N° d'ordre: 3518
THESE
présentée à
~ !
L'UNIVERSITE PAUL SABATIER DE TOULOUSE (SCIENCES)
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR DE 3 ème CYCIE - SCIENCES
Spécialité: Mathématiques Appliquées
1
NINDJIh AXA FULGENCE
.1
1
AMELIORATION DE LA CONVERGENCE ET SUPERCONVERGENCE
DES METHODES D'ELEMENTS FIMS MIXTES POUR
LES EQUATIONS DE NAVIER STOKES
Soutenue le 28 octobre 1988 devant le j ury composé de :
M.ATTElA
Professeur V.P.S. (Sciences)
J.COUOT
Professeur V.P.S. (Sciences)
HA MINH
Professeur LN.P. Toulouse
F. delHELIN
M. de Conférences V.P.S. (Sciences)
Département de Mathématiques Appllquées- VPS Toulouse
Laboratoire d'Analyse Numérique
-----
,
,
1

---

A.F. NINDJIN
Ammélioration de la convergence et superconvergence des méthodes
d'éléments finis mixtes pour les équations de Navier-Stokes.
Thèse 3ème cycle: Analyse Numérique
Toulouse III : 1988 ;
RESUME
La premi~re partie de ce travail s'~tend sur un ensemble de chapitres
courts où nous précisons dans une étude complète quelque peu classique, mais
indispensable les éléments qui ont motivé cette étude.
Dans une première étude, nous mettons en évidence une technique permettant d'ac-
célérer la convergence dans la résolution des équations de Navier-Stokes par la
méthode des éléments finis.
Le deuxième volet de notre travail consiste à mettre en évidence des points de
superconvergence du gradient de la vitesse lorsqu'on utilise les éléments finis
triangulaires quadratiques. Nous montrons que si la condition d'incompressibilité
du fluide est bien traitée~ alors on obtient une superconvergence du gradient de 1
la vitesse à des points spécifiques du triangle.
Nous termino~s notre étude en présentant_des~ré-su-rtats numériques sur un domaine
~~-
\\'"-Ac-n'G'
t . t
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..., El' ~.j\\A.~<.;J
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G\\
M. E. S.
.• \\\\~\\ ,~~-~ ... ' \\
MOTS CLES
- superconvergence
- cavité carrée, champs des vitesses,
lignes de courant, isobares
JURY ET DATE DE SOUTENANCE:
28 Octobre 1988
Président
M. ATTElA
Mambres
J. COUOT
HA-I'11 NH
F. de THELIN

---

REM E R CIE MEN T S
Je vou~ au tenme de ce tnav~ exp~~ toute ma ~econ~~ance
et mU ~..i..ncè./1.u ~em0ueme~ à toM ceux qu..i. m'ont a..i.dé à ~a ~éo.1.Ma.U..on.
Tout d'aboM, .te LaboMto~e d' Ana.tlj~e NuméJU.que et ~on V~ecte.uJ1.
actue.t .te P~o6u~eUf1. J.B. HIRIART-URRUTY pOUf1. m'avo~ accu~.
Au P~o6u~eUf1. J. COUOT"que je ne pou.tzJz.a.;{:6 jamai.6 ~em~u~ M~ez, po~ 1
.ta con6..i.ance qu 1i l a b..i.en vou.fu p.ta.c~ en mo..i., m~ aM~..i. e:t ~~out, pOUf1. .t' a..i.deJ
et .tM COM~ e66..i.cacu> qu' il m' a p~od-<.gué~ tout au .tong de ce btavail.
\\
Au P~o6u~eUf1. M. ATTElA pOUf1. .t'..i.n6..i.gne honneUf1. qu'il me 6Mt en ac-
ceptant de p~é.~-i.d~ .te jUf1.1j de cette thè.~e.
Au PM6u~eUf1. HA-MINH et à MOn6..i.e.uJ1. F. de THELIN pOUf1. .te.uJ1. gMnde
~ po ntanédé à .ta. p~upaUo n à ce j Uf1.1j .
A Mademo~ille F. MICHEL pOUf1..te ~o..i.n qu'eUe a ~é~~vé à.ta. dactlj-
{ogMph[e du marJLL.6cUt.
A Madame M. FOERSTER pOUf1. ~a gMnde gentil.tu~ee:t pOUf1. ~a ~emat1.­
quab.te a..i.de à .ta. p~ép~n du> dM~..i.eM de ce ~av~.
Je n'oubüe pM A. RAKOTOSALAMA pOUf1. ~u> p~é.ueux COn6~ et tOM
mu> camaMdu du LaboMto~e d' Ana.tlj~e NumétU.que.

---

A la mémo~~ d~ mon pèn~.

---

TABLE DES MATIERES
-
EHRODUCTION.
1
CHAPITRE l
-
Rappels
sur les espaces de
Sobolev ..
3
-
Posi tion du problème.....
.. . . . . . . .
12
UL\\ p:r TriE TI
2.
Formulations variationnelles pour le problème stationnaire
de
stokes
17
:2.2.
Formulation
(vi tesse-pression)
17
2.3.
Problème de point-selle
:
21
2.4
\\ppro:ximation générale
23
2.5.
Exemples d'application
24
2.6.
Autre
forml.llatin mi~:te..............................
30
2.7.
Approximation de
la deuxième
formulation mixte
35
CHi-\\PITfΠfi
,)
.~
. j
.
Les équations
stationnaires de NAVPl9R~ST,Q!:~_ES:;,
..
. . . ..
41
,-
1 i '
,
i '
I l ' ' ' ,
.f
3 . )
~ ~
'"
'1'
r'ormua ~lel: varla ~lonnC'
e
v7tes~~e/-:presslo.n~, . . .
. . . . .
41
3 . 2 .
~1)rI'OYlnla-'on
t·,· .....
" - , . . ' , ,
-
L.L
'
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
• •
• •
B~
'E: ',' ....
.. ...
45
2 . 2 .
Cas de
la deuxième
formulation
m:i'~ ~~.-.-.--;.., ..
. . . . ..
46
u
.:;
~
,~
CFlf\\PITfŒ
El
/'
LV~
{'
~\\.
•
''1s BI
e{flEl
,,1
-1
•
~éthodes numériques pour la résolution ~~s équations de
)\\:A\\'TER-STOKES
.
48
:1. l
:'iéthodes de pénal isation
48
4.2.
Construction de
base à
divergence nulle
51
4.3.
Résolution par la méthode des moindres-carrés-gradient-
cenjugué
56
CH ..\\PITTΠIi.
,..
Amélioration de la convergence et superconvergence
61
::J. J
F;,echerche d'une amélioration de
la convergence
-
61
5.1.2.Estimation d'erreur sur la v i t e s s e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.1.3.Estimation d'erreur
s~r la pression.................
68
5.1.4.Commentaire et conclusion
70
5.2.
Superconvergence due
aux effets de llintégration
numerJ que
.
73
CHAPITRE TIl
6.
Résult.ats numériques.
.
95
REFERE\\CES.
.
115

---

-1-
INTRODUCTION
L'étude numérique des solutions approchées des équations is-
sues de la dynamique des fluides est sans aucun doute l'une des plus
difficiles.
Le nombre
très élevé des chercheurs dans ce domaine en
est une bonne illustration.
Le
succès de
la méthode des éléments finis dans la résolu-
tion
des problèmes
de la
mécanique des
solides et des structures
n'est
plus à
démontrer. Cependant
dans le cas de la mécanique des
fluides,
surtout en convection dominante et particulièrement dans le
cas
des équations
de NAVIER-STOKES,
la méthode n'a pas encore at-
teint
le niveau
qu'on lui
connait.
La résolution des équations de
Navier-Stokes par la méthode des éléments finis a motivé beaucoup de
chercheurs,
on
peut
citer
par
exemple
BERCOVIER
[3],
CROUZEIX-RAVIART
[10],
FORTIN
[13],
FORTIN-THOMASSET
[14],
la liste est très longue.
Le développement des supercalculatrices a apporté une grande
simplification, mais le travail de celles-ci serait négligeable s ' i l
ne
s'accompagne
pas
d'une
profonde
modification
du
calcul
scientifique.
Le
but de
notre travail donc,
est de trouver une procédure
de
calcul
mieux
adpatée
à
la
résolution
des
équations
de
Navier-Stokes,
pouvant permettre d'accélérer la convergence des so-
lutions approchées. Nous parlerons même de superconvergence.
Pour des raisons de simplicité
nous avons divisé le travail
en plusieurs parties.
Dans
le chapitre l
nous présentons les espaces fonctionnels
adaptés
à
l'étude
mathématique
et
numérique
des
équations
de
Navier-Stokes.
Dans le deuxième chapitre nous exposons les formulations va-
riationnelles
mixtes les
plus utilisées permettant d'aboutir à des
résultats
numériques satisfaisants.
Cette étude
est faite dans le
cas des équations linéaires de Stokes.
Les raisons essentielles sont

---

-2-
les suivantes :
-
le problème de Stokes est une linéarisation du problème de
Navier-Stokes
autour de
la solution
-
(u = -
0, p = 0) où -
u est la vi-
tesse du fluide et p sa pression.
l'étude du
problème de
Stokes est intéressante en elle-
même du fait qu'elle correspond au cas des écoulements très lents.
on montre
(voir,
[16],
[26])
que la solution approchée des équa-
tions de Stokes a le même ordre de convergence que celles de Navier-
Stokes lorsqu'on utilise la méthode des' éléments finis.
- enfin le problème de Stoke constitue une étape dans la résolution
numérique du problème de Navier-Stokes.
Le
chapitre III constitue une extension au cas non linéaire
des résultats du chapitre II.
Au chapitre IV,
nous présentons les techniques de résolution
1
mieux adaptées à chacune des formulations variationnelles utilisées.
Le
chapitre V
est le plus important pour nous. On le sait,
pa~mi
les problèmes
auxquels il faut faire face dans la résolution
numérique
des équations
de Navier-Stokes
se trouve
l'énorme dif-
ficulté
à faire
des simulations à grande nombre de Reynolds. Pour-
tant,
ces
simulations
constituent
un
cas
très
important
physiquement.
'.~
Nous
voulons apporter
une contribution
importante aux ef-
forts depuis longtemps amorcés pour résorber cette difficulté.
Dans
la première
partie de
ce chapitre, nous exposons une
technique
permettant d'améliorer la solution approchée avec un coût
de calcul relativement faible.
Dans
la deuxième
partie du
chapitre V,
nous montrons dans
quelles
conditions les
techniques de
superconvergence ([2],
[29])
peuvent
être
utiles
dans
le
cas
des
équations non linéaire de
Navier-Stokes.
Dans
le chapitre VI enfin nous présentons nos résultats nu-
mériques
effectués au cours de ce travail.
Il faut signaler que ces
résultats ont été obtenus en partie grâce au logiciel Modulef.

---

-3-
l - RAPPELS SUR LES ESPACES DE SOBOLEV ET POSITION DU PROBLEME
On
appelera Q
dans toute la suite un ouvert borné simple-
ment
connexe de R"
(n €
~) de frontière 1. La régularité sur 1 sera
précisée suivant les situations.
On désigne par :
I)(Q)
. l'espace
des
fonctions
indéfiniment différentiables et à
support compact dans n.
I)'(Q)
le dual de I)(Q) appelé espace des distributions de Q.
On notera < .,.> le crochet de dualité entre I)'(Q) et I)(Q).
Toute
fonction f
localement intégrable sera identifiée à la
distribution définie par
(1.1. )
<f, ~ > = J f(x)
v
Q
.
~(A)dx
~ €
D(Q) avec
x = (Xl"'"
X
)
€
IR"
n
n
Soit
ex. = (ex. , ex. , ••• , ex. ) €
lI"r
1ex. 1 =
L
ex..,
un
multi-
l
2
n
i=l
~
indice,
pour toute
distribution u €
I)'(Q), on définit la dérivée au
sens des distributions par :
(1.2. )
avec
lX
lX
àx l
.. . èx n
l
n
Pour
tout n €
~ et P €
~, 1 ~ p ~ 00, on définit l'espace de Sobolev
suivant :
wm.p(Q)
est un espace de Banach avec la norme suivante

---

-4-
11 .3". )
[
)'1.
lIuli
n =
L
IQ 1èl)(U (x) 1Pdx si p < co et
m, P t
loc.l~m
(1.4. )
lI u ll m , co, P =
sup
(sup
ess
lo"u(x) 1) si p = co
loc.l~m
xe:Q
On muni~ également Wm,P(Q) de la semi-norme suivante
=
L
l
.,
(1.5. )
1ulm, P, n
[
1èl)( U (x) 1P
)'/.
dx
si p < CO et
i
loc.I =m
Q
i'
,
(Lb .. )
Ilu II m,co, n
=
sup
( sup
ess 1o"u (x) 1) si p = co
loc.I =m
xe:Q
Quand
p = 2, Wm,2(Q) est noté simplement Hm(Q), c'est l'es-
pace de Sobolev habituel.
On
notera simplement
Il.lI m,2,n
(resp 1. I m,2.n) par Il.lI m,n
(resP.I.lm,n)·
Hm(Q) est un espace de Hilbert avec le produit scalaire sui-
vant
(1.7. )
(u,
v)
=
m
loc.l~m
..
Comme D(Q) C Hm(Q) on définit
Hm (Q) = D(Q )
o
On
utilisera également
l'espace quotient
L 2 (Q)/ IR avec la
norme suivante :
(1.10.)
inf
IIv + Cil
n
o ,
C e: IR

---

-5-
et l'espace L2 (Q) défini par
o .
L~(n) = {v • L' (n), telle que In vdx = o}
avec la norme suivante
(1.11.)
IIvll
=
2
n
inf
.
L
(H)
o
C e: IR
Remarque 1.1.
Lorsque
le domaine
Q est
borné l'espace L2 (Q.) / IR est iso-
morphe
à
L2 (QL
Donc
dans
la
suite
l'utilisation
de L2 (Q) ou
o
.
o .
L 2 (Q) /
IR relève purement d'une question de convenance.
On note également
H-m(Q) l'espace dual de Hm(Q) avec la norme suivante
o
1< f,
v
>1
(1.12. )
IIfll_m Q
=
sup
.
IIv II m • Q
Dans
le but
de citer quelques résultats sur les traces des
éléments
de Hm(Q),
nous allons
supposer que Q admet une frontière
bornée,
continument lipschitzienne,
d~ désignera
la mesure surfa-
cique que r.
L2 (r). dés ignera l'espace des fonctions de carré sommable sur r
rela-
tivement à la mesure d~ avec la norme suivante :
On a les résultats classiques suivants
1°) D(Q) est dense dans Hl (Q)
2°)
il existe une constante C indépendante de ~ telle que

---

-6-
(1.13. )
où 1 ~ est la valeur de ~ sur 1.
o
D'après
ces résultats,
défini sur D(Q) peut être prolongé
.
0
par
continuité
en
une
application
toujou,rs
n o t é e ,
de
o
Hl (Q) - . L 2 (1).
1
~ [(Hl(Q) ; L2 (1», 1 ~ est appelée la trace de ~ sur 1.
o
0
On a également. les résul.tats suivants:
(1.14. )
Ker,
= Hl(Q)
o
0
(1.15. )
Notons l'inégalité de Poincaré-Friedrich's.
Si Q est connexe
et
au moins
borné dans
une direction
alors pour
tout m ~ ~, il
existe une constante C
telle que
m
(1.16. )
C Ivl
n
"fi v
€
Hm(Q)
m
m.
o
L'application
v ~ Ivl
~
est
alors une norme sur Hm(Q) équiva-
m,"
0
lent·e à la norme IIv Il
~.
m."
L'ESPACE H(div, Q)
Nous
allons maintenant
étendre les définitions précédentes
aux champs de vecteurs.
-+
•
Si v
= (vI'"'' v ) ~ (Wm • P (Q) )n
on définit la norme suivante
n
(1.17. )
L'opérateur de divergence est défini par
n
êJv.
-+
l
(1.18. )
div v =
L
i=l
êJx.l
On définit l'espace H(div, Q) de la manière suivante

---

-7-
H(div, .Q) =
-
{v e:(L2 (.Q))n
, div -
v e: L2 (.Q))
H(div, .Q) est un espace de Hilbert avec la norme
(1.19.).
On note
:
H(div,
Q)
H (div, .Q)
= rJ(.Q)n
o
Quelques résultats de traces
.
1 0)
(rJ(.Q))n
est dense dans H(div, .Q).
2°)
L'application 1_: -
v
~ - -
v.n Ir définie sur (rJ(.Q))n,
n
-nest la normale unitaire à r orientée vers l'extérieur.
3°) Ker 1_ = Ho(div, .Q) = -
{v e: H(div, .Q), --
v.n r
= O}.
n
Formule de Green dans H(div, .Q)
On a la formule de Green suivante
:
Pour tout -
v €
H(div, .Q),
et tout ~ €
Hi(.Q).
-
(v,
grad ~) + (div -
v,
~) = < 1- -
(1.20.)
v,
lo~ >r
n
L'espace H(rot
.Q) ou H (curl
.Q)
On
donnera les
résultats dans le cas n = 2. Les autres cas
découlent
par une
adaptation.
Il faut remarquer que le rotationnel
n'a pas la même dimension selon les espaces.
Pour
toute distribution ~ e: rJ'(.Q) et -
V €
(rJ'(.Q))2,
on défi-
nit les distributions suivantes :
curl ~
(d~
d~
=
)
(1.21.)
dX
dX
2
i
curl -
dV
dV
2
i
(1.22.)
V = -- -
dX
dX
2
2
l'espace H(curl
il)
est alors défini de la manière suivante

---

-8-
cu rI -
Q) = -
H(curl
{v e:
(L 2 (Q»2
v e: L 2 (il)}
on le munit de la norme suivante
:
-
(1.23.)
IIvllHecurl
Les
propriétés de trace se déduisent facilement de celle de
H(div
Q).
En
effet
si
un
vecteur w = (-v ' v ) appartient à
2
l
H(div ; Q)
alors
appartient
à
H(curl
Q)
et
réciproquement.
H (curl
; il) = Ker 1
•
o
"1:
avec ~ la tangente unitaire à r
orientée telle que ~ = (-n ,n ) avec
2
l
\\ -
n = (n , n
l
)
la normale unitaire orientée vers l'extérieur.
2
FORMULE DE GREEN DANS H(curl
Q)
pour tout -
v e: H(curl
; Q) et ~
e Hl (Q) on a
-
(v,
cu rI ~) -
(curl -
(1.24. )
v,
~) = - < 1 "1:
."
1.2.
-
EXISTENCE DE FONCTIONS DE COURANT
Désignons par
V = -
{v e:
(D(Q»n
; div -
v = O}
H
la fermeture de V dans (L 2 (Q»n
Y
la fermeture de V dans (Hl(Q»n
o
Hl. : désignera le complémentaire orthogonal de H dans
(L 2 (Q»n
relatif
au
produit
scalaire
de
(L 2 (Q»n
L
u.v.dx
et yl.
celui de
y
dans
(Hl (Q»n pour le
(;;';)0,<> = i=1 J
n
Q
l
l
J
o
produit scalaire (grad -
u,
grad -
v).
Ces
deux ensembles H et V jouent un rôle essentiel dans la suite de
ce travail,
aussi allons-nous les caractériser.

