'ordre
1369
THE S E
présentée â
L'rn~IVERSITE DES SCIENCES Er TECH~I1UES DE
LILLE FLANDRES ARTOIS'
pour obteA'; r
Le grade de Docteur de 3ème cycle
en ~IECANIQUE
par
GUISSO Atchèlé
SUR LES OSCILLATIONS PERIODIQUES DES PLAQUES
EXCITEES PAR DES EXCITATIONS CONTINUES ET
PERCUSSIONS. ETUDE DE DEUX CAS DISTINCTS.
r~mbres du Jury : r~ssieurs les Professeurs F. PARSY, Président,
P.A. BOIS, Examinateur,
R. FAURE, Rapporteur.
Soutenue le 11 Décembre 1986

---

Je tiens à témoigner toute ma gratitude à ~~nsieur le Professeur PARSY
qui me fait l'honneur d'accepter la présidence du jury de cette thèse.
Je tiens à exprimer à ~~nsieur le Professeur FAURE ma profonde
reconnaissance pour avoir été l'instigateur de ce trayail, et m'avoir permis de
le mener à bien par ses précieux conseils et nombreuses suggestions.
Je remercie très vivement Monsieur le Professeur BOIS qui s'est
intéressé à mon travail en y apportant des critiques constructives.
,
Que soit également remerciée 11adame Françoise PETIAUX qui avec
gentillesse. compétence et efficacité a assuré dans les délais rapides la réalisa-
tion matérielle de ce mémoire.
Que ~~demoiselle Becket IMBOUA, Monsieur N'DRIN 1MBOUA. Monsieur et
Madame OPELY trouvent ici ma reconnaissance; leurs nombreux encouragements ont
été d'une aide inappréciable.
Je remercie les originaires et habitants du village de TIPADIPA.
les nombreux amis et connaissances qui m'ont apporté un soutien constant.
Je tiens enfin à remercier mes parents qui par leur patience. leur
compréhension. ont eu une part non négligeable dans l'élaboration de cette thèse •
•

---

II
A mes parents.
A mon fils, Armel-Franck GUISSO.
" Si une forêt surgit pour vous empêcher d'avancer,
écartez les arbres. Les ronces vous suivront".
Eugêne IONESCO.

---

III
TABLE DES r·1ATIERES
l NTROVUCTI ON
•••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••••••
VI
NOTATIONS
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
XI II
FLEXION VES PLAQUES RECTANGULAIRES - EQUATIONS VE VON KARMAN
tCHAPITRE 1) •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
1
l - FLEXION VES PLAQUES SOUS L'ACTION V'UNE CHARGE REPARTIE
LATERALEMENT •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
2
l • 1•- Fle.uo n bimple. ••................•..•.....•............. ..
2
1.2. - Fle.uon 6oJLte. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
5
II - FLEXION V'UNE PLAQUE SOUS L'ACTION VE CHARGE VANS SON PLAN ••••
15
EQUATIONS TEMPORELLES VU MOUVEMENT TRANSVERSAL (CHAPITRE 2J
•••••••
17
l - FORMULATION VU PROBLEME ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.•
18
1. 1•- Géomé:t:JLi.e. du mod~ .•.•........•..•.......•..••.....••...
18
1.2. - Equa.ti.on.b de. ba.&e. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
20
1. 3. - ConcU..:ti.on.b aux f-i.m,i;tu ..•.....•...•..••.•.•.•..•••.•.••..
20
II - METHOVE VE RESOLUTION •••••••••••••••••••••••••••.•••••••••••••
21
II.1.- EXpltUb.ion de.
F et W·.;
.
21
II.2.- Cho.ix du 6on~on.b d'app~xlmat.ion •.........•••.•.•.•••
22
, ,
II.3.- Equa.ti.on te.mpo~e. du mouveme.nt ••••••••••••••••••••••••
26
EXISTENCE VE SOLUTION VES EQUATIONS TEMPORELLES VU MOUVEMENT
(CHAPITRE 3)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
38
l - POSITI ON VU PROBLEME
39
II - EXISTENCE V'UNE SOLUTION......................................
40

---

IV
l l . 1. - Pll.éUJn.[na-i..Jl.eA ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
40
n.1.1.- SVu.i.cXUlLe rd plLopM.étu de l'e6pa.c.e
8(7). ...
40
II.1.Z.- Me6~ de V~c. - V~tJLibutioY1.6 ...............•.
44
II.1.3.- Eq~oY1.6 de 6ync.hJLoni6ation ...•....••...•..•••.
44
II. Z. - Théoll.ème ...•..........•.......•..•......................•
47
II. Z.1. - Suite ll.éc.uMente6
(~~ n) ê li (T)
..
48
rd (Pz,,,) t' 4 (T)
'
.
48
II.Z.Z.- MajolLation de 1/-«', 11 Il
rd 114ft ?? Il
·..
51
1
II. Z.3. - ConVeJLgence de6 6 uite6 (~I1)
eX (:c~1 11 )
dan6
St (T) eX 4(T) Jt.e6peCÜvement •.•....
62
ETUVE VE LA STABILITE VYNAMIQUE (CHAPITRE 4) ........•...........•...
76
l - l NTROVUCTI ON ...•........•...•...........................•......
77
II - ETUVE VE LA STABI LITE ......•...............•.....•...•...•....
77
II.1 .1 • - ThéoM.e de Ftoqurd ..........••.•...•..•........
78
II. 1. Z. - AppUcctti.oY1.6 •...................•..•....•......
84
II.Z.- Etude de l'équation complète :
~'I -+ p{I)?t; -+ ~(I):x =;\\ X e (1)
a.vec
ptt) :AC
tPf(IJ = (,l--l- A(ew '- 2(,1z % - . " - Y'~r ~-:.r C/(f))
87
LIAISONS SPATIALES INSTANTANEES AVEC SYNCHRONISATION ENTRE VEUX
OSCILLATEURS (CHAPITRE 51
109
l - FORMULATION VU PROBLEME
110

---

v
II - EXISTENCE VES SOLUTIONS PERIOVIQUES VU SYSTEME (5-1), (5-2)
(5-31 ...•...................•.•.......•.•••.•.•.........•.•.......
112
II.1.- PILé~ •••••••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••••
112
II. 2. - Equ.a.t.i.oYl.O de ~IjYLc.hJwniAa,t[OYL
113
II.3. - PILeuve du ThéoILimle 1 .................................••....
120
III - APPLICATIONS - ETUVE VE LA STABILITE .........•...................
130-144
ANNEXE
151
Al - ORTHOGONALITE VES FAMILLES 0<",...) , ('1,..) ,(iJ ' (~ )
152
BI - EXPRESSIONS VES \\<'( ET
Li.
156
BIBLIOGRAPHIE
159

---

---

VI
INTRODUCTION

---

---

VII
Ce travail s'inscrit dans le cadre des études consacrées à la Mécanique
non linéaire dont les applications sont répandues dans les domaines physiques et
techniques
problèmes des structures sous l'action des forces périodiques
[8, 9, la] ou non périodiques [5, 6, 7]; vibration des structures mécaniques
problème de stabilité associé [1, 6, 8, 9, 10], etc ...
Il concerne plus précisément la résolution de quelques équations diffé-
rentielles régissant le mouvement des plaques rectangulaires et des oscillateurs
voisins. Les plaques sont simplement posées et excitées longitudinalement par des
percussions périodiques
;/(1)
et!) .+ cfll)
où
~(t)
fi!)
wT.=- g /1
, 4J est la pulsation excitatrice;
f-J>t=
:::::::: /Af. / <: oe
p:-::-
Ces percussions sont uniformément réparties le long des quatre arêtes.
Le système d'équations différentielles régissant les mouvements de deux
oscillateurs voisins est de la forme :
+- R(%") X: 1) + /(ertj)
.+ 1? (ltj! 7:)
1
1-) - K e(I!7

---

VIII
avec une condition de coincidence instantanée
X,(e>} = Xl (C)
et où
Kest une inconnue i
avec
~ ~.f <: PO 1 e> ~ If (. ~~ (~ (T 1 P fini.
A
Les~:
/
sont des fonctions périodiques de t et des coordonnées ;;t;, ,~ ,
, satisfaisant certaines hypothèses à préciser plus loin.
~2
Ce mémoire est d'une part, une extension des problèmes étudiés par
OSTIGUY [8, 9]
et E. M'HAMEDE [10] et d'autre part, une extension d'un problème
étudié par R. FAURE [20]. En effet OSTIGUY et E. M'HAMEDE ont étudié respective-
ment la stabilité dynamique des plaques excitées paramétriquement par des forces
de la forme
la fréquence excitatrice étant
!)=
où
ûJ T =2lT / ~C/ est la
pulsation excitatrice [10]; ces force, étant distribuées uniformément le long
de de~x arêtes opposées dans les deux cas.
R. FAURE a étudié dans le cadre des théories des percussions, le système
d'équation différentielles régissant les mouvements de deux oscillateurs en
liaison par chocs [20]. Le système est de la l'orme :

---

IX
x; + CV!%., .:= ;,P1 %1 + 1; (Jt1 J z;)+ Kiff'll-"ï}j
Z: -1- üJ tX, = ).[ft J4 + fi(:l, 1 /CZJ - IÇ"?:,.J(1· "il)
avec la condition de coincidence
et
o
On peut séparer l'étude de la mécanique non linéaire en gros en deux
branches
~§~~~~~~_~~1l~~~~~~ recherche de l'existence des solutions particulières.
Etude de la stabilité.
(i) Méthodes topologiques: la réduction du problème à l'étude des
points fixes d'un opérateur dans un espace de fonctions périodiques.
(ii) Résolution à l'aide des méthodes numériques.
Cet exposé n'a pas pour but d'énoncer une méthode de résolution uni-
verselle mais plutôt d'utiliser et contribuer au développement des applications
de celles déjà existantes. Il est scindé en cinq chapitres. Le développement
de certains chapitres est précédé d'une introduction qui les situe dans l'en-
semble de l'exposé et en précise la portée.
Le Chapitre 1 est consacré à la théorie approchée des plaques. Le lecteur
y trouvera un résumé des chapitres concernant la flexion rorte des plaques
traitées par: G. DUVAUT et J;L.
LIONS [1]; LANDAU L. et LIFSOHITZ E. [4];
TIMOSffENKO S. ~t GERE J. [6] et les rappels des équations de Von Karman.

---

x
Le Chapitre 2 illustre une application de la méthode de Galerkin
[8, 9, 10J pour établir l'équation différentielle vérifiée par le déplacement
transyersal de la plaque soumise à des percussions longitudinales.
Le Chapitre 3 traite d'un point de vue mathématique le problème
d'existence de la solution périodique de l'équation différentielle généralisée
où
rp('fJJ;;: ~f ';j 1.+ ~ .. -f Or fJ r) r
entier naturel quelconque;
r<:>e
+pc
/fl).: T11~$/t-I1T) .+ 1f~ ~ [(f91(pCt1f+ e:)
avec
,;:5
/«,,! ( ~
p
La solution de cette équation différentielle a été cherchée dans
l'espace
8 (TJ =[jt(f)
~:)C
Il xii) /1 ~-.z- l?tn /
,.,,::-t3C
des séries périodiques absolument convergentes. La méthode exposée est inspirée
d'un travail de R. FAURE [19J.
Nous étudions dans le chapitre 4 la stabilité d'une solution particulière
régie par la flèche de la plaque. Pour cette étude nous utilisons la THEORIE DE
FLOQUET.

---

XI
Dans le Chapitre 5, nous étudions le système d'équations différen-
tielles régissant les Yibrations de deux oscillateurs yoisins en liaison par
chocs :
avec la condition de coincidence instantanée
Z-t(CJ).: Xt (()} et où K
amplitude des percussions, est une inconnue
avec
4:/T=c?JT
les
P
'!· sont des fonctions de période T :
1J()'J %/11-) = 4]. (~/1') -1- cfff) /;/:4/2
où
• ~. est un polynome.
cf{l)est une fonction de t" , de période T.
Nous déterminons
K en deux étapes : K~- K; -1-K'/ en nous
inspirant d'un travail de FAURE [20J:
- la première étape consiste à trouver
tf; , valeur principale de f(' à
l'aide des équations de synchronisation du système considéré.
- la deuxième étape concernant
~/ utilise une méthode d'approximation à
~artir de la ~olution du sy~tème et de Jt;

---

XII
L'existence de la solution périodique a été démontré en utilisant des
résultats obtenus par R. FAURE dans le cadre de l'étude des équations différen-
tielles [15, 16, 17, 18, 19, 20J.
Dans la dernière partie de ce chapitre, le problème de la synchronisation
est étudié en détail dans le cas des équations de la forme :
= ~rKetl) - ZC H~ -:1:, ~J_ E!ce~WJ
ainsi que le problème de la stabilité au voisinage d'un point de synchronisation.
Dans l'ANNEXE, nous démontrons l'orthogonalité des fonctions propres
intervenant dans la représentation du déplacement vertical
de la plaque et de la fonction d'Airy
. F ( ?t/ ."/J é)
dans le Chapitre~.

---

XIII
DEFINITIONS
NOTATIONS

---

---

XIV
D: rigidité de la plaque à la flexion.
E: module de Young.
F: fonction d'Airy (fonction de contrainte).
~ : épaisseur de la pla~ue.
l' ft") ,!t'X':} : moments fléchissants et de torsion par unité de distance.
A~ 'A~
tensions du plan moyen de la pla~ue suivant ..x,
~.
~,
'Q'Z
efforts tranchants par uni té de longueur suivant ~ ,
L,J
JI.
~
~
.-t lX' "lt;j
deplacements de la plaque sui vant ~
'J'
~V: déplacement normal.
~, ~ ,
~
: coordonnées cartésiennes.
[;;t. 'Et;} : allongements unitaires suivant X,
';J'
)! : coefficient de Poisson.
(' : densité volumi~ue de la pla~ue.
contraintes selon les directions
0.;, 0;
'd'
Z; '~J : cisaillements selon }l( J ' ':J.J
~: coefficient de viscosité (ou coefficient d'amortissement).
e,,,: coefficient de viscosité associé à un mode particulier ( p ,Cf) de
vibration.
N,xrt}, N~ (/-) : charges dans le plan de la pla~ue par unité de distance
Hx (f) .=-;t.~ -1- It-~f ./(1)
~ (f)=- A{;, -1- lt{jt .1(1)
charges stati~ues par unité de distance dans le plan de la
plaque.
~ç, It~~ : ampli~udes des percussions (ou des charges harmoni~ues) par
unité de distance.
~: période d'excitation.
(}l: demi-largeur (ou largeur)
de la pla~ue.
b: demi-longueur (ou longueur) de la plaque.
~/6: rapport de forme de la pla~ue.

---

---

CHAPITRE 1
FLEXION DES PLAQUES RECTANGULAIRES
EQUATIONS DE VON KARr~

---

---

2
1.- FLEXION VES PLAQUES SOUS- L'ACTION V'UNE CHARGE REPARTIE LATERALEMENT
Considérons le cas de la flexion d'une plaque par une charge répartie,
agissant perpendiculairement à son plan médian; on suppose ce plan horizontal et
contenant les axes des ;t et des 'tJ , l'axe de ~
étant perpendiculaire à ce plan
et dirigé de haut en bas. Soit éf l'intensité de la charge que l'on considère comme
une fonction de
;;t et de -'(J •
Dans l'étude de la flexion de cette plaque, il faut distinguer deux cas
1.11 Fle.uoYl t.hnple.
Les tensions sont faibles par rapport aux tensions critiques et l'on peut
négliger l'effet qu'elles produisent sur la flexion de la plaque et admettre que les
tensions totale s'obtiennent avec une approximation suffisante en superposant les
tensions dues à la défoDnation du plan moyen, et celles produites par la charge.
En découpant un élément de la plaque par deux paires de plans parallèles
aux ~J et ~J (Fig. 1), on déduit qu'en raison de l'action de la charge !J il se
produira sur les faces latérales de cet élément, des moments de flexion et de torsion
et des efforts tranchants verticaux représentés sur la figure
et dont les valeurs
par unite de longueur seront définies par les formules (1.1a) et (1.1b) suivantes:
Fig.
1

---

3
Désignons par tlx. et ft; les moments f'léchissants et par 11x.~et ft", l' les
moments
~
rt-
1
~-
o;~~
-1);
,Rv2
~'3X JdJ
-~
-~
.
~ et
SOlent
"
q~ les efforts tranchants ~erticaux, on a
çyZ
,t'Yi
qz
~J e~
1 rf....=
~Je~
{-t- --I/)j
X
~
-~
~~l
On peut négliger la variation de Z'XJ et t:;J le long des petites
distances ti.J et (fiJt et supposer que les efforts tranchants résultant ~.~ et
,,0,
• éix
passent par les centres de gravité des faces de l'élément.
\\:f'!'1
NOTATIONS
~
épaisseur de la plaque
contraintes selon les directions
~
cisaillements selon X.J

---

4
Les efforts tranchants (l.lb), les moments fléchissants et les moments de
torsions (l.la) sont tous fonctions de coordonnées
X et ~
• Par suite, en employant
les notations 't" ' 11" et
"-;;3 pour la farce gauche de l'élément de la figure ::t
les quantités correspondantes pour la face droite distante de la face gauche de la
quantité ~~ , seront :
+ 9rf't: till
J
1
~X
comme le montre la figure. On ~ait de même pour les autres faces (faces parallèles
au plan :X J ).
Si l'on considère les conditions d'équilibre de l'élément de la figure (1),
on remarque qu'il est soumis à des ~orces qui sont parallèles à l'axe des ~ et que
les couples sont représentés par des vecteuxs perpendiculai res à l'axe de
~ •
En tenant donc compte des directions des ~orces, leuxs projections sur
l'axe des
J nous donnent :
ou, après simplification,
-1-
( 1-2)
Le poids de la plaque elle-même peut être considéré comme compris dans
la valeur de Cf
En prenant les moments de toutes les forces agissant sur l'élément par
rapport à l'axe des )r et, en observant des directions indiquées sur la figure,
on obtient l'équation:

---

5
Le moment de la charge
6f et le moment dû à la variation de la charge ~ peuvent
être négligés dans cette équation, comme infiniment petits d'ordre supérieur à celui
des quantités conservées dans l'équation. Après simplification, cette équation
devient:
-
( ]-3)
De même, en prenant les moments par rapport à l'axe des
, on trouve
-~
(1-4 )
Si l'on tire les valeurs de q; et de q~ des équations (1-4) et (1-3) et
qu'on les porte dans l'équation (1-2), on obtient l'équation suivante:
cl
~2rt~x
~11i1d
~
a
f17'
+
+
f1:1trJ
-Gf
ôx 2
g.x ô~
.Ô'~t
8Jt J'!]
Si l'on remarque que
~X .= - 11.1(,1 ' parce que Z';'1
~;K.
on arrive finalement à l'équation de l'équilibre:
ç
~ ~tftf)
tlf1?(.
t C)1.i !%"7
. -
-/-
-&/
(1-5)
-
Jx t
·ax a~
3r)!
1.2) Flexion 6o~e
Les tensions qui prennent naissance dans le plan moyen ne sont pas
négligeables et leur effet sur la flexion de la plaque intervient dans le calcul.
Pour établir les équations différentielles de la surface élastique dans ce cas,

---

6
on considère, de nouveau, l'équilibre d'un petit élément découpé dans la plaque
par deux paires de plans parallèles aux X J et
t;j J
• Aux forces déjà considérées
précédemment (Fig. 1), il faut ajouter celles qui agissent sur le plan moyen de la
plaque et dont les notations par unité de longueur sont indiquées sur la Figure 2.
En projetant ces forces sur les axes des % et
~ et en supposant qu'il n 'y a pas
de forces de volume s'exerçant dans ces directions, on obtient les équations
suivantes, pour les conditions d'équilibre,
ofl.x .+ Ô ,.t-~x - Cl
»x.
·trta
-
(J-6)
_Ô N.g
~JV'~
-+
(,?
df(J
0"%
On constate que ces équations sont entièrement indépendantes de trois
équations de l'équilibre considerees au paragraphe précedent.
Fig. 2-a

---

7
----.-.--.--- -._-~- _.- .. 1--·
1
t
~
~ 1
1
1
~,.
1
•
~
...,
:"
X.
- -
" ..... -
t
Fig. 2-b
Pour étudier la projection des forces, indiquées sur la figure 2 sur
l'axe des J ' il faut tenir compte de la flexion de la plaque. En raison de la
courbure de la plaque dans le plan ~J
(Fig. 2-a), la projection des forces
normales
,(Ix.
sur l'axe des
J donne
Après simplification et en négligeant les infiniments petits d'ordre
supérieur, cette projection devient
8 H/ {'lx d.L:J
(1-7a)
;3X-
Q
.._~.
De même, la projection des forces normales
1"7
sur l' axe d~ b donne

---

8
(1-1b)
Pour déterminer la project ion sur l'axe des $ des· efforts tranchants
#~ . considerons la flexion d'un élement e/'Jt,- étl;j du plan moyen (Fig. 3) •
.Jtc----- (i"J( - - - - - 4
~I
/1
III
/
./ k'~
Fig. 3
En raison des angles :
~
e t . ~~",l + ,'Cf ~'t/ eJx.
;31.-J
i7~
ô7<. L~cJ
indiqués sur la figure, les efforts tranchants
AI~ ont pour projection sur

---

9
l'axe des
~
M.
Ô 'l ~1' f-'-ft ç{l.J
+ /)/l,~'!L 9 ~11 f?/x. (if;:)
9t ~ ÔX ;7'(J
';1 x.
;? "J
Les projections sur l'axe des
$ des efforts tranchants A&x =~(J sont
données par une expression analogue et finalement la projection de tous les efforts
tranchants est :
En ajoutant à la charge q &f,'J<. GttJ agissant sur l'élément les expressions
(1-7a), (l-Tb), (1-7c) et en utilisant les équations (1-6), on aura l'équation
suivante, pour les conditions d'équilibre,
•
En remplaçant
/1"
titeJ et ~# par leurs expressions; soient

---

10
On a :
;:i'H/
Ok lA,!
;)t, t1/
+~
-
+
ô ZIi
;;x 2 a~f
:7~4
1
(q + Il{ ;/t1/ .J- Al .a'W+!~ ';')'W)
( 1-8)
D
9Z t
~ ô~t
() ~ 'J~
où
D désigne la rigidité de plaque il la f'lexion.
~
coefficient de Poisson.
~
déplacement normal.
Dans le cas général, de grandes déformations d'une plaque sont accompagnées
d'une extension du plan moyen. Pour étudier les flèches importantes des plaques,
on peut continuer à utiliser l'équation (1-8) mais les forces ~ , ,4~ , ~ ~
dépendent ici non seulement des forces extérieures appliquées au plan 9tl;1 , mais
aussi de l'étirement de la sllrfac~ moyenne par suite de la flexion. Les équations
d'équilibre dans le plan
JX;) sont toujours
~JV" + (3~~d
e;
'ôX
'Ô~
8A!~
,..-
+ (?A1?UJ
- 0
-
Ô"'J
:OZ
On obtiendra la troisième équation pour déterminer
JI,~ ,~ et ftft() par la
condition de déformation du plan moyen de la plaque pendant la flexion.

---

1-
11
Nous déduirons au préalable l'expression du tenseur de déformation déter-
minant la traction de la pla~ue (considérée comme surface) soumise simultanément
à une flexion et à une traction dans son plan.
Soit ~I
le yecteur déplacement à deux dimensions (de composantes~~ •
"'''J ) en traction pure; /IV désigne comme ayant le déplacement transversal de
~j)'l
/L Z
j
t
nexion. Alors, l'élément de longueur Ote =- e:'J( + t't1
de la plaque non
.,.if/)/
déformée devient après dé.formation (7tC
,
de carré [4] :
or
644
'<7-t4 ~ + Ô1!x ç/~
~/G
'Ô~
~'1J - ~il'f) (J/Jt + Ô{~'r)
-
d~
0x
a~
plw = 9 111 t14?l
Ri/V
+-
~/-rJ
-;:::),X
:41;:J
et

---

:1
12
, "
,
"
,,,
~~:;;dx
()tI~
on ne garde que l es termes l 1nea1res des der1vees .
,
et
,
,
gx
~
diJC
Qt''tL. , quand à tJtW2. , on le garde sans simplification car il ne présente
""'0 'a
. " '
pas de termes l1nea1res :
Donc :
où
,
:=d.. ('dt" -+- 'o~1p ) +.:::!- 9 J~ Ô111
p
2,
Ô~13
a.zr
~ ê>~ oZp
soit :
C
-
E:
- -0 t-Ij(, -+..::::L (-'aW) l
~Jt;K, -
·11
-
Ç)'X
f
~x
[.
f',;'- ;)t-'.1..
-1 (~H')2
';) 'a':::
i Z
-.'J-(J
-r T
~
(]-9)
["" = é = -1 L8-i1K. + Q('4J) + ,A law 1t9 rt-)
4
?t;d
2
v
Ca~
ôX
~ {~x. /(~'éJ

---

13
En manipulant les dérivées des déformations afin d'éliminer ~~, ~~
entre les expressions de [?C~, ê7J ~
,f'x'a on a :
En introduisant la fonction d'Airy ;c- , (fonction de contrainte) définie
par :
et d'après les relations de contraintes-déformations (loi de Hooke).
é
-=; (~ .- )/~~)
Jtx
( j-j2)
(1-11) et (1-12) donnent:
- 4+J/
E

---

14
(1-10) et (1-13) donnent:
LJ2.F
E[Vlf~ ~7tX Vt!a~]
( 1-14)
-
où
~'l.
'dt
~
-+
~~'l
d~f.
En posant :
--
et en utilisant ces équations et l'équation (1-8) on obtient:
Les équations (1-14) et (1-15) associées aux conditions au contour,
déterminent les deux fonctions W et F
.

---

15
Pour tenir compte des effets dynamiques, on doit, dans les equations
d'équilibre, ajouter aux forces et moments exterieurs des forces et moments
d'inertie. L'equation (1-15) devient donc, en ajoutant au deuxième membre le
A..(-
terme
f :;>1.. ~1/ )
o
dl: '1.
(1-16)
II.- FLEXION V'UNE PLAQUE SOUS L'ACTION VE CHARGE VANS SON PLAN
Considerons une plaque rectangulaire d'épaisseur uniforme
, excitee
dans son plan par des forces uniformément distribuées le long de deux arêtes
opposees (Fig.
,---~(t)
Fig. 4.- Plaque excitee longitudinalement (dans son plan)
par la charge ~ fi).

