FACULTE DES SCIENCES ET DE GENIE
THESE
PRESENTEE
A L'ECOLE DES GRADUES
DE L'uNIVERSITE LAVAL
POUR L'OBTENTION
DU GRADE DE PHILOSOPHIAE DOCTOR (Ph.D.)
PAR
N'ZI YAO KOFFI MODESTE, M.Sc.
PROPRIETES ASYMPTOTIQUES
DE CERTAINS CHAMPS
ALEATOIRES GENERALISANT
L'AIRE DE LEVY
FEVRIER 1991
@Tous droits réservés de N'Zi 1Jocieste 1991

---

- ' - - -
- -
- ' - - -
~--
n UNIVERSITÉ
ATTESTATION
. . LAVAL
École des gradués
Yao Koffi Modeste N'Zi
Ce _---'''-:::::o....:c;~'_--'-,_'
_
jour du mois de
19 -5 (
- - ,
les personnes soussignees,en leur qualite demembres du jury,ont assiste à la soutenancede cet-
te thèse et recommande son acceptation à l'École des gradues de "Universite' Laval.
NOMS
UNIVERSITl
SIGNATURE
THEODORESCU, Radu
Laval
HENGARTNER, Walter
Laval
MASSE, Jean-Claude
Laval
REMILLARD, Bruno
Univ. du Québec à Trois-
Rivières
IGNATURE DU PRESIDENT DE LA SOUTENANCE
EG'~50 (01'17)

---

A mes frères et soeurs

---

Table des matières
.
Avant
propos
RésumélAbstract
'"
ii
Résumé..............................................................
IV
Chapitre 1: Introduction
1
1.1
Notations
1
1.2 Bref aperçu historique.....................
2
1.3
Objectifs
:
7
Chapitre II: Construction du volume stochastique
8
2.1
Préliminaires..
8
2.2 Champ du volume stochastique
12
2.2 .1 Champ de Wiener
1 2
222 Première méthode de construction du
volume stochastique
13
223 Deuxième méthode de construction du volume
stochastique
19
22.4 Equivalence des deux méthodes de construction
25
Chapitre III: Grandes déviations et lois du logarithme itéré
29
3.1 Estimations de Ventsel-Freidlin
29
3.1.1 Cas général
29
3.12 Cas du champ du volume stochastique
35
3.2 Loi fonctionnelle du logarithme itéré
48
3.2.1 Cas d'une fonctionnelle de Wiener quelconque
48
3.2.2 Application: cas particulier du champ
du volume stochastique
54
Bibliographie
57

---

(i)
A vaut-propos
Je tiens à exprimer toute ma gratitude à mon directeur de recherche Monsieur Radu
Theodorescu pour m'avoir suggéré le sujet de cette thèse. Ses conseils, ses encourage-
ments et sa rigueur m'ont été d'une aide considérable et éfficace. Mes remerciements
vont aussi à l\\ilonsieur Jean-Claude :'-lassé pour m'avoir initié à l'intéressante théorie
qu'est le calcul stochastique et pour avoir fait la prélecture de cette thèse.
Que Messieurs Bruno Rémillard et \\-Valter Hengartner soient remerciés pour s'être
donnés la peine d'évaluer ce travail.
Je voudrais remercier les membres de ma famille pour leur soutien moral mais surtout
pour la patience dont ils ont fait preuve tout au long de ces années de séparation.
Je remercie l'Université Laval, son département de mathématiques et de statistique,
ainsi que l'équipe "Probabilités et Statistique", pour leur sympathie et soutien financier.
Enfin, que tous ceux qui de près ou de loin ont contribué à la réalisation de cette
recherche soient remerciés.
En particulier, Mademoiselle Mainoué Ursule pour son
grand support moral; Monsieur Guissé Mamadou de l'Université d'Abidjan pour m'avoir.
incité à faire des probabilités; le Service Québécois d'Acceuil aux Etudiants Etrangers
(S.Q.A.E.E.) et le ministère de l'éducation de la Côte d'Ivoire pour la bourse qu'ils
m'ont offerte durant ce travail.

---

(ii)
Résumé
o étant l'origine du plan lR2 , l'aire L(t) de la "lentille" balayée jusqu'à l'instant t par le
rayon vecteur Of d'une courbe paramétrisée, assez "belle", s 1-+ f(s) = (f l (s),f 2 (s)),
S
E IR+ = [0, +00), est donnée par la formule Je Green. Dans l'expression de L(t),en
remplaçant f par un processus de Wiener W = (TVl , W 2 ) dans lR2 ,débutant en l'origine,
i.e. IV(O) = 0, Paul Lévy (1938) introduit la notion d'aire stochastique. Par la suite,
dans tine série de travaux allant de 1940 à 1965, il calcula la loi de la variable aléatoire
L( t) ainsi construite. Il obtint deux célèbres formules qui connaissent aujourd'hui de
nombreuses applications, par exemple, en statistique et en analyse . Le processus de
l'aire de Lévy, L, a fait l'objet de plusieurs études dont différentes généralisations aux
espaces de dimension n ~ 3 et l'établissement de la loi fonctionnelle du logarithme
itéré du type de Strassen (1964) par Baldi (1986) et Helmes, Rémillard et Theodorescu
(1987). Nous introduisons une nouvelle généralisation qui est un champ aléatoire Vn ,
V2 étant le processus de l'aire de Lévy. Nous faisons ensuite une étude de deux aspects
du comportement asymptotique de V3 , à savoir les propriétés de grandes déviations et
la loi du logarithme itéré.
Abstract
Let 0 be the origin of the plane IR? The area L(t) contained in a lens-shaped domain
swept out from 0 until time t by the radius Of of a parametrized sufficiently smooth
curve f(s) = (f l (s),f 2 (s)) E lR2 , sE lR+ = [0,+00), is given by Green's fonnula. By
replacing f in the expression of L(t) by a lR2 -valued Wiener process vV = (lVl , W2 )
starting at the origin, i.e. TV(O) = 0, Paul Lévy (1938) introduce the so-cal1ed area
process L associated with a lR2 -valued Wiener process. Then, in a sequel of subsequent

---

(iii)
papers he investigates the law of the random variable L(t). Re derives two celebrated
formulas which have many applications, for instance, in statistics and analysis. Several
works are devoted Lb the study of Lévy's area process L.
Sorne of them deal with
extensions to higher dimensions n 2: 3 and the proof of Strassen (1964) type functional
law of the iterated logarithm (see Baldi (1986) and Relmes, Rérnillard, and Theodorescu
(1987)). \\\\Te propose a new generalisation which is a random field Vn , Vi being the
Lévy's arca process. Then we investigate the asymptotic behayiour of V3 , namely we
prove large deviations properties and the functionallaw of the iterated logarithm.

---

(iv)
Résumé
L'aire L(t) de la "lentille" balayée dans le plan jusqu'à l'instant t par le rayon
vecteur Of d'une courbe simple, paramétrisée f : S I-l- f(s) = (f 1 (s),f 2 (s)),s E
IR+, suffisamment "belle", est donnée par la formule de Green. En 1938, Paul Lévy
remplaçant r dans l'expression de L( t) par un processus de Wiener W = (W1 , W2 )
dans IR2 , a introduit la notion d'aire stochastique.
La variable aléatoire L(t) ainsi
obtenu étant alors considérée comme l'analogue aléatoire de l'aire de la "lentille" ci-
dessus mentionée.
Par la suite,. dans une série de travaux allant de 1940 à 1965,
il calcule la loi de la variable aléatoire L(t).
Le processus L, nommé plus tard le
processus de l'aire de Lévy, a fait l'objet de plusieurs études dont l'établissement de la loi
fonctionnelle du logarithme itéré par Baldi (1986) et Helmes, Rémillard et Theodorescu
(1987). De nombreuses généralisations du processus de l'aire de Lévy se trouvent dans la
littérature. Nous nous proposons dans ce travail d'étudier une nouvelle généralisation.
Pour ce faire, dans le chapitre l nous donnons un bref aperçu historique sur le sujet.
Nous y faisons ressortir les différentes extensions et applications du processus L. Par
la suite, nous énonçons de façon précise les objectifs ci-dessous poursuivis dans cette
thèse:
1. construire un champ aléatoire Vn vu comme l'analogue du processus de l'aire de
Lévy dans un espace euclidien de dimension n 2: 3;
2. faire une étude du comportement asymptotique de ce champ aléatoire.
Dans le chapitre II, nous construisons de deux façons le champ du volume stochastique
Vn associé à un processus de Wiener dans un espace euclidien de dimension n.
Le chapitre III est consacré à l'étude du comportement asymptotique de V3 •
En
effet, dans un premier temps, nous établissons les propriétés de grandes déviations
du type Ventsel-Freidlin (1970) pour le champ aléatoire V3 (théorème 3.3). Celles-ci
découlant d'un résultat plus général pour un système dynamique quelconque (théorème
3.2) obtenu sous deux conditions de régularité. Ensuite, en ajoutant deux conditions

---

(v)
supplémentaires, dans un deuxième temps, nous prouvons la loi fonctionnelle du loga-
rithme itéré du type de Strassen (1964) pour une fonctionnelle de Wiener quelconque
(théorème 3.6).
En appliquant ce résultat au champ aléatoire V3 nous obtenons le
théorème 3.7, résultat principal de cette thèse.
Enfin, ce travail est accompagné d'une bibliographie que nous croyons être à jour.
Nous nous proposons de donner, soit les preuves, soit des références bien précises sur
les preuves de tous les résultats énoncés.

---

Chapitre 1
INTRODUCTION
1.1 Notations
Dans tout ce travail (n, F, P) est un espace probabilisé complet sur lequel sont définies
toutes les variables aléatoires que nous allons considérer.
Si N est l'ensemble des
éléments P-négligeables de F alors pour toute sous tribu 9 de F, 9 - désigne la plus
petite u-algèbre contenant 9 et N l.e.
9 - = u(9 V N).
Pour tout k E IN =
{l, 2, ... }, arbitraire mais fixe, JRk est muni du produit scalaire usuel < x, y >=
k
L:XiYi, x = (XI,,,,,Xk) E JRk,y = (Yl, ... ,Yk) E JRk. Pour tout A C JRk, CP(A)
i=l
désigne l'adhérence de A sous la topologie induite sur JRk par la nonne euclidienne
Ixi = «
X,X »t, x = (xI, ... ,xd E JRk. JRk est muni de l'ordre partiel suivant:
pour tout x = (Xl,"" Xk) et y = (Yl"'" Yk) dans JRk x::; y (resp.x < y) ssi Xi ::; Yi
(resp.Xi < Yi) pour tout i E {l, ... , k}. Si x ::; Y nous définissons l'intervalle [x,y]
par:
[x,y] = {z E JRk : Xi::; zi ::; Yi, i E {l, ... ,k}}; les intervalles (x, y], [x,y)
et (x, y) sont définis de manière analogue. Nous posons JRi = [0, +oo)k. Pour tout
t = (t},
,t k) E lRt,u = (UI, ... ,Uk) E lRt et toute partie naturellement ordonnée
C = {i l,
, i p} C {l, ... , k}, 1 ::; p ::; k -1, t c = (t i l ' ... , t i p) E IR~, C = {1, ... , k} \\ C
et le vecteur s = (u c ' tc) E IRt est défini par:
si m = i j, 1 S. j ::; p,
si m E C.
Tout processus {X(t) : t E JRt} est appelé un k-champ aléatoire.
Pour tout tO =
(t~, ... ,t~) E JRt et C C {l, ... , k}, la restriction de X à {t E JRi : ti = t?, i E C} est
,0
notée eX. Pour tout rectangle (t l , t Z] c lRt,
désigne l'accroissement de X sur ce rectangle (voir Dozzi (1989, p.lO)). Le processus
croissant prévisible associé à une Lz-martingale continue 1\\11 = {.A1( t), Ft : t E lRt}

---

2
est noté < AI >; d'où {lII Z(t)- < .'1 > (t), Ft : t E mi} est une martingale faible
(voir Dozzi (1989, p.39)). Pour toute filtration {Ft: t E mi} et tout Cc {l, ... ,k},
-re -
V{F
. 1 <
..
C}
-ri -
-r{i}.
{
k}
S' d
nous posons.rt
-
t ' . t i _ tl,t E
,.rt
- . r t
,t E l , ... ,
.
1
eux
variables aléatoires X et Y ont la même loi nous écrivons X ~ Y. Pour tout .;t, y E .mi,
xy = (XIYI, ... ,XkYk), xY = (x~l, ... ,xik), x + y = (Xl + Yl" .. ,Xk + yd, x/y =
(XJ/Y1"",Xk/Yk)' lA désigne la fonction indicatrice de l'ensemble A. x signifie que
la quantité X est omise. Pour tout t E 1R+, 1 = (t, .. . , t) E m~. 0 désigne l'origine de
l'espace IRn, indépendamment de n.
1.2 Bref aperçu historique
Soit f: s .- f(s) = (f1 (s),f2 (s)) E lRz,s E lR+, une courbe simple, paramétrisée,
suffisamment "belle" et telle qu'à chaque instant t le segment de droite Or(t) ne recoupe
pas la courbe. La formule de Green montre que l'aire de la "lentille" (voir figure 1)
balayée dans le plan jusqu'à l'instant t E m+ par le rayon vecteur or est donnée par
l'expression:
(1.1 )
r it)
reo)
(t)
\\"~'-­L(t)
~ ~
~r (t)
1
figure 1
En prenant, au lieu de f, un processus de "\\Viener lV = {lV(t) = (lV1(t),lVz(t)) :
t E .ll4}, l'analogue aléatoire de la formule (1.1) est bien définie.
C'est le grand
mathématicien français Paul Lévy (1886-1971) qui fut le premier àle faire en supposant
que HT(O) = O. Ses travaux sur ce sujet remontent en 1938. Le processus aléatoire
L = {L(t) : t E .m+} qui en a résulté fut appelé processus de l'aire stochastique. Cette

