à
fond plat
(0,5
et
Imm),
~vec les échos de bord proche et bord
lointain
(à
gauche),
avec
leurs dérivées
(à
droite).
En abscisse unités de
temps
de
20nS,
en ordonnées
unités arbitraires.
1 34.
Com~e pour les cibles immergées dans
l'eau,
les
relations
entre
les
6chos
de
bords
et
de
petits
d~fauts d'une part et l'écho
d'un
grand
défaut
plan
(ici
~cho de surface ou ~cho de
fond)
ne
sont
pas
constantes.
Par
contre,
la
relation
de
d~rivation
entre
~chos de petits dêfauts et êchos de bord
(proche
ou
loin-
tain)
est
~tablie (Indice de Parité n~gatif).
Les
figures
61
et
62 correspondent
à
ce
dernier
cas.
)-3-4)
Am~liorations de
la
m~thode de discrimination.
J-3-4-1)
Introduction
.
La
discrimination
utilise
toujours
la parit~ ou
l'imparitf
de
la
fonction
d'intercorr~lation entre l'écho de l'obstacle in-
connu
(ou
suppos~ tel)
et
l'~cho de
réf~rence ou de sa dérivée.
Comme
précédemment,
l'Indice
de
Parité,
IP,
est
défini
par
Bp -
Ap
(voir
paragraphe
D-3-2)
Cependant,
la procédure
suivie
~c~ apporte
les
deux
améliora-
tions
suivantes
par
rapport
à
la reéthode
précédente
indépen-
dance
de
la m~thode de discrimination de
la
ligne
de
base,
re-
connaissance et
saut
des
"faux extrema"
(en
g~n~ral dus aux
bruits)
ou
lissage
des
signaux bruit~s avant
intercorr~lation.
D-3-4-2)
Indépendance
de
la méthod2
de
discrimination
de
la
ligne
de
base.
Pour
rendre
le programme
de
discrimination
totalement
indépen-
dant
de
la
ligne Je
base,
les extrema
MO,
NI,
112,
~13 et N4
sont choisis
de
telle
sorte
qu'ils
vérifient
les
conditions
suivantes
-a)
jMO-M 11 ~
1 MO-MlI
ll-fl-M31
-b)
MI
et
~2 sont de part et d'autre de MO
-c)
M3 est
le premier
extremum suivant Hl
(sur
l'axe
des
abscisses,
en partant
de
110)
.,-
-d)
M4
est
l'extremum venant
après
M2
(sur
l'axe
des
abscis-
ses,
en
partant
de 110)
1 35 •
Ainsi,
contrairement
d
la m~thode pr~c~dente (paragraphe
D-3-2),
les
extrelna
Hi],
dl,
H2
et
(13
ne
sont
plus
choisis
en
fonction
de
leur
valeur
absolue
mais
suivant
l'ordre
de
grandeur de
la
valeul
absolue
Je
leurs
différences
on
obtient
ainsi
un
algorithme
de
discrimination
totale~ent indépendant de la ligne de base.
Comme
i l
a
~t~ dejà vu,
pour
une
fonction
plut8t
impaire,
la
valeur
absolue
de
(MO-MI)/(HO-M2)
et
celle
de
(MI-M))/(M2-H4)
sont
supèrieures
à
1.
Pour
une
fonction
plut8t
paire,
elles
tendent
vers
1.
Appelons
(comme
prêc~demment) le produit de ces
deux
valeurs
absolues
Ap
dans
le
cas
de
l'intercorrêlation
entre
l'~c~o de d~fayt inconnu et l'Jcno de réf~rence, et Bp le pro-
duit
des
m~mes valeurs absolues pour l'intercorr~lation entre
le
m~me écno de défaut et la dérivée de
l'~cho de référence.
L'indice
de
parité
(Ip),
défini
par
Hp-Ap,
sera
donc
positif
si
les
deux
écnos
sont
plutôt
semblabl~s (intercorrélation
plutôt
paire)
et
n~gatif si les signaux ont entre eux plutôt
un
rapport
de
d~rivation (intercorrélation plutôt impaire).
La
courbe
ci-dessous
explique
le
choix
de
cette
nouvelle
métho-
de
Oj,
.f\\
. 1 .
•
31
1
(1
-139
Figure
63
illustration
de
l'influence
de
la
ligne
de
base
sur
la
fonction
d'intercorrélation
136.
Sur cette
fi~ure j'ai prLS la ligne de base assez
i~portante
pOJr mLeJX illustrer mon
propos.
les
extrema choisis
suivant
l'a n cie n n e in 2 t il 0 ci e
son t
n 0 tés
e il
1 e t t r e s
,n i nus cul e s
( (11'"\\ 0) 1
(1111.), ((l1~)
1 (m3),(m4-));
ceux obtenus
par
la nouvelle ,,}(~thode
son t
no tés
en
1 e t t r es ,il a jus c al e s
( ~l 0,
:1 l,
:12,
A3 e t
:-14).
La
sup2riorit~ du dernier crit}re de discrimination sur les
autres
vient de
ce
qu'il
rend
les
calculs
indépendants
de
la
ligne de
base.
Toutefois,
cette
amélioration de
la méthode
de
discrimination ne
change
pas
les
résultats
dejà
obtenus
car
dans
les exp~riences menées
jusqu'ici,
on n'a pas
~té confron-
té
à
des
cas
d~ ligne de base importante.
;)-3-4-3)
"Saut" des
"faux extrema"
apparaissant
éventuelle-
ment
dans
la
fonction d'intercorrélation
Soit
la fonction
(ici,
i l
s'agit
d'une
fonction
d'intercorré-
lation)
représent§e par
la
fig~re ci-dessous
/\\
r' \\...-~---
2
1
5~
1
-156
Figure
64
exemple de
"faux extre,.lum"
J'appelle "iaux extremum" un extremum du
type MF de
la cour-
De
ci-dessuS
i l est dG par exemple
aux bruits
présents
dans
1e s
s Lg na u x à
i il ter cor r é 1 e r.
L' L'l po r tan ce des
Il fa u x Il
ex t rem a
est surtout notable dans
la
fonction
J'intercorrélation entre
un signal
SI
et
la dérivée d'un
autre
signal S2
plus
ou mOLns
bruité.
Le
programme
de
JiscrilCination appelé
SONOLIS permet de"sau-
1 :::, 7 ,
ter" ces
"falix extreEla"
(annexe 11.3).
S0 ~~ j) LIS,
e n j) 1 usd e
1 a r e con n cl i s san c e
des
"f a li x e x t r e ,il a ",
f ait
d ' dut r e s 0 p 2 1:" a t ion s
? a r :n ~
1 e s que lIe son peu t
c i ter
-
dérivation de
fonction
(sous-programme
DEV)
-
amortisse,nent des
signaux
(soùs-pro~ranIrne At1T
Annexe
Al)
-
intercorr§lation entre deux signaux
(Salis-programme
FIC)
-
calcul
de
l'indice
de
parité
(Ip)
et afficnage
dû
résultat
de
la ciiscrimination.
(Les
sous-prograomes
JEV et
FIC,
qu~ ne sont pas donn~s ~c~
en annexe,
ont
été sauver,ardés sur disquette.)
Jlemarque
Le
progra~a;:Je principal SOtJDLIS permet de "sauter" les 'lf:l uX ex-
trellla"
(i.e.
les
reconnaît
cOr:J;ue
tels et n'en
tient donc pas
compte
dans
le
choix de HO,
Ml,
M2,
H3 et H4)
quand il n'yen
a pas un tr~s grand nombre
(signaux fortement hruités).
Si les
signaux ont
un
rapport
signal
sur bruit
assez
faible,
il
faudr:l
les
lisser avant
de
les
intercorréler
(cf
program-
me de
lissage LISS2n annexe 11.4)
il-3-4-4)
Rés~ltats expérimentaux
Les exp§riences
ont
été
refaites
en
tenant
compte
des
remar-
ques pr~cédentes.
D-3-4-4-1)
Traducteur plan
Zn considérant des
cibles
immergées
dans
l'eau et
en prenant
pour référence ûn grand d~faut plan perpendiculaire à l'axe du
faisceau
incident,
on
retrouve les mêmes
résultats que prêcé-
de fi men t
( 0 n a
g a ni é
1 e s n ême.s c i b 1 es)
la
raison en est que
les
signaux utilisés
ici sont peu bruités
(Le
rectangle et
le disque
dont
il est question dan~' le tableau
suivant
(tableau XIV)
sont de
petits défauts
plans
perpendicu-
laires
à
la riirection de
propagation de
l'onde
incidente
(plane))
1 38.
l'ablea-...t XIV
ù.!fauts
Inoice
de
parité
(IP)
Bord proche
(14 degr~s)
2,97
gord
loincain
(-14
degr2s)
û,69
~2ctangle (I,Gmm sur 3,9mm)
-4,05
~isque de diam~tre S~m
- 1 ,03
D-3-~-4-2) Traà~cteJr focalisé
Les
résJltats
exp~rimenta~x dans le cas de cibles immerg~es dans
l'eau concordent avec ceux oatenus quand on
considère
ries
défauts
artificiels
dans
l'acier
trous
~ rond plat de diam~tre O,Smm
et
Imm
(petits ciefauts),
de
~iadétre IOrnm et incliné de 30 de-
gr~s (par rapport à la normale J la surface du bloc d'acier)
pour
les
bords proche et
lointdin.
Rappelons que
le fait
de
n'avoir pas
des bords
rectilignes n'est
pas
conforme au cas
th§orique ~ais correspond au contrSle r~el .
.-
Tableau de
résultats
Tableau XV
Echo du d.ifaut
E clio de
r~férence
Indice
cie
Parité
Bord proche
Surface
-2,66
Bord
lointain
Idem
-4,24
Disque de
diam~tre O,5mm
Idem
+2,19
Disque de diaœ.ètre
Imm
IdeiTI
+ 1 , 35
Disque de di alnet re 0, 5:n ra
Bord proche
- 3, 15
Jisque de diamètre
1,nm
Idem
-1 ,95
Disque de diametre
O,5mm
Bord
lointain
-1 ,4ü
jisque de ci i aIlle t re
1ffilll
1 ci eLl
-1,53
1 39.
~e
fait
que
les
ichos de
petits
d~fauts (disques
diam~tres
O,5rrm et
Ih1;n)
et
les
~CtIOS Je bord
(proche
ou
lointain)
ont
entre
eux
plut6t
un
rapport
de
dêrivation
est
confirmê
(icho
d'un
Detit Jifaut
semblable
à
la
dériv2e
de
l'écllo
Lie
borù
)
indices
de
parit~ négatifs.
Mais,
~c~ encore, on remarque que
la
relation
constatée
entre
l'2cho
d'un grand défaut
plan
perpendiculaire
à
l'axe
du
fais-
ceau
focalis2
incident
et
celui
d'un
bord
ou
d'un
petit
défaut
n'est
pas
conforme
au
r~sultat théorique établi pour une onde
plane
ce
point
reste
à
éclaircir.
Touterois,
i l
est
à
remarquer
que
les
indices
de
parité,
à
la
suite
des
améliorations
apportées
à
la méthode
de
discrimination
(êlLnination de
l ' e f f e t
de
la
ligne
de
base,
"saut
de
faux
ex-
trema" ou
lissage
de
si8naux bruités
avant
intercorrélation),
les
indices
de
parité
apparaissent
donc
(de
façon
générale)
plus
nette~ent différen~~ de 0 que pr~cédemment (cf
les
ta-
oleaux :aII et
:{V ainsi
que
les
annexes
A3,
Ao,
et
AS).
1 40.
J-4)
Vari:ltion
de
l'extremum de
plus
grande
valeur
absolue
de
la
fonction
d'intercorr01ation
avec
l'angle
d'incidence.
J-4-1)
Introduction
Dans
les
it~des pr2cédentes,
on
a
fix2
l'angle
ca
entre
l'axe
Ju
faisceau
d'ultrasons
et
la normale
à
la
surface
de
l'obsta-
cle
(?lan)
et
on
s'intéressait d
la variation
des
s~gnaux en
fonction
du
temps
ec
à
la
forme
de
leurs
intercorr~lations
(parit~ ou imp3.rit2).
Ici
nous
essayons
de
vo~r s'il n'est pas possible ae faire
la
discrimin3.tion
entre
les
d2fauts
en
consid~rant la variation,
en
fonction
de
l'angle
d'incidence,
du
maximum
(en
valeur
ab-
solue)
de
la
fonction
d'intercorr~lation entre leur écho et
l'~cho de référence.
Pour
chaq~e angle
e
on
calcule
d'une
part
la
fonction
d'intercorrélation
entre
l'écho
du défaut,
Ed~f, et l'écho de
référence,
Créf,
d'autre
part
la
fonction
d'intercorrêlation
entre
Edéf
et
la
dérivâe
de
~r2f. On relève l'extremum de plus
grande
valeur absolue
de
chacune
de
ces
fonctions.
Les
angles
sont
exprim~s en degrés.
J-4-2)
Les
différents
cas
L'6cho
de
référence
est
aû
à
un grand
défaut
plan perpendicu-
laire
à
l'axe
du
faisceau
incident.
L'~cho de défaut
(suppos~
inconnu)
est
un
~cho de bord proche.
Le
traducteur
utilis~
8&ettant des
signaux moyennement
amortis,
les
intercorr~lations
ont
été
calculées pour
deux
cas
avec
des
s~~naux bruts
(sans
amortissement)
puis
avec
des
signaux numériquement
amortis
(le
pro'r~mme d'amortissement numêrique est donné en annexe AI).
Les
échos
sont
soit normés
par
leur maximum
(en valeur
absolue)
soit
par
le..lr
puissance~cf page 125 la définition des normes.
0) Signaux bruts (sans amortissement numérique)
En
aoscisse
est
porté
l'angle
e
en degr~s, en ordonnée
l'ex-
tremum de plus
grande
valeur
absolue
des
fonctions
d'intercor-
r~lation
14 1 •
Signaux normés
par
leurs
maX1ma
figure
65-a.
La
courbe
s~périeure est relative
u
l'intercorrélation
entre
Sdéf
et
la
dérivée
de
Eréf
et
celle
du
dessous
d
l'intercorré-
lat ion
entre
Edéf
et
Er~f.
Si~naux norrn~s par leur puissance
figure
55-b.
Po~r des raisons de commodit~, la puissance a été divisée par
25.
b)
Signaux num~riquement amortis.
Figure 66-a
signaux
prfalablement
norm~s par leur maX1ma
Figure
6G-~
signaux préalablement
normés
par
leur
puissance
~{emar qu es
1)
On
constate
que
les
deux
courbes
représentant
la
variation,
en
f 0 n c t ion
d e I ' an g 1 e, d' in cid e n c e e
,
des
ma x i ma d ' in ter cor-
rêlation
entre
l'écho
de
bord proche
Edéf
et
l'écho
de
référence
Eréf
d'une
part,
l'écho
de
bord
proche
et
la
àérivée
de
l'écho
de
rGférence
de
l'autre,
sont
plus
ou moins
bien
séparées.
~) Pour des signaux norQ~s par leurs maxima,
la
séparation
est
d'autant
plus
nette
que
les
signaux
sont
peu
amortis.
J)
Au
contraire,
pour
des
signaux
normés
par
leur pU1ssance,
la
séparation
est
d'autant
plus
nette
que
les
signaux
sont
plus
amortis.
:lais
i l
n'a
pas
~té possible de trouver un critère quantitatif
de
discrimination
avec
la
variation,
en
fonction
de
l'angle
d'incidence,
du
maximum de
la
fonction
d'intercorrélation
:
en
effet,
on
constate
que
l'écart
entre
les
deux
courbes
telles
que
celles
de
la
figure
65-a
n'est
pas
constant.
142 .
a)
1
1
[
"
AN(;LI~S D~INCIDEI~CE (EN DEGRES)
~
.1
i ~,
"1.
J
,;
...j
..
SiGNAUX HORMEs PAR LEUR MAXIMUM (COURBE SUP
iHTERC ENTRE Edéf ET Er~f')
...
5002"+1\\
l\\
::;::
/ \\
D
l \\
x
.......
:I
t
40.1
i \\
1
1
J>
0
r ! \\
1
\\
/
\\
1
Z
-i
.!~/'
.
\\
t
'\\
rn
'\\
::JJ
n
0
1l
.
,1
1./
22.B4
V
~----
::JJ
-----
At
A
/
_~~
rn.
r
17.56
/ \\
_
,
\\,
f - " ,
_~~--~
b)
:I;:.
\\
. /
1
~ •
\\ __..........._.
... _ _
-i
\\/
\\../"'--~
0
9.64
V
Z
ANGLES D'INCIDENCE (EN DEGRES)
31t'
SIGNAUX NüR"ÉS PilR LEUR PUiSSilNCE (CüURBE SUP.: iHmC. EHiRE EUi ET Er'~(';;
Figure
65
:représentations
de
la variation
ùu maX1mum d'in-
tercorrélation
en
fonction
de
l'angle
d'inciden-
ce
(signaux n'ayant
pas
subi
d'amortissement nu-
mérique)
:
Edéf
:
écho
de
bord
proche;
Eréf'
:
ciérivée,
par
rapport
au
temps,
de
l'écho
de
référence
Eref
1 43 •
a)
ANGLES D'INCIDENCE (EN DEGRES)
ifi4yt··
!
l
.i.::
/\\
./
.f
..'
z
b)
o
z
i-iNCiLES D·' me lDENCE <EN DEGREe)
~
SIGNAUX Homs PAR LEUR PUlSSANCE (COURBE SIJP.: iNlERl. EHTRE Edëi ET ErH')
Figüre
66
représentations
de
la variation du maximum
d'intercorrélation en fonction
de
l'angle
d'in-
cidence
(signaux ayant
subi
un amortissement
numérique):
Edéf
:
écho
de
bord procne
;
Eréf'
:
dérivée
par
rapport
au
temps
de
l'écho
de
référence
2réf
144.
E)
Quatrième
partie:
Dimensionnement
d'un
petit
défaut
par calcul
de
la
fonction
d'autocorrélation
àe
son
écho.
145 •
Dimensionnement
d'un défaut
plan
par
autocorrélation
de
son
signal
d'écho.
r;-1)
Introduction
Dans
la partie bibliograpniqùe,
j ' a i parlé
de
quelques
méthodes
de
dimensionnernent
de
d6fauts.
Ici,
j'en propose
une
basée
sur
a)
Le
pnénomène de diffraction
des
ondes
~ltrasonores et l'in-
version
de
polarité.
b)
Certaines
propriétés
àe
la
fonction
d'autocorrélation
d'un
signal
à
struc'ture d'échos
(cf.
annexe
Al).
Je
suppose
dans
tOùt
ce qui
suit
que
le
diamètre
àu faisceau
ultrasonore
incident
est plus
grand
que
la
taille
de
la
cible.
En
outre,
je me
limite au cas
où
le milieu
de
propagation
des
ondes
est
fluide
(plùs
précisément,
i l
s'agit
d'un milieu
a-
queux).
Les obstacles
sont
plans,
de
bords
francs.
E-2)
Fonction à'autocorrélation d'un
signal
à
structure
d'échos
cas
où
le
signal ne
comporte
qu'un
8L~O.
E-2-1)
Définition
Soit
set)
un
signal d'énergie
finie.
Le
signal
à
structure
d'é-
chos
seCt)
construit
à
partir
de
set)
a
la
forme
suivante
(an-
nexe Al)
seCt)
set)
+ a1..s(t-t1.)
+ a~.s(t-t2,)
+
•••••••
+ an.s(t-tn)
~
= set) +
L a L s ( t - t i )
(65)
.....,="
n est
le nombre
d'échos,
les
ai
et
les
t i
sont
des
constantes,
t
la
variable
te:nps.
Je m'intéresse
aJ
~as où l'espacement entre deux échos succes-
sifs
est constant.
On a
alors
Pour
tout
1.
(i~n),
t i
i.to
(to
est
une
constante).
146.
L'équation
(65)
devient:
"'-
l
se(t)
)
ai.s(t-i.to)
(66)
en posant.Â-:oo
j
=
1
Z-2-2)
Fonction d'autocorrélation d'un signal
â
un écho.
L'annexe Al
traite
le cas gén~ral de la fonction d'autocorré-
lation d'un signal
à structure
d'échos à
n échos.
Ici,
je me
limite d la
situation particulière où n
est égal
à
1. On a
alo rs
se(t)
=
s (t)
+
a1...s (t-to)
(67)
Sa fonction d'autocorrélation
(signal d'énergie
finie)
est
+.0
(eJtl- f se('C). se (l; - ~) dz;
_ 00
~emplaçons se(t)
par sa valeur
Se. (1:)
5(1:) + oA set -to)
Le
calcul direct
donne
:
C se
5<.
\\t) =- (-1 +o.~') c.J~) + aA[Css l\\:+ ta) + (.. (t -(0)1
(68)
avec se.(t)=.s(t) +a.....ts{l:-to) et C.s~(t:) fonction d'autocorrélation
de
s(t).
On retrouve
le ~~me r~sultat qu'en annexe Al en faisant n
1.
Dans
le cas de
diffraction des
ondes ultrasonores par les bords
de
défauts
(plans,
de
bords
francs),
on montre
(paragraphe
C-3-3-3)
que a~ = -1
(inversion de polarité)
se(t)
=
s(t)
-
s(t-to)
(cas théorique idéal)
1 47.
Si
Je pose que Mo est
la valeur du maximum de
la fonction
d'autocorrélation de
set),
on obtient
la figure
suivante
t~~\\~ -t1~Mo
l,
Il
,-,ta
/1
1
, t o
p, Il
.'1 1 1\\
/1
'\\
1\\: /1
Ill' l,
il
1'1 :
l
1ft';
\\J
I l
V
1
1
1
Il
1
1
\\1
1 1/
-Mo
:CMo
IV ! ~
Figure
67.
to
permet,
comme on
le
verra par
la suite,
de
calculer
la di-
mension du défaut projetée
sur l'axe
du faisceau
ultrasonore
incident.
On conserve aussi
l'information
relative
à
l'inversion de pola-
rité
liée au signe négatif du deuxi~me maximun en valeur abso-
lue
(abscisses
to et -to),
ce qui n'est
pas le
cas
de
la métho-
de
spectrale de Whaley et Adler
(réf.l)
(qui conservent,
dans
leurs calculs,
le spectre des modules
mais pas des phases).
E-3)
Dimensionnement d'un défaut plan par
autocorrélation de
son signal, d'écho.
Soit
le défaut plan de dimension L de
la figureQKpage
suivante)
Je
suppose que L est
tr~s petit par rapport à la distance émet-
teur-cible
(laquelle est immergée dans
l'eau),
que l'onde inci-
dente est plane et homog~ne et que e
est
l'angle d'incidence.
La technique utilisée est
celle de
l'émission-réce)tion d'im-
pulsions ultrasonores.
Page
suivante
Figure 68.
148.
,
Cible
- --,- - - - - - -
L
- '-
- -
Traducteur
F.aisceau
Emetteur-
'd'ultrasons
Récepteur
,
Figure
08.
Le
signal d'écho se
compose de
deux impulsions de polarités op-
posées
(voir paragraphe
C-3-3-3:
le cas
d'un défaut plan de
forme
rectangulaire)
se (t)
set)
-
s(t-to)
y~
~ t
1
~\\
..
0
,
\\
1
V
\\
1
k
~. V1
.to
<
~
Figure 69.
