UNIVERSITE CATHOLIOUE DE LOUVAIN
FACULTE DES SCIENCES
SUR ET SOUS SOLUTIONS
DANS LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DISCONTINUES
AVEC CONDITIONS AUX LIMITES NON LINEAIRES
Dissertation présentée par
ADJE Assohoun
en vue de l'obtention du grade de
Promoteur : Prof. Jean MAWHIN
Docteur en Sciences
MARS 1987

---

REMERCIEMENTS
Le Professeur Jean MAWHIN, promoteur et directeur de
cette thèse, m'a aidé de sa profonde expérience scientifique.
Ses conseils pertinents et les nombreuses discussions qu'il
m'a si aimablement accordées ont é;té un constant encouragement
et nul doute qu'ils ont beaucoup contribué à
la réalisation
de ce travail.
Qu'il veuille trouver ici l'expression de ma
profonde gratitude.
Je remercie les Professeurs Christian FABRY et Patrick
HABETS et le Docteur Michel WILLEM,
pour leur disponibilité
et pour les nombreuses discussions que nous avons eues.
Je suis vivement reconnaissant au Professeur Jean-Pierre
GOSSEZ pour avoir accepté d'apprécier ce travail.
Monsieur J.
SHABANI m'a aidé dans
la traduction des textes
russes.
L'A.G.C.D.
que je vois à travers Madame DETOURNAY
m'a supporté financièrement pendant mon séjour en Belgique.
Aussi, qu'ils soient sincèrement remerciés.
Mes parents et mon épouse AKABLA m'ont manifesté beaucoup
d'amour et de patience lors de la préparation de cette thèse.
Aussi, à eux et à
tous ceux qui, de près ou de loin, y ont si
gentiment contribué,
j'adresse mes remerciements sincères.

---

TABLE DES MATIÈRES
page
INTRODUCTION
i
NOTATIONS
vi
Première Partie
EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES
INTRODUCTION A LA PREMIERE PARTIE
l
Chapitre l
CAS OU f
EST UNE FONCTION DE CARATHEODORY
5
Section A
~_~~_2ù ~_~_AC':'.11) ~!:_f-~_~':'.1.!1
6
Al
Hypothèses principales
6
A2
Lerrmes préliminaires
8
A3
Définition des fonctions L., i=1,2
21
l
A4
Quelques résultats d'existence
22
Section B
Le cas où D+a et D+8 sont à variation
----------------------------bOrnêe
52
- - - - -
BI
Sous solutions et sur solutions
53
B2
Lerrmes préliminaires
55
B3
Résultats d'existence
63
B4
Le cas de l'équation x" (t) = f (t,x (t.) )
79
Section C
Existence des fonctions v et w
82
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

---

Chapitre II
CAS OU f EST DISCONTINUE
97
section A
Hypothèses et résultats préliminaires
99
section B
Résultats d'existence
109
section C
Le cas de l'équation x" (t) = f(t,x(t))
119
Deuxième Partie
EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
Chapitre III
UN PROBLEME SEMI-LINEAIRE DE TYPE ELLIP-
TIQUE
125
section A
Préliminaires
126
section B
Le résultat principal
130
section C
Le cas où f est continue
144
Annexe l
149
Annexe II
155
Annexe III
163
Références
169

---

INTRODUCTION
o
2
Soient a E:IR,
bER,
l
= [a,b],
l
= (a,b), f
: l x:IR
-+:IR,
4
S c:IR
et soient L.
: S ~:IR
i=l ,2 des applications continues.
1.
Considérons le problème aux limites du second ordre
u"(t)
= f(t,u(t),u'(t)),
t
~ L
(1)
L.(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
= 0,
i=1,2.
(2)
1.
Pour f
continue et vérifiant une condition de Nagumo et
Li et L
de la forme
2
(3)
i l est bien connu que l'existence d'une sous solution a
et d'une sur solution B de
(1)
telles que
a(t)
~ B(t),
vt E l
(4 )
garantit l'existence d'au moins une solution u de
(1)-(2)
(cf.
[27,32,45,46]).
Cette approche qui dépend étroitement
de la théorie des inégalités différentielles est connue sous
l'appelation de méthode des sous et des su~ solutions.

---

- i i -
Dans ce travail, nous apportons notre contribution à
cette approche initiée pour la première fois par M. NAGUMO
en 1937.
Telles qu'elles ont été introduites par M. NAGUMO
(cf.
[39]), pour f continue,
les sous solutions
a et les
sur solutions S de
(1)
sont des fonctions deux fois continû-
ment dérivables sur l
et qui vérifient en chaque t E l les
inégalités
a"(t)
~ f(t,a(t),a'(t)),
(5 )
s"(t)
~ f(t,S(t),S'(t)).
Ces définitions ont été utilisées dans beaucoup de travaux
pour résoudre des problèmes de type
(1)-(2).
Citons entre
autres L.H. ERBE [13,14], R.E. GAINES et J. MAWHIN [18],
J. MAWHIN [35], GENE. A.
KLAASEN [20]
et K.
SCHMITT [27].
Les conditions imposées sur a et S ont été progressive-
ment affaiblies.
Ainsi, dans
[45,46] elles ont été affaiblies
aux extrémités a et b de l'intervalle l
(en fait a et S sont
supposées être des éléments de C(I)
n c 2 ( i ) ) .
Dans
[19],
L. FONTAIN et J.
LLYOD ont montré que a et S peuvent être
prises comme des éléments de C(I)
n c 1 ( i ) qui vérifient
o
en chaque point t E l les inégalités
Da'(t)
~ f(t,a(t),a'(t))
!2.s' (t)
~ f(t,S(t) ,S' (t)),
o
où, pour t
E l,
o
z(t +h)
-
z(t -h)
o
0
lim sup
2h
h -+0

---

-iii-
z(t +h)
-
z(t -h)
o
0
Dz(t)
==
lim inf
-
0
2h
h .... 0
Cependant l'usage de ces définitions pour la résolution de
(1)--(2)
s'est limité aux conditions aux limites de PICARD,
c'est-à-dire avec LI et L
de la forme
(3).
De même dans
2
[16], Ch.
FABRY et P. HABETS ont défini a et 8 comme étant
des fonctions continues admettant des dérivées à droite
Dda, DdS continues et des dérivées à gauche.
Dda et DdS
étant telles que les fonctions
t
t .... Dda(t)
-
f
f(s,a(s) ,Dda(s) )ds,
o
t
t .... -DdS(t) + f
f(s,s(s),DdS(s))ds
o
sont croissantes.
Avec les hypothèses faites sur a et 8
dans
[16]
i l n'est pas difficile de voir que Dda et Dd8
sont à variation bornée et qu'on a les relations
(Dda) , (t) ~f(t,a(t) ,a' (t))
(D
~ f(t,S(t),8'(t))
d8)I(t)
pour presque chaque t E l .
Des résultats d'existence
relatifs à
(1)-(2)
ont été obtenus.
Dans la situation où la fonction f
vérifie les conditions
de Carathéodory,
la définition introduite par I.T.
KIGURADZE
1(I),
1(I)
[26]
est généralement utilisée: a E AC
8 E AC
et
les inégalités différentielles
(5)
sont satisfaites en pres-
que chaque point t E l .
On trouve l'utilisation de ces
définitions dans
[23] où des conditions aux limites très gé-
nérales ont été considérées.
Mais les démonstrations de [23]
sont fortement tributaires de l'existence de solutions de

---

(1)-(2)
avec LI et L
de la forme
(3)
et des solutions de
(1)
2
qui vérifient l'une des paires de conditions aux limites
LI (u (a) ,u (b ) ,u' (a) )
0, u(b)
= B, B E m
L (u(a) ,u(b) ,u' (b ) )
0,
u(a)
= A, A Em,
2
lesquelles sont mises en évidence par la méthode des tirs.
Nous donnons, dans la section A du chapitre l,
une démonstra-
tion plus directe de ces résultats, basée sur la théorie du
degré topologique.
Outre les définitions précédentes, on trouve une défi-
nition inhabituelle dans les travaux de K. AKO
[2-4] où les
inégalités
(5)
sont satisfaites, non pas par a et S mais par
des fonctions auxiliaires; de plus cela a été fait avec f
continue.
La définition donnée par V.D. PONOMAREV [43] et sa
forme équivalente utilisée par LEPIN
[31] généralisent les
précédentes
(cf.
chapitre l, section B de ce travail).
Cependant,
l'adoption de ces définitions pour la résolution
de
(1)-(2)
s'est limitée aux conditions aux limites de Picard.
Enfin dans la situation où f
admet des discontinuités
en chacune de ses variables,
les résultats connus de nous
sont limités aux conditions aux limites linéaires
(cf.
[27]).
La méthode des sous et des sur solutions étant devenue,
par sa simplicité, un outil standard pour la recherche des
solutions des problèmes du type
(1)-(2), i l apparaît naturel
de rechercher les résultats principaux de
[17,23,35,43,45,
46,50] dans un cadre plus général:
a,
S
et f
moins réguliers
et les fonctions L., i=I,2 non nécessairement linéaires.
l
Notre ambition ici est donc de démontrer que l'existence
d'une sous solution a et d'une sur solution S, peu régulières,
garantit l'existence de solutions de
(1)-(2), même si f
est

---

-v-
discontinue et les fonctions L.
i=1,2 sont non linéaires.
l
Et pour y arriver,
le degré topologique, des simples mais
judicieuses modifications de fonctions et des formes très
sophistiquées du principe du maximum sont nos principaux
outils.
Finalement, par leur souplesse,
ces outils permettent
d'étendre aisément notre ambition aux problèmes aux limites
semi-linéaires, de type elliptique, de la forme
Lu (x)
f(x,u(x) ,V'u(x)
du(x)
g(x,u(x) 'dv(x))
= 0
(cf.
à la deuxième partie de ce travail).

---

NOTATIONS
Sauf une mention
explicite du contraire,
les
notations
suivantes seront utilisées.
Si t
E:IR,
t
E:IR, on note
1
2
[t
= {t E:IR
t
~ t
~ t
,
1,t2]
1
2}
[t
= {t E:IR
t
~ t
<
t
,
1,t2)
1
2}
(t
] = {t E:IR
t
<
t
~ t
} ,
1,t 2
1
2
(t
= {t E:IR
t
<
t
}.
1,t2)
1
<
t 2
0
a E :IR, b E :IR avec a
<
b,
r = [a,b] et r = (a,b) .
Soient J c l e t u
: J
~:IR une fonction.
Alors
u' est la dérivée de Ui
u" est la dérivée seconde de u.
Si k est un entier positif, alors
Ck(J)
est l'espace des fonctions numériques de classe c k
o
*
sur J.
Lorsque k = 0, C (J)
est l'espace des fonctions
numériques continues sur J.
Les espaces C(J)
et C1(J)
sont munis respectivement des normes
:
1 u 1 C (J)
= max 1 u (t) l , l u 1 Cl (J) = max { 1 u 1 C (J) ,lu' 1 C (J) }.
J
k
AC
(J)
est l'espace des fonctions numériques définies sur J
* CO(J) se note aussi C(J).

---

-vii-
et qui admettent une dérivée d'ordre k absolument conti-
nue.
Lorsque k = 0, on notera AC(J)
au lieu de ACo(J).
BV(J)
est l'ensemble des fonctions numériques définies et à
variation bornée sur J
(cf. Annexe II).
BV+(J)
est l'ensemble des éléments de BV(J)
qui ont une partie
singulière croissante.
BV (J)
est l'ensemble des éléments de BV(J)
qui ont une partie
singulière décroissante.
Car(E)
est l'ensemble des fonctions numériques qui vérifient
les conditions de Carathéodory sur l'ensemble E
(cf.
Chapitre 1, Définition 1-0).
LP(J)
= {u : J ~~ mesurable* et f
lu(t) IPdt < +oo},
J
LOO(J)
= {u : J ~~ mesurable* et il existe c > 0 tel que
[u Lt ) 1 ~ c
p.p.
t
E J}.
p.p.
t
E J
pour presque tout t dans J.
mes(S)
mesure
(de Lebesgue)
de l'ensemble S.
wn, P (J)
e s pa ces de Sobolev usuels.
Les espaces LP(J)
et ~,p(J) seront munis de leurs normes
usuelles.
* Toutes les mesures sont prises au sens de Lebesgue; il en
sera ainsi dans tout ce texte.

---

-viii-
Si n
et m ,
j=1,2, . . .
sont des entiers naturels,
l,n 2,n 3
j
alors
(n
, m
•. )
.-
(n
, ml)
et
(n
, m
l-n 2-n 3
l,m2,·
l-n 2-n 3
l-n 2-n3
2)
et
+
D U, D+U,
D U, D u sont les dérivées de DINI de la
fonction u
: J
~~.

---

PREMIÈRE PARTIE
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
ORDINAIRES

---

INTRODUCTION À LA PREMIÈRE PARTIE
Soient a,
13
l
~m deux fonctions continues telles
que
a(t)
~ l3(t)
vt E I.
(1-0-1)
Soient
E = {(t,x,y)
t E l ,
a(t)
~ x ~ l3(t), y ER},
f
: E ~m et soient L.,
i=1,2 des fonctions continues sur
~
une partie de m4 et qui satisfont à certaines propriétés
de monotonie.
L'objet de cette première partie est l'ob-
tention de conditions suffisantes pour l'existence de
solutions u
(dans un sens à préciser)
des équations dif-
férentielles ordinaires du type
u"(t)
= f(t,u(t),u' ( t » ,
t E l
(1-0-2)
qui vérifient les inégalités
a(t)
-c u(t) ~ S(t)
Vt E l
(1-0-3)
et les conditions aux limites non linéaires
Li(u(a),u(b),u'(a),u'(b»
= 0,
i=1,2,
(1-0-4)

---

sous l'hypothèse qu'il existe une sous solution a et une
sur solution 8 de
(1-0-2)
(qui seront définies le moment
venu).
Nous scinderons le travail en deux parties qui
correspondent au cas où f est une fonction de Carathéodory
et lorsque f(t,x,y)
admet des discontinuités par rapport
à chacune de ses variables.
Nous dirons simplement que f
est discontinue pour caractériser cette deuxième situation.
Lorsque f est une fonction de Carathéodory, pour ob-
tenir des bornes a priori pour les dérivées des solutions
de
(1-0-2), nous introduisons deux fonctions auxiliaires
v et w (voir Section A.1) dont l'existence est garantie
par les conditions générales de BERNSTEIN, c'est-à-dire
des conditions du type
m
\\f(t,x,y) 1 .;;;
L
g. (t)h. (y).
(1-0-5)
i=1
l
1
Sous certaines hypothèses sur gi et hi'
i=1, .•• ,m, nous
montrons
(voir Section C) que
(1-0-5)
permet de construire
les fonctions v et w.
En outre,
les conditions classiques
de Bernstein-Nagumo :
3~
: m ~ (0,+00) continue telle que :
If(t,x,y)I.;;;~(lyl), (t,x,y) EE
sds
~ > max 8 (t) - min a (t)
(1-0-6)
l
l
À(b-a)
= max 8(t)
- min a(t)
l
l
et les conditions semblables utilisées entre autres par
AKO [2], BERNFELD-LAKSHMIKANTHAM [8], L. ERBE [13,14],
L.
JACKSON et SCHRADER [32], J. MAWHIN et K. SCHMITT [37]
et SCHRADER [46]
sont des cas particuliers de
(1-0-5).
Dès lors,
les résultats des auteurs ci-dessus, obtenus
d'ailleurs sous l'hypothèse que f est continue découlent
des nôtres.

---

-3-
Dans le cas où f est discontinue,
nous supposerons
satisfaite
(1-0-6)
pour assurer la bornation a priori
des dérivées des solutions de
(1-0-2).
Le schéma général de nos démonstrations est le suivant.
Lorsque f vérifie les conditions de Carathéodory,
dans une première étape, nous introduisons un problème
auxiliaire
(que nous appelons problème modifié),
soit
u"(t)
= f(t,u(t),u 1(t))
p s p ,
t E l
(1-{)-7)
L.(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
= 0,
i==1,2,
(1-{)-8)
l
où f et L sont obtenues par des modifications judicieuses
de f et des L.,
i=1,2, de telle sorte que toute solution
l
éventuelle u de
(1-0-7,8)
qui vérifie
(1-0-3)
et les
inégalités
v(t,t)
~ u' (t)
~ w(t,t)
( 1-{)-9)
soit solution du problème aux limites
(1-0-2,4).
Dans
une deuxième étape, nous introduisons une suite de pro-
blèmes
(approchés)
u" (t)
=
f
(t,u(t),u' (t))
p.p.
t E l
(l-{)-10 )
m
m
L.(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
= 0,
i==1,2
l
pour lesquels les solutions éventuelles u
vérifient
m
a
(t)
~ u
(t)
~ S (t)
vt E l
u-o-i i )
m
m
m
m
-1
-1
où am(t)
= a(t)
- m
et Sm(t)
== S(t)
+ m
Dans une
autre phase,
en utilisant un théorème de continuation de

---

-4-
type Leray-Schauder
(plus précisément le Théorème 111-1
de l'Annexe III)
nous obtenons une suite
(u ) m=1,2, . . .
m
de fonctions qui sont telles que u
est une solution du
m
problème
(1-0-10 ,8).
Finalement, par passage à la limite,
m
nous obtenons une solution u de
(1-0-2,4).
Lorsque f est discontinue,
le problème à résoudre
est en f a i t :
Montrer qu'il existe au moins une fonction
u qui est telle que
u" (t)
E
(Fu) (t)
p.p. t E l
(1-0-12)
et qui vérifie
(1-0-4), où F est une application
(ou un
opérateur)
multivoque qui est définie à partir de f.
De nouveau,
nous procédons par étapes.
Dans une première
étape, nous construisons une "modification" F de F et
nous introduisons le problème
(modifié)
u" (t)
E
(Fu) (t)
p.p. t E l .
(1-0-13)
Dans une deuxième étape,
nous montrons que toute solution
éventuelle de
(1-0-8,13)
est, en fait,
une solution de
(1-0-4,12).
Finalement, nous appliquons un résultat
d'existence dû à E. TARAFDAR et S. KHO THEO [49] pour mon-
trer que le problème
(1-0-8,13)
admet au moins une solution.

---

CHAPITRE 1
,
CAS OU f VÉRIFIE LES CONDITIONS DE CARATHÉODORY
Ce chapitre est divisé en trois sections qui corres-
pondent
1(I),
-
au cas où a et 8 sont des éléments de AC
+
+
- au cas où D a et D 8 sont à variation bornée,
-
à
l'existence des fonctions v et w.
Définition 1.0.
Soient w cm 2 et g : I
x
w ~m.
La fonc-
1)
tion g vérifie les conditions de Carathéodory
(pour L
(on dit que g est une fonction de Carathéodory)
et on
écrit g E Car(I x w)
si
:
(i)
p.p. t E l , g(t,.)
est continue sur w,
(ii)
Vx E w, g(.,x)
est mesurable sur l,
1(I)
(iii)
Vk > 0,
3~k E L
telle que
Ig(t,x)
~ ~k(t)
1
p.p. t E l et Vx E w avec
Ixl
~ k.

---

-6-
SECTION A.
LE CAS OU a E AC' (1) ET S E AC' (1).
Al. HYPOTHESES PRINCIPALES.
Soient a E C(I),
S E C(I)
telles que
(1-0-1)
et soit
E comme dans l'introduction du chapitre 1.
Supposons que
f E Car (E)
(et il en sera ainsi dans tout ce chapitre).
Soient o.
l
~ 1,
i=1,2,3,4 des fonctions telles
l
que : 'v't E 1,
Posons
D
= { ( t , t )
1
0
et introduisons les hypothèses suivantes.
1(I)
(Hl)
a,
S €
AC
et pour presque tout t E l ,
a Il (t)
;;;;. f ( t , a (t) , a' (t) ) ,
s"(t)
.;;;; f(t,S(t),S'(t».
Les fonctions ai' i=1,2,3,4 vérifient: vt
E l
o
Il existe v : Dl ~m, w : D
~m telles que pour
2
tout t E l ,
la fonction t
~ v(t ,t)
(resp.
o
o
t
~ w(t ,t»
est continue sur [ol(t
o
o)'
02(t o)]
(resp.
[o3(to)' 04(to)]).

---

-7-
sup j v t t,
,t) 1
<
+00, sup 1 w (t , t) 1 < +00.
D
0
D
0
l
2
Pour tout t E l ,
o
°2(t o)
f
V(to,t)dt ~ a(02(t »
-
» '
o
S(ol (t O
°l(to )
°4(to )
f
w(to,t)dt ~ S (0
(t »
- a (0 (t » ·
4
o
3
o
°3(to )
l
S'il existe t
E l ,
[ t l ' t 2] c l , x E AC
([ t l ' t 2] )
o
tels que
x" (t)
=
f (t,x (t) ,x' (t.)
a(t)
~ x(t)
~ S(t)
alors, on a ou bien
(H
si
(H
) ou
(H
) est
6- 1),
6- 1- i
6- 1- i i
vérifiée, ou bien
(H
) ou
(H
) est
6- 2 ) ,
si
(H6- 2- i
6- 2 - i i
satisfaite.
x'(t)
~ v(t
,t)
o
(H
l
.. )
6 -
-11
x' (t) ~ w(t ,t)
o
(H
2
.. )
6 -
-11

---

-8-
Les hypothèses
(H
ont été introduites par
2)-(H 6)
V.V.
GUDKOV,
YA. LEPIN et YU KLOKOV dans
[23].
Elles per-
mettent d'obtenir les inégalités
(1-0-9)
connaissant
(1-0- 3)
(cf.
Lemme 1. 2) .
Dans toute la section A,
nous retiendrons les défini-
tions suivantes pour les sous solutions et les sur solutions.
Définition 1.1.
Toute fonction CI. E C (1)
(resp.
8 E C (1) )
qui vérifie
(Hl)
s'appelle une sous solution
(resp.
sur
solution)
de l'équation
u"(t)
= f(t,u(t),u'(t))
p.p.
t E l .
(1-1-1)
Les lemmes suivants nous seront indispensables pour
établir nos résultats principaux.
A2. LEMMES PRELIMINAIRES.
Lemme 1.1.
Soient t
,
t
E lli, v, W E AC([t
et
l
2
l , t 2])
1
h E Car([t
xlli)
tels que vx > 0, 3~r E L ([t
l , t 2]
l , t 2])
avec
(i)
Ih(t,x)
-
h(t,y) 1 ~ ~r(t) Ix-yi
Supposons de plus
(ii)
v' ( t)
<
h(t,v(t))
p.p.
t
E [t l,t2],
(iii)
w' (t)
;;;. h(t,w(t))
p.p.
t
E [t l,t2],
(i v)
v (t ) = w (t )
t
E I.
0
0
0

---

-9-
alors,
(v)
v(t)
<
w(t)
et
(vi)
v(t)
>
w(t)
Démonstration.
Nous allons montrer
(v);
la démonstration de
(vi)
se fait de la même manière.
Notons d'abord que v et w étant continues sur
[ \\ , t
i l existe r
>
0 tel que
2],
max {max
1v (t) 1, max
1w (t) I} < r ,
tE[t
tE[t
l , t 2]
l , t 2]
1
Dès lors, par l'hypothèse
(i),
i l existe ~r E L ([t l,t 2])
telle que
~
1 h(t,v(t»
- h(t,w(t»
1
..;;;
(t)
Iv(t) - w(t) 1 p.p.
t
E I-
r
Supposons la conclusion du lemme fausse;
ou plus précisé-
ment, admettons qu'il existe s
E (t , t
tel que
o
0
2]
(v-w) (so)
>
O.
Alors,
à
cause de
(iv)
et,
parce que v-w
est continue,
i l existe sI E [t ,s ) tel que
o
0
et
(v-w) (s)
>
0
s2
~
(s)ds < 1
f
r
sI
et i l existe s3 E (sl,s2] avec

---

-10-
o <
= max
(~-~) (s)).
SE[sl,s2]
Nous pouvons dès lors écrire
o < max
((~-~) (s)) = (~-~) (s3) =
[sl,s2]
s3
s3
= f
(~-~), (s)ds ~f
(h(s,~(s)) - h(s,~(s)) )ds
sI
sI
s3
s3
-c f
1 h(s,~(s))
- h (s,~(s))) Ids ~ f
<P (s) (~-~) (s)ds
sI
sI r
s2
~ max
((~-~) (s ) ) f
<%>
(s)ds < max
((~-~) (s)),
[sl,s2]
sI r
[sl,s2]
une contradiction qui prouve donc
(v).
D'Où le lemme.
Soit y : l
x m ~m la fonction continue définie par
y (t, u)
= max [ a (t) , min (u , 8 (t.) ) ] •
(1-1-2)
Alors y(t,u)
= 8(t), u ou a(t) selon que u > 8(t),
a(t)
~ u ~ 8(t) ou u < a(t). A chaque couple (z,y) E m2
avec y ~ z, associons la fonction 0 : m ~m définie par
o (y, u, z)
= max [y, min (u , z) ] .
(1-1-3)
Alors
0 est continue et bornée de même que y.
De plus
y(t,u)
o(a(t) ,u,8(t)).
Lorsque z > 0 et y = -z, nous écrirons simplement 0z(u)
au lieu de ~-z,u,z).

