THESE de DOCTORAT de l'UNIVERSITE PARIS 6
Spécialité :
MECANIQUE
présentée
par : Monsieur AnOU Kablan Jérome
pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PARIS 6
Sujet de la thèse :
ETUDE DU FONCTIONNEMENT DYNAMIQUE DES
REGULATEURS-DETENDEURS
INDUSTRIELS DE GAZ.
soutenue le : 18 décembre 1989
devant le jury composé de
loir
J .L. PEUBE ............................ Président - Rapporteur
loir
J .S. DARROZES ...................... Rapporteur
Mme
R.
DROUOT ..........................
loir
F.
DENEUVE ........................ }Examinateurs
loir
J.P. GUIRAUD ........................
loir
F.
FAVRET .. "" .................... Invité

---

Il Y a donc deux sortes d'esprit : l/une de pénétrer vivement
et profondément les conséquences des principes,
et c/est
là
l'esprit de justesse;
l'autre de comprendre un grand nombre
de
principes
sans
les
confondre
et
c/est
là
l'esprit
de
géométrie.
L/une est
force
et droiture d'esprit,
l'autre
est amplitude
d'esprit.
Or,
l/un peut bien être sans l'autre,
l'esprit pouvant être
fort et étroit et pouvant être aussi ample et faible
Blaise PASCAL (Pensées)

---

Je
tiens
à
exprimer ma profonde
reconnaissance à
Monsieur
J.P.
GUIRAUD, Professeur à l'Université Paris VI, d'avoir bien voulu diriger ces
travaux de
recherches.
Sa
grande
compétence
scientifique,
ses
précieux
conseils et encouragements m'ont permis de mener à bien ce travail.
Je
remercie
Monsieur
J.L.
PEUBE,
Professeur
à
l'Université
de
Poitiers, d'honorer de sa présence cette soutenance et d'avoir accepté le
rôle de rapporteur.
Monsieur J.S. DARRDZES, Professeur à l'Université Paris VI,
qui m'a
initié aux méthodes de techniques asymptotiques de modélisation, me fait un
grand honneur en acceptant de participer au jury et de porter un jugement à
ce travail.
Qu'il me soit permis de remercier tous les membres du Laboratoire de
Modélisation en Mécanique à travers Madame R. DROUOT, Maitre de conférences
à l'Université Paris VI. Je suis très heureux de sa présence dans ce jury.
Monsieur F.
DENEUVE,
Chef
du
Service
Métrologie
et Matériels
de
réseaux du Gaz de France et Monsieur F. FAVRET, Ingénieur chercheur du Gaz
de France, ont, par leur présence continuelle à nos côtés dans le cadre du
projet détendeur,
su
trouver
à
chaque
fois
les
éléments
de
motivation
nécessaires pour que ce travail avance.
En acceptant de faire partie du
jury,
ils prouvent une fois
de plus
tout l'intérêt qu'ils portent à ce
projet. Qu'ils en soient remerciés.
Je ne saurais terminer sans remercier tout le personnel du Service
Métrologie et Matériels de réseaux du Gaz de France qui, par son accueil,
m'a permis
de mener ce
travail
dans
de
bonne
conditions.
J'exprime
en
particulier
toute
ma
reconnaissance
à
l'équipe
du
projet
détendeur,
à
savoir :
Monsieur
B.
LE
JAN,
Ingénieur
chercheur
au
Gaz
de
France,
auprès de qui j'ai toujours trouvé accueil et bienveillance.
Monsieur J .Ph.
CORNIL,
Ingénieur,
"bibliothèque ambulante"
du
Gaz
de
France.
Sa
parfaite
connaissance
des
différents
problèmes
du
terrain, nous a permis d'orienter ce travail et de lui donner un contenu
pratique.
Monsieur A.
DEBAILLEUL,
Technicien au Gaz de France,
grAce à
qui nous avons pu effectuer toute la partie expérimentale.
Bonne chance à Monsieur M. JEMMALI et merci pour sa précieuse
collaboration.
Je remercie enfin
Monsieur B. DUMONT du Bureau d'études et
Madame
M. GAUVIN qui a frappé avec amabilité et gentillesse ce mémoire.

---

RESUME
Le
régulateur-détendeur
est
un
appareil
placé
sur
le
réseau
de
distribution
du gaz,
dont
la
fonction
est d'une part d'abaisser le niveau de
pression et d'autre part de maintenir ce niveau de pression à une valeur dite de
consigne.
Des
instabilités
de
fonctionnement
des
régulateurs-détendeurs
se
manifestent
parfois
sur
les
réseaux.
Afin
d'étudier
ces
mécanismes
d'instabilité, un modèle mathématique a été mis en place. Celui-ci, constitué de
huit équations différentielles à huit inconnues, dont deux du second ordre, fait
intervenir,
après
écriture
sous
forme
canonique
(c'est-à-dire
élimination
classique des
dérivées secondes),
une matrice carrée 10 x 10 caractérisant la
partie linéaire,
une matrice colonne d'ordre 10 dont
les composantes sont des
fonctions
fondamentalement non linéaires,
et une matrice colonne caractérisant
l'excitation.
Une
démarche,
consistant à
linéariser abusivement
les
fonctions
non linéaires, nous a permis de mettre en place un système,
dit linéaire, afin
de
pouvoir
nous
servir
de
la
théorie
de
la
stabilité
linéaire.
Une
étape
décisive,
a été la validation des modèles linéaire et non linéaire.
Pour cela,
après avoir retenu un appareil déterminé,
et effectué des essais expérimentaux
sur celui-ci,
la méthode d'identification paramétrique nous a permis d'estimer
les valeurs de certains paramètres assez mal connus,
afin de réaliser au mieux
une
adéquation
entre
le
comportement
réel
de
l'appareil
et
le
modèle
mathématique.
Après
réduction
du
système
linéaire
grAce
à
une
analyse
phénoménologique,
nous
avons
étudié,
d'une
part
l'influence
des
différents
paramètres sur la stabilité, d'autre part le domaine de l'espace des paramètres
permettant un
fonctionnement
stable.
Ces
différentes
analyses,
confortées par
une
série
de
simulation
numérique,
ont
été
confirmées
par
des
essais
expérimentaux.
Elles
rendent
compte,
entre
autres,
de
certaines
observations
effectuées par les professionnels du gaz. En appliquant la méthode de Liapunoff
au système non linéaire,
nous avons
défini
une notion originale de stabilité
adaptée au cas des régulateurs-détendeurs. Cette définition consiste à dire que
si l'excitation vérifie une certaine condition, alors les diverses inconnues du
système resteront dans un certain domaine que l'on peut spécifier à
l'avance.
Une application par simulation numérique du système non linéaire, nous a permis
de
vérifier
que
cette
notion
de
stabilité
non
linéaire
est
bien
adaptée
au
comportement des régulateurs-détendeurs.

---

ABSTRACT
The pressure reducer is a device which is installed on agas network to
lower the pressure and control it, so that it is kept close to a given value.
Under some circumstances,
pressure reducers can have unsteady behaviours.
In
order to study these unsteady phenomena, a mathematical model has been set up.
This model,
based upon
eight differential
equations
(two
of them being of
second
order) with eight
unknowns,
uses
(after the
classical
elimination
of
second order
derivatives) a 10 x 10 square matrix related to the linear
part, a single column matrix of 10 elements related to the non-linear functions
and a single column matrix related to the excitation of the system.
A first task - consisting in linearizing roughly the non-linear functions
- has made us able to set up a so called linear model using the theory of linear
stability.
Validating the linear and non-linear models was then a crucial step. For
that
purpose,
a
given
pressure
reducer
was
chosen
and
extensively
tested
experimentally.
A parsmetric identification method was
tllen
applied
to
those
data in order to assess some unknown coefficients,
so
that
the mathematical
model best matches the real behaviour of the pressure reducer.
The linear system was simplified through a phenomenological analysis. We
studied
then on one hand the
influence of various parsmeters on
the system
stability,
on the other hand the domain in parsmeters space inside which the
system is stable.
Those various analysis, backed up with numerical simulations, were found
in agreement with experimental test results and professional experience.
Applying
Liapunoff's
method
to
the
non-linear
system,
we
defined
an
original notion of stability suited to pressure reducers
:
if the excitation
matches a given condition,
the various unknowns of the system must then stay
inside a given domain that can be specified.
The
validity of this
notion of non-linear stability was
checked by a
numerical simulation of the non-linear system.

---

T A BLE
DES
MAT 1ER E S
l - INTRODUCTION
4
1.1 - POSITION DU PROBLEME
4
1.2 - DESCRIPTION DE L'APPAREIL
8
II - MODELISATION
10
II.1 - MODELE
10
II.2 - RAPPELS SUR LES ECOULEMENTS DE FLUIDE FORMULES DE DEBIT
14
II.3 - CONVENTIONS. NOTATIONS ET HYPOTHESES
17
II.4 - EQUATIONS DU SYSTEME
21
II.4.1 - EQUATION DE LA DYNAMIQUE POUR LE MOUVEMENT DE
L'EQUIPAGE MOBILE DU PILOTE
21
II.4.2 - EQUATION DE LA DYNAMIOUE POUR LE MOUVEMENT DE
L'EQUIPAGE MOBILE DU DETENDEUR PRINCIPAL
23
II.4.3 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ
DANS LA CHAMBRE SUPERIEURE DU PILOTE
23
II.4.4.- MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ
DANS LA CHAMBRE INFERIEURE DU PILOTE
26
II.4.5 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ
DANS LA CHAMBRE SUPERIEURE DU DETENDEUR
PRINCIPAL
28
II.4.6 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ
DANS LA CHAMBRE INFERIEURE DU DETENDEUR PRINCIPAL
30
II.4.7 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ
DANS LE VOLUME COMPRIS ENTRE LA VANNE
D'AMORTISSEMENT VAl ET LA VANNE DE FUITE VA]
32
II.4.8 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ
DANS LE VOLUME AVAL
34

---

II.5 - LINEARISATION DU SYSTEME
36
II.5.1 - INDETERMINATION ET METHODE DE LA SECANTE
36
II.5.2 - ETUDE DES EOUATIONS
39
II.5.2.1 - Equation linéaire de la dynamique pour le
mouvement de l'équipage mobile du pilote
39
II.5.2.2 - Equation linéaire de la dynamique pour le
mouvement de l'équipage mobile du détendeur
principal
40
II.5.2.3 - Equation linéaire traduisant la variation
de l'état du gaz dans la chambre supérieure
du pilote
41
II.5.2.4 - Equation linéaire traduisant la variation
de l'état du gaz dans la chambre inférieure
du pilote
42
II.5.2.5 - Equation linéaire traduisant la variation
de l'état du gaz dans la chambre supérieure
du détendeur principal
43
II.5.2.6 - Equation linéaire traduisant la variation
de l'état du gaz dans la chambre inférieure
du détendeur principal
44
II.5.2.7 - Equation linéaire traduisant la variation
de l'état du gaz dans le volume compris
entre la vanne d'amortissement et la vanne
de fuite.......................................
45
II.5.2.8 - Equation linéaire traduisant la variation
de l'état du gaz dans le volume aval
47
II.6 - PRESENTATION DU SYSTEME LINEAIRE
50
III - APPLICATION A UN CAS PARTICULIER DE DETENDEUR .. ,
54
III. a - INTRODUCTION
54
111.0.1 - PRESENTATION DU REGULATEUR PILOTE FRANCEL BP
54

---

III. 0.2 - ESSAIS EN STATIQUE
55
111.0.2.1 - Raideur du ressort pilote et du ressort
pr~nc~pa1
55
111.0.2.2 - Loi d'ouverture du clapet principal
56
111.0.2.3 - Mesure des pertes de charge
57
111.0.2.4 - Etude de la vanne de décharge
61
111.0.2.5 - Différentes valeurs caractéristiques
du FRANCEL BP
62
III.1 - ETUDE DU SYSTEME LINEAIRE
63
111.1.0 - RAPPEL SUR LA THEORIE DE LA STABILITE LINEAIRE
63
111.1.1 - PRESENTATION DU POLYNOME CARACTERISTIQUE ET ETUDE
DE LA STABILITE DU SYSTEME LINEAIRE
79
111.1.2 - INFLUENCE DES DIFFERENTS PARAMETRES SUR LA STABILITE
DU SYSTEME LINEAIRE
81
II1.1.2.1
Effets de frottements visqueux
81
111.1.2.2 - Raideur des ressorts pilote et détendeur
principal
84
111.1.2.3 - Section de la membrane pilote et de la
membrane du servomoteur principal
86
111.1.2.4 - Perte de charge des prises d'influence
87
111.1.2.5 - Vanne d'amortissement Va2
90
II1.1.2.6 - Vanne de fuite Va3
91
111.1. 2.7 - Débit nominal
93
111.1.2.8 - Influence de la forme du clapet
principal
93
111.1.2.9 - Influence du volume aval
96

---

III .1.3 - ESSAIS EN DYNAMIOUE
98
111.1.3.1 - Introduction
98
111.1.3.2 - Présentation du banc d'essais
98
111.1.3.3 - Analyse de quelques résultats
d'essais
100
111.1.3.4 - Influence de la position du servomoteur
104
111.1.3.5 - Influence du débit nominal
105
111.1.3.6 - Essai de mise en vibration
107
111.1.3.7 - Influence du volume aval
109
111.1.4 - IDENTIFICATION DU SYSTEME LINEAIRE
113
111.1.4.1 - But de l'identification
113
111.1.4.2 - Méthode d'identification
paramétrique
113
III.1.4.3 - Identification
119
111.1.5 - SIMULATION DU SYSTEME LINEAIRE
126
111.1.5.1 - Introduction
126
111.1.5.2 - Résultats d'un test de simulation
126
111.1.5.3 - Influence du volume aval
,
130
111.1.5.4 - Influence du débit nominal
132
111.1.5.5 - Influence de la forme du clapet
133
111.1.5.6 - Influence de vanne d'amortissement
V
135
a2
111.1.6 - REDUCTION DU SYSTEME. ETUDE DU DOMAINE DE
STABILITE
137
111.1.6.0 - Présentation du système linéaire
adimensionna1isé
137
111.1.6.1 - Justification mathématique de la
réduction
141
111.1.6.2 - Etude du système réduit
145
111.1.6.3 - Etude du domaine de l'espace des
paramètres pour lequel le modèle est
stable
155

---

111.2 - IDENTIFICATION DU SYSTEME NON LINEAIRE
159
III. 2.1 - INTRODUCTION
159
111.2.2 - METHODE D'IDENTIFICATION NON LINEAIRE
159
III. 2.3 - IDENTIFICATION
164
IV - ETUDE DE LA NON LINEARITE EN RACINE CARREE
168
IV.1 - POSITION DU PROBLEME
168
IV.2 - EOUATIONS DU SYSTEMES EN TENANT COMPTE DES FONCTIONS
NON LINEAIRES
168
IV.2.1 - ETUDE DU 'SYSTEME D'EOUATIONS
171
IV.2.2 - CAS OU LA MATRICE A A TOUTES SES VALEURS PROPRES
A PARTIE REELLE NEGATIVE
177
IV.2.3 - CAS OU LA MATRICE A N'A PAS TOUTES SES VALEURS
PROPRES A PARTIE REELLE NEGATIVE
181
IV. 3 - ETUDE DU CAS DU DETENDEUR
190
IV.3.1 - ANALYSE PHENOMENOLOGIOUE ET REDUCTION DU
SYSTEME
190
IV. 3.2 - ETUDE DE LA STABILITE
195
IV.4 - CONCLUSION RELATIVE A LA NOTION DE SABILITE GLOBALE
203
V - CONCLUSION
204

---

1
HISTORIOUE
.'
Initialement, le gaz dans les différents réseaux de distribution était
du
gaz
manufacturé.
Celui-ci
était
fabriqué
dans
les
usines,
à
basse
pression, puis stocké dans des gazomètres à une pression se situant entre la
dizaine et la trentaine de millibars. Avant d'être livré aux utilisateurs, ce
gaz subissait à l'émission des usines, une détente du niveau de pression. Ces
détentes s'effectuaient à l'aide des détendeurs à poids, c'est à dire dont la
force de tarage était dûe à une masse. Ces premiers détendeurs étaient assez
encombrants compte tenu de leur faible taux de détente.
Avec l'accroissement de la consommation en gaz,
il a fallu acheminer
le gaz sur des
distances de plus en plus longues.
D'où l'introduction de
réseaux dits de répartition,
en parallèle aux réseaux de distribution.
Ces
réseaux de répartition, transportaient du gaz sous moyenne pression, c'est à
dire se situant au voisinage de la centaine de millibars. A l'interface entre
ces réseaux de répartition (ayant une pression de l'ordre de la centaine de
millibars) et ces réseaux de distribution (ayant une pression de l'ordre de
la
dizaine
de
millibars),
il
a
fallu
introduire
des
détendeurs
plus
performants.
Les
premiers
détendeurs
furent
donc
adaptés
aux
nouvelles
nécessités et on assista à l'introduction des régulateurs à ressort.
La notion de pilotage est apparue de façon indirecte.
Compte tenu du
taux de
fui te
important de certains ré saux ,
il
s'est avéré nécessaire de
moduler
la
pression
en
fonction
des
heures
de
fortes
et
faibles
consommations.
Cette
modulation
de
pression
s'est
effectuée
grâce
à
un
système de pilotage dont la fonction n'était pas celle de régulation mais
plutôt d'automatisation de la surcharge horaire. Il a fallu dès lors, passer
d'un système à poids à un système pneumatique commandé par une horloge.
Avec la découverte du gaz naturel,
les niveaux de pression dans les
réseaux ont à nouveau augmenté,
et on assista à
l'introduction des réseaux
haute pression (de l'ordre de 60 bars).
Ceci entraina une augmentation des
niveaux de
variations
de
pression.
Il
a
fallu,
à
nouveau,
réadapter
les
détendeurs. On assista alors, à la cohabitation de deux techniques :
... / ...

---

2
-
la technique des
régulateurs à
poids" qu'il a
fallu adapter aux
nouvelles exigences.
Ainsi,
on a soit réduit les
sections
de
clapet pour
palier les problèmes d'instabilité liés à
l'augmentation de pression,
soit
adapté la pression du réseau de façon à pouvoir utiliser les appareils déjà
existants.
- la technique des régulateurs à ressort, qu'il a fallu adapter pour
des problèmes d'instabilité.
Dans
tous
les
cas,
et
surtout
du
fait
des
fortes
variations
de
pression sur ces nouveaux réseaux, l'utilisation des régulateurs à poids ou à
ressort
s'est
avérée
insatisfaisante.
Il
a
fallu
introduire
des
nouveaux
régulateurs dits de type piloté. Ceux-ci avaient la particularité de posséder
un système de relais pneumatique amplificateur permettant d'utiliser toute la
dynamique
de
l'appareil,
et
avaient
l'avantage
d'avoir
un
système
de
pilotage automatique asservi à la pression aval.
Les différentes évolutions de ces appareils se sont faites,
i l faut
bien le dire, de façon relativement empirique puisque basées essentiellement
sur une conduite à vue effectuée en fonction des nouvelles nécessités et des
performances des appareils précédents.
Dans certaines configurations, des instabilités de
fonctionnement des
régulateurs
se
manifestent parfois
sur
les
réseaux
avec
des
conséquences
néfastes. Les interventions sur le terrain en vu de remédier à ces défauts de
stabilité, se font alors de façon empiriques.
Le Gaz De France, grand utilisateur de ce type de matériels, et qui
par
l'intermédiaire
du
Service
Métrologie
et
Matériels
de
Réseaux
suit
l'évolution de ces appareils, a senti la nécessité de lancer un programme de
recherches,
en vue
de mieux comprendre
leur dynamique et d'expliquer
les
divers mécanismes d'instabilité.
. .. / ...

---

3
Ce programme de recherches, qui associe le Laboratoire de Modélisation
en Mécanique de l'Université Paris VI à la Direction des Etudes et Techniques
Nouvelles du Gaz De France, allie une motivation technologique très directe à
des études destinées à
comprendre des mécanismes fondamentaux.
Tout progrès
réel en vue de mieux maîtriser le fonctionnement de cet appareil, passe par
une analyse scientifique des mécanismes élémentaires, qui sont schématisés de
manière
simple
dans
la
construction
d'un
modèle
global
que
nous
nous
proposons de mettre en place.

---

4
l - INTRODUCTION
1.1 - POSITION DU PROBLEME
Pour des raisons économiques, le gaz est d'une façon générale, transporté
sous haute pression. Cependant, avant d'être livré à l'utilisateur,
il subit des
détentes successives à l'aide de certains appareils dont l'étude fait l'objet du
présent travail.
Ces appareils sont appelés régulateurs -détendeurs en raison de
leurs deux fonctions
principales qui sont,
d'une part d'abaisser le niveau de
pression entre deux parties du réseau de distribution, d'autre part d'assurer une
régulation du niveau de pression dans celle des deux parties du réseau,
appelée
réseau aval, où la pression est la plus faible. L'objectif ultime est de faire en
sorte que dans le réseau basse pression (qui est aussi le réseau aval dans le sens
de l'écoulement du gaz) la pression s'écarte aussi faiblement que possible d'une
pression imposée, dite pression de consigne.
Ces appareils, actuellement en place sur les réseaux de distribution du
Gaz de France, sont le résultat d'une lente évolution d'appareils au départ peu
performants,
adaptés
progressivement de
manière
à
se
rapprocher
au mieux des
nécessités
technico-économiques,
suivant
un
processus
de
mises
au
point
successives à caractère relativement empirique.
Des
instabilités
de
fonctionnement
des
régulateurs-détendeurs
se
manifestent parfois sur les réseaux de distribution.
Ces
instabilités ont des
conséquences
néfastes
pouvant
conduire
à
des
risques
importants
pour
les
installations et les usagers comme :
- La mise en pompage de l'ensemble du réseau.
- La détérioration du régulateur-détendeur.
- Une anomalie de comptage.
.../ ...

---

5
- Un écart entre la pression du résea~ aval et la pression de consigne.
Le but qui nous avait été assigné en commençant le travail, qui a mené au
mémoire présenté ici, était de construire un modèle mathématique,
en vue de le
soumettre à la simulation numérique et à une étude de stabilité. Ce modèle devait
être assez élaboré pour prendre en compte les phénomènes essentiels agissant sur
le
fonctionnement
des
régulateurs-détendeurs,
il devait néanmoins
rester assez
simple pour permettre de remédier aux défauts de stabilité de ces appareils et
plus
généralement
de
définir
des
critères
de
choix
des
caractéristiques
des
matériels et des protocoles d'installation et de réglage.
Pour cela,
la première étape de cette étude a consisté à construire un
modèle
mathématique
constitué
par
un
système
d'équations
différentielles
ordinaires décrivant les lois du mouvement des équipages mobiles et les lois de la
variation de l'état du gaz dans les diverses chambres de l'appareil. Cette étude,
qui fait
l'objet du chapitre II,
nous a conduit à
un système différentiel du
premier ordre de dix équations à dix inconnues (après élimination classique des
dérivées secondes). Soit:
(1)
Û - G(U) + E(t),
où
* E(t) représente la matrice colonne dont les composantes, fonctions
connues
du
temps,
caractérisent
l'excitation du
système,
en dehors
du régime
permanent.
* U(t) représente la matrice colonne dont les composantes sont les
fonctions inconnues qui décrivent l'état instantanné du système.
Afin de pouvoir utiliser tout l'arsenal de la théorie de la stabilité
linéaire, nous avons, au § II.5, appliqué la méthode classique de linéarisation en
considérant que les diverses quantités (débits, déplacements, efforts de pression)
subissent des petites perturbations chacune autour d'une valeur dite de régime
permanent.
.../ ...

---

6
A ce stade, on s'est rendu compte que,
de par la nature du régu1ateur-
détendeur,
tous les débits correspondant à certains organes sont nuls en régime
permanent. En raison de la nature de ces lois de débit cette observation a pour
conséquence, comme on l'a vu, que ces lois ne sont pas linéarisables par quelque
artifice que ce soit. Tant et si bien, qu'en première approximation,
le système
(1) peut se mettre sous la forme :
(2)
âU - AâU + F(âU) + E(t),
où
* A est la matrice dont les composantes caractérisent le fonctionnement
des organes à caractéristiques linéaires.
* F(âU) est la matrice colonne dont les composantes sont des fonctions non
linéarisables caractérisant les débits correspondant à certains organes.
Cependant,
afin d'avoir un système entièrement linéarisé et de pouvoir
utiliser toute
la théorie de
la stabilité linéaire,
nous
avons,
au § 11.5.1,
procédé à une linéarisation ad'hoc, en remplaçant F(âUO) par B.âUO où âUO désigne
une valeur moyenne· estimée pour âU,
dans. la plage de
fonctionnement et B une
matrice carrée dépendant du choix de âUO'
Après avoir construit par voie déductive, les deux modèles respectivement
non linéaire et linéaire représentant le fonctionnement dynamique de l'appareil,
une
étape
décisive
dans
notre
recherche
a
été
la validation des
modèles.
La
réalisation effective de celle-ci ne pouvait se faire que sur un appareil bien
déterminé. Ainsi, après avoir retenu un appareil, une série d'essais en statique
(au § 111.0.2) nous a permis d'affecter des valeurs aux paramètres du système.
Il est à
signaler que
certains
de ces
paramètres
étaient connus avec
beaucoup d'incertitude.
Toujours est il qu'avec les différentes valeurs des paramètres, nous avons
au § 111.1.1 et 111.1.2 effectué une étude de la stabilité linéaire. Cette étude a
mis
en
évidence,
l'existence
de
deux
couples
de
valeurs
propres
complexes
conjuguées deux à
deux susceptibles
de déstabiliser
le
système.
Une,
dont la
fréquence est de l'ordre du hertz rend compte de ce que les professionnels du gaz
appellent "pompage",
tandis que l'autre dont la fréquence est de l'ordre de la
dizaine de hertz est appelée "vibration".
. .. / ...

---

7
La
validation
proprement
dite
du
modèle,
s'est
effectuée
après
l'identification.
Celle-ci a consisté,
après une série d'essais en dynamique (§
111.1.3), à déterminer les valeurs des paramètres mal connus, afin de réaliser aux
mieux
l'adéquation entre
le
comportement réel
du
système,
observé
lors
de
la
campagne d'essais, et le comportement du système différentiel décrivant le modèle
mathématique. Les paragraphes II1.1.4 et III. 2,
décrivent la mise en oeuvre des
méthodes d'identification linéaire et non linéaire. Après analyse phénoménologique
et réduction du système au § 111.1. 6,
une étude de l'influence des paramètres
significatifs sur la stabilité nous a permis de définir le domaine de l'espace des
paramètres pour lequel le modèle est stable.
Le chapitre IV a consisté à étudier la stabilité du système non linéaire
(2).
En' appliquant
la méthode
de
Liapunoff,
nous
avons
défini
une
notion de
stabilité, adaptée au cas des régulateurs-détendeurs, à savoir que si l'excitation
vérifie une certaine condition alors la réponse vérifie
sup
U~t).K. U(t) } ~ C,
tEiR
où C est une constante positive que l'on peut donner arbitrairement et K une
matrice symétrique définie positive dont le choix qui comporte un assez large
degré d'arbitraire dépend du poids que l'on veut donner aux composantes de U(t).
Cela signifie en clair, que si l'excitation vérifie une certaine condition, alors
les diverses inconnues du système resteront dans un domaine que l'on peut enfermer
dans un domaine que l'on peut spécifier à l'avance.
.../ ...

---

8
1.2 - DESCRIPTION DE L'APPAREIL
Il existe deux types de régulateurs
- Les
régulateurs à
action directe dont le fonctionnement est le plus
simple.
La pression aval agit sous
la membrane du servomoteur et équilibre la
force du ressort de tarage. Si le débit augmente (resp. diminue), la pression aval
tend à baisser (resp. augmenter). Le ressort fait alors ouvrir (resp. fermer) le
clapet par l'intermédiaire d'une tige de levier.
-
Les
régulateurs pilotés
(voir figure
1. 2 .1)
qui
font
l' obj et de ce
mémoire. Ce sont des appareils de conception beaucoup plus complexe qui utilisent
à la place du ressort de tarage le gaz lui-même comme fluide moteur. Celui-ci est
prélevé sur la capacité amont (1) et est stabilisé en pression intermédiaire par
un prédétendeur (2)
(qui est un régulateur à action directe).
La modulation de
pression du fluide moteur vers le servomoteur
(3)
est réalisée par le jeu du
clapet pilote
(4)
dont
l'ouverture
est directement commandée
par
la membrane
d'impulsion
(5)
~t
un
orifice
de
rejet
(6).
Le
clapet
principal
(7)
est
directement commandé par la pression de
gaz
moteur agissant
sous
la membrane
principale du servomoteur (8). Ainsi, à tout mouvement du clapet pilote consécutif
à
une variation de
la pression aval
(9)
et entralnant une modification de la
pression motrice,
correspond une correction de la position du clapet principal
donc de la pression aval.
.../ ...

---

9
t t
"
"
CD
®
O"ss:;:>':> > >.\\
,
>
,
"
/~
"
Bgure 1.2.1
5 c héma d'un régulateur pi loté

---

10
II - HQDELISATION
II . 1 - MODELE
D'une façon générale,
on retrouve quels que soient les appareils,
trois
modules principaux sur les régulateurs - détendeurs de
type
piloté.
Ces modules
sont :
- le prédétendeur,
- le pilote,
- le détendeur principal.
Ces trois éléments sont représentés sur la figure II.1.1.
1 - --P-ilol,-l
P H PRE DETENDEUR ~I----::;":_-_-_-_-...lr-::. ~1"~~
:;""..
.....aIJ"I~.A~I-_
..... f-""
'1
Y ' f
1
Vo3
1
1
1
1
Pd
l'
Ph
1--;..1- - - -
1
=E Pb ~ 1
L
...J
H~V02
I------~
l
1
::P Ph- I--i_--"",
1
1-
1
"--I...,j
PM
l
1
1
1
1
Po
..1
1
~~
1
"---------P-'-----..;!-,--.l,.t"-V
V'I
1
Vot
L.Qel'~'~ ...lr~t.!!o.!..J
Figure II.'' 1. SCHEMA
O'UN REGULATEUR
PILOTE

---

I l
La
figure
2.a
b
c
représente
chacun
des
éléments
de
manière
schématique.
Une
représentation détaillée
d'un appareil réel
est donnée
en
annexe 1.
Le modèle prend en compte
chacun de ces
trois modules
et en outre un
volume aval représenté par un morceau de canalisation obturée, partiellement, par
une vanne dite de laminage, qui permet tant dans le modèle que dans les essais, de
contrôler le débit appelé.
La figure
3 représente un schéma du modèle.
Dans la
réalité, un régulateur-détendeur est souvent raccordé à une canalisation servant
d'alimentation à tout un réseau de distribution. Une modélisation complète devrait
prendre en compte
l'effet des divers
appels de
débit enregistrés
sur tout ce
réseau aval.
Un tel raffinement est impossible et n'est même pas souhaitable à
notre niveau. Le modèle en prend compte en considérant que, par le jeu de la vanne
de
laminage,
on peut régler le débit sortant du volume aval,
de manière à
le
prescrire selon une loi horaire.
Dans
un
souci
analogue
de
simplification
nous
avons
supposé,
dans
l'établissement du présent modèle, que la pression délivrée par le prédétendeur,
qui est un régulateur à action directe, est indépendante du temps. Mais ceci n'est
pas une restriction contraignante dans la mesure où l'on pourra considérer comme
fonction de
perturbation,
la pression délivrée
par
le prédétendeur au cas
où
celle-ci serait dépendante du temps.
En déf~nitive, les fonctions de perturbation du présent modèle sont
- la variation de la pression d'entrée,
- la variation de l'ouverture de la vanne de laminage en sortie de ce que
nous appelons volume aval.
.../ ...

---

12
PEi
)
FIGURE 2-A
1 SCHEMA DE PRINCIPE DU PREDETENDEUR[
Pd
Pa
1 SCHEMA
DE PRINCIPE DU PILOTEI
FIGURE 2-B
PM
Pa
;)
SCHEMA DE PRINCIPE DU DETENDEUR PRINCIPAL
FIGURE 2-C

---

13
REGULATEUR
FRANCEL
BP_ON 50
eu
Volume aval
lieu
"'C
o
e
CI
e
.eu
~
Col
V')
eu
c..
::::J
Cl"
'~I
ELECTROVANNE
BP

---

14
II.2 - RAPPELS SUR LES ECOULEMENTS DE FLUIDE
FORMULE DE DEBIT
Nous
nous
proposons
dans
ce
présent
paragraphe,
de
rappeler
quelques
formules
que
nous
aurons
à
utiliser
dans
la
modélisation.
Nous
nous
sommes
restreints au cas d'un orifice.
Mais l'on retrouve des
formules
analogues tant
pour une tuyère convergente que pour une tuyère convergente-divergente.
Pour de
plus amples informations, l'on pourra se reporter à [14].
Nous supposons que le gaz est un fluide parfait, plus exactement un gaz
parfait à chaleurs spécifiques constantes, que le régime permanent est établi et
que
dans
toute
section courante
S les variables
de
l'écoulement
à
savoir
la
vitesse
V,
la
pression
P,
la
masse
volumique
p
et
la
température
T
sont
constantes.
On
supposera
~galement
négligeables,
les
forces
volumiques
extérieures.
On a d'après le théorème de Bernouilli
V 2
V 2
2
1
(1)
- - -
] .
2
2
-y. - 1
Si l'indice 1 définit l'indice de l'état générateur,
c'est-A-dire l'état
correspondant aux variables thermodynamiques qui sont telles que le fluide est au
repos (Vl - 0), en tenant compte du fait que la détente est adiabatique c'est-à-
dire que :
(2)
a2 x
p~ (al et a2 sont des constantes),
on a
(3)
[ 1 - (
Le débit massique de la canalisation dans une section courante S sera
2:.l
q - pVS
1-
-y
]
•
... / ...

---

15
P
.,
P
Comme
( - )
[A cause de (2)]
Pl
on a l'expression suivante du débit
l
:r.:.l
P
.,
P
.,
(4)
q -
( - )
[ 1- ( - )
] .
Pl
Pl
P
Considérons la fonction y - f (---)
définie comme suit
Pl
l
.,
P
:r.:.l
.,
y-
1- ( - )
Pl
Tenant
compte
de
l'équation
de
continuité,
si
on
maintient
constantes
les
grandeurs génératrices, on constate que la fonction y passe par un maximum pour
une valeur critique Pc de la pression telle que :
2
J .
(5)
.,-1
-,+1
Pour une telle pression,
la vitesse du fluide dans
la section la plus
étroite
c'est-A-dire
au col
(correspondant au maximum
de
y),
est égale
A la
vitesse du son.
(6)
.../ ...