---

16
Les :forcés ayant la même intensi té
~ (f) mais exposées, la somme
des forces extérieures agissant sur la plaque est nulle. L'équation dif:férentielle
(1-16) véri:riée par la :flèche devient donc
L1
~~~
t \\IV'.::
t(
Vf",,, -f- F;)(X l1('fJ:1 - ~1;;c'!J ~:J
-r~é0

---

.f

---

17
CHAPITRE II
EQUATIONS TE~WORELLES
DU
MOUVEMENT T~~SVERSAL

---

---

18
l
- FORMULATION VU PROBLEME
I. 1) Géomé:tJLie. du modèle.
Le modèle conceptuel considere dans cette etude consiste en une plaque
rectangulaire mince initialement plate, d' epaisseur uniforme
/?, ,homogène,
elastique, simplement supportee sur son pourtour et excitee dans son plan par
deux forces periodiques. !Ix (t) et
~ lf) ,uniformement distribuees le long
des quatre arêtes (Fig. ,). Les forces ~ (f)
et
~ (1-) ayant pour expressions :
~(t)=~ + ~txl(f}
où 4t et
~t sont les amplitudes de la force periodique
#(1-) ~ cr(1) of- ç: (1-)
e(t-)= -r.?r>& ~(I-n r) )' T = periode
c(tE) = p- ~ Cé1(ptt'r-l- 7:))' u'I.:27T
f= - (,)&
l'
+~
J(
z- /ttr / ( Jt
= constante •
. P'--t>-...
. .
L'or~g~ne du systeme est cho~s~e au centre de la plaque non deformee
(voir fig. f).
Le cas d'une plaque rectangulaire ~nce initialement plate, d'epaisseur
uniforme homogène, elastique, simplement supportee sur son pourtour et excitee
dans son plan par une force periodique uniformement distribuee le long de deux
arêtes opposees a ete etudie dans [8], [9] et [10].

---

19
~ __ N"d (t): ri"). .,. ,1,'/f(l)
"
~,\\
F'~g. 5.- Pla
_
que rectangul .
a~re sa
.
excitatia
um~se à une
n paramet r~que et cantO
0
~nue .

---

20
Dans [8] et [9J,PI-)
a pour expression
I{f) -=C~&(I-J.
Dans [10] ,
j{i) est une percussion;:; et a pour expression.
+~
f{t}
T ~ ~ (f-nT)
'/11 -= -:>te
1.21 Equation6 de. bMe.
L'analyse est basée sur les équations (1-14) et (1-17) non linéaires
correspondant à la version dynamique des équations de Von Karman pour le cas de
grandes déformations; tient compte de l'étirement de la" surface moyenne mais où
l'on néglige le moment d'inertie (car la plaque est mince). Ces équations, expri-
mées en fonction de la fonction d'Airy F et du déplacement latéral W, sont :
( 2-1)
0" W - iL!FLA W'
-f ~~ ~!I';J - ef~ vt/;t(J
V
-
D LfJ (J '(J ") )(}t
-P~fr]
où les indices inférieurs placés après la virgule représentent des dérivées
partielles par rapport à ces indices et où D,
E
et
P désignent respecti-
vement la rigidité en flexion, le module d'élasticité et la densité de la plaque.
1.3) CondUion6 aux. ~
Les conditions aux limites sont reliées à la fois à la fonction d'Airy~
et au déplacement latéral W . La plaque étant comprimée dans son plan moyen par
des forces uniformément réparties le long des arêtes :::r.=- - Gt , X': + 61 ,
~ =- _b ' ~ =+fi nous avons :

---

21
(2-2)
Les plaques considérées dans cette étude étant simplement supportées sur
leur pourtour, les dél'lexions latérales et les :moments l'léchissants le long des
arêtes sont nuls et par conséquent :
W= ~J!" )/ Vtf'IJ~
\\
~
+ B1
+
= 0
ex
( 2-3)
W= t~ ~J
('
1 + )/ifJt:x:::: () G,À
.0
~
+
Le problàne consiste à déterminer les fonctions F" et W qui vont
satisfaire à la fois les équations du mouvement dans le domaine et les conditions
aux limites.
II.- METHOVE VE RESOLUTION
11. 1) ExPILUÛOI1. de F et W.
Dans cette étude, le déplacement latéral de la plaque est représenté
par une double série des l'onctions propres du systàne linéaire associé :
W(?C
(2-4)
l-J 1 l) :::: ~f
U~q(l)f;0t) ~ (fi)
1
où
~., (l) sont les coordonnées généralisées du systàne. Les indices
et
correspondent au nombre de demi -ondes dans la direction des axes ()Z et t!' I<J '
respectivement.

---

22
La solution pour la fonction d'Airy est supposée sous la forme d'une
double série de fonctions propres de poutre qui satisfont les conditions de
contraintes aux rives :
j:' (X; 'fJ)tJ:.2"z f) (I)X (X) 'X't'f) 1_ ~21(f)
t ~(tJ (2-5)
4'H
'11
O'WI'l1
117
",
/
/'-
9 ~
-:J I~
où
!,,,,,(()
sont les coe.fficients généralisés de contrainte.
Les familles de fonctions (X'YI?);f ~
~
/ff1
+ ~ ; ('<},15 '11 ~ of ~
(.(' )105 p.5 + IX'
et (~)1.sdt ~ -+ ~
doivent être des familles
complètes dans leurs domaines de définition, soit pour it é [(JII .-I-tttJet
II. 21 Choix. dei> 6onctio~ d'appJLoJUmtLti..on
Les expressions analytiques des fonctions propres utilisées dans cette
étude sont les mêmes que celles utilisées par OSTIGUY [8, 9]; soit:
/
(2-6)
1 <J? -- --f/ 1.1.1/ - . -
j"
Û!n'p7T;1C
l'
e.tIt
'It;/
(An q""~
th
) 1 ~ -1,; 'fI . . .
(2-7)
tf/l'
~ ~ ~l1tJ
e6

---

23
Avec un choix particulier de «fOI et ~ ; F et W verifiant les
conditions aux limites, en effet:
lvG tl)
oR
et
et on a bien :
-- - Ale (t)
A
et pour avoir:
et
soit en posant ~ =/!" t
, ~1M =«,., &t ,
(2-8)

---

24
L'équation (2-8) est appelée équation transcendante. Cette équation
admet en général autant de solutions que les fonctions (- ta)!x) et t&fh1~ ~
se
rencontrent (fig. 6 ).
Cho~x de6 ~olutiOn6 de6 équation6 (2-8)
Soient Zt
, ':X.,
,;l't
, .... , les abscisses des points d' inter-
section des courbes de(- t~,,) et ~ ~ X . Les dimensions êI et b de la
plaque étant connues, on peut choisir:
fJ. == 2k..
et
t<'WI
..&.
."
b
~
ou
f!.,
;rI
et
'~'1'>1
;;te7
.:::
---
61
b
ou
et
«,.,
ou bien
et 1{, étant .fixés on peut choisir les dimensions convenables de la
plaque pour que le mouvement soit stable.
Pour la fonction W ; avec le choix de
jj(%J et ~ (fl/ on a
bien
w(~= :! b)
)
et
j.J ~"l)Tl W
(t6)l.
C pflt "!.
j / â/'llfl]W
L- {f~}Z '-
(?6)Z

---

25
~T8t1~)- - , "
~~
~
. J'"
.....
JI
2.
2..
-1
Fig. 6

---

26
donc
x - :ta
De même pour
et
pour
~ -= + ~ .
On montre (voir ANNEXE, § A) que les familles f%.,)
, (Kr) , ((,)
et
(~) sont orthogonales.
II.3) EqUJLti.on .tempoll.eU.e du mouvement
Dans ce paragraphe nous déterminons l'équation ditférentielle vérifiée
par les coordonnées généralisées ~(f) du système , ~":' et fJ~+;
désignent
les symboles de Kronecker.
Portons les développements (2-4) et (2-5) supposés pour Wet J: dans
les équations de base (2-1); on obtient [8, 9, 10]
(2-9)
et

---

27

---

28
t
Désignons par ~- le symbole de Kronecker; en remplaçant les expressions
(i), (ii), (iii), (iv) et (v) ci-dessus dans l'équation (2-9), le premier membre
de celle-ci devient :

---

29
en adoptant les règles habituelles de sommation; c'est-à-dire la répétition d'un
indice dénote une sommation par rapport à cet indice et en posant :
avec
D'où
( 2-11)

---

30
Pour les équations (2-10) nous posons
En remplaçant dans l'équation (2-10), nous obtenons:

---

31
soit :
{z
2
-1- Z 2...
Z ~ ~ i.- .fi g (f) ni (1}F~ rs ~ A f(-tlmYj"ns
At
V
th?
11
)"
5
D 4érllc' '"'''
)"J
C;
/1'»1
~ "If L",
___ .>;4~ /(_.ttm r'L
5'11
J!'11 5_
rt },z j/-u~r / V?1
r (1/ .:= (!J
5
(
t'1?1 "G
'-.i"
~ TV
~
D'où
où l'on a pose:

---

32
Finalement on obtient
~v + Q1, vt:,: - I;f"'Je,ZtC
;.~
t [C"'4' t
If) +1-" 'fi;(1"t..
+ []~"ï..!f) V1Çs C'
(t-/f)
où les pulsations propres sont données par
C.:: b/tlt est le rapport de forme de la plaque et où la répétition d'un
indice dénote une sommation par rapport à. cet indice.
L'équation différentielle (2-12) représente l'équation temporelle
d'excitation paramétrique d'une plaque rectangulaire simplement posée; cette
/
plaque étant soumise dans son plan à des percussions dans les directions % C Z.
et
~/C ~
Les expressions des
K.: et LA.' qui dépendent des fonctions
propres utilisées sont données dans l'ANNEXE § A.

---

..
33
Les équations (2-11) établissent les relations existant entre les
'
.
,
0
(1)'
"
"" al'"
"t/ (t)
coeff 1c1ents de contra1nte
cl"",.,.,
et les coordonnees gener
1sees V'f~
0
La résolution du système d'équations (2-11) en ~onction des ~~ nous donne:
( 2-13)
où
4rs
[l""S == R~~-4 Bf.
~-
~
~
En portant les relations (2-13) dans les équations (2-12), Qn ro~~
et sachant que
/t/z (t) =hko + l'v~t -/(é-)
A~ (1).: A~ + ft~l f (t)
avec
-fté) .: t Ct) + (/E)
+<:>e
~t. tJ =T ~~ b' (t~ nT) / or.: ~~tê-rl!le
+~
~(tJ~ iF~~(~(P{(.'I-+T)
~ /Kp 1 < ~
p

---

34
on peut écrire les équations temporelles du mouvement sous la forme :
(c.'l...M1.. fil ~_ t- \\'fJZ. l'l.,,,\\+- ( c..t..AAt. N"'t tu 2.N:l..) fct)l w
JIU.
N.u.,,-
+
où
des coefficients non linéaires d'élasticité. Transformons quelque peu cette
équation; nous obtenons :

---

35
Posons de même
qui est la
pulsation naturelle de la vibration de la plaque chargee par Nx" et ~~o
•
et
excitation
en charge parametrique.
Avec ces notations nous avons l'equation non lineaire verifiee par
.,
!
\\ey,\\,,»
\\N ~SL (il- ott' t(..t-)'W + t\\.A
\\N \\\\1 \\\\1 =0
\\t.r
(2-14)
AJ.v-
J
ï
\\Av-
Mor
\\. \\ !ail'"
.t,q 'i~~~ 'f'i il
En ajoutant, pour plus de generalite, l' efj'et de l'amortissement
lineaire dans l'equation du mouvement, nous obtenons:
W'A1r + .t CkV"" \\i(" 1- .Qf,AJ.~ (-\\ - .tJAAv-iC+)) 'tJ\\1.V
\\.~t~"-;'
+ M
\\1'J~!'Nf' ''*t 0
-\\A..r
Pour eviter la presence de nombreux termes non lineaires basiques
(d'ordre trois) qui cree un couplage modal important, nous prendrons lA::: f =' ~ ':: \\.
et
\\i -=1 -::. Q-::. Â
soit W~ -:: Wf~ -=- Wo
L'equation (2-15) devient
alors :
iivf~ • tell~f' ~ -~~(--1 - l.J'l'{(.t»)11/1'1+ MM\\N~, =0
soit en omettant les indices
(2-16)

---

36
Dans la suite nous nous placerons dans le cas des deux hypothèses
suivantes :
a) La viscosité C , l' excitation paramétrique..J'
et le coe:f:ficient
de non linéarité ~
sont petits, nous posons pour la commodité de l'écriture
~ -= ~C-
S ~ ÀJ'
"0 ~ M -= ~ y
). étant un petit paramètre
( À. -) 0
)
b) Dans le cas d'excitation paramétrique nous devons envisager le cas
de la résonance (pour avoir des vibrations non nulles); soit:
E. étant une constante non nulle.
L'équation (2-16) devient
W-+- W~ W :::: À lot..r \\1J ~(l-)
r/'
'1.)
Cette équation représente un oscillateur linéaire \\...W + W 'fi
perturbé par
(~J w~(k") - '" '#1 ">- le W- 'ë ûl w )
Nous retiendrons la :forme :finale suivante de l'équation (2-17)
(2-J8)
où
-t(k}
e. (k-) -+~(t)
-\\Cll1
~({:)
~ (t-fY\\\\)
-= T &?
fYl-;-~
-\\ ..
.. 11
~(t) -::. ~ O<r ~ (1wt T z:) ~ 2§- lc(tl z. K
r;"~
y::-~

---

37
Nous étudions dans les chapitres III et IV l'existence de solutions
périodiques de l'équation (2-18) et la stabilité.

---

1
38
CHAPITRE Il 1
EXISTENCE DE SOLUTION
DES EQUATIONS TEMPORELLES
DU foI>UVEr-Œ:llT.

---

---

39
1.- POSITION VU PROBLEME
R. FAURE a etudie la question des solutions periodiques de l'equation
differentielle [15, 16] :
~jl + >'. c. J' + w2. CA + >-t ) ~ -;: .xl ~ c~') + e (.{;)J
~
où
~(t) ~ \\~~ 'ts{.f:~N\\\\)
et
est un polynSme
à coefficients constants verifiant
~ ( 0) ~ 0
un
paramètre.
Que se passe-t-il dans le cas de l'equation differentielle
(3-1)
pour laquelle l'ensemble des fonctions
e.. (~) , \\{' (I:-)
et des constantes).
•
«"
<:- satisfait les conditions (\\t) suivantes
1°)
'J
~ ( ,)
C
1f)
~ C' l)
~
sont toutes des fonctions periodiques de
t de même periode -r
-r et l'ensemble des fonctions sont indepen-
dants de À
1c
2°)
l) ~ ~(t) t e(t1
est la combinaison d'une
percussion
e..[ t) :::.,- ~ Ç. r... t ' fl'\\ .-)
et d'une force periodique
,q
~'"-.,
..... ~
\\(IC\\:) -:=. ~~ ol.r ~ ('(U)~ -t l)
avec
~..o ro<'fI::. k <' D<' •
3°)
Q C'}) est un polynâme à coeffic ients constants :
; donc
Q(o) ~ (;/(0) :=. 0
4°)
L et
E.
sont des constantes non nulles.
5°)
lxl est supposee petite et À '* 0 ?
Des hypothèses supplementaires (6°. 7°, 8°) portant sur la convergence
des suites definissant la solution du problème seront precisees plus loin.

---

40
Ewte-t-il. une Mf..u,üon péJUoc:U.que non null.e ?
Dans les paragraphes ci-dessus, apres avoir rappelé la structure et
quelques propriétés de l'ensemble
Ô ( T) des séries absolument convergentes
de période
-r-
,nous montrons l'existence de solution de l'équation difré-
rentielle (3-1) dans cet ensemble.
II.- EXISTENCE V'UNE SOLUTION
Ir. 1) PILé.Urni.ntUAe.6 [10, 23]
Nous donnons dans ce paragraphe un certain nombre de propriétés et de
définitions dont nous aurons besoin pour montrer l'existence d'une solution de
l'équation (3-1).
+""
='
~
"12-'"'1. e..
,,,,0:: .. W
et
désigne l'espace des séries absolument convergentes de
période
T
On définit dans cet espace la norme par:
{Âl
si
alors
::: ~
t'J?ott 1
11'1 -: - "C1
II -]-] . - StlLuc;tUILe et pltOpJLi.Uu de .e' e.6pa.c.e ~CT)
a)
~(-r) est isomorphe à ~~ ( 7l..) ~ {(~...,tnz )L:J'l.....\\<:~..,l
Soit l'application:
'T 7 ~A (7L) ~ "P.:> Cï)
telle que
\\" l él~\\~E: ~ ~
T est linéaire et bijective.
Si on définit la norme de ,
par :
lIll-ill = 4"' tlT(t",~1I Be,')
;1
" (~"') Ut ('1 ~

---

41
~AC
Puisque
Z) est un espace de Banach alors on peut en déduire
que
B C,.-') est aussi un espace de Banach.
b) L'application
"B (Il ---"/ tO (fR1Î )
muni de la norme
"sup" est injective et de norme ].
"B Er) est donc un es.pace fermé de ("{ll~
et la convergence dans
lb (1") implique la convergence
uniforme car 4 (~(tll '-.
t f rR
~ """" t-
on a l'égalité pour
~(l) -= IL
t-ET).
c)
{1 Cr) = E-< ~ E~ avec
EA ~ ~ (~)
f~".. :: (1 .Al
L ~f7L
f.,t -=- ~ ~)'" a /
~ ~,
l!.
Grâce à l' îs.omorphîsme
T nous avons :
où
j
_~ ~f
~tCt
î,,, (1)
-
t~, 1~ l~ l
t-x;." ~
+ ~l -e
)
~:L CT)
S~