---

-9-
Proposition 1.1.
Si Q est un ouvert borné de IRnde frontière r lipschitzienne,
alors on a les caractérisations suivantes :
div -
u = 0
,_
u
= O}
n
-
H.L
u
= grad p, p € Hl (Q)}
La
proposition (1.1.)
donne une décomposition de (L2 (Q))n. On peut
même avoir mieux
(L2 (Q))n
= H 0 H 0 H avec
l
2
- grad p, 6p =0, P € HI(Q)}
u =
-u=grad p, p € HI(Q)}
o
En effet, Hl et H
sont inclus dans H.L
2
H n.H
= {O} (d'après le principe du maximum).
l
2
soient
-
sont
orthogonaux,
en
effet,
u = grad p €
Hl
et
-v
,
on a div .
u
. . . -
= grad q € H
= 6p = 0 donc u € H(div, Q).
2
et d'après (1.20.)
- -
....
(u,
v)
= < ,_ u, 1 q > - (div u, q) = 0
o
n
il
reste à
montrer que
tout élément
de (L2 (Q))n
se décompose en
somme direct d'élément de H, Hl' H •
2
chercher
-fI' -f, f appartenant à
2
-
Soit
on
va
3
H, Hl
et H
respectivement telle que f
= -
....
fI
+ f
+ -
f
•
2
2
3
Soit p solution du problème suivant
(1.25.)
p existe et est unique,
on pose -
f
= grad p
3
soit q la solution du problème de Newman suivant

---

-10-
6q = 0
(1.26.)
èq
=
-
1"_(f -
grad p)
èn r
n
Il
est facile
de voir
que q
existe et est unique à une constante
près.
On pose -
f
= grad q
2
et finalement on posera
f
€
H
en
effet
= div
l
-
(f-f -f
)
d'après
~2
3
(1.25).
En outre on a
--
(f-f 2 -
-f
) = 1"
3
-
(f-grad
n
On va caractériser également V.
'1
Proposition 1.2.
Soit
n un ouvert de ~, on a la caractérisation suivante de
V.
div -
u = O}
Pour la preuve on pourra voir par exemple [11],
[16],
[26].
Proposition 1.3.
1) L'opérateur divergence réalise un isomorphisme de V~ dans L2 (n).
o
2) V~ est caractérisé de la manière suivante
1
1
1
= -
-
V~
{v €
(Hl un )0
6v =
o

---

-11-
- V.1
En effet,
soit v €
on a
(grad -
v,
grad
-w) = o 'fi -w€ V
et
donc
-
(6v, -
v) = 0
d'après le
théorème de dualité de De Rham (cf
[26]) il existe une distribution p, p €
n'(Q)) telle que
-
6v = grad p
De plus (cf [26], proposition 1.2.) on peut montrer que
grad p €
(H- I (Q))n
donc
grad est une bijection de L2 (Q) dans 6(V.1),
et donc d'après le
o
théorème de Banach,
grad est un isomo~phisme entre L2 (Q) et 6(V.1).
o
On
peut verifier
que l'espace dual de 6(V.1) s'identifie à V.1. Donc
l'opérateur adjoint div de grad est un isomorphisme de V.1dans L2 (il).
o
En
dynamique des fluides le domaine peut être multi-connexe (obsta-
cle
dans l'écoulement
par exemple).
Nous allons supposer il borné,
multiconnexe éventuellement r sa frontière assez "régulière". r
se-
o
ra la frontière extérieure et r
1 ~ i ~ p les autres frontières.
i
"'"
Désignons par ~ = {~ €
Hl (Q),
~ Ir = 0, ~ Ir
= C. 1 ~ i ~ p} natu-
1.
o
i
rellement si il est simplement connexe -
~ = Hl (il) .
o
Proposition 1.4.
-
"'"
En
dimension deux,
la relation qui a v €
H on associe ~ €
~
telle que -
V = curl ~ est une bijection.
De plus la fonction ~ est solution du problème suivant
- 6~ = curl -
v
~ Ir
= 0
1 ~ i
~ p
o

---

-12-
è<p
-
<
_
+
't
'Y
v,
1 > = 0
èn
<P est appelée la fonction de courant.
Remarque 1.1.
1)
Il est clair qu'on peut donner sans difficulté une version de ln
proposi tion
aux cas
n ~
3,
tout
e"st question de la définition de
cu rI dans ces cas.
2)
Dans nos
applications numériques
où le
domaine~est simplement
connexe, pour la recherche des fonctions de courant il suffit de ré-
soudre
le problème
suivant:
(connaissant bien sûr la vitesse -
V du
fluide)
- 6 tP = curl -
v
ou tP est la fonction de courant.
Si
on sait
que V
= 0 sur une partie 1
de la frontière,
on peut
o
imposer
tP = 0 sur
1
, et la condition de Newman sur le complémen-
o
taire de 1
.
o
On obtient ainsi un problème bien conditionné admettant une solution
unique.
..
1.3. - POSITION DU PROBLEME
Nous
présentons
ici
l'aspect
général
des
équations
de
Navier-Stokes. On pourra consulter pour les détails Germain [15].
Les équations qui gouvernent le mouvement d'un fluide incom-
pressible visqueux,
confiné dans un domaine il de ~(n=1,2,3) sont:
èp + P div -
(2.1.)
u = 0 (loi de conservation de la masse)
dt

---

-13-
dUi
n
n
(2.2.) P - - +
L
L
cri
1 ~ i
~ n
j
[ dt
j=l
j=l
dX.J
(loi de conservation de la quantité de mouvement)
( 2 . 3.) cri j
= - po i j
+ ÀD t t ( -
u ).
0 i j
+ 21-.1. Di j
-
(u)
(loi de comportement du milieu)
. (2.4.)
cr
= cr
i j
j i
(2.5.) div -
u = 0 (loi d'état d'un milieu incompressible)
1
du.
dU.)
-
1
J
(2.6.).D
(u) = -
--- + ---
i j
2
[ dx.
dx.
J
1
Dans ces équations
-u= (u , ••• ,u ) désigne la vitesse du fluide
i
n
p
la pression au sein du fluide
p
sa densité, p = p(x, t) > 0
À et 1-.1. sont
les coefficients de viscosité
cr
est le tenseur des contraintes
i j
D
est le tenseur des vitesses de déformation
i j
-f= (fI"'" f ) représente une densité massique de forces
n
extérieures.
L'incompr~ssibilité traduite par
(2.5.) et
l'homogénéité entraine
l'invariance de p,
donc p = p
constante donnée
o
et la loi de comportement devient alors
(2.3.)'
-p 0 i j
En divisant (2.2.) par la constante p on obtient

---

-14-
au.l
n
au.l
~
n
a
a
(2.'2.)' - - +
~
u.
- 2
~
D ..
(u) +
l
J
aX
(;] = fi
at
j=l
J
ax.
p
j=l aX j
J
i
On pose alors les variables réduites
p
(2.7.)
v =
P = p
où
v est appelée la viscosité cinématique et où P désigne (abusive-
ment) la pression.
Rappelons le nombre sans dimension de Reynolds Re.
u L
Re =
L
longueur caractéristique
u
vitesse caractérique
Ce
nombre
est
obtenu
en
rendant
l'équation
de
Navier-Stokes
adimentionnelle.
On notera que la vitesse -
u du fluide et sa pression vont dépendre du
nombre de Reynolds.
Puisque div -
u = 0 on a
n
a
_
1
n
(2.8. )
~
D .. (U)
=
~
j =1 ax.
l
J
2 j=l
J
On
peut alors
résumer ces équations dites de WAVIER-STOKES sous la
forme v.ectorielle suivante
-
au
-
(2.9. )
- v t:::. -
n
au
u +
L
u. -- + grad p = -
f
at
j=l
J
ax.J
div -
u = 0
Ce
système comprend
(n +
1) équations
scalaires et (n + 1) fonc-
tions scalaires inconnues
; u. (x, t), P (x, t)
l~i~n.
l

---

-15-
Ce système associé aux conditions aux limites et initiales doit per-
mettre en général la détermination du champ des vitesses et la pres-
sion au sein du fluide.
Ainsi
les lois
mécaniques suffisent à déterminer l'écoulement d'un
fluide
incompressible.
Les
effets
thermiques n'interviennent pas
directement.
èu
En régime stationnaire on a
= O.
èt
.
Ceci donne les équations de Navier-Stokes stationnaires
-
(2.10. )
- 'V C::. -
2
èu
u +
L
u.
+ grad p = -
f
j=l
J
èX j
div -
u = 0
Dans
une autre appr6ximation nous allons supposer le mouvement très
lent (~.e.) -
u est suffisamment faible pour qu'on puisse négliger les
termes
convectifs quadratiques,
on obtient alors le système dit de
Stokes.
(2.11.)
{- 'V C::. -u+ grad p =-f
div -
u = 0
Pour
que ces
problèmes soient
bien posés,
il faut associer à ces
équations
des conditions
aux limites
et dans
le cas évolutif des
conditions initiales.
Conditions aux limites
Ici
encore nous
éviterons de rentrer dans les détails. Les
conditions aux limites qui découlent directement des lois de conser-
vations de la masse et de la quantité de mouvement sont :
(2.12.) -
u = 0 sur 1, si 1 est une paroi rigide sinon on a seulement
--
(2.12.)'
u.n = 0

---

-16-
(2.1.3.)
0'"
n
= Fi
1 J
j
....F étant la densité surfacique d'efforts appliqués au point consi-
déré par la paroi sur le fluide.
Remarque 2.1.
La
condition (2.12.)
est une condition d'adhérence, tandis
que
(2.12.)'
est
une condition de glissement.
La condition qui dé-
coule
de la
loi de
conservation de la masse sur une paroi
rigide
est
une condition de glissement. Cependant dans un fluide visqueux,
il
existe
toujours
des
forces
d'attractions
moléculaires entre
celui-ci et la surface solide.
Il existe une couche de fluide au re-
pos qui adhère à la surface rigide.
,
Remarque 2.2.
Selon
le type
de problème à étudier on peut avoir une dis- .
tribution
à la
frontière qui complétera les conditions aux limites
naturelles.
Exemple
PROBLEME DE LA MARCHE
_..
\\ol-::,O
...............
...............
............
...............
.............
.............
.............
.............
...............
...............
...............
...............
...............
...............
............
............. ............... ............... ............... .............
...............
...............
.............
............ ............... ............. ............... ............ ............. ...............
_"?
0~
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~ ............. ............... ............. ............. ............. ............. ............... ............. ..............
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............. ............... ............ ............... ............... ............. ............ ............. ............... ...............
.............
............
.............
.............
.............
.............
...............
...............
...............
............
............ ............... ...............
...............
...............
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d' ........................................................................ ............. ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............. ............. ~
u, -::. .tfJa(.c.fi............... ............. ............. ............................ ............... ............. ............... ............... ............... ............... ............... ............... ............... ...............
...............
.............
.............
.............
.............
............ .............
.............
.............
.............
.............
............. ...............
.............
............
1
.;;." -::. 0

---

-17-
II
FORMULATIONS
VARIATIONELLES
POUR
LE
PROBLEME
STATIONNAIRE DE STOKES
2.1.
Introduction
Nous
allons étudier le problème de Stokes stationnaire dans
les
détails du
moins pour
certaines formulations.
Les raisons qui
motivent cette étude sont les suivantes :
1°) Le système de Stokes a l'avantage d'être la linéarisation du pro-
blème de Navier-Stokes.
2°)
On étudie
numériquement le
système de
Stokes en général pour
faire
des simulations des problèmes d'écoulement de fluides dont le
reyn6lds est faible.
3°)
Comme tout problème non linéaire la résolution des équations de
Navier-Stokes
peut faire
intervenir un
processus itératif dont le
système de Stokes constitue en général une itération.
2.2. Formulation (vitesse-pression)
Reprenons
le problème
de Stokes sous la forme vectorielle
suivante :
....
....
- v t:::. u + grad p = f dans n
....
(2.1.)
div u = 0 dans n
....
u Ir = g
....
....
avec f €
(H-1(n»n,
g €
(H+
1/2(1»n
et g vérifiant
(2.2.)
La
condition (2.2.)
est indispensable,
en effet
en appliquant la
....
formule de Green et compte-tenu du fait que div u = 0 on a :

---

-18-
Les
résultats d'existance
et d'unicité
de la
solution sont clas-
siques,
ils sont contenues dans le théorème suivant.
Théorème 2.1.
Soit
Q un
domaine connexe
borné de ~ de frontière f
lip-
schitzienne,
soient -
f
€
(H-I(Q»n,
g €
(H I / 2 (f»n
telle que
--
g.n der = 0
alors il existe un et un seul couple de fonctions
(~,p)€(HI(Q»nxL2(Q
o
tel que :
v ~ -
u + gr~d p = -
f dans
div -
u = 0 dans Q
~ = g sur f
La
preuve est
basée sur
la théorie générale de BABUSKA-BREZZI (cf
[6]) et aussi J.M. Thomas ([27]).
On
fait d'abord un relèvement de la condition aux limites. Sous les
exilste -
hypothèses
du théorème
(2.1.),
il
u
€
(Hl (Q»n. telle que
o
div -
u
= 0, -
u
Ir = -
g (cf [15]).
o
0
On pose alors
......
~
n
....
....
(2.3. )
a(u, v)
= 2v
L
(Dij(u),
Dij (v»
i,j=1
Remarque 2.1.
Le tenseur D..
est symétrique en i
et j
on a donc
l
J
- -
n
( -
.
èVi)
a(u,
v) = 2 v
L
(Di! u ) ,
i,j=1
èx.J
une
intégration par
partie montre
que,
dès que l'un des arguments
-u, -vappartienne à V on a :

---

-19-
_ _
n
èU.l
èV.)
l
(grad -
u,
grad -
(2.3.)'
a(u,v)
= y
L
- -
- - - y
V)
i,j=l
(èX
'èx
-
j
j
a(
) est une forme bilinéaire continue et V-elliptique.
En effet,
pour ·tout -
v e: V,
....
~
~
~
~
a(v,
v)
= y (grad v, grad v) = Ylvl
n
l ,
Posons
-
bey,
q)
= - (q, div -
(2.4. )
v)
La
forme b(~. , .. )
est bilinéaire et continue sur (Hl (n))n
x L2 (n).
o
0
Il reste à vérifier la condition dite de inf-sup.
Soit q e: L2 (n)
d'après la proposition (1.3:),
i l existe -
v e: V~ telle
o
que q = div -
v
-
(2.5. )
Ivll,n ~ C I/ql/o,n et donc
- I/qll~ n
( q,
div v)
,
1
(2.6. )
=
~
Ilqllo
n
-
-
,
C
Ivll,n
Ivl l n
,
finalement il existe ~ > 0 telle que
(2.7.)
Sup
-
·ve:(HI(n))n
o
Les
conditions du
théorème de
BREZZI [6]
sont satisfaites donc i l
existe
-
(w,
p)
e:
(Hl (n))n
X
L2 (n)
tel que
o
0

---

-20-
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
a(u, w) + b(v, p) = < f, v > - a(u , v)
0
.....
(Q)
'tI
v €
(Hl(Q))"
0
.....
b(w, q) = 0
'tI q €
L2 (Q)
0
et donc en posant
.....
.....
.....
(2.8. )
u = w + Uo
.....
le couple (u,
p) est solution du problème suivant
..
..... .....
u-u €(H l (Q))",
p
€
o
.
0
~
....
....
-+
(2.9. )
a(u,v)-(p, div v) = < f, v
.....
(q, div u)
= (q, div
cela
signifie d'après
la proposition
( 1 .3.) que
div u
= 0, donc
o
.....
[cf 5]
il
existe
un
couple
(u,
p)
€
(H l(Q))"
X
L 2 (Q)
tel
que
o
0
.....
u I
=
r
g,
div u = 0 et
vérifiant (2.9.). On vérifie sans difficulté
que (2.5.) est équivalent a
(2.1.).
.....
.....
Quand g = 0 (Q) devient
.....
.....
trouver (u,
p) €
(Hl (Q))"
x L2 (Q)
o
0
.... ....
....
........
(Q)
a(u,v)-(p, div v) = < f,
v > 'tI
V €(H l (Q))"
•
0
.....
(q, div u) = 0
'tI q €
L2 (ll)
o
Comme
pour toute
formulation variationnelle mixte on associe à
(Q)
le problème (P) suivant
(P)
{
.....
trouver u €
V
.... ......
....
.....
a(u,v) = < f,
v>
'tI v €
V

