MODELE D'ELEMENT FINI POUR LA SOLUTION
DES PLANCHERS - DALLES,
DES DALLES CHAMPIGNONS
ET DES DALLES ORTHOTROPES
THESE No 966 (1991)
PRESENTEE AU DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL
ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES TECHNIQUES
PAR
MOUSTAPHA N'DIAYE
Ingénieur civil diplômé de l'Ecole polytechnique de Thiès,
Maître ès Sciences Appliquée de "Ecole polytechnique de Montréal
de nationalité sénégalaise
acceptée sur proposition du jury :
Prof. J. Jirousek, rapporteur
Prof. R. Favre, corapporteur
Dr A. Zielinski, corapporteur
Lausanne, EPFL
1992

---

TABLE DES MATIERES
Avant-propos
Liste des figures
Liste des tableaux
Résumé
1 .
IntrodDelion ••.•••••.••.••••.••.••.••...••••.••..••....•.•...••••••.••..•.......• 1
1.1
Introduction et notes historiques
2
1.2
Butsdelathèse
6
1.3
Réalisations originales de la thèse
"
8
2.
Formulation générale de l'élément HT et son application aux
plaques
9
2.1
Formulation basée sur la minimisation de la nonne énergétique
10
2.2
Formulation équivalente basée sur la minimisation de la fonctionnelle
J(u ,v) . .. . . .. .. . . .. . .. . . .. ... . . .. . .. . . .. .. . .. .. .. . . . .. . . .. .. . . . ... . . . . .. . .. . . .. . .. . .. .. . .. 16
2.3
Comparaison des deux fonnulations
20
2.4
Application à la flexion des plaques minces
'"
, 21
2.4.1
Définition des vecteurs déplacements ve et tractions te..............•..................23
2.4.2
Définition du vecteur déplacements de bord ve
pour la version p de l'élément HT
26
2.4.3
Représentation des modes rigides
31

---

II
3 .
Eléments finis HT pour le calcul des dalles-champignons
35
3.1
Introduction
:
"
36
3.2
Fonctions de Trefftz pour l'élément à épaisseur constante
37
3.2.1
E1ément standard...................................•••..•..........................................39
3.2.2
Elément dalle-colonne.........•.........•.................•.•................................... .42
3.2.3
Elément dalle perforée.....................•......................................................46
3.3
Extension aux éléments à épaisseur radialement variable
47
3.4
Etudes numériques et contrôle des résultats
50
3.4.1
Elénlent IIT standard ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.•.•........•.•..••.........•50
3.4.2
Elément lIT d'épaisseur variant radialement
55
3.4.3
Applicabilité de la théorie des plaques pour l'analyse des dalles-
champignons
59
3.4.4
Exemple d'application pratique
62
3.5
Conclusion et remarques .. '.'
71
4 .
Eléments HT pour le calcul des dalles orthotropes et anisotropes
•••••••••.••••••••••••••...••.. ~ ....•....••.••••••..••.•••..•...•.••..•....'.••... 73
4.1
Introduction
,
,
,
74
4.2
Génération des fonctions de Trefftz pour les onhotropes
75
4.2.1
Solutions homogènes Ni
76
4.2.2
Solutions particulière ~e
78
4.3
Généralisation au cas des dalles anisotropes
80
4.3.1
Solutions homogènes Ne
81
4.3.2
Solution particulière ~e
82
4.4.
Etudes numériques
83
4.4.1
Influence du rapport des rigidités flexionnelles sur la précision des
solutions
83
4.4.2
Cas praüques de grillages de poutres
83
4.4.3
Solution basée sur l'usage d'un seul élément lIT sur la totalité du
domaine•••..••...•.•.•••••••..••••.•..•.•.•..•.••••.•••..••....••...••.•••.•..••..•...••....••.....,.89
4.4.4
Etudes numériques d'un exemple de dalle orthotrope basé sur les
fonctions de Trefftz des dalles anisotropes
90
4.5
-Conclusions et remarques
,
90

---

ID
Préambule aux chapitres 5 et 6
95
5 .
Version p de l'élément de raidisseur
97
5.1
Introduction
98
5.2
Relation contraintes-déformations d'une poutre courbe dans le plan
98
5.2.1
Hypothèses
98
5.2.2
Relation contraintes-défonnations
99
5.3
Application à la formulation de l'élément de raidisseur
101
5.4
Tests numériques et exemples d'application
105
5.4.1
Tests numériques sur l'élément raidisseur utilisé pour l'analyse des
poutres courbes
105
5.4.2
Application aux calculs des dalles reposant sur des sommiers centrés
ou excentrés
106
5.4.3
Application pour le calcul d'un plancher industriel...
I09
6 .
Prise en compte des charges concentrées
113
6.1
Introduction
,
,
114
6.2
Formulation alternative pour la prise en compte des charges
concentrées
~
'
117
6.3
Techniques d'intégration pour la prise en compte des charges linéiques
et sectorielles
120
6.4
Contrôle des résultats et applications
121
6.4.1
Applications
125
6.5
Conclusion
125
7.
CONCLUSIONS
133
REFERENCES
APPENDIX
CURRICUL UM VITAE

---

AVANT-PROPOS
Cette thèse a été entreprise sur la base d'un accord entre l'Ecole Polytechnique Fédérale de
Lausanne (EPFL) et l'Ecole Polytechnique de Thiès (EPT). Dans ce cadre-là elle a été suivie par
M. J.-M. Régamey à qui je tiens à adresser ma profonde gratitude.
Le travail a été fait sous la direction du Professeur J. lirousek qui m'a été d'un grand appon
dans les différentes phases de la recherche. Je lui exprime ma profonde reconnaissance.
Je suis aussi reconnaissant envers le Professeur F. Frey qui a bien voulu m'accueillir au sein du
Laboratoire de mécanique des structures et des milieux continus (LSC) et les collègues comme
MM. Huben Rabemanantsoa et Agaram Venkatesh, et d'autres qui m'ont soutenu et encouragé.
Je remercie aussi Mme Pierrette Rosset et Mme Mary-Lise Tanner qui n'ont ménagé aucun
effon pour le dessin des figures et la dactylographie de ce texte.
Finalement, je remercie la Confédération Helvétique ainsi que le Ministère de l'Education
Nationale du Sénégal pour leur soutien financier.

---

LISTE DES FIGURES
Figure 2.1 :
Plaque qui occupe un domaine 12 u est le vecteur déplacements défini dans le
domaine n, r v : partie de la frontière où les déplacements sont imposés, r t :
partie de la frontière où les tractions sont imposées.
Figure 2.2:
Plaque qui occupe un domaine n subdivisé en n sous-domaines necn =
Figure 2.3 :
a) élément standard. b) éléments spéciaux (plaque perforée, dalle sur
colonne). Un choix du champ de déplacements Ue pennet de vérifier a priori
les conditions spécifiées sur r se.
Figure 2.4a :
Définition des tractions de bord d'un élément de plaque en flexion. Les
tractions sont exprimées suivant un système de référence fixe.
Figure 2.4b :
Définition des tractions de bord d'un élément de plaque en flexion. Les
tractions sont exprimées suivant le système d'axe (ri, () défini à un point du
côté.
Figure 2.4c :
Définition des tractions de bord d'un élément de plaque en flexion. Les
tractions sont les forces de Kirchhoff Rn exprimées suivant le repaire mobile
-+
-+
(n , t) et les forces correspondantes Vc aux coins.
Figure 2.5 :
Version p de l'élément HT. Ca) système de référence sur le côté; Cb) degrés de
libené nodaux et hiérarchiques associés aux nœuds A, B et C sur un côté de
l'élément.
Figure 2.6 :
Fonctions d'interpolation associées aux nœuds de coins O.
Figure 2.7 :
Modes hiérarchiques associés aux nœuds intermédiaires L\\.

---

-II-
Figure 3.1
Réseau d'éléments hybrides-Trefftz pour l'analyse d'une dalle-champignon.
A : éléments avec fonctions standard; B et C : éléments avec fonctions
spéciales.
Figure 3.2 :
Elément standard (à épaisseur constante). Systèmes de référence local
cartésien et polaire: l'origine 0 coïncide avec le centre de gravité de l'élément.
Figure 3.3 :
Elément standard
Figure 3.4a :
Dalle avec une force ponctuelle appliquée en (xp' yp)'
Figure 3.4b :
Dalle avec un moment ponctuel appliqué en xM' YM'
Figure 3.5 :
Elément de dalle-colonne. (a) simple, (b) renforcée.
Figure 3.6:
Composantes des efforts internes d'une plaque en flexion dans un système de
coordonnées polaires.
Figure 3.7 :
Elément dalle-perforée
Figure 3.8 :
Elément lIT à épaisseur variable
Figure 3.9 :
Plaque carrée simplement appuyée sur ses quatre coins. Comparaison des
versions p et h du modèle HT. a) Vitesse de convergence. b) Etude de la
discrétisation qui minimise le temps de calcul à l'ordinateur.
Figure 3.10
Plaque carrée (avec différentes conditions de bord) représentée par un seul
élémentHT.
Figure 3.11 :
Plaque circulaire d'épaisseur variable uniformément chargée. (a) Mcxiélisarion
par un seul p-élément HT. Le niveau p le plus faible (M=O) est suffisant pour
représenter tous les cas en symétrie de révolution. (b) variation exponentielle
de la rigidité et (c) variation linéaire de l'épaisseur.
Figure 3.12 :
Dalles circulaires uniformément chargées a) avec chapiteau b) sans chapiteau.
Figure 3.13 :
Dalle champignon avec chapiteau centré ou excentré (Fig. 3.12a).
Comparaison des résultats.
Figure 3.14 :
Influence du chapiteau sur la distribution: a) des déplacements et b) des
moments. (Les cas montrés aux Fig. 3.12a) et 3.12b) sont comparés).
Figure 3.15 :
Comparaison des différentes solutions pour la dalle circulaire à la figure

---

-m-
3.l2b).
Figure 3.16 :
Discrétisation d'une dalle champignon avec des éléments HT.
Figure 3.17 :
Dalle champignon uniformément chargée (p = 10 KN/m2 ). Déplacement et
efforts tranchants. Solution HT. M =7 (546 DDL), v =0.15.
Figure 3.18a :
Dalle champignon uniformément chargée ( p =10 KN/m2 ). Déplacement et
efforts tranchants. Solution HT. M = 7 (546 DDL), v =0.15.
Figure 3.l8b:
Dalle champignon uniformément chargée (p = 10 KN/m2 ). Moments de
flexion, de torsion et principaux. Solution HT. M =7 (546 DDL), v =0.15.
Figure 3.19 :
Pont courbe appuyé sur des colonnes. a) discrétisation, b) coupe
transversale.
Figure 3.20a :
Pont courbe appuyé sur des colonnes. Courbes de niveau des moments de
flexion.
Figure 3.20b :
Pont courbe appuyé sur des colonnes. Courbes de niveau des moments de
torsion et moments principaux.
Figure 4.1 :
Elément de dalle orthotrope. Xo et Yo sont les directions principales
d' orthotropie.
Fig. 4.2 :
Plaque carrée orthotrope uniformément chargée. a) Représentation par un
élément HT version-p sur un quadrant symétrique. b) Variation de l'erreur
dans le déplacement au centre wC en fonction du rapport des rigidités
flexionnelles n = Dy/D x (M : nombre de DDL optionnel aux nœuds
intennédiaires ~).
Figure 4.3 :
Grillage de poutres à bord carré avec un chargement uniforme.
a) Quadrage symétrique.
b) Détails du grillage.
c) Réseau d'éléments HT orthotropes.
Fig. 4.4 :
a) Grillage de poutres à bord circulaire simplement appuyé et uniformément
chargé. b) Détails du grillage. c) Discrétisation par un seul élément HT.

---

-IV-
Fig. 4.5 :
Grillage de poutres à bord circulaire modélisé par un réseau d'éléments
isoparamétriques quadritiqoes orthotropes sur un quadrant symétrique.
Fig. 4.6 :
Grillage de poutres à bord circulaire présenté par un seul élément HT version
p orthotrope.
Fig. 4.7 :
Grillage de poutres à bord circulaire. Courbes de niveau à la sortie du
programme SAFE [28] : déplacement, moment de flexion, moment de torsion
et effort tranchant (D =
=
x
Dy. H =0.15445 Dy. Dl =D2 0.075 Dy).
Figure 5.1 :
Elément raidisseur.
Figure 5.2:
Système de référence du raidisseur. a) axe de référence et moments de
flexion. b) Repaire pour une section dont le centre de torsion G est différent
du centre de gravité G.
Figure 5.3 :
Dalle raidie. le centre de torsion C est situé sur la ligne de jonction dalle-
raidisseur.
Figure 5.4:
Dalles isotropes uniformément chargées
a)
Raidisseurs centrés, b) Raidisseurs excentrés.
Figure 5.5 :
Modélisation de la section d'un raidisseur excentré. Le moment d'inertie Iy
est calculé par rapport à l'axe passant par le centre de gravité. La constante de
torsion j est calculé pour la section hachurée.
Figure 5.6:
Plancher industriel métallique (E =210 KN/mm2• v =0.3). Les dimensions
sont en mm.
Figure 5.7:
Plancher industriel métallique. Réseau formé par la version p des éléments
HT de la dalle et des éléments raidisseurs.
Figure 5.8
Plancher industriel métallique. Courbes de niveau du dépla-cement et des
moments de flexion et de torsion correspon-dant au réseau d'éléments montré
à la figure 5.7 avec M = 7 et pour une charge uniformément répartie
p =1 KN/mm2 (444 DDL libres. la symétrie n'est pas prise en compte).
Figure 6.1 :
Décomposition de la solution pour la prise en compte des charges concentrées
en deux parties: a) une singulière et b) une régulière.

---

- V-
Figure 6.2:
Dalle infinie soumise à un chargement sur le secteur Q
Figure 6.3 :
Dalle rectangulaire simplement appuyée, soumise à deux cas de chargement :
a) charge linéique constante, b) charge constante répartie sur un secteur
rectangulaire.
Figure 6.4:
Dalle circulaire simplement appuyée, soumise à deux cas de charge : a) une
charge linéique constante répartie sur la circonférence d'un cercle, b) une
charge constante répartie sur un secteur circulaire.
Figure 6.5 :
Dalle carrée isotrope de côté a soumise à deux cas de chargement a) et b);
charge concentrée P et charge répartie sur la circonférence d'un cercle p (cas
a), r=0,25; cas b), r=0.133a).
Figure 6.6:
Déplacements des dalles de la figure 6.6 (1000 wfP a2 avec P=P+ 2 j'Cp).
Figure 6.7:
Moments de flexion et de torsion et moments principaux pour le cas de
chargement a) de la dalle de la figure 6.6.
Figure 6.8 :
Moments de flexion et de torsion et moments principaux pour le cas de
chargement b) de la dalle de la figure 6.6.
Figure 6.9:
Efforts tranchants pour le cas de chargement a) de la dalle de la figure 6.6.
Figure 6.10 :
Efforts tranchants pour le cas de chargement b) de la dalle de la figure 6.6.

---

LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1.1 :
Classification de quelques modèles d'éléments finis hybrides
Tableau 3.1 :
Etude de la convergence d'une plaque carrée (Fig. 3.10) en appui simple. M:
nombre de degrés de libené intermédiaires. Un élément Hf version p couvre
la totalité de la plaque.
Tableau 3.2 :
Etude de la convergence p d'une plaque carrée (fig. 3.10) encastrée sur ses
bords.M : nombre de DDL intermédiaires Un élément HT version p couvre la
totalité de la plaque.
Tableau 3.3 :
Etude de la convergence-p d'une plaque carrée (Fig. 3.10) simplement
supportée à ses quatre coins. M : nombre de DDL intermédiaires. Un élément
HT version p couvre la totalité de la plaque.
Tableau 3.4 :
Dalle circulaire (v=O) avec une variation exponentielle d'épaisseur (fig.
3.l1a)
Tableau 3.5 :
Plaque circulaire (v=I/3) avec une variation exponentielle d'épaisseur (Fig.
3.11b)
Tableau 4.1 :
Plaque carrée orthotrope simplement appuyée et uniformément chargée
(Dx = Dy, H = 0.15445 Dy, Dl = D2 = 0.075 Dy).
Tableau 4.2 :
Plaque carrée onhotrope simplement appuyée et uniformément chargée
(Dx =Dy, H = 0.15445, Dy, Dl = D2 =0.075 Dy).

---

-ll-
Tableau 4.3 :
Etude de convergence de la solution d'une plaque circulaire orthotrope
simplement appuyée et unifonnément chargée (Dx =Dy, H =0.15445 Dy,
Dl = D2 = 0.075 Dy) représentée par un seul élément HT (figure 4.5)
Tableau 4.4 :
Etude de convergence de la solution d'une plaque carrée en appui simple.
Du = 0.17337 x 1()2 KN·m, D22 = 0.115588 x 101 KN·m, D12 = 0.34675
KN·m, D33 = 0.50458 x 10-1 KN·m, D13 = D23 =D31 =D32 = O.
Tableau 5.1 :
Poutre courbe correspondant au quart de la circonférence d'un cercle de
rayon a. Etude de la convergence de l'élément raidisseur version-p pour une
charge uniformément répartie p normale au plan de la courbure et pour un
rapport des rigidités flexionnelle et torsionnelle EIIGJ=1.3.
Tableau 5.2 :
Dalles carrées isotropes uniformément chargées reposant sur deux sommiers
centrés (fig. 5.3a) ou excentrés (fig. 5.3b) E = 20 x 106 KN/m2, v = 0.18.
Tableau 6.1 :
Dalle rectangulaire en appui simple soumise à une charge linéique uniforme
(fig. 6.4a) (v =0.3, M = 5).

---

Résumé
La méthode de Trefftz a été utilisée pour la solution des dalles champignons et des dalles
anisotropes. Le modèle d'élément fini qui en découle est basé sur un principe variationnel
à deux champs de déplacements: un champ interne qui vérifie a priori les équations
différentielles du problème et un champ conforme défini uniquement sur la frontière des
éléments. L'approximation ne porte alors que sur les conditions limites et sur la continuité
aux interfaces. Le choix de la forme des éléments est facilité puisque les intégrales ne sont
évaluées que sur leur contour.
Les dalles champignons présentent une difficulté dans leur analyse si on utilise les
éléments conventionnels (basés sur la méthode de Rayleigh-Ritz) : il se pose le problème
lié à la représentation fidèle des concentrations de contraintes aux alentours des têtes de
colonnes. Avec la méthode de Trefftz, ce problème a été résolu en construisant des
fonctions appropriées qui engendrent le champ interne de l'élément. Ce champ peut
prendre en compte les conditions cinématiques et statiques à l'intérieur de l'élément et, de
là, représenter efficacement la variation des efforts autour d'une colonne.
Les fonctions de Trefftz ont également été générées pour le calcul des dalles orthotropes
et anisotropes. Tandis que, dans le cas d'un élément conventionnel, la différence entre
une plaque isotrope et et une plaque anisotrope n'apparaît que dans la matrice d'élasticité,
dans le cas d'un élément du modèle hybride-Trefftz, la différence apparaît dans la
définition de son champ interne des déplacements. Les fonctions pour la plaque
anisotrope permettent alors d'obtenir, comme cas particulier, les fonctions relatives à la
plaque orthotrope ou isotrope.
L'outil d'analyse que constituent ces éléments a été complété en développant un élément
de raidisseur pour le calcul des plaques raidies. Par ailleurs, une méthode pour la prise en
compte des charges concentrées, qui rend le choix du réseau d'éléments pratiquement
indépendant du chargement, a également été introduite.
Les différents éléments ont été testés; leurs performances et possibilités d'applications
sont illustrées à l'aide d'exemples.

---

Summary
The Trefftz method has been applied to the analysis of fiat slabs with drops and to
anisotropie plates. The finite element model has been based on a variational formulation
including two distinct displacement fields: an internal field chosen so as to a priori
satisfy the governing differential plate equation, and an auxiliary conforming field (frame
function) whieh only needs to be known at the element boundary. In such a model, the
approximation only concerns the boundary conditions and the interelement continuity.
The choice of the element geometry is greatly facilitated since the integration is confmed
to the element circumference.
When applied to fiat slabs with drops, the conventional (Rayleigh-Ritz type) finite
element analysis is faced with the problem of accurate representation of the stress
concentration around the heads of the columns. In the present formulation, this problem
has been handled by suitable choiee of the internaI displacement functions which have
been used for the element containing the column head. This field accounts for the static
and cinematic conditions between the plate and the column head and represents accurately
the variation of internal forces in the neighbourhood of the column head.
A set of Trefftz functions has also been devised for the analysis of orthotropic and
anisotropie plates. While in the conventional element the difference between the isotropie
and anisotropie plate only shows in the elasticity matrix, in the hybrid-Trefftz element
formulation the difference appears in the definition of the internal displacement field. The
set of displacement functions for anisotropie plate then yields, as a special case, the
fonctions for orthotropic and isotropie plates.
The tool which represents such elements for the plate analysis has forther been completed
by stiffeners for the analysis of stiffened plates. Moreover a method of accounting for
concentrated loads, which enables the finite element mesh to be independent of loading,
has also been implemented.
The elements have been tested ; their performances and possibilities of application in the
engineering practice have been assessed and illustrated by means of examples.

---

- 1 -
· INTRODUCTION
1.1
Introduction et notes historiques
1. 2
Buts de la thèse
1. 3
Réalisations originales de la thèse

---

-2-
1
INTRODUCTION
1.1
INTRODUCTION ET NOTES HISTORIQUES
L'évolution de la technologie a amené les ingénieurs à concevoir des projets de constructions
plus rationnelles, plus complexes et soumises à des normes de calculs plus sévères. En génie
civil, l'un des problèmes le plus fréquent que rencontre l'ingénieur en structures est le calcul
précis et fiable des dalles. Ces dernières se présentent en pratique sous forme de plaques en
flexion de formes diverses. Elles peuvent être perforées ou avoir des coins singuliers et reposer
sur des appuis rigides ou élastiques. Elles sont sollicitées par des charges agissant dans la
direction perpendiculaire à leur plan moyen.
En fonction de la nature des matériaux qui les constituent et de la géométrie de leur section
transversale, les dalles peuvent être classées en trois catégories:
Les dalles isotropes: elles sont constituées d'un matériau isotrope (acier, béton, par
exemple) et leur section transversale est homogène. Elles sont défmies par deux paramètres
élastiques (E et v : respectivement le module d'élasticité et le coefficient de Poisson). On les
retrouve dans les constructions civiles courantes (bâtiments, ouvrages d'art, ., .).
Les dalles orthotropes : leurs propriétés élastiques sont différentes dans deux
directions perpendiculaires. L'onhotropie peut être naturelle (bois) ou technique (dalles
raidies). Le comportement de ces dalles est défmi par quatre paramètres élastiques et on les
retrouve dans la construction navale, aéronavale, d'off-shores, de réservoirs de l'industrie
chimique, des bâtiments et d'ouvrages d'art.
Les dalles anisotropes : leurs propriétés élastiques sont différentes dans toutes les
directions. Neuf paramètres élastiques sont suffisants pour les définir. Elles sont souvent
constituées de matériaux composites et sont surtout utilisées dans l'industrie aéronavale.
Les dalles sont dites champignons lorsqu'elles reposent directement sur des colonnes (les
charges sont directement reportées aux colonnes sans l'intermédiaire de poutres). L'interaction
dalle-colonne se traduit par une forte concentration des moments et des efforts tranchants dans
la partie de dalle au voisinage immédiat de la tête de colonne. Pour reprendre cette concentration
d'efforts internes, la colonne est sur-épaissie autour des têtes de colonne.