---

-11-
Posons
v = 1 + max {max 1 a ' (t) l .rnax ] B' (t) I,suplv(t ,t) I,suplw(t ,t) I}.
r
r
D
0
D
0
1
2
(1-1-3*)
1
Lemme 1.2.
Soit x
E AC ( 1 )
tel que
(L)
x"(t)
= f(t,x(t),ov(x'(t)))
p.p.
t E r .
Si x vérifie
(ii)
a(t)
,,;;; x(t)
,,;;; B(t)
vt E l
et
si
les hypothèses
(H
sont
satisfaites alors~
1)-(H6)
(i ii)
v(t,t)
,,;;; x' (t)
,,;;; w(t,t)
vt E I.
Démonstration.
Nous allons démontrer
(par l'absurde)
que
v(t,t)
,,;;; x' (t.)
vt E l,
la relation x' (t)
,,;;; w(t,t)
vt E l
se démontre de la même
manière.
Supposons qu'il existe t E l tel que
o
x ' ( t )
<
v(t , t ).
o
0
0
Par
(H
la fonction t
~ v(to,t)
- x' (t)
qui prend une
3),
valeur strictement positive en t
= t
, est définie et est
o
continue sur [o1(t ) ,o2(t )]; de plus t
E [o1(t ) ,o2(t )]
o
0
0
0
0
par
(H
Considérons trois éventualités et montrons que
2).
dans chacune de ces éventualités,
nous obtenons une con-
tradiction.

---

-12-
Première éventualité.
x'(t)
<
v(to,t).
Alors, grâce à
(H
et à l'hypothèse
(ii)
du Lemme, nous
S)
obtenons la contradiction
°2(to )
= J
x' (t)dt
° l ( t o )
Donc la fonction v(t ,.)
- x' (.)
s'annule quelque part
o
dan s
[0 1 (t
), o 2 (t )] <, {t }.
o
0
0
Deuxième éventualité.
tel que
et
(i v)
Il résulte alors des définitions de v et de 8
l'existence
v
x" (t)
= f (t,x (t) ,x' (t) )
Finalement, puisque x vérifie
(ii)
et que
(H
est
6- 1- i)
satisfaite,
nous avons
contradiction avec
(iv).

---

-13-
Troisième éventualité.
S'il existe t
E (t ,o2(t )l
---------------------
3
0 0 -
tel que
et
(v)
x' (t)
un raisonnement analogue à celui qui a été fait dans la
deuxième éventualité donne
v(t ,t)
~ x' (t)
o
contradiction avec
(v).
Ces contradictions démontrent le lemme.
Définition 1.2.
Nous dirons qu'une fonction y E Cl(l)
satisfait à
la condition
(C ) si y n'admet pas de maximum
o
strictement positif dans
(a , b), y' (a)
°
<
si ° < max y ( t)
r
= y (a) et y'
°
°
(b )
>
si
<
max y(t)
= y(b).
r
Remarque
1.\\.
Si Y E Cl(l)
vérifie
(C ) et si max y(t)
>
0,
o
l
alors aux extrémités de l
seules les situations ci-dessous
peuvent se produire.
SI
y(a)
>
0, y(b)
~ 0, y' (a)
<
0, y' (b ) ~ O.
S2
y(a)
>
0, y(b) .;;; 0, y' (a)
<
0, y' (b)
>
O.
S3
y(a)
>
y(b)
>
0, y' (a)
<
0, y' (b) ~ O.
S4
y(a)
>
0, y(b)
>
0, y' (a)
<
0, y' (b)
>
O.
S5
y(a)
>
0, y(b)
>
y(a),
y' (a) ~ 0, y' (b )
>
O.

---

-14-
S6
y(a)'-;;;; 0, y(b)
>
0, y' (a)
<
0,
y' (b)
>
O.
S7
y(a)'-;;;; 0,
y(b)
>
0, y'(a)
;;;. 0,
y'(b)
>
O.
Nous ferons souvent appel à cette remarque dans l'éta-
blissement des estimations
(1-0-3)
pour les différents
problèmes qui seront étudiés.
1(I),
Lemme 1.3.
Soient u,
a,
SE AC
H E Car(I x m2 ) et
1(I)
G E L
des
fonctions
telles que
(i)
a(t)
,-;;;; S(t)
vt E l,
(ii)
a"(t);;;' a(t)
+ H(t,a(t),a'(t))
p.p.
t E l ,
(iii)
S"(t)
,-;;;; S(t)
+ H(t,S(t),S'(t))
p.p.
t E l ,
(iv)
u"(t)
=u(t)
+H(t,u(t),u'(t))
p.p.
t E l ,
(v)
H(t,x,y)
= H(t,y(t,x) ,y)
V(t,x,y)
E I x m 2 ,
VS E {a,S}
A lors,
les
fonctions
a-u et u-s vérifient
(C ).
o
Démonstration.
Nous donnons la démonstration pour a-u;
celle de u-S
est semblable.
Soit t
E l
tel que
o
(a-u) (t )
= max ( a -u) (s) > O.
o
sEI
La démonstration se fait en trois étapes.

---

-15-
~~~~!~~~_~~~E~'
Dans cette étape,
nous montrons que a-U
ne peut être positive et localement constante sur 1.
Supposons qu'il existe t
E
[a,b)
et t
E
(t1,b]
1
2
avec t
<
t
tels que
1
2
Alors
(a-u)' (t)
= 0
Vt E [t
]
et en vertu de
(ii),
(iv)
1,t 2
et de la définition de y
nous obtenons,
i
(a' -u') , (t) ~ a(t) - u(t) + H(t,a(t) ,a' (t)) - H(t,u(t) .u ' (t))
1
1
i
= (a -u) (t) + H(t, a (t) ,a' (t)) - H(t, a (t, u (t) ) ,u' (t.) )
!
= (a-u) (t) + H(t,a (t) ,a' (t)) - H(t,a (t) ,a' (t))
1
1
= (a-u) (t) = c > 0
li
l
1
qui,
par intégration sur
[t
J , fournit la contradiction
1,t 2
1
t
1
2
f
(a ' -u ' ) , (t) dt
o.
t 1
Q~~~!~~~_~~~E~'
Nous montrons que t
~
o
(a,b).
Supposons que t
E (a,b).
Alors
(a-u)' (t
)
O.
Soit
o
0
(a-u) (s )
>
0
Vs E
l t; ,t]}.
o
D'après la première étape,
a-U ne peut être constante
sur
[t
J .
Il existe par conséquent t
E
(t
]
tel que
o,t 2
1
o,t 2
(a-u)' (t )
<
O.
1
Nous avons alors

---

-16-
a"(t)
~a(t) +H(t,a(t),a'(t))
u"(t)
<
a(t)
+H(t,a(t),u'(t))
(a -u) , (t
)
= O.
o
L'application du Lemme 1.1 avec v = u', w = a'
et
h(t,y)
= a(t) + H(t,a(t) ,y) donne
u' (t)
~ a' (t)
qui,
pour t
= t
,
fournit une absurdité.
1
Nous démontrons que si t
= a (resp.
'!:E2:!:ê:!:~~~_~!:~E~·
o
t
= b), alors a' (a) < u' (a)
(r e sp .
a' (b )
>
u' (b)).
Nous
o
transcrivons la démonstration pour t
= a, celle pour
o
t
= b est similaire.
o
Supposons t
= a et a' (a) = u' (a).
En procédant
o
comme dans la deuxième étape, on se convainc de l'existence
de t
E (a,b],
t
E (a,t
tels que
2
1
2]
(a-u) , (t )
<
0
1
et
(a-u) (t)
>
0
'v't E [ a, t 2 ] •
On termine alors comme dans la deuxième étape,
et du coup
prend fin la démonstration du Lemme 1.3.
Etablissons enfin un Lemme d'approximation.
Lemme 1.4.
[ 23 ] .
Soi e n t u E Cl (I),
z E Cl (I),
<P
E LI (I)
2
et H E Car(I
x ffi
)
telles
que
(i)
u(t)
<
z(t)
'v't E l,

---

-17-
2•
(ii)
IH(t,x,y)
~
1
ep(t)
p.p.
t
E I,V(x,y)
EJR
2
1
Alors i l existe H
E Car(I
xJR),
G E L
(I)
telles que
n
n
Vn E:IN <, {O},
(ii i)
IH
(t,x,x') 1 ~ e Ct )
p.p.
t
E I,V(x,X')E
n
(iv)
Hn(t,S(t),S'(t))
= H(t,S(t),S'(t)),SE{u,z}p.p. tEl,
(v)
lim
H
(t,X,X')
=
H(t,x,x' )
p . p .
t E l
e t
Vx, x' E JR,
n
n~oo
S E {u , z } ,
p. p.
t E l et Vy 1 ' Y2 E JR.
Démonstration.
Pour tout entier naturel n ~ l, définissons une
famille d'applications continues Yk
:
1
x JR -+ JR,
k
E ll.
comme s u i t :
-1
y
(t,x) = (z(t)-u(t))
[(z-u)'(t).x + z(t)u'(t)-z'(t)u(t)]
o
-1
Yk(t,x)
= n
+ Yk-l (t,x) .
Alor s,
Vk E 7l et V (t, x)
E I x JR,
n(Yk(t,x) - y
= 1.
(1-1-4)
k_ 1(t,x))
Soit
(t,x,x')
E I x JR2.
Il existe k E Z tel que
Définissons

---

-18-
Alors, d'une part en tenant compte de
(1-1-4),
IHn(t,x,X') -H(t,x,x') 1 :r;;;
iH(t,x,x') -H(t,x'Yk_1) 1 +
IH(t,x,y
-
H(t,x,x')
k)
1
(1-1-5)
et d'autre part,
en vertu de l'hypothèse
(ii)
et de
(1-1-4) ,
:r;;; rie (t.) (Yk -Y
=
k- 1)
<I> (t) .
(1-1-6)
Pour tout t E l ,
posons
a(t,z,n) =sup nIH(t,z(t),y
-H(t,Z(t)'Yk(t,z(t»)I,
k_ 1(t,z(t»)
kEZZ
b(t,u,n) = sup nIH(t,u(t) 'Y
(t,u(t») - H(t,u(t) ,yk(t,u(t»)
k- 1
1
kEZZ
et définissons
G (t)
= max {a (t, z ,n) ,b (t, Z , n ) } .
n
Grâce à
(ii), a, b et G
sont bien définies.
Prouvons
n
que H
et G ,
n=1,2, . . . ,
sont les fonctions cherchées.
n
n
Il est clair que pour presque tout t
E l ,
H
( t , . , . )
n
est continue,
à cause de la continuité de H ( t, . , . ).
De même
2
pour tout
(x,x')
E m , la mesurabilité de H (.,x,x')
résulte
n
de celle de H(.,x,x').
Prenant en compte
(1-1-6),
nous
voyons que H
E Car(l x m2 ) et qu'en outre
n
IH (t,x,x')1
:r;;;(jJ(t)
p.p.
t E l et Vx,x'
E m.
n

---

-19-
La conclusion
(v)
du Lemme 1.4 résulte de la continuité
de H(t,x,.)
pour tout
(t,x)
E I x R fixé, de
(1-1-5)
et
de la définition des fonctions Yk.
Notons que Vt E l
et ve E {u,z}
Yo(t,e(t))
= e'(t)
de sorte que Vn E ~* et Vt E l,
H (t,e(t),e'(t))
=H(t,e(t),e'(t))
n
c'est-à-dire
(iv).
La fonction G
est mesurable et son intégrabilité
n
résulte des relations
1 G
(t) 1 ~ max { 1 â' (t, Z , n) l ,lb (t, u , n ) 1 }
n
~ max{ 2n<ll (t) ,2n<ll (t)} = 2n<ll (t)
Vt E I.
Prouvons enfin la conclusion (vi)
du Lemme 1-1-4.
2
Soient, pour cette finalité,
e E {u,z},
et
(t,xi ,x 2) E l xR •
Alors i l existe t, k E lI. tels que
Pour une raison
de simplicité, nous écrirons e et Yi
au lieu de e(t)
et y. (t,e(t))
respectivement, avec
l
i
E
{t,t-1,k-1,k}.
Distinguons deux cas selon que k = t
ou k =1 t.

---

-20-
Si k
l, nous obtenons
Si k ~ l,
supposons
(par exemple)
que k < l.
En appliquant
l'inégalité triangulaire et le résultat du cas k = l
ci-dessus, nous obtenons
Ceci achève la démonstration du Lemme 1.4.
Remarque
1.2.
Les lemmes 1.1, 1.2 et 1.4 ont été utilisés
dans [23] et les démonstrations données ici sont semblables
à celles de
[23].

---

-21-
A3. DEFINITION DES FONCTIONS L., i=1,2.
l
1
Prenons a,S E C (1)
avec
a(t)
:Ç
S(t)
vt E 1,
v
: Dl ~~, w : D
~~ telles que
(H
et
(H
et supposons
2
3)
4)
(H
satisfaite.
Alors Vt; E 1,
(t,t)
E D.,
i=1,2.
Définis-
2)
+
l
sons m
et m
:
l
~ ~ par
m-(t)
= mi.n l c ' (t) ,S' (t) ,v(t,t) ,w(t,t)}
+
m (t)
max { a ' (t) , S' (t) ,v (t, t) ,w (t , t) } .
Alors,
Vt E l
+
-
+
m (a)
:Ç
x
:Ç
m (a) ,m
(b)
:Ç
x
:Ç
m (b)}.
3
4
Dans toute cette section,
les fonctions limites L.,
i=1,2
l
seront définies et continues sur S.
Soient donc L.
E C(S),
i
E {1,2}.
Pour préciser les
l
propriétés de monotonie de Li(x1,x2,x3,x4)
sur S nous uti-
liserons les symboles a .. E {-1,0,1,+1},
j=1,2,3,4 et nous
lJ
-
écrirons a .. = l , - l , a ou +1 pour exprimer que,
sur S, L.
lJ
l
est croissante ou décroissante en x.,
indépendante ou
J
dépend arbitrairement de x ..
Lorsque a .. = 0,
nous omettrons
J
lJ
l'argument x. dans L ..
J
l
Le symbole
(oi1,oi2,oi3,oi4)
s'appelle le type de
monotonie de L.
et nous écrirons
l
i=1,2

---

-22-
pour signifier que L.
ou -L.
possède le type de monotonie
1
1
(Oil,Oi2,Oi3,Oi4) .
Finalement, pour une raison de simplicité de l'écriture,
nous écrirons souvent L. (u ) au lieu de L. (u(a) ,u(b) ,u' (a),
1
1
u'(b)).
Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer et de
démontrer quelques résultats.
A4. QUELQUES RESULTATS D'EXISTENCE.
Soient a,
B, E et S comme dans la section A3,
f
E Car(E)
et L.
E C(S),
i=1,2.
Nous allons établir huit
1
théorèmes d'existence de solutions relatifs aux problèmes
aux limites non linéaires du second ordre du type
u" (t)
= f(t,u(t) ,u' (t))
p.p.
t E l ,
(1-1-7)
L.(u)
= 0,
i=1,2.
(1-1-7 *)
1
Définition 1.3.
Par solution de
(1-1-7~*) nous entendons
1(I)
toute fonction u E AC
qui vérifie
(1-1-7,7*).
Le premier résultat porte sur l'existence de solution
u de
(1-1-7)
qui vérifie les conditions aux limites du type
L1 (u (a) , u (b ) ) = 0 = L2 (u ( a) , u (b ) , u' (a) , u' (b) ) . (1-1-8 )
THEOREME
1.1.
Supposons
les
hypothèses (H~-(H6) et
les conditions
suivantes
satisfaites.

---

-23-
Alors~
le problème
(1-1-7,8)
admet au moins
solution u qui vérifie
a (t.) .;;; u (t)
.;;;
s (t)
'v't E l,
(1-1-9)
et
v(t,t)
.;;; u' (t)
.;;; w(t,t)
'v't E 1.
(1-1-10)
Démonstration.
Elle va se faire en plusieurs étapes,
suivant le
programme annoncé dans l'introduction.
EE~~!~E~_~~~E~· ~Q~Q_~tlt~Qd~~~Qtl~_!e_Q~QQtgwe_wQd~6~~·
Posons E = l
x m2 .
Soit v > 0 le nombre réel défini
par
(1-1-3*)
et soient y et 0 les fonctions définies res-
pectivement par
(1-1-2)
et
(1-1-3).
Définissons sur E la
fonction numérique H par
H(t,x,y)
= f(t,y(t,x),o
(y))
-
y(t,x).
(1-1-11)
v
f
étant de Carathéodory sur E, H est de Carathéodory
1(1)
sur E; de plus y et 0
étant bornées,
i l existe ~ E L
v
telle que
iH(t,x,y)
~(t)
2
p.p.
t E l et 'v'(x,y)
E m.
(1-1-12)
1
.;;;
Soient l., i=1,2 les fonctions numériques continues
,
.
.
~
4
def~n~es sur m
~ar
: x =
(x 1,x2,x3,x4),

---

-24-
Alors 012Ll et 023L2 possèdent respectivement les types
4.
de monotonie
(-1,1,0,0)
et
(±1,±1,1,-1)
surm
Le problème
modifié annoncé est
u"(t)
=u(t)
+H(t,u(t),u'(t))
p.p. t
E: l
(P)
L.(u)
==0
i==1,2.
l
Il résulte des définitions de y,
0 et de H que toute solu-
tion u de
(P)
qui vérifie
(1-1-9,10)
est solution de
(1-1-7,8).
Il nous suffit donc de prouver l'existence
d'au moins une solution de
(P)
qui vérifie
(1-1-9,10).
Q~~~!~~~_~~~E~· ~Q~Q_ÇQ~Qt~~{~Q~~_~~~_qee~Q~i~qtiQ~_q~_i~L·
Soit m ~ 1 un entier naturel fixé.
Définissons
1
am,Sm E: AC
(1)
par
-1
am (t)
= a (t) - m-1
S (t)
== S (t) + m
•
(l-l-13)
m
Alors, vt E: l, a
(t)
<
S (t), a' (t.)
== a' (t)
et S' (t)
= S' (t).
m
m
m
m
Puisque H vérifie
(1-1-12),
les conditions d'applications
du Lemme 1.4 sont réunies, avec u = a
et z == S .
Dès lors,
m
m
il existe
(H)
c
Car(I)
et
(G
)
c
L1(I) qui vérifient
n
~1
n ~1
,....
les conclusion~ du Lemme 1.4.
Soi t H : E -+ m
mn
définie par
H
(t,x,y)
= H (t,y
(t,x) ,y)
(l-l-13*)
mn
n
m
où Ym
l
x:IR -+ m est définie par
ym(t,x)
max [ am (t) , min ( Sm (t.) , x) ] .

---

-25-
Nous obtenons les propriétés suivantes de Hmn
1H
( t , x , y) 1 ~ 4> (t)
P . P .
t E l et V (x, y) E m.2, (1-1-14)
mn
lirn H
(t,x,y) = H(t,x,y) V(t,x,y) EIx [a (t),S (t)] x R,
(1-1-15)
~
m
m
IH
(t,s (t) 'YI) - H
(t,s (t) 'Y2)
~
(1-1-16)
1
G (t) IYl-Y21
mn
m
mn
m
n
VS
E{a,S}
m
m m
H
(t,s (t),S'(t)) =H(t,s (t),S'(t))
(1-1-17)
mn
m
m
m
m
S
E {a ,S }, t E l .
m
m m
Soit enfin le problème approché
r u"(t) =u(t) +H
(t,u(t),u'(t))
p.p.
t E l
1
mn
(Pmn)
l
L. (u Ca ) ,u(b) ,ut (a) ,ut (b))
0,
i=I,2.
l
1(1),
Il résulte de
(1-1-15)
que toute fonction u
E AC
m
limite d'une suite
(u
)
n=I,2, . . . ,
où
u
est une
solution
mn
mn
de
(P
)
telle
que
mn
a
(t)
~ u
(t)
~ S (t)
vt E l,
(1-1-18)
m
mn
m
est solution de
(P)
et vérifie
a
(t.)
~ u
(t.)
~ S (t)
vt E 1.
(1-1-18')
m
m
m
Dès lors toute limite éventuelle u d'une quelconque suite
extraite de
(u ) m ~ 1 sera non seulement solution de
(P)
m
mais vérifiera aussi les estimations
(1-1-9).

---

-26-
~!:~~~~~~~_~!:~E~·
de.
(P
).
mn
Soit u
une solution éventuelle de
(P
).
Nous osons
mn
mn
affirmer que u
vérifie
(1-1-18).
En effet, grâce aux
mn
égalités
H
(t,a
(t),a'(t))
= H (t,a (t),a'(t)) = H(t,a (t),a'(t))
mn
m
m
n
m
m
m
m
et à l'hypothèse (Hl)' nous obtenons, p.p. t E l ,
a
(t)
+H
(t,a
(t),a'(t))
m
mn
m
m
= a (t.) + H(t,a (t),a'(t))
m
m
m
= a (t) + f(t,y(t,a (t)),o (a'(t))) -y(t,a (t))
m
m
v
m
m
= a (t) - a (t) + f(t,a(t) ,a' (t))
m
<
a"(t)
= (a')'(t).
m
De même
(B')'(t)
<
B (t)
+H
(t,B
(t),B'(t))
p.p. tE I.
m
m
mn
m
m
Dès lors les hypothèses du Lemme 1.3 sont satisfaites
pour les fonctions H
, u
, a ,
B
et G ; donc les fonc-
mn
mn
m
m
n
tions a
- u
et u
- B
vérifient la condition' (C ).
m
mn
mn
m
0
Prouvons que
a
(t) ..;; u
(t)
'v't El,
(1-1-19)
m
mn
l'inégalité u
(t)";; B (t)
se démontre de la même manière.
,.Jlln
m
~
S'il existe t E l tel que 0 <
(a
- u
) (t ),
la fonction
o
m
mn
0
a
- u
admet un maximum strictement positif, atteint en
m
mn
t
E I.
Puisque a
- u
vérifie
(C ), t
E {a,b} et, en
o
m
mn
0
0

---

-27-
vertu de la Remarque 1.1, seules les situations Sl à S7
peuvent se produire.
Cependant dans chacune de ces sept
situations,
(Cil)
et
(Ci
permettent d'aboutir à une con-
2)
tradiction.
D'ailleurs, pour Sl et S2 nous obtenons
= a (b) - a (b)
u
(a) + a (a)
= (a
- u
) (a)
m
>
o.
mn
m
mn
Pour la situation 8 3,
o
012Ll (u
(a),u
(b))
mn
mn
2
o 1 2 [ (u
(a) - a (a))
-
(u
(b) - a (b) ) ]
mn
mn
= (a (a) - u
(a ) )
-
(a (b) - u
(b ) )
mn
mn
Pour S4' nous obtenons
o = o 23 L (u
(a), u
2
(b) , u '
(a), u '
(b ) )
mn
mn
mn
mn
023L2(u
(a),u
(b),a'(a),a'(b))
mn
mn
m
m
=
o 2 3 L 2 ( a )
+ ê (0 , a (b) - u
(b ) , 1 )
mn
car ê(O,a(b) -u
(b),l)
>
o.
mn
Pour 8 5,

---

-28-
° = 012Ll (u (a) ,u (b))
mn
mn
=
(u
-CL)
(b )
-
(u
- CL
)
(a)
<
o.
mn
m
mn
mn
Pour les situations S6 et S7'
nous avons
° = 012Ll(u (a),u (b))
mn
mn
= u
(b) - CL (b)
+ ..!. = (u
- CL
) (b)
< o.
mn
m
mn
mn
Ces contradictions prouvent
(1-1-19).
Comme,
par le
même raisonnement, on montre que u
(t)
~ S (t)
vt E l,
mn
m
les relations
(1-1-18)
sont donc démontrées.
Q~~~E!~~~_~~~E~· ~~~~~~~~~_~~_~~~~~~~~_e~~~_(Pmn) .
Dans le but dl appliquer le théorème de continuation
de type de Leray-Schauder de J. Mawhin
(cf.
[34]),
intro-
duisons la famille de problèmes aux limites non linéaires
u" (t) -u(t) = ÀH
(t,u(t) .u ' (t))
p.p. t E l
rnn
u(a) - u Ib) = À[y(a,u(a)) -y(b,u(b)) +o12Ll{y(a,u(a)),y(b,u(b)))]
ul(a)- u'(b) = À[o(m-(a),ul(a),m+(a)) -o(m-(b),u'(b),m+(b))
+ o(O,u(b) -13(b),1) - °(O,CL(b) -u(b),l)
-
+
-
+
- 023L2(y(a,u(a)),y(b,u(b)),o(m (a),ul(a),m (a)),o(m (b),u'(b),m (b)))]
À E [0,1]

---

-29-
qui se réduit à
(P
) pour À = 1.
Définissons L et N
mn
mn
par D (L)
= AC 1 (1), D (N
) = Cl (1),
mn
1
L : D(L) ~ L (I ) x JR2, Lu(.) = (u"(.)-u(.) ,u(a)-u(b) ,u' (a)-u' (b)).
(1-1-20)
N
u(.)
=
(H
(.,u(.),u'(.)),y(a,u(a)) -y(b,u(b))
+
mn
mn
-
+
G
L
( y (a , u ( a ) ) , y ( b , u ( b ) ) ) , o (m (a),u'(a),m
(a))
-
1 2 1
o(m-(b),u'(b),m+(b))
+ o(O,u(b)-S(b),l)
-
o(O,cx(b)-u(b),l)
-
+
-
G
L ( y ( a , u ( a ) ) , y ( b , u (b ) ) , o (m (a),u'(a),m
(a)),
2 3
2
-
+
°(rn (b),u' (b) ,m (b)))).
Alors
(P
,)
s'écrit
mn/\\
Lu = ÀN
u,
u E D(L).
(1-1-21)
mn
1
L'opérateur linéaire L est bijectif et L-
est compact
comme le montre le théorème d'Ascoli-Arzéla.
L'opérateur
1(I)
non linéaire N
est continu et borné sur C
tout entier.
mn
Dès lors N
est L-complètement continu
(voir Annexe III).
mn
En conséquence,
l'existence d'au moins une solution de
P
sera assurée par le Théorème 111-1
(voir Annexe III),
mn
si l'ensemble de toutes les solutions de P
, e s t borné
mn/\\
1
dans C ( I ) ,
indépendamment de À E [0,1].
Soient À E [0,1]
et u
une solution possible de P
mn
mnÀ
pour cette valeur de À.
Manifestement u est solution
du problème de points de fixes
-1
1
x = ÀL
N
x,
x E C (1)
mn

---

-30-
1
Comme l'image de N
est bornée et L-
est compacte,
il
mn
existe r
>
0 tel que
(1-1-22)
1 u mn 1
<
r ,
Cl (I)
~~~i~_~~~E~· ~{~_~~_~~_~~~~~~!~~!{~~.
Soit m ~ l, un entier naturel fixé.
L'étape précédente
1(I)
nous assure l'existence d'une suite
( u )
c
AC
où
mn
21
u
est une solution de P
.
Par
(1-1-22?~ les suites
mn
mn
(u
) et
(u'
) sont uniformément bornées et p.p. t E l
mn
mn
1 u~n (t) 1
,,;;;
r + <Il (t)
= ~ (t) .
o
D'où, vt, t E l
(= (a , b) ) ,
o
t
u~n
f
(1-1-23)
1
(t) - u~n (t0) 1 ,,;;; \\ t ~ (s ) d s \\
o
et
1u
(t) - u
( t ) 1 ,,;;; r i t - t
1.
(1-1-24)
mn
mn
0
0
Dès lors
(u
) et
(u'
), n ~ 1 sont équi-continues.
mn
mn
Par le Théorème d'Ascoli-Arzéla,
nous concluons, quitte
à considérer des suites extraites, que
(u
) et
(u'
)
mn
mn
convergent dans C(I).
Soit u
la limite de
(u
)
lorsque
m
mn
n~+oo; alors
(u'
) converge vers u'.
Nous avons' aussi
:
mn
m
vt
E: l,
vt E l
o
u
(t)
= u
( t )
+
(t -t ) u'
(t ) +
mn
mn
0
0
mn
0
(1-1-25)
t
+ ft
(t-s) l u
(s) + H
(s,u
(s ) ,ut
(s)) ]ds.
mn
mn
mn
mn
o
En faisant tendre n vers +00 dans
(1-1-23,24,25),
nous
obtenons :

