N- d"ordre : ECl 88-04
Année
1988
THESE
présentée dev6nt
L'ECOLE CENTRALE DE LYON
pour obtemr
le tltre de DOCTEUR
SpéC1611té' Mécanique
p6r M. TCHERE SEKA
Ingénieur des Tr6v6ux Pub11CS
METHODES DE CORRECTION
DES CARACTERISTIgUES RESIDUELLE.S DE
"~j''''''r
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FRONTIERE EN SYNFH'E'SE'-' '.'
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.,.
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OUA.'l~
~U\\
Arrivée ..1-2.JUIN.~
.
\\ Enregistrl sou~~~_~_O_~_~-~":
Soutenue le 29 Avrll
1988 dev6nt 16 commlssion d'examen
Jury
MM.
J. SABOT
(P~ès j dent)
J. BRANDON
R.J. GIBERT
(R6pporteur)
R. HENRY
L. JEZEQUEL
(R6pporteur)
F. SIDOROFF
S. TaURE

---

ECOLE CENTRALE DE LYON
DIRECTEUR
A. MOIROUX
DIRECTEUR ADJOINT
R. RICHE
USTE DES PERSONNES HABILITEES A ENCADRER DES THESES A L'E.C.L.
(Doctorat d'Etat ou Habilitation au sens de l'Arrêté du 5 juillet 1984)
Mathématiques-Informatique-Systèmes
B. DAVID
Professeur le Classe
C.M. BRAUNER
Professeur le Classe - Univ.- Bordeaux
J.F. MAITRE
Professeur 1ère Classe
F.CONRAD
Maître Assistant ENSM-St-Etienne
G. THOMAS
Maître de Conférences
F. MUSY
Maître de Conférences
Cl. SCHMIDT-LAINE
Chargée de Recherche au CNRS
Physicochimie des Matériaux
P.CLECHET
Professeur 1ère Classe
P. PICHAT
Directeur de Recherche au CNRS
J .M. HERRMANN
Chargé de Recherche au CNRS
N. J AFFREZIC
Chargée de Recherche au CNRS
G. ESCHALIER
Maître de Conférences
J. JOSEPH
Professeur le Classe
A. GAGNAIRE
Maître de Conférences
Cl. MARTELET
Maître de Conférences
J.R. MARTIN
Maître de Conférences
R.OLmR
Maître de Conférences
A. TAll..LAND
Maître de Conférences
R. PInLIPPE,
,Maître A~sistantIUT-St-Etienne
Métallurgie et Physique des Matériaux
P. GUIRALDENQ
Professeur 1ère Classe
D.TREHEUX
Professeur le Classe
B. COQUILLET
Maître de Conférences
D. JUVE (Mme)
Ingénieur d'Etude - le C.
NGUYEN Du
Assistant Titulaire
Electronique
P. VIKTOROVITCH
Directeur de Recherche au CNRS
R. BLANCHET
Professeur le Classe
S. KRAWCZYK
Chargé de Recherche au CNRS
P.LEYRAL
Maître Assistant
O.BONNAUD
Professeur - INSA - Rennes
J. BOREL
Direct. Technique Sté E.F .C.I.S.
J.P. CHANTE
Professeur - INSA - Lyon

---

ElectrotecbΟque
Ph. AURIOL
Professeur le Classe
A. F·OGGIA
Professeur 1ère Classe - I.N.P .G.
A. NICOLAS
Maître de Conférences
G.ROJAT
Maître de Conférences
Mécanique des Solides
B. CAMBOU
Professeur le Classe
F. SIDOROFF
Professeur 1ère Classe
L. JEZEQUEL
Maître de Conférences
Cl. SURRY
Professeur - E.N .I.S.E.
Le VINCENT
Maître de Conférences
Technologie des Surfaces
J.M. GEORGES
Professeur 1ère Classe
J. DIMNET
Professeur Lyon l
J. SABOT
Professeur le Classe
Ph. KAPSA
Chargé de Recherche au CNRS
T. MATIDA
Directeur de Recherche au CNRS
J.M. MARTIN
Maître de Conférences
H. MONTES
Maître de Conférences
Mécanique des Fluides
J. MATHIEU
Professeur Classe Exceptionnelle
J. BATAILLE
Professeur Lyon l
B. GAY
Professeur Lyon l
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Professeur Lyon l
D. JEANDEL
Professeur le Classe
J.P. SCHON
Professeur IUT-St- Etienne
E.ALCARAZ
Professeur Ze Classe
F.LEBOEUF
Maître de Conférences
R. MOREL
Maître Assistant INSA
Cl. CAMBON
A ttaché de Recherche au CNRS
G.CHARNAY
Maître de Recherche au CNRS
"
"
"
J.P. BERTOGLIO
Char"gé" deRe~her~he au CNRS
P. FERRAND
Chargé de ~echerche au CNRS
Acoustique
(Mllel
G. COMTE-BELLOT
Professeur Classe Exceptionnelle
M. SUNYACH
Professeur IUT-Lyon
D. JUVE
Maître de Conférences - LYON l
Machines Thermiques
M. BRUN
Professeur le Classe
Ph. ARQUES
Professeur ce Classe
A. HAUPAIS
Maître de Conférences (en disponibilité)

---

v
mon profeseur de Français
des classes de Mathématiques supérieures et Mathématiques spéciales à Paris,
~Yi:#dya~
eé
~ ~ d~d dc/tah
mes associés et amis Je l'UNISCEL
( Unité Ivoirienne pour la Science, la Culture et l'Economie à Lyon)

---

VI
REMERCIEMENTS
Ce travail a été réalisé au Laboratoire de Mécanique des Solides de l'Ecole Centrale de
Lyon dirigé par Monsieur le Professeur Bernard CAMBOU. Je tiens à le remercier pour tout
l'accueil dont j'ai bénéficié pendant la préparation de ma thèse.
Qu'il me soit permis d'adresser mes sincères remerciements à Monsieur le Professeur
François SIDOROFF qui a assuré la direction scientifique de mon travail.
Toute ma profonde gratitude va à l'endroit de Monsieur Louis JEZEQUEL, Maître de con-
férences à l'Ecole centrale de Lyon. Il a suscité en moi le goat pour la Mécanique des Vibrations et la
recherche et ne m'a jamais ménagé son soutien total tout le long de mon séjour au Laboratoire de
Mécanique des Solides. Ses conseils et ses encouragements m'ont été fort précieux et parfois déter-
minants depuis l'Ecole Nationale des Travaux Publics de l'Etat de Lyon où/étais son étudiant.
Je remercie vivement Monsieur R. J. GIBERT Directeur du Département des Etudes Méca-
niques et Thermiques au Centre d'Etudes Nucléaires (CEN) à Saclay d'avoir accepté d'être rappor-
teur de ce travail.
Mes remerciement vont également au Docteur BRANDON Professeur à University of
Wales Institute of Science and Technology (UWIST), à Monsieur le Professeur Rémi HENRY du
Département de Mécanique des Structures de l'INSA de Lyon qui ont accepté de juger ce travail, ain-
si qu'à Monsieur le Professeur Jean SABOT du Laboratoire de Mécanique des Surfaces de l'Ecole
Centrale de Lyon qui a bien voulu présider le jury.
Je tiens aussi à exprimer mes profonds remerciements à Monsieur le Professeur Saliou
TOURE, Directeur de l'Institut de recherche mathématique à l'Université Nationale de la Côte
d1voire qui m'a honoré en acceptant d'être membe de mon jury.
Je suis reconnaissant envers Monsieur Noël CHATELUS et Monsieur Jean-Pierre LAINE
de l'Equipe Dynamique des structures du Laboratoire de Mécanique des Solides pour toute leur aide.
J'aimerais témoigner ma gratitude à l'Equipe du centre de calcul de l'Ecole Centrale de
Lyon, à Monsieur Philippe FALANDRY du Centre National Universitaire Sud de calcul
(CN.U.S.C) de Montpellier, et à Monsieur Daniel FICHOT de la Société METRAVIB d'Ecully qui
m'ont permis de surmonter divers obstacles numériques tout le long de mon travail.

---

VII
RESUME
Cene étude vise une amélioration des méthodes de synthèse modale par un recalage optimal des cara-
ctéristiques résiduelles de frontière. Une famifIe de modes de branche est alors introduite pour per-
mettre une connaissance expérimentale de ces termes dont nous présentons une détermination géné-
rale. L'introduction d'un modèle modal basé sur les modes libres s'est avéré particulièrement efficace
à représenter le comportement de sous-structures avec des conditions aux limites quelconques et sa
participation à la dynamique d'un assemblage, le long de nombreux essais effectués. Le recalage né-
cessaire entre les modèles numériques et expérimentaux induit la correction des caractéristiques de
frontière. Deux nouvelles méthodes sont alors introduites dans le cadre de correction des interfaces à
garnd nombre de degrès de liberté. Plusieurs tests ont mis en évidence le recalage parfait de modes
nonnaux par l'obtention avec précision des fréquences, des réponses temporelles et de défonnées
relativement bien approchées de structures corrigées ayant des conditions aux limites pouvant varier
de l'encastrement parfait à la libération complète des frontières de raccordement, dans le cadre de la
synthèse des plaques minces.

---

VIII
ABSTRACT
This study aims at improving modal synthesis methods by optimal correction of residuel boundary
terms. A family of branch is then introduced to a better experimental knowledge of these terms of
whitch we are presenting a general definition. The introduction of a model based on the free modes
has turned out to be panicularly successful in presenting the performance of the behaviour of sub-
structure with any boundary conditions and its participation to the dynamic of an assemblage,
throught ths numerous tests we carried out. The necessary adjustement between ths numerical and
experimental models induces ths correction of boundary flexibility terms. Two new methods are then
presented in the context of correction of the interfaces with l,arge number of boundary degrees of
freedom. Several tests have shown the perfect correction of nonnal modes by the precision obtaining
of the frequencies, temporal responses, and the dynamic deflections relatively weIl approached of
l··
•
corrected structures with boundary conditions from perfect c10sed to complet free interface, in the
context of modal synthesis of thin plates.
• ..il •

---

SOMMAIRE
INTRODUCTION
p.I
CHAPITRE 1: SYNTHESE MODALE
pA
INfRODUcnON
1. GENERALITES SUR L'ANALYSE MODALE
II. PROBLEME SPEcrRAL
III. SYNTHESE MODALE POUR LES NŒUDS INTERIEURS
"
IV.DOUBLE SYNTHESE MODALE
CONCLUSION
~llfSlDl:œt~S EN SYNTHESE
-~'\\
p.124
INfRODlJCT U.lN
Il. CARACTERISTIQUES RESIDUELLES EN AN·~~~~
CONCLUSION
CHAPITRE 3: CORRECTION DES CARACTERISTIQUES DE FRONTIERE
p.148
INfRODUCTION
1. METHODES DE CORRECfION
II. APPLICATION AUX FRONTIERES A FAIBLE NOMBRE DE DEGRES DE LIBERll·.
III. APPLICATION AUX FRONTIERES A GRAND NOMBRE DE DEGRES DE LIBERIE
CONCLUSION
CONCLUSION
p.231
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES
..-..

---

[
INTRODUCTION)

---

1
INTRODUCTION
En Dynamique des structures, les erreurs de modélisation sont souvent localisées
le long des interfaces de raccordement, et elles deviennent pénalisantes lors de
l'assemblage des organes mécaniques.
Dans le cadre de la Synthèse Modale, on est conduit à introduire des termes
résiduels de frontière afin d'attenuer l'influence néfaste de la troncature modale. Mais
l'identification
expérimentale de ces caractéristiques résiduelles est difficile et
imprécise.
Cependant, il n'existe pas d'études spécifiques sur le recalage des termes
résiduels afin d'améliorer les méthodes de sous-structure. Ceci est dû certainement à la
difficulté de corriger ces termes représentés par des matrices dans le contexte numérique, et qui
impliquent souvent un nombre de degrés de liberté de frontière relativent élevé.
Le but du présent travail est de répondre à ce souci en proposant des méthodes
numériques de correction extensibles au cadre expérimental, afin de recaler les
caractéristiques résiduelles de frontière et améliorer les techniques de synthèse
modale et de sous-structuration.
Les caractéristiques résiduelles sont introduites ( R12 ), ( R22 à R24 ), ( R32 ) au
niveau des matrices de souplesse dynamique en formulation déplacement, ou à leur équivalent
( R12 ) lorsqu'on utilise la fonnulation force. Ces termes résiduels sont adaptés au contexte
numérique et deviennent inutilisables dans le-cadre expérimental.
.__ _-_
<
• • • • • •
- ' - - " _ • • -
• •
Les méthodes de synthèse modale sont classiquement basées sur l'utilisation des modes
libres et des modes encastrés. Afin de permettre une connaissance expérimentale des termes
résiduels, l'on
introduit
une
troisième famille de modes normaux, dits "modes de
branche", ( R12 ), ( R23 ), ( R25 ) et ( R26 ).
Ces modes de branche sont des modes normaux obtenus à partir d'un chargement de
la structure initiale le long de sa frontière de raccordement, par fixation d'inerties
ou d'organes
élastiques, ou par couplage
avec
une
structure
adjacente
quelconque. Cette nouvelle famille de modes va jouer un rôle privilégié dans les techniques
de synthèse modale que nous utilisons dans ce travail. Son importance sera en effet majeure
dans la mise au point de nos méthodes de correction.

---

2
Nous proposons dans cette étude un modèle modal, appelé B.M.M. ( Basic Modal
Model ) construit à partir des modes libres, des modes de corps rigides et de la souplesse
résiduelle de frontière, en formulation déplacement. Son premier intérêt est son efficacité à
représenter le comportement d'une sous-structure avec des conditions aux limites
quelconques et sa participation à la dynamique d'un assemblage.
Le modèle B.M.M. permet en effet de retrouver les trois principales familles de modes
normaux de la sous-structure considérée : les modes encastrés, les modes branches et
naturellement les modes libres sur lesquels il est construit.
Nous introduisons ensuite des méthodes de correction dont le but est de recaler les
modèles numériques représentés par une matrice de masse et de raideur afin que les
caractéristiques des modes mesurés correspondent à celles des modes calculés.
La procédure de recalage du modèle B.M.M. va consister à faire un choix optimal de la
matrice de souplesse résiduelle de frontière et de la participation des modes libres à cette
interface, afin de retrouver les fréquences exactes des modes de branche et d'approcher
au mieux leurs déformées exactes.
Dans le cadre des frontières à grand nombre de degrés de liberté, nous avons proposé
deux nouvelles méthodes de correction basées sur la recherche de perturbations de norme
minimale, et qui font l'originalité de cette étude.
Ces procédures de correction appelées T.C.M. (Total Correction Method ) et
-----S.C;M.' -CSel-ectiv -Correction -Met hod ~ -correspondent- respectivement à-une- -correction- .. ' .
globale et sélective des termes de la matrice de souplesse résiduelle.
De nombreux essais numériques ont été effectués dans le cadre de l'assemblage des
plaques minces en acier pour mettre en évidence la double efficacité du modèle B.M.M. et des
méthodes de correction T.C.M. et S.C.M..
On a pu vérifier d'abord le recalage parfait des modes de branche corrigés sur trois
.
..
..
caractéristiques dynamiques majeures: les fréquences calculées avec exactitude; les défonnées
modales relativement bien approchées; et l'estimation avec précision des réponses temporelles
de structures obtenues avec des conditions aux limites pouvant varier de l'encastrement à la
libération complète des interfaces de raccordement.

---

3
On a ensuite détenniné avec efficacité les premiers modes nonnaux des mcxlèles mcxlaux
corrigés obtenus lorsqu'on impose des modifications structurales majeures comme des
variations de conditions aux limites ou des raccordements avec d'autres sous-structures.
Ce mémoire de thèse est composé de trois chapitres et de huit annexes. Nous présentons
au CHAPITRE 1 une formulation traditionnelle des problèmes de dynamique des structures.
puis une formulation générale de l'équilibre dynamique ( RI2 ). ( R22 à 24 ), à l'aide
d'opérateurs linéaires différentiels et intégraux elliptiques.
Cette présentation permet d'exprimer la réponse dynamique de la structure à l'aide des
résolvantes des équations et de se rattacher aux problèmes intermédiaires de
WEINSTEIN ( RI ) et ( R2 ), dans le cadre des frontières continues.
Les deux formulations continue et discrète ont permis de mettre en valeur
l'importance des termes résiduels de frontière dans les méthodes de synthèse modale.
Nous avons notamment montré que l'emploi des termes résiduels au second ordre n'est
justifié qu'aux hautes fréquences où ils apportent une amélioration fréquencielle par rnpport aux
termes calculés au premier ordre . Il est donc nécessaire de proposer des méthodes de correction
des caractéristiques résiduelles de frontière afin d'amélioer la détennination des modes nonnaux
des structures à basses fréquences où les termes du deuxième ordre n'apportent pas de gain
significatif. C'est l'objet du CHAPITRE 3 qui constitue la partie originale de cette
thèse,dont certains résultats ont déjà été publiés (R22), ( R24 ) et ( R38 ).
Enfin le CHAPITRE 2 est une transition entre les deux autres. n établit le calèul
explicite des termes résiduels de frontière et montre leur apport dans d'autres techniques
d'analyse modale COl1J1Ile la méthode de sensibilité.

---

4
CHAPITRE 1
SYNTHESE MODALE

---

5
CHAPITRE 1
SYNTHESE MODALE
INTRODUCfION
1.
GENERALITES
SUR
LI ANALYSE
MODALE
U EQUll..mRE DYNAMIQUE
1.2 DISCRETISATION DES EQUATIONS D'EQUll..IBRE
1.3 ANALYSE MODALE
lA INTERET D'UNE FORMULATION GENERALE DE L'EQUILIBRE DYNAMIQUE
II. PROBLEME SPECTRAL
lU FORMULATION PRIMALE
Il.2 FORMULATION DUALE
Il.3 LIEN ENTRE LES DEUX FORMULATIONS
lIA TRONCATURE DES RESOLVANTES
III.
SYNTHESE MODALE POUR LES
NŒUDS
INTERIEURS
111.1 PROCEDURE GENERALE
III.2 FORMULATION PRlMALE
111.3 FORMULATION DUALE
IlIA APPLICATION EXPERIMENTALE
IV.
DOUBLE SYNTHESE MODALE
IV.I INTRODUCTION AUX PROBLEMES INTERMEDIAIRES
IV.2 FORMULATION PRIMALE
IV.3 FORMULATION DUALE
IV A APPLICATION EXPERIMENTALE
CONCLUSION

---

6
INTRODUCTION
Ce chapitre est consacré aux équations générales de la synthèse modale. Il est divisé en
quatre parties. Nous faisons d'abord un rappel des équations classiques de la dynamique des
structures en première panie. Nous montrons ensuite l'intérêt d'une description plus générale de
l'équilibre dynamique à l'aide de deux types d'opérateurs linéaires: les opérateurs différentiels
elliptiques d'ordre quelconque, auto-adjoints dans les problèmes usuels de Mécanique des
Vibrations, et les opérateurs intégraux, compacts et inverses des premiers, construits dans des
espaces de HILBERT. C'est l'objet de la deuxième partie.
Cette généralisation qui tire profit de la richesse des propriétés de telle classe d'espaces
topologiques conduit à deux descriptions complémentaires liées au même problème physique: le
raccordement de sous-structures le long d'interfaces continues. La première description,
envisagée dans la troisième partie est une présentation discrète et matricielle des méthodes de
synthèse modale. Elle est adaptée à l'utilisation de la méthode des Eléments Finis et correspond
La deuxième description étudiée dans la quatrième partie est une formulation variationnelle et
continue de l'équilibre dynamique. Elle permet de mieux rendre compte des interfaces de liaison
continues.
Des modèles numériques permettent de tester l'efficacité des méthodes proposées dans la
troisième et quatrième parties.
L GENERALITES SUR L'ANALYSE MODALE
®
FIGURE LI
Considérons une sous-structur~ <!) élastique et cons~rvative,occupant un domaine
;})
de
~
et reliée à une autre sous-structure
® d'un assemblage le long d'une
interface de raccordement
r 0 .

---

7
La frontière r
de ~
est composée de crois parties:
est l'interface de raccordement entre. les sous-structures
( D e t @
On lui associe une distribution de forces
i -fL 1 indépendantes
* r",
est une frontière supposée fixe et peut être éventuellement réduite à l'ensemble
vide.
* r4,
est une frontière libre dans toute cene étude.
\\.\\. le,~):.
llC.':) J l ,t~,3] est le déplacement d~un point
du domaine ~
à
l'instant
t:
<J"'" ':. (cr,~) J
' 1 ci
~ L "1.,3,]
désigne le tenseur des contraintes de CAUCHY
au point t
Le tenseur des déformations de GREEN
~ = (E.,J) s'écrit en
e
(LI)
c ..
_
'\\
(
+
c.. 'J
- .J,
sous l'hypothèse des petits déplacements. La loi de componement de HOOKE permet de
relier d'une façon objective les tenseurs
()
et
~
(1.2)
<l(i -
j l J ,ft. ~ El~
où les
~ \\cl ~e.) oN = (,,? ~Jl.e)
sont fonctions des constantes élastiques du
matériau constituant la sous-structure @ . L'équation (1.2) peut s'écrire matriciellement
(1.3)
<J -=
oN ~ ~
où
SI
est un produit tensoriel
LI EQUILIBRE DYNAMIOUE
1) FOnTIulation différentielle
Les forces de surface qui s'exercent sur un volume infiniment petit de
<;;:/)
sont
équilibrées par les forces extérieures de volume et les forces d'inertie.
(1.4)
-
0

---

8
où
~:; ~ (i)
est une fonction scalaire
En utilisant l'équation (1.3), l'équilibre (lA) devient
(1.5)
f.\\1
c; '1
est une matrice de dimension 3 x 6 d'opérateurs différentiels linéaires du 1er
l ordrereliantlesforcesinternesauxcomposantesdutenseurdescontraintes.
c; 'le est une matrice de dimension 6 x 3 d'opérateurs différentiels linéaires du 1er
ordre pennettant d'exprimer les contraintes en fonction des composantes du champ de "petits
déplacements".
En utilisant la transformation de FOURIER
(1.6)
l'équation (1.5) devient
-2.1
- ç
(1.7)
5'1 N
S~
(i:\\..)
- \\ w ~
ou encore
-
w~
(1.8)
"K tA-
1"\\. \\A. -
f'
-
L'opérateur matriciel
K,= SI ~~.z. représente les forces internes. L'opérateur .Mo ': e
représente les forces d'inertie.
A cette équation (1.8) sont adjointes les conditions aux limites suivantes:
(L9.a)
( Ï IV\\..
:. - f'~
't.J 2
f.
ro
(L9.b)
u... ': 0
'V
f
E.
r,,-
(L9.c)
~'Y'\\. =
'V f
E.
r~
0
~
où 'V'\\.. est la normale extérieure à
9 aupoint f de r.

---

9
2) Formulation variationnelle
Le principe des travaux virtuels exprime l'égalité entre le travail de déformation dans un
déplacement virtuel
~\\A. (2) au temps t et le travail virtuel des forces d'inerties de liaison et
de volume. Le déplacement virtuel doit être cinématiquement admissible, c'est-à-dire que le
champ de déplacement
cl \\A (f) doit satisfaire les conditions aux limites de type cinématique.
cl
(1.10)
E 'X
+
rE \\.. "" f Ex
où
*
b V J.
est l'énergie de déformation
*
~ E. X est le travail des forces d'inertie
*
~ t. \\.. est le travail des forces de liaison
*
~ Ex est le travail des forces de volume
Explicitons chaque terme du second membre de l'égalité (l.1O)
a~1:
-S~ ô:L.u. Sv.. d.1\\1"
(l.lla)
-
'?> ~"'"'
(l.ll b)
$' EL
J'd~ <J: ~v.. J.S
-:
(l.llc)
S e:~ '= j~ ~ ~v... ..lt'V'
où
'0 Jà
est la surface limitant le domaine
~ . L'énergie cinétique de la
structure est défInie par
(l.12)
Ec:.
Le principe de HAMILTON correspond à la stationnarité de l'action mécanique vis-à-vis
d'une variation virtuelle de h trajectoire conservant la confIguration d'arrivée et de dépan, et
permet de relier l'énergie cihétique ~ c. au travail virtuel des forces d'inertie
S'e. ::t
par la relation suivante:

---

10
L'existence d'une fonction potentielle V~ est justifiée par l'hypothèse de l'élasticité
linéaire. On défmit le Lagrangien L par
(1.14)
L -=.
E.. Co _ V d
L'équation dynamique de la sous-snucture prend alors la fonne suivante
St:L. (J t\\,. 1- cr~x) J.t = 0
(1.15)
(
ot.
1.2 DISCRETION DES EOUATIONS D'EOUILIBRE
La méthode des Eléments Finis génère des champs de déplacement admissibles. On
discrétise alors l'espace des solutions en considérant le champ de déplacement o...(2) comme
étant une somme pondérée finie de.t3'
fonctions de base
~ \\. (2) ne dépendant que des
coordonnées spatiales du point
~
~
=
(1.16)
~ ~"Ct) e:p~ l~)
t-:\\
épta'cc=~·ntsgénéralisés ne dépendant que du temps l
.....""..........Iférentiables qui satisfont à toutes les conditions aux
une fois différentiable ne satisfaisant qu'aux conditions
cinématiques sont dites "admissibles".
Ce schéma de discrétisation aboutit à deux types de méthodes suivant qu'il est associé à
une formulation différentielle ou à une formulation variationnelle.
1) Méthode résiduelle associée à la formulation différentielle
Les fonctions
~ ~
vérifient toutes les conditions aux limites et on cherche à
satisfaire au mieux à l'équation d'équilibre (l.8)
., .... _
:ot..
~
-
~
~ lA.-
-
c...o
1.&0
u..::
r
On cherche une solution approchée discrète sous la forme
N
(l.17)
U- Cf) -= L
~l ~ ~
~~\\

---

11
t'V
U.
ne pourra vérifier l'équation (1.8) qu'exceptionnellement. On introduit alors une fonction
d'erreur
B (W 1 e) à minimiser par un choix optim~ des
~ ~
(1.18)
La méthode consiste à annuler l'intégrale sur tout le volume
~
de cette erreur
pondérée par une famille de fonctions {~l } .
(1.19)
J.:b ~~ ~ (w, 2) J'V = 0
Ces N
équations induisent l'égalité matricielle:
où
(. \\<.1
et t nl sont des matrices N x N indépendantes de
Cù. Àet ~
sont des
vecteurs N x 1
li existe plusieurs variantes à la méthode, chacune correspondant à un choix particulier
des fonctions <fJ~ .
Nous utilisons la méthode de GALERKIN qui identifie les fonctions de pondération cp~
aux fonctions de base f\\.
Les éléments des matrices (\\1{1 et
(M) s'écrivent alors :
(l.21)
K(~ ':: fc0 ~ ~ J,.{ cf; et
~
'\\T ' :
(
i ) \\,( ~i"\\
~ cl
JoJ.. P cl ~ ~JJ
l~~,~ci~
\\1:
1
(l.22)
M\\j" J A-
$
":t, M. j
\\1"0::.
.,Q\\
Les forces généralisées s'expriment de manière analogue
J$
(l.23)
1"
~ i .Lv
Cette méthode de GALERKIN est la plus utilisée. Mais on peut prendre pour
Y'.:
d'autres fonctions. La méthode de collocation utilise comme
~~ des diracs.

---

12
Dans ce cas les intégrales se calculent simplement
(1.24a)
(1.24b)
2) Méthode de RAYLEIGH-RITZ associée à la fonnulation variationneIIe
C'est une méthode énergétique basée sur le principe de moindre action. Les fonctions
~\\lP) "admissibles" c'est-à-dire une fois différentiables et ne satisfaisant qu'aux conditions aux
limites cinématiques constituent les fonctions d'essai
~~ (P' . On a donc un choix plus large
de ces fonctions que dans le cas des "fonctions compatibles" (deux fois différentiables) dans la
méthode différentielle.
L'éne.gie cinétique E.c. de la structure s'exprime sous une forme quadratique des
dérivées des coordonnées généralisées.
Elle s'écrit:
(1.25)
D'après l'expression de
\\J-
e1:. ~,) •on obtient
,.r
~
~\\4..
~>-~
L ~u..
(1.26)
-
+
dt"
~t:
'b À\\.
ô~
i.:,
~v...
où
-
: . 0
. Il vient donc
~t
•
1'l
d.v.
•
(1.27)
= ~ ~~ ( f) ~\\ (t)
~
L,=t
L'énergie cinétique s'écrit alors
.
(1.28)
Ec.
~
= ~ L
( ~( ~~ ~. ).. L ÀJ ~VJ
cl
en posant
(1.29)
t1~j ':: L t ci .: ~J J.v

---

13
l'énergie cinétique devient
(1.30)
Ec:. =
[ tl)
':: l M 'd 1
s'appelle matrice de masse de la structure. Cette matrice est
syméoique, définie positive car l'énergie cinétique est toujours une grandeur positive.
N
_
Cette forme particulière de la solution
l.L
-= ~ À~ eJ>~ peut être interprétée
comme une équation holonome. La structure discrète assoè\\ée est donc plus raide que la
structure réelle.
Les fonctions
il peuvent ne vérifier que les conditions de déplacement car il suffit
qu'elles engendrent un champ de déplacement cinématiquement admissible.
Les équations du mouvement s'obtiennent en utilisant les équations de LAGRANGE
déduites de l'expression (1.15)
-
(1.31)
-
où
I-t-~ désigne la force généralisée de volurne.
(1.32)
"d
Dans l'hypothèse de l'élasticité linéaire, la fonction potentielle
(>. ".) peut être
approchée par son développement de MAC-LAURIN au second ordre.
Si nous choisissons l'origine des coordonnées généralisées
(À ~ ) telle que
V.! (0 )
est nul, et si nous remarquons que la position d'équilibre en 0 doit être nécessairement un- -
minimum du potentiel V.! ,c'est -à-dire:
(1.33)
alors le développement de MAC-LAURIN devient
(1.34)
V J. '=
~
~ (?J:l.; VJ (0)"
:i
L-
\\
~ ~ ô >.~
)
En posant
(1.35)
--
qui correspond à la l'Elasticité Linéaire.

---

14
On défmit une matrice lv.:. 1 -: (\\1('i ~ 1 appelée matrice de raideur. La matrice
est symétrique, définie positive si la frontière
l'~
n'est pas réduite à l'ensemble vide,
semi-définie positive si c'est le cas car
VJ:' 0
correspond à des mouvements de corps
rigides.
Les équations de LAGRANGE peuvent alors s'exprimer sous une forme matricielle
(1.36)
La transfonnée de FOURIER de cene équation donne
(1.37)
Dans le cas d'un système isolé, et en utilisant les mêmes fonctions de base, on obtient un
système identique à celui trouvé par la méthode de GALERKIN. Soit :
(1.38)
De cette équivalence découle le caractère auto-adjoint de l'opérateur K
dans la
fOffimlatiùn différentielle pour un système isolé.
(1.39)
pour toutes les fonctions
..... et ~. qui satisfont à toutes les conditions aux limites.
'1\\
d
3) L'intérêt d'une base modale
La mesure des déplacements de points à la surface de la structure est nécessaire dans un
contexte d'analyse expérimentale. La détermination des matrices de masse et de rigidité utilise
les modes de vibration pour deux raisons majeures:
* l'amplification dynamique facilite la mesure des déformées modales
* les phénomènes de résonance mettent en évidence l'influence des paramètres
dynamiques.
Des difficultés expérimentales induisent des systèmes matriciels souvent mal
conditionnés. On remédie à cet inconvénient en utilisant une fonnulation de type
"RAYLEIGH-RITZ" avec pour fonctions de base les modes de vibration ou des déformées
expériementales qui s'en approchent.

---

15
Les coordonnées généralisées sont alors les participations des modes à la réponse. Cette
base modale génère la réponse reelle. Mais l'on doit se limiter à un nombre fini de modes.
Elle reste néanmoins très représentative de la déforrnabilité de la structure dans un certain
domaine de fréquence.
En vue d'étudier les diverses possibilités permettant d'obtenir les paramètres modaux, il
s'avère indispensable d'exprimer la réponse d'une structure en fonction de ses modes et d'éviter
les erreurs introduites par la prise en compte que d'un nombre fini d'entre eux.
4) EQuations de changement de base
La méthode de RAYLEIGH-RITZ est très avantageuse car elle permet de raccorder des
sous-structures en imposant des conditions cinématiques sur les variables généralisées. La
sommation des énergies cinétique et élastique de chaque sous-structure donne respectivement les
énergies cinétique et élastique de l'assemblage total.
L'écriture des équations de LAGRANGE exprimant l'équilibre de la structure entière ne
nécessite que l'utilisation d'un paramétrage strict, c'est-à-dire qui tient compte de toutes les
conditions cinématiques de liaison.
Soit
~
le vecteur des nouvelles coordonnées, le changement de base est traduit par
l'équation suivante:
(1.40)
où
(f) est la matrice de passage de la base des Eléments Finis à la base modale.
Comme les énergies cinétiques et élastiques sont invariantes par changement de base, les
nouvelles matrices de masse et de rigidité s'écrivent en fonction des anciennes :
(I.41.a)
\\ f)' ( Mo) ( E»
,.
(1.41. b)
Cf)
CK) \\. f)
1.3 ANALYSE MODALE
1) Définition des modes nonnaux
Les modes normaux sont solutions du système conservatif
oZ.
(1.42)
K
'X..
'::. W 1'1 'X.

---

16
où ~ est le vecteur propre ou le mode et uJ la pulsation associée à x.. . Le spectre
de l'opérateur K
est de dimension infinie. Toutes les solutions propres
:Xl doivent vérifier
les conditions aux limites.
Comme la structure est supposée isolée, les opérateurs K
et .M. sont auto-adjoints.
On en déduit les relations d'orthogonalité des solutions propres
(I.43a)
(I.43b)
f'W\\.~
est la masse modale de rang i. Elle est nécessairement positive car ~ est un
opérateur défini positif.
l~
est la raideur modale de rang i. Elle est positive ou nulle car
l'opérateur K
est semi-défini positif.
Afin de simplifier le calcul, on norme les formes propres
X4.: en imposant à la masse
modale
l'ft\\.~
d'être égale à l'unité.
(1.44)
* Cas des modes normaux discrets
La méthode de RAYLEIGH-RITZ permet d'approcher les modes normaux continus par
des modes normaux discrets. Ces modes normaux discrets sont solutions de l'équation aux
valeurs propres
(1.45)
CK 1 x~
où (M) et \\.\\( ) sont respectivement les matrices de masse et de raideur de dimension
N")(N
'I..~ est le ième mode discret.
,..,J .a...
Les W~
sont solutions de l'équation polynomiale
~ (-
(1.46)

---

17
rv:a...
L'ordre de multiplicité de la solution w~ est la dimension de l'espace propre qui lui est
associé. Le champ de déplacement peut-être ainsi approché grâce aux}J'
modes discrets
indépendants.
t""J
Si ~
et
COi
sont les approximations du mode continu
~ et la pulsation 0.1':
propre, on peut écrire :
(1.47)
=
\\,
où XJ
est la jième coordonnée du mode discret'X t .
La symétrie des matrices(K) et (M) induit l'orthogonalité des modes discrets
(1.48a)
x\\·'" (
'\\
\\. M) X~ :::
(I.48b)
x.I ~ ~") ~ ~ -;:
Ces relations (1.48a) et (1.48b) confèrent aux déformées modales approchées '"
:lC.\\ les
mêmes propriétés de norme et d'orthogonalité que celles des solutions exactes
~
(1.49.a)
(~, M:Xci ') -=
(1.49.b)
(~ 1 \\.( XJ) :.
2) EcrinlTe du mouvement dans la base des modes normaux
Le déplacement U f
du point.f s'exprime comme combinaison linéaire de tous les
modes normaux en nombre infini
0"'
L
(1.50)
"~l-t) ~f
l :.,
La transformée de FOURIER de l'équation d'équilibre (l.8) multipliée scalairement par
donne
On en déduit l'expression du champ de déplacement en fonction des modes normaux
~ _[ F:., ~J
(1.52)
.t.
.a..
- w
+ CAl,

---

18
* Cas des modes nonnaux discrets
L'écriture dans la base modale à parùr du cas discret consiste simplement en un
changement de coordonnées généralisées
(1.53)
À -=
l)C,. j ~
où (x.) est la matrice modale dont les vecteurs colonnes sont consùtués des}l
modes
discrets écrits dans l'ancienne base. L'onhogonalité des modes permet d'obtenir l'équation
matricielle
(1.54)
(- w· ( :r) +
La matrice spectrale (..IL~) est diagonale :
(1.55)
À
et
p.. sont reliés par :
-
( X ;r Xl')
-
1
(1.56)
À
-
f:<-
_ w.a. + W.: oL
* Avantage d'une discrétisation à l'aide des modes normaux
Les modes normaux mettent en évidence le découplage entre les masses, et sont donc
significatifs du nombre de degré de libené à prendre en compte..Si l'analyse de la réponse de la
structure s'effectue à l'intérieur d'une bande de fréquence donnée, les déformées modales dont
les pulsaùons se situent dans cette intervalle apparaissent comme une base de- plus faible
dimension.
Cette qualité jointe à la propriété de fermeture découlant des relations d'onhogonalité
explique tout l'intérêt de l'uùlisation de la base modale dans les essais numériques et les
techniques de sous-structure.
3) Modes particuliers
L'Analyse Modale repose principalement sur les modes normaux. Elle utilise également
des modes particuliers. La terminologie classiquement adoptée est la suivante.

---

19
a) Modes statigues
Ils sont issus d'un problème statique. Ce sont les déplacements des points d'une
strcture, obtenus statiquemem en imposant des conditions particulières aux degrés de libené de
l'interface
ro . On distingue les modes de déformation statique et les modes d'attache.
* Modes de déformation statigue
On impose un déplacement unitaire à l'un des nœuds de l'interface en bloquant les
autres. On n'applique des forces que le long de la frontière
f o . On doit donc résoudre le
système suivant:
~ l
[0)
(l.57)
[ \\ ( r
['X
%
\\(
F
t ] :
\\(',,~
\\(Ff
r
~
)
1 désigne les degrés de liberté. non concernés par la liaison et F désigne les points de
liaison.
La résolution de l'équation matricielle (l.57) conduit à
(l.58)
= 0
ou encore
(1.59)
X 1:
=
Les modes de déformation statique sont représentés par la matrice
(1.60)
TI Ya autant de modes de déformation statique que de degré de liberté de frontière.
* Modes d'attache
Si au lieu d'imposer un déplacement on impose une force unitaire, on obtient des modes
appelés modes d'attache, solutions du système matriciel suivant:
(1.61 )

---

20
Ce système n'est possible que si la matrice de rigidité
(li() est inversible, c'est-à-dire
si la structure ne possède pas de modes de corps rigides. C'est le cas où on ne peut définir la
matrice de flexibilité statique de la structure ( ANNEXE 2).
Cette matrice de flexibilité statique n'existe pas dans le cas des structures entièrement
libres, qui possèdent justement des modes de corps rigides. Ceux-ci induisent une singularité
d'ordre variant de un à six de la matrice
(\\(). On utilise alors une procédure paniculière,
voir ANNEXE 2, qui conduit à définir une matrice de pseudo-flexibilité. Celle-ci est obtenue
grâce à une projection dans l'espace orthogonal des modes de corps rigides au sens du produit
scalaire généré par la matrice de masse
(H) de la s
. '
\\:/. t!J {Ue
<~'
4/ 1/,_
(,,"
'-~
b) Modes de corps rigides
-
;--
Cl
,..-.
À
fis apparaissent dans les structures dit
li res ou a~·"/rr,uanismes.Un structure libre
~.
est une strGcture qui possède un certain nomb <9~~'
pour les problèmes plans, 6
611tSupèt
pour les problèmes tridimensionnels) de modes de m e n t d'ensemble ou modes rigides à
énergie de déformation nulle correspondant à des valeurs propres nulles.
Si
'X ~ est un mode de corps rigide, alors :
(1.62)
On en déduit la propriété suivante des modes d'ensemble
(1.63)
Dans les méthodes d'analyse modale, il est souvent intéressant de considérer' des
modèles définis par des sous-structures libres. Mais l'une des 'difficultés, surtout numériques,
est de s'affranchir des singularités induites par la présence des modes de corps rigides. Tout le
long de cette étude, l'on sera amené à envisager des procédures spéciales partout où l'influence
des modes de corps rigides sera prise en compte.
c)Modesdynarnigues
Les modes dynamiques ou modes propres d'une structure sont les solutions du système
matriciel
..
(1.64)
(\\< J X
-+
CH) X = 0

---

21
On distingue plusieurs types de modes propres suivant les conditions imposées sur
l'interface de raccordement
l'0
* Modes libres
Ce sont les modes calculés en supposant la sous-structure libre le long de l'interface de
raccordement r0
* Modes encastrés
Ce sont les modes obtenus en bloquant les nœuds de la frontière
r.
* Modes chargés
Ils sont obtenus en affectant aux nœuds de l'interface rodes inpédances connues
pouvant se rapprocher du comportement des sous-structures adjacentes.
4) Exemple d'un modèle Elérnents Finis de sous-structure
li est intéressant d'illustrer ces différents types de modes sur la base d'un modèle
Eléments Finis que nous avons construit et comparé à celui du logiciel ANSYS.
Le modèle est défmi par une plaque mince en acier, rectangulaire et de caractéristiques
suivantes:
Longueur: 60 cm
Largeur
: 40 cm
Epaisseur: 5 mm
Masse volumique
: ~
=7350 Kg/m
Module d'Young
: E =2.05 10 1. \\. N 1~~
Coefficient de Poisson: ~ = 0.33
.1
/
FIGURE 1.2

---

22
Commentaire sur le modèle numérique
Maillage 1
a) Maillage
Pour l'étude de notre plaque mince homogène en flexion, nous avons utilisé le modèle de
LüVE-KIRCHüFF (sans effet de cisaillement transverse).
La plaque a été mailiée en 32 éiémenu, rectanguiaires ( élément rectangulaire. à 4 nœuàs,
12 D.D.L., non conforme), et 45 nœuds.
Le nombre de D.D.L. total est de 135. Chaque nœud a 3 D.D.L. : une translation et deux
rotations.
Schéma d'un élément ou
d'une maille
Chaque maille est un rectangle de côté 7.5 cm suivant l'axe des x et 10 cm suivant l'axe
des y.
Cette description en Eléments Finis conduit à une matrice de rigidité
K
et une matrice
de masse
M
de taille 135 X 135.