---

-21-
(Q) et (P) sont équivalents selon toujours BREZZI [6].
2.3. Problème de point selle
Pour simplifier nous allons prendre -
g = -
O.
Si on pose
1
-
a(v, -
v) -
< f, -
J( -
(2.10. )
v)
=
v >
2
Sous
les hypothèses du théorème (2.1.) la solution -
u du problème de
Stokes est caractérisée par le principe variationnel suviant :
-
J(u)
= inf
-
(2.11. )
J(v)
-VE: V
Considérons la fonctionnelle suivante définie sur (H~(n))nx L:(n)
-
[(v, "q) =
-
J(v) + b
-
(2.12. )
(v, q)
C'est le Lagrangien associé au problème (Q).
Considérons
enfin le
problème suivant.
Trouver le
point selle du
Lagrangien [( ... , ... ). En d'autre terme
( 2 13
. . ) {_ t rouve-
(u
r .p) E:
.
(Hl0 (n))n X L2 (n) tel que
o
[(u,~) ~
-
[Cu, p) ~
-
[(v,p) V -
V
E:
(Hl (n))n
V q E: L2 (n)
o
'
0
Proposition 2.1.
Sous
les hypothèses
du théorème (2.1.) le problème (2.13.)
admet un couple unique de solution
-
(u,p) qui est solution de (Q).
La
preuve est assez classique,
en effet la première inégalité donne
-
bru, q-p) ~ 0 et comme q est quelconque on a
: b

---

-22-
-+
b{u,
q)
= 0
La seconde inégalité est équivalente à
-+
-+
L:{u,
p)
=
inf
L:{v,
p)
donc
à P fixé,
L:( ••• ,
p) est une fonctionl1elle cunvexe son minimum
est alors caractérisé par
(JL:
-+
-+
(u,
p).
v = 0
ie
-+
(Jv
-+
~ . .
...
a(u,
v) + b(v, p)
= < f, v >
-+
Ainsi
(u,p) est
solution de
(2.13.) si et seulement ~i (u, p) est
solution de (3.9.).
En
conclusion la
pression P
apparaît,
comme
un mpltiplicateur de
-+
Lagrange associé à la condition div u = O.
Signalon~
pour terminer
cette première
formulation un résultat de
régula';"i té.
Théorème 2.2.
Sous
les hypothèses du théorème (2.1.),
supposons de plus r
de
classe e2 , g = 0 et f €
(Lr(Q))n
avec 1
< r ~ 2. Alors le pro-
blème de Stokes a une solution unique

---

-23-
-u, p et -ftelle que
(2.14. )
Ce
théorème comme
tout résultat de régularité est très technique.
On pourra consulter Teman [26].
Nous
l'utiliserons surtout
dans le cas de la dimension deux qui ne
nécessite
aucune modification sur les hypothèses du théorème (2.1.)
surtout en ce qui concerne la frontière r.
2.4. Approximation générale
Soient
Wh
et Mh deux
espaces de
dimension finie
tels que
Wh
C Hl (Q),
MhC L~(Q)
; h étant un paramètre destiné à tendre vers
zéro.
On désigne par
W
= W
oh
h
X
= W
h
oh
$upposons toujours -
g = -
0
Avec les espaces M
et X
h
h on définit le problème approché suivant
trouver
-
(u
x
h '
Ph ) e: Xh
Mh tels que
(Qh )
a( -
u
v
) - b(v ,
f,
v
)
v
e:
h ' -
h
-h Ph ) = < - -h V -h Xh
b( -
u h ' qh ) = 0
V qh e: Hh
On désigne par V
l'espace suivant
h
Il
est important
de remarquer
que V
n'est pas inclus en général
h
dans V.
Ceci
entrai ne que
les éléments de V
ne vérifient pas forcément la
h
condition de divergence nulle.

---

-24-
On associe naturellement a
(Qh) le problême (Ph) suivant
....
trouver U €
V
telle que
h
h
{
....
....
a (u
'
v
)
=
h
h
Théorême 2.3.
Supposons vérifier les conditions suivantes
1°) a( ... , ... ) est V -
elliptique ie
h
. . . . . . . .
....
2
a ( v h'
Vh) ;:; (J(.*
1v h Il 1 n'
"il Vh €
V h
1)° b( ... , ... ) vérifie la condition dite de inf-sup,
ie
....
b (vh ,qh )
:3 13* > 0
sup
....
V
€
X
h
h
....
Alors
V
est
non vide,
et il existe un couple unique (u
h
h , Ph) ap-
partena~t a Xh x Mh solution de (Qh) avec ~h soluti~n de (Ph)'
Remarque 2.2.
Puisque
V
~ V,
il va donc de soit qu'il faut dans les ap-
h
plications
véri.fier la
V
-
ellipticité de la forme a( ... , ... ). En
h
outre
la condition
dite de
inf sup dans le cas continu n'entraine
nullement pas le cas discret.
Avant de construire les espaces Wh
et M
il est important d'observer
h
un certain nombre de rêgles de compatibilité (voir le cas général de
J.M. THOMAS [27]).
2.5. Exemples d'applications
Dans
la construction des espaces d'éléments finis,
selon la
formation
variationnelle précédente,
les hypothêses suivantes sont

---

-25-
indispensables
pour assurer
l'existance et l'unicité des solutions
approchées,
mais aussi et surtout la convergence de celle-ci vers la
solution du problème de Stokes.
Hypothèse Hl
On suppose qu'il existe une application rh
€
[((H 2 (Q))"
w" )
h·
n [((H 2 (Q) n H~(Q))" ; X ) et un entier ~ tels que:
h
...
...
...
b(v-rhv,
qh)
= 0
......
'ri qh
€
Mh 'ri v €
(H 2 (Q))"
...
...
Ilr v-vIII,
hm Ilv Il
'ri v
Q
~ C
€
(Hm + 1 (n) )"
h
m+l,Q
'ri m €
~
1 ~ m ~ ~
Hypothèse H2
L'opérateur de projection orthogonale Ph
o ~ m ~ ~
Hypothèse H3
...
Pour tout qh
€
M
i l existe v
h
h dans Xh telle que
...
(div v
-
!Jo
)
= 0
h
h
...
1v h Il ,Q ~ C Il qh Il 0 , Q
Cette troisième hypothèse n'est autre que la forme discrétisée de la
proposition (1.3.).
Théorème 2.4.
Sous
les hypothèses
du théorème
2.2. , supposons également
vérifier les hypothèses Hl ' H
alors le problème (Qh ) a une so-
2 '
H3 '
...
...
lut ion unique (uh ,Ph) € Vhx Mh ' où uh est solution de (Ph) on a :

---

-26-
-+
lim (lu-uhI
•
1
Q + IIp-Phllo,Q
) = 0
De
plus,
si
(u,p)
€
(HID +1 (Q»"
x
(HID (Q) () L2 (Q»
-on
a les majora-
o
tions suivantes
-+
-+
-+
lu,uh'l_Q+
IIP.-Phllo,Q ~ C hm
(1Iu11m+1,Q+
IIp11m,Q).
Pour la preuve voir par exemple [16],
[9].
Nous allons
donner
quelques
exemples les plus fréquemment
utilisés.
Nos éléments
sont des triangles,
mais on peut aussi bien
utiliser
des quadrangles. Tous les exemples seront donnés en dimen-
f·.
sion deux.
Pour tout h > 0,
soit ~ une triangulation de Q en triangles
fermés K,
dont le diamètre est inférieur à h.
h
~ diamètre de K,
h
~ h
K
k
PK
= diamètre du plus grand cercle inscrit dans K
Le rapport 0-
=
mesure la régularité de ~ .
K
Définition 2.1.
1°)
On dit que ~ est régulière (qd h ~ 0) s'il existe 0' > 0 indé-
pendante de h et K telle que
2°)
~ est
uniformément régulière
(qd h ~ 0) s'il
existe ~
> 0,
telle que
:
L'élément de M.
FORTIN
M.
Fortin est
l'un des
premiers à utiliser la méthode des

---

-27-
éléments finis dans la résolution des équations de Navier-Stokes.
Il
a utilisé les espaces suivants
( 2 . 1 8 .) M
=
h
{qh
/
qh
~ L2 (n) ; qh / K ~ P ( 0) V K ~ -r;} () L~ (n)
En posant W
= Wh n H~(n) on alors
oh
(2.19. )
x
= (W
)2
h
oh
P(k)
désigne l'espace des polynomes de degrés inférieur ou égal a k
(k~lN).
La
solution -
u
(la vitesse) est donc évaluée aux sommets et
h
aux points milieux du triangle. Tandis que Ph
(la pression) est éva-
luée au centre du triangle.
Figurè 2.1.
~ - {a
} .
U
{ a }
est bien p(2)-unisolvant.
Si on
K
-
i,K
1~i~3
i .
K
J •
1 ~i <j ~3
appelle
À
les coordonnées barycentriques du point x ~ ~2 relative-
i
ment
aux sommets de K,
(1~i~3),
les fonctions de bases sont dans ce
cas

---

-28-
P.
= À ( 2À. - 1 )
1 ~ i ~ 3
1 , K
i
'
1
(2.20. )
{p
= 4À. À
1 ~ i
< j
~ 3
1 .
K
1
j
J ,
On
vérifie les
hypothèses Hl' H , H
avec ~ = 1 et rh est
2
3
telle que pour tout -
v €
i
= 1,2
..
Où il
est l'opérateur d'interpolation sur K.
K
On a les majorations suivantes
(si ~ est régulière)
(2.21.)
--
/u-uhll,n ~ C h
-
(11u112,n +.IIPll lnn )
(2.22. )
si de plus ~ est uniformément régulière on a alors
IIp- P h 11
u
, n
~ C h (lI -
(2.23.)
ll
0
2 , n
+ Ilplll, n)
Remarque 2.3.
Comme l'avait constaté M.
Fortin lui-même et tous les autres
'"
après lui,
le résultat principal (2.21.) est très décevant.
On utilise en effet des éléments P(2)-Lagrange pour obtenir un ordre
de
convergence en
h,
i.e. 8(h). On avait expliqué·cela par le fait·
qu'on
utilise ici
une divergence
discrète,
ie
(V
~ V). D'autres
h
explications
font état
d'une approximation trop grossière des élé-
ments de M •
h
Comme nous le verrons dans le chapitre 5, nous pensons que le fait
que
Vh ~ V constitue
dans tous
les cas
un lourd handicap pour la
convergence asymptotique.

---

-29-
L'élément de CROUZEIX-RAVIART
Ayant
constaté
les
difficultés
liées
à
l'élément de M.
Fortin, Crouzix et Raviart [9] ont proposé un autre élément.
Ils ont
ajouté
la fonction
"bulle" au centre du triangle K pour la vitesse
et ont utilisé des éléments P(l)-Lagrange pour la pression.
Pour
tout K €
~
on appelle PK
l'espace de polynomes en-
gendré par :
(2.24.)
On a P(2) C PK C P(3).
~,
Figure 2.2.
Elément de Crouzeix-Raviart.
Si on définit L K par
(2.25.)
LK est PK-unisolvant. Les fonctions de bases sont
P.
= À (2À -1) - 3\\ À À
1 ~ i ~ 3
1 , K
i
i
2
3
{2.26.}
P
= 4 À. À. - 12 À À2 À
1 ~ i
< j ~ 3
3
i j , K
1
J
1
P123 ,K = 27 À À À
1
2
3
On définit alors les espaces suivants

---

-30-
( 2 . 2 7 .) Wh
= {V
/ V
e: eo (n), V
/
e:
P
V K e: ~ } C Hl (n)
h
h
h
K
K
'-'h
(2.28. )
( 2 • 29 .) M
=
h
{qh
e:
L2 (n)
;
qh
/ K
e:
P ( 1 ), V K e: ~} fi L~ (n)
Cet
élément fini
vérifie les
trois hypothèses
Hl' H
et H
avec,
2
3
l
= 2 et rh définie comme précédemment.
Si~e:Vfl (H3 (n»2, pe:H2 (n)
et si ~ est régulière on a la majoration suivante
(1I -
(2.30.)
-
-
2
lu-u 1
!i1 ~ C h
u
h l ,
I1 ,!i1 + I/PI/2,!i1)
3
(li -
(2.31.)
u l/ ,!i1 + I/PI1
3
2 ,!i1)
Si de plus ~
est uniformément régulière on a
(2.32.)
Cette
classe
d'élément
améliore
l'ordre
de
convergence
asymptotique
des solutions
approchées.
Cependant
on augmente très
sensiblement
les difficultés de programmation avec surtout l'intro-
duction
de la fonction "bulle". On peut d'ores et déjà dire que cet
élément
a le
même ordre de convergence que celui de Hood et Taylor
qu'on utilisera dans le paragraphe (2.6.).
Remarque 2.4.
Dans
ces
constructions
on
n'exige
pas la continuité des
fonctions de M , ce qui dans un certain sens semble plus naturel que
h
effet -
de
l'exiger.
En
u h e: Xh , div uh n'est pas forcément continue
et
celle-ci est
associée à
qh
e: Mh dans
la deuxième
équation de
2.6. Autre formulation mixte
La
formulation variationnelle mixte que nous allons prés en-

---

-31-
ter a été introduite par R.
GLOWINSKI,
O.
PIRONNEAU [18].
Ici on es-
saie
de contourner les difficultés dues à la condition d'incompres-
sibilité
du fluide
(div -
u = 0) en
le remplaçant par une condition
beaucoup plus simple à approcher.
-
Pour s'implifier on supposera -
f
~ (L2 (n))n
g = O.
On introduit l'espace suivant:
W
= { {;,$} • ~H~(n)n"
tels que In grad $ grad w dx =
o
Quelques propriétés de Wo
Si -
v ~ V alors
-
{v,
O} ~ W .
0
Si <P ~ H2 (n) alors {- grad <P, <p} ~ W .
0
0
Si
-
{v, <p} ~. W
alors la paire
-
-
{v, <p} est caractérisée par
.)
v
~
<P ~ H2 (n) telles que
o
-
~ <P = div -
v dans n.
4°)
L'espace West fermé dans (Hl (n))n+l.
o
0
La propriété 1°) est immédiate.
Quand à la deuxième,
on peut la voir ainsi
{- gr ad <P,
<P }
~ ( H~ (n ) ) n + 1
en_posant
-
v
= - grad <P, <P ~ H2 (n) d'après la formule de Green
o
In div ~.w dx = - In ~.grad w dx
= In grad <p.grad w dx

---

-32-
Ceci entraine que {-grad ~, ~} €
W .
o
La
troisième partie
est classique,
il suffit d'interpréter
l'équation obtenue.
La
preuve du quatrième point se fait facilement.
On prend une suite
-
{v , ~h} €
W
convergente vers {v, ~}, il est facile ~e montrer que
h
o
-
-
.{v, ~} € Wo
Considérons le problème linéaire suivant
trouver
-
{u, ~} €
W
telle que
o
In
y
grad ~. grad ; dx = In f(; + grad ~) dx
v
-
{v,
~} €
Wo
Théorème 2.5.
Le
problème
(Pl)
a
une
solution unique
-
{u, ~} telle que
~ = 0 et -
u est la solution du problème de Stokes (2.1.).
Preuve
La première partie consiste à vérifier les hypothèses du théorème de
LAX-MILGRAM
en considérant la fonctionnelle linéaire suivante défi-
nie sur (HI(n))n+l.
(2.33.)
et la.forme bilinéaire suivante définie sur (HI(n))n+l x (HI(n))n+1
grad -
(2.34.)
v 2
dx
La
forme linéaire
(2.33.) est
continue sur (HI(n))n+1
et la forme
bilinéaire (2.34.) est également continue sur HI(n))n+l x (Hl (n))n+l
on peut voir qu'elle est W -elliptique.
o
La deuxième partie du problème peut se voir ainsi

---

-33-
-
Vu, -
v e:
(Hl (n) ) n
on a
.
0
il suffit de tout développer.
Soit ~ e: H2 (n) on a {-~~, ~} e: W
(propriété n° 2 de W ).
o
0
0
En
prenant
-
v = - grad ~
dans
(2.35.)
et
dans (Pl) et en tenant
compte de la propriété n°
3 de W
on a
o
grad -
u.
grad -
v dx
~ e: H2 (n)
=
D. ~.D.~
V
In
In
0
y In grad ~.grad -
v dx
H2 (n)
= 0 V ~ e: 0
Ceci entraine
(2.36.)
Puisque ~ e: H2 (n) donc (2.36.) entraine que ~ = 0 dans n
o
et donc div -
u = - D. ~ = 0 (propriété n° 3)
donc
-ue: V. Si -ue: V, -
{v, O} e: W
(propriété n° 1) et donc le pro-
o
blème (Pl) devient
trouver -
u e: V telle que
v -
grad -
u.grad -
v dx
v
g
V
ce qui n'est autre que la formulation (vitesse-pression)
(P) du pro-
blème de Stokes.
Remarque 2.5.
1 0 )
Le
sens
donné
au potentiel ~ est le suivant:
(Pl) peut-être
interprété comme suit.
Si
;
e:
(HI(n)n
il existe ~ e: H2 (n) n HI(n) et
o
.
0
-we: (H1(n))n tels que

---

-34-
...
div
w = 0 avec
...
...
v = - grad ~ +
w
Cette décomposition est unique.
2°)
Dans cette nouvelle formulation (Pl) à la place de la condition
...
div v = 0, on tentera d'imposer plutôt la condition ~ = O.
...
Lorsqu'on
relache la
condition (u, ~) €
W , qui est une contrainte
o
.
linéaire,
en introduisant
un multiplicateur de Lagrange p €
HI(Q).
On
obtient la formulation variationnelle mixte suivante du problème
( Pl)
:
trouver· {~,~,p}€(HI(Q))nx Hl (il) X Hl (Q) tels que
o
.
0
t'.
v JQgrad ~.grad ~ dx + JQgrad p.grad ~ dx -JQP div ~ dx
Jilf(~
...
(HI(Q))n+1
(QI)
=
+ grad ~)dx
'1{v,~}€
0
JQgrad ~.grad w dx = JQdiV ~.w dx '1w Hl (Q)
En découplant le problème (QI)
il devient
...
trouver {u, ~,p} €
(Hl (Q) )n x Hl (Q) x Hl (Q)
0
0
JQgrad p.grad ~ dx = Jf.grad ~ dx
'1 ~ €
Hl (Q)
il
"
0
J ...
...
...
...
...
.
(Q )'
v
Qgrad u.grad v dx -JQP div v d"x =JQf . vdx '1 v€(H (Q))n
1
0
JQgrad ~.grad w dx = JQdiV ~.w dx '1 w € HI(Q)
...
Et
donc (u,
~,p)
est solution du système d'équation aux dérivées
partielles suivantes

