1
N° d'ordre 92 15AL 0088
Année 1992
THEBE
présentée
DEVANT L'INSlITlTI' NAnONAL DES SCIENCES APPUgUEES DE LYON
pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR
SPECIALITE: THERMIQUE ET ENERGETIQUE
par
Honoré Yobouet ANDOH
Ingénieur INSA
REFROIDISSEMENT DE PAROI PAR
EFFUSION
ETUDE EXPERIMENTALE-MODELISATION
Soutenue le 8 Décembre 1992 devant la commission d'examen
JURY
PRESIDENT :
M. LALLEMAND
Professeur à l'INSA de Lyon
G. HOSTACHE
Professeur à l'Université de Franche-Compté
Examinateurs
P.ARQUES
Professeur à l'Ecole Centrale de Lyon
A. LALLEMAND
Professeur à l'INSA de Lyon
B. LIPS
Maitre de Conférences à l'INSA de Lyon

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3
INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
Directeur : J.ROCHAT
Proresseurs :
S.AUDISIO
PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE
J.C.BABOUX
TRAIT. SIGNAL ULTRASONS
J.BAHUAUD
MECANIQUE DES SOLIDES
B.BALLAND
PHYSIQUE DE LA MATIERE
G.BAYADA
CENTRE DE MATHEMATIQUES
C.BERGER (Melle)
PHYSIQUE INDUSTRIELLE
M.BETEMPS
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
C.BOISSON
VIBRATIONS ACOUSTIQUES
M.BOIVIN
MECANIQUE DES SOLIDES
H.BOTTA
GENIE CIVIL ET URBANISME (METHODES)
G.BOULAYE
INFORMATIQUE APPLIQUEE
J.BRAU
EQUIPEMENT DE L'HABITAT
M.BRUNET
MECANIQUE DES SOLIDES
J.C.BUREAU
THERMOCHIMIE MINERALE
J.P.CHANTE
ELECTRONIQUE DE PUISSANCE
M.CHEVRETON
ETUDE DES MATERIAUX
B. CHOCAT
METHODES
B.CLAUDEL
CINETIQUE ET GENIE CHIMIQUES
L.CRONENBERGER
CHIMIE BIOLOGIQUE
M.DIOT
THERMOCHIMIE MINERALE
A.DOUTHEAU
CmMIE ORGANIQUE
B.DUPERRAY
CHIMIE BIOLOGIQUE
H.EMPTOZ
CENTRE DE MATHEMATIQUES
C.ESNOUF
GEMPPM*
L.EYRAUD
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
G.FANTOZZI
GEMPPM*
J.FAUCHON
CONCEPTION ANALYSE SYSTEMES MEC.
J.FAVREL
INFORMATIQUE DES SYST. DE PROD. INDUS.
Y.FETIVEAU
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
L.FLAMAND
MECANIQUE DES CONTACTS
P.FLEISCHMANN
GEMPPM*
A.FLORY
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
R.FOUGERES
GEMPPM*
L.FRECON
DEVELOP. LANGAGES INFORMAT. AVANCES
R.GAUTHIER
PHYSIQUE DE LA MATIERE
M.GERY
GCU (EQUIPEMENT DE L'HABITAT)
G.GIMENEZ
TRAITEMENT DU SIGNAL ET ULTRASONS
P.GOBIN
GEMPPM*
M.GODET
MECANIQUE DES CONTACTS
P.GONNARD
GENIE ELECTRIQUE
R.GOUTTE
TRAITEMENT DU SIGNAL ET ULTRASONS
G.GRANGE
GENIE ELECTRIQUE
G.GUENIN
GEMPPM*
G.GUILLOT
PHYSIQUE DE LA MATIERE
C.GUITTARD
DEVELOPPEMENT ET LANGAGES
INFORMATIQUES AVANCES
J.L.GUYADER
VIBRATIONS-ACOUSTIQUE
R.HENRY
MECANIQUE DES STRUCTURES
J.JOUBERT
GENIE MECANIQUE
J.FJULLIEN
BETONS ET STRUCTURES
A.JUTARD
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
R.KASTNER
GEOTECHNIQUE
H.KLEIMANN
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
J.KOULOUMDJIAN
INGENIERIE DES SYSTEMES D'INFORMATION
M.LAGARDE
CHIMIE BIOLOGIQUE
M.LALANNE
MECANIQUE DES STRUCTURES
A.LALLEMAND
ENERGETIQUE ET AUTOMATIQUE
M.LALLEMAND (Mme)
ENERGETIQUE ET AUTOMATIQUE

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4
P.LAREAL
GENIE CIVIL ET URBANISME
GEOTECHNIQUE)
A.LAUGIER
PHYSIQUE DE LA MATIERE
CH.LAUGIER
PHYSIOLOGIE ET PHARMACODYNAMIE
C.LESUEUR
VIBRATIONS-ACOUSTIQUE
Y.MARTINEZ
INFORMATIQUE DES SYST. DE PROD. INDUST.
C.MARTY
ETUDE DES PROCEDES DE FABRICATION
J. MERLIN
MET;PHY.PHYS.MATERIA UX
H.MAZILLE
PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE
M.MIRAMOND
METHODES
N.MONGEREAU
-.
GENIE CIVIL
(GEOTECHNIQUE)
R.MOREL
MECANIQUE DES FLUIDES ET THERMIQUES
P.NARDON
BIOLOGIE
A.NAVARRO
CHIMIE PHYSIQUE APPLIQUEE ET ENVIRON.
M.OTTERBEIN
CHIMIE PHYSIQUE APPLIQUEE ET ENVIRON.
J.P.PASCAULT
MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
J.PERA
SOLIDES ET MATERIAUX MINERAUX
G.PERACHON
THERMOCHIMIE MINERALE
M.PERDRIX
TRAITEMENT DU SIGNAL ET ULTRASONS
J.PEREZ
GEMPPM·
P.PINARD
PHYSIQUE DE LA MATIERE ET PHYSIQUE
INDUSTRIELLE
D.PLAY
CONCEPTION ET ANALYSE DE SYSTEMES
MECANIQUES
P.PREVOT
INFORMATIQUE DES SYST. DE PROD. INDUST.
R.REYNAUD
ENERGETIQUE ET AUTOMATIQUE
J.M.REYNOUARD
BETONS ET STRUCTURES
M.RICHARD
'ENERGETIQUE ET AUTOMATIQUE
E.RIEUTORD
MECANIQUE DES FLUIDES ET THERMIQUE
J.ROBERT-BAUDOUY (Mme)
GENETIQUE MOLECULAIRE DES
MICROORGANISMES
J.ROBIN
PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE
D.ROUBY
GEMPPM·
J.F.SACADURA
MECANIQUE DES FLUIDES ET THERMIQUE
H.SAUTEREAU
MATERIAUX MACROMOLECULAIRES
S.SCAVARDA
AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE
F.STOEBER
MICROBIOLOGIE
M.TROCCAZ
GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE
J.TUSET
SOLIDES ET MATERIAUX MINERAUX
R.UNTERREINER
TRAITEMENT DU SIGNAL ET ULTRASONS
P.VERMANDE
CHIMIE PHYSIQUE APPLIQUEE ET ENVIRON.
J.VERON
CHIMIE PHYSIQUE APPLIQUEE ET ENVIRON.
A.VINCENT
TRAITEMENT DU SIGNAL ET ULTRASONS
P.VUILLERMOZ
PHYSIQUE DE LA MATIERE
Directeurs de recherche C.N.R.S.
P.CLAUDY
THERMOCHIMIE MINERALE
M.MURAT
GEMPPM·
A.NOUAILHAT
PHYSIQUE DE LA MATIERE
M.A.MANDRAND
(Mme)
GENETIQUE MOLECULAIRE DES
MICROORGANISMES
Directeurs de recherche LN.R.A. :
G.BONNOT
BIOLOGIÉ
S.GRENIER
BIOLOGIE
Y.MENEZO
BIOLOGIE
Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. :
A-F. PRIGENT (Mme)
CHIMIE BIOLOGIQUE
N.SARDA
(Mme)
CHIMIE BIOLOGIQUE
• GROUPE D'EroDE METAllURGŒ PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX

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5
Je dédie ce mémoire à mon épouse bien-aimée et à nos très chers
enfants pour le soutien permanent qu'ils m'ont apporté.
La vie est faite telle qu'elle se présente à nous. Il faut la prendre
telle qu'elle est.

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7
AVANT-PROPOS
Cette étude a été menée au Laboratoire d'Energétique et d'Automatique (L.EA) du
Centre de Thermique (CE'IHIL) de l'Institut National des Sciences Appliquées de LYON.
Je suis profondément reconnaissant envers Monsieur le Professeur André
IALLEMAND. DireCteur du L.EA. pour avoir bien voulu m'accepter au sein de son équipe de
chercheurs. Je le remercie vivement pour la direction scientifique de cette thèse et pour
m'avoir fait bénéficier de sa grande expérience scientlfique et de son esprit de synthèse et de
critique. Qu'il veullle trouver à travers ce mémoire le fruit de son étroit
et efI1cace
encadrement.
Je remercie très sincèrement Monsieur Bernard LIPS. Maitre de Conférences à l'INSA
de LYON. pour l'apport de son expérience et l'aide pennanente qu'il a su m'apporter. Je lui
témoigne aussi toute ma gratitude pour la patience et la compréhension qu'il a toujours
manifestées à mon endroit.
Monsieur Gabriel HOSTACHE. Professeur à l'Université de Franche-Compté. ainsi
que Monsieur Philippe ARQUES. Professeur à l'Ecole Centrale de LYON. ont accepté de
participer au jugement de ce travail et d'en etre les rapporteurs. Qu'ils trouvent ici
l'expression de mes plus vifs remerciements. Que Madame le Professeur Monique
LALLEMAND soit également remerciée pour avoir bien voulu accepter de faire partie des
membres du jwy de cette thèse.
Mes remerciements s'adressent enfin à tous les Enseignants-Chercheurs du L.E.A.
particulièrement à Messieurs Philippe HABERSCHILL et Jean François LEONE. tous deux
Maitres de Conférences à L'INSA de LYON. au personnel administratif et technique.
notamment Monsieur Jean-Dom1n1que CHANTELar. pour l'esprit de franche camaraderie
qu'ils ont toujours exprimé à mon endroit.
Je garderai en mémoire l'excellente atmosphère de trava1l qui a toujours régné au sein
du Laboratoire. de même que l'esprit d'entraide mutuelle entre collègues.

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9
SOMMAIRE
AVANT-PROPOS
NOMENCLATURE
INTRODUCTION
CHAPITRE PREMIER : TRANSFERT DE MASSE DANS UN MILIEU
POREUX
1 -1. E'ruDE BIBUOGRAPmQUE
21
1-1-1. EcouleIIlent dans des canaux.
21
1-1-2. EcouleIIlent à travers les milieux pennéables
22
1-1-2-1.Généralités
22
1-1-2-2 . Loi de D.ARCY.............................•~
22
1-1-2-3. Chute de pression dans un II1il1eu poreux.
24
1-1-3. Conclusions
30
1-2. MODEUSATION
30
.
1-2-1 Méthode de résolution
31
1-2-2. Equations de chute de pression
33
1-2-2-1. Première famille d'équations
33
1-2-2-2. Seconde famille d'équations
34
1-2-3. Conclusions
35
1-3. E11JDE EXPERIMENTALE
35
1-3-1. Dispositif expéI1mental et tnstrumentation
36
1-3-1-1. Banc d'essais pour les liquides
36
1-3-1-2. Banc d'essais pour les gaz
37
1-3-2. Cellules porte-échantillon
38
1-3-2-l.Cellules porte-échantillon adaptées aux mesures à température élevée
38
1-3-2-2. Cellule porte-échantillon adaptée aux mesures à température arnbiante
40
1-3-3. Reproductibilité des résultats expérirnentaux.
41
1-3-4. Matériaux poreux testés
41
1-3-4-1. Matériaux composites
42
1-3-4-2. Métaux frittés
,
43

---

10
1-4. VAIJDATION E1' CHOIX D'UN MODElE
44
1-4-1. Modèle à écoulement mixte
44
1-4-1-1. Modèle a, Ko
44
1-4-1-2. Modèle de BERNSIEIN
53
1-4-2. Modèle de superposition
57
1-4-2-1. Présentation du modèle
57
1-4-2-2. Utilisation des constantes 'l'i et '!'v
59
1-4-2-3. Comparaison avec la présentation de Carman et al
61
1-5. CONCLUSIONS
62
CHAPITRE DEUXIEME : TRANSFERTS DE CHALEUR DANS UN MILIEU
POREUX
11-1. E1UDE BIBLIOGRAPHIQUE
65
11-1-1. Coefficient d'échange convectif interne
65
11-1-1-1. Transferts themùques par convection forcée entre une sphère et un fluide
66
11-1-1-2. Transferts themùques par convection forcée entre un garniSsage de particules et
un fluide
73
11-1-1-3. Transferts themùques par convection forcée entre un flUide et un mileu poreux
fritté métallique
82
11-1-2. Coefficient de conductMté themùque des milieux poreux
87
II-1-3. Modèle global
89
11-2. MODELISATION DU TRANSFERT TIiERMIQUE DANS LA PAROI POREUSE
91
ll-2-1. Principe de modélisation
92
11-2-2- Equation du bilan themùque- Mode de résolution
93
11-2-3. Exploitation du logiciel
97
11-3-VALEURS DU COEFFICIENT D'ECHANGE VOLUMIQUE INrERNE
101
11-3-1. Calcul approché du coefficient d'échange volumique convectif interne
102
11-3-1-1. Milieu poreux fritté
102
ll-3-1-2-Matértau composite
102
11-3-2. Utilisation des corrélations pour le calcul du coefficient d'échange volumique
convectif interne.........
103
11-3-3. Détermination semi-empirique du coefficient d'échange volumique interne
106
11-3-3-I.Valeur de la conductivité thennique équivalente du matériau
106
11-3-3-2. Dispositif expérimental
107
11-3-3-3. Application à la détermination du coefficient d'échange convectif interne
113

---

11
11-4. CONCLUSIONS
115
CHAPITRE TROISIEME : TRANSFERT DE CHALEUR DANS LA COUCHE
LIMITE
W-1. E1lJDE BmUOGRAPHIQUE
119
W-1-1. Généralités
119
III-1-2. Techniques expér1Inentales
121
III-1-3. Modèles de couches l1In1tes
128
W-1-3-1. Modèles basés sur les relations emp1r1ques
128
W-1-3-2. Modèles basés sur les équations de bilan
131
11l-1-3-3. Conclusions
142
m-1-4. Etude de la perfonnance de quelques fluides réfr:tgérants
l43
III-1-5. Conclusions
145
III-2 MODEUSATION DE LA COUCHE UMrrE
145
III-2-1. Présentation du modèle
146
m-2-2. Pr1ncipe de modélisation - Organigranune
147
111-2-3. Exploitation du modèle
149
1lI-2-3-1. Prom de température dans la couche Umite
149
m-2-3-2. Coefficient d'échange thenn1que entre la paroi et le fluide réfrigérant
ISO
111-2-3-3. Flux theIlIl1que reçu à la paro1.
151
111-2-4. Conclusions
152
I1I-3. EnJDE EXPERIMENTALE DE LA COUCHE UMrrE
152
III-3-1. Dispositif expéTiInental
152
111-3-2. Méthode opératolTe
153
111-3-3-Résultats expér1Inentaux
154
111-4. CONCLUSIONS
156
CHAPITRE QUATRIEME : MODELE GLOBAL
IV-I. PRESENTATION DU PROGRAMME PAROI..
161
IV-1-I. Paramètres d'entrée et paramètres de sortie du programme
162
IV-1-2. Structure du proglëlII1IIle
163
IV-2. UTlIJSATION DU PROGRAMME PARO!..
165
1V-2-1. Validation et exemples
165

---

12
IV-2-2. LfInites du progranune
169
IV- 3. CONCLUSIONS
171
CONCLUSION GENERALE
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

---

13
NOMENCLATURE
SYMBOLE
DESIGNATION
UNITES
NOTATIONS lATINES
a
coefficient de chute de pression due à la viscOSité
b
coefficient de chute de pression due aux forces d'inertie
Cp
capacité calorifique du fluide
J/kg.K
d
diamètre
m
ap
chute de pression dans la paroi
bar
&c.~ et œ
dimension des sous-volumes suivant l'axe des Je. y et z
m
~t
coefficient de perte de charge due aux fluctuations thenniques
h
coefficient d'échange convectif surlacique moyen
W/rri2·K
h'
coefficient d'échange convectif volumique interne moyen
W/rri3'K
(i)
numéro du sous-volume
K
paramètre caractéristique du milieu poreux
K
paramètre de forme
L
longueur de mélange
m
1
épaiSSeur de la paroi
m
1
longueur caractéristique
m
n
nombre de sous-volumes dans la sous-couche limite laminaire
P
pression statique par rapport à l'axe des x
Pa
q
vitesse massique du fluide réfI1gérant
kg/s.m2
Q
vitesse massique du flux principal
kg/s.m2
r
facteur de recouvrement
St>
surlace spécifique du mileu poreux
m2 /IfiJ
Sg
surlace spécifique d'un grain sphérique
m2 /IfiJ
T
température
K
u'
vitesse superlicielle du fluide ou vitesse en fût vide
mis
u
vitesse moyenne du flUide à travers les pores
mis
U
composante de vitesse suivant l'axe des y
mis
V
composante de vitesse suivant l'axe des x
mis
UOO
vitesse du flUide dans l'écoulement non perturbé
mis
x
abscisse d'écoulement du fluide réfI1gérant
m
y
abscisse d'écoulement du fluide prinCipal
m
NOMBRES SANS DIMENSION
Nu
nombre de NUSSELT
(h d / À.)
Pr
nombre de PRANDTL
(Ji Cp / À.)

---

14
~
nombre de REYNOlDS
(pu d /~)
St
nombre de STANTON
(h/ p Cpu)
NOTA'1YONS GRECQUES
a
coefllcient de chute de pression due à la viSCosité
a
paramètre caractértstique du matériau ou du milieu poreux
~
coefllcient de chute de pression due aux forces d'inertie
S
épaisseur de la couche lJmite
m
cI>
flux thermique
W/rril
À
coefllc1ent de chute de pression
À
conductivité thermique
W/mK
~
vtscosité dynamique du fluide
Pa.s
p
masse volumique
kg/m3
't
contrainte de cisaillement
N/m2
u
viscosité cinématique du fluide
rrill s
ç
facteur de distorsion de température
~
facteur de distorsion des vitesses
"'v
coefficient de perméabilité visqueuse
'l'i
coefficient de perméabilité d'inertie
m
INDICES
c
chaud
e
équivalent
f
fluide. froid
g
grain
h
hydraulique
i
inertiel. entrée
1
relatif à la face aval de la paroi
m
matériau. massique ou moyen
o
relatif à la face amont de la paroi
p
à pression constante . paroi
s
solide
't
frottement
t
turbulent
v
visqueux. volumique
00
à l'infini

---

15
INTRODUCTION
Dans les moteurs à flux continu tels que les turbines à gaz ou les propulseurs de fusées.
dont l'évolution est orientée vers la recherche permanente de l'amélloration du rendement
thenmque. les températures maximales des gaz de combustion dépassent sensiblement les
températures admissibles des matériaux. n en résulte des cUfficultés de plus en plus grandes
pour obtenir une tenue mécanique satisfaisante des parois des chambres de combustion.
D'autres structures (boucllers thenniques. éléments de fuselage d'avions,...) sont également
soumises à des densités de flux thermiques importantes. La protection thermique de ces
parois acquiert alors une importance fondamentale pour la longévité et la fiabilité de ces
installations (1).
La protection thenmque d'une paroi peut être réalisée selon plusieurs techniques:
· revêtement des surfaces exposées aux flux thenniques avec des matériaux de très haute
tenue mécanique et thermique tels que les matériaux composites. Cette méthode est par
exemple utilisée pour la protection des structures de la future navette spatiale HERMES et de
l'avion de combat RAFALE [2J.
• refroidissement en double paroi par circulation d'un fluide réfrigérant entre les deux
parois.
• création d'une couche 11m1te isolant la surface de la paroi. Cette couche 11m1te est
renouvelée au fur et à mesure de sa destruction et de son évacuation par les gaz chauds. Cette
technique est ut1llsée pour le refroidissement des chambres de combustion. des tuyères. des
révêtements et aubages de turbines à gaz. etc.
La protection thermique de parois par refroidissement met en oeuvre l'un des trois
processus fondamentaux suivants:
· le refroidissement par ablation.
- le refroidissement par film.
le refroidissement par transpiration ou refroidissement par effusion.
e
Le refroidissement par ablation utilise un revêtement en matériau thermo-
dégradable. Ce matériau se sublime en absorbant de la chaleur pour former un film isolant
partiellement la paroi du courant de fluide chaud. L'efficacité de ce mode de refroidissement
est lim1tée au temps que met le matériau pour être complètement dégradé.
Le re&oicl1ssement par 8lm met en jeu un revêtement de matériau percé d'une série
d'or1f1ces localisés. Le procédé consiste à injecter un flUide à travers ces or1f1ces dans une
direction oblique ou tangentielle à la paroi. Un film permanent s'établit aux points
d'injection. Ce film est entraîné par les gaz chauds et 11 est graduellement détruit en aval.
L'efficacité de ce mode de refroidissement dépend de la distance qui sépare les points

---

16
d'Injection. Cette efficacité est meilleure avec un fluide liquide ayant une enthalpie
d'évaporation élevée.
Le refroidissement par transpiration (ou par effusion), qui fait l'objet de notre étude.
met en oeuvre un revêtement en matériau poreux. n est schématisé sur la figure 1. Sur cette
figure. Tmp et Tml représentent les températures de la paroi et de la face aval du matériau.
Tfp et Tf Iles températures du fluide dans la paroi et sur la face aval de la paroi. Cbn la vitesse
massique du fluide réfrigérant à travers la paroi. etc.
TIIp
Tm
T
Tfo
fp
Transfert de masse
qm
Fluide réfrigérant
o
<IJ
Convection
Flux thermique
Conduction
Paroi poreuse
t------l-----~
Face
Face
amont
aval
Figure 1 : Schéma de principe du refroidissement de paroi par eifuston
La face aval est soumise à un flux thermique cl> dû au rayonnement ou à la convection
des gaz chauds. Pour maintenir la température de cette paroi à une valeur raisonnable. on y
Introduit en amont un fluide réfrigérant sous pression. Ce dernier traverse la paroi à
contre-courant du flux thermique. Il assure ainsi. d'une part. le refroidissement Interne du
matériau. d'autre part. la protection de la face aval. grâce à l'établissement d'un film
permanent. L'efficacité du refroidiSsement est pratiquement constante sur toute la surface.
Le refroidissement d'une paroi par effusion fait Intervenir quatre phénomènes
physiques distincts maiS fortement couplés :
- le transfert de masse à travers un milieu poreux. Le débit est fonction de la différence de
pression amont-aval et dépend de la structure du milieu et des propriétés (masse volumique
et viscosité) du fluide. Les propriétés du fluide sont fonction de la température et de la
pression.
- le transfert thermique à l'intérieur du milieu poreux. Le transfert de chaleur se fait d'une
part par conduction dans le matériau et dans le fluide. d'autre part. par transport dans le

---

17
fluide et par convection entre le fluide et le matériau. Le calcul du profil de température
résultant de ces échanges thermiques nécessite la connaissance des valeurs du débit du
fluide et du flux thennique reçu par la face aval de la paroi.
- le transfert thermique à travers la couche limite sur la face chaude. La structure de cette
couche lJm1te dépend du débit du fluide transpiré et des propriétés de ce fluide. aJns1 que du
débit et de la structure de l'écoulement du fluide principal.
- le transfert thermique entre le fluide en amont de la paroi et la face froide de la paroi. Dans
beaucoup de cas réels. ce transfert thermique est nul ou négJJgeable.
Pour résoudre ce problème de refroidissement d'une paroi par effusion nous avons
choisi de développer un logiciel possédant une structure itérative à trois niveaux. Ce logiciel
est présenté au chapitre 4. A partir des valeurs des températures du flUide réfrigérant et du
flux principal et des valeurs des presSions en amont et en aval de la paroi. ce logiCiel pennet
le calcul des profils :
- de température du fluide et du matériau à l'intérieur de la paroi.
- de température dans la couche Umite.
- de presSion dans la paroi.
TI donne également le débit du fluide réfrigérant et les flux thermiques échangés.
Les travaux effectués dans le cadre de cette thèse consistent à étudier
expérimentalement et à modéliser les phénomènes de base intervenant dans ce processus de
refroidissement. La complexité présentée par l'ensemble du processus nous a amené à
aborder le problème par étapes.
La première partie traite du transfert de masse dans la paroi. Elle s'attache à
déterminer théoriquement et expérimentalement le débit d'effuSion du fluide réfrigérant en
fonction des caractéristiques physiques du matériau et des conditions physiques de
l'écoulement.
La seconde partie est relative à l'étude des transferts de chaleur dans le milieu
poreux. La méthode ut1l1se des équations de bilans thenniques. Un montage expérttnental
pour la détermination du coefficient d'échange interne convectif entre le fluide et le milieu
poreux est présenté.
La troisième partie traite du transfert de chaleur à travers la couche l1m1te. Elle
porte essentiellement sur une étude comparative des différents modèles décrits dans la
littérature.
La dernière partie de l'étude traite enfin du couplage entre les trois phénomènes.

---

19
TRANSFERT DE MASSE
DANS UN MILIEU POREUX

---

21
Le débit de fluide qui traverse la paroi poreuse est un paramètre fondamental du
processus de refroidissement. Dans ce chapitre on s'attache à détenniner la valeur de ce
débit en fonction des caractéristiques du matériau. des propriétés du fluide et des conditions
physiques de l'écoulement.
1 -1. ETUDE BIBLIOGRAPmQUE
Une étude bibliographique a été effectuée dans le but d'analyser différentes
corrélations qui régissent les écoulements de fluides à travers les mil1eux perméables.
1-1-1. Ecoulement dans des canaux
Dans le cas:
- d'un écoulement turbulent.
- d'un fluide incompressible s'écoulant en régime permanent ou quasi-permanent.
- d'un élément de canal suffisamment éloigné de toute singularité.
- d'une répartition de vitesse dans une section droite indépendante de la section considérée.
on peut établir par analyse dimensionnelle une relation de la forme 131
(I-l)
avec :
chute de pression le long de la conduite.
diamètre hydraulique du canal.
vitesse moyenne du flUide u m =Qm/p,
vitesse massique du fluide.
masse volumique du fluide.
longueur de la conduite.
coefficient de pertes de charge linéaire.

---

22
1-1-2. Ecoulement Atravers les mUleux perméables
Un milieu poreux est un système constitué de plusieurs phases :
- une phase solide continue dont les particules constitutives sont en contact,
- une (ou plusieurs) phase fluide qui occupe le volume libre entre les particules solides.
On distingue:
-les milieux désagrégés où la phase solide est fonnée d'un empilement de grains,
- les milieux agglomérés ou frtttés où les particules solides sont liées.
Les paramètres caractéristiques des milieux poreux peuvent etre classés en deux
catégories :
- ceux qui déCrivent la morphologie d'une particule (dimension, forme, etc.),
- ceux qui caractérisent globalement le milieu poreux (surface spéc1ftque, porosité, etc.) [4].
• La surface spécifique (Sb) d'un milieu poreux est la surface de contact entre le fluide et le
solide par unité de volume du milieu poreux. Sa dimension est celle de l'inverse d'une
longueur.
• La porosité (ou taux de porosité) (E) est la fraction de volume du milieu poreux non occupé
par le solide. C'est le taux de Vide. C'est un nombre sans dimension. La fraction de volume
occupée par le matériau est (l-E). La porosité dépend de la forme des particules. Elle est en
général indépendante de la dimension des particules.
• On déflnit aussi Sg, la surface d'une particule par rapport à son volume. Sg a la dimension de
l'inverse d'une longueur. Par exemple, une particule sphérique de diamètre dg. a pour surface
spécifique :
Sg= 1t di =.2-
1t~
(1-2)
dg
6
On peut remarquer que les valeurs de St> et Sg ne sont pas égales. En effet, St> = Sg (I-E ).
• On définit enfin la tortuosité (t). Lorsqu'un fluide s'écoule à travers une couche poreuse
d'épaisseur 1, il parcourt en moyenne une distance l' supérieure à 1. La valeur de la tortuosité
est donnée par : t =l'/1.
1-1-2-2, Loi de DARCY et pennéabilité
La première étude expérimentale de l'écoulement d'un fluide à travers un garnissage a
été menée en 1830 par DARCY (5) qui a analysé la Vitesse d'écoulement de l'eau à travers des
lits de sables de différentes épaisseurs en étudiant les fontaines de la région de DIJON. Il a

---

23
montré que la vitesse moyenne du fluide à travers les différents Uts de sable est
proportionnelle à la chute de pression dans ces llts de sable et inversement proportionnelle
à l'épaisseur du Ut. li en a tiré la relation:
6p = u
(1-3)
1
K
connue sous le nom de loi de DARCY.
avec :
1:
épaisseur du Ut de sable.
K:
constante dépendant des propriétés physiques du Ut et du fluide.
La linéarité de la relation entre la vitesse du fluide et la chute de pression indique que dans
ce cas d'étude. l'écoulement est laminaire. En faisant apparaître la viscosité dynamique J.1
du fluide. l'équation de DARCY s'exprime également sous la fonne :
6p = J.1.ll..
(1-4)
l
'IIv
où "'v est le coefficient de pennéab1l1té visqueuse du m1l1eu poreux. Ce coefficient dépend
uniquement des propriétés du milieu poreux. Sa valeur est fréquemment utilisée pour
donner une indication sur les aptitudes d'un fluide à traverser un tel m1l1eu en écoulement
laminaire. Il est exprimé en m2.
Le tableau (1-1) présente quelques valeurs de surface spécifique. de porosité et de
coefficient de pennéab1l1té visqueuse de différentes particules ut1l1sées dans des garnissages
de réacteurs de procédés. Les matériaux marqués par un astérisque (.) sont des matériaux
ut1l1sés dans le cadre de cette étude. Ils sont décrits au paragraphe 1-3-4-2.
Remargue 1 : Le DARCY a été utilisé conune unité de mesure de pennéab1l1té. li exprime la
pennéab1l1té d'un matériau se présentant sous la fonne d'un cube de 1 cm de cOté traversé
par un débit de 1 cm3 /s sous une différence de pression d'une atmosphère. lorsque la
viSCosité du fluide est prise égale à une centipoise. 1 DARCY = 0.987. 10-8 cm2 .. 10-8 cm2 =1
J.1lll2. Par exemple. le charbon filtrant a une pennéabllité variant entre 0.8 et 3 DARCY.
Remargue 2 : Il ne faut pas confondre le DARCY avec le nombre de DARCY (Da) qui est une
grandeur adimensionnelle servant à caractériser une perte de charge. Il est égal à :
Da=..2....d.. 6p
pu2 1
(1-5)
où d et 1sont le diamètre et la longueur de la conduite.

---

24
Sobd conIUlue""
Poroui molli
Spec.fie
Fr:acllonal
'l'v
No.
Dcscnplion
surfla .ru
.atd....
lm:,
Slm:'m J )
E
Sphercs
.;, .n. d ••m. 10-794 mm 1
7600
0-393
6·2 • 10- 1.
r. .n. di.m.II·$I8 mm 1
37$9
D-40$
~'I li: 10. 9
'.n.d•• m. f3·J7$mm.
l89l
0-39.\\
9'" li: 10"·
, ln. dlôlm. 46,35 mm 1
9-18
D-40$
4-9. 10"
1; IR. dr:.ra (7-9" mm 1
7S6
0-416
9'4. 10"
Cubes
6
'.n.IH7$mml
1~60
0-190
.. ·6 li: JO-· G
7
'.n. fH7$mml
'*(.()
0-42$
"h 1O"
8
i ln. t6'J~mml
1078
0-318
1'4.10"
9
'.n.16-3$mm,
Ion
D-4$$
6·9. 10"
Hcu90nill pmms
'*
10
ln." f: ln. Ihick '.1-76 mm" 4-76 mm 1
1262
0-3$$
1'3. 1O"
Il
of: ln.• " Ift.thid: ,4,76 mm .. 4·76mml
116~
0-~72
$-9 x 10"
Tniln,uiar p~ramidl
12
i an. Je",I":lI: 0-113 IR. hL t6·3S mm .. ~·S; mml
2410
0-361
6-0. 10·"
13
'.n. lcnalh.0-1l3 in. hL 16'h mm. 2'87 mml
2410
0'$18
1·9 x 10"
C~'ilndcn
14
'.n. o••m.• ' .n.13·17$ mm. 3'17$mm,
lua
0-401
1'1 .10"
1$
t ln. Glain. lI:: in. (~'115 mm .. 6'~S mml
1$8$
0-397
1-2" 10·'
16
i In.dlam... bn. ffrJ5mm .6·35 mml
94$
0-410
4'6.10"
P"...
J7
,in.• ' in.• ';'.n. 16-3$ mm x 6''\\$ mm • 0-7~ mm,
JO.\\.\\
D-410
$-0. 10'"
18
! ln. li: i ln. li: i; IR. ,6·1Smm .. 6')'smm" 1'59mml
191\\00
lN09
"1 • 10"
O"IC\\
19
'.n. diam.• r. in. 13'11$ mm. "$9mm,
1SJO
0-398
6·3. 10·"
Pom:i:un Berl ..ddlcs
20
0-136 In. ,6mml
24$0
0068$
9·8.,0"
21
o-l~61n.16mml
2~$O
0-1$0
1-73.10· •
22
0-236 ....6 mml
24$0
0-790
2-94)( 10·'
23
o-l36 ln. 16 mm 1
24$0
0-832
3-94.,0·'
2~ lcu.in, nn,s tft mm 1
$9$0
0-870
1·71.10· ,
2$ l.cuIn, nnp let mm 1
'9$0
0-189
1·79 :.:10'"
26 SlilCnn 55 (")
133300
0.26
1.10./2
27 S&pemI as 1°)
~
0.28
4.10"/2
28 Sloerm B1210)
0.30
F;..l.C:.!:.-
Tableau 1-1 : Propriétés physiques de quelques matériaux utUisés pour constituer un mUteu
poreux. d'après CREMER et DAVIES [6}
1-1-2-3" Chute de pression dans un milieu poIY!UX
L'écoulement dans un milieu poreux est un phénomène complexe. L'expérience montre
qu'il est possible, en première approximation, de considérer la superposition de trois sortes
de débits: le débit laminaire (ou viSqueux), le débit turbulent (ou inertiel) et l'écoulement
moléculaire qui est généralement négligeable lorsque la dimension des pores est largement
supérieure au libre parcours moyen des molécules. Dans le cas du débit lam1na1re, la chute de
pression est due aux effets de la viscosité qui entraîne une perte d'énergie: dans le cas du débit
inertiel, elle est due aux accélérations du flUide et aux turbulences locales dans les pores [7].
Du fait de leur complexité géométrique, 11 est d1fficile de modéliser l'écoulement dans
la plupart des matériaux poreux. Les travaux se l1mitent aux études expérimentales pour
aboutir à des corrélations donnant la chute de pression en fonction de :
- la vitesse d'écoulement,
- la surface spécifique,
- la porosité.

---

25
Beaucoup de ces corrélations concernent le domaine du génie chimique et
s'appUquent à des écoulements visqueux dans des milieux de porosité élevée. Par exemple.
l'une des premières équations proposée par KOZENY 18] et CARMAN (9]. s'écrit:
~=(h (I-E) 2 c2)
1
k
(1-6)
3
wg ~cm
e
où hk est la constante de KOZENY qui dépend de la porosité. de la forme des particules et
d'autres facteurs.
Cette relation. semblable à l'équation (1-4). fait intelVenir la porosité et la surface
spécifique d'un garnissage d'une colonne. Elle n'est valable qu'en régime laminaire. Elle
montre que la chute de pression est proportionnelle à la vitesse apparente du fluide (ou
encore à son débit par unité de surface) et à sa viscosité dynamique 110].
En réalité. l'écoulement est rarement laminaire dans ces m1l1eux. Aux pertes
d'énergie par frottement visqueux. 11 convient d'ajouter les pertes localisées dans les
tourbillons du fluide qui sont proportioIp1elles à son énergie Cinétique donc à pu2 .1Ul. Ce
raisonnement a conduit REYNOLDS 112] à proposer l'emploi d'une équation de la forme:
P âp = a ~CJm + b qfu
(1-7)
1
avec :
a
coefficient de chute de pression due à la viscosité.
b
coefficient de chute de pression due aux forces d'inertie.
ERGUN 113] a explicité les constantes a et b en fonction des caractéristiques géométriques
du m1lieu poreux (Ut garni). TI obtient la relation sutvante :
i
P âp
h (I-e) 2..:J.~
+( h (I-e) ] 2
(1-8)
k
3
;og
~ CJm
B
3
Sg qm
1
E
e
dans laquelle hk est la constante de KOZENY et hb la constante de BURKE-PLUMER. voisine
de 0.30. Il est à noter que les valeurs numériques de ces coefficients ont été déduites
d'expériences faites avec des lits formés de particules convexes (sphères. cylindres pleins.... ).
La constante de KOZENY dépend de la structure du m1l1eu poreux et intègre plusieurs
paramètres dont la tortuosité. l'effet de paroi, la forme des particules constituant le milieu
poreux. etc. La figure 1-1 présente les valeurs de h k en fonction des taux de porosité et selon le
type de matériau. d'après COULSON 114] qui a également repris les résultats de WYLLIE et
GREGORY (15].