---

,
3
tenninologie se justifie par sa construction.
L'étude approfondie de l'aire aléatoire
ainsi définie date de son mémoire de 1940 sur le mouvement brownien dans le plan.
Une question naturelle qui se pose est de déterminer la loi de L(t) ou du moins de
l'estimer.
Lévy (1939,1940) remarquant que L(t) et la longueur IW(t)1 de la corde
joignant l'origine au point W(t) sont des variables corrélées, étudie d'abord le couple
(L(t),IW(t)I).
Il prouve que la fonction de répartition jointe Ft(o:, (3) de ce couple
vérifie l'équation aux dérivées partielles:
(1.2)
et qu'elle est la seule fonction de répartition qui soit solution de (1.2). Bien que (1.2)
fournisse de façon théorique Ft, il ne peut en donner une expression explicite et simple.
Il aura fallu attendre plus d'une décennie pour que Paul Lévy s'intéresse de nouveau à ce
sujet. En effet, le problème de la détermination de la loi de L(t) ne sera définitivement
résolu que dans Lévy (1950, 1951,1953). Il obtient deux formules fondamentales. La
première fonnule exprime la fonction caractéristique de L(t) étant donnée la position
du processus W à l'instant t, tandis que la seconde donne la fonction caractéristique
de L(t):
'l/Jtp., x) = E(exp(i>'L(t)IW(t) = x)
t>.
[lxj2 ( t>.
(O.,)) ]
= 2 sinh ( t; )exp 2
1 - "2 cosh "2
(1.3)
c/>t()..) = E((i)"L(t))) =
ICA)'
(1.4)
cosh T
Les formules (1.3) et (1.4) sont connues sous le nom de formules de Lévy, le proces-
sus {L(t) : t E 1R+} étant appelé le processus de l'aire de Lévy.
Paul Lévy donne
deux preuves des formules (1.3) et (l.4). La première est basée sur la décomposition
orthogonale en série de Fourier du mouvment brownien dans le plan, introduite par
Wiener (1924). La seconde utilise la loi de la variable aléatoire Jo1lVl(u)du et un autre
type de réprésentation du mouvement brownien dans le plan (voir Ikeda et Watanabe
(1981, p.341-391).
Lorsque Ixl = O,'l/Jtp.,ü) = t>'j2sinh(t>.j2). Il est intéressant de
noter que 'l/Jt(-,O) et c/>t(') sont des fonctions caractéristiques indéfiniment divisibles.
D'ailleurs Lévy (1951, 1965) donne quelques propriétés intéressantes de ces fonctions

---

4
caractéristiques. Les travaux de Paul Lévy dans cette direction de recherche prennent
fin en 1965. De nombreux chercheurs se sont préoccupés des généralisations de l'aire
de Lévy. Par exemple, le calcul de la loi de L(t) a fait l'objet d'un travail de Biane
et Yor (1987) qui ont utilisé une autre technique pour la déterminer. Elle est basée
sur une décomposition orthogonale du mouvement brownien dans le plan faisant appel
aux polynômes de Legendre. Notons qu'auparavant Hida (1971) et Yor (1980) avaient
simplifié considérablement les méthodes de calcul de la loi de L(t). En fait, les travaux
ultérieurs à ceux de Paul Lévy et visant à généraliser l'aire de Lévy ont vraiment débuté
avec un article de Dugué (1973). Dans cet article la formule (1.4) est étendue à l'aire
stochastique associée aux processus à accroissements indépendants ayant une variance
continue. La fonction caractéristique du vecteur aléatoire (L(t), I; IlV(u)f2du) est ausi
obtenue. Plus tard, Gaveau (1975a,b, 1976, 1977) étend les formules de Lévy au mou-
vement brownien n-dimensionnel, n arbitraire, et en donne des applications en analyse
harmonique. En effet, il remarque que le processus de l'aire de Lévy apparait comme
une des composantes du mouvement brownien dans le groupe d'Heisenberg et utilise les
formules (1.3) et (1.4) pour étudier l'équation de la chaleur sur ce groupe. Ses travaux
conduisent à l'etude d'une classe d'intégrales stochastiques itérées du type
(1.5)
nE.N\\{l},
apparaissant dans l'expression de la solution de certaines équations différentielles sto-
chastiques (voir Yamato (1979) et Fliess et Normand-Cyrot (1982)), a étant une per-
mutation de l'ensemble {l, ... ,n} et W = (W1 , . .. , Wn ) un mouvement brownien dans
IRn .
En fait, ce sont certaines combinaisons linéaires de ces intégrales itérées qui
présentent des propriétés intéressantes. Cette étude débute avec les articles de Crepel
et Roynette (1977) et Roynette (1977) qui obtiennent une loi du logarithme itéré à
l'infini pour le processus de l'aire de Lévy. Leurs résultats sont ensuite étendus aux
intégrales du type aIot W1 (U))W2(du) +/3 I; lV2 (u)W1(du), (0:,/3) E JR2, par Berthuet
(1979, 1980). Schott (1980, 1981) étudie des intégrales stochastiques itérées du type
(1.5) et d'autres types, ces dernières figurant dans l'expression du mouvement brownien

---

5
sur certains groupes nilpotents de classe r 2 3. Il prouve des lois du logarithme itéré
à l'infini pour ces intégrales. Trois ans plus tard, Berthuet (1986) procède à une étude
beaucoup plus générale des combinaisons linéaires de W".(t). Il définit Ln, le processus
de l'aire de Lévy d'ordre n par:
où é". désigne la signature de la permutation (J' et Sn l'ensemble de toutes les per-
mutations de {l, ... , n}.
tL2 étant alors le processus de l'aire de Lévy. Il prouve
essentiellement quatre résultats, à savoir:
(i) le processus Ln est une fonctionnelle du processus de l'aire de Lévy;
(ii) le processus Ln peut être considéré comme une composante d'une diffusion .Un
associé au laplacien d'un groupe de Lie nilpotent d'ordre p > 2;
(iii) la fonction caractéristique de L3 (1) est
p2
E(exp(i.\\L3(1») = ~lm (.\\p3 e- /2/sinh('\\p») dpi
(iv) une loi du logarithme itéré à l'infini pour Ln.
Entre temps, Baldi (1984, 1986) avait obtenu une fonne fonctionnelle de la loi du
logarithme itéré. En effet, sans utiliser les formules de Lévy et en se servant des esti-
mations de type Ventsel-Freidlin (1970) des petites perturbations aléatoires de sytèmes
dynamiques, il prouve une loi du logarithme itéré du type de Strassen (1964).
Son
résultat s'applique à des combinaisons linéaires plus générales d'intégrales stochastiques
itérées du type W".(t). TI étend et précise ainsi des résultats de Schott (1980, 1981),
Berthuet (1979,1980) et Crepel et Roynette (1977). La loi fonctionnelle du logarithme
itéré pour le processus de l'aire de Lévy a aussi été obtenue par Helmes, Rémillard
et Theodorescu (1987), à l'aide des formules de Lévy, de certains résultats d'analyse
fonctionnelle et d'un résultat de Kuelbs (1979). Intéressons nous maintenant à un autre
type de généralisation du processus de l'aire de Lévy. Pour ce faire, écrivons L(t) sous
la forme
L(t) = l t < JW(u), ltV(du) >,
:,;r.:..•~ .•• ~. ,>
,0"1

---

6
où J
(t -t),
=
lV(du) = (W1(du), W2(du», et < ',' > désigne le produit scalaire
usuel.
Remarquons que J est une matrice antisymétrique. Une extension non moins naturelle
de l'aire de Lévy peut se faire en remplaçant J par une matrice n x n antisymétrique.
C'est Rehnes et Schwane (1983) qui ont eu cette idée. Ils étudient d'ailleurs le cas plus
général des processus de la forme
lt
LA,X(t) =
< A(u)[W(u) + x(u)), W(du) >,
où AC) est une fonction de 1R+ dans' l'ensemble des matrices carrées n x n anti-
symétriques et x(·) une fonction détenniniste de 1R+ dans IR n . Ils calculent explicite-
ment la fonction caractéristique de la variable aléatoire (X(t), LA,X(t)), où X(t) =
W(t) + x(t), t E IR+. Leur preuve utilise le théorème de Girsanov et la formule don-
nant la solution d'une équation différentielle stochastique linéaire. Ainsi, une nouvelle
façon de calculer la loi de L(t) est obtenue. Comparée à celles de Rida (1971) et Yor
(1980), elle semble beaucoup plus élémentaire. Relmes et Schwane (1983) donnent des
applications de leur principal résultat à l'étude de l'équation de la chaleur associée au
générateur du processus de diffusion (W, LA,x).
Notamment, ils obtiennent de nou-
velles preuves des théorèmes 4.2.1 et 4.3.1 de Gaveau (1977) car le processus étudié
par ce dernier se réduit au cas x(t) == a et A(t) == A. Des propriétés asymptotiques
du processus LA,x, à savoir des lois du logarithme itéré à l'infini et à zéro sont ensuite
prouvées par Relmes (1983,1986).
Nous concIuons cette section avec quelques mots
sur d'autres applications des formules de Lévy. Liptser et Shiryaev (1977, p.212) s'en
servent en inférence statistique. Dugué (1973, 1980, 1983) donne des applications en
théorie des tests statistiques. Janson et \\Vichura (1984) montrent leur utilité pour les
U-statistiques. Le processus de l'aire de Lévy se retrouve aussi en mécanique aléatoire
(voir de Falco (1987) et Aonghusa et Pulé (1989») et en géométrie différentielle stochas-
tique (voir Bismut (1988)). Bismut (1984, 1988) s'en sert d'ailleurs pour donner une
belle démonstration probabiliste du théorème de l'indice d'Atiyah-Singer. Ceci est une
preuve tangible de l'interdépendance des différentes disciplines constituant les sciences
mathématiq ues.

---

7
1.3 Objectifs
Si nous regardons les généralisations du processus de l'aire de Lévy se trouvant dans
la littérature, nous constatons que le souci maieur des chercheurs est de trouver son
analogue dans les espaces de dimension n ~ 3, n fini ou même infini (voir Kree (1986)).
La généralisation que nous proposons est basée sur la remarque suivante: dans JR2, la
"lentille" dont nous avons parlé à la page 2 peut être vue conune un cône de sommet
o et de base la portion r[t] = {f(s) : s E [0, t]) de la courbe f. Cette remarque
nous fait croire qu'il faudmit prendre comme extension de l'aire de Lévy l'analogue
aléatoire du volume Vn(t), n 2: 3, t E JR+, d'un cône K[t] de sommet 0 et de base
la portion r[t] = {r(s); s E [Q, tl} d'une hypersurface paramétrisée et suffisamment
régulière, f: s 1-+ r(s) = (f1(s), ... ,fn(s)) E !Rn, S E JR~-l.
Le but de ce travail est de préciser ces idées. Pour ce faire, dans le chapitre II nous
construisons le volume stochastique, extension de l'aire de Lévy, de deux façons qui con-
duisent à deux versions du même champ aléatoire pour n = 3. Le chapitre III est con-
sacré à l'étude du comportement asymptotique du champ du volume stochastique. Nous
démontrons d'abord un théorème de grandes déviations du type de Ventsel-Freidlin.
Ensuite, partant de ce résultat nous obtenons une loi fonctionnelle du logarithme itéré
du type de Strassen (1964).

---

Chapitre II
CONSTRUCTION DU VOLUME STOCHASTIQUE
Dans ce chapitre, nous nous proposons de construire l'analogue du processus de l'aire
de Lévy dans un espace euclidien de dimension n ~ 3, fixe mais arbitraire. Pour cela,
nous commençons par déterminer le vohune d'un cône ayant pour base une hypersurface
suffisamment "lisse:' et pour sommet l'origne de l'espace JRn. La formule de Stokes est
essentielle dans ce calcul.
2.1 Préliminaires
Commençons par énoncer une version en termes de formes différentielles du célèbre
théorème publié en 1854 par le mathématicien irlandais George Gabriel Stokes (1819-
1903). Nous adoptons les définitions de Fleming (1965).
Définition 2.1 Un ouvert A C IRn est un domaine régulier si:
(i) A est borné
(ii) la frontière BA de A est une variété de dimension n - 1 et de classe C 2
(iii) A est d'un seul côté de sa frontière.
Théorème 2.1. Soient A un domaine régulier de ]Rn, et a une (n-1)-forme différentielle_
de classe Cl sur Cf(A). Alors
{
0 ' =
{
da.
laA
lA
Preuve. Voir Fleming (155, p.275). 1
Soit A C JRn, n ~ 2, un domaine satisfaisant les conditions (i) et (iii) de la Définition
2.1, et tel que BA soit une variété de dimension n - 1 et de classe Cl par morceaux.