---

23
Dans toute la suite de ce travail, tous les résultats issus de ce code de calcul seront suivis
des sigles M.E.f. ( Méthode des Elément~ Finis ), tandis que D.D.L. désignera Dégré De
Liberté.
Dans une première étape, il a été nécessaire de comparer les fréquences propres issues de
ce COUTS de calcul à celles obtenues par deux logiciels connus: SAP ( Structure Analysis
Program ) et ANSYS (Swan son Analysis Systems Incorporation).
ANSYS et SAP utilisent des éléments fmis quadrilatères de coque.
Dans ces deux logiciels, nous avons rentré des maillages identiques au nôtre afin de
permettre la comparaison.
b) Tableaux des résultats
Tous les tabeaux ont été obtenus avec des problèmes de taille identique pour les
méthodes que nous comparons.
* Tableau Al: taille 135 x 135 ( plaque entièrement libre )
* Tableau A2: taille 120 x 120 (plaque encastrée sur une largeur)
* Tableau A3: taille 96 x 96 (plaque bi-encastrée SUT deux côtés contigus)
c) Les graphes
Dans les GRAPHES 1 et 2 Les modes libres ANSYS sont tracés automatiquement avec
45 nœuds. Le maillage utilisé est identique à celui de notre code de calcul M.E.F. TI a 135
D.D.L.
Les modes libres obtenus par notre code M.E.F. et dessinés sur le GRAPHE 1 et 2 ont
aussi chacun 135 D.D.L. comme notre maillage. Le tracé de ces modes est semi-automatique:
transfert du calcul sur l'ordinateur IBM vers l'ordinateur VAX afin d'utiliser le traceur de
ANSYS implanté sur le VAX.

---

24
Comme les déformations en
chaque nœud du
maillage
1 sont rentrés
semi-automatiquement sur le traceur ANSYS, on s'est donc contenté de tenir compte d'un
nœud sur deux dans le sens de la longueur de la plaque, à panir du maillage 1, ce qui donne le
schéma ci-dessous:
Maillage 2 virtuel
Dans le tracé définitif ANSYS fait une interpolation linéaire et définit un point
inteImédiaire entre deux nœuds donnés,
On obtient donc en définitive 9 nœuds dans le sens de la largeur et 9 nœuds dans le ses
de la longueur.
Les GRAPHES 1 et 2 permettent néanmoins une comparaison des formes car les deux
méthodes de calcul utilisent le mêmemaillageinitial.MAILLAGE 1, pour le calcul des modes.
RECAPITULATIF DES TABLEAUX ET GRAPHES DE LA PARTIE 1
Cette panie 1 est ilustrée par 3 Tableaux de résultats et 7 Graphes
1) Tableau Al : donne les 12 premières fréquences en HERTZ (HZ) plus les 3 modes de
corps rigides (MCR) de la plaque entièrement libre suivant les 3 calculs différents: notre code de
calcul M.E.F., le logiciel ANSYS et le logiciel SAP.
2) Tableau A2 : donne les 12 premières fréquences de la plaque encastrée sur un de ses
petits côtés (40 cm) par M.E.F. et ANSYS.
3) Tableau A3 : donne les 12 premières fréquences de la plaque bi-encastrée sur 2 côtés
contigus (60 cm et 40 cm) par M.E.F. et ANSYS.

---

25
4) Graphes 01 et 02 : comparent les déformées dynamiques des 6 premiers modes
libres obtenus par M.E.F. et ANSYS.
5) Oraphes 03 et 04 : montrent les déformées des 12 premiers modes libres de la plaque
obtenus par ANSYS.
6) Graphes 05 et Q6 : montrent les défonnées des 12 premiers modes de la plaque
encastrée sur un de ses petits côtés (40 cm, tableau Al) obtenus par ANSYS.
7) Graphe 07 : montre 3 modes particuliers utilisés en synthèse modale dans la base de
description de RITZ.
* Le premier est un mode de corps rigide (MCR) : mouvement de rranslation suivant
l'axe vertical Z.
* Le 2è est un mode de déformation statique obtenu lorsqu'on impose un déplacement
nul sur tous les D.D.L. de frontière
l'Cl
sauf le D.D.L. de translation au nœud 45 où le
déplacement est unitaire.
* Le 3è est un mode d'attache obtenu en appliquant une force unitaire sur le D.D.L. de
translation au nœud 45, et zéro sur tous les autres D.D.L. de la frontière
f o
et les nœuds
intérieurs. Comme la plaque comporte des modes de corps rigides, on s'est servi de la matrice
de pseudo-flexibilité défmie en ANNEXE 2.
Les tableaux de résultats Al, Al et A3 comparent les fréquences des premiers modes
normaux obtenus par le code Eléments Finis mis au point à celles des logiciels connus ANSYS
et SAP. Le logiciel SAP qui utilise une matrice de masse. concentrée donne 4es fréqu.encesplus
faibles.
Comme l'indiquent les trois tableaux Al, A2 et A3, il y a un bon accord entre les
fréquences calculées par notre code numérique et celles issues du logiciel ANSYS. La
comparaison des premières déformées dynamiques obtenues par ces deux méthodes est
également satisfaisante.
La validité de notre modèle numé.tique est donc attestée. Pour des raisons de souplesse
d'utilisation, il est le seul pris en compte dans toute la suite de ce travail.

---

26
PLAQUE LIBRE
TABLEAU Al
FRE QUE N CE. (H~) I>e:~ MODES L\\ BRES
N°
M.. E.. F:
ÂNSYS
SAP
M01>es
'3 t1.CR
~ MCR.
3 MeR
1.
70.447
70. '55
" . 611.
?
7S. 950
ïS.
837
67. 715
:3
1.6 a. 930
'165. 'a76
"147. €. 7a
+
"11 a. 463
1.19. 015
1.59. 4-~6
S
'Zo+. 97+ .
204f,.9B9
1. 74. 0 'li-
b
2 ?>8. 6'3
~~9. 000
2.la. '2.~~
'7
~o2.. 054
309. 061
'2. GO. 171
~
3+5'. 41'2.
:;s~. 11'
'ao 1. 707
~
4a1.. 683
42.5".501
~~'2..071
10
4~~·1??
49'2.. 030
398. 5'39
1.~
51.1.. '14'
51.S. 66 ~
4~S. 95"0
1.'2.
518.o"al
So '2... 5S '2.
+40. "1

---

27
PLAQUE BI-ENCASTREE
PLAQUE ENCASTREE
TABLEAUA2
TABLEAUA3
!
FREGUE.NC.E. CH"l.)
1
F R. E Q V E. N Ct
CHl)
I>E.~
MOl>E.~ E:NC. A.S"TRtS
DES
MODE. S ENCASTRES
NO
N°
M..E. F.
ANSY5
.M.. e:. . F.
AN~YS
M01)E5
MO~ES
'1.
11.. !O<4
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~,. S-g~
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1. \\ f. 54-0
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5
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7
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7
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2~7.01.0
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51.4-.
1.2.~
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42'2.. 2.1'
9
J
57~. ~~S'
~1I'4. 6g~
1.0
+'0.
1.42-
4-'19. s"g~
1.0
5Q'3.~98
'2.0. IS7
1
'11
+84. S~6
4-~'2. . .<\\12-
1.1.
"703 . 4 S 4
110.324
,
1e.
s ,,"'2.. 908
~17.'S87
1.2
730.83<;l
7'Z.8. '15'0
1

---

l
28
GRAPHE Gl
MODES LIDRES ( ANSYS )
MODES LIBRES (M.E.f.)
1
2
3
3

---

29
GRAPHE G2
MODES LIBRES ( ANS YS )
MODES LIBRES ( M.E.F.)
4-
5
1
~-----+---------II
1
/
6
6

---

30
GRAPHE G3
MODES LmRES ( ANSYS )
4
z
s
6

---

31
GRAPHE G4
MODES LffiRES ( ANSYS )
7
10
8
1.1
9

---

32
GRAPHE G5
MODES ENCASTRES (ANSYS)
1.
4-
5
3
6

---

33
GRAPHE G6
7
1.0
9
1'2.

---

34
GRAPHE G7
MODES PARTICULIERS
CO~PS
a
_ .. "
~-.
.
.-.~
.•.~
......
,......... -
MO DE
DE.
])E. FQ R MATIO N
5TATIQUt.-
MOt)t.
D'AïTAc..Ht..

---

35
lA INTERET
D'UNE
FORMULATION
GENERALE
DE
L'EOUILIBRE
DYNAMIQUE
Les deux formulations différentielles et variationnelles présentées dans cette partie
conduisent à des équations d'équilibre exprimées en variables continues et en variables discrètes
grâce à la méthode des Eléments Finis.
Dans cette démarche, l'usage des tenseurs des contraintes, des déformations ou de
l'énergie de déformation, quoique dûment justifié, est de nature à spécifier la géométrie et le
matériau constitutif de la sous-structure. Les résultats atteints deviennent donc particuliers.
Or les équations aux dérivées panielles de la Dynamique des structures, si diverses
soient-elles, peuvent être englobées pour les plus classiques d'entre elles, en une classe unique
de problèmes régis par des opérateurs différentiels linéaires d'ordre supérieur ou égal à 2.
C'est donc l'étude des propriétés des opérateurs linéaires qui régissent les équilibres, qui
définira chaque cadre d'utilisation adapté à un problème particulier de la Dynamique des
structures.
Par conséquent, les conditions aux limites jusqu'alors séparées entre les "conditions
statiques" et les "conditions cinématiques" vont s'unifier afin de permettre une description plus
générale et plus adaptée à la nature réelle des interfaces de raccordement ou interviennent
souvent des conditions hybrides de force et de déplacement.
Les difficultés liées à l'utilisation des deux méthodes classiques de synthèse modale:
* "modes encastrés" où des essais statiques s'avèrent expérimentalement limités
* "modes libres" qui nécessite un grand nombre de modes vont être levées par
l'introduction des modèles hybrides de synthèse modale basés sur la prise en compte des modes
de branche obtenus en introduisant des changements le long de la frontière de raccordement. Ces
modes pennettent de définir des coordonnées généralisées de·frontière bien représentatives de la:
déformabilité des frontières dans le domaine fréquentiel considéré.
Le formalisme utilisé devient ainsi général afin d'englober divers problèmes de
Dynamique des solides et divers types de raccordement d'une structure avec son environnement.
II. PROBLEME SPEcrRAL
II.! FORMULATION PRIMALE
r~
FIGURE 1.3

---

36
Isolons de l'assemblage présenté en Figure (1.1) la sous-structure
@
supposée
élastique et occupant un domaine
:;};
de.IR.~
. Dans le cas des vibrations harmoniques,
en l'absence de forces extérieures de volume, son déplacement
\\.l.
vérifie l'équation
d'équilibre suivante:
~
_ w
(1.65)
1<.
est un opérateur elliptique de degré 2m et ,
une fonction scalaire strictement
positive.
A chaque point de la frontière
t'
,où
r: ro V r. \\1 r~ sont associés 'W'\\..
couples de conditions aux limites représentées par deux familles d'opérateurs de frontière
* les opérateurs ~ 8 ~ } ~,,\\ ~ IV\\'\\.
, d'ordre j,
~ CO: (,0
1
.
l
')'k - ,
Ils
correspondent aux conditions cinématiques sur
r'
* les opérateurs ~ C ~ A} ~ ".:
~
fp
, d'ordre c\\
,
~ € l 'Y\\o'\\- 1 <. "'" - 1)
correspondeent aux conditions naturelles et font intervenir des dérivées nonnales à la frontière
et le .long de la frontière.
Les conditions aux limites suivantes sont ajointes à l'équation (1.65)
(1.66.a)
Cl A. u..
- f'
'tJe.
E
['0
~ ~
t '3. , '\\'Y\\.]
-
.J
.
C. '1. 1 l\\Ik. 1
8" 14 =
\\:Jf
4C
["~
t-
e.
(1.66.b)
0
rc,.
l E. 1..'1., ~1
Q.l A\\A.=o
'V2
E.
(1.66.c)
Les opérateurs de frontière
{c,' A} sont adjoints par rapport à l'opérateur· K ,
et à cette fonnule de GREEN du système
{, 8 \\. }
(1.67)
où
-ll- 1 • )
est une fonne bilinéaire liée à l'énergie élastique tandis que (-. • J 1'"
représente le produit scalaire associé aux fonctions défmies le long de la frontière
r et
de carré intégrable.
On simplifie le second membre de l'équation (1.67) en introduisant le produit scalaire
formel
<. 1 - '> sur la frontière r
(1.68)

---

37
La formule de GREEN devient alors:
L'opérateur A pennet de détenniner les contraintes à partir des déplacements et vérifie
en particulier l'équation énergétique suivante:
(1.70)
t (l4) I\\r) = C CA. lA. J A IV)
où
Co C- J .)
est la fonne bilinéaire liée à l'énergie de défonnation exprimée en
fonction des contraintes.
TI convient de s'intéresser d'abord à l'espace des solutions de l'équation spectrale (1.65)
1) Espaces des champs de déplacement
,..,
Notons
~ \\.. l'espace des fonctions v.. qui vérifient les conditions cinématiques sur
""
la frontière
['~
, et complété par le produit scalaire
~(. ,.) :
(1.71)
'i t "'. IV) -= ~ (~l v) + (e (.4, IV)
où
(~-, • )
est le produit scalaire associé à l'énergie cinétique.
On définit alors le domaine de l'opérateur K
comme suit:
(1.72)
1> (\\() :.
{lA. \\ lA. Cè. ~L , \\1(. \\A. E. ~ C.~ ) }
Pour pouvoir appliquer ces méthodes aux problèmes dynamiques associés à des
opérateurs d'inertie diférentiels, on introduit l'espace
~ engendré par le produit scalaire
( .
1 . )
• Comme
<' est une fonction scalaire, ~ est identifié à son dual et on obtient les
inclusions :
(1.73)
c
c
~I
~
où ~
est un espace de forces dual de l'espace
~ L

---

38
~
.--
On introduit l'espace
~~ , sous-espace de ~L et défIni par :
(1.74)
~t = { lA. \\ \\A E:. ~L' 2 E: ra
B, U = 0 }
,....,
est un sous-espace complet, fermé par le produit scalaire
-l C·, .) .
Si la frontière
r~ est réduite à l'ensemble vide. la sous-structure considérée peut
comporter des modes de corps rigides.
Soit donc
~.... l'espace des modes de corps rigides. c'est-à-dire le champ des
déplacements qui n'induisent aucune contrainte. On note
~~ l'espace orthogonal de "!... au
sens du produit scalaire
( ~ • 1 • )
-
(1.75)
~
Pour tenir compte de l'influence éventuelle des modes de corps rigides. on introduit les
espaces suivants:
~
.1..
(I.76.a)
'tl.. - ~L (\\ ~R
-
-
,....,
.1-
..
(1.76.b)
~E
'~E'
-
" ~-.' ..
"- ~- ~
Dans ces deux nouveaux espaces
~L et 'f & • l'énergie de déformation qui était une
0_
, . . . , , - -
forme bilinéaire
.... (. 1 • )
dans
~ L et '1; e
devient un produit scalaire. La norme
,..,
qu'elle y engendre est équivalente à celle liée au produit scalaire
~ <., .) .
_
Les inégalités de KORN et de POINCARE permettent d'identifIer les espaces ~ L et
~~aux espaces de lllLBERT classiques en Dynamique des structures.
AfIn d'appliquer ces formulations continues à des modèles expérimentaux réels, il est
intéressant de discrétiser l'espace des solutions.

---

39
2) Schéma de discrétisation
On considère le déplacement \\k. comme étant une somme pondérée de !1 fonctions de
base
~ ~
(1.77)
où les ).,,(tJ sont des déplacements généralisés ne dépendant que du temps.
Les fonctions
cf ~ satisfont toutes les conditions de régularité (déplacements) sur la
.!:?ntière r
de.:il:>
, où
r:;: cp .L'espace des fonctions lA- solutions est donc
"%L, .
La discrétisation de l'équation énergétique (1.69) consiste à trouver des fonctions ~ \\.
pour qu'elle soit vérifiée au mieux.
où
t est une fonction d'erreur qu'on minimisera par un choix judicieux des Àl ,et
où si
f\\T -=
~ ~ :
N
L
~ l eé ~', !i) )..~
\\. =t
- t (~~" ~a) À~ + < t} ~(> + ~
(1.79)
-
~.I
La méthode consiste à annuler l'intégrale sur tout le volume
.JlJ de cette erreur
pondérée par une famille de fonctions \\. \\fJ' vérifiant l'équation (1.19), soit:
N
1'0(
(1.80)
L~ (~~/~dl ~l-:: L~~(~i"J~il~l-+ <..f, ti~
.Ir:,
~ té t~. N 1
En posant
(1.81)
(! J -
<. ~
~ ~ >
1

---

40
la force généralisée de frontière, le système (1.80) peut s'écrire matriciellement
(1.82)
( K J À - W~ (t'\\.) À =- tt-
avec
(1.83)
(1.84)
\\ M )
et
(K) sont deux matrices carrées d'ordre
N X N
appelées respectivement
matrice de masse et matrice de rigidité de la sous-structure. (M) est une matrice symétrique à
cause du produit scalaire
(e . 1 .) ,et (~ ) l'est aussi car l'opérateur K est auto-adjoint,
la structure étant isolée.
3) Identificaâon des espaces de fonctions
Par souci de simplification de l'écriture, nous conservons les mêmes notations dans les
deux formulations continue et discrète pour désigner les espaces de fonctions.
La forme bilinéaire l (. ,.) et les deux produits scalaires i (. 1 .) et
( (' • 1 .)
sont également appelés ainsi en formulation discrète.
L'espace ~
est engendré par le produit scalaire
C<,· 1 • )
~ Il. conserve la
même définition qu'en variables continues et vérifie l'équation
(1.85)
-
" " J
L'espace t
est engendré par le produit scalaire
le·
L
1 . )
• Nous notons
(1.86a)
(1. 86b)
(1. 86c)

---

41
,.....,
,....,
On définit l'espace
~E de façon similaire à ~L. dans le cas où l'interface de
r
- ,..,.
raccordement
o
est bloquée. On rattache naturellement à ~'- et !~les sous-espaces
1;l,. et te: :
(I.87a)
(1. 87b)
Les espaces fonctionnels identifiés en Eléments Finis sont de dimension finie et
constituent des approximations suffisantes dans le cadre des modèles expérimentaux classiques
de la Dynamique des structures.
4) Définition des modes nonnaux
Les modes libres sont solutions propres du problème spectral
~
\\J 2
E: ~
(1.88a)
K KL.~ -= W L.l 'X L.~
"1 e.
ra
(Ë:
(1. 88b)
CJ A
-: 0
"1.$~" ~
"XL\\.
(1.88c)
8- ~L.~ =0
1. ,~~ ~
V 2 E.
r ..
~
(I.88d)
c- A 'X \\.,. =0
'1. S ~-s
tn-\\..
V,24i& 1"'....
~
Les modes libres sont aussi solutions faibles de l'équation
(1.89)
Ces modes libres vérifient les propriétés d'orthogonalité
(1.90a)
(1.90b)

---

42
Les modes encastrés suivent une définition similaire. Ils sont d'abord solutions du
système:
(1.91a)
(1.91b)
(1.91c)
TI vérifient ensuite l'équation
-
(1.92)
et les propriétés d'orthogonalité
(1.93a)
(1.93b)
* Cas des modes nonnaux discrets
Les modes normaux discrets sont solutions de l'équation matricielle
..i
(1.94)
TIs vérifient l'orthogonalité par rapport aux matrices (1.<) et (H 1
(1.95a)
x! (M) ~~ :. ( ~ ')( L' l ')(.i) .. \\ \\J
x? (\\(.) ~i
~.")
(1.95b)
'=
l (, x, 1
' : .
W f
~,'~
II.2 FORMULATION DUALE
D'une manière symétrique à la description en déplacement, il convient de formuler le
problème spectral par une présentation en force.

---

43
La décomposition cannonique de l'opérateur K
donne
(1.96)
1<. ~ A '" A.
Cette égalité induit l'équation
Comme la contrainte au point f
s'écrit:
(1.98)
<r = A ~
l'équation (1.97) devient alors
(1.99)
ou encore
(1.100)
On multiplie ensuite l'équation (1.100) à gauche par A . nvient:
(1.101)
A
~
Â.
~ - w" A
-
(,
"'"
Comme
fS"=À v.. , en posant
\\..-::: ~ ~ A.&4., l'équation (1.101) devient:
e
(1.102)
t..
cr: w" (î'
'if E:. ~
l'équation (1.102) est l'équilibre dynamique en fonnulation duale où
"'L est un
opérateur différentiel d'ordre
~ ''l't\\, •

---

44
On adjoint à cette équation spectrale les conditions aux limites suivantes:
(1.103a)
A""
r:. 0
(1.103b)
(l.103c)
C\\(J=-~
Si la distribution des forces de frontière \\..fi 1est nulle, on peut montrer que les deux
opérateurs A et
j{ sont adjoints par le proouit scalaire Co (- , .).
(1.104)
c
\\. A. '""- ,
J
(!'
sous l'hypothèse que<r vérifie les conditions de force et les conditions cinématiques aux
limites de
~
Comme en formulation primale, il est intéressant de définir l'espace des solutions de
l'équation spectrale (l.102).
1) Espace des champs de contrainte
On introduit ~ E ,l'espace des fonctions suffisamment différentiables qui vérifient les
conditions de forces nulles le long de la frontière r~ .
Comme cette formulation est basée sur les modes encastrés, il convient d'étudier le
problème associé obtenu en imposant des déplacements généralisés
~ dl \\
le long de
l'interface de raccordement
ro
On associe à ce problème les conditions aux limites (I.I03.a) et (I.I03.b) auxquelles on
ajoute:

---

45 '
(1105)
la formule de GREEN (1.69) donne en contrainte
(1106)
,...,
,..,
Si on note formellement ~r l'image de l'espace "% L.. par la famille d'opérateurs- _
{Bi}, le déplacement généralisé impo~é le long de l'interface ro appartient donc à l'espace ~ r.
inclu dans les traces de l'espace ~L associées aux opérateurs
6\\
. La défmition (174)
montre que l'espace -
~s. est le noyau de l'opérateur de trace.
En suivant un formalisme variationnel comparable à celui utilisé en déplacement, on
introduit la forme bilinéaire suivante:
(1107)
Soit ~ l'espace des contraintes obtenu par complétion par le produit scalaire
Co C- 1 -1
, on peut remarquer que cette forme bilinéaire
-e. C- ,.)
n'est pas définie dans @'
car
les champs de contrainte statiquement équilibrés l'annulent On intnxiuit alors l'espace CC?S .
(1108)
Cet espace ~S' est fermé à l'évidence. C'est l'analogue de l'espace ~~ des modes
de corps rigides en formulation primale. On n~ '€sJ. son complémentaire orthogonal au sens
du produit scalaire Co (- , -) dans l'espace
(;' .
-
(1.109)
~
-'-
Dans l'espace
qg ~ (\\ «g S , l'influence des champs de contrainte statiquement
équilibrés est éliminée. La fonne bilinéaire
~ (. , • )
y devient un produit scalaire et on
note ~-; le complèté de l'espace
~é (\\ ~.rJ. par ce produit scalaire.

---

46
On obtient dans ce nouvel espace ~ €.
complet une fonnulation faible du problème
spectral associé défIni par les conditions aux limites (I.103.a), (1103.b) et (1105)
Afm de pennettre une prise en compte des champs de contraintes statiquement équilibrés
,..,
_ dans les méthodes .de synthèse modale, on introduit l'espace ec: ,complèté de l'espace <eE.
par le produit scalaire et· ,.) défini par
(1111)
Comme les nonnes liées à ~<:,.)
et ê:' (. , .)
sont équivalentes dans -
ee ,on
obtient alors :
(1.112)
,...,
,..,
On note ~L.
l'espace constitué des fonctions de &E qui satisfont les conditions de
bord libre le long de l'interface
r 0 • Soit :
(1.113)
'"
est donc un sous-espace fermé de
eE .
(1.114)
2) Schéma de discrétisation
Pour permettre une utilisation expérimentale de cette description en variables continues, il
convient de discrétiser l'espace des solutions des contraintes
(f' de manière similaire à la
formulation en déplacement
On considère la contrainte <î comme une somme pondérée de fl fonctions de base
~L (2),
f
E:
~

---

47
N
(l.115)
(J -=
L ~~ ttJ 0/\\ (.e)
où les ~~ (tJ
sont des forces généralisées ne dépendant que du temps t.
Les fonctions ct'c:
satisfont les conditions de force sur la frontière r
de 2 .
Une discrétisation analogue à celle utilisée dans l'équation (1.69) donne dans le cas de
l'équation (l.110)
En posant
<f'- U1.
,on obtient
-
l ~
N
N
(l.117)
2:, ~ l 'i'~ l 'fj) ~\\ = L ~:Lc. ('\\'l',~') ~\\
'=1
~ =,
+ < l , <:. "Vi >, ~ E. C.~I N 1
Ce système peut s'écrire matriciellement
(l.118)
C:r) ~ - w~ (5) ~: ~
(.3')
est une matrice carrée d'ordre NJ<N symétrique:
:r&~ '= ~ (.'h:} 4';)
l 5 )
est une matrice carrée d'ordre N"N symétrique :
S(~ ': Co l'\\' \\ ~d)
1
S;
désigne le déplacement généralisé à la frontière de
$-
3) Identification des espaces de contrainte
Comme en fonnulation primale, les espaces de contrainte décrits en variables continues
et discrètes conservent les mêmes notations. Chaque espace de IDLBERT étant généré par un
produit scalaire, il suffit donc d'identifier ces produits scalaires qui dérivent de l'équilibre
dynamique exprimé en contraintes.
La forme bilinéaire ~ ( .. 1 .. )
est identifiée en variables continues et discrètes, tout
comme les deux produits scalaires
~ (: , .. )
et
c. C. ).) .

---

48
,...,
Les deux espaces de base
~~ et ct; sont engendrés respectivement par ~l·,·) et c (. 'i
Nous notons:
(I.119a)
c (x., '1) -= x. t 5) Y
\\j x. '1 E:.
-
'T
~
.......
(1.1l9b)
e. ()(, y) :: XT ( J') Y
~><'/Y E;. ceE
(1.1l9c)
e (XI '1) : € l'K, '1) + c llC y) ~ ~ l 'f E, ~E
1
-
Tous les espaces introduits en variables continues sont identifiés en variables discrètes
d'une manière similaire à la formulation primale.
4) Définition des modes nonnaux
On recherche les modes encastrés adaptés à cette méthode des forces.
En formulation continue. les modes encastrés sont solutions de l'équation suivante
déduite de l'égalité (1.110)
(1.120)
Les modes encastrés ~ e: ( vérifient
(1.121)
Ces modes de contrainte
~e\\
sont reliés aux modes normaux introduits dans la
formulation primale par :
(1.122)
En variables discrètes. les modes encastrés de contraintes sont solutions du système
matriciel
(1.123)
~~
~
où
CU,'\\
est la pulsation expérimentale approchée de la pulsation continue eu~ ( .

---

49
113 LIEN ENTRE LES DEUX FORMULATIONS
L'opérateur A
qui intervient dans la décomposition canonique de l'opérateur J<.
dans l'équation (1.96) permet d'une part d'obtenir les modes de contrainte à partir des modes
de déplacement (Equation (1.122)), et d'autre part de relier l'énergie de déformation exprimée
en fonction des-déplacements à l'énergie de déformation exprimée en fonction des contraintes
(Equation (1.70)).
Cette souplesse de passage d'une formulation à une autre entraine une simplification
dans la mise au point des modèles numériques.
En effet, il ne sera pas nécessaire, dans le cadre des Eléments Finis de disposer de deux
codes de calcul, l'un en force et l'autre en déplacement pour tester les modèles numériques.
La seule formulation en déplacement génère deux familles de modes normaux:
*les modes libres sont associés à la formulation primale
*les modes encastrés vont constituer la base de la formulation duale.
Néanmoins, dans le cadre d'un formalisme général, il sera chaque fois nécessaire de
décrire les deux formulations primale et duale respectivement en déplacement et en contrainte.
nA TRONCATURE DES RESOLVANTES
1) Formulation primale
Afin d'appliquer ces méthodes dans un contexte expérimental, il est intéressant de
chercher les solutions du problème spectral dans l'espace
~ L amputé des modes de corps
rigides. Une extension à l'espace-
~l.
sera envisagée chaque fois que cela sera nécessaire.
L'équation dynamique (182) peut être écrite sous la forme intégrale de FREE DOffi..M
-
suivante afin d'obtenir une expression générale des éléments de l'espace 8l.'
(1.124)
X-W'1..(b) X = '"
LPtt<i
L=I
où
(1.125)
est la matrice dynamique.
fi ~
et
ft.: sont respectivement les déformées statiques associées à la distribution
de force
f: et les forces généralisées de frontière.

---

50
La solution X s'écrit alors :
ft.
(1.126)
X = L
(R) p~ i<- ~
L.:,
où (Q.) est la résolvante de l'opérateur matriciel
(l».
(1.127)
Les modes libres
). L. \\
fonnent une base onhogonale complète dans l'espace
~ ..
où il convient de chercher l'expression de la résolvante (~).
TI suffit en effet de déterminer
(R) ç> ~
pour obtenir la solution X
d'après
l'équation (1.126)
Or les modes libres
X L ~
obtenus expérimentalement sont en faible nombre. Cene
troncature modale induit une influence sur la solution cherchée qu'il est nécessaire de prendre
en compte par une étude systématique de l'expression de la résolvante (R) .
D'après la relation (1.127), le vecteur (~),~
est solution de l'équation suivante:
(1.128)
Soit (T~) la projection onhogonale au sens du produit scalaire
(~.,.) sur les' 1\\'\\.
premiers modes libres ~L.\\ détenninés, l'équation (1.128) devient
(1.129)
((1:) -
00'" (T\\O\\.) CD) <. T~) - w~ (v",) (b) (V,,-) )(R) p~
'::
2~
avec
(1.130)
La solution t~) t~ cherchée s'écrit à l'aide des coordonnées modales c::r
(1131)
où
(1.132)

---

51
avec
(1.133)
En étudiant la composante de l'opérateur {]»)
sur l'onhogonal de l'espace engendré
par les -n. modes libres XL\\ ,c'est -à-dire
(%>0): <'11",) (J»
tv "")
, au sens
du produit scalaire
(~. 1 .)
, on peut mieux rendre compte de la troncature modale.
A chaque cas particulier de la fonne de (»0) sera associé une méthode de troncature de
la résolvante.
*Troncature du ttPe RAYLEIGH-RITZ
Dans cette troncature, on néglige la composante
(":b •) ,soit:
(1.134)
(Do) = 0
On obtient donc
(1.135)
Cette méthode est associée à une description de RAYLEIGH-RfIZ liée· à une base
modale pour un problème à ?\\. degrés de liberté.
(1.136)
La matrice spectrale (..n....2.) est diagonale et constituée des pulsations de résonance des
modes libres et la matrice ~ F
est donnée par l'expression
(1.137)
Les équations (1.128) et (1.129) montrent que les fonctions
2(
sont combinaisons
linéaires des /)1\\.. premiers modes libres.
Il'\\.
(1.138)
.e~: L O\\A~ 'X L.~'
J.,
L'annulation de l'opérateur (no) rigidifie la structure. Mais cet effet est équilibré par la
non prise en compte des liaisons réelles le long de l'interface r. .

---

52
• Troncature par projection
On suppose dans cette méthode que l'opérateur (1).) a un spectre réduit à un seul
élément. 1./wQ.(.W\\""
1 de multiplicité égale à l'ordre de
(Do).
Cette matrice
lbD)
s'écrit donc simplement
(1.139 a)
(3).) -
1-
-
- Ctt"'+1
On en déduit:
(1.139 b)
\\J . > IV\\.
J
:1.. - w"./w....L",...
La solution l f2...) Pl
s'écrit alors :
""
_""_·,:...d
(f\\ - ~~·rj.LJ)
(1.140)
_X_L...JI:J_ _ + _ _j,,
i. -tAJ'/cJlL~+,
'1.-cJ-/ W'L'k+I
d::'\\
Ces deux troncatures ont une efficacité relative due au fait qu'elles n'utilisent que
partiellement les propriétés de l'opérateur (D)
TI convient donc d'introduire de nouvelles troncatures pouvant améliorer l'estimation de
la résolvante. C'est le but du développement en CA)'L de
l'") .
• Troncature par déveloopement en
Cù.q:
Un développement à l'ordre K
de (R)
donne:
(1.141)
~ (\\(+1)
~~I
Pour évaluer le résidu
GO
(Il) (D)
de ce développement, on
introduit les fonctions
..R L définies par :
(1.142)

---

53
Elles doivent induire une diminution de l'influence de la troncature à l'ordre "7\\.. dans
l'expression de la résolvante.
Un calcul dans la base modale donne aisément
CIO
(1.143)
~l:: L ,,\\L'~ ~Ld'
d='
où
(1.144)
On obtient alors
2) Formulation duale
Co~e en formulation primale, on cherche les solutions du problème spectral dual dans
l'espace
e~ amputé du champ de contraintes statiquement équilibrées.
L'équilibre dynamique (I.118) peut être exprimé sous la forme intégrale de
FREEDOHLM
1.
(1.146)
Y - t.At (e) y = L ~ ( ",'
i.:,
où
(1.147)
).\\ et
~,
sont respectivement des déplacements généralisés et des champs
de contraintes.

---

54.
La solution y
peut s'écrire en fonction de la résolvante (R) de l'opérateur
(e).
ft.
(1.148)
Y = L
(R) ~\\. >\\\\'
.
,,~.
où
(1.149)
TI est donc nécessaire de déterminer (R)~,
afin d'obtenir la solution
Y .
La défmition (1.149) induit l'égalité suivante:
(1.150)
(1:) _wl. (E)) lR) ~\\. = b\\
On utilise la base complète des modes de contrainte YE'( dans l'espace
«;' €
et la
projection de l'opérateur de base
(e) sur l'espace ~ "" engendré par les tr\\. premiers
modes de contrainte. Soit :
avec
(1.152)
<"T~1 est l'opérateur matriciel de projection sur l'espace ~"":
On envisage ensuite diverses méthodes de troncature de façon similaire à la fonnulation
primale.
'" Troncature de we RAYLEIGH-RITZ
On approxime la matrice (e) par sa composante principale
(T",) ( E) ( T",,)
• et on obtient :
(1.153)
(R) ~\\ =

---

55
TI est possible de relier les termes intervenant dans cette expression en fonction des
champs de déplacement
XE' ~ et
2 \\ . En effet:
(1.154)
Or la relation du dualité permettant de passer des contraintes aux déplacements donne :
(1.155)
On en déduit
(1.156)
où
(1.157)
*Troncature par projection
TI s'agit de remplacer l'opérateur
(u~) le) (,v"') par
On obtient une expression du produit
~ llR)"t, I"'C~')
(1.158)
où les tennes
e. l ~ i 1t J) s'écrivent
(1.159)

---

56
• Troncature Par dévelQppement en
CO ~
-t
Un développement en
GO
de la résolvante
(t) peut diminuer l'influence de la
troncature
,t.
~ (..c-I)
\\1(,-1
-t. K
f,) "<.
(1160)
( R) = (r) +w Ce) .....+ (Al
Ce)
+ LO
(Il) \\.e.
On obtient alors
Les termes intervenant dans ce développement introduisent deux familles de matrices
symétriques:
Grâce au produit scalaire
el- 1 .) ,les matrices intervenant dans ce développement
peuvent être calculées dans le cadre de la fonnation primale.

---

57
ID. SYNTHESE MODALE POUR LES NŒUDS INTERIEURS
ID. 1 PROCEDURE GENERALE
FlGURE TA
Schéma de raccordement de deux sous-structures
Les Eléments Finis permenent de générer des points modaux le long de la frontière n
par lesquels les sous-structures @ et
@
vont être raccordées. Cene méthode généralise
la liaison point par point basée sur l'utilisation des fonctions de transfert
li est nécessaire de vérifier d'une part la continuité des déplacements ou des contraintes le
long de la frontière de raccordement
1';, ,et d'autre part assurer l'équilibre des forces et des
couples à l'interface.
Comme les méthodes d'assemblage repose sur le choix de la formulation, il convient
d'introduire les notations suivantes:
(1. 163.a)
(I.163.b)
où les numéros 1 et 2 désignent respectivement les sous-structures @ et ®
. Les
produits scalaires globaux associés aux champs de déplacement \\A. et de contrainte fT"" sont
définis par
(1.164)

---

58
(1.165)
m. 2 FORMULATION PRIMALE
La fonnulation primale repose sur l'utilisation -des modes libres comme base de
description. Nous présentons trois méthodes: * utilisation des multiplicateurs de LAGRANGE
* utilisation de la raideur de jonction * utilisation de la souplesse résiduelle de frontière.
1) Utilisation des multiplicateurs de LAGRANGE
* Choix des coordonnées généralisées
t.
Le déplacement
tA..
de la sous-structure
@
est recherché sous forme d'une
combinaison linéaire des "'~ premiers modes libres
I\\'\\~
(1.166)
\\.l t. = L
9~ X&"J'
1=1
Les
N 1.
coordonnées généralisées
Àj
obtenues par discrétisation sont des
combinaisons linéaires des participations modales 'l'.
d
(1.167)
><'i = l XL" ) CJ~
.,1....
où
À~ = l ~~
'f-~)
Cf",
F )
\\
= ( :t: )
,
( '
1
~)
ok
~ = 'la 1
lx 1
lot.
est la matrice modale de dimension
N, X '\\"\\.1. •
Les colonnes des sous-matrices
[ "X L~) et
( )( L r:~ J
sont constituées
.respectivement des valeurs des modes sur les nœuds intérieurs et sur les nœuds de frontière.
L'équation matricielle
N,)( N, d'équilibre s'écrit:
(K~t
(1.168)
\\(FX
X désigne intérieur et F frontière

---

59
Dans la base modale, cette équation se contracte en un système matriciel """')t "'" ,
• Assemblage des sous-structures @ et
~.
Le raccordement des sous-structures @
et
@ induit une dépendance entre les
coordonnées modales
G\\" et
.,,a, de
@
et (D. Elle est justifiée par les conditions
de liaison à la frontière
ro • Les équations de liaison peuvent s'écrire matriciellement :
(1.170)
où
(A') = l~\\.F)
ak
tA1.) = (- xt f )
,c'est-à-direles
participations des modes libres respectivement de @
et de
@ sur la frontière.
C. A'")
est de taille
2 x 'J\\~ et lA.&.) , ~ xY\\.~ si ~ désigne le nombre de
degré de liberté de frontière.
Le Lagrangien du système total peut s'écrire:
Les matrices spectrales
t.st.~) et (..n~) ~ont diagonales et sont constituées des
canés des pulsations des modes libres et des zéros associés aux modes de corps rigides.
Le vecteur ~ est constitué des multiplicateurs de LAGRANGE.
Les équations d'équilibre s'obtiennent aisément en appliquant le principe de moindre
action d'HAMILTON:
(1.172)
On peut déterminer l'expression des multiplicateurs de LAGRANGE en fonction des
coordonnées modales.

