UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
"C< "C< "c<,;I- "C<"C<
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
"c< "c< ,;I-"c< "c<,;I-
THESE D"ETAT
PRÉSEliTÉE PAR:
Mamado(l SANGHfiRE
Pour obtenir le grade de Docteur és-Scïences Mathématiques
50UTEliUE LE 17 DÉCEMBRE 1993 DEVAKT LA COMMI5510K D' EXRMEIi :
MM.
Souleymane NlANG
Professeur A l'UCAD
Président
Akry KOULIBALy
Professeur' l'Université de Ouagadougou
ArttbanO MICALI
Professeur A l'Université de Montpellier fi
Examinateurs
Doouda SANGARE
Professeur à. l'Université d'Abidjan
Chérif HADJI
Professeur A l'U.C.A.D.
Hamet SEYDJ
Professeur A l'U.C.AD.
Gérard LEVY
Professeur A l'U.CAO.
Richard EMILION
Professeur A J'U.C.AD.

---

TABLE DES MATIERES
Pages
INTRODUCTION
.
CHAPITRE 1 : Préliminaires
.
3
CHAPIIRE Ill : Une caractérisation des anneaux commutatifs artiniens
à idéaux principaux
.
14
CHAPITRE III : Sur quelques classes d'anneaux liés
au lemme de Fitting
".
28
CHAPITRE IV : Sur les Scanneaux dont les idéaux à gauche
et les idéaux à droite sont bilatères.................................................................
39
CHAPITRE V : On S-duo-rings
51
CHAPITRE VI : Algèbres dont les modules vérifiant la propriété de Fiuing
sont de longueur finie..........................................
..
60
CHAPITRE VII: Sur les I-algèbres de groupes nilpotents
71
CHAPITRE VIII: Sous-anneaux des l-anneaux et des S-anneaux
..
CHAPITRE IX : Sur 1'aniniété des Il- anneaux
.
83
CHAPITRE X: I-anneaux er Scunneaux
91
PROBLEMES OUVERTS
.
107

---

[
REMERCIEMENTS
Je tiens à remercier sincèrement Monsieur le Professeur Souleymane NIANG pour
l'intérêt qu'il a porté à mon travail et pour l'honneur qu'il me fait en acceptant de
présider mon jury de thèse.
Je liens à exprimer ma profonde gratitude à Monsieur le professeur Hamel SEYDI
qui a accepté de diriger mes travaux ct dont les conseils el les encouragements m'ont
conduit dans une voie favorable à mon épanouissement.
Je suis très reconnaissant à Monsieur le Professeur Chérif BADJI pour J'aide qu'Il
m'a apportée, pour l'intérêt qu'il a porté à mon travail et pour l'honneur qu'il me fait en
faisant partie du jury de thèse.
Je suis très reconnaissant à Monsieur le Professeur Arbibann MICALI pour
l'intérêt qu'il a toujours parlé à mes activités de recherche. Il m'a toujours encouragé ct
aidé plusieurs fois à exposer mes travaux à des congrès internationaux dc mathématiques.
Qu'il soit remercié pour l'honneur qu'il mc fait d'être rapporteur el examinateur dans ce
Jury.
Je désire remercier très sincèrement Messieurs les Professeurs Akry KOULIBALY
el Daouda SANGARE pour être rapporteurs el examinateurs dans ce jury de thèse.
Mes remerciements vont à Monsieur le Professeur Gérard LEVY el à Monsieur
le Professeur Richard EtvITLIüN pour J'honneur qu'ils mc lont en acceptant de raire
partie du jury de thèse.
Mes
remerciements vont également aux Professeurs A. TOC"iNOU ct
A.
CARANTI qui m'ont bien accueilli dans l'équipe d' Algèbre el de Logique dl' lUnivcr sité
de Trente pendant une longue période el m'ont permis à plusieurs reprises d'exposer mes

---

Il
travaux au Séminaire de cette équipe el facilité le déplacement pour participer à des
colloques internationaux de Mathématiques organisés en Italie et ailleurs,
C'et un grand plaisir pour moi que de pouvoir exprimer ma reconnaissance à
Monsieur le Professeur A. M. KAIDI qui m'a Initié à la recherche, et m'a toujours
témoigné son affection.
Je remercie sincèrement tous les collègues du Département de Mathématiques.
J'ai plaisir à remercier Mesdames MBA YEet NDIA YB secrétaires au Département
de Mathématiques et Monsieur Omar GUEYE pour la diligence et le soin avec lesquels
ils ont assuré la réalisation matérielle de ce travail,
Ces remerciements seraient incomplets si je ne mentionnais pas l'aide morale de
ma femme et la patience de nos enfants. IL n'est que justice de leur dédier ce travail.

---

LISTE DES PUBLICATIONS
[ 1 ]
Une
caractérisation des anneaux artiniens
à idéaux principaux (en
collaboration avec A. M. KAIDI). Lee. Notes in Math. Sprmger- Verlag
(1988) p. 245-254.
[ 2 ]
Sur les S-anneaux dont les idéaux à gauche et les idéaux à droite sont
bilatères (en collaboration avec A. M. KAIDI), Cahiers Math. Montpellier
n" 39 (1992) p. 214-224.
[ 3 ]
Sur quelques classes d'anneaux liés au lemme de Fiülng, Rend. sem. Mat.
Univ. Padova 87 (1992) p. 29·37.
[ 4 1
On S-duo-rings. Comm. in A1gebra 20(8) (1992) 2183 - 2189.
[ 5 ]
Characterizations of Aigebras whose Modules with Finings properly arc
of finite length, Exl. Math. 7(2) (1992).
[ 6 1
Sur l'artiniété des II-aneaux, Afrika Matcmatika, Serie 3 Vol. 2 (1993) p.
33-37 (à paraître).
17 l
Algèbres de groupes nilpotents sur lesquelles tout module véfifiant le
lemme de Fiuing est de longueur finie. Afrika Matematika. Serie 3 Vol. -i
(1993) p. 29-32 Cà paraître).
[ 8 J
Subrings of I-rings and S-rings (soumis à publication).
[ 91
On !cft I-rings and leû S-rings (soumis à publication).

---

INTRODUCTION
Cette
Thèse
est
un
ensemble
de
travaux
consacrés
essentiellement
à
l'étude
des
I-anneaux,
des
S-anneaux
et
des
F-anneaux.
Soit
A
un
anneau
associatif
non
(nécessairement)
commutatif possédant un élément unité l
± O.
On dit qu'un A-module
à
gauche
M
vérifie
la
propriété
(I)
{resp.
(S»)
si
tout
endomorphisme injectif (resp. surjectif) de M
est un automorphisme
de
M,
on
dit
que
M
vérif ie
la
propriété
(F)
si
pour
tout
endomorphisme f de M
il existe un entier 'fi 2: l
tel que
n
n.
M =
Imf
e
Kerf
On dit
que
l'anneau A
est
un
I-anneau
(resp.
S-anneau,
resp.
F-anneau)
à
gauche
si
tout
A-module
à
gauche
vérifiant
( r j Lr esp .
(S),
resp.
(F»
est
ar-t.Ln i en
(resp.
noethérien,
resp. de longueur finie).
Les notions de I-anneau et de
S-anneau ont été introduites
pour
la
première
fois
dans
le
papier
[1]
paru
en
1988
où
les
I-anneaux
commutatifs
et
les
Sr-e nnee ux
commutatifs
ont
été
systématiquement étudiés et caractérisés. On pouvait déjà constater
à partir des résultats établis dans
[1],
l'importance de ces deux
classes
d'anneaux
et
leurs
liens
avec
les
anneaux
de
type
de
représentation
finie
et
les
anneaux
de
Koethe,
mais
aussi,
à
travers
l'exemple
qui
y
été
donné,
toutes
les
difficultés
de
comprendre
la structure générale des
I-anneaux
non commutatifs et
des S-anneaux non commutatifs.
On rappelle qu'un anneau A
est dit
de type de
représentation
finie
s'il
est
artinien
à
gauche
et
à
droite et possède un nombre fini de modules indécomposables de type
fini.
On
dit
qu'un
anneau
A
est
un
anneau
de
Koethe
si
tout
A-module
à
gauche
est
somme
directe
de
modules
de
type
fini
ou
équivalemment si
A
est de dimension globale pure à gauche finie.
L'article (1]
constitue le Chapitre II de cette Thèse.
Le
Chapitre
I
rassemble
des
résultats
classiques
et
récents
que
nous
utiliseront
dans
les
Chapitres
suivants.
Ces
résultats
comprennent entre autres des résultats préliminaires que nous avons
l

---

établis sur les I-anneaux,
les S-anneaux et les F-anneaux.
Le Chapitre III
étudie les I-anneaux,
les S-anneaux et les
F-anneaux dans
les
cas
des
anneaux
commutatifs
et des
anneaux de
groupes.
Les
Chapitres
IV
et
V
traitent
des
S-anneaux
dont
les
idéaux à gauche et les idéaux à droite sont bilatères. On y établit
différentes caractérisations de ces anneaux.
Le
Chapitre
VI
contient
diverses
caractérisations
des
I-algèbres,
des
S-algèbr~s et
des
F-algèbres
sur
un
corps
K
algébriquement
c Lôs ,
on
y
donne
aussi
des
caractérisations
des
algèbres de groupes sur un
corps algébriquement clôs qui sont des
I-anneaux (resp. S-anneaux, resp. F-anneaux).
Le
Chapitre
VII
est
consacré
à
l'étude
et
à
la
caractérisation
des
I-algèbres
de
groupes
nilpotents
et
des
S-algèbres de groupes nilpotents.
Le
Chapitre
VI r r
donne
des
conditions
suffisantes
pour
qu'un sous-anneau d'un
I-anneau
r
soit
un
I-anneau
r
e s p
.
S ' < a n n e
a u
)
(resp. S-anneau).
Le
Chapitre
IX
étudie
l' artiniété des
Il a n n e au x
(i. e
les
- r
anneaux dont les modules vérifiant (1)
sont de longueur finie).
Dans le Chapitre X
on étudie le cas général des I-anneaux à
gauche
et
des
S-anneaux
à
gauche.
On
y
démontre
plusieurs
propriétés
de
ces
anneaux
et
y
étudie
le
cas
particulier
des
anneaux locaux
A
de la forme
A::; B + J
somme B-modules)
où
J
est le radical de Jacobson de A
et B
un
sous-anneau local de At
dont l'idéal maximal est principal.
(Il
A.M.
KAIDI
et
M. SANGHARE. Une caractérisation des anneaux
artiniens à idéaux principaux.
Lee. Notes in Math. 1328 Springer-verlag (1988)
245 -
254.
2

---

CHAPITRE
Préliminaires
Sauf
mention
expresse
du
contraire,
tous
les
anneaux
considérés
sont
supposés
associatifs
non
nécessairement
commutatifs 1
et unitaires ct' élément uni té
l:f' 0
;
les modules sont
supposés
être
des
modules
a
gauche
uni taires
et
les
homomorphismes d'anneaux sont supposés transformer l'élément unité
en l'élément unité.
§l - NOTIONS DE l-ANNEAUX,
DE S-ANNEAUX ET DE F-ANNEAUX.
Définition ~.
Soit
A
un
anneau
On
dit
qu'un
A-module
M
vérifie
la
propriété
( I )
(resp.
(S»
si
tout
endomorphisme
injectif
(resp.
surjectif)
de
M
est
un
automorphisme
de
M,
on
dit
que
M
vérifie
la propriété
(F)
si pour tout endomorphisme
f
de
M,
i l
n
n
existe un entier
n ~ l
tel que M ~ Imf
0
Kerf
.
Les résultats de la proposition suivaIlte sont bien connus
Proposition ~l.
: Soit
A
un anneau.
a)
Tout
A-module artinien vérifie (1)
b)
Tout
A-module noethérien vérifie (S)
c)
Tout
A-module de longueur finie vérifie (F).
Démonstration
a)
Soit
M
un A-module artinien,
et f
un endomorphisme injectif
de M.
La suite
M 2. f2(MJ
2.
• • •
2.
fn(M)
2.
_.
étant décroissante,
il existe n E
[N*
tel que
l'on
ait
fn(M)
=
fLn(M).
Soit y E M,
il
2n(x).
existe x E M tel que fn(y)
= f
Il ell résulte que
fn(y -
fn(x»
= 0, d'où y = fn(x) E rmf.
b )
Soit
M
un
A-module
noethérien,
e t.
f
un
endomorphisme
2
surjectif de
M.
La
suite
Kerf ç Kerf
ç
s
Kerfnç
étant
n
2 n.
croissante,
il existe
n E IN';-
tel que
Kerf
= Kel-f
Soit x E M
.1

---

tel que f(x)
= O. Comme
fn
est surjectif,
i l existe y E M tel que
2o(y):::
2 n
n,
fn(y)
= x, on a alors f
fnCx)
= o. Or Kerf
= Kerf
donc
n
xof(y)~O.
c )
Soit
M
une
A-module
de
longueur
finie,
et
f
un
endomorphisme de
M_
Les deux suites
et
2
n
Kerf s:;: Kerf
s;:
s:;:
Kerf
ç
•
n
2 n
étant stationnaires,
il existe n E ~
tel que Kerf
= Kerf
et
n
2 n.
Imf
= Imf
Soit
x
E
M,
i l
existe
y
E
M
tel
que
n
n
f 2 n(y)
::: fn(x),
i l en résulte que
f ( x - f ( y ) )
::: 0,
d'où
n
n
x E Kerf
+ Imf
.
n
n
Soit
Z
E
Imf
~ Kerf
. On a alors
fn{z)
::: 0,
et i l existe
t
E
M
n
n
tel que
z = f
Ct),
donc
fn(z)
= 0,
d'où
z o f ( t ) o O .
Remarque .1
Les réciproques des résultats de la proposition 1.1 ne sont
pas,
en
général,
vraies
par
exemple,
s~
A
est
un
anneau
commutatif,
Ln t èqr-e ,
qui
n'est
pas
un
corps,
alors
le
corps
des
fractions K
de
A
est un A-module qui vérifie à la fois
CI)
( S )
et (F)
cependant qu'il n'est ni artinien ni noethérien.
Définition l.~ :
Url
anneau
A est
dit
I-anneau
lresp.
S-anneau)
à
gauche
Sl
tout
A-module
vérifiant
(I)
Iresp.
(S))
est
artinien
(resp.
noethérien) ,
A
est
dit
F-anneau
a
gauche
si
tout
A-module
vérifiant
(Fl
est de longueur finie.
Exemnles
1)
Les corps
(commutatifs ou
non),
et,
plus
généralement,
les
anneaux
semi-simples
sont
des
exemples
évidents
de
I-anne
à gauche,
de S-anneaux à gauche et de F-anneaux à gauche.
2 )
L'anneau
l
de même que les anneaux de polynômes
K[X],
où
K
est
un
anneau
commu t.a t.Lf .
ne
sont
ni
des
I r-anne e u x .
ni
des S-dllneaux,
nl. des F-anrleaux.
4

---

Proposition 1.2
Soit
A
un
I-anneau (resp. S-anneau,
resp.
F-anneaul
à gauche.
Alors
A
possède un nombre fini de A-modules simples non
isomorphes.
En
particulier
A
possède
un
nombre
fini
d'idéaux
primitifs.
Démonstration
Soit
{Lj)jeJ
un
système
complet
de
représentants
des
classes d'isomorphie des A-modules simples.
Posons
L ..
Il es
J
clair
que
L
vérifie
( F) .
Donc
si
A
est
un
I-anneau
(resp.
S-anneau, resp. F-anneaul à gauche, alors
L
est de longueur
finie. Ce qui implique que
J
est fini.
Proposition ~
L' image
homomorphe
d'un
I-anneau
(resp. S-anneau,
resps.
F-anneau) à gauche est un I-anneau (resp. S-anneau,
resp.
F-anneau} à gauche.
Démonstration.
Cette
proposition
résulte
du
fait
que
tout
module
M sur
l'image homomorphe
A'
d'un anneau A
est naturellement muni d'une
structure de A-module de sorte que les A-homomorphismes de M et les
A'-homomorphismes de M
coïncident et que les A-sous-modules de
M
coïncident avec les A'-sous modules de
M.
Eroposition 1.4.
Soit
A ~ IT
A
Alors
A
est un
I-anneau (resp.
S-anneau,
k.
kEK
resp.
F-anneaul
à
gauche
si
et
seulement
si
K est
fini
et,
pour
tout k E K, A
est un I-anneau (resp.
S-anneau,
resp.
F-anneau)
k
à gauche.
Démonstration.
Supposons
que
A
soit
un
L'-anne au
(resp.
S-anneau,
~esp. F-anneaul à gauche.
Alors les
A
(k e K) sont des I-anneaux
k
5

---

t re sp .
S-anneaux
resp.
F-anneaux)
à
gauche,
car
images
homomorphes de A
par les projections canoniques.
De plus,
comme,
d'après la proposition 1.2,
A
possède un
nombre
fini
de
A-modules
simples
non
isomorphes,
l'ensemble
K
est
nécessairement fini.
Réciproquement,
supposons K fini,
et les
A
(kE
k
des I-anneaux (resp. S-anneaux,
resp.
F-anneaux) à gauche, et
soit
un A-module vérifiant
(Il
(resp.
(S),
resp.
(F»). Comme
M
est une
somme directe de A-modules M
(k
k
E
K)
tels que,
pour tout
k E K,
M
est aussi un Ak-module de sorte que l'on ait EndAM
= End M
k
k
A
k,
k
il
en
résulte
que
M
est
artinien
(r-e s p .
noethérien,
r-e sp .
de
longueur finie).
Proposition 1.5.
Soient
A
un anneau et D
une partie multiplicative de
A
formée d'éléments réguliers. Supposons que
A
possède un anneau de
fractions à gauche (resp. à droite) à dénominateurs
dans D,
D-IA
-1
(resp. AD
). Alors si
A
est un I-anneau
(resp.
S-anneau,
-1
-1
resp.
F-anneau),
à gauche,
alors
D
A {r-e ap .
AD
)
est aussi
un
I-annea.u (resp. S-anneau,
resp.
F-anneau) à qaucbe .
Démonstration.
-,
La
proposition
loS.résulte
du
t e i t
que
tout
D ~A-module
-1
(resp. AD
-module)
M
est un A-module de manière que
EndAM = End -1 M
(resp.
EndAM = End
_lM).
D
A
AD
§2. ANNEAUX SUR LESQUELS TOUT MODULE DE TYPE FINI VERIFIE (1)
Déf ini tion 2. L.
Un anneau A
est dit rr-régulier à gauche (resp.
à droite)
si
et seulement si pOur tout élément a de Ar
il existe un élément b de
n
11+1
n
n+
A et un entier n ~ l
tels que l'on ait
a
= b a
(resp.
a
= a
ù

---

Théorème 2. l
(F.
DISCHINGER [3]
).
Soit
A
un
anneau.
Les
assertions
suivantes
sont
équivalentes
a)
Pour tout entier n ~ l,
l'anneau
Mn(A)
des matrices
n x n à coefficients dans A
est rr-régulier à gauche.
b)
Tout A-module de type fini vérifie
(I)
Démonstration.
n
b l
> a)
Identifions
à
EndA(A
)
~ B,
muni du
produit
(f,g)
> fg ~ gof.
t.
Soit
f
E
B,
f
~
0,
et
T
~
v
Kerf
On
a
f ( T )
s,
T,
donc
f
tel
induit un élément
f
de
f(
x+T)
~ f(x)
+ T
pour tout
X
E
An.
Soit
(x+T)
un élément. de
n/
A
t.el que
f(x+T)
~ T. Alors f(x) E T, il existe donc un entier
T
t+l
t
~ l
tel que
ft[f{x)]
~ O. D'où
x E
Ker
s
T.
f
est
donc
injectif.
Comme
An/
est
un
A-module
de
type
fini,
f
est
un
n
T
automorphisme de
A /T'
Soit
(e.i
.
une base du A-module An,
i l
l
l ~~:sn
existe une famille
(ui)l~i~n d'éléments de An tels que pour tout l
•
(l~i~n),
e .
+ T ~ f(u.
+ T).
Il
en résulte qu'il existe k
E
~
tel
.i,
.i,
k
que
(e.
f(u.))
E
Kerf,
pour
tout
.i,
(l~i:sn).
Soit
9
.i
.i.
l'élément
de
8
défini
sur
les
e .
(l:si:sn)
par
gle.1
=
u·
.i,
.i,
l
( l:si~n i . On a
(g fk+l
_ fk)(e)
-
(fk+l
k
o g
f
) ( e . )
l
.i.
= fk 0
1f
0
9
-
id)( e . )
.i.
fk
=
[ f ( LI . )
e . ]
.i.
.i.
= Ù
pour tout
fk+l
.i,
(l~i~n).
Donc
9
= f k
al
:::--==>
b)
Soit
M
un
A-module
de
type
fini,
f
un
endomorphisme inJectif de
M.
1°) On suppose,
d'abord.
M
monogêrle et 011 pose M -
A/D,
où
D
est
Ull
idéal 5 gauche de
A.