---

9
Soit w la (n - 1)-forme différentielle définie sur CR( A) par:
n
'""""
;+l
.-.
W(X) = L) -1)
X;dXI /\\ ... /\\ dx; /\\ ... /\\ dxn,x = (Xl,"" Xn) E CR(.4.).
i=l
Les commentaires dans Fleming (1965, p.275) sur la généralisation de la formwe de
Stokes montrent que le volume Vn(A) de A est donné par:
Vn(A) = j dx 1 /\\ ... /\\ dx n = 2. r w.
(2.1 )
A
n JaA
Maintenant, soit une hypersurface par~étriséesimple, f : s r--+ f( s) = (fI (s) . ... , f n (s)), .
s E 1R~-1 , de classe Cl et telle qu'à chaque point t, la portion d'hypersurface r[t] =
{f(s) : s E [2, t]} de f puisse être prise comme la base d'un cône K[t] de sommet 0
(voir figure 2).
r lU
nt]
H[t]
rit)
figure 2
Désignons par Vn(t) le volume du cône K[t].
Notons que 8K[t]
H[t] U r[t], avec
H[t] = {ex: (e,x) E [0,1] x 8r[t]}. (2.1) entraîne que
Vn(t) = 2. r
w.
(2.2)
n JaK[t]
K[t] étant de sommet O. il est bien connu que l'intégrale de w sur 8K[t] se réduit
à l'intégrale sur la base r[t].
Cependant par souci d'autonomie nous en donnons la
preuve.

---

la
Théorème 2.2. Le volume Vn(t) du cône K[t] est donné par:
(2.3)
pour tout U = (UI, ... , un-d E .m~-l, A(u) désignant la matrice carrée n x n
(A i j ( U ) ) 1 ~ i ,j ~ n, où
f l ( U )
si i = 1, 1 ~ j ~ n
A ij ( U) =
af
{
j
(
)
. . -J.. 1 1 < . <
a
u SI t T
,
_ J _ n.
Ui-l
Sn est l'ensemble des permutations de {l, ... , n} et ê u la signature de a E Sn.
Preuve. Montrons tout d'abord que IH[t] w = O. Posons pour tout j E {l, ... , n - I}
n - l
Di(t) = {u = (UI .. ' ,un-d E [Q,t]: ui E {O,ti}}' Nous avons ar[t] = U f(Di(t)),
i=l
d, '
ou
n - l
1
r W = L r r detB(B,u)dBdul' ..;fui ... dUn-l,
JH[t]
i=l JD;(t) Jo
où B(B,u) désigne la matrice carrée (Bik(B,u)h~i,k~n définie par:
Bfk(u)
si i = 1, 1 ~ k ~ n
fk(u)
sii=2,I~k~n
afk
Bik(B,u) =
B
(u) si 3 ~ i ~j +1, 1 ~ k ~ n
a Ui-2
afk
B
(u)sij+2~i~n, l~k~n.
a Ui-l
D'où det B(B, u) = O. Le résultat escompté en découle. En vertu de (2.2) et du fait que
âK[t] = H[t] u r[t], nous avons
En utilisant la paramétrisation s t-lo f(s), s E [,9, t], de r[t] pour le calcul de l'intégrale
sur f[t], nous obtenons la formule (2.3). 1

---

11
Supposons maintenant que f = f(·) = (fl(·), ... ,f
l
n (·)) est de classe C n -
sur [Q,t]
et examinons le membre droit de (2.3). Posons pour tout t = (t l , ... , tn-d E JR~-l,
n ~ 2,
et pour tout u = (u}, . .. , un-d E JR~-l, n ~ 3,
j;;(u) = lUI
l un-2
n - l af
.
...
f (I)(al, ... ,a
U
n -2,U n -l) II a ~(I)(al, ... ,an-2,Un-l)dal ... dan_2'
o
0
i=2
U1-I
Pour tout n ~ 3 et k E {l, ... ,n - 2}, posons Tk = {i = (il, ...·,i k ) E Nk : 1:S il <
... < ik:S n - 2}. Pour tout i = (il, ... ,ik ) E Tb et tout t = (tl, ... ,tn-d E JR~-l,
posons (i) = {iI, ... ,id et [Q,t]W =
I1 [O,tm], où (i) = {l, ... ,n -1}\\{i 1 , ... ,id.
mE(i)
En vertu de la formule d'intégration par parties dans Yeh (1963) ou Dozzi (1989, p.67),
pour tout n ~ 3, nous avons
1;;( t) =
En particulier,
Nous avons alors
et

---

12
En sommant sur a et en tenant compte de (2.4) nous obtenons,
(2.5)
Vn(t) =
n-2
n
n -1 ~ ~ (_1)n-2-k ~(_l)j(n-j)1
'Ci) V j
(_)'(i) r .(d _)
n
LJ LJ
LJ
.
n-1 U(i)
)
U(i)
k=l iETk
j=l
[2,tl(')
n - 1
~
(
("-1
(1
.
+ _ _ (_1)n-2 LJ(-l)in-Jl Jo
"'Jo
V~_l(1Ll,... ,un-drj(dul, .. ,.dun-d
n
j=l
a
0
(2.6)
où dum = (duj : j E (i)), et pour tout U n-1 E.ll4 fixé, V~_l (', un-d est l'équivalent
de Vn ( .) associé à
Tj = (Tj(l), ... ,Tj(n - 1)) étant l'application définie sur {l, ... ,n -l} par Tl =
(2, ... ,n), Tj = (j + 1, ... ,n,1, ... ,j -1) pour 2::; j::; n -1 et Tn = (l, ... ,n -1).
Notons que la formule (2.6) donne pour n = 3
2.2 Champ du volume stochastique
Donnons d'abord quelques notions et résultats sur les champs de Wiener.
2.2.1 Champ de Wiener
Définition 2.2 (i). Un k-champ de Wiener réel est un processus W = {lV(t) : t E mt}
à valeur dans m tel que West gaussien, centré, W(Q) = 0, P-p.s, et sa fonction de
k
covariance est E(W(t)W(t' )) = Il min(ti, t~), t, t' E mt.
i=l
(ii) Un k-champ de Wiener dans mn est un processus lV = {lV(t) = (lY1 (t), ... , lYn(t)) :
t E 1R~} tel que les vVi , i E {l, ... , n}, sont des k-champs de \\Viener réels indépendants.

---

13
Remarque 2.1 (i) Soient W un k-champ de Wiener à valeurs dans IRn, C C {1, ... , k}
1
et tE IRi fixé,
(Peti)
tcw /
2" est un (Card C)-champ de Wiener dans IRn.
(ii) Soit {W(t), tE IRi} un k-champ de Wiener réel. Si Ft . O"(W(s) : sE [Q, t])~alors
{W(t),Ft : t E IRi} est une Lrmartingale forte continue (voir Dozzi (1989, p.24)).
Le processus croissant prévisible (variation quadratique) associé à W est donné par
k
< W> (t) = fI ti, pour tout tE IRi (Voir Dozzi (1989, p.38-44)).
i=l
2.2.2 Première méthode de construction du volume stochastique
Donnons nous un (n - l)-champ de Wiener W = {W(t) = (W1(t), ... , Wn(t)) : t E
1R~-1} dans IRn, n ~ 2. Dans tout ce qui suit Ft = O"(W(s): s E [Q,t])"; t E IR~-l.
Notre propos est de remplacer r par W dans les formule (2.5)-(2.7), et de donner un
sens aux intégrales qui y figureront.
Pour tout n ~ 2, {Vn(t) : t E IR~-l} sera un
(n - l)-champ aléatoire. Pour ce faire, nous nous servirons de la remarque 2.1 et de
ia définition de l'intégrale stochastique par rapport aux L 2-martingales continues et
à paramètre multidimensionnel (voir Cairoli et Walsh (1975, p.126) et Walsh (1984,
p.294; 1986, p.417)). Le lemme ci-dessous est utile à notre fin. Il se trouve dans Cairoli
et Walsh (1975, p.173) mais nous l'énonçons sous une forme plus générale.
Lemme 2.1. Soient t D E IRi, X = {X(t) : t E IRi} un k-champ aléatoire mesurable,
Ft-adapté et C C {l, ... , k} tels que:
l~,t'clE [eX(Uc))'] RdU; < +00
Alors, pour tout t :S t D,
dUe = (dUi : i E C).
Preuve. Elle est similaire à celle de Cairoli et Walsh (1975, p.173). Supposons que
,0
te :::; t~, te = t~ et que CX(ue ) = a:l(a
d(u
c ,bz
e ), a: étant une variable aléatoire
bornée et F(ac,t~)-mesurable. Si u e ~ ae et ae :::; Oc :S t~ alors nous avons

---

14
car la filtration brownienne vérifie l'hypothèse d'indépendance conditionnelle. Main-
tenant, :F(~_ t ) = :F(~_ t ) et a E :F(C_ tO ) = :F(C_ t ) C :r9.(u_ t ). D'où
c' c
C'C
ac , c a c , c
C'C
E (aIF(ue,te») = E (aIF(~e,te») = E (al~e,tc»)
= E [E (aIF(~e,te») IF~c,te)] = E (aIF(ac,tc»)'
Ainsi
Cette quantité est par la suite notée (3. D'où
Nous avons
E (12 ,t~ '~X( Ucl'~W(dUclIFt) = E (a '~W( ae,bcllIF (t1,-,tc»)
=E [E (a t~lV((ac,bc])l~elte)V ~e'tc») IF(tz,te)]
=E [aE C~W((ac,bc])l~e,tc)V F~e,tc») IF(t~,tc)] .
Or
car {W(t),Ft : t E 1R~} est une L 2 -martingale forte. D'où
(1
E
t~X(uc)t~W(dUdIFt)
L2, t °cl
= E [aE CCW((ac,be])l~e,tc) V F(~e,te») IF(tz,te)]
= E (aIF(t~,te»)telV((ac'bc])
c
=;3 t lV((a c ' be])
1
tc
=
;31(a-,brJ(ud lV(du c )·
[0 ,t~]
c
c
-
c

---

15
O
t
Il s'ensuit que la formule est prouvée lorsque eX est un k-champ simple et que t =
t O
t O
(t~, te). Si eX est quelconque alors il existe une suite { C X n : n E IN} de k-champs
simples telle que
(voir Cairoli et Walsh (1975, p.173)). Posons 'Ij.J(ue,te) = E (~X(ue)IF(uc,tc») et
'lj.Jn(u e , te) = E (~Xn(ue)IF(uc,tc)). L'inégalité de Jensen entraîne que
Donc
Il s'ensuit que
quand n -+ +00. En vertu du cas des k-champs simples déjà traités et du fait que
nous déduisons la conclusion.
Maintenant si t = (te' te) avec te 5 t~ alors par la
propriété de martingale des intégrales stochastiques, nous avons
D'où d'après le cas particulier déjà traité ci-dessus, le membre droit de (2.8) est égal à

---

16
Intéressons nous d'abord aux cas n = 2,3.
Théorème 2.3. Les expressions suivantes ont un sens:
(2.9)
où
et T)' est définie à la page 12.
Preuve. Les intégrales dans V2(t l ) sont définies comme des intégrales stochastiques
d'Itô.
Pour tout jE {1,2,3} et tout Uz E JR+ fixé, en vertu de la remarque 2.1 les intégrales
dans V/(UI' uz) sont définies au sens d'Itô. Le lemme 2.1 entraîne que {V/(u), Fu : u E
JR~} est une martingale. Etant de carré intégrable, le corollaire du théorème de Bakry
(1979) assure l'existence d'une version continue à droite donc mesurable de V( Ainsi,
les intégrales dans l'expression de V3(tl, tz) peuvent être définies au sens de Cairoli et
Walsh (1975). 1
Notons que Vz est le processus de l'aire de Lévy associé au processus de \\Viener TV =
(WI , W z ). V3 est appelé le champ du volume stochastique associé au 2-champ de
'Wiener TtV = (WI , TVz, vV3 ) dans JR3. Remarquons aussi que pour j E {l, 2, 3}, Uz E

