UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
FAClTLTE DES SCIENCES ET TECHNIQlTES
, CONSEIL AFRICAIN ET MALGACHE
POUR L'ENSEIGNEMENT SUPERlEUi<
THESE
C. A. M. E. S. -
OUAGADOUGOU
présentée par Bassirou Ba
Arrivée ... n·r.:· jlttM' 100~' .. , , i
Enregistré s~uV n '. ,~·O ,0'4'_'3:5
pour obtenir le titre de Docteur de 3ème cycle
i
L'ETUDE EN MODELISATION DES CELLULES PHOTO VOLTAlQUES
AU SILICIUM POLYCRISTALLIN
REGIME STATIONNAIRE - REGIME TRANSITOIRE
soutenue le 17 Décembre 1991 devant la commission d'examen
Président
Mr
Robert
PARROT
Examinateurs
MM
Michel
CADENE
Djibril
FALL
Marnadou Mansour
KANE
Daniel
LAPLAZE
Lamine
NDIAYE

---

1
1
1
1
1
A\\
/Mlalmalcd/(t))1lJ
~
1
m(JJf!'9
pc&fc&g
A\\
/Mlalmalcd/(t))llJ g
1
m(JJf!'9 ffffffsg
A\\
fJ{tu(t))1lJcd/ffalg
1
mal
ffffff#c&g
A\\
fNJG(t))f!'9cég
1
m(t))f!'9
t#Jp(t))llJseg
A\\
mal ffalmffUUsg
1
A\\
mal beff#e 1almffUffc&
1
1
1
1
1

---

REMERCIEMENTS
Ce travail a été éffectué sous la direction de Monsieur le Professeur Mamadou
Mansour KANE, Chef du Département de Physique de la Faculté des Sciences de Dakar.
Je lui témoigne ma profonde gratitude pour le soutien constant qu'il n'a cessé de
m'apporter. Ses conseils, son expérience et sa disponibilté, malgré ses multiples charges
administratives, ont été pour moi très bénéfiques quant à la réalisation de ce document.
Je remercie Monsieur le Professeur Djibril FALL, Directeur de l'Enseignement
Supérieur, qui me fait l'honneur de participer à ce jury.
Le Professeur Daniel LAPLAZE de l'V.S.T.L. de Montpellier a été pour moi, un
guide, un soutien constant depuis que je suis entré au Laboratoire des Semi-conducteurs
de Dakar. Qu'il trouve ici mes sincéres remerciements pour avoir accepter de juger ce
travail et de participer au jury.
Monsieur le Professeur Michel CADENE, du Laboratoire d'Infra-rouge de
l'U.S.T.L. de Montpellier, a accepté d'être membre du jury. Je lui adresse mes
remerciements pour son intérêt à ce travail, sa disponibilté, ses conseils et aussi pour
m'avoir permis d'éffectuer des séjours de recherches très bénéfiques sous sa direction à
l'U.S.T.L.
Monsieur le Professeur G.W. Cohen Solal, du Laboratoire des Matériaux Vitreux
de l'U.S.T.L. s'est beaucoup intéressé à ce travail. Malgré ses multiples occupations, il a
accepté de surcharger son emploi du temps pour se consacrer à mes travaux de
recherches. Je lui adresse mes sincères remerciements.
Monsieur Lamine NDIAYE, Chargé d'Enseignement au Département de Physique
m'a beaucoup aidé lors de nos séjours de recherches. Je suis très touché par l'intérêt qu'il
a porté à ce travail en acceptant de faire partie du jury.
Mes remerciements vont à Monsieur Robert PARROT, Maître de Conférences au
Département de Physique qui me fait un grand honneur en présidant ce jury.
A Mamadou WAGUE, Maître de Conférences, je lui adresse mes remerciements
pour le soutien et l'intérêt qu'il a toujours porté à ce travail.
Merci aussi à Issakha YOUM, Maître assistant au Département de Physique, pour
sa disponibilité, et ses encouragements.
Mes remerciements vont aussi à Monsieur Boubacar BARRY, Assistant au
Département de Physique, qui m'a initié au langage Turbo Pascal et aidé à la réalisation
de programmes de calculs sur micro-ordinateur, sans lesquels ce travail serait difficile à
mener.

---

A André FICKüU, Assistant au Département de Physique, j'adresse mes vifs
remerciements pour le soutien moral pendant les moments studieux que nous avons
menés ensemble.
A Assane FAYE, Aide au Département de Physique, je tiens à exprimer mes
remerciements, pour l'aide qu'il m'a apporté à la photocopie des documents.

---

Page
INTRODUCTION
1
1R1~~©lLllJllJ~©1NJ IP>&1R1 IL& ~~IJIHJ©[Q)~
[Q)~~
[P©INJ(ÇIJ~©INJ~
[Q)~
@1R1~~1NJ
[Q)~
lLo~@[JJ]&lJ~©1NJ
[Q)~ [Q)1][P[PllJl~~©1NJ
[Q)~
IP>©[R11~llJl[R1~
lMtllllNJ©IR1IJlJ&~IR1~~
~)A(Ç~[Q)~lNJu &ll[R1~~
[Q)~INJ~
MINJ~
J©[Nl(Çl~©1NJ
INJ/IP>
&llJl
~~ U(Ç~ llJl~]
IP>©ILW(ÇIR1~~l &[UUIINJ
[Q)~INJ~
lLo~~1P> &(Ç~
&
lJlR1©~~
[Q)~[MJ~INI~~©INI~ ~1 ~INI
[P©INJ(Ç1r~©1NJ
[Q)UJJ u~~]lFl~c
1 - CHOIX DU MODELE DE JONCTION NIP
3
II - JONCTION NIP SOUS EXCITATION LUMINEUSE MONOCHROMATIQUE
DANSLESCONDn10NSDECOUR~CffiCUIT
II - 1 - EMETTEUR
II - 1 - 1 - Equation de diffusion et conditions aux limites
5
II - 1 - 2 - Paramètres de la fonction de Green
6
II - 1 - 3 - Expression de la densité de trous en court-circuit
9
II - 2 - BASE
II - 2 - 1 - Equation de diffusion et conditions aux limites
12
II - 2 - 2 - Paramètres de la fonction de Green
14
11- 2 - 3 - Expression de la densité d'électrons en court-circuit
16
111- JONCTION NIP SOUS EXCITATION LUMINEUSE MONOCHROMATIQUE
DANS LES CONDn10NS DECffiCUIT-OUVERT
ID - 1 - EMETTEUR
ID - 1 - 1 - Equation de diffusion et conditions aux limites
19
ID - 1 - 2 - Paramètres de la fonction de Green
19
ID - 1 - 3 - Expression de la densité de trous en circuit-ouvert
20
111- 2 - BASE
ID - 2 - 1 - Equation de diffusion et conditions aux limites
21
ID - 2 - 2 - Paramètres de la fonction de Green
22
III - 2 - 3 - Expression de la densité d'électrons en circuit-ouvert
22

---

IV - JONCTION NIP SOUS POLARISATION ELECIRIOUE
IV - 1 - Equation de diffusion et conditions aux limites dans la base
23
IV - 2 - Fonction de Green et ses conditions aux limites
24
IV - 3 - Expression de la densité d'électrons dans la base
25
1 - PARAMETRES DU SILICIUM
31
II - JONCTION N/P DANS LES CONDmONS DE COURT-CIRCUIT
II - 1 - DENSITE DE PORTEURS MINORITAIRES EXCEDENTAIRES
PHOTOCREES
II - 1- 1 - EMETTEUR
a - Calcul des valeurs propres m, n et p
32
b - Etude de la convergence par rapport à m, n et p
33
c - Profil de la densité de trous dans l'émetteur
42
II - 1 - 2 - BASE
a - Calcul des valeurs propres k, 1et J.L
46
b - Etude de la convergence par rapport à k, 1et J.L
47
II - 2 - CALCULS DES PHOTOCOURANTS AUX LIMITES DE LA
JONCTION NIP
II - 2 - 1 - Expressions des photocourants
56
II - 2 - 2 - Photcourant des trous dans l'émetteur
57
II - 2 - 3 - Photcourant d'électrons dans la base
67
II - 3 - CALCULS DES REPONSES SPECŒALES
II - 3 - 1 - Définitions
77
II - 3 - 2 - Contribution de l'émetteur
78
II - 3 - 3 - Contribution de la zone de charge d'espace
81
II - 3 - 4 - Contribution de la base
81
II - 3 - 5 - Contribution des trois zones de la photopile
84
III - JONCfION NIP SOUS POLARISATION ELECTRIOUE
III - 1 - DOMAINE D'APPLICATION DU MODELE
86

---

ru -2 - PROFIL DE LA DENSITE D'ELECTRONS DANS LA BASE 90
III - 3 - CARACfERISTIQUES 1 - V À L'OBSCURITE
91
1 - ETUDE EN COURT - CIRCUIT
1 - 1 - EMETIEUR
1 - 1 - 1 - EVOLUTION DU PHOTOCOURANT DE TROUS VERS
L'ETAT STATIONNAIRE
95
1 - 1 - 2 -
DECROISSANCE DU PHOTOCOURANT DE TROUS
99
1 - 2 - BASE
1 - 2 - 1 - EVOLUTION DU PHOTOCOURANT D'ELECfRONS
VERS L'ETAT STATIONNAIRE
101
1 - 1 - 2 - DECROISSANCE DU PHOTOCOURANT D'ELECTRONS
104
1 - 3 - CONCLUSIONS
106
11- ETUDE EN CIRCUIT- OUVERT
II - 1 - EVOLUTION DE LA TENSION DE CIRCUIT OUVERT
VERS
L'ETAT STATIONNAIRE
108
11- 2 -
DECROISSANCE DE LA TENSION DE CIRCUIT OUVERT 112
ID - ETUDE EXPERIMENTALE DU DECLIN DE LA TENSION DE CIRCUIT
OUVERT
120
CONCLUSIONS
130
BffiLIOGRAPHIE
132

---

1
IN1RODUCIlON
Des recherches récentes ont montré que le silicium polycristallin est un matériau très
prometteur pour la réalisation de cellules solaires photovoltaiques à faible coût.
Cependant son rendement de conversion est limité par les phénomènes de recombinaison
dûs aux joints de grain.
Des tentatives de modélisation de ces structures ont été entreprises dans le but de
mieux cerner ces facteurs limitant et d'améliorer les rendements de conversion.
Dans ce travail, nous ménerons une étude en modélisation d'une cellule classique
au silicium polycristallin. A cet effet un modéle théorique, rendant compte des effets de
la taille des grains et des effets des joints de grain, sera développé.
Le chapitre 1 sera consacré à l'étude du modéle mathématique qui s'appuie sur les
propriétés des fonctions de Green. Ce modéle traitera d'une jonction n/p au silicium
polycristallin dont les grains ont une structure colonnaire orientée. Les solutions des
équations différentielles se rapportant à la densité des porteurs dans les deux zones n et p
de la photopile seront établies à l'aide des fonctions de Green. Les conditions aux limites
imposées par les paramètres de la cellule et le mode de fonctionnement de la jonction
seront prises en compte. Ces solutions obtenues à partir d'un calcul numérique seront
précieuses pour étudier le comportement de la photopile sous l'effet des divers paramètres
de la cellule (taille de grain, vitesse de recombinaison des joints de grain, etc ....)
Une étude de la jonction à l'état stationnaire sera faite dans le chapitre 2, dans le but
de tester la validité du modéle.
Dans le chapitre 3, une étude en modélisation sera entreprise pour étudier le
comportement de la jonction en régime transitoire dans les conditions de court-circuit et
de circuit ouvert.
Nous appliquerons ensuite ce modéle à l'interprétation de résultats expérimentaux
relatifs à une cellule au silicium polycristallin.

---

[JfJ~~(Q)!lJJj)IfO(Q)fM fFJ§j [JfJ [l,§j !NJ~If[)={}(Q)[Q)~ [Q)~~
!F(Q)fM(ÇIfO(Q)!J!l~ [Q)~ @[JfJ~~!J!l [Q)~ [l, a~@(Jj)§j IfO(Q)fM
[Q)~ [Q)O!F!F(J))~O(Q)fM [Q)~ fFJ(Q)[JfJIf~ (J))[JfJ~
WiJ0fM@[JfJOIf§jO[JfJ~~ ~};f(Ç~[Q)~!J!llf§j0[JfJ~~ [Q)§j!J!l~
(J))fM~ cJ)(Q)!J!l(Ç!fO@fM !J!l/fFJ (J))fMO!F@[JfJfJYjJ~ §j (J))
~0[l,0(Ç0(Jj)fiYjj fFJ@[l, ri(Ç[JfJO~ If§j [l, [l,0fM~
[Q)§j!J!l~
[l, o~~fFJ§j(Ç~ §j 1f[JfJ(Q)O~ [Q)O!NJ~fM~O@fM~ ~If ~fM
!F(Q)!J!l(ÇUO(Q)!M [Q)(J)) u~WiJ!P~ 0

---

3
1 - CHOIX DU MODELE DE .JONCTION N/P
Notre travail portera sur une jonction unifonne n/p d'un semi-conducteur au
silicium polycristallin. Dans ces cellules, les cristaux, d'orientation et de dimensions
différentes, sont séparés par des zones perturbées qui sont les joints de grain. Ces
derniers agissent comme des pièges sur les porteurs minoritaires et sont des barrières
pour les majoritaires. En effet, ils réduisent le photocourant, augmentent le courant
d'obscurité, diminuent la résistance shunt et augmentent la résistance série. Ainsi ils
contribuent à une décroissance marquée du rendement de ces cellules solaires [1].
Dans le cas où les grains sont orientés au hasard (fig. 1-1), seuls ceux de la surface
sont actifs, les grains en profondeur sont ainsi isolés de la jonction par des joints, les
perfonnances de la cellule se trouvent alors dégradées.
Dans le cadre de l'étude que nous ménerons, nous considérerons un modéle où les
grains présentent une structure colonnaire orientée (figure 1-2) et sont tous actifs [1],
[2]. Un tel modéle est compatible avec les structures réelles de ces cellules.
Grains actifs
...A-+-+- Jonction
Fig.l-l
Fig.l-2
Polycristal avec orientation
Polycristal à structure
au hasard des grains.
colonnaire.
Cette activité est cependant atténuée par les phénomènes de recombinaison des
porteurs excédentaires ayant lieu au niveau des joints de grains via les états d'interface
dus à des liaisons pendantes, des dislocations ou des impuretés.
L'activité des joints de grain peut être décrite au moyen d'une vitesse de
recombinaison interfaciale. Les états d'interfaces étant généralement chargés, il apparait
au niveau de ces joints, des courbures de bande caractérisées par une hauteur de barrière
et une zone de charge d'espace qui s'étend de chaque coté du joint [3]. L'intense champ
électrique qui de ce fait régne dans cette zone, attire les porteurs minoritaires vers le joint
(fig. 1-3) augmentant ainsi leur taux de recombinaison [4, 5].
Nous supposerons que les paramètres à l'intérieur du matériau sont constants, que
l'éclairement est uniforme sur toute la surface de la photopile. Dans ces conditions, la

---

4
cellule solaire peut être considérée comme une juxtaposition de photopiles filamentaires
en parallèle [1,2].
Nous ferons intervenir un autre paramètre caractéristique du polycristal: la taille des
grains. Ses effets sur les propriétés électriques et photovoltaiques des cellules ont été mis
en évidence par N. C. Halder and T. R. Williams [6], Amal K. Gosh [7] et C. Lanza
and H. J. Hovel [8].
·
·
·
· ·: n émetteur
·
·
o 04
·
0~
· ·:
0
·
· ·
·
· ·
·
. ·
.
·
.- .. .. _._ ..
·
_.'
·'--_.......-_..... ." .,..~ ~Jw
-- . _.. _.': leI! ( ... _.....,
,
·•
.
.1
·
·
·
~0
++-~-1-+--- joint de grain
~e
b83e
~
e
op
Fig.1-3 : Microstructure idéale d'une cellule solaire au Si [5]
Nous avons utilisé les fonctions de Green pour résoudre l'équation de diffusion
des porteurs minoritaires excédentaires, et obtenu ainsi une solution de cette équation
dans le cadre du modéle que nous avons choisi. Halder et Williams [6] ont proposé à
l'aide des fonctions de Green des solutions dans l'espace tridimensionnel donnant la
densité de trous et d'électrons minoritaires respectivement dans l'émetteur n et la base p.
Ils ont calculé ces densités aussi bien dans le cas où la jonction est éclairée unifonnément
que dans le cas où cette jonction est polarisée électriquement à l'obscurité. Ces études ont
été effectuées en régime stationnaire.
Notre objectif est, en régime stationnaire et transitoire, de déterminer la densité de
porteurs dans l'espace à trois dimensions en fonction du temps.
Nos calculs seront faits sur la base du modéle théorique à structure colonnaire
orientée où les grains sont des parallélipipédes de dimensions 2a, 2b, et H (fig. 1-4).

---

5
-b
b
-8.~-r-=-I-7'e-..:::::-7l'
Fig.1-4 : Modéle théorique du polycristal
o
zj ~~.::;::.::;::.::tz:;:::::;:~~~
de Si à structure colonnaire.
Zj+W/'
H
Dans le but de rendre les équations différentielles linéaires, donc solubles
analytiquement, nous supposerons que le semiconducteur est isotrope et uniforme (les
densités de porteurs à l'équilibre thermique Pno et npo et le taux de recombinaison en
volume sont les mêmes en tout point du semi-conducteur) [9].
A ces hypothèses, nous ajouterons les conditions de quasi-neutralité de Schockley
dans la base et dans l'émetteur. En effet puisque pour la jonction uniforme n/p que nous
étudions, l'émetteur et la base sont uniformément dopés, il n'y a aucun champ électrique
en dehors de la zone de charge d'espace [1]. Nous considérerons le cas d'un faible
niveau d'injection des porteurs, leur recombinaison se faisant suivant une loi linéaire.
II - JONCTION
NIf
SOUS
EXCITATION
LUMINEUSE
MONOCHROMATIOUE DANS LES CONDITIONS DE COURT-CIRCUIT
II - 1 - Emetteur
II - 1 - 1 - Equation de diffusion et conditions aux limites :
L'équation de diffusion des trous dans la zone n (émetteur) est:
..
a
..
2
..
(Pn-Pno)(r, t)
..
:\\ ( P n - P n )( r , t) - Op [V (p n - p n )( r , t) -
] = g ( r , t)
ot
0
0
L2
P
(l - 1)
avec g(;, t) = ex (A) F (A, t) [1 - R (A)] exp[- ex (A) z]
(l - 2)
..
- (P n - Pno) (r , t) est la densité de porteurs minoritaires excédentaires dans
l'émetteur ;
- Op est le coefficient de diffusion des trous dans la zone n ;
- L = -J
p
Op t
est la longueur de diffusion des trous, t
p
p étant leur durée de vie;
....
- g( r t) est le taux de génération ou nombre de porteurs injectés dans le système
par unité de volume et par unité de temps;
- ex ( A) et R ( A) sont respectivement les coefficients d'absorption et de réflexion
du matériau semiconducteur . Ils dépendent de la longueur d'onde A des photons

---

6
incidents.
En choisissant l'origine au centre du grain, la densité de porteurs obéit aux
conditions aux limites suivantes [6,10]:
à( Pn - Pno)
Sp
=
D (Pn - Pno)
à z = 0
(1 - 3)
àz
p
(Pn - Pno)
= 0
à z =Zj
(1 - 4)
à( Pn - Pno)
S
= ± ~ (p - p)
à x = ± a
(1 - 5)
àx
D p
n
no
à( Pn - Pno)
S Pg
= ± D
(Pn - Pn )
à Y = ± b
(1 - 6)
ày
p
0
L'équation (1-3) décrit la recombinaison des porteurs sur la partie frontale avec une
vitesse Sp' tandis que l'expression (1-4) indique que les trous excédentaires qui arrivent
au niveau de la jonction sont tous collectés grâce au champ électrique qui régne dans la
zone de charge d'espace. Elle implique aussi que la densité de porteurs minoritaires
excédentaires prend à l'interface zone de charge d'espace - région quasi-neutre de
l'émetteur, sa valeur d'équilibre imposée par la condition de court-circuit [11,12]. Les
équations (1-5) et (1-6) décrivent les phénomènes de recombinaison au niveau des joints
caractérisés par la vitesse Spg que nous supposerons avoir la même valeur suivant les
directions x et y.
II - 1 - 2 - Paramètres de la fonction de Green
Nous cherchons la fonction de Green solution de l'équation suivante:
à G (-+
1 -+,
')
D
[ n2G (-+
1-+'
')
G (f , tir', t') ] _ s:: (-+ -+') s:: (
')
at
r, t
r, t -
P
v
r ,t r, t -
2
- u r - r u t - t
LP
(1 - 7)
L'équation (1 - 7) traduit que la fonction de Green est définie comme la densité de
trous en ; à l'instant t créée par une source unité placée en;' à l'instant t'.
Elle doit obéir alors aux mêmes conditions aux limites que (Pn - Pno ).
àG
=
Sp G
à z =0
(1 - 8)
àz
D p
G
=
0
à z = Zj
(1 - 9)
S
= +
pg G
- D
à x=±a
(1-10)
P

---

7
dG
s
= + pg G
-D
à Y =±b
(1-11)
dy
P
Nous avons résolu l'équation différentielle (1 - 7) en cherchant pour la fonction de
Green une expression de la fonne (voir annexe) :
00
..
1"
2
2
G(r,t
r',t')=
Amcos(mx') cos(rnx) An cos(ny') cos(ny)
m,n,p
x A~ cos(p z' + cp) cos(p z + cp) e- 13 p ( t - t')
(1-12)
En utilisant les conditions aux limites (1 - 8), (1 - 9), (1 - 10) et (1 - Il), on
2
détennine les paramètres m, n et p qui sont les valeurs propres de l'opérateur V .
On aboutit aux équations suivantes :
ma tan (ma) = ~g a avec sn ~ ma ~ (2s + 1) ~
(1-13)
p
S
n
nb tan (nb) = ~ b
avec sn ~ nb ~ (2s + 1)"2
(1-14)
Dp
avec s prenant les valeurs 0, 1, 2, 3, ....
L'équation (1 - 8) donne la relation (1-15) entre p et cp qui est:
Sp
tan cp = - - -
(1-15)
0pp
La condition (1 - 9) permet d'établir
la deuxième relation entre ces deux
paramètres:
cos(p Zj +cp) = 0
(1-16)
L'expression (1-16) est vérifiée si :
n
p Zj + cp = (2s - 1) 2
(1-17)
avec s = 1, 2, 3, ,..
Les relations (1-16) et (1-17) pennettent d'établir l'expression ci-après:
1
=_i
tan cp =
(1-18)
tan (p Zj )
pOp
L'équation transcendante suivante déduite de la relation (1-18) permet de calculer
les valeurs de p .
(1-19)
n
Les solutions p zj sont telles que: (2s - 1)"2 ~ p Zj ~ sn , avec s prenant les

---

8
valeurs entières 1,2,3,... [ Il].
En annexe, nous avons montré que la quantité ~p dépend des valeurs propres m,
n et p et s'exprime au' moyen de la relation:
2
2
2
1
~p= Dp(m +n +p +-)
(1-20)
2
L P
La condition de normalisation s'écrit dans les intervalles
[- a , a ] , [ -b , b ] et
[ 0 , Zj] limitant le volume du grain et permet de calculer respectivement les coefficients
Am' AnetAp '
Dans l'intervalle [ - a , a ], le coefficient de normalisation Am est donné par :
(1-21)
fa 2 2
Am cos (rnx) dx = 1
-a
L'équation (1-21) peut être réécrite sous la forme:
A2 fa [1 + cos(2rnx)] dx = 1
m
-a
2
L'intégration donne:
A2
a
a
m
2
{ x 1 -a + 2~ sin(2mx) I_a } = 1
On obtient:
l
[
m
]~
(1-22)
Am =
ma + sin(ma) cos(ma)
Le même procédé de calcul dans l'intervalle [ -b , b] permet de déterminer le coefficient
An :
l
An = [nb + Sin(:b) cos(nb) ]2
(1-23)
La normalisation dans l'intervalle [0, Zj] donne:
fZj 2 2
o A
cos (p
(1-24)
p
Z + <p) dz = 1
2
fZj [1 + cos 2(p Z + en)]
ou encore: A
't'
dz = 1
P
0
2
ce qui conduit à:
2
A l i ~
L
[z + - sin2(p z+<p)]
0 = 1
(1-25)
2
2p
2
A
~ [Zj + _1_ {sin 2(p Zj + <p) - sin 2<p }] = 1
(1-26)
2
2p
En tenant compte des relations (1-17) et (1-26) on trouve:

---

9
l
= [
2p
]2
(1-27)
p Zj - sin(p Zj) cos(p Zj)
II - 1 - 3 - Expression de la densité de trous en court-circuit
En annexe (expression AlO), nous avons donné l'expression générale de la densité
de trous. Avec les conditions aux limites imposées par le mode de fonctionnement en
court-circuit de la jonction n/p, l'intégrale de surface est nulle. L'hypothèse, selon
laquelle il n'y a aucun porteurs minoritaires excédentaires à l'instant initial \\:0, nous
permet d'écrire:
(Pn-Pn )(;,t) = Jt
(1-28)
dtJJJv,dV'g(~,t')G(;,t ~,t')
1
o
to
....
L'expression (1-28) donne les contributions des différentes sources g (r', t') à la densité
..
de porteurs au point r et à l'instant 1. Nous supposerons que le flux lumineux incident
F ( Â. , t) délivré par un stroboscope a la forme d'un signal carré (figure 1 - 5). La durée
de l'excitation étant Te' un tel signal peut être décrit par les relations (1-29) et (1-30) :
Fig 1 - 5 : Signal correspondant au flux
F ( Â. , t ) délivré par un stroboscope
o
t
F (Â. , t) = Fo ( Â. ) pour 0 ~ t < Te
(1-29)
F(Â. ,t) = 0
pour
t ~ Te
(1-30)
La densité de porteurs minoritaires excédentaires s'écrit alors:
(Pn-Pn )(;,t) = a(l-R) Ï
JtF(t')e-~p(t-tl)dt'Ja A~cos(rnx)cos(mx')dx'
o
0
-a
m,n,p
Jb 2
JZj
2
'
x
-b An cos(ny) cos(ny') dy'
0 A
cos(p
p
Z + <p) cos(p z' + <p) e -az dz'
(1-31)
Considérons l'intégrale: 1l = J: F ( Â. , t' ) e - ~p ( t - t') dt'
Dans l'intervalle 0 ~ t' < Te' cette intégrale devient d'après (1-29) :
I1=Fo(Â.) e-~ptJ: ePpt'dt'

---

10
ce qui donne:
-
F o(À)(l
-13 t)
11-
-e
p
(1-32)
I3 p
Dans le domaine étendu à t ~ Te' en tenant compte de (1-30) :
I = J~e
l
F 0 ( À) e-l3 p ( t - t') dt' + J~ Fo (À )e -l3 p ( t - t') dt'
e
I = J~e
l
F 0 (II. )e-l3 p (t - t') dt'
Il = F 0 ( À) ( 1 _e- 13 p Te) e- I3 p ( t - Te)
(1-33)
I3p
Finalement, on peut écrire que:
F o(À)
11 =
fpe(t)
(1-34)
I3p
avec
fpe ( t) = 1 - exp(-l3p t)
pour 0 ~ t < Te
(1-35)
fpe (t) = [1 - exp(-l3p Te)] exp{ -l3p (t - Te)}
pour t ~ Te
(1-36)
Calculons l'intégrale 12 = fa A:Ucos( mx) cos( mx') dx'
-a
12= A2mcos( mx )fa cos( mx') dx' = A2mCOS( mx) sine mx') 1a
-a
m
-a
On trouve:
l
2 A2 sine ma )
(
)
2=
m
m
cos mx
(1-37)
fb 2
De la même manière, l'intégration de 13 = -b An cos( ny) cos( ny') dy' , donne:
1 = 2 A~ sin~nb) cos( ny)
(1-38)
3
J
Z-
2
1
L'intégrale 1 =
4
f J A cos(p Z + <p)cos(P z' + <p) e-azdz' esttelle que:
o
p
J
2
fZj
-az'
2
14 =Apcos(pz+cp) 0 cos(pz'+<p)e
dz'=Apcos(pz+<p)I'4
f:j
avec 1'4 =
cos(p z' + cp) e -az'dz'
1
1
Intégrons 1'4 par parties:
Zj
,
1
. (
,
) - az'
a JZj .
- az'
l 4 = -
SIn P Z + <p
e
1 o + -
SIne pz' + <p) e
dz'
p
0
p
1
1
1
1

---

11
Z·
1
_ az' 1 Zj
a
1
- az'
J
l' 4 = -
sin( p Z1 + cp ) e
0 + -
[ - -
e
cos( p Z + cp )
1
0
1
p
p
p
a JZj
-az'
]
+ -
cos(p z' + cp) e
dz'
p
0
- az'
1 Z·
1'4=
~
2
[psin(pz'+cp)-acos(pz'+cp)]
oJ
a +p
1'4 =
2 1
2
{e - aZj [p sin( p Zj + cp) - a cos( p Zj + cp)]
a +p
- [p sin cp - a cos cp ] }
Les équations (1-16) et (1-18) pennettent d'écrire:
1
{ - az·
1'4 =
2
2
e
J p sin( p Zj + cp) + cos cp
a +p
D'après l'éq uation (1-17)
sin( p Zj + cp) = sin( 2s - 1 ) ~
et cos cp = sin( 2s - 1 ) ~ .sin( p Zj) avec s = 1, 2, 3....
1
S
x
1'4 =
2
2
[p e - aZj + (a + D~ ) sin( p Zj)] sin( 2s - 1 ) 2:
a +p
Finalement on obtient:
A ~ sin( 2s - 1 ) ~
1 = ---'-------
4
2
2
a +p
(1-39)
Pour éliminer le paramètre cp, nous utiliserons l'expression (1-17) pour calculer
cos(p Z + cp)
x
cos( p Z + cp) = cos [p (z - Zj) + ( 2s - 1) 2: ]
cos(p Z + cp ) = - sin( 2s - 1 ) ~ . sin p ( Z - Zj )
La densité de trous excédentaires dans l'émetteur p, lorsque la jonction n/p est
sous excitation lumineuse monochromatique dans les conditions de court-circuit est:

---

12
..
00
A:n sine ma) A~ sine nb) A~
(Pn- Pno)(r,t)=4aFo (I-R) l
2
2
m,n,p
~pm n (a + p )
SP
x [p e - aZj + (a + D
) sine p Zj )] cos ( mx ) cos( ny ) sin p (z - Zj - W) fpe( t )
P
(1-40)
II - 2 - Base
II - 2 - 1 - Equation de diffusion et conditions aux limites
L'équation de diffusion des électrons excédentaires dans la :one p (base) est:
a
..
2
..
( n p - n po ) (r, t)
..
at (np-npo)(r, t)-Dn[V (np-npo)(r, t)-
L
]
= g(r, t)
2
n
(1-41)
où Dn est le coefficient de diffusion des électrons dans la base et Ln = -.j Dn 't n 1a
longueur de diffusion des électrons dans la base, 'tn étant leur durée de vie.
En utilisant le même procédé de calcul ayant servi à déterrmner la densité de
porteurs minoritaires dans l'émetteur (voir annexe), on trouve pour les électrons dans la
base p:
= ft dtJffv,dV'g(~,t')G(;,t 1 ;;,t')
to f: [ff
+ D n
dt'
S ,{ G ( ; , t 1 ? , t' ) V' ( n p - nPo) ( ;; , t')
o
-(np-npo)(?,t')V'G(;,t 1 ;',t') }dS']
+ JJJV' [ G ( ; , t 1 ~ , t) ( n p - npd ( ? , t)
- G (;, t 1 ?, to) (n p - n
) (?, to)] dV'
(1-42)
po
Avec l'hypothèse selon laquelle il n'y a aucun électron minoritaire excédentaire
dans la base à l'instant initial ta = 0, nous introduisons la condition suivante:
..
(np-npo)(r,O) = 0
Les conditions aux limites dans cette zone sont:
=
0
à Z = zj + W
(1-43)

---

13
a( n p - n )
po
Sn
= - - (n -n
)
àz=H
(1-44)
D
p
Po
az
n
a( n p - n )
po
Sng
= ± D
(np-n
à x =±a
(1-45)
po )
ax
n
a( n p - n )
po
Sng
= ± - (n -n
)
à y=±b
(1-46)
D
ay
n
p
Po
Ces conditions aux limites traduisent respectivement, par (1-43) et (1-44), le fait
que les électrons excédentaires qui arrivent au niveau de la jonction sont tous collectés,
que des phénomènes de recombinaison se produisent au niveau de la surface arrière de la
cellule. Les conditions (1-45) et (1-46) indiquent que les joints de grains sont des pièges
pour les électrons excédentaires dans la base. Les phénomènes de recombinaison qui y
prennent naissance sont caractérisés par la même vitesse de recombinaison Sng suivant
les directions Ox et Oy.
L'épaisseur totale de la cellule est H et West la largeur de la zone de charge
d'espace.
Comme dans le cas de l'émetteur (voir annexe), nous avons développé la fonction
de Green en série de fonctions orthogonales.
A tout instant t > t', nous l'écrivons sous la forme:
00
..
1"
~
2
2
G (r, t
r', t') =
L.J
Akcos(kx') cos(kx) Al cos(ly') cos(ly)
k,l,,u
x A~ cos(jl z' + <!» cos(jl z + <1» e- ~n ( t - t')
(1-47)
k, 1 et,u sont les valeurs propres associées à ces fonctions et sont obtenues à partir des
conditions aux limites appliquées à la fonction de Green, à savoir :
G
=
0
à z = Zj+ W
(1-48)
aG
Sn
= - - G
àz=H
(1-49)
az
Dn
aG
Sng
= +-- G
à x = ±a
(1-50)
- D
ax
n
aG
Sng
-
= +-- G
à Y =±b
(1-51)
-D
ay
n

