if1Sl'
St'IE [E .,. ft'
E
N'd'ordre: 149
THÈSE
présenté à
LA FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DE L'UNIVERSITÉ D'ABIDJAN
pour obtenir le grade de
DOCfEUR D'ÉTAT ES-SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES
OPTION: ANALYSE
par
KOUAKonln
---:','-;!:.:.i.:,,:::: :·::.·:)-;:('U.i-(' ii':::,,{\\,::::::::::::,::\\:-
::<':":."':::':'::.'.'.Y:".:"':::::::."::i:ii:::'<:" ••••••':: ",._._ _ __ _ -:,' ~'.>}:}::« ..,:._,,';.')}'«i<,-'};n««:::c:·\\:«<:<;:",.-:«::{,:••,,:,,{·,<,.-.-:,i:.':/:::".'I';Fx.::
SIMILARITE ENTRE QUOTIENTS
D'IDÉAUX FERMÉS D'ALGÈBRES
DE FONCTIONS ANALYTIQUES
Soutenu le 23 mat 1991 devant la Commission d'exarnen
Président :
M. BA DOUDAKAR, Professeur - Université d'Abidjan
Examinateurs:
M. ESIERLE JEAN, Professeur- Université Bordeaux 1
M. TQURE SALIOU. Professeur - Université d'Abidjan
M. SANGARE DAOUDA, Professeur - Université d'Abidjan
M, EMILION RICHARD, MaUre de Conférences - UIl{oersl{é d'Ablctlan
CENTRE REPROORN'HIOUE DE l'ENSEIGNEI.lENT $UF'â'\\IEuR •REPllOOUCTION INTERDITE

---

A
TOUS
LES
t1IENS
(aux morts et aux vivants)

---

1960. rnèmotre de DE.A: 21 Juin 1962, rnsse de Doctnret 3' cqcts : 23 mei
1991. Thèse de Doctor~t d'Etel. Ces trois etapes de me vie de jeune
chercheur se sont déroulées sous re vigilônte et compétente direction du
Professeur Jeen Esterle. se constante disponibilité, ses conseils evtsës et
ses ancoureqements m'ont été d'un précteux secours cens re rëeusenon de
tous mes treveux de recherche. J'el pu epprècï er eu fil des ennèes son goût
pour le recherche et se Quête tncassents du treven rigoureux et bien tatt
Aujourd'hui, bravent te ntstenca et le sêperetton (fusse-t-elle brèva)
d'avec les siens, il foule pour te première fois le sol ivoirien pour rn'eppor-
ter son soutien et perttctper eu jury. Pour tout cele et pour le grende
ômltié qu'il me témoigne depuis plus de dix ens, je suis heureux et fier de
lui exprimer me recometssence et mes vifs et sincères remerciements.
Akwôba en COte d'IvoIre très cher Professeur Jeôn Esterle.
Après ma maîtrise, c'est le Professeur Touré seuou qui m'ô consel11é
de me diriger vers Bordeaux en Novembre 1976 pour le 3' cycle en me
recommandant au Professeur Henri Hogbé N'lend. A mon retour d'année
seoneucue en Octobre 1990, il ô eccepta sens hèsltatlon de Co-diriger ce
treveu malgré ses nombreuses occupations. Aujourd'hui, Il a dû écourter
une mission d'enseignement eu Nlgériô pour être présent li ce Jury. Je n'ôl
nul besoin d'Insister sur l'ôdmlration que j'éprouve pour vous, Monsieur
Touré, encore moins sur le symbole Que vous représentez pour de nombreux
jeunes metnëmettctsns Ivoiriens. Pour tout ce Que vous rn'evsz epportë et
continuerez, j'en suis sûr, de m'epporter, je vous exprime de tout coeur me
profonde grôtitude.
Môlgré le délôl reienvement court, le Professeur se Boubôkôr ô
ecceptë sans nèstteuon de présider ce jury. qu'il soit cMleureusement

---

remercié pour l'insigne honneur qu'il me fait et pour le grand intérêt qu'il
porte li mon treve: L
C'est pour moi un réel plaisir et une grande joie de compter au
nombre des memeres de ce jury, Messieurs sanga ré üeouoe et Emilion
Richard. Le Professeur sangaré a également écourté une mission d'ensei-
gnement au Nigéria pour pouvoir participer au Jury. Quant li Monsieur
Emilion Richard, ses remarques aussi Olen sur la forme que sur le fond
m'ont été trés utiles. Le grand Intérêt que vous avez, l'un et l'autre
manifesté, pour ce travail me va droit au coeur et je vous en suis
infiniment reconnaissant.
L'U.F.R de Mathémattques et lntormettque de Bordeaux [ m'a eccuetnt
et a tout mis li ma disposition pour mes recherches. J'adresse donc mes
vifs remerciements aux autorités edmtntstrettves de Bordeaux J, au groupe
de travail dirigé par J. Esterle et B. Chevreau, au personnel non enseignant
et li tous les collègues au milieu de qui je ne me suis pas sentt étranger.
Mes remerciements vont li présent au Chef du Département de
rtetnèmettquss (lui qui n'a ménagé ni son temps ni ses efforts pour la prise
en charge du voyage et du séjour de mon directeur de thèse). Je suis très
sensible li l'aide matérielle et financière que m'a apportée le dèpartement
de Maths. Tous les collègues, aussi bien ceux du département que ceux de
l'IRMA (en particulier üesqutth Etienne et Koneté Lamine) et tout le
personnel non enseignant, m'ont apporté leur soutien moral et leur
concours li divers titres. Que chacun trouve ici l'expression de mes
sincères remerci ements.

---

Mes deux années d'absence ont été une dure épreuve pour la famille.
Seuls le courage et l'esprit de sacrifice de mon épouse nous ont permis de
faire face
te situation. Si ce travail arrive eujourc'nui à son terme, c'est
è
en partie grâce à elle. Merci Monique chérie pour tant d'amour et
d'abnégation.
Je remercie également ma maman pour tout le sacrifice qu'elle a dû
consentir. Son omour et sa confiance ne m'ont [emets rett défaut. Elle 0 su
rester patiente, n'écoutant que son coeur de mère et non pas les racontars
de tous genres. Puisse le Seigneur lui en savoir gré! Je n'oublie pas tous
les autres membres de ma famille, mes beaux-parents et tous les amis de
Côte d'Ivoire et de France qui, par leur confiance sans cesse renouvelée et
leur soutien moral. m'ont aidé à tenir debout aux heures de découragement
et o'ebenuon. Je pense spécialement
te famille Boursier dont l'hospitalité
è
et tous les gestes simples mais combien sincéres restent à jemets gravés
dans ma mémoire, ainsi qu'à Mme Suzanne Averseng qui porte à ma famille
et à moi-même une trés grande affection. Ala communauté catholique de la
Palllère à Bordeaux et à tous ceux qui ont maintenu le contact avec moi par
leurs lettres ou leurs appels téléphoniques quand j'étais en France Je dis
simplement mais sicèrement merci.

---

Chant: rroover dans m« vie 18prësence
RefraIn:
TROUVER DANS MA VIE TA PRESENCE
TENIR UNE LAMPE ALLUMEE
CHOISIR AVEC TOI LA CONFIANCE
AIMER ET SE SAVOIR AIME
(GuGlets:
Croiser ton regard dans le doute
Brûler il l'écho de ta voix
Rester pour le pain de la route
Savoir reconnaître ton pas
Brûler Quand le feu devient cendre
Partir vers calut Qui attend
Choisir de donner sans reprendre
Fêter le retour de l'enfant
Ouvrir Quand tu frappes il la porte
Briser les verrous de la peur
Savoir tout ce Que tu m'apportes
Rester et devenir veilleur.

---

TABLE DES MATIERES
Introduction
0.1
Références
0.4
Chaoltre 1: Rappel de quelques notions et résultats utilisés dans
la suite
Unité approchée bornée
1. 1
FonctIon tntér1eure, fonctIon sIngulière, rencnen eKtèr1eure,
produtt de Blaschke
1.3
Algèbre du dtsqus, Q(Dl
1.4
IdéauK fermés de A+
1.6
Ensemble de Synthèse, ronctten vér1f1ant la synthèse
1.7
Ensemble de rësotutton, ensemble de Helson
1.6
Ensemble de Kronecker, ensemble de Dlr1chlet, ensemble de certeson,
ensemble de type ZA+ et ensemble de type AA+
1.9
Ensemble de multtpltcttê, ensemble d'unicité
1.10
SImilarité entre algèbres de Banach cemmutenves
1.13
s-hemcmorptnsme
1. 14
Références
1.16
ChaDltre Il : Un exemple d'algèbre de Banach cemmutettve radIcale
Il unité approchée bDmée sans multIplicateur non trtvteï
Introduction
n.l
2 L'algébre de Banach mlA
n.2
3 L'algèbre de Banach m'AIS
n.5
4 Caractèrtsatton des multiplicateurs de m\\A/S
U.7
5 BIbliographie
II.12
Chapitre W : Slmllarttê entre l'algébre de Volterra et un
quattent d'BIgèbre uniforme
Abstract
UI.O
§I Introduction
ml

---

§ Il PréllminBires
1ll.2
§ III Simil enté entre V et W
IIlA
§Iv srmnerttë et compecttà de le multlpl1cBtlon per un élément
Ill.?
Références
IlI.6
ChaoUre IY : Similarité entre certains quotients de A+ et
des quotients d'algèbres unUormes
AbstrBct
IV.O
1 Introduction
IV.I
Il Un râsultet de stmnerttê
IV.3
Références
IV.13
Chaoltre Y: SImilarité entre quotients d'Idéaux fennh
de O(D) et de A+
AbstrBct
V.l
1 Introduction
V.l
Il Prél1mlnBlres
v.s
+
III stmnerttë entre 10(E)/1 et 'l1l.EI/oc
V.6
Références
V.21
Chapltre YI : Similarité entre Quotients d'Idflaux fennfl8 de O(D)
Introduction
V!. 1
Références
VI.6
Chaoitre VII : Structure de 1+(E)/1 pour certains fennés E du cercle
unltfl ne vflrUllInt pliS III synthèse
1ntroduct ion
VI!.1
Références
VI!.6

---

0.1
Ce treveü comporte sept perties trellent essentiellement de thèmes
reievent de l 'Ane1yse Fonctionnelle.
Le première pertie est un chepitre d'exposllion où nous reppelons des
notions, des définllions et des résultets qUI nous seront utiles dens le
suite. Il sere question, entre eutres, de !?l(D), l'elgèbre du disque unité
usuelle, A+, le sous-elgèbre de !?l(D) formée des fonctions eyant une série
de Taylor absolument convergente, A(r), l'elgèbre des fonctions f continues
A
sur le cercle unllé r et telles que
L 1f (n)1 ( +00 et Aoo, l'algèbre de
nEZ
Fréchet des fonctions f e !?l(D) telles que f(n) e !?l(D) pour tout n~ 1. Nous
rappelons également les notions de synthèse spectrale pour les elgèbres
régulières et de similerllé entre algèbres de Benech cornmutettves.
Le deuxième pertie est un erticle peru en 1985 où nous construisions
une algèbre de 8enach commutettva redtcela il unllé epprochée bornée
(u.e.b) A dont l'ensemble des multipliceteurs (noté M(A» est réduit il
A allIe, résolvent ainsi un problème posé par A. M. Sincleir en 1982 [3].
Plus précisément, soit F la fonction intérieure définie sur 0\\ {I} per
F(z) = exp((z+ il/(z-1). Soit 'l1I., l'idéel fermé de eu» formé des fonctions
f e !?l(D) nulles en 1 et soit 1+(1) l'idéel fermé de A+ formé des fonctions
nulles en 1. On pose:
a= F.'l1I., et 1=an1+( 1).
Nous montrons que l'ensemble des multipliceteurs de 1+( 1) Il s'identifie il
A+Il qui est isomorphe il (I+( i) 1 Il al Ile
Dens les eutres perttes. nous treitons la stmuerttè entre quotients
d'idéeux fermés d'elgèbres de fonctions enelytlques. Ce problème e donné
lieu il trois erticles eccept ès ou soumis il publicetion (chep.IlI,IV et vl

---

La notion de similarité entre algèbres de senecn commutatives est
due il J. Esterle Qui l'a Introduite en 19ô 1 au cours de son étude du problème
de l'exIstence d'une algèbre topologiquement simple [1]
SI deux algèbres de ôanach commutatives li u.e.b sont similaires,
alors 11 existe une bijection entre leurs ensembles d'Idéaux fermés et leurs
algèbres de cuestmultfpttcetaurs
réguliers
sont
Isomorphes [1]
Le
résultat prlnclpel de [1] est Que si A est une algèbre de Benach
commutative rectcale 0 u.e.b, le spectre de Gelfand de QM r(A), l'algèbre
pseudo-Banach des quastmulttpltcetsurs régulIers de A, est un compact Qui
s'envole continûment sur le spectre de Hoo, l'algèbre des fonctions
hOlomorphes bornées sur D.
Il est évident Que J!I, l'ensemble des suites complexes x = (~i)i telles
Que Il x Il =L I~il soit finie. est similaire li
, .1
et il est fecile de voir Que
BV" l'algèbre des suites il vertetion bornée
tendant vers 0, et C, sont similaires. ners Jusqu'ici on avait peu d'exemples
concrets non triviaux d'algèbres de Banach commutatives similaires.
Dans le troisième chapitre, nous montrons Que l'algèbre de Volterra
L~(O,1) des (classes de) fonctions complexas absolument intégrables sur
[0, 1] ast similaire il A, 1 e-zA, oû A, est l'algèbre des fonctions continues
sur le demi plan droit fermé H, anelytiQues sur H et tendent vers 0 à
l'infini. On en déduit Que la multiplication par tout élément de A. 1 e-zA.
est une application compacte.
Les chapitres IV et V sont consecrès li l'étude de la similarité entre
algèbres Quotients d'idéaux fermés de 1)(0) et de A". Les noteuons étant
les mêmes Qu'au cnepttre Il, nous établissons au chapitre IV Que Th 1 ~ et
1
( ( 1) ;
1 sont similaires Ce résultat (QUi correspond au cas Za = t = 1)
s'étend trivialement, qrêca à un rësuttet de lPKahane [2], au cas général

---

où 1 est un idéal fermé de A+ tel que h(I) = {Z E D ((z) = 0 v f E I} soit
rèduit
{zel evec II·I"!. puisqu'alors 1= j n A+ où j - Ft Z 1I,z
(t >0)
è
1
U
, 0
0
z+zo
où
1Jl.z = {fECl(D). ((Zo) = o} et
Ft Z (z) = exp(t z-z ), (z"'zo)· On a
o
' 0
0
la similarité entre
1Jl.
1 j
et
1+(Zo) Il où 1+(Zo) = [r E A+. f(zo)=O }.
zo
On voit donc que l'algèbre quotient 1+(1) Il qui, d'après le chapitre Il,
n'a pas de multiplicateur non trivial, a en fait (conformément au résultat
ebstrett de [1] reppelé plus haut) neeucoup de quasimultiplicateurs
réguliers puisque son algè~re de questmutttpltcetsurs réguliers s'ident1fie
il celle de 1Jl.,1 e(z+l)/(z-I),1Jl. 1. Or les multiplicateurs de
1Jl.1 1 e(z+1)/(z-I).1Jl.1
contiennent en particulier toutes les fonctions
holomorphes sur D, continues et bornées sur il \\ (O.
Dans le chapitre v. per une méthode différente largement basée sur
les estimations de Taylor-Williams [4J et (5), nous améliorons beaucoup
le résultat du chapitre IV. Si E est un sous-ensemble fermé de terieson du
•
cercle unité, nous désignons parI'J(E) l'adhérence dans A+ de l'ensemble des
fonctions f E A"" nulles evec toutes leurs dérIvées sur E. Si 1 est un Idéal
fermé de A+, on note 1"" l'idéal fermé de Cl(D) engendré per t. Nous montrons
+
d'abord que si h([) n r c E, alors 1contient tous les pronutts f.g où f E 10tEi
+
et q Er"" n A+ Si de plus, {O}"' 1C 10(E), si hO) n r = E et si h(I) satisfait
"'
.
+
il une condition métrique convenable, nous montrons que lotE) 1 1 est
similaire à 1Jl.E 1 1"" où 1Jl.E" {f E Cl(D). f .. 0 sur E}.
Les deux derniers chapitres ont été motivés par la question suivante.
SI E est un ensemble de ceneson ne vërtrtent pas la synthèse et si 1 est un
+
idéal fermé de A+ strictement contenu dans lo(E) tel que h([) n r = E,
peut-on avoir stmtlerttè entre [+(E) Ir et un quotient d'Idéaux fermés de
Cl(D), ou plus précisément (puisqu'on n'est pas sûr Que r+(E) 1 1 possède des

---

idéaux principaux denses) peut-on avoir une "similarité affaiblie", c'est-Il-
dire, deux Ideaux fermés L et H de Q(01, L ~ H, une algébre de Banach JSJ et
deux homomorphismes tnjecurs continus
~: JSJ --+ j+(E) / 1
et
<li: JSJ --+ H / L où ~(JSJ) et <lie$)) sont des Idéaux denses? La question
reste ouverte. Néanmoins, nos tentatives infructueuses pour résoudre le
oromème posé ont abouti il des résultats d'un certain intérêt sur les
quotients d'Idéaux fermés de Q(O) et de A-.
Au chapitre VI. nous caractérisons les idéaux H et L de Q(D) avec
L C H,
tels que H / L possède des Idéaux principaux denses, et nous
montrons que dans ce cas H / L est similaire il ME / 52MF où E = h(H) n r.
F =h(L) n r et où 52 est le quotient des facteurs intérieurs de L et If.
Au chapitre VII, on s'Intéresse eu quotient I+(E) / 1 quand E est un
sous-ensemble fermé du Cantor trtedtque C qui n'est pes de synthèse. Nous
+
+
montrons pour une large
classe
d'Idéaux
1 ~ lo(E) de A
que la
multiplication par les éléments de I+(E) / 1 est compacte quand on la
+
restreint il 10(E] / 1 Nous retsons égolement apparaître une propriété
l
+
curieuse de l'algèbre quotient B = l+eE) /1. On a B =H $ H
où If = 10(E) / 1
est un idéal de B qui possède une u.e.o, et Hl son orthogonal. Le fait que E
ne vèrifie pas la synthèse se traduit alors par le fait que Hl .. (Ol.
REFERENCES
[1] J. E5TERLE: "Quosimultipliers, representations of Hoo and the
closen ideal problem for commutative Banach a\\gebras".
5pringer Lect. Notes 975 el 983) 66-162.

---

[2]
jp KAHANE "Idéaux prtmetrss fermés dans certaines algèbres de
Banach de fonctions analytiques". Springer Lect Notes
336 (1973) 5-14
[3]
A.M. SINCLAIR: "Continuous sem/groups in Banach algebras". London
Math. Soc. Lect Notes Ser. 63 (19B2)
[4]
BA TAVLOR, Dl WILLlAMSïdeals ln rings 01 analytic lunctlons wlth
smooth boundary values". cen J. Math. Vol XXlI n'6
(1970) 1266-1263.
[5]
BA TAVLOR, Dl WILLIAMS: ·Zeros 01 LIpschitz runcuons an61ytlc ln
the un1t dl sc". Michigan Math.J. 16 (197]) 129-139.

---

Chllpitre 1
RlIppel de quelques notions et rêsuttata utilisés dllns III suite.

---

CHAPITRE DUPOSIT ION
Dans ce premier chapitre nous r-assemblons quelques nottons et
résultats qui seront utilisés dons les outres parties.
Définition 1 : Soit A une algébre de Banach cornrnutettve On dit que A
possède une unité approchée bornée (u.e.b) s'il existe k ) 0 tel que pour
toute famille a, .....op d'éléments de A, il existe une suite (e"ln d'éléments de
A Yérifiontll e,1I ~ k pour tout n et Il Olen -0,11
) 0 'V i = 1,.....p.
n-+oo
Le résultat suivent dû il M. Altman [1] montre qu'il suffit d'evotr une
telle suite pour toute famille de A réduite il un point.
Proposition 2 : Supposons que A contienne un ensemble borné U
tel que pour x E A et t > 0 donnés, il existe t E U tel que Il x-tx Il
( e. Alors A possède une unité Dpprochée bornée.
Preuve: [3, P. SB]
Définition 3: a) Soit A une algèbre de Banach cornmutettve evec ou sans
unité. On appelle radical de A, noté RodA, l'ensemble
RadA ={ x E A / x(x) = 0 pour tout cerectèrs x de A }
= {xEA/limllxnU I/n=o}
n
b) On dit que A est radicale si RadA = A
c) A est dite semtstrnpts si RodA = {o}.
Définition 4: Soit A une algébre de Banach cornmutettva. Un dlYi seur de
zéro absolu (c.z.e) de A est un élément x E A tel que xA = [c], c'est-il-dire
xe = 0 pour tout a E A. L'ensemble de tous les civtseurs de zéro absolus de
A, noté da(A), est éYldemment un idéal fermé de A contenu dans RadA.

---

Définition 5
Soit A une algèbre de Banach commutettvs telle que da(A) = {o}. Un
multiplicateur de A est une application T • A -> A telle que (Tx)y = x(Ty),
x,y E A. On note M(A) l'ensemble de tous les multiplicateurs de A.
Définition li: Soit D le disque unité ouvert { Z E III Izi <I} On désigne
par lIHD) l'ensemble des fonctions nolomorpnes dans O. Soit f E 111(0). On
défi nit pour tout 0 ~ r < l, les fonctions Mp' 0 ~ p ~ +00 comme suit :
n
I8
MoU; r) = exp] 2~ _! log' If(re )1ne}
n
{ I
f
. P }'/p
Mp(f ; r) =
2n
If(re'8)1 dB
,0 <p <+00
-n
Moo(f ; r) = Sup 1f(r ei8)1
B
Les fonctions Mp sont monotones croissantes en r dons [0, I[ [20, P 31B]
Pour tout f E HW) et pour 0 \\ r \\ 00
on pose
Il f IIp = 1im Mp(f; r)
r~1
On note N la classe des fonctions f E IIIW) telles que i f " < +00.
0
L'ensemDle de toutes les fonctions f E 111(0) telles que Il f "p<+00, 0 <p ~ +00,
se note HP On a Hoo C HP C HS C N si 0 <s <p <+00.
Pour 1 ~ P \\ +00, HP est un espace de Banach.
Un résultat Important de Fatou [20, P 227J montre que les limites radiales
um
((rei8) existent resque partout pour f E N. On pose alors
r->1
f*(ei8) =Iim
f(rei 8)
r->1
et la fonction f* définie presque partout, est mesurable.