---

-31-
lu
(t) -u
( t )
.;;;; rlt-t
l,
m
m
0
0
(1-1-25)
t
u~
f
1
(t) - u~ (t0) 1 .;;;;
t
~ (s) d s
o
et grâce à
(1-1-15),
u
(t)
= u (t ) + (t-t )u' (t ) +
m
m
0
0
m
0
t
f t (t - s) [u ( s) + H (s , u (s) ,u~ (s) ) ]d s .
m
m
o
De plus, u
vérifie
(1-1-18').
m
Faisons maintenant varier m et considérons la suite
(u ), m ~ 1 où pour chaque entier m, u
est la limite de
m
m
(u
) n ~ 1.
Alors en vertu de
(1-1-26)
et du Théorème
mn
1(l),
d'Ascoli-Arzéla,
i l existe u E C
limite d'une suite
extraite de
(u ) m ~ 1.
La fonction u vérifie manifeste-
m
ment la relation (1-1-9)
et l'égalité ci-dessous pour t
et t
dans l.
o
u(t)
= u(t ) + (t-t )u' (t )
0 0 0
t
+ ft
(t-s) [H(s,u(s) ,ut (s))
+ u(s) l d s ,
o
Elle est donc une solution de
(P).
Comme u vérifie
(1-1-9), u'
vérifie aussi
(1-1-10)
en vertu du Lemme 1.2
et,
en prenant en compte les définitions de 6,
y et de L.,
l
nous voyons que u est solution une de
(1-1-7,8); ce qu'il
fallait démontrer.
Comme une conséquence immédiate du Théorème 1.1,
donnons le
Corollaire 1.1.
Supposons
les
hypothèses
(H
et
1)-(H6)
les
conditions
suivantes
satisfaites.

---

-32-
(i)
a(a)
<
s(a),
o Lb )
<
S(b);
(iii)
h :
[a (a), S (a)] --+ [a (b), S (b ) ] est un homéomorphisme
qui vérifie
h(S(a))
= S(b)
et h I c La ) ) = c f b) ,
A l.o r e ,
le p r o b l me aux limites
è
ull(t)
= f(t,u(t),u'(t))
p.p.
t
E: I
u Cb)
= h Lu I a ) )
(1-1-27)
g(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
= 0
admet au moins une solution u qui vérifie
les rela-
tions
(1-1-9,10).
Démonstration.
Notons d'abord que sous les hypothèses du Corollaire
1.1,
la fonction h est nécessairement croissante.
Suppo-
sons en effet le contraire.
Alors i l existe des xi'
i=1,2
tels que
La fonction U définie sur [a(a) ,s(a)] par
est continue sur [a(a) ,xl] et vérifie
u(a (a ) ) = h(a (a ) ) - h(x
= a (b) - h(x
<
0,
2)
2)
u(x
= h(x
-
h(x
> O.
1)
1)
2)

---

-33-
Par le théorème des valeurs intermédiaires,
i l existe
X
E (a(a) ,xl)
tel que u(x
= 0; c'est-à-dire
o
o)
h(x
= h(x
Ce qui est impossible, h étant injective
o)
2).
et X
f x
Par suite h est croissante.
Définissons
o
2.
q
: S ~E continue par
Alors q E M
et le Corollaire 1.1 est donc une
S(-l,l,O,O)
conséquence directe du Théorème 2.1.
Remarque
1.3.
(L)
Les conditions aux limites dans
(1-1-27)
(qui
renferment les conditions aux limites périodiques)
ont été
considérées par L.H.
ERBE qui a étudié le problème
(1-1-27)
sous l'hypothèse que f est continue et vérifie la condition
de Nagumo
(1-0-6)
(voir
[14]).
(ii)
Le problème
(1-1-27)
sera traité dans un cadre
plus général dans le Chapitre II.
Les deux résultats suivants concernent l'existence
de solutions u de
(1-1-7)
qui vérifient les conditions aux
limites du type
LI (u(a) .u Ib) .u ' (a) .u" (b) ) = ° = L (u Ia) .u Ib) .u ' (a)).
(1-1-28)
2
THEOREME
1.2.
Supposons
les conditions
(Hl)
à
(H
et
les conditions
6)
ci-dessous satisfaites.
(ct )
4

---

-34-
Alors,
le p r ob l.è me (1-1-7,28)
admet
au mo i n e une solution
u
qui
o r i j i e (1-1-9,10).
é
Démonstration.
Comme la démonstration du Théorème 1.1, elle se fait
en plusieurs étapes.
~~~E~_!· 0~~~6i~~~~~~_~~_e~~~~~~~_~~i~i~~·
Soient y,
6, H comme dans la démonstration du Théorème
1.1.
Définissons Li'
i=1,2 par: pour x = (x l,x2,x3,x4),
-
+
+ 014 [(x
-
Im (b) ,x
(b)))
+ 6(0'X
- s u» ,1)]
4
ô
4,m
2
-
6(0,a(b)-x 2,1)),
-
+
+ 021 (x
- 6 (m (a) ,x
(a))).
3
3,m
Alors,
021L2 et 014Ll ont respectivement le type de mono-
tonie
(1,1,1,0)
et (-l,±l,l,l).
La démonstration du
théorème est basée sur l'étude du problème modifié
u" (t)
= u I t ) + H(t,u(t) ,u' (t))
p.p. t E l
L.(u)
=0,
i=1,2.
l
~~~E~_~'
~~~~~~~~_~ee~~~~~_~~_~~~i~~~~q~_~_e~~~~i_~~~
-6otut-iOYl-6.
Soient m,n E N*,
a
,
B
H , H
comme dans la
m
m,
n
mn
démonstration du Théorème 1.1 et introduisons le problème
approché

---

-35-
u Ct ) + H
(t,u(t),u'(t))
p.p.
t E l ,
{ u" (t)
mn
(P
)
mn
L. (u ) = 0, i=1,2.
l
Grâce à
(1-1-15),
il est facile de voir que toute fonction
1(1)
u qui est limite d'une suite
(u
) c AC
de solutions
mn
de
(p
)
satisfaisant à
(1-1-18), est solution de
(P)
et
mn
vérifie
(1-1-9); de plus, par le Lemme 1.2, u' vérifie
(1-1-10).
Il s'en suit que u est solution de
(1-1-7,28).
Soit u
une solution éventuelle de
(p
),
alors un
mn
mn
raisonnement analogue à celui qui a été fait dans l'étape 3
de la démonstration du Théorème 1. 1 montre que CL
- u
m
mn
et u
- B
vérifient la condition
(C ).
Montrons que u
mn
m
0
mn
vérifie
(1-1-18).
En fait il nous suffit de démontrer
l'inégalité
(1-1-19)
puisque la démonstration de l'inégalité
u
(t)
~ B (t)
vt E 1 est tout à fait analogue.
mn
m
Supposons qu'il existe t E l tel que
(CL
-u
) ( t )
> 0;
o
m
mn
0
alors,
max [ (CL
- U
)
(t)]
>
O.
tEl
m
mn
Puisque CL
- u
vérifie
(C ), en vertu de la Remarque 1.1,
m
mn
0
seules les sept situations décrites dans cette même remar-
que sont à considérer.
Mais, grâce aux propriétés de
monotonie de L.,
nous aboutissons à une contradiction dans
l
chacune de ces situations.
En fait,
pour Sl et S2'
nous
obtenons
0=021L2(u
(a),u
(b),u'
(a))
mn
mn
mn
>
021L2(u
(a),u
(b),CL'
(a))
mn
mn
mn

---

-36-
Pour 53 et 54'
nous avons
0==021L2(u
(a),u
(b),u'
(a))
rnn
rnn
rnn
> 021L2(u
(a),u
(b),a'(a))
rnn
rnn
rn
Pour 55'
° = 014Ll (u (a) ,u (b) ,u' (a) ,u' (b) )
rnn
rnn
rnn
rnn
~ 014Ll(u
(a),u
(b),a'(a),a'(b))
rnn
rnn
rn
rn
= o l 4L l (a) + 6 (0, u
(b) - B (b) , 1)
-
rnn
6(O,a(b)-u
(b),l)
rnn
6(O,a(b)-u
(b),l)
rnn
car6(O,a(b)-u
(b),l)
>0.
rnn
Pour 56'
nous obtenons
° == 021L2 (u (a) ,u (b) ,u' (a))
rnn
rnn
rnn
> 021L2(u
(a),u
(b),a'
(a))
rnn
rnn
mn
Enfin,
pour la situation 57'

---

-37-
~ 014Ll(U
(a),u
(b),a'(a),a'(b»
mn
mn
m
m
~ a
(a),u
(a),a'(a),a'(b»
1 4L 1(am
mn
m
m
Ces contradictions démontrent
(1-2-19).
~~~E~_~·
E~~_~~_~~_~~~~~~~~~~~~~·
Le reste de
la démonstration se
f a i t exactement comme
celle du Théorème 1.1 avec
l'homotopie
u"(t)
=u(t)+ÀH
(t,u(t),u'(t»
p.p.
t
E l
mn
-
+
u ' (a)
=
-Ào
(a),u'(a),m
(a»)
2 1L 2(y(a,u(a»,y(b,u(b»,ô(m
-
+
+
xs tm (a),u'(a),m (a»
u'(b)
=
À[ô(rr..-(b),u'(b),m+(b»
-
ô(O,u(b)-S(b),l)
+
ô(O,a(b) - u ( b ) , l ) ]
-
+
+
Ào
(y(a,u(a» ,y(b,u(b» ,ô(m
(a) ,u' (a),m
(2.»,
1 4L 1
-
+
ô(m
(b),u'(b),m
(b»),
les opérateurs L et N
définis par
mn
2
L
D (L)
= AC 1 (I)
~ LI (I) x JR ,
~
Lu ( .)
=
(u " ( .) - u ( • ) , u' (a) , u ' (b) ) ,
(1-1-29)
N
Cl (I)
~ LI (I) x JR2
mn

---

-38-
N
u(.)
= (H
(.,U(.),U'(.)),6(m-(a),u'(a),m+(a))
mn
mn
-
+
-
021L2(y(a,u(a)),y(b,u(b)),6(m
(a),u'(a),m
(a))),
-
+
+
6(m
(b) ,u' (b),m
(b))
+
6(0,a(b) -u(b) ,1) - 6(0,u(b) - S(b) ,1)
-
+
-
+
-
014Ll(y(a,u(a)),y(b,u(b)),6(m
(a),u(a),m
(a)), s ïm (b),u(b),m (b))))
THEOREME
1.3.
Supposons
les hypothèses
(H
et
les conditions
l)-(H 6)
ci-dessous satisfaites.
LI
E MS (± 1 , 1 , 1 , 1),
o 14 L 1 (a)
;;. ° ;;. o 14L 1 (S)
L
E MS ( 1 , 1 , °,-1), o 21 L (a) ;;. ° ;;. o 21 L ( S) et
2
2
2
AloY's~ le p r o b l ème
(1-1-7,28)
admet au moins une solu-
tion u qui ué vi i e
(1-1-9,10).
î
Démonstration.
On procède comme pour
le Théorème
1.2 avec
Le résultat
suivant concerne
les solutions de
(1-1-7)

---

-39-
qui sont contraintes à satisfaire les conditions auxlimites
de la forme
L
= 0 = L
(1-1-30)
1(U(b),u'(a))
2(u(a),u(b),u'(a),u'(b)).
THEOREME 1.4.
Supposons
les
hypothèses
(H
et
les
conditions
1)-(H 6)
suivantes
satisfaites.
LIE MS (0, 1 , 1 ,0),
LI (a)
= 0 = LI ( 8) et
Alors~ le problème
(1-1-7,30)
admet au moins une
solution
u qui vérifie
(1-1-9,10).
Démonstration.
Soient th : m ~m la fonction tangente hyperbolique
et soit th : m ~m la fonction continue définie par
~
th(s)
= th(s)
si s
>
0,
th(s)
= 0 si s ~ 0 et définissons
L.,
i= 1 ,2 par
l
Alors,
013Ll
possède le type de monotonie
(0,1,1,0)
et est
strictement monotone en x
où x =
(x
De même
3
1,x 2,x 3,x 4).
021L2 admet le type de monotonie
(1,±1,±1,1).
Introduisons
les problèmes

---

-40-
u Ct ) + H
(t,u(t) ,u' (t)
p.p.
t E l
{
u"(t)
~
mn
P mn
t
L. (u )
=
0
i=1,2,
m,n E :lN' <, {O},
l
OÙ a
,
B ,
H
et H
sont comme dans la démonstration du
m
m
n
mn
Théorème 1.1.
5i u
est une solution de P
, un raisonnement analo-
mn
mn
gue à celui qui a été fait dans la démonstration du Théorè-
me 1.1 montre que am - u
et u
-
B vérifient (Co). Dès
mn
mn
m
lors,
s ' i l existe t E l tel que
(a
- U
) (t
)
>
0,
o
m
mn
0
max(a(t)-X
(t))
>
O.
En vertu de la Remarque 1.1, seules
tEl
mn
les sept situations qui nous sont maintenant familières
(voir Remarque 1.1) peuvent se produire.
Cependant, nous
allons voir que dans chacune de ces situations, nous sommes
confrontés à une contradiction.
En fait,
pour les situations
51 à 54'
nous avons
~
0 = a
(b),u'
(a»
1 3L l(umn
mn
Pour la situation 55' deux cas sont à distinguer selon que
a' (a)
= u'
(a)
ou a' (a)
> U'
(a).
5 i
a' (a)
= u'
(a)
nou s
m
mn
m
mn
m
m n '
obtenons
0= 0
L
(a),u
(b),u'
(a),u'
(b»
2 1 2(Umn
mn
mn
mn
= 0
L (u
(a),u
(b),a'(a),u'
(h»
2 1 2
mn
mn
m
mn
~ 0
L (u
(a),u
(b),a' (a),a' (b ) )
2 1 2
mn
mn
m
m

---

-41-
~ (th( (a-u
) (b))
-
th( (u
-(3) (b)))
>
o.
mn
mn
Si
(a' - u'
) (a)
>
0,
nous avons
m
mn
o
013L1(u
(b),u'
(a))
<
013L1(u
(b),a'(a))
mn
mn
mn
~
Pour la situation S6' nous obtenons
Pour la situation S7' distinguons deux cas suivant que
(a -u
)' (a)
=
0
ou
(a -u
)' (a)
>
O.
Si
(a -u
)' (a)
>
0,
m
mn
m
mn
m
mn
nous avons
o = o 1 3LI (umn (b) , u~n (a)) < o 13LI (umn (b ) , a~ (a) )
Si
(a -u
)' (a)
= 0, nous obtenons
m
mn
~ 021L2(a
(a),u
(b),a'(a),a'(b))
m
mn
m
m
t.h I I u
-(3) (b ) )
mn
~ th( (a-u
(b))
-
th( (u
- f3 ) (b))
>
o.
mn)
mn
Ces contradictions impliquent que vt E l,
a
(t) ~ u
(t).
m
mn
D'une manière analogue, on démontre que, vt E l, umn(t) ~ f3
(t ) .
m

---

-42-
Finalement en utilisant l'homotopie
u"(t)
- u ( t )
=ÀH
(t,u(t),u'(t))
p . p . t E l
mn
-
+
-
+
u' (a)
= À[ô(m
(a),u'(a),m
(a ) ) -o13Ll(y(b,u(b)),ô(m (a),u'(a),m (a)))
,....,
th ( (a-u) (b))
+ th ( (U-8) (b) ) )
-
+
-
+
- Ào
,y(b,u(a)) ,ô(m (a) ,u' (a) ,m (a)) ,6(m (b) ,u' (b) ,m (b)))
21L2(y(a,u(a))
À
E
[0,1),
1
1(l)
2
l'opérateur linéaire L : AC ( l ) ~ L
x
lli
défini par
1(l)
1(l)
2
(1-1-29),
l'opérateur non linéaire N
: C
~ L
x
lli
mn
défini par
N
u(.)
=
(H
(.,u(.),u'(.)),ô(m-(a),u'(a),m+(a))
mn
mn
-
+ , . . . . ,
-
o 13 LI (y (b, u (b ) ) , ô (rn
(a), u' (a) ,m
(a))), th ( (u - 8) (b ) )
-
+
-
021L2{y(a,u(a)),y(b,u(b)),ô(m
(a),u'(a),m (a)),
-
+
ô(m (b) ,u' (b) ,m (b)))
-
th ( (a -u) (b) ) ) ,
et,
en procédant comme dans la preuve du Théorème 1.1, on
se convainc de l'existence d'au moins une solution u de
(1-1-7,30)
qui vérifie
(1-1-9,10).
Le résultat suivant donne des conditions suffisantes
pour l'existence de solutions u de
(1-1-7)
qui satisfont
aux conditions aux limites non linéaires du type
LI (u(a) ,u' (b))
o = L (u I a ) ,u(b) ,u' (a) ,u' (b)).
(1-1-31)
2

---

-43-
THEOREME
1. 5.
Supposons
les
hypothèses
(H
et
les
conditions
1)-(H 6)
suivantes
satisfaites.
(c.t
LI
E M
LI (a)
=
0 = LI (S), LI (x
9)
S(-l,O,O,l),
1,x2,x 3,x 4)
est
st~ictement monotone en x
.
4
Alo~s,
le
p r o b l.è me
(1-1-7,31)
admet au moins une solu-
tion u qui
v
v i f i e
(1-1-9,10).
ë
Démonstration.
Elle se fait exactement comme la démonstration du
4
Théorème 1.4.
On utilise les fonctions L.
: m
~m définies
l
par
: s i x =
( xl' x 2 ' x 3 ' x 4) ,
Le théorème 1.6 ci-dessous donne des conditions suffi-
santes pour l'existence de solutions u de
(1-1-7)
qui sont
contraintes à
satisfaire les conditions aux limites non
linéaires de la forme
LI (u Ia) .u Ib) ,u' (a»
= 0 = L (u Ia) ,u(b) ,u' (a),u
2
1 (bl ) ,
(1-1-32)
THEOREME
1.6.
Supposons
les
hypothèses (Hl) à
(H
et
les conditions
6)
(C.t
)
ci-dessous
satisfaites.
Alo~s, le p r o b l me
1 1)-(C.t 1 2
è
(l-1-7,32)admet
au moins une
solution u qui vé~ifie
(1-1-9,10).

---

-44-
LIE MS ( -1 , 1 , 1 , 0), LI (Ct)
= ° = LI ( 13)
Démonstration.
4
Définissons L.
JR
--+ JR,
i=l, 2
par
l
+
LI (x)
= LI (y (a, xl) , y (b , x
, 0 (rn
(a),x
(a»)
2)
3,m
-
012[ (x
- (x
(b,x
l-y(a,x l)
2-y
2»]
-
+
-
+
L ( X )
= [(x
(m
(a) ,x
(a»)
-
2
3-o
(x
(b),x
(b»)]o23
3,m
4-o(m
4,m
Alors,
012Ll est du type
(-1,1,1,0);
023L2 est du type
(1,±1,1,1).
De plus,
i l n'est pas difficile de vérifier
que toute solution u du problème modifié
u"(t)
=u(t)
+H(t,u(t),u'(t»
p.p. tE T
(P)
,....,
L.(u)
=
0,
i=1,2,
l
(où H est défini par
(1-1-11»
satisfaisant à
(1-1-9,10)
est solution de
(1-1-7,32).
Dès lors,
le théorème sera
démontré si nous prouvons que
(P)
admet au moins une solu-
tion qui vérifie
(1-1-9,10).
Cela se fait via l'étude de
l'approximation
u(t)
+ H
(t,u(t) ,ut (t»
p.p. t E l
mn
: " (t)
=
(Pmn)
{
L.(u)
=0
i=1,2,
n,m E :lN <, {o}
l
où H
est définie par
(1-1-13*), pour laquelle nous allons
mn
établir des estimations a priori pour les solutions.
Soient

---

-45-
a ,
S
définies par
(1-1-13)
et soit u
une solution éven-
m
m
mn
tuelle de
(P
).
AloY's~ u
v r-i f i e les estimations
(1-1-18).
é
mn
mn
En effet, un raisonnement analogue à celui qui a été fait
dans la preuve du Théorème 1.1 nous montre que am - u
et
mn
u
-
Sm vérifient la condition
(Co),
mn
Supposons, par exemple, que
(a -u
) (t ) > o pour un
m
mn
0
t E l .
Alors a
- U
,
vérifiant la condition (C ), admet
o
m
mn
o
un maximum strictement positif qui ne peut être atteint
qu'en t
= a ou en t
= b.
En vertu de la Remarque 1.1, seules
les sept situations S.
sont à considérer; mais grâce aux
l
~
propriétés de monotonie des L.,
i=1,2, nous aboutissons à
l
une contradiction pour chacune de ces situations.
D'ailleurs,
pour SI -
S2'
nous obtenons
~
;;" 012Ll(u
(a),a
(b),a'(a))
mn
m
m
= a 12Ll (a)
-
(u
(a) - a (a)) + (am (b) - a (b) )
mn
=
(a
- U
) (a)
>
O.
m
mn
Pour S3' nous obtenons
;;" 012Ll(u
(a),u
(b),a'(a))
mn
mn
m
2
= a 12 L1 (a)
+ a 12 [ (u
- a) (b)
-
(u
- a) (a) ]
mn
mn
(a
-u
) (a)
-
(a
-u
) (b )
>
O.
m
mn
m
mn
Pour S4' nous obtenons
023L2(u
(a),u
(b),a'(a),a'(b))
mn
mn
m
m

---

-46-
Pour 55'
nous avons
(u
-a) (b) )
mn
= (a -u
) (a)
-
(a -u
) (b)
<
O.
m
mn
m
mn
Nous obtenons pour 56
~ Œ
(a),u
(b),a'(a),a'(b»
2 3L 2(a m
mn
m
m
Pour 57'
nous obtenons
~ Œ
(a
(a),u
(b),a 1 (a»
1 2L 2
m
mn
m
2
=
012 Ll (a)
+ 012 [(Uron-a) (b)
-
(um-a) (a ) ]
= (u
- a ) (b)
<
O.
mn
m
Ces contradictions prouvent que vt E l a
(t)
~ u
(t).
m
mn
On montre de manière analogue que u
(t)
~ B (t)
Vt E l
mn
m
et donc que u
vérifie
(1-1-18).
mn
Finalement, en procédant comme dans les étapes 4 et 5
de la démonstration du Théorème 1.1 via l'homotopie
u" (t)
-
u(t)
= ÀH
(t,u(t) ,u l (t»
p.p.
t E l ,
mn
-
+
u (a) - u (b)
= ÀŒ
(y(a,u(a»
,y(b,u(b»,o(m (a) ,u l (a),m (b»)
12L1
À(y(a,u(a»
- y(b,u(b»

---

-47-
u ' (a)
- u' (b) = À [ 6 (m- (a) ,u' (a) ,m+ (a)) - 6 (m- (b) ,u' (b) ,m+ (b) )
+ À [6(0, (u-s) (b) ,1) -
6(0, (a-u) (b) ,1)]
-
+
-
+
-
Ào
L
(y (a , u (a ) ) , y (b , u (b ) ) , 6 (m (a),u'(a),m (a)),6(m (b),u'(b),m (b))),
23 2
À E
[0,1],
l'opérateur linéaire L défini par
1 1 2
L
AC
( 1)
-+
L
( 1) x :rn. , U -+
(u" ( . ) -u ( • ) ,u (a) -u (b) ,
l ( I )
u' (a)-u' (b)),
et l'opérateur non linéaire N
: C
-+
mn
l
L
( I )
x:rn.2 défini par
N
u(.)
=
(H
(.,u(.),u'(.)),y(a,u(a))-y(b,u(b))
mn
mn
+ 012Ll (y (a,u(a)) ,y (b,u(b)) ,6 (m-(a) ,u' (a) ,m+(a))),
6(0, (u-S) (b) ,1)
-
6 (0, (a-u) (b ) ,1)
+
-
+
-
+
+
6 (m
(a) ,u' (a) ,m
(a))
-
6(m
(b ) ,u' (b ) ,m
(b))
+
-
+
-
+
-
023L2(y(a,u(a)),y(b,u(b)),6(m (a),u'(a),m (a)),6(m (b),u'(b),m (b)))),
on se convainc de l'existence d'une solution u du problème
(1-1-7,32)
qui vérifie en outre
(1-1-9,10);
d'où le théorème.
Le prochain résultat concerne l'existence de solutions
de
(1-1-7)
qui vérifient
les conditions aux limites du type
LI (u(a) .u Ib) ,u' (b)) = ° = L (u(a) ,u(b) ,u' (a) ,u' (b)).
(1-1-33)
2
THEOREME 1 .7.
Supposons
les
hypothèses
(H
et
les
conditions
l)-(H 6)
suivantes satisfaites.