---

60
L'équation (1.170) dérivée deux fois par rapport au temps donne
(1.173)
( At l A~) (ï~1~ 0
En multipliant (1.172) par
l f\\' \\ Pr~) à droite et en tenant compte de (1.173), il
vient
(1.174)
En posant
(1.175)
, (1.174) devient :
(1.176)
Le report de cette expression (1176) dans l'equation (1.172) donne:
(Jlt~
1
(1.177)
0
.n,
o
(~'J- Q)~ (.~ :J[~~1 :
( ,..TIl Il'
Soit
1fT 8 AoC,
·~Il~)C~L
4''' 8 Roi.
°1e']
b~}
,1-
(% _A,T
(1.178)
a ,.'
_••Talt')
I.T
Al.T , li-
- A & A'
(~.l ~) (~:)
~[~
-Lu
0
: )(~~) =l:)
La matrice de rigidité inteIVenant dans la relation (1.178)
(1.179)
n'est pas symétrique. Il est possible de rendre l'équation spectrale (1.178) symétrique. A
cet effet, on multiplie d'abord l'équation (1.178) à gauche par la matrice

---

61
(l.180)
soit
j'tl
0"\\ [1: ~ AIl"!1 AI
(1.181)
[
;..) (~~)
o
.J\\.'t)
_"l T ~ A'
ll.
::-LV
l~' :J t~'.J
Le changement de variable
(1.182)
donne alors
A I
0
"'\\
(1.183)
_:~T;~:~J[~ :J (~.J
( o
.J\\.2..)
-
W~ (~: J
On peut remarquer que cette équation n'introduit pas de réduction dans le nombre de
coordonnées généralisées du système assemblé, sous-structures ® et @.
2) Utilisation de la raideur de jonction
'1.
~...-.....--~.... <
À ~J'
FIGURE 1.5
Distribution de raideur dejrontière

---

62
* La méthode
Pour améliorer les techniques de synthèse modale, on utilise des matrices de raideur
associées à des déplacements nodaux le long de l'interface de raccordement
fo . Celles-ci
traduisent la souplesse des jonctions induites par les sous-structures adjacentes et atténuent les
effets de troncature modale.
Les Eléments Finis qui permettent une description matricille des frontières par le biais
des nœuds qu'ils y génèrent, facilitent également l'introduction de ces raideurs de jonction dans
le calcul numérique.
Comme dans l'équation matricielle (1.168) on regroupe les nœuds de même nature:
indice 1 pour les nœuds intérieurs et indice F pour les nœuds de frontière. Les matrices
de rigidité et (K) de masse de la sous-structure ( M) s'écrivent alors
(1.184)
* Choix des coordonnées généralisées
Une description de type RAYLEIGH-RITZ donne en Eléments Finis
(1.185)
~ 1: et ~ f'
correspondent respectivement aux déplacements des nœuds
intérieurs et des nœuds de frontière. Les fonctions
~. sont des déformées utilisées dans
d
l'interpolation en Eléments Finis.
En introduisant les l'f\\..
premiers modes libres
, on obtient une nouvelle
description
(1.186)
+
"....,
Les modes libres
X L~ sont des formes approchées des modes discrets Xl.i
obtenus par Eléments Finis à l'aide des matrices (K) et (t1) .

---

Le changement de coordonnées suivant :
(1.187)
[~: J-
donne deux nouvelles matrices de masse
(~J et de raideur (K J par simple
congruence.
(1.188)
avec
T
T
(1.189)
:. X LI: M:r'F
+
'X LF M.1=F
T
(1.190)
X LI: Kr F
*Svnthèse d'une sous-structure
Le modèle que nous venons de définir, et qui est illustré par la FIGURE 1.5 permet
d'approcher les modes d'une nouvelle structure. Celle-ci est obtenue en introduisant la raideur
additionnelle
l répartie sur les nœuds de la frontière
En effet, l'introduction des nœuds fictifs de frontière qui dédoublent les nœuds réels
induit des forces généralisées
F
liées à la raideur de jonction et aux déplacements de ces
deux familles de nœuds. Soit :
(1.191)
'F =
\\ t:
représente le déplacement des nœuds fictifs et est associé aux mêmes fonctions
de forme ~J que ~F . La marrice de raideur de frontière \\(f'F s'écrit simplement
(1.192)

---

64
Les modes normaux discrets de la nouvelle structure sont obtenus d'une pan en
Elérnents Finis en bloquant les nœuds fictifs ~ F
et d'autre pan en synthèse modale par
l'équation spectrale standard suivante:
(I.193 a)
* Assemblage de deux SOUS-slnlcnlres
il suffit d'écrire l'équation matricielle ( 1 . 193 a ) pour deux sous-structures, soit :
.l.
0
Ku: ,
q,
JlL,
2-
\\( Lf.z.
0
...Sl.L'\\.
0
ch
(I . 193 b )
L( ~ LI
0
L( FF, ... KFF'
0
)"FI
0
\\( r\\.~
0
\\(fF.z..+~Ff
)Ft
1:
0
MLfi
0
0,
'1&
~
0
~
0
t'\\LFt
_'-0
'b..
0
M J=ll
0
t1
-
FF-I
0
-
~F,
0
C
MFL~
0
t1 F-ft.
)F)
0
A~,
3) Utilisation de la souplesse résiduelle de frontière
La matrice de flexibilité résiduelle de frontière
Stl, peut être calculée matriciellemem à
un ordre quelconque, mais cette détennination devient moins aisée quand cet ordre croit.

---

65
Dans les tests numériques nous nous intéressons principalement à SR calculé à l'ordre
zéro, un et deux. Nous estimons ces trois essais significatifs pour rendre compte de l'influence
des termes résiduels dans les techniques de synthèse modale.
A l'ordre zéro, l'on ne tient pas compte de la souplesse résiduelle de frontière. C'est le
cas exposé dans la méthode d'utilisation des multiplicateurs de LAGRANGE.
Le calcul explicite des termes de souplesse résiduelle est exposé en ANNEXE 4.
Nous présentons la synthèse de deux sous-structures pour
S~ calculé à l'ordre un.
Mais cette démarche peut s'étendre à un ordre quelconque.
* Choix des coordonnées- généralisées
D'une manière générale, l'expression du déplacement
U, t.
d'un point de la
sous-structure
@
peut être décomposée en deux tennes en accord avec le produit
scalaire (~.,.)
(1.194)
+
v...'"'\\'\\"
est le déplacement projeté dans la base des
IV\\. \\.
premiers modes libres.
lA.~.I\\.
traduit la participation des modes non pris en compte, c'est-à-dire les modes
résiduels.
La participation des modes résiduels induit des caractéristiques modales essentielles des
modèles dynamiques: la flexibilité et la masse résiduelles, significatives des modes non
retenus.
Le déplacement généralisé de frontière pour la sous-structure @ s'écrit:
(1.195)
,
regroupe les composantes des modes de corps rigides sur les nœuds de
frontière.
(~tF) regroupe les composantes des modes élastiques sur les nœuds de frontière
~ ~ et tl ~ désignent respectivement les participations modales des modes de corps
rigides et des modes libres.
(S61.)
....
est la condensation de la matrice de flexibilité résiduelle sur la frontière
[Ji.
('-
est le vecteur des forces généralisées de frontière.

---

66
1
Les coordonnées modales
"~des modes de corps rigides et 9 L des modes
élastiques sont solutions de l'équation matricielle suivante:
J('
o
'1~
(1.196)
.c
~
'-
' 1 -
-
~
- W 1: + .J\\. L,
9
)
On pose:
(1.197.a)
(1. 197.b)
(1.197.c)
L'équation (1.196) devient :
(1.198)
* Assemblage de deux sous-stnlctures
Le comportement dynamique de l'assemblage est obtenu en imposant les conditions de
liaison suivantes :
(1.199 a)
et
(1.199 b)
Le déplacement généralisé des sous-structures @ et @ s'écrit:
(X~F J
1
(1.200 a)
)\\~ =
9'
+
(SIl~J p.-
et
(1.200 b)
'/:F -...
CX~F 1 1<- + ( S.~~) f:l:'

---

67
On en déduit
(1.201 )
On note
(1.202)
TI vient
(1.203)
L'équilibre (1.196) de la sous-structure
devient donc
(1.204)
Cette dernière équation induit le système standard suivant:
~
1 T
..,
..J'\\..\\ +'XF "R XF
(1.205)
l ~ T 1-
- ')( F
K,. 'XF
Ce couplage des deux sous-structures équivaut à un couplage élastique représenté dans la
maoice de raideur par le terme
_ 'X' f=T \\(~ X ~
et sa transposée.

---

68
ill.3 FORMULATION DUALE
La fonnulation duale utilise les modes encastrés comme base de description. Nous
présentons trois méthodes pour illustrer des techniques de synthèse modale: * utilisation des
défonnées statiques * utilisation de la raideur de jonction * utilisation de la masse résiduelle de
frontière.
1) Utilisation des déformées statiques
* Choix des coordonnées généralisées
Le déplacement
Ll~ de la sous-structure @
est recherché sous la forme d'une
combinaison l~éaire des tr\\..~ premiers modes encastrés
"X.~ j
et des.N
défonnées
statiques
~i .
(1.206)
+
Les coordonnées généralisées obtenues par discrétisation ont pour expression:
(1.207)
Les notations sont analogues à celles utilisées dans les parties précédentes. Ce
changement de coordonnées induit l'équilibre dynamique suivant dans la base modale par
congruence
o
,r~))(:J- d~:,
(1.208)
(: )
.t.
-lLe '1.
est la matrice spectrale diagonale composée des carrés des pulsations des
modes encastrés

---

69
1> ( Pl·l , f ,1. )
(
1 1)
~ \\
0
est une matrice de taille
N X N
' comme
~ f l 'Pei .
b"': \\. '0'\\. id) est une matrice ~)( ~ ~ où
bij = C~ ft, Xe:d)
* Assemblage des sous-structures © et ©
Comme en fonnulation primale, il suffit de vérifier la condition de liaison en déplacement
(1.209)
On en déduit le système matriciel spectral suivant de l'équilibre de l'assemblage
.2-
0
(1.210)
(:E'
~
..J\\. ~l.
0
~ )(;~l
~
-w
[1. 0 br
0
1:
bl
b,
b2..
It
M
où
)[~:)=(:J
(1.211 a)
*K := '-'1. (p/ ~.1.)
J
+ {~
i.
\\.
(fl 1 fi)
(1.211 b)
h '::: (e f1/ 1'/) + ( f2.. 2t'~, et)
* Commentaire
Cette méthode est équivalente à l'utilisation des masses résiduelles de frontière à l'ordre
zéro et à l'ordre un. L'ordre un est le résultat présenté. L'ordre zéro consiste à ne conserver
dans la matrice de masse obtenue en Eléments Finis que la sous-matrice carrée relative aux
nœuds intérieurs, soit:
(1.212)

---

70
2) Utilisation de la raideur de jonction
La procédure utilisée dans la {onnulation primale reste valable en {onnulation duale.
Mais on introduit les modes encastrés à la place des modes libres.
'" Choix des coordonnées généralisées
On se sert de la même description de RAYLEIGH-RITZ en Eléments Finis et le
déplacement ~ de la sous-structure
@ s'écrit:
CY\\..
\\{.'":: L
(1.213)
~:t~ ~ %i
J='
On introduit ensuite les "t\\.. premiers modes encastrés dans cette discrétisation à la place
des {onctions de tonne
cp ~ ,soit:
(1.214)
,...,
où les modes encastrés
)(EJ sont des approximations des modes nonnaux discrets ~J
obtenus par Eléments Finis.
Le changement de coordonnées suivant
(1.215)
donne par congurence deux nouvelles matrices (~) de masse et (~) de rigidité.
(1.216)
=
J
(M)
(:F~ t1u
\\.t<.~ =(-lL~
KFFj
~f''E
\\(~F
"" fil F
où
T
(1.217a)
M.eF'
- XE h.l; F
(I.217b)
"'t~
T
- 'XE \\<.1~
-

---

71
• Synthèse de la sous-structure @
La méthode de calcul utilisée dans la fonnulation primale conduit pour les modes
encastrés au système spectral suivant :
(..Il:-
(1.218 a)
KFf
• Assembla~e des deux sous-structures
TI suffit d'écrire l'équation (1.218 a) manicielle pour deux sous-snuctures, soit :
"
0
-A.
Ket=.
e-l
0
q'
~
0
J\\.e.z.
6
\\( E-t=2.
(1.218 b)
"l.
\\( f"E" 1
0
\\(FFI +~~f'
0
~f
0
K ':~.z.
0
\\(Ff=J.+\\{flf
~1.f
"X-
C)
h eFI
0
q'
0
-w~
0
l
0
t\\ Ef=<.
'rI.
0
hFE 1
-
0
MF'FI
0
Xr:
0
0
HFE.l.
0
h -1"=.2-
~1:
0
3) Utilisation de la masse résiduelle de frontière
Comme en formulation primale nous nous intéressons principalement à la masse
résiduelle.tt... à l'ordre un et à l'ordre deux. L'ordre zéro est corrélé à la méthode d'utilisation
des déformées statiques exposée dans les parties précédentes.
Le calcul explicite des masses résiduelles
figure en ANNEXE 3.
Nous présentons la synthèse des deux sous-structures pour
Hl au premier ordre.

---

72
* Choix des coordonnées ~néralisées
Pour la sous-structure @), la force généralisée
l't" s'écrit:
(1.219)
'1si
représente les participations des déformées statiques
'C i .
~ EJ
représente les coordonnées modales associées aux modes de contrainte
~Ej"
\\0
est une matrice de composantes
\\'ii = Ce f; x~J~'
1
L'équilibre de la sous-structure @
s'écrit dans la base modale:
(1.220)
où
(1.221)
K'1 est une matrice carrée dont l'ordre est défIni par le nombre de degré de liberté de
frontière.
* AssembJaee de deux sous-structures
L'assemblage est réalisé par les conditions de liaison suivantes:
(1.222a)
~= ~: c-~~
(1.222b)
t<.= /-<.1.=~"
L'égalité (1.219) permet alors d'écrire:
(1.223)

---

73
L'équation matricielle (1.220) écrite pour les sous-structures
@ et @ pennet
d'éliminer ÀFdans l'équation (1.223). On obtient alors le système matriciel spectral suivant":
B
BL.
-&
-
& ".a.
'1~
1:+ I,;s b.
T
_ b.s
- b~B b2,
~'E
(1.224)
S
B
B b2.
,~
T
r. bl. 8'D~
1~
-1-
K\\
0
,,~
0
~
_W
-~
...I\\..e.
1
~E
- 0
_1
K~
-
'1~
0
0
_1
..st E'"
,,'f
0
où
(1.225)
8 :
( Mil, + t1 '-1. 'f~
m. 4 APPLICATION EXPERIMENTALE
..J) Récqpitulatif<ies tableaus de la partie lU
Tous les tableaux de la partie III de A4 à A 10 donnent les modes libres de la plaque
double obtenus soit par synthèse modale (à l'aide des modes libres ou des modes encastrés) soit
par un calcul direct en Eléments Finis. On y compare les résultats de la synthèse à ceux des
Eléments Finis.
1) Tableau A4 : Synthèse pour une souplesse résiduelle SR nulle avec 6 modes libres
( 6 L), 9 modes libres (9 L) et 12 modes libres ( 12 L ).

---

74
2) Tableau A5 : Synilièse avec une souplesse résiduelle SR calculée à l'ordre 1 avec 6 modes libres
( 6 L ) et 9 modes libres ( 9 L ).
3) Tableau A6 : Synilièse avec une souplesse résiduelle SR calculée à l'ordre 2 avec 6 modes libres
( 6 L ) et 9 modes libres ( 9 L ).
4) Tableau A7 : Comparaison des résultats de synilièse avec une souplesse résiduelle SR calculée à
l'ordere 1 et à l'ordre 2 pour les modes élevés
5) Tableau A8 : Synilièse avec une masse résiduelle MR nulle avec 6 modes encastrés ( 6 E ) et 9
modes encastrés ( 9 E ).
6) Tableau A9 : Synilièse avec une masse résiduelle MR à l'ordre 1 avec 6 modes encastrés ( 6 E
) et 9 modes encastrés ( 9 E ).
Les sigles N.C. désignent Non Calculés tandis que M.C.R. signifient Modes de Corps Rigides
dans tous les tableaux de ce travail. '
2) Commentaire des résultats
Nous avons illustré ce paragraphe par plusieurs essais numériques en formulation primale comme
en formulation duale. Nous avons recherché les modes libres de la plaque double en longueur de la
plaque de référence. Ce résultat a été obtenu par assemblage de deux plaques identiques sur
lesquelles nous avons fait la synilièse. Les fréquences des douze premiers modes libres obtenus
sont comparées à celles de la plaque double calculée par Eléments Finis.
*Formulation primale
Les tests en formulation primale utilisent les modes libres dans le schéma suivant:

---

75
Les résultats des tableaux A4 et A5 et A6 correspondent respectivement à l'utilisation des
multiplicateurs de LAGRANGE, c'est-à-dire la méthode de RAYLEIGH-RITZ où la souplesse
résiduelle est nulle, à l'utilisation de la souplesse résiduelle au premier ordre, puis au deuxième
ordre.
Le tableau A4 fait apparaitre 3 colonnes de résultats où l'on utilise d'abord 6 modes libres pour
chaque plaque, soit 18 modes au total en tenant compte des. modes de corps rigides, ensuite 1
paire de 9 modes libres, (soit 24 modes au total) et 12 modes libres par plaque (soit 30 modes au
total) afin de réaliser l'assemblage. Comme nous avons 15 degrés de liberté de frontière, donc 15
inconnues, l'assemblage réalisé avec 18 modes devrait permettre le calcul des 3 premiers modes de
la plaque double et celui obtenu à partir de 24 modes les 9 premiers modes et enfm 30 modes pour
les 15 premiers modes de la plaque.
A partir de 18 modes comme base de description, nous obtenons comme prévu les 3 modes de
.corps rigides (M.C.R.) de la plaque double, (voir colonne 6L du Tableau A4). Les autres modes
calculés s'écartent très fortement des valeurs exactes (M.E.F.) à l'exeption du premier rr..ode
élastique.
Ces écarts entre les fréquences sont justifiés par la t'roncature modale d'une pa..'1 et surtout par la
non prise en compte de la souplesse résiduelle SR d'autre part.
L'effet de la troncature modale est corrigé lorsqu'on augmente les modes retenus dans labase de
description. Ainsi, en passant de 6 modes libres (6L) à 9 modes libres (9L) et à 12 modes libres
(12L) retenus par plaque, on note une nette convergence des résultats de la synthèse modale vers
les valeurs exactes (M.E.F.).
Mais c'est la prise en compte de la souplesse résiduelle SR (Tableaux A5 et A6) qui améliorent
davantage les résultat~ de la synthèse.

---

76
L
+
L
-- I~_L_1
TABLEAUA4
PLA Q.U E.
DOU5LE
FRE:a..UE.NC.ES (H~) IlE 5 MODES
LIBR.E.5
NO
G L
9L
1.2 L
E XA CTes
Mo bE.:5
'3 Mc::. ~
3 Mc.~
3t"\\c.A,.
~~c."
1-
'24.24'
21..'78
'G1. 'S4
1.~. ~g5"
..
'2
'7. 5'Hi
5'8. 3~2
3'3. S'1S'
34·437
~
75. 471
1Z.1.S3
5"'. 6~3
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+
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~1). 339
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1.11. 848
B
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N. Co.
1.~3. 7"
1.7'. '70
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N. C.
..... c. •
2.14.4'1-
1.18 . '3'
-10
,.". C.
N. c,.
230.377
'1. ~5". 0 32
"il
N. c..
t.I. c..
440. 92.~
2??l .....~'
1.~
N.C..
N. Co.
1'to. 1o,
241. 5""

---

77
Dans les Tableaux A5 et A6 l'on tient compte de la souplesse résiduelle SR de frontière
dans la synthèse de chaque plaque. Que celle-ci soit faite avec 6 ou 9 modes libres, nous
parvenons à calculer les 10 premiers modes libres au moins de la plaque double, qui concordent
très bien en fréquence avec les valeurs obtenues directement par Eléments Finis.
TABLEAUA5
PLAG,UE
nov BL E.
F ~ E G.V E NeE. S (HZ) DES MObE5 L\\BRES
NO
& L
~ L
e XAÇTES
MO 1) ~s
3 Mcft.
3HÇ"
a he A.
"1-
'1C3. 070
1. C:). o,~
-:11. ~IS
2
~ 4. ~90
3 .... 484
3't.4~7
~
53.02.9
5a. 0 '2.5
S'~. 0 "4-
4-
7~. OO~
77... 'ï'
71.. ~12
"105·"14'2.
S
"1°4. ~~q.
"'1.0s.007
,
'11~. t~4
-1.1.9.405
"1.~~."!37
7
1.11. '1-0
'1"71. '0'1
"171.lid
8
1. 78. 5 ~4
"'177. '55
-17' .870
9
1. 71. 702-
'1.78.08Z
"178. 83~
-:10
"1~ ,. 4SG
-t,s. 8S3
"1' 5".032
11
2'2. 7. ~S5
21.7. 3~s
~?3. -f.~~
1.2,
'2 7 S. 642-
"2. 4~. 5"3
241. S,,

---

78
TABLEAUA6
PLAQ.\\JE
l)OU e>LE.
FRE QUE NC.ES (Hr.) 1)E~ MOOE5 L\\ BRES
Nil
E>L
9 L
EX l'T <:.'T ES
,",0 osas
~ M c.A.
~ fo"\\ c.p..
~MC.ft.
1.
1.9. (),~
1.~. (Jot
-1.1. 9aS
'Z
~ +.485
34·+fs
3 .... 437
3
5~. 03 a
S?>.011.
53. 034
+
7'2.. ~ 70
72. 9 ~o
7Z. ~.rz
~
1.05. 0<1-1
~04·'OO
"1.05.007
,
~19 . .. a~
"118.~~o
1.1.CJ.337
7
1.12. 4'~
1.11.92.'
1.71.148
,
1. 77. '118
1. 75". 1 "2
1.7~· 870
9
1.11. 720
1. 71. 7~O
'171.13'
1.0
'1.96. '1.3~
1.~ s. ~7S
-195'· O:f."Z
• u cas particulier de la souplesse résiduelle au 2è ordre
La comparaison des Tableaux AS et A6 sur les 10 premières fréquences montrent que la
prise en compte de la souplesse résiduelle SR au 2è ordre améliore très peu les résultats par
rapport au 1er ordre.
C'est aux modes élevés. ici 12è. 13è. 14è mode etc... (voir Tableau A7) que des
différences très significatives apparaissent entre les fréquences calculées avec SR au 1er et au 2è
ordre.
En effet, la souplesse résiduelle au 2è ordere correspond à la prisé en compte des forces
d'inertie qui résultent des déplacements du 1er ordre dûs aux forces extérieures ( voir
ANNEXE 2).
Les effets d'inertie devienent prépondérants lorsque la gamme des fréquences cherchées.
ici F > 248 HZ. est nettement au dessus de la gamme des fréquences Fi des modes retenus
pour la synthèse modale. Fi
€
(70. 447 HZ • 238. 683 HZ )
Le Tableau A7 illustre ces résultats

---

79
TABLEAUA7
PLAG.UE:
t>OUBL"E.
F~E.Q.VE NC.E5 (H~) DE.S MObE5 L\\8RES
N°
CiL
6L
e'l<Ac.Tes
HOJ)es
:1.... ob«..f.
"2."
0 '" 1> .. E
1.1
'2."l..7.~55
"2.'2.1.596
24~."'''''
12
275. '44
'2'5. 157
241. 5"~'
-1~
3'!6". '375
~7'. ~~,
2'9. G~o
"1<4-
3~~. ~ 37
293.~73
7.76.113
Dans le modèle modal que nous proposons dans le chapitre 3 et construit en fonnulation
primale, nous utilisons une gamme de fréquences au dessous de 240 HZ. lorsque les 6
premiers modes libres servent de base description ou 430 HZ si ce sont les 9 premiers. Les
fréquences des modes encastrés recherchés ( voir Tableau A3 ) sont inférieures à 270 HZ pour
les 5 premiers et compris entre 400 et 575 HZ pour les 6è, 7è, 8è et 9è modes.

---

80
La recherche fréquencielle que nous ferons se situe dans la même gamme que les
fréquences des modes libres qui nous serviront de base de descripùon de notre modèle modal
construit par les techniques de synthèse modale au chapitre 3.
L'utilisation de la souplesse résiduelle SR au 2è ordre ne pourra donc améliorer
sensiblement nos résultats de synthèse modale, d'après la comparaison des Tableaux A5 et A6
qui illustrent en fait la propriété générale selon laquelle SR au 2è ordre n'améliore pas les
résultats de synthèse au 1er ordre dans la plage des basses fréquences.
C'est pourquoi les méthodes de correction proposées au chapitre 3 ne concernent que SR
au 1er ordre, et sont destinées à apporter une amélioration importante des résultats de synthèse
modale (fréquences, réponses temporelles, ou déformées dynamiques des structures calculées)
dans une gamme de fréquences où il y a peu de différence entre le 1er et le 2è ordre dans la
réponse dynamique de la structure.
*Formulation duale
Une démarche analogue à celle qui précède a été suivie dans le cas de la formulation
duale. L'assemblage est réalisé à partir des premiers modes encastrés de deux plaques
identiques suivant le schéma :
E
E.
-
L
A partir de 6 modes encastrés pris comme base de description pour chaque plaque, nous
avons calculé les 12 premiers modes libres de la plaque double. Les tableaux A8 et A9
correspondent respectivement à l'utilisation des termes résiduels à l'ordre zéro et à l'ordre un en
formulation duale.
TI convient de remarquer le gain de précision en fréquence de 6 à 70 HZ depuis le 4ème
mode libre jusqu'au 12ème lorsque l'on ùent compte des termes résiduels. Ces résultats sont
encore améliorés quand on augmente le nombre de modes encastrés retenus pour faire la
synthèse de chaque sous-structure.

---

81
TABLEAUA8
.
PLAQ.VE.
1)OU&LE.
F RE. QU ~NC.~S (Hè) t>ES MOI>ES L\\BRES
N°
G E
MO~S
9E
EX~C.TES
3 "" C Il
~ fo1c ...
3 ..., c.c.
"1
'2.0. 2."
20. 49~
-tg. ~15
2
34. 454-
'?>4. 454
3+·437
~
S~. 074-
S~. 0 7 ~
53. 031-
4-
'7 ~L 4'~
"'!.'1.0'1
, 2. al'2.
!5
"115. ""
6
"1.1. 5". 342-
"105.00 .,
,
'11.".7a3
~'1.c!.S'1~
'1.1.C!. ~~7
7
t 7~. 400
'1.7~.oS'
'171.14-l
i
-1.85.388
"111-. 4~1
'17'.170
~
'1.<3,. 1.'7
"'1.'13 4. 477
'1.'II. 839
"10
215. ~ 1.'2
'1 C3".. 9 75
1.~S.032.
1.\\
~21. 01.5
24' ·'11
22.~. ~~~
"1.~
~4S. ,~S
'2.S0.05'
? +1. $"
Les écarts de 7 à 23 HZ du 4ème au 12ème mode libre entre les fréquences obtenues par
synthèse (cas des 9 modes encastrés) et les valeurs exactes calculées par Eléments Finis
s'expliquent par la non prise en compte des tennes résiduels de masse dans la synthèse des
deux sous-structure.

---

82
Le tableau A9 suivant où l'on tient compte des tennes du premier ordre fournit des
résultats quasi-identiques par les deux méthodes. L'importance de la prise en compte des termes
résiduels de frontière en synthèse modale vient encore d'être attestée.
IABLEAUA9
PLAQ.VE.
'\\)OU~LE.
F~E nVêNc.é.S CH~) I>~~ MonES
L\\BRES
N'
6E
Mo Oti$
~E.
EXA- C.Te-S
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aM<:'~
.3 M Cil
1-
1.~. 008
1.~. 007'
tl. "jIS
~
~ +. 44$
~ +.4-4-5
34. 417
'?l
~~.
43' 0
52. "J17
.$' ~.
o? Cf.
4
73. '2.4J'
73.00'
72. C3/2,
s
"1.0$. 0"2. s
1.°4. 7 91-
·1.0$ . .,07
,
1.1~.SOS
1.'1~.'2.7'
'1tC3.~~7
ï
1.71.. 71.1
1. 71.. 34.s-
1.11. .148
g
1. JO. r~~
'l.11."4-
-1.7,.110
9
"1. t 4.
'~3
1. 7C3. 2'1
'171. la,
1.0
1.~s. 1~3
"1.~s. '93
"'1~s. 034
ou.
257. '2. ~ 0
2~O. 1.7Z
"2."2. ';. 44~
1.2,
'2. 7 7. 1'\\3
'2.~g. '2?,
oz. ~f. s,,

---

83
N. DOUBLE SYNUJESE MODALE
N. 1 INTRODUCTION AUX PROBLEMES INTERMEDIAIRES
1) Principe de base
ri
Fi~re 1.6
A partir des modes libres de la sous·structure ® décrite en figure de gauche (frontière
libre) l'on souhaite déterminer les modes encastrés de la sous-structure (i;) décrite en figure.
de droite (frontière
ro fixée) et viœ·versa.
On considère alors un nouveau problème spectral intermédiaire entre ces deux états et
régi par un nouvel opérateur linéaire. Les valeurs propres de cet opérateur induisent une
estimation des fréquences encastrées à partir d'un état initial de frontière ['.
libre et
réciproquement une estimation des fréquences libres à partir d'un état initial de frontière ro
fIxée.
La construction de l'opérateur linéaire intermédiaire est réalisée grâce à une projection
onhogonale de l'opérateur du problème spectral initial sur l'espace des solutions cherchées,
,.,
~
c'est·à-dire tE dans le cas de la recherche des modes encastrés et ~L.dans le cas de la recherche
des modes libres.

---

84
2) Définition des problèmes intennédiaires
,...."
En formulation basée sur le champ de déplacement on considère l'opérateur])
défini
par:
(1.225)
-
Sa restriction})
à l'espace ~L. amputé des modes de corps rigides vérifie
(1.226)
,...,
Les conditions cinématiques suivantes sont liées à
1)
(1.227)
8.: \\A. :. 0
Afin de déterminer les pulsations de résonnance
(cJE ~ de la sous-structure @
encastrée, c'est-à-dire lorsque celle-ci doit vérifier les conditions cinématiques supplémentaires
à l'équation (1.226), c'est-à-dire
(1.228)
SLlA = 0
V 2 €
t'o
..-
,...,
on introduit le complémentaire orthogonal de ~E" ,sous-espace fermé de 1l. au sens du
produit scalaire 1. C· , ·)
.Ce nouvel espace est noté fit ,soit:
(1.229)
~L = ~e @ jJL
-
Dans l'espace
~ L
privé des modes de corps rigides, le produit scalaire
~ (. 1 .)
permet également de construire un espace similaire .ifL ,soit:
(1.230)
-
l'
L'espace
fiL est construit grâce aux fonctions
solutions des problèmes
pseudo-statiques suivants :
(1.231)

---

85
Le théorème de LAX-MILGRAM assure l'unicité de la fonction
t pour chaque
distribution de force f .Cet ensemble de fonction"
est dense dans
--}Ve..-
Comme l'influence des modes de corps rigides entraîne le choix de
~ ou ~L
comme espace de description, il est intéressant de considérer la projection de la solution l'
sur l'espace t" des modes de corps rigides, au sens du produit scalaire Ce· 1 .) • Soit la
décomposition
(1.232)
-~L. -:::. "%L œ t;~
on obtient
t'V
-
~~
"'"
..... E.
~L
..e-t
f~ 4iè
(1.233)
1 - f + ~~
) f
-
,...."
où
~.... est la projection de GL.. dans ~It.
~
Soit fiLr.. l'espace de dimension finie engendré par l
solutions indépendantes
" J
de l'équation (1.231) et
Tf..
l'opérateur de projection sur cet espace au sens du produit
scalaire
1(·,·) de ~i. •
Le problème intermédiaire primal d'ordre
l
désigne la recherche du spectre de
- '
l'opérateur
projeté dans le complémentaire onhogonal de
JJL" :
-.,
'" --
-- Cl)
(1.234.a)
Ul. b V{ :
)(
lA.-
avec
......,
rv
(1.234.b)
U k -.: I -
T "-
cl-)
/ "'.2. ( {)
Les valeurs spectrales
Y.:.
= 1.
W
\\,.
de l'opérateur
donnent des estimations
CU,,' (~
par défaut des pulsations de résonnance
WE ,,'
des
modes encastrés calculés en considérant les conditions cinématiques (1.228)
~)
(1.. •
('-~)
(00\\
(1.235)
W.:'
~ tu/2.J ~ - --- ~ e.ul.' ~~ w,,'
,- --. ~ tV, ;/:= W.. l

---

86
et
(1.236)
d'après les principes de monotonie et de MIN-MAX de WEINSTEIN.
D'une façon similaire à la fonnulation en déplacement, la fonnulation en force repose sur
..,.;
l'opérateur
E
défmi par l'équation
(1.237)
~
,.....,
L'opérateur E
a le même spectre que
E ,mais en plus la valeur propre oe ': -'1.
de multiplicité infinie en général.
On définit des espaces de projection à partir des solutions faibles des problèmes
suivants:
(1.238)
~
~
,
( .
1
tr) =
<. :r c.. cr>
-
,.-
On introduit le complémentaire orthogonal de l'espace <..QL.. ' sous-espace fenné de '€ e
,....
au sens du produit scalaire
~ \\ 4 , .)
•
Ce nouvel espace est noté .tfJE
' soit :
(1.239)
Les dép-Iacements généralisés de frontière
J
appartiennent à l'évidence à l'espace
~
-...
des traces
1) "
. Et l'espace engendré par les solutions
1;'l
associées à des
, 0
".....,
déplacements J..... de
L~ c.. r0 )
est dense dans le sous-espace j1fE
Afin de mettre-en évidence l'influence des champs de contrainte statiquement équilibrés,
il convient de considérer la projection de la solution
~. sur l'espace ~J' ,au sens du
produit scalaire élastique
c:. C: 1 .) • Soit la décomposition
(1.240)
r -
-
où
~s est la projection de ~ E
dans
«gS, d'où la décomposition
-
~.{l· E: ~~ ~ ~(€- ~
(1.241)
(;\\,'
-

---

87
r v '
Soit
~ '- l'espace de dimension finie engendré par ~ solutions indépendantes.
On considère l'opérateur
'"
V-k
de projection sur cet espace au sens du produit scalaire
~( . ,.)
Le problème intermédiaire d'ordre '- correspond à la recherche du spectre de l'opérateur E
projeté dans le complémentaire orthogonal de
-Jf~,,:
,....,
ro-"'"
y (Ia.)
(I.242.a)
Wfe.. E W,,- <) -=
r
où
(I.242.b)
L'indépendance des fonctions de contraintes
-"C"l assurelaconvergencedesproblèmes
intermédiaires vers le problème libre.
(1.243)
....-J
où l'opérateur
EL vérifie l'équation
(1.244)
~ Ce,- cr', ~ ') = c (<r, "t)
,.....,
L'opérateur
EL
a pour vecteurs propres les champs de contraintes
A 'XL ~
,...,
(
a,
)-1.
associés aux modes libres et pour valeurs propres
YL,,':
"1. + CO L~
.
3) Résolution des problèmes intennédiaires
La résolution des problèmes intermédiaires d'ordre l
consiste à déterminer le spectre
,..., _ ,...
,..; ,..., rv,
des opérateurs projetés
U l. 1) v l
et
V ta....e:.
V Il.
respectivement dans les
formulations primale et duale. Les deux équations aux valeurs propres (1.234.a) et (I.242.a)
peuvent en effet être rattachées au problème intermédiaire du premier type de WElNSTElN et à
l'équation intégrale de FREEDOHLM de première espèce. Il devient alors possible d'exprimer
la solution Ll ou
cr- en fonction de la résolvante de l'équation intégrale en fonnulation
primale ou duale.

---

88
IV. 2 FORMULATION PRIMALE
1) EQ.uation intém,le de FREEDOHLM et détenninant de WEINSTEIN
Le problème spectral (1.234.a) peut s'écrire
--
rv
- ("-J
(1.245)
U,- b \\A. ::
y
\\A.
En tenant compte de la relation (1234.b), l'égalité (1.245) devient:
(1.246)
rv
La multiplication par
T,- des deux membres de cette équation donne
"-'
(I.247.a)
T,,- \\A.. =0
et
(1.247.b)
L'équation (1.245) s'identifie à un problème intermédiaire du premier type de
WEINSTEIN que l'on écrit
(1.248)
et
-l
L
(1.249)
J::\\
Le déplacement cherché est obtenu par l'équation intégrale de FREEDOHLM (1.248) et
s'exprime en fonction des forct généralisées
f! ~ .
(1250)
lA- = oz: 1. ~à p.J
J:1.
.....,
1\\.
est la résolvante de l'équation (1248). C'es.t un opérateur compact défini par
(1.251)

---

89
rv
Comme la sOJetion
\\,(,.
doit appartenir au complémentaire onhogonal de J{t au sens
de la métrique de
~L ' on peut écrire
(I.252)
où ces ~ équations de contrainte équivalent aux deux conditions (I.247.a) et (I.247.b)
L'écriture de la solution ~
d'après la relation (I.250) jointe aux i
équations de
contrainte donne
(I.253.a)
avec
(I.253.b)
Sld '= 1: l ~ ~ , fJ'~)
-l"-J
Les pseudo-fréquences
sont donc les valeurs qui annulent le déterminant
Co~
de WEINSTEIN
J.e..t -
(I.254)
S (G:;) = 0
2) Grandeurs unéralisées
~
On détermine les forces généralisées
Y-( associées à la j ème solution propre en
utilisant l'équation (I.249) relative au jième mode encastré
~e .tU qu'on multiplie
-
~
scalairement par
.e~ .
(1.255)
En utilisant l'équation (I.248), le premier membre de l'expression (I.255) s'écrit:
car

---

90
Comme l'on a
(1.258)
et si on pose successivement
(1.259.a)
et
(1.259.b)
l'équation (1.255) devient donc
.
(1.260)
-
. u~
- -
f"ow
So"t\\l (-~
L'indépendance des fA: rend ce système matriciel inversible et on obtient
(1.261.a)
où
(1.261.b)
Les déplacements généralisés associés aux forces généralisées {ttl l sonrdéfinis par
(1.262)
Grâce à l'équation de définition (1.231) des fonctions de contrainte
s'écrit
(1.263)
Le déplacement généralisé est donc la projection de la solution tA.
dans l'espace fiL

---

91
3) Influence des modes de corps ri~des
Dans un contexte expérimental, il est intéressant de mettre en évidence l'influence
particulière des modes de corps rigides au cas où la sous-structure @ en possède. En effet
l'opérateur de
""
base']) ne traduit pas le comportement réel de la strcture. On introduit alors la
résolvante de l'opérateur']) défini dans
~l. ,soit:
(1.264)
On définit alors de nouvelles fonctions 2~ ,déformées associées aux distributions de
force f et solutions faibles des problèmes statiques:
(1.265)
""
Le lien entre :I)
et
:0
induit
(1.266)
l (l ~ ~. j: ~
~ll
1
(R f\\ t
)
, les coefficients -
Grâce à l'équation (1.233) et le produit scalaire l C· 1 • )
SJ ( du
déterminant de WEINSTEIN s'écrivent:
(1.267)
Les projections fltl' des 1\\, dans l'espace t, f'.. vérifient
(1.268)
On établit facilement dans l'espace t~ l'équation
(1.269)
d'où
(1.270)
~~.\\ (U))
-
où

---

92
(1.271)
En présence des modes de corps rigides, les pulsations de résonance du problème
intennédiaire d'ordre t
sont solutions de l'équation
(1.272)
Plusieurs algorithmes pennettent de résoudre numériquement ce problème, relativement
mal conditionné à cause de la présence des modes de corps rigides. Mais dans certains cas de
fonne particulière de
S~ ~ (w) ,cette équation (1.272) pourra se mettre sous une fonne
matricielle standard de problème aux valeurs propres
(1.273)
où 'K et lVt sont deux matrices carrées de même dimension.
Les algorithmes de VASERSTEIN
(~ 48) ,DAWSON
ou
SIMSON
(tt..4S ek R4~) pourront être utilisés avantageusement.
On peut remarquer que si la structure est entièrement libre et possède donc
modes de
corps rigides, les déformées statiques 2~
sont les projections dans
~L des défonnées
statiques obtenues en appliquant la distribution de forces de frontière fi
et en imposant 7\\,
contraintes.
L'équation (1.272) sépare clairement l'influence des modes élastiques de la
sous-structure ~ et la participation des modes de corps rigides si elle en possède. Il convient
donc de faire une étude spécifique de la souplesse
SJ i. (w) dans l'espace
~.
4) Résolvante R. dans l'espace
~ L .
Cette étude des résolvantes est l'extension en cas continue des résultats établis en
fonnulation discrète dans la deuxième partie de ce chapitre.
On vérifie aisément:
(1.274)

---

93
On en déduit la matrice de souplesse dynamique
S
(1.275)
Dans l'égalité (1.274), l'opérateur 1) R. est la résolvante de FREEDOHLM qui se met
sous la fonne intégrale.
(1276)
où le noyau résolvant
'tw Ch. 12.)
se calcule en fonction du déterminant de
FREEDOHLM en utilisant le noyau de GREEN â (i
t
(Ml t )) de 'D .
Mais ce noyau de GREEN est difficilement accessible dans le contexte expérimental. TI
devient alors nécessaire d'utiliser la base modale des modes libres
":le Ll , orthogonale et
-
complète dans l'espace
'@.L ,pour déterminer la résolvante.
D'autre part, il est très utile de disposer d'expressions de la résolvante qui pourraient
compenser l'influence négative de la troncature modale sur le comportement dynamique de la
structure obtenue par synthèse.
5) Troncature de la résolvante
L'équation (1.270) a permis d'isoler les modes de corps rigides pour étudier
spécifiquement l'expression de la résolvante
R. de l'opérateur 'J) .
Comme la solution
lA.
s'écrit:
~
(1.277)
lA.:
L
R.~~ tt.:
~ =,
il devient nécessaire d'exprimer A ~\\..
solution de:
(1.278)
Comme en formulation discrète, et en accord avec la définition des problèmes
intermédiaires, on introduit l'opérateur projection T"", sur les 'YL premiers modes libres
déterminés expérimentalement L'équation (1.278) devient:

---

94
(1.279.a)
où
(1.279.b)
La solution p.P\\· a pour expression dans la base des modes libres
(1.280)
Les'Y\\.. modes libres déterminés induisent les composantes matricielles suivantes:
(1.28l.a)
où
(1.281.b)
Soit "k. l'espace formé par les 'r\\. modes libres 'X..Li , i E: t "3.. "h.l
.Les modes
non pris en co~pte forment un espace onhogonal à ~""- , au sens du produit scalaire Ct. .)
I
Soit
"ê~ cet espace, on a la décomposition
(1.282)
Les différentes méthodes de troncatures seront définies par les diverses formes de la
panie secondaire de D
,c'est-à-dire
:1), = 11"" D'tr"", ,opérant dans l'espace
~~
* Troncature du type RAYLETGH-RITZ
Comme en formulation discrète, cette troncature correspond à négliger:1)o par rappon à
"T'''l'\\,.. 1) T"""
(1.283)
Le spectre de D
se résume donc à celui de sa composante
T"",:O .,.."".