---

DéfInItion 7 [12] • e) Une fonction intérieure est une fonction 9 e 11(0)
telle Que Ig(z)1 ~ l 'i Z e 0 et Ig*(e'9)\\ = 1 pp sur le cercle unité r.
0) Une fonction singUlière est une fonction Intérieure sens zéro Qui
est positive il l'origine.
cl Une fonction extérieure est une fonction F e 1HW) de le forme
n
I
Jele ,
{
7
}
F(Z) = xexp
2n
e
où k est une fonction intégreOle il
ie _-z k(e)de
-n
valeurs réelles sur f et ~ un nombra complexe de module 1.
Les fonctions singulières 5 sont de le forme
-1
5(z) =exp { zn
-n
où u est une mesure slnguliére positive
Théorème 6 : Soit F
une fonction non nulle dons HI. les
conditIons sutvantes sont équlvolentes •
(1) F est une fonction extérieure.
(Il) st r eH 1 est telle que If·1 = IF·' p.p sur r', etors
IF(z)1 ~ l((z)1 v z e D.
1
n
'e
(1Il) log 1F(o) 1= 2n J logIF·(e1 )1 de.
-n
Preuve [12, P. 62).
DeflnHlon 9 : Un prccutt de Bleschke est une fonction enelytiQue B de le
00
~
oc
-7
P
forme B(z) =zP Il (,n-I ,_~ ") n
où
n= 1 iiXn
l
.:-ocn
(1) p, PI' "".'" Pn, .,," sont des entiers non nèqetits.
(l') Les "'n sont des éléments ctsttncts non nuls du disque unité ouvert.
(Iii) Le produit rr l'''nl Pn est convergent
n=1

---

Théorème 10:
Le produit de Bloschke B cl-dessus dèflnl est
uniformément convergent sur les sous-ensembles compocts du
dIsque et les zéros de B sont un zéro d'ordre p Il l'orIgIne et un
zéro d'ordre Pn en z = ... n .
Théorème l' (de factorisation) : Soit f une fonction non nulle dons
HI. Alors f se foctorlse de monlère untuue sous 10 forme f =B.S.F
où B est un produIt de Bloschke, S une fonctIon sIngulière et F
une fonction extérIeure (dons HI).
Preuve [12,P.67].
NouS Introduisons maintenant Cl(D) l'algèbre du disque unité usuelle
formée des fonctions continues sur le disque unité fermé Det analytiques
sur le disque unité ouvert O. On la munit de la norme ntn,. = SUD
1 f(z) 1.
1z1=1
Selon le point de vue choisi, Cl(D) peut (entre outres) être décrite soit
comme la fermeture uniforme des polynômes p(Z), soit, si l'on Identltfe
choque fonction de Cl(D) il ses voleurs aux bords, comme l'ensemble des
fonctions continues sur le cercle unité r dont les coefficients de Fourier'
s'annulent sur les entiers négatifs.
Si E est un fermé du cercle umts, on pose mE = {f E Cl(D): f" 0 sur E}.
Il est bien connu que mE '" {o} si et seulement si E est de mesure de
Lebesgue nulle
La structure des Idéaux fermés de Cl(D) est bien connue. Une complète
description est donnée par le théorème de Beurllng-Rudin [12].

---

Théoréme 12 : Soit 1 un idéel fermé de 0.(0) , soit SI le pgcd des
recteurs IntérIeurs des éléments non nuls de 1 et soit
nü) =[z e D : 1(z) =0 (f e Il}.
Alors
1 = 'l1I.(h(I) n rJ n SI·H " = SI·'l1I.(h(I) n n.
RécIproquement si E est un fermé du cercle de mesure de
Lebesgue nulle et 5 une fonction Intérieure -Il support dens EO eu
sens du cnepttra v, elors 1 = S.'l1I.E YérHie 5 =
1
S, nü) n r = E.
Preuye : [12, P.B:>].
On note Mr) l'olgèbre de Wiener des fonctions f continues sur r
'<:"
'
,
zn
il
-;nt
telles que"" 1 f(n)l< +.. , où f(n) =(1/2n) 1 f(e ) e
dt, n e z. est le
neZ
0
n', coefficient de Fourier de r MUnle de 10 norme ut Dl = l: 1 Î(nll et du
neZ
produit ponctuel, Mr) est une elqànrs de senecn commuteuve, unttetrs,
sermstmple et règulière (votr dèflnllion 15).
On dèslgne Der A+ le sous-olgèbre de Q(D) formèe des fonctions
eyont une sèrie de Toylor eosotument convergente rcenunent les fonctions
de A+ è leur restriction ou cercle umtê, on e elors Isométriquement
+ ,
+
A ={fe A(r) 1 f(n) =0, n < o }, c'est-à-dire A =A(r) n QWl
L'el gèbre A+ s'l dentifi e neture11 ement ou duol de Co' l 'ensembl e des suites
complexes tendent vars 0, le duolité étont donnée per le formule
œ
"=:' ...
+
+
c u . f > = L.. f(n)u. pour u =(un)nl a e Co et pour f e A . Ceci Induit sur A
n=o
10 topologie foible cr(A + , Co), notée w*. te restriction de cette topologie
oux bornés de A+
est métrlsoble. On peut donc extreire de toute sulle

---

]. ..)
bornée d'éléments de A+ une sous suite qtn est w'-convergente.
On connetsselt melles idéeux fermés de A+, seur cens le ces où
h(I) = { 2 E 0 / ((z) = 0 '1 f El} est flm ( Kehene [13J) ou cènomoreme
(Bennett et Gilbert [2J) Ces dermers eveient conjecturé que si h(j) n r est
de synthèse (défimtlOn 13) alors r =100 n A+ où 100 est l'ldéal fe,-mé de
i?J.(O) engendré per 1et que l'on e en générel 1= roo n lA où lA est l'ldéel fermé
de A(r) engendré perl
Esterle, Strouse et Zouekie ont montré récemment cens [BJ que si la
composante perrett a de hl!) n r, notée l'(h(llnn, est contenue dans le
00
t
't:::" en
Cantor tnedtcue
ll={e1 ,t=211 L,.3n ' en=oou t},
n=l
alors on e bien' = 100 n rA, ce qui montre que r = roo n A+ si de plus h(l)nr
est de synthése. Per contre J. Esterle a montré dans un récent erticle [7J
que la conjecture de Bennett et Gilbert est fausse. Il e notemment montré
qu'il existe de nombreux Kronecker (définition 16 (1)) de Cerleson K qui
+
+
+
{ +
} +
sont tels que lolK) ~ 1 (K) où 1 (K) = f E A. / f = 0 sur K
et 'o(K) est
\\'adt,érence dans A.- de l'ensemble des fonctions de A'" nulles evsc leurs
dèrtvèas sur K, Aoo ètent défini par Aoo ={f E i?J.(D) / f(n) E i?J.(O), n fi}.
üens un travail portent sur des phénoménes liés eu théoréme de
ketznetson et Tzefriri, Esterle, Strouse et Zouekie [BJ ont montré que si T
est une contrection sur un Hilbert Het si f est une fonction de i?J.(O) nulle
sur SpT n r (où SpT désigne le spectre de Tl, alors n ((TlT' n ----> O. Ce
rl-oo
résultat permet (entre eutres) d'obtenir la cornpecttè de le multiplicetion

---

par des éléments particuliers dans certaines algèbres Quotients de Cl(D). En
ce Qui concerne A+, on a le résultat sutvent :
Théorème 13 [B] :
Soit 1 un Idéal fermé de A+ et soit Il : A+ ---+ A+/ 1
l'appltcettun canonique. Alors pour tout u ElA n A+ l'appltcatlon
r 1
•
lI(u)II(f) est une appucattun sêquant teltement conttnue
de (A ". w·) dans l'algèbre de Oanach A+/ 1. En perttcener la
muutpucattun de tout élément de (lA n A+)/ 1 est un opérateur
compact.
Preuve : [n, CMp II, §3 ]
On appelle pseudomesures sur r, les éléments du dual de A(r) noté
PM(r). Tout 5 E PM(r) est une distribution dont les coéfflclents de Fourier,
-int
A
définis par S(n) =< e
,5 >, sont bornés. Si f E A(r) et 5 E PM(r) alors
cc
<f ,5>
L
=
Î(n)s(-n)' On appelle support de 5 E PM(r), et on note suces.
n=-oo
le complémentoire du plus grond ouvert 0 sur lequel 5 s'annule, c'est-ê-
dire <l, 5> = 0 pour tout f E Mr) tel Que Suppf C O. On 0 10 définition
sui vente :
Définition 14: (j) On dit Qu'un fermé E du cercle r est un ensemble de
synthèse (ou de synthése hermcntqus. ou de synthèse spectrole) si pour
tout 5 E PM(r) tel que SuppS C E et tout f E A(r) tel que fii 0 sur E, on 0
-r. S:- = o.
(ii) On dit que f E Mr) vèrute la synthèse ou est de synthèse si
d. S> =0 pour tout S E PM(r) tel que supps C f- i (0)

---

(110 suivent Malllayln, on dira QU'un fermé E de r est un ensemble de
résolution, SI toute partie fermée de E est un ensemble de synthèse.
Les ensembles nnis et les fermés dénombrables sont des ensembles
de synthése pour Mn neutevtn montre nans [1 ô] Qu'il existe des fermés
de r QI;I ne sont pas de synthése.
Définition 15. Soit A une algébre de Banach On note A l'ensemble des
cerectsres de A. On dit Que A est régullére SI •
(i) A est commutal1ve semtstmple.
,
,
IIi) Pour tout X, E A et tout fermé E de A tel Que X, lE, Il existe
a E A tel Que X,(a) = 1 et xia) =0 pour tout X E E.
Définition 16: IJ) On dit QU'un fermé E de r est un ensemble de Helson
iorscue toute fonction continue sur E est la rsstrtctton B E d'une fonction
de AIr), c'est-il-dire A(E) = GIE) (où GŒl désigne l'ensemble des fonctions
conunuas sur El.
(Ii) Un fermé E de r est dit indépendant si X~' X~2
tout x" x2, .... ,x, E E et tout n" n2, ... , nk E liE tel Que (n,.... , nk);< (0, .....,0)
t'existence d'ensembles de Helson autres Que les ensembles üms
n'est pas eVldente B prion Il existe même des fermés dénombrables du
cercle r QUI ne sont pas de Helson [Iô, P 15] Mals toute réunion fiOle
d'ensembles dénombrables Indépendants de r est un ensemble de Helson
[14, P 54] Une cerecterrsauon des ensembles de Helson et des ensembles
de Helsnn de synthése est donnée per Zouakie dans [22, P 1-14, Théoréme
5-2] Il en déduit comme corollaire le théorème de veropouios. il sevoir Que
les ensemnles de Kronecker sont des ensembles de Helson de synthèse.
c
. ]
L'.?2, PI-20, ThBQreme 5-15

---

Définition 17: Soit E un sous ensemble fermé de r. On désigne par I[J(E)
l'ensemble des fonctions continues sur E telles Que Iri :1 Que l'on munit
de la topologie de la convergence uniforme sur E. On dit Que:
(1) E est un ensemble de Kronecker si les sxponenttallss
sont denses dans I[J(E).
(il) E est un ensemble de DIrichlet si 1 est valeur d'adhérence dans
I[J(E) de la suite (elntlE'n2 1
Définil10n 1B . On dit QU'un fermé E de r est un ensemble de Carleson (ou
n
.
!
!
vérifie la condition de r ertsson) si
log'
.
dt (00 où
_
dist(el t, El
dist(eit, E) : mr 1eiL~ 1
,EE
Si E est un ensemble de Carleson, il existe d'après Taylor-Williams
[21, Théorème3-3], une fonction extérieure f E Aoo nulle exactement sur E
Définition 19: Sail E un sous ensemble fermé de r.
(t) E est dit de type ZA+ s'l1 existe une fonction f non identiquement
nulle dans A+ telle Que f ;;; 0 sur E.
(Ii) suivent Kahane et Katznelson [15], E est dit de type AA+ si pour
tout f E A(f), il existe g E A+ tel Que f " g sur E.
On a les résuuets suivants dûs li Carleson [5].
Théorème 20: Tout ensemble de Carleson est de type lA ".
(Ceci
résulte
également
du
théorème
de
Taylor-Williams
mentronnê plus haut, puisque AllO(O) c A+)
Thèorème 21 : Il existe un fermé de r de mesure nulle qui n'est
pas de type lA ".

---

T. 10
-
Définition 22 : (il Un sous ensemble fermé E de r est oppelé ensemble de
multiplicité s'il existe une pseudomesure ~ .. 0 li support dons E telle que
jlïn) ------+0 .
1n1-+00
(ii) L'ensemble E est dit d'unicité s'il n'est pes de multiplicité (cals
s'interpréte en termes de séries de Fourier, voir [15]).
00
it
Pour, E ] 0 , Hon pose E, ={e , t =2;) l
En'n- 1( 1-,), En = 0 OU 1}
n=1
On soit Diors que E, est un ensemble d'unicité si et seulement si i est un
nombre de Pisot, c'est-Ii-dire, s'il existe n entiers 0,0
,0 1 tels que
o
1
n-
I
n
1
n-1
1
( ~) + On) ~ )
+
+ 0l( ~) + 00 = 0 et tels que toutes les outres
n
racines de l'équotion x
+ 0n_lxn-1
+ ... +Olx + 00 soient de
module
strictement inférieur li 1 [17, P.74, Thèorème IV]. On voit etnsi per
exemple que E
est un ensemble de multiplicité.
2/ 5
Le théorème de Wik [14. P 50] dont une nouvelle démonstrotion besèe
sur une méthode plus générole est due li A. Bemord [4]. montre que tout
ensemble de Helson E est de type AA+, c'est-Ii-dire que pour tout f E A(r),
il existe g E A+ vérifiont f " g sur E. D'outre port le théoréme de keurman-
Korner [II, P 117, Théoréme 4-6-3] montre que tout ensemble de
multiplicité E possède un sous ensemble fermé F Qui est un ensemble de
Helson de multiplIcité. On voit ems: en perttcuner que EV5 contient un
fermé S Qui est un Helson de multiplicllé.
Enfin, on vérifIe, en utilisont le crllère l
~nlog+(11 ~n) ( +00, où
n= 1
(~n)n est ID sulle des longueurs des arcs disjotnts formant le
complémentaire de E, dans r. que E, est un ensemble de Corleson pour tout
*[.
, E ] 0 .
On ressemble tous ces résultots dons le lemme suivant
<

---

Lemme 23: L'ensemble perrett symétrique Evs contient un fermé
5 possêuent les propriétés sutventes :
(il 5 est un ensemble de mutttpttcttë.
(ill 5 est un ensemble de type AA+.
(lm 5 est un ensemble de cerresnn,
On 0 alors le rèsuuet sutvent qui nous 0 été suggéré oer J. Esterle:
Théorème 24: Soit 5 un ensemble fermé de type AA+ du cercle
unité r qui est II III fois un ensemble de multiplicité et un
ensemble de Cllrleson. Soit J l'lIdhérence w* de J+(5) nens A+ où
J+(5) = J(5) n A+, J(S) étllnt l'ensemble des fonctions YérHillnt
111 synthèse pour 5. Soit
E = h(J) = {z E D 1 f(z) = 0, v f,E J}.
Alors E ., '" et pour toute mesure JI II support dans E on a
+
+
{o} ~ 1 ~ 10(E) ~ I+(E) où 1 = 10(E) n T.H'"',
T désignant III fonction intérieure définie par
n
T(z) = exp{ -
~n J e~:t +_ Zz dJl(t)}-
-n
Preuye. Comme S est un ensemble de multiplicité, il existe une pseudo
mesure v ;< 0 à support dons S telle que ven) ----->0 On soit, d'eprès [16],
Inl-+oo
que, r, V) = 0 pour tout 1 E J(S), la dualité étant donnée par la tormule
c f , v)= l
(n)v(-n)
nE:l
On a alor-s ' f, v •
pour tout 1 E l'CS). et on voit que l'CS) n'est pas w*-
0
, )
dense dans A+ Donc J C A+ Il est clair que l'application l '
, rg est
'"

---

J- 12
w"-continue sur A+ pour tout g E A+ . Donc J est un ideal de A+, et par
conséquent h(J) '" l2I.
Soit maintenant ~ E A"" une fonction extérieure nulle avec toutes
ses dérivées sur E. Alors d'après [21], ~TE A"", puisque SUPPl! C E et par
,
conséquent r '" {a}. D'autre part ~ E \\)IEJ
,
et ~ <il, donc 1 ~ rolE)
+
+
On a 1
est sans facteur intérieur toujours d'après [21]
0(5) C r(S), et 10(5)
+
Donc J est sans recteur intérieur et d'après [22, Chsp II, §2],r
:i! J
o(E)
Mais puisque S est de type AA+, E est de type AA+ et par conséquent,
d'après [22, Chop.!!, § l],r+(E) est w"- sèquentiellement dense cens A".
Comme J est w"-fermé par définition, on a J :i! r+(E) ,ce Qui achève la
preuve.
Soit r un idéal fermé de A+ et soit E: h(I) n I'. On a évidemment hUA)
: E, où r,(r A): { Z E r / f(z) : 0 ... fErA} Si E est de synthèse, on a
rA: HE) : { f E A(n / f " 0 sur E}
et
rA n /\\,+: l+(El . Par contre
si E n'est pas de syntr,ése, on sait seulement Que J(E) C lA C I(El, où J(E)
désigne les fonctions de Mn vérifiant le synthèse pour E. On obtient donc
rtE) C rA n A+ C j+(E), où J+(E): J(E) n /\\,+. Notons Que si E est un ensemble
de Corleson et si l+(E) désigne l'adhérence dans A+ de
o
00
+
'JTI, E : { f E A"" / f " 0 sur E}, on a '0(E) C J(E), puisque les fonctions
1
f E A(r) ltpschztennes d'ordre 2 verifient la synthèse [14, P. 61] Donc
+
+
A
lotE) C J+(E) et [Io(E)]
= J(El On veit ainsi. d'après le théorème 13, Que Si
n(I) n r , E, la rnul tiphcatron per tout élément de J+(E) / r est un opérateur

---

T- 13
+
compact de J+(E) / J, et Que le résultat est Il fortiori vrai pour Jo(ElI J si E
+
est un ensemble de Carlason et si J ~ Io(E).
La situation est beaucoup plus simple en ce Qui concerne Cl(D). On a
en effet le résultat suivant [B, corollaire 2-14J :
Théorème 25 : Soit 1 un idéal fermé de l'l.(D) et soit E = h(I)nr.
Alors \\0 multiplicotion par tout élément de 'IlI.E / 1 est un
opérateur compoct de 'IlI.E /1. où 'IlI.E = { f E l'l.(D) / f '" 0 sur E }.
Nous abordons Il présent la stmi leri tè entre algèbres de Banach
cornmutettves, Cette notion, suggerée par les treveux de W. Feller sur les
semigroupes non bornés d'npèreteurs linéaires bornés [10], est due Il J.
Esterle qui l'a introduite dons son étude du problème de l'existence d'une
algébre de Banach commutative topologiquement simple (a B. c. t. s), c'est-
e-mre. une olgèbre de Bonoch commutetive rediceie qui ne possède eucun
idèal fermé propre (ce problème reste ouvert).
Cette notion 0 précisément servi dons l'étude de QMr(A), l'ensemble
des questmutttpuceteurs réguliers sur A. Formellement, un questmutttpuce
teur sur A est un recteur e/b avec 0, b e A et b engendrant un un idéal
principal dense dons A.
Définition 26 [6, P 116J· Soioent A et B deux algèbres de Banach On dit
que A et B sont similoires s'il existe une algèbre de üenech J') telle que
xJ') = J'), pour un certetn xeJ'), et s'i 1 existe deux homomorphismes injectifs
continus f· J')--->A et Ij> : .19---> B tels que f(J')) soit un ldéol dense de A
et '1>(.19) un ldèal dense de B

---

J. 1 ~
Oéflnltion 21 [6, P 122]: Soient A et B deux algèbres de Banach
cornmutettves similaires et soit e un homomorphisme continu de A dans B
On dit que Il est un s-homomorphlsme s'II existe J9 , f et \\jI comme ci-
dessus tels Que le diagramme suivent soit commutatif
J9
f _ _....'A
B
On a les résultats sutvents dûs li 1. Esterle :
Lemme 2B : Soit (.19 , p) un espace de Banach, soit (A , Il . III une
olgèbre de Banach commutative et soit ,. : .19 ---+IA une
epouceuen llnéolre injective continue. Alors on a :
(j) Si ,.(.19) est un Idéol de A, Il existe t ) 0 tel que
p[,.-1 {,.(x)y}] ( tp(x)1I y Il pour tout x E .19 et tout y E A.
(H) L'application (x,y) 1
•
,.-I(,.(x),.(y» dêllnlt un produit
essoctettr sur .19, et il existe sur .19 une norme équivDlente P,
telle que
p,[,.-I(,.(x)y)] (p,(x)1I y \\1
(x E.I9, Y E A),
Il ,.(x) Il (p,(x) (x E .19), et
p,[,.-I{,.(x),.(y)}] (p,(x)p,(y)(X,YE.I9).
Preuve. [6, P 113]
PropositIon 29 : Soient A et
.19
deux algèbres
de Bonach
commuttves, et solt ,. : .19
1
A un homomorphIsme Injectif
continu tel que ,.(.19) est un Idéal dense de A. On a les proprtëtës
suivantes:

---

T·15
(1) lA C [,.(,.-'(1)]- C 1 pour tout idéol fermé 1 de A (où [u]-
désigne l'adhérence dans A d'un sous-ensemble U de A).
(2) 1 = [,.(,.-1(1)]- si A possède une u.o.b
(3) B ,._I(fD) C J C ,._I(fD)
pour tout Idèol fermé J de B.
(4) Si [xB]-= B, pour un certoln x e B, et si A possède une
u.e.n. alors
J =,.- 1(fD) pour tout Idéol fermé J de B.
(5) 51 x e B vérifie [,.(x)A]- = A, olors [x2~] -= ~, et ,.(~)
est un idéol dense de A, où ~ = [xB]-.
(6) l'ensembl e B I = { Y e A 1 ,.(d)y = {o}} est réduit Il {o } si A
possède une u.o.b.
(7) Si [xB] -= B, pour un certain xe B, alors (Oo,.)(B)oc of. {o}
pour tout oc non nul de A IB I où 0 est 10 surjection cononique
A
'A/B I.
La transitivité de la relation de similarité se déduit de la
proposlt Ion sulvante.
ProDosition 30
[6, P.116, proposition 7-5] : Soit A une algèbre
de senecn commutative et soient Al' A2•......, At une famille
finie d'algèbres de Ilonach stmnatres li A. Il existe une olgèbre
de llonoch B telle que [xB ]-= B , pour un cert atn x e B, un
homomorphisme injectif 'il : B ---. A tel que '!'(B) est un idéal
dense de A et pour i = 1,2, ......• K. un homomorphisme injectif 'il; :
B --+ Ai tel que 'il; (B) est un idéal dense de Ai' De plus on peut
définir la norme de B de telle sorte que '!' et tous les 'il1
vérifient les inégalités du lemme 211 (li).