---

16
Nous
allons
établir
A
partir
des
formules
ci-dessus,
les
formules
pratiques de débit tant en régime subsonique qu'en régime sonique pour un orifice
calibré de section S.
Soient Pl la pression A l'amont et P2 la pression A l'aval, c'est-A-dire
la pression dans l'enceinte où débouche la section S.
Si A Pl constant, on fait varier P2 , on constate que
* Tant que P2 < Pc' d'après (4) q croit, lorsque P croit. On est en régime
subsonique.
Partant de (4), exprimant Pl en fonction de Pl et Tl et comme P2 est très
voisin de Pl (P
2
2 -
Pl + E Pl + 0 (E ) où E «
1) l'expression du débit peut
s'écrire:
(7)
q
- KS ./Pi.
où K dépend de la nature du gaz et S dépend de la géométrie de l'orifice.
* Pour P2 - Pc' on est en régime sonique Al' orifice. Si on continue A
faire décroitre la pression dans l'enceinte où débouche l'orifice en dessous de la
pression critique, la pression A l'orifice reste égale A Pc.
Partant de (4) et tenant compte de (5) et (6) on a
K'
(8)
q -
S
2
où K' dépend de la nature du gaz et S dépend de la géométrie de l'orifice.
Notons
qu'on
peut
établir
des
formules
analogues,
pour
une
tuyère
convergente, pour une tuyère convergente-divergente.

---

17
II.3 - CONVENTIONS - NOTATIONS ET HYPOTHESES
L'on pourra se reporter à
la figure II. 3 .1,
pour pouvoir réperer toutes
les
notations
utilisées.
Sur
la
figure,
les
flèches
indiqueront
les
sens
des
grandeurs correspondantes.
Dans
tout
ce
qui
suit,
nous
adopterons
les
conventions,
notations
et
hypothèses suivantes
*
q
(resp.
q*)
désignera le débit dans
la prise d'influence du pilote
(resp.
du servomoteur principal)
et on conviendra que q
(resp.
q*)
est positif
quand
le
fluide
pénètre
dans
la
chambre
supérieure
du
pilote
(resp.
dans
la
chambre supérieure du servomoteur principal)
par la prise d'influence du pilote
(resp. du servomoteur principal).
* q2 désignera le débit à travers la vanne de temporisation qu'on appelle
aussi vanne
d'amortissement et que nous
noterons vanne
V
.
Le
débit
q2
peut
a2
changer de signe au cours du fonctionnement de l'appareil. Signalons que la vanne
Va2 est réglable.
* q3 désignera le débit à
travers la vanne de fuite qu'on appelle aussi
vanne de décharge ou de rejet et que nous noterons vanne Va3 . Le débit q3 n'a
qu'un seul sens, dans la mesure où il contribue à
remplir le volume aval et ce,
dans toutes les conditions d'utilisation. La vanne Va3 est une vanne réglable.
*
q4
désignera
le
débit de
fuite
à
l'atmosphère
au niveau de
l'évent
pilote. Il sera compté positivement quand l'air pénètre dans la chambre inférieure
du pilote.
* Qp désignera le débit au niveau du clapet pilote.
Signalons que dans
toutes
les
conditions
d'utilisation,
le débit Qp n'a
qu'un
seul
sens
dans
la
mesure où la pression de prédétente est toujours supérieure à la pression délivrée
par le pilote.
.../ ...

---

18
* QI désignera le débit au niveau du clapet principal.
* Qc désignera le débit à travers la vanne de laminage appelée encore
vanne
de
décharge
et
notée
Vac ' Nous supposerons que cette vanne débite à
l'atmosphère. Le débit Qc n'a qu'un seul sens, dans la mesure où il contribue à
vider le volume aval.
* E (resp. q ) désignera la section de la membrane du servomoteur
principal (resp. du pilote).
* Eo désignera la section de la tige du clapet pilote.
* Les tiges du clapet du détendeur principal et du pilote sont en contact
avec
le
fluide.
Nous
désignerons
alors
par
f
(resp.
F)
le
coefficient
de
frottement
visqueux
de
la
tige
du
clapet
pilote
(resp.
clapet
du
détendeur
principal) .
* K (resp. k) designera la constante de raideur du ressort du détendeur
principal (resp. du pilote).
* On appelle équipage mobile du pilote, la partie dudit module, pouvant se
déplacer en mouvement de translation rectiligne et uniforme caractérisée par une
loi horaire x(t),
et qui permet la modulation de la pression délivrée par le
prédétendeur. Cet équipage comprend le ressort pilote,
la membrane pilote et le
clapet pilote. On. désignera par m la masse équivalente de cet équipage.
* On appelle équipage mobile du détendeur principal,
la partie dudit
module pouvant se déplacer en mouvement de
translation rectiligne et uniforme
suivant une loi horaire X(t), et qui permet la correction de la pression aval. Cet
équipage comprend le ressort principal, la membrane du servomoteur principal et le
clapet du détendeur principal.
On désignera par K,
la masse équivalente de cet
équipage.
*
* Ph (resp. Ph ) désignera la pression régnant dans la chambre supérieure
du pilote V
*
h (resp. du servomoteur principal Vh ).
.../ ...

---

19
* Pb (resp. Pm) désignera la pression régnant dans la chambre inférieure
du pilote Vb (resp. du servomoteur principal Vm).
* Pd désignera la pression délivrée par le pilote, c'est-à-dire la
pression régnant dans le volume Vd compris entre la vanne d'amortissement V
et
82
la vanne de fuite V. •
3
* n désignera la pression délivrée par le prédétendeur. C'est la pression
de prédétente. Nous supposerons dans le présent modèle que n est indépendante du
temps.
* Pe (resp. Pa) désignera la pression amont (resp. aval) du régulateur.
* Pat désignera la pression atmosphérique que nous supposerons constante.
* Nous
supposerons
que
les
différentes
pressions
s'établissent
instantannément dans les chambres.
* Nous ~upposerons négligeable~ les frottements secs.
* Nous supposerons le gaz parfait en évolution adiabatique.
* Compte tenu du fait que le clapet du détendeur principal est un clapet
équilibré,
nous
pouvons
en
première
approximation
estimer
que
les
efforts
aérodynamiques qui s'exercent sur lui s'équilibrent mutuellement.
* Nous noterons . la dérivée temporelle ~
dt
* On appelle prise d'influence pilote (resp. servomoteur principal), un
élément de tuyauterie de très faible volume, reliant le volume aval à la chambre
supérieure du pilote (resp. du servomoteur principal). Compte tenu de leur faible
dimension, on admettra qu'ils n'introduisent que des pertes de charge.
* x (resp. X) désignera le déplacement de l'équipage mobile du pilote
(resp. du détendeur principal).
.../ ...

---

20
TI
.....
t q3
t
q2
V..,I
fq ~ p.
t t
t
Vac
"SSS\\\\~[1
Pt
t
Figure JI.3.1
Schéma du régulateur piloté
avec les notations utilisées

---

21
II.4 - EQUATIQNS DU SYSTEME
Conformément à la division modulaire faite en II.1, nous allons décrire
les différentes équations du système.
II.4.1 - EQUATION DE LA DYNAMIQUE POUR LE MOUVEMENT DE L'EQUIPAGE
MOBILE DU PILOTE
Rappelons que l'on appelle équipage mobile du pilote, la partie du module
appelé pilote
qui
peut se
déplacer en mouvement
de
translation rectiligne
et
uniforme caractérisé par une loi horaire x(t) et qui permet la modulation de la
pression de prédétente vers le volume compris entre la vanne d'amortissement 'Va2
et la vanne de fuite V
•
a3
L'équation fondamentale de la dynamique est appliquée à l'ensemble de cet
équipage mobile sous la forme.
mi - ~ forces
appliquées aux éléments
constituant l'équipage mobile
du
pilote.
On
pourra se reporter au §
II.3 pour se remémorer les notations.
Les
forces extérieures sont de diverses sortes, plus ou moins faciles à évaluer.
- La pesanteur mg est sans ambiguité.
Les forces résultant de l'action du gaz sont déjà moins évidentes. Elles
dépendent de l'état de mouvement du gaz.
L'équipage mobile comprend une membrane d'aire a séparant les deux chambres
(supérieure et inférieure) du pilote.
Dans la chambre supérieure évolue le gaz
naturel (gaz de distribution) et dans la chambre inférieure évolue de l'air.
Il
est légitime de considérer que les deux types de fluide sont non visqueux et que
les actions de chaque type de fluide sur les parois en mouvement ou non,
et en
particulier sur les deux faces
de la membrane,
se réduisent à
des
actions de
pression.
. .. / ...

---

22
Le modèle considère que la pression dans chacune des chambres est homogénéisée et
représentable par une pression unique, Ph pour la chambre supérieure du pilote (en
communication avec
le volume
aval par l'intermédiaire
de
la prise
d'influence
pilote),
Pb
pour
la
chambre
inférieure
du
pilote
(en' communication
avec
l'atmosphère). Dans ces conditions, les actions des deux types de fluide sur les
deux faces
de
la membrane,
se réduisent à
une force
du type
(Ph -Pb)o comptée
positivement quand elle a tendance à déplacer la membrane vers le bas. L'hypothèse
sous - j acente à
cette modélis.ation des
actions
du fluide
est que,
au cours du
mouvement, le gaz dans chacune des chambres se met instantanément en équilibre de
pression ; elle suppose aussi que l'énergie cinétique volumique de la turbulence
qui règne dans les deux chambres est négligeable en comparaison de la pression.
Nous n'avons aucune idée du niveau de turbulence qui règne dans les deux chambres,
mais
l'expérience
cumulée
nous
incite
à
considérer
que
ce
niveau
est
faible
(probablement quelques %). En ce qui concerne l'hypothèse d'équilibre, on peut en
avoir une
idée
avec
le
modèle
considéré dans
l'annexe
2 et
nous
pouvons
en
conclure que l'hypothèse est acceptable.
L'équipage mobile
a
pour
fonction essentielle
d'animer
le mouvement du
clapet dont la partie supérieure subit une force de pression due à la pression de
prédétente n.
Cette force de pression se décompose en deux forces antagonistes
s'exerçant
d'une
part
sur
la
face
supérieure
et
d'autre
part
sur
la
face
inférieure. Eo la section de la tige est la différence de section entre la face
supérieure et la face inférieure de la partie du clapet subissant cette force de
pression. Par conséquent, la force de pression due à la prédétente n peut s'écrire
sous la forme Eon.
La tige .du clapet pilote,
se trouve en contact permanent avec le fluide.
Ainsi dans son mouvement, le clapet subit un effet de résistance dû aux effets de
frottements visqueux.
On
peut modéliser par
(-fx) ,
la force
caractérisant cet
effet de frottement visqueux.
Le ressort pilote,
élément de l'équipage mobile pilote, est soumis à une
force de rappel que l'on peut représenter sous la forme (-kx). Soit f o la tension
du ressort lorsque le clapet est entièrement ouvert.
Tenant compte de toutes ces considérations, l'équation de la dynamique pour
le mouvement de l'équipage mobile du pilote s'écrit:
1 II.4.1. - (1)

---

23
II .4. 2 - EQUATION DE LA DYNAMIQUE POUR LE MOUVEMENT DE L' EOUIPAGE MOBILE DU
DETENDEUR PRINCIPAL
En ce qui concerne l'équipage mobile du détendeur principal. l'analyse est
analogue à
celle du § II. 4.1.
sauf que.
comme convenu au § II. 3.
le clapet du
détendeur principal étant équilibré. nous estimons en première approximation que
les efforts aérodynamiques qui s'exercent sur lui s'équilibrent mutuellement.
Toutes
ces
considérations
conduisent
avec
les
notations
de
II.3
à
l'égalité suivante:
II.4.2 -
(1)
KX-
II.4.3 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ DANS LA CHAMBRE
SupERIEURE DU PIWTE.
Nous avons indiqué en annexe 2 que le mouvement du fluide dans chacune des
chambres pouvait être considéré comme ayant une
influence négligeable sur les
actions exercées par le fluide sur la membrane. Ici. nous devons relier l'état du
gaz dans chacune des chambres (en l'occurence ici la chambre supérieure du pilote)
à l'état géométrique de la chambre et aux débits qui y entrent et (ou) en sortent.
On se reportera à l'annexe 2 pour une justification du modèle qui consiste à ne
retenir que l'équation de la conservation de la masse pour le fluide qui se trouve
à un instant courant· dans la chambre. Cette dernière se réduit à l'équation. avec
les notations du § II.3 :
d
II.4.3 -
(1)
dt
où
* Ph désigne la masse volumique du fluide qui y règne.
* q désigne le débit passant du volume aval à la chambre supérieure du
pilote par la prise d'influence pilote. compté positivement quand la masse de la
chambre augmente.
* Vh désigne le volume de la chambre supérieure du pilote.
.../ ...

---

24
Si on tient compte du fait que la variation du volume de la chambre est due
exclusivement au déplacement de la membrane on arrive à :
d
II.4.3 - (2)
Pour établir la formule II.4.3 - (2), remarquons que l'on a
d
(
lI(p) dS
•
p
dt
J[O]
où [0]
désigne le domaine surfacique occupé par la membrane et W la composante
normale de la vitesse de déplacement de la membrane (évalué localement ce qui veut
dire que W(p) dépend du point p sur la membrane). Du fait que tous les points de
la membrane ont la même vitesse'normale, on a :
.
W(p) - x
JI- Pf:O ,
d
d'où II.4.3 - (3)
Vh - x
L] dSp ox
dt
Dans ces conditions, l'équation II.4.3 - (1) devient
+
c'est-à-dire :
II.4.3 - (4)
Nous
avons
discuté
en annexe
2 de
l'état du mouvement
dans
l'une
des
chambres et nous avons vu que le fluide pouvait y être considéré comme étant en
quasi équilibre et en évolution réversible c'est à dire adiabatique, nous avons
donc :
où 7 désigne le rapport des chaleurs spécifiques, supposées constantes, du gaz .
. . ./ ...

---

25
Par dérivation, nous obtenons
- .,
dt
dt
soit en utilisant II.4.3 - (4)
dPh
1
II.4.3 - (5)
(q-PhuX ) ,
dt
<1t
avec
<1t-
L'équation aux dimensions du coefficient <1t est
D'après l'analyse du § II.2, on peut écrire que
Avec la valeur de k l qui dépend de la nature du gaz, du diamètre et de la
longueur de la prise d'influence pilote.
L'expression de q est en accord avec le sens commun qui suggère que q est
positif quand le gaz pénètre dans la chambre, ce qui a lieu lorsque Pa > Ph'
Par la suite, nous utiliserons la notation:
Cela nous permet d'écrire
1
(Pa-Ph)
II.4.3 - (6)
Iql - PhuX ) .
IPa-Phl

---

26
II.4.4 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ DANS LA CHAMBRE
INFERIEURE DU PILOTE
S'agissant de la chambre inférieure du pilote, le raisonnement qui conduit
à la formule II.4.3 - (1) donne dans ce cas
d
II.4.4 - (1)
avec
la
convention
que
q4
est
compté
positivement
quand ·l'air
venant
de
l'atmosphère pénètre par l'évent, dans la chambre inférieure du pilote. Pb désigne
la masse volumique de l'air se trouvant dans la chambre dont le volume est Vb ·
Compte tenu de la convention sur q4' on a
Pb-Pat
11.4.4 - (2)
q4 - k 4
j Pat IPb-Patl ,
IPb-Patl
où k4 dépend du diamètre de l'évent pilote et de la nature du fluide.
La différence avec le paragraphe précédent est qu'ici on doit écrire
d
II.4.4 - (3)
(Vb ) - -ox
dt
nous aurons II.4.4 - (1) qui s'écrira
dPb
-Pbox + Vb
- -q4 .
dt
Comme
dPb
Pb
dPb
-..,
dt
Pl)
dt
.../ ...

---

27
On a, avec
la relation finale suivante
dPb
1
II.4.4 - (4)
dt

---

28
II.4.5 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT pU GAZ DANS LA CHAMBRE
SUPERIEURE DU SERVOMOTEUR PRINCIPAL
La chambre supérieure du servomoteur principal est reliée au volume aval
par l'intermédiaire de la prise d'influence principale.
Le
raisonnement ici
est analogue à celui
qui a
conduit à la formule
II.4.3 - (1). Avec les notations du§ II.3, on a l'équation.
II.4.5 - (1)
*
*
*
~ (Ph Vh ) - q ,
dt
où
*
*
Ph
désigne la masse volumique du fluide qui règne dans la chambre
supérieure du servomoteur principal.
* q* désigne le débit passant du volume aval à la chambre supérieure du
servomoteur principal par la prise d'influence principale,
compté positivement
quand la masse de la chambre augmente.
* Vh* désigne le volume de la chambre supérieure du servomoteur principal.
Compte tenu de la convention sur
*
q , on a, d'après l'analyse de II.2.
II.4.5 - (2)
avec la valeur de k *
l
qui dépend de la nature du gaz,
du diamètre et de la
longueur de la prise ·d'influence principale. Nous utiliserons la notation:
Iq*'
k * 1 p * IP
P *1
-
1
h
a- h
Si
on
tient
compte
du
fait
que
la
variation
du
volume
V *
h
est
due
exclusivement au déplacement de la
membrane du servomoteur
principal,
on arrive
à
:
II.4.5 - (3)
dt
.../ ...

---

29
Le raisonnement
qui conduit
à
l'établissement de la formule II.4.5 - (3)
est analogue à celui de II.4.3 - (2).
Comme
dp *
p *
d
*
h
h
Ph
-
l
dt
on a l'équation II.4.5 - (1) qui s'écrit
11.4.5 - (4)
dt
~*

---

30
II.4.6 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ DANS LA CHAMBRE
INFERIEURE DU SERVOMOTEUR PRINCIPAL
La
chambre
inférieure
du
servomoteur
principal
est
reliée
à
la vanne
d'amortissement
(donc
au volume
Vd qui est le volume compris entre la vanne
d'amortissement V
et la vanne de fuite V ) par un élément de tuyàuterie de très
a2
a3
faible dimension. De sorte que la perte de charge de l'élément de tuyauterie est
négligeable devant celle induite par la vanne d'amortissement.
Par conséquent, la pression motrice, c'est-à-dire la pression régnant dans
la
chambre
inférieure
du
détendeur
principal,
est
la
pression
délivrée
(éventuellement reçue) par le volume compris entre la vanne de fuite et la vanne
d'amortissement après passage à travers celle-ci.
En suivant un raisonnement analogue à
celui qui a
conduit à
la formule
II.4.3
-
(1),
et
en tenant
compte des
notations
du
§
II. 3,
on a l ' équation
suivante ":
II.4.6 -
(1)
où
* Pm désigne la masse volumique du fluide qui règne dans la chambre
inférieure du servomoteur principal.
* q2 désigne le débit à travers la vanne d'amortissement compté
positivement quand la masse
de
la chambre
inférieure du servomoteur principal
augmente.
* Vm désigne le volume de la chambre inférieure du servomoteur principal.
Compte
tenu de
la
convention
sur
q2'
on a
d'après
l'analyse
du
paragraphe II.2.
11.4.6 -
(2)
avec la valeur de k
qui dépend de la nature du gaz et de l'ouverture de la vanne
2
d'amortissement (qui est une vanne réglable).
. .. / ...

---

31
En tenant un raisonnement analogue à celui qui a conduit à l'établissement
de la formule II.4.3 -
(2),
on arrive,
dans le cas de la chambre inférieure du
servomoteur principal à
II.4.6 - (3)
dt
L'équation de la variation de l'état du gaz dans la chambre inférieure du
servomoteur principal s'écrira:
II.4.6 - (4)
-
-
[-

---

32
11.4.7 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ DANS LE VOLUME VD COMPRIS
ENTRE LA VANNE D'AMORTISSEMENT Va2 ET LA VANNE DE FUITE Va3
En observant le schéma de la figure II.3.1 on voit qu'entre les deux vannes
appelées l'une vanne d'amortissement et notée V~ l'autre vanne de fuite et notée
V. ,
il Y a une tuyauterie sur laquelle vient se brancher la sortie du clapet
3
pilote.
Soit Vd le volume constant de cette tuyauterie, Pd et Pd la masse volumique
et la pression du gaz qu'elle contient. Notons Qp le débit A travers le clapet
pilote compté positivement quand il alimente la tuyauterie, notons également q2 le
débit A travers la vanne V~ compté positivement quand il alimente la tuyauterie et
enfin q3
le débit A travers
la vanne V. •
Comme V
3
d est constant,
la formule
exprimant la conservation de la masse s'écrit
II.4.7 - (1)
Soit, en introduisant le coefficient Cd avec
analogue A ceux déjà introduits, on a
1
II.4.7 - (2)
dt
Le débit Qp dépend des pressions
Pd (régnant dans le volume Vd compris
entre V~ et V. ) , n A la sortie du prédétendeur et également de l'ouverture du
3
clapet c'est-A-dire de la section de passage du gaz au col. L'écoulement au niveau
de cette section étant subsonique, l'expression de Qp sera analogue A celle donnée
par la formule II.2 - (7).
.../ ...

---

33
L'épaisseur de la fente laissée ouverte par le clapet (voir le schéma de la
figure 2.b) dépend évidemment de la position de la tige du clapet pilote et peut
être égale à
x si on convient de placer l'origine de
l'abscisse x
lorsque le
clapet est fermé. On a donc :
II.4.7 - (4)
où
~ est un coefficient qui dépend de la nature du gaz.
Dans
toutes
les
conditions
d'utilisation on a fi > Pd ce qui signifie qu'avec notre convention de
signe Qp est positif (le fluide s'écoule toujours du prédétendeur vers le volume
Vd à travers le clapet pilote ).
Le débit q3 passant à travers la vanne de fuite V.
est toujours positif.
3
Cela résulte du fait que dans toutes les conditions d'utilisation, la pression, Pd
dans
le volume Vd est supérieure à
la pression Pa dans
le
réseau aval.
Nous
écrirons que :
II.4.7 - (5)
en notant
que
K3 est un coefficient qui dépend de la nature du gaz et de
l'ouverture de la vanne V.
et sur la valeur duquel l'on peut jouer pour modifier
3
les conditions de fonctionnement de l'appareil.
Le débit q2 à travers la vanne d'amortissement V
(joignant le volume V
d
d
à
la chambre inférieure du servomoteur principal) peut changer de signe au cours
du fonctionnement de l'appareil, son expression est donnée par:
II.4.7 - (6)
q2 - k2
de sorte que la relation II.4.7 - (2) devient
II.4.7.- (3)
dPd
dt
et on rappelle que, dans toutes les conditions d'utilisation fi > Pd' Pd > Pa.

---

34
II.4.8 - MODELISATION DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ DANS LE VOLUME AVAL
Le volume
aval est relié A divers organes.
Par le clapet du détendeur
principal il est en relation avec la canalisation amont. On note Q1 le débit A
travers
le
clapet principal,
compté positivement
lorsqu'il
alimente
le volume
aval. Par la vanne de laminage Vac se trouvant en bout de volume aval, l'on simule
les appels en débit (c'est-A-dire les variations dans la demande).
Nous notons Qc le débit A travers Vac ' compté positivement lorsqu'il s'agit
d'une fuite pour le volume aval.
Le volume aval est également relié A la chambre supérieure du pilote et A
la chambre supérieure du servomoteur principal par l'intermédiaire de deux prises
d'influence: q et q* représentent les débits correspondants.
En posant :
ca -
où Va désigne le volume (constant) de la capacité aval,
tandis que Pa et Pa sont
les pressions et masse volumique qui y règnent. On a :
11.4.8 - (1,)
{ Q1 - Qc + q3 - q - q* } .
Le débit Q1' qui
est toujours positif, est réglé par un col sonique parce
que dans toutes les configurations le rapport de la pression dans la canalisation
amont est toujours plus de deux fois supérieure A celle dans le volume aval (il
s'agit des niveaux absolus de pression). Dans ces conditions on peut écrire:
II.4.8 - (2)
Q1 - Lt X Pe/2 ,
.../ ...

---

35
où LI est un coefficient de la dimension d'une longueur qui dépend du périmètre de
la section de fluide du clapet principal, tandis que X désigne le déplacement de
l'équipage
mobile
du
détendeur
principal
avec
la
conv~ntion
que
X -
0
correspond à la fermeture du clapet du détendeur principal. La vanne de décharge
Vac a pour débit:
II.4.8 - (3)
Qc - Sc J Pat (Pa - Pat)
Nous
avons
bien
sûr
supposé
que
la
vanne
de
décharge
Vac débite à
l'atmosphère. Signalons que Pat désigne la pression atmosphérique. Dans toutes les
conditions de fonctionnement on a toujours Pa > Pat.

---

36
II.5 - L1NEAR1SAT10N DU SYSTEME
II.5.1 - INDETERMINATION ET METHODE DE LA SECANTE
Afin de pouvoir appliquer les critères classiques de stabilité linéaire à
notre système, nous nous proposons d'étudier l'effet des petites perturbations au
voisinage d'un point d'équilibre (dans notre cas le point d'équilibre choisi est
le point correspondant au régim~ permanent). Pour cela, nous allons appliquer la
méthode
classique
de
linéarisation
en considérant
que
les
diverses
quantités
intervenant dans le modèle (débits, déplacements, efforts de pression) subissent
des petites perturbations chacune autour d'une valeur dite de régime permanent.
Si f
est une quelconque des grandeurs intervenant dans
le modèle,
nous
noterons :
en désignant par fO la valeur prise en régime permanent et par âf la perturbation.
Nous verrons au paragraphe II.5.2 comment effectuer la linéarisation équation par
équation, mais auparavant il nous faut examiner les lois de débit que nous avons
introduites à plusieurs reprises.
Soit
Q -
c
une de ces lois de débit.
De par la nature du régulateur-détendeur,
en régime
permanent,
tous
les
débits
correspondant
à
certains
organes
(tels
la
vanne
d'amortissement V
,
les
deux prises d'influence pilote et principale,
l'évent
a2
pilote) sont nuls.
Pour un débit qui n'est pas nul en régime permanent on a
II.S.1 - (1)
.../ ...

---

37
tandis qu'au voisinage du régime permanent on a
ce qui donne
soit
c
II.S.l - (2)
âQ -
2
On remarquera que la relation donnée en II.5.1 - (2) n'a de sens que parce
que nous supposons que p20 est différent de PlO
En revanche, si le débit est nul en régime permanent, c'est à dire qu'on a
PlO - p20, l'expression du débit en régime perturbé sera en première approximation
âP2 - âPl
r~~----
II.5.1 - (3) âQ - c
J pl OlâP2 - âPll .
lâP2 - âPll
Cette
relation
est
fondamentalement
non
linéaire
et
n'est
jamais
linéarisable par quelque artifice que ce soit.
La loi de perturbation de débit
représenté par II.5.1 - (3) peut être représentée par le diagramme II.5.1.
. . ·1· ..

---

38
AC
(APz - AP,)
Fig. ][ _ 5 _ ,
Loi débit _ différence de pression
pour certoins élélllents du régulouur
Nous verrons au chapitre IV comment traiter le modèle en conservant la loi
non linéaire
II.S.l
-
(3),
mais.
pour l'instant.
nous
allons procéder à
une
linéarisation ad 'hoc dans le but de pouvoir nous servir de tout l'arsenal de la
théorie linéaire. Nous écrivons à la place de II.S.l - (3) :
J
II.S.l - (4)
âQ-
R
et nous déterminons la cQnstante J par
J
c j PlO lâP2-âPl lm -
(âP2 - âPl)m •
R
où (âP2-âPl )m désigne une valeur moyenne estimée pour l'écart (âP2-âPl ) dans la
plage de fonctionnement considérée.
La méthode que nous préconisons, n'a aucun fondement théorique et il faut
envisager ses conséquences avec méfiance. Sa seule justification se trouve à la
fois dans l'usage que l'on peut en faire et dans la confrontation ave~ soit une
simulation numérique à partir du modèle utilisant la relation II.S.l - (3) soit
des résultats expérimentaux.

---

39
II.5.2 - ETUDE DES EOUAIIONS
NOTATION : Dans tout ce qui suit, sauf mention expresse du co~traire, toutes les
expressions ayant un 0 en indice supérieur, correspondent à leur valeur en régime
permanent.
II.5.2.1 - Equation linéaire de la dynamique pour le mouvement de l'équipage
mobile du pilote
L'équipage mobile du pilote, peut se déplacer en mouvement de translation
rectiligne. Son équation de mouvement est défini par la formule II.4.1 - (1). Si
on
remarque
que
la
pression
de
prédétente
n est
considérée
comme
étant
indépendante
du
temps,
l'équation II.4.1
-
(1)
donne
à
l'état de
régime
permanent :
II.5.2.1 - (1)
0 0 0
o - (Ph -Pb )0 + mg - lcx -fo + l:plI .
En
régime
instationnaire,
l'équation
linéaire
de
la
dynamique
par
le
mouvement de l'équipage mobile du pilote est:
II.5.2.1,. - (2)
Rappelons que dans l'équation II. 5.2.1 -
(2),
la variable t::.x désigne la
variation du mouvement de l'équipage mobile pilote autour de xO qui représente la
position dudit équipage en régime permanent.

---

II.S.2.2 - Equation linéaire de la dynamique pour le mouvement de l'équipage
mobile du détendeur principal
Signalons
qu'on définit l'équipage mobile
du détendeur principal,
comme
étant la partie dudit module comprenant outre le clapet du détendeur principal, le
ressort principal et la membrane du servomoteur principal.
Cet équipage peut se
déplacer en mouvement de translation rectiligne et uniforme. L'équation décrivant
son mouvement est définie par la relation II.4.2 - (1).
A l'état de régime permanent, cette équation donne
II.S.2.2 - (1)
°- °
(Pm
*0
-Ph ) 1: + Mg -
°
KX
- FO
En
régime
instationnaire,
l'équation
linéaire
de
la
dynamique
pour
le
mouvement de l'équipage mobile du détendeur principal est:
II.S.2.2 - (2)
MàX - -FAX - KâX + 1: (âPm - âPh*) ,
où âX désigne la variation du mouvement de l'équipage mobile du détendeur
principal autour de la position XO.

---

41
II.5.2.3 - Equation linéaire traduisant la variation de l'état du gaz dans la
chambre supérieure du pilote
Nous avons défini au paragraphe II.4.3, l'équation traduisant la variation
de l'état du gaz dans la chambre supérieure du pilote. Rappelons qu'elle s'écrit:
11.5.2.3 -(1)
et que l'expression de q est définie par
Cette équation n'est pas linéarisable au voisinage du régime permanent, car
dans un tel régime on a PaO - PhO et q - O. De sorte qu'en première approximation,
l'expression de la variation du débit sera
11.5.2.3 - (2)
et cette expression est bien sûr non linéaire.
Nous
avons
expliqué
au
paragraphe
11.5.1,
qu'à
titre
de
modèle,
nous
remplaçons la formule II.5.2.3 - (2) par:
1
II.5.2.3 - (3)
âq
R
Moyennant cette modification de l'expression de âq, nous pouvons écrire l'équation
linéaire traduisant la variation de l'état du gaz dans la chambre supérieure du
pilote soit :
1
11.5.2.3 - (4)
(âPa - âPh) - Ph°oi
R

---

42
II.5.2.4 - Equation linéaire traduisant la variation de l'état du gaz dans la
chambre inférieure du pilote
L'équation
traduisant
la
variation
de
l'état
du
gaz
dans
la
chambre
inférieure du pilote définie au paragraphe II.4.4 s'écrit:
II.5.2.4 - (1)
avec
En régime permanent,
on a Pb0 -
Pat et q4 -
O.
De sorte qu'en régime
instationnaire on a en première approximation
II.5.2.4 - (2)
Aq4 - k4
car nous avons supposé que la pression atmosphérique Pat est constante.
Nous
avons
expliqué
au
paragraphe
11.5.1,
qu'à
titre
de
modèle,
nous
remplaçons l'expression II.5.2.4 - (2) qui est non linéaire, par
1
II.5.2.4 - (3)
Aq4-
Dans de telles conditions, l'équation linéaire de la variation de l'état du
gaz dans la chambre inférieure du pilote s'écrit :
1
II.5.2.4 - (4)

---

43
'.
II.5.2.5 - Equation linéaire traduisant la variation de l'état du gaz dans la
chambre supérieure du servomoteur principal
La formule
II.4. 5
-
(4)
traduit la variation de l'état du gaz dans la chambre
supérieure du servomoteur principal. Rappelons qu'elle s'écrit :
dP*
h
II.5.2.5 - (1)
dt
avec
En régime permanent, on a PaO - Ph*O et q* - O. Comme développé au
paragraphe II.5.1, nous remplaçons l'expression:
*
*
II.5.2.5 - (2) Aq
- k1
qui est non linéaire, par
1
II.5.2.5 - (3) Aq* -
R*
La version linéarisée de l'équation II.5.2.5 - (1) donne
II.5.2.5 - (4)

---

44
II.5.2.6 - Equation linéaire traduisant la variation de l'état du gaz dans la
chambre inférieure du servomoteur principal
La formule
II.4. 6 -
(4) traduit la variation de l'état du gaz dans la
chambre inférieure du servomoteur principal. Rappelons qu'elle peut s'écrire :
dPm
11.5.2.6 (1)
Cm
- - q2 - pmti. ,
dt
avec
Pm - Pd
q2 - k
jPd
2
1Pm - Pd l ,
Ip
-
m
Pd l
traduisant le débit à travers la vanne d'amortissement Va2 .
En
régime
permanent
on
a
Pme
-
PdO, de sorte que q20 - O. En régime
instationnaire, on ~ en première approximation
II.5.2.6 - (2)
A titre de modèle, nous remplaçons la formule II.5.2.6 - (2) par
1
II.5.2.6 - (3)
âq2-
conformément à ce qui a été expliqué au paragraphe II.5.1.
Moyennant
cette
modification,
l'équation
linéarisée
de
l'équation
II.5.2.6 - (1) s'écrit:
° .
1
II.5.2.6 - (4)
C
âP
- -
m
m
... / ...