or.. e-~ poAJè / .::::::2.... t1: r 1 L -+ .,r;, }
-::
l 171
t
ll'hA.
'l' 1\\

---

42
Nous appellerons
~ et ~ deux projecteurs suivant ~ CT') et
Î>"t (T') respectivement :
~:
)J.. f
B ('1) l
')
~ »- -).lA f. '6 LT)
A
d)
'Bll)
a une structure d'algèbre de Banach.
Puisque la multiplication est associative dans
~ (~) et distribu-
tive par rapport à l'addition, elle l'est aussi dans
1> CT}
PMpJLi.Ué - Si
~ (i:) { 'f, C·i)
'â (*) t BCT)
• fI
alors
Il'"t.(l:) 'i1(t)1[ f: [f ~(t')a
(1( t) Il
PJLeUVe.
{A Cl}
Il suffit de montrer cette propriété dans
Posons
~ -:: (~r)
d -::(0,,); ~-=O(~f) , ':e, d ,}-
sont des éléments de
~A C"l) . On définit la convolution des suites de la
manière suivante.
donc

---

43
or
Soit alors
1- E {lt (Z),
~ ~ {~(71 )
\\t ~ ~ ~ U L lf ~ ~ . [[ ~ Il
et puisque
On a alors pour
~ ( l:) E: 'B C'")
et
~ ( l) E ].CT)
\\\\'{(t~.~(t)\\) ~ n")((e)\\l·ll~(t)tl
~
et si .
E- il.
, on a:
\\\\
(12 (~ )'" \\\\ !:: \\l ~ u) f( M,

---

44
II.I.Z.- Me~uAe de V~ae - V~~bution.
a) Nous définissons la percus-sion par une mesure de Dirac
~(-t-"'T)
agissant pour tous les instants
~
prenant toutes les valeurs
entières négatives et positives ou null~.
La force extérieure est représentée par
+co
-r""
Z- "<fC<.....<l(p,-"r-tz)
i(~)~\\~ ~(t-~I)+
It\\ -=- ,- 00
f=-CU
'f"'O
~ ~wl
~e.
On montre (cf. L. SCHWARTZ [23]) que la série
~ ------
converge
. . - - "0
T
dans
vers la distribution périodique
-
~O·~l)
V\\.-; ·ooN
comportant une masse en chaque point (instant) d'abscisse multiple entier de-r
Soit :
b) Soit
..u.
une .fonction périodique et
~
étant la distribution
de Dirac. alors
< .A.t çJ 'à '7 - < ç ~ tU~) - ..u(O)~.(o)
donc
)J.. Ç,
::)..l C0) ~
Nous définissons le produit -tL ç (k _....ï ')
par:
.u.~ (k: - ï)
ï)
lV1
-='
At ('YI 1) C( t - fV\\
:= Lf ( 0) ~ (k - Mï)
car Al est périodique de période T
.
II .1.3.- Equa;t,[olUl de !>ljnehJLonMaM.on
Nous allons chercher une solution de l'équation (3-1) sous la forme
;f)
A
Re
vérifiant la condition de synchronisation

---

e t
'
l\\.~ d"
l
n-
0
0 "
ou
r\\
es~gne
e conJugue du nombre complexe
rT
Nous posons par la suite
et
tf (11 ';1:) t} ::
~(+)
01
'1
- c '1~ - E l.O~~o + ~ {~ol
0
Pour satisfaire la condition de synchronisation (3-2), il suffit
ll",)r
-LW"'"
d' annuler les coefficients de
e
et
e.
dans le développe-
ment en série de Fourier de
'-t' (~c ) "1'0) t )
. En effet, nous remplaçons
la distribution périodique
.e.- Ct-") -=:. -r ~ ~ ( t - N\\T)
't"'"
i",,,,,{
",,-::0"0
0
0
0
par la série de Fourier 2..
e
au sens des distr~but~ons
:=-
et la force périodique ...
tf
"IJ
C&) -::: ~ao ~f Cm (1)'''~ -+- ~)
par
la série de Fourier:
{ ; ~ ." «.. r (~L) {. tfLC~
• Ce qui donne
:
car
donc

---

-
46
or -Od
tt e
~~-~
(t') ::: 'Je ((') T~ ,1' (1- 1'1) .::: 1;),,(e:);;:::- el/vi
p=-~
lcuf
c.r(~!~J)=
+ (ll+lf)e fWI
(l1+lS}e-
+ .~ CmT(lge-'W~ 8efN)
f(p-d«./I
e
~
li'e~J..
+(fJ
~~ (2
+ ;::;::~ (flCt'/JC')tf
-+
jJ-t~ 2
/P/..r1
a; e tjp-I'-f)t:-UI
-1-
2-=~_. (15 C&'?G)
(J.:f~ -z
. /
où
Cd~r -
cJ· f!
{J-f}/
Pour
l'expression

---

47
~ CAci ,w~)~'F(D e:lP~)?CT"
contient les termes
1- J
.
J
_L";'c-
~1A9~
Lv(
\\ )
\\
-e
et
e.-
pour
impair. Donc
"1
'10 ) '1-0 ) \\:- E~(T) si
pour ~
impair tel que
j' if:::: -1
dans le développement de
:!:? ct (p ê~~~Y' f (~ecV'\\--\\? :
r~" a
.J
(~~~)+ (-<'2 Cf. ro{~~)(~-L- 1.( 1.,)1)-
0~~') +- ( ~ PI ~ J.''l. ') ~C -+
J2,J
Ces équations (3-3) s'appellent équations de synchronisation.
On suppose résolu le système numérique (3-3) et soit
le système de solutions non identiquement nulles.
'J
~
0
-
'i\\ ~ ( \\.V -t ~) est appelée solution de synchronisation
. i
~
sont les coefficients intervenant dans l'expression de la force
2.)
"2-
périodique :
-I-CJJ
~co o(cr Cü-;, ('t wt -+ c )
II. 2J ThéOlLème
Si la solution de synchronisation Y
ç
existe et est non nulle.
l'équation différentielle (3-1) satisfaisant les hypothèses
5°. 6°. 7°. 8°) admet en général une solution périodique appartenant à l'espace
des séries périodiques absollllDent convergentes :

---

48
.
pourvu que l>.- \\ soit petite.
PREUVE VU THEOREME
Pour démontrer le théorème, nous allons définir deux suites
récurrentes(U,),,) et (li!..)'\\. Î
et montrer que toute solution i
de (3-3)
est la somme de
Yb et des limites, si elles existent, de ces suites;
c'est-ii-dire
- l.j +
D
Posons pour cela : .~ '::- \\jv + M.
où
est la solution
de synchronisation déterminée et
U t- ~ (T)
. L'équation:
où
..j ''l7
~ 2- «r ~ (1' wt-+-C~
~=-<t?
et
devient alors :

---

rf1 11 +- Ac .(1/ + ,t/~ /,/ -f A f' )..<'1
=A(t1/f!) + éJ(%+~/'} - tf(~~)]
ou d'après le développement de Taylor du polynôme ~('&) au voisinage
de
~ on a :
~ A(tt/(I) ,+- t!Y('';Jr}-({ + 1:- é/J //(t:#)4-1 t
4
fil
J
A
(r~
r 7
-1- 11 tf (~)il -1- -" + r/ t1
((/0)4/.-1
Puisque
""1
(r)
posons :
~8 t r) .:= (J, (T) 69 tS2
",,(1 -= --II., + ,(If.
c?t t.-~t!. -<'1-( (f' 1ft (T)
.-t/zé4 (T)
En remplaçant dans l'équation différentielle ci-dessus on obtient:
~:+ Ac (~: + ûJYI-/;,~k~ -+ ./4.II-I-t4~(,,: .J.tt/(-I-I-)f(}t/e
::= A [(-t!, l-t{)/(/J of Cf? rt:k)(-(.(,.(.I'!e)
f
,f
rpl{t,#}(-t't f~~}t
(3-7)
+f1 tP'1tj,:J("t+ 4/+ ---+;!; tf(r/t4}(~NIz;r]
Projetons les deux membres de (3-7) suivant 1i,(T} et
!St. (T) .
On obtient alors :

---

50
44;1 + Ac~/ .f évJ'Y~+~E..)~I., - A 1]MIrl)J
-),1:,(~1tjçJ.tI.,J=,À r:~~/(f)+ f'-'(t;.}<~
et
Nous définissons les sui tes récurrentes (-tt,,,,) et ("~I n) de la
manière suivante:
,(1;;" + AC~/:~ + {(.Jl (101 ~~J-t-t;/n -At:ft"tffft)l
_ A r; (q;1tjç)'~ftl'n_7 ~ A r:[;!r)?I_IJft) -I-q3(fkjt{n.,
A
1/
1 1.
Z
/1
Ir J
.
++1.
JIH
--r z {f (~)({A "- / +1{17_') + . _. -1- rr r:p (&Jo) ((.4)
I
11-1
2/'1-1 'J
.
(3-10)

---

51
et
et
41;;" + Ac if;,n + C/.,I "2 (-11- Ac) ~I 11
== /1 1?[(-t,Ç,,,_/.f~1 ".,)lfI) + $ ('4,)(IJ,,,-/- ~,~_,)
(3-jj)
Les équations (3-10) et (3-11) définissent une transformation
~~
telle que :
(A1,t?1 J 44y
"~/11-')
111 )
;= ~~I (-t~w.' l
où
~/<'J1 1 4~/n 1 ..(1,1 11-1 1 4/ n- z e 8 (T)
II-2-2.- NajoMÛon de //dt,lJ/le:t 1/ tIt, 11//
Puisque .t~ 11 é' /.5. (T) ,
1
i l existe ~ 111 et q;;'VI
tels que :

---

52
Posons :
et
D'apres la propriété
p. $ :: d~)b' ,on a :
et puisque
:

---

53
-+()t:)
rf(t) ;:;z; .tp W-:J(flW!-t C) 1 &'11 6t :
•
_
.
+ 9C
t'(I'UJ!-t-Ô
-t(,wl-+l:)
~~ 11 f(f) ~& ëtW~~ (lIft/IlL «-. e
f-e
/
l(~_1{)1
/fI h
/ P_--:>e> P
fi!
donc
donc
En remplaçant dans (3-10) on obtient :

---

~Âttt/-;\\ -,,(~cCO- x~ Ce5l1GJtr:) 11
_ (A + 1- N Aetc --L d-. A/\\/ /7/r
l. - 1-
. . ,
l
1-i
)«
q
2 t::::;
.'4/ '}'1
- ("aJt
~ (~~\\
e
-
J1
-1- ([z 0:, '11 ) ]
+ (- (;. + 1~ ~z t'ill: + t? «z et 'c)ot4J n
+ (A t u(l·- r\\ + A ri C Ct! - ~ (\\ 0J C)«-1/ ~1
- A (J;, ty.;, n 1- 0; tY-11
e
J1 ) ]
1 C.i) f
1 ~
cr) -(tvf
')
Cf)
{<-;I
0(
=: (A
e
e
_1 t1-
+t1_
-f- 01 1;)11-1 +~ !fl't-I
J
1
1/ 1I - J
soit :
( [Ct) z- /{ - --te âJ -~ U!J:JC -};) ,;f1, 'J1
_
(
A
-+-
:::t« <;/~ ::::i N J{ t" y) /li
-r
l.
- l L:
+ l ?-fl cÇ
-/-o..z
VJ-t,11
~/
.::::::::
41 - 1
+ ~/ 'YI - 1
(3-J2)
~ ce, 11 -J 7- Cf:; '71- 1

---

55
Posons :
Le système (3-]2) devient alors
O "~
I / } J
~
Q 1 tV
1
-
1
cf.~/ "1 _1 + ct:/ J1 - 1
d
- 4 / 1
2
'1
"
où 3f
désigne le no.mbre complexe conjugué de d,
Ce système est de Cra;mer si son déterminant
est différent de zéro.
Dans ces conditions on a :
donc

---

#li, ri 1/~ /~'" /fA ./5 /://(JI1/ '/" "j
+ /Jf IICC,'U-) + /dl / 1<t'/1-'/ + (Je ;/Y;;n-'/
+1JJ Il ~, ~ 1
1/
_1
+ 1J/f / / ~ 11 -
+ 1J I/Y:,J n-'/ + 13,1 ! Y;, n-J 1]
1
soit :
II~,fffi ~ (/0 [tn1+M;lJ/et"nj+(IJ'/f/J,1)N,.)
+ (IJ, J+ J;h/) /~'" fi) +(/J,I
-10
1- IJt /) Irc:: ff
et finalement on a :
Posons :
ce qui entraîne :

---

57
Or on a :
Il rf,,-I If '" Il 1:,[-U.,n-,{ê(!) + I{'((}) J
~ /t{/tJ///?,jêm]# +/!?,{t{n-/fltJ]ff
( eII-f~,,, _, 1/ + Kil 14, »-111
-r $Je
+ I>C
cff
car
f-) ::= *~tJrf Û!JJ(pé()f + c) 64Jé'C frPo/~/::K<t:J4
donc
et
Iltfn-t Il == Il 1; L{P'(ljc)i~/f1-' + 1 (flr~)(~~_; tt/~_,)t
:::1......-
(r)
) /
+
)
11-/
l'1/
.. + - -- -t Y! If rl;k (1{,/
~I
Il
1(-/
~ r:e 1/~)) Il?tz 1h-1 /1 + 1 '? Ir/l:Jo/)Iltt/If-t +-4,n_)/2
+ - - - + ;i! éif(r~/fJo/}f-t1t,n-, f--l1,1f_,// r
où
9.\\ (Vr) désigne le polynôme il coefficients positifs constants:
(3-13) devient alors :

---

58
!ft!" "ff ,( 1(, {rt' +K+ 1';'(1':kl)) Ilf~, n-,II
-1- f ~ //(1 lJe/)!I.iftllf-I +41;111-/ /1 t
(3-J 4)
+ .. -+ ;1 It'hlJ,l)j4{,IH.' Ut., ~.Jr7
Donc si
/14~/11_1Il ( {J et 1//( 11_/ Il (11'1 ; .e et
117 étant deux nombres positifs'alors .
1
.
Il{1,1 M Il ~ /(, [r~ f /( f- tj r/~/))m + f tt /rlt:J,;)(fI 111)'L
+ -
..,. ~I /-1('?I~/)kf +nt) r]
(3-J5)
Nous poserons dans la suite :
F(ê/ nt) = ~ [(i +K +rt (Ilje,/))?fl +:. rt; Ir1t;ol)!t'f",j!
f
(r)
) 1 ~o
)
Y
+ - - -
ri
+
~ (Il)c-/ (t'f- nt
b) Majoration de 1/Uz, J1 Il
Puisque t't
é 4 (T)
, il existe ~hf' tel que:
IYl

---

59
avec
un nombre complexe
Posons :
En remplaçant dans (3-j J) nous obtenons les coefficients ~ Hf' de
·-fit1 f1 sous la forme

---

60
(3-16)
où
;7-1
/zp := [ ~'2 2_ P 'ZWZ f" rA c.-( t:oJ 1 /p/:t'-I
-.Qi:= CVl( -1f-l1ç)
donc
Mais pour
lA 1suffisamment petite nous avons Vri~ -> () , /?j1 /
h 2
Z
équivalente à
1/(fl- I}tV pour
/~/ ((I~ . Donc il existe 5; tel que
5 := z' //ifl! -é 5-1 pour / ,lI (cie . Majorons 1.-21'/ ; on a:
'f/~1
--1
1.-z !( 1.z car pour / III suffisamment petite //21' 1 est équivalente à ------) z
11
r
ev
(F~I UJ
. Posons :
Donc de (3-J6) on a :
Il ~
Il] /"j /
1 fi / 1~ (s, /F"-/ / + !J // ~ -1
Or nous avons :
1~-II :::- /[/{n_~CJ) +-#z/n-/O) /
(' l!tir 41-'!! + II-?f.e,n-II!
l
et

---

61
/1 i?..- f ::Il li(?
1
i{,,,J#', n-,vlf)J + iff')o)/Î1r,. -; ~;, ,,-J
+1-If't'JeJ(q,.-, H{"_,}l
~
f
tPr;J(f1,,,-~ q,.-J}
~ (j( f q;(/tJcIJ)(;1t~I1_1 + ,(4,1#-11/)
-1- f rç /(1'Jel)1/«H-f fI.", -,JIi ... /-~ f/~/}ft!., "/1,".,/(
f(l-) =~ 4(, (&J(PUlf + -c)
.~ /v j_ i/
Car
1
avec ' - - - / vr/~ -
n ('[X;;
f'
(3-17) devient alors :
(3-J8)

---

62
(3-J9)
II-2-3.- ConveJl.gence du 6uilu ({~l1,)eX. (I~/,,) dtms 81 (rJ
eX. IJz(T) Jtupecüvement
En considérant les inégalités (3-25) et (3-19) nous voulons trouver
les conditions sous lesquelles on a :
Si Il t1 /'fI..'//<' f
1
e-I Ilf{ 11-/ Il ( ·m on a alors:
1/~,11 Il (f ~f l(t4; J111('111 ; t et 'fr7 étant deux réels
positifs non nuls.
Pour
I,À 1 suff'isamment petite il est possible de rendre
si
;11 est une constante positive, /;1 / (;)-1 ,nous prendrons /~ / .5 ri,., ;
A-w7 = '?'11f:n ( rl" / ,,4 '1) .

---

63
En effet pour rendre
r- (f7 ~) ~ e , il suffit ae choisir ~ et ".w.
tels :
t
UA Ci + '.z -t o.~C \\'1.\\)) 1M- L.
.AIL t(A ~I ( \\ Ij,,\\) Ce +"",,-)2- <. t
t
si nous choisissons
tel que :
soit
soit
soit
avec
on obtient :

---

64
"rfL
<_
e
__.
k" n. (.Q" + \\<. + Q~(l~.l)
soit finalement :
et
Pour rendre
G (( "oV\\... )<11\\ , il suffît de choisir lÀ \\LÀ avec :
1

---

65
Ainsi avec ce choix de
, \\
,.,Q et 1'(1(1 on a :
on a alors :
(3-20a)
(3-20b)
Donc les sui tes ~).)'n )
et (Ul )......")
sont llI8.jorées.
3) Majoration de
Il.u
-...u.
1\\
A,o\\\\'rl
~J"'- \\l
U.u.)", - -ll;, .. \\ ~ \\\\(0(,,<, - ~.) _) ~ "'~ C'.t.,.. - J\\~) ~i~~ Il
:::-1 J
-c{
l-\\-r~
-d
\\
-')"".y\\
'1\\"",-
1 Â)'<\\...'
.-l,_
Or on a :
\\l ~V\\ ~~.\\
-
\\ \\
::
11 ~ [ Cij~IO\\ ~ ~) ~-l Ji(t)J II
L.
(~-\\- \\z) \\\\ Ul)~ ~ AJ
Il
2 )n-i
et

---

66
fi Y; - 1:::- '/ 1/ ~ Il ~[(~1.z1 h - {-/PI n-;} (j/ r~)
+ 1- fi' 'f%J((11"" +-t4, "/ - (-(~"., + -fit, ".,) j
En utilisant la formule
:
nous obtenons
/!If:. - If::.J::: fp.fiL .4f", ,,·,NI'(';/0)
+ t (f"('1o) ((it,,, -~, ".,) +(-I~,JI- #Y'JI.,))X
~11,," ;--II" J
JI
+ (~, >1.' +4ft, "·1)
-+- ...
fT rl(~)fî{,.
1
-1-
-11,",)+ (-(ir, " - #p
X
IJI·'

---

67
Par consé~uent on a :
1/1.% "'1 - 4(" ,,/1 ~ /(, ft+ K-I-(j (/~/)) Ilt1".,- '0,n,JI
+ ff?"(/t:k/)(II11, '" --f1,.j/
-JI)
-1- IltL - ~ n
X
((1/1(".1/+ /l''{ ,,//) +(//-1(",,'// +- /I~,,, ,JI))
soit finalement :
1/({"fI-f1",j~ 1(, (rtft'+iftl/'a,/)) +1jJ'f/'/o/)(t'+fIf)
-+- - ' - + 2;:';1) epfrh';;h/) ftHI1F'l X
(il 11" • - -#." n-' Il+ /I~, JI - -1i;, n,II]
<)-(
//1 {
1
H Il ('.{
e/ Il.f'Îr /1 Il ( 'Jn
(3-24)
I

---

68
Nous poserons dans la suite :
• J
(r)
r -1
..J. _ - - + 2 (r- 1/ éP (/t;)& /) ( f ..f m) -
ri
D'où
f/ (~, n~1
4) Ma,joration de
--1I.z,J1 Il
D'après (3-16)
;
donc :
où
.f) -41. (e:) +~ (e)
(11 -
4, 11
'l, 11
et
éf?" p
est tel que :

---

1
1
1
1
69
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Or on
1
a. :
1
1
1
1
1
et
1
11 ., _~",'
1
lf ~ lir
1
47
(tf".- tf" w')
f
1
+ (1ft,"- i1 ,0-';)
-+ {f
~(f)
1
1
'(l-)c) (r1,~,,,
1
-4/", ",.J + r
1
-+ft, n - -1/" W)
1
)
1
+ t rf" ('#c
1
; ((-M, •.f f1""
1
/ - (41" ri'/"
1
41".,/)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

---

10
"En utilisant la relation
on obtient:
+-f tf'(I).,) ((ct,.- i~,n-J+(iL ttn-,))X
((«, rl +Jf,n) -{(fIf".-/~41,,11-/)) .
.} . +-0- fr/r!';0) ((Jft,,,-4{" .Jd~f" rl-4~,JI_,))X
Donc :

---

71
Ili{J141-~/J1)/ { /t1J(5~/I~ -;;-1/ -+ !J//rtn -cfJn-//~7
~ I~ 1[)1 -1-!J ( K'+ q;fl tk/) + t14lfIU.j) (t-f W/J + - --
e~-,'lq{n~O/tf '";r-jx{i!4!""-/~"j/rJ/f~d~,,j/]
(3-25)
Nous poserons dans la suite ;
K(.fI "n1)': j( + të 1(/ 'Je 1)-t tJ! 1(/~JJ(f'-I 111)
',f
~
.+
-1- 8(r- 1)
(t-f?11) Y-1
r/
d'où:
1/f{ ~'I --{~,"Il:! /,1 /[51 + f) /((1, m)7X
PiJ,.-tl,,,_,//+//14,.-1,,,)1 ]
(3-25a)