---

51gnalons aussi le résultat suivant Qui est une consënuence de la
proposlt1on 29 et Qui donne une certaine relation entre les ensembles
d'idéaux fermés pour des algèbres de senecn similaires
Proposition 31
[6, P122, théorème 7-BJ
Soient A et B deux
elgèbres de Benech commutattvas stmnetres.
(1) SI A est topologiquement simple, et si na .. {a} pour tout b
non nul de B, alors B est toputngtauement simple.
(2) Si A et B possèdent des u.e.n, 11 existe une bijection entre
l'ensemble des idéeux fermés de A et l'ensemble des idéeux
fermés de B.
RemarQ~ 32 : On ne peut pas il priori parler de similarité quand on n'est
pes assuré de l'existence d'Idéaux prtncrpeux denses. Mals on peut
sintéresser dans ce cas il une notion légèrement plus faible
en
Introduisant la définition suivante'
DêfinltlQn 33
Deux algèbres de Banach commutatives A et B sont
faiblement similaires s'il existe une algèbre de Banach commutative liJ et
deux homomorphismes injectifs contous ~ : i:! -
A et '" : i:!---' B tels
Que ~(liJ) soit un idé~1 dense de A et '" (liJ) un idé~1 dense de B.
cens
[17, Proposlt1on IV-IJ nous ét~bllssons que si A et B sont
similaires et si la mutuoucenon par tout èlèment de A est compacte,
alors la multiplication par tout élément de B l'est eusst. NOUS concluons ce
cneottre mtroducttr par le rèsultet suivant, qui donne une vertents de cette
propn étè
E'DUlosition 34
Soient
A
et B deux
algèbres
faiblement
similaires. Si l'application a " a b est compacte sur A pour

---

pour tout b E A, alors l'applicatIon a 1
1 abcd est compacte sur
Il pour tout trtptet b. c, d d'êlêments de Il.
Preuve . Soient J9 une olgèbre de Elonoch , ~ . J9 ------. A et<jl : J9 ------. ô
deux homorphlsme tnjscuts continus tels que ~(J9) solt un Idéel dense de A
et <jI(J9) un idéol dense de ô. D'oprés le lemme 27 (i) Il existe k >0 tel Que
II~-I(~(e) b)llJ9 ~ k IlellJ9 IIbllA (e E J9, b E A) et
11<jI-' (<jI(e)b) 1 1J9 ~ k IlellJ9 Il bllô (e EJ9, b E ô)
-
Pour b E Ô on note b l'eppltcettnn a >---> ob de ô dons ô. Soient n, c, o E J9
et soit (en)n une suite bornée d'éléments de J9 On e <jI(d)en E <jI(J9) (n f 1)
puisque <jI(J9) est un Idéol de ô et on 0
1I<jI'(<jI(d)en)11 ~ kM Ildll J9 où M = sup Ilenllô
nfl
Il yi ent que
11~[<jI"(<jI(d)en]IIA ~ k M Il ~lllld 11J9'
donc le suite (un)n = ~[<jI"(<jI(d)On] est bornée dons A.
Puisque le muurcuceucn per ~(c) est un opérateur compect, on peut
sxtretrs de le suite (un)n une sous suite (un.!; telle Que
1
~(c)un.
' h
avec h E A.
1 j......cc
Putsque ~(J!)) est un Idéel de A, ~(b)h E ~(A) et on 0
Ild~(b)~(C)Un - ~(b)h]llJ9 ~ kil b 11J911~(c)un - hil A
1
1
L'eppllcetlon <jI étent continue, on obtient linelement
Il <jI[~'[~(b)~(C)Un]]- <jI[~"{~(b)h}] Ilô
' 0
1
1----+ 00
Posons ~ = <jI[f"[f(b)h]] On e

---

o'eù
Il 'l'(bCO)ôn - ~ liB
• 0
1
l~OO
-
On voit etnsi Que 'l'(bcO) est compect sur B pour tout triplet b. c, 0
O'éléments Oe B. nets l'appltcet lon u ---+ aest continue Oe B OMS 1:(6) et
l'ensemble Oes opèreteurs compacts est fermé dens 1:(6) . Comme 'l'(.I9) est
cense cens B, on en OéOuH Que I'eppltcetton s . - uvws est compacte sur
B pour tout trtutst u, v, w O'éléments Oe B, ce Qui ëtemn la proposition.
[1]
M. Altman: "Contrecteurs cens les ôlgèbres Oe eenecn.' C. R. AcôO. sei
Pôris, Sér. A. B (1972),399-400.
[2]
C. Bennett et JI. Gilbert: "Homogeneous olgebrôs on the ctrcle. l-
ldeels of onolytic functions." Ann inst. Fourier, Grenoble, 22 (3)
(1972) 1-19.
[3] F. F. Bonso1l, J. üuncen : Complete NormeO Algebrôs, sprtnger-veneq,
Berlin, HeiOel berg, New-Vork (1973).
[4]
A. sernerc: "Une cerectërtseuon Oe CCX) perm: les algèbres Oe
Bonach" C. R. AcOO. sei Paris, 267 (196e) 634-635.
[5]
L. Corleson: "Sets of untquaness for runcuons regulor ln the unit
ctrcle." Acta Math, ô7 (1952) 325-345

---

[5] J. Esterle: "üuestmulttplters, representations of Hoo and the ctosec
Ideal problem for commutative Banach algebras." spnnçer Lect
Notes 975 (19B3) 66- 162
[7] J. Esterle : "Distributions on Kronecker sets, strong torms of
uniqueness, and closed ideals of A·...
(praprtnt)
[B] J Esterle, E. 5trouse, F. Zouakia: 'Theorems of xetznetson-raernn
type for contractions" J. Funct Anal., 94 (1990) 273-2B7.
[9]
.: trosec ideals of A' and the Cantor set... (preprintl
[10]
W. Feller "On the generation of untrouncen ssmtqroups of nounded
1meer operators" Ann of Math, (2) SB (1953), 166-174.
[II]
C. C. Graham, O. C. Mc Gehee: Essays in Commutative Harmonlc
Analysls,5pringer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York, 1979.
[12]
K. Hoffman . Banach speces of Analytic runcuons, Prentice Hall,
Englewood Cllffs, New Jersey (1962)
[13]
J P. Kahane : "Idéaux primaires fermés dans certaines algèbres de
Banach de
fonctions
analytiques." Actes Table Ronde
Internationale
CNRS,
nontpeuter. 5pringer Lect Notes 336 (1973) 5-14.
[14]
: Séries de Fourier absolument convergentes, Springer-
Verlag, Berlin, Heidelberg, Naw-vork. 1970.

---

J.20
[15] J. P. Kahane, V. Katznelson: "Sur les algèbres de rsstrtcttons des
séries de Taylor absolument converqentes il un fermé du cercle."
J Anal. netn., 23 (1970) 1ô5-1 97.
[16] J P KaMne, R. Salem: Ensembles parfaits et séries
trIgonométriques, Paris, Hermann 1963.
[17] K. xcue : "Similarité entre l'algèbre de Volterra et un quot1ent
d'algèbre uniforme." Proc. Edlnburgh Math. Soc. (il paraître).
[Iô] L Â unoei. F. Poulsen: Thin sets in aermomc Analysls. Lect. Notes
ln Pure and Applled Math, Marcel Dekker, New-Vork, \\971.
[19] P. neutevtn : "Impossibilité de la synthèse spectrale sur les groupes
abéliens non compacts." Puhl. netn.rnst. Hautes Etudes SCi., (1959)
ô5-92
[20] W. Rudln: Analyse réelle et complexe, Masson et C·, Editeurs (1975).
[21] ô. A. Taylor, 0 L Williams: "Ideal on rings of an61ytlc runcuons wlth
smooth bounceru velues." Cano J. Math, XXII, W6, (1970) 1266-12ô3.
[22] F. zouekre : Idéaux fermés de A+ et L' (lt +) et propriétés
asumotottaues des contractions et des semtqroupes contractants.
Thése d'Etat, aerceeux (Juin 1990)

---

Chapitre Il
Un exemple d'algèbre de Banach commutattve radicale II unité
approchée bornée sans multiplicateur non trtvtet,
(peru il netn. scenutnevrce 56 (1965), 70-62)

---

MATH. SCAND. 56 (1985), 7Q.82
UN EXEMPLE D'ALGÈBRE DE BANACH
COMMUTATIVE RADICALE A UNITÉ
APPROCHÉE BORNÉE SANS MULTIPLICATEUR
NON TRIVIAL
KONIN KOVA
1. Introduction.
Soir A une algèbre de Banach commutative telle quefA =F {O} pour tout j'non
nul de A. Un multiplicateur de A est une application T de A dans A telle que
,
(TJ)g~J(Tg), (f,g E A). On notera M(A) l'ensemble de lous les multiplicateurs
1
de A. On déduit facilement du théorème du graphe fermé que tous les éléments
i
de M(A) sont des applications linéaires continues [11] (voir également [8J).
i
On sait ([11, Théorème 3.1J) que si A est semi-simple, si X est l'espace de ses
!1
idéaux maximaux et si TE M(A) alors il existe une fonction continue g sur X
telle que (Tf)(x)=g(x)f(x) pour toul JE A et lout XE X. De plus
f
!
suplg(x)I~llglloo
!
'" IITII·
XE x
Dans le cas semi simple la fonction g est donc un multiplicateur de A au sens
d'Helgason [4].
On connait des exemples d'algèbres de Banach commutatives semisimples A
telles que M(A) soit rèduit à A E:f:) Ce. Le classique espace J introduit par R. C.
lames dans [6] et [7J qui est de codimension 1 dans son bidual muni de la
structure d'algèbre définie dans [lJ et l'algèbre BVo des suites à variation
bornée convergeant vers 0, munie du produit coordonnée par coordonnée en
sont deux exemples concrets (le second exemple et dû à S. Grabmer. voir [10,
p. 90J).
On se propose ici de construire une algèbre de Banach commutative radicale
à unité approchée bornée (u.a.b.) A telle M(A) soit réduit à A $ Ci? Cette
algèbre est un quotient de l'algèbre ..K lA des fonction holomorphes pour Izl < 1,
nulles en z = 1 et dont la série des coefficients de Taylor est absolument
convergente. Ceci résoud un problème posé par A. M. Sinclair dans son récent
Lectures Notes sur les semi-groupes [10, p. 89].
Reçu le 24. mai, 1983; revisé le !J. octobre, 1983.
u - 1.

---

2. L'algèbre de Banach o/K lA'
Soit d (D) l'algèbre du disque unité, c'est-à-dire l'algèbre des fonctions
holomorphes dans le disque unité ouvert qui peuvent être prolongées par
continuité au disque unité fermé. Posons
A = {fE ""(D) 1f(z) = l a,z",Iia,l< +oo}.
II~O
"
A muni de la norme 11/11= 1:"<':0 /alll est une algèbre de Banach. On considère
l'idéal fermé de A noté Af ,A-= {JE AI f(I)=O}. On a alors les résultats
suivants:
LEMME 1. Âl
possède une unité approchée bornée.
l A
PREUVE. Considérons la suite (e.J"~l des fonctions définies pour tout Z E D
par
z-1
z -1-I(n .
Alors e, est un élément de Âl
pour tout n~l. En effet e,,(l)=O pour tout n.
IA
Par ailleurs
e,(z) _1-
l
'"
n+l ) = ~ a"" zP ,
(n+1) I-~z
p,O
(
où all,o =n/(n + 1) el a"" = - n'/((n + l)p+ 1) pour tout p~ 1
n
"'la 1=2-<2.
L.
".'
n + 1
,?;.O
On a donc e, E .1( lA pour tout n ~ 1. Soit maintenant la fonction fJ définie pour
z E D par P(z)=z-l.
Alors
P(z)
e (z) = - - - -
,
P(z) - l/n
ce qui implique que P(l:)ell(z)-p(z)-=e,,(z)/"- Donc

---

72
KONIN KOU A
1
1
n
n2
IIPe.-PIi = n+l + (n+ 1)' + (n+I)' + (n+ 1)4 + ...
1
1
1
2
= --+
x
- - -
n+1
(n+I)'
1-~
n+1
n+l
et IIPe.-PII_Oquandn_ +00.
Soit alors œ l'application z __ z. Pour montrer que la suite (e/l)"~l est une
u.a.b. de .,IflA. il suffit de montrer que les polynomes en IX-1 sont denses dans
.,IlIA-
Si g E A I A avec g(Z)=LÎ~oaÎzi alors g=Lj~Oai(li cette série étant
absolument convergente dans A. De
g =
L a/ci
et
g(l) = L a, = 0
i ~o
i~ 0
on déduit que pour tout e> 0 il existe io E N tel que pour PG iD
et
I.t. a, ~ </2.
Donc pour tout E>O. il existe io E N tel que pour p"?;io on a
g-.f a,(a'-I)II ~ e
,.0
c'est-à-dire
Mais
,
ai - 1 =
L À'.iP'
1<=1
où (J est la fonction z -- z -1 et
À
_i(i-l) ... (i+I-k)
t.I
-
k!
Par suite
JT· j

---

UN EXEMPLE D'ALG~BRE DE BANACH COMMUTATIVE RADICALE...
73
Ilg-.± a;(a;-I)II Ilg-.± ±
=
a,;".;/3·11'·
1""1
1"'11=1
Ainsi pour tout E: > 0, il existe io E N tel que pour p ~ io on a:
Ce qui assure que les polynômes en ct -1 sont denses dans ..JI lA·
Donc
lige"-gll "'". °
pour tout élément g de J( lA puisque IIpe" - Pli -
0 quand n -
00. Ceci achève
la preuve du lemme.
PROPOSITION 2. L'ensemble des multiplicareurs de .JI lrl noté M (At lA) se reduit
à .it1A~Mlr1œCe.
PREUVE. Pour g E O/It lA et À E C fixés, l'application f -
(g + ).e)f de .JI lA
dans "It lA est évidemment un multiplicateur de "'1 lA'
Réciproquement, soit TE M(AtIA}et soit Z E D. Sifl etfz sont deux éléments
de A"
tels quej,(zHO etj,(z)*O, alors on a:
(Tj,)(z)
(Tj,)(z)
=
j, [z)
j,(z)
car T est un multiplicateur.
Pour chaque Z E D, choisissons f E JI lA tel que f(z) *0 et posons
8(z) = (Tj)(z)
jlt)
fJ ainsi définie ne dépend pas du choix de f En particulier, si on considère
"élément g de o/K Iri défini pour tout z E D par g(z) = 1- z. Alors 0= Tg/g
est définie et continue sur D - {l} et analytique à l'intérieur de D.
Sail alors fJ(z) = L",~o b".=.'" son développement en série de Taylor. Pour
neNsoit
ne,.)(,) = I
c,.•z'"
",,,,,0
le développement de Taylor de T(eJ.
Alors e"g ,, 00. g, donc

---

74
KONIN KOU A
Les convergences étant considérées au sens de la norme de A. En particulier
ceci implique que
T(e")(z) "_~. O(z)
t
uniformément pour lzl;~t. On déduit alors des inégalités de Cauchy que
1
h", =
hm c~.'"
pour tout m .
"-~
1
•
Il existe une constante K positive telle que Il T(e..)11 ~ K pour tout n. puisque
T est nécessairement continu. Donc
1
1
1
•
L Ib.1 ~ limsup L le".•1~ limsup IIT(e")11 s K.
" , = 0
.... CO
111=0
Il-CO
La suite des sommes partielles S, = r.~=o Ib,.,1 étant majorée, la série 2::=0 lb",!
est convergente.
Donc 0 est un èlèment de A. On a ainsi montré que si TE M (..HIA)' alors il
existe 0 E A tel que Tf=Of, pour tout f E ...HIA' Donc M(Âf I A) s'identifie à A
qui est isomorphe à .A1AEBCe.
3. L'algèbre de Banach .H,AIJ.
Soit F la fonction définie pour toul z E D - {1} par F(z) = exp (z + 1)/(z - 1).
F n'appartient pas à d(D), mais c'est une fonction intérieure continue sur
D - {1}. Celte fonction a été utilisée par J, Esterle dans des construction de
sous espaces invariants pour des opérateurs sur lesquels opèrent certaines
algèbres de fonctions analytiques, voir [3, p. 150].
Posons
.H, = {JE ""(D) 1 f(I)~O).
Pour toute fonction 1 de la forme 1= Fg où g E ..1(" on pose 1(1) = O. On
obtient ainsi un prologement continu de 1 à jj puisque F est bornée par 1 sur
D-{ j j Posons I=FIf"
Alors 1 est un idéal de .gf(D) contenu dans .RI'
L'application 1 - FI est une Isométrie de .-If1 car F est de module 1 sur le
cercle privé de z = l , Donc 1 est fermé puisque," 1 l'est. De plus 1 =t=.R 1 car la
fonction 1 E .I( 1 définie par 1(z) = 1- z n'appartient pas à 1 (sinon on aurait
f (x) ~ 0 (exp 2/(x - 1)) quand x ~ 1"]. Posons alors J = qJ- '(I) où qJ est
l'injection naturelle de -K \\,01 dans .A l' En fait ..f =A 1,01 nI et ..f est un idéal
fermé de A strictement contenu dans .H 1A, On a le résultat suivant:
PROPOSITION 3, .If lA/..f est une algèbre de Banach commutative radicale à
unité approchée bornée,

---

UN EXtM,PLE D'ALG~BRE DE BANACH COMMUTATIVE RADICALE...
75
PREUVE. "" j,JJ est à unité approchée bornée. Pour le voir il suffit de
considérer la suite des ë,,= n(eJ, images dans j{ I,JJ des e" de "" lA donnés par
le lemme 1, par l'application canonique 'Tt de ""lA sur j(I.JJ.
""I,JJ est radicale. Rappelons que tout caractère de ""I,JJ provient d'un
caractère de "" lA qui s'annulle sur J.
Soit ex l'application z --)0 z. Alors tout élément f de A s'écrit sous la forme
f = L >oallex" où les a" sont les coefficients de Taylor de f
,~
.
Soit t E D. L'application f --)0 f(t) est évidemment un caractère X de A. En
fait
x(f) ~ l
a,x(a') ~ l
a,".
,,~o
,,~o
Réciproquement, si 1. est un caractère de A, on a Ldex)1 ~ [œ] ~ l, donc 1. (a) E D.
Posons alors l = 1.. (ex). Soit f un élément de A. On a f = L" ~ 0 Q"a.", cette série
étant absolument convergente dans A.
Alors
Ainsi tout caractère de A est de la formef --)0 f(t) où t E D. Donc tout caractère
de "" lA est de la forme f -. f(t) où t E D - {1}. Soit maintenant 1.. un caractère
non nul de "" lA/J, 1. provient alors d'un caractère non nul x' de "" lA qui
s'annulle sur J. Il existe donc t E D - {I} tel que l (f) = f(t) pour toutf de At lA
et f(t) = 0 si f E J. Considérons l'application f définie par
f
~
(z)
r O S i z = 1
1(Z-1)4exp(;~:) si zE D-{l).
Montrons que fappartient a J =F.1l 1 n.J{lA' Puisquef est de la forme Fg où
g E J{ l' il suffit de montrer que f E .,Il lA'
On.
Z+
l''(z) ~ 4(3z'-9z+7)exp - 1)
(
-
z-1
ce qui montre que j" est bornée; par conséquent il existe une constante M >0
telle que
II"(z)I~M
a e Dc-j I]
or si f(z)= L,,~o a"z", on a f"(z)= L,,~o (n -1)na"z"-2; [" étant bornée, on a
n(n-l)la,,1 ~ M/r" pour tout r< 1. Fixons n et faisons tendre r vers 1 on a

---

76
KONIN KOU A
M
n(n -1)la.1 ;:;; M
donc
\\a.1 ;:;; -"-,-("----,1'"')
terme général d'une série convergente, donc L .. ~ 0 la,,1 < + 00 ce qui assure que
f E •.HI A·
Commef (t)4=- 0 pour tout t E D - {1} on voit donc que le seul caractère de A
s'annulant sur J est J'application g -
g(l), qui s'annule évidemment sur .AI A"
Donc l'algèbre .lt1.JJ, qui ne possède aucun caractère non nul, est radicale.
4. Caractérisation des multiplicateurs de .II lA/J.
Sur .~(D) on considère la topologie définie par la famille de semi-normes
(Pli). suivante:
on l'appellera la topologie faible de d(D) et sa restriction à A sera la topologie
faible de A. p. est une scmi-norme d'algèbre sur A. On dira ainsi qu'une suite
</"),, d'éléments de "'/f lA converge faiblement vers un élément f de A si la suite
des coefficients .de Taylor de f~ converge simplement vers les coefficients de
Taylor de f
En fait cette topologie faible coincide sur toute partie bornée de d(D) avec
la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de D.
En effet, sou j e j(1A avecf(z)=L,,!:;:oa~z".Pour m fixé on a
la.iQ· ;:;; sup If(z)l;
Q<!
1:1 ~"
c'est-à-dire
!
la.1 ;:;; -,; sup If(z)l;
Q < 1 .
(!
hl:!"
Par suite
.
"
1
p.(f) = l
lad;:;; -,; sup If(zll
i=O
e I:I~"
ce qui montre que la topologie faible ainsi définie est moins fine que la
1
topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de D.
Pour f E "" (D) posons Il f Il 00 ~ sUP"", If(zll. On a
\\1'.' (0)1
sup
,
;:;; IIfiloo
ilION
'1.
d'après les inégalités de Cauchy.
,
'./ .:+
"

---

UN EX:B\\iPLE D'ALGÈBRE DE BANACH COMMUTATIVE RADICALE...
77
Soit alors Q < 1 fixé et soit f: z ----+ L" ac a"z" un élémemt de .zI (D). Comme
l
0'
10,11=1' ~ 11/1100 l e' - 1111100 I-
pour Izi ~ e
" "?/
,,~I
-e
on a
e'
,
11111,
sup I/(z)1 ;;; 11/1100 l-e + Jo 10,le'
I~I ~"
donc
e'
11111, ~ 11/11oo _
1
+P,(f)
pour tout 1.
e
Soi! B une partie bornée de .zI(D). Posons K =suP!e81)!11:'(l'
On obtient, pour f, g E B
,
e
11/-gll, ~ 2K--
+ P,(f- g)
pour tout /.
l-e
Soit maintenant (/"),, une suite d'éléments de B convergeant faiblement vers un
élément f de B, alors
P,(f, -1) '-00 ' 0
pour tout / .
Par suite üm, sup Il I, -1 Il,~ 2Ke'/(l - el pour tout 1, donc III. - III, ~ 0
quand n _ 00. Les deux topologies considérées étant métrisables, on a bien le
résultat annoncé.
Soit
/00 ~ {x~(ç,),
(';EC, Ilxlloo~suplçil<+ool
1
Co ~ {x~(çi),1
ÇiEC,Çi~O}.
On sait que fi est le dual de Co ([9, p. 109]). Considérons l'application fJ de A
dans {I qui à tout élément f de A avec !(z) = LII;':o a"z", associe la suite (a..)...
e est alors une isométrie.
la topologie faible coincide sur les parties bornées de A avec la topologie e.,
faible induite sur A par la dualité entre Il et Co via l'isométrie 8. Donc la boule
unité de A est faiblement compacte.
On se propose dans la suite de montrer que tout multiplicateur de JI lA/./
est défini par un dément de Al~.
la démonstration reposera sur la remarque et les lemmes suivants:
D' '6