---

95
La résolvante s'écrit alors
ln.
~'lj ')( L i
(1284)
R ~ ~:. L _---x.._---~-
~'='1. l1.. - W'"/ w'tLj)
En l'absence des modes de corps rigides, le déterminant (1.274)
de WEINSTEIN
devient:
~e ~l cot~
(1.285)
J=o
c.ot.Le _ w~
Cette méthode est équivalente à un problème à 'Y\\.. degrés de liberté lié à une description
de RAYLEIGH-RITZ dans la base des modes libres
l''t\\..
(1.286)
\\A. '=
~ ~j 4<-Ld'
,....
On en déduit le système matriciel classique suivant:
(1.287)
où J'lt
est la matrice spectrale constituée des carrés des pulsations de résonance des
modes libres et
~ F la matrice modale définie par :
(1.288)
L'équation (1.279a) montre que les fontions de contrainte
2 ,,' sont combinaisons
linéaires des 'Y\\.
premiers modes libres
~
(1.289)
.2~ = L
~j ~L'
•
0
d
é:~
En résumé, la méthode de troncature de RA YLEIGH-RITZ présente les caractéristiques
suivantes:
(()
En l'absence de modes de corps rigides et en accord avec les équations de
contrainte (1.252), les f)!\\. coordonnées modales vérifient les relations de liaison suivante:
(1290)
,

---

96
Le degré effectif du système se réduit donc à
"r\\. -
~ •
(ti.\\ L'annulation de la projection de l'opérateur 1) sur l'espace des modes non retenus est de
nature à rigidifier le système. Les fréquences propres des problèmes intennédiaires ne sont plus
nécessairement inférieures à celles des modes encastrés comme prévu par les inégalités dans la
relation (I.235)
(üq Cette méthode présente néanmoins l'avantage de compenser la non prise en compte des
liaisons réelles de frontière.
* Troncature par projection
Son but principal est de remédier à la rigidification du système due à la troncature modale
pour que les inégalités (1.235) soient vérifiées. On réduit pour cela le spectre de b
à une
valeur unique
lrL "'+,
de multiplicité infinie. On obtient alors
(1.291)
On détermine R~.: comme dans la troncature précédente. Ses composantes de rang d 'J '> 'Y\\1
s'écrivent dans la base des modes libres
(1.292)
'1./ l.
~ -
W
WU,+I
La solution fUt s'exprime donc
~"
"X. ....
d
J
(1.293)
+
Comme
N\\..
(1.294)
.Ql = ~ ~'À ')(L.~'
~=,
On obtient
(1.295)
La souplesse dynamique Ss\\. du déterminant de WEINSTEIN s'écrit:

---

97
.. _ t (Pi
(1.296)
1 <Il)
... w:Jw ~ o..;.e o..d·e (1. -w\\"'+4 / eu\\· )_
SJ" - /.
'\\.. J '1.)
L.-; C ·:1.1 1:
) (. 'LI 1.
~
1. )
\\'1.- Lu
(Q L",+'
{::\\
'1.-W- W Le.
,--W {WL-t -CVU,+,/WLf}
Ces deux méthodes de troncature que nous venons de présenter utilisent de nouveaux
opérateurs de base !> ~
définis par
(I.297.a)
où
(I.297.b)
et Ul. est l'opérateur de projection sur le complémentaire orthogonal du sous-espace
engendré par les l
fonctions de contrainte
2,,'
dans
~L .
On établit aisément la convergence uniforme des opérateurs 1)" vers"l)
grâce à la
compacité de G
. On obtient donc :
(1.298)
W (t...)
l
Les modes encastrés recherchés sont alors obtenus grâce au principe de MIN-MAX de
WEINSTEIN
(1.299)
~.~ "(l(k/~),= OEl=
V\\.. ~ -
w"L. e \\.
'-~oo
L'efficacité de ces deux troncatures est néanmoins relative car elles n'utilisent que
partiellement les propriétés de l'opérateur de base"J)
. Il est donc nécessaire d'introduire le
développement en CAJ.:IJde la résolvante afin de mieux l'estimer et améliorer sa qualité.
~
* Troncature par développement en CV .
Comme en formulation discrète, on effectue un développement limité de la résolvante .R..
(1.300)
quelle que soit la pulsation et pour tout entier naturel "".
On introduit les fonctions ~ :
(1301)

---

98
~
s'écrit dans la base modale
(1.302.a)
}-' =
où
(1.302.b)
La résolvante s'écrit alors:
(1.303)
R.f..·
Les fonctions ~ L doivent atténuer l'influence de la troncature modale.
Les termes S'J ( dans le détenninant de WEINSTEIN (1.271) deviennent
(1.304)
avec les matrices symétriques suivantes calculées aisément.
(1.30S.a)
t
~N+I
'\\
(1.30S.b)
('\\>.
~ d
h
f'~J-
J
On introduit ensuite les déformées résiduelles suivantes pour mettre en évidence les
participations des modes non retenus:
cO
(1.306)
J't.l -::
t,'
-
2:, a.\\f ')(L e
.e. =1
L'équation (1.303) donnant
A. 2'-
devient

---

99
tY\\..
~
(l.307)
L ~i (~- tJ.J'L/ w\\~.)- "XLJ
~ .... ,
La matrice de souplesse dynamique prend alors cette forme:
-2.. M
(M)
(1.308)
tU
s~~ \\
h : o
Grâce à l'égalité
(1.309)
On établit les relations suivantes
(1.31O.a)
(1.310. b)
D'une façon générale, l'introduction des déformées statiques induit une bonne estimation
du spectre des problèmes intermédiaires quelle que soit la troncature utilisée.
Dans le développement en (.,U<- , la série R~I.· converge unifonnément et absolument
quand 'Y\\.. tend vers 00 pour des opérateurs -n de classe inférieure ou égale à V./l; ,le cas
des problèmes classiques de Dynamique des structures.
Néanmoins, on se limitera souvent au premier ordre, c'est-à-dire à K= '1. dans les tests
numériques ou expérimentaux.
6) Résumé des Quatre modèles de base
* Modèle 1 : RAYLEIGH-RITZ
On ne tient pas compte de la flexibilité résiduelle de frontière. D'où
"1... J
'4.
)- '1.
l1.-W
wLt.
0.311 a)
et
(1.311 b)

---

100
* Modèle 2 : PROJECTION
(1.312)
* Modèle 3 : DEVELOPPEMENT A L'ORDRE 1
(1.313 a)
avec
M-
L ~'e ~'e w'\\t
(1.313 b)
..e :\\
* Modèle 4 : DEVELOPPEMENT A L'ORDRE 2
(0)
~ ('1.)
~ ~'e ~;e. (1.-W~/VJ\\t )-"1-
(I.314a)
S\\'{:, s"-li .... w
r(l\\i -t- L..J
0
c
..t= \\
avec
(1.314 b)
7) Cas particulier du développement à l'ordre 1
La présence des modes de corps rigides induit des perturbations numériques dans le
calcul du déterminat de WEINSTEIN (1.274) qui! convient donc de traiter avec soin.
Or, dans un souci d'extension des méthodes de synthèse modale à des structures
quelconques, nous avons choisi un modèle qui comporte des modes de corps rigides.
Dans le cas du développement à l'ordre 1, le déterminant de WEINSTEIN est équivalent
au problème spectral standard suivant:
(1.315)

---

101
En effet, l'équation (1.3]5) dOnllè' le système suivant
'-
(1.316.a)
<..09
et
(1.316.b)
On en déduit:
(1.317)
où
0.318)
La recherche des modes encastres lrnpOSè un deplacement générah~e des tontiàes nui,
d'où le système homogène:
(1.319)
C SR. 1-.
Les pulsations W
sollltion~ 'veriiient donc le déterminant de WEll\\STEI?\\
(1.320)
Réciproquement l'expression (l.313.a) de Sic' conduit à l\\~quation (1.319). En effet,
s'écrit:
ct....t.
_ . _ _ .
• • •
. _ ._ _ 0
•
_ .
~
~.~~ W" L k
0.321)
"', (f Pf~' P~d")
u.:'\\e...
1
- (A.)<.
() i
En posant
<'
,',. ~.
(~. l ~.
. on obtient
·'r,
"\\._0_--.,
s.~~ \\'
--
')
_._~~}::"L~
L~.. ...J
"
t=\\
6...,\\'- ... "":..:
•. -
L-t.·"'-
0.323 )
1- . :;
i
0;:; k XL-k,
('
1...... _

---

102
en séparant les modes élastiques 'XL ft.. des modes de corps rigides
X~i . On en
déduit le produit scalaire:
(1.324)
où
(1.325)
Posons
(1.326)
L'égalité (1.322) devient alors
(1.327)
Cette expression s'écrit fonnellement
(1.328)
......,
Cette expression de S,,~
conduit donc aux deux équations (1.319) et (1.320)
8) Conclusion
Dans cette fonnulation en déplacement, les méthodes de synthèse modale basées sur les
modes libres utilisent des défom1ées statiques qui génèrent des coordonnées généralisées de
frontière et pennettent une utilisation optimale des procédures de troncature.
De même, la fonnulation en force où l'on construit des méthodes de synthèse modale
basées sur les modes encastrés, utilise des champs de contrainte associés aux solutions
statiques iL
. Ce lien entre les deux formulations est établi pour la troncature de
RAYLEIGH-RITZ, mais l'est beaucoup moins pour les autres.
IV. 3 FORMULATION DUALE
1) EQuation intégrale de FREE DOHLM et détenninant de WEINSTEIN
L'équation (1.242.a) correspond à un problème inteI)llédiaire du premier type de
WEINSTEIN que l'on écrit sous la forme

---

103
(1.329.a)
où
(I.329.b)
Soit la résolvante en contrainte définie par
(1.330)
!If
la solution a- s'exprime en fonction des déplacements généralisés ~, associés aux
- . "
champs de contrainte 1;,'.
~ ...... '"
.,.
() = L
(1.331 )
P... 1),' ~\\'
On associe à cene équation les l
équations de contrainte qui traduisent la projection de
f"'J
, " , - . . . . . ,
l'opérateur E.
dans l'espace
~ E e..N'e '-:
(1.332)
On introduit les forces généralisées
v-
,.....
(1.333)
u '
-
r-'
-
ou encore
(1.334.a)
et
ek' _
(1.334.b)
La relation (1.331) jointe aux équations (1.332) donne le système homogène
(1.335.a)
où
(I.335.b)

---

104
Les pulsations de résonnance des problèmes intermédiaires sont donc les valeurs de
qui annulent le déterminant de WEINSTEIN
(1.336)
2) Influence des champs de contraintes statiguement équilibrés
Pour appliquer cette fonnulation duale à un contexte expérimental, il convient de
" ' -
déterminer la résolvante.R.
de l'opérateur E
. Celle-ci permet de calculer la matrice 2: loi
dans le déterminant de WEINSTEIN. L'opérateur E vérifie:
(1.337)
Soit :
(1.338)
La relation (1.241) permet de déterminer les termes d'indépendance généralisée.
(1.339.a)
où
(1.339.b)
il convient de préciser
(1.340.a)
(1.340.b)
deux équations d'où sont solutions les champs de contrainte 1; l
et
~Î
respectivement.
TI est possible de relier les déformées statiques f, et les contraintes statiques wc" des
deux formulations hybrides primale et duale.

---

105
On peut en effet interpréter les projections ""h' comme la réponse statique en contrainte
lorsqu'on impose des déplacements _w1..~·
le long de l'interface ro . Si l'on suppose
ensuite que les déplacements .,k' sont induits par les fonctions de contrainte en déplacement l t .
intervenant en formulation primale, on a alors les relations suivantes:
(I.341.a)
(I.341.b)
A 2..l = - bJt'
On peut ainsi relier les champs de contrainte ~\\.
de E' E aux champs de contrainte
induits par les solutions statiques
~' .
....,
La restriction de la résolvante R.
à l'espace <€,r
s'était simplement
(1.342)
La matrice d'impédance généralisée
~
s'écrit alors
(1.343.a)
où
(I.343.b)
et
(I.343.c)
Les pulsations qui annulent le déterminant de WEINSTEIN (1.336) tendent vers les
pulsations de la structure libre
(1.344 )
Les valeurs calculées sont des estimations par excès des pulsations recherchées bien que
l'on utilise un principe de MIN-MAX.
(1.345)

---

106
3) Troncature de la résolvante
L'équation (I.343.a) induit une étude spécifique du tenne de mase généralisée
définie en équation (1.343.b). Il convient donc de déterminer l'expression R. '"Cd' solution de
l'équation:
(1.346)
En suivant une démarche similaire à la fonnulation primale, on exprime la résolvante
~
-
dans la .base des modes de contrainte
VElo
qui est complète. dans l'espace
~ ~ .
L'opérateur de basee est projeté dans l'espace aa "" engendré par les lJo\\. premiers modes.
(1.347.a)
avec
(1.347.b)
et T ~ est l'opérateur de projection sur ClJ t\\..
* Troncature du tvpe RAYLEJGH-RITZ
On réduit l'opérateur E
à sa partie principale
et on obtient :
(1.348)
Rl;' :: ~ C (bit tee J ~~e = ~ e ~1;i, ~..fe) 4ee
d
i:.\\
lw~~e. -w~)
'~=I lWee- w ) w4 ee.
On peut exprimer la relation (1.348) en fonction des modes primaux 'X.e=e et
2 i .En
effet
(1.349)
or
(1.350)
=
donc
(1.351)

---

107
comme
(1.352)
et
(1.353)
il vient
(1.354)
et
(1.355)
La matrice d'impédance généralisée définie en équation (I.343.a) devient alors
-
0
'\\
ol.;::"
ble bJt
t..
(1.356)
~l~ : ~ l P,', ~(f J - U)
L....
~
:l...
W e~
o
~=\\ W t-w
Cette troncature conduit à une estimation par excès des pulsations de résonance des
modes libres cherchés. La troncature par projection ou au contraire tendance à rebaisser les
pulsations ds problèmes intermédiaires. Elle peut donc atténuer l'influence de la non prise en
compte des conditions réelles de force le long de la frontière
l"o.
* Troncature par projection
Comme dans la fOffilulation primale, l'opérateur E est approximé par l'opérateur T"" ETk. +
o~+\\ 1:. . On obtient alors une expression de la matrice
h. \\~.
de masse généralisée
similaire à celle obtenue pour la souplesse dynamique Ç'iJ
en formulation primale
(1.357)
Les teffiles
dans cette relation peuvent être reliés aux déformées
statiques
~l
et

---

108
(1.358)
soit
(1.359)
--
La convergence de cene troncature est la même que celle de la projection en formulation
primale car les deux opérateurs de base
E
et 1) .sont de la même clase. Les pulsations
eu~(""'11.) des problèmes intennédiaires d'ordre f,.. tronqués à l'ordre 'l'\\.. vérifient
(1.360)
L,
w .(li "")
\\ ""'-
\\,
" " "
~ 0.0
~ _"> OC)
* Troncature par développement en w~
.1-
Cette troncature a peu d'influence à cause du développement en puissance de cv
de la
résolvante &. :
..:t
.:t (K-\\J
\\( - \\
+e..u
(1.361 )
E + ,,'-4- GU
E.
.
ol.\\I(,
'\\-\\
"<.
+ LU
(1:-Wé)
E..
On en déduit l'expression de hli
(1.362)
Ce développement induit des matrices symétriques
et
(1.363 b)
TI est possible de relier ces tennes aux défonnées statiques calculées dans le cadre de la
formulation primale

---

109
(1.364 a)
et
(1.364 b)
où
De
est un opérateur compact qui vérifie
(1.365)
Pour mettre en évidence la participation des 'Y\\.. premiers modes encastrés, on introduit
les déformées résiduelles
(1.366)
- "fl -
....
TI convien!je remarquer que la série
1:.'; b\\·.e')te: e converge dans L"'-- (~ )
mais pas dans
~
car elle est associée à un développement en contrainte qui converge
suivant la métricuqe de
~ (. 1 .)
En appliquant l'opérateur A à la relation (1.366), on obtient :
~
(1.367)
A 4-\\.' = _C;J\\ - ~ b~·e ~Ee
~~:q
Or donnant les termes intervenant dans l'expression des masses généralisées en équation
(1.362), il vient
(1.368)
Les termes de ce développement s'expriment :
(ot.t.JJ
..,
(1.369 a)
t-1R .:~.
N
= (~ b e S~J )E S'J )
(,uv+1J
...,
(1.369 b)
M ft ",
i.(
N
b
-
~.
J)E
J
.{li)
-
E
d

---

110
Dans la plupart des cas, l'opérateur 1) est de classe V~ . Un développement à l'ordre
un, lK:.l) assure alors la convergence unifonne de la série exprimée en équation (1.368). On
utilisera donc que la matrice de masse résiduelle t1~O) qui peut s'écrire
(1.370)
4) Résumé des guarre modèles de base
* Modèle 1 : RAYLEIGH-RITZ
On ne tient pas compte de la masse résiduelle de frontière
tV\\.
~
~.2.
~) -"1-
-
L. blt \\'i~ w E ~. W Ee - W
(1.371.a)
tt~i -
.e :;\\
et
,..."
-
W"
~ ~fl.· I{)~')-
h~A
(I.371.b)
~\\~ -
* Modèle 2 : PROJECTION
,
•
F
'L
"t.
~
ble bd'e
(~- w e.,~, / w ~e) t
(1.372)
((.o~e e. - w~) lU}-/rJ-'ee- Cù~"'+11J
* Modèle 3 : DEVELOPPEMENT A L'ORDRE 1
(0)
~ b,e ~d.e w..2wE { (~~'Ee. - w:Lt'1.
CI 373
. . a)
M~.ili = h~"l'{} +
.e:\\
avec
(1.373.b)

---

111
(I.374.a)
et
(I.374.b)
5) Cas particulier du développement à l'ordre 1
(I.375)
L'équation
(1.376)
o
peut se mettre sous la forme standard d'un problème spectral classique:
(1.377a)
It
Une condensation dynamique sur les coordonnées X donne un système homogène
identique à celui de WEINSTEIN
~
où...sl.~
est la matrice spectral constituée des carrés des pulsations de résonance des
modes encastrés.
Ce modèle est interprété par le modèle de RA YLEIGH-RITZ obtenu suivant le schéma
discret:
t't'\\..
(I.377c)
u.. ': L: '1e c., ~e \\
\\, ': "\\.

---

112
C'est la projection de l'opérateur J)
dans l'espace
~~ <f) ffl au sens de ft.. ~, .)
On obtient ainsi une estimation par excès des fréquences de résonnances de la structure
libre. Elles sont meilleures que celles obtenues par la troncature de RAYLEIGH-RITZ mais le
modèle est difficilement accessible par expérience.
N. 4 APPLICATION EXPERIMENTALE
1) Introduction des modes de branche
* Les difficultés expérimentales
Dans un contexte numérique basé sur les Eléments Finis ou les Différences Finies, il est
possible d'approximer les déformées statiques..Pi
associées aux changements de frontière et
les modes normaux de la structure libre ou encastrée. Mais sur le plan expérimental, on est
confronté à trois types de difficultés pour détem1iner les déformées statiques~' et les termes
.ft-\\"'Pl 1 p~. J de la matrice de raideur statique:
- d'une part les termes résiduels en formulation primale obtenues par lissage de courbe
d'impédance sont entachés d'erreurs
- d'autre part il est nécessaire de mesurer les forces d'encastrement en formulation
hybride duale pour accéder à la matrice de raideur statique.
- enfm dans le cas de raccordement le long des frontières continues, il est indispensable
de mesurer un grand nombre de déplacements de frontière, ce qui allourdit énormément la
procédure expérimentale, surtout dans le cas des rotations.
L'introduction des déformées statiques par l'intermédiaire des modes de branche permet
de lever ces difficultés.
* Les modes de branche
Les modes de branche sont les modes normaux de la nouvelle structure obtenue en
chargeant la structure initiale le long de sa frontière de raccordement ro .
Ce chargement d'interface s'obtient en fixant des inerties ou des organes élastiques
connus le long de la frontière
r 0 ,ou bien en couplant la structure initiale avec une structure
quelconque.

---

113
Outre les difficultés signalées ci-dessus qu'ils pennettent de lever, les modes de branche
présentent deux avantages majeurs :
- le chargement d'une structure initiale obtenu par couplage avec une autre structure
adjacente conduit à l'inverse à isoler une sous-structure d'un assemblage en utilisant les modes
de la structure totale pris comme modes de branche
- les modes de branche pennettent de définir des déplacements généralisés ce frontière
qui représentent bien la flexibilité réelle des frontière dans le domaine de fréquence étudié
On construira ainsi les modèles hybrides à partir de l'identification expérimentale des
deux familles de modes libres et encastrés,
* Equations des modes de branche
Les modes de branche induisent des déplacements
de la structure qui
vérifient:
(1.378)
En utilisant la fonnule de GREEN (1.67) l'équation (1.378) devient
où les forces de liaison f"
sont induites par les modes de branche,
.......
En formulation duale, on introduit les champs de contrainte "J.." générés par les modes
de branche et solutions de :
(1.380)
avec
(1.381)
A
.......
'.-"."."

---

114
L'équation de GREEN (1.106) permet alors d'écrire
..-
(1.382)
C
" , \\ . L
(....
"'\\
4..
~
e.
'16(
11) J =wa ~ c.
'a&,' 1 <ï J + W~( <
,:-fS"-'>
V \\T'" E. 1;e
où les déplacements ck de frontière sont associés aux modes de branche
(1.383)
,....,
Afin de relier ~i à .2l
,on introduit d'abord cette décomposition de l'espace ~L
des solutions
(1.384)
,....,
On en tire une décomposition de
:le. 8,'
(1.385)
Compte tenu de l'équation (1.379), les champs 'X8 ( vérifient l'équation intégrale
suivante:
(1.386)
~
La solution statique ri est solution faible du problème suivant:
(1.387)
D'une façon symétrique, l'identification des modèles hybrides duaux nécessite la
décomposition:
(1.388)
rv
Les champs de contrainte dei s'écrivent alors
(1.389)
~~l ':. ~e.l + ~ s\\
où
d-&l E. ~E et 1e.Sl e. ~ S

---

115
Compte tenu de la relation (1.386) les champs de contrainte ~8l' sont solutions de
l'équation suivante:
(1.390)
où les champs de contraintes statiques
~\\. sont défmis par la relation
(1.391)
Les champs b\\ sont aussi solutions du système d'équations suivant:
(1.392.a)
(I.392.b)
CJ ~ ~ = 0
'ri f €
rl..
(1.392.c)
B f~<':: ~
n'<'
J .
La déformée statique
~\\
est liée au déplacement de frontière Q.o\\ • Elle est obtenue
par une application de distribution de force le long de l'interface l''o.
1.
~
Il convient de ne pas confondre les deux déformées statiques
~~
et
~~
. La
première est liée au déplacement généralisé défIni en équation (1.383), tandis que la seconde est
associée aux distributions de forces f
qui vérifient:
(1.393)
.f\\=
On distingue trois types de chargement: le chargement en inertie pure réalisé par des
masses additionnelles, le chargement en raideur pure fait de ressorts le long de la frontière n
et enfin le chargement quelconque. Ce dernier cas consiste en une liaison entre la structure
connue et une structure adjacente quelconque qui génère les modes de branche.

---

116
t".z.,
l'~
chargement en masse
chargement en raideur
(1. 394)
~ ': W~.: ln\\. 8 xp, l
FIGURE 1.7
Chargement de frontière
Dans le chargement inertiel, l1r\\.. est la distribution de masse ou d'inertie associée au
déplacem~nt généralisé défini par l'opérateur de frontière 'B
le long de r o ,tandis que la
rigidité ft. ,dans le chargement en raideur, correspond au blOcage de la frontière ro à l'aide
d'organes de liaisons souples.
2) Identification des modèles hybrides primaux
>/< Détermination des matrices de souplesse
,...."
On utilise les modes de branche ~l
et les modes libres ~. obtenus numériquement
ou expérimentalement.
On détermine ensuite tous les termes qui permettent de calculer la souplesse statique i (p~1., ~.1)
Les coefficients
/
(1.395)
ne sont pas directement accessibles par expérience. On introduit alors des coefficients
intermédiaires
d'do
(1.396)
En multipliant ensuite les deux membres de l'équation intégrale (1.386) par X Lj
au
sens du produit scalaire l
(. 1 .) , il vient:
(1.397)

---

117
Comme ~ ~ et
~l ~ sont éléments de l'espace t;L ,l'équation variationnelle
suivante
...
(1.398)
1
=: W L ~ (~')(L l 1 IV" )
i .
i
pennet d'écrire
(1.399.a)
(1.399.b)
L'équation (1.397) prend cette fonne simplifiée
.:t
.
(1.400)
1 " L ' C I l , '
_
'-V
~
~
soit
(1.401)
l~ -
Au cas où la mauice de masse M. de la structure est connue, on obtient directement
(1.402)
("V
où
")(.e l
et
"'/.. L.J
sont respectivement les modes de branche et libre mesurés
expérimentalement ou connus numériquement.
Si la structure possède des modes de corps rigides, il est nécessaire de déterminer les
termes (e P~'l PJ.i) intervenant dans le déterminant de WEINSTEIN.
On introduit alors des fonctions
f\\J
de l'espace ~~ dans la formule de GREEN
(1.379), soit :
(L403)
Or on sait que
(1.404)

---

118
Donc Xfa" apparaît proportionnel à
.2ft\\:
(1.405)
On en déduit le résultat
(1.406)
IV
Grâce à la connaissance expérimentale de la matrice (tj.) •des amplitudes 'Xe i et ')( ~.
respectivement des modes de branche et libres. les deux matrices intervenant dans l'équation
(1.406) sont panaitement déterminées.
Les modèles 2. 3 et 4 utilisent les maoices de souplesse qui contiennent des souplesses
statiques
S s&:d
définies par
(1.407)
L'équation (1.386) permet de relier cene maoice aux modes de branche
(1.408)
La série suivante
(1.409)
converge d'après le théorème de HILBERT-SCHMIDT si 1) appartient à Vi .
Le produit
C, 'Xe. li~J) est obtenu aisément.
T
(e ')(
(1.410)
6 (. l ')( B/ )
-:::.
X (; \\.
(h) X e, ~
Le produit élastique
--t \\.. "X..B L 1 X6i) pouvait être détenniné d'une façon
similaire si l'on disposait expérimentalement d'une matrice de rigidité.
1

---

119
Mais dans le cas des chargements simples présentés en FIGURE 1.7, l'orthogonalité des
modes pennet de calculer précisément le produit
-l. <.Xf\\-\\', Xt.i)
. On obtient les
expressions suivantes respectivement pour un chargement en masse, en raideur et un
char~entquclconque:
(l.4l0.a)
t \\ ')(."",') ")(. ..i) = W th' UJ ecl r'i
(l.4ll.b)
Si. (')(&l, ')(.&a) -= W-.i W6J ~\\J - ~ ~l i 8 X6J
N
~
(l.4ll.c)
t \\'X6l ~J) -= ~ (.eJ Lot d"e i~e
1
{=\\
* Tests de validation
3) Identification des modèles hybrides duaux
* Détermination des matrices d'impédance
On utilise les modes encastrés et les modes de branche mesurés en nombre fini. La
procédure d'identification est la même qu'en formulation primale.
Mais il convient de remarquer que le produit élastique
C ("t;~ l, b.1J) présent dans la
matrice d'impédance en équation (I.343.a), s'exprime aussi en fonction des déformées statiques
~
t~.
, soit:
(1.412)
Afin de relier les termes Ks\\d aux modes de branche, ~6l de la fonnulation primale,
utilise des fonctions de l'espace ~S' dans la formule de GREEN (1.382) :
(1.413)
- c. (d&St' \\ cr- J :: < ~ 1 c cr-,>
L'équation variationnelle
-
(1.414)
c
_ < c:Lt' ) c.
>
(f""
permet d'obtenir
(1.415)

---

120
Cette relation et la définition (1.412) donnent en définitive
(1.416)
On doit aussi remarquer que les termes intervenant dans cette formulation duale sont
approchés par les modes encastrés. Or la série suivante
~
.......,
(1.417)
":)(. f> ~
- ~ ~~ ?CE~
~ =-\\
où
(1.418)
~~ = ~ \\ X&\\', "Xe /)
ne converge pas dans ~ L
,mais dans 1;
, Qn est o~ligé donc d'utiliser des
chargements simples définis en équation (J.411.a) et (1.411.b) pour calculer
\\(r~"
Afin de relier les termes ~'J et blj ,on multiplie l'équation intégrale (1.390) par le
champ de contrainte 1~~
au sens du produit
e (- 1 • )
(1.419)
En utilisant les relations suivantes
(1.420 a)
(1.420 b)
et la définition du produit scalaire
e. C· 1 .) ,il vient
(1.421 a)
(1.421 b)
Comme 1ç.~
est un vecteur propre de l'opérateur E. . L'introduction des équations
(1.421) dans l'égalité (1.419) donne:
(1.422)

---

121
La similitude entre les expressions (1.401) et (1.422) induit la relation suivante entre les
modes de branche et les déformées statiques
2 .:t:
l
(1.423)
, .
Comme ~E J est un vecteur propre de l'opérateur "J>E ' il vient :
~
~
~
~~.
(1.424)
~ ~l - ~... = W 8 L ~
d
~ e .
cl =, lJ.)~d"
~
D'après le Théorème de IDLBERT-SCHMIDT, la série de l'égalité (1.424) converge
absolument si l'opérateur ~ est de classe Y~.
Dans le cas des modèles 2, 3 et 4, il est nécessaire d'identifier les matrices de masses
généralisées où interviennent les tennes de masse résiduelle
(1.425)
En utilisant l'expression de ~ l dans l'équation (1.390), on obtient
(1.426)
TI convient d'expliciter les trois produits scalaires du membre de droite de la relation
(1.426).
Le premier terme s'écrit simplement
(1.427)
où le terme
C~ :x:~~ ~e.J)
1
est détenniné par les mesures expérimentales.
Pour calculer les deux autres term~s de la relation (1.426), on remarque d'abord que
(1.428)

---

122
( '1.1
Les tennes tls'"i
vont donc s'écrire
(1.429)
(1.430)
pour aboutir au résultat suivant:
.Ho
Q..{ ~_ \\()
'1.,
't.
(1.431)
~ W E (
( '1. -
lwth· +W 'd') / WE e
~~I
-+ (o~ ~ W'\\J / w\\e ) ~\\e ~i~
* Tests de validation
Afin d'éviter la double influence des modes de corps rigides de la plaque libre et de la
plaque chargée dans le calcul du déterminant de WE1NSTEIN, nous avons réalisé un
4
chargement en raideur de \\ 0 N 1~ sur les degrés de liberté (DOL) de rotation et '10{....,/rh. sur
les DOL de translation. On s'est servi de ces modes de branche qui figurent dans le tableau Al 0
pour rechercher les modes encastrés de la plaque bloquée sur 39 DOL.
A titre d'illustration, nous avons testé les modèles 1 et 2. Les résultats obtenus figurent
dans le tableau At1 L'influence négative des modes de corps rigides sera compensée par les
techniques de correction proposées dans les chapitres ultérieurs.
TABLEAU AIO
,
MO bE:S
1»~
'1.
'2
3
4-
~
SI..AN t.\\4E
~C. 35"....
~4. '3'4
'1.S". 3~O
Z04.3U
'a~t. ~s"8
~?.7.,23
("~)