Remarque:
Dans
la pratique,
les 2 impulsions
composent seCt)
ne
sont pas rigoureusement
identiques mais
6ela ne
change rien au
149.
calcul qui
suit.
to
et L
(voir
figures
68 et
69)
sont
reliés
par
la
relation
suivante
:
donc
L
c...to
(70)
c est
la vitesse de propagation de
l'onde
ultrasonore.
On l i t directement
to
sur une
courbe
représentant
le
signal
d'écho.
Hais une
telle mesure
directe n'est pas
toujours
précise
à
cause par exemple de
la présence
de
bruit dans
l'écho considéré,
i l
peut
être difficile
de
trouver
sur
les
deux impulsions
composant
le
signal deux points
identiques
(éventuellement
à
l'oppositior
de
polarité près).
On peut
anéliorer
le
résultat
en
calculant
la
fonction
d'au-
tocorrélation de
l'écho:
on
sait en effet que
la
fonction
d'intercorrélation
augmente notablement
le
rapport
signal
sur
bruit.
D'après
l'équation
(69),
le
deuxième max~mum (en valeur abso-
lue)
de
l'autocorrélation est placé
en-~to (et -to)
'"
/ta
--~
1
C - - - -
,.ta
Figure
70
fonction
d'autocorrêlation
150.
3.emarque
Si on ne
connaît
pas l'an8le
d'incidence
8
, on peut procé-
der
comme
suit
:
a)
Détermination de
to,
intervalle de
temps
correspondant
à
e
to
~ L ,t)ll'T\\.,. G
(71 )
C.
b)
On
tourne
le traducteur d'un angle
connu +c1...
(par
rapport
à
sa position
initiale)
ce qui
donne
l'intervalle
tl
défini
p a r :
t.{ =-
.2, L ( pO,
e
(ft.
co.b ci.. o~ W.b e r.>;~ o()
c.
(72)
Le
signe + ou -
dépend
de la position du
défaut
par rapport
à
l'émetteur.
c)
3ème mesure
rotation du traducteur
de _Z ~
par
rapport
à
sa position en b),
ùans
le
sens
opposé
à
celui de
la premiè-
re
rotation
(donc
rotation de -
cl
par
rapport
à
sa position
.....
en a » ,
ce qui donne
~ L (t>;11\\. e ta» cl... ~ lo.b 6/;);m..d.)
(73)
c.,
d)
On prend
la valeur absolue
de
la
différence entre
tl
et
t2
(74)
D'après
a)
c..to
et
d ,
'
)
"...1
apres
d
,el
(.0."'\\
clt1.-t:L.L
=
.tL
lt- L P;rn.- 0{
et on trouve
la dimension L par
l=.
(75)
to,
t~ et t~ sont lus sur les différentes courbes représentant
les
différents
signaux à'échos.
151.
La procédure
(~noncée précédemment) peut se résumer sur la fi-
gure
suivante
:
.... ........ ....
..........
...... ....,
'-(b)
1
1
--
1
......... 1
r-......
1
1
....
1
.....
1
.....
- ' - - - ( 0 ) - -
.....
\\
.
, y --
\\
-----
(a) :
1ère position du
traducteu:
(b) :
(c.)'-
\\
2ème
"
"
( c) :
3ème
"
"
---'
\\)
_.
---
Figure
71.
Sur la
figure
ci-dessus,
(a)
correspono.
au cas
a),
(b)
à
la
ro-
tation +J-
par
rapport
d.
la position
(a)
du
traducteur et
(c)
à
la
rotation
- Z. J...
par
rapport
à
(h)
(donc - J.. . par rapport
à
(a)).
Re!!larques
:
a)
Une
fois L trouvâ,
on
aura l'angle à'incidence
supposé
1nconnu grâce
aux équations
donnant
to
et
(page précé-
dente):
.2 to. ,0\\f'(L cl...
t~ le) =
1tL - t2.\\
b)
On peut,
pour
s'assurer des valeurs
de
L et
e
,
refaire
plusieurs mesures
(pour d'autres
rotations
du
traducteur émet-
teur autour de
la
cible)
on calcule ensuite la moyenne
des
résultats
(pour L et pour
d
).
c)
L'autocorrélation fait
correspondre
à un signal
une
fonction
de
plus
grande
largeur.
Ainsi,
la méthode
proposée 1C1
n'aug-
mente pas
la
résolution
de
la technique de
dimensionnement
(con-
trairement par exemple à
la méthode
cepstrale
(cf.
réf.l0,11,12
152.
et
annexe
A6)).
rIais
elle
a
l'avantage d'augmenter
le
rap-
port
signal
sur bruit
(propriété
des
fonctions
d'intercorré-
lation)
elle donne
des
r~sultats tout J
fait
satisfaisants
quand
les
"échos" ne
sont pas
trop
rapprochés.
E-4)
~xemple d'application
J'utilise
un
traducteur plan
(large
bande)
pour
l'émission et
la
réception
des ondes
ultrasonores.
Une
petite
plaque
rectan-
gulaire
dont
le
côté non perpendiculaire à
l'axe
de
l'émetteur
fait
un
angle
de
76 degrés
avec celui-ci
(angle
d'incidence de
14 degrés)
et ~esure 3,9mm, a servi de cible.
Le milieu de
pro-
pagation des
ondes est
l'eau
(vitesse
c
des
ultrasons =
1500m/s).
Le nombre
d'échantillons
des
signaux a
été
pris égal à
256.
La
période d'échantillonnage,
Te,
est de 0,02 microseconde
(Fig
7 1 ).
Le
calcul de
la
fonction
d'autocorrélation
du signal d'écho per-
met
de
trouver to
(intervalle
temporel
entre
le maximum maximo-
rum et
le
deuxième
maximum en valeur
absolue)
sur
la
figure
74
où
la fonction
d'autocorrélation a été
translatée
de
1~8 échan-
tillons
(donc
de
la moitié
du nombre
total
d'échantillons),
on
l i t
to =
128Te -
62Te = 66Te
1,32 microseconde
L
etc
:;;
=
4-,)0 rnvrn-
-2, /ü'fT\\- e
Je trouve une
erreur relative
(
~L ) d'environ 5%
L
Remarque
importante
J'ai pris
comme vitesse
des ultrasons
dans
l'eau c
= 1500m/s.
Or
c'est
là une valeur approchêe,
la véritable valeur dépen-
dant
de facteurs
tels
que
la température
de
l'eau contenant
la
cible.
Dans
notre cas,
la vitesse
c mesurée
dans
les
conditions
expérimentales est
égale
à
1470m/s
Avec c
=
1470m/s
(et
toutes
choses
égales
par ailleurs),
on trouve
que
la dimension L =
4,02m~, ce qui correspond à une erreur rela-
tive
(par rapport à
la valeur
réelle
de L)
de
3%.
153
E-5)
Etude
complémentaire
J ' a i volontairement
limitê
le
dimensionnement
aux d§fauts
1m-
mergés
dans
l'eau.
Il
est
évident
qu'on peut
l'étendre
au cas
du milieu de propagation solide
des
ondes
ultrasonores.
Pour
ce faire,
Je m'inspire d'un
procédé proposé par Adler et Whaley
(Réf.1).
Une
différence
toutefois
eux exploitent
l'aspect
spectral des
échos
alors
que je me
place dans
le domaine
tempore
(fonction d'autocorr~lation du signal d'écho).
Soit
un défaut
contenu
dans
un bloc
de métal
(figure
72).
On
fait
une pr~mière mesure en incidence normale.
Le phénomè-
ne de
réfraction
n'intervenant
pas,
seul
l'an~le d'inclinai-
son de
la cible
par rapport
à
la
surface
du métal
est
à pren-
dre en cOQpte.
Comme préc~demment,
la
fonction
d'autocorrélation
du signal d'écho
donne
to
G-
e est l'angle d'inclinaison du
défaut
par
rapport
à
la sur-
face
d'entrée.
Vm étant
la vitesse
de
propagation des
ondes
dans
le métal
et
c
leur vitesse
dans
l'eau
(le
traducteur
et
le bloc de métal
contenant
le
défaut
sont
immergés dans
l'eau).
On
incline
l'axe
du traducteur d'un angle ~
connu par rapport
à la normale à
la
surface
du bloc de métal
(dans
un
sens
don-
né).
L'angle de
réfraction ~
est
lié
à
l'angle
d'incidence
par
(Jlrf\\.- l' :: lVm / c.) P"fT\\- d.. .
On
tient
compte
de cette
correction et
on
l i t
le
nouvel
inter-
valle t4 sur
la.fonction à'autocorrélation du signal
d'écho:
t.-i =- ~L PIrT\\- [e~ OJ\\d>;m.~Vtn/C). plm. c1-J _
(1-8)
Vm
Le
s1gne
S1 t~ est inférieur à to et + si
c'est
le contraire.
1 54.
On
refait
une
troisi~me oesure en inclinant
le
traducteur
du
même
angle
oL
mais
de
l'autre
côté
de
la nor8ale
(si
on
prend
une
notation
algébrique,
le premier
angle
d'incidence
(sur
la
face
du métal)
~orrespondant à
to
est nul,
le
deuxième
(don-
nant
t-i)
serait +01.
et
le
second
correspondanr
à t~ -01..
On
trouve
t2.
ComBe
pr~cédemment, prenons
la valeur
absolue
de
t~ -
t~ :
4l êOb(g).;o;tf\\,(fJ
Cobe:::.
Vm.\\t-i- t2-\\
Vrrrv
L,. L J6ifT\\. -f
or
to
=
~ L À>1fT\\-8
donc
~;rn. e = Y'f1'\\..to
\\j (f'(L
.2- L
En
.
"
, . d
.
~.
~"
h:
<, e +
-te
A ,
l." 1
utl.ll.sant
1
l.
entl.te
trl.gonometrl.que,l<-"fl\\.
Cof;)
=./1.
vient
:
(B 1)
L'angle
d'inclinaison
e
du
défaut
par
rapport
à
la
surface
d'entrée
défini
par
~(e)
.! to pÎm.-d..
( ~t)
1b-i. - t~1
Cette
égalité
provient
des
équations
(1t) et (gO)
A Quelques
notations près,
la
figure
72
(page
suivante)
est
identi~ue au
schéma
de
la
figure
9
de
la page
886 de
la
ré-
férence
1.
155 .
., z
'
1
1
- '- - --
,---~ -~»--:- --iY
1
_~--:.--- 1 1
1
1
. -
~
-1
-
.
' - d é f a u t
'-blOC de I!1étal
e
traducteùr
Figure
72
:
Schéma correspondant au cas
d'un
défaut
(ici
plan rectangulaire)
dans
un bloc de
métal.
L'angle
d'inclinai-
son du défaut
par rapport
à
la
face
d'entrée
(du bloc)
est a
AXE DES AMPLITUDES
156.
4 8 r - - - - - - - - - , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .
-.gO'-------lI-82+----80+-----1428-------------29!-I~
AXE DES TEMPSt
UNITE l
~02 MICROS
ECHO RENVOYE PAR UN PETIT DEFAUT PL.AN RECTANGUl...AIRE INa..INE DE 1.uf.
PAR RAPPORT AL.' AXE DU TRADUCTEUR EMETTEUR-REŒPTEUR CTRAD. PLAN)
Figure 73
AXE DES AMPLITUDES
472,........-----------~-_r__==_------------....,
-2"18'-------~------ ........- & - - J - - - - - - - - 4 - - - - - - - - I
o
82
128
184
2SS
AXE DES TEMPS
UNITE-D. 02 MICROs.
A1J1'OCDRREL.ATION DE L' EatO RENVOYE PAR UN PETIT DEFAUT PL.AN
RECTANGUL.AIRE INCLINE DE 1.m. PAR RAPPORT AL' AXE œ L' DETTElIt
Fieure
74
157.
E-6)
Remarque en
guise
de
conclusion
On
a
vu qu'il est
possible
de mesurer
la
dimension L du
défaut
même
si on ne
connaît
pas
l'angle
d'incidence
(voir
les
équation~
71
à
75 pour une
cible immergée
dans
l'eau et
les
équations
77
à
81
pour un défa~t dans un solide):
pour
ce
faire,
on a
fait
précE
demment
trois mesures
(cf
notamment
le
paragraphe
E-3,
équations
71
11 75)
a)
me su re
de
l'intervalle
to pour
l'angle
d'incidence G
b)
mesure
de~pour êJ=-J.
c)
mesure
de t~
pour e~o(
On
a
pu aV01r ainsi
L et e.
En fait,
deux mesures
suffisent pour avoir
la dimension L
:
reprenons
les équations
71
et
72
(on procède
comme précédemment)
(71 )
to
2L ~\\rn- (8 =ci)
.2 L(J;>Îrn-(G) cob(.,()~ LOt.J(8)p;m.{o{} l
(72)
c
c.
D'après
(71)
S1n e
(..to
Dans
l'équation
(72),
on remplace
sin(0)par
[A -
~L
et cos lel
par
\\~~tF
D'où
la valeur
de L:
L
Des
équations
(71)
et
(72),
on accède
a l'angle d'inciùence
inconnu
:
L'équation
72 fait
intervenir
le
signe
+
:
on a
12
signe +
si
to est plus petit que t-i.
et -
dans
le
cas
contraire:
S1
ta est plus petit que t~
(signe
+)
on a
:
t'}G = (to,);)\\(l\\.o<)/(t~-h,,(Db~)
(~6-b'b)
si au
contraire
ta est plus
grand que
t~
on a
t~e = (te. b~rn-o{) / ( (0 <.o~~ - t~)
("1-6 - ~)
1 58.
On
voit
ainsi
qu'on peut
calculer
la dimension L sans
connaître
l'angle
à'incidence e et qu'on peut accéder à e sans connaître
L.
Si
on
applique
la même
méthode
pour ta
ùétermination des
carac-
téristiques
L et e , on a pour un défaut contenu dans un milieu
soliùe
(bloc de métal
par exemple),lui-mêm~ immergé dans
l'eau
D'a p r è s
l ' é qua t ion
(7 7),
t 0
=
:t L.oirrL e
(incidence norma-
V-rn-
le -
i l
s'agit de
l'incidence
sur
la
face
d'entrée
du bloc
contenant
le
défaut)
n'après
l'équation
(78),
on a
:
c<
est
l'angle
d'incidence
sur
la
surface
d'entrée
du
bloc
contenant
le défaut
et~ l'angle de réfraction.
~ et 1 sont tels que
sin:E
= Vrmsind.
c.
Vm étant
la vitesse
de
propagation des
ultrasons
dans
le
bloc
contenant
le
défaut
et
c
la vitesse
dans
l'eau.
Des
équations
(77)
et
(78)
on déduit:
L
=
159.
Relùarque
Les
équations
(75)
et
(75-bis)
sont
équivalentes:
en
effet,
quand
on
remplace,
dans
(75-bis) ,lt~-totDf.>c{lpar lt~-t.2lI/.t, on
retrouve
(75)
(cibles
immergées
dans
l'eau).
De
même
les
équations
(81)
et
(81-bis)
sont
semblables,
a~ns~
que
(82)
et
(82-bis)
:
on
retrouve
(3i)
à
partir
de
(8i-bis)
et
(82)
à
partir
de
(82-bis)
en
donnant
àlt-!-toW6flla valeur
'.1-i-t~\\/~ (cibles dans un solide).
L ' é gal i t é ' t -1..- t~ (,DO al\\ =1t -i. - t1.1 /1 rés u 1 t e des é qua t ion s (71). (7 2 ) e t
(73) (cibles
dans
l'eau).
On
al~-t"Ulb:fI=lt:i-t~/2 grâce aux équations (77). (78) et (79)
(cibles
dans
le
solide).
1 60.
F)
Conclusion
~éairale.
]otre
but
i t a i t
de ffiettre
au
point
une
uéthode
de
caractérisa-
tion
intrinseque
des
Dords
cie
fissure
à
partir
des
caractéris-
tiques
ciu signal
d'~cno, Œtant entendu que
le
risque
maje~r est
de
confondre
un petit
d~faut et un bord diffractant de
fissure.
L'étude
présentde
ici
s'applique
aux défauts
plans,
de
bords
francs,
dont
un
côt~ au woins est perpendiculaire à l'axe du
faisceau
incident.
Une m~thode de
discriraination des
défauts,
par
intercorrélation
entre
leur
écl~ et un signal de réf~rence, a ét~ mise au point.
Elle est
basée
sùr
la
thêorie du profil
r2flecteur et
le
m~ca
nisme
de
formation
d'~cho exposf par A. Freedman.
Elle nous
a
permis de
distinguer
un
petit d~faut d'un bord,
un bord proche
d'un bord
lointain de
fissure
(la
discri~ination entre bord
proche
et
bord
lointain est
possible
parce
que
la méthode
pro-
posée conserve
l'information
li~e à la polarité du signal).
Les
observations
initiales nenant
à
l'algorithme
ont été
faites
par
examen
visuel
de
la
[orme
des
signaux d'écho.
Le
programme
de
discrimination permet d'établir
une
classification
judicieu-
se,
même dans
les
cas où
~ne distinction basée sur l'examen vi-
suel
des
échos
est
impossible.
Nous
avons
de
plus montré que
la
relation entre
les
signaux de bord et
de
petit
d~faut est
indé~endante ùu traducteur utilisé.
Par contre
les
relations
entre ces
signaux et
l'écho renvoyé par un
plan quasi
infini
perpendiculaire
à
l'axe
du faisceau
incident
dépend du
carac-
tère ~onvergent ou divergent de ce faisceau.
Enfin,
nous
avons
présenté
une méthode de
dimensionnement
de
petits
défauts
plans
par
calcul
de
la
fonction
d'autocorréla-
tion de
leurs
~chos.
Pour terminer,
une proposition
l'application
des
équations
de Freedman
dans
le
cas
de
traducteurs
plans
large
bande
per-
met de
dépasser
le
cadre
de
cette étude
(limitée
aux défauts
dont
un côté
au moins est
perpendiculaire
a l'axe ~
de
l'on-
de
incidente)
elle
rend possible
la discrimination entre
un
petit défaut
plan
(perpendiculaire
à
~
),
un bord
(demi-plan
incliné dont un
côté
est
perpendiculaire
à
~
),
proche ou
161
lointain,
et
un sommet (1/4 de
plan
incliné
dont
aucun côté
n'est
perpendiculaire
à
6
axe
du
faisceau
ultrasonore
in-
cident).
En
effet
a)
Un petit défaut
plan p~rpendiculaire à
l'axe
du
faisceau
incident
renvoie
un fcho
de mime
forme
temporelle
que
la dé-
riv~e (par rapport au tenps)
de
l'impulsion
émise.
b)
L'8cho
d'un bora a
la nême
forme
temporelle
que
l'impulsion
émise.
c)
Un
som~et
renV01e
un écho
de même
forme
temporelle que
la
primitive
(par rapport
au
teups)
de
l'impulsion
émise.
d)
L'écho d'un 6rand défaut
plan perpendiculaire
à
l'axe
du
faisceau
incident
(écho
de
référence)
est
semblable
à
l'impul-
sion ~mise.
Ces
résultats
permettent
de
faire
la discrimination proposée
cie
la
façon
suivante
(onde
incidente
supposée plane
et
homogène)
on calcule à'une
part
la
fonction
d'intercorrélation entre
l ' é -
cho
de
réf~rence (Eréf) et l'écho du défaut inconnu (Edéf),
d'autre
part
la
fonction
ci'intercorrélation entre
la
dérivée de
l'2cho de
référence et
l'écho du
à~iaut inconnu.
Si
le
d~faut est un borri,
l'intercorrélation entre Eréf
(~cho
de
réf~rence) et Edéi
(écho
du défaut
inconnu)
sera une
fonc-
tion plutôt
paire
(signaux semblables)
et
l'intercorrélation
entre
la
dérivée
de Eréf
et
Eàéf
sera plutôt
impaire.
Au contraire,
S1
c'est un petit
àéfaut
plan perpendiculaire à
l'axe Ô
du
faisceau
inciàent
ou
un
sommet
(demi-plan àont
aucun
côté
n'est
perpendiculaire
à
~
),
l'intercorrêlation
entre Eréf et
Eàéf
sera plutôt
impaire
la
fonction
d'inter-
corrélation entre
la
dérivée
de Eréf
(Eréf')
et
Edéf
sera plu-
tôt
paire:
en effet,
Eréf et Eà§f
sont
ici
dans
un
rapport
de
d~rivation (pour le petit défaut perpendiculaire à l'axe du
faisceau
incident,
l'écho Eàéf
est
semblable
à
la
dérivée
de
Eréf
et pour
le
sommet Edêf
a
la même
forme
que
la primitive
de Er~f). La discrimination entre ces deux défauts
peut
se
fai-
re
grâce à
un calcul
de
spectre
des
échos:
en effet,
la
déri-
vation d'un signal déplace
le maximum de
son
spectre vers
les
162.
hautes
fréquences
alors
que
son
intégration
a
l ' e f f e t
1nverse
(déplaceoent
du maximum
du
spectre
vers
les
basses
fr~quences;
i l
s'agit
de
l'amplitude
maximale
du
spectre).
Soit
0 R
la
fr~quence correspondant à la plus grande
amplitude
du
spectre
de
l'~cho de référence et y~
la
fréquence
relative
au
maxi-
mum du
spectre
Je
l'écho
du d~faut supposé
1nconnu
(donc ~e
spectre
de
Edéf)
on
calcule y~
VR
.
Pour
un
petit
défaut
(plan
perpendiculaire
à
~
),
cette
différence
sera
positive
(Edéf
a
alors
la
mê~e forille que
la
d~rivée par rapport
au
temps
de
=r~f).
Pour
un
sommet,
y~ - VK
sera
n~gative (Edéf 2tant semblable
à
la
pri~itiv~ temporelle de Er§f).
Des
études
supplé~entaires nous
semblent
n~cessaires non seule-
ment
pour
donner
un
caractère plus
quantitatif
à
la m~thode
de
discri~ination proFosée, mais aussi pour approfondir la con-
naissance
des
relations
entre
les
signaux
étudi~s (~chos de
bord,
de
sommet
et
de
petit
défaut)
et
l'~cho de r~férence
(écho
d'un
grand
défaut
plan
perpendiculaire
à
l'axe
du
fais-
ceau
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de
dimensionnement
par ultrasons
focalisés.
Specialist meeting on
defect
detection
and
sizing,
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43)
Norme
AFNOR
:
Estimation des
di~ensions des réflecteurs ultrasonores à
l'aide de
faisceaux
ultrasonores
focalisés.
Norme
AFNOR A 09 331
juin
1981.
44)
Jorme AFNOR
:
Définition
et
vérification des
caractéristiques
des
fais-
ceaux
ultrasonores
focalisés.
Jorme AFNOR A 09 331
juin
1981.
1 69 •
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L'analyse
spectrale:
un outil privilégié pour
l'analyse
du
signal.
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structure of
some
simple body
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1 9\\) 2,
pa g e
6 1 ) •
1 70.
H)
ANNI:XES.
1 7 1 •
ANNE:m
Au
La
transform~e ue Fourier
LJ
transformée
de
Fo~rier per8et de
relier
les
représentations
temporelle
et
friquentielle
d'un signal d'énergie
finie.
1)
Transfor~ée de Fourier d'un signal analog~qu~.
Soit
le
signal
d'énergie
finie
x(t).