---

14
II - 2 - 2 - Paramètres de la fonction de Green
La condition (1-48) à la limite de la jonction dans la base pennet d'obtenir la
relation:
cos[ .u ( Zj + W ) + <1> ] = 0
(1-52)
qui est vérifiée si: .u ( Zj + W) + <!> = (2 s - 1) ~
(1-53)
A la surface arrière de la photopile, caractérisée par la vitesse de recombinaison Sn
et la profondeur H, nous avons, à partir de (1-49) :
Sn
-.u sin(.u H + <!> ) = -
cos(.u H + <1> )
(1-54)
Dn
Sn
qui est équivalent à : tan( .u H + <1> ) = - -
(1-55)
Dn.u
De la relation (1-53), on déduit que <!> = (2 s - 1)~ -.u (Zj + W)
(1-56)
H b = H - ( Zj+ W) représentant l'épaisseur de la base, on a alors:
1t
1
tan(.u H +<!»=tan[.u H b+(2s-1)2] = -
(1-57)
tan(.u Hb)
Les relations (1-55) et (1-57) pennettent d'obtenir l'équation transcendante dont la
résolution par une méthode numérique donnent les valeurs possibles de
.u ; Ces
relations conduisent à l'équation:
Dn
tan (.u Hb) = - .u S
(1-58)
n
En réarrangeant cette dernière équation, on obtient :
Sn
.u H b cotan(.u H b) = - D
H b
(1-59)
n
dont les solutions sont telles que: (2s - 1 )~ ~.u Hb ~ s 1t
Les valeurs propres k se déduisent de (1-50) qui donne:
Sng
ka tan( ka ) = -
a
(1-60)
Dn
1t
dont les racines s'obtiennent dans les intervalles: S1t ~ ka ~ (2s + 1 ) 2
De manière analogue, les valeurs de 1sont obtenues à partir de (1-51) qui pennet
d'écrire:
S ng
lb tan( lb) = D
b
(1-61)
n

---

15
1t
avec S1t ~ lb ~ (2s + 1 ) 2"
Les solutions de l'équation transcendante (1-59) sont données dans les intervalles
déjà précisés pour lesquels s prend les valeurs entières 1, 2, 3, .... Quant à celles
relatives à (1-60) et (1-61), l'entier s est égal successivement à 0, 1, 2, .....
En appliquant respectivement les conditions de normalisation dans les intervalles
[ -a , a ] et [-b, b ] , on trouve que:
1
Ak= [ka + sin(~a)COS(ka)]2
(1-62)
1
2
Al = [lb + Sin(~b) cos(lb) ]
(1-63)
De même dans l'intervalle [ Zj + W , H ], le coefficient de normalisation AJ.l est
obtenu comme suit :
fH
2
2
A 1/ cos (J.l Z + <\\» dz = 1
Zj+W
,.,.
.
A2
fH
[1 +cos2(J.l z+<\\»] dz-1
SOIt
J.l
z. + W
2
-
J
Après intégration nous obtenons:
2
A l i H
L
[z + -
sin 2( J.l z+<\\> )]
. + W = 1
2
2J.l
~
2
A
L
[H - ( Zj + W) + _1_ {sin 2( J.l H + <\\> ) - sin 2[ J.l (Zj + W) + <\\> ] } ] = 1
2
2J.l
D'où l'on tire l'expression de AJ.l qui est:
l
A
= [
2J.l
]2
(1-64)
J.l
J.l H b - sin(J.l H ~ cos{J.l H~
La quantité ~n est obtenue à partir des valeurs propres k, 1et J.l et s'écrit :

---

16
(1-65)
II - 2 - 3 - Expression de la densité des électrons en court-circuit
Comme, nous l'avons supposé dans ( II . 1), la jonction sera éclairée par un
flux de photons F( À, t ) de durée Te (voir figure 1-5).
Avec les conditions aux limites choisies, les intégrales de surfaces sont nulles. Le
nombre de porteurs excédentaires étant nulle à l'instant initial, la densité des électrons
dans la base pest:
(np-npo)(;,t) = J:odtJJfv,dV'g(~,t')G(;,tl ;',t')
(1-66)
En remplaçant dans (1-66) la foncùon de Green par son expression (1-47), la
densité d'électrons photocréés dans la base s'écrit:
f f:
( n p - n ) (; , t) = a ( 1 - R)
F ( t') e -~n( t - t')dtJ: A~ cos(kx) cos(kx')dx'
po
k,l,Ji
fb 2
fH
2
-az'
x
bAl cos(ly) cos(ly') dy'
WA
cos(J1 z + cp) cos(J1 z' + cp) e
dz'
-
Z·+
Ji
J
(1-67)
L'intégrale se rapportant au temps t'est :
Il = J: F ( À , t) e - ~ n ( t - t') dt'
Avec le même procédé de calcul développé dans la section II - 1 - 3, le terme Il peut
être mis sous la forme:
Fo(À)
Il =
f ne (t)
(1-68)
~n
avec
fne(t)= l-exp(-~nt) pour 0 $t <Te
(1-69)
fne (t) = [ 1 - exp(-~n Te)] exp{ -~n (t - Te)}
pour t ~ Te
(1-70)
Les expressions (1-69) et (1-70) correspondent respectivement à la phase
d'excitation lumineuse et à celle de l'extinction du flux lumineux incident.
L'intégrale 12 = fa A~cos( kx) cos( kx') dx' est égale à:
-a
2
Ja
2 cos( kx)
.
1 a
12 = Akcos( kx) -a cos( kx') dx' = Ak
k
sm( kx')
-a

---

17
Soit:
1 - 2 A2 sine ka)
(kx)
(1-71)
2 -
k
k
cos
L'intégration de 13 = Jb Ar cos( ly ) cos( ly') dy', donne:
-b
1 - 2 A 2 sine lb )
(1)
(1-72)
3 -
1
1
cos
y
L'intégrale 14 = fH
AJ.l2 cos(J.1 z+<\\»cos(J.1 z'+<\\»e-az'dz' est telle que:
Zj+W
2
fH
' 2
14 = A cos(J.1 Z + <\\»
WCos(J.1 z' + <\\» e-azdz'::: AJ.l cos(J.1 Z + <\\» 1'4
J.l
Zj +
JH
,
avec 1'4 =
WCos(J.1 z' + <p) e -az dz'
Zj +
En intégrant 1'4 par parties, on trouve:
- az'
1 H
1'4 =
~
2
[J.l sine J.l z' + <\\> ) - a cos( J.l z' + <\\> )]
Zj + W
a + J.l
1
aH
Soit:I'4= -2-- - 2 {e-
[J.l sin(J.l H+<\\»-acos(J.l H+<\\»]
a + J.l
- e- a( Zj + W) [J.l sin { J.l ( Zj + W ) + <\\>} - a cos { J.l ( Zj + W ) + <\\> J] }
En faisant intervenir l'épaisseur Hb de la base, le terme 1'4 s'écrit:
- a( Z· + W) {
[ .
1'4= e
J
e-aHb
J.lsm{J.lHb+J.l(Zj+W)+<\\>}
a 2 + J.l2
- a cos{ J.l Hb + J.l ( Zj + W )+ <\\> }] - J.l sin ( 2s + 1 )~ + 0 }
- a( Z· + W)
e
J
•
(2
1t
l'4 :::
sm
s - 1 ) 2
2
2
a + J.l
x {e - aH b [J.l cos( J.l H b) + a sine ~H b)] - J.l }
L'équation (1-57) permet de faire le développement ci-après:
e- a( Zj + W)
S
1'4 = - - 2 - - 2 - sin (2s - 1)~ {e- aH b sin(J.l H b ) ( a - D:) - J.l }
a + J.l

---

18
Ainsi l'intégrale :
2
2
1t
14 = AJ.lcos(jl z+<l»I'4=AJ.lcos[J.l z+(2s-1)2 -J.l (zj+W)]I'4
ou bien: 14 =- A~ sin[ J.l (z - Zj - W ) ] sin ( 2s - 1 )~ 1'4
2
- a( Z· + W)
.
)
A
e
J
14 =
J.l sm[ J.l ( Z - Zj - W]
2
2
a + J.l
S
x { J.l - ( a. - ----E.. ) sin( J.l H b) e - aH b }
On
Finalement, nous trouvons que la densité de porteurs minoritaires excédentaires
créés par une excitation lumineuse F ( À , t ), dans la base de la photopile est donnée par
l'expression :
2
..
(
W)
A~
00
sin( ka ) A~ sin( lb) A
(n p - np ) (r , t) = 4 a F0 (1 - R) e- a Zj +
l
J.l
o
2
2
k,I,J.l
~ n k 1(a + J.l )
x { J.l - ( a - ~n ) sin( J.l Hb ) e- aHb } cos ( kx ) cos(ly ) sin J.l (z - Zj + W) fne( t)
n
(1-73)
Conclusions
Les expressions (1-40) et (1-73) donnent respectivement la densité des porteurs
minoritaires excédentaires dans l'émetteur et dans la base dans les conditions de court-
circuit.
Elles sont données dans l'espace à trois dimensions et en fonction du temps.
Les valeurs propres m, n, k et 1 tiennent compte de la taille des grains et des
phénomènes de recombinaison des joints, tandis que le paramètre p, dépend de la
profondeur de la jonction et des phénomènes de recombinaison de surface.
Les valeurs de J.l sont fonction de l'épaisseur de la base et de la recombinaison à la
surface arrière.
Tous ces paramètres jouent un rôle important dans la détennination des grandeurs
~p et ~n.
Toutes ces considérations citées ci-haut seront revues dans la suite. Nous nous
placerons en régime stationnaire dans le but de faire une étude comparative avec certains
modéles qui sont déjà proposés dans la littérature [lJ , [13].

---

19
III • JONCTION
NIP
SOUS
EXCITATION
LUMINEUSE
MONOCHROMATIOUE
DANS
LES
CONDITIONS
DE
CIRCUIT
OUVERT.
III • 1 • Emetteur
III • 1 • 1 • Equation de diffusion et conditions aux limites
La distribution des porteurs minoritaires excédentaires dans l'émetteur lorsque la
jonction est éclairée par un flux de photons monochromatiques dans les conditions de
circuit ouvert est régie par l'équation de diffusion (1-1) du paragraphe II - 1 - 1. Les
porteurs minoritaires excédentaires obéissent aux mêmes conditions aux limites (1-44),
(1-45) et (1-46). A cela s'ajoute le fait qu'en circuit ouvert, le photocourant de l'émetteur
est nul à la jonction. Ce qui nous permet de définir une nouvelle condition à la limite
Z = Zj de la zone de charge d'espace qui est:
= 0
à Z = Zj
(1-74)
III - 1 • 2 • Paramètres de la fonction de Green
Les paramètres m, net p de la fonction de Green (expression A28 en annexe)
seront déterminés à partir des conditions suivantes:
dG
=
Sp G
à z=O
(1-75)
dz
Op
dG
=
0
à Z = Zj
(1-76)
dz
dG
S
= + pg G
-D
à x=±a
(1-77)
dx
P
dG
S
-
= + pg G
-Op
à y=±b
(1-78)
dy
La condition à la limite Z = 0, donne la première relation entre p et <p qui est:
S
tan(<p)=--P-
(1-79)
Dpp
A Z = Zj, nous avons la deuxième relation entre ces paramètres :
sin( p Zj + <p ) = 0
ou bien pZj +<p =s7t,(s= 0,1,2, ....)
(1-80)
En combinant (1-79) et (1-80), nous pouvons calculer le paramètre p à partir de la
solution de l'équation transcendante suivante:

---

20
sn:
p Zj tan( p Zj) =
Zj
avec sn ~ p Zj ~ (2s + 1) ~
(1-81)
Les autres paramètres m et n seront calculés de la même manière qu'en (II - 1 -1),
les conditions aux limites en x = ± a et y = ± b étant les mêmes. La même remarque
s'applique également aux coefficients de normalisation Am et An. Par contre, pour A p '
nous avons repris les calculs suivant la même démarche que celle déjà développée dans le
paragraphe cité ci-haut, mais en tenant compte de la nouvelle condition à la limite Z = Zj.
Nous trouvons:
2 P
]1
A
= [
2
(1-82)
P
P Zj + sin( p Zj )cos( p Zj)
III - 1 - 3 - Expression de la densité de trous en circuit ouvert
Avec les conditions aux limites imposées sur la fonction de Green et sur la densité
de porteurs minoritaires excédentaires, l'intégrale de surface (expression A10) est nulle et
seule l'intégrale de volume intervient dans les calculs. La densité de trous est:
(Pn-Pno)(;,t) = J:odtJJJvldV'g(~,t')G(;,t 1 ;;,t')
(1-83)
Les calculs donnent:
A~
00
sin( ma) A~ sin( nb) A~
(Pn- Pn o)(;,t)=4aF o (1-R) L
2
2
m,n,p
~pm n (a + p )
s
x
[- a e- aZj + ( a + DP ) cos( pZj )] cos( mx ) cos( ny ) cos p (z - Zj) fpe( t)
p
(1-84)
La fonction fpe( t ) traduit pendant le régime transitoire, soit l'évolution de la
densité de porteurs vers l'état stationnaire, soit leur décroissance pendant la phase de
déclin.
Dans les conditions de circuit-ouvert, si la contribution de l'émetteur
est
prépondérante par rapport à celle de la base, la densité des trous excédentaires s'exprime
en fonction de la tension de circuit ouvert Vco ( t) par la relation de Boltzman à Z = Zj :
.
_
[
( qVco( t) )
]
( Pn - Pno) ( x, y, zJ ' t ) - Pno exp
KT
- 1
(1-85)

---

21
III - 2 - Base
III - 2 - 1 - Equation de diffusion et conditions aux limites
Dans la base, l'équation de diffusion des électrons excédentaires générés par une
excitation lumineuse F ( À , t) en circuit ouvert est:
+
a
-+
2
+
(np-npo)(r, t)
-+
at (n p - n po ) (r , t) - On [V (np - npo )( r , t) -
L 2
] = g (r , t)
n
(1-86)
Les conditions aux limites dans cette zone sont similaires à celles décrites dans le
cas de l'émetteur à savoir que :
a( np - npo )
= 0
à z = Zj+ W
(1-87)
az
à z=H
(1-88)
a( np - npo )
à x=±a
(1-89)
ax
a( np - npo )
à y=±b
(1-90)
ay
A l'instant initial ta, la densité des électrons minoritaires excédentaires dans la base
+
est nulle, soit : ( n p - n
) ( r , 0) = o.
po
III - 2 - 2 - Paramètres de la fonction de Green
La fonction de Green (voir annexe A33 ) obéit aux mêmes conditions aux limites
que la densité d'électrons excédentaires. Elles sont:
aG
= 0
à z =Zj+ W
(1-91)
az
aG
_ Sn G
=
à z=H
(1-92)
az
Dn
aG
S
= + ng G
à x=±a
(1-93)
- 0
ax
n
aG
S
-
= ±
ng G
à Y =±b
(1-94)
ay
On

---

22
A l'aide de la fonction de Green, ces conditions aux limites sont mises sous forme
analytique et permettent la détermination des valeurs propres k, 1et p.
La condition (1-91) permet d'écrire la relation entre p et <l> :
Sn
tan( p H + <l»
=
(1-95)
D n p
D'autre part, ces deux paramètres obéissent à la relation suivante obtenue à partir
de la condition à la limite Z = Zj + W :
p (Zj + W) + <l> = S1t , S prenant les valeurs 0, 1, 2, ...
(1-96)
Les expressions (1-95) et (1-96) permettent de calculer les valeurs discrètes
possibles de p par la résolution de l'équation transcendante:
S
p Hbtan(P Hb)=----.n.Hb avec
S1t ~pHb ~ (2s+1)1t
(1-97)
~
2
Les valeurs discrètes possibles de k et 1sont obtenues respectivement à partir des
relatiorts (1-60) et (1-61).
Les coefficients de normalisation Ak et Al sont identiques à ceux déjà exposés
dans la section II - 2 - 2. Le coefficient Ap sera recalculé sur la base de la nouvelle
condition à la limite (1-74). Il s'écrit:
2p
].L
[
A p =
P Hb + sin(j1 Hb) cos( p Hb)
2
III - 2 - 3
- Expression de la densité d'électrons en circuit ouvert
Le calcul de la densité des électrons dans les conditions de circuit ouvert à partir de
l'intégrale de volume (1-66) donne:
-+
00
Ak sin( ka) Ar sin(lb) A2
( np - npo )( r , t ) = 4 a Fo ( 1 - R ) e- a( Zj +W) l
P
k,l, P
~n k 1( a 2 + p 2 )
S
x { a - (a - ~ ) cos( P H b) e - aH b } cos(kx) sin(ly) cos [p (z - Zj - W) ] f ne( t)
Dn
(1-98)
Si les conditions d'éclairement sont telles que seule la base a une contribution
importante sur la tension de circuit ouvert Vco ( t ) alors la densité des électrons à la
limite de la zone de charge Zj + West:
.
) _
[
qVco( t) )
]
( np - npo ) ( x, y, zJ + W ,t - 0Po exp(
KT
- 1
(1-99)

---

1
23
L'étude de l'évolution de la tension de circuit ouvert au cours du temps peut être
faite à partir de:
_ KT
[ ( np - npo ) ( x, y, Zj + W ,t )
]
Vco( t ) - -
Ln
+ 1
(1-100)
q
npo
IV - .JONCTION N/P SOUS POLARISATION ELECTRIOUE.
IV - 1 - Equation de diffusion et conditions aux limites dans la base
Dans cette partie, nous nous limiterons au calcul de la densité d'électrons
minoritaires dans la base p, la jonction étant polarisée électriquement à l'obscurité. En
l'absence d'excitation lumineuse extérieure, l'équation de diffusion des porteurs
minoritaires dans la zone quasi-neutre de la base est:
(1-101)
La densité de porteurs minoritaires excédentaires (np - npo ) (r , t) obéit aux
conditions aux limites suivantes:
qV
( np - npo )
=
npo [exp(KT) - 1 ]
à Z = Zj + W
(1-102)
o( np - npo )
à z=H
oz .
= - ~~ (np - npo )
(1-103)
o( n p - n
)
po
àX==fa
(1-104)
ox
o( n p - n
)
po
Sng
= ± - (n -n )
ày==fb
(1-105)
oy
D
p
Po
n
-+
avec la condition initiale (n p - n
) (r , 0) = 0
po
A la limite Z = Zj + W , l'expression (1-103) montre que les électrons sont en
équilibre thermique dans la zone de charge d'espace, et qu'en présence du potentiel
électrique V extérieur la concentration de porteurs minoritaires est modifiée à la limite de
la charge d'espace [14]. Le terme npo représente la concentration d'électrons dans le
matériau de type p à l'équilibre thermique et s'exprime par la relation suivante:
2
n i
n
= -
Po
NA
où ni est la densité intrinséque des électrons ou des trous dans le silicium (cristal pur) et
NA' la densité des accepteurs dans la zone p.

---

24
Les relations (1-104) et (1-105) montrent que le courant de diffusion vers les joints
de grains est égal au courant de recombinaison qui est supposé dépendant linéairement de
la vitesse de recombinaison Sng [5].
IV - 2 - Fonction de Green et ses conditions aux limites
La fonction de Green que nous allons choisir pour donner la solution de l'équation
de diffusion (1-102), dans l'espace à trois dimensions et en fonction du temps, aura la
même forme que celle de l'expression A28.
Elle doit obéir aux conditions aux limites suivantes:
G
=
0
à z=z+W
(1-106)
J
dG
Sn
= - - G
àz=H
(1-107)
dZ
On
dG
Sng
= +-- G
àx==Fa
(1-108)
dX
- On
dG
Sng
-
= +-- G
ày==Fb
(1-109)
dY
- °n
Les paramètres k, l, J1 et q> seront déterminés à l'aide de ces conditions aux limites
qui sont identiques à celles déjà décrites dans la section (II - 2 - 2).
S
1t
J1
0:
3....
Hb cotan( J1 Hb ) = -
Hb avec (2s - 1 )"2 ~ J1 Hb ~ S1t , S = 1, 2,
et Hb = H - (Zj +W) étant l'épaisseur de la base.
Les valeurs de k sont déduites de :
S~
1t
ka tan( ka ) = -
a
avec
S1t
~ ka ~ (2s + 1 ) -2 ' s = 1, 2, 3 ....
On
De manière analogue, les valeurs de 1sont telles que:
Sng
1t
lb tan(lb) = -
b
avec S1t ~ lb ~ (2s + 1 ) -2 ' s = 1, 2, 3 ....
On
Les coefficients de normalisation Ak, Al' AJ1 sont les suivantes:
1
A - [
k
]2
k -
ka + sin(ka) cos(ka)
1
1
2
Al = [lb + sin(lb) cos(lb) ]
2J1
]1-
[
AJ1 =
J1 Hb - sin(J1 Hb) cos(J1 Hb) 2

---

25
IV - 1 - 3 - Expression de la densité d'électrons dans la base
La jonction n/p est polarisée en direct à un potentiel V positif pendant un intelValle
de temps Tp au bout duquel cette tension est brusquement portée à une valeur nulle. Ce
régime de grand signal peut être schématisé par les expressions suivantes.
V(t)=Vo
à
O~t<Tp
(1-110)
La coupure abrupte de la polarisation correspondrait:
V(t)=O
à
t~Tp
(1-111)
Le calcul de la densité des porteurs minoritaires dans la base sous l'effet de la
polarisation électrique à l'obscurité se fera à l'aide de l'intégrale de surface de
l'expression (AlO) donnée en annexe. Elle est la suivante:
( n
J~
p - npo ) (f, t) = Dn
dt' [JJs'{G Cr, t 1 i , t' ) V'( np - npo ) (? , t') -
(np -npo )(7',t')v'GCr,t 1 -;',t') }ii.~]
(1-112)
Ii est la normale à chacune des six surfaces qui limitent le volume du grain dans la base en
x = ± a, y = ± b, z = zj + W et z = H. Avec l'orientation des axes Ox, Oy et Oz comme
le montre la figure 1-1, l'expression (1-112) devient:
t J:j
(op -"Po) (x, y, z,') = Do (
dt' {
( -[G ~(np-np )(x',y',z',t')-(np-n p )(X',Y',z',t,)dG] ,
dX'
0
0
dX' x =-3
+[ G d~' (np - npo ) (x', y', z', t') - (np - npo ) (x', y', z', t') :~ ]x' = a) dy' dz'
ra rZj ( [G d (
) ( , , ,
')
(
) ( ,
,
, ') dG ]
+ra Jo
-
dy'
np - npo
x, y, z ,t -
np - npo
x, y, z, t dy'
y' = -b
+ [ G ~ ( np - npo ) ( x', y', z' , t') - ( np - npo ) ( x', y', z', t') dG] ,_ b ) dx' dz'
dy'
dX'
y -
t+ J~b(-[G a~' (op -°Po) ( x', y', z' , l') - ( op - 0po ) ( x', y', z', t') :. Jz'~zJ+W
+[ G d~' (np - npo ) (x', y', z' , t') - (np - npo ) ( x', y', z', t') :~ ] z' = H) dx' dy' }
(1-113)
Les conditions aux limites étant connues et fixées, toutes les intégrales de surface
s'annulent sauf celle pour laquelle z = Zj + W. La densité des électrons est donnée par :

---

26
(Op - opJ (x, y, z, t) = Do J~dd~ h[( op - opJ (x', y', z', t'):lz'=zj+w dx' dy'
(1-114)
En portant dans (1-114), la dérivée de la fonction de Green par rapport à Zau point
Zj et la condition à la limite (1-102), nous obtenons:
_
Jt
'Ja Jb
qV
(n p - npd (x, y, z, t) - D n t dt -a
-b npJ exp (KT) - 1 ]
o
d ('f
2
2
-
L... Akcos( kx') cos( kx) x Al cos( ly' )cos( ly)
dZ'
k,l,.u
2
-~ (t - t'))
(A
cos(.u z'+<p)cos(.u z+<p)e
n
_
Wdx'dy'
.u
z-z·+
J
(1-115)
soit:
00
(np - npJ (x, y, z, t) = npo Dn 2: Ak cos( kx ) Ar cos( ly ) A~ cos(.u z+ <p )
k,l,.u
x J t [ exp ( qV(t') ) - 1 ] e-~n ( t - t') dt'J a cos( kx') dx'
ta
KT
-a
x J~b cos( ly') dy' a:' cos(jl z'+ cp) 1 Z = Zj + W
(1-116)
Le développement de cette équation donne:
00
(np - npe) (x, y, z, t) = 4 npo Dn 2:
~ l Ak sine ka) cos( kx ) Ar sine lb) cos( ly )
k,l,.u
1
x.u A~ sin[.u (Zj + W) + <p J cos(.u Z+ <p) J~[ exp (q~~') ) - 1 ] e-~n (t - t') dt'
(1-117)
1
1
La densité d'électrons minoritaires excédentaires dans la base créée par la
polarisation électrique V( t) dans l'intervalle de temps [0, TpJ s'écrit:
00
1
n2
qV
(np - npe) (x, y, z, t) = 4 ri- Dn [ exp (KT) - 1] 2: _1_ Ak sine ka) cos( kx)
A
k,l,.u ~n k l
1
x Ar sine lb) cos(ly).u A~ sin[.u (z - Zj - W)]) ( 1 - e- ~n t)
(1-118)
1
1
1

---

27
A la coupure de la tension V( t) à partir de l'instant T P' la densité des porteurs
décroit suivant la relation:
00
n2
qV
1
(np - npJ (x, y, z, t) = 4 ri- Dn [ exp ( KT ) - 1] L
- - Ak sin( ka ) cos( kx )
A
k,1, /1 ~n k 1
x Ar sin(lb) cos(ly)/1 A~ sin[/1 (z - Zj- W)]) (1- e- ~n Tp ) e- ~n (t - T p )
(1-119)
Dans les expressions (1-118) et (1-119), chaque terme s'annule à Z = Zj + W , ce
qui est en contradiction avec la condition à la limite :
.
_
qV(t)
( np - npo ) ( x, y, zJ, t ) - npo [ exp ( KT ) - 1 ].
Ce paradoxe a été montré par G. BARTON [15] dans la résolution de l'équation
homogène de la chaleur entre deux sphères concentriques de rayons RI et R2 ( RI < R2
), par la méthode des fonctions de Green. L'une des conditions qui imposait dans le calcul
de l'intégrale de surface, que la température est une fonction linéaire du temps à r = RI'
est violée.
Pour lever cette contradiction, il a réécrit la solution de l'équation sous la forme:
00
L sin ( ne) =l ne
avec 0 < e< 2n
(1-120)
n
2
n=1
Nous utiliserons la même démarche, en cherchant dans quelles conditions, nous
pouvons réécrire les expresions (1-118) et (1-119) sous la fonne (1-120).
Considérons dans ces expressions la première somme SI qui est indépendante du
temps.
00
n?
q V ] ~
1
2
SI = 4 NI Dn [ exp ( KT ) - 1
~ - - Ak sin( ka ) cos( kx )
A
k,l,/1 ~n k 1
x Ar sin( lb ) cos( lY)/1 A~ sin[J1 ( Z - Zj - W ) ]
(1-121)
La quantité ~ est telle que:
1
Lfi (k2 + 12 ) + 1
~ = D (k2 + 12 + - + /12) = D [
+ /12].
n
n
Lfi
n
Lfi
En la réécrivant en fonction de la longueur effective polycristalline 'Yn ' nous
obtenons:

---

28
( 1 -
122)
En remplaçant AJl par son expression, alors SI devient:
n?
qV
~
SI = 8 NI
[exp (KT) - 1 l L.J ~ 1 Ak sine ka) cos( kx) Ar sin(lb) cos(ly)
A
kl
,
(1-123)
A ce stade de nos calculs, nous devons faire quelques hypothèses simplificatrices
que nous préciserons en détail dans le chapitre 2.
- Les paramètres de la cellule devront être choisis de telle que sorte que le rapport
R
Jl2yfi
. .
' a l ' l
n =
2 2 SOIt pratIquement eg
a .
1 + Jl
'Yn
- La vitesse de recombinaison Sn à la surface arrière doit être assez élevée pour que
les valeurs propres Jl soient de la forme :
Jl Hb = sn, s = 1, 2, 3,...
(1-124)
Si ces deux conditions sont réalisées, la série (1-123) s'écrit alors:
')
00
SI =
8 ~r [exp (i:~ )-1 II ~ 1 Ak sine ka) cos( kx) Af sin(lb) cos(ly)
A
k 1
,
00
sin[.u ( z - Zj - W ) ]
(1-125)
JlHb
En utilisant la relation (1-124), SI s'écrit:
2
SI =
8 ni
[exp ( ~ri )-1 II ~ 1A~ sine ka) cos( kx ) Ai sin(lb) cos( ly)
NA
kl
00
1
Z - z' - W
- sin[ sn -----"-~- -
(1-126)
s
Hb
00
Leterme
L
1
Z - Z· - W
- sin[ sn
~
] est de la même forme que (1-120) avec:
s
Hb
s = 1

---

29
z - z· - w
e =n _----"--1__
(1-127)
Hb
La profondeur z dans la base étant comprise entre Zj + W et H, alors la condition
o < e< 2n est vérifiée. Nous pouvons maintenant écrire que :
00
L
1
Z - z' - W
1
Z - z' - W
- sin[ sn
1
1 = - ( n - e )= 1[ ( 1 _
J
)
(1-128)
s
Hb
2
2
Hb
s = 1
Par conséquent, la série Sine dépend plus que des valeurs propres k et 1 et
s'exprimera de la manière suivante:
2
ni
z-z·-W
qV
SI:::: 4 -
( 1 -
J
) [ exp ( -
) - 1 ]
NA
Hb
KT
x Ï A~ sin( ka ) cos( kx ) A: sin( lb ) cos( ly )
(1-129)
kl
kl
,
La densité de porteurs minoritaires avec les approximations faites devient:
- dans l'intervalle de temps [ 0, Tpl
00
n?
qV
tr
(np - npd (x, y, z, t) == 4 N~ On [ exp (KT) - 1 ]
~ 1 Ak sin( ka) cos( kx )
,
2
Z - z' - W
A
x Al sin( lb ) cos( ly ) ( 1 -
~b
) ( 1 - e- pn t)
(1-130)
- après la coupure de la tension de polarisation, la densité des porteurs suit le
régime transitoire décrit par :
Les expressions (1-130 ) et (1-131) obéissent à la condition à la limite Zj +W.
t1
1
l

---

---

---

---

31
1 - PARAMETRES DU SILICIUM
Dans cette partie du travail, nous appliquerons le modéle développé au chapitre
précédent à l'étude de cellules au silicium polycristallin dont la structure des grains est
colonnaire. Nous étudierons les cellules fonctionnant en régime stationnaire afin de
comparer les résultats de nos calculs avec ceux qui ont été obtenus par Halder et Williams
[6]. Nous ferons aussi une analyse basée sur la théorie classique proposée pour le cas
d'une cellule au silicium monocristallin [1]. Pour tester la validité de nos résultats, nous
avons fait un calcul numérique détaillé à l'aide de programmes de calculs sur micro-
ordinateur.
Nous avons porté dans le tableau 1 les paramètres d'une jonction n/p d'une cellule
au silicium donnés par Hovel [1] .
Nd =5. 1019 cm- 3
,
Op =1.295 cm2/s ,
Lp* =0.6233 Ilm
Résistivité
Na
On
'tn
Ln
W
de la base
(cm-3 )
(cm2/s)
( s)
(10- 4 cm) (10- 4 cm)
( n.cm)
1
1.5 1016
27
10 . 10- 6
164
0.28
Tableau 1 : Paramètres du Si à 300K [4]
Lp *: ref [6]
Les calculs sont effectués dans les conditions d'un éclairement AMI (925 W. m- 2)
qui correspond à la position au zénith du soleil. Pour connaître les valeurs du coefficient
d'absorption a (Â. ) du silicium, nous avons utilisé les expressions publiées par K.
Rajkanan et al. [16]
et reprises dans l'ouvrage de M. A. Green [17]. Nous avons
recalculé ces valeurs du coefficient d'absorption à une température de 300 K, dans la
gamme des énergies comprises entre 1.1 eV et 4 eV. Elles sont portées en annexe ainsi
que les courbes correspondantes.
Les études comparatives se rapportant au calcul des densités de porteurs
minoritaires excédentaires à partir des différents modéles mathématiques cités dans ce
document [1,], [6] et les équations (1-40) et (1-73), pourront se faire sans tenir compte
du coefficient de réflexion qui intervient de la même manière dans toutes ces expressions
par l'intermédiaire du terme multiplicatif [ 1 - R( Â. )].
Concernant l'émetteur, nous avons fait les calculs de la densité de porteurs en
considérant que le flux lumineux monochromatique incident a pour longueur d'onde 0.44
Ilm, ce qui correspond à un coefficient d'absorption de 38126 cm- l .

---

32
II
- JONCTION
N/P DANS LES
CONDITIONS
DE
COURT-
CIRCUIT
II - 1
- Densité de porteurs minoritaires photocréés
II - 1 - 1 - Emetteur
a - Calcul des valeurs propres m, n et 0 :
Il est nécessaire, pour la suite, de dresser un ensemble de valeurs propres m, n et
p obtenues respectivement par la résolution des équations (1-13), (1-14) et (1-19). Les
valeurs propres met n ont été calculées pour différentes valeurs de la vitesse Spg de
recombinaison des joints et de la taille des grains définie par a et b. Pour calculer p nous
avons utilisé la vitesse Sp de recombinaison à la surface de l'émetteur et la profondeur Zj
de la jonction.
Taille des grains
(2a=2b) -7
11!m
IOl!m
100 I!m
1000 I!m
Vitesse de recom-
binaison ( Spg) .!.
3.9048
1(}>
1.1682
105
2.5125
104
3.0623
103
6.3077
106
6.5190
"
7.8389
"
9.1879
"
1.2579
107
1.2688
106
1.3599
loS
1.5316
104
1.8858
"
1.8931
"
1.9600
"
2.1449
"
2.5139
"
2.5194
"
2.5716
"
2.7558
"
10 mis
3.1421
"
3.1465
"
3.1891
"
3.3734
"
..
..
3.7703
3.7740
"
3.8099
"
3.9887
..
..
..
..
4.3986
4.4017
4.4327
4.6048
..
..
..
..
5.0269
5.0296
5.0569
5.2218
..
5.6551
"
5.6576
"
5.6819
"
5.8395
1.1681
106
2.5124
loS
3.0623
104
3.1335
103
..
..
6.5189
"
7.8389
"
9.1879
9.4004
1.2687
107
1.3599
106
1.5316
loS
1.5667
104
..
..
1.8931
"
1.9600
2.1449
2.1934
"
..
2.5194
2.5716
"
2.7558
"
2.8201
"
100 mis
..
3.1464
"
3.1891
"
3.3734
"
3.4468
..
..
3.7740
"
3.8099
3.9887
"
4.0735
..
4.4017
"
4.4327
"
4.6048
"
4.7002
..
5.0296
"
5.0568
"
5.2218
5.3269
"
..
5.6576
"
5.6819
"
5.8395
"
5.9536
2.5125
106
3.0623
loS
3.1335
104
3.1408
104
..
..
7.8390
9.1879
9.4004
"
9.4223
"
1.3599
106
1.5316
106
1.5667
105
1.5703
loS
..
1.9600
"
2.1449
2.1934
"
2.1985
"
..
..
..
2.5716
2.7558
"
2.8201
2.8267
1000m/s
..
3.1891
"
3.3734
"
3.4468
"
3.4549
..
..
..
..
3.8099
3.9887
4.0735
4.0830
..
4.4327
4.6048
"
4.7002
"
4.7111
"
..
5.0569
5.2218
"
5.3269
"
5.3393
"
..
..
..
..
5.6819
5.8395
5.9536
5.9675
Tableau 2 : Ensemble des dix premières valeurs de m ou n (en m- l ) à différentes
tailles de grains et vitesses de recombinaison interfaciale.