---

78
KONIN KOUA
REMARQUE 4.
Si UJ. est une suite d'éléments de ""'(Dl qui converge
faiblement vers un élément f de .JJI (D), alors j"g converge faiblement vers fg
pour tout g E ""'(Dl.
PREUVE.. Utiliser la formule donnant le produit de deux séries.
LEMME 5. Soit <p une foncüon réelle continue telle que tp(u)~O pour tout u €
R.
On suppose que
<p (u) --;:-;-=-=~. - 00
et que
1..1- +00
f+~ <p(u)
-00
l+u1 du < +00.
Si ton pose
V(w)
où w=x+iy. Alors
v(w) --,.-,--~, - 00
1... 1.... <>0
Rcw>O
PREUVE. En posant (u - y)/x = t on a
V(w) = ~ f+~ <P(XI+/) dl
1t
- 0 0
l+l
comme qJ est négative on a
V(w) S ~ f' <p(xc +/) dl + ~ f-' <p(XI +/) dl .
- n
1
l+c
1t
_21+[
Pour 1~tâ2ou -2~râ-l on a 1/(l+t2)~1/5. Par suite
V(w);;; -
f' 'l'(xc+y)dc+- f-'
1
1
'l'(xt+ y) dl
Sn
1
5n
-2
donc
V(w) ;;; _1 inr[ sup 'l'(xl+y);
sup
<P(xt+ y)]
Sn
1~'~2
-2~1~-J
si y ~ 0 et 1 â l â 2 alors xl + y ~ xl ~ x et xl + y ~ y. Ainsi
1 V '
Iwl
xc + y ~ sup (Ixl, [yI) ~ Vï
x' + y' ~ Vï'
Donc si Iwl -
:::0, alors- -xr + y ----+ + Xl uniformément en t.
n,)

---

79
Par conséquent,
su p
tp (x t + y) --,-----,-,-~. - 00
1.1+i)'l-oo
11!'~2
» 0
y~O
Si y~O et -2~t~ -1 alors xt+y~y et x'+y~xt~ -x. Ainsi
xt+y;;; inf(-x,y) ~ inf(-Ixl,-Iyl) ~ -sup(lxl,lyl) ~
Donc si [w] --. + 00, alors xl + y --. - 00 uniformément en l.
Par conséquent
sup
q>(xt + y)
-00 .
o::-:==~
1.1+i)'l-oo
-2~r~-1
.>0
)';aO
En conclusion
Donc
V(w)-~ -j().
1"'1-00
Rew>O
LEMME 6. Soit (f,,) une suite bornée d'éléments de~. Sif" converge faiblement
vers un élément f de J'lA alors Je~.
PREUVE. Soit A o l'ensemble des fonctions holomorphes dans le demi-plan
droit [w E C 1 Rew~O}, continues sur le bord et tendant vers 0 à l'infini.
Si Le A o,
11/1100 =
sup I/(z)1 = sup l/(iy)1
Rez?;O
yeR
d'après le principe de Phragrnèn-Lindelôf [2].
Soit F0 la fonction définie pour Re w ~ 0 par F0 (w) = e - w. On pose 1 = FoA
0
o-
Soient alors (g,,) une suite bornée d'èléments de 1 et hE A
0
o tels que
g,(W) -.=ro' h(w)
pour tout w tel que Re w>O. Pour tout n, g"=Fo/,, avec!.. E Ao-
La suite (f,), est bornée car II/.L=lIg.L. Posons u(w)~h(w)x I/Fo(w)
pour Re w ~ O. Alors
~ 1 . 1 ~

---

80
KQNIN KQUA
J,(W) =00-' U(W)
pour tout W Lei que Re w>O. Donc u est bornée et continue' sur le bord; de plus
u tend vers 0 à l'infini sur l'axe des imaginaires car lu(iy}1 = Ih(iy)l. Supposons
sans pene de généralité que u est bornée par 1, u s'écrit alors de manière unique
(grâce au théorème de factorisation dans le demi-plan [5]) sous la forme u =
). B.S.f., où
 est un complexe de module 1.
B est un produit de Blaschke, donc borné.
S est une fonction singulière, donc bornée.
F est une fonction extérieure telle que IFI = lui presque partout sur l'axe des
.
. .
imaginaires.
F est donc de la forme:
F(w)
{' l'oo
tw+i
dt }
= exp
-
loglu(it)i-.-o -
-
,
.
rr
-<xl
t+lwl+t
Si w=x+iy on a
X I+oo
log IU(il)l
)
IF(w)1 = exp -
z
- , dl \\ .
{ 11
- 0 0
X
+(r-y)
J
D'après le Lemme 5 et le fait que nous avons supposé u borné par 1 on a
IF(w)I-~ o.
1""1'" 00
Rew>O
Donc
lu("')1 ~~ o.
Par conséquent u est dans A o.
On a ainsi montré que si (f") est une suite bornée de A o telle que
f,,(w)e- W -;:::;00+ h(w)
pour tout w tel que Re w > 0 alors h est de la forme Fou où U E A o, c'est-à-dire
h E Jo. On en déduit par transformation conforme que si (f"),, est une suite
bornée d'éléments de J =F.A't telle quef,,(t) converge vers j'(û pour tout tE Del
f un élément de .111 alors f E J.
Soit maintenant U")" une suite d'éléments de ..1 = J( lA n J, bornée au sens de
la norme de ""liA- Alors U,,) est bornée dans JlI{D) el sif" converge faiblement
vers un élément f de '# lA alors f E J, donc f E..I.
Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le résultat annoncé:
u l

---

UN EXtMPLE D'ALGÈBRE DE BANACH COMMUTATIvE RADICALE.
81
THEOIlÈME 7. L'ensemble des multiplicateurs de .,HlA/J s'identifie a A/J"
~ (Jt,A!J)(BCe.
DÊMONSTRATION. Posons H=jtIA/J. Soit TE l"f(H) et soit (ë"),, l'unité
approchée bornée de H. On a
T(a) ~ lim T(a'.) ~ lim T('.).
pour tout a EH .
•
•
Puisque T(ë,,) E H, il existe une suite (f"),, d'éléments de .It 1.-1 telle que lit
~ T(e,). Alors
Œil = lIT(e.lll :0; IITIII!',II :0; 211TII
on peut donc supposer que (f,,) est une suite bornée de .If lA' Quitte à extraire
de
(fit) une sous-suite convenable, on peut supposer que (f,,) converge
faiblement au sens que nous avons défini plus haut vers un élément f de A.
Soient a E H, g E "K lA et h E .111,.1 tels que g = T'(œ) et li ='1. Alors
if ~ lim J.a ~ lim J,Il .
•
•
Donc il existe une suite (u,,) d'éléments de J" telle que
IIg-f,lj..Il.II"~ o.
(tl,,) est alors bornée. Quitte à extraire de (u~) une sous-suite convenable, on
peut supposer que u, tend faiblement vers un élément u de A quand n -+ CCl.
D'après la Remarque 4,flth converge faiblement versfh. Il s'ensuit que g - f..h
-U
converge faiblement vers g-fh-u. Donc
lt
g-fh-u = o.
Donc 14 E -111,.1 car g E .11 L..b h E .111,-1' Par suite U E j
d'après le Lemme 6.
Ainsi g=Tf1 pout toul hE. If 1,.1 tel que f1 =(1.. Donc T(o:) = Jo: pour tout 0: E H et
comme A est isomorphe a .111AEBCe. ceci achève la démonstration du
théorème.
BIBLIOGRAPHIE
1. A. D Andrew and W. L. Green, 011 JUml!~' ql4usi-rrjle.'ciL'e BWrll("11 souce U~ U Banach elgebra,
Ca nad. J. Math. 32 (1980). 108Q.-.II0l.
2. R. Boas, Ell/ire {UIl<·Uvrl.1 (Pure and Appt. Mutb. 51. Academie Press. Inc.. New York, 1954.
J. 1. Esterte, QuasimultipIJt'rs, reoresensut ions of fi ~ , ulld dit' ctosed ideel probiem for commUlillive
Bonocn l1/gt'bras in Rudicul HUlluch ul~ebru~ and UUlomuUc con/inu;ly {Proc. Long Beach
Conf., 19SIl, eds. 1. M. Bacbur. W, G. Bade, P. C. Curtis Jr.. H. G. Dates, and M. P. Thomas.
{Lecture Notes in Marh. 975l, pp. 66-[62 Springer-vertag. Berlin - Heidelberg .. New York,
1981

---

82
KONIN KOUA
4. S. Helgason, Mulliplier:> of Banach a/gebras, Ann. of Math. 64 (1956),240-254.
5. K. Hellman, BOrrach spaces of ana/ytic [unctions, Premice-Hall. Inc. Englewood Clills, NJ.,
1962.
6. R. C. James. Bases and reflexivi/y of Bonoch spaces, Ann. of Math. 52 (1951),518--527.
7. R. C. James. A non-reflexioe Banach space tsométrtc .....irh ils second conjugale spoee, Pree Nat.
Acad. Sei. U.S.A. ]7 (1951), 174-177.
8. B. E. Johnson, Cemralizers on cerlain topo/agieal algebras, J. London Marb Soc. 39 (1967).
603-614.
9. W. Rudin. AnQly.~e réetle el complexe, Masson el c-, Editeurs, Paris. 1975.
10 A. M. Sinclair, Conunuous sem; groups in Bonach otgebras, (London Math. Soc. Lecture Note
Ser. 63), 1982.
Jl. Ju-Kwei Wang, MU/fipliers of commvtattve Banach otgebros. Pacifie J. Math, 11 (1961),1131-
1170,
lABORATOIRE ASSOcrË AU CNRS N· 2!6
t'.ER
DE \\~ATHÈMATIQUES ET D'INFOR'.1ATIQUE
lI~IVERS(TË DE BORDEAUX 1
.HL COl'Rs DF. LA L11l~.RATION
.n-lO~ T ...LENCE CEDEX
FRA~CE
Adr.". ACIUdlc'
DEPARTEMENT DE !Io4ATHËMATIQUES
FAClILTË DES SClE~CES
U:-':IVERslTF: ~ATIO~ALE DE core D'IVOIRE
Ill'. ~(l.IO - "'BIDJA~ Oll
CÔTE-D'IV01U
n.. I)

---

Chapitre ru
51mllarltê entre l'algèbre de Volterra
et un Quotient d'algèbre uniforme
(è perettre eux Proceedings of the Edlnburgh Methemetlcel Society).

---

S!rnilar1té entre l'algèbre de Volterra et un quotient d'algèbre unifonre
Par Konin KaJA
U.A. 226 CEIŒMAB, Université Bordeaux r
'I\\tou cœmutative Banach algebras A ë'n('1 B are said te he sirnilar i f
there exists a Banach algebra 0 such that
I4-=' 0 for sare x in 0, and ~
one-to-ane continuous b::::m::::m::lrphismslf:O ---> A and'f: D ----? B such that
'f(D ) is a dense ideal of A and 'f( D ) a dense ideal of B.
we prove in this paper that the Volterra algebra Ll (0,') is similar te
A
/ e -ZAo where A
Ls the ccnmrtatava lIDiform, separable Banach algebra of
o
o
akL cantinuous functions on the closed right hand ha.1f plane H, analytic 00 H
and vanishing at infinity. we deduce frc:rn this result that rnultiplicatioo
by an elerœnt of A
/ e -ZAo is a canpact mapping.
o
AMS Subject Classification Numter: 46 J 10.

---

§I. INTRODUCTION
Soient A et B deux algèbres de Banach commutatives. On dit que A et B sont similaires
([4], p. 116) s'il existe une algèbre de Banach commutative D qui possède un idéal principal
aD dense et deux homomorphismes injectifs continus 4> de D dans A et t/J de D dans B
tels que <p(V) soit un idéal dense dans A et t/J(D) soit un idéal dense dans B.
On remarque que cette définition implique que <p(a)A est dense dans A et t/;(a)B est
dense dans B.
Si A et B sont similaires et si 8 est un homorphisme continu de A dans B, on dira. que
8 est un a-homomorphisme (14] p. 123) si le diagramme suivant est commutatif:
Soit Ll(R+) l'algèbre de Banach. des (classes de) fonctions à. valeurs complexes, Lebesgue
intégrables sur R+ et soit :J l'idéal fermé de L1(R+) formé des fonctions nulles presque
partout sur [0,1]. L'algèbre quotient L1(R+)/.J est isomorphe à l'algèbre de Volterra
V :::;:: L~(O,l) des (classes de) fonctions à valeurs complexes absolument intégrables sur
[0, Il (remarque II-2). On peut donc identifier V à L'(R+)/,J.
On se propose ici de montrer que Vest similaire à. Ao/I , où Ao est l'algèbre uniforme de
toutes les fonctions continues sur le demi-plan droit fermé.analytiques dans le demi-plan
droit ouvert et tendant vers zéro à l'infini et où 1 est l'idéal fermé de Ao de la forme e- I Ao.
La notion de similarité entre deux algèbres de Banach commutatives a été Introduite
par J. Esterle dans son étude du problème de l'existence d'une algèbre de Banach com-
mutative topologiquement simple 14]. Le fait que deux algèbres de Banach commutatives
à unité approchée bornée soient similaires implique d'une part l'existence d'une bijection
entre l'ensemble de leurs idéaux fermés et implique d'autre part que les algèbres de leurs
quasimulti plicateurs réguliers sont isomorphes ([41, p. 73 et p. 112).
L'idée que les algèbres Ll (R+)j.J et Ao/ I pouvaient être similaires nous a été suggérée
par le travail de E. Strouse sur les idéaux fermés de l'algèbre de Volterra en plusieurs
variables [8J.
Notre résultat de similarité permet de retrouver en une variable le résultat de [S] j mais
ceci n'apporte rien de nouveau car la. structure des idéaux fermés de l'algèbre de Volterra est

---

banale et bien connue (voir par exemple [2] théorème 7-9). Par courre, ce résultat permet
de ramener l'étude des quesimultiplicateurs réguliers de V à. ceux de A(J Il, ce qui permet
d'espérer obtenir ultérieurement une caractérisation concrète des quasimult.iplicateurs de
V. Ce point ne sera pas développé dans le présent article.
Pour finir, nous établissons le fait que si deux algèbres de Banach sont similaires et
si la multiplication par tout élément est compacte dans l'une, il en est de même de la
multiplication par tout élément dans l'autre (Proposition IV-I).
On en déduit que la.
multiplication dans Aol l est compacte.
Je remercie E. Strouse de m'avoir communiqué son manuscrit et je remercie également
Jean Esterle pour ses fructueux conseils pendant la réalisation de ce travail.
§II. Préliminaires
Soit H le demi-plan droit ouvert H = {z E CI Re z > a}. Soit A o l'algèbre de toutes
les fonctions f continues sur H, analytiques dans H et vérifiant
lim
1/(z)I=O.
Re .c-e
Isl---<o+OCl
Pour chaque [ de 040 , on pose II/II~ =
SUp 1/(z)l. D'après le principe de Phragmen-
Rf: .>»
Lindelof ([1], p.3) on a II/II~ = sup 1/(iy)1 ; / E 040 . Munie de cette norme, 04 0 est une
,E"
algèbre de Banach commutative, uniforme et séparable.
Proposition II·!. L'élément (3 de 040, déiini par (3(z) =
1
, vérine [(3A ot = 040.
(1 + z)'
z - 1
Preuve: Soit T : z >---f - - la transformation conforme du demi-plan. droit H sur le
z+l
disque unité D = (z E C/izi < 1J, soit A(D) l'algèbre du disque et soit
MI = (J E A(D) 1/(1) = 0 J.
1 - z
Soit p l'application: Z >---f
2
L'application p : f l--+ f 0 T est un isomorphisme isométrique de MI sur Ao. On a
fJ == (p(p)? Comme [pA1d- = !vfl l puisque les polynômes en p sans terme constant sont
denses dans MI, on a [p(I')A ol- ~ 040, et donc [(3.40]- = Ao.
Soit maintenant la fonction F: Z l--+ e-:;
Re z > Q. Alors la multiplication par Fest
un multiplicateur sur Ao et IIFglIOCl = IIgliOCl pour tout élément 9 de Ao.
Donc l'idéal 1 de la forme F Ao, noté e- r Ao, est un idéal propre fermé de Ao. Un
caractère X de .10 est de la forme x(f) = /(t); tE H. Puisque F(t) i 0 pour tout t E H,
aucun caractère sur Ao ne s'annule sur 1. Donc l'algèbre quotient A..ol l est une algèbre de
Banach radicale ([71, p. 87).
t:
2

---

Soit L1(R+) l'espace des fonctions f définies sur R+ 1 à valeurs complexes et Lebesgue
intégrables. Muni de la nonne 11/111 = Jo~ I/(t)ldt et du produit de convolution (défini
presque partout):
,
(1. 9)(t) = ], I(t - ')9(s)ds,
1,9 E L'(R+),
L 1(R+) est une algèbre de Banach commutative, semi-simple sans unité ([6], p.94).
L'ensemble Ll(R+) de tous les caractères sur L 1(R+) peut être identifié à fi par
l'application: >. 1-+ tP>.. de H dans Ll(R+) où tP>.. est l'application:
La transformée de Gelfand est donc précisément la transformée de Laplace Z : f --1' C(I).
Il est bien connu que L est un homomorphîsme injectif continu de LI (R+) dans (et non
sur) A o.
Soit.J l'idéal fermé de LI (R+)fonné des fonctions nulles presque partout sur [0,1]. On
note V = L~(O, 1) l'algèbre de Volterra, c'est-à-dire l'algèbre de Banach des fonctions f à
valeurs complexes, absolument intégrables sur [O,IJ, muni de la nonne 11/1" = Jo' I/(t)ldt
et du produit de convolution (défini presque partout) :
l'
(1. 9)(t) =
I(t - S)9(s)ds ; 0::; t::; 1.
Remarque 11·2. V est isomorphe à L 1(R+)/.1.
PREUVE: Soit R
: f 1-+ it\\O,I] l'application restriction de Ll(R+) dans V. C'est un
homomorphisme surjectif. Puisque kerR =.1, on a que L 1(R+)/ .1 est isomorphe à V.
Soit Loo(R+) l'espace de Banach des fonctions f à valeurs complexes essentiellement
bornées sur R+, muni de la norme:
1I/11~ = esssup I/(t)l·
!~O
On peut définir la transformée de Laplace sur Lo;:)(R+) par la formule :
r+~
1:-(1)(,) = Jo
I(t)e-"dt.
Dans ce cas, L(f) est seulement définie pour Re 2 > 0, et elle n'est pas en général bornée
surH.
On prolonge implicitement à R les fonctions définies sur un sous-ensemble de R+ en les
supposant nulles sur le complémentaire de leur domaine. On peut considérer V comme un
sous-espace de LI (R+)

---

Désormais on notera VI = L'(R+)/:J, W = A,/I,B: A, ~ W et K: LI(R+) ~ VI les
surjections canoniques. VI est identifiable à V (remarque II-2) ; l'application
R: J ~ JII','I
donne une extension de 11" à LOO(R+) que nous noterons également 11".
Remarque 11-3 : E étant la transformée de Laplace qui applique L 1 (R+ ) dans AOl on a
ker BOL =:J.
PREUVE: Ceci résulte de ce que 3 = [,-1(1), c'est-à-dire f E :1 si et seulement si .cU) E l
([2J preuve du théorème 7-4).
Remarque 11·4.
Il existe un homomorphisme injectif continu de VI dans W noté l.
et tel que (} a L = .ë a 11".
Preuve: Ceci résulte de la remarque 11-3 et de la factorisation canonique des applications.
Lemme II-s ([81 LEMME 4-4). Si J E L~(R+) est teJle que L(f) E A, et si J(t) = 0
pour presque tout t E [0,1], alors L(f) E l.
Proposition II-6. Si J E L~(R+) et si L(f) E A" alors (f. H)(f) = (B 0 L)(f).
Preuve: Soit J E L~(R+). Posons JI = K(f) et f, = J - J"
Alors JI E L'(R+) et
L(f,) E A,. On en déduit que L(f,) E A, car L(f) E A,. f, vérifie donc le, hypothèses
du lemme 11-5 ; donc L(f,) E l. 11 s'ensuit que (90 L)(f,) = O. Donc
(B 0 L)(f) = (90 L)(fI) = (f. H)(fd = (f.(~(f,)) = (f. 0 K)(f)
§I1I ~ Similarité entre V et ~v
On pose 1 = 8(13) où fi est J'élément de Ao défini à la proposition II-l. On considère
l'ensemble 'D = ,W.
Remarque 111·1. 'D est dense dans W
En effet pour tout y E W, il existe xE Ao tel que y = 8(x), donc il existe une suite
(In)n d'éléments de Ao telle que, V = 8(lim n {3x n ) d'après la proposition 11-1.
En posant dn ::: ,8(x n) pour chaque n, on a y = lim., dn, d'où le résultat.
Remarque 111-2. , n'est pas un diviseur de zéro dans W.
En effet si " u = 0, alors u = 0, car hWj- = W d'après la remarque III·} et ~v a une
unité approchée bornée ([71 p. 87).
Remarque III-3. L'application q définie pour d = ,u par q(d) = lIuliw est une norme
d'algèbre sur D.
PREUVE: Il suffit de vérifier l'inégalité du produit.
Pour d = -ru
et
d' = lU'
on a
q(dd') = q(-r'uu') ~ buu'lI S blillullllu'll <: lIullllu'lI
car bll <: 1; donc q(dd') <: q(d)q(d'); d,d' E D.