---

123
TABLEAU AlI
"1 0
,
MOb&:S
~
"2-
3
4-
5
H 0 he.\\. -Ii. "1
49.5'49
IOO.SIs"
'~l.o\\~
~2'.\\O' 2.«37.'1'
N. c..
Mo tal:LE ~
4.;·173
IO~.l~
\\~O, 5"10
~ '2.,. '''14
N·C.
~~~.471
MOC)~.s
e:~
, -
C-A- ~ 'rI'. e.s
'a~.S'89
10,..7.",.
l"~ .48'
~4'. '17 '267.. SI3
e
404." 2.
'K ~ " "'ïS
CONCLUSION
Les résultats des tests réalisés dans ce chapitre mettent en valeur l'importance des termes
résiduels de frontière dansles techniques de synthèse modale, surtout dans le cas des interfaces
à grand nombre de degrés de libené.
Comme l'un des buts principaux de ce travail est d'étudier l'assemblage de
sous-structures le long des frontièn:s de raccordement à grand nombre de degrés de libené,le
chapitre 2 suivant propose à bon escient une détermination des termes résiduels à cette fin et
leur influence dans différentes techniques d'analyse modale.

---

124
CHAPITRE 2
CARACTERISTIQUES RESIDUELLES
EN SYNTHESE MODALE

---

125
CHAPITREZ
CARACTERISTIQUES RESIDUELLES
EN SYNTHESE MODALE
IN1RODUCITON
1. IMPORTANCE DES CARACTERISTIQUES RESIDUELLES
1.1 EXPRESSION DE LA FLEXIBILITE RESIDUELLE
1.2 EXTENSION DE LA CONDENSATION DYNAMIQUE DE GUYAN
1.3 REPQNSE TEMPORELLE
1.4 EXPRESSION DE LA MASSE RESIDUELLE
II. CARACTERISTIQUES RESIDUELLES EN ANALYSE DE SENSIBILITE
n.l PROCEDURE GENERALE
n.2 PRESENTATION DE LA ME1HODE
CONCLUSION

---

126
INfRODUCTION
Les caractéristiques résiduelles en Dynamique des structures sont de deux types: la
flexibilité et la masse résiduelle utilisées respectivement en formulation primale et en
..formulation duale développées dans le chapitre précédent. Leur introduction permet de
cOn:1penser la pénalisation induite par la troncature modale. On-peut ainsi améliorer la réponse
dynamique d'une structure obtenue par synthèse.
Dans le contexte expérimental, la détermination des termes résiduels est difficile et
. imprécise. L'on se sert en double synthèse modale des modes de branche pour déterminer les
déformées statiques afm de calculer les caractéristiques résiduelles. En formulation discrète, un
calcul matriciel est possible et permet de connaître numériquement ces termes. C'est l'objet de la
première partie de ce chapitre.
Nous envisageons ensuite l'influence de la prise en compte des termes résiduels en
analyse de sensibilité. Cette étude est faite dans la deuxième partie.
I. IMPORTANCE DES CARACrERISTIOUES RESIDUELLES
En accord avec les procédures proposées par LEUNG, (~~I) à (fU,9, la souplesse
dynamique d'une structure élastique à une pulsation ta) quelconque s'écrit à l'ordre 1Ii-'
1.
«.'(
~ (Nat)
:.
S'o
+ W SI'" .,. +-e..u
St(+"
~W
S ....,
(11.1 )
+ c...J~N <i (~N l..n.f,_ (4)"'»)-~ ~ T
où $0:' (K)- "'.
5 t4 '= ((KY' (Ml'" (I(Y' ), ~ est la matrice modale, Jl.~
la matrice spectrale, (K) et (1'\\) les matrices respectives de raideur et de masse obtenues par
Eléments Finis.
La relation (TI. 1) peut encore s'écrire:
(11.2)
A partir de l'équation de l'équilibre dynamique écrite en formulation duale, il est possible
de disposer d'un développement similaire.
Les développements limités que nous introduisons supposent l'existence de la matrice de
flexibilité statique (~roL. En la présence des modes de corps rigides,
(\\() -~ n'est pas
défmie et l'on introduit une matrice de pseudo-flexibilité par une procédure présentée en
ANNEXE 2

---

127
~
Soit S (wJ la flexibilité dynamique approchée obtenue à partir de la connaissance des tWl.
premiers modes expérimentaux, la flexibilité résiduelle est définie par :
(11.3)
c:; ~ = S (w) -
St'fr\\. (w)
Elle prend en compte les modes non retenus et tend vers zéro lorsque
devient très
grand.
Dans le cadre des problèmes classiques de Dynamique des structures RUBIN a montré,
R, que le tenne du 2e ordre de la souplesse dynamique correspond à une prise en compte de la
force d'inertie lorsque l'on considère une structure élastique.
On peut donc se contenter d'une détermination exacte des seuls premiers termes de la
souplesse résiduelle.
1.1 EXPRESSION DE LA FLEXIBILITE RESIDUELLE
A l'ordre un et deux, la flexibilité résiduelle s'exprime respectivement :
(ITAa)
c.a.)
(llAb)
S....
= (~\\-. (M) {\\(r'-
- ~'W\\. A.4<i~ -
où
(11.5)
(K"M.)'" = t""" .A.~ ~'rkT
ilW\\. et ci ~ sont les matrices modales des lM. modes retenus pour le calcul et des ""'-
modes calculés par Eléments Finis.
1.2 EXTENSION DE LA CONDENSATION DYNAMIOUE DE GUYAN
1) La condensation dynamigue de GUYAN
On souhaite résoudre une équation spectrale matricielle de taille ~
en la réduisant par
condensation des degrés de liberté à une équation matricielle de taille 'Y\\. • avec lW\\. -i..<' N
•
Cette transformation doit perturber le moins possible les basses fréquences du système initial.
On effectue pour cela une partition de l'ensemble des degrés de liberté de la structure:
• un sous-ensemble de IW\\. F degrés de liberté dits principaux ou dynamiques qui permettront
de caractériser tout le comportement dynamique de la structure. Ce sont les degrés de liberté de

---

128
frontière dans le cas de raccordement de deux sous-structures.
* un sous-ensemble de ~ degrés de liberté dits secondaires.
Le vecteur déplacement et les matrices de masse et de rigidité peuvent donc s'écrire :
(11.6)
il convient de choisir les degrés de liberté dynamiques de telle sone que les forces
d'inertie
{t~
associées aux degrés de liberté secondaires soient négligées.
Cette condition est réalisée si les masses affectées à ces nœuds sont nulles ou
négligeables. On doit donc résoudre l'équation:
(II.?)
( \\(1:r
KfI:
On en déduit
D'où le changement de variable.
(II.9)
où la matrice rectangulaire
(II.lO)
représente les modes de déformation statique introduits en (1.60). Ce changement de
variable permet d'obtenir le système condensé
(II. 11)
où
(II. 12a)
(II. 12b)

---

129
avec
(ll.12c)
r. =
La précision de cette méthode de GUYAN est néanmoins liée au choix des degrés de
liberté dynamiques quideit se faire avec précaution faute de perdre les basses fréquences.
2) La méthode de LEUNG
Mm d'améliorer la procédure de GUYAN, LEUNG a récemment obtenu à panir d'une
formulation continue et discrète, de type RAYLEIGH-RTIZ (R 31 )et (R 33)
,basée sur les
modes encastrés et les modes statiques ( ANNEXE 8 ) une matrice de raideur dynamique
étendue aux termes du premier ordre.
-
Cl.
T
(ll.13)
"l) ':
\\.( -
w
.h.
G.I\\. G
où
(ll.14a)
.t,
où AE est la matrice spectrale, carré des pulsations et
(ll.14b)
~ étant la matrice modaledes premiers modes encastrés.
Le Théorème de LEUNG permet de déterminer la matrice de masse dynamique pour un
système linéaire, à partir de la matrice de rigidité dynamique.
(11.15)
M. (tA3)
1)(",)
On obtient alors
(ll.16)

---

130
3) Etapes du calcul
* 1- On détennine les matrices ~ et .It~ en résolvant l'équation spectrale
(II.17)
avec
(IL 18a)
(II. 18b)
* 2- On choisit ""0 proche de la pulsation cherchée. Si celle-ci est la plus basse, on
prend W o -= 0
* 3- On calcule
L - . a .
(II. 19a)
-
T
K- COo
M -Wo
GAG
(II. 19b)
* 4- On résout l'équation suivante
(II.20)
* 5- On détermine la pulsation cherchée par le quotient de RAYLEIGH
)
4..
...
, .
/ , .
~
t~
(II.21
Cu = w.
+
X F'
J),c. F
t ~ 1= h X F):: c..J. +
1.3 REPONSE TEMPORELLE
1) Solution générale
La méthode des Eléments Finis donne pour une structure non amortie l'équation
dynamique suivante:
••
(II.22)
.tj" À
...
KÀ = F

---

131
où
M et
K
sont respectivement les matrices de masse et de rigidité.
À
le
déplacement généralisé et
F
le vecteur force.
Si ~ désigne la matrice modale des cm. premiers modes normaux et J'L~ la matrice
spectrale qui lui est associée. les relations classiques suivantes sont vérifiées:
(II.23)
1'1. i
.JL~ = \\( i
.
~T fi ~ = J: j i T K. ! = Jl~
J
Le changement de variable
(II.24)
donne l'équation dynamique:
(II.25)
où
(II.26)
désigne la force généralisée.
La solution de l'équation (11.25) s'écrit:
où M."'.5l.(~-~).
Q6.Jl.t
et
~"'...svt.- désignent symboliquement des matrices
diagonales respectivement d'éléments diagonaux
(11.28) À~ CV"", l~ -"t) J t.0 C(J~ ~ J ~ C(J-ILt-,
~ E (-i. 1 Nk1
et
(II.29)
•
avec ÀtI) et ~(.J les conditions initiales associées à l'équation (II.22) dont la solution
générale s'écrit:
~U:): ci.n:-'" (~"" At) !TM À{oJ + ! (Gcb-C\\.~J {Tt1.~(oJ
(il.30)
T
t..n:-' Jo~ .,.\\~ .n. <'~-l'J ! T 'F C~) J7;

---

132
Dans les cas réels, l'on tient compte de l'amortissement et au bout d'une certaine durée,
seul subsiste le dernier terme de l'équation (II.30) qui correspond à l'intégrale de convolution
de DUHAMEL. Soit :
(II.31)
Au terme de deux intégrations par parties, l'expression (II.31) devient
(II.32)
~:'. ~ ~~ ~T f(t) _ ~ .IC~ GAI) .l\\.t- ~T r (oJ
_ i ..t\\1a~ At' lT~(o) -l.i\\.~L~;~.Au.~JiTF(t),r~
2) Influence des termes résiduels
Dans le cas où l'excitation ne concerne que certains nœuds seulement, il est naturel
d'introduire la partion (11.6) des degrés de liberté:
(II.33)
Si la matrice modale t
se partitionne confonnément aux degrés de liberté, l'on peut
écrire :
(11.34)
Si la force F(t)
admet des dérivées d'ordre élevé, la relation (II.34) peut s'écrire après
plusieurs intégrations par parties:
\\
:r-
~
-1-
T
..
(11.35)
1\\ F = ~ l= ...n.-
iF F{ tJ - ~ F..n. cf F f= <.t'j
+ ~
S l
tir
À
t ~ ..IL l + - ~) ~~ F (~)( ~, cl b
+ <if' (c«).J"t t) ..n..- ~ l..rC~ t y:T P(0) - ~: 1=(0»)

---

133
Compte tenu des relations:
(II. 36a)
(II. 36b)
où
K
et
-M sont défmies respectivement en (II.12a) et (II.12b), il vient:
(II.37)
À r = ~ -'1. Flot) - ~ -, R ~-\\ 1= lt)
-t-
~ P Jts J,,~.-.i\\l\\...n.. l~- ) ~; r <.4)('t) ~-r;
On peut ainsi comparer les solutions temporelles 6btenues avec les trois expressions
(II.31), (11.34) et (11.37)
Test de validation
On a fait un test numérique simple avec une poutre cantilever de lm de longueur, dont
les caractéristiques principales sont: El = 1 et
,S =1.
FIGURE II. 1
J
On applique la force F(I) = [ ' :
(1+' f)
à l'extrémité libre. Les dégtés de liberté
principaux sont la translation et la rocation à cette extrémité.
Les deux courbes obtenues (voir page suivante) divergent lorsqu'on utilise un mode
dans les formules (11.31) et (1l.37). n faut utiliser jusqu'à 7 modes dans l'expression
(II.31) pour que lacourbecomespoodante converge vers celle obtenue par l'équation (ll.37)
qui n'utilise qu'un seul mode car elle tient compte des termes résiduels.

---

134
REPONSE TEMPOREllE - METHODE DE LEUNG
COMMENTAIRE
REPONSE TEMPORELLE - LEUNC
* Essai sur une
100
poutre cantilever
encastrée à. un
1-
z
50
0
bou t et 1ibre à
Q.
:;
l'autre
Q
1. Courbe en poin-
0
li)
1-
z
tillée obtenue par ~
la formule Cll.37) 5 -50
Q.
,
pour un mode.
~
\\
2. Courbe en conti
-100 -1-----,r---'"""T'""--.,....-----r---""T"""----.
nue obtenue par
o
2 3 4
5
b
TEMPS D'OBSERVATION
formule Cl1.31>
pour un mode.
-
SANS TERME RES.
.._- AVEC TERME RESI.
COMMENTAIRE
REPONSE TEMPORELLE - LEUNC
* Il y'a conver-
gence des 2 cour-
100
bes ci-dessus lors !z
~u'on applj~ue la
50
ë
Q.
(
formule Cl1.31>
:;
avec au moins 7
Q
0
li)
modes.
1-
z
~
C'est donc un
w
~ -50
interet de plus
~
\\
des termes resi-
duels Iformule
-100
0
2
3
4
5
b
(11.37) ou on uti-
TEMPS D'OBSERVATION
lise un :eul mode.
--- SANS TERME RES.
..-- AVEC TERME RES 1.

---

135
I. 4 EXPRESSION DE LA MASSE RESIDUELLE
D'après les équations (I.373b) et (I.374b) les masses résiduelles en fonnulation
matricielle s'écrivent au premier et au second ordre respectivement
(II.38a)
(II.38b)
où 't'est la matrice-des déformées statiques,
)( la matrice des modes encastrés et
l'inverse de la matrice spectrale.
II. CARACfERISTIOUES RESIDUELLES EN ANALYSE DE SENSIBILITE
II.! PROCEDURE GENERALE
On se place ici en formulation classique de déplacement. En analyse de sensibilité,
l'influence des perturbations de structure sur les valeurs propres d'un système mécanique est
déterminée par un développement asymptotique à partir des premiers modes normaux du
système de base.
La méthode proposée dans cette partie tient à diminuer les effets de troncature modale. li
s'agit de modifier les perturbations structurales avant l'application des relations de sensibilité.
L'on calcule les variations dans les formes des modes et les fréquences naturelles
induites par la modification des termes dans les matrices de masse et de rigidité, ( R 56) à
( R 57 ) . Cette approche pennet de détecter les variations structurales qui induisent un décalage
des fréquences pour mieux estimer le système. Elle ne nécessite pas le calcul complet des
nouvelles fréquences des systèmes perturbés et évite ainsi un temps de calcul excessif. On peut
l'utiliser pour estimer le gradient d'une fonction coût, ou dans les procédures d'optimisation,
( R 59 ) et (R 68 ) , ou dans la correction de modèles Eléments Finis basés sur les tests
vibratoires, (R 60) et (R 63 ) .
On considère une structure conservative et non amortie dont les modes normaux discrets
sont solutions de l'équation
(II.39)

---

136
L'objectif est d'obtenir par un calcul simple les solutions du problème spectral perturbé
suivant:
(IIAO)
Les variations
A K et
à M ont une norme plus ou moins faible liée aux matrices K
et
.M. du problème de base (II.39)
(lIAI a)
(IIAI b)
On applique ensuite la méthode des perturbations aux éléments propres
(IIA2a)
(IIA2b)
Dans la pratique. on se contente de faibles perturbations et on utilise un développement
limité au deuxième ordre.
Si les modifications concernent seulement un faible nombre de degrés de liberté dans le
modèle Eléments Finis. il est intéressant d'introduire la matrice de flexibilité correspondante.
L'équation (IIAO) devient alors
(IIA3)
-
-
où les matrices de souplesse S =( S ij) et
-b.K et -AM correspondent aux
nœuds concernés par la modification. La matrice de souplesse
S· est une sous-matrice de la
matrice·
(K-UJ~l'1J ~ Ces composantes s'écrivent à l'aide des modes normaux:
(ll.44)
~\\.. -
~ -
)(,'r.. ~i'­
_lOa..+ (d"1.k
où
Les nouvelles pulsations apparaissent comme les valeurs qui annulent le déterminant du
système homogène (ll.43)

---

137
(ITA5)
Les choix de -
6. K et ~ M sont liés aux valeurs imposées de W,-:
En accord avec les méthodes de synthèse modale, ( R 46, 62, 64 et 65 ) les nouvelles
solutions propres peuvent résulter du système suivant:
T
-
(IIA6)
( ..tL~ + X'T A K. X ) Qfl =œt
(1: + X à t'\\ X) Qk
où
(nA7)
X étant la matrice modale des déplacements des N
premiers modes de la structure.
Pour obtenir une relation entre les nouvelles solutions et les anciennes, il est nécessaire
de calculer les termes d'ordre élevé dans les développements (IlA2a) et (II.42b). RYLAND a
proposé, ( R 54) une procédure basée sur la décomposition de CHOLESKY de la matrice de
masse et une projection dans la base des vecteurs propres.
Les équations (II.39) et (ITA2) conduisent aux relations :
(lIA8)
et
....
T
L X~ )(~ (:-lAt\\6 +A)X(
(nA9)
( :. \\
CUe.. - c.o r..
':# "-
Les termes d'ordre zéro sont liés aux conditions d'orthogonalité des modes normaux
(n.50a)
(IlAOb)
, , ' "
\\L
X
tU;a- ("':.1..
1\\\\
~
J = - 11'11
On constate qu'à l'ordre un. la correction du k ème
mOde n'améliore pas les autres
modes. n devient donc nécessaire d'utiliser les termes du deuxième ordre pour obtenir une
meilleure estimation

---

138
Afm de déienniner les termes ~'- et Ri'- des développements limités (II.42a) et
(II.42b) à l'aide de la matrice de flexibilité introduite dans l'équation (II.43), on fait varier
l'égalité triviale suivante:
(II.52)
On obtient
(II.53a)
c'est-à-dire
(II.53b)
En introduisant la relation (II.44) dans l'égalité (II.53b) à gauche comme à droite, on
obtient les relations d'ordre un. VAN HONACKER, ( R 55 ) utilise cette procédure pour
obtenir les relations de sensibilité pour une structure amortie et les termes du second ordre
(II.51) dans le cas non amorti. BRANDON, ( R 36 ) a obtenu des résultats similaires en
appliquant la méthode des perturbations aux modes complexes.
Mais peu d'études ont été faites sur l'influence de la troncature modale dans le calcul des
dérivées des valeurs propres. Dans le cas de l'utilisation de l'équation (Il.43), mo HIRAI,
( R 64 ) et ( R 65) a proposé l'introduction des termes résiduels pour réduire l'influence de
la troncature dans l'expression de la matrice de flexibilité en équation (II.44).
(II.54)
En accord avec les travaux de LEUNG,
(R 31 ) à (R 35 ) , les termes résiduels
sont donnés par
(L)
(II.55)
G\\~ (w:o)
où
(
L-1.
(II.56)
Ga (l..) =
\\ ;(4) S

---

139
Plusieurs auteurs ( R 23 ) et ( R 70 ), ont proposé l'utilisation des caractéristiques
résiduelles en synthèse modale. En se limitant aux tennes du premier ordre, les solutions
propres du système penurbé vérifient l'équation standard suivante:
(il.57)
où
-~
(il.58)
KR = SR
V est le déplacement des nœuds concernés par la perturbation.
XF est la matrice modale réduite sur les nœuds de frontière.
Afin d'améliorer la procédure, on utilise la relation (il.54). Les relations de sensibilité
(il.49) et (il.51) deviennent :
(il.59)
(il.60)
Quoique ces expressions permettent de réduire l'erreur induite par le calcul des termes
'iJitroduitsdah~ les équations (1142), il est intéressant de formuler une nouvelle procédure qui
améliore la convergence de ces séries.
La méthode que nous proposons repose sur l'utilisation simplement des expressions
(il.48), (ll.49) et (il.51) appliquées non au système réel, mais au modèle modal (il.57) qui
tient compte de la troncature modale par le biais de la matrice résiduelle de rigidité

---

140
II.2 PRESENTATION DE LA METIIODE
1) Théorie
Un important domaine d'application de l'analyse de sensibilité est l'étude de l'influence
d'une modification locale de la raideur d'une structure. Si l'on considère que les nœuds
concernés par la modification sont associés aux déplacements de frontière dans le modèle
discret (Il.57), les coordonnées Ui correspondant au modèle modal (II.46) et les déplacements
Vi vérifient les équations suivantes
(II.61)
(lt~) = 'X F Q.
(Il.62)
..
où Q est le vecteur des coordonnées modales apparaissant dans l'équation (Il.46) et
les forces exercées par la structure sur l'organe de rigidification, de matrice de rigidité b II\\.
Les vecteurs de déplacements U et
V
vérifient:
(Il.63) F = KR ( U- V )
La matrice de rigidité résiduelle
KR
prend en compte les modes non retenues. En
accord avec la relation (Il.4a), cette matrice s'obtient à l'aide de la matrice de flexibilité statique
ST sous-matrice de la matrice K-l associée aux nœuds de frontière.
(Il.64)
Dans le cas d'une structure libre où on ne peut définir
K-l, une matrice de
pseudo-flexibilité statique présentée en ANNEXE 2 permet de remplacer
ST
.
En éliminant le vecteur
V
dans les équations (Il.62) et (Il.53), il vient
(ll.65)
Le modèle modal (Il.46) est ainsi lié à une nouvelle matrice de raideur de perturbation
_
(
)-'l.
(ll.66)
à~ =
1:
+
c1 \\( ~~
.
A K

---

141
La méthode consiste à appliquer les relations de sensibilité établies précédemment au
modèle modal (II.46) et construit avec N
modes nonnaux X(
Si la perturbation
/1 IC est introduite comme une distribution de raideur additionnelle
de frontière en FIGURE 1.5, on obtient en se contentant des termes du premier ordre
(ll.66a)
T
-
Xf=~ A~ XFl
i2
(II. 66b)
'X"" )(rFl 6K )CF'
,=,
W,~ -
W~l
ë.."k
La méthode proposée a été illustrée par une perturbation de raideur. TI est possible de
l'étendre à une modification plus complexe de structure. C'est l'objet de l'ANNEXE 5
2) Exemple de validation
On introduit une perturbation de rigidité de frontière au modèle Eléments Finis de plaque
rectangulaire de référence pour illustrer la méthode proposée.
FIGURE TI.2
On analyse les résultats obtenus par un calcul direct en Eléments Finis ou Synthès~
Modale et ceux de la méthode de sensibilité. La perturbation en raideur est croissante et la
,
raideur uniforme k sur les 39 DDL de frontière varie de 10 N/m à 10 N/m
Les tests réalisés portent sur les deux premiers modes qui sont en fait les modes de
branche obtenus par chargement en raidem et définis dans la partie IV du chapitœ 1.

---

142
Pour mettre en évidence l'influence de la prise en compte de la souplesse résiduelle
de frontière SR, on applique deux fois la méthode de sensibilité avec d'une part SR de
bonne qualité et d'autre part SR nulle. SR nulle s'écrit:
s... = c-- ,;'S--••.J
Alors que pour la vraie valeur de SR calculée avec 6 modes libres, les termes diagonaux
sont de l'ordre de 10fn.tN. On compare ensuite ces deux essais aux résultats de la synthèse.
a) Analyse fréquentielle
Les courbes obtenues prouvent que les faibles perturbations (jusqu'à "k = 1000 N/m)
sont peu sensibles à la souplesse résiduelle. Les 3 courbes sont identiques dans cette plage
de perturbation. Au delà de k = 1000 N/m, la méthode de sensibilité donne des résultats qui
convergent vers les valeurs exactes à trouver si l'on tient compte de la souplesse résiduelle
de frontière. Sinon, la divergence est très rapide comme l'indiquent les courbes.
TI convient de noter cependant ~ue la méthode sensibilité devient inapplicable pour les
grandes penurbations (au delà de 10 N). C'est ce que l'analyse de la forme modale met en
valeur.
b) Analyse de la tonne modale
On s'est intéressé à la forme du 1er mode libre dont la fréquence initiale est
fo =70.447 HZ, sans aucune perturbation. On a réalisé la synthèse et la sensibilité avec les
6 premiers modes libres
(voir Tableau Al).
Le 6° mode
libre
a pour
fréquence
f6 = 238.683 HZ, soit une pulsation au carré œ~ de l'ordre de 10 6 (rd/s) ~
-t.
* Pour une perturbation .d Kfaible:
Li K = 10 Nlm
La valeur réelle de SR donne une matrice de l'ordre de
10 -s- mIN pour ses
composantes. Notre matrice SR nulle est diagonale et de coefficients constants sur la diagonale
001
10 samIN.
Dans
les deux cas de matrices
SR (SRI = SR bonne et SR2 = SR nulle ),
KK ~ A\\1(, d'après la formule (ll.66 ). Comme XF { a des composantes de
l'ordre de 10--t.
"t'
(vecteur
_
propre normé par rapport à la matrice de masse (M)), le produit
scalaire
X F'1
A K XF~
donne une valeur faible, et de l'ordre de l'unité. On trouve
naturellement des fréquences très voisines, à partir de la formule (ll.66a) pour la méthode
de sensibilité avec SR l et SR2 :
fi = 74.608 HZ (synthèse avec SRI) ; fi = 74.657 HZ (sensibilité avec SRI)
fi = 74.819 HZ (sens ibilité avec SR2).

---

143
A cause de son dénominateur qui est de l'ordre de 10 • le reliquat:
,.
'><.'1. )( FI
~K
XF'
w•.I.. -
CcJ...""
est une quantité faible. voire négligeable devant X 1.. dans l'expression
(II.66b) qui
-
'donne
X1.' Nous trouvons donc la même déformée. en synthèse comme en sensibilité. Le
Graphe
a été réalisé pour la souplesse SRI.
~
... Pour unefone penurbation : IJK = 10 N/m
La quantité XF""j K XF'i, est forte et on obtient les fréquences suivantes
fI = 211.911 HZ (synthèse avec SRI) ; fI = 322.481 HZ (sensibilité avec
SRI) et fI = 254.037 HZ (sensibilité avec SR2). Cette divergence des valeurs se traduit
6
, . _
aussi par des déformées différentes car le terme:
La Xl XF. b ~ Xt='
·
.
'
.. ,
,.,;&.
I.,~
deVlent Important.
\\ ~'"
" " L
-
" " 'i.
Pour la souplesse SRI. la sensibilité donne une déformée quelconque qui est loin de la
déformée exacte obtenue par synthèse ou par Eléments Finis. C'est le Graphe
Remarque :
La bonne valeur de la souplesse résiduelle SRI
permet d'obtenir des déformées
semblables aux déformées exactes obtenues par Eléments Finis. C'est pourquoi il est
intéressant de comparer les déformées issues de la synthèse et de la sensibilité à paritr de SRI
lorsque la perturbation de frontière croit.

---

144
GRAPHE G8
FREQUENCE
F 2
300
,.
250
;
,
",,/"..../'.,,//
,
.,,-
~
"
," / ..
~" ".,-
,,~
; "
w
.. ~"/-
cm1MENTA l RE
~150
,,~~/-
~
/~/
~
~/
1. Comparaison
~ l'
100
~."",.::,.y.
--------
_ .
en tre 2 cou.rbes
obtenues par syn-
thèse et par la
:JL--~----.----.---__rl--_r-~I
o
2 3 4
5
b
méthode de sensi-,
UJGAR lTH~'lE DE ~~
b il ité.
-
Syt-lTHESE
--~- SR BONNE
2. LA ,SOUPLESSE
RESIDUELLE SR estl ~--------------n-n~E~Q-[~TE~NT~1=D~~F~71-------------~
rt\\ . ) l tn
bien calculée} ce
qui expliqu.e la
400-
bonne convergence
,
,
•
1
des ~ courDes meme
à 1(=100.000 N/I'1 . \\
...
300-
/
LL
/
/
~ "'C)Or-
..::...~
W
l
~
W
0:::
LL
100-
O-l----r-I--r-I----rl---r-I-~Ir_-___,I
o
1
2
-j
4
~
b
~.
LOGAR l TH~lE DE K
1- SYNTHESE
1---- SR BONNE

---

145
GRAPHE G9
CClMI1ENTA I RE
SENSIBILITE ALA SOUPLESSE RESIDUELLE SR
1. On compare 2
.3.000-
courbes obtenu.es
par 1a mé thode de
2.500-
1
sens ib i II té res-
_ 2~OOO­
1
pectivement pour
tj
LA SOUPLESSE RESI
~ 1.500-
j
/
DUELLE SR NULLE ET
_____
8
0:::
.1
pU.IS
BIEN CALCULEE tL 1.000-
J
/
,
à la courbe de ré-
500-
" , '
férence obtenue
~
_ _ J~~~~
.-..
-------
--
ol::==::::::::;1====~1=====~1~'.-::-.::-~<-I~-~~--~~~I=~
par synthèse.
o
1
2
3
4
5
2. On note la sen-
LOGAR 1THI1E DE ~;
sibi 1ité de la con
ver.gence à SR .
-
SnHHESE
/---- SR BmJNE
1-·_· SR NULLE 1
COMMENTAIRE
SENSIBILITE ALA SOUPLESSE RESIDUELLE SR
1. On compare à
la courbe de réfé-
rence 2 courbes
2.500-
1
obtenues par la
J
mé thode de sens i -
\\'.l 2.000-
!
~
b i 1i té pour SR NUL CS
1
1.500-
1
LE puis SR BIEN
§
0:::
/
CALCULEE .
Li- 1.000-
1
/
500-
./
2. On no te Iii m-
portance de la bon
o1====:::;,====::::::;,==:::::~,::::''~-'=~J::=~I=--=-:-:-~"-~I
ne connaissance de
o
1
2
3
4
5
b
LOGAR ITHME DE K
LA SOUPLESSE RESI-
DUELLE pour la con
1-
ver.gence .
Sl'NTHESE
1---- SR BONNE 1-··_' SR NULLE 1

---

f
146
GRAPHEGIO
COMPARAISON DES FORMES POUR LE PREMIER MODE
FAIBLE
PERTURBATION
J;(:- 100
N/ M
,
5YNTHESE
SENS/BI LITE
(74-. 60a HZ)
(74. '57 HZ)
FORrE.
PERTUR.BATION
J.<: IOSN/M
1
5YNTHE5E
SEN SIBI LITE
(211. 9J1 ,.,~)
(3'22. 4'9 Hi!)

---

147
CONCLUSION
Les différents tests numériques réalisés dans ce chapitre confmnent l'importance des
caractéristiques de frontière qui était déjà mise en valeur au chapitre 1. Leur prise en
compte dans d'autres techniques d'analyse modale telles que l'analyse de sensibilité améliore
les résultats des essais.
Afin d'obtenir une meilleure connaissance de la réponse dynamique des sous-structures
par synthèse modale ou par assemblage. l'on introduit des méthodes de correction qui ont pour
but de recaler les caractéristiques des frontières utilisées lors des essais. C'est
l'objet du chapitre 3.

---

148
CHAPITRE 3
CORRECTION DES CARACTERISTIQUES
DE FRONTIERE

---

149
CHAPITRE 3
CORRECTION DES CARACTERISTIQUES
DE FRONTIERE
INTRODUCTION
1. METHODES DE CORRECfION
1.1 MINIMISATION D'UNE FONCTIONNELLE "ECART"
1.2 CORRECTION DIAGONALE MA1RICIELLE
1.3 CORRECTION GWBALE MATRlCIELLE
lA CAS DES CARACTERISTIQUES RESIDUELLES DE FRONTIERE
II. APPLICATION AUX FBONIIERES A FAWLE NOMBRE DE DEGRES DE
LWERIE
II.1 PROCEDURE GENERALE DE CORRECTION
11.2 APPLICATION EXPERIMENTALE
m. APPLICATION AUX FRONIIERES A GRAND NOMBRE DE DEGRES DE
LmERIE
m.l CREATION ET IDENTIFICATION DES MODELES
m.2 CORRECTION EXPERIMENTALE DES MA1RICES MODALE ET DE RAIDEUR
m.3 CADRE D'UTILISATION
CONCLUSION

---

150
INTRODUCTION
Les méthodes de correction en Dynamique des structures ont pour but de recaler les
modèles -numériques représentés par une matrice de masse et de raideur afin que les
caractéristiques des modes mesurés correspondent à celles des modes calculés.
Les corrections concernent les matrices de masse et de raideur. Dans la première partie de
ce chapitre nous présentons en formulation primale les principales techniques de correction:
*Minimisation d'une fonctionnelle "écart" * correction matricielle diagonale * correction
matricielle globale et méthode de sensibilité déjà étudiée dans le chapitre précédent
Nous montrons ensuite comment ces méthodes se développent dansle èadre des matrices
résiduelles utilisées lors des raccordements de sous-structures. Il devient alors nécessaire
d'envisager deux types de fontière adaptés à des techniques de raccordement différentes.
On étudie dans la deuxième partie les frontières avec un faible nombre de degré de liberté
où il est intéressant et efficace de corriger les termes diagonaux des matrices résiduelles
localisées aux interfaces. On a adopté pour cette étude la formulation primale et duale. ..
La troisième partie, essentiellement en formulation primale, est consacrée aux frontières
avec un grand nombre de degré de liberté. On y applique différentes techniques de correction
afin de réaliser une meilleure synthèse des sous-structures, et donc un assemblage proche de la
réalité.
1. METIIODES DE CORRECTION
11 MINIMISATION DUNE FONCTIONNELLE "ECART'
On recherche un ensemble de paramètres de contrôle qui minimisent une fonctionnelle
représentant l'écart entre les caratéristiques modales mesurées et calculées. Les gradients
calculés pour réaliser cet état stationnaire reposent sur les techniques de pénalisation, de la
défmition d'un état adjoint ou bien l'utilisation des dérivées des fréquences de résonance et des
modes de vibration. Nous illustrons cette dernière procédure par la correction-d'une matrice de
masse et d'une matrice de raideur.
1) Correction de la matrice de raideur
lK.l-.
On suppose ici que la matrice de masse
(M 1 est exacte et on se contente d'ùne
correction de la seule matrice de raideur. On décompose à cette fm
(K1en ~ matrices
( ~i )
telles que:
Mo
(Ill 1)
(~1 = L (Ki)
i.:i.

---

151
On cherche la matrice corrigée "
(K) sous la fonne
(III. 2)
~~ ~
où les 1');'
sont des paramètres de correction. ~.: corrige globalement la matrice
du sous-système ~ s'il est düférent de l, sinon cette correction n'a lieu.
, ., On recherche ensuite les paramètres ., de correction qui minimisent la fonctionnelle
suivante:
(III. 3)
~
.~
où les Ct.'i
désignent le carré des ~ pulsations calculées et w~
les valeurs
correspondantes du modèle corrigé.
L'intérêt de cette méthode réside dans le fait que les seules données expérimentales
utilisées sont les fréquences propres, données en général exactes.
La stationnarité de J"(~) s'écrit:
(IlIA)
L E. C1.., "t'\\.J
ou bien
(III.5)
...
On se sert ensuite de l'orthogonalité des modes 'A. c: du modèle corrigé, soit:
~:I..
te
T
..
,..
C. '1., ~J
(III.6a)
W~
- X, ( lA) Xl
l. ~
-
..-
'" T
(III.6b)
1-
':.
X\\
~ M') X,
L E: [~, ~1
L'égalité (IIl.6a) induit les relations suivantes :
(III.7a)
(ffi.7b)
-

---

152
L'équation (IIL5) pennet alors d'écrire:
t1')'\\.
')'\\/
... , .
L
~ ~J Xe.. (\\(J) Xl X,-'T (K,) Xp
'-:'1 d=1
IC.
(ill.8)
'C'l'\\.
~
~ 'T
..-
==
L, tu" X'- (v-\\.) X,"
"c:1
Ce système matriciel peut s'écrire encore :
(ill.9)
où
A
est une matrice carrée 'Yl ~')\\. , de tennes
G\\. ~J
(IILI0)
et ~
est un vecteur colonne de dimension
~ et de composantes ~ ~
(ill.ll)
l
E. c."1., 'ho)
2) Correction de la matrice de masse CM ) .
La procédure utilisée est analogue à celle qui a permis le recalage de la matrice
(K).
On suppose donc que la matrice de raideur est exacte et on divise la structure en
sous-structures. La matrice de masse du modèle initial s'écrit:
t'Y\\.
(III. 12)
L
[M,')
où (H ~ ) est la matrice de masse de la sous-structure t..
La matrice de masse du système corrigé s'exprime
(IIl.13)
où les '? \\ sont des paramètres de correction

---

153
En posant
(III. 14a)
ol., = ~ Iw\\.
l. E.
t "1. , '\\'\\.)
(III. 14b)
~~
f"1f-
L ~
(1.,'Y\\.)
' :
'1
w,
.. ,
confonnément aux notations introduites dansJa'-relation (III.3) on définit une
fonctionnelle
].
suivante:
(III. 15)
On doitrechercher les paramètres 'Y)
de correction qui minimisent cene fonctionnelle
] '
Une démarche analogue à celle utilisée dans le cas de la correction de la matrice de
1Il'
raideur conduit au même système matriciel (III.8) où on remplace les vecteurs propres X, de
M
K) par les vecteurs propres ..
( )-'(
-,
X· de ( K) (..M) .
TI convient de remarquer que la matrice (li<..) n'est plus inversible si la structure possède
des modes de corps rigides. Néanmoins, plusieurs procédures numériques permettent même
dans ce cas de calculer les vecteurs propres ~i et d'appliquer la méthode sur ~ modes
élastiques.
3) Correction simultanée de
W et ( M )_.
Dans les deux recalages précédents, on a chaque fois supposé que rune des deux
matrices était exacte. La validité du résultat obtenu dépend donc de cette hypothèse. TI apparaît
donc utile d'envisager une correction simultanée des deux matrices de masse et de raideur.
Plusieurs techniques permettent de réaliser cette correction simultanée, dont une méthode
itérative simple, alternant les deux corrections et convergeant rapidement vers la solution exacte.
4) Commentaires
Le rang de la matrice
(A)
en (III.9) dépend de la structure et du choix des
sous-système i de matrices de raideur (Ki)
ou de masse (Mi).
Dans la perspective de pouvoir appliquer cene méthode de correction aux matrices {SR).
de souplesse résiduelle de frontière, on est confronté à un problème de taille du calcul.
En effet pour une frontière de raccordement de P dégrés de liberté (DDL). (SR) est
une matrice carrée d'ordre P. Si 1'00 souhaite corriger les Px P termes de
(SR) .la matrice
(A) a alors pour ordre P x P, ou éventuellement Px (P + 1 ) / 2 si (SR) est symétrique.
Dans le cas par exemple de notre plaque d'acier avec 39 DDL de frontière. (SR) est
symétrique et la correction de tous ces coefficients conduit à une matrice carrée (A) d'ordre
1365.
.-
',,"
>, ~
.'
....
( ; ....
..
,
-
,

---

154
La méthode présentée n'est donc envisageable que pour une frontière à très faible
nombre de dégrés de libené.
1.2 CORRECTION MATRTCTELLE DIAGONALE
. _ . Cette correction pone sur des matrices de petite taille obtenues lorsque les penurbations
sont localisées. Ce sont des matrices de souplesse dynamique (S) -relatives aux nœuds
impliqués dans la correction. Les fréquences de résonance du système penurbé apparaissent
comme les valeurs qui annulent un déterminant de faible dimension associé à la matrice (s) .
La correction (à. 5) de cene matrice (5) est recherchée sous la forme d'une matrice
diagonale (~). Les
k
éléments de l~) sont calés de façon à obtenir les fréquences de
résonance exactes de
k modes de branche lorsqu'on introduit une matrice de souplesse (58 )
associée au chargement de frontière.
Cette
méthode
est
développée
dans
le
cadre
des
frontières
de
raccordement à faible nombre de degré de liberté.
1.3 CORRECTION MATRICTELLE GLOBALE
Contrairement aux méthodes précédentes, ces techniques de correction définissent des
penurbations globales des matrices de masse, de raideur ou des modes. Elles sont basées sur la
minimisation de la norme de ces penurbations en imposant des conditions d'onhogonalité et le
respect de cenaines relations spectrales.
Ces méthodes ont été proposées dans plusieurs articles par BERMAN (RI7, R18) ,
BARUCH (RI9, R20) et récemment par KABE (R 21).
1) Correction de la matrice de masse
On suppose que la matrice de masse expérimentale
(M) compone des erreurs et on
introduit la penurbation lA M) qui permettrait de vérifier la relation d'orthogonalité :
(III. 16)
où X est la matrice modale rectangulaire des modes discrets et 1 la matrice d'identité.
Comme la matrice
X
est non inversible, l'équation (111.16) admet une infmité de
solutions
lA. M1.Mais on recherche la solution qui minimise la quantité
(m.17)

---

---_
-_ -
.. ,,-- ._.. -_..
----- --
....
.•..--. - _.- .. _.__._---
155
On introduit al?fS la fonction lagrangienne suivante:
Il'\\.
l'ti..
T
(III. 18)
~ = E + ~ ~ À li ( )( (t M) + (61"\\)) ')( - r) Li
\\'::~~='1.
En différentiant la fonction
\\f par les composantes (â t\\)~i de la matrice (6 t'\\) ,
les équations de stationnarité se mettent sous la forme:
(III. 19)
d'où
(III.20)
De même, la relation de contrainte (Ill. 16) permet d'écrire:
(III.21)
TI vient en définitive
(III.22)
L'équation (llI.20) permet alors d'obtenir le résultat cherché:
2) Correction de la matrice de raideur
On introduit la perturbation
\\à K) pour corriger la matrice de raideur (K) afin de
vérifier l'équation modale suivante:
(III.24)
( (~) + (A"')) X =
(I"'\\J 'X .n.~
La matrice modale X est supposée exacte, de même que la matrice de masse lM) .
est la matrice spectrale expérimentale.
On impose à la perturbation (à K)d'être symétrique:
(ill.25)
On introduit la fontion lagrangienne
L
suivante

---

156
(III.26)
qu'on cherche à minimiser afin d'obtenir une perturbation (à\\(1qui vérifie les deux
équations (m.24) et (m.25) et qui soit de nonne
~ minimale:
(III.27)
La matrice de tenne général p, 'à des multiplicateurs de LAGRANGE associés à la
condition (III.25) est anti-symétrique
(III.28)
En différentiant la fontion
L
par rapport aux éléments de (li \\1(. ) , on obtient des
équations de stationnarité qui s'écrivent sous cette fonne condensée:
d'où la valeur de la perturbation
(III. 30)
Pour éliminer la matrice
<. ~ lJ)' on ajoute à cette équation sa transposée et on utilise
(m.25) et (III.28):
(III. 3 1)
En tenant compte de la relation (III.24), l'équation (m.31) multipliée par X donne
(III. 32)
sous l'hypothèse
(III.33)
Les multiplicateurs de LAGRANGE ol..\\i s'écrivent à partir de l'équation (IIl32) :
(III.34)

---

157
L'expression de et'j introduite dans la relation (llI.31) permet d'obtenir en définitive:
(III. 35)
(Ô \\( ) -::
t \\(. ) xx" ( M) _ <. M) xx,. ( l.o<.) + <M ) X x" (K.))( )t(M \\
+
<M)X.rL~X'T(M)
3) Correction des modes
On souhaite corriger la matrice modale X
des modes discrets de la s01lcture afin de
vérifier la relation d'orthogonalité suivante:
(III. 36)
XTCM))( = 'I
Comme dans les méthodes précédentes on minimise la fonction lagrangienne suivante:
"""
"'"
(III. 37)
~ :. E. + ~ L. "1 ,'S \\ 'X"T <"") X - "I.)
':~I
~:'1.
avec
(ID.38)
où
X
est la matrice initiale.
D
On impose à la matrice {~'ci) d'être symétrique à cause de l'équation de contrainte
(ID.36), soit:
(III. 39)
En différentiant
~
par rapport à chaque composante de
X
,les équations de
stationnarité donnent:
(III.40)
â ~ = ~ t M) (x - Xo ) + -2. (M) 'X <. "') i i) :. 0
a)<
En simplifiant cene égalité par la matrice (f1)qui est inversible, il vient:
(III.41)
On obtient alors les multiplicateurs de LAGRANGE en reportant la relation (Ill.41) dans
l'égalité (Ill.36)

---

158
(III.42)
En tenant compte de l'équation (III.41), il vient :
(III.43)
Plusieurs algorithmes itératifs pennettent de déterminer la matrice modale X corrigée.
Nous avons retenu celui-ci dans nos tests numériques. Il a l'avantage de n'imposer aucune
condition de norme sur la matrice
(M)
et converge généralement au bout d'une dizaine
d'itérations
(l)
( l ) ) - ~ )
(1lI.44)
( X
(M))(
4) Correction sélective de KABE
Soit
tK) une matrice carrée qu'on penurbe pour qu'elle vérifie cette relation de
contrainte
T
(1lI.45)
X (\\<. G>1() X :
E.
X est une matrice rectangulaire
t'le) =\\'le,~) est une matrice carrée dont les coefficients vérifient
(III.46)
Le produit symbolique CE) s'écrit
(III.4?)
Comme la contrainte (III.45) n'est pas vérifiée
T
(III.48)
X
(\\0<) X =A
on introduit la fonction lagrangienne
,.,..
~
(1lI.49)
~ + L.. L, N) iJ (.XT (K e't ) X - E. ) 'i :: 0
Co SI
~l::\\
où les ,\\~
sont des multiplicateurs de LAGRANGE

---

159
(III.50)
où i est une manice Î =. (i 'd ) vérifiant
...
..
(IIL51 )
! ..~ =
~"
-
"1.
0
•
1 ~
-
En différentiant l'égalité (III.49) par ~ or) ,les équations de stationnarité donnent :
~
T
(IIL52)
-
~ ( 'I: - <.r)) + (. \\<) <:) (X 'Y) x,.) = 0
On multiplie l'équation (ill.52) symboliquement par
K à gauche
On multiplie symboliquement l'équation (1I1.53) par X
à droite et par
X T à gauche,
d'où:
ou encore
(III.55)
-
A +
e. +
soit
(Ill.56)
XTt\\( .a. c:> <. X 'l') T X T ) ) X -= <. (, A - e..)
ce qui donne cette relation entre les composantes
(ffi.57)
On pose
(III.58)
d'où
(Ill.59)

---

160
qui permet de déterminer la matrice
('1 \\J' ) .
TI convient de remarquer que
(III.60a)
(III.60b)
On se sert ensuite de l'équation (II1.52) pour écrire
(III.61)
(III.62)
En posant
(III.63)
il vient
(III. 64)
L,
X\\~ ~T{.t XT.ei
-ea..e
1.4 CAS DES CARACTERISTIQUES RESIDUELLES DE FRONTIERE
1) Introduction des caractéristiques résiduelles de frontière
Dans les assemblages de sous-structures, les interfaces de raccordement sont souvent
mal modelisées. Pour atténuer les effets pénalisants de la troncature modale d'autre part, il est
nécessaire d'introduire des termes résiduels aux frontières. Mais dans un contexte expérimental,
ces caractéristiques de frontière sont mal connues. Une procédure d'identification de ces termes
a été proposée par l.G. GIMENEZ ( R67 ).
Elle consiste à faire un lissage par moindre carré des courbes d'impédance tout en
imposant le caractère défIni-positif à la matrice de souplesse résiduelle. Néanmoins, il n'existe
pas à notre connaissance, d'études spécifIques sur le recalage des tennes résiduels. Ce qui
devrait avoir l'avantage d'améliorer considérablement les procédures d'assemblages.

---

161
Dans un contexte numérique, nous nous proposons d'introduire des caractéristiques de
frontière qui seront ensui te recalées pour améliorer le raccordement dynamique de
sous-structures.
La matrice de souplesse dynamique s'écrit
~
N
T
(111.65)
5 =
2:. W~ tL-Il s l LJ + L
'f. Ca. )( \\
'-=\\
ft.
~'CI -W~+W L.'-
où
X-t.,. est constitué des déplacements de frontière induits par le ~ ~
mode libre de
la sous-structure considérée.
On peut relier les matrices résiduelles à la souplesse dynallÙque :
N
_~
, .
l L)
(
d
) l-1.
(111.66)
Sfl,.
= -
S
L.
~(.O~
W l '- x.~ X'-
~ ~ '1.
Les matrices de raideur et de masse obtenues numériquement permettent de calculer ces
expressions (111.66). Mais elles deviennent inutilisables sur le plan expérimental où l'on ne
dispose que de caractéristiques modales identifiées par des tests vibratoires.
Afin de déterminer avec une meilleure précision ces caractéristiques de frontière, on
introduit des modes de branche obtenus en fixant le long des interfaces de chaque
sous-structure des impédances simples.
Au cas où on ne dispose d'aucune matrice de raideur, même grossière, ces modes de
branche permettent de définir des coordonnées généralisées de frontière
, bien
représentatives des caractéristiques de frontière dans le domaine fréquentiel des essais
vibratoires.
(III.67)
où v..
est le déplacement de la sous-structure et t ~l les forces de frontière induites par
les
\\. ~""..
mode de branche. D'après l'équation (1.400), on peut montrer que les
composantes modales apparaissant en équation (ill.65) s'écrivent :
(111.68)
w.~
est la pulsation de résonance du mode de branche ).8d . Le produit scalaire
peut être approché par la matrice de masse de la structure obtenue par discrétisation.
De même les deux familles de modes libres et de modes de branche permettent
d'approximer les termes de souplesse résiduelle. Les termes d'ordre 1 ont pour expression dans
le cas d'un chargement respectivement en masse et en raideur

---

162
(III.69)
(III.70)
Les matrices résiduelles de souplesse obtenues ainsi ou par l'équation (III.66) restent
néanmoins imprécises et il est naturel de se limiter aux termes du 1er ordre S ~~.
fi. \\ ~
2) Procédure de correction
l~)
Afin de remédier aux imprécisions liées à la détennination des matrices
sil., on
élabore une stratégie de correction qui consiste à retourner les caractéristiques exactes des
modes de branche à partir de la valeur de
S{ll1.Jcorrigée. On se sert naturellement de l'une ou
l'autre des techniques de correction développées précédemment en fonction du nombre de degré
de liberté de frontière en présence.
La procédure de recalage repose sur une stratégie très simple qui peut être ainsi
schématisée :
C ':le t.-.p-o-~. ~
l.
''__
---------.J
'-....------~-------~
FIGURE IlL 1
Cette technique de recalage est développée sur les deux cas d'interface: faible nombre de
degré de liberté de frontière et grand nombre de degré de liberté de frontière.

---

163
II. APPLICATION AUX FRONTIERES A FAIBLE NOMBRE DE DEGRES DE
LmERTE
11.1 PROCEDURE GENERALE DE CORRECTION
Dans le cas d'une distribution de masse le long de la frontière
, les équations (1.263),
(1.334) et (1.390) permettent de relier les déplacements et les forces de frontière en fommlations
primale et duale :
(IIL7la)
..
:l.
•
(m.71b)
\\<. : w
M. f
À
4
est une matrice diagonale constituée des carrés des pulsations des modes de
branche.
t1 fi'
est la matrice de ma.<;se de chargement sur les nœuds de frontière concernés.
- ,...,
Les relations (1.31 lb) et (1.343) donnant successivement S'J et t:.i.j deviennent:
~
.:L
~
- .
s " ( )
1.
(e~~ Pfl')- _..J'\\.e. MFJ\\.&
(III.72a)
! 'i;
'A
l.oO
-
t,u.a.
' d
w':l..
(IIL72b)
Dans le cas d'un chargement en raideur que nous testerons en formulation primale, la
relation (Ill.72a) devient
(III.73)
où ~ est la participation des modes de branche sur les nœuds de frontière et \\(0 est la
matrice de raideur de chargement sur les nœuds de frontière concernés.
Dans chacun de ces cas de chargement, on obtient les valeurs approchées des fréquences
des modes de branche comme solutions de l'une ou l'autre des deux équations déterminantales
suivantes:
(III.74a)
(III.74b)
Dans le but de construire des modèles hybrides qui conduisent à une détermination
exacte des fréquences de résonnance des modes de branche, on ajoute des matrices de contrôle
aux matrices de masse et de souplesse résiduelles, soit:

---

164
*
(III.75a)
ta)
S
-
co
c.\\~:~
la..
-
.;:lA.
+
c..~_
(III.75b)
avec
(III.76)
Ces matrices de contrôle sont prises diagonales car nous imposons
k
équations de
contrainte par le choix de
k modes de branche joints à ""'- modes libres ou encastrés pour
construire les modèles.
Les équations (III.74) deviennent alors respectivement pour les formulations primale et
duale
(III.77a)
+
lo)
s~
+
D'une façon générale, plusieurs matrices de contrôle peuvent vérifier ces systèmes de
équations. Mais la solution cherchée doit être de norme minimale et est obtenue par la méthode
de NEwrON avec la matrice nulle comme matrice de contrôle d'initialisation.
II.2 APPLICATION EXPERIMENTALE
L'essai numérique envisagé a consisté a rechercher les modes encastrés d'une plaque
rectangulaire à partir d'une synthèse réalisée avec ses 8 premiers modes libres et 3 modes de
branche obtenus par un chargement en raideur \\0' N ("M. sur les degrés de liberté de translation
et
'04- N I~ sur les DDL de rotation) sur les 39 DDL de frontière (voir Figure III.2).
Les résolvantes des modèles 1 (modèle de RAYLEIGH-RITZ, sans terme de souplesse
résiduelle) et 2 (modèle de projection, avec une souplesse résiduelle de frontière au premier
ordre) ont été utilisées pour calculer les fréquences de ces modes encastrés.

---

165
1 1 { f i 1 f t
1
1
/1/111I111/.
r
~
~
-"
>
~
l--'
~
~
~
FIGURE 111.2
obtention des modes encastrés
Dans le tableau Cl, on a recalé les 3 premiers modes de branche afin de permettre la
correction des fréquences encastrées. Le modèle de troncature 1 a servi d'illustration.
TABLEAU Cl
N°
MO t)e.!:;
1-
2
3
4-
5
6
MO tlES
t>E.
BRA NCHE
45". \\G5'
ca\\.~7g
N· c.
\\~3.S5\\
1. )'2.041
~o 8. ~~\\
,
NON C.Op-.R,\\ GE.S
MOl>E.S 1)E.
B R.ANC.HE.
36.354
~4. 634
1S~.'~O 1. ~ 1.. '78 'a3s. '21
316. S31
~
C.oRR\\GES
MO bES
bE.
8~ANC.\\-\\E
36.3S"q
~ 4. '34
15' 6. s'o
204.388
21.I.If!jS8
327. 2'2.3
E.')(Ac.. TS
Les deux tableaux suivants C2 et C3 montrent les fréquences des modes encastrés
corrigés et non corrigés respectivement pour les modèles 1 et 2. La correction améliore
nettement les résultats et la prise en compte de la souplesse résiduelle aussi.

---

166
TABLEAU C2
t= RE Q VEN C. E.S (H 1.). MO l)f.S EN CASTRES
"""I..e:v~5t
"Al..~VflS
VA-L.eV~S
NOMObES
;
NO ....
COflfl,\\G-r!FS
c.o .. Il \\ ~ e ~.s
e'XAc."'~S
"1.
4-S. ~4~
37. 42. ~
3~. S89
'Z
1.00.585'
1.0S.4~~
1.0S.
'Z.C3S
3
1 C3 ,. Cl l. 9
192.S3S
18(;. 486
4
ê. '2.~. 1. 09
'Z:Z.O. S?s
1. 4 1. . "1. "2 7
5'
'Z.~7. 9\\9
"Z. e,. 410
'Z. ~7. 583
TABLEAU C3
FRE.Q.UE,Nc..ES CH"!) bt:S Mot>ES eN C AS TP'E.S
VA Le. VflS
VALevR.S
V~ l. e V RoS
NO to\\O bES
NON
<:. 0 1Ul\\ G-É e-.s
J
C-.Okk\\ 6ee..s
6'<. A- eTes
.._--
1-
4/. ~73
~8. Bos
3 e. SB 9
G
10 ~. 3 G 5
~O~. 00'
'1.0.s-.
'Gc!s
3
"1.~0. S'10
'184.4'2.s
-1.86. 486
4
'21.8. 67tf
,OS. '38
'241. ''27
C - - - ._ _
5'
N. c..
'2.54.814
-z.~7. s83

---

167
TIl APPLICATION AUX FRONTIERES A GRAND NOMBRE DE DEGRES DE
LIBERTE
Nous nous intéressons dans cette partie essentiellement à laformulation principale. En effet,
la formulation duale est basée sur l'utilisation des modes encastrés dont l'identification
expérimentale est difficile, et induit surtout des erreurs sur les matrices de masses résiduelles que
nous avons introduites précédemment dans un contexte numérique.
Or les modèles modaux que nous nous proposons d'identifier dans cette partie ont une
vocation expérimentale, même si leur construction demeure numérique. En effet, grâce à
l'introduction des modes de branches très accessibles expérimentallement, les modèles numériques
envisagés pourront se prêter à des contextes réels.
IlL 1 CREATION ET IDENTIFICATION DU MODELE MODAL DE BASE
Dans le but de mettre au point des procédures de correction efficaces et adaptées aux
frotières de raccordement à grand nombre de degrés de liberté, nous proposons le modèle modal de
base suivant, appelé BMM (Basic Modal Model ) dans toute la suite de ce travail, construit
à partir des modes libres, des modes de corps rigides et des coordonnés généralisées de frontière.
Ce modèle BMM doit pouvoir nous donner les trois principales familles de modes normaux
de la structure: les modes encastrés, les modes de branche et naturellement les modes libres
sur lesquels il est bati.
r.
Modes libres
Modes de branche
Modes encastrés
( A )( r.libre )
( B ) (10 chargée)
( C ) (r. Fixe)
FIGURE (ITT.3)

---

168
Si tel était le cas, on peut admettre son efficacité pour représenter le comportement de la
sous-structure avec des conditions aux limites quelconques et sa participation à la