---

- 3 -
La mécanique des structures permet de décrire le componement des dalles. grâce à des
équations aux dérivées panielles et panni les méthodes de résolution qui existent. la méthode
des éléments finis est actuellement, de loin, la plus utilisée.
Le modèle d'éléments finis dit conventionnel est basé sur la méthode de Rayleigh-Ritz. Il utilise
un champ de déplacement conforme qui vérifie approximativement l'équilibre. Contrairement à
ce dernier, le modèle hybride-Trefftz (lIT) [1] utilise deux champs de déplacements: un champ
interne qui vérifie a priori l'équation différentielle fondamentale du problème mais viole la
continuité aux interfaces et un champ conforme mais défini uniquement sur la frontière des
éléments (champ de bord). L'approximation ne pone alors que sur les conditions aux limites et
la continuité aux interfaces, conditions que la solution de l'assemblage des éléments tend
implicitement à satisfaire de manière optimale dans le sens des moyennes pondérées. Le
développement de l'élément HT ne fait appel qu'à des intégrales de contours. Il est par
conséquent aisé de générer de.s éléments polygonaux aux côtés rectilignes ou curvilignes en
nombre optionnel.
Les applications pratiques les plus lointaines des fonctions de Trefftz étaient surtout limitées au
développement de macro-éléments couvrant des sous-régions paniculières. Par exemple, Stein
[2] et Ruoff [3] ont utilisé cette approche pour la construction de macro-éléments de plaque et
de coque peu profondes qu'ils ont combinées avec les éléments finis conventionnels. D'autres
auteurs ont poné l'attention sur la mise au point d'éléments spéciaux fissurés ou présentant des
coins singuliers qu'ils ont combinés avec un champ d'éléments finis conventionnels. Une telle
approche a été utilisée dans le passé par Tong et co-auteurs [4. 5] et ces éléments constituent en
fait une forme particulière du modèle HT.
Par opposition au concept des macro-éléments spéciaux, J. Jirousek et Léon [6] ont développé
un élément fini quadrilatéral de plaque en flexion du type Trefftz. Les résultats d'exemples
étudiés avec cet élément sont très précis et insensibles à la distorsion du réseau. Cependant,
cette approche ne put être étendue à la solution d'autres problèmes dans la mesure où le principe
variationnel adopté est sous une forme particulière qui ne s'applique qu'à l'équation
bihannonique.
ILe premier auteur [7] a ensuite proposé une formulation générale qu'il fonde sur l'emploi des
fonctions de Trefftz du type déplacement pour les problèmes linéaires et élastiques. Il proposa
Ipar la suite, en se basant sur cette démarche, une nouvelle procédure qu'il dénomma "Méthode

---

-4-
des grands éléments finis" (GEF) [8] et l'appliqua à des problèmes d'élasticité plane et de
plaques en flexion. Cette formulation prend en compte un certain nombre de problèmes relatifs
aux singularités et aux concentrations de contraintes [9-13].
La formulation présentée en [7] comprend deux formulations alternatives où le champ de bord
peut être défini ou bien sur toute la frontière de l'élément ou seulement sur ses parties
interfaciales. Aussi, au lieu de se limiter aux grands éléments finis sophistiqués, la mise au
point de petits éléments simples mais efficaces a également été étudiée. Dans ce contexte, la
dénomination GEF a été remplacée par une plus pertinente: les éléments finis HT. En effet, du
point de vue de la méthodologie adoptée dans l'élaboration des éléments finis, le modèle peut
être considéré comme un nouveau du type hybride et le tableau 1.1 tiré de la référence [14] le
situe dans ce groupe d'éléments.
Tableau 1.1 : Classification de quelques modèles d'éléments finis hybrides
Fonctions tests
Modèle
Principe
A l'intérieur de Aux interfaces
Paramètres
Références
variationnel
l'élément
nodaux
résultants
Contrainte
Energie
Contraintes
Déplacements
Déplacements
Pian [15. 16]
complémentaire
continues en
compatibles
nodaux
modifiée
équilibre
Déplacement 1
Energie
Déplacements
Déplacements
Déplacements
Tong [17]
potentielle
continus
compatibles
nodaux
Kikuchi et Ando
modifiée
[18]
Déplacement 2
Energie
Déplacements
Tractions de
Déplacements
Gallager [19]
potentielle
continus
bords en
nodaux et
équilibre
tractions de
bords
Trefftz
Energies
Déplacements
Déplacements
Déplacements
Jirousek [7. 8]
potentielle ou
continus qui
compatibles
nodaux
complémentaire engendrent des
modifiées
contraintes en
équilibre
Récemment, le concept des éléments HT a été appliqué pour le développement d'éléments finis
standards et spéciaux [23] de plaques minces en flexion. Ainsi, ont été utilisées, différentes

---

- 5 -
séries de fonctions de Trefftz régulières ou spéciales aptes à reproduire, fidèlement, les effets
locaux au voisinage d'un coin singulier ou d'un trou circulaire.
Avec le progrès dans la conception assistée par ordinateur, il est devenu nécessaire de mettre au
point des procédures adaptatives qui garantissent la précision spécifiée par l'utilisateur.
L'amélioration de la précision peut être réalisée en raffinant le réseau d'éléments (méthode h),
en augmentant l'ordre d'approximation tout en maintenant intact le réseau d'éléments (méthode
p) ou en combinant les deux (méthode h-p).
La méthode h requiert une procédure de remaillage automatique qui n'est pas nécessaire avec la
version p (basé sur la méthode p) des éléments conventionnels [20-22]. Mais en faisant usage
de la version p des éléments finis conventionnels en présence des singularités, une vitesse de
convergence plus grande que dans la phase asymptotique n'est obtenue que avec un raffinement
local très serré. Avec les éléments finis HT version-p [24], il est possible de reproduire ces
effets locaux en dotant la librairie de fonctions optionnelles d'une série de fonctions spéciales
qui en plus de vérifier les équations différentielles du problème, représentent aussi les
conditions de bord responsables des singularités. Avec cette série de fonctions, la solution HT
présente la même vitesse de convergence que celle d'un problème régulier (convergence
exponentielle avec un réseau non raffiné d'éléments HT).
Bien que présentant un intérêt certain, les versions h, p ou h-p des éléments finis
conventionnels deviennent peu efficaces pour le traitement des problèmes à second membre
multiple. En particulier, pour déterminer les efforts maximums en tout point d'un tablier de pont
dus à une charge concentrée mobile, il faut adopter pour chaque position de la charge, la
meilleure configuration du réseau qui permet au mieux, de représenter les effets de
concentration de contraintes.
Cet inconvénient est évité lorsqu'on fait usage de la version-p des éléments HT puisque les
singularités dues aux charges concentrées sont prises en compte dans l'expression du champ de
déplacement interne et, par conséquent, le maillage et la précision de la solution deviennent
pratiquement indépendants du chargement.
Partant de ces possibilités les éléments HT version p sont en applications progressives dans
différents secteurs de la mécanique des milieux continus (plaques en flexion [24], élasticité

---

-6-
plane [25], coques [26]) et pour la solution d'autres problèmes physiques (solution de
l'équation de Poisson [27]) et c'est dans ~e contexte que s'inscrivent les buts de ce présent
travail qui sont énumérés ci-dessous.
1.2
BUTS DE LA THESE
Cette thèse a pour but essentiel, la mise au point d'un outil d'analyse efficace et fiable pour les
dalles champignons et les dalles onhotropes. Depuis le début des années 60, le calcul des dalles
a fait l'objet d'un grand nombre de publications. L'objectif de la majorité des auteurs a été de
mettre en oeuvre des modèles d'éléments fmis qui permettent d'obtenir efficacement des
solutions garanties. Actuellement le modèle d'éléments finis conventionnels, basé sur la
méthode de Rayleigh Ritz est encore d'usage plus courant. Avec ce modèle, les zones à fort
gradient de contraintes (comme au voisinage d'un point singulier, d'un trou ou d'une colonne)
doivent être discrétisés avec un grand nombre d'éléments pour obtenir des résultats
raisonnablement précis. Une telle démarche est onéreuse aussi bien en temps-Homme pour la
préparation des données que en temps de calcul. L'expérience a cependant montré qu'elle n'est
pas nécessairement garante de résultats fiables.
Les dalles champignons sont des constructions que l'on rencontre couramment en génie civil
(bâtiments, ponts). Cependant, vu la complexité du système dalle-colonnes, il existe une
difficulté, sérieuse, dans la représentation correcte et efficace des efforts internes aux alentours
des têtes de colonnes d'une pan, et dans la connaissance du comportement structural de
l'ensemble d'autre pan .
D'une étude basée sur le contrôle du comportement tridimensionnel au voisinage d'une colonne
[28], est ressorti que si on utilise les éléments finis conventionnels basés sur les théories de
Reissner-Mindlin ou de Kirchhoff, les colonnes peuvent être modélisées comme des appuis
ponctuels ou répartis sur la section des colonnes: des appuis rigides ou élastiques et leur choix
dépend des dimensions relatives de la section des colonnes et de la portée de la dalle (portée
entre-axe des colonnes, par exemple). Avec une telle modélisation et un raffinement local

---

modéré, les théories de Reissner-Mindlin et de Kirchhoff donnent des résultats comparables à
ceux obtenus avec les éléments tridimensionnels conventionnels.
Si l'on procède au raffinement local pour reproduire de façon précise la concentration locale des
effons internes, avec l'appui ponctuel, la théorie de Reissner-Mindlin donne des résultats
incenains mais la solution obtenue avec la théorie de Kirchhoff converge. TI faut noter
cependant que suivant cette dernière, quelque soit la nature de la modélisation de la colonne
susmentionnée, le déplacement transversal de la dalle, une information imponante sur la
construction en état de service, et la concentration des effons internes ne sont représentés que
de façon approximative et en même temps, les effets de la rigidité flexionnelle des colonnes ne
sont pas reproduites.
Pour le calcul des dalles les fonctions de Trefftz se limitent actuellement au cas des dalles
isotropes. Ceci a motivé notre souhait de mettre au point les éléments HT orthotropes et plus
tard également, les éléments HT anisotropes. Dans le modèle d'éléments finis conventionnels,
le problème est simple. li suffit de choisir la matrice élastique. Alors que dans le modèle HT, il
est nécessaire de construire des fonctions de Trefftz appropriées Le problème deviént délicat si
l'on veut préserver l'indépendance de la solution sur le choix du référentiel global.
Ce travail de thèse a été accompli dans l'environnement du programme SAFE [29]. S'appuyant
donc sur la théorie de base du modèle d'éléments finis Hf (voir au chapitre 2) ses objectifs
essentiels peuvent être énumérés comme suit:
la mise au point d'un outil de calcul précis et efficace pour l'analyse des dalles-
champignons. L'élément spécial qui sera proposé utilise une série de fonctions de Trefftz
complète, apte à représenter la concentration des effons internes due à la présence d'une
colonne, de même que les effets d'une variation radiale d'épaisseur de la panie de dalle
avoisinante.
l'extension de la bibliothèque des éléments HT pour le calcul des dalles orthotropes. Il
s'agit de bâtir une série de fonctions de Trefftz qui peuvent représenter la variation
directionnelle de la rigidité. Une méthode qui permet leur génération systématique sera
proposée. Ces fonctions devront préserver les propriétés d'invariance désirées quelque soit
l'orientation des axes de coordonnées.

---

- 8 -
Les différents éléments ainsi mis au point seront confrontés à quelques résultats analytiques ou
obtenus avec la bibliothèque d'éléments conventionnels du programme SAFE. Leurs
performances et possibilités d'application seront illustrées à l'aide d'exemples pratiques.
1.3
REALISATIONS ORIGINALES DE LA THESE
Génération unifiée des fonction de Trefftz pour le cas isotrope (cas standard, trous, dalles
sur colonnes, dalles-champignons),
génération des fonctions de Trefftz pour le calcul des dalles orthotropes,
calcul du terme particulier relatif aux charges concentrées par intégration numérique de la
fonction de Green,
application aux calculs des dalles, d'une technique alternative pour la prise en compte des
charges concentrées. Technique initialement présentée en élasticité plane [25] qui rend le
choix du réseau d'éléments pratiquement indépendant du chargement.
développement d'éléments raidisseurs (version p) pour le calcul des sommiers' centrés ou
excentrés.

---

-9-
2 • FORMULATION GENERALE DE
L'ELEMENT HT ET SON APPLICATION
AUX PLAQUES
2.1
Formulation
basée
sur
la
minimisation de la norme énergétique
2.2
Formulation équivalente basée sur la
minimisation
de
la
fonctionnelle
J(u,v)
2.3
Comparaison des deux formulations
2.4
Application à la flexion des plaques
minces

---

- 10-
2.
FORMULATION GENERALE DE L'ELEMENT HT ET SON
APPLICATION AUX PLAQUES
Dans ce chapitre, nous rappellerons deux formulations du modèle d'éléments finis HT : une
première basée sur la minimisation de la norme énergétique [24] et une seconde basée sur la
détennination du point stationnaire d'une fonctionnelle [23]. Ces fonnulations équivalentes
peuvent être indifféremment appliquées à la version h ou p de l'élément HT de plaque en
flexion.
2.1
FORMULATION BASEE SUR LA MINIMISATION DE LA NORME
ENERGETIQUE
Les équadons qui régissent le componement d'une plaque (figure 2.1) peuvent s'écrire avec les
variables définies comme suit :
u et b: vecteurs conjugués·) des déplacements généralisés et des forces de volume
E et cr:
vecteurs conjugués·) des défonnations et contraintes
v et t:
vecteurs conjugués·) des déplacements et tractions de bord généralisés.
(2.la)
E
=
Lu
(2.1 b)
=
DE
(2.lc)
(2.la, b et c) sont respectivement les conditions d'équilibre interne, les relations cinématiques et
la loi constitutive qui conduisent aux équations différentielles fondamentales
-
au
=
b
(2.1 d)
avec
a
=
.)
Les produits ulb, ETcr , vTt représentent un travail.

---

- 11-
Figure 2.1 :
Plaque qui occupe un domaine n. u est le vecteur
déplacements défini dans le domaine n, r v : partie de la
frontière où les déplacements sont imposés, ft : partie de la
frontière où les tractions sont imposées.
Les conditions aux frontières sont spécifiées pour les déplacements et tractions généralisés:
v = v(u) = v sur
rv
(2.2)
t
= t (u) = t
sur
r t
(2.3)
ici
Subdivisons le domaine n en sous-domaines ne(n =y ne) comme à la figure 2.2 et
établissons la formulation en supposant pour chaque élément les deux champs de déplacements
suivants:
a)
un champ de Trefftz non-conforme
o m o
Ue =Ue + .L N j Cj = Ue + Ne Ce
(2.4)
J=l

---

- 12-
où les Cj sont des coefficients indéterminés, Se et Ne sont respectivement la solution
particulière et une série de solutions homogènes linéairement indépendantes de l'équation
(2.1d) :
0
aUe =
b
} surOe
(2.5)
aNe =
0
Figure 2.2 :
Plaque qui occupe un domaine n subdivisé en n sous-
domaines Oe(n =l ne)
Pour m ~ 00, NI, N 2, ... est une série convergente de fonctions linéairement
indépendantes qui vérifient les équations différentielles fondamentales homogènes (les
fonctions N1, N2, ... forment une série complète de fonctions Trefftz). Herrera [30] a
montré que dans des conditions très générales (forme du domaine et des conditions de
bord), un algorithme de "résolution aux frontières" basé sur de telles fonctions converge
vers la bonne solution.
b)
un champ auxiliaire de déplacements conformes
(2.6)

---

- 13 -
défini en fonction des paramètres nodaux de comme dans le modèle classique (déplacement
confonne) d'éléments finis. Ne sont des fonctions d'interpolation.
La confonnité du champ De est ensuite imposée en minimisant la nonne énergétique de la
différence de De - Üe [31] :
1
U(De- ûe)
J(Ee- Ee)Tn (Ee - Ëe) min
= ï
=
(2.7)
Avec
ne
0
Ue -7 Ee = Ce + Be ce
(2.8a)
ue -7 Ëe = Bede
(2.8b)
on obtient:
J&Tn (Ee- Ëe) d n =0
e
(2.8c)
ne
une équation pennettant d'exprimer les coefficients indétenninés ce du champ de Trefftz en
fonction des déplacements de du champ compatible.
(2.9)
où
He =
l BeTn Be dn,
(2.9a)
ne
l T 0
he =
Be nEe dn,
(2.9b)
ne
(2.9c)
He est une matrice symétrique définie positive puisque D = DT, et la fonne quadratique
c~ He Ce représente le double de l'énergie de défonnation généré par la partie homogène du
champ de déplacements ue' Pour une contrainte virtuelle 8ae, la variation de U(ue - ûe) se
traduit par
(2.10)

---

- 14-
Les intégrales sur le domaine ile peuvent être tI'ansfonnées en intégrales sur le contour aile.
Ceci est possible puisque la matrice D est symétrique, D=DT, et le produit BTD=(DB)T
représente une matrice de contraintes auto-équilibrées dont le travail virtuel, en vertu du
théorème de Clapeyron, est égal à celui des tractions de bord correspondantes. Si l'on désigne
les déplacements généralisés dérivés des champs De et Üe par :
}
(2.Ua, b)
les tractions issues du champ Ile par:
o
Ue
-t
te = te + Te Ce
(2.12)
et l'on observe que Bii = LT (D L ôu) = 0, l'équation (2.10) peut s'écrire comme:
BU(
T
Ue -
ûe ) =
JBte ( ve-vJeiI" =0
(2.13)
aile
Ainsi,
d'où l'on tire
(2.13b)
(2.Bc)
Ge
=
(2.13d)
Puisque l'intégration se fait sur le bord aile, une défmition explicite de Üe dans le domaine n'est
plus nécessaire. On peut alors se limiter à choisir directement le champ de déplacement
sur
(2.14)

---

- 15 -
Cene démarche pennet une grande libené dans le choix de la géométrie de l'élément (élément à
contour polygonal par exemple, avec un Rombre de côtés optionnel) et en paniculier, la
construction aisée des éléments pour des problèmes où la confonnité Cl des fonctions
d'interpolation Ve est nécessaire (plaques de Kirchhoff).
Comme les contraintes dérivées du champ ue vérifient exactement l'équilibre interne et qu'avec
l'équation (2.9) la confonnité des déplacements est imposée, il ne reste plus qu'à assurer la
continuité des tractions te à travers les interfaces et d'introduire l'effet des tractions aux bords
libres Cane (\\ r t). On utilisera l'équivalence des travaux virtuels suivante:
ôd~re +
J ôvIt dr = J ôv~tedr
(2.15)
ane (\\ r
ane
t
pour en tirer la relation forces-déplacements habituelle:
o
re= re + ke de
(2.16)
avec
~e = 1k - G/ Hel he
(2.16a)
k
T
e = Ge Hel Ge
(2.16b)
où He' he' Ge sont donnés par les intégrales de contours (2.13b-d), et
~= J
- T-
Ve t dr .
(2.17)
ane
Il est clair que l'élément obtenu passera le test de rapiéçage (patch test) si üe représente exacte-
ment les modes rigides. Il est imponant d'observer que la maoice He serait singulière si une
des fonctions Nj représente un mode rigide (qui conduirait à des tractions de bord nulles). Par
conséquent Ue doit alors être dépourvu des modes rigides. Seules seront retenues les fonctions
Nj indépendantes qui conduisent à des déformations non nulles. La condition nécessaire (mais
non suffisante) pour que le rang de la matrice de rigidité soit correct est alors
m ~ NDDL - NRIG
(2.18)

---

- 16-
où m est le nombre de fonctions homogènes linéairement indépendantes de Ne. NDDL est le
nombre de degrés de libené (vecteur de) et NRIG est le nombre de modes rigides. Le champ Ile
décrit correctement l'état de contraintes mais les déplacements ne sont connus qu'à des modes
rigides près. Au besoin. une fois les paramètres Ce connus, ces modes pourront être rajoutés
par un ajustement des vecteurs de déplacement Ve et ve.
2.2
FORMULATION EQUIVALENTE BASEE SUR LA MINIMISATION
DE LA FONCTIONNELLE J(u,v)
La fonnulation de l'élément de la figure 2.3 se fait en considérant que sa frontière est constituée
de quatre zones distinctes :
(2.19)
r se = r sve u r Sle : zone de ne où les conditions spécifiées des déplacements (ve = v)
et des tractions de bord (te = [) sont vérifiées a priori par le
champ de déplacement interne lie
interfaces
zone de la frontière où les déplacements (v e = v) et les tractions
de bord (te =t) sont spécifiés.
a]
rie
Figure 2.3 :
a) élément standard. b) éléments spéciaux (plaque perforée.
dalle sur colonne). Un choix du champ de déplacements Ue
permet de vérifier a priori les conditions spécifiées sur r se.

---

- 17 -
Soit la fonctionnelle :
J(U.V)= ~~ [ - 1. iiT rie dO + JleT v dr - JveT ï dr
r sYe
r ste
+ J teT (2ve- Ve) dr - 2
J v? t dr =stationnaire]
r e
rtef'Ût
(2.20)
assujettie aux conditions subsidiaires
a)
LUe=ii
dans
(2.20a)
avec
V e =v sur rsYe
(2.20b)
(2.20c)
b)
sur
(2.20d)
La variation de J(u,v) par rappon à u et vdonne
ÔJ(u, v)
=-!I. [- JÔueTb + JÔleT v dr - JaVeT ï dr
e
ne
r sYe
r ste
+ 2 J ateT ve dr - J ateT ve dr + 2 J ôv? te dr
~
~
~
- 2
J av? ï dr]
(2.21)
rerUte
La variation de u étant représentée par la variation de sa partie homogène (ou == Ne OCe) et
ob = 0, on déduit du théorème de Betti la relation:
JôUeTfi dO = J(ôteTve - ôveTte) dr .
(2.22)
ne
ane

---

- 18-
Ceci conduit pour &J(u,v) à la relation:
(2.23)
qui montre que les conditions naturelles associées à BJ(u, v) = 0 sont la continuité des
déplacements et tractions et les conditions statiques prescrites (te = t sur rte). Observant que la
variation de J(u,v) par rapport à u s'annule pour chaque élément,
BuJ = JBteT (v e -
ve) dr = 0
(2.24)
re
alors
J T/ (~e + Ve ce - Ve de) dr =0
(2.25)
r e
Cette équation se traduit comme dans (2.9), par une relation qui exprime les paramètres
indéterminés Ce en fonction des déplacements de
(2.26)
avec
He =
JTeT Vedr,
(2.26a)
r e
J
he
T 0
=
Te
vedr,
(2.26b)
r e
Ge = JTeTve dr .
(2.26c)
r e
La matrice de rigidité et les forces équivalentes aux nœuds s'obtiennent à panir de la variation
de J(u, v) par rapport à v

---

- 19-
5vJ = L [ f
-
~vcT -tdr] =0.
(2.27)
e
re
AVeJ:;
(2.28a. b)
l'équation (2.27) conduit à la relation forces-déplacements exprimée dans le repaire global.
(2.29a)
o
et
Kd =-R
.
(2.29b)
o
K est la matrice de rigidité. d le vecteur déplacements et R le vecteur forces équivalentes
assemblées aux nœuds.
En même temps
OvJ=2, ÔvJe = 0 .
(2.30)
e
La contribution ô-vle *" 0 de l'élément e à &-) est:
SyJ
T
e = Jôvetedr-
f ôve t dr
(2.31)
r e
rerUt
ou encore en introduisant (2.26) et (2.28a. b)
(2.32a)
He' he. Ge sont les intégrales (2.26a-c) effectuées sur le contour r e et

---

- 20-
(2.32b)
o
Dès lors, K et R s'obtiennent par le processus standard d'assemblage de la méthode des
éléments finis
L ÔvJe = L ôdeT(k e de + ~e) =L Ô dT( Ked + ~e)
(2.32c)
e
e
e
avec
ke = GeT H-J Ge
(2.32d)
o
G TH-1 h
re = ~-
e
e
e
(2.32e)
0
0
K=LK e
R=L Re
(2.32f)
e
e
o
Ke et Re sont la matrice de raideur et le vecteur de forces équivalentes aux nœuds de l'élément
exprimés dans le repaire global.
2.3
COMPARAISON DES DEUX FORMULATIONS
Les deux formulations présentent une différence formelle qui provient du fait que dans la
deuxième, on tient compte explicitement des conditions
sur
r sye
(2.33a.b)
sur
r ste
que le champ interne vérifie a priori.