---

26
-li:: ~~
.J::
~ ~·o
c.)
N
0
~ 4· ~
v
."0
v
...g 40
...UJ~0 3~
c..>
3 2 0·30
o·~o
Porosité ( E )
Figure 1-1 : Vartation de la contante de KOZENY enjonctiDn de la porosité pour des particules
de di.versesjormes [ 14]
Dans leur ouvrage. COULSON et RICHARDSON (14] ont présenté les résultats d'études
réalisés par CARMAN. SAWISTOWSKI et ERGUN sous fonne de courbes ad1mensionnées
(figure 1-2) donnant le facteur de frottement modifié R/pu 2men fonction du nombre de
Reynolds modifié Rem. 11s en déduisent des équations s1m1la1res aux équations (1-7) et (1-8) :
(1-9)
où R représente la composante de la contrainte de frottement à la surface de la particule
dans la direction du mouvement. a et b sont les paramètres caractéristiques du milieu
poreux et Um la vitesse moyenne du flUide à travers les pores Um= u'm / E (u'm : vitesse
moyenne de l'écoulement du fluide à travers le garnissage. aussi appelée "vitesse
superficielle" ou "vitesse en fût vide"). Le nombre de REYNOLDS modifié Rem pour les
écoulements à travers un garnissage de particules. prend en compte les paramètres
caractéristiques (E et dg) du garnissage de particules. 11 est défini par l'équation:
Rem = p u'm / 1.1. Sb=PU'm / J.I. Sg(l-E)
(1-10)
R est fonction des propriétés du garnissage et du gradient de pression. Pour un garnissage de
section unité et d'épaisseur égale à 1. le volume des particules est donné par 1(1- E ) et la
surface totale des particules est Sg 1(1- E). La force de résistance peut s'écrire RSg 1( 1- E ). Cette
force agissant sur le fluide doit être égale à celle produite par la différence de pression âp aux
bornes du garnissage de particules (âp E). Cette égalité s'écrit:

---

27
~"'
.
~~~~...CUilJEB
,.
.~":~
," .
r-.-
~
CURvE A
CURV[ C
..
1
'"
.,'
'.Q .. 19'
'.,
• •
0
501..10 PIRTlCL[S
• ',\\NGS
1
.
..
00.
0
...
....
n,ure 1-2 : Courbes de COVLSON et RICHARDSON (14)
t\\P [ =RSg l( 1- [ )
(I-lla)
ce qui donne:
R= t\\P [ 1 Sg l( 1- [ )
(I-lIb)
et:
....R....=
[3
t\\p
Puht Sg(l-[)lpu~
(1-12)
.Ainsi l'équation (1-9) peut aussi s'écrire en remplaçant Re m et R par les expressions
ci-
dessus :
(1-13)
qui est analogue à la formulation proposée par ERGUN (1-8).
Les valeurs des paramètres a et b de la relation (I-9) varient selon les auteurs. Ainsi.
CARMAN (courbe A de la figure 1-2) propose :
....R.... = 5 Re"rt + 0.4 ~.l
(1-14)
P Ulm
Pour des nombres de Reynolds inférieurs ou égaux à 2. le second tenne est négligeable. et
l'équation prend la forme approximative suivante :

---

28
....IL .. S Re"rIa
(I-1S)
pu1n
S1mJla1re à l'équation de DARCY (1-4) ou à celle de KOZENY (1-6). Au fur et à mesure que Rem
croit de 2 à 100. l'influence du second terme de l'équation de CARMAN augmente et la pente
de la courbe représentée dans un repère logarithmique passe de -1 à approxtmativement
-1/4. Au-delà de Rem = 100. la courbe s'applatit. Le passage de l'écoulement laminaire à
l'écoulement turbulent se fait graduellement.
Les résultats de SAWISTOWSKI (courbe B) ont été obtenus à partir d'études réalisées
sur des écoulements à travers des particules creuses en forme d'anneaux. L'auteur propose la
relation suivante:
Ji...=S~+~·l
(1-16)
pu1n
La courbe C. obtenue sur le même genre de matériau par ERGUN. est bien représentée par la
relation:
Ji... = 4.17 Reit + 0.29
(1-17)
P tin·
Cette dernière courbe se trouve décalée par rapport aux autres à cause des taux de porosité
(0.87 et 0.889) et des coefficients de perméab1l1té très élevés offerts par ce type de garnissage
de particules (tableau 1-1).
Ces trois équations sont équivalentes à l'équation (1-18) proposée par FORCHEIMER
ilS] qui a été le premier à considérer que la résistance à l'écoulement d'un flUide peut être
séparée en deux termes:
- la résistance due aux frottements à la surface des particules.
- la résistance due à la turbulence et aux changements brusques de direction du fluide à
travers les canaux.
L'équation de FORCHEIMER se présente alors sous la forme d'une somme de deux
termes:
.1p = a u + a' un
(1-18)
La Norme Internationale ISO 4022 : 1987. reprise par la Norme Française NF ISO
4022 : 1988 [7] préconise une méthode pour déterminer la perméabilité aux flUides des
matériaux poreux. La perméabilité est exprimée par des coefficients liés à la viscosité et aux
forees d'inertie. L'équation proposée s'écrit:
(1-19)

---

29
dans laquelle "'i représente le coefficient de pennéabilité d'inertie et "'v le coefficient de
pennéabilité visqueuse.
D'autres relations empiriques entre un facteur de friction ( f) et le nombre de Reynolds
ont été proposées. Par exemple. ECKERr [16], BEAVERS (17, 18], MASHA (19], BOFFA (20] et
GREEN (21] ont établ1la fonnule suiVante pour les milieux poreux en général :
fReZ =2 aÈh Re + 2 ~..l.. Jè'2
(1-20)
Sg
Sa
dans laquelle :
f= pâp
q& Sg1
2
diamètre hydraulique = 4 E / Sg,
a
coefficient de chute de pression due à la viscosité,
~
coefficient de chute de pression due aux forces d'inertie.
a et ~ sont fonction de la structure et de la porosité du matériau.
L'équation (1-20) s'écrit également sous une fonne simllatre aux précédentes, :
(1-21)
Enfin. dans le cas d'un milieu poreux fonné d'un matériau granuleux (de diamètre de
grains dg), BERN51EIN, POMERANCEV et SAGOLOVA (22] proposent la relation suiVante:
âp = P u1n (kÀ'_1 +&t)
(1-22)
2
dg
avec :
1t
E =1- -=-6-(:-1---cos---=-e-:-)Jy 1=+=::2=cos==::e=:=-)
::=(
Re=
0.45
~dg
( I-E).ye
\\l
coefficient de perte de charge adimensionnelle découlant des fluctuations
thenniques à travers le milieu poreux,
e
angle donnant les dispoSitions relatives des particules sphériques dans une
couche.
\\l
viscosité cinématique du fluide.

---

30
1-1-3. Conclusions
Les diverses corrélations présentées ci-dessus peuvent ~tre regroupées selon deux
fonnulations générales :
- la première (équations 1-1 et 1-22) se presente sous la fonne :
~p=A(Re) q2m
(1-23)
où A (Re) est une fonction du nombre de REYNOLDS. donc de la vitesse (ou du débit) du fluide.
Dans cette corrélation. les aspects visqueux (laminaire) et inertiel (turbulent) de
l'écoulement ne sont pas séparés. Nous parlerons de modèle' type d'~u1ementmixte.
- la seconde qui regroupe les équations d'ERGUN. de la NORME. de BOFFA. de COULSON et de
REYNOLDS s'écrit:
(1-24)
où A et B sont des constantes qui dépendent des propI1étés du matériau (ou du m1l1eu) poreux
et de la nature du fluide. Dans cette corrélation. les aspects visqueux et inertiel de
l'écoulement sont séparés et le principe de superposition est appliqué. Nous parlerons de
modèle de superposition des écoulements vlsqueuz: et inertIeL
Il est intéressant de noter que ces deux fonnes de corrélations aboutissent à des
courbes QIn = f (~p) sensiblement différentes. Nous verrons dans les paragraphes ultérieurs
que nos propres mesures suivent une loi plus confonne à (1-23) qu'à (1-24).
1-2. MODELISATION
Le logiciel DEBIT élaboré dans cette étude pennet de calculer le débit du fluide
réfrigérant qui traverse la paroi poreuse en fonction des conditions de température et de
pression régnant en amont et en aval du m1lieu. On suppose que l'écoulement a lieu en
régime permanent.
qu'il est monodimensionnel et qu'il a lieu perpendiculairement à la
paroi. Quel que soit le modèle adopté. le débit dépend non seulement de la difTérence de
pression entre l'amont et l'aval de la paroi mats aussi des caractéristiques du fluide et des
caractéI1stiques géométriques du matériau ou du milieu. Ce logiciel. de même que ceux qui
seront présentés aux chapitres deux et trois. utilise les valeurs de paramètres
thennophysiques (masse volumique. viscosité dynamique, capacité calorifique.
conductMté thennique et nombre de PRANDTI..) de l'azote 1231, de l'eau 1241. de l'alcool 1241 et
de l'hydrogène 1251 dans des fichiers relatifs à chaque fluide.

---

31
1-2-1 Méthode de résolution
Le logiciel DEBIT est basé sur une méthode de d1.tTérences finies. La figure 1-3
schématise la paroi poreuse et le maillage utJl1sé. Le fluide réfrigérant traverse la paroi de la
face amont vers la face aval. Les propriétés caractéristiques du fluide (masse volumique,
Viscosité, etc.) sont considérées comme constantes dans chaque maille ou sous-volume.
mais peuvent varier d'un sous-volume à un autre en fonction de la température et de la
pression. Dans chaque sous-volume. la chute de pression est fonction du débit et des
propriétés du flUide (donc fonction de la pression et de la température).
- - - -
----
T(1)
TIZ)
T(j-1)
Tm
Tlm-1)
Hm)
qm
-
qm ..
Face
PM)
P(ZI
P(i-1)
P(i)
P(m-11
P(m)
Face -
amont
aval
-- -
---
Figure 1-3 : SChéma du découpage transversal de la paroi
Quel que soit le modèle choisi (à écoulement mixte ou à superposition d'écoulements
visqueux et inertiel) pour la résolution numérique de notre modèle. l'équation liant la chute
de preSsion au débit est éCI1te sous la fonne suivante :
~p =K lq~
(1-25)
P
Pour chaque sous-volume. elle devient :
~p(1) = K(1) 1(1) ~
(1-26)
p(i)
La figure 1-4 présente l'organigranune du programme DEBIT. donnant les dIfférentes étapes
du calcul:
a) après lecture du fichier de données, on initialise arbitrairement la valeur du débit,
ainsi que les valeurs de pression dans chaque sous-volume.
b) on calcule la chute de pression dans chaque sous-volume en utilisant
l'équation (1-26),
c) on calcule le débit en constatant qu'il est possible d'écrire la chute de pression dans
un sous-volume sous la forme:
~p(i) =Qm C(U
(1-27)
avec :
C(1) =
KU) 1(1) ~p(1)
P(i)

---

32
On calcule les valeurs des CU) en ut1lisant les valeurs des ~p(1) détenntnées précédemment.
La. chute de pression globale ~p (valeur connue) sur l'ensemble des sous-volumes ou. ce qui
revient au même. sur toute l'éPaisseur du mtlteu poreux est donnée par :
~p =Pl-Po =I:~pU) =Qm.I: CU)
(1-28)
ce qui pennet d'obtenir la valeur du débit:
Qm = ~p / I: C( 1)
(1-29)
d) La. valeur du débit calculé est comparée â la valeur tnitla1e. Dans le cas où le test de
convergence est négatif. la pression dans chaque sous-volume est rédéftnie â partir de la
pression Pl et des valeurs de ~pU).
Entrées dans le sous-programme :
- Temperature du fluide
- Pressions amont-aval
- Nature du fluide
Initialisation des valeurs de
pression et de la valeur de débit
Calcul des Chutes de pression dans Chaque
sOus-volume et calcul des paramèrres C(i)
Calcul du débit global et des valeurs de
pression dans chaque sous-volume
Sorties:
. Débit
- Pression dans chaque sous-volume
Figure 1-4 : Structure du sous-programme DEBIT de calcul du débit à travers la paroi

---

33
1-2-2. Equations de chute de pression
Les différents modèles décrits dans l'étude bibliographique se distinguent
uniquement par l'expression du coefficient K. Rappelons que deux familles d'équations ont
été retenues. Elles correspondent respectivement au modèle à type d'écoulement mixte et au
modèle de superposition des écoulements viSqueux et inertiel.
1-2-2-1. PremfèrefamlUe d'équations: fIlOCWle à type dbulement mixte
Les équations de cette famille se présentent sous la forme de l'équation (1-23). Par
analogie avec la loi de BLASIUS nous avons choisi d'écrire le coefficient K (1) sous la fonne :
a
K( i)= K' (i) Rea = KW (qmdh)
(1-30)
~(i)
ou encore:
a
(1-31)
K (1) =Ko(Qm)
~i)
a et Ka sont deux paramètres caractéristiques du matériau poreux.
Deux formes particulières de ce type d'équation peuvent ~tre considérées selon le type
de matériaux poreux :
al Modèle d'êcoulement dans des canauz:
Dans le cas particulier où le milieu poreux peut ~tre considéré comme un ensemble de
canaux non interconnectés perpendiculaires aux faces de la paroi et de section carré de coté
dh' 11 est possible d'écl1re que:
U
-
qm
m-
(1-32)
p Nt dli
où Nt est le nombre d'orifices par mètre carré de plaque frontale.
En écrivant comme précédemment K =K' Rea. la chute de pression s'écrit alors :
~p
5
(1) = K' (1) dg- 1(1) (qm )a q~
(1-33)
2 ~
~(i)
p(i)
Par analogie avec l'équation (1-26 ). on peut écrire:

---

34
a
K (i) =Ko(qm)
avec :
(1-34)
~(i)
En fait un milieu poreux est toujours plus complexe qu'un ensemble de canaux non
interconnectés et cette définition de a et Ko n'est guère réaliste. n vaut mieux considérer a et
Ko comme des paramètres de calage expérimental sans signification physique préciSe.
b) Modèle de BERNSTEIN
Dans le cas d'un écoulement dans un empUement de particules sphériques et en
faisant l'hypothèse : l1;t « kÂ.' 1/ 2dg. l'équation de Bernstein (1-22) peut s'écrire sous la
forme :
P I1p = (k ')..,') qfu
(1-35)
1
2dg
I1p (i) = (k ')..,' (i») 1(1) qt
ou encore:
(1-36)
2 dg
P{i)
Suivant le même raisonnement que précédemment:
K
(1-37)
(i) = Ka ).: (1)
avtt:
Rappelons que k et ')..,' peuvent se calculer à partir des valeurs de la porosité (e) et du diamètre
moyen du grain (dg) à partir des relations de définition données dans l'équation (1-22).
Cette relation permet de calculer le débit de l'écoulement à partir de deux grandeurs
physiques (la porosité e et le diamètre moyen des grains dg) en principe directement
mesurable. Elle n'est cependant valable que pour une famUle bien déterminée de mUieux
poreux : les matériaux frittés obtenus avec des grains sphériques.
1·2-2-3. Secondefamllle d'équations: modèle de superposition des écoulements visqueux et
inertiels
La seconde famUIe d'équations se présente sous la forme de l'équation (1-24). Elle
regroupe les équations (1-7). (1-8), (1-13) et (1-19), Elle est parfaitement définie après
détermination des coefTtcients A et B. Formellement. nous pouvons écrire cette équation
comme précédemment sous la forme (1-26) avec:

---

35
K (i) =.@(-A-.+B)
(1-38)
1(1) qm
Selon le type d'équations. les coefficients A et B peuvent être explicités conune suit:
pour l'éQuation de REYNOlDS (1-7) :
A=a~/p
et
B=bl/p
ce qui donne:
K(i) =!J:!QL +b
(1-39)
qm
pour l'éQuation de la NOIme (1-19) :
A=~l/p'flv
et
B = 1/ P'l'I
ce qui donne:
K (i) = ~(i) +..l..
(1-40)
'l'v qm
'1'1
pour l'éQuation d'ERGUN (I-81 :
et
ce qui donne:
(1-41)
1-2-3. Conclusion
La structure du programme pennet l'utilisation de l'une quelconque des corrélations
présentées ci-dessus. Seules les mesures expérimentales nous pennettront de choisir
l'équation la plus adaptée et de calculer les valeurs des paramètres de calage.
1-3. ETUDE EXPERIMENTALE
Le montage expérimental conçu pour cette étude se compose prinCipalement :
- d'une cellule porte-échantillon.
- d'une source de fluide.
- de capteurs de pressions. de températures et de débits.
Afin d'étudier l'influence des caractéristiques du fluide. nos essais ont porté sur des
fluides compressibles (azote et hydrogène) et sur des fluides incompressibles (eau et alcool).
Nous avons fait varier la température et les pressions amont et aval. Mais seul l'azote a été

---

36
utilisé pour les essais à température élevée. Les autres fluides ont été utl11sés pour les essais
à température ambiante. En fonction de ces différents paramètres, nous avons été amenés à
utl11ser divers types de cellules et dispositifs expéI1mentaux.
1-3-1. Dispositif expérimental et Instrumentation
Deux types de bancs d'essaiS sont ut1l1sés selon le fluide employé: liquide ou gaz.
Ainsi, pour les essaiS avec un liquide, l'alimentation en fluide est faite à partir d'un ballon
d'une contenance d'environ 150 litres maintenu sous une pression de 1 à 2 bars. Pour les
esSais avec des gaz, l'alimentation en flUide est faite directement à partir d'une bouteille de
gaz comprimé munie d'un détendeur.
1·3·1·1. Banc d'essais pour
les liquides
Bouchon~
_____ Vers bouteiLLe note sous pression
Q\\ ,,~
Man om ètr e/1 L..--'""'-'"_
Le dispositif conçu
pour réaliSer les essais avec
un liquide est présenté sur
I--_ _ Réservoir de liquide
la figure 1-5. Il comprend
essentiellement :
- un ballon préalablement
Vanne de réglage du débit
éprouvé à 15 bar,
- une vanne de réglage,
Tuyau
souple
une
cellule
porte-
échant1l1on,
- un bécher de 500 ml pour
recueillir le liquide.
CeLLule expérimentale -U~~~~~
La pression à l'amont de la
Manomè rre - - - - - t t - - ' "
cellule est mesurée à l'aide
d'un manomètre de type
BOURDON dont la précision
de mesure est de 1% de la
pleine échelle. Le débit de
liquide est détenniné par
pesée. La balance utilisée
indique le poids au 1/10 ème
Figure HS : Banc d'essais pour l'étude de la perméabUUé
de gramme près.
aux liquides

---

37
Les essais ne peuvent être effectués qu'à la température ambiante.
1-3-1·2. Banc d'essais pour les gaz
Le dispositif qui a servi à réaUser cette étude est schématisé sur la figure 1-6. TI
pennet de faire des essais aussi bien à la température ambiante qu'à une température élevée.
Le coeur du montage est constitué par la cellule porte-échant1llon qui renfenne la plaque
poreuse. Le banc d'essais comprend principalement une bouteille de gaz comprimé munie
d'un détendeur. un débitmètre massique. des vannes et des éléments de chauffage.
L'étanchéité des jonctions entre les différents éléments de l'installation est assurée par des
joints en graphite.
Points de mesure de
la température
aval
amont
résistance
électrique
vanne
de réglage de la
pression aval
débitmètre
massique
L
Points de mesure
alternostat
de la pression
1
bouteille
de gaz
Figure 1-6 : Banc d'essais pour l'étude de la pennéabUité aux gaz
Pour les essais à température élevée. la température de la plaque et du fluide doivent
être identiques. L'azote est préchauffé dans un tube rempli de paille d'acier et entouré d'une
résistance chauffante de 2.5 kW alimentée par l'intennédiaire d'un alternostat (0-220 V). La
cellule porte-échant1llon. prolongée par des tubes en acier réfractaire de grande longueur.
est placée au milieu d'un four tubulaire. La puissance de chauffage de ce four est délivrée par
quatre résistances électriques de 45 n branchées en parallèle. La puissance maximale du
four est de 4.3 kW pour une tension d'alimentation de 48 V. La tension d'alimentation de ces
résistances est réglable de 0 à 48 V grâce à un alternostat (0-220 V) alimenté en courant de
lOA maximum sous 220 V. puis un transfonnateur 220-48 V. La puissance de chaque
système est ajustée de façon à ce que les températures de la plaque et du flUide soient
identiques.

---

38
Cette installation nous a permis de tester notre modèle sur une large plage de
température allant de la température ambiante à plus de 400°C.
Les mesures de température sont effectuées en amont et en aval de la cellule à l'aide de
themlOcouples du type chromel-alumel. Ils sont reliés â un enregistreur multi-voies calibré
de 1 à 500 mV. Trois thennocouples sont disposés sur l'installation:
- deux pour les mesures de la température du fluide en amont et en aval de la cellule.
- un pour la mesure de la température du four.
Deux types de manomètres ont été utllisés pour mesurer les pressions du gaz. Ce sont,
d'une part. des manomètres de type BOURDON. d'autre part. des manomètres en U à mercure.
Des manomètres d'échelles différentes sont utllisés selon le taux de porosité de la plaque
étudiée (0 à 2.5 bar ; 0 à 4 bar ; 0 à 16 bar).
La preSSion en amont de la plaque poreuse est fixée par le réglage du détendeur monté
sur la bouteille de gaz comprimé. La pression en aval est réglée par une vanne placée en
sortie de la cellule. Un capteur différentiel de pression statique de marque Schlumberger
pennet de mesurer la chute de pression .âp. La plage de mesure varie de 0 à 10 bar. sous 10 bar
de pression maximum. Le capteur délivre un signal qui varie linéairement de 4 à 20 mA
pour une différence de presion amont-aval variant de 0 à 10 bar. Sur la prise aval est
raccordé. en parallèle. un manomètre Bourdon donnant la pression aval. Un étalonnage
préalable du manomètre a été fait.
Le débit du gaz est mesuré en amont de la cellule à l'aide d'un débitmètre massique
BROOKS. TI s'agit d'un débitmètre à effet thennique (le principe de fonctionnement repose
sur le transfert thenntque du gaz). TI est étalonné pour les mesures de débit massique d'air.
Des coefficients de correction permettent de l'utlliser pour les mesures de débit de n'importe
quel type de gaz.
Un thennomètre à bulbe de mercure (installé au voisinage du banc d'essais) pennet de
connaitre la température du gaz et d'en tenir compte pour le calcul du débit volumique du
gaz.
1-3-2. Cellules porte-échantillon
1-3-2-1. Cellules porte«hantillon GdapUes aux mesures à température éleœe
Une première cellule a été conçue pour pennettre des mesures à des températures
élevées. Cette contrainte a nécessité l'utilisation de matériaux réfractaires aussi bien pour
le corps de la cellule (acier inoxydable) que pour les jOints (cuivre et graphite). La figure I-7a
présente le schéma de cette cellule.
La plaque poreuse est maintenue par serrage entre les brides soudées sur des tubes
(diamètre intérieur du tube: 20 mm). L'étanchéité entre les brides et la plaque est obtenue

---

39
grâce à des joints en graphite. L'étanchéité latérale est assurée par un joint en cuivre. Un
relief sur la bride (couteau) s'incruste dans le cuivre. Ce joint en cuivre s'est révélé
parfaitement étanche pour une pénétration des couteaux de l'ordre du millimètre. Plusieurs
essais furent nécessaires pour déterminer son épaisseur optimale permettant un
écrasement correct des joints en graphite. Les brides et les tubes sont en acier réfractaire
(température maximale admissible : 1150°C).
Des prises de preSSion statique perpendiculaire aux lignes de courant permettent de
mesurer les preSSions en amont et en aval de la plaque ainsi que celle entre la plaque et le
joint en cuivre. La cellule comporte également deux prises de température (amont/aval)
situées entre les prises de pression et la plaque. Cette cellule est fixée au reste de
l'installation par des brides soudées sur les deux tubes.
Pour un certain nombre de mesures. lorsque la preSSion en aval de la plaque poreuse
est égale à la pression atmosphérique. il est pOSSible d'utiliser une bride aval ouverte. Cette
variante de la cellule. présentée sur la figure I-7b. a l'avantage de permettre des mesures
locales de vitesses ou de températures sur la surface aval de la plaque.
~~: li,') 1
//1~rA
1
1
1
Prin de
1
pr~'slon
1
1
Prin de
ThermocouDI
presSion
!
1
1
~ !J~ V/////~
/1/1 1/1/1]
f';1'[/II/////
t(/I///I!/A:n
_
Joints en graphite
Prise de
~=== pression
Thermocoupt
~ Joint en cuivre
t
Prise de
~ Plaque poreuse
1
~=presslon
•
1
nv/
~ Acier réfractaire
//1:[,1
a
Figures 1-7 : ceUules porte-échantaLon pour des essais d température élevée
L'expérience a mis en évidence un certain nombre de défauts liés à la conception de
ces cellules :
- des particules de graphite ont tendance à boucher les pores des plaques. rendant les
résultats peu reproductibles après un démontage.
- la surface active des échantillons dépend de l'écrasement des joints en graphite. limitant
également la reproductibUté des mesures. Nous ne pouvons. de ce fait. comparer que des
valeurs obtenues lors d'une méme campagne de mesures et la valeur absolue du débit
surfacique présente une incertitude de l'ordre de 20 %.

---

40
- le montage d'un échantJllon est une opération longue et fastidieuse,
- enfin, l'épaisseur de la couronne en cuivre est fonction de l'échantillon étudié.
Pour pallier ces défauts. nous avons été amenés à concevoir une seconde cellule
adaptée aux mesures à température ambiante.
1-3-2-2. CeUule porte.échantiUon adaptée ClUX mesures à température ambiante
La figure 1-8 représente la cellule de mesure adaptée à la température ambiante. Elle
est constituée de deux brides, mâle et femelle, s'emboîtant avec précision. L'étanchéité
latérale est obtenue à l'aide d'un joint torique. La surface active est délJmitée de chaque coté
de l'échantlllon par un autre jotnt torique de 20 mm de diamètre. Le serrage des brides est
effectué par six boulons. L'ensemble de la cellule est en laiton. Son utilisation est lJmitée à
des température inférieures à 200 oC à cause de la tenue des joints.
L'écrasement des joints toriques lors du serrage des brides réduit sensiblement leur
diamètre tntérieur et donc le débit du flUide à travers la paroi poreuse à cause de la
d1m1nution de la surface active de la plaque. Par conséquent un serrage des brides à l'aide
d'une clé dynamométrique est nécessaire pour obtenir une bonne reproductibUité des me-
sures. Nous avons étudié l'tnfluence du couple de serrage sur le débit du fluide. Les résultats
sont présentés
sur la figure 1-9.
On constate qu'U
Partie mâle de la bride
n'apparaît pas de
différence signi-
ficative quand le
Joints toriques
couple de serrage
varie de 0,5 m.kg
à 1,5 m.kg. La
Partie femelle de la bride
Thermocouole
surface
active
mesurée est de
376
mm2 ± 8
mm2 . Pour tous
nos essais, nous
tl
avons adopté un
couple de serrage
Entrée fluide
qm
de 1 m. kg pour
des
pressions
Figure 1-8 : Schéma de la cellule porte-échantUlon pour des essais d
d'essais amont
température ambiante
allant jusqu'à 2
bar et de
1.5

---

41
45
m.kg pour des pressions
C'le 40
iii
...
supérieures.
......
'CIl
~
+
ë
4.l
30
A
couple de "mile. 1.5 m.kc
+ A
+ <OU!>1e de xrTate .0.5 m.q
1-3-3.
~ 25
:c
4.l
A
ReproductlbWt~des
20
;J
+
C'
....
résultats
il 15
ca
A+
e 10
ezp~rlmentauz
+ A
~
Ul
5
A + A
4.l
+
~
0
Sur la figure 1-10
0
50
100
150
200
2SO
300
350
400
450
500
5~
6p(mmHgl
sont
représentés
les
Figure 1-9 : lrifluence du couple de serrage des brides sur le
résultats
des
essais
débit mésuré.
réalisés. à la température
ambiante sur la m~me
plaque.
à
différentes
périodes espacées de quelques jours et aprés démontage et remontage de la cellule. Nous
pouvons constater que les résultats sont parfaitement reproductibles. Sur des périodes plus
longues. les plaques subissent une évolution résultant du colmatage des pores au cours des
manipulations.
4
'EltÎ......';il.:.:: 3
0
u
0
essai-l
ë5
.f-
Â
essai-2
i:!
0
=c
2·
+ essai-3
0
u
:l
C'"
~
ëii
0
CIl
~
...
E
...
u
CIl
•
... ,..
CIl
~
a
..
:>
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
L\\p (bar)
Figure 1·10 : Etude de la reproductibUtté des résultats expérimentaux
1-3-4. Matériaux poreux testés
Les essais ont été réalisés sur sept échantillons de matériaux poreux :
- trois échantillons sont en matériaux composites à base de carbure de silicium. Ils sont
dénonunés A. B et C. La plaque B est plus poreuse que la C qui est elle-même plus poreuse

---

42
que la A Les troiS plaques ont une dimension de 50 mm X 50 mm. Leur épaisseur est de 5
nun pour les plaques B et A et de 9 mm pour la plaque C.
- quatre échantlllons sont en métaux frittés. L'un est en nickel (Ni) les troiS autres en bronze
(85. B8 et BI2). Ds ont tous 3 mm d'épaiSseur et les memes longueurs et largeurs que les
plaques précédentes. Leur taux de porosité va en croissant dans l'ordre: Ni. B5. B8 et B12.
1-3-4-1. Matériaux composites
Les matériaux composites sont des matériaux hétérogènes formés de deux types de
constituants aux propriétés et rôles mécaniques différents: le renforcement et la matrice.
La liaison entre ces constituants a une tnfluence fondamentale sur les propriétés
mécaniques du matériau.
Le renforcement est constitué de torons (ou arrangements) de fibres continues ou
non. noyées dans la matrice 126]. Les fibres peuvent etre en verre. en polymère, en carbone
(module d'élasticité élevé), en carbure de silicium (très bonne tenue en température). etc.
La matrice a une résistance mécanique beaucoup plus faible. Elle conserve la
disposition géométrique des fibres et leur transmet les sollicitations auxquelles est soumise
la pièce. Elle peut etre constituée de résine thermoplastique ou thermodurciSsable
(polyester. silicone...), de carbure de silicium. de carbone. de matériaux métalliques 127]. etc.
Une description déta1llée de ce type de matériau fait l'objet des références 128-45].
La figure 1-11 presente deux types de tissages de matériaux composites.
Tissu 2D
Tissu 3D
Tissage 3D
Figures 1-11 : Différents types de tissage ( bi et tridimensionnel [37J )
Les échant1llons utiliSés pour nos essais sont des matériaux à renforcement de fibres
disposées en torons formant un tissage bidimensionnel (2D). Ils sont constitués de plusieurs
nappes reliées entre elles par la matrice. Les nappes internes présentent une forte
ondulation. Les deux nappes externes qui fonnent les faces amont et aval de la paroi
présentent un tissage plus serré et sont beaucoup plus planes et parallèles entre elles. Un
traitement de surface plus ou moins important selon les échant1llons réduit la porosité du
matériau. Ce traitement de surface n'affecte que la porosité des nappes de surface. Les faces
latérales donnent une indication sur la structure interne des plaques poreuses. La porosité

---

43
interne est extrêmement importante puisque la surface offerte par les trous sur les faces
latérales représente près de 30% de la surface de la plaque. Les cavités formant les pores
sont de forme hexagonale carrée ou rectangulaire. Les faces sont planes et parallèles entre
elles.
1-3+2. Mitaux.frlttés (46-IU]
Les matériaux frittés poreux sont préparés à partir d'une technique dite de "poudre
métallurgique" (poudre de granulométrie et de nature trés variées). Cette technique est
décrite en détail dans la référence 150]. Le principe de fabrication consiste à ajouter et à
mélanger à la poudre métallique. une substance chimique poudreuse qui se décompose sous
forme gazeuse à une température inférieure à la température de fusion du métal. La
technique de fabrication consiste à mélanger intimement les deux poudres. puis à les
presser dans un moule à haute température pour leur donner une forme compacte. La
pression et la température élevées permettent de souder les grains entre eux. Les gaz générés
par la décomposition de la poudre chimique laissent des espaces vides qui s'interconnectent
pour donner naissance à des pores. Bien que certains de ces pores s'obstruent au cours de la
phase de solidification. 11 en reste suffisamment pour rendre perméable le métal obtenu. Les
figures 1-12 et 1-13 présentent des matériaux frittés méta1l1ques dont la diversité des
structures est due au mode de fabrication (pression. température....).
Figure
1-12: Microstructure
d'un
Figure 1-13 : Microstructure de dtfférents
matériau poreux cuivreux à 3006 de taux
types de métaux frittés suivant le taux de
de porosité nominale {41J
porosité {42J
La fonne et le volume des interstices dépendent de nombreux paramètres :
- la forme des grains: ceux-ci peuvent être parfaitement sphériques (figure 1-12), irréguliers
(figure 1-13) ou en forme de fibres plus ou moins longues et plus ou moins rectilignes.
- la dimension des grains.
- la méthode de frittage: les valeurs de la pression et de la température ont une action sur
l'importance des ponts entre les grains et la déformation de ceux-ci,

---

44
- la présence ou non d'un liant et l'importance de ce liant.
- la nature de la poudre.
Sauf l'échantillon de Nickel fritté pour lequel nous ne disposons d'aucun
renseignement. les autres matériaux frittés utilisés dans le cadre de notre étude sont
fabriqués par la Société TIlYSSEN qui caractérise la géométrie de ses matériaux frittés par :
- le seuil d'arrêt. n est déterminé par le passage de perles de verre et représente le diamètre
des plus grands pores du matériau. n est considéré en première approximation conune étant
proportionnel au diamètre moyen des grains ou à une longueur caractéristique comme le
diamètre hydraulique.
- les coefficients de perméabilité d'inertie et de pennéabilité visqueuse.
-le taux de porosité.
La ganune SIPERM B correspond à des matériaux obtenus à partir de poudres sphériques en
bronze. La dimension des grains pennet de faire varier le degré de porosité. Nous avons
choisi d'utiliser des échantlllons SIPERM B5. B8 et B12. Les numéros 5. 8 et 12 représentent
les seuils d'arrêt explimés en J1m. Le tableau 1-2 récapitule la valeur des paramètres
caractéristiques de ces matériaux.
..
Caract~rlsllques
Plaque B5
Plaque B8
Plaque B12
phVSIQues
1
Seuil d'am!t bun)
5
8
12
CoelTlclent de
penn~abllitt
vtsqueuse l'V) 1m2 )
1.10,12
4.10. 12
6.10. 12
CoelTlclent de
pennéabllitt
1.5.10.7
16.10.7
35.10.7
d'inertie l'VJllm)
Taux de porosJt~I%)
25-28
27-30
28-31
Tableau 1-2 : Caractéristiques physiques des matértaux.ftittés SIPERM B
1-4. VALIDATION ET CHOIX D'UN MODELE
1-4-1. Modèle à écoulement mixte
Deux variantes du modèle à écoulement mixte ont été présentées au paragraphe
1-2-2-1.
1-4-1-1. Modèle a, Ko

---

45
Dans ce modèle basé sur l'ensemble des relations (1-23). (1-25) et (1-34). la
perméab1l1té d'un matértau poreux est caractértsée par deux paramètres Ka et a qu'il
convient de déterminer pour chaque type de matértaux.
1-4-1-1-1. DitermlnatloD de. param6tre. a et Ka
La détermination de a et Ka pour un matértau poreux se fait à partir de deux points
d'une courbe expérimentale Qm =f(t1p). Un programme (CALAG) permettant le calcul
automatique de ces paramètres a été élaboré. Pour chaque point. la valeur de a est fixée
arbitrairement puiS la valeur de Ka est déterminée par approches succesSives. Le programme
CAlAG calcule les débits QIn sup et Qm 1nf correspondant à deux valeurs Keup et Klnf qui sont
les valeurs l1m1tes que peut prendre Ka. puiS calcule le débit correspondant à une valeur
moyenne de K. Pour une convergence plus rapide une moyenne logartthmique est ut1l1sée :
K
_ (Ksup - Kinf)
moy- ~Ln":""-(Ksup~)
(1-42)
Kinf
Suivant la valeur du débit effectivement mesuré. Kmoy devient Keup ou Kinf dans l'itération
suivante. Pour les deux points considérés. on obtient aInSi deux valeurs de K (KI et K2). Ces
deux valeurs de K doivent vértfier le système d'équations :
KI = Ka( QmI/J.L)a
(I-43a)
K2 =Ka ( Qm2/J.l)a
(I-43b)
La résolution de ce système d'équations permet de calculer les valeurs effectives de a et Ka.
La figure 1-14 présente l'organigramme du programme de calcul de a et Ku.
Les paramètres a et Ku. caractériStiques du matértau. ne doivent pas dépendre des
caractértstiques du flUide utilisé. La valeur de ces paramètres est déterminée pour un
matértau donné à partir de deux points de la courbe expérimentale donnant le débit d'azote à
température ambiante en fonction de la différence de pressions amont-aval. Ces valeurs de
a et Ka sont ensuite utilisées pour calculer le débit de tout flUide compressible ou
Incompressible à une température quelconque. en fonction de la variation de la pression. Le
tableau 1-3 récapitule les valeurs de a et de Ka des échantillons de plaques poreuses qui nous
ont servi dans notre étude.
Cependant. 11 convient de noter que les valeurs a et Ko présentent une forte
sensibilité aux vartations des valeurs de KI et &.2, Nous constatons sur le tableau 1-4 qu'en

---

46
considérant un domaine d'incertitude de ± 1 %, sur la valeur du débit, la valeur de a peut
varier de près de 10%, et celle de Ka de près de 25 % (ces deux valeurs varient en sens
inverse). Malgré l'importance de ces écarts, on constate sur la figure 1-15 que l'utilisation de
ces quatre différents couples a et Ko dans notre modèle conduit à des résultats qui restent en
excellent accord avec les points expérimentaux. Cette analyse montre que les valeurs de a et
de Ka prises indépendamment n'ont pas de signification physique précise pour notre
modèle. Seul le couple de valeurs a une importance.
5a1sle des caractér1suques des points N"l et N°2
(dèbll. pression) et kr1ture dans le fichier· .cal
Lecture des caractéristiques du point 1
Inilialisation de Cl. K 0
Calcul du débit pour la borne inférieure K1
Calcul dW' débit pour la borne supérieure K2
Calcul du débit pour K
•
(K1- K 2) / ln K1/K2
moy
Après le calcul
Après le calcul
pour le point 1
pour le point 2
Afficnage des
résultats Cl et K
Figure 1-14 : Organigramme de calcul de a et Ka (programme CAlAO)
1·4-1-1-2. Validation du modi:le
La validité d'un modèle est mise en évidence par le degré de corrélation entre les
courbes calculées à partir du modèle et les points expérimentaux. Pour que cette validation
ait un caractère d'universalité, 11 faut que les expérimentations soient diversifiées. Ainsi,
sur les différents échantillons de plaques poreuses retenus nous avons réalisé des essais :
- en fatsant varier la pression aval pour des gammes de ôp données (plaques B et Ni).

---

47
- en faisant varier la température dans le m1l1eu poreux (plaque Bl.
- en changeant de nature de fluide (compressible ou incompressible) (plaques A. B. B5. B8.
B12. C et Nt).
Plaques
a
Ka
(m lX - 1)
11
A
-0.447
2.227.10
7
B
-0.265
3.113.10
11
B5
-0.986
6.481.10
10
Be
-0.884
5.956.10
10
B12
-0.895
5.217.10
9
C
-0.266
1.888.10
11
NI
-0.506
2.267.10
Tableau 1-3 : Valeurs calculées de a et de Ka relatives à chaque matériau poreux constituant
les plaques d'essais
6p
qm
a
Ka
6ala
6Ka / Ka
(bar)
(k~/s.m2)
(m a - 1)
1
1
!1
1
0.0200
-0.362
1.112.10 12
!
-
-
1
3.5
0,0620
1
!1f
1
1- 0,0202
!
-0,343
9,582.10 11
5.2 %
1
13.8 %
3.5
i
t
0.0620
1
1
1
1
,
1
1
0.0200
-0.374
1.215.10 12 1
3.3 %
1
9,2 %
1
3.5
'" 0.0626
1
1
1
1
!
11
1
~
1
0.0202
-0.327
8.546.10
1
1
9.6 %
23.1 %
!
3.5
"'0.0614
1
f
i
1
1
Tableau 1-4 : Valeur de a et de Ka calculées en utilisant les bornes du domaine d'incertitude
de deux points expérimentaux ( • valeurs ayant varié de:t 1 96)

---

48
c,...
0.08
t:
iii
• points expérimentaux
.......
'CO
A
couple l
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0.06-
u
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~
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0
u
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:J
cr
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III
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E
0.02
0
u
III
III
U
..;; 0.00
0
1
2
3
4
6p(bar)
FIgure 1-15 : InjlJ.Jence de la valeur du couple a, Ka sur le calcul du débit (plaque A )
a) Cas d'un écoulement de fluide compressible
• Variation de 6p (avec une pre.lon aval maintenue lia preulon atmo.phérlque )
Les graphiques de la figure 1-16 présentent les résultats expéI1mentaux obtenus avec
les plaques A. C Ni. B. B5. B8 et B12. Pour divers essats réalisés avec l'azote. les points qui
ont servi au calcul de a et Ko sont repérés sur ces différentes courbes. Ces fJgures montrent
que le réseau de courbes calculées à l'aide de notre modèle suit parfaitement l'ensemble des
points expéI1mentaux pour tous les cas d'étude.
La validité du modèle a été vérifiée également pour un autre fluide compressible de
nature très différente : l'hydrogène. Avec des précautions particulières. compte tenu de
l'inflammabilité de ce gaz. des tests ont été réalisés avec les plaques B5 et B12. Les résultats
obtenus. présentés sur la figure 1-17. montrent que les valeurs du débit prédites par notre
modèle sont en parfait accord avec les valeurs mesurées et confirment donc la qualité du
modèle.
• Variation du niveau de preulon clan. l'échantll1on
Des essais ont été effectués à la température ambiante (21°C) pour différentes
pressions aval de l'azote dans le domaine de 1 à 5 bar. La variation de ce paramètre modifie
les caractértstiques du fluide (masse volumique. vtscosité....) et modifie le rapport de détente
l1p/p du fluide lors de la traversée de la paroi. Cette étude a été réalisée pour la plaque B
(matériau composite) et pour la plaque Ni (matériau fritté). Les graphiques de la fJgure 1-18
montrent que le modèle prend également correctement en compte la variation de ce
paramètre.

---

49
CIl
6
E
o points ~rtmentaux
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........
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5
points utilisés pour calculer a etK"
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~
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-courbes calcul~s
4J
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4J
Ul
Ul
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3
4
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o
points e.'Cpénmentaux
B
* points utilisés pour calculer a etK"
6
-
courbes calcul~es
4
2
4J
Ul
Ul
4J
....
:> 0-+-=--........
0.0
0.5
1,0
1,5
.1.p ( bar )
Figure 1- 16 : Débit d'azote à température ambiante enfonction de la chute de pression à
travers les plaques A et Ni, B8 et C. B. B5 et B12 (pression atmosphérique à l'avaV

---

50
IÇ
0.6
c:
...
/JI
points expénmentau."'C
"-
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0.5
-
courbes calculées
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c:
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0,4
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0.1
""
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V
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0.0
v
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0.0
0.1
0.2
0.3
0,4
0.5
0.6
0.7
5=
~p (bar)
Figure 1- 17 : Débit d'hydrogène à travers les plaques B5 et B12 (température ambiante.
pression atmosphérique à l'aval)
6....-----------------------,
4ban
3ban
2ban
lbar
•
points ~rtmentallX
-
courbes calcul~s
Plaque·B
O+-------T'""------r----------I
0.0
0.5
1.0
1.5
âp(barJ
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6
c:
Plaque·Ni
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CIl
........
5
~
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4
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3
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2
CIl
CIl
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....
•
points expértmentau.,,<
- 1
t.l
CIl
- - courbes calculées
CIl
~
a
>
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
6p (bar)
Figure 1-18 : Influence de la variatton de la pression aval sur le débit d'azote à travers les
plaques B et Ni (température ambiante)

---

51
• Variation cle la température
Des mesures ont été effectuées à cUfIérentes températures. entre 21°C et 550°C. dans
des conditions isothennes (le fluide étant à la m~me température que la paroi) pour une
pression aval de 1 bar. Compte tenu des dilllcultés rencontrées pour la mise en oeuvre de ce
test. les essais n'ont été réalisés que pour la plaque B. Les résultats présentés sur la figure
1-19 montrent que le modèle prend correctement en compte les variations de cette grandeur.
"=
6
Plaque-B
T:21'C
Tc317'C
iii
......
5
Ji
u
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N
4
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"0
u
3
::
C'"
iii
III
r:l
2
E
u
•
points e.'Cpérimcntawc
III
1
CIl
- - courbes calculées
U
:;
0
0.0
0.5
1.0
1.S
2.0
2.5
3.0
3.5
ôp(bar)
Figure 1-19 : l'lfluence de la variation de la température sur le débit d'azote à travers la
plaque B (pression atmosphérique à l'aval)
bJ cas d'un écoulement de fluide incompressible ci température ambiante
Les fluides incompressibles tels que l'eau ou l'alcool ont des caractéristiques
physiques (masse volumique. viscosité. compressibilité•...) fondamentalement différentes
de celles de l'azote ou de l'hydrogène. Les mesures de débit pour ces fluides ont été comparees
aux valeurs calculées à partir des paramètres a et Ka déterminés lors des expériences à
l'azote.
Les essais à l'eau ont été réalisés avec les plaques B. C, 85. B8 et B12. Les résultats
obtenus sont présentés sur la figure 1-20. Pour ces cinq types de plaques. le débit calculé est
absolument confonne à celui mesuré.
Les plaques dont le diamètre des pores est très faible (plaques très peu poreuses : A et
Ni) se sont montrées lmpennéables à l'eau. Ce phénomène de blocage du flUide est dû à l'effet
de la tension superficielle lorsque le fluide est au contact de poches de gaz dans le milieu
poreux. Pour vérifier cette hypothèse. nous avons fait des essais avec les mêmes plaques en
utilisant un autre flUide à faible tension superficielle. Notre choix s'est porté sur l'alcool
éthylique à 95 % qui présente une tension superficielle trois fois plus faible (23.10-3 N/m)

---

52
que celle de l'eau (73.10-3 N/m) et qui est d'un emploi facile. Les résultats correspondants
sont présentés sur la figure 1-21.
400.-----------------------~
..
o
potnts expertmentaux
E
cri
-
courbes calculees
......
'CD
300
.:.::
o .l-----'ld::::=~~~===~~::==:=:::::=:j
o
2
3
4
top (bar )
o
poInts expérimenlaux
o
-
courbes calcuJées
100
o-t--........--..----......,~- ......-......,.--~-_r----l
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
t::.Y (bar)
Figure 1-20 : Débit d'eau d travers les plnques B. B8 et 85. B12 et C d la température ambiante
Les résultats obtenus avec la plaque de Nickel montrent qu'il est possible de valider
le modèle sur des plaques peu poreuses pour des fluides présentant des tensions
superficielles faibles. Les résultats obtenus avec la plaque A. la moins poreuse de toutes,
montrent des écarts qui restent importants entre les résultats théoriques et expérimentaux.
Nous attribuons cet écart au fait que la tension superficielle de l'alcool est encore trop élevée
pour que notre modèle. qui ne prend pas en compte ce phénomène. soit applicable dans ce