---

-48-
Al.o r e ,
le
problème
(1-1-7,33)
admet au moins une
solu-
tion u qui
v~rifie (1-1-9,10).
Démonstration.
On procède comme pour la démonstration du Théorème
1.6 avec
'"
L
=
011 [(x
) )
-
(x
1(X)
1-y(a,x 1
2-y(b,x 2))]
Le résultat suivant relate des conditions qui
sont
suffisantes pour
l'existence de solutions de
(1-1-7)
qui satisfont les conditions aux limites
Li (u(a) ,u(b) .u ' (a) .u ' (b) ) = L (u Ia) ,u(b) .u ' (a) .u' (b)) = O.
(1-1-34)
2
THEOREME
1.8.
Supposons
les
hypothèses
(H
et
les
conditions
1)-(H 2)
suivantes
satisfaites.
LiE: MS (-1 , 1 , 1 , 1),
Li (a)
= 0 = Li ( B).
L2(Xl,x2,x3,x4)
est
strictement monotone en x
et
3
en x
.
4
Alors~ il existe au moins une solution u du problème

---

-49-
(1-1-7,34)
qui vérifie
(1-1-9,10).
Démonstration.
Soient y,
0, y m'
am'
s , H et H
cowme dans la démons-
m
mn
tration du Théorème 1.1.
Définissons les fonctions continues
Li: :IR 4--':IR pa r
: Vx =
(xl' x 2 ' x 3 ' x 4) ,
'"
Alors,
012Ll possède le type de monotonie
(-1,1,1,1);
021L2 possède le type de monotonie
(1,1,1,-1).
De plus,
en vertu des définitions de y,
0 et de H,
les solutions
du problème modifié
u"(t)
=u(t)
+H(t,u(t),u'(t))
p.p.
t E l
(P)
L. (u )
= 0
i=1,2
l
qui vérifient
(1-1-9)
satisfont aussi
(1-1-10)
d'après
le Lemme 1.2 et dès lors sont solutions de
(1-1-7,34).
Donc i l suffit de montrer que
(P)
admet au moins une solu-
tion qui satisfait
(1-1-9,10).
Comme pour la démonstra-
tion du Théorème 1.1, cela se fait au moyen de l'approxima-
tion
u"(t)
=u(t)
+H
(t,u(t),u'(t))
p.p.
tE l
mn
(P mn)
Li(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
= 0
i=1,2,

---

-50-
pour laquelle nous allons établir des estimations pour les
solutions éventuelles.
Soit u
une
solution éventuelle de
(P
).
A'l o v e u
mn
mn
mn
ué r i f i e les inégalités
(1-1-18).
Démontrons l'inégalité
a
(t)
~ u
(t)
'v't E 1;
m
mn
la deuxième inégalité de
(1-1-18)
se démontre de la même
manière.
En procédant par l'absurde et en suivant l'argu-
mentation utilisée dans l'étape 3 de la démonstration du
Théorème 1.1, tout revient à obtenir une contradiction dans
chaque situation S.,
i=l,7
(voir Remarque 1.1).
Or, pour
l
Sl' nous avons
012Ll (u
(a) ,a
(b) .«: (a) ,a' (b))
mn
mn
m
m
= a
(b)
-
a (b)
- u
(a) + a (a)
= a (a)
-
1 - u
(a)
m
mn
m
mn
= (a -u
) (a)
>
O.
m
mn
Pour S2' nous obtenons
Pour S3' nous obtenons
~
~012Ll(u
(a),u
(b),a'(a),a'(b)
mn
mn
m
m

---

-51-
=
(a
-U
) (a)
-
(a -U
) (b)
> o.
m
mn
m
mn
Pour la situation 8 4,
Pour la situation 8 5,
=
(a
-u
) (a)
-
(a -u
) (b )
<
o.
m
mn
m
mn
Pour la situation 8 6,
Enfin,
pour la situation 8 7,
~
~ 012Ll(a (a),u
(b),a'(a),a'(b))
m
mn
m
m
2
=
012 Ll (a)
+ °
(u
- a ) (b ) = (u
- a ) (b )
<
O.
1 2
mn
m
mn
m
Le reste de la démonstration se fait comme les étapes 4 et 5
de la preuve du Théorème 1.1 avec l'homotopie
u"(t)
- u ( t )
= ÀH
(t,u(t),u'(t))
p.p. t E l
mn
u(a)
- u Cb) = À[y(a,u(a))
-
y(b,u(b))]
+
-
+
-
+
+ Ào
,y (b,u(b)) ,0 (m (a) ,u' (a) ,m (b)) ,0 (m (b) ,u' (b) ,m (b)))
12L(y(a,u(a))

---

-52-
-
+
o(m
(b),u' (b),m
(b))]
-
+
-
+
-
ÀG
L (y (a , u (a ) ) , y (b , u (b ) ) , o (m (a),u'(a),m (a)),o(m (b),u'(b),m (b)))
21 2
À
E [0,1],
l'opérateur linéaire de Fredholm L
défini par
(1-1-20)
et l'opérateur non linéaire borné et
1(I)
1(I)
continu N
: AC
~ L
x m2 défini par
mn
N
u ( .)
= (H
( . , u ( . ) , u ' (. ) ) , y ( a , u ( a))
-
y ( b , u (b))
+
mn
mn
-
+
-
+
+ G
L
(y (a , u (a ) ) , y (b , u (b ) ) , o (m (a),u'(a),m (a)),o(m (b),u'(b),m (b))),
12 2
-
+
-
+
-
G
L
(y (a , u (a ) ) , y (b , u (b ) ) , o (m (a),u'(a),m (a)),o(m (b),u'(b),m (b)))).
21 2
SECTION B.
CAS OU D+ a ET D+S SONT A VARIATION BORNEE.
Pour obtenir les résultats d'existence de la section A,
nous avons imposé à
la sous solution a et à
la sur solution
1(I).
S d'être des éléments de AC
Il est cependant possible
d'obtenir des résultats assez généraux tout en affaiblissant
quelque peu les conditions de régularité sur a et S.
C'est
d'ailleurs l'objet de cette section.
Soient a,
S et E comme dans l'introduction de ce
chapitre et soit f
E Car(E).
Considérons le problème
u"(t)
= f(t,u(t),u'(t))
p.p.
t E l ,
(1-2-1)
pour lequel nous allons définir les sous solutions et les
sur solutions.

---

-53-
BI. SOUS SOLUTIONS ET SUR SOLUTIONS.
Déf ini tion 1. 4.
1. Une sous solution de
(1-2-1)
est une fonction
a E C(I)
qui est telle que
+
(i)
a E BVI
([ a,b])
(voir Annexe II pour la définition).
(ii)
Pour presque chaque t E l ,
(D+a)'(t)
~ f(t,a(t),a'(t».
2. Une su~ solution de
(1-2-1)
est une fonction
S E C(I)
qui est telle que:
(iii)
S E BVI- ([a,b])
(voir Annexe II pour la définition) .
(iv)
Pour presque tout t E l ,
Remarque
1.4.
Il est clair que lorsque a et S sont des
1
éléments de AC
(I),
les définitions 1.4 coïncident avec
les définitions 1.1 introduites pour la première fois,
en
notre connaissance, par I.T. KIGURADZE
[26].
Les défini-
tions 1.4 ont été introduites par L.A.
LEPIN
[31] et sont
équivalentes à celles données par V.D. PONOMAREV [43}.
'" '"
Remarque
1 .5.
Soient a,S E C(I)
telles que vt E l,
~(t) ~ S(t).
Posons
E = {(t,x,y); tEl, ~(t) ~ x ~ S(t), y E m}.
'"
Soit f
E Car(E)
et supposons les conditions suivantes satis-
faites
"'+
"'+
(i)
Les fonctions t
~ D a(t),
t
~ D S(t)
sont bornées
dans
[a,b).
(ii)
Les fonctions S ,
S+
:
[a,b)
~m définies ci-dessous
sont croissantes
(voir Annexe I)

---

-54-
+~
ft ~
~
+~
D cdt)
-
t
f(s,cds) ,D cds) )ds
o
t
~
~
~
+~
=
-D
B(t) +f
f(s,S(s),D S(s))ds,
t E
[a,b).
t
o
o
Dans [16],
les sous solutions
(resp.
sur solutions)
ont été définies comme étant des fonctions continues ~1
(resp. BI)
qui vérifient entre autres
(i)
et
(ii).
Nous
allons à présent montrer que toute fonction ~ (resp. B) qui
vérifie les conditions
(i)
et
(ii)
est une sous solution
(resp.
sur solution)
au sens de la Définition 1.4.
D'abord la condition
(ii)
implique d'une part que
-
+
les fonctions S
et S
sont à variation bornée et d'autre
+~
+~
part que les fonctions D a(.)
et D S(.)
vérifient les iné-
galités : vt
E [a,b), Vt
E [t
1
2
1,b),
t 2
~ ft f(s,~(s) ,D+~(s))ds,
1
t 2
f
~
+~
~
t
f(s,S(s),D S(s))ds.
1
Ensuite, en utilisant la condition (i)
et le fait que
f
E Car(E), on se convainc facilement que V8 E {~,8},
~
+
1
f(.,8(.) ,D 8(.))
E L
([a,b))
et dès lors que la fonction
t
~
+
== f
f(s,8(s),D 8(s))ds,
t E l
t
a
o
est absolument continue et que p.p. t E l ,
~
+
v~(t) == f(t,8(t),D 8(t)).

---

-55-
Il résulte alors du Théorème II.1 et du Théorème II.2 de
+
+
+ -
l'Annexe II que D a E BV
([a,b»
et D B E BV ([a,b».
+~
+~
Il s'en suit la dérivabilité de D a et de D B et donc de a
et B en presque tout point t E l .
Les fonctions S- et S+
étant monotones-croissantes, nous obtenons,
p.p. t E l ,
+~
~
(D a)' (t)
~ f(t,;'(t) ,;" (t.)
(D+6) , (t) ~ f (t , 6 (t) , 6' (t) ) .
Donc,
a
(resp. 6) est une sous solution (resp. sur solution)
au sens de la Définition 1.4.
Les démonstrations de nos théorèmes
utilisent
quelques résultats que nous allons maintenant établir.
B2. LEMMES PRELIMINAIRES.
Lemme 1.5.
Soi en t e l
E JR,
c 2 E JR et tP
[a,b] -+JR tels
que
:
(1-2-2)
vt
E
[a,b),
lim inf tP(t)
~ tP(t ),
(1-2-3)
o
t -+ t+
0
o
Vt
E
(a,b],
lim
s up xp Lt.) ~ tP(t
(1-2-4)
o
o).
t -+ t -
o
Alors i l existe t
E [a,b), il existe t
E (t , b ] tels
1
2
1
que (j)(t )
= cl' (j)(t ) = c
et
quel
que soit
t
€
(t
) ,
1
2
2
1 , t 2
c
<
(j)(t)
<
Cl·
2

---

-56-
Démonstration.
L'ensemble SI = {t E [a,b); Cl ~ ~(t)} est non vide
(a E SI)
et est majoré;
i l admet une borne supérieure t l.
A cause de
(1-2-2),
t
E [a,b).
De même,
l'ensemble non vide
l
admet une borne inférieure t
Nous allons montrer que
2.
t
et t
vérifient les conclusions du Lemme 1.5.
l
2
1°)
D'abord, ~(t.) = C., i=1,2.
Donnons la preuve pour
l
l
le cas i
= 1.
L'égalité ~(t2) = c
se démontre de manière
2
analogue.
Nous procédons par contradiction.
Supposons que
cl < ~(tl)'
Par la définition de t
nous avons pour
l,
chaque t
E (tl,b), ~(t) < cl'
Dès lors, en utilisant l'hy-
pothèse
(1-2-3),
nous obtenons la contradiction
c
~
l
De même,
si ~(tl) < cl alors, à cause de
(1-2-2),
t
E (a,b).
l
Par la définition de la borne supérieure, 'VE > 0,
3t
E
(tl-s,t
tel que
En posant, pour tout
E
l)
S
>
0,
nous obtenons
En conséquence, en appliquant
(1-2-4)
à
t
nous obtenons
l,
la contradiction
= 1 im s
(t 1)
~ cl> ~ (t l ) .
E-+O+
E

---

-57-
Donc ~(tl) = cl·
De manière analogue, on démontre que ~(t2) = c 2.
2°)
Comme ~(ti)
= ci'
i=l,2 et que cl f
c 2' t
Soit
l
<
t 2.
enfin t
E (t
Alors,
i l résulte aisément des défini-
l , t 2).
tions de t
et de t
que c
l
2
2 < ~(t)
<
cl.
Le Lemme 1.5 est donc démontré.
Soit maintenant ~
[a,b] ~~ une fonction qui est
telle que
vt
E
(a, b ) ,
o
lim inf
lt) (t)
~ lt)(t
(1-2-5)
o)
t ~ t-
0
Vt
E [a,b),
lim
(1-2-6)
o
sup
lt) (t)
~ lt)(t o)·
t ~ t+
0
Alors,
la fonction 8
[a,b] ~~ définie par
S(t)
=
lt)(a+b-t)
vérifie les relations
(1-2-3,4).
En fait
vt
E [a,b),
lim inf S(t)
= lim inf lt)(a+b-t)
o
t ~ t+
t ~ t+
o
o
= lim inf
lt)(u)
u-e Ca-tb-it; )-
o
~ lt)(a+b-t ) = S(t ).
o
0
De même, pour tout t
E (a,b],
o
lim sup S(t)
= lim sup lt)(a+b-t)
t ~ t-
t ~ t-
o
o
= lim sup
~(u) ~
lt)(a+b-t
= S(t
o)
o).
u~(a+b-t )+
o

---

-58-
Si, en outre,
c
E E
sont des nombres réels tels que
l,c 2
(1-2-7)
'"
la fonction 8 vérifie
et dès lors,
par le Lemme 1.5, i l existe t
E [a,b),
l
i l existe t
E
(tl,b] tels que
2
Posons
Alors,
1'2
E [a,b) ,
1'2
E
(1'
, b ],
2
'" '"
tO(t
=
~(a+b-tl) = B(t
=
(1-2-8)
l)
l)
cl
'" '"
tO(t
~(a+b-t2) = S (t ) =
(1-2-9)
2)
2
c 2·
De plus, pour tout t
E (t
) ,
nous avons
2,tl
D'où
ou, en se rappelant de la définition de 8,
C2 < '0(a+b- (a+b-t)) < cl'

---

-59-
soit
vt E ( t 2 ' t 1 ) •
(1-2-10)
Ainsi,
venons-nous de prouver le
Lemme 1.5*.
Si ~ :
[a,b] ~~, c
E ~ vérifient
1,c 2
(1-2-5,6,7),
i l existe t
E [a,b), t
E (t , b ] tels que
2
1
2
(1-2-8,9,10) .
Remarque
1.6.
Les éléments de 'Bv+([a,b»
(resp. de
BV- ([a,b») vérifient
(1-2-3)
et
(1-2-4)
(resp.
(1-2-5)
et
(1-2-6»
(voir Annexe II).
Lemme 1.6.
Soi e nt
t 1 ' t 2 E ~, t 1 < t 2' x E BV - ( [t 1 ' t 2 ] ) ,
+
y E BV
([t
h E Car([t
x
~).
Supposons
vérifiées
1,t2]),
1,t2]
les
conditions
suivantes
:
(i)
x' (t)
,,;;; h l t j x t t )
p.p.
t
E
[t 1,t2]
(ii)
y' (t)
;;,. h l t s y t t )
p.p.
t
E
[t 1,t2]
(iii)
x(t
,,;;;
E
[x(t
,y(t
1)
y (t 1 ) et i l existe u 1
1)
1)]
tel
que
le
problème de
Cauchy
u' (t)
= h ï t ç u Lt )
p.p.
t
E
[t
(1-2-11)
1,t2]
u(t
= u
1)
2
admet une
solution unique.
A l.o r e ,
x(t)
,,;;; y(t)
vt E [t
(1-2-12)
1,t 2]·
Démonstration.
Soit u l'unique solution de
(1-2-11).
Il nous suffit
de démontrer que
x(t)
,,;;; u(t)
,,;;; y(t)

---

-60-
En fait,
nous transcrivons la démonstration de l'inégalité
x(t)
~ u(t)
la relation u(t) ~ y(t)
se démontre de manière analogue.
Pour cette fin,
notons que la fonction numérique h définie
par
h(t,u)
si x(t)
~ u
h(t,u)
h(t,x(t»
si x(t)
~ u
vérifie les conditions de Carathéodory.
De plus, si m
est une solution du problème de Cauchy
z' (t)
= h(t,z (t.)
z(t )
= u ,
l
l
nécessairement,
x(t)
~ m(t)
(1-2-14)
Dans le cas contraire, en tenant compte de la Remarque 1.6,
le Lemme 1.5* garantit l'existence de sI E [t
et de
l , t 2)
s2 E
(sl,t 2] tels que
(x-m) (sI)
= 0
et
(x-m) Cs ) > 0
(1-2-15)
Pour presque tout s E [sl,s2]' nous avons
x' (s)
- m' (s ) ~ h(s,x(s»
- h(s,m(s»
= h(s,x(s» - h t s x Cs) ) = 0,
ç

---

-61-
et par intégration
Puisque x est à variation bornée,
nous pouvons écrire
t
x Ct.) = x(Sl)
+ f
x' (s)ds + x(t)
(1-2-17)
sl
-
où x est la partie singulière de x.
Les relations
(1-2-16,17)
donnent l'inégalité
x(t)
- x(t)
~ m(t)
Vt E
[s l ' s2 ]
qui,
en vertu de la décroissance de x et du fait que
x(sl)
= 0, devient
x(t)
~ m(t)
une contradiction avec
(1-2-15).
En conséquence
(1-2-14)
est satisfaite.
Il résulte alors de la définition de h
et de l'unicité de la solution de
(1-2-11)
l'égalité m = u;
d'où
(1-2-13)
et par voie de conséquence,
le lemme est
prouvé.
Remarque
1.7.
Introduisons la condition
(iv)
(iv)
x (t
~ y (t
et i l existe "z E [y (t
,x (t
te l
2)
2)
2)
2)]
que
le problème
de
Cauchy
u'(t)
=h(t,u(t))
admet une solution unique.
Si dans l'énoncé du Lemme 1.6, nous remplaçons la condition
(iii)
par la condition
(iv),
la conclusion devient:

---

-62-
y(t)
~ x(t)
Supposons maintenant que a
(resp.
s)
soit une sous-
solution (resp.
sur solution)
du problème
(1-2-1).
Soient v et w les fonctions numériques définies sur Dl
et sur O
respectivement et qui satisfont
(H
(cf.
section
2
4)
A).
Posons:
v
= 1 + max{c ,c ,sup v Ct ,t), sup w(t ,t)}
(1-2-18)
a
S
0
0
0
1
O2
où ca et Cs sont des réels tels que
+
+
sup esslO a(t) 1 ~ c , sup e s s l D S(t)\\
tE[a,b)
a
tE[a,b)
Alors,
nous avons le Lemme
Lemme 1.2 *.
Soi t
x E AC 1 ( r ) une f oncti on
tel le Que
x"(t)
= f(t,x(t),6~(x'(t)))
p.p. t E l
v
a(t)
~ x(t)
~ S(t)
vt E l.
Si
les
hypothèses (H
- (H )
(voir Section A)
s en t
s a t i s --
2)
6
faites,
x'
vérifie
les
i.n a a l i t
e
é
é
v(t,t)
~ x' (t)
~ w(t,t)
vt E l.
Démonstration.
Elle est identique à celle du Lemme 1.2.
Les Lemmes
ci-dessus
et la technique du degré de
coïncidence de J. MAWHlN
(cf.
[34])
constituent un arsenal
assez puissant pour établir quelques résultats d'existence.

---

-63-
B3. RESULTATS D'EXISTENCE.
B3.1. Dans cette partie,
nous établissons l'existence de
solutions u de
(1-2-1)
qui satisfont les inégalités
a(t)
~ u(t)
~ 8(t)
vt E l
(1-2-19)
v(t,t)
~ u' (t)~ w(t,t)
vt E l
(1-2-20)
et les conditions aux limites
q Iu Ia ) ,u(b) ,u' (a) ,u' (b ) )
= 0
(1-2-21)
u Cb)
= h(u(a))
(1-2-22)
2
o ù g :
[a(a),8(a)]
x [a(b),8(b)]x
lR
--+lRestcontinue
et est telle qu'en plus de la croissance en x
et de la
3
décroissance en x
de g(x
on ait
4
1,x 2,x 3,x4),
+
-
+
-
g(a(a),a(b),D a(a),D a(b)) ~ 0 ~g(8(a),8(b),D 8(a),D 8(b));
h
:
[a(a) ,8(a)] --+ [a(b),8(b)]
est continue,
injective
et vérifie
(Cl
)
h Lo La ) ) = a(b),h(8(a))
8 (b ) •
18
THEOREME 1.9.
Si
a
(resp.
8)
est une
sous
solution
(resp.
une
sur
solution)
de
(1-2-1)
telles que a (t)
~ 8 (t) vt E l et si
les conditions
(H
- (H
(Cl
? ) - (Cl
sont
s a t i e f a i t e e ,
2)
6),
1
1 8)
le
problème
(1-2-1,21,22)
admet au moins une
solution
1
u E AC (1)
qui vérifie
(1-2-19,20).
Démonstration.
Elle se fait en plusieurs étapes.