---

-35-
~p = div -
f dans n
- ~ -
u + grad p = -
(2.37.)
f dans n u I r = 0
_
a~
- ~ ~ = div u dans n, ~ Ir = -- Ir = 0
an
Remarque 2.6.
1°) Le système (2.37.) entraine que ~ = 0 donc div -
u = O.
2°) On montre également que le multiplicateur p est bien la pression
dans
le problème
de Stokes.
Cette pression
est déterminée
à une
constante près puisque f €
(L 2 (n»n.
Remarque 2.7.
L'étude
numérique de
cette formulation
est avantageuse du
fait
que la
résolution du problème de Stokes revient à résoudre un
nombre
fini de
problèmes pour
l'opérateur (-~).
On a
au maximum
trois problèmes au Laplacien.
2.7. Approximation de la deuxième formulation mixte
Nous nous placerons dans le cas n = 2.
On
considère une
triangulation bh régulière de n en triangle K. On
considère également les espaces approchés suivants

---

-36-
Comme dans toute méthode mixte il faut remarquer ici également que WOh
n'est pas généralement inclus dans W .
o
Soit le problème (P
) suivant:
1h
....
trouver {u , ~h} ~ W
tel que
h
oh
....
....
....
....
y
Jn grad u
.grad v
dx
+
h
h
f. (vh
grad- <Ph) dx
Théorème 2.6.
....
Le problème (P
) a une solution unique {u , ~h} qui est ca-
1h
h
ractérisée par l'existence de la pression Ph
~ H~ telle que:
fJn grad
.
Ph
grad Wh
dx = Jn f. grad W dx
V W
~
H1h
h
h
0
....
....
....
....
(2.38.)
Y
Jngrad u
.grad v
= Jn(f-grad
h
h dx
Ph ) . V h dx V v h ~ XOh
....
{uh'~h} € Woh
Preuve
Comme
dans le cas continue la preuve repose sur les mêmes vérifica-
tions des hypothèses du théorème de LAX-Milgram". Quant à l'existance
du
multiplicateur Ph
on peut
le voir ainsi.
On considère la fonc-
tionnelle suivante
Le problème (Plh) est équivalent au problème minimisation suivante

---

-37-
(2.39. )
(2.39.) est un problème de minimisation avec contrainte linéaire. Si
on considère le Lagrangien associé a
(2.39.) on a
:
On
peut
facilement
voir
que
d ( ••• , ••• )
est convexe,
il suffit
h
d'évaluer la dérivée
seconde, donc 4/h(
) a une solution. D'après
les
résultats d'analyse
convexe en dimension finie t
( •• , • • • )
pos-
h
sè~e un point selle {u '~h
h
,Ph} e: Xoh x H~h X H~ qui vérifie.
Remarque 2.6.
Le théorème (2.6) n'assure pas l'unicité de Ph' Une inégali-
té
dans H~ du type Brezzi [5]
apporte la réponse à cette question.
Cette
inégalité est
difficile à
montrer (voir par exemple [18]).
Sous
cert-aines conditions concernant notamment la régularité de ~ ,
il existe une constante Co indépendante de h telle que
:
(2.41.)
Sup
-ve:X
h
oh
Av~c
cette inégalité on peut voir que Ph
est unique a une constante
près. En effet soient Pl
et P2
e: H~ vérifiant (Plh) on a

---

-38-
V -
V
€
X
V j
= 1,2
h
oh
-f.-
v fn grad ~h .grad ~hdx + fn grad p~ '~h dx
V h
dx
En faisant la soustraction pour j
= 1 et j = 2 on a
fn
V -
grad (p~-p~). ~h dx = 0
v
€
X
h
oh
d'après (2.41.)
on a
Sup
= 0
d'où le résultat.
Estimation de l'erreur
Ici nous n'avons pas fait l'approximation dans un cadre général mais
plutôt sur un élément particulier,
la raison est que au niveau théo-
rique
les deux
formulations sont assez proches.
L'intérêt de cette
nouvelle formulation est d'ordre numérique.
L'élément
utilisé ici est celui déjà connu sous le nom d'élément de
Hood et Taylor.
La
vitesse ici
est évaluée
aux points
milieux et
aux sommets' du
triangle
K,
tandis
que
la
pression
est
évaluée aux sommets du
triangle.
Il
faut
donc
remarquer
qu'ici nous avons une pression
continue.

---

-39-
- - - - - - ï
1
1
1
1
1
,
1
,
1
~I
Figure 2.5.
x ...
degré de liberté pour u h
• . . .
degré de liberté pour Ph
On
peut également
considérer la
sous triangulation ~/2 où chaque
triangle
K est divisé en quatre petits triangles égaux. Dans ce cas
X
sera défini comme suite
:
h
/
e:
(p(1))2
K
L'analyse
de l'erreur donne les mêmes résultats que ceux obtenu par
...
Hood et Taylor.
Si u e: H3 (Q) et p e: H2 (Q)
...
(2.43. )
2
lI u - u h Il ,Q ~ C h (lI u ll ,Q + IIpll2,Q
1
3
...
(2.44. )
IIp-Ph11o,Q ~ C h (lI u Il ,Q + 'lIpll2,Q
3
Si on définit X
= X n (H1 (Q))2 avec X défini au
,
0 h
h
0
h
(2.42.) on p~ut également montrer que
...
(2.45.)
lI u - u h I1 ,Q ~ C h (lI u Il ,Q + IIpI12,Q)
1
3
(dans (2.45.) on devrait plutôt noter h'
à la place de h avec h'
= h/2
Dans le cas de la norme
(L 2 (Q))2
on a les majorations suivantes:

---

-40-
Dans
la relation (2.47.),
il n'a pas êtê. possible de se dê-
barasser
du terme
correcteur ~ ~h' Ce qui veut dire que u
+ ~ ~h
h
est
une bonne
approximation de -
u par rapport à u
pour la norme de
h
(L 2 (fi»)2.
Remarque 2.8.
Une
autre formulation
mixte un peu plus sophistiquêe a êtê
utilisêe
par GIRAULT-RAVIART
[16]. Le
style de
cette formulation
rèste
proche de
cèlle utilisêe par GLONINSKI-PIRONNEAU. Ce qui est
intêressant
dans la formulation mixte (GIRAULT-RAVIART) est qu'elle
fait
appel à
une mêthode
d'êlêments finis basêe sur des fonctions
discontinues, mais dont la divergence est nulle (voir [16] pour plus
de dêtail).

---

-41-
III - LES EQUATIONS STATIONNAIRES DE NAVIER-STOKES
Les équations de Navier-Stokes en régime permanent s'inscri-
vent dans le cadre général des équations aux dérivées partielles non
,linéaires.
L'étude mathématique
également suit
l'analyse générale
des
problèmes non
linéaires. Quant à l'étude
numérique, outre les
difficultés
déjà connues
dans le cas linéaire
de Stokes,
s'ajoute
une
autre difficulté,
non des
moindres due
encore une
fois à la
non-linéarité.
L'étude variationnelle
reste néammoins assez proche
de celle faite au chapitre précédent.
3.1. Formulation variationnelle "vitesse-pression"
Rappelons
les
équations
homogènes
stationnaires
de
Navier-Stockes.
n
-
-
-v~u + L
au
u.
+ grad p = -
f
dans 11
J
ax.
j=1
J
div -
( 3 . 1 )
u = 0 dans n
-u= 0 sur r
Nous
allons supposer
ici également que n est un domaine de
R" borné avec r sa frontière assez régulière.
Considérons la forme trilinéaire suivante
- -
n
u,
-
( 3 • 2 )
C(w
v)
=
v.dx.
1
i,j=1
ax.J
On a

---

-42-
-
C(u
Proposition 3.1.
1 0 )
Si
n ~ 4, . la
forme
trilinéaire
C (
) est continue sur
3
«(H1(Q»n)
.
2°) Si -
u ë H (div, Q) alors, V -
v
, -
W ë
(H1(Q»n
on a
o .
0
V -
v, -
W ë
( 3 . 3 )
-
C(u
-v, -v) = 0
-
......
.
~...
......,~
( 3 .4 )
C(u
v,
w)
= -C(u, W, v).
Preuve.
1°) D'après
le
théorème
d'inclusion
de
Sobolev
on a po~r n ~ 4
H1(Q) ~ L4 (Q). Cette inclusion est continue et même compacte. Soient
- -
u, -
v,
W ë
(H1(Q»)n,
d'après l'inégalité de Holder on a
:
aU i
w.
v,
ë
L1 (Q) , avec
J
ax.
l
J
III aU
aU
i
i
v.
dx
~
l
Il
j
II Wj
4
Il viii 4
W
aX
L
ax,
L
(!Ï2)
j
J
2
L
~ C II w ll
j
1 ,!Ï2
luiI1.!Ï2 IIvill1,!Ï2
donc
- ~ -to
...
...
.....
Ic(w
u,
v)1
~ CllwlI 1 ,!Ï2 luI1,!Ï2 IIvIl1.!Ï2
d'où le résultat.
2°) Dans
la deuxième partie il suffit de montrer (2.4) l'autre s'en

---

-43-
suit immédiatement .
...
... ...
Soit u €
v
v, W €
UJ(n))n
on a
n
n
èv.
èw.
L fa
1
1
~
,
è
u, (w, -- + v.
J = ~
u.
dx
Jn
(v i W i )dr
èx.
1
èx.
J
èx.
j=l
J
J
j=l
J
n
èu.
L
J
=
In
v.w.dx
èx.
1
1
j=l
J
= 0
...
~
~
~
~
~
donc C(u
w, v)
= -C(u
v, w),
et donc par densité on obtient le résultat.
La
formulation variationnelle
du problême de Navier-Stokes
(vitesse-pression) est alors la suivante :
...
trouver (u, p) €
(H~ )(n) ) n X L~ (n)
... ...
...
... ...
...
...
.
(Q)
a(u, v) + c(u , u, v) + b(v, p) = <f, v)
"rIv €
(H~(n))n.
...
b(u,
q)
= o Vq €
L~ (n)
A
(Q) on associe le problême (P) suivant
(P)
...
...
<f,
v)
"ri v
€
V
Nous
avons gardé
les appellations (P) et (Q) comme dans le
cas linéaire.
Théorême 3.1.
Supposons n ~ 4 et n borné dans ~ avec r sa frontiêre lipschitzien-
...
ne.
Etant donné
f dans
(H- 1 (n))n,
il existe au moins une solution

---

-44-
-
(u, p)
€
V X L2 (il) de
(Q).
o
La
preuve est
classique,
elle tourne autour du théorème de
point
fixe de
Brouwer. On
pourra consulter
R.
TEMAN
[26],
LIONS
[25], GIRAULT-RAVIART [16].
Dans
le
cas
de
l'unicité
globale il faut des conditions
beaucoup
plus
fortes.
Pour
ce
faire!.
considérons N la norme de
C (
) dans V3
•
•
i e .
---
\\C(UjV,w)\\
( 3 • 5 )
N =
Sup
--- - - -
U,V,w€V
lull,nlvll,nlwll,n
Désignons par
--
l<f,v>1
la norme de -
IIfll*
= Sup
- -
f dans V'.
V€V
Ivl 1. n
Théorème 3.2.
Sous les hypothèses du théorème (3.1) et si de plus on a
N
( 3 . 6 )
IIfll* < 1
alors
le problème
de Navier-Stokes
(Q) àdmet
une solutiun unique
-
(u,
p) €
V x L~(il) avec -
u solution de
(P).
La preuve de ce théorème est également bien connue.
Signalons l'estimation suivante sur -
u
1
( 3 • 7 )
< -
IIfll*
v
Il suffit pour le voir de prendre -
v = -
u dans
(P),
La condition (3.6) associée à
(3.7) donne l'estimation suivante

---

-45-
( 3 • 8 )
3.2. Approximation générale
La
démarche dans ce paragraphe reste très proche du ca~ li-
néaire.
On considère les mêmes espaces de dimension finie X , M , V
h
h
h
définis au chapitre 2.
Signalons
cependant ici,
que puisque V
~
h
V la forme
t r i l i -
néaire C(
perd l'antisymétrie sur V
x X
x X .
h
h
h
On corrige en remplaçant C par Cl
défini comme suite
Cl
-
(u
-v, - 1
w) =
-
-(C(u
-v, -w) - -
C(u
-w, -v)).
2
Cl
-
(u
-v, -w) = -
C(u
-v, -w) si -ue: V.
Définissons les normes discrètes suivantes
1Cl
-
(U h ; -
V h
-'Wh) 1
N
=
h
Sup
-
-
u
1u h Il . Q 1v h Il ,Q 1Wh Il , Q
h -
,vh 'Wh e:Vh
IIfll~ = Sup
-Vhe:Vh
Considérons les problème~ approchés suivants
trouver
-(u
x
M
tel que
h '
Ph ) e: Xh
h
.
(Qh )
va( -
u
,v
) + Cl (u
,
v
) + b( v
> "fi v
e: X
h
-h
-h -uh' -h
-h' Ph ) = <f, vh -h h
b -
(uh ' qh ) = 0 "fi qh e: Mh
et

---

-46-
Théorème 3.3.
Supposons vérifié la condition suivante
IIfW' < 1
h
alors,
le
problème
(Qh)
admet
une solution unique (u , Ph) dans
h
V
avec u
solution unique de
(Ph)'
h x Mh
h
La
preuve suit les mêmes itinéaires que dans le cas continu
(cf.
[16],
[26]).
Ici également on a l'estimation suivante sur u h
1
y
( 3 . 9 )
Ilfll* < -
h
13 h
Enfin
pour terminer
le paragraphe,
signalons que l'analyse
de
l'erreur
dans
le
cas
des
équations stationnaires de Navier-
Stokes,
sous
les
mêmes
hypothèses
Hl' H , H
du cas linéaire de
2
3
Stokes, donnent les mêmes résultats.
3.3. Cas de la deuxième formulation mixte
Dans ce paragraphe nous rappellerons seulement les résultats
car
l'étude mathématique est identique à celle faite avec la formu-
lation vitesse-pression.
On note

---

-47-
n
-
èu.
- - 2:
l
(u.
~) . u =
u.J èx.
i,j=l
J
Si on pose X
= (HI(Q»n.
o
0
La
formulation
variationnelle
mixte
du problème de Navier-Stokes
st~tiorinAire dans c~ cas est la suivante :
.trouver -
{u, ~,
p}
e;
X
x H~ (QI x HI(Q) tel que
0
JQ~P'~<P
( -
u . ~ )-
dx = J (f -
u) . ~<P
V'<P e; HI(Q)
Q
0
(Ql )
v J - -
Q~u.~v dx +
l - --
Q(u.~)u.v dx = J
-
Q(f-~p).v dx
-
"Iv e; X0
JQ~~'~P
=
-
dx
u.q dx
V'q
JQdiV
e;
Hl (Q)
(~ est une variable a·,lXilliai.re).
Le problème approché est le suivant
trouver
-
{u
tel que
h '
~h' Ph} e; Xoh ' H~h X Hlh
-
(u
. v) u
) . v<P
h
-
e;
Hl
Jvp v<p dx JQ(f -
h
V'<P
h
1l
.n
h
h
Oh
_.
( Ql
)
v
Q
~uh .~vh dx + JQ -
(u
V' v
e;
X
h . ~ ) --
J
-
-
u
J.n ( f -
h . Vh dx =
~ph ) .;h
h
oh
h
J.n~~h '~Ph dx =
-
Hl .
JQdiV u h . qh dx
"1. qh
e;
h
Ici
également l'analyse
de l'erreur donne le même résultat
que dans le cas linéaire.

---

-48-
IV
METHODES
NUMERIQUES
POUR
LA
RESOLUTION
DES
EQUATIONS DE
NAVIER-STOKES
Les
formulations
variationnelles
mixtes
du
problème
de
Navier-Stokes inspirent en général deux démarches fondamentales pour
l~ résolution numérique.
La prem~ère consiste à résoudre directement le problème (Qh)
ou (Qlh). Cette démarche est telle qu'on doit gérer deux maillages à
la
fois.
Elle
est pénible
dans le cas de la formulation "vitesse-
pression"
mais dans
le cas des problèmes (Qlh) avec la méthode des
directions
alternées
(cf
[17]
par
exemple),
on
s'en sort plus
facilement.
La
deuxième consiste
à se
débrouiller pour n'avoir qu'une
seuie inconnue à traiter (la vitesse ou la pression).
Cette deuxième
démarche
est beaucoup appréciée des numériciens. Dans cette optique
nous présentons quelques démarches.
4.1. Méthode de pénalisation
Cette
technique dit-on
a été introduite dans la résolution
du problème de Navier-Stokes par Zienkewicz et.Godbole. Elle a connu
un essor réel avec BERCOVIER [3].
Considérons le problème (Qh)
suivant
trouver
-
(u h ' Ph) E: Xh X Mh tel que
-to
-to
-to
-to
...
. . . . . . . . .
...
(Qh)
a(u h ,vh ) + Cl (uh j uh ' v )-(Ph' div v
h
h ) = < f,
v h > \\1 VhE: Xh
( qh'
di v -
u
\\1 q
E: M
h ). = 0
h
h
à
(Qh) on associe le problème perturbé suivant
trouver
(u~
tel que
'
p~) € Xh X Mh
(Qt )
a) a (-t
u
- )
(-t-t
h
h '
v h + Cl
u h j u h ' ~h) - (p~ ' div ~h) = < f, -
v h > \\1 -
v h E:Xh
t
b)
. (e
+ div
qh)
0
\\1
E: M
Ph
u h '
=
qh
h

---

-49-
où ~ > 0 étant un paramètre petit.
Supposons
une approximation telle que les éléments de M
soient des
h
fonctions constantes par morceaux (par exemple d'élément de Fortin).
Dans ce cas
(Q~) b) donnerait
1
(4.1. )
u
dx
'v'K€~
Ph/K
=
div
-
e mes(K)
fK
h
et donc si on pose
(4.2. )
div
=
u
dx , di v u
€
M
h
-
1
U h / K
fK
-h
h -
div
h
h
mes (K)
alors la partie a) de
(Q~) devient
(4.3. ) a (-S
u
v
v
+
(di v
div
v
)
h '
-h) + C(~~ -euh ' -h) 1
h
-uh ' h -h
é
= < f, -
v
>
'v' v
€
X
h
-h h
On
obtient un système beaucoup plus facile à résoudre puis-
que
sa
dimension
est
réduite
et
en
plus ce système est défini
positif.
En
effet,
soient A la matrice associée à la forme a ( .. , .. )
et B(u) celle associée à la forme trilinéaire C(
).
A
est une
matrice symétrique
définie positive et B(u) est une ma-
trice
antisymétrique pour tout u. Quant à KI
la matrice associée au
terme de pénalisation,
est également symétrique et non négative.
Pour tout vecteur X (conforme à la dimension des matrices) on a
:
1
KI
+ B -
XT (A +
(u»
X
é
d'autre par.on a
BT = - B donc XT BX = 0

---

-50-
puisque
1
XT (A + -
K )
X > 0 donc
1
ê
1
XT(A +
K
+ B "( u) ) X > 0
1
ê
Cependant
lorsque les éléments de Mh ne sont plus constants
par
morceaux, on ne peut plus trouver explicitement Phdans
(Q~) b).
Dans
le cas
général la situation est la suivante : la partie b) de
(Q~) donne :
1
(4.4.)
L'opérateur
de
projection
orthogonale
de
L2 (Q)
sur Mh .
sera caractérisé comme étant la solution de
~s ~
~
~
-to
1
'-"s
- t o . . . . . .
-to
( 4 • 5 .)
a
(uh , V h) + Cl (uh ; uh ,vh) + -;: (p h div uh ' Ph div V h ) =<f , v h >
Dans ce cas,
présent,
la méthode présentera un intérêt si Ph(div uh )
est
facile à évaluer. Dans la pratique un choix judicieux de la mé-
thode d'intéiration permet la résolu{~on du problème (4.4.).
.
Théorème 4.1.
Sous
les hypothèses
dù théorème
(2.3.),
alors le problème
a me
une so u lon unlque
(e
u
e)
d
t
l
t o
o .
X
h ' Ph
€
(Q~)
h x Mh et on a l'estima-
tion suivante :
où
C
est
une
constante
indépendante
de
€
et
h.
(voir
BERCOVIER-ENGELMAN)
[4].
Le
système non
linéaire (2.15.)
peut être
résolu par une méthode
classique de Newton.