---

,
Posons
f(l + D) ~ x + D. Alors pour tout entier k
l
on a
fk(l
+ D)
~
,k+ D. A
étant
Tf-régulier à gauche,
i l existe y E A,
*
t
t+l
et t
E
IN
tels que
x
~
y x
On a alors
t+l
ft(l+DI
t
~
x
+ D ~ y x
+ D ~
ft+l(l+Dl
ft+l{y+Dl _
y
~
I l
en
résulte
que
ft(MI
ft+l(MI _
~
Soit
(u
+
DI
un
élément
quelconque de
M,
i l existe alors
Cv + 0)
E M
tel que
ft(u + 0)
~ ft+l(v + Dl, d'où, en vertu de l'injectivité de
f,
u
+ 0 ~ f(v + 0).
n
On
suppose
maintenant
que
M = LAUil {n
e:
2).
Le
produit
i~l
n
cartésien
M
= Mx ... x M (n facteurs) a une structure de
Mn(A)-module monogène définie par le produit
0
a
a
a
x
Y, 0
1:
a
x
"
'J
' 0
t
J=l
, j
J
0
a
a
a
x
~
Y. ~
1:
a
x
,
t t
, J
, n
,
,
j " 1
]
j
0
a
a
a
x
y
0
1:
a
x
0 '
0)
0 0
0
0
j ~ 1
oi
J
U
-t
,
[u j
*
dont un générateur est l'élément
,
So~t
[
l'élément de
u 0
End
(AI (Mn)
défini par
Mn
~ (x, )]
*
f*
[ ~'] ~ [
I l est clair que
f
Cc'
an j ec t i I _ Donc,
f (x )
0
0
*
d'après la),
f
est surjectif,
ce qui implique l~ surjectivité
de
f.
8

---

Théorème ~ (w. VASCONCELOS
[ 6 1) •
Soit
A
un
anneau commutatif.
Alors
tout A-module
de type
fini vérifie
(1)
si et seulement si tout idéal premier de
A
est
maximal.
E.
P.
Armendariz,
J.
W. Fischer et L.
Snider ont généralisé
dans
[1]
le théorèlne
2.2
aux anneaux à identité polynomiale. Dan
(3]
F.
Dischinger
a
prouvé que pour
un
anneau
la rr-régularité
à
gauche et la rr-régularité à droite sont équivalentes.
§3. ANNEAUX SUR LESQUELS TOUT MODULE DE TYPE FINI VERIFIE (S)
Théroème 3.1
Soit
A
un anneau,
limite inductive d'une famille d'anneaux
(Aj)jeJ
tels
que,
pour
tout
jEJ,
tout
A. -modu Le
de
type
fini
J
vérifie (S). Alors tout A-module de type fini vérifie
( S ) .
Démonstration.
n
Soit
I
M
=
Ax.
un
A-module de type
fini,
et soit
f
un
l
i::c l
endomorphisme surjectif de
M. Soit
y E M
tel que
f(y)::C O.
Ecrivons
0
y = Ia x.
a.
E A.
Comme
f
est surjectif,
pour tout i,
i
l
l
.i > 1
{Ls i sn }.
i l existe
f (y i)
::c
xi·
Pour tout
i
( Ls i sn )
n
écrivons
yi::c ~aik x
' a
k
i k E A,
et posons
k=l
n
{3il E A.
Comme
A ::c l im
les scalaire
-.
appartiennent
a
9

---

A.
Considérons le
A.
-module
restriction
f o
Jo
Jo
de f
à
Mo
applique
M
dans
f ( M l o M .
o
0 0 0
étant
un
A.-module
de
type
fini,
donc,
d'après
l'hypothèse
0;\\
faite sur A.
,
f
est bijective.
Or l'élément y ~ ~ ai xi E Mo
o
Jo
i::l
vérifie
0 = f(y)
:: fo(Y)'
donc y :: 0,
et i l en résulte que f
est
un automorphisme de
M.
Nous remarquons que dans la démonstration de ce théorème nous
nous
sommes
Ln sp i r è
de
la
démonstration
donnée
par
P.
Ribenboim
ct' un
v
théorème de D.
Z.
Djokovic'
[2].
On obtient comme corollaire
Corollaire l
(Théorème de W.
WASCONCELOS
[5J
i ,
Tout
module
de
type
fini
sur
un
anneau
commutatif
vérifie
(s ) .
Démonstration.
Ce corollaire résulte du fait que tout anneau commutatif est
limite inductive d'anneaux commutatifs noethériens.
§4.
ANNEAUX SUR LESQUELS TOUT MODULE DE TYPE FINI VERIFIE
(F).
Proposition .!...:..l..
Soit
M
un
A-module.
Les
conditions
suiva.ntes
sont
équivalentes
al
M
vérifie
IF)
b)
L'anneau
EndA(M)
est rr-rêgulier a gallche.
Ir;

---

Démonstration.
b)=====>
a) .
Soit
f
E
End (M).
I l
existe
deux
éléments
A
9
et h
de
EndA(M)
et un entier n e 1
tels que fn =
f2n
9
0
et
fn
2 nOh.
2noh
= f
L'égalité fn = f
s'écrit
fn 0 [id - fnoh] = 0,
n
n
ce
qui
implique
M::
Imf
+
Kerf
,
et
l'égalité
n
n
implique
Imf
n Kerf
:: fol.
a)
> bl.
Soit
f
E
EndA(M)
tel que
M::
Imf @ Kerf,
et
soit
XE
Imf. Alors
X : :
f(yl
où
y:: U +v
avec
u E Imf
et
2(wl,
v E Kerf.
Ecrivons
u:: f(w),
w E M, on a
x:: f(y)
:: f(u)
:: f
2
d'où
Imf:: Imf
(1).
2
Soit maintenant
Z
E
Kerf
.
Ecrivons
z::
a
+ b
où
2(bl.
a E Kerf et
b E Imf.
Alors
0= f2(z)
= f
I l en résulte que
f(b) E Kerf n Imf ::
[a}, d'où
b
E Kerf n Imf.
Ce qui implique
2
a E Kerf.
D'où
Kerf :: Kerf
( 2 ) .
Les égalités
(1)
et
(2)
impliquent que la restriction
f
de
f
o
à Irnf
est un automorphisme de Imf. Soit
gl E EndA(Imf)
tel que
g of
:: I l f·
Comme
Imf
est un facteur direct de
M
i l existe
1
0
rn
gE EndA(Ml
tel que
g1
soit la restriction de
g
a
Imf.
On a
alors,
pour tout
x E M,
[(id -
g
0
f)
0
f)(x)
-
f Lx )
-
(g of
) (f(x)]
:: f(x)
-
f Lx l
:: O.
,
0
2
D'où
f : : g o f .
Théorème.L.1..
(Y.
HIRANO [4])
-
Soit
A
un
anneau.
Les
assertions
suivantes
sont
équivalentes
a )
Tout A-module de type fini vérifie
( 1 )
et
( S ) .
b )
Toue A-module de type fini vérifie
( F) .
1 1

---

Démonstration.
L'implication
b l = > al
est évidente.
a)~> b).
Soit
M
un A-module de type fini,
et soit
f
E EndA(M).
Considérons une
suite exacte
:
h
A n_-,,-_.,.,
M
A
n
- - - . , . )
0
de
A-modules.
Comme
est
n)
proj ectif,
i l existe
f
E EndA(A
tel que
h 0
f
~ f
0
h
An
- -: J. h
f
, "
M
1<:
h
.j, f
An
> M
> 0
n
Comme l'anneau EndA(A ) ( = Mn (A»
est rr-régulier à droite,
n)
•
(Th.
2.1
i l existe 9 E EndA(A
et i l existe
mEN
tels que
f" m
...m+l
f ~ f
0
g.
On a alors
~ m+l
~ m+l
l
donc fm(M)
~ {h 0 f
0
g)(Anj s Lhof
HAn)::" f m+ 0
h(An ) =
m
mtl
m
Ce qui prouve que
f
(M)
= f
(M).
Posons M'
= f
(M).
Comme
M'
est un A-module de type fini et que la restriction f'
de
fm
à
M'
est un endomorphisme surjectif de
M' , donc Ker f'
~
{O}
m
m
par
hypothèse.
~
Cela
implique
Imf rv
Kerf
( 0 ! .
I l
est
m
m.
alors que
Imf
0 Kerf
BIBLIOGRAPHIE
[lJ
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ARMENDARIZ, J.W.
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011
illjectlv~ alld
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DJOKOVIC' ,
Epimorphisms
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(4]
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[5]
W. VASCONCELOS, On finitely generated fIat modules,
Trans.
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505 -
512.
fol
W. VASCONCELOS,
Injective endomorphisms of finitely generated
modules,
Proc. Amer. Math.
Soc.
25
(1970)
900 -
901 ..
,.,

---

CHAPITRE
Il
CARACTERISATIONS DES ANNEAUX COMMUTATIFS
ARTINIENS A IDEAUX PRINCIPAUX
INTRODUCTION
Dans ce Chapitre,
différentes caractérisations des I-anneaux
commutatifs
et
des
S-anneaux
commutatifs
sont
données,
il
y
est
démontré
l ' identi té
de
ces
deux classes
ct' anneaux
commutatifs.
Un
exemple
y
est
donné
pour
montrer
que
les
conditions
données
ne
caractérisent
pas
les
L'-anne aux
non
commutatifs.
Le
Chapitre
est
clôturé par la présentation d'un exemple de A-module indécomposable
de longueur infinie
ne
vérifiant pas
(1),
où
A
est un anneau
artinien quelconque possédant unidéalnon principal.

---

89i:13021
13EI0 16AJ5
Kaîdi, El Amin Mokhtar (MRC-[JMV);
Sanghare, Mamadou rMRC-UMV)
Une caractérisation des anneaux artinîens à idéaux principaux.
(English summary) rA characterization of Artinian rings with
principal Ideals]
Ring theory (Granada, 1986), 245-254, Lecture Notes in Malh,
1328, Springer, Berlin-New York, 1988.
Ail of the rings under consideration have an identiry
We know
that, in an Artinian [Noetherian] module, every injective [surjec-
tive] endomorphism is an automorphism. We alsa know that the
converse statemcrus are Ialse. According to the autbors a module
is sa id ta satisfy property I [pra perty SI if evcry injective [surjec-
tive) endomorphism IS an automorphism. A nng A is ca lied an
l-ring [Svring] if every -t-rnodule sausfying property l [property S]
is Artinian [Noetbenan]. Their rnam rcsult is as follows: Let A be
a commutative nng. Then the foltowing conditions are equivalent:
(a) A IS an l-ring: (b) A is an Svruig: (c) A lS Arunian and every
ideal of A IS principal
On the other hand, thèse results do not hold for noncornmutative
rings. Indeed the authors give an example of a leû Artinian ring,
ail of whosc lcft ideals arc principal, that is not an Lring.
One may note that in the commutative case l-rings [S-rings] are
perfect in the sense of H. Bass [Traus Amer. Math. Soc. 95 (1960),
466-488; MR 28 # 1212J.
{For the cntrre collection sec MR 89c: 16002 }
M_ Djabali (Gif-sur-Yvette)
1
~

---

illE CARACTERlSATllJI lIES A*EJWl AlITIKIEIIS
A lllEAU1 PRIIICIPAIJX
KAIDI El Amin Hokhr a r et SANGHARE Kamadou
Abstract.
Let be A .il. ring and M an A-Module. We say chat M satisfies the property(I)
(S))
i f
{ r e
a p ,
, , " - v e r y
i n j e c t i v e
( r e
s p ,
s u r j e c t i v e )
A - e n d o m o r p h i s m
o f
M
t s
a n
a u c o e o r -
phism. le t s we Lk knovn chat ev e r y Artinian (re s p , Noe t he r Lan ) module s a c Ls t Les the
p r op e r t y (I)
(tep.
(S).
The converse 1s not nue
(for e xamp Le
the Z-module Q of
rational numbers h a s
the p r op e r t Le s
(1)
and
(S),
but Q is neirher Artinian nor Noethe-
r Lan ,
r e g a r d e d
a s
Z-module).
The
main
adtn
of
c h i s
p ape r
Ls
r o
g i .. e
a
ch a t ac t e r i za t i o n
of commutative
rings A with the pr-ope r r.y chat t'very A-module s a t î s f y i ng (I)
(r e sp .
(S»
15 Artinian
(r e sp . Noe t he r i an ) . \\Je
first show chat i f A is a non principal Ani-
nian commutative
ring,
t h e n
t he r e ex t s cs a
non f i n i r e l y ge ne r a t ed A-module whos e
endomorphislll ring E f s
Loc a L and J2 c O. vher e J
is the Jacobson radical of E (p r op .
7).
This r e s u I t
enab Le s us r o shcv c na r ,
for a commutarive ring A,
the
f o l Lov.i ng
conditions arc eGuivalent
c ) Ev e r v A-module s at i s I y i ng rhe p r ope r t y (i)
i s Ar r r m an ,
b ) Avery A-module
sa r Ls f v i ng the p r ope r r y (S)
'i s No r t h e r i a n .
c) A i5 an Artinidn princi?al
ideal
ring (th. 9).
Finally ve s h ov ,
by an ë:-:anple
th .. t
the r e s uf t
above f e l j s
in general
if A i5 not
commu t a t i ve •
Ack nov Le d g em e n t
les
u t e v r s
r cme r c tenr le r e f r e e pour ses suggestions.
ë
lotI:"odu.ctiuu
Soit ~ un raodu l e uniraire 511r l'"
a nne au unitaire.
Il
est bi c» connu
que si H est
a r t i n Le n
Lr e s p , noethérien), alors tout endomorphisme
injectif
Lr es p .
surjectif) de ~ est un automorphisme de M. La rêciproque n'a pas lieu (par e xemp Le ,
tout z
e ndomo r ph i sme non nul du
Z~modulc Q des nombres rationnels c s c un
c
16

---

246
autolllorphisme, cependant que Q.
considéré comme Z-module. n'est n1 art!n1e" ni
nor thé r ten] , Nous dirons qu'un module H vérifie la propriété (l)
(resp.
(5)) ~1 tnu,
endoeorpb Lsae injectif (resp. !Iurjecrif) de H est Un automorphisme de H.
L'obj e c de cerre étude est de donller une c a r-ac r è r t.aac t on de
la classe des anneaux
cOllllllutatifl" A qui sont tels que r ou r A-module vérifiant la propriété (I)
(resr.
(S)
est ar r In t.en
(resp.
nOfthérien).
Nous mon r r on s que ces deu:o; cia5ses d'anneault SOnt
Identl'lues à la classe des an""SUI( commutatifs artlnlens dont
tous les
idéaux sont
pr Inc rp aux (rh. 91_ Ce résultar donne une nouvelle c a r ac r ê r i sat Ion de la classe des
anneaux commutatifs A avaar
la propriété que
tour A-module est somme dlre.cte de sou
modules c yc i Ique s ,
étudiée par
wontrous 'pt,
sur t,,\\Jt anneau commutatif ~rtil\\ien A possédaut au ...oins LIn idéal nor
pr~nc1pal,
e xLs r c LIn A-module ~ qui n'est pas de ()'pe fini et doat l'an"e.ll1 d~5
A-end","orph:,",~' E e s c un anne,~u loc"L dont l'idéal maximal J(f) cs c de carre nul
{,,) rnoé.ule est
indecompC'.c,able eL 'J";riti"
les p,-opriéüs (l) cr
(5)
f l h.
lil
:'u.' .:"",(rOnS {'nfi""
I".r
\\ln "-''''{'",,,l(' 'l':':
le
théor~m<, "n'" pJ~ li,·, e n
.l'.'.h','"
,\\
n'':'St
p,l~ <"C'",c'''l,üif.
S,'il ;., ur.
J.C~.~,lL et
~ un "'-mo<lule.
t r e sp , sLlrJecrifj de' ~ ,·~t un "'Hor.lorphisme Je 11. On d i r que l'anneau A e s : Tl
I-annea" Ire'ip,
5-anne<~u) .>;1 [,,"l A-module vè r Lf Lan t
la p r op r t è t é
(I)
(resp.
(5))
est art'inien (re~p_ "oéthpr1eu).
f'IIOPOSITIOli 1
(a) L' l111ap;e [1O",01l10I'phe d'un
Le-au ne a u
(resp.
S-anneau)
est un l-aunellu (resp_
S-aune,1u) .
1 7

---

247
· (b) Un produit d'anneaux Ai (l,< 1 {: n ) est un I-anneau (re sp , Sc-anne au ) 51 et seu-
.eeenc 51 chaque Ai (l ~ 1 ~ n) est un I-anneau {re s p , S-anneau).
· (a) résulte du fait que 51 B est image hoœoœo rpbe d'un anneau A et si H est un
t-eodu Ie ,
alors H est un a-eodu te et
tout B-endomorphisme de H est un A-endomorphisme
le H.
· (b )
résulte du
fait que 51 un anneau A est un produit d t auneeux Ai
(I,< i..$ n ) alors
.ou r A-module H est un produit de Ai
-module "i (1 ( i ~ n ] et inversement, de manlere
lue
r ou t
A-endOll1orphisme
f de H soit un produit de Ai
<e nd orno r pb f sme fi de Hi
,l~i{n).
.fPlttE
z
Tout S-anneau int0gre est un corps
io[[ K le curps d~s fr~ctions de A et soit
[ Ull A-endo~orphi5me du A-~odule K. !'o.,!
-1
-1
51(5
LI) ~ f(
ss
.0)
c
1(.-,)
'" af(l).
_
-1
-1
:(~
~) ~ s
af(J).
Il
en l"C.(lJf~ 'lu""
s i
[(1)
~ o. a l o r s f est un a o t o-ao r ph r s r c .
Ji'lll
l~ A-module K v~rifie la pr"rri~tf (5). (['mm~ A est un S-aoneau, donc K est ~~
'KOPOS [Tl 0':1
)
io i t
A un
Le ann e au
(r c s p .
Sc anne au ) . ,\\l':H'; A e s t
a r t i n Le n .
~I:ra[joo : Soit A' l'.Jnneau t or a I dl''> ï r ec r tcas de A.
II est clair que A',
c o n s i dé r é
c cmmc ,i-[T,adule,
vérifie
la p rcp r Lé t é
(1)
et la prorri,>-
(5),
car tout A-endomorphisme de A'
c s t
une multiplication par un é Lé rnen t
de A',
. é
Jonc
, Si .iI c s t
un l e-a nne au , alors A'
est u n A-module artinien,
et,
par c on s è q ce n t , A e s r
Htin!en.
18

---

248
• Si A est un S-anne~u. alors A' est un A-module noéthérien. Ce qui implique que A
est noethérien.
Pour 1IIontrer, alors, Que A est ar r LnLen ,
il suffit de mo n r r
r
que tout idéal premier
ë
de A est eax iœa l , Or si p e s r un
Idé a I p r em Le r
de A,
l'anneau-quotient Integre Alp
l'sr aussi un s-anneau (prnp .
1.
(a)), donc,
d'après
le
lemme
Z. Alp est un corps,
d'où la maximaliré de p.
Nous énonçons le
lemme suivant. qui
e s t
bien connu.
LEIII!IE
4
Soit A Uil anneau artinien possedant Jl: moins <::1
f d è a I non principal.
Af.or s
,:,. dc",n
un arme au-quo r re n r B qui
l'SC
local d' td.;;li ma x i ma I
J
tel
quo> ]2 -
(Ol et
tel que
J/J 2 soit un 8/J- espace vectoriel de dimension deux.
Dé-ou.s l:ra t i on
Comme ;., est un produit
fini. d'alllee'.iUx .tr r rni e n s
locaux.
0<1
Pl'lIC
s up pn s e r A l\\J)--_.~r",,·
p~s principal dall$ A, S est rl0tl pr)Jl~il.l ,1:Jlls U.
l "anneau B = nif: répond il 1,1 qu e s tion .
En
c omb i nan r. l c
lem.ne ~~,
l e s d cux
t h
o r ème s dL' Cobe n
1 2, c ha p . IX J, "n obt r en t
è
Soit A un anneau a r t Ln i.e n possédaOlt
au mo Ln s
un d i è a I non p r i nc i.p a I . AIG1-<; A ad nc t
un ann .. au-quo r t e ru
B = C CD
bû , où C (OS[
uu
s ou s-ee nne au
de
H,
[oca l d'id.:'a/ max ima l
e
1
C "
0 et où b ~ 0 avec"
o.
Dé-:Jo.s; r T" r ion :
Soit A un anne au a r-t Ln î en po s s èd an t
lJn
Idéal non
p r Lnc Lp a L,
D'après le l cœme 4, A
admet un anneau-quotient B local d'idéal maximal J
~ x.B
+ bB, où x." 0 et b ~ 0 avec
J2 ~ O. Comme li est ar t Ln Le n et Lcc al , d'après les deux tbéorèmes de Cohe n {2, chap.l~1
19

---

249
il existe un Gous-anneau C de B, local d'idéal maximal ae r 0 tel que
B - C + (xBG bB). On peut prendre
x ~ a.
En remarquant alors que Cee + aB, be - bE et que
Cl'\\bC -
\\0\\. on obtient
B - C (f) be. d'où le lemme 5.
LEII.IIE
6 :
Soit C un anneau local d'idéal maximal ae , 0 avec a 2
O.
Posons M l'anneau total
des fractions de l'anneau des polynômes C tXl , et soit 6 le C-endomorphisme de H
défini pour tout élément m de M par a: (rn) ~ aXm. Alors;
al
ao ~ (i2 '" 0
b)
Si Fest nn Cc e nd cmo r ph i sme
de H commutant av e c 6,
alors ?"Ut tout mf:"l.
r(am)
~ amF(l)
(1)
c)
Tout Ce-end omo rpb d swe
injectif
(cu surjectif)
de
H c ornrno r arvt evec {f est un auto-
morphisme de M.
Dé.oru; t ra t i on
(1:]
["rr.arquc d'abord qU'UR l?lfmpn(
c' J"
l ',]11:1<,,1',.
:.~ e s r ir\\'OC~',J'lll' d.1:1S ~I :'>1 Pt ",-,u1e-
"."nt
si "" <\\.~:1.
r l l'Hm))
C'est-il-dire
F(aX'll)
~ aXF(OlJ.
(~l
~[,lt ri un e nr i e r
~l. Si l'on aciTl'l't ]"!g,l';['; ,,',;,,-: 1-(TT '
on obtient Alors,
compte
tenu de
]',"f.";ir~ (2) vr du lait 0'" T cst Cc-Li nè a i r e ,
On e n déduit 1 "ége l t t é
f(aX'lm)
~ "X J1 ~'r;;l) p(;\\lr roo r en c ter na rur eI ~ ::. ':1 el pour r ou t
mC:H,
JI en résulte,
compte tenu de
L'<add i t î v f r è
de F,
que
pO.J~ cout m'\\, ctx1 ct
pour tout mEM. F(am'lI1)
=
am'FlmL Sçoir meiotcn a n t mtM e r ",lil ll'{ C lXl\\"AC lX)
tel que m' lIlE:C!X). On a
alors,
d'une
part f(;:;l.'",'In.l)
~ arn'mF(J), car m'mfClJl).
20