Posons :
les relations (3-24a) et U-25a) deviennent alors :
W~.f1 { y, fi(fi ?11) (in + ~)
~-f
('1~
(3-26)
1
! /~ / (s:, -+ p j(lt '111))
+ t11)
Soient :

---

72
~
~ ~(~)~)
-;::
c,~ -== \\~\\ ( SA *"1 K((~))
et
alors (3-26) donne:
avec
La somme CS",,)
serai t convergente si on a :
et
Pour cela il suffit de choisir ).
et \\,(-1
tels que :
lÀI « 1\\ - 'f/\\
(3-27a)
'J.A ~1 K (.(""'"')
et
(3-27b)

---

73
Or (3-2Tb) ne peut être satisfaite que si
i(A ~~
car l'expression
de droite de (3-27b) est strictement supérieur à 2.
équivaut à :
\\ "ZA 1 +-\\""2.2. 1 +- 1 "2 b \\
LI\\(I 1
car
- - - -
\\ KI 1
avec
z
z:~
-::::
t \\.0 -
'\\ -
.,(0 CA-oc
Le. c.-' - "{o
2:2,
d.-
Li:
-.~
-:::
J\\-t"
.Â
.2-
-.Le
+-L
0<1-
~
t-
2-
~.z,
"?
- l è
A
i [
~'b
-:::
+
,(
-:i ~2. e
.}-
..Ji
o(~ e
.2
°L
+-
0<0 ' 0("
et
étant les coefficients intervenant dans l'expression
de
\\f(t) et
00
' '[2..
et
étant les coefficients intervenant dans le
développement en série de Fourier de
De (3-26) on tire:

---

( 3-28)
!YI-/I
(
3; ~ J"}1
5) (1ft, 11) et (/l~ ft)
1
sont des sui tes de Cauchy
Montrons que (ft, n) et ft~; 1/) sont des suites de Cauchy.
Ce qui montre que
(--?i lJ ) est une suite de Cauchy; donc convergente dans
B, (/) .
On montre de même que
(.r(-1)
!I fi
.- 4l
Il ( J; 5~ J' J1
'P, -;lfP
'1; 11
'-
,/f -
0
donc
(11.1 ; JI) est une suite de Cauchy; donc convergente dans
4 fr}

---

75
CONCLUSION
Pour
\\ À \\
suffisamment petite, si les hypotheses supplémentaires
suivantes sont satisfaites :
+. -.' .\\.
qui est une condition de convergence des suites
8°)
[~A \\+ lOZ2- \\ +- \\"231 L. 1 v-'l
(i.e.
t-<A L /\\ )
alors les suites lU)I"-)
et LUz)'\\.)
sont respectivement majorées par {
et W\\ «f
de Cauchy, donc
W.A
J
1 -)
est convergente dans
rol\\ li)
et (»2. j""'-
dans
'r>~(1) . Par conséquent l'équation différentielle :
~II 1- À c :'jJ + v2L (/1 + .\\ E) ~ --==. ~ [J -{o-) -\\-- f (,;'J
où
&( ~J ~ u. 2. '-12. ~
+ 19v () 1(
-
~q;)
~[-t)
+"0
ç (J:-~T) + ~
d.
(tL~~+()
r ~
':=
T
; 5
..-:::.-
f ::. -0
,,""'- - "11
admet une solution périodique non nulle :
L
~ D + "- -':> -r 0()
où
est la solution de synchronisation.

---

---

76
CHAPITRE IV
ETUDE DE LA STABILITE
DYNArUQUE.

---

---

77
1 • - 1NTROVUCn ON
Dans le chapitre précédent, nous avons déterminé les équations de
synchronisation de l'équation différentielle (3-1). Soit
R et 1J
ies solutions
du système de synchronisation (3-3). Posons:
6\\.1.< V~~:"k~~
Nous étudions la stabilitéVdé cette solution particulière ~o
avec deux
nouvelles hypothèses:
~)
~ >0 • ) paramètre.
11.- ETUVE VE LA STABILITE
Posons ~:::·X -t'jo dans l'équation
'âl/ -4- }.( '(JI ~ I.l" (l+ À €) ~ ;: ~ [ () i(~) t ~ (~) J
où
...w
T
2- ç. ( t,,'W\\ Î )
~"O
.-0
4-
::
a yY' .
'f ()
)
nous trouvons en tenant compte de (3-2) et en supposant que l'on peut négliger
. ! . ? >
r
les termes en 'X...
•
"1-
•• • •• -r.
:
~il -\\- ~C ~' + u:/~ ~ ')<. [".fgCt) - fu:}-x.. 4- 2.Cl2~,,~
l- 3ab ~ lIJlIL +- - - ~ I(a~ x. '1;~ IJ (4--\\")

---

78
11-1) Etude de l'êquatio~
V
'l.
-:E + ÀCx.Î+[v}"+ \\(~(t-)..j. E w -
avec
~) 0 ,
c.. ) 0 ' ~ paramètre
~"'O
et
L
0<
G-'-;, ( ~w l- -tz)
1:::-"0
f
Soit l'équation:
~H 4- \\.c. X' + [ W't + ), ( "t{tÎ + f W'"L.- .(,".1..'1
'jV'"'J~-:o
-
, • ' - r-a y
Q
"
(4-2)
Cette équation est linéaire et a coef~icients périodiques de période~. Elle est
sous la forme :
où
-t(t--)
~~
q0-) ::. ~1. + À ( f: L
t.û
- .tt1~ ~ll
z>a.~ '1:- .... ,.-
-
V'a '1:-'+
y
'f(t1
Donc pour l'étudier, nous allons appliquer les résultats de la théorie
de Floquet rappelée dans le paragraphe ci-dessous.
11-1-1.- Thêo~e de FLOQUET [21, 22]
Soit l'équation
(4-3)
avec
l'équation (4-3) est linéaire, i l existe deux solutions
Xrt ( ~) et '):1. ( t-) liné-
airement indépendantes et non identiquement nulles telles que toute autre solution
~(t-) s'exprime sous la ~orme :
~ -::. ~A 111 T (1. -:C:L

---

19
( 4-4)
Le Wronkien de 1:"
et
"Cl. est
et doit être non identi,!uement nul pour que
(')12.4) "iL) forme un système fondamental
de solutions.
En dérivant
ACt) on trouve:
soit
( 4-6)
L'idée de Floquet est d'exploiter le fait que
.f(,{) et ~ Cf) sont
périodiques. En effet si
")!,( (t) et
'Xl.. ( l:: )
forment un système fondamental
de solutions, alors .~.( Lt -t T)
et
'lJ... (t 4 T )
aussi, car
l' ( t- -tT) ~ r(t)
et
~ ( \\: -tT) ~ 1(t )
et
L1.. Ct -\\'T) 4- 0
(car ~(Oi: 0 ).
Posons
Xl, ((-) -= ~ (t--t') = ct"'l :c.,(~) +~Ll.t({-)
'1-<. Ct-) -; "!t (t-t1 ) -::: li.t-1 ~.-\\(~~ *a ttlt)
H
(4-1 )

---

Parmi toutes les solutions, il peut exister celles vérifiant la propriété
(4-9 )
Toute solution yérii'iant (4-9) est appelée s.olution normale et toute
solution normale peut s'exprhner sous la .forme :
(4-30)
~ vérifie (4-9) quand"t
et
~4 yérifient (4-7), donc :
fl
c
'"t'\\ et 1:.;. sont linéairement indépendantes., donc
\\11 (Q,A.4 - 'f") -t- >-.2.- aH ~ D
)..A o..i\\Ù
+-
)..~ (0..U... - Ç,J) := 0

---

81
Pour qu'il existe d'autres solutions que la solution nulle, il faut que
o
a -eJ
11-
cr- vérifie l'équation:
(4-J .l)
(4-11) s'appelle équation caractéristique de l'équation de départ
admet deux racines non nulles
Qi et IJ""L car le terme constant
d'après (4-8a).
Le produit des racines . . d' après (4-6) (4-8) et (4-11) est
(4-11a)
et la somme des racines

---

82
En dérivant les égalités (4-7) et en éliminant
Q",1.- et Q.tA
on
trouve
:::
~ CT) X~lo)-"X~ (T)X"t.(o)-t ~~ CT) X/I(O) -x,;(O)X~(T)
~1 Co) <;t~(o) - Xz (O) 'X~ (a)
( 4-11b)
Puisque le produit
~ 0:;. _ p
est non nul, nous devons envisager
deux cas :
10 ) L'équation (4-1 J) admet deux racines distinctes
a:; ~ 'Ji.- .
Donc il existe deux solutions normales linéairement indépendantes
'"i'
( ~ ~ .4,L) , nous pouvons écrire :
L
-o{.
Ct otT)
-
o(i T
- «,1::
e...
~.(b-t"-) -= Vi
L
e.
e·
Xi (t)
Nous introduisons deux solutions périodiques
lf.: (i. -= A ~
1
)
telles
_
a{'. t-
que
~
X~ (t)
l
Ce qui nous donne pour solutions normales linéairement indépendantes
~(k.-)
€rJ:~t-t(t)
(4-12)
"t (t-')
L
-=
-e- ~t- \\(2. (t-)
<..
~
~ .
(i::-A,t) .l..J T
t~(;('tL:q-w. ~J If; =-
L

---

83
2°) L' équation (4-] 1) admet une racine double
(J -=:: q:; -= 0-t.,
Les équations (4-7) deviennent dans ce cas
( 4-J3)
cr- = constante
on a
car l'équation caracteristique (4-11) a une racine double.
( 4-14) entraine
'r
Ct)
l
~11
(4-14)
(t)
Considerons la fonction
Compte tenu de (4-15)
o.. t-
- -(JT
)Cil Ct)
On a donc
Comme precedemment on introduit une fonction ~ ~~) periodique telle
que
"f-.... Cl:--) - ~ ;"(-t u.)
0(1
où
0--= ~
et le système fondamental
de solutions est

---

84
tfJ1- Ct) J
(4-15)
où
ïf l t:) :: ~ ( t) . Y-' (t-L
L
'f" et~.<.,
sont
1 - périodiques;
L'intérêt principal de cette théorie est de voir si les solutions de
l'équation (4-3) restent bornées ou non quand
t
tend vers + ~
. Si toutes
les solutions de (4-3) sont bornées. on peut dire que l'équation différentielle
(4-3) caractérise un mouvement stable.
S'il existe une seule solution non bornée on dit que le mouvement est
instable.
- Pour les équations (4-12) cette question se traduit par :
".(;é"j
les solutions sont bornées si et seulement si
\\ ~
est borné pour
l:- ~+ Ô\\?
Soit
R{. lc() ~ 0 ou bien
\\q- 1 ~ À
- Pour les équations (4-15) les solutions sont bornées si et seulement
si lecitj est borné pour t ----=3> t~
Soit
Re (c<).(O ou bien Io-I<-'i
Si toutes
Re (t>() -::: 0 ; pour avoir des solutions stables il i'aut que
le coefficient
0( soit nul.
II.1.2.- Apptication6
Revenons au cas particulier où

---

85
Commençons par le cas où l'équation caractéristique (4-J1) admet deux
solutions ~ t- 0; . Donc il existe deux solutions X-1 et
~ linéairement
indépendantes telles que :
):..l.-t) ~ C-t X Ck) +- Cl. J2..t lit- )
A
tA et t L sont deux constantes arbitraires. Or d'après la théorie de Floquet
i l existe deux fonctions T -périodique \\fz, et 'f1v :
donc
(4-J 6)
Puisque d'après (4-1J-a). on a :
alors: :
-ÀC"T) V2-
~ -+ ( St.,_ 4 e
->.. c.. T) ,t/.(.
s- ('}-_ 4 e
_
où
:L~ C1)X~(D)'- X~(T)X..2.Jc) + )(~(T)'t-l(O) -x,.,'{o)'t.:C'r)
S - ~ t G2. -;: - - : - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

---

86
Les solutions de (4-2) sont bornees si et seulement si
soit
\\
Si tout~s les solutions de (4-2) sont bornees alors l'equation
differentielle (4-2) caracterise un mouvement stable.
Dans le cas où l'equation (4-1J) admet une solution double
il exi ste alors deux fonctions 1
- periodiques ~ et '-f.
telles que
\\;1
'L
(4-J 7)
où
Dans ce cas
,::>" -=:
, c'est-à-dire que le discriminant de l'equation
et donc
ou
Les solutions sont bornees si et seulement si
Et alors l'équation (4-2) caracterise un mouvement stable.

---

87
Remarque
S'il existe une solution non bornée, le mouvement est instable.
11-2.- Etude de l'équation eomplète
q(t) =- wt. -+ )1. CE. w2. ~ 2- Q:z- 'j~- .... - V--Q.vy:-4+ \\('(t»)
Soit
,t -= ~ ~
entier positif et
"""1 -;;;. t t ""(.
W
~
~, quelconque et ~ -= A, 1., )
Nous désignons par
E l ' ensemble des f'onctions définies et continues
sur la demie-droite [ ,cc i -+ ~ l
dérivables sur les intervalles J.., ," (lItl)T(;
. Nous définissons le produit de
~ f
E
par la mesure de
Dirac
~ (t-~T) par :
~'~(f-~T) ~ ~('t\\-r-c)è({_rnl)
au sens des distributions.
Considérons l'équation (4-J) au sens des distributions. Ses solutions
seront des f'onctions de
E . La f'onction X. c:lr.. f définie sur [.{-o 1+cJ:) [ est
solution de (4-1); elle vérifie sur
[k-~ ~ .\\. <:lO [
l'équation aux impulsions:
(4-18)
J
La restriction de (4-J8) à chaque intervalle
~"T)t'tl\\)Tl
il
f
est l'équation (4-2) :
1-
+- 'AC"X + ~ ( {-) X -=- V
. Donc
la solution a sur chaque intervalle
] '11\\.\\
; (n+.)T[
la forme (4-16) ou
(4-17). Les constantes
0< et
étant diff'érentes sur les divers intervalles;
't l-l) :: 01",,- X-\\ ( ~) -l-
Nous considérons dans la suite le cas où l'équation caractéristique

---

88
( 4-11) admet deux solutions
a::t t 0;, . Alors :
"lT < t
<. (Ih +-i)T
ou bien :
où
et
Pour établir les conditions de stabilité, nous devons trouvex l'équation
matricielle :
reliant les coefficients de la solution dans deux intervalles consécutifs.
--~'f------+'
----_1- - - - - - - - - - -
...,
lMI)'
l'k+~)T

---

Nous chercherons alors le polynôme caracteristique de ~
. La
posi tion des modules des racines du polynôme caracteristique de
er par
rapport à 1 donnera les conditions de stabilite.
En effet pour trouver la relation entre
nous
allons traduire deux conditions :
- la continuite de la solution au point
t-"':" (""*"}T
- le saut de la derivee au point
t -.::. \\'v,-\\- "')"T
r::
a) Continuite de
"'t-- L-t) en
('Y\\-T\\) T
~ ( (~~\\)T - 0) ~ L((~-t\\)T
soit
-t c)
a.~\\ \\f" ( ~-tI)T) + ~~-\\'I\\f~ ( ~..\\)\\ )
~u..- \\f~ (~"')T) + ~ ~~L (~..,n)
b) Le saut de 'i(-i\\
en
avec
rr..' ( ~~\\)T t 0) =- a...'cl [ ~" ~~ ("~-\\"~I) + '( (t'",nj
+ t ..--
,
' . '
-,
..,'"\\l 0(.1.~t ~ (......\\Yï) + f ~ ~'''''' ~
l ' ;
'r"( ~..
()~ L~'
)T - c)
f, ((~")T)
0
+ 4'; (l"n~ ";
t- bN\\ [ J.J. fol. ~ 6--\\ ')1) -t

---

90
Posons par la suite :
1 -=-,(-1t +
n
\\f:
41- =: o{'" fl- -t \\f~
donc :
~'I\\",I -= 'Xi ( ('k~')T -t 0) - x../ ( (~~I)i - 0)
::: ( Û-I\\*I- ~ Q~
~J{ (c~""h)
)
+ (k.~\\-~ b",) ~1-(C--*')T)
Donc
X. (t) est solution de (4-18) si et seulement si :
( Ci"H - ~ o.",) q~ (~-\\ \\~I) +(b-r-+,-~ b,,) ~.t ((~f')T)
=- l
>-- ~
J
0-"'fl,,(t-H)T + t~ h"" \\f~ (c"tl ~T)
(4-20)
Les equations (4-19) et (4-20) determinent
a
b
en .fonction
" "
)
~o\\l
de a."
et
b . Soit:
"'-
(4-21)
où :
q~ -:= {A l ~'<\\)T J
~'- ~ qJ C"") J
T
\\fA
~A L~*~rfJ
-:0
~2-
l
-::
~L (~-t\\)TJ

---

91
En résolvant (4-2J) on a :
( 4-22)
où
F -:: ~A ~t - lf-i ~t.
~A~l -=~A l~\\)T ~ ~2.l('v\\-\\\\\\)\\J ~ ~t\\(\\)) f1(0) ~ 'X~(0) -lot (0)
car
~I\\ et ft
sont des fonctions -r -périodiques telles que :
, qui est le
donc:
'W(~~)~:l-)(O) :: 'f--t(o)i~(o) - :t: (0) x~(o)
:: <t~ - ~t 4-1 ~ - F
soit :
L' expres sion (4-22) en terme de X (0)
et
'):<. (0)
devient:
[~::J ~ Al~:] ,

---

92
où
t
À
:c.~(0) (li
[~(o)',(2.(0) - ~(o)\\(.~
_>- _"{~(o)~
L [-<(0)'J:J.(o)-J: (O);(~[O)
A
Le polynôme caractéristique
p(v) de A est:
PCor} ~ <~- [~~'i"~ + ~ ï"lc)-x...z.(o)
(G,A-O;.}Jy-
q:~
F
-t
( 4-23)
l x~(oh1.(o) -~.(,lo)l~(D)J
" ~
-).(T
avec
~ 402. '=- e
Soit
'f.,
et
(1.
les deux racines de
'Y(If") -::- L" et posons R leur
sormne et
op leur produit
Ici puisque
y(, 1\\
, les solutions sont stables si
[QI ~~
et instables si
R)~

---

93
Dans le paragraphe ci-dessous nous cherchons à simpliSier l'expression
de R
II. 2.1. - Véveioppe.ment de. g
à. i' o!LdJte deux en ;~
AI SUnpU6i-c.a.:ti.on de i' e.xpILe..6Ûon de R
Si (':t-",
-':"2 ) est un système SondBJJlental de solutions de (4-2)
tel que
l'équation caractéristique de (4-2) est:
Q"'t1.
Si ~ et
ç sont racines de cette équation
t-o+-T
.
<ter,:.
bJ
0.A.< ai< - Cl'-< a<L
0
e x:- L\\, l' ('c)
(Ç -r CJ'L.
~1 -t Uv...
"Jl'lh-)
-.
-
X '1. Cc) -
'X~ (Î-)~(C'J.f 'X~(T}(O)-x!:(O)Xl.(T)
[ ~ c.0 ') /L'~ (0) - X-<- {(:)i :JL-{ l ~ iJ
Puisque l'équation caractéristique est indépendante du choix des
solutions fondBJJlentales, nous choisissons un système de solutions (~,
~~ \\
vérifiant des condi tians simples. Soient
A et
V telles qUE' :

---

..ttlo) .:.11