---

17
1R+ \\ {O}, vj (', U2)/U2 est le processus de l'aire de Lévy associé au processus de Wiener
(W1"j (1) (', U2)/ JU2, WTj (2)(" U2)/ JU2).
Pour définir le champ du volume stochastique Vn , pour n 2: 4, nous avons besoin du
résultat ci-dessous.
Lemme 2.2. Soit X = {X(t) : t E mt} un k-champ aléatoire réel tel qu'il existe des
constantes positives 0:', (3, et C satisfaisant:
alors X admet une version continue.
Preuve. Voir Karatzas et Shreve (1988, pp.55,1l8). 1
Nous définissons le champ du volume stochastique Vn asSOCIe au (n - l)-champ de
Wiener W dans JRn par la formule récurrente:
Vn(t) =
n-2
n
1
n ~ 1 L ?=(-1)n-2-k L (-1)j(n- j )
<ill(ilV!_I(UW)I(illVj(duw)
k=1 IETk
j=1
C2,t]
(2.10)
,
ou
et pour tout Un-I E m+ fixé et tout j E {l, ... , n}, V!-I (', un-d/(un-d T
est le
champ du volume stochastique associé au (n - 2)-champ de Wiener
dans IRn-l. Le membre droit de (2.10) a un sens car l'inégalité de Burkholder-Gundy-
Davis (voir Karatzas et Shreve (1988, p.166)) et le lemme 2.2 entraînent l'existence

---

18
d'une version continue de V~_l pour tout j E {l, ... , n}. En raisonnant par récurrence,
il est facile de voir que pour tout T E .!R~-l , il existe une constante K telle
Ainsi, les intégrales dans (2.10) peuvent être définies au sens de Walsh (1986, p.417).
Passons maintenant à l'étude de quelques propriétés du champ du volume stochastique.
Lemme 2.3. Soient {M(t),gt : t E .!Rt} une L 2 -martingale continue et {X(t) :
t E .!Ri} un k-champ aléatoire mesurable et gt-adapté tel pour tout t = (t l , ... , t k) E
mt, .
l tk "lt1
.
E(X(UI, ... ,Uk))2 < M > (duI, ... ,duk) < +00.
Alors pour tout t = (t l , ... , tt) E .!Ri,
(2.11)
Preuve. Considérons d'abord le cas où X( UI, ... ,Ut) = Yl(x,y]( UI, ... , ut), x, y E
.!Ri, Y étant une variable aléatoire bornée 9x-mesurable. Nous avons pour tout t =
(tl, ... ,tk) E.!Ri
rk r1
Jo
'''Jo
M(duI, ... ,duk)=YM((x,yln[Q,t])
= y M(t)((x/t, y/il n [Q, 1])
car X(t)(UI, ... ,Uk) = Y1(x/t,y/t](UI, ... ,Ut), {AI(t)(u), ç~t) : U E .m~} est une L 2-
t
martingale et Y est gx/t-mesurable, où 9S ) = gut.
Il s'ensuit que (2.11) est vraie pour les champs aléatoires simples. Dans le cas général

---

19
il suffit de remarquer qu'il existe une suite {X n : n E IN} de champs aléatoires simples
telle que
(voir Cairoli et Walsh (1975, p.126)). 1
Théorème 2.4 Ci) (symétrie). Pour tout t E IR':t--I, on a
(ii) (homogénéité). Pour tout t E IR~-l, n ~ 2 et tout Q< C = (Cl' .•. ,Cn-l) on a,
(iii) Pour tout n ~ 2, {Vn(t),Ft : tE m+- l } est une L 2-martingale continue.
Preuve. (i) C'est une simple conséquence du fait que W = (- W I , TV2 ,· •. , TVn ) est un
(n - l)-champ de Wiener dont le champ du volume stochastique associé est -Vn .
(ii) Cette propriété est une conséquence du lemme 2.3 et de la propriété d'homogénéité
(Ir
du champ de Wiener, i.e {W(et)j
Ci) 1/2 , t E lRn 1
-
}
est un (u - I)-champ de
Wiener.
(iii) Cette propriété découle immédiatement du lemme 2.1 et de l'existence d'une version
continue obtenue à l'aide du lemme 2.2. •
2.2.3 Deuxième méthode de construction du volume stochastique
Rappelons-nous que dans le cas déterministe nous avons

---

20
Ecrivons cette expression sous la forme
Vn(t) =
. ~ L E(T lt"-1···1tlr(T(I)(ul, ... ,un_drrr(T(j)(ul, ... ,Uj_2,dUj_I,Uj, ... ,un-d·
n (TES"
0
0
j=2
En remplaçant formellement r par vV nous obtenons l'expression aléatoire
Pour donner un sens aux intégrales ci-haut, il suffit de définir une Lrmartingale con-
tinue !vI(T telle qu'on puisse identifier M(T (du l, ... , dUn-l) à
Nous allons nous servir de la mesure produit
associée au couple de L 2 -martingale (Xl, X 2 ). Cette mesure a été introduite par Guyon
et Prom (1980, p.2.9). Lorsque Xl = X 2 , elle avait été étudiée par Cairoli et Walsh
(1975, p.147). Signalons que ce cas particulier avait été introduit par vVong et Zakai
(1974) lorsque Xi est un champ de Wiener.
Notons qu'en fait J X2X1 est une Lr
martingale. La généralisation du travail de Wong et Zakai (1974) aux k-champs de
Wiener est faite par Yor (1976). Nous nous servons de la méthode de ce dernier pour
étendre son résultat aux k-champs de Wiener dans IR k •
Soit lV = (WI ,
, lVk) un k-champ de Wiener dans IRk. Un élément de (IR~..)k est
noté ~ = (ul,
,U k ), u i E IRi.
Soit T = (TI, ... ,Tk ) E IRi, fixé mais arbitraire.
Posons
v
(IR k )k
l
2
2
3
3
4
k-l
k
U E
+
:Uk-l < Uk-l,Uk-2 < Uk-2,Uk-3 < Uk- 3""'U I
< UI'
< uk-l
2
,

---

21
et
v
k
Tout processus c/J( u) = a: TI 1Ca i ,bi] (u i ) avec a: UI~e variable aléatoire bornée,:Fv v
i=l
ik(a)
k
mesurable et TI (ai, hi] C 6k est appelé champ indicateur. Une somme finie de champs
i=l
indicateurs est dite champ simple. Soit P la tribu sur il X (mi)k engendrée par les
champs simples.
Elle est appelée la tribu prévisible.
Soit 'c~k",Wl(T) la classe des
champs aléatoires {c/J(~): ~ E (mi)k} satisfaisant:
(i) c/J est prévisi~le, i.e P-mesurable
'c~k",Wl(T) muni du produit scalaire
est un espace de Hilbert. Posons Ilc/JIIT = ((c/J,c/J)T)1/2.
Lemme 2.4. L'ensemble des champs simples est dense dans ('c~k '" W (T), Il . liT)'
1
Preuve. Soit c/J(~) = 1
(~)1f!(~)' avec 1f! un champ aléatoire continu à gauche, borné,
Ak
à support compact et :Fv v -adapté. Par continuité à gauche, nous avons
i k (u)
la limite ayant lieu en tout point et dans 'c~k",Wl(T). 6 k étant un ouvert nous pouvons
k
(
.
q~ 1 ]
supposer que);I
fn, 2:' C 6 k • Il suffit de remarquer que P est engendrée par les

---

22
champs aléatoires </>(~) = 16k(~)1P(~), avec 1P continu à gauche, F y y -adapté et borné
i k (u)
pour conclure à l'aide du théorème sur les classes monotones. 1
li:
Théorème 2.5. Soit </>(~) = a: TI l(ai,biJ(ui) un champ indicateur. Posons
i=1
li:
l( </»( t) = a: II W i(R:+1- i ), où R{ = (ai, &il n [Q, t].
i=1
Alors {1(</»(t),Ft : t E 1R~} est une Lrmartingale avec
(2.12)
v
v
li:
.
où </>t(u) = </>(u) TI l[o,tJ(u'),
i=1
-
Preuve. Soit t < s. Notons Clt,B) = R~ \\R;. En général C(t,s) n'est pas un rectangle.
Cependant, il peut est decomposé en une réunion finie de rectangles A.~,j = 1, ... ,n,
2-2 disjoints. D'où Wk( Ctt,B») = 2:7=1 Wk(A~) La preuve de la propriété de martingale
de le</»~ est constituée de plusieurs étapes.
v
v
a) t > ik(a)
Nous avons alors
k
En développant le produit, nous obtenons 0' TI vVi (R;+1-i) et des tenues du type
i=1
p(Ct.~;-p)
ex 1] Wi(R~+l-j)E (IJ W
Ft
1
) =
(IJ
ex 1] W,(R,k+1-i )E
Wp(ct,;:,;-p) ) = 0
car ctt~~-P C 1R~ \\[2, t] et les vVp sont de moyenne zéro et indépendants.

---

23
v
v
b) t et ik(a) ne sont pas comparables.
Supposons par exemple que t l 2: af, ... ,tk-l 2: ak-l' tk < al (la preuve dans les autres
k
cas est analogue à celle ci-dessous). Notons que R~ = 0. Donc a il W (R~+l-Î)
j
= O.
.•
j=l
Prouvons alors que E (CI' iÎII Wj(R:+I-i)l.Ft ) = O. Nous avons
car E (Wk(R~)I.F:;}) = Wk(R~ n {ullui :::; aD) = o.
v
v
c) t < ik(a).
k
v
Nous avons il Wj(R;+I-i) = O. Donc si s < ik(~) le résultat est immédiat. Dans le
Î=l
cas contraire
E( gW;(R;+H)IF.)
gW;(R:+l-;)h(~J1Ft]
lX
= E[E(lX
= E (0 fI Wj (R~+~-i) l.Ft)
i=l
Ik(a)
d'après les cas a) et b). Maintenant pour tout i E {l, ... , k}, R~+~-i - 0, d'où la
i (a)
k
conclusion.
La continuité de I( cP) découle de celle du k-champ de Wiener W. La formule (2.12)
découle du fait que R~ n R~ = 0, pour i i= j ou tout simplement de l'indépendance des
Wj.1
La quantité I( cP) est appelée l'intégrale de second type de cP par rapport à (W1 , • •• , Wk );
celle de premier type étant l'intégrale de Itô par rapport aux L.rmartingales (voir
Wong et Zakai (1974)). La définition de l'intégrale de second type s'étend aux champs
aléatoires simples de façon usuelle et la formule (2.12) est conservée. L'exte!lsion à tout
champ aléatoire prévisible est une conséquence du lemme 2.4.
Maintenant, posons JWk ... W
= I(l.6.
1
k ).
Soit T = (Tl"'" Tk ) E lR.t. Considérons en-
suite z
. - (bll.
~) il
i k - 0
m-1
c
. -
(7"
. z'
. ]
Il,···,lk
-
m " ' "
m
'
, . . . ,
-
, ... ,
()11oo.lk
-
~11 .. ·lk'
Il+l,oo.,lk+ I
,.

---

24
[k+l-j = ( Z .
z'"
.
. ] Jm . (s) = rrk W· ([~+l-j n [0 s]) et
tl ... tlt
O... OtjO ... O,
tl ... tj-l,tj+l,tj+l ... tlt'
tl ... tlt
.
J
tl ... tlt
_,
J=l
m-l
J::It", (s) =. L; Jr~...ilt(S).
WI
tl, ... ,tlt=O
Ainsi nous avons J: "
(s) = I(gm)(s), où gm -
(notons que
It Wl
k
.
rr [ll...ilt C 6k)'
j=l
Nous avons
lim gm(~) = 161t(~), ~ E [0, T]k et gm est borné par 1. Donc
m ......... oo
-
rr
Maintenant, remarquons que J::It ..
Wj(E;~+,.li~j)
wl(Dil ... ilt)
=
et lVj([~+,.li~j) est
J=l
l'accroissement de Wj le long de la jieme coordonnée.
Ainsi nous pouvons conclure
que la martingale JW ",
It
Wl
induit la mesure produit associée à (lVI , ... , lVk ), i.e.
Jwlt ... W (dUI,' .. ,duk) = W I (dUI' U2, . .. ,Uk) ... W k( UI, •.• ,Uk-l, dUk). Pour tout champ
l
aléatoire X = {X (t) : t E 1Ri} mesurable et Fradapté tel que
l10US posons pour tout t = (t l , . •. ,tk) E [Q, T]
~a seconde intégrale étant celle de Itô dans Walsh (1986, p.417). Nous pouvons alors
iéfinir le champ du volume stochastique {Vn(t) : t E 1R~-I}, n ~ 3, par:
Vn(t) = ~ L c(TI~(t)
(TESn
lU,

---

25
En partictÙier
(2.13)
2.2.4 Equivalence des deux méthodes de construction
Il est tout à fait légitime de se demander si les deux constructions ci-dessus conduisent
au même champ aléatoire. Le but de cette sous-section est de prouver que les deux
constructions conduisent à deux versions du même champ aléatoire lorsque n = 3.
C'est une conséquence de l'analogue stochastique de la formule de Green dans Guyon
et Prum (1980, p.5.36-5.40). En effet, nous avons le
Théorème 2.6. Soient t = (t},t 2) et t l = (t~,t~) dans JR~ et {'P(u) : u E JR~} un
champ aléatoire mesurable, Ft-adapté satisfaisant:
Soit ensuite AI = {M(u) : u E 1R~} un champ aléatoire mesurable, Ft-adapté et tel
que pour tout u = (u}, U2) E JR~,
Alors
t'
t '
1
-1 2 M(t~,u2)Wu(3)(t~,du2)
2 J.,f(t},u2)lYu(3)(t},du2)
=
t2
t2
t'
t'
t'
t'
-1 2 11
-1 211
Af(u},U2)Wu(3)(du},du2)
'P(U},u 2)JW (3)W (2)(du},du 2),P-p.s.
U
U
t2
t1
t2
t 1
(2.14)
Preuve. Nous dormons une preuve semblable à celle de Cairoli et Walsh (1975, p.149-
152).
Démontrons d'abord le cas particulier sui\\"ant: pour tout t = (t l , t2) E 1R~,