cas. Il faudrait utiliser un liquide avec une tension interfaciale encore plus faible pour
arrtver à valider le modèle pour un écoulement de liquide à travers cette plaque poreuse.
1-4-1-1-3. Concluions
Les différents résultats présentés ci-dessus montrent qu'à partir d'un couple de
valeurs a et Ka détenniné pour un matériau donné à partir de deux points expérimentaux. il

---

53
est possible de calculer avec une très bonne précision le débit pour une valeur quelconque de
la pression et de la chute de preSSion l1p. de la température de la paroi. de la compresSibilité
et de la nature du fluide. Ce modèle semi-empirique ne tient cependant pas compte des
phénomènes de tension interfaciale et le modèle a. Ka n'est utilisable que si ces phénomènes
sont négligeables.
"s 15 .,-------------~----__.
~
0
points e.'Cpértmenc.au."C
C
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courbes calculées
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1
2
3
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âp (bar)
FIgure 1-21 : DébU d'alcool à. travers les plaques C. Ni et A à. la température ambiante
1-4-1-2. Modèle de BERNSTEIN (ou modèle E, dg )
L'équation de BERNSTEIN (équation 1-22) donne la chute de pression en fonction du
débit dans le cas spécifique d'un écoulement à travers un matériau poreux homogène
assimUable à un empilement de bUles ou de grains sphériques. Cette équation (rappelée ci-
après dans sa forme simplifiée) a une structure simllaire à celle utilisée dans le modèle a.
Ka. Cependant les paramètres utilisés (porosité et diamètre de grains) ont une signification
physique précise. Compte tenu de l'application à un type de matértau spécifique. seules les
courbes expérimentales obtenues avec les plaques en bronze fritté (B5. B8 et B12) ont été
utilisées. Pour ces matértaux le fabricant fournit le taux de porosité E et le diamètre moyen
de grain dg.

---

54
p ~p = (il) ~
(1-35)
1
2dg
avec :
7t
E = 1- -6-(-I-~--a )-.,-':(=1=+=2=COS=a=)
Re=
0,45
Umdg
A'= ~ + ---3..- +0,3
Re
Re0.7
(I-E)€
\\)
Le modèle de BERNSTEIN pennet de calculer le débit du fluide à partir des grandeurs
physiques E et dg. Nous avons constaté dans nos études que les courbes calculées à partir des
valeurs du taux de porosité et du diamètre moyen de grain donnés par le fabricant sont
inférieures à la courbe expérimentale. Ce résultat n'est en fait pas tres surprenant car le
matériau fritté n'est pas un empilement parfait de grains sphériques comme le suppose le
modèle de BERNSTEIN et la valeur des diamètres moyens de grains n'a pas une signification
physique très precise. C'est pourquoi nous avons refait le calcul en fixant le taux de porosité
à la valeur donnée par le fabricant et avons calculé un diamètre moyen de grain par
approches successives Jusqu'à superposition de la courbe théorique et de la courbe
expérimentale. Ce diamètre de grain obtenu avec de l'azote est ensuite utllisé pour calculer le
débit de n'importe quel autre fluide. Les graphiques de la figure 1-22 présentent les resultats
expérimentaux utilisés pour détenniner la valeur du diamètre moyen des grains des
échantillons B5. B12 et B8. On peut noter que dans chaque cas, la valeur calculée de dg
permet d'avoir une bonne concordance entre le modèle et l'ensemble des points
expérimentaux.
Le tableau 1-5 donne pour chacun des matériaux, le taux de porosité et le diamètre
moyen de grains utilisés pour calculer les courbes de débit en fonction de la chute de
pression amont-aval de la plaque. La valeur de dg peut être comparee à celle donnée par le
fabricant des matériaux. La colonne de droite du tableau presente le pourcentage d'écart
entre les deux valeurs par rapport à la valeur de la borne supérieure donnée par le fabricant.
Le modèle utl1isant les valeurs de dg obtenues avec l'azote a été utilisé pour un autre
flUide compressible: l'hydrogène. Les résultats obtenus présentés sur la figure 1-23 montrent
une bonne prédictibillté du modèle pour le calcul du débit à travers les matériaux poreux.
En utilisant le même diamètre de grain nous avons vérifié qu'il est possible de
calculer le débit d'eau à travers les mêmes plaques poreuses. La courbe calculée est ensuite
comparée à celle obtenue expérimentalement. Les résultats sont présentés sur la figure 1-24
qui montrent une remarquable concordance entre les valeurs calculées et celles obtenues
expérimentalement.

---

55
8 - r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
... polnts e.~r1mentaux
B12
_
courbes calculees
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0.5
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8
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-
courbe calculée
6
4
2
a
0.0
0.5
1.0
~p(bar)
FIgure 1.22 : Débit d'azote à travers les plaques BS. B12 et B8 (température ambiante)
Plaque
Porosité du
Porosité
Diamètre du
Diamètre du
% d'écart
poreuse
fabricant
utilisée pour
grain du
grain calculé 1entre les deux
!
(% )
le calcul
fabricant
( lJ.IIl )
valeurs
!1
(% )
(1J.IIl)
!
(%)
1
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B5
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28
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90
1
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1
B8
27-30
30
45-75
155
106
1
i
B12
28-31
31
75-100
145
1
45
1
!
Tableau H5 : Valeurs comparées des paramètres caractéristiques des matériauX

---

56
;;:
c
iii
0.6 -r--------------------------,
~
•
points e:'Cpértmentaux
.x.
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courbes calculées
0,4
B12
0.3
0.2
0.1
0.04--.....;.:--r--.........---,-----r-...---,-----.--r---.---r-.....,...-1
0.0
0.1
0.2
0.3
0,4
0.5
0.6
0.7
6p(bar)
Figure 1·23 : Débit d:hydrogène d travers les plaques B5 et B 12
,c;;:
400
c
lI'i
......
• pointa upérimentau.z:
u
.x
-
courbe calculée
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l:l
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CIl
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BU
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.,;
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......
u
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-
courbe. calculée•
300
::l
l:l
U
'0
lJ
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200
.,.~!::
BS
100
lJ
V>
V>
~
;;
0
0
:2
3
4
5
Ap(bar)
FIgure 1·24 : Débit d'eau à travers les plaques B5, B12 et B8
Le modèle de BERNSTEIN pennet. tout comme le modèle a, Ka. de calculer le débit
d'un flUide à travers un matériau poreux dans un très large domaine d'utilisation.

---

57
Cependant. pour une valeur de la porosité utllisée. correspondant à la valeur supérieure de
la fourchette donnée par le fabricant. les diamètres de grains obtenus à partir des courbes
sont systématiquement plus élevés que les valeurs données par le fabricant. Inversement.
l'utllisation du diamètre donné par le fabricant aboutit au calcul d'un débit deux à trois fols
plus faible que celui effectivement mesuré. Ces résultats indiquent que les matériaux frittés
ne peuvent pas être assimUés à un empilement parfait de billes. En réalité les grains
subissent des déformations lors du processus de frittage et l'empilement présente une
compacité plus faible qu'un empilement parfait. Les paramètres E et dg sont de ce fait
difficiles à déterminer par simple observation de la géométrie du matériau. Leur valeur
correcte pourrait être obtenue à partir de deux mesures expérimentales du débit selon le
processus utllisé dans la détermination des paramètres Ko et a du modèle a, Ka.
1-4-2. Modèle de superposition des ~cou1ementsvisqueux et inertiels
1-4-2-1. Pn5eRtatfon du mocIêle et détermfnatûm des constantes V1 et 'I1P
Rappelons que les transferts de masse à travers les garnissages de réacteurs de
procédés et les milieux poreux sont fréquemment calculés à partir d'une équation de la
forme:
âp =A qm + B c6n
(1-24)
Cette écriture est compatible avec les équations de REYNOLDS (1-7). d'ERGUN (1-8). de la
Norme (1-19) et de KOH (1-21). En retenant la formulation de la norme. on peut écrire ;
P âp =.1. qm +.1...
(1-43)
1 ~ qm "'1 ~
\\jIv
En posant ;
X= qm / ~
et
Y=pâp /IJ.l. qm
on obtient une relation linéaire de la forme ;
Y=aX+b
(1-44)
avec :
et
b = ~
"'v
Cette relation permet une détermination expértmentale aisée des valeurs de "'1 et "'v. Nous
avons tracé les courbes Y =flX) pour chacune des plaques poreuses que nous avons testées en
utilisant les mesures de débit d'azote et de débit d'eau. Les résultats obtenus sont présentés
sur la figure 1-25. Nous constatons que les courbes tracées avec les écoulements d'azote. d'une
part et les écoulements d'eau d'autre part. sont différentes. Ainsi les valeurs de "'1 et "'v

---

58
déteIlIl1nées avec ces deux fluides ne sont pas identiques. Le tableau 1-6 donne ces valeurs de
"'1 et "'v calculées respectivement avec les débits d'eau et les débits d'azote. ainsi que les
valeurs données par le constructeur.
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Plaqu.·A
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X. 10-4 ( m -1 )
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- - - re.ulla...· cau
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0+--.,.--,....----,-......,..-......,...--.,....-....,...--.---1
o
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X.10-4 (m- 1 )
X. 10-4 ( m -1 )
50...,--------------------,
6-r------~------------,
PI.q ... ·B12
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N
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1
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-
",_ullaLa' hyàrogtne
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- . résul&a....eau
E
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--.a.- rc:suJtalS.UOle
- 0 - rè.ulta...· eau
-
n:auUa&.a- "'cool
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I+--.,.--....__--,.-......,..-.....,..-.......--,--"T"""--J
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15
20
25
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X. 10 -4 ( m - l )
200 , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
Plaque·Nl
N
1
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E
160
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......
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~ 100..;.,---...----.,......---r---......,...-----,---
o
2
J
4
5
6
X. 10-4 ( m - l )
Figure 1-25 ; Courbes Y =fi X ) pour les sept plaques poreuses
Remargue ; Les courbes Y =me) obtenues à l'azote avec les plaques en matériaux frittés ont
des pentes négatives. Ceci est en contradiction avec les équations ci-dessus et il est

---

59
impoSSible de détenntner "'1.. Pour ces plaques. nous n'avons retenu que les résultats d'essais
à l'eau pour détenntner les paramètres "'1. et "'v .
'Jype de
Eau
Azote
Alcool
Hydrogène
i
Fabricant
1
i
Plaque
1
..
-If/v
If/l'
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'If/v
If/I'
'lf/v
If/l·
If/v
If/I'
(m)
2
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1m2)
(m)
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(m:
1m2)
lm)
-1m2)
A
7.66.10'8- 3.31.10- 14
1, 13.10.7
.< 0
1
1
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8
9.61.10'4
2.64.10·1\\
3.74.10'3. 6.93.10'12
C
1.49.10'5
2.25.10'12
0.5 3.28.10'13 8.68.10'( 1,25.10'12
5.46-.1
B5
7.20.10'4
1,55.10'12
< 0
8.40.10'13
< 0
8.69.10'13
1,5.10.7
·1.10'12
B8
3.11.10'3
4.86.10'12
< 0
2.84.10'12
<
0
.2.31.10. 12
16.10.7.
4.10'12
812
1.97.10'3. 6.62.10'12
< 0
3.31.10'12
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0
4.34.10'12
35.10.7
6.10·12
NI
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8.15.10'14
< 0
' 5.26.10'14
Tableau 1-6 : Tableau récapttulatif des valeurs des paramètres 'l'i et 'l'v des matériaux poreux
utilisés
14-2-2. UtWsatfDn des constantes 'l'. et 'l'II
La documentation de la Société TIIYSSEN concernant les échanUllons B5. B8 et B12
comporte:
- une courbe de débit d'eau (0 < âp < 1 bar).
- une courbe de débit d'air (0 < âp < 1 bar).
- les valeurs de "'1 et "'v (tableau 1-6) intelVenant dans l'équation de la NORME (équation 1-19).
Nous avons utllisé ces valeurs de "'i et de "'V données par le fabricant pour calculer le débit de
fluide à l'aide de notre programme en définissant le coefficient K par la relation 1-40. Nous
avons confronté nos résultats expérimentaux à ceux du fabricant d'une part et à ceux
calculés à partir de ces valeurs de "'1 et de "'V d'autre part. La figure 1-26 présente ces
différentes courbes.
L'observation de l'ensemble des résultats pennet de constater que:
- les courbes sont sensiblement différentes les unes des autres.
- l'écart entre nos mesures et celles du fabricant est en moyenne de l'ordre de 20 % mais peut
atteindre 100 %. pour certains domaines d'utilisation. Ceci pourrait s'expliquer par le fait

---

60
que nos essais ont porté sur des échantillons de matériaux de faible dimension qui ne sont
pas forcément représentatifs de la moyenne des matériaux du fabricant.
- la différence d'un facteur deux entre les courbes données par le fabricant et les courbes
calculées à partir des coefficients "'1 et "'v, également donnés par le fabricant. est plus
surprenant.
- enfin la concavité des courbes calculées à partir des coeffie1ents est différente de celle des
résultats expérimentaux. Cette - différence de concavité explique probablement
l'impossib1l1té de détenniner avec précision les valeurs de ces coefficients à partir de nos
résultats expérimentaux.
~ 75
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• polllls apénmcntaw<
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Figures 1-26 : Résultats de nos essais comparés à ceux dujabrfcant. des matériaux.ftittés

---

61
En fait. les valeurs de "'i et de "'v permettent de calculer l'ordre de grandeur du débit à
travers une plaque poreuse. Les valeurs de ces coefficients sont faciles à déterminer lorsque
l'écoulement est celui d'un liquide en traçant la courbe Y = mo. à condition d'approximer
cette courbe à une droite. Ces valeurs n'ont donc une signification que dans un certain
domaine de débit.
1+2-3. 7'ran.Vonnatfon des n5Wteus selon la représentation de carman et al
La figure 1-27 presente les courbes R/pu2 m = llRem) pour les échantillons B5. B8 et BI2
comparee à la courbe d'ERGUN (§ 1-1-2-3). Les courbes se rangent par ordre de surface spéci-
fique
et
perméabilité
1000 r - j - - T - - i " " 1---r----r-_
-
courbe d'ERGUN (14/
croissantes de la
•
points expérimentaux-Bs
courbe d'ERGUN (Sg
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a points expérimentaux-BB
= 5950 m2 /m3 ;
o points expérimentaux-B12
"'v =
l,71.10-7 m 2 à
2.79.10-7 m 2 ) à la
lO-r---M~~--f--t----l---1
/1
courbe
de
l'échanttllon B5 (Sg
~I~
= 1.33.105 m 2/m3 ;
c
ljIv = 1.10-12 m2 ). Les
points
,1
10
100
1000
10000
expérimentaux
Rem = up
dg
relatifs aux plaques
Jl 6(l-E)
B5. B8 et BI2 ne
Figure 1-27 : Comparaison des résultats d'essais avec ceux de la
présentent qu'une
littérature {12}
partie rectlligne. ce
qui devait traduire
un écoulement purement laminaire pour les conditions expérimentales utllisées. Il serait
intéressant de faire des mesures à débits plus élevés pour voir l'apparition du point de
transition pour cette représentation.
Remarque: les coordonnées R/pu2 m et Rem de la figure 1-27 sont deux paramètres
inversement proportionnels à la surface spécifique Sb (équations 1-10 et 1-12) des mtlieux
poreux. La position de nos courbes par raport à celle d' ERGUN est conforme à la réalité. En
effet. en faisant le rapport des surfaces spécifiques offertes par ces deux milieux. B5 a une
surface spécifique d'environ 22 fois plus grandes. d'où sa position.
Nos résultats. présentés sur la figure 1-27. sont corrélés par l'équation:

---

62
RI =3.50~
Put
(1-45)
Le coefficient 3.5 représente la valeur moyenne de la constante de KOZENY obtenue pour les
trois plaques poreuses en matériau fl1tté (BS. B8 et BI2). Ce résultat est compatible avec les
valeurs obtenues par CARMAN (5) et par ERGUN (4.17) compte tenu du fait que nos
matériaux poreux ont une structure très différente des garniSsages étudiés par ces auteurs.
1-5. CONCLUSIONS
Le transfert de masse dans un m1lieu poreux n'a pas donné lieu à une étude
bibliographique exhaustive. Nous avons recherché et analysé un certain nombre de
relations empiriques afin de les comparer à notre propre formulation. De cette étude. il se
dégage deux types de relations donnant la chute de preSSion en fonction du débit :
- les équations de la forme (1-23). correspondant au modèle à type d'écoulement mixte.
compatible avec notre propre formulation (modèle a. KJ et le modèle de BERNSTEIN.
- les équations de la forme (1-24). correspondant au modèle de superposition des
écoulements visqueux et inertiel qui comprennent. entre autres. l'équation de la Norme
Internationale ISO 4022 .
Le modèle a. Ko a été validé avec une bonne précision dans un trés large domatne
d'utilisation. Le modèle de BERNSTEIN peut également etre utilisé. mais les valeurs de f: et
de dg doiVent être considérées comme de simples paramètres et non comme des valeurs de
porosité et de diamètre de grains.
Le modèle de superposition donne des résultats corrects en ce qui concerne l'ordre de
grandeur des débits. La détennination des coefficients de visCosité selon ce modèle est
simple à condition d'admettre des approximations non négligeables. Globalement, ce
modêle semble beaucoup moins précis que les modèles à type d'écoulement mixte. du moins
pour les milieux poreux que nous avons utilisé.
Pour la suite de notre étude (transferts de chaleur) nous avons retenu le modèle a. Ko
qui présente une très bonne prédictibUité.

---

63
TRANSFERT DE CHALEUR
DANS UN MILIEU POREUX

---

---

65
Le transfert thenntque à l'intérieur de la paroi poreuse se fait. d'une part. par
conduction dans le matériau et dans le fluide. d'autre part. par convection entre le fluide et
le matériau et transport par le fluide réfrigérant. Le prof11 de température dans la paroi
dépend de la valeur du débit du fluide et du flux thenntque convectif ou radiatif reçu par la
face aval de la paroi. Le modèle mis au point fait intervenir deux paramètres essentiels: le
coefficient d'échange convectif interne et la conductivité thenntque équtvalente de la paroi.
B-l. ETUDE BIBLIOGRAPWQUE
Cette étude bibliographique s'attache particulièrement à rechercher et à analyser des
corrélations permettant de calculer le coefficient d'échange thenntque convectif interne.
Une deuxième partie présente quelques équations (non exhaustives) permettant de
déterm1ner la conductivité thenntque équivalente d'un m1l1eu poreux. La dernière partie
enfin traite d'un modèle global permettant la déterm1nation semi-empirique du coefficient
volumique d'échange convectif interne.
U-l-l. Coefficient d'~change convectif inteme
Les études expérimentales concernant la mesure des coefficients d'échange convectif
interne entre un m1lieu solide et un fluide ont fait l'objet de très nombreuses publications.
Les articles qui nous intéressent peuvent être classés en trots familles :
- de nombreux travaux considèrent les échanges thermiques entre un Dulde et une sphère
maintenue à une température constante. On peut citer par exemple les publications (52) à
(72). Ce cas particulier reste intéressant dans la mesure où les relations obtenues ont une
forme identique à celle des relations concernant les échanges avec les milieux poreux.
- d'autres auteurs étudient expérimentalement les échanges thenntques entre un Dulde et un
garnissage de colonnes Adistiller ou un fluide et un matériau poreux non consolidé (73-84).
- enfin quelques articles traitent de l'écoulement à travers les matériaU% &lttés métalllques
185,87).
Les auteurs expriment en général leurs résultats sous forme d'équations
adimensionnelles en utilisant les nombres adimensionnels classiques : le nombre de

---

66
NUSSELT (Nu), le nombre de REYNOLDS (Re), le nombre de PRANDTL (Pr), le nombre de
srANTON (St), etc. La longueur caractériStique intelVenant dans les nombres de NUSSELT
et de REYNOLDS utllisés dans ces équations correspond au diamètre moyen des particules
dans le cas d'une sphère ou d'un gamJssage de particules ou au diamètre hydraulique des
pores dans le cas d'un milieu poreux consolidé. Le diamètre hydraulique est en général
défini par dh=4/sg.
Dans la suite de ce mémoire, h' réprésente le coefficient d'échange convectif
volumique interne moyen entre le fluide et le milieu poreux. TI s'exprime en W /m3'K et s'écrit
h'=hSg
(II-I)
où h est le coefficient d'échange convectif surfacique moyen (W/m2 'K ).
lI-I-I-I. ~ertsthermiques par convecti.on.forcée entre une sphère et WljJul.de
Les résultats de nombreux travaux concernant le transfert de chaleur entre une
sphère et un écoulement d'air ont été compUés par WILLIAMS 152] et sont présentés sur la
figure 11-1. Ces résultats sont en accord avec la corrélation suggérée par l'auteur:
Nu = 0,37 ReO·60
(II-2)
pour des nombres de REYNOLDS compriS entre 17 et 7.1Q4. L'auteur fait remarquer que des
écarts considérables subsistent entre les différents résultats probablement à cause des
différences de degré de turbulence présentés par le courant d'air à l'entrée du dispositif
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Reynolds
Figure U-l : Données relatives d la transmission de la chaleur entre des sphères et de l'air
par WIlliAMS [ 52J

---

67
Des résultats plus récents ont été obtenus par YUGE (53J également pour des échanges
thenmques entre une sphère et un flux d'air pour des nombres de REYNOlDS compris entre
10 et 1.44. lOS. L'auteur aboutit à diverses relations selon la valeur du nombre de REYNOlDS
Nu =2 + 0.493 ReO.50
(11-3)
pour IO<Re< 1800
Nu =2 + 0.300 ReO.57
(11-4)
pour 1800 < Re < 1.5.105-
KRAMER (54J étudie le transfert de chaleur entre différentes particules sphériques en
acier de diamètre compris entre 0.70 et 1.25 cm et un fluide (air. eau ou huile). Pour cette
étude 11 conçoit deux types de montages expér1mentaux :
-l'un pour les études avec de l'air. Le schéma correspondant est présenté sur la figure 11-2.
- le second pour les études avec les liquides. Le schéma de ce montage est présenté sur la
figure 11-3.
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1
llO ~'.
llO • ."
FlfW'e U-2 : SChéma du dispositif utilisé
Figure U-S : SChéma du montage utUisé
par KRAMER [54J pour les essais aux gaz
par KRAMER [54J pour les essais avec les
liquides
Dans les deux cas. il utilise un chauffage par induction électrique qui pennet de chauffer les
sphères. Celles-ci sont refroidies par l'écoulement du fluide. La mesure des températures
d'équilibre pennet de caractériser le coefficient d'échange. KRAMER réaUse cette étude pour

---

68
des écarts de températures (~" entre le matériau et le fluide très faibles. pour des nombres
de Reynolds également très faibles compris entre 1 et 1000 et pour des nombres de Prandtl
compris entreO!1 et 380. Ses résultats sont colTélés par l'équation:
Nu = 0.97 PrO.30 + 0.68 Re0.50 PrO.30
(11-5)
Pour des écoulements autour de cylindres. il obtient l'équation :
Nu =0.42 PrO.20 + 0.57 Re0.50 PrO.33
(11-6)
La figure 11-4 présente les résultats de l'auteur comparés à ceux de WACHOWSKI. Pour des
nombres de REYNOLDS supérieurs à 1000. les résultats concordent, tandis que pour des
nombres de REYNOLDS plus faibles. les résultats de KRAMER se situent au-dessus de ceux de
WACHOWSKI.
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100
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1
500
1000
2000
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10.000 20.000
°0 100 200
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Figure D-4 : Résultats de KRAMER comparés à ceux de L.JACHOWSKI [54J
VIlET et LEPPERT 155] étudient le cas d'une sphère placée dans un canal parcouru par
un écoulement d'eau. La figure ll-5 présente le schéma du montage utilisé. Une sphère en
cuivre. de conductivité thermique élevée. chauffée électriquement par induction. est
refroidie par un écoulement de fluide. Les études sont faites pour des nombres de Reynolds
très élevés (de 3000 à 1.15.lOS) et pour des différences de températures (sunace de la sphère-
fluide) comprises entre 15° Cet 120 oC. Deux thermocouples fer-constantan. placés dans des
trous creusés dans la sphère (figure 11-6) indiquent la différence de température ~T entre la
sunace de la boule et le fluide. La connaissance du flux thermique reçu par la sphère et
l'écart de température sphère-fluide permet de calculer le coefficient d'échange.
Dans une première étude. VLIET et LEPPERT ne prennent en compte ni la variation des
propriétés du fluide ni les effets de la convection naturelle. ils comparent leurs résultats.

---

69
donnés sur la figure 11-7, avec ceux de KRAMER (obtenus pour des essais avec de l'eau) et en
tirent la relation suivante :
Nu = 2,7 Prl.50 + 0,12 ReD·56 Prl.50
(11-7)
pour des nombres de REYNOLDS compI1s entre 50 et 5.10' .
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Figure D-5 : Ensemble du di.sposttif
Figure D-6 : Vue de la sphère du montage
expérimental de VUE:!' et LEPPERT [55J
de VUET et LEPPERT avec les points
d'installatiOn des thermocouples [55J
Dans une seconde étude concernant le même intervalle du nombre de REYNOLDS, ils
prennent en compte la variation des propriétés du fluide. Ils déduisent de leurs résultats
(figure 11-8) une seconde relation:
(11-8)
où J.Iw représente la Viscosité du fluide à la paroi et ilIa Viscosité du fluide dans le courant
non perturbé.
Enfin. VLIET et LEPPERT comparent leurs résultats à ceux de KRAMER (tous flUides
confondus) et à ceux d'autres auteurs. Ainsi. pour un intervalle du nombre de REYNOLDS
compris entre 1000 et 5.104 • la figure 11-9 rassemble une compilation de résultats
expérimentaux obtenus par WILLIAMS 1521. YUGE 1531. KRAMER 154]. BRIGGS et al 1561.
GARNER et KEEY 1571 et S1EELE et GEANKOPLIS 1581. De l'ensemble de ces résultats. VUET
et LEPPERr tirent la relation :

---

70
(11-9)
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Figure U-S : Convection forcée avec
variation des propriétés dujlutde [551
variation des propriétés du.flutde [551
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FIgure U-S : Résultats de la compUationfaite par VUET et LEPPERT [551
D'autres auteurs aboutissent à des résultats différents. Dans une étude semi-
analytique. WHITAKER [59] étudie l'écoulement autour d'une sphère. Il considère qu'à l'état
stationnaire la conduction à travers la couche limite correspond à :
Nu=2
(11-10)

---

71
n ajoute à cette valeur, le transfert thermique par convection. Il choisit une dépendance
fonctionnelle entre les nombres de REYNOLDS, de NUSSELT, de PRANDTL et le rapport des
Vicosités 1J./1Jw~
(Nu-2 )= flRe, Pr, 1J./1Jw)
(II-11)
La fonction f doit etre telle que lorsque le nombre de REYNOLDS tend vers zéro alors que
flRe, Pr, 1J./IJw,) tend vers 0 et Nu tend vers 2.
Il est possible de considérer (en accord avec RICHARDSON 160)) que l'échange
thermique avec une sphère doit etre considéré comme la superpoSition de deux phénomènes
que l'on peut traduire par deux termes :
- dans la région de la couche limite lamtnatre, la contribution au nombre de NUSSELT peut
se présenter sous la forme : ReO.5 PrO·33.•
- dans la région turbulente. cette contribution se présente sous la forme : ReD·56 PrO.33·
Dans ce cas l'équation (II-11) doit s'écrire sous la forme:
Nu = 2 +(a Rel/2 + b Rél/3 ) Prl/3 (~) C
(11-12)
Sur la base des travaux de KRAMER 154] et de ceux de VUET et IEPPERr 155], l'exposant c est
pris égal â 1/4. Les constantes a et b sont choisies pour obtenir un bon degré de corrélation
entre les données expérimentales et leur représentation théorique. Alors, la forme finale de
l'équation de WHITAKER est :
(11-13)
Nu = 2 +(0,4 ReIfl + 0,06 R,e2/3 ) PrO.4 (~) 1/4
La figure 11-10 montre que l'accord est satisfaisant entre les données et ce modèle pour des
nombres de REYNOLDS compris entre 3,5 et 8.1Q4 et pour un nombre de PRANDTL compris
entre 0,7 et 380.
Pour un nombre de REYNOLDS compris entre 0,1 et 2.105 et pour un nombre de
PRANDTL de 0,70, DRAKE [61] propose la relation:
Nu = 2 + 0,40 Re°.5S
(11-14)
A partir de résultats d'autres travaux et en rapport avec ceux de JENSON.
RICHARDSON [60] établit la relation:
Nu =0.35 Re°'5OpzD.33 + 0.048 Re°'66pt>.33
(11-15)

---

72
L'auteur conclut que cette corrélation est en accord avec les résultats de YUGE. mais que des
divergences subsistent aux faibles valeurs du nombre de REYNOLDS.
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I I I . I S
Re
Figure B-10 : Résultat des études de wmTAKER 1591
Pour un fluide quelconque et un nombre de Reynolds compI1s entre 4.1Q3 et 4.10".
HILPERT(59) et KNUDSEN(63] conseillent la formule:
0,618
0,33
Nu =O.I93Re
Pr
(II-16)
Pour un flUide quelconque. KATSNEL'SON et TIMOFEYEVA (64) proposent
l'équation :
Nu = 2 + 0.03 PfO,33 ReO-54 + 0.35 PfO,36 ReO-58
(11-17)
La relation proposée par GRIGULL (65)
Nu =2 +0.37 Re0.5O PJO·33
(II-lB)
permet de calculer le coefficient d'échange convectif entre une particule sphérique et un
fluide. pour des nombres de REYNOLDS variant entre 20 et 1.5. lOS. Dans ces deux dernières
équations. lorsque le nombre de REYNOLDS tend vers zéro. le nombre de NUSSELT tend vers
deux. Cette valeur correspond au transfert thennique par conduction.
Dans le cas I1m1te où le nombre de Reynolds est inférieur à l'unité et pour un nombre
de Prandtl égal à l'unité, JOHNSTON et al (66) ont montré. à partir de considérations
théoriques. que le nombre de NUSSELT tend vers une valeur constante égale à deux à moins

---

73
que les sphères aient des diamètres de l'ordre de grandeur du libre parcours moyen des
molécules dans le cas d'un gaz.
De nombreuses études ont amené COULSON et RICHARDSON (14) à proposer la
relation:
Nu=2+~Re lJPr m
(II-19)
pour le calcul du coefficient d'échange interne moyen entre un fluide et une particule. dans
laquelle ~ est une constante. n et m des paramètres déterminés expértmentalement. Lorsque
la vitesse relatiVe tend vers zéro. le nombre de REYNOLDS tend vers zéro et l'équation se
réduit à Nu =2 (en accord avec la conclusion de WHlTAKER). ROWE et al (67) qui ont analysé
un grand nombre de travaux sur ce sujet, ont fourni des données expérimentales qutleur ont
permiS de conclure que pour des nombres de REYNOLDS compriS entre 20 et 2000.
l'équation (II-19) peut se mettre sous la fonne :
(II-20)
dans laquelle Pvarie de 0.40 à 0.80 et est égal à 0.69 pour l'air et 0.79 pour l'eau.
En conclusion. on peut noter que toutes ces corrélations se présentent sous la fonne
générale:
Nu = K+ (a Rea PrT+ b ReP ~)(:::) Tl
(II-21l
Le tableau 11-1 complète les résultats précédents et récapitule les expressions des
diVerses corrélations en donnant les valeurs des différents paramètres.
H·l·l·2. Transferts thermiques par conpeetfonforcée entre un lit de particules (ou un
garnissaIJeJ et unjluide
La transmission de chaleur dans des éléments empilés a été étudiée dans d1fférents
domaines du génie chimique. Les données qui en ont découlées sont des valeurs importantes
à connaître dans des opérations telles que :
- l'écoulement de gaz à travers les matériaux granuleux.
- le transfert de chaleur et de masse dans des garnissages de colonnes de réacteurs de
procédés.
- le séchage de gaz par des matériaux secs.
-le séchage de matériaux par circulation d'air.
- etc.

---

74
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Domaine de
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0.00
0.00
0.00
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0.30
0.30
0.57
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0.00
0.00
air
1800<Re<15.104
2
0.49
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IO<Re<1800
1
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1WHITAKER (59]
2,00
0.40
0.061 0.50
0.66
0.33
0,33
0,25
3.5 <Re <8.104
-.._.-
1
1HILPERT-KNUDSEN 0.00 0.19:: 0.001 0.618 0.00 0,33
0
0.00
4000<Re<4.105
162-631
-----
Prrrs(68)
0.00
1.20
1,001 0.00
0.54
0.30
0.30
0.25
1 <Re < 2.105
--_...
1
KATSNEL'SON(64!
2,00
0.03
35
0.54
0.58
0,33
0,33
0.00
0.
1
----..
CRlCuu.l651
2
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0
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20<Re< 1.5. lQo'l
o 1 :-
1MARSHALL169]
2,00
0.60
0.00
0.50
0.00
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JENSON(701
0.00
0.35
0.50
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0,33
0,33
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0 ' 1
HOBSON[711
0.00
0.35
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0.00
0.00
0.00
3
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RAITHBYl72 (
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3
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0.236 O.
1 0.00
0.00
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0.00
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3.610 <Re<5.210
(VUETI551
0
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1.20
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0
0,33
0,33
0.25
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0.66
0
0.50
0.50
0,25
5O<Re<5.1()4
0
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2,70
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0
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0.50
0
5O<Re<5.10"
RICHARDSON (50)
0
0.35
0.048l 0.50
0.66
0,33
0,33
0
1ROWE(67)
2
0.69
0
0.50
0
0,33
0
0
air
2
0.79
0
0.50
0
0,33
0
0
eau
Tableau U-l : Valeurs des paramètres de l'équation UI-21) du transfert convectif entre une
sphère et unjluid.e en écoulementforcé
Pour détenntner les coefficients d'échange thennique dans un lit fiXe. GAMSON.
mODOS et HOUGEN [73] ont réalisé le dispositif expérimental présenté sur la figure II-Il.
Ce montage expérimental. conçu par MARSHALL et HOUGEN [74] est un déshydrateur. L'air
chaud est propulsé à travers une colonne de garnissage. L'appareillage comprend des

---

75
thermomètres. manomètres et débitmètres qui permettent d'obtenir les données nécessaires
aux calculs du coefficient d'échange interne entre le fluide et les empilements du garnissage.
FRONT VIEW -
SECTION A-A"
n,ure U-ll : DtsposttifpoW" le séchage de matériaux [741
La figure 11-12 présente le facteur de transfert thertntque de COLBURN Oh = h PrJ.33/
Cp Clm =St ptl.33) en fonction du nombre de REYNOlDS. D'apres les auteurs. cette courbe
rassemble les résultats de IBO essaiS obtenus pour différentes particules. L'écart moyen
relevé entre les points expérimentaux extrêmes est de ± 3%. malgré les différences dans les
formes des particules. les densités, les taux d'humidité. etc. Cette courbe en coordonnées
logarithmiques. présente deux parties linéaires, respectivement pour Re < 40 (écoulement
laminaire) et pour Re > 350 (écoulement turbulent). La région intermédiaire correspond à la
zone de transition. Ainsi :
- pour les écoulements turbulents (Re> 350), les résultats sont corrélés par la relation:
_h_ (Il Cp) 1/3 = 1,064 (Qm dg) -0.41
cp Qm
Â.
Il
(11-22)
soit:
jh = 1,064 Re-Q·41
ou:
St =1,064 Re-Q·41 Pr-Q·33 ou encore :
Nu =1,064 Re°·59PrO·66

---

76
_ pour les écoulements lamJnaireS (Re <40 J. les résultats sont corrélés par la relation:
jh =18.1 Re-)
(II-23J
ce qui correspond à :
St = 18.1 Re -) Pr -0.33. ou encore :
Nu =18.1 pfl.66
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Re
Figure 11-12 : Facteur de transfert thenntque de COLBURN en foncttDn du nombre de
REYNOWS dans les matérl.aux granuleux [73J
A partir de ses études expérimentales DENTON [75] traduit ses résultats par
l'équation :
(ll-24J
BAUMEISTER et BENNETf [76] d'une part. GLASER et TIiODOS (77) d'autre part. ont
réalisé des études de transfert de masse et de chaleur sur des lits fixes constitués
respectivement de sphères métalliques. de cylindres et de cubes. Les figures 11-13 et 11-15
schématisent les montages expérimentaux utilisés par chaque équipe de chercheurs.

---

77
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Fliure 11-13 : Dispositif expérimental de
Figure 11-14 : Vue de l'enroulement du
BAUMEIS1ER et BENNETT [76J
jUament de chauffage par induction [76J
&~I··~][L _
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......
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........."..."...,...~...:·Ir' :-----
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F1iure II-US : SChéma du rrwntage expérimental de GLASER et 11fOOOS [77J
Les coefficients de transfert thennique obtenus par BAUMEISTER et BENNETf sont
comparés à ceux de la littérature et présentés sur la figure II-16. Les propriétés physiques du
fluide sont prises aux valeurs moyennes des températures et des pressions. Les auteurs
proposent la relation :
1/3
Jh =_h_(1l Cp)
=a Rel>
cp qm
(II-251
Â.

---

78
Les valeurs de a et b dépendent du type de particules. Le tableau 11-2 donne les valeurs des
paramètres a et b, avec le pourcentage de l1m1te de confiance. Les auteurs constatent que
leurs valeurs du coefficient d'échange h sont plus élevées que celles de GAMSON et al [73), de
DENrON [75) et de SAUNDERS et al (78). Elles sont par contre plus faibles que celles de
DYANKONOV (76).
Pellet
95 %Confidence
size, in.
a
b
limite, %
0.3745
1.58
-0.40
15.6
0.2495
0.96
-0.30
20.1
0.1555
0.92
-0.28
24.9
AlI sizes
1.09
-0.32
30.4
Tableau
D·2
Corrélation de Jh avec les nombres de REYNOWS et selon le type de
particules [76J
..
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-
Re
Figure U·16 : Corrélation deJhenfonction du nombre de REYNOWS [76J
GlASER et mODQS calculent les coefficients d'échange Interne moyens en utllisant
la technique du calcul des moyennes des coefficients locaux de transfert thermique. Un
résumé des résultats est présenté dans le tableau 11-3 pour des sphères de 0.80 cm de
diamètre. Sur les figures 11-17 et 11-18 sont représentées les valeurs de jh en fonction du
nombre de REYNOLDS moyen (Rem =tAp) 0.5 qm / ~(l- e» pour des écoulements de gaz à
travers un lit de sphères (11-17) et pour des écoulements de gaz à travers un lit de particules
cubiques et cyl1ndriques (11-18). YAp représente la dimension caractéristique linéaire de la
particule. Ces résultats dépendent de la forme des particules. Les auteurs comparent leurs
résultats à ceux de GAMSON et al 170) d'une part et à ceux de TAECKER d'autre part. pour les
trois types de matériaux cités (figure 11-19). Ils résument leurs résultats par l'équation:
~= 1 + YAp log 4984
jho
Dr
Re~·933
(11-26)

---

79
avec :
Reb = -rA; qm : nombre de REYNOlDS
~ (let) cp
Ap
sunace ind1v1duelle des particules,
Dr
diamètre de la colonne,
0,535
j h - - - - -
0 - !œ03l _ 1,6
cp
facteur de forme (égal à un pour les particules sphériques et tnférieur à un
pour les autres types de part1cules ).
G,
~P, in.
h,
Run Ib./(hr. )(sq. ft.) of "..~ter· B.t.u./(hr. )(sq. ft.)
(OF.)
Air: (C~I'!k)2:~ - 0.796
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0.126
13.47
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5.;;
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0.338
21.30
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0.0775
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1,511
0.9:30
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0.0780
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0.06Z2
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0.070~
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0.0562
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2,2~0
1.81
36.32
0.0676
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71
2,760
40.73
00615
5330
0.0400
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- . ,
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_.11
Hydrogen: (col':kr'~ - 0.800
-"
12"2.8
82.~8
0.1949
~78
0.1561
.-i3
79.8
65.62
0.2395
309
O. 1915
74
49.1
51.54
0.3050
100
0.2~40
75
159.5
0.246
97 Ai
0.1765
616
0.1-105
.; 05
C~rbon ùioxide: (c~l','k )2:~ - 0.762
i6
3,~
2.66
H.60
0.061;~
8820
0.04G7
2.33
.,
2.660
1.82
33,43
0.Q6.'30
6450
00480
2.62
78
1,740
0.915
2~.93
O.Oïli
4:230
0.0547
3.40
Tableau U-S : Valeurs des coejftcten.ts de transfert thermique pour des sphères de 0,80 cm.
d'après GU\\SER et moDOS [77}
O!O
0.40
. . . . . .
IJI' _ _
1
_
VI
euo
0.30
Z
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• """"""'.14
C120
jh 0.10
.....
....
ClO7
jh 0.10
.....
oOt
oce
CIO>
00'
006
.....
00'
1lO'
004
00.
0Dl
100
.JApqm
Re = ---"--
Il(!-E)
Figure 11-17 : Transfert thennique à
Figure U-18 : Transfert thennlque à travers
travers des particules sphériques [77}
des particules cubiques et cylindriques [77}

---

80
Dans une compilation (figure 11-20) WHITAKER (59] résume les données de quelques
travaux de la littérature par la relation:
Nu =(0,5 Re0.5O + 0,2 ReO·66) PrO·53
(11-27)
avec: Re= qm dg
et
Nu-hdg....L
~ (I-e)
À
I-e
L'auteur conclut que l'équation (11-27) représente une corrélation satisfaisante pour le
transfert thermique dans les garnissages constitués de particules sphériques, cylindriques,
d'anneaux de RASCHIG, etc. n donne une fourchette d'incertitude de ± 25 %.
AOr----r--T-"'T"~'T""'r"T'''1'''T'--__r-""''T'-..........,''"T'..,..,...,....--..,
.)C)jç----:----:---;--~"':'"'7'"-----_;_-~.....'+-1t-I_--j
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700
1000
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Il ( l - E )!p
FIgure U-19 : Facteur de transfert thermique de COIBURN dans le cas d'un Utfixe {77]
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( . . . . .111 0111 ., THe•• I11III " .....
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Re
Re
Figure 11-20: Résultats d'une compUation des données de la littérature sur le transfert
thermique dans une colonne de garnissage d'après WHLTAIŒR {59]

---

81
Dans une étude analytique et expérimentale CIOULAClITJIAN et al (80) analysent le
transfert thermique dans un milieu poreux parcouru par un liquide. Ils réalisent un
montage expérimental permettant la représentation complète du champ de températures
dans un m1l1eu poreux homogène. isotrope. non consolidé constitué d'un empilement de
billes de bronze et parcouru par de l'alcool éthylique ou par du pentane. Les figures 11-21 et
ll-22 présentent le montage expérimental. Le mileu poreux est chauffé électriquement sur
deux des quatre faces verticales constituant l'enceinte. Les deux autres faces constituées de
fluorure de polyvinylidène (PVDF) sont traversées par des fils de thermocouples reliés à une
centrale d'acquisition conunandée par un micro-ordinateur.
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Figure D-21 : Ensemble du dispositif
FIgure D-22 : Schéma du mUieu poreux
expérimental de CIDULACHTJIAN et al
utUtsé par CIDULACliI'JIAN et al [BD}
[BD}
Les auteurs déterminent le nombre de NUSSELT à partir de la résolution de l'équation
de conseIVation de l'énergie pour différents nombres de PECLET. Les courbes de la figure 11-
23 présentent respectivement la variation du nombre de NUSSELT à travers la colonne en
fonction d'un facteur de forme et pour différentes valeurs du nombre de PECLET et le