---

- 21 -
Dans la première, la variation de la norme énergétique exprimée en (2.10) et (2.13) peut
s'écrire:
(2.34)
Si on considère que le champ interne vérifie a priori les conditions (2.33a,b) et que ve =v sur
f St Te( ve-vJ dI" = 0
(2.35a)
rsveurste
et par conséquent
f SteT(ve-vJ tir = JôteT(ve-vJ tir
(2.35)
aOe=reursveurste
re
Ainsi les expressions (2.13) de He' he et Ge deviennent identiques à celles de (2.26).
Appliquant ensuite le principe du travail vinuel, on retrouve la relation forces-déplacements
avec ~ défini comme dans (2.32b).
2.4
APPLICATION A LA FLEXION DES PLAQUES MINCES
Dans la théorie de Kirchhoff, le componement des plaques minces en flexion est décrit par le
déplacement transversal w que l'on assimile à lIe. L'expansion
(2.36)
est choisie de manière à vérifier l'équation différentielle des plaques minces. Dans le cas des
dalles isotropes par exemple :
(2.37)

---

- 22-
où p est la charge transversale répartie et D = Et3/12{1-v2) la rigidité de la dalle (équation de
Lagrange).
a. et Ne sont respectivement les solutions particulières et homogènes de l'équation de
Lagrange. Elles sont construites à partir des équations suivantes.
V4 w = p,D
}
surQe
(2.38)
V4 Ne = 0
L'élément HT standard a déjà été développé [23] en choisissant la solution homogène comme la
série de fonctions bihannoniques suivante :
} (2.38a)
Ni+3 = Re ZOk+2
(k =0, 1, 2, ... )
où
et
(2.38b et c)
et xO, YO sont les coordonnées locales ayant comme origine le centre de gravité de l'élément.
Pour la charge uniforme et ponctuelle (P appliquée en xp et yp) par exemple, les solutions
particulières s'écrivent respectivement
°w P
=--A2 r2 Inr2
(2.38d)
161tD
où
(2.38e)
A est une constante géométrique utilisée pour rendre adimentionnelle la distance r Des
expériences numériques ont montré que l'on obtient une bonne précision en fixant sa valeur à
100 fois la distance moyenne entre le centre de gravité et les coins de l'élément).
Le vecteur ve est défini à partir d'une interpolation indépendante du déplacement transversal et
de la rotation normale au bord de l'élément. Les fonctions d'interpolation choisies permettent
d'assurer la continuité Cl.

---

- 23-
2.4.1
Définition des vecteurs déplacements ve et tractions te
Les vecteurs ve et te sont défInis respectivement en fonction des déplacements et des
éléments réducteurs sous trois fonnes possibles, énergétiquement équivalentes:
a)
les tractions Qn, Mnx et Mny (fig. 2.4a) sont exprimées suivant le système local d'axes
canésiens de l'élément et
w
Qn
dW
ve =
-di"
,
te = Mm
(2.39a,b)
dW
Mny
-(fy
Figure 2.4a :
Définition des tractions de bord d'un élément de plaque en
flexion. Les tractions sont exprimées suivant un système de
référence fixe.
avec
Qn = Qx cosa + Qy sina
Mm = Mx cosa + Mxy sina
(2.40)
M ny =My sina + M xy cosa

---

- 24-
et a est l'angle entre l'axe des x et la nonnale extérieure ri à un point considéré sur le côté.
b)
Les tractions On, Mn et Mns sont exprimées suivant le système d'axe mobile (ri, 1) défmi
à un point du côté (Fig. 2.4b).
il·
y llW
Mxydy
Qxdy,
Mxdy
Figure 2.4b :
Définition des tractions de bord d'un élément de plaque en
flexion. Les tractions sont exprimées suivant le système
d'axe (ri, 1) défini à un point du côté.
w
aw
ve =
-dIï
t e =
Mn
(2.41a,b)
aw
MIlS
-d"S
avec
Qn = Qx cosa + Qy sin a
Mn = Mx cos2a + My sin2a + 2Mxy cosa sina
(2.42)
M ns = Mx sina cosa + My sin ex cos ex + Mxy (cos2ex - sin2ex)

---

c)
Les tractions Qn et Mns de b) sont remplacées par un système statiquement équivalent que
forment les forces de Kirchhoff Rn et les forces correspondantes Veaux coins de l'élément
(Fig. 2.4c).
(2.43)
v c = lim+ Mns - lim Mns
s=s
s=s-
Figure 2.4c :
Définition des tractions de bord d'un élément de plaque en
flexion. Les tractions sont les forces de Kirchhoff Rn
exprimées suivant le repaire mobile (ri . 1) et les forces
correspondantes Veaux coins.
Les matrices auxiliaires de l'élément sont calculées à partir de la contribution des côtés.
(2.44a,b)

---

- 26-
ajoutée de celles des coins Cl, C2' ... :
ve =
(2.45a,b)
Le calcul des tractions de bord est plus aisé avec les possibilités (a) et (b). Avec la variante (c),
l'ordre des vecteurs à intégrer passe de 3 à 2; le temps de calcul est certes plus court mais la
constrUction des matrices auxiliaires nécessite un algorithme plus élaboré. Pour la suite, nous
avons retenu la définition (a)
2.4.2
Définition du vecteur déplacements de bord ve pour la version p de
l'élément HT
L'élément HT version p est montré à la figure 2.5. Lorsqu'il est utilisé dans une procédure
adaptative, la précision est contrôlée en augmentant de façon uniforme ou sélective, le nombre
de degrés de liberté (DDL) associés aux nœuds intermédiaires (ô) tandis que le réseau et la
topologie des nœuds restent fixes. TI se différentie de la version h par une définition appropriée
du vecteur déplacements conforme de bord
(2.46)
où west le déplacement latéral, Wx et V/y les rotations suivant les axes x et y.

---

- 27-
A
a b a···
C '
c'
1
1
DBY
Figure 2.5 :
Version p de l'élément HT. (a) système de référence sur le
côté; (b) degrés de libené nodaux et hiérarchiques associés
aux nœuds A. B et C sur un côté de l'élément.
Avec une interpolation indépendante du déplacement Vi et de la rotation normale Wn • les
rotations s'écrivent:
(2.47)
et le vecteur ve devient
o
1
a
nxd'S
(2.48)
-n y

---

- 28-
Sur un côté de l'élément, wn et W sont établis à partir d'une interpolation hermitienne des
DDL aux nœuds de coins qui convient à la '\\lersion h de l'élément HT. Pour la version p wn et
w sont complétés par les modes hiérarchiques associés aux nœuds intennédiaires.
wn = (WAx nAx + WAy nAy) VI + (WBx nBx + WBy nBY) V2 + ~ aCi Ï;
(2.49)
1
(2.50)
où wA, wAx, WAy· wB, wBx' WBy et 8.c , b
, b
1
CI ' 8.c2
C2' •.• sont respectivement les degrés de
libené nodaux et hiérarchiques associés aux nœuds A, B et C; tA et tB sont les modules du
vecteur tangent
(2.51)
en A et B; VI, V2 et V3, V4, VS, V6 sont respectivement des fonctions d'interpolation
hermitiennes linéaires et cubiques associées aux nœuds de coins 0 (Fig. 2.6); Ï; et Mi les
modes hiérarchiques associés aux nœuds intennédiaires !1 (Fig. 2.7). Pour la définition
univoque de wn et wen fonction des paramètres nodaux 8.c., bc. communs à deux éléments
J
J
adjacents se panageant le nœuds C, les modes hiérarchiques à la figure 2.7 sont affectés d'un
coefficient c:
Ï; = ci çi-l (l....ç2)
(2.52)
~ = ci- l çj-l (l....ç2)2
(2.53)
Ce coefficient égal à +1 ou -1 suivant l'orientation du bord de l'élément dans le système global.
Si
xBA = xB - xA
et
YBA = YB - YA
(2.54)
XA, YA étant les coordonnées du nœud A et xB, YB celles du nœud B, alors
c= 1
pourxBA < YBA etpour
(XBA = YBA avec xBA > 0)
(2.54a)
c =-1 pour xBA > YBA et pour
(XBA = YBA avec xBA < 0)
(2.54b)

---

-
1
VI =ï (I-{)
fi
::::::==-:
,,
Nœud A
-..
1
V2 =ï (l+~)
l~
1
Nœud B
1
-
1
3
VJ =r 4 (~ - 3~ + 2)
~l
,
~
,
i
-
1
3
2
/
Nœud A
V4 =4 (~ - ~ - ~ + 1)
1~1
-
1
3
<
Vs =4" (-{ + 3~ + 2)
:~,
-
1 3 2
V6=4"(~ +~ -~-I)
l~
Nœud 0
-i:J
1
of!
,
.... ,
o
Fig. 2.6 : Fonctions d'interpolation associés aux nœuds de coins 0

---

...
LI=
(1 - ~2)
1
,
J
~
...
au
Lt.z=
~(I _ ç2)
~l
nœud i\\ pour Wn
1
...
\\::27
(Nœud C)
L3=
~2(J _ ç2)
1
1
,
1
1
"2:7" "-.J:.7
...
4=
~i-I(l _ ç2)
1
,
----
...
MI =
(1 _ ~2)2
~I
•
...
~
M2=
~(I _ ~2)2
•
~
-
~
au nœud A pour wn
M3=
~2(1 _ ~2)2
,
1
1
~'~'
(Nœud C)
1
1
...
1
1
Mj=
~I(I _ ~2)2
1
_._.J
- ~
t !J
, • +. 1
o
Fig. 2.7 : Modes hiérarchiques associés aux nœuds
intermédiaires li.

---

- 31 -
2.4.3
Représentation des modes rigides
Pour éviter l'apparition des modes d'énergie parasitaires qui pourrait compromettre la
convergence de la solution, il est souhaitable que la rotation normale wn et le déplacement VI
puissent reproduire correctement les modes rigides. Les modes rigides du déplacement et de la
rotation normale s'expriment comme
W = ~O + ~ 1 x + ~2 y
(2.55a)
et
(2.55b)
où nx et ny sont les cosinus directeurs de la nonnale extérieure en tout point d'un côté.
Dans l'expression de la rotation normale en (2.48), les cosinus directeurs de la normale
extérieure du côté ne varient pas en fonction de ~ comme dans (2.55b). wn ne reproduit donc
les modes rigides de la rotation normale que si les côtés sont droits Cnx =nAx = nBx; ny =nAy =
nBy)' Sans la contribution des termes optionnels aciLj, il a cependant la capacité de ~eprésenter
exactement une pente normale constante; une propriété fortement désirée dans l'analyse des
dalles circulaires (la représentation des modes rigides du déplacement dépend de la géoménie du
côté; un fait bien connu avec les éléments isoparamétriques [32]). Ainsi dans un cas général des
côtés courbes la représentation des modes rigides ne sera pas parfaite. Cependant, l'erreur qui
en provient pourra être réduite à une valeur aussi faible que souhaitée en augmentant le nombre
de DDL aux nœuds intermédiaires.
En examinant l'expression (2.55b), on voit que si l'on remplace dans (2.48), nAx et nBx par nx
puis, nAy et nBy par ny,
-
-
(wBx nx
+ WBy ny) V2 + L aciLi .
(2.56)
i
Sans les modes hiérarchiques (2.56) reproduit alors exactement le mode rigide de la rotation
normale mais en revanche, la capacité de reproduire une pente normale constante est perdue.

---

- 32-
Cet état de déformation est obtenu, à un niveau de précision donné avec la contribution des
paramètres nodaux aq. Sans avoir recours a~x modes hiérarchiques et en posant
W = ~O + ~1 x + 132 y
(2.57)
avec
WA = 130 + ~1 xA + 132 yA
(2.57a)
WB = ~O + ~1 xB + ~ YB
(2.57b)
wAA = wBx =131
(2.57c)
WAy =WBy =132
(2.57d)
on obtient, après l'identification des coefficients de J3o, ~1 et ~ l'équation paramétrique
(2.58a,b)
-
-
-
-
Y=YA V3 +nAA tA V4 +YB Vs +nBx tB V6
qui restreint le côté de l'élément à une géométrie cubique si les modes rigides du déplacement
doivent être reproduits exactement. L'approximation (2.58a,b) de la géométrie circulaire
engendre une erreur que l'on peut coniger en augmentant la géométrie approximative des côtés
circulaires comme
(2.59a,b)
-
-
-
-
-
Y=YAV3-nAAtA V4 +yBVS -nBxtBV6 +~Âjy Mj
J
où
et
sont les termes correctifs apponés à la cubique initiale.
Comme dans la version p des éléments conventionnels, dans la version p de l'élément RT, on
ne peut, en général reproduire à la fois et la géométrie curviligne, et les modes rigides et une

---

- 33-
pente nonnale constante. A travers des études déjà faites [33] les expressions (2.49) de la
rotation normale et (2.50) du déplacement so~t recommandés dans le cas des dalles circulaires,
si la représentation d'une pente normale constante est primordiale. Avec ces expressions de wn
et.w, les modes rigides peuvent toujours être reproduits à une précision désirée, en augmentant
le niveau de raffinement p. Par contre, dans le cas où il est important de reprcxluire efficacement
les modes rigides, les expressions de wh en (2.56) et de w en (2.50) peuvent être utilisées avec
la géométrie du côté défini par (2.59a,b).

---

-34-

---

- 35-
3. ELEMENTS HT POUR LE CALCUL
DES DALLES-CHAMPIGNONS
3.1 Introduction
3.2 Fonctions de Trefftz·pour l'élément
à épaisseur constante.
3.3 Extension aux éléments à épaisseur
radialement variable
3.4 Etudes numériques et contrôle des
résultats

---

- 36-
3.
ELEMENTS FINIS HT POUR LE CALCUL DES DALLES-
CHAMPIGNONS
3.1
INTRODUCTION
Le calcul efficace des dalles champignons par la méthode des éléments finis, suppose
l'utilisation d'éléments spéciaux capables de reproduire fidèlement, la concentration des efforts
internes aux alentours immédiats des têtes de colonnes. Avec les éléments conventionnels, qu'il
s'agisse d'une analyse faite avec des éléments de plaque (de Kirchhoff ou de Reissner-Mind.lin)
ou d'une faite avec des éléments de solide tridimensionnel, un raffinement local est requis. Le
coût glob3:1 de ces types d'analyse est considérable aussi bien sur le plan des heures d'ingénieur
que du temps de calcul.
Figure 3.1
Réseau d'éléments hybrides-Trefftz pour l'analyse d'une
dalle-champignon. A : éléments avec fonctions standard; B
et C : éléments avec fonctions spéciales.
Dans ce chapitre sera présentée une technique qui permet la consnuction du champ interne de
l'élément dalle-colonne à épaisseur radialement variable. Cette technique est ensuite étendue
pour la mise en œuvre d'autres éléments spéciaux assujettis à diverses conditions statiques ou
cinématiques internes. Il devient aussi possible de traiter avec un seul type d'élément HT le cas

---

- 37-
standard A et les cas spéciaux B et C de la figure 3.1. Pour les cas B et C. les effets locaux sont
proprement pris en compte. Dans l'élément. la colonne ou le trou sont entourés d'une large
portion de dalle.
3.2
FONCTIONS DE TREFFTZ POUR L'ELEMENT A EPAISSEUR
CONSTANTE
Figure 3.2 :
Elément standard (à épaisseur constante). Systèmes de
référence local cartésien et polaire: l'origine 0 coïncide avec
le centre de gravité de l'élément.
Le problème considéré nécessite la génération d'une série de fonctions de Trefftz vérifiant
l'équation de Lagrange
(3.1)
L'évaluation des matrices auxiliaires au chapitre 2 utilisées pour la consnuction de la matrice de
rigidité se fait en intégrant sur le bord de l'élément des termes qui comprennent des puissances
élevées du rayon. Pour éviter les problèmes numériques (overflow), le rayon r est normé avec
la distance moyenne a entre l'origine et les coins de l'élément En fonction du paramètre non
dimensionnel p = rIa, la solution de l'équation différentielle (3.1) s'écrit en coordonnée polaire
(p,t}) comme:

---

- 38-
Dans cette expression, la solution particulière
(3.2a)
La solution homogène implique pour chaque valeur de k, deux vecteurs de quatre constantes
d'intégration
(3.2b)
et une matrice de quatre solutions fondamentales
fo(p) = [1
p2
lnp p 2lnp ]
si k = 0
f1(p) = [p
p3
l/p plnp]
si k = 1
(3.2c)
fk(p) = [pk
p2+k
p-k p2-k]
si k > 1
A partir de (3.2), l'expression de la forme
o m o
we=we + L Njcj = we+Nece
j=l
est construite compte tenu des conditions subsidiaires qui conviennent au type d'élément.

---

- 39-
3.2.1
Elément standard
3 COF (w, Wx ,Wy )
M OOF (a 1,a 2'''. ,aM)
(M optionnGl)
Figure 3.3 : Elément standard
Pour l'élément standard, les constantes
de (3.2) doivent être annulées afin d'éviter que le déplacement w, la rotation "i1w/èJr et l'effon de
cisaillement Qr prennent des valeurs infinies quand r=ap ~ O. Les constantes rémanentes
peuvent alors simplement être assimilées aux constantes Cj'
A lk = Cj+l
•
A2k = Cj+2
}
(3.3)
Le terme particulier est égal à
(3.4)
et les fonctions homogènes Nj s'écrivent

---

- 40-
où
T
o 0
~ pourk> J
(3.5a)
1
0
Si les modes rigides sont écartés de we' les trois premières fonctions homogènes deviennent:
SI
k = 0
(3.5b)
si
k = 1
Le nombre de modes rigides NRIG=3 et la condition nécessaire (mais pas suffisante) pour que
la matrice de raideur ait un rang correct est alors
m~NDDL-3
(3.6)
Ci-après, seront donnés les termes particuliers de base correspondant à la charge uniforme, la
force et le moment ponctuels pour les dalles isotropes. D'autres cas de chargement plus
complexe basés sur une intégration explicite ou numérique de ces charges ponctuelles seront
présentés au chapitre 5:
•
Charge uniformément répartie sur la totalité de l'élément
(3.7)
•
Force ponctuelle fi appliquée en xp' Yp (fig. 3.4a)
o
P
W
='--A2 s2 1n s2,
(3.8)
e
161tD
avec
(3.8a)
où s est la distance entre le point d'application de fi et un point considéré G de la dalle.

---

- 41 -
Figure 3.4a :
Dalle avec une force ponctuelle appliquée en (xp' Yp)'
•
Pour un moment concentrée 1\\1 appliqué en xM' YM (fig. 3.4b)
x
r-----
y
Figure 3.4b :
Dalle avec un moment ponctuel appliqué en xM' YM'

---

- 42-
o
M
w e =- - A s ln s cos q> ,
(3.9)
41tD
(3.9a)
s est maintenant la distance entre le point d'application de M et un point quelconque de la dalle;
q> est l'angle entre s et la direction du moment M.
3.2.2
Elément dalle-colonne
Un élément-type est montré à la figure 3.5a. Les actions dues aux déplacements horizontaux
des têtes de colonnes étant faibles, les efforts membranaires et les déplacements horizontaux du
plan médian de la dalle sont négligés. Les propriétés élastiques qui caractérisent la colonne sont
les rigidités flexionnelles et axiale qui sont par exemple, pour une colonne encastrée à sa base
- 4El
_ 4El
EA
K
x
y
x -
l
'
Ky -
1
KZ=-l-
(3.10)
si les effets du second ordre dus à la rotation de la tête de colonne sont négligés. (Ix' I y et A
sont les moments d'inertie et l'aire de la section de la colonne). Cependant, la colonne peut
avoir une forme arbitraire. Dans ce cas, on suppose que le noyau à l'intersection dalle-colonne
est idéalisé comme un cylindre de diamètre 2ro. Le rayon équivalent est
ro =-V Ar/1t
où pour une colonne à section pleine, Ar est l'aire de la section. Si la colonne est évidée, Ar est
l'aire de la section pleine ayant le même contour extérieur que la section réelle. Aucune attention
particulière n'a été ponée au comportement tridimensionnel complexe de la jonction dalle-
colonne. Le noyau cylindrique que constitue le prolongement de la colonne dans la dalle, est
considéré comme rigide. Si en même temps, le comportement de la dalle obéit à la théorie de
Kirchhoff, on peut sans difficulté, imposer au champ de déplacement interne We, les conditions
statiques et cinématiques qui représentent l'interaction dalle-colonne.

---

a)
/y
bJ
.'y
·_·-.x
·-.x
,
1 1 1
1
1
-+1 1~2
Jt r.
1
,Jl.
I.ù
1
(:~)A
~)A
l
1
• •
.,
, '
· iL
, Ji
Figure 3.5: Elément dalle-colonne (a) simple (b) renforcée.