---

45
II.5.2.7 - Equation linéaire traduisant la variation de l'état du iaz dans le
volume compris entre la vanne d'amortissement et la vanne de fuite
Rappelons que nous voulons linéariser l'équation II.4.7 - (2) traduisant
la
variation
de
l'état
du
gaz
dans
le
volume
compris
entre
la
vanne
d'amortissement notée Val et la vanne de fuite notée V
•
a3
Soit :
II.4.7 - (2)
où les formules de
débit ~p' q2 et q3 sont
données respectivement
par II.4.7
- (4), II.4.7 - (6) et II.4.7 - (5).
Nous avons déjà souligné au § II.4.7, que dans toute les conditions on
avait toujours n > Pd' en particulier n > PdO. De même on toujours Pd > Pa (en
particulier pdO > PaO). De sorte qu'en régime permanent,. les débits Qp et q3 ne
s'annulent pas. En revanche, comme développé au § II.5.2.6, le débit q2 s'annule
en régime permanent.
Une linéarisation des formules donnant Qp et q3 s'effectue tout à fait
légitimement.
soit, tous calculs faits
°
Qp (n -
°
2Pd)
âQ
- - 6 â X +
P
2P~ (n - P~)
où
.../ ...

---

46
De manière analogue, on a
soit, tous calculs faits
II.5.2.7 - (4)
Nous avons déjà parlé de la variation du débit q2 au § II. 5.2.6. Nous
utiliserons donc la formule II.5.2.6 - (3) soit:
1
Aq2 - -----(AP
- APd) .
R2
m
En rassemblant tous ces résultats, on obtient la version linéarisée de
l'équation II.4.7 - (2) :
II.5.2.7 - (1)
1
APd + - - (APm - APd) .
R2
Posons
0
0
0
1
1
q3
~(n - 2Pd)
II.5.2.7 - (2)
- - - - +
R7
R2
2(PO _ pO)
2(PO _ pO)
d
a
d
a
.../ ...

---

47
II.5.2.7 - (1) donne en définitive
1
11.5.2.7 - (3)
R7
II.5.2.8 - Equation linéaire traduisant la variation de l'état du gaz dans le
volume aval
La formule que nous voulons linéariser est celle qui est donnée par la
relation II.4.8 - (1). Cette équation qui est rappelée ici, traduit la variation
de l'état du gaz dans le volume aval.
II.4.8 - (1)
Les divers débits qui figurent au second membre ont tous été linéarisés à
l'exception de ~l et Qc' QI est le débit à travers le clapet principal et peut,
en raison de l'établissement d'un col sonique au niveau du clapet, s'écrire sous
la forme :
Pe
2
La linéarisation de QI au voisinage du régime permanent donne
avec
2
... / ...

---

48
représentant le débit nominal soit
II.5.2.8 - (1)
Le débit de la vanne de décharge V
a pour expression
ac
La linéarisation de Qc au voisinage du régime permanent donne
o
o
Qc
II.5.2.8 - (2)
-
À AS
+ ------AP
c
0
a
2'1
où nous avons posé
0
'1
- Pa - Pat .
Rappelons que les expressions linéarisées de q3' q et
*
q
sont données
respectivement par les formules II.5.2.7 - (4) (voir § II.5.2.7), II.5.2.3 - (3)
(voir § II.5.2.3) et II.5.2.5 - (3) (voir § II.5.2.5).
En rassemblant toutes ces expressions, on obtient la version linéarisée
de II.4.8 - (1), soit
o
Q1
o
-
aA}( +--AP
o
-
À AS
e
c
Pe
Posons
o
0
0
0
1
Qc
1
1
q3
(Pd - 2Pa )
- - - - + - + - - -
2'10
R
R*
2pO (pO _ pO)
a
d
a
... / ...

---

49
on a l'équation définitive suivante
II.5.2.8 - (3)
o
o d
1
1
1
*
q3
C - - âP
-
aâX. - -
âP
+ -
+ -
+
a
âPh
âPh
- - - - - â Pd
a
dt
a
R8
R
R*
2(PO _ pO)
d
a

---

50
II.6 - PRESENTATION DU SYSTEME LINEAIRE
Comme tout système linéaire, le système d'équations que nous avons obtenu
au § II.5 peut être décrit sous forme matricielle. Auparavant, nous écrirons les
équations de la dynamique pour les deux équipages mobiles, après linéarisation:
d
.
âx -
A x
dt
d
f
k
o
t:.X -
âx +
(APh - APb )
dt
m
m
m
d
dt
d
F
k
Ai - -
Ai-
AX+
dt
K
K
K
Nous considérons désormais que le système est parfaitement connu si on
connait, à chaque instant les valeurs prises par les 10 variables suivantes :
âx,
t:.X,
AX, Ai, APh ,
APa que nous
rangeons en
matrice colonne à 10 éléments
âx
âx
AX
AX
APh
u-
APb
AP*h
APK
APd
APa
U est une fonction t-U(t) que l'on cherche à déterminer.
.../ ...

---

51
Nous dirons pour employer une terminologie d'usage courant en automatique
[12] que U est la variable d'état du système.
Les équations du § II.5 font aussi intervenir deux fonctions
t-ASc(t)
t -APe(t)
qui ne sont pas des inconnues,
mais sont des fonctions connues du temps qui
caractérisent l'excitation du système.
La fonction t-ASc(t) remplace dans le modèle, la donnée en fonction du
temps de la charge à laquelle doit répondre le réseau aval.
La
fonction
t-APe(t)
simule
les
variations
de
pression
amont
du
régulateur.
Nous dirons que les quantités ASc et APe caractérisent à chaque instant
l'excitation extérieure appliquée au régulateur et nous les rangeons sous la
forme d'une matrice colonne à deux éléments et notée E. Soit :
ASc
E -
[
] .
APe
L'ensemble des
équations obtenues
au § II.5
peut se mettre sous la
forme
dU
- AU + BE
dt
où A désigne une matrice carrée
10 x
10,
indépendante
du
temps,
dont
les
éléments sont donnés par le tableau suivant :
.../ ...

---

52
Matrice A :
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-k/m
-f/m
0
0
ulm
-ulm
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-K/M
-F/M
0
0
-l:/M
l:/M
0
0
•
Phu
1
1
0
0
0
0
0
0
0
•
•
•
Cit
RCit
RCit
Pbu
1
0
0
0
O·
- -
0
0
0
0
•
•
<1>
R4<1>
•
phl:
1
1
0
0
0
0
0
. -
0
0
.*
* .*
* .*
Cit
RCit
RCit
•
phl:
1
1
0
0
0
0
0
0
0
•
•
•
Cm
R2Cm R2Cm
•
•
•
6
1
1
Q3(Pd- 2Pa)
0
·0
0
0
0
0
•
•
•
•
•
•
•
Cd
R2Cd R7Cd 2Pa (Pd-Pa )Cd
•
a
1
1
Q3
1
0
0
0
0
0
- -
•
•
* •
•
•
•
•
Ca
RCa
R Ca
2Ca (Pd-Pa ) RSCa
.. .1. ..

---

53
La
matrice B,
également
indépendante du temps,
est une matrice à
10
lignes et deux colonnes dont les éléments sont rangés dans le tableau suivant.
Matrice B
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B -
0
0
0
0
0
0
0
0
À-
QI-
-
Ca
- -
CaPe
Nous voyons donc que le système linéaire fait intervenir tant dans la
matrice A que dans la matrice B, des paramètres caractéristiques du régulateur.
Par abus
de langage,
nous dirons que U est le vecteur des variables
d'état du système, de même s'agissant de E, nous dirons que c'est le vecteur des
variables d'entrée du système.
Pour pouvoir soumettre notre modèle tant à la simulation numérique qu'à
une étude de stabilité, et compte tenu du degré très élevé du système, il nous a
semblé
utile
de
fixer
les
paramètres
en
retenant
un
cas
type
d'appareil.
L'intérêt de cette démarche, est la possibilité qu'elle nous offre de pouvoir
confronter le modèle à la réalité représentée par les résultats d'une campagne
de mesures effectuée sur un appareil déterminé.
D'où l'étude que nous avons
menée sur un ce!. particulier de détendeur-régulateur et qui
fait
l'objet du
chapitre suivant.
.../ ...

---

54
111- APPLICATION A UN CAS PARTICULIER DE DETENDEUR
111.0 - INTRODUCTION
111.0.1 - PRESENTATION DU REGULATEUR PILOTE FRANCEL BP
Rappelons que le but du présent mémoire,
est de construire un modèle
permettant de décrire le fonctionnement dynamique des régulateurs-détendeurs de
gaz. Le but ultime d'une telle modélisation étant de simuler numériquement le
modèle et d'étudier la stabilité de l'appareil.
L'objectif
de
la
recherche
est
double
d'une
part
il
s'agit
de
construire un modèle mathématique
fiable
dont le rôle est de
remplacer une
campagne de mesures, longue A mettre en place, par une simulation numérique qui
peut
être
effectuée
très
rapide.ment.
Nous
verrons· que
seul
le
modèle
non
linéaire peut être vraiment considéré comme fiable de ce point de vue. D'autre
part il s'agit,
pour un type d'appareil déterminé,
d'arriver A prédire très
rapidement
les
caractéristiques
de
stabilité
en
fonction
des
valeurs
des
paramètres de réglage du fonctionnement de l'appareil. Seul un modèle linéaire
permet d'atteindre ce second volet de l'objectif dont l'exigence est la rapidité
et la simplicité d'exécution obtenues aux prix d'une moindre exigence concernant
l'exactitude de l'adéquation du modèle A l'appareil.
La démarche suivie en vue d'atteindre ce double objectif a sans doute
une portée générale, pour une large classe de régulateurs-détendeurs, toutefois,
la réalisation effective du double objectif ne peut se faire que sur un appareil
de type déterminé et nous avons choisi un Francel BP pour mener A bien cette
réalisation.
Comme l'indique son nom, le régulateur Francel BP a pour fonction d'une
part de détendre le gaz d'un niveau de pression amont égal A 4 bar A un niveau
de pression aval se situant au voisinage de 20 mbar (ces pressions étant données
en valeur relative) et d'autre part de réguler ce niveau de pression aval.
Le régulateur Francel BP ne diffère pas de l'ensemble des régulateurs
détendeurs de type piloté, puisqu'on retrouve les trois modules principaux
c'est-A-dire
- le prédétendeur,
.../ ...

---

55
- le pilote,
- le détendeur principal.
111.0.2 - ESSAIS EN STATIQUE
Le but
de cette partie est de déterminer les valeurs des
différents
organes caractéristiques du régulateur Francel BP, correspondant aux paramètres
qui apparaissent dans le système linéaire.
Pour
cela,
des
essais
ont
été
effectués
sur
l'appareil
au Service
Métrologie et Matériels de Réseaux du Gaz de France. Signalons que compte tenu
de
la
difficulté
de
mise
en
oeuvre
en
régime
dynamique
de
certaines
caractéristiques, la plupart de ces essais ont été effectués en régime statique.
111.0.2.1 - Raideur de ressort pilote et de ressort du détendeur
principal
Nous avons vu que chacun des éléments constitutifs de la partie que
nous appelions équipage mobile, comportait, entre autres éléments, un ressort.
La raideur du ressort pilote est caractérisée par le paramètre k,
tandis que
celle du ressort du détendeur principal est caractérisée par le paramètre K.
D'une façon générale, et.pour des raisons de stabilité, les régulateurs
Francel BP peuvent être équipés
de
ressorts
dont
les constantes
de
raideur
peuvent prendre des valeurs différentes suivant la spécificité du servomoteur et
du pilote
utilisés.
Pour
les
Francel
BP en service,
les
ressorts
utilisés
communément sur l'organe pilote ont des raideurs qui prennent l'une des valeurs
ci-dessous :
*
3
k - 10
N/m ,
*
3
k - 1.86 10
N/m ,
*
3
k
4. 2 10
N/m ,
* k
8.2 103 N/m .
Dans toute
l'étude
théorique,
nous
nous servirons
de la constante
k - 1.86 103 N/m, sauf mention expresse du contraire.
De même pour le détendeur principal, la valeur de la raideur du ressort
retenue est K - 8.1 103 N/m.
.. '/'"

---

56
111.0.2.2 - Loi d'ouverture du clapet principal
Un montage du régulateur France1 BP sur un réseau du SMK, et alimenté
en gaz,
nous a permis de déterminer la loi d'ouverture du clapet principal,
c'est-A-dire la loi donnant le débit principal en fonction du déplacement de ce
clapet.
Pour cela, le régulateur France1 BP a été pourvu d'un comparateur qui
permet de repérer la position du clapet principal A tout instant en fonction du
débit dont la valeur est donnée par un compteur ad'hoc.
La figure 111.0.2.2 - (1) montre clairement que la loi de variation du
débit A travers le clapet en fonction du déplacement de celui-ci A partir de sa
position nominale, est linéaire. Ce qui confirme l'une des hypothèses faite dans
la modélisation.
La valeur de la pente de cette loi débit-ouverture, appelée a dans le
modèle linéaire, est donc déterminée.
Dans le cas qui nous intéresse on a a - 63 k&Ll
m
x• ••
le
2
o
100
1000

---

57
111.0.2.3 - Mesure des pertes de charge
Comme
signalé
au
§
II.5.1,
certains
organes
du
régulateur,
en
l'occurence la vanne d'amortissement V~, les prises d'influence du pilote et du
détendeur principal, l'évent pilote, ont un débit nul en régime permanent. Par
conséquent,
la
loi
débit-différence
de
pression,
n'est
pas
linéarisable
au
voisinage du régime permanent. Mais pour pouvoir utiliser la théorie linéaire,
cette loi débit-différence de pression est remplacée par une loi linéaire dont
le coefficient est estimé et dépend de la plage de fonctionnement de l'appareil
que l'on a en vue d'étudier.
Des essais ont donc été effectués sur ces différents organes,
et ont
permis de déterminer avec une précision assez satisfaisante les lois débit..:
différence de pression (de part et d'autre de l'organe considéré).
Les résultats de ces mesures très difficiles à effectuer en raison des
petits
débits
qu'ils
mettent
en
oeuvre
sont
rassemblés
dans
les
figures
111.0.2.3 (2) a, b, c, d. Ces figures donnent, chaque fois, un débit porté en
ordonnées en fonction d'une différence de pression portée en abscisses.
Les
courbes,
qui mettent parfaitement en évidence
la non linéarité de ces
lois
débit-différence de pression, sont en bon accord, chacune avec la forme retenue
dans la modélisation, à savoir
AP
111.0.2.3 (1)
Q - K -
j
IAPI
•
IAPI
Pour le modèle linéaire nous avons d6 remplacer cette relation par une
loi linéaire en utilisant un procédé appelé module sécant qui conduit à :
1
111.0.2.3.(2)
Q-
AP •
R
La valeur de R étant prise de manière à ce que les valeurs déduites de
111.0.2.3
(1)
et 111.0.2.3
(2)
colncident pour une valeur particulière APm
considérée comme valeur moyenne caractéristique dans les essais effectués .
.../ ...

---

58
* La figure III.O.2.3.2.a est relative à la loi débit-différence de
pression de la prise d'influence du pilote.
* La. figure III.O.2.3.2.b est relative à la loi débit-différence de
pression de la prise d'influence du détendeur principal.
* La figure I1I.O.2.3.2.c est relative à la loi débit-différence de
pression de l'évent pilote.
* La figure III.O.2.3.d est relative à la loi débit-différence de
pression pour une ouverture de la vanne d'amortissement.

---

59
4
Q
1lI3/t'\\(H)
3
2
o
0.0
0. 1
~.Z
0.3
0.4
0.5
FIGURE III.0.2.3.2a - LOI DEBIT-DIFFERENCE DE PRESSION
DE LA PRISE D'INFLUENCE DU PILOTE
15
10
5
... p
(
IlIbor
o o
10
40
50
FIGURE III.O.2.3.2b - LOI DEBIT-DIFFERENCE DE PRESSION
DE LA PRISE D'INFLUENCE DU DETENDEUR PRINCIPAL

---

60
"
Q
m3/h(N)
2
... p
(
mbo.r
)
oL..----'---.......L---'--_ _...L_ _.......
.l.-_ _......._ _---J
........_ _.......L
0.0
0.1
0.2
0.3
0.5
o. "
FIGURE III.O.2.3.2c ~ LOI DEBIT-DIFFERENCE DE PRESSION
DE L'EVENT PILOTE
VAttl llN. l3T
PD--PIl
2.D
D.D 4--------1--------1--------+--------+--------
D
2lI
4D
6D
FIGURE III.O.2.3.2d - LOI DEBIT-DIFFERENCE DE PRESSION
DE LA VANNE D'AHORTISSEHENT

---

61
111.0.2.4 - Etude de la vanne de décharge dont la fonction est de faire
varier le débit appelé
Nous
avons,
dans
notre
modèle,
supposé
que
le
volume
aval
était
délimité par une vanne de décharge notée Vac ' qui débite à l'atmosphère et dont
le rôle est de régler le débit sortant du volume aval, de manière à le prescrire
selon une loi horaire
Cette vanne nous permet de simuler les divers appels en débit. La vanne
que nous avons retenue, est constituée d'une part d'un clapet dont l'ouverture
et
la
fermeture
sont
commandées
par
une
électrovanne
et
un
circuit
d'air
comprimé,
et d'autre part d'une ouverture fixe permettant d'imposer le débit
nominal de décharge Qc o •
La linéarisation du terme Qc' s'écrit comme mentionné au § II.5.2.8.
Q °
c
Afin de pouvoir déterminer la valeur de ~o pour notre vanne de décharge
retenue, nous avons à pression aval constante, déterminé la valeur du débit pour
différentes positions du clapet de cette vanne.
La
loi
donnant
la
variation
du
débit
de
décharge
en
fonction
de
l'ouverture de cette vanne caractérisée par ASc ' nous permet de déterminer la
valeur de la constante ~o.
Dans notre cas on a ~o -
7 ~
m

---

62
111.0.2.5 - Différentes valeurs caractéristiques du Francel BP
Outre les valeurs données dans les paragraphes précédents, on trouvera en
Annexe 4,
toutes les valeurs des grandeurs caractéristiques du Francel BP qui
permettront d'effectuer l'étude de la stabilité du système linéaire modélisant
cet appareil.

---

63
111.1 - ETUDE DU SYSTEME LINEAIRE
111.1.0 - RAPPEL SUR LA THEORIE DE LA STABILITE DU SYSTEME LINEAIRE
Nous avons vu au § II.6, que notre système linéaire pouvait s'écrire sous la
forme :
dU
III.l.O - (1)
- AU + BE
dt
où
* U est
la
matrice
colonne
dont
les
composantes
sont
des
fonctions
inconnues du temps décrivant l'état instantané du système.
* E est la matrice colonne dont les composantes sont des fonctions connues
du temps qui caractérisent l'excitation du système.
Nous avons en outre les conditions suivantes pour notre système
lUE- [0] dansunvoisinagede t - -CIl
(t) - 0 pour t < t o où t o désigne l'instant initial.
Dans tout ce qui suit, nous prendrons comme instant initial t o - O.
Le
système
d'équations
définissant
le
système
mécanique
dont
on veut
étudier la stabilité sera donc du type
~
- AU + BE
dt
III. 1. 0 (3)
U - [0] dans un voisinage de t - - CIl
E(t) - 0 pour t < 0
Habituellement,
dans
de
nombreuses
études
de
stabilité,
le
système
ne
comporte pas d'excitations et on dit instinctivement que le système est stable si,
une petite variation des données initiales entralne une variation de la solution
qui reste petite à tout instant. Cette notion peut être quantifiée.
.../ ...

---

64
Dans
le
cas
qui
nous
occupe,
la
notion
de
stabilité
est
légèrement
différente.
L'intuition
nous
indique
qu'un
système
stable
doit
avoir
la
caractéristique, pour l'instant imprécise,
suivante : Une variation suffisamment
faible de l'excitation E(t) entraine une variation également faible de la réponse
U(t).
On peut quantifier cette notion en écrivant que
la solution U(t) est une
fonctionnelle linéaire de l'excitation, c'est-A-dire
II1.1.0 - (4) U(t) - g { . t ; E(1'),
~
f'
t)
On peut caractériser la petitesse d'une variation âE(t) de l'excitation par
une norme (par exemple la norme du maximum).
II1. 1. 0 - (5) 111âE 111 -
sup
11âE (t) 11
O<t<co
De même,
on peut caractériser la petitesse de
la variation âU(t)
de la
solution par une
(éventuellement autre) norme (par exemple la norme du maximum)
soit :
II1. 1. 0 - ( 6)
111âU 111 -
sup
11âU (t) 11
O<t<co
Nous dirons alors que le système est stable, si la fonctionne11e~. , . )
vérifie
II1.1.0 - (7)
I l l g ( . , .)111
< K IllâEll1
Ce qui veut dire que si nous voulons
rendre
la variation âU(t)
A tout
instant inférieure, au sens de la norme des matrices, A une quantité 1: positive
arbitrairement petite, soit :
Il âU (t) Il < 1:
V t ,
il suffira, que les variations d'excitation remplissent la condition
.../ ...

---

65
Dans la première version de stabilité, on parle de stabilité asymptotique
si 1IAU(t)1 1 (au sens de la norme d'une matrice) tend vers zéro quand t tend vers
l'infini. La notion correspondante dans notre cas est la suivante. Supposons que
la variation AE(t) ne soit non nulle que sur un intervalle de temps fini.
nous
pouvons dire que le système est asymptotiquement stable si,
d'une part i l est
stable au sens déjà indiqué et si par ailleurs :
t_C11
IIAU(t) Il
.. 0
Afin d'établir la stabilité du système on est amené à résoudre le système
1II.1.0 - (3).
Supposons dans un premier temps,
que
E(t)
soit une fonction continue à
support compact.
On effectue la transformation de Laplace suivante
On remarque que l'intégrale est toujours étendue à un intervalle ouvert du
type [a, + CIl [ puisque l'on a
imposé à t--.U(t) de s'annuler
dans un
voisinage
de - CIl.
De
manière
plus
précise, on
a convenu
que toute
fonction excitatrice
t~E(t) étant nulle pour t < 0, sa transformée de Laplace peut donc être écrite
E(p)
_ ~+ œ .-pt E(t) dt
Par ailleurs, comme nous considérons des fonctions excitatrices à support
compact, pour chaque fonction excitatrice il existe un b tel que :
_ ro b pt
E(p)
Je
e-
E(t) dt
.../ ...

---

66
Le système 111.1.0 - (3) devient par transformation de Laplace.
111.1.0 - (8)
P U(p) - A U(p) + B E(p),
soit encore
111.1.0 - (8bis)
(pl - A) U(p) - B E(p)
Dons, pourvu que det (pl - A) ~ 0, on peut écrire que
1 III. 1. 0 - (9)
Ü(p) -
(pl - A)-l B Ë(p)
_
Posons
f +1I)
w(p) -
(pl - A)-l
w(t) e- pt dt
-
II)
où w(t) est une fonction matricielle du temps définie par
~
- Aw
, t > 0
dt
III.l.O - (10)
w(O) - 11
On remarque
que w(p)
est une fonction méromorphe.
Nous faisons,
pour la
suite de l'étude,
l'hypothèse que toutes les valeurs propres de A sont simples.
Cette hypothèse
n'est pas
restrictive,
si
on a
en vue
les
appareils
que nous
voulons
étudier.
De
sorte
que w(p)
est une
fonction méromorphe
avec
des pôles
simples. De plus,
E(t) s'annulant en dehors d'un intervalle fini,
E(p) n'a aucun
point
singulier à distance finie. Tant et si bien que
la fonction
(pV - A)-l B Ë(p) n'a que des pôles simples à distance finie.
A ce stade du raisonnement,
il est important de remarquer que ;(p)
peut
s'écrire sous la forme
-
1
w(p) - - - - - - K(p) .
det(pl - A)
... / ...

---

67
On dit que det(p] - A) est le polynôme caractéristique de la matrice A et
les p solutions de det(p] - A) - 0 sont les valeurs propres de la matrice A. Avec
les vecteurs
propres
correspondants,
ils
définissent
les
modes
propres
du
système.
D'après
la formule 111.1.0 - (9),
on remarque que' -
U(p) est le produit
-
de w(p)
et B E(p). Comme la transformée de Laplace d'un produit de convolution
est un produit ordinaire et réciproquement, on a :
f:
III.l.O - (11)
U(t) . -
w(t - <l B E(.) d.
Pour calculer U(t), on voit qu'on est amené à chercher w(~).
Ona
r
III.l.O - (11)
w(t) - ---
ept ;(p) dp _ -
i
1
1 -
ept(pll - A)-l dp
2in.lp-o+iw
2in
p-o+iw
justifions la formule 111.1.0 - (11)
Soit L la droite d'équation Rep - aO' Le réel aO est choisi de manière que
tous les zéros de det (p~ - A) - 0 vérifient Rep < aO'
(p~ - A)-l est une fonction holomorphe de p pour Rep > aO' Ipl < + œ.
L'intégrale
~ R e(a + iw)t [(a + iw) ~ _ A]-l dw est parfaitement définie.
- R
1
(pli - A)-l _ p-l (11
A)-l
P
1
1
1
1
(li - -
A)-
-
11 + _ _ A + ... + ( __ )n An +
P
p
p
.../ ...

---

68
d'où
1
1
IIAII
1
Il (Il - - A) -1 Il ~ 1 + i: __ IIAII n - (1 -
)-
p
n-1 Ipln
Ipl
1
1
A
1
(plI - A)-
- - - l '
+ - - (1\\ - _
A)-l
P
. p2
p
1
A
1
ept (pli _ A) -1
ept
Il + -
ept (11 _ - - A)-l
p
p2
p
1
1
Comme
_ _ _~ A e(o +iw)t (Il - - - - A ) -1 dw Il < + CIO
(0 + iw)2
o + iw
pour que l'intégrale définie par la formule 111.1.0 - (11) existe, il suffit que
f+CIO e(o+iw)t dw existe
CIO
(o+iw)
On a :
f+CIOCIO e(o+iw)t dw
(o-iw) e(o+iw)t
(o+iw)
02 + w2
f+CIOCIO_o_e_(_O_+_i_W_)_t_dw - i
02 + w2
On voit que la première expression de l'intégrale est parfaitement définie
puisque :
f+G ·e(o+iw)t
ot tG
dw
Il
dw
Il ~ lole
_ CIO
< + CIO
- CIO
02 + w2
02 + w2
.../ ...

---

69
Par conséquent, pour que
f+CIDCID e(o+iw)t dw existe,
(o+iw)
i l suffit que :
+ CID we(o+iw)t
dw
existe.
fCID
2
0
+ w2
En fait, il suffira de démontrer que
f+CID_we_iw_t__ dw existe.
_ CID
0 2 + w2
Pour cela, considérons la fonction complexe suivante
fez)
Intégrons
fez)
sur un contour r
formé d'une
portion
[-R,
R]
de
l'axe
imaginaire et d'un demi-cercle de centre 0 et de rayon R dont Cl est le contour. R
est choisi suffisamment grand, pour que le point réel positif 0 soit à l'intérieur
du domaine.
D'après le théorème de Cauchy, on a
~ fez) dz - 2i n Res(f(z), 0) •
D'autre part, on a
r -
fez) dz
e.& fez) dz + i
Rf(iw) dw
.lCl
./+ R
où z - x + iw.
.../ ...

---

70
j.-R
ie.> e-ie.>t
f(ie.»
dw
-
+R
D'où
e.> e-ie.>t
i fR f(ie.» dw - - J~ R
dw ,
+R
(/2 + e.>2
.f
e.> eie.>t
RR
dw
(/2 + e.>2
En faisant tendre
R --~~~m, on a, par application du lemme de Jordan
f [
f(z) dz-O ,
JCl
En fait,
le lemme de Jordan ne s'applique pas directement, car lorsque R_oo
on voit, en posant z - x + iy, que
de sorte que 1 z f(z)1 ne tend pas vers 0 en tout point de Cl'
Mais
on
peut
d'abord
transformer
l'intégrale
par
une
intégration
par
parties.
«(/2 + z2) e- zt
f(z) dz
dz
«(/2 _ z2)2
L'expression entre [. ]Cl~ 0 quand R--.m.
D'autre part, le lemme de Jordan s'applique à la nouvelle intégrale.
En définitive
(C f(z) dz-0 quand R-m.
JCl
.../ ...

---

71
Il en résulte donc que
f+CIO --::----:dw - - 2illRes (f(z), 0)
2
2
-
CIO
0
+ lû
qui est parfaitement définie.
D'où:
f_+ œ e(o+iw)t dw
est définie, et
CIO
(o+ilû)
il s'en suit que la formule 111.1.0 - (11) l'est aussi.
Soit E l ' ensemble des zéros du polynôme caractéristique (que l'on notera
Si on prend une droite l. d'équation Rep - constante, telle que E soit
compris entre L (Rep - 00) et l.. On entoure chaque Pk par un cercle r k .
La formule 111.1.0 - (11) devient par application du théorème de Cauchy
1
111.1.0 - (12)
w(t) -
2ill
Jept (p] - A)-l dp + E Xk exp (Pkt)
kEE
l.- - CIO + ilR
On montre que _1__ r ept (pD • A)-l d p - - - - - -•• 0
2ill Jl.
En effet on a,
1
(pl! _ A)-l _ p-l (] _ _ A)-l
P
.../ ...

---

1
1
d'où
Il (pl! - A)-l XII : S - - Il (11
A) -1 X Il
Ipl
p
1
IIAII
:S - - (1 -
)
IIXII
Ipl
Ipl
Il suffit donc de montrer que
l ept ~--ClD+iIR
dp
• 0
~
p
On a :
Jpte - i Fœ (0 - iw) e(o+iw)t
- - d p
dw
~
P
2 + w2
-
CID
0
Fœ e(o+iw)t
2 + w2
rœwe(o+iw)t
- io
dw+
dw
2
-
CID
0
+ w2
-
CID
0
Intéressons nous d'abord au comportement de la première intégrale.
_(+ CID
0 - -
CID
II J_
• 0
CID
Intéressons
nous
ensuite
au
comportement
de
la
seconde
intégrale.
En
reprenant le même calcul développé précédemment utilisant le lemme de Jordan et le
théorème de Cauchy, on montre que:
f+ weiwt
z ezt
CID
_
dw
2iD Res ( 2
2' 0 )
_
CID
0 2 + w2
o
- z
D'où
Fœ w e(o+iw)t
z e zt
dw
2
- eot 2in Res (
o )
2
2'
0
-
CID
+ w2
0
- z
e 20t
0 - - -
CID
2iD
-0
o - 2
... / ...

---

73
D'où
On a donc
111.1.0 - (13)
w(t)
-
~
exp (Pkt)
Xk
où
kf:~
Xk -
1im
(p - Pk) (pD - A)-l
P--Pk
Tenant compte de 111.1.0 - (13) et du fait que E(t) est à support compact,
la formule 111.1.0 - (10) devient
~
~»
E(~) d~
. si t > b
U(t) -
exp (Pk(t - b»
l b
exp (Pk(b -
Xk B
kf:~
. si t < b
U(t) -
~ exp (Pk(t - b» ~t exp (Pk(b - ~» Xk B E(~) d~
kf:~
Jo ______
Soit en définitive
111.1.0 - (14)
U(t) -
~
~
exp (Pk(t - b»
kf:~
où
~b
' " -
exp (Pk(b _ r» "k B E(r) dr
si t > b
si t < b
Dans
toute
cette
partie nous
avions
supposé
que
E(t)
était à
support
compact. Supposons maintenant que E(t) n'est plus à support compact mais que E(t)
est de la forme :
.../' ..

---

74
III.l.O - (15)
E(t) -
1:
Ej Sin (wjt + rpj) + E2(t)
j fJ
"
avec
IIE2(t) Il ept_O
quand t - + co
Comme on a convenu que toute fonction excitatrice t-.E(t) était nulle pour
t < 0, sa transformée de Laplace peut être écrite :
E(p) _ ~+ œ .-pt E(t) dt
Soit tous calculs faits en tenant compte de 111.1.0 - (15)
-E
Ë'
j
j
III. 1. 0 - (16)
E(p)
-1: (
+
) + i 2(p)
j
(p - iWj)
(p + iwj )
i\\
;:
ou encore
E(p)
- El(p) + E2(p)
-
,..
Ej
avec El(p) - 1: ( . - - - - +
j
(p - iWj)
~
E2(p) se comporte. comme la transformation d'une fonction à support compact.
Le
système
que
l'on veut
résoudre
devient
alors
par
transformation de
Laplace :
-
-
(p~ - A) U(p) - B E(p)
où E(p) est définie par la formule 111.1.0 - (16)
Donc pourvu que det (pV - A) ~ 0, on peut écrire que
-
1
111.1.0. • (17)
U(p)
- (pl - A)-l B Ë(p)
.../ ...

---

75
Comme précédemment, faisons l'hypothèse que toutes les valeurs propres de A
A
sont simples.
E2(p) se comportant comme la transformée d'une fonction à support
compact, elle n'a aucun point singulier à distance finie. Par· conséquent les pôles
de E(p) sont les imaginaires purs ± iWj. On voit donc que (p~ - A)-l B Ë(p) n'a
que des pôles simples à distance finie.
~
"
Tenant compte du fait que E(p) - El(p) + E2(p), la formule 111.1.0 - (17)
peut s'écrire
U(p) - (pD - A)-l B ~l(P) + (pD - A)-l B ~2(P)
Soit encore
-
-
111.1.0 - (18)
U(p) - Ul(p) + U2(p)
où
Compte tenu de la linéarité de la transformation inverse de Laplace, on a
IILL 0 - (19)
où Ul(t) et U2(~) sont respectivement les transformées de Ul(p) et U2(p)
.....
,..
La
fonction
E2(p) se comportant comme la transformée d'une fonction à
support compact,
le calcul de U2(t) se fait exactement comme celui qui nous a
conduit à la formule 111.1.0 - (14).
D'où
1 IlLl. 0 - (20)
.../ ...

---

76
avec
. ~ qui désigne l'ensemble des zéros du polynôme caractéristique de A (que l'on
note Pk)'
si t > b
si t < b
Xk
-
lim
(p - Pk) (p~ - A)-l
P_Pk
Intéressons nous maintenant au calcul de Ul(t).
-
Soit ~ l'ensemble des pôles de "
El (p)
(ce sont les ± iWj que l'on notera
On prend une droite L d'équation Rep - 00' le réel 00 est choisi de manière
que les Pk et qj"vérifient Rep < 00' On,a :
~l(P)
111.1.0 - (21)
Ul(t)
- -l---f
ept (p] _A)-l
B
dp
2in
L
Soit À une droite d'équation Rep - constante, telle que ~ U ~ soit compris
entre L et À. On entoure chaque Pk (resp. qj) par un cercle r k (resp. r j ).
La formule III .1.0 - (21) devient, par application du théorème de Cauchy
1
f ept(pV - A)-l B ~l(p)
Pkt
q·t
Ul(t)
-----
dp +
~
"k e
+
~
Zj e J
2in
Pkf~
qjf~
où
"k -
lim
(p - Pk)
(pD - A)-l B il(p)
P_Pk
Zj -
lim
(p - qj)
(pD - A)-l B ~l(P)
p-qj
... / ...