---

-64-
~~~E~_!· 0~~~n~~~~~~~_~~_P~~~~~~~_~~~~~~~·
Soient y,
o~ comme dans la section A.
Alors
v
2
f(.,y(.,.) ,o~(.)) est un prolongement borné de f
à
l x :IR •
v
2
Définissons H :
l x :IR
,~ :IR par
H(t,x,y)
= f(t,y(t,x) ,o~(y)) - y(t,x).
(1-2-23)
v
2
1(I)
Alors, H E Car(I x :IR ) et i l existe ~ E L
telle que
IH(t,x,y) 1 ~ ~(t)
(1-2-24)
pour presque tout t
E l et quels que soient x,y E :IR.
Définissons h et g par
Alors,
~
a(b)
~ h(x ) ~ S(b)
(1-2-25)
1
et
La démonstration du théorème est basée sur l'étude du
problème modifié
= u(t) + H(t,u(t) ,u' (t))
p.p.
t
E l
{ u"(t)
(P)
u(a)
= g(u(a) ,u(b) ,u' (a) ,u' (b ) )
(1-2-27)
~
u(b)
= h (u (a) ) •
(1-2-28)
En effet, en vertu des définitions de Y,
o~, h, g et de H,
v
il n'est pas difficile de voir que toute solution de
(P)

---

-65-
qui satisfait
(1-2-19,20)
est solution de
(1-2-1,21,22).
Cependant la vérification des conditions
(1-2-21,22)
n'est
pas évidente lorsque
(1-2-19,20)
sont satisfaites.
Aussi,
dans les étapes suivantes nous nous appliquerons à prouver
l'existence d'au moins une solution de
(P)
qui satisfait
non seulement
(1-2-19,20)
mais aussi
(1-2-21,22).
Pour
obtenir une solution de
(P)
nous utiliserons une technique
d'approximation.
~~~p~_~.
I~~~Q~~~~~Q~_~~~~_e~q~~~~~_~ee~q~~~_~~_~~~~~~~~q~
~_e~~q~~_eQ~~_~~~_~q~~~~q~~_~~~~~~~~~~~·
Soit m ~ 1 un entier naturel.
Alors a
Q
l
-+:ffi
m' "rn
définies par
=
l
-1
a(t)-m-
=
s (t) +m
,
t
E l
vérifient les conditions
(i)
et
(iii)
de la définition 1.4.
2)
Soit
(H )
c
Car(IxR
une suite possédant les propriétés
m
21
.
t
~
SUlvan es
1.
Vm ~ l,
(t,x,y)
-+ Bm(t,x,y)
est localement lip-
schitzien en
(x,y)
pour chaque t
E l
fixé;
2.
lim
H (t,x,y)
= H(t,x,y); la convergence étant
m
m-++ oo
uniforme;
l(I)
3.
3~ E L
tel que vm ~ l, v(t,x,y) EIx :ffi2,
IH (t,x,y)1
~ ~(t)~
m
une telle suite existe toujours
(cf.
[51] nar exemple).
2)
Déf inissons f
et Fm E Car (I.x1R
comme sui t
:
m
fm(t,x,x')
= H (t x x') +
m
'
,

---

-66-
-1
+
+
+ (Sm(t) -x) «Sm-a) (t.)
[f (t,a (t) ,0 a (t.)
- a (t) - H (t,a (t.) ,0 a (t»],
m
m
m
m
où y
(t,x)
est égal à
S (t), a
(t), x selon que x > S (t),
m
m
m
m
x < a
(t)
ou a
(t)
~ x ~ S (t).
m
m
m
Alors, pour chaque entier naturel m ~ l, la fonction
(t,x,x')
~ F (t,x,x')
est localement lipschitzienne en (x,y).
m
De plus,
p.p.
t E I,
+
+
a
(t)
+ F
(t,a
(t),D a
(L)
<
(0
a )'(t)
(1-2-29)
m
m
m
m
m
et
+
+
Sm(t) + Fm(t,Sm(t) ,0 Sm(t»
>
(0
Sm)' (t).
(1-2-30)
Introduisons le problème
(approché)
ull(t)
=u(t)
+F
(t,u(t),u'(t»
p.p. t E l
m
(P
)
u(a)
= g(u(a),u(b),u'(a),u'(b»
m
,...,
u Ib ) =h(u(a».
Alops,
toute solution éventuelle u
de
(Pm) vépifie
m
a
(t)
~ u
(t)
~ S (t)
yt E 1.
(1-2-31)
m
m
m
Prouvons que
yt E l,
(1-2-31*)
la relation u
(t)
~ S (t)
Yt E l se démontre par la même
m
m
technique.
Procédons par l'absurde, en supposant que
,...,
,...,
am(t)
>
um(t)
pour un certain t E l .
La fonction

---

-67-
Z(.)
= a (.) - U (.) admet alors un maximum strictement
m
m
positif, atteint en t E l .
Puisque, par construction et à
o
cause de
(1-2-25,26),
j
E
{a,b},
nécessairement t
E (a,b)
et, en vertu de la continuité de
o
z, il existe t
E (to,b]
tel que
1
Des conditions nécessaires pour l'existence d'un maximum de z
en un point intérieur t
sont:
o
(1-2-32)
"lE > 0,
3t
E (t ,t +E)
tel que D+a
(t ) < u' (t ).
(1-2-32*)
E
0
0
m
E
m
E
+
+
D am étant un élément de BV ([a,b)), nous avons
qui avec
(1-2-32)
donnent
u'(t i ,
(1-2-33)
m
0
Nous pouvons aussi écrire
u" (t)
<
a
(t.)
+ F
(t,a
(t) ,u' (t)).
(1-2-34)
m
m
m
m
m
Distinguons deux éventualités
~E~~!~E~_~~~~~~~1!~~ : 3s o E (to,t1) tel que vt E [to'so]
D+am(t)
= u~(t).
Alors
(1-2-29,34)
entraînent
(D+a
-u'
)'(t)
>
0
p.p.
t E
[to'so]
m
mn

---

-68-
qui par intégration et grâce à
(1-2-33) donne
+
(0 a
-u')(t)
>
0
vt E (t , s ) ,
m
m
0
0
ce qui est absurde.
Deuxième éventualité
VE
>
0
3s
E (t ,t +E)
tel que
E
0
G
+
o a
(s
)
< u ' (s
).
(1-2-35)
m
E
m
E
La fonction
(t,y)
~ a
(t)
+ F
(t,a
(t) ,y)
étant localement
m
m ~
m
lipschitzienne en y, i l existe t
E
(t
tel que le pro-
1
o,t 1)
blème de Cauchy
V' (t)
= a (t) + F (t,a (t.) ,V(t))
m
m
m
admette une solution unique.
De plus, en vertu de
(1-2-35),
i l existe 5 E (t , t
tel que
o
1)
(0 + a
- u ' ) (5)
<
o.
(1-2-35*)
m
m
Les conditions d'application du Lemme 1.6 sont donc satis-
+
faites av~c x = u~, y = Dam' h(t,y)
= am(t) + Fm(t,am(t) ,y)
et u
= 0 a (t ).
Donc
1
m
0
une contradiction avec
(1-2-35*). Ainsi nous avons bien prouvé
(1-2-31*)
et donc
(1-2-31).
~~~~~_~ : ~~{~~~~~~_~~_~Q~~~{~~_eQ~~_~~_e~Q~~~~~_~ee~Q~~~·
Dans le but d'utiliser le degré de coïncidence [34],
introduisons la famille de problèmes

---

-69-
u"(t)
-u(t)
= ÀF (t,u(t),u'(t))
p.p.
t E l
m
(PIl1À)
u (a)
= Àg(u(a) ,u(b) ,u' (a) ,u' (b))
u(b)
= Àh(u(a))
À
E [0,1],
2
l'opérateur linéaire L
D (L)
= AC 1 ( 1 ) -+ L 1 (1) x JR ,
'"
u -+ Lu = (u" (.)
- u (.) , u(a) ,u(b)), et l'opérateur non linéaire
N
: Cl(I)
-+
Ll(I)
x JR2
défini par
m
NmU(.)
= (F
,u(.) ,u' (.)) ,g(u(a) ,u(b) ,ut (a) ,u' (b)) ,h(u(a))).
m(.
Alors
(PmI..)
se met sous la forme abstraite
'"
Lu -
ÀN u = 0, u E D(L), À E [0,1].
m
"'-1
L'opérateur L est de Fredholm d'indice zéro et L
est compact.
~ est continu et borné sur Cl(I).
Par conséquent N
est
m
L-complètement continu et dès lors l'existence d'au moins une
solution de
(P ) sera assurée par le Théorème 111.1
(cfr.
m
Annexe III)
si l'ensemble de toutes les solutions possibles
de
(PmI..) , À E [0,1] est borné dans l'espace Cl(I), indépendam-
ment de À.
Soit donc À E [0,1], et soit u une solution de
(PmI..)
pour cette valeur de À.
Alors u E D(L)
et
u(t)
= 1..1:'-1 N u(t)
'v't E 1.
m
"'-1
N
étant borné et L
étant compact, i l existe certainement
m
r
>
a tel que
l
max 1 u ( t) 1
<
r 1 .
tEl
Si maintenant t
E (a,b)
est tel que
o
u(b)
-
u(a)
= (b-a)u'(to),
nous avons

---

-70-
1 u'
(t
) 1
o
En conséquence, pour chaque t E l ,
t
[u'(t)1
~ lu'(to)1 + ft
[u"(s)dsl
o
b
~ r 2 + fa (Iu(s) 1 + IFm(S,u(s) ,u' (s)) I)ds
~ r
+
(b-a) rI +
~
2
1
1
1
L
(1)
Don c ,
[u 1 1
~ max (rI' r 3) .
C
(1)
En faisant varier m,
les études faites dans les étapes
1(I)
précédentes montrent l'existence d'une suite
(u ) ~1 C AC
où
m m,.,...
u
est une solution de
(P ) qui vérifie
(1-2-31).
En utilisant
m
m
les propriétés de H
et de F
et en procédant comme dans
m
m
l'étape 5 de la démonstration du Théorème 1.1, nous obtenons
1
l'existence d'une fonction u E AC
(1)
(la limite d'une suite
extraite de
(u ) ~1)' solution de
(P)
qui vérifie
(1-2-19).
m m"'"
En vertu du Lemme 1.2*, u vérifie
(1-2-20).
Il nous reste à montrer que u vérifie
(1-2-21)
et
(1-2-22).
Il est clair que u satisfait à
(1-2-22);
cela
résulte de la définition de y et du fait que u satisfait à
(1-2-19) .
Pour prouver
(1-2-21), i l suffit de montrer que
c Ia) ~u(a) +g(Y(a,u(a)),y(b,u(b)),u'(a),u'(b)) ~
S(a)
ou, puisque u vérifie
(1-2-19),
«(a) ~ u(a) + g(u(a) .u Ib) ,u' (a) ,u' (b) ) ~ S(a).
(1-2-36)
Prouvons
(1-2-36)
par l'absurde.

---

-71-
Si
u(a)
+ g(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
<
o La ) ,
les égalités
(1-2-27,28)
donnent
u (a)
=
0. (a)
et
u (b)
=
0. (b ) •
La fonction u -
o.,
positive sur l
en vertu de
(1-2-19),
est minimum en t
= a et en t
= b, donc
+
D o La )
.,;; u' (a)
et
u' (b)
.,;; D o fb ) .
En conséquence, en utilisant
(Ci
et les propriétés de
17)
monotonie de g, nous obtenons la contradiction
« Ca )
>
u(a)
+ g(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
+
-
;;;;.
0. (a)
+ g (0. (a) ,0. (b ) ,D 0. (a) ,D 0. (b)) ;;;;. 0. (a).
De même, si
s(a)
<
u I a ) + g(u(a),u(b),u'(a),u'(b)),
la fonction S -
u aura les propriétés
S(a)
= u(a),
+
S(b)
=u(b), u'(a)";;D s(a)
etD S(b)
";;u'(b).
Lacondition
(Ci
et les propriétés de monotonie de g fournissent la
17)
contradiction
s(a)
<
u(a)
+ g(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
Donc les inégalités de
(1-2-36)
sont satisfaites.
Ceci achè-
ve la démonstration du Théorème 1.9.

---

-72-
B3.2.
Soient LI
:
[a(a) ,B(a)] ~lli x lli une fonction
continue qui est telle que, pour chaque s E {a (a) , B(a)} ,
est décroissante et
+
+
L
( a (a ) , D a(a))
~ 0 ~ L
( B( a ) , D B(a)).
1
1
En vertu de
(CI
l'ensemble
1 9)
Z(L)
= {(s,t)
LI (s,t)
= 0, a(a) ~ S ~ B(a), t E:IR}
1
est non vide.
Soit L
:
[a(a)',B(a)]
x:IR
x
[a(b) ,B(b)]
x lli ~lli une
2
application continue
telle que q(s,t,x,.)
est croissante
et pour chaque
(s,t)
E z(L 1),
Dans cette partie, nous nous intéressons aux solutions
u de
(1-2-1)
qui vérifient les conditions aux limites du
type
L
= 0
(1-2-37)
1(u(a),u'(a))
L
= o.
(1-2-38)
2(u(a),u'(a),u(b),u'(b))
THEOREME
1. 10.
Si a
(resp.
B)
est une sous solution
(resp.
sur solution)
de
(1-2-1)
et si les conditions
(H
(CI
2)-(H 6),
1 9)-(CI 20)
sont e a t i e f'a i t e e ,
le problème
(1-2-1,37,38)
admet au mot.n e
1
une solution u E AC
( I ) qui vérifie
(1-2-19,20).
Démonstration.
Elle est basée sur l'étude du problème
(modifié)
u" (t)
= u(t) + H(t,u(t) ,u' (t))
p.p.
t
E I
u(a)
= L (u (a ) , u ' (a ) )
(1-2-39)
1
u(b)
= L (u (a ) , u ' (a ) , u (b ) , u ' (b ) )
(1-2-40)
2

---

-73-
où H est définie par
(1-2-23)
et où
L (S , t ) = y(a,s-L
1
1(y(a,s),t)),
'"
L
= y(b,ur L2(y(a,s) ,t,y(b,u
,u
2(s,t,u 1,u2)
1)
2)),
et du problème approché
u" (t)
= u(t) + F (t,u(t),u'(t))
p.p.
t E l
m
u(a)
= L (u (a ) , u ' (a ) )
1
u(b)
= L (u (a ) , u ' (a ) , u (b ) , U' (b ) ) ,
2
où F
est définie comme dans la démonstration du Théorème 1.9.
m
En procédant exactement comme dans la démonstration du
Théorème 1.9, on se convainc facilement de l'existence d'une
1(1)
fonction u E AC
qui satisfait
(1-2-1,19,20).
Il nous
reste à démontrer que u vérifie les conditions aux limites
(1-2-37,38) .
Notons d'abord que,
en vertu de
(1-2-19),
les fonctions
u -
a et 8 -
u sont positives sur 1.
Démontrons d'abord
(1-2-37).
Pour cela, i l nous suffit de prouver les inégalités
a(a)
~ u(a)
-
L
(y(a,u(a) ,u' (a))
~ s t a)
1
ou, en vertu de
(1-2-19)
et de la définition de y,
a(a)
~ u(a)
-
L
(u(a) ,u' (a)) ~ 8 (a).
(1-2-41)
1
Si
u(a)
-
L
<
a(a),
1(u(a),u'(a))
l'égalité
(1-2-39)
implique
u(a)
= a(a).
La fonction u -
a, positive sur [a,bJ est minimum en t
= ai

---

-74-
+
donc u' (a)
~ D a(a).
En utilisant la monotonie de
LI (a(a) ,.)
et
(Cl
nous obtenons
la contradiction
I 9)
+
a(a)
>
u(a)
-
L
~ c {a ) -
L
a(a»
~ a(a).
1(u(a),u'(a»
1(a(a),D
De même, si
S(a)
<
u(a)
-
L 1(u(a),u'(a»,
(1-2-39) donne
u(a)
= S(a).
La fonction S -
u, positive sur l
est minimum en t
= ai
dès lors u' (a)
~ D+s(a) et en usant de la monotonie de
LI (s(a) ,.)
et de
(Cl
nous obtenons la contradiction
I 9),
+
s(a)
<
u(a)
-
L
~ s Ca ) - L
S(a»
~ S(a)
1(u(a),u'(a»
1(s(a),D
qui avec la première prouvent
(1-2-41)
et donc
(1-2-37).
Ainsi
(u(a) ,u' (a»
E
Z (LI).
Pour démontrer
(1-2-38), i l nous suffit de montrer que
a(b)
~u(b) -
L
~ S(b).
2(u(a),u'(a),u(b),u'(b»
Si
u(b)
-
L
<
a(b)~
2(u(a),u'(a),u(b),u'(b»
i l résulte de
(1-2-40)
et de la définition de y que
u(b)
= a(b).
La fonction positive u -
a est alors minimum en t
= bi
donc u'(b)
~ D-a(b).
La monotonie de L2(u(a),u'(a),u(b),.),
(Cl
et le fait que
(u(a) ,u' (a»
E Z(L
permettent d'avoir
20)
2)

---

-75-
la contradiction
o Ib )
>
u(b)
- L2(u(a),u'(a),u(b),u'(b))
~ o Ib ) - L (u (a ) ,u' (a) ,a(b) ,D-a(b)) ~ a(b).
2
Comme le même raisonnement fournit une contradiction si
nous supposons
S(a)
< u Ib )
-
L
(u ( a ) , u ' ( a ) , u (b ) , u ' (b ) ) ,
2
la solution u doit satisfaire
(1-2-38).
Ceci achève la
démonstration du théorème.
Un raisonnement analogue à celui qui a été fait dans
la démonstration du Théorème 1.10 permet d'obtenir l'exis-
tence de solutions de
(1-2-1)
qui satisfont les conditions
aux limites du type
LI (u(b) ,u' (b))
= 0
(1-2-42)
L
(u ( a ) , u ' ( a ) , u (b ) , u ' (b ) ) = O.
(1-2-43)
2
En fait,
soit LI
:
[a (b ) , S (b)]
x JR -+ JR une
application
continue qui est telle que LI (u
)
est croissante en
1,u2
u
et
2
Définissons
Soi t
L
:
[a (a) , S (a)]
x JR
x
[a (b ) , S"(b)]
x JR
2
-+ JR
une applica-
tion continue et qui est telle que L
est décrois-
2(s,t,u 1,u2)

---

-76-
sante en t
et qu1en outre,
pour chaque
(u
E Z(L
1,u 2)
1),
Alors,
nous avons
le
THEOREME
1. 1 1 .
Supposons que Ct (resp.
8) soit une
sous solution
(resp.
sur solution)
de
(1-2-1)
qui vérifie
(C1
et
(C1
2 1)
2 2).
Si les hypothèses
(H
sont aussi satisfaites,
i l existe
2)-(H 6)
1(I),
au moins une fonction u E AC
solution de
(1-2-1,42,43),
qui vérifie
(1-2-19,20).
Démonstration.
On procède comme dans
la démonstration du Théorème 1.10
avec le problème modifié
u"(t)
=u(t)
+H(t,u(t),ul(t))
p.p.
t E l
u(a)
= y(a,u(a)
-
L
l(a),y(b,u(b)),u l(b)))
2(y(a,u(a)),u
u(b)
= y(b,u(b)
-
L
l(b))).
1(y(b,u(b)),u
B3.3.
Nous terminons cette section en donnant des conditions
suffisantes pour llexistence de solutions de
(1-2-1)
qui
sont contraintes à satisfaire les conditions aux limites du
type
LI (u (a) , u (b), u
(1-2-44)
1
(a))
= 0
L
l(b))
= 0
(1-2-45)
2(u(a),u(b),u
où L.,
i=1,2
sont continues et vérifient les conditions
l
suivantes.

---

-77-
L
[a(a),S(a)]
x
[a(b),S(b)]
xJR -+JR,
L
est
1 :
1(s,u 1,t)
croissante en u
et en t
et vérifie en outre
1
+
L
« t a)
1(a(a),a(b),D
L
[a(a),s(a)]
x
[a(b),S(b)]
xJR -+JR,
L
est
2 :
2(S,u 1,u2)
croissante en s
, décroissante en u
et vérifie
2
THEOREME
1.12.
Supposons
(H
et
(Cf
satisfaites.
2)-(H 6)
2 3)-(Cf 2 4)
Si
a
(resp.
S)
est une
sous
solution
(resp.
sur solution)
1(I),
de
(1-2-1),
i l
existe au moins une
fonction u
E AC
solution de
(1-2-1,44,45),
qui vérifie
les inégalités
(1-2-19,20) .
Démonstration.
Comme les démonstrations des résultats précédents,
elle est basée sur l'étude d'une famille de problèmes,
soit
u"(t)
=
u(t)
+ ÀF (t,u(t) ,ut (t»
p.p.
t
E r
m
u (a)
=
Ày(a,u(a)
+ L (y (a,u(a»,y (b s u Ib )
,ut (a l ) )
(1-2-46)
1
u(b)
=
Ày(b,u(b)
+ L (y (a,u(a»,y (b u fb )
,ut (b»)
(1-2-47)
2
ç
À E [0,1]
où F
est définie comme dans la démonstration du Théorème 1.9.
m
En procédant comme pour la démonstration du Théorème 1.9,
1(I)
on obtient une fonction u E AC
qui vérifie
(1-2-1)
et
les inégalités
(1-2-19,20).
Le théorème sera démontré si
nous prouvons que u vérifie les conditions aux limites
(1-2-44,45).
Pour cela, en vertu de la définition de y et
de
(1-2-19),
i l nous suffit de prouver les inégalités

---

-78-
a(a)
~ u(a)
+ L
~ S(a)
(1-2-48)
1(U(a),u(b),u'(a))
et
o {b ) ~ u Ib ) + L
,u(b) ,U' (b l ) ~
S(b).
(1-2-49)
2(U(a)
Allons démontrer
(1-2-48);
la démonstration de
(1-2-49)
est
analogue à celle de
(1-2-48).
Si
u(a)
+ L
<
c Ca l ,
1(u(a),u(b),u'(a))
(1-2-46) donne
u(a)
=a(a).
La fonction u -
a, positive sur l
en vertu de
(1-2-19)
+
est donc minimum en t
= a.
Dès lors u' (a)
~ D a(a)
et,
en utilisant les propriétés de monotonie de L
et
(Cf
,
1
23)
nous obtenons la contradiction
c I a)
>
L1(u(a),u(b),u'(a))
+ u(a)
+
~ c I a ) + L1(a(a),a(b),D a(a)) ~ o Lal ,
De même, si
S(a)
<
u Ca)
+ L1(u(a),u(b),u'(a)),
(1-2-46)
entraîne
u(a)
= S(a).
La fonction positive S -
u est alors minimum en t
= a.
Donc u' (a)
~ D+s(a) et, grâce aux propriétés de monotonie
de LI'
nous obtenons l'absurdité

---

-79-
s t a) < u(a) + L 1(u(a),u(b),u'(a))
+
~ s(a)
+ L
s(a))
~ s(a).
1(s(a),S(b),D
En conséquence u vérifie
(1-2-48)
et comme le même raisonne-
ment montre que u satisfait les inégalités
(1-2-49),
le
Théorème 1.13 est bien démontré.
Jusqu'ici,
pour démontrer nos résultats principaux,
nous avons da "approcher" f
par une suite de fonctions qui
satisfont à une condition générale de Lipschitz.
Cependant
un examen sérieux des démonstrations montre que l'approxima-
tion introduite n'a été déterminante que dans l'établisse-
ment des inégalités
(1-0-3).
Aussi est-il.~aturel de se
demander s ' i l n'est pas possible de donner une démonstration
directe des résultats, sans faire appel à la méthode
d'approximation.
A cette préoccupation,
le paragraphe B4
ci-dessous et le Chapitre I I relatif au cas où f(t,x,x')
admet des discontinuités en x et en x', donnent cette réponse
rassurante:
i l est possible de
se passer des approximations
dans
la démonstration des
théorèmes de cette
section.
B4.
LE CAS DE L'EQUATION x" = f(t,x).
Posons
w
= {(t,x)
t E l ,
c I t )
~ x ~ S(t)}.
(1-2-50)
Soit f
E Car(w)
et considérons le problème
u"(t)
= f(t,u(t))
p.p.
t E r . (1-2-51)

---

-80-
En utilisant le théorème de continuation de Leray et Schauder,
i l est possible d'établir cinq théorèmes d'existence corres-
pondant aux cinq paires de conditions aux limites utilisées
dans la partie B3 de cette section.
Nous donnons à titre
d'exemple,
le correspondant du Théorème 1.9 pour le problème
(1-2-51).
THEOREME
1. 14.
Supposons
les conditions suivantes satisfaites.
(i)
a E BVI+ (1) , S E BVI- (1) ;
(ii)
pour presque tout t E l ,
(iii)
h et g sont comme dans
le Théorème
1.9.
1(I)
Alors
i l existe au moins une
fonction u E AC
3
qui est solution de
(1-2-51)
et qui vérifie
(1-2-19).
Démonstration.
Introduisons la famille de problèmes aux limites
(u" (t) = (l-À)u(t) + À[f(t,y(t,u(t))) + u(t) - y(t,u(t))] , tEl
u (a)
= Ày(a,u(a) +g{y(a,u(a)) ,y(b,u(b)) ,u' (a) ,u' (b)))
u(b)
i
=Àh(y(a,u(a))), ÀE [0,1].
Alors chaque solution de
(Pl)
qui satisfait
(1-2-19)
vérifie la conclusion du Théorème 1.14.
D'ailleurs pour
2
chaque solution u E W , 1 ( I ) de
(Pl)'
nous avons
a(t)
~u(t) ~S(t)
yt E 1.

---

-81-
Montrons que
a(t)
~ u Ct )
Vt E I,
la relation
u ( t ) ~ B(t)
vt E I
se démontre de la même manière.
Notons avant toute chose
que, par construction,
a(j)
~ u(j)
~ B(j)
j
E
{a,b}.
(1-2-52)
Dès lors, s ' i l existait un t
E I
pour lequel
(a-u) (t)
> 0,
la fonction a -
u aurait un maximum strictement positif,
,
.
+
+
atteint en t
E (a,b).
0
une part, pUlsque 0 a -
u'
E BV ([a,b)),
o
un raisonnement analogue à celui qui a été fait dans la
deuxième étape de la preuve du Théorème 1.9 montre que
+
(0
a
-
u')(t )
=
0
o
et
'lE > 0
3t E(t , t +E)
avec
E
0
0
(1-2-53)
D'autre part, à cause de
(1-2-52),
i l existerait t
E (to,b]
l
tel que
et
Dès lors pour presque tout t
E [to,t
nous aurions
l),

---

-82-
u " (t)
u(t)
y(t,u(t))
+ f(t,y(t,u(t)))
u(t)
-
a(t)
+ f(t,a(t))
<
f(t,a(t))
~ (D+a)'(t).
Par le lemme de ZYGMUND
(voir Annexe 1)
la fonction
+
t
--+
n I t.)
==
(D a-u') (t)
est strictement croissante.
Donc,
comme n(t
== 0,
nous aurions
o)
+
n (t)
==
(D a-u')t)
> 0
une contradiction avec
(1-2-53).
Donc, Vt E l,
(a-u) (t) ~ o.
Il n'est pas difficile de se convaincre de l'existence
d'une constante r
> 0
telle que pour tout À E [0,1]
et pour
chaque solution u de
(P )
on
ait
À
1 u ]
1
<
r.
C
(1)
Et le Théorème 111.1 assure alors l'existence d'une solution
u de
(Pl)
qui vérifie nécessairement la conclusion du Théo-
rème 1.14.
SECTION C.
EXISTENCE DES FONCTIONS v ET w
Nous allons maintenant établir des conditions qui vont
garantir l'existence des fonctions 0.,
i==1,2,3,4, v et w
l
requises dans les hypothèses
(H2)-(H6).
Dans toute cette section, si Il C
l, 5(1
désignera
1)
l'ensemble des solutions de
(1-0-2)
qui vérifient les estima-
tions
(1-0-3).
Soient t
et t
deux nombres réels tels que a ~ t
<
t
~ b.
1
2
1
2
Désignons par U*([t
l'ensemble
(éventuellement vide)
1,t2])
des u E C([t
qui satisfont à la propriété suivante:
1,t2])

---

-83-
(P*)
: Vt
E [t
Vt
E
(t
'Ix E S([t
la
3
l , t 2),
4
3,t2],
3,t4]),
relation x' (t
>
u(t
en t r a ne x' (t
> u(t
3)
3)
î
4)
4).
De même,
notons par
u*([t
le sous ensemble de
l , t 2])
C([t
constitué des fonctions u qui vérifient:
l , t 2])
(P*)
: Vt
E [t
vt
E
(t
'Ix E S([t
3
l , t 2),
4
3,t 2],
3,t4]),
l'inégalité x' (t
<
u(t
e n t r a n e x' (t
~ u(t
3)
î
3)
4)
4).
Nous avons
la caractérisation suivante
Lemme 1. 7.
[23].
Soi t u E C ( [t l ' t 2 ] ) •
(Al)
Si
u vérifie
la propriété
(C*)
V[t
c
[t
3,t4]
l , t 2]
'Ix E S([t
vt
l'égalité
3,t 4]),
s E [t3,t4],
x' (t )
== u(t )
implique x'(t
~ u(t
ou x' (t
> u(t
S
S
3)
3)
4)
4),
alors .. u est un élément de u*([t l,t2]).
(A
Si u vérifie
(C*)
2)
Vt
E [t
Vt
E
(t
'Ix E S([t
3
l , t 2),
4
3,t2],
3,t4]),
Vt s E [t
l'égalité x' (t
== u(t
en t r a n e
î
3,t4],
S)
S)
x' (t
> u(t
ou x' (t
~ u' (t
3)
3)
4)
4),
alors .. u E u*([t l,t2]).
Démonstration.
Nous donnons
la démonstration de la partie
(Al)
du lemme;
la partie
(A
se démontre de la même manière.
Procédons
2)
par l'absurde en supposant que u vérifie
(C*)
mais n'appar-
tient pas à u*([t
Puisque u ;
u*([t
l , t 2]).
l , t 2]),
3S
E [t
3S
E
(s3,t
ax E S([s3,s4]) tels que
3
l , t 2),
4
2],
(x'-u) (s3)
>
0 et
(xl-u) (s4)
<
o.
(1-3-1)
La fonction continue Il = x' - u vérifie Il (s3)
> 0
et Il (s4)
<
o.
Par le théorème des valeurs intermédiaires, i l existe
Ss E (s3,s4) tel que

---

-84-
Dès lors par
(C*), nous avons
x' (s 3)
~ u (s 3)
ou
x' (s 4)
~ u (s 4) ;
ce qui contredit
(1-3-1).
Le lemme est donc démontré.
Avant de continuer, rappelons que si t E l ,
u
E ~
o
0
et
lP E Car (1
x~),
le problème de Cauchy
u' (t)
= lP(t,u (t»
p.p.
t E l
u(t ) =
(1-3-2)
o
U o
admet une solution.
De plus,
l'existence d'une solution
maximale et d'une solution minimale peut être prouvée comme
pour le cas où lP E C(I x~)
(cf.
[11]
par exemple).
Dans
toute la suite si
(t
,u ) E I x ~ nous noterons par
+
0
_0
u
( . , t ,u ,lP)
(resp.
u
( . , t ,u ,lP»
la solution maximale
o
0
0
0
(resp.
solution minimale)
de
(1-3-2).
Donnons une autre caractérisation de u*([t
] )
et
l , t 2
de u*([t , t
l
2]).
Lemme 1.8.
[23].
Soient cr E~,
u E C([t
et
l , t 2])
lP E Car (1
x~).
A.
Supposons que
:
(Al)
f(t,x,y)
~ lP(t,y)
V(t,x,y)
E E
et que u vé~ifie
l'une des conditions:
(A
U-(.,t
existe dans
l.t Ln t e vv a l l.e
[t
et u(t)
2)
l,cr,lP)
l , t 2]
u-(t,t
vt E [t
l,cr,lP)
l , t 2];
(A
: u+(.,t
existe dans
l t i n t e nv a l.l.e
[t
et
3)
2,cr,lP)
l , t 2]
+
u(t)
= u (t,t
Vt E [t
2,cr,lP)
l , t 2].
Alors u E u*([t l,t2]).

---

-85-
B.Supposons que:
(B
f(t,x,y)
,;;;;; tp(t,y)
v(t,x,y)
E E
l)
et que u vérifie
l'une des
conditions:
(B
u+(.,tl,a,tp)
existe dans
[t
et
2)
l , t 2]
+
il (t)
= li
(t, t l ' cr ,<.p)
vt E [ t l ,t 2 ] ;
(B
u_(.,t
existe dans
[t
et
3)
2,a,tp)
l , t 2]
u(t)
= u_(t,t
Vt E [t
2,a,tp)
l , t 2].
Alors, u E U*([t l,t2]).
Démonstration.
Choisissons de démontrer la partie B du lemme,
la
partie A se démontre d'une manière analogue.
Soient t
E [t
t
E (t
et t
E [t
L
3
l , t 2),
4
3,t2]
5
3,t 4
Montrons que l'égalité
(1-3-3)
entraîne l'inégalité x' (t
,;;;;; u(t
(resp. x' (t
~ u(t
4)
4)
3)
3»
si
(B
et
(B
(resp.
(B
et
(B
sont satisfaites; en
l)
2)
l)
3»
vertu du lemme 1.7, la partie B de notre lemme sera démontrée.
D'ailleurs nous déduisons de
(B
que
l)
x" (t)
,;;;;; tp(t,x' (t»
p.p.
t
E [t
(1-3-4)
3,t 4].
Il résulte alors de
(1-3-3,4)
et de la théorie des inégali-
tés différentielles
(cf.
[47])
que
si
(B
est satisfaite et,
3)
si
(B
est satisfaite; ce qu'il fallait démontrer.
2)

---

-86-
Le résultat suivant permet d'obtenir une estimation
de la dérivée de chaque x E S(l).
THEOREME
1.15.
Soient
a.
:
1 --+ l ,
i=1,2,3,4, D.
:
j=1,2
1
J
comme dans
Za section A et soient v
: Dl --+~, W : D
--+~
2
vépifiant
(H
Si poup chaque
t
E l~
nous avons:
S).
o
v(t ,.)
E V(t
,al(t ),a
))
0 0 0
2(t 0
w(t ,.)
E W(t
,a
),a
)),
0 0
3(t
0
4(t 0
aZors~
pour chaque x E S(l),
v(t,t)
~ x' (t)
~ w(t,t)
vt E 1.
(1-3-S)
Démonstration.
Prouvons
(par l'absurde)
que vx E S(l),
v(t,t)
~ x' (t)
vt El;
(1-3-6)
l'inégalité x' (t)
~ w(t,t)
vt E 1 se démontre de la même
manière.
Supposons qu'il existe x E S(l)
et t
E 1 tels que
o
v(t ,t )
> x'(t
).
(1-3-7)
0 0 0
Alors, en vertu de
(H
et de la définition de
7)
V(t ,al(t ) ,a
)), nous avons
0 0 2(t
0

---

-87-
v(t ,.)
E U*([ol(t ),t J),v(t ,.) E U*([t ,02(t )J).(l-3-8)
o
0
0
0
0
0
Nous affirmons alors que les relations
(1-3-7,8)
impliquent
nécessairement l'inégalité
(1-3-9)
'"
Autrement i l existerait un t
E [al (t
,02(t
{t
1
o)
o ) ] '
o}
tel que
Si t
E [al (t
, t
nous utilisons la 'première relation de
1
o)
o)'
(1-3-8)
pour obtenir l'inégalité
x'(t ) ~v(t ,t ),
0 0 0
qui contredit
(1-3-7).
De même si t
E (t
J la
1
o,02(to)
deuxième relation de
(1-3-8)
permet d'avoir la contradiction
En conséquence
(1-3-9)
est bien satisfaite et dès lors,
puisque pour tout t E l ,
œ t.)
:S;;;x(t):s;;; B(t),
Ï
nous obtenons, grâce à
(H ) '
S
une contradiction qui prouve le théorème.

---

-88-
Soit ~ E Car(l x~).
Allons montrer que l'inégalité
If(t,x,y) 1 ~
~(t,y) V(t,x,y) E E
(1-3-10)
entraîne l'existence des fonctions a.
:
l
~ l,
i=1,2,3,4,
l
v : Dl ~~ et w: O
~~ du Théorème 1.15.
2
Lemme 1.9.
[23].
Soient r
l
~
(-00,0),
r
:
l
~
(0,+00),
1
2
f
E Car(E)
et ~ E Car(l x~)
telles que
(1-3-10)
soit
satisfaite.
Al.o r e ,
(Al)
i l existe
a.
:
l
~ l, i=1,2,3,4 avec a. (t )
<
a. (t ),
1 1 0
J
0
t
E [a. (t ),
o , (t )],
( i , j)
E {( 1 , 2) , (3 ,4) }, vt
E l ;
o
l
0
J
0
0
a . ( t )
= a.(t
,r
)),
j=3,4,
vt
E l.
J
0
J
0
2(t 0
o
w(t
,t)
= w(t,t
,r
)).
0 0
2(t
0
(A
Les
fonctions
ai'
i=1,2,3,4, v et w vél'ifient
les
hypo-
3)
thèses
(H
(H
(H
et
(H
2),
3),
4)
7).
Démonstration.
1.
Con~t~u~tion d~~ a., i=1,2 ~t d~ v.
- - - - - - - - - - - - - - - -
l
- - - - - - - -
Pour chaque t
E l, définissons ai(t ) '
i=1,2 comme
o
O
suit.
Si u+(.,t
(t
,-~) est défini et est strictement
o,r 1
o)
négative sur
[a,t
alors
o]

---

-89-
Sinon, puisque u+(t ,t ,ri(t ) ,-~) = ri(t ) < 0 et que
+
0 0 0
0
u
(.,t ,ri(t ) ,-~)
est continue, i l existe t
E [a,t ) tel
0
0
i
0
que u+(.,t
,ri(t ) ,-~) est définie sur [ti,t ] et vérifie
0
0
0
et
Posons alors
Maintenant si u+(.,t ,ri(t ) ,~) est définie et est
o
0
strictement négative sur
[t ,b],
nous définissons
o
+
Sinon, i l existe t
E
(to,b] tel que u
(.,to,ri(tO)'~)
2
est définie sur [t ,t
]
avec
o
2
et
nous posons alors
Il est clair que, par construction,

---

-90-
Nous définissons ensuite la fonction v par
+
u
(t,t ,r
(t ) ,-tÇl)
si t
E [al (t; ) , t ]
o
l
0
0
0
+
u
(t,t ,rl(t ),tÇl)
si t
E [t ,02(t )].
o
0
0
0
2.
Con~t~u~t~on de~ O.,
j=3,4 et w.
- - - - - - - - - - - - - - - -
J
- - - - -
Pour chaque t E l , nous définissons a .(t ),
j=3,4
o
J
0
comme ci-dessous.
Si
u-(.,t
) ,tÇl)
est définie sur [a,t
et
o,r 2(t O
o]
y est strictement positive,
nous posons
Sinon, i l existe t
E (a,t
tel que u-(.,t
) ,tÇl)
3
o)
o,r 2(t O
est définie sur [t
et vérifie:
3,to]
et
u-(t,t ,r
),tÇl)
> 0
Vt E
o
2(t 0
Nous posons alors
Si u-(.,t ,r
) ,-tÇl)
est définie et est strictement
o
2(t0
positive sur [to,b]
nous posons
Sinon, i l existe t
E (to,b] qui est tel que u-(. , t
,-tÇl)
4
o,r 2(t o)
est définie sur [t
et vérifie en outre
o,t 4]

---

-91-
et
u- (t,t ,r
(t ) ,-lI))
>
0
o
2
0
Nous posons alors
Par construction, 03'04
:
l ~ l et Vt
E l,
03(t
o
o)
<
04(to)
et 03(t ) ~ t
~ 04(t ).
0 0 0
Définissons enfin la fonction w par
u-(t,t ,r
) ,lI))
si t
E [03(t ) , t ]
o
2(t 0
0
0
u-(t,t ,r
) ,-lI))
si t
E l t, ,04(t )].
o
2(t0
0
0
3.
~~~~n~~q.~~e~_~~~_~e~~~~~e~~ (H
~~
2),
(H
(H
(H
3),
4)
7)·
Les conditions
(H.),
i=2,3,4 sont trivialement
l
satisfaites.
Il reste à vérifier
(H
Pour cela, i l nous
7).
suffit de prouver que
v(t ,.)
E V(t ,01(t ),02(t))
Vt
E l,
(1-3-11)
0 0 0
0
o
puisque la deuxième condition de
(H
se démontre de la
7)
même manière.
Pour démontrer
(1-3-11),
i l nous faut prouver
que pour chaque t E l ,
o
(1-3-12)
et
v (t ,.) E U* ([ t
,° (t )]).
(l-3-13)
0 0
2
0