---

-44 -
Dans la fonnulation de l'élément HT au chapitre 2. ces conditions correspondent à celles
spécifiées dans la partie r se de ane(fig. 2.3). Avec la notation à la figure 3.6. elles s'expriment
comme suit:
•
k =0 (compression simple de la colonne)
(3.Ua)
Figure 3.6:
Composantes des errons internes d'une plaque en flexion
dans un système de coordonnées polaires.
•
k = 1 (flexion de la colonne dans le plan xz)
(3.11 b)
•
(flexion de la colonne dans le plan yz)

---

(3.11c)
•
k> 1
(3.11d)
dW)
_
(
0
dr
r=ro
Si les moments M r, Mn' et l'effort tranchant <4 dans ces conditions, sont exprimés en fonction
dew
D
0 (1 àw
1 )
M r" = -
(3.12)
a2 (l-v) A,}
Pop - p2 W ,
D a
Q = - - - 'l2 w •
r
a3 op
et que l'on substitue W par la solution générale (3.2), les constantes A3k' A 4k et B3k. B4k
peuvent alors être élinùnés. Une alternative consiste à exprimer pour chaque k les vecteurs Ak.,
Bk avec les constantes linéairement indépendantes en (3.3).
(3.13a,b)
Les expressions des matrices (4 x 2) Q~, Q ~ et des vecteurs charges q~ et q~ qui en
dépendent sont données dans l'appendice I. Finalement. la substitution de (3.13a, b) dans (3.2)
pennet une représentation aisée des fonctions de déplacement interne s..e et Ne:

---

-46-
(3.14a)
(3.14b)
TI faut noter que les modes dans 3.2 qui correspondent aux tennes 1, psin9 et pcos'Ô devront
être maintenant conservés dans we. Ces termes correspondent au déplacement et à la rotation de
la tête de colonne. ils sont essentiels pour la prise en compte de l'interaction dalle-colonne.
L'élément ne présente alors aucun mode rigide et le paramètre NRIG utilisé dans la condition de
stabilité est, ici, égal à zéro.
3.2.3
Elément dalle perforée
TI est intéressant de relever que la présente fonnulation pennet aussi de générer les fonctions
spéciales de l'élément dalle perforée (fig. 3.7). Si le bord du trou de rayon r=rO=apO est libre
les conditions à satisfaire sont par exemple,
MDOF la 1,a 2'... ,aM l
(Moptionnel)
Figure 3.7:
Elément dalle-perforée
(3.15)

---

- 47 -
Les matrices Q~ , Q~, q~ et q~ correspondantes sont données dans l'appendice II. D'autres
fonctions spéciales prenant en compte des conditions diverses au bord du trou peuvent être
construites de la même façon.
3.3
EXTENSION AUX ELEMENTS A EPAISSEUR RADIALEMENT
VARIABLE
La variation de l'épaisseur complique considérablement la génération du champ de déplacement
puisque l'équation de Lagrange (3.1) devra dans ce cas, être remplacée par une équation
différentielle à coefficients variables [34]. Si la variation de l'épaisseur est radiale, une solution
approximative, mais efficace du problème est obtenue par l'entremise d'une série de plaques à
épaisseur constante (fig. 3.8). Pour chaque intervalle (Pi, Pi+l) d'épaisseur constante tj, la
solution générale se présente comme (3.2) avec les constantes d'intégration
iA Ie = {iAkl,iAk2,iAk3,iAk4} }
(3.16)
jB Ie = {iBkloiBk2,iBk3,iBk4} ,
que l'on exprime en fonction des constantes i-lAk' i-lBk de l'intervalle précédent (Pi-l' Pi)
~vec les conditions de transition (3.17) que l'on impose pour p=pj.
i w = i-l w
a .
a . 1
- I
=
W
_ 1 - W
ap
ap
(3.17)

---

- 48-
o 1 --
- - n
-T--~X
Figure 3.8 : Elément lIT à épaisseur variable

---

- 49-
Benda [35] et Jirousek [36] ont déjà appliqué, avec succès, une approche similaire pour
l'analyse des plaques circulaires à épaisseur variable et ont trouvé que:
L'usage d'un nombre relativement peu élevé de plaques d'épaisseur constante permet
d'avoir une bonne approximation des déplacements et des efforts internes,
l'application des conditions (3.17) met en évidence une règle récurrente qui pennet
d'exprimer les constantes de toutes les intervalles en fonction des constantes de l'intervalle
Cene technique peut être appliquée ici. Pour la prise en compte des conditions initiales relatives
à la colonne elle conduit à:
(3.18)
et pour la partie de dalle à épaisseur variable (pour i > 0), aux relations
iA =i/)A {Cj+1} + i A
iB =
B
B
in
{Cj+3} + i
k
q
k
q
(3. 19a,b)
"'lk C· 2
k '
"'lk c"+4
k '
J+
J
qui sont d'un aspect analogue à celui des équations (3.13a, b) de la section 3.2.2. A l'intervalle
i=O, la transformation en chaîne (3.19a,b) est initialisée avec les expressions Q~ , Q~, q~ et
q~ de la section 3.2 en posant:
O«=Q~
0Q B _ QB
k -
k
}
(3.20)
o
B
B
q k =qk
Pour les intervalles i=I,2,... qui suivent,
i/)A _ iS
i-lQA
iQ B _ iS
i-lQB
"'lk -
k
k
k -
k
k '
(3.21)

---

- 50-
iS k ' is~ et is~ sont des matrices de transfert données dans l'Appendice II. Avec les
expressions de, i-\\ et iJ\\ en (3. 19a,b), le champ de déplacement peut finalement encore être
défini dans la forme des relations (3. 14a,b) :
(3.22a)
(3.22b)
. B
[Nj+3 Nj+4 ] = f k lQ k sin k~
Les relations (3.22a,b) et (3. 14a, b) sont de forme identique. Leur seule différence est que dans
(3.22a,b), ~e et Ne sont différents pour chaque intervalle i.
En pratique, la variation de l'épaisseur est rarement symétrique par rapport au plan de référence
x y (plan médian de la dalle courante). Cette situation n'est cependant que d'une importance
faible si la dalle mince; fait qui permet de considérer la variation de l'épaisseur comme
symétrique par rapport au plan xy. Dans la section suivante, cette hypothèse sera confirmée par
une analyse tridimensionnelle.
3.4
ETUDES NUMERIQUES ET CONTROLE DES RESULTATS
3.4.1
Elément HT standard
Un élément HT (version p) a été d'abord formulé [24] avec un champ de déplacement
représenté par une série de polynômes biharmoniques. Il s'agira de s'assurer que les fonctions
de Trefftz en (3.4 et 3.5) conduisent à des résultats comparables. Par ailleurs, nous étudierons
les propriétés de convergence de l'élément. Les raffinements h et p seront considérés.On
utilisera un même nombre M de degrés de liberté hiérarchiques pour tous les nœuds
intermédiaires. Seules les valeurs impaires de M=l, 3, 5, 7 seront retenus afin d'exprimer les
rotations normale wn et tangentielle w par des polynômes d'interpolation de mêmes degrés.
t

---

- 51 -
Le nombre m de fonctions de Trefftz Nj est flXé automatiquement pour chaque niveau M par la
routine d'élément. Des études numériques ont montré que le m minimum donné par la condition
de stabilité (3.9) conduit toujours à un rang correct de la matrice de rigidité. Ce nombre minimal
(pour l'élément quadrilatéral m=13,21,29,37 si M=1,3,5,7) préserve aussi, incidemment, les
propriétés d'isotropie géométrique désirées (invariance de ces propriétés quelque soit
l'orientation des axes de coordonnées) puisque dans la série tronquée des fonctions de Trefftz,
intervient le même nombre de termes en cos kÔ et sin k,}.
a)
ln Na
- 22r-_ _...-
--....:5y.---.;;.6--:.._--i7~_--;,e
10"
-3
ln e-s
.• 6
7x7
10·'
3e
)O~
3000
Na
b)
ln (tIto)
2
3
·2
D
o f'I.'
·3
• .3
0
.s
-1.
• .7
~
.9
ln e-s
-~
-7
,
Figure 3.9:
Plaque carrée simplement appuyée sur ses quatre coins.
Comparaison des versions p et h du modèle HT. a) Vitesse
de convergence. b) Etude de la discrétisation qui minimise
le temps de calcul à l'ordinateur.

---

La figure 3.9a montre une étude de convergence h-p faite sur une plaque carrée simplement
appuyée sur ses quatre coins. Une charge ponctuelle P est appliquée à son centre. La
discrétisation porte sur un quadrant symétrique et l'erreur en norme énergétique est donnée par
1
_\\ U - U E F 1 /2
e-
U
où U est l'énergie de défonnation exacte; UEF est sa valeur approchée (EF =élément finis). "e"
est représentée à une échelle Log-Log en fonction du nombre de DDL actifs Na du réseau
d'éléments. La figure montre clairement la supériorité de la méthode p sur la méthode h.
Une étude comparative plus rationnelle devrait prendre en compte le temps de calcul des
matrices de raideur élémentaire, de l'assemblage et de la résolution des équations. A la figure
3.9b, l'erreur "e" est rapponée en fonction de ce temps et l'on voit que le maillage 3 x 3 est
plus efficace que la maillage où un seul élément est utilisé sur tout le quadrant.
Les résultats à la figure 3.9a sont quasi-identiques à ceux que l'on obtient avec la série de
polynômes biharmonique à la référence [22]. La petite différence que l'on a observé sur les
résultats numériques est au dernier chiffre. Elle provient de la coupure du nombre 'de chiffres
significatifs dans la présentation des résultats (Round-off error). D'ailleurs, une inspection
minutieuse montre que l'une des séries de fonctions est une combinaison linéaire de l'autre.
La formulation de l'élément au chapitre 2 montre que l'augmentation du nombre m de fonctions
internes réduit le saut entre les déplacements au bord de l'élément. A la limite(m ~ 00), ce
dernier est parfaitement conforme. Cette situation extrême est évidemment indésirable puisque
l'adhérence parfaite des fonctions internes et de bords (limitées en nombre) se traduit par une
raideur excessive de l'élément. Il existe donc un nombre optimum de fonctions internes à
utiliser. Des études numériques précédentes ont montré qu'avec un réseau lxl pour M=l
l'optimum est à m = 15 il est différent du minimum donné par la condition de stabilité. Des
études complémentaires ici faites on montré en outre que le nombre optimum de fonctions
dépend du maillage: pour des maillages 3x3 et plus, comme ceux utilisés en pratique, la
différence entre l'optimum et le minimum tend à disparaître.

---

- 53-
Tableau 3.1 :
Etude de la convergence d'une plaque carrée (Fig. 3.10) en appui simple.
M : nombre de degrés de libené intermédiaires. Un élément lIT version p
couvre la totalité de la plaque.
Charge
Point
Quantité
Elément fini 1valeur théorique
Valeur
théorique
M=l
3
5
7
C
Dw
· pa4
1.053
1.002
1.000
1.000
0.00406235
·
Mx
· pa2
1.025
1.000
1.000
1.000
0.0478864
Uniforme
B
Qx
· pa
0.740
1.038
1.019
0.997
0.337657
p
A
Ml
· pa2
0.331
0.856
0.937
0.960
0.0324831
M2
· pa2
2.313
0.900
0.937
1.004
-0.0324831
V
· pa2
1.322
1.078
1.023
0.982
0.06496618
C
Dw
· Pa2
1.025
0.998
1.000
1.000
0.0116008
·
Ponctuelle.
B
<4
· Pla
0.763
1.126
0.980
1.022
0.417307
P
A
Ml
P
0.812
1.234
1.002
0.972
0.0609527
au centre
M2
P
1.686
0.551
0.953
1.087
-0.0609527
V
P
1.249
0.892
0.977
1.030
0.121905
Tableau 3.2 :
Etude de la convergence p d'une plaque carrée (fig. 3.10)
encastrée sur ses bords.M : nombre de DDL intennédiaires
Un élément HT version p couvre la totalité de la plaque.
Charge
Point
Quantité
Elément fini 1valeur théorique
Valeur
théorique
M=1
3
5
7
C
Dw
· pa4
1.470
1.036
1.001
1.000
0.00126532
·
Unifonne
Mx
· pa2
1.182
1.017
1.001
1.000
0.0229051
P
B
Mx
· pa2
0.568
0.888
1.005
1.014
-0.0513338
<4
pa
0.566
0.962
1.002
1.021
0.441301
Ponctuelle.
C
Dw
Pa2
1.194
1.021
1.003
1.000
0.00561202
P
B
Mx
P
0.592
0.823
0.929
0.972
-0.1257705
au centre
Qx
· Pla
0.401
0.790
0.839
0.970
0.793827

---

- 54-
a-l
1 " ' - -
MDOF
a
•
A
~y
Figure 3.10
Plaque carrée (avec différentes conditions de bord)
représentée par un seul élément HT.
Tableau 3.3 :
Etude de la convergence-p d'une plaque carrée (Fig. 3.10)
simplement supponée à ses quatre coins. M : nombre de
DDL intermédiaires. Un élément HT version p couvre la
totalité de la plaque.
Charge
Point
Quantité
Elément fini 1valeur théorique
Valeur
théorique
M=1
3
5
7
C
Dw
· pa4
0.988
1.000
1.000
1.000
0.0255065
·
UnifOIme
Mx
· pa2
0.988
1.039
1.000
1.000
0.111711
·
P
B
Mx
· pa2
0.988
1.004
1.000
0.999
0.0177474
·
~
· pa
0.976
1.024
1.002
0.993
0.150439
·
Ponctuelle.
C
Dw
· Pa2
0.981
1.000
1.000
1.000
0.0391419
·
P
B
Mx
P
0.972
1.003
1.000
1.000
0.0229130
au centre
~
· Pla
0.925
1.012
0.995
0.994
0.203004
·

---

- 55-
3.4.2
ELEMENT HT D'EPAISSEUR VARIANT RADIALEMENT
La détennination du nombre suffisant de subdivisions d'épaisseur constante est faite à l'aide
d'une étude de deux plaques circulaires symétriquement chargées dont chacune est idéalisée par
un élément HT à deux côtés courbes (fig. 3.11). Puisqu'elles sont axisymétriques, ces plaques
peuvent être calculées avec le plus bas niveau de raffinement p (M=O). Dans ce cas, les
fonctions de bord et le champ de déplacement interne représentent correctement le
componement de la dalle avec le minimum de degrés de libené. L'exemple de la première
plaque (fig. 3.11a) est tiré de la référence [35]. La rigidité de cette dernière varie de façon
exponentielle et la solution de référence est obtenue avec 500 subdivisions d'épaisseur
constante. L'épaisseur de la deuxième plaque (figure 3.11b) varie linéairement, la solution de
référence est donnée par Timoshenko [34]. On voit aux tableaux 3.4 et 3.5 une étude de la
convergence des déplacements w et des moments Mf et M'Ô en fonction du nombre n de
subdivisions de l'élément. La variation linéaire d'épaisseur semble plus défavorable. On obtient
ici pour la plus grande valeur du moment Mf' une erreur inférieure à 0,5% si l'on utilise 50
subdivisions et, à partir de là, la valeur par défaut du nombre de subdivisions a été fixé à 50
pour les applications ultérieures.

---

- S6-
M=O
M=O
C.b)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ·5P 1
1
1
1
1
cP
l ' 1
.'
Figure 3.11 :
Plaque circulaire d'épaisseur variable uniformément
chargée. (a) Modélisation par un seul p-élément HT. Le
niveau p le plus faible (M=O) est suffisant pour représenter
tous les cas en symétrie de révolution. (b) variation
exponentielle de la rigidité et (c) variation linéaire de
l'épaisseur.

---

- 57-
Tableau 3.4 :
Dalle circulaire (v=O) avec une variation exponentielle d'épaisseur (Fig.
3.11a)
Dow: ~4
n
p=
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0
10
0.1254 0.1241
0.1204
0.1141
0.1053
0.0939
0.0798 0.0632
0.0440
0.0227
0.0000
20
0.1253 0.1240
0.1203
0.1140
0.1052
0.0938
0.0798 0.0631
0.0440 0.0227
0.0000
40
0.1252 0.1240
0.1203
0.1140
0.1052
0.0938
0.0797 0.0631
0.0440 0.0227
0.0000
500
0.1252 0.1240
0.1203
0.1140
0.1052
0.0938
0.0797 0.0631
0.0439
0.0227
0.0000
Mr : Pa2
n
p.=O.O
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
10
0.2484
0.2451 0.2368 0.2231 0.2042 0.1804 0.1521
0.1196 0.0832 0.0433 0.0000
20
0.2484
0.2455 0.2371 0.2234 0.2045 0.1807 0.1523 0.1197 0.0833 0.0433 0.0000
40
0.2484
0.2456 0.2372 0.2235 0.2045 0.1807 0.1523 0.1198 0.0833 0.0433 0.0000
500
0.2484
0.2456 0.2373 0.2235 0.2046 0.1807 0.1524 0.1198 0.0833 0.0433 0.0000
~: Pa2
n
p =0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
10
0.2484
0.2454 0.2355 0.2197 0.1992 0.1753 0.1495 0.1231 0.0973 0.0732 0.0513
20
0.2484
0.2451 0.2352 0.2194 0.1989 0.1750 0.1492 0.1228 0.0971 0.0731
0.0512
40
0.2484
0.2450 0.2351 0.2193 0.1988 0.1750 0.1492 0.1228 0.0971 0.0730 0.0512
500
0.2484
0.2450 0.2351
0.2193 0.1988 0.1749 0.1491
0.1228 0.0971
0.0730 0.0512

---

- 58-
Tableau 3.5 :
Plaque circulaire (v=ll3) avec une variation linéaire d'épaisseur (Fig. 3.11b)
Dow: ~4
0
P =0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.10
10
0.3785
0.3481
0.2981
0.2453
0.1930
0.1423
0.0932
0.0458
0.0000
20
0.3750
0.3459
0.2967
0.2443
0.1923
0.1418
0.0929
0.0456
0.0000
40
0.3738
0.3452
0.2962
0.2439
0.1921
0.1416
0.0928
0.0456
0.0000
50
0.3737
0.3451
0.2961
0.2439
0.1920
0.1416
0.0927
0.0456
0.0000
Théorie
0.3734
0.3449
0.2960
0.2438
0.1920
0.1415
0.0927
0.0456
0.0000
M,,: pa2
0
p =0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.10
10
0.0245
0.0466
0.0906
0.0143
0.1746
0.2070
0.2817
0.3612
0.4002
20
0.0261
0.0545
0.0882
0.1291
0.1742
0.2250
0.2791
0.3377
0.3989
40
0.0265
0.0539
0.0882
0.1285
0.1741
0.2243
0.2788
0.3369
0.3984
50
0.0266
0.0525
0.0882·
0.1313
0.1740
0.2206
0.2788
0.3413
0.3983
Théorie
0.0267
0.0539
0.0882
0.1284
0.1740
0.2243
0.2787
0.3368
0.3982
Mf: pa2
n
p =0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.10
10
0.0735
0.0516
0.0403
0.0344
0.0290
0.0229
0.0157
0.0089
0.0000
20
0.0781
0.0546
0.0434
0.0357
0.0299
0.0236
0.0172
0.0090
0.0000
40
0.0795
0.0557
0.0440
0.0364
0.0302
0.0241
0.0173
0.0094
0.0000
50
0.0797
0.0558
0.0440
0.0365
0.0303
0.0241
0.0173
0.0094
0.0000
Théorie
0.0800
0.0560
0.0442
0.0366
0.0303
0.0242
0.0173
0.0094
0.0000

---

- 59-
3.4.3
Applicabilité de la théorie des plaques pour l'analyse des dalles-
champignons
Afin de faciliter la génération des résultats de référence deux dalles circulaires symétriquement
chargées avec (fig. 3.12a) et sans (Fig. 3.l2b) chapiteau ont été étudiés.
a)
simple
25
b)
1
225
1
1
L
1.
80S
+ 80S
Figure 3.12 :
Dalles circulaires unifonnément chargées a) avec chapiteau
b) sans chapiteau.
(a)
Dalle avec chapiteau (Fig. 12a)
L'épaisseur de la dalle autour de la colonne est imponante et la surface moyenne n'est pas plane
(chapiteau excentré). Les hypothèses de base de la théorie classique des plaques minces sont

---

- 60-
alors violées. Les conséquences pratiques de cette situation peuvent être mises en évidence en
comparant la solution obtenue avec un élément HT avec celle obtenue par une analyse
tridimensionnelle. Cette dernière utilise un réseau fm de 328 éléments isoparamétriques
quadratiques tridimensionnels en symétrie de l'évolution conduisant à un total de 2430 DDL.
(b)
Dalle sans chapiteau (fig. 3.12b)
Dans ce cas, la solution HT correspond à la solution exacte de la théorie de Kirchhoff pour une
plaque annulaire avec les conditions aux frontières suivantes:
}
(3.23)
r = a
w=o
Ici, 1et ra sont respectivement, la longueur de la colonne et le rayon de sa section. Pour faire
ressortir l'influence des chapiteaux sur le componement des dalles quelques résultats ont été
montrés à la figure 3.14 .
Pour tester de l'applicabilité de la théorie classique de Kirchhoff des plaques qui ne considère
pas les déformations transversales, le cas de la figure 3.12b avec les conditions aux frontières
(3.23) a aussi été résolu suivant la théorie de Mindlin (figure 3.14). Les résultats montrent que
la théorie de Kirchhoff est suffisante pour les applications pratiques.
Pour la mise en évidence de l'effet de l'excentricité, deux cas de figures sont considérés: un
premier sans l'excentricité du chapiteau et un autre où la variation de l'épaisseur est non
symétrique par rappon au plan moyen de la dalle. Les résultats de ces deux analyses
tridimensionnelles et ceux de la solution HT sont montrés à la figure 3.13 (Dans la zone où
l'épaisseur est variable, la solution HT utilise 50 subdivisions d'épaisseur constante). La
comparaison des résultats montre que la solution HT est satisfaisante, du point de vue de
l'ingénieur.

---

190
2~0 3~0 3~ ~o ~o bf!0 7' ..(cm)
fibre extréme supérieur
.2
.4
.6
.8
-1.0
1.0
w(mm)
fibre extréme inférieur
-2.0
1
0\\
MrtkNm/m)
-1
VI,
100~ \\••
-80~~
-
Chapiteau excentré. Analyse tridimensionnelle
,.
,1
-0- Chapiteau centré. Analyse tridimensionnelle.
-60~ \\11
--VI- - Chapiteau centré. Analyses avec éléments lIT.
-1eO
800 rkm)
Figure 3.13 : Dalle champignon avec chapiteau centré ou excentré (Fig. 3.12a). Comparaison des résultats.

---

- 62-
Une alternative possible pour représenter les colonnes consiste à remplacer ces dernières sur la
zone de dalle qui correspond à leur section rC?spective, par une ou plusieurs éléments de plaques
sur fondation élastique du type Winkler. Ce qui, en d'autres termes, revient à augmenter la
matrice de raideur usuelle de ces éléments, par l'intégrale de surface Cw l NTN dxdy où N est
la matrice habituelle des fonctions d'interpolation Co et Cw' le coefficient de Winkler. A la
figure 3.14 sont ponés les résultats qui correspondent à une telle représentation (156 éléments
isoparamétriques quadratiques de plaques en flexion sur un quadrant symétrique). Il est
cependant intéressant de noter sur cette figure, la différence remarquable qui existe entre cette
solution et celle obtenue à partir de la théorie exacte de Mindlin qui prend en compte les
conditions (3.23). Cette différence est due au fait que la fondation de Winkler mène à des
déformations irréalistes de la surface qui correspond à la section de la colonne. Le remède
consisterait à augmenter adéquatement le module de Young des éléments qui couvrent cette
zone. En contraste avec l'approche HT, cette technique ne peut correctement reproduire la
rigidité flexionnelle de la colonne.
3.4.4
Exemple d'application pratique
Un quadrant symétrique de la dalle-champignon de la figure 3.16 a été calculé avec un maillage
grossier d'éléments. Les quatre éléments, comprenant un chapiteau et une colonne utilisant les
fonctions des sections 3.2.2 et 3.2.3. 50 représentent chaque chapiteau. Les quatre autres
éléments utilisent les fonctions de Trefftz standards de la section 3.2.1. Quelques résultats sont
montrés aux figures 3.17 et 3.18 pour un chargement uniforme.
Un autre exemple d'application: le pont à la figure 3.19. li est soumis à une charge constante
uniforme et a été discrétisé avec 45 éléments pour M = 5. Les résultats graphiques sont
présentés dans les figures 3.20.

---

200
300
400
500
600
700
Mr(kNm/m)
.2
\\
\\
\\
'\\Z\\
.4
\\
\\
\\~\\\\
,~.
.6
'
\\ ~
W
-60
\\
'
.B
\\
' r.
~
'1'
-40
\\
/
\\
/
~,
,xl
10
v.-v~V
-20
300
400
500
600 700
800 r(an}
0'1
1.1
01
!
('l~
1
1
10
.
! ' : - "::t.>tAD . .
~
w(mm)
- •.&,.- - Dalle chanpignon avec chapiteau. Solution lIT.
-- 0-- Dalle champignon sans chapiteau. Solution lIT.
Dalle champignon sans chapiteau. Théorie des
plaques considérant la défonnation due à l'effort
tranchant.
Figure 3.14 : Influence du chapiteau sur la distribution: a) des déplacements et b) des moments.
(Les cas montrés aux figures 3.12a) ct 3.12b) sont comparés).

---

o
50
100
150
200
250
demI
o 1
f I l
1
x;::G ...
.25
20
~.
,.1,
.75 ~
~~'
• .
,vi
~
.
. ,,
....
.
J1'
~--v ...",
- 10
l.00 r.(mm)
-10
- - Théorie des plaques qui considère la
défonnation due aux cisaillement
--"V -- Réseau de 156 éléments isoparamétriques
quadratiques de plaques qui obéissent à la
théorie de MindIin.
o
ftemJ
~
--0 -- Un élément Hf à deux côtés avec des
fonctions spéciales de Trefftz.
Mx(kNm/m)
Fig. 3.15 : Comparaison des différentes solutions pour la dalle circulaire à la figure 3.12b.