---

77
En suivant un raisonnement ano1ogue à celui développé précédemment, c'est-
à-dire en 111.1.0 - (12), on montre que
J
1
~--CIl + i IR
- -
ept (plJ - A) -1 B Ê1(p) dp - - - - - - - - - 0
2iH
~
Ce qui donne
111.1.0 -(22)
U1(t) -
~
6k
exp (Pkt)
+
~
Zj exp (qjt)
Pk(~
qj(.
On a donc en définitive, tenant compte de 111.1.0 - (19), 111.1.0 - (20) et
II!.!. 0 - (22) :
111.1.0 - (23)
U(t) -
~ 6k exp (Pkt) + ~ Zj exp (qjt) + ~ ~ exp (Pk(t - b»
Pk(~
qj(.
Pk(~
où
6 k -
1im
(p - Pk) (p~ - A)-l B ~l(P)
P-Pk
si t > b
si t < b
Xk
-
11m
(p - Pk)
(p~ - A)-l
P-Pk
.../ ...

---

78
Signalons qu'on aboutirait A un résultat analogue A III.l.O
-
(23),
où
cette
fois
ci
les
qj
seraient
comp1exe~ (c'est-A-dire
pas
nécessairement
A
imaginaires purs) 1
si on avait supposé que El (p)
avait des pôles complexes non
nécessairement imaginaires purs.
Dans tous les cas, on voit d'après III.l.O -
(14) et III. 1. 0 - (23) que
l'étude de la stabilité du système, c'est-A-dire du comportement du système suite
A une perturbation, revient A déterminer les Pk (zéros du polynôme caractéristique
de A).
Ainsi
- Si tous les Pk sont A partie réelle négative, alors le système est stable
et même asymptotiquement stable.
- S'il existe un Pk ayant une partie réelle positive alors le système est
instable.
- Si un Pk est imaginaire pur et les autres sont A partie réelle négative,
on a un système oscillant. On ne peut pas, a priori, conclure sur la stabilité du
système.

---

111.1.1 - PRESENTATION DU POLXNOME CARACTERISTIQUE ET ETUDE DE LA STABILITE DU
SYSTEME LINEAIRE
Pour pouvoir étudier la stabilité du système, on est amené comme mentionné
au § 111.1.0 à calculer le polynôme caractéristique de la matrice A détaillée au §
II.6.
La matrice
A étant d'ordre 10,
le système aura donc
dix
(10)
valeurs
propres complexes comptées éventuellement avec leur degré de multiplicité.
Avec les différentes valeurs des composantes de la matrice A retenues, dont
le détail
est donné en annexe 4,
on
obtient les dix valeurs propres
de A
suivantes ..
* - 4.769 106
* - 7.36 104
* - 1.03 104
* - 7.4 102
* - 24.5 + 678 i
* - 24.5 - 678 i
* - 2.99 + 84.3 i
* - 2.99 - 84.3 i
* - 0.184 + 5.88 i
* - 0.184 - 5.88 i
Comme nous l'avons fait remarquer au § 111.1.0, le système sera instable si
une
des
valeurs
propres
ci-dessus
présente
une
partie
réelle
positive.
Par
conséquent,
les
modes
propres
d'oscillation
du
système
linéaire
modélisant
l'appareil,
qui
sont
dangereux,
c'est
à
dire
qui
sont
susceptibles
de
le
déstabiliser, correspondent aux quatre dernières valeurs propres de la liste ci-
dessus.
Parmis ces quatres valeurs propres on distingue
- deux valeurs propres complexes conjuguées ayant une fréquence de l'ordre
du hertz, caractérisant le phénomène qu'on appelera par la suite pompage,
.../ ...

---

80
- deux valeurs propres complexes conjuguées ayant une fréquence de l'ordre
de la dizaine de hertz, caractérisant le phénomène qu'on appelera, par la suite,
vibration (pour le différencier du pompage).
Remarque : Dans toute la suite, sauf mention expresse du contraire,
les valeurs
propres
caractérisant
l'effet
de
pompage
seront
appelées
valeurs
propres
de
pompage et celles caractérisant l'effet de vibration valeurs propres de vibration.
Une étude paramétrique plus détaillée au § 111.1.2, montre que
- les valeurs propres de pompage * - 0.184 + 5.88 1
* - 0.184
5.88 i
dont la fréquence ici vaut Fp ;; 0.9 Hz,
sont fortement influencées par le débit
nominal et le volume aval,
- les valeurs propres de vibration * - 2.99 + 84.3 i
* - 2.99 - 84.3 i
dont
la fréquence
ici vaut
Fv ~ 13.4 Hz,
sont
fortement
influencées
par
les
caractéristiques de la partie pilote du détendeur-régulateur.

---

81
111.1.2 - INFLUENCE DES DIFFERENTS PARAMETRES SUR LA STABILITE DU SYSTEME
LINEAIRE
Nous nous proposons dans cette partie,
de tester l'influence de certains
paramètres
du modèle
sur
la
stabilité
du
système.
Ce
test
consiste
à
suivre
l'évolution des dix valeurs propres du système correspondant à une variation du
paramètre considéré.
Il sera plus particulièrement intéressant de suivre les valeurs propres de
pompage et de vibration,
car celles-ci présentent une partie réelle voisine de
zéro et sont donc susceptibles de déstabiliser le système.
111.1.2.1 - Effets de frottements visqueux
Nous avons, dans la description de l'appareil, défini l'équipage mobile du
pilote et du détendeur principal,
comme la partie des
dits modules pouvant se
déplacer
en
mouvement
de
translation
rectiligne
et
uniforme.
Ces
équipages
comprennent,
entre
autres
éléments,
le
clapet
dit
pilote
(respectivement
dit
principal) lorsqu'il s'agit de l'équipage mobile du pilote (resp. lorsqu'il s'agit
de l'équipage mobile du détendeur principal).
La modélisation retenue ne prend pas en compte a priori, un amortissement
visqueux du mouvement de l'équipage mobile du pilote. L'identification effectuée a
posteriori
(voir
§
III.1. 4)
nous
a
montré
que
l'on pouvait
introduire un tel
amortissement représenté par
une force
-fx (resp.
-
Fi) appliquée à l'équipage
mobile du pilote (resp. du détendeur principal).
Cette
force
peut
avoir
des
origines
diverses.
On
peut
penser
à
un
frottement visqueux dû au lubrifiant qui se trouve dans le guide de la tige du
clapet.
On peut aussi penser à
une autre origine.
Le mouvement oscillatoire de
l'équipage
met
le
gaz,
situé
dans
chacune
des
chambres,
en mouvement.
A ce
mouvement est associé une énergie cinétique proportionnelle à Pp x2 (resp. Pp i 2)
où Pp (resp. Ii»
est la masse ajoutée correspondant au gaz dans les chambres du
pilote (resp. du détendeur principal). Hais cela ne donne pas un amortissement et
la masse concernée est très faible en comparaison de la masse de l'équipage mobile
concerné. On peut imaginer d'autre mécanismes donnant un amortissement visqueux.
Le
mouvement
de
l'équipage
conduit
inévitablement
à
des
turbulences
qui
se
traduisent par une dissipation d'énergie, et donc, un amortissement ..
..../ ...

---

82
Malheureusement il est extrêmement difficile, voire impossible, de quantifier cet
effet et même de donner un argument justifiant qu'il se traduit par une force
d'amortissement proportionnelle A la vitesse. Parmi les nombreux autres mécanismes
que l'on peut imaginer,
i l est possible de songer au clapet. Ce dernier est le
siège d'un mouvement de gaz qui est fonction uniquement de l'ouverture du clapet
c'est-A-dire x pour le clapet pilote et X pour le clapet principal. Ce mouvement
du
fluide
dans
la
pièce
qui
sert
de
guide,
peut
être
schématisé
comme
un
écoulement dérivant d'un potentiel des vitesses ~p pour le clapet pilote (resp. ~D
pour le détendeur principal).
La relation de Bernouilli indique que
a~
1
111.1.2.1 - (1)
P + p (----
+
at
2
où Pch indique la pression statique qui règne dans le volume Al' amont du clapet
(on peut remettre des indices mais l'analyse est la même pour les deux clapets).
Le
mouvement
du gaz
au voisinage
de
la paroi
du
clapet est
commandé
essentiellement
par
le
débit
de
fuite
A
travers
le
clapet,
lequel
est
proportionnel A (X - X.) (si on admet que pour X-X. le clapet
est fermé). On
doit alors écrire :
111.1.2.1 - (2)
~ - (X - X.) L-l eff • ,
où Leff est une longueur caractéristique destinée A faire en sorte que ~ et •
aient la même dimension qui est celle d'une vitesse multipliée par une longueur.
La géométrie de l'ensemble qui conduit l'écoulement étant fixe,
on peut admettre
que. ne dépend que de la position et pas du temps. La relation 111.1.2.1 - (1)
s'écrit donc :
1
1
2
2
2
111.1.2.1 - (3) P + P (X L- ef~ + ---(X - X.)
L- effl IV.I 1 ) - Pch .
2
Or, dans l'établissement du modèle, on avait admis que P -
Pch' On voit
donc que si on tient compte de l'effet en question cela revient à introduire un
effort égal à :
.../ ...

---

83
On montre en annexe
3 que le premier terme de l'effort A bien le signe
qu'il faut pour un amortissement et qu'en plus le second terme est négligeable
devant le premier.
A défaut de pouvoir quantifier ces coefficients de frottement visqueux F et
f,
nous avons,
dans le calcul donnant les dix valeurs propres du sys tèmes au §
111.1.1, supposé que les effets ~s aux frottements visqueux étaient négligeables
dans le mouvement de l'équipage mobile. C'est-A-dire que si lc et t c désignent les
longueurs
caractéristiques
et
temps
caractéristiques du système,
les
grandeurs
sans dimension suivantes :
sont telles que
FIc
HIc
«
t
t 2
c
c
fIc
mlc
«
t
t 2
c
c
Cependant, . si
on choisit
ces
coefficients
de
sorte
que
les
effets
de
frottements
visqueux
soient
non
négligeables
dans
le
mouvement
des
équipages
mobiles. on constate qu'ils ont une influence sur la stabilité du système.
En effet, si le fait d'augmenter le coefficient de frottement visqueux de
l'équipage aobile du pilote ou de l'équipage mobile du détendeur principal. baisse
la partie
réelle
de
la valeur propre
de
vibration
(c'est-A-dire
atténue
tout
phénomène de vibration).
il augmente par contre la partie réelle de la valeur
propre de pompage.
.../ ...

---

84
On trouvera regroupée dans
le tableau ci-dessous,
une illustration de la
série d'essais numériques, montrant l'influence de f sur la stabilité du système.
f
Valeurs propres
Valeurs propres
de pompage
1
de vibration
0
1
- 1. 7 ± 13.6 i
1
- 0.12 ± 83.5
10
1
- 1.4 ± 13.6 i
1
- 8
± 83 i
30
1
- 1.2 ± 13.6 i
1
- 12
± 83 i
En
conclusion,
on
dira
que
toute
introduction
de
frottements
visqueux
atténue le phénomène de vibration, mais peut engendrer le phénomène de pompage.
111.1.2.2 - Raideur des ressorts pilote et détendeur principal
Le
ressort du pilote
(resp.
du détendeur principal),
est un élément de
l'équipage
mobile
pilote
(resp.
du
détendeur
principal)
dont
la
raideur
est
caractérisée dans le modèle par le paramètre k (resp. K).
Comme mentionné au §
111.0.2.1,
les
régulateurs détendeurs peuvent 'tre
équipés de
ressort dont
les constantes de raideur peuvent prendre
les valeurs
différentes.
Ainsi,
si on augmente la valeur de la raideur du ressort de
tarage du
pilote et la raideur du ressort du détendeur principal on constate que la" partie
réelle des valeurs propres de pompage (qui sont d~une façon générale les valeurs
propres dangereuses) décroit. C'est donc dire que toute augmentation de la raideur
du ressort
favorise
la stabilité
de
l'ensemble
du système.
Il
permet
surtout
d'éviter le phénomène de pompage.
Il est à signaler que si tout changement de la valeur du ressort pilote
modifie la partie réelle de la valeur propre de pompage,
elle modifie aussi la
valeur propre
de
vibration,
donc
en particulier
la valeur de
la fréquence
de
vibration du système.
Prenons
à
titre
d'exemple,
deux
ressorts
de
tarage
pilote
co1llllUl'léaent
utilisés sur ces appareils, pour illustrer notre propos.
.../ ...

---

85
Pour notre système initial, nous avions utilisé (voir annexe 4) un ressort
3
pilote dont la valeur de la constante de raideur est k - 1,86 10
N/m.
On avait alors comme valeurs propres de pompage et de ~ibration
* Pl
2.99 ± 84.3 i (valeur propre de vibration),
* P2
- 0.184 ± 5.88 i (valeur propre de pompage).
Si on augmente la valeur de la raideur du ressort pilote, c'est-à-dire en
3
fait si on utilise un ressort dont la raideur est plus grande soit k -
4.2 10
N/m, on a alors comme valeurs propres de pompage et de vibration
* Pl
2.99 ± 127 i (valeur propre de vibration),
* P2
0.19 ± 4.5 i (valeur propre de pompage).
On voit donc que le fait d'augmenter la raideur du ressort pilote, favorise
la stabilité de l'ensemble du système et change la valeur de la fréquence de
vibration. Ainsi on passe de
F
~
V
13,4 Hz (pour k - 1,86 103 N/m) à
F
~
V
20 Hz (pour k - 4,2 103 N/~).
Dans la description de l'appareil (voir § 2.1), nous avions signalé que la
correction de la pression aval suite à une variation de celle-ci, était effectuée
par le clapet principal lui même commandé par le pilote.
Donc,
le régu1ateur-
détendeur sera d'autant plus apte à corriger la pression aval, que le pilote sera
sensible à
sa variation.
Or,
toute
augmentation de
la
raideur du ressort du
pilote,
dégrade
cette sensibilité.
D'où la nécessité
d'utiliser un ressort de
tarage qui ne soit pas trop raide.
En conclusion, on dira que l'augmentation de raideur des ressorts est un
facteur de stabilité. En revanche, une valeur trop grande de la raideur du ressort
pilote, détériore la sensibilité du pilote, c'est-à-dire l'aptitude qu'à celui-ci
à réagir aux variations de pression aval, ce qui peut avoir comme conséquence une
dégradation de la p1àge de régulation.
D'où la nécessité de savoir trouver un
compromis entre stabilité et efficacité du mécanisme de régulation, dans le choix
des ressorts équipant les régulateurs-détendeurs.
. .. / ...

---

86
111.1.2.3 - Section de la membrane pilote et de la membrane du servomoteur
principal
Le fait de diminuer la section de la membrane du pilote ou du servomoteur
principal, diminue la partie réelle de la valeur propre de pompage et augmente la
partie réelle de la valeur propre de vibration.
Comme d'une façon générale, la partie réelle de la valeur propre de pompage
est toujours grande devant celle de la valeur propre de vibration (c'est-à-dire
qu'en pratique le pompage est plus fréquent sur l'appareil que le phénomène de
vibration), toute diminution de la section de la membrane pilote ou du servomoteur
principal sera facteur de stabilité du système jusqu'à une section limite où les
deux valeurs propres ont la même partie réelle. Si on diminue en dessous de cette
section limite, l'on peut provoquer une mise en vibration du système.
Exemple
Pour
notre système initial, la
section de
la membrane
du
pilote
est
a - 8 10- 3 m2 .
Avec une
telle section, les valeurs
propres de pompage et de
vibration
* Pl
2.9 ± 84.3 i (valeur propre de vibration),
* P2
0.185 ± 4.96 i (valeur propre de pompage).
Si, tout autre paramètre étant par ailleurs fixé, on diminue la section de
la membrane du pilote soit
a -
les valeurs propres de pompage et de vibration deviennent
* Pl
1.2 ± 84.4 i (valeur propre de vibration),
* P2
0.19 ± 4 i (valeur propre de pompage).
.../ ...

---

87
On constate donc que tout autre paramètre étant par ailleurs fixé,
si on
diminue la section de la membrane pilote, en la faisant passer de :
u - 8 10- 3 m2 à u - 5 10- 3 m2
le coefficient d'amortissement du système passe de 0,23 à 0,29 cela revient donc à
dire que toute diminution de la section
de la membrane a un effet stabilisateur.
En revanche, si on continue à diminuer la section de cette membrane, en la
faisant passer à u -
3 10- 3 m2 ,
les valeurs propres de pompage et de vibration
deviennent :
pl
0.3 ± 84.4 i
(valeur propre de vibration),
p2
0.35 ± 3.9 i
(valeur propre de pompage).
On constate alors que les valeurs propres de vibration sont devenues les
plus dangeureuses.
On peut
donc dire en conclusion,
que toute diminution de section de la
membrane
atténue
le
phénomène
de
pompage mait peut
être
facteur
de
mise
en
vibration.
111.1.2.4 - Perte de charge des prises d'impulsions
Rappelons
qu'on
appelle
prise
d'influence
pilote
(resp.
servomoteur
principal), un élément de tuyauterie de très faible volume, reliant le volume aval
à
la chambre supérieure du pilote (resp.
du servomoteur principal).
Ces prises
d'influence sont· telles qu'en régime permanent les débits qui y transitent sont
nuls.
Ce
qui
fait. que,
comme
nous
l'avons
vu
au
§
111.5.1,
les
relations
traduisant la variation de débit sont fondamentalement non linéaires. Mais pour
pouvoir effectuer une étude linéaire, et à titre de modèle, nous avons remplacé
l'expression du débit dans la prise d'influence pilote par:
1
lII.1.2.4 - (1)
Aq -
R
et l'expression du débit dans la prise d'influence du servomoteur principal par
IIl.1.2.4 - (2)
Aq* -
.../ ...

---

88
L'expression l
(resp. l ) définit la perte de charge de la prise
a
a*
d'influence pilote (resp. servomoteur principal).
Si le fait d'augmenter la perte de charge, baisse la partie réelle de la
valeur propre de pompage
(c'est-à-dire atténue tout phénomène de pompage),
11
augmente en revanche la partie réelle de la valeur propre de vibration (c'est-à-
dire favorise le phénomène de vibration). Ce phénomène est surtout sensible à la
prise d'influence pilote. Par conséquent, toute augmentation de la perte de charge
aura un effet stabilisateur sur l'ensemble du système, jusqu'à ce que les valeurs
propres de vibration et de pompage aient la même partie réelle. Si l'on continue à
augmenter la perte de charge, on favorise la mise en vibration de l'ensemble du
système.
Prenons pour illustrer notre propos, un système dont la perte de charge de
la prise d'influence pilote et servomoteur principal sont respectivement
on suppose que les autres paramètres sont fixés par ailleurs.
Dans ce cas les valeurs propres de pompage et de vibration sont
Pl - - 7 ± 84 i (valeur propre de vibration),
P2 - - 0.16 ± 5 i (valeur propre de pompage).
Si a* étant fixé, on fait varier a de a - 8 104 à a - 5 104 les valeurs
propres de pompage et de vibration deviennent :
Pl
5 ± 84 i,
P2 - - 0.18 ± 5 i.
On constate donc que le fait d'avoir augmenté la perte de charge a favorisé
la stabilité de l'ensemble du système. Le coefficient d'amortissement passe alors
de 0,2 à 0,23 (c'est-à-dire qu'on a un système plus amorti).
.../ ...

---

89
En revanche si on continue à faire croltre la perte de charge de la prist
d'influence pilote en faisant passer R de R - 5 104 à R - 103 , les valeurs propte~
de pompage et de vibration deviennent :
Pl - - 0.1 ± 84 i (valeur propre de vibration),
P2 - - 0.2 ± 5 i (valeur propre de pompage).
On remarque donc què le fait d'avoir à nouveau augmenté la perte de charge,
a augmenté la partie réelle de la valeur propre de vibration (devenue la valeut
propre dangeureuse).
La figure 111.1.2.4.1, montre l'influence de R sur la stabilité du système.
1
N
5T
A
B
1
l
,
Perle de charge (100 1 R)
E
a ~~20;;:::=..:;,__.;;;:__~1:.......;.;..;...===1=_:=__=__.:;.:_---J.========:::::!::===::::::!:::::::====,!::::====!::::====I-I
....A.-_~~
........
- 200
400
600 .
800
........
porlie
réelle de la voleur propre
----
ci!... pom p.!.9!
--""""-
5
--
.
~
........ _
porlle ruile de la voleur propre
l _5
- ........ -.i. de
B
l
-
vibrolio!!..
-- """"
E
----........
_10-
figure m 1.2.4.1. Influence de la p'ule de chorn.
~priSf d'influence pilole

---

90
111.1.2.5 - Vanne d'amortissement Va2
La vanne d'amortissement, est un organe réglable du régulateur reliant le
volume Vd à la chambre inférieure du servomoteur principal. C'est par cette vanne
que
transite
le
débit
qui
entre
ou
qui
sort
de
la
chambre
inférieure
du
servomoteur principal.
Dans
le
modèle
linéaire,
nous
avons
caractérisé
cette
vanne
par
le
paramètre R2 . Ce paramètre influe peu sur la valeur propre de vibration, mais a
une grande influence sur la valeur propre de pompage.
En effet,
si on diminue l'ouverture de la vanne d'amortissement V
,
la
a2
partie réelle de valeur propre de pompage diminue et on a une légère modification
de la partie imaginaire de cette même valeur propre.
On
peut
donc
dire
que
toute
réduction
de
l'ouverture
de
la
vanne
d'amortissement
stabilise
le
système
et
diminue
légèrement
la
valeur
de
la
fréquence de pompage.
Nous avons regroupé dans le tableau ci-dessous, quelques résultats d'essais
numériques relatifs à
l'influence de ~ sur la stabilité du système pour les
valeurs suivantes des paramètres.
va - 25 litres, Ql - 100 m3/h(N),
R - 1.107 ,
R* -2.96 105,
les autres paramètres ayant les valeurs données en annexe 4.
R2
Valeurs propres
Fréquene de
de pompage
de pompage
2.5 107
- 0.2 ± 22.7 i
1
1
3,61 Hz
4.5 107
- 1.07 ± 19.5 i
1
1
3,1
Hz
6.5 107
1
- 1.64 ± 17.3 i
1
2,88 Hz
Ces résultats obtenus par recherche numérique des valeurs propres du modèle
linéaire sont confirmés par la simulation numérique effectuée au 1 111.1.5.
. . ·1· ..

---

91
On constate donc que le fait d'avoir réduit l'ouverture de la vanne V~ a eu
pour effet de favoriser
la stabilité du système et a diminué la fréquence de
pompage.
Notons
cependant
que
si
toute
fermeture
de
la
vanne
V~
a
un
effet
stabilisateur sur le système, il détériore le temps de réponse de l'appareil dans
la mesure où il rend plus difficile la communication entre le pilote et la chambre
inférieure du servomoteur principal.
111.1.2.6 - Vanne de fuite Va3
La
vanne
de
fuite,
quelquefois
appelée vanne
de
rejet,
est un organe
réglable du régulateur-dét~ndeur, par lequel transite le gaz sortant du volume Vd
vers le volume aval. Cette vanne permet, avec la membrane d'impulsion pilote, de
moduler la pression motrice grâce à une variation de position du clapet pilote.
Dans le modèle, l'expression du débit passant par Va3 est
où
Pd est la pression régnant dans le volume Vd '
Pa est la pression régnant dans le volume aval.
La
vanne
étant
réglable,
la
constante
k3 dépend du nombre de tours
d'ouverture. A~nsi, si ne désigne le nombre de tours d'ouverture, on peut obtenir
une approximation suffisante de k3 en fonction de nt par le polynôme suivant :
Une série d'essais ad'hoc donnant k 3 pour diverses valeurs de nt, nous a
permis d'obtenir les valeurs suivantes :
3.16 10- 9 ,
7.66 10- 9 ,
2.13 10- 9 ,
2.25 10-10 .
.../ ...

---

92
Il est A signaler, qu'en régime permanent, les débits q3 et Qp sont égaux.
C'est-A-dire qu'on a
q30
QpO
Si on étudie l'influence de V
sur la stabilité du système,
on remarque
a3
que toute augmentation de la valeur de nt, ce qui correspondant A une plus grande
ouverture de la vanne de fuite V
, fait baisser la valeur de la partie réelle de
a3
la valeur propre de pompage. En revanche, une telle augmentation ne modifie pas la
valeur propre de vibration.
On trouvera regroupée dans
le tableau ci-dessous,
une illustration de la
série d'essais numériques effectués.
nt (nombre de tours d'ouverture
Valeurs propres
de la vanne Va3)
de pompage
°
- 0.16
± i 6.2
1/2
- 0.178 ± i 5.6
1
- 0.182 ± i 5.3
2
- 0.185 ± i 4.9
3
- 0.187 ± i 4.8
4
- 0.19
± i 4.7
On voit
donc que
toute ouverture de la vanne de
fuite Va3 a un effet
d'atténuation sur tout phénomène de pompage.
Cet effet stabilisateur de la vanne de fuite s'explique par le fait que
toute ouverture de celle-ci, se traduit par une augmentation de q3 0 donc de QpO.
Le clapet pilote a donc tendance A travailler en dehors de la zone de petites
ouvertures, ce qui a comme conséquence une atténuation du phénomène de pompage .
. . ./ ...

---

93
111.1.2.7 - Ȏbit nominal
On définit le débit nominal, comme étant la valeur en régime permanent, du
débit qui
transite par le clapet principal
du régulateur-détendeur.
Ce débit
o
nominal
est
représenté
dans
le
modèle
par
le
paramètre
Q1.
Une
étude
de
sensibilité, nous permet de remarquer que ce paramètre a une grande influence sur
la stabilité.
En effet,
Q10 peut théoriquement varier du cWbit nul au débit max1lla1
correspondant à la pleine ouverture du clapet du cWtendeur principal qui est de
1000 m3/h(N) dans le cas du régulateur FRANCEL BP.
Pour de faibles valeurs du
débit
nominal,
c'est-à-dire
dans
la
zone
de
petites
ouvertures
du
clapet
principal, la partie réelle de la valeur propre de pompage est très voisine de
zéro. Donc en zone de petites ouvertures, le régulateur-détendeur est fréquemment
en pompage. En revanche, si on augmente le débit nominal, la partie réelle de la
valeur propre de pompage diminue. Ce qui signifie que toute augmentation du débit
nominal peut être facteur de stabilité. Elle permet plus exactement d'éviter tout
risque de pompage.
Nous av~ns, pour un volume aval de 15 m3 et tout autre paramètre étant par
ailleurs fixé,
regroupé dans le tableau ci-dessous quelques résultats d'essais
numériques
relatifs
à
l'influence
du
débit nominal
sur
la valeur
propre
de
pompage.
Q1 en m3/h(N)
Valeurs propres de pompage
90
- 8 10- 2
± 4.9
240
- 0.14 ± 4.9
315
- 0.16 ± 4.9
765
- 0.35 ± 4.9
111.1.2.8 - Influence de la fOrme du clapet principal
Rappelons que nous appelons équipage mobile du cWtendeur principal,
la
partie dudit module, soumise à une loi horaire X(t). Un des éléments constitutifs
de cet équipage est le clapet principal, qui pemet, par sa position, de corriger
la valeur de la pression aval
.. . ·1 . ..

---

94
Nous avons fait remarquer,
dans nos hypothèses,
que le clapet principal
était à ouverture linéaire, c'est-à-dire que la loi donnant le débit en fonction
de l'ouverture du clapet était linéaire. Cette hypothèse a d'ailleurs été confirmé
au § III.O.2.2.
Nous avons ainsi, déterminé le coefficient de cette loi linéaire soit
a ~ 63 kgls
m
Si on étudie l'influence de ce coefficient sur la stabilité du système, on
remarque qu'à toute diminution de la valeur de a correspond une diminution de la
partie réelle et de la partie imaginaire de la valeur propre de pompage.
Ce qui
signifie que
toute diminution de a
stabilise tout phénomène de
pompage et réduit la valeur de la fréquence de pompage.
Interprétation
En pratique, diminuer la valeur du coefficient a revient soit à diminuer la
valeur nominale de la pression d'entrée, soit à diminuer la section de passage au
niveau du clapet principal. Comme en général la pression amont Pe est fixée, on ne
peut
diminuer
a
qu'en
réduisant
la
section de
passage
au
niveau
du
clapet
principal, ce qui revient implicitement à réduire le diamètre de ce dernier. En
conséquence,
pour une même variation de débit,
on a une course beaucoup plus
importante du clapet, ce qui lui permet de travailler de plus en plus en dehors de
la zone de petites ouvertures (qui est une zone de pompage). Le clapet travaillant
ainsi en dehors de l~ zone de pompage conduit à un système beaucoup plus stable.
Signalons, qu'une façon pratique d'avoir de petites valeurs de a en zone de
petites ouvertures, donc de diminuer le risque de pompage dans cette zone, est
d'équiper le régulateur-détendeur d'un clapet à ouverture parabolique,
c' est-à-
dire d'un clapet dont la loi d'ouverture est représentée par une parabole comme
sur la figure 111.l.2.8b.

---

9S
LOlO' OU VERT URE
D' UN' CLA PET LIN EAIR E
c
x
Fig. m 128_0
LOI D'OUVERTURE D'UN CLAPET PARABOLIQUE
a
x .
Fig.m128_b

---

96
111.1.2.9 - Influence du volume aval
Le volume aval joue un rôle important dans la stabilité du système.
En effet, d'une façon générale, le fait de diminuer le volume à l'aval du
régulateur-détendeur, a pour effet d'augmenter la partie imaginaire de la valeur
propre de pompage et de diminuer la partie réelle de cette valeur propre.
Cela
signifie, en clair, que toute diminution de volume aval stabilise tout phénomène
de pompage et augmente la valeur de la fréquence de pompage.
A titre d'exemple on remarque que si on prend un débit nominal QlO de 110
3
m (h(N), les autres paramètres ayant les valeurs données en annexe 4, si on fait
varier le volume aval Va de 15 m3 à 10 m3 , les valeurs propres de pompage passent
de :
Pl - - 0.1
± 4.9 i ,
à
Pl - - 0.15 ±
6 i
.
On voit donc qu'on a un système plus amorti et une fréquence de pompage qui
passe de :
Fp ~ 0,78 Hz à Fp ~ 0,9 Hz .
Cependant, le modèle fait appara1tre que si toute diminution du volume aval
a pour effet de diminuer la partie réelle de la valeur propre de pompage,
elle
augmente en revanche la partie réelle de la valeur propre de vibration.
Comme
dans
la
configuration
habituelle
d'utilisation
le
phénomène
de
pompage est beaucoup plus fréquent que le phénomène de vibration,
on voit donc
qu'on pourra stabiliser le système en réduisant le volume aval.
. .. / ...

---

97
Cependant,
et cOlIIDe le montre la figure 111.1.2.9.1, on constate qu'une
réduction du volume en dessous d'une valeur V
peut être
facteur de mise en
L
vibration. Cette valeur V
est fonction des conditions d'utilisation et de réglage
L
de
l'appareil.
En particulier, une série d'essais numériques,
nous a permis de
remarquer que ce volume V
est d'autant plus vite atteint que le débit nominal est
L
important.
On peut donc, en conclusion à cette partie, dire que d'une façon générale,
toute réduction du volume aval stabilise le phénomène de pompage et augmente la
fréquence de celui-ci. L'utilisation d'un régulateur sur un petit volume, à grand
débit peut être facteur de mise en vibration.
Influence du volume aval
Pr
INSTABLE
+
0
VolumeAftl
0
Pr
e
•
STABLE
Pr~bmioa
figure ]II 1.2.9.1 _ E~olulion des p'orties réelles de p'omp~g!.
et de yibro lion

---

98
III.1.3 - ESSAIS EN DYNAMIQUE
111.1.3.1 - Introduction
Ces essais en dynamique,
effectués au Service Métrologie et Matériels de
Réseaux
du
Gaz
de
France
sur
un
régulateur
piloté,
avaient
deux
objectifs
principaux. Le premier de c~s objectifs était d'obtenir des informations sur le
comportement dynamique de l'appareil et donc sur les inconnues fondamentales du
système et qui nous permettraient a posteriori,
d'effectuer une
estimation de
certains paramètres assez mal connus dans le modèle.
Le second objectif de ces
essais
était
de
permettre
de
recenser
différentes
causes
pouvant
engendrer
certaines
instabilités.
L'ensemble
de
cette
campagne
d'essais
devait
nous
permettre d'infirmer ou de, confirmer certaines constatations faites, à partir du
modèle, sur la stabilité du système.
111.1.3.2 - Présentation du banc d'essais
Le régulateur FRANCEL BP, retenu pour les essais en 'dynamique, a été plaCé
sur un réseau basse pression c'est-à-dire un réseau dont la pression amont est de
4 bar
et
la pression aval
de
20 mbar
(ces
grandeurs
sont
données
en valeur
relative c'est-à-dire par rapport à la pression atmosphérique).
La plage de débit théorique du régulateur est de 1000 m3/h(N).
Partout,
sauf mention expresse du contraire, m3/h(N) désignera l'unité de débit corrigé.
La formule de débit corrigé est donnée par la relation suivante
Pression absolue (Pascal)
273,15
Débit ~orrigé -
Débit brut x
-------------x
(en m /h(N)
(en m3/h)
Pression atmosphérique
Température
(Pascal)
absolue (Kelvin)
Al' extrémité aval du régulateur a été placée une électrovanne permettant
de solliciter l'appareil afin de pouvoir suivre son comportement.
. .. / ...