---

250
D'autre part F{am'lIl) .. am'F(m},
car m'te (X\\. Donc aw'F(w) .. 8lIl'amF(l). Ce qui impli-
que aF(m) .. amF(l). car m'est inversible dans H. D'où
l'égalité F(am) .. amF(I).
c)
So t r F un c-eedcecrpht see injectif (ou surjectif) de M ccœau r anr avec 6". Alors
d'après l'égalité (1), F(I) est nécessairement inversible dans H. Par conséquent.
pour t cu t
è Lèœe nr
m
H,
on F(amF(l)-I)
.. amF(I)-l.
F(l)
am. D'où F(aH) ., atI.(3).
-
Supposons F injectif. et soit mEH.
Il existe, d'après
(3),
un élément m'fI'! cel que
Ham') '" am.
Ce qui implique a(F(m')
-
m))~ O. tl e n résulte que (F(m)-mh:aH. Comme
aMSlmF. d'après 0 ) , on en d èdui c que
rnflmf
Il en résulte
que
F est
un automor-
phisme de ~\\.
-
Supposons F s ur j e c r Lf , et soir ln un
é Lec-cn t
non nul
de M.
51
IL
EaM.
alors,
d' après (1).
on a F(m)
- mF( 1). Ce qui
ir-p Li que F(m)
.;
O.
car F( 1) est inversible
dans M. Si ma i nt enan r m{a.'1. alors a:r.f d~\\ lO~, d'ou F(am) .; O.
Irone
f
est un aa r o-.
mo r p h t srne .
Le Leeese ;:, est ainsi rll:r.;)lc~ec.è:1r dé eor- r r é •
FmPOSITIO'J'
1
Si A est uu auneau a r r i n rc n adm('ctant un i c e a J non principal, alors i L existe un
A-module qu r n'est pas de
t ypc
fini e r G'Yll
J'anneau
c s
e n dorno t pb
ô
i s œe s
E es r un
anneau 10lJ.]
dont
l'idp,ll ma x Lma I .J .. "~ ,'.' rer re nul.
~tTacion
.,~ "
i o r n ,
,\\
.,
C
8
hC,
(lCl
C c s t
un sous-
anneau de A,
local d'idp.]l m..lxim"l
.:J',.
f i ' ,
Con s Ldé r on c l 'anneau t o r a I de-,
f ra c t i on-,
:-1 ri,'
1',11',,,,,,.,,
des l'olYl10neS cCX) e r s o i t Cf
~b de A, ou 0<., a€C
,
po<
<.fO"} -oll
• ~S.
é tan t
J :l t-'PJ ; " d , 'i n rl
i dc n t Lt è
d c M e t
S l , C -e n domo r ph i sme
M
d. M défini dans 1.
"
lemm"
6,
1]
esr f ,le 1 ! e
d,'
vrrifie r- que il' es[ "" 1',()lI1'JmOr ph i sme
d'anneaux qu r confère à .'1 une s t t-uct urc cl" Ar-module cr
qu e ,
pour ce t t c s t r uc tu r e de
A-module,
les A-endomorphismes de '1 ~,~)'.r
l es
Ce-endomo rplit sme s
de M qui c oœmur-e n r avec
uon inversibles de E. Si F e s t
un
é
l é ecn t d e
J.
,ilnr<;
d t e p r ô s
le
Lemme
b , f(l)
est
Pat c orrsé que n r , compte t e uu de
l ' è g a l f r é
\\
1)
du Jem.'llt' 6.
pOlIr tout
è
Lémcn t m de M,
on a
:
2

---

251
aF(m) • F(am) • amFII) • O.
Ce qui implique r(Ill)€'
aH
Soient maintenant F et G deux éléments de J et Il un élément oue Ic onque de
E. C01lllIle
F(H) CaM et G(!'!) falll, pour [out élèllCnt !Il d .. H, on a
(il
(aHF)
(Ill)
aH [F(m») - aHm)H(l)
~ O.
( ii)
(afH)
(m)
•
('IF) l Hlm)] ~ F[aH(m)) ~ aH{m)F(l)
o.
( lii)
(alF + Cl)
(m)
~ "f(",) + aG(lIl) ~ O.
Uv}
Il résulte alors de
(i),
(ii),
(i,i)
resp"covement qUl' HF,
FH et
(F + Cl
sùnt des
è l éeent s
d .. J, et de: t t v)
i l
réSulte que J2
=
O.
Pour Voir qu",.'f n'est pas un
A-module de
type fini,
i l suffit oJ~ remarquer que 11 contient la sorr.me directe
infinie
de sl'U$-m,,<1ules nOn
nuls
~'
n '~l
TIl",..".
8
Snj[
_~ "n ""'llilu .1rt;n",,, l'U~''''~ ",;
~[raticm
,
, ,
,
';-_'x,j '. ,• "
, , C-.'
-'~
,- "
in
d,,~
.. • " ';[',- l '"C ,i i ,:r~t ...:. ;na"le,,, l est oi 1l'" -
,
..
tent.
( 0 = "
E e'H '.ln :l""""" lm,,"~
, ..
~st
l "J, C"C'Hh
,
,
,1\\lf
i :
, : .
<:"-.'"''
de ~. Le tbè o r éme 8 esl ainsi oi·",cnré.
Dans L 6, lelll/lle 2 1 on [jor.n" une :Il~lhC'(~~ G,' "''''' ...t r ur t l nn ,
"ur un
a",,~"'U C0mmuratif
artinl..,n nOn p,.-In~lpal, d'Un module lndé("TI'posabl .. qUl n'~s, pas de type finI. On
r eœarque que le eodu Ie cons t r o rr
pa,.- cene me[hod~ ne
rüssède pas la p r op r té t é
(I).
22

---

1JIFIJRf)Œ
9 :
Soit A un anneau.
Les c ooo t c t.cns suivantes sont êquivalentes
a)
A est un I-anneau
b )
A est un Scanne a u
cl
A est ar r Ln Len et
tout i dé a l de A est principal.
Dé.oru;; t~t ioo
Les
illlp l Lc a r ions
.1)
_ _ )
c)
et
b )
_ _ )
cl
r~sultent imm':;diatement de la
proposition 3 et du
théorème 8.
Supposons oa i ac cnao r que A soit un anneau a r t i ni e n
r
tout
i
a l
p r i nc Lp a l .
Alors,
d'al-'ré~
o r
de Cohe n-Ka p l a nss v {-] 7
d c n
d é
l ' S C
l e
r
h è
è m e
tout A-r.lod"l" e~c somme directe de modu Lc ,
L\\L"liq')p,...
Donc
s i
~ esc U:: ,,;-,,-.'.Jduj<.' qu i
,,'est pas de
type
fini,
alors comr:\\l;' il e x rs r e s eu I .. ml',:1t un
nomb r e fini
c c Ar-raod ulc s
i.ndèc-ompo s ab l e s
c vc Lt qo e s
non
isomorphes.
M po s s ède un
f ac t e u r direct ~ qu i
~~'-
somme d l r e c r e d'un
nornb r-e
infini
d,"nombrahle
cie modules cycliques Lj(i
~ l,l, ... )
deux il d"'JX i s orr.or p he s .
l.r rt vo n s
~
i = l ,
.c:
1. i ~ 1
Lon s i d c ron-,
l,,~ .I;'i,lic,lcion.,;
Li
----) ~
J'.
fiS(li S
L,
- - - > ~
ou
si
L i l- l et "'Va le A-endpmGrphisne nul dl' LI' Il eSl r La i r 'lU\\' ~est un A-endomor)Jhhn:<.'
i nj e c t.Lf non surjectif de N et que't'est un A-~nJ0morphismc s u r j e r r f f non t njcc c t I
de N.
Donc
L'<app l t c a r l o n
23

---

253
N
Œi T - - ) H
l\\~n+t~--)
<of (l() '" \\f'(n) + t
est un A-endomorphisme injectif non s~rject1f d~ H et l'application
N
Œi T - - ) H
est un A-endoDlorphisme surjectif non
injectif de H.
Il en r é su l r e
que H ne possède ni
la propriété
(1)
ni
la propriété
(5).
D'où
les i mpl tca r tons c)
= - )
a)
et c ) = ) bj .
Combinant ce th€orème
9 avec
le
r hé c r ème de Cohe n-Ka p l ans k y (·3.).
on ob r r en r
CDIOll..A..In
10
Soit A un
anneau.
Le s
c ond I t i co ,
è'lJh"..,otes Sool
"qlliv;;]eCl[e,:>
a)
A est un
l-anneau
b )
A est un 5-anneau
r )
'reve a-ecdu re est Somme df re c r e de
s ouu-moda f e s c vclLqne s .
n'est pJ5 COm~ulJlil
Hun s s sons le groupe ,..
·;'rlllLl.Je-
(x,y)(x' ,,,'\\
(xx'.',:.'
+ ',';l.
'. ) .( .
'.' . ) t:: ,~.
L'anneau A a i ns i
c o n s trui t
e~l
.';-1 :~d<:\\\\
" :: q;, i
'.' l
,'" 'Cd:'J t' V' ~elll id\\'~ l " !,,"uciw
distinct d, A e c de
\\((1,(1))
l"1 :-:~; . ClOt l ',1 , " 1 [ni ~K t' ~ 1 r rinc i pa I a F.;:> , "", -
AI to~ xK vè r Lf i e \\<1 proprit'·t.> (T) .'l ntes r r,l~ artill:<
24

---

254
BIBLiOGRAPHIE
;-'-1 E.P. é ruiand a r i z , J.W. Fischer and Rs L, Snid~r : On injective and su rjec t i.v e
endceo rpb i sm of f i n i r e l y g ane r ar ed modules, comm. In
l gebr a .
é
{,(7).659-672 (1978).
;-2-/
x, Bourbùi : Algèbre c orrcnu t a t i v e , c ha p . B et 9, Ed . ~3.SS0n (19S3;.
Rings
o r chi c h ev e r v l:!<.)dctL·
r s
ï
c vc l i c œo du l e s . ~,H~.
Zu i r s c h c .
Bd.
"':',l-r2 S "i7-Jill
Il'!~').
: i
C.
Ea i t.h
On Ko t he
Rings.
-ta r h .
Ann.
161"
207-~1:' ('!Jb~).
r i cjs . X.Hh. Ann .
18", )()O-]08
(1970).
z . 12), 187-]92 (1972).
1 7 !
A. Ros cob c r g and D. Zc Li n s k y
zc i cscb r . Bd. 70. S. 377-)80 (1959).
25

---

Exemple d' un module indécomposable de
longueur
finie
ne vérifiant
pas (I) sur un anneau artinien possédant un idéal non principal.
On
reprend
ici
les
mêmes
notations
que
dans
l'Article
de
R.B. Warfield.
Jr
[1].
S
désigne un anneau commutatif artinien local d'idéal maximal
*'
2
2
rn ::::: Sa + Sb,
avec
Sa
{O}
,
Sb ~ {O}
et
a
::::: b
::::: ab ::::: 0,
F
désigne un produit direct
infini dénombrable de copies de
S,
~ désigne l'application S-linéaire de F dans F
définie comme
suit
:
o
~
F
- - - - - - - - - - - - ) F
x:::::
(x
, . . . ,)
- - - - - - - - - ) ~(x) = (D,xl,x
l,x 2
Z"")
et
K = {ax -
ber (x)
1 x e F}.
Avec ces notions on a
les propriétés suivantes
1)
0-
est injective
2}
u
n'est pas surjective
3)
(V x E
F)
c t x ) E K <=::::::::::c:::::c=:::::=> XE K.
Les propriétés
11
et
2)
sont faciles
cl vérifier.
On vù montrer
la propriété
3 ) .
Soit
x c
K.
Il
existe
y
E
F
tel
que
x
=
ay
-
bo t y ) ,
et
on
a
alors
~(x)::::: ao-(y) - bo-[o-(y)], d'où
u(x) E K.
Réciproquement.
Soit
x = (x
, .•. l
un élément de
F
tel ~ue
l,x 2
~(x) E K. Alors il existe un élément
z
:::::
(z l ' z 2' . . . )
de
F
tel
que
~(x) :: az - bu(z). On a alors
(0,
x
, . . . ) = (az
0."';2 -
bz
aZ
- b2.
, · .. )
1,x 2
l,
l,
3
2
Ce qui
implique les relations suivantes
:
aZ
:: 0
(11
l
pour
i
= 1,2, . . .
( 2 ; _
De
( l )
on déduit que
zl E m.
Par conséquent
bZ
= 0,
car
l
2
m
= [D)
et
b
Donc d'après
( Z) ,
'1'
E
m.
ona
a,Z = Xl
( l ' )
aZ
b z . = X
, 1 = 2, 3, ...
( 2 ' ) .
i +1
1
1

---

Ce qui veut dire que
x = az' - hu(z'), 00
z'
= (z2,z3, ... l. C'est
à dire
x E K.
Il
résulte
des
propriétés
1) ,
2)
et
3)
que
l'application
S-linéaire
A = FI
- - - - - - - > A = FI K
K
x+K - - - - - - - - > o: ( x ) +K
est
injective
et
n'est
pas
surjective.
Ce
qui
veut
dire
que
le
S-module A ne vérifie pas
(1). On démontre dans
[1]
que
A
est
un S-module indécomposable de longueur infinie.
Référence
[1]
R.
B.
WARFIELD
Jr
Rings
who s e
modules
have
nice
~ecompositions. Math.
z. 125
(1972)
187 - 192.
27

---

CHAPITRE
III
SUR QUELQUES CLASSES D'AN~EAUX LIEES AU LEMME DE FITTING
RESUME
On établit dans ce Chapitre les trois résultats suivants
Théorème.
Pour
un
anneau
commutatif
A,
les
conditions
suivantes
sont
équivalentes
a)
A
est un
I-anneau
b)
A
est un S-anneau
c)
A
est un
F-anneau
d)
A
est artinien et tout idéal de
A
est principal.
Proposition.
Soit
K
un
corps
de
caractéristique
p>O,
et
G
un
p-groupe fini_
Les conditions suivantes sont équivalentes
1)
K[G]
est un I-anneau
2 )
K[G]
est un S-anneau
3 )
K[G]
est un F-anneau
4 )
G
est cyclique.
Théorèru-e.
Soit
A
un
anneau commutatif local d'idéêl maximal
m
tel
que
AI
soit
de
caractéristique
po o ,
et
soit
G
un
p-groupe
m
fini.
Les conditions suivantes sont équivalentes
:
l )
A[G]
est un I-anneau
2 )
A[G]
est un S-annei'iu
3 )
A[G]
est un F-anneau
4 )
a)
m 0
[0 )
et
G
est cyclique
ou *'
b )
m
[0),
G
et
0
Il}
A
est
a r t i n i.en
à
Ldè aux
principdux.

---

Pour démontrer
le premier
résultat,
on montre
que,
sur un
anneau
commutatif artinien possédant au moins
un
idéal
non principal,
on
peut construire un module
M
qui n'est pas de longueur finie tel
que, pour tout entier
n ~ l,
le module
Mn
vérifie
(1),
(S)
et
(FI.
29

---

REND. SEM. MAT. UN IV. PADOVA, Vol. 87 (1992)
Sur quelques classes d'anneaux liées
au lemme de Fitting..
MAMADOU SANGHARÉ (*)
1. Introduction.
Soit A un anneau non nécessairement commutatif et M un A-module
à gauche. On dit que M vérifie la propriété (1) si tout endomorphisme
injectif de M est un automorphisme de M, on dit que M vérifie la pro-
priété (8) si tout endomorphisme surjectif de M est un automorphisme
de M et on dit que M vér-ifie la propriété (F) si, pour tout endomorphis-
me f
de
M, il
existe
un
entier n;3 1 tel que
l'on
ait
M ==
== lm [11 EB ker fil. 11 est claire que tout module artinien vérifie (1); que
tout module noethérien vérifie (S) et que tout module de longueur finie
vérifie (rr
Le but de cet article est l'étude des trois classes d'anneaux
suivantes:
1) les anneaux sur lesquels tout module vérifiant (1) est arti-
men,
2) les anneaux sur lesquels tout module vérifiant (S) est noethé-
ne n,
3) 1eR anneaux sur lesquels tout module vérifiant (F) est de lon-
gucur finie,
Un anneau de la première classe sera appelée f-anneau à gauche; un
anneau de la deuxième classe S-anneau à gauche, et un anneau de la
troisième classe F-anneau à gauche.
Dans tout cet article les anneaux considérés sont associatifs, unitai-
res; et les modules des modules à gauche, unita~s.
(*) Adresse actuelle de l'auteur: Università degli Studi di Trente, Diparti-
mento di Matematica, :38050 Povo (Trentoj, Italie.
'Airesse permanenttde l'auteur: Université Ch. A.n .. Fac. Sciences, Dép.
Maths., Dakar, Senegal.
30

---

30
Mamadou Sangharé
2. Caractérisation des j-anneaux, des S-anneaux et des F-an~
neaux: cas des anneaux commutatifs.
PROPOSITION 2.1.
Soit A un anneau ccmmutatif intègre. Si A est
un 1-anneau ou un S-anneau ou un F-anneau, alors A est. un
corps.
DÉMONSTRATION.
Soit K le corps des fractions de A. Comme le A-
module K vérifie les propriétés (I), (S) et (F), il en résulte que si A est
un f-anneau (resp. S-anneau, resp. F-anneau), alors le A-module K est
artinien (resp. Noethèrien, resp. de longueur finie), d'où A = K.
COROLLAIRE 1.
Soit A un anneau commutatif Si A est un f-an-
ueau ou un S-anneau ou un F-anneau, alors tout idéal premier- de A
est maximal.
DÉMONSTRATION. Soit P un idéal premier de A. Si A est un f-an-
neau (reep. S-anneau, resp. F-anneau), alors l'anneau-quotient AI P
est un 1-anneau (resp, S-anneau, resp. F-anneau), donc AI P est un
corps.
PROPOSITION 2.2.
Soit A un anneau commutatif Si A est un 1-
anneau ou un S-mmeau ou tln F-anneau alors A est artinien.
DÉMONSTRATIOK.
Posons S J'ensemble des éléments réguliers de
A, et AS -1 l'anneau total des fractions de A. Si.f est un endomorphisme
du A-module AS -\\ pour tout élément as - 1 E AS-l, on a
d'où
Il en résulte que tout endomorphisme du A-module AS - j est une multi-
plication par un élément de AS -} par conséquent le A-module AS -1 vé-
rifies les propriétés (/), et (S).
Donc
-
Si A est un r-anneau, alors le A-module AS -1 est artinien, et
doncA est artinien.
A-S'
-
Si A est un S-anneau, alors le A-module\\.est noethérien, et,
par conséquent, A est noethérien. Comme tout idéal premier de A est
maximal, Corollaire 1, donce A est artinien.
- 31 -

---

Sur quelques classes d'anneaux lieés au lemme de Fitting
:31
Supposon maintenant que A soit un F-anneau. Comme tout idéal
premier de A est maximal, Corollaire 1, donc tout A-module de type fi-
ni vèrifié la propriété (l) [1]. Comme A est un anneau commutatif, tout
A -module de type fini vérifié la propriété (S) [1]. Il en résult donc, d'a-
près [4J, que tout A-module de type fini vérifié la propriété (F). Par co-
nséquent le A-module A vérifié la propriété (F), donc le A-module A
est de longuer finie.
La Proposition 2.2 permet de restreindre l'étude des [-anneaux, S-
anneaux et F-anneaux commutatifs aux cas des anneaux commutatifs
artiniens locaux.
On va reprendre ici les notations de (5]. Soit A un anneau commuta-
tif local artinien tel que A ~ C EI7 bC (somme directe de C-modules), où
C est un sous-anneau de A, artinien local d'idéal maximal aC;r {ü},
avec
a2~ab~b2~O
etb;rO.
On pose M l'anneau total des fractions de l'anneau des polynomes C[,l'] à
coefficients dans C, et note par o l'endomorphisme du C-module M, dé-
fini, pour tout mE M, par a(m) = axm. Posons ~ l'homomorphisme
d'anneaux de A dans l'anneau EndcM des C-endomorphismes du C-mo-
dule M, défini, pour tout 0.: + {jb E A, où 0.:, {j E C, par
~(o.: + ,Bb) = 0.: id +
M
;ki.
On considère sur M la structure de A-module définie par ç;
C'est à dire: pour tout 0.: + /3b E A et pour tout ni E /V!, on Pc-c
(c + (jb) 171 = ~(7. + Il'jb)(rn) = (0.: id
+
M
/:ki)(m) = 7./11 + ,!:JaXlfi .
Dans la suite de ce paragraphe la structure de A-module de M est cr-ile
dèflnie par ç,. Ainsi les A-endomorphisme du A-module M sont les C-
endomorphismes de M qui commutent avec a,
On notera que A1 est un anneau local d'idéal maximal a JI et que
(aM)2 ~ {O}. Ce qui confère à aM une structure de k ~ M/aM-espace
vectoriel de dimension 1 dont une base est {a}. Avec l'es notations on <1:
PROPO:'iITION 2.3,
i) La restriction à aA1 de tout A-endolnm7Jhi,,,me Ir/II A ilwdli/c
M est une multiplication par un élément de M.
ii) Pour toul entier n ~ 1. le Asmodulc /11" d,ti/ie (j),
iii) Pour tout entier n ~ 1, le A-module M" l'~r~(ie (8).
iv) Four tout entier n ~ l, le A-module ;V1" ll~rUïe (F).
v) Le A-rrwdnle M n'pst pas de lcnou er timc.
-
32 -

---

32
Mamadou Sangharé
DÉMONSTRATION. i) Soit mE M. De la relation ftbm) = b}\\m) on a
(1)
f(oxm) ~ oxf(m.).
Comme f est aussi C-Iinèaire on a
(2)
f(o.x'lll) ~ ,,(am).
car n e C.
De (1) et de (2) il résulte que, pour tout" E C[x], on a
(3)
.tiahm) ~ ohf(m) ~ hf(am).
Donc en écrivant m ~ c / d, où c, dE C[x] et d ~ aC[x] et an appliquant
(3) avec h :::: d., on obtient
f(ad",) = odf(m.) ~ dl\\am).
Ce qui implique
floc) ~ dflaln).
Donc
acf(l) ~ dl(om),
d'où
.nalll) c-:- a1f1fO).
Soit f un A-enctomol'phitime nu A-module /11". On 0/:::: U;, J )1 ,,; i, l '" JI' où
les /.) sont des éléments de EnnA Al.
Posons f' la restriction OP f a .!i:w,M JI, on a f' :::: (f,:) l ,;: i. l " II où fi! est
la restriction de};J(wJV1 a wU. Donc, d'après iJ.f'=U~j(l»)l"'I,)""i'
Comme chaque fi~ (l ~ i. j ~ n) est aussi un endomorphism de a.M, al\\1
etant considéré comme l: :::: Al/aM-espace vectoriel, il en résulte que f'
peut être considéré comme èlément de End, (aAI 1/).
Si f est injectif. alors r est injectif. Par consequence f' est un auto-
morphisme de c.M" car dim~uMIi = n < x, Soit maintenant y e M". Il
existe z e Mn tel que .!iu::) = ay. Ce qui implique
"I/(z) - yi ~ Il.
On a donc [(z) - U E (lM Il = lm f'et, pail' suite, .II e lm.!; d'où ii).
iii) Si [e::;t surjectif, alors f' est surjectif et, pal' consequent r est
un automorphisme de (lA1", car oiru, alv!" = 1/ < x. Soit y un èlément
non nul de i.H >1. Si y e (ul1/1, alors f( y) :-=t" (fj) ;z" 0, Si !J ft «M", alors a.lf
est un élément non nul dl..' 0.11/1 et on a of(.II) =f'(ayl:;;é. 0 d'oùf(y);z" O.
Soit 'fil E M ", Comme 0.1,1" r-st un ê-espace vectoriel de dimension finie
-
33 -

---

Sur quelques classes d'anneaux lieés au lemme de Fitting
33
n et que f' est un endomorphisme du k-espace vectoriel aM 71, il existe
un entir q ~ 1 tel que
(4)
aM" ~ lm f 'q El) Ker f '",
.
.
Soit rn e Mil, Il existe ml' mz E j\\1.11 tels que
(5)
avec t" (am.:J = O.
La relation afq (m-l ) = fq (am"2) =.-: 0 entrainantj " (m2 ) E cM", il existe
d'après (4), ZI. ca E Mil tel que
(6)
avec l'/(az'!.) = o.
Ce qui implique
/,1 Il'l (111,) -l'I (az, l) ~Iq(az,) ~ o.
Et On a
(7)
d'où mz E aZ1 +- Ker fzq
or aM" = lm .f 'lq +- Ker .f '21, donc il existe Yi' Yz E /11/1 tels que
(8)
avec F" (ay1. J = o.
D'après (7) et (S), on peut écrire
(9)
• "'1
1
1l/1. =.1- Irl!l1) +- YI
En remplaçant 1/1., par .r'-'/ IUYI ) +- lll' dan:'. l'èoualitc
(llil o""f'i(l1li1]) +- (1111.)
on obient
Ecrivons finalement (U1I 1 :::FIIU;I"I) + a.l'~ ;-1\\'('('
ct
/'/(ru:C):o,O.
On <1 alors
Ce qui implique
-
34 -

---

Mamadou Sangharé
[1 en résulte que
a[m -f 2q (x , ) - y;] ~ O.
C'est à dire
(m - ("(x ) - 'y') e aôâ" ~ lm f'2, + Ker ('2'.
.
1
1
.
Ce qui implique
»z e lm j2q + Ker F",
car f 2q (y ; ) ~ o.
D'où
Mn ~ lm f'" + Ker f 2q •
Soit sz e lm i" n Ker j2Q , On a alors
am e lm f'2q n Ker r«.
Ce qui implique U'iYl = 0, et par conséquent »t e Mn.
Soi m'eM" tel que m =f,q(m'). On a
a{2q(m') ~ am = Il
donc f'(am') e lm f'q n Ker f" ~ {Il}.
Donc al'l<m') = 0, et par conséquent rn = f'I(m:) E eM.", Comme
aM" ~ lm f" EB Ker j »,
on peut ècrire
et, on a, alors f~'/I./ll') =.f2'I(Œmj'). D'où
HI
= I" (am]') E lm .f~q.
Comme »ze 0.14" et f'21( pn) = f?<"(m) = 0, on a
'" e lm l'2q n Ker f"" = {Il}.
Donc
lm i" n Ker ï" ~ {n}.
d'où
\\1
, ... = J111.(" " '8
'
K "
f r , (2q .
D'où iv).