---

26
Soit m E IN. Posons Zij = U~, 1;-) E lR~, i,j E {O, 1, ... ,m -1}.
m-1
Dij = (Zij, Zi+1,j+1], E;j = (ZOj, zi,i+d, Elo = (ZiO, Zi+1,j] et vV;(2) = ,L 16ij VV"'(2)(Zij).
1,)=0
m-1
= L W",(2)(Zij)W",(3)(Oij)
i,j=O
m-1
= L TVa (2)(Zij) (IV",(3)(Zi+I,)+d - W",(3)(Zi,j+1) + lV",(3)(zij) -IV",(3)(.:i+1,)))
i,)=O
m-1
= L lV",(2)(zij) (lY"'(3)(E;+1,)) - W",(3)(E;j))
i,)=O
m-1
= L (IV"'(2)(Zi+1,j)W"'(3)(E;+l,j) - W",(2)(zij)IV",(3)(E;j))+
i,j=O
m-1
L (W",(2)(Zij) - W",(2)(Zi+1,j)) W"'(3)(E;+1,j)
i,)=O
m-1
m-1
= L lV"'(2)(Zmj)W"'(3)(E~J - L W",(2)(E1JW",(3)(Oij)-
)=0
i,j=O
m-1
L lV",(2)(Elj )W",(3)(E;j)
i,j=O
t2
m-1
= r vV;(2)(t1,U2)VV",(3)(t1, du2) - ""' W",(2) (Elj )vv",(3) (Dij) - J;:
w
(t).
Jo
.~
0'(3)
0'(2)
1,)=0
En faisant tendre m vers +00, nous obtenons
P-p.5.
m-1
car
lim
L W",(2) (Elj )T-V",(3)(Dij) = 0, dans L2.
71--+= i,j=O
Posons ensuite A = [t, t']. Faisons remarquer que le membre gauche de (2.14) est
l'intégrale stochastique curviligne de M sur les bords verticaux de A i.e, {5 = (51,52) E
oA'; 51 E {t 1, t~}} notée par faA]I.! 02 T-V",(3) dans Cairoli et Walsh (l975,p.142). Nous

---

27
t'
t'
1211 M(tl,U2)WO'(3)(duI,du2)
t2
t l
t '
t'
12
=
M(tl,U2)WO'(3)(t~,du2) -1 2 Al(tl,U2)T'VO'(3)(tl,du2)
t2
t2
= -
(
M(t l ,U2)82W O'(3)'
JaA
Ainsi (2.14) a lieu ssi elle est vraie pour j\\1(II].l1Z) -!vI(tl,uz). »l1lS pouvons donc
supposer que M s'annule sur le bord gauche de A, i.e. sur {s = (SI, sz) E 8A; SI = t l }.
Considérons d'abord le cas où <.p est Wl champ aléatoire simple. Il est alors facile de
voir qu'on peut écrire A comme réunion d'intervalles Ai sur lesquels cp est constante et
JaA .H82 WO'(3) = L JaA; !vI82 WO'(3)'
1
Il suffit donc de prouver (2.14) pour A = Ai i.e. dans le cas où <.p est constant sur A.
Notons 'Pl cette constante. Nous avons lVf( UI, uz) = 'Pl (TYO'(Z) (UI , uz) - ~VO'(Z) (t l , uz)),
i <.p(UI,Uz)JWc1(3)Wc1(2)(dUI,duz) = <.plJW"(3)W"(2)(A)
=
(JW"(3)W"(2)(t~,t;)
<.pl
- J W,,(3)W,,(2)(t l ,t;)
+ J W"(3)W"(2)(t l ,t2) - JW"(3)Wc1(2)(t~,tz)).
D'après la formule (2.15) nous avons
l <.p(UI,Uz)JW"(3)wO'(2)(duI,duz)
=
(
<.plWO'(z)8zW O'(3) - ] <.pIWO'(Z)(UI,UZ)WO'(3)( du l, du Z),P-p.s.
JaA
A
lA
=
<.pl (WO'(Z)(uI,U Z) - WO'(Z)(t l , U2)) a2W O'(3)
-i <.pl (WO'(Z)(Ul,U2) - WO'(2)(tl,uzJ)rVO'(3)(dUI,dUz)
qui est le résultat escompté.
Dans le cas général, considérons Wle suite {<.pm: m E lN} de champs aléatoires simples
tel que
lim
E(Jot Jot
2
l(<.pm(UI,U2) -Y(UllUZ))ZdUlduz) = O. Alors puisque (2.14)
m-+oo

---

28
a lieu pour M m (UI,U2) = foUt 'Pm(al,u2)Wu(2)(duI,U2), il suffit de passer à la limite
dans L 2 pour obtenir (2.14). 1
Corollaire 2.1. Les champs aléatoires définis par (2.9) et (2.13) sont deux versions
du même champ aléatoire.
Preuve. D'après le théorème 2.6 nous avons, pour tout t = (il, t 2 ) E 1R~,
,
ou
La conclusion en découle immédiatement. 1
Remarque 2.2 Ci) La seconde construction conduit à un champ aléatoire ayant une
expression plus simple que celle de la première construction. Néanmoins, la première
méthode a l'avantage d'exprimer le champ du volume stochastique Vn en fonction de
Vn - l • Ainsi le champ du volume stochastique V3 s'exprime en fonction du processus
de l'aire de Lévy.
(ii) Bien que nous n'ayons pas encore pu prouver le corollaire 2.1 pour n ~ 4, nous
soupçonnons que ce résultat est vrai. En fait, il faudrait prouver une extension de la
formule de Green stochastique du théorème 2.6. Nous croyons que le principe de calcul
dans la preuve du théorème 2.6 devrait encore fonctionner.

---

Chapitre III
GRANDES DEVIATIONS
ET LOIS DU LOGARITHME
ITERE
Ce chapitre est consacré à l'étude du comportement asymptotique du champ du volume
stochastique. Cette étude est faite en ayant en tête les propriétés de grandes déviations
et la loi du logarithme itéré pour les champs de Wiener.
Pour ceux-ci, d'une part,
les estimés de Ventsel et Freidlin (19ïO) sont établis par Doss et Dozzi (1986), d'autre
part, la loi fonctionnelle du logarithme itéré du type de Strassen (1964) est bien connue
dans la littérature (voir par exemple Park (19ï4), Wichura (19ï3) et Zinchenko (1984)).
Il est intéressant de noter que la loi du logarithme itéré et les propriétés de grandes
déviations sont deux courants d'idées extrêmement liés.
Pax ailleurs, Baldi (1986)
exploitant ce lien établit la loi fonctionnelle du logarithme itéré pour une classe de
processus de diffusions à un paramètre incluant le processus de l'aire de Lévy. Il est
alors naturel de se poser les deux questions suivantes:
1. Peut-on trouver des propriétés de grandes déviations pour le champ du volume
stochastique?
2. Si la réponse à la première question est affirmative, peut-on en déduire une loi
fonctionnelle du logarithme itéré pour le champ du volume stochastique?
Nous nous proposons de donner des réponses à ces deux questions pour le champ du
volume stochastique V3 . Nos résultats sont des conséquences de résultats plus généraux.
3.1 Estimations de Ventsel-Freidlin
3.1.1 Cas général
Soit (S,8) un espace métrique quelconque. Dans tout ce qui suit Cm,k = C((O, l]k,JRm)
(resp. CS,k = CUO, ].jk, S)) désigne l'espace des fonctions continues de [0, :I.]k dans IRm

---

30
(resp. S). Nous munissons Cm,k (resp. CS,k) de la norme Il . Il (resp. distance d) de la
convergence unifonne définie par:
Il fil = sup If(t)/'fECm,k (resp . d(J,g) = sup b(J(t),g(t)),J'9ECS'k).
O<t<l
O<t<l
-- --
-
--
-
C;;,k = {f E Cm,k: f s'annule sur les axes},
Hm,k = {f E C;;,k: f absolument continue et
Pour tout f E Hm,k, nous posons
Considérons l'application ::\\ : C.m,k _
[0, +00] définie par
si f E Hm,k
::\\(1) = { tIIfll~m,k
+00
si f ~ Hm,k
de même qu'une application F : Hm,k ~ CS,k. Soit ensuite ,\\ : CS,k _
[0, +00]
l'application définie par
'\\(g) = { inf {'\\(J) : F(J) = g}
si F-1({g}) =1= 0
+00
si F-1({g}) = 0.
Si A est un borélien de Cm,k (resp. CS,k) nous posons
A(A) = inf ::\\(1) (resp . /\\ (A) = inf ,\\(g)) .
fEA
gEA
Soit maintenant W = {W(t) = (ItV1(t), ... , Wm(t)) : t E IRt} un k-champ de Wiener
\\dans IRm.
IThéorème 3.1. Les affinnations suivantes sont vraies.
(i) ,\\ est une fonction semi-continue inférieurement.
(ii) Pour tout a E IR+,K(a) = {f E Cm,k: ::\\(1) ::; a} est compact dans Cm,k.
(iii) Pour tout ouvert .4. de Cm,k on a
liminf 2
é
log P(dV E A) ~ -A(A)
€-+O

---

31
et, pour tout fermé B de Cm,k, on a
limsup .::2 log P(.::W E B) :S -1...(B)
~_o
Preuve. Voir Doss et Dozzi (1986) ou Dozzi (1989, pp.1l7-123). 1
Remarque. La propriété (iii) traduit ce qu'on appelle dans la littérature les estimés
de Ventsel-Freidlin pour le système {.::W:.:: E IR+ \\{O}} tandis que (i)-(iii) constituent
les propriétés de grandes déviations pour le champ de Wiener.
Considérons maintenant un sytème {xe = {X~ (t) : t E IRi} : .:: E IR+ \\ {O}} de champs
aléatoires continus à valeurs dans S.
Pouvons nous établir le théorème 3.1 ppur le
système {Xt: : .:: E IR+ \\ {O} }, en remplaçant À. et 1... respectivement par À. et /\\ pour
F appropriée? Pour répondre à cette question, nous avons besoin des conditions de
'" regu1 "t
an '"
e
.
Cl- dessous sur F .
Condition (Hl). Pour tout a E IR+, la restriction de F à K( a) est continue.
Condition (H2). Pour tout R,p,a E IR+, il existe '::0, a E IR+\\{O} tels que pour tout
f E K(a) et tout.:: E (0,'::0] on a
P(d(Xe,F(j)) 2:: p, Il.::W - fil < a):S exp (- ~) .
Ces conditions se trouvent dans Doss et Priouret (1983, p. 363).
Nous commençons par établir trois lemmes fondamentaux. Le premier est un résultat
de Azencott (1980, p.69) dont nous donnons la preuve par souci d'autonomie. Les deux
autres sont des adaptations de certains résultats de Doss et Priouret (1983, p.363).
Lemme 3.1.
Soient E et F deux espaces topologiques et 'ji : E --+ [0, +00] une
fonction semi-continue inférieurement telle que pour tout a E 1R+, l'ensemble C(a) =
{x E E : 'ji( x) :S a} est compact. Soit B une application de Eo = {x E E : 'ji( x) < +oo}
dans F telle que la restriction de B à C( a) est continue pour tout a E m+. Définissons
f-L : F --+ [0, +00] par
inf{'ji(x) : B(x) = y}
si B-1({y}) =1- 0
f-L(Y) = { +00
siB- 1 ({y})=0