---

-92-
De nouveau nous donnons la démonstration de
(1-3-12), celle
de
(1-3-13)
est semblable.
Soit donc t
E l.
Alors,
,02(t
o
VX E S([ol (t o)
o)])'
l'inégalité
(1-3-10)
nous permet d'écrire:
-tp(t,x' (t»
"xll(t) "<.p(t,xl(t))
p.p.
t E
[01(tO),02(to)].
(1-3-14)
Puisque par construction,
v(t
est bien définie et est continue sur
[01 (t
, t
o")
o)
o]
et dès lors l'appartenance de v(t ,.)
à U*([ol(t ) ,t ])
o
0
0
résulte de l'inégalité
et de la partie A du Lemme 1.8.
Ainsi est démontré le
Lemme 1.9.
En imposant des conditions supplémentaires à la fonc-
tion
tp
i l est possible d'obtenir une estimation de la
dérivée x' de toute fonction x E S(l).
Et pour cela, en
suivant le Théorème 1.15, i l suffit d'introduire des condi-
tions qui garantissent l'hypothèse
(H
Le résultat
S).
suivant tiré de [23] donne de telles conditions,
lorsque
la fonction tp est de la forme
tp(t,y)
=d(t)4J(y).
THEOREME
1.16.
Supposons qu'il existe 0
<
k
<
+00,
1 "
P "
+00, d
E LP(l),
4J E COR)
tels que
(i)
d(t) ;;;. 0
Vt E l ;
(ii)
4J (y)
4J(-y)
>
0
Vy E :IR;

---

-93-
(iii)
If(t,x,y) 1 ~ d(t)~(y)
V(t,x,y)
E E;
k
-1
1- p
(i v)
f
z(s)ds >
Idl
•
M
À
L P (I)
-1
où M = max S(t)
-
min a(t),
À
= M(b-a)-1 et z(s)
= s 1-p
(~ (s ) ) -1
l
l
Alors, Vx E 5(I), Vt E l i x ' (t) 1 ~ k.
Démonstration.
Cons idérons r.
: .I ~:IR,
j = 1 ,2 déf inies par
Vt E l,
J
r
( t ) = k.
2
En se servant du Lemme 1.9 et en écrivant explicitement les
solutions des problèmes de Cauchy
u'(t)
=d(t)<P(u(t))
p.p.
t E l
u(t )
r . ( t ) ,
j=1,2,
o
J
0
nous obtenons
Vt
E l
o
t
w(to,t)
= J-l(J(k)
-
1f
d t s j d s ] )
t o
et
v(t
,t)
= -w(t ,t)
o
0
-1
où J
est la réciproque de l'application
u
J (u )
= f
~ -1 (s) ds .
o
Par le Lemme 1.9,
les fonctions 0i' i=1,2,3,4, v et w satis-

---

-94-
font aux hypothèses
(H
et
(H
Et dès lors le
2)-(H 4)
7).
Théorème 1.16 sera démontré
(comme une conséquence du Théorème
1.lS)
si nous montrons que la condition
(H
) est vérifiée.
S
Et pour cela, comme
v (t
,t)
= -w (t ,t)
v t , t E l ,
o
0
0
i l nous suffit de prouver
(H
) pour w(t
S
o'.).
Soit donc t E l .
o
Si
et si
w(t ,t)
>
À
vt E l
o
nous obtenons
= M = max S(t) - min a(t) ~ S(04(t
-
a(03(t
o))
o)).
r
r
Si a
<
o3(t )
<
t
, alors, puisque w(t ,.)
est continue
o
o
0
et vérifie
w(t , t ) = k > À ~ w(t ,0
(t )),
o
0
0
3
0
le théorème des valeurs intermédiaires révèle l'existence
de t
E [03(t
, t
tel que
À
o)
o)
Dès lors,
k
fI.. z(y)dy =
t
-1
_ f 0 [w(t ,t) ]l-p
[<1> (w(t
,t)) ]-l d(t) <1> (w(t ,t) )dt
t
0
0
0
À

---

-95-
t
-1
= J 0 d(t).(w(t ,t)) 1-p
dt
t
0
À
S'il arrive que
alors par
l'hypothèse
(iv)
du théorème, nous obtenons la
contradiction
-1
k
1-p
M
<
J03 (t
Z (y) dy
.,;; 1 d 1
o)
L P (1)
Par conséquent
max s (t) - min a(t)
r
r
Le cas où 0
( t
)
< b
se démontrant de la même manière,
4
o
le théorème est bien démontré.

---

---

CHAPITRE II
CAS OÙ f EST DISCONTINUE
Soient, de nouveau,
a,S
I ~F deux fonctions continues
qui vérifient l'inégalité
a(t)
~ S(t)
Vt E I.
(2-0-1)
Pour chaque t E l , définissons w
cF par
t
W
= {u E F
: a (t)
~ u ~ S (t)}.
t
Soient ensuite
E = {(t,x,y)
: t E l , XEw
yEF}
t,
et f
: E ~F une application.
A partir de f,
nous définissons
deux autres applications f_,f+
E ~ F
par
v(t,x,y)
E E,
f+(t,x,y)
lim sup f(t,u,v)
(2-0-2)
(u,v)~(x,y)
f_ (t,x,y)
=
lim inf f(t,u,v).
(2-0-3)
(u,v)~(x,y)
Pour chaque t E l , f+(t,.,.)
est semi-continue supérieure-
ment
(s.c.s.)
tandis que f_(t,. ,.)
est semi-continue

---

-98-
inférieurement
(s.c.i.).
Si Il c
l, désignons par M(I l;R)
l'ensemble des fonctions numériques définies et mesurables
sur Il.
A l'aide de f±,
définissons une multi-application
l(I)
(ou application multivoque)
sur C
par:
Fu = [ f _ ( . ,u ( . ) ,u' ( . ) ) ,f + ( . ,u ( . ) ,u 1 (. ) ) ]
(2-0-4)
= {v E M(I;R)
p.p. t E l , fJt,u(t) .u ' (t)
< v It.) ~ f+(t,u(t) .u ' (t))}.
L'objet de ce chapitre est de montrer que la méthode
des sous et des sur solutions peut être utilisée pour
étudier
(1-0-2)
lorsque
(t,x,y)
~ f(t,x,y)
admet des discon-
tinuités en chacune des variables.
De manière précise,
en usant d'une technique utilisée récemment par M. FRIGON
[17]
nous prouvons que,
sous certaines conditions,
l'équa-
tion différentielle ordinaire multivoque
U Il (t)
E
( Fu) (t)
p.p.
t E l
(2-0-5)
admet au moins une solution u
(voir section A pour la défi-
nition)
qui vérifie les inégalités
(dt)
~ u t t ) ~ (3 (t)
Vt E
l
(2-0-6)
et les conditions aux limites non nécessairement linéaires
de la forme
L.(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
=0,
i=1,2
(2-0-7)
1
où Li'
i=1,2 sont des fonctions numériques continues qui
satisfont à des propriétés de monotonie.

---

-99-
SECTION A.
HYPOTHESES ET RESULTATS PRELIMINAIRES.
Commençons par préciser ce que nous entendons par
sous solution
(resp.
sur solution).
Définition 2.1.
(i)
a E C(I)
est appelée une sous solution
+
l
00
de
(2-0-5)
si D a E W '
(1)
et pour presque tout t E l ,
(ii)
De même S E C(I)
est dite une sur solution de
(2-0-5)
si D+S E Wl,oo (1)
et p.p.
t E l ,
Remarque 2.1.
Puisque Wl,oo(I)
C
C(I),
les fonctions
t ~ D+a(t), t ~ D+S(t) sont continues dans l = (a,b), et
dès lors a' (t) ,S' (t)
existent quel que soit t
E (a,b)
(voir Annexe l, Corollaire 1.2).
Définition 2.2.
Par solution de
(2-0-5), nous entendons
2,1(I)
toute fonction u E W
qui vérifie
(2-0-5).
Dans la formulation de nos résultats, nous supposerons
satisfaites les conditions suivantes
:
(hl)
Si les fonctions x et y sont dans M(I,~) alors
f_(.,x(.) ,y(.))
et f+(.,x(.) ,y(.))
sont aussi des
éléments de M(I,~) .
(h
Les fonctions a et S sont respectivement sous solution
2)
et sur solution de
(2-0-5).
l
(h
Pour chaque k
3)
>
0,
i l existe ~k E L (1)
telle que

---

-100-
1
quel
que
soit k
> 0,
i l
existe <Pk E L ( I)
tel que pour
chaque
(t,x,y)
E E avec
1
y 1
~ k , on a i t :
(h
Il existe ~
:
[0,+00)
~ (0,+00)
continue,
i l existe
4)
d E Loo(I)
telles que d(t)
~ 0
Vt E l e t ,
max { 1f _ (t, x , y) 1 ,If+ (t , x , y) I} ~ ~ ( 1Yi) • d ( t )
(2-1-3)
v(t,x,y)
E E et
+00 sds
J À ilST > 1d l · [max S (t) - min Ci(t)]
(2-1-4)
Loo(I)
l
r
avec
À (b-a)
= max{ 1S (a) - Ci (b) l, 1S (b) - Ci (a) 1}. (2-1-5)
La condition (h
est une condition de Nagumo.
Se référer
4)
à
[14,15,18,36]
et au Chapitre III pour d'autres formes
de cette condition.
Proposition 2.1.
Sous
les
hypothèses
(h
et
(h
i l existe
2)
4)
une
constante Co > 0 dépendant
seulement de
Ci J SJ d
et
~
I l
f
.
E W2, 1 ( )
. " .
te
e que pour toute
onct&on u
l
qu&
ver&f&e
(2-0-5)
et
les inégalités
(2-0-6)
nous avons
1 u' (t) 1
<
C
Vt E 1.
(2-1-6)
o
Notons que sous la condition
(h
pour chaque solution u
4),
de
(2-0-5,6), nous avons
1u" (t) 1 ~ max { 1 f ± (t, u (t) , u' (t.) ) 1 ~ d ( t) ~ ( 1 u' (t) 1)
p . p .
e e r ,
Dès lors,
la proposition 2.1 résulte directement du
Théorème 1.16.
Nous donnons néanmoins une démonstration
directe.