o
-<A/(o) -::;
(4-25)
0
Le système (.lA,
If') est fondamental car le wronkien est non nul.
Toute autre solution de l'équation (4-2) s'écrit dans ce système, sous ~orme
de combinaison linéaire. En particulier les solutions de Floquet
~
et )Cl-;
donc:
(4-26a)
en dérivant, nous avons
( 4-26b)
(4-25) entraîne que :
Les relations (4-26a) deviennent:
"J-/I ~ ~ Cv)..tA. +- ';Lf.{ (0) V
(4-26c)
lC~ --=- :iz (11 ) \\.l +- -';i; (0) Ir
Par définition des solutions de Floquet
donc en considérant (4-26c)

---

95
"f-t (o)~ (T) or ~«O)~(l) ~ ~ [?C-1lD)M.(O)+~ (0) ~O)J
A.<\\;LO} ..u.(I) + )l~(~)\\Yt\\) ::~ [~l. Co).u(o) +- X~(O)"lo)J
soit :
A:.,t (0) -\\;t(l) -t ~ (0) \\1-(-T) .~ ~ 5-1 (0)
(4-27)
:X-L (0')
Cl)
Â.L
T~i'(0) ~(T) ~ <Ji 'XL (0)
(4-27) entraîne :
v-cT)'-
t 1. ( Cl) :;(~ ( 0 ) ( cr;. - ~ ')
L")(1 CO) X~ (C) - ~ CO)"X~ ( 0)J
donc:
D
..........r-
rT"'
r.-
"'\\
-t., (0') ,: z.. (0) (Û~ - G"""L. )
~ ,., -e-t'Z- -::- v",-tv-z.. +- " [
( . \\
)
f{\\1
:<"Lo) x.J 0/ - Xl. (0 ")t.-( D)j
- ~ -t'Uî +,\\ \\JC,)
-}..C.I
1J '"::. YA r1.- -::: e..
D'après
(4-11-a) nous avons en fonction de .A.t et
,-or :
soit finalement :
R-::: Cl; -+-~ + À \\J(T) --=
;)
~~C T
..,..
-::. Vj. ('2- -;::
e..-
( 4-28)

---

96
BI Caleul de R en Qonction de
[ Clq." .. ., Qy)
Cherchons à déterminer
R::. ~t Y,,- en fonction de C> €. ll- /\\
~
/
et ( ~, ... , 4)
?L. désignant l'amplitude de la solution de
synchronisation
'j ...;: 'h ~(t...)~ +Cït)
et ( 0_," ... , 0. ) les coefficiE'nts du polynôme
/J [.~) .
·-~k
r
'"\\
V.
Nous nous proposons de chercher).J...
et
V- selon la méthode de
».
Poincaré, suivant un développement en puissance de
Soit :
A::
)..{o
-1- >--..M...I\\
+ >.7..).).7.. - -
u ~
~~ ~ "'''.; + ~1. S; _
verifiant :
A,[C) :: A
( /
\\
et
)J - (c)
;/.(0)
o
L
~ ,,(/ 2..
(4-29)
<
.Qo lO J
1...
'-{to) -: Ù et
_ v-.'(0)
c)
(4-30)
«D):;A
L
Nous poserons par la suite
W -:::A (il suffit d'un changement de
variable), donc
T -= .2."'1'ï • En remplaçant dans (4-2) les expressions de JJ.... et cr
nous avons :
ft
4
+..Qt> '=
ù
o
.()..~ +).lA -=- - C. ..tA~ - ( \\f{t:) +é - "- ~ !.jo - "5° ':J}- --
3
-
t'al' j;_')..u
~ i (l::)
O
(4-3J )

---

97
(4-29) et (4-31) entraînent:
At, ~
c..~ i:
ft). '=- )l-l.1i~(r_~)-!("Z)J.L
"
(4-32)
.,(lI-
\\.,~.Ai"- (A: -
-0
L.) -(C-~) Je:
De même pour
"
:
.r" -t 0;;
-;::::- C
~Jl;-~ ~ _ C- ~f (t. - za~ Y
-
_ .. , - rc<y Yl)r-l-t Y{tJft
a
(4-33)
(4-30) et (4-33) donnent:
v; -=- fii~t-
l-f -;: t ~..-li "'-l t- - G) ~ (~) J (
)~
(
,.f
(4- 34)
v;. ~ J "i""l (. -c )~"L (z) cCc
j)

---

98
Par suite :
avec:
1.(~, :: -(M.~- ( t( (t Î -t <ë. - 20.,\\.fD - -•• - - Va..-~:-')~
~ (l:'
r
(
.
.r_.) "
<t,.l .) -=. - L lt.A. -
\\(' (~) ~ f. - 'ta~ ~~ - .,. - y ~r ~ l)
.......(
~U-) ~ -(\\1-~_ (~C~)-tt-2e:t~':Jo-' -Yar'i:-I)~ (lt-3S)
C\\ (t') ~ - C~ - (~(~)+ f - ,~ ~ - -- - {a '1 ".(\\0:
v
ch.
()
01',,(
EXp~e64ion de ~
~ :: )vL ( L1\\) -t U 1(1. 11) +- ~ \\Y (~"TI"')
donc en négligeant les termes en
>-'" , l'expression de
R e s t :
~T
~~
R c: ). - >--) ):,~L Ç/L),rZ. ~ }..') ~
Ai
,,-t'/e) .l:Z
~
0
~
~
+- >-..\\ Co-,L ~ / z) J-C + ,>.1..) ~<:: ~ 1.(r) dL
o
0
- }.L)~ ,JI'"Z '}J~) JL k- C ( 'fi?' )
1:1

---

99
soit
W
Il. -::- '--
J[
Ü
c.." "< 'j/"') - ),-~ r f. (~) Jcl~
~è>
+- ~(.j C~t~~(<.) - J;;v.l f ( t)] de
L
n
-\\'lj~.c~/r)Jc
( 4-36)
+ 0 ().",)
c)
Les expressions de
~, t. et Cl , ~
sont données par les formules
-i
z...
dl\\.
z...
(4-35). Soient:
1" Cc') -;:. -C pi~c: - f="(<;) ~è
cl (z; :: - L. C»-JL - ç Cc) J>i~"l
~
2::
è
il("C') ~ -
1,1i'
C- )D &, (( - If) 4'/'I').{,( - f(ë
(r- 'f)f,(~ljr
/)
t(-Cl cr
J
-= -
Co-,(l-f) ~I('f)-if- F(L) A~" {r-'f)J,('!)~r
à
~
où

---

100
Pour simplifier les calculs, nous supposerons dans la suite que le
polynôme C\\ (~) et la force périodique \\((k) sont de la forme :
Q(~) ~ - .'t~)
) ; étant le coefficient non lin~aire d'élasticité et
C'est le cas d'une plaque rectangulaire excitée dans son plan par une
percussion e Cl) et une force périodique lf [i:-) . L'équation temporelle du
mouvement étant alors :
~~ -t ~ -;: >-.[ ~~(€ Lt) + ~.z (t -+ 1)-1)] - .2 C~'- € dr 0)'J
J
où
désigne l'excitation en charge paramétrique.
f
Les expressions de
'
~L- et ~'\\ ' q..t deviennent alors
1
~1 CL)
~
:=
1 C .)', Vl L
-
ç-(c) U)
~ (c) -:: - i-C Ct.7 [- 'F(Z) .r!\\hL
\\
't l~) - - rk-'{
i C
'-lf)f, (<l),l ~ - F(r\\),-:,.tl- ~)f,(~~f-371
T
~L-c) ~ --&C}_<,> (r-lt)j/If)Jf
avec
Dans ce qui suit nous nous proposons de calculer les trois intégrales
figurant dans l'expression (4-36) de
R :

---

101
1.if'
J
- T
[ UD l dt" (z:'') - ~I~ C ~ Ct-) JJe
..,
~
~ LG~z j (L) - .~i~ L { (-L)jJZ-
l)
:..t.
lA""
r )1Y\\C'd (c)dt= ~
j
.{
b
soit :
(t7
L~J
1: _ ). (- 2,Ue,'z: - (.tj' Co>,t ([ +IiJ,) d>J&,\\Cj
(/1<."1"[ ~c:.) - 1-c. /);~/ (-t- (.2J~!{(t~A)
+ t -\\-;)" ~~ ),., .. ~\\ L
J
L,-,> L
d. è
:r -::: .- 4TIC
Pour calculer..:r
nous allons procéder par étapes : puis
~o :: 1t. Go, (-[" -t<t) )
, on a :
F( L) :: ~Jl Ct)) ~ (z ~ ttl.) + E r '5 'ô -lJ;
::: (t.-r ~)Ç~~) .t--tf~.t (t-tQ,0 -t-- ~r;i'l. L.'">.l ((i~)
Posons par la suite ;

---

102
donc :
soit :
ACe) ~ Ce->'C d (-c) -.,~;II\\'-( 1 (T )
,~'Z.
l.
' .
(
~
t
H
J. [C,>c Cc', (7. 'f)~,(lf)-." r'=(r-'l.l~~J~
: t=(L') ~r[c..,-,~, ;~tr -lf);J.C"I)
- 1"" è ;' i "- ( ,,- cr) ;f~JIf)j Jf i
donc:
.c
~
Pc (<:") -=- - ~ C) t>,C~) J~ - f(~))ô (('f)J.~
()
où après toute simplification :
t (~)
U·i
0
-
Lé
Le, ! (-( - 'f )J+ 1Clo ~;. l (c. 'f )
+~ Cil [ ,1i,\\ L (c-tq\\) 4- pin- 4(l- Z'{ -~()]
-< ~ Q, [,1.• L(r-<f) + ).", 4 Cc:- t'f-~)J

---

103
et
t' (~) -=- - GeJ>"", ~ ( ~ - \\.Ç) 'L
-t-
c(o -
1Q., ~ 1. (L- \\f' )
-\\-
.
a.~ (,.,'-) G ( lf-t~I) - ; [~ 2.(r-t ~l) +~ 4{z-Z(-~
t Z~~(\\Qtq))- (j~[~Z(l-t~) +~4(f_2(_~
ce qui entraîne que :
"ë:.
~ r,(~) J~ -=- - c Z. - C;ji~ ~ L f /~ Û ~ ~ ~
o (
-
()
v
-l- ~ ~l t? Î lI\\ Z (ê t ~Â) -t ~ [~ 4(~ 4-9.)
Y
~~
- c....., ~ Cë -~.)~ + a{ i': .-0;" Z (n'il)
+ \\~J ec, t, (L +'il) - Li>, 1; Cz -'VjJ
et
Z
) C(\\f).,{'i' = -G ( ,,- u,,2 "") + -:i, â. z: - Gl~ /,:, Z"
b
+-
1
O-J.l,A, '" ~ Ct -4-~/) -
- ~ lc~2.(l"tÇ.)
<;1"1 t <ù1
h.
J
'i
.1c (i~ l.6 i '1 4( t .\\-<1),) * ,1; "'- 4 Cl - ~I)j
~t.
-+
~L l fi; ~2, (Z+-~) -.Ai'1 ~ J- ~ C~2. ('(itl
Lt

---

104
Calcul de
z.-.:r
- te) »(7)h -
o

---

105
w-
~ M,}d7
1
= TI [ 4c rr
l
-<c
aoc -1 C 6>< e:" 25),
o
Calcul de K
-. C~ (ch 2. ( Z -t ~ .1) - ~ (,~ 1. ((-1- f) )
2-
-<-
+~ 4, [Ch ( 4( -T l'v,) -H~ 2'iij

---

106
et
11\\
lA - ) ).", L 'J/Z)Je ~ - [(;LI -+ ~ TlQIi Ci>J 2)11
2-
D
+1- ïfLl"lt. Ct" J 21)
~
Conclusion
La somme des racines de l'équation de stabilité au troisième ordre
près en );. est :
K ~ li' ~":L + ).'-j - ~J /\\~ k
;: 2, -
1
41fGÀ f- ;,2-fr [ 4 C "[r -1- (( -1- lf)'ll,
-i (C+1) a,i (th Z'V, - i (c. dJ')Q-1 6>, .e9
'L
(
'L
~
-C.O ïÏ + t 11+ ~ t1ihlttfl)a)-t~(iT+~~1~4<Ü1~
+ a~ ( Tc.-, ( 25) + 2.'il.) - ~ <,.:. (12 - t'il,~J
où
0..
- L +l "i/ ;/-'
-
0
2..-
0..;1
tJ-J
Û'L
-
~ -{ht-
- .2....

---

107
Pour que les racines de l'équation
soient comprises entre ] et - 1 il faut
a)
-
1.. Z.
R <.. ~
b)
Â-IZ + P :> D
A-tRt'P)O
La premiere condition est verifiee pourvu que
\\x\\ soit assez
petit.
Pour la seconde on a :
- '-t)....c. If
t
'2. 'L
. )
V~ e
:::. Â -- H)..ClT -;-gc Ir). -t1)(À~
et les conditions de stabilite sont :
+ ~ (ll..L~_ ,J~ 4~) d~
1ft
+ C<'.l~ (11 ~ (~9~Z'&\\)
L-r
Lt
.
~ ~ )'<n-( 2-\\1- t(jJ,) »0

---

108
et
4- ~ ~ (if - ).,L,r l- (C f 2j!) Gt +~ (e
o
-t J1 )a,( ~ ~~-1
+2 (C-tA)az. ~ 2.~ + a,,1.-T -.!.. (iT"-+ i ~ 49 \\~'l-
01
L
4
4
) ~
-~ (T-t~ jJf..-... 4~)a.1. - Qlal.._(-rr(À~ (2f)'-rZfJ-i)
'"
4
L
~
- V';"'- (211 - 2'i)A) ~ M 11 (~ /' 0
Cette dernière condition est vérifiée si
( \\ \\
est petite.
En résumé pour \\>...\\
petit, la condition de stabilité est:
4('11 + Cc -< t1') a. - t (L -t ZJI) a.., Ch 6),
_ ~ (c.. + 2J't) a ~~ 2~ _ Q t iT-T A_ (1\\+ !-~4~\\n,L
1..
"2
()
'1
~
r
+Â4 ( Ir + ~ ~\\ "'- 4q) û/ -t ~~ i (Il (l"tJ ( l ~ + tfJA)
- ~ } : ""- ( ~ 1) - ~'il A)) >0
avec :
dA -:: .t j-t
QL -:;
~ -{ll.f-
2-

---

109
CHAPITRE V
LIAISONS SPATIALES INSTANTANEES
AVEC
SYNCHRONISATION ENTRE DEUX OSCILLATEURS.

---

---

110
1.- FORMULATIO~ VU PROBLEME
Dans ce chapitre, nous considerons deux oscillateurs voisins depen-
dant d'un paramètre 1\\ , en liaison par choc et excites par des percussions
de periode T , TW- :2 7T et d' amplitude K inconnue. Nous supposons que
les pulsations respectives flA , .Q z. des vibrations de chacun des oscillateurs
sont legèrement differentes; soit:
1 et [z designant des paramètres non nuls.
1
Le système etant realise, peut-on obtenir la synchronisation de la
eriodes des oscillateurs
our certaines valeurs de
l'amplitude
K ?
Pour cette étude, nous supposons que les équations différ,'r;+;iellf's
regissant les mouvements de ces oscillateurs sont de la forme :
Z: +- {(jfX1 := /\\ (t:,~+ 7?(Kf/:X:) 1) -1- /(6/rlJ.7
::: ~ Cf;( ( %, 1 ~: ) ! )
(5-1)
(5-2)
où l'ensemble des fonctions et des constantes satisfait aux hypothèses ( ~ )
suivantes :

---

111
1)
f\\" doit être choisi pour que la condition de coincidence instantanée
soit satisfaite.
2) lAI est supposée petite et t1 ':1: ()
3) On suppose f
1" Co" et ~ FCi.
1
(}(I) ~ ~q;.~.(1)
4) .ç (1-) est une percussion ayant pour expression
t..
où les
0~' sont des constantes telles que
..- l ,,{ / ( ...,<--.
"-=:-,-
'l
'~..,. (f)
T~~ ~. (; - 0' - nT)
G..
')1:"- - X'
les
~( sont des constantes vérifiant :
e ~' t~ (- - - ((r <" T
)
le nombre des
~" est arbitraire mais fini.
5) Les P
., sont des fonctions de t- de période T et des coordonnées
1
1
r;(, . X,
;(2
;Z'z
r:
avec
(?Ç )~/-I 1/::: 4?-/{') ~)+tf(l)
1(0 de période T
les ~~ sont des polynâmes et
0n' ( (!J/ eJ 1 cl
.0
-
(5-4)
J~'
-
A
2
A
' -
1
6) Les Î1 satisfont par ailleurs à des hypothèses (lit
précisées plus loin.
Dans la première partie de cette étude, nous étudions l'existence de
solutions périodiques du système d'équations différentielles non linéaires
(5-1) - (5-2) - (5-3). Nous déterminons
~ • amplitude des percussions
1
en deux étapes : K=K;; + K .

---

112
- La première consiste à trouver Ke, , valeur principale de K" à l'aide des
équations de synchronisation;
La deuxième étape concernant
J(/ utilise l.Ule méthode d'approximation à
partir de la solution du système et de
fÇ.
Dans la dernière partie nous étudions la stabilité de la solution
de synchronisation.
Dans la suite, pour simplifier les calculs nous supposerons que â·;': 1.
II.- EXISTENCE VES SOLUTIONS PERIOVIQUES VU SYSTEME 15-1)-(5-2)-(5-3)
II • 1) pJLUi.m&uLiJr.u
Dans le cadre des systèmes non linéaires excitées par des percussions
R. FAURE [15, 18] a démontré les résultats suivants:
On considère le système
)
/
e»
}1
. ~ -)
~
rI ~ (;ri( 1 f)
fft)
tif
o:ù
-+ Z
J:t' Sr! -(;- - 11/)
Cf:
'J =- ~'(:lÎ: 1 t)
A~ 11
• >
.7
les ~. sont des fonctions de ~.q) t
deux fois continûment dérivables
par rapport à
;:r~ 1 f pour tout 1- et pour ~} appartenant à un domaine
Les '01. r sont des constantes facteurs des percussions SIf - ~j .- J1 /) .
ThéoJLème 1
Si Î GilL )Il.
sont des constantes telles que les intégrales
t1. -H /k: 4, . ") If
sui vantes étant de Rieman,
r
Jtf
- = - Y
- l '...
(zl)
(6ft
-1-. ~ ,/,','
-
v
•
'd-t
J 'J),;0
{
t'

---

113
les fonctions
t~· étant continûment dérivables au voisinage de (a,,)
alors le système
(zt) admet en général un système de solutions périodiques
pour f t\\ J suffisamment petite, ces solutions sOnt pour 1t4! petite,
voisines de
(c?4)k .: -1/ , ../ 11
En outre si on pose :
T
3-1
L(.Y,) -
15;' (Xl. I-)~/f
J ~ k -=- AI' -'/ ?1
If Ali - T
,J
J
C
la stabilité du système
(~) au voisinage de (~) est donnée en
général par la stabilité du système
(2.)) au voisinage de (6?,4»
pour lAI
assez petite :
fix,). _'- '\\ f~d" ( 'Y/-, )
(1
Âli
)
J; f --.-1; . / 11
.(Zj)
c.if
les
Fj' sont les l'onctions associées au système (ft j .
Nous allons appliquer et démontrer ces résultats dans le cadre du
système (5-1)-(5-2)-(5-3). Pour cela nous montrons dans le paragraphe ci-dessous
que ce système d'équations dil'férentielles conduit à un système du type
en lui appliquant la méthode de la variation des constantes [17J.
11.2) Eqw:tü.on6 de ll(Jnc.hMwo.:V..on
Cherchons une solution du système d'équations (5-])-(5-2)-(5-3) sous
la forme
:x/(f)~a,/(f)Ct'JJt + h1(f)~#f
:lt'z (1--) :::: (lit (1) (tn t -+
L'1 (1) ~ t
avec
6t;(f) C8J! + b~ (I)~; 0
tJ:(f) Ce-?f + IJ/(f) t)1-~t ~ ()

---

J 14
en appliquant la méthode de la variation des constantes. On a alors le
système :
1
L I ' f
az. C6:J[ + hl. /141
~ eY
~.6t~ /ti1 f + 0; û!JJf.:: rl ~'(I)
- .61/ :yh1f -1- b: «JI ~ r1 Yi (1)
qui conduit à
où

---

115
~- - (t, ~I ~ f?, (X 7'; Il)) ?'!;;
t l
cG
(Él %, + r; (~/Xf: 1)) â?':J!
cf;
- (t; X, + f~ (~/ x/JI)) ~ t
ct, - (ç; ~z -1- 47( %2 ~/
1
/ 1)) CéJJ r
On est ainsi ramené comme dans le cas classique à un système d'équa-
tions de période -r-~ cQ~ qui a été étudié dans un cas plus général que
le système (5-6) dans [15].
Les conditions (z;) du Théorème 1 (cf. Préliminaires; § II-1 de
ce chapitre) sont, compte tenu des percussions :
(liT
- L[l7 (;(1) ;(:Il) -1- Ç, %,]7t#tdl- K;,~1'~'~()
. "
(5-6a)
, Zi1
. J [F: (7,,.;(;, tl + (,4]Cê'Jfdl + K< ~ -t'<aJr,'~"
Oc
j~2ff
, f
_ [1? (;;(1