dynamique de l'assemblage des systèmes mécaniques. Les tests numériques réalisés au cours de
ce travail mettent en évidence cette importante propriété. Ils seront exposés dans les paragraphes
ultérieurs.
Dans le cadre de la formulation primale, les déplacements )..
de frontière définis en
équation (1.26) s'écrivent pour une sous structure:
XLF et XRF sont les participations respectives des modes libres et des modes de corps
rigides sur les nœuds de la frontière ro
SR est la matrice de souplesse résiduelle de frontière (sur ro )
ft est la force généralisée de frontière
XLF = (XRF 1 XLF) matrice modale des participations des modes de corps rigides et des
modes libres.
c=t p.,
ot L
et
"
désignent les coordonnées modales relatives à
XRF, XLF et XF
respectivement, avec
9 ~ (~~J
On associe à l'égalité ( III.78) les deux équations modales suivantes liées respectivement
aux modes libres et aux modes de corps rigides.
( lll.79 )
et
( III.80 )
La conjugaison des équations (1lI.78), ( Ill.79 ) et ( 111.80 ) donne l'équation spectrale de
base du modèle BMM
,.,

---

169
T
-XA.f KA.
(ill.81 )
Cette équation peut encore se mettre sous la fonne condensée
T
2.
T
..Q + Y.
-)CF \\(t
o
F ~ ')CF
(ffi.82 )
où n..~ est la matrice speciale diagonale du carré des pulsations
a) Modes encastrés par le modèle BMM
Les modes encastrés correspondent à une interface r. fixe, donc le déplacement À de
frontière est nul ( cas B, Figure III.3 ). L'équation ( III.82 ) devient:
( III.83 )
C'est l'équation spectrale d'obtention des modes encastrés par le modèle BMM. Ils peuvent
être comparés à ceux de la même structure obtenus directement par Eléments Finis.
Les procédures de correction que nous proposons dans la suite de ce travail devront
pennettre de mieux calculer les modes encastrés que la résolution directe de l'équation ( III. 83 ).
b) Les modes libres par le modèle BMM
La recherche des modes libres ne présente pas d'intérêt puisqu'ils sont à la base du modèle
BMM. On peut néanmoins les retrouver comme solutions triviales du problème spectrale suivant:

---

170
Jl"~-t 'J.; \\(~ 'X F
( III.84 )
[
- \\(~ x"
c) Les modes de branche par le modèle BMM
Les modes de branche correspondent à un chargement en inertie ou en raideur à l'interface
( cas B de la Figure III.3 ), ou encore à un couplage avec une structure adjacente.
Si K 0 et Mo représentent respectivemet les matrices de raideur et de masse de frontière
induites par une distribution de raideur et de masse le long de cette frontière ~
,le déplacement
)..
et la force ~ à l'interface ro vérifient:
( III.85 )
où.st: est la matrice spectrale du carré des prestations des modes de branche.
On déduit de l'équation ( III82 )
"'A. + \\(0
où
XR, XL et XB sont respectivement les matrices modales des modes discrets de corps
rigides, libres et de branche. M est la matrice de masse discrète obtenue par Eléments Finis.
La procédure de recalage du modèle BMM va consister à faire un choix optimal de la
matrice de raideur résiduelle KR et de la participation des modes libres XLF sur la frontière
T"o
,
afin de retrouver par l'équation ( III.86 ), les fréquences exactes et d'approcher au mieux
les déformées exactes des premiers modes de branche.
L'équation spectrale matricielle ( III.86 ) des modes de branches va jouer un rôle majeur
dans la suite de ce travail car les méthodes de correction que nous allons introduire sont construites
à partir d'elles pour pouvoir recaler les modes de branche.

---

171
IIL2 CORRECTION EXPERIMENTALE DES MATRICES MODALES ET DE
SOUPLESSE RESIDUELLE
1) Equations de base
li s'agit de construire une procédure de correction qui donne des valeurs intéressantes de
IJ..;"':
S a..
et de XL corrigées afin de vérifier au mieux l'équation ( ill.86).
Les modes (~) solutions de ( III.86 ) doivent satisfaire les relations d'orthogonalité par
rapport aux deux matrices suivantes de raideur et de masse.
~
Î
..n. 1- X F \\(A.)( F'
( llL87 )
K=
r
M=
-\\lfl )C. F
Soit:
(ill.88 )
et
(ffi.89 )
Le changement de repère
( llL90 )
donne
( ill.91 )
et permet de simplifier l'expression ( Ill.89 )

---

172
( III.92 )
. De même, le développement de la deuxième ligne de l'équation matricielle ( III.86) donne
en accord avec le changement de variable ( ID.9 1 ) l'expression suivante:
(ill.93 )
Afin de d'exprimer les équations ( III.92 ) et ( III.93 ) en fonction de la souplesse résiduelle
SR, l'on effectue le changement de variable:
( III.94 )
On obtient:
(lli. 95)
avec
( III.96 )
Autant les mesures expérimentales des déplacements généralisés de frontière À
et des
modes de corps rigides XRF sont faciles, autant la participation XLF des modes libres à la frontière
ro est quasiment inaccessible compte tenue de la nécessité de mesurer des rotations de
l'interface.
Il convient donc d'évaluer XLF à partir des autres caractéristiques modales mesurées. La
dernière ligne de l'équation matricielle ( III.86 ) donne à cet effet:
l
( III.97 )
'X.
= l >. - SIl M. >- nt -
L
>(.0 h - le" Q,,) Gl~'" 1
En définitive, on vérifie les relations (III.88) et (III.95).On peut alors détenniner la matrice
modale des modes libres X L par l'expression (III.97).

---

173
Le problème posé est ainsi résolu car cette nouvelle valeur de XL, donc la valeur corrigée
( équation (lll.97 ) ), et l'expression corrigée de la souplesse résiduelle SR ( équation ( ll1.95 ) ),
permettent de calculer successivement les modes de branche corrigés, équation ( 111.86 ), et les
modes encastrés corrigés, équation ( ll1.83 ).
2) Intérêt de la correction du modèle BMM
A cause de la troncature modale, le modèle BMM perd de l'énergie cinétique. Les
équations principales ( 111.88 ), ( 111.95 ) et ( 111.96 ) ne sont pas vérifiées a priori.
Il n'est donc pas certain de retrouver exactement les modes de branche cherchés par
l'équation spectrale ( llI.86 ). C'est la preuve qu'apporteront les essais numériques ultérieurs.
Afin de remedier à cette difficulté, nous introduisons deux nouvelles procédures de
correction dont le premier critère de validité est le recalage exact des modes de branche
( équation (ll1.86) ).
3) Méthodes de correction TCM et SCM
Les sigles TCM et SCM sont définis comme suit :
TCM =Total Correction Method
SCM =Selective Correction Method
( ou Méthode de Correction Totale et Méthode de Correction Séléctive ).
La procédure TCM corrige globalement une matrice alors que SCM n'opère qu'une
correction partielle comme son nom l'indique.
Il convient de signaler que le système formé par les équations ( 111.88 ), ( 111.91 ),
( 111.95 ) et (111.96) est rigoureusement équivalent à l'équation spectrale de définition
des modes de branche ( 111.86 ) à laquelle on adjoint le changement de variable ( 111.91 ). Cette
équivalence est établie en ANNEXE 6.
En définitive, si les équations (111.88 ), ( III.95 ), ( III.96 ) sont
vérifiées
principalement, et l'équation ( 111.97 ) par voie de conséquence, nous sommes certains de
retrouver les modes de branche exacts par l'équation spectrale de base ( 111.86 ).

---

174
C'est pourqoui nos deux méthodes de correction TCM et SCM sont basées essentiellement
sur ces 3 équations:
* ( 111.88 ) orthogonalité par rapport à la matrice de masse M
* ( 111.95 ) orthogonalité par rapport à la matrice de raideur K
* ( 111.96 ) 2è ligne de l'équation matricielle spectrale ( 111.83 )
a) Etape 1 commune aux deux méthodes TCM et SCM
Cette étape concerne la correction des matrices modales Q et À . Il s'agit de réaliser la
relation d'orthogonalité par rapport à la matrice de masseM, ( III.88 )
( III.98 )
On introduit les termes de correction 11 Q et AÀ pour obtenir l'égalité:
( III.99 )
..
1l'
Nous appellqns
Q.::.G.."t. àQ.
et
.~.;:. À + .à ~ les valeurs coqigées
cherchées. TI faut donc réaliser:
(III.1üO )
La procédure de correction des modes envisagés au paragraphe 1.3 peut conduire à
,..
.
l'obtention des valeurs
&.
et, ~ .. Mais pour certain.s types de chargement à la frontière ro
( par exemple les chargements en inertie ), voir Figure III.3, ( cas B ), les modes de branche
calculés comportent des modes de corps rigides. Afin d'éviter l'influence de cette nouvelle famille
de modes de corps rigides, on cherche (~) dans l'espace orthogonal à ceux..ci. Les
définitions de QR et QL introduites dans l'équation ( ill.86 ) peuvent donc être conservées :

---

175
( ill.lOla )
Q~ -
Xa,
(M) Xa
et
( III.IOlb )
où XB est la matrice modale des modes de branche ( sans leurs modes de corps rigides au
cas où ils en auraient ).
Si la structure libre possède R modes de corps rigides XR, nous appellons YR la matrice de
ces modes rigides dans la base de description introduite en ( III.78 ). YR s'exprime donc:
(III. 102 )
où YR est une matrice à R colonnes.
* La matrice l a R lignes ( à cause des R MeR)
* La matrice nulle 0 a N lignes si on a retenu N modes libres
* La matrice XRF a P lignes si Po a P DDL de frontière.
La matrice YR a en définitive N+P+R lignes.
Soit YR l'expression dans la base de description( III.78 ) des modes deçQrps rigidesissJls
des modes de branche.
YR est une matrice à
N+P+R lignes et R colonnes.
~
A l'équation ( III.lOO ) que doit vérifier la matrice [t ) s'ajoute la contrainte
d'orthogonalité:
( III. 103 )
D
il convient donc de disposer de l'expression exacte de la matrice YR.

---

176
Expression de la matrice YR
Le choix de R vecteurs indépendants dans un espace de dimension Rest infmie dans ce cas
précis des MeR ( modes de corps rigides ), il convient -de les choisir orthogonaux deux à deux et
qu'ils expriment aussi des mouvements d'ensemble par rapport aux DDL principaux retenus pour
l'étude parmis les 6 possibles: 3 rotations et 3 translations.
Dans le cas de plaque d'étude, où nous
avons retenu 3 mouvements principaux :
7-----+----:-+---1---+"
.' rotation 9-)(. autour de l'axe x, rotation ~
autour de l'axe y et translation W
le long
de l'axe z, il y a 3 mouvements de corps
rigides indépendants correspondant à ces
trois mouvements d'ensemble.
FIGURE mA
La matrice YR est obtenue grâce à une transformation algébrique explicité en ANNEXE 7 :
(III. 104 )
où A est une matrice de dimension R x R.
Nous sommes maitenant en mesure de formuler la procédure de correction à partir des deux
équations ( TIl.! 00 ) et ( IlL!03 )
l; r[.~
On cherche donc à mobiliser la fonctionnelle lagrangienne suivante:
,
( III.l05 )

---

177
où
(ill.106 )
l
et
~1est lamatrice initiale et n =R + P + N
(~\\i) et (~iJ) sont les matrices des multiplicateurs de LAGRANGE.
On impose à la matrice ( , li) d'être symétrique à cause de symétrie de la relation
( ill.lOO ).
En différentiant ~ par rapport aux composantes de la matrice (~). les équations de
stationnarité donnent:
(ill.107 )
.
_ T
En multipliant l'équation ( III. 107 ) par YR, il vient:
En substituant ensuite l'exp'ression de (~ii) dans l'équation ( III.107 ), l'on obtient:
(ill.109 )
où
( III. 110 )

---

178
En introduisant l'expression ( 111.109 ) dans l'équation ( 111.100 ), on détermine les
multiplicateurs de LAGRANGE
(ID.ll1 )
JI.
L'égalité ( m.l 09 ) induit alors la valeur de (;..) • soit:
( III.112 )
(~)=
L'algorithme suivant, testé dans nos essais numériques permet d'obtenir une convergence"
très rapide au bout de quelques itérations.
( III.1l3 )
(l) (
( (..)
0
<l) )-~)
i X
J: + \\)(
(-; 110) X
où
)( (0)
_
Z.
( 1l1.114 )
matrice d'initialisation.
b) Etape 2: correction de la souplesse résiduelle de frontière SR - Méthode TCM
.'",.. . n s'agit de corriger la souplesse SR par addition du tenne correctif matriciel A SR afm
que la presqu'égalité:
~' ,.
,
(ID.115 )
~
s... e
devienne une égalité
(ID.116 )

---

179
~
où
SR =SR + /). SR
et
~
vérifie:
(III.l17 )
TI convient de souligner que les matrices ~ et Q intervenant dans cette Etape 2 soot déja
corrigés à l'Etape 1.
L'équation ( III.116) est une extension de l'égalité ( ill.16 ), la contrainte à réaliser dans le
paragraphe 1.3.
Un formalisme similaire à celui exposé au paragraphe 1.3,
1) permet d'obtenir À SR:
A S ~ =
SA,. ("" 0
À .I\\.: - \\(o ~ ")
(III. 118)
". \\. (Ho À S1.~ - \\<..o~)TS~ (No >.. ~ _'-'0>"))-'1.
(c..n:- ~T.I\\.~
)Co
Go - ~T\\(Q À) - (Ho>" ~ _ \\(o.\\)TSA. (f1o~ J\\i' _'M~))
((H.)...J\\.~
)l.
_'4).)T SQ.. (t11l À4 _\\.<o~)ri. (t1o~J\\.~-l<o~)TSIl
ou sous une forme plus condensée
(III.119 )
où
(III.120a)
(III.120b)
(ill.120c)
(III.120d)
C = A- B
* Inversibilité de la matrice B
<i' représente en fait la force généralisée à l'interface n .C'est une matrice rectangulaire
à P lignes et
N& colonnes (P DDL de frontière et N& modes de branche retenus ).

---

180
J
f.
est formé de
NB
vecteurs indépendants si ~ est inférieur au nombre P de dégrés de
libené de frontière.
,,..
B:::
f
slt. f.
désigne l'énergie de déformation de frontière exprimée en force et à l'aide
de
N
modes de branche.
La matrice de souplesse résiduelle
SR est définie positive. Seuls les modes de corps
rigides de branche peuvent induirent la nullité d'une colonne du vecteur ~' . Or nous travaillons
dans l'espace orthogonal à ces vecteurs,> cas envisagé à l'Etape 1. Donc l'unique condition à
vérifier pour que B soit inversible est:
(m.121 )
où N désigne le nombre dè modes de branche retenus ( sans les MeR) et P le nombre
de DDL de frontière ou bien la taille de la matrice carrée SR .
Dans les tests numériques que nous présenterons, Na varie de 3 à 9 au maximum et P
varie de 13 à 39 . La matrice B est donc inversible dans ce cadre et
 SR parfaitement
définie.
* Difficultés liées à la connaissance de SR
La matrice de souplesse résiduelle SR est une matrice symétrique, définie positive lors
qu'on la calcule numériquement par Eléments Finis. Dans le contexte expérimental, SR est mal
connue et peut être une matrice quelconque, même non inversible. On peut la supposer symétrique
sans pour autant restreindre la généralité des procédures de correction envisagées.
Or, comme une estimation grossière de SR conduit souvent à une matrice non définie
positive)la matrice B = ~' ,.s~ ~'
dont le rang est nécessairement inférieur à celui de SR
devient aussi non définie positive.
Dans certains cas la matrice de souplesse résiduelle initiale SR est estimée à l'aide de
quelques modes libres d'ordre supérieur à ceux retenus pour consrruire le modèle modal par
Ié
. .
....+L
l
T
quauon SUIvante :
L. ')(, ')(.:
~.NL
w,-"
L est la plupart du temps bien plus faible que le nombre de dégrés libené P de frontière. La
matrice de souplesse résiduelle devient non inversible et l'expression
(Ill.119) de la matrice
A SR devient incalculable.
Dans ces conditions la méthode TCM n'est plus applicable.

---

181
Ces difficultés sont levées grâce à la seconde méthode de correction, SeM que nous
proposons.
c) Etape 2 : Correction de la souplesse résiduelle defrontière SR - Méthode SeM
Comme l'équation ( 111.115 ) n'est pas vérifiée, on pose
I r
J
B
( 111.122 )
~
SR,.
~ =
"If
Si SR est la valeur de la souplesse corrigée, l'on doit réaliser:
( 111.123 )
La méthode de correction sélective ou proportionnelle SCM définit une matrice carrée
--t:: ( "If,'ô' )
telle que:
(111.124)
où le produit symbolique
0
s'écrit
(111.125)
et la matrice t
est telle que:
(111.126)
~l~ = 0
si
Un formalisme analogue à celui exposé au 4). du paragraphe 1.3
conduit à une souplesse
'Ilt
SR corrigée dont l'expression est:
, r
(111.127)
f../ .
J
ou de façon condensée
(111.128)
[
tot '" ...

---

182
( "') )
est la matrice des multiplicateurs de LAGRANGE solutions d'une équation analogue à
l'équation (111.59)
Ne
(111.129)
L.. C 'MY\\. ~~ ~ T'-e -= -<., (SM~ - A"M.~J
~\\e
et
C est un tenseur d'ordre
4 défini par
~
(111.130)
5 ft '.
..... ,~
On vérifie sans difficulté la symétrie du tenseur C.
.z.,
...
En r~résentant C par une matrice carrée ~ x N ' la matrice ("1) par un vecte~
s
unicolonne à Ne composantes et la matrice 2 (B - A) par un vecteur unicolonne à NB
composantes, l'équation (III.l29) peut se mettre sous la forme
(111.131)
cx=y
où les vecteurs X et Y (unicolonnes, N: composantes) représentent respectivement les
matrices ("f) )
et 2
(B - A) .
La détennination de X , donc de ("?J induit l'inversion de la matrice C.
Le rang de la matrice
C dépend de la structure et des contraintes liéees à l'équation
(IIL45) . On peut remarquer d'apres l'équation (111.127) qùe les coefficients huls'de
SR
demeurent nuls après la correction. D'autre part, le rang de la-matrice C, en accord avec la
procédure envisagée en ( R 21 ), est inférieur au nombre de co~fficients non nuls de la matrice SR.
Lors que la matrice SR est diagonale, iLa au maximum P coefficients non nuls, où P
.t..
...
"désigne le nombre de DOL de frontière. La matrice. C .est carrée Ne. x Ne où ~ est le
nombre de modes de branche retenus pour la correction. bi procédure SeM ne 'pourra donc
s'appliquer aux matrices SR diagonales que si:
( 111.132 )
P > N~ l
La plupart du temps cette condition n'est pas réalisée dans la pratique comme nous le
verrons dans les tests numériques. Il convient alors d'envisager la méthode TCM pour la
correction de ces matrices SR diagonales~

---

183
Par contre la méthode SCM ne nécessite pas l'inversibilité de la matrice SR à l'opposé de la
méthode TCM.
d) Etape 3 : Correction finale des modes libres XLP
iIf
Après les corrections des deux Etapes 1 et 2, on peut calculer une nouvelle matrice XLF
des participations des modes libres sur la frontière grâce à l'équation ( III.93 ) où on intègre les
valeurs corrigées de SR, Q et >.
'*
'*
...
'tr'
~
... -~
=
(III.133 )
[~- Sp.. Mo ).. J\\.; -\\<.0). - ')(~ G..~) Q L
.JI-
*'
*
.,.
tI:- -1-
Les valeurs corrigées SR , XLF et À
,et par voie de conséquence KR = SR sont
enfin introduite après cette étape ultime successivement dans l'équation ( 111.86 ) pour obtenir les
modes de branche corrigées ( les fréquences et les formes ), puis dans l'équation ( IIl.83 ), pour
avoir les fréquences et les formes des modes encastrés afin de tester l'efficacité du modèle.
J</t
e)
Conservation du caractère défini positif de la souplesse résiduelle corrigée SR
Dans le cas où la souplesse résiduelle de frontière SR est définie positive, il n'est pas
~
certain que sa valeur corrigée SR .le soit aussi. La correction des caractéristiques de frontière est
en effet dangereuse car on peut y perdre facilement le caractère défini positif initial de SR .
L'intérêt des méthodes de correction proposées, TCM et SCM ,réside dans le fait qu'on
défmit un guide parl'introduction des modes de branche qui permettent de garder ce caractère dans
la très grande majorité des tests effectués, on a efectivement constaté cette propriété intéressante.
Si le caractère se perd, il est toujours possible de le sauvegarder en rajoutant des modes de
branche fictifs correspondant à un calcul direct avec SR non corrigée. Les modes de branche
fictifs sont par exemple les modes de branche non corrigés, de rang supérieur à ceux retenus pour
réaliser la correction. Ces modes de branche fictifs sont introduits seulement aux étapes 1 et 2, sous
la seule condition que le nombre total de modes de branche n'excède pas P ,nombre de DDL
de frontière comme l'indique l'inéquation ( 111.121 ).

---

184
f) Organigramme de correction du modèle BMM
1) Obtenton des matrices de masse (M) et de raideur l K) par Eléments Finis
2) Calcul des NL premiers modes libres XL et des NB premiers modes de branche
XB par Eléments Finis.
3) Calcul de la souplesse résiduelle de frontière SR
4) Calcul des matrices modales QR et QL
'!II<
...
~
5) Correction des participations modales QR , QL et
À
)f
6) Correction de la matrice de souplesse résiduelle SR
...
7) Calcul de la nouvelle matrice modale XLF à partir des valeurs corrigées
~
8) Calcul des modes de branche exacts ( recalage) grâce aux valeurs corrigées (KR et
...XLF) par l'équation ( III.86 )
J"2;*- ,
..
~
9) Calcul des modes encastrés corrigés grâce aux valeurs corrigées KR et XLF par
l'équation ( 111.83 )
111- 3 CADRE D'UTILISATION DU MODELE UMM
A- LES DEFINITIONS
1) Définition du modèle modal UMM
Le modèle modal BMM est construit sur la base de R modes de corps rigides, NL
modes libres et P coordonnées génémlisées de frontière au maximum. On en déduit donc :'
(Dl)
où n est le nombre de dégrés de liberté ( DDL ) du système total et P le nombre de DOL
de frontière à corriger.

---

185
2) Définition de la souplesse résiduelle SR de frontière
( 1 )
s~ - So -
~= ,
où S est la souplesse statique ou pseudo-statique si la structure comporte des modes de
corps rigides. SR est définie dans un espace de dimension n - NL • donc sa taille P doit
vérifier
(D2 )
B) STRATEGIE DE CORRECI'ION
On doit corriger P DDL de frontière à l'aide de NL modes libres, NL «
P afin
d'améliorer les caractéristiques dynamiques de l'assemblage.
L'ensemble des solutions est a priori quelconque. On élabore une stratégie de correction qui
consiste à retrouver les caractéristiques exactes des modes de branche à partir de la valeur de SR
comigée. Cette contrainte supplémentaire est de nature à nous rapprocher des caractéristiques des
modes de la structure finale recherchée.
C. LA CORRECTION
La matrice de souplesse résiduelle
SR de frontière est symétrique et définie positive
lorsqu'elle résulte du calcul analytique
(1)
où l'on a respecté les conditions
(Dl) et (02).
Mais dans le contexte expérimental, SR est assez mal connue et peut être une matrice quelconque.
Sans pour autant limiteer la généralité des méthodes introduites,
TCM et SCM, nous
considérons
SR symétrique dans toute la suite de cette analyse des conditions d'utilisation du
modèle BMM.
Il convient en effet de spécifier les conditions fortes (c'est à dire nécessaires ou bien
suffisantes) et les conditions faibles (c'est à dire liées à des cas particuliers de matrice SR ou à
l'expérience) qui interviennent à chaque étape de la correction.
Les conditions fortes sont d'ordre mathématique ou physique. Elles sont notées par la lettre
D suivie d'un numéro en indice
(Di).

---

186
Les conditions faibles pennettent en général de mieux conduire le calcul ou d'améliorer les
résultats. Elles sont notées par la lettre C suivie d'un numéro en indice (Ci).
1) Conditions liées à la Méthode TeM
Pour que la matrice B définie en équation
(III. 120 c) soit inversible, deux conditions
sont nécessaires:
(03)
1 SR inversible
(04)
1 NB ~
P r
..
Les matrices intervenant dans le calcul de SR = SR +.1 SR doivent être d'ordre inférieur
ou égal à P. Dans l'expression (III.l20b) de la matrice A intervient la matrice rectangulaire Q
à
NR + NL
lignes et
NB colonnes. On doit donc satisfaire la condition suivante pour
que
~R garde son caractère défini initial:
(05)
[
NR + NL ~
P [
Cette propriété intéressante a été constatée dans·la grande majorité des essais effectués. Son
non respect conduit à une matrice
*SR
corrigée pouvant perdre son caractère défini
positif.
2) Conditions liées à la Méthode seM
.JI-
Pour conserver le caractère défini de la matrice
SR d çll1s l'expression
(Il I. 128), ilest
nécessaire que l'ordre de la matrice fo' soit inférieur ou égal à P :
l
(04)
[Ne
~ P
Les conditions
(03) et (05)
ne sont pas nécessaires dans cette méthode
SCM.
L'inversibilité de la matrice C (équation (III. 13 1)) est nécessaire. Mais les conditions qui lui sont
liées n'apparaissent pas explicitement dans l'expression tensorielle (111.130).

---

187
(D6) 1 C Matrice inversible 1
Le seul cas dont on est certain que la méthode SCM ne s'applique pas est exprimé par
l'inégalité (111.132) concernant les matrices SR diagonales.
(Cl)
Dans les tests effectués, on a constaté que la méthode SCM est relativement mal adaptée à
la correction des matrices SR diagonales d'une façon générale. Mais elle corrige mieux les
matrices pleines. Des matrices SR singulières peuvent non seulement être corrigées, mais
deviennent surtout inversibles après la correction.
La méthode SCM à tendance à redresser les matrices SR quelconques en leur confiant un
caractère défmi positif après correction.
3) Conditions liées au calcul des modes libres X t. F'
L'expression (111.133) permet d'obtenir la matrice modale des modes libres corrigés
Elle nécessite l'inversion de la matrice Ql = X:!," (M ) X&
. Q
doit donc être une matrice
carrée:
(C2)
On peut avoir
NL
<
Ne
pourvu que Na vérifie les conditions (D4). C'est par
exemple le cas où on introduit une matrice Ys de modes de branche fictifs. On obtient alors :
ou
(3)
La matrice (Q L. Qy) intervient dans la procédure de correction aux deux premières Etapes
1 et 2. On peut se contenter seulement de Q L
à l'Etape 3. Il n'est en effet possible de calculer
plus de modes libres que ceux que l'on introduit par le biais de ~.

---

188
4) Guide de correction
Nous classons les matrices de souplesse résiduelle SR symétriques en 3 types en fonction
de leur adéquation aux deux méthodes de correction TCM et SCM.
Type 1
SR est définie positive et pleine.
Type II
SR est définie positive et diagonale.
Type III : SR est pleine et faiblement singulière.
Nous proposons le guide suivant pour la conduite des tests numériques.
r t'\\ ~ \\ <.t. SR J
.
1
...
..
SR
SR
. ,
ï'3'T~ 'X
~
et<:\\Y'\\-'\\ee.
~
'llir
Co 'V\\.A. c.h'"""
~dt..
SA.
T<:'M
&t
Trrc.. 11:
Tiftl. :ur
SeM..
.
. .
.. _..
. ....
. ..
- .
,.
,p
~vt\\~
~~'tN\\.
'l.
TC. M
S CM
~p
p
V A '- \\ 1) PrT \\ 0 N
-E)(., P E ~ \\ Mo e N T A-L€

---

189
D. TESTS NUMERIQUES
Dl - Analyse qualitative
Plusieurs types d'essais ont été effectués pour valider les deux méthodes de correction
TCM et SCM introduites.
li a été d'abord nécessaire de s'assurer du parfait recalage des modes de branche
corrigés. C'est le premier critère permettant de vérifier le bon fonctionnement du modèle modal
BMM et des nouvelles procédures de correction TCM et SCM construites. Ce recalage a
porté sur
3 caractéristiques dynamiques majeures : les fréquences, les déformées
modales et les réponses temporelles sous diverses excitations.
L'adéquation entre les caractéristiques issues du modèle BMM corrigé et les valeurs exactes
M.E.F. (fournies par la Méthode des Eléments Finis) a chaque fois été attestée. De nombreux
exemples ont mis en évidence l'efficacité des procédures de correction utilisées.
Ces essais portant sur le recalage des modes de branche qui est à la base des
procédures de correction utilisées pour améliorer le modèle modal de base BMM tiennent lieu de
première preuve de la qualité des méthodes. L'on obtient des modes de branche exacts par le
modèle modal corrigé.
L'on a ensuite envisagé d'autres essais pour attester des modèles modaux ainsi obtenus
lorsqu'on impose des modifications structurales majeures comme des variations de conditions aux
limites ou des raccordements avec d'autres sous-structures.
On a pu alors déterminer les prenuers mOdes encastrés de nouvelles structures obtenues par
ces modifications structurales, les modes de structures assemblées, et ceux de structures munies
d'organes élastiques tels que des joints aux interfaces de raccordement.
A chaque fois, la double efficacité du modèle modal BMM et des méthodes de correction
TCM et SCM
a été mise en évidence en comparant les fréquences des modes des
corrigés et non corrigés à celles issues du calcul des Eléments Finis que nous
considérons comme des valeurs exactes (par opposition aux valeurs approchées provenant de la
synthèse modale).

---

190
D2 . Qualité de la correction et efficacité du modèle
BMM
1) L'exemole de base
"h,
....
th.
....
•
MS
1 - - - - - - - - + - - - - - - - - - 1 t'\\4
I - -
...l-
t1~
FIGURE III 3
A partir des modes libres de la plaque d'acier de référence finement maillée (voir FIGURE
1
) en 135 DOL, on essaie de déterminer ses modes encastrés en 5 points (Ml, M2, M4,
M5 ).
Les modes de branche sont obtenus par deux chargements successifs en masse et en raideur
en ces 5 points.
Soient
M,Ix
et 1 y la masse totale, le moment d'inertie par rapport à l'axe x et le
moment d'inertie par rapport à l'axe y respectivement de la pl,!-que d'acier. On répartit
t1 , ~
/0
' 0
et:1 équitablement en ces 5 points M.I'
~ E. (~l ~). La matrice de chargement en inertie en
10
R..
Mk: s'écrit donc :
(t1/~o 00 ;~/~ t'\\ :.
) ~o
(2)
Mok
=
0
r~ /5"0
:I"')' _
- -
S"
0
~=
5b
où cette matrice 3x3 est en rapport avec les DOL en un noeud des Eléments Finis intriduits
au chapitre 1, à savoir translation suivant
, rotation suivant x~ et rotation suivant y.
Un assemblage élémentaire permet d'obtenir la matrice de chargement en inertie en ces 5
points Mk
soit M
cette matrice. Elle intervient dans l'équation (111.86) où la matrice
est donc nulle.

---

191
Le chargement en raideur est obtenu plus simplement par une distribution de raideur
uniforme sur les 5 points Mk
et sur chacune des 3 DOL d'un point, soit
.,oIO~ o
;
1
•
(3)
s-
(10 N/m sur chaque DOL)
Kok
= '"
10
[
o
Un assemblage élémentaire sur les 5 points Mk conduit à la matrice Ko de chargement en
raideur. Pour éviter des singularités numériques dans les itérations relatives aux équations (III.
112)
et
(III. 113), l'on introduit une masse quasi-nulle de chargement. Au point
Mk, le
chargement en masse donne la matrice.
(4)
Mok =
Les matrices
K 0
et
Mo
ainsi obtenues et introduites dans l'équation (III.86)
conduisent à la détermination des modes de branche en raideur.
Les amplitudes des modes nOffilaux calculés (libres et branche) sont relevées sur le maillage
grossier montréen Figure 111.3, d'où est également issue la souplesse résiduelle
SR
dont
l'expression est rappelée en (1).
La correction porte sur les 15 DOL de frontière
(définie par
Ml, M2, M3, M4 et)
. -M5). L'on se sert de 6 modes libres, 6 modes·de branGhe et 3 modes de corps rigides.. Nous.avons- .....
utilisé la méthode TCM.
L'équation
(111.83) permettra ainsi d'approcher les modes encastrés d'une plaque
rivetée en 5 points.
2) Recalaee fréquentiel des modes de branche
..
Les notations
(E),
(B) et (B)
désignent respectivement modes encastrés, modes de
branches non corrigés et modes de branche corrigés, tandis que
N. CORRIGE signifie NON
CORRIGES dans les tableaux
C4 et C5.
....
Dans les tableau
C4
et
C5,
les colonnes 2, (8) et 4,
(8)
montrent que l'on
retrouve par la correction les valeurs exactes des fréquences des 6 premiers modes de branche. La
validité du recalage fréquenciel est donc attesté.

---

192
TABLEAU C4
FREQ,\\} t. Ne E.~ <H~) l>E 'S M O:bE: S
NOR MA\\})(,.
bE-
\\...A
PLAQUé
R\\V E.!É.E-
•
CE.)
N°
( B)
(8)
( 8)
MObES
CORF\\\\ GÉs N. CORlllc;~S
E.XACT.5
E)( AC.TS
o t'\\ C '"
~hc.R..
~ fo1 c. A.
1.
48. S4t'Z.
4~.724
48. 542
~ 0.1>49
~
5'3.0"
S4.344-
53.0"
~4. 05"8
3
7?>. 954
g~. ~~~
73.'ilS4
1.4'.177
4\\-
79. 'ilS"1-
9?>.446
-,~. ~S....
'2.04. 12.0
5
r~. '01
«35.395
f~. 602,
'Z '2. '1.394
,
1.o,. ' "
-1'2 7. 4~0
-1 De;. r<j1
1.04· '2.'7
..,
11.0.447
"1.'!lO.743
"'111.431
'!> "2.5. ~ïs
B
1.~'. 424
-1+9.S9~
-121.. B!I+
409.0,~
TABLEAU CS
FP-E.G.VENC.E:S
(\\42)
l)E~
MODES
,
NO~MAVX
l>~
LA.
PLAQUE..
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N°
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MODES
COf\\f\\\\GtS N. CORRlGé· E)(AC.T5
EXACTS
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~g. 3~o
'2. ~ • ., '4
30. 34-'3
~
52. ~23
5S.3B.
5'~.:i?3
"!l4· 0 58
'3
' .... 7'0
73.154
c4· 7'0
'1.<\\-<3.177
1-
'1.15. j4S'
-t? 7.044-
'1.1.S. 1-t.s'
204.11.0
S
-12s. '02
"1.+'7.043
-11.5. '02-
1.27.394
,
1. 0 7."lIa
1.. "!G. ~ 10
7. 01.1 Ka
M 4.1.'7
7
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1.51. 1!l~
1.1 G. 713
3'25.975
,
~OS. 4-S3
~01. 409
'2. G1..43'
4 0 9.0,'Z

---

193
La comparaison des colonnes 3, (3)
et 4, (3)
montre au contraire l'écart entre les
valeurs non corrigées et les valeurs exactes des fréquences des modes de branche. Cet écart
fréquenciel varie de 10 à 20 H l
(en passant du 3e au Ge mode) pour le chargement en masse
(tableau C4), et de 10 à 30 Ht(en passant du 3e au Ge mode) pour le chargement en raideur
(tableau CS).
Enfin, avec Gmodes de branche en mase l'on couvre un domaine fréquenciel inférieur à 110
H~. Cette plage correspond à celle des 2 premiers modes encastrés de la plaque rivetée. L'on peut
s'attendre à corriger les 2 premières fréquences de ces modes encastrés, et au mieux les 3- "
premières.
De même, les G premiers modes de branche en raideur couvrent un domaine fréquentiel
inférieur à 210 HZ
, ce qui correspond à la plage des 4 premièress fréquences des modes
encastrés de la plaque rivetée. On peut s'attendre à les calculer.
Les résultats qui figurent dans les tableaux CG
(chargement en raideur) sur l'élude des
modes encastrés de la plaque rivetée confirment ces prévisions dans la suite de cette
analyse.
3) Réposes temporel/es des modes de branche
MI
..,.
.... f1s
~
M~
FIGURE IlIA
L'on reconsidère la plaque de la Figure 111.3, avec son chargment en raideur initial. On
applique une force variable F(t) au noeud 1 dans la direction de }' afin de pouvoir comparer la
réponse temporelle obtenue en ce point par la synthèse (corrigée et non corrigée), Equation
(111.86), et par les Eléments Finis dont l'équation temporelle s'écrit :

---

194
(5)
(M) X: +
( \\( ) X
=
F Ct)
où (M) et (K) sont les matrices de masse et de rigidité obtenues par Eléments Finis de la
plaque cchangée en raideur en 5 points sur le maillage fin.
CM) et (K) sont des matrices carrées
135x135.
Les équations de synthèse modale
(111.86) et (111.87) induisent l'équation dynamique
suivante dans ce cas particulier.
où X est la matrice modale des 3 modes de corps rigides et des 6 modes libres.
M
et
K sont des matrices carrées 24x24.
L'intégration temporelle de ces 2 équation (5) et (6) est faite avec la méthode de
NEWMARK (Avec des valeurs des paramètres la rendant inconditionnellement stable).
a) On a d'abord appliqué une force sinusoïdale
F = 100 sin (I80 t) où
w. < i. 8 0 ~ uJol,)
(W c:
étant la pulsation de rang i des modes de branche). Sur un
temps d'observation de 400 millisecondes, soit environ
10 fois la période fondamentale, les
Eléments Finis et le modèle
BMM corrigé donnent des réponses temporelles identiques (voir
Graphe G 15 ). BMM non corrigé donne une réponse loin de la réalité.
b) On a ensuite appliqué successivement une force échelon de 100 et
1000 N pendant
respectivement un 1()()C! et un 10009- de seconde.
lO'Y\\. r..----,
(
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m.. =-t..3
't:.
-'r\\.
àt :. 10
FIGURE III. 5
La même propriété observée en a) a encore été vérifiée. (voir Graphe·' Get
17).
Donc à l'aide de 6 modes libres, le modèle modal BMM fournit une réponse temporelle
identique à la courbe exacte calculée par un maillage fin Eléments Finis. BMM non corrigé donne
des courbes qui sont différentes des courbes réelles.

---

195
GRAPHE GIS
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE NON CORRIGEE
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100
150
200
250
300
350
400
TEMPS EN MILLISECONDES
--- FORCE D'EXCITATION SINUSOIDALE
REPONSE TEMPORELLE
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150
200
250
300
350
400
TEMPS EN 111 LU SECONDES
1.... · ELEMENTS FINIS
1 . - - - SYNTHESE CORR 1GEE 1

---

196
GRAPHE G16
REPONSE TEMPORELLE
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TEMPS EN MILLISECONDES
--- ELEMENTS FINIS
---- SYNTHESE NON CORRIGEE
REPONSE TEMPORELLE
b
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o
50
100
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200
TEMPS EN MILLISECONDES
--- ELEMENTS FINIS
.--- SYNTHESE CORR 1GEE

---

197
GRAPHE G17
REPONSE TEMPORELLE
15
V)
~ 10
~
....J
....J
~
5
z
w
V)
1-
0
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w
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-10-+---.1.---.------,-------,------.,
o
50
100
150
200
TEMPS Etl HILL 1SECONDES
--- ELEMENTS FINIS
•--- SYNTHESE NON CORR 1GEE
REPONSE TEMPORELLE
15
~~ 10
:j
~
5
z
w
V)
~ 0
~S -5
Cl
w
Cl
-1 0 -r----L-----,r------r---~--__,
o
50
100
150
200
TEMPS EN MILLISECONDES
--- ELEMENTS FINIS
_••• SYNTHESE CORRIGEE

---

198
Comme le recalage en fréquence, le recalage des réponses temporelles est donc
vérilié pour les 6 modes de branche dont on se sert dans la correction.
4) Comparaison de la (orme des modes de branche
On s'intéresse ici à la plaque de la figure III.3, mais avec un chargement en masse.
La méthode des Eléments Finis pennet d'obtenir la forme de ces modes de branche.
L'équation de synthèse (111.86) conduit aussi à la forme des modes de branche corrigés et
non corrigés.
On compare ces déformées dynamiques exactes (M.E.F.), corrigées et non corrigées sur les
6 premiers modes de branche, les Graphes 18 à 23.
La correction améliore la forme des modes, surtout quand l'écart fréquenciel entre les modes
de branche corrigés et non corrigés est significatif : 14 HZ
au 4 e mode et 21 HZ au 6e
mode. L'amélioration apportée par la correction n'est
pas sensible aux 4 autres modes car les
fréquences sont aussi assez voisines.
5) Recherche des modes encastrés de la plaque riveté .
Grâce à l'équation (11.83) on a pu déterminer les modes encastrés de la plaque rivetée par
synthèse modale avec et sans correction. Les fréquences ainsi obtenues ont été comparées aux
valeurs exactes des Elémentd Finis des tableaux C6 et Cl ci-dessous donnent les fréquences des
modes encastrés respectivement avec un chargement en masse et en raideur.
TABLEAU
C6
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30.
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~ ~. 750
1.07.
424
94.05B
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168. ~ 18
'1 e7. 87Z
'14~. 177

---

199
GRAPHEG18
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-----------------
49.724 HZ
DEFORHEE CORRIGEE
--------------~--
48.542 HZ

---

200
GRAPHEG19

---

201
GRAPHE G20
DEFORMEE ROH CORlUGEE
---------------------
82.399 HZ.
DEFOBMEE COBRIGEE
--~-------------
73.954 HZ

---

202
GRAPHEG21
DEFORMEE NON CORRIGEE
---------------------
93.448 HZ
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Il ~~~~
DEFORMER EllC~
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DEFORXrŒE CORRIGEE
-----------------
79.954 HZ

---

203
GRAPHEG22
DEroRNEE NON CORRIGEE
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DEFüBlviEE EXACTE
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89.602. HZ
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204
GRAPHEG23
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EXACTE
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---

205
TABLEAU
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Ct.)
N°
( E)
NOf\\)
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EXAC.TS
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39. 054-
30. '349
2
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10 7. 4"24
C34-. 058
3
153. 82'
\\81.872
'1.4~. 1.17
4-
Z~O. 9 \\5
25~. o!o
~O 4· 120
La correction fait gagner 6 HZ sur le premier mode, 8 sur le second et une vingtaine sur
le 3e mode, dans le cas du chargement en masse (Tableau C6).
Dans le cas du chargement en raideur (Tableau C7), la correction est encore meilleure à
cause du domaine fréquentiel des modes de branche utilisés.
Le gain est de 9 HZ sur le 1er mode, Il sur le second, 34 sur le 3e et 30 sur le 4e.
C'est une preuve de l'efficacité du modèle modal BMM et de la méthode de correction
proposée.
6) Autre intérêt du modèle modal BMM
On souhaite comparer notre modèle modal
BMM au modèle modal direct sur les
modes de branche.
Cette comparaison porte sur la réponse temporelle d'une part du modèle
BMM
corrigé et de la synthèse modale des modes de branche d'autre part.
Le test d'illustration choisi porte sur les modes de branche obtenus par un chargement en
raideur, soit :
•
FIGURE III. 6 A
FIGURE III. 6 B

---

206
Le but de cette comparaison est de tester l'efficacité du modèle BMM lorsqu'on impose des
modifications structurales majeures comme des variations des conditions aux limites des raccorde-
ments avec d'autres sous-structures.
La synthèse modale directe basée sur les modes de branche pennet-il de prendre ne compte
ces modifications structurales ?
Si la Figure III. 6 A est considérée comme un état de référence où l'on cherche les modes
de branche de la plaque chargée en raideur en 5 points Mi,
k 0 =
1O!i N/m, ceux-ci sont
obtenus d'une part par le modèle
BMM d'après l'équation (111.86) et d'autre part par la synthèse
des modes de branche à partir de cette équation finale.
où~) est la matrice spectrale diagonale du carré des pulsations des modes de branche
5'
obtenus pour k 0 =
10
N/m.
X &
est la matrice modale de cees modes de branche. 9& est le vecteur des coordonnées
modales.
F est la force appliquée au noeud 1
Pour une force sinusoïdale
F (t) =
10~sin 180 t, le Graphe G24 montre que BMM
corrigé et le modèle modal des modes de branche donnent exactement la même réponse temporelle,
ce qui était prévisible par définition même de l'équation (7). Il n'est pas nécessaire de faire une
comparaison à la courbe exacte fournie par le calcul direct des Eléments Finis car elle identique à
celle de BMM corrigé. Nn tests numériques valid«nt chaque fois cette propriété.
Nous avons ensuite proposé deux variations de la raideur k de jonction à l'interface f o
6
4
(voir Figure 111.68) : on porte koà une valeur k'1. = 10
N/m,
pUiS
k
= 10 N/m.
Pour un chargement de raideur k tf ko,l'énergie de déformalion de la plaque s'écrit :
(8)
,. ~
TC·· 0)
~
À .... ±A
"="
A
•
L·· 0 ) \\.
'16 -11.. ~~ - ~ À
....0. 0
On en déduit l'équation matricielle suivante
(9)
-..

---

207
où À
est la participation des modes de branche sur les noeuds de frontière.
~
4
Les Graphes G 25
(k = 10 N/m) et G26
(k =10) montrent que la réponse temporelle
,
obtenue par le modèle modal des modes de branche (Equation (9)) est chaque fois très différente
de la réponse temporelle donnée par le modèle BMM corrigé (qui est la courbe exacte).
Le modèle BMM corrigé s'avère donc efficace pour représenter le comportement de la
sous-structure de référence avec des conditions aux limites variables, tandis que le modèle
classique des modes de branche, (Equations (7) et (9) devient applicable lorsque les conditions
aux limites qui ont permis de définir les modes de branche de référence (7) et (9) changent.
Le modèle modal des modes de branche ne peut non plus permettre d'accéder aux deux cas
limites des modes encastrés et des modes libres.
Dans les modes encastrés, il faut faire tendre k vers l'infini dans l'équation (9). Ce modèle
n'est pas applicable aux faibles variations de la raideur de jonction. Il le sera donc encore moins
pour de fortes raideurs. D'ailleurs comme le nombre de degrés est inférieur au nombre de liaisons à
satisfaire, il est incapable de donner des résultats dans le cas d'un encastrement parfait.
L'inadéquation du modèle des modes de branche à la recherche des modes libres a été testée
par le calcul des valeurs propres de la matrice A :
(10)
où A est la partie correspondant à la plaque libre dans l'expression-de Wd. On devrait
trouver 3 valeurs propres nulles associées aux 3 modes de corps rigides. Or la matrice A de taille
6 x 6 (6 modes de branche) a les 6 valeurs propres suivantes:
0.3605 13'; 0.39437 16
5
,
~
7
0.7909
10;
0.42076 10 ; 0.46314 10 et 0.1495 10
Le modèle modal basé sur les modes de branche est donc inutilisable pour simuler les
variations des conditions aux limites à la frontière de raccordement.
A l'inverse, nous avons pu tester l'efficacité du modèle
BMM
corrigé à traduire
correctement les modifications structurales à l'interface de raccordement.

---

GRAPHE G24
208
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE NON CORRIGEE
ao
li)
~bO
~ 40
:3
i: 20
~ 0
~::
§-bO
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150
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350
400
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--- FORCE D'EXCITATION SINUSOlDALE.
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE CORRIGEE
15
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5
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VI
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-15 +----r-,..---r---r-----r----;,..-...,-------,
o
50
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350
400
TEMPS EN I1ILLISECONDES
--- FORCE D'EXCITATION S1NUSO1DALE,
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE BRANCHE
15 '
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~ 10
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~.IG,-15+----r--,--r--r------.-----.,..-...,......---,
o
sa
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150
2eO
250
3e0
350
400
TEMPS EN HILLISECONDES
--- FORCE D'EXCITATION SINUSOlDALE.

---

209
GRAPHE G25
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE NON CORRIGEE
~30
~20
3
i: !E)
i:5 0
t:
§-30
-1l0.+-...........-.,....-...,.---,---r----r--r-.
o
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100
150
200
250
300
350
400
TEMPS EN HILLISECONDES
-
FORCE D'EXCITATION SINUSOIDALE.
REPONSE TElfPORELLE-SYNTHESE CORRIGEE
•
10
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156
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Ft:RCE D'EXCITATION SINUSOIDALE.
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE BRANCHE
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159
200
250
300
350
409
TEMPS EN HllllSECONDES
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---

GRAPHE G26
210
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESe NON CORRIGEE
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III
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TEMPS EN HILLISECONDES
-
FORCE D'EXCITATION SINUSOIDALE.
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE CORRICeE
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150
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250
300
350
40(1
TEMPS EN HILLISECONDES
-
FORCE D'EXCITATION SINUSOIDALE.
REPONSE TEMPORELLE-SYNTHESE BRANCHE
III
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Z
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o
50
100
150
200
ZSO
300
350
400
TEI'IPS EN HI LU SECONDES
-
FORCE D'EXCITATION SINJSOiDAlE.

---

211
7) AUlres essais numériques
a) Cas d'une matrice de souDlesse résiduelle mal conflue
Nous avons considéré la plaque définie en Figure III. 4 avec le même chargement uniforme
en raideur de 10 5' N/m par dégré de liberté sur les 5 noeuds Mi.. 1 ~
l ~ 5 , dont la
souplesse Sr de frontière est estimée très grossièrement. Soit :
-'1-
'0
(ll)
SR =
" ..
_~)
... 0
[
o
10
SR
est une matrice diagonale de Type II, quasiment nulle. Le modèle modal BMM
corrigé à l'aide de la procédure TCM a permis d'obtenir les modes de branche recàlés (Tableau C8)
et les uns des encastrés (Tableau C9) de la structure.
La comparaison des fréquences corrigées et non corrigées aux valeurs exactes dans ces deux
Tableaux C8 et C9 indique un gain considérable en HZ
induit par la correction TCM.
Les fréquences des modes encastrés non corrigés sont grossières, voires absurdes. Très
écartées des valeurs exactes, 252.565
HZ
au lieu de
30.349 HZ
au 1er mode ou
3133.070 HZ au lieu de 204.820 HZ au 4e mode, les fréquences montrent que la mauvaise
connaissance de la souplesse de frontière rend le calcul des modes de la structure pratiquement
impossible. Le modèle modal BMM
corrigé se révèle alors très efficace pour donner des
fréquences encastrées proches des valeurs exactes.
..
Nt
(B)
(8)
(6)
,
N' t..I Co Rfll <ra
E ')( AC. Ts
-1
?~. ~64-
3S. S-1~
-Z~. 1'~
TABLEAU CS
~
s2.. ~ G 3
77. 806
sz,. 3G3
~
64.7fbO
"10'4.0"2,9
'4.1'0
4-
"'1~5. j,4s
~o4.124
'1\\5 . 145
s
-1."2.5'. 60~
~~'1... S7g
~ -as. 602
,
'2,0". 1 aa
.5" "15'. Sil
~O7.7!2
':Jo
218. ~10
8 0\\. ~4'a
'21~. "113

---

212
GRAPHE G27
REPONSE TEMPORELLE
b
CIl
~ 4
,
:l 2
"
,
,. .
1 l
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,
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-b-t-----.--......:....-...,.-----r----..
o
50
100
150
200
TEMPS EN MILLISECONDES
-
ELEMENTS FINIS
.... SYNTHESE NON CORR 1GEE
REPONSE TEMPORELLE
b
1-2
~ -4
-b+----...,.--......:....-...,.----..-------,
50
100
150
200
o
TEMPS EN MILLISECONDES
--- ELEMENTS FINIS
.. -- SYNTHESE CORRIGEE

---

213
TABLEAU C9
'"
(E)
N°
(E. )
(E.)
1
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C,,"'l.lVE-S
e. ')( A CoTS
-1.
"Z.9.0gi-
?'S2..S"(;S
30. 3q.~
2
~4.1.1.g
45"5". i-30
94. osa
3
1.18. S"{i9
'1s, S. (S2
-1+9. 1.1-1-
"l
'1.SD.321
3l3'!.010
204.f20
5
'2.o? ~9
~IIS. 91&
2~ 1. 391-
()
308. 941-
~~!J1.. 939
1>O4.~'7
La mise en parallèle des Tableaux
C7 et C9 montre que le modèle BMM
corrigé est
d'une utilisé majeure pour les souplesse résiduelles très mal estimées. Le gain fréquentiel induit par
la correction est d'autant plus grand que la souplesse SR est mauvaise.
L'on a ensuite comparé les réponses temporelles issues du modèle BMM et des Eléments
Finis lorsqu'on applique une force échelon de
lOON/m pendant un temps de
au noeud 1 (Figure IlIA). Le graphe 027 montre d'une part l'écart entre 2 courbes, l'une exacte
(en trait continu) issue des Eléments Finis et l'autre en pointillés correspondant à BMM non
corrigé, et d'autre part 2 courbes confondues (0 27 B) : BMM corrigé et Eléments Finis.
C'est intéressant d'obtenir cette similitude de réponse temporelle à partir du modèle de
synthèse modale corrigé basé sur 6 modes libres seulement.
b) Variation du char~emenl en raideur
L'influence du chargement sur les modes cherchés a été testée sur la plaque en f"igure 1l1.3
avec une souplesse résiduelle estimée par l'équation (1) à l'aide de 6 modes libres. On a choisi
successivement une raideur unifomle forte (k = 10' N/m ) mais faible (k = I<Y N/111 ) sur les
noeuds M~, 1 <
i
< 5.

---

214
6
4
La correction est meilleure pour k =
10 N/m
que k = 10 N/m car le chargement en