---

99
On trouvera sur la figure 111.1.3.2:1, un schéma du banc. Afin d'obtenir
des
informations
sur
les
inconnues
fondamentales
du
système
lors
de
son
fonctionnement dynamique, celui-ci a été pourvu :
- de capteurs piézo-électriques au niveau de" chaque chambre,
permettant
d'avoir les informations en pression,
- d'un potentiomètre au niveau du clapet principal, permettant d'accéder
aux informations sur son déplacement,
-
d'un capteur de proximité donnant les
informations
en déplacement de
l'équipage mobile du pilote.
Il est à
remarquer qu'un capteur de proximité a
semblé utile au niveau de cet organe,
car tout autre capteur nécessitant une
liaison mécanique
risquait
de
modifier
le
comportement,
donc
la
dynamique
de
l'équipage mobile.
Un
potentiomètre
placé
sur
P,,"i.. ,.,"l
l'électrovanne en sortie de banc, donne des
informations sur la fonction d'excitation de
FRANCH
BP _ DN 50
l'ensemble du système.
Toutes
ces
informations
sont
recueillies puis stockées grAce à une cha1ne
d'acquisition
directement
reliée
au
banc
d'essai.
VtIUM . . .1 DN 150
ELECTROVANNf
8P
Fi" m _IUI.SCHEMA DU BANC DE MONTAGE

---

100
111.1.3.3 - Analyse de gue1gues résultats d'essais
Dans
cette
partie,
les
essais
ont
consisté,
pour
un
réglage
fixé,
à
solliciter dynamiquement l'appareil en créant grâce à l'é1ectrovanne une variation
de débit du gaz transitant par le volume aval.
D'une façon générale,
les
fonctions d'excitations sont du même type que
celle représentée sur la figure 111.1. 3.3.1.
Cette fonction d' exci tation est un
échelon en vitesse dont l'amplitude est de 2,2 mm.
Puisque 1 mm d'ouverture de
l'é1ectrovanne correspond à
une variation de
débit
de
30 m3/h(N),
la fonction
d'excitation représentée sur la figure 111.1.3.3.1 correspond à une variation de
3
débit de 66 m /h(N). Le temps de montée de cette fonction est de 6 10- 2 seconde,
il correspond au temps d'ouverture de l'é1ectrovanne.
~ m
2. SŒ-3 l------..
-
--~........-
.........- - _ - -
__._-........_,
2.9Œ-3
I.SBE-3
1.9BE-3
5.Œ-4
SIC
-S.Œ-4CS)
-~
CS)
CS)
CS)
CS)
CS)
a:a
CS)
CS)
CS)
.
.
.
.
..
..
U)
CI)
m
tU
U)
N
ai
-
-
-
-
TEMPSCLIN)
f!lJure m t.3.3J _ Exemple de fonclion d'ucitolion

---

101
a - Première condition d'essais
* débit nominal QI ~ 100 m3jh(N)
* l'amplitude de la fonction d'excitation est de 2mm
* la vanne d'amortissement Va2 est ouverte à 1/4 tour
* la vanne de fuite Va3 est ouverte à 1 tour
* le temps d'ouverture de l'électrovanne est de 6 10-2 seconde
On
observe
pendant
environ 16
secondes.
le
comportement
dynamique
de
l'appareil. La figure 111.1.3.3.2 représente l'évolution de la pression à l'aval
du régulateur.
Pa
Pascal
j~
588 ~--.....----.......-----..--_...----------.......-----..----,
488
388
288
188
-188
-2.
_.L..-__........__....o--
.o.--_ _- ' - - sec
. . . .
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
N
~
W
•
m
N
~
.~
m
-
- -
rigu re m 1.3.3.2 _ Ewaluli an de la p'ressian DYa 1

---

b - Deuxième condition d'essais
* débit nominal QI· ~ 70 m3/h(N)
* l'amplitude d'ouverture de l'électrovanne est de 2 mm
* le temps d'ouverture de l'électrovanne est de 6 10- 2 seconde
* la vanne d'amortissement Va2 est ouverte à 1/4 tour
* la vanne de fuite Va3 est ouverte à 2 tours.
On
observe
également pendant
8
secondes.
le
comportement
dynamique
de
l'appareil. La figure 111.1. 3.3.3 représente l'évolution de la· pression à l'aval
du régulateur-détendeur.
Po 1 Pascal
300 t--------:-------..-----------------
2DD
100
j.
I~ 1
Il
· fi; 1
Il !
1
:
~~
j
!
o ..-
-100
1
1111
1\\ r Il f '1
-200
#
t,
-3IXJ
1
SfC
-4œCl.&.------=------=-------a------Cl--~--........LQ-...:J::~
N
•
w
è
d
-
figurf mu.!.!_ EYOlutian df la p'rfssion oyol

---

103
Notons que les différents signaux représentés dans ce paragraphe, ont été
échantillonnés à une fréquence de 1000 Hz (ce qui correspond à 1000 acquisitions
par seconde). D'après le théorème de Shannon, la fréquence d·échanti11onnage doit
être supérieure à au moins deux fois la fréquence f c ' où l'intervalle [0, f c ]
représente la bande de fréquences que l'on observe. En pratique, pour être sûr de
la cohérence des signaux enregistrés dans la bande de fréquences que l'on observe,
on choisit une fréquence f c .te11e que la fréquence d'échantillonnage soit trois
fois
(ou
même
plus)
supérieure
à
celle-ci.
Par
conséquent,
nous
ne
nous
interresserons qu'à la bande de fréquences comprise entre a et 100 Hz.
Si on effectue une analyse spectrale du signal représenté sur la figure
111.1. 3 . 3 . 3 en ne nous intérressant qu'à la bande de fréquences a - 100 Hz, on
note la présence de deux fréquences propres du système.
* Une fréquence de l'ordre de 5 Hz caractérisant l'effet de pompage et dont
le niveau de puissance est le plus élevé ;
* une fréquence de l'ordre de 19 Hz caractérisant l'effet de vibration.
Cette valeur de la fréquence de vibration, s'explique par le fait que nous
avons
équipé,
pour
les
essais,
le module
pilote
du
régulateur-détendeur
d'un
ressort dont la raideur est de 4.2 103 N/m.
Les essais en dynamique, effectués auparavant sur un autre réseau, avec ce
même appareil, dont ie pilote a été équipé d'un ressort ayant un coefficient de
raideur de 1.86 103 N/m (voir la référence [7]), a mis en évidence une fréquence
de vibration de 13,5 Hz.
Ces résultats confirment bien l'étude théorique du § 111.1.2.2.
.../ ...

---

104
111.1.3.4 - Influence de la position du servomoteur
Cet essai consistait à étudier l'influence de la position du servomoteur
principal sur la stabilité de l'appareil.
Pour cela, dans les mêmes conditions d'essais, le régulateur-détendeur est
placé sur le réseau dans un premier temps avec le servomoteur dans la partie
supérieure de l'appareil (voir figure 111.1.3.4.1), puis dans un second temps avec
le servomoteur dans la partie inférieure de l'appareil (voir figure 111.1.3.4.2).
1 - --Pilol;-l
,
A\\
1
1
~Iï
1
......
1
1
VoS
1
1
1
1
1
Pli
1
Ph
1---- - - - - .
1
.~ P~ 1= 1
L:
...J
H~VD2
r------l
1 .
.
Ph-
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.....,"""'1
PM
1
1
1
l
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1
PI
l
....
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+-!_ ,
1
!":v:~
IC
~tlt~t!! -!r.!.!!c.!!o!.J
ligure m1.3.'.1 _ Détendeur Illonté 0 r endrDit
Pt
J:.
Pa
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"'"'1
Diltllhu7 pri;ci;;ïi
VIC
IPREDETENDEUR 1
.1
(;\\.
:
l
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1
1
1
1
1
1
1
1
1
J ...
1
:PILOTE
PM
1
r ...
1
1
Vu
~ Ph·
1
1
L _______ -.J
VII 'Il
III. ~

---

105
On constate que dans la première position, le régulateur-détendeur est plus
stable. Cela s'explique par le fait que, lorsque le servomoteur est placé dans la
seconde position, le poids de l'équipage mobile s'oppose A la force créée par le
ressort principal. On a par conséquent, une diminution de la raideur du ressort de
l'équipage mobile.
C'est-A-dire que tout se passe comme si l'on disposait d'un
régulateur ayant un ressort moins raide ce qui,
on le sait (voir § 111.1.2.2),
diminue la stabilité de l'app~reil.
111.1.3.5 - Influence du débit nominal
Cet essai avait pour but, pour un réglage donné du régulateur-détendeur, de
faire
varier
le
débit nominal
afin d'étudier
l'influence
de
celui-ci
sur la
stabilité du système.
La configuration de l'appareil est la suivante
* la différence de pression dans le servomoteur est d'environ 30 abar avec
une variation pouvant, dans certains cas, atteindre 1,5 abar ;
* la vanne d'amortissement Va2 est ouverte A 2 tours
* la vanne de fuite Va3 est ouverte A 1,5 tour;
* le volume aval Va est fixé A 160 litres.
.../ ...

---

106
Dans le tableau qui suit, nous avons regroupé les différents résultats et
observations effectués.
X course du
Ql (~ébit)
Pa pression
clapet prin-
en m /h(N)
aval (en mbar)
Observations
cipal (en mm)
0,22
0,25
3,32
20
± 0,5
Pompage et décalage de la consigne.
On se trouve donc en zone instable.
Le système est calmé et on reprend
les essais avec le même réglage
0,3
0,34
34,27
20,5 ± 1
Même phénomène que précédemment.
On est donc toujours en zone
instable
0,5
0,51
95,8
20
± 0,8
Même phénomène. C'est à dire
pompage et décalage
de la consigne.
Zone instable. Le système est calmé
et on reprend les essais.
1,03
1,04
266,4
20
± 0,4
On se trouve toujours en zone
instable car on observe
le même phénomène que
précédemment.
1,72
1,73
485,8
20
± '0,1
On observe le même phénomène mais
le décalage est moindre. On se
rapproche donc du domaine de
stabilité
2,34
2,35
640,6
20
Le système initialement en
pompage, se calme seul sans
décalage de consigne, mais au bout
d'un temps très long. On se trouve
dans la frontière de stabilité.
3,54
3,57
873
20
On est franchement en zone stable
car le temps de stabilisation
est très court. Mais on remarque
une grande amplitude au niveau
de la variation de la pression
aval.
4,2
4,25
970
20
On est en zone stable. Le
système est encore plus stable
et on a une augmentation de
l'amplitude de la pression aval.
Cette série d'observations, nous permet de confirmer l'étude théorique du §
111.1.2.7,
•
savoir
que
toute
augmentation
du
débit
nominal,
a
un
effet
stabilisateur
sur
le
système.
Cette
augmentation
atténue
plus
exactement
le
phénomène de pompage.

---

107
111.1.3.6 - Essai de mise en vibration
La configuration de l'appareil est la suivante
* volume aval Va ~ 160 litres ;
* débit nominal QI· ~ 238 m3jh(N)
* la vanne d'amortissement V
est ouverte
a2
à l tour
* la vanne de fuite V
est ouverte
a3
à 2 tours
* l'évent pilote ne comporte pas de restriction.
Dans un premier temps on sollicite le système en créant une perturbation
par l'électrovanne placée en sortie de banc (c'est le cas classique). Le système
se met uniquement en pompage. Cet effet de pompage est atténué et par conséquent
l'appareil est stabilisé en plaçant une restriction au niveau de l'évent pilote.
De
la même façon,
on obtient le même phénomène
si on lamine
(en plaçant une
restriction) au niveau de la prise d'influence pilote.
Dans un second temps, et en gardant la même configuration, le système est
sollicité par
l'introduction bruSque
d'une variation de pression
au niveau
de
l'évent pilote.
Le
système
se
met alors
en vibration
entretenue,
à
la
fréquence
Fv ~ 19 Hz. La figure 111.1.3. 6a nous montre la variation. de la
pression aval lors de la mise en vibration.
Cette série d'essais nous montre le rôle prépondérant que joue l'ensemble
pilote lors de
la mise en vibration du régulateur-détendeur.
Elle nous permet
également de confirmer le fait que toute introduction de perte de charge a un
effet stabilisateur.

---

lOS
r----------..--------------~
0 "SI
0"91
r...
~
QI
~
C
~
~
\\QI
r...
0";1
~
"'0
c::
a
~
c
r...
.,g
0"21
>
c::
QI
QI
on
E
0"01
c
QI
"'0
on
r...
a
0"8
c
>
c
c::
a
on
...
0"S
QI
r...
C4.
c
QI
"'0
c::
a
0";
~
~
a
>
UJ,
~
0"2
~
~
-
cU
~QI
on
c
r...
~
~
~
0
'~I
~
CS)
CS)
cf
CS)
CS)
ru
~
1

---

109
111.1.3.7 - Influence du yo1ume aval
Nous avons vu, à partir de l'étude paramétrique effectuée au § 111.1.2.9,
que le volume aval jouait un rôle assez important dans la stabilité du système.
Nous avons en particulier, montré que toute diminution du volume aval augmentait
la fréquence de pompage et l'amplitude de la variation de la pression aval et
améliorerait
la
stabilité
du
système.
Le
but
de
ces
essais
est
de
pouvoir
confirmer ces constatations.
1 - Montage et description de l'essai
Deux capacités, d'environ 600 litres chacune, sont superposées et montées à
l'aval
du
régulateur-détendeur
(voir
figure
111.1.3.7a).
Ces
deux
capacités
pouvant être isolées grâce à une vanne dite vanne papillon.
Le volume aval effectif du régulateur-détendeur, c'est-à-dire le volume par
où transite le gaz à la sortie de l'appareil est le volume supérieur noté volume
V1a sur la figure. Le volume inférieur V2a est initia11ement plein d'eau. L'essai
consiste
à
d'abord diminuer
le volume
en gaz
de
V1a,
en y
transférant
par
l'intermédiaire de la vanne une certaine quantité d'eau provenant de V2a. Ensuite
le volume V1a est isolé. On observe alors, après sollicitation, le comportement du
régulateur-détendeur.
2 - Expression des résultats
a - Première série d'essais
la vanne d'amortissement Va2 est ouverte à 1/4 tour
. la vanne de fuite V
est ouverte à 2 tours;
a3
la pression de prédétente n est fixée à 200 mbar
. le débit nominal est fixé à Q1 - 227 m3/h(N).
.../ ...

---

Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant
volume aval
Fréquence de pompage
1
1
Observation sur la stabilité
.
690 litres
1,33 Hz
le système est instable pompage
entretenu
1
550 litres
1
1,43 Hz
1
pompage entretenu
445 litres
1
l,55 Hz
pompage entretenu
1
345 litres
1
1,7
Hz
1 pompage entretenu
.'
235 litres
1
1,85 Hz
1 pompage entretenu
160 litres
1
1,95 Hz
1 pompage entretenu
135 litres
2
Hz
le système est toujours instables mais
1
1
le pompage à tendance à s'atténuer
115 litres
2,1
Hz
le système se stabilise mais au bout
1
1
d'un temps très long
75 litres
2,15 Hz
système stable, temps de stabilisation
1
1 très court.
On remarque
donc,
d'après le tableau ci-dessus,
que toute diminution du
volume aval, atténue le phénomène de pompage et augmente la fréquence de pompage.
Ce qui confirme l'étude théorique du § 111.1.9.
b - Deuxième série d'essais
la vanne d'amortissement V
est ouverte
a2
à 1/4 tour
la vanne de fuite Va3 est ouverte à 2 tours
la pression de prédétente n est fixée à 200 mbar.
On cherche,
pour différentes valeurs du débit nominal,
le volume aval à
partir duquel le régulateur-détendeur FRANCEL BP est stable. Ce volume correspond
au' volume aval supérieur de stabilité.
Q1
1
Va (volume aval)
227 m3/h(N)
75 litres
1
334 m3/h(N)
1
100 litres
374 m3/h(N)
1
175 litres
.../ ...

---

111
On
remarque que le volume de stabilisation varie en fonction du débit
nominal et que ce volume est d'autant plus grand que le débit est important.
c - Troisième série d'essais
* On fixe le débit nominal QI A 215 m3/h(N)
* La vanne de fuite Va3 est ouverte A 2 tours
* La pression de prédétente n est fixée A 200 bar.
Dans
un premier
temps
on cherche,
la vanne
d'amortissement Va2 étant
ouverte
A 1/4
tour,
quel
est
le
volume
aval
limite
supérieur
de
stabilité
correspondant,
c' est-A-dire le volume A partir duquel
le
régulateur détendeur
devient stable. On constate que le système se stabilise pour un volume Va =50
litres.
Ensuite, pour un tel volume (Va =50 litres), on fait varier l'ouverture de
la vanne d'amortissement. Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau
suivant :
V
=
a2
1/4 tour
système stable
Va2 =1/2 tour
léger pompape. Hais stabilisation au
bout d'un temps très long
Va2 =1 tour
léger pompage entret~mu
Va2 =2 tour
pompage
On remarque donc que le volume aval de stabilité est aussi fonction des
conditions de réglage de l'appareil. En particulier ici, on constate que toute
réduction de l'ouverture de la vanne d'amortissement a un effet stabilisateur ce
qui confirme l'étude fait au § 111.1.2.5.
.../ ...

---

112
d - Quatrième série d'essais
Dans cette série d'essais, on garde le même montage que celui défini sur la
figure 111.l.3.7a et on remplace le régulateur FRANCEL BP par un autre appareil.
Celui-ci est un régulateur-détendeur de type piloté, conçu aussi pour les
réseaux basse pression.
L'une des particularités de cet appareil est la forme
parabolique de sa loi d'ouv~rture. Reprenant la même série d'essais que celle
effectuée sur le FRANCEL BP on obtient les résultats suivants :
•
Débit nominal Ql
Volume aval de stabilité
Q10 ~ 130 m3/heN)
Va ~
50 litres
Q10 ~ 200 m3/heN)
Va ~ 325 litres
Q10 ~ 250 m3/heN)
Va ~ 500 litres
Q10 ~ 300 m3/heN)
Va ~ 600 litres
On constate donc que ce régulateur est beaucoup plus stable que le FRANCEL
BP.
Une
des
causes
de
cette
stabilité
est
la
forme
parabolique
de
la
loi
d'ouverture
qui
on
le
sait
evoir
§
II1.1.2.8)
a
un
effet
stabilisateur
sur
l'ensemble du système.
PROJET DETENDEUR_BANC D"ESSAis
A CAPACITE VARIABLE
Pt
- - - . -
.1-ooU-'."W;U&;- _ . . , ........
.....-.tA.fI+- ••>+ Ir. . . '-t _
.
V.I•• t
VI.
--_. __._.
Fig. m .137.

---

113
111.1.4 - IDENTIFICATION DU SYSTEME LINEAIRE
111.1.4.1 - But de l'identification
Après avoir construit par voie déductive, les deux modèles, respectivement
non linéaire, et linéaire représentant l'appareil, une étape décisive dans notre
recherche a été la validation des modèles. A cet effet, nous avons réalisé avec
l'aide de MM. J.Ph. CORNIL, A. DEBAILLEUL, une campagne de mesures sur un FRANCEL
BP (voir § 111.1.3). Au cours de cette campagne de mesures nous avons déterminé, A
l'aide de capteurs, l'évolution temporelle de certains des éléments de la matrice
colonne U, en réponse A une évolution temporelle déterminée de la matrice colonne
E. Les mesures ont été enregistrées et ceci pour divers essais correspondant A
diverses valeurs des paramètres de réglage de l'appareil. A partir de ces données,
la validation de
l'un ou l'autre des modèles
comporte une
double
démarche
identification puis validation proprement dite. L'identification est une démarche
de mise au point définitive du modèle. Qu'il s'agisse du modèle linéaire ou du
modèle non linéaire, ceux-ci contiennent des constantes numériques, qui sont les
valeurs prises par certaines grandeurs pour un appareil déterminé. Certaines de
ces grandeurs sont accessibles A une mesure directe,
d'autres le sont avec une
marge d'incertiçude ou ne sont pas accessibles du tout. L'identification consiste
A déterminer
les
constantes
en
question,
en
essayant
de
réaliser
au
mieux
l'adéquation entre la fonction t-----.U(t)observée' observée lors de la campagne
d'essais
et
l'équation différentielle
traduisant
le
modèle.
Nous
verrons
en
III.1.4.2 comment réaliser cette
identification.
La validation proprement
dite
consiste A soumettre le modèle identifié A une simulation numérique de manière A
obtenir une fonction t~U(t)simul et à comparer les deux fonctions
et t_U(t)observée
Dans tout ce qui suit, on appelera processus, tout ce qui est relatif au
système réel (en l'occurence l'appareil) en opposition au modèle mathématique.
111.1.4.2 - Méthode d'identification paramétrique
Notre
propos,
dans
cette
partie,
est
de
mettre
en
place
la
laéthocle
d'identification paramétrique que nous allons utiliser pour mieux estimer certains
paramètres du modèle.
.../ ...

---

114
Le système linéaire s'écrit sous la forme matricielle suivante
dU
III.1.4.2 - (1)
- AU + BE
dt
où
U représente
le
vecteur
d'état
du
système,
c'est-à-dire
la matrice
colonne dont les composantes sont les inconnues décrivant l'état instantané du
système .
.
E représente le vecteur d'entrée du système,
c'est-à-dire la matrice
colonne dont les composantes sont des fonctions connues du temps qui caractérisent
l'excitation du système.
Les paramètres que nous voulons identifier, sont des éléments de la matrice
A et de la matrice B.
Au départ,
on suppose que le relevé du jeu d'entrée-sortie (E, U) a été
effectué expérimentallement sur le processus.
Par
conséquent,
si
notre
modèle
mathématique
défini
par
l'équation
111.1.4.2 - (1) décrit le comportement du processus, on devrait pouvoir déterminer
les éléments des matrices A et B, à partir des relevés expérimentaux.
Remarque
Dans
tout ce qui suit,
dans cette partie,
nous
soulignerons
avec deux
barres les matrices, et nous soulignerons d'une barr~ les vecteurs.
Définissons la fonctionnelle de A et B suivante
f+ao
T
I(A, B) -
_~
g(t) (n(t) - 6. U(t) - 1·I(t»
(n(t) - 6.U(t)
- II(t» dt
où nous supposons la fonction g(t) positive et suffisaDllllent régulière pour que
l'intégrale soit définie.
.../ ...

---

115
Nous supposerons en outre que la fonction g(t)
est nulle en dehors de
l'intervalle de temps d'observation du processus expérimental. On a :
111.1.4.2 - (2)
1 (A,B) -
f~g(t) yftl.il<t) dt - f~ g(t) yft) .6.ll(t) dt
f+ca T
1+ca
T T
1+ca
T T
-
-e g(t) Ù<t)·I·I(t) dt -
-e
g(t) Y·6·Y dt +
-e
g(t)Y·6·6 y dt
J+ca T T
J+ca
T T
+
-e g(t) U·6·1·1 dt.-
-e g(t) I·I·Y dt +
j +ca T T
-e g(t)I·I·6 U dt
+
1+ca T T
-e g(t) 1·1·1·1 dt
Soit [0, Tl l'intervalle de temps pendant lequel est observé le processus
expérimental.
La fonctionnelle 1 (A, B) définie par la formule 111.1.4.2 - (2) devient
111.1.4.2 - (3)
1 (A, B) - ~.T g(t) y7Y dt - faT "g(t) Y.6.l! dt
{T
T
fT
T T
(T
T T
-Jo g(t) Ù·I·I dt - 0 g(t) Y·6·Ù dt + Jo g(t) Y·6·6·Y dt
(T
TT
+JO
g(t) I·I·I·E dt
.../ ...

---

116
Identifier les paramètres du système, revient à chercher les composantes de
la matrice A et de la matrice B qui minimisent la fonctionnelle l
(A, B) définie
en 111.1.3.2 (3).
Pour minimiser l on doit écrire que
BI
BI
III.1.4.2 (4)
- 0
et
- 0
Soient Apq et Bij les paramètres que nous voulons identifier.
Pour le calcul des dérivées,
nous adopterons
la convention de
l'indice
muet.
BI
+
BI
+
2
(
.../ ...

---

117
Posons
III.1.4.2 (5)
~pq -
loT g(t) Ùp(t) Uq(t) dt
~T
Ppq -
g(t) IIp(t) Eq(t) dt
Qqk -
loT g(t) Uq(t) Uk(t) dt
.l:T
Ppk -
g(t) Up(t) ~(t) dt
.J:T
'Yqk -
g(t) Eq(t) ~(t) dt
Avec les 'notations 111.1.4.2 (5), le système 111.1.4.2 (4) peut s'écrire
Qqk ~k + Ppk Bqk - ~pq
1II.l.4.2 (6)
{ Ppk Aqk + 'Yqk Bpk - Ppq
COIIIIIe
les valeurs Q,
P, 'Y , ~. et P sont entièrement connues grâce aux
relevés expérim~ntaux, la recherche des paramètres qui minimisent la fonctionnelle
1 consiste. résoudre le système d'équations linéaires 111.1.4.2 (6).
En toute rigueur, les paramètres Apq et Bpq déterminés. partir du système
. linéaire, optimisent la fonctionnelle 1(A, B). Pour nous assurer qu'ils minimisent
effectivement 1(A,
B),
11 nous suffit de monter
que
cette
fonctionnelle
est
convexe.
.../ ...

---

118
Du
fait
de
la
positivité
de
la
fonction
g(t)
dans
l'intervalle
d'observation, on montre que I(A, B) est convexe.
En effet :
avec ~l + ~2 - 1
On a,
I(~lAl + ~2A2' ~lBl + ~2B2) - ~l I(Al , Bl ) - ~2 I(A2 , B2) -
~OT g(t) (llFi + l2F;) (llF1 + l2F2) - llFiF1 - l2F;F2) dt
L'expression
entre
accolades.
sous
le
signe
intégrale
donne
par
développement
CODlle g(t) est positive, on a (g(t) (.}) < 0
Par conséquent :
.../ ...

---

119
Ce qui revient à dire qu'on a
D'où I(A, B) est strictement convexe. Par conséquent, les paramètres Apq et
Bpq solutions de lII.1.4.2 (6) minimisent I(A, B) et donnent donc la meilleure
estimation paramétrique cond~isant le modèle à un comportement comparable à celui
du processus réel.
111.1.4.3 - Identification
La méthode que nous .venons de développer au § III .1.4.2 et qui nous permet
de mieux estimer les paramètres du modèle à partir des résultats expérimentaux,
est d'autant plus performante numériquement que le nombre de paramètres est plus
petit.
Nous
avons
pour
cela,
adapté
la
méthode
de
façon
à
permettre
l'identification équation par équation. Ainsi le nombre de paramètres à identifier
est faible et par conséquent ceux-ci sont mieux estimés.
111.1.4.3.1 - Equation de la dynamique pour le mouvement de l'équipale mobile et
identification de f
On part
de l'équation de la dynamique pour le mouvement de l'équipage
mobile pilote soit
111.1.4.3.1 - (1)
.../ ...

---

Les paramètres m (représentant la masse 'équivalente de l'équipage mobile
pilote),
k
(représentant
la raideur du ressort pilote)
et 0
(représentant la
section de la membrane du pilote) ayant été mesurés, ils sont par conséquent bien
connus. On cherche donc, pour un essai donné, A estimer la valeur du coefficient
de frottement visqueux f. Pour cela, nous allons suivre un raisonnement analogue
A celui
développé
au
§
111.1.4.2,
en
prenant
ici
comme
fonction
de
pondération
g(t) - 1.
T
- 8 secondes représentent le temps d'observation du
processus expérimental
Ona
I(f) -
./:T(F1(t) + fF2(t» T(F1(t) + fF2(t» dt
- l T IF1 (t) ,2 dt + f2
l T IF2 (t) 12 dt + 2f lT F1 (t)F2 (t) dt
al
Par conséquent
af
D'où le paramètre f qui minimise la fonctionnelle l, c'est-A-dire qui est
tel que :
al
- 0
est
af
.../ ...

---

121
avec m - 2,6 10- 1 kg
k - 4,2 103 N/m
a - 8 10- 3 m2
On obtient la valeur suivante de f
f - 48 N/m/s
On remarquera que la valeur de f obtenue par identification • bien le signe
d'un amortissement.
La figure 111.1.4.3.1.1 représente:
* en trait continu, la variation du mouvement de l'équipage mobile pilote,
obtenue
par
simulation
numérique
effectuée
•
partir
des
paramètres
après
l'identification,
* en pointillé, la variation du mouvement de l'équipage mobile pilote,
obtenue expérimentalement.
X
.95E_
m
~~ _..--=:...:-:::...=-::_,..- ...-
-e::..~.-._=--=-"'--..---
_
-e=.c:r
T~MPS
[igure m.1.4.3.1.1 _ Comp'oroison entre le déplocement de 1." équipoge Ilobile du pilote
1
théorique ( - ) et 1 n,tri.ental '= --l op'rè, identification

---

122
111.1.4.3.2 - Identification des autres paramètres du système linéaire
En suivant un raisonnement anologue à celui développé au § 111.1.4.3.1, on
identifie équation par équation,
sur le même essai que précédeDDDent,
les autres
paramètres du modèle.
Cette série d'identifications nous permet d'obtenir les valeurs suivantes
• Le coefficient d'amortissement visqueux de l'équipage mobile du détendeur
principal F vaut :
F =3,5
2
10
N/m/s
· Le coefficient de perte de charge de la prise d'influence pilote vaut
7
R =2.2 10 S.1
·
Le coefficient
de perte de charge de la prise d'influence principale
vaut
R* =3.9 106 S.1
• Le coefficient caractérisant la perte de charge au niveau de la vanne
d'amortissement Va2 vaut
7
R2 =3.5 10 S.1
La
figure IIl.1. 4.3.2.1
représente une
comparaison entre la variation
de
la
pression
dans
la
chambre
supérieure
du
pilote
Ph obtenue
expérimentalement
(en ----) et celle (en ....._) obtenue par simulation numérique
après identification.

---

123
U
QI
.,.
c
l' 0
1
~
)
0
1
U
r'l
1
...
1
III
- --~
1
M
c
li)
.,
(
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0
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,
-cQI
,
E
on
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L-
L-
a:.
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0
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a.;
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1
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1
..t=.
C-
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cr.
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Ul
c
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0
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0
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c.. Cl.
w
JI -..
~
QI
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" ,
•
.-..~
--
-
,.....~--
-
,------
.-..-..
-
............ ~.----- ~.--.-------- =":=' ..
....
,.-
~ ..-.
CD•
Cil
o
V
1

---

124
111.1.4.3.3 - Identification du système linéaire A partir d'un autre essai
Nous reprenons la même série d'identification,
en partant cette fois ci
d'un essai différent de celui qui nous a servi A l'identification aux paragraphes
111.1.4.3.1 et 111.1.4.3.2. Cet essai est différent du précédent, dans la mesure
oi! nous avons des conditions différentes de réglage de l'appareil et un débit
nominal différent.
Les paramètres initiaux (masse,
raideur,
etc ... ) qui ont été mesurés et
donc bien connus,
sont les mêmes qu'A la première identification.
On
cherche
alors, A estimer les paramètres mal connus.
On arrive aux valeurs suivantes des paramètres (en unités S.I)
f - 55
F ;; 5 102
R -
;; 1.47 107
R* ;; 1. 21 106
R2 ;; 1. 7 107
R4 - 5.5 103
-
On observer~ sur les figures 111.1.4.3.3.1 - 111.1.4.3.3.2, une comparaison
entre
les
résultats
expérimentaux,
et
les
résultats
obtenus
par
simulation
numérique après identification.
On remarque
donc que d'un essai A un autre,
si certains paramètres sont
restés inchangés, d'autres en revanche ont subi une Yariation. Ce sont surtout,
les paramètres caractérisant les pertes de charge A savoir R,
*
R , R2 et R4 qui
subissent les fortes variations.
Ceci montre que ces grandeurs ont des valeurs qui varient d'un essai A un
autre, c'est-A-dire suivant les conditions de réglage de l'appareil et le débit
nominal. Cette incertitude au niveau de l'estimation de ces paramètres s'explique
par le fait que ceux-ci ont été obtenus par une méthode d'approximation dite de la
sécante et dont
les valeurs
dépendent du choix d'un point
sur
la
courbe
de
fonctionnement donc du réglage de l'appareil et du débit nominal.

---

125
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.!L.!!.. prlllion nal tlp"rimtnlale (
) après identificalion

---

126
111.1.5 - SIMULATION DU SYSTEME LINEAIRE
111.1.5.1 - Introduction
Le modèle linéaire ayant été mis en place, et les paramètres mieux estimés
grâce Al' identification,
une
autre étape de cette
étude est de
soumettre ce
modèle A la
simulation numérique.
L'un des
objectifs
de
cette
étape,
est
la
possibilité
qu'elle
nous
offre,
d'avoir
rapidement
des
informations
sur
le
comportement
dYnamique
du système,
sans
nécessairement
avoir
à
effectuer
une
campagne d'essais, quelquefois longue A mettre en oeuvre.
La simulation numérique a été effectuée avec le logiciel ALLAN, réalisé par
le DAS (Département Automatique et Système du Gaz de France) en collaboration avec
la CIS!.
Les
résultats
obtenus
A l'issue
des
différentes
simulations
sont
en
parfaite concordance avec l'étude théorique. Nous allons, ici, présenter quelques
uns de ces résultats.
111.1.5.2 - Résultats d'un test de simulation numérique
On considère
un système dont les paramètres ont les valeurs données en
annexe 4, c'est-A-dire en particulier un volume aval de 15 m3 et un débit nominal
de 8.5 10- 2 kg/s. Untel système est excité par une fonction échelon en vitesse de
3 mm d'amplitude comme représentée sur la figure 111.1.5.2.1. On observe alors son
comportement pendant 8 secondes.
On
a un système oscillant A une fréquence
Fp de
0,7 Hz et légèrement
amorti.
Les
figures
111.1.5.2.2
II!.l. 5.2.3
lII.l.5.2.4
lII.l.5.2.5
représentent l'évolution respectivement de la variation de la pression aval, de la
variation de position du
clapet pilote,
de
la pression motrice
Pd et
de
la
variation de position du clapet principal.
.../ ...

---

127
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128
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---

129
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TEMPS
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fiqure mt.5.2.5_Eulution de la position du
~et p'fineip.!l.

---

130
On notera, entre autres, la faible amplitude de la variation de la pression
aval.
Remarques : Dans toute la suite, sauf mention expresse du contraire,
la fonction
d'excitation
sera
celle
représentée
sur
la
figure
111.1.5.2.1,
et
le
temps
d'observation sera de 8 secondes.
111.1.5.3 - Influence du volume aval
On considère dans un premier temps, un système ayant un volume aval de 115
litres
et
un débit
nominal
de
225
m3/b(N).
La
figure
III .1. 5.3.1
représente
l'évolution de la pression aval. La fréquence de pompage Fp est de 2,07 Hz, ce qui
concorde avec celle obtenue expérimentallement (voir au § 111.1.3). On notera, à
titre
de
comparaison,
la différence d'amplitude entre
la pression aval
de
la
figure 111.1.5.3.1 et celle de la figure 111.1.5.2.2.
Dans un second temps,
tous
les
autres paramètres
étant
fixés,
on fait
varier le volume aval de 115 litres à
75 litres.
On
remarquera sur la figure
III. 1. 5. 3.2,
que
le
fait
d'avoir diminué
le volume
aval,
a
rendu le
système
beaucoup plus stable.
En revanche,
on a une augmentation de la variation de la
pression aval et de la fréquence de pompage qui est passée de 2,07 Hz à 2,15 Hz.