---

,
A
A
A
A
A
A
A
~
1
1
~
9
~
~
~)
~
~
4)
l
1
A
A
~
t
A
..A-I
~
~
" 1
'" ..r..
,-"f ...
,
1
•
'
,
_.-
~
~ _._-~
L$-.-f,( ~'----4
'
) .-$ " \\ )- '-'-1 )-'-1 ~-
. ,
, J
... ..'
,.... ..
A
A
"
.
t
A
A
~
T
:.
~
)
1
)
~
4
Ü
. )
Ü
i
1
..
A
A
À
A
l
\\
~
,'1'",
,'l',
.
(
:.,.
'.:or---1-4-'-'--')-'-'-4
,
.1
.... ,
"•.
,~._.--.I
~
~ ,_._-j~_.
\\
,
. ,
\\
...l
.1
-'
A
A
A
0\\
,-.z"'\\
VI
1
~
ZOO
4)
j~
j
4 ~
~
..
A
l
~
4~
1
A
A
.,...
~
-
A
\\
~
~
~~
, \\
~~
- 20
appui simple
- -
~
225
·1..
450
Fig. 3. t 6 : Discrétisation d'une dalle champignon avec des éléments lIT.

---

W (mm)
Qx (k N/m)
5
o
o
Qy (k N/m)
1
0\\
0\\
1
_ .
_
0
1
-~~II~)
~~p~
~_,~
~~~
(~,<, __ .~:if))
r:zl(-:~~~~
,~~
l
'
\\.~~
~/
..
,~
--...............~........../---~--
Fig. 3.18a) :
Dalle champignon uniformément chargée (p = 10 KN/rrt ). Déplacement et efforts tranchants.
Solution HT. M =7 (546 DDL), v =0.15.

---

Mx (k N m/m)
My (k N m/m)
Mxy (k N m/m)
M1/M2 (kN mlm)
1
........ _ __ .,
,
--..
.
.
.... , ... _-- ... ,
···..···.. ····'
:E ..· .. '
..
~
·::<: ~ ~':~~l;) ~ .::::-:::::::::::: :::.: :.':~~Jijl: , .., ..'::~:: :
.. ''J.t;
.. ·I.t
..;,~-<'"
'~I~'(""
~tu.l-I' t- •
1
1 ·\\"1
~
Pt 1 1
.
',.>
•·..I~...'4'. '-....
..
_
',""
..:\\f~""'"''''
.
... ~ .. '" 'rn "..~
. . ".itr~:."" · .
.. ..
...... , ~!
.;.:
·.. · ·1.·,. .•·
.
··:·_I~_·:.·
.
•
,
,
..
"T" +
l'
1
\\
"
", . • :
"• • 11>
• •
f
+ - -
" • " -
..
...
"
f
~
't "t' ...... f.
...
1
~
'"
....
".-'•..~
.;.
.;
;
,
't
't
1
..
.
1
..
'.
•• • ~ . . . . . .
.':: :....::.iÇ:j,,:,,: :::::·:·:::::~;: ..::~;ij.. :~.: ::: .::::::::~:
, .' . ~~.
. ,
- .. ~~~-.
'
.
: ::. : .~,..--: : .. :: :: .: .. :: . :'~r:~~'-: .:: .:: .::.::::
_>:~~.~~ .
. 't~~
. '
.. •
l'
...:-"'\\.., "" .,
.
T.:!"~
".~
"
..
a'
,
"
"
.1
.,.
•
: - .
•
_
•
' .
•
" • • •
,.
•• • •1
"
"
..
. , '
, " " . , . . . .
~
'.
•
•
•
..
1
."
l'
,.
•
•
•
,
,
,
•
•
• • • • •
•
•
,
,
,
,
,
l
,
•
l
\\ .
"
1
, .
~
~
•
,
•
•
,
• •
•
, • •
r
•
.... POSITIF
1
1
1
o 10
20kNmlm
-NEGATIF
Fig, 3.18b) :
Dalle champignon unifonnément chargée (p = ] 0 KN/m2 ). Moments de flexion, de torsion et principaux.
Solution HT. M =7 (546 DDL), v =O.] 5.

---

- 68-
y
1
1
=t50
- 50
300
1-
/ / ' / ' 7 /
/ / "/ "/
II--'"_4_50_ _~"""I"'I--_6_00
_ _-l...
450
.1
E = 30500000 KN 1fi 2
V = 0.2
Fig. 3.19: Pont courbe appuyé sur des colonnes. a) discrétisation,
b) coupe transversale.

---

Mx (.01 KN M/M)
My (.01 KN M/M)
Fig. 3.20 a) Pont courbe appuyé sur des colonnes. Courbes de niveau des moments de flexion

---

-70 -
( 01 KN M/M)
Mxy .
,
1
•
1
~,.......'--+-I""'"1'K- ~H/M
1
1
"t-'
100. 0
N
Fig. 3.20
lonnes. Courbes de .
nIveau des moments de torsion
b) Pont courbe appuyé sur des
et
co
moments rincipaux
p

---

-71 -
3.5
CONCLUSION ET REMARQUES
Le concept des fonctions de Trefftz spéciales a été utilisé dans la version p de l'élément HT de
plaque en flexion. Il permet l'analyse efficace des dalles-champignons Ces dernières sont
modélisées avec un réseau grossier d'éléments HT où chaque colonne et la panie de dalle
adjacente incluant le chapiteau sont représentées par un seul élément. Les fonctions spéciales
tiennent compte de l'interaction dalle-colonne et représentent les effets locaux au voisinage des
têtes de colonnes. La concentration des effons internes est obtenue sans raffinement du réseau.
Des exemples qui évaluent l'efficacité pratique de l'approche ont été présentés. Mise à pan
l'économie du coût dans la préparation des données et dans les calculs, il faut relever
l'excellente précision des calculs et la convergence rapide des résultats.
La mise en œuvre de ces éléments HT est facile puisque, une seule routine d'éléments munie
d'une librairie de fonctions de Trefftz optionnelles couvre l'ensemble du problème. Comme
déjà élucidées, les séries de fonctions pour une variété de conditions locales ont été obtenues
sous forme unifiée Elles comprennent l'élément standard, l'élément avec trou circulaire et les
éléments dalle-colonne (avec ou sans chapiteau).

---

-72 -

---

-73 -
4 .
ELEMENTS HT POUR LE CALCUL
DES DALLES ORTHOTROPES
ET ANISOTROPES
4.1
Introduction
4.2
Génération des fonctions de Trefftz.
4.3
Etudes numériques

---

-74 -
4.
ELEMENTS HT POUR LE CALCUL DES DALLES ORTHOTROPES
ET ANISOTROPES
4.1
INTRODUCTION
Dans ce chapitre, la bibliothèque des fonctions de Trefftz sera étendue au cas des dalles
orthotropes et au cas des dalles anisotropes. Contrairement au modèle conventionnel d'éléments
finis, l'orthotropie est plus difficile à prendre en compte dans une approche du type Trefftz. Au
lieu d'une modification simple de la matrice d'élasticité D de l'élément, la consnuction d'une
nouvelle série de fonctions de Trefftz, ~ et Ne est nécessaire.
Figure 4.1 :
Elément de dalle orthotrope. Xo et Yo sont les directions
principales d'orthotropie.
La série de fonctions Nj est générée à l'aide d'une procédure simple exposée dans la section
suivante. Dans le cas particulier des dalles isotropes, elle donne les polynômes bihannoniques
[23] - solution standard de l'équation de Lagrange. Cette propriété permet de fixer une règle
simple de troncature qui préserve l'invariance géométrique de l'élément. Une autre série de
fonctions de Trefftz que constitue une combinaison linéaire de la présente a déjà été donnée par

---

- 75-
Phyllipzik [37]. Cependant avec cette dernière, il n'est pas possible d'établir une règle de
troncature adéquate (pour l'invariance géométrique de l'élément). Pour les dalles anisotropes la
série de fonctions de Trefftz sera générée directement à partir de la solution de l'équation
différentielle fondamentale. Cette solution s'est établie à partir d'une série de fonctions
complexes obtenues par l'intermédiaire des racines de l'équation caractéristique correspondante
[38]. L'efficacité de la version p de l'élément HT orthotrope sera testée à la section 4.3, les
remarques et conclusions seront données à la section 4.4 .
4.2
GENERATION DES
FONCTIONS
DE TREFFTZ
POUR
LES
ORTHOTROPES.
L'équation différentielle fondamentale des dalles onhotropes s'écrit
0 4 we =P
(4.1)
avec
4-D
d4
2H
d4
d4
(4.1a)
o - x dX4 +
dX2dy2 + Dydy4
et
1
H =2 Dx y + 2 (D l + D 2)
(4.lb)
Dx, Dy, Dxy' Dl et D2 sont les coefficients d'onhotropie naturelle ou technique (voir Appendice
N). Ils expriment la variation directionnelle de la rigidité de la dalle. Dans le cas particulier des
dalles isotropes, l'équation 4.1 devient
(4.2)
où D =Et3/12(l-v2) est la rigidité et V4 est l'opérateur biharrnonique qui s'écrit comme:
(4.2a)

---

-76 -
Si nous définissons le champ de déplacement interne comme:
o
la solution particulière we et les fonctions homogènes Ni sont les solutions des équations
suivantes
}
4.3a,b)
4.2.1
Solutions homogènes Ni
Considérons tout d'abord le cas isotrope. La séquence suivante est utilisée pour la générer les
polynômes biharmoniques:
k = 0,1,2,...
(4.4)
où
2 2 2
ro= x 0 + y 0 et zo = XO + i yO
Avec cette définition des fonctions de Trefftz, il est particulièrement aisé de rendre la surface
fléchie indépendante de l'orientation des axes de coordonnées. Puisque rO et zo sont invariants
et que les contributions du premier et du deuxième couple de fonctions proviennent chacune
d'une seule fonction à coefficients complexes, il suffit simplement de respecter la règle de
troncature suivante: la série doit être arrêtée après le premier ou le deuxième couple de
polynômes biharmoniques ayant le plus haut degré k. Cependant, pour k=O, la séquence (4.11)

---

-77 -
ne donne que trois fonctions linéairement indépendantes et le nombre des fonctions retenues est
impair.
Considérons à présent le cas onhotrope. Si chaque série de fonctions de Trefftz onhotropes est
réduite dans le cas isotrope à la série que fonne la séquence (4.4) tronquée suivant la règle
précédente, les propriétés d'invariance de l'élément HT orthotropes sont préservées. Il est
cependant difficile d'obtenir directement la partie homogène de la solution de l'équation (4.1)
directement. Un des moyens les plus simples pour la construire (en préservant les propriétés
d'invariance dans le cas isotrope), consiste à considérer les fonctions Ni comme la somme de
deux parties :
N·-N·b+N·C
(4.5)
1 -
1
1
Les tennes Nib sont les polynômes bihannoniques \\74 Nib = 0 générés par la séquence (4.4).
NiC sont les tennes correctifs calculés comme intégrales particulières de l'équation non-
homogène suivante
(4.6b
Si k est l'ordre d'un polynôme bihannonique donné, on suppose les termes correctifs de la
fonne
k
Nic = L. ale-jj xk-j yj
(4.7)
j=O
IPour fixer les coefficients indéterminés de ale,O à ao,le à l'aide de l'équation (4.6), on utilise le
\\processus standard d'identification. La série de fonctions de Trefftz orthotropes ainsi obtenue
lest donnée à l'Appendice V avec des valeurs de k comprises entre 2 et 11. Celle limite qui
Forrespond à M =7 est suffisante pour les applications pratiques. Pour k ::;; 3, les termes Nib
~érifient aussi l'équation (4.3b) et les termes correctifs NiC sont nuls.

---

-78 -
4.2.2
Solution particulière -:Ve
On se bornera ici aux cas de la charge uniformément répartie et de la charge ponctuelle.
D'autres cas de charges plus complexes (charges linéiques, charges réparties sur un secteur)
peuvent être obtenus en intégrant le tenne de la charge ponctuelle.
•
Pour la charge uniformément p répartie sur la totalité de l'élément
(4.8)
•
Pour la force ponctuelle P appliquée en xp' yp l'équation caractéristique associée à
l'équation (4.1) est:
Dy ~4 + 2 H Jl2 + Dx = 0
(4.9)
Lekhnistskii [38] a démontré que dans le cas des plaques homogènes élastiques l'équation (4.9)
n'a pas de racine réelle et ses solutions s'écrivent
}
(4.9a)
Avec un système en coordonnées polaires (r , t'}) définies par
(4.10)
t'} = arctan YO - Yp
(4.11)
Xo - xp
On peut à partir de la solution fondamentale de la flexion d'une plaque orthotrope infinie
(fonction de green) [39].établir la solution particulière corrune:

---

-79 -
où
(4.12a)
k = 1,2
ek sint}
arctan ----!!'-----
k=1,2
cost} + dk sint}
Les coefficients Cl' C2 et C3 s'expriment comme
(4. 12c)
(4.12d)
(4.12e)
Cependant, si les rigidités sont telles que
(4.13)
alors

---

- 80-
}
(4.14)
avec
E4-~
-D
(4. 14a)
y
4.3
GENERALISATION AU CAS DES DALLES ANISOTROPES
Dans le cas des dalles anisotropes, la matrice d'élasticité est pleine. Elle se présente sous la
forme
Du
D 12
D 16
D= ~l
D.z2
D
(4.15)
26
et l'équation différentielle fondamentale devient:
(4.16)
avec
Les moment et efforts tranchants s'écrivent alors comme
ëJ2w
ëJ2w
ëJ 2W)
Mx =- (D 11 ëJx2 + 2 D 16 ëJxëJy + D 12 ë)y2

---

- 81 -
(4.17)
Lekhinitskii [38] a prouvé que l'équation caractéristique corresponde est
D22 Jl4 + 4 D26 Jl3 + (2 Dl2 + 2D66) Jl2 + 4 D l6 Jl + D II = O.
(4.18)
Cette équation ne peut avoir de solution réelle dans le cas des plaques élastiques homogènes.
Les solutions sont complexes et s'écrivent comme dans 4.9a).
4.3.1
Solutions homogènes Ne
Les solutions homogènes peuvent s'écrire en coordonnées cartésiennes de la façon suivante:
•
Si les racines de l'équation caractéristique sont différentes:
Ni+l = Re [(x + JlI y)k + (x + Jl2 y)k]
k=O,1,2, ...
(4.19)
•
Si les racines sont doubles:

---

- 82-
k =0, 1, 2, ...
(4.20)
4.3.2
S 1 •
' ] " '
0
o utlOn parhcu lere we
Pour une charge unifonne p appliquée
(4.21)
L'expression de,g,e pour la charge concentrée est identique à (4.12).
Les études numériques relatives à l'utilisation de ces fonctions est faite avec un exemple
académique de dalles onhotropes à la section 4.4.

---

- 83 -
4.4.
ETUDES NUMERIQUES
L'efficacité de l'élément HT orthotrope a été testée en considérant tout d'abord un problème
académique puis des cas pratiques (grillages de poutres à bord carré ou circulaire). La
convergence des solutions a été étudiée en augmentant le nombre M de DDL hiérarchiques aux
nœuds intermédiaires en maintenant fixe le réseau d'éléments (convergence p). Comme dans le
cas des dalles isotropes (chapitre 3) seules les valeurs de M impaires (M=1,3,5, ...) sont
retenues.
4.4.1
Influence du rapport des rigidités flexionnelles sur la précision des
solutions
La convergence de la version p de l'élément HT isotrope a été étudiées au chapitre précédent.
Ici, il s'agit d'étudier l'influence de l'orthotropie sur la précision. Pour la plaque carrée
simplement appuyée de la figure 4.2a, un élément HT est utilisé sur le quadrant symétrique. La
figure 4.2b montre la variation du pourcentage de l'erreur du déplacement au centre C quand le
rapport n = Dx/Dy des rigidités flexionnelles varie. On constate que la haute précision de
l'élément est maintenue.
4.4.2
Cas pratiques de grillages de poutres
L'efficacité de l'élément orthotrope, dans les cas pratiques, a été testée en comparant sa solution
à celle des éléments isoparamétriques quadratiques basées sur la théorie de Reissner-Mindlin.
Deux grillages de poutres à bord respectivement carré et circulaire ont été considérés (Fig. 4.3
et 4.4). Ces structures sont modélisées en considérant l'orthotropie technique avec les rigidités
flexionnelles et torsionnelles équivalentes de l'appendice IV.

---

Q)
b)
o ,
, 1
'*
1
1
•
•
1
•1
: \\\\M.1!
1
•
1
1
1
1
1
1
1
1
,
•
-2 .l-
I
1
••
~ .1
1
X
·
~
L.01
~(-I
Cf
6-
9-.-
f41
1
-6
·
1
•
1
1
1
1
t·OOl
00
~
•
~
-8
;..----
•
,
i 'M.1 :
1
1
,
•
1
•
•
1
1
•
1
1
•,
f .0001
1
2
3
4
5
i Y
Dx 1 Dy
Figure 4.2 : Plaque carrée simplement appuyée et unifonnément chargée. a) Représentation par un élément HT version-p sur un quadrant
symétrique. b) Variation de l'erreur dans le déplacement au centre, Wc en fonction du rapport des rigidités flexionnelles n=O,/ D:J
(M : nombre de DDL optionnel aux nœuds intennédiaires
~).

---

a)
b)
1..
-
a
-\\
.Jby~
1DOODDDOOOD~
nonODDDOOObK
DDoonooooo T
0000000000
a
ODDOOOOOOQI_.v
00000
~
')
00000
0
00000
~'O__II
00000 EJ 0
00000
<1'?Ir""'\\
1
..x.,
1
00
V\\
,
G)
Maillage 1 x 1
Maillage 2 x 2
Q
Â
o-~
~
Q.
Figure 4.3: Grillage de poutres à bord carré avec un
chargement unifonne.
a) Quadrant symétrique.
b) Détails du grillage.
A
c) Réseau d'éléments lIT orthotropes.
"
X'

---

b)
a)
1
00
0\\
•
1 élémentHT
c)
Figure 4 4' a) Grillage de poutres à bord circulaire simplement
. . appuyé et uniformément chargé. b) Détails du grillage
c) Discrétisation par un seul élément lIT.

---

- 87-
Tableau 4.1 :
Plaque carrée orthotrope simplement appuyée et
uniformément chargée (Dx =Dy, H = 0.15445 Dy,
Dl = D2 = 0.075 Dy)'
Réseau d'éléments
Valeur
Nombre total de
Modèle d'éléments finis
sur le quadrant
calculée/référence *
DDL
symétrique
au centre de la plaque
(DDL libres)
w
Mx=My
1) Version p de
1 x 1
M=l
1.007
0.978
16
(5)
l'élément HT
M=3
1.000
0.974
24
(9)
orthotrope
M=5
1.000
0.997
32
(13)
M=7
1.000
1.001
40
(17)
2x2
M= 1
1.000
1.008
39
(20)
M=3
1.000
0.998
63
(36)
M=5
1.000
1.000
87
(52)
2) Eléments
lx 1
0.462
0.877
24
(9)
isoparamétriques
3x3
1.000
1.036
120
(93)
quadratiques
6x6
1.000
1.009
399
(324)
12 x 12
1.000
1.002
1443 (1298)
*
1.
Théorie de Kirchhoff: résultats convergés de la solution obtenus avec un réseau fin
d'éléments HT orthotropes.
2.
Théorie de Mindlin : résultats convergés de la solution obtenus avec un réseau fin
d'éléments isopararnétriques quadratiques.
Les résultats des tableaux 4.1 et 4.2 illustrent la précision et l'efficacité de ce nouveau élément
Au centre de la dalle, on remarque la proximité des solutions basées sur les
théories de Kirchhoff et de Reissner-Mindlin. Pour la plaque carrée orthotrope par exemple
(Fig. 4.3), les éléments HT donnent au centre les valeurs convergées suivantes:
w = 0.007094 Pa4JD , Mx = My = 0.07124 pa2

---

- 88-
alors qu'avec les éléments isoparamétriques quadratiques basés sur la théorie de Reissner-
Mind1in la solution converge vers
w = 0.007101 Pa4fD ,Mx = My = 0.07128 paZ
Tableau 4.2 :
Plaque circulaire orthotrope simplement appuyée et
uniformément chargée (Dx =Dy• H = 0.15445
Dy. Dl = DZ = 0.075 Dy).
Réseau d'éléments
Valeur
Nombre total de
Modèle d'éléments finis
sur le quadrant
calculée/référence •
DDL
symétrique
au centre de la plaque
(DDL libres)
w
Mx=My
1) Version p de
1 élément M=l
1.000
1.025
16
(6)
l'élément HT
M=3
1.000
1.002
24
(10)
orthotrope
M=5
1.000
0.999
32
(14)
M=7
1.000
1.000
40
(18)
2) Eléments isopara-
1 élément
0.914
0.981
24
(10)
métriques quadra-
3 éléments
1.012
1.388
48
(30)
tiques (Fig. 4.5)
12 éléments
1.000
1.010
507
(441)
*
1.
Théorie de Kirchhoff: résultats convergés obtenus avec un. réseau fin d'éléments HT
orthotropes.
2.
Théorie de Mindlin : résultats convergés obtenus avec un réseau fin d'éléments
isopararnétriques quadratiques. Les rigidités équivalentes au cisaillement sont simplement
prises comme
5
h
5
h
DQ =-0-
et
DQ = - 0 -
x
6
bx
y
6
by

---

- 89-
4.4.3
Solution basée sur l'usage d'un seul élément HT sur la totalité du
domaine
Les résultats à la partie supérieure du tableaü 1.1 montrent une fois de plus la supériorité de la
convergence p sur la convergence h. A la limite on peut avoir une solution très précise en
n'utilisant qu'un seul élément HT sur l'ensemble du domaine (fig. 4.6). La précision est
contrôlée avec le nombre M de DDL au nœuds intennédiaires. Les résultats numériques sont
portés au tableau 4.3 et leur représentation graphique à la figure 4.7. De ce point de vue l'appro
Tableau 4.3 :
Etude de convergence de la solution d'une plaque circulaire
onhotrope simplement appuyée et unifonnément chargée
(D x =Dy, H = 0.15445 Dy, Dl = D2 = 0.075 Dy)
représentée par un seul élément HT (figure 4.5)
Valeur calculée/référence * au
Nombre total de DDL
Nombre de côtés
M
centre de la plaque
(DDL libres)
w
Mx
My
2
1
0.978
0.998
0.987
8
(4)
5
0.999
0.996
1.010
16
(8)
9
0.999
1.000
1.001
24
(12)
11
1.000
1.000
1.000
28
(14)
3
1
0.993
1.012
0.986
12
(6)
3
1.044
1.049
1.062
18
(9)
5
1.000
1.000
1.000
24
(12)
4
1
1.163
1.126
1.126
16
(8)
3
1.000
1.000
1.000
24
(12)
*
1. Théorie de Kirchhoff: résultats convergés obtenus avec un réseau fin d'éléments HT
onhotropes.
w = 0.078168 pa4fD. Mx = My = 0.20881 pa2

---

-90-
che du type Trefftz peut être comparée à la "méthode des éléments de frontière" [40].
Cependant, alors que les éléments frontières conventionnels conduisent à des équations
simultanées non symétriques et à des matrices non définies positives, l'approche HT donne
toujours une matrice de raideur symétrique définie positive.
4.4.4
Etudes numériques d'un exemple de dalle orthotrope basé sur les
fonctions de Trefftz des dalles anisotropes
Un cas particulier de plaque orthotrope en appui simple a été étudié en utilisant un seul élément