nombre de NUSSELT en fonction du nombre de PECLET en un point donné de la colonne. De
ces résultats on peut retenir que:
pour
Pe<5O=
Nu=5
(11-28)
pour
Pe> 50 =
Nu = 1.16 Pe°,33 ou Nu = 1, 16 ReO·33 Pr 0,33
(11-29)

---

82
~USSELT
16
NlISSELT
14
12
PECLET
1
NU-1.l6I\\oJ
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11
· pc- 0..5
· pc- 1
· pc- 5
10
· pc- \\0
10
· pc- 25
· pc- 50
· pc - 100
·pc- 125
•
· pc- 250
· pc- 500
pc -1000
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HI.
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2
4
4
Péclel
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10
100
1000
FIgures n-23 : Résultats des travaux de ClOUIACHI'JIAN et al [BD}
En fait, toutes les relations de ce paragraphe sont compatibles avec la forme de
l'équation 11-21 établie lors d'un échange entre un fluide et une particule sphérique. Ainsi. le
tableau 11-4 récapitule les valeurs des paramètres de cette équation pour son application aux
cas d'un lit de particules.
B-1-1-3. Tra.JUûerts thermiques par convectionforcée entre unjlufde et un mfleu poreux
fritté métallique
GROOTENHUIS, MACKWORI'H et SAUNDERS 1851 présentent une méthode pour
déterminer les coefficients d'échange interne entre un fluide et des milieux métalliques
frittés. Le dispositif expérimental est schématisé sur la figure 11-24. Les échantillons à
tester, chauffés par rayonnement. sont repérés sur le schéma par la lettre C. Les mesures
sont effectuées sur chaque échantillon pour différentes vitesses massiques de l'air. La
source de chaleur est ajustée de telle sorte que l'écart de température paroi-fluide soit
mesurable. Les températures de paroi ne doivent pas excéder 200°C à cause des phénomènes
d'oxydation. La figure 11-25 présente une étude comparative entre les données des auteurs et
celles des références répertoriées dans le tableau 11-5.
Ces résultats nous ont permis de déduire la relation:
Nu = O.098Re 0.03
[II-30)

---

83
Les auteurs concluent que la cause principale de l'écart observé entre leurs résultats et ceux
de la littérature est due aux défonnattons subies par les particules lors de l'opératton de
frittage. Ces défonnattons réduisent sensiblement la surface d'échange.
1Auteurs
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0
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1
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0,59
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10•50 0
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eau-19
Pr-7.3
1
0
3.4
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10.50 0
0
0
eau-6·
Pr-10.7
1
1·
0
4.9
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0
0.50
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0
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hUile
Pr.213
1
1
0
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4.32
0
0.50
0
0
0
huile
Pr.380
1
1WACHOWSKI [821
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0
0.61
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0.50
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0
air
200 <Re < 3.104
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1
1
1
1VYROUBOW 1831
0
0
0.58
0
0.50
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0
0
air
200 < Re < 3.103
1
1
2<Re<800
1FROSZUNC 1841
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0
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0.33
0
0
1
0.6 <Pr<2.7
1
1
IC10ULACHTJ~(80 0
1.16
0
0
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0
0
0
0.331
i
Tableau 11-4 : Valeurs récapitulatives des paranretres de l'équation UI-21J de transfert
thennique entre un fluide et un garnissage de réacteur à partir de relations fournies par
certains auteurs
KOH et al 186. 87) étudient le transfert de chaleur dans un mllieu poreux aprés avoir
réalisé le montage expérimental présenté sur la figure 11-26. La cellule porte-échant1llon est
présentée sur la figure 11-27. Les essais portent sur des échant1llons de métaux frittés
obtenus à partir de :

---

84
- d'acier inoxydable" Rigimesh" (nom commercial),
- de poudre compacte d'acter inoxydable,
- de poudre de cuivre de très haute conductMté thennique.
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Figure D-24 : Dispositif expérimental de GROOTENHUIS et al [85}
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Figure 11-25 : Coefficient de transfert
Tableau 11-5: Données relatives aux
thermique pour un écoulement à travers
résultats de laflgure II-25 [85}
des matériaux .frittés et des matériaux
poreux granuleux 185]

---

85
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n,ure D-26 : Dispositif expérimental de
Flture D-27 : Cellule porte-échantillon
KOH[87]
[86]
Chacun de ces échant1llons est soudé par brasage à un support. La face aval du matériau est
soumise à un chauffage par rayonnement thennique. tandis qu'un fluide réfrigérant gazeux
(N2 ou H2) traverse la paroi. à contre-courant du flux thermique. pour la refroidir. Des
thennocouples de très faible diamètre (0.635 mm) soudés sur les deux faces de la paroi
mesurent la différence de température (figure n-27). Une canne à aspiration mesure la
température du gaz à la sortie de la paroi (figure 11-26). Les essais sont conduits à
températures ou à flux imposés.
Les graphiques de la figure 11-28 présentent les résultats expérimentaux. Les
différentes corrélations tirées de ces résultats sont :
- pour le "Rigtmesh " de taux de porosité = 0.11 (figure 1I-28 a) :
Nu = 0.01 Re2-5 Pr 0.33
(11-31)
- pour le matériau obtenu à partir de la poudre d'acter tnoxydable. de taux de porosité =0.21
(figure 1I-28 b) :
Nu = (0,1 + 0.16 Re) PIO·33
(ll-32)
- pour la poudre d'acter tnoxydable de taux de porosité = 0.31 (figure 1I-28 b) :
Nu = ( 0.22 + 0.035 Re ) PIO·33
(11-33)
- pour le" Rigtmesh " de taux de porosité compris entre 0.36 et 0.40 (figure 1I-28 c) :
Nu = (4.0 + 0.11 Re) PIO·33
(11-34)
- pour le" Rigimesh " de taux de porosité = 0.18 (figure 1I-28 d) :
Nu = ( 0.16 Re - 0.22) PIO·33
(11-35)

---

86
Les auteurs reconnaiSsent cependant que ces résultats sont à considérer avec réseIVe à cause
des fluctuations de débit enregistrées au cours de leurs essaJs.
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Figure U-2S : Résultats expérimentaux tirés des études de KOH [87J
Le tableau 11-6 résume les valeurs des paramètres de l'équation 11-21 tirées des
équations présentées ci-dessus et applicables au cas des matériaux frittés.

---

87
Type de matértaux ou
K
a
b
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5
TI
Type de
Domaine de
Auteurs
fluide
validité
1
KOH[861
1
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0
0,01
0
2.5
0
0,33
0
0
N2 / H:2
E =0,11
..
0
0.1a:: -0.22
1.0
0
0.33
0.33
0
E
= 0.18
..
0
4,0
0.11
0
1.0
0.33
0.33
0
0.36 < E < 0.40
KOH(86)
1
..
Acier inoxydable
0
0.1
0,16
0
1,0
0
0.33
0
E
= 0.21
1
..
0
0.22
0.03
0
1.0
0
0,33
0
E
= 0.31
1
1
1
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0
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0
0
0
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0
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1
i
1
Tableau 11-6 : Valeurs des paramètres selon l'équation. gérW"ale ( 11-21)
U-1-2. Coemcient de conductlvlt~thermique des mWeuz poreuz
La conductivité thermique équivalente (À.e) d'un milieu poreux est une fonction
complexe de la géométrie du milieu. des caractéristiques des matériaux constituant ce
m1l1eu et des caractéristiques du fluide quil'impregne. Une étude très élaborèe a été fatte par
AZIZI (88) qui présente de nombreux modèles permettant de la calculer à partir de la
conductivité thermique du matériau massif (Â.a) et de la conductivité du fluide qui le
parcourt (À{). Nous présentons quelques-uns des résultats tssus de ces modèles :
- modèle sél1e 189) :
(TI- 36)
- modèle parrallèle 189) :
Àe = E Àf + (l - E )Às
(TI-37)
- modèle mixte 188) :
Àe=
1-E
(n-38)
Às
1 +10e2
- modèle mixte 189] :
(11-39)
Parmi les modèles plus complexes. on peut citer le modèle de RAYLEIGH 190] et celui
de DE VRIES 191) qui se présentent sous la forme:

---

88
2 + Âe
1 _Âe
]-1
Àe = 1 - 3 ( 1 - E) ---.M. + 1 - E- ~ C (l _E )10/3+ ...
À.
(II-40)
[ 1 _ Âe
À. + 4
Àr
Àr
3
avec :
C=
1.31 pour un arrangement cubique.
C=
0.129 pour un arrangement cubique centré.
C=
0.075 pour un arrangement cubique à faces centrées.
.AZIZI présente sur la figure 11-29 les variations de Â.e /Àren fonction de la porosité.
pour une phase solide de conductivité À. = 1 W/m.K et une phase liquide de
conductivité Àr = 0.025 W/m.K. Le réseau de courbes obtenu traduit l'influence du modèle
choisi et de la poroSité sur la conductivité thenntque équivalente.
,,\\
15
1 - ModèLe paraLLèLe
2 - ModèLe de V. KUMAR
3
ModèLe de NOVIKOV
10
4 - ModèLe de LICKTENCHER
5 - ModèLe de SCHENG
6 - ModèLe de LUIKOV
7 - ModèLe de CHAURASIA
8 - ModèLe de KUNII
9 - ModèLe de JEFFERSON
10 - ModèLe de DINESH
11 - ModèLe de WILLYE
12
ModèLe série
0, q
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
E
Figure U-29 : Variation de la conductivité équivalente d'un matériau poreux enjonctiDn du
modèle choisi et du taux de porosité ).,5 / À.j= 40 d'aprés AZIZl [88}
Pour complèter la comparaison entre différents modèles de la littérature. le même
auteur présente sur la figure 11-30 les valeurs que peut prendre la conductivité thenntque
équivalente d'un milieu poreux selon le modèle de calcul en fonction du rapport Às/Àr. pour
un taux de porosité de 0.476 correspondant à un arrangement cubique simple de particules
sphériques en contact. Les valeurs de Â.e /Àr se situent dans la fourchette allant du modèle
série (valeur m1n1mum) au modèle parallèle (valeur maximum). On remarque sur ce réseau
de courbes la dispersion des résultats des différents modèles de la littérature. ce qui rend

---

89
difficile le choix de l'un d'entre eux. Aussi, la méthode expér1mentale demeure le procédé le
plus sûr et le plus fiable pour détennJner la conductivité thenntque équivalente d'un milieu
poreux.
2
3
1 - ModèLe para LLè Le
2 - ModèLe de V. KUMAR
3 - ModèLe de NOVIKOV et aL.
....
4 - ModèLe de LICKTENCHER
c<
5 - ModèLe de CHAURASIA
.........
6 - ModèLe de KUNI!
G,)
7
c<
- ModèLe de LUIKOV
5
.
8 - ModèLe de JEFFERSON
6
9 - ModèLe de SCHENG
7
10
8
10 - ModèLe de ROBERT
9
10
11
11 - .Modè Le de DINESH
12
13 111
12 - ModèLe de RUSSEL
15
13 - ModèLe de
16
RAYLEIGH
14 - ModèLe
17
de MAXWELL
15
ModèLe de S. FREY
16 - ModèLe de WILLY
10
10 2
10 2
17
ModèLe série
À.s / Â.f
Ftaure D·30 : Variation de Â.eO.fenjonctton de Â.s/Â.f pour E = 0.476, d'après AZI71{88}
fi-l-S. Modèle global
La détennJnatlon expérimentale directe du coefficient d'échange thenntque convectif
interne à un matériau poreux n'est pas réalisable. fi faut procéder par une méthode indirecte
alliant l'expérience et un modèle reliant ce coefficient à des grandeurs directement
mesurables comme des températures du fluide en amont et en aval du matériau poreux, des
temératures de surface de paroi. etc. Ainsi. nous avons été conduits à rechercher des modèles
de ce type dans la bibliographie. L'un d'eux a plus particulièrement retenu notre attention. fi
s'agit du modèle de KOH et Del CASAL.
KOH et Del CASAL (92] analysent les transferts de masse et de chaleur dans un milieu
poreux quelconque. A partir de leur théorie et en utilisant certains résultats expérimentaux.
1
il est possible de calculer une valeur du coeff1cient d'echange convectif interne aux milieux
poreux en modélisant ces phénomènes. Les hypothèses faites par ces auteurs sont les
suivantes:
- le transfert conductif à travers le gaz est négligé par rapport à celui à travers le matériau.

---

90
- les propriétés du fluide et du m1l1eu poreux sont constantes.
- le nombre de REYNOLDS est faible. Ce qui pennet de supposer une prédominance des forees
de viscosité sur les forees d'inertie à travers l'écoulement du fluide.
Les équations différentielles régissant les phénomènes s'écrivent alors :
• bilan thermique entre matériaux et fluide:
(n-41)
avec: Tf = température du fluide; TB = température du fluide en amont loin de la paroi.
• échanges thermiques convectifs entre paroiS internes du matériau et fluide:
(ll-42)
• équation de Darcy :
dp/dx= CJm~ / 't/vP
(ll-43)
Les conditions aux 11m1tes sont des conditions de températures à l'amont et à l'aval de la
paroi:
·x=O ~ Tm = Tmo
• x = 1~ Tm = Trrù
En utilisant les changements de variables :
Tl =x/l
9m= Tm - Tf1
(II-44a)
Tml - Tf1
Of= Tf - Tf1
(II-44b)
Tml - Tf1
(II45)
On obtient une solution de la fonne :
(11-46)

---

91
avec :
Tl =A(-1+1'1+4B/A)
• r2=A(-1-1'1+4B/A}
2
2
Et finalement :
(11-47)
(11-48)
On peut slmplJfler les équations (II-47) et (11-48) en considérant que rI est toujours supéI1eur
à 0 tandis que r2 est toujours Inférieur à O. AInsi :
.Ainsi. (D-47) et (11-48) deviennent:
(11-49)
L'application de ces relations donne :
• pour x =0
9mo - Tmo-TfI_e-il
(II-50)
Tml- Tf1
9m1 =Tml- Tf1 =1
an =Tfl- Tf1 =.!l.
(II-51)
Tml- Tf1
Tml-Tfi
B
L'équation donnant 9fl (II-51). celle de rI en fonction de A et B (11-46) et celle donnant
A et B en fonction de h'. Qm. 1 et Â.m (11-45) et les mesures expérimentales des températures
Tml. Tfi et Tfl pennettent de calculer la valeur du coefficient d'échange convectiCvolumiQue
interne.
U-2. MODELISATION DU TRANSFERT THERMIQUE DANS LA
PAROI POREUSE
Le modèle de KOH et Del CASAL présenté ci-dessus fait appel à certaines hypothèses
restrictives pour son application. notanunent quant au régime d'écoulement et la constance
des paramètres caractéristiques du fluide. Afin de ne pas ~tre tributaire de ces contraintes,
nous avons développé un modèle de transfert thermique à l'intérieur d'une paroi poreuse

---

92
traversée par un fluide réfrigérant et recevant sur sa face aval un flux thennique 4>. Ce
modèle nécessite de considérer deux phénomènes :
- les échanges convectifs entre le fluide réfrigérant et les parois tntemes du m1leu poreux.
-les transferts conductifs à travers le matériau.
U-2-1. Principe de modélisation
Compte tenu des forts gradients de pression et de température dans la paroi, les
caractéristiques du fluide et du matériau varient fortement. Il est donc nécessaire de
découper la paroi en éléments au setn desquels les propriétés du fluide et du matériau
peuvent !tre considérées comme constantes. La figure 11-31 schématise le maillage
monodimensionnel ut1l1sé. Dans ce découpage 11 existe trots types de sous-volumes:
- le sous-volume A ou sous-volume amont, en contact avec la zone de circulation du fluide
réfrigérant,
- les sous-volumes B ou sous-volumes tntemes,
- le sous-volume C ou sous-volume aval, en contact avec la source thenntque chaude.
Les sous-volumes sont notés de 1 à m (m représente le nombre de découpages suivant l'axe
des x) (figure 1I-32). En raison du choix de la discrétisation du champ des températures (du
fluide et du matériau), la dimension suiVant l'axe des x des sous-volumes de type B est deux
fots plus grande que celles des sous-volumes A et C.
y
_-......---r"-----:~- SOlJS-volume B
coté cirCUlation i-__-,.r..-..,r.---,.t--..,.r'--I
du fluide
coté foyer
réfrigérant
~~_...L..._-L_""""_"""''''''';~----~~ x
Sous-volume A
Sous-volume (
Figure D-Sl : MaUlage utUisé pour étudier le phénomène d'échange thermique à l'intérieur
de la paroi poreuse
En amont de la paroi. les conditions aux 11m1tes sont données par la température et
la pression de circulation du flUide réfrigérant. En aval de la paroi. les conditions aux
l1m1tes sont fixées par le flux thennique reçu par la paroi.
Le logiciel TIlERMO élaboré pennet de calculer les valeurs des températures du fluide
réfrigérant et du matériau en tous les potnts du maillage. Il utiltse :

---

93
- le flux thermique reçu ( Cl» J,
- la nature du fluide réfrigérant,
-le débit du fluide réfrigérant qui traverse la paroi ( Qm J,
- la conductivité thennique équivalente du matériau ( Â,e),
- l'épaisseur de la paroi 0),
- le coeffident d'échange convectif volumique interne (h' ),
- le coefficient d'échange convectif surfadque ( hf),
- la température d'entrée du fluide réfIigérant ( Tf 1).
i-1
i+1
~/. +O:fff~ [
Tl" 1)
1-
/t - \\
TliJ
6x
T(i+ 1)
Sous -volume A
Sous -volume B
m -1
m
~ échange convectif à la paroi
1·3B]~
T froide
_ _ 1
i 0
échange convectif entre le
'0 fluide et la paroi au sein
T(m-1l
---
/
6x/2 "" T(m)
de celle-ci
échange par conduction à
Sous-volume C
travers la paroi
flux de chaleur sur la face
chaude
Figure U-S2 : Représentation des échanges thermiques au sein des différents types de sous-
volumes
La figure 11-33 presente l'orgarugramme du sous-programme TIiERMO.
Aprés initialisation des températures de la paroi et du fluide, le logiciel THERMO
permet
de
calculer
le
débit
de
fluide
(sous-programme
DEBIT),
puis
résoud l'équation matricielle
(II-59) par la méthode de GAUSS. Enfin, à partir des
températures de paroi, le logidel TIiERMO pennet de calculer les températures de fluide en
utUisant l'équation 11-61. Un processus itératif pennet de tendre vers les profUs de
température réels.
n-2-2- Equations du bilan thermique- Mode de rêsolution
Le bUan thennique dans chaque sous-volume s'écrit symboliquement de la manière
suivante:
ENTREE + CREATION =SORTIE + ACCUMULATION
(II-52)
avec :

---

94
• ENTREE
puissance thermique apportée au sous-volume par conduction à travers le
matériau.
• CREATION (ou consommation) : soutirage par convection entre le matériau et le fluide
réfrigérant d'une certaine puissance thermique au niveau de chaque sous-volume. Ceci est
analogue à la présence d'un "puits de chaleur".
• SORTIE: puissance thermique évacuée dans un sous-volume par conduction à travers le
matériau.
• ACCUMULATION: tenne nul dans le cas d'un régime permanent.
Lecture des données
- Caractéristiques de la paroi
- Nature du fluide
- Température du fluide en aval
- Flux thermique reçu par la face chaude
Initialisation des valeurs des températures de paroi et de fluide
Création de la matrice [A] (Tparoi] .. [B]
Résolution de la matrice
(calcul des températures Tparoi)
Calcul des températures du fluide
Sorties:
- Débit de fluide réfrigérant
- Profil de pression dans la paroi
- Profil de températiure de la paroi
- Profil de températures du fluide
- Flux thermique échangé dans chaque sous-volume
Figure U-33 : Organigramme du sous-progranune THERMO de calcul du transfert de chaleur
à l'tntérieur de la paroi poreuse

---

95
BIlan éneqétlque du soU8-volume A:
hc[T(I) - Tf1] + h' [T(I) _Tco + T 'rll)l ~x =À{I,2)[T(2)_ T(I)]
(II-53)
2
J'2
fut
avec :
T(i)
température du matériau dans le sous-volume U) (Kl. Pour le sous-volume W,
(1) = 1
TfU)
:
température du fluide réfrigérant dans le sous-volume (1),
Â.{i)
conductMté thermique de la paroi dans le sous-volume U) (wIm.K) ,
Â.{i,i+ 1) :
conductMté thermique moyenne de la paroi dans les deux sous-volumes U) et
U+I) (w/m.Kl,
Tfo
température d'entrée du fluide réfrigérant dans le sous-volume (l), en amont
de la paroi 00,
Tf1
température du fluide en amont loin de la paroi,
&c
dimension des sous-volumes A. B et C sutvant l'axe des x.
T'f
température du fluide ci ..t.~+~t-e. QI&I'lIJ' a. ./.a. 1NI'4i?ta.. (li"o;T JI- ?t4)
1
2
i-1
m-1
m
- - - -
- - - -
Tm(1)
Tm(2)
qm
Tm(i-1)
T..(i)
Tm(m-1)
Tm(ml
•
•
•
•
face
amont
---
1
T,o = TfO
T;(1)
T;(2)
T,O-2)
T,(i-1)
T,(i)
Tfl = T;(m)
,
points
•
ou sont définies les températures de paroi
*
,
points ou sont définies les températures du fluide
FIgure n-S4 : Maillage utUtsé pour le ca1cu.l des températures dujlutde
BIlan énergétique des sous-volumes B :
BUan énergétique du sous-volume C :
(II-55)
où cI> est la puissance themùque suIfacique cédée par les gaz chauds à la paroi.

---

96
Pour simplifier l'écriture du système matriciel, on adoptera les notations :
U(1) =À(i,i-l) / fut
W.(i) =À(i,i+l) / fut
Z=h'lix.
Les données du problème sont: 4>, Tf i, hf et h'.
En faisant apparaitre les températures internes de paroi et leurs facteurs dans le
premier membre et les termes constants dans le second, 11 est possible d'écrire un système de
m équations à m inconnues :
(II-56)
U(1) T(1_l)-(U(1) +W(1) +Z)T(1) + W(1)T(1+U = -ZTf(1)
(II-57)
U (m) T (m-l) - (U (m) 1) T (m) = -Q -i Tf (m)
(II-58)
Ceci amène à résoudre l'équation matricielle :
(F) [Tm) = (C)
(II-59)
développée dans l'équation (11-60) et où :
[Tm) represente le vecteur des températures du matériau dans les différents sous-volumes,
(F) la matrice des facteurs des températures,
(C) le vecteur des constantes.
En posant V(1) = - (Um + W(1) + Z) ce système peut se mettre sous la forme :
- ( hf + W(I) + Z/2 ]
W(I)
T(l)
V(2)
V(2)
W(2)
-Z/2 Tf(}) -hf Tfi
T(2)
-Z/2 Tf(2)
[11-60)
V(rn-I)
V(rn-I)
W(rn-I)
T(rn-I)
-Z/2
V(rn)
-( V(rn) + ZI2 l
Tf(rn-I)
T(rn)
-Z/2 Tf(rn) -<Il

---

97
La méthode de GAUSS est ut1lJsée pour résoudre ce système matridel qui donne le champ de
température du matériau. A partir de ce champ de température. il faut recalculer la nouvelle
valeur de la température du fluide en chaque noeud du ma1l1age. valeur initialisée au départ.
Pour ce calcul. on considère le ma1l1age schématisé sur la figure 11-34. On ut1l1se une
équation de bilan énergétique en écrivant que la chaleur cédée par le matériau sert à élever
la température du fluide :
4»(i)cédée par la paroi = h' [Tm(1) - Tf (1)] = ~ cp(U [T 'r (1) - T 'r (I-l)]
(11-61)
où T 'f (1) est la température du fluide à l'extrémité aval de la ma1l1e (1) (figure II-34). On a
T f (i) = T 'f (I-l) + T 'f (1)
2
Cette équation représente un système de m équations à m+ 1
inconnues (les valeurs des Tf(l) et Tfo). Pour calculer Tfo. on utilise la' relation
complèmentatre. confonne à l'équation (II-53)
hr[1(1) - Tf1] + h' [1(1) - Tro + T 'r (lll ~x_ Â{1.2)[T(2)_ T(l)]
(II-53)
2
~ fut
D-2-S. Exploitation du logiciel
Etude du comportement thermique dUne paroi
Une première série de simulations a été effectuée en fixant des conditions proches du
fonctionnement d'une paroi de moteur de fusée reçevant un flux thermique important et
refroidie par de l'hydrogène liquide:
- le flux thermique (~) varie entre 107 W/rril et 109 W/m2 •
- le coefficient d'échange convectif volumique interne à la paroi varie entre 108 W/m3 .K et
1010 W /m3 .K,
- le coefficient d'échange convectif sur la face froide est fixé arbitrairement à 200 W/m2 .K
Nous verrons ultérieurement que cette valeur n'a pas une grande 1nf1uence sur les résultats.
- le flUide réfrigérant est de l'hydrogène liquide dont la température est de 44 K, en amont de
la paroi.
- la vitesse massique varie entre 50 et 300 kg/s.m2 •
- la conductivité thennique équivalente de la paroi varie de 25 W/m.K (un matériau peu
conducteur) à 390 W/m.K (un matériau très conducteur).
Les résultats de ces simulations sont présentés sur les figures 11-35 à 11-40.

---

98
1°_ La figure II-35 montre que pour un débit donné (ISO kg/s.m2 ) la température de la
face aval de la paroi augmente quasi-linéairement dans le domaine considéré avec le flux
thermique et diminue avec le coefficient convectif d'échange volumique interne h',
g 2500
-01-0~&:l. 2000
~
-0"0 1500
-cos>~
0
c:.;
1000
~
-c:r h'=I08w Im3l{
~
~ h' = IcPW/m3l{
=
....
500
'lm = 150 kg/s.m2
-a- h' = IO.lOW/m3l{
f:
-0
À.e .. 25W/mK
e
~
0 0
100
200
300
400
500
Flux thermique ( C1» ( MW1m2 )
Figure U·35 Température de laJace aval de la paroi enJonctton du.flux thermique à débit
donné (qm = 150 kg/s.rrl2 - .te = 25 W/mK)
2°_ Les trois familles de courbes de la figure II-36 donnent le proffi de température à
travers la paroi pour trois valeurs différentes du coefficient d'échange convectif, L'analyse
de ces résultats montre que la chaleur se propage d'autant mieux dans la paroi que le flux
thermique est élevé et que le coefficient d'échange interne h' est faible.
2500
2500
2500
:r::
:r::
:r::
2000
..,. 4>c5.IO'W/m2
2000
a 01> c 5.10'W/m2
2000
• 4> c l''WIm2
~ oI>c l"w/m2
ë
ë
ë
D
4>= 2.I()IW/m'
...
...
<li
~
D
4> = 5. 10' W/m2
<li
• 4> =3.I()IW/m2
c..
1500
c..
c..
1500
h' c I08W/m3'K
.!
·cl>=I()IW/m2
.!
.!
1500
D
cI>= 2.10" Wlm'
.... I50kg/s.m2
Il
'tl
>"'.2SW/mK
·4>.3.I()IW/ni'
Il
h'.lcPw/m3·K
Il
Il
\\000
· 4>c4.1O"W/m'
'tl
.... I50kg/•.m2
'tl
Il
1000
Il
...
...
...
>,.,.2SW/mK
1000
:l
h·.10 IOw/m3·K
:l
:l
êa
êa
êa
~. 150 kg/8.m2
...
...
...
'Il
'Il
'Il
>"'.2SW/mK
c..
500
c..
500
c..
500
E
E
E
Il
Il
l-
l-
~
0
0
0,003
0.004
O,OO~
0
0.003
0.004
0,005
0.003
0.004
0.005
AbscISSe ( m )
Abscisse ( m )
Abscisse ( m )
a)
b)
c)
Figure U- 36 : Profù de température de la paroi soumise à plusieurs.flux thermiques pour
trois valeurs d!fférentes du coefflCient d'échange volumique interne (qm = 150 kg/s.m2, .te =
25 WlmK)

---

99
3°_ La figure 11-37 montre l'tnfluence du débit de refroidissement et du coefficient
d'échange volumique interne sur la température de la face aval de la paroi. La température
de la face aval de la paroi est une fonction décroiSsante du flux massique de réfrigérant qui
traverse la paroi. Ce qui en d'autre terme signifie que plus le débit massique du fluide
réfrigérant est important. plus 11 évacue de la chaleur de la paroi. On constate cependant sur
ce réseau de courbes qu'au-delà d'un débit massique de l'ordre de 120 kg/s.m2 la température
de la face aval varie peu et la puissance thermique évacuée reste sensiblement constante.
L'apport supplémentaire de fluide réfrigérant dans ce cas a très peu d'tnfluence sur la
température de la face aval. Par ailleurs. la puissance thermique évacuée dans la paroi est
d'autant plus importante que h' est élevé.
~
ë
4000
1-
CIl
41 .. 100 'tvf\\II/ ffi2
c h'=loaw /m3j{
Po
CIm
CIl
= 150 kg/s.m2
• h'= I09W/m3j{
-
• h' = 1Q10W/m3.K
~=25W/m.K
~ 3000
~~ 2000
.s
CIl
- 1000
OL...-_-'--_..L-_-'--_...J...._--'-_---l..._---'-_----l._----"_---J
o
100
150
200
250
300
Vitesse massique d'hydrogène (kg/s.m2 )
Figure U-37 : Température de lajace aval de la paroi enjonctton du débU pour plusieurs
valeurs de h'( ,z, = 100 MW/m2, Âe = 25 W/m.K1
4°_ Les graphiques de la figure 11-38 présentent le profil de température à travers la
paroi en fonction du débit et du coefficient d'échange convectif volumique interne h'.
L'analyse des résultats montre que pour un coefficient d'échange interne donné. la
propagation de la chaleur à travers la paroi chute avec l'augmentation du débit d'effusion.
Cette baiSse s'accentue avec l'augmentation du coefficient d'échange interne.
5°_ Les graphiques de la figure 11-39 permettent d'étudier l'influence de la
conductivité thermique équivalente du matériau. Nous avons comparé les profUs de
température pour deux conductivités thermiques équivalentes différentes :
- Àe = 25 W/m.K (conductMté thermique équivalente d'un matériau peu conducteur),
- Àe =390 W/m.K (conductMté thermique équivalente d'un matériau très conducteur).
La courbe obtenue avec la conductivité thermique équivalente de 390 W/m.K presente des
profils de températures presque plats. Elle montre qu'une partie 1mportante du flux

---

100
thenntque est évacuée sur la face amont de la paroi dont la température est nettement plus
élevée que celle du fluide réfrigérant. La propagation de la chaleur dans la paroi est proche
d'une propagation purement conductive. Au contraire, la chaleur se propage très mal à
travers le matériau dont la conductMté thennique équiValente est faible. AInsi, la paroi ne
peut etre refroidie que si le coefficient d'échange interne est suffisamment élevé. Dans ce
cas, la valeur du coe11lcient d'échange hren amont n'intervtentreJs.
~
~
3000
,z,.I00MW/m2
h'-I0'3W/m3'K
3000
cIl-100MW/m2
h'.lcPw/m3'K
ë
~·25W/m.K
ë
~-25W/m.K
'"'ca
'"'ca
C.
c.
.5
2000
I:l q", =75 kg/5.m2
.5 2000
u
•
q", =100 kg/5.m2
I:l q", =75 kg/5.m2
u
"C
a q", =150 kg/5.m2
"C
•
q", =100 kg/5.m2
u
o q", =200 kg/5.m2
u
a q", =150 kg/5.m2
'"'~
... "000
'"'
~
1000
ca
...ca
'"'
·U
'"'
·U
C.
c.
E
E
~
0
~
a
0,000
0,002
0,004
0,000
0,002
0,004
Abscisse (m)
Abscisse (m)
aJ
b)
FIgures D- 38 : ProfUs de température dans la paroi pour dtffl!ren.tes valeurs du débit et pour
deux valeurs dtffl!ren.tes du coefficient d'échange interne ( tP =1OOMW/m? Â.. =25 W/mK )
2 0 0 0 , - - - - -
_
~
2000
~
Â.. =390 W/m.K
ë
Â..=25W/mK
ë
~
...
1500
eu
1500
c.
~ et> = 5.1()6W/m2
c.
~ et> = 5.10'!W/ID!
~
-
et> = 107W/m2
~
_
et> =107W1m2
u
-Do
et>= 5.1D7W/m2
"0
1000
u
1000
-Do
et>= 5.107 W/m2
-- et> = l()6w/m2
"0
u
u
...
...
:::3
:::3
...
....
eu
500
eu
...
...
'u
·u
C.
c.
a
a
u
0
0""----""---...:.------..:----1
E-o
~
0,000
0,000
0,002
0,004
0,002
0,004
AbSCiSse ( m )
AbsciSse ( m )
aJ
b)
Figure 11-39: Profils de température de la paroi pour deux valeurs d!fférentes de la
conductivité thermique équivalente du mUieu poreux (qm =150 kg/s.m2 , h' =loB W/m3'K)
6°_ La figure 11-40 pennet de visualiser les profils de températures du fluide et de la
paroi. Pour un débit donné. la température du fluide en sortie de la paroi ne dépend que du

---

101
flux thermique (équation II-50). La différence de température paroi-fluide augmente quand
le coefficient d'échange interne h' diminue,
2000 ....-----E1--r-p-a-ro-j-p-o-ur-h-'=-·-1'-0--
8 -W-I-m-3-.K-------.....
•
r fluide pour h'= 108 W Im 3 ·K
•
r paroi pour h'= 1010 W/m 3 ·K
g
6
r fluide pour h'= 1010 W Im 3 'K
e
~
ë
"X. 1000
E
al
~
ob=!::::==~~~~~~~---.J
0,002
0,003
0,004
0,005
Abscisse
(m)
FIgure U-40 : Proftls de températlD"e duflutde et du matériau dans la paroi pour deux valeurs
différentes du coe.fficient d'échange interne (tz, = 100 MW/ m2, qm = 150 kg/s.m2' Â.e = 25
W/mK)
"
L'analyse qualitative de ces divers résultats montre que le comportement thermique
de la paroi calculé par le modèle correspond bien au comportement auquel on est en droit de
s'attendre dans la réalité. Ces quelques simulations permettent de visualiser les
importances respectives des différents paramètres. On peut constater notamment que deux
paramètres caractéristiques du matériau jouent un rôle déterminant dans cette étude. Il
s'agit:
- du coefficient d'échange interne au milieu poreux,
- du coefficient de conductivité thermique du matériau.
U-S-VALEURS DU COEFFICIENT D'ECHANGE VOLUMIQUE
INTERNE
Le modèle. présenté ci-dessus. utilise la valeur du coefficient d'échange convectif
volumique interne pour calculer le profil de température dans la paroi. Ce coefficient
dépend de la structure du m1l1eu poreux. des propriétés du fluide et de la nature de
l'écoulement. Actuellement la valeur de ce paramètre est donnée dans le fichier des
caractéristiques de la paroi. Nous avons cherché à déterminer sa valeur réelle en utl1isant
trois approches différentes.

---

102
U-S-l. Calcul approché du coefficient d'échange volumique convectif
Inteme
Un calcul approché du coefficient d'échange convectif interne a été fait pour les deux
types de matériaux suivants : le matériau composite et le fritté Sipenn B. dans le but
d'établir une comparaison entre ces valeurs et celles calculées à partir des corrélations de la
littérature (voir paragraphe n-3-2 ).
Le coefllcient d'échange volumique interne peut être considéré comme le produit d'un
coefficient d'échange surfacique et de la surface spécifique du milieu poreux (équation II-l).
Dans un cas général le coeffident d'échange convect1fsurfacique h varie de 100 W/m2'K pour
un écoulement de gaz sur la surface d'une paroi à quelques 5.103 W/m2.K pour un écoulement
de liquide.
B-3-1-1. Milieu poreux./rfttA ( ou gamlssage de particules)
Dans le cas du matériau fritté Sipenn B. 11 est possible de calculer la surface
spécifique en considérant un empilement parfait de grains sphériques de diamètre connu. A
partir de ces valeurs de Sg et des ordres de grandeur de h donnés ci-dessus. on peut calculer h'.
Le tableau 11-7 donne la fourchette approximative dans laquelle varie ce coefficient pour
chaque matériau.
Matériaux
Porosité
dg( ~m)
Sg ( m 2 /rrf3 )
h' (W/rri3'K)
( E)
B5
0,26
45
13,3.10·
13,6.106 -6,6.109
1
B8
0,28
75
1
8.10"
8.106 - 4.109
B12
0,30
100
6.104
6.106 -3.109
Tableau D-7 : Valeurs approchées des coejfidents d'échange pour les trois métauxjrlttés
B-3-1-2·Jfatériau composite ( plaque Cl
Pour le matériau composite. les pores peuvent être assimilés. en première
approximation à des canaux de section carré. La surface spécifique Sg correspond au
périmètre de l'extrémité d'un canal multiplié par le nombre de canaux par unité de surface

---

103
de la plaque. Une obselVation à la loupe binoculaire pennet d'évaluer le nombre d'orifices à
environ 4.105 par m2. Les orifices ont environ 0.3 mm de cOté. Par conséquent:
(11-62)
Avec un coefficient d'échange surfacique du meme ordre de grandeur que précédemment, on
peut évaluer la valeur du coefficient d'échange volumique convectif interne entre
5.103 W/m3 .K et 2.5. 106 W/m3.K.
Ces calculs très sommaires montrent que le coefficient d'échange interne semble
beaucoup plus élevé pour un matériau fritté que pour les matériaux composites.
Une simulation (figure 11-38a) utilisant une valeur du coefficient d'échange interne de
lOaw/rW K avec un flux thermique de lOS W/m2 aboutit à des températures de paroi très
élevées mente avec un fort débit. Ceci amène à conclure que les phénomènes themuques au
sein de matériaux ayant des valeurs de coefficients d'échange interne de l'ordre de 106
W/m3'K sont nettement insuffisants pour avoir un refroidissement efficace de la paroi.
Inversement, une valeur du coefficient d'échange de 109 W/rW-K ( figure 11-38 b) (valeur la
plus élevée du coefficient d'échange dans le cas des matériaux poreux frittés) aboutit à un
gradient thermique négligeable entre le flUide et le matériau dans la majeure partie de la
paroi et à des températures de la face aval admiSsibles. Ces simulations montrent qu'en
admettant une mente valeur de la conductivité thermique équivalente Àe = 25 W/m.K (ce qui
est contraire à la réalité). un matériau poreux fritté assurerait une protection thennique
plus efficace de la paroi que ne le ferait un matériau composite.
n-S-2. UtiUsation des relations semi-empirlques pour le calcul du
coefficient d'échange convectif volumique inteme
Nous avons remplacé dans le programme TIiERMO la valeur du coefficient d'échange
convectif volumique interne par certaines des corrélations présentées dans l'étude
bibliographique 151. 58. 60. 62. 65. 70. 79. 80. 82]. L'emploi de ces corrélations nécessite
d'utiliser un processus itératif pour la résolution. car le coefficient d'échange convectif
volumique interne h' dépend notamment du nombre de REYNOLDS. qui dépend du débit. lui-
même lié aux échanges thermiques. La simulation a été faite pour la plaque SIPERM 812 et
pour les valeurs «1> = 100 MW/m2 : Àe = 25 W/m.K : Qm=3ookg/s.m2 • La figure 11-41 donne les
valeurs des coefficients d'échange convectifs volumiques internes en fonction du débit du
fluide réfrigérant. La figure 11-42 présente la variation de h' à travers la paroi pour le débit
de 300 kg/s.m2 • Les valeurs de h' sont pratiquement constantes dans la paroi. parce que.
pour les conditions de simulations utilisées. la température du fluide et donc le débit
volumique sont quasiment constants dans l'épaisseur de la paroi. Ces résultats montrent

---

104
que pour un débit donné. les valeurs de ces coefficients varient dans un rapport un
(HILPERO à quatre (GAMSON).
0.6 r--------~----------_,
<1> =100 MW/m2
KOH
0,5
À,e = 25 W/m.K
~
..,
0,4
E
~ 0,3
GAMSON
t'- 0.2
:=::
GLASER
a
0,1
I!
•
KATS'NELSON
0.0
50
100
150
200
Vitesse massique d'hydrogène (kg/s.rrr )
FIgure D-41 : Coefficients d'échange volumique interne enfonction du débit selon le type de
relations utUtsées
Le tableau fi-8 résume les valeurs de certa1nS des paramètres obtenus à partir de ces
calculs. L'analyse de ce tableau pennet de constater que la majorité des relations donnent
des valeurs du coefficient d'échange convectif dans une fourchette de 1 à 2. Seules les
relations de GAMSON et de WHITAKER-l (relation 11-13) donnent des valeurs plus
1mportantes. tandis que celle de GROOTENHUIS donne la valeur la plus faible. On remarque
également que l'ordre de grandeur est comparable à celui obtenu par le calcul approché.
dans le cas des matériaux frittés.
0.5
<1> = 100 MW1m2, qm = 300
2
À,
25W/m.K
l
kg/s.m)
e =
1
0,4
GAMSON
1
~
.,.
AKER·l
WHIT
"'8 0.3
........
~
g-
0,2
'0
L
GLAS
-.-
..
-
:;;;: :;;;: :;;;:
- -
'::
~ ~
WILLlws
·KAY
PITTS-KATNEL'SON
:c
0.1
1
AKER·2
WHIT
RT
HILPlI;
1
0.0
o
2
3
4
5
6
Paroi ( mm )
FIgure 0-42 : Coeffteient d'échange volumique interne dans la paroi

---

105
Nous avons représenté sur la figure n-43les profUs de température de la paroi et du
fluide calculés en ut1l1sant les relations de GAMSON et de GROOTENHUIS dans notre
logiciel.
Ces deux relations sont celles qui donnent les valeurs extrtmes du coefficient
d'échange h'. L'analyse des courbes pennet de constater que ces résultats confinnent ceux de
la figure n-36. En effet. à flux thermique et à débit de fluide donnés. la chaleur se propage
d'autant mieux dans la paroi que le coefllcient d'échange interne est faible.
Relations
i
h'.10·\\)
h.l0·"
T ml
Tf1
de...
1
(W/m3'K)
1
(W/m2 .K)
( K )
( K )
~
i
GAMSON
~
3.99
6.65
200.1
67
i,,
WHITAKER-l
3.34
5.56
223.7
67.1
~
~
1
WILLIAMS
1,53
1
1
2.55
376.2
67,7
f
i
KATSNEL'SON i
1,33
;
2.21
412
67
PITTS
1
1.33
2.21
412.9
67
~
1
WHITAKER-2
j
1.15
1
1
454
67
!
1
,
GLASER
:
1.91
:
3.18
324.5
67.8
;
1
HILPERT
~
0.92
i
1
1.53
525.6
67,2
!
1
i
RAY
1.51
2.51
377
67,2
1
!
!,
GROOTENHUIS !
0,032
1
0.053
3657
67,8
i
1
;
!
1
Tableau D·8 : Valeurs de quelques paramètres relatifs au comportement thermique de la
paroi
300
4000
•
TmlCi_)
CI. 100 MW/m2
•
Tm ( Groou:nhWl )
CI • 100 MW1m2
•
TIle;-)
qm = 300 !tg/s.m2
::s:::
•
TI(~)
qm = 300 !tg/s.m2
::s:::
3000
200
À.e. 25 W/m.K
~
À.e. 25 W/m.K
...
~
...
:l
:l
...
L -'
- '
(';l
:zooo
...
(';l
• 1:)
,~
100
Q.
Q.
E
~
1000
~
~
0
0
0
3
4
0
3
4
Paroi (mm)
Paroi (mm)
Figure 11-43 : Profil de température dans la paroi d'après le modèle de GAMSON et de
GROOTENHUIS
Ces différentes corrélations donnent l'ordre de grandeur du coefficient d'échange
dans le cas des matériaux granuleux. La dispersion des résultats donne une idée de la

---

106
précision à en attendre. Ces fonnules ne sont pas utJlJsables pour les matériaux composites.
leur structure étant fondamentalement d1fTérente.
11-3-3. Détermination semi-empirlque du coefficient d'échange volumique
inteme
Afin de compléter cette étude • nous avons développé une méthode semi-empirique de
détermination du coefficient d'échange convectif interne entre un matériau poreux et un
fluide. Cette méthode couple des mesures avec la modélisation. Elle utJlJse le modèle de KOH
et Del CASAL (voir paragraphe 11-1-3). C'est une méthode semi-empirtque. Le fluide
réfrigérant traverse la paroi poreuse de sa face amont vers sa face aval soumise à une
densité de flux thennique CI> (figure 11-44), La mesure des températures du flUide et du
matériau sur les faces amont et aval pennet de calculer le coefficient d'échange convectif
interne en utJlJsant les équations 11-45 et II-51 et la conductivité thermique équivalente du
milieu poreux.
T.,
Tu
q/ll
Fluide réfrigérant
o
Tf,
cl>
Flux thermique
Paroi poreuse
Face
t - - - - -....... x
Face
amont t+-----
-~-----.l aval
Figure D- 44 : Représentation desflux de masse et de chaleur dans la paroi poreuse
11·3-3-J.Valeur de la conductivité thermique équivalente du matériau
Le matériau poreux utilisé dans notre cas est du bronze fritté de taux de porosité 0.30.
La conductivité thennique du matériau massif correspondante est: Â =
s
61,7 Wjm.K

---

107
(température ambiante). Celle de l'air â la température ambiante est : Â,r = 0.0258 Wfm.K.
L'étude bibliographique présentée au paragraphe 11-1-2 nous donne deux valeurs ltmites de
la conducUvité équivalente. Ces valeurs sont obtenues â partir des modèles série (valeurs
minimum) et parallèle (valeurs maximum). Nous avons détenniné celles-ci en plus de deux
autres valeurs intermédiaires qui sont relatives â des modèles mixtes. On obtient :
- modèle série : Â.e = 0.083 Wfm.K,
- modèle parallèle : Â.e =42.58 Wfm.K,
- modèle mbd:e (I) : Â,e =22.73 Wfm.K,
- modèle mbd:e (2) : Â,e = 6 W fm.K.
Considérant l'écart important entre les deux valeurs ex1:rtmes et l'incertitude sur le choix de
l'une ou l'autre des valeurs intermédiaires. nous avons détenniné la valeur de Â,e par des
méthodes expérimentales au laboratoire. Cela donne une valeur de Â.e = 13 Wfm.K. C'est cette
valeur que nous avons retenue pour déterminer le coeffiCient d'échange convectif interne.
11-3-3-2. Dfsposftifexpérimental
La figure n-45 présente une vue générale de l'installation expértmentale qui comprend
Thermocouples - _ _~_~
de 50 Jl. """'=::::-_~
gainés (~= 1 5 mm)
,
Rayonnement
thermique
•
incident
Matériau poreux
Sonde à_-+4
Isolant thermique en téflon
aspiration
Réflecteur en
aluminium
~-----,~-~Thermocouplesde 50 ~m
Tuyau souple
Figure D-45 : Dispositif expérimental

---

lOB
-la cellule porte-echantWon qui renfenne la plaque poreuse étudiée. Elle est simUaire à
celle décrite au paragraphe 1-3. La seule dJfférence réside dans la présence d'une pièce en
téflon dans laquelle est logée la plaque poreuse. La plaque de téflon est installée entre les
deux éléments de la bride pour assurer, d'une part, l'isolation thermique entre ceux-ci et le
matériau, d'autre part, l'isolation électrique des fUs de thennocouples. L'étanchéité de
l'ensemble est assurée par des joints en graphite,
-la source de rayonnement thermique: d'apres le calcul approché (paragraphe ll-3-1). le
coefficient d'échange volumique interne est très élevé. Il faut par conséquent disposer d'une
source thermique très élevée pour obtenir des différences de températures significatives.
Nous avons donc utilisé un rayonnement laser d'une puissance de 4 kW disponible au Centre
d'Applications des Lasers de Forte Energie à la Transformation des MATériaux
(CALFETMAT) de l'INSA de Lyon. Il s'agit d'un laser utilisant un mélange de gaz (de
composition moyenne: 74 % d'hélium, 20 % d'azote, 6 % de gaz carbonique), excité par
décharge électrique (5 kV) et qui fonctionne en mode pulsé par excitation hâchée (durée de
pulse et interpulse de 0,5 à 500 ms). Il est possible de modifier la puissance de sortie par
régulation du courant d'excitation. La focalisation est obtenue par une lentUle en ZnSe
(diamètre: 30 mm) dont la distance focale peut varier de 93,5 mm à 250 mm.
- le nulde rêfrlgerant : de l'azote,
- un debltmètre pour la mesure des débits d'azote (décrit au § 1-3),
- divers thermocouples Chromel-Alumel pour les mesures de température. Un thennocouple
gainé de 1,5 mm de diamètre est installé en amont de la paroi poreuse à environ 10 mm de la
plaque. Il mesure la température d'entrée du flUide réfrigérant. Quatre paires de fUs de
thennocouples de 50 ~ de diamètre (deux en amont et deux autres en aval, face à face) ont
été soudées par décharge d'un condensateur électrique perpendiculairement sur les faces
extrêmes de la plaque pour la mesure des températures de surface. L'écartement entre deux
paires de fUs est d'environ 15 mm tandis que celui entre les éléments d'une même paire est
d'environ 2 mm. L'utilisation de thermocouples très fins permet de minimiser la