forte raideur est déjà proche des modes encastrés cherchés.
Ces résultats figurent dans les tableaux CIO et CIL
TABLEAU
C 10
TABLEAU C 11
•
1
..
",,0
lE)
(€)
-E x. AcT.s
N"
tE)
tE)
E:xAC'l5
1.
~O, 3!14
3~. 054
?>O. 34~
~
30.982
:a9.054-
'3 O. 3i-9
Z
~5. '63
1.07. 424-
C34.05&
2
<39.847
1.07.42+ '4.0 5J'
~
-1"0.506
'187.872
'1 +~. 177
3
'185.00'
'187.872 j4~. 177
4-
'216. 033
'2 S9. o~O
2.04.8Z0
s
'2. 80. 4~5'"
ô'2~.ot3
21.'7. ~~4-
D3 - Modifications structurales à l'interface de jonction
FIGURE I1L7
La technique d'utilisation des matières des matrices c!e raideur
A K
associées à des
déplacements modaux le long de l'interface de racordement
permet de traduire la souplesse
de jonction (â K f j, induite par l'assemblage avec des sous-structures adjacentes.
•

---

215
AK
@
FIGURE III.8
La détermination numérique de la souplesse résiduelle SR de frontière par l'équation
(1) conduit à une valeur de SR définie positive.
Or la connaissance de SR dans le contexte expérimental reste difficile. Sur le plan
numérique, on a la possibilité de simuler ce cas expérimental en introduisant une valeur grossière
de SR . Celle-ci est obtenue à l'aide de quelques modes d'ordre supérieure aux modes retenus.
(12)
SR
=
N1.<
N.,z.
Cette possibilité constitue un intérêt majeur de la méthode numérique proposée.
La souplesse résiduelle SR ainsi calculée est non inversible et la méthode de correction
([CM) est inapplicable.
Il est apparu alors nécessaire, soit de construire une nouvelle méthode de correction adaptée
aux matrices singulières (SCM), soit d'introduire une faible perturbation (A K f~
à SR,
(d'où une nouvelle valeur SR + (A K -.
) de souplesse de frontière), afin de pouvoir appliquer la
méthode TCM.
_4..
)
la souplesse de jonction
CA\\(
permet numériquemnt une initialisation de la méthode de
correction TCM.
Cette technique n'est pas possible expérimentalement car elle nécessite l'introduction d'une
raideur de frontière irréalisable pratiquement.

---

216
L'introduction de la souplesse de jonction
\\AK) -i.
conduit à la résolution de 3
principaux problèmes aux frontières chargées.
(i)
(A K ) - -4.
permet d'initialiser les méthodes de correction. La
technique utilisée consiste à choisir (A Kr'pour que
S = SR + (6 K) -&. soit définie positive.
La souplesse S peut alors être corrigée soit par la méthode TCM, soit par SCM.
Ir
Soit S la valeur de S corrigée.On cherche alors les modes encastrés de la sous-structure
<D à la frontière ro à partir de la souplesse corrigée ~ - (4 Kr~ Cette opération de soustraction
1
est dangeureuse car la matrice S-(bKr
peut perdre son caractère défini positif. Il apparait
donc intéressant d'introduire des souplesse (AK) -~ de jonction faibles ou négligeables dans
certains cas pour éviter la soustraction ~ -là K)-~
Cette technique est numérique et ne peut s'appliquer dans le cadre expérimental.
(i i) (A K) -<t. permet de déterminer le souplesse associée à la troncature modale
sans initialisation.
(i i i)
(A K) - 1-
permet enfin de simuler l'introduction d'une raideur de
jonction mal connue.
1) Jnitialisation des métlwdes de correction
on souhaite calculer les modes encastrés de la sous-structure CD (Figure III. 7 ou Figure
111.8) bloquée à l'interface rel ,et dont la souplesse résiduelle de frontière SR est mal connue.
C'est à dire que SR est une matrice de type II (matrice SR diagonale, définie positive), ou de
type III (matrice SR estimée par l'équation (12)).
On améliore les résultats des procédures de correction proposées en ajoutant une souplesse
de jonction fictive Cà Kr à
SR. Soit:
(13)
S
=
•
li-
)_'
Il convient ensuite de retirer (ô. Kr' à
S, la valeur corrigée de S
( S - (0 K
).
1
Les modes de branche servant à la correction sont obtenus à partir d'un chargement inertiel
(1/10 de l'inertie totale de la plaque en acier de référence, répartie sur les 13 noeuds fictifs de la
frontière 1'0 ,Figure 111.7).

---

217
Nous avons considéré deux types de frontière dans les essais numériques :
d'abord
r. avec ses 39 DOL (3x13) puis 1:, avec seulement les 13 DOL de translation.
Ces deux nombres (13 et 39) ont permis de tester l'influence du nombre de dégrés de liberté de
frontière sur les résultats de ces procédures de correction.
Les matrices de souplesse de jonctions
(à K) - ~ utilisées sont diagonales. L'opération
..
-i.
..
de soustraction
S- {â\\C) rend cette matrice singulière lorsque S
est obtenue par la correction
TCM dans la majorité des essais effeclués.
C'est pourquoi la méthode SCM a servi en général à illustrer cette technique d'utilisation
d'une souplesse de jonction et d'une frontière fictive
'1. à des fins essentiellement numériques.
Tous les essais ont été effectués avec 9 modes libres.
a) Correction d'une frontière avec 39 DDL
•
Dans les tableaux
Cl2 à C16, 6 K
est une matrice 3x3 diagonale de chargement en
raideur sur chacun des 13 noeuds de l'interface
ro . SR est estimée grossièrement par
l'expression (12).
Le calcul des modes encastrés de la sous-structure <D est impossible sans la correction. La
souplesse résiduelle SR est en effet non inversible.
~
La méthode TCM est non plus inaplicable car l'opération
S - (~Kr1 rend cette matrice
non inversible après la correction.
C'est la méthode SCM qui permet d'estimer efficacement les premiers modes encastrés de
la sous-structure Q). Les résultats sont en général d'autant meilleurs que la souplesse (6 K) -~ de
jonction est faible et
SR
estimée avec plus de modes.
C'est une correction difficile à cause du nombre élevé
(39) de
DOL de frontière, avec
seulement 9 modes libres.

---

218
TABLEAU CI2
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TABLEAU Cl3
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"1.05. '2. 9S
'3
1.7&.83'
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~
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---

219
TABLEAU C14
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~I'. 4"
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~41.1.7.1
TABLEAU C15
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4
"2, ,3. 95~
~41. 1~7

---

220
TABLEAU C16
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L. '/., ~
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~\\(. ~
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C.. 10
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,. .. EGlU "Nc.es.
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"1.05. 1. 95
)
1. "79. '1C3
-18,.4"
4
2s~. 982
'a 4-1.. 1.7.1
b) Correction d'une frontière avec 13 DDL
La diminution du nombre de DDL de frontière de 39 à 13 a pour effet d'augmenter la
qualité des résultats et de permettre le calcule avec précision des 6 premiers modes encastrés de la
sous-structure 1 (simplement appuyée).
La correction
SCM demeure toujours efficace, même si la méthode TCM permet une
estimation relativement grossière des 4 premiers modes encastrés.
TABLEAU C 17
\\"a
~:"!,
S"-
:
L.. '""',
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W(·
Ca , .
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NO
F tt. c aU e~ e.t's
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)C,. A c. T1iS
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CO ....."é6
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'2.5'. '194
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"'11'. 594-
2
7,. ""1.4-
"1~2. 747
N. c,.
7s. '85
3
"131.900
-180.1.5'
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"'1~3. ~ 47
~
"1".30a
?eOS. J34
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1.96. ~o.s
5
ao~. 603
N. c:..
~. c.
Z1?.377
','
",
,'<~::"iJ!,:t.:~(~~.i~.OOO' ." ,N. c..
N. Co.
341.934

---

221
2) Modes normaux d'une structure avec un ;Oint cl l'interface
Ce modèle est représenté par la Figure
IlL7. Il est valable dans les deux contextes
numérique et expérimental.
La nouvelle structure est formée par la sous-structure CD munie d'un joint élaslique de
raideur(6K)
par noeud à l'interface fo.
Cette structure a pour frontière de raccordement fi. .
On y effectue un chargement inertiel ( 1/10 t.de l'inertie totale de la plaque) unifomle sur ses 13
noeuds. Sa souplesse de frontière S est donnée par l'expression (13).
La correction est réalisée avec 9 modes libres et 9 modes de branche par les deux méthodes
des TCM et SCM.
)-~
La souplesse totale de frontière
S =
SR + fA K
est inversible. Mais selon la
-'1.
prépondérance d'un des termes
SR ou (A K)
sur l'autre,
cette matrice
S
sera à diagonale
dominante (Type II, donc adaptée à TCM) ou faiblement singulière (Type Ill, adaptée à
SCM).
Ainsi, bien que les deux méthodes de correction s'appliquent dans ce contexte, et donnent
des résultats meilleurs au modèle BMM non corrigé, des différences vont apparaître entre elles
allant de quelques Hertz à des dizaines de Hertz pour des raisons liées au type de matrice S.
Les tableaux C18, C2Ü, C21 et C22 où le choix de la méthode SCM est préférable sont
obtenus pour des matrices S
de type
III alors que les Tableaux Cl9 et C23 où la méthode
TCM donne de meilleurs résultats proviennent d'une utilisation de S de type II.
Il convient de remarquer que la méthode
TCM est inapplicable dans ces essais sans
_t.
l'addition de la souplesse de jonction [A K 1 à la souplesse résiduelle
SR.
Malgré cette introduction de
[A K) -\\, c'est la méthode SCM qui apparait plus efficace
dans la correction des frontières à grand nombre de D.D.L.
a) Correction d'une frontière avec 39 D.D.L.
Les résultats figurent dans les Tableaux C 18 à C22.

---

222
TABLEAU
C 18
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---

223
TABLEAU
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C 21
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---

224
TABLEAU
C 22
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5'71. .124-
31~. ~4'
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b) Correction d'une!rontière avec 13 DD.L.
TABLEAU
C 23
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33'.327
'1
'Z9~.1."Z'
3'8.730
45 1..S'~
~8~. 'Z.oo

---

225
Les résultats du Tableau C23 montre que la correction est encore plus efficace lorsque le
nombre de D.D.L. de frontière diminue ( de 39 à 13 ). On parvient à corriger les 7 premiers modes
encastrés de la structure alors que ce nombre était de 4 pour une frontière avec 39 D.D.L..
Le gain en fréquence induit par la correction varie de l'unité de HZ sur les premiers modes
jusqu'à la centaine de HZ sur les 6ème et 7ème modes.
c) Autre intérêt d'utiliser des modes Eléments Finis pour construire la matrice de sOliplesse
dans un contexte expérimental.
TABLEAU
C 24
t. \\0( :
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S~:: 0
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'2.0"T. 4'~
~94. 51c;
S
~~7. ~34
21 , . '1"
Z'!1.'"
~OS. 5(S
La souplesse résiduelle SR est difficilement accessible par expérience. Par contre l'on peut
connaître la souplesse de jonction (AK) -~. Ce cas est illustré par les 5 premières fréquences de la
4ème colonne (valeurs non corrigées) du Tableau C 24. Elles approchent les fréquences des
modes encastrés de la structure (dernière colonne du Tableau C 24).
Ce calcul a été effectué avec les 9 premiers modes libres de la sous-structure CD (Figure
III.7).
Sur le plan numérique, la souplesse résiduelle SR est estimée avec les 7è, 8è et 9è moues
libres (de la sous-structure CD), par l'expression (12). Le modèle modal BMM est construit
avec 6 modes libres. Les corrections SCM et TCM donnent des résultats (Tableau C 24) qui
sont meilleurs à ~ ~U)( du modèle expérimental.

---

226
3) Introduction d'une raideur de jonction mal connue
La raideur de jonction n'est pas déterminée et on estime seulement la souplesse résiduelle de
frontière SR
(sur f.)
à l'aide des modes non retenus
(7è, 8è et 9è mode) par l'expression
(12).
Seule la méthode de SeM permet de calculer les modes encastrés de la nouvelle structure
(sous-structure (D plus joint de liaison). Le Tableau e 25 donne les résultats de cet essai.
TABLEAU C 25
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S'" ': L
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S. Ct\\.
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3
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21.1. 4~ 6
2o~. ~ 6~
D4 - Assemblaee de 4 plaques
®
@
r.
r.
@
<D
1
1
FIGURE 1119

---

227
La condensation dynamique de GUYAN donne pour les 3 plaques (2), (3) et (4) la masse
M () et la rigidité K CI sur la frontière
fo .
On applique le modèle modal BMM à la plaque <D avec 6 modes libres el une souplesse
résiduelle SR calculée (avec 6 modes libres aussi) par l'expression (12).
L'assemblage de la plaque <D avec les 3 autres plaques se fait le long de la frontière
commune r. .
TABLEAU C26
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10 1.-4-87
""1.01. '00
"3. 0 cf • .$l)~
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"1"21..'2.4$"
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1.'16. "1$
"1.7.6 .1~0
"1.2., .1'a
"1'2,
"'1,1. 24S'
"1 "2 6. ~.t.,
"11.I.447s
"1"2.1. ~"

---

228
Le Tableau C26 montre que la correction apporte peu d'amélioration aux valeurs non
corrigées déjà bonnes. La méthode TCM donne de meilleurs résultats que SCM.
Ce peu de gain en fréquence par la correction s'explique par le calcul initial d'une bonne
valeur de la souplesse résiduelle SR. La correction dans ce cas peut induire la perte de quelques
HZ (par rapport aux valeurs exactes) commune l'indique la colonne SCM dans le Tableau C26.
Mais l'efficacité de la correction a été testée sur deux matrices SR grossières
[ , , -R
(14)
SR =
10
......
,.J
et
1'2-
T
L
)(( Xl·
(15)
SR =
<.ù\\~
"=7
adaptées respectivement aux méthodes TCM et SCM
Le Tableau C27 où l'on utilise l'expression (14) pour SR ( méthode TCM ) montre un
gain en fréquence allant de 1 à 5 HZ (à partir du 3e mode) entre les valeurs corrigées et non
corrigées.
Dans les Tableau C28, l'on a calculé SR par l'expression (15). Seule la méthode SCM
permet de calculer les modes encastrés de la structure.

---

229
TABLEAU C27
MODE.S
NORMAUX.
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"1."3. 006
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1-
4~. 4,S6
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S '1.. 1.'3,
5'2.. 310
5"1.. 1.47
,
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TABLEAU C28
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"\\2.1. 'lI"

---

---

231
(
CONCLUSION]

---

232
1 PROBLEME INITIAL
Les méthodes de synthèse modale dont le fondement repose sur l'utilisation des modes
normaux d'organes mécaniques simples issus du calcul ou de l'expérience, permettent de
prévoir le comportement dynamique d'assemblage de structures complexes.
Cette réduction du nombre de degrès de liberté caractérisant le système rend la synthèse
modale efficace parmi les techniques utilisées en dynamique des structures.
Cependant, le problème délicat lié à l'inévitable troncature modale induit une pénalisation
de la qualité de la réponse vibratoire cherchée. Il s'avère alors nécessaire d'étudier finement les
interfaces de liaison entre sous-structures pour contourner cette difficulté. On a donc introduit
les caractéristiques résiduelles de frontière qui apportent un assouplissement du système
rigidifié par la troncature modale. Mais la connaissance de ces termes est imprécise par le calcul
et difficile par expérience. on est en effet conduit sur le plan expérimental à une détermination
très imprécise de la fléxibilité résiduelle par lissage de courbe en formulation déplacement (ou
modes libres), et à des mesures impossibles de rotations et de couples permettant d'accéder à la
matrice de raideur statique lorsqu'on se trouve en formulation force (ou modes encastrés).
Cette difficulté a été levée grâce aux modes dits de branche introduits par
JEZEQUEL il y a une dizaine d'années, et rapportés en référence (RI2). Ces modes de
branche sont des modes normaux d'une structure lorsqu'on lui impose un chargement
d'impédance connue le long de ses frontières. Ils présentent l'avantage de permettre des
mesures expérimentales se situant entre les deux états limites de frontière encastrée et de
frontière libre. Les caractéristiques résiduelles de frontière deviennent ainsi accessibles par
expérience.
Les modes de branche se rattachent en fait aux problèmes intermédiaires de
WEINSTEIN introduits en mathématiques au début de ce siècle, référence (RI) et (R2).
Grâce à une formulation intégrale des problèmes de dynamique, les pulsations des structures
cherchées apparaissent comme des solutions des déterminants de WEINSTEIN qui intégrent
rexpression matricielle des caractéristiques résiduelles de frontière dans les contextes
numérique et expérimental.
Mais c'est LEUNG qui a d'abord fourni, référence (R32), un calcul explicite de la
flexibilité résiduelle à un ordre quelconque.
La prise en compte des caractéristiques de frontière a effectivement permis d'améliorer
les résultats de la synthèse modale et ceux d'autres techniques de la dynamique des structures
comme la condensation dynamique de GUY AN ou l'analyse de sensibilité. Ce sont nos
conclusions des chapitres un et deux.
Néanmoins, il n'existe pas d'études spécifiques sur le recalage des termes
résiduels
de
frontière
afin
d'améliorer
l'efficacité
des
méthodes
de
sous-structuration. Cette absence repose sans doute sur la difficulté de corriger des
caractéristiques représentées par des matrices dans le contexte numérique, et qui impliquent
souvent un Jl()IllIn dedegrès de liberté relativement élevé.
.-..-
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---

233
Le but princiapl recherché dans ce travail consiste à
proposer une
procédure générale de recalage des caractéristiques résiduelles de frontière
pour améliorer très nettement les résultats de dynamique des structures.
II CORRECTION DES INTERFACES
DE LIAISON
1) Généralités
TI a d'abord été nécessaire d'introduire un modèle modal capable de prévoir la réponse
dynamique d'une structure avec des conditions aux limites quelconques dans le contexte
numérique ou expérimental: B.M.M. Basic Modal Mode!. Celui-ci est ensuite corrigé et
amélioré.
Ce modèle modal est construit à partir des modes libres et de la souplesse
résiduelle de frontière au premier ordre. On a en effet montré au chapitre un qu'il y a
peu de différences dans les résultats de synthèse modale lorsqu'on utilise les termes résiduels
au premier et au second ordre. Cependant, l'ordre deux apporte une nette amélioration par
rapport à l'ordre un aux fréquences élevées.
Nous avons donc envisagé une correction au premier ordre et à basses
fréquences afin de compenser l'inéfficacité de l'ordre deux dans cette plage fréquentielle.
2) La correction
Dans le cadre du recalage de modèle numérique par rapport aux résultats expérimentaux,
deux méthodes de correction de la flexibilité résiduelle de frontière ont été proposées. La
technique utilisée consiste à définir une perturbation de la matrice de souplesse résiduelle. La
norme de celle-ci est ensuite mininùsée en imposant des conditions d'orthogonalité et le respect
de certaines règles spectrales.
Cette correction repose sur les idées fondamentales suivantes:
a) L'équivalence algébrique des systèmes d'équations matricielles
L'équation matricielle de définition du modèle BMM permettant d'obtenir le spectre de la
structure avec des conditions aux limites quelconques n'est pas directement utilisée dans la
procédure de correction.
A ce système (A), l'on préfère un autre système (C), voir ANNEXE 6, adapté aux
équations énergétiques.
b) Le critère énergétique
La troncature modale induit en effet une perte d'éne~gie cinétique au système. Les
équations énergétiques (C) ne sont donc pas vérifiées. L'un des objectifs de la correction est de
faire retrouver cette propriété. Ce critère énergétique sera en fait un guide dans la procédure de
correction.

---

234
c) Les modes de branche
* L'idée fondamentale de la correction consiste à retrouver exactement les fréquences de
résonnance et d'approcher au mieux la forme des modes de branche de la structure chargée sur
ses interfaces.
* Ce passage par les modes de branche constitue une voie originale que nous avons
choisie pour calculer avec précision les modes encastrés de la structure lorsqu'on est en
formulation déplacement ou bien les modes libres dans le cas de la formulation force. En effet,
la correction des frontière avec plusieurs degrès de liberté par seulement quelques modes est un
problème indeterminé. L'utilisation de l'étape intermédiaire défini par les modes de branche a
pour intérêt majeur de faire converger les réultats vers les fréquences exactes des modes
normaux de la structure fmale.
* TI est possible de perdre le caractère défini positif de la matrice de flexiblité résiduelle
SR en cours de correction, car celle-ci constitue une opération dangereuse. Si le caratère se
perd, il est possible de le sauvegarder en rajoutant des modes de branches fictifs
correspondant à un calcul direct avec SR non corrigée. Les modes de branche fictifs sont des
vecteurs quelconques mais orthogonaux à ceux retenus pour réaliser la correction. Ils sont
introduits lors des premières étapes de la correction. Dans la pratique, les modes de branche
fictifs choisis sont les modes de branche non corrigés de rang supérieur à ceux qui interviennent
dans la correction.
d) La méthode de correction rCM
La méthode de correction TCM (Total Correction Method) corrige la matrice de
souplesse résiduelle SR globalement. La procédure utilisée nécessite l'inversion de cene matrice
SR. Comme celle-ci est généralement singulière, surtout dans le contexte expérimental, il s'est
avéré nécessaire d'introduire une seconde méthode de correction pour contourner cette délicate
difficulté.
e) La méthode de correction SCM
La méthode de correction SCM (Selectiv Correction Method) opère une correction
sélective des composantes de la matrice SR. Elle présente l'avantage majeur de ne pas nécessiter
l'inversion de SR. En ce sens, elle est complémentaire à la méthode TCM précédente.
[) Les matrices de souplesse résiduelle SR
On a regroupé les matrices SR susceptibles de représenter le contexte réel en trois types :
* Type 1 : SR définie positive et pleine (issue du calcul numérique)
* Type II: SR définie positive et diagonale (pour initialiser la méthode TCM)
* Type III : SR est pleine et faiblement singulière (estimation de SR dans un contexte
expérimental)
Ces matrices permettent de simuler une estimation grossière de SR ou au contarire sa
bonne connaissance par calcul ou par expérience.

---

235
3) Utilisation du modèle modal BMM et des méthodes de correction TeM et SeM
a) Conditions liées à la procédure de co"ection
Le respect de conditions liées au nombre des différents modes normaux utilisés est
nécessaire pour appliquer efficacement les méthodes de correction TeM et SeM
b) Qualité des modes de branche
TI est intéressant de réaliser la correction avec des modes de branche qui se situent dans la
même zone fréquencielle que celle des modes normaux cherchés.
c) Influence du nombre P de DDL defrontière
La synthèse modale est réalisée avec 6 à 12 modes généralement lorsque l'on;:tient
compte compte des caractéristiques résiduelles de frontière. Une interface de raccordement est
dite alors à faible nombre de DDL si P est aux environs de 12. Dans le cas où P dépasse la
vingtaine, la frontière considérée est à grand nombre de DDL.
Même si ies procédures de correction se sont révélées très efficaces en général, elles sont
d'autant meilleures que P n'est pas trop élevé.
III
RESULT ATS
OBTENUS
1) Qualité des méthodes de synthèse modale TeM et SeM
Le modèle modal BMM proposé a débouché sur deux méthodes de synthèse modale
TeM et SeM. Elles se sont avérées très efficaces dans le recalage des modes de branche,
premier test de la qualité des procédures de correction. Celle-ci a permis en effet de retrouver
exactement les fréquences des modes de branches introduits, d'approcher au mieux leurs
déformées modales et de recaler parfaitement les réponses temporelles des structures étudiées.
2) Efficacité du modèle
BMM
pour des variations de conditions aux limites
quelconQues
Le modèle modal BMM donne des réponses temporelles avec exactitude lorsque les
conditions aux limites sur les interfaces de raccordement varient de l'encastrement parfait àla
libération totale des frontières. Mais la synthèse modale directe basée sur les modes de branche
ne permet pas du tout de prendre en compte ces modifications structurales majeures. C'est un
intérêt de plus du modèle BMM et des méthodes de correction TeM et SeM.
3) Structures avec joints aux interfaces de liaison
La technique d'utilisation des matrices de raideur .1K associées à des déplacements
nodaux le long de la frontière de raccordement
permet de traduire la souplesse de jonction
l\\K induite par les sous- structures adjacentes. Il est également intéressant d'introduire la
souplesse résiduelle SR à l'interface
• d'où la souplesse résultante S =SR + l\\K

---

236
Selon la qualité de la connaissance de chacun des termes SR et ÔK, on a pu simuler
plusieurs cas réels de structures munies d'organes élastiques déterminés ou mal connus aux
interfaces de liaison. De nombreux tests ont mis en valeur l'efficacité des méthodes de synthèse
modale TCM et SCM.
4) Supériorité du modèle BMM corrigé au modèle expérimental
Dans le cas de sous-structures liées par des raideurs de jonction
ôK
connues
expérimentalement, il est possible de réaliser la synthèse modale à l'aide des n modes dont on
dispose. C'est la configuration expérimentale où l'on ignore la souplesse résiduelle SR de
frontière.
nest néanmoins judicieux de se servir autrement de ces n modes: n = N + L où L « N.
En effet, l'on peut estimer SR conformément aux méthodes de corrections (matrice de type
IID. Le modèle BMM est alors construit avec N modes seulement. La correction du modèle
BMM donne alors des résultats meilleurs à ceux de la configuration expérimentale.
5) Assemblage de sous-structures
hniques de BENFIELD et
IV
CONCLUSION
La conuibution la plus originale de ce travail repose sur la procédure générale de recalage
des caractéristiques résiduelles de frontière qui a été proposée. Elle a permis d'améliorer
considérablemnt les résultats de synthèse modale et est applicable dans le contexte numérique
ou expérimental.
Même si les méthodes proposées ont été construites dans le cadre élastique et
conservatif, des extensions à des structures complexes, amorties ou comportant des frontières
non linéaires sont parfaitement envisageables.

---

(
BIBLIOGRAPffiE
]

---

B.l
BIBLIOGRAPHIE
1 - REFERENCES PRINCIPALES
(RI)
A. WEINSTEIN et W. STENGER
Intermediate problems for eingenvalues. Theory and ramifications. 1972,
Academie Press-New-York and London
(R2)
S.H. GOULD
Variational Methods for eingenvalues problems. An Introduction to the
WEINSTEIN method of intennediate problems. 1966, London, Oxford University
press.
(R3)
M. KRASNOV, A. KISSELV et G. MAKARENKO
Equations intégrales. Editions MIR-Moscou
(R4)
K. MAURIN
Methods of HILBERT Space. 1967, Polish scientifie publishers. Warzanva
(R5)
M.G. KREJN et I.C. GOHBERG
Opérateurs linéaires non auto-adjoints. 1971, Dunod, Paris
(R6)
H. REINHARD
Equations différentielles. .1982, Gauthier- Villars, Paris
(R7)
O. PIRONNEAU
Optimal shape design for elliptic systems. Edition Springer-Verlag
(R8)
J. NECAS
Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques. Masson, 1967
(R9)
LADYZENSKAy A et N.N. URAL'CEVA
Equations aux dérivées partielles de type elliptique. Dunod, 1968
(RIO)
J. LIONS et E. MAGENES
Problèmes aux limites non homogènes et applications. Tome 1, Dunod, 1968

---

B.2
(R11)
LM. GUELFAND et G.E. CHILOV
Les distributions. Tome 3, théorie des équations différentielles, Dunod, 1965
(R 12)
L. JEZEQUEL
Synthèse modale: Théorie et extension. Thèse de Doctorat d'Etat ès Science.
Université Claude Bernard, Lyon, 1985
(R13)
L. KANTOROVITCH, G. AKILOV
Analyse Fonctionnelle. Editions MIR-Moscou
(R14)
L GOHBERG et S. GOLDBERG
Basic Operator Theory. 1981, Birkhiiusen, Boston-Basel-Stuttgart
(R15)
M. ROSEAU
Vibrations des systèmes mécaniques. Méthodes analytiques et applications. 1984,
Masson
(R16)
L. MEIROVITCH
Analytical methods in vibrations. 1967, The Macmillan company, New-York,
Collier-Macmillan, Canada
2 - REFERENCES GENERALES
(R17)
A. BERMAN et W.G. FLANNELY
Theory of complete models of dynamic structures. 1971, AIAA Journal, vol. 9,
pp. 1481-1486
(R18)
A. BERMAN
Mass matrix correction using an incomplete set of measured modes. 1979, AIAA
Journal, vol. 17, pp. 1147-1148
(R19)
M. BARUCH
Optimisation procedure to correct stiffness and flexibility matrices using vibration
tests. 1978, AIAA Journal, vol. 16, pp. 1208-1210
(R20)
M. BARUCH
Porportional optimal orthogonalization of measured modes. AIAA Journal, vol.
18, pp. 859-861

---

B.3
(R21)
A.M. KABE
Stiffness matrix adjustment using mode data. 1985, AIAA Journal, vol. 29, pp.
1431-1436
(R22)
L. JEZEQUEL et S. TCHERE
Contrôle optimal des caractéristiques résiduelles utilisées en synthèse modale.
8ème Congrès Français de Mécanique. Nantes, septembre 1987, pp. 160-161
(R23)
L. JEZEQUEL
A hybrid method of modal synthesis using vibration tests. 1985, Journal of Sound
and Vibration, vol. 100, pp. 191-210
(R24)
L. JEZEQUEL et S. TCHERE
Correction of residual flexibility from vibration tests
International Modal Analysis Seminar. LEUVEN, Louvain September 1987
(R25)
S. TCHERE
Couplage dynamique des structures le long d'interfaces continues. Mémoire
d'Ingénieur, Ecole Nationale des Travaux Publics de l'Etat. Lyon, 1983
(R26)
S. TCHERE
Méthodes hybrides de synthèse modale. Mémoire de Diplôme d'Etude
Approfondies. Université Claude Bernard, Lyon, 1984
(R27)
L. MEIROVITCH et A.L. HALE
On the substructure synthesis method. 1981, AIAA Journal, vol. 19, pp. 940-947
(R28)
L. MEIROVlTCH et A.L. HALE
A procedure for improving discrete substructure representation in dynamic
synthesis. 19R2, AIAA Journal, vol. 20, pp. 1123-1136
(R29)
L. MEIROVITCH et A.L. HALE
A general procedure for improving substructures representation in dynamic
synthesis. 1982, Journal of Sound and Vibration, vol. 84, pp. 269-287
(R30)
S. RUBIN
Improved component-mode representation for structural dynamic analysis. 1975,
AIAA Journal, vol. 13, pp. 995-1006

---

BA
(R31)
Y.T. LEUNG
An accurate method of dynamic condensation in structural analysis. 1978,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 12, pp.
1705-1715
(R32)
Y. T. LEUNG
,Accelerated convergence of dy-namic flexibility in series fonn. 1979, Engineering
structures, vol. 1, pp. 203-206
(R33)
Y. T. LEUNG
An accurate method of dynaoùc substructuring with simplified computation. 1979,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 14, pp.
1241-1256
(R34)
Y.T. LEUNG
Accelerated converging methods in structural response analysis. 1980,
Proceedings Conference on Advanced Structural Dynamics, University of
Southampton, pp. 101-108
(R35)
Y.T. LEUNG
Fast convergence modal analysis for continuous systems. 1983, Journal of Sound
and Vibration, vol. 87, pp. 449-467
(R36)
J.A. BRANDON
Derivation of significance of second order modal sensivities. 1984, AIAA Journal,
vol. 22, pp. 723-724
(R37)
L.JEZEQUEL
Synthèse de l'amortissement par sous-structuration expérimentale. 1978, Thèse de
Docteur Ingénieur, Université Claude Bernard, Lyon
(R38)
L. JEZEQUEL et S. TCHERE
Nouvelles méthodes de correction des caractéristiques résiduelles de frontière en
synthèse modale. Journées "choc et vibrations", Ecole Centrale de Lyon, 1988
(R39)
T. CHERRADI
Une méthode de sous-structuration dynaoùque avec interface de frottement. Thèse
de Docteur Ingénieur, 1985, Institut National des Sciences et Techniques
Nucléaires

---

B.5
(R40)
N. KARCANIAS, C. GIANNAKO POULOS et M. HUBBARD
Almost zeros of a set of polynomials of
, 1983, International Journal of
Control, vol. 38, pp. 1213-1238
(R41)
R.W. DANIEL et B. KOUVARITAKIS
Analysis and design of linear multivariable feed back systems in the presence of
additive perturbations. 1984, International Journal of Control, vol. 39, pp. -
551-580
(R42)
W.L. EASTMAN et J.A. BOSSI
Design of linear quadratic regulators with assigned eingenstructure. 1984,
International Journal of Control, vol 39, pp. 731-742
(R43)
K. REINSCHKE
Graph-theoretic characterization of fixed modes in centralized and decentralized
control. 1984, International Journal of Control, vol. 39, pp. 715-729
(R44)
A. ARBELetO. RATH
An iterative pole-placement algorithm. 1985, International Journal of Control, vol.
41, pp. 929-939
(R45)
A. SIMPSON
A newtonian procedure for the solutions of
E 'X. =XAx.. 1982, Journal of Sound
an Yibration, vol. 82, pp. 161-170
(R46)
A. SIMPSON
.- - ·.on the solution of
5 (w) x. -:: 0
by a newtonian procedure. 1984, Journal of
Sound and Vibration, vol. 97, pp. 153-164
(R47)
N.S. SEHMI
A newtonian procedure for the solution of the KRON characteristic vaJue problem.
1985, Journal of Sound and Vibration, vol. 100, pp. 409-421
(R48)
T.J. BRIDGES et L.N. VASERSTEIN
The local evaluation of the derivative of a determinant. 1986, Journal of
computational physics, vol. 65, pp. 107-119

---

B.6
(R49)
B. DAWSON et M. DAVIES
The identity between the RA YLEIGH-KOHN and NEWTON-RAPHSON
procedures and its application to the vibration analysis of single-junction branched
systems. 1979, Journal of Sound and Vibration, vol. 67, pp. 151-162
(R50)
J. ONODA et R.T. HAFfKA
.An approach to structure/control. simuItaneous optimization for large flexible
spacecraft. 1987, AIAA Journal, vol. 25, pp. 1133-1138
(R51)
X.Y. HUANG
Active Control of aerofoil flutter. 1987, AIAA Journal, vol. 25, pp. 1126-1132
(R52)
J.K. BENNIGHOF
Component Mode Iteration for frequency calculations. 1987, AIAA Journal, vol.
25, pp. 996-1002
(R53)
I. GLADWELL et R. THOMAS
Stability properties of the NEWMARK, HOUBOLT and WILSON
Methods.
1980, International Journal for Numerical and analytical methods in
Géomechanics, vol. 4, pp. 143-158
(R54)
G. RYLAND et L. MEIROVITCH
Response of Vibrating systems with perturbed parameters. 1980, Journal of
guidance and control, vol. 3, pp. 298-303
(R55)
P. VANHONACKER
DifferentiaI and difference sensitivities of natural frequencies and modes shapes of
mechanical structures. 1980, vol. 18, pp. 1511-1514
(R56)
H.F. ADELMAN et R.T. HAFTKA
Sensivity analysis of discrete Structural.systems. 1986, AIAA Journal, vol. 24,
pp. 823-832
(R57)
R. REISS
Design derivatives of eingenvalues and eingenfunctions for self-adjoint distributed
parameter systems. 1986, AlAA Journal, vol. 24, pp. 1169-1172

---

R7
(R58)
RP. WANG et W.D. PILKEY
Eingenvalue reanalysis of locally modified structures using a generalized
RA YLEIGH'S Method. 1986, AIAA Journal, vol. 24, pp. 983-990
(R59)
M.P. KAMAT
Optimisation with frequency constraints-limitations. 1983, Journal of Sound and
Vibration, vol. 91, pp. 1310- 1316
(R60)
K. KIM, W.J. ANDERSON et R.E. SANDSTROM
Nonlinear inverse perturbation method in Dynamic analysis. 1983, AIAA Journal,
vol. 21, pp. 1310-1316
(R6l)
L. JEZEQUEL
Modal Synthesis of large structures with nonlinear joints from vibration tests.
1984, Proceedings of the 2nd International Conference on Recent Advances in
Structural Dynamics, vol. 2, pp. 281-295
(R62)
J.O. HALLQUIST et W.W. FENG
On the specification of eingenvalues in vibration systems. 1976, ASME Journal of
Applied Mechanrcs, vol. 98, pp. 359-360
(R63)
C.J. HOFF, M.M. BERNITSASS, R.E. SANDSTROM et W.J. ANDERSON
Inverse perturbation method for structural redesign with frequency and mode
shape constraints. 1984, AIAA Journal, vol. 22, pp. 1304-1309
(R64)
I. mRAI et M. HASHIWAKI
Derivatives of eingenvectors of locally modified structures. 1977, International
Journal for numerical methods in engineering, vol. Il, pp. 1769-1773
(R65)
I. mRAI et T. YOSHIMURA
On a direct eingenvalue analysis for locally modified structures. 1973,
International Journal of numerical methods in engineering, vol. 6, pp. 441-456
(R66)
P. PEDERSEN
Sensivity analysis for problems of dynamic stability. 1983, International Journal
of Solids and Structures, vol. 19, pp. 315-335

---

B.8
(R67)
J.G. GIMENEZ et L.I. CARRASCOSA
An efficient method of experimental modal analysis of Mechanical systems. 1982,
Proceeding 1, International Modal Analysis Conference, Orlands, Florida, pp.
528-533
(R68)
J.C. CHEN et lA. GARBA
Analytical model improvement using modal test results. 1980, AIAA Journal, vol.
18, pp. 684-690
(R69)
R.R. CRAIG et c.J. CHANG
Substructure coupling for Dynamic analysis and testing. NASA CR, 2781,
February 1977
(R70)
R.R. CRAIG et c.J. CHANG
Free-Interface Methods of substructure coupling for dynamic analysis. 1976,
AIAA Journal, vol. 14, pp. 1133-1135
(R71)
S. GOLDENBERG et M. SHAPIRO
A study of modal coupling procedures for the space shuttle. NASA CR - 2252
(R72)
T.K. HASSELMAN
Study of modal coupling procedure for the shuttle : a matrix method for damping
synthesis. NASA CR - 112-253
(R73)
A. WEINSTEIN
Bounds for eingenvalues and the method of intennediate problems. International
Conference on partial differential equations and contimum Mechanics, Madison,
Wisconsin, 1961
(R74)
lan GLADWELL and Ruth TIIOMAS
Stability Propertis of the NEWMARK, HOUBOLT and WILSON
Methods
International Journal for numerical and analytical Methods in Geomechanics,Vol4,
pp 143-158.
(R75)
L. JEZEQUEL
A method of damping synthesis from substructure test. Journal of Mechanical
Design
ASME, Vol.l02, 1980 pp. 286-294.

---

( ANNEXES
)

---

1.1
ANNEXE 1
AUTRES RESULTATS

---

2.1
ANNEXE 2
MATRICE DE PSEUDO-FLEXIBILITE
SOUPLESSE RESIDUELLE

---

2.2
On ne peut pas définir une matrice de souplesse statique dans le cas d'une structure libre
qui possède des modes de corps rigides. On utilise alors une procédure particulière pour
déterminer une matrice de pseudo-flexibilité.
Soit u
le vecteur déplacement dans la base des modes libres et rigides.
(l)
U
= (XL ") QL + ( XR) QR
avec
(2)
UL = (XL) QL ,
UR
= (XR) QR
Où * (XL) -et [QR)
désignent respectivement la matrice modale des modes libres
et le vecteur de coordonnées modales leur correspondant.
* [X p.) et (QR) désignent respectivement la matrice modale des modes de
. 1
corps rigides et le vecteur de coordonnées modales leur correspondant.
L'on suppose que les modes élastiques et rigides sont normés par rappon à la matrice
discrète
( M) de la structure.
Le mouvement des modes rigides s'écrit donc:
T
(3)
(1) QR = (XR) F
où
F
est la force d'excitation appliquée à la structure.
On en déduit l'expression des forces d'inenie :
La structure est donc soumise au système des forces en équilibre
F + Fr:
(5)
F + F = ( (1) - CM) (XR) (XR) T)
F
= (A)F
où
permet de filtrer les modes de corps rigides.
Si la structure possède
R modes rigides, on bloque R
degrés de libené pour la
rendre isostatique. On définit alors une matrice CG) à partir de la matrice de flexibilité
isostatique à laquelle on ajoute R colonnes et R
lignes nulles, correspondant aux degrés
de libené bloqués.

---

2.3
Le vecteur déplacement isostatique Ur s'écrit:
Le mouvement élastique de la structure libre s'exprime donc:
(8)
UL
=
U 4: + l XR) ,,?..
Le vecteur des coefficients inconnus
/ -.
est déterminé à partir de l'équation
d'orthogonalité
T
(9)
UL (M)(XR) = 0
On en déduit :
.,..
T
(10)
DL
= Ur - (XR1[XR) (M) Ur = (A") U 1:
D'où
T
(11)
DL
::;
CA) [G) ~1F
La matrice
T
(12)
(Gl = tA) (Gl (A)
o
est la matrice de pseudo-flexibilité cherchée.
Cette matrice
(G") ~ de pseudo-flexibilité dans le cas d'une structure libre est
l'équivalente de la matrice classique
( K 1-1. dans le cas d'une structure fixe.
Si [ XL')
désigne la matrice modale des N modes élastiques retenus, on définit la
souplesse résiduelle correspondant aux modes non pris en compte par :
(13)
(G1ft,.
=
T
où (K) -4 est replacée par (G) ~dans le cas d'une structure libre, (K1,.. = (XL] JC
lKJ (XL) et
(G)
= \\XLJ ~K)-'(XL)
Cette matrice d~ souplesse résiduelle
(G 1~ est celle correspondant au 1er
ordre. On l'a appelée
( SR')
lorsqu'elle a été projettée sur les
DDL
de frontière de
raccordement

---

2.4
L'approximation
au 2e ordre qui conduit à définir une souplesse résiduelle à
l'ordre 2 consiste à intégrer à l'équation (7) écrite à l'ordre 2, les forces d'inertie qui
résultent des déplacements du 1er ordre dûs aux forces extérieures, en l'absence
d'amortissement.
L'analogue de l'équation (7) s'écrit alors :
(14)
ti 'l: = [G") (A) (F - CM) Ü:r: )
- .. -
La supression de la contribution des modes de coprs rigides conduit à :
6t'
(15)
VL.=
(G")F - (H) F
'"
ou
La contribution des modes des résiduels s'écrit alors
.,.
(17)
VI-..
=
(G1ft. F - (H) ~ F
ou
avec
(19)
Grâce aux conditions d'orthogonalité, on obtient une expression simple de la matrice
de flexibilité résiduelle
(H) ,.., d'ordre 2 :
Dans le cadre des techniques de synthèse modale, cene matrice (H) est condensée sur
p..
les
DDL de frontière de raccordement

---

3.1
ANNEXE 3
SOUPLESSE RESIDUELIJE

---

3.2
Les matrices de souplesse résiduelles sont obtenues de deux façons différentes en
fonnulations continue et discrète. Les résultats sont rigoureusement identiques dans les deux
cas même si les expressions analytiques changent.
Fonnulation continue
Les fonnules (1.310 a) et (1.310 b) donnent à l'ordre 2N et 2N + 1, les souplesses
résiduelles suivantes:
(1)
(2)
Dans le contexte numérique où l'on dispose de matrices de masses et de raideur, il est
possible de s'implifier l'écriture des expression (1) et (2) pour retrouver celles fournies par la
fonnulation discrète ci-après.
Fonnulation discrète
Le calcul par Eléments Finis pennet de diposer d'une matrice K de rigidité et d'une
matrice M de masse.
Les vibrations libres d'une structure sont alors régies par l'équation dynamique classique
(3)
=0
On appelle alors S(w) matrice de souplesse dynamique définie par:
(4)
5 (w) =
En écrivant S(w) sous la fonne
on utilise l'identité remarquable
pour obtenir le tenne d'ordre N de S(w)

---

3.3
L'ANNEXE 2 pennet de lever les difficultés liées à l'éventuelle singularité de la matrice
K.
On établit aisément
(8)
-t,
où.st est la matrice spectrale et f
la matrice modale.
Si l'on n'a accès qu'à m modes par le calcul ou par l'expérience, on appelle
~ IW\\"
la matrice de ces m modes et
S trr\\.
N
sl'fn.
(9)
N
La souplesse résiduelle SR à l'ordre N est alors définie par
(l0)

---

4.1
ANNEXE 4
MASSE RESIDUELLE

---

4.2
Le calcul des matrices de masse résiduelle est similaire à cel ui des matrices de souplesse
résiduelle. On y distingue aussi deux fOffimlations continue et discrète.
La formulation discrète part de l'équation dynamique écrite en force. La technique
d'identité remarquable utilisée en ANNEXE 3 est encore nécessaire ici. La démarche suivie est
identique.
Les expressions (1.369 a) et (1.369 b) donnent à l'ordre 2 N et 2N + 1 les termes de
masse résiduelle en formulation continue.
(.:tN)
(1)
Mfl i~
-- Ce T> ~ À (, D ~ /,\\i)
(2)
n fl\\~ l:l. N +,) -- CD ~
D:
A (',
4 a' J

---

5.1
ANNEXE 5
EXTENSION DE LA METHODE DE SENSIBILITE

---

5.2
La méthode de sensibilité proposée peut être étendue à une modification structurale plus
complexe où interviennent des perturbations en masse et en rigidité à la fois.
+-
~
(1)
6K
=
 K
- W
6M
..
La correction de cene matrice  K introduite pour atténuer les effets de la troncature modale
vérifie l'équation (II.66) :
(2)
=
(
1: -
La matrice de flexibilité résiduelle SR correspond à un développement au premier ordre de
la participation des modes non retenus, ( Equation (11.64) ), mais doit être prise en compte dans
l'influence des basses fréquences.
Comme la norme de la matrice ( A K ..w'\\. A 11 ) SR est petite devant 1, /:,. K peut être
approximée par la relation suivante :
(3.a)
6K ':'.
f, .. w~ f~ +w'f l!
où
P1. =
AK- A\\I(.r", AK
(3.b)
P~ = AM _ (.âM r~.ÂK + âK SIL 6M)
P~ =
Les modes du système perturbé sont solutions d'un problème spectral d'un ordre plus élevé
que celui du système de base donné en équation (11.46).
Ce problème peut être ramené à la forme standard suivante:
.L
(5)
(H
+ 6. H ) Y
=
CU
(R +
A R) Y
avec
(6)
H=
R =
T
)< F '1 ><:ç:
J
rXOF l, XF"
(7) AH =
T
AR =
l
_ y.~ P,x-F
Les valeurs propres du système non penurbé correspondent aux pulsations W,,' et les
vecteurs propres associés ont la forme:
(8)

---

5.3
La méiliode proposée consiste à employer l'analyse de sensibilité au système en utilisant
dans le calcul seuls les N modes retenus.
Un développement au premier ordre conduit à une équation spectrale où les valeurs propres
du système penurbé vérifient :
Cette équation tient compte du fait que les vecteurs Yk
ne sont pas normés à l'unité. En
utilisant les relations (3.b)
et,
(6)
et
(7), on obtient en définitive:
(l0)
Cù{~ == ~, + X;.. (6\\(- 6t( SII-,1K -W~f... (Af1- (AHS,.AJ(
+ A~ S~ ~t1) + w).. AM S~ /lM')) ~Fl

---

6.1
ANNEXE 6
EQUIVALENCE ALGEBRIQUE DES EQUATIONS
DE CORRECTION

---

6.2
Les notations adoptées dans cette annexe sont celles de la 3ème partie: CORRECTION
DES CARACfERISTIQUES DE FRONTIERE.
L'on souhaite établi l'équivalence entre 3 systèmes d'équations algébriques.
SYSTEME CA)
* Equation d'obtention des modes de branche
T
-~K~
o
(Al)
Cl=[ :
* Changement de variable
SYSTEME (B)
(B 1)
Kil «ë.
- 110 À .n.; - ~o À
~
(B2)
-n.:~ G.. - x; \\I(~ t. -= Q...fis
(B3)
À
-= X Q + E
On montre de façon triviale l'équivalence entre les deux systèmes (A) et (B)
Comme la procédure de correction utilisée dans la 3ème partie n'utilise pas explicitement
le système (A) mais plutôt le système CC), il convient d'établir l'équivalence entre celui-ci et les
deux premiers cités.
SYSTEME CC)
"t""
(Cl)
G
Q
)...T Mo
+
~
"I.
CC2)
E" '.<" E
~
dtT .SL<..
>.T \\.<.0 À
= fte,-
Q. -
(C3)
K"" €.
::
ho À .f\\-~
K..À
-
(C4)
À -:::
'X F Q.
+ E

---

6.3
(Cl) et (C2) sont déduites des relations d'orthogonalité par rapport aux deux matrices de
masse et de rigidité liées à l'équation (A l). On montre donc aisément:
(A~ ====~> CC)
Montrons que
(c)
====~>
(A)
Il suffit pour cela de retrouver (B2) à partir de (C).
~ 1
T
Goï.n.L a. + <i,.T10<.-., E. -=
(G." 0. + X Mo À ) J\\.~ - À \\lfl >.
(Cl) et (C2)
~
~ QTQ...n.: +>..T (M • À.!l~ ) - À'" Ko '>.
En tenant compte de (C3), il vient :
GtT Jl. L Q. + ~ T Kit ~ : Q T Q. ~ + )..T \\.(fl. ~
En utilisant (C4), on obtient :
QT...JLol..Q.
_
Q"X~K"f: = Q""Q.n.~
Comme Q. est inversible (résultat établi dans l'ANNEXE 7), il vient :
G .fL: = -'L.t. Go - X -; K ft E..
D'où le résultat:
CONCLUSION
CA)
<
'> (8)
~)~
,
Donc:
CA) -é=<~) (B) <
>CC)
Les 3 systèmes (A), (B) et (C) sont équivalents.

---

7.1
ANNEXE 7
INVERSIBILITE DE LA MATRICE Q
MODES DE CORPS RIGIDES CHARGES

---

7.2
Les notations de cette ANNEXE sont identiques à celles de l'ANNEXE 6.
On souhaite établir l'inversibilité de Q et détenniner les modes de corps rigides chargés.
Comme la matrice
Q.= [~:)
est rectangulaire, on la rend carrée en lui adjoignant
une sous-matrice A telle que la matrice Q suivante soit inversible.
~,,[ ~
J
(1)
: :
Cette sous-matrice
A
n'est pas quelconque; elle est liée à la définition des modes
rigides chargés. Mais il convient de vérifier que la généralisation de
Go
à Qo conserve
toujours ces 4 équations de l'ANNEXE 6.
(Cl)
)..T Ho À -: "I.
(C2)
-l.
,.,'T .rL4. Q. -
>t10<0 )..
:::
..Jl6 -
-.
(C3)
_
ho >. .IL;; - \\.<.0 ~
(C4)
1) Généralisation de (C4)
En posant
(2)
on obtient
(3)
(À~
À J ': LX" A
d'où le système de relations
(4)
Les relations (4) induisent donc l'égalité (C4).
Explicitons l'expression
(5)
~t' ":: X" A
Elle est équivalente à l'égalité suivante
(6)
"Po. = YR A
où
Y'l. est l'expression de la matrice des modes de corps rigides dans la base de
description fonnée des modes de corps rigides, des modes libres et les déplacements
généralisés de frontière.

---

7.3
Dans le cas de notre étude, la plaque utilisée compone 3 modes de corps rigides. On peut
donc écrire :
(7)
'1~ = [ y"
'(-..~
1-
'1'fl3 J
La matrice
(8)
A: (
a.,~
o., ~
""
0l~1.
a.~
"":t 3
Q.! \\
0l2,-2.
- 3 )
J
est fonnée des 3 vecteurs propres de la matrice
.,. -
(9)
)'tt.
t\\
'ta..
L'égalité (6) définit donc parfaitement les 3 modes de corps rigides chargés.
~\\ ': GtllYlL1 + (;\\~, 'YR~ +- ct1.I'tR.'3
(10)
't,-~ ':C. O\\..,~ 'IL, + C\\~t. 'f1t:J.. + G\\l<' ,/f( ~
'tR..3 ":
~1 '11..,
'+ "'-.:li '1/4. +
0..1'1 '1R,)
La relation (C4) se généralise donc au système (4)
2) Généralisation de CC3)
Montrons que (C3) est équivalente à la relation suivante:
(11)
Kil
(0 Ci) = 11 0 ( ÀPo.
un calcul matriciel à partir de l'égalité (11) conduit à :
(12)
[0
3) Généralisation de CC2)
(C2) est équivalente à l'égalité ci-dessous:
~
(13)
[
T) \\<P- (0 ~)" [: ;~J- l:; :rJ(: :L1(: :~J
En effet la relation (13) induit l'expression matricielle
-
[;~ J~o ()..tl. >..1

---

7.4
On en déduit donc l'équivalence cherchée.
4) Généralisation de CCl)
On généralise aussi la relation (Cl) à l'égalité
Un calcul algébrique conduit à :
(16)
On en déduit
(l)
AT"A + >..I 11 À A.
0
0;
1:
(17)
Q..,. G..
+ )..T t1 0 À -::. 1:.
{
G..I A "'"' >T Mo Àp" '1:: 0 0;.
est l'expression (Cl)
Comme le vecteur ~ est normalisé par rapport à la matrice M ,on peut écrire:
(18)
Yp...T i1 'ff.
: 'I
or
(19)
'ft. -::
YA, A = l~~AJ
et
-
(20)
h
'=
[~ ~o)
d'où
- T
T
(21)
-
AT A T
Àlt. 11
À«., '= L
YI(. R 'II(. '::
( i)
1:
0
~
De même, on doit réaliser l'orthogonalité
- T _
(22)
'tR,
n
~~~ ') = 0
comme
y~-= (f~~ ,on obtient:
(23)
(c:il)
AT &1\\. +
~Tp." 1"10
=
' "
0
CONCLUSION:
Q.
se généralise à une matrice G.o inversible qui induit un nouveau système matriciel
spectral équivalent au premier défmi dans l'ANNEXE 6.