---

Proposition 111-4. Muni de l'addjtion et de la multiplication définies sur W et de la
norme q, V est une algèbre de Banach et J'élément ,2 de V vérifie b2Vj- = V.
PREUVE: L'application: d H
~ est une isométrie de V sur W j on en déduit que V est
une algèbre de Banach. On a [,'WI- = W car I1wt = W (remarque III-l).
Soit d = ,u un élément de V.
Il existe une suite (Un)n~l d'éléments de W telle que
Ilu -,'u.llw ~ °quand n ~ +00. Or Ilu - ,'u.llw = qbu -,'u.) = qbu -,'bu.)).
Donc en posant dn = ,Un pour chaque n, on obtient une suite (dn) n> l de V telle que
q(d - ,1dn ) ~ 0 quand n --t +00. Donc l'élément ,2 de V vérifie b2I5j- = V.
Si 9 est un élément de Ao intégrable sur l'axe imaginaire, alors on peut définir .c-1(g)(t)
pour 1 E [0, +oo[ par la formule:
1 j+~
.
CI(g)(I) = -
g(iyJe'·'dy.
21t
- 0 0
Le lemme suivant est standard:
Lemme III·5.
(i) Si f E Ao, alors Il.c- 1(/l1)1100 ~ illfll~, avec IICl(/lf)ll~ = supIC'(iJf)(tJI.
t~O
(iiJ Si f E J, alors .c-I(iJf) = °sur [0,11·
Preuve:
(i) est évident.
(ii) Si f E J, alors il existe hE Ao telle que fi') = '-'h(z).
C'(iJf)(I) = 2.j+oo(/lf)(iy)e;" dy = 2.j+~(iJh)(iy)e"(H) dy = C'(iJh)(t -1)
21t
- 0 0
21t -00
Or pour tout f E Ao, .c- 1(l3f )(t ) existe pour tout tER et est nul pour tout t négatif.
Donc .c-'(iJf)(t) = .c-1(iJh)(t -1) = 0 si t ~ 1. D'où l'on déduit que .c-1(iJf) s'annule
sur 10,1].
Soit l'application sp de V dans \\/1 définie pour tout élément d = ~/U de V par la formule
",(d) = ~(.c-'(iJf)) où f E A o est tel que u = OU) c'est-à-dire iJf E O-I(d).
if! est bien définie car l'écriture d =
,u avec u E West unique pour d E V et si
OU) = O(g) ~ u avec f et 9 dans A o, on a f - 9 E J. Il s'ensuit que .c-1(iJU - g)) = °
SUl [0,11 d'après le lemme III-5 (ii). Donc ~(.c-l(iJf)) = ~(.c-l(iJg)).
Proposition 111-6. r.p est un homomorphisme injectif continu, et (i. 0 sp )(f) = [, (f E D).
Preuve: Il est évident que if! est un homomorphisme.
Soit a= O(iJf);f E A o, un élément deD. On a: (lo",)(a)=l«~o.c-l)(iJf)).Mais
.c-1(/lf) E L~(R+) et .c(.c-'«(3f)) = iJf E Ao. Il résulte alors de la proposition 11-6 qu
':::.5

---

(i 0 ~ )(C' (/31)) = (80 I:.)(C' (/31)) = 8(/31) = O, Autrement dit 1:. 0 <p = Ldv et nous en
déduisons en particulier que I.f> est injectif.
Montrons que 'fi est continu: soit (d n = ""Un)n>l une suite d'éléments de D telle que
q(dn) ~ 0 quand n ~ +00. On a 'l'(dn) = ~(I:.-'-(/3fn)) où l'on choisit la suite (ln)n2'
de A o telle que Ilfnll~ ~ lIunllw + ~ pour tout n. On a 1l1:.-1(/3fn)ll~ ~ ~llfnll~ (lemme
IlI-S (i)). Donc il'l'(dn)1l = 1l~(r.-l(/3fn))11 ~ IlC'(/3fn)ll~ ~ ~Ilfnll~ s ~(Ilunllw + ~).
Donc <.p(dn ) --.0 quand n --t +00 et '-P est continu.
Lemme Ill-7. Soit 0 J'élément de L1(R+) défini par o(x) = xe-'. Ajon; ~(o)' V, est
contenu dans 'l'(V).
Preuve: Pour tout élément f de VI, on a
i(~(o) * 1) = l(~(o)) .l(l)
= (801:.)(0)' i(l)
= 8(/3) ·l(l)
car /3 = 1:.(0)
=1·l(l)
Ceci montre que l(~(Q) * 1) est dans V et comme i 0 <p
Idv on a l(~(o) * 1)
(i 0 <p)(i(~(o) *1)) = i('I'(l(~(o) * 1))). Donc ~(o) *f = <p(l(~(o) *1)) puisque l est
injectif. Ainsi ~(o) * JE <p(V) pour tout f de V" d'où l'inclusion «(c}. V, C <p(V).
Nous sommes maintenant en mesure d'établir le résultat principal de cet article;
Théorème TIl-S. L'algèbre de Volterra V = L~(O, 1) est similaire cl. l'algèbre de Banach
commutative. radicaje à unité approchée bornée Aol! = W, et l'application l de V dans
West un a-homomorphisme.
PREUVE: Grâce au fait que l 0 tp = Id1) et grâce eux remarques 11-2 et 111-1 et aux
propositions 111-4 et lII-5. il suffit de montrer que <.p(V) est un idéal dense de VI pour
établir le théorème.
Soient donc f E <p(V),g E V, et soit dl'élément de V tel que f = <p(d). Posons d' = i(g).
Alors dd' E D puisque D est un idéal de W. Comme l 0 c.p = Id1), on a:
l(<p(dd')) = dd' ~ ((i 0 <p)(d))· d'
= l(<p(d)) ·l(g)
= l(<p(d) * g)
L'injectivité de l entraîne que c.p(dd') = c.p(d). 9 = f * g, ce qui implique que f *9 E c.p(D)
pour tout J dans c.p(D) et tout 9 dans VI. Donc <.p(D) est bieu un idéal de VI. 0 étant
l'application définie au lemme III-7, on sait que [0: .L1(R+)]- == V(R+) (voir par exemple
{3] p. 47). Donc l'r(cr)VI est dense dans VI et par suite c.p(D) est dense puisque ;r(o:)VI est
contenu dans <.p(D) d'après le lemme III-7, ce qui achève la. démonstra.tion.
, .6

---

§IV - SIMILARITÉ ET COMPACITÉ DE LA MULTIPLICATION PAR UN
ELEMENT
Proposition IV-I. Soient A et B deux algèbres de Banach commutatives similaires. Si la
multiplication par tout élément de A est compacte, alors la mulfiplicatîon par tout élément
de B J'est aussi.
Preuve: A et B étant similaires, il existe une algèbre de Banach commutative D qui
possède un idéal principal aD dense et deux homomorphismes injectifs continus tP de D
dans A et ,p de D dans B tels que 4>( D) est un idéal dense de A et ,pt D) est un idéal
dense de B.
Soit (dn)n;:::l une suite bornée d'éléments de D. La suite (4)(dn))n~1 est alors bornée
dans A. Il existe donc une suite extraite (9(dnJk~:1 telle que (4)(adJl.' ));>1 converge dans A
puisque la multiplication est compacte dans A.
li existe une constante k > 0 telle que IIr l(4)(d)a')IID S klldll Dlla'IIA pour tout d dans
D et tout a' dans .4 ([4] lemme 7·1). En particulier IIdl d,IID S kllddIDII4>(d,)IIA ; dl et
d2 appartenant à D. Donc pour tout élément d de D, on a :
On en déduit que (addn,)i~l converge dans D. Donc la multiplication par d est compacte
pour tout dE aD et par conséquent pour tout dE D.
Soit
maintenant
(b")">l
une suite bornée d'éléments de
B.
Alors
la
suite
(v' -1 (tI'( a )b,,)),,> l est bornee dans D car il existe une constante C > 0 telle que:
Il,p-'(,p(d)b)IID S CIIdllDllbllB pour d E D, b E B.
Donc
pour
tout
d de
D,
il existe une sous-suite
(b",)i2:1
telle
que
la
suite
(d.,p-I(,p(a)bn;));~1converge dans D. On en déduit que:
converge dans B. Ainsi la multiplication par tI'(da) est compacte dans B pour tout d de D.
Comme tI'(aD) est dense dans B, la multiplication par tout élément de B est compacte,
ce qui achève la démonstration.
Corollaire IV-2. La multiplication par tout élément de Aoj 1 est compacte.
Preuve: Il est bien connu que la multiplication dans l'algèbre de Volterra V est compacte
et V et ADJ! sont similaires (Théorème III-8).
Remarque IV-3. L'image L de 1 par l'isomorphisme entre 04
et lvf} introduit
0
à la
proposition II-1 est un idéal de l'algèbre du disque A(D) tel que
Z(L) = {zEV / /(z)=O ;/E L)
soit réduit à {1}. Le corollaire IV-2 est donc un cas particulier de [5] corollaire 2-14.

---

RÉFÉRENCES
1. R. BOAS, "Entire functions," (pure and appl. Math. 5), Academie Press Ine, New-York, 1954.
2. H. G. DALES, Aulamatie contlnui~y: CI "urvey, Bull. London Math. Soc. 10 (1978),129-183.
3. J. ESTERLE, Elements for a clalJJi/icaliofl of commtlta~itle radical Banach algebrw, Lee. Notes in
Math 975 (1983),4-65, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York.
4. J. ESTERLE, QUaJimulbpiief'l, repruentationJ 0/ BOO and the clo,ed ide.al pTOplem {or commutahtlt
Banach algebn1J, ibidem, 66-162.
5. J. ESTERLE, E. STROUSE, F. ZOUAKIA, TheoremJ 0/ KauneLJon-Tzofriu type. (à paraitredans
Journal of Funct.ional Analysis).
6. I.M. GELFAND, D.A. RAIKOV et G.E. CHILOV, "Les anneeux normés commutatifs," Monogra-
phies internalionales de mathématiques modernes, Gauthier Villaf5, Paris, 1964.
7. A. M. SINCLAIR, Contlnuou~ Jerna-groupJ in Banach dgeoraJ, London Math. Soc. Lee. Nole.'! 63
(1982).
8. E. STROUSE, CtoJed ideau in convolutionJ olgeoraJ and the Laploa. tranJ/orm, Michigan Math. J.
35 (1988), 185-196.
Laboratoire M50cÎé au CNRS n" 226, U.F.R. Mathématique.'! et Informatique, Université Bordeaux l, 351,
coun de la Liberation, 33405 Talence Cedex, FRANCE
Département de Mathématiques, Faculté de.'! Sciences el Techniques, Université Nationale, 22 B.P. 582
ABIDJAN 22, COTE D'IVOIRE

---

Chopitre IV
Slmllorltê entre cert81ns quotients de A+
et des quotients d'olgèbres uniformes.
(Il paraître dons cenecten Journal of Math.)

---

SIMILARITE ENTRE CERTAINS QUOTIENTS. DE A'.
ET DES QUOTIENTS D'ALGEBRES UNIFORMES
Par KOUA Konin
V.A.
226 C~REHAB. Université Bordeau. 1
Ab.tract
Le~ A(D)
be the uaual
dl.e al,ebra, and let A'
he the
eub&l,ebra
ot A(D)
conelet1n, in tho •• t E A(D) whlch have an abeelutely conver-
1+1
let G be
the
r une t t c n a
~,-~, eJ:.p (-- ) • 1
and I~A'ntl'
1=Gm j
1-1
.
We show that. ~he quotient alcebras -1/11 and . / I are elml1aT
ln
the aen •• ot J. Jeterle.
~~ Subject Classification NUmber: 46 J 10•
•

---

1.
INTRODUCTION:
Soient A(D)
l'algèbre
du disque
unit6 usuelle,
At
la. sous-algèbre
de A(D)
formée des fonctions
t ayant une série de Taylor absolument
. .
convergente.
At
eet une
&lg~bre de BanAch pour la. norme It1 = L It(n)l.
1
Il ~ a
•
00 le.
t(n) sont le8 coefficients de 'ourier de
tE At, On note reapec-
t1vement Al
( e t . )
l' 1déa.l
r e r më de A(D)
(de At)
formé
des
fonctions
nulles en '1=1.
Soit
Ac
l'ensemble
cha
fonctions
t détinies et continues sur le
demi-plan droit fermé,
analytiques dana
le demi-plan droit ouvert
et
tenda.nt vera
aë r-c 6. l' t n r Ln f . Ao est une a.lg'bre de Ba.na.ch cornrnuta.t1ve.
uniforme
et e
pe.r ab Le
pour
la. norme
IfI.: Sup
If(z) 1.
t E A
ë
o '
• •
1:'0
et A o est isométriquement isomorphe 6. Al
Soit 1 l'1d6a.l
r e r-mè
de s ,
de
la. torme
l e e " 'A o. On d6aigne pa.r V l'a.lgllbre de Volterra. L~ (O. 1)
dea
(cla.sses
de)
fonctions
& va.leurs complexes a.baolument 1ntégra.blea
sur {D,
Il
Selon le
point
de vue choisi,
on peut
identifier V soit &
un s ou e ve s pe.c e de L 1 (IR')
en posa.nt
fi
=0 pour
tout
tE
V,
i$oit à.
& LI (lA')/J
où L 1 (lAt)
e s t
l'a.lgèbre de Ba.na.ch des
(c La s e ea
de)
•

---

fonctions
A valeurs
complexes,
Lebesgue
intégrables sur m' et J
l'idéal
fermé
de LI(~') formé des fonctions nulles presque partout sur [O,ll.
Deux algèbres de Banach commutatives sont dites simita.il"es s ' i l
existe une algébre
de Banach commutative 0
qui
possède
un idéal
pr1nci-
pal
dense et deux homomorphismes
injectifs continus ~ de ~ dans A et ~
de ~ dans B tels que ~(~) est un idéal
de A dense dans A et ~(~) un
idéal de B dense dans B.
A
et B
étant similaires,
on dira
qU'un
homomorphisme continu e de A dans B est un s-homomol"phisme s1
le dia-
gramme
:
-----~. B
est commutatif
([2l
P.
116 et 123)
a
A
Soit G la fonction intérieure définie sur 0'<1)
par
G(z)=
exp
] .
G f
A(D),
me t e
G est
cont inue su-r
(et bornée
par
1)
Posons
1 I=GA],
alors
I l
est un
i d a I
fermé
de A(D)
strictement
é
contenu dans Al.
On pose K=AonI
C'est un
idéal
de A'
contenu dans A.
I
On montre
dans
cet article
que AIR et AIIII
sont similaires
(théo-
r ème
5)
On en déduit alors
que AIR et V sont similaires puisque V et
AQ/I
le sont
([5]
théorème
111-8),
que AQ/I
est isomètriquement 1so-
morphe A AllI
et que
la similarité
est une
relation transitive
([2l
I
proposition 7-5)
La structure des
idéaux
fermés
de A'
reste
trés mal
connue.
Les

---

idéaux
1 tels
Clue h(l)=<z E DI(Cz)=O ~r E I) est réduit A. un point e ,
du cercle
ont été caractérisés
par Rahane
[4).
Ces
idéa.ux sont de
la
forme
J
n A'
où J
est un idéal
fermé
de A(O)
défini
de manière analogue
à
I l '
Des modifications évidentes de
la démonstration du théorème 5
(Cf.
remarClue 7)
montrent
Clue dans ce cas
les algèbres
Cluotients
A i l l e t
Al, 1
1 J
où A ~
et Al, 1
sont les analogues de A et Al'
o
0 0 0
sont similaires.
Bennett et Gilbert
[1]
ont montré plus généra.lement
que si
hCI)=S
est dénombrable
il
existe un idéal
fermé
J
de ACO)
tel
que
I=A'nJ.
L'étude
des éventuelles similarités entre AgIl
et AI, g/J
(o à
Al, s=«
E A(O)/r.O sur S)
et As=A'nA 1 ,3) sera abordée dans un travail
ultérieur,
Je
remercie
J.
Esterle
pour sa constante disponibilité et ses
fructueux
conseils pendant
la réa.lisation de ce
travail.
11. UN RESULTAT DE SIMILARITE
Soit at(z)= exp
[t z+1 ], t E IR. Pour tout t>O, a t est une fonction
2-1
holomorphe
et bornée dans O=<z E ~/ Izl<l),
continue sur 0'<1)
et
de
module
1 en z pour
Izl=l, z '1 1.
Soit 4' l'application Q.ui
à.
tout
f
E LI (IR')
associe 4lC()
définie
par:
, .
Lr(l) a'Cz)dt , i z E j),<1)
~(r)(2)=
0
, i
z=1

---

On oS. la. proposition suiva.nte
:
Preuve:
Pour tout
:1
E O'{l),
on a
.-11
1+. ]
1:'''' :
a.
- - ;JO et 0<" ,,,.
;'i dt
[
1-.
i+~
~i==
..
[; ~
: 1cf(t) ..
dt
J,
donc
~(n(3) = g(f) [ 1+.
où g est la. t r e ne r o r-më e de La.plà.ce. Donc
1-.
l' an t
g r a l e a. un sens
pour tout
z €
ë
B'{l)
et ~(r) est e n a Lv t i que d a n s D
,
-- -
. '
.
- ,
'\\
et
continue
sur ~{l). On a. évidëmment ~(r*l)=~(r).~(I). t.î E LI (R').
1+.
]
Puisque g(t)
- - -
[ 1- a
D, et la proposition est d6moritréè.
' ~:i ]
Posons,
pour
t E Ml ~ Re ~SB. p(h (z) = f [ -.'
. Alors :OCt) E Ào
.+1
,
et
P est un isomorphisme
isom~tri4tie de Ml sur Ao' L' isomor~hisme ré~i-
pro que
p. l
est donné
pour FE i o ~à~ la. formule:
[~ ]
E "" ,',
F
s i
z
t5,Ü j
j)-I(F)(z)=
1-,
0
s i
z=l

---

..
0" • ~lor. t= IJ- 10 •
•• • • t .
...
Pour tout t E L' (R') toi QU.
f:" tlt(t)ldt <t•• Il
t .. elle d.
voir QU. }'a.pplic&t1on 1 d.tinie aur Je produl t ea.rt'Ilen R.', x {ihO»
p.r '(t,J)at{t) .'(1)
v6ritl.
toute.
le.
condition. de d'rlva.tion d'une
lnt'.r .. l. d6penda.nt d'un pa.ramttre. On .. done
:
(t.J)dt
1
.- --- ("t (t,I) dt
(0-1)'
. 1 r
-
t
t(t) a' (0) dt.
Pu aulto 1(0'1)'.(0'(0)1"2(· tlt(OI<+. (.).
o
Ceoi montre que t(I) •• t d6rlvI.ble .ur ~(1) .~ que (1-1)'.(1)'
E S-,
.. le r •• ul~&t lulv.nt
r·
Proposition 1
: Soit
tEL' (R'). Si
Il t(t)ldt
< +. c t c e s t(u''''OE •
n
D
J"
(
ot It(u'.O l, "
[
..... ) .
~ +
Jin, +
tlt(t)ldt
•
1
Preuve
Comme .1'(11) (:1) =
pour Re I~O,
on ..
IH

---

\\];6 -
1+.
1
1-.
j! (u) [
J=
=
1-'
1+.
2
1 + -
1-.
1-.
Donc t(u)(z)
=
J
Z
E ii,Cl).
=
t (0 (.)
• ( t E L l (R') ).
4
.-1
(l-Z)2
t(O (.)+
<1>(0' (.).
2
4
Donc si ( ' t 1t(t) Idt
< +a>, on & Hu' .. t)' E H' n '6'<'ii'{l».
On e e f t
d'a.près un résulta.t
classique
que
sl
t E A(D).
,.
E H·
a.lors
t
E A ' . Plus
p,"cis'ment.
c
si
t ( )
:il
= tL &DZ . on a. p 0 ur r <1 d' a.pr è 9 K8. ha.ne
D = G
([3]
p.
56)
•
r.
il
e
J 1r'
12
. ,
r
n
I&llir
'la. ol
+
[
Ü."" ad t
D = 0
il
,
1 t (0) 1 +
1t' r,
r;
il
d'où
1t Il , = 1T'iii
f 1&.1,' , \\t(O) 1 +
Il t' 1•.
n : 0

---

, "
J,
Donc si
t E L'(A') véritie
tlt(t)ldt
< +m,
1
sup
1 (.-1) '$(f)' (.) 1
4
'1' < 1
r"
.. 1~(f)I" + :
tlt(t)ldt (d'après
l'inégalité
.. IfI, +
J'"
1
tlt<t)ldt
2
,
On obtient
Que ~(ua*r)
E At
n Al = JI et on &
TI
TI
r"
Ifl, +
tlt<t)ldt
TI
, "
Pa.-r
au t t e
14I(u 2 * r ) 1
J,
li;
1fi, +
1
t l t ( t ) l d t ,
d'oô 1& proposition.
Soit
a l
le.
surjection ca.nonique de Al
sur
AllI l '
Comme M. C Mt
et
l{=
JI. n 1],
on peut
identifier A/K a. B ( '« ) .
Pour
r E L 1(IR') tel Que
l
r " t l t < t ) l d t
< -tœ , on a a,(~(U'.f)) E AIX d'après la proposition 2.
c
Soit
V l' e.Lg
b r e
è
de Volterra. munie
du
produit
de
convolution
•
«*I)(x)
=J
t(x-t)&,(t)dt,
O"-X 4; 1
,
t ,
E V.
,
On identifie
isométriquement V A un sous-espAce
de
Li(R t )
en posant

---

9:8 -
t
=0 pour tout f
E V.
On 8. alors r*,-f*I.O pp sur {O,I] pour
1 1 l
, + •
(
f Je EV.
Notons
r
l'a.pplica.tlon
restri.ction 1 - 1
de
sorte
que
1 [ 0 , 1 1
r
est un homomorphisme surjectif de L1(R+)
sur V.
Posons
J=e-~Ao' Alors I=P(I,) et il existe un isomorphisme 150-
métrique P de ml/Il
sur Ao/ ! tel que le dia.gra.mme suiva.nt (où e est la.
surjection ca.nonique de A o sur Ao/I) soit commutatif:
8 l
A,
8
On déduit de
1& proposition 2 le corolla.ire suiva.nt.
1
3D
Corolla.lre 3:
soient cS=9
0 il'
et
v=u 2
•
Posons k=
+
j
"
1 l 0 , l l
4
Alors SOr= elO~ et cS est un homomorphisme continu de V dans Al/Il
De
pt us
S(viV)
C A/K et
H(viODMfl .:;; kDtL
pour tout
r
E V.
Preuve:
Soit
t E LI (lR t )
Alors
f-r(f)-O sur
[0,1],
donc .2( (-rer)) E 1
(voir
par
exemple [6]
lemme
4-4)
Ainsi
~(t)-(41or) (1)=(.0- 1 0 2' ) (f)- t»: lo~or) (f)=p- 1(2'(f)-(2'or) (f) )Ep' l (1)=1 1
Pa.r
suite
(e
0 4l) ( f)
=
(e
0 l2>o r ) ( !) J (1
E L'(IR')).
1
1
Donc
50r=9
Soient
fJi
E V.
On
a
1012>.

---

S (r*i)
= (Sor) (r*i) = (9, o~) (r*i)
= ~(r) • 05(1), et S est un homomorphisme qui est évidemment
continu.
S 1
t EV,
on e,
= e,(~(U:a*f») E AIK d'après le. proposition 2.
g a Lt t
(**)
é
TI
,,,.ô,a.,, , [; , J: ]"', ,
t l t ( t ) l d t
2J;
'l:' :~] ',",
ce
qui montre bien que
IS(viOI.It. Ci kif Dl
pour
tout
t E V,
d'où le corollaire.
1-,
Soit 1J.=~(u) l'applica.tion
z
l~_ _~
J
Z E TI.
Alors
les polynômes
2
en IJ. sa.ns
terme const~nt sont denses
da.ns Al
et dans il et on a
Posons
D =
l
al (,u.4)
(Al/Il)·
Alors
Dl
est
un
idéal
dense
de
A l l I )
et
de
même
que
da.ns
([5]
proposition
III-4) 1
on
voit
que
Dl
est
une
a l g
b r e
è
de Banach pour
la. norme
18.(J.l4)WU O
= IwH ..
I l
• •
E Al/Il
et
que
81(1J.~)I
,
est dense
dans
(DI'
V.l n ) ·
,

---

"fi.IO -
Lemme 4
:
DI
C A/X et
t'injection ca.nonique
(Dl'
. . . 0 ) - (A/K.
Il-l .. n )
,
9St
continue.
1
Preuve:
Posons
B(z)=(
) 1
(Re
z ;..0) J
de sorte
que B=2(u z) et
posons
(1+Z)2
s;,:9(.B)(A o/I). Alors d'après
([53
proposition lII-4)
s;, est une algèbre de
Banach pour le. norme
19(8)"1.= 1"1,
I l '
'IIi' E Ao/ l .
,
Soit i=90g , v ' D'après
([5]
proposition 111-6)
11
existe un homomorphisme
.
injectif
continu"
:
(g"
I . I . ) - V tel que 209'= Id.,
)
est un homomorphisme bien
n ,
Comme i(V)=9(B), on e.
= a(B)( a(Bl.")
= 2(v).( (200) (a (B) ...) )
= 2(v.o(a(B) ...»).
Donc
rp( 9(,82) •• ) ': virp (9(.8) ... ) pour tout 'IIi' E Ao/I c a r 2' est injectif
([5]
remarque
11-4).
Soit
u
E Al/Il'
On &
.o(B(fJ.4).U
)
;:
9(B2)~(Ul)'
J
J
Donc
i( 9 (jJ. 4)U
) (a, (.') . u, )
1
1 )
;:
(e5orpo.o 1 , ,
= s( .(aca)'p(U,)))
= s( v.ocaCB)p(u,»).