---

-51-
4.2. Construction de base de Vh
Une
autre façon
de se débarasser momentanément de la pres-
sion
dans la
formulation "vitesse-pression"
est de chercher à ré-
soudre d'abord le problème (Ph)'
D'après une idée de Crouzeix (dit-on également) on construit
une
base de V • Cette démarche a été utilisée par THOMASSET [28] et
h
aussi par HECHT [20].
La
condition div u = 0, on le
sait ne peut être traitée de
façon
satisfaisante
avec
des
éléments conformes linéaires. Aussi
Grouzeix
et Raviart
ont introduit l'élément linéaire non conforme.
Les espaces approchés sont définis de la manière suivante :
Une
fonction v
définie sur n appartient à X
si et seule-
h
h
ment si
b) v
est continue aux points milieux de chaque triangle.
h
X
= {v 1 v
~ X
(b.
K)
= 0
oh
-h h h
1. •
où
les b,
désignent les points milieux des côtés de chaque trian-
1. ,K
gle K.
\\
\\
\\
K
\\
\\
\\ \\ 1
\\
Figure 4.1.
Elément fini P{l) Lagrange non conforme.

---

-52-
L
= {b.
}~. ~
est p(l)-unisolvant et les fonctions de base sont
K
1 ,K
1;';'1;';'3
P
-
1 -
2~
1 ~ l' ~ 3
i,K
-
' \\
~
~
L'espace M
est défini comme dans le cas de l'élément de Fortin.
h
Mh = {qh e: L 2 (n) ; qh / K e: P ( 0 ) l "ri K e: ~} () L~ (n)
Dans
ce cas
présent la
condition d'incompressibilité discrète est
div -
u
=
h
0 sur chaque triangle K.
•
Pour
construire la
base de
Vh il
faut remarquer que -
u h étant li-
néaire
par triangle,
div u
est constante sur chaque triangle,
donc
h
la
condition div u
=
h
0
équivaut à un flux nul sur la frontière de
chaque triangle.
-
div -
(4.6. )
u
=
h
0
n
ds = 0
Soit encore
-
-
(4.7.)
u
( b i ) •
= 0
i
= 1, 2, 3 (modulo 3)
h
Q.I'
On peut obtenir (4.7.) de deux façons
Ou bien -
uh(b ).
n . = 0 pour tout noeud milieu b
e:
K.
i
-b
i
l
Ou
bien -
uh(b ).n
~ 0
et les
valeurs de u
i
-b
-h aux milieux des côtés
i
s'équilibrent de façon à satisfaire (4.7.).
Par suite on obtient deux sortes de fonctions de bases

---

-53-
Les
fonctions associées
à un
milieu de
côté b
€
M
(M désignant
i
l'ensemble des points milieux du maillage).
(4.8.) -
Wb.
=
P.1
1
i
= 1, 2,
3 (modulo 3)
Les fonctions associées à un sommet a.
€
5 (5 désigne l'ensemble des
1
sommets du maillage).
-
-
-
n
b i + 1
(4.9. )
W
=
p.
+
a i
~ + 1
i
= 1,2,~ (modulo 3)
La
démonstration de
l'indépendance de ces vecteurs a été faite par
Thomasset [28].
HECHT [20] a généralisé la construction en dimension trois.
Remarque 4.1.
Une
technique de
construction de base de V
a été utilisée
h
par
HECHT et
CARDOT dans le cas conforme (brochure de l'INRIA 37).

---

-54-
....
donc pour tout u
vérifiant [4.6.] on peut calculer les nombres
h
U . (i = 1, ••• , M)
et U
(i = 1, ... , 5) tels que
b
a.
l
l
....
M
....
5
....
U
(X)
=
L
U
W
(X)
+
L
U
w (X)
h
b
i=l
b.
a.
a.
i
l
i=l
l
l
Ce
qui est
important de remarquer est que les degrés de liberté de
la
vitesse
seront
les
composantes
U
(i .= 1 , ... , M)
et
b l
....
U
( i
= 1, ... ,5)
de u
sut la base ainsi construite et non les va-
h
a i
....
leurs de u
aux points milieux du maillage.
h
Calcul de la pression
La
construction de base de V
permet la détermination de la
h
vitesse
uniquement puisqu'on
ne résout
que le problème (Ph)'
Poùr
déterminer la pression on doit résoudre le problème suivant:
trouver Ph
E Mh telle que
....
.... ....
(4.10.)
~ {vI grad
( u . V) • U V h dx-
KE~
h
K
........
= J f.v dx
n
E
X
h
oh
Pour résoudre (4.10.)
l'idée est de choisir les fonctions-tests dans
un supplémentaire de V
,
h
On considère alors les fonctions suivantes
....
Pi
....
(4.11. )
<Pb
=
n b .
b.
$ r
i
l
= 1 , ... , M
l
.e
l
b i
....
où,
n
la normale à l'arête de milieu b
,
.e . sa longueur et p. la
b
i
b
l
i
1
fonction de base associée à b ..
l
Pour b
fixé désignons par KI
et K
les triangles adjacents à l'arê-
i
2
te contenant b ..
l

---

-55-
On a
:
J
J
p div ~b. dx +
p div ~b dx = Pt- P2
Pi
= Ph 1
i
= 1,2
K .
K
h
1
K h i
1
t
2
...
Connaissant
l'approximation de u
€
V
de la vitesse, on calcule la
h
h
différence de pression entre Kt
et K
grâce à la relation
2
dx
Ainsi en fixant la pression sur un triangle donné,
de proche en pro-
che, on détermine la pression totale.
Remarque 4.2.
Une
autre technique qui donne actuellement de très bons ré-
sultats,
bien adaptée du reste à la deuxième formulation variation-
nelle
est celle
dite de
direction alternée
(voir GLOWINSKI [18],
GLOWINSKI et PERIAUX [19]).

---

-56-
4.3.
Résolution du problème de NAVIER-STOKES par la méthode
des moindrés-carrés-gradient-conjugué
Dans
toutes les
techniques utilisées pour résoudre le pro-
blème
de Navier-Stokes,
il Y a toujours un problème non linéaire à
résoudre.
L'algorithme le
plus classique
dans ce cas est celui de
Newton. Cependant quelques difficultés numériques nous ont conduit à
la
méthode dite
de moindres-carrés-gradient-conjug~é qui du reste
est très largement utilisée actuellement. (cf [17],
[30]).
Rappelons
le
problème
stationnaire
non
homogène
du problème de
NAVIER-STOKES.
a) -v 6 -
u +
- -
(u.6)u + grad p = -
f
dans n
(4.13.)
b)
div -
u = 0
c)
-uIr = -gavec Ir der =0
Désignons par
-
, div -
V
/r = -
v
= --
{vive: (Hl (n))2
g
v = 0 dans n}
g
La formulation variationnelle de (4.13.) est par exemple la suivante
trouver -
u e: Vg
v -
"l - -
u."lv dx + In «~."l)~).; dx = In --
f.v dx
v
e: V
Résolution par la méthode de NEWTON
L'algorithme
de Newton
appliqué au problème (4.13.),
(4.14.) donne
ceci
:
-UO e: V étant donné
g
pour tout n ~ 0 on calcule à partir de -
un,
telle que
(un ."l)un + -
-
v 6
+ (~n+ 1 ."l)~n + (un ."l)~n+ 1 =
f dans n
(4.15. )
{
-un+1 = g sur r

---

-57-
avec la formulation variationnelle suivante
trouver u n
1
+
€
V
telle que
g
(4.16. )
dx +J (~n+l .~)~n.~ dx +
(U.~)Un+l.V dx =
n
J - - -
n
=Jn (~
~ ~
--
n • \\,-.)
n •
dx + Jnf. v dx
Les
problèmes (4.15.),
(4.16.) sont associés à un opérateur
non-auto-adjoint
(elliptic) qui varie avec n.
Donc en dimension fi-
nie
(dans les problèmes approchés) on aura une matrice non symétri-
que
variant avec n. Ceci constitue en éléments finis un problème de
Stokage
et donc
de coût. D'autre part la convergence de la méthode
de
Newton est locale.
Il convient de choisir -
UO
suffisamment voisin
de la solution -
u des équations de Navier-Stokes que l'on désire cal-
culer.
Toutes ces
raisons nous conduisent à choisir la formulation
au sens des moindres-carrés-gradient-conjugué.
Les problèmes (4.13.),
(4.14.) ne sont pas équivalents à un
problème de calcul variationnel.
Il n'y a pas de principe variation-
nel
directement associé
à
(4.13.),
(4.14.). Cependant, l'idée est
~
~
~
~
~
d'associer à tout v satisfaisant la condition v €
v
, ~ (= ~(v)) €
V
g
et solution du problème suivant :
~
~
~
~
-
y
~ v + (v.~)v - f dans Q
( 4 . 17. )
donc
-~est obtenu par la résolution d'un problème de poisson, la
formulation variationnelle est la suivante :
trouver -
- -
~ €
V telle que
(4.18. )
~~.~wdx =
JQ~~'~;
--
y
dx + J - --
Q(v.~)v.w dx - JQf. w dx
'ri
-w€ V

---

-58-
(4.17.),
(4.18.) possède une solution unique. Si donc -
v est solution
du
problème de
Navier-Stokes
(4.13.) et (4.14.) on aura la corres-
...
pondance suivante
: t
= -
O.
On peut donc poser le problème de minimisation suivante
...
trouver u ~ v
telle que
g
(4.19. )
...
...
"ri -
'J(u) ~ 'J(v)
v ~ V g
(4.20.)
...
...
Si
u est
solution de
(4.13.),
(4.14.) alors 'J(u) = 0 donc solution
de
(4.19.)
inversement
si
u
est
solution
de
(4.19.) telle que
...
...
'J(u)
= 0, alors u est solution de (4.13.), (4.14.).
Résolution par gradient conjugué
On
utilise
la
méthode
de
gradient
conjugué
dans
la
version
, POLAK"':RIBIERE;
Etape 0 -
Initialisation
( 4 . 21 .. )
O
U
~ v
étant donné
g
on définit ZO
~ V
(première direction de descente)
en résolvant
°
...
...
"ri -
(4.22. )
= < j' (u ), v >
v
~ V
°
on pose W
= Z .
o
0
...
...
...
Pour tout n ~ 0 on suppose connues un, W",
zn
et à partir d'elles on
...
...
obtient u n + 1 ,
wn + 1 ,
-zn+l de la manière suivante:
étape 1 -
La descente

---

-59-
trouver Àn
1
+
€
R tel que
(4.23.)
-+
-+
-+
{ :1 (un _ Àn + 1 wn ) ~ :1 (un_À wn ) V À €
R
(4.24.)
étape 2 - Calcul de la nouvelle direction de descente
a) trouver ;n+l
€
V
telle que
-+
-+
(4.25.)
( un + 1 ) , V
>
-+
b) le gradient conjugué w n+l
-+
(4.26.)
w
n + 1
-+
Calcul de j'
(vl
Au cours de l'algorithme précédent il apparait en (4.25.) la dérivée
de j, on doit donc savoir la calcule.
-+
-+
Pour une petite variation S v de v compatible avec la condition aux
-+
-+
-+
limites
v = g sur 1 telle que S v = 0 sur 1 avec S v €
V,
on a d'a-
près (4.20.)
-+
-+
-+
-+
(4.27.)
Sj = < j'(v). Sv > = y
'il t. 'il St. dx
A partir de (4.18.) on a également

---

-60-
....
0
E, e: V
....
....
(4.28.)
+ In(8V'~);' ....
8E,.~w dx =
~ 0 v.~
w dx
wdx
y
In ~ .... ....
y
In
r ....
.... ....
....
+ Jn(v.~)8 v.w dx
V
w e: V
....
....
Si donc on prend
w = E, d'après (4.27.) on a :
< j' ( ;), 0 ; > = y In ~ €". ~ 8 ; dx + In €". (8 ;. ~) ; dx
....
....
E,.
(v ~) 0 v dx
....
ceci
à son
tour implique que j'(v) peut être identifiée à la fonc-
tionnelle linéaire définie de V ~ R par
....
V v
e: V

---

-61-
V
AMELIORATION
DE
LA
CONVERGENCE ET SUPERCONVERGENCE POUR LES
EQUATIONS STATIONNAIRES DE NAVIER-STOKES
5.1. Recherche d'une amélioration de la convergence
Il
est bien
classique que lorsqu'on utilise la méthode des
éléments
finis·,
pour
obtenir un
résultat satisfaisant,
ou bien on
fait
les calculs
avec un maillage très fin ou alors on augmente le
nombre
de
points
d'interpolation.
Dans
le
cas des équations de
Navier-Stokes
cette pratique revient très chère,
surtout lorsque le
nombre
de Reynolds est très grand.
Face à cette situation les pra-
ticiens fixent toujours un nombre maximum,
mais raisonnable d'itéra-
tions,
au terme duquel le processus doit s'arrêter.
La première con-
séquence qu'on observe est que généralement la précision fixée n'est
jamais
atteinte. Ceci
à son
tour induit des résultats qui ne con-
vergent pas et donc difficiles à interpréter.
La
deuxième conséquence
est que
les simulations
à grands
nombres
de -Reynolds sont rares surtout pour les numériciens à petit
budget.
Nous
avons donc pensé à une méthode qui consiste à résoudre
\\
le
problème non
linéaire avec
un élément moins encombrant et amé-
liorer
ensuite le
résultat obtenu
en résolvant uniquement un pro-
blème linéaire avec un élément plus élaboré.
Nous avons choisi deux éléments finis bien connus pour faire
les
calculs,
mais
la
méthode
se
prête
facilement
à
toute
généralisation.
5.1.2. Estimation d'erreur sur la vitesse
On se place toujours en dimension deux.
On considère les espaces suivants dans un premier temps
w1 = {v
€
~ (Q)
h
h

---

-62-
(5.1. )
Xl
= W
x W
. h
oh
oh
(5.2. )
Mt
-
{q
e:
L 2 (.n)
h
-
•
h
qh
/ K
e:
P ( 0 )
V K e: ~} () L~ (n)
tels que (qh'
div -
VI
= -
( 5 • 3 . )
{V
e: X t
v
h
h
h '
h ) = 0
U
q
e: NI}
v
h
• h
Rappelons les problèmes Q, P, Qh'
Ph
-
- -
2
au
-
- -- - (Ht (n))2
(Q)
v('Vu,'Vv) + ( L
u.
v)-(p,div v) = <f,v> V v e:
a
. .
j=l
J
aX.J
( q,
div -
u)
= 0
V q e: L 2 (n)
o
.
trouver -
u e: V telle que
(P)
-
- -
2
au
v(7u,"ïlv) + ( 1:
u. - - , -
v)
= < -
f,
-v > V -v e: V
j=l
J
ax.J
trouver
-
(u h ,Ph) e: Xh x Mh
(Qh )
V
-
('Vu
-
aU
2
h
-
-
- - - e: X
h ,'Vvh ) + ( L u.
vh)-(Ph,div v h ) = <f , vh>V v h
h
j=l J
ax.J
(qh '
div -
u
)
h
= 0
V qn e: Mh
trouver -
u
e:
h
V h
(Ph )
-
v
-
('Vu
, v
>
e:
h
-
aU
,'Vvh ) + (jt
h
u
= < f , v
V v
V
h j
-h) - -h
-h h
aX j
On
sait que
lorsqu'on utilise les espaces X , M
et V
définis aux
h
h
h
(5.1. ),
(5.2. ),
(5.3.)
ont
obtient
les majorations suivantes de
l'erreur
dans le cas des équations de Navier-Stokes (voir
chapitre
II) •