---

32
Alors pest semi-continue inférieurement et C(a) = {y E F : p(y) :::; a} est compact
dans F, pour tout a E 1R+.
De plus, si p(y) < +00 alors il existe x E E o tel que
B(x) = y et 'ji(x) = p(y).
Preuve.
Supposons que p n'est pas semi-continue inférieurement.
Alors il existe
une suite {Yn : n E .N} d'éléments de F et y E F vérifiant
lim
Yn = Y et a =
n-+oo
lim
P(Yn) < p(y). Par définition de p, il existe une suite {x n : n E .N} d'éléments
n-+oo
de E o telles que D(:r n ) = Yn et
lim
fi(x n ) = a. La suite {j1(:r n ) : n E .N} est alors
n-+oo
bornée et en vertu de la compacité des C(a), la suite {x n : n E .N} est relativement
compacte.
Il s'ensuit qu'il existe une sous-suite {x
:
n E .N} de {x
kn
n
: n E liV}
et x E E tels que
lim
x k
= x dans E. 'ji étant semi-continue inférieurement,
n-+oo
n
nous avons 'ii( x):::;
lim
'ji( x k ) = a < p(y). Alors x E Eo et pour n suffisamment
n-+oo
n
grand x
E C(a + 1). B étant continue sur C(a + 1), nous avons y =
lim
Y
=
k
k
n
n~+cx>
n
lim
B(x
)
= B(x). Nous en déduisons que p(y) :::; 'ji(x) :::; a < p(y). Ce qui est
k
n_+oo
n
absurde. D'où pest semi-continue inférieurement.
Maintenant, prouvons que C(a) = {y E F : p(y) :::; a} est compact. La définition de p
~
~
~
entraîne que C(a) C B(C(a+1)). En vertu des hypothèses sur B et C(a+1), B(C(a+1))
est compact. Or pétant semi-continue inférieurement C(a) est fermé, d'où il s'ensuit
que C( a) est compact.
Enfin, soit y E F tel que p(y) = a < +00.
Par définiton de p, il existe une suite
{x n : n E .N} d'éléments de E telle que lim 'ji(x n ) = p(y) = a et B(x n ) = y, nE .N.
n-+oo
Par conséquent {x n : n E .N} est relativement compacte. D'où, il existe une sous-suite
{x
=
:
n E .N} de {x
x dans E. Pour n
k
n
: n E .N} et x E E tels que
lim
X k
n
n-+oo
n
suffisamment grand X
E C(a + 1). D'où nous avons y =
lim
B(x
)
= B(x), car
k
k
n
n-+oo
n
B est continue sur C(a + 1). La définition de p et la semi-continuité inférieure de 'ji
entraînent que p(y) :::; 'ji(x):::;
lim
'ii(x
)
= {l(y). Donc 'ji(x) = p(y) < +00, et donc
k
n-+oo
n
xE E o· 1
Notons qu'en fait C(a) = B(C(a)).
Lemme 3.2. Soit 9 E CS,k satisfaisant /\\(g) < +00. Sous les conditions (Hl) et (H2),

---

33
pour tout p E lI4-, on a
P;euve. Supposons que (Hl) et (H2) sont satisfaites. Soit 9 E CS,k tel que >'(g) < +00.
(Hl), le lerrune 3.1 et le théorème 3.1(i) entraînent qu'il existe f E Hm,k tel que
>'(J) = >'(g). Soit 0: E JR+ arbitraire (à préciser). Nous avons pour tout é E JR+ \\{O}
P(lIdV - fil < a) ~ P(d(X~,g) 2:: p, IkW - fil < a) + P(d(X~,g) < p).
Donc
é2 log P(lldV - fil < a) ~ é2 log2 + max(é2 log P(d(X~, g) 2:: p, IléW - fil < a),
é2logP(d(X~,g) < p)).
Soit maintenant R > >'(g). En vertu de la condition (H2), il existe co,a E m+\\{O} tels
que é2logP(d(X~,g) 2:: p, IléW - fil < a) ~ -R, pour tout c E (O,éoJ.
Nous en déduisons que
c2 log P(lléW - fil < a) ~ c2 log 2 + max( -R, é2 log P(d(X~, g) < p)).
B(J,a) = {h E Cm,k : Ilh - fil < a} étant un ouvert de Cm ,\\ le théorème 3.1(iii)
entraîne que
lirrtinf é2 log P( IldV - fil < a) 2:: -A(B(J, 0:)) 2:: -)..(J) = ->'(g).
~-o
Ainsi, nous avons
->'(g) ~ liminf é2 log P(lIéW - fil < a) :::; max( -R, liminf é2 log P( d(X~, g) < p)).
~-o
~-o
Corrune R > >'(g) nous en déduisons que
Lemme 3.3. Sous les conditions (Hl) et (H2), pour tout (a,p) E m~, on a
limsupé2logP(do(X~,K(a)) 2:: p) ~ -a,
~-.o
où K(a) = {g E CS,k: >'(g) ~ a}, et do(X~,K(a)) =
inf
d(X~,g).
gEK(a)

---

34
Preuve.
Soit a E ll4\\{0} arbitraire (à préciser).
K(a) étant compact, il existe
No E IN et fi E K(a), i = 1, ... ,No tels que
No.
K(a) c UB(/,a) où B(Ji,a) = {f eCm,k: Ilf - fill < a}.
i=l
Posons
U = U;:01l B(Ji,a), (U est un ouvert de Cm,k), et gi = F(Ji). Nous avons gi E K(a),
i = 1, ... , No, et
No.
:::; P(cW tf. U) + LP(d(Xl!:,gi) ~ p, IlcW - fill < a).
;=1
Soit R >'a, la condition (H2) entraîne qu'il existe co,a E 1R+\\{0} tels que
Pour tout c E (0, co]. En vertu du théorème 3.l(iii) nous obtenons
lim sup c 2 log P( do (XI!: , K( a)) ~ p) :::; max( -Î\\(U c ), -R) :::; -a
I!:-O
car K(a) c U d'où Î\\(U C ) ~ a, où UC = Cm,k\\U. 1
Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer l'analogue du théorème 3.1 pour le
système {Xl!: : cE 1R+ \\{On.
Théorème 3.2.:
Sous les conditions (Hl) et (H2), les affirmations suivantes sont
vraies:
(i) À est semi-continue inférieurement;
(ii) pour tout a E ll4, K(a) = {g E CS,k : À(g) :::; a} est compact dans CS,k;
(iii) pour tout ouvert A de CS'\\ on a
lim inf c2 log P(X e E A.) ~ - /\\ (A)
I!:-O

---

35
et, pour tout fermé B de CS,k, on a
limsupé2logP(X~ E B) ::; - 1\\ (B).
~--+o
Preuve.
(i) et (ii) sont des conséquences immédiates du théorème 3.l(i)(ii), de la
condition (Hl) et du lemme 3.l.
Prouvons maintenant (iii). Soit A un ouvert de CS,k. Si I\\(A) = +00 alors il n'y a rien
à prouver. Supposons alors que 1\\( A) < +00. Soit g E A. Il existe p E 1R+ \\ {O} tel que
B(g,p) = {h E CS,k : d(h,g) < p} CA. D'où le lemme 3.2 entraîne que
üm inLs 2 log P(X~ E A) 2 lim inf e 2 log P( d(X~, g) < p) 2 ->'(g)
~--+o
~--+o
Ainsi, liminf~--+o é2logP(X~ E A) 2 -infgEA >'(g) = - 1\\ (A). Soit maintenant B un
fermé de CS,k. Si I\\(B) = 0 alors il n'y a rien à prouver. Supposons alors que I\\(B) > O.
Considérons a E 1l4\\{O} tel que I\\(B) > a. Nous avons K(a) n B = 0. Donc il existe
p E 1R+ \\{O} tel que do(I«a), B) > p, où do(K(a), B) =
inf
d(g, h).
gEK(a)
hEB
Le lemme 3.3 entraîne que
limsupé2logP(X~E B) :S limsupê2logP(do(X~,K(a)) 2 p) ::; -a.
~--+o
~--+o
En faisant tendre a vers I\\(B), nous obtenons
limsupé2logP(X~E B) ::; - 1\\ (B). 1
~-o
Remarque. Les fonctions>: (resp. >') et A (resp. 1\\) sont appelées respectivement la
fonctionnelle de Cramér et la transformée de Cramér du système {dV : é E m+ \\ {O}}
(resp. {X~ : é E m+ \\ {O}}).
3.1.2 Cas du champ du volume stochastique
Dans toute cette sous-section m = 3, k = 2 et (S,8) = (m,1 . 1). Notons que, comme

---

36
solution forte d'une équation différentielle stochastique (Dozzi (1989,pp.92-l0l)) V3
peut être vu comme une fonctionnellé de Wiener (voir définition 3.1 ci-dessous) F(W)
où la restriction de F à H3,2 est définie par:
Cette idée est empruntée à Azencott (1980, p.72). :X,.x, 7\\, Â sont les applications définies
dans la sous-section 3.1.1.
Remarquons que nous avons E3 V3 (t) = F(EW)(t), pour tout E E 1R+ \\ {O}, et tout
t E lR~. Considérons alors le système {F(EW) : E E 1R+ \\ {O}}. Nous allons prouver
que ce système vérifie les propriétés de grandes déviations, i.e le théorème 3.2 peut
s'écrire pour ce système. Pour cela, il nous suffit de montrer que les conditions (Hl) et
(H2) sont satisfaites.
Lemme 3.4. La condition (Hl) est satisfaite.
Preuve. Soient a E 1R+, f E K(a) et {fn : nE IN} une suite d'éléments de K(a) telle
que
lim
llfn - fil = O. Nous devons prouver que
lim
II F (fn) - 1(f)11 = O.
n-++oo
n-++oo
Il est facile de voir que, pour tout t = (t l , t2 ) E [0, IF,
1
IF(fn)(t) - F(f)(t)1 ::; 3 I: (J~".(t) + J;'".(t) + Jr,,,.(t)) ,
".E S3
,
ou
et
a) Montrons que
lim
Il Jf". II = O.
n-+oo
Nous avons

---

37
Par une double utilisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz nous obtenons
D'où IIJf ull ::; 2allln(1) - lu(1) II· Par conséquent
lim
II J f ull = o.
, C T
n-++oo
'
b) Montrons que
lim
IIJ2u li = O.
n-+oo
'
Donc
IIJ~ull ::; y'2;;1I1u(1) Il 111:(2) - lu(2) Il + y'2;;1I1u(1) Il 111:(2) - lu(2) 11+
2allJ:(2) - 1u(2) Il
::; 6alll:(2) - lu(2) Il
car IlJu(1)Il ::;~. Ainsi
lim
IIJ2u li = O.
n-+oo
'
c) Montrons que
lim
Il J;u Il = o.
n-+oo
'
La preuve est identique à celle faite en b).
Finalement nous concluons que
lim
IIF(Jn) - F(J)II = o. 1
n-+oo
Pour la vérification de la condition (H2) nous avons besoin d'une série de lemmes
préliminaires.

---

38
Lemme 3.5. Soit M = {M(t),Ft;tE mi} une martingale forte continue telle que M
s'annule sur les axes. Supposons qu'il existe une fonction f : mk ---+]0, +00[, telle que
P«
M > (t) > f(t)) = 0, pour tout t E mk .
Alors il existe des constantes ak et bk ne dépendant que de k telles que pour tout
PC~U.")M(U)12 c) 5. a,exp (b::C't))
Preuve. Voir Dozzi (1989, p.IJ4). 1
k
Remarque 3.1. Nous pouvons prendre ak = 2k! et bk = 2 Il (2 i - 1)2 (voir Dozzi
i=l
(1989, p. 114) ..
Lemme 3.6. Soit M = {M(t) : Ft : t E m~} une L 2 -martingale continue. Supposons
qu'il existe i E {1,2} telle que la i-variation quadratique < M >i de A1 vérifie
< M >i (t)::; Rt1t2, pour tout t = (t 1,t2) E m~ R étant une constante dans m+.
Alors pour tout t = (t 1,t2) E m~ et tout cE m+\\{O}
Preuve: Voir Mishura (1987, théorème 1). 1
Lemme 3.7. Soient W = {(W1(u), W2 (u» : U E D4} un mouvement brownien dans
IR? et fL une mesure sur IR.
Alors on a pour tout t E [0,1]
Preuve. Nous avons pour tout t E [0,1]
E(l [ W1(UJi«da)W,(dU))' = 1'E (1' W1(U)I'(da)) ' du
= l t U(fL([O, u]»2du.

---

,1
39
E ( [ [
w , (u)w,(dU lP(dal ) '
= lt lt E
(lt
lt
W:(u)W2(du)
Wl (U)W2)(dU)) fL(da)fL(db)
= lt lt (i t Ul[a,ll(U)I[b,l](U)dU) fL(da)fL(db)
t
= lt
(lt
U (i l[a,l](U)fL(da))
l[b,1](U)fL(db)) du
= lt U(fL([O, u]))2du
= E ( [ 1'Wl(Ull'(dalW,(dul)'
Maintenant,
E(iflU Wl(U)fL(da)W2(du) lf if Wl(U)VV2(dU)fL(db))
= E[lt (if lU
if
lVl (u)fL(da)W2(du)
Wl(U)I[b,l](U)W2(dU))fL(db)]
=itE(it
it
Wl (U)fL([O,uDW2(du)
Wl(U)I[b,l](U)W2(dU))fL(db)
= if if UfL([O, uDl[b,l](u)dufL(db)
= lt UfL([O, uD (itl[b,ll(U)fL(db)) du
if
=
U(fL([O, u]))2du.
La conclusion en découle immédiatement. 1
Lemme 3.8. Soit W = {(Wl(t), W2(t), W3 (t)) : t E .lR~} un 2-champ de Wiener sous
un espace probabilisé (n, F, P) quelconque. Alors pour tout R, a, p E 1R+, il existe
Ct E .lR+ \\{O} tel que pour tout JE K(a) et tout [. E (0,1], on a
P(IIF(dV + J) - F(J)II ~ p, II[.WII < Ct) ~ exp (- ~) .
Preuve. Pour tout t = (t l , t l ) E 1R~, nous avons
i
...