---

33
Dans le tableau 2, nous avons porté les dix premières valeurs possibles de m (ou
n) dans le cas simple où a et b sont égaux. Le tableau 3 présente une dizaine de
valeurs de p à différentes vitesses Sp de recombinaison à la surface de l'émetteur pour
diverses profondeurs Zj de la jonction. Les valeurs propres m, n et p étant connues, il est
alors aisé de calculer les coefficients de normalisation Am' An ,Ap et la quantité ~p .
Profondeur de la
jonction zj
0.1 ~m
0.3 ~m
0.5 ~m
1.0 ~m
~
Vitesse de recom-
binaison Sp J.
1.5757
107
5.2847
106
3.1900
106
1.6185
106
..
..
..
4.7140
1.5724
107
9.4411
4.7287
..
..
7.8550
..
2.6190
1.5718
107
7.8638
..
..
1.0996
108
3.6659
2.1998
1.1003
107
..
..
..
..
1.4138
4.7129
2.8280
1.4143
10 mIs
..
..
..
..
1.7279
5.7600
3.4562
1.7283
..
..
..
..
2.0421
6.8072
4.0844
2.0424
..
..
..
..
2.3562
7.8543
4.7127
2.3565
..
..
..
..
2.6704
8.9015
5.3410
2.6706
..
..
..
..
2.9845
9.9486
5.9693
2.9848
1.6184
10'/
5.6859
106
3.5679
106
1.9482
106
..
..
..
4.7287
1.5870
107
9.5855
4.8697
..
..
7.8638
..
2.6278
1.5806
107
7.9508
..
..
1.1003
108
3.6721
2.2061
1.1065
107
..
..
..
..
1.4143
4.7178
2.8329
1.4192
100 mIs
..
..
..
..
1.7283
5.7641
3.4602
1.7323
..
..
..
2.0424
6.8105
"
4.0878
2.0458
..
..
..
2.3565
7.8573
"
4.7157
2.3595
..
..
2.6704
"
8.9041
5.3436
2.6732
"
2.9848
"
9.9510
"
5.9716
"
2.9871
"
1.9482
107
7.8307
106
5.1134
106
2.7944
106
4.8697
"
1.7120
107
1.0677
107
5.6514
"
..
..
7.9508
..
2.7105
"
1.6578
8.5864
..
..
1.1065 108
3.7332
2.2648
1.1584
107
..
..
..
..
1.4192
4.7659
2.8798
1.4623
1000m/s
..
..
..
..
1.7323
5.8037
3.4991
1.7690
..
..
..
..
2.0458
6.8442
4.1211
2.0776
..
..
..
..
2.3595
7.8865
4.7446
2.3875
..
2.6732
"
8.9299
"
5.3692
2.6982
"
..
2.9871
9.9741
"
5.9946
"
2.6982
"
Tableau 3 : Ensemble des dix premières valeurs discrètes possibles de p (en m- 1)
à différentes profondeurs de la jonction et vitesses de recombinaison à la surface.
b - Etude de la conver~ence par rawort aux valeurs propres {) , m et n :
Nous considérerons un point de coordonnées connues dans l'émetteur et étudierons
les valeurs de la densité de trous au voisinage de ce point. Nous donnerons ensuite le
profil de cette densité dans tout le volume de l'émetteur suivant les directions x, y et z.
La densité de trous au point de coordonnées (0, 0, 0) est, selon la relation (1-40), en
régime stationnaire:

---

34
A~
00
sin( ma) A~ sin( nb) A~
(Pn- Pno)(O,O,O)=4aFo (1-R) L
2
2
m,n,p
~pmn(a +p )
S
x [pe- aZj + (a+~)sin(pz)]sin(pzj)
(2-1)
Op
La densité est exprimée au moyen d'une série dépendant des tenues m, n et p. Pour
étudier la convergence de cette série, nous faisons varier le nombre des termes m, n , p
et nous calculons leurs contributions dans les sommations. Nous essayerons chaque fois
de comparer les résultats de nos calculs avec ceux obtenus à partir de l'expression (2-2)
qui a été développée par Halder et Williams et qui donne la densité de trous minoritaires
excédentaires dans l'émetteur n d'une jonction n/p au silicium polycristallin.
2
4aFo(1-R) ~ A~A~Ypsin(ma)sin(nb)
(Pn-Pno)(x,y,z)=-
0
4.J
P
m,n
mn(Np+K z )
x cos( mx ) cos( ny) ( Cl + C 2 )
(2-2)
Les tenues Cl et C2 sont tels que:
Y { Kzsinh (~) - cosh (~) }
p
Yp
Yp
Cl = - - - - - - 2......2 - - - - " ' - -
a Yp -l
x [-exp( - az ) { (N payp +l) sinh( ~ ) + ( Np + ayp ) cosh( ~) } + Np + ayp]
yp
yp
l
1
yp { Np sinh (~ ) + cosh (2.. ) }
yp
yp
C =- - - - - - - - - - - -
2
1
2 2
z
(a yp - 1) sinh ( - )
yp
1
x [exp( _ az) { cosh( Zj - z ) _ayp sinh( Zj - z) } - exp( - aZj) ]
yp
yp
1
Z·
cosh( _J )
yp
avec Kz=----...:~
1
Z·
sinh( _J )
yp
1
1
1

---

35
Etude de la convergence par rapport aux valeurs de p.
Nous commençons par donner au couple (m , n ) leur première valeur reportée
dans le tableau 2 pour a, b et Spg fixés. Ensuite nous cherchons le nombre des termes
en p qui rend la série (2-1) convergente. Sa valeur limite est obtenue en faisant croître
indéfiniment le nombre de terme p . Elle correspond aussi à la valeur de la série (2-2)
calculée uniquement avec les termes fondamentaux en m et n.
Les figures 2-1, 2-2 , 2-3 et 2-4 montrent l'effet de la profondeur Zj sur la
convergence de la série (2-1) par rapport au paramètre p. Sur toutes ces courbes, les
valeurs propres met n sont fixées à 116817 rn-l, ce qui correspond une taille de grain de
10 Ilm et une vitesse de recombinaison des grains de 10 rn/s. D'autre part la vitesse de
recombinaison Sp à la surface de l'émetteur est prise égale à 100 rn/s.
Sur la figure 2-1, qui correspond à une profondeur de la jonction Zj de 0.1 Ilm,
nous notons que la série (2-1) oscille de part et d'autre de sa valeur limite déduite de
l'expression (2-1) calculée avec les termes fondamentaux met n. Elle converge à partir
des cinq premiers termes en p.
Nous notons aussi des oscillations de la série (2-1) pour Zj = 0.3 Ilm (figure 2-2).
La série converge tout en prenant des valeurs inférieures à la limite.
2.80
2.79
,.-..
l"l
2.78
B
Nos calculs
• Halder Williams
S 2.77
r--
....
Q
2.76
~
.......,
fil
2.75
:::s
0
'"'
... 2.74
41
't:l
'41
2.73
..";ic41 2.72
Col
2.71
2.70 +---r----,r--.....,..--r--.,....---r----,r--.....,..--r---r----I
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Il
Nombre de termes
p
Fig 2-1: Valeurs de la série (2-1) en fonction des différentes contributions du
paramètre p. Profondeur de la jonction Zj = 0.1 Ilm.

---

36
1.615 . . . , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
.-
M
1.610
s::
oc'
....
Q
e 1.605
(1)
=
I!J
Nos calculs
o
'"'....
•
Halder - Williams
1.595 4-----..-_ _-_----..-..........----.-.......-__.-_--1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
Nombre de termes
p
Fig 2-2: Valeurs de la série (2-1) en fonction des différentes contributions du
paramètre p. Profondeur de la jonction Zj =0.3 Ilm.
3.00 . . . , - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -....
.-
M
2.95
E
oc
....
Q
e 2.90
(1)
m
Nos calculs
=
0
•
Halder - Williams
'"'....
~
'C
,~
2.85
....
"Cii
s::
~
Q
2.80
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Il
Nombre de termes
p
Fig 2-3: Valeurs de la série (2-1) en fonction des différentes contributions du
paramètre p. Profondeur de la jonction Zj = 0.5 Ilm.

---

37
4.7
4.6
..-.
M
4.5
El
QO
..-4
4.4
c=
.-i
-- 4.3
[/.l
III
Nos calculs
=
0
....... 4.2
• Halder - Williams
QJ
"0
4.1
'4,)
....
.-[/.lcQJ 4.0
Q
3.9
3.8 -+----,r----r--r----,~___r_-.........___r-___r_-......._-r_~
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
Nombre de termes
p
Fig 2-4 : Valeurs de la série (2-1) en fonction des différentes contributions du
paramètre p. Profondeur de la jonction Zj = 1 ~m.
Sur les figures 2-3 et 2-4 relatives respectivement à Zj =0.5 !lm et à Zj = l!lm, les
courbes présentent une allure différente des deux précédentes. En effet, nous constatons
qu'il n'y a plus d'oscillations et que (Pn - PnO> (0, 0, 0) croît progressivement vers la
limite et que la convergence est obtenue à partir des dix premiers termes p.
Zj (!lm)
limite de la
Contribution
Contribution
Précision
série
du terme
Précision
des 10 pre-
(%)
(m- 3)
fondamental
(%)
miers termes
(m- 3)
(m- 3)
0.1
2.7344 1017 2.7918 1017
2.1
2.7342 1017
0.006
0.2
8.8497
"
8.9260
"
0.9
8.8491
"
0.006
0.3
1.6094 1018 1.6007 1018
0.5
1.6093 1018
0.007
0.5
2.9436
"
2.8268
"
4
2.9432
"
0.01
0.8
4.2165
"
3.7640
"
11
4.2153
"
0.03
1.0
4.6598
"
3.9073
"
16
4.6577
"
0.05
Tableau 4: Indications sur la précision du calcul de la série ( Pn - PIl() ) (0, 0, 0 )
en fonction des contributions des tennes en p pour diverses profondeurs Zj .(Sp =
100 mis ; a = b = 5 /lm ; Spg = 10 mis; m =n = 1.1678 105 m- 1 ; À =0.44 !lm).

---

38
Le tableau 4 nous montre, en fonction de Zj , la précision des calculs si on se
limitait au tenne fondamental puis aux dix premiers tennes en p. Cette précision est
définie par rapport à la valeur limite de la série.
Dans ce tableau, nous pouvons constater que si on ne tient compte que du tenne
fondamental, les calculs sont moins précis surtout si la profondeur de la jonction
augmente. Pour les ordres de grandeurs de Zj que nous avons considérés, la série
converge si la sommation est faite sur les cinq premiers tennes en p. La précision est de
l'ordre de 10- 2. Par ailleurs, nous pouvons remarquer que la densité autour d'un point à
la surface, augmente avec l'épaisseur de l'émetteur. En la fixant à 0.5 Ilm, et en faisant
varier la vitesse Sp de recombinaison de surface, nous mettons en évidence sur la figure
2-6, l'effet de cette vitesse sur la convergence de ( Pn - PnO ) (0, 0, 0 ).
4.0
+
lb
a
• • • • • • • •
3.5
,-...
r'l
3.0
Je
Il
• • • • • • • •
==
00·
D
....
a
2.5 -
Sp =10 mis
Q
-.4
' - '
+
limite pour Sp =10 mis
(1)
D
Sp = 100 mis
=
0
2.0 -
...
Je
....
limite pour Sp = 100 mis
~
6
't:l
Sp = 1000 mis
,~
1.5 -
M
....
limite pour Sp=1000 mis
'U;
==
~
1.0 -
Q
M
1
• .. .. .. .. .. • •
6
0.5
1
1
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Nombre de termes
p
Fig 2-6: Valeurs de la série (2-1) en fonction des différentes contributions du
paramètre p. Profondeur de la jonction Zj = 0.5 Ilm.
Les courbes de la figure 2-6 montrent que la convergence n'est pas tellement
affectée par les valeurs de Sp' Toutefois, le tableau 5 montre que si on se limite au tenne
fondamental, la précision n'est pas bonne pour les grandes valeurs de la vitesse. Nous
pouvons cependant estimer que les dix premières tennes en p, pennettent d'atteindre la
valeur limite avec une bonne précision. Il faut aussi noter la réduction du nombre de
porteurs photocréés à la surface si la vitesse augmente.

---

39
Vitesse de
Valeur limite Contribution
Précision
Contribution
Précision
recombinaison de la série
du terme fon- par rapport
des 10 pre- par rapport
Sp (rn/s)
(m- 3)
damental
à la limite
miers termes
à la limite
(m- 3)
(%)
(m- 3)
(%)
10
3.7641 1018 3.6630 10 18
2.7
3.7638 1018
0.01
100
2.9436
Il
2.8268
Il
4
2.9432
Il
0.01
1000
9.2568 1017 7.6770 1017
17
9.2495 1017
0.08
Tableau 5: Indications sur la précision du calcul de la série ( Pn - PnO ) (0, 0, 0 )
en fonction de la contribution des termes en p pour diverses vitesses Sp'( Zj = 0.5
Ilm ; a = b = 5 Ilm ; Spg = 10 rn/s ).
Etude de la convertwnce par rapport auX termes m et n :
Pour étudier la convergence de ( Pn - PnO ) (0, 0, 0) par rapport aux valeurs de m
et n, nous fixerons, pour Sp et Zj donnés, le nombre des termes en p à prendre en
compte dans les calculs aux dix premières valeurs. Nous ferons ensuite varier le nombre
des termes m (et n) dans les sommations.
3.2 - r - - . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
__
3.1
t"l
I!J
a = 0.5 J..lm
0
a=lllm
fiolE
3.0
0
....
a = 51lm
Q
+
a = 10 Ilm
~ 2.9
x
Monocristal
(IJ
=
o
.::
2.8
~
'0
~
.~
2.7
(IJ
=
~
Q
2.6
2.5 +-,...._r_"l,........;f---T___,___r__r_"'"T"'""~,...._r_"l......._.,.___,___r__r__r_"'"T"'"".......-4
o 1
2 3 4 - 5 6 7 8 9 1 0 1 1
Nombre de termes met n
Fig 2-7: Valeurs de la série (2-1) en fonction des différentes contributions des
paramètres m et n pour des valeurs différentes de la taille des grains Xg = 2a. Spg
= 10 rn/s ; Profondeur de la jonction Zj = 0.5 Ilm.
Sur la figure 2-7, correspondant à Zj = 0.5 J..lm et Sp = 100 rn/s, la densité de trous

---

40
excédentaires (Pn - PnO ) (0, 0, 0) est représentée en fonction du nombre de termes m
et n , la taille des grains prenant des valeurs telles que a et b soient égaux à 0.5, 1, 5 et
10 ~m. Nous avons reproduit sur le même graphique, les valeurs de (Pn - Pno ) (0, 0, 0)
déduites des calculs effectués à l'aide de l'expression donnant la densité de trous dans
l'émetteur d'une jonction n/p monocristalline et discutée par Hovel [1] et Sze [13].
EUe est la suivante :
SpLp
Z·
Z·
- - sinh(-J) + cosh(-J)
Dp
Lp
Lp
- exp(- az) ]
(2-3)
Pour les petites tailles égales à 1 et 2 ~m, les trois premiers termes m et n suffisent
pour que la série converge. Avec les tailles plus grandes (10 et 20 !lm), les valeurs de la
série oscillent pour les premiers termes et la convergence n'est atteinte que si la
sommation est étendue à plus d'une dizaine de termes. Lorsque la convergence est
atteinte, nous avons porté dans le tableau, la densité de trous créés par le flux lumineux
incident monochromatique à différentes tailles de grain, la vitesse Spg étant fixée à 10
rn/s. Celles déduites des expressions (2-2) et (2-3) y sont aussi reportées.
Taille de grain
Monocristal
Halder-Williams
Nos calculs
(2a = 2b)!lm
(m- 3)
(m- 3)
(m- 3)
1
2.615 1018
2.614 1018
2
2.6427 1018
2.639 1018
2.638 10 18
10
2.643 1018
2.643 10 18
20
2.643 1018
2.643 1018
Tableau 6 : Densité de trous autour du point 0 (0,0,0) à la surface de l'émetteur
en fonction de la taille de grain. (Sp = 100 rn/s ; Zj =0.5 !lm ; Spg = 10 rn/s )
L'effet de la taille n'est perceptible, d'après le tableau 6, que si ses valeurs sont de
l'ordre de grandeur de l'épaisseur de l'émetteur. Dans ces conditions, la densité de trous
augmente avec la taille. Elle devient pratiquement constante et tend vers la valeur

---

41
correspondant à celle du monocristallin, si la taille est grande par rapport à la profondeur
Zj de la jonction. La vitesse de recombinaison Spg des grains (figure 2-8 ci-dessous),
intervient dans le choix du nombre des termes m et n qui pennet d'atteindre
la
convergence de la série. Plus sa valeur est grande, plus la contribution de met n doit
être importante.
2.70
--- 2.65
!"l
•
• • • • • • • • •
~
1;
• • • • • • • •
oc
2.60
....
Q
• Spg = 0.1 mis
~
--
•
rn
2.55
Spg = 1 mis
:=
0
• Spg = 10 mis
"'"
...
• Spg = 100 mis
~
"0
2.50
X
Monocristal
~
.-
.r;;
=
~
2.45
Q
2.40
° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Nombre de termes m et n
Fig 2-8: Valeurs de la série (2-1) en fonction des différentes contributions
desparamètres m et n pour des valeurs différentes de la vitesse de recombinaison
des joints de grain. a = 0.5 !lm ; Profondeur de la jonction Zj = 0.5 !lm.
En considérant une taille de grain de 1 !lm (qui est de l'ordre de grandeur de
l'épaisseur Zj de l'émetteur), nous remarquons dans le tableau 7 que l'augmentation de la
vitesse de recombinaison Spg produit une diminution du nombre de porteurs photocréés.
W"itesse de recombinai-
Monocristal
Raider-Williams
Nos calculs
des joints de grain
(m- 3)
(m- 3)
(m- 3)
Spg = 0.1 mis
2.642 1018
2.642 1018
Spg= 1
mis
2.6427 1018
2.640 1018
2.640 1018
SDl! = 10 mis
2.615 1018
2.614 1018
.spg = 100 mis
2.420 1018
2.419 1018
Tableau 7 : Densité de trous autour du point 0 (0,0,0) à la surface de l'émetteur
en fonction de la vitesse de recombinaison des joints. (Sp = 100 mis ; Zj = 0.5 !lm
; Taille de grain = 1 !lm)

---

42
c - From de la densité de trous dans l'émetteur
En fonction de la profondeur z dans l'émetteur, nous étudions la densité des trous
photogénérés en régime stationnaire.
Elle est donnée par l'expression suivante :
(Pn - Pno)( 0, 0, z) = 4 a( À) F o(À)[ 1 - R (À)]
A~
00
sine ma) A~ sine nb) A~
x
L
2
2
m,n,p
~pm n (a + p )
S
x [p e - azj + (a + --.E.. ) sine p Zj )] sin p( Zj - Z )
Dp
(2-4)
Sur le tableau 8, ont été portées les v'l.leurs de cette densité le long de l'axe Oz.
Nous y avons relevé aussi les densités qui ont été recalculées à partir des solutions
proposées dans [6] et traitant le cas d'un modéle polycristallin et les résultats qui
s'appuient sur le modéle monocristallin àjoncüon unifonne [1, 13].
z(!lm)
Nos calculs
Halder-Williams
Monocristal
(1018 m- 3)
(1018 m- 3)
(l018 m- 3)
0.00
2.6417
2.6420
2.6427
0.05
2.6820
2.6818
2.6825
0.10
2.6137
2.6138
2.6145
0.15
2.4594
2.4593
2.4600
0.20
2.2352
2.2353
2.2358
0.25
1.9551
1.9550
1.9555
0.30
1.6289
1.6290
1.6294
0.35
1.2654
1.2653
1.2656
0.40
0.8696
0.8698
0.8700
1
0.45
0.4474
0.4471
0.4472
0.50
0.0000
0.0000
0.0000
i
Tableau 8: Densités de trous photocréés dans l'émetteur suivant l'axe Oz dans
l'émetteur. Sp = 100 mis ; Zj = 0,5 Ilm;
À = 0.44 !lm ; a = b = 5 Ilm ; Spg = 10
1
mis; x = y = O.
Comme nous l'avons déjà mentionné dans le paragraphe précédent, les valeurs de
1
la densité de trous minoritaires excédentaires dans l'émetteur ne dépendent pratiquement
pas de la taille de grains dès lors que celle-ci prend des valeurs largement supérieures à
1
l'épaisseur de l'émetteur. Le tableau 8 montre en effet que le nombre de porteurs
photocréés dans l'émetteur des cellules polycristallines, dont l'épaisseur est ici vingt fois
1
1
1

---

43
inférieure à la taille des grain, est pratiquement identique à celui des trous générés dans
la partie frontale de la jonction n/p d'un semi-conducteur monocristallin.
L'influence de la longueur d'onde de la lumière incidente sur le profil de la densité
est représentée sur la figure 2-9, qui met aussi en relief l'effet du coefficient d'absorption
du matériau semi-conducteur, fonction des radiations lumineuses.
A une longueur d'onde égale à 0.44 !lm, le coefficient d'absorption du silicium est
de 38126 cm-1. Dans ce cas, la densité de porteurs minoritaires excédentaires est plus
importante que dans les cas où la lumière incidente a successivement les longueurs
d'onde 0.55, 0.71 et 0.80 !lm qui correspondent respectivement aux coefficients
d'absorption 8700,2631 et 1230 cm-1 .
3.0 - r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
2.8
 = 0.44 !lm
~Et-I!I-'IIL-
2.6
•
" =0.55 !lm
2.4
" =
•
0.71 !lm
o
c
2.2
" = 0.80 !lm
1lO"
....
2.0
~
1.8
Q
:- 1.6
S 1.4
s..
... 1.2 ~...-4~-......._
~
,~
1.0
'0
.~ 0.8
CIl
~ 0.6 t---.....~........................~....._..__
0.4
0.2C==::::::::~~~
0.0
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
z(micron)
Fig 2-9 : Profil de la densité de trous dans l'émetteur à différentes longueurs
d'onde du flux lumineux incident. Sp = 100 mis ; Zj = 0,5 Jlm; a = b = 5 Jlm ;
Spg = 10 mis;
En résumé nous pouvons dire que dans l'émetteur,
les radiations
monochromatiques de courte longueur d'onde générent un plus grand nombre de
porteurs à cause des forts coefficients d'absorption du matériau dans cette gamme de
longueur d'onde. Pour les grandes longueurs d'onde, le coefficient d'absorption étant
plus petit, la génération se fait plus en profondeur, ce qui explique la diminution du
nombre de trous excédentaires photocréés. Donc pour privilégier l'émetteur, la cellule

---

44
doit être éclairée avec des radiations lumineuses de courte longueur d'onde.
Un autre paramètre qui contrôle le front de la cellule est la vitesse Sp de
recombinaison à la surface. La figure 2-10 montre que si les phénomènes de
recombinaison qui y interviennent, deviennent importants, la densité de trous décroit le
long de l'axe Oz. Cette décroissance est plus marquée dans la zone proche de la surface.
3.5
I!I
Sp = 10 rn/s
.- 3.0
to'l
• Sp =100 rn/s
• Sp =1000 rn/s
E
QCl
2.5
...
Q
"""'
' - '
2.0
(1]
=
0
Jo..
- 1.5
a.l
"0
'a.l
-rii 1.0
=
a.l
Q
0.5
0.0 +--.----,;----r-...,..-..,.....-r-......,-"""T'"-..,...-...-1
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
z(micron)
Fig 2-10 : Profil de la densité de trous dans l'émetteur à différentes vitesses de
recombinaison à la surface Sp. À =0.44 Ilm ; Zj = 0.5 Ilm; a = b = 5 Ilm ; Spg =
10 rn/s.
Pour montrer l'effet des joints de grains, en particulier leur activité définie par la
vitesse de recombinaison Spg' nous avons tracé suivant l'axe Ox à une profondeur z de
0.25 Ilm dans l'émetteur, la variation de la densité des porteurs minoritaires, la taille de
grain étant fixée à 1 Ilm, les vitesses Spg prenant successivement les valeurs 0.1, 10 et
100 rn/s. Ces joints constituent des pièges pour les porteurs minoritaires. C'est ainsi que
dans la partie centrale du grain, le nombre de porteurs créés diminue avec Spg' comme le
montre la figure 2-11, mais son influence est plus marquée au niveau des bords.

---

45
2.0 . . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
I!!I!!I!!II!!I!!II!!JI!!I!!II!!I!!II!!I!!II!!JI!!I!!II!!I!!II!!I!!II!!JI!!I!!II!!I!!II!!I!!II!!I!!II!!JI!!I!!II!!I!!II!!I!!II!!JI!!I!!II!!I!!IEJ
.'
'.'.
; : 1.9
El
ce
....
1.8
t;l
.....
--ÇI}=0s. 1.7
-QJ
El
'0
Spg = 0.1 mis
'QJ
• Spg = 10 mis
-.;jc 1.6
• Spg = 100 mis
QJ
Q
1.5 +----r----r--.,.---,-""T'"-..----r-""T""-~~-""T'"----i
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
x(~m)
Fig 2-11 : Profil de la densité de trous dans l'émetteur le long de l'axe Ox à
différentes vitesses de recombinaison des joints.(z = 0.25 ~m ; a = 0.5 ~m).
2.0 "T""--------------------,
..-..
.... 1.9
~
ce
....
t;l
..... 1.8
--ÇI}
El
Spg = 0.1 mis
=
0
s.
• Spg = 10 mis
- 1.7
QJ
• Spg = 100 mis
'0
'QJ
-.;jCQJ 1.6
Q
1.5 +----r----y--.,.----,:--""T'"--r----r-""T""-~~-""T'"---I
-6
-4
-2
o
2
4
6
x (~m)
Fig 2-12 : Profil de la densité de trous dans l'émetteur le long de l'axe Ox pour
différentes vitesses de recombinaison des joints.(z = 0.25 ~m ; a = 5 ~m).
1i
1

---

46
Pour minimiser les effets des joints dans la partie centrale, il faut que la taille de
grain soit assez grande devant l'épaisseur de l'émetteur. Par exemple, en choisissant une
taille de grain telle que a et b soient de 5 ~m, nous mettons en évidence ce phénomène
sur la figure 2-12. L'effet de piège des joints n'est important dans ce cas que dans une
zone très proche du bord du grain.
Par ailleurs, nous précisons que tous nos calculs ont été faits avec une longueur de
diffusion des trous Lp égale à 0.62 ~m. La longueur de diffusion 'Yp polycristalline
correspondante est comprise entre 0.49 ~m et 0.62 Ilm lorsque a et b varient entre 0.1
et
50 ~m. Les épaisseurs que nous avons choisies sont du même ordre de grandeur
que ~ . Si la taille des grain prend des valeurs similaires, les porteurs minoritaires ont
pratiquement la même probabilité d'être piégés par les joints ou d'être collectés à la
jonction. Par contre si les dimensions latérales du grain sont assez grandes par rapport à
l'épaisseur de l'émetteur, les porteurs dans la partie centrale du grain, étant générés
assez loin des joints, ont de grandes chances d'être collectés à la limite de la zone de
charge d'espace. C'est ce qui explique l'effet moins marqué des joints lorsque la taille est
supérieure de quelques dizaines de micron.
D'un point de vue pratique, il est possible de contrôler la profondeur de la jonction
par implantation ionique quelquesoit la nature du substrat (monocristal, polycristal) [2].
On arrive ainsi en créant des jonctions superficielles à favoriser la collecte des porteurs
par le champ à la frontière émetteur-zone de charge. On peut aussi minimiser les effets
des joints par le dopage préférentiel qui consiste avant la réalisation de la jonction
proprement dite, à créer des jonctions collectrices aux joints de grain [2], [18], [19].
II - 1 - 2 - BASE
a - Calcul des valeurs propres k. 1et u
Nous étudierons dans ce paragraphe le profil de la densité des électrons minoritaires
photocréés dans la base p d'une jonction n/p dans les conditions de court-circuit. Cette
analyse, comme dans ( II - 1 - 1), se fera à partir d'un calcul numérique sur
microordinateur. Les valeurs propres jl, k et 1 sont obtenues respectivement par la
résolution des équations transcendantes (1-59), (1-60) et (1-61).
Les deux paramètres caractéristiques du polycristal: la taille des grains définie par
a et b, et la vitesse interfaciale de recombinaison Sng des joints interviennent dans le
calcul de k et 1. Dans le tableau 9, nous avons porté pour des grains tels que a et b soient
égaux, les cinq premières valeurs possibles de k et 1pour différentes tailles et différentes
vitesses de recombinaison des joints.