---

-101-
Démonstration de la proposition 2.1.
Grâce à
(2-1-4)
i l existe un réel K > À tel que
sds
- - >
min a (t) ) .
(2-1-7)
<P(s)
1 d l ·
(max S (t)
-
Loo(I)
l
r
Si t
E (a,b)
est tel que
(b-a) u' (t ) = u (b ) - u (b), alors
o
0
par
(2-1-5),
nous avons
lu' (t ) 1 ~ À.
Dès lors si
(2-1-6)
o
n'est pas satisfaite, i l existerait t
et t
avec
l
2
a ~ t
< t
~ b tels que les situations suivantes soient
l
2
réalis ab les.
(Si)
u' (t
= À, u'(t
= K et À < u' (t)
< K,
t
E
(t
l)
2)
l , t 2)
(s 2)
u' (t
= K,
u' (t
= À et À < u' (t)
< K,
t
l)
2)
E
(t l,t2)
(s 3)
u' (t
= -À,
u' (t
= -K et -K < u' (t)
< -À, t
E
(t
l)
2)
l , t 2)
(s 4)
u ' (t
=-K, u' (t
=-Àet-K< u' (t.)
< - À,
t
E
(t
l)
2)
l , t 2)·
Cependant dans chacune de ces situations, nous sommes con-
frontés à une absurdité.
Nous considérons la situation (sI)'
On procède de même pour les trois autres situations.
Supposons
(sI)
satisfaite.
Alors, pour presque tout
t
E [t
nous obtenons, grâce à
(2-1-3),
l , t 2],
lu"(t)lu'(t)
~d(t)<I>(u'(t))u'(t)
et donc
K
sds
1
K
sds
f À ~- If À ~ Hf:: u"(t)u'(t) dt 1
<p(u'(t))
t
t 2
21 u " (t) lu' (t)dt
~
~
f t l
<jJ(u'(t))
ft
d(t)u' (t)dt
1