---

-63-
-+
-+
-+
(5.4.)
1u - u
Il , !i1 ~ C h
(1Iu Il
h
2 ,!i1
+ Ilplll,!i1)
-+
-+
11
• !i1
~ C h 2
-+
(5.5. )
Ilu-u
(1I u Il
h
0
2 • !i1 + IIplll,!i1)
-+
Supposons
calculer u
avec les espaces définis aux (5.1.),
h
(5.2.),
(5.3.).
Etant
donné fl::(L 2 (.o.))2
on s'intéresse au problème
suivant
-+
trouver w 1:: V tel que
(5.6.)
-+
dU
-+
-+
h
-+
-+
.:..
v(V'w, V'v) + (l: u
v)
= ( f , v) \\:J v 1:: V
h j
dX j
,.,
V étant défini au chapitre I.
(5.6.) est un problème linéaire de type Stokes avec le second membre
-+
dU.
-+
2
J
égal à
f
-
l:
u hj
j=l
dX.J
Il est clair que
(5.6.) admet une solution unique.
On peut établir la proposition suivante
J
Proposition 5.1.
Supposons
.0. connexe
et borné
dans ~2
avec ï
sa frontière
suffisamment "régulière".
Supposons ~
uniformément régulière,
alors
la majoration suivante a lieu :
-+
-+
où C ne dépend pas de h où u est solution du problème
(P) et w solu-
tion du problème
(5.6.).
Preuve
Si on soustrait membre à membre le problème
(P) de
(5.6.) on a
-+
Pour tout v 1:: V

---

-64-
-
-- -
dU
2
h
-
v('V(u-w) , 'Vv) = ( L
uh j -- - u.
v)
j=l
dX
J
j
dU
2
-h
= ( L
( u
v)
(u -u) ,
h . -u. ) - - , -
2
d
+ (
L
u.
-h - -v)
j=l
J
J
dX.
j=l
J
dX.
•
1
J
J
par application de la formule de Green on a
dU
dU.
2
-h
2
--
v('V(u-w)
-
,'Vvl = ( L
(uhj-U j )
-
J
v)
(
L
- -
(u.-u), -
v)
j=l
dX.
j=l dX.
J
J
J
2
_
_
-
dV
L
(u j (uh-u), ---)
j=l
dX ..
J
et comme -
U ê
V donc div -
U = 0 on a donc
--
_
2
_
_
-
dV
v('V(u-w)
-
,'Vv)
v) -
L
(uj(uh-u), ---)
j=l
dX.J
En prenant -
v = -
U - -
w on obtient
~
~
~
~
~ ~
2
~
~
v('V(u-w) ,'V(u-w))
u-w) -
L
(u. (u -u),
j=l
J
h
U
j -
U j
e: L 2 (il)
h
donc on a

---

-65-
~
~
~
~
~
+ C Ilullo,co lI u - uh ll o ,f:! Ilu-wlll_f:!
donc
~
~
~
~
.....
.....
Ilu-wlll,f:! ~ C Ilu-uhllo,f:! (lI u II ,f:! + Iluhlll,4,f:!)
2
On va donc ebtimer
-
Ilu Il
de la manière sui vante
h l,4,f:!
•
.....
.....
.....
-+
lI u h ll l ,4,f:! ~ lI u - uh ll l ,4,f:! + lI u lI l ,4,f:!
On a donc
-+
-+
-+
-+
-+
-+
(5.7.)
Ilu- u h ll l ,4:f:! ~ Ilu-TIull l ,4,f:! + IlTIu-uhlll,t,f:!
où
TI désigne toujours l'opérateur d'interpolation. D'après la théo-
rie
d'interpolation dans
les espaces de Sobolev (voir Ciarlet [8])
on a
En
utilisant le
théorème de
l'estimation inverse
(voir également
Ciarlet [8]) on a
..
-+
.....
.....
.....
Il uh -TI U 111 , 4 , f:! ~ ChI 1 2 Il uh -TI U 111 , f:!
et donc (5.27.) devient
~ C h l/2
-
lIuli 2 , f:!
On a également
Il -
U
-
TI -
U 111 ,f:!
~ C h Il -
U 11
, f:!
2

---

-66-
d'après (5.4.) on a
d'où finalement on a
Le problème (5.6.) étant du type Stokes on lui associe naturellement
le problème suivant :
.. -
trouver (w,p)
e:
(H~ (n))2 x L~ (n)
tel que
..
èU h
y ( '1;; ,'1;; )+ (!
, ;;) - -
..
....
.. (Hl (n)2
(5.9. )
u
(p,
div v)
= (f,v) V v e:
h j
dX.
a
J
..
( q,
div w)
L2 (n)
= 0 V q e:
a
.
Nous allons approcher le problème (5.6.) de la manière suivante
on
considère PK
l'espace des polynomes engendré par:
'À~, À~, À~, \\ À2 , \\ \\, À2 À , \\ À
3
2 À2
où les À. (i = 1,2,3) sont les coordonnées barycentriques.
l
On a
: P(2) C PK C P(3).
On considère les espaces suivants
W2
= { V , v
e: ea (n)
v
/
e:
P
V K e: i""} C wl,<o(n)
h
h
h
h
K
K
'1t
( 5. 10.) X2
= W2
X W2
h
o h '
oh

---

-67-
(5.11.) H2 = {qh e: L2 (n)
qh
/K
e: P ( 1 )
'TI K e: ~} (1 L2 (n)
h
0
(5.12.)
=
h
-
V2
{v
e: X2
h
(qh '
div
h
-vh ) = 0 'TI qh e: M~ }
le problème approché de (5.9. ) est le suivant
- ....,
X2
H2
trouver (Wh' Ph ) e:
x
tel que
h
h
-
- -
dUt.
,'Vv
)
v
)-(P
, div
v
e:
h
+ (i: u
X
h j
-
vh)=(f,v
h
h
-
-h) 'TI - 2
5.13.
y ('Vwh
h
h
dX.J
( qh'
div -
wh)
= 0
celui de (5.6.) est
trouver -
wh
e: V2
telle que
h
(5.14.)
y (
-
'Vwh'
-
'Vvh) + (i: u h j
e: V2h
On établit les majorations suivantes (voir chapitre II).
(5.15.)
~
~
~ . . . ,
IIw-whllo.~ ~ c h3(lIwI131~ + IIpIl2.~)
Théorème 5.1.
Sous
les hypothèses de la proposition. 5.1., on a la majora-
tion suivante
-
lIu
où C ne dépend pas de h avec -
wh
solution de (5.14. l.

---

-68-
Preuve
La preuve est immédiate.
En effet on a
... ...
... ...
... ...
liu-wh III n ~ liu-will, n + Ilw-w
1
h III . n
d'après la proposition (5.1.) et (5.15.) on a le résultat
5.1.3. Estimation d'erreur correspondant pour la pression
Nous
allons chercher
à savoir
le genre d'estimation qu'on
peut avoir avec la pression.
...
P
sera la pression associée à
la vitese u tand~s que p sera
...
la pression associée A w.
Lorsqu'on utilise les espaces Xl
et Ml
on a la majoration suviante
h
h
...
IIp- Ph ll o,n ~ C h (liul\\z,n -t-
Proposition 5.2~
Sous
les hypothèses
de la proposition 5.1.,
on a établi la
majoration suivante
:
Preuve
....
D'après Q et (5.10.) on a pour tout v €
(Hl (Q))Z
°
... ...
...
...
ëJu
y ( 'V ( w-u ),
'Vv)
- - -
u.
ëJx.
J
ëJx.
J
J
......
......
...
ëJ(uh-u
=
2
y ('V( w-u),
'Vv)
+
L
-
u j
( j=l
ëJx.J

---

-69-
et donc d'après la démarche de proposition 5.1.
on a
~
~~
~~
~
1 (p-p,
div v) 1 ~ C Ilw-ulll. ~ II V Il • ~ + C lI u - u 110, ~llvlll, ~
I
h
d'autre
part on
sait qu'il
existe une· constante 13
> 0 telle que
(condition.de inf-sup)
(q,
div -
v)
(5.16.)
I3l1qll
~ ~
Sup
0 ,
-v€(H (n))2
a
et donc
-
...
......
~
IIp-pllo. ~ ~ C lI u - w ll l _~ + C Ilu-u 110, ~
h
d'après la proposition (5.1.) et (5.5.) on a
Le
problème
(5.9.)
étant approché par les espaces X2
et M2
on a la
h
h
majoration suivante (voir chapitre II)
(5.17.)
Par une demarche analogue,
on propose le deuxième théorème suivant:
Théorème 5.2.
Sous
les hypothèses du théorème
(5.1.) on
a la majoration
suivante
:
Preuve
Elle est également immédiate on a

---

-70-
5.1.4. Commentaires et conclusion
Il
est bien
vrai que si l'on résolvait directement le pro-
blème
non
linéaire
de
Navier-Stokes
avec
les espaces approchés
X~, M~, on obtiendrait un ordre de convergence en 8(h2 ). Ceci serait
fort couteux, l'importance de notre travail réside dans la recherche
de
l'économie de
temps de
calcul et
partant du
coût total de la
résolution.
Nous
allons proposer une comparaison pour montrer que notre
démarche mathématique présente un intérêt pratique certain.
Supposons
une résolu ion des équations de Navier-Stokes sta-
tionnaires
avec un nombre de Reynolds relativement élevé tel que le
calcul
s'arrête au
bout d'un nombre raisonnalbe d'itérations.
Sup-
posons
enfin
pour
simplifier
qu'à
chaque itération on ~~ résolld
qu'un
seul problème
linéaire.
Dans le tableau ci-dessous nous sup-
posons un maillage identique dans les trois cas.

---

-71-
.-
1
1
Iremps de calcul
Temps de calcul
Convergence
lPour une itération
pour m itération
du calcul
résolution du
problème de
Convergence
Navier-Stokes
t
m t
moyenne
avec les espaces
X~ , Ml
.
h
!
Il
résolution du
Il
problème de
très bonne
1
,
Navier-Stokes
t '
m t '
convergence
avec ·les espaces
h
1
~~ , M2
:
h
notre démarche :
résolution du
1
problème de
i
,
Navier-Stokes par
(m-l)t + t'
très bonne !
les
X~
Ml
tH
1
espaces
,
1
+
convergence;
h
,
suivit de la réso
1
lution d'un pro- l
1
J
1
1
:
blème linéaire avec
Mj
1
les
2
1
espaces Xh '
ï
1
1
,
,
:
1

---

-72-
Dans
ce tableau
t" tient
compte du
temps d'exécution des
sous programmes nécessaires au changement d'interpolation et au cal-
cul du nouveau second membre.
On peut raisonnablement considérer que t" est nettement plus
petit
que t
puisque dans ces sous programmes supplémentaires on.ne
crée que des données,
le taux de calcul restant très faible.
Nous
allons fixer les idées avec une estimation raisonnable
des quantités introduites. Ces estimations sont basées sur notre ex-
périence
de calcul
avec le logiciel MODULEF sur CYBER 180-860 avec
le système multics (Re ~ 800 par exemple).
Prenons m = 50
t
= 60 s
t '
= 90 s
t"
= 60 s
Temps de calcul pour
50 itération
Précision du calcul
Calcul fait avec
les espaces ap-
50 mn
moyen
proches X~ , Mlh
Calcul fait avec
les espaces ap-
1 h 16 mn 4 s
très bonne
prochés X~ , M2h
Notre démarche
51 mn 30 s
très bonne
.
On
voit donc
qu'avec la même précision on gagne un temps de calcul
qui est de l'ordre 24 s.
Sur
CYBER 180-860 (ce gain de temps de calcul est très con-
sidérable.
Quand on
sait que pour de très grand nombre de Reynolds
le nombre d'itérations èst très grand on peut mesurer à sa juste va-
leur l'économie de temps de calcul.

---

-73-
5 . 2 .
Superconvergence
due
aux
effets
de
l'intégration
numérique
L'expérience
numérique a
montré que
lorsqu'on utilise les
éléments finis courbes isoparamétriques à un élément linéaire de ré-
férence,
il existe
des points
où la convergence est meilleure par
rapport à celle que prévoit la théorie .•
La
justification mathématique fut apportée par ZLAMAL [29],
il a utilisé des quadrangles. D'autres travaux ont suivi et tout ré-
cemment
Andreev et Lazarov [2] ont obtenu le m@me résultat avec des
triangles.
Tout ceci
rappelons le se situe dans un cadre linéaire.
Nous avons cherché à connaître ce que donnent ces techniques dans le
cadre des équation~ non linéaires de Navier-Stokes.
On rappelle que ces techniques ont été utilisées sur le pro-
blème modèle suivant
2
2:
a
a. . (x)
au ) = f ( x )
ax.
(
I J ·
ax.
.
i,j=l
1
J
Lorsqu'on
utilise des éléments P(2)-Lagrange,
on a la majo-
ration
sui vante
Ilu-u III
h
,!l1
~ C h 2
et avec la technique de supercon-
vergence
on obtient
lIu-uh II
~ C h 3
sera précisée
h
•
La norme Il
II h
...
ultérieurement.
On se place ici en dimension deux.
,.
On considère un élément de référenèe K
,.
K est le triangle "unité".
On
considère une triangulation ~ de n et pour tout k ~ ~ l'appli-
,.
cation suivante de K dans K.
( 5.18.)
xi
= x~ (~l' ~2) ~ P ( 2 )
i
= 1,2

---

-74-
(les éléments sont éventuellement courbes).
On suppose que ~ est deux fois fortement régulier,
i.e.
a)
Pour tout
K,
x~(
est un C2 -diffeomorphisme (en particulier
1
.
.
(5.18.) est inversible)
et J
(t,l'
t,2) > 0,
où J
(t,l' t,2) désigne le
K
K
jacobien de la transformation.
b) Ils existent Cl ' C2 > 0 deux constantes telles que
(5.19. )
IDlXX~ 1 ~ Cl h llX1
1oc. 1 ~ 3
i
= 1,2
avec h
= diam(K)
1
K
K
(5.20.) Cl
h 2 ~ 1J
1 ~ C
K
2 h 2
2
K
K
où Cl ' C
sont indépendantes de h
et de h
2
=
max
h
•
K
K
K t; ~
On suppose de plus que ~ est quasiuniforme, ie.
K
K 2
K
K 2
èx l
èx.
èx I
èx.
r l
i
J
- l
i
J
(5.21. )
- J
~ C h,
i,j,k,.e = 1,2
K l
èt,k
{Jt,(
K 2 èt,k
èt,(
pour tous éléments KI
et K
adjacents.
2
La
question est
de savoir reconnaître qu'une triangulation
vérifie
les propriétés que nous venons de décrire.
Nous donnons des
conditions
suffisantes
considérées
par
ZLAMAL
[29]
et
CIARLET-RAVIART (cf CIARLET [8]) . .
Lemme 5.1.
Pour
tout élément
triangulaire quadratique avec les noeuds
a. (i = 1,2,3) pour les sommets et a ..
(1~i<j~3) pour les milieux, on
1
1 J
associe un élément triangulaire droit K',
avec ses noeuds a~ (i=l,2,3),
a~j (1~i<j~3), ses angles w
et ses côtés h~
i
=1,2,3 tels que
j
?; C >
0
o < W
~ W
~ ~-W
i,
j
= 1,2,3
o
i
0

---

-75-
w
= constante, dist (a:. a .. ) ~ C (h3 )
1~i<j~3
o
1 J
1 J
K
dis t
(a ~ , ai) = 0
(h
= max h~).
K
i
Alors la partition ~ est deux fois fortement-régulière.
La configuration est la suivante
et
~ ------------- ~
1
'a'
~'
qt..
1
I~
Figure 5.1.
Lemme 5.2.
Supposons les conditions du lemme (5.1.) vérifiées avec
(
.)~
2
~
~
dist
ai j ' ai j
""
C h
1""i<j",,3
K
Soient
œ
et ~j' j
= 1,2 les angles opposés du quadrangle formé par
j
Kt
et K
(deux éléments adjacents).
2
Si de plus
lœ -œ 1 ~ C h, l~t-~2 1 ~ C h, alors ~ est quasiuniforme.
t
2
La configuration est la suivante
Figure 5.2.

---

-76-
Remarque 5.1.
Le
premier lemme veut dire géométriquement que les éléments
courbes
ne sont pas trop différents des éléments droits,
en d'autre
terme
ceci veut
dire que l'application (5.18.) ne diffère pas trop
d'une
application affine. Quant au deuxième lemme il veut dire seu-
lement
que la
triangulation est
telle que deux éléments adjacents
ont à peu près les c8tés "parallèles".
Nous allons définir les espaces Xhet M .
h
Une fonction v h € Wh est définie par
où t.
= t.~ (Xl' X
i
2 ) i
= 1, 2 est l'inverse de l'application (5.18.)
avec v h € P(2).
Wh
= {vh € e,°(n) telle que vh(XI'X ) = ;h[t.~(XI,X2)' t.~(xI' X )]
Z
2
"-
restreint à
K appartient à P(2)
V K €
~}
(5.22. )
W h
X
W h
°
.0
( 5 .23.) M
=
€
P(O)
h
Il
est clair'
que si les éléments étaient tous linéaires on retrou-
veraient l'élément de Fortin.
(5.24.)
Désignons par
~K(~) la
formule de
~uadrature pour évaluer
l'intégrale suivante fK ~ dx.
On fait l'hypothèse suivante

---

-77-
(3.25.)
La formule
de quadrature est à coefficients positifs et est
exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à trois,
P(3).
Remarque : Pour avoir une superconvergence dans notre cas présent il
faut
que la formule de quadrature soit au moins exacte pour les po-
lynomes
de degré
trois.
Ce choix est également nécessaire pour dé-
montre~ l'équivalence de norme du lemme (3.5.).
Exemples
Nous donnons les exemples suivants sur le triangle de référence.
Figure 3.3.
{3 [~(O,O) + ~(l,O)+~(O,l] + 8 [~(1/2,O)
+ ~ (1/2, 1/2) + ~(O, 1/2)] + 27 ~(1/3, 1/3) }
Autre exempl~
avec
A ,2
= (9 +.[6) / 72
1

---

-78-
1
(4 + {6)
g l , 2
= 10
Rappelons
les formulations mixtes "vitesse-pression" du problème de
Navier-Stokes.
f ~ (L2 (n»)2, g = Ô.
trouver
-
(u,p)
~ (Hl (n»2 x L2 (n)
.
o ·
0
-+
-+
-+
-+
-+
-+
- + - +
V -
(Q)
"Ual,u,v)
+ Cl (u ; u,v) + b(v,p) = (f, v)
-
v ~
(H I (n»2
o
b(u,q)
= 0
V q ~ L2 (n)
o ·
.
trouver
-
(U h ' Ph) ~ Xh X Mh
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
V -
(Qh)
"Ua (u
v
~ X
h '
V h)
+ Cl
(uh ' u h ' V h) + b (vh ,Ph) = ( f ,vh )
h
h
b ( -
u
,qh)
= 0
h
V ~h
~ Mh
Nous
allons utiliser la formule de quadrature
(5.24.),
(5.25. ) pour
évaluer chaque terme de
(Qh ) .
- - ) = 2: I
.
K
ax.
ax .
K ~ ~
(i~=l aUhi auh,)
ah (uh ' v h
j
J
2
A
•
aUh i
a;hi)
=
2:
In
K
(J 2:
.
-
K
ax.
aX j
K ~ ~
i,j=l
J
2
A
A
- -
aU
aU
) =
2:
n
A
L K
J
(Qr )
2:
hi
A
hi
A
ah (Ùh ' v h
(Qr )
K
( Qr
r
r
ax.
ax.
K ~ ~
i,j=l
J
J
A
A
Où les Qr
sont les points d'intégration,
les Ar
les poids sur l'élé-
ment de référence.
On définit de la même manière.