---

1g
47
1
Taille des grains
(2a=2b) ~
\\llm
10 llm
\\00 llm
\\000 llm
Vitesse de recombinaison
des joints (Sng) J,
8.6040 104
2.7133 104
8.3498 103
2.1071
103
6.2844 106
6.2950 105
6.3988 104
7.2300
"
10 mis
1.2567 107
1.2572 106
1.2625 105
1.3117 104
1.8850
"
1.8853
"
1.8889
"
1.9230
"
2.5133
"
2.5136
"
2.5162
"
2.5422
"
2.7133 105
8.3498 104
2.1071
104
2.9810
103
6.2950 106
6.3988 105
7.2300
"
8.9506
"
100 mis
1.2572 107
1.2625 106
1.3117
105
1.4941
104
1.8853
"
1.8889
"
1.9230
"
2.0961
"
2.5136
"
2.5162
"
2.5422
"
2.7014
"
8.3498 105
2.1071
105
2.9810
104
3.1247
103
6.3988 106
7.2300
"
8.9506
"
9.3742
"
1000m/s
1.2625 107
1.3117 106
1.4941
105
1.5624
104
1.8889
"
1.9230
"
2.0961
"
2.1873
"
2.5162
"
2.5422
"
2.7014
"
2.8122
"
Tableau 9 : Ensemble des cinq premières valeurs de k et 1 ( en m- 1 ) pour
différentes tailles des grains et vitesses de recombinaison aux joints.
Les valeurs de J1 dépendent de la vitesse de recombinaison Sn à la surface arrière
et aussi de l'épaisseur de la base Hb. Le tableau 10 présente quelques unes de ses
valeurs. Les calculs relatifs à la densité d'électrons ont été faits avec les paramètres
caractéristiques des électrons dans le silicium de type p reproduits dans le tableau 1.
b - Etude de la convergence par rapport à k. 1et u
Les paramètres k ,let J1 déterminés, nous pouvons calculer la densité des porteurs
minoritaires excédentaires dans la base et donner son profil le long de l'axe Oz en régime
stationnaire.
Les investigations que nous allons mener, nous permettront de connaître le nombre
de termes J1, k et 1 à considérer dans la série (np - npo) (0, 0, z), la suivante:
(n p - n )( 0, 0, z) =4 a( Â, ) F
po
o ( Â,)[ 1 - R (Â,)] e- a( Zj +W)
A~sin(
00
ka) Af sin(lb ) A:
xI
2
2
klJ1
~nmn(a +J1 )
S
X
{J1 - ( a - ---.E.. ) sine J1H b) e- aH b} sin J1 (Z - Zj - W)
(2-4)
On

---

48
Epaisseur de la cellule
(H) ~
10 !lm
20 !lm
50 !lm
100 !lm
Vitesse de recombinai-
binaison Sn J..
1.7269
4
105
8.4019
104
3.4111
10
1.7889
104
..
5.1189
"
loS
9.6521
4.8266
"
2.4596
..
8.5231
"
1.6004
loS
7.9626
"
4.0911
1.1929
"
..
"
105
5.7243
2.2373
1.1116
6
1.5336
10
7.3581
"
2.8749
"
1.4274
"
..
..
,.
1.8743
"
8.9921
3.5127
1.7436
10 mIs
2.2150
"
106
4.1506
"
2.0599
"
1.0626
..
..
2.5557
..
4.7886
2.3763
"
1.2261
2.8964
"
..
5.4267
"
2.6927
"
1.3895
..
3.2371
"
..
6.0649
3.0092
"
1.5529
5
2.7203
4
4
10
1.4414
loS
6.0536
10
3.0826
10
..
5.7331
"
2.9216
loS
6.1663
"
1.2123
..
..
8.9442
4.4476
"
1.8219
"
9.2521
1.2244
106
6.0083
"
2.4349
"
105
1.2341
..
1.5586
"
7.5916
"
"
3.0514
1.5434
1.8950
"
9.1893
"
3.6710
"
1.8530
"
1000 mIs
6
2.2326
"
1.0796
10
4.2934
"
2.1631
"
2.5710
"
1.2410
"
4.9182
"
2.4737
"
..
2.9100
1.4028
"
5.5450
"
2.7847
"
..
3.2493
"
1.5649
6.1734
"
3.0961
"
3.4049
5
10
1.6340
loS
6.3819
104
3.1661
4
10
6.8097
"
3.2679
"
loS
6.3321
"
1.2764
..
1.0215
106
4.9019
"
9.4982
"
1.9146
"
6.5359
"
"
5
1.3619
2.5528
1.2664
10
..
"
8.1698
"
"
1.7024
3.1909
1.5830
4105 mis
2.0429
"
9.8038
"
3.8291
"
1.8996
"
6
2.3834
"
1.1438
10
4.4673
"
2.2163
"
2.7239
"
1.3072
"
5.1055
"
2.5329
"
3.0644
"
1.4706
"
5.7437
"
2.8495
"
3.4049
"
1.6340
"
6.3819
"
3.1661
"
Tableau 10 : Ensemble des dix premières valeurs discrètes de J.1 à différentes
épaisseurs de la cellule et pour différentes vitesses de recombinaison à la surface
arrière.
En guise de comparaison, nous reporterons sur les différents graphiques, la densité
d'électrons recalculée à l'aide de l'expression (2-5) suivante, qui donne le nombre de
porteurs minoritaires excédentaires dans la base d'un dispositif semi-conducteur au
silicium monocristallin [1] :
(X (Â.) F o(Â.)[ 1 - R (Â.)] 'tn
( np - np ) ( z ) =
exp[ -(X ( Zj + W) ]
o
2 2
(X L n - 1
Z - Z· - W
x
cosh(
~
) - exp[
{
-(X ( Z - Zj - W)]
n

---

49
z - z· - w
}
x sinh(
~
)
(2-5)
n
Contributions des valeurs propres u :
En fonction du coefficient d'absorption a 0,,) nous présentons sur les figures 2-13
et 2-14, la contribution des valeurs propres J.l sur la densité d'électrons, les valeurs
prises par k et 1 étant celles des tennes fondamentaux. La figure 2-13 est relative à une
valeur élevée du coefficient d'absorption du silicium, la lumière incidente
monochromatique ayant une longueur d'onde de 0.44 Ilm. Quant à la figure 2-14, elle
représente les densités d'électrons générés dans la base par des photons de longueur
d'onde 0.71 !lm, le coefficient d'absorption du silicium étant égal à 2631 cm- l .
,.-...
El
Terme fondamental
rrl
J.l
10
6
10 premiers tennes
s:::
0
30
"
Il
11)'
K
50
Il
- 8
0
Monocristal
0
...-1
' - '
ri)
6
c
0
1-<
-Col~ 4
~
"t:J
,~
-.-ri) 2
c
~
~
0+-C1--r--",.......,......,..-,--r-"'T"'"".................~--.--,....--~ ........T"""'l
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
z(microns)
Fig 2-13 : Profil de la densité d'électrons dans la base calculée à partir des
différentes contributions des valeurs propres J.l.(a =38126 cm- l ; H = 20 Ilm ; Sn
= 4 105 mis; a = b = 5 !lm ; Sng = 10 mis)
Sur les deux graphiques, nous pouvons dire que la série (2-4) calculée avec le tenne
fondamental J.l uniquement, ne donne pas le profil exact de la densité d'électrons
minoritaires excédentaires dans la base. Il faut alors nécessairement tenir compte des

---

50
termes des ordres supérieurs.
Pour un coefficient d'absorption élevé (figure 2-13), la série calculée avec les dix
premiers termes p, oscille. Ces oscillations ne sont plus perceptibles si on étend la
sommation sur les trente premiers termes. D'ailleurs à ce stade, il n'y a plus de variation
notable des valeurs de (np - npo ) (0, 0 , z) même avec les termes d'ordre supérieur.
A une valeur de a( Â. ) plus faible, par exemple 2631 cm-l, la convergence est plus
rapidement atteinte et on ne note aucune oscillation.
-- 1.8
""l
1.6
5
QC)
1.4
....
Cl
1.2
~
' - '
tIl
1.0
c
0
1-
0.8
-(j~
a
Terme fondamental
-
,~
0.6
6
"0
10 premiers termes
~
004
0
30
"
"
-.-tIl
X
50
"
"
c~ 0.2
0
Q
Monocristal
0.0 -H~~"--r-"-r-r-r-..-.--..-.-..'---"'---"---r---r---r---r"':::;'--I
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
z(microns)
Fig 2-14 : Profil de la densité d'électrons dans la base calculées à partir des
différentes contributions des valeurs propres p.(a = 2631 cm- l ; H = 20 ~m ; Sn =
4105 mis; a = b = 5 ~m; Sng = 10 mis)
Dans la suite des calculs, nous considérerons le cas où la jonction est éclairée avec
une lumière monochromatique de grande longueur d'onde, par exemple 0.71 ~m.
Contrairement à ce que nous avons constaté pour l'émetteur, les photons de grandes
longueurs d'onde générent un plus grand nombre de porteurs dans la base, à cause des
faibles coefficients d'absorption du silicium [ 1 ]. Nos calculs schématisés sur les figures
2-13 et 2-14 vont dans ce sens et montrent bien que la densité d'électrons minoritaires
créés dans la zone p augmente si le coefficient d'absorption diminue.
En reconsidérant la figure 2-14 puis la figure 2-15 suivante, nous essayons de
mettre en évidence l'effet de la vitesse de recombinaison Sn à la surface arrière de la
photopile sur la convergence de la série (2-4).
Que sa valeur soit élevée ou faible, elle n'intervient dans aucun cas dans le choix du

---

51
nombre de termes f.1. En effet, les figures 2-14 et 2-15, correspondant respectivement à
des vitesses de recombinaison de 4 105 m/s et lm/s, montrent que les dix premiers
termes suffisent pour rendre la série convergente.
Aux grandes longueurs d'onde, la plupart des porteurs étant générés dans la base,
la vitesse Sn est un paramètre important qui intervient avec le taux de génération, sur la
population des porteurs dans la zone proche de la surface arrière [9]. La diminution du
nombre de porteurs dans cette partie de la cellule est très accentuée lorsque la vitesse
arrière est grande. Ces remarques sont aussi valables pour le modé1e monocristallin.
4.0
.-
r<'l
3.5
e
oc
3.0
....
QI
2.5
~
'-"
(f.l
2.0
c
0
s.
....u 1.5
~
Terme fondamental f.1
~
• 10 premiers termes
't:l
1.0
x
'41
...
3 0 "
"
"fi.i
•
5 0 "
"
c
0.5 -
~
o
Monocristal
Q
0.0 -t-'D--r.--.---,,--.--,.---r--,....,..-,-...,..-,-...........,..............,.r'"""""I..--,r'"""""Ir--,r---I
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
z(micron)
Fig 2·15 : Profil de la densité d'électrons dans la base calculées à partir des
différentes contributions des valeurs propres f.1. (a =2631 cm-1 ; H = 20 ~m; Sn =
1 m/s; a = b = 5 !lm; Sng = 10 mis)
L'effet de l'épaisseur H de la cellule est indiqué sur les figures 2-14, et 2-16.
Pour de faibles épaisseurs, par exemple 20 ~m, la convergence est obtenue à partir d'une
sommation sur une dizaine de termes f.1. Par contre, avec des épaisseurs de l'ordre de
100 ~m, nous remarquons des oscillations de la série pour une contribution des dix
premiers termes et elle converge à partir des vingt premiers termes. Ces remarques nous
permettent de dire que notre modéle convient mieux à des cellules de faibles épaisseurs.

---

52
_
3.00
El
Tenne fondamental J.l
• 10 premiers tennes
x
e
3 0 "
"
2.50
•
5 0 "
"
oc
....
o
Monocristal
Cl
2.00
~
'"-'
1.00
,~
.": 0.50
~
c
~
Q
Dans le cas des cellules épaisses, la convergence est obtenue avec un nombre de
tennes plus grand. Il est à noter que la densité de porteurs photogénérés est plus élevée
dans les cellules épaisses, mais à taille de grain égale, les effets de recombinaison y sont
plus importants que dans les cellules minces.
Contribution des paramètres k et 1
Concernant les valeurs prises par k et 1 dans la série (2-4), nous pouvons estimer
que les tennes fondamentaux suffisent pour que la série converge, la taille étant 10 ~m
(figure 2-17). Avec cette taille, la longueur de diffusion effective polycristalline 1n calculé
avec les tennes k et 1du premier ordre est de 25.74 ~m si la vitesse de recombinaison des
joints est de 10 rn/s. Dans ces conditions, l'effet des joints est non négligeable par rapport
à la recombinaison en volume lorsque les grains sont de petites dimensions. Ce qui
pourrait expliquer le fait que le nombre de porteurs créés soit légèrement plus élevé dans
le monocristal. Nous considérons maintenant des grains de taille 100 ~m avec la même
vitesse de recombinaison Sng de 10 rn/s. Pour que la série (2-4) converge, il faudrait
étendre la sommation avec plus des cinq premiers tennes k et 1 (figure 2-18). Pour ce
dernier cas, nous constatons que la valeur de la densité des électrons se rapproche de celle
du monocristal. Ce comportement du polycristal peut être expliqué par le fait que l'effet
des joints est moins marqué, les porteurs générés au centre du grain étant assez éloignés
des bords.

---

53
2.0
,.-.,
000000
~
1.8
0 • • • • • • 00
a.
. . 0
e
1.6 -
li
. 0
. 0
oc
i
. 0
....
1.4 -
. 0
i
. 0
Q
. 0
~
1.2 -
. 0
--
iii
. 0
fil
. 0
c
1.0 -
· 0
0
Q
"-
....
·Ii
CJ
0.8
~
Iili
~
g
'0
0.6
i iii
'41
0
Tenues fondamentaux k et 1
....
0.4
iii
.-
g
fil
g
X
c
Les deux premiers tenues
g
~
0.2
Q
0
Monocristal
go
()
0.0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
z(micron)
Fig 2-17 : Profil de la densité d'électrons dans la base calculée à partir de la
contribution des vingts premiers tenues J.L et des tenues k et 1.
(a = 2631 cm- 1 ; H = 20 !lm ; Sn = 4 105 mis; a = b = 5 !lm; Sng = 10 mis)
La longueur de diffusion polycristalline augmente aussi dans ce cas. L'épaisseur
de la base étant moins importante que les dimensions du grain, la collecte par la jonction
est favorisée.
2.0
a ElEl Baa
,.-.,
1.8-
aa, , "
a
".aa
~
a,'
',EIE1
e 1.6 -
a'
·.a
oc
,
'Ill
....
1.4 -
a
,
'Ill.a
Q
III
1.2-
'a
~
.a
•
--fil 1.0 -
c
Il
••
0
1.
"-
....
0.8 -
Il
CJ
iii
El
~
a
~
Tenues fondamentaux k et 1
0.6 -
'0
i
0
Les deux premiers tenues k et 1
....
,
'41
,
0.4 -
x
i
.-
Les 5 premiers tenues
fil
c
0.2 -
~
+
Monocristal
•
Q
•
0.0 -f-'_.,,--'--'--'~~~~--r-
,-r--r-
Ir-r-Ir-r--r--r--~·,~
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
z(micron)
Fig 2-18 : Profil de la densité d'électrons dans la base calculée à partir de la
contribution des vingts premiers tenues J.l. et des tennes k et 1.
(a =2631 cm-1 ; H = 20 !lm; Sn =4 105 mis; a = b = 50 !lm ; Sng = 10 mis).
r
1

---

54
Pour mieux montrer l'effet de la taille des grains, nous avons reporté sur le graphique de
la figure 2-19, la distribution des porteurs dans la base suivant l'axe Oz.
Si les grains sont plus petits, la longueur de diffusion effective diminue. Par exemple,
elle passe de 21.7 Ilm à 8.2 ~m si les dimensions du grain varient de 10 à l~m. La
recombinaison en volume devient importante dans ces conditions. Il s'y ajoute les effets de
pièges des joints, ce qui accentue la diminution de la densité d'électrons photogénérés.
Pour les grandes tailles qui avoisinent l'épaisseur de la base, les porteurs créés au centre
du grain subissent moins les effets de capture des joints. Le polycristal a alors un comprtement
voisin d'une cellule solaire monocritalline. La figure 2-19 met en évidence la croissance de la
densité des porteurs, lorsque les dimensions latérales du grain augmentent.
2.0 . . . , . . . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .
1.5 -
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
z(micron)
Fig 2-19 : Profil de la densité d'électrons dans la base en fonction de la taille de
grain. (a = 2631 cm- l ; H =20 Ilm; Sn = 4105 mis; Sng = 10 mis)
Les figures 2-20 et 2-21 suivantes montrent le choix qu'il faudrait faire sur le nombre de
termes k et 1. Si la vitesse de recombinaison Sng est petite (figure 2-20), la convergence est
plus vite atteinte, car les termes fondamentaux suffisent dans ce cas.
Par contre avec des vitesses élevées (figure 2-21), les termes d'ordres supérieurs
doivent obligatoirement intervenir dans la sommation.
A une profondeur z de 10 Ilm, sur l'axe Ox, la distribution des électrons dans la
base est fortement influencée par cette vitesse de recombinaison dont les effets sont plus
nets dans la zone proche du bord du grain, comme le montre la figure 2-22. Les grandes
valeurs de Sng provoquent une diminution sensible du nombre de porteurs. il faut ajouter

---

55
à cela que cet effet néfaste est plus accentué si les grains sont plus petits.
2.0
.-..
l'l
••••••
•
••
•
•
E
•
••
oc
1.5 -
....
•
•
•
••
<=
•
~
' - '
•
(1)
•
c
1.0
0
s.
•
••
....
•
Cj
~
•
~
•
••
o
Tennes fondamentaux k et 1
" 0.5 .
~
•
....
0;;j
•
)(
Les 2 premiers tennes k et 1
•
c
•
+
~
Monocristal
•
Q
•
0.0 -+-"'"'T""""'T""""'T""""'T""""'T""""'T""""'T""""T"'""'"T"'""'T""""T""""
,or--or--,or--....--,,....-,....--,.-=;.;-I
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
z(micron)
Fig 2-20 : Profil de la densité d'électrons calculée en fonction des diverses
contributions des tennes k et 1 à une vitesse de recombinaison des grains Sng égale
à 1 rn/s. (a = 2631 cm- 1 ; H = 20 ~m; Sn = 4 105 rn/s; a = b = 5 ~m)
.-.. 2.0 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
000000
o
00
o
0
E
oc
o
0 o
....
1.5 -
o
0 o
o
•••••••
0
•
• •
0
o •
•
0
•
• •
0
•
0
01
• •
0
•
0
•
• •
0
o
•
0
•
• •
0
o
Tennes fondamentaux k et 1 ••
00
J )(
Les 2 premiers tennes "
"
••• 0
•
Les 5 "
" " "
•• 0
o
Monocristal
. 0
0.0 +Ii-',---r--,---r__,.,~__,.,"""'T"-~
,-r-~
.or--r-T"'"'"•....--,,....-,•....--,r-·~IIII.r--I
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
z(micron)
Fig 2-21 : Profil de la densité d'électrons calculée en fonction des diverses
contributions des tennes k et 1à une vitesse de recombinaison des grains Sng égale
à l00rn/s).(a=2631 cm-1 ; H =20 ~m; Sn =4105 rn/s; a=b=5 !lm)

---

56
1.7 "T""'---------------------,
_..-.-._..__....-.._-_.-
-~ 1.6 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
ES
1.5
QO
....
1.4
o
Sng = 1 mis
•
" = 10 mis
1.3
6
" = 100 mis
Monocristal
1.2
,~
....
0;j
1.1
c
~
Q
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
a(micron)
Fig 2-22 : Distribution des électrons le long de l'axe Ox à une profondeur z = 10
Ilm à diverses vitesses de recombinaison des joints de grains.
(a =2631 cm- l ; H =20 Ilm ; Sn =4 lOS mis; a =b =50 Ilm ; Sng = 10 mis)
Il - 2 - Calculs des photocourants aux limites de la jonction n/p
Il - 2 - 1 - Expressions des photocourants
Après avoir calculé la densité des porteurs minoritaires excédentaires générés par
une excitation lumineuse Fa (Â.) aussi bien dans l'émetteur que dans la base, nous allons
1
maintenant nous intéresser au photocourant en régime stationnaire. Nous calculerons le
photocourant à la limite de la jonction nlp dans l'émetteur, la base et dans la zone de
1
charge d'espace. Puisque nous avons considéré une jonction uniforme, ce photocourant
que nous noterons Jph est la somme des courants générés dans les trois zones de la
1
photopile:
- Je
pour l'émetteur,
1
- Jzc dans la zone de charge d'espace,
- Jb dans la base.
J
a - Emetteur
L'émetteur étant de type n, le photocourant est principalement un courant de trous,
1
il est déduit du gradient de la densité des porteurs à savoir:
(2-6)
1
A la limite de la jonction z = Zj, ce gradient étant nul suivant les directions x et y , le
1
1
1

---

57
photocourant de trous est:
(2-7)
Je = - q Dp~ (Pn - Pno) 1
az
Z= Zj
A partir de la solution que nous proposons pour la densité des trous en régime
stationnaire (1-40), le photocourant à la limite de la zone de charge dans l'émetteur
correspondant à Z= Zj est:
A~
00
sine ma) A~ sine nb )
Je =4qa(Â.)Dp [I-R(Â.)]Fo (Â.)L
2
2
m,n,p
~pm n (a + p )
S
x
[pe- aZj + (a + ---E. ) sine p Zj )] cos( mx ) cos ( ny )
(2-8)
Dp
b - Zone de charge d'espace
Dans cette zone tous les porteurs sont collectés à cause du champ électrique, leur
nombre est alors égal à celui des photons absorbés. Le photocourant est donc [1 , 13]
(2-9)
c - Base
Elle est essentiellement constituée d'un courant d'électrons et si nous procédons de la
même manière que dans le cas de l'émetteur, la densité de courant à la limite de la
jonction Z= Zj + West:
a
Jb = q Dn - (np - npo>l
(2-10)
az
z= Zj+ W
De l'expression de la densité des électrons (1-73) on tire :
Jb = 4 q Dn a ( Â.) [1 - R (Â.)] Fo ( Â.) e-a(zj+ W)
A~
00
sine ka) A~ sin(lb ),u A~
x L
2
2
k,l, ,u
~n k 1(a +,u )
Sn
aH
}
x { ,u - ( a - 0 ) sin(,uH b) e-
b
cos( kx) cos(ly)
(2-11)
n
II - 2 - 2 - Photocourant des trous dans l'émetteur
L'expression (2-8) qui donne le photocourant de trous est développée sous forme
d'une série de termes qui dépend des paramètres m, n et p. Les paramètres m et n

---

58
tiennent compte de la taille des grains du polycristal, de la vitesse interfaciale Spg au
niveau des joints. Quant au paramètre p, il dépend de la vitesse de recombinaison Sp à
la surface et de la profondeur Zj de la jonction.
Nous ménerons une étude comparative avec l'expression du photocourant
proposé par Halder et Williams, où n'interviennent que les paramètres m et n et qui
s'écrit [6] :
2
2
00
'Y AmAn sin (ma) sin (nb)
J e =4 q a (À) Dp [1 - R (À)] Fa (À) L p
cos (rnx) cos (ny)
2
2
m,n
mn(a Y -l)
p
- a Z· [
Z·
Z·
]
Np+a'Y -
p e
J
Npcosh(-J )+sinh(-J)
'Yp
'Yp
}
-------------'---------::.....-- - a 'Y e- a Zj
x {
(2-12)
p
Z·
Z·
Np sinh (_J ) + cos h (_J )
'Yp
Yp
L
avec y =
p
représentant la longueur effective de diffusion, et
2
p
~ 1 + L~ (m + nl
_ SpLp
N p -
.
Dp
Pour bien mener l'étude comparative que nous voulons entreprendre, nous avons
aussi présenté les résultats obtenus avec un modéle monocristallin à jonction uniforme
dont le photocourant de trous est donnée par l'expression:
aL
Je = q a (À) Dp [1 - R (À)] Fa (À)
p
2
2
a Lp -l
Np + a L p - e- a Zj [ Np cosh (~j ) + sinh (~j ) ]
x {
p
p
- aLpe- aZj }
(2-13)
Z·
Z·
r-)
J
Np sinh (
+ cosh (L )
P
p
Les expressions (2-8), (2-12) et (2-13)
sont déduites respectivement de nos
calculs, de ceux de Halder - Williams [6] qui se rapportent à un modéle polycristallin et
enfin de ceux concernant le modéle monocristallin. Elles donnent les photocourants qui
seraient collectés dans l'émetteur d'une jonction n/p d'une cellule solaire à une longueur
d'onde donnée avec des hypothèses qui s'appuient sur l'uniformité de la durée de vie
des porteurs, leur mobilité et le niveau de dopage dans cette région [1].
Nous allons maintenant étudier l'effet des paramètres tels que : le coefficient

---

59
d'absorption a(À), la vitesse de recombinaison de surface Sp' la taille des grains et la
vitesse de recombinaison des joints sur la convergence de la série (2-11).
a - Contribution du paramètre Il
Dans cette partie, nous considérons une taille de grain de 10 ~m qui correspond à
des valeurs de a et b égales à 5 ~m, la vitesse de recombinaison interfaciale Spg au
niveau des joints de grain étant fixée à 10 rn/s. Pour étudier l'effet du paramètre p, met
n seront fixés à leur première valeur qui est dans ce cas égale à 116817 m- l . La série Je
ne dépend alors que de p, nous l'appellerons Je( p).
Influence du coefficient d'absomtion
En fonction de a( À ), nous cherchons le nombre de termes p qu'il faudrait
considérer pour atteindre la convergence de la série Je( p ). La limite de cette série
devrait être la valeur que nous avons calculée à partir de l'expression (2-12) où nous ne
tenons compte que de la contribution des termes fondamentaux m et n. Sur la figure
2-23 , nous avons représenté un réseau de courbes donnant la variation du photocourant
de trous en fonction du nombre de termes p pris en considération dans la sommation, à
des valeurs différentes du coefficient d'absorption du silicium.
30 , . . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . . .
El
a = 87294 cm - 1
o
a = 8700 CIr.- 1
)(
=4174 Il
•
Il
=38126 "
o
= 1862 "
25
, _ -
~ 12597 "
6
= 1230 "
N
1
Il
.- 20
y .. A A" A" m " "
5
v
< 15
5
~. • • • .~
Cl
: : : : : :
10
Cl)
~ • • • • • •
~
.. ..
..
..
le
le le
le
le
le
te
~ .. ..
5
0--: 0
Ir
.. : : : : : : e.. : : : : :
O+-.......-r--"-"T-....~........T""""......,-..."""T'""""T"""..,._.,.....,r___r__r-,-""T""'""""!
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Nombre de termes
p
Fig 2-23: Contributions du paramètre p sur la série Je(P) à différentes longueurs
d'onde. Sp = 100 rn/s; Zj = 0.5 ~m; m = n = 116817 m-1.

---

60
La profondeur de la jonction Zj est fixée à 0.5 Jlm, la vitesse de recombinaison
à la surface de l'émetteur Sp étant égale à 100 rn/s.
Pour les grandes valeurs de a(À), par exemple 87294 cm- l et 38126 cm- l
correspondant respectivement à des longueurs d'onde de 0.40 et 0.44 Ilm, la série Je( P)
oscille si on passe d'une contribution de p à la suivante (figure 2 -23) et ces oscillations
s'atténuent lorsque le coefficient d'absorption diminue. Dans ce dernier cas, Je( P )
augmente avec les contributions successives de p tout en convergeant.
Pour bien ressortir l'effet du coefficient d'absorption a ( À ), nous avons, dans le
tableau 11, évalué la précision de nos calculs en nous limitant à la sommation sur les
vingt premiers termes p.
À (Ilm)
a (cm-l )
Valeur limite
Nos calculs
Précision
(mA/cm2)
(mA/cm2)
(%)
0.400
87294
20.6
20.6
0.1
0.440
38127
21.2
21.1
0.5
0.500
12598
14.0
13.9
1.0
0.550
8700
11.7
11.6
1.1
0.650
4175
07.5
07.4
1.2
0.752
1862
04.1
04.1
1.3
0.800
1230
02.9
02.9
1.3
Tableau 11: Précisions sur la série Je( P) lorsque la sommation est faite avec les
!
vingt premiers termes p à différentes valeurs de a ( À ). Sp = 100 rn/s ; Zj =0.5
Ilm; m = n = 116817 m- l .
1
Déjà, une première constatation est que le coefficient d'absorption n'influe pas de
façon très notable sur la convergence de la valeur de Je(P). Le tableau montre toutefois
1
que la précision sur Je(p) est légèrement meilleure pour des valeurs élevées du
coefficient d'absorption, qui en plus donnent des photocourants plus grands. Ce qui est
1
en concordance avec le fait que la génération des porteurs est plus importante dans la
zone proche de la surface de l'émetteur si les photons incidents sont de grandes énergies
1
et pénétrent alors très peu dans le matériau semiconducteur. Pour les faibles valeurs du
coefficent d'absorption, les porteurs sont créés plus en profondeur, et même jusque dans
1
la base, ce qui explique les faibles photocourants relevés dans le tableau 11.
Dans la gamme de longueurs d'onde que nous avons utilisée, nous pouvons
estimer qu'une sommation sur les vingts premiers termes p nous permet d'atteindre la
1
convergence avec une précision satisfaisante qui est ici de l'ordre de 1%.
1
Effet de la vitesse de recombinaison en surface
En donnant à la vitesse Sp les valeurs 0.1, 100, 1000 mis, nous avons représenté
1
1
1

---

61
sur la figure 2-24, la série Je(p) en fonction des contributions du paramètre p.
Les courbes présentent la même allure et de légères oscillations sont perceptibles
pour les cinq à six premières contributions de p. En étendant la sommation sur un
grand nombre de termes, la série Je(P) converge pour chacune des vitesses choisies. La
précision est bonne, elle est inférieure à 1% si on se limite aux vingt premiers termes
(tableau 12).
24
22
~. • • • • • • • • •
M
20
ë
~
El
18
Sp = 0.10 mis
~~
•
" = 100 mis
c..
4.
" = 1000 mis
16
' - "
Q,l
""'" 14
\\r-*tT *66 6 A 6 *6 6 * * 6
12
1O+-,......,--r"""T'""'T'"""......---.--r--.--T"'ï~-r-"'T'"""f""""'T---.---r-~
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Nombre de termes
p
Fig 2-24 : Les contribution du paramètre p sur la série à différentes vitesses Sp'
(A = O.44llm ; Zj = 0.5 /lffi; m = n = 116817 m- 1)
Sp (m.s- 1)
Valeur limite
Nos calculs
Précision
(mNcm2)
(mNcm2)
(%)
0.1
24.7
24.6
0.40
100
21.2
21.1
0.50
1000
13.7
13.6
0.98
Tableau 12 : Précision de nos calculs si on se limite aux vingt premiers termes p
sur la série Je(P) à différentes vitesses de recombinaison de surface. A =O.44llm
; Zj = 0.5Ilm; m = n = 116817 m- 1
Ce tableau indique aussi que les phénomènes de recombinaison à la surface, ont
un grand rôle sur le photocourant collecté à la limite Zj de la jonction. En effet, sa

---

62
valeur diminue si ces processus, définis ici par Sp sont importants.
Effet de la profondeur zide la jonction
Les valeurs de Zj sont reportées dans le tableau non suivant, ainsi que le
photocourant que nous avons calculé. Sa précision, par rapport aux résultats déduits
des calculs faits par Halder et Williams, est aussi indiquée:
Zj (IJ.m)
Valeur limite
Nos calculs
Précision
(mNcm2)
(mNcm2)
(%)
0.1
11.1
10.9
0.9
0.3
20.6
20.5
0.7
0.5
21.2
21.1
0.5
0.8
16.5
16.4
0.3
1.0
12.9
12.8
0.3
Tableau
13 : Influence de Zj sur la précision de nos calculs si on ne tient
compte que des vingt premiers tennes p. À = 0.44 IJ.m ; Sp = 100 mis ; m = n =
116817 m- l .
D'après le tableau 13, la série Je(p) converge un peu plus rapidement si les
valeurs de Zj augmentent. Nous observons en outre que le photocourant dépend de la
profondeur de la jonction. Il est moins important pour une jonction surperficielle de
profondeur 0.1 IJ.m, peut être à cause des phénomènes de recombinaison à la surface
qui est ainsi assez proche de la jonction. Il augmente pour des profondeurs allant de 0.3
à 0.5 IJ.m et puis décroît si la jonction devient de plus en plus profonde. Dans ce dernier
cas, à cause du coefficient d'absorption du silicium assez élevé pour la longueur d'onde
choisie, la plupart des porteurs seraient créés assez loin de la jonction. Cette situation ne
favorise pas leur collecte par le champ électrique interne, leur longueur de diffusion
étant faible.
b - Contribution des valeurs propres met n
Comme nous l'avons déjà indiqué, les paramètres m et n dépendent de la taille des
grains et de la vitesse de recombinaison des joints de grains Spg à travers les relations:
S
S
ma tan (ma) =
pg a et nb tan (nb) = ~ b
Dp
Dp
Dans cette partie, notre analyse sera axée sur la contribution des valeurs de m et
de n dans le calcul du photocourant donné par (2-8). Nous donnerons à a et b les valeurs
0.1, 0.5,
1, 5 et 10 IJ.m. Nous ferons aussi intervenir diférentes vitesses de

---

63
recombinaison Spg telles que 0.1, 1 et 10 rn/s.
La contribution des valeurs de p sera fixée aux vingt premiers termes. Dans ce
cas, la série (2-8) ne dépendant que de m et n, nous la noterons Je(m,n). Ses valeurs en
fonction des contributions de ces mêmes paramètres sont reproduites sur la figure 2-26 ,
à des tailles de grain différentes.
Pour des tailles de grain telles que a et b soient égaux à 0.1, 0.5 et 1!lm, la série
est pratiquement constante si on se limite à la contribution des deux premiers termes
m et n. D'ailleurs, on remarque que pour les plus petites tailles, les termes
fondamentaux suffisent pour atteindre la convergence. Avec des tailles plus élevées,
Je(m,n) oscille de façon marquée et l'amplitude de ces oscillations augmente avec la
taille des grains. Dans ce cas, il faudrait pour que la série converge, étendre la
sommation sur plus d'une dizaine de termes. Ces constatations que nous avons faites sur
nos calculs, sont aussi valables pour le photocourant de trous déduit des
développements de Halder et Williams.
23
~
N
22
,-....
I::J
a = b = 0.1 !lm
S
(,j
• " " = 0.5 !lm
< 21
x
"
"
S
= 1 !lm
'-"
li)
+
"
" = 5 !lm
:s
0
20 -
.6
1.
"
" = 10 !lm
-~'0
~
.6
-c 19- A Â. ...
~
... -6~ ~ .- ~
1.
-
:s
-
~
~
~
~
~
~
~
0
:1/
~
-
18
~
-0oC~
III I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I I!!I El
1
17
1
1
1
1
1
1
a
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Nombre de termes m et n
Fig 2-25: Contribution des paramètres m et n sur le photocourant de trous à
différentes tailles des grains Xg = 2a = 2b. ( Zj = 0.5 !lm ; Sp = 100 rn/s ; Spg =
10 mis ; Â = 0.44 !lm )
Nous notons aussi, que le photocourant dans l'émetteur à la limite de la jonction
Zj, augmente avec la taille des grains et sa valeur limite correspond au photocourant
débité par l'émetteur d'une jonction n1p monocristalline qui est donné par l'expression

---

64
(2-13).
Pour illustrer cela, nous avons relevé dans le tableau 14, les photocourants
déduits de nos calculs, de ceux de Halder-Williams et celui correspondant au
monocristal. On constate que si la taille de grain passe de 0.1 à 10 Ilm, le photocourant
ne varie pratiquement que de 1.7 mA/cm2.
Taille
Nos calculs
Ralder
Monocristal
(Ilm)
(mNcm2)
(mA/cm2)
(mNcm2)
0.2
17.2
17.3
1
18.7
18.8
2
18.9
19.0
19.0
10
18.9
19.0
20
18.9
19.0
Tableau 14 : Photocourant de trous en fonction de la taille des grains. ( Zj = 0.5
Ilm ; Sp = 100 mis ; Spg = 10 mis ; À =0.44 Ilm )
; ' 19.0
I:i
~
-
18.5
~§
Q,)
~
B
1::1
Halder - William3
18.0
•
Nos calculs
o
u
s 17.5
.8
~
17 .a +---.-------r---.---r-r-T'""'T"",,----.----.-r--r--r.,.....,r-r-I
.2
2
20
Taille (JUD.)
Fig 2-26 : Evolution du photocourant de trous en fonction de la taille des grains.
( Zj = 0.5 Ilm ; Sp = 100 mis ; Spg = 10 mis ; À =0.44 Ilm )

---

65
21.5
~ 21.0
E
~ 20.5
• Spg =0.1 rn/s
E
x
" = 1 rn/s
--CIl 20.0
=
•
"
0
= 10 rn/s
s.
-Q,I't:S 19.5
-ce':ls.=019.0
g
-0
oC 18.5
~
•
o
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Nombre de termes m et n
Fig 2-27: Contribution des paramètres met n sur le photocourant de trous à
différentes vitesses de recombinaison des joints. ( Zj = 0.5 !lm ; Sp = 100 rn/s ;
a = b = 5 Ilm ; Â. = 0.44 !lm )
S. Banerje et H. Saha ont souligné le fait que le photocourant de trous
est
pratiquement indépendant de la taille. Cette observation, comme l'indique la figure 2-
26, n'est valable que lorsque la taille de grain est largement supérieure à la longueur de
diffusion des trous. Par contre pour de petites tailles, le photocourant augmente avec les
dimensions du grain.
En faisant varier la vitesse de recombinaison Spg des joints de grains, la taille
étant fIxée à 10 Ilm, nous remarquons sur la figure 2-27 que:
- pour des vitesses Spg égales à 0.1 rn/s et 1 rn/s, les termes fondamentaux
suffisent pour le calcul du photocourant de trous dans l'émetteur ;
- si elles sont supérieures à 10 rn/s, les valeurs du photocourant oscillent
lorsqu'on passe d'une contribution de m et n à la suivante. Leur amplitude est grande
pour de grandes vitesses de recombinaison et, dans cas, pour calculer le photocourant ,
il faudrait sommer sur un plus grand nombre de termes met n .
Avec les vitesses et la taille de grain que nous avons choisies, nous constatons
qu'au centre du grain, le photocourant est constant et prend les valeurs indiquées dans le
tableau 15.