---

Sur quelques classes d'anneaux lieés au lemme de Fitting
35
THÉORÈME 2.4.
Soit A un anneau commutatif Les conditions
suiumtes sont équivalentes
1) A est un l-cnmecnc,
2) A est un Ssomnecu,
3) A est un Fscnneau,
4) A est artinien et tout idéal de A est principal.
DÉMONSTRATION.
Soit A un anneau commutatif. Si A est un f-an-
neau, ou un S-anneau, ou un F -anneau, alors d'après la Proposition 2.2,
A est artinien. Comme tout anneau commutatif artinien admettant un
idèal non principal posséda, d'après [2. chap.û], un anneau-quotient B
de la forme B :::: e EB be, où C est un sous-anneau de B, artimen local
d'ideal maximal aC '" {O} avec a 2 ~ ab ~ b 2 = 0 et b '" 0, donc tout an-
neau commutatif artinien admettant un idéal non principal posséde,
d'après la Proposition 2.3, un module qui n'est pas de longuer finie et
qui vérifie le propriétés (I), (S) et (F). D'où les implications:
1) => 4),
et
3=>4).
Supposons maintenant que A soit artinian et que tout idéal de A soit
principal. Comme il n'existe qu'un nombre fini de classes d'isomorphie
de A-modules cycliques, tout A-module M qui n'est pas de longuer finie
possede un facteur direct N qui est somme directe d'un membre infini
de copies d'un module cyclique [:3]. Il est clair qui un tel A-module N ne
verifie aucune des propriétés (I), (S) et (F). D'où les implications
4) => 1),
4)=>2),
et
4=>3).
:1. Etude d'un cas d'anneaux de groupes.
P'WPOSlTJO:-J 3.1.
Soit K un corps de caractéristique p > 0 et G lin
p-groupe fini Les conditions euiumtes sontèquivalent-eS:
1) K[G] est un I-arnœnu,
2) K[G] pst un S-anrwau,
;)) K[G] pst tttt F-anneau.
~) (; e..st. cyclique.
IJE\\ll";STRATlOl\\.
Si G n'est pas cyclique; il existe un sous-groupe
normal Ji rie G tel que l'on ait G/ Il ~ (x) EIJ Cïi) où
et
-rz l '
-1'
.t
~y
-v
L.
-
36 -

---

36
Mamadou Sangharé
Il en résulte que l'anneau artinien K[G / H] est commutatif et posséde
un idéal non principal, par exemple
J ~ K[G](l - x) (fIK[G](I - YJ.
D'où, d'après le Théorème 2.3, les implications
1) ~4),
et
3 ~4).
Si G est cyclique, alors K[G] est un anneau de type de representation
finie d'après [7], d'où les implications
4)~1,
4) ~ 2),
et
4)~3).
THÉORÈME 3.2.
Soit A un anneau commutatif local d'idëol maxi-
mal m tel que le corps A / m soit de caractéristique p > 0 et soit G un p-
groupe, fini. Les conditions suivantes sont équivalentes:
1) A[G] est un l-anneau,
2) A[G] est un S-anneau,
3) A[G] est un F-anneau,
4) al m ~ {O} et G est eye!ique, aù b) m '" {O} et G ~ {1} et A cet
artinien à idéaux principaux.
DÉMONSTRATION. Les implications 4) ~'" 1), 4) ~ 2) et 4) ~ 3) rèsul-
tent du Théorème 2.3 et de la Proposition 3.1. Supposons maintenant
que A[G] soit un f-anneau (resp. un S-anneau, resp. un F-anneau).
Posons
l'idéal
d'augmentation
de
A[G].
De
l'isomorphisme
d'anneaux
A ss A[GJIL, il résulte que l'anneau A est un f-anneau (resp. S-anneau,
resp. F-anneau), donc, d'après le Théorème 2.3, A est artinien et tout
idéal de A est principal. D'autre part comme l'anneau AI m[G] est ima-
ge homomorphe de J'anneau Ar G] (par exemple par l'homomorphisme
d'anneaux:
AIG] ~A!IIIIG1
-
37 -

---

Sur quelques classes d'anneaux ëeés au Jemme de Fitting
37
surjection canonique de A sur A 1m), il en résusIte que A Int,( G] est un
f-anneau (resp. S-anneau, resp. F-anneau), donc, d'après la Proposi-
tion 3.1, G est cyclique. On vient de démontrer, donc, que si A(Gl est
un f-anneau (resp. S-anneau, rcsp. F-anneau), alors A est artinien à
idéaux principaux et G est cyclique. Ce qui implique que l'anneau A[G]
est commutatif, et par conséquent urtinien à idéaux principaux, d'après
le Théorème 2.:J. D'où les implications l) =4),2 =4), et 3) =4).
Remerciements. Cet ar-ticle a é-té écrit quand l'auteur séjournait à
T'rente dans le cadre des relations de copér-ation et d'échange entre
la Université de Trente et celle de Dakar, financés par le Ministère Ita-
lien des Relations Extérieures.
L'auteur remercie le Département de Mathématique de l'Université
de 'l'renta pour l'hospitalité dont il a été l'obje""
BIBLIOGRAPHIE
flJ E. P. ARME:NDAHI7. . J. W. F'IBHER - R. L. SNLDEH, On ncjectue and surjecti-
lie endcmorphisms 0" jï'nitely çeneraieâ modulee. Comm. Algobras, 6 (7)
(1978), pp. 659-672.
[2} N. ROl!H.BAKI, Alqebre Commuiatiue, chap. 8 et 9, Ed, Masson (lg~:n
fal 1.~. Cnm~\\· - 1. KA1'L:\\\\'SJ\\Y, RingS/DT which. ereru modulc ois direct. sum 0/
qlclic tuodutes, Math. Z .. 54 (1951), pp. 97-10l.
141 Y. HIl-{,i\\'O. Uri
FU/IlIO':,' tennnu,
Hiroshima Math. J., 9 (979), pp.
fj2;j-(i2ti.
);>1 A. M. Kiml . J\\1. S.\\'\\';IL\\I\\I·:, ('!II' (·nmel.rrù;afi()// ncs (lUllt'al/.(' ndinic!l.~ à
iciécncr /)I·iIlCip')JI.f. 1.1'('11]1'(' Notes in Math.. 1:128 (Springer-Verlag) (198~),
pp. 245-254.
/Ii! A. \\1. K.l"DI . w.. S·\\\\·'.,H.l,J\\!:. Sor les Ssanuecua: dont l(·,~· idéanx à OUNcilr (:/
I('s ;drUlu c'r d"()il~i)lil In/alr;I"('8. il paraître.
171 R. ,. PII:I{<E. A.,."'c'o{,,'( At.qrb, os, Spt-ingcr-Verlug.
MmllJSlTittl> pU"Yl:-'lH!h> in rl'I!:lzioll(' il 2ï agcstc EH·lO.
38

---

CHAPITRE
IV
SUR LES S-ANNEAUX DONT LES
IDEAUX !1 GAUCHE
ETLE5 IDEAUX 8. DROITE SONT BILATERES.
Dans ce Chapitre, on démontre le résultat suivant
Théorème.
Soit
A
un anneau dont
les
idéaux à
gauche et
les
idéaux à
droite sont bilatères.
Les conditions suivantes sont équivalentes
1)
A
est un 8-anneau à gauche
2)
A
est artinien et toutldéal à gauche de A est principal
3)
tout A-module est somme directe de modules cycliques
4)
A
est un S-anneau à droite;
et on en déduit que
Corollaire
Si
A
est un
8-anneau à gauche dont tout idéal à gauche ou
à
droite
est
bilatère,
alors
A
est
un
I-anneau
a
gauche
et
à
droite.
3\\

---

'"
SUR LES S-ANNEAUX DONT LES IDEAUX A GAUCHE
ET LES IDEA UX A DROITE SONT BILA TERES
A. KAlDl
UIliVenÎle MQhammed V
Faculté des Sciences. Département de Millhém..3liques et Infonnatique
B.P. 1014· RABAl
(MAROC)
M. SANGHARE
Uo.versnc Cbcick Anla DIOP
Faculté des Sciences, Dépancmcmde MaÙl&n3Liques DAKAR-FAN
DAKAR (SENEGAL)
1. Introduction.
Soient
A
un e nne ëu unitaire non nicessaireQleoc c::oamnJcatif et t~
un
A-module à gauche; on dit que
M
satisfait 3 la condition (5) si tout e no o-
morphisme surjectif de
M est Url automorphisme de
M. l'anneau
A
est dit
S-anr:eB;U à gauche Iii tout A-lllOdule à gauche 5atÏ6flliS8nt à la condition (S)
est noechoirieD.. Ll.f.eude des S-anneaux c:otnll\\lJta~ifs est faite dans [?:] où. sont
données plusieurs carec cêr i s at iO[]5 des S-anneaUJ( C01IlllIU tatifs, panni Le equc Iles.
celle affirmant que les s-enne ecx coceu c e r i
e son r
les anne aux coeeucar cr s .H-
ï
t i.n ie ns dont
tout
idéal est principal ou équivalemment let; anneaux commutatifs
sur Ie s que Ls -tou t; module es c SOt:lDle directe de sous-modules cycliques. Nous
généralisons ici le résultat de [2J
au cas de s Sc-anneaux à gauche non né-
ce s s ai remenr commutatifs dont Les i.déeux à gauche et les Idaau x il c r oi te s on c
bilatères.
2. Définition6 et notations
Soit
A
un anneau. On dit qu'un A-module à gauche
li
s ac i.s t a i r ~ la
c cnd Lt Lon (5)
si tout endo\\llOrphi.sme surjectif de
H
e s t un au t cœor ph i srnc de
H ; l'anneau A
est dit S-anneau à gauche si tout A-module à gauche s ac i s I ai-,
sant 11 la peop r i
t
ê
ê
(S)
e s c noethérien. On dit que
A
est d i e t r i.buc i I si le
r re i I L'i s des idéaux bilatères ce
A
e s r discdbutif c'est-a-dirc si l'on a
N ('\\ (P + Q)
..
N n P
..
N(\\Q
que Ls que eo ienc les idéaux b i l a r e r e s N. P el. Q de
H.
J
désignera le radical de JACOBSON dc
A. -et. si
E
est un II-moùule à gcuchc ,

---

désîgnera une somme directe d'un nombre infini déno~br&ble de copies
•
du A-module
"
E. Les éléments de la base c ancn.i qce du A-cnodule libre
(
)
A
•
seront nocê s
(iG:r..-).où
si
J '" 1
ave c
é;'j . {al
• Un id 'Al bilatère
P
de
A
est dit pte-
si
j
of i
ete r si la relation
r.L ç P
implique
Ic;.P
ou
l.~p. quels que so te nr Lee
idéaux bilatères
l
et
L
de
A.
3.
CarActérisation des S-anneaux.
Th~orèmc 1. Soit
A un S-anneau à gauche local ct artinien. ALors l'anneau
est distributif.
Th~orëme 2. Pour un anneau
A dont 1e6 idëaux à gauche et les idéaux à droite
sont bilatères. les conditions Guivantes sont équivalentes
al A est un S-anneau à gauche
b) A e st, a r t Lei.en à gauche et tout idéal .il gauche de
A
est principal
c) Tout
A-module b 8au~he est une somme directe de sous-œodulcs cyclique
a') A
e at, un s-eone ec à droite
b') A
eat ar t i n ien A droite e t, tout idéal .il. droite de
A
u t princi~al
c') TQut A-l!1odule à droite est une somme d i re c t;e de sous-œoduke s cyclique
Démonstration du tt'orème 2. Les idéaux i gauche et les idéaux à droite de
A
étant bilJl.tères, l'équivalence
b) <J""'7 u l )
est évidente.

---

Nous allons donc démontrer le théorème 2 en i~ablissant les implications
a) -> bj , Supposons A un S-anneau à g~uche. Comme le A-module a gauche A s a-.
ti~fait ~ la condition· (S), A est noe~hErien. Soit
P
est un idEe1 premier
de
A. Comme l'anneau int~8r~
Afp
est un 5-anneau à gauche eL que le corp~
des fractions à gauche (et à droite)
K
de
A/p e s r un
Al p - module à gau-
che s at i sfa i s anc à III condition
(5), il en résulte que
K
est un Al
-
mo-
p
dule noe~hérien. d'ou
K ~ A/ p • Ce Gui entraîne que P est un idéal maximal
de
A. On en déduit que
A est artinien à gauche (et â droite). Par conliiéqu~nt
A
est un produit direct d'un nQmbre fini de S-enneau à gauche locaux et ar-
t in iene
Ai' ()"i"n). Par le théorètne ',pour tout i
(l~i~n). l'anneau
eGt distributif, où
Ji
désigne l'idéal maximal de
Ai- Il résulte
donc de [G ]
que les anneaux
AJ J~
, et. par suite, les anneaux Ai sont
à idéaux à gauche ptincipaux. Oonc le, idéaux à gauche de
A
sont principaux.
b ) -:> c ï ,
D'après [1 J
. sur un anneau artinien ;A gauche et à droite er
principal à gauche et A droite, tout A-lnodule à gauche (et tout A-module à
droite) est une somme directe de sous-modules cyçliques_
c ) -> a). Supposons v~-'rifi6c. 1. conditi.on c )
du théorw. 2. Alors, d 'sprèt>
[rJ
A
est nêce ss a i re aent artinien à gauche (et li. ërot ce ) e c pr Lnc f pa I
â gauche (et à droite). Soit
H..
€>
H.
un A-module à gauche somme directe
il;l
1-
de sous-modules cycliques
M.(i~t).
,
Si
H
n'est pas noethérien, alors, l'en6eœble des classes d'isomorphie
des
A-modules cycliques êtan[ fini, il exiate une sous-famille infinie dé~o~br~ble
'"
4 c

---

constituée <le sous-modules cycliques de
If
deux
à deux isomorphes. Posons
(M~)nG~
cette sous-famille.
t'our tout
n "1 1
soit
su r
11'
, e t soit
n-'
l'Bpplication nulle de
M'
dans
N
M' • Il est clair ~ue l'appli-
c
'" n
n>O
cation
4i ..
L$n e6t endo~orphi.'lme surjectif non injectif du "-modu1.e .il
n
gauche
N. COIWDe
N
est un facteur d i r ec r; de
H. il en résulte que
M
ne
sat.isfait pas à la cond i t i.on (S). Le t.nëo r êec 2 est. ainsi ccmp Lê tenenc dèmon t ré ,
Pour dëecnc ree le théorème
l , nOUS allons établir d'abord quelques r êsu Lcc t s
qui ROUt> ee ceuc ucih:M. Soit
A
un anneau er r in ien local d'idéal maxillLa1. J.
On SUppoSe
{O)
,et.
A
non disc-ributif. Il existe alors deux idéaux
bilatères
nOn nuls et. distincts tels que
soient. isomorphes en tant que
A-bimodules (voir G. p. 25 ] ) . Dans la sui r.e
on supposera que
l I n 1 2
•
(0 )
e< on riotera
C
l'isomorphisme de
A-bi1lKldules
,
•
de
"I
c ens
l , . Pour tout
"l' on nor.er a
•
A(li
Li
•
( ç(x) e .
)/
,
x e
,
i + 1
/
x " 1 1 )
L •
0
L.
L
i >~l
"
•
A(~
)
e t.
n
la surjection canonique de
ec r-
M.
Soit
7'
M --->M
un endomorphisme surjectif du A-œodule à gauche
M.
Avec ces notations on a les ré5ultDCs suivants :
Le~ 1. Il exist~
f
- >
endomorphisme du A-llIodlJle
tel que

---

218
n 0
f
T 0 li
(~ *
[(A (l'l *
)
) 0)
)
+ L
A
Démonstration. Considerons le diagra~~ suivant
1 n
11
•
1 7
A(~~" 11~ 0
Co_
est un A-module projectif, il existe un endomorphisme
f
do
A(1'lIl)
te 1 que
TI 0
f
F 0 li.
De cette relation, il résulte que
f(L) Ç·L. De plus. evec la suriecr Ivi.eê de
*
•
I . on a
f(A(N
))+
L~A(1'I) ..
P.emarque
• Soit
x
i
co
s . e .
un
l.êeenc de
ë
L. Si
6·
est la première
l,.~ 1 1 1.
'0
composante non nulle de
X,
alors nécessairement
n i t cl' une man i.ê re unique EOOUS la (0 rme
"
" ' ,
ct
r ( _ t ) " , 5
.,.
1
i o
Notation
Pour tout
i
<; li *
r o.~
1
on écrit
f(e.)
co
l
] >..l
J
•
LellJll:le 2. On a
[(c
e J(li ) • pour tout
*
n)
n "
1<

---

219
Dêmon s t r a t Lon ,
La relation
• pour LOUL
D
c ~ * ~ enr r aînc les
*
re Lae i ons
LÇ/~ )
Ce qui contredit le 3<1)
du
lemme
1. Il exïste donc
*
te 1 que
no
~ J(V *) Pour terminer 1<1 démonstration du Iensnc nous allons monr rc r
q"e
51 et seulement si
• pour tout
*
*
,
J ( "
)
En effet " relation f(e + ) ~
(n c li
)
équivaut
l1
J
" di TC' q", l'uf.c
au moins
n' 1
d" composantes
O.
(j:>.. l)
de
<Ce
inversible dans
n- 1)
e"
J
A (car
A
e s t
local). Et cela équivaut à dire que, pour tout élément
J(
non
nul de
Il" xf(en'i"\\)
1:': L.
d'après
la r-c mn t-qu e ;
Or pour
x c
I l '
on o
(lcnunc
1).
Donc la relation
x t(e
1) ~ L
équivaut â
n'
*
Te
relation
f(e )
~quivaut à
~ /'ti )
n
i
Lemme 3. Si
o
0
est la pree i ê re coœpo s ao r e
inven;ible dan!:
A
k
·i +1
alors
c: 0
e s c la première composante Lnve r s i.b Ie dans
A
de
h l
i .. 1
,
a 0
o 0
Et, de plus. On B
+ J.
k+,
k
~lDOn5tr_Btion. Soit
X
un élélDl'r1t non nul de
1]0
De la relation
z: (x )
• on c:ibciQot
i
i .. 1
cr
Ct,O
e.
0
x
.
e,
,
L..
J
J
J
J
, ,
"
,

---

220
i
Camllle
o 0
( 0 )
• pour tout
J ~ k. on a alors
j
k_'
, + 1
i
i ... 1
(
0
J
J
i~
0
,
(ç (x) 0,"
x 0,
) e ,
L
(
)
x O.
e,
+
c
.
r-
J
J
1
J
i "'1
0
I l résulte de 10 remarque que
-x a,
0
, pOUT
j..;: k,
J
H
1. relation
( 1)
d ev ient alors
i
i
i + 1
i
i
0
"
,
..
,(x) c 0 e
+ (,(x) 0
x 0
0
a,o
)e . c L
,
k
k
) e
(
(, (x) a 0
k + 1
-
x
h'
J~+2
J
J
J
i
i
+,
a o
I l résulte encore de 10 remarque que
,(x
) •
,(x o 0
.
)
k
,+,
, ,
i
i
0
..
Ce qui im.plique
0
o 0
x
X
conséquent
, . Par
k
.,
i
i
+,
i
i
( 0
0
0
0
0
d'où
a 0
•
0
" J •
x
k
h l
k
k"
•
n
Le~ 4. Pour tout
n ~ ~
Q.
est la preed re composante inversible dans
ê
n
1
Démonstration. D'après le lemme J, il scf f i.t de démontrer que
a, est la pre-
mi ê re composante inversible de
{(el)'
,
Si
0,
appartenait à
J. alors, d'après le leDlllle 3,
{compos an t e
survam
e, de f(e ) ) appartiendrait à J. pour tout n)~ 1. Ce qui contredit le
n
fait que
Donc
est inversible.
Lemme S. Pour tout
1
la relation
t(x) c l
i~p L i 'lue
:x c L.
x "