---

iJ·ll -
Ainsi
i(D))
C A/X et
i
est continu
Montrons
pour conclure
que
i=ld o
On •
Donc
~ - \\.
-
-
=
•
l
•
(J
O(.i'Orp)O(JID
= (J- OId.o(JtD
::
Id D
l
l
l
Ceci
&chève 1& preuve
du Lemme.
On & &lors
le théorème suivant.
Théorème
:5
Les atgèbres quotients A/X et A]/I
sont
simitaires et
l
t'injGc!tion
natul'"ette
J :A/K - A I / I l
est
un s-homomo1"phisme.
~·A est dense dans A.
Donc DI
est dense dans A/K.
Comme Dl
possède un
idéal
principal
dense et
est dense dans Al/Il
le
théorème
résulte
immédiatement du
lemme 4.
Remarque 6
Comme
Ac/I
est
isomorphe
à. A]/I]
et
comme
la. simila.rité
est
une
rela.tion
tra.nsitive
([2]
proposition '7-5),
il
résulte
du
théo-
rème
5
que
les a.lgèbres A/K, A]/I
et V sont simila.ires entre elles
l
puisque
Ao/l
est
s r m i La
r e
à. V
([5]
théorème
III-B)
ï
En fait
le double diagr&mme commut&tit
suivant
(où
i .
i l
et
j
sont
les
injections
canoniques)
t&it apparaftre directement
les
similarités entre AIK,
A1II
et l'&lgèbre
de Volterr& V :
l

---

i
v
M/K
-
oop
I
D,
En effet.
comme P(D
on a. ('Pop) (D ) : rp( 9 (8)il)=v*<p(i)
.
t ) = 6 ( 8 ) i l ,
1
Donc
('POD)(D1)
est un idéa.l
dense de V puisque 'P(~) est un idéa.l de V
dense
da.ns V
([5)
preuve
du théorème
III-B).
Le double
d t e g r amme
(a.it
donc bien a.ppa.ra.ttre,
gr~ce & Dl'
les trois rela.tions
de
simila.rité.
Notons
éga.lement
que ô:
V ------., A}/I
est un a-homomorphisme.
l
Remarque 1
:
Ka.ha.ne a. montré [4)
que si
1 est un
idéa.l
fermé
de A+
tel
que h(l)={z.)
a.vee
I z ol=1, a.lors I=JnA+ où J=Gl,l .M, • pour un
•
•
[
Hz.
certa.in
t) 0,
a.vec M) , ~ ={t€A(D)It(z.)=O)
et Gl,l
(z)=exp
,-- ] Il
c
o
Z - 3. 0
est cla.ir
que
la. démonstra.tion du théorème
5,
qui
correspond a.u cas
a o = l = l . s'étend trivia.lement a.u c e e g në r-a L.
è
Si
h(I)={za)~ 12
1 <1 , a.lors il est immédia.t
que
0
I={f
E A'/f(za)= ••• =f(ll"l (2
) = 0 )
pour un certa.in k.,.l
et
A+/I
est
évi-
0
demment
isomorphe
à. A(D)/J
où J
est
l' idéa.l
défini
de
me.n t
r-e
e.na I c g ue
ê
da.ns A(D).
On a. donc
toujours
simila.rité entre
A
II
et Ml. ~
IJ
pour
un
.1
,
certa.in
idéa.l
fermé
J
de
A(D)
si
h(I)
est un singleton {zo)
et

---

REFERENCES
[1] C. BENNETT et J.!.
GILBERT: Homog9neous ~1gebr4s on the ci1'c19.
Ideats of anatytic functions.
Ann.
Inat.
Grenoble
22,
3
(1972)
1-19.
(2l
J.
ESTERLE:
Quastmuttiptiers~ representations of H-
&nd the
ctosed ideal probtem for commutative Banach
atg8bJ"as.
Lee.
Notee,
ln Ka.th.
975
(1983)
86-182.
[3]
J.P.
KAHAN!:
"Sd:ries de Fou:rie1" absolument
COnV81"gentes",
Spr1nger-Verla.g, Berlin Heidelberg New-Yor~1970.
[ 41
:
Id4au% p:rtmai:res fe:rmds dans certaines algèbres de
Banach de fonctions analytIques,
Lect.
Notee
in Ka.th.
338
(1973)
3-14.
[31
K.
KOUA
Similaritl entre t'algèbre de Volterra et un quotient
d'algèbre
uniforme.
CA pa.ra.ître).
[8]
E. STRaUS! : Ctosed ideats in convolution atgebl"Gs and the Laplace
tr'ansfoJ"m,
M1chll:a.n J.
3'
(1988)
18'-198.
L~boratoire a.ssoclé au CNRS n·226,
U.F.R.
Mathématiques et
Ln r c rme t t que
Université
Bordeau.
1
351 cours de
la Libér~tion
33405 TALENCE CEDEX.
FRANCE
Jlàresse Principale:
Dêp a r t eme n t
de Mathém~t iques
Faculté des Sciences et Techniques
Université N~tionale
22 B.P.
~82 ABIDJAN 22
COTE D* IVOIRE

---

Chapitre v
5lmllar1tê entre quotients d'Idêaux fermês de Q(D) et de A+
(sera soumis Il punucenon).

---

D'IDEAUX PERMES DE A·-.E...LJLE.....
P8r xontn !tOUA
UA 226 CeReMaB, Unlyerslté Borde8ux 1
ADSTRAI:T: Let E be 8 closed subset of the unit ctrcla whlch settsüas the
+
C8r1eson condition. Denote by 10(E) the closure ln A+ of the set of eu f E A'"
such tnet fln) ventshes on E, for eech n >o. For 8ny closed lde81 1of A+, we
denole byf' lhe closure of 1ln the dlsc 8lgebr8 0(0). We show thal, 1f
+
hO) n r C Ethen 1contetns 811 procucts fg where f E10(E) end g E f' n A+.
+
If, further, E = hO) n r. {o} ~ 1 ~ 10(E) 8nd If the zero set h<Il of 1
settstias 8 suilable metric condition, we show thet the Quotient 81gebr8
+
10(E) / 1ts sfm118r ln lhe sense of J. Esterle 10 'Jll.E / f' where 'Jll.Els lhe
sel of 811 funcllons ln 0.(0) Y8nlshtng on E.
AilS Subject Classifisgtion Number: 46 J 10.
Il Introduction: On désigne per 0(0) l'algèbre du disque unité usuelle
munie de 18 norme
1~1l" =sup IHz)1 =eup If(z)1
Izl( 1
121= 1
et per A+ 1'81gèbre de Ban8ch des foncllons f E 0.(0) aY8nl une série de
Taylor ebsotumant conyergenle, munie de 18 norme

---

00
="
IIfli
If(n)(o)1
1
~
ni
n=o
Soit r le cercle unitè. On note A(r) l'~lqèbre de Wiener des fonctions
ccmptsxee continues sur r telles que
l
l[(n)1 <+00. Munte de le norme
neZ
IIfll, = l
IÎ(n)1 et du produit ponctuel, A(r) est une ~lgèbre de B~MCh
. neZ
commutettve, unit~lre et règullère. On peut Identifier les fonctions f de
A+ 6 leur restriction 6 r et on ~ etors A+ = Mr) n Cl(O). On note H'"
l'~lgèbre des fonctions ~n~lytlques bomèes sur le disque a et on poss
An = {f e Cl(O) IfOc) e Cl(O) pour tout l 'k 'n}.
Soit Eun ensemble de mesure nulle du cercle. On note successlyement:
I(E) = {f e A(r) 1 f .. 0 sur E}
\\+(E) = {f e A+1 f • 0 eur E}.
+
On dèslgne per lo(E)I'~dhèrence dens A+ de l'ensemble des fonctions
de A"' nulles evac toutes leurs dérivées sur E.
511 est un jdé~1 fermé non nul de A+, on pose
h<J) =[z e li 1 f(z) =0 ... f el}

---

et on dêslgne per l'" 1 respecttvement , A) 1'ldê~1 fermê de ClIO)
(raspecttvament de AIr» engendrê P~r1.
Les ldê~ux fermês , de A'tels Que h(Jl n r sott nm ou dênombreble
ont êtê complètement ceractèrtsâs il y ~ longtemps per J.P. K~h8ne [9] et
per ~ennett et Gilbert [ 1]. Ces 1dêaux sont de 1~ forme' =l'" nA'.
Très rêcemment, Esterle, Strouse et Zou~kl~ ont obtenu des
râsuttets dans cartetns ces où hO) n r est perrett [6] et [19]. En
perttculter, Ils ont montré Que si nü) n r est contenu cens le tenter
tn~dlQue C du cercle, elcrs 1 =l'" nIA. CecI montre Que l'lE) =';IE) sI
Ece yérifie re synthèse.
üens reutre direction, J. Esterle [5] Ylent de montrer Qu'il extsts des
ldê~ux fermês' de A' tels Que' ~ 1An ,00, ce QuI contredH l~ conjecture
de ~ennett et Gilbert [1].
On s'Intéresse Ici, cens le ces où E est un ensemble de censson du
cercle ldéflnHlon m-i), eux ldé~ux fermés non nuls [de A' strtctsment
,
,
contenus d~ns IolE). 51 Ec C, on e rreprss [6]. , =[ .. n'olE). 51 Eest un
,
ensemble de C~rleson Quelconque nous montrons Que JO) C' C l'" n'olE) où
JO) est l'idé~l fermè de A' engendré per les produits fg evec f El'" n A'
,
et g E 'olE) lthêorème In-2). L~ seule Question ouverts cens ce ces est
donc de sevotr si l'idé~l engendré per ces produits fg est dense dans
,
l'" n'olE). En rreutres termes, le QuestIon est de sevotr si l'~lgèbre
,
Quotient 'olE) t t possède des dlylseurs de zéro absolus (lemme In-3).
,
Nous montrons snsutta, cens le C~8 où {o} il! , ~ 'olE), MI) n r =Eet
n
'
J
1
log dlstle1', hllll d6 <'00,
-n

---

,
Que les algèbres Quotients 'o(E)/' et mE / fi' sont slm1lalres au sens da
J. Esterle (thànràma w-7). Notons au passage Que les ~ivlseurs ~e zëro
absolus n'Interviennent pas dans la slm1laritè (proposition 0-2).
Un résultat analogue a ètè obtenu par l'auteur par ~es màthodes
élémentaires dans le cas où h(I) ri r est ré~uit â un point [i4].
Tout ceci montre Que les I~éau~ fermès et Quotients ~'i~èau~ fermès
da Q(D) donnent une trés bonne information sur les i~èau~ et Quotients
~'I~èau~ fermés de A', Il condttton ~e se limiter eux Idéau~ fermès non
,
nuls [~'o(E) dont l'intersection avec A"' ne se réduit pas â {O}.
La métho~e utilisée ici est largement basée sur les estimations da
Taylor-Williams [17, lemmes 5-6 et 5-9] Qui étaient â la base de la
caractérisation das i~éau~ fermés das algébres A"', An et
IHelt ,) - Hei12)1
1\\",(0) ={f e Q(D) /Iim
1 _
1'"
=0 uniformément
t 1
\\2
quend 1\\,- t 21-
o],
obtenue respectivement par Taylor et W1Iltams [i7]. Korenblyum [12]
et Matheson [15].
Au rond, l'application ~e ces mèthodas â A' donne de très bons
,
résultats quand , c 'o(E). Par contre, le cas, encore largement ouvert Il
,
notre connaissance, où
'o(E) ~ , :l ,'(E) requiert des mêtnccss
spécHlQues d'Analyse Harmonique. Les caractérisatlons obtenues par
Esterle, Strouse et Zouakla [6] et [19] sont valables pour des ensembles
da Carleson Epossèdent des propriètès très fortes ~'uniclté.

---

mPréliminaires:
Rappelons Que si A est une algèbre de Banach commutettvs, on
appelle redtcei de A, noté RadA, l'Intersection des noyaux des caractères
de A. On dit Que A est semlslmple si RadA ={O}. Par a111eurs, on appelle
divIseurs de zéro absolus (d.z.e) de A , les éléments a e A tels Que a.b = a
pour tout b e A. L'ensemble de tous les dtvtssurs de zéro absolus de A se
note d.(A) et on a évidemment
d.(A) = {o} st A est semislmple ou
unttetre.
Définition 0-1 [4, pp. 116 et 123].
(al sotent A et B deux algèbres de Banach commutatives. On dit Que A
et B sont stmüatres s'tl sxrsta une algèbre de Banach commutative 19 Qui
possède un Idéal nnnctpet dense dJ9 et deux homomorphIsmes mjecurs
conttnus 'P : 19 --+ A et llJ : 19 --+ B tels Que 'P(J9) soit un Idéal dense de A
et llJ(J9) un Idéal dense de B, (on remarqua Que cette défInitIon trnpltqua
Que ['P(d)A] -
=A et [llJ(,d,B] - =B).
(bl serent A et B deux algèbres de Banach simnetrss, On dit QU'un
homomorphIsme D: A ---> B est un s-homomorphlsme s'tl sxtsta 19 ,'P et llJ
vérifIant les conditions de (a) tels Que llJ =D0 'P.
ProoDosition 0-2.
Soit A une algèbre de Banach commutative qui possède un
Idéal principal dense. AloJ"S A est similaire Il AI~(Al et
l'application 0: A ---. A/d.(Al est un s-homomorphlsme.
Preuve: Soit 19 =dA un idéal principal dense de A. On suppose Que
IID(dlll (1. On définit une norme sur 19 en posant
Il dxll = tnr Il z Il = tnr
IIx • yll = IID(x)lI.
_
tj«l.(A)

---

on a bien une norme d'algèbre car
Ildx.dx'lI =Il B(dxx'lll , IIB(dlIlIlB(xlll B(x'lll
, IIB(xlIlIlB(x'lli =IIdxlllldx'll.
Il est évident que, munie de cette norme, B est une algèbre de Banach
commutative, linéairement Isomorphe Il A/d,(Al . L'injection naturelle
1: B ---> A est continue car IIdxll =IIdzll' IIdllllzll pour tout z E A tel que
dz =dx. Donc IIdxll ~lIdlllldxllB ; B.l est Injectif car sI B(dx) =0, alors
dx E d,(A). Par suite dxy =0 pour tout y E A. Donc x E d,(A) puisque dA =A.
Il s'ensuit que 8. i
est un homomorphisme Injectif continu de B dans
A/d,(A) ; d'où la proposition.
+
In) 51mllarltê entre 1Jfl.LJ et 1LELJ-
D1lflnltlon m-l [3]. On dit qu'un sous-ensemble fermé E de r est un
ensemble de Carleson (ou vérifie la condition de Carleson) si
n
flog+dlSt(~18, E) dB <+00 où dlst(e18, E) =inf lel8- (1.
(EE
-n
51 E est un ensemble de Carleson, il existe, d'après [17, théorème 3-3),
une fonction extérieure,. E AU> qui s'annule exactement sur E et telle que
,.(0) =0 sur E pour tout n ~ 1 (par contre, st E n'est pas de Carleson, alors
toute fonction
de (i(D) lipschitzienne dans 0 et nulle sur E est
identiquement nulle [17] ou [3]).

---

+
+
On note 10(E) l'adhérence dans A de l'ensemble des fonctions de Am
+
qui s'annulent sur E avec toutes leurs dérivées; 10(E) est un idéal fermé
de A+ car les polynômes sont denses dans A", D'après le résultat rappelé
+
plus haut, 10(E) est sans facteur intérieur, c'est-Il-dire que le plus grand
+
commun diviseur des facteurs intérieurs des éléments non nuls de lo(E)
+
est 1, et h(Jo(E)) = E.
+
Il a été montré dans [5, § 2] ou [i9. Corollaire IV-3] que lo(El est contenu
dons 1pour tout idéal fermé 1de A+ sons facteur intérieur tel que h(l) C E.
Le théorème suivant précise ce dernier résultat.
Théorème 111-2. Soit E un ensemble de cerleson, soit 1 un idéel
fermé de A+ tel que (h(I) n F) c E. On pose
+
J(I) =[spen{(IOO n A+).I (E)} J
Alors J(I) c 1.
o
Preuve: Considérons l'idéal fermé de A+ défini par
1={feA+ /f.(lmnA+)CI}.
On sait, d'après [19, théorème m-s]. que h(I) C g>(h(ll n rl où g>(h(ll n n
désigne la partie parfaite de h(l) n r et que 1 est sons facteur intérieur.
Posons F= h(I) .
Si F = "alors 1 el, 1= lm n A+et le résultat est évident.
Si F .. " alors F est un ensemble de Corleson et d'après [17, Théorè
me 3-3] Il eKiste une suite (fn'n de fonctions de Am, nulles sur F et telles
Que Un
' f dons Aoo, donc dans A". pour toute fonction f de Aoo
n _
nulle avec toutes ses dérivées sur F.
Comme 1est sans facteur intérieur on a fne 1pour tout n d'après
+
[19, théorème m-s] Soit g =n.r. h e l''' n A", ! e lo(E).

---

1,8
ün e ll ~ - ~mll, - -.....- o oü ~meAoo, ~~.osurEPourm) 1, p)o.
m -
Pour chaque m fixé, on a h~mfn e 1 (n) 1). Puisque ~mfn
1 ~m' on
n _
a
h~mfn
1 h~m'
Donc h~m e 1pour chaque m fixé. On en déduit
n_
que 9 = lim
h~mel; d'où le résultat.
m ~ ..
+
lemme m-s. Soit E un ensemble de ClIrleson. Soit 1 C lo(E) un
idélll fermé non nul de A+. Alors
+
+
+
+
d
00
ll( lo(E) 1 I) = ".( lo(E) n 1 ) où ".: lo(E) --> lo(E) 1 1 est
l'lIppllclItlon clInonlque.
+
+
+
Preuve: Posons H = .0(E) II. Soit f e .0(E) n 100 ; alors f.g e JO) si g e 10(E).
On a alors 110(0110(9) =0 puisque J(I) C 1. Ceci montre que 110(0 e da(H)
et par suite 110U~(E) n100 ) C da(H).
+
Inversement,sll1o(O e da(H), 9 e 10(E) alors 110(t)110(9) =0, donc fg e 1.
+
Or 10(E) contient une fonction extérteure op qui s'annule exactement
sur E d'epràs [i7, théorème 3-3]. Par suite f.op e 1 et donc le facteur
intérieur SI de 1divise le facteur intérieur de 1.
Comme op est nulle exactement sur E, f s'annule sur (h(1) n n\\E. Hais
+
puisque f e 10(E), f est nulle sur Eet on voit que f est nulle sur
hU) n r= hUOO) nr. Donc f e 100 d'après [6, p. 65]. Ainsi f e .~(E) n .00 et
da(H) C 11
n
0U+(E)
100 ), ce qui achève la démonstration.
o
.
Corollllire m-4 : Soit E un ensemble de ClIrleson, soit 1 ~ I;(E)
un Id6ll1 fenn6 non nul de A+. Alors les 1I1g6bres quotients

---

- --
- - - - - - - - - - -
+
+
+
-
quotients 1 (E)II et 1 (E) 1 (lo(E) n i ) sont similaires et
o
0
l'application canonique I+(E)/I --+ I+(E)/O+(E) n 1-) est un s-
o
0
0
homomolllhisme.
+
Preuve : Ayec les nctettons du lemme m-s et H =10CEl/l, H / da(H) est
+
+
cenontquement Isomorphe ~ 10(E)/(Jo(E) nJOG) d'après un rêsultet d'algèbre
êlêmentalre [2, P.l02] puisque 1est contenu dans I~(E) n lOG. Le ccrcuetre
résulte alors de la ereecstuon n-2.
Il est montré dane [4, proposition 7-5] que la slmllantê est une
relation trenstttva, Nous aurons besotn du râsultet suivent (IndIqué sans
dêmonstratlon dans [4, remarque7-23 (3)]) qul précise cette trenstttvttê.
Lemme rn-5. Soient A,D.C trois algèbres de Danach commutatiye
possédant des idéaux principaux denses. SI A est similaire 6 D
et D similaire 6 C et si s, : A --+ Det S2 : D--+ C sont des
s-homomolllhismes, alors S20S. est un s-homomolllhisme de A
dans C.
'f" "'" 'f
Dnuye : SoIent /il,.
et /il2, 2- "'2 correspondant aux
s-homomorphlsmes s, et S2. On a les dlagr8mmes commutattfe sutvents :
s,
52
A
, B
, C
'f,\\Â\\Â

---

1.,10
Soient d, E B, et d2E B2tels que [d,B,J =B, et [d2B2J =B •
2
On pose d3 ='lJ,(d,).'I'2(d2) et on considère B3=d3B. Alors B3 est un ldè~l
dense de B. Muni des opèr~t1ons dèl1nles sur B et de re norme
IId3ull =IIlHu)lI, où li est l'~ppllc~tlon cenontque B-
B/d~(B), Jil3 est une
~lgèbre de B~nach qui possède un tdé~l prtnctpel dense d~B3' Il est
éYident que B3c 'lJ,(.~,) n 'l'iB2)' Soit j l'injection B3-B. alors
'lJ,-' 0 j et '1'2-' 0 j avec 'lJ,-' et '1'2-' définies respectivement sur 'lJ,(B,)
et 'l'2(.ll2)' sont des applications injacttvas de B3 dans Jil, et de B3 dans
B . Le diagramme sutvant est commutatif:
2
s,
A- - - -..... B- , - - - -...., C
'\\
~
'l', \\
1
B,
1 j
\\
\\
\\
B3
En effet s20 s, 0 'l', 0 ('lJ,-' 0 j) = s20 'lJ, 0 ('lJ,-' 0 il
= S20 j = S20 ('1'20'1'2-' 0 jl
= 'lJ20 ('1'2-' 0 il
Donc S20 s, est bien un s-homomorphisme et le lemme est démontré.
+
Dans la suite E désigne un ensemble de Carleson du cercle, 1 ~ 10(E)
un idéal fermé non nul de A+ et 0< la fonction z ...... z. On notera également
+
li : A+
, A+1(lo(E) nIOO )
e:eJ.(0) - - , 0.(0) 1100