perturbation des températures et de l'écoulement dans la paroi. La mise en place et
l'utilisation de ces thennocouples reste cependant difficile à cause de leur fragilité. Ils sont
reliés à un enregistreur 30 voies calibré de 1 à 500 mV.
- une sonde Aaspiration pour la mesure de la température du fluide en aval de la paroi. En
effet. la température du gaz en sortie de la paroi devant être mesurée dans une zone soumtse
au rayonnement laser. seule une sonde à aspiration avec double écran de protection pouvait
être utilisée. Nous avons conçu et réalisé cette sonde à laquelle nous avons apporté une
attention toute particulière, notamment en procédant à un étalonnage soigné.

---

109
SolIde de mesme de la température d'un gaz
Le schéma de la figure n -46 présente la sonde à aspiration pennettant la mesure de la
température du gaz en aval de la paroi. Sans protection particulière. le thermocouple
selVant â mesurer la température du gaz en sortie de la paroi serait soumis aux effets du
rayonnement incident et de celui réfléchi par la paroi métallique du matériau. C'est
pourquoi il est placé dans un tube de céramique de 2 mm de diamètre extérieur. L'ensemble
est logé à l'intérieur d'un tube en acier de 3.5 mm de diamètre intérieur et de 30 mm de
longueur. Le tube en céramique est maintenu centré à l'intérieur du tube en acier par deux
bâtonnets en céramique. L'ensemble de ce dispositif en forme d'équerre est prolongé par un
tube en cuivre de 4 mm de diamètre intérieur et de 100 mm de longueur (fJgure n-46a). Un
tuyau souple relie l'ensemble à une trompe à vide branchée sur le circuit d'air comprimé du
laboratoire. Le gaz dont on désire mesurer la température est aspiré à travers ce dispositif
et circule dans l'espace latssé autour du thennocouple â l'intérieur du tube en céramique et
dans la zone en couronne entre le tube en céramique et le tube en acter.
Point de fixation de
Jube en acier
la céramique
thermoélectrique
~(.UPI'
-
1
Céramique
Batonnet en
Céramique
Tube en
Couple
cuivre
thermoélectrique
Tube en
Céramique
al
bl
Figure n-46 Sonde de température d asptration, d thermocouple pour la mesure de
températures de gaz: a)- vue de proftL b)- vue deface.
EtaloJUUlge de la sonde
Les valeurs des températures mesurées dépendent de plusieurs paramètres :
- l'emplacement de l'orifice d'aspiration par rapport à la surface de la plaque (figures 11-47 et
11-481. Pour un débit de gaz à une température donnée, la température mesurée diffère selon
que la sonde est dans la position al. bl ou cl et dl, el ou 0,

---

110
- la vitesse d'aspiration du gaz. L'équilibre thennique ne peut être obtenu que si l'on aspire le
gaz à la même vitesse que celle de sortie de la paroi. En aspirant à une vitesse supérieure on
aspire le gaz et de l'air ambiant. La température indiquée dans ce cas est faussée (inférieure à
la température réelle).
Sonde 11 ;aspiration
Bride
renfermant le couple
/
/
®~""t,;qu. ®
\\"" Echantillon
\\
poreux
al
bl
cl
FIgure D-47 : Vue defcu:e de l'emplacement du dtsposttlfpar rapport d la bride
Sonde 11
upiration
?~~
,
..
\\
'"'l:l41
dl
el
fi
FIgure D-48 : Vue de proftl de l'emplacement du dtspositifpar rapport d la bride
Ainsi. l'étalonnage de cette sonde a pour but de fixer les conditions d'utilisation en
définiSsant:
• sa position par rapport à la plaque poreuse.
- la vitesse d'aspiration par rapport à la vitesse transpirée.
- l'écart de température dû à l'effet du rayonnement (température du gaz indiquée par la
sonde soumise au rayonnnement - température du gaz sans le rayonnement). en fonction de
la vitesse d'aspiration.
Pour réaliser cette étude nous avons conçu le dispositif présenté sur la ftgure 11·49.
• La cellule porte-échantillon se trouve dans la même disposition que celle décrite au
paragraphe 1-3-2-1 (figure 1-7 b). Elle est prolongée en amont par un tube d'environ 50 cm
parcouru par un courant d'azote. Ce même tube est placé dans un four (symboUsé sur le
schéma par un enroulement de filament chauffant) décrit au paragraphe 1-3. Un élément en
téflon sert d'isolant thermique entre la cellule et ce tube.

---

111
Thermocouples gainés I~ =1,5 mm)
Source de rayonnement
\\
Isolant Itéflon)
1
•
C
,Ill .2
ILl ..
III
"C .!:::
C c .
C
III
Vllll
Four
Isolant thermique lquerlane)
Manomètre de
contrôle
FIgure D-49 : Schéma du dispositif d'étalon.nage de la sonde " à asptratiDn ".
• Deux thermocouples gainés espacés d'environ dix centimètres mesurent la température de
l'azote en amont de la plaque.
• La sonde à aspiration qui peut etre soumise au rayonnement d'une lampe de 1000 W. située
à env1rOn 25 cm de la sonde. mesure la température du gaz en sortie de la paroi.
L'étude de la réponse de la sonde en fonction de sa position. du débit de gaz et du
rayonnement était basée sur les comparaisons des températures indiquées par les troiS
thermocouples. Les températures indiquées par les deux thermocouples gainés sont
identiques.
La première partie de l'étude réalisée sans le rayonnement de la lampe a penniS de
déterminer la vitesse d'aspiration optimum de la sonde en fonction du débit transpiré. La
vitesse d'aspiration est définie par le réglage de la trompe à vide repèré par la hauteur de
colonne d'eau d'un manomètre de contrôle implanté à l'aval de la sonde. La courbe
d'étalonnage obtenue est présentée sur la figure II-50.
La seconde partie de l'étude a consisté à détenniner toujours sans rayonnement. la
position optimale de la sonde par rapport à la face externe de la plaque (figures 11-47 et 11-
48). Pour détenniner cette position nous avons utl11sé deux méthodes :
• La première méthode a consiSté à positionner la sonde à 1.5 cm de la plaque (schéma II-48
b) et à déplacer latéralement et horizontalement la sonde par rapport à la plaque en

---

112
mamtenant constant le débit du fluide. On compare alors les températures indiquées par les
trois thennocouples décrits plus haut. On note que c'est dans la position 11-47 c que l'écart de
température entre la sonde et les deux autres thermocouples est le plus faible.
300
v
Cil
u
/ '
E 200
/ '
E
..c::
<:]
100
/ ..
~
~:.
o
10
20
30
40
50
60
Débit d'azote' transpiré à travers la paroi ( l/mn)
Fleure U-50 : Courbe d'~de ra sonde
• La sonde étant maintenue dans la position 11-47 c. la dernière parUe de cette étude a
consisté à la poSitionner à :
- 1 cm de la plaque (schéma ll-48 dl,
- 1.5 cm de la plaque (schéma ll-48 el,
- 2 cm de la plaque ( schéma 11-48 fl,
et à rechercher l'écart de température le plus faible entre la sonde et les deux autres
thennocouples déjà cités. La position 11-48 d pennet d'obtenir des températures identiques
entre les deux thennocouples et la sonde. Finalement, la position optlmaleretenue pour la
suite des études est cene présentée sur les schémas ll-47 c et 11-48 d.
La troisième parUe de l'étude a consisté à définir l'écart de températures entre la sonde
soumise au maximum de rayonnement thennique incident et le thennocouple gainé situé
en amont et le plus près de la plaque poreuse pour un débit de flUide et une vitesse
d'aspiration définie par la courbe d'étalonnage. On a noté une température de la sonde
toujours supérieure à celle du thennocouple gainé. La valeur de cette différence de
température en fonction des contraintes de rayonnement seIVira à coniger les valeurs
indiquées par la sonde à aspiration lors de son utilisation.

---

113
lI-SoS-S. Application à la d~inatfondu cotd1lcient d'khange convectif interne au
milieu poreux
0-3-3-3-1. Orcbe de lJ'andeur de. niTeauz de température en fonction du f1uz thermique
La détennination du coeffiCient d'échange convectif Interne est d'autant plus dtfficlle
que sa valeur est plus élevée. En effet pour un flux thermique donné, la différence de
température entre le matériau et le flUide d1m1nue lorsque h' augmente. Dans les conditions
expérimentales définies ci-dessus, 1l est illusoire d'espérer mesurer avec une précision
acceptable une différence de température inférieure à 1K. Afin de connaftre a priori les
écarts de température en fonction de la valeur de h' pour diverses valeurs du flux thermique
CZ> on a utilisé le logiciel TIIERMO. Nous avons ainsi calculé la valeur supérieure l1m1te
mesurable de h' en fonction du flux thermique sur la paroi et en considérant un écart
m1nimum (.1T = 1 K) entre la température de la paroi et celle du fluide. Les résultats sont
présentés sur la figure ll-SI. Par exemple pour un coefficient d'échange supérieur ou égal à
loB W Im3.K. 1l est impossible d'avoir un .1T de 1 K avec un flux inférieur à 10 MW1m2. Par
contre pour une valeur de h' de 106 w/in3.K. un flux de 0,1 MW/m2 a conduit à un.1T de
l'ordre de 30 K. Nous constatons sur cette figure que la mesure préCise de h' est quasiment
impossible avec le flux thermique dont nous disposons et qui est de l'ordre de 1 MW1m2, si
cette valeur dépasse 10 MWIm3.K.
1000
A
h' =1 p,wv/m3X
AA
-
AA
0
h' =10 p,wv/m3·K
~
A
AA
A
u
100
C
h' =100 p,wv/m3X
A
'0
:l
AAIJ/A
-
Limite de possibilité de mesure
f=
AA
A
A
g
10
A
0 0 0 0
III
b,AA
00
f-oQ,
0
A·
0
AA
/1
0 ' #
A
f-o
A
Q
0
1
<]
0
A
0
0 0 0 0
0
CcC c
0
.1
,001
,01
,1
1
10
Flux thennique reçu par la paroi (MW1m2)
FIgure 0-51 : Etude prédictive de l'expérience

---

114
0-3-3-3-2. Rbultata et conclualou
Nous avons réalisé plusieurs essais à flux imposés (cl» =0.637.0.828. 1.060. 1.305 et
1.687 MW1m2 ) en faisant varier le débit du fluide réfrigérant et en enregistrant la
température du fluide en sortie de paroi aval (Tf1). la température d'entrée du fluide
réfrigérant (Tf1) et la température de la paroi en aval (Tm)' Le tableau 11-9 présente les
niveaux de température relevés au cours des essais pour diverses valeurs du flux thermique
(cI»= 0.637. 0.828. 1.060 MW1m2 ) et leur fourchette de variation. On constate une forte
dispersion des résultats qui se traduit par un domaine d'incertitude de l'ordre de 10 K à 20 K
Les niveaux moyens de température de fluide et de paroi à l'aval sont du même ordre de
grandeur. .A1ns1.1l ne nous est pas possible de conclure sur une valeur de h' surtout du fait de
difficultés de mise en oeuvre de cette expérimentation.
On remarque sur ce tableau que les fourchettes de valeurs de températures relevées
pour les essais à cl» = 1.305 et 1.687 MW1m2 n'y figurent pas. Cette lacune s'explique par le fait
qu'en mode de fonctionement défocalisé. le diamètre du rayonnement incident du laser est
d'environ 2 nun. Ce qui correspond au diamètre de la pastille à chauffer et qui représente les
conditions idéales dans lesquelles 11 aurait fallu faire les essais. Nous n'avons
malheureusement pas travaillé dans ces conditions à cause de l'encombrement présenté par
la cellule porte-échantillon par rapport â l'installation du laser de traitement. Par ailleurs.
plus on augmente la puissance de chauffe. plus la source de rayonnement se concentre et
plus on réduit la surface chauffée. Ainsi la répartition de la chaleur à la surface de la plaque
était de moins en moins uniforme et les valeurs de températures mesurées dans ces
conditions étaient de moins en moins fiables (tableau 11-9). Nous avions par exemple noté
des températures amont supérieures à des températures aval pour ces niveaux de flux
thermique.
Flux
Tml
Tfl
Tml-Tfl
Tfl-Tfi
thermiques
(OC)
(OC)
(OC)
(OC)
( MW/m2 )
0,637
70-82
62-81
8-1
43-62
0,828
98-110
83-103
15-7
64-84
1,060
108-136
107-137
1- (-1)
88-118
Tableau n-9 : Fourchettes de variation des températures relèvées au cours des essais (l'J i =
19 "C)

---

U5
U-4. CONCLUSIONS
Les difficultés rencontrées au cours de cette étude expéI1mentale nous ont conduit à
remettre en cause le principe du montage. nserait intéressant dans l'avenir de concevoir un
montage dJfférent dans lequel un chauffage électrique de la pastJlle viendrait se substituer
au chauffage par rayonnement utJlJsé actuellement. Ce type de montage avec chauffage
éleetrtque a été expéI1menté par pluSieurs chercheurs dont Leadon et Scott [93. 94] et semble
donner de bons résultats.
De cette étude nous retenons aussi que le refroidissement d'une paroi par effusion est
un phénomène complexe. Les résultats obtenus à partir des simulations nous ont pennJs de
faire l'inventaire des différents phénomènes physiques et d'en étudier l'jrnportance relative.
Ces résultats nous ont pennJs de nous rendre compte que. pour une conductMté thermique
relativement faible. une valeur du coefficient d'échange convectif interne au mJ1Jeu poreux
supérieure ou égale à 109 W/m3.K aboutit à un gradient thermique négUgeable à travers la
paroi (réseaux de courbes de la figure 11-35 b et c) et que les échanges thermiques dans le
matériau semblent insuffisants pour refroidir celui-ci pour des flux thermiques élevés.
Ainsi. le principal effet du refroidissement par effusion est dû dans ce cas à la protection
thermique de la paroi aval par la couche limite due au fluide transpiré. Le troisième
chapitre fait l'objet de cette étude de protection thermique.

---

---

117
TRANSFERT DE CHALEUR
DANS LA COUCHE LIMITE

---

---

119
Dans le processus du refroidissement par effusion, le fluide réfrigérant qui traverse
une paroi poreuse a une double action:
- U contribue à refroidir le matériau par échange convectif interne. Les résultats présentés
dans le deuxième chapitre montrent que ce refroidissement est llm1té par la valeur du
coefficient d'échange convectif interne h' et celle du débit de fluide,
- U crée une couche gazeuse sur la face aval de la paroi qui joue le rôle de protection
thermique et permet de d1m1nuer le flux thermique à la surface de la paroi. Cette protection
dépend de la structure de la couche l1m1te a1ns1 formée.
Ce troisième chapitre est consacré à l'étude des couches limites en général et des
transferts thermiques à travers une couche l1m1te. L'étude s'articule autour de trois points
principaux :
- une analyse bibliographique donnant un aperçu de quelques travaux relatifs aux couches
l1m1tes avec effusion,
- une modélisation shnple qui permet de déterminer le transfert thermique à travers une
couche llm1te laminaire,
- une étude expérimentale permettant de visualiser et de comprendre l'interaction du fluide
d'effusion et du flux principal.
rn-l. ETUDE BmLIOGRAPHIQUE
La notion de couche llm1te est différente selon qu'on considère un écoulement de
fluide sur une paroil1sse ou sur une paroi poreuse avec effusion d'un autre fluide.
m-l-l. Généralités
Pour un écoulement sur une plaque plane imperméable. la couche 11m1te est définie
conune étant le lieu où la composante de la vitesse V du flUide (parallèle à la paroi) est
inférieure ou égale à EVoe (Voe étant la vitesse de ce même fluide loin de la paroi). La valeur de
E varie selon les auteurs mats elle est fréquenunent prise égale à 0.99. L'épaisseur ô de la
couche 11m1te correspond alors à la distance x de la paroi où la vitesse V du fluide est égale à
EVoe (figure III-IL L'écoulement se divise en deux régions (figure III-2) :

---

120
transition
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U-
1
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U,
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1
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L
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0
sous-couche
laminaire
Figure W-l : Evolution de la vitesse U au
Figure m-2: Epaisseur de la couche
voisinage d'une paroi
limite dynamique ~
a) la région 0 < x < 6 : c'est la couche ltmtte dans laquelle les gradients de vitesse sont
importants. le rôle de la viscosité v est prépondérant et les contraintes tangentielles ne sont
pas nulles.
b) la région x > 6 : c'est la région d'écoulement extérieur où la vitesse est égale à Uoo. La
viscosité n'y joue plus aucun rôle.
Dans le cas d'un écoulement sur 'une paroi poreuse avec effusion. 11 est possible de
définir une couche de ~D~tratlODcomme la région de l'espace où l'écoulement principal est
perturbé par celui du flUide réfrigérant. L'épaisseur et la stabllité de la couche de
pénétration. les profils de vitesse. de température et de concentration du fluide réfrigérant
dépendent aussi bien des caractéristiques de l'écoulement principal que de celles de
l'écoulement à travers la paroi. En général. une augmentation du débit d'effusion à travers
la paroi augmente l'épaisseur de la couche de pénétration et d1m1nue les coefficients
convectifs d'échange thennique entre le flux principal et la paroi (95). Nous n'avons pas
particulièrement étudié l'influence de cette couche de pénétration sur la couche Itmtte. Pour
simplifier le raisonnement.
nous considérons dans la suite de ce travall que ces deux
couches sont identiques et ont le même comportement et, pour une question de commodité
de langage. nous emploierons plutôt le terme couche Bmlte.
Une couche l1m1te a une structure complexe. On y distingue notamment une sous-
couche laminaire et une couche turbulente (figure m-2). La sous-couche laminaire est
souvent elleéIlême diVisée en deux parties présentant des lots de proffi de vitesse dtfi"êrentes.
La chaleur se propage par conduction au travers de la sous-couche laminaire. Dans notre
cas. le fluide réfrigérant qui s'écoule de la paroi vers le flux principal absorbe la chaleur
provenant du gaz chaud et l'évacue vers l'aval. Seule une petite partie du flux thermique non
rayonné pourra par conséquent atteindre la paroi. En pratique. pour un flux important de
flUide réfrigérant, le flux de chaleur convecté sur la paroi pourra être nul. Les expériences
montrent que le débit de flUide réfrigérant nécessaire pour une bonne protection thermique

---

121
protection thermique dépend de la structure de la couche lJm1te. Il est d'autant plus faible
que la sous-couche lJmJ.te laminaire est importante.
Certains auteurs tels que RANNIE [96] et TURCOITE [97) considèrent que l'injection
du flUide réfrigérant affecte la sous - couche lam1na1re et a un effet négligeable sur la sous -
couche turbulente, que les variations des paramètres selon y (le long de la paroi) sont
néglJgeables par rapport aux variations selon x (perpendiculaire à la paroi). Ils aboutissent
à des valeurs du coefficient de frottement et du coefficient de transfert thermique très
élevées. C'est une approche simple.
D'autres études prennent en compte l'influence de la partie turbulente. Dans un
certain nombre d'articles les auteurs ut1lisent une expression du c1Sa1llement qui tient
compte de la viscosité et de l'interaction entre les deux flux :
t=tv+puU
(III-l)
avec :
t v
coefficient de frottement sur la face aval de la paroi dû à la viscosité,
u
vitesse du flUide réfrigérant en sortie de paroi,
U
vitesse du fluide prinCipal.
En basant leur étude sur le concept de la longueur de mélange de PRANDTI., l1s obtiennent
des expressions analytiques donnant la distribution de vitesse et de température. Mais ces
expressions diffèrent d'un auteur à un autre selon les hypothèses ut1l1sées.
Ces quelques éléments de réflexion donnent un aperçu de la complexité du problème.
Aussi, beaucoup d'études tant théoriques qu'expérimentales traitent de l'influence de
l'effusion sur le frottement pariétal et sur les échanges thermiques dans la couche lJm1te.
Nous passons en revue, ci-après, quelques-uns de ces travaux.
m-1-2. Techniques expérimentales
Il semble d'après GROOTENHUIS [98) que OBERTIl [99] en 1929 ait été le premier à
reconnaître l'importance du refroidissement par effusion des moteurs de fusées. Mais les
premières études expérimentales furent menées par GODDARD (lOO) en 1930 qui a fait
brûler un mélange de kérosène et d'oxygène dans une tuyère de fusée en céramique poreuse
refroidie par effusion d'oxygène. Des méthodes similaires furent testées par MEYER-
HARIWIG \\1011 en 1940. par SKOGLUNG (1021 en 1942 sur des moteurs de fusée.
L'application aux turbines à gaz fut proposée par MOORE et GROOTENHUIS [98]. Les
échanges thermiques à travers la couche limite d'une paroi poreuse ont été étudiés par
EISENKAN [1031. par DUWEZ, WHEELER (104]. par FRIEDMAN [105]. etc. Le cas spécifique

---

122
de l'étude du transfert thennique à travers un matériau fritté a été étudié par
GROOŒNHUIS 1981 et (1061.
DUWEZ et WBE;m,ER 1104] ont réalisé deux types d'expériences:
- dans une première étude. Us utUisent l'oxygène et l'hydrogène comme comburant et
combustible.
- dans une seconde étude. Us utilisent de l'essence et de l'air.
Ces deux auteurs font passer les produits de combustion d'un brûleur dans un cylindre
poreux de 2.5 cm de diamètre intérieur sur 3.75 cm de long. La vitesse du courant prinCipal
est telle que Ma = 1 (Ma = nombre de MACH) et la température del040°C. Un seul
thermocouple installé dans la paroi permet la mesure de la température. Os n'étudient pas
l'influence des fuites thermiques bien que le contact entre la paroi poreuse et le reste du
tuyau soit important et la perte par conduction non négligeable. Les réfrigérants utilisés
sont l'azote et l'hydrogène. Les résultats présentés donnent la température de paroi en
fonction du débit du fluide réfrigérant pour diVerses valeurs de la température de la flamme
et de la vitesse du flux principal. Deux principaux paramètres sont étudiés:
- la température du flux principal. de 590 à 1040°C.
- la vitesse du flux principal.
Les courbes se classent selon un ordre logique. Elles tendent vers une asymptote horizontale
quand le débit massique du flUide réfrigérant augmente. La température de paroi augmente
quand la température ou la vitesse du flux principal augmente. Les résultats dépendent de la
nature du matériau et de celle du fluide. Pour une même température de paroi. Ufaut environ
5 fois moins d'hydrogène que d'azote. Les auteurs montrent aussi que le flux thermique est
une fonction linéaire de la vitesse du courant principal. et que lorsque la couche isolante
s'est formée à la paroi. un apport supplémentaire de fluide réfrigérant n'a plus guère d'effet
sur l'efficacité du refroidissement qui est plus faible que celle prévue par la théorie.
probablement à cause des pertes thermiques. Les résultats de leurs essais sont présentés sur
la figure III-3 qui est une compilation de résultats de plusieurs auteurs faite par
GROO'IENHUIS 198].
FRIEDMAN 11051 a fait des expériences s1m1laires à celles de DUWEZ et WHEEIER
avec un cylindre de 7.5 cm de diamètre sur 15.5 cm de longueur. Un seul thermocouple est
utUisé pour mesurer la température de la paroi. La description de l'appareillage est
sonuna1re et aucune mention n'est faite d'une isolation entre la plaque étudiée et le reste du
montage. La température d'entrée du flUide réfrigérant Tfo est supposée constante et égale à
21°C. Les rapports entre les vitesses massiques du réfrigérant <lm et du flux principal Qm
varient entre 0 et 6. Les niveaux de températures du flUide principal Tc se situent entre 430
oC et 700 oC. L'auteur montre que les plus grandes efficacités de refroidissement sont
obtenues avec les plus faibles valeurs du nombre de REYNOLDS de l'écoulement prinCipal.

---

123
Les résultats présentés sur la figure 1lI-3 corroborent assez bien la courbe théorique pour les
faibles valeurs du débit.
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Figure m-s : Etude comparatiJJe de résultats tirés de la littérature {98}
JAKOB et FIELDHOUSE (107J étudient le transfert thennique sur une pastille
de 2.5 cm de diamètre fixée dans la paroi d'une veine à section rectangulaire de 1.25 cm
sur 5 cm. parcourue par un gaz chaud et refroidie par un fluide réfrigérant. Des précautions
sont prises pour éviter les fuites thenniques du montage. Dans une première expérience. ils
utilisent l'eau comme fluide réfrigérant traversant la pastille. De très grandes efficacités de
refroidissement sont obtenues grâce à l'effet d'évaporation. Deux autres expériences sont
réalisées avec de l'azote comme fluide réfrigérant pour des vitesses de fluide réfrigérant plus
élevées. Les résultats sont présentés sur la figure III-3. Les auteurs ont réalisé leurs essais à
des vitesses élevées et seuls deux points expérimentaux en accord avec la courbe théorique
sont présentés sur cette figure.
BAYLEY (lOB] utilise un tube de bronze poreux de 16.25 cm de diamètre sur 53.3 cm de
longueur et de 0.30 cm d'épaisseur et un brûleur kérosène-air. Plusieurs thermocouples
placés le long de la paroi du tube permettent la mesure du gradient thermique longitudinal.
Le réfrigérant utilisé est de l'air. Les résultats présentés sur la figure III-3 montrent un très
bon accord avec la courbe théorique.

---

124
DUNCOMBE (109] conduit une étude semblable à celle de BAYLEY et ut1l1se un tuyau
de 10 cm de diamètre sur 15,70 cm de longueur. Une partie non perméable du tuyau est en
double paroi. Dans cette double paroi circule le fluide réfrigérant, qui est de l'air, jusqu'à la
partie poreuse. La température de l'air est mesurée uniquement à l'entrée du montage. Les
conditions expérimentales rendent les résultats d1fficllement exploitables.
BRUNK [110] ut1l1se une plaque de bronze poreuse de 152,5 cm de long sur 25,5 cm de
large et 1,30 cm d'épaisseur, sertie dans la paroi d'une soufiler1e de 10 cm sur 25,5 cm dans
laquelle circule de l'air à Ma = 0,5. La plaque est instrumentée en thermocouples. L'air est
ut1l1sé comme fluide réfrigérant. Les données ne sont pas reportées sur la figure 1lI-3. fi est
admis par BRUNK que la perméabllité locale de la plaque est variable, ce qui entraîne de
grandes incertitudes sur les mesures de la température de paroi.
Des résultats sur le refroidissement par effusion des aubages de tubines à gaz sont
présentés par DONOUGHE et DIAGUILA [Ill] qui testent une plaque sertie dans les aubages
d'une turbine à gaz. Les mesures de température de la paroi sont difficiles à réaliser, si bien
que les auteurs ne donnent aucuIlrésultats.
LEADON et SCOTT [94] réaliSent leur étude sur une plaque plane poreuse d'acier
inoxydable de 17,80 cm sur 3,80 cm, sertie dans une paroi de souffierie. L'étude est menée
pour un nombre de MACH de l'écoulement principal de 4 et un nombre de REYNOLDS
approxJmatlf de 4.106 • Les fluides réfrigérants utilisés sont l'air et l'hélium. La figure III-4
présente les coefficients d'échange en fonction des rapports de flux massiques comparés aux
résultats de RUBESIN et à ceux de la théorie du mm. La réduction du coefficient d'échange
surfacique avec l'intensité de l'effusion est évidente sur ces courbes. Cette réduction du
coefficient d'échange est qualitativement en parfait accord avec la théorie du mm et les
résultats de RUBESIN. Ces résultats montrent par ailleurs la meilleure efficaCité du
refroidissement de l'hélium comparée à celle de l'air.
GROOTENHUIS [98] étudie le refroidisement par effusion d'un fluide réfrigérant à
travers une paroi poreuse en fonction des caractéristiques de l'écoulement principal d'un
fluide chaud. La plaque poreuse étudiée a la forme d'un diSque et elle est fixée au bout d'un
tube à paroi mince et peu conducteur de chaleur. Le flUide réfrigérant, de l'azote, ctreule dans
ce tube. La plaque poreuse est en même temps inSérée dans la paroi d'une veine rectangulaire
de 7,5 cm sur 2.5 cm dans laquelle ctreule le gaz chaud. Des thermocouples permettent de
mesurer la température côté froid et côté chaud de la plaque poreuse. Le gaz chaud est obtenu
à l'aide d'un brûleur à gaz. Sa dilution avec un courant secondaire permet de faire varier sa
température et sa vitesse. La température Tc maximale atteinte est de 6500 C pour un
nombre de REYNOLDS de 20.1Q3. Les études portent sur des échantillons d'acier et de bronze
frittés. La figure 1lI-5 donne les résultats expérimentaux qui sont bien en accord avec la
théorie développée par l'auteur à partir de
son équation du bilan thermique
(paragraphe 1II-1-3-21.

---

125
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Figure m-4 : Résultats comparatifs de la vc:uiatiDn du nombre de STANI'ON en fonction des
rapports des.flux massiques d'après ŒADON et SC0IT[94] (Slo =nombre de STANrON sans
effusion)
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.+H. :
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Figure m-s : Résultats d'études du refroidissement par effusion sur divers matériaux poreux
.fritté d'après GROO7ENHUIS [98]
D'autres résultats sont présentés sommairement ci-dessous. Ils concernent le
frottement pariétal et sa relation avec le coefficient de transferts thermiques. Les figures
111-6 et 111-7 rassemblent les résultats d'une compilation d'études théoriques et
expérimentales sur l'influence de l'effusion d'air sur le frottement pariétal. et sur le
transfert thermique convectif à la paroi d'après ROMANENKO 1112). Les résultats montrent
que les coefficients de frottement Cf et de transfert thermique convectif caractérisé par le

---

126
nombre de STANTON St diminuent quand la vitesse d'effusion augmente. ce qui confirme
les résultats de LEADON et SCO'IT (figure III-4). On observe que les figures III-6 et ITI-7
présentent une certaine s1mfi.1tude dans la forme car 11 existe un l1en entre le coefftcient
d'échange convectif
et le
coefficient de frottement (l13]. En effet. la contrainte de
ctsa1llement (t) sur une plaque plane est déftnte par
t =cllf.
(III-2)
2
o -
1
6
-
2
•
9
-
J
•
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os
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• -
6
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........
cJ' 02
0
..
1- Ma = 0.3
'"
.IJ
2-Ma=0.7
-~2
..
3- Ma= 3.21
4- Ma = 4.3
-0':'
de 5 à 14 - auteurs
2 qm / Qm Cfo
FIgure m-e : Etude de l'influence de la uitesse d'effusion d'air sur le coefficient defrottement
pariétal [112} (Cfo = coefficient de frottement sans effusion)
)1
)1,
;u
1 à 10 selon les auteurs
...9
ri)
:~
........
û5 ..
:;
o
1.2
(6
20
lit
2.8
Figure m-7 : Etude de l'tnfluence de la vitesse d'effusion d'air sur le coefficient de transfert
thermique [112} (Sto = nombre de STANrON sans effusion)

---

127
Cette meme contrainte de c1sa1llement se définit également par la relation :
t= I! (au)
-ax x=o
(III-3)
Par a1lleurs, on fait l'hypothèse que le profil de vitesse dans la couche limite laminaire est
une fonction polynomiale de la forme :
(III-4)
La différenciation de l'équation (III-4) par rapport à x, donne
au =u.[.a~ _.a~]
ax
2 S 2 ff
(III-5)
En portant (III-5) dans (III-3) , on obtient une nouvelle expression de la contrainte de
eisa1llement sous la forme :
(III-6)
On démontre également que l'épaisseur de la couche lim1te laminaire est obtenue par
S=464
,
~VY
U_
(III-7)
En portant la valeur de S dans l'équation (111-6), on déduit une autre forme de la contrainte
de c1sa1llement :
_
3U_
1
~
t - J.I.--4;;4V vy
(III-8)
2
En égalisant (III-2) avec (III-8), on obtient la relation donnant le coefficient de frottement:
3
Cr =J.l. U. -L
1 JU- = 0,323Re"f/2
2
2
p t.P.. 4,64
v y
On démontre aussi, en appliquant l'équation du bilan énergétique sur un élément de volume
dans une couche lim1te laminaire, que le coefficient d'échange convectif se calcule par la
relation:

---

128
NUy = 0,332 PrI/3 ~
(III-lO)
Equation que l'on peut écrire encore sous la forme :
Nuy =
h
= 0,332 Pr-2/3 Rey-I/2
Rey Pr
pepu-
(III-11)
.
h
-St
Œ1
pepu- -
L'équation (rn-11) peut alors se mettre sous la nouvelle forme
Sty PrZ/3 =0,332 Rey-l/2
(III-12)
En égalisant enfin (III-9) avec (III-12), avec une marge d'erreur de 2,7 %, on obtient la
relation entre le coefficient de frottement fluide et le coeftlcient d'échange convectif pour un
écoulement laminaire sur une plaque plane:
Sty Pr2/3 = Q"y
(III-13)
2
Cette relation, appelée analogie de COLBURN, permet, à partir de la mesure des forces de
frottement à la paroi, de déterminer le coefIlcient d'échange convectif fluide/paroi. C'est
cette relation qui pennet de passer des rêseaux de courbes de la figure (III-6) à ceux de la
figure (III-7) .
m-1-3. Modèles de couches Umltes
Différentes approches théoriques et méthodes de résolution ont été dêveloppées pour
étudier les phénomènes
dans la couche limite. Elles peuvent ètre classées en deux
catégories:
- utilisation de fonnules semi-empiriques dont certains paramètres sont déterminés
expérimentalement (profils de coefIlcient de frottement, lois de paroi ou de coefIlcient
d'échanges thermiques, etc.),
- résolution des équations de bilans de masse. de quantité de mouvement et d'énergie.
m·l·3-l. Modèles basés sur des relations semi-empiriques

---

129
DUWEZ et WHEELER (104]. en se basant sur les fonnulations théoriques de YUAN
(114] et de RANNIE (96]. ont proposé une méthode semi-emp1r1que simple en faisant les
hypothèses simpl1ficatrices suivantes :
1- la couche l1m1te est constituée d'un coeur turbulent et d'une sous-couche laminaire
protectrice.
2- les valeurs de la chaleur spécifique. de la conductivité thenntque. etc.. sont des valeurs
moyennes.
3- le transfert radiatif est négligé.
Si adésigne l'épaiSseur de la sous-couche l1mite lam1na1re et dans le cas où il n'y a
pas d'effusion. la contrainte de cisaUlement 't à la paroi peut s'écrire selon les deux
équations suivantes :
't = ~(~) =~(~a)
't=p;lf(~)
(111-14)
avec :
Pc-
masse volumique du flUide principal (chaud).
À,fr
coefficient de pertCJde charge.
Ua:
vitesse fictive qu'aurait le flux principal à la distance a de la paroi si le
gradient de vitesse dans la couche limite était constant et égal à sa valeur
réelle à la paroi (figure ID-1).
En écrtvant l'égalité des deux équations. on obtient :
(111-15)
En posant ~ = Ua! UOO (facteur de distorsion de la vitesse égale à 1,5 selon la théorie
développée pages 126 et 127) et en remplaçant PcUoo par Qm (vitesse massique du courant
prinCipal ). l'expression de adevient:
(III-la
Lorsqu'un fluide est injecté à travers une paroi poreuse. la contrainte de cisaillement dans
la couche l1mite laminaire est considérée comme étant la somme de la force de viscosité à la
surface de la paroi et d'une contrainte représentée par Pf u U telle que:
't =~f(~) + pruU
(III-11)

---

130
où Pc est la masse volumique du fluide réfrigérant. u la vitesse du fluide réfrigérant en sortie
de paroi et J.If est la viscosité du fluide réfrigérant. En transformant l'équation (111-5) pour
faire apparaître Ô et en utilisant la deuxième équation (111-14) on obtient une nouvelle
expression de l'épaisseur de la couche l1m1te sous la fonne :
ŒIl-la
Pour un système conservatlf. le flux de chaleur transmiS par le fluide chaud â la face aval de
la paroi sert â accroître l'enthalpie du gaz réfrigérant traversant cette paroi. On peut écrire :
; ( Â. / ô) ( Too - Tfl) =Qm cp (Tfl - Tfo)
(III-19)
où ; est le facteur de distorsion de la température. Il joue le même rôle que ~ pour la vitesse.
Il relie le gradient de température à la paroi dans la sous-couche au gradient de température
global dans la couche limite. Â. est la conductivité thermique du fluide réfrigérant. Tfo la
..
température du fluide réfrigérant â l'amont de la paroi poreuse. Too la température dans
l'écoulement non perturbé et Tflla température du fluide réfrigérant au niveau de la face
aval de la paroi. En combinant les équations (111-18) et (111-19). les auteurs obtiennent la
relation suivante :
(T_ -Tn) 1 -1/(~ Qm 5)
TIl- Tfo Pre -
8 ~ qm - ~
ŒIl-2Q
où Prf est le nombre de PRAND11. du fluide réfrigérant. Pour un nombre de REYNOIDS du
flux principal de 3.104 • le taux de
•
variation de température
couche
•
!
~7
limite / paroi. calculé à partir de (III-
•
1
20),
comparé
aux
résultats
... î .
1
.V
1
expérimentaux est présenté sur la
1
1
....:.y
figure III-8 en fonction du rapport des
1
1
.l7?,"· ,
1
•
' ..
écoulements du flUide réfrigérant au
1 '~':!'~i
,t,s'"
1
1
fluide chaud.
~·"··..~""~I·· 1 1
i
.
1
1
•
,
,
.
)
Suivant la même démarche
que DUWEZ et WHEELER 11041.
RANNIE 1961 développe une théorie
Figure m-s : Taux de variation de température
similaire qui lui pennet d'établir la
couche
Limite/paroi
d'après
DUWEZ
et
relation donnant le taux de variation
WHEEIER [ 104}
de température couche limite /paroi :

---

131
Pr'lm tr:7
T. - Tf1
eO
~'Vcry
( )
Tf1- Tro = 1- 1 (2
1
Ifl f olim. Œ7\\
+ - - -
-
(III-21)
e Qm'V Ci3 J
~y'
avec :
Cr
coefficient de frottement à la paroi.
y- =5.6.
Pour des nombres de REYNOLDS de 3.1Q4 et 3. lOS' • ce taux de variation de température est
comparé aux résultats expértmentaux présentés sur la figure 1lI-9. On constate d'aprés les
courbes que les résultats sont moins satisfaisants que dans le cas précédent.
GINZBURG et al [IlS] étendent les équations sem1-emp1rtques de calcul des couches
l1m1tes turbulentes sur paroi1mperméable au cas d'écoulement sur une paroi perméable. ns
considèrent un modèle à deux couches. avec des valeurs constantes des nombres de
PRANon et de LEWIS. La répartition du flux thermique total. de la concentration
massique relative de la substance injectée et de la contrainte de Cisaillement dans la couche
laminaire et dans le coeur turbulent sont évaluées grâce à des polynômes dont les
coefficients sont déterminés par les conditions aux limites. Il en résulte des expressions
complexes du taux de variation de température qui sont en accord avec les résultats
expérimentaux. Une méthode pour calculer le transfert de chaleur est proposée.
m-1-3-2. MocUles basés sur les équations de bilans
Les équations des bilans de
masse. de quantité de mouvement
LO
(équations
de
NAVIER-STOKES),
..........-::::;:::::::::--- ..
0&
~/ .~':>":"-'
d'énergie et de diffusion fonnent un
-~'."!'
c
~
E-o E-o
système d'équations différentielles qui
06
1
1
v;~~;r
,.
;-..
peut être résolu aprés modifications et
E.!~ 0.4
Ife.
.~
simplifications en tenant compte des
y
conditions aux l1m1tes.
02 Il
FRIEDMAN
1105]
étudie le
1
o
transfert thennique à travers une paroi
4
&
12
16
~O
24
poreuse et la couche l1m1te fonnée par
l'effusion
d'un
flUide
réfrigérant
Figure
111-9: Taux
de
variation
de
entraîné par un flux de gaz chaud. Il
température
couche limite /paroi d'après
considére que le fluide réfrigérant est de
RANNIE [96)
même nature que le flUide du flux
principal. Il utilise un modèle à deux

---

132
couches fonné d'une sous-couche la.m1na.1re et d'un coeur turbulent. Le fluide réfrigérant est
supposé n'avoir d'1nfluence dans le transfert de chaleur que dans la sous-couche lam1na1re.
Les figures III-IO et III-Il schématisent respectivement la paroi poreuse et la sous-couche
Umite laminaire. Dans cette sous-couche. d'épaisseur Ô. le transfert de chaleur se fait par
conduction et peut etre traité analytiquement en considérant que le flux thermique cédé par
conduction par les gaz chauds (donné par la loi de FOURIER : fi» = Â dT/ dx ) sert à élever
l'enthalpie du fluide réfrigérant traversant la sous-couche laminaire, ce qui se traduit par
l'équation :
(III-~
avec les conditions aux Umites :
Pour x= 0 on a T = 1j
Pour x= ô on a T = T6
Pour x=> 00 on a T =Too
1\\
1
COOLANT
COOLANT
fLOW
..
1
...0.
1
111&11ltTIlUW
'LOW
1 TUII'UU"T
1
COIII:
.\\
1
1
1
TDI,t:II&TUlE
GIl&llIt:IlT '011 THt:
IWUT
COOLINO
l'IIoetls
Figure m-lO : Schéma de l'éoolutton de la
Figure ID-Il : Couche limite laminaire
température dans la paroi et dans la sous
dans laquelle ont lieu les échanges
couche limite laminaire [105J
thermiques conductifs [105J
La résolution analytique de cette équation pennet d'obtenir le profil de température dans la
sous-couche limite laminaire:
T = 1) +
T6 - TI
( f!!W'pX/). - 1 )
00-23)
~/).-l
En déIivant l'équation (III-231. on obtient:

---

133
.dI....=
Til - TI
QmCp f!W'P1'/'A.
0lI-24l
clx
~/Â-l
Â
Comme le flux thennique dans la couche limite est donné par la loi de FOURIER : ~ = Â
dT/clx. l'équation (1lI-24) peut s'écrtre après substitution de dT/clx :
(111-25)
Pour x = O. le flux thennique à la paroi déduit de l'équation (Ill-25) s'écrit:
~l=
TA-TI
qmcp
~/Â-l
(DI-26)
Ce flux thermique reçu par la face aval de la paroi doit aussi ttre égal au flux thennique
transmis au fluide réfrigérant entre l'amont et l'aval du milieu poreux. Par conséquent :
(DI-27)
Ce qui peut encore se mettre sous la fonne :
TA - TI = ~cpM. _ 1
TI - Tro
(DI-2S)
Par ailleurs le flux de chaleur ayant traversé la couche l1mite et arrivant sur la paroi s'écrit :
(DI-29)
Le flux thennique conductif transmis par la couche l1mite laminaire à la face aval de la
paroi peut s'écrire. en faisant l'hypothèse simplificatrice que le gradient à la paroi est égal
au gradient thennique global dans la couche limite laminaire:
(DI-~
Comme ce flux conductif est égal au flux convectif. les équations (111-29) et (111-30) sont
égales. Ainsi :
(DI-31)
L'équation (111-31) s'écrit encore sous la fonne :

---

134
5=Â.r/h
(III-32)
en posant: r = (T6- TM(Too - T~ .
Soit:
(III-33)
En substituant (III-32) et (III-33) dans (111-28) on obtient la relation:
TI- Tfo =
r
avec St =h / qm Cp
T_-TI
er/St_l
Pour évaluer r on fait l'hypothèse que les distributions des températures et des vitesses sont
semblables. PRANDTI.. donne une valeur r = 0.5 pour un large domaine de variation du
nombre de Reynolds. Ainsi, les températures peuvent finalement être déterminées par la
relation:
TI - Ti> =
0.5
(111-35)
T.. -TI
e1 / 2St _l
Les valeurs locales du coefficient d'échange convectif surfacique sont déduites des résultats
expérimentaux. L'auteur traduit ses résultats expérimentaux ( figure III-12) par la relation:
Nu = 0,023 Re 0.8
(III-36J
La figure lll-l3 présente (Tl - T co ) / (Too - Tco ) en fonction du nombre de STANrON. Un bon
1.0 r--r----:---r-.....,..-...,....-....,...--,
accord est obtenu avec l'expérience pour r = 0.5.
O••
1alO
9CIO
ICa
7'00
Il ••
600
500
C.,
" /'
16/
~
~)v
Il.'
)CID
-
.9~
~
Il ••
::3
1
200
1
Z
" ~
t= E2 0.4
//or _0.
t 1
c.nlAU_ 1er
~,...
0.3
/
100
p/t/"
..
0.2
-
V
., .-
0.1
,
o'--........'--~_.....:.._.....L_...:....._-'-..:::=::l
J
,
~
,
,
Re. 10-4
l/St
Figure UI-12 : Nombre de NUSSELT en
Figure m-13 : Rapport des variations de
jonction du débit du fluide réfrigérant
températures en jonction de 1/St {105J
{105J

---

135
Cette théorie est la plus simple que l'on puisse développer. Elle intégre d'importantes
hypothèses simplificatrices : propriétés du fluide réfrigérant constantes dans la sous-
couche laminaire, absence de phénomènes de diffusion, etc. Elle nécessite également la
détermination empirique de r et de h ou de ~.
Comme FRIEDMAN, GROOTENBUIS 1981 étudie les phénomènes d'effusion d'un
flUide réfrigérant à vitesse d'effusion constante dans une couche l1mite en basant sa
théorie sur des relations de bilan thermique. L'auteur considère par hypothèse qu'il n'y a
pas de flux thermique radiatif et que la paroi est thenniquement isolée.
Remarque : pour faciliter la lecture dans la présentation et dans la résolution des
équations en rapport avec le schéma, nous avons tenu à conserver strictement dans les
différentes équations toutes les notations portées sur la figure I11-14 qui schématise cette
plaque plane poreuse.
::f
l ,
• l ' :e
~
o ~ - - - - - - - - - -:.;-:.,.;-==--:::'7:::'_=:;=--
1
UI
~I
M A I I - J _
-
1
Jo
1
PO~OU~
FL......T
t
PL..ATt.
C.OOL..A"-J'ï
FL.OW
v~ e::. "fc.
Figure m-14 : Elément de plaque poreuse avec effusion uttlisé dans la modélisation de
GROOTENHUlS {98}
Le bilan de chaleur qui1nclut la couche limite dans le rectangle (a,b,c,d, ) s'écrit:
(DI-37)
où le premier terme représente la quantité de chaleur entrant par unité de temps par la face
(a,bl. le second terme représente la quantité de chaleur nette entrant par la face (ad). Il
prend en compte la quantité de chaleur transférée du courant principal à la surface de la
paroi, qui elle-même est transférée au flUide réfrigérant lors de son passage à travers la
paroi poreuse. Ceci suppose que les pertes thermiques sont nulles. Le troisième terme
représente la chaleur cédée sur la face (bc). le quatrième terme représente la chaleur cédée

---

136
sur la face (cd). Dans le développement certains tennes s'annulent. L'équation se S1Il1plifte
alors sous la fonne :
f
x v.'po' (T .- T,) =
pu(T .- T)dy
(III-38)
En divisant les deux membres de l'équation (Ill-38) par U Po rro -18). elle devient
(III-39)
Pour Pr = 1. les profils de température et de vitesse sont semblables. Alors. le tenne de
droite correspond à l'épaisseur de perte de quantité de mouvement S2 .
Pour résoudre l'équation (III-39). l'auteur définit un profil de vitesse sur une plaque
plane avec une vitesse d'effusion unifonne Vo :
l
=1--U:-<U -u) dy
(III-4Q
Vo
u2
o
Que la l1m1te de l'intégration soit 1'1nf1n1 ou l'épaisseur de la couche l1m1te n'a que peu
d'importance pourvu que la vitesse du courant principal soit constante. Pour évaluer cette
expression l'auteur définit le profil de vitesse dans la direction y en utilisant une
corrélation à un seul paramètre proposée par SCHLICIfllNG :
Jl = 1 - e-y/fJ + K l e-y/fJ
(III-41)
U
fJ
où K est un paramètre de fonne.
On élimine a de l'équation (III-41) par substitution de (111-41) dans (111-40) : puis après
intégration de la relation obtenue. on obtient une expression qui peut étre utilisée pour
remplacer le tenne de droite de l'équation (111-39). ce qui donne:
X v'op'o (To - Tc) =-~_1.I.-(.l.±2K)(1 _K-1f.)
(III-42)
Upo
To - Ts
2 vo Po
1 + K
2
Le débit massique du flUide réfrigérant par unité de suIface est constant dans une section de
la paroi poreuse. d'où:

---

137
,-,
Vo Po = Vo Po = Qm
(III-43)
De même celui du flux principal peut s'écrire: V Po= Qm et l'équation (III-42) se transfonne
en:
ai ç= (Ch 1Q.J2 Re est un facteur adimensionnel dépendant des propriétés de l'écoulement
prtncipal ( Re = Qm x 1 Il). Les résultats obtenus de l'équation (ill-44) vont ~tre comparés aux
résultats expéTimentaux de la figure 1lI-3.
D'autres approches de résolution des équations des couches limites sont présentées
par YUAN (114]. NESS (116], ECKERI' (117], DORRANCE (118]. REKIN(1l9], etc., qui, â
l'instar des précédents auteurs. se sont auSSi intéressés aux transferts de masse et de chaleur
dans la couche l1m1te avec effusion.
Ainsi. en considérant une couche limite turbulente. un écoulement compressible. en
basant sa théorie sur le concept de longueur de mélange et en faisant des hypothèses
simplificatrices (effusion du flUide réfrigérant sans 1n11uence sur la couche limite
turbulente, gaz idéaux. etc), NESS (116] utilise les équations usuelles de bilan (équation de
conselVation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie) qui lui pennettent de
détenniner des profils de vitesse et de température dans la couche limite.
ECKERT (117] a traité l'injection d'hydrogène à travers une plaque plane poreuse sur
laquelle se développe une couche limite turburlente et une sous-couche laminaire. dans le
cas d'un écoulement à grande vitesse et d'une couche limite non tsothenne. A partir des
mêmes équations de base et des hypothèses faites. il détermine des profils de température.
de vitesse pour différents nombres de MACH et différentes températures de paroi.
En considérant une couche 1Jmite compressible et turbulente, DORRANCE et DORE
[l18] détenninent l'1n1luence du transfert de masse nors de l'injection) sur le coefficient de
frottement pariétal. l'évolution de la température dans la couche limite, etc. Les
distributions du coefficient de frottement local et moyen. de la vitesse moyenne et de la
température moyenne sont obtenues en fonction du nombre de MACH. du nombre de
REYNOLDS. du rapport T(x) 1 Too. de x 1 li et u (x) IV à partiT des équations de mouvement
pour une couche limite turbulente, compressible. de faible épaisseur. se développant sur une
plaque plane poreuse. Les figures III-15. III-16 et III-17 présentent respectivement le profil
de vitesse, le profil de température dans la couche limite et le coefficient de frottement en
fonction du débit de réfrigérant. L'auteur montre ainsi que pour un nombre de REYNOLDS et
un rapport de température TI /Too donné. le coefficient de frottement pariétal (qui évolue de

---

138
manière similaire au
coefficient d'échange surfacique) chute avec la diminution de la
température de la face aval de la paroi à Too constante (figure 111-17).
1
1
1\\
1
1
Il • • 5.0
lia) - 5.0
l:;-I.I
•1
.1
\\
~ - 1.1
lTT~n ...u_
T•
R. _ 107
~
R. _ 107
• 20612
1
,l\\
.6
.6
ur
1 \\ \\
PooU ..
1
1
...IL-
P..u..
~V 3.19.10.4
3.19.10.4 -
1'\\.
r\\\\r- 0
0
\\
"-
'\\~!J
.2
.2
~'\\
1
~-.~~
o
'"W
~~
o
o
.2
.6
.1
1.0
1.0
1.1
2.2
3.0
u(x) / Uoo
T(x) /Too
FIgure m-15 : Irifluence du débit dujluide
FIgure m-16 : Influence du débit dujluide
réfrigérant sur le projU de vitesse dans la
réfrigérant sur le proftl de température
couche limite { {118}
dans la couche limite { 118}
REION [1191 traite le cas d'une couche limite en écoulement incompressible avec
injection. Il considère un modèle à deux sous-couches : sous-couche laminaire et coeur
turbulent. La diStribution de la contrainte de frottement dans la couche limite est décrite
par:
t=tv+ PruU
(III-45)
En intégrant les équations de
1.' I~
NAVIER-STOKES
et
celle
de
~
1
N ~
ICI. (38)
•
1.' ~ f--
.. • s.~
-
continuité.
il
détermine
des
~~t--..
V 1--1.1
.. . "
..
,
1"
profUs de vitesse et de force de
â
'" f::::r-... / /Lr'
1""-l'-
R ~
........
.....,
frottement dans la couche lim1te.
-<. '~
(j ..
l ' 'r--...
r---.r-.......
Ses résultats sont validés par des
r---- r---. 1 ............::-l-
l
résultats expérimentaux.
•
D'autres
théories
l'
Il
lA
U
Il
développées par SIMPSON [1201.
utilisant le concept de longueur de
Figure m-17 : Coeffi!:ient de frottement pariétal en
mélange comme
NESS et la
fonction du débit d'effusion et de la température
théorie de la viscosité turbulente.
de la paroi {118)

---

139
LAPIN [1211. utll1sant des hypothèses basées sur la sim1l1tude du transfert de masse. de la
quantité de mouvement et de la quantité d'énergie. ANDREWS (1221. TURCO'ITE (1231.
WILSON (1241. utilisant des lois de puissance. HERRING (1251. etc.. en basant également
leurs études sur des hypothèses simplJficatrices. dégagent des solutions des équations des
couches l1m1tes. Ces différents cas ne sont applicables malheureusement que dans des
domaines trop restrictifs compte tenu de la particularité qu'Us représentent. Pour pallier
ces insuffisances. d'autres méthodes plus élaborées sont proposées. Elles donnent des
solutions exploitables dans des domaines plus variés. L'une de ces méthodes est celle que
présente IllENTRE [1261. n résoud les équations des couches limites par une technique des
différences finies en utilisant le concept de longueur de mélange qui conduit à une
expression du frottement turbulent valable dans toute la couche limite. Dans cette méthode.
les équations de bUan s'écrivent :
au
au
du..
Ot
pU-+p~-= p..u..-- + -
ax
ay
dx
ax
011-47)
ahl
aht a
pu-+pv-=-(u 't-C1»
ax
ay ax
Le frottement 't et le flux thermique C1> sont la somme d'un tenne laminaire et d'un tenne
turbulent:
au
't ='t1 + 'tt =1J,--(pV yu
ax
011-49)
C1> =~ + cI\\ = - Â.-~T- + ep(r"p=V"""")'T=
011-00
x
Dans le cas où les exposants primes sont relatifs à des grandeurs aléatoires et. avec les
conditions aux l1mites suivantes:
Pour x = 0
on a
V= u.
U = o. .1\\ =hI ou (a h. / ax li =0 ( paroi c::adt«6.f,,~~
Pour x ~ 00
on a
U =T.Joo
ht =h\\oo
MENTRE utilise la représentation de la turbulence basée sur le concept de longueur de
mélange qui pennet d'avoir les expressions suivantes du frottement et du flux de chaleur:
'rt =-(pV)' U' =l..It au
ax
011-51)

---

140
C1>t = Cp CP V)' T = _x. 0h = _~ 0h
(III-52)
Cp ox
Prt ox
où le nombre de PRAND1L turbulent est donné par: Prt =~ Cp
X
La. V1scosité turbulente ~t est donnée par la relation:
(111-53)
dans laquelle L est la longueur de mélange et Fc est une fonction correctrice qUiintement
essentiellement dans la sous-couche visqueuse dont la valeur est nulle à la paroi et tend
vers 1 en régime turbulent établi. La. longueur de mélange s'exprime par la relation
implicite:
Fe = l-exp[-
L
vp 't~
(où kest la constante de KARMAN =0.41)
(III-54)
26kJ.1
J
La. longueur de mélange L est proportionnelle à x près de la paroi et tend vers une constante
dans la région externe. Elle est donnée par la relation:
L. = 0.085 th [---k.-X]
(111-55)
S
0.085 S
On suppose que le nombre de PRAND1L turbulent Pr est constant et égal
t
à 0.89.
Remarque: nous ne presentons dans la suite de l'exposé qu'un résumé des d1fIérentes étapes
de calcul. Le lecteur peut se référer à la publication portant la référence [126] pour tous les
détails se rapportant à la résolution complète de ces équations.
La. résolution du système d'équations est faite par la méthode des différences finies
avec une méthode implicite pour des raiSons de stabilité. L'équation de continuité qui est
explicite peut être résolue directement. Les équations de quantité de mouvement et
d'énergie. qui sont d'un même type. après avoir été linéarisées. sont transfonnées en
équations aux différences à troiS points. Elles constituent un système d'équations
algébriques linéaires dont la solution est obtenue à l'aide d'une méthode de récurrence. Les
équations de la quantité de mouvement. de l'énergie et de la continuité sont traitées suivant
un cycle Itératif.
La figure III-18 schématise l'organigramme de résolution du logiciel. dont le cycle
itératif se situe au point XrJ. Pour résoudre les équations de la couche l1m1te en ce point XrJ.

---

141
l'auteur suppose que la solution jusqu'au point 1Cn_1est connue. Pour démarrer le cycle
itératif, les profils de vitesse, d'enthalpie et l'épaiSSeur de la couche l1m1te sont obtenus par
extrapolation des solutions correspondant aux points Kn-b 1Cn-2. Les équations de la
quantité de mouvement, de l'énergie et de la continuité sont résolues simultanément. Les
propriétés physiques du fluide, le frottement turbulent et l'épaisseur de la couche l1m1te,
déterminés à partir du profil des vitesses, sont recalculés à chaque itération. On assure la
convergence des profils de vitesse et de l'enthalpie. Enfin, on calcule les différents
paramètres:
- facteur d'analogie (5 =2 ch / Cf1,
- ch = coefficient de flux de chaleur = 4»p / poo uoo 01J - hd
- épaisseur de déplacement ( a1/ a1
- épaisseur de quantité de mouvement (&.z / al,
- facteur de fonne ( H = al / &.z l,
- épaisseur d'énergie etnétique ( &.3 / al,
- épaiSSeur d'énergie (âJ a l.
?::-o:ils ..ri-:3::;::;e et
!:ll:lûlsJ::lie ,ci":la.isseu:
cou.:.b.e- l.i!::.i~e ~oJMs
Figure m- 18 : Organigramme de résolutiDn. du. modèle MENTRE [ 1261
Le programme de résolution numérique a été appliqué à un grand nombre d'exemples
correspondant à des conditions variées d'écoulements compressible et incompressible. La
figure III-19 présente le coefficient de frottement calculé et comparé aux réultats de MAC
QUAID. Les résultats sont satisfaisants.

---

142
3 ...---
---,
,--_ _---,
Cette méthode.
bien que donnant un
2
•
champ d'applications
•
•
•
plus vaste que les
•
précédentes connait
quelques défaillances.
En effet, l'auteur note
-x (inch)
OL-
- - l
- - I
que
si
les
10
20
30
caractéristiques glo-
bales de couche limite
Figure DI-19 : Application du modèle de MENTRE d l'
sont
prévues
écoulement accéléré avec f11Iection d'air d la paroi {126}
correctement par le
calcul. les profUs de
vitesse s'écartent, lors de la détente. des proffis expérimentaux.
m·l-3-S. Conclusions
De cette brève étude de la modélisation du transfert thermique dans la couche lJmite.
nous constatons que. compte tenu des difficultés de résolution qu'elle présente. chaque
auteur la traite dans des cas strictement particuliers. Ainsi :
• FRIEDMAN considère deux fluides identiques. et, malgré les niveaux de températures
variables dans une large gamme (50°C à 500°C). 11 considère que les propriétés des fluides
sont constantes.
• GROOTENHUIS et REKIN utilisent des relations empiriques Ooi de vitesse pour le premier
et loi de frottement à la paroi pour le second. etc.).
• NESS utilise la théorie de la longueur de mélange. de même que MENTRE. Mais ce dernier
développe une théorie qu'il valide sur un éventail de cas : fluide compressible.
incompressible. paroi perméable et imperméable. etc.
• ECKERT utilise une couche limite laminaire. et détermine les propriétés des fluides à l'aide
de relations empiriques.
• DORRANCE et DORE réalisent une étude pour des écoulements à faible vitesse. Ils ne
réussissent pas à valider leur modèle dans les cas où les vitesses d'écoulements des fluides
sont très élevées.
• etc.
Nous ne prétendons pas à travers cette étude des méthodes de résolution des
équations des couches limites avoir réalisé une étude complète. L'objectif visé était de
mettre en évidence la complexité et l'étendue du problème représenté par la résolution des

---

143
équations des couches lJm1tes. Cet aperçu nous a cependant pennis de noter que la méthode
présentée par MENTRE est celle qui pennet d'avoir le plus grand champ d'application.
m-1-4. Etude de la performance de quelques fluides réfrigérants
La quantité de gaz nécessaire au refroidissement d'une paroi dépend de la nature du
gaz (masse molaire. chaleur massique. conducttvité thermique•...). En effet:
1°_ plus la masse molaire du fluide est faible. me1lleure est la diffusion à travers la paroi et à
travers la couche lJm1te.
2°_ plus la conductlvité thermique et la chaleur massique du fluide réfrigérant sont ~levées.
meilleure est son aptitude à échanger la chaleur avec le flux: chaud.
Les flUides répondant à ces caractéristiques correspondent aux: me1lleurs réfrigérants.
DUWEZ et WHEEIER ont montré que:
- pour une température de paroi donnée. on remarque que la quantité de chaleur évacuée par
l'hydrogène est plus élevée que celle évacuée par l'azote. Les raJsons avancées reposent sur la
très forte conductivité thermique de l'hydrogène par rapport à celle de l'azote. Cette
conductivité thermique élevée selon DRAKE 1127] diminue de façon remarquable le
coefficient de frottement et l'échauffement à la paroi.
La fJgure UI-20 présente une étude comparative de l'efficacité de refroidissement par
effusion de troiS flUides réfrigérants. TI s'agit de l'hélium. du gaz carbonique et du R 12. On
constate que l'injection d'hélium donne les plus grandes cUm1nutions du coefficient de
transfert thermique comparée à celle du gaz carbonique et du R 12
06
6
G
-Si. 06
5to
to
-
,
V -
l
1 et 5- R12
OZ
° - J
2-C0
~---..IL.L~
•
-
"
2
•
-
j
o
oz
3, 4 et 6 à IO-He
0'-
06
06
/.0
1.2
~'-
16
0
qm _1_
Qm 5to
Figure m-20 : Etude comparative de l'influence de l'injection de trots fluides réfrigérants
sur le refroidissement par effusion 1 112}

---

144
Dans une étude comparative. ECKERr (128] considère l'influence de la masse molaire
du fluide réfrigérant sur l'efficacité de refroidissement. La figure III-21 présente le flux
thermique reçu par la face aval de la paroi (~) avec effusion rapporté au flux thermique reçu
par la même face aval sans effusion (~J. en fonction du rapport des flux maSSiques. L'auteur
montre que les résultats théoriques sont en accord avec les résultats expérimentaux. Dans
les notations indiquées sur les courbes. le premier terme indique la nature du fluide
réfrigérant et le second. celle du fluide du flux principal (air). On constate sur cette figure que
les courbes sont disposées suivant la masse moléculaire des fluides réfrigérants et que le
000.l dont la masse moléculaire est de 44 g/mol est le moins bon réfrigérant. tandiS que
l'hydrogène dont la masse moléculaire est de 2 g/mol est le meilleur. Ces différentes courbes
peuvent être exprimées par la relation :
~ = 1-2.46(PfUI PcU)VRe; Ypc JJcI P*Il- (Mf 1Mc) 1/3
~l!
(III-56)
où Mc et Mf représentent les masses molaires du fluide chaud et du flUide réfrigérant. Quant
au coefficient d'échange. 11 est donné par la relation :
.h...=I-C qm YI-PflfMf)n
hl!
P- U
St:
Wc
(III- 57)
dans laquelle C est égal à
0.73 pour un écoulement
1
lam1na1re et 0.37 pour un
écoulement turbulent et p
O.~
un paramètre qui varie
avec
le
gradient
de
0.6
pression dans la couche
~
l1m1te. Quant à l'exposant
<l>s
0,.1,
n. 11 vaut 1/3 pour un
écoulement laminaire. et
0.2
2/3 pour un écoulement
turbulent.
P-. Il-et St-
o
sont les propriétés de l'air
0./
0.2
~ujRe.Y~·
priSes à la température
de référence.
Le
tableau
111-1
Figure m-21 : Réduction dujlux thennique reçu par laface
rassemble les valeurs de
aual de la paroi par 1'effusion d'après ECKERT [128 J

---

145
paramètres d'un certain nombre de gaz couramment ut1l1sés pour le refroidissement par
effusion. L'examen du tableau montre que l'hydrogène est le meilleur fluide réfrigérant pour
le refroidiSSement par effusion grâce à sa plus faible masse volumique. ses meilleures
capacité caloI1flque et conductivité thermique. A l'inverse. le R 12 est le moinS bon fluide
réfrigérant du fait de sa très forte masse molaire et ses très faibles chaleur massique et
conduct1v1té thermique. Par ordre d'efficacité décroissante. on a : H2 > He > N2 > Air > CO2 >
R12.
1
Chaleur massique
j ConductivIté
Type de gaz
1 Masse Molaire
(J/kg.K l
1
thennique
1
1
!
B/mol
1
rw/m.Kl
i
Azote (N
1
2 )
1
28
1076
i
0.0458
1
i
1
1
Air
1
29
1055
0.0466
1
!
-
1
!
Hydrogéne (H2 )
2
14540
1
0.315
1
Gaz Carbonique(C02) 1
44
1076
0.0431
1
Hél1um (He)
1
4
5183
1
0.326
1
f
Fréon 12
1
120.92
606
0.0096
1
1
Tableau m-l : Paramètres caractéristiques d'un certain nombre de fluides utUisés pour le
refroidissement de paroi par effusion
m-l-S. Conclusions
De cette analyse bibliographique. les conclusions suiVantes peuvent être dégagées :
1°· l'injection de fluides réfrigérants dans une couche lJmite turbulente diminue le
coefficient de frottement et le coefficient de transfert thermique d'une paroi soumiSe à un
flux pariétal de gaz chauds. L'effet est d'autant plus important que la masse moléculaire est
faible et la capacité calorifique et la conductivité élevées.
2°· pour un débit important de réfrigérant. lorsque la couche protectrice d'isolant s'est
fonnée à la paroi. une augmentation de débit du fluide réfrigérant n'a plus d'effet sur
l'efficacité du refroidissement.
m-2. MODELISATION DE LA COUCHE LIMITE
L'étude compléte des échanges thermiques dans une couche limite avec effusion
nécessite une étude expérimentale maiS aussi une étude théorique qui pennette de prévoir le

---

146
comportement de cette couche l1m1te. Aussi, avons nous choisi de modéliser ces échanges
thermiques en portant notre choix sur un modèle simple de la littérature. Celui de
FRIEDMAN a particulièrement retenu notre attention. n s'agit d'un modèle qui prend en
compte le transfert thermique conductlf à travers la sous-couche laminaire et le transfert
de matière dû à une vitesse d'effusion perpendiculaire à la paroi.
m-2-1. Présentation du mod!le
Rappelons que le modèle de FRIEDMAN repose sur diverses hypothèses
simplificatrices:
- on considère une couche l1m1te entièrement développée sur une surface de longueur et de
largeur infinies,
- le fluide transpiré a les mêmes caractéristiques physiques que le fluide prindpal,
- les propriétés du fluide ne varient que dans la direction x, perpendiculaire à la paroi,
- le mélange du fluide réfrigérant et du fluide chaud se fait dans la partie turbulente de la
couche l1m1te. La température de cette partie turbulente est supposée constante et égale à la
température du fluide chaud,
- dans la sous-couche laminaire. le transfert thennique du fluide chaud vers la paroi se fait
uniquement par conduction à travers le fluide,
- le transport de matière est perpendiculaire à la paroi poreuse,
- le débit massique selon la direction x est constant dans la partie laminaire.
Ces hypothèses amènent à éertre un bilan thermique sur une surface élémentaire de
la zone laminaire qui donne :
(III-58)
avec les conditions aux limites :
Pour x = 1on a T =TmI ou Tn
Pour x = S on a T= T~
Pour x:::) 00 on a T:::) Too = T~
L'auteur exprime analytiquement la solution de cette équation différentielle en
considérant les valeurs de À. et de cp constantes dans la couche limite. Dans notre cas
l'importance des gradients thermiques conduit cependant à des variations importantes de
ces paramètres et de ce fait à une non-linéarité de l'équation. Il est nécessaire par
conséquent de résoudre le problème par une méthode de d11Jérences finies.

---

147
m-2-2. Principe de mod6UsatioD - Organigramme
Le programme informatique à développer doit pennettre de calculer le profil des
températures à l'intérieur de la couche lJmite se développant sur une surface poreuse en
présence d'un flUide transpiré. Il doit également pennettre de calculer le flux thermique
atteJgnant la surface de la paroi poreuse.
Les ~tresd'eatlêe sont :
- la température du gaz chaud en aval de la couche l1mite Tao.
-la température de la paroi Tml.
- la pression régnant dans la couche limite PI.
- la nature du fluide réfrigérant transpiré et son débit QIn.
- le nombre de sous-volumes considérés n.
- l'epaisseur de la sous-couche laminaire 5.
L'épaisseur de la couche lJmite laminaire est dans l'état actuel du programme une donnée
constante. A plus long tenne il sera nécessaire de remplacer ce dernier paramètre par une
corrélation le reliant au débit de fluide transpiré et à l'écoulement principal.
Le. paramltre. de .artle .ant :
- le profil de température dans la couche limite T.
- le flux thermique traversant chaque sous-volume et par conséquent le flux thermique
atteignant la paroi cl>.
- le coeffident d'échange convectif sur la face aval de la paroi h.
La modélisation du transfert de masse et de chaleur dans la sous-couche limite
laminaire utilise essentiellement la relation (III-58) puisque le transfert de masse est
imposé par le débit Qm calculé par le sous-programme DEBIT à travers la paroi (chapitre 1),
Compte tenu du découpage de la couche limite en sous-volumes. l'équation (fil-58) peut
s'écrire sous fonne matricielle.
En un point de la couche 11m1te. et pour le sous-volume i. les différents tennes de
l'équation différentielle (III-58) s'écrivent :
~CpT) _ cp(1)T(1) - cpti-l) T(i-l)
(III-591
.1x
i
.1x
(À..fl)
_ (.À..JIT.)
(A..-[Â. .1T))
=
.1x
i+l
.1x
i
.1x
.1x
i
.1x
.iL (UI)] . = Â(i+l)T(i+1) - (Â(i)T(i) - Â(i+l)T(i) +Â(i) T(i-1)
[
(III-ID)
~ x ~ X
1
~x2

---

148
L'équation différentielle ( nI-58) s'écrit donc. sous fonne de différences finies :
T(i+ 1) À(i+ 1) _ T(j) [(Mi) + À(i+ 1)) +
QmCp(U ] + T(i-1) [Mi)
1 QmCP(i-1)] = 0
(III-61)
~
~
~x
~X?-
~x
Ainsi. le calcul des températures T(i) des différents sous-volumes nécessite la résolution
d'une équation matricielle de la fonne :
lAI m= [B]
(111-62)
La matrice lA] possède (n ) lignes et (n ) colonnes. Les tennes a(i.j) de cette matrice ont les
valeurs suivantes :
a ( 1. 1 ) = _ [À (1) + À.(2) + Qm Cp (1)]
~x2
~x
Â(2)
a(1,2) =
2
ÀX
a(i,i-1) = Mi) + QmCp(i-1)
~il
~x
a(i,i) = _[Mi) + À(i+ 1) + Qm cp(l)]
~X?-
~x
Â(i+l)
a(i,i+l) =
2
ÀX
a(n-l.n-2) = À(n-1) + Qm cp(n-2)
~X?-
~x
a(n,n) = _ [À(n) +À(n+ 1) + <lm Cp(n)]
~X?-
~x
Les autres tennes de cette matrtce sont nuls.
La matrice (B] est une matrtce à une colonne et (n) lignes. Seuls deux tennes ne sont pas nuls.
Le premier tenne concerne le premier sous-volume.
b(l) =
Tml À(I)
QmcplTmI
~x2
~x
(III-ID)

---

149
Pour écrire cette relation, nous avons fait l'hypothèse qu'à prax1m1té de la paroi, le fluide
réfrigérant est à la température de la paroi. L'autre tenue concerne le dernier sous-volume ;
ben) = .---
La matrice [ T ) représente les températures du fluide dans la couche l1m1te.
L'organJgramme de la fJgure nI-22 donne la structure du programme correspondant
nommé COU.
Lecture des données
m-2-S. Exploitation
- T paroi
• T infini
du modèle
- Pression
- Epaisseur de la sous-couche
- Nombre de sous-volumes
Le
logiciel
- Débit de fluide
développé a été exploité
pour
calculer
les
Initialisation des valeurs des températures
échanges
thermiques
dans la couche l1m1te. On
en a déduit des profils de
température
dans
la
couche Ibntte laminaire
Création de la matrice [A) [Tfluide) .. [B)
ainsi
que
les
flux
thermiques
et
le
Résolution de la matrice
coefficient
global
(calcul des températures Tfluide)
d'échange entre le flux du
gaz principal chaud et la
paroi.
III-2-3-I.
Profil
de
température dans la
couche limite
Sorties:
Ecriture
des résultats sur fichier :
Pour un fluide
. T fluide
réfrigérant
comme
- Flux thermique sur la paroi
. Coefficient de convection
l'hydrogène, la figure 111-
23 donne le prof1l de
Figure m-22 : Organigramme du. programme COU de calcul
température
dans
la
du proftl de température et du flux thennique dans la sous-
couche limite dont la
couche limite laminaire

---

150
valeur ( 5) a été fixée à 0.05 nun. pour dl1Térentes valeurs du débit du fluide réfrigérant. Les
axes sont gradués en valeurs ad1mensionnelles.
1.0 .........-------------------:::::;~
0.8
T- TmJ 0.6
T. - Tm'
0.4
0.2
0.0 ~~::a::=-...~:;;.-....-~:::..--r-.........--.,.---.---\\
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x/f,
Figure m-23 : ProjU de température dans la couche limite selon la valeur du débit dujluide
réfrigérant (épaisseur de la couche limite 6 = 0.05 mm)
Dans le cas d'un débit d'effusion nul, le programme traite un simple problème de
conduction à travers une couche de conductivité Â.. La courbe obtenue n'est pas une droite car
la valeur de Â. varie avec la température donc avec la position x. Les différents sous-volumes
sont traversés par le même flux thermique qui est inversement proportionnel à l'épaisseur
de la couche l1m1te lam1na1re. Dans un sous-volume le gradient thermique est inversement
proportionnel à la valeur de la conductivité dans ce sous-volume. Ainsi. conune le
coefficient de conductivité thermique augmente avec la température et que celle-ci est plus
élevée lorsque x ~ 5. le gradient de température d1m1nue quand xl 5 augmente. Notons
également que dans le mode de représentation adimensionnelle utiliSé. le profil de
température ne dépend pas de l'épaisseur de la couche l1m1te nt des niveaux de température.
Pour un débit non nul. dans un sous-volume donné. une partie du flux thennique est
évacué vers l'aval par le fluide réfrigérant. Le flux thermique n'est donc plus constant dans
l'ensemble de la couche limite. n diminue quand on se rapproche de la paroi. Ce qui
entraîne une d1m1nution du gradient thennique. Si le débit de gaz est sufftsant. le flux peut
s'annuler sur la paroi et le gradient thennique est nul à prox1m1té de la paroi.
m-2-3-2. Coefficient d'échange thermique entre la paroi et leftuide rPJrigérant
Le coefficient d'échange convectif entre le gaz chaud et la face aval de la paroi est
défini comme étant le rapport du flux thennique reçu par la paroi sur la différence de
température Toc· Tml. La figure III-24 donne l'évolution de ce coefficient en fonction du débit
de flUide refrigérant et pour plusieurs valeurs de l'épaisseur de la couche l1m1te laminaire.

---

151
constate que pour un débit de fluide réfngérant donné, le coefficient d'échange sur la paroi
aval est une fonction décroissante de l'épaiSSeur de la couche l1m1te.
30
c::_
~::z::
.....
u E
.;: .....
... ~
l:J\\":
c:_
20
c:: ...
.c:'O
u-
.... :::l
' C :
'0 .....
c:ë
..... 10
- ""
,gl::l.
-c::
o -
... .,
CJ-;:,
1
2
3
4
Débit du Guide réfrigérant (kg/5.m2)
FIgure m-24 : Coejfictent d'échange convectif entre la paroi et lejluide réfrigérant
m-2-3-3. Flux thermique reçu dia paroi
La figure I11-25 présente le flux: thenntque reçu par la paroi en fonction du débit
d'effusion du fluide réfIigérant pour plusieurs épaiSSeurs de la couche l1mite laminaire. Ces
simulations sont faites en fixant une température à l'infini de 3000 K et une température du
fluide réfi1gérant de 20 K à l'amont de la paroi poreuse.
200
2
4
6
8
10
Débit du flUide réfrigérant ( kg/5.m2)
Figure m-25 : Flux thermique reçu par la paroi enfonctton du débit d'e1Juswn du réfrigérant
Nous constatons qu'un débit inférieur à 0,1 kg/s.m2 a un effet négligeable sur le flux:
thenntque pour des épaisseurs de couche limite de l'ordre de quelques centièmes de
mlllimètres. Inversement, pour un débit supérieur à 10 kg/s.m2 , le flux: thenntque reçu par
la paroi est nul ou quasiment nul pour une épaiSSeur de couche l1m1te supérieure à 0, 02 mm.

---

152
Ainsi, on peut considérer en admettant que ~ soit effectivement au m1n1mum de l'ordre de
quelques 100 tbncs de mm, qu'il existe un débit du fluide réfrigérant de l'ordre de 10 kg/s.m2
au-delà duquel la paroi est totalement protégée du flux de chaleur.
m-2-4. Conclusions
Le débit du fluide réfrigérant et l'épaiSseur de la couche de pénétration encore
appellée couche limite laminaire ne sont pas des paramètres indépendants. En effet
l'épaiSseur de la couche limite augmente avec le débit d'effusion du fluide réfrigérant. Dans
le cas présent. cette épaiSSeur de couche limite est fixée arbitrairement et on fait varier
indépendamment le débit ou vice versa. Nous avons étudié séparément ces deux paramètres
dans le but de tester le bon fonctionnement du logiciel. L'un des objectifs pour la suite des
travaux consiste à calculer l'épaiSseur de la couche limite en fonction des caractéristiques
du flux prinCipal et du flux transpiré. Les simulations faites ci-dessus, qui n'ont aucun
caractère prédictif. montrent cependant que les propriétés de la couche limite sont
prépondérantes pour la protection thermique et le refroidiSsement de celle-ci.
m-s. ETUDE EXPERIMENTALE DE LA COUCHE LIMITE
L'étude détaillée de la couche de pénétration, dans le cas d'un écoulement prinCipal
fortement turbulent et en présence d'effusion est un problème complexe de mécanique des
fluides. Une étude expérimentale dans ces conditions nécessite des moyens de mesure trés
performants en raison de la faible épaisseur de cette couche. Ne disposant pas de
l'apparetllage nécessaire, pour une telle étude. nous avons préféré réaliSer un montage
simple adapté à l'étude d'un écoulement laminaire ou faiblement turbulent.
Ce montage représente une première approche expérimentale et doit permettre de
tester un logiciel modélisant la couche limite dans un domaine restreint de modéliSation
d'écoulement.
m-3-1. Dispositif expérimental
La figure 111-26 schématise le diSpositif conçu pour ViSualiser l'interaction entre
deux fluides: le flUide transpiré à travers une paroi poreuse et celui s'écoulant le long de la
même paroi poreuse. n est composé :
- d'une chambre de ViSualisation qui renferme la plaque poreuse à tester. Elle a été réalisée
en PVC transparent pour faciliter la visualisation des phénomènes qui s'y déroulent. Elle
est de forme rectangulaire: de 25 cm X 5 cm. Le flux prinCipal qui est l'eau du réseau. s'écoule

---

153
suivant son axe. Le fluide secondaire, coloré, traverse la paroi poreuse et s'écoule
perpendiculairement à cet axe,
- d'un ballon de 150 litres de capacité contenant le fUide transpiré (aussi appelé fluide
secondaire),
- de débitmètres à flotteur pour la mesure des débits du flux prinCipal et du flux secondaire.
:J
l'll
Flux principal :
C
GJ
Rotamètres :
.E
c
1- Alimentation
III
GJ
R1- Rotamètre 0,06-0,64 Ils
III
GJ
C
2- Divergent
R2- Rotamètre 3,25-32,5 mils
'-
0
Q,
:;:
3- Chambre de visualisation
l'll
III
Purge:
.....
4- Convergent
:J
C
0
GJ
P1- Robinet de purge
III
5- Syphon
.Ë
N
6- Evacuation
Vannes commandant :
Z
«
V1- Admission rotamètre R1
Flux secondaire :
8- Sortie cuve
V2- Evacuation
9- Cuve
V3- Rotamètre R2
10- Tuyauteries du flux
V4- Flux secondaire
secondaire
P1
11- Chambre d'arrivée du
flux secondaire
9
R2-tt--ff.1I
5
6
Figure m·26 : Dispositif expérimental d'étude de l'interaction. d'unjlux pariétal principal et
d'unjlux d'effusion d travers la paroi
m-S-2. Mode opératoire
La plaque poreuse à tester est mise en place dans la chambre de visualisation. Le
ballon de 150 litres est rempli d'eau colorée. Il est mis sous une pression de 2 bar à l'aide
d'azote provenant d'une bouteUle. Une vanne pennet de régler le débit du fluide coloré. Les
essais consistent à visualiser et à mesurer l'épaisseur de la couche de fluide coloré le long de
la plaque, en fonction du rapport débit du flUide transpiré / débit du fluide principal. Une

---

154
feuille de papier millimétré est collée à l'arrière de la chambre de visualisation pour
pennettre les mesures. Des réglets sont positionnés à l'avant, de façon à éviter les erreurs de
.
parallaxe. Les différents essais ont permis de mettre en évidence trois régions distnctes
d'écoulements le long de la plaque poreuse. Ces différentes régions sont schématiquement
représentées sur la figure ID-27. On observe a1ns1 :
- une région intérieure (1) adjacente à la plaque dans laquelle l'écoulement du fluide coloré
est uniforme,
- une région intennéd1a1re (II) dans laquelle apparaissent des turbulences,
- une région extérieure (Ill) dans laquelle commence à se faire la dilution du flUide coloré.
Les difficultés de l'observation et des mesures résident dans le fait que les différentes
couches (surtout les régions n et Ill), ne sont pas régulières, mais sont le siège de nombreuses
turbulences.
Plaque plane poreuse
Région ( II )
Y'
Figures m-27 : Représentation schématique des trois régions qui seforment à la paroi de la
plaque
m-3-3-Rêsultats expêrimentauz
• Représentation des trois régtODS d'écoulement
Les figures III-28 a et III-28 b présentent les trois zones (Y, Y et Y') formées par la
couche de pénétration le long de la plaque poreuse pour deux rapports de flux massiques. Ces
courbes, qui confinnent le schéma de la figure Ill-27, pennettent de constater qu'à débit de
flUide transpiré constant, l'épaisseur de pénétration diminue lorsque le débit du flUide
principal augmente, le flUide secondaire étant entraîné par le fluide principal. Ce
phénomène est plus accentué dans la région CYl (figure ID-28 b).

---

155
50
qv = 0,023 Ils
0
III
Y
Qv =0,12 Ils
qv/Qv =0,19
.c_ 40
CJ E
• y'
•
5 E
CJ-
ca = 30
- 0
0 _
-
a)
....
""' co
~ ~
:1
1
....
20
0·0
CIl =
CIl·O
-a 0.
1
10
0.0
Cil '0
1
0
0
5
10
15
20
25
Longueur de la plaque poreuse (cm)
50
qv = 0,023 1/s
~-
I!I
Y
Qv = 0,167 lis
qv/Qv = 0,13
ë::iE 40
g E
CJ_
b) ~ § 30
_....
""' ca
~ ~
-....
... ·0
20
o
CIl'=
O
!!ac.
[ 0
t::j'O
la
aa
5
la
15
20
25
Longueur de la plaque poreuse ( cm J
FIgure m-28 : Mise en évidence des trots zones d'écoulement le long de la plaque poreuse
• Variation du rapport des flu volumlques (Cly/Qy)
Les figures 1lI-29 a et 1lI-29 b présentent des réseaux de courbes donnant l'épaiSseur de
la couche de pénétration du fluide secondaire (Y+Y'+Y") le long de la plaque poreuse pour des
rapports de flux massiques donnés :
_ pour une vitesse massique constante du fluide prinCipal (figure 111-29 a),
_ pour une vitesse massique constante du fluide secondaire (figure 1ll-29 b).
Ce réseau de courbes montre que l'épaiSSeur de la couche de pénétration croit avec le rapport
des flux volumiques (qv/Qv).

---

156
a)
1
3
5
7
9
1 1
13
15
17
15
21
23
25
Longueur de la plaque poreuse ( cm )
5-r-----------=-~-------1_.:>_------.,_..
~
1- qv IQv = 0.095
qv = 0.0113 Ils
..c_
u E 5
2- qv IQv =0,079 ----....-----....-...- .•-. --
...
3- qv IQv = 0.068
.
5 E
u _
4- qv IQv = 0.060
C'(l
C
J,
. 5- qv IQv = 0.053 - - -...- . - . ....- - -
~.9 .
b)
"0 ~
3
~ ~
:l;t)
~ C
~ 'cu 2
ëao.
o.~
~"O
1 •••_ - -
o.Ll!f~-==~.==::;:.::=::::::::r---.,....---,-.---,..,_,......~-----,._.,..-~
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
Longueur de la plaque poreuse ( cm )
Figure m-29: Epatsseur de pénétration dujlutde transpiré dans lejlutde pnnctpal pour des
rapports de flux volwntques dol111és
m-4. CONCLUSIONS
Les résultats de l'étude du chapitre II indiquent que les transferts thenntques au sein
du matériau poreux peuvent être insuffisants pour refroidir la paroi. Dans ce cas. seule la
couche 1Jmite développée par l'injection du fluide réfrigérant peut permettre la protection
totale de celle-ci. Dans ce chapitre. un aperçu bibliographique nous a pennis d'analyser des
résultats expérimentaux et de dégager quelques conclusions sur le comportement d'une
couche 1Jmite en présence d'effusion. Nous avons également analyser et comparer divers
modèles. Des deux aspects de cette étude. U se dégage qu'une couche 1Jmite a une structure
complexe. Les différentes méthodes de résolution des équations qui régissent les
phénomènes sont adaptées au traitement de cas particuliers .
Parallèlement à cette étude bibliographique. une modélisation et une étude
expérimentales ont été conduites :

---

157
• la modélisation utilise des hypothèses stmpltficatrices pour traiter les phénomènes
thenniques dans la couche limite. Des tests de stmulation réalisés avec le logiciel élaboré. il
se dégage qu'une épaisseur faible de couche l1m1te. de quelques dixièmes de millimètres avec
un débit de l'ordre de quelques kg/s.m2 . suffit à annuler presque totalement le flux
thermique sur la face aval de la paroi. Plus l'épaisseur de la sous-couche limite laminaire
est tmportante. plus efficace sera la protection de la paroi.
• l'étude exptmnentale. basée sur la visualisation. est une approche d'étude des phénomènes
d'interaction entre deux flux dans la couche limite. Elle nous a permis de vtr1fier le
comportement de l'un des deux flux sur l'autre dans plusieurs cas de figure. Dans un proche
avenir. il est envisagé l'élaboration d'un autre logiciel traitant des transferts de masse et de
chaleur dans la couche l1m1te. La validation de ce dernier pennettrait d'envisager une
approche plus fine du phénomène qui complèterait l'étude du refroidissement par effusion.

---

---

159
~~II1rIf&~ ~UJJ&1rIf&II~~~
MODELE GLOBAL

---

---

161
Nous avons étudié dans les chapitres précédents trois phénomènes physiques
distincts mais fortement couplés :
- le transfert de masse,
- le transfert de chaleur dans la paroi,
- le transfert de chaleur dans la couche de pénétration, que nous avons appelée auSSi couche
l1m1te, développée sur la paroi aval par l'interaction entre le fluide transpiré et le fluide
principal.
Trois programmes de calcul modélisent respectiVement ces trois phénomènes
physiques:
- le programme DEBIT permet de calculer le débit d'un fluide à travers un milieu poreux,
- le progranune TIiERMO permet de calculer le proffi de température dans le fluide et dans le
matériau en fonction du débit et du flux thermique reçu sur la face aval de la paroi,
- le programme COU pennet de calculer le flux thermique traversant la couche l1m1te.
Le programme PAROI que nous allons présenter réalise le couplage des trois programmes
précédents. n permet de calculer le débit du fluide, les proms de preSSion du fluide dans la
paroi et les proms de température du fluide et du matériau dans la paroi ainsi que du flUide
dans la couche l1m1te, à partir des pressions et des températures du flUide en amont et en
aval de la paroi. Il donne également la valeur du flux thermique à la paroi.
IV-I. PRESENTATION DU PROGRAMME PAROI
Dans le programme principal PAROI, le couplage du sous-programme COU avec le
sous-programme THERMO conduit à résoudre globalement le problème du transfert
thermique dans la paroi et la couche 11m1te. Ce couplage oblige à modifier légèrement le
programme COU. En eJIet le sous-programme COU tel qu'U est présenté au paragraphe ID-
2-2, utilise comme valeur d'entrée de la température du fluide à l'amont de la couche l1m1te,
celle de la température Tmt sur la face aval de la paroi. Or, si pour le transfert conductlf dans
le flUide en contact avec la paroi la température à prendre en compte est bien celle de la
paroi, dans le terme de transport, Uvaut mieux admettre que la température du fluide qui
entre dans la couche 11m1te correspond à celle du fluide dans le sous-volume de sortie de la

---

162
paroi. Ces deux tempêratures ne sont pas égales. Nous avons tenu compte de ce fait dans la
modélisation globale en modifiant dans le programme COU le premier terme de la matrice
1B ] par l'introduction de deux paramètres: Tml util1sée dans le terme conductif et Tf1 utilisée
dans le terme de transport :
b(l) = _Tml A(I) _ QIn cp 1Tf1
(IV-I)
âJ(2
âJ(
IV-l-l. Paramètres d'entrée et paramètres de sortie du programme
Les paramètres util1sés par le programme PAROI sont représentés sur la fJgure IV-!.
On peut classer ceux-ci en diverses fam1lles :
Paroi poreuse
Couche limite
T
QJ
amont
hr
cI>
T
Pamont
Q
oo
(QCV
Nature du fluide
Poo
CD
CD
Figure IV-l : Schématisation des paramètres utUtsés dans le programme PAROI
Les paramètres qui définissent le point de fonctionnement : la nature du fluide, la
température Tf1 et la pression Pfi du fluide en amont de la paroi, la température Too et la
pression poo du fluide en aval de la couche l1m1te et le flux rayonné 4> reçu par la paroi.
Les paramètres Dés' la nature de la paroi : l'épaisseur 1de la paroi poreuse. sa conductMté
thermique équivalente Àe et les coeffidents de porosité a et Ko.
Les paramètres nécessitant des études plus approfoncl1es : le coefficient de convection
surfacique hf sur la face amont. le coefficient d'échange volumique convectif interne h' et
l'épaisseur de la couche limite ~. Ces trois paramètres sont fixés arbitrairement.
A partir des paramètres ci-dessus, le progranune permet de calculer:
• le débit Qm du flUide traversant la paroi.
• le proffi de température Tm du matériau dans la paroi.
• le proffi de température du fluide dans la paroi,

---

163
• le proffi de température Tf de fluide dans la couche limite.
• le flux thermique dans chaque sous-volume.
• le coefficient convectif d'échange face aval de la paroi / fluide.
IV-1-2. Structure du programme
La résolution complète du problème du refroidissement de paroi nécessite un modèle
possédant une structure Itérative à trois niVeaux. La figure IV-2 présente le schéma de cette
structure.
C8Icu1 du dêblt
Pour l'exécution du sous programme DEBIT. 11 faut tntttal1ser la valeur du débit et la
répartition de la pression à l'intérieur du matériau poreux. Le sous-programme calcule
ensuite les chutes de pression dans chaque sous-volume. la chute de pression globale et
enfin le débit. Le test de convergence est fait sur la différence entre la valeur tntttaie et la
valeur calculée du débit. La valeur absolue de la dtfférence doit etre Inférieure à une certaine
tolérance pour l'arret du processus itératif. En cas de différence supérieure. la
rétntttalisation est faite à partir de la nouvelle valeur du débit.
Calcul des 6c1umges thermiques dans la paroi
La valeur du débit détenntnée par le sous-programme précédent est utllisée comme
paramètre d'entrée. Le flux thermique total. rayonné et reçu par convection sur la face aval