---

221
c
•
Démonstration.
Soir.
x
L 'Si e
un élément de
A (:N
)
L
i
n 1 appe e te ncru.
i'" 1
pas â
L.
On ,Suppose
1>1 '" O•.
Nous allons mOntrer que
t(x) ~ L.
Premier cas
L'Un au moins des
(soit pa!" exempte
'1 )
est inversible
dans
A.
Alors
la composante suivant
el
de
f(x)
est un élément de
Cette composante est donc inversible. Par conséquent
[(x) ~ L.
DE'u)(i~rne cas: Si G J. pour tout
i
(1 ~ i,f;: cL
On disti~gue alors [roiS situations
a)
6 J ~ 1
La compo e ant;e suivant
e,
de
[(x)
ftant alOTS
2,
qui n' appartient pas à
1
il résulte de la reœa c qoc que
2,
f(x)
~ L.
b ) 6
G 1
• 52 G I l e
1
2
t
Les composantes de
SUiVBrlt
sour alors r e spe c r ivceera
'2
•
•
1
(car
•
Ql
~ J • Leœme J). Ue l'hypothèse
1
(-52 Cl 1 ) 01 6
Q}
•
Par ccnsêquenc
Ux) '" L.
1
47

---

On peut alors décomposer
x
sous la fonne
X "
xl
+
>::2
(l)
•
Où
x J C (sIe,
l
'i ei] ~ L.
i=J
Comme
f(X
G l
• roOntrer que
f(x) ~ t
revient à montret que
1)
Donc si l'on ecarte pour
x
les situations
a) et b )
,
on peut supposer,
2
quitte à répéter pout
la décomposition
(2),
que
est de la [orme
.
Si G I
On obtient alocs
2"
,
i
[(X
,
z)
f(e
)
(
e . ), COJro\\e
r
. c
l
1
0
' i
•
, .
Q
s. a.
e r qu'
I
•
,
,
,
j >-1
J
J
i,
,..
donc
f(x
)
~ L, car toutes
composantes de
f (X )
sont dans
2
2
'2 .,
ne sont pas toutes nulles.
Lemme 6. Le A-module à gauche
M
satisfait.il la c ond i t i.on (s)
et n'est pa<:
noethérien.
Démonstration. D'après les t.eœae s
l , 2, J, " et 5
H
satisfait à la condition
(s). Pour voir que
M n'est pas noethé[i~n. il suffit de remarquer que
M
n'eat
pas un A-module de type fini,
Démonstration du théorème
1. Soit
A un S-anneau à gauche local et artinien.
L'anneau quotient
AI
2
est aussi un S-anneau à gauche
local 'et ar t i n i en,
J
Il
résulte donc dell lemmes
1,2, J, " . 5
er 6
qu e
l'St
né-
A,52
c e s s a i t eme n t. d i s t r i.bu t i.f , Le
théorème
est ainsi complQte~ent démontré.
Soient
A
un anneau. On dit qu'un A-module à gauche
H
satisfait à la con-
d i c i on (I)
s i
tout endomorphisme Lnj e c t i f de
H
est un au r omo r ph i sme de
11.
48

---

223
On d i t
que
A
est un !-8:nne.au
gauche 51 tout A-illodule a gauche s a t i s f a i s an t
â
à 13 condicion (I)
est ar r LnLen ,
On a le corollaire s u î v an r; du r h êo r-êœe 2.
COI-ollaire.
Si
A
est. en S-.anneau dont les
idéaux à gauche el
les
idé.a.u:.: :,
droite sont b i La t èr-e s , alors
A
est I1n l-anneau (à gauche et J droite).
Dêmon s t ra r Lon ,
Soit
H.
un A-lDod:J1e à g aucbe ,
Si
1'1
n'est pas a'r t Ln i.e n , on
sait qu'alors
t1
edee t un
ec c eo r direct
N.
ft) H'
qui est sonsae directe
ï
n~1
n
d'une famille
infinie
énoeb r ab Ie de sous-œodc Ie s cycliques de
11
deux d
ë
deux isomorphes. Pour cout
n
1. Boi t
'f
un
isomorphisme de
H~
n
sur r.' 1
n<
Il e s t clair que
y
est un e ndoeo r phi sœe i.nj e c t i t non
u r j e c t Lf de N.
ë
~
n
n'I
Comme
N
est un facteur direct de
H. on en déduit que
l1
ne
s er i s j a i e pas
à la
c cnc i t Lcn (I).
Dans
[!] on montre qU'U:1 anneau COlLllT\\.lLatif
A
est un $-an-
neau si et seulement
51.
A
e s t; un
Lc.anne au , Nous ne
savons pas si, en général,
cette équivalence a lieu pour les anneaux dcn t
les
idéaux .J. gauche et les idéaux
à droite
50nt bilatères
nou s conjecturons que pour cette c e r n i è r e c Las s e
d'anneaux l'équivalence a lieu.

---

224
REFERENCES
BIBLIOGRAPHIQUES
-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-ô-
[ IJ
C.
FAtTtI
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Are Cyclic, Bull. London Math. Soc.
IG( 1978) 287 -
288.
Sc

---

CHAPITRE
V
ON
S-OUO
RINGS
RESUME.
Ce Chapitre est
une
étude plus
approfondie que
le
Chapitre
IV
sur
les
Sr-e n ne au x
dont
les
idéaux
à
gauche
et
les
idéaux
à
droite sont bilatères.
On y montre le résulta~ suivant
Théorème."
Soit
R
un
anneau
local
artinien
non
distributif.
On
suppose que
le carré du
radical de Jacobson
de
R
est
nul.
Alors
i l
existe
un R-module qui
n'est pas
de
t.yupe
tini
et
qui
vérifie
( S) .
Ce qui permet d'obtenir
Théorème.
Soit
R
un anneau dont
les Ldéeux a
gauche et
les
idéaux
a
droite sont bilatères.
Les conditions suivantes sont équivalentes
1)
R
est un S-anneau à gauche
2)
R e s t artinien et tout idéal à
qau cue
t re s p .
Cl
droite)
èe R
e~l princip~l
3)
R
est un S-anneau a drolte
4)
tout
R-module
a
gauche
t r e sp .
a
droite)
est
somme
directe de mocules cycliques.
On
y
construit
un
exemple
d e nne au
t
.l oc e I
e r t r ni e n
à
gauche
dont
tout
idéal
à
gauche
est
b i Lat.è r e
et
principal,
qUL
n'est
pas
un
S-anneau à gauche.

---

MATHEMATICAl REVIEWS
SEP 1 7 1992
1 RI
656
ALG
CMP 92: 15
16P20
REVIEW'ER: Please gi~ 5-d1ar<lCI~r ctassificauoms) acconling \\0
Ihe 1991 Mathemalics Subjcct Classif";..alion. (Set ll.e 1990 MR
eré, Mamadou (l-TRNT)
f-
- - - -
AnnuaJ Subjecl rndex-)
duo rings.
LG EZ 0- LG
r.Algebra2Q (1992), no. 8, 2183-2189.
U~O
-
ver: Weim:n Xue
Con'l'l:nlions (use cojored peneil):
o
(1-IA)
Greek
: underline m red
German rraklur
: primor type roman Jellcr, underline in gr""1l
Scnpl
: prim or type rQman leller, eocucte in blue
lIolMa""
. underiLn• .....,th" ""''"Y blue II ne
Do nol undcrlmc for nenes. (teuers used 3.1 mathcmaliçal svmtou He
aulomallcally ilallcW:d by our pnnler.)
~ -
PLEASE TYPE WITH EXTRA SPACE BETWEEN UNES
Let R be a ring with identity. A left (right)
R-
'1i
module M is sa id ta have p roperty (5)
if every surjective
I~
- '
endomorphism of M is an is omorphism, the ring R is called a
L
!'::
-.
left (right)
S-ring if eve ry left (right)
R-module with
L
.,,
property (S)
is noetherian
and R is called distributive
f
•
,
the lattice of aIl two-sided ideals of R is distributive.
il'
1
The authar proved that if R is a non-distributive artinia
local ring with square Jac obson radical zero then there
k"
exists a non-noetherian le ft R-module with praperty (5) ,
',-
L __
i.e., Ris not a left S-rl ng. The ring R is called left
(right)
duo if every left
(right)
ideal of R is two-sided
If R is bath le ft and righ t
duo,
the author showed that t
e
following six statements a re equvalent:
( 1)
R lS
a
left
(right)
S-ring;
(2)
R .i s a n a r t i.n i a n left (right)
prlnclp l
ideal ring;
and
(3)
every left
( right)
R-module lS a dire t
sum of cyclic sul)modules. Then the author constructed a
ring R that is ieft duo,
lett artlnlan,
and left prlnclpa~
but R is not a
left S-ring.
1
Reviewerts remark:
At the end of the paper,
the auth r
asked if left duo left S-rings are necessarily S-duo ring
We answer this
in the negative as follows:
Let R be a loc l
ring with the radical J
such that J2 = 0, dim(R/JJ)
1,
dim(JR/J)
=
2,
and R/J is commutative. Then R is left duo
but not right duo.
According to the results in Dlab and
Ringel
[A class of balanced non-uniserial rings,
Math.
An
~_95(1972) 1 279-291J, the ring R is of finite representati n
type.
Hence R must be a left and right S-ring.
E-mtllf:
[Pleasc provrdc Ir availahle)
Professer WCim111 Alle
Departmcnt of Mathcmauc,
1h,. "(Hl' nes l,,:~n '1'''''·;'11,. çüO''l)' .,;,,,ord for LOclu
University of Iowa
non ln M An~[MA lICAL REVIf' ""'S. '" ,u~<l\\-'"nl rom-
Iowa City, lA 522~2
52
pd, lL(,n\\ ur rr' le...... 11) ~n·Ol <1. 'Je>: "1 [il '11; Irrms or Scn,o n
'01 (,1' il,,, CÙI"'n~hl Ael or lU7G Ail TL~~',j '1) lil"
""'~"
IIIIIIIIIIIII!' IIIH l' Iif li III fi
,ndLJél",r CDI':.",&hL. 1...-10"& 10 Il)e AmC""-~1\\ ~I"lh,·m"ILl·al
J!! Il '"llrl
:'oc,e:'.

---

COHHUNlCAilONS lN ALGEBRA, 20(8), 2163-2189 (1992)
On S -DUO RiNGS
by
Mamadou Sengharé
Université degli Stud; Ji Trenro
Dipartimento di Marernatica
38050 Povo, Trente (!TALlA)
ABSTRACT. A unilaJ Jeft R·module Rli1 js. sa.id (0 have propeny (5) .r ever y surjec uve
endomorphism o( RM is an automorphisrn, the ring Ris c atled left (t1ghl) 5 nng I( cve r y lefv (nght)
R·module wùh prope-ty (5) is Noetherian , Ris catlcd S-ring if il i~ both " iert and a rielll S'-ring.
ln th;:; noIe w," ~how that a duo ring is a. lcrt S-rÎng if and only if Il is \\dl Ar tuuao lI·fL principal
Ideal ring. To do this ....c shall coustruct on every non distributive ÀrLinran loc al flTlg with radical square
zero a non-finit.ely gener atec module wit h p ro per ty (5). And we gjvc ail e"~nlpl,' ur l"fl. duo ldt Artlnian
leû, priucipal ideal rillS which i.~ flot 11. Idt S-rÎng. shov...ing the nccessity cf the Ting 10 he '~'!O in :h c abovc
r csult ,
1. Introduction. It is weil known Lhat every surjective endomorplusm of il Noethc-
rian module is an automorpbism. The converse is Ilot tr ue. ln this present pé\\.per wc shall
deal Wltl-l rings for which the converse is true in the part.icular case of duo rings, {hat
is, rings ail of whosc oncsided ideals are two sided. The main rcsult of this paper is the
construction over a non-distributive Artinian local riug with radic;ù squa re v.ercs of a 1100-
finitcly gcnerat ed module for which every surjective endomorplusm IS monic. (th.L.!). This
result gives as corollary the fact that on everr non-uniscriai Art.inian duo Ling there cxists
a non-Noetherian mocuie for which ever y surjective eudcmcrpbism l'; an »utomorphism,
(coroliery 2.1). And this gives a characterization of duo rings ovcr which oaly Nocthcrian
modules have the propcrt.y that every surjective endomorphisru is monic as thosc which
are Artinian, left (and so right) principal ideals rings (th,2.2)
W'-~ end the popcr by an
exemple which shows that condition on the ring to be only oncsidcd duo is not scfficicnt
for the truthîulness of theorem 2.2.
Throughout this note rings will be assumed to have a non zero idelltity, and modules
will be assumed unital modules.
2183
Copyright © 1992 by Marcel Decker, me,

---

2184
5ANGHARE
2" 5 - DUO RINGS
Basic definitions 2.1 LeI. R be a ring.
A left (right) R-rnodule RM(.~1R) is said
to have property (5) if evcry surjective endomorphism of RM(M R ) is an automor phisrn,
the ring R is callcd lcfr (right) S-ring if cvery left (r-igbt} R~modu1e wirh propcrty (5) is
Noetberian. Ris called S-ring if it is both a left and right S-ring. We recall tha a rmg R
is said to be distributive if the Iat tice of all two sided ideals of R is distributive. that is.
for every Ideal A,B,C of R the equality:
hclds.
T'Heo re rn
2.1. Let R /)(' a Ilon-dist.,ibutive ArtinJ3TJ Jocal lIJlg \\\\"lt/J square Jacobian
radical zero. ThefJ the,"? ('~ü~rs a non-Noctbcrien H-modufe witl) propcrtv (5)
Pr-oof Let us denote by J the Jacobson radical of R
By assu mpt.i on . Wl.· have l' ;: O.
Smce R is non-distributive, there exist two distinct ideals Il and 12 of R, and aR-bimodule
isomorphism r from Il/I] nJ-;. onto f 2 / I 1 nI2 (seeja , P.25]).
We assume, wit hout Joss of generality, t hat f] n f:. = 0
Let us considcr the R-IIlodule
RRUI,"), direct surn of infinite dcncmbreble copies of RR indexcd by the set N° of nonzero
r 1
if i = J
n atu ra] numbcrs. For cverv i EN" let e, =0: (o'j)}ET\\'"
witlJ 0,) = J 0
and L the
l
ifl fi,
N"
R-submodule of RR·
generated by elements of t he f-u-rn r(x)e, - J: f,;-l wherc l E II
and i E N',
Let us no» set RA1 :: RtN°) /1.
V\\it; shall show t hat the R module RA1
rs nol noetherian and has property (5). The Fact rhar R.M is nol noetherian is obvious,
because it is not finit ely gencr ated Let us new show th at RM h as proper ty (5): Let f he
il. surjective endomorphism of RA1_ To prove that J is marrie Wl" necd so-ne Lernmas.
Le mrna 201. Let if be the canonical surjection of RR i N ° ) onto RM- Tlvere existe f E
End(RR(N·)) such tbat.
J)~oJc~Joc
2)J!LiÇL
3) f(RRIN",)+ L ~ RRlèl"'
Proof. Let us considcr the diagram:
o
54

---

S-DUO RINGS
2185
Since RR(N") is projective, rherc exist s an endomorphisme f of RR(N") sueh that
r.of=j01r.
It follows from this relation that f(L) ç L. Moreover , si nec j is surjective, we have
Remark 2.1. Let
"'" _. L",I."
'>1
be an element of L
li s'c i~ the rirsT llnrl~(~II> c-omponcnl, of r in the rnnonical base
{ei/i E N-} of IIR{N·). then necessarily s. s: Il and .)'0+\\ c an he writtcn Hl a unique way
in the for-rn
wilh the corrciitions ,
Notation 2.1. For i E N°, the image of c. by f wdJ 1)(' w ritten
f(',) " ) , , '..';"
v,' ll"l"
~
, '
J? 1
Lemma 2.2. For cverj- n E N°, weJJ:l\\ï;I(e,,) r,!. J TI [(1.,'1.'")
Proof. li for every Tl E N' wc havc f(':,,1 (.~ J n n(W), thcn wc obt ain:
in contradiction with Icmma 2 1 Thus thcrc cxist s 71
N"
b
( :
sueh that f( c".) r:f- J . /1 Ri .",. '.
Now to cstabilish lcrnma 2.2 il is enough to cst abilish the equivalence:
The relation f(c.n+d r:f- J. Ilu(f\\'i l'ci cqurv;,l':llt. to lh~~ f'art that al lcast one of the corn-
ponents o;+J
(j > 1) is mvcr tiblc ill R,
BilL by Reuiark 2.1, the fact that at lcast
one of the 0'7+ 1 , 5 IS invcrtiblc in Ris equivalent to that for a nonzcro element T of Il>
::rf(cn+d f{ L. Sirice for a nonzero elcnicnt x c fi \\\\'V have:
r(x)f(e n) - x f(e,,;,) '- fl'ü)e" - TC,,;,) E L (by lemma 2.1),
t heu the relation If ( e., +1 ) '1- L is c qu i valen l ln ,( 7 ) f (c ,,) t/- L , for ::r E JI' Sincc J~ = {Dl.
the relation r{::r)f(cn.J ~ L, for sorne ICI] i~:; equivalent tc f(c,,) f{ J
llR{W)
This
proves the lemma.

---

2186
SANGHARE
Lernrna 2.3. For every ! E N°, jf 0:1. is the tirst mvertibfe component (in R) of f(c;),
then O~:ll is the tirst invertibJe component of f(c'+1 J. And in this case we have
E
al + J
Proof. Let z be a nonzer o clement of fi. From tlH' relation:
r(r).f(c,) - zf(c,+d F L
( 1 ),
it follows. bv writmg
f((';,)=LO~(.]
and
/(e,..,.I) =: I:o-~+ll;),
) 2. )
J .2: l
that
L r(T)(}~I'; + L L(l~+II·J E
(2)
).2:1
]~I
Sirice Q~ is the first inver ublc cornponcnt of f(c,), wc have r(x)a~ E P - {O}. for ever y
j < k. and thcn (2) becomcs
/;-1
\\,~
,<,
I:
- Ia '+11
L L O )
--j-
H')o;
c
,
E L
)
13)
i- l
)'2,1;
Dy rernark 2.1, ZQ~+I = 0, for n'cry] ;; k. So the relation (3) becorncs:
r(I)a~ek + (r(r)Ql~ 1 - IQ~'~II)eJ.:~ I..L L (r(I)a~ - Ia~+l )c; ;;:: L.
(.1).
] ~1; ....2
Applying again remar k 2.1 V' relation (4), W(' have: r(Ia k) = r(za~~\\). Si!:!"'!'" l.S an
isomorphism wc bave IO:' := xa~:\\. This eoualit.y irnplies t.hat x(a~ - Qk~\\) 0'::' 0, and
h
'+1
•
J
ence 0.1:+1 E 0.1: +
.
Lemma 2.4. For everv n E N' ,a~ is the fi.rs[ invcrnble comportent of f(c,,)
Proof. Following lemma 2.3, i t is cnough tc prove that Qi is invert.iblc. Assume br way
of contradiction that 0:
E
J, and let .r a nonzcro element of Il.
From the Iact that
('(1)f(ej)- z fie,)) E L, il follows by writing
f(C1) = I: ajc],
and
f(e.?)=I:a~c)l
j ~ 1
)~l
that
By rernark 2.1, wc have then ai
E J. Dy induction using remark 2.1 and lcmma 2.3, it
follows that (}'~ E J, for ever y Tl E N°. This conclusion implies tb at el cf- f(nR(N')) -+ L-
in contradiction with 3) of lemma 2.1

---

s-DUO RINGS
2187
Lemma 2.5. For every 7 E R(N"), the rcluuon J(7) EL jmpljcs 7 EL.
1
(N")
Proof. Let 7 = 2:::i==1 S,l', be an clement of R
such that x (j. L. Wc may assume tbal
.51 1- O, VVe shall provc t hat J(x) (j. L. To do this we consider two cases:
Case L
Wc assume that al lcast one of the s , S {says SI) is not in J
T'ben the compouent
of J(I) rclatively La CI bclongs , by lemme 2.4, Lo SIG: + J. Since sucu component does
not belong ta J, thcn J(7) (j. L {by remark 2.1).
Case 2.
We assume that ail the 5,,5 are in J, and we dist.inguish three situations:
Situation 1. '~I (j. 1-2 Thcn 51U: E 1]
Sincc SI a: is the first nonzcro cornponent of
J(7), then, by remark 2 1, J(I) f/ L
Situation 2
S1 E h,52 E /1 and r(-s2) =J:. ,>1
ln this situation the components of J(I) relntiveiy to c r and C2 atc If>sp,;ctively .jjÜ;
.1
1
2
S·
1
1
23
2
-
,
J th
2
,
aflU51G2+S2(l2-
InU~,))' enun a
,,°'2"=° + ,
1
en S2G2 = 5 2 ' J ] ·
50 S] ai +510~ '= '~l ni +.~2Q:, Sirice by hypot.hesis r( --52) #- 51 thcu l( -S'l(j:) 1 .'>] ù l,
and bence J(T) ri- L.
Situation 3. 51 C 17 and 52 </. fi'
Let s' E f l such LII;d d,5') = 51· \\Ve cau decompose 7 into the Iorru
XI
= (5)'.'1 -
';'è!l ~ L, and T2 = I\\~} -l ,/)<,:.,. ')- s,c,] (j L
~
,=:.1
Sirice J(xJ) E LfLcnuu.r 2,1), ln show that J(x) </. L lt is cnough to show tlul JlLl) tf- L
\\Ve C;)Jl now appl y <q.','Ull the abovc iHi;'Ulllents ta X2; we end up \\\\'lth L'! = .)'C"
wlwrc.s,
is a »onzero elcrncut of Tl ln tbis cast> we have
!(x,) ~ ,,J(,.,) ~ $'(~ ù;',)
) ~l
Since S,G: i 0 (0:: i" lllvertible) and ail the coruponr-nts of J(I) belong to r2 (as 5, E f 2)
th en hy remark 2] f(X2) ri L
The end of the proof of t heo reui 2.1. IL Iollcws obviously from lcmmas 2 1, 2.2, 2.3
and 2.4 thut FlAI hAS propcrty (S). Thus theorem ~ 1 is complctely provcd.
Corolle r y 2.1. Let R be an ArtJnliUl duo rlflg I\\,/th radjcal SqUdTC aero.
If R bas a
non-princip ai jdeal Uwn tJJCre exists ,1 non-finuclj- generet.ed R-module with propertj' (S)
Pr oof.
\\Ve mal' aSSUIl1" lhal R is local, since R is a product of Iiuitc number of local
rings, Silice R is duo, Il rcsuhs from IG] that R !IdS il non-principal ideal if lUI,) only if R
is distributif And the corulLu; rcsult thcn [rom theorcm 2,1.
'I'heore m 2.2. For ft dlJi) lïJJf, R rhl.' fol/awinE; conditions ar,' equivalent:
1) ff is a lcft S -J'mL:
2) Ris J\\rtiHiaJJ ldt pJUlcipéd idcaJ l'jll,~
S7