X( v),
la
transformée
ae
Foürier directe
de
x(t)
(t
représentant
le
temps et
-.J
la
fré-
quence)
est
d~fiaie par
+"",
")
-<:if';'''''\\:'
X (V)
= )
)( tt. e.
dt
(1)
-00
On
peu t
a li s s ~
cal c li 1 e r
x ( t )
il par t i r
cl e
X ( v)
par
l ' é qua t ion
suivante
:
+ao
+-<-li"': v t
XlV). e.
C'L V
~ j
x(t)
(2)
-Of)
x(t)
est
la transfor~2e de Fourier inverse de X(~ )
2)
Transformée
de Fo~rier discrète
Soit
la fonction
échantillonnée
représentée
par
la suite x(O),
x(I),
x(2),
. .., x rt) , ... x(N-l) (N étant le nocbre d'échan-
tillons);
la transformée
de Fourier discrète
(directe)
de
la
suite x({)
est
la
suite X(m)
(X(O),
K( 1),
X(2),
••• ,
X(m),
X(N-l))
ci~finie par:
N=.{
A
x
b:
(ID)
=
(3 )
(~l "'f'(-L~1T",t)
N
On obtient x({)
(transfor~§e de Fourier discrète ~nverse de 1 a
sJite X(m))
par
l'équation
(4)
La transforillée
de Fourier discrète
s'appelle aussi DFT
(en an-
glais DiscreteFourier Transform).
1 72.
a)
La
suite
x(~) est obtenue par échantillonnage du signal ana-
logiqJe
x(t).
Il
en est
de
m~~e de X(m)
provenant
de
X(~).
Appelons ïe
le
pas
d'~chantillonnage dans
le
domaine
teuporel
le pas
d'~chantillonnage dans la représentation fréquentielle
est
donné
par Fe = l/NTe.
b)
La transfor8~e de ?ourier uiscrète
(directe
ou
inverse)
d'une
fonction
échantillonnie
à valeurs
réelles
a
la propriété
sui-
vante
:
les
valeurs
de
la transformée
~o~r deux échantillons équiais-
tants
par
rapp~rt ~ N/2 sont conjuguées l'une de l'autre:
son module
(et
donc
son
spectre)
est
une
fonction
symétriqùe
par
rapport
~ ~n axe ~
placé en
N/2
( 6
est parallele
à
l'axe
des
ordonnées;
N est
le
nombre
~'échantillons).
Démonstration
30it
x(~) la fonction éc~antillonn~e à valeurs réelles, ~ va-
riant
de
0 ~ N-l,
X(m)
sa transformée de Fourier
discr~te (ài-
re ete
par
exemple),
m variant
~e
0
à
iJ - l ,
o~
a
N--i
-1
X(m)
(_~l~.mt)
h~({) €..<.I'-
N
L'échantillon m',
~quidistant de ID par ra?port à N/2 est tel
que m'
= N-m.(Zn effet, m'et m vérifient l'équation (m+m')/2=N/2) •
On a
donc:
XllT"f\\.'):: X(N- (1'(\\.)
A
x(-t) f,(f"(C.L2-1f(N-fTn.).-[J ')
X (m 1)
=
l'l
N
(5)
)
=
Comme x({)
est
réel
(fonction
à
valeurs
réelles),
on voit
q~e
X(m)
et
X(m')
sont
des
nombres
complexes
conjugués:
i l
suffira
donc
de
calc~ler les N/2 pre~iers points de la transror8ée de
Fourier
discrète
( i l
est êvicient
qu'on peut
faire
la même
dè-
monstration pour
le
calcul
de
la
transfor~ée de Fourier discré-
te
inverse
d'une
fonction
échantillonnée
a valeurs réelles).
1 73
J)
Ld
transfor,;lée
de
Fouri~~~.r~piQe
La
transformie
de
Fourier
rapide
(en
anglais
Fast
Fourier Trans-
foro,
FFT)
est
un
algorithme
permettant
de
limiter
consid~rable
ment
le
temps
de
calcul
de
la
transform~e de Fourier discr~te.
Pour
ce
faire,
le
nombre
d'échantillons
doit être
égal
à
une
puissance
de
2
ries
symitries
apparaissent,
~vitant les redon-
dances
àans
les
calculs.
Il
existe plusieurs
algorithmes
de
FFT
(le
plus
connu étant
ce-
lui
de
Cooley-Turkey).
Un
sOûs-program~e de calcul de la transformée de Fourier dis-
crète
(direct~ ou inverse),
appelé
TF,
a
~té Bis au point au
laboratoire
où
le
pr2sent
travail
a
été
effectué
écrit
en
PLI,
i l prend,
sur
l'Eclipse
S/14ü
de
ùata General
(mini-ordi-
nateur),
environ
2
secondes
pour
calculer
la
transformée
de
Fourier
discrète
d'une
fonction
cooplexe
& 1024 échantillons
(ce
qui
correspond
à
2048 échantillons
réels).
Le
nombre
~aximal d'échantillons complexes que peut traiter TF
(sur
l'Eclipse
5/140)
est
de
204G
(4096 échantillons
réels).
La figure
AO-1
repr~sente
l'écho
d'une
cible plane
rectangulai-
re
de
dimensions
1,8mm
sur
3,9wm,
cible
perpendiculaire
à
la
direction de
propagation
de
l'onde
incidente
plane
(obstacle
immergé
dans
l'eau) .
.. L.a
figure
AO-2 montre
le
spectre
de
cet
éC~lO. Le nombre d'échan-
tillons est
égal
à
256.
1 74 •
2 5
-3
Fi:;ure
AO-I
Echo
de
la
cible
plane
rectangulaire
(Pas
d'§ch.
= 0.02 ~icros.)
1.8
Figure
AO-2
Spectre de
l'écho de
la
cible
plane
rectangulaire.
(Pas d'écho
= 0.195 MHz)
175
Annexe
Al
Sous-?rogra~me d'amortisse~ent
AMT
Le
signal cl 'écho,
dans
le cas
où
le
traducteur. utilisé
est peu
amorti,
comporte
toute
une
partie
inintéressante
dans
le
cadre
d'études
basées
sur
les
iwpulsions ultrasonores
cette
p3rtie
"traînante" ne
comporte
auc~ne information relative à l'aspect
impulsionnel
de
l'écho
(Voir
la
figure
I-AI
page
ISO)
le
sous-progr3~me d'amortissement (AtlT) permet de réduire à volon-
té
ce
"traînage" du
signal
(
lui
donnant
ainsi
un aspect
plus
iopulsionnel) :
Soit
le
signal
de
la figure
I-Al
on veut
l'amortir,
afin
de
rendre
l'impulsion plus
brève.
On
aurait pu,
à partir d'une
certaine
abscisse
(teups),
intro-
duire
des
zéros:
on annule
ainsd
toute
une
partie
du
signal.
Le
r~sùltat est notablewent différent du signal
initial
(on
in-
troduit
une
variation brutale).
Pour
se
rapprocher de
la
réalit~
(traducteur utilisé
amorti),
on multiplie
le
signal par
Jne
exponentielle dêcroissante
:
celle-ci
Joue
le
rôle
d'un
amortis'
seur à
para~ètres variables, R et F.
Le
langage
de
programwation est
le
PLI.
L'en-tête
du
sous-pro-
gramme
se présente ainsi
AHT
:
PROC
(R,
F,
Y)
R,
F et Y sont
les
paraoètres.
(Dans
le programme
principal,
on
a
souvent
appel~ R Rg (rang)
et F
Rp
(rapport).)
Définitions
des paramètres
1)
Y est
le
tableau
contenant
les valeurs
du
signal
à
amortir
Y(LB:RB)
(LB
indice
inférieur et RB
indice
sup~rieur du tableau)
Exemple:
Y(4:257)
LB = 4 et HB = 257.
Soit U le
plus
grand maximu~ (en valeur absolue)
du
signal
On compte
les extrema,
de
gauche
à
droite,
à
partir de
M :
M est
de
rang
zéro,
l'extremu~ suivant (dans le temps)
est
de
rang
l,
etc.
On choisit
un extremum de valeur
absolue M3
et de
rang
R (ex-
tremum
"test" ou
extremUlll de
référence).
Soit M4
la valeur de
M3 après
amortissement
on
pose
F
M/M4
1 76.
Annexe
Al
(suite)
Soit
K l'abscisse du plus grand maX1mum M (à ne
pas
confondre
avec
le
rang,
qU1
par
définition
est
nul
pour
!l),
30it
D3
l'abscisse
de
l'extremum
"test"
:
A,
le
facteur
rl'a~ortissement est tel que
~4 = MlF = M3.exp(-A.(D3-K))
d'oa
A = (-1/(D3-K)).LOGe(H/(N3.F)).
On
multipliera
cionc
l'amplitude
de
chaque
échantillon
d'abscis-
se
J
(J ~
K)
par
exp (-A(1-IO).
Exemple:
Si
on
applique
le
sous-prograMme
d'amortisseuent
au signal
BO
de
la
fi~ilre 1-AI
en
faisant
rr = F = 5, on obtient la courbe
de
la
figure ~-A1.
Dans
la
légende
cies
figures
(et
dans
le
programille
principal),
on
pose
R =
Rg
(rang)
et
F
=
rrp
(rapport).
BO
est
l'écho
d'un
grand
ùifaut
plan
perpendiculaire
d
l'axe
du
faisceau
émis
par
le
traducteur
focalise
peu
amorti.
ESMT
est
le
progranme
principal.
R ema rq ue
On
ne
peut
pas
donner
~ F n'importe quelle valeur:
pour
amor-
t i r
le
signal,
i l
faut
évidemment
que
le
rapport
entre
le
plus
grand
maximum et
la
valeur
absolue
de
l'extremum "test"
soit
plus
grand
après
application
de
AMT
qu'avant
autrement
d i t ,
on
cloit
respecter
la
condition M/ll3 < F (sinon on amplifie le
signal
au
lieu
de
l'amortir).
Exemple
d ' e r r e u r :
Prenons
le
m~me signal BO :
M =
71
;
M3
=
21
Si
on
prend F
plus
petit
que
3.38
(c'est
à
dire
H/M3),
on
obtient
une
courbe
de
la
forme
de
celle
de
la
figure
3-A1-b
au
lieu
de
2-A1.
1 igure
3-AI page
161.
~e;narque :
On
peut
résumer
ce
principe
d'a~ortissement par
les
trois
cour-
bes
de
la
page
suivante
Figure
Al-a,
Figure A1-b
et
figure
Al-c.
177
o
.
Figure Al-a
s1gnal
~ amortir.
o
Figure Al-b
fonction
d'amortissement.
o
Figure Al-c
r~sultat de l'a~ortis6ement
(produit
des
deux courbes
précédentes).
1 78.
AMT: PROC(R,F,Y);
/* SOUS-PROGRAMME D'AMORTISSEMENT:Y EST UN TABLEAU
DONT LE 1ER INDICE EST LB ET LE DERNIER HB:Y(LB:HB).
R EST LE RANG DE L'EXTREMUM DONT ON FIXE LA VALEUR
EN FONCTION DU PLUS G~~D MAXIMUM(EN VALEUR ABSOLUE).
F EST LE RAPPORT,APRES AMORTISSEMENT,ENTRE LE PLUS
GRAND MAXIMUM ET CET EXTREMUM */
DCL (N,NM,NP) BIN FLOAT(21);
DCL (J,K,K3,D,D3) BIN FIXED(lS);
DCL OUT FILE;
DCL (A,M,M3) BIN FLOAT(21);
DCL R BIN FIXED(lS);
DCL (LB,HB) BIN FIXED(lS);
DCL F BIN FLOAT(21);
•
DCL Y(*) BIN FLOAT(21);
OPEN FILE(OUT) STREAM OUTPUT TITLE("@LIST");
BEGIN;/* 1 */
LB=LBOUND(Y,l) ;
HB=HBOUND(Y, 1);
BEGIN;/* 2 */
M=ABS(Y(LB» ;
DO J=(LB+1) TO HB;
M=MAX(M,ABS(Y(J»));
IF ABS(Y(J»=M THEN K=J;
END;
D=O;
D3=K+1 ;
DO WH ILE (D<R) ;
IF D3 >= HB THEN DO;
PUT FILE(OUT) EDIT ("ERREUR:RANG TROP ELEVE.") (A);
STOP;
END;
N=Y(D3) ;
NP=Y(D3+1) ;
NM=Y(D3-1) ;
IF ((N>=NP)&(N>NM»l((N<=NP)&(N<NM»
THEN DO;
D=D+1;
M3=ABS(N) ;
END;/* THEN */
D3=D3+1 ;
END;/* WHILE */
D3=D3-1 ;
M3=M3*F;
N=(K-D3) ;
A=(LOG(M/M3) )/N;
DO J=LB TO HB;
IF J>=K THEN DO;
Y(J)=Y(J)*EXP(-(J-K)*A);
END;/* THEN */
END;/* J */
END;/* BEGIN 2 */
END;/* BEGIN 1 */
END; /* AMI' */
1 79.
ESMT: PROC;
DCL AMT ENTRY(BIN FIXED(lS),BIN FLOAT(21),(*) BIN FLOAT(21));
DCL (E,S) CHAR(20) VAR;
DCL R BIN FIXED(lS);
DCL F BIN FLOAT(21);
DCL (FE,FS) FILE;
DCL (IN ,OUT) FILE;
DCL
J BIN FIXED(lS);
DCL Y(0:1023) BIN FLOAT(21);
OPEN FILE( IN) STREAM INPUT TITLE("@LIST");
OPEN FILE(OUT) STREAM OUTPUT TITLE("@LIST");
PUT FILE(OUT) EDIT("E ET S SONT RESP. LES NOMS DES FICHIERS D'ENTREE Il
! !"ET DE SORTIE ") (A);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("DONNEZ E PUIS S ") (A);
GET FILE(IN) LIST(E,S);
PUT FILE(OUT) SKIP EDI'I("R EST LE RANG DU MAXIMUM 1111 TEST"" ") (A);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("DONNEZ R=") (A);
GET FILE(IN) LIST(R);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("F EST LE RAPPORT ENTRE LE PLUS GRAND MAXIMUM Il
! !"ET LE MAXIMUM ""TEST"" ") (A);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("DONNEZ F=") (A);
GET FILE(IN) LIST(F);
BEGIN;
OPEN FILE(FE) STREAM INPUT TITLE(E);
OPEN FILE(FS) STREAM OUTPUT TITLE(S);
DO J=O TO 1023;
GET FILE(FE) EDIT(Y(J)) (F(4));
END;
..... .
CALL AMT(R,F,Y);
DO J=O TO 1023;
PUT FILE(FS) EDIT(Y(J)) (F(B,3));
END;/* J */
END; /* BEGIN * /
END;/* ESMT */
1 80.
\\.
-5
Figure l-Al
icho en incidence norlole: trod. focolisi loyennelent olorti
, .\\
1
•
400
7 0
-5"
Figure 2-Al : le léle écho après olortisselent (RG=RP=5)
i 8
Figures
3A-i.
n
/1
il !Il1 1
'\\
1 Il
1
1
!
1
r
f\\ p '\\ :'\\ r·
-
1
1
I l
J
(\\!.\\~
~.-' ~-
450
1
1
Il'
7Uû~
,
11\\ 11/ \\j 1,)
\\
~I li III ~ III/ '
\\1
~ l, V ~I
li ~I
.
,
\\
Figure J-AI-o : EGho d:'un plon norlal à l'axe: trad. fOGalisë peu olorti
103.31 \\
1
I~
1
t
1
i!'
1
1
t
1 1/1\\ nIl
450
n,
\\
7uO ~
V
V
-92.1
Figure 3-AI-b) : le lêle éGho olPlitie (et non alorli) Gar RP loI Ghoisi : 3
182.
Annexe
A2
13ASF
Filtre
num§rique
passe-~aut â
fr~quence de coupure variable
Le
prograwme
BASF
joue
le
rôle
d'un
f i l t r e
passe-~aut parfait
à
fréquence
de
coupure
fc
variable
à
ce
t i t r e ,
i l
"annule"
les
basses
fréquences,
d'où
son
nom.
La
procéàure est
simple
soit
y(t)
le
signal
cl
f i l t r e r
(si-
gnal
multifréquentiel).
On ne veut garder par exemple que
les
fréquences
supérieures
à
LC
on calcule
la
transformée
de
Fourier de
y(~), soit Y(f),
on
la multiplie
par
la
fonction
de
transfert
H(f)
définie
p a r :
H(f)
=
0 pour f
telle que
-fc
~ f-S +fc
H(f)
=
1 pour
f
telle
que
f <-fc
ou
f> +fc
Y(-l)
Figure
A2
principe
du
filtrage
Programme
:
Le progra~me est écrit
en
PLI.
Le
sous-programme
GRAPH permet de
tracer
des
courbes à
l'écran
graphique.
TF
calcule
la transformée de Fourier
discr~te d'une
183.
Annexe
2
(suite)
fonction
à
valeurs
complexes
donnée
sous
la
forme
de
deux
ta-
bleaux
:
l'ùn,
par exemple
Y,
contient
les
parties
réelles,
et
l'autre,
X,
les
parties
imaginaires.
Les
tableaux,
de
dimension
N (nombre d'échantillons)
sont
de
la
forme:
Y(O:N-l)
et
X(O:N-l
N doit être
une
puissance
de
2
(transformée
de
Fourier
rapide).
Pour des
signaux
réels,
X(O:N-l)
ne
contient
que
des
zéros
(par-
ties
imaginaires nulles).
Te est
la période
d'échantillonnage
(donnée
en microsecondes);
Ici
cette période a
été
prise
égale
à
0,02 microseconde.
Le pas
d'échantillonnage,
dans
le
domaine
fréquentiel,
est
1/(N.Te).
Soit
fc
la
fréquence
de
coupure,
si
K = N.Te.fc,
c'est-à-dire
fc/(l/(N.Te)),
la fonction
de
filtrage
numérique
est
définie
par
:
Pour
les
indices
l
tels
que
O(.I(K ou N-~{~I<,N-l
elle
vaut zéro;
Elle vaut
1 pour
les
autres
indices.
Remarque
A cause de
la périodicité
de
la
transformée
de Fourier
discrète,
l'intervalle [-K
+kJ correspond à [0 KJU [N-K
N-1J.
(Les fréquences
négatives
n'existant
pas
da~s la réalité)
184.
BASF:PROC;
/* "MISE A ZERO" DES BASSES FREQUENCES D'UNE
FONCTION
*/
DCL GRAPH ENTRY(BIN FIXED(15),BIN FIXED(15),(*) BIN FLOAT(21),(*) BIN
FLOAT(21));
DCL TF ENTRY (BIN FIXED(15),BIN FIXED(15),(*) BIN FLOAT(21),(*) BIN
FLOAT(21));
DCL (TE,BF) BIN FLOAT(21);
DCL G BIN FIXED(15);
DCL DEC BIN
FIXED(15);
DCL (N,I,K) BIN FIXED(15);
DCL SUP BIN FLOAT(21);
DCL M BIN FLOAT(21);
/* M FACTEUR MULTIPLICATIF */
DCL (IN,OUT,E,S) FILE;'
DCL (ENT,SORT) CHAR(lO) VAR;
OPEN FILE(IN) STREAM INPUT TITLE("@LIST");
OPEN FILE(OUT) STREAM OUTPUT TITLE("@LIST");
PUT FILE(OUT) EDIT("DONNEZ LE NOMBRE D' ECHA.t\\JTILLONS ") (A);
GET FILE(IN) LIST(N);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("DONNEZ LE NOM DU FICHIER D'ENTREE ") (A);
GET FILE(IN) LIST(ENT);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("DONNEZ LE NOM DU FICHIER DE SORTIE ") (A);
GET FILE(IN) LIST(SORT);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("SI LES ECHANTILLONS D'ENTREE SONT DES DEClMAUX,DEC=l ") (A);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("SINON DEC ~=l") (A);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("DONNEZ DEC ") (A);
GET FILE(IN) LIST(DEC);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("DONNEZ EN MICROS. LA PERIODE D'ECHANT. ")(A);
GET FILE(IN) LIST(TE);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("DONNEZ EN MHz LA PLUS BASSE FREQUENCE ") (A);
GET FlLE(IN) LIST(BF);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("DONNEZ LE FACTEUR MULTIPLICATIF ") (A);
GET FILE(IN) LIST(M);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("TAPEZ 1 SION VEUT UN AFFICHAGE(SINON UN NBRE~=l) ") (A);
CET FILE(IN) LIST(G);
BEGIN;
DCL (X(O:N-l),Y(O:N-l)) BIN FLOAT(21);
OPEN FILE(E) STREAM INPUT TITLE(ENT);
OPEN FILE(S) STREAM OUTPUT TITLE(SORT);
IF DEC=l THEN DO;
DO 1=0 TO N-l;
CET FILE(E) EDIT(Y(I)) (F(8,3));
X(I)=O;
END;
END;
ELSE DO;
DO 1=0 TO N-l;
CET FlLE(E) EDIT(Y(I)) (F(4));
X(I)=O;
END;
END;
CALL TF(l,N,Y,X);
K=N*TE*BF;
1 8::
/* SUITE DE "BASF" */
/* ICI ON "ANNULE" LES BASSES FREQUENCES :
(DE -BF A BF:LES INDICES DE 0 A K (FREQUENCES POSITIVES)
ET DE (N-K) A (N-l) (FREQUENCES NEGATIVES) ) */
DO 1=0 TO K;
y( I)=O;
x(I)=O;
END;
DO I=(N-K) Ta (N-l);
Y(I)=O;
X(I)=O;
END;
IF GA=l THEN DO;
DCL Z(O:N-l) BIN FLOAT(2l);
DO 1=0 TO N-l;
Z(I)=SQRT(Y(I)*Y(I)+X(I)*X(I));
END;
SUP=Z(O);
DO 1= 1 Ta N-l;
SUP=MAX(SUP,Z(I));
IF Z(I)=SUP THEN K=I;
END;
IF K >=N/2 THEN K=K-N;
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("ABSCISSE DU MAX=" ,K) (A,F(5));
END;/* TEST SUR G */
CALL TF(O,N,Y,X);
IF M A=l THEN DO;
DO 1=0 TO N-l;
Y(I )=y(I) *M;
END;
END;
DO 1=0 Ta N-l;
PUT FlLE(S) EDIT(Y(I)) (F(8,3));
END;
PUT FILE(S) SKIP EDIT("N=",N) (A,F(4));
IF G=l THEN DO;
DO 1=0 Ta N-l;
X(I)=I;
END;
CALL GRAPH(O,N-l,X,Y);
END;
END; /* BEGIN */
END; /* BASF */
1 86.
Annexe
A3
Programme
final
de
discrimination entre
défauts
SONDLIS.
1)
Objet
Le
programme
SONDLIS
a
pour but
la discrimination entre
diff~
rents
d2fauts
de
type
plan,
de
bords
francs
dont
l'un
au moins
est perpendi~ulaire à
l'axe
du faisceau
ultrasonore
insonifiant
la
cible.
Il
affiche
ensuite
le(s)
résultat(s)
sur
un écran
graphique.
Ces
résultats ~euvent être
de
trois
sortes
-
Certain:
i l n'y
a
aucun
doute
possible quant
au
résultat.
-
Probable:
i l y
a
une
assez
grande
probabilité
que
le
résul-
tat
affichê
soit
le
bon,
ma1S
un
léger
doute
peut
subsister
..
(d'autre3 essais
doivent
permettre
de' l~ver très
rapidement
le doute).