est fixé a priori. Après avoir tnttialisé les valeurs des températures du matériau et du fluide
dans la paroI, le sous-programme TIiERMO calcule les valeurs des températures de paroi et
du fluide à partir des équations de btlan. Le test de convergence est fait sur la différence
entre la valeur tn1tiale et la valeur calculée des températures de surface de paroi et de sortie
du fluide de la paroI. La valeur absolue de la plus grande des deux différences doit etre
Inférieure à une certaine tolérance pour l'arrtt du processus Itératif. SI ce n'est pas le cas. la
ré-tntt1allsation est faite sur les nouvelles valeurs de la température.
C8Jcul des 6chaDges thermiques Atravers la couche Umlte
Le sous-programme COLI pennet de calculer le flux cédé à la paroi en tenant compte
des échanges thermiques conductlfs et par transport dans la couche ltmtte lamtnatre. Les
valeurs des températures du matériau et du fluide sur la face aval de la paroi sont
détenntnées par le sous programme TIiERMO. La valeur du flux convectif est calculée à

---

164
partir de ces températures. de celles du fluide prinCipal et du proffi de température dans la
couche limite qui doit etre tnitla11sé. Le test de convergence est fait sur la différence entre les
proffis de température des itérations successives. Cette différence doit etre inférieure à une
tolérance comprenant un terme absolu et un terme relatif pour l'arrêt du processus itératif.
Lecture
des
données
- Nature du fluide réfrigérant
- Nature de la paroi
- Pression de part et d'autre de la paroi
- Température du fluide en amont et en aval
- Flux thermique rayonné sur la face aval de la paroi
Sous-programme
DEBIT
Calcul des chutes de pression
et du débit du fluide
Sous-programme THERMO
Calcul des températures de la paroi et du fluide à partir des
bilans thermiques dans chaque sous-volume
Sous-programme COLI
Calcul du flux cédé à la paroi en tenant compte des échanges thermiques
dans la couche limite
Ecriture
sur
fichIer
. débit du fluide réfrigérant
. profil de pression dans la paroi
- profil de températures dans la paroi
- profil de température du fluide dans la paroi
- profil de température dans la couche limite
Figure 1V-2 : Organigramme général du programme PAROI

---

165
Afin de faciliter la résolution numérique. l'algOrithme de convergence présente
plUSieurs phases :
a)- lors de la première itération le flux 1n1t1al est nul. Si le test d'arrêt est négatif le flux
1n1t1al est remplacé par le flux calculé. Tant que le flux calculé est supérieur au flux 1n1t1al.
le flux 1n1t1a1 continue à être remplacé par le flux calculé.
b)- sile flux calculé est inférieur au flux 1n1tial. le flux 1n1t1a1 devient la borne supérieure du
flux. La borne inférieure correspond au flux initial de l'itération précédente. On poursuit par
une méthode de dichotomie.
IV-2. UTILISATION DU PROGRAMME PAROI
Un certain nombre d'exemples ont été traités en vue de vérifier la cohérence des
résultats et le bon fonctionnement numérique du programme.
IV-2-1. VaUdatlOD et exemples
Nous avons défini cinq tests correspondant chacun à un cas particulier de
fonctionnement du système étudié et qui nous a permis d'analyser séparément la réponse de
chaque sous-programme intégré au programme global PAROI. Pour ces tests. les
caractéristiques du matériau poreux ont été fixées aux valeurs suivantes :
• a= - 0.316. Ko = 0.59.1010•
• conductMté thermique du matériau
Âe = 25W/m.K.
• fluide ut1l1sé : hydrogène.
Test 1 : c'est le cas d'un écoulement du fluide sans échange thenntque à travers la paroi
poreuse. Ce test correspond à l'utilisation du sous-programme DEBIT en condition
iSotherme.
Données : sur la figure N -3 sont présentés les paramétres d'entrée affiché par l'écran de
saiSie. Le débit du flUide est variable: l'épaiSseur de la couche limite est nulle; les
températures amont et aval de la paroi sont fixées à 50 K : le flux thermique rayonné reçu
par la face aval de la paroi est nul : le nombre de sous-volumes dans la paroi est de 15. Le
programme traite un stmple problème d'écoulement d'un fluide à travers une paroi poreuse.
Résultats: les résultats sont donnés par deux fichiers. La figure N -4 présente les résultats du
fichier TESTI. Il comporte deux colonnes de chiffres : la première colonne représente la
différence de pression en bar entre l'amont et l'aval de la paroi et la deuxième colonne le
débit du flUide en kg/s.m2 . Chaque ligne correspond à une exploitation l'autre fichier. non
réprésenté ici, rappelle pour chaque exploitation les données et fournit le débit du fluide et
la pression dans chaque sous-volume de la paroi. Le rapport des pressions entre l'amont et

---

166
l'aval étant au maximum de 1.4. les propriétés de l'hydrogène (viscosité et masse volumique)
varient relativement peu à l'intérieur de la paroi. Le cas est proche de celui d'un écoulement
de fluide incompressible.
FICHIER DE TEST1
JI
Il F10 POUR SAUVEGARDER LE FICHIER Il,
"
PTS
F'
AVAL
P AMONT
T Amont T Aval
FLUX MW/m 2 1 Hin MW/m3.t::
He:·,
bar
ba,-
~..
K
W/m 2
'.
1
100,000
140,000
50
50
0
100
200
1
2
100,0(>(>
135~OOO
50
50
(>
100
2(h)
3
100,000
130,000
50
50
0
1(li)
200
4
100,000
125,(1)0
50
50
0
1
100
200
C"
100,000
120,000
50
50
l)
100
-'
200
6
1
i 100,000
115,000
50
50
(l
100
200
1
1
7
1
100.000
110,000 1
50
50
(1
100
200
1
1
8
100,000
105,000
50
50
(1
100
200
1
Il
1
1
1
1
1
9
0 .. 000
0,000
(1
(1
(}
\\)
,
(>
1
~
10
1
0.000
0,000 1
0
f)
0
0
0
1
1
1
11
1
0;(101) 1
0 .. 000 11
0
(1
Il
0
1
(1
°
\\)
12
''0.000
(I.00(J
1
0
1)
(1
(1
13
O~OOO
0.000
1)
(1
0
0
1)
1
Il
14
0'11 0 00
(1.000
1)
0
1)
1
0
(1
15
0.000
0,000
°
0
<)
0
1)
16
0,000
0,000
0
(1
0
0
,)
17
0,000
0,000
0
<)
1
°
0
1)
1
ATTENTION F10 POUR VALIDER LE TABLEAU
!
Figure IV-3 : Données correspondant au 7ESTI
40. ClOCJOOOCXJOOOO
32.714894707156140
35. ClOCJOOOCXJOOOO
29.700941491841680
30. ClOCJOOOCXJOOOO
26.749556494160550
25. ClOCJOOOCXJOOOO
23 .783830215260590
20. ClOCJOOOCXJOOOO
20.740415524438780
15. ClOCJOOOCXJOOOO
17.461031358100770
10. ClOCJOOOCXJOOOO
13.707309388254980
5. ClOCJOOOCXJOOOO
9.071417121085277
O. ClOCJOOOCXJOOOOE...ooD
O. ClOOOOOCXXXlOOOE+CXXl
O. OOOOOOOClOCY.:XE+OOO
o. ClOOOOOCXXXlOOOE..ooo
O. ClOCJOOOCXJOOOOE+OOO
o.ClOOOOOCXXXlOOOE+<:xx)
O. ClOCJOOOCXJOOOOE+OOO
o.0000CXXXXXXl0Q0+<:XX)
O. CXXlOOOCXXXXXXl+OOO
o.ClOOOOOCXXXlOOOE"'{xx)
O. CXXlOOOCXXXXXXl+OOO
O. ClOOOOOCXXXlOOOE+<:xx)
O. ClOCJOOOCXJOOOOE+OOO
O. ClOCJOOOCXJOOOOE+<:xx)
Figure IV-4 : Résultats du 1ESI' 1
Test 2 : ce test correspond à la vérification du sous-programme TIiERMO seul.
Données: l'épaisseur de la couche l1m1te est nulle: la température amont de la paroi est de
50 K : celle en aval de la paroi est de 3000 K : le flux thermique reçu par la paroi est de 100
MW1m2 • le coefficient d'échange convectif volumique interne est de 100 MW/m3.K, le
coefficient d'échange convectif surfacique est 200 WIm2 .K.
Résultats : la figure IV-5 présente les résultats de ce test. On constate que le fluide évacue
l'ensemble du flux thermique reçu par la paroi. Ce flux thermique est très important et.
malgré un coefficient d'échange interne trés gran<7la température du matériau est beaucoup
plus élevée que celle du fluide.

---

167
Fic~~e, de données
TEST2
1
DATE
~ 1/10/1992
Nombre d e::ploitat~ons
:
*t*******************************
CARACTER!STIQUES DE LA PAROI
Epaisseur de la plaque
5."üOO
mm
Nombre de sous-volumes
15
Conductivite du mater~au:
25.000
W/m.l':
Coefficient alpha
-.31600
Coef fic ien t Ko
.59000E+l0
******************************************
EXPLOITATION NUMERO
CARACTERISTiQUES DU POINT DE FONCTIONNEMENT
Temoe,ature amont
5(1 .O~;::
Temoerature en aval
3(lOO .Of··
F'ress ion amon t
120.00ba.r
P'-ess ion ava l
100 .•)Obar
Flux recu par rayonnement
.100E+09W/m2
H echanoe ~nterne
.100E+09W/m3.K
H echange cote froid
.200E"'03W/m2.K
RESULTATS:
Nombn= d iterations
13
p~s de decoupage
.33333E-û3m
Cebit de fluide
13.0
kg/m2.s
Soient P pressions dans la pa,oi
(bar)
Tm temoeratures de la paroi
0:)
Tf temperatures du fluide
CI')
Les profils de temperature dans
la ~aroi sont :
F'
Tm
Tf
Flu}: a. travers
Flu:-:
en ba,
en l'
en K
le sous-volume
echanoe
en W/m2
er, Wim2
120.0
50.8
50.0
• 156E+03
.OOOE+OO
119.~
51.0
50.2
.26:5E+05
.263E+05
118.7
51.5
50.4
.587E+05
.322E+05
118.1
52.5
50.7
.109E+06
.5(JOE+05
117.5
54.4
51.2
.194E+06
.848E+05
116.8
57.7
52.0
.341E+06
• 148E+06
116.2
63.~
53.6
.600E+06
.25BE+06
115.5
73.8
56.3
.105E+07
.454E+06
114.8
91.B
61.0
• 185E+07
.799E+06
114.1
123.6
69.3
.326E+07
.141E+07
113.2
179.5
83.7
.575E+07
.249E+07
112.1
278.0
108.7
.102E+OS
.442E+07
110.6
451.7
152.3
.lBOE+08
.785E+07
108.5
758.4
227.9
.319E+Oe
• 139E...08
104.0
1300.9
35B.6
.565E+OS
.246E+08
100.0
2262.3
588.2
.100E+09
.436E+08
B~lan energet~que :
Flux cede au flu~de dans
la paroi
.100E+09
W/m2
Flux cede au flu~de en amont
.156E+03
W/m2
Fl~t:: total cede au f l~,~de
.100E+09
W/m2
FIgure IV-ES: Résultats du 1EST2
Test 3 : ce test correspond à la vérification du sous-progrannne COLI. Le flux thennique reçu
par la paroi est un flux purement convectif dû à une température aval élevée. Ce cas
correspond au refroidissement par effusion d'une paroi chauffée par un écoulement
principal chaud.

---

168
Données: l'épatsseur de la couche limite est de 0.05 mm : la température du fluide à l'amont
de la paroi est de 50 K : celle du fluide de l'écoulement prindpal en aval dans la couche limite
est de 3000 K : le flux thermique rayonné reçu par la paroi est nul: le coefficient d'échange
convectif volumique interne est de 100 MWIm3 ·K. le coefficient d'échange convectif
surfaetque est de 200 WIrril-K.
Résultats: la figure IV-6 présente les courbes des températures du fluide et du matériau en
fonction du sous-volume. On voit que le gradient thermique dans la couche limite est très
élevé et ce d'autant plus que l'épatsseur de cette couche limite est très faible. En effet. il
convient de noter que la représentation de la figure IV-6 défonne la réalité car sile nombre
de sous-volumes dans la paroi et dans la couche limite sont du même ordre de grandeur. la
longueur de chacun de ces types de sous-volumes est très différente. L'épatsseur totale de la
couche limite est d'environ 100 fois plus faible que l'épatsseur de la paroi. Cette importante
résistance thermique de la couche limite est due au débit très élevé. Notons enfin que
d'après FRIEDMAN. le fluide en sortie de la paroi doit être à la même température que la
paroi.
3000
paroi
••••h. 1""". /
(
Iv"
-
qm = 19 kg/5.m 2
~
ct> = 0 MW/m 2
~
2000
-'
- . l
h' = 100 MW/m3'K
~
?
~
~
ï paroI
hf = 200 W/m-.K
.<!J
f""\\
T
Tm = 3000 K
nuicie
-
r-
C
10.00
1
,u
;:-
1
..
ép. p.= 5 mm
ép cl = 0.05 mm
o~=-:::::::W:='I:::It:::t:~~~~~:"'-_--:.._"":""--..-J
o
5
10
15
20
25
Numéro àu sous-volume
Figure IV·6 : Températures du fluide et du matériau d travers la paroi et dans la couche
limite
Test 4 : ce test a été réalisé pour un débit du fluide réfrigérant nul à travers la paroi.
Données : le débit du fluide réfrigérant est nul : l'épaisseur de la couche limite est de 0.05 mm
: la température du fluide à l'amont de la paroi est de 50 K. celle du fluide en aval de 3000 K :
le flux thermique rayonné est nul : le coetTicient d'échange convectif surfacique sur la face
amont de la paroi varie.
Résultats: la figure IV-7 présente les résultats obtenus pour différentes valeurs du
coefficient d'échange convectif sur la face amont. Le fluide réfrigérant étant immobile. le
transfert dans la paroi et la couche limite n'a lieu que par conduction. Ainsi. le flux
thennique dans les différents sous-volumes de la paroi et de la couche limite est constant.

---

169
La couche limite et la paroi se comportent comme de simples résistances thenniques. A
l'intérieur de la paroi. les températures du matériau et du fluide sont égales. Nous
constatons que la variation de température est effectivement linéaire dans un m1l1eu
donné. En mod1ftant la valeur du coefficient d'échange convectif. nous modifions la
résistance thermique sur la face amont. Dans cet exemple la résistance thermique
uniquement conduct1Ve de la couche l1m1te est négI1geable à cause de sa faible épaisseur.
1
1
v
~QllC!:.C limite
-
1
1
1
ép cl = 0.05 mm
-
1
1
Tl nuicie-i1!8 200 W/~K
1
T2 Ruicie-h,- ICCO \\1I/~!{
.,
1
qm
T3 nuicie -11(8 5000 W/m:·!'..
= 0 kg/s.m-
•
1
c%» = 0 MW/m 2
:
T4 RuiCe-"',8 I~W/~!{
•
T5 Ruièe~. '2
סס
oo W Im:';c
h' = 100 MW/m3.K
0 t
' - - - - - - - ' - - - - - - - ' - - - - : . . . . . . - 1_ . . . : . . . . . . . . - - _
Tao =3000 K
o
5
la'
15
20
25
Numéro du sous-volume
Figure IV-7 : Températures duflutde et du matériau dans la paroi et d travers la couche
limite poUT un ~bit nul
Test 5 : la paroi est chauffée Simultanément par rayonnement et par flux convectif.
Données: l'épaisseur de la couche limite est de 0.05 mm: la température du flUide à l'amont
de la paroi de 50 K : celle du fluide en aval de la couche l1m1te est de 3000 K : le flux thenntque
rayonné sur la face aval de la paroi varie: le coefficient d'échange convectif volumique
interne est de 100 MW/m3-K
Résultats: La figure IV-8 présente les profils des températures du matériau et du fluide. On
constate que la température sur la face aval de la paroi augmente avec le flux rayonné. ce qui
a pour effet de d1m1nuer le flux convectif. Pour un flux rayonné très intense. la température
de la paroi peut devenir plus élevée que la température à 1'1nftn1. Dans ce cas. l'écoulement
principal contribue au refroidissement de la paroi et le gradient thennique est négatif dans
la couche 11m1te.
IV-2-2. Limites du programme
Dans un certain nombre de cas. l'algorithme de convergence du sous-programme
TI·iERMO ne donne pas de solution stable. L'analyse de ces cas de non fonctionnement a
pennJs de mettre en évidence deux problèmes distincts :

---

170
4000
f:O'lch.c Linuc.c
il&toi
ép. p.= 5 mm
...-.
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- 3000
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qm = Il kYs.m-
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ép.cl = 0.05 mm
h' = 100 MW/m3'K
...
~
~~
hf
0
= 200 W/m2.K
ù
5
10
15
20
25
Numéro du sous-volume
Figure IV-8 : Température de paroi et de fluide en présence d'un flux rayonrœ ( qm = 11
kg/5.m2: h' = laS W/rrP'K)
la. Le sous-programme THERMO utilise des valeurs initiaUsées de température du fluide
pour calculer le flux thermique échangé entre le matériau et le fluide. Ce flux thermique est
lui-meme ré-ut1l1sé pour recalculer les nouvelles températures du fluide. Si1a valeur du flux
thermique est importante. la température du fluide peut s'avérer etre plus grande que la
température de paroi dans un sous-volume. Lors de l'itération suivante. le programme prend
en compte un transfert thermique du fluide vers la matière et aboutit rapidement à une
divergence des valeurs numériques. Ce cas de non fonctionnement est très facile à déceler
mais la non linéarité du flux échangé dans les différents sous-volumes rend ditIlcile la mise
au point d'un algorithme d'amortissement. Ce problème se pose pour des coefficients
d'échange interne élevés et des débits de fluide faibles.
20 • Pour des coetIicients d'échange interne élevés. des débits faibles et des flux thenniques
faibles. les températures du fluide et du matériau sont très proches. Les valeurs du flux
échangé sont par conséquent très sensibles aux écarts de températures du fluide. Toute
augmentation de température du flUide entraîne une d1m1nution du flux entre le matériau et
le flUide et donc une augmentation de température du matériau. Lors de l'itération suivante
la température du flUide augmente créant ainsi une osc1l1ation. En règle générale. le
programme finit par converger (l'importance relative de la dissipation d'énergie sur la face
amont augmentant au fur et à mesure des itérations) mais les temps de calcul deviennent
prohibitifs (une centaine d'itérations ou davantage). Enfin la sensib1l1té extrême des
valeurs de flux thenrnque aux valeurs de température et à la valeur du débit aboutit souvent,
en fin de calcul. à une osc1l1ation de faible amplitude ou carrément à une divergence
(problème n°I). Ce problème est plus délicat à tester. Aprés mise au point d'un algorithme
efficace de test. la solution consistera probablement à utiliser dans ce cas un algorithme de

---

171
calcul spécifique prenant en compte la quasi-totalité des températures du fluide et de la
paroi.
Ces deux problèmes se posent presque dans le même domaine de fonctionnement.
IV-3. CONCLUSIONS
Le débit du fluide réfrigérant et l'épaiSSeur de la couche limite laminaire ne sont pas
des paramètres indépendants. L'épaisseur de la couche limite augmente avec le débit
d'effusion du fluide réfrigérant. Nous avons étudié id indépendamment ces deux paramètres
dans le but de tester le bon fonctionnement du logiciel. Ces simulations qui n'ont aucun
caractère prédictif montrent que les propriétés de la couche limite sont prépondérantes
pour la protection thermique de la paroi et le refroidissement de celle-ci. Le programme
PAROI ne permet actuellement pas de prédire l'efficacité de la protection de la paroi par la
couche limite à cause de la valeur arbitraire de l'épaiSSeur de cette couche limite. n sera
nécessaire dans l'avenir de calculer cette valeur en fonction des écoulements principal et
secondaire.

---

---

173
CONCLUSION GENERALE

---

---

175
Cette étude a pennis de mettre en évidence la complexité du phénomène de
refroidissement d'une paroi par effusion. La détenntnation des différents paramètres tels
que. par exemple le coefficient de transfert convectif interne. nécessite des moyens
expérimentaux. théoriques et numériques importants. L'inventaire des différents
phénomènes physiques a été fait et l'étude de leur importance relative a été entreprtse. Le
découpage du problème selon les types de transfert a permiS d'obtenir un certain nombre de
résultats.
L'étude du transfert de masse a donné lieu à une analyse bibliographique qui a
permiS de dégager deux types de relaUons donnant la chute de pression en foncUon du débit.
Il s'agit de la famille d'équaUons correspondant au modèle à type d'écoulement mixte
(modèle a. Ko) compaUble avec le modèle de BERNSTEIN (qu'on pourrait aussi appeler
modèle E, dg par analogie avec le précédent) et de celui correspondant au modèle de
superposiUon des écoulements visqueux et inertiel qui comprend les équations de la
NORME et celle d'ERGUN. Le modèle a. Ko et celui de BERNSTEIN ne nécessitent pour leur
exploitaUon que de connaître deux paramètres caractéristiques du matériau : a et Ko.
d'une part. E et dg . d'autre part. Ces deux modèles ont été validés avec une excellente
précision dans un domaine important de température et de pression et pour des fluides de
nature différente (compressibles. incompressibles) grâce à une expérimentation
relativement simple mais cependant complète. Le programme CALAG permet la
déterminaUon rapide des caractériUques a et Ko du matériau à partir de seulement deux
points de mesure du débit. Quant au modèle à superposiUon d'écoulements. auSSi basé sur la
détermination de paramètres caractéristiques du matériau (coefficients de perméabilité
visqueuse et de perméab1l1té d'inertie). il donne des résultats correspondant à un bon ordre
de grandeur. mais il est moins précis. pour les types de matériaux uUlisés.
L'étude des transferts thermiques à travers le milieu poreux a donné lieu à la
réalisation d'un modèle numérique qui uUlise un coefficient d'échange convectif volumique
interne au m1l1eu poreux qui peut être déterminé à partir de relations claSSiques de la
littérature. Il permet de calculer les profils de température dans la paroi en fonction du flux
thermique rayonné sur la face aval de la paroi. Ce logiciel a été exploité dans de nombreux
cas de figures et a donné satisfaction. Il a par exemple permis de montrer que. pour un
matériau poreux de faible conductivité thermique. de l'ordre de 25 W/m.K et pour des

---

176
coefficients d'échange interne très élevés. de l'ordre de I()9W/m3 .K. les échanges thenntques
dans la paroi sont inSuffisants pour la refroidir. Létablissement par effusion d'une couche
l1m1te à la surface de la paroi s'avère par conséquent nécessaire pour assurer une isOlation
et une protection thenntque conséquente de cette paroi.
L'étude du transfert thermique dans la couche l1m1te a permis de réunir et de
dépou1ller une importante bibliographie relative aux couches limites avec effusion.
Différentes approches et différentes méthodes de résolution des équations des couches
l1m1tes ont été analysées. Nous nous en sommes inSpirés pour élaborer un modèle d'étude
des couches l1m1tes avec effusion basé sur des équations de bilan. Ce modèle permet de
déterminer les profils de température et les flux thenntques échangés dans la couche l1mite
ainsi que le coefficient d'échange convectif face aval de la paroi/fluide. Parallèlement à
cette étude. un dispositif expérimental a été élaboré. Nous l'avons exploité pour visualiser
les phénomènes d'interaction entre flUide transpiré et flUide prinCipal. nécessaire pour une
modélisation complète des échanges thenntques dans la couche l1m1te.
L'ensemble de ces travaux a donné lieu à l'élaboration d'un programme global de
calcul qui prend en compte l'ensemble de tous les phénomènes mis en jeu. Un soin
particulier a été apporté à ce programme pour rendre son utilisation conviviale. Cependant
un certain nombre de dysfonctionnements des algorithmes de convergence empêche de
calculer l'ensemble des points de fonctionnement possibles.
Malgré ces acquis. 11 faut noter que nous avons connu un certain nombre de déboires
durant ces années de travaux. Par exemple la validation du sous-programme nIERMO n'a
pas pu être mené à bien faute de moyens expérimentaux suffisants. En effet. une source de
rayonnement thermique appropriée à l'intensité des échanges thermiques dans la paroi a
fait défaut et a été une cause de perte de temps. Malgré ces inSuffisances (non validation du
sous-programme nIERMO. études incomplètes des phénomènes thermiques dans la couche
limite. etc.), cette étude. qui se poursuivra. a permis d'atteindre un certain nombre
d'objectifs. D'autres résultats qui viendront en complément de ceux-ci. permettront la
réalisation complète de l'étude du refroidissement d'une paroi par effusion.

---

177
REFERENCES
BIBLIOGRAPHIQUES

---

---

179
UJ
BUISSON M•• GAILLAC J. P•• DEROmE B•• Revue des Techniques de Protection
Thermique des ParoiS des Foyers Principaux et de Rechauffe des Turboréacteurs.
AGARD. Conf. ProceedJ.ngs. Ankara 1977. n° 229. p. 15-1 à 15-18.
(2J
FAUTIN M•• Hermès a des Composites dans la Peau. La Recherche 1987. vol. 18.
n° 186. p. 404-406.
(3)
LAI.LEMAND A. Cours de Mécanique des Fluides. INSA de LYON (Dep. GENl. 1988.
Perte de charge en Ecoulement Turbulent. p. 120-128.
(4J
BRESSAT R •• OTTERBEIN M. Milieux Poreux et DiSpersés. INSA de LYON ( Dpt
GENt 1988. 101 p.
{5J
DARCY B. P. G. Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Expos1tlon et
Application à suivre et des Formules à Employer dans les Questions de DiStribution
d'Eau. Parts. Victor Dalamont. 1856. ISO p.
(6J
CREIŒR B. and DAVJES T. ChemicalEngeertng Practtce. 1956. vol. 2. p. 15-22.
(7)
ISO 2738 - NF A 95-311 Matériaux Métalliques Frittés Perméables. Détermination
de la Masse Volumique. de la Teneur en Huile. et de la Porosité. AFNOR. Paris-La
Défense. Décembre 1988. 12 p.
(8)
KOZENY J.
Über kapillare Leltung des Wassers 1m Boden. Royal Academy of
Sden.œ. 1927. vol. 136. p.271-28O.
(9J
CARIIAN P. C. Fluid Flow Through Granular Beds.Transactions of the Instttutton
ofChemtcalEngtneers. 1937. vol. 15.. p. 1SO-166.
(l0)
COMOLET R. Mécanique des Fluides.T-2. Dynamique des Fluides Réels.
Turbomachines. Parts: Masson. 1963.442 p.
(lI)
PADET J. Fluides en Ecoulement. Méthodes et Modèles. Parts : Masson. 1990. 324 p.
(l2)
ANDRIEU J. Recherhes sur l'Hydrodynamique des Colonnes à Garnissage Arrosé
Fonctionnant à contre-courant. Etude de l'Aire Mouillée dans un garnissage
d'Anneaux de Raschig en Verre Pyrex. Thèse Set. Phys. : Untverslté Lyon 1. 1971.
120p.
(13)
ERGtJN S. Fluid Flow Through Packed Columns. Chein. Eng. Prog.• 1952. vol. 48. p.
89-94.
(l4J
COt1LSON J. M. and RICHARDSON J. F. wlth BACKllURST and BARKER J. B.
Chem1cal Engineertng. Oxford: Pergamon Press. 1978. vol. 2. 807 p.
(15)
WJLLΠM. R. J. and GREGORY K.. R. Fluid Flow Through Inconsolidated Porous
Aggregates- Effet of Porosity and Particule Shape on Kozeny-Cannan Constants.
Ind. Eng. Chein.. 1955. vol. 47. n° 1379. p. 88-98.
(16)
ECIŒRT E. R. G., and DRAKE R. Mo Jr. Heat and Mass Transfer. New York: Mc Graw-
Hill. 1959. 252 p.
(17)
BEAVERS G. S., SPARROW E. M••, and RODENZ D. E. Influence of Bed S1ze on the
Flow Charactertttcs and Poroslty of Randomly Packed Beds of Spheres. Journal of
Applted Mechantes. 1973. vol. 40. n° 5. p. 655-660.
(18)
BEAVERS G. S. and SPARROW S. E. M. Non-Darcy Flow Through Fibrous Porous
Media. Journal ofApplied Mechantes. 1969. vol. 36. n° 4. p. 711-714.
(l9)
MASHA B. A.. BEAVERS G. S. and SPARROW E. M. Expertments on the ResiStance
Law for Non-Darcy Compressible Gas Flows in Porous Media. Journal of Ftuid
Engtneertng. 1974. vol. 96. p. 353-357.

---

IBO
(20J
BOFFA C. V. Experimental Investigation of Gas Flow Characteristics in
Transpiration-Cooled Porous Matrices. Fifth International Heat Transfer
Conference. Tokyo. Sep. 1974. vol. 5. p. 88-92.
(21J
GREEN L. Jr. ud DUWEZ P. Fluid Flow Through Porous Metals. Journal ofApplted
Mechantes. 1951. vol. 18. nOl. p. 39-45.
(22J
mEL'CIK 1. E. Mémento de Pertes de Charge. Paris : Eyrolles. 1968. Coefficients de
Perte de Charge des Grilles. Grillages. Couches. Fatseeaux. Garnissages. etc.. p. 295-
296.
(23J
Encyclopedie des Gaz. Amsterdam: Elsevier SCientlfic Publishing Company. 1976.
1150p.
(24J
WEAST R. C. ud ASTLE Il. J. CRC Handbook of Chemistry and PhysiCS. Boca
Raton (Florida) : CRC Press. 1982. 1500 p.
(25J
IIc CARTY R.D•• BORD J. ud RODER B. Il. Selected Properties of Hydrogen
(Engineering DesJgn Data). Nat. Bur. (U.S.) Monogr. 168. Feb. 1981.523 p.
(26J
JAMET J •• ABBE D. et DORVAIJX J. Il. Le concept de Composite et les Systèmes
Thermomécaniques. Journée aUf/SFI'. Les Transferts Thermiques dans les
composites. Paris. 24 Avril 1985. p. 5-19.
(27]
GAY D. Matériaux composites. Paris : Hermès. 1987. 416 p.
(281
BARDON J. P•• BALAGEAS D•• DEGIOVANNI A. et vtJLLlERMES J. Thermique des
Matériaux Composites et des Interfaces: Situation et Perspectives. Colloque CNRS
sur Thenn1ques des Systémes et Procédés. Paris. 6-7 Décembre 1988. 14 p.
(29J
Les Transferts Thermiques dans les Matériaux Composites. Journée G. U. T /S. F. T.
Parts. 24 Avril 1985. 168 p.
(3OJ
Thermal Transfer in Composite Materials and at Sol1d-Sol1d Interface. Proc.
Eurotherm Semtnar nO 4. LEMTA, Nancy. 28-30 Juin 1988. 162 p.
(31J
YAVANOVITCB Il. Recent Developments in Thermal Contact. Gap and Joint
Conductance Theories and Experiments. Proc. Heat Transfer Conf. San Fransisco.
1986. vol. 1. p. 35-45.
(32J
BARDON J. P. Heat Transfer at Sol1d-Sol1d Interface: Basic Phenomenons-Recent
Works. Proc. Eurotherm Sem1nar n° 4. LEMTA, Nancy. 28-30 Juin 1988. p. 150-153.
(33J
TAWIL B •• WBI'M'AKER A. J. et TAYLOR R. DiffusMté Thermique de Composite
Carbone/Carbone à Renfort Uni et Bidirectionnel. Journée G. U. T/S. F. T. Les
Transferts Thermiques dans les Matériaux Composites. Paris. 24 Avril 1985. p.
113-129.
(34J
TAWIL B •• BEN8TEN L. D. et BASSELMAN D. P. B. Effet d'un Cyclage Thermique
sur les Diffusivités et Conductivités Thermiques de Composites Céramiques à
Matrice Céramique en Carbure de SUicium. Journée G. U. T. /S. F. T. . Les
Transferts Thermiques dans les Matériaux Composites. Paris. 24 Avril 1985. p.
131-151.
(351
BALAGEAS D. L. et PUJOLA R. Il. Méthode Flash Adaptée aux Matériaux
Composites à Renforcement orienté. Journée GUT/SFT. Les Transferts Thermiques
dans les Matériaux Composites. Paris. 24 Avril 1985. p. 73-97.
(361
ENGRAND D. Homogénéisation Thermoélasttque de milieux Présentant une
Structure Répétitive. Journée GUT/SFT. Transferts Thermiques dans les Matériaux
Composites. Parts. 24 Avril 1985. p. 21-39.

---

181
137J
SOUQUET P-M. Méthodes d'Homogénéisation en Mécanique des Solides. GFR
Comportements Rhéologiques et Structures des Matériaux. 15tàne Colloque Annuel.
Paris 1980. p. 87-128.
(38)
DORVAUX J. M. Modélisation des Conducttvités Thermiques dans les Matériaux
Composites. Journée GUT15FT. Les Transferts Thermiques dans les Matériaux
Composites. Paris. 24 Avril 1985. p. 65-71.
(39)
PARKER, JENKlNS, BUl'TLER ud ABBOT Flash Method of Determining Thermal
Dtffus1v1ty. Heat Capac1ty and Thermal Conducttv1ty. J. of AppL Phys. Sep. 1961.
vol. 32. n° 9. p. 150-156.
140J
BELIN B. et PUJOLA R. M. Modélisation Numérique du Comportement Thenntque
des Composites à Renforcement Orienté. Journée GUf15FT. Les Transferts
Thermiques dans les Matériaux Composites. Paris. 24 Avril 1985. p. 99-112.
(41]
PAJCI·EZA J. Une Méthode de Décomposition Spatiale basée sur le Principe de
Schwarz. Marseille. 1979. Rapport Interne LIMSI CNRS. 21p.
(42J
FRAILONG J. M. et PAKI·EZA J. Simulation of General D1fTerential Equation in a
Flxed SIMD-MIMD Large Cellular Processor. Conf. IMACS. Sorrento (Italy) Sept.
1979. 25p.
143)
PUJOLA Re M. et BALAGE.AS D. L. Derniers Développements de la Méthode Flash
Adaptée aux Matériaux Composites à Renforcement Orienté. High Temperatures-
Hfgh Pressures 1985. vol. 17. p. 623-632.
(44)
PUJOLA R. M. Méthode Flash Appliquée aux Matériaux Composites à
Renforcement de carbone. Thèse de Docteur-Ingénieur: Parts VI. 1984. 198 p.
145)
OIRY H. Experimental Study and Numerical Model of Thermal and Electric
Potential Fields in an Heterogenous Multllayer Structure. Proc. of Nat. Heat
Transfer. Conf.• Denver, Colorado. 4-7 sep. 1985. p. 15-30.
146)
REAGAN R. E. Charactertzation of Porous Matrices for Transpiration Cooled
Structures. NASA CR-72699. 1970.24 p.
(471
REAGAN R. E. Characterization of Porous Powder Metal Matrices for
Transpiration Cooled Structures. NASA CR-72994. 1971.28 p.
148]
KOH J. C., DUTTON J. L., BENSON B. A., FORTlNI A. Fr1ct1on Factor for lsothennal
and Nonisothennal Flow Through Porous Media. Journal of Heat Transfer August
1977. vol. 99. p. 367-373.
149)
KOH J. C. Y., DUTTON J. L•• BENSON B. A. Fundamental Study of Transplratlon
Cool1ng. Final Report. NASA CR - 134523. 1973. 166 p.
ISO)
DUWEZ P. ud MARTENS H. E. The powder Metallurgy of Porous Metals and Alloys
Having a controlled Porosity. Trans. Amertcan Soc. Mech. Eng.. 1948, vol. 175. p.
848-875.
(51)
COULSON J. M. The Flow of Fluids Through Granular Beds : Effet of Particule
Shape and Voids in Streamline Flow. Trans.lnsL Chem. Eng. . 1949. vol. 27, n° 237.
p.57-89.
152)
Mc ADAMS W. H. Transmission de la Chaleur. Paris: Dunod. 1964. Sphères. p. 297-
298.
(53)
YUGE T., Experiments on Heat Transfer From Spheres Including Combined
Natural and Forced Convection. Journal ofHeat Transfer. 1960. vol. 82. p. 214-220.
1541
KRAMERS, H. Heat transfert from Spheres ta Flowing Media. Physica. 1946. vol.
12. p. 61-80.

---

182
155]
VLŒT. G. C. et LEPPERT. G. Forced Convection Heat Transfer from an Isothennal
Sphere to Water. J. ofHea1 Transfer. vol. 83. Mai 1961. p. 163-175.
156]
BRIGGS D•• BROWN W., LARSON M.. Mc CUEN P. et MITCHELL J. Influence of
Reynolds Number on Convective Heat Transfer for Flow Over a Body. Stanford
University. 1958. p. 212-253. Mechantcal Engineering 232lDboratDry.
157]
GARNER F. B., and KEEY R. B., Mass Transfer From Single Sol1d Spheres -1-
Transfer at Low Reynolds Numbers. Chemtcal Engineering Science. 1958. vol. 9. p.
119-129.
158]
STEELE L. R. et GEANKOPLIS C. J., Mass Transfer From a Solid Sphere to Water m
HJghlyTurbulent Flow. AIChEJoumaL 1959. vol. 5. n02. p. 178-181.
159]
WBITAKER, S. Forced Convection Heat Transfer Correlations for Flow m Pipes.
past Flat Plates. Single Cyl1nders and for Flow m Packed Beds and Tube Bundles.
AtcheJ.. 1972. vol. 18. n~. p. 361-372.
160]
RICHARDSON P. D. Estlmation of the Heat Transfer from Rear of Immersed Body to
Region Separated Flow. Journal ofHeat 'n'ansfer. May 1961. p. 172-174.
161]
DRAKE R. M. Mass Transfer Cooltng of a laminar Boundmy Layer by Injection of a
Lightweight Foreign Gas. Journal of Heat 'n'ansfer. Transactions of the ASME
May. 1961. vol. 15. p. 170-171.
162]
BILPERT R. Wa-nneabgabe von Geheizen Drahten und Rohren. Forsch. Geb.
Ingenteurwes. 1933. vol. 4. p. 220-230.
163]
KNUDSEN J. D. et KATZ D. L. , Fluid Dynamics and Heat Transfer. New York: Mc
Graw-H1l1 Book Company. 1958. 250 p.
164]
GOSSE, J., Guide Technique de Thenntque. Paris : Dunod. 1981. 246 p.
65]
B. GROBER, S. EU and GRIGtJIL U. Heat and Mass Transfer. Second Edition of
Introduction to the Transfer of Heat and Mass. New-York: Mac-Graw Hill. 1959.
Sphères and Packed Beds. p. 248-253.
166]
JOBNSTON B. F., PIGFFORD R. L. And CBAPIN J. B. Heat Transfer of Clouds of
Fall1ng Particules. 'n'ans. AIchE. 1941. vol. 37. n043. p. 95-133.
167]
ROWE A. Chemical Engmeertng. Oxford: Pergamon- Press. 1990. Convection to
Spherical Particules. p. 357-358.
168]
PITTS, D. R. et SISSOM, L. E., Heat Transfer. New York : Mc-Graw HUI Book
Company. 1977.325 p.
169]
LONCIN M. Génie Industrielle Aspects Fondamentaux. Masson: Paris 1976. Pertes
de Charge dans une Conduite Cylmdr1que. p. 101-103.
170]
JENSON v. G. Viscous Flow Round a Sphere at Low Reynolds Numbers. ( <40 J••
Proceed.tngs, Royal Society. sertes A, 1959. vol. 249. p. 346-405.
17l]
BOSSON G. V. Proposed Research Work to be Carried out on Transpiration Cooltng.
The Final Dissertation. University of the Witwatersrand (Rép. d'Afrique du Sud).
1981.21 p.
172)
RAITBBY G. D. and E. R. G. ECKERT The Effet of Turbulence Parameters. and
Support Position, on the Heat Transfer from Spheres. Intem. J. Heat Mass Transfer,
1968. vol. 11. n° 8. p. 1233-1252.
173]
GAMSON, B. W, TBODOS. G. et BOUGEN. O. A., Trans. Am InsL Chem. Engrs.• I943.
vol. 39. p. 1-35.

---

183
[74)
IllARSBALL W. R •• Jr•• and HOUGEN o. A. • Tmns. Am InsL Chern. Eng. 1942. vol.
38. p.91-121.
[75)
DENTON W. H. The Heat Transfer and Pressure Loss in Fluid Through Randomly
Packed Sphere. Heat Transfer DiscuSSion Meeting ASME - IME. London Sep. 1951.
p.370-38O.
[76)
BAlJIŒISTER, E. B., BENNET. C. O. Fluid-Particle Heat Transfer in Packed Beds.
AIChE. JournaL 1958. vol. 4. nOl. p. 69-74.
(77)
GLASER, II. B., TBODOS. G. Heat and Momentum Transfer in the Flow of Gases
Trough Packed Beds. A. 1. Ch E. Jownal. 1958. vol. 4. nOl. p. 63-68.
[78)
YUAN S. W. Heat Transfer in Lam1nar Compressible BoundaIY Layer on a Porous
Flat Plate with Fluid Injection. Journal of the Aeronaut1cal Sciences. vol. 16. n° 12.
p.741-748.
[79)
MORDUCHOW.
M.
On Heat Transfer Over a
Sweat-Cooled Surface in
LaminarnCompressible
Flow With
a
Pressure
Gradient.
Journal of the
Aeronaut1cal Sciences. October 1952. vol. 19. nOIO. p. 205-212.
[80)
CIOULACBTJIAN, S •• TADRlST, L•• SANTINI, R., OCELLI, Re et PANTALONI, J.
Etude des Transferts de Chaleur dans un Milieu Poreux. Cas d'un Uquide en
Ecoulement. Revue Générale de Thermique Française. 1990. vol. 8. n033. p. 85-90.
(81)
KAY, J. II. et NEDDERMAN, Re M.. An Introduction to Fluid Mecharucs and Heat
Transfer (Th1rd Edition). LondoI).: Cambrtde University Press. 1974.321 p.
(82)
LJACHOWSKl D. N., Echanges convectifs de chaleur entre gaz et particules. J. Techn..
Phys. • 1940. vol. 10. p. 999-1013.
(83)
VYROUBOW D., Heat Transfer Evaporation From Drop Surface. J. Techn. Phys.•
1939. vol. 9. p.1923-1931.
[84)
FROSZLING. N . ,
Uber die Verdunstung Fallen der Tropfen. Gerl. Bettr. zur
GeophysOc. 1938. vol. 52. p.170-216.
[85)
GROOTENIIlJIS P •• MACKWORTB R. C. A. and SAlJNDERS O. A. Heat Transfer to .AIr
Passtng Through Heated Porous Metals. Proceedlngs of the General Discussion on
Heat Transfer. Institution ofMechantcal Eng. London 1951. p. 363-366.
(86)
KOH J. C. Y. , FORTINI A. Thennal Conduct1v1ty and Eletrical ReststMty of Porous
Material. NASA CR-120854, 1971. 116 p.
[87)
KOH J. C. Y. DUTrON J. L. and BENSON B. A. Friction Factor for Isothennal and
Nontsothennal Flow Through Porous Media. Journal of Heat Tmnsfer. August.
1977. vol. 99. p. 367-373.
[881
AZIZI L Conductivité Thenntque des Matériaux Poreux Humides: Mesures par
Méthode Flash et Interpretation. Thèse: Doct : INPL. Nancy. 1988. 198 p.
[89)
NIELD D. A., BEJAN A. Convection in Porous Media. New-York: Sprtnger-Verlag.
1992.408p.
[90)
RAYLEIGH L. On the Influence of Obstacles Arranged in Rectangular Order Upon the
Properties of a Medium. Phil. Mag. 1892. vo1.34. p. 481-502.
[91)
DE VRIES D. A. Thennal Conductivity of SoU. Mededel Landb. Hogesfch
Wagentngen. 1952. vol. 52. p. 1-15.
(92\\
KOH J. c. Y. and Del CASAI. E.

---

184
Heat and Mass Transfer Through Porous Matrices For Transpiration Cooling.
Proceedtngs of the 1965 Heat Transfer and Flutd Mechantes Instttute. Los Angeles.
CalJfomia. June 21-23. 1965. p. 262-281.
193]
LEADON B. M. et SCOTT C. J. Transpiration Cooling Expel1ments in a Turbulent
Boundary Layer at M = 3. Journal of the Aeronautlcal Sdences. Aug. 1956. vol. 23. p.
798-799.
194]
LEADON B. M. et &COn C. J. Measurement of Recove!)' Factors and Heat Transfer
Coefficient with Transpiration Cooling in a Turbulent Boundary Layer at M = 3. 0
Using Air and Helium as Coolants. Univ. of Minnesota. 1956. 21p. Rosemount
Aero. Lab. Rep. n° 126.
195]
WEINBAUM S. and WHEEl.ER B. L. Heat Transfer in Sweat Cooled Porous Metals.
Journal ofApplied Phystes. 1949. vol. 20. p. 113.
196]
RANNIE W. D. A Simpl1fied Theo!)' of Porous Wall Cooling. Jet Propulsion Lab.
CalJf. Inst. ofTechn. 24 Nov. 1947. 102 p. Progress Report. n 0 4-50.
197]
TURCOTTE D. L. A Sublayer Theo!)' of Fluid Injection Into the Incompressible
Turbulent Boundary Layer. Journal of the Aerospaœ Sciences. 1960 vol. 15. p. 675-
678.
198]
GROOTENBlJIS, P. The Mecantsm and Application of Effusion Cooling. J.ofthe
Royal Aeronautical Society. 1959. vol. 63. n° 578. p. 73-89.
199]
OBERTB B. Methods of Space 'li"avel. Munchen : Oldenburg. 1929. 22 p.
1100]
GODDARD R. B. U. S. Patent 2. 183.313. 1938.
(101]
MEYER-HARTWIG F. The Cooling of Highly Loaded Surfaces by a Coolant Forced
Through the Pores of the Material. Volkenrode Translation L. F. 3. F. B. 1940. p.
254-256.
1102]
SKOGUJNG V. G. US Patent 2.354. 151. 1942.
(103]
EISENIŒN P. GROOTENHUIS P. and ZIEBLAND B. Transpiration Cool1ng.
Chemical Engineering Practice. Butterworth ScientJfic Publication•. 1956. vol. 2. p.
609.
(104]
DUWEZ P. and WHEELER, B. L. Expérimental Study of Cooling by Injection of a
Fluid Through a Porous Matériel. J. ofAeronautlcal Sciences. 1948. vol. 15. n 0 9. p.
509-522.
1105]
FRIEDMAN, J. A Theoritical and Expél1mental Investigation of Rocket Motor
Sweat Cooling. J. ofAmertcan Rocket Society. 1949. vol. 79. p. 147-154.
(106]
GROOTENBlJIS, P. et MOORE, N. P. W. Sorne Observation on the Mechanism of
Sweat Cooling. Prooc. of the VIllnt. Congr. Appt Mech. London 1948. vol. 3. p. 106-
119.
1107]
JACOB M. and FIELDBOUSE 1. B. Cooling by Forcing a Fluid Trough a Porous Plate
in Contact with a Hot Gas Stream. Proc. Second Symposium Heat Transfer and
FlutdMechanics. Berkley. Califomia. June 1949. ASME. p. 191-200.
1108]
BAYLEY, F. J. Air Cool1ng Methods for Gas Turbine Combustion System.
Aeronautical Research Counctl Current Pap. 1953. 90 p. Report nOR-lOI.
(109]
DUNCOMBE E. An Expel1mental Investigation of Protection Achieved by Sweat
Cooling on Porous Surfaces Adjacent to Non-Porous Surfaces. Natinal Research
CouncUofCanada. 1951. p. 25-80. ReportM. T20.

---

185
(110)
BRUNK, W. E. Experimental Investigation of Transpiration Cooltng for a Turbulent
Boundary Layer in SubsonJc Fow Ustng a Air as Coolant. NACA. Tech. Note 4091.
1957. 156p.
(Ill)
DONOUGBE P. L. and DIAGULAA. J. Exploration Engtne Tests of Transpiration-
Cooled Turbine-Rotor Blade With Wlre-Cloth ShelI. NACA. R M. E. 53. K. 27. 1959.
98p.
(112)
ROMANENKO. P. N•• JŒARCBENKO, V. N. et SEMENOV, YU. P Influence of Coolant
Supply on Heat Transfer and Friction in a Turbulent Boundary Layer. Inzh. Ftz.
Zh.. 1965. voL 9. n06. p. 816-833.
(113)
BOLLMAN J. P. Heat Transfer. New-York : Mac Graw Hill Book Company. 1976.
530p.
(114)
YUAN, S. W. A Theoretical Investigation of the Temperature Field in the Lamtnar
Boundary Layer on a Porous Flat Plate With Fluid. Injection. U. S. N. Project SQum
(PolytechnJc Institute of Brooklyn). Sep. 1947. p.95-105. Techn1cal Report n04.
(115)
GINZBURG L P. KOCBER'YZIINIKOV G. C. The Mechantsm of Turbulent Flow. Report
of the Second AlI-UnJon Conference on Heat and Mass Transfer. Minsk. 1964. 25 p.
(116)
JEROMIN L. O. F. The Status ofResearch in Turbulent Boundary LayerWith Fluid
Injection. Oxford: Pergamon Press. Progrees in Aeronautical Sciences. 1971. vol.
10. p. 65-189.
(117)
ECKERT, E. R. G., DRAKE8, A., ROBERT. J. R. Heat and Mass Transfer. New York:
Mc Graw Hill Book Company. 1959. second Edition. p. 248-253.
(118)
DORRANCE, W. B. et DORE. F. J. The Effect ofMass Transfer on the CompresSible
Turbulent Boundary-Layer Sktn Friction and Heat Transfer. J. of the Aeronautteal
Sciences. Apr1l1955. vol. 21. n06. p 404-410.
(119]
REEIN, A. D. Velocity and Friction Stress Distribution in the Turbulent Boundary
Layer on a Porous Plate. Inzh. FIz. Zh.. 1976. vol. 30. n06. p. 1009-1016.
(120)
SIMPSON R. L. Characteristics of Turbulent Boundary Layer at Low Reynolds
Numbers With and Without Transpiration. J. Ftutd Mech. 1970. vol. 42. part 4. p.
769-802.
(121)
LAPIN Y. V. Mass-Heat Transfer in Turbulent Boundary Layer Compressible Flow
With the Addition of Foreign Matertal. Soviet Phystcs- Techntcal Phystcs 1962.
voL 6. n011. p. 1017-1024.
(122)
ANDREWS G. E. , ASERE A. A., MKPADI M. C. and TlRMABI A. Transpiration
Cooling : Contribution of Film Cooling to the Overall Cooling Effectiveness.
Intematinal Journal of1ùTbo and Jet Engtnes~ 1986. vol. 3. p. 245-256.
(123)
TURCOTTE D. L. ViSCous Flow Round a Sphere at Low Reynolds Numbers «40).
Proceedings oft1le Royal Society ofLondiJn. Series A. 1959. vol. 249. p. 346-451.
(124]
WILSON D. J. , GOLDSTEIN R. J. Effect of Film Cooltng Injection on Downstream
Heat Transfer Coefficients in High Speed Flow. J. of Reat Transfer. 1973. vol. 95. p.
505-509.
(125)
BERRING. H. J. A Method of Predicttng the Behavtors of a Turbulent Boundary
Layer With DiSCrete Transpiration Jets. J. Engng Power. 1975. vol. 97. n02. p. 214-
224.
(126)
MENTHE P •• MICHEL R., et CARRJERE P. Calcul des Couches Urnites Turbulentes
par une Méthode des Différences Finies. Parts. ONERA 1972. 38 p. NT 13/2334 AN.

---

186
1127]
DRAKE R. M. Jr•• Heat and Mass Transfer . New-York: Mac-Graw Hill Book. 1959.
252p.
1128]
EClŒRT. E. R. G•• SUlVey of Boundary Layer Heat Transfer at High Velodties and
High Temperatures. WADC- 1960.28 p. Technical Report: 59-624.
(129]
MICHEL R. Couches lJm1tes Frottement et Transfert de Chaleur. Parts : Ecole
Nationale Supérieure de l'Aéronautique et de l'Espace. 1972. 502 p. B. D. T. n03/75

---