=-
1 X; J 1-) + ~ ~]?t1t! ~I -+ ~ ~1.pn L'
CJ
o
(5-6b)
c;i/
l Cl?(X J:, t) ./-{,;rJ~feil-Kc~~·cm(~e
2
t
où
~ est une valeur approchée de ft' .
(5-6a) - (5-6b) est le système des équations de BifUrcation-Synchro-
nisation.

---

116
Les fonctions associées au système (5-6) sont définies par :
zT
F; (c./, , b
f;;fCf(
1 ):::: -
(HA ,10, / f) .~! dl
b
• Cl /1
F:, (&if! h. ) =z; J'f;(6'~, ,f" /f) (O'J! d'l '
c-
et la stabilité de (5-6) dépend donc du système:
(5-8)

---

117
(j{f.l
(il
(5-8)
{91 /Ji
-{jlT-
On cherche alors des solutions constantes pour t1".r ' 6, ' &Z
'!>f
et
Jr~ du système de bifurcation-synchronisation (5-6a) - (5-6b).
Compte tenu de l'hypothèse de coincidence spatiale (5-3)
;;r, (e)..::~ (~)
on a :
On a alors les 5 équations nécessaires à la détermination des 5
constantes :
On suppose résolu le système numérique et que le système de solutions
az
Gr
h
b
(5-9)
1
1
1)
<.• 2
ht.
f(~
Kf->
est non identiquement nul.
On considère les hypothèses supplémentaires (K) suivantes

---

118
Les solutions e~ , ~ , hA , h2 ' /(; , 6?1" ~ ~ n'étant pas
identiquement nulles, on suppose que les fonctions
~ (~ Jj é) ,
·Fi (~ 11'/ 1:) admettent au voisinag~deS s~lutions
Aff ~ t9 Cff?r f /?, J'tnf
1
4 12 .= Grz Ô?'1 f + bz ?'1~'1 t
des dérivées partielles premières et secondes. dans un domaine
D(fi'?,) .
avec :
b
b + 6k
1
1
Oz
Brz """ Cl]
b
+ t0
2.
<./II(
D(f(
4-:~:Z
4) défini par
<: ,fi Z-
On désigne p a r D (If )
l'ensemble des points
défini par :
En utilisant les hypothèses on a alors le système ci-dessous :
::= .A [F,A., + P,t tfz +(l, (fJ + A:', (0/" (Iz ,1)
_ K~ ~'?1;I!z' .S(I-
(5-10a)
(-l//lT)]
(
,
}1
~ ~ [~1q1 + f~l ~ +ê; (!)-I-Ir; (&j,/~' 1)
+ K~ ~·a?I;·S(I-_~·-tl1iT)
<,'11
7
-

---

119
(5-10b)
&1ff,1 ~ t4 ~1 ~ +C'I"" 0/" + tJ" (1) -1-f.,(~ ,ri" 11)
c~l
-
/(;Ç ,:r,. Cé'J1,-S (! - 1;- - '1JIll)1
·{/11
~J'
avec
' - A
2
11_{
,{
_
-, /
/ K-
" -
J
J.
L2.-Z
-{ _
J,
1 /
I r -
les
X( - calculés comme les 2;,.
mais en remplaçant les ~
par
~-1 {JI,.
avec pour
/(. -- 1/ 2
/ J'::: '1/ Z
et pour
-e. -=- J/ It
J
'd
J~Jllf'
l
La
.
condJ. -
tlon
-=;;-'f (1'??
t
t
L
t
..c:...... e.--~ '.
Il
pour
ou
[
en
~
ralne :
--1'
-(
= constante.
J

---

120
Donc si les
~: sont calculés à partir de ~; 11-1
terme
d'une récurrence avec
H (a
) r> /J (1-7 )
on a également
'4;1-1-1
e::
1\\
Dans le paragraphe ci-dessous nous démontrons le Théorème 1 (du
§ II-1 de ce Chapitre) dans le cadre du système (5-10a) - (5-10b). Nous montrons
que la solution de ce système est la limite, si elle existe, d'une récurrence
(~./ -11) é I)(~}.
II.31 P~uve du Théo~ème 1
Les équations (5-10a) - (5-10b) sont à coefficient périodiques de
période 1.// . On utilise alors pour déterminer les solutions périodiques
la méthode classique valable pour le cas des équations différentielles
[17,. la] :
.+ ~,(I) + . ]
(z~)
1
où t,,,, ici sont des fonctions continues, le système (l::.;,) étant de
période 'llT. On écrit alors pour le cas (~-i-t) .
') n
où les ~j' sont les solutions canoniques du système linéaire homogène à
coefficients périodiques; c'est-à-dire celles qui vérifient les relations

---

121
(~)
C;.
où les
.J
sont les nombres de Floquet. Les ~. et le ~. sont alors
déterminées de la manière suivante :
1-
3.(f) ~ ~fHf; ('J;t1) rhi- ('-:J)t7h (z~)
d
if'
~
avec
1
/--id (f/~)
Hf<,j'
Il (II,,))
où
Hkj' (f; ri) est le mineur des Md' dans le déterminant fi (fi),)
des
~JrJ (f/li);
,
_
~f
(Jtj' -
S
./
-1-
'd
les nombres
-~J' de Floquet étant supposés distincts et différents de 1.
Nous appliquerons ces formules du cas continu au cas des syst~es
à distribution
en tenant com te de
nombre d'équations est quatre.
L'équation (5-3) de coincidence instantanée
;;r1 (c) .::- Zt (C )
devient ici :
~ (cJ ~ éf; (e)
avec
A ;;?' (~,-t :t.(e) ) ~AJ' (0 )
J
c1::?: (ad'.fJ/(oJ) 'd3d ·(O)
d

---

122
'~,~f
et
-~ ~J}f;,~
~.)
kJ f,~
(1-)
(J)Ph
:$J
1r'
e)
.
-CI .
041 //,)_.- fi; /'r)
donc on ne dOJ. t tenir compte que des
L--7d dans l' égalité 0/" 1L-
1. (C
et non des
JJ' car ~ (u) ~ () .
Les expressions des
~/( ()) sont données ici par :
Pour
i: ~- 1/ J :
~ft (~)~ ~
-+ [/(~ ~ -)11'1 f -S (1-- ~-.-LIIII-j
-1- t;
l
(
ê
L~J
avec
ç .:- -,1 pour h.: 1
,
C.:...- + -1 pour
"r'-
Pour
~ -: ? / Lt :
.#1{(
:r
(?)..::- ~ f 4 -J- [ j(
.~ C~'/( t(!--!;- - '(1111)
avec
ç =: +-,f pour ~:: 'l , f·:- - 1 pour -# -= Il .
On définit alors
K.::- ~ + 1( 1, ;t;, étant défini par les
équations de bifurcation-synchronisation.
HkJ'= HI:.J (f/~)/ Il(fIA) es~une fonction analytique de t1 pour 1,1/
suffisamment petite. ~ (1:- ~ 2Il .
On a :
1
où ~J(/ est une constante.
On a :
~/T
j/il. h (j)f!J
~
~
'f:

---

123
Posons :
<:;. - -1 + ~ I!.
IJ· -= IT + A Il. + - - .;"
-. t
-
't
) · t
1 l'
-'1 -1
l'équation (5-12) devient alors :
Il;, .tî
Dans cette équation remplaçons
et
(1) par leurs expressions
respectives (5-11) et (5-12), en tenant compte des équations de synchronisation:
'lIT
Jé,y(~ 1bJ ,JN0
rJ
avec
i~ -1
et f::-1
si lé:: 1
; J''':: '2.
et
["::4-1
ai
k---J
QH
f
(5-14)
eiI (~) 011} &10 :f (Kc ~~. C&?~. -=- e
-{
-tl

---

124
avec i'~ 1 et
r- .:'" f si
iJ.::::..
,d ._- 0
L
o
~
~
L
L
et ~ -=- - >f
si -If' -- /.1
on obtient :
(.5-= 1.r)
+ (~)1J' - li .. )!~3' /. ~-,~ .Jt~~'
r; (;7
drr) 0
dOl.
~jJ.'
-/- (
- [1 , ) U 1
z;- {('m~77~11
<) 0
d-1rJ ()
1 Ilft! C'
(
- •

---

125
.- -::L
1
% -ft1)
f
( ;
/iJ-1
Or
; donc :
-".J
'Je/
'lJJ P.
(5-16)
tous les
~. étant supposés diSférents de zéro.
Pour montrer l'existence de la solution, on procède par récurrence
dans (5-lOa) - (5-10b) et (5-15); on suppose connus les tft·
,Ki
J
/
L f /'"- /
r - of
on calcule alors K, à partir de (5-15). On porte alors la valeur de /(; dans

---

126
les équations (5-10a) - (5-10b) considérées comme système ('~~~ en
calculant les ct il'
à partir des
1 /,_'/
i
et
Kp~/ les ~;p
étant des fonctions de période
Zft , puis à nouveau on calcule ,k"/
et ainsi de suite. On prend pour valeurs initiales de récurrence
Définissons maintenant les récurrences
--) t;/
J
On définit
( 5-17)
4;
/
où les 6fJ/f' _/
et
l' --/
sont calculés à partir des ~l' 1
et A;-I
;
les ~j' sont les solutions canoniques du système (5-10a) -
(5-10b)
k l'est défini à partir de (5-15).
Majoration de ~;I' et k}
Nous voulons majorer les
q./,(f) dans l'ensemble de l'intervalle
'-'lI
[el? 11] compte tenu des percussions éventuelles; ceci pour Ilii petit,
constante. Nous devons pour cela majorer les différents
1?! 1(A() , A~
termes ~. ,
3 ( f) pour é 5 f { flT . On peut écrire comme ci-dessus
J
étant des constantes supposées ici non
Si ::::: -1 + ~ ~.+ ,1 t(~) ; 1{
toutes nulles. Alors le nombre correspondant
/\\ 6;;;/,-1 est:
fj</}J4,1' r-J) (4;
(i'

---

127
5J ==:J/;.I
Pi t- e
*d
i l en résulte que pour
:
avec
f? -
mais
où ~~·o est constante par rapport à <J et
f;;;.1J.
à
A ; il en résulte que la partie principale de
(J) &0
6
~I 'i(d"'- J
est donc celle de :

---

128
:::
~~0
-\\-
('ëf
-ç. p \\ J1, -\\- 't. \\,( 7 -<~ G.,'J r...\\
)
l'\\~ \\.. ')
J
l )
)
l.
o
*::
avec
~
pour
2,
'OC
-".1
pour
..g -::- '-+ . Mais compte tenu
des équations de synchronisation (5-J4), cette partie principale est reduite à
\\-~~~v \\~~l~) cU ; or ~-t.(A) est borné par o<~L pour 1l1~:r_}~2;
par sui te
1).. Q
'j . \\.( d..~.t
, les
lj .' (k)
étant bornés pour
~,"-A ' 4 . A
<,~
k E l'ClJ l if î
et
1i\\.l c.. /"-0
Il reste à majorer /À z. ~.,
avec
b
'(
Z· (-t) ~
j
Les ':J .. (t-J étant toujours bornés, on voit que les expressions À Z ::J .
'~
J '-\\
en tenant compte des percussions, sont majorées, pour
0 L b <: 21f, par une
constante
où
~, ~ sont des constantes. Les percussions interviennent dans le termes
.,(3 \\À \\
• D'où
sont des constantes indépendantes de
1
où
0' et
>- et de 't\\ ; pour (À 1<.>.0 '
pour
r é (CI 21f)
et supposant
Par conséquent

---

129
(5-20 )
si cette condition est réalisée avec la condition avec la condition
Si nous voulons que la suite converge, après avoir remarqué que
dans la di:fférence él,
- q
n'interviennent ni &~-I i-/ f) , ni les
fi p·f 1
-t , /
percussions on obtient une inégalité :
(5-21)
On voit qu'il su:f:fit alors que fJ; If (,,1
pour
qu'il y ait
convergence car alors la suite (~/I') est Cauchy.
La convergence aura certainement lieu dans le domaine
Of,f} )
tO =0.
11' 1<("Il' si les conditions (5-20) et (5-21) sont réalisées avec vlt /:1
'
la réalisation de (5-20) et (5-2j) aura certainement lieu si :
/ A 1 « (L, ( ri~
Compte tenu de la :formule (5-j5) donnant l'expression de
Ar'/, la
1
majcrat.ion de KI' se :fait comme celle des tl if! et de même celle de
IK;fl - K; /
Les suites (Cf",) et .. ( K.;f) sont donc de Cauchy et par conséquent
1
elles convergent vers des limites ~
et
Ké respectivement. Le Théorème 1
est démontré.
Les convergences étant uni:formes; les équations (5-1) - (5-2) - (5-3)

---

130
ont une solution. D'où le théorème suivant
ThéOJl.ème 2
En général le système d'équations différentielles (5-1) - (5-2) -
(5-3) satisfaisant aux hypothèses }lit f ~
admet des solutions périodiques
de période 'llT pour / A -1petit. Lorsque ri tend vers zéro les solutions
tendent vers les valeurs ~. , ,~.
~ définies par les équations de
synchronisation (5-6a) - (5-6b).
111.- APPLICATIONS - ETUVE OE LA STABILITE
111. 1) PO.6Ui..on du pMbl.ème
Dans ce paragraphe nous étudions en détails les problèmes de la
synchronisation et de la stabilité dans le cas où le système (5-1) - (5-2) -
(5-3) est composé d'équations différentielles régissant les mouvements de
plaques rectangulaires excitées par des percussions périodiques de période
.,..::::: ~ IT ; soit avec ~ suffisamment petit et C une constante
positive
•
=r\\ Cf: (ft{1 t1{ 1 ! )
f;;
· ,,/ =
[
A - /(~(é-) - te: ·
it/ -J; U{ J"7
-&2 It-~'.
VV"
-f- VYt
L "
(5-20)

---

131
avec la condition de coincidence
~: (t?)
~(e)
(5-21)
-!-tP<'J
I( désignant ici encore l'amplitude de la percussion e(l) '::41~~~(I-JlïjT
Dans ce qui suit nous nous proposons de chercher les équations de
synchronisation, les points de synchronisation, de discuter les conditions de
stabilité au voisinage de chacun de ces points.
Nous déterminons les conditions de synchronisation en couplant les
deux éléments du système. Les conditions de stabilité sont étudiées séparément,
mais nous déterminons les conditions sous lesquelles le système d'oscillateurs
est globalement stable.
Cherchons une solution des équations (5-19) - (5-20) - (5-2j) sous la
forme
t1~ (1:-)
en utilisant la méthode de la variation des constantes. On a le système suivant:
e!.tJt,/
Gi l
-~Y:(~)~/;}~é
cif
'"
o{G~-1
/
.A Cf:; (t-V:/ ~ ) f )~t
(5-22)
61
eU-

---

132
&lai ~ G?t; ~ - (\\ W(t1'i / YÎ'f ) 1-) 91~ 1-
{df
(5.22)
'd Il.!:. ::: b~ := A Cf; (f/l{ 1 vi:/ f) {.~~;­
c{,f
Les ~onctions associées à ce système sont dérinies par :
ïT
-r; (&1
--.:Lj~.; (p,;~
1 ( b4 );::.
/ ~/; 1 !-) ~1 cil
l-iT_ lT
/T
ft (if." kt ): ::rift; (11'1, II/, IlJcé'IJf clf
-Jr
il
F; (Û2 .~
(
)
:-= - ~j Cf; (11'; /,,1; 1 1-)~1:' f (-II
-ïT
il
lit (Gf~ ,6.) =- --;-;" jct:; (till/Î', 1) Cc'7/dl
--TT
avec en tenant compte du rait que
- ',;J.t; 1 t ,1111 .: {}
et CC<'>? 'II/il .:
/ :

---

133
__ 3(),; 61.., b./(c7l0~fJ! - ;); /:J./?/r, t(1-] 6"";;
-
'liTe"
'PI/Pt;
{il"
-
(tct':+P,/+ {'lb,
Des calculs analogues donnent :
oiT
[
. __ Cf; (l'V:, ) vi; 1 f ) Û!'!'J!- ~II-
- Il
;;
::::Srk~ ,{(f-11T)T- U (-61 9414 + !:>..f c:C'?f)
7
- I I
-'"{t (61-1 CÔJ! + 6, ?h1 t)- ;}; (t1t u-"Jf 1- b, ')-1;' f) J]ÛJ! dl

---

134
i~ (~,w, ,tJ'&;'f#
-"if
::: rf-K~ s(r-17T)T- :Je(-é{'ui.f+'1 œ:;t)
-11
.:-. ~t (c?l ("i-~)f
~f ) - ,1;(4 U"7f -r-'2 y;.:",f }1J-'ftitftif
2
1" -1 )t
=
I1t
? 7TC
f
E.(t
-
'?
(fA/ f ·f)+ f" T~
et rH
J_4{(VI{ li;'
J
1 f) a~l~II-
-Tf
71
:::J(-k' T~ S(1· JI1).- ?c(-rp"l/+ fl ("JI)
-TT
La stabilité du systèm
(5 22) d~
e
-
epend donc du système associé (5-24

---

135
Posons dans (5-24) le changement de fonctions suivant:
6 ::= J~ ée-:J ,/~-f
1
6<
t-~
<J
: : :
/frz·{ 4
..

---

Les équations de synchronisation sont
'F: Id ~) - ..:::L /KIP C6'}4ft - 'liTe 0] = 0
(5-27)
t. (" -f; ~
. -
?lT L(1
r-(
) _ .d- (K" ?(-n.-tlz + t 1T(Joh v ~ .E·~ )l.::-e'
rJ
,(-12; /IÎ
-
'lTT
l/.l
.'?
t
2 11'
(5-28)
ht (4/ fi) -=- .::;;'-[- ~ é&/.(~ - Ille Ir] -=- (5
(5-29)
où
K~ est une approximation de l'amplitude de la percussion.
Compte tenu de l'équation de coincidence spatiale
vt{ (C7) .:: tJ;/C)
on a:
&., = ~ ,soit
(5-30)
d'où les cinq équations (5-26) - (5-27) - (5-28) - (5-29) - (5-30) permettant
de déterminer les cinq variables..fl, , ,(1 , '-; , i{ et If;,.
Des équations (5-27) et (5-29) on tire
(5-318)
De (5-26) et (5-28) on tire

---

137
( 5-32a)
_~
.
,f
-
CI zr tt/ (.Jli 1/" <!~
~f)
Kt." ,"}In -t'li
C Iï
ÇJ
- - ,
L-
On obtient de (5-3Ja) et (5-3Jb)
- t'l1C l{
~..tf2.
d'où, compte tenu de (5-30), l'équation aux déphasages
(5-33)
Cette équation est équivalente à
soit
donc
Comme ici
et
alors

---

138
8~ k.'TT
< J'/T
donc
CP ....<'If .:Ç y 1
Cherchons à présent les équations aux amplitudes pour différentes
valeurs de # .
1er cas
R= Û
Si k=e Lj(~ -il, .= -.(1:,
c'é7i'1,:rJ..7':J({, '/Ott~ =-?I1t(~
et
t~.= - t{ ; c'est impossible car t/~ et vi. sont positif's, le
cas t.'1 -= ~ .:: g
ne presentant aucun intérêt.