---

-103-
Introduisons la multi-application F
définie par
'"
(Fu) (.)
= l f
(. ,u(.) ,u' (.)) ,f+(. ,u(.) ,u' (.))].
(2-1-8)
1
Un calcul donne, p.p.
t E l et Vu E C (1),
[(O+B)'(t)
v
f_(t,B(t),6(U'(t»),(O+B)'(t)
v
f + ( t , B ( t ) , 6 ( u ' ( t » ]
si u(t)
>
s t t )
[f_(t,B(t),6(U'(t»,(O+B)'(t)
v
f + ( t , B ( t ) , 6 ( u ' ( t » ]
si u(t)
= B(t)
>
ait)
[ f _ ( t , u ( t ) , 6 ( u ' ( t ) , f + ( t , u ( t ) , 6 ( u ' ( t ) ) ) ]
si a(t)
<
u(t)
<
B(t)
(Fu) (t)
[(O+a)'(t)
" f _ ( t , u ( t ) , 6 ( u ' ( t » ) , f + ( t , a ( t ) , 6 ( u ' ( t » ) ]
si
B(t)
>
u(t)
= ait)
[(O+a)'(t)
" f _ ( t , u ( t ) , 6 ( U ' ( t » ) , ( O + a ) ' ( t )
v
f + ( t , u ( t ) , 6 ( u ' ( t » ) ]
si u(t)
B(t)
a(t)
[ ( O + a ) ' ( t ) "
f
(t,Œ(t),6(u'(t»)),(O+a)'(t)"
f + ( t , , ( t ) , 6 ( u ' ( t ) ) ]
si u(t)
a(t)
<
B(t).
Proposition 2.2.
Supposons que
les hypothèses
(hl)
à
(h 3)
1(I)
1(I)
sont satisfaites.
Alol"s ..
la multi-application F: C
-+
L
définie
pal"
(2-1-8)
est e :c :e ,
(voil"
[49]) .. à u a l e u r
non
vides ..
convexes et
fermées.
Démonstration.
1°)
Par définition de F,
1
Vu E C (1), Fu n'est pas vide
(car
f±(.,U(.) ,u' (.))
'"
E Fu),
convexe et fermé.
1(I)
2°)
~~~~~~~q~_~~_~.
Soient u E C
et w E Fu.
Alors
p.p.
t E l ,
~
f
1 w ( t)
1
max { 1 ± (t, u (t , u' (t) ) 1 }
et dès lors par
(h
[w t )
~ étant indépendante de
3),
ï
1
~(j)(t).
u,
i l existe rI
>
0 telle que

---

-105-
En conséquence, puisque E
c
E
C
• • • ,
i l existe m
~ 1
1 E
2 E
o
tel que
1
(b-a)
-
E.c-
<
mes(E
).
m E
o
Soit n = n(E)
>
0 tel que mes(S)
<
n implique
'"
-1
f s ~(t)dt < E.4 .
-1
-1
Soient
o < Ô < m
,
C
>
max { E. n
, 2 (b-a) } .
o
1
Soit maintenant u E C (1)
tel que
lu-uol
1
<
Ô et
montrons que Fu c Fu
+ B , c'est-à-direC (1) quel que soit
'"
0
'"
E
W E Fu,
i l existe w
E Fu
tel que
Iw-w
1
1
<
E.
o
0
0
L (1)
Soit donc w E Fu.
Introduisons les ensembles
+
'"
G
= {t E r
w (t.)
>
f+(t,u
(t),u'(t))},
o
0
GO
'"
'"
= {t E r
f
(t,u
(t),u'(t))
~ w(t)
~ f+(t,u
(t),u'(t))},
-
0
0
o
0
'"
G
= {t E r
w (t)
<
f
(t,u
(t),u'(t))}
-
0
0
et posons
(
'"
G+
f+(t,u
(t),u'(t))
si t
E
l o 0
wo(t)
=
w (t)
si t
E GO
-
f
(t,u
(t),ul(t))
si t
E G .
-
0
0
Alors, par construction, W
E FU
o
o.
Si t E E
alors,
m E
o
[f_(t,u(t) ,u' (t)) ,f+(t,u(t) ,u' (t))] c
-1 '"
-1
c
(f
(t,u
(t) ,u' (t))
-
oc
,f+(t,u (t) ,u' (t))
+ E.C
);
-
0
0
0
0

---

-107-
(dt)
,.;; u (t)
vt E l,
l'inégalité u(t)
,.;; B(t)
vt E 1 se démontre de manière
analogue.
'"
Si
(a-u) (t.)
> 0
pour un certain t E l ,
la fonction
t
~ (a-u) (t)
admettrait un maximum strictement positif qui,
à cause de
(2-1-10), serait atteint en t
E (a,b).
D'Où
o
(a-u) '(t ) = O.
o
A cause de
(2-1-10)
et de la continuité de a-U,
i l existe
t
E
(to,b] tel que
(a-U) (t )
= 0 et (a-U) (t) > 0
1
1
Vt E [t
Nous déduisons alors de
(2-1-9)
et de la
o,t 1].
définition de Fu les inégalités: p.p.
t
E [t
] ,
o,t 1
u"(t)
,.;; u(t)
-
y(t,u(t))
+ f+(t,u(t),u'(t))
+
u I t.)
-
y(t,u(t))
+
(D a)'(t)
1\\
f+(t,a(t),o(u'(t)))
+
,.;; (D a)'(t)
1\\
f+(t,a(t),o(u'(t)))
c'est-à-dire
Par le Corollaire 1.1
(cf. Annexe 1), la fonction
t
~ (D+a - ut) (t) est strictement croissante sur l t ,t ) .
2
+
0
Comme (D a - ut) (t ) = 0, pour chaque t
E
(t ,t ) ,
nous
o
0
1
avons
+
(D
a - ut) (t)
>
0;
ce qui contredit
la condition

---

-109-
Nous osons affirmer que lu' (t)1
<
C
vt E 1
•
En fait,
0
par le théorème des accroissements finis,
i l existe
t
E
(a,b)
tel que
o
(b-a)u'(t)
u Ib ) -
u(a)
o
et dès lors en utilisant
(2-1-5)
nous voyons que
lu'(to)1
~ À <
So <
c.
Ceci implique l'existence d'un
intervalle contenant t
et sur lequel nous avons
o
iu"(t)1
~ d(t)cp(lu'(t)I).
Par la Proposition 2.1,
nous
avons l'inégalité lu' (t)1
~ c
<
S
<
C
sur cet intervalle.
o
0
Supposons maintenant lu' (t)1
>
C
pour un certain t E l .
o
Alors, puisque lu' (t )1
<
S
<
C,
par continuité,
i l existe
o
0
un intervalle Jo = [t
J c
1
tel que lu' (t ) 1 = So'
1 , t 2
1
1u' (t 2) 1 = c et
S
<
lu'(t)1
<
Ci
(2-1-11)
o
donc p.p.
t
E J i u " (t) 1 ~ d(t)CP (1 u' (t) 1).
o
Dès lors, par la Proposition 2.1,
1u' (t) 1 ~ c
<
S
, une
o
o
contradiction avec
(2-1-11).
Par suite Vt E l ,
1 u' (t) 1
~
c .
o
En conséquence
(Fu) (t)
= (Fu) (t) p.p. t E l et dès
est
une
solution de
(2.0-5) i
ce qui achève la démonstra-
tion de la Proposition 2.3.
SECTION B.
RESULTATS D'EXISTENCE
Le premier résultat de ce chapitre se rapporte à
l'existence de solutions de
(2-0-5)
qui vérifient les con-
ditions aux limites mixtes
L
= 0
(2-2-1)
1(u(a),u(b),u'(a),u'(b))

---

-111-
c I b ) ~ u Ib ) -
L
~ l3(b)
(2-2-6)
2(u(a),u(b))
répond aux conclusions du Théorème 2.1.
Comme, par cons-
truction et en vertu de la défi~ition de y,
toute solution
u de
(Pl)
est telle que
cdj)
~ u(j)
~ l3(j),
j
E {a,b},
par la Proposition 2.3 une telle fonction est en fait
solution de
(2-0-5)
et vérifie
(2-0-6).
Dès lors,
la démons-
tration du Théorème 2.1
se ramène à
l'établissement des
faits suivants
(i)
(Pl)
admet au moins une solution;
(ii)
Toute solution de
(Pl)
(qui vérifie donc
(2-0-6)
en vertu de la Proposition 2.3)
vérifie les inégalités
(2-2-5,6).
2°)
É~~~tg~~g_gg_~Q~~t~Q~~_QQ~~ (Pl).
Dans le but d'appli-
quer
[49, Théorème 3.8],
introduisons la famille de problè-
mes aux limites
( u" (t.) - u(t) E À [(Pu)(t) - y (t,u(t))]
p.p. t E l ,
~
(P
J u(a)
Ày(a,u(a) + L1(y(a,u(a)),y(b,u(b)),u'(a),u'(b)))
À)
lu(b) Ày(b,u(b) - L
,y(b,u(b))))
2(y(a,u(a))
ÀE[O,l],
1
1
l'opérateur linéaire L : AC ( I ) ~ L ( I ) x ~2, u ~ Lu =
(u"(.)-u(.) ,u(a) ,u(b)),
l'opérateur multivoque N : D(~)
=
1
1
C ( I ) x [0,1] ~ L ( I ) x ~2 défini par
N (u ( . ) ,À)
= À( (Fu) (.) - y ( . ,u ( . ) ) ,L 1 (u, a) ,L 2 (u ,b) )
où
LI (u,a)
y (a,u(a)
+ LI (y (a,u(a)) ,y (b,u(b)) ,u' (a) ,u' (b)))

---

-113-
vérifie
(2-0-6)
et donc les fonctions u - a et S - u sont
positives sur 1.
Prouvons d'abord
(2-2-6)
par contradic-
tion.
Si
u t b ) -
L
(u ( a ) ,u(b))
<
a(b),
2
(2-2-4)
donne
u (b )
= a (b) •
En utilisant la monotonie de L
,a(b))
et
(C{26)
nous
2(.
obtenons la contradiction
a(b)
>
u(b)
-
L
( u ( a ) , u (b ) ) ~ c Ib ) -
L
(u ( a ) , a (b ) )
2
2
De même, si
u Ib ) -
L
(u ( a ) , u (b ) )
>
S(b),
2
(2-2-4) donne u(b)
= S(b) et dès lors, grâce à (C{26)'
nous obtenons la contradiction
S(b)
< u Ib ) -L
(u ( a ) , u (b ) ) = S(b) -L
(u ( a ) , S (b ) )
2
2
~ 8(b) -L
( B ( a ) , B(b ) ) = B(b).
2
Donc u vérifie
(2-2-6)
et donc
(2-2-2).
Prouvons ensuite
(2-2-5).
Si
u(a)
+ L
<
a(a),
1(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
(2-2-3)
implique
u(a)
= a(a).

---

-115-
est à valeurs dans
[a(b) ,S(b) J, décroissante en xl et injec-
tive en x
De plus
2.
L
(a (a) ,a (b ) )
c tb ) -h(a(a))
== 0,
2
et
L
==
S(b) -h(s(a))
== 0;
2(s(a),S(b))
d'où notre assertion.
Prenons
et
Alors,
les conditions
(ct
) et
(ct
) deviennent
2 5
2 6
+
-
+ -
D
S(a) -0 S(b)
,,;;; 0";;; 0 a(a) -0 a(b),
a (a)
-
a (b )
==
S (a)
-
S (b) == o.
Le Théorème 2.1 contient le résultat suivant qui donne
l'existence de solutions périodiques pour
(2-0-5).
Corollaire 2.1.
Si
les hypothèses
(hl)
à
(h
et
les
4)
conditions
(ct 25 * ) et (ct
* )
sont e a t i e f a i t e e ,
i l existe
2 6
au moins une
fonction u E w2 , 1 (1)
qui vérifie
(2-0-6)
et qui est telle que
u" (t)
E
(Fu) (t)
p.p.
t E l
u(a)
-
u(b)
== 0
u ' (a)
-
u ' (b )
== O.

---

-117-
u" (t)
E
(Fu) (t)
p.p.
t E l
Ll(u(a),u'(a))
= 0
L
= O.
2(u(a),u'(a),u(b),u'(b))
Démonstration.
I l suffit d'appliquer
le raisonnement du Théorème 2.1
au problème modifié
u" (t)
E u (t.)
-
y (t, u (t))
+ (Fu) (t)
p.p.
t E l
u(a)
= y(a,u(a) -Ll{y(a,u(a)),u'(a)))
u Ib )
= y(b,u(b) -L 2(y(a,u(a)),u'(a),y(b,u(b)),u'(b))).
THEOREME
2.3.
Si
les
hypothèses
(hl)
à
(h
sont satis-
4)
faites
et si LI et L
sont comme dans
le Théorème
l.ll~ il
2
2
existe au moins une fonction u E W , l ( )
. , . f .
l
qu" ver" "e
(2-0-6)et qui est telle que
u" (t)
E
(Fu) (t)
p.p.
t E l
Ll(u(b),u'(b))
= 0
L
= O.
2(u(a),u'(a),u(b),u'(b))
Démonstration.
I l suffit d'utiliser
le problème modifié
u" (t)
E u (t.)
-
y (t, u (t))
+ (Fu) (t)
p.p.
t E l ,
u(a)
y (a,u(a)
-
L
(y (a,u(a)) ,u' (a) ,y (b,u(b)) ,u' (b))),
2
u(b)
y(b,u(b)
-
Ll(y(b,u(b)),u'(b))).

---

-119-
2,1(I)
Théorème
2.3~ il existe au moins une fonction u E W
qui vérifie
(2-0-6)
et qui est telle que
u"(t)
= f(t,u(t),u'(t»
p.p.
t E l
L
(u (b ) , u ' (b »
= 0
1
L
(u ( a ) , u ' ( a ) , u (b ) , u ' (b »
= O.
2
Corollaire 2.5.
Supposons que f
E Car (E)
et que
(h 3)
et
(h
soient satisfai tes.
Si
Li et L
sont comme dans
le
4)
2
Théorème
2.4~ il existe au mo&ns une fonction u E W2 , 1 ( I )
qui vérifie
(2-0-6)
et qui est telle que
u" (t)
= f (t,u (t) ,u' (t;)
p.p.
t E l ,
L
= 0
1(u(a),u(b),u'(a»
L
= O.
2(u(a),u(b),u'(b»
SECTION C.
LE CAS DE L'EQUATION x" = f(t,x).
Soient a,S E C(I)
telles que
(2-0-1),
w défini par
(1-2-50)
et soit f une fonction numérique définie sur w.
Soient f+ et f_ définies à partir de f par
(2-0-2)
et
(2-0-3)
respectivement.
Pour chaque u E C(I), définissons
Gu(.)
= [f_(.,u(.»,f+(.,u(.»]
(2-3-1)
et introduisons le problème
u"(t)
E
Gu(t)
p.p.
t E l
(2-3-2)
pour lequel i l est possible d'établir quatre résultats
généraux qui correspondent aux quatre paires de conditions

---

-121-
Alors~
2,1(I)
i l existe au mo~ns une fonction u E W
qui vérifie
(2-0-6),
(2-2-1,2)
et
(2-3-2).
Démonstration.
Considérons
f(t,x)
= f(t,y(t,x))
'"
'"
(Gx) (.)
= [f _ ( . , x ( . ) ) , f + ( . , x ( . ) ) ]
et introduisons le problème
'"
u" (t)
E u ( t)
-
y (t, u (t))
+
(Gu) (t)
p.p.
t E l
(2-3-5)
u(a)
= L
1 ( a ) , u ' ( b ) )
1(u(a),u(b),u
u Ib )
L (u (a ) , u (b ) ) .
2
Alors,
en procédant comme pour la démonstration du Théorème
2.1,
i l est facile de se convaincre des faits suivants
1(I)
1(I)
(i)
G : C
~ L
en temps qu'opérateur multivoque
est s.c.s., borné et est à valeurs non vides,
convexes et
compactes.
(ii)
Toute solution éventuelle de
(2-3-5)
qui vérifie
(2-0-6)
répond aux conclusions du Théorème 2.5.
En notant
que dans le cas du Théorème 2.1,
les hypothèses
(D+a) , E Loo(I)
et
(D+S)'
E Loo(I)
n'ont été utilisées que pour garantir
'"
'"
l'existence des fonctions f_ et f+ et pour démontrer les
estimations
(2-0-6), à part la démonstration de
(2-0-6),
la preuve du Théorème 2.5 est identique à celle du Théorème
2.1.
Aussi proposons-nous de ne transcrire que la démonstra-

---

-123-
< f_(t,a(t)),,;;
(D+a)'(t),
c'est-à-dire
+
(D a - u ' ) ' ( t )
>
0
+
Par un résultat de ZYGMUND,
la fonction t --+ 11 (t)
= (D a - u') (t)
(qui,
précisonsbien,
est continuel)
est strictement croissan-
te sur [to,t
Dès lors, comme 11 (t
= 0 en vertu de
1].
o)
(2-3-7),
pour chaque t
E (to,t
nous avons
1)
l1(t)
>
0;
ce qui contredit
(2-3-8).
En conséquence, u vérifie
(2-3-6),
et donc aussi
(2-0-6).
Le théorème est donc
prouvé.
Corollaire 2.6.
Supposons
que
f
E Car(w)
et que
les
hypo-
thèses
(h
et
(h
du Théorème
2.5 soient satisfaites.
2)
4)
7
" 7 '
•
f "
2,1()
"
A~ors
~~ ex~ste au mo~ns une
onct~on u
E W
l
qu~
vérifie
(2-0-6)
et
qui est telle que
u"(t)
= f(t,u(t))
p.p.
t E l ,
L1(u(a),u(b),u'(a),u'(b))
= 0,
L
=0.
2(u(a),u(b))

---

DEUXIÈME PARTIE
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
PARTIELLES

---

CHAPITRE III
UN PROBLËME SEMI-LINÉAIRE DE TYPE ELLIPTIQUE
INTRODUCTION
Dans cette dernière partie de notre travail,
nous nous
intéressons à la recherche de solutions des problèmes semi-
linéaires de la forme
Lu(x)
= f(x,u(x) ,Vu(x)),
x
E
st
(2-0)
du
g(x,u(x)'dv(x))
= 0,
x E ast
où st est un ouvert borné de l'espace euclidien ~n,
(n ~ 2),
dont la frontière ast est assez régulière, f et g sont des
applications numériques définies sur ast x ~ x ~n
et
ast x ~ x ~n respectivement, Vu est le gradient de u, v est
h
d
l
~.
a' '\\ n
du
t
l
un camp
e vecteurs norma
exterleur
0 "
et dv es
a
dérivée normale extérieure de u
: st ~~.
Lorsque f est une fonction holdérienne,
(2-0)
a été
étudié par H.
AMANN [5]
avec f
indépendante de Vu, AMANN
et GRANDALL [6]
avec les conditions aux limites
u = 0
sur
du
u = dv + bu
sur

---

-127-
Muni de la norme
lui s
W (S)
p
WS(S)
est un espace de Banach
(voir
[5,41]).
P
Soient a ..
:
~ ~m des fonctions continues et suppo-
1J
sons qu'il existe M > 0 tel que
n
L
a .. (x)t.t. ~ Mltl2
(2-1)
i,j=l
1J
1
J
n
pour tout t
E m e t x E ~ et soit L l'opérateur elliptique
n
a2
L
=
L
a .. (x)
•
1J
ax ax .
i,j=l
i
1
J
Soit v :
a~ ~mn le champ de vecteurs normal extérieur
à
~ et du/dv la dérivée normale de u : ~ ~m.
Soit
n
f
: ~ x m x m
~ m une application.
De f,
nous déduisons
n
deux nouvelles applications f+
: ~ x m x m
~ m définies
par : Vx E ~ 'tf (x, u , v) E wx :IR ;; :IR n ,
f
(x,u,v)
= lim inf
f(x,u,v)
(u,v)~(u,v)
f+(x,u,v)
= lim sup
f(x,u,v)
(ü,v)~(u,v)
Alors,
'tfx Est,
f
(x,.,.)
est
semi-continue
inférieurement
( s . c . i . ) ,
f+(x,.,.)
est semi-continue
supérieurement
(s.c.s.).

---

-129-
(gl)
Il existe 0 > D tel que
'rlx E ost,
'rl(u,v,w)E JR3,
2
olv-wl
~ (g(x,u,v) - g(x,u,w)) (v-w).
Par
s o l u c i o ti
de
(Pl) nous entendons toute
fonction
2
u E W ( st ) qui
vérifie
(2-3) et (2-4).
p
La condition (f
)
fait
partie des conditions dites
3
de Nagumo et permet d'obtenir une estimation de maxIVu(x) 1
ri
en terme de maxlu(x) 1. Différentes formes de cette condition
n
ont été utilisées par LADYZHENSKAYA D.A.
et URAL'TSEVA N.N.
1281.
Pour le cas des équations différentielles ordinaires,
le lecteur intéressé consultera avec profit J. MAWHIN
1361,
C.
FA13RY
1151.
Dans cet ordre d'idée,
le Lemme 2.1
suivant,
tiré de
F.
INKMANN
125, Lemme 1, Prop. 11 et de H. AMANN 15, §.31,
nous sera très utile.
oo
LEMME 2.1.
Soient
a €
L ( s-2 ) et bE Wl-l/p
(ost).
p
Le
problème
aux
limites
2
Lu(x)
- u f x ) = a I x ) (1
+
IVu(x)1
) ,
x
E st
du
(x)
+ U\\X)
b ( x ) ,
x E ost
(2-5)
dv
admet
exactement
une
solution
u E W2
(st).
De
plus,
i l
p
ex i ste
une
fan c t ion
y
:
JR + - - > JR
dép t) n dan t
o
seulement
de
L,
v, st,
n
et
p
qui
est
croissante
en
chacune
de
ses
composantes
et
qui
est
telle
que
:
y 0
(1 aiL 00 ( st) ,lb ! L00 ( 0 st »)
(1
+ 1 b 1w1 - 1 / p (0st) )
P
Puisque p > n,
toute fonction u E w~ (st) est deux fois
différentiable au sens usuel presque partout sur st (cf.

---

-131-
et s i x
E art,
o
d8 i
g (x ,8. (x ) ' - d (x))
#
o.
(2-8' )
o
l
0
V
0
Le résultat d'existence que nous voulons prouver est le
THEOREME 2.1.
Outre
les hypothèses
(f
)
et
(gl)~ supposons que
l ) - ( f 3
(Pl)
admet une sous solution a et une sur' solution 8 telles
que a(x)
..;; 8(x)
'v'xE
rt.
Al.o r e ,
(Pl)
admet au moins une
2(rt)
solution u E W
telle que
p
a(x)
..;; u(x)
..;; 8(X)
'Ix E rt.
(2-9)
La démonstration de ce théorème utilise un résultat
essentiel que nous devons établir.
Supposons les hypothèses du théorème satisfaites.
Déf inissons y :
I
x
JR -+ JR continue par
y(x,u)
= max[a(x),min(u,8(x))]
(2-10)
n
et introduisons la modification f
I
x JR
x JR
-+ JR de
f
par
(L 8) (x)
v f(x,B(x) ,v)
si u #
B(x)
f(x,u,v)
=
f(x,u,v)
si a(x)
<
U
<
B(x)
{ (La) (x) /\\ f (x, a (x) , v) si u ..;; a (x)
où zl
/\\ z2 et zl v
z2 représentent respectivement le plus
petit et le plus grand élément de la paire {zl,z2}.
Alors,
'Ix E rt,
f_(x,.,.)
est s.c.i.
et f+(x,.,.)
est
s.c.s.
Soit F
Cl(~) -+ LP(rt) définie par
Fu ( . )
(f_(. ,u (.) , vu ( . ) ) ,f + (. ,u (.) , vu (.) )].

---

-133-
~
~
Fu C Fu
+ BE où BE est la boule centrée à
l'origine 0 et de
O
rayon E de LP(n).
Pour cette fin,
pour chaque entier naturel
m ~ 1 et pour chaque v E JRn + ' . définissons
D
= {x E n
mv
C
Π(x,u (x))
-
0
où d est une constante positive qui sera précisée ultérieure-
ment et u (x) = (u (x), Vu (x)).
Alors, 0
et E
-
n
0
o
0
0
mv
mE -
V8Rn+1
mv
sont mesurables, en vertu de
(f
De plus Dl
1).
C
O2 C •••
~
~
E
E
et f_(x,.)
et f+(x,.)
étant respectivement s.c.i. et s.c.s.,
00
U
E
= n.
Dès lors,
i l existe un entier m
~ 1 tel que
m=l
mE
0
mes (n)
- E.d-1 < mes (E
) •
(2-11)
m E
o
Soient n = n(E)
>
0,
0 et d tels que:
mes(S)
<
n => J
(2-12)
S
o
-1
-1
l/p
<
0 <
m
d > max {E.n
,2(2mes(n))
}.
(2-12*)
o
Soit u E Cl (ri)
telle que
lu - u
1
1 _
< 0
et soit
o C
un
w E Fu.
Il nous faut trouver w
dans Fu
tel que
o
0
Iw - w 1
<
E.
o LP(n)
Soient, pour cette fin,
0+ = {x E ~ : w(x)
>
f+(x,u
(x),Vu
(x))},
o
0
~
{x E ~ : f_(x,uo(x),vuo(x)) ~ w(x) ~ f+(x,uo(x),vuo(x))},

---

-135-
Démonstration du Théorème 2.1.
Nous allons procéder en deux étapes.
Dans la première
étape,
nous introduisons un problème modifié pour lequel
nous montrons que toute solution éventuelle vérifie
(2-9)
et
est, de ce fait,
une solution du problème initial
(Pl).
Dans la deuxième étape, nous utilisons le degré de coïncidence
relatif aux opérateurs multivoques
(cf.
[44,49])
pour montrer
l'existence d'au moins une solution du problème modifié.
EE~~~~E~_~~~E~· b~_e~Q~~~~~_~Q~~6~~_~~_~~~_e~~e~~~~~_e~~~
le~ ~olution~ éventuelle~.
Considérons la fonction g
a~ x:ffi x :ffi --+:ffi définie par
g(x,u,v)
= y(x,u) - g(x,y(x,u) ,v).
Introduisons le p~oblème modi6ié
{LU(X) E u(x) - y(x,u(x»
+ (Fu) (x)
p.p.
x E ~
~
du
u(x)
g (x,u (x) 'dv (x))
'Ix E a~.
Montrons que le~ ~olution~ éventuelle~ de
(Pl)
~ont au~~i
des solutions du problème initial
(Pl)'
D'abord,
toute
solution u E W~(~) de (Pl) vérifie
a(x)
~ u(x)
~ B(x)
'Ix
E ~.
Nous allons montrer que u(x)
~ B(x)
'Ix
E ~;
l'autre inéga-
lité se démontre de la même manière.
Supposons que u(x)
>
S(x)
pour un certain x E ~.
Alors,
la fonction u - S admet un
maximum strictement positif,
atteint en x
E~.
Dès lors,
o
u (x
)
-
B(x )
>
o
o
0
(2-13)
{
u (x ) -
B(x ) ~ u (x)
-
B(x)
'Ix
E ~.
o
0

---

-137-
2
-
positive etunncrobrefini de fonctions
8.
E W (U
n st)
l
co
1 ~ i
~ s qui vérifient
(2-13)
et les relations
8 (x)
min
8. (x)
VX E U n st,
l
l~i~s
(L8.) (x)
~ f+(x,8. (x) ,1l8. (x)), VX E U n st, (2-16)
1 1 1
2
(l
(u -
8) (x)
~ 0
Vx E V.
(2-17)
(lx.
(lX.
l
J
Soient x E V et 1 ~ i
~ s tels que 8(X)
= 8. (x).
Nous dé-
l
duisons de
(2-1)
et de
(2-17)
l'inégalité
(L8. ) (x)
;;<;
(Lu) (x) .
l
Donc
(L8. ) (x)
;;<;
(Lu) (x)
l
;;<; u(x)
-
y(x,u(x))
+ f
(x,u(X),IlU(X))
= u(x) - 8.(x) + (L8.)(x) v f
(x,8.(x),llu(x))
l
l
-
l
Cette contradiction prouve que u(x)
~ 8(x)
Vx E st.
Comme,
par la même argumentation,
on se convainc de la véri-
dicité de la relation a(x)
~ u(x)
Vx E ~, u vérifie (2-9).
Maintenant,
puisque u vérifie la relation
(2-9),
i l
n'est pas difficile de voir qu'elle est solution de l'inclu-
sion différentielle
(Lu) (x)
E
(F lU) (x)
p.p.
x E st,
où Fi est un opérateur multivoque qui vérifie

---

-139-
que nous mettons sous la forme abstraite
2
Lu(x)
E N(U(X) ,À),
I.E
[0,1] u E W (~), x E ~,
P
avec L
D (L)
x
Wl - l / p (a~)
p
Lu
N(u(.),À)
= OFu(.) -Ày(.,u(.),h(.,u(.),À))
où h est l'application continue définie par
v = h (x,u,À) -
(1-1.) sv + Àg (x,y (x,u (x)) ,v) + U -
Ày(x,u) = o.
(2-18)
L'application linéaire L est de Fredholm d'indice zéro,
bijective et L- l est compacte.
L'opérateur multivoque N
est semi continu supérieurement, à valeurs non vides, convexes
et fermées.
En outre, N est borné sur les parties bornées
1
-
de
C (~)
x
10,11.
Il en résulte
~-
,......,,-
que N est une L -
0 -
n-contraction
(cfr.
[49])
sur toute
partie bornée de Cl (Il) x [0,1].
En conséquence,
l'existence
d'au moins une solution pour
(Pl)
sera assurée par [49,
Théorème 3.8] si l'ensemble des solutions de
(PI.)
est borné
dans l'espace Cl (Il) ,
indépendamment de À E [0,1].
Soit À E [0,1]
et soit u E W~(~) une solution de (P À).
Alors~ u est bornée dans l'espace C(Il).
D'ailleurs, pour
À = 0 l'unique solution de
(PI.)
est 0
(cf.
[6,25])
et lors-
que À = l, en vertu de la première étape, u est bornée dans
l'espace C(I).
Supposons donc À E
(0,1)
et soit x
E ~
o
tel que u(x
= m~x u(x) .
o)
~
Si x
E a~, ddu(x ) ~ 0 et, grâce à la propriété de décrois-
o
\\!
0
sance de é (.) - g (x,u,.),
nous obtenons

---

-141-
Par passage à
la limite dans
(2-20), nous obtenons
u (x ) .,;;; c
+ D + max { 1 Lai
,IL 6 1
}
c .
o
1
00
00
L
L
Ainsi, u(x)
.,;;; c
Vx E~.
Comme on montre de même que
u(x)
~ -c
VX E ~, la fonction est bornée dans l'espace
C(~), indépendamment du paramètre À E (0,1).
L'étude faite dans le paragraphe précédent montre l'ex-
istence d'une constante cl
>
0 telle que
m~x
(2-21)
1 u (x)
1
<
cl·
~
Soit h
:
a~ ~~ l'application définie par h(.) =
h(. ,u(.) ,À)
avec h définie par
(2-18).
La fonction
h(.,. ,À)
est localement lipschitzienne.
En fait,
si
x,x
E a~, u,u
E ~ et si v et v
sont définis par
v = h(x,u,À),
-r : h(x-,u-,À),
d
= u - À y( x , u ) ,
en utilisant successivement
(2-18),
(gl)
et le fait que
g(.,.,v)
et y sont respectivement lipschitzienne et loca-
lement lipschitzienne, nous obtenons k
et k
>
0 tels que
1
2
+ À (g (x, u , v ) - g (x- , u - , v -) ) (v-v )

---

-143-
est assurée par le Lemme 2.1.
n
Définition.
f :
SI
x:IR
x:IR
-+:IR est dite de Ca r a t h é o d o r u
p
.
pour L -
S1.-
(i)
p.p.
x E SI,
f(x,. ,.)
est continue,
n
(ii)
V(v,w)
E R x R , f(.,v,w)
est mesurable,
(iii)
Vk > 0,
3~k E LP(SI) telle que
If(x,v,w)
~ ~k(x)
1
p.p.
x E SI et V(v,w)
E R x Rn avec Ivl
~ k et Iwl ~ k.
Il est clair que pour une telle fonction,
les conditions
(f ) et
(f ) sont satisfaites.
De plus, p.p.
x E SI,
l
2
f
( x , . , . )
f+ (x, • , .)
= f (x, • , • ) ,
de telle sorte que
(2-3)
devient
Lu(x)
= f(x,u(x) ,V'u(x))
p.p.
x E SI,
(2-22)
tandis que
(2-7)
et
(2-7')
deviennent respectivement
(La.) (x)
~ f(x,a. (x) ,V'a. (x))
p.p.
x E SI n D,
(2-23)
l
l
l
(LB.) (x)
~ f(X,B. (x) ,V'B. (x))
p.p.
x E SI n D.
(2-23 1 )
l
l
l
Une
sous
solution
a
(resp.
sur
solution
B) est définie
comme dans la définition 1 avec
(1-7)
(resp.
(2-7'))
rem-
placée par
(2-23)
(resp.
(2-23')).
n
Corollaire 2 .1.
Soient
f
:
SI
x :IR x :IR
-+:IR
une
fonction
de
Ca r a t h o do r u qui
vérifie
(f
) , g
:
aSl
x:IR
x :IR -+:IR une
appli-
é
3
cation
lipschitzienne qui
vérifie
(gl).
S'il
existe une
sous
solution a
et une
sur
solution
B de
(2-22)
telles que

---

-145-
(h
f
vérifie
(f
) ;
2)
3
(h
g
vérifie
(gl).
3)
Alors
le problème
(2-24)
admet au moins une solution
3
u qui est telle que
o t x)
,.;; u(x)
,.;; l3(x)
"Ix E: ri.
(2-25)
Démonstration.
Introduisons y :
l
x
R ~ R continue comme dans la sec-
tion B et procédons par un argument de type Leray-Schauder
via la famille de problème aux limites
Lu(x)
-
u(x)
= À[f(x,y(x,u(x)),'i7u(x))
-
y(x,u(x))]
{
du
du
du
u(x)
+odv(x)
= À[y(x,u(x)) +odv(x) - g(x,y(x,u(x))'dv(x))]
À
E:
[0,1].
(2-26-À)
Il est facile de voir que toute solution de u de
(2-26-1)
qui vérifie les estimations
(2-25)
est solution de
(2-24).
Dès lors,
le théorème 2.2 sera prouvé, si nous montrons que
les assertions suivantes sont vraies
:
(i)
Toute solution de
(2-26-1)
vérifie
(2-25);
(ii)
(2-26-1)
admet au moins une solution.
a)
Iq~!~_~q~~!{q~_~~~~!~~~~~_~_~~_S~:~§:!~
__ ~~~{6{~_S~:~~~.
Montrons par l'absurde que "Ix E: ri ,
la relation u(x)
,.;; 13 (x) , x E: ri se démontre de la même manière.
Supposons a(x)
>
u(x)
pour un certain x E:~.
Alors,
la fonc-
2
tion a - u E: W (ri)
admet un maximum strictement positif,
p
-
atteint en x
E:
ri.
En procédant comme dans la démonstr<t:ion
o
du Théorème 2.1, on se convainc que x
E:
ri
et, en utilisant
o
le Lemme 2.1 et le fait que a est une sous solution,
nous

---

-147-
lui 2
<
c.
W (rl)
p
2
l
-
L' inj ection de W (rl)
dans C
(rl)
étant compacte, i l exis te
p
cl > 0 tel que
1 u 1
l _
<
cl·
C
( rl)
Pour tout a E C(Q)
et pour tout b E C(aQ),
la théorie
des équations elliptiques linéaires nous enseigne que les
problèmes aux limites
Lu(x)
-
u(x)
= a(x)
du(x)
= 0
dv
et
Lu(x)
-
u(x)
0
du(x)
= b(x)
dv
admettent une solution unique K(a)
et S(b)
respectivement.
l
De plus K(a)
et S(b)
sont de classe C
sur Q et,
u = K(a)
+ S(b)
l
-
est l'unique solution dans C (Q)
du problème aux limites
Lu(x)
-
u(x)
a(x)
du(x)
= b(x).
dv
En outre,
les opérateurs linéaires continus
K

---

ANNEXE 1
DÉRIVÉES DE DINI ET fONCTIONS MONOTONES
Soient a E::R, b E::R avec a
<
b, 1= [a,b], ~:
I-+::R
et t
E (a,b).
Posons::R =::R U {+oo,-oo}.
Les quatre nombres
de DINI de la fonction ~ au point t
sont, par définition:
o
~(t +h) - ~(t )
+
o
0
D ~ (t )
= lim sup
o
h
+
h-+O
~(t +h) - ~(t )
o
0
lim inf
h
h -+ 0+
~(t +h) - ~(t )
o
0
D ~ (t
)
= lim sup
o
h
h-+O
~(t +h) - ~(t )
o
0
D ~ (t )
= lim inf
-
0
h
h-+O
+
-
Les fonctions D ~,D+~
:
[a,b)
-+::R et D ~, D ~
(a,b]-+::R
s'appellent les dérivées de DINI de la fonction~.
Pour les
propriétés des dérivées de DINI, prière de consulter
Mc
SHANE
[38].
Dans toute la suite, nous dirons que ~ est croissante,
strictement croissante, décroissante,
strictement décroissan-

---

-151-
(3)
Les relations
(1)
et
(2)
impliquent que t
E z+; donc
o
(4 )
D'un autre côté,
en utilisant les relations
(2)
et
(3),
nous obtenons
tp(t +h) - tp(t )
o
0
lim sup
h
h -+ 0+
tp(t +h) -
Y
=
o
0
lim sup
..;; 0,
+
h
h-+O
soit D+tp(t ) ..;; 0,
une contradiction avec
(4).
o
Remarque.
1°)
Puisque les relations
(2)
et
(3)
impliquent
que D+tp(t
..;; 0,
la conclusion du Lemme de ZYGMUND reste
o)
vraie si l'ensemble z+ est remplacé par
2°)
De même,
l'ensemble Z+ peut être remplacé par
Z
= {t E I; D tp(t) > O}
ou Z
= {t E I; D-tp(t) > O}.
Le seul changement à faire
dans la démonstration est de prendre t
= inf E.
o
Le résultat suivant donne une condition nécessaire et
suffisante pour une fonction continue d'être monotone.
THEOREME 1.1.
Soit tp :
l -+E une
fonction
continue.
Posons

---

-153-
Z+ = {t E Ii D+IjI(t)
> O}.
+
+
+
+
Comme Q
c
Z , nous avons 1 , Z
c l ' Q.
L'ensemble
1 ,
Q+ étant de mesure nulle
(par hypothèse),
i l en est de
+
+
même des ensembles 1 ' Z
et 1jI(1 ,
Z ).
Par le lemme de
ZYG-
MUND, la fonction
JjJ est croissante
sur 1.
Le réel E
>
0
étant arbitraire,
la fonction ~ est sûrement croissante
aussi sur 1.
Corollaire 1.1.
Soit ~
1
~E une fonction continue.
Posons
Alors~ une condition qui est suffisante pour que la fonction
+
~ soit strictement croissante sur 1 est que l'ensemble 1 , p
soit de mesure nulle.
Démonstration.
+
°t
Supposons que l'ensemble 1 , p
SOl
de mesure nulle.
Par le Théorème 1.1,
la fonction ~ est croissante sur 1.
Si elle n'est pas strictement croissante, i l existerait
t
E l, t
E 1 avec t
<
t
et ~(tl) = ~(t2)' dès lors la
l
2
l
2
fonction ~ serait constante sur [t
En conséquence,
l , t 2].
on aurait ~I (t)
= 0 PflotE [t
ce qui est contraire au
l , t 2]i
fait que l'ensemble 1 ,
p+ est de mesure nulle.
On obtient des résultats similaires pour les fonctions
décroissantes en considérant -~ au lieu de ~.
+
Il est clair que les quatre nombres de DINI, D ~(to)'
D+~(t ), D-~(t ), D ~(t ) peuvent être finis sans que la
o
0
-
0
fonction ~ soit dérivable en t .
Nous avons néanmoins
o
l'important résultat suivant.

---

ANNEXE II
FONCTIONS A VARIATION BORNEE
Soient a E ~ et b E ~ tels que a < bi posons l
= [a,b].
Par une subdivision finie de 1, nous entendrons toute suite
finie de nombres réels x = (x.), 1 ~ i ~ n, n ~ 1 telle que
l
•••
<
X
= b.
n
Pour la circonstance, désignons par S(I)
l'ensemble des
subdivisions finies de l'intervalle 1.
Pour toute fonction ~ : l
~~ et pour toute subdivision
finie x de 1, définissons V(~,x) par
n
V(~,x) =
z
1~(xi+1) - ~(xi) 1.
i=l
Définition II.1.
(i)
La variation totale
de la fonction
~ : l ~ ~ est l'élément de JR = ~ U {+oo,-oo} défini par
sup
V(~,x).
xES(I)
(ii)
La fonction ~ : l ~ ~ est dite à variation bornée
sur l
si sa variation totale sur l
est finie.

---

-157-
t 2
~(t2) - ~(t1) ~ ft
g(s)ds.
(II-2)
1
Démonstration.
1°)
(i)
~ (ii).
Soit ~ E BV-(I).
Par la propriété d),
~ admet la
décomposition
t
~(t)
fa (p(s)ds + e(t)
Vt E l
1(I).
où e
:
l
~~ est décroissante et (p E L
Soient
t
E [a,b] et t
E [t
Alors la fonction e étant dé-
1
2
1,b].
croissante, nous obtenons
t 2
~(t2) - ~(t1) = ft
(p(s)ds + e(t
- e(t
2)
1)
1
Il suffit donc de prendre g = ~.
2°)
(ii)
~ (i).
1(I)
Supposons qu'il existe une fonction g E L
telle
que Vt
E [a,b], Vt
E [t
on ait
1
2
1,b]
t 2
~(t2)
-
~(t1) ~
g(s)ds.
(II-3)
f t 1
1
t
Puisque gEL
(1),
la fonction t
~ f
g(s)ds est absolument
a
continue et dès lors, par la propriété c), elle est à varia-
tion bornée.
Définissons la fonction n :
l
~~ par
t
n (t)
= f
g(s)ds -
~(t),
t E r .
(11-4)
a
Alors Vt
E l
avec t
<
t
nous avons, grâce à
(11-3),
1,t2
1
2,

---

-159-
Corollaire ILL
[42].
Soient tp E BV (1).
A l.o r e -tp et
la
fonction
tp :
l -+:IR définies p a r tP(t)
= tp(a+b-t)
sont des
éléments de BV+(I).
Démonstration.
Soit tp E BV
(1).
Alors
1°)
-tp E BV+(I).
En effet par le Théorème II.1,
i l existe
une fonction g E Ll(I)
qui est telle que
t 2
tp(t
-
tp(t
~ ft
g(s)ds
vt
E r , vt
E
[tl,b].
(II-6)
2)
l)
l
2
1
En multipliant par -l, nous obtenons
et ceci, quels que soient t
E l et t
E [tl,b].
Il résulte
l
2
alors du Théorème II.2 que -tp E BV+(I).
~
+
2°)
tp E BV
(1).
En effet si t
E
r et t
E [t
b]
nous
l
2
l,
avons que a + b - t
~ a + b - t
et dès lors, par la relation
2
l
(11-6),
nous obtenons
tp(a+b-t
-
tp(a+b-t
l)
2)
t
a +b - t l
2
~
g(s)ds
g(a+b-s)ds.
f
f
a+b-t
t
2
l
D'où
~
t 2
tP(t
-
tp(t ) ~ f
-g(a+b-s)ds.
2)
1
t
1
Comme -g(a+b-.)
E Ll(I), le fait que tp E BV+(I)
résulte du
Théorème II.2.
Corollaire II.2.
Soient tp E BV-(I)
et
~ E BV+(I).
AloY's~
Vt
E
(a,b]
et vt
E
[a,b), on a
o
l

---

-161-
Introduisons enfin les ensembles
{x E C ( 1); D +x
E BV+ [ (a, b) ] } ,
BVI-(I)
{x E C ( 1);
D+x
E BV- [ (a, b) ] } .
Lemme II. 1.
(cf.
[43]) .
(i)
Si x E BVI+(I) , alors vt
E (a,b) ,
on a
-
+
0
-00
<
D x (t ) = D x(t )
x(t )
-
" D
=
D+X(t
<
+00.
-
0
0
0
o)
(ii)
Si x E BVI
( 1) ,
a lors vt
E
(a,b) ,
on a
o
+
-
-00
<
D+X (t
= D x(t
)
= D x(t
)
o)
" D x(t )
<
+00.
0
0
-
0

---

ANNEXE III
UNE VERSION DU THEOREME DE CONTINUATION DE
LERAY-SCHAUDER
Soient X et Z des espaces vectoriels normés réels.
Définition.
Une application linéaire L : D(L)
c
X ~ Z
est dite de Fredholm si les conditions suivantes sont sa-
tisfaites
(i)
Ker L = L-1({O})
est de dimension finie.
(ii)
lm L
= L(D(L))
est fermé et de codimension finie.
Si L est de Fredholm,
l'indice de L est, par définition,
l'entier
ind(L)
= dim(Ker L) - codim(Im L).
Il résulte de ces définitions que toute application
linéaire inversible L : D(L)
c
X ~ Z est de Fredholm et d'in-
dice zéro.
Si L : D(L)
c
X ~ Z est de Fredholm et d'indice zéro,
i l existe un projecteur continu P : X ~ X, un projecteur con-
tinu Q : Z ~ Z tels que la suite suivante est exacte :

---

-165-
Définissons l'application linéaire L : D(L)
c
X ~ Z p2r
2,l
D(L)
= W
(1),
Lu =
(u " - u,
u(a), u Ib
Alors i l est
ï
)
,
1
facile de voir que Ker L = {O} et lm L = L ( I ) x
~2.
En fait si g
: 1 x 1 ~~ est l'opérateur de Green du problème
aux limites linéaire
u" (t)
-
u(t)
= h I t )
p.p.
t E !
u(a)
= u(b) = 0,
l'unique solution u du problème aux limites
Lu(t)
= H(t)
p.p.
t E l
où A E~,
B E ~ et H(t)
= (h(t) ,A,B) est donnée par la
formule
b
u(t)
= fa g(t,s)h(s)ds + e(t)
où
1
Donc L est inversible et L-
défini par
b
-1
L
(h,A,B) (t)
=
fa g(t,s)h(s)ds + e(t).
-1
Nous allons montrer que L
transforme les parties bornées
-1
2
de L
(1) x ~
en ensembles relativement compacts.
Soit
1(I)
K c
L
x
~2 une partie bornée. Alors il existe une cons-
tante r
pour chaque triplet
K > 0 telle que
Ihl
<
r K
Li (1)
(h,A,B) E K.
En vertu du théorème d'Ascoli-Arzéla,
i l suffit
de prouver les points suivants
:

---

-167-
Soit maintenant f
E Car(1 x ~2) et soit N
1(1)
L
x ~2
l'application définie par
Nu C , )
= (f(.,u(.) ,u' (.)) ,A,B).
Le problème aux limites
(u " - u) (t)
= f (t,u (t) ,u' (t))
p.p.
t
E l
(III-l)
u(a)
= A,
u(b)
= B
s'écrit
Lu = Nu.
1
A la lumière de ce qui précède, L-
existe et
(111-1)
est
équivalent à
b
u ( • )
= f a g ( . ,s) Nu (s) ds + e(. )
b
~
=e(.)
+ f
g(.,s)f(s,u(s),u'(s))ds
a
1(1),
De plus pour toute partie bornée D c C
l'application
-1
-
-1
L N : D ~ C(1)
est compacte puisque L
est compacte sur
1(1)
-
1
2
les parties bornées de L
x ~2 et N : D ~ L
( 1)
x ~
es t
continue.
Un raisonnement analogue montre que les applications
Li'
i=l,2 définies par
L.
:
w2 , 1 (1) -+ L 1 (1) x ~2
i=l,2,
l
LiU = (u"-u, u(a)-u(b), u' (a)-u' (b))
L u
(u "_ U, u' (a), u' (b) )
2

---

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