---

-79-
C
V
) =
I
.
th
( -
U h
-Uh' -h
2:
K
èx.
K €
~
(i~=l èUhi
U h j
Vhi )
J
'b
-
(vh '
qh ) =
L
I
( qh
div v
) . . .
h
K
h
K €
~
2
- 2: 2:
n
.....
.....
.....
.....
( f,
v h )h =
L
A
J
(Q2 )
f.
(Q2 )
v h i
( Qr ) .
r
r
r
1
i=l K €
~
On introduit la semi-norme auxilliaire suivante
Il
2
2
( 3 • 2 6 .)
Il ; h 11
=
2:
2:
h
i,j=l K €
~
qui est l'analogue discrète de la semi-norme suivante
I
l -
-v
12
i
2
= Q Iv v 1 dx
h
h
1 ,~
n
On notera par il v l'interpolé de v dans X
ie il v
avec il
v = v
h
€
Xh
aux noeuds de tout élément K €
~.
On s'intéresse aux problèmes suivants
trouver
-
(u~, p~) €
X
M
h X
-..
-..
-..
-..
-..
-..
h
=
-
(Q* )
ah (u~ ,vh) + Cl h ( u
(f,vh)h
h
h
u h ,vh) + bh ( v h ,p~ )
( qh'
di v -
u~) = 0
V qh
et
(P~)

---

-80-
....*
trouver u
e;
V
h
h
(P* )
h
{ah (;;~ , ....
....
....
....
....
....
....
V
+ Cl h (u~
*
,
v
) = ( f , v )
n
u
v
h '
h
'ri
€
V
n
h
h
V
étant défini comme dans les chapitres précédents. On pouvait défi-
h
.nir V
de la manière suivante
:
h
....
....
V h
= {Vh € Xh , 'ri qh € Mh , b (vh' qh) = °}
h
Cependant
nous supposons
qu'avec le choix de la formule d'intégra-
....
tion (qh'
div v h ) est intégré exactement.
Dans
la suite
le lemme
de BRAMBLE-HILBERT avec ses corol-
laires vont jouer un rôle essentiel.
Lemme 5.3.
Soit
une fonctionnelle
linéaire L
bornée sur Hk+l(Q),
ie.
telle que L(~) = 0,
'ri ~ €
P(k),
alors i l existe une constante
C = c(Q, k) indépendante de ~ telle que
. 1L (~) 1 ~ CM 1~ 1k + 1 , Së!
'ri ~ €
Hk + 1 (Q)
Corollaire 5.1 .
.....
Si v €
sur interpolé P(2}
Lagrange on a alors
f1~11 ..... ~ C
j,K
Pour
ce corollaire
il suffit
de prendre
L(~) = (~
f1~, w)
où
j , K

---

-81-
désigne le produit scalaire dans Hj (K). On
j,K
obtient le résultat en appliquant le lemme (5.1.) avec w = ~ - n~.
Corollaire 5.2.
Soit E(f) la fonctionnelle d'erreur de quadrature
où IK(f) vérifiant (5.8.)
alors on a
:
Lemme 5.4.
Soit v ~ Hi(Q) alors
~ C h i - 1 IIvlli,K
, ; ,
A
i , K
Nous
allons énoncer un dernier lemme de la série,
bien connu d'ail-
leurs.
On pourra
voir la
démonstration dans
CIARLET [8]
où dans
ZLAMAL [29].
Lemme 5.5.
..
Supposons
un
choix
de
formule
d'intégration
telle
que
(3.24.),
(3.25.). Alors (a (v,v»1/2
est une norme sur X , équivalente
h - -
h
à la norme
-'vll,Q' ie il existe C > 0 telle que
1
-
-
-
-
2
C- 1v 12I,Q ~~ ah ( v,
) ~
v..., C I
v ' I,Q
en d'autre terme (5.9.) est une norme.
Rappelons
que C
, )
1h (
vérifie les
mêmes propriétés que
, , ) ou C( ; , )
ie

---

-82-
(5.27.)
C
(UjV,w)
u
v, W
lh
--- = ---
Ch(UjV,w)
\\1
-E: V \\1 - -E: (Hl (n»2
0
(5.28.)
C
(u
j
V ) \\1 U
lh
-h -Vh -,wh) = - Clh -
(Uh j-
Wh ' -h
-h'-V..'-Wh E: Xh
(5.29. )
Cl h -
(U
V
h j - -
Vh'V
-
h ) = 0
\\1 Uh ' -h E: Xh
Si on pose
1C1 h -
(U
- -
h ,Vh ,Wh) 1
~* =
SUp
h
- - -
lI -
u
- w
h II h IIv h II h II -
h II h
IIfll~ = SUp
-V E: V
h
h
alors on a l'existence et l'unicité de ~Q~) dès que
~*h
(5.30.)
IIfll~ < 1
y2
-vh =-
ceci entrai ne en prenant
u h dans (p* )
h
-
1
(5.31.)
lIu~'lIh ~
IIfll~
y
Nous
supposons, dans
toute la suite, vérifier la condition
suivante
qui assure
l'existence et
l'unicité de
la solution, des
problèmes (Q~) et (p~).
~*h
o
(5.32.)
=l:
*
Ilfli
~ 1 -
o > 0
h
2
h étant choisi suffisamment petit pour que (5.32.)
soit vérifiée.
Afin
de rendre
l'exposé plus
clair, nous
allons faire un
calcul
préliminaire. Notre but est de démontrer l'inégalité suivante

---

-83-
-+
lIu* -nu Il
~ C h3 où C ne dépend pas de h
h
h
-+
Nous supposons que la solution u
de
(Q) ou de (P) appartient
u e:
Faisons
la soustraction
membre à
membre de
(Q~) et (Q) on a pour
-+
tout v
e:
X •
h
h
~
~
~
-e-
-e-
-+
-+
V
ah (u~, Vh ) -
va ( u , • Vh)
+ Cl h (u~ ;
(u;
u,
-e-
-e-
- e - - e -
=
(f,
Vh)h
-
(f,
V
)
h
désignons par
............
-+
......
=
(f,
Vh)h
-
(f,
Vh
on a donc
-+
-+
......
......
~ :-
...... ...... ......
......
......
V
ah (u~ ,Vh) + Cl h
(u~ ; u~ ,Vh) - C (u; u , Vh) + b h ( Vh ,P~) - b ( Vh ,P) =
-+
-+
-+
= Sh ( Vh)
+ v
a ( u,
Vh )
-+
on note B
(p~,
h
p,
V h)
=
-+
-+
(p~, div vh)h - (p, div v h
On a
encore
......
......
......
-..
....
. . . . . . . . . . . .
....
(5.33.)
v
ah(u~-u, v h ) + Clh(u~;u~,vh)·= Sh(vh )"+ Bh(P~,P,vh)+
...... ......
...... ......
-.. ........
+ v a ( u , Vh ) - v a (u, Vh) + Cl (u; u , Vh )
h
Posons
-+
-+
-+
-+
-+
-+
Rh (u, V h )
= va(u,v
-
v
h
ah (u, Vh )
(5.33.) devient

---

-84-
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
( 5 • 3 4 .) y
ah (u~ - u, Vh )
C
(
*
*
)
+
1 h Uh ; Uh ,Vh
= Sh ( Vh) + Bh (p~ ,p, Vh) +
...
... ......
~
+ Rh ( U, Vh)
+ C1 (U;
U,
Vh )
-+
-+
Nous
allons introduire l'interpolé de u dans X , nu dans (5.34.) de
h
la manière suivante :
-+
-+-+
-+
-+
-+
-+
-+-+
( 5 • 3 5 .)
y
ah (u~ -n u , vh )
( *
*
+ Cl h u h ; uh ,vh
-
C1h (nu; nu,vh) =
...
...... ...
...... ...
... ......
= Sh (Vh )+Bh (p~ 'P'Vh )+Rh (u'Vh )+C1 (u;u'Vh )-C1h (nu;nu,vh )
-+
-+-+
-
y
ah (u-n u, u h )
-+
-+
-+
posons
-
= u~ - nu
-+
-+
V
étant choisi quelconque dans
, prenons cette fois v
= wh' Dé-
h
X h
h
signons par
..
...
-+*
= Y ah ( wh ' wh) + Cl h (uh ;
-+
-+
(N ) n'est autre que le premier membre de (5.18.) avec v
= wh)'
h
h
Lemme 5.6.
YO
On a
N
=?;
h
2
Preuve
On a
:
-+
-+
-+
- + - +
-+
N
=
h
y
ah(wh ,wh) + C1h
wh)
- c1h(nu; nu, Wn
d'après (5.28.) et (5.29.) on a
-+
-+
-+
= y ah (Wh' Wh) + Cl h ( Wh '
et donc