---

131
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8.2.
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figure Irr:1.S.3. 2 _ EYDIulion de I~ p'ressian DYal
pour Va : 75 litres

---

~32
111.1.5.4 - Influence du débit nominal
Pour un volume Va de 70 litres, on fait varier la valeur du débit nominal.
La figure II1.1. 5 .4.1 représente l'évolution de la pt'ess ion aval pour un
débit nominal QlO de 150 m3/h(N) tandis que la figure 111.1.5.4.2 est relative à
l'évolution de la pression aval pour un débit nominal QlO de 200 m3/h(N).
On constate,
que le fait d'avoir augmenté le débit nominal,
a rendu le
système
plus
stable.
Ce
qui
confirmè
l'étude
théorique
(vérifiée
expérimentallement), à savoir que toute augmentation du débit nominal a un effet
stabilisateur sur le système.
11.
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fi'Uf' m 1.5.•. 2 _ E.olulion ,., la p'f ..,i.n •••1
pOUf D, i 200 ..JI n1.•_1

---

133
111.1.5.5 - Influence de la fOrme du clapet
On considère un régulateur-détendeur par lequel transite un débit nominal
Q10 de 250 m3fh(N) et ayant un volume aval de 100 litres.
On
munit,
dans
un
premier
temps,
le
régulateur
d'un
clapet
dont
le
coefficient de la loi d'ouverture a est de 63 kg/sim (c'est le cas du régulateur
que nous avons utilisé). Ce qui correspond à une variation de débit d'environ 280
3
m fh(N) par millimètre d'ouverture.
La figure 111.1. 5.5.1 représente l'évolution
de la pression aval dans ce cas.
On
munit,
dans
un
second
temps,
le
régulateur
d'un
clapet
dont
le
coefficient de la loi d'ouverture est sensiblement plus petit, soit a - 43 kg/sim'
c~ qui correspond à environ 190 m3fh(N) par millimètre d'ouverture. On remarque,
sur la figure 111.1.5.5.2, que dans ces conditions, le système est beaucoup plus
amorti.
Rappelons qu'une façon pratique d'avoir de petites valeurs de a en zone de
petites ouvertures, c'est-à-dire pour de petites valeurs de X (qui est une zone de
pompage), est de munir le régulateur d'un clapet à ouverture parabolique.

---

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134
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p'0ur Cl = 43 kg. s-~ m-'

---

135
111.1.5.6 - Influence de la vanne d'amortissement Val
Dans
le
modèle,
la
vanne
d'amortissement
a
été
caractérisée
par
le
paramètre
R2. Plus exactement, augmenter la valeur de R2 , revient à réduire
l'ouverture de la vanne Val.
Si on fixe tous les autres paramètres et qu'on ne fait varier que R2 , on
remarque que le
fait de passer
de R2 - 2.5 107 (voir figure
IILL 5.6.1) à
R2 - 4.5 107 (voir figure 111.1.5.6.2) rend le système beaucoup plus stable.
Comme on peut le remarquer sur ces deux figures,
la fréquence de pompage
est passée de 3,6 Hz à 3,1 Hz en augmentant la valeur de R2 .
On voit donc que toute réduction de l'ouverture de la vanne d'amortissement
Val atténue le phénomène de pompage et fait baisser la valeur de la fréquence de
pompage.

---

136
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fuure 1II1.5.6.2 _ Eyalutian de la p'renian ayal
p'aur R2 =4.5 la'

---

137
111.1.6 - REDUCTION DU SYSTEME. ETUDE DU DOMAINE DE L'ESPACE DES PABAMEIRES POUR
LEQUEL LE sySTEME LINEAIRE EST STABLE
111.1.6.0 - Présentation du système linéaire adimensionna1isé
Pour pouvoir effectuer une analyse phénoménologique du système linéaire que
nous
étudions,
introduisons
les
grandeurs
caractéristiques
de
perturbation
suivantes :
1c désignera la longueur caractéristique,
Pc désignera la pression caractéristique,
t c designera le temps caractéristique.
Avec ces grandeurs caractéristiques, le système linéaire présenté au § II.6
devient :
- :tPc
- 0
R~
0
.
RPhD1c
âPh
âPa - âPh -
lit
t c
t c Pc
0
R
R4PRo1
4 ~
•
c
âPb -
-âPb +
At.
t c
t c Pc
R*~ ~
*0*
-*
R Ph
E1c
•
âPh -
âPa - âPh +
/:J..
t c
t c Pc
.../ ...

---

138
- - - / 1 x
Faisons
une
étude
de
la
troisième
équation' du
système.
Pour
cela,
définissons les valeurs des grandeurs caractéristiques de perturbation.
Soit
1
2
c - 10- 3 mètre
Pc - 10
pascals
t c - 1 seconde
Le nombre sans dimension
R~
vaut alors
t c
R~
On voit donc que - - - «
1
o
R Ph t1 1c
Tandis que - - - - - ~ 1.4
.../ ...

---

139
Dans
la
3ème
équation
du
système,
on
peut
donc
négliger
l'effet
de
compressibilité devant l'effet de volume.
De même, dans la quatrième équation définissant la variation de l'état du
gaz dans la chambre inférieure du pilote, on a :
0
R4 ~
6 8 10- 6
- ,
,
t c
0
R4 ~ « 1 .
t c
Alors que
0
R4Pb CI 1c
3,52 10-4
t
-
c Pc
Dans l'équation traduisant la variation de l'état du gaz dans la chambre
supérieure du servomoteur principal, on a :
R*C:
1.12 10- 2
-.
t c
* 0*
R<it
«
1
t c
*
*0
et
R
Ph E le - 1,06
te Pe
.../ ...

---

140
Dans l'équation traduisant la variation de l'état du gaz dans la chambre
inférieure du servomoteur principal on a :
0
R2CM
1,5 10- 1
t c
et
0
R2PM 1: lc -16,4
t c Pc
De même si on s'intéresse A l'équation traduisant la variation de
l'état
du gaz dans le volume
Vd (avant-dernière
équation du système
ci-dessus),
on
voit
que:
10
o
C~ - 1,2 10-
Rl Cd «1
avec
t
.
7
c
R7
-
2,3 10
On constate donc que dans les équations 3 - 4 - 5 - 6 - 7, c'est-A-dire les
équations traduisant la variation de l'état du gaz respectivement dans la chambre
supérieure pilote, dans la chambre inférieure pilote, dans la chambre supérieure
du détendeur principal, dans la chambre inférieure du détendeur principal et dans
le volume Vd , les effets de compressibilité sont négligeables devant les effets de
volume.
-
Par conséquent dans certaines des équations adimensionnalisées du modèle,
les
termes
caractérisant
l'effet
de
compressibilité
sont
affectés
de
petits
paramètres en coefficients.
C'est-A-dire que sous forme condensée, le système pourra s'écrire
AV
+ BV
cv
+ AV
avec f «
1.
.../ ...

---

141
On voit donc, qu'en première approximation, nous allons pouvoir réduire le
système
initial
à
un
système
d'ordre
cinq
(5).
Mais
auparavant,
nous
allons
justifier la réduction du système.
111.1.6.1 - Justification mathématique de la réduction
Nous voyons que le système linéaire adimensionna1isé peut s'écrire sous la
forme
EV
- AV + BY
II1.1.6.1 - (1)
W -CV+DY
où
. A, B, C et D sont des matrices 5 x 5
•
E petit paramètre E «
1
V et V sont des matrices colonnes d'ordre 5.
Nous nous proposons d'étudieT le système II1.1.6.1 - (1) par la technique
des échelles multiples.
Pour cela introduisons deux échelles de temps à savoir to et t 1 qui sont
telles que :
to - t
On noterà par la suite
a
V et V peuvent se développer en fonction de E de la manière suivante
v - Vo + E V1 +
V - Vo + E V1 +
.../ ...

---

142
Avec les notations introduites, le systèmes II.1.6.1 - (1) devient
E (DO + ED1)(VO + EV1 + ... )-A(VO + EV1 + ... )+B(WO + EW1 + ... )
111.1.6.1 - (2) { (DO + ED1)(WO+ EW1 + ... )-C(VO + EV1 + ... )+ D(WO+ EW1 + ...)
En égalisant le système 111.1. 6.1 -
(2)
suivant les puissances de E on
obtient :
A l'ordre zéro
0 - AVO + BWO
111.1.6.1 - (3)
{ DOWO - CVo + DWO
A l'ordre un
Etudions dans un premier temps. le système à l'ordre zéro, c'est-à-dire le
système 111.1.6.1 - (3).
Ona
D'où
Soit
.../ ...

---

143
On voit
que
la résolution de 111.1. 6.1
-
(5),
revient à
chercher les
valeurs et vecteurs propres de
(D - CA-lB)" Si les Pk désignent les zéros du
polynôme caractéristique de (D - CA-lB), la solution de 111.1.6.1 - (5) sera:
D'où
111.1.6.1 - (6)
D'après 111.1.6.1 - (6), on a
111.1.6.1 - (7)
Etudions maintenant le système à l'ordre un. En tenant compte des solutions
111.1.6.1 - (6) et de 111.1.6.1 - (7) le système 111.1.6.1 - (4) devient:
Soit
111.1.6.1 - (8)
.../ ...

---

144
La condition d'élimination des termes séculaires s'écrit
111.1.6.1 - (9)
~ k
Sion désigne par ~k les valeurs propres de Pk CA- 2 B, la solution de
111.1.6.1 - (9) sera:
Il est clair que les ~i sont fonctions des Pk et que la matrice Mk est
indépendante de t 1 .
Dans ces conditions \\11 est déterminé, partant de III. 1. 6.1 - (8), par
l'équation:
En définitive, la solution du système à l'ordre zéro, en tenant compte de
111.1.6.1 - (6) et 111.1.6.1 - (10) sera:
\\1
_ E [Mkl e(~kt1 + Pk tO)
0
k
Vo - - E A-1 B [Mkl e(~kt1 + PktO)
k
Soit encore :
\\1
_ E [Mkl e (Pk + ~k (Pi»
t
0
k
111.1.6.1 - (11)
Vo - - E A-1 B [M l e (Pk + kK (Pi» t
k
k
On
voit
donc
que
l'étude
du
système
111.1.6.1
(1)
en
première
approximation revient à chercher les valeurs propres de (D - CA-lB).
.../ ...

---

145
111.1.6.2 - Etude du système réduit
Nous avons montré au § 111.1.6.1, que l'étude en première approximation du
système linéaire, revenait à étudier la matriee (D - CA- 1 B).
En tenant eompte du fait que les nombres sans dimension suivants sont tels
que
0
0
R4 ~
R~
«
1
«
1
te
te
* 0*
0
R~
R2 CM
«
1
«
1
te
te
le système linéaire initial se réduit alors à
0
0
0
Ca Pe _.
~
- Phcr1e .L
Phl:1e
~ .
-
lJ.P
- - -
61
lJ.x
lJ.x + ale lJ.X +
(1 - - ) lJ.X
a
e
te
RS
te
te
RS
0
o -
1
Qe
R9
0-
Q1 Pe -
- P
( -
+ - ) lJ.P
- l Se lJ.S
e
a
e +
lJ.Pe
2,,0
pO
R3
R3RS
e
.../ ...

---

146
où
1
1
1
R9
R7
R2
0
0
0
1
q3 (Pd - 2Pa)
- -
R
2pO (pO
pO)
3
a
d
a
1
Si on garde les mêmes valeurs pour une étude de stabilité, on constate que
le système initial dont les valeurs propres sont :
* - 4.76 106
* - 7.36 104
* - 1.03 104
* - 1.04 103
* - 24.5 + 677 i
* - 24.5 - 677 i
* - 2.97 + 84.3 i
* - 2.97 - 84.3 i
* - 0.18 ... 4.9 i
* - 0.18 - 4.9 i
donne après réduction les valeurs propres suivantes
* - 2.4 105
* - 2.96 + 84.3 i
* - 2.96 - 84.3 i
* - 0.15 + 4.9 i
* - 0.15 - 4.9 i
... / ...

---

147
On remarque que l'étude du point de vue de la stabilité du système initial
peut être ramenée à celle du système réduit, puisque celui-ci fait apparaitre les
valeurs propres
dangereuses
(voir
§
111.1.1)
à
savoir celles caractérisant le
phénomène de pompage et le phénomène de vibration.
L'un des intérêts de cette réduction, est la possibilité qu'elle nous offre
de pouvoir plus facilement faire une étude de l'espace des paramètres pour lequel
le système est stable. Nous verrons au § 111.1.6.3 en quoi consiste cette étude,
mais auparavant effectuons quelques remarques sur le système réduit.
Si on s'intéresse à l'équation décrivant le mouvement de l'équipage mobile
pilote (c'est-à-dire la 1ère équation du système réduit), on constate que le terme
caractérisant l'amortissement visqueux est une combinaison des paramètres f, R et
R4 . Soit ~ ce terme. On a plus exactement :
1c
~--[f
t
.
c
L'étude de l'influence de
l'amortissement visqueux de
l'équipage mobile
pilote a montré que si toute augmentation de ce coefficient avait pour effet de
baisser la partie réelle de la valeur propre de vibration,
elle augmentait en
revanche la partie réelle de la valeur propre de pompage.
~ a donc un comportement comme représenté sur la figure 111.1.6.2.1.
Comme d'une façon générale, la partie réelle de la valeur propre de pompage
est plus grande que la partie réelle de la valeur propre de vibration (c'est-à-
dire que le phénomène de pompage est le plus fréquent), on se situe souvent dans
le domaine ~ ~ ~L'
.../ ...

---

148
Pr
INSTABLE
+
0
ay·
0
....e
-
STABLE
PrYibndoa
figure m.1.6.2.1 :'Influence de ay sur la stabilité du sptème
Par cons'quent, tout ph'nomène.de pompage peut être att'nu' par une l'gère
diminution de la valeur de Sv.
De tous les coefficients caract'risant Sv (c'est-à-dire f, R, R4), les plus
faciles d'accès d'une façon pratique sont les coefficients R4 et R (où 1/R4 est la
perte
de
charge
de
l' 'vent
pilote
et
l/R
la
perte
de
charge
de
la prise
d'influence pilote).
On
voit donc qu'une
façon pratique d'att'nuer
le ph'nomène de pompage
revient soit à augmenter la perte de charge de l"vent pilote (en ajoutant une
restriction au niveau de l'évent), soit à augmenter la perte de charge de la prise
d'influence
(en laminant grâce à
une vanne ad' hoc
qu'on placerait. sur cette
prise) .
Comme le montre la figure 111.1.6.2.1, dans le domaine Sv S Svl la partie
r'elle de la valeur propre de vibration est plus grande que celle de la valeur
propre
de
pompage.
On
s'attend
donc
à
ce
que
le
r'giae
transitoire
soit
caractérisé par le mode d'oscillation associ' à la valeur propre de vibration .
.../ ...

---

149
Mais,
comme le montre le résultat de simulation numérique (voir § 111.1. 5),
le
régime transitoire est plut6t caractérisé par le mode d'oscillation associé au
pompage.
Par conséquent,
plus
on augmente
la perte de
charge
(évent pilote ou
prise
d'influence
pilote)
plus
le
système
est
stable.
On
retrouve
le
même
phénomène,
en faisant évoluer le volume aval.
C'est celui-ci d'ailleurs qui va
nous servir d'exemple pour l'explication du phénomène qu'on observe.
Nous savons que d'une façon générale,
le fait de diminuer le volume aval
diminue
la
partie
réelle
de
la
valeur
propre
de
pompage
(donc
atténue
tout
phénomène de pompage), et augmente la fréquence associée à cette valeur propre. En
revanche,
il
augmente
en même
temps
la partie
réelle
de
la valeur propre
de
vibration.
Considérons
à
présent
un volume
correspondant
aux
valeurs
propres
suivantes du système :
- 0.5 ± 84i
(valeurs propres de vibration),
111.1.6.2 - (0)
- 2.6 ± 29.6i
(valeurs propres de pompage);
On rema~quera que la partie réelle de la valeur propre de vibration est
plus grande que celle de la valeur propre de pompage.
On sait que sous forme condensée notre système réduit s'écrit
dU
111.1.6.2 - (1)
-
AU+E,
dt
où A est une matrice carrée 5 x 5 et U une matrice colonne d'ordre 5.
Il existe une matrice bloc diagonale D telle que
•
111.1.6.2 - (2)
p- l A P - D
D contient
deux matrices
carrées
chacune
correspondant
à
un
couple
de
valeurs propres complexes conjuguées caractérisant le pompage et la vibration .
•
•
•
/
•
fi
•

---

150
Tenant compte de la relation 1II.1.6.2 - (2), le système III.1.6.2 - (1)
devient :
1II.1.6.2 - (3)
y _ Dy + pel E ,
où on a posé
y _ pel U
Par transformation de Laplace, le système 111.1.6.2 - (3) donne
"
"
111.1.6.2 - (4)
Y - (pl - D)-l pel E
Définissons les applications de projection suivantes
~est la projection sur les composantes de pompage de"y,
~st la projection sur les composantes vibration de"y,
~st la projection sur la composante associée • la valeur propre réelle de
"y.
On a :
"
"
fi y -fi[ (pl - D) -1 pel El
"
"
~y -~(pl - D)-l p-l'El
~(pl - D)-l~~pl - D)-lfieJffpl - D)-l~_ 0
JY<pl -D)-ld-fi(pl - D)-l~-f!fi.Pl - D)-luf: 0
.../ ...

---

151
D'où
fi; - (pl'p - Dp)-1f1(p-1 i)
III.1.6.2 - (5)
eAt; - (pl.'v - Dv)-~(p-1 i)
A
A
~y _ (p _ ~)-1~(p-1 E)
Avec
* 1'p - l'V matrice unité d'ordre 2,
* Dv matrice carrée d'ordre 2 correspondant au couple de valeurs propres
conjuguées de vibration,
* Dp matrice carrée d'ordre 2 correspondant au couple de valeurs propres
conjugues de pompage,
* ~ valeur propre réelle de A.
Le
vecteur
colonne
de
la
fonction
d'excitation
E(t)
a
toutes
ses
composantes nulles sauf la dernière. Si on suppose que celle-ci est une fonction
échelon d'amplitude a, la transformation E(p) sera:
0
0
...
0
0
E(p)
0
-.JL
0
0
P
0
A
1
p
Soit
o
o
E -
0
o
1
a
--p
III .1.6.2 - (6)
...
a
y
p
.../ ...

---

152
A
A
A
Soient Ypl et Yp2 les composantes de pompage de y, c'est-à-dire
et
~p.l El _ (:;~)
La première égalité de 111.1.6.2 - (6) donne
111.1.6.2 - (7)
A
A
A
De même si on désigne par YVI et 'YV2 les composantes de vibration de y.
·c'est-à-dire
ur; _(~Vl)
YV2
et si on a' : eJl!<p-l E) _(Bvl)
.
Bv2
La deuxième égalité de 111.1.6.2 - (6) donne
111.1.6.2 - (8)
.../ ...

---

153
En remplaçant dans 111.1.6.2 - (7) p par sa valeur effective (c'est-A-dire
la valeur propre de pompage), on calcul l'énergie de pompage. Soit:
A
où
YPi est le conjugué de YPi
De même,
en remplaça~t dans 111.1. 6.2 -
(8)
p par la valeur propre de
vibration, on calcule l'énergie de vibration.
Avec les valeurs propres de pompage et de vibration définies en 111.1.6.2 -
(0), on a
Ep ~
1.86 10- 7
Ev ~
1.87 10- 8
.
(signalons que les Rvl'
Rv2'
Bpl et Bp2 sont obtenus A partir de la
matrice pel, qui est elle-même calculée A partir d'un programme).
On remarque donc que Ev «
Ep
Malgré que la partie de la valeur propre de vibration soit plus grande que
celle de la valeur propre de pompage, on constate que l'énergie associée au mode
de vibration e~t· négligeable devant celle associée au mode de pompage. Tant et si
bien que le régime transitoire du système est essentiellement caractérisé par le
mode d'oscillation associé au pompape. Par conséquent, on aura un système encore
plus stable.
Cependant,
si étant toujours dans cette zone,
c'est-A-dire où la partie
réelle de la valeur propre de pompage est plus petite que celle de la valeur
propre
de
vibration,
on
arrive
par
une
artifice
quelconque
A apporter
plus
d'énergie
au mode
d'oscillation
associé
à
la vibration,
on
aura
un
systèlle
vibrant.
.../ ...

---

154
Ceci explique l'essai effectué au § III .1. 3.6. Dans un premier temps, on
excite le système par l'électrovanne. En ajoutant une perte de charge au niveau de
l'évent pilote, on calme le phénomène de pompage. Dans un second temps, on excite
uniquement
et
directement
le
pilote
(qui
on
le
sait
e~t
caractéristique
du
phénomène de vibration) par l'intermédiaire de l'évent. Même si une telle entrée
n'est pas prise en compte dans le modèle, le fait important dans cette excitation,
est l'apport dans ces conditions d'une énergie supplémentaire associée au mode de
vibration.
On
constate
alors
que
dans
ces
conditions
le
système
se
met
en
vibration.
Revenons à la fonction d'excitation, et supposons que
celle-ci n'est plus
une fonction échelon en vitesse mais une fonction de Dirac 6(t).
A
La transformée E(p) de la fonction d'excitation sera égale à E,
c'est-à-
dire
o
o
E(p)
o
o
1
Reprenant
les
mêmes
calculs
que
précédemment,
on
arrive
aux
valeurs
suivantes pour l'énergie de vibration et l'énergie de pompage •
.= 1,18 10-4
On remarque donc que dans ces conditions,
les deux énergies ont le même
ordre de grandeurs; Si on se trouve dans une zone où la partie réelle de la valeur
propre de vibration est plus grande que celle de la valeur propre de pompage (par
exemple à petit volume dans certaines condition de réglage), le régime transitoire
sera caractérisé par la vibration. Signalons qu'on aurait le même phénomène, si
l'excitation était également une dérivée de la fonction de Dirac.
Dans
la
pratique,
les
opérations
normales
de
raccordement
en
charge
nécessitant un ballonnement peuvent créer une variation de débit de l'ordre de
1000 ,
dans un temps' très bref. De telles excitations peuvent être assimilées à
des fonctions de Dirac et peuvent, en cas de présence d'un régulateur-détendeur,
mettre celui-ci en vibration.
. . ·1· ..

---

155
Citons pour terminer,
quelques exemPles pratiques d'apport d'énergie au
mode de vibration et donc susceptibles de mettre le système en vibration :
une
très
brutale
variation
de
débit,
à
proximité
d'un
régulateur-
détendeur,
- sur les réseaux de distribution, les opérations normales de raccordement
en charge nécessitant un "ballonnement·,
- un gain très important au niveau du pilote, c'est-à-dire une très grande
valeur nominale de prédétente à pression aval constante, est source d'énergie de
vibration.
En
effet,
à
une
grande
valeur
de
prédétente,
correspond,
en
cas
d'instabilité du prédétende~r, une forte fluctuation de la pression de prédétente.
Celle ci étant directement en contact avec le pilote, apporte donc de l'énergie au
mode de vibration,
- sur les postes de détente, les régulateurs-détendeurs basse pression sont
placés
dans
des
armoires
(donc
des
volumes
assez
petits).
On
peut,
par
manipulation de
ceux-ci,
créer une
forte
variation de
pression au niveau de
l'évent pilote. C'est un cas pratique de l'essai du § 111.1.3.6.
111.1.6.3 - Etude du domaine de l'espace des paramètres pour lequel le modèle est
stable
Dans cette partie, nous allons utiliser une approche numérique pour étudier
le domaine de l'espace des paramètres pour lequel le modèle est stable.
Cètte
approche
consiste,
tout autre paramètre
fixé,
en un maillage
systématique de
l'espace des paramètres auquel on s'intéresse. Le domaine stable de cet espace,
étant la zone où toutes les valeurs propres sont. partie réelle négative.
.../ ...

---

156
Pour
cette
étude,
les
valeurs
des
paramètres,
obtenues
après
identification, sont les mêmes que celles données en annexe 4 sauf
f ~
30
R ~
1.1 107
R2 ~
6.5 107
Afin
de
pouvoir
comparer
les
résultats
théoriques
aux
résultats
expérimentaux (développés au § 111.1.3.6), et parceque ces paramètres sont assez
significatifs, nous avons retenu comme espace d'étude, le plan formé par le débit
nominal Q10 et le volume aval Va'
Avant de nous intéresser à la figure 111.1.6.3.1, nous allons à titre de
comparaison avec les résultats expérimentaux, donner quelques résultats d'essais
numériques.
* Ainsi pour Q10 - 225 m3/h(N) et Va ~ 75 litres
les valeurs propres de pompage sont :
p -
- 1.2 ± 13.6
Ce qui correspond à une fréquence de pompage Fp ~ 2.16 Hz.
Expérimentallement on a Fp ~ 2.15 Hz.
* Pour Q10 ~ 225 m3/h(N)
et Va ~ 115 litres
les valeurs propres de pompage sont
p -
- 0.48 ± 13.02
Ce qui correspond à une fréquence de pompage Fp ~ 2.07 Hz
Expérimentallement on a Fp ~ 2.1 Hz
... / ...

---

157
o
La figure
III. 1. 6. 3 .1, montre le domaine stable dans le plan (Va, Ql ).
Nous nous sommes limités à un volume aval minimal V
.. 25 litres et un débit
a -
nominal compris ente 100 m3/b(N) et 500 m3/(N). Les résultats théoriques portés
sur la figure 111.1.6.3.1 sont confirmés par les essais expérimentaux rapportés au
§ 1II.1.3.6.
La figure 111.1.6.3.2 (resp. 111.1.6.3.3) représente, pour diverses valeurs
du coefficient Q
(resp. du paramètre 8.2), le doaaine stable dans le plan débit
nominal - volume aval.
On reaarquera que le doaaine de stabilité est d'autant plus grande que le
coefficient Q est petit, et que la vanne d'amortissement Val est peu ouverte.
Ces résultats sont d'ailleurs en parfaite concordance avec les reaarques
faites au § 111.1.3.6
!iqurt m 1.6.3.1. _ DDMA l NE
DE ST AB ILl TE
~.
• • .
• • . • • -
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158
D
ETUDE DU DOMAINE DE STABILITE POUR
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DIFFERENTES VALEURS DE œ
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zee
25e
3ee
-
FIGURE 111.1.6.3.3 -

---

159
111.2 - IDENTIFICATION NON LINEAIRE
II.2.1 - INTRODUCTION
Comme nous l'avons fait remarquer au § 111.1.4.1, l'identification est une
étape décisive dans la mise au point du modèle.
En effet, si certaines grandeurs du modèle non linéaire sont accessibles à
une mesure directe, d'autres le sont avec une marge d'incertitude ou ne le sont
pas du tout. D'où la nécessité de déterminer les valeurs prises par ces grandeurs
en question par identification.
111.2.2 - METHODE D'IDENTIFICATION NON LINEAIRE
Les
méthodes
classiques
d'identification
(méthodes
du
gradient,
des
polyédres flexibles
ou de Newton),
sont d'une façon générale des méthodes qui
permettent d'effectuer une identification uniquement sur un système linéaire.
La
méth.ode
que
nous
allons
développer
ici,
a
pour but
d'estimer
des
paramètres figurant dans
le modèle non linéaire et dont certains ne sont pas
accessibles avec précision à une mesure directe.
Cette méthode d'identification
utilise
la structure particulière du modèle et les
informations provenant des
essais.
Cette méthode généralise celle développé au § 111.1.4.1.
Le modèle non linéaire, peut sous forme matricielle s'écrire
dU
111.2.2 - (1)
- AU + F(U) +BE
dt
où
* U représente le vecteur d'état du systèae, c'est-à-dire la matrice
colonne dont les composantes sont les inconnues décrivant l'état instantané.
* E représente le vecteur d'entrée, c'est-à-dire la matrice colonne dont
les composantes sont des fonctions connues qui caractérisent l'excitation.
.../ ...

---

160
* F(U) prend en compte toutes les non linéarités en racine carrée,
lesquelles sont de la forme :
IJ.P
111.2.2 - (2)
Q - K -
J IIJ.PI
IIJ.PI
où IJ.P est une combinaison linéaire de certaines des inconnues figurant dans U. On
peut donc écrire :
q
111.2.2 - (3)
F(U)
E ~i Fi(U)
i-l
Sous cette forme, seul les coefficients ~i sont à identifier car tout est
connu dans chacun des Fi(U)
Fil (U)
Fin(U)
où n représente l'ordre du système 111.2.2 - (1).
Les paramètres que nous voulons identifier sont des éléments de la matrice
A, de la matrice B et les coefficients ~i'
Au départ,
on suppose que le relevé du jeu entrée-sortie
(E,
U)
a été
effectué
expérimentalement. Donc, si
le modèle mathématique défini en 111.2.2 -
(1) décrit le comportement du processus réel, on devrait pouvoir déterminer les
éléments des matrices A et B, et les ~i'
On part à nouveau de la fonctionnelle
I(A, B, ~l' ... ,
- AU - F(U)
- B E(t»dt
... / ...

---

161
OÙ g(t) est une fonction positive suffisamment régulière pour que l'intégrale soit
définie. D'une façon générale g(t) est un coefficient de pondération.
Supposons
que
g(t)
soit
nulle
en
dehors
de
~'intervalle
[0,
Tl
d'observation.
On a :
t
111.2.2 • (4) I(A, B, Al ••• , Aq) -
T g(t) {Iü . AU • F(U) • B E (tf
(ü - AU - F(U) - B E(t»)} dt
Intéressons nous à l'expression sous le signe intégral :
En tenant compte de l'expression de F(U) définie en 111.2.2 - (3) et si on
utilise
la
convention de
l'indice
muet,
l'expression sous
le
signe
intégral
définie ci-dessus devient
111.2.2 - (5)
- ÜT(t).B.E(t)- UT(t).AT.Ü(t)+UT(t).AT.A.U(t)
T
+ li U (t).A.Fi(U)
T
T T "
T
" T '
+ li lj Fi(U).Fj(U) + li Fi(U).B.E(t)- E (t).B .U(t)
+ ET(t).BT.A.U(t) + li ET(t).BT.Fi(U) + E~(t).BT.B.E(t)
. . ·1· ..

---

162
Identifier les paramètres du système.
revient à
chercher les composantes
des matrices A. B et les coefficients ~l' ...• ~q qui minimisent la fonctionnelle
I(A.
B.
~l'
...•
~q) définie en III.2.2 - (4) où l'expression sous le signe
intégral est donnée par 111.2.2 - (5).
Pour minimiser 1. on doit écrire
al
al
111.2.2 - (6)
--- - 0
--- - 0
i - 1. . ..• q
aA
aB
On a :
~T
a:: -
. 2 ./:T sCt) UpCt) UqCt) dt +
sCt) UqCt) UkCt) dt) Apk
q
+ C ./:Tsct) UkCt) UqCt»
Apk + 2 C ./:TsCt) UqCt) BkCt) dt) !Pk
+ 2 C .):TsCt) UqCt) FipCt) dt) Ai
al
-
- 2
al
- - - - - - 2
fT .
(T
+ 2 ( ~o g(t) F1p(t) Fjp(t) dt) ~j + 2 ( .Jo g(t) Ep(t) F1q(t)
.. ·1· ..

---

163
Posons :
lII.2.2 - (7)
Qqk
-
./:Tg(t) Uq(t) Uk(t) dt
~Tg(t)
6qk -
Uq(t) Ek(t) dt
Pipq -
JTg(t) Uq(t) Fip(t) dt
~Tg(t)
~qk -
Eq(t) !t(t) dt
fPiqp -
hTg(t) Eq(t) Fip(t) dt
r
'Yij
-
Tg(t) Fip(t) Fjp(t) dt
~pq -
!g(t) Up(t) Uq(t) dt
"qp
-
Avec les notations 111.2.2 - (7), le système 111.2.2 - (6) devient
Qqk Apk
+ 6qk Bpk + Piqp li -
~qp
111.2.2 - (8)
6qk Apk + ~qk Bpk + fPiqp li -
"qp
Piqp Aqp + fPipq Bpq + 'Yij lj
-
' i
Ces
'quations
apparaissent
comme
un
système
lin'aire
relativement
aux
inconnues Apq' Bpk ' li' dont les coefficients Qqk' 6qk , Piqp' fPiqp' 'Yij' ~qk et
les seconds membres ~qp'
"qp"
, i
peuvent être calcul's à
partir des fOI'IIUles
111.2.2 - (7) en utilisant les r'sultats d'essais.
En suivant un raisonnement analogue à celui ~velopp' au 1 111.1.4.2, on
montre que 1 est convexe et que par cons'quent les paramètres ~termin's à partir
des 'quations 111.2.2 - (8) minimisent effectivement la fonctionnelle.
. . ·1· ..

---

164
111.2.3 - IDENTIFICATION
Nous allons comme au § 111.1.4.3, en appliquant la méthode que nous venons
de développer au § 111.2.2, identifier les paramètres équation par équation.
Considérons l'équation traduisant la variation de l'état du gaz dans la
chambre
supérieure
du
pilote
définie
par
la
formule
11.4. 3
-
(6)
que
nous
rappelons ici
11.4.3 - (6)
P1t{t) Vh .
- - - - P h { t ) + Ph{t)
'1 Ph{t)
Dans cette équation, cherchons à identifier le paramètre k l caractérisant
la perte de charge de la prise d'influence pilote. On a
P1t{t)
Ph{t) , Pa{t) et x{t) sont des fonctions mesurées pendant l'essai. Vh et 0 sont des
constantes données.
Posons
P1t Vh •
- - - P h
+
P1t 0 x
'1Ph
Pa - Ph
F2{t) -
j Ph IPa - Phi
IPa - Phi
2
on a donc I(kt) - .J:T IF1(t) ·'kt F2(t)1
dt
~T F~(t) k~ F~(t)
dt +
.J:T
dt • 2k1 .J:TF1(t) F2(t) dt
.../ ...

---

165
BI
Donc la condition
-
0
nous conduit à la formule
~ F1(t) F2(t) dt
111.2.3 - (1)
lT F~(t) dt
On obtient k
~
1
1.9 10.10
En
suivant
un
raisonnement
analogue,
on
identifie
le
paramètre
k *
1
(caractérisant la perte de charge de la prise d'influence principale), en partant
de l'équation II.4.5 - (4). Rappelons que cette équation traduit la variation de
l'état du gaz dans la chambre supérieure du servomoteur principal. On a :
J:
111.2.3 • (2)
,
où
*
1
*
*0
Ph (t»):;-
PIt(t)
-
PIt
(
p*O
h
On obtient
k~ - 3,1 10.9
.../ ...