-
Incertain
(ou
douteux)
dans
ce
cas,
le
résultat
est
très
réservé.
Dans
la
catégorie des
résultats
"probables",
on
peut
ranger
le
cas
d'un
écho
venant
d'un bord
proche.
Le
résultat
affiché
est
alors
"GRAiΠDEFAUT
PLAH PERPEHDICULAIRE A L'AXE
(du
faisceau
inci-
dent)
OU BORD PROCHE".
La
courbe
échodynamique
permet
1C1
de
lever
le
doute.
Remarque
:
a)
Le
programme
SONDLIS
tient
compte
de
diverses
remarques et
constatations
qui
ont
été
faites
tout
au
long
de
ce
travail.
A ce
titre,
i l
n'est qu'une version améliorée
de
programmes
précédents
:SOND6,
IDEî~TIF5, etc .•. ,
tous
bien
sûr ayant
le
même but
:
la discrimination entre
défauts
plans
par
utilisa-
tion
de
deux fonctions
d'intercorrélation
:
fonction
d'inter-
corrélation entre
l'écho
àu défaut
inconnu
(ou supposé
tel)
et
un ~cho pris comme
référence
(écho
de
référence)
et
fonc-
tion d'intercorrélation entre
le
même écho
de
défaut et
la dé-
rivée
de
l'écho de
référence.
1 87.
b)
Il
faut
rappeler qu'au début
notre
sOùc~ était cie faire
la
discri~ination entre un écho d'an petit dffaut et celui du
Dord
d'un défaut
type
fissure
(voir
définitions
paragrapoe
C-I)
'3.~es 2& et 29.
L)
Les
~oyens de la discrimination entre défauts plans.
(Conf.
pages
194
à
201,
SONDLIS
écrit
en PLI).
Le
~rogramme de discrimination (programme principal)
utilise
plusieurs
sous-progra~~es
a)
Sous-programme
~'intercorr~lation appelé FIC,
sans
doute
le
plus
i~portant
permet
Je
faire
l'intercorrêlation entre
deux
fonctions
ici,
i l
s'a~it des 2chos de défauts ou de leurs dé-
rivées.
b)
Sous-programme de
dérivation
(ou
d'intégration)
DEV
le
programme SONDLIS
n'utilise
que
la
ciérivation.
c)
Sous-programme
d'amortissement
A.IT.
AMT
(voir annexe
AI)
permet
d'3.~ortir des signaux plus ou moins
traînants
(cas
des
traducteurs
moyennement
amortis).
Rerr.arque
Tous
ces
sous-programmes
(FIC,
DEV,
A~1T) et bien d'autres
(Transformée de
Fourier
rapide,
convolution,
déconvolution,
cepstre d'énergie,
spectre
de
signaux,
etc . . . )
ont
ét~ mis au
point
au
laboratoire Uatériaux
(section
Ultrasons)
de
l'ECP
(Ecole
Centrale
de Paris).
3)
Procédure de
discrimination
programme
SONDLIS
(pages
194
à
2 01 ) •
SONDLIS
est
écrit
en PLI.
En entrée,
on donne
a)
Le nombre
d'échantillons
par
tableau,
rI.
Ce nombre
doit
être
une
puissance de
2
(en effet,
le
sous-programme
FIC
uti-
lise
une
procédure
de
calcul
de
transformée
de
Fourier
rapide).
188.
b)
Le
no~ àu fichier de r~férence: Celui-ci contient les don-
nces
relatives
au
signal
pris
comme
2cùo
àe
référence.
c)
Le
nom du
fichier contenant
l'~cho du d~faut 1nconnu (ou
SJpposé tel).
Un param~tre
AuoaT indique S1 les si~naux seront amortis
(A~!Of1T = 1) ou non UJWRT différent de
:
par
exemple
A~WRT = 0).
Un autre param~tre P indique
51
les
signaux seront norm6s
par
leur
puissance
(P
=
1)
ou par
leur maximum
(P
est
différent
de
1 :
par
exemple,
P =
Q).
(Pour
la
signification des
différentes
normes
e~ployées ici,
voir
le paragraphe D-2-2)
page 125).
Deux
tableaux
(de dimension N
N,
le nombre
d'échantillons,
doit
être une
puissance
de
2)
sont
ensuite déclarés:
a)
X(O:N-:)
contiendra
les
données
relatives
à
l'~cho de
l'ob-
stacle
inconnu
(ou sûpposé
tel).
b)
Y(O:N-I)
correspond à
l'2cho
de
rêlêrence
(ici,
celui-ci
est
l'écho
d'un grand défaut
plan perp~ndiculaire à
l'axe
du
faisceau
ultrasonore
incident).
Comme
i l y
a deux intercorrélations à
faire,
on ouvre
une
DOU-
cle
dont
la
variable
d'incrémentation,
JJ,
ne
pourra
prendre
qùe deux valeurs
ou 2.
Quand JJ = 1, on calcule la fonction d'intercorrélation entre
X(O:N-l)
(écho
du défatlt
à
reconnaître)
et Y(O:H-l)
(écho
de
réiérence).
Quand au contraire,
JJ = 2,
il
s'agira de
la
fonction J'inter-
corrélàtion entre X(O:N-1)
eL
la dérivée de
l'écho
de
référen-
ce
(donc
la dérivée
de Y(O:N-1».
Dans
chaque cas
(JJ = l
ou JJ = 2),
on
recherche
les
cinq
pre-
,iers extrema de
la
fonction
J'intercorrêlation
(cf
supra pa-
ragraphe D-3-1)
page 126) en
prenant
soin d'éviter
les
"faux
extrema"
(si on ne
considère que des
valeurs
absolues,
i l
s'agit de "faux maxina").
189.
La
reconn.:l~ssance des "faux extrema" (ou "faux maxima" en va-
leur
absolue)
est
basée
sur
les
considérations
suivantes
Soit Ml
le plus
grand extremuu en valeur absolue
(dans
le
§
D- 3
il
s'agit de Mo),
un
paramètre
Tl
prend
la valeur
s ~
Ml
est
Jn oaximum
(valeur
algébrique)
et
0
si
c'est
le
contrai-
re
(minimu~ alg~briqJe).
Supposons que
Ml
est
un mdx~muo 3l3êbrique ( T I l ) ,
l'extre-
mum suivant
(appelé
~c~ HP)
ne
peut
~tre qu'un minimum algé-
brique.
si
ce n'est
pas
le
cas,
on
est
sJrque :·1P est
un
"faux
extremum".
Si
au contraire,
Ml
est
un m~n~mum algébrique
(Tl
=
0),
alors
MP
(extreoum suivant)
ne
peut
~tre qu'un maximum algébrique
(sinon,
c'est
un
"faux extremum").
Supposons
levée
cette
barrière
( i l
y a
concordance entre
les
deux extrema successifs
s~ Ml
est
un maximum,
le suivant,
XP,
est
un mini~um. Si
c'est
un minimum,
le
suivant est
un ma-
ximum
(il
s'agit
de maximum et
de
minimum algébriques)):
l'extremum obtenu MP
obéit à
la règle
ci-dessus.
Il
doit main-
tenant
respecter une
autre
condition
~tre plus petit (s'il
s'agit
d'un illinil~um) ou plus grand
(si
c'est un maximum)
qu'un
certain nombre
(DM)
de
valeurs
de
la
fonction
d'intercorréla-
tion
venant
après
lui
(en
partant
du plus
grand maximum en va-
leur
absolue).
Cela permet
de
tenir
compte
des brusques
et
ré-
p~titifs changements de signe de la pente de la courbe dus aux
bruits
éventuels.
Ici
le nombre
DM est pris
supérieur
à
3
(en pr~nc~pe plus
le
bruit
est
important,
plus
DM doit
~tre grand).
Soit K l'abscisse de Ml
(plus
grand maximum en valeur absolue)
et
Dl
celle de MP
(extremum suivant)
DM est pris
égal
à
la
valeur
absolue de
(DI-K)/2.
Si
DM est
plus
petit que
3,
on y
ajoute 3
(pour
tenir
compte
de
la
condition
DM supérieur
à
3).
Si Mf' est bien supérieur
(maximum)
ou
inférieur
( i l
s'agit
d'un minimum)
aux DH valeurs
le
suivant
(sur
l'axe des
abscis-
ses
dans
le
sens
Ml
vers
HP),
c'est
un
vrai
extremum.
Sinon,
il
faut
recommencer les
calculs jusqu'à ce qu'on
trouve un ex-
1 90.
tremum
respectant
toutes
les
conditions
énoncées
précédem-
men t.
~1P trouv2
(premier
"vrai" extremum suivant HI
sur
l'axe
des
abscisses),
on donne
à
TI
la
valeur
s~ c'est un maximum al-
gébrique et
0 s ' i l s'agit d'un minimum
on
rec~erche l'extremum
suivant en procédant
de
la même
façon
on obtient
ainsi
NP
(extremum venant
apr~s MP, sur l'axe des abscisses, dans
le
sens
MI
vers
HP).
La
recherche
de
Ha
(premier extremum vo~s~n de HI,
sur
l'axe
des
abscisses,
du côté
opposé
à
celui
de MP)
et
de
NM
(extre-
mum
suivant)
se
fait
de même
oani~re que celle de MP et NP.
Dans
le
paragraphe
D-3-1,
l'extremum appelé) dans
la présente
annexe, Hl
est
d~signée par ~10, ~!P (ici)
correspond
à
Hl
(pa-
ragraphe D-3-1),
NP,
MM et NM (dans cette annexe)
remplacent
respectivement M3,
M2 et M4
(du
paragraphe
D-3-1)
ce
sont
des
artifices
de programmation qui
m'ont
amené
à
faire
ces
change-
ments
de
notations.
Exemple
Sur
la
courbe
ci-dessous,
j ' a i nns
une
cro~x à côté des "faux
extrema"
;
Hl,
MP,
NP,
~H1 et NM sont les "vrais extrema"
>
o
Fig.
A3
"vrais
extrema" et
"faux extrema"
A ce
stade
du
programme,
les
extrema MI,
MP,
NP,
MM
et HM
ont été obtenus.
Pour que
tout
effet de
la
ligne
de
base
soit annulé,
ces
ex-
trema doivent vérifier
les
inégalités
suivantes
1 91
(-1)
Si
les
inégalités
(1)
ne
sont
pas
vérifiées,
i l
faut
continuer
à
rechercher parmi
les
extrema
suivants
ceux qui
respectent
ce3
conditions.
Après
cette étape,
on calcule
les
rapports
suivants
R(JJ)
valeur absolue de
(MI-MP)/(MI-MM)
C(JJ)
NUMCf.D~tiC.
avec iWMC. la
plus
grande
des
valeurs
absolues
de
(!'IP-NP)
et
(Mt1-NM)
et
:DENC.
la plus
petite de
ces
valeurs
ab-
solues
:
C(JJ)
est
a~ns~ supérieur d 1 (supérieur ou égal
à
1)
Je
rappelle que
JJ
est
la variable
d'incr~mentation d'une bou-
cle
du
programme
SONDLIS
:
quand JJ =
l,
on calcule
la
fonc-
tion
d'intercorrêlation
entre
l'~cho de défaut
(ici
tableau
X(O:N-I»
et
l'écho de
référence
(tableau Y(O:N-I».
Quand JJ = 2,
on
fait
l'intercorrêlation
entre
l'écho
de
défaut
et
la
dérivée
de
l'écho
de référence.
Par
définition,
l'indice
de
parité
IP
(ou
coefficient
de
parité)
est
IP
= R(2).C(2)-R(I).C(l)
(Ap
et
Bp
du paragraphe D-3-2,
page 127
,correspondent
res-
pectivement
à R(I).C(l)
et
R(Z) .C(2)
le
changement
de
nota-
tions
a
été motivé
par des
artifices
de
calculs
de
programma-
tions
(ouverture d'une
boucle), )
4)
Conclusion:
Suivant
le signe
de
l'indice
de
parité
(IP)
(cf.
paragraphe
D-3-2)
et
les
valeurs
de
R(I),
C(I),
R(2)
et
C(2),
on
fait
la
discrimination entre
les
défauts.
Remarques
Un
résultat
de
discrimination suivi
de
la mention
"1er
test"
est
un'résultat
qUI
est
sûr.
L'indication
"Zème
test"
est
rela-
tive
A un diagnostic
conservant
une
petite marge
d'erreur
possi-
ble.
Les
situations
incertaines
sont
marquées
"cas
douteux".
SONDLIS affiche auss~ les valeurs
de
R(I),
C(I),
R(2),
C(2),
1 92.
MI,
HP,
NP,
~lH, Ni·l,
K (abscisse
de
~f1) et JJ (indice d'incré-
mentation) .
Les
signaux
ayant
un
rapport
signal
sur
bruit
assez
faible
doi-
vent
être
d'abord
lissés
avant
leur
traitement
par
SONDLIS
(cf
le
programme
de
lissage
appelé
LISS
donné
en
annexe
A4).
Je
montre
à
la
page
suivante
un
exemple
d'exécution
àu
program-
me
SONùLIS
(les
données
sont
soulignées
par moi).
L'exemple
étudié
correspond
au
cas
suivant:
Le
traducteur
émetteur-récepteur est
plan
et
de
large
bande.
Il
insonifie
un
défaut
plan
rectangulaire
de
dimensions
1,8mm sur
3,9mm
(petit
àéfaut)
perpendiculaire
à
la
direction
de
propaga-
tion
de
l'onde
incidente
plane.
L'écho
de
ce
rectangle
est
appe-
lé
Don256.
L'écho
de
référence
est
dû
à
une
plaque
de
grandes
dimensions
(grand
défaut)
perpendiculaire
à
l'axe
du
faisceau
incident
i l
est
nommé
PLAN256.
L'essai
a
été
fait
dans
l'eau.
1 9 ~
X SONDLIS
DONNEZ LE NOMBRE D'ECHANTILLONS: 256
-
DONNEZ LE NOM DU FICHIER REFERENCE:PLAN256
1
DONNEZ LE NOM DU FICHIER CONTENANT L'ECHO DE DEFAUT: DON256
AMORT=l SION VEUT AMORTIR LES SIGNAUX;SINON AMORTA=l.
DONNEZ AMORT=,Q.
P=l SION NORME
PAR LA PUISSANCE,SINON PA =l
DONNEZ P=O
K= 128
JJ=
1
Ml= 196.354
MP=-156.589
NP=
69.920
MM= -87.002
NM=
6.925
K= 132
JJ=
2
Ml= 169.579
MP= -87.548
NP=
45.508
MM=-135.172
NM=
54.166
PETIT DEFAUT PLAN PERP. A L'AXE
1ER TEST
IP=
-1. 317
R(l)=
1.246
C(l)=
2.412
R(2)=
1.185
C(2)=
1.423
1 94.
SONDl 1S: F'Roe:
f*
IDENTIFICATION DE DEFAUTS A l'AIDE DES 5 PLUS
GRANDS EXTREMUMS (EN VALEUR ABSOLUE) DES FONCTIONS
D'INTEReORRElATION ENTRE L'ECHO DE l'OBSTACLE IN-
CONNU ET DE l'ECHO DE REFERENCE D'UNE PART ET
ENTRE L'ECHO DU MEME OBSTACLE ET lA DERIVEE DE L'E-
CHO DE REFERENCE D'AUTRE PART:
RECONNAISSAr~CE
DE "FAUX 1'1?1\\lt'lA":
CALCUL DE l'INDICE (OU COEFFICIENT) DE PARITE *i
f* DEV = SOu5-p~ogramme de derlvatlon *1
f* FIC = 50u5Lprog~amme d'inte~correlation *i
Del FIC ENTF:Y\\8!N FIXED(lS) ~ (*) BIN FlOATI21i, (*) 8IN FlOATI2U);
1*
AMT = SOu5-p~ogramme d'amortissement *f
DCl AMT ENTRYIBIN FIXED(15),BIN FlOAT(21), (*) BIN FlOAT(21);
DCl <DO,Dl,D2,K) BIN FIXED(lS);
Del (II,Tl,DM) BIN FIXEDI15';
DCl (MES,N2) BIN FLOAT(21);
DCl (JJ,SGN,D3,D4,DSI BIN FIXEDI15/;
DCL 56(2) BIN FIXED(15);
DCl {NUMC,DENC,NUMR,DENR) BIN FlOAT(21);
Del (AB,R(2),C(2»
BIN FlOAT(21);
DCl (MP,MM,NP,NM) BIN FlOAT(21);
DCl (AMORT,RG,N,B2) BIN FIXED(lS);
1* IP est l'Indice de Parite (ou coefficient de Parite) *1
DCl (IP,RP) BIN FlOAT(21);
DCl (MO,Ml,M2,QP,QM) BIN FlOAT(21);
DCl (IN,OUT) FILE;
DCl (V1,V2) FILE;
DCl (I,J,P) BIN FIXED<1S);
DCl (E1,E2) CHAR(20) VAR;
OPEN FILE ( 1N) STREAM 1NPUT TITlE (";j)LI ST") ;
OPEN FilE (OUT> STREAM OUTPUT TITlE (";j)LIST") ;
PUT FILE <OUT> SK 1P ED IT ( "DONNE Z lE NOMBRE D' ECHANTI llClNS ")
(A);
GET FIlE(IN) lIST(N)j
PUT FILE <OUT> SKIP EDIT ("DONNEZ lE NCiM DU FICHIER REFERENCE ")
(A);
GET FIlE(IN) lIST(E2);
PUT FILE <OUT> SKIP EDIT ("DONNEZ lE NOM DU FICHIER CONTENANT l'ECHO DE DEFAUT ") (A) ;
GET FIlE(IN) lIST(E1);
PUT FILE (OUT> SKIP EDIT ("AMORT=l SI [IN VEUT AMORTIR lES SIGNAUX; SINON AMORT-'"= 1. ") (A);
PUT FILE <OUT) SUP EDIT ("DONNEZ AMORT=")
(A);
GET FIlE(IN) lIST(AMORT);
PUT FILE <OUT> SI<IP EDIT ("P=l SION NORME
PAR lA PUISSANCE, SINON P""= 1") (A) ;
PUT FIlE(OUT> SKIP EDIT("DONNEZ P=") (A);
GET FIlE(IN) lIST(P);
IF AMORT=l THEN DO;
PUT FIlE(OUT> SKIP EDIT("RG EST lE RANG DU MAXIMUM 1111 TEST '"I ") (A);
PUT FIlE<OUT> SKIP EDIT("DONNEZ RG=") (A);
GET FIlE(IN) lIST(RG);
PUT FILE (OUT> SKIP EDIT ("RP EST lE RAPPORT ENTRE lE PLUS GRAND MAX IMUM."! !
Il
EN VALEUR: ABSOLUE ET lE MAXIMUM Il "TEST Il Il ")
(A);
r
1 95 "
PUT FILE<OUT> SKIP EDIT("DONNEZ"RP ")
(A);
GET FILE(IN) LIST(RP);
END; 1* THEN *1
BEGIN;I* l */
DeL (X (1): N-1), Y(0: N-l» BIN FLOAT (21);
N2=2;
DO JJ=l TO 2;
OPEN FILE(Vl) STREAM INPUT TITLE(El);
OPEN FILE(V2) STREAM INPUT TITLE(E2);
DO J=O TD N-l;
GET FILE(V1) EDIT(X(J» (F(4»;
END;
CLOSE FILE(V1);
IF AMORT=l THEN CALL AMT(RG,RP,X); 1* AMORTISSEMENT DE X(O:N-l) *1
DO ,1~() TO N-l;
GEl FILE(V2) EDIT(Y(J»
(F(4»;
END;
CLOSE FILE(V2);
IF AMORT=l THEN CALL AMT(RG,RP,Y); 1* AMORTISSEMENT DE Y(O:N-l)
*1
IF JJ=2 THEN CALL DEV(l,N,l,Y);
1* DERIVATION DE Y(O:N-l) POUR JJ=2 */
IF P=l THEN DO;
1* NORME PAR LA PUISSANCE
*1
Ml=X (0) *X (0) ;
M2=Y(0)*Y«) ;
DO J=l TO N-l;
. -
Ml=Ml+X(J)*X(J);
M2=M2+Y(J)*Y(J);
END;
Ml=(25/M1)*N; 1* L'INVERSE DE LA PUISSANCE * PAR 25 */
M2=(25/M2)*N; 1* IDEM *1
END;I* END THEN *1
ELSE DO;
1* NORME PAR LE MAXIMUM *1
Ml=ABS(X(O»;
M2=ABS (y (0) );
DO J=l TO N-1;
Ml=MAX(ABS(X(J»,Ml);
M2=MAX(ABS(Y(J»,M2);
END;
M1= ( llM 1) *100 ;
M2=(1/M2)UOO;
END;I* ELSE *1
DO J=O TO N-l;
X(J)=X(J)*111;
Y(J)=Y(J)*M2;
END;
CAL~ FIC(N,X,Y); 1* INTERCORRELATION *1
B2=N/2;
DO J=O TO (B2-1); 1* TRANSLATION DE LA FONCTION D'INTERCORRELATION *1
AB=X(J);
X(J)=X(J+B2);
X(J+B2)=AB;
END;I* J *1
Ml=ABS(X(O»;I* RECHERCHE DE Ml, MAXIMUM (EN VAL. ABSOLUE) DE L'INTERC*I
DO .1=0 TO N-l;I*AVANT CETTE. ETAPE DES CACULS, Ml A JOUE D'AUTRES ROLE5*/
Ml=MAX(Ml,ABS(X(I»);
IF ABS(X(I»=Ml THEN DO;
K=I;
SG(JJ)=SIGN(X(I»;
END;
END;
1 96.
/* X(K) est-il un maximum ou un minimum?
Ml =ABS (X (1<) )
IF (X(U>=X(K-l»&:(X(K»=XW+l» THEN Tl=l;
ELSE Tl=O;
/* SG(JJ) EST LE SIGNE DU MAXIMUM */
00=0;
Dl =K+l;
DO WHILE(DOA =l);I* RECHERCHE DE MP, 1ER EXTREMUM A "DROITE" DE Ml */
1F « X<D 1) >= X<D 1+1> )&: (X<D 1> :> X<D 1-1) )&: <T 1=0) ) ~ ( (X <D 1> <: =X<D 1+ 1) )&: (X<D 1> <: X<D 1-1> &: <T 1=1> )
THEN DO;
DM= <D 1-K) / N2;
IF DM <: 3 THEN DM=DM+3;
MES=X <Dl);
IF Tl=l THEN DO;
DO 11=(01+2) TD (Ul+DM);
MES=MIN(X(II),MES);
END;/* II *1
END;
ELSE DO;
DO 11=(01+2) Ta (Dl+0M);
MES=MAX(X(II),MES);
END;
END;
IF MES=X(Dl) THEN DO;
00=1 ;
MP=X <DU ;
END;
END; ft THEN */
01=01 +1;
END;/* WHILE */
01=01-1 ;
00=0;
03=01+1 ;
,
DO WHILE<DIY'=1);/* RECHERCHE DE NP, 2eme EXTREMUM A "DROITE" DE Ml *1
IF «X(D3»=X(D3+1»&:(X(D3»X(D3-1»&:(Tl=1»! «X(D3>(=X(D3+1»&(X(D3>(X(D3-1>&(Tl=O»
THEN DO;
DM=<D3-D1> /N2;
IF DM ( 3 THEN DM=DM+3;
MES=X <D3) ;
IF T1=0 THEN DO;
DO 11=(03+2> Ta (D3+DM);
MES=MIN(X(II>,MES>;
END; /* II */
END;
ELSE DO;
DO 11=(03+2) Ta (D3+DM>;
MES=MAX(X(II>,MES>;
END;
END;
IF MES=X(D3) THEN DO;
00=1;
NP=X <03> ;
END;
END;/* THEN */
D3=D3+1;
END;/* WHILE */
D3=03-1 ;
00=0;
02=K-l;
197.