---

66
Vitesse
Nos calculs
Halder
Monocristal
Spg (mis)
(mNcm2)
(mNcm2)
(mNcm2)
0.1
1
18.9
19.0
19.0
10
Tableau 15 : Photocourant de trous en fonction de la vitesse de recombinaison
des joints de grain. ( Zj :::: 0.5 Ilm ; Sp :::: 100 mis ; Zj :::: 0.5 Ilm ; a :::: b :::: 5 Ilm ).
Pour bien mettre en évidence l'effet de la vitesse Spg sur le photocourant de trous
à la limite de la jonction dans l'émetteur, nous l'avons calculé le long des axes Ox et Oy
et tracé ses variations en fonction de x ou y sur la figure 2-28. Elle montre que la vitesse
Spg réduit le photocourant au bord des grains. Cette décroissance est plus marquée pour
des vitesses élevées. Dans la partie centrale du grain, le photocourant ne dépend
pratiquement pas de cette vitesse, la taille étant ici vingt fois supérieure à la profondeur
de la jonction. Si nous considérons des grains de dimensions 0.2 Ilm x 0.2 Ilm
correspondant à des valeurs de a et b égales à 0.1 Ilm, l'effet de la vitesse de
recombinaison est trés marqué sur le photocourant de trous au centre du grain qui chute
ainsi brutalement de 18.82 à 9.78 mNcm2. Ce qui montre ainsi que l'effet des joints est
étroitement lié à la taille de grain.
19.5
N
19.0
.-
ë
C.J
18.5
<
g 18.0
rI:l
=
0
l...
....
...
17.5
Spg:::: 0.1 mis
~
"0
+
" :::: 1 mis
....= 17.0
•
" :::: 10 mis
~
l...
•
:::: 100 mis
=
0
g 16.5
....0
oC
~ 16.0
15.5 -+-T"""1r--r-r....,....-r--....--r--r-""'r"-r-T""'"1,......,.......,...-r--r--r-T-r......,...-r--r--I
.{)
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x (microns)
Fig 2-28 : Effet de la vitesse de recombinaison Spg sur le photocourant de trous
lelong des axes Ox ou Oy. Zj :::: 0.5 Ilm ; Sp = 100 mis ; À:::: ü.44Ilm.

---

67
20
f"l
:1: ES iiiiIii il li l' ii iiiiiii ii11111 il fi!!!
---S 18
u
eeeeeee neeeueeeeeeeeeeeeeuee
eeeeeeo
"<S'-' 16
ri:!
=
0
Loo
•
Spg =0.1 mis
-~
A
"
= 1 mis
'0
14
-
0
"
c
= 10 mis
~
Loo
• " =100 mis
=
0
12
•
Monocristal
g
-0
.c
c..
10
.., , ..., .. " .... ' " ' ' ' ' ' ' 'II ' . . . .,
. .
Mo
8+----r-""T"""'----,.---""T"""----,.---"""T""-....-"""T""-....---r-~___I
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
x (micron)
Fig 2-29 : Effet de la vitesse de recombinaison Spg sur le photocourant de trous le
long des axes Ox ou Oy. (Zj =0.5 Jlm; Sp = 100 mis ; À = 0.44 Jlm ; a = b =0.1
Jlm).
II - 2 - 3 - Photocourant d'électrons dans la base
En régime stationnaire, le photocourant lb du aux électrons dans la base à la la
limite de la jonction Z =Zj +West donnée par l'expression (2-11).
Comme dans la section II - 2 - 2, nous calculerons ce photocourant en x = y = o.
Nous ménerons aussi une étude comparative avec le photcourant d'électrons en régime
stationnaire développé par N.C. Halder et T.R. Williams [6]. Par la méthode des
fonctions de Green, ils ont abouti à l'expression suivante (2-14) autour du point de
coordonées (0, 0, Zj) :
00
y A~ sin( ka) Ai sin(lb)
lb=4qu (À) Fo(À) [1- R(À)] e- u (Zj+ W)I _n
_
2 2
kl
kl(u Y - 1)
n
Hb
-u H ]
Hb
-u H
N n [ cosh ( -
) - e
b
+ sinh ( -
) + u yne
b
Yn
Yn
(2-14)
x { ayn -
H
H
}
N n sinh ( ~ ) + cosh ( ~ )
Yn
Yn

---

68
SnLn
Ln
avec N n =
et
Yn =
étant définie comme la longueur
Dn
Jl+L~(k2+12)
effective polycristalline de diffusion des électrons dans le matériau de type p.
Quant au modéle monocristallin qui servira aussi de référence dans nos calculs, le
photocourant des électrons dans la base y est donnée par [1, 13] :
(2-15)
Notre but dans cette partie est de vérifier si les valeurs du photocourant d'électrons
de l'expression (2-14) déduite de nos calculs sont reproductibles comparativement à
celles obtenues avec la relation (2-15). Pour ce faire, nous étudierons la sommation avec
les tennes en J.l dans la série (2-14) en prenant les tennes fondamentaux k et 1. Cette
série qui ne dépendra alors que de J.l sera notée Jb (J.l ).
L'effet du coefficient d'absorption sur les valeurs prises par Jb( J.l ) sera revue,
ainsi que ceux de l'épaisseur H de la cellule, de la profondeur Zj de la jonction et de la
vitesse de recombinaison Sn à la surface arrière de la photopile. Nous étudierons
successivement leur influence sur la convergence de la série Jb( J.l ).
a - Contributions des valeurs de ~Jt>-Lu-J
L'influence du coefficient d'absorption a. ( Â. ) est montrée sur la figure 2-30.
Nous y avons reproduit pour quatre valeurs de a. ( Â. ) différentes, l'évolution du
photocourant en fonction des contributions du paramètre J.l . Le graphique montre
approximativement, que le photocourant Jb( J.l ) tend vers sa limite plus rapidement si
les valeurs de a. sont plus petites. C'est pourquoi, pour plus de clarté, nous avons porté
dans le tableau 16, la valeur maximale que peut prendre la série pour une valeur du
coefficient d'absorption égale à O.71 ~m. Ce photocourant limite est déduit de
l'expression (2-15) où les calculs ont été faits avec les termes fondamentaux k et 1.
Nous avons ensuite calculé la série Jb(J.l) avec les cinquantes premiers tennes J.l et
évalué la précision de nos résultats par rapport à cette valeur limite.

---

69
25
20
N ,
E
r.J
~ 15
' - "
:::t
a =38130cm- 1
' - "
10
" = 8700
"
,Q
....,
" = 4175
"
" = 1231
5
ok~~~::;::::::::::::::::::::::::J
o
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Nombre de termes
J1
Fig 2-30: Les contributions du paramètre J1 sur la série Jb(J1 ) à différentes
valeurs du coefficient d'absorption a (À). H = 10 Ilm ; Zj = 0.5 Ilm ; Sn = 4 105
mis; k = 1= 2.7133 104 m- l.
Le tableau 16 montre que la convergence de Jb(J1 ) est influencée par le coefficient
d'absorption a ( À ). La meilleure précision est obtenue avec les plus petites valeurs de
a ( À ), mais dans ce cas, si on dépasse le domaine des longueurs d'onde supérieures au
gap du silicium les photocourants chutent brusquement. Les forts coefficients
d'absorption supérieurs à 38127 cm-l, rendent la série lentement convergente, les
photocourants collectés à la jonction étant faibles. Les valeurs de a ( À ) associées aux
longueurs d'onde comprises entre 0.65 et 0.8 Ilm, donnent des photocourants plus élevés
avec une bonne précision par rapport à la limite qui est ici de 1%. Dans la suite, nous
ferons nos calculs, en considérant que la jonction est éclairée avec un flux lumineux
monochromatique de longueur d'onde 0.71 Ilm, le coefficient d'absorption du silicium
est dans ce cas égal à 2631 cm- l.

---

70
Â. (llm)
a ( Â. ) ( cm- 1 )
Valeurs limites
Nos calculs
Précisions
(mNcm-1 )
(mNcm-1 )
(% )
0.440
38127
01.6
01.4
14.3
0.550
8700
18.3
17.6
03.7
0.650
4175
26.1
25.6
02.1
0.710
2631
26.9
26.5
01.6
0.750
1862
25.3
25.0
01.3
0.800
1231
21.7
21.5
01.2
0.910
411
10.9
10.8
00.9
1.040
35
01.3
01.2
00.8
Tableau 16 : Effet du coefficient d'absorption sur la précision de nos calculs faits
avec les 50 premiers termes p.
H = 20 !lm; Zj = 0.5 !lm ; k =1= 2.7133 104 m-1 ; Sn = 4 105 rn/s.
Effet de l'épaisseur de la cellule
L:l figure 2-31 représente les valeurs de Jb( p ) pour des épaisseurs égales à la,
20 et 50 !lm. Elle montre qu'elles convergent d'autant plus rapidement que les
épaisseurs sont plus faibles.
40 . . , . . . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
.... .. .. .. ..
f"l
•••••••
-- 30
..
•
•
•
•
:.
.....
E
Cj
. ..
~ 25
. ..
.
. ,..
•
•
•
•
....
E
--:::t 20 ......
•
•
--c
..
•
H = 10 !lm
~ 15 - ...
• "= 20 llm
•
.. "= 50 !lm
la
..
5 ..
o
1
1
1
1
o
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Nombre de termes
p
Fig 2-31 : Effet de l'épaisseur H sur la convergence de la série Jb(u ) a = 2631
cm- 1 ; Sn = 4 105 mis; Zj =0.5 !lm; a = b = 5 !lm.

---

71
Le tableau 17 montre que la précison est bonne pour de faibles épaisseurs de la
cellule. Pour des cellules plus épaisses, il faudrait étendre la sommation à un plus grand
nombre de tennes, la série étant dans ce cas trés lentement convergente.
Nous notons aussi, dans nos calculs, que le photocourant augmente avec
l'épaisseur. Cette propriété des photopiles est soulignée dans l'ouvrage de Hovel [13] et
dans l'article de Halder et Williams [2]. La valeur plus faible que nous notons dans nos
calculs, pour une épaisseur de 100 !lm, peut être améliorée si nous sommons sur un
plus grand nombre de tennes J.L •
H (!lm)
Valeurs limites
Nos calculs
Précisions
(rnNcm2 )
(rnNcm2 )
(% )
10
26.899
26.475
01.58
20
34.080
33.199
02.58
50
37.529
35.278
06.00
100
37.816
33.309
11.92
Tableau 17 : Effet de l'épaisseur H de la cellule sur la précision de nos calculs,
la contribution étant de 50 tennes J.L. Zj =0.5 !lm; Cl = 2631 cm- 1 ; Sn =4 105
rn/s; k = 1 = 2.7133104 m- l .
Effet de la vitesse Sn
La vitesse de recombinaison Sn à la surface arrière est un paramètre important des
photopiles. Son effet sur la convergence de la série Jb( J.L ) est reproduit sur la figure
2-32. En donnant à Sn les valeurs 1, 1000, et 4 105 rn/s, l'épaisseur de la cellule étant
égale à 20 !lm nous avons tracé les courbes donnant les variations de Jb(J.L ) en fonction
des contributions du paramètre J.L. Le domaine de variation de la vitesse de
recombinaison que nous avons choisi n'influe pas de façon notable sur la convergence
de la série J b( J.L ).
Le tableau 18 montre en effet que l'on obtient pratiquement la même précision si
la sommation se fait sur les cinquante premiers tennes J.L. En outre, il nous pennet de
voir que le photocourant varie en fonction de la vitesse de recombinaison Sn' Si les
phénomènes de recombinaison à la surface arrière sont importants, ce qui est caractérisé
par de grandes valeurs de la vitesse Sn, alors le photocourant diminue.

---

Fig 2-32: Effet de la vitesse de recombinaison arrière sur la convergence de la
série Jb( J.L ).(Zj =0.51lm ; À = 0.7lllm; H = 20 Ilm; k = 1 = 2.7133 1()4 m-1 ;
a = b =5Ilm).
Vitesses Sn
Valeurs limites
Nos calculs
Précisions
(mis)
(mNcm2 )
(mNcm2 )
(% )
1
39.9
39.1
02.0
1000
34.9
34.0
02.5
4105
34.1
33.2
02.6
Tableau 18 : Effet de la vitesse de recombinaison Sn arrière sur la précision de
nos calculs, la contribution étant de 50 termes J.L. Zj =0.5 Ilm ; À =0.71 Ilm; H =
20 Ilm ; k = 1= 2.7133 104 m- 1 ; a = b = 5 Ilm.
b - Contribution des paramètres k et 1
Ces deux paramètres sont solutions des équations:
Sng
Sng
ka tan(ka) = D
a et lb tan(lb) = D
b.
n
n
Quelques unes de leurs valeurs sont présentées dans le tableau 9.
Pour connaître le nombre de termes en k et 1 à choisir dans le calcul du
photocourant de la base à partir de l'expression (2-8), nous ferons nos calculs avec la
contribution des cinquantes premiers termes J.L et ferons varier dans la sommation, celles

---

73
de k et 1. Puisqu'ils dépendent de la taille des grains définies par Xg = 2a = 2b et de la
vitesse Sng de recombinaison des joints, nous étudierons la convergence de la série (2-
8) en fonction de ces deux paramètres du polycristal.
Pour différentes tailles de grains, la figure 2-33 montre les valeurs du
photocourant en fonction des différentes contributions de ces deux paramètres k et l.
Pour de petites tailles correspondant à des valeurs de a et b égales à 0.5, l, 5 !lm,
on pourrait se limiter dans la sommation au trois premieres contributions de k et l.
A une taille telle que la valeur de a soit supérieure ou égale à 50 !lm, nous
notons des oscillations de la valeur du photocourant pour les cinq premières
contributions de k et 1. Pour atteindre la convergence, il faudrait étendre la sommation à
un plus grand nombre de termes.
Par ailleurs, la figure 2-33 indique que le photocourant dans la base augmente
avec la taille des grains et tend vers celui débité par une jonction n/p au silicium
monocristallin.
36 -r-:~..----------------------,
------
34
:.\\' r .. "'- ~ ~
JI(
~
~
6---
..
"
6
r'-l
C
o
""- 32
~
-
~
'0
-c
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
f
::1
a
a = b = 0.5 !lm
0
30
a = b = 10 J.lm
•
" = 1
"
)(
"
" = 50 "
~
6
o
"
" =5
"
0
Monocristal
.c
Q..
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Nombre de termes k et 1
Fig 2-33: Effet de la taille des grains sur la convergence de la série. H = 20 !lm ;
Sn = 4 105 mis ; Zj = 0.5 !lm ; Sng = 10 mis ; Â. =0.71 !lm.

---

74
X =2a=2b
Halder -
Nos calculs
Monocristal
g
Williams
(mA/cm2 )
(mA/cm2 )
(~m )
(mA/cm2 )
1
29.1
28.2
2
31.4
30.7
10
33.9
33.1
20
34.4
33.7
34.6
100
34.7
33.9
200
34.6
33.9
1000
34.6
33.7
Tableau 19: Comparaison de nos résultats avec ceux du modéle proposé par
Halder-Williams et de ceux du monocrista1. H = 20 ~m ; Sn = 4 10 5 mis ; Zj =
0.5 ~m; Sng = 10 mis; Â, = 0.71 !lm.
Nous avons confirmé ces résultats en recalculant le photocourant déduit des
travaux de Halder-Williams à l'aide de l'expression (2-15). Les résultats sont présentés
dans le tableau 19. Pour obtenir une précision optimale, nous avons effectué ces calculs
avec les vingt premiers termes k et 1. Pour le photocourant déduit de nos calculs, nous
avons adopté le même procédé avec en plus une sommation sur les cinquante premiers
termes J1.
34
• • • • • • • • • 6
N-
.. ..
M--.. ..
.. .. .. .. .. te
E 33
(,J
<E'-'
(T.J
c 32
•
0
Sng = O.I~m
"'"
..-
0
"
=1
"
~
X
"
=10 "
~Qj
0
'0
"
= 100"
31
..-
c
~
"'"=
0
~ 30
..-
0
oC
Q.,
\\- 0 -e- 0 0 0 0 0
29
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Nombre de termes k et 1
Fig 2-34: Effet de la vitesse de recombinaison au niveau des joints de grains sur
la convergence de la série. H = 20 !lm; Sn =4105 mis; Zj = 0.5 ~m ; a = 5~m ; Â,
= 0.71 ~m.

---

75
S. Banerje et H. Saha [20] ont aussi fait état de la forte dépendance du
photocourant de la base en fonction de la taille des grains dans le cas des jonctions
abruptes. Il faut préciser que la variation du photocourant en fonction de la taille n'est
appréciable que si les grains sont petits. A des tailles supérieures à 100 ~m, le
photocourant reste constant.
Un autre paramètre qui affecte fortement le photocourant de la base des cellules
polycristallines est la vitesse interfaciale de recombinaison Sng des joints de grains. En
faisant varier cette vitesse de recombinaison de 0.1 à 100 rn/s, nous avons représenté
les variations du photocourant d'électrons en fonction des contributions de k et 1.
On constate sur la figure 2-34, que pour les plus faibles vitesses, la limite est
attteinte en sommant uniquement sur les termes fondamentaux k et 1. Si la vitesse
augmente, la sommation doit s'étendre sur les contributions suivantes, car des
oscillations de la valeur du photocourant apparaissent et les termes fondamentaux ne
suffisent plus pour atteindre la valeur limite.
Ayant obtenu la convergence, nous avons calculé le photocourant au centre du
grain à une longueur d'onde de 0.71 ~m. Le tableau 20 montre que sa valeur passe de
33.8 à 29.3 mNcm2 , si la vitesse Sng augmente de 0.1 à 100 rn/s. Nous constatons
alors qu'aussi bien dans nos calculs que dans ceux de Halder-Williams, le photocourant
est trés influencé par les vitesses de recombinaison des joints de grain qui constituent
des piéges pour les porteurs minoritaires excédentaires.
Sng (rn/s)
Halder-
Nos calculs
Monocristal
Williams
(mNcm2 )
(mNcm2 )
(rnNcm2 )
0.1
34.6
33.8
1
34.6
33.7
34.6
10
33.9
33.1
100
30.2
29.3
Tableau 20: Photocourant d'électrons déduits de nos calculs, ceux du modéle
proposé par Halder- Williams et de ceux du monocristal. H = 20 J..lm ; Sng = 4 105
rn/s; Zj = 0.5 J..lm ; a = b = 5 ~m ; À =0.71 J..lm.
La figure 2-35 qui schématise le tableau 20, montre bien que le photocourant
dans la base décroit si les vitesses de recombinaison des joints augmentent.
L'activité de ces joints est plus marquée sur les bords des grains, la figure 2-36
montre bien que le photocourant décroit le long de l'axe Ox (ou Oy) lorsqu'on se
rapproche de la surface limitant le volume du grain. Cette décroissance est plus marquée
si les vitesses deviennent de plus en plus grandes.

---

76
35
-N~34~-a33gu
JI 32
.1)
.'l:f
El
Nos calcuI3
J
• Halder - W:illi.ams
31
0
u
S 30
.i
l=Ioc
29 -t---'---'--r""'T""rT'TTT"""-...,....--r-.......-r"T""T""rTT'"-""""'T"""""""'T"""--r-lr-T""T"T"T'!
.1
1
10
100
Vitesse S Dg (mis)
Fig 2-35 : Evolution du photocourant d'électrons dans la base au centre du grain
fonction de la vitesse de recombinaison des joints. ( a = b = 5 /lm ; Â. =0.71 /lm).
35 .........- - - - - - - - - - - - - - - - . . . . . ,
6A6A66A6A6A66A6A6A66A6A6A6A66A6A6A6A66A66
N
34
.........................................
•
Sng =0.1 mis
•
" = 1 mis
)(
" = 10 mis
o
= 100 mis
6
Monocristal
. . . .0000000. . . .
0000
0 00.
~o
o~
0 0
0 0
0 0
0 0
o
0
o
0
27 +-.,....r-'I,.....,.I-.....,Ir-r--r"..,...~.,....~~-....."
......-~
1r-"'1,--r-~
, r - !
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x (micron)
Fig 2-36 : Evolution du photocourant le long de l'axe Ox à différentes vitesses de
recombinaison interfaciale des joints de grain. ( H = 20 /lm ; Sn = 4 105 mis ; Â. =
0.71 /lm; a = b = 5 /lm)

---

77
En effet si la vitesse de recombinaison des joints passe de 0.1 à 100 rn/s, le
photocourant à la limite du grain varie de 33.8 à 27.7 mA/cm2, soit une diminution de
18 %.
N. C. Halder et T. R. Williams [21] ont calculé le courant de court-circuit d'une
cellule au silicium polycristallin en fonction de la position le long de l'axe Ox à y = 0
pour différentes vitesses de recombinaison des joints. En considérant une cellule
d'épaisseur 50 Ilm et de profondeur de jonction égale à 0.3 Ilm, la taille de grain étant de
10 Jlm, ils ont montré que l'effet néfaste des joints sur le courant de court-circuit n'est
prépondérant qu'aux niveau des bords du grain.
Comme le souligne par ailleurs Joshi [22], les propriétés électriques du semi-
conducteur polycristallin sont régies par la capture des porteurs minoritaires aux joints
de grain. Sous illumination optique, les porteurs minoritaires photogénérés (trous dans
le silicium de type n) sont attirés vers les joints où ils se recombinent avec les électrons
piégés. Sa théorie s'appuie sur l'existence d'états d'interface qui décrivent l'activité des
joints de grain. Ces états sont caractérisés par une hauteur de barrière de potentiel qui
est indépendante de la taille des grain dés lors que celle-ci prend de grandes valeurs.
L'influence de la taille sur cette barrière n'intervient que si le polycristal est formé de
grains de petites dimensions. Cette théorie est en accord parfait avec les conclusions que
nous avons faites sur l'effet de la taille de grain sur le photocourant de trous ou
d'électrons.
fi - 3 - Calculs des réponses spectrales
fi - 3 - 1 - Définitions:
La réponse spectrale d'un dispositif semi-conducteur est le photocourant collecté à
chaque longueur d'onde par rapport au nombre de photons incidents à la suface de la
cellule. Il est aussi appelé rendement quantique ou coefficient de collecte à chaque
longueur d'onde.
La réponse spectrale interne est définie comme étant le nombre de paires
électron-trou collectées dans les conditions de court-circuit par rapport au nombre de
photons qui pénètrent dans le matériau semi-conducteur.
Si Je ( À- ), Jdr( À- ) et Jb( À-) sont respectivement les photocourants dans
l'émetteur, la zone de charge d'espace et dans la base, la réponse spectrale interne est:
SR( À-) =
1
{ Je (À-) + J dr ( À-) + J b ( À-) }
(2-16)
qF o(À-)[I-R(À-)]
Fo(À-) est le flux de photons incidents de longueur d'onde À-, tandis que R(À-) est le
coeffficient de réflexion du matériau semi-conducteur.

---

78
II - 3 - 2 - Contribution de l'émetteur
La réponse spectrale de la zone frontale, calculée autour du point (0, 0, zj) est:
~ A:n sine ma ) A~ sine nb )
2
SR e (À.)=4a(À)Dp k.J
2
2
pAp
m,n,p
~p m n (a + p )
S
x [p e - az j + (a + DP ) sine p Zj )]
(2-17)
p
Dans l'étude comparative que nous menons, nous calculerons en fonction de
l'énergie des photons incidents, les valeurs de SRe ( À ) de l'expression (2-17) et aussi
celles déduites des relations suivantes:
2
2
00
'YpAmAn sin (ma) sin (nb)
SR e ( À) =4 a ( À ) D
I
p
2
2
m,n,p
m n (a 'Y - 1)
p
- a Z· [
Zj
Zj
]
Np + a 'Yp - e
J
Np cosh ( -
) + sinh ( - )
'Yp
'Yp
}
x
------------..:........------=~- -
{
a 'Y e- a
p
Zj
(2-18)
Z·
Z·
Np sinh (_J ) + cosh (_J )
'Yp
'Yp
aL p
2
2
a L -1
P
(2-19)
Les expressions (2-18) et (2-19) qui sont nos références représentent
respectivement:
- la réponse spectrale interne de la zone frontale du modéle théorique polycristallin
proposé par Halder et Williams,
- la contribution au rendement quantique interne de l'émetteur d'un dispositif
semi-conducteur monocristallin à jonction unifonne et largement discuté par Hovel [1] et
Zee [13].
Sur la figure 2-37 ci-dessous, nous avons tracé les courbes correspondant à
chacune de ces expressions à différentes énergies des photons incidents. La taille du

---

79
grain est fixée à 10 ].lm, la vitesse interfaciale Spg à 10 mis.
Elle montre que la courbe déduite de nos calculs présente la méme allure que celles
obtenues à partir des expressions (2-17) et (2-18) et prouve ainsi que nos résultats sont
en bon accord avec ceux de nos références.
Nous avons ensuite étudié l'effet de la taille des grains sur le rendement quantique
de l'émetteur. La taille étant fixée à 0.2 puis 1 et 10 ].lm pour une vitesse de
recombinaison interfaciale des joints fixe, les réponses
spectrales correspondant à
chacune de ces tailles sont représentées sur la figure 2-38.
Cette figure montre que la réponse spectrale augmente avec la taille de grain, surtout
dans le domaine des énergies supérieures à 2.5 eV qui correspondent à des coefficients
d'absorption élevés du silicium. L'effet de la taille de grain est plus sensible dans cette
gamme d'énergie où la plupart des porteurs sont générés dans la zone proche de la
surface. Par contre pour les faibles énergies, la taille de grain n'intervient que trés peu sur
la réponse spectrale interne de l'émetteur. On pourrait interpréter ce phénomène par le fait
qu'à cause des faibles coefficients d'absorption du silicium, les porteurs sont générés
plus en profondeur, quelquefois jusque dans la base.
70
,.-..
-:r-----------------------,
~
..".
-- 60
Q,l
• •
c
•••• unee"
'"'Q,l
•
....
50
.5
•
Q,l
=
0"
•
40
.-
....
•
c
eu
•
=
0"
30
....cQ,l
1 0 Noscalculs
ë
Q,l
20
•
Halder - Williams
'0
c
x
Q,l
Monocristal
CI:::
10
0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
Energie des photons incidents (eV)
Fig 2-37: Réponses spectrales de l'émetteur calculées à partir des expressions
(2-17), (2-18) et (2-19). (Sp = 100 mis; Zj = 0.5].lm;
a = b = 5].lm;
Spg = 10 mis).

---

80
70
-~'-' 60
~
c
s.
~
-c 50
....
~
=
C"
.... 40
-Cto:=C" 30
•
a = 5 Jlm
-C
a
"
~
=0.5 JlIl1
ë
~
20
0
" =0.1 Jlm
'Q
C
)C
Monocristal
~
cz::
10
0
..-I1""r-r-r-,...,..,..,...T""T'''T'''?
-r-r--r-1......-r-r-
.........
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
Energie des photons incidents (eV)
Fig 2-38 : Rendement quantique interne de l'émetteur à différentes tailles de
grains Xg = 2a =2b. (Sp = 100 mis; Zj =0.5 Jlm ; Spg = 10 mis)
70
-~ 60
' - '
~
c
s.
~
50
-.5~ 40
=
C"
....-Cto: 30
=
C"
-
0
Spg = 1 mis
c
~
20
ë
+
" = 10 mis
~
'Q
)C
c
" = 100 mis
~
10
0
Monocristal
cz::
o~e41--_........--.----...--.......--.----...--................----.---.......--1
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
Energie des photons incidents (eV)
Fig 2-39 : Rendement quantique interne de l'émetteur à différentes vitesses de
recombinaison des joints de grains. (Sp = 100 mis ; Zj = 0.5 Jlm ; a = 0.5 Jlm ;
Spg = 10 mis)

---

81
Dans ces conditions, la partie du grain dans l'émetteur est très pauvre en porteurs
photogénérés, l'influence de la taille sur le rendement quantique est très minime. Ceci est
aussi valable dans le cas où l'émetteur est très dopé et la taille de grain très grande par
rapport à la longueur de diffusion qui est dans ce cas très faible. Ainsi le rendement
quantique interne de la cellule polycristalline est identique à celui du monocristal. Dans
une telle situation, la vitesse de recombinaison des joints n'a pratiquement aucun effet
néfaste sur la réponse spectrale calculée au centre du grain. Mais pour des grains de
dimensions comparables à la longueur de diffusion polycristalline, ses effets deviennent
très perceptibles. La figure 2-39 en est la parfaite illustration. Elle montre que le
rendement quantique diminue principalement vers les grandes énergies si la vitesse Spg
augmente.
II - 3 - 3 - Contribution de la zone de charge d'espace
Une partie du photocourant collecté est du à la zone de charge d'espace. Le champ
électrique dans cette région peut être considéré comme élevé de telle sorte que les porteurs
générés sont accélérés en dehors de cette zone avant qu'ils ne puissent se recombiner
[13]. La réponse spectrale correspondante est:
(2-20)
II - 3 - 4 - Contribution de la base
La réponse spectrale de la base est calculée à partir de l'expression:
JtJ A)
SRtJ A) = - - - - - -
(2-21)
q Fa< A)[ 1 - R( A) ]
En utilisant l'expression (2-11) déduite de notre modéle, le rendement quantique
interne de la base au point (0, 0, Zj) s'exprime:
(2-22)
Les réponses spectrales internes obtenues à partir des relations (2-12) et (2-13)
sont les suivantes:

---

82
_ a. ( . + W) ~ '1n A~ sine ka) Ai sine lb )
SRb=4a.(Â.) e
zJ
L..
2 2
kl
kl(a. '1n - 1)
Hb
-a. H ]
H b
H
N n [ cosh ( -
) - e
b
+ sinh ( -
) + a. yne - a.
b
x {0.'1----- ~
- - - - - : - : - - - - ~
-
- - - - - - }
(2-23)
n
Hb
Hb
N n sinh ( - ) + cosh ( -
)
'1n
'1n
(2-24)
L'équation (2-22) donne le rendement quantique interne de la base déduit de [6],
alors que l'expression (2-24) se rapporte à celui de la base du modéle monocristallin déjà
décrit dans [1, 13]. Nous les avons recalculées pour différentes valeurs des énergies des
photons incidents, la cellule ayant une épaisseur de 20 Ilm. Concernant particulièrement,
les calculs déduits de notre modéle et ceux de Halder - Williams, nous avons choisi une
taille de grain de 10 Ilm et une vitesse de recombinaison des joints Sng égale à 10 rn/s.
La figure 2-40 représente les courbes obtenues à partir de ces calculs. La
reproductibilité de nos résultats est bonne comparée à ceux énoncés plus haut. Le léger
écart observé dans la gamme des énergies comprises entre 1.8 eV et 2.6 eV peut être
réduit si on étend la sommation sur les termes Ji.. Cette remarque a été soulignée dans la
section (II - 2 - 3) où nous avons estimé que dans le domaine des grandes valeurs du
coefficient d'absorption, il faudrait prendre en compte un plus grand nombre de termes Ji.
pour le calcul du photocourant dans la base.
Sur la base de nos calculs, nous avons étudié les effets de la taille des grains et de
la vitesse de recombinaison des joints sur le rendement quantique interne de la base au
centre du grain. La réponse spectrale de la base est largement influencée par la taille des
grains surtout si ses dimensions sont petites par rapport à la longueur de diffusion. La
figure 2-41 montre cette dépendance qui est plus nette dans le domaine des plus faibles
énergies (1.2 à 2.6 eV).

---

83
70
.--
~
' - '
60
Qi
t tt.....:.••
C
-•
..
""
Qi
.... 50
.:
1-
.::Il:
.:Il:
Qi
.:Il:
1
.x
= 40 ~
l:7'
.x
-,:
.x
C
eo=
•
·x
= 30
l:7'
....
• •
•
Nos calculs
x
C
•
Qi
, x Halder-Williams •:Il:
ê 20 .;
Qi
Monocristal
"0
• -
•X
C
Qi
•
10
0::
•
•X
•
•1
o
.-
+-.,......'T-,.-~
.~r""""""",'---'r--r---r---r--r---r--r--
,or--r-........,r"""""".......-t
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
Energie des photons incidents(eV)
Fig 2-40 : Rendements quantiques internes de la base calculés à partir des
expressions (2-17), (2-18) et (2-19). Paramètres communs : H = 20 ~m ; Sn = 4
105 mis ; Zj = 0.5 /lm ; Paramètres relatifs à nos calculs et à ceux de Halder-
Williams: a = b = 5 /lm ;
Sng = 10 rn/s.
70 - : r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
.--
~
' - '
60
Qi
C
""
Qi
....c 50
Qi
=
l:7'
40
-,:
ceo==l:7' 30
....CQi
ê
Qi
20
- a =0.1 ~m
"0
c
x
Qi
"=0.5 ~m
0::
10
6
" =5/lm
o+-ra:;i---T......"""T"""............--r-"""T"""-r-,......,~--._T""""""1r__"T--I
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
Energie des photons incidents (eV)
Fig 2-41: Rendements quantiques internes cie la base à différentes tailles de
grain. (H = 20 ~m ; Sn = 4 105 rn/s ; Zj = 0.5 ~m; Sng = 10 mis).

---

84
En particulier, nous observons aussi le déplacement du maximum de la
photoréponse vers les énergies faibles lorsque la taille augmente. Ce déplacement en
faveur des grandes longueurs d'onde a été souligné par Ben Arab [18] dans son étude de
la photoréponse de la base des cellules solaires polycristallines. Cette évolution du
maximum de la réponse spectrale n'a pas été constatée dans l'émetteur (figure 2-38).
70
--
~ 60
' - '
qJ
c
s..
qJ
50
....5
qJ
::::l
40 ~
0'"
.-....c
•
~
::::l
30
o
Sng =1 mis
0'"
...
+
" = 10 mis
C
qJ
20 ~
•
ë
" =100 mis
qJ
"0
o
Monocristal
C
qJ
10
l:I::
•
9
0
o
I I I
1
1
1.0
1.2 1.4
1.6
1.8 2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
Energie des photons incidents (eV)
Fig 2-42: Rendements quantiques internes de la base à différentes vitesses de
recombinaison des grains. H = 20 J.lm ; Sn = 4 105 mis ; Zj = 0.5 J.lm ;
a = b = 0.5 J.lm.
Ce déplacement du maximum vers les courtes longueurs d'onde est aussi
perceptible si les phénomènes de recombinaison sont importants dans les joints de grain
(figure 2-42). L'augmentation de la vitesse Sng diminue le rendement quantique des
cellules solaires polycristallines.
II - 3 - 5 - Contribution des trois zones de la photopiles:
Sur le graphique 2-43, ont été representés les rendements quantiques internes de
l'émetteur, de la zone de charge d'espace et de la base déduits de nos calculs.
Ces contributions sont complémentaires. En effets les courbes confirment le fait que
l'émetteur exploite les photons d'énergie élevée. La zone de charge traite les photons
d'énergie moyenne, tandis que ceux de plus grande longueur d'onde dont l'énergie est

---

85
90 . . . . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
80
r " ,
(1)
Q,l
1
6"
6
6
C
,
6
S-
70
Q,l
6
666
.....
C
6
,...
0. .6
.- 60
"l
••
0
8 88 8
llIeellllls!IlIIlft18A
.
~.
50
.-.....
"•
• •
0
C
•
•
0
~
••
0
= 40
o
Emetteur
cr
·.0
•
(1)
•
Base
.....
...
C
30
,;.
X
Q,l
•
Zone de charge
ëQ,l
o
•
o
Total
'Q
20
1
C
Q,l
•
o
""II
X
....
0 00
6
~
10
...
.X
•
X
• X
.~
O+.4...~r-T'""T""T"ï..,....,....T'""'Tj~-r-'t".;:toI
. . . . . . . . . . . . . . . .lif----r-r-r-l
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
Energie des photons incidents (eV)
Fig 2-43 : Rendement quantique interne des trois zones de la photopile. H = 20
!lm; Sn = 4 105 mis ; Zj =0.5 !lm; Sp = 100 mis; Sng = 10 mis ; Xg = 10 !lm.
100
-- 90
....
' - "
-..
~
Q,l
80
.~...~
c
s-
Q,l
~
:."'1
.....
70
c
...
.....
.-
1
...
Q,l
60
•
AA&a ""'U"&
-~s-.....
1
50
6
C.J
Q,l
Q"
1
(1)
40
6
l
Nos calculs
Q,l
(1)
•
Halder - Williams
c
0
30
Q"
'Q,l
~
20
J
•
Monocristal
a
...
10
...
...
O+-r-""'"""'T""'1"""'T""'1r-r-r-r-r-T'"T""'T'""""""'''T'''T''"'T'"''T"'T'"''T"'T"''T"""T""'1"""T"'''"r-T"""T'""T''"'T''''T'-r-I
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
Energie des photons incidents (eV)
Fig 2-44: Rendement quantique interne des trois zones de la photopile. H = 20
!lm; Sn = 4 105 mis ; Zj =0.5 !lm; Sp = 100 mis ; Sng = 10 mis; Xg = 10 !lm.