HT. La solution analytique de référence est tirée du livre de Lekhnitskii [38] pour la charge
uniforme p est une charge ponctuelle P appliquées. Les déplacements obtenus sont ponés dans
le tableau 4.4.
Tableau 4.4 :
Etude de convergence de la solution d'une plaque carrée en appui simple.
011 =0.17337 x 1()2 KN·m, 022 =0.115588 x 101 KN·m, 012 =0.34675
KN·m, 033 =0.50458 x 10-1 KN·m, 013 = 023 = 031 =032 = o.
Oéplacement au centre de la plaque
M
Charge uniforme
Charge ponctuelle
w022/pa4 *
w 022/Pa2 *
1
0.3216 x 10-3
0.33382 x 10-2
3
0.9651 x 10-3
0.2961 x 10-2
5
0.9412 x 10-3
0.3059 x 10-2
7
0.9412 x 10-3
0.3072 x 10-2
Solution analytique [38]
0.9391 x 10-3
0.3084 x 10-2
* a est la longueur du côté de la plaque.
4.5
CONCLUSIONS ET REMARQUES
Une série de fonctions qui constitue le champ de déplacement interne de l'élément HT a été
construite au moyen d'une procédure simple permettant de préserver les propriétés d'invariance
géométrique. La preuve formelle de sa convergence n'est pas donnée mais elle présente les

---

- 91 -
avantages suivants: la combinaison linéaire des fonctions donne celles déjà proposées par
Phillipsik [37] et pour le cas particulier des dalles isotropes on sait que sa forme obtenue en
posant Dx=Dy = H = D = Et3112(l-v2) est complète. Les tests numériques ont montré que les
perfonnances d'un tel élément sont comparables à celles des éléments HT isotropes.
Par ailleurs, dans des cas simples, toute la dalle peut être discrétisée avec un seul élément. Dans
ce cas, la solution s'apparente à une fonne particulière de la méthode des éléments de frontière
vis à vis de laquelle, elle a l'avantage notoire de conduire à une matrice de rigidité symétrique
définie positive.
Avec le présent élément les points singuliers, peuvent être adéquatement pris en compte comme
dans la version p des éléments conventionnels par une ou deux couches fines d'éléments de
largeur en progression géométrique qui décroît lorsqu'on s'approche de la singularité et avec un
facteur de régression compris entre 0.1 et 0.15 [42]. Des études récentes [25] ont fait ressonir
qu'il est possible d'obtenir de bons résultats en augmentant le raffinement-p et sans un
raffinement local du réseau d'éléments.

---

y
'"
Figure 4.5: Grillage de poutres à bord circulaire modélisé par un réseau d'éléments isoparamétriques quadritiques orthotropes
sur un quadrant symétrique.
1
\\0
N
1
Figure 4.6: Grillage de poutres à bord circulaire présenté par un seul élément HT version p orthotrope.

---

2
3 0
10Mx :pa
10 Ox : pa
1
\\0
w
1
2
4
3
10 0xw : pa
2
10 Mxy : pa
Figure 4.1: Grillage de poutres à bord circulaire.
Courbes de niveau à la sortie du
programme SAFE ~-f) : déplacement,
moment de flexion, moment de torsion et
effort tranchant (DJ( = Dy, H == 0.15445 n,.
Dl =D2 =0.075 Dy)'

---

- 94-

---

- 95-
PRÉAMBULE AUX CHAPITRES 5 ET 6
Ces deux chapitres ont porté respectivement sur la modélisation de la version-p d'un élément de
raidisseur et sur la prise en compte des charges concentrées.
L'élément de raidisseur qui a été proposé peut avoir une géométrie rectiligne ou circulaire. TI est
parfaitement compatible aux éléments Hf de dalles. Dans le chapitre 5, il a été démontré qu'une
formulation consistante de cet élément qui prend en compte les effets dus à l'excentricité entre le
lieu des centres de gravité et de ses sections transversales et la ligne de connection dalle-
raidisseur (comprenant les nœuds des éléments dalle et raidisseur) nécessite une interpolation au
moins quadratique des rotations normales aux nœuds d'extrémité. Tel n'est actuellement pas le
cas, l'interpolation est linéaire et les effets dus à cette excentricité ont été pour le moment
négligés.
Pour définir la section transversale du raidisseur, la largeur participante est considérée tout en
retranchant, de la rigidité de l'ensemble, une fois la raideur du chevauchement dalle-raidisseur.
L'inertie de la flexion longitudinale du raidisseur est calculée par rapport à l'axe neutre de cette
section.
Pour la prise en compte des charges concentrées les principes qui soutendent leur traitement ont
été posés; une formulation alternative de l'élément Hf a été utilisée.
Lorsque ces charges sont réparties sur une ligne ou un secteur, leurs termes sont obtenus par
intégration de la fonction de Green - solution d'une dalle infinie soumise à l'action d'une charge
concentrée. Si la ligne ou le bord du secteur d'application des charges sont polygonaux
l'intégration exacte est possible. Par contre l'intégration numérique permet de généraliser la
géométrie de cette ligne ou du bord de ce secteur. Du point de vue de la performance,
l'intégration numérique a été comparée à l'intégration exacte.
Dans une prochaine étude, les résultats obtenus avec la formulation alternative ici présentée
seront comparés à ceux obtenus avec la première formulation présentée au chapitre 2 où le terme
de la charge concentrée û est assimulé à la solution particulière U o de l'équation différentielle
fondamentale.

---

- 96-

---

- 97-
5. VERSION P DE L'ÉLÉMENT
DE RAIDISSEUR
S.l
Introduction
S.2
Relation contraintes-déformations
d'une poutre courbe dans le plan
S.3
Application pour la formulation
de l'élément de raidisseur
5.4
Tests numériques et exemples
d'application

---

- 98-
5.
VERSION P DE L'ÉLÉMENT DE RAIDISSEUR
~1
INTRODUCTION
Au chapitre 4 ont été modélisées les dalles munies de raidisseurs d'un espacement régulier et
suffisamment serré pour que le système dalle-raidisseurs puisse être remplacé par une dalle
orthotrope équivalente. Dans ce chapitre, le cas des raidisseurs isolés sera traité. La version p
de l'élément de raidisseur (Fig. 5.1) qui sera formulée peut avoir une géométrie rectiligne ou
curviligne. Son champ de déplacements est identique à celui défmi à un côté de l'élément lIT de
dalle (voir les fonctions VI et la rotation normale Vin). Le développement de l'élément est basé
sur la théorie des poutres courbes dans le plan en torsion fléchie [42].
___...-.~x
A
y
Z
B
Figure 5.1 : Elément raidisseur
5.2
RELATION CONTRAINTES-DÉFORMATIONS D'UNE POUTRE
COURBE DANS LE PLAN
5.2.1
Hypothèses
Pour établir la relation contraintes-déformations, les hypothèses suivantes sont considérées:
le matériau obéit à la loi de Hooke,

---

- 99-
en flexion les sections droites restent planes et normales à la fibre moyenne,
le gauchissement et l'effet des déformations. dus au cisaillement sont négligés.
5.2.2
Relation contraintes-déformations
La ligne de référence de l'élément est d'abord prise comme le lieu des points G (centre de
gravité des sections du raidisseur). Si cet axe cofucide avec l'axe de torsion, la relation
contraintes-déformations s'écrit alors :
a=Ee •
(5.1)
Par définition
(5. la)
Ely
o
E:: Elyz
Elz
o
(S.lb)
o
o
GJ
+
+
(S.lc)
1 dw
+
rdS
où E est le module d'élasticité; Iy, Iz, Iyz = Izy sont respectivement les moments d'inertie par
rapport aux axes (y, z) et le produit d'inertie; G est le module de cisaillement et J l'inertie à la
torsion. w, v et ~ sont les translations et angle de tortion de l'axe de référence.
Si le centre de torsion des sections est différent de leur ceqtre de gravité (Fig. S.2b), les
translations de l'axe de torsion s'expriment en fonction de celles de l'axe de référence par la
relation suivante:

---

My/
Y,V 4----
'11/
f'
M
YC,V 04··- -
z
I-l
C
o
o
\\1
' ( 9 '
T
\\
-
axe de,
1
ZC,W
1
~
1
référence
C ~
2,W
Figure 5.2 Système de référence du. raidisseur. a) axe de référence,
moments de flexion et de torsion. b)
Repaire pour une
section dont le centre de torsion C est différente du
centre de gravité G

---

- 101 -
Wc = W - ey q>
}
(5.2a,b)
v C = v + ez 4>
avec
ey=Y -Yc
et
}
(5.2c,d)
ez=z -Yc
En substituant (5.2a, b) dans (5.1c), le vecteur défonnations devient
d2w c
d--=.!.
<l
-
ds2
-
e y
ds2
+
r
e=
(5.3a)
~
1 dwc
+
e~ c!!.
ds
+ rdS
rds
5.3
APPLICATION POUR LA FORMULATION DE L'ÉLÉMENT
RAIDISSEUR
TI est possible de faire la fonnulation de l'élément de raidisseur en considérant que son axe de
torsion se trouve sur la ligne de sa jonction avec la dalle (figure 5.3). Les nœuds se trouvent
- ............ --
.
~
y
z
Fig. 5.3 :
Dalle raidie. Le centre de torsion C est situé sur la ligne de
jonction dalle-raidisseur.

---

-102 -
alors sur cette ligne et on peut assimiler, respectivement, wG et -<1> au déplacement transversal VI
et à la rotation normale Vin au bord de l'élément HT de dalle. Puis, en considérant que les
translations dans le plan moyen de la dalle sont nulles alors vG = 0 et le vecteur déformation des
sections de l'élément Ee tiré de (5.3a) devient
d 2w
d 2 ,,)
,....,
w n
w n
- - - + ey
ds2 -
-
ds2
r
E
n
e =
d2w'
e z '"
ez ds2 + r2 w n
(5.3b)
~d; + (1- ~t;n
Dans (5.3b) interviennent les dérivées secondes de VI et Vin. Si l'on veut assurer la continuité
entre les éléments de raidisseur les fonctions d'interpolation de VI et Vin associées aux
déplacements des noeuds d'extrémités doivent être au moins quadratiques. Tel n'est pas le cas
pour Vin (voir 2.49 et 2.56 au chapitre 2). L'interpolation des rotations aux nœuds d'extrémités
est linéaire; en la conservant dans le but de construire un élément raidisseur compatible aux
éléments dalles présentés aux chapitres 3 et 4, l'expression du vecteur déformation a été
simplifiée en négligeant les effets dus aux excentricités ey et ez. Dans cette situation, en posant
ey = ez =0, le vecteur de formation s'écrit:
d 2 w-
w n
ds2 -
r
Se=
o
(5.4)
Le champ de déplacements de l'élément de raidisseur peut être défini comme
-
-
U e = Ne de
(5.5)
où Ne sont les fonctions d'interpolation des déplacements nodaux de
(5.6)

---

- 103-
Les fonctions Nli. N 2i, 1.; et Mj correspondent aux fonctions d'interpolation choisies à la sous-
section 2.4.2. Dans le cas du raidisseur circulaire, si on met l'accent sur la représentation
efficace de la rotation nonnale constante
Nu =0
(5.7)
1
1
N12 = 2 nAx (1.-ç)
N 15 = 2 nBx (l+l;)
(5.8)
1
1
Nl3 = 2 nAy (l.-ç)
N16 = "2 nBy (l+l;)
N21 =-~ (l;3_3l;+2)
N24 = ~ (.-ç3+3l;+2)
N22 =-~tAnAy (l;3.-ç2+1)
N25 =-~tB nBy (l;3+l;2.-ç-l)
(5.9)
(5.10)
(5.11)
si par contre on désire reproduire exactement: les modes rigides,
Nll = 0
(5.12)
1
N15 ="2 nx (1+l;)
(5.13)
1
N16 ="2 ny (l+l;)
(5.14)

---

-104 -
NI =[Nu NI2 Nl3 NI4 NI5 NI6 LI 0 L2 ... ]
(5.15)
(5.16)
(5.17, 5.18)
la géométrie du côté étant redéfinie comme dans (2.59 a,b)
En substituant les expressions de wn et W en (5.6) dans (5.4) le vecteur déformations de
l'élément devient
(5.19)
si q est la charge appliquée par unité de longueur, on applique le principe de travaux virtuels
pour obtenir la relation forces-déplacements suivante
(5.20)
où
f -T -
ke =
Be EBeds
(5.20a)
s
et
(5.20b)
s désigne l'intégration le long de l'élément. r e, r eq et ke sont respectivement le vecteur des
forces aux nœuds, le vecteur des forces équivalentes appliquées et la matrice de rigidité de
l'élément.

---

- 105-
5.4
TESTS NUMÉRIQUES ET EXEMPLES D'APPLICATION
5.4.1
Tests numériques sur l'élément raidisseur utilisé pour l'analyse des
poutres courbes
L'efficacité de l'élément a été d'abord évaluée en considérant le raidisseur seul comme une
poutre courbe correspondant au quart de la circonférence d'un cercle de rayon "a" encastrée à
une extrémité et libre à l'autre. Pour la charge uniformément répartie et pour un rapport des
rigidités flexionnelles et torsionnelles EI/GJ=1.3, les résultats au tableau 5.1 illustrent la
convergence p de la solution.
Tableau 5.1 :
Poutre courbe correspondant au quart de la circonférence
d'un cercle de rayon a. Etude de la convergence de
l'élément raidisseur version p pour une charge
uniformément répartie p nonnale au plan de la courbure et
pour un rapport des rigidités flexionnelle et torsionnelle
EI/GJ=1.3.
valeur calculée / référence
Discrétisation
wB
MA
TA
1 élément
M
=1
0.952
0.985
0.489
=3
0.998
1.079
0.954
=5
1.000
1.006
1.016
=7
1.000
0.999
1.001
2 éléments
M
=1
0.996
1.054
0.848
=3
1.000
1.012
1.003
=5
1.000
1.000
1.001
=7
1.000
1.000
1.000
WB = 0.7118 pa4/EI,
MA =-pa2, TA =-0.5708 pa2•

---

-106 -
5.4.2
Application aux calculs des dalles reposant sur des sommiers centrés
ou excentrés.
Les figures 5.4a,b représentent deux dalles carrées uniformément chargées avec deux bords en
appui simple, les deux autres reposant sur deux sommiers centrés et excentrés. Deux analyses
ont été faites. A la première un maillage (6 x 6) d'éléments Hf et de raidisseurs version-p est
utilisé avec M=7. A la seconde, est utilisé un maillage fm (16 x 16 pour la dalle et 16 x 4 pour
les raidisseurs) d'éléments super-paramétriques quadratiques de coques [29] qui tiennent
compte des déformations dues aux efforts tranchants. Au tableau 5.2 les déplacements w et les
moments Mx et My obtenus aux points B et C (fig. 5.4a,b) montrent que la solution dalle-
raidisseurs ici présentée, est satisfaisante pour des applications pratiques.
Tableau 5.2 :
Dalles carrées isotropes uniformément chargées reposant sur deux sommiers
centrés (fig. 5.3a) ou excentrés (fig. 5.3b) E = 20 x 106 KN/m2, v = 0.18
102 wlP
Mx /i5
My /i5
Solutions
Point B
Point C
Point B
Point C
Point B
Point C
Eléments
HT
+
0.214
0.248
0.951
1.272
1.770
2.071
Raidisseurs
raidisseurs
centrés
Eléments coques
0.216
0.249
0.951
1.273
1.785
2.086
Eléments
HT
+
0.162
0.202
1.063
1.394
1.379
1.737
Raidisseurs
raidisseurs
excentrés
Eléments coques
0.174
0.213
1.032
1.363
1.470
1.816

---

-107 -
a}
ppui simple
x ..
12
appui simple
300
300
b )
appui simple
x
15
y
300
300
Figure 5.4 :
Dalles isotropes unifonnément chargées
a)
Raidisseurs centrés. b)
Raidisseurs excentrés:

---

- 108-
La section du raidisseur est modélisée comme à la figure 5.5 en prenant en compte la largeur
participante fixée par la norme. Le moment d'in~e Iy est calculé par rapport à l'axe passant par
le centre de gravité. La constante de torsion de la section hachurée est utilisée.
----.-~
-----1
•
G
Figure 5.5 :
Modélisation de la section d'un raidisseur excentré. Le moment d'inertie Iy
est calculé par rapport à l'axe passant par le centre de gravité. La constante de
torsion J est calculée pour la section hachurée.
Dans le programme la rigidité flexionnelle de la dalle correspondant à l'aile du raidisseur est
retranchée automatiquement. Pour le cas des raidisseurs centrés on remarque la concordance

---

- 109-
des résultats aux points B et C où l'erreur dans les déplacements et les moments est inférieure à
1 %. Pour le cas des raidisseurs excentrés, l'erreur dans les déplacements est inférieure à 8 %
alors que dans les moments elle est inférieure à 6 %: Une inspection minutieuse des résultats
montre que les éléments raidisseurs présentent un excès de rigidité qui s'aggraverait d'ailleurs si
on tenait compte de l'excentricité. TI faut dire cependant que les résultats obtenus avec une telle
modélisation sont satisfaisants pour le applications pratiques.
5.4.3
Application pour le calcul d'un plancher industriel
L'élément raidisseur a été aussi utilisé pour le calcul d'un plancher industriel formé d'un
grillage fin (orthotropie technique) renforcé par un système de raidisseurs droits et circulaires
(fig. 5.6). Ces derniers sont centrés et ont une section rectangulaire. Le calcul du plancher est
fait en combinant les éléments de dalle orthotrope et de raidisseur. Un réseau d'éléments
...
t x • t y • 2
bx • by • 30
..
h. 50
~
~~' 1
1
~
•
~
~
[>os j50
~~
500
.: t~OO 400 X? 400
. [100 500
,
1
!
1
~ 1!1!:I!"llIllIlj~Ii!1
i
Id" "'''l' "'" ~
A-A
Figure 5.6:
Plancher industriel métallique CE =210 KN/mm2, v =0.3).
Les dimensions sont en mm.

---

version-p d'élément lIT orthotropes de daJle
0··3 OOF
6 .. M OOF
....
....
o
Appui simple
Eléments raidisseurs (poutre)
igure 5.7 : Plancher industriel métallique. Réseau formé par la version-p des éléments HT de dalle et des éléments raidisseurs

---

-111 -
w(mm)
Mx(KN mm/mm)
My (KN mm/mm)
M xy (KN mm/mm)
Figure 5.8
Plancher industriel métallique. Courbes de niveau du dépla-
cement et des moments de flexion et de torsion correspon-
dant au réseau d'éléments montré à la figure 5.8 avec M = 7
et pour une charge uniformément répartie p = 1 KN/mm2
(444 DDL libres, la symétrie n'est pas prise en compte).
grossier est utilisé. La symétrie nlest pas prise en compte pour permettre les chargements non
symétriques. Parmi les différents cas de charges étudiés, nous avons retenu le cas de charge qui
correspond au poids propre du plancher et les résultats graphiques sont montrés à la figure 5.8.

---

- 112-

---

- 113-
6.
PRISE EN COMPTE DES CHARGES
CONCENTRÉES
6.1
Introduction
6.2
Solutions singulières correspondant aux charges
linéiques et sectorielles
6.3
Adaptation de la formulation de l'élément
HT
6.4
Contrôle des résultats et applications
6.5
Conclusion

---

-114 -
6.
PRISE EN COMPTE DES CHARGES CONCENTRÉES
6.1
INTRODUCTION
Dans une étude faite par J. Jirousek et A. Venkatesh [43] les charges concentrées ont été prises
en compte à partir de la formulation de l'élément HT faite au chapitre 2. Les termes de ces
charges sont introduits en ajoutant à la solution particulière 3e un terme singulier ~ obtenu à
partir de la solution d'une plaque infinie soumise à une force ponctuelle unitaire (fonction de
Green). Cette représentation est adéquate tant que la charge est continue au bord de l'élément.
Par contre dans le cas où la charge concentrée est proche du côté de l'élément, la précision de la
solution est défavorablement affectée. Ceci s'explique par le fait que les fonctions de bord ve et
la série de fonctions homogènes Ne restent continues. Ces fonctions ne parviennent donc pas à
représenter correctement le saut induit par le chargement En élasticité plane les mêmes auteurs
ont utilisé une fonnu1ation alternative [25] et ont obtenus de bons résultats dans le traitement
des charges de bord discontinues. Nous avons donc penser à l'utiliser pour la flexion des
plaques. Essentiellement, il s'agit ici de présenter cette formulation et de montrer les possibilités
qu'elle pennet dans le traitement des charges ponctuelles, linéiques ou sectorielles.
-
A
A
Pour la dalle isotrope soumise à une force ponctuelle P appliquée en (xp,Yp), on assimile u à w
et à un point (X,y) ,
-
...
P
w=--r2 lnr
(6.1)
8nD
où
r2=X2 + y2
(6.1a)
et
X=X-Xp
y=Y-Yp
(6.1b)

---

-115 -
Suivant le système de référence à la figure 2.4a, les vecteurs déplacements v et tractions t de
bord correspondants s'écrivent:
A
dW
Moy
dY
avec
~ =Qx cosa + Qy sina
Mnx =Mx cosa + Mxy sina
Moy =My sina + Mxy cosa
Mx, My et Mxy sont les moments internes:

---

-116 -