---

40
,
ou
Il s'ensuit que
+ t p GII L <2Ji(W, J)112 *' II<WII < a)
1=1
uESa
+ {>G11 L EJi(W,J)112 ~, II<WII < a)
1-4
uESa
3
:s;
3
P(t:
F
1I
(W)11 2: ~,II€l'VII < 0:) + L L P(t: 2 I1Jt(W, f)11 2: :4' IkWl1 < 0:)
i=l uESa
6
+ L L P(t:II Jt(W,f)II2: ~ll1dVII < 0:) = Al +.4.2 + A3 •
i=4 uESa
Nous devons majorer chacun des Ai.
a) Majoration de Al
Nous avons

---

41
U
Posons, r:r( Ul, U2) = Jo 1 lVlT(l) ( a, U2)WlT (2)( da, U2)' En vertu du corollaire 2.1, nous
avons pour tout t E [O,lF
Il nous suffit alors de majorer l'expression
P (e3111- j,,"(.,U2)WlT(3)(.,du2)11;::: ;8,IIelVII < 0) +
e3
P (
111- i- jlT(UI,U2)WlT(3)(dUI, dU2)II;::: ;8' IIeWl1 < a) = BI + B2·
ad Majoration de BI
Soit 8 E .lll+\\{0} arbitraire (à préciser). Posons pour tout t 2 E [0,1],
D lT (t2,Ô,e)={t l E[0,1]:e2 sup
IjlT(t 1 ,U2)/>ô}
0$U2$t2
et,
sillon.
Pour t 2 E [0,1] fixé, Tt2 est un temps d'arrêt relatif à la filtration {.1"(t1,t2) : t l E [0, il}.
Nous avons
BI S; P (e 3 sup
1
(2 jlT(t l , u2)lVlT(3)(t l , dU2)! ;:::.!!.-, inf Tt2 = 1)
}2 $t$l
Jo
28 0$t29
+ P ( inf Tt2 =1- 1, IleW11 < a)
0$t29
3
11t2
S; P (e
sup
jlT(min(tl,Tu2),U2)lVlT(3)(tl,dU2)1 '2 .!!.-)
}2 $t$l
0
28
+
2
P(e 11flT ll '2 ô, IleW11 < a) = Cl + C 2 .
D'après le lemme 2.1, {S3 10(2 jlT(min(tl,Tu2),U2)"~VlT(3)(tl,du2),.1"t: t E [O,lF} est une
L 2 -martingale. Sa 2-variation quadratique est inférieure à e2Ô2t l t2 en tout t = (t l , t2) E
[0,1]2. La continuité de cette martingale est une simple conséquence de l'inégalité de

---

-
--
--
- - - - - - - - -
42
Burkholder-Gundy-Davis (voir Karatzas et Shreve (1988, p.166)) et du lemme 2.2. Le
lemme 3.6 entraîne alors que
(3.1 )
,
.J!...
ou l' = 28'
Maintenant, il existe 8 = 8(R, p) tel que le membre droit de (3.1) est inférieur à
1
4 8 exp ( - fT), pour tout e E (0, 1]. Soit 8 ainsi fixé, considérons /3 E 1R+ \\ {O} arbitraire
(à préciser). Posons pour tout il E (0, l],
et,
smon.
Par les mêmes techniques que ci-dessus nous avons
C2 S P (ez sup 1 (lliVO'(I)(UI,min(tz,ruJ)lVO'(Z)(dUI,t2)!?:' 8)
O<t<l
Jo
-- --
+ P(llcvVII ?:. /3, IleWII < a) = Dl + D 2 •
En vertu du lemme 2.1 et du lemme 3.6, en raisonnant comme ci-dessus nous avons
(3.2)
Il existe /3 = /3(R,8) tel que le membre droit de (3.2) est inférieur à 1
4 8 exp (
-
fT ),
pour tout e E (0,1].
Maintenant pour a = a~ < /3, nous avons D z = O. Ainsi, en
prenant a = o'~ < /3, (/3 dépendant de Ret p), nous obtenons
az) Majoration de B z
Soit 8 E 1R+ \\ {O} arbitraire (à préciser). Nous avons
B z S P(e3111·1· fO'(UI,UZ)WO'(3)(dUI,dUz)ll?:. :S,ez11fO'II < 8)
+ P(e2 11fO'II ?:. 8, IlcVVII < a) = El + E z.

---

43
En vertu du lemme 3.5, nous avons
(3.4)
,
-...E...
ou 1 -
28·
Pour 0 = o(R, p) convenablement choisi, le membre droit de (3.4) est inférieur à
1
4 8 exp ( -!f ), pour tout e E (0, 1]. Pour 0 ainsi fixé, en vertu du raisonnement ayant
servi à majorer C
1
2 , il existe 0: = o:~ tel que E 2 ~ 48 exp (-~), pour tout c E (0,1].
D'où pour un tel 0: = o:~f, nous avons
pour tout e E (0,1].
Enfin, en choisissant 0: = mine o:~, o:~f), (3.3) et (3.5) entraînant que
Al ~ 6 (2-exp (- R) + 2-exp (_ R)) = ~exp (_ R)
(3.6)
24
e2
24
e2
2
e2
pour tout e E (0,1.].
b) ~lajoration de A 2
Nous avons
3
3
2
A 2 = 2: 2: P(c 1IJi(W; nll ~ :4,lldV II <0:)= 2: 2: Ft
uESa i=l
aESa i=l
où Fr = P(e2 11Ji(lV, nll ~ (4' IleWIl < 0:).
Il nous suffit de majorer les Fr.
bl ) ~Ilajoration de Fr
Nous avons pour tout t = (tl,t2) E [0,1]2
D'où le lemme 3.7 entraîne que

---

44
Donc
Ainsi nous avons
D'après un raisonnement analogue à celui fait dans la majoration de C2 , il existe Q = Q~
(Q~ dépend de R de p), tel que
1
Ft :S 36 exp (- ~) , pour tout E E (0,1].
(3.7)
b2 ) Majoration de F{
F{ se traite de la même façon que FI' Ainsi, il existe Q = Q~ (Q~ dépend de R et p),
tel que
Ft ~ 316exp ( - ~) , pour tout E E (0,1].
(3.8)
b3 ) Majoration de Ff
Comme f est à variation bornée, la formule d'intégration par parties dans Dozzi (1989,
p.66-67) donne
Donc
Or le théorème 2.6 implique que

---

45
D'où par des raisonnements analogues à ceux ayant servi à la majoration de C2 et de
B2, nous obtenons l'existence de a = a~' (a~' dépend de Ret p), tel que
1
F; ::; 36exp ( - ~) , pour tout é E (0,1].
(3.9)
Enfin, en choisissant a = a2 = mine a;, a~ , a~'), (a2 dépend de R et p), et en combinant
(3.7), (3.8) et (3.9) nous avons
A2::; 6 (2..exp (_ R) + 2..exp (_ R) + 2..exp (_ R) )
36
é 2
36
[2
36
é 2
(3.10)
= ~exp (- R ) pour tout é E (0,1].
2
2
é
c) Majoration de A 3
Nous avons
6
6
A 3 = L L P(éIIJf(lV, J)II ~ :4' IIE1Yli < a) = L L Ci
uESa i=4
uESa i=4
où Ci = P(éllJiC W , J)II 2: -&' IléWII < a)
Cl) Majoration de G~
Illf(W;j)11 ::; 2aIIWu(l)11 ::; 2a 11WII·
d'où C~ ::; P(lkWII 2: ~,IIcWII < a).
En choisissant a = a; < ~, nous avons G~ = O. pour tout é E (0,1].
C2) Majoration de G s
Nous avons
Notons que la permutation de l'intégrale déterministe et de l'intégrale stochastique
peut se justifier par un résultat analogue au lemme 3.7. Ainsi nous avons

---

46
Or
D'où
Ainsi il existe 0' = O'~ (cr~ dépend de p) tel que cg = 0, pour tout E E (0, 1].
C3) Majoration de cg
cg se traite de la même façon que CJ. Alors il existe 0' = O'~' (O'~' dépend de p), tel
que cg = 0, pour tout e E (0,1].
Enfin, en choisissant 0' = 0'3 = min(O';,O'~,O'~'), (3.6), (3.10) et (3.11) entraînent que
P(IIF(dV + f) - F(f)11 ~ p, !!dVIl < 0') :::; exp (- ~) ,
pour tout e E (0,1]. 1
Nous sommes maintenant prêts pour vérifier (H2).
Lemme 3.9. La condition (H2) est satisfaite.
Preuve. Soit f E K(a). Posons A~ = CIIF(eW) - FU)II ~ p, IldV - fil < 0'),
Alors le théorème de Girsanov affirme que W~ est un 2-champ de Wiener sous la
probabilité Q€
définie par
, '
D ou

---

47
Soit, E IR arbitraire (à préciser). Nous avons
Il existe, = ,(R, p, a) tel que exp (a;;J) ::::; ~exp (--!}) pour tout é E (0,1J. Notons
que
:\\Tous pouvons omettre é dans Q~ et lV~ (calcul de lois). En vertu du lemme 3.8, pour
Î
trouvé ci-haut, nous avons l'existence de 0' = O'(R, p, a) tel que
(a-,)
E:
1
(R)
exp
~ Q(A)::::; 2exp - é2 '
pour tout é E (0,1].
Prenons éo = 1. Nous concluons en utilisant (3.12). 1
Nous pouvons maintenant énoncer les propriétés de grandes déviations pour le champ
du volume stochastique V3 • En effet le lermne 3.4, le lemme 3.9 et le théorème 3.2
conduisent au
Théoreme 3.3. Les affirmations suivantes sont vraies:
(i) ,\\ est semi-continue inférieurement;
(ii) Pour tout ouvert A de C1 ,2, on a
et, pour tout fermé B de C1,2, on a
limsupé 2 logP(é 3 V3 E B) ::::; - 1\\ (B).
€-+O

---

48
3.2 La loi fonctionnelle du logarithme itéré
3.2.1. Cas d'une fonctionnelle de Wiener quelèonque
Soit W = {(W1 (t), ... , Wm(t)): tE lRt} un k-champ de Wiener dans lRm. Pour tout
U = (u 1 , ... , U k) E lRt, posons
k
log log .fI Uj
SI
Il Ui 2: 3
</J( u) =
i=l
1=1
{
k
1
SI
Il Uj < 3
i=l
et <I>(u) = CfI1 Ui) eP(u).
~ = {~u : u E lRt} désigne le k-champ aléatoire à valeur dans Cm,k définie par: pour
tout t E [O,I]k
1
Remarquons que ~u(t) =
~V(u)
(t/>(u\\)l/2 TV(u)(t), où W(u)(t)
~V(ut)/ (j~l ui) 2"
est un k-champ de \\Viener dan lRm. Maintenant, étant donné un espace de Banach
séparable S, l'ensemble des points limites d'un champ aléatoire {Xu : u E lRt} à valeur
dans S est noté C (Xu : u E .m.t) (sous-ensemble de S).
Avec les notations de la sous-section 3.1.1 nous avons la loi fonctionnelle du logarithme
itéré ci-dessous pour le champ de \\Viener TV:
Théorème 3.4. Le champ aléatoire f, = {~u : u E lRt} est presque sûrement relative-
ment compact dans Cm,k et P(C(~u : u E lRt) = K(k)) = 1.
Preuve. Voir Park (1974) ou Wichura (1973, théorème 4). 1
Soit maintenant B(C;:,k) la CT-algèbre des boréliens de C;:,k. Désignons par B(C;:,k) la
complétion de B(C;:,k) par rapport à la mesure de Wiener sur (C;:,k, B(C;:,k)).
Définition 3.1. Soit (E, A) un espace mesurable quelconque. Toute application F :
C;:,k ----t E B(C;:,k)/ A-mesurable est appelée une fonctionnelle de 1Viener.

---

49
Soit l E lN.Considérons B(Cl,k) la a-algèbre des boréliens de Cl,k et F : C;;,k --. Cl,k
une fonctionnelle de Wiener quelconque. Nous avons alors
F(I: ) - F (
1
W(U»)!:.. F (
1
w)
~u -
(~(u))~
-
(~(u))~
.
Il est alors naturel de trouver des conditions sur F permettant de transférer le résultat
du théorème 3.4 au champ aléatoire Z = {Zu = F(f"u) : u E 1Rt}. Pour résoudre ce
problème, en plus des conditions (Hl) et (H2) nous avons besoin des deux conditions
supplémentaires ci-dessous.
Condition (H3). Il existe 0' E IR+\\{O} tel que pour tout é E 1R+\\{0}, tout u E
IRt,F(éW(U')) = éaF(W(u·)), et F(vV(u·))(t) = F(W)(ut).
Définissons ,\\ : Cl,k ---+ [0, +00] par:
'\\(g) = { inf (\\(1) : FU) = g}
si F-1({g}) =1= 0
+00
si F-1({g}) = 0
et,
Â(A) = inf '\\(g), pour tout A E B(Ce,k).
gEA
Condition (H4). Pour tout é E 1R+ \\ {a}, il existe c~ E (1, +oo[ tel que si c E (1, c~]
alors Â(Ae,c) 2 k + 2, où
é
A~,c =
9 E Ce,k:
sup
Ig(s) -g(t)12 2
.2 ~s~!
Nous aurons souvent besoin du résultat élémentaire suivant:
Remarque 3.2. Pour tout c E (1, +00[, la quantité
( ')-
(f3"'( j))-
cie
' _ ( '
' )
k
a J
- exp -
'f' f
- ('
, )f3 ,J -
JI,"" J k
E lN
h+'''+Jk
est sommable sur Nk ssi f3 > k.
Nous disons que u tend vers +00 et nous notons u ---t +00 ssi min( Ul, ... ,Uk) tend
vers +00.