PUT FILE<OUT> SKIP EOIT ("K=",K)
(A,F(4»;
00 WHILE <00/'=1); 1. RECHERCHE OE MM, 1ER EXTREMUM A "GAUCHE" OE Ml *1
IF «X(02»=X(02+1»&(X(02»X(02-1»&(Tl=0» 1 «X(02)(=X(02+1»)&(X(02)(X(02-1)&(Tl=
THEN 00;
01'1= (K-02) IN2;
IF 01'1 < 3 THEN 01'1=01'1+3;
MES=X (02);
IF Tl= 1 THEN 00;
00 11=(02-2) TO «02-2)-01'1) BY -1;
MES=MIN(X(II),MES);
ENO; 1* II *1
ENO;
ELSE 00;
00 11=(02-2) TO «02-2)-01'1) BY -1;
MES=MAX(X(II),MES);
ENO;
ENO;
IF MES=X(02) THEN 00;
00=1 ;
MM=X (02) ;
ENO;
ENO;I* THEN *1
02=02-1 ;
ENO;I* WHILE *1
02=02+1 ;
00=0;
04=02-1 ;
00 WHILE <00/'=1) ; 1* RECHERCHE OE NM, 2~me EXTREMUM A "GAUCHE" OE Ml *1
IF «X(04»=X(04+1»&(X(04»X(04-1»&(Tl=1» ~ «X(04)(=X(04+1»&(X(04)<X(04-1)&(Tl=
THEN 00;
01'1= <02-04) 1N2;
IF 01'1 ( 3 THEN 01'1=01'1+3;
MES=X (04);
IF Tl=O THEN 00;
00 11=(04-2) TO «04-2)-01'1) BY -1;
MES=MIN(X(II),MES);
ENO;I* II *1
ENO;
ELSE 00;
00 11=(04-2) TO «04-2)-01'1) BY -1;
MES=MAX(X(II) ,MES);
ENO;
ENO;
IF MES=X(04) THEN 00;
00=1;
NM=X (04) ;
END;
ENO;I* THEN *1
04=04-1 ;
END; 1* WHILE *1
04=04+1;
.
M1=MUSG(JJ) ;
IF ABS(Ml-MP»=ABS(Ml-MM) THEN DO;
IF ABS(MP-NP)(=ABS(Ml-MM) THEN DO;
.J
R(JJ). (Ml-t1P) 1 (Ml-MM) ;
R(JJ)-ABS(R(JJ»;
NUt1C-I1AX (ABS (t1P-NP) , ABS (1"t1-Nt1) ) ;
J
DENC~IN(A88(~-NP),ABS~""-Nt1»;
C(JJ)-NUHC/DENC;
END;
1 98.
ELSE DO;
00=0;
05=03+1;
,
DO WHILE<OO/'=1); /* RECHERCHE DE OP, 3eme EXTREMUM A "DROITE" DE Ml */
IF «X(D5)}=X(D5+1»&(X(05)}X(D5-1»&(Tl=O» ~ «X(D5)(=X(D5+1»&(X(05)(X(05-1)&(Tl=1»
THEN DO;
DM= <05-03) /N2;
IF DM < 3 THEN OM=OM+3;
MES=X (05) ;
IF Tl=l THEN DO;
DO 11=(05+2) Ta (05+0M);
MES=MIN(X(II),MES);
ENO;/' II */
END;
ELSE DO;
DO 11=(05+2) Ta (05+DM);
MES=MAX(X(II),MES);
END;
.
END;
IF MES=X(D5) THEN DO;
00=1 ;
OP=X (05) ;
END;
END;/' THEN */
05=05+1 ;
END;/* WHILE */
05=05-1 ;
MO=Ml ;
Ml=MP;
NM=MM;
MM=MO;
MP=NP;
NP=QP;
NUMR=MAX(ABS(Ml-MP),ABS(Ml-MM»;
DENR=MIN(ABS(Ml-MP),ABS(Ml-MM»;
R(JJ)=NUMR/DENR;
NUMC=MAX(ABS(MP-NP),ABS(MM-NM»;
DENC=MIN(ABS(MP-NP),ABS(MM-NM»j
C(JJ)=NUMC/OENCj
END;
END;
ELSE DO;
IF ABS(MM-NM)<=ABS(Ml-MP) THEN DO;
R(JJ)=(Ml-MM)/(Ml-MP);
R(JJ)=ABS(R(JJ»j
NUMC=MAX(ABS(MM-NM),ABS(MP-NP»;
DENC=MIN(ABS(MM-NM),ABS(MP-NP»;
C(JJ)=NUMC/DENC;
END;
ELSE DO;
00=0;
D5=D4-1;
DO WHILE<DO"'=1) ;1* RECHERCHE DE QM, 3ème EXTREMUM A "GAUCHE" DE Ml *1
.
IF «X(b5»=X(D5+1»~(X(D5»X(D5-1»~(Tl=0»! «X(D5)<=X(D5+1»~(X(D5)<X(D5-1)~(Tl.l»)1
THEN DO;
DI"P(D4-D5)/N2;
IF DM < 3 THEN DM=DM+3;
l''IES-X (œ5) 1
IF n-l THEN DOl
DO II-(œ5-2) TO «DS-2)-DM) sv -11
1 99
MES=M1N(X(1I)~MES);
END;/* II */
END;
EL5E DO;
DO I1=(D5-2) TD «D5-2)-DM) 8Y -1;
MES=MAX(X(I1)~MES);
END;
END;
IF MES=X(D5) THEN DO;
00=1 ;
Q~l=X (05) ;
END;
END;/* THEN */
05=D5-1 ;
END; li ~JHILE *1
05=05+1 ;
MO=t'11 ;
1"11 =/'11"1;
NF'=MF';
t'1F'=/'10;
/'1t'1=N~1 ;
N~l=QMj
NUMR=MAX(A8S(M1-MM)~A8S(M1-MF'»;
DENR=MIN(A8S(M1-MM)~A8S(M1-MF'»j
R(JJ)=NUMR/DENR;
NUMC=MAX(A8S(MM-NM)~A8S(MP-NP»j
DENC=MIN(A8S(MM-NM)~A8S(MF'-NP»;
C(JJ)=NUMC/DENC;
END;
ENDj
SG(JJ)=SIGN(M1);
F'UT F1LE<OUn SKIP EDIT("JJ="~JJ)
(A~F<3»;
PUT FILE<oun SI·:::IP EDIT("M1=I~M1,IMP=I,MP,"NP=",NP)
(A,F(8,3),X(2»;
PUT FILE<OUn SKIP EDIT(IIMM=",MM,"NM=",NM) (A,F(8,3),X(2»;
END;/* JJ */
SGN=SG(l)j
/* ON ESSAIE MAINTENANT D'IDENTIFIER,SI POSSIBLE,
LE DEFAUT GRACE A DES CONSIDERATIONS SUR IP,
INDICE (OU COEEFICIENT) DE PARITE, ET C(1), C(2),
R (1) ET R (2 ) */
BEGIN;/* 2 */
IP=R(2)*C(2)-R(1)tC(1)j
IF (R(l) < R(2»
& (C(l) < C(2»
.THEN DO; ft DONC IP EST POSITIF t/
IF SGN<O THEN DO;
PUT FILE <oun SKIP EDIT ("GRAND DEFAUT PLAN INCLINE: BORD S' ELOIGNANT") (A);
PUT FILE (DUn SKIP EDIT ("1ER TEST") (A);
PUT FILE (DUn SK 1P ED IT ("1P=" , 1P) (A, F (8, 3) ) ;
DO JJ=l TO 2;
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT: ( "R(",JJ,")=",R(JJ),"C(",JJ,")=",C(JJ»
(A,F(l
),A,F(8,3),A,F(1),A,F(8,3»;
END;
END;/* THEN SGN
*/
ELSE DO;
PUT FILE(OUn SKIPEDIT("GRAND DEFAUT PERPENDICULAIRE A L'AXE OU BORD PROCHE")
(A);
PUT FILE(OUn SKIP EDIT("lER .TEST") (A);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("IP=",IP) <A,F<8,3»;
DO JJ=l TO 2;
PUT FT! FlnllT)
SKTP ~nTT ( "JH" ..l.L ")=".RL1.1L "r.(" ..l.l")=" rl.l.1\\)
(li
1={1
200.
END;
END;/* EL SE SGN */
E~~D; ./ * THEN
*/
ELSE DO;
IF \\R(1)<R(2)),~dC(1»C(2!),~;(IP>O)TH EN DO;
IF SGN(O THEN DO;
PUT FILEIOUn SVIF' EDIT("GRAND DEFAUT PLAN INCLINE:BiJPD S'ELOIGNANT")
(A);
PUT FILEWUTI SVIP EDIT("2eme TEST")
(A);
PUT FILE<OUT> SVIP EDIT("IP=",IP)
(A,F(8,3));
DO JJ=l TO 2;
PUT FILE<OUTi SKIP EDIT ( "R(",JJ, 1)=",RiJ,]), "C(",J,J,")=",C(,J,])
iA,F(l
), A, F (8, 3i , X (.3) ,A, F (1 i ,A, F (8, 3) i ;
END;
END;I* TH EN SGN
*1
EL SE DO;
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("GRAND DEFAUT PERPENDICULAIRE A L'AXE OU BORD PROCHE") iA!;
'.
PUT FILE(OUT)
S~<IP EDIT( 1I 2eme TEST")
(A>;
PUT FILEWUT) SVIP EDIT(IlIF'=",IP)
(A,F(8,3));
DO JJ=l TO 2;
PUT FILE(OUTi SKIP EDIT ( IR(I,J.],")=I,R(.JJ),IC(",JJ,")=",CiJ.]»)
iA,F(l
),A,F(8,3),X(3),A,Fl11,A,F(8,3»);
END;
END;/* ELSE SGN *!
END;!'* THEN
*1
ELSE DO;
IF (R(1»F:(2ii~;(C(1»C(2) THEN DO; 1* DONC IF' EST NEGATIF */
PUT FILE<OUTI SVIF' EDIT ("PETIT DEFAUT PLAN PERP. A L'AXE"i
(A);
PUT FILE<OUT) SVIF' EDIT ("1EF: TEST")
(A);
PUT FILE <oun Sf:::IF' EDIT (" IF'=", IP)
(A, F (8, 3) ) ;
DO JJ=l TO 2;
PUT FILE (OUT) SK 1P ED 1T ( "R ( Il , J J, " ) = Il , R (J Ji, Il C ( Il , J J, Il ) = Il , C (J J ) i
(A, F ( 1
) ,A, F (8, 3) ,X (3) ,A, F (1) ,A, F (8, 3i ) ;
END;
END; /* TH EN l.1
ELSE DO;
IF (R (1) >R (2) HdC (1) <C (2) ) ~d IP<Oi THEN DO;
PUT FILE<OUn SKIF' EDIT ("PETIT DEFAUT PLAN PERP. A L'AXE")
(A);
PUT FILE<OUn SKIP EDIT ("2eme TEST")
(A);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("IP=",IP)
(A,F(8,3»;
DO JJ=l TO 2;
PUT FILE<OUn SKIP EDIT ( "R(",JJ, "j=",R(JJ), "C(",JJ, ")=",C(JJ»
(A,F<1
),A,F(8,3),X(3),A,F(1),A,F(8,3»;
END;
END; 1* THEN *1
ELSE DO;
IF (R (1) <R (2) ) ~ (C (1) >C (2) ) & (IP<O) THEN DO;
PUT FILE<OUn SKIP EDIT("CAS DOUTEUX: ")
(A);
PUT FILE(OUn SKIP EDIT("pet;it defaut plan perpendiculaire a l'axe du"!~
Il
faisceau d'ultrasons")
(A);
PUT FILE (DUn sn P ED IT ( " 1P= " , 1P ) (A, F (8, 3) ) ;
DO JJ=l TO 2;
PUT FILE (OUT) SK 1P ED 1T ( Il R( Il , J J, Il ) = Il , R (J J ) , Il C ( " , -J J, " ) = Il , C (J J »
(A, F ( 1
) ,A,F(8,3) ,X(3) ,A,F(l) ,A,F(8,3»;
END;
END;li THEN il
ELSE DO;
IF (R(1»R(2»&(C(1)<C(2»&(IP>Oi
THEN DO;
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT("CAS DOUTEUX: ")
(A);
PUT FILE(OUn SKIP EDIT("bord lointain") ,(A);
PUT FILE(OUT) SKIP EDIT( II IP=",IP)
(A,F(8,3»;
PUT FILE(OUn SKIP EDIT("SIGNE DU MAXIMUMiEN VAL. ABSOLUE) =" ,SGN) (A,F(2»;
201
DO .]J= 1 TO 2;
PUT FILE'OUT)
::WIF' EDIT
( "F:("~.J.J,")="~F:(JJ),"C("~JJ,")="~C(.]J))
(A~F(l
) ~A~F(:3~ 3) ~ ·~~(3) ~A,F(l) ~A~F(8~3)) ~
nw;
END;/* THEN lf
END;:t 1ER ELBE SUR F:ill,RI21,C(11,C(2) ET IF' II
END;I' 2eme ELSE
*:
END;!* 3eme ELBE
*/
END;!* 4eme ELSE
il
END;!* Seme ELSE
*1
END;!' BEGIN 2 '1
END;/l BEGIN 1 *1
END;!' Fln du programme SONDLIS *1
202.
Annexe
A4
Progra~me
de
lissage
aes
s1gna0x
L1SS
Pr2sentation
Le
prograome
L1SS
permet
de
lisser
aes
s1gnaux plus
ou m01ns
bruit~s. On utilise bien sûr ùes signaux nUillérisés.
Soit
X(O:NB-I)
un
tableau
représentant
une
fonction
bruitée
(NB
est
le no~bre d'~~hantillons). Le
lissage
propos~ ici
consiste
à
remplacer X(O:NB-I)
par
Y(O:NB-I)
d~fini cornme
suit
a)
Pou~ tout l
entier
compris
entre
2 et NB-J
(bornes
compri-
sesi,
on a
y (1)
X(1)
+
(X(I+I)
+ X(I-I»/4
+
(X(I+2)
+ 11:(1-2»/8.
b)
Po u r I
1 où l
=
NB- 2
Y(1)
XCI)
+
(X(I+I)
+ X(I-I»/4.
c)
Pour
l
=
0
ou l
NB-I
y (1)
x(I) .
Le
pro~rau:~e L1SS est ~crit en PLI.
Les
données
(valeurs
du
tableau X(O:NB-I»
peuvent être
soit
entières
(format F(4»,
soit
d~cimales (format F(S,3».
Le
sous-prograooe GRAPH permet
de
sortir
les
courbes
repr2-
sentant
les
signaux
lissés
sur
~cran graphique.
La
figure
A4-1 montre
l'écno
d'un
trou
à
fond
plat
de
diamè-
tre
O,Smm dans
un bloc d'acier.
Figure A4-2
le
même
~cho
après
lissage.
Le
traaucte~r utilisé est focalisé
(large
bande)
de
diamètre
38mm,
de
focale
230mm,
de
fréquence
centrale ~gale l
1.4UHz.
Ile:narques
:
1)
On peut
à nouveau
lisser
le
signal
lissê
S1
celui-~i a un
rapport
signal
sur bruit
toujours
faible
figure
A4-3
:
ef-
fet
d'un deuxième
lissage
de
l'écho
du
trou a fond plat de
uiametre
O,5~m ùans un bloc d'acier.
203
2)
Le
lissage 110difie
l'auplitude
Blobale
des
signaux ma1S
dans
tout
ce
travail,
on
ne
s'int~resse q~'à le~r torme
l'aQplitude
des
signa~x n'a aucune importance dans
la
procé-
jure
rie
discriuination
des
d~fauts propos2e.
204.
5
o
-7
Fig.
A4-1
Echo
d'un
trou d
fond
plat
de
diarn~tre O,5m~
dans
un aloc
d'acier.
8
o
-120
Fig.
A4-2
Le même écho
(trou à
fond
plat
de
diamètre
0,5mm)
après
lissage.
205.
-2061
Fig A4-3
L'écho
du trou à
fond
plat
de
diamètre
O,Smm
apres
2
lissages successifs.
206.
LI :35:
PF:OC:
ft PROGRAMME DE lISSAGE :
Si
les donnees sont entieres,
le resultat du lissage
est un ensemble de donnees dont chacune est arrondie
au nombre entier le plus proche
t/
DCl GF:APH ENTF:Y(FIŒD BINUSi ,FIXED BINUS). (*i FlOAT BIN<2l),
(ti FlDAT BIN(2li);
DCl (ST,V) FILE;
DCl (DEC,TEST,AR) BIN FIXED(lS);
DCl NB BIN FIXED(lS);
DCl ISORT,ll CHAR(10) VAR;
Del \\IN,OUTi FILE;
OF'EN FILE (IN) STREAM INPUT TITlE (";~LIST");
OPEN FILE (lJUTi STF:EAM OUTPUT TI TlE ( Il ;j)LI ST ") ;
F'UT FILE (IJUTI SKIF' EDUt"DONNEZ lE NOMBRE D'ECHANTIllONS ")
(A);
GET FILE (IN) LIST (NB) ;
F'UT FIlE<OUTi SKIP EDIT("DONNEZ lE NOM DU FICHIER DE DONNEES ")
(Ai;
GET FILE (IN) LIST (l) ;
PUT FIlE\\DUTi SKIF' EDIT("TAF'EZ 1 SION VEUT METTRE lE RESULTAT DANS UN"11
" FICHIER;SINON UN NBRE·····=l ")
(A);
GET FIlE(IN) lIST(TEST);
BEGIN; ft 1 *!
IF TEST=l THEN DO;
F'UT FIlE<OUn SKIP EDIT("DONNEZ lE NOM DU FICHIEF: DE SORTIE ")
(A);
GET FIlE(IN) lIST(SORT);
END;
PUT FIlE<OUT> SKIF' EDIT("DEC=l SION A DES DONNEES DECIMAlES;SINON DEC·=" 1 i
"1")
(A);
F'UT FIlE<OUTi SKIF' EDIT("Dm~NEZ DEC=")
(A);
GET FIlE(IN) lIST(DEC);
BEGIN;/* 2 *1
DCl (N4,N8) BIN FlOAT(2l);
OF'EN FIlE(V) STREAM INPUT TITlE(l);
IF TEST=l THEN DO;
OPEN FIlE(ST) STREAM OUTPUT TITlE(SORT);
END;
DCl 1 BIN FIXED(15)j
DCl (X(O:NB-l),Y(O:NB-l»
BIN FlOAT(2l);
N4=4;
N8=8;
IF DEC=l THEN DO;
DO 1=0 TO NB-l j
GET FILE(V) EDIT(X(I»
(F(8,3»;
END;/* 1 */
END;/* THEN */
ELSE DO;
DO 1= 0 TO NB-l;
GET FILE(V) EDIT(X(I»
(F(4»;
END;/* 1 */
END;/t ELSE */
DO 1=2 TO NB-3;
Y(r>= X(I)+«X(I+1)+X<I-l»1N4)+«X(I+2)+X(I-2»/N8);
END;
y(1 ) = x(1) + ( ( x(2) +X(0) ) !N4) ;
Y(NB-2)= X(NB-2)+«X(NB-l)+X(NB-3»/N4);
y (O)=X (0) ;
•
Y(NB-l)= X(NB-l);
207
IF TEST=l THEN DO;
IF DEC=l THEN DO;
DO 1=0 TO N8-1;
PUT FILEC3Tl
EDITI,{II»
IF(8,3»);
END;
Er'JD;
!t DEC :fi
ELSE DO;
DO 1=0 TG N8--1;
AR=YII)+O.StSIGNI'{II»;
,/(I)=AJ;:;
PUT FILE(STl
EDITI'{(I)
IF(4));
END;
END;
END; /"* TEST SUF: LE PARAMETRE "TEST" *,.
DO 1=0 TO NB-l;
X(1)=I;
END;
CALL GRAPH<0,N8-1,X,YI;
END;/* BEGIN 2 :fI
END;/* 8EGIN 1 :fI
END; /* LISS
LI
208.
Anne :·:e
AS
Progra~mes
INTERLIS
et
INTLRG6.
1)
Présentation
IJTEllLIS
calcule
l'Indice
ae
~arit~ comme
inaiqu~ en annexe A3
(programme
SONDLIS).
En
outre,
i l
permet
de
s o r t i r
sur
table
traçante
les
quatre
courbes
suivantes
a)
Echo
du
défaut
inconnu
(ou
supposé
tel)
S 1
b)
Echo
de
référencè
S2
c)
In te rcorrê l'a t ion
entre
:; 1
(2COO
de
dêfaut)
et
S2
(é cho
de
réf2rence)
cl)
Intercorrélation
entre
S 1
(écno
de
défaut)
et
la
dérivée
de
l'écho
de
ré férence
(S2).
Le programme
INTERG6
fait
les
~~mes opérations qu'INTERLIS
à
cette
différence
près
le
second
(INTERLIS)
permet
la
re-
connaissance
des
"faux extre;na"
(annexe
A3)
ce
que
ne
f a i t
pas
le
premier
(INTZ~G6).
(Tous
ces
programmes
sont
disponibles
au
laboratoire
Matériaux,
section
Ultrasons).
2)
Exe~ples d'application
Le
traducteur
utilis2
est
focalisé
(large
bande).
Sa
focale
est
égale
à
230~m,
son
diamètre
38mill et
sa
fréquence
centrale
1 , 4 iIHz.
Les
d~fauts sont des trous d fond plat dans
un
bloc
d'acier
(cf.
figure
60,
page
131).
L'écho
du
défaut
supposé
inconnu
est
celui
d'un
trou
à
fond
plat
(TFP)
de
diamètre
0,5mm.
L'écho
de
référence
est
dû
au
bord
proche
du
trou
à
fond
plat
(TFP)
de
diamètre
10mm,
~n
cliné
de
30
degrés
par
rapport
à
la
surface
d'entrée.
L'Indice de Parité
a
été
calculé
dans
les
trois
cas
suivants
a)
Utilisation
de
l'écho
brut
(sans
lissage
préalable)
du
trou de
0,5:nrn et
pas
de
reconna~ssance de "faux extrema" :
programme
INTERGo
(fig.
A5-1).
On
trouve
un
Indice
de
Parité
(Ip
Jp
-
Ap)
de
-2,971.
209
h)
On
garde
toujoJrs
l'~coo du trou de O,Smm non liss~ ~a~s
cette
J::
•
J.. a ~s ,
on
applique
la
procédure
de
reconnaissance
des
"fau·
extre:',la"
programme
IUTERLIS
Ip
(Indice
de
Parit~) = -3,OS5.
c)
Lissage
pr~alable de l'cicho du trou de O,Sum (programme de
lissage
appelé
LISS,
annexe
A4)
et
utilisation
de
la
procédure
de
reconnaissance
des
"faux extrem.a"
programme
INTERLIS
Ip
=-3,190.
On
voit
a~ns~ que la procédure de reconna~ssance de "faux ex-
trer:1a"
et
le
l!issage
pr2alable
de
signaux
bruités
améliorent
les
r8sultats.