et les dérivées de wsont:
a';"
P
~=-=-x (l +2lnr)
vx
&cD
a';"
P
.:h, = -
=-y (l + 2 ln r)
V]
&cD
a~ __ p (2 X3 3X)
ax3 - 4rcD
r4 -
r2
Pour les charges linéiques ou sectorielles appliquées, les tennes irréguliers Vi et ses dérivées
sont obtenus en intégrant ceux de la charge ponctuelle. Aussi, leurs contributions aux
déplacements, tractions et efforts internes sont exprimées en fonction de ces tennes. De telles
solutions sont considérées sur un groupe d'éléments avoisinant le chargement et la singularité
sera toujours convenablement traitée quelque soit le réseau d'éléments ou la position de la
charge.

---

- 117-
sera toujours convenablement traitée quelque soit le réseau d'éléments ou la position de la
charge.
La formulation alternative sera présentée à la section 6.2. A la section 6.3 les techniques
d'intégration permettant d'avoir les termes singuliers des charges linéiques et sectorielles seront
données et enfin à la section 6.4, seront présentés le contrôle des résultats que l'on obtient et les
applications pratiques.
6.2
FORMULATION ALTERNATIVE POUR LA PRISE EN COMPTE
DES CHARGES CONCENTRÉES
L'idée de base consiste à résoudre le problème à partir de la somme d'une solution singulière
connue pour un plan semi-infini et de la solution régulière obtenue par la méthode des éléments
finis (fig. 6.1); l'objectif étant la restauration des conditions de bord réelles. Les deux étapes
peuvent être combinées en une seule (voir [25]). Ceci se résume, dans le cas présent, à la
procédure suivante :
1\\
•
d'abord on considère que le vecteur charge de l'élément est établie en introduisant t; dans
t;Oe' mais au lieu de procéder de la même façon pour
u;" et u; ;e, à ce dernier, est ajouté
un terme régulier équivalent qui donne aux nœuds les mêmes déplacements de que le terme
original itOn obtient alors la relation suivante:
(6.5)
•
Après l'assemblage des éléments et la résolution des équations pour les déplacements
nodaux, les coefficients indéterminés ce correspondant à la partie régulière de la solution
sont évalués à partir de (2.9) mais en retranchant les déplacements de; on obtient ainsi:
ce = -He-Ih
(6.6)
e + He-IGe (de-de)
.

---

- 118-
•
Le vecteur forces nodales ~e est obtenu à partir de l'équivalence des travaux virtuels. li
s'écrit
(6.7)
où
-"
Vetdr- J
(6.8)
rte
et la relation forces déplacements prend la forme habituelle
(6.9)
•
Finalement, après l'assemblage et la solution des équations en de' les paramètres ce sont
calculés avec (6.6) et les déplacements et contraintes, à partir des expressions suivantes
(6.10)
(6.11)
Dans l'expression des déplacements internes en (6.10), les tennes Ne ë e représentent la
restitution des modes rigides obtenue par un ajustement au sens des moindres carrées des
champs de déplacements De et üe•

---

(a.)
, lr m1J ..-.oor-~
, -
-).J, i
--,
l
'~•...t
oP
1
r
'A-,
~'
\\
---41". ~
~Y\\J 1.... __ l
1 \\J
-
1
----
"
1
- ...........J 1
~
oP
~
-0
-
-
+
(b)
1
1
/
1
,
1
"
t ~ -t
1
1
----1-----..---
l
'
,,
'1
_ _
1
J
+--
'
1
-
.J..
1
- -
1
1
.....
1
......
1
......
Figure 6.1: Décomposition de la solution
/
....
pour la prise en compte des
charges concentrées en deux
parties : a) une singulière et b)
une régulière

---

- 120-
6.3
TECHNIQUES D'INTÉGRATION POUR LA PRISE EN COMPTE
DES CHARGES LINÉIQUES ET SECTORIELLES
La solution singulière de la charge ponctuelle et ses dérivées comprennent les termes
xmyn
xm yn lnr
~
leur intégration dans le secteur
où la charge est appliquée (Fig.6.2) est faite en transformant
les intégrales de surface en intégrales de contour en utilisant le théorème de la divergence [44,
45, 46] et l'on obtient:
f Xmynln rd Q =(Xcosa + Y .sma) f Xmyn (ln r
m+n+2 - I )
m+n+2
ctr
Q
r
f x~yn
f
dQ = (X cosa + Y sina)
(~:~:2 ctr
A
Q
r
f x~yn
f
dQ =(X cosa + Y sina)
XInyn
ctr
(m+n-2)r4
A
Q
r
- o c
x
r
1
CiO
Fig. 6.2 : Dalle infinie soumise à un chargement sur le secteur Q

---

- 121 -
Comme pour la charge linéique l'intégration numérique habituelle (de Gauss) sera utilisée. Par
contre, si les charges sont appliquées sur une ligne brisée ou un secteur à contour polygonal,
l'intégration exacte est possible. La méthode d'intégration utilisée, dans ce cas, est analytique et
sa mise en œuvre dans un programme d'éléments finis est aisée. Elle est donnée à l'appendice
VI.
6.4
CONTROLE DES RÉSULTATS ET APPLICATIONS
Nous allons tester l'efficacité de la formulation modifiée de l'élément HT et montrer les
possibilités qu'elle offre dans le traitement des charges concentrées plus générales.
L'intégration analytique exacte est comparée à l'intégration numérique des charges sur un
exemple de dalle rectangulaire en appui simple et soumis à une charge linéique constante ou à
une charge uniforme répartie sur un secteur rectangulaire (fig. 6.3). En plus, la précision du
traitement numérique des charges réparties sur la circonférence d'un cercle ou sur un secteur
circulaire a également été étudiée en considérant une dalle circulaire simplement appuyée (fig.
6.4). Pour la dalle rectangulaire et circulaire, les résultats de référence pour les moments de
flexion maximum sont tirés du livre de Timoshenko et Woinowsky Krieger [33].
•
Pour la charge linéique p appliquée (fig. 6.3a)
MxC = O.068P , MyC = O.123P ; P =1.4 Pa
•
Pour la charge constante p répartie sur un secteur rectangulaire (fig. 6.3b)
M
=
xC
0.119P , MyC =0.152P ; P = 0.24 Pa2
•
Pour la charge linéique p appliquée à la circonférence d'un cercle (fig. 6.4a)
MxC =MyC =0.0170P ; P =rp a2
•
Pour la charge constante p répartie sur un secteur circulaire
MxC =MyC =0.222P ; P = ~6 Pa2
La dalle rectangulaire a été étudiée avec deux maillages d'éléments HT standards: un réseau
1 x 1 et un réseau 3 x 3. Pour les deux cas de chargement considérés (fig. 6.3a et 6.3b), les

---

- 122-
moments au centre ont été obtenus (avec une précision à 3 chiffres significatifs) en intégrant
exactement ou numériquement la charge et en· utilisant un seul élément Hf sur la totalité de la
dalle pour M =5. Le contrôle des résultats en fonction du nombre de points d'intégration
utilisés est montré au tableau 6.1.
Tableau 6.1: Dalle rectangulaire en appui simple soumise à une charge linéique uniforme (fig.
6.3a) (v =0.3, M = 5)
Résultats * au centre de la dalle
Réseau
Nombre
de
poin*s
d'éléments
d'intégration (de Gauss)
wD/pa3
Mx/pa
My/Pa
1 x 1
40
0.0822
0.0652
0.1201
80
0.0822
0.0680
0.1229
3x3
40
0.0821
0.0652
0.1201
80
0.0822
0.0679
0.1229
...
Résultats de référence [33] Mxc =0.0680 P a, M
=
yC
0.123 Pa, P = 1.4 pa
a est la plus petite dimension de la dalle.
x
Pour chaque segment de charge 20 points d'intégration sont utilisés.
On constate que pour les deux réseaux d'éléments considérés, la précision de la solution
augmente avec le nombre de points d'intégration et comme dans le traitement des autres cas de
charge (fig. 6.3b, 6.4a et 6.4b) 80 points d'intégration sont nécessaires pour retrouver la valeur
des moments de référence. Pour les charges appliquées sur une ligne ou un secteur à bord
curviligne, il serait intéressant de comparer l'intégration numérique à une autre technique qui
consiste à remplacer la fonne curvilinéaire par une série de segments de droite sur laquelle on
procède à l'intégration exacte [47].

---

- 123-
(a)
(b)
a
f:::l.~~:'=:"=1=.4=a====.fi
/y
Figure 6.3 :
Dalle rectangulaire simplement appuyée, soumise à deux
cas de chargement: a) charge linéique constante, b) charge
constante répartie sur un secteur rectangulaire.

---

- 124-
a)
b)
Figure 6.4 :
Dalle circulaire simplement appuyée, soumise à deux cas de
charge: a) une charge linéique constante répartie sur la
circonférence d'un cercle, b) une charge constante répartie
sur un secteur circulaire.

---

- 125-
6.4.1
Applications
Les figures 6.5a et 6.5b représentent une dalle carrée en appui simple sur ses quatre côtés et
soumise à deux cas de chargement constitués chacun d'une charge ponctuelle fi et d'une charge
linéique p réparties sur la circonférence d'un cercle. Pour ces chargements occupant des
positions différentes un seul réseau 3 x 3 d'éléments est utilisé; les résultats graphiques sont
montrés dans les figures 6.6 pour les déplacements, dans les figures 6.7 et 6.8 pour les
moments de flexion et dans les figures 6.9 et 6.10 pour les efforts tranchants. Le maillage 3 x 3
a été utilisé pour avoir assez de points internes pour la représenation graphique (25 points
internes par élément).
6.5
CONCLUSION
Il a été appliquée une méthode de traitement des effets locaux associés aux charges concentrées
ou discontinues. Méthode suivant laquelle la précision est indépendante de la position de la
charge. Si les charges sont réparties sur un polygône ou sur une surface à contour polygonal,
l'intégration analytique exacte est possible, mais si la ligne d'application de la charge est
circulaire par exemple, l'intégration exacte est impossible et dans ce cas, l'intégration
numérique est utilisée. Cette dernière donne des résultats suffisamment précis. Seul le cas des
dalles isotropes est considéré mais la méthode est extensible au cas des dalles anisotropes.

---

a)
b)
.r
f-"
l\\)
0\\
1
.P
-
~
Figure 6.5 Dalle carrée isotrope de côté a soumise aux deux cas de chargement a) et b);
charge concentrée P et charge p répartie sur la circonférence d'un cercle.
Cas a) r=O.25 a; cas b) r=O.133 a.

---

~
~
Figure 6.6:
Déplacements des dalles de la figure 6.5 (1000 w/p a2 avec P=P+ 27trp)

---

-128 -
10 Mx / (P + 21trp)a
10 My / (P + 21trp)a
10 Mxy 1(P + 21trp) a
Figure 6.7 :
Moments de flexion et de torsion et moments principaux pour le
cas de chargement a) de la dalle de la figure 6. 5

---

- 129-
10 Mxy 1(P + 21trp) a
D.lI6D 'i:H lM
"JIt."xxx
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
'O
.......... I~~~.'···
,
-.)t.-.:xx
• • • • • • •
II~II"'·.· .. ,
,
"'xx~
•••••• ~~~~~"",···,""'~~xx~
•••• _~~,~""'I'··.-',"'~~~xx
•••• ~~"",,~~,,····,""'~~x~
w • • • ~,~""",.,.··.,"""~xx
••• ~~"",,~~,••• ~+~,~","'~~
•• """"",~xxxx~+~~-""x~x
. " " " " ' ••• _xxxx~~_""'x
.• ""'~"'.x.~~~xx~~""'x
.""",,~x•• ~111~~X
~""~
·"""~~-·~~++ii
""",xxX1++++
~
~"~
X'~
"""M'~+~kkk~
~"
·"""~1X~~~~~
~~.
""i~~~X~~~~~~~***&
~~,
• • • • ~~1XX~~~~~~~~~~~
~~/,
.. +~~x~xx~~~~~~~~~~X
~///~
·.~~xxx~~~~~~~~~~~~x~
~///~~
,~,~xxxX~~x~~~~~~~~X~K~///~X
",xxxxxX~x~~~~~~~~X+~k'/////x
~"xxxx~XXX~~~~~~k~XkX"///~~Y.
~""'XXXXX~~~~~~~1-X"//////.Y.
x""'XXXXX~~~~+++x~.'///~~~/.x
.',,'"""'X)r,;li; '" '" ++1- , • , , , " " / ~~~x X
x~X"""\\\\~~~+41"""~~'~~XZ~
xxxx"""'_·,·""""'~~~~xz
xxxx,~""~ ...
" .• ",.~,.xxy.~
xXXXxx~~' ••.. " ' "
,.t.~,",,~zxxz
Figure 6.8 :
Moments de flexion et de torsion et moments principaux pour le
cas de chargement b) de la dalle de la figure 6. 5

---

Ox / (P + 21trp)
Oy / (P + 21trp)
.....
w
o
1
o.
'---
t~·
Figure 6.9:
Efforts tranchants pour le cas de chargement a) de la dalle de la
figure 6.5

---

Ox / (P + 2xrp)
Oy / (P + 2xrp)
D.D
1--'
W
~
...........
1--'
\\~1.0
0.0
0.8
Figure 6.10 :
Efforts tranchants pour le cas de chargement b) de la dalle de la
figure 6.5

---

- 132-

---

- 133-
7.
CONCLUSIONS
Le modèle hybride-Trefftz a été appliqué pour la mise au point de la version-p des éléments HT
de dalle-champignons et de dalle orthotrope. Ces éléments sont basés sur un champ de
déplacements interne non conforme qui vérifie les équations différentielles fondamentales (sans
résidu interne) et un champ de déplacements de bord conforme défini à la frontière des
éléments. Mise à part leur haute précision, ces éléments offrent les avantages suivants :
•
une grande liberté dans le choix de la géométrie, l'intégration se faisant sur le bord de
l'élément;
•
la nature de la formulation de l'élément facilite considérablement l'estimation d'erreur et le
développement d'une procédure adaptive efficace basé sur un raffmement-p uniforme
•
un réseau optimum d'éléments HT version-p donne toujours une faible erreur en norme
énergétique et une vitesse de convergence plus qu'exponentielle donc plus élevée que celle
des éléments finis conventionnels version-p;
..•
la solution est quasi insensible aux conditions de chargement. Un seul raffinement-p
convenablement ajusté est utilisé pour l'ensemble des cas de charges.
Des séries de fonctIons spéciales de Trefftz ont été construites pour l'élément HT standard,
l'élément dalle-colonne et à l'élément dalle perforée où le trou peut être assujetti à des conditions
statiques ou cinématiques diverses.
L'élément dalle-champignons utilise une série de fonctions spéciales aptes à représenter
l'interaction dalle-colonnes et éventuellement la variation radiale de l'épaisseur au voisinage des
colonnes. Aussi les rigidités axiales et flexionnelles de ces dernières sont prises en compte pour
les différents modes de fixation à leurs extrémités.
Pour l'élément HT de dalle orthotrope la série de fonctions de Trefftz a été d'abord générée avec
une procédure qui permet de retrouver comme cas particulier, les polynômes biharmoniques
déjà utilisées pour le.> l'éléments isotropes. Une propriété garante de l'isotropie géométrique de
l'élément puisqu'elle a permis d'établir une règle de troncature adéquate de la série de fonctions

---

-134 -
onhotropes. Par la suite d'autres fonctions de Trefftz plus générales traitant le cas des dalles
anisotropes ont été proposées.
Pour l'analyse des dalles raidies, un élément raidisseur version-p est mis au point. Ce dernier
est compatible avec les éléments HT de dalles isotropes ou orthotropes et peut avoir une
géométrie rectiligne ou circulaire. L'élément a été testé avec deux cas de dalles reposant sur des
sommiers centrés ou excentrés. Les résultats obtenus ont été comparés avec la solution
convergée des éléments de coques. Dans le cas des sommiers centrés, on a noté une bonne
concordance des résultats alors que dans le cas des sommiers excentrés, une déviation légère a
été observée. Dans ce dernier cas, la largeur participante de la dalle fixée par la norme est
considérée, la constante de torsion est calculée de façon approximative et nous n'avons pas tenu
compte des effets de l'excentricité qui existent entre les points de connexion dalle-raidisseurs et
le centre de gravité de la section. TI faut noter cependant que, malgré ces déviations, les résultats
restent convenables pour les applications pratiques.
Une attention particulière a été portée au traitement des effets locaux dus aux charges
discontinues appliquées sur la dalle isotrope. Des charges ponctuelles, linéiques et sectorielles
prises en compte suivant une méthode extensible aux cas des dalles anisotropes qui rend la
précision de la solution pratiquement indépendante de leur position. Le terme des charges
linéiques et sectorielles est obtenu en intégrant la fonction de Green correspondant à la charge
ponctuelle. Si ces charges sont respectivement réparties sur une ligne brisée ou sur une surface
polygonale, l'intégration exacte est possible. Autrement l'intégration numérique est effectuée
(méthode de Gauss) et les résultats sont suffisament précis même si le chargement chevauche
sur plusieurs éléments.
Jusqu'à présent, la fvrmulation de l'élément HT a été appliquée à l'élasticité plane, aux dalles
minces isotropes ou orthotropes, aux dalles à épaisseur modérée [48) et à la solution de
l'équation de Poisson. Les travaux en cours vont dans le sens d'une extension du modèle aux
calculs des plaques plissées et des coques. Des fonctions de Trefftz sont actuellement
disponibles pour les coques sphériques [49], pour les coques à courbures principales constantes
[2, 26), pour la vibration des plaques [50] et pour l'élasticité tridimensionnelle [51, 52). La
solution fondamentale que l'on utilise pour la génération de la solution exacte des charges

---

- 13 5-
concentrées est aussi disponible pour l'élasticité à deux et trois dimensions comme pour les
coques peu profondes [53].
Une possibilité attrayante est le développement des élément infmis ou semi-infmis basés sur les
fonctions de Trefftz du type proposé par Jin, Cheungh et Zienkiewicz [54]..

---

REFERENCES
[1]
E. Trefftz, "Ein Gegenstück zum Ritzschen Verfahren", Proc. 2nd Int. Congr. Appl.
Mech., 131-137, Zurich (1926).
[2]
E. Stein, 'Die Kombination des modifizierten Trefftzschen Verfahrens mit der Methode
der finiten Elemente", in Finite Element in der Statik, Berlin, Ernst, 172-185, (1973).
[3]
G. Ruoff, "Die praktische Berechnung der Kupplungsmattizen bei der Kombination der
Trefftzschen Methode und der Methode der finiten Elemente bei flachen Schalen", in
Finite Elemente in der Statik, Berlin, Ernst, 242-259, (1973).
[4]
P. Tong. T.H. Pian and S.L. Lasry, "A hybrid-element approach to crack problems in
plane elasticity", Int. J. Numer. Meth. Engng 7,297-308, (1973).
[5]
K.Y. Lin and Pin Tong, "Singular finite elements for the fracture analysis of V-notched
plate~', Int. J. Numer. Meth. Engng 15, 1343-1354, (1980).
[6]
J. Jirousek and N. Leon, "A powerful finite element for plate bending", Comp. Meth.
Appl. Mech. Engng. 12 (1), 77-96, (1977).
[7]
J. Jirousek, "Basis for development of large finite elements locaIly satisfying aIl field
equations", Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. 14, 651-693, (1978).
[8]
J. Jirousek and P. Teodorescu, "Large fmite element method for the solution of problems
in the theory of elasticity", Comp. Struct. 15 (5), 575-587, (1982).
[9]
J. Jirousek, "A powerful finite element method for low capacity computers", Proc. 4th
Int. Conf. Engng, Software, Kensington (England), Berlin, Springer-Verlag, Vol. 6,
49-63 (June 1985).
[la] J. Jirousek, 'A contribution to finite element and associated techniques for the analysis of
problems with stress singularities', Proc. 2nd Int. Conf. Num. Methods Engng.
(G.A.M.N.!.), Paris, Dunod, Vol. 2, pp. 719-729, (1980).
[11] P. Teodorescu, "Grands éléments finis "GEF" pour l'élasticité plane", Ph.D. thesis No.,
462, Swiss Federal Institute of Technology, Lausanne, (1982).
[12] J. Jirousek and P. Teodorescu, "Large finite elements for the solution of problems of the
theory of elasticity", Proc. 3rd Int. Symp. Num. Methods Engng. (G.A.M.N.L),
Pluralis, Paris, Vol. 2, 695-704, March (1983).

---

-2-
[13] J. Jirousek, "Implementation of local effects into conventional and non-conventional
finite element fOnDulations", in Local Effects in the Analysis of Structures (Ed.
Ladevèze), Elsevier, 279-298, (1985).
[14] M. M. Hrabok and T.M. Hrudey, " A review and catalogue of plate bending finite
elements"; Camp. Struct. 19 (3),479-495, (1984).