---

166
L'équation
traduisant
la
variation
de
l'état
du
gaz
dans
la
chambre
inférieure
du
pilote
et
définie
par
la
relation
II.4.4
(4)
nous
permet
d'identifier le coefficient k4 caractérisant la perte de charge de l'évent pilote.
On a
:
III.2.3 - (3)
où
Pb Vb Pb(t) - Pb a x
-YPb
Pb(t) - Pat J Pat IPb - Pat1
1Pb(t) - Patl
De même l'équation traduisant la variation de l'état du gaz dans la chambre
inférieure du servomoteur principal et définie par la relation II.4.6 - (2) nous
permet d'identifier le coefficient k2 caractérisant la perte de charge de la vanne
d'amortissement Va2 .
On aboutit à
:
III.2.3 - (4)
... / ...

---

167
où
Pm Vm
F7(t) -
Pm
+ Pm ~ X
-YPm
P
- Pd
m
F8(t) -
J Pd IPm - Pdl
\\Pm - Pdl
On a K ~
2
5.86 10- 9

---

168
IV - ETUDE DE LA NON LINEARITE EN RACINE CARREE
IV.l - POSITION DU PROBLEME
Dans la linéarisation du modèle, nous nous sommes heurtés au problème de la
singularité que présentaient certaines fonctions au voisinage du régime permanent.
Notons qu'il s'agissait toujours de fonctions très simples du type:
X
IV.l - (1) f(X) - a -
nxT
IXI
où X s'exprime linéairement en fonction de variables inconnues principales et où a
est, chaque fois, un coefficient numérique bien déterminé. Cette difficulté avait
été
contournée
en
remplaçant
chaque
fonction
de
ce
type
par
une
expression
linéaire.
1
IV.l - (2)
f(X)
X
R
ou la constante R est choisie,
il
faut bien le
dire,
arbitrairement par des
considérations dictées uniquement par l'idée empirique que l'on peut se faire à
travers l'expérience accumulée de l'amplitude de la variation de X au voisinage du
régime
permanent.
Pour
des
raisons
de
commodité
de
langage
et
parce
que
l'expression est suggestive, nous appelions le fait de remplacer la fonction f par
""
son substitut f,
la méthode de linéarisation par la sécante.
Nous allons
ici
reprendre l'étude avec les différentes fonctions f.
IV.2 - EOUATIONS DU SYSTEME EN TENANT COMPIE DES FONCTIONS NON LINEAIRES
Reprenons
les. équations
adimensionnalisées
du système
en
tenant
compte
maintenant des fonctions non linéaires exprimant les divers débits.
.../ ...

---

169
Chaque débit s'exprime comme suit
IV.2 - (1)
où
Ile signe + est utilisé si Pb > Pa
le signe - est utilisé si Pb < Pa
Pb et Pa désignant des pressions.
Si en régime permament on a Pa - PaO
En régime dynamique, on définit la variation de pression suivante
La variation de débit peut alors s'écrire
IV.2 - (2)
âQ - ± c JP~ 1âPb - âPal { 1 + 0
avec le signe + si âPb > âPa et le signe - sinon.
Dans la suite nous négligerons la correction 0
d'où le système
.../ ...

---

170
-
-
APa - APh
, - - - -
APh
-
j lAPa - APhl -
lAPa - APhl
...
APb - - - - -
k4Jpaé·c
1APb 1
APM - APd
, - - - -
- - - - j IAPM - APdl -
.../ ...

---

171
où lc' t c et Pc désignf ': respectivem'mt les longueurs, temps et pression
caractéristiques de perturbatio_
1
1
1
IV.2.1 - ETUDE DU SYSTEME D'EQUATION
On voit donc que sous forme matricielle, le système peut s'écrire
dU
IV.2.1 -
(1)
- - - AU + f(U) + E(t)
dt
Ul
où
U
représente les variables d'état du
système
UN
fI
f(U) -
caractérise les divers débits
f N
El
E(t) -
représente les termes d'excitation
~
.../ ...

---

172
A est une matrice carrée d'ordre N dont les composantes Aij caractérisent
les divers organes à caractéristiques linéaires :
N - 10 dans notre cas.
Les fonctions f possèdent les propriétés suivantes
IV.2.la
IV.2.lb
... ,
Etant donné un système mécanique décrit,
comme c'est le cas ici,
par un
système d'équations différentielles du type IV.2.1 - (1), on peut donner plusieurs
définitions relatives à la notion intuitive que l'on qualifie de stabilité (voir
[15]) .
Dans notre cas, une définition qui représente assez bien l'idée que l'on se
fait en général de la stabilité d'un détendeur, est que si l'excitation est assez
faible, la réponse ne dépasse pas une certaine amplitude.
Pour traduire cela en langage mathématique nous partons de l'excitation E
que
nous
choisissons
dans
une
certaine
classe
C.
Le
choix
de
la
classe
C
caractérisera l'idée que l'excitation reste assez faible en imposant que E €
C.
Pour simplifier l'exposé,
nous supposerons que E fonction excitatrice.
est une
fonction du temps,
définie sur tous les temps t€
IR.
Tous les cas d'utilisation
pratique
peuvent
rentrer
dans
ce
cadre
là.
Pour
caractériser
le
fait
que
la
réponse
ne dépasse
pas une certaine
amplitude,
nous
emploierons le critère
suivant
IV.2.1 - (2)
Sup
(XT(t).M. X(t) } S c
t€
IR
où M désignera une matrice carrée symétrique, définie positive indépendante
du temps.
Le choix de M pourra permettre de représenter des
critères variés,
adaptés aux divers besoins des utilisateurs.

---

173
Définition 1
On appelle classe d'excitation et on note C, un ensemble de fonction E(t)
de R dans Rn, A support compact (c'est-A-dire s'annulant identiquement dans un
voisinage de - œ et dans un voisinage de + œ), continues, ensemble qui n'est pas
autrement précisé, pour l'instant.
Définition 2
La donnée d'une matrice M, symétrique et définie positive', et d'un
réel c
positif sera
dit caractériser un
critère de
stabi1ié globale que
l'on notera
Sg (M, c).
Définition 3
Le système IV.2.1 - (1) sera dit globalement stable pour la classe
d'excitation C et pour le critère
globale de stabilité Sg (M, c) si quelque
soit
E €
C toute solution de IV.2.1 - (1) nulle identiquement 'dans un voisinage de - œ
vérifie :
sup
(UT(t).M. U(t) } ~ c
t€
IR
Théorème
Considérons la fonction suivante, définie sur Rn x R
(U, E}~l(U, E) - [UT.AT +
fT(U)].M.U
+ UT .M. [A.U + f(U)]
T
T
+ E .M.U + U .M.E
où U et E sont deux matrices colonnes arbitraires.
Supposons que l'on ait
(t --'E(t)} €
C ~l(U, E(t» < 0 A chaque instant t où UT .M. U - c ;
alors le système IV.2.1 - (1) est globalement stable au sens de la ~éfinition 3 .
.../ ...

---

174
Démonstration
Supposons que le système IV. 2.1
-
(1)
ne soit pas globalement stable au
sens de la définition 3.
Par définition, il existerait un t o e IR pour lequel on aurait
UT(tO).M.U(tO) > c
Faisons décroître t à partir de t o et soit t* e IR la première valeur de t
telle que UT(t*).M.U(t*) - c.
Cette
valeur
existe
nécessairement
parce
que
t----~.~UT(t).M.U(t) est
continue,
prend la valeur zéro pour t
voisin de
- co et prend une valeur plus
grande que c en t - to'
On a nécessairement
d
a
(--- (UT(t).M.U(t»
- 1 (U(t*), E(t*»
~ 0
dt
t-t*
par définition de t*.
En effet supposons le contraire, il existerait un 6 suffisamment petit mais
positif tel que
UT(t* + 6).M.U(t* + 6) < c
ce qui impliquerait, en vertu de la continuité de t
UT(t) M.U(t), l'existance de t
avec:
l
t* + 6 < t
<
l
to tel que
UT (tl ) .M. U(tl) - c
en contradiction avec
la définition de
t*.
Mais
a
est
contraire à l'hypothèse du théorème et celui-ci est donc démontré.
On voit d'après le théorème ci-dessus, que pour que le système IV.2.1 - (1)
soit globalement stable au sens de la définition 3, il suffit de pouvoir montrer
que :
IV.2.1 - (3) Pour tout instant tel que UT(t).M.U(t) - c on a l(U(t), E(t»
< 0
.. . j ...

---

175
Posons
u - rS
avec r > 0 et
IV.2.1 - (4)
{ STS - 1
On a d'après IV.2.1 - (1)
l(U(t), E(t»
- ÜT(t).K.U(t) + UT(t).K.Ü(t)
- ( UT(t).AT + fT(t) + ET(t) ) .K.U(t) +
UT(t).K. ( A.U(t) + feU) + E(t) )
Soit
l(U(t), E(t»
- UT(t).(AT K + KA). U(t) + fT(U).K.U(t) + UT(t).K. feU)
+ ET(t).K.U(t) + UT(t).K~E(t)
Tenant compte de IV.2.la - IV.2.lb et IV.2.1 - (4), on peut écrire
IV.2.1 - (5)
l(U(t), E(t»
- r 2 ST(t) (ATK + K A).S(t) +
+ r 3/ 2 (fT (S) .K. Set) + ST (t) .K. f(S»
+ r(ET(t).K.S(t) + ST(t).K.E(t»
On a posera dans toute la suite
g(S) - ST(ATK + KA).S
_
T
T
IV.2.1 - (6)
h(S)
f (S).K.S. + S .K. f(S)
T
T
k(t, S) - E (t).K.S + S .K.E(t)
.../ ...

---

176
Propriété
Sup
k(t, S) > 0, t fixé
STS - 1
Démonstration
Kontrons que la fonction t~k(t, S) prend des valeurs positives si
E(t) ~ 0
En effet, si E(t) ~ 0, on peut écrire,
E(t) - ( ET(t). E(t) )1/2
e(t) avec eT(t).e(t) - 1
Dans ces conditions S - e(t) est une valeur acceptable et k(t, e(t»
fait
partie des valeurs prises par k(t, S) quand STS - 1
Or on a k(t, e(t»
-
2 ( ET(t).E(t)
)1/2
eT(t).K. e(t) > 0 en vertu du
caractère défini positif de K.
La propriété en résulte.

---

177
IV.2.2 - CAS ou LA MAIRICE A A TOUTES SES VALEURS PROPRES A PARtIE
gEIJI NEGATIVE
Définition
Une solution XE JRn du système X - AX où A est une matrice n x n, est dite
stable au sens de Liapunoff si .". E > 0.:3 6 • 6 (E) tel que toute autre solution YE
~n du système qui pour t - to vérifie
Il X(tO) - y(tO) Il ~ 6 satisfait à Il X(t) - y(t) Il ~ E. \\ft ~ to'
Si de plus Il X(t) - y(t) 11-0 quand t---l11 on dira que la solution est
asymptotiquement stable.
Théorème de Liapunoff
Considérons le système d'équations différentielles ordinaires
dX
(1)
- - f(X)
dt
ou XEIRn et où f est une application de U ouvert delRn danslRn , continue et
Lipschitzienne. Supposons que f(O) - 0 de sorte que X - 0 est solution, dite
d'équilibre du système (1) ; supposons qu'il existe une fonction.
V(X) : U----cR
satisfaisant aux conditions suivantes
1 - V(X) est continue et continuement différentiable
2 - V(O) - 0 et V(X) > 0
V XEU
\\ {O}
3 - Ilxll--O~V(X)-O
4 -
V(X)~O""llxll-O
5 - ~(V(X(t») ~ 0 dans U comme conséquence de 1
dt
Alors la solution d'équilibre X - 0 est stable au sens de Liapunoff.
Si dans la condition 5 ci-dessus, l'égalité :
dV
- 0
dt
n'a jamais lieu sauf pour X - 0, alors la solution X - 0 est en outre
asymptotiquement stable.
.../ ...

---

On retrouvera une démonstration du Théorème de Liapunoff dans [18].
Si A a toutes ses valeurs propres A partie réelle négative,
il existe un
ensemble
B de
matrices
symétriques
définies
positives
vérifiant
la
condition
suivante
~ L E B, la matrice (ATL + LA) est définie négative.
Un tel ensemble B n'est pas vide car la matrice unité l E B.
Choisissons la matrice M dans l'ensemble B.
La matrice (ATM + MA) est donc symétrique définie négative et cela entraine
que la fonction g(S) telle que définie en IV.2.1 - (6) vérifie:
IV.2.2 - (1)
g(S) < - a 2
avec a E IR
De même, h(S) telle que définie en IV.2.1 - (6) est une fonction continue
sur le fermé borné STS - 1. Elle est donc bornée. Il existe par conséquent h* E IR
telle que :
IV . 2 . 2 . - ( 2)
h(S) < h*
On choisit de définir la classe C de la façon suivante
Pour chaque fonction t~E(t) appartenant A C, on a :
E(.) est continue et on a
sup
k(t, 6)
*
< k
. k*
l ' .
ou
est une va eur pos1t1ve.
tE IR,STS- l
A ce stade du raisonnement, il est important de rappeler que nous voulons
ici établir les conditions de stabilité globale (au sens de la définition 3) dans
le cas où la matrice A a toutes ses valeurs A partie réelle négative. C'est-A-dire
en clair nous voulons démontrer la relation IV.2.1 - (3).
. .. / ...

---

179
Ce qui donne avec les notations introduites et résultats obtenus en
IV.2.1 - (4), IV.2.1 - (5) - IV.2.1 - (6), IV.2.2 - (1), IV.2.2 - (2)
2
3 2
A tout instant t
)
on a (r (t)g(S(t»
+r / h(S(t» +)
que r 2 (t)ST(T).M.S(t) - c
r(t) k(t, Set»~ < 0
ce qui est réalisé si on a ~(r(t»
< 0
L'évolution de la fonction ~(r) est représentée sur la figure IV.2.2.l.
'P(r)
r

---

Supposons que r 2ST.M.S - c
La matrice M étant définie positive on a ST. M. S > 0, égalité exclue si S
est non nul.
De manière plus précise,
il existe deux constantes positives a 2 et p2
telles que a 2 STS ~ ST. M. S ~ p2 ST. S
et comme ST. S - 1 par construction, on en déduit que
- c
On est assuré que
avec r ~ 0
Il est facile de voir, k* étant positif (k* > 0),
que y,(r) ne s'annule
qu'une fois quand r varie entre ] 0, + ~
On a
y,(r) ~ 0
*
pour 0 ~ r ~ r
y,(r) ~ 0
pour r * ~ r
Choisissons c de manière que RI > r * . On aura, V r €
[RI' R2], y,(r) < 0
Donc y,(r(t» < 0 à tout instant tel que r 2 (t) ST(t) .M.S(t) -
c.
Ce qui
entra1ne que le système est globalement stable.
. .. / ...

---

181
IV.2.3 - Cas ou la matrice A n'a pas toutes ses valeurs propres A partie réelle
négative
.'
Soit
M une matrice
symétrique définie positive.
(ATM + MA)
est
alors
symétrique.
Appelons L l'endomorphisme
de IRn associé
A la matrice
symétrique
(ATM + MA). Dans ces conditions Lest un endomorphisme symétrique de IRn . Lest
donc diagonalisable.
Avant d'effectuer l'étude de la stabilité globale de notre système dans le
cas où la matrice A n'a pas toutes les valeurs propres A partie réelle négative,
nous allons énoncer une série de résultats qui nous serviront dans la suite de
l'étude.
Proposition
Soit L un endomorphisme symétrique delRn . Etant donnée ~l' ~2'"
~q (avec q
~ n) les valeurs propres distinctes de L, si E(~i) désigne le sous espace delRn
associé A ~i (c'est-A-dire l'ensemble des vecteurs propres associés A la valeur
propre ~i)' alors
IRn - E(~l) ~ ... ~ E(~ )
pémonstration
n
L
étant un endomorphisme
symétrique de IR •
il
admet
q valeurs propres
réelles distinctes et on a :
q
Soit
u (
n
E(~i)
i-l
Alors u (E(~i)
~ i - 1 •...• q
c'est-A-dire L(u) - ~i u
Vi
d'où
V j # k
1 ~ j. k ~ q. on a (~J - ~k) u - 0
... / ...

---

182
Comme Àj # Àk par hypothèse, on a alors u - 0
q
donc
n E (Ài ) - {O}
i-l
Soit F un sous espace vectoriel de 'Rn tel que IRn -
E CP F,
V- X €
IRn ,
X - u + v où U €
E et v €
F,
q
on a u -
1:
ui
i-l
IRn
étant
un espace
vectoriel enclidien,
il est muni d'un produit
scalaire
< X, Y > et on a :
< L(X) , y > - < X, L(y) >
q
< L(u), v > -
1:
Ài < ui' v > - 0
i-1
car
P # q et < ~, V > - 0
d'où
< u, L(v) > - 0
Donc v---L(v) est un endomorphisme dans F. Puisqu'il est symétrique, il a
donc des valeurs propres qui sont nécessairement déjà répertoriés dans les E(À i ).
Par conséquent F - ";.
Corollaire
Etant donné L un endomorphisme symétrique delRn , si on désigne par El le
sous espace delRn engendré par les vecteurs propres positives ou nulles de L et E2
le sous espace de ~n engendré par les vecteurs propres associées aux valeurs
propres négatives, on a :
.../ ...

---

183
pémonstration
Il suffit de prendre El - E(Àl ) œ ... ~ E(Àm) où les Àl •...• Àm sont les
valeurs propres positives ou nulles et E2 - E(Àm) $ ... $ E(Àq) où les À(m+l)'
. . .•
Àq
sont les valeurs propres négatives.
puis appliquer le résultat de la
proposition.
Revenons à l'étude de la stabilité du système. Du fait que (ATM + MA) est
symétrique. si on désigne par D la matrice diagonale formée des valeurs propres de
(ATM + MA) (qui sont réelles). on sait qu'il existe une matrice orthogonale P qui
est telle que :
IV.2.3 - (1)
Posons
on a
IV.2.3 - (2)
ZT Z _ ST ppT S - ST S - 1
Si on désigne par El le sous espace de mn engendré par les vecteurs propres
associés aux valeurs propres positives ou nulles de (ATM + MA). E2 le sous espace
delRn engendré par les vecteurs propres associés aux valeurs propres négatives. on
peut. en vertu du corollaire ci-dessus. écrire que :
Dans
ces
conditions.
la fonction g(S)
définie par la formule en
IV.2.1
- (6) peut encore s'écrire :
IV.2.3 - (4)
T
T
g(S) - S .P.D.P S
Ce qui donne par changement de variables
IV.2.3 - (5)
g(Z) - ZT D Z
.../ ...

---

184
La partition delRn , induit deux restrictions de la fonction g(Z), soit
~(Z)
-
- gl(Z)
IV. 2.3 - (6)
{ g(Z) - g2(Z)
Théorème
Les fonctions gl(Z) et g2(Z) définies par les formules en IV.2.3 - (6) sont
telles que
-gl(Z) ~ 0 et g2(Z) < 0
Démonstration
Zl est la projection de Z sur El et Z2 la projection de. Z sur E2 . La matrice
diagonale D peut se décomposer sous la forme D - Dl + D2 où les éléments non nuls
de la matrice D2 sont les valeurs propres négatives.
En
effet,
considérons
par
exemple
zlT
D2 Z2. En vertu du caractère
diagonale de D de la décomposition D - Dl + D2 , D2 Z2 a une projection nulle sur
T
El. Ce qui entralne Zl
D2 Z2 - 0 quelque soit Zl E El.
d'où
g(Z)
.../ ...

---

185
Ce qui revient encore à écrire en utilisant les expressions en IV.2.3 - (6)
que
g(Z)
La matrice Dl étant définie non négative, on a
soit gl(Z) ~ 0
De même, la matrice O2 étant définie négative, on a
D'où le résultat.
oùaE'R
Rappelons que la fonction h(S) définie en IV.2.1 - (6) s'écrit
h(S) - fT(S).K.S + ST.K.f(S)
Si on appelle h(Z) (resp. f(Z», la fonction obtenue par le changement de
variable S - PZ de h(S) (resp. f(S», on aura:
IV.2.3 - (7)
h(Z)
cl
T
T
-
- f (Z).K.P.Z + Z .P .K.f(Z)
A ce niveau, faisons l'hypothèse importante suivante
on suppose que pour tout Z tel que ZT Z - l, on a
IV.2.3 - (8)
h(Z) < - b2
L'hypothèse IV.2.3 - (8) n'est pas irréaliste. Car, elle signifie qu'après
avoir excité même les modes instables,
l'introduction des non linéairités a un
effet stabilisateur sur l'ensemble du système.
.../ ...

---

186
....
Si on désigne
par k(t,
Z),
la fonction obtenue par le
changement de
variable
S
PZ
à partir
de la
fonction
k( t, S),
définie
en IV. 2 .1. -
(6), on aura
IV.2.3 - (9)
k(t, Z) - ET(t).M.P.Z + ZT.pT.M.E(t) .
On choisit de définir la classe C de la façon suivante
pour chaque fonction t-.E(t) appartenant à C, cette fonction t--E(t) est continue
et l'on a :
sup
sup
k(t,Z) < k*
où k* est une valeur positive.
tE IR
ZTZ- 1
Signalons que nous voulons établir les conditions de stabilité globale (au
sens de la définition 3), dans le cas où la matrice A n'a pas toutes ses valeurs
propres à partie réelle négative.
Compte tenu du changement de variable et des
notations introduits, la stabilité globale est:
2
3 2
Atout instant t
)
(r (t)i(Z(t»
+ r /
h(Z(t»)
IV.2.3 - (10)
n a
( tel que r 2(t) ZT(t).pTM.P.Z(t) -
+ r(t) k(t, Z(t»
< 0
Ce qui est réalisé si on a ~(r(t»
< 0 avec ~(r) - a2r 2 - b2 r 3/ 2 + k*r.
Supposons que r 2 ZT.pT. M. P . Z - c
La matrice M' étant
définie positive,
i l en est de
même de
la matrice
pT.M.P. Par conséquent, on a ZT.P.T.M.P.Z > 0 égalité exclue si Z est non nul.
Il existe deux constantes w1 2 et w~ telles que
2 T
T
T
2
T
w1Z
Z ~ Z .P .M.P.Z ~ w2 Z
Z
comme ZT Z - 1 (d'après IV.2.3 - (2», on en déduit que
2
T
T
2
w1 ~ Z .P .M.P.Z ~ w2
.../ ...

---

187
on est assuré que
Suivant la valeur de k* , on voit que deux cas peuvent se présenter.
er
*
1
cas - k
pas assez grand
On a plus exactement la condition suivante
IV.2.3 - (11)
La
fonction ,,(r)
correspondant à
ce
cas
est
représenté
sur
la
figure
IV.2.3.1.
Le polynôme du second degré en r l / 2 qui est en évidence sur l'expression de
,,(r) a deux racines réelles qui sont de même signe car k* > 0 et dont la somme est
positive puisque b 2 est positif.
On voit donc que ,,(r) s'annule deux fois quand r varie entre )0, + co[.
*
*
*
*
Soient rI et r2 (rI < r2) les solutions non nulles de ,,(r) - 0
*
Ona
pour r E [0, rI)
*
*
pour r E [rI' r2)
.../ ...

---

188
Choisissons c de manière que
*
rl < R
< *
l et RZ
rZ
on aura alors pour tout r E [Rl , RZ]' ~(r) < 0
donc ~(r(t»
< 0 à tout instant tel que
rZ(t) ZT(t)pT.M.P.Z(t). - c,
ce qui entralne alors que le système est globalement stable.
ème
*
Z
cas - k
assez grand
On a plus exactement la condition suivante
IV.Z.3 - (lZ)
4
La
fonction ~(r) correspondant à
ce cas est représentée
sur la
figure
IV. Z. 3. Z• Là polynôme du second degré en r l / Z, en évidence
sur l'expression de
~(r), n'a pas de racine réelle.
On voit donc que ~(r) ne s'annule jamais quand r varie entre ]0, + ~ [.
Plus exactement on a ~(r) ~ 0 pour r ~ O.
Par conséquent,
quelque soit le choix de c,
donc de Rl et RZ on aura
toujours pour tout r E [Rl , RZ]' ~(r) ~ 0
Donc
~(r(t»
~ 0 à tout instant t tel que
Ce qui signifie donc que, dans ces conditions, ou ne peut pas, à priori,
conclure sur la stabilité globale du système.

---

189
'iler)
~(r)
r

---

190
IV.3 - ETUDE DU CAS DU DETENDEUR
IV.3.1 - ANALYSE PHENOMENOLOGIOUE ET REDUCTION DU SYSTEME
Nous nous proposons dans cette partie,
d'appliquer au cas du régu1ateur-
détendeur, la notion de stabilité telle que définie en IV.2.1. Nous rappelons, que
l'évolution dynamique du régulateur est régie par le système représenté par les
équations
en
IV. 2
dans
lesquelles
nous
avons
tenu
compte
des
effets
de
non
linéarité.
Remarque
Dans
toute
cette
partie,
sauf mention
expresse
du
contraire,
les
variables Af du système seront notées f.
Avant d'étudier le système, nous allons par une analyse, voir l'influence
des . termes
non linéaires
sur le
système.
Pour cela définissons
les
grandeurs
caractéristiques de perturbation suivantes
1c - 10- 3 mètre (longueur caractéristique)
Pc - 102 pascals (pression caractéristique)
t c - 1 seconde (temps caractéristique)
Posons
... / ...

---

191
Ona
c~ ~ 4.2 10-10
c~ ~ 8.85 10-9
cO ... 1 2 10- 10
d -
.
k
... 1 9 10- 10
1 -
.
k*
9 12 10- 9
1'"
.
Les termes ~1' ~1*' ~2 et ~4 caractérisent les pertes de charge au niveau
de la prise d'influence pilote, de la prise d'influence principale, de la vanne
d'amortissement Va2 et de l'évent pilote.
Ona
et
~1 ~
10,54
0*
ch JP;.
---==--.:.......
*
et
~1 ~
8,84
k* ;;0 t -
1
a
c
0
~~
6 10- 3
~
et
~4 ~
55
k4 JPat t c
0
~JP;
4,5 10- 2
~
et
~2 ~
4,57
k2 ~ t c
... / ...

---

On remarque donc que
Cela revient
donc
à
dire
que
dans
les
équations
3 à
6
(ce
sont
les
équations traduisant la variation de l'état du gaz respectivement dans la chambre
supérieure pilote, dans la chambre inférieure pilote, dans la chambre supérieure
et
inférieure
du
servomoteur
principal).
on
peut
négliger
l'effet
de
compressibilité devant l'effet de volume.
Ainsi les équations 3 à 6 deviennent
IPa - Phi
IPbl
-*
P
- Ph
a
J
* ...
IPa - Phi
À l X
IP
P*I
a
h
.../ ...

---

193
Soit encore
....
x
2 ....2
+ - - -\\1 x
Itl
t
Pb - - - - -\\~ t 2
....
....
-*
X
*2 ....2
Pa - Ph - - - -\\1
X
....
IXI
....
X
2
....2
PK -
Pd - - - -\\2
X
....
IXI
Dans l'équation 7 du système,
c'est-à-dire dans
l'équation traduisant la
variation de l'état du gaz dans le volume Vd , on a :
6.2 10.4
On
remarque
que
ce
terme
est
négligeable
devant
les
autres
termes
de
l'équation qui sont du même ordre.
Ce qui donne pour l'équation 7
....
o - - -\\2 X •
.../ ...

---

194
Soit encore
À
j P~
R
_
2 R7 k 2
.L.
6 le R7
7
Pd -
-
X
x
- - - P
!Pc
a
Pc
RS
d'où
À
~
.L.
6 le R
_
7
2 R7 k 2
.L.
R7
X
2.L.2
PM -
x
X - - P
- - - À
a
2 X
Pc
JP;,
RS
.L.
IXI
En remplaçant les différentes expressions ci-dessus par leur valeur dans
les équations initiales le système se réduit à :
m le
~
le .L.
x
2
2.L.2
- - - X
+ f - x
+ k le x - uP
+
e Pa -
- uPe--(À l
À4) x
.L.
te
Ixl
.L.
R7
X
*2
+ E Pc (1 + - ) Pa
E Pe--(Àl +
.L.
RS
IXI
P
-
a
x -
1
- - )
RS
... / ...

---

195
On constate donc que sous forme vectorielle, le système peut s'écrire sous
la forme suivante :
dU
- AU + Q(U, U) + E(t)
dt
où la matrice colonne Q(U, U)'caractérise la partie non linéaire du système et est
égale à :
0
2
...
o Pctc x
2
2
"'2
(.\\1 + .\\4) x
mlc
...
Ixl
Q (U, U) -
0
...
2 X
~ Pctc
2
2
"'2
(.\\1 + .\\2) X
Mlc ...
IXI
0
La fonction vectorielle Q (U, U) est positivement homogène de degré 2.
IV.3.2 - ETUDE DE LA STABILITE DU SYSTEME
Après
analyse
et
réduction,
le
système
peut
se
mettre
sous
la
forme
suivante :
dU
- - - AU + Q (U, U) + E(t)
IV.3.2 - (1)
dt
U - 0
pour t < 0
... / ...

---

196
où
* U est la matrice colonne dont les composantes, fonctions inconnues du
temps, sont les variables de notre système réduit à savoir
Ax(t) , Ax(t) , âX(t) , âX(t) et APa(t).
* Q(U,U) est la matrice colonne dont les composantes sont des fonctions
quadratiques des inconnues. Cette matrice représente la non linéarité du système.
* E(t) représente la matrice colonne dont les composantes caractérisent à
chaque instant, l'excitation extérieure appliquée au régulateur-détendeur.
Nous nous proposons d'étudier la stabilité globale du système IV.3.2 - (1).
Pour cela, nous allons suivre un raisonnement analogue à celui développé en IV.2,
à la seule différence qu'ici, les non linéarités sont des fonctions positivement
homogènes de degré 2 et non 1/2.
Proposition
Soit A une matrice carrée 5 x 5 ·réelle possédant des valeurs propres toutes
distinctes dont quatre sont complexes conjugées deux à deux. On peut trouver une
matrice 5 x S, P, inversible telle que:
[0]
[0]]
D2
[0 ]
o
~
où ~ est la valeur propre réelle de A, tandis que Dl et D2 sont deux matrices
carrées chacune correspondant à un couple de valeurs propres conjuguées, et [0]
représente la matrice colonne nulle d'ordre 2.
Dans le cas du régulateur, c'est-à-dire où la matrice A est celle définie
par le système IV.3.2 - (1), on a :
Dl - Dp où Dp est une matrice carrée 2 x 2 caractérisant les valeurs propres
de pompage
D2 - Dv où Dv est une matrice carrée 2 x 2 caractérisant les valeurs propres
de vibration
.. ·1· ..

---

197
Démonstration
On trouvera la démonstration de ce théorème dans les livres d'algèbre. L'on
pourra se reporter par exemple à : [16]
A titre indicatif, on prendra comme colonnes de la matrice P, les vecteurs
propres associés aux différentes valeurs propres de A.
Pour pouvoir étudier la stabilité globale au sens de la définition 3 du
système
IV. 3.2
(1),
nous
allons
voir
sous
quelles
conditions
portant
sur
l'excitation on a la propriété suivante:
A chaque instant t tel que)
IV.3.2 - (2)
(
on a
(l(U(t), E(t»
< 0)
UT(t).M.U(t) _ 26 2
Considérons un instant t tel que UT(t).M.U(t) - 26 2 et posons U(t) - 6 S(t)
en convenant que 6 > O.
Compte
tenu
des
calculs
déjà
effectués
au
§
IV.2.1,
on
voit
que
la
propriété IV.3.2 - (2) revient à la suivante:
T
tout instant t tel qu)
(6S (t). (ATM + MA) .S(t) +
~
IV.3.2 - (3)
n a
62 (ST(t).M.Q(S, S) + QT(S,S).M.S(t»+
(
ST(t) .M.S(t) - 2
..
(ST(t) .M.E(t) + ET(t) .M.S(t» < 0
Posons pour toute la suite comme au § IV.2
g(S)
ST(A™
+ MA) S
IV. 3.2 - (4)
h(S)
T
T
-
Q (S, S).M.S + S .M.Q(S, S)
{
T
T
k(t, S) - E (t).M.S + S .M.E(t)
La propriété IV.3.2 - (3) devient, avec les notations introduites ci-dessus
en IV.3.2 - (4) :
A chaque ins tant t t e 1)
IV.3.2 - (5)
~2h(S(t»
on a
+ 6g(S(t»
+ k(t,S(t»
< 0)
( que ST(t).M.S(t)
2
.../ ...

---

198
Propriété
On se donne une matrice 5 x 5, M, diagonale, définie positive.
On donne aussi une fonction S~Q(S, S) où S est une matrice colonne à 5
éléments et Q également une matrice colonne à 5 éléments, fonction définie par
o
2
a
signe (S2)Sl
OÙ a,
p E IR, S
Q(S, S) -
o
S 2
- p2 signe (S4)
4
o
Alors la fonction S~h(S) définie en IV.3.2 - (4) possède la propriété
suivante :
h(S)
~
0
Démonstration
ml
0
0
0
0
0
1112
0
0
0
la matrice diagonale
Soit
M-
O
0
m3
0
0
définie positive
0
0
0
m4
0
0
0
0
0
m5·
On a h(S)
T
T
-
Q (S, S).M.S + S .M.Q(S, S)
Comme la matrice M est définie positive, m2 et m4 sont positifs.
Par conséquent
a 2 m2 S~ + p2 m4 S~ > O.
D'où h(S) ~ O.
La
propriété
que
nous
venons
d'énoncer,
traduit
le
fait
que
toute
introduction de perte de charge au niveau des organes présentant une non linéarité
fondamentale a un effet stabilisateur sur le système.
.../ ...

---

199
Cela
signifie,
conformément
A
la
notion
de
stabilité
développée
précédemment, que l'introduction de perte de charge (c'est-A-dire la réduction de
l'ouverture
de
la vanne
d'amortissement V
ou l'augmentation de
la perte de
a2
charge au niveau de l'évent pilote et des deux prises d'influence) joue un rôle de
filtre en atténuant l'amplitude des oscillations du système.
On choisit de définir la classe d'excitation C de la façon suivante
pour chaque fonction t_E(t) appartenant AC,
la fonction t - E ( t ) est
continue et on a :
k(t,S) -
e.
on considère la fonctionnelle
IV.3.2 - (6 )
G (S, 6)
-
g(S)
+
6 h(S)
et on définit la fonction
IV.3.2
(7)
G(S, 6)
On sait qu'il y aura stabilité au sens où on l'a défini si la propriété
IV.3.2 - (5) est vérifiée.
Ce qui,
avec les
définitions
et notations
introduites,
est réalisée
si on
a:
IV.3.2 - (8)
6 .(6)
<
- e
Calcul de la fonctionnelle G(s.6)
G(s, 6)
g(s) + 6 h(s)
.../ ...