---

86
voisine du gap du silicium sont collectés dans la base.
Les courbes de réponses spectrales que nous avons obtenues suivent exactement
les mêmes lois déjà établies et qui régissent le comportement des cellules solaires au
silicium lorsqu'elles sont éclairées par des radiations lumineuses monochromatiques.
Pour confirmer la validité des résultats auxquels nous sommes parvenus, nous avons
reproduit sur la figure 2-44, les réponses spectrales théoriques des différents modéles
que nous avons cités dans ce travail. Les courbes présentent la même allure, seul le
monocristal présente une photoréponse plus élevée dans le domaine des photons
d'énergie moyenne. Ce qui pourrait être, dans les modéles polycristallins qui présentent
un rendement quantique légèrement moins élevé, du à l'activité des joints de grain dans
cette gamme de longueur d'onde.
Nos calculs sont en bon accord avec les prédictions théoriques et expérimentales,
comme nous avons essayé de le montrer tout au long de ce chapitre.
III - JONCTION N/P SOUS POLARISATION ELECTRIQUE
III - 1 - Domaine d'application du modéle
La répartition de la concentration des électrons dans la base lorsque la jonction est
polarisée en direct avec une tension V(t) est donnée par l'expression (1-118). La courbe
donnant le profil de cette densité le long de l'axe Oz est représentée sur la figure (2-45).
Nous y avons aussi reproduit celle obtenue en recalculant la densité d'électrons à partir de
l'expression donnée par Halder et Williams en régime stationnaire. Cette expression,
qu'ils ont obtenue à l'aide des fonctions de Green, est représentée ci dessous:
(Op - 0po) ( x, y, z) = - ~14 A~ Ai sio(ka) sio(lb) 0po [ eX1~~) -\\ 1cos(kx) cos(ly)
,
Nn cosh( Hb ) + sinh( Hb )
( W )
x { [
1n
1n
sinh( Z -
Zj +
) ]
Nn sinh( !:!.b. ) + cosh( !::!b. )
1n
1n
1n
(2-24)
La figure (2-45) donne ces densités en fonction de Z dans le cas d'une polarisation
directe en régime stationaire sous une tension de 500 mV. L'épaisseur de la base est
fixée à 20 Ilm, la vitesse de recombinaison à la surface arrière étant infinie.
Nous remarquons que la courbe déduite de l'expression (2-24) obéit à la condition
à la limite Z = Zj qui est:
qV
np - n =
po
npo[ exp ( KT ) - 1 ].

---

87
Par contre, nos calculs montrent que la concentration des porteurs minoritaires
excédentaires à la limite Zj = 0.78 Jlm est nulle. Cette concentration varie ensuite en
oscillant de part et d'autre de la courbe dont le tracé a été fait à partir des calculs de Halder
- Williams (expression 2-24). Le premier maximum de ces oscillations dont l'amplitude
diminue avec les valeurs de z, est atteint pour une profondeur de l'ordre de 1.16 Jlm.
Aux grandes valeurs de z, les deux courbes donnant la répartition des électrons se
recoupent parfaitement. Nous précisons par ailleurs que nos calculs ont été faits en
considérant la contribution des cinquantes premiers termes J.1. Quant aux sommations sur
k et l, nous nous sommes limités aux termes fondamentaux k et 1 dans les expressions
(1-118) et (2-24).
5.5
,
5.0 -
•
••
,--,
4.5 -
l"l
00·
3.5 - ~~"
•
Nos calculs
4.0 -
x
.
Halder - Williams
c
.~
•
x
....
•
x,
•
•
0
•
x.
~
3.0 -
' - '
•
1:
•
Xx
CIl
c
2.5 -
•
•
•
Xx
0
s.
•
·x
-(.J 2.0 - •
xK
~
•
Xx
~
1.5 -
•
K.
'0
•
xK
~
•
x K
- 1.0-
.;;
•
K.
•
C
•
Kx
~
•
0.5 - •
xK
Q
••
Xx
•
0.0
K
1
1
1
1
1
1
T
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
z (micron)
Fig 2-45
: Profil de la densité d'électrons dans la base sous une polarisation
constante de 500 mV ; Zj =0.5 Jlm ; W = 0.28 Jlm ; H = 20 Jlm ; Sn = 00 ; a =b =
5 Jlm.
Pour lever le paradoxe à la limite Z = Zj , nous avions, dans la section (IV - 1 - 3) du
chapitre 1, posé des hypothèses simplicatrices qui nous ont permis d'aboutir à
l'expression(l-134) donnant la densité d'électrons dans la base de la cellule
polycristalline.
Ces hypothèses sont les suivantes:
1 - Les valeurs du paramètre J.1 doivent obéir à une relation de la forme:

---

88
pHb = S1t, S prenant les valeurs entières 1, 2, 3,... de telle sorte que l'expression
(1-118) puisse être réécrite sous la forme d'une série de Fourier dont il est aisé de
calculer la valeur en appliquant la relation (1-120).
2 2
PY
2 - Le terme Rn =
~ 2 doit être égal à l'unité pour que l'on puisse dans la
I+PYn
série (1-118) faire séparèment les sommations sur les termes p, k et 1.
La première hypothèse peut être satisfaite si nous considérons que la surface arrière
est métallisée et présente alors un contact ohmique comme dans la plupart des photopiles
usuelles. Dans ce cas, la vitesse de recombinaison Sn à la surface arrière est très grande.
Les investigations que nous avons faites dans ce sens nous ont conduit à poser que cette
vitesse doit être supérieure à 1()4 cm/s.
1.1 " T ' " " " - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
1.0 ......-t==!IP'...."'!:::::;::::::II......--jl::==C........,I!t---t!I----t!J
0.9
0.8
c
~
0.7
0
Sng= 0 mIs
1:: 0.6
x
"
= 0.01 mis
o
6
g; 0.5
= 1 mIs
~
•
~ 0.4
= 10 mIs
El
= 100 mis
0.3
0.2
0.1
0.0 -+-""""'--""T"'T"I"TTrr-.....,.--r-"T"'T'"'I'TTIT""""--r-"""T""T'T"lM"ftr---r--r-T"'T"M'TI'i
.1
1
10
100
1000
Taille de grains (Ilm)
2 2
PY
Fig 2 - 46 : Valeurs du rapport Rn =
n
en fonction de la taille de grain à
2 2
l+PYn
différentes vitesses de recombinaison Sng' H = 10 Ilm; Sn = 00; Zj = 0.5 Ilm ;
W = 0.28 Ilm ; Yn est calculé à partir des termes fondamentaux k et 1.

---

89
La deuxième hypothèse tient compte des valeurs de la longueur effective de
diffusion polycristalline Yn et du paramètre p. Elle fait alors intervenir les effets des grains
et l'épaisseur de la base.
Pour voir dans quelles conditions, cette hypothèse est réalisée, nous avons tracé
une série de courbes représentant la variation du rapport Rn en fonction de la taille, de la
vitesse de recombinaison Sng et de l'épaisseur Hb de la base.
La figure (2-46) montre l'effet de la taille et de la vitesse Sng sur les valeurs de Rn'
l'épaisseur de la cellule étant fixée à 10 ~m.
L'analyse de ces courbes permet de dégager les conclusions suivantes:
- pour des tailles de grains comprises entre 1 ~ et 10 ~m, il faut que la vitesse de
recombinaison des joints soit inférieure à 10 mis ;
- cette vitesse peut prendre des valeurs allant jusqu'à 100 rn/s, si la taille est
inférieure à 100 ~m.
- au-delà de 100 ~m, l'effet des joints peut être défini avec des vitesses allant
jusqu'à 1000 rn/s.
Ces conclusions montrent que le rapport Rn n'est voisin de l'unité que dans le cas
des cellules polycristallines où les effets des joints de grain ne sont pas très marqués.
1.1
1.0
0.9
0.8
c 0.7
CI::
.... 0.6
...
0
c. 0.5
c.
cu
CI::
0.4
0.3
6
a = 0.5 ~m
0.2
• a=5~m
x
a =50 ~m
0.1
0
a =500 ~m
o.0 "'h-rTTT'T"I'''T'T'1rrrrTTTTTTT'1''T'T'1I'T'T''rT'T"TT'TT'T'1''T''T'1r''TT'rT'T~''''''''rT'T~
o 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Epaisseur H de la cellule (~m)
Fig 2 ·47 : Valeurs du rapport Rn en fonction de l'épaisseur de la cellule à
différentes tailles de grain. H = 10 ~m; Sn = 00; Zj = 0.5 ~m ; W = 0.28 ~m ;
Sng = 10 rn/s . Yn est calculé à partir des termes fondamentaux k et 1.

---

90
L'effet de l'épaisseur de la base joue aussi un rôle important dans le calcul de Rn.
La figure 2-47 montre ses variations en fonction de l'épaisseur à différentes tailles de
grain, la vitesse Sng étant fixée à 10 rn/s.
Pour des épaisseurs inférieures à 50 !lm, les valeur de Rn sont comprises entre 0.9
et 1 à condition que la taille de grain soit supérieure à 100 !lm et que Sng soit au plus égal
à 10 rn/s.
En résumé, les figures 2-46 et 2-47 supposent que c'est avec des cellules
polycristallines de faible épaisseur dont les effets des joints de grains ne sont pas très
marqués que le modéle s'applique le mieux quant à l'étude du courant d'obscurité.
III - 2 - Profil de la densité d'électrons dans la base
En nous basant sur les remarques faites dans le paragraphe précédent, nous avons
retracé la courbe représentant la variation de la densité d'électrons dans la base lorsque la
jonction est polarisée à l'obscurité sous une tension de 500 mV. Pour vérifier la validité
de nos approximations, nous avons, sur le même graphique, reproduit la concentration
des électrons dans la base déduite de l'expression (2-24) [6].
4.5
,-..
...,
ff'l
4.0 -
i ilil
m
Nos calculs
c
ii
• Halder - Williams
00-
3.5
m
.m
....
.m
.m
.m
01
3.0
.m
..-i
.m
.m
--
.m
(I)
2.5
.m
c
.m
.m
0
.m
r.
..... 2.0
.m
~
.m
.m
.m
'a.I
.m
"0
1.5 -
.m
.m
'a.I
.....
·i
-1ii
ilil
1.0
c
a.I
liIi
Q
ii
0.5
"••
0.0
,
1
1
T
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
z(micron)
Fig 2 - 48 : Profil de la densité d'électrons dans la base sous une polarisation
constante de 500 mV à l'obscurité; Zj = 0.5 !lm; W = 0.28 !lm ; H = 20 !lm ;
Sn = 00 ; a = 5 !lm

---

91
Dans l'hypothèse des faibles injections que nous avons faite, nous constatons sur la
figure 2-48 que cette densité décroit à partir de la zone de charge d'espace à Z = Zj. Nous
remarquons que la courbe, déduite des approximations que nous avons faites, coïncide
parfaitement avec celle obtenue à partir des travaux de Halder - Williams. Ce qui montre
que la condition à la limite Z = Zj est, cette fois-ci, bien respectée. En fonction de la
profondeur dans la base, la densité d'électrons évolue suivant une loi linéaire, celle
déduite de [6] suit sensiblement cette même loi. Ce phénomène est mentionné dans
l'ouvrage de H. Mathieu [23] où il montre que la linéarité de la distribution des porteurs
minoritaires dans les zones neutres de l'émetteur et de la base n'est observée que lorsque
1
Z·
H b
,
.
d
l ' · ,
d'
1
'
.
es rapports _J et -
sont tres petIts evant umte, en
autre termes, es epalsseurs
Lp
Ln
de l'émetteur et de la base doivent être très petites par rapport aux longueurs de diffusion
des porteurs minoritaires définies respectivement dans l'émetteur et la base. Nos
approximations sont surtout valables dans la zone proche de la jonction dans la base qui
est marquée par une accumulation des porteurs minoritaires. L'effet de collecte, assez
marqué au niveau du contact arrière à cause de la vitesse Sn élevée, est aussi vérifié. Le
léger écart que nous notons au centre de la zone quasi-neutre de la base est du aux
approximations faites.
III - 3 - Caractéristiques 1 - V à l'obscurité
Dans les limites de notre modéle, nous supposons aussi que le courant de saturation
de l'émetteur est nulle. Cela implique que seule la base a une contribution importante au
courant d'obscurité lorsque la jonction est polarisée par une excitation électrique. Le
courant étant essentiellement un courant de diffusion, le champ est faible dans la base qui
est une région dopée et par suite relativement conductrice de sorte que la tension aux
bornes de cette région soit négligeable.
De multiples diagrammes incIuants des effets de résistances séries, de résistances
shunt, de capacités, sont proposés pour étudier le comportement des cellules solaires.
Nous négligerons ces effets pour des raisons de simplicité dans nos calculs, ce qui nous
place dans les conditions d'une jonction idéale.
A la limite de la jonction Z = Zj + W dans la base, le courant de diffusion est obtenu
à partir du gradient de la densité des porteurs minoritaires excédentaires :
d
Jnobs = q Dn - (np - npd
à
Z = Zj + W
(2- 25)
dZ
En régime stationnaire, où la polarisation est continue, le courant d'obscurité calculé
à partir de l'expression (1-118) est:

---

92
J
b -
4
D
1 [
( qV)
1] ~ Ak Ar sin( ka) sin( lb)
nO s - -
q
n np -
exp -
-
4.J
(2-26)
°Hb
KT
k,l
kl
Le signe (-) indique que la contribution de la base au courant d'obscurité est opposé
au photocourant. Nous allons maintenant comparer nos calculs avec l'expression du
courant d'obscurité de la base d'une cellule polycristalline donnée par Halder et Williams
[6]. Lorsque le contact arrière de la cellule est tel que la vitesse de recombinaison Sn est
infinie, le courant d'obscurité correspondant s'écrit:
J
b -
4
D
[ ( qV)
1] ~ Ak Ar sin( ka) sin( lb)
th( Hb )
nO s - -
q
n npo exp -
-
4.J
co
-
KT
k 1
Yn k 1
Yn
,
(2-27)
Le courant d'obscurité dans la base d'une jonction n/p monocristalline dont la
vitesse à la surface arrière est comparable à celui d'une cellule à contact ohmique, est
donnée par [1]:
qV
1
Hb
Jnobs = - q Dn npo [ exp( KT) - 1 ] Ln coth( Ln )
(2-28)
Les courants de saturation
inverse Jo obtenus à partir de ces différentes
expressions sont tels que:
Jnobs = Jo[ exp( i~) -1 ]
(2-29)
1
Nous avons calculé ces courants Jo pour des tailles de grain assez grandes et la
1
vitesse de recombinaison des joints égale à 10 rn/s, pour que le domaine d'application du
modéle soit respecté. Le tableau 21 suivant donne leurs valeurs obtenus à partir des
1
différents modéles que nous avons cités.
1
Tailles des grains
Nos calculs
Halder - Williams
Monocristal
(Ilm)
(10- 8 mA/cm2)
(10- 8mA/cm2)
( 10- 8 mAlcm2)
100
3.84
3.85
1
200
3.84
3.85
3.86
1000
3.84
3.85
1
Tableau 21 : Courant de saturation inverse calculée à partir des exprsesions (2-
26), (2-27) et (2-28) à différentes tailles de grains. Sn = 00 ; H = 20 Ilm ;
1
Sng = 10 rn/s;
1
1
1

---

93
Ces tailles étant assez appréciables par rapport à l'épaisseur de la base et de la
longueur de diffusion des électrons, leurs effets sur le courant de saturation ne sont pas
très marqués. Toutefois, nous remarquons que Jo diminue très faiblement lorsque la taille
de grain augmente. Ce qui montre que les petits grains où les effets des joints sont très
importants, augmentent le courant d'obscurité réduisant ainsi les performances de la
cellule polycristalline. Il semble que notre modéle donne des courants de saturation
légèrement plus faibles que celui du monocristal, nous expliquons ce phénomène par les
conditions d'approximation dans lesquelles nos calculs ont été effectués. Mais ces légères
divergences ne sont pas perceptibles sur la figure 2-49, où sont représentées les
caractéristiques courant-tension idéales correspondant à ces différentes modéles. Cela
nous indique que le modéle de calcul que nous proposons pour étudier le fonctionnement
de la jonction n/p est bien valable dans les limites que nous imposons et qui sont bien
précisées en détail dans la section III -1.
80
--
N
ë
70
Col
-
•
<
60
ë
'-"
'Qj
....
50
'i:
0
Nos calculs
:::s
Col
x
rn
Halder - Williams
oC
40
0
+
Monocristal
"0
....
30
c
~
1.
•
:::s
0
20
U
10
•
•
a ......,~.-tI
T
....."'"'-,...............-t......I--I....
T
i-IJ-J-·H·h
T
.......
, .....,...........-I
o 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
Tension de polarisation (rnV)
Fig 2 - 49
: Caractéristiques 1 - V théoriques
à l'obscurité déduites des
expressions (2-26), (2-27) et (2-28). Zj = 0.5 Jlm ; W = 0.28 Jlm ; H = 20 Jlm ;
Sn = 00 ; a = b = 50 Jlm.

---

---

---

---

95
1 - ETUDE EN COURT·CIRCUIT
1 - 1 - Emetteur
1 - 1 - 1 - Evolution du photocourant de trous vers l'état stationnaire
L'évolution du photocourant de trous excédentaires au cours du temps est déduite
du gradient de la densité de trous donnée par l'expression (1-43) du chapitre 1. Pendant
la phase d'excitation lumineuse la croissance des porteurs minoritaires dans l'émetteur en
(0,0, Zj) est décrite par une expression constituée d'une série de termes comportant les
paramètres m, n, et p. Le facteur 1 - exp(- ~pt ) qui intervient dans chaque terme de la
série, dépend des paramètres de la cellule par l'intermédiaire de la constante de
décroissance ~p.
2 2 2 1
1
2 2 2 2
~p =Dp (m + n + p + -) =- [ 1+ Lp (m + n + p )]
2
L
t
P
P
- t p est appelée durée de vie "en volume", c'est une caractéristique du monocristal ;
2
L p
2
2
2
- le terme [ -
(m + n + p
)] tient compte des effets de surface, de la taille
t p
des grains, de l'épaisseur de l'émetteur et de la vitesse de recombinaison Sp en surface. Il
est appelé durée de vie "en surface". Il est noté t s.
Un matériau polycristallin est généralement caractérisé par une durée de vie
effective teff des porteurs minoritaires qui est défmie de la manière suivante :
1
1
1
= - + -
teff
t p
t s
Lorsque la jonction est éclairée en lumière monochromatique de longueur d'onde
0.44 J..lm, nous avons reproduit les courbes représentant le photocourant en fonction du
temps normalisé à la durée de vie "Cp qui est prise égale 3 10 - 9 s [6]. La profondeur de la
jonction Zj est égale à 0.5 Jlm et la vitesse de recombinaison de surface Sp est de 100
rn/s.
Nous tenterons dans l'étude qui va suivre de déterminer les conditions pour
lesquelles le photocourant peut être décrit avec une bonne précision par les seuls termes
fondamentaux en m n et p. L'intérêt d'une telle étude réside dans le fait que ces
conditions sont celles pour lesquelles la détermination de la constante de la durée de vie
des porteurs minoritaires est aisée.
L'examen de la figure 3-1 montre que le terme fondamental p contrôle pratiquement
la courbe de croissance du photocourant vers l'état stationnaire. En effet avec les
paramètres choisis, le photocourant est connu avec 3.6 % d'erreur par excés si on se

---

96
limite à la première contribution du paramètre p. Les deuxième et troisième terme ne
modifient pas de façon notable l'évolution du photocourant
25
--N
ë
E1E1E1aElEIaElEI a
C,J
20 -
a El ••••••••• •
<
Ela • • ••••••••• •
ë
a . · . ·
' - '
a • • •
rJ)
a · ·
=
0
••
1.0
15
a •
....
•
QJ
•
'0
a
....
•
c
•
~
10
1.0
a
=
•
0
•
a
Terme fondamental p
~
....
• Contribution des 2 premiers termes
0
oC
i
5
• Contribution des 3 premiers tennes
~
•
o +--r---.......,..---r--r-
.-.,.-....,....-..,......--,r---....,....-'.-....,....---I
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
t/ 't P
1
Fig 3 - 1: Evolution du photocourant de trous en fonction du temps normalisé à
'tp pour différentes contributions du paramètre p.(Phase d'excitation)
1
(Sp = 100 rn/s ; Zj = 0.5 ~m ; a =b =5 ~m ; Spg = 10 rn/s ; 'tp = 3 10- 9 s)
1
Pour étudier la convergence par rapport aux termes m et n, nous considérons les
cas suivants:
* La taille de grain est comparable à la longueur de diffusion (a =b =0.1 ~m) et la
1
vitesse de recombinaison des joints de grains est de 10 rn/s. La figure 3 -2 relative à ces
conditions, montre que les termes supérieurs n'ont pratiquement aucune influence sur les
1
1 - exp( - ~p t )
calculs, le facteur
étant considérablement atténué. Ils peuvent alors
~p
1
être séparés du terme fondamental qui décrit de manière adéquate la courbe de croissance
du photocourant de trous.
1
* la taille de grain, égale à 10 ~m, est largement supérieure à la longueur de
diffusion (figure 3-3) avec toujours la même vitesse Spg de 10 rn/s. Dans ce cas, si les
1
termes fondamentaux sont uniquement considérés dans le calcul du photocourant, l'erreur
1
1
1