---

-85-
d'après (5.31.) on a
Il f
-
::; II~ Ilw II~
h
finalement d'après (5.32.) on a
YO
N
~
h
2
Si
on revient
à l'autre membre de l'égalité (5.35.) on peut égale-
ment écrire N
de la manière suivante
k
~
~
~ ~
~
~ ~
N
=
h
Sh(wh ) + Bh(P~, p, Wh) + Rh(u, Wh) + y ah(ilu - u, Wh) +
~~~
~
~~
~~~
~~~
+ {C
(UjU,W
lh
h )-C 1h (nUjnU,wh )) + {Cl (UjU,Wh )-C lh (UjU,wh ))
Remarque 5.2.
Nous
allons essayer
de majorer
chaque terme de Nh . Ce qui
est
à remarquer
est qu'on retrouve des résultats déjà obtenus
par
Andreev et Lazarov [2]. Comme eux,
nous allons supposer que le terme
source Sh(wh ) = 0, c'est à dire que -
f est choisie de telle sorte que
(f, wh)
soit intégré
exactement. Cependant on peut trouver une dé-
monstration dans Zlamal [29] de la majoration suivante
Lemme 5.7.
Les résultats suivants sont vérifiés
-
(u ~ (H4 (Q))2)
(5.36.)

---

-86-
(5.37. )
Ou
C est
une constante
générique qui
ne dépend pas de h (on peut
voir la démonstration dans [2]).
Lemme 5.8.
On a la majoration suivante
Preuve
On a
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
-+
- + - +
C
---
(u;u,w )
1h
h
C1h(nu;nu,wh ) = C1h(u - nu;u,wh ) + clh~nu;u-nu,wh)
donc
d'autre part on a
d'après le lemme 5.5. on a
+ C -
lIu-n -
u II~
II -
w II
h h
d'où finalement on a

---

-87-
Lemme 5.9.
La majoration suivante a lieu
-+~~
~ ~ ~
ICI (U;U,Wh ) - Clh (U;U,Wh ) 1 ~ C h3
Preuve
On remarque que
~ ~ ~
~ ~
~
Cl (U,U,W ) = C (u;u,w
h
h ) puisque u
€
V.
".
Nous allons noter
les composantes
-
indicées par h).
D'après les propriétés d'antisymétrie de Cl
et Clh on a
~~
~-+...........-+
.......
C
(u;u,w
) = C
(u;w ,u)
lh
h
lh (u;wh ,u)-C I
h
2
'2:
u. U.
èW')
_ _
J
.
=
2:
EK
1.
J
èx
i,j=l
(
K €
t
i
j
où E ( -
)
est la fonctionnelle d'erreur de quadrature.
K
On a toujours
2
C
2:
2:
lh - - -
(u;u,w
)
=
h
i,j=l K €
~
Nous
allons estimer
le cas i
= 1 et j
= 2 tous les autres cas s'en
déduisent
:
Considérons
On a

---

-88-
- - +
le calcul donne
donc
....
2
èW )
= E....
- E....
(~~: ~l
èW
K
K
•
1
Nous allons estimer le premier terme,
l'autre en découle.
Posons
et g =
est un polynome de degré un en (~l' ~2) d'autre paFt on a
è~l
3,K
....
....
2
Si
0'
e: P(2)
alors E (~ èW ) = 0
puisqu'on a supposé 1 .... (
) exacte
;
è~l
K
pour les polynomes de degré trois -P(3).
D'après le lemme de BRAMBLE-HILBERT

---

-89-
~ c I~I
1~21
3 , K
l,K
A
On va donc évaluer
I~I
3 , K
On a
:
d'après la formule de Leibniz et de l'inégalité de Halder on a
•
A
3
2
dl~
A
A
I~I
~ c
L
L
1 g 1
.A
3 , K
i=O j=l
dt,,~
3 - i , K
co A
J
L
( K )
d'autre part on a
=
dt"i
co A
co A
j
L
(K)
L
(K)
d'après (5.19.).
Donc :
..
3
A
A
I~I
~ C
L
hi + 1
A
1 g 1
3 , K
i=O
3 - i , K
en développant on obtient
A
A
1~I
~
+
+
A
C {h 1 g 1
h 4
A
1 g 1
A
3 , K
3 , K
1 , K
d'après le lemme (5.4.) on a
:
Il reste donc à évaluer IgI
,K'
3
En
utilisant de
nouveau la
formule de
Leibniz et
l'inégalité de

---

-90-
Holder on a
3
1u l U z 13 ,K ~ C i~O
1u i 1 i , ~ • K
1U z '3 _ i ,4 ,K
d'après le théorème d'inclusion de Sobolev on a Hl (il) ~ L4 (il) donc
La
démarche restant pareille pour les autres valeurs de i,
j
= 1,2,
ceci nous donne finalement le résultat
~
~
~
~
~
ICI (Ut;U,w ) ..., C
(u;u,w
-
z
-
h
lh
h ) 1 ~ C h 3
Ilu 11 4 , Q 1Wh Il . Q
Remarque 5.4.
Après
ces résultats
on pouvait espérer une amélioration de
l'ordre
de convergence
qui est
O(h) dans
le cas
classique. Mais
encore
une fois
il y a un terme qui ne peut pas être de l'ordre de
O(h3 )même pas 01h2 ). En effet on a :
Bh(P~, p, -
wh)
= (p~, div -
wh)h
-
(p,
div -
wh)
par
construction de il -(opérateur d'interpolation) -
wh
~ V
(voir par
h
exemple hypothèse Hl
chapitre 2).
puisque -
wh
~ V , on a
:
h
(p,
div -
wh)
= (p - PhP, div -
wh)
où Ph désigne la projection orthogonale de L~(il) sur Mh
donc :I(p, div -
wh)1 ~ C IIp-PhP11o,Q
-Iwhll,Q
Tout ce qu'on peut espérer ici est une majoration suivante
1 (p ,
div -
wh) 1 ~ Chi -
wh Il , Q

---

-91-
Nous
ne
pouvons
espérer
une
superconvergence
que
si le
terme
Bh(P~,P,wh)=O.On peut se débarrasser de ce terme que lorsque V C V.
h
Nous allons faire l'hypothèse suivante:
(5.38.) soit on suppose qu'il existe h
tel que
o
ou bien on définit Vh de la manière suivante
(5.39. )
Dans le cas (5.38.) on peut bien envisager une telle hypothèse puis-
que
V
est une approximation de V.
Il est difficile de proposer des
h
cas
simples,
la
principale difficulté est de trouver le seuil h
à
o
partir
duquel on
peut admettre cette hypothèse.
Par contre dans le
cas
(5.39.) la
principale difficulté est d'arriver à contruire une
base de V
ainsi définie (voir Fortin). Mais cet espace existe mathé-
h
Dans certains
cas il
est réduit à
-
mat.fquement.
{O}, mais il n'est
pas toujours réduit à
-
{O} (voir toujours Fortin [12 ]) comme dans le
cas
présent. Au
chapitre précédent,
nous avons proposé une méthode
de contruction de base à divergence nulle pour des éléments non con-
formes,
CARDOT et
HECHT proposent une autre technique de construc-
tion
de cette
base dans
le cas conforme (voir brochure de l'INRIA
37) •
Nous allons adopter le même schéma comme dans [2] en définis-
sant la semi-norme Il
II~ sui vante dans laquelle on exprimera les ré-
sultats de super convergence.
Si on désigne par gl
et g2
les points de Gauss du second' ordre dans
[0.1], S, = ~. (1 ~). S2 = ~ (1 + ~)
on note
1 f 2
-IIVII~ = ("'"'~ IIVII*2n
, où
h,K
K ~ ~
)

---

-92-
{meS (KI 2
Ilv.lI* n =
L
k=l r;'f (gk' 0) +
<1t
<1t
1
r;']' (0, gk) +
l
h. K
4
2
1/2
(~;r
~
.e =
(1,-1)
+
(g.,
g'-k) }
2
1\\
o-s
...
"'----lol----,,':-"----,~--~~
Qi
a,,,,
...."
Figure 5.4.
Lemme 5.10.
(voir [2]).
Lemme 5.11.
La majoration suivante a lieu

---

-93-
- -
lIu-null* ~ C h 3
lI -
u ll
n
h
4 •
(voir également [2] pour la preuve).
Nous sommes maintenant à mesure d'énoncer le théorème suivant.
Théorème 5.3.
Supposons
la solution
-udu problème de Navier-Stokes assez
-
régulière
ie
u
e:
Supposons
vérifier
les hypothèses
(5.21.)
ou (5.22.).
Supposons que bh est deux fois fortement régu-
lière
et
quasi-uniforme
que
la
formule de quadrature vérifie
(5.8.).
Alors on a la majoration suivante
Preuve
D'après
le lemme
(5.11.),
~e lemme (5.8.) donne la majoration sui-
vante
:
d'après les lemmes (5.6.),
(5.7.),
(5.8.),
(5.9.)
on a
II -u* - n~11
~ C h3 11~114 ...... + C h3 11~1124 ......
h
h
..
"
On" a donc
--
lIu-u~ II~
-
-
*
+ Ilnu-u~ II h
~-+
- + - +
~ Ilu-null~ + C lIu~ -nullh
(d'après le lemme (5.10.)
Conclusion :
Cette
analyse fait
apparaître également,
dans le
cas des

---

-94-
équations
non linéaires
de Navier-Stokes,
une superconvergence du
gradient
de la
vitesse,
évalué
aux points de Gauss situés sur les
côtés des triangles dans la direction indiquée sur la figure 5.4. On
constate
une fois encore le caractère rebelle de la condition d'in-
compressibilité
du fluide.
Signalons que dans tous les cas on peut
toujours
construire une base à divergence nulle lorsque l'espace Vh
n'est pas réduit à
-
{O},
(voir Fortier [13]).
Actuellement
grâce à
THOMASSET [28] et
HECHT [20] la technique de
construction
de base
à divergence
nulle connaît un essort réel et
rend utilisable notre hypothèse de travail.

---

-95-
VI - RESULTATS NUMERIQUES
Nous
présentons dans cette partie un exemple numérique pour
illustrer
la
théorie
sur
la
résolution des équations de NAVIER-
STOKES par la méthode des éléments finis mixtes.
Nous
nous sommes intéressés à
la résolution
des équations
stationnaires
de NAVIER-STOKES,
toutefois
la plus part des progra-
mes
·de calcul
peuvent aussi
bien résoudre
les équations station-
naires
et évolutives,
à l'aide d'un choix judicieux des paramètres
des
différents algorithmes
de calcul.
En général la solution sta-
tionnaire
est obtenue à partir de la solution évolutive par une in-
tégration
discrète en temps, ou bien,
en faisant tendre la variable
temps vers l'infini (t ~ 00).
"
Le problème à résoudre est le suivant
.....
.....
.....
.....
(6.1. )
-v,6u + (u.~) .u + ~P = f
dans il
.....
div u = 0
.....
.....
u = g sur f'
avec If' g. ; d~ = 0
Les algorithmes de calculs ont été exposés au chapitre 4. On
a
également utilisé
la méthode
des directions
alternées pour une
grande
partie de
nos calculs
(voir GLOWINSKI
[17] et brochure de
l'INRIA n° 107).
EXEMPLE NUMERIQUE
CAVITE CARREE AVEC PAROI GLISSANTE
L'exemple
choisi est
le calcul
numérique des équations de
Navier
Stokes
stationnaire
dans
une
cavité
carré.
Il s'agit de
l'écoulement
plan d'un fluide incompressible newtonien dans une ca-
vité
carrée, comportant
trois parois
rigides et
une frontière en
mouvement (cf figure [6.1.]).

---

-96-
D !'-"---------_... C
o
A
Figure 6.1.
Cavité carrée avec paroi glissante.
-+
On
résoud l'équation
(6.1.) ave~
le terme source nulle (f = 0) et
les conditions aux limites suivantes:
sur les
bornes supérieures (y = 1) on a une condition de
glissement
: u
= 1, u = 0 y compris aux points C et D (cf figure
1
2
[6.1]). On notera cette frontière r
et son complémentaire r
.
1
0
-+
-+
Sur r
on a une condition d'adhérence u = o.
o
Le
calcul a
été fait sur multics à l'aide du logiciel MODULEF pour
les grandes étapes.
Deux
types de
maillage
ont
été choisia. L'un de type "ordinaire"
adapté
aux calculs
basés sur la formulation "vitesse-pression" et
l'autre
avec un traitement spécial dans les coins mieux adapté à la
décomposition
de GLOWINSKI-PIRONNEAU. Bien que pour les petits nom-
bres
de Reynolds
les deux maillages donnent pratiquement les mêmes
résultats,
il faut dire cependant que le maillage A (figure [6.2.])
ne
vérifie pas
une des hypothèses de l'inégalité fondamentale dans
GLOWINSKI-PIRONNEAU [18]. Cette hypohtèse voudrait qu'aucun triangle
n'est plus d'une arête commune avec la frontière ~Q du domaine Q.
Pour le tracé des lignes de courant on résoud le problème
-+
suivant connaissant la vitesse u

---

-97-
•
Fig. 6.2.B
Maillage régulier (9 x 9) avec traitement spécial dans
les coins.
Fig. 6.2.~
Maillage régulier (9 x 9) ordinaire.

---

-98-
....
-Cl.~ = rot u
è~
....
6.2.
-
= v.L
.Q
.... r
èn
l
~ r
= 0
0
c'est
un problème au Laplacien simple a résoudre.
Cependant il faut
~
-..
~
~
écrire le programme pour obtenir:
f
= rot u et g = V.T.
ANALYSE DES RESULTATS
Nous avons utilisé des maillages (5 x5) x (9 x 9),
(11 x 11)
pour les différents calculs. Nous n'avons pas pu raffiner d'avantage
nos maillage à cause du coût de calcul extrémement élevé.
Les figures [6.3.] représentent le champ des vitesses et les
figures
[6.4.] représentent
les lignes
de courant
en fonction du
nombre de Reynolds.
On ne note pas une très grande différence dans la présenta-
tion
générale des différentes figures.
Cependant il est intéressant
de
noter l'évolution
du centre du tourbillon en fonction du nombre
de Reynolds'.
Quand le nombre de -Reynolds est petit le tourbillon est cen-
1
tré
autour de l'axe de symétrie (x = -) . Ce résultat est dû au fait
2
que lorsque Re est petit, on a pratiquement un écoulement de Stokes.
La
fonction de
courant est alors une fonction biharmonique dans la
cavité,
il y a bien compatibilité avec l'équation biharmonique et la
condition aux limites que vérifie la fonction de courant.
_Cl.2~ = 0
6.3.
~/L = 0
è~
-
= 1
èY
(le terme non linéaire a été bien entendu négligé).
Quand
Re èroît le terme convectif prend de l'importance et perturbe
la
symétrie.
Le
centre du
tourbillon évolue
dans la direction du
mouvement.

---

-99-
Fig. 6.3.A
Champ des vitesses (Re = 1).
Fig. 6.3.B
Champ des vitesses (Re = 10).

---

-100-
Fig. 6.3.C
Champ des vitesses (Re = 100).
~
~
--
- - - - - ----+~~"-.
,
'"
\\
l
l
j
1 j
1
1
1
,/
/
1
,
, /
/
1
...
,
" 1
...
, /
,/
"
Fig. 6.3.0
Champ des vitesses (Re = 400)

---

-101-
,
,
,
,
/
/
/
/
-- '"
/'
/
\\
,.
/
l
\\
J
1
1
j
J
Fig. 6.3.E
Champs des vitesses (Re; 1000).

---

-102-
Figu. 6.4.A
Lignes de courant
Re =
maillage 5 x 5.
Fig. 6.4.B : Lignes de courant; Re = 100 ; maillage 7 x 7
49 points; 169 noeuds; extrema des valeurs: -0.57.10- 1 à +0.25 10- 1.

---

-103-
t,
Fig. 6.4.C : Lignes de courant
Rè = 400 ; maillage (9 x 9) ;
289 noeuds; 128 éléments
-1 ,
-1
extrema: -0,37.10
a 0.44.10
.
Fig. 6.4.0 : Lignes de courant; Re = 1000 ; maillage (9 x 9)
-1
1
81 points, 289 noeuds; 128 éléments; extrema: -0.39.10
à 0.29.10- .

---

-104-
Fig_ (6.4)
zone de recirculation.

---

-105-
(A)
(B)
Figure 6.5
Ces deux schémas représentent les lignes de courant avec Re = 100, le schéma (A)
est obtenu avec un élément de type Fortin tandis que (B) est obtenu avec un
élément de type Hood-Taylor avec des quadrangles. Sur (B), les contours sont plus
nets et le déplacement du centre est plus visible.

---

-106-
Remarque 6.1.
Quand Re tend vers l'infini
(ou plus simplement devient très
grand)
le terme d'inertie devient dominant et le centre du tourbil-
lon
doit évoluer vers le centre de la cavité. Dans notre résultat à
Re
= 1000,
cette condition
n'est pas bien vérifiée.
Nous l'expli-
quons
par le
fait que
notre maillage
n'est pas très fin et qu'en
plus
nous n'avons
pas pu atteindre la convergence.
Nous avons fixé
un nombre maximum d'itérations à ne pas dépasser.pour des raisons de
coût.
Quand
on regarde les figures [6.4.],
il apparaît dans les coins bas
une
recirculation de
forme "triangulaire". Cette recirculation est
présente pour tout valeur de Re
(on se rend compte en désignant plu-
sieurs Jsovaleurs et devient importante lorsque Re croît.
fig.
6.6.
représentation de la ·zone de recirculation
On pourra compléter la remarque [6.1.] en disant que l'impor-
tance
de la
recirculation donc du tourbillon de dessous empêche le
centre
du tourbillon
principal à venir coincider avec le centre de
la cav~té pour Re très grand,
(voir figure [6.6.].
Les
figures [6.7.] représentent les isobares en fonction du
nombre
de Reynolds.
Quand Re
est petit on observe une répartition
presque
symétrique des
isobares.
En outre,
les contours des isova-

---

-107-
Fig. 6.7.A
Isobares (Re = 1).
Fig. 6.7.8
Isobares (Re = 100).

---

-108-
Fig. 6.7.C
Isobares (Re = 200).
1
.
1
Fig. 6.7.0
Isobares (Re = 400).

---

-109-
Fig. 6.7.E
Isobares (Re = 1000).

---

-110-
leurs ne sont pas fermés.
Ceci est justifie
par le fait que lorsque
le
fluide est
très visqueux (écoulement de Stokes) la pression est
une
fonction harmonique
dans la
cavité,
les contours ne sont donc
pas fermés et se terminent aux frontières de la cavité. Quand Re de-
vient
grand
cette
condition
disparaît
certains
contours
se
referment.
Il
faut également
noter la
présence d'une oscillation aux
sommets
supérieurs de la cavité. Cette oscillation devient très im-
portante
lorsque Re
augmente et
est beaucoup marquée dans le coin
supérieur droit. Ce phénomène tient son
explication à la singulari-
té
existant dans
le champ des vitesses à ces deux points.
En géné-
raI,
un raffinement
local du
maillage autour de ces points ~ermet
d'atténuer les effets de cette singularité.
Afin
de mieux
saisir l'évolution du tourbillon en fonction
du
nombre de
Reynolds,
nous avons fait des coupes le long des deux
1
1
axes principaux : x = - et y = -.
2
2
Les figures [6.8.] représentent le profil de la vitesse hori-
1
1
zontale
y ~ u (- , y) le
long de l'axe X -
-
. -
et le profil de la
1
2
2
1
1
vitesse verticale x ~ u (x , - )
le long de l'axe y =
2
2
2
Le profil horizontal évolue d'une forme bien arrondie vers une forme
plate.
On peut
également constater que les particules fluides sont
accélérées
lorsqu'elles passent
en dessous
du tourbillon pour les
grands nombres du Reynolds.
Dans
les figures [6.9.],
nous faisons quelques comparaisons
avec des résultats précédents.

---

-111-
~r---------'r-------~:.oIl
..f
o'-:------+--+-:"''------~
,•
,.L-------~l--------.......
. ,
·'1 .... .,.
• ~
-1 ~t .,' ~- ......
':'t'"
U
...
"l
Fig. 6.8.A : Profil·- du vecteur
Fig. 6.8.B : Profil ~ vertical et hori-
vitesse (vitesse-horizontale), Re = 1.
zontal du vecteur vitesse Re = 1.
f'•
..:.r---------.:jL------~ ...
...
...
-1
.
",4
-., .-
.,
~
~
• 1.
-1
0
1-
Fig. 6.8.C
Profi 1 horizontal du
--F ig. 5.8.0
Profi 1 hori zonta 1 et
vecteur vitesse, Re = 100.
vertical du vecteur vitesse, Re = 100.

---

-112 -
o
Fig. 6.8.E : Profil- de la vitesse horizontale, Re = 400
- - maillage 9 x 9
.... mai 11 age 7 x 7
Fig.6.8.F
Profil, de la vitesse horizontale, Re = 1000 (ma llage 9 x 9).

---

-113-
"
...... .,."
.. .. .,
Fig.6.9.A
Profil: horizontal du vecteur vitesse, Re ::
notre étude (maillage ~ x 9)
x x x THOMASSET - CAUSSIGNAC (1983), maillage 13 x 13 .
•
•
•••••,•,\\•\\••
4
Fig. 6.9.B : Profile. horizontal duCvecteur vitesse, Re :: 400
notre étude maillage (9 x 9)
x x x M. BERCOVIER - M. ENGELMAN (1979)
Maillage 13 x 13.

---

-114-
Fig. 6.9 (C) : Profil· de la vitesse horizontale.
notre étude maillage (9 x 9)
x x x
FORTIN - PEYRET - lEMAN (1971)
h = 1/40
FORTIN - THOMASSET (1979)
h = 1/12.

---

-115 -
REFERENCES
[1] R.A. ADAMS
"Sobolev-spaces", Academie Press, New York,
1975.
[2] A.B. ANDREN,
RAICO,
D.
LAZOROV
"Superconvergence
of he
gradient for quadratic triangular fi-
nite
elements",
Numerical
methods· for partial differential equa-
tions, n° 4,
1988, pp 15-32.
[3] M.
BERCOVIER
"Pertubation of mired variational problems. Application to mixed
finite element methods".
Rairo,
vol 13,n° 3, pp 211-236.
[4] M.
BERCOVIER, M. ENGELMAN
"A
finite element
for nnmerical soluion of viscous incompres-
sible flows",
J. Comp.
Phys.
30,
1979, pp 181-201.
[5] H.
BREZIS
"Analyse fonctionnell~''', Mas~on, 1983.
[6] F.
BREZZI
"On the existance, uniqueness and approximation of saddle point
problems arising from Lagrangian multipliers",
Rairo,
8, R2,
1974.
[7] O.R.
BURGGRAF
"Analytical
and numerical
studies of
the structure of steady
separated
flows",
Journal
of Fluid Mech.
(1966),
vol 24,
par 1, pp
113-151.
[8] P.G. CIARLET
"The
finite
element
method
for
elliptic
probfems",
North-
Holland,
1978.
[9] M. CROUZEIX, P.A. RAVIART
"Conforming
and non conforming finite element methods for sol-
ving the stationary Stokes equations", Rairo,
7-R3,
1973, pp 33-76.
[10] J. COUOT
"Décomposition des champs de vecteurs. Application à la mécani-
que
des fluides
de la
méthode des éléments finis",
Journées "élé-
ments finis" de Rennes,
pp 1-19 (1975).
[11] R. DAUTRAY, S.L.
LIONS
"Analyse
mathematique et calcul numérique pour les sciences et

---

-116-
les techniques",
CEA, Masson,
1985, vol 1,
2,
3.
[12] DUVAUT,
J.L.
LIONS
"Les inéquations en mécanique et physique",
Dunod,
Paris,
1971.
[13] M.
FORTIN
"Calcul numérique des écoulements des fluides de Bingham et des
fluides
newtoniens incompressibles
par la méthode des éléments fi-
nis", Thèse de doctorat d'Etat,
Paris VI.
[14] M.
FORTIN,
F. THOMASSET
"Mixed
finite.
Elements
methods for
incompressible flow pro-
blems",
J.
Comp.
Phys.,
3,
pp 113-145,
1979.
[15] P. GERMAIN
"Mécanique des milieux continus".
[16] GIRAULT, P.A.
RAVIART
"Finite
élément approximation oft he Navier-Stokes equatiop.s",
Lecture notes in mathematics,
Springer-Verlag,
n°
749,
1979.
[17] R.
GLOWINSKI
"Numrerical
methods for
non linear
variational methods,
New-
York,
Springer-Verlag,
1984.
[18] R.
GLOWINSKI, O. PIRONNEAU
"On a mixed finite element approximation of the Stokes problème
(1).
Convergence of
theapproximate solution",
Numerische mathema-
tite,
33,
397-424,
1979.
[19] R.
GLOWINSKI, J.F. PERIAUX
"Numérical
methods for
non linear problem in.fluid dynamics",
Lecture
notes in
mathematics, vol
1127, Springer-Berlin,
1985, .pp
1-114.
[20] HECHT F.
"Construction
d'une base
à divergence'
nulle dans ~ avec des
éléments Pl-non conforme",
Rairo,
vol 15,
n° 2,
1981, pp 119-150.
[21] T.J. HUGHES, W.K.
LIU, A.
BROOKS
"Finite element analysis of incompressible viscous flows by pe-
nalty function formulation",
J.
Comp.
Physics,
30,
1979, pp 1-60.
[22] P.
JAMET, P.A.
RAVIART
"Numerical
solution of
the stationary Navier-Stokes equations
by
finite
element
methods" ,
Lecture
notes in, Computer Science,
Springer-Verlag,
10,
1973, pp 193-223.
[23] P.
LESAINT, M.
ZLAMAL

---

-117-
"Superconvergence of the gradient of finite element solutions",
Rairo, vol 13, n°
2,
1979, pp 139-166.
[24] LIN QUN
"Interative
refinement of finite element approximation for el-
liptic problems", Rairo, vol 16, n° 1, 1982, P
[25] J.L.
LIONS, E. MAGENES
"Problèmes
aux
limites
non
homogènes,
Dunod
Paris,
1968.
[26] R. TEMAN
"Navier-Stokes equations", North-Rolland,
[27] J.M. THOMAS
"Sur l'analyse num~rique des m~thodes d'~l~ments finis hybrides
et mixtes",
thèse, Paris,
1977.
[28] F. THOMAS SET
Proceeding lecture von Karman inst.
Bruxelles, 1977.
[29] M. ZLAMAL
"Superconvergence and reduced integration in the finite element
method",
Mathematics
of
computation,
vol
32,
n°
143,
1978, pp
663-685.
[30] BROCHURES DE L'INRIA
n° 36,
37 ...

---