[15] T. H. Pian, "Element stiffness matrices for boundary compatibility and for prescribed
boundary sttesses", Proc. Ist Conf. on Matrix Meth. in struc. Mech. Ohio, 457-477
(oct. 1965).
[16] T. H. Pian, "Derivation of element stiffness matrices by assumed sttess disttibutions",
A.I.A.A.J., 2 (7) (1964).
[17] P. Tong, "New displacement hybrid finite element model for solid continua", lm. J.
Numer. Meth. Engng ,2 (1), 73-83, (1970)
[18] F. Kikuchi and Y. Ando, "Some finite element solutions for plate bending problems by
simplified hybrid displacement method", Nucl. Eng. Des., 23, 155-178 (1972).
[19] O. C. Gallager, Finites Element Analysis: Fundamentals, Englewood Cliffs, N. J.
Prentice-Hall, 1975.
[20] B.A. Szabo, "Mesh design for the p-version of the finite element method", Camp.
Methods Appl. Mech. Engng 55, 181-197 (1986).
[21] B.A. Szabo and GU. Sahrman, "Hierarchie plate and shell models based on p-
extension", lm. J. Numer. Meth. Engng 26, 1855-1881 (1988).
[22] B.A. Szabo, PROBE: Theoretical Manual, Noetic Technologies Corp., St- Louis,
Missouri, 1985
[23] J. Jirousek and Lan Guex, "The Hybrid-Trefftz finite element model and its application to
plate bending", Int. J. Numer. Merh. Engng 23., 651-693 (1986).
[24] J. Jirousek, "Hybrid-Trefftz plate bending elements with p-method capabilities", Int. J.
Numer. Meth. Engng .24, 1367-1393, (1987).
[25] J. Jirousek and A. Venkatesh, "Hybrid-Trefftz plane elasticity elements with p-method
capabilities", InternaI Report LSC 91n, Swiss Federal Institute of Technology,
Lausanne, (May 1991) (submitted for publication).

---

- 3 -
[26] G.M. Voros and 1. Jirousek, "Application of the hybrid-Trefftz finite element model to
thin shell analysis", Proc. European Conf. on new Advances in Comp. Struc. Mech.,
547-554,2-5 April, Giens (Var) - France, (1991).
[27] A.P. Zielinski and O.C. Zienkiewicz, "Generalized finite element analysis with T-
complete boundary solution functions", Int. J. Numer. Methods Engng., 21, 509-528
(1985).
[28] Von Ekkehard Ramm und Jochen Müller, "Flachdecken und Finite Elemente - Einfluss
des Rechenmodels im Strützen Bereich", Institut fUr Baustatik, Universitiit Stuttgart
[29] J. Jirousek, "Manuel d'utilisateur du programme SAFE", IREM Swiss Federal Institute
of Technology, Lausanne (1988).
[30] I. Herrera, Boundary Methods : An algebraic Theopry, Piunan, Boston, MA, (1984).
[31] J. Barlow," A different view of the assumed-stress hybrid method ", lm. J. Numer.
Meth. Engng 22, 11-16, (1986).
[32] O.c. Zienkiewicz Thefinite Element Method, 3rd edn, London, McGraw-Hill, (1977).
[33] J. Jirousek and A. Venkatesh, "Implementation of curvilinear geometry into p-version
HT plate elements". lm. J. Numer. Meth. Engng 28,431-443, (1989).
[34] S. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger, "Theory of plates and shells", 2nd edn.,
New York, McGraw-Hill, (1969).
[35] J. Benda, "Circular plates of variable thickness" (in czech), Bulletin of the Brno 1nstitute
of Constructional Engineering and Architecture, Czechoslovakia, No. 39 and 47
(1954).
[36] J. Jirousek, "Solution of arbitrarily loaded circular plates of variable thickness" (in
czech), Bulletin of the Brno Instituee of Constructional Engineering and Architecture,
Czechoslovakia, No. 106 (1956).
[37] W. Phillipzik, "Das Trefftz- Verfahren für eingespannte anisotrope und isotrope
querbelastete Platten. Techn. Mit. Krupp Forsch-Ber., Band 30, H.2, 89-91 (1972).
[38] S. G. Lekhnitskii M. "Anisotropic Plates", Gordon and Breach, New-York, (1968).
[39] B. C. et N. J. Altiero, "A new numerical method for the analysis of anisotropic thin-plate
bending problems", Comp. Math. Appl. Mech. Eng., 25, 343-353 (1981).

---

-4-
[40] M. Stern and T.-L. Lin. ''Thin elastic plates in bending", in Developments in Boundary
Element Methods (Edited by P.K. Banerjee and J.-O. Watson), Ch. 4, Elsevier, London
(1986).
[41] B. A. Szabo, "Mesh design for the p-version of the finite element method" ,Comm. Appl.
Numer. Meth., 55, 181-197 (1986).
[42] J. T. Oden, "Mechanics of elastc strUctures", New-York, McGraw-Hill (1967).
[43] A. venkatesh and J. Jirousek, "Accurate FE analysis of thin plates under concentrated
loading", Internal Repon !REM 89/6, Swiss Federal Institute of Technology, Lausanne,
(June 1989)
[44] C. Burgess and E. Mahajerin, "A numerical method for laterally loaded thin plates",
Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 49, 1-15, (1985) .
[45] A. Abdel-Akher and G.A. Hartley, "Domain integration for plate bending analysis by the
boundary element method", Comm. Appl. Numer. Meth., 5, 23-28, (1989).
[46] A. Abdel-Akher ad G.A. Hanley, "Evaluation of boundary integrals for plate bending",
Int. J. Num. Meth. Engng., 28,75-93, (1989) .
[47] A. Abdel-Akher and G.A. Hartley, "An integration procedure for curved boundary
elements", Comm. Appl. Numer. Meth., 6,49-56, (1990).
[48] J. Petrolito, "Hybrid-Trefftz quadrilateral element for thick plate analysis", TICOM
Repon 89-08, Texas Institute for Computational Mechanics, The University of Texas in
Austin, (1989).
[49] E. Ramm, "Beitrag zur praktischen Berechnung dünner Kugelschalen bei nicht
rotationssymmetrischer Berandung nach der linearen Biegetheorie", Ph. Thesis,
Universitat Stuttgart, (1972).
[50] T. Matsui and O. Matsuoka, "The fundamental solution in the theory of shallow shells",
Int. J. Solids Struct. 14,971-986 (1978).
[51] J.H. Tai et al., "Vibrations of thin plates - a new approach", Prepared for air Force Office
of Scientific Research, catalog number AD-779782, Massachusetts University,
Massachusetts, (1973).

---

- 5 -
[52] H. Tekeuchi, "General solutions of equations of sorne geophysical importance", Bulletin
of the Seism%gica/ Society ofAmerica 49, 273-283 (1959).
[53] R. Piltner, "The use of complex valued functions for the solution of three-dimensional
elasticity problems",Joumal of Elasticity 18, 191-225 (1987).
[54] W.G. Jin, Y.K. Cheung and a.c. Zienkiewicz, "Application of the Trefftz method in
plane elasticity problems", Int. J. Nwner. Meth. Engng. 30 (6), 1147-1161 (1990).
[55] A.R. Cusens and R.P. Pama, Bridge Deck Analysis, John Wiley, New York, (1975)

---

- 1 -
APPENDIX 1
Matrices auxilliaires pour la génération du champ de déplacement interne
de l'élément daHe-colonne
•
k = 0
c
0
0
c
~=i
161tPo
3
Po
- ~ (1+21npo)
a2DKz - 1)2
1
- -
D2
~ (l-21npo)
po
o
o
1
P P
a4p Sp
1ta2p 3p
q~ = c - ~ (1+21npo) - 64~ (1-21npo) - 2D~ (1+41npo)
4
3-
2
-
Po
+ a Po P (l-41np ) + 1ta PoP
DK p
64D2
0
DKz
Z 0
où
81t
p =charge unifonne, Po =1ta2po2 p + P, P = charge concentrée (Fig.4a)

---

-2-
•
k = 1
c
0
0
c
A
B
1
K
-KPo2(1-21npo) - 81tDp2
QI OUQI =ë
2
- - K
Po2
-4K
où
1
c = 2
[K(l+21nPo)-81tD]
Po
K = Kx ou Ky pour Ti' ou ~
q~ = q~ = [0 0 OO]T
k > 1
c
0
0
c
A
B
1
Qk =Qk =ë
(k-l)P 2k
o
kPo2(1c+I)
-kPo2(1c-I)
-(k+ 1)p2k
où
q~ =q~ =[0 00 O]T

---

- 3 -
APPENDICE II
Matrices auxilliaires pour la généra~ion du champ de déplacement interne de
l'élément avec trou circulaire (rayon r o=apo).
•
k =0
1
0
0
1
ct=
l+v
2
2 - p o
0
1-v
0
0
o
o
A
1
-
2
qo =-8 a4 po2 p
1 P
-2 --iL [3+v+4(l +v)lnpo]
v-1
-1
•
k =1
1
0
0
1
A
B
3+v
4
QI =QI =
0
- -l- Po
-v
0
0
q~ =q~ =[00 OO]T

---

-4-
•
k > 1
k-2V
0
0
k-2v
A
B
1
(k-l)(k-2)P
Qk = Qk=-
o2k
~ (2+k)(k2.2-2v)Po2(1c+I)
k-2v
- k(k2.2+2v)Po2(k-I)
_1_ (k+1)(2+k)2p 2k
2·k
0

---

- 5 -
APPENDIX III
Matrices de transfert iS k ou iSk
•
k = 0
-Pi2(D-1 )(21nPi- 1)
(D-1)(21nPi- 1)
-Pi2(D-1)[1-v+
D
(1+v)f2
(1-v)/4
4(1 +V)ln2pi]/4
[D(1-v)+1 +vlfl
(D-l)(l-v)
(D-1)(l-v)/(4Pi2)
0
(l+2lnPi)/4
Pi2(D-1)(1 +v)
[D(1 +v)+1-v)lfl
Pi2(D-1)(l+v)
0
(1 +21nPi)/2
0
0
0
1
•
k = 1
Pi2(D-1 )(3+v)/2
(D-1 )(l-v)/(2P?)
(D-1)(1 +v+41nPi)/4
D
[D(1-v)+3+v]/4
-(D-1)(1-v)/(4Pi4)
(D-1)( 1-v)/(8Pi2)
0
-Pi4(D-1 )(3+v)/4
[D(3+v)+ 1-v)]/4
-Pi2(D-1)(3+v)/8
0
0
0
0
1
•
k > 1
[D(3+v)+ 1-v]/4
Pi2(D-1)(l+v)
PC2k(D-1)(l-v)
p?(l-k)(D-1 )[2(1 +v)+
(k+1)/(2k)
(k+ 1)/4
k2(1-v)]I(4k)
0
-PC2(l +k)(D-1)
[D(l-v)+3+v]/4
-PC2k(D-1 )(1-v)
(l-v)k/4
(k-1)/4
-Pi2k(D-1 )(l-v)
-Pi2(1+k)(D-1)[2(1 +v)+
[D(3+v)+1-
Pi2(D-1)(1+v)
(k-1)/4
(l-v)k2/(4k)
v]/4
(k-1)/(2k)
PC2(1-k)(D-1)
Pi2k(D-1)(l-v)
[D(l-v)+3+v]/4
(l-v)k/4
(k+1)/4
0

---

-6-
avec
iD
D=-ol-
1- D
a4 p.4
a2 p.2
_
_
- éd C41nPi-5)6p - -T [(1-21nPi) Mi+aPi(lnpi-1) R]
a4 pi2
a2
-
-
- 16 (1+21nPi)6p - 4" [- M+aPi(l+lnpj) R]
a4p04
a2 p. 2
_
_
It-6p + -TCaPi R - 2 M)
4
3
a p? 6p + a pi R
8
4
où
6p = i-lp _ip

---

- 7 -
APPENDIX IV
Coefficient d 'orthotropie naturelle [31] et technique
de quelques cas usuels de structures [55]
1.
Orthotropie naturelle
D _
E y 3
t
Dx =n Dy
y- (1 - nvi)
Dl = D2 = n vy Dy
et
Dxy = m (l-nv/)Dy
avec
Ex
Gxy
et
n=Ey
m= Ey
2 .
Orthotropie technique
2.1 Grillages de poutres
1
-t~1 r
,
Figure 1 :
Grillage de poutres: a) vue en plan, b) dimensions, c)
corps libre.
_ E*I
_ E*I
D
x
D
y
x -
b
'
y -
b
'
x
y

---

- 8 -
où
E* =
E
,
1 "
2~
- v b b
x y
et E*Ix, E*Iy sont des rigidités flexionnelles modifiées et GJx et GJy les rigidités torsionnelles.
2.2 Dalles raidies avec des poutres en T
(b ) ç_~'_---'?\\,
/
Figure 2:
a) Poutres en T d'une dalle raidie; b) dimensions.

---

- 9-
E*=
E
1
2..!ù
-v bx by
8.
Plancher raidi par des caissons
Figure 3:
Plancher raidi par des caissons : a) caissons trapézoïdaux,
b) caissons arrondis.
Et 3
P
12(l-V)2
= E Ir
Dy
a+e
lu GK
H
= 2" a+e
et
K
où:
A
surface moyenne délimitée par les contours intérieurs et extérieurs r
d'un
caisson
Pc
Périmètre d'un caisson (sans la dalle)
tr
épaisseur d'un caisson
tp
épaisseur de la dalle

---

- 10 .

---

- 11
-
APPENDIX V
Fonctions de Trefftz pour lianalyse des plaques orthotropes
Pour éviter l'instabilité numérique qui proviendrait de la valeur démesurée des nombres, les
fonctions Ni sont exprimées avec des termes addimensionnels en coordonnées locales
x - xo
y - Yo
ç =
, 11
a
a
où xO, Yo sont les coordonnées an centroïde de l'élément et "a" la distance moyenne entre ce
centroïde etles nœuds de l'élément.
Ni
k
1
2
2
3
4
ç3 + ç,,2
3
5
113 + ç2"
6
ç3 _ 3ç,,2
7
11 3 - 3ç211
8
Dyç4- Dx114
4
9
ç3" + Ç113
10
ç311 - ç,,3
11
Hç4 - 3(Dx + Dy)ç~2 + H114
12
HçS - (5Dx - 3Dy)ç3,,2 + 3Hç114
5
13
H"S - (5Dy- 3Dx)ç2,,3 + 3Hç4"
14
HçS - 5(D +
x
Dy)ç3r)2 + 5Hç,,4

---

-12 -
15
HTJS - 5(Dx + Dy)Ç2tl3 + 5Hç4r}
16
~ + 2DyH)ç6 - 15DxDyç2t,2(ç2 + TJ2) + (Di + 2DxH)116
6
17
Dyçs" - DxçTJS
18
(-D; + 2DyH)ç6 - 15DxDyç2t,2(ç2 - TJ2) + (Di - 2DxH)TJ6
19
3Hçs" - 5(Dx + Dy) ç3-r,3 + 3HçnS
20
(DxDy - 4H2 + lODyH)ç7 + 21DX<2H - 5Dy)çs,,2 - 35Diç3n 4 + 35Diç,,6
7
21
(DxDy - 4H2 + lODxH)'f17 + 21Dy(2H - SOx)ç2tlS - 35D~ç4r}3 + 35D~ç6r)
22
(4H2 - 2DyH - DxDy)ç7 + 21Dy(Dy - 2H)çS,,2 + 35Dîç3n 4 - 7Diçn6
23
(4H2 - 2DxH - DxDy)n7 + 21Dy(Dx - 2H)ç2t,S + 35D~Ç~3 -7D~Ç6rt
24
(~- DxD~ + 4DyH2)ç8- 56DxDyHç6r)2 + 70DxDy(Dx - Dy)ç~4
+ 56DxDyHç2r)6 - (D~ - DiDy + 4DxH2)n8
8
25
(~ + 2DyH)ç7" -7DxDyç3-r,3(ç2 +,,2) + (ni + 2DxH)çn7
26
(~ + DxD~ - 4DyH2)ç8 + 56DxDyHç6rl2_70DxDy(Dx + Dy)ç4,,4
+ 56DxDyHç2r)6 + (D~ + DiDy- 4DxH2)TJ8
27
(~ + 2DyH )ç7" + 7DxDyç3n 3(ç2- T'l2) - (ni _ 2DxH )ç"7
28 (I2D xD yH - 24H3 + 28DyH2_7DxD~)ç9- 36(3DiDy-12DxH2+ 14DxDyH)ç7,,2 9
-126(6DiH -7D~Dy)çS,,4+ 252D~ç3-r,6- 63D~çn8
29
(-12DxDyH + 7DiDy- 28DxH2 +24H3)n9 - 36(-3DxDÇ + 12DyH2 -14DxDyH)ç2TJ7
-126(-6D~H + 7DxH2)ç4r}5 - 252D~ç6rl3 + 63D~ç8"
30
(-4D xDyH + 8H3 - 4DyH2 + D xDDç9- 36(- DiDy + 4DxH2- 2DxDyH}ç7,,2
9
-126(-2DiH + DiDy)çs,,4- 84D~ç3-r,6+ 9D~ç,,8
31(-4D xD yH + 8H3 - 4DxH2 + DiDy)TJ9- 36(-DxD~+ 4DxDyH2_2DxDyH)1;~7
-126(-2DÇH + DxD~)ç4r}5 - 84D§ç6rl3 - 84D§ç8"

---

-13 -
32
(Dx~ - 4D~H2 - 2D~H)çlO + 45 (Dxn§ + 2DxD~H)ç8TJ2
10
- 21ODi~ç4TJ4(ç2 + TJ 2) + 45(~Dy + 2DiDyH))ç~8
2
+ (~Dy - 4DiH - 2D1H)TJlO
33
5 (~ + DxD~ + 4DyH2)ç9TJ - 120DxJ1.Hç7TJ3 + 126DxJ1. - <DxDy)ç5TJ5
+ 120~DyHç3TJ7- 5(~ - DiD y + 4DxH2)çTJ9
34
(- DxD~ + 4D~H2 - 2D~H)çlO + 45 (Dx~ - 2DxD~H)ç8TJ2
+ 21ODi~4TJ4(ç2 - TJ2) -45(~Dy - 2DiDyH)Ç~8
+ (~Dy - 4DiH 2 + 2D1H)TJIO
35
5(-D~ - DxD~ + 4DyH2)ç9TJ - 120DxJ1.Hç7TJ3 + 126DxJ1.(Dx+Dy)ç5TJ5
- 120~DyHç3TJ 7 + 5 (-Di - DiD y + 4DxH2)çTJ9
4
36
(-80H + 72DyH 3 + 60DxD yH2 - 36DxD~H - 5DiD~)çll
11
3
2
2
2~? /;-2 9
+ 55(40DxH - 36DxDyH - 20DxDyH + 9Dx.uy).., TJ
+ 330(18DibyH - 20DiH 2 + 5D~Dy)ç7TJ4
+ 462(lOD~H + 9D~Dy)ç5TJ6 - 825D~ç3TJ8 + 99D~çTJ 10
4
3
2
37
(-80H + 72DxH + 60DxD yH - 36DiDyJ:I - 5DiD~)TJ 11
3
2
+ 55(40DyH - 36DxDyH - 20~~H + 9Di~)ç~9
+ 330(18DxD~H - 20D~H2 + 5DxD~)ç4TJ7
+ 462(lün§H - 9DxDDç~5 - 825D~ç8TJ3 + 99D~çlOTJ
4
38
(- 8DyH 3 + 16H - 12D xD yH 2 + 4DxD~H + DiDD1;l1
+ 55(4DxDyH2 - 8DxH3 + 4DiDyH - DiD~)ç9TJ2
- 330(2niD yH - 4DiH 2 + D~Dy)ç7TJ4
+ 462(~Dy - 2D~H)ç5TJ6 + 165D~ç3TJ8 - 11D~çTJ 10

---

- 14-
4
2
ll
39
(- 8DxH3 + 16H + 4DiDyH + 12DxDyH + Din?}Jl
+ 55(4DxDyH2- 8Dy.H3 + 4~n?H - Di~)ç;'9
- 330(2Dx~H - 4D~H2 + DxD~)ç4Tl7
+ 462(Dx~ - 2D~H)ç6,,5 + 165D~ç8Tl5 -l1D~çlOT\\

---

- 15-
APPENDIX VI
La méthode est élaborée par Gary Burgess amd Enayat Mahjerin [44] puis affinée par d'autres
auteurs [45, 46]. Comme à la figure 1, les côtés du polygône sont numérotés dans le sens
trigonométrique. L'intégration de la charge pour évaluer les vecteurs déplacements ve et
tractions te en un point G (x, y) est obtenue en faisant la somme de la contribution des
triangles qui forment chaque côtés du polygone et le point G(x, y). Anoter que la contribution
d'un triangle est positive si la numérotation de son côté attenant au polygône est aussi dans le
sens trigonométrique. Les intégrales suivantes sont évaluées:
•
pour les déplacements
I
(la)
w =
f p(x,y) w*(r) dx dy
1\\
n
•
pour les rotations
aw*(r)
ax
Ir = f p(x,y)
dxdy
(lb)
1\\
aw*(r)
n
ay
•
pour les moments
a2w*(r)
lM = f p(x,y)
axay
dxdy
(le)
1\\
il
a2w*(r)
ay2

---

- 16-
CIO
1
r- x
y
OCI_
..- -
- - -
_ o c
1
oc
Figure 1 :
Dalle infmie chargée sur un secteur polygonal

---

-17 -
et pour les efforts tranchants
à3w*(r)
ax3
~ = f ~(x,y)
dx dy
(Id)
â
à3w*(r)
axay2
où p(x,y) est la valeur de la charge répartie au point de coordonnéee (x,y), w*(r) est la solution
singulière ~ corespond à une force ou un moment ponctuel, et
1\\
Figure 2 : Système de référence pour un triangle j occupant un secteur Qj
1\\
Pour chaque triangle (G, j 1, h) occupant une région Qj' on adopte le système de référence à la
figure 2. En procédant ensuite à la transformation

---

- 18 -
{::} =
{:;} .
(2)
la coordonnée nj est constante pour le côté GljVet les intégrales (1) deviennent
N
th
Iw = L.
f ~ (nj. tj) w*(r) dtj
(3a)
j=l
th
dt·
(3b)
J
a2w*(r)
aB-aï-
dt"
(3c)
J
J
J

---

- 19-
03w*(r)
on.3J
03w*(r)
t
N
ü
on·20t·
J
J
IQ=L T9 JP' (nj. tj)
dt·
(3d)
J
j=1
J t.JI
03w*(r)
on·oï-2
J
J
03w *(r)
ot.3J
où
r = (nj - nj) 2 + (t - tj) 2
(4)
V=[nj -%]
,
(5a)
•
n·
n·
Jy
Jx
2
-2nh njy
n2
nJx
Jy
M
T. =
J
njxnjy
n2 -n 2
-n° n·
(5b)
Jx
Jy
Jx Jy
2
2n' n·
n2
nJy
Jx Jy
Jx
3
nJx
-3nlx njy
3n· n 2
-n3
Jx Jy
Jy
n 2 n·
Jx Jy
n3 -2n' n 2
Jx
Jx Jy
nly -2nJ;njy
nhnJ~
T~=
(5c)
J
nhnJ~
-(n3 -2n 2 n· )
njx -2njxJ~
-n2 n·
Jy
Jx Jy
Jx Jy
n·3
3njxnJ~
3n· 2
n3
J
JxJy
Jx

---

- 20-
Les intégrales Iw• Ir. lM. et 1Q sont obtenues à partir de la combinaison linéaire des suivantes:
(6)
le
~dz·
(7)
r.2
J
J
le
~dz'
(8)
r.4
J
J
ou bien
(9)
[
k-l
]
~_ e.2 Jle-2
k ~ 3
k-l
J
[
1
z· - e· tan- z.]
::.J.
k :: 2
J
J
e·
Jk =
J
(l0)
ln r·
k = 1
J
1
1
- tan- z·
::J.
k :: 0
ej
ej

---

- 21 -
[
k-l
]
k ~ 3
1.. ~ + (k _ 1) Jk-2
2
r· 2
J
1 [
-
e·z·
-~ tan- 1 ~J
k = 2
2ej
rj 2
e·J
~=
(11)
1
- 2r·2
k = 1
J
1
-
[e' Z·
-1
~+ tan
z']
:J.
2e3
r·2
ej
J
J
k = 0
rr =er + zr
(12)
ej =nj - nj
(13)
et
-
z·=t·-t·
(14)
J
J
J
Pour la charge hydrostatique par exemple, si la valeur de la charge Pi est connue en trois points
i = 1,2,3
(15)
Avrx

---

- 22-
1
~l (X2y 3 - X3Y2) +
Ao= d [
~(X3YI-XIY3) +
(15a)
P3(X IY2 - X2YI)] ,
1
Al =-
{ PI[-nX(Y:;-Y2) + ny (X3 - X2)] +
d
P2[-nx(YI-Y3) + n y (Xl - X3)] +
(I5b)
p3[-nx(Yr-YI) + ny (X 2 - Xl)] } ,
1
A2=-
{ Pl [ nx(X3-X2) + ny (Y3- Y2)] +
d
P2[ nx(X I-X3) + ny (Y I - Y3)] +
(I5e)
P3[ nx(X2-XI) + ny (Y2- YI)]}
où
d=XIY2- XIY3- X2YI +X2Y3+X3YI-X3Y2
(lSd)
et
Xi =xi - xi
(ISe)
Yi =Yi-Y2
(ISt)

---

CURRICOLUH VITAE
NOM
NDIAYE
PRENOM
Moustapha
ADRESSE
EPT BP la - THIES SENEGAL
DATE DE NAISSANCE
11 février 1952 à Thiès
NATIONALITE
SENEGALAISE
ETAT CIVIL
Marié, deux enfants
LANGUES DE TRAVAIL
Français, Anglais.
TELEPHONE
51 16 32
Bur : 753 - Dom
606
EXPERIENCE PROFESSIONNELLE
depuis 1991
ECOLE POLYTECHNIQUE DE THIES:
Professeur en structures
1986 - 1991
ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE
Ingénieur de recherche - Assistant
Cours de structures : -Eléments finis -
Résistance
des matériaux.
Développement de logiciels pour l'analyse
des structures - Programme SAFE.
1983 - 1986
ECOLE POLYTECHNIQUE DE THIES:
Professeur en structures
Structures - Béton armé
Travaux exécutés
util isation
du
ferrociment
dans
la
construction
d'ouvrages
divers
toi tures
réservoirs.
Développement
de
logiciels
pour
l'analyse
automatique
des
structures
par
la
méthode
des
éléments finis.
1978 - 1980
SONED AFRIQUE
Ingénieur - Chef de projet
Etudes réalisées
Plan Directeur d'urbanisme de la ville de Louga -
Plan directeur de santé du sénégal -
Etudes d'appel d'offres et d'exécution:
Gouvernance
de
Louga,
Hôpitaux
de
Louga
et
de
Ziguinchor, Centre de traumatologie.

---

ETUDES
1986 - 1991
ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE:
Doctorat
Sujet de thèse
Modèle
d'élément
fini
pour
la
solution
des
planchers
dalles,
des
dalles
champignons
et des
dalles orthotropes.
Publications
(1)
J.
Jirousek
and
M.
Ndiaye,
'Solution
of
orthotropic
plates
based
on
p-extension
of
the
hybrid-Trefftz finite element model',
Computers &
Structures vol. 34, No. l, pp. 51-62, 1990.
(2)
J.
Jirousek
and
M.
Ndiaye,
'Accurate
evaluation of supports reactions in FE plate-bending
analysis', Computers & Structures vol. 38, No. 5/6,
PP. 653-658, 1991.
(3) : J. Jirousek and M. Ndiaye, 'Hybrid-Trefftz p-
Method elements for analysis of slabs with drops',
LSC InternaI Report 91/1, Jan.
1991
(Soumis à la
publication dans le Journal Computers & Structures) .
1980 - 1983
ECOLE POLYTECHNIQUE DE MONTREAL:
Master
Sujet de Mémoire
Toiture en
ferrociment:
étude en
laboratoire du
matériau et application pour une toiture en forme de
dôme.
Cours de structures
Béton armé et précontraint - Construction métallique
Analyse plastique - Plaques et Coques - structures
avancées et Eléments finis.
Projets étudiés
Analyse
structurale
non-linéaire
d'un
bâtiment
multi-étagé.
Analyse structurale
élastique
et linéaire
d'un
réservoir muni d'un anneau précontraint.

---

1973 -
1978
ECOLE POLYTECHNIQUE DE THIES:
Ingénieur en Génie civil
projet de fin d'études
Compactage des routes au Sénégal

---