En
effet,
plus
la
valeur
absolue
de
l'Indice
de
Parit~ est diff§rente de 0, plus le dia~nostic de discrimina-
tion
est
sûr.
21 o.
Figure AS-l
1---------·---------\\
i
1
.
1
1
1
@i
1
1___________ _ __~
iL
_ _ ~J
a
TEMPS EN MICRO SEC.
S. 120
a
TEMPS EN MICRO SEC.
S. 120
TFP DE DIAMETRE O.Smm (0 DEGRE)
BORD PROCHE DE TFP (1 Omm. 3ODEG. )
----------
p---_.-
1
1
i1
1
L_
l_
J
a
TEMPS EN MICRO SEC.
S. 120
a
TEMPS EN MICRO SEC.
S. 120
INTERCORRELATION(Sl.~
INTERCORRELATION (S 1. DER <S2) )
Ap: 4. 127
Bp
=
1. 156
INDICE DE PARITE~ -2.971
TRADUCTEUR FOCALISE AMORTI. DIAMETRE 3Bmml FOCALE 230mm
FREQUENCE CENTRALE 1. 4MHz. MI LI EU. ACI ER. PROGRAMME. INTERG6
2 1 1
Figur.=
i------ --- -- -_..---'----..--. -l
r- --- ---. ..-._. -------------- '.- -----l
~
~.~.
~
-~_
1
!
1
M
1
1
1
1
i
:
.
L
L
~_
@ 1
o
TEMPS EN MICRO SEC..
5. 120
o
TEMPS EN MICRO SEc..
5. 120
TFP DE DIAMETRE O.Smm (0 DEGRE>
BORD PROCHE DE TFP (10mm,30DEG.)
r---------
i·-------·--·----------I
i
1
1
i
i
1
i
1
1
!
i
!
j
i
1
1
1
1
-
L_._____
_J
o
TEMPS EN MICRO SEC.
5.120
o
TEMPS EN MICRO SEC.
5. 120
INTERCORRELATION(Sl,S2)
INTERCORRELATION CS1. DER CS2)
Ap:4.127
8p= 1. 042
INDICE DE PARITEa -3.085
TRADUCTEUR FOCALISE AMaRTI. DIAMETRE 38mm. FOCALE 230mm
FRECUENCE CENTRALE 1.4MHz. MILIEU. ACIER. PROGRAMME. INTERLIS
2 1 2 •
Fig·.lre
A5-]
I -
.,
__
.
!-~-_·_----------·--l
Ii
;
1
1
1
1
1
1
1
1
1
i
1
,
.
L_
@i
o
TEMPS EN MICRO SEC.
5.120
o
TEMPS EN MI CRO SEC.
5. 120
TFP (O.Smm.O DEGRE). LISSAGE
BORD PROCHE DE TFP (1Omm.30DEG.)
r-
--,
I
1
1
1
1
1
1
1
a
TEMPS EN MICRO SEC.
5. 120
o
TEMPS EN MICRO SEC.
5. 120
INTERCORRaATION(Sl.S2)
INTERCORRELATION(Sl.DER(S2»
Ap:4.244
Hp
=
1.053
INDICE DE PARITE- -3.190
TRADUCTEUR FOCALISE AMORTI. DIAMETRE 38mmJ FOCALE 230mm
FREQUENCE CENTRALE 1.4MHz. MILIEU. ACIER. PROGRAMME. INTERLI5
2I:
Annexe
AG.
Le cepstre d'inergie
d'un signal
à structure
d'échos.
1)
üéfinitions
1-1)
Signal
~ structure d'~C~03.
Soit
le signal
set),
le
signal
a
structure
d'êchos
a
la forme
suivante
:
(s(t)
étant d'énergie
finie)
se (t)
set)
+
a~.s(t-t~)
+
a~.s(t-t~)
+ . . . • • • +
an.s(t-tn)
""
>
=
set)
+
ai.s(t-ti)
( 1 )
.:i.-: ci
n est
le no~bre d'é~hos, les ai et
les
ti
sont
des
contantes,
t
la variable
te~ps.
Je m'intêresse
au cas
où
l'espacement entre
deux échos
succes-
sifs
est
constant:
on a
alors
Pour tout
i
(i ~n), ti
i.to
(to
est
une
constante).
-
L'équation
~1) devient
'l\\,
se (t)
> ai.s(t-Lto)
( 2)
i.= 0
en posant
ao
1-2)
Cepstre d'énergie
(Réf.
la,
11,12).
Soit
le signal
s(t),
on appelle
Cepstre
d'énergie
de set),
D
5 ('I:)
noté
\\
la transformée
de Fourier
inverse
du logarithme
népérien du module de
set)
(ou de
sa
densitê
spectrale)
(s(t)
est d'énergie
finie)
s(t) =- Tf-~[Lot(1l5(-v)II)J
:
S(v) est la transformée de
-F-~
Fourier de s(t), 'J est
la fréquence.
1
: transformêe de
Fourier
inverse.
Pour les
signaux échantillonnés
(avec N échantillons),
on pose:
s(k)
=
s(k.Te),
k est un ~ombre entier,
et Te est
la pêriode
d'êchantillonnage
(t = k.Te).
2 1 4.
~ans le do~aine des fréquences, la variable ~
est
remplacée
par
J
:
S ( j)
= S (j . Fe)
= S ('\\,l)
(S(j)
est
une
transform~e rie Fourier
discrète) .
-V = j.Fe
Fe
=
l/(~.Te)
2)
Propri~t§ de
l'opérateur
Cepstre
d'énergie.
Soit
sp (t),
le
produit
de
convolution
(noté * )
de
deux
signaux
s1.(t)
et
s~(t)
:
sp(t)
=
s1.(t)~ S2.(t)
sptl) ) S-i(t)et Si.{t) sont respectivement les cepstres d'énergie
de
sp(t),
de
s-1.(t)
et
de
s~(t).
--.--
SP\\t)
-.{
-
1 r
~o~(II Sp(v)\\I)]
~ci( t) _ -\\f-1 Q-o~~1 S-i (V)II)J
52- (t)
_ TF --t [~(II 5~ (V)II)]
TF
:
transformée
de
Fourier
et
TF·'1 :
transformée
de
Fourier
inverse.
En
passant
aux
modules
:
Il Sp(V) \\1 = \\1 51.(V)\\I. 1\\ s~(v)11
( Il Il
indiq'-lant
le module).
LOCfII Sp(v)11
Lo~
=:
(1IS,i(V)\\I.\\l52(V)!I) =: Lo~(IIS'-i(V)II) + lQ~UIS~lY)II)
d'où
: TF-~(lc~11Sf'{Y)11) =TF-1.~o~\\ S,1.(V)r.~ + TF -d[La~(11 S:L(Y) II~
5f(t) = .s-i~l:) + ~2,lt)
En
résumé
:
Le
cepstre
d'énergie
du
produit
de
convolution
de
deux
signaux
est
égal
à
la
so~~e des cepstres d'énergie de ces signaux.
21
Pour
les
signaux échantillonnés,
on
remplace
t
par k
dans
les
équations
(t
= k.le, Te période d'échantillonnage) et il vient
s iCk) * s ~(k)
alorS}
:;:.
~'i (1\\) -t ~~(k)
(4)
3)
Cepstre
d'énergie
d'un
signal
à
structure
d'échos.
3-1)
Signal
contenant
un
seul écho.
Ici
seCt)
a
la
forme
suivante
seCt)
=
s(t)+ CLiS(t-to)
On peut
écrire
seCt)
= s(r) l\\(b(t) -t u:1 b(t -to)) , 0(1:)
étant
l ' impul
sion de
Dirac.'
Po sons
L(~):;:' h(t) + (J,A. 0 (t - to)
, il vien t :
-5~): ste) * ~(t) er clornL Se.te) ~ s(t) + qL)
.se.lt) ) s(t)
et t(t)
étant
respectivement
les
cepstres
d'énergie
de
seCt),
de
set)
et
de
i ( t ) .
Notons
Se. (V)
la transformée
de Fourier de
.se(t) ,SCv)
et I(V
celles
respectivement
de
set)
et
de
i ( t ) ,
on
a
les égalités
suivantes:
seCt)
s(t)1ti(t)
avec
Se (V) = 5(V). I(V)
1 (v) -=- -11- û-1.- exr-(- j.21T. to.v)
lo~(\\1 Se.(V)\\\\)::: L~(II S(V)II) T Lo~ (Il l (v) ")
111(v)II -= (Itv). Ïtv))1/~
(î (\\1) fonction complexe conju-
guée
de
l(v))
Il 1(v) Il :: [(-1 + 0.1 ex~ (- j.~ TI. te. V)). (-1 t Cl-1.. f.<.p(*j. ~1I _to. V))]AJ~
Llt)
.= TF -i(Loc~[lll(y)ill)
~11(V)ln = 1 {1.D~ {-1* M"'d-j·tlf.to-")j+L,~l-bM·"f'h~l"·to.y~
posons
o.A. \\!)tp(-j.tlT. 'f.tQ) = X1.
tf O-<i.C;(p(+ j ..t1i. v.te)"= )(<...
(X~ et x~ sont conjugués).
a)
Si
\\~I <: ~ , on peut faire le développement en série sui-
van t
:
21 6 •
<..
3
'"Il + -i.
r1
)(,1.
-
xi
+ X 1-
~ .
-t (-.--1)
)(i
-t-, ••
"
...
~
3
(l
- \\
L
n::,~
C1ême
développement
pour
Lo~ (-i + X.:!-)
)
On sait
que
TF--i(OA.e.xp(-j.:LïLV.n.b)) =- 0.-1.. &(c-ntc)
Il
vient
:
(5 )
Je
suppose
to positif.
Si
on ne
considère
que
les
temps
posi-
tifs
(cas
réel),
l'égalité
se
réduit
à
:
oD
E(t) = ) (-.") nT-! a.1 6 (t - nro)
n::-i
:t11
(6)
b)
Si \\0.-1\\
>-1 , on a : l ('Y) =-J + oA. e.'T (-j..2.11. V. te)
1(V) =- (LLL.:P .(-j . .L1T_V.to) (-1+(-1/0.1). ~p(Tj . .21LY.t0)
Posons
l'i("Y)::(.1+l-1/"-~).e<f'U •.ilT.v.to)) er
T:t.(V):: (-1+ (-l/û-t).e<p- (_j_21l. v.ta))
T1(V)tI-I.<,(V) sont conjugués
alors
:
-
~
:- ~1~ l- 2.
,
•
7l All
\\\\l(v)ll-=. I(Y).I(Y)
= o.~(-i+.1... ufl21ï.J.V.t~)(-1+-.i.... e<p(-J.-21LyJo)):
_
n<l
0..(
:
~lt (\\\\ Il'J)II) =Lo~(I~~I) -t- i [Lo~)( I.t(V)) + Lo~ ( ] ~(V) ~
on considère
le
développement
en
série
de LO<J(it(.-i/ûJ...).&p(-j ..2Tf.i.to))
et
de
Lo~(~+ (-1/CL'&'). exr C+J..2lf. V. to)
. La transformée de
Fourier
inverse
de
I..oCà(11 I(V) Il)
est
t(t): (I~I < -1.)
\\ a.-L
00
tet) ~ (L~ 10.,1) Mt) <~
(7)
C1::-!
2 1 7.
t(l) est le cepstre d'énergie de i(t)
<..{
Par
ra p p 0 r t a u
cas
0 Ù 10..-1 \\
, o n
v 0 i t
s ' a j 0 ut e r I e
ter me
LOCj 1Ûd.1
Si
on
ne
consid~re que
les
temps
positifs
(cas
réel)
Ll[)=-(~~IQ-LI)·
l-ti) n+~ • _A_ .
b(t)
L
T
~·il
C\\::~
Pour
les
s1gnaux
échantillonnés,
t
doit
~tre remplacé par
k
(t=k.Te)
et
to
par
ko
(to=ko.Te),
Te
étant
la
période
d'é-
cha n t i lIon na g e' •
Soit
se(t)
s(t)
+ a~.s(t-to)
s (t) .* [b(l) + û-J..b (t -bll,
s(tHf i ( t )
en
posant
toujours
:L(~)=b(l:)+Q.J..oll:--L)
le
cepstre
d'énergie
de
i ( t ) ,
l(t) ,~i ]0..1.1<-1.) 0.. la forme SU1-
vante
(temps
positifs
et 10...1.1 < ~
)
a)
s 1
a-i> a
etlt
tT
.~
1
~~o
o I-----l...----,....;-=----:..----..,...;.::.:..::....=-------~
jç,o
~ A."
"'~
~
.- --
t
b)
si
a-i< a
o
Pour
ICL.i./> ~ ,on a j 0 U tel0ca-(1 o..:i. 1) a u x val e urs pré c é den tes •
218.
Le
cepstre
de
se ( t)
set\\;) -= s(l:) -t ~ (1:)
(courbe
ci-dessous).
.:::
~~(..\\....)
O.
--
~
Cepstre
de
seCt)
(0 <a~ < 1 et temps positifs).
Remarqûes
Sur
la
représentation
graphique
du
cepstre,
i l
peut
arriver
( "'_l
S U~) ~.-)
si se.lt)
a
des
amplitudes
très
grandes
par
rapport
voie pas
bien.apparaître
les
impulsions
de
à
1 0...: l
, q u ' 0 n
ne
:t.-
3
Dirac
d'amplitudes ~ ,
- 0-1.,
a.1. 1 etc . . .
(s u i t e
dis c r è t e r e pré -
2,..
ft
6"
sentant
le
cepstre
de
i ( t ) ) .
a)
Si
on
connaît
le
signal
originel
set)
qUl
est
à
l'origine
de
l'écho
(se(t)
= set) + ai.s(t-to)), on peut résoudre le
problème en représentant
la
courbe
de
la
fonction sete) - .5'(1:)
<>
comme.se. (1:)
)
- . . 0 ~(L)
>
1;;
+ :>(1.-)
....
L.
on obtient
le
cepstre
de
i (t)
O(
(L t )
en sou s t r a yan t
S{t)
cl e 5e..(c) . L\\t ) nec 0 nt i e n t que des i mp u l s ion s
de Dirac.
b)
Si
on ne
connaît pas
set),
on peut,
pour bien
VOlr
apparaî-
tre
les
impulsions
de
Dirac,
dont
les
emplacements
sur
la cour-
be
permettent
d'accéder
à
ta,
multiplier
le
cepstre Se..(t)
par
la
fonction
isl\\:) telle que:
B~OiPour tout t
compris
entre
-B
et
+B,
(-B < t
pour
tout
t
tel
q<.le 11:1> B) iô(t)=--1..
Cela
revient
à
annuler
les
valeurs
de
~o ft)
~\\
pour
les
valeurs
de
t
comprises
entre -B
et
+B
( f i l t r e
temporel
passe-haut).
On
c~oisit différentes valeurs de B et on garde celle qui fait
le mieux apparaître
les
impulsions
de
Dirac.
219
l e
cep s t r e
~c. (t) filtré.
Exemples
d'application:
Les
signaux sont échantillonnés.
Te,
la période
d'échantillon-
nage,
est égale
à
0,02
microseconde.
N (nombre
d'échantillons)
est
égal
à
512.
A partir de
l'écho de bord
proche
d'un
défaut
plan
rectangulairE
de dimensions
1,8mm et
3,Jmm,
incliné
de
14 degrés
par rapport
à
l'axe
d'un
traducteur
plan
(large
bande)
éQetteur-récepteur,
j ' a i simulé
un
signal
à structure d'échos
se(k).
Soit
s(k)
le
signal
de
bord
proche,
de
façon
générale,
se(k)
a
la
forme
suivante
se (k)
=
s (k)
+ a1.. s (k-ko)
(k est m~s à
la place
de
t
et ko
remplace
to
car on
a
des
signaux échantillonnés).
1er cas:
a.-i(O et!a..,Jl<-1 :
-1 <a 1. ( 0
J'ai pris
a1 = -0,8 et ko =
85
d'où:
se(k)
=
s(k)
-0,8.s(k-85)
(k est
la
vanable).
La figure
A6-1
représente
s(k),
écho
originel
(écho
de
bord
proche).
La
figure A6-2
est
relative
à
se(k).
Les
figures
A6-3
et
A6-4 montrent
le
spectre
de
s(k)
(écho de
bord proche).
La
figure
A6-5
est
le
cepstre
de
se(k)
et
la
su~
vante
le
cepstre de
se(k)
moins
celui
de
s(k)
:
on voit m~eux
sur cette
dernière
les
impùlsions
placées
en 85,
170
(17ü=2 x B5),
255
(255
= 3>(85), (ko = 85).
Après
256
(axe des
abcisses),
on a
l'effet
de
symétrie:
256
est en
effet
la moitié
de
512
(nombre
d'échantillons).
En
supposant qu'on ne
connaît pas
s(k),
qu'on
n'a que
se(k),
pour faire
bien apparaître
les
impulsions
de
Dirac,
j ' a i
filtré
le cepstre
(annulation de
sa valeur pour
tout
k
plus
petit que
20 et
pout tout k plus
grand que
492
(492 = 512 -
20 et
dans
la représentation
graphique
de
cepstre
d'énergie
qui
fait
in-
tervenir une procédure
de
calcul de
transformée
de
Fourier
rapide,
l'abscisse négative
-20 correspond à 512 -
20).
On
remarquera
aussi que
dans
ce
cas
où I~~I~~ , il n'y a pas
d'impulsions
de
Dirac
à l'origine dans
la
représentation de
-se-lt) - s{tJ) clone. de tlt) .
(voir
fo.rmule de
L(~)
page
216 ,
formules
(5)
et
(6)).
220.
\\ !
-J8,1
-4
mo DE BORD PIOCHE l'UN DEf,Ul 'w TiHlUClEUi PLAN, \\11 ECH ,1E'1 91 Ile!
SOIT sm LE SIGNAL lE LA m
Figure A6-l·.
Figure A6-2 .
Echo de
bord proche
d'un défaut
Soit s(k)
le
signal
de
la figure
plan
traduc~eur plan;
512 ECH.
A6-1
le
signal
ci-dessus
est
Te = 0.02 rnicrosec.
s(k)
-
0.8.s(k-85)
~----- ---~-_.-_.----_._----~---------_._---
4n
."."
...
~
'
1
J
CEPmE DE l'ECHO lE eOAI PIOCHE sm
LES mllTUlES IO!! IIVISEEI PA> Il
CE/sm lE (sm·o e'S(1-8\\»
AVEC sm mo lE eORD PIOCHE
Figure
A6-3:
figure
Aü-5
cepstre
de
(s(k)-0.8s(k-G5)
Cepstre
de
l'écho
de
bord proche
avec
s(k)
écho de
bord proche
les amplitudes
sont divisées
par
10
42.1- '
i 8r; 110 l!i'5
1
1
If
III
-16
-21 S
cmm tE l'mo lE IDIB PIOCNE POUl lES '4 lm m
·IIfOUATlON UTIlE
mSTIE tE (S([)-OII6II-eSl)-CEPsm lE S([),\\([) EST UN ECNO lE 1011 Plom
Figurè A-G-4:
Cepstre
de
l'écho
Figure A6-6:
Cepstre
de
(s(k)-
oe
bord
proche
pour
les
64
pre-
O,G.s(k-i35»
-
cepstre de
s(k)
miers
échantillons
\\
221.
.,
L
.'
-20.5
CEPSTFE DE(S(K)-D.8.S(K-85» -ILTRE:YALEUR ANNULEE POUR ~<ZÛ ET K>432
Figure A6-7
222.
2ème
Cas
:
a-t > 0 et 1~-11 > 1 : a-1.>1
J'ai
simulé
le signal à
structure
à'échos
toujours
à
partir
de
s(k)
(ê cho
de
bord
proche)
se(k)
=
s (k)
+ 4.s(k-45)
a-i =
4 et ko
=
45
Le
cepstre de
se(k)
est
repr2senté
par
la
figure
A6-10.
:' 1
Dans
la
figure
AG-II
représentant
v\\ t)
(cepstre
de
se(k)-ceps-
tre de
s(k»,
on
constate
qu'il
y
a
une
impulsion de
Dirac
à
l'origine.
Cela est
bien conforme
au
cas
présent
(c f.
formule
de
~tt)
En supposant ne pas
connaître
s(k),
j ' a i
fait
un
filtrage
du
cepstre
de
se(k)
(signal
à
structure
d'échos)
pour
bien
faire
apparaître
les
impulsions
de
Dirac
(valeur
du cepstre
annulée
pour
tout k <40
et
pour
tout
k">472
(472
=
512 -
40»
figure
A6-12.
3-2)
Cepstre d'énergie
d'un
signal
à
structure
d'échos
ayant
plusieurs
échos.
se(t),
signal
à
structure
d'échos,
a
alors
cette
forme:
M
se(t)
s (t)
+
\\
ap.s(t-tp)
M est le nombre d'échos.
Lp:=.1.
Si on suppose
les échos
équidistants
de
to,
i l
vient
pour
tout
tp,
on a
tp
= p.to.
""1
se (t)
L ap.5(t-p.to)
en
posant
ao
p="
on peut écrire
aUSS1
l"1
se(ll = 5(t)1'{2 dp' h( t - p. to~
(ao
1)
)
=S(~)7\\~(\\:)
p::o
M
(* indique la convolution
et ~ (l:) =- L o..f· il ([ - p.ta) j CU) =--1 ) .
p='?
22:
'1 1
1
1:li
'\\
11
11 Il
1
1\\
"
,0
~
1 ~
51"
i
1
1
1
-ni
ECHO Df BOil PiOCHE 0'UH JH,ur Pla nm:rm PLIH,51' té, , TE" CI.. "
5011 sm LE SI.HAl lE LI fit
LE Sl.HII Cl-IEI5US EST SUJ+4tSIHII
Figure A6-3
:
écho
de
bord pro-
fig ure
Ai; 9
:
soi t
s (k)
l e
che d'un défaut
plan;
512 écho
signal
de
la
figure
A6-o,
le
signal de
la figure
ci-d
Te = 0.02 microseconde
est
s(k)+4s(k-45)
l
\\21'
mSIIE lE iS("+l'S((-l51HEPSm lE Sil>' Sil) ECHO lE 8011 PIOCHE
Figure
AG-l L :
cepstre
de(s(k)+4s(k-45))-
cepstre
de
s(k).
s(k)
est
un écho
de bord
-93 B
proche
WSlIE lE IS(l)'4-sIH5)
mc Sin ECHO JE 8011 PiOCHE
Figure AG-IO
:cepstre de
(s(k)+4s(k-45))
s(k)
écho de
bord proche
l,S
•
2.5 l i
-185
cmm lE (S(()+l'!(H5)j mUE mm AMWULEE POUl l<41 El l'~;2
Figure A6-12
:
cepstre de
(S(k)T4s(k-45))
filtré:
valeur annulée pour k(40
et pour k> 472
224.
Ici
les
calculs
sont
un
peu plus
compliqués.
Notons
seulement
que
la
transformée
de ?ourier
de
se(k)
(se(t)
S1
on
est en
analogique)
peut
s'écrire
comme
sui t
:
et
l (V) :::
t "f up(-j.~1T plo v)
p=--:L
et
Exemple d'application:
Toujours à
partir du sign:::l
de
bord proche,
j ' a i simulé
le
signal
à
3 échos
suivant
se(k)
= s(k) -O,8.s(k-45) + O,64.s(k-90) -
O,512.s(k-135)
(figure A6-14).