---

Z188
SANGHARE
3) Every tett R-moduJe is a direct sum of cycJic sub-modules
1 ') R is a rjght S-n'ng
2') R is Artinian right principal ideel ring
3') Every right R-modllJe is a direct SUIn of cy clic eub-modutes
Proof.
Since Ris duo, the equivalence 2)-2') is evident. 50 we shall estabilish oulv the
implications: 1) :::::> 2), 2) ::=} 3) and 3) :::::} 1).
1) => 2). Assume rhat R is a Ieft S-ring. SIOCC RR salîmes propcrt y (S). tbcn RR
IS Noethcrian. Let new p be a prime ideal of R
The ring Rlfl is aise a duo lcft 5-flllZ:,
without zero diviscrs. Let us denote by A: the field of quotients of Rlp. It is clear iha;
the left Rlp-module R1pJ\\ has propcrty (5), so Rlp!\\- is Noe therian and hencc nU' = [,'
ThIS equality implies Lhat p is maximal, so R is Arrinian.
Sirice a duo Artinian ring
a direct product of a fini te nurnber of duo local Arti nian ring" we ma)' assume th,n n
local. Then by corollary 2.1 RI}7 end hcncc R are id!. principal Ideal rings
2) => 3). Following [ZJ, on an Artinian principal id('al duo ring C\\'er;' ldt·nl'_'!lil·~ i, ,Ct
direct sum of cyclic submcdule.s.
3) => 1). If condition 3) is satisfled , theo following [21 H is nccessarily Ar tuuau a.'1cl
left principal ideal ring.
Let new nA any left R-mod\\lle
We can crue RA =
.::- RA l'
1 .;: ;
-vberc the RA"s are cyrlir. Assume that RA is Ilot Nocthe rian. Sincc th('r'~ t-; onlv .. f1n.:·>
numbcr of non isomorphic cvolic left R-mod u k 3, t hcrr- is an Infinite <':\\Jnt.:llJl,~ :,JL':"m:i':
(RA~)~EN of the Iamily (RA')'E! such that any two R-modules of the fam.lv (R;·f"j".:·
arc isomorphic. For ever y 11 EN" let 'fJn be an isomorphism from A~_ ouro A~~ 1 allé! 1·-,
'Po he the zero ecdomorphism of t1~. It is clear rhat the map op = L.,>o <.('., is il surj-cuv-
cndomorpuism of RA'::= \\Il HAn, which is not bjjectivc . Sincp HA' is a rurect :;l1ll\\:T1;1r~';
n>O
of RA t hcn A docs nat have property (5). T'hus thcorem 2,2 IS proved
Exemple (of ring which is left duo lcft Ar tinian lcft principal ideal ring, and rl',t l-i:
y-ring ). ut K be a field and fan isomorphism from K int o a subficld J{' of J( sucb rhet
the dimension of K regarded as vector spacc over K' is infini t e. \\/-/e definc fi. rinl; st ruct u--:
on the set R::= K x J{ by the oper at.ions;
(I, y) + (r' , y') = (r + r', y + y' )
and
(r,y)(r',y') = (xx', 'i + y/rI')),
for
(I, y),(I,y') E n
The only non zero proper lcft Ideal of 17.. is } ::= {O} X J(, which is generated by t lu- elcm-:il
(0.1). So R is a local Ar timan [cft duo lcft principal ideal ring. We shall sho-v th.rt RI:,
not a left S-ring. Let us consider the injective hull nD of the Icft simple R-modulcr,J
It
is shown in [5] that RD is not Noetherian. Let y be a surjective endornorphisrn 0: il J),
Since RR is an osscntial extension of RJ, wc have RR ç HD. By the surjcctivity of ':1 ~h,:~(>
ex.sts r E RD sucb thar. g(x) = 1. Sille!" n· T n R} "" tO) tue-re exist s l' E 17.. sllch tlra', r,
58

---

S-DUO RINGS
2189
is a. nonzero element of RJ, we have then g(rx) = rg(x) = t- i- Q. Thus g(RJ):J. {O} and
so 9 is injective.
This exemple shows that the condition on the ring R ta be left and right duo is
necessary for the validiry of thcorcrn 2.2.
We do not know if left duo leH S-rings are
necessarily S-duü rings.
ACKNOWLEDGEMENT
The author i s grateful to Direzione Generale Coopcr aaione allo Svîluppo di M.A.E.
for financial support and to the Mathematical Depar tmeut of the University of Trente for
generous bospitality during the preparation of this papcr.
REfERENCES
[I] R.C. Couner
Finite dimcnsional rlF',bL duo algebras arc duo, Proc.
Amer. 1I..Iath.
Soc., 84 (1982), 107-IGI
121 C. Faith: On Kotc rings, Malb. 1\\1111. 10·1 (l9GG), 207-212
[31 A.M. Kaidi et M. Sangbaré: Une car~\\ctr'ri'>ati()fldes anneaux art.inieus i idéaux princi-
paux, Ring Tbccry, Procccdings , Cr"II;,(h (1986) Lee. Notes in R1;,~h. 1328 Spriugcl
Verlag 245-254.
(4\\ R.S. Pierce: Associative rJl;cbl'il:;, Spriunct- Verlag.
151 A. Rosenberg and D Zelinsk y: Finucncss of the injective hull, Math. Zeit schr I3d.7Ü,S
(1951) 372-380.
1.6) P. vamos • Finit ely gcncrated Artilliali nutl distributive modules arc cyclic, Bull. LOJl-
don MalI.. Soc. 10 (1978) 287-2Sk
Pl W.Xue· Artinian duo rings and '>r:lf duality, Proc. Amer. Math. Soc. l05(.l!l89),
309-313
Re c e i ve d r
June 1991

---

CHAPITRE
VI
ALGEBRES DONT LES MODULES VERIFIANT LA PROPRIETE
DE FITTING SONT DE LONGUEUR FINIE
Pour
faciliter
la
lecture
de
la
note
qui
constitue
ce
Chapitre nous développons dans les paragraphes suivants les notions
et résultats qui y sont utilisés.
§l -
LA CATEGORIE DE FONCTEURS
V~
Notations 1.1.
Soit
A
un anneau.
On désigne par
A-Mod la catégorie des
A-modules
à
gauche
;
et par mod-A la catégor Le
des
A-modules
à
droi te
de
présentation
finie,
l'abréviation
"p. f.
A-module"
veut
dire
«A-module
de
présentation
finie»,
V(A)
désigne
la
catégorie
des
foncteurs
additifs
de
mod-A
dans
la
catégorie Z-Mod
des
groupes
abéliens.
On rappelle que
V(A)
est
une catégorie abélienne dont les noyaux,
les images et les conoyaux
se calculent "point par point".
Pour d'autres propriétés de
VIA)
on peut consulter
[1)
et
[2J.
Si
M
et
N
sont des A-modules a droite (resp à gauche) on note
(resp.
AiM,Ni)
le groupe additif des A-homomorphismes de
M dans
N, ~
désigne l'anneau opposé de
A.
Rappels de quelques résultats ~ :
Les
foncteurs
représentables
éléments
de
V(A)
sont
les
foncteurs
de
la
forme
[X,-J
où
X
est
un
p.f.
A-module
à
A
droite. D'après le lemme de Yoneda on a :
HomD(A)(
[X,-lA
'
~n =' S'(X)
,
pour tout foncteur
':}
de D(A),
il e n
résulte que
[X,-lA
est un objet projectif de
VIA).
Soit'}
un
foncteur de
D(A).
Poue tout objet
X de mod-A,
soit
Sx
un
sous-ensemble
(éventuellement vide)
de
':}(X),
le
s ou s f cnc t.eu r
'~
r
de
,
engendré par les
Sx
,
X E mod-A,
est défini comme étant
le plus petit
sOUS-follcteur
de
~
tel
que
Sx
C J(Y.},
pour
tout
X de mod-A. On montce que si
y
est un objet de mad-A,
60

---

alors
§,(Y)
est le sous-groupede
~(X)
constitué de toutes les
sommes finies de la forme
X.ES
.
l
X .l
Le foncteur
[,-lA
étant engendré par l'élément identité lx
de
[X,X1
=
A
End XA'
un foncteur est de type fini
si et seulement si i l
est le quotient d'un foncteur représentable.
Proposition 1.2.1.
Un foncteur de
V(A)
est représentable si et seulement si rl
est projectif et de type fini.
Démonstration.
Elle résulte de l'isomorphisme d'anneaux
Définition 1.2.1.
Un foncteur
~
de
V(A)
est dit cohérent s ' i l est quotient
d'un foncteur représentable par un sous-foncteur de type fini.
Proposition 1.2.~_
Tout sous-foncteur de type
fini
d'un
foncteur cohérent est
cohérent.
Démonstration.
Il
suffit
de
démontrer
la
propos i t ion
pour
les
foncteurs
représentables.
Soit
[X,-lA
un
foncteur
représentable
de
TJIA).
Un sous-foncteur
de
type
fini
de
est
représenté
par
une
transformation naturelle
f
,
or une telle transformation
f
est déterminée par un homomo r ph i sme
de
A-modules à droite
0::
:
X
)
Y.
(:. :

---

Soit
( K, P )
le conoyau de
a. On a alors la suite exacte.
f::a*
0 - - - >
[Z,-lA - - - )
[Y,-J
- - - )
[X,-lA
A
D'où le résultat.
Soit
X
un p.f.
A-module à droite,
J
un idéal à gauche de
EndX
on définit le sous-foncteur J[X,-lA de
x,-lA
par
A,
Si
m
est un idéal à gauche maximal de
End X
on pose
A,
f
=
X ,m
/
[X
- J
m ' A
Proposition 1.2.3.
Tout
foncteur
simple de
'D(A)
est
isomorphe
à
un
certain
.f
•
X ,m
Démonstration.
Soit
~
un sous-foncteur de
[X,-lA' J
::
~(X)
est un idéal
à gauche de l'anneau
End X
et ona
~ ç
[X,-lA '
si de plus
~
A J
est
un
sous-foncteur
propre de
[X, - ] A
alors
J
est
un
idéal
propre de End X
Il en résulte que les sous-foncteurs maximaux de
A.
sont
les
foncteurs
de
la
for nie
où
m
est
un
idéal maximal de
End X '
donc
Y
A
x
est simple.
Réciproquement Sl
,m
~
est un foncteur simpJe,
alors il existe un p.f.
A-module
x " {0 )
tel que
101
Soit
E
~(X)
avec
x
' 0
$.
O.
On a
o
la Suite exacte
o x o
[X
- 1 .
) s
,
A
-----) 0
- : >
ou
est défini pour tout
'r' E
mod - A
par
P
(YI
J t Y )
x o
a
'F(a){x
)
o
m
le E Eue "r. / }(O)(ï. ) :: Dl
m
est un idéal
a
o
gauche maxinlal de End X
et
A'
O:-J
la suite exacte

---

,
0 - - - - - >ml X, - JA - - - - ) [ X, - 1A - - - - > ' ] ' - - - - > 0,
d'où
']'
~
!fX,m
Soit
']'
un
foncteur.
On
sait
que
est
exact
à
d r o i te
si
e
seulement
51
où
~ (A)
est
muni
de
sa
structure
canonique de A-module a gauche,
et or} peut vérifier facilement que
Hom (-
M
pour
deux
A-modules
à
gauche
DIA)
quelconques
M
et
N.
Proposition 1.2.4.
,
Si
est
cohérent,
alors
Ext (:J,
~ M)
c
0
pour
tout
A-module à gauche
M.
Démonstrations ..:...
Le foncteur
'j-
possède une résolution projective
f
0 - - )
t z , -] A-----> [Y, -1 A - - - - > lx, -] A - - - > ']'----) 0
l
donc
Ext
peut se calculer comme la cohomologie du complexe
Hom
([ x, - ] A
-
~ M)--> Hom
([y,-J
-
.,) M)
----- >Ham ( [Z 1 -]
, -
AM)
A,
DIA)
DIA)
DIA)
A
qui est isomorphe a la suite exacte
x ~ M
> Y :;., M-------) Z Â M,
d'où le résultat.
§2-
MODULES ALGEBRIQU~MEN3.
ÇOMPACTS.
Sous-groupes de dé f in i t i on 1.inie 2.I.
Définition 2.1.1.
Soit
M
un
A-module
a
gauche,
E
1Co
. )
1
une
1J
( l , J
e I x.J
matrice à coefficients dans A
et a
un nombrF' fir.i de colonnes.
1e me
Soit
1 E I.
La
i
Pl~OJ ect ion
(E,
i
) M
dans
M
de
l'ensemble
o
0
l
o
des solutions dans
M
du
système d'équations,I
b.
x.
= 0,
j
E
J
1]
1
lEI

---

est appelée sous-groupe de définition de
M. En d'autres termes
(B,
;
)M 0
..L
lm 0
/
(
)
M"
m . : 3
m.
E
li0 }
b ..
m. = 0 V j
o
E J)
1
1
1 )
1
0
Si
J
est
fini,
on
dira
que
est
un
sous-groupe
de
définition finie.
On rappelle qu'un sous-groupe de définition d'un A-module
M
n'est
pas en général
un
sous-A-module de
M,
mais c'est
un
sous
-
End MA
module de
M.
Proposition 2.1.1.
Soit
M
un A-module à gauche.
Pour un sous-groupe additif N
de
M
les conditions suivantes sont équivalentes :
l )
N
est un
sous-groupe de définition finie de M
2 )
I l existe
un p. f .
A-module à
droite
X
et
x
E
X
tel
que
N
soit le noyau de l'homomorphisme de groupes
M
- - - > X j( M
m - - - - - ) x
e fi
3)
Il existe un p.t. A-module à gauche Y,
et y E Y
tels que
N
soit l'image de l'homomorphisme de groupes
A[Y'
M J - - - - >
M
u
>
u(y)
Démonstration
Soit
At--->X--->O
une
représentation
de
X
et
[
E
tel que
[
] ] :: X.
Il est clair que
N
est le ]"loyau de l'application
M
)
X ~ M
m
- ----)
x
e rn
Ce quJ. montre l'équivalence
1)
<::::::::::==::)
2).
L'équivalence
l )
(::::~::::~~) 3)
se démontre de la même manière.

---

Théorème ~l. Pour une suite exacte de A-modules à gauche
0 - - - ) M' - - - - ) M - - - - - > M" - - - - ) o.
Les conditions suivantes sont équivalentes
(il
Pour
tout
p. f.
A-module
a
gauche
X,
la
suite
induite
est
o
)A[X,M' J - - - ) A[X,MJ--->
A[X,M"J--->
0
est exacte.
( ii )
Tout système filli d'équations linéaires
x.,m~EM',
C i , j l e l x J
]
r.
qui possède une solution
(x.)
dans
possède aussi une solution
]
dans
<M,)J.
( ii i l
Pour tout A-module à
droite
(resp.
p.
f.
A-module à droite)
X
la suite induite
o
> X 1\\ M'-----) X 1\\ M
-)
X 1\\ M " - - - - ) 0
est exacte.
Démonstration.
(Voir
[2]
) -
Définition 2.1.2.
Une
suite
exacte
de
A-modules
a
gauche
est
di te
pu r emen t
exacte
si
l'une
des
trois
conditions
du
théorème
2.1.1
est
satisfaite.
Un
sous-module
N d'un
A-module
M e s t
dit
sous-module
pur si la suite exac:te
0--
> N
--> M - - - ) MI ----) 0
M
est purement exacte.
Modules algébriouerrlerlt compacts 2.2
Théorème 2.2.1
Pour
un
x -modo j e
a
gauche
1'1
12s
conditions
suivantes
s on t
équivalentes
:
u
v
( i )
Pour toute SUl te pu r-eme nr. exacte 0---) X·_--) y - - - ) Z
-)0 ,
la suite
-au
- o v
o
- - - ,
[Z , M ]
------ ~ ! J' 1 l'~ J
» ( X , [·1 ]
- ->0
est exacte.
A

---

( ii)
Toute suite purement exacte
0---> M----> N----> L ----> 0
est scindée.
(iii)
Pour tous ensembles d'indice l
et
J
et pour tout système
d'équations linéaires
( * )
(i €
I)
oG
a .. E A, et pour tout
l E I
les
a.
sont presque tous nuls.
lJ
lJ
Le
système d'équations
J
(*)
possède
une
solution
(x )
dans
M
j
dès que pour tout sous-ensemble fini
l '
de
l ,
le système
l a .. x. = m. {L E l') admet une solution dans
lJ
J
l
i€J
( iv)
Le foncteur
- ~ M
est un objet injectif de
V{A).
Démonstration.
(Voir
2).
Définition ~~
Un A-module M
est dit
algébriquement compact
(ou purement
injectif) s ' i l vérifie l'une
des
quatre
conditions
du théor-ème 2
Définition 2_~~
Un A-module M
est dit
I- algébriquement compact si toute
somme directe de copies de
M
est algébriquement compact.
Théorème 2.2.2.
Pour
un
A-module
M,
les
conditions
suivantes
sont
êqu i valen tes.
L'ensemble
des
sous-groupes
de
définition
finie
de
H
satisfait à la conditioll de chaine descendante
IZ)
M
est I - algébriquement compact
(3)
Tout
produit
de
copies
de
M
est
une
somme
directe
de
modules
indécomposables
dont
les
anneaux
d'endomorphismes
sont locaux

---

(4)
Tout
produit
de
copies
de
M
est
une
somme
directe
de
modules
indécomposables
dont
les
cardinaux
sont
au
plus
égaux à Max (No'
card Al.
Démonstration
(Voir
[2]
OIJ
[3]
).
§3 -
MODULES DE LONGUEUR FINIE SUR LEURS ANNEAUX D'ENDOMORPHISMES
Modules de longueur finie sur leurs anneaux d'endomorphismes ~
Proposition ~l.l.
Un A-module
M
est de longueur finie considéré Comme EndAM -
module,
si
et
seulement
si
l'ensemble
des
sous-groupes
de
définition
finie
de
M
satisfait
à
la
condition
de
chaîne
descendante et à la condition de chaîne ascendante.
Proposition 3.1.2.
Soit
M
un A-module,
B ~ EndAM. Si
M
est un B-module de
longueur
finie,
alors
le radical de Jacobson de
l'anneau
B
est
nilpotent.
Démonstration.
Elle résulte du
lemme de Nakayam.
Proposition 3.1.3.
Soit
M
un A-module indécomposable,
B ~ EndAM.
Si
M
est
un B-module de longueur finie,
alors l'anneau
B
est local.
On rappelle
qu'un
A-module
M
est dit
vérifier
(1)
Iresp.
(SI)
si
tout
endomorphisme
injectif
tr e sp .
surjectif)
de
M
est
un
automorphisme
de
M.
M
est
dit
vérifier
1F )
Sl
pour
tout
*
endomorphisme
f
de
M,
il existe
n
E IN
tel que
n
n
M
Imf
0
Ker f
.
Proposition 3.1.4.
Si
M
est
A-module
indécomposable,
et
si
M
est
de
longueur
finie,
considéré
comme
EndAM-module,
alors
M
vér if ie
( I ) ,
(SI
et
(F)
Démonstration.
Elle réSlllte (je la propositi.on
3.1.3.

---

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Algebra
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EXTRACfA MATHEMATICAE Vol. 7, NL1m. 2, 1-2 (1992)
Characterizations of Algebras whose Modules with
Fitting's Property are of Finite Length
MAr-.1AOOU SANGHARE
Département de Mathématique. Faculté des Sciences. u. C. A. D,. Dakar. Sénégal
AMS Subjecr Ctass. (1980): 16A30. 16A35, 16A27
Received
Let R be a ring. A left R
module M is said ra satisfy property (1) (resp. (S)) if
+
every injective (resp. surjective) endomorphism of Mis an automorphism. M is said ra
satisfy Fitting's property (for short Property (F)) if for every endomorphism f of M there
cxists n E N such that :
M = rmj?Z œKer j?Z. The object of this paper is tc report the following result.
THEOREM.
For a finùe dimensional algebra R over an algebraically closedfield
K, chefollowing conditions are equivalent,
1) Every left R - module with properry (l) is Aniniun.
2) Every left R - module ',,:il}, propcrty (S) is Noeihcrian,
3) Every left R - module ...vuh property (F) is offinite Ü:nRlh
4) Every left R - module is a direct sum offinilely gencrated left R - modules
Proof. We show thal if one of the conditions 1), 21 or 3) holds thcn cvcry
indecomposable left R - module M of infinite lcngth is also of Infinite lcngth considered
as rignt End M - module, and this lasr condition implies that R is of finite representation
R
type (sec [3D. Thus we obtain 1) ~ -1), 2) ~ 4), 3) ~ -l). The implications -1) ~ 1).
-l) ~ 2) and 4) ~ 3) result from [he fact thal, on condition 4) Ris of Iinire representation
Lype (see [3]). For more informations on rings with one of the l'our conditions of the
above theorern one may see \\51.[(11. [SI and [91.
COROLLARY 1. Let R he a fimrc dimcnsional algebra ()t·a ùn alsrbraically ctosed
field K. The [ollow..ing condition, ure equivatcni.
a) Every It'fl R· module \\\\ilh [Jro[!l'ny (1) (rcsp, IS). rnp rFJJ is Artinian (resn,
Noctherian. resp, offiniu: lellglftj,

---

2
b) Every rignt R - module wirh property (I) resp. (S), resp, (F») ts Artinian (resp.
Noetherian, resp, offinùe length},
COROLLARY 2. Lee K he an algebraically closed field of characterlstic
P # 0, and G a finite group. The following conditions are equivalent,
1) Every lefi K [C} - module withproperry (1) (resp. (S), resp. (F)l is Artinian
(resp. Noetherian, resp, offinite length],
2) The sylow p. subgroups oJG are cyctic.
3) Every lef: R ~ module is a direct SUIn offinilely generared Ieft R - modules.
REFERENCES
1. AUSLANDER,
M.; Prepreseruauon tbcory of artin algcbrus Ill. Comm.
Aigebra
3 (1975), 239·294,
2
CRAWLEY-HOEVEY. W. W., Tamc algcbras and gcncnc modules, [0 appcar in Proc. Lond.
Main.. Soc.
3. CRAWLEY-BOEVEY, W. W .. Modules of flnitc lcngth ovcr thctr cndoruorptusm rings. prcprint.
4. HULLINGER, H, L., Stable equivalence and rings whose module, arc a drrcci sum of finitclv
gencrated modules, 1. Pure Arpl, Algcbra 16 (1980), 265-273,
S, KAlDI, A, M: SA1'iGHARE, ~L Une caractcrisauon des anneau,'. uninicns
ideaux principaux.
à
Procecdings of the Imcrnauona! Mccung in Ring Them) (Cranada 1986), Lect. ~'(JlC' III Math
Vol. 1328 Springcr-vcrtag. J. L. Bm."O, P. Jara. B. Torrccilla-, (EJ'I B<,r1ln. H':lck1Ix:rg. 198~,
pp. 245-254.
6. KAIDI, A. M., SA:\\GHARE, \\-1. Sur k, S, ;]1111':'111\\ Joni k.' idc.tu-, à ccucbc ct les idéaux j
droite sont bilatères, Cah, Mùlll stonpcllicr J9 (1991), "21-1-22-1.
7
PIERCE, R. S., "ASSOClallVC algc-t'>rJf', Spnngcr.vcrtag New York, 14:-:2.
8. SANGHARE, ;'\\1., Sur quelque- cb_,,,-,~ 1l'a.llneJlU nées au knHTI<' de fuung , Reno. Sem. \\Ial Leiv.
Padova 87 (1992), 29-37.
9. SANGHARE, M .. On S - duo f1n~s, Cernm Ifl A.h't'Or(J 20 (81 (jl)4:',;, :!!,,,'.l'·:fSV
il!