---

200
Posons
T
(A M + MA)ij
La matrice J
est symétrique c'est-A-dire qu'on a J ij - J ji , car M est
symétrique, comme matrice diagonale.
En utilisant la convention de l'indice muet, on montre que
G(s, 6)
c'est-A-dire sous forme développée
2
2
2
2
2
G(s, 6)
J U 81 + J 22 82 + J 33 83 + J 44 84 + J 55 85
+ 2J12 81 82 + 2J13 81 83 + 2J14 81 84 + 2J15 81 85 + 2J23 82 83
+ 2J 24 82 84 + 2J25 82 85 + 2J34 83 84 + 2J35 83 85 + 2J45 84 85
- 2 6 [a2
3
3
signe (8 2) m2 82 + fJ2 .signe (84 ) m4 84 ]
Application numérique
Notre propos dans cette partie, est de vérifier Al' aide de résultats de
simulation numérique, la notion et le critère de stabilité globale, tels que nous
venons de les définir.
Cette notion de stabilité globale nécessite le calcul de la fonction ~(6)
telle que définie par la formule IV.3.2.7. Nous allons ici, affecter le même poids
A toutes les variables du système,
en prenant comme matrice symétrique définie
positive M la matrice unité.
Ce qui donne donc
~(6)
,up . G(8, 6)
8 8-2
... / ...

---

201
Le calcul de ~(6), se ramène à la résolution d'un problème d'optimisation
avec contrainte. La méthode d'optimisation que nous avons utilisé pour ce calcul
est celle développée par M.J.D Powell [9].
Avec les valeurs retenues pour les différents paramètres du système,
on
obtient pour
6 - 1,
le critère de stabilité suivant
IV.3.2 - (9)
Signalons que cette relation traduit la condition définie en IV.3.2 - (8)
Ceci signifie, qu'étant données les valeurs des paramètres que nous avons
retenues,
tant que l' excitation du système ne dépasse pas 0,6 (ce qui revient à
dire en terme dimensionné que l'amplitude de l'excitation ne dépasse pas 0,6 mm
car nous avons pris Sc - 10- 3 mètre), on est sûr que la fonction:
âZ(t) - ST(t) Set)
restera dans le domaine [0, 2]
Prenons
pour
illustrer
ceci,
une
excitation
définie
par
une
fonction
échelon en vitesse de 0,5 mm d'amplitude. On remarque sur la figure IV.3.2.l, que
la
fonction
âZ
reste
bien
dans
le
domaine
défini,
pendant
tout
le
temps
d'observation. On a donc un système globalement stable au sens de la définition 3
pour le critère .. Sg(I,
2).
Signalons que pour une telle excitation la pression
aval varie entre - 1,2 mbar et 1,17 mbar.
En revanche,
et comme le montre
la figure
IV. 3.2.2,
si on choisit une
fonction d'excitation ayant une amplitude de 1 mm, on constate que la fonction âZ
sort du domaine. Par conséquent toute violation du critère de stabilité rend le
système
instable
au
sens
de
la
définition
3.
Signalons
que
pour
une
telle
excitation la pression aval varie entre - 2,52 mbar et 2,28 mbar.
. .. / ...

---

202
; ,
,l"
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i i
,
1
\\1
\\
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1
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J
l
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B.B
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TEMPS
•
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B.B .......f..........P"""'I""".,....+-""T"-r~~"T"""r...,-,,....,....T""'1"T-r-r-r-r~~r-T'"~-r-I=T-T""T"~~F-r-r.:.~
7' • • • • •
TEMPS
figure Ill:3.2.2

---

203
IV.4 - CONCLUSION RELATIVE A LA NOTION DE STABILITE GLOBALE
Nous venons donc de voir que la notion de stabilité globale nous permet,
étant donné une matrice M symétrique définie positive,
de pouvoir enfermer les
variables du système dans un domaine, et ceci, pour une classe d'excitations. Le
choix
de
la matrice
M est
guidé
par
le
poids
que
l'on
souhaite
donner
aux
différentes variables.
On
remarque
que
si
on
décide
de
prendre
comme
domaine,
la
plage
de
régulation de
l'appareil,
cette notion de
stabilité globale
couvre assez bien
l'idée que l'on se fait en général de la stabilité des régulateurs-détendeurs de
gaz.
On
pourrait
affiner
cette
étude,
en
cherchant,
par
optimisation,
le
meilleur
j eu
de
paramètres
qui
permet,
pour
une
matrice
symétrique
définie
positive M et une constante c, d'obtenir une stabilité globale du système. Cette
recherche,
qui
généraliserait
la
présente
étude,
reviendrait
à
dire
que
l'on
pourrait par exemple déterminer le jeu. de paramètres qui permet, pour une classe
d'excitations, au régulateur-détendeur d'avoir ses variables qui évoluent dans la
plage de régulation.

---

204
CONCLUSION
L'étude
entreprise,
nous
a
permis
de
mettre
en
évidence
certaines
caractéristiques dynamiques des régulateurs-détendeurs de type piloté.
Nous avons
pû d'une part confirmer certaines tendances observées expérimentallement dans le
milieu des
professionnels
(voir
la référence
[7])
et
d'autre
part
apporter des
explications relatives au fonctionnement dynamique de ces appareils.
Nous
avons
ainsi
pû mettre
en évidence,
l'existence
de
deux couples
de
valeurs propres
complexes,
conjuguées
deux à
deux,
susceptibles de
déstabiliser
l'appareil. Il s'agit:
* D'un couple de valeurs propres ayant une fréquence généralement de
l'ordre du hertz, communement appelée pompage dans le milieu des professionnels.
* D'un couple de valeurs propres ayant une fréquence généralement de
l'ordre
de
la
dizaine
de
hertz,
appelée
vibration
dans
le
milieu
des
professionnels.
Une étude paramétrique,
effectuée
sur
le
système
définissant
l'évolution
dynamique des régulateurs pilotés, nous a permis de constater que la valeur propre
de pompage
dépendait des
conditions d'installation et de
réglage de
l'appareil,
tandis que la fréquence de vibration était la même pour un appareil donné, puisque
caractéristique du module pilote de l'appareil.
En clair,
pour un même appareil
donné,
la fréquence de pompage peut varier d'un réseau à un autre,
tandis que la
fréquence de vibration ·reste inchangée quelque soit le réseau sur lequel il est
placé.
D'une
façon générale,
dans
la configuration habituelle
de
fonctionnement
des régulateurs-détendeurs de
type piloté,
le phénomène de pompage est beaucoup
plus fréquent que le phénomène de vibration,
car nous avons montré que dans une

---

205
telle configuration la partie réelle de la valeur propre de pompage était souvent
plus grande que celle de la valeur propre de vibration. Afin de remédier à ces
défauts de stabilité, plus précisément pour éviter tout phénomène de pompage, une
étude
de
sensibilité
des
différents
paramètres
nous
a
conduit
aux
remarques
suivantes
dont
nous
résumons
ici
celles
relatives
à
quelques
paramètres
significatifs :
* la réduction de l'ouverture de la vanne d'amortissement Vs2 est un
facteur
de
stabilité.
Cependant
une
trop
grande
réduction
de
cette
ouverture
augmente le
temps
de
réponse de
l'appareil
dans
la mesure
où elle
rend plus
difficile la communication entre le pilote et le servomoteur principal.
* Une augmentation de la perte de charge au niveau des deux prises
d'influence (grâce à une vanne de laminage par exemple) ou une augmentation de la
perte de charge au niveau de l'évent pilote sont facteurs de stabilité dans la
mesure où de telles augmentations atténuent tout phénomène de pompage.
* Une augmentation du débit nominal favorise la stabilité car elle écarte
le clap~t principal de la zone de petites ouvertures qui est une zone de pompage.
* Une augmentation de l'ouverture de la vanne de fuite Va3 attenue tout
phénomène de pompage.
* Toute augmentation de la raideur du ressort pilote ou du ressort
principal est facteur de stabilité. Signalons toutefois que si l'augmentation de
la raideur du ressort pilote attenue le phénomène de pompage,
elle dégrade la
sensibilité de l'appareil et donc l'efficacité du mécanisme de régulation.
* Une diminution du volume aval atténue tout phénomène de pompage et
s'accompagne d'une augmentation de la variation de pression aval et aussi d'une
augmentation de la valeur de la fréquence de pompage.
Contrairement à une idée
reçue dans le milieu des professionnels du gaz, toute augmentation du volume aval
n'est pas facteur de stabilité, mais diminue l'amplitude de la variation ce qui
rend souvent le phénomène de pompage difficilement perceptible par les moyens de
mesure
de
bord.
Afin
de
pouvoir
se
servir
du
volume
aval
comme
moyen
de
stabilisation,
il
serait
intéressant de placer sur
les
réseaux,
à
l'aval des
appareils , des vannes de laminage (ou tout autre matériel pouvant jouer le même
rale)
qui permettraient de faire varier le volume aval effectif du régulateur-
détendeur. Ainsi suivant les conditions d'utilisation,
l'on pourrait adopter le
volume aval adéquat, qui permettrait le bon fonctionnement de l'appareil.
.../ ...

---

206
* Le choix d'un clapet A ouverture parabolique ou de tout autre clapet
permettant de grandes variations de position pour une faible variation de débit,
est
un
facteur
de
stabilité.
En
effet,
un
tel
clapet
permet
de
travailler
fréquemment
en
dehors
de
la
zone
de
petites
ouvertures
qui
est
une
zone
de
pompage.
Nous avons remarqué que dans beaucoup de cas, le phénomène de vibration est
antagoniste A celui du pompage.
C'est-A-dire que certains facteu~s d'atténuation
du pompage peuvent engendrer le phénomène de vibration. Cependant, et comme nous
avons
pü
le
montrer,
l'énergie
associée
au
mode
de
vibration
est
souvent
négligeable
devant
celle
associée
au
mode
de
pompage.
Donc
généralement,
la
présence de la vibration est difficilement décelable car "noyée" dans le pompage.
Ainsi, le plus souvent, le régime transitoire est caractérisé par le pompage, même
si la partie réelle de la valeur propre de vibration est plus grande que celle du
pompage.
En revanche,
si dans de
telles conditions,
on arrive par un artifice
quelconque A apporter de l'énergie supplémentaire à la vibration (de sorte qu'elle
soit du même ordre que l'énergie de pompage), on aura alors un système qui peut se
mettre en vibration. On peut apporter de l'énergie supplémentaire de vibration, en
créant une
forte
variation
instantannée
de
pression
au
niveau
du
pilote.
En
pratique, cette forte variation de pression au niveau du pilote peut avoir lieu
dans l'un des cas ci-dessous :
* Une très brutale variation de débit à proximité d'un régulateur-
détendeur.
* Sur les réseaux de distribution, les opérations normales de raccordement
nécessitant un "ballonnement" peuvent créer un front de pression assez raide, qui
se transmet au pilote par l'intermédiaire de la prise d'influence.
* Un gain très important au niveau du pilote, c'est-A-dire une très grande
valeur de prédétente à pression aval constante, peut créer une grande fluctuation
de pression de prédétente qui se transmet au pilote.
* Une variation brutale et instantannée de pression au niveau de l'évent
pilote suite à une manipulation au niveau d'un poste de détente basse pression .
. . ./ ...

---

207
Signalons enfin,
qu'un fort débit nominal à
petit volume aval peut être
cause de mise en vibration.
Dans de telles conditions,
une diminution du débit
nominal peut être facteur d'atténuation du phénomène de vibration. Une étude de
l'influence des différents paramètres sur la stabilité du système nous a permi de
mettre en évidence, outre les cas ci tés ci - dessus,
d'autres facteurs de mise en
vibration.
Afin
de
pouvoir
valider
notre
modèle,
nous
avons
dû
retenir
un
type
d'appareil bien déterminé. L'étape d'identification,
qui a consisté à déterminer
les valeurs
des
paramètres
permettant une
adéquation entre
le
comportement du
modèle et celui du processus réel,
nous a permis,
entre autres,
de déterminer
quantitativement des domaines de stabilité relatifs à
l'appareil pour certaines
configurations données.
Ces domaines de l'espace des paramètres pour lequel le
modèle est stable ont éte· vérifiées grâce à une série d'essais expérimentaux et
assurent une qualité de régulation suffisante. Comme nous l'avons fait remarquer,
cette étape quantitative nécessite pour chaque configuration, un nouveau "calage"
des paramètres. Néanmoins, si cet ensemble de remarques relatives aux conditions
de réglages, aux conditions d'installations et aux critères de choix de matériels
n'est peut être pas généralisable du point de vue quantitatif, il couvre, sur le
plan qualitatif, une assez grande classe de régulateurs-détendeurs de type piloté.
C'est POu!" cela que ces remarques me semblent assez importantes, dans la mesure où
elles donnent des indications permettant d'améliorer les conditions de stabilité
des régulateurs-détendeurs pilotés en fonctionnement dynamique.
Toutefois,
une
partie
intéressante
de
cette
étude
surtout
pour
les
"exploitants" sur le terrain, serait d'envisager un programme de rechercheS en vue
de déboucher sur une étude systématique des régulateurs-détendeurs de type piloté.
Ce programme comporterait deux volets :
- Un premier volet qui consisterait à
définir une méthodologie pour une
large classe de régulateurs-détendeurs pilotés. Ce volet serait fortement inspiré
de
l'étude
que nous
avons
menée.
Il
définirait,
pour un régulateur donné,
un
modèle mathématique en ajoutant au modèle de base que nous venons d'établir,
les
particularités de l'appareil que l'on a en vue d'étudier. Ces particularités sont
d'une
façon
générale
soit
des
vannes
placées
à
certains
endroits,
soit
des
chambres pneumatiques qu'il faudrait prendre en compte. Dans tous les cas, on se
ramenerait à
un système
du même
type
que
celui
que
nous
avons
établi,
avec
éventuellement plus de paramètres et d'inconnus.
.../ ...

---

208
- le second volet consisterait, pour une classe de régulateurs-détendeurs,
à
cerner de plus près le comportement.
Pour cela,
l'on pourrait disposer d'une
"chaine"
d'études
des
régulateurs
pilotés
qui
permettent
de
tester
systématiquement
la
stabilité
des
appareils
et
préconiser
éventuellement
des
paramètres
de
réglage.
Cette
chaine
comprendrait
deux
modules
principaux.
Le
premier module étant un système d'acquisition de données, qui permet de recueillir
et de stocker les
informations sur les différentes variables.
Ces
informations
seraient par
la suite
traitées,
grâce
à
un
logiciel
qui
constitue
le
second
module.
On sait que
d'une façon générale,
le système décrivant la dynamique de
l'appareil peut s'écrire sous la forme:
dU
(1)
--- AU + F(U) + E(t)
dt
où
P
(2)
F(U)
~ Fi(U)
i-l
avec Fi(U) caractéristique des organes non linéaires.
Ce logiciel devrait avoir comme entrée, la dimension du système, le nombre
de non linéarités et éventuellement les valeurs des paramètres qui composent la
matrice A. A partir des données stockées par le système d' acquisition, le logiciel
devrait identifier tous les paramètres par minimisation de la fonctionnelle :
(3)
l
Des opérations de simulation numérique pourraient alors permettre de voir
le comportement du système et partant de préconiser le choix des paramètres.
Ce
logiciel
pourrait même
tracer
des
abaques
donnant
le
domaine
de
l'espace
des
paramètres pour
lequel
le modèle
est
stable.
Il pourrait
enfin comporter,
un
programme d'optimisation, permettant par la donnée d'une matrice M symétrique et
définie positive (le choix de M étant guidé par le poids que l'on souhaite donner
aux variables),
de définir et préconiser le choix de paramètres. et de classes
d'excitations,
qui
soient
tels
que
les
variables
restent
enfermées
dans
un
domaine.
Pour
l'exploitant,
ce
domaine pourrait par
exemple
être
la plage
de
régulation.

---

209
Comme nous l'avons fait remarquer en introduction, le modèle que nous avons
utilisé, même s'il prenait en compte les phénomènes essentiels, était assez simple
dans son élaboration. On pourrait affiner le présent modèle, en prenant en compte
certains
phénomènes
qui
ont
été
négligés
pour
des
raisons
de
simplification.
Ainsi, l'on pourrait prendre en compte l'effet des perturbations de la prédétente,
en supposant que celle-ci est dépendante du temps.
Certains phénomènes liés aux
efforts
aérodynamiques
exercés
sur
le
clapet
principal
ont
été
supposés
négligeables en première approximation.
Mais,
comme nous avons pû le remarquer,
les
zones
de
faibles
ouvertures
du
clapet
principal,
sont
des
zones
où
se
manifestent le phénomène de pompage. Une étude des efforts instationnaires sur le
clapet
principal,
permettrait
d'expliquer
ces
instabilités
liées
aux
petites
ouvertures.
Pour les mêmes raisons de simplification, nous avons supposé que le
réseau aval était un simple volume, obturé partiellement par une vanne permettant
de régler le débit sortant de manière à le prescrire selon une loi horaire. Si une
telle modélisation, nous a permis dans une configuration simple, d'expliquer les
phénomènes
d'instabilités
liés
à
cette
partie,
dans
la
réalité
un
réseau de
distribution
est
souvent
maillé.
Ce
qui
fait
qu'un
régulateur-détendeur
est
souvent raccordé à une canalisation servant d'alimentation à
tout un réseau de
distribution. Par conséquent, une modélisation complète devrait prendre en compte
l'effet des divers appels de débit enregistrés sur tout ce réseau. Pour cela, on
pourrait modéliser le réseau aval,
par une longue canalisation à
laquelle sont
raccordées plusieurs autres canalisations. On supposera que l'écoulement dans la
canalisation est monodimensionnel, de sorte que si x désigne l'abscisse le long de
la canalisation, les grandeurs caractéristiques de l'écoulement seront:
u(x,t), p(x,t), Q(x,t) et p(x,t).
Soit S(x) la section de la canalisation, on a
Q
(4)
u - -
pS
L'équation de bilan de la masse s'écrit
8
pS
8
pSu
(5)
+ ---
- - M(t, x)
8t
8x
... / ...

---

210
où M(t,x) simule les divers appels en débit. On pourrait schématiser M(t,x) par
N
(6)
M(t,x)
-
~
Mi(t) 6(x - xi)
i-l
avec Mi(t) qui peut avoir un caractère aléatoire lié à l'appel en débit de
la ième station branchée sur la canalisation.
L'équation de bilan de la quantité de mouvement s'écrit
a pSu
a
(7)
+ -
2
(pSu
+ pS)
+
at
ax
où Fd représente la perte de charge linéaire le long de la canalisation et
Fs la perte de charge singulière au ième raccordement. Plus exactement, on a :
N
(8)
-
~
Fi(Mi(t»
6(x - Xi)
i-l
Une étude devrait permettre de modéliser Fi(Mi(t».
L'équation de l'énergie s'écrit
a
1
a
1
(9)
-
pS(e + _u2 ) + -
pSu(e + _u2)
at
2
ax
2
Par combinaison des équations (5) et (7), on a
au
au
a
(10)
pS ( - +
u - )
+ -
ps
-
uM + Fd + FS
at
ax
ax
Par combinaison des équations (5) et (9), on a
au
au
ae
ae
1
(11)
pSu ( - + u - )
+ pS (-+ ·u-)
- M(e +-u2 ) + Ed + Es
at
ax
at
ax
2
.../ ...

---

211
Si on s'intéresse aux variables en dehors des xi' on a
D'où le système se réduit à
au
au
a
pS ( - + u - )
+
pS
at
ax
ax
au
au
ae
ae
l
(12)
pSu ( - + u - )
+ pS ( - + u-) - M(e +-u2) + Ed
at
ax
at
ax
2
a
a
-
pS
+
pSu
-
- M
at
ax
En tenant compte de la loi d'état
(13)
p - p7 exp(a/cv )
où a(x,t) désigne l'entropie,
on
pourrait
résoudre
le système
(12),
donc
déterminer
en
tout
point x
(x # xi) de la canalisation et à tout instant t, la valeur de la pression à l'aval
du
régulateur-détendeur.
L'équation permettant
donc
de
déterminer
la
pression
aval,
remplacerait
dans
le
modèle,
celle
que
nous
appelons
équation
de
la
variation de l'état du gaz dans le volume aval.
Nous terminerons cette conclùsion, en formulant une réflexion relative à la
conception des régulateurs-détendeurs pilotés. L'étude que nous avons menée, nous
a permis de mettre en évidence les deux phénomènes susceptibles de déstabiliser
l'appareil à savoir le pompage et la vibration.
Compte
tenu
de
la
très
faible
fréquence
des
oscillations
liées
aux
phénomènes
de
pompage,
ceux-ci,
quoique
fréquents,
ont
des
conséquences
relativement minimes sur l'appareil ou sur le réseau lorsque les amplitudes des
variables
sont
assez
faibles
et
peuvent
passer
souvent
inaperçues
pour
une
personne
non
avertie.
Par
contre,
le
phénomène
de
vibration
peut
être
très
dangereux pour toute
l'installation,
surtout lorsqu'il est porteur d'une assez
forte énergie.
.../ ...

---

212
On
pourrait
alors
chercher
à
concevoir
un
régulateur-détendeur
de
type
piloté,
qui
éliminerait tout risque de mise en vibration.
Le module pilote de
l'appareil
étant
essentiellement
le
siège
d'un
tel
phénomène,
il
serait
intéressant de changer le
système de pilotage pneumatique
tel
qu'il
est conçu
actuellement par un comparateur muni d'un microprocesseur,
qui
commanderait la
correction de pression motrice dans le servomoteur principal, donc la valeur de la
pression aval.
Les avantages d'une telle démarche sont multiples.
En effet,
les systèmes
de régulation électroniques sont beaucoup plus connus et ma1trisés.
Ils ont en
particulier
un
temps
de
réponse
beaucoup
plus
faible
que' les
systèmes
pneumatiques,
et
permettent par
conséquent
une
correction
assez
rapide
de
la
pression aval.
En outre,
on peut avec de tels systèmes,
avoir une commande à
la
fois précise et stable.

---

ANNEXE l
Vue d'ensemble d'un régulateur piloté

---

ANNEXE II
ETUDE DE LA VARIATION DE L'ETAT DU GAZ
DANS UN DOMAINE 0
Considérons un domaine 0 contenant du gaz dont la frontière
a 0 - r u r u r
1
Z
où
f
r 1 est mobile et a le mouvement de l'équipage mobile
rz est fixe
r f est un domaine surfacique par lequel transite le gaz qui
entre ou sort du domaine O. Soit Q(t) le débit passant par r •
f
Les équations du gaz dans le domaine 0 sont
ap*
+ U*.Vp* + p*. V.U* - 0
at*
au*
1
- - + U*.VU* + - - Vp* - 0
at*
p*
11.1
, as*
+ U*.VS*
- 0
at
U*.n - 0
sur r Z
U*.n - W*(t*)
p * *
U .nds
Q(t)
Soient Po' Po et U -
0 la masse volumique, la pression et la vitesse
du gaz à l'équilibre.
. . . j ...

---

Annexe II
suite 1
On
adimensionna1ise
le
système
II.1,
en
introduisant
différentes
grandeurs caractéristiques de la manière suivante :
p* - P
(1 + fi)
o
Y*(t*) - MaoY(t) où M désigne un nombre de Mach caractéristique et a o
la vitesse du son
U*
aoMU
x*
LX
t*
tct
*
P
Po (1 + r)
Ainsi, les équations du système II.1 deviennent
L
8r
1.
+ M [U.Vr
+
(1 + r)V.U]
- 0
Po
2.
+ ----U.VU
+ - - - - - VII
- 0
8t
L
3.
L'équation (3)
du système II(l)
traduit le fait que l'écoulement du
gaz
dans
0
soit
isentropique,
c'est-A-dire
constante
le
long
des
lignes de courant.
On part d'un état du gaz au repos (c'est-A-dire la pression, la masse
volumique et l'entropie sont constantes). Comme nous avons supposé que
le niveau de turbulence était négligeable,
on peut alors dire aussi
que l'entropie est constante partout dans l'écoulement.
Le
gaz étant supposé parfait A chaleur spécifique constante,
si on
combine l'équation (3) de 11(1) et la loi d'état du gaz on obtient :
(1 + fi) -
(1 + r)l
.. .f ...

---

Annexe II
suite 2
4.
U.n - 0
sur f 2
U.n - W(t)
sur f 1
(1 + r) U.nds - Q(t)
On a donc le système
L
ar
----- ---- +
M [U.Vr
+(1 + r) V.U ] - 0
aotc at
aoM
au
a 2M2
Po
0
- - +
U.VU
+
VII -
0
t c at
L
poL(l+r)
II.2
(1 + II) -
(1 + r)"Y
U.n - 0
sur f 2
U.n - w(t)
f (1 + r) U.nds - Q(t)
f E
La relation II.2 - (3) nous permet d'écrire
1 + II
II.2 - (5)
VII - "Y _ _ Vr ,
1 + r
d'où
Po
Po"Y
(1+11)
a 2
(1+11)
0
VII - - -
Vr - - -
Vr ,
p
(1+r)2
oL(l+r)
poL
(1+r)2
L
Réinjectant cette formule dans l'équation II.2 - (2) on a :
au
a 2M2
a 2
o
1 + II
0
II.2 - (6)
- - + --U.VU +----
Vr
- 0
at
L
L
(1+r)2
comme
1111
« 1 et Irl «
1, il s'en suit que
1 + II
... 1 .
(1+r)2
L'équation II.2 - (6) devient alors :
aoM
au
a 2M2
a 2
o
0
II.2 - (7)
- - - - + -----U.VU
+ -
Vr
- 0,
t c
at
L
L
... / ...

---

Annexe II
suite 3
soit
L
au
2
- - . M . - + M
U.VO + Vr
-
0 .
aotc
at
A ce
stade
du
raisonnement,
il
est
important
de
remarquer
que
le
nombre sans dimension
L
définit le nombre de strouha1 encore appelé par abus de langage fréquence réduite.
Soit w ce nombre,
on a
L
w
Pour notre étude, on a la vitesse du son dans le gaz qui est
ao "" 330 mis.
La longueur caractéristique de 0 est L "" 10- 3 m.
Le temps caractéristique est t c "" 10-1 s.
D'où
L
w - - -
«
1.
Dans les essais effectués, on observe une vitesse maximale de l'ordre
de 30 mis.
D'où le nombre de Mach M «
1
Avec ces remarques, l'équation II.2 - (7) devient alors
II 2 - (8)
Vr - 0
.. ·1···

---

Annexe II
suite 4
Le système peut
lors s'écrire
L
8r
+
M [U.Vr
+ (1 + r) V.U] - 0
Vr - 0
(1 + n) -
(1 + r)~
II.3
U.n
0
sur r 2
U.n
w(t)
sur rI
(1 + r) U.nds - Q(t)
1rE
Tenant compte
d
II.3 - (2), l'équation II. 3 - (1) devient
L
8r
11.3 - (5)
+ M (1 + r) V.U - 0
aotc
8t
soit
L
8r
II.3 - (6)
Ie
- d v - -)feH(l + r) V.U dv
aotc 8t
Signalons que l'équation
II.3 - (2)
Vr
- 0 .......==='I.~r (x,t)
- r(t)
Le membre de gauche de II.3 - (6) peut s'écrire, tenant compte de
l'implication ci-dessus
8r
L
dr
)fe a:tc-' dv
V
8t
aotc
dt
..
si on admet que V désigne 1
mesure du domaine O.
dr
La notation
e justifie dans la mesure où r ne dépend
dt
que de t comme indiqué par
'implication ci-dessus.
Le membre de
roite de II.3 (6) peut aussi s'écrire
.fa M (1 + r) V.U dv - - M (1 + r»)fe V.U dv
... / ...

---

Annexe II
suite 5
En utilisant le théorème de la divergence, on a
,
- M (1 + r)
r v.U dv - - M (1 + r) ru. nds
Jo
Jao
ao - rI U r ure
2
(qui sont des surfaces disjointes). Utilisant par
conséquent la propriété d'additivité de l'intégrale, on a :
- M(l+r)
rU. nds - - M(l+r) rU. nds - M(l+r) r U.nds - M(l+r) r U.nds
Jao
Jr
Jr
Jr
l
2
e
Etant donné, les conditions aux limites définies par l'équation
11.3 - (4)
U.n - 0
sur r2
U.n - Y(t)
sur rI
Ir (1 + r) U.nds - Q(t)
re
on a
- "M (1 + r) i
JfJ(t) ds - MQ(t)
U.nds
M (1 + r)
ao
rI
L'équation II.3 - (6) devient alors :
II.3 - (7)
- M (1 + r)
~ Y(t) ds - MQ(t)
Jrl
Soit
w
dr
II.3 - (8)
V -
-
- (1 + r)
j. Y(t) ds - Q(t)
M
dt
rI
où w désigne le nombre de Strouhal
M désigne un nombre de Mach
La relation II.3 - (8) traduit la variation de l'état du gaz dans le
domaine O.
Aux notations près, elle justifie les différentes équations que nous
avons utilisées, pour décrire la variation de l'état du gaz dans diverses chambres
du régulateur-détendeur.

---

ANNEXE III
E FETS DE FROTTEMENTS VIS UEUX
s"
....
Soit Q* le débi
massique qui s'échappe par le clapet, D* le diamètre
de la base du clapet,
*
X
la course de la tige qui guide le clapet (compté dans un
sens bien déterminé), Xo* 1 valeur de X* lorsque le clapet est fermé.
*
qJ
le
potentiel
des
vitesses
de
l'écoulement
dans
le
volume
V
au
dessus du clapet.
~* la surface de contrôle entourant la fuite du clapet.
S* la surface de contrôle loin de la fuite.
(1)
*
Q - -
*~ V* qJ*.n ds*
J~*
(2)
Q* - TI
où aO* désigne 1
célérité du son dans les conditions de la chambre .
.. .J ...

---

Annexe III
suite 1
x* n'intervient dans la détermination de ~* que par la condition (1).
Compte tenu de (2) on peut écrire :
(3)
En reportant (3) dans (1) et (2) et en tenant compte de
(4)
x* - D* X
dS* - D*2 dS
on a
D'où
~ est déterminé par les conditions
-~
V~.n - 0
sur (C) U(L)
V~
- 0
dans {}
- n -
{ - -
J~ V~ . n ds
Sur S, ~ est le potentiel d'un puit de débit
(adimensionné) égal à n
Donc ~ ne dépend que de la géométrie au dessous du clapet.
D'après la version instationnaire du théorème de Bernouilli, on a
(7)
... / ...

---

Annexe III
suite 2
où
*
Pch est la pression dans la chambre (au niveau de S où les vitesses
sont négligeables).
La
force
non compensée agissant sur
le
clapet comptée positivement
dans le sens de
*
X
est:
(8)
F* -
!c*(p'
*
dS*
- Pch)
8qJ*
1
!C, * (- +
2
1 IV*qJ*1 1 ) dS*
- -
P
8t*
2
Posons (9) t * - t *
c t
D'où
8qJ*
1
8
(10)
*
*
*
- --
[(X
- XO) aO tPl
8t*
t * 8t
c
*
*
aO D
8
- --"
[(X - Xo) tPl
t *
8t
c
*
aO
*
D
XtP
t
*
c
1
(11)
- - - IIV [a~D* (X - XO) tPl 11 2
2D*2
1
*2
2
2
- - a O
(X - Xo)
IIVtPl1
2
... / ...

---

Annexe III
suite 3
Tenant compte d
(10) et (11), l'expression de (8) devient
aOD
(12)
p
11 * * 1 *
F* - - D*2
*
2
2
2
X<p +-aO
1X - Xo1 11 'i7<p 11 } ds
*
t c
2
D*3
(13)
p
aO--
t *
~
*
*
1
t c aO
F* - -
*
*
( X<p + -
(X - Xo)2 11'i7<P1 ,2) ds
2
D*
c
Mais D* n'est p s une bonne longueur caractéristique pour X* et encore
moins pour (X* - X *).
O
(14)
X* -
-
D* À e
dX*
D*
(15)
e ---X
t
*
c
X -
À e
D*3
(16)
F* - - p*
*
aO--
t
*
c
Pour que
isse négliger le second terme, il faut que
(17)
» 1 .
D*
Soit h* la hauteur ma ima1e d'ouverture au passage au niveau du clapet.
Ona
h
(18)
À -
D
.. .f· ..

---

k30
- 3.16 10- 9
k31
- 7.66 10- 9
k32
- -2.13 10- 9
k33
- 2.25 10. 10
nt
- 2
k3
- k30 + (k31*nt) + (k32*nt2) + (k33*nt3)
q30
- k3 j paO (pdO.paO)
qpO
_ q30
Q10
- 8.5 10- 2
QcO
_ Q10
3
'7
- 2 10
R
4
- 3 10
R*
_ 104
R2
- 2.7 107
R4
- 1. 7 102

---

ANNEXE 4
Les différentes valeurs des paramètres ci-dessous sont données en unité S.1
m
- 2.6 10- 1
M
- 2.2
f
- 0
F
- 0
a
- 8. 10-3
~
- 1.1 10-1
k
- 1860
K
- 8200
P
- 0.8
Pb
- 1. 293
vh
- 7.5 10-5
1110 - 1.02 105
..,
- 1. 293
vb
- 1. 24 10-4
_ 105
pb
vh*
- 1.6 10-3
vm
-1.710-3
O
Pd
- 1. 078 105
vd
- 1.21 10-5
paO
- 1.02 105
TI
- 1.2 105
6
- 1.4
va
- 15
Q
- 63

---

Annexe III
suite 4
On voit donc que le second terme de (16) sera négligeable si :
(19)
»
1 .
D*2
On a
*
*
aO - 300 m/sec,
h* - 4 10- 3 m,
t
1
d
D*
10- 2
c -
secon e,
-
m.
D'où
* *
aO t c h*
4
- 1.2 10
» 1 .
D*2
Par conséquent le second terme de (16) est négligeable et on a F* qui
peut s'écrire :
dX.*
(21)
F* - - f*
dt*
où
f*
*
*
*2
{
p
aO D
Jc ~ dS
Quand le clapet s'ouvre, on a
> 0
Le débit est beaucoup plus grand, d'où un accroissement des vitesses.
D'après le théorème de Bernouilli,
on a
la pression p* qui a donc tendance à
décroite.
F* correspond donc A une dépression et se trouve dirigé dans le sens
contraire A X c'est-A-dire au déplacement.
De plus on a ~ - 0 A l'infini, et sur le clapet on a
1
~clapet
V;.dP > 0
Ce qui
entra1ne d onc que f *>O
dX.*
On voit donc que
F* - - f * - -
dt*
traduit bien un terme d'amortissement.

---

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