---

97
commise sera de l'ordre de 10 %. Il faudra alors prendre en considération les termes
d'ordre supérieur pour améliorer cette précision.
20 . . . . . . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
-
••••••••••
•••
••
•
•
ri)
•
a=b =0.1 ~m
=
o
'"'
..-
•
~ 10·
"0
..-
•
)(
Tennes fondamentaux m et n
c
~
• Deux premiers tennes m et n
'"'=
o
5
( j
•
o
..-
o
oC
Q.
o+--..--~--r--_r__,---.---r--r--r-I~--r--~---l
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
t / t P
Fig 3 - 2: Evolution du photocourant de trous en fonction du temps nonnalisé à
1> pour différentes contributions des paramètres m et n et du tenne fondamental p .
25
,......
N
e
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
( j
20 -
) ( ) (
)(
~~~~~~~~~ •
-<
)()(~~~~
+
e
' - '
)(
~ ~
ri)
15
)(~
=
0
a=b=5~m
)( t
'"'
..-
,
~
)(
"0
Tennes fondamentaux met n
10-
..-
)(
,
+
Deux premiers termes m et n
c
~
• Trois premiers termes m et n
'"'=
0
( j
5
,
0
..-
0
oC
Q.
o+--~---y,---r--~---,r-----r--r--~,----__...-----I
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
t/ t P
Fig 3 - 3: Evolution du photocourant de trous en fonction du temps nonnalisé à
1> pour différentes contributions des paramètres m et n et du tenne fondamental p .

---

98
La figure 3-4 montre que pour une vitesse recombinaison Spg élevée, égale à 100
rn/s, la série est lentement convergente. En effet, l'écart relatif entre les valeurs du
photocourant déduit des seuls termes fondamentaux et de la contribution des trois
premiers termes met n est égal à 39%. Il est alors nécessaire de tenir compte des facteurs
1 - exp( - ~p t )
-------=--- associés à ces termes des ordres supérieurs qui dans ce cas, ne sont
~p
plus négligeables devant ceux des termes fondamentaux.
30
-
• • • • • • • • •
• •
• •
N
•
S 25
•
( j
•
--<
•
S
xxxxxxxx xx
20
•
xxx
--
xX
V)
:=
•
x
0
x
0 0 0 0 0 0 0 0
o 0
s-
.... 15
0 0 0 0
x
0 0
Q,I
"Q
• x
0
....
0
c
10-
~
xO
•
Termes fondamentaux m et n
s-
:=
0
•
0
0
Deux premiers termes m et n
( j
x
0
5
x
....
0
Trois premiers termes m et n
0
.c
~
0
.
1
1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
tl 'C P
Fig 3 - 4: Evolution du photocourant de trous en fonction du temps normalisé à
'Cp pour différentes contributions des paramètres m et n et du terme fondamental p .
(Sp = 100 rn/s ; Zj = 0.5 !lm ; a =b =0.1 !lm ; Spg = 100 rn/s ; 'Cp = 3 10- 9 s)
Dans le chapitre 2 relatif au comportement de la jonction n/p en régime
stationnaire, nous avons montré que les expressions donnant la densité des porteurs
minoritaires excédentaires et le photocourant sont rapidement convergentes pour des
tailles de grain ou des vitesses de recombinaison des joints faibles. Les termes
fondamentaux peuvent alors décrire avec une bonne approximation l'évolution du
photocourant pendant la phase d'excitation lumineuse. Nous remarquons d'autre part
que sur toutes ces courbes étudiées, l'état stationnaire est pratiquement atteint au bout
d'un temps qui est de l'ordre de la durée de vie des porteurs minoritaires 'Cp.

---

99
1 - 1 - 2 - Décroissance du photocourant de trous
Les courbes de déclin du photocourant de trous au cours du temps sont décrites au
moyen du facteur
f pe (t) =[1- exp(- ~pTe)].exp[-~p(t -Te)]' Dans l'intervalle
[Te' t] ce facteur intervient sur chacun des termes de la série déduite du gradient de la
densité des trous autour du point (0, 0, Zj) {voir l'expression (1-43) du chapitre 1 }.
L'étude de l'influence de la valeur propre p sur la convergence du photocourant est
pratiquement la même que celle déjà entreprise dans le paragraphe précédent, car le
premier terme décrit avec une bonne précision la décroissance du photocourant (figure
3-5).
25 . . . , . . . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
ë
~
20
<
•
ë
fi)
S 15
r..
....
~
'0
•
....= 10
~
r..
::::l
•
Terme fondamental p
o
(J
o
• Deux premiers termes
....
•
o
5
oC
•
l:l.
••••
a +-_-~-r-.........
.......
-......__-r__I-=r-.....
_---
L.a.. . .~. . . . . . . . . . .I-T--r--,-{
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
t / t p
Fig 3 - 5: Déclin du photocourant de trous en fonction du temps normalisé à t p
pour différentes contributions du paramètre p.
(Sp = 100 mis ; Zj =0.5 Ilm ; a = b = 5 Ilm; Spg = 10 mis ; t p = 3 10- 9 s)
Les paramètres met n interviennent différemment selon que la taille des grains ou
les vitesses de recombinaison des joints sont petites ou grandes. En effet, on ne peut
tenir compte des termes fondamentaux que dans le cas où la taille de grain est comparable
à la longueur de diffusion des trous minoritaires dans l'émetteur (figure 3-6).
Lorsque les dimensions du grain sont grandes par rapport à Lp (figure 3-6) ou la
vitesse Spg élevée (cas de la figure 3-7), le début du déclin ne peut être décrit avec les
termes fondamentaux. C'est seulement au bout d'un temps assez appréciable, qui

---

100
correspond à des valeurs faibles du photocourant, que les contributions des termes
supérieurs deviennnent négligeables. La détermination de la constante de temps ~p dans
l'intervalle de temps très proche du début de la décroissance du photocourant s'avére
plus délicate dans ce cas, puisque la série est composée de plusieurs termes de la forme
exp[-~p (t - Te)] qui ne seront plus négligeables.
Ces considérations rejoignent la conclusion faite par Schockley [26] qui montre
S
que lorsque le rapport
pg a est grand devant l'unité, la série donnant la densité de
Dp
porteurs minoritaires est très lentement convergente. S. C. Jain [27] fait remarquer que
lorsque les vitesses de recombinaison des joints dans la cellule polycristalline sont très
grandes le terme donnant la durée de vie effective des porteurs minoritaires devient
difficile à apprécier.
25
---
r i
E
v
-< 20
E
' - '
fi:)
::1
0
1.
15
-QJ
"0
-
0
c
Termes fondamentaux met n
~
1.
10
::1
• Deux premiers termes m et n
0
v
0
-0
.c
~
5
o.l-,.......-r---.,.--~~~~...........l"'6-O"l.-,....--.---l
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
t / t P
Fig 3 - 6: Evolution du photocourant de trous en fonction du temps normalisé à
'tp pour différentes contributions des paramètres m et n et du terme fondamental p .
(Sp = 100 mis ; Zj = 0.5 ~m; a = b = 5 ~m; Spg = 10 mis; t p = 3 10- 9 s)

---

101
30
...--
N
ë
25
Col
--<ë 20
--~=
+
0
Termes fondamentaux met n
"'"
... 15
• Deux premiers termes m et n
~
"0
...c 10
~
"'"
=
0
Col
0
... 5
0
.c
c..
0
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
tl t p
Fig 3 - 7: Evolution du photocourant de trous en fonction du temps normalisé à
1> pour différentes contributions des paramètres m et n et du terme fondamental p .
(Sp = 100 mis ; Zj = 0.5 Ilm ; a = b =5 Jlm; Spg = 100 mis ; t p = 3 10- 9 s)
1 - 2 - Base
1 - 2 - 1 - Evolution du photocourant d'électrons vers l'état
stationnaire
Cette évolution est controlée par la constante de decroissance que nous avons
définie dans la base et qui dépend des valeurs propres J1, k et 1selon la relation:
~n = _1 [1+ Lfi (k2 + 12 + J1 2 ) ]
t n
t n qui représente la durée de vie des électrons dans la matériau de type p est prise égale à
10 ilS [1] dans nos calculs.
Nous nous plaçons dans des conditions telles que la cellule polycristalline
d'épaisseur 20 Ilm soit éclairée par une lumière monochromatique de longueur d'onde
0.71 Ilm. En régime stationnaire (voir chapitre 2), l'expression donnant le photocourant
d'électrons est une série lentement convergente. Nous avons montré que le terme
fondamental J1 ne donne pas le photocourant avec une bonne précision. Ces remarques
sont aussi valables pendant le régime transitoire durant lequel l'évolution du
photocourant vers sa valeur d'équilibre est en grande partie contrôlée par le terme
fondamental. Nous le montrons sur la figure 3-8, où nous remarquons aussi que les
deuxième, troisième, quatrième termes ont des effets non négligeables sur le

---

102
photocourant d'électrons. En effet, leurs contributions au photocourant total à l'état
stationnaire sont respectivement: 35 %, 20 % et 7 % et leurs évolutions vers l'état
stationnaire plus rapides.
[J
Terme fondamental J1
510
A
2ème terme J1
-<
)(
e
3ème
"
"
' - '
0
Sème
"
"
CI}
8
co
•
lOème "
"
L.
....V~~ 6
....cE 4
=
o
v
S
••••••••••••••••••••••••••••• 0
o
2
.c
Cl..
••••••••••••••••••• =•••••••• ••
O+-~....,.....""""'T""--.-.......--"T---.-,..--..--~-r---r---r-~--r-.....,
0.000
0.005
0.010
0.015
t / t n
Fig 3 - 8:
Evolution
du photocourant d'électrons en fonction du temps
normalisé à t n pour différentes contributions du paramètre J1 .
(Sn =4 105 mis ; H =20 Ilm ; a =b =5 Ilm; Sng = 10 mis ; t n = 10 ilS).
Dans le cas où l'épaisseur de la cellule est de 100 Ilm, donc comparable à la
longueur de diffusion Ln qui est de 164 Ilm, le photocourant calculé avec le terme
fondamental évolue plus lentement vers l'état stationnaire, car les valeurs propres J1 sont
plus petites dans ce cas. Quant aux termes supérieurs, ils donnent des photocourants qui
atteignent plus rapidement leur valeur d'équilibre (figure 3-9).
L'examen des figures 3-8 et 3-9, relatives à des épaisseurs de 20 et 100 Ilm, laisse
supposer que sous une excitation lumineuse monochromatique, le régime stationnaire est
plus vite atteint avec les cellules minces. En effet, en comparant les échelles donnant les
valeurs de t ftn sur ces deux graphiques, on se rend compte que la durée de l'éclairement
pour que l'état stationnaire soit atteint, est plus élevée lorsque la cellule est plus épaisse.
Cette évolution lente vers l'état d'équilibre est accentuée si la cellule polycristalline est
constituée de grains de grandes dimensions avec de faibles vitesses de recombinaison des
joints (figure 3-10). Ces paramètres se rapprochant de ceux d'un monocristal, nous

---

103
N
2.50
ëC.J
-<ë 2.00
' - '
[Il
=
o
.-
~ 1.50
-
~
"0
.-
; 1.00
s.
::1
• Tenne fondamental J.l
o
C.J
o
+
2 ème tenne J.l
'00.50
3 èmetenne "
oC
Cl.
0.00 -+-.....,...~-r--~"T"""_r--,.---,r__,....-..,_.....,...~---r-r--r-.,
0.00
0.02
0.04
0.06
O.OR
0.10
0.12
0.14
0.16
t/ 't n
Fig 3 - 9:
Evolution
du photocourant d'électrons en fonction du temps
nonnalisé à 'tn pour différentes contributions du paramètre J.l .
(Sn = 4 105 mis ; H = 100 Ilm ; Xg = 10 Ilm ; Sng = 10 mis ; 'tn = 10 Ils).
4.5 . . . , . . . . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . . . ,
-N 4.0
ëC.J 3.5
-<ë'-' 3.0
[Il
=
0
s. 2.5
.-
C.J
~
-
~
2.0
"0
.-
= 1.5
=
s.
6
::1
Tennes fondamentaux k et 1
0
1.0
C.J
0
• Les deux premiers tennes k et 1
.-
0
+
Les trois
"
"
"
oC
0.5
Cl.
0.0 +-.....,...~-r--~...,...._r--,.-r__,....-..,_.....,...~---r-..__-r--i
0.00
0.02
0.04 0.06
008
0.10
0.12
0.14
0.16
t/ 't n
Fig 3 - 10 : Evolution du photocourant d'électrons en fonction de t/'tn pour
différentes contributions des tennes k et 1et du tenne fondamenta J.l. (Sn =4 105
mis ; H = 100 Ilm ; Xg = 1000 jlm ; Sng = 10 mis ; 'tn = 10 jls).

---

104
pouvons alors en déduire que pour atteindre le régime stationnaire pendant la phase
d'excitation lumineuse, les cellules monocristallines nécessitent un temps d'éclairement
plus long que les dispositifs semi-conducteurs polycristallins.
1 - 2 - 2 - Décroissance du photocourant d'électrons
A la coupure abrupte du signal lumineux monochromatique, le photocourant
d'électrons diminue en suivant une loi qui est fonction du facteur exp H3n (t - Te)].
Nous reconsidérons une cellule d'épaisseur 20 /lm, dont les tailles de grain sont
égales à 10 /lm et les vitesses de recombinaison des joints étant de 10 rn/s. A l'extinction
de la lumière incidente de longueur d'onde 0.71 /lm, nous remarquons qu'aux étages
supérieurs de la courbe de déclin donnée par la figure 3-11, le deuxième terme J1
intervient de manière notable sur la décroissance du photocourant. C'est seulement
lorsque la décroissance est assez avancée dans le temps que le terme fondamental peut
être seul pris en compte dans la détermination de la constante de temps.
.-
12
M
ë
(,J
10
--(ë'-"
fil
8
c
D
0
Terme fondamental J1
1.
...(,J
6
2ème terme J1
~
6
'a.l
'0
...C~ 4
1.
:s
0
(,J
0
...0 2
oC
~
oL~~..........~:::====-
0.015
0.016
0.017
0.018
0.019
0.020
t / 't n
Fig 3 - 11: Déclin du photocourant d'électrons en fonction du temps normalisé
à 'tn pour différentes contributions du terme fondamental J1.
(Sn = 4 105 rn/s ; H = 20 /lm ; a = b =5 /lm ; Sng = 10 rn/s ; 'tn = 10 Ils)
Lorsque la taille de grain est assez élevée (l mm), la constante de décroissance ~n
prend des valeurs telles que la décroissance du photocourant fait intervenir les deuxième

---

105
et troisième tennes k et 1. La figure 3-12 indique que dans ce cas, aucune mesure ne peut
être faite avec les seuls termes k, 1et J1 du premier ordre.
18
..-..
("l
16
E
(J
- 14
<E
'--'
[]
Tennes fondamentaux k et 1
12
ri)
c
0
+
Deux premiers termes k et 1
s.
10
-(J
o
Trois"
" " "
~
-
~
"0
8
-c 6
=
s.
=
0
(J
4
0
-0
oC
2
~
0
0.015
0.016
0.019
0.020
O.017t / 't ~.018
Fig 3 - 12: Déclin du photocourant d'électrons en fonction du temps nonnalisé
à 'tn pour différentes contributions des tennes k et 1et du tenne fondamental J1.
(Sn = 4 105 mis ; H = 20 )lm ; a = b =500 )lm ; Sng = 10 mis ; 'tn = 10 JlS)
Pour des cellules d'épaisseurs 100 )lm (figure 3-13) pour lesquelles la série
donnant le photocourant est lentement convergente, il n'est pas aisé de détenniner la
constante de temps dans la partie correspondant au début de la relaxation du
photocourant. Les tennes J1 des ordres supérieurs ont des contributions importantes sur le
photocourant total, mais leur décroissance est plus rapide que celle du tenne fondamental.
Toute mesure ne peut être faite que longtemps après la coupure du signal
lumineux. D'ailleurs A. Zondervan et al. [11], dans leur étude de la décroissance du
courant de court-circuit dans une diode à base épaisse, montre que le tenne fondamental
ne peut être séparé des termes d'ordre supérieur, tant que le courant mesuré n'a pas
diminué de quelques ordres de grandeurs pendant son déclin. Puisque dans ce cas, les
constantes de temps sont liées pour la détennination de la durée de vie, ils préconisent un
ajustement par la méthode des moindres carrés en sommant sur une dizaine de tennes.

---

106
N
2.50
e
~
~ 2.00
' - '
ri)
c
o
6
Tenne fondamental J.l
.:: 1.50
(,J
• 2 ème terme J.l
~
-
,~
•
3 ème terme"
't:)
ë 1.00
~
"'"=
o
.s 0.50
o
oC
Q..
0.00 .h-,r--T"""""T""~~~~~=:;J
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
t/t n
Fig 3 • 13: Déclin du photocourant d'électrons en fonction du temps normalisé
à t n pour différentes contributions des termes k et 1et du terme fondamental J.l.
(Sn =4 105 mis ; H = 100 Ilm; a = b =5 Ilm; Sng = 10 mis; t n = 10 ils)
1 • 2 . CONCLUSIONS
L'étude de la décroissance du photocourant des porteurs minoritaires en lumière
monochromatique permet la détermination des constantes de temps ~p et ~n relatives à
l'émetteur et à la base d'une jonction n/p polycrsitalline. Si les paramètres liés aux
dimensions de la cellule et aux vitesses de recombinaison sont connus, il est possible de
calculer la durée de vie des porteurs minortaires excédentaires.
Pour la détermination expérimentale de ce paramètre important des cellules solaires,
il faudrait connaître les conditions qui permettent son calcul avec le minimum de termes.
En effet, des limites sont imposées par les termes d'ordre supérieur qui introduisent des
constantes de temps "parasites" qui se manifestent surtout tout au début de la
décroissance du photocourant. J. S. Blakemore et K. C. Nomura [9], qui ont fait une
étude similaire de la décroissance de la photoconductivité dans un matériau semi-
conducteur, ont montré la nécessité d'attendre que la décroissance soit assez bien avancée
dans le temps avant de faire une mesure expérimentale. Sinon les interférences causées
par les termes supérieurs induiraient des divergences énormes entre la valeur mesurée et
la vraie valeur de la durée de vie des porteurs minoritaires excédentaires.
Nous avons aussi remarqué dans nos calculs que la durée de l'excitation lumineuse

---

107
pour que la cellule atteigne le régime stationnaire est étroitement liée aux paramètres tels
que l'épaisseur, la taille des grains, les vitesses de recombinaison, car ils contrôlent en
grande partie les valeurs prises par les constantes de temps.
Dans le cas de l'émetteur où la constante de temps a des valeurs très grandes, ce
qui correspond à de faibles durées de vie (de l'ordre de la nanoseconde), il s'avère dificile
de faire une mesure expérimentale. La plupart des dispositifs lumineux utilisés dans ce
genre d'expériences expose les cellules à des temps d'éclairements plus longs. Par
exemple, des mesures que nous avons faites au Laboratoire d'Infra Rouge de l'USTL de
Montpellier, ont donné pour un stroboscope Ultra-Violet à lampe de xénon une durée
d'éclairement de 3 ils.
Ces durées d'éclairement favoriseraient plutot la base au détriment de l'émetteur qui
nécessite un temps d'exposition à la lumière plus court
12
11
--M 10
ë
9
(,,1
--< 8
•
Photocourant de trous
ë
'-"
6
7
Photocourant d'électrons
rn
.....
c
6
~
s..
= 5
0
~
.....
4
0
.c
g.
3
2
1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
t (os)
Fig 3 - 14: Déclin des photocourants de trous et d'électrons en fonction du
temps normalisé à 'tn pour calculés avec les termes fondamentaux k ,let 11.
Â. =0.71 /lm ; a = b = 5 Ilm ; Spg = Sng = 10 mis
Sp = 100 mis ; zj =0.5 /lm ; 'tp =3 ns
Sn =4 105 mis ; H = 100 Ilm ; 'tn = 10 Ils

---

108
En nous plaçant dans des conditions telles que les tennes fondamentaux suffisent
pour connaître la constante de temps avec une bonne approximation, et en éclairant la
cellule avec des photons de faible énergie, nous avons représenté sur la figure 3-14 les
courbes de déclin des photocourants de l'émetteur et de la base. Pour les grandes
longueurs d'onde, le photocourant de l'émetteur est complétement masqué par celui de la
base dont la décroissance s'échelonne sur un temps plus long. Le photocourant de
l'émetteur s'estompe dès les trois premières nanosecondes qui suivent l'extinction de la
lumière alors que celui de la base s'annule après 50 ns (figure 3-14). Toute mesure
expérimentale entreprise dans ces conditions donne la constante de temps ~n qui, si les
paramètres de la cellule sont connus, permet d'accéder à la durée de vie 'tn des porteurs
minoritaires dans la base. C'est en éclairant la cellule avec un signal lumineux
monochromatique de courte longueur d'onde, que l'on peut espérer déterminer la durée
de vie des trous excédentaires dans l'émetteur de type n, la contribution de la base au
photocourant dans la base étant très faible par rapport à celle de l'émetteur.
II - ETUDE EN CIRCUIT OUVERT
II - 1 - Evolution de la tension de circuit ouvert vers l'état
stationnaire
Dans cette étude, nous supposons que la cellule solaire au silicium polycristallin est
excitée par un flash lumineux suffisamment longtemps de telle sorte que les porteurs
minoritaires excédentaires atteignent un état d'équilibre dit régime stationnaire.
L'évolution de la tension de circuit ouvert pendant cette phase transitoire sera examinée en
fonction de certains paramètres de la cellule, tels que l'épaisseur, la taille des grains et les
effets de recombinaison des joint de grains.
Nous considérerons principalement la contribution de la base, qui en fait a une
contribution beaucoup plus importante sur la tension de circuit ouvert. Ces arguments que
nous avançons sont étayés par l'étude faite par S. C. Jain et U. C. Ray [26] qui ont
montré, en couplant les équations de diffusion se rapportant à l'émetteur et à la base que
dans les conditions de circuit ouvert la densité des porteurs minoritaires excédentaires
dans la base est telle que:
d( np - n po )( z, t) 1
Je
q
dZ
Z = Zj + W = D n
( np - npo )( Zj + W , t)
(3 -1)
n po
Le terme Je correspond au courant de saturation du courant d'obscurité de
l'émetteur et dépend des effets du gradient de dopage, des effets de recombinaison de
surface et d'Auger.
Comme K. Joardar [27], nous supposerons que ce courant Je est nul, ce qui

---

109
implique une injection négligeable de porteurs dans l'émetteur dans les conditions de
circuit ouvert. Cette hypothèse simplificatrice rejoint la condition à la limite Z = Zj + W
que nous avons déjà posée dans la section III - 2 - 1 du chapitre 1. Elle nous permettra
d'étudier le comportement de la jonction n/p polycristalline où nous ne tiendrons compte
que de la contribution de la base sur la tension de circuit ouvert.
Nous négligerons dans nos calculs les effets de capacité de la zone de charge
d'espace soulignés par R. Gopal et al [ 28 ] et qui sont dus aux impuretés ionisés, au
courant de recombinaison.
Autour du point (0, 0, Zj + W), la tension de circuit ouvert à l'instant t est donnée
par l'expression :
K B T
[ (n p - npo)(O, 0, Zj + W, t)
]
Vco( t) =- - Ln
+ 1
(3 -2)
q
npo
L'équation (1-98) du chapitre 2 donne la densité d'électrons minontaires
°,
(np - npo)(O,
Zj + W, t ) dans la base
pendant la phase d'excitation lumineuse. La
répartition des électrons au cours du temps est régie par la fonction fne(t) =1 -
exp(~nt) qui dépend essentiellement de la quantité ~n' Les valeurs propres k, 1et J1 et
la longueur de diffusion Ln des électrons dont dépendent les valeurs de ~n' vont jouer
un rôle important sur l'évolution de la tension Vco au cours du temps.
Dans un premier temps, nous axerons notre étude sur le nombre de termes J1 qui
permet de donner les valeurs du Vco avec une bonne résolution. Puisque ce paramètre est
obtenu à partir des solutions de l'équation transcendante (1-97), il dépend alors de
l'épaisseur H de la cellule et de la vitesse de recombinaison Sn à la surface arrière de la
cellule. Les calculs seront faits sur la base d'un éclairement monochromatique de
longueur d'onde 0.71 !lm, la vitesse de recombinaison à l'arrière de la photopile étant très
grande (Sn = 4 105 mis) et l'épaisseur de la cellule égale à 20 !lm.
Sur la figure 3-15, qui correspond à une taille de grain de 10 /lm, nous
représentons l'évolution de la tension de circuit ouvert calculée avec les termes
fondamentaux k et l, le paramètre J1 prenant succesivement les valeurs des termes du
premier et du deuxième ordre. L'analyse des courbes reportées sur cette figure montre
que le terme fondamental J1 donne les valeurs du Vco(t) avec une bonne précision par
rapport à la contribution des deux premiers termes. Avec une cellule d'épaisseur plus
grande, par exemple 100 /lm, nous avons effectué les calculs en tenant compte des termes
supérieurs. C'est ce que montre la figure 3-16, où les contributions du terme
fondamental, des deux et trois premiers termes sont reproduites. Une légère croissance
du Vco à l'état stationnaire est perceptible si le nombre de termes J1 pris dans les calculs
augmente.

---

110
550 -
----
;>
500 -
s
r
'-"
450
-1.~j> 400
=
0
350
)(
Terme fondamental JI
-.-=(j 300
•
1.
Les deux premiers termes JI
.-(j 250
~
"'0
200
c0
.-l:I.l 150 -
C
~
100 -
E-o
50
o
I I I
1
1
1
0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014
t / Ln
Fig 3 - 15 : Evolution de la tension de circuit ouvert en fonction du temps
normalisé à Ln
pour différentes contributions du paramètre JI et des termes
fondamentaux k et 1.
500 -r------------------~-.......
450
----
;>
S 400
'-"
-1.350
~
j>
5300 -
-·ë
Terme fondamental JI
250-
1.
•
Les deux premiers termes JI
·0 200-
+
~
Les trois premiers termes Il
"'0
c 150-
o
·iii
c 100-
~
E-o
50
o....-~--,r---.........-_r_-....--r_......--r_,---.---r-.....
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
t / Ln
Fig 3 - 16 : Evolution de la tension de circuit ouvert en fonction t / Ln pour
différentes contributions du paramètre JI et des termes fondamentaux k et 1.

---

111
D'autre part, il est à noter que les cellules plus épaisses atteignent l'état stationnaire
en un temps plus long que celles dont la base a une épaisseur plus mince.
Quant aux paramètres k et l, les termes du premier ordre suffisent dans le calcul du
V co' lorsque l'épaisseur H n'est pas très grande. Dans ce cas, la constante de
décroissance ~n ne dépend que des valeurs du paramètre p qui sont assez grandes devant
celles de k et 1 .
C'est pourquoi dans la suite, nous considérerons une cellule d'épaisseur égale à
100 !lm pour mieux cerner l'effet de ces paramètres sur les valeurs prises par la tension
de circuit ouvert. Nous les avons calculées pour une taille de grain de 100 !lm et des
vitesses de recombinaison des joints de grain Sng égales à 10 rn/s et 1000 rn/s.
Les contributions des termes supérieurs n'ont pratiquement aucune influence sur la
croissance de la tension de circuit ouvert lorsque celle-ci croît vers sa valeur d'équilibre,
comme le montre la figure 3-17. Toutefois, si la vitesse de recombinaison au niveau des
joints de grain augmente, la tension de circuit ouvert décroît. Ce qui indique une
diminution des porteurs minoritaires au niveau de la jonction lorsque les phénomènes de
recombinaison aux niveaux des joints de grain sont importants. D'autre part il semble que
l'évolution du Vco vers l'état stationnaire est plus lente si la vitesse Sng est plus faible.
500 " T " " " " - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
..-..
;;>
• •.. •.. •.. •..
E
Si
450
R
Il
Il
1 •Si
' - '
-~ 400
~
==
o
350
.'"::
8 300
s..
o
Termes fondamentaux k et 1 pour Spg = 10 rn/s
.~
+
Q,>
250
Les deux premiers k et 1pour Spg = 10 rn/s
'0
o
Termes fondamentaux k et 1pour Spg = 1000 rn/s
C
200
o
x
Les deux premiers termes k et 1pour Spg = 1000 rn/s
.~
c
150
~
E-
100
50
o...-...-----r,-"""T""--r-.........-"""T"'--r---,r----r-..,...-.,........---I
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
tI t n
Fig 3 - 17 : Evolution de la tension de circuit ouvert en fonction du temps
normalisé à t n pour différentes contributions de k et 1et du terme fondamental p.
H = 100 !lm ; a = b = 50 !lm; Sn = 4 105 rn/s ;

---

112
Par ailleurs la tension de circuit ouvert, à l'état stationnaire augmente avec la taille
de grain comme nous le montrons sur la figure 3-18. N. C. Halder et T. R. Williams [21]
ont aussi fait état de la croissance du Vco lorsque la taille de grain prend des valeurs de
plus en plus importantes. En plus nous remarquons que les cellules polycristallines dont
les grains sont plus petits atteignent l'état d'équilibre plus rapidement que celles dont les
grains sont de dimensions plus grandes. Comme nous l'avons déjà indiqué dans le
paragraphe précédent ces structures se rapprochent du monocristallin et nécessitent un
temps d'exposition à la lumière plus long.
500
-. 450 -
.---::-
~
~
~
~
~
~
r~
§ 400
r
~
~
~
~
~
-s..~~350
=
0
-300
x
a=l!lm
--=(,,/s..250
• a=5!lm
-v
•
~
a == 50 !lm
200 -
'0
c
0
150 -
-;;;
c~ 100-
E-
50 -
0
1
1
1
1
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
t / 't n
Fig 3 - 18 : Evolution de la tension de circuit ouvert en fonction du temps
nonnalisé à 'tn en fonction de la taille des grains.CH = 100 !lm; Sng = 10 mis)
II - 2 -
Déclin de la tension de circuit ouvert
Lorsque l'état stationnaire est atteint. la tension de circuit ouvert est maintenue à une
valeur constante. Si le signal lumineux est coupé de manière abrupte, la décroissance de
la densité des porteurs, régie par le facteur 1 - exp C-~nTe) exp[ -~n Ct - Te)]'
correspond à un régime transitoire durant lequel la phototension Vco diminue en fonction
du temps.
Nous nous plaçons encore dans les conditions citées au paragrahe précédent où la
contribution de la base est prépondérante par rapport à celle de l'émetteur. Cette situation
est rencontrée dans la plupart des cellules solaires usuelles ayant une jonction abrupte de

---

113
telle sorte que les phototensions dues à l'émetteur hautement dopé soit négligeables. Le
déclin est alors caractéristisé par la durée de vie des porteurs minoritaires excédentaires
dans la base.
En éclairant la cellule d'épaisseur prise égale à 20 )lm avec une radiation
monochromatique de longueur d'onde 0.71Ilm, nous montrons sur la figure 3-19 que le
terme fondamental J1 suffit pour étudier la décroissance du Vco pendant la phase de
déclin. De plus nous observons que cette décroissance suit une loi linéaire déjà notée dans
plusieurs travaux [ 29, 30, 31,32].
L
d
. l' , .
, al ' [1
L 2(k 2.2
2) ] KB T
a pente e cette partIe mearre est eg e a
+ n
+
+ J1
q '
K T
avec le terme _B_ qui est égale à 25 mV à une température de 30üK.
q
Cette pente permet d'accéder à la durée de vie effective 'tefT qui s'écrit:
1
1
1
- - = - + -
'teff
'tn
't 1
où 'tl est obtenu à partir des termes fondamenataux k, 1etJ1 selon la relation:
2
1
Ln
2
2
2
-
=-(J1
+k +1 )
't l
'tn
600 ~------------------,
-..
~ 550
' - "
.... 500
""~5; 450
o
....
400
o Terme fondamental J1
oS
•
Les deux premiers termes J1
~ 350
0-(J 300
~
"0
c
250
o
0fij
200
c
~
E-
150
100
50
o+-.....,..-r-~-r--,r--.-"""T'"-,--r--~~.iG·~·~·G·X:·~·~.x:.*>.
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
t l 't n
Fig 3 - 19 : Coubes de déclin de la tension de circuit ouvert en fonction du temps
normalisé à 'tn pour différentes contributions J1 et des tennes fondamentaux k et 1.
(H = 20)lm; a = b = 5 )lm; Sn =4105 mis; Sn = 10 mis)

---

114
Nous avons aussi essayé de montrer l'influence de la longueur d'onde sur le déclin
de la tension de circuit ouvert, en utilisant des photons incidents de courte longueur
d'onde égale à 0.44 ~m. Il est montré sur la figure 3-20 que les courbes de déclin ont la
même pente, indiquant ainsi que la constante de temps ne dépend pas de la longueur
d'onde de la lumière incidente. Cela peut nous permettre de dire que l'étude du déclin du
Vco peut être faite en lumière blanche car c'est seulement sa valeur à la coupure du signal
lumineux qui devient plus faible si la longueur d'onde diminue. Par exemple, pour un
éclairement dont la durée est de 1 J.ls, nous trouvons:
Vco = 560 mV pour À = 0.71 J.lffi ;
Vco = 345 mV pour À =0.44 J.lm.
Pour une épaisseur de l'ordre de 20 ~m, donc inférieure à la longueur de diffusion
Ln' la détermination de la constante de temps peut se faire avec les seuls termes
fondamentaux, car la série (np - npJ(O, 0 , Zj + W, t) est rapidement convergente.
600~--
.-
~ 550
' - '
)(
.... 500
À = 0.71~m
J.
CI.l
c
" =O.44~m
~ 450
o
.... 400
"S
~ 350
Pente = 5680 mV
"-~ 300
CI.l
"0
c 250
o
"(ii
200
cCI.l
E-- 150
100
50
O+-......""'"T"....,.--.,r--'t"""""'TI'II..Q.IOOO<H:lH]JII:J-G-D-c.....IHt-..."*'*
1
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
0.22
0.24
tI "C n
Fig 3 - 20 : Courbes de déclin du Vco en fonction de la longueur d'onde des
1
photons incidents. (H = 20 ~m ; a =b =5 ~m ; Sn = 4 105 mis ; Sng = 10 mis)
1
Avec une bonne approximation, elle peut être connue en calculant la pente de la
courbe même aux premiers étages du déclin. La série ne converge pas aussi rapidement,
1
si l'épaisseur de la base devient de plus en plus importante. En effet les figures 3-21 et 3-
22 relatives à des épaisseurs de 100 et 300 /lm, monU'ent que le premier terme ne domine
1
1
1

---

115
pas tout au début du déclin. C'est seulement après un court intervalle de temps suivant la
coupure du signal lumineux incident qu'il intervient seul dans la décroissance du Vco'
.-.. 500
;;>
•
Terme fondamental J.L
E 450
' - '
••
Le 2 ème terme J.L
....
.x
s..
400
Qj
x
•
Le 3 ème terme "
~
x
•
Les trois premiers terme5 J.L
= 350
0
x
.... 300
x
'3
•
v
x
s..
250
x
'v
•
x
Qj
x
"0
200
•
x
c
0
150
.-
x
ri:!
•
x
C
Qj
100
x
E-
•
x
50
x
•
Xx
o+--r---r---r---!-.",-r---;r---I~'*"'l8HlI"'--,---r--,----r=~
0.10
0.15
0.20 0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
tI t n
Fig 3 - 21 : Courbes de déclin de la tension de circuit ouvert en fonction du temps
normalisé à t n pour différentes contributions J.L et des termes fondamentaux k et 1.
H = 100 ~m ; a =b =5 ~m; Sn =4 105 rn/s; Sn = 10 rn/s.
500
.-..
~ 450
c
Tenne fondamental J.L
'-' 400
x
Les 10 premiers termes J.L
....s..~ 350
=
o 300
....
'3
v
250
s..
'v
Qj
200
"0
c 150
o
.-~ 100
Qj
E-
50
o.:h.,..........,r-r-T'T"T'TT"T""I""I""'I"'T'T'T"T'T"T"T'T""...........,...........,..........,r-r-r-Ir.::!·. . . .
0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55
t 1 t n
Fig 3 - 22 : Courbes de déclin de la tension de circuit ouvert en fonction du temps
normalisé à t n pour différentes contributions J.L et des termes fondamentaux k et 1.
H = 300 ~m ; a = b = 5 ~m; Sn =4 105 rn/s; Sn = 10 rn/s.

---

116
Nous distinguons trois parties sur les courbes de déclin:
- la première partie représente la décroissance initiale du Vco qui est très rapide
comparée au deux autres. Elle est due aux contributions des termes d'ordre supérieur.
Cette décroissance est discutée par R. Gopal [30] dans son étude de la tension de circuit
ouvert dans une jonction n/p d'une diode semi-conductrice. Il montre que cette portion
initiale est plus marquée dans les conditions de haute injection, où le Vco peut atteindre
des valeurs égales à 900 mV, et que sa pente est deux fois supérieure à celle de la
deuxième partie;
- cette deuxième partie de la courbe de déclin correspond à la contribution du terme
fondamental dans le cas où l'épaisseur de la celleule est fixée à 100 Jlm (figure 3-21). Par
contre si l'épaisseur est de 300 Jlm (figure 3-22), cette partie tient compte des
contributions des termes d'ordre supérieur. Mais dans tous les cas, elle a une allure
linéaire dont la pente pourrait permettre de calculer la constante de temps. Sur la figure 3-
23 , nous donnons les valeurs de cette pente. La valeur 1058 mV correspond à la
contribution du terme fondamental Ji et celle relative aux dix premiers termes est de 1188
mV. Les durées de vie effectives déduites de ces pentes sont respectivement:
- 0.24 !ls si on se limite au terme fondamental
- et 0.21 Jls si on tient compte des dix premiers termes
500 ~----------------.....,
•
Terme fondamental J1
__ 450
o
Les dix premiers termes J1
~
ë 400
' - "
t: 350
Pente = 1188.1 mV
~
...5 300
·S 250
(,J
l.
·0 200
~ 150
c
o 100
·Vi
Pente = 1057.8 mV
~ 50
~
O-l---r--r-..........""T""'"'"'I......-r--r-r--r""'......-r-""T""""""T---r-T""""""T'"-->:~ .........
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t l 't n
Fig 3 - 23 : Pentes des courbes de déclin de la tension de circuit ouvert en
fonction des contributions de J1. H = 300 !lm ; a = b = 5 Jlm; Sn = 4 105 mis ;
Sn = 10 rn/s.

---

117
- la troisième partie décrit une décroissance plus lente. Elle peut être représentée par