---

1.11
T:A·/(J~(E) n100 ) --, ~(D) /100
-
les eppucettens canontquss. Il est Il noter que I~ restrictIon de
1 Il
•
lT(Jo(E)) est tnjecttvs.
Il est bIen connu et rectta de yolr que le spectre de TT(oc) est èg~l Il
•
h(lo(E) n 100 ) . D'~près [19, lemme IV-l], on e
•
lI(m(oc) - ~nl ( 2 II(n(oc) - ~nl pour 0 <r ( 1 et ~ e r \\ h(Io(E) n100 ) .
Toujours d'eprès [19, prnpos1tion 1V-2]. on sert eusst que si f e A· Yèrifie
I~ cond1tion
n
Il
11-,
( 1)
J If(e )11I(n(oc) - e ) Il dt <.00, elors
-n
-,
n(f) =(1/2In) r fW (n(oc) -~)
d~
r
(l'tntèqrela ëtent défInie eu sens de Bochner).
On e etnst
-,
(2)
IITT(fg) Il =lIt 1/2in) J
.
f(~)g(~) (n(oc) -~) d~1I (k IIgll.., (g e A )
r
où k est une constante indépend~nte de g. SI 9 e Hoo, g*(t) = lim g(rell)
...,
extsta pour presque tout t et on e g* e LOO[0.zn] Soit f e A· Yérifl~nt (t).
soit 9 e Hoo et soit p l'eppltcettun t 1--+ f(elt)(n(ex) - eit)-Ig*(t)) ; pest
mesureble eu sens de Bochner [7, sec. 3-7] puisque l 0 p est masurebla
•
*
•
pour tout l
e ( A·/(10(E) n 100 )
et puisque
A·/(10(E) n 100 ) est
sëperernle, A· l'ét~nt. Il s'ensuit que l'intégr~le-,
(1/2in) 1 f(~)g*(~) (n(ex) -~)
d~
axtsts eu sens de
r
oo
Bochner pour tout 9 e H , et donc pour tout 9 e ~(D). On pose elors :
-
-,
(3)
n(fg) = (1/zm) r f(~)g*(~) (n(ex) -~)
d~
r

---

-{12
pour 1 e A+ yériflant (l) et 9 e Hoo.
On a les propriétés sutventss :
+
(4)
"(Ig) e n(Io(E»),
(g e Cl(D)),
(5)
n<fg)n(h) = n<fgh) (g e li(D), h e A+ ),
En effet il est immédiat que si 1 e A+ Yérilie (1), alors Ig Yérilie
aussi (t). Donc "(Ig) = n(lg) pour tout 9 e A". De plus si 1 e A+ Yérilie (1)
+
alors 1 e 10<E) ; en effet, si w désigne l'application canonique
+
A+ ~ A+!Io(El, alors Ilw(1)11 ~ Iln(1) Il pour tout 1 e A".
n
il
il.'
Comme 1 Yérilie (1), on a
r II(e )111(w(oc) - e ) Il dt ( +co,
-n
+
+
Il vtent alors, d'après [t9, corollaire IV-3], que 1 e [0(E) puisque 10(E)
est sans tecteur intérieur, Il en résulte que (4) sst Yériliée pour 9 e A+,
Comme A+ est dense dans Cl(D) et comme pour 1 li~ée Yériliant (1)
l'application 9 .......... "(Ig) est continue sur li(D), on déduit de ce qui
précède que (4) est vreta pour tout 9 e Cl(D),
St 1 e A+ Yèrlfie (1) et si 9 et h sont dans A+, on a
n(fg)n(h) = n(lg)n(h) = n(lgh) = "(Igh)
On li~e maintenant 1 e A+Yériliant (1) et h e A".
L'application L: 9 .......... "(Ig)n(h) - "(Igh) est continue sur li(D) d'après (2).
Comme L est nulle sur A+, on vert par densité que L est nulle sur Cl(D), ce
qui établit (S).
Soit maintenant 1 e Cl(D) Yériliant la condition
n
.,
(6)
1lf(z)III(B(oc) - z) Il dz ( +co.
-n

---

Alol1lle même argument Que dans le cas de A' permet d'obtenir l'égall té
-,
B(O =0121n) 1 fW (6(oc) -~) d~.
r
Ainsi pour f e A'vériflant(\\) et 9 e Cl(D), on a
... ...
" ' - 1
(7)
i(n(fg)) =(1121n) 1 f(~)g(~) (i(n(oc»-~) d~
r
-,
= (1121 n) 1 ((~)g(~) (B(oc) -~) dt
r
=B(fg).
En vue d'établir le résultat de similarité annoncé, nous aurons besoin
du lemme suivant:
Lemme m-s . 501\\ 1 :i I:(E) un IdéDI fermé non nul de A' tel
que
n
-
h(I) n r = E. On suppose que
f
1
log dist(ell, b(1)) d8 ( -00.
-n
Alors Il existe une fonction extérieure, e Aoo nulle DyeC toutes
ses dérlylles sur E et telle que Sup
I,(A)I 1I(n(a<)- A)-'II ( -00.
AeH\\E
preuye : Supposons Que 1 ett pour facteur intérieur 65, où 6 est un produit
de 61aschke d'ensemble de zéros h(I) n 0 et 5 une fonction intérieure
singulière. D'après [16J il existe une fonction extérieure F e AC< nulle
exactement sur E, vérHiant Fen)IE: 0 pour tout n ~ 1 et telle Que BF e Aoo.
Comme 6F s'annule également avec ses dérivées sur E, on a 6F5 e Aoo
d'après [17. théorème 3-3]. Il s'ensuit que 6F5 e A' n100 . PuiSQue
•
Fe 10(E), g = F.(6F5) e J(I). ü'eprès le théorème m-z. gel. D'outre part
g'eAOOcA'.

---

}.14
g(z) - g().)
On pose
4>).(z) =
z _).
, ).,Z e D", ). ;O!Z
et
00
L~ série
r ~(n)[oc" -'+ oc" - 2). +
+ oc)." - 2+)." - ']
définit une
n~1
fonction III de A+ puisque
et puisque
r n 1~(n)1 <+00 CBr g' e A".
n~,
On e etors
00
zn _ ).n
, [
co
co
]
llI(z) = r
~(n) z _ ). = z-).
r ~(n)z" - r ~(n)."
n=1
n=1
n=1
=4>).(z), ).;o!z
Ainsi 4>). = III et 114>).11 ~ r n 1~(n)1 = IIg'lI \\' Or pour tout). ,on e
n~,
(oc - ).) 4>). =9 - g().).
Donc
(n(oc) - ).) n(4)). ) =- g().) putsqus n(g) =o.
Pour). e r\\E, g().) ;o! 0 et on B
g().)(n(oc) - ).)- 1 =- n(4)). ) ..
P~r suite
Ig()')III(n(oc) - ).)- 'II' IIg'II"
(). e r \\ E).
RemplBç~nt 9 per son expraeston et observent Que Bet S sont de module 1
sur r\\E, on obtient IF2().)11I (ntee) - ).) - 'II 'lIg'II, <+co
().e r\\E), et le
lemme est démontré.

---

Remorque: On peut donner une dêmonstl1ltlon plus simple du lemme m-e
sI 6 = 1, c'est-è-dtre si h([) c r. oens ce ces, toute fonction op e A(2l ,
nulle evac op' sur E, Yênfle le condttton du lemme, où
A(2l = { g e li (D) 1 g'. g" e li(D)} .
En effet. on dèdult tecnemant de le formule de Teylor
(Yolr [19, Chep. n]) que 1opOI)(dlStO..E))-21 est bamé sur nE et on dêdult
des esnmenons de Teylor-Wll11ems [17, lemmes 5-6 et 5-9] que
(dlst(}I.E))l Il (n(oc) - À) - 'II est bornè sur nE. donc op Yérll1e les
conditIons du Lemme.
ThéQrème m-7 : SQIt E un ensemble de Carleson du cercle. SQIt
+
{Q} .. 1 llloCE) un Idéal fermé de A". tel que hO) n r = E et
n
+
1
yérifle la condltlon
J log disUei ' , ~CI» dB ( +00.
-R
+
-E
Alors les algèbns qUQtients
IQCE) 1 1 et
1 100 sont
stmilalns et l'hQmQmQr]Jhlsme naturel I:<E)/I --+. _E/loo est
un s-hQmQmQr]Jhisme.
+
+
Preuve: Il suffIt de montrer que 10(E) 1 (10(E) n 100 ) est slmllelre il
s-homomorphisme, puisqu'alors le théorème découle du corollaire m-a et
du lemme rn-s.
Notons F la fonction extérieure de Aoo donnée par le lemme m-s.
+
+
+
Alors F e 10(E) On a [F 10(E)]= 10(E) d'après [6] ou [19] et

---

[F 'lII.d -
= 'lII.E d'eprès le théorème de 6eurllng-Rudln [6, p. 65].
RemerQuons Que 'lII.E / 100 possède une un1té epprochêa bornée (u.e.b)
putsqua 'lII.E en possède une (votr per exemple [16, p. 1063] ou [6]). Notons
eusst Que O(F) n'est pes un dtvtseur de zéro dens'lll.E / ,00 cer si O(F).u = 0
alors u = 0 puisque [O(F)('lII.E /1 00 ) J
= 'lII.E / 100 et puisque 'lII.E / ,00
possède une ue,n.
On pose S =O(F'lII.E) = O(FJ.('lII.E / ,00). Alors de même Que cens [13, § ID] on
vntt Que S est un idéel dense de 'lII.E / 100 et Que muni des opêretrons
définies sur 'lII.E / Joo, S est une elgèbre de senecn pour le nonne définIe
sur S per 1I0(Fu)1I =1I0(u)lI, u e 'lII.E
Oe plus S possède un Idéel prtnctpel dense puisque [O(F)2SJ
= S
ralettvamant Ille nonne de S.
On écr1t tout élément deS sous le fonne d =O(Fu), u e 'lII.E et on défin1t
+
i'eppttcettnn f: S ---+ A+/Uo(E) n 100) en posent, pour tout d = B(Fu) e S
-
-,
f(d) =n(Fu) =(1/21n) J F(~)u(~) (n(e<) -~) d~.
r
Alors:
1l f est bien définIe. En effet si O(Fu) =d, =O(Fu ) , u., u e 'lII.E' on e
2
2
u,-u e Joo puisque O(F) n'est pes un dlYi seur de zèro cens 'lII.E / ,00. Il
2
axtste alors une sutts (!ln)nl, d'éléments de' telle Que
+
II(u ,-U2)-iln11u,
, o. Pour chequa n, F!ln er c 'o(E) n,00.
n -+ ..
Per sutte, n(F.(u,-u »)=nUlm F!ln) =l1m n(F!ln) = lim n(F!ln) =o.
2
n -+co
n .....00
n-+cD
li) Puisque F Yérlfte (1) on e T0 f ='dS d'eprès (7).

---

/ (
3-- 17
+
+
iii) f est à valeurs dans 10CE) 1 (JoCE) n 100) d'après (4) et f est injectif
d'après (ii).
Il est éYldent que f est llnéelre. Montrons que
f(d,d ) =f(d,)f(d ) , d,.d E 19.
2
2
2
Soient d, = O(Fu,). d = O(Fu ). u., U
'JI1.E.
2
2
2E
on e
i(f(d,d ) ) = d,d
2
2
= i(f(d,)). i(f(d )) = i (f(d ,)f(d ) ).
2
2
-
+
L'injectiyité de , In(Jo(E)) entraine que f(d,d2 ) = f(d,)f(d2) et f est un
homomorphisme d'algèbre.
tv) f est continue car pour d = O(Fu) E 19, u E 'JI1.E' on a Il f(d)1I ~ k lIu + ylloo
pour tout y E 100 . Donc IIf(d)11 ~ k IIB(u)11. c'est-à-dire IIf(d)1I ~ k IIdlloo où k
est la constante associée à F dans la relation (2).
+
+
y) f(19) est un idéal dense de 10(E) IOo(E) n 100 ) . En effet. soient
+
d = O(Fu) E 19. u E 'JI1.E' et fE 10(E). On a
n(f).f(d) = nef) ft(Fu)
= ft(Fuf)
d'après la relation (5).

---

<j.18
Puisque le d18gr8mme
Id
> - - - - - - - +
1
n
0(0/(10(0
(00)
+
+
est commuteut nous venons 8insi de montrer Que 10(E) 1 (lo(E) n (00) est
stmnatrs Il 'l1\\,E/loo et Que ï est bien un s-homomorphisme de
+
+
1
ni"") dans 'JI1,E Il'''' Ceci 8chève le preuve du théorème nr-r.
0(0/(10(0
Définition rn-a [10] : Soit E un sous ensemble fermé de r.
8) E est dit de type ZA+ s'il existe une fonction non nulle f e A+ telle
Que f " 0 sur E.
b) E est dit de type AA+ si pour toute fonction f e A(r), 11 existe
g e A+ telle Que f " g sur E.
Définition m-g : On dtre QU'un sous ensemble fermé E de r est un
ensemble A+-régulier (ou simplement un A+-régulier) si E est
un
ensemble de type ZA+ et si 1 =[~ ni"" pour tout Idéel fermé l '" {o} de A+
tel Que h(l) n r c E.

---

Des exemples de tels ensembles sont donnés per les fermés
dénombreblesliu cercle, l'ensemble de tenter trtectcua
co
c =[s", t =zn "" ~,e =0 ou 1 } et plus générelement les fermés E du
.L.. t'
n
n=,
cercle pour lesquels Il existe une sutta d'entIers (n), strIctement crctssents
et un fermé F de Cerleson tels que UkE",C F(votr [6, §3] ou [19]),
On sett que tout ensemble de tertasen non dénombreble centrent un
ensemble pertstt quI est un A'-régulIer [S, §S].
On dédu1t etors du théorème 1II-7 le rssuuet suivent :
IIlê.lIdm.ll.m-Io: Soit E un ensemble A+-réguller et soit 1 .. {o}
un Idéal fermé de A+ tel que F = h(I) n r soit Inclus dans E et
tel que
n
(8)
l +
1
log dlst{eil.
-n
Si F est de synthèse, alors les algèbres quotientsl+{Fl/I et
'llLF II- sont similaires et l'appllcatlon canonique
j : A+1 1 -~(D) II- définit un s-homomorphisme Injectif de
1+IFl/I dans 'llLF 11-,
Preuye : Puisque F est de synthèse, I(F) est le seul idéel fermé de A(rJ
tel que h(I(F)) = F, On e donc f" =11F) puisque h(f") = h(I) n r = F, Comme E
est un ensemble A'-réguli er, on e el ors 1= [co n 11F) =100 nA' et j est bien
un ncmomarpntsme InJectll de J'IF) / 1dens 'IIl.F / Joo,

---

!
y.20
+
+
D'eutre pert 10(Fl est sens recteur Intérieur et hOolFl) =F puisque
l'hypothèse feite SUri sntretne Que F est de Carleson. De même Que
+
+
ci-dessus on a 101F) =(IolF»OO n A+ =mF n A+ =l+lFl. Le théorème m-IO
résulte alors immèdietement du théorème 1II-7.
REMARQUE rn-Il:
1) Quend E est un A+-régulier de résolution, les théorèmes m-7 et
m-ID restent yelebles sens restriction sur F, cer Fest eutomettcuernent
de synthèse per définition des ensembles de résolution. Ceci est en
perttcuner velebls Quend E est un ensemble de Kronecker contenu dens le
center C, ou Quend Eest dénombrable (votr (i r. p. 60 et p. 95]).
2) La condition (6) est trtvietement Yérlfiée per [ si h(I) cret si
l'ensemble Edu théorème m-ID est un ensemble de Carleson. On voit donc
Que les théorèmeslII-7 et m-rn améliorent considérablement le résultat
de (14] où nous supposions Que h(1) était réduit Il un point du cercle.
3) [1 est logique de penser Que la condition (6) sur 1 n'est pes
indispensable cens les théorèmes m-7 et m-I D. nets notre méthode
repose sur l'existence d'une fonction non nulle F e A+ vérifiant le
condition 11), et ceci implique Que l'idéel [ Yérlfie le condition (6). En
effet, soit n: A+-----' A+/I l'application canonique; on a
II(n(o<) - ettnl ~ I~ - eitl -, pour tout ~ e h(I) car Spec(n(o<)) = h(I) et
(~ - eit)-l e Spec(n(o<) - ett)-lsi ett é hO).
Donc si F vérifie (1), on a
n
(9)
1 IHelt)1 (dist(elt,h(I))t' dt <..
-n

---

51
IF(eit).(dl st(eit,h(l))r'i (l,
on e
1
1
_
dlst(ell h(l))
1
110g1F(et ) (dlst(et ,h(1))) 'II =log
IF(el!)1
( 10g2 + Ilog (IF(e! )Ill.
St
on e
d'où
r
r
110g IF(ell)1 (dtst(etl,h(l))r'Il dt ~ 2 n log2 +
1I0g (IF(ell)l)1 dt +
-n
-n
rIF(etl)1 (dlst(ell,h(l))r' dt <+00,
-n
d'où
[]
i
f 10 +
dt< +00
9 dl5t(e1t, h(m
-[]
n
(on utilise le f~lt que f Ilog IF(et!)11 dt <+00 d'eprès [8, Ch~p. 5]).
-n
On voit donc qu'lI reudre des méthodes différentes de celles du
présent eructe pour étendre les théorèmes m-z et m-t 0 Il des idéaux 1 de
A+ ne vèrtüent pes la condition (8). Notons enfin qu'on peut déduire de
[17] et [18] que les idéaux fermés 1de A+ vèrtrtent te condition (6) sont
exactement ceux pour lesquels 1 n Am .. {O} (votr I~ démonstration du
lemme m-e).

---

REFERENCES
[1] C. BENNET et J. E. GILBERT: 1iomogeneous algebras on the ctrcie.
1- Ideal of analytlc tuncttons." Ann. rnst. rourtar, Grenoble, 22 (3)
(l912) 1- 19.
[2] N. BOURBAKI: Elêments de methêmettques, Algèbre, Chap. 1 ~ 3,
Hermann, Pans (1910).
[3] L. CARLESON : "Sets of unrqueness for functtons requier ln the unlt
ctrcla." Acta nein. B1 (l952) 325-345.
[4] J. ESTERLE : "Ouaslmultlpllers representeuons of Hoo aM the clusaë
ideal problam for commutettvs Banach algebras". scrinqer Lect.
Notes 915 ( 19B3) 66-162.
[5] J. Esterle : "Dtstrtbutlns on Kronecker sets, ctcssc Ideals of A+ aM
strong untquanass properples of some perle ct sets" (preprtnt)
[6] J. ESTERLE, E. STROUSE, F. ZOUAKIA : "Closed Ideals of A+ aM the
Cantor set" (prsprtnt).
[1] E. HILLE, R.S.PHILLlPS: runcttonet analysls end semlgroups, secone
edtttnn. PrOVIdence, R.I., Am. Math. soc., 1951.
[B] K. HOFFMAN : Banach spaces of eneigttc runcttons, Prentlce Hall,
Englewood Cl1ffs, New-Jersey, 1962.

---

[9] J.-P. KAHANE: 'Idéau~ primaires fermés dans certaines algèbres de
Ban6cn de fonctions analytiques", Actes table ronde Internationale
C.N.R.S., Montpellier, Sprlnger Lect. Notes 336, (1973) 5-14.
[10] J.-P. KAHANE, Y. KATZNELSON: 'Sur les algèbres de restrictlons des
séries de Taylor absolument convergentes il un fermé du cercle'.
J. Anal. netn 23 (1970).
[11] J.-P. KAHANE : Séries de Fourier absolument convergentes,
spnnqer-verteg, Berlin Heidelberg New-York, 1970.
[12] B.1. KORENBLYUM: "Closed Ideals ln tne ring An'. runct. Anal. and tts
Appl., 6.n03 (1972), 203-214.
[13] K KOUA: "Similarité entre l'algèbre de Volterra et un quotient
d'algèbre uniforme" Proc. Edlnburgn. netn Soc., (il pereltre).
[14] K. KOUA: 'Slmllarité entre certains quotients de A+ et des
qunttsnts d'algèbres uniformes". Cano J. netn., (il perettre).
[15] A.L. MATHESON: "Closed Ideals ln rings of analytic functions
satlsfylng a ttpscnttz conottterr. senecn spaces of anelytlc
runcu ons Kent, ühto, 1976 Lect. Notes 604, spn nger Verl eg, 67-72.
[16] M. RAJOELlNA: "Eléments de Conen et functlons sxtèrtaures de
l'algèbre du disque U". Ann. 1nst. Fourier, Grenoble, 39, 4 (1969)
1061-1072.

---

[17] B.A. TAYLOR, DL WILLIAMS: "Ideel on nngs of enelytlc functlons
wlth smooth boundary Yalues". Cano J. Math. XXD, N°6, (1970)
1266-1263.
[16] B.A. TAVLDR, D.L. WILLIAMS; "Zeros of upscntta functlons anelytlc
1n the umt dlsc". MIchigan rtetn, 1. 16 ( 1971) 129-139,
[19] F. ZOUAKIA: "ldèeux fermès de A+ et L1m: ) et propnètès
esymptotlQues des contractions et des semlgroupes contrectents",
Thèse d'Etet 60rdeaux, (1990).
tebcretctre essccië au CNRS n° 226,
U. F.R. rtethëmeuuuse et rnrormettcue
umversttë Bordeaux 1
351 Cours de la LIbération
33405 Telence Cedex.
Adreeee Prlnclpele ;
Dèpartement de MathémetlQues
Faculté des Sciences et Techniques
Uniyersité Nationale
22 B.P. 562 Abidjen 22
COte ü'Ivctrs.

---

Chopltre VI
51mllorlté entre quotients d'Idéoux fermés de O,(D).

---

""0. 1
INTRODUCTIOn: Salt ü(D) l'BIgèbre du msque. c'est-ë-tnre l'Bigèbre des
fonctions f continues sur le dtsque unité fermé 0 et holomorphes sur le
disque ouvert D. SI H ;< {a} est un IdéBl fermé de ü(D), on note Int(H) le plus
grBnd commun dlYlseur (pgcd) des recteurs IntérIeurs des éléments de H,
c'est-à-dtre re fonction IntérIeure ctvtsent choque recteur Intér1eur et
dlYlslble par toute fonction Intérieure qui dtvtsa chBque élément de H. On
pose h(H) ={ ZED: 1(z) =a pour tout f EH}. SI E est un fermé de mesure
nulle du cercle, on pose 'JIl.E = {f E Q(D) : r !! a sur E}
On s'Intéresse IcI BUX quotients H/L où H et L C H sont deux IdéBUX
fermés de CJ.(D) tels que H/L possède des 1déBUX ortnctpeux denses. Ces
couples d'ldéBUX sont cerectèrtsès d'eprès leurs tecteurs IntérIeurs
(corouetre 2). On montre ensuite que cens ce CBS l'BIgèbre quotient H 1 L
est stmileire, BU sens de J. Esterle [1], BU quotient 'JIl.E 1 52'J1l.F où
E = h(H) () r. F = h(L) () r et où 52 = Int{L)/rnt(H) . On vott Blnsl que ces
quotients H/L sont simnetres li des Bigèbres d unité epprochèe bomée
(u.e.n) (l'idéBl 'JIl.E possèdent toujours une UBb d'eprès [2, p 80] ou [4]).
Le lemme sutvent est une conséquence de re cerectërtseuon des
idéBUX fermés de ü(D) due li Beurllng-Rudin [2, p. B2-B9]
Lemme 1 : Soient H et L deux idéaux fermés de Q(O) de facteurs
intérieurs respectifs S, et S,52 et tels que L C H. On pose
E = n(H) n r et F = n(L) n r. Salt n : Q(O) - - Q(D)/L
l'application canonique et salt u E Q(D). On note 5 le facteur
intérieur de u et
on pose
Z = { Z e
0
: utz)
= 0
l.