Dans
ce cas,
j ' a i tracé
le
cepstre
de
se(k)
(signal
à
struc-
ture
d'échos)
et
~elui de i(k)
(le
cepstre
de
i(k)
=
cepstre
de
se(k)
-
cepstre
de
s(k)).
(Figures A6-15
et A6-16).
Remarques
:
a)
Le
phénomène
de
recouvrement,
qui
apparaît
assez nettement
sur
le
cepstre de i(k)
(fig.
A6-16>peut
être
sinon êliminé
du
moins
notablement
atténué
si
on prend un grand nombre
d'échan-
tillons.
b)
Tous
les
calculs et
les
tracês
de
courbes
ont été
faits
par
le
programme appelé
CEPFIL
(CEP comme
CEPSTRE et
FIL comme
FILTRAGE
éventuel).
Ce programme
est écrit
en PLI.
Les
commentaires
inclus
dans
CEPFIL
(page 227)
sont
suffisam-
uent
clairs pour qu'il
soit
inutile de
donner
ici
d'autres
précisions.
Je
rappelle
que TF
(cf.
programme
CEPFIL)
est
un
sous-programme de
transformée
de Fourier
rapide et
que GRAPH
permet
le
tracé
des
courbes.
La procédure
de
calcul
du cepstre
d'énergie d'un
signal est
indiquée
en
déb~t d'annexe.
225
Rappelons
enfin pour
terminer que
N,
le nombre
d'échantillons
des
signaux,
doit
être
une
puissance
de
2
car
le
programme
CEPFIL contient
un
sous-programme
(TF)
de
calcul
de
transfor-
mée
de Fourier
rapide.
4)
Conclusion.
Dans
cette
annexe,
Je
me
SU1S
surtout
attaché
à
l'aspect
théo-
rique
de
l'opérateur
cepstre
d'énergie.
Cependant,
les
calculs
montrent
clairement
que
cet
opérateur,
faisant
apparaître
une
-
suite
d'impulsions
de
Dirac positionnées
~ des ~ultiple~ entier:
de
la
grandeur
caractéristique
to
(temps
entre deux
échos
suc-
cessifs),
permet
d'augmenter
notablement
la
résolution
des
tech-
niques
ultrasonores
basées
sur
l'émission-réception
des
ultra-
sons.
226 .
•<1-
,t,
j;
!
~
1
,l",
,
I~ ,1
~
/:,1
1
'~
"
~
1
11
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43
~ 1~lj~
SI
i
,1
il
1
i;
;1r,
1
1
'1
1
,
l,
~1 1
!
1
-'Ji
1
-~J
mHAl A S1iuCTUif l'mos S,II)'SII>-I aOSll-m., "-511-91>-1 1121\\1l-llSI
Figure AG-13
: s(k) =écho de
figure
A6-14
:
signal
à structurE
bord proche
d'un d~faut plan
d'~cho se(k)
rectangulaire·:
512 éch.;
se(k)=s(k)-0.üs(k-45)+0.64s(k-9Ù:
Te = 0,02 microseconde
-0.512s(k-135)
--------------t-----~---~---'-'-~----'
,
i
90
-21.5
-165
CEPSltE lE S,UHErSltE lE Slll. tEmSUllTIII lE , 1 I/Z (M'MORBIE l'ECM )
CEPSm lE S,(()
Stll)'S(l)-1.8'SlH5)'I.'~IHIH 512"S11-1l5)
Figure A6-16
Figure A6-15
:
cepstre de
se(k),
avec
cepstre
de se(k)-cepstre de s(k)
(repr~sentation de 0 à N/2, N
se(k)=s(k)-0.8s(k-45)+0.54s(k_90)
étant
le nombre
d'~chantillons)
-0.512s(k-135)
227.
CEF'F 1l: F'F:OC;
1* Calcule le CEF'STRE D'ENERGIE FILTRE d'un
signal d'energie finie:
En entree: le tableau YCO:N-l) contient
le signal de N echantillons; le tableau
X(O:N-ll est un tableau intermediaire ne
contenant que des zeros;
N DOIT ETRE UNE PUISSANCE DE 2 A CAUSE DE lA
PROCEDURE DE CALCUL DE TRANSFORMEE DE FOU-
RIER RAPIDE QUI INTERVIENT DANS lE PROGRAMME
B est l'indice d'echantillon tel que:
pour tout indice 1 tel que (I<B) ou
(I>N-B) les valeurs du CEPSTRE sont forcees
a zero (filtrage);
pour 1 tel B<=I<=(N-B), les valeurs du CEPS-
TRE FILTRE sont tout simplement celles du
CEPSTRE non filtre.
le filtrage a lieu uniquement si B est dif-
ferent de zero; sinon le programme calcule
le CEPSTRE D'ENERGIE classique.
En sortie: le tableau Y(O:N-l) contient la
suite CEPSTRE D'ENERGIE FILTRE du signal
donne au debut du calcul;le tableau X(O:N-l)
sert seulement au trace de la courbe (abscis
ses) *1
DCl GRAPH ENTRYŒIN FIXED(15) ~BIN FIXED(15) ~ (t) BIN FlOAT(2l>, (*) BIN
FlUAT(2l»;
DCl TF ENTRY (SIN FIXED(15) ~BIN FIXED(15), (t) BIN FlOAT(2l> ~ '*) SIN FlOAT(21J);
DCl (F,G,B) BIN FIXED(15);
DCl DEC BIN
FIXED(15);
DCl (N,N2,I) BIN FIXED(15);
DCl
M BIN FlOAT(21);
1* M FACTEUR MULTIPLICATIF *1
DCl (IN,OUT,E,S) FILE;
DCl (ENT,SORT) CHAR(10) VAR;
OPEN FILE (IN) STREAM INPUT TITlE (1;i>LIST") ;
OPEN FIlElOUT> STREAM OUTPUT TITlE(I;j)LIST");
PUT FI lE <OUT> ED IT (Il DONNE Z lE NOMBRE D' ECHANTI llONS ") (A);
GET FIlE(IN) lIST(N);
PUT FILE <OUT> SKIP EDIT("DONNEZ lE NOM DU FICHIER D'ENTREE Il) (A);
GET FIlE(IN) lIST(ENT);
PUT FIlE(OUT> SKIP EDIT("DONNEZ lA BORNE INFERIEURE DU CEPSTRE FILTRE ") (A);
GET FIlE(IN) LISTeS);
PUT FILE <OUT> SK 1P ED IT ( Il TAPEZ 1 SION VEUT METTRE lES RESULTATS DANS UN Il ~ !
" FICHIER(SINON UN NBREA =l) ") (A);
GET FIlE(IN) lIST(F);
BEGIN;/* 1 */
N2=N/2;
IF F=l THEN DO;
PUT FIlE(OUT) SKIP EDIT("DONNEZ lE NOM DU FICHIER DE SORTIE ") (A);
GET FIlE(IN) lIST(SORT);
END;
PUT FIlE<OUT> St<IP EDIT("SI lES ECHANTIllONS D'ENTREE SONT DES DECIMAUX,DEC=1") (A);
PUT FIlE(OUT> SKIP EDIT("SINON DEC "=1") (A);
PUT FILE (OUT> SKIP EDIT ("DONNEZ DEC ") (A);
228.
GET FILEIINI LISTIDECI;
F'UT FILE(lJUTI SfIF' EDITI"DONNEZ LE FACTEUF: MULTIF'UCATIF ")
(A);
GET FILEIINI LISTIMI;
PUT FILEiOUTI SKIF' EDITI"TAF'EZ 1 SION '",IEUT UN AFFICHAGE(SINON UN NBRE·"I(
"=1)
")
(A);
GET FILEIINI LIST(GI;
8EGIN;/* 2 */
Del IXIO:N-ll~Y(O:N-ll) 8IN FLOAT(21);
OPEN FILEIE) STREAM INPUT TITlE(ENT);
IF F=1 THEN DO;
OPEN FILEIS) STREAM OUTPUT TITLEISORT);
END;
IF DEC=1 TH EN DO;
DO 1=0 TO N-l;
GET FILE(E~ EDITIYII)}
IF(8~3»);
XII}=O;
END;
END;
ELSE DO;
DO 1=0 TO N-l;
GET FILElEl EDITIY(l})
(F(4) 1;
X(l) =0;
END;
END;
CALL TF (I.N,Y~X);
DO 1=1 Tü N2-1;
Y(II= SQRT('{II)*VCII + XII}.XII»;
1* Module de la TF *'
IF Y(I)A=O THEN Y(I)=LOG(Y(I»;
1* Logarithme neperien du module *1
ELSE Y(I}=O;
1* valeur arbitraire *1
Y(N-Il=Y(I>;
X( 1) =0;
X(N-I)=ü;
END;
IF Y(O)A=O THEN Y(O)=LOG(ABS(Ylü));
ELSE Y(ÜI=O;
la Valeur arbitraire *1
IF Y(N2I A =O THEN Y(N21=LOG(ABS(Y(N2111;
ELSE Y(N2)=0;
1* Valeur arbitraire *1
CALL TF(-l,N,Y,Xl;
It Filtrage du CEPSTRE si 8 est different de 0 *1
IF B A=O THEN DO;
DO 1=0 Ta (8-11;
Y(I>=O;
END;
DO I=(N-B+11 Ta N-l;
Y(I>=O;
END;
END;
It Fin du filtrage tl
IF M A=l THEN DO;
DO 1=0 TO N-l;
Y ( 1 1=Y ( 11*M;
END;
END;
IF F=l THEN DO;
229
DO [=0 TO N-1;
PUT FILE(S)
EDIT(Y(I»)
(F(B,3));
END;
PUT FILE(:3) SKIF' EDIT("N=",N)
(A,F(4));
END;
IF G=1 THEN DO;
DO 1=0 TO N-1;
X(I)=I;
END;
CALL GRAPH(O,N-1,X,Y);
END;
ENO;/* BEGIN 2 */
ENO;/* BEGIN 1 *!
END;i* CEPFIL *i
23ù.
Annexe
A7.
Fonction
d'autocorrélation d'ùn
signal
à
structure
d'échos.
1)
Définition
Je
rappelle
la
définition
àu
signal
à
structure
d'échos
(an-
nexe
A6)
:
un
tel
signal,
Se(t),
a
la
forme
suivante
Se(t)
S(t)+a{.S(t-t~)+a2.S(t-t~)+
. . . +ai.S(t-ti)+ . . . +an.S(t-tn)
( Ji1
S(t)
est
un
signal,
généralement
d'énergie
finie,
fonction
de
t,
la variable
temps.
a-l.,
a:t.-, . . . an
sont
des
constantes,
ainsi
que
t...t.,
U, . . . tn,
qui
indiquent
la
translation
temporelle
des
échos
successifs
par
rap-
port
à S(t).
Ici,
on
s'intéresse
au
cas
où
les échos
successifs
sont
équidis-
tants.
Alors,
la
constante
t i
s ' é c r i t
i . t o ,
où
to
indique
la
trans~
lation d'un écho
par
rapport
au
précédent.
L'équation
(1)
devient
:f
S e ( t ) =S ( t ) + a 1 • S ( t - t 0 ) + a ~ . S ( t - 2 t 0) + • . . + ai. S ( t - i t 0 ) + . -. . + an. S ( t - n t 0) (21
L'indice i ,
entier naturel,
vari~ de
à
n,
qui
est
le nombre
d'échos.
Je
~uppose les signaux considérés ici d'énergie finie.
On
peut
mettre
l'équation
(2)
sous
une
forme
plus
conc~se
(\\
Se(t)
> ai.S(t-ito) en posant ao
(3)
~::Q
II)
Fonction
d'autocorrélation.
La
fonction
d'autocorrélation
de
Se(t)
(signal
d'énergie
finie)
est
:
"'000
C.sesJ") = JJc(t).Se(7A) cil:
(4)
-pO
(* indiquant le pro~~it de convolu-
C.5c5t:(t) =Sc- (l:) -*. -Se-l-I:)
t i on) •
231
11-1)
Lernr.1e.
a)
Considérons
deux
signaux Sa(t)
et
Sb(t)
construits
à
partir
de
Set)
de
la
façon
suivante
J
Sa(t)
AI.S(t-A2.to)
(5 )
Sb(t)
Bl.S(t-B2.to)
Al,
A2,
BI,
B2 et
to
étant
des
constantes
réelles,
on
a
+00
CSQSb (t)= r SQ(l). S6(Z-t)d7
j
-~
(1ntercorrêla~ion entre Sa(t) et Sb(t».
+00
CS~5b(t)
S
-" Ri.Bi
5 CC; - ~Ü0). SCL - i'Jzto -1:) dL
_oz:>
+-<>
CSO-S6(t):: A1.EHj S(Z} S(G~[t-(A~-'::'G)to])dZi
-ob
C5G.Sb(t):: A1M C~(t-(A2-r~~)to)
(wL(.
S:L(t) =- A-1.S(t - A~.to); S6(t):: ~L S(t - ô~ ob)
(b )
.Avec C.55(~
fonction
d'autocorrélation
de
Set).
C>
Figure
A7-a.
(Mo - Css(v))
232.
Au coefficient multiplicatif AI.BI
près,
on
retrouve
la
fonction
d'autocorrélation
de S(t),
C.s (t)
s
translatée
de
(A2-B2) .to,
ce
qui
correspond
au décalage
temporel
entre
Sa(t)
et
Sb(t).
Si
on avait
c~oisi Sa(t) et Sb(t)
sous
la
forme
suivante
Sa(t)
'"
Al.S(t-t~)
et
Sb(t)
'"
Bl.S(t-t:&),
on
aurait
évidemment
retrouvé,
au coefficient
multiplicatif
Al.BI
près,
la
fonction
d'autocorrélation
de Set),
Css(t)
translatée de
(t~-t~).
b)
La
fonction
d'intercorrêlation est
distributive
par
rapport
à
l'addition des
fonctions:
C (e) = C (t) t ( (t)
(1)
eX ~Ij) ')
x?J
.
ïi)
x(t),
y(t)
et
z(t)
étant
des
fonctions
du
temps:
-toO
- J ['Cqqt"CJ} ::J[-l)dl:
-~
=St:("C)o:,(Z_t)dZ::
J
+
~("C)O)(G-t)dl
- 0 0
C (t)_
On démontre
de
la même
façon
la 2-i.-me
(1<t'{jj
équation
du
système
(7).
11-2)
Fonction d'autocorrêlation
d'un
signal
à
structure
d'échos
(.
n échos)
11-2-1)
Formulation
générale
Après
aV01r rappelé
les
deux propriétés précédentes
(évidentes
pour
le
lecteur
familiarisé
avec
les
fonctions
d'intercorrélation),
la fonction
d'autocorrélation d'un signal
à
structure
d'échos
se
calcule aisément.
Soit
le
signal
à
structure
d'échos
déjà mentionné
(voir défini-
tion 1)
Se(t)=S(t)+a4.S(t-to)+ . . . +a~.S(t-2to)+.•. +ai.S(t-ito)+ ..• +
an.S(t-nto)
ou de
façon
plus
concise
SeCt)
' )
aLS(t-ito),
avec
ao
1.
L:=.o
233
Une
autre
écriture
de
Se(t),
qu~ serv~ra par la suite, est
li
Se(t)
= 2
s i ( t )
avecfSi(t)
=
ai.S(t-ito)
( 8)
~
lCLO :: -1.
1
So(t):: .s(~)
On
suppose
ici
que
tous
les
signaux
sont
d'énergie
finie.
La
fo
tion
d'autocorrélation
de
Se(t)
s ' é c r i t
-toV
CS, '"(t) =JSe ll} Se [L-t) dG
-
o!.)
D'après
le
sous-paragraphe
11-l-b),
on
a
(distributivité
de
l ' i l
tercorrélation
par
rapport
à
l'addition
des
fonctions)
C (t) - f- .~- CI)
St.- Sè
-
L--
L-.-
S
'--" \\ t
L~o
1'::~
~ Jd
Et,
comme
Si(t)=ai.S(t-ito)
et
Sj(t)=aj.S(t-jto)
(équations (8»
d'après
11-l-a),
on
a
:
d ' o ù :
n
C
_ \\ t
xSc(t)
[(L;. Qi C
L
5S (t ~ (i. -i )G)J
i..::o
d- ....
avec
Se(t)
ai.S(t-ito)
et
ao
1.
11-2-2)
Autre
façon
de
présenter
le même
résultat
On vient
de
vo~r donc que (équation (9»
Maintenant,
regroupons
les
couples
( i , j )
suivant
la
valeur
de
l'écart
i-j
:
la
valeur
absolue de
( i - j )
varie
de
0
à
n.
Pour
chaque
écart
( i - j )
fixé,
faisons
varier
i
Pour
i
=
j ,
on
aura
dans
la
formule
de
la
fonction
d'autocor-
ré lat ion
deS e ( t )
des
ter mes
d e I a
for ID e
d:.i.. C55 ( t)
Pour
i-j
k,
on
aura
des
termes
de
la
forme
Cl.;'.~-kfCsS(t-k~~
Finalement
donc,
on
peut mettre
la
fonction
d'autocorrélation
du signal
sous
la
forme~
234.
CS, s,ll) ,,( [ . G'-'-) C55(c) + ( [
tv
(LL. (lé "--i) (Ss (t j-
)
+
(t QlQi--i)Cs,(t-lo) -j-. -tO-~QLQl+f)CsJTfto) -+-
(L Qé Qé-f\\ C50(e-[to)t.'.-t ÛD.«ArC(tenlo)+Cl-nro)]
55
....... :p
j
.-
On voit
donc
~ue la fonction d'autocorrélation du signal à struc-
ture
d'échos Se(t),
formé
à
partir
de
S(t),
est
une
fonction
à
"structure d'échos",
chaque
"écho" n'étant
autre
chose que
la
fonction d'autocorrélation
de
S(t).
Chacun
de
ces
"échos" est
translaté
par
rapport
à
son
précédent
de
la même
quantité
que
l ' e s t
un écho
de
SeCt)
par
rapport
à
son
précédent,
c'est-à-dire
I.CI.
de
to.
Les
amplitudes
des
"échos"
placés
en
p.to
et-p.to
sont égales
(parité
de(
(l:-)).
:>o:.Sc
(Je mets
entre crochets
les
échos
relatifs
à
la
fonction
d'auto-
corrélation de
SeCt)) .
En effet,
on a
:
n·- p
~ 0... LCLl +p
i -
..L ":0
d ' o ù :
CS<Se(~ " (H et':.. +...... o'm.) CssltJ+(Èai-·o.1.+1.C,/hto) -r [ss (1:: -t,~
t ... + (t:a.l'';+~[C.55(t+fl::') -+- (ss (e -fto~ -+- ••. +
0-0.
C
Q"," [
.'6 U: +-n.lo) + C55 (t -"J,,)]
Soit Mo
le maximum de
la
fonction
d'autocorrélation de Set)
n-E
on a
en
posant
C!J5(O) =- Mv
>, o...i.cù,+p = Lp' il vient :
.A. =::;
235
[Cc
n
.
cIl:) -
C
r
1
-Je -Jt- \\
\\_0 Ces (t) +
Lr{ C"" (t +plo) + CSo (t -pio)j
!
.
(LO
= ~
)
)
Ho >0
(valeur de
la
fonction
d'autocorrélation de
Set)
à
l'ori-
gine)
~
L
~
~
Lo>O:(Lo =
1'+
a-i + a~
+ . . .
+ a~
+ . . .
+ an).
Pour
p différent
de
0,
Lp
peut
être positif ou négatif.
<:. (lb
~Q ~9-
\\. A t--'\\O
--'t::;I----'tr--u------r..-TT-~-f-_::_+__\\__,_-r-JA-'--. ~Jt ~0 '">
À-Q
ott.)
k
Figure A7-b.
La figure
ci-dessus
correspond au
cas
où
(6t est la largeur de chaque écho).
Exemple
:
Soit
Set)
l'écho de
bord d'un défaut plan obtenu en utilisant
un
traducteur plan
large bande
(figure
A7-1).
Il
s'~git à'un
écho de bord proche.
Les signaux sont
échantillonnés
sur 512 échantillons.
La période d'échantillonnage,
Te,
est égale à
0.02 microseconde
(on a
donc
une fréquence
d'échantillonnage
de
50 MHz).
J ' a i
fa-
briqué,
à partir de S(t),
un
signal
à
structure d'échos,
Se(t),
de
la forme
suivante
:
SeCt)
=
Set)
-
0.e.S(t-8STe)
+ 0.64.S(t-170Te).
to = 8sTe;
a-i = -0.8 ;
ay, = 0.64.
SeCt)
= Set) - 0.8.S(t-to) + 0.64.S(t-2to) (voir la figure A7-3)
236.
D'après
l'équation
suivante
(précédemment
établie)
.., -p
\\ -
.
-
avec
L~ -= /
CCl.. • (LL -+- F
1
L.
_ _
i.. -:; .:J
On a
ici
n=2
ao=l
(par définition)
a1.= -0.8
a~= 0.64
Le
calcul
de
la
fonction
d'autocorrélation
de
S(t),
écho
de
bord
proche
à partir duquel
a
été
simulé
le
signal
Se(t)
à structure
d'échos,
donne
110
=
125.7
(valeur
à
l'ori1jine
de
la
fonction
d'autocorrélation
de
S(t»)
fig.
A7-2.
Vérification des
formules
Calcul
des
coefficients
Lp
Z
l
Lo
+ ai
+ a:l.
=
+ O. 64
+ 0.4 l
=
2.05
LI
ao.a~ +
a-:i.a~
a:1
+ a<i. a2.
= - l • 3 l
L2
ao.a~
0.64
Si
les différents motifs
de
C~e..sc. (t)
sont
bien
séparés
(pas
de
phénomène
de
superposition
(cas
présent
où
to
est
supérieur
à lôt
largeùr
de
chaque
écho»,
on
a
:C~~H=L.:).rl.:,)C5CSC(b)=L1..tb el-
C.:c~(~Jé) == L:2J. Ho
S i o n
a pp 1 i que ici
ces é qua t ion s , o n
t r 0uv e par cal cul C~0) =- 151-1b
(c'est
bien
la
valeur
trouvée par
le
calcul
direct
de
la
fonction
d'autocorrélation de Se(t».
De même,
pour
CxSclto)
on trou-
ve -165 =- C:>cscl-to)
. Enfin, on a C~se llb) =- 'l~.4lr == C l?5e.(-c{lô)·
S
On
retouve
les valeurs
données
par
le
calcul
direct
de
la
fonction
d'autocorrélation
de
Se(t)
(voir
figure
A7-4).
On
rappelle
que
ces
égalités
sont
valables
dans
le
cas
où
i l
n'y
a
pas
de
phéno-
mène
de
superposition
("condition de
Shannon").
La fonction
d'autocorrélation
C~Stlt)
est
translatée
de
2~S:e
sur
la
figure
A7-6.
Le
résultat
intéressant,
c'est que
la
fonction
d'autocorrélation
du signal
à
structure d'échos
équidistants
de
to
est elle aussi
~ormée d'échos équidistants de to.
On peut
accéder
ainsi
à to,
avec
une
assez
bonne
précision,
en
considérant
les positions
des
maxima
(en
valeur
absolue)
de
la
fonction
d'autocorrélation.