---

-- -
- - - -.... -".,•. ",.'il~
'~'
i
50
Posons xe = F(éW).
Théorème 3.5. Supposons que les conditions (Hl) et (H2) sont satisfaites. Alors pour
tuut ouvert A de Cl,k et tout fenné B de Cl,k, on a
(i) liminf -1-(1) logP(Zu E A) ~ -1\\ (A)
u-+= Of' u
et,
(ii) limsup <plu) logP(Zu E B):::; -1\\ (B).
u-+oo
Preuve. If suffit de remarquer que Zu ~ F(
1
f lV) = X 1/(4)(u))' et d'appliquer
.
(rf>(u))
le théorème 3.2(iii). 1
Lemme 3.10. Supposons que les conditions (Hl) et (H2) sont satisfaites. Alors pour
tout cE [1, +oo[ et tout é E 1R+ \\ {a}, il existe presque sûrement jO = UP, ... ,jn E lNk
tel que si j > jO alors do(Z.si , K( k)) < é (do est définie à la page 33).
Preuve. Rappelons que sous les hypothèses faites K(a) = {g E Cl,k : >-(g) :::; a} =
F(K(a)) est compact, pour tout a E 1R+. Posons K e = {g E Cl,k : do(g, K(k)) ~ é}.
En vertu de la définition de 1\\(I(e), il existe une suite {gn : n ELY} d'élément de K e
telle que
lim
>-(gn) = I\\(Ke). Par conséquent p(gn) : n E lN} est une suite bornée,
n_+=
d'où par la compacité des K(a), la suite {gn : n E lN} est relativement compacte.
Alors il existe une sous-suite {gl:n : n E lN} de {gn : n E lN} et 9 E ]{e tels que
lim
gl: = g. Puisque >- est semi-continue inférieurement, nous avons I\\(Ke) :::; >-(g) :::;
n-+=
n
lim
>-(gl: ) = I\\(Ke). Donc >-(g) = I\\(Ke). Or 9 tI: K(k), d'où I\\(Ke) > k. Soit
n_+=
n
8 E 1R+ \\ {a} tel que I\\(Ke ) > k +28. En vertu du théorème 3.5(ii), pour j suffisamment
grand (i.e. max(iI,· .. ,jk) grand), nous avons P(Z.si E K e ) :::; exp(-(k + 8)cP(E j )).
La remarque 3.2 et le lemme de Borel-Cantelli permettent de conclure que P(Z ci E
K e i.s.) = 0, ce qui achève la preuve. 1
Lemme 3.11. Supposons que les conditions (Hl)-(H4) sont satisfaites. Alors pour

---

51
tout é E 1R+ \\ {D}, il existe CI! E (1, +oo[ tel que si cE 6; CI! [ alors
<I> ( C j)) 0 /2
P (
SUp
IIZU -
-
Z!2j Il ~ é i.s.) = D,
uElj(c)
( <I>(u)
.
' I ( )
rrk [j'-l j.], ('
')
JNk
ou
j
C
=
i=l C·
, C • ,J = JI,···, J k
E
.
Preuve. Pour tout j E JNk, posons
D'après la condition (H3) nous avons
Yj = sup Il
1 a/2(F(W(u.)) - F(W(~j·)))II·
uElj(c)
(<I>(u))
Les inclusions suivantes sont faciles à établir.
sup
uElj(c)
1
.
.
C
sup
/2IFOV)(cJt)-F(W)(cJs)l~é (d'après (H3))
.2 :5 s :5l (cI> (/-l)) 0
-
-
s / !2 ::;t:5 s
c
sup
(d'après (H3)).
o <s< 1
-- --
Remarquons que pout tout 6 E 1R+ \\{D} et j E JNk suffisamment grand nous avons

---

,~
•
'C·
52
Ainsi si 8 est tel que éO'/2(1 + 8) :::; 2, pour j suffl.~'ammêrit,grand nous avons
(3.13)
En vertu du théorème 3.5(ii), pour j suffisamment grand nous avons P(Zf.j E A~,c) :::;
exp[( - /\\ (A~,c) + l)q'>(,fi)]. Maintenant la condition (H4) entraîne qu'il existe c = c~ E
(1, +oo[ tel que pour j suffisamment grand
La remarque 3.2, le lemme de Borel-Cantelli et (3.13) permettent de conclure. 1
Lemme 3.12. Supposons que les conditions (H1)-(H4) sont satjsfaites. Alors pour
tout é E 1R+ \\ {ü} il existe presque sûrement uo = (u~, .. . ,u~) = uo( w) tel que pour
tout u > uo
do(Zu(w),J((k)) < é.
Preuve. Pour tout cE (1, +oo[ nous avons
<I>(,fi)) 0'/2
(<I>(,fi)) 0'/2
do (Z u, J(( k)) :::; Il Zu - ( <I>(u)
Zf. j Il + Il
<I> ( u)
Z f. j - Z f. j Il
+ do(Zf.j ,J{(k)) = Al + A2 + A 3 ,
où j E JNk est tel que u E Ii(c). Le lemme 3.10 entraîne qu'il existe jO E JNk tel que
si j > jO alors A 3 < f. Pour tout 8 E 1R+ \\ {O} et j suffisamment grand nous avons
<I>( Ci)) 0'/2
1 <
-
< éO'/2(1 + 8)
-
(
<I>(u)
-
et IIZf.j Il est borné en j par le lemme 3.10. Donc si cE (1, +oo[ est dans un voisinage
de 1 et j est suffisamment grand alors A 2 < f. Finalement, le lemme 3.11 entraîne que
pour tout cE (1, +oo[ dans un voisinage de 1 nous avons Al < f, pour j suffisamment
grand. Ainsi, si u est suffisamment grand, nous concluons que do(Zu, I\\(k)) < é. 1
Lemme 3.13. Soit g E K(k). Supposons que les conditions (H1)-(H4) sont satisfaites.
Alors pour tout é E 1R+ \\{D}, il existe c = Ce E (1, +oo[ tel que P(IIZf.j - gl\\ < é i.s.) =
1.

---

53
~
'. /
Preuve. Soit 9 E I«k). En vertu du lemine 3.. 1~'iÎ ex'isteLE K(k) tel que FU) = 9
et >"(1) = >"(g). Pour tout é E lR+\\{O} fixé, et pour to~t' fJ E lR~\\{O}, posons
Soit R > k + 1.
En vertu de la condition (H2), pour j suffisanunent grand et 8
suffisamment petit nous avons P(A j n Bj) ::; exp( -(k + 1)4{fj)); donc
L: P(Aj n
jENk
Bj) < +cx:>, grâce à la remarque 3.2. Or, il existe c = c~ E (1, +cx:>[ tel que P(Aj i.s.) = 1
(voir Park (1974,p.484)), par conséquent P(Bj i.s.) = 1 pour c = c~. 1
Nous sommes maintenant en mesure d'écrire l'analogue du théorème 3.4 pour le champ
aléatoire Z = {Zu = F(çu) : U E lRt}.
Théorème 3.6. Supposons que les conditions (Hl)-(H4) sont satisfaites.
Alors le
champ aléatoire Z = {Zu = F(çu) : U E lRt} est presque sûrement relativement
compact et P(C(Zu : U E lRt) = I«k)) = 1.
Preuve. D'une part I«k) étant compact, le lemme 3.12 entraîne que {Zu: U E lRt}
est presque sûrement relativement compact et que P(C(Zu : u E IRt) c I«k)) = 1.
D'autre part, le lemme 3.13 implique que P(C(Zu : u E lRt) =:> I«k)) = 1. D'où la
conclusion. 1
Du théorème 3.6 nous obtenons tout de suite le
Corollaire 3.1.
Soient E un espace topologique séparé et G : Cf.,k ---+ E une ap-
plication continue. Supposons que les conditions (Hl)-(H4) sont satisfaites. Alors le
champ aléatoire {G(Zu) : u E lRt} est presque sûrement relativement compact dans
E et
P(C(G(Zu) : u E IRt) = G(K(k))) = 1.

---

54
,*.~:'-.. ? .~•.
3.2.2 Application: cas particulier,' du charn~'iu~valt.lI~estochstique
Dans toute cette sous-section m = 3, k = 2 et € = 1. Rappelons nous que le champ
du volume stochastique peut être considéré comme une fonctionnelle de Wiener, I.e
V3 = F(W) où
Pour tout u E 1R~ et tout t E [0, 1F, nous avons
Nous avons déjà prouvé que les conditions (Hl) et (H2) sont satisfaites (voir lemme
3.4 et 3.9).
En vertu du lemme 2.3 et en prenant Q
= 3, il est facile de vérifier
la condition (H3).
Ainsi pour pouvoir appliquer le théorème 3.6, il nous suffit de
prouver que la condition (H4) est satisfaite. Occupons-nous de ce problème. Soit alors
c E (1, +oo[ quelconque. Si I\\(Ao!,c) = +00, alors il n'y a rien à prouver. Supposons
alors que I\\(Ao!,c) < +00 et soit g E Ao!,c tel que À(g) < +00. En vertu du lemme
3.1, il existe f E H 3 ,2 tel que )..(1) = À(g) et FU) = g. Puisque g E Ae,c il existe
s, t E [0, IF avec sl.s S; t S; s tel que Ig(s) - g(t)1 ~ ~. Nous avons Ig(s) - g(t)1 S;
Ig(SllSZ) - g(sl,tz)1 + \\g(Sl,t2) - g(t1 ,t2)1. Puisque

---

- - .
55
nous obtenons
En faisant le même raisonnement pour Ig(Sl,t 2 ) - g(tl,t 2 )1, nous obtenons
l)t -
é
(
3
4 < Ig(s) - g(t)1 :; SV2 1 - ~
(>.(1))'i.
Donc )..(f) 2:: 32AC~l) t. Par conséquent, il existe c~ E (1, +00] tel que si c E (1, c~]
alors >"(f) 2:: 4, d'où I\\(A~,c) 2:: 4. Ainsi, la condition (H4) est satisfaite. Nous avons
alors le résultat principal suivant:
Théorème 3.7.
Le champ aléatoire Z = {Zu = V3(u·)/(<I>(u))3/2 : u E 1R~} est
presque sûrement relativement compact dans CI ,2 et P(C(Zu : u E 1R~) = K(2)) = 1.
Ce résultat constitue la loi fonctionnelle du logarithme itéré du type de Strassen (1964)
pour le champ du volume stochastique V3 .
Le corollaire 3.1 permet ensuite d'obtenir la loi classique du logarithme itéré qui suit
pour le champ aléatoire V3 .
Corollaire 3.2. On a
1·
. f
V3 (u)
l'
V3 (u)
F(f)() P
-
lm ln
3
= lm sup
3
= s~p
1, 1,
-p. s.
u--+oo (<I>(u))'i
u--+oo (<I>(u))'i
fEK(2)

---

56
Preuve. Considérons l'application contiritie
G : C1,2 -+ IR
9 ~ g(l, 1).
Nous avons G(Zu) = Zu(l, 1) = V3 (U)3' En vertu du théorème 3.7 et du corollaire 3.1
(4)(u))'I
nous avons
limsup
V3 (U)3 = supG(K(2)) =
sup g(l, 1) = sup F(f)(l,l).
u--+oo (<p(u))'2
gEK(2)
/EK(2)
Maintenant, comme V3 C - V3 , nous avons la conclusion. 1
Remarques (i) Le comportement asymptotique du processus de l'aire de Lévy, i.e.
V2 a été étudié par Baldi (1984,1986), en utilisant les techniques précédentes. Il est
alors légitime de se demander si ces mêmes techniques sont applicables au volume
stochastique Vn , n 2 4. Nous pensons que pour résoudre ce problème il faudrait étendre
les inégalités exponentielles dans Mishura (1987) aux Lrmartingales continues à k
paramètres, k 2 3.
(ii) La loi fonctionnelle du logarithme itéré a été obtenue par Relmes, Rérrùllard et
Theodorescu (1987) en utilisant les fonnules de Paul Lévy.
Aussi, ces formules ont
de nombreuses applications. Il est alors intéressant de chercher à déterrrùner la loi de
V3 (t) pour en tirer des applications si possible. Pour ce faire, nous croyons que selon
la méthode de construction qu'on adopte, on pourrait s'inspirer, soit de l'article de
Berthuet (1986), soit de ceux de Nualart (1983) et Julia et Nualart (1988).

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