---

Pour que [mu).lH/Ll]- = H/L, Il faut et Il suffit que les deux
condlttons suiventss soient Yllrlfiées :
(1)
ZnFcE
(Il)
5 et 52 sont premIers entre eux, c'est-à-dire qu'Ils n'ont
aucun dlylseur Intérieur commun non constant.
Preuve : Notons Que l'on a évidemment E C F. Il est clair Que
[fT(u).<H/U]
= H / L si et seulement si a=H où a= [UH + L]-. D'après
[2, p. BO], Il existe une fonction extérieure ~ e 1i(D) s'annulant exactement
sur E (on prend ~ = 1 si E = 0), et on a ~51 e H d'après le théorème de
Beurllng-Rudln [2, p. B5]. On a donc:
( 1)
hW = h(L) n (Z U h(H))
De plus, le facteur intérieur T de aest le pgcd de 551 et 515 2, soit
(2)
T =51v, où v est le pgcd de 5 et 52.
D'après le théorème de Beurllng-Rudln, pour Que a=H, Il faut et Il suffit
Que
hW n r =E
(3)
et
T = 51
(4)
D'après (2), la condition T =5, équivaut au fait que v est constant, cest-ë-
dtrs 6 la condition (1).
D'après (3), la condition (1) équivaut 6 h(L) n (Z U h(H) n r = E, soit
(F n Z) U (F n h(H)) =E, soit (F n Z) U E =E Qui équivaut 6 (1). CecI établit
le lemme 1.
CorollaIre 2 : Les notatIons étent celles du lemme, l'algèbre
quotient H /
L possède des Idéaux principaux denses sI
et
seulement si S, et 52 sont premIers entre eux.

---

~.3
Preuye : Il ràsults du lemme 1 que )'olgèDre quotient H 1 L possède des
Idéoux pnnctpeux denses SI et seulement si 11 existe u EH vërtnent
Z n F = E et 5 premIer avec 52 où 5 est le recteur tntàrteur de u. et Z
l'ensemDle des zéros de u. SI u E H, 5, dtvtse 5 ; donc 10 condition est
nécessolre.
Réciproquement, on suppose que 5, est premier evec 52. 501\\ ~ E Cl(D) une
fonction extérIeure nulle exoctement sur E. Posons u = ~5,. Dons ce cos
5 =5" Z=n(H). Donc Zn F = E et TJ(u).(H/L) est un Idéol prtncrpet dense de
HI L, d'où le corouetrs.
On 0 metntenent le théorème suivent, qui, d'après le corouetre 2,
s'eppltqus d toutes les olgèDres quottsnts H 1 L possècent des ld!loux
prtnctpeux denses.
Théorème 3 : Salent H et L deux Idèaux termës de 0.(0) tels que
L C H. Salent 5, et S,52 les recteurs Intèrteurs respectlfs de H
et L. et salent E = h(H) n r. F = ML) n r. SI 5, est premIer avec
52. l'algèbre quotlent H 1 L est similaire Il l'algèbre quotlent
Preuve: posons n = ~5, où ~ est une fonction extérIeure nulle exactement
sur E, evec II~II = 1. Posons .19, =n'J11.E' SoIent
TT 1 : 'J11.E--+ 'J11.E1 52 'J11. F
et
112: H --+ H1 Lies eccuceuons cenontcuss.
On
oo
0 kerTT, n .l'l, = 52'J11.F n .19, = 52H
n 'J11.F n .19,. Soit 9 E .19, ; elors 9
s'écrit 9 =~51u evsc ulE =O. Pour Que 9 eppert i enne à 'J11.F 11 f out et il suffit
Que 5,u s'ennuie sur F\\E, c'est-à-dire que u s'annula sur F\\E puisque 5, est

---

intérieure. rursuue ~ est extérieure et putsnus S, et S2 sont premiers entre
oo
eux, on voit Que S2 divise 9 dans H
si et seulement si S2 divise u. On a
donc Que kerTI, n .19, est l'ensemble des fonctions 9 de la forme 9 = hu avec
u nulle sur F\\E, u e S2Hoo.
Considérons maintenant
kerTI 2 n .19, - S,S2'l1\\,F n .19, - SIS~oo n1Il.F n .19,.
Soit 9 = ~S,u e .191, Alors 9 e S,S2Hoo si et seulement si u e S2Hoo nutsqua
f est extérieure, et 9 e 1Il.F si et seulement si u est nulle sur F\\E . Ainsi
karTI 2 n .19, = kerTI 1 n .19,. Posons
K = kerTI, n.l9 1 = kerTI2 n .19, et .19 = .I9lK
Soit TI: .19,- .19 l'application cenontque. Il existe
~ : .19 -
1Il.E 1 S211l.F
et
1\\1:.19 -
H/L telles Que ~oTI = TI'I.I9" I\\IOTI=TI2I.19" d'après le
théorème
usuel
de
décomposition
des
homomorphismes;
les
homomorphismes ~ et 1\\1 sont injectifs et on a ~(.19) = TI,(.I9,),
1\\1(.19) = TI 2(.I91). Comme TI, et TI2 sont surjacurs et comme .19, est un idéal de
1Il.E et de H, ~(.19) est un idéal de 1Il.E 1 S2'l1\\,F at 1\\1(.19) est un ideal de H 1 L
L'idéal f(.I9) contient TI,(h).(1Il.E 1 S2'l1\\,F)' Le facteur intérieur de h est S,
Qui est premier avec S2' et l'ensemble Z des zéros de h vérifie Z n r = E.
ü'eprès le lemme l, ~(.19) est dense dans 1Il.E 1 S211l.F' D'autre part 1\\1(.19)
contient TI 2(h).(H 1 U et 11 résulte de même du lemme 1 Que 1\\1(.19) est
dense dans H/L On munit .19, d'une structure d'algèbre de senecn en posant
Ilhull.l9, = lIuli pour u e 1Il.E (voir [3, remarque m-3]J, et on munit .19 de la
structure d'algèbre de ôanach Quotient (kerTI, étant fermé pour la norme de
l'l(D), kerTI, n .19, est fermé dans (.l'l, , Il
Il.19,})
On a TI(h2) e .19. Considérons J = [h2'l1\\,E+ S2 1Il.F]-. Le facteur
,
intérieur de h2 est SI et l'ensemble des zéros de h2 est Z.
Donc
h(J) n r = F n Z n r = F n E = E.

---

"5f[.5
Comme 5, est premier evec 52, 5~ est premier evec 52 et Int(J) = 1.
Donc J = 'JTI.E.
sou maintenant ~ € /j. On a ~ = TI(hu) avec u € 'JTI.[ Il existe
d'après ce qui précède une suite (Vn)n d'éléments de'JTI.E et une suite ("'n)n
d'éléments de 'JTI.Ftelies que
Il u - h2 Vn- 52 wnll- 0
n-7+00
On 0 alors
IIhu-h3vn-5 2hWn1lJ9 -
0,
1 ~+oo
On 0 h52wn e ksrn, n ,19, =kerll, Il vient donc que
Donc
J9
possède
des
icèeux principaux denses, ce qui achève
la
dèmonstret ion du théorème 3.
Remorgue4: Le théoréme reste valable si E = 13 ; mais dans ce cas
'JTI.E 1 52'JTI.F = Cl (D)/5 2'JTI.F est unitoi re et la si mi lorité donne un
isomorphisme (la vérification est facile et basée sur le fait qu'un idéal
dense d'une algébre de Banach commutative unitaire est égal li l'algèbre
toute entière)
En particulier, dans ce cas, H/L est unitaire Ceci peut se voir
directement. En effet si E = 13, 51 est un produit de Blaschke fini et
5, e Q(D) sort TI : H -----> H/L l'application canonique. 5i H/L possède un
idéal principal dense, on a H/L = [m5,uJ.(H/UJ- et il existe une suite
(vnln d'éléments de Q(D) et une suite (wn)n d'éléments de 'JTI.F telles que
5, = lim(5,2 uvn + 5,52"'n)' soit 1 = lim (51uvn + 52"'n).
n
n
Comme 52"'n e 'JTI. F, on a 8(5,uvn) -
1 dans CJ.(D)/52'JT1.F où
n-++oo

---

8: C\\(D) ----> C\\(D)!S2'lll.F est l'application canonique.
Donc si v = vnavec n assez grand, 8(S,uv) est inversible dans Cl,(D)!S2'l1l.F
et il existe w € 'l1l.F tel que 1 =S, uv + 52 W,soit 11(5,) =n<s~ u v). On
voit alors qua n(S, uv) est l'unité de H! L.
Réfénnces
[1] J. Esterle: "ûuëstmulttplters, representations of Hoo and the closed
ideel problem for commutotive Bonoch olgebros". Springer
Lect. Notes 975 (1983), 66-162.
[2] K. Hoffman : Banoch specss of onolytic functions, Prentice Holl,
Engl ewood Cl iffs, New-Jersey, 1962.
[3] K. Kouo: "Similarité entre l'elqàbre de Volterro et un quotient
d'elgébre unttorme". Proc. Edinburgh Meth. Soc. (0 pereitre).
4] M. Rojoelino : "Elements de Cohen et fonctions extérieures de l'olgébre
du di squa-tï" Ann. Inst. Fouri er, Grenobl e 39, 4 (1989), 106 i - \\072

---

ChopHre VII
Structure de I+(E)/I pour certains fermés E du cercle unité
ne vérifiant pas la synthése.

---

- \\
su.
: Soit A+ l'algèbre de Banach des fonctions définies
sur le dtsque ouvert D dont la série des costrtctents de Taylor est
absolument convergente, et soit A(r) l'algèbre de Benech des fonct1ons
cont1nues sur le cercle unité r dont la sërte des coefficients de FourIer est
absolument convergente. On note A"" l'algèbre des fonct1ons holomorphes f
sur D telles Que f(n) soit bornée pour tout n ~ 0 (on a évidemment A""c A+).
St E est un sous-ensemble fermé du cercle. on pose
I(E) • { f e A(r) : fiE" 0 }
1+(El = I(E) n A+
et on note J(E) l'ensemble des fonct1ons de A(r) vér1flant la synthèse
sur E[3]. On pose J+(E). J(E) n A+
n
SI Eest de Cerlesnn, c'est-é-dtrs, si l log+
1
dt <+"".
dist(e1l,E)
-n
+
on note 10(E) l'adhérence dans A+ des fonctions f e A""
[5], nulles sur E
avec toutes leurs dérivées. n résulte de [2. §2] (voir aussi [7, chep n]) Que
+
10(El coïncide avec l'adhérence dans A+ des fonctions de l'algèbre du disque
Cl(D) lipschitziennes d'ordre lX >1/2 dans 15: D'après un résultat classique
+
[3, P 60], on a 10(E) c J+(El
Soit 1un Idéal fermé de A+. On pose

---

h(J) = { z e"lr: Hz) = 0 pour tout fe 1}.
On salt, d'après [2, §I] (votr également [7]), Que la multiplication est
compacte dans (lA nA+) 1 1où lA est l'Idéal fermé de A(r) engendré par 1.
51 E: hm n r est de synthèse, on a lA : l(El et on obtient te compacité de
la multiplication dans I+(E) 1 1.
Nous nous Intéressons Ici, dans le cas où E est un sous-ensemble
n
fermé du Cantor trtedtqus n: {e2In ! €n 3- , €n: 0 ou 1 } Qui n'est pas de
synthèse, li la compacité de la multiplication dans I+(E) Il où 1est un Idéal
+
+
fermé non nul de A tel Que 1c 10(E). Dans cette situation, on salt Que la
multiplication dans J+(El/l est compacte [2, §I] et Que I~(E): J+(E) [2,§3].
Nous n'ayons pu conclure Quant li la compacité de la multiplication
dans ,+(E) 1 1. Néanmoins nous montrons au théorème 3 Que pour une large
classe d'Idéaux fermés 1 de A+, la multiplication par les éléments de
+
+
1 (El Il est compacte sur 'o(E) II.
Le théorème 3 fait également eppereltra une propriété curieuse de
ces algèbres Quotients B : I+(E) 1 1. On obtient en effet la décomposition
B: H al Hl où H est un Idéal rsrmë de B Qui possède une unité approchée
bomàe (u.a.b).
Dans toute la suite, on appellera support d'une fonction Intérieure S,
la réunion du support fermé dela mesure singulière postttve définissant le
facteur Intérieur singUlier de 5 et de l'ensemble des points d'accumulation
des zéros de 5 dans le disque unité ouvert D.
Lemme 1 : SoIt E un ensemble de Carleson du cercle unité r. Soit
S une fonction IntérIeure de support FeE. Soit Z l'ensemble des
zéros de S dans D. On suppose que Z vénfle la condItion

---

+
(ii)
Si
U
E
1 (E)
+
5Hoo
n A+. etnrs l'opplic8tion
o
nU)
• n(f)n(u)
est compacte.
+
(Hi) Si IolE) est w"-séquentiellement dense dons A+. et si
....
+
+
+
n (u) est compacte sur n(lo(E». alnrs u E lo(E) + 5Hoo n A _
,
Preuve: (il Soit 'l'une fonction extérieure de 10(El nulle exoctement sur E
oo
et telle que 'f'("lIE = ° (nf 1) Si TI('f'l.TI(ul = 0, on 0 'f'u El et donc 'f'u E SH
oo
oo
Ceci montre que u E SH
puisque 'l'est extérieure. Donc u E SH
nA'.
oo
Soit [00 l'odhérence de 1 dons Q(D) et soit u E SH
nA' D'oprés [5),
il
oo
existe une fonction extérieure '1' E A
nulle sur E evec toutes ses
dérivées. On B 'f'u E 100 d'après le théorème de Beurling-Rudin
D'eprès
[5, thèorème 3-3), il exi ste une suite ('1'J" de f oncti ons de A00, null es avec
oo,
toutes leurs dérivées sur E et telles que 'f'f
''1' dons A
et donc dans
n n....oo
A" D'Bprés [4, Théorème III-2), on 0 'f'fnu E 1 (nf 1), donc 'f'u E 1. D'oprés \\0
+
+
+
1
définition de
10(E), on 0 fu El (f E '0(E», donc TI(u) E TI(lo(E)) .
+
+
(ii) Si u E 10(E) + SHoon A', elors TI(u) = TI(h) + TI(vl, h E 10(E), v E SH oo n A".
+
Donc TI(u)lT(1) = TI(h)TI(1) pour tout f E 10(E) d'eprès (il D'après [1, §2),
-
,
l'opplication TI (h) : TI(f) ~ TI(h)lT(f) est compacte sur lT(lo(E))
,
Donc I'epphcetton !f(u):
TI(I) ~ lT(u)lT(1) est compocte sur TI(lo(E)).

---

8
1
(1)
Jlog+
dO < +OD
-8
Alors
+
-
Preuve: Notons K = [lo(El + SH'" n A+]
et écrivons S sous la forme
S = B1 où B est un produit de Blaschke d'ensemble de zéros Z dans D et 1
une fonction intérieure singul1ére. La construction de Taylor-Williams dans
[6] donne une fonction extérieure ~ E A'" nulle exactement sur Z n r tell.e
Que ~B E A"'. Soit maintanent <jJ une tonctiun extérieure nulle exactement
sur F et telle Que <jJ(n) = 0 sur F (n~ 1). Alors <jJ~B s'annule sur F avec ses
dérivées, et d'eprès [6], <jJ~S =<jJ~B1 E A'" On a donc
~<jJS E A'" n SH'" C A+ n SH"'. Ainsi ~<jJS E K.
-
+
L'ensemble des zéros de <jJ~S est Z U F, et h(IO(E)) = E puisque E est un
-
+
ensemble de Carleson Donc h(K) = En (Z U F) = F. Par ailleurs, 10(E) est
sens facteur inténeur [4] ; ceci entraîne Que K est sans facteur intérieur
+
"et d'après [2, §2], on a 10(E) C K, ce Qui établit le lemme.
Lemme 2 : Soit E un ensemble de [arleson du cercle unité r. Soit
+
1 c IolE) un idéal fermé non nul de A+ de facteur intérieur S et
tel que h(1) n r = E. Soit n : A+ ----.. A+ 1 l "application
cunonique et soit u E A ". Alors on a :
(i) n(u) E n(l:(E».l si et seulement si u E SH oo n A+
où

---

.~-
\\J/I,5
-
•
(Hl) Puisque
10(E) est w"-sêQuentlellement dense dans A·, Il extsts une
•
w"
suite (u)n dans 'o(E) telle Que un n..... ~ 1. Atnsl lI(g)JT(u) - _ . lI(g)
.......
•
pour tout 9 E 10(E) d'après [1,! 2].
51 ii (u) est compacte, on peut axtratre de (u)n une sous-suite 1~)1
+
telle Que n(u)n(u.).
1 n(h)
avec h e 10(E). Il s'ensuit Que pour tout
"1
1-+00
•
9 E 10<E1, n(u)n(g)nlu.;) tend è le fols vers lI(u)n(g) et vers n(h)n(g) Quend
•
l
i -
.... On a alors 1I1g) ln(u) - n(h)) = O. Donc n(u) - n(h) E IIl1o1E))
•
Par suite u-h E SH" n A+ d'eprès 11) Donc u e IolE) • 5H" n A+, d'où (ttt),
Ceci echèye le preuve du lemme.
0
IhUIim.lI....3.: Soit C = {eZI II l 1. 3- • 'n =a ou I} le Cantor
trladlque du cercle unIté r. Salt E c: C un ensemble fermé ne
+
,ér1flant pas la synthèse et salt 1 c: IolE) un Idéal fermé non nul
de A+ tel que h(l) n r = E. On suppose que l'ensemble des zéros
dans le disque 0 du facteur Int6rleur S de l ,ér1fle la condition
(1) du lemme 2. Salt F c: E le support de S. SI F est de synthilse.
on a les propr1étés sul ,antes :
(l) L'appllcatlon if (u) : 1Ilf)
• 1I(f)II(u) est compacte sur
+
m'olE»~ pour tout u E ,+(F).
+
(ii) r+(E) = IolE) • SH" n '+(E).

---

W,6
-
Preuve: Il est bien connu et facile de vérifier que C est un ensemble de
Carleson, donc E est un ensemble de Cerleson et d'après le lemme t. on a
+
+
-
10(Fl C [lo(E) + 5H oo n A+]
. Puisque F C C est de synthèse, il résulte de
+
Soit u E lotE) + SH oo n A+; alors l'application
-
+
Il lu) : TT(I) ---+ ITtu)n(1) est compacte sur IT(lo(E)) d'après le lemme 2
(ii) Comme l'ensemble des opérateurs compacts est fermé, on obtient (j)
+
On sait que 10tC) est w*-séquentiellement dense dans A+
[2, §3], donc
+
10(E) l'est aussi D'après (j) et d'après le lemme 2 (iii),
+
oo
+
+
U E 10(E) + SH
n A pour tout u E 10tF).
Donc, en fait,
+
Soit v E I+(E) C l'(Fl. On a v = h +1 avec h E lotE), 1 E 5H oo n A".
oo,
Donc i = v - hE 1+(El n 5H oo n A+ = I+(E) n SH
ce ~ui établit (ii).
L'assertion (iii) résulte alors du lemme 2 (;J. Ceci echève la preuve du
théoréme 3.
Remarque 4: 1) Posons B =I+(E)/I et H =1~(E)!1. Il résulte de [2, §3] que H
possède une unité approchée bornée. Par conséquent H n Hl = Io).
L'algébre
de
Banach
radicale
B
possède
donc
la
curieuse
décomposition B = H Ell Hl où H est un idéal de B possédant une unité
approchée bornée, et le reit que E ne vérifie pas le synthèse se traduit par

---

le fait Que Hl ;< (Q) dans la décomposition ci-dessus.
Nous ignorons si B possède elle-même une unité approchée bornée. De
même nous ignorons si la multiplication par les éléments de B est
compacte sur B Oe théorème 3 prouve Que la multiplication par les élé
ments de B est compacte sur H).
2) En utilisant [2, § 3], on peut montrer Que Je théorème 3 s'étend en fait Il
+
tous les ensembles de tartesen E tels Que IolE) est w*-séQuentiellement
dense dans A+.
3) L'eKistence de sous-ensembles fermés de l:: ne yérifiant pas la synthèse
rèsulte de [3, cnep. v, §6]. D'autre part, les ensembles de Kronecker vén
fient la synthèse d'après un thèorème de veropoutos [3, chep.vn, § 7] et
tout ensemble non dénombrable contient un parfait de Kronecker. Le
+
thèorème 3 s'epplique donc au cas où 1 = 10(E) n SHoo, S étant la fonction
intérieure singulière essocrêe Il une mesure singulière ~ supportée par un
Kronecker de E. Comme les points Yérifient la synthèse, on peut prendre
plus simplement 5 = e (2+20) ! (2-20) evec 2 E E.
0
REFERENCES
[1] J. Esterle, E. Strouse, F Zouekie : "Theorems of ketznetson-rzernn
type for contrecuons". J. Funcl. An. 94 (1990),273-287.
[2] J. Esterle, E. Strouse et F. Zouakia: Tlosed ideals of A+ and the Cantor
set" (prsprtnt).

---

ViI.8
-
[3] J.P. KBhBne : SérIes de rourtsr ensotument cnnvsrqentes. spnnger-
',IerlBg, asrttn HeIdelberg New-Vork, (1970).
[4] K. KOUB: 'SlmllBnté entre cartetns quottents d'BIgèbres uniformes',
CBn. J. MBth. (d uerettrs).
[5]
B.A. TBylor, DL W11l1Bms : 1deBls ln nngs of BnBlytlc functlons wlth
smooth boundBI1l vetuss", CBn. J. neth. yol XXII N"6 (1970),
1266-12B3.
[6]
B.A. TBy10r, D.L. Wl1l1Bms : 'Zeros of llpsch1tz functlons enetuuc ln
the unit dlsc', MlchlgBn J. MBth 1B (1971 J. 129-139.
[7] F. zouekte : IdéBU~ fermés de A+ et L1Cm:) et proprIétés esgmptottques
des contrecttons et des semlgroupes contrectents, Thèse
d'EtBt. BordeBu~ (Juin 1990).

---

Vu et anprouv~
Abidjan le 23 Mai 1991
Pour
le Doyen de la Facult~ des Sciences et Teehnique,
DIOPOH K. Jacques
Vu et permis d'imprimer
~tidjan le 23 Mai 1991
Le Recteur
Bakary TIO-TOURE

---