Cela peut
être
intéressant
dans
le cas
où
la forme
de
Se(t)
(le signal
à
structure
d'échos)
ne
permet
pas
de trouver par mesure
directe
l'écart
temporel
entre
deux
échos avec
une
assez
bonne
précision.
237
11-2-3)
Condition
pour éviter
le
phénomène
de
superposition
dan:
la
fonction d'autocorrélation du
signal
à
structure d'échos.
Soit
un
signal
à
structure
d'échos,
Se(t).
Supposons
que
chaque
écho est
de
largeur é.t .
Supposons
que
chaque
écho
est
transla-
té
par
rapport
au précédent de
to.
On
peut
voir sur une
figure
la condition
à
remplir pour éviter
le phénomène
de "chevaucherner
entre
les
"échos" de
la
fonction d'autocorrélation
de
Se(t).
Exemple
Soit
le signal précédent
Se(t)
= S(t)
-
O.8.S(t-to)
+
O.64.S.(t-
avec
to
85Te.
On a
deux
échos
(n=2) .
Figure A7-c.'
Procédure
de calcul
de
la
fonction
d'autocorrélation
C50 Se l'Ch j Sel
T
!:)· 5" (t - ~ dt
-nO
Etapes
du calcul
1)
on
fixe
Se(t).
2)
On prend une
fonction
Sm(t)
= Se(t-z, ).
3)
On fait
varier
l
, et pour chaque G, on calcule l'aire algé-
brique
sous
la
fonction
produit Fp(t)=Se(t).Sm(t)=Se(t).Se(t-t)
(la figure
A~d qui fait la comparaison entre corrélation et con-
volution,
résume
la procédure à
suivre
dans
le
cas
général de
la
fonction d'intercorrélation entre
deux
fonctions
x(~) et h(L).
Sur cette
figure,
la variable pour
la
fonction
d'intercorrélatio
est
t
et
la variable pour
les
fonctions
à
intercorreler est ~ ;
Dans mon cas,
c'est
le
contraire,
ce qui
n'influe évidemment pas
sur
le
résultat.
Ce n'est qu'une différence de notation.
En suivant
donc ici
cette procédure
dans
le
cas de
la fonction
d'autocorrélation,
on peut
trouver par
simple examen graphique,
la condition de
séparation entre
les
différents
"échos"
de C (1.
.sc.5e\\
238.
Convolution et
corrélation.
t'(T)
L
..
1
T
(al
K
h(-T)
FOLDING
~~=---+---_---:
T
(hl
hlnl
h(t+TI
e-a1t-T)
<==
===>
DISPLACEMENT
T
T
(c)
"(T)h(nl
.(T)h(t+TI
~MULTlPL1CATlON=>
T
T
(dl
y(t)
z(t)
SHADED
SHADED
AREA
~
<===
AREA
INTEGRATION -----v""
(e)
CORRELATION
CONVOLUTION
Figure A7-d:
Comparaison graphique entre
convolution et corrélation.
(R~f.:cours de D.E.A. d'acoustique: 1981-1982;Paris VI).
235
Soit
donc
le
signal à
structure
d'échos
SeCt).
On suppose
que
chaque
écho a
une
largeur 6t
et que
l'écart
temporel
entre
deux
échos
successifs
est
ta
,.,.,
Figure A7-e.
Sur
la figure ci-dessus,
SeCt)
est
en trait plein.
En
pointillé
Se(t-l:).
L indique la translation de Se(t).
t4
indique
le début
de
SeCt).
Quand ~ = 0,
les
deux courbes
se
superposent exactement
et on
a l e ma x i 111 Um de
C~Sc.(~)
C.sc:. Sc (0)
Ayons
à
l'esprit
la définition de
CSe Sc l-r)
:
la figure
ci-dessus montre
que
la
condition de
séparation entre
les
"écho
de
est que
ta,
écart
temporel
entre
deux échos
suc-
cess ifs
de Se(t),
soit égal
ou supérieur au
double
de
la
largeu
hl: de chaque écho.
1 Condition de séparation: to ,> 2. At 1
( l I )
Dans
l'exemple précédent,
où Se(t)=S(t)-0.8.S(t-to)+O.64.S(t-2t,
on a
to=85Te
(Te = 0.02 micros)
et ~t =41Te
(voir fig.
A7-1).
La condition de séparation
(to~ 2.8t) est respectée et on obtie
1 a
cou r b e
d e i a
fig ure A7- 4 •
Les
" é cha s"
de
CSc. cr)
Sc.
son t
bien de
la
forme
Dp. Css l0'- pl:o)
avec
p variant
de 0
à n
(ici,
n=2)
(voir page
235,la définition de
Lp)
S i l a
con dit ion
des ê par a t ion
(t 0 ~ 2 • Ôl) est r e 111pli e, 0 n v é r i fi,
don c
que pou r
t 0 ut
en t i e r r co mp ris en t r e 0 e t n ( 0 e t n co mp rI.
on a
240.
Si
on ne
cherche
qu'à
trouver
to
(écart
temporel)
entre
échos
successifs),
la condition de
séparation
( t 0 . à
.2. ~t
)
n'est
pas nécessaire.
L'exemple
de
la figure
A7-7 est
relatif au cas
où
to = ~c
Dans
cet exemple,
Se(t),
le
signal à
structure d'échos,
a
la
forme
suivante
:
S e ( t )
= S ct)
- o. 3 • S ( t - b.r. ) + O. 6 4 • S ( t - 2 l\\t )
to = ôt
= 41Te (Te, la période d'échantillonnage est toujours
~gale à 0.02 microseconde)
Un autre exemple
:
j e considère
toujours
le
signal
Se(t).
Mais
ici,
je prends:
to = 20Te
(20:
plus grand entier <
nt ).
~
Se(t)
= S(t)
-
O.G.S(t-to)
+ 0.64.S{t-2to)
S(t)
est
toujours
l'écho
de
bord proc~e d'un défaut plan rectan-
gulaire.
~t = 41Te et to = 20Te ; Te = O.Ol 3icroseconde
La figure
A7-12 montre qu'on peut encore
accéder
à
to
(les
maxima
(en valeur absolue)
des
"échos"
de
la fonction
d'autocor-
r~lation de Se(t) sont bien placé.s .successivement en 0
(origine)
to
= 20Te
,
2to = 40Te)
(voir aussi
fig.
A7-15).
Par contre,
si
on prenà
ta ~ L1\\:; / ~O
(to=4Te),
la mesure
de
to,
par autocorrélation,
devient ici
impossible.
(Fig.
A7-16
et A7-19).
Les maxima ne
sont plus
placés
en
to
et
2to
(multiples
en t i ers
de
t 0) •
Remarque
:
On
utilise
la FFT
dans
le
calcul
de
la fonction
d'intercorrélation
donc
auss~ d'autocorr~lation. Le nombre d'échantillons, N, doit
donc être une puissance
de
2.
N,
le nombre d'échantillons est
différent
de n,
le nombre d'échos
du signal
à
structure
d'échos.
(FFT
= Fast Fourier Transform,
Transformée
de Fourier Rapide).
Dans
les exemples
traités
dans
cette
annexe,
le
nombre
d'échan-
tillons,
N,
est
égal
à 512.
IlS)
4 .
241.
l '
1
4
5 1
5 1
, 1
-733
-4
mmiiELI1IOH lE L'ECHO lE 1011 PIOCHE IUMSUlH lE l5i ECHiHlILLOHS
ECHO lU 8911 PiOm l'UH IHAUT PLiH
IUlUClEUi PLU Lm! 8iHIE
Figure A7-1
Figure A7-2
écho debord proche d'un défaut
plan
:
traducteur plan
large
autocorrélation de
l'échede
bande
bord proche(translatée
de
25
échantillons)
157.61·
8044
5 1
li
'V
v
'V
-384
-165
-4
i~mOiiHlllU lU mm 1 smClUiE l'Hm
SlCU[ 1 mUCTUif l'ECHOS mULE
85 fCHlHlILLOHS Ulif Z ECH8S SUCCESSIfS
Figure A7-4
Figure A7-3:
signal
à structure
d'écho
siuulé
85 échantillons
autocorr~lation du signal a
entre deux échos successifs
structure
d'échos de
la figt
A7-3
m.
3172
".44
~ 1.
2V
-38.4
-16
-4
amCIIIEUlII. l.mUTEE 1( m E""TlLllIS Il mUl
mUL a mUCTUiE l'EClOS mULE: 15 ECNIITILLOIS ml( 1 m.s Slmsms
Figure A7-5
signal
à struc-
ture d'écho
85 écho
entre
2
Figure A7-6 :
autocorrélation
échos
successifs
du
signal
de
la
figure
A7-5
(autocorrélation
translatée à
256 échantillons)
m
Il,44
Sil'
2 6
1
-1,,1
-~~
-16l
AUIOCOIlHIIIGH JU mlll:
(
limUI J'ECHO' EClIT EHTU ECHOS
SlIUClUU J'ECHOS, m limE OU lmm "ECHO' ECUl EHlIE Ems '4!TE
Figure A7-7
signal
à
struc-
ture
d'échos
Figure A7-8:
autocorrélation du
cas
où
la
largeur
d'écho
= écart
signal
de
la figure
A7-7
entre échos
sucees
sifs =4ITe
(largeur d'écho
= écart entre
échos
4ITe)
m~,
44
""i
1
81.4~
l i
SI
-16'
IUTeC911HIIIIH lU mm " mucrm J'ECHOS
nmllTEE Jf m lE
SlCm 1 STlUClUIE J'ECHOS, limUI J'ECHO' EClIT EHIIE ECHOS ' ~I If
Figure A7-9:
sigudL à
structure
Figure A7-IO:
autocorrélation
d'échos
largeur d'éeho = écart
translatée
dé
256
échantillons
entre
~chos successifs = 4ITe.
du
signal
de
la figure
A7-9
251.1
51
77.l3
2 6
-4
mm 1 'SlI1CTIIE J'mes', umui l'Em ' 2 FIlS fCUl EHTU ECHes
-16
Aunc8llHllleH JU mm 1 STlUCIUU J'ECHOS
112 fCKlKTIllOKS
\\
Figure A7-II
signal à
structure
Figure A7-I2
autocorrélation
d'échos
largeur d'écho = 2 fois
du signal
Je
la figure
A7-I2
écart entre échos successifs
24::
!
~1: ~11
111 '
'1
•
l '
li
.lli 1 Il
il ;11'111
Il il i' 1 •
5.1
mm A 'SmtluRE nCHOS: LARGEUR J'mo • Z fOlS mR: ENTRE mos
Figure A7-13
signal à
structure
d'échos:
largeur
d'écho
2 fois
écart entre échos
suc-
cessifs
7753
5 !
-165
AUTDCORREUTlON TRANSLATEE lE m ECHANTIlLONS lU SIGNAL tl-DESSUS
Figure
A7-14:
autocorrélation
translatée
de
256 échantillons du signal
de
la figure
A7-13
.
25\\.8' \\
AUTOCORRElATIOH lU SIGNAl ASTRUCTURE "ECHOS: LES 128 PREftIEIS POIHTS
Figure A7-i5:
Autocorrélation de
la
figure A7-14 représentée pour les
128
premiers échantillons
(pas
de
translation)
244.
1 6
AUTocomWION lU mm l'ECNOS . L1i'EUi l'ECNO '!!Fors Ecm ENliE mos
Figure A7-lo:
Signal
à
struc-
Figure A7-17
autocorrélation
ture d'échos:
largeur d'échos=
du signal de
la figure
A7-16
10 fois
écart entre écnos.
(largeur d'écho
la fois écart
entre échos)
I!!
i
\\1
-154
-1541
V
AUTOnUEltTlU lU mm l'ECNOS , ltlml l'mo 'mOIS EtAIT ml( mos
AUTOCOmW!DN CI-JESSUU4 1imm mm COMTENANT L' IMFOi!iTIUH HILE
1
Figure A7-18
autocorrélation
Figure A7-19
autocorrélation
représentée pour
les 512 échan-
représentée pour les
64 premier
tillons
échantillons
contenant
l'infor-
mation utile~
245.
Annexe AB.
Les fonctions
d'intercorrélation.
1)
Rappels:
l-l)
Produit de
convolution
Soit
deux fonctions
x(t)
et y(t)
à
valeJrs
réelles;
le PRO-
DUIT DE
CONVOLUTION entre x(t)
et y(t),
noté x(t)*y(t)
e s t :
(1)
- 0 0
------------~---_._--
- - - - - - - - <
1-2)
Fonction d'intercorrêlation
( 2)
1
--
est
la fonction
conjuguée de y(t)).
Si les deux fonctions
sont
à
valeurs
réelles,
on a
le (c) ~
(3)
x'1
T ~oo
.{,T J
=
-ci
+:cr) y(l' -t) d(;
d
1
I
-_T
_
b)
Pour deux signaux x(t)
et y(t)
dont
l'énergie d'interaction
est
finie,
LA FONCTION D'INTEP.CORRCLATION e s t :
+00
(4)
C'1ll)=J x(r) ';} (6-b) dt:
-<>0
si x(t)
et y(t)
so~t à valeurs réelles
(cas
réel),
on a
c'~l~=J+:cc) ~
(5)
1
(0 -l) dt;
l1
- 0 0
1
1
246.
Par la
suite,
on considère uniquement des fonctions
à
valeurs
réelles dont l'énergie d'interaction est finie
(cas réel).
On a ainsi
Pour
le PRODUIT DE CONVOLUTION
)I.(~) * ~(l) =j+;(G) ~(t-&) db
- 0 0
Et pour la FONCTION D'INTERCORRELATIOJ
2)
Quelques propriétés
des
fonctions
d'intercorrélation
2-1)
On peut définir
la FONCTION D'INTERCORRELATION entre x(t)
et y(t)
à
l'aide de
leur PRODUIT DE
CONVOLUTION:
(6)
2-2)
La fonction
d'autocorrélation est paire
(7)
Démonstration
:
C
J+..o
x)(lt) =-
X(G) , x('l-t) dL
-01)
Cxx~~) ~ J~~(Z) X (G+I:)dG
-.-0
Z ~ "['- t ~ C.x (-~ f~G'-t).
oc
(0"')
)C
d(;' -
Cx~ (t)
-00
2-3)
De façon plus gên~rale
( 3)
247.
Démonstration
:
c)(~ (t) = )( (t) "* ~(-~)
c~}((-~ = C~X(t')
('
C
(\\\\x(-o = ~ll') * )C [-t1 = x(t) * ~l-l) = Cx'}(t)
2-4)
En posant
:
-t(r) = }CU:J*"\\(t) j x'(t):: d)C(~
• tl'(I:) =-
dy:(~}. {'(t)= dh.(t)
d
d l : )
J
d / : ; )
dt
One
Q
:
Ir---ft.-'(I:-)-=-XJ-(t)-'*-~-(
I:)-=.-X-(t)-*-j-'(-,~1
(B)
l i -
C
ou.,
:
Pour dériver
le produit de
convolution de
deux
fonctions,
i l
suffit de d~river l'une de ces deux fonctions.
Démonstration
:
-{'(t) = d..{ll:) = -}J 't~(c:}. ~(t- L)dr
dt
-00
J+;(l")(ft ~
x(~)
=0
(1:: - Z)) dl: =0
;' ~'(~)
- 0 / )
{ll:) := )( (1:) * ~(t) = ~ (c) -* X(t)
:=} --{Il~) =- ~(t) -'A ~(I::) = xl(t) * ~(t)
248.
Démonstration
:
~) ll):; cl 'à(~) = ~(I:)
_ ~(t)
dl::
C)(~'(c) = }((l:) *~l-~) -=- >«1:) * ~J(_t)
ED
Cx'~ (t) = x'(t) ~ ~(-t)
(9) =} )('(~) "* ~l- t) = x(t) *
_ - x(t) * ~'(- t)
®
d ~(-t)
(
de
2-6) 1 Cx,:!' (~) = - C~ x+ c)
(--H)
Démonstrat~on
:
D'apres
les équations
(S)
et
(l0),
on a
:
D'après
(l0)
:_c)(~/(t) = - CX'l1 (l:) è=9
D'après
( 8)
. i x'~ (t) ::; C~ X'(-I:) J
2-7)
Cas particulier
x(t)
=
y(t)
Cd-cl
On obtient:
= - Cxx'(~)
1
D'où
le
résultat
suivant:
La fonction
d'intercorrélation entre un
signal et sa dérivée
est une
fonction
impaire.
2-8)
La fonction
d'intercorrélation entre
la primitive
d'un
signal x(t)
et sa
dérivée
x' (t)
est
une
fonction
paire de ma-
ximum négatii.
Démonstration
:
(Je ne
tiens pas
compte
des
constantes
d'intégrations).
Posons
:
X ptt)
primitive
de
X(t) et XJlc) dérivée de X(t)
)\\p(~) = jtxlLI dG
je
suppose que
0
LXlv) =.Xp\\o)=v
249.
2-9)
Da primitive
du produit
de convolution de deux
fonctions
est
le produit
de convolution de
la primitive de
l'une quel-
conque de
ces
fonctions
par
l'autre
fonction:
La démonstration découle du théorème
(9)
: pour dériver le produ:
.,
de convolution de
deux fonctions,
i l
suffit de dériver
l'une de
fonctions.
2-10)
Aux constantes
d'intégration prè~
Soit
Xp(t)
la primitive de x(t)
et Yp(t)
celle de y(t),
on a
CXP't(t) = - ex plt) pOLr: C. (1:)
= - [
t (t)
(I 5)
~
Démonst rat ion
Ü'(Qd1't
'U ~(/;)d~
expi lt) ~ Xp(t) -,\\ ~01:) = [j"x([)J6} *~H) =~:(C)Jc} *[- YH~)
p
- )I.(~)~ [-Yp(-r)] (v'après (9))
'- -X[l) * Yi' (-1:) = - c.yJtl
LXp~(c) = - (~)'plt) C~FD
.2:50.
ADDENDA
Soit h(t) le produit de convolution entre deux fonctions x(t) et y(t) ; on a
vu (paragraphe 2-4, page 247) que dériver h(t) revient à dériver soit x(t),
soit y(t) (et à faire le produit de convolution de cette dérivée avec l'autre
fonctiont
De même, aux constantes additives près : la primitive du produit de convolution
de deux fonctions est le produit de convolution entre la primitive de l lune de
ces deux fonctions et l lautre fonction (équation 14).
Voyons maintenant ce qu'il en est des fonctions d'intercorrélation.
2-11 Dérivation des fonctions d'intercorrélation
Soit g(t) la fonction d'intercorrélation entre deux fonctions x(t) et y(t)
~(I:) = Cx'!(r)
On a :
~CJ(~M :: Cx~(I:)
C)(~'(~) =- - 4-Cx~ (~)
Autrement dit :
La dérivée de la fonction d'intercorrélation entre deux fonc-
tions x(t) et y(t) est égale à la fonction d'intercorrélation entre la déri-
vée de la première fonction (soït xl(t)) et la deuxième fonction y(t);(16).
et,
La fonction d'intercorrélation entre la première fonction x(t)
et la dérivée de la deuxieme fonction (y'(t)) est l'opposée de la dérivée de
.
la fonction d'intercorrélation entre x(t) et y(t) (équation 17).
Démonstrations :
a) de l'équation (16)
(C<~ltJ)~ (x(c) '" ~l-l:))1 =x'(\\:) ". '1)l-8
b) de l'équation (17) :
Cx~' (I:):: x lt) .* ~' (-c) - )((t) * (-~(-t)Y
= - (Cx~ lt)),
- d C)(4= lI:)
dt
251.
2-12) Intégration des fonctions d'intercorrélation
Appelons toujours g(t) la fonction
d'intercorrélation entre x(t) et y(t)
g(t) = Cx~lt) :; x(t:) * ~l-~)
On a :
+ B
A et B étant des constantes.
Démonstrations
[J\\(l)d(;
_:1
l~
_
~ XL!:) * ~ (-~) = C)C~ (t)
ck.u- : 5:c.~ (ù) ~
d
:= C~~~~~z;h + cLYn»f-"",re. i (A :: L<mn,,"n~)
d) de l'équation (19) :
lt~(7:)d6 ~ r[f((;Î~lZ;'-o)doJd/;:= 1~0J [l~(7:'-z)de;]d/;'
Posons v = z'- Z :
t
~'_C
d"
l
=- - d~ i
~ (o'-l)dl ~{, ~(v) dv =- yplo') - Yp(&"'-1:)
(J'appelle Yp(t) la (ou une) primitive de y(t)).
J
l:
+.0
+00
D'où
Je. (l)d~ :; - x(Z'') Yp(6'-I:Jdz'+Jxll ') Yr(Z'JdG"'-: -CxM +Cornblfunt! .
~
yr
('
"
-00
-00
+ B )
+00
En effet
Jx(l;' Yp(Z;')d"0' est une constante car cette intégra-
-0()
le ne dépend pas de la variable t.
Ainsi, aux constantes additives près
La primitive de la fonction d';ntercorrélation entre deux fonctions x(t) et y(t)
est égale à la fonction d1intercorrélation entre la primitive de la première fonc-
tion x(t) et la deuxième fonction.
252.
La fonction dlintercorrélation entre la première fonction x(t) et la
primitive de la deuxième fonction est l'opposée de la primitive de la fonc-
tion d'intercorrélation entre x(t) et y(t).
Remarques :
1) On appelle fonction opposée à la fonction f(t) une fonction g(t), telle
que pour tout t/g(t) = -f(t).
2) Pour établir l légalité (18), j'ai démontré que la dérivée du membre de
droite de l 'équation"est égale à Cxy(t), qulil (le membre de droite) est
donc une primitive de Cxy(t). Mais on peut aussi faire la démonstration
en calculant directement la primitive de Cxy(t) :
1c<~ ~lt[f~~
(o)dZ'
:l'(l'- Z) dl'] di:"
Changement de variable:
"7 '
7
1
1
v - v = v => dz -=. d" i. Z = v + (;
5.C·rdt fU~+lv*Z)~lV)dVJd0 li~)[1: (v*~lt~
:
=
dv
Calcul de
0
j 1:)( (v + l")dZ
P~sons Vi = V + c;
de =:. dv'
f~(v +(;)dZ; =Jv~I:(VI)d,,1 X/-) X .\\
o
..,
,..
=
p ~ " +t - . f ('1J
y
Je note Xp(t) une primitive de x(t)
Donc :
+ _
,fC.~(l)dZ ~ t;lv)[XPlV+t)- Xp(v)ldv
~
M
EXr(v+t} ~ (v )dv - ji<r H ~ (v) d v
-jXp{'1}~{Y)dv est une constante: en-~fet, cette intégrale ne dé-
-~
pend pas de t (c'est la constante A de lléquation
(18) . ) .
+00
S
Calcul de
Xf(v-+t) I}(v) dv:
-tIO
On pose v+t = t l , donc dv = dt'
J5r("1"~)~(v)J" =J;~(~)~ lI:'-t)dl:'=
-cO
Ainsi, on a bien
=
~
Avec Xp(t) = 5:t.(Z) dz
1:)
3) On peut établir les équations (14) et (15) (Ipage 249) en procédant comme
ici, id est en faisant la double intégration (plutôt que d'utiliser par
exemple la définition de l 'intercorrélation en fonction de la convolu-
tion) .
De même, on peut faire la démonstration de l'équation (13) en utilisant
la technique de l'intégration par parties.
Enfin, toutes les équations où il est question de primitive (comme la (13)
font intervenir des constantes additives, implicitement (13, 14, 15), ou
explicitement (18 et 19).