2ème cas:
k =-1
Si
~::: -1 alors <{I- ..-t'fi,
De (5-30) on tire
• /
-
j /
/-
( /
d'où
+'/11 t'l"~ ,~
1/1.
-
'-{
'/~tJt, 1-(
« / l . -
Mais de (5-31a) - (5-31b) :
~'
- L =- - r'î
,d'Où
(-(4 n ~tIr <'é ,c'est impossible sauf si
0.:'"711,
W)-1I<t
•
vtA-f .= 41t.
- <3' maJ.s alors on a
t~ ~- - ti
; or ! 1 et li.
sont positifs.
3ème cas:
k.: ~
Si
k;:: l alors
-/T
d'où

---

139
Dp (~-31a) et (S-32a) on tire:
soit
De même de (S-31b) et (S-32b) on obtient:
car
t;.:: 1-,,'.=- J;
(S-34a) et (S-34b) représentent les é~uations aux amplitudes des
régimes synchronisés possibles.
Des équations (S-34a) et (S-34b) on obtient:
~ l [itlT' (:if If: l + ~1l-+ kIT'cj
/
l
i
f t111 '( ( ?); 1/~ ? + Ç"y)? + ttïT t· rJ
vL(
T é
'l
D'où
.~:::: t"4 :::- Vi ;::- (;' solution triviale
(S-3Sa)
et le carré de l'amplitude de synchronisation
~ est donné par

---

140
et/ou
)
(5-35c)
L'équation (5-35b) admet une solution si
ou
( 5-36a)
De même (5-35c) admet une solution si :
)(
Si les conditions (5-36a) et (5-36b) sont simultanement satisfaites,
il existe deux valeurs possibles de
~ données par (5-35b) et (5-35c).
Si l'une ou l'autre des conditions (5-36a) et (5-36b) est vérifiée, il n'existe
qu 1 une seule valeur de
~ donnée soit p8J." (5-35b) soit par (5-35c ). Nous
étudions ci-dessous les éventualités où (5-36a) et (5-36b) sont simultanément
satisfaites.
et

---

141
Dans ces conditions les amplitudes sont données par
(S-37a)
( S-37d)
(S-37e)
(S-37f)
Cas où
Dans ces conditions, le
' K:, i(/ et1~ sont aussi données par
(S-37a - b - c - d - e - f). Il en est de même des cas où :
et
!~/" -I-;;r c:é-
-l
'l
::J; - àZ >('
et
et

---

,42
Dans l'une ou l'autre des eventualites ci~essus les points de
synchronisation ont pour coordonnees :
solution triviale
_t![4 (él - (1)] *t
~ -
:>
J:;-.J;
)
- /7
Dans le cas où l'une des conditions (5-36a) est satisfaite et aucune
des conditions (5-36b) n'est verifiee on a alors:

---

( 5-38a)
et les expressions de
~_ .1{rJ •,,~{) s'ont données par (5-37c - d - e - f).
De même si l'une ou l'autre des conditions (5-36b) est satisfaite
et aucune des conditions (5-36a) ne l'est on a alors
les expressions de
~ • 4.Çc: • -l(J étant toujours données par (5-37c- d -
e - f).
4ème cas:
#- ~ )
Si k::: 1
alors
.-tir +(~-: ~)T et
an (it ~ - ?ln-t!e
?l'11 <-1, .= - t(n <-12
[)4:, (5-3Ja) - (5-31b) on tire
ce qui est impossible compte tenu de (5-30) sauf si
fI:':: l"i _-t?
5ème cas : .ft ~ Ji
Si ft ~ J.i
alors
.A4-j + 4/
~ 9%
et
2
) ~1"1,::- - )tlJft . C'est le cas ~ ~ -0
déjà étudié.
6ème cas
déjà étudié.

---

144
7ème cas :
;
~ 6'
Si 4':: b
alors
o't'-t f ~ ~ J)I et ~ ..(/,-:9frt l~ ,
tÀ???-<-I""
-= - œ/}-ilz '
c'est le cas où /f.:..- 2-
et
kt:=- J~
déjà étudié et qui conduit aux équations aux amplitudes (5-34a) - (5-34b) dont
les solutions ont été étudiées ci-dessus
8ème cas
';~9-
Si -R.::: l-
alors
ce qui correspond au
cas
f::- J .
9ème cas
Si k.::- S
alors
·-tft -f-(Iz ,,;-..f/7 . Ce cas équivaut aux cas
.;.=- éPi It .
ETUVE VE LA STABILITE
Nous étudions la stabilité de chaque oscillateur du systeme au
voisinage des points de synchronisation car ce système peut être globalement
stable ou non.
On dira que le système est globalement stable si les conditions de
stabilité de l'un et l'autre des éléments du système sont simultanément
vérifiées. Si l'un des éléments est stable et l'autre ne l'est pas; on dira
que le système est non stable.
Les équations associées au système (5-25) sont
d-tlf
c-rtl
(5-39)
C«V.1
-(fil

---

145
-(%.(1,/
-
A f-;7
(5-40)
(II
-
((IL .:::: r\\ J:4
et!
Cherchons les équations de stabilité des sys~èmes (5-39) et (5-40). Posons:
donc au second ordre près en JI
e:!J,
et ~
et 1. on a :
(5-41 )
~ ::" Al·~ JJh (({,/~) + ?" q:j (4 l{:)]
1
c~f
.
;)111
~Y4_
(5-42)

---

146
Etudions le système (5-4J), l'étude de (5-42) se rait de la même
manière. Nous poserons par la suite :
1 -
l
D.-
/
Nous cherchons une solution du système (5-4J) sous la rorme
~1 =:./1 e}~rl~ '~ ~8éY"),t.
Le système donnant Il
et
h
est
Pour avoir d'autres solutions que la solution triviale Il~ ft ,/{:-C'
nous devons poser le déterminant du système (~-42) identiquement nul. D'où
l'équation de stabilité:
'-1?
( L ) )
JI
-/1
./L.
-
bI + P
,2 + cft.'? - (/ :)
(5-44)
que l'on appelle aussi équation caractéristique.
Les conditions de stabilité sont
5:,--=- (a + 1-/) <0
f!, ~ &1 -6/- e'/A ) c

---

Calculons
5 et P
- 4 (eJt"tf
:)14
U;
J
.31:;
~~ Ft.
or:;
- c
)
:;;-11,
:) J{
fi .:::: j(~,
avec
-;::r:1
'JI!
Donc au point de synchronisation
<:;( -r .h i ::: -
fi
_ c
où
K!:.
?7T
d'où en tenant compte des équations de synchronisation
- 2 c~
car
la première condition de stabilité est donc toujours satisfaite.
Pour la deuxième condition de synchronisation et en posant
•
}
'?
_
1/ 2-
J;;....:!
2.- r
,~- y(
e: 1'1 ~ :
z.
_
'"' ~
'.-:-Ilf
-
:J;-i
- -
,')J-z, -;::)h
_,__1
-
'~al
;:J J~
»-«,
Ç) v,;
.
-
C ~ (ëJ .<1., + t1 .:)-f.:n ...(4~ (ft ~ ~ -1- .zX, J{ )
-
c.;
.,
(5-46a)
.= -:; '~11 .'J t. -1- 4 A~ fi; J -+ If 2 + é Z
Considérant le système (5-42) et en posant
/)' ..::::
/
·2
on obtient

---

148
Etudions à present les signes de f et iZ pour determiner la seconde
condition de stabilite de chaque elément composant l'oscillateur considere.
Les discriminants de 1; et t; sont
11 =- .~ t (~e_ .leZ)
1
_
•
'Z (
l? '1_
J G' "L)
/1 2 - ~
;z
et nous avons les eventualites suivantes :
'z
Z
If
10) Cas où
<Je 2. et if <" Je Z
Ri
~Z
R Z
Z ; ) "
1.7
,
Si!1
(
3 C
et ri
( Jc.:
nous avons
'-"
t
et
2.
> c
et les points de synchronisation !t,(t{, ~/ K.Jet
11 (TT- (0/ l,') ;1(';,)
sont simultanement stables.
.">L~
, " Z
et
.1 ..: .le
nous ayons
i;; > ê'
et
et
les points de synchronisation correspondants sont simultanement stables. Il en
est de même si ft: 'l( Je 'l
et
J{t:Je 't-
ou ft; ~- J c. 2.
et
1';",( Je!.
/ ) ' i
ot
....,'2,>
t
3°) Cas où
/!, ;> Je
et
/'2
-' ~ C
Si
P; 'l ) Jet et fi Z >Jet alors
r:
3~
1
2 (J
3; ) (J - 3;/)
avec
~~/ = -f FI .- (p/ - J c: .:z
l )
3«....,
g
(ci?
2);tz
- 2 r1
+ If - .le

---

149
et
avec
_
9 'R
''2
1~
-+ ( II 7_ ?C z )~
).~
? 1
,/
Les racines 0"
et J..
sont de .même signe car
"
f
'7/
?1/ _
~'
-
(/ '1
.:; 1
Il en est de même pour ']/ et
'":(// •
Oz
d Z
Les solutions négatives ne conviennent pas car nous avons posé
•
Puisque
.. ""7
- h Pz
tJ f
'1 If
_ il P;
et
;)1 -t -:)1 :::
J~1
3~
les racines sont positives Sl
(5-47)
oJ
ln
et dans ces conditions
/,
et
-z sont respectivement positifs sur les
intervalles
(f:
')/ [
// 0J ~(/ , +
Z-
ç;>C
]__
)
r) 1
V
°
r: 1 )
et
+ 5X'!..-
r
J

---

150
? l
,/
en supposant 01 (~
• Les points de synchronisation corres-
pondants sont stables.
sunt respectivement négatifs dans les
intervalles
Ces points de synchronisation correspondants sont instables. On rappelle que
_ ~ fJ, - ( 11 ~ 7(; t) :tz
?-~
.
(JI '1
ë)' *i
?/I
.- '1Jt +
-1
- .Je
- - - -
(') /1
"J.X-,
-2 I~ + (If 'l_ /c 2)ii
')/1
~)2
1"\\/
..
'2

---

---

151
A N N E XE

---

---

----"
+
-/1
t&Jtit1,' 0J ~~-
soit :

---

153
En considérant (r) et (rr) :
(T) +(JI ) .=Ct. :~"'Î) f.-k;"6?{l, -1- tA,,/!() +(~R,Ai+b...J.J!I
+-
A
rrft;",~Ar +-Ii-*'??J
(~-I
r-) - ( -M<1{j
fA.,11
(~. -1)) l(
!J
En tenant compte de l'équation transcendante (2-8) (Chapitre II)
on a :
(I) +(.lL)~6

---

De ~ême en considérant (III) et (IV) :
et compte tenu de (2-8) on a :
(m)+(IV)::-û
D'où
J;''1~ elz ~ e;
-~
.
Des calculs analogues en considérant la famille (~) donnent :
(?)

---

155
' T ; r
<
+ ._'~- ·rt-Iuf,h' -!- [nn'"J
( JI \\. '+ (....n) _-
~
-1-
(.-)-'-
1 (1.,.
l' 1
1-
.
ti!'7ft r\\1'
é',J'1r1 '
L::Y{ .
1
i
1
G
{i
-+
C'f:-:J0 '[rV
LeJ '1 Ac'
(3)
:= _ '2
( "if "1 J(, ;J(. -i- ./ft1.'~1;}1') ::: C
,Xt"
Or
donc
-4
même calcul pour la famille X, (~) , Le c&lcul pour
et
~ est
elementaire. Donc:

---

156
l
(A-I-l )
h
)
4- {}(
/ ' f- J,
~
~ç~
JitX:J" y y
ét~ (;:-
(
G
,
;j
JJ{ ()
(
,'j
-~
.;..b
-~
0- ,6
B) EXPRESSIONVES Ir;'
ETL/[8, 9,10]
Dans ce paragraphe nous nous proposons de déterminer les coe~~icients
fi et 1-(' intervenant dans l'écriture des ~onctions :
dans la base
dans la base
dans la base
(i;(J;~ -(15 -f-lX
dans la base
/ Y;)1~ J ~ f-~

---

157
Ces coefficients sont déterminés en utilisant l'orthogonalité des
donc
et
or
et
si
d'apres (A-I-1)

---

158
Vl1S
L
~
lf

---

---

159
BIBLIOGRAPHIE

---

---

160
[1J
IlINAUT G. et LIONS J .L., uLes- inégalités en Mécanique et en
Physique", Dunod, Paris J 912.
[2]
D1NAUT G. et LIONS J. L., "Problèmes unilatéraux dans la théorie
de la flexion forte des plaques'" 1) : "Le cas stationnaire",
J. de Mécanique, vol. J3, nO J, Mars J914, pp. 5J-14; II) :
Ir) : "Le cas d'évolution", J. de Mécanique, "Vol. 13, nO J,
Juin 1974, pp. 245-266.
[3]
HAAG J., "Les mouvements vibratoires", Tome l et II, Paris
Press universitaires 1952-J955; Collection Euclide.
[4]
LANDAU L. et LIFSCHITZ E., "Théorie de l'élasticité", T. VII,
Edition MIR Moscou 1967.
[5]
TIMOSHENKO S. et WOINOWSKY-KRIEGER S., "Theory of platf's and
shells ", International Student Edition, Mc Graw-Hill, 1970.
[6]
TIMOSHENICO S. et GERE J., "Théorie de la stabilité élastique Il ,
Deuxième édition, Paris Dunod 1966.
[7]
LLOYDS HAMILTON Il., "Beams, Plates and Shellea", Mac Grav-Hill
1976.
[8]
OSTIGUY G.L., "Effecta of aspect ratio on parametric response
of nonlinear rectangular plates - analysis and experiment. Ph.
D. Dissertation, Syracuse University, Syracuse, N.Y., Oct. 1976.

---

161
[9]
OSTIGUY G. et NGUYEN H., "Stabilité dynamique et résonance des
plaques rectangulaires-"; Mécanique Matériaux Electrici té, nO 394-395
Oct INov. 1982.
[10]
ENNASSEF M., '~ibrations des plaques excitées par des percussions
périodiques", Thèse 3ème cycle, Université des Sciences et Techniques
de Lille l, Nov. J984).
[11]
BASSILY S.F. and DICKINSON S.M., uBuckling and lateral vibration
of rectangular plates subject to inplane Loods - A Ritz approach",
Journal of Sound and Vibration (J972) 24 (2), p. 2J9-239.
[12]
BASSILY S.F., "The plane stress problem for rectangular regions
treated using functions related to beam flexure"; Int. J. Mech. Sei.
vol. 19, pp. 639-650, Pergamon Press J977, Printed in Great Britain.
[13]
LEISSA A.W., "The 1'0rce yibration 01' rectangular platesll , Journal
of Sound and vibration (J973) 3J (3) p. 257-293.
[14]
SUNDARA R.I. and RAMAN P.V., uFree vibration of rectangular plates
of arbitrary thickness with one or more edges clampedv ; Journal 01'
Sound an vibration (J980) 71 (4),463-472.
[15]
FAURE R., "Percussions en mécanique non linéaire sur certaines
solutions périodiques de phénomènes non linéaires excités par des
percussions ll ; Mécanique Matériaux Electricité nO 394-395, Oct. INov.
1982 pp. 486-492.

---

162
[16J
FAURE R., "Etude de problèmes non linéaire avec application à. la
Mécanique : cas des vibrations des plaques excitées paramétriquement
par des percussions périodiques dans- le cas de grandes déformations";
Mécanique Matériaux Electricité nO 404-Mars/Avril 1984, pp. 125-128.
[ 17]
FAURE H., "Application des percussions en mécanique non linéaire.
Réalisation par pe~cussions de liaisons spatiales instantanées avec
synchronisation ent~e deux oscillateurs Don linéai~es"; Publication
de l'U.E.R. Maths. Pures et Appliquées, Universite des Sciences et
Techniques de Lille I, mai 1982.
[18 J
FAURE R., "Solutions périodiques de certains systèmes d'équations
différentielles non linéai~es dépendant d'un paramètre; Journ. de
Math., tome XL.- Fasc. 3, 1961.
[ 19J
FAURE R., "Periodic and almost periodic percussions and nonlinear
oscillations". The 9th International Conference on nonlinear
oscillations KIEV 1981, édité en J984.
[20J
R. FAURE, "Percussions et Distributions de Dirac en Mécanique non
Lineaire. Interaction par choc entre systèmes et théories des per-
cussions presque périOdiques".
[21 ]
STOKER J. J "
"Nonlinear 'librations".
[22J
STOKER J.J., "Nonlinear elasticity".
[23J
SCHWARTZ L., "Méthodes Mathématiques pour les sciences p~siques".

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~10TS CLES
1) EQUATIONS DE VON KAPJ'AN.
2) VIBRATIONS DES PLAQUES.
3) PERCUSSIONS.
4) EXCITATION CONTINUE.
5) STABILITE.
6) SYNCHRONISATION.
7) OSCILLATEURS EN LIAISON PAR CHOCS.
8) REGIr1ES PERr1ANENTS.
,
(
RESU~1E
o
"La thèse porte sur les vibrations faites des plaques et les équations
différentilles qui en décrivent les mouvements.
On étudie les cas suivants de système non linéaire:
1°) Excitation paramétrique percussionnelle et une excitation non linéaire directe.
2°) Mouvement avec liaison spatiale instantanée avec synchronisation du mouvement
par des percussions.
..
Cas général: étude d'un cas particulier et détermination dans ce cas
dE).S' régimes pennanents".
ABSTRACT
"In this work we study the mouvements of the plates excited by
continuous excitations and percussions. The are two parts :
1°) Parametric excitation by percussion and non linear excitation direct.
2°) Problem of and instantaneous liaison between two non linear oscillators by 0
periodic percussion.
General case: Study of a particular case and detennination in this
case of the periodical oscillation".

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