---

AN:" EXE S
EXTENSION DE LA COi\\OEi\\SATIO;\\l DYNAl\\IIQUE
DE GUYA~

---

8.2
On considère le problème dynamique suivant :
r~)
'l..
JrI
f
~ .,2)
v.. = W
(M] ~
(1)
lB] tA - ~F
~ ~
(ê
r"
1
où ~ est un domaine de A. de frontière de raccordement ~, (K) et (M)
respectivement les opérateurs linéaires de rigidité et de masse, (B) l'opérateur linéaire de
frontière et ~ F le déplacement frontière.
On associe à ce problème (1) deux problèmes particuliers :
f (\\<1 (i) = (M) (~1 (.Jt~)
(2.a)
l ~Bl (tl = 0
JrJ t.
E: f'o
..L
où
t..114.1 :: [ W{] matrice spectrale diagonale du carré de N premières pulsations
de N modes f considérés et
(2.b)
(3)
Les solutions (cf? Jde
(2)
sont les modes encastrés et celles de (3), Of] sont les modes
statiques introduits au chapitre I.
Le but de la méthode est de résoudre le problème (1) à J'aide des modes encastrés t ~") et
des modes statiques ['f}.

---

8.3
1) Solution ~énérale
On recherche la solution "- du problème (1) comme une combinaison linéaire des modes
encastrés (cf 1et des modes d'attache [<f J,soit :
(4)
u..:
[41 ~ + ['(] ~F
ou'
c.1-- l~.·N'
_,
"\\J est le vecteur de coordonnées modales à déterminer pour que le s-ystème
(1) soit vérifié.
En introduisant (4) dans (1) et en tenant compte de (2.a) et (3), il vient :
T
En multipliant (5) par
li1et après une intégration sur 9 ,on obtient :
où
(7)
[A) = (
~ )
C<.J{ -(.,ut.
La solution "'- du problème (1) s'écrit donc
(8)
u. '=
( [ ~1 (A '1 (G)T +
(~) ') À F
Tl convient de remarquer que si
W'= w(
, le déplacement de frontière \\ F doit être
nul pour que \\.l soit une quantité finie.
2) Matrice de rigidité dynamique Cil (ormulation ('olllilluc
On souhaite établir l'expression de la matrice dynamique (0 (w) l à l'aide du théorème de
réciprocité.
Pour une structure vibrant à une pulsation w, (0 (Wl) est définie par :
(9)
(
]) (w) JI-=' G(

---

8.4
où
"~h W t Ak Q Â-\\'"" W t
sont respectivement les vecteurs déplacement et
force généralisés.
Pour UJ = () 1
(8) devient :
(10)
Uo =
[~] À Fo
où ~Fo
est associé au vecteur force Qg appliquée aux DDL de frontière. On considère
les deux états d'équilibre suivants de la structure :
* Un premier état statique avec laforce Qoet le déplacement résultant Lto qui vaut )F.sur '.
la frontière n.
* Un second état de vibrations hannoniques avec la force Qr: 4-c'..wt et la réponse \\A. ...'"""t"
d'expression ÀF'';'" w t
sur la frontière r;,.
Le travail de la force statique pendant le déplacement hannonique est ~T>.F'~co~ tandis
que le travail de la force hannonique pendant le déplacement statique s'écrit
J
( &F ÀFo + w~ k tA..T lM') Llo cl v
4\\'J'\\ wt
car il faut inclure la force d'inertie par unité de volume
WoL (h 1 L<. """'w t
aux forces
à l'état de vibrations hannoniques. Le théorème de la réciprocité donne alors :
En tenant compte des équations (8), (9) et (10), (11) devient :
,.
[b.') ~F:: ÀF [DJ ~Fo
(12)
+
lC
wJ.. À'T'
C! 1 CA1 (G)T+ CCf])TClfJ '>.Fb Jv
F'~
Comme ÀF. et
).. F
sont quelconques, il vient :
(13)
On dédrit de la définition (7) de lb)
1([~1
T
(A 1 (;)T + t'\\r1J
(M) C\\f) -=
(G") CA] j [~l \\.t1) (~) J..v
~
~
+ LCc..rl T {h) ('f) cLv = lG J LA"1 CG) r 4- lh..)

---

8.5
où la matrice de masse consistante est :
(14)
L'équation (13) devient donc :
Les matrices (D") 1 (\\(,,) ,
( [ \\(01-= (.D 0))
et
CH vJ sont associées aux
DDL de frontière.
3) Matrice de rigidité dynamique en Elémenes Finis
Soient lArl et l ~)deux matrtices de fonctions de fonnes indépendantes associées aux
déplacement Àt et ~F des noeuds intérieurs et de frontière respectivement. La solution \\il. du
problème (1) est recherchée comme suit:
Si on applique une force Qv:seulement aux noeuds de frontière, l'équation dynamique
s'écrit :
br r
(17)
( b Fr
(17) se condense en :
par la transfoffilation
où

---

8.6
Si la matrice
(p ~rl est singulière à une certaine fréquence (,d, il convient d'annuler ~ F"
pour que )t garde une valeur finie d'après (19).
On obtient donc :
Si
W: 0
(21)
devient:
Comme, d'après (10)
\\.La =
t'of1 ~FIl
On déduit
Soit l~ lIa matrice modale des modes encastrés discrets et pour un choix identique des
fonctions de formes, il vient :
et
et (..ft:t) la matrice spectrale diagonale du carré des
pulsations des N modes encastrés.
Les relations d'orthogonalité s'écrivent
et
(27)

---

8.7
L ",-1
L -\\
En multipliant (25) successivement par
K'CrJ et (.1t)
il vient :
D'après les relations (7), (23) et (28), la matrice
G s'écrit :
LG") = J ['f"),. [ h1 c: ~ 1 J"
~
=-1 [AF - A~ I(;~ 1(I:Fl\\n1\\.Ar1 .Lv[If]
(29)
= l t1~r)l"t) - l \\(,:r) t~~~1-' l MI: rJ C.\\fi)
En se référant à l'équation (15), on obtient :
où
(31)
avec
(h.)
.L [
=.
If] T [1'11 ['"f] .1...,.
(32)
= (H?F j - (M f I:J t.1,,(~~·rl (KrFJ - (KFJ:j (urrT1(M r;)
+ (\\(PI:) (~~I:) -1. (t-h: ~ J (\\(~~~rl ( \\.(r Fj
et

---

8.8
Le troisième terme, CG) CA) (G)T a été négligé par GUYAN
et plusieurs auteurs,
dans l'expression (30). C'est le terme correctif apporté par LEUNG pour améliorer la précision
des résultats.

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dernière page de la thèse
AUTORISATION DE SOUTENANCE
Vu
les dispositions de l'arrêté du 5 juillet 1984,
Vu
la demande du Directeur de Thèse
M. F. SIDOROFF - Professeur - E.C.L.
et les rapports de
R.J. GIBERT - Directeur de Labo. - CEA SACLAY
L. JEZEQUEL - Maître de Conférences - E.C.L.
Monsieur TCHERE Séka
est autorisé à soutenir une thèse pour l'obtention du titre de DOCTEUR
Spécialité MECANIQUE
Fait à Ecully, le 30 mars 1988

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