---

CHAPITRE
VII
SUR LES I-ALGEBRES DE GROUPES NILPOTENTS
On démontre dans ce Chapitre le résultat suivant
:
Soient
K
un corps (commutatif) et
G
un groupe nilpotent.
1")
Si la caractéristique de
K
est nulle,
alo~s
K[GJ
est une
I-algèbre
(resp S-algèbre)
si et seulement si
G
est fini.
Si la caractéristique de
K
est
p>O,
alors
K[G]
est
une
I-algèbre
(resp.
S-dlgèbre) si et seulement si
G
est fini
et
le p-sous-groupe de Sylow de G est cyclique.
Préliminaire.
l
Définition 1.1.
Un
groupe
G
est
d i t
nilpotent
s ' i l
possède
une
suite
normale :
(e )
~
s
...
';Gn::G.
telles
que
soit
contenu
dans
le
centre
de
G/ G
pour
tout
i
1.7 0 ~ i s 0-1. Une telle suite est appelée suite centrale.
Etant
donné
un
groupe
G,
on
peut
construire
la
suite
de
sous-groupes
:
G
:: GO
:J
G(ll
:>
G(2)
-,
•
[G(i-l)
ou
pour
i
e
i ,
G (il
~
GI-
On
montre
que
G
est
,
nilpotent
::;i
et
seulement
si,
i l
existe
n E ~
tel
que
G ( C)
, {e) . Le sous-groupe
GD)
est
le
sous-groupe dérivé de
G,
i l sera noté
G' .
On montre que l'application
7 \\

---

~
G(i)/
(. II
G/
- - - - - - - > G(i+1)/G('+2)
V' i
:
G ,.
x
G .
•
.i.
(aG ( i.li,
gG')
- - - - - - > [ a , g ] G(,+2)
est
Z -bilinéaire. Elle induit donc
un ~-homomorphisme
Théorème ([1]
Robinson).
Soit
G
un
groupe
à
opérateurs
de
domaine
d' opé r e eu r s
n.
Alors pour tout
.i ,
<Pi
est un O-homomorphisme surjectif.
Démonstration.
(voir
[Il).
Corollaire.
Soi t
<P
une
propr iété
de
théor ie
des
groupes
qui
se
conserve par passage aux images et aux extensions.
Si
G
est un groupe nilpotent tel que
vérifie <P,
alors
G
véritie
'.P.
Démonstration.
(voir
[1]).
Référence
[ l J
D.J.S.
ROBINSON,
A
course
cn
the
Theory
of
Groups
Springer-Verlag,
Berlin.

---

Afrika Matematika
Série 3 Vol. 2 (1993)
ALGEBRES DE GROUPES NILPOPENTS SUR LESQUELLES TOUT MODULE
VERIFIANT LA PROPRIETE DE FITTING EST DE LONGUEUR FINIE
Marnadou SANGHARE
Département de Mathématiques
et Informatique
Faculté des Sciences
U CA. D. Dakar. SENEGAL
L I.\\TRODLCTI()~ Cl'[ article est une conunu.uion Je [61 el dt: 17]. On montre ICI que
lc s trors classes d'algèbres Je groupes nilpotents SUiV;llUL":; som idcnuques
IL:, J-algèbres
Je groupes nilpotents. les S- algèbres de groupes uilpotents el les F-algèhres de groupes
nilpotrrus.Et on ks cnructérise.
2, DEFI.\\'1TIO:'\\'S Soit.-4 une algèbre sur un corps commutatif 1\\". On du qu'un -l-module à
g<llIdlè _',1 verifie LI prorr:lté (!) tre sp. la propriété (S)si [ou! endomorphisme injectif (resp.
sllrjcl"lin de .H est Lin automorphisme dl.' .\\1. 011 du que .H vt~riliè 1:t propriété de Fining
t cn :lhr~~é, propnétc (1:1) si pour tout endomorpur-mc f de .il. il existe un enlier Il ~ l Id
que .\\1 = I!lll"
1'>1/" On dit que l'alg~hrt: ·1 l>';[ une 1-al~0bn: cresp. S'-algèbre, resp.
F- algèbre ù g,\\Lli."he '-1 IlHJl -l-modulc n g.urchc vcririnnt (1,1 Irl'sp (SI. re sp. (F)J est artinie n
cre-p. nocthéricn. 10p. Je longueur linlè)_ Dans toute LI <une IL 1'.1\\\\[ module. xanx aucune
autre mention. d~\\i~l1è Lill Jll()Jll~l" ;1 .\\.é;lll!.:h~ unitaire.
73

---

3D
Marnadou SANGHARE
3. CARACTERISATIONS DES I-ALGEBRES DES S-ALGEBRES ET DES F-
ALGEBRES.
THÉORtME 1. -
Soient C un groupe nilpotent et J{ un corps de caractéristique O. Les
conditions suivantes sont équivalentes:
1) I<[G] est une 1- algèbre à gauche
2) K[G] est Une S-algèbre à gauche
3) I<[G] est une F-algèbre à gauche
4) G est fini
Démonstration. Supposons que h" [Cl soit une! - algèbre à gauche (revp. une S~algèbre à
gauche, resp. une F- algèbre à gauche). En posant G' le sous-groupe dérivé de C, l'algèbre
commutative J,'[GIC'] est aussi une J-algèbre (resp. S-algèbre, resp. F-algèbre). Il résulte
donc de (6] que l'anneau commutatif J{[GIG'J esc aninien, ce qui implique, d'après [4J, que
GIG' est fini, et il en résulte que G est fini [5]. D'où les implications 1) ~ 4); 2) ~ 4);
er S] =:> 4). Les irnplicarions 4) =:> 1);4) =:> 2);et4) - ' ôt resuuent du fait que !\\'rc~
est alors un anneau serni-sirnple.
LC~,I~.:E. -
Soient G lUt groupe fini,
J\\' un corps de carocur.snçvc l' > O. el H un
p-sous-groupe distingué dans G. Si J\\' [C] est une J -algèbrc (rl.'sp S-I.l!gl!hrc. resp, F -atgèbrev
à gauche, a/on' J\\'[H] l'es! aussi.
Démonstration. Supposons le contraire. IL existe alors. d'après 16). IIll !\\'~jj:- bimodule .H
qui n'est ni aninien ni ncethérien tel que pour tour entier li ~ 1
vérine simultanément les prcpriétes (I), (S) et (F). Soit T = i Il, ! !"
.. , :. un trunsvcrsul :..t
gauche (et à droite) de H dans G. Considérons le !\\:!G]·moduk. y=- .H
."
,
1\\",1
l'isomorphisme de !\\'[ H]-modules ;
'"
.\\l'
Il en resulte que le J\\"[Hj-module.Y vérifie (I), (S) Cl (Pj.donc le !\\((;j-I\\1UJliit': _\\' qui »tcs. ni
aninien ni noethérien vérine (1), (S) el (F). Coruradictio» avec le f:J1! J.,":(,. est une j-algèbre
(resp. S-algèbre, rcsp. F·algèbre) à gauche.
TI!L~OJu"'::dl'; 2. -
Soient G lUI gUJIl[J" flj/[Jii/OH. Cl !\\' l/ll corps de caractensuoue l' ,,' (J,
Les conditions IWWlnrC,\\' .\\fJll( equivalentes
74

---

ALGEBRE DE GROUPES NILPOTENTS
31
1) ]{[C] est une l-algèbre à gauche
2) A-[G] est une Ssalgèbre à gauche
3) I\\[G] est une Fvalgébre à gauche
4) G est fini et le p-sous-groupe de Sylow de G esc cyclique.
Démonstration. Supposons que R[G] soit une l-algèbre (resp. 5-algèbre, resp. F- algèbre)
à gauche. Alors l'algèbre commutative 1{[GjG'] est aussi une l-algèbre (resp. 5-algèbre,
resp. F·algèbre), donc, d'après [6], I\\[G/G'J est une algèbre artinienne, il résulte alors de
[4] que GIG' est un groupe fini, d'où la finitude du groupe G. Comme lep-sous-groupe
de Sylow H de G est un facteur direct de G, donc d'après le lemme précédent K[H] est une
l-algèbre (resp. S-algèbre. resp. F-algèbre) à gauche, d'où d'après l6J, H est cyclique.
On a ainsi démontré les implications 1) =::;. 4), 2) =::;. 4) el 3) =::;. 4). Les implications
4) =::;. 1), 4) =::;. 2) er 4) =::;. 3) résultent du fait que l\\-[G] es! alors une algèbre de type de
représentation finie.
COROLLAIRE. -
Soit J\\' un corps, G' un groupe nilpotent. Les conditions suivantes sont
equivalentes :
al l\\-[G] est une l-otgèbre (resp Svalgèbre, resp F-algehreJ a gauche.
b) /\\-[G] es! une l-otgèbre tresp, 5-alltèbr~, resp. F·a!KJbre) ci droite.
C)
rollt J\\[G]-module Q gat/che CSI somme directe de modules de type fini.
d) tout J\\[G]-modulc v droite eSI somme directe de modutcs de type filli.
c) J\\'[G] est de type de rcpréscntauonfinie.
Supposons que tout l':[G]-moduk SOI! somme directe de modules de type fini. Alors
l'anneau J\\'[G] est artinien [31. il en resulte alors que G est fini [41. Donc, d'après ltl. 1\\-[G]
est une algèbre de type de représentation finie. Par ccnséqueru le p-sous-groupe de G est
cyclique [3J. On a uinsi les équivaie nce s : 0,; <=> (J, Il) Q
fol. cl ~ (0) et d) <=> el.
nlBLlOGRAPIIIE
[ 1] M. Auslander, "Reprè sentanon The ory of artin ulgebra III", Comm. in aigcbra 3 (1975)
239-294
[21 K.R. Fuller, "On rings Whose left modules are direct <umx of finitely generatcd modules",
Proc Amer. Marli. Soc. Sol (!976) 39---4.:1
[JI D.G. Higrnun. "Indecomposable representations al Ch;lr~IL[çri"lil fi"', Duke Math. Journal
7 (19j4) 377-3.11.
75

---

32
MJmadJu SAmHARE
[4] G. Renault, "Sur les anneaux de groupes", Colloquia mathematica societatis Ja 'nos Bolyai
(1971) 391-395.
[5J D.J.S. ROBINSON, A Course in the theory of Groups, Springer Verlag (1982).
[6) M. SANGHARE, "Sur quelques classes d'anneaux: liées au lemme de Fitting". Rend. Sem.
Mat Univ. Padova 87 (1992) 29-37.
[7] M. SANGHARE, "Characcerizauons of algebras whose modules with Fitting's property are
of flnite Ienght" Extracta Mathemoticae vol. 7 n° 2 (to appear).
76

---

COMMENTAIRE
La propriété pour une algèbre de groupe K [G] d'être un I-anneau (resp. S-anneau)
n'est pas en général transmissible par extension. C'est à dire si K est un corps, G un
groupe et H un sous-groupe distingué de G tels que K [H) et K [G/Hl soient des
I-anneaux (resp. S-anneaux), il n'en résulte pas nécessairement que K [G] est un
I-anneau (resp. S-anneau). Par exemple en prenant K ~ Z/pZ, où P est un entier
premier strictement supérieur à 1 et G ~ H1 x H2, avec H1 ::- H2 2' Z/pZ
(isomorphismes de groupes), airas, d'après le théoréme 9 du chapitre Il, les anneaux
commutatifs K [H1 J et K [G/H11 sont des I-anneaux (resp. S-anneaux), alors que,
d'après le même théoréme, K [G] ne l'est pas.
-77 -

---

CHAPITRE
VIII
CONDITIONS POUR QU'UN SOUS-ANNEAU D'UN I-ANNEAU SOlT UN I-ANNEAU
RESUME
On
démontre
que
si
b
ea t
un
sous-anneau
d'un
T-anneau
t re sp . Sr-annee u ) à qcucne
A
tel que
1 0 l
B
soit contenu dans le
centre
Z(A)
de
A,
et que
2°)
A
soit
un B-module projectif de
type fini,
alors
B
est un I-anneau (resp. S-anneau).

---

SUBRINGS OF I-RINGS AND S-RINGS
HAHADQU SANGHARE
Département de Mathématiques et d'Informatique
Faculté des Sciences
UCAD
DAKAR (SENEGAL)
ABSTRACT. Let R be a non commutative associative ring with identity
l~O, a left R-module M i5 said ta satisfy property (1) (resp.(S»
i f
every
injective
(resp. surjective)
endomorphism
of
M
is
an
automorphism of M, the ring R ls called 1eft I-ring (resp. S-ring)
i f
every 1eft R-module whi th property
(1)
(resp. (5)
is
Artinian
(resp.Noetherian).
It is known that a
subring B of a
1eft I-ring
(resp.S-ring )R is not in general a 1eft I-ring (resp.S-ring) even
when R is a finitely generated a-module,
for exemple the ring MJ(K)
of 3 K 3 matrices over a field K is a 1eft I-ring (resp.S-ring),
but its subring B " 1 [~ ~ ~ ] / «.n. y E K 1is not; a left I-ring
(resp.
S-ring)
(see
[2])
Our
purpose
La
ta
give
sufficient
condition for
a
subring of a
left I-ring
(resp.
S-ring)
ta be a
le f t I-ring (resp. S-ring).
We
recal1
that
the
class
of
left
I-rings
(resp.
S-rings)
contains the class of rings of fini te representation type.
In the
case of commutative rings,
or finite dimensional algebras over a~
algebraically closed field,
the classes of left I-rings,
left
S-rings and rings of finite representation type are the same (see
[2J,
[4].
and [5]).
KEY WORDS AND PHRASES.
Left I-ring,
le f t S-ring.
1988 MATHEMATICS SUBJECT CLASSIFICATION CODES.
Primary 16 A 35
secondary 16 A 48
79

---

2
1. THE MAIN RESULT
THEOREM. Left R be a le ft I-ring (resp. S-ring),
and B a subring of
R contained in the center Z(R) of R.
Suppose that R 15 a
finitely
generated projective B-module. Then B 15 an I-ring (resp. S-ring).
Ta prove this theorem we need sorne results.
In what follows we
use the symbole RM (resp. M ) ta outline that M is a letE R-module
R
(resp.
right R-module)
Lemma 1. Let Pl and P2 be two prime Ideals of a ring R i f p,
i5 not
contained in P2 then Hom,
(~(R/Pl), Il(R/P l » ) = {O}.
Praof.
Let f
R(R/P )
- - - ?
Il(R/P,)
be an R-homomorphism,
and
j
set
f(1+P )
:=
t+P2'
whe r'e
tER.
Let x
EPj\\P
and
r
any element
1
1 1
in R,
we have P2 ::= f(xr+P )
=
xrt+P2
1
Thus xRt ç Pz,
Since P2 15 prime,
we
have
tEP2'
and hence
f=
O.
Lemma 2.
Let R be a
prime ring whit polynomial identity.
If R Ls a
left I-ring (resp.
5-ring),
then R is simple A r-t.f n Lan .
Proof.
Let R'
be the total ring of fractions of R (3].
It is Known that R'
is simple Artinian [3],
thell pR'satisfies
(1)
(resp.(S)).
Since R .i s
a
le ft
I-ring
( r-e s p .
S-ring),
then ,R'
lS
Artinian (resp.
Noetherianl and hence R'= R.
Lemma 3.
Let R be a aem i p r i rne ring wi th polynomial
identi ty.
J f
R
is a
le ft
I-ring lresp.
5-1-ing),
then R is semi Silllple Artiniafl.
Proof.
Let {P1)lEL be a
family of pairwice distinct nli!limal prjme
ideals of R s uch that np~ = {O}. Since the quotient rings R/P 1
lEL
(lEL) are left I-rings (resp. S-ringsl with polynomial idcntity,
i t
follows from Lemma 2 that the rings R/P, (IEL) are simple Ar t i n.i.en ,
50
the
Le t t
R-modules
H(R/P 1)
satisfie
(1)
(resp.
(5)),
but
following
Lemma l,
Hom" (~(R/P,),
.(RIP,,))
=
0,
for 1""1'
50 the
left
avmodu Le HM
lB
r;(R/P,)
satisfics (I)
Lr-e s p
t g ) .
c
HL
80

---

3
Sinee R 15 a
1eft I-ring (resp.
S-ring),
then !lM is Artinian.
But
!IR is isomorphic ta a submodule of the semisimple Artinian 1eft R-
module !lM,
hence R ls sem! simple Artinian.
PROPOSITION.
Let R be a
ring with polynomial identity.
If R is a
1eft S-ring (rep.
I-ring),
then R i5 1eft Artinian.
Proof.
Suppose
that
R be a
1eft S-ring
(resp.
I-ring)
then
the
quotient ring R/
(R)'
where rad (R)
is the prime radical of R,
Ls
r a d
a 1eft S-ring (resp.I-ring),
50 following Lemma 3 the ring R/ ..
r
d( ll )
Le
simisimple
Artinian,
this
implies
that
R
is
semiperfect
and
hence radeR)
= J(R), where J(R) is the Jacobson radical of R.
Let e
be a
primitive idempotent of R,
the rings isomorphism eRe2
End !l(Re) shows that the 1eft R-module II(Re) satisfies
(S)
(resp.
(1»,
i t f0110w that R(Re)
is Noetherian (resp.
Artinian).
Since RR
is
a
direct sum of fini te1y many 1eft R-modules
of the
form
R(Re),
whez-e
e
is
a
primitive
idempotent
of
R,
then
RR
is
Noetherian (resp. Artinian). Let now f
be a prime ideal of R,
since
the prime ring RI? is simple in virtue of Lemma 2,
then R is left
Artinian.
Proof of the main theorem.
Since R is a
finitely generated Z(R)-
module,
then
R
satisfies
a
polynomial
identity,
so
by
the
proposition R is a
left Artinian ring.
Thus by
[1]
the ring B is
Artinian Suppose that 8 is not an l-ring (resp.
S-ring).
Then by
[4],
since B is commutative,
there exist aB-module BM of infinite
length such that,
for every integer n~l, the B-module BMn (product
of n copies of aM) satisfies (1)
(resp.(SJ J.
Set then
RM'= Rr!li BR,
i t is obvious that RM'
is of infinite length.
8
Let us show that RM'
satisfies (1)
(resp.
(S)).
Let f
be an injective (resp.
surjective) endomorphism of RM',
and
Let sEN*,
and BE be aB-module such that B~ '" BRffiEE.
we have the B-modu1es isomorphisms
BW
BM0Bs
(BM@BR)ffi(BMffiBE)
BM'ffibD,
8
8
where
D=BM @ BE. Consider the endomorphism 9
fffil: of the B-module
8
8 1

---

4
BM&.
Since f
is injective (resp.
surjective),
then 9 18 injective
(resp.
surjective) and hence 9 ls an automorphism of M~.
Thus f
ls
an automorphism of pM',
SO RM'
satisfies
(Il
(resp.(S)),
and
this
contradicts the fact that R 18 a 1eft I-ring (resp.
S-ring).
CORROLARY
1.
Let
R
be
a
1eft
I-ring
(resp.
S-ring).
If
R
18
a
finitely
generated
projective
module
ove r
its
center
Z(R),
then
Z(R) is an l-ring (resp.
S~ring).
CORROLARY 2.
Let R be a le ft J-ring (resp.
S-ring).
If R=Z(R) œN as Z(R)-module, then Z(R) 18 an I-rillg
(resp.
S-ring).
We remarq that s eve r e I characterisations of commutative I-rings and
S-rings can be found in [2]
and [4J.
REFERENCES
1. EISENBUD,
E.
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Math.
Ann.
185,
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Prime rings saUsfyng a po j ynom ia I
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Soc.
Il,
IBO-183
(1960).
4. SANGHARE, M. Sur quelqu~s classes d'anneaux liées au lemme de
Fitting,
Rend.
Senl. Math. Univ.
Padova 87.
29-37
(1992).
5. SANGHAIŒ. M. Characterizattions of Algebras whosc Modules wi, th
Fitting's property are of finitc Jength, Extr. Math, (ta appearl.
82

---

CHAPITRE
IX
SUR L'ARTINI~TE UES ~l-ANNEAUX
RESUME.
On répond affirmativement,
pour certaines classes d'anneaux,
à la question suivante :
Si
A
est un anneau tel que tout A-module à gauche vérifiant
(1)
soit de
longueur finie,
alors A
est-il
nécessairement artinien
à
gauche ?
On montre
que
si
A
est
un
anneau
tel
que
tout
A-module
à
çauc he
vérifiant
(1)
soit de
longueur
finie,
alors
A
est
a r t i.n i en
a
gauche dans chacun des CdS
suiVants
al
A
est.
à
identité
polynomiale
modulo
son
radical
de
Jacobson
h)
A
est déncmbrab:e modulo
son radical de Jaccbson
c)
A
est semi-parfait.
8 1