le terme fondamental seul quelque soit l'épaisseur de la cellule. Elle correspondrait à un
faible niveau d'injection où la concentration des porteurs minoritaires excédentaires est
plus faible que celles des porteurs minoritaires à l'équilibre thermique. Ces trois parties
relevées sur nos courbes de déclin ont été relatées par S. Ashok et K. P. Pande [31] dans
une étude de la méthode de déclin de la tension de circuit ouvert et en faisant référence
aux travaux de John E. Mahan et al [32].
500
o
-- 450
Termes fondamentaux k et l
;>
Les deux premiers termes k et l
§ 400
....s..~ 350
..=0300
....
.-
=
CJ
s.. 250
.-CJ
~
200
'0
c
0
150
.r;;
c
~
100
E--
50
o-h-..........--r-"T--r-'...........~.....-.~--.--;~3!.~·H
0.5 0.7
0.9
1.1
1.3
1.5
1.7 1.9 2.1
2.3 2.5
tI 'tu
Fig 3 - 24 : Courbes de déclin de la tension de circuit ouvert en fonction du temps
normalisé à 'tn pour différentes contributions des tennes k et l.
H = 100 IJ-m ; a = b = 50 IJ-m; Sn = 4 105 rn/s; Sn = 10 rn/s.
La figure 3-24 schématise les contributions des paramètres k et llorsque la taille des
grains est de 100 IJ-m. Elle montre que les termes supérieurs n'ont aucune influence, et
que les tennes fondamentaux suffisent dans ce cas pour donner le profil correct de la
courbe de décroissance de la tension de circuit ouvert. Pour une taille plus grande (figure
3-25), nous notons la très lègère contribution des seconds tennes k et l au début du
déclin. Cette contribution provoque une légère décroissance de la phototension. Dans
l'étude faite par R. Gopal [30], ce phénomène est mentionnée et il intervient dans le cas
où le Vco à la coupure du signal serait de l'ordre de 600 mV. Ce qui semble montrer que
dans ces conditions, si les grains sont de grandes dimensions, les effets de

---

118
recombinaison des joints sont amoindris au centre du grain. Les porteurs minoritaires
restent alors à l'état stationnaire un court instant avant le début de leur décroissance dans
le volume du semiconducteur.
500
-
~
E 450
' - '
• Termes fondamentaux k et 1
•
Les deux premiers tennes k et 1
-s. 400
~
..
=
0
350
-"-=(j300
s.
"y 250
~
"0
= 200
0
"fii
150
=
~
E-
100
50
o+-r...,....,.......,r-r-,...,........-r-..,...,..-r-r"'T"""l'........,--.-,r-r-,...,..~:q
....,...,
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
tlt n
Fig 3 - 25 : Courbes de déclin de la tension de circuit ouvert en fonction du temps
normalisé à 'tn pour différentes contributions des tennes k et 1.
H =300 Ilm ; a =b =500 Ilm; Sn =4 105 mis; Sn = 10 rn/s.
Cette décroissance de la tension est plus lente si la taille de grain devient de plus en
plus grande. C'est ce que nous montrons sur la figure 3-26, où les pentes des parties
linéaires sont 1263,296 et 202 mV si les tailles sont respectivement égales à 10, 100 et
1000 Ilm. Les constantes de temps et les durées de vie effective correspondant à ces
différentes tailles sont portés dans le tableau 22 . Pour montrer l'effet de l'épaisseur,
nous avons étendu les calculs à une cellule d'épaisseur 300 Ilm.
Epaisseur 100 Ilm
Epaisseur 300 Ilm
Taille des grains Constantes de dé- Durées de
Constantes de dé- Durées de
(X,g en Ilm)
croissance (s -1)
vie teff (ils)
croissance (s -1)
vie 'teff (ils)
10
5.07 10 6
0.19
4.15 10 6
0.24
100
1.1910 6
0.84
5.51 10 6
1.81
1000
8.1510 5
1.23
1.99 10 5
5.03
Tableau 22: Durées de vie effective en fonction de la taille de grain Xg=2a =2b
; Sng = 10 rn/s ; Sn = 4 105 rn/s.

---

119
500 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,
)(
a = b = 5 !lm
,-..450
•
;>
a = b = 50 !lm
o
a = b = 500 !lm
..5400
-~350
>
=
o 300
.-::
=
CJ 250
1.0
·0
~ 200
Pente = 202.91 mV
"0
§ 150
.r;;
~ 100
E-
50
0+-r"""T"""...."T""T...,.....,1"""T""T""'T""T""'T...,.....,~rt-'....,"""T"""1I"""'I""'~......,~
....
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
t 1 t n
Fig 3 - 26 : Courbes de déclin de la tension de circuit ouvert en fonction de la
taille des grains. H = 300 !lm; Sn = 4 105 rn/s; Sn = 10 rn/s.
La durée de vie effective augmente avec la taille de grain et avec l'épaisseur de la
cellule. C. A. Dimiatris [33], en étudiant l'influence de la taille de grain sur la durée de
vie effective des porteurs minoritaires excédentaires dans un filament cylindrique semi-
conducteur montre que:
- teff est proche de t n si la taille de grain devient très grande devant la longueur de
diffusion;
- lorsque la taille est très petite, teff est pratiquement contrôlée par les effets de
surface.
Ces phénomènes de surface dus à la recombinaison des porteurs aux niveaux des
joints de grains sont mis en évidence sur la figure 3-27, où nous avons représenté à
différentes vitesses Sng' les courbes de déclin de la tension de circuit ouvert calculée
autour du point (0, 0, zj + W), la taille de grain étant de 100 !lm et l'épaisseur de 100
!lm. Si ces vitesses augmentent, la décroissance du Vco est plus rapide donnant ainsi des
constantes de temps plus élevées qui corresspondent à de faibles durées de vie effectives.
Le tableau 23, donne une idée des résultats que nous avons obtenus avec deux cellules
d'épaisseur 100 et 300 !lm.

---

120
500 'tlt:--------------------.
..-...
x
Sng =0 rn/s
~ 450
+
Sng = 10 rn/s
' - '
c
Sng = 1000 rn/s
1:: 400
~
~
5 350
....
'S 300
u
""
.-u 250
~
"'0
200
=
o
.-[1) 150
=
~
E- 100
50
O-t--.~...,Lt]D;IJIr-r-.--....,...""T'"""'I'....,..T""T~;..:r:tIII+f_t~
........~~.........
0.5
1.0
1.5
/
2.0
2.5
3.0
t
't n
Fig 3 • 27 : Courbes de déclin de la tension de circuit ouvert à
différentes
vitesses de recombinaison des grains.
H = 100 !lm; a = b = 50 !lm ; Sn =4 105 rn/s .
Epaisseur 100 !lm
Epaisseur 300 !lm
Vitesses Sng ~onstantes de dé- Durées de
.....onstantes de dé- Durées de vie
(rn/s)
~roissance (s -1) vie teff (!ls) roissance (s -1) teff (!ls)
1
0
7.8 105
1.3
1.8 105
5.7
10
1.2 106
0.9
5.5 105
1.8
1
1000
5.6 106
0.2
4.9 106
0.2
Tableau 23: Durées de vie effective en fonction de la vitesse de recombinaison
1
des joints de grain. Taille de grain Xg =2a =2b = 100 Ilm ; Sn = 4 105 rn/s.
1
Ill· ETUDE EXPERIMENTALE DU DECLIN DE LA TENSION DE
CIRCUIT OUVERT
Nous avons effectué des mesures de déclin de la tension de circuit ouvert de deux
1
cellules photovoltaiques au silicium polycristallin. Ces structures sont excitées par le flash
d'un stroboscope ultra-violet à lampe au xénon dont la durée de l'éclairement est de 3 Ils.
1
A la coupure du signal lumineux, les courbes de déclin de la tension de circuit ouvert sont
enregistrées à l'aide d'une mémoire numérique (Transienten VK22) reliée à un
1
oscilloscope. Cet oscilloscope permet de visualiser les courbes expérimentales qui sont
ensuite reproduites sur du papier millimétré d'un enregistreur à base de temps raccordé à
1
1
1

---

121
la mémoire.
L'excitation est faite en lumière monchromatique de longueur d'onde 0.8 M-m par
interposition d'un filtre interférentiel entre le stroboscope et la cellule.
Les figures 3-28 et 3-29 représentent les courbes relevées sur l'enregistreur.
f-
-··-+-··:---+-'::-i'-:-'f.
!
'_._i.
..:...
.
. .
l
,
!
t1:.:.;~+.l_"--"'t*"+++7.--'~r-,-,-- -----'---'---!---,-- , ------ j------- - - -......~~==~F?r-':-.,;.;-f! '-,
~Ë:.J+~_'_8''+_~~+--T-'_'f'':-Lt;-~tTj•
f-- -------.------++ :::::.:: ~:' 1 -ur
-!-- ;, i :'lc:c +
I r - : - : : :-~--::I---T -- .
. --~--.-j-~-.
1
. - - ' ' - ' ' - ' - -
:

---

122
Les parties linéaires prévues par la théorie sont difficiles à cerner sur ces courbes
expérimentales qui présentent une allure plus complexe surtout pour la cellule n02.
Pour la cellule nO 1, nous avons estimé que la zone linéaire est comprise entre 350 et
600 mV et que la fin de ces courbes est marquée par une décroissance exponentielle.
A partir de nos calculs, nous avons essayé, par ajustement des paramètres du
silicium, de retrouver la courbe théorique qui se rapproche de la courbe expérimentale
obtenue à partir de la cellule n°1.
Pour mener ces calculs, nous avons d'abord cherché à déterminer le flux lumineux
incident du stroboscope ultra-violet. La tension de circuit ouvert de la cellule n01, en
fonction du flux lumineux incident d'une source de lumière continue, a été mesurée à
l'aide d'une pile Kipp-Zonen. Elle est représentée sur la figure 3-31. Le Vco de cette
cellule étant de 600 mV à la coupure du signal délivré par le stroboscope, nous en
déduisons par interpolation la puissance de son flash qui est estimé à 350 mW/cm2.
600
500
-- 400
>E
' - '
0
C.J
>
300
-+-
200
100
:
: :
: : : : :
-
_
L
~_
+
.
.··:::::+::::::::r:::::::T:::::::: :::::::::: :::::::::~::::::::::j::::::::r::::::r::::)··········
··········j········+·········1·········
-..-_'" ..~_ _..+
+-_......... - ·········~_·········~·····_···+·········f- ····_-f··········
_ ~ _+._-_.._..+-_
.
0
1
o
50
100
150
200
250
300
350
400
Flux(mW/cm 2 )
Fig 3-30 : Valeurs expérimentales de la tension de circuit ouvert en fonction du
flux incident d'une source de lumière continu et la courbe d'interpolation des
mesures.
Par ailleurs, nous avons
fait des mesures pour détenniner le coefficient de
réflexion de la même cellule, qui intervient aussi dans nos calculs théoriques. Pour la
longueur d'onde 0.8 !lm que nous avons utilisée, le coefficient de réflexion

---

123
correspondant déduit de la courbe de la figure 3-31 est égale à 8.9 %.
70
1
1
1
-~'-' 50
c
o
.~
Q,l
40
~Q,l
~ 30
...ai.y
E 20
~
U
____ 10
...........................~
~
~
.
·· __········r·············r·············
__ ..
._._. __
o
."!:••••••••••••• ~•••
1
1
1
1
300
400
500
600
700
800
900
Longueur d'onde (nm)
Fig 3-31 : Valeurs expérimentales du coefficient de réflexion de la cellule nOl au
silicium polycristallin en fonction de la longueur d'onde. (Ces mesures ont été
effectuées au Centre d'Electronique de l'USTL de Montpellier)
Nous avons
interprêté nos résultats expérimentaux à partir de notre modéle
théorique. Nous avons recalculé la tension de circuit ouvert en faisant intervenir de
nouveaux paramètres pour se rapprocher des conditions expérimentales. Le flux
lumineux est pris égal à 350 mW/cm2 et le coefficent d'absorption à 8.9 %.
Les investigations que nous avons faites, nous ont conduit à reconsidérer les
paramètres que nous avons utilisés dans nos calculs et qui sont portés dans le tableau 1.
Les nouvelles caractéristiques qui nous permettent de décrire la courbe expériementale
sont les suivantes:
Résistivité de la base : IOn. cm ;
'tn = 15 ~s;
NA = 1.25 1015 cm- 3;
Ln = 232 ~m;
D
W =0.93 Jlm;
n = 36 cm2/s ;
Les ajustements, que nous avons faits à partir de l'expression théorique de la
tension de circuit ouvert, nous ont pennis d'estimer l'épaisseur de la cellule à 75 ~m et
la vitesse de recombinaison arrière à 200 cm/s. Nous nous rapprochons de la courbe

---

124
expérimentale, pendant les premiers étages du déclin. Ce que montre la figure 3-32, sur
laquelle nous avons tracé les courbes Vco( t) pour H = 50, 75 et 200 ~m.
;> 650
o
Courbe expérimentale
ë 600
'-"
Courbes théoriques
.... 550
o
l.
H=200~m
~ 500
IJ
H=75 ~
i5 450
6
H=50~m
~ 400
e 350
.-c:J 300
cu
"0
250
co 200
'[;i
c
150
cu
E-
100
50
0+-,.--,r--r....,...-r--r--r--r--r-r--r-,.......,--,.-,--r--r--r-""r6-ll~JrQ
o
50
100
150
200
t (flS)
Fig 3 - 32 : Courbe expérimentale du déclin du Vco se rapportant à la cellule n°l.
Les courbes théoriques ont été calculées pour différentes épaisseurs de la base.
À = 0.8 ~m; Sn = 200 cm/s; a = b = 500 ~m ; Sng = 1000 cm/s.
__
600
o
Courbe expérimentale
~ 550
Courbes théoriques
'-"
0 o
)(
a = 100
....
500
0
~m
l.
)(
0
6
a=500 ~m
~ 450
0
:::1
)(
0
o
a= 1000 ~m
o
400
0 0
....
)(
0
'S 350
0
c:J
6
0
.::
300
)(
Il
0
c:J
6
cu
250
)(
6
" 0 6 0
C
200
)(
6 6 00
o
6
0
'[;i
150
)(
6
0
C
0
~
6
100
)(
6
00
6
0
50
)(
6
0 0
6
)(
6
0 0
o~-r-T""'T"'ïT""T'"""~r't'MIl..........-.-.-~....~to+'C~--1
o
50
100
150
200
250
300
t (flS)
Fig 3 - 33 : Courbe expérimentale du déclin du Vco se rapportant à la cellule n01.
Les courbes théoriques ont été calculées pour différentes taille de grain.
/.. = 0.8 ~m; H = 75 ~m ; Sn = 200 cm/ s; Sn = 1000 cm/s.

---

125
En faisant varier la taille des grains dans la base, nous remarquons sur la figure 3-
33, que la valeur de 500 Ilm, nous rapproche du comportement de la cellule n0 1 dans les
premiers instants qui suivent la coupure du signal lumineux incident.
Cela peut nous permettre de dire que notre cellule pourrait être constituée de grains
d'assez grandes dimensions. La vitesse de recombinaison des joints de grain peut être
estimée à 1000 cm/s. La figure 3-34 est relative à l'influence de cette vitesse sur le déclin
de la tension de circuit ouvert. A partir de ces courbes, nous pouvons alors prévoir que le
comportement de la cellule nO 1 est voisin de celle d'un monocristal, car il est formé de
grain de taille assez appréciable, et que les phénomènes de recombinaison qui
interviennent aux niveaux des pieges localisés sur les bords des grains ne sont pas trop
importants.
~ 600
o
Courbe expérimentale
e 550
Courbes théoriQues
' - "
•
Sng = 1 cm/s
-s.. 500
~
x
Sng = 1000 cm/s
~ 450
::1
•
Sng = 10000 mIs
o
400
-"S350
y
s..
"0 300
•
x
~ 250
•
Xx
= 200
•
x
•
o
•
x
•
"~ 150
•
Xx
• • •
~100
••
~
~
50
.• x·.
x
•
•
Xx
•••
O.:r-.--.-T""'T"......""T""""I--r-T""'T"..,......,."""T"""r-Ir&+-9"....,~...,.~~ ....~
o
50
100
150
200
250
300
t (IlS)
Fig 3 - 34 : Courbe expérimentale du déclin du Vco se rapportant à la cellule n°l.
Les courbes théoriques ont été calculées pour différentes vitesses de recombinaison
des joints de grain. Â. =0.8 Ilm; H = 75 Ilm ; Sn =200 cm/ s; a = b = 500 Ilm.
Ces considérations faites, nous avons calculé les constantes de temps des courbes
théorique et expérimentale. Les pentes sont indiquées sur la figure 3-34 et leurs valeurs
sont de 3.05 mV/Jls pour la courbe expérimentale et 3.11 mV/lls pour la courbe
théorique. Les durées de vie effectives sont alors: 8.5 ilS trouvée expérimentalement avec
une précision de 13% et 8.30 Jls à partir de nos calculs théoriques. Ces valeurs trouvées
sont en bon accord, mais il faut souligner que les courbes ne se superposent qu'au début
du déclin. Toutes les courbes théoriques présentent des écarts avec la courbe

---

126
expérimentale vers la fin de la décroissance du Vco' Nous interprétons ce phénomène par
la non prise en compte dans nos calculs des effets de capacités soulignés par divers
auteurs [ 29, 30] , dans la dernière partie du déclin. Il faut aussi souligner les
interférences dont ont fait état
Y. K. Hsieh et Y. Trisno [34] et causées par les
composants du circuit extérieur telles que les capacités parasites, les résistances série et
shunt et aussi les temps de réponses des oscilloscopes.
600
Partie linéaire de la courbe expérimentale
,-..
550
y = 596.01 - 3.0465x R"2 = 0.993
;>
500
e
Partie linéaire de la courbe théorique
'-"
....
y = 601.65 - 3.1 125x R"2 = 1.000
450
'"'
~
~
400
=
0
;0;:
350
=
C.J
l..
300
'(j
~
250
"0
Expérimental
c
200
o
.s
Théorique
~
150
c
~
E-
100
50
0
0
20
40
60
80
100 120 140 160 180 200
t (ilS)
Fig 3 • 35:
Détermination des constantes des parties linéaires des courbes
expérimentale et théorique.
Â. =0.8 Ilm; H =75 Ilm ; Sn =200 cm! s; a =b =500 Ilm.
Nous essayerons dans un prochain travail de tenir compte dans nos calculs de tous
ces facteurs, avec en plus la forme du signal lumineux excitateur. Nous signalons que
nos calculs théoriques ont été faits sur la base d'un signal lumineux carré, mais
l'expérience montre que la coupure du flash n'est pas si abrupte avec les sources de
lumière utilisées. La preuve en est donnée par la forme du signal du stroboscope que
nous avons utilisé dans nos expériences et qui est reproduite sur la figure 3-36. Notre
objectif sera, ultérieurement de tenir compte de ce temps que met le signal pour être
complétement éteint et de la forme de sa décroissance.

---

127
1
.. ·l·
i-._-_...._-- .
1
1
Fig 3-36 : Forme du signal de déclin du stroboscope

---

---

130
CONCLUSION
Dans ce travail, nous avons étudié en modélisation, l'influence des paramètres
régissant les phénomènes de recombinaison dans les cellules photovoltaïques au silicium
polycristallin. Dans le modéle utilisé, le silicium polycristallin est constitué de grains
ayant une structure colonnaire orientée.
Les équations de diffusion dans l'espace à trois dimensions des porteurs
minoritaires excédentaires dans la base et dans l'émetteur ont été résolues par la méthode
des fonctions de Green. Ces fonctions sont obtenues sous la forme de combinaison
linéaire de produits de fonctions sinusoïdales. Elles font intervenir tous les paramètres
liés aux phénomènes de recombinaison en surface et dans les joints de grain. Les densités
des porteurs minoritaires ont été calculées, en fonction des coordonnées et du temps, en
utilisant les propriétés des fonctions de Green. Nous en avons déduit les courants
d'obscurité, les photocourants et les tensions de circuit ouvert.
Nous avons étudié les régimes stationnaire et transitoire.
Dans les conditions d'un régime stationnaire, nous avons pu mettre en évidence
l'effet des paramètres caractéristiques du polycristal: taille des grains, vitesse de
recombinaison en surface et vitesse de recombinaison dans les joints de grain. A ce
stade, nous avons pu tester la validité du modéle en comparant les résultats de nos
calculs, sur les densités de porteurs minoritaires et des courants des porteurs de charge,
avec ceux déjà publiés dans la littérature et, en particulier ceux relatifs au silicium
monocristallin bien connus et obtenus avec des modéles différents.
En régime transitoire, nous avons également mis en évidence les effets des divers
paramètres liés aux phénomènes de recombinaison qui réglent le processus de déclin du
courant de court-circuit et de la tension de circuit ouvert.
Il est apparu que la constante de temps permettant d'accéder à la durée de vie des
porteurs minoritaires, peut être déterminée en utilisant le seul terme fondamental de la
série donnant les courants de court-circuit ou les tensions de circuit ouvert. Nous avons
établi les conditions dans lesquelles, cette détermination est possible.
D'après nos recherches bibliographiques, une étude théorique aussi générale des
cellules polycristalline à trois dimensions et en fonction du temps, n'a pas encore fait
l'objet de publications. L'avantage de notre modéle, est qu'il tient compte de la forme du
signal excitateur (source d'éclairement, tension de polarisation) même si cela n'a pas
apparu dans nos calculs où nous avons utilisé un signal carré.
Dans un prochain travail, nous nous proposons d'étendre le modéle, en y incluant
les effets de résistances série, de résistances shunt et des effets capacitifs.

---

---

132
BIBLIOGRAPHIE
[1]
Hovel, Semiconductors and Semimetals, Solar cell Vol Il, Academie
Press,NY San Francisco, London 1975.
[2]
A. Laugier, J.Alain Roger. Les photopiles solaires : Techniques et
Documentations Il, rue Lavoisier, F -75384 Paris Cedex 08, 1981.
[3]
A. Belkhaoua, 1. Boucher. Solar Cells, 22 (1987) 1-14.
[4]
J. Dugas, J. Oualid. Revue Phys. Appl. , 22 (1987) 677-685.
[5]
Bohm J. R. Ker, H. G. Wageman, Fourth E.C. Photovoltaic Solar Energy
Conf. 10-14 May 1982.
[6]
N. C. Halder. T. R., Williams. Solar Cells, 8 (1983) 201-223.
[7]
Amal K. Gosh, Charles Fishman, and Tom Feng, J. Appl. Phys 51 (1)
Jan. 1980,446-454.
[8]
C. Lanza and H. J. Hovel : IEEE Transactions on Electron Deviees Vol ED
24 N° 4 April 1977.
[9]
J. S. Blakemore, K. C. Nomura, Journal of Applied Physics, vol 31, nO 5,
Mai 1960.
[10] W. Shockley, Electrons and Holes in Serniconductors, New York 1976.
[11] A. Zondervan, L. Verhoof, F. A. Lindholm and A. Neugroschel, J. Applied
Phys 63 (11), 1 June 1988. 5563 - 5570.
[12] Konstantinos Misiakos and F. A. Lindholm Solid-State Electronics Vol 30,
N° 77 , 755 - 798, 1987.
[13] S. M. Sze : Physics of Semiconductor Devices 2nd edition A. Wiley
Interscienee Publication John Wiley &Sons N. Y.(1969)
[14] Bernard Sapoval, Claudine Hennann, Physique des Semi-conducteurs. Paris,
Ellipses 1990
[15] G. Barton. Elements of Green's Functions and Propagation. Oxford Sciences
Publications. Published in the United States by Oxford University Press New
York 1989.
[16] K. Rajkanan, R. Singh and J. Schewchun . Solid State Electronics Vol 22,
pp 793 - 795.(1979)
[17] M. A. Green Solar Cells Operating Principles Technology and System
Applications. 1982 by Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J. 07632.
[18] Ben Arab, Solar Cells - (1990),49.
[19] Hani F. Ragaie and Hassan A. EI-Ghitani. IEEE Transaction on Electron
Deviees, Vol Ed 33, N° 6 June 1986.
[20] S. Baneje and H. Saba, Solar Cells, 28 (1990) 77 -94.

---

133
[21] N. C. Halder and T. R. Williams, Solar Cells, 8 (1983) 225-238.
[22] D. P. Joshi Solid-State Electronics, Vol 29, No 1, pp 19-24 1986.
[23] H. Mathieu, Physique des semi-conducteurs et des composants électronique,
Masson, Paris, 1987.
[24] W. Schockley , Bell Sys. Tech. J. 28,435 (1949)
[25] S. C. Jain, Fourth E.C. Photovoltaic Solar Energy Conf. 10-14 May 1982.
[26] S. C. Jain, U. C. Ray, 1. Appl. Phys. 54 (4) April 1983, pp 2079-2085.
[27] K. Joardar, R. C. Donero and D. K. Shroder, Solid State Electronic Vol 32
N° 6 pp 479 - 483 (1989).
[28] R. Gopal, R. Dwivedi and S. K. Srivastava, Solid State Electronics, Vol 26
N°ll, pp 1101-1l1O (1983).
[29] G. Sissoko, Thèse 3ème cycle, Dakar (1986)
[30] R. Gopal, R. Dwivedi and S. K. Srivastava, J. Appl. Phys. 58 (9) Nov
1985, pp 3476-3480.
[31] S. Ashok, K. P. Pande, Solar Cells, 14 (1985) 61-81.
[32] John E. Mahan, Thomas W. Ekstedt, Robert 1. Frank and Roy Kaplow,
IEEE Transactions on Electron Deviees. Vol ED-26, N°5, May 1979.
[33] C. A. Dimitriadis Solid State Communications, Vol. 56, N° Il, pp. 925-927,
1985.
[34] Y. K. Hsieh, Y Trisno, H. C. cardo solar Cells, 25 (1988) 299-309.

---

1
1 - Approche de la méthode des fonctions de Green
L'équation de diffusion des trous excédentaires dans l'émet~eur n est:
a
..
2
..
(Pn-Pno)(r, t)
..
at(Pn-Pno)(r,t)-Dp[V (Pn-Pno)(r,t)-
L
] = g(r,t)
2
p
(Al)
Soit G ( ; , t 1 ;', t' ) la fonction de Green définie par :
..
1"
a
..
1"
[2..
1"
G (r t
r' t') ]
....
Ch G (r , t
r', t') - Dp V G (r , t
r', t') -
' L2 '
= 0 (r - r') 0 ( t - t')
P
(A2)
G (; , t 1 ;', t' )
= 0 pour t < l'
(A3)
L'équation (A2) traduit que la fonction de Green peut être considérée comme une
densité de trous, en ; ( x, y, z) à l'instant t, créée par une source unité placée en
....
r' (x', y', z') à l'instant l'.
Les propriétés de symétrie et de réciprocité de la fonction de Green permettent
d'interchanger les variables dans l'équation (A2).
Ainsi, si on remplace t par l', alors ~ devient . a~" D'autre part, en prenant
....
..
2
2
- r' à la place der, l'opérateur V s'écrit
V'
L'équation (A2) devient dans ce cas:
-aa,G(;,t 1 ;',t')_D [V,2
p
G (;,t 1 ;',t')- G(;,t 1 ;',t')] =O(;-;')O(t-t')
t
L2p
(A4)
..
En primant les variables r et t dans l'équation de diffusion des trous on a :
....
a
~ ,
,2
-0;
(Pn-Pno)(r',t')
-+
at'(Pn-Pno)(r,t)-Dp[V (Pn-Pno)(r,t)-
L
] = g(r',t')
2
p
(A5)
....
On précise que r' ( x ' , y' , z') représente un point source décrit par la fonction delta
- Dirac, la fonction de Green décrivant ses effets. En effet, la fonction de Green décrit la
distribution résultant de l'injection d'une particule à l'instant t'au point source
;. (x', y', z') aucune particule n'étant présente auparavent. Elle est, en d'autres termes,
la réponse du système lorsque des porteurs sont générés en un point [1].
Pour obtenir l'expression de la densité des trous dans l'émetteur, on fera les
opérations suivantes:

---

II
-
- on multiplie l'équation (A4) par ( Pn - Pno) (r', t'), ce qui donne:
-
{a
..
1"
[2
..
, ..
(Pn-Pno)(r',t')
-at'G(r,t
r',t')-Dp V' G(r,t
r',t')
G (; t 1 ;, t') ] }
- . . ..
-
'
,
= (Pn - Pn )( r', t') 0 (r - r') 0 (t - t')
(A6)
L2
0
P
- on multiplie l'équation (A5) par G (; , t 1 ;', t') ce qui donne:
-
..
-+"
a
~ ,
,2
~,(Pn-Pno)(r',t')
G(r, t i r ,t) {ai'(Pn-Pno)(r ,t)-Dp[V (Pn-Pno)(r ,t) -
L
]}
2
P
- on fait la différence entre les équations (A6) et (A7), puis on intégre dans l'espace
par rappon à dY' = dx' dy' dz' et par rappon au temps t' de ta à t.
f: dtJffy,dY' g (r\\n G (;, t 1 ;. , t')
o
_ft dt'o(t-nfffy,dY'O(;-;')(Pn-Pn )(;',t')
to
0
=fJfy,dY' [f:oa~' G (Pn - Pno) dt]
-Dpf: dt ' [fffy,{ GV,2(Pn-Pno)-(Pn-Pno)V,2G }dY']
(A8)
o
D'aprés les propriétés de la fonction de distribution de Dirac et si on applique le
deuxième théorème de Green :
fII
2
ff
y(u V2v - v V u) dY =
s (u Vv - v Vu) dS
(A9)
l'équation (A8) devient :

---

'\\i
III
(Pn-Pn )(;,t) = ft d1'fJfvldV'g(~,t')G(;,t
~,t')
1
+
o
to
+Dpft dt'[ffs,{G(;,t
~,t')V'(Pn-Pn
1
)(;',t')
to
0
- (Pn - PnJ (~, t') V'G(; , t 1 ~ , t') } dS']
+ JJJv,[G(;,tl ~,t)(Pn-Pno)(~\\t)
- G (;, t 1 ~, to )( Pn - Pno)( ~ , to)] dV'
(AIO)
Cette expression est la somme de trois intégrales:
- la première intégrale (de volume) propage les effets des sources agissant entre
l'instant initial te et l'instant 1. En d'autres termes, elle donne les contributions des
différentes sources g (r', l' ) à la création de porteurs minoritaires excédentaires au point
r à l'instant 1. Elle pourrait nous permettre de calculer la densité de porteurs créés en
volume par une excitation lumineuse monochromatique Fo (À, t).
- la deuxième qui est une intégrale de surface propage les effets des valeurs aux
limites non homogènes imposées entre les instants ta et 1. Elle donne la solution de
l'équation homogène associée à (Al) ; elle permet en outre de retrouver la densité de trous
créés par polarisation électrique en appliquant convenablement les conditions aux
limites.
En tout point sur la surface S, pour ta ::;; t' ::;; t,
--
- si (Pn - Pno) (r', t') est donné, alors de par sa définition, la fonction de Green
est nulle;
- si V7( Pn - Pno ) (-;', t') est donné, alors ~G (r , tir', t') = 0
- la troisième intégrale est nulle, si la densité de porteurs excédentaires à l'instant
initial est nulle et si, comme le précise G. BARTüN [II] dans son ouvrage, on évalue
cette intégrale à la limite supérieure t' = t + €. et puis faire €. ---t O.
La même approche faite sur la densité d'électrons minoritaires excédentaires dans la
base conduit à l'expression:
( op - 0po)( ; , t) = 5: dtJJIv' dv' g ( i' , t') G (; , t 1 i', t')
0
+ D J~
n
dt' [JJS' { G cr ,t 1?, t') V'C np - npo ) (7' , 1')
- (np - npo) (7', t') V'Ge r, t I?, t')} dS']
- JJJv,[G(;,tl ;',t)(np-npo)(~,t)
- G (f, t 1 ?, ta ) ( np - npo ) (? , ta)] dV'
(AIl)

---

N
2 - Construction de la fonction de Green se rapportant à l'émetteur
On introduit la fonction 'de Green G (;, t 1 ;', t') par l'intermédiaire d'un
propagateur K ( ; , t 1 ;', t' ) qui n'est pas une fonction de Green mais qui décrit la
distribution résultant d'une particule que l'on sait être au point r' à l'instant l'.
Elle est définie comme suit pour t > t':
a
..
1"
[ 2 . .
1"
K (; t 1;, t') ]
-K(r,t
r',t')-D
(A12)
p
V'K(r,t
r',t')-
'
,
=0
at
L2p
K ( ; , t' 1 ;', t ') = 0 ( ; - ;')
(AB)
La fonction de Green définie en (A2) et (A3) s'écrira sous la fonne :
G(;,t 1 ;',t')=8(t-t')K(;,t 1 ;',t')
(A 14)
8 (t - t') = 0 pour t < t: est appelée la fonction de Heaviside
1 pour t> t
La fonction de Green G (; , t 1 ;', t' ) et le propagateur K (; , t 1 ;', t' ) obéissent
aux mêmes conditions aux limites et pour t > t', ces deux distributions sont les mêmes,
Les limites du volume V du semiconducteur étant stationnaires (fixes), c'est à dire
V indépendant du temps, le propagateur K (; , t 1 ;', t' ) dépend de t et f uniquement à
.. ..
partir de la combinaison (t - t'). Par contre, il dépend individuellement de r et
r'. La
même remarque s'applique également à la fonction de Green G (; , t 1 ;', t' ).
Ainsi on peut exprimer K (; , t 1 ;', t') sous la fonne :
K(;, t
;',t')=L
1
"'*p(;')"'p(;)e-~p(t-t')
(A15)
L'expression (A15) est solution de l'équation (A12).
En développant K (; , t 1 ;', t') dans l'équation (A12), nous aboutissons à ce qui
suit:
] } = 0 (A16)
L'équation (A 15) nous pennet d'écrire que:..
..
2
..
"'p(r)
- ~p "'p (r) - Dp [V' "'p (r) - L
]
= 0
(Al?)
2
P
2
..
l(
1)
..
ou bien V' '" p (r) + D
~p - -
"'p (r) = 0
(A18)
p
'tp
~ ~p (~p :J'
En posant Je p
-
l'expression (A 17) devient :

---

v
2
-+
-+
V 'i'p(r)+ Àp'i'p(r) =0
(AI9)
Àp et 'i'p (;) sont respectivement les valeurs propres et les fonctions propres de
2
l'opérateur -V.
Pour résoudre l'équation (AI8), on "sépare" les variables et l'on cherche des
solutions de la forme:
-+
'i'p (r) = X ( x ) Y ( Y ) Z ( z )
(A20)
-+
En
reportant
l'expression de 'i'p(r) de l'équation (A20) dans (AI9), nous
obtenons:
2
2
2
1
a X(x)
1
ay(y)
1
aZ(z)
+"1
=0
+ =y;-;(-----,-)- ------.:..:..- + Z (
(A21)
Z )
/\\, p
X (x)
ax2
y
a /
az 2
Nous pouvons écrire chacun des termes de l'expression (A21) comme suit:
2
1 a X
2
- - = -ID
(A22)
X ax 2
2
1 a y
2
- - = -n
(A23)
y ay2
2
1 a Z
2
- - = -p
(A24)
Z az 2
Nous trouvons alors que : Àp - m2 - n2 - p2 = a
ou bien Àp = m2 + n2 + p2
(A25)
La quantité Pp de la partie exponentielle du propagateur K (; , t 1 ;', t' ) est telle
que:
1
2
2
2
1
(A26)
Pp=ÀpDp + -;- =Dp(m +n +p + L )
2
P
P
Ecrivons les solutions respectives des équations (A22), (A23) et (A24) sous les
formes suivantes :
X ( x) = Am cos ( mx )
y ( y) = An cos ( ny )
Z ( z) = Ap cos (p z + cp )

---

VI
Le propagateur s'écrit:
K (r , tir', l' ) = L
Afu cos(rnx') cos(rnx) AA cos(ny') cos(ny)
m,n,p
(A27)
x A pcos(p z' + <p) cos(p z + <p) e- ~p ( t - t')
Nous en déduisons l'expression de la fonction de Green:
G (r , tir', t' ) = 8 ( t - t')
L Ain cos(rnx') cos(rnx) AA cos(ny') cos(ny)
m,n,p
x A pcos(p z' + <p) cos(p z + <p) e- ~p ( t - t')
(A28)
Les paramètres m, n, p et <p sont déterminées à partir des conditions aux limites sur
les surfaces limitant le volume du grain dans l'émetteur. En appliquant les conditions de
nonnalisation, les coefficients Am' An et Ap pourront être exprimés respectivement en
fonction des paramètres m, n et p.
3 - Construction de la fonction de Green se rapportant à la base
Nous appliquerons le même procédé de calcul que dans le cas de l'émetteur.
Puisque la base p n'a pas les mêmes caractéristiques que l'émetteur, nous adopterons
une autre notation pour les différents paramètres de la fonction de Green.
Le propagateur que nous utiliserons, est solution de l'équation:
~K(;,t
2
1 ;',t') _ Op[V K(;,t 1 ;',t') _ K(;,t 1 ;',t')] =0
(A29)
at
L2p
avec K(;,t' 1 ;',t') = 6(;_;')
(A30)
La solution que nous proposons est de la forme:
K (r , tIr', l' ) = L AÏe cos(kx') cos(kx) Ar cos(ly') cos(ly)
k,l,,u
x A~ cos(p Z' + <p) cos(p z + <p) e- ~n ( t - 1')
(A31)
avec ~n = = On ( k2 + 12 + ,u 2 + _1 )
(A32)
LA
La fonction de Green décrivant la distribution résultant de l'injection d'une particule
..
dans la base à l'instant t'au point r' est:
G (r , tir', t' ) = 8 ( t - t') L Ak cos(kx') cos(kx) Ar cos(ly') cos(ly)
k,l,,u
x A~ cos(p z' + <p) cos(jL z + <p) e- ~n (t - 1')
(A33)

---

vu
Les valeurs propres k, 1et J1 seront calculés à partir des conditions aux limites sur
les smfaces limitant le volume du grain dans la base.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
T. Markwatt, 10th European Photovoltaic conference Solar Energy
Conference, 8-12 April 1991, Lisbon Portugal.
[II]
G. Barton. Elements of Green's Functions and Propagation. Oxford Sciences
Publications. Published in the United States by Oxford University Press New
York 1989.

---

---

l
IX
Longueur d'onde ijlm)
Energie des photons (eV)
Coefficient d'absorption (cm-l)
0.320
3.87454
1.24578e+06
0.325
3.81493
1.18072e+06
0.330
3.7571
1.11704e+06
0.335
3.70105
1.05450e+06
0.340
3.64662
992780
0.345
3.59377
931597
0.350
3.5424
870589
0.360
3.44403
747342
0.370
3.35095
618117
0.380
3.2628
472529
0.390
3.17911
268686
0.400
3.09963
87294
0.410
3.02403
716010
0.420
2.95203
58372
0.430
2.88338
47294
0.440
2.81785
38127
0.450
2.75523
30650
0.460
2.69533
24672
0.470
2.63798
20025
0.480
2.58303
16559
0.490
2.53031
14141
0.500
2.4797
12598
0.510
2.43108
11640
0.520
2.38433
10821
0.530
2.33934
10061
0.540
2.29602
9355.9
0.550
2.25428
8700.3
0.570
2.17518
7523.5
0.590
2.10144
6503.5
0.610
2.03254
5617.5
0.630
1.96802
4846.6
0.650
1.90746
4174.9
0.670
1.85053
3589.1
0.690
1.79689
3077 .8
0.710
1.74627
2631.4
0.718
1.72681
2469.1
0.724
1.71156
2345.5
0.740
1.67548
2065.8
0.753
1.64764
1862.2
0.758
1.63677
1785.5
0.763
1.62604
1711.4
0.768
1.61544
1639.8
0.780
1.58955
1471.3
0.800
1.54982
1230.5
0.816
1.51943
1060.9
0.824
1.50522
986.01
0.832
1.4911
914.26
0.840
1.47601
840.59
0.860
1.44169
684.61
0.880
1.40892
550.74
0.905
1.37
410.80
0.915
1.35503
362.49
0.925
1.34038
318.18
0.930
1.33317
297.46
0.937
1.32321
269.99
0.948
1.30786
230.31
0.965
1.28482
176.80
0.980
1.26516
136.87
0.994
1.24796
106.30
1.040
1.1922
34.94
1.070
1.15874
10.65
Valeurs du coefficient d'absorption du silicium à 300K, calculées à partir des rétèrences [16] et [17].

---

x
1.000e+07
e
~ 1.000e+OS
§
........Cl.5.!~
"0
.....
1000
~
...C.J
S~u
10
0.3
0.4
O.S
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Longueur d'onde (Ilm)
1.000e+07
....,
5 1.000e+OS
--§.-....Cl.i~~ 1000
....~...C.JS~u
10
1
1.4
1.8
2.2
2.6
3
3.4
3.8
4.2
Energie des photons (eV)
Coefficient d'absorption du silicium en fonction de la longueur d'onde et de
l'énergie des photons incidents calculé à partir des références 16 et 17.

---

Bassirou BA , Thèse de 3ème cycle, Dakar , (Décembre 1991)
Résumé
L'équation de diffusion des porteurs minoIitaires excédentaires dans les deux zones
de type Il et p d'une cellule au silicium polycristallin est résolue dans l'espace à trois
dimensions et en fonction du temps.
En utilisant la méthode des fonctions de Green, nous avons proposé des solutions
de la densité de porteurs minOlitaires pour trois modes de fonctionnement de la jonction
n/p d'un semi-conducteur POlYClistallin. A notre connaissance, aucune solution de cette
équation dans l'espace à trois dimensions et en fonction du temps n'a été publiée.
Cependant, en considérant, dans nos calculs, le régime stationnaire qui a fait l'objet de
plusieurs études, nous avons pu confinner la validité des résultats auxquels nous sommes
parvenus.
Nous avons, ensuite, étendu nos investigations à l'étude des propriétés
photovoltaïques du silicium polycristallin en régime transitoire, afin de déterminer
celtains paramètres, en particulier, la durée de vie des pOlteurs minOlitaires excédentaires.

---