---

Afrika Matemauka
Série 3 Vol. 2 (1993)
SUR L'ARTINIETE DES t, -ANNEAUX
Mamadou SANGHARE
Département de Mathématiques et Informatique
Faculté des Sciences
U. C. A. D. Dakar ,SENEGAL
1. INTRODUCTION
On sait que tout -l-mcdule à gauche .11 de longueur finie vérine la propriété suivante:
(i) : Tout endomorphisme injectif de JI est un automorphisme de JI.
En général, pour un anneau quelconque, il peut exister de .. modules qui ne sont pas de
longueur finie et LjUI vérifient Jo. propriété (1), le ê-mcdclc Q en est un exemple trivial La
classe des anneaux .-1. tels que (Ou! -l-module J gauche vérifiant 0) soit de longueur finie
conucur une tr~~ large gamme d'anneaux : les corps (commutatifs ou non), les anneaux
semi-simples, et, plus généralement. les anneaux de type de repré sentatioo finie. Dans [1] on
dérnomrc que. pour Url anneaux cornrnutatif .-1., les conditions suivantes sont équivalentes,
l ] TOUl -l-module vérifiant (l) ext de longueur finie
'~}.-l. est anirucn el tOUI idéal de .-1. est principale
On construit dan .. II)uf1 anneau, non commuutif. urtinien J gauche. dom tous les idéaux il
gauche: som principaux, el qui possède un module à gauche de longueur infinie vérifiant (i).
Cet exemple montre que la condition 2) Ile caractérise P;IS les anneaux ,·1 non commutatifs
Ids que tout -l-rnodule vériti.nu Il) est de longueur finie
JJ

---

34
Mamadou SANGHARE
Nous donnons dans cet article des réponses panielles à la quesrion suivante:
Soit A un anneau non (nécessairement) commutatif tel que tour A-module à gauche vérifiant
(1) est de longueur finie. A est-il nécessairement aninien à gauche?
2_ DEFINITIONS ET NOTATIONS
Sauf mention expresse du conrraire, tous les anneaux considérés sont associatifs. unitaires,
d'élément unité 1 i- O. et non nécessairement commutatifs; et les modules sont des modules
à gauche unitaires.
Définition 2.1. Soient A un anneau et M un .t-module. On dit que .AI vérifie la propriété (1)
si tour endomorphisme injectif de AI est un automorphisme de .AI; on dit que l'unneau c-l est
un il-anneau à gauche si tout A-module vérifiant (I) est de longueur finie.
Notation 2.1 Si A est un anneau, .-:1, désigne l'ensemble .-1 muni de sa structure canonique
de A-module à gauche; J(.4) désigne le radical de Jacobson de .-1; 2(AI désigne le centre
de A, Jvfod(A) désigne la catégorie des A-modules à gauche. et EndA.H lanneau des
A.-endomorphismes de M.
Définition 2.2. On dit qu'un anneau .-J. vérifie une identité polynomiale s'il existe un enlier
n 2: 2, et un polynôme non nul P(X\\,X2 •....•y"J en les n indéterminées -\\l'X:!,,
.Y,
ne commutant pas encre elles, à coefficients dans 2(A), el possédant au moins un monôme
ayant un coefficient inversible, tels que
.1i",=O.
3. ETUDE DE L-ARTI:\\IETE DES [,-A:\\NEAlJX A C.\\CCHE
PHOPO:-;lTlON 3.1. -
Si .-1. est lin I ç-onneau il gal/che. parfait. alors .-1 est urfl'IU'11
Démonstration.
D'uprès [31. .-1., vérifie (1). II en résulte que .-1. ~S[ arunicn.
PIIOI'OSITIO." 3.1. -
Soit .-1. un Il-anne(/u li gill/clic. Ai.,r-; :\\ I)Os.II'de lin nombre )~nI
de Avmodules simples !',lm isomorphes deux li duce En narticuticr JL ni.lre !III nombre fini
d' idéaux primitifs dis liners Jeter: ci deux.
Démonstration. Soit
(S, IlE LI un système complet de rcprésc.u.uus des Ci:ISSCS
d'isomorphisme des -l-modulcs simples. Comme le ,·1-11l\\ldllk S _. EB'':::i vérifie (1:. donc
,'.- .'
l'ensemble L esr nécexs.uremcnt ûni
65

---

SUR L'ARTlNIETE DES Il-ANNEAUX
35
PROPOSITION 3.3. -
Si A est un Il -anneau à gauche, alors J(A.) est nilpotent.
Démonstration. Supposons que A.. soit un Il-anneau à gauche. Alors, d'après la proposition
3.2, A possède un nombre fini de A-modules simples non isomorphes. Comme tour module
injectif indécomposable vérifie (1), il en résulte que l'enveloppe injective de tout A.-module
simple est de longueur finie, donc J(A) est nilpotent d'après [5J.
PROPOSITION 3.3. -
Soit .4 un anneau primitif vérifiant une identité polynomiale. Les
conditions suivantes sont équivalentes :
a) A. es! un Il -anneau à gauche
b) A es! arünien.
Démonstration : L'implication b) ::=:> a) est évidente.
a) =::::} b). D'après [4J• .4 admet un anneau tarai des fractions L qui est un anneau simple.
Soir f un A-endomorphisme du A-module L et soit S-l a un élément de L. Les egalites :
3f(3- 1a ) = [(.'33- 1a ) = f(a) = af(l), montrent que End ..,L = EnrlLL~, Comme L est un
anneau artinien, il en resulte que L, considéré comme A-module, vérifie (1). Donc L est un
-l-module de longueur finie, er. par conséquent, A est aninien.
PHOPOSITlO(.< 3.4. -
Soir A un anneau scmi-primiuf vérifiant une idetuné polynomiale.
Les conditions suivanres sont éoui ....alentes :
;1) .-l e::;I un l v-anneuu à gal/che
L:, .-\\ est arunien.
Démonstration. L'unpucation hl =::> J) est évidente.
n
n
aJ=' t». Il existe un nombre fini d'idéaux prirniufx PL. Pc- - . ,0" l~h que
P, = {O},
''''''1
.-1 e\\( donc un produit sous-direct des II·anne:J.ux J. gauche
.-\\ 1 = .--l./ I\\. A 2 = A/ ,02,
.-\\." = ..1./ ,0". Or les Il-anneaux J. gauche primitifs AI . ..1.-".
. .-\\." Sarl, artiniens (proposition
3.J.) Il en résulte que A est artinien.
TII(UI-;i::;-..\\r: 35. -
Soit A e,\\'r Iv-anneau il gauche. Afor:-;.-\\. est artùurn dans chacun des
cas SIIIVilllf.\\"
J:I .--1 est scmi-parfuit
.--l/.J( A) vénJic IUle idcntiu: potvnomialc
3) .-1/'.J'A)esrr!àlnmlirahle.
86

---

36
Mamadou SANGHARE
Démonstration. D'après la proposition 3.1., il suffit de montrer que dans chacun de ces cas A
est parfait.
1) Comme J(.4) est nilpotent, A est donc parfait.
2) AI J( A) est alors
un ft -anneau à gauche, semi-primitif, vérifiant une identité
polynomiale, il résulte donc de la proposition 3.4 que AjJ(A) est artinien. et, comme
J(.4) est nilpotent, A est parfait.
3) Soient 5 1,52 " " el Sn les seuls .-l.jJ(A)-modules simples, et soient 51,51 , ... ,5n
leurs enveloppes injectives. Posons 5 = 5\\ ffi s~ EB ... EB 5\\H S est un cogénérateur injectif
de AI od(04/J (A)). Les SI (1 .::; i ::; n) étant de longueur finie, 5 est aussi de longueur
finie. Comme AI J(A) est dénombrable, 5 est dénombrable. Il résulte alors de [2J que 5 est
1:-injecüf. Donc l'anneau AIJ(--1) est artinien, et on en déduit que A est parfait.
COROLLAIRE. -
Soit A un Il -anneau â gauche. Alors .4 est arrinien Jans chacun des cas
suivarus :
1) .4 est un module de type fini sur Jon centre.
2) A est démontrable.
Le résultat suivant montre que I'érude de laruniété des I I-anneaux:1 uauchc se réduit à
l'étude de l'nrtiniété des Il-algèbre à gauche primitives et centrales :
THÉORt:-.rE 3,6. -
Les aJsenwns suivantes sont équivalentes
1) tolll Li-anneau à gauche est aninicn
2) fOUle Il-algèbre à gauche primitive cr centrale est amnicnnc
Démonstration. a)
::- b) est évidente.
b) =::;.. a). Supposons vraie l'assertion b), et soit A un I,-~lnncau J guucnc. D'après
la proposition 3.1 il suffit de montrer que A est parfait. Pour cela. J Ai étant nilpotent
(proposition 3.3), il suffit de montrer que le Il-Jnneau J gauche scmi-parfait .-1/.11 AI est
artinien. Or .--l././(A) est un produit sous-direct J'un nombre tini de 11-;lnl1t';lll.\\ li. gauche
primitif'), on aura donc montre que .--l/./(.4) est urtinien si lon montre ql!': tOUI Il-anneau li.
gauche primitif est aninien. Soir il un 1j -anneau li. gauche primu if. Considerons l'anneau C
des fractions de Il li. dénominateurs dans J'ensemble des éléments centraux non nuls dç il C
est Url I j -anneau 11 gauche. De plus C eSI une algèbre pruuitivc ccnu.ue xur le corps I,: de s
fractions du centre de B. Il en résulte que C, considéré comme JJ-nlUJl:\\c vcriue (1) Donc
C est un il-moJule artimeu. Puisque B, es! lin sous-n-lllnJulL' dt' (",01] L'Il deduit que n est
artinicn Le théorème 3.6 e'il ainsi complèterncnt démrunré
87

---

SUR L'ARTlNIETE DES I,·ANNEAUX
37
BIBLIOGRAPHIE
[1] A. M. KAIDI et M. SANGHARE, "Une caractérisation des anneaux artiniens à idéaux
principaux", L. N. M. 1328 (1988) 245-254.
[2] C. MEGIBBEN, "Countable injective modules are sigma injective", Proe. Amer. Math.
Soc. 84 (1) (1982) &-10.
[3] M. ORZECH, "Ontc endomorphisms are isomorphisrns". Amer. Maths. Monthly 78 (1971)
357-362.
[4] E. C. POSNER, "Prime rings satisfyings .1 polynomial idenrity", Proc. Amer. Math. Soc.
11 (1960) 18Cl-183.
[5J A. ROSENBERG and D. ZALlNSKY, "Pinitencss of injective hull", Math. Z. 70 (1959)
372-380.
88

---

COMMENTAIRE
Comme toute algèbre primitive (en général tout anneau primitif) est un sous-anneau
dense (pour la topologie finie) de l'anneau des endomorphismes d'un espace
vectoriel sur un corps non nécessairement commutatif, il devient normal, en vertu du
théoréme 3-6 de ce chapitre, de se poser la question suivante :
Soit L l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel sur un corps (non
nécessairement communtatif), et A un sous-anneau primitif dense dans L. Si A est un
11-anneau, celà entraine-t-il que L est un f1-anneau?
De manière plus précise: Peut-on réduire l'étude de l'artiniété des l,-algèbres
primitives centrales à celle des 11-anneaux qui sont des anneaux d'endornorphismes
d'un espace vectoriel?
Nous n'avons pas pu répondre à cette question. Mais elle nous a poussé à étudier
les Iranneaux qui sont des anneaux des endomorphismes d'un espace vectoriel et
nous avons prouvé le résultat suivant:
Proposition: Soit A l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel V sur un
N.
corps K de cardinal inférieur ou égal à 2·(par exemple un corps fini ou l':l oulR ou 11:).
Alors les conditions suivantes sont équivalentes.
a) A est un ij-anneau à gauche
b) V est de K-dimension finie
c) A est artinien
·89

---

Démonstration: Les implications b)=>a); b)~>c) et c)=>b) sont évidentes, elles
résultent du fait que A est alors simple.
Montrons l'implication a)~ >b). Soit:r l'ensemble des éléments de A dont le rang est
strictement inférieur à la dimension de V sur K. ~
est un idéal bilatère de A. Si A
est un Iranneau à gauche, alors l'anneau- quotient B = N~ est aussi un '1-anneau à
gauche. Il en résulte que B admet seulement un nombre fini de modules simples non
isomorphes deux à deux. Ce qui implique (d'aprèsd'exercice 4 du paragraphe 5 du
chapitre B du livre algèbre Il de Bourbaki) que V est de K-dimension finie.
Le résuftat de cette proposition reste vrai si l'on remplace le mot "11-anneau à
gauche" par "I-anneau à gauche". La démonstration reste la même.
- 90-

---

CHAPITRE
X
I-ANNEAUX
ET
S-ANNEAUX
1- INTRODUCTION.
'ï'oua
les
anneaux
considérés
dans
ce
Chapitre
sont
associatifs,
unitaires
non
(nécessairement)
commutatifs
et
non
réduits à 0
; tous les modules sont des modules à gauche unitaires.
Nous
étudions certaines propriétés des
I-anneaux
et
des
S-anneaux
et en caract~risons quelques classes.
2- DEFINITIONS
et
GENERALITES
Définition .hl.-
Soit
A
un
anneau.
On dit
qu'un
A-module
M
vérifie
La
propriété
(I)
(resp.
(S))
si
tout
endomorphisme
injectif
(r-e s p .
surjectif) de
M
est un endomorphisme de
M.
Définition .L.L_
On dit qu'un allneau
A
Qst un
I-an~eau (resp.
S-anneau)
à
gauche
si
t.out;
A-module
vérifiant
(1)
(S))
t i
(
r
e
s p
.
e s t
a
r
n
i . e n
(resp. noethérien).
Pl-oposi tiün ~
L'image homomorphe ct' un
I-anneau
(resp _ Sr-an ne au )
a
q auche
est un
I-anneau
(resp.
S-anneau) à gauche.
ProposiLion ~
n
Si
A
::::. TT
est
un
produit
fini
d'anneClux
i:::-l
(l~ i
~ n),
alors A ~st un I-anneau
(resp.
S-anneaul
à gallche si et
seulement si chaque
A.
est un I-anneau
(resp_ S-anneau)
~ çauc~le_
l
q J

---

3- PROPRIETES
Théorème ~
Soient
A
un anneau et
e
un
idempotent de
A.
Si
A
est
un I-anneau (resp.
$-anneau)
à gauche,
alor~ l'anneau eAe
est un
I-anneau
(r8sp.
S-anneau)
à gauche.
Démonstratior..
A)
Cas où
A
est un I-anneau à ga.uche.
Soit
M
un
eAe-rnodule
vérifiant
la
propriété
(I ) .
Considérons
le
A-module
M,
et
soit
f
un
~
Aee~e
A-endomorphisme
injectif
A-module
En
vertu
de
l'isomorphisme
de
eAe-modules
eM
•
l<
5
M,
la
l
Me
restri ct .ion
g
de
f
a
est un endomorphisme injectif
du eAe-rncdule
M.
Donc
eM
~
M ~
Img,
car
M
vérifie la propriété (I) .
l
Soit
y
un élément
de
Ml
de
la forme
y
~
ae e x,
où
a E A, et
X
• M On a
y ~ ae ® x ~ ale(e ® x)] ~ aM ~ a
lmg ~ a
Imf c
Imf.
Le
A-module
Ml
véri~ie donc la propriétê (1).
Par conséquent
est
un
A-module
art in ien.
Soi t
M'
Ln
sous-module
prupre
eAe -mcdu Le
M.
?osons
X
::
[fi
e
Ml
1
em
cM' l .
et
soit
M'l
Sous-A-modu~e de
engend~é par l'ensemble
eX.
QI\\
a
~l'
_ e(eX)
::
eX
:: M' .
D'autre part,
s':"
en écrivant
em
ou
A.
E
A,
et
on
i
,
ey = L eA
em
,
eÀ.(em)
~ eAe(eXl
~ M'
i
i
L
.1
::.
i
Dunc
eM'
M' •
I l
t-è au I te
de
cette
égalité
que
Mi
est
un
l
sous-A-module propre de
Ml'
et comme
Ml
est L.11 A-module artinien
il en r~sulte que
M
es: un eAe-module artinie~.

---

B)
Cas où
A
est un S-anneau à gauche.
Soit
M
un
eAe-lOodule
vérifiant
la
propriété
( S) .
Considérons le A-moduloe
Ml = Aee~eM , et posons
Mo ~ {m E Ml / eam = 0, pour tout
a E A}.
Il est clair que
Mo est
un
sous-module
du
A-module
Ml
et
l'on
a I ' Ls omor-ph i sme
de
eAe-modules
e(Ml/M )
e;;
M.
Soit
f
un
endomorphisme
sur j ec t Lf
du
o
A-module Ml/M.
La restriction h
de
f
à
e(Ml/M
) =
M
est
un
o
o
un endomorphisme surjectif du
eAe-module
M. Comme
M
vérifie la
propriété
( S ) ,
h
est
un
automorphisme
du
eAe-rnodule
M.
Soit
fi
,
un élément non nul de
Ml/M
avec
m • Ml' ,1 existe
a
•
tel
0
que
eam • 0, et on a alors eaf (fi) = f (e em ) = h (eam) • 0, car
h
est
injectif.
Il
en
résulte
que
f(m)
~ O.
Le
A-module
vérifie
donc
la
propriété
(S).
Par
conséquent
A-modclle noethérien.
Soit
M'
un sous-module propre du
eAe-module
M.
Posons
Y = {m E M1/M
1
erne
M'},
e ;
soit
M:
le
o
sous-module du A-module MIl M '
engendré par
eY::: M'
:.)0
d
o
eM'
2 e(eY)
= eY = M'.
l
So.i t
maintenant
ou
À
E A
n
et
J
E
y,
on a alors
n
I l
en
r ê s u I te
que
eM~
M' •
Ce
montre
que
1"1 ;
Est
',1n
"
sous-module propre du A-~odule ~l/M. Comme
M1/M
est un A-modu:e
o
noethérien,
on en déduit que
M
e s t;
un eAe-module
noethérien.
Le
théorème 2.4.
est ainsi complètement dêmont.r é •
93

---

Théorème 3. 2,.
Soient
A
un
anneau
et
n
un
entier
supérieur
ou
égal
à
1.
l\\.lors
A
est un T-anneau (resp. S-anneau) à gauche si et seulement
si l'anneau
MnCA)
des matrices carrées 11 x n à coefficients dans
A
est un I-anneau (resp, s-anneau) à gauche.
Avant
de
démontrer
le
théorème
3.2.,
on
va
montrer
le
résultat
suivant
Posons
e ..
Cl ~ i,
j
~ n)
l'élément de
Mn(A)
dont
toutes
les
1J
conposantes sont nulles,
sauf celle gui occupe lù i-ème ligne et la
j-ème colonne,
ct qui est égale à
1.
Théorème 3. 3 .
Soient
A
un
anneau,
M
(A)
l'anneau
des
matrices carrées
n
d'ordre
11
à
coefficients
dans
A
et
M
un
M (Al
-
module.
Si
n
pst
un
endomorphisme
du
A-module
e.
. M,
alor
il existe
~OlO
un
endomorphisme
W (u~ique) du
Mn(A)-module M,
prolongeant ~.
De
plus si
~
est injectif(resp.
surjectif),
alors
w e s t injectif
(resp.
surjectif).
Démonstration,
PO$or.s
c'est à dire
n
si
m E M,
Ild rn )
_.
I e .. ~(e ..ml Ll. est c La
est
v
i r
que
j=1 )1 0
.l.a]
A-I i.né a i r e .
DO:1C
pour
montrer
que
est
suffit de montrer qUG
\\lJ:ektml
= e
lJJI:ml, pour t.ou t
k
et
e (1 ~ k,,c"' n} .
k i

---

Or on a
e..
1>
J1 a
n
-z.
d~l e e
rp(e
k t
d i o
i
dm)
a
n
= e
<pIe.
dm)
k l
[ ~ ed i
]
=1
0
"O
= e
I/J (/II)
k i
M
(Al-linéaire.
est
la
Donc
est
Et
i l
est
clair
que
n
restriction de
W à
•
tel
supposons
rp
injectif, et soit
que
m FM
l/J(m)
::: O.
Alors
=
O. Donc pour tout
n ) / on a
<pIe . . m )
=
=
o.
"a'
Ce
qui
implique
eiKm:::
0,
pour
tout
est
K:::'
l, . . . , n
(c o r
o
injectif).
Donc,
pour tout
k ~ l, ... ,n
eMkm = e
(eiKm)
k i
::: 0, d'où
a
a
I/J
est donc injQctif.
"'Supposons
rp
surjectif,
et soit
heM.
POIJr
tout
J
_
l, . . . , n,
i l existe
m.
E M
tel que
posons
J
95

---

0
m = j~i e .. m.
00
a
)lO
)
0
~ (m ) =
e
<pee.
k i
km)
k t
l
0
0
n
/p[e
0
=
(jL
i
k
kt eki
e
m) ]
) l
J
0
0
0
n
~
Ji e
rp(e
m
k i
i
i
0
0
0
k)
n
~
kt e
e.
h
k i
l
k
a
0
0
~
kt ekkh
~
h.
~
est donc injectif.
Unicité de
l/J :
Soit
!/J'
un prolongemerlt de
p
à
M. On a
0
iJ ' (rn 1 ~ iJ' [Ji e., (e ..ro>] =Jti e. ~' (e. ml
J~o
~oJ
) e
l
0
oJ
0
~ J~leJlOrp{el ml = !/J(rn) .
0)
Donc
~'
= ~.
Démonstration du théOLème ~
Suppo aona
que
A
soit
un
I-anneau
(resp.
5-anlleauJ
à
gauche,
et
soit
M
un
Mn(A)-module
vè ri f i an r;
la
propriété
(1)
Lr-e sp .
(S)).
D'après le théorème
2.6,
pour
tout
l : : :
l,
.,n,
e .. H
n
est un A-module vérifiant
(T)
Lr e s p .
(S)).
Donc
e .. 1'1
est
a r t in i e n
H
( r esp .
noe t hé r i en )
(i.::
l, . . . .n I .
Il en
rê s u Lt.e que le A-moclule

---

M
:
ellM
0
0
ennM
est
artinien
(resp.
noethérien).
Par
conséquent
M
est
un
M (A)-module
artinien
(resp.noethérien).
n
Inversement supposons que
Mn(A)
soit un I-anneau (resp.
S-anneau)
à gauche, et soit
N
un A-module vérifiant
la propriété
(1)
( r-es.p .
(S».
Posons
/
x l " ' "
x
EN}. N' est un Mn(A)-module pour le
n
r l l . · · .. aln
produit
]
[ a
· . . . . a
+a
x
n l
n n
nn n
Soit
F
un endomorphisme du
Mn(A)-module N'.
Pour tout
X
E
M, et pour tout i
on a
F ( e .. N')
::.
e .. F ( N')
ç
e.;.; N ' . Or ,
pour
tou t
i
(l::o;:i~n),
on
a
I I
I I
..L..L
l'isomorphisme de
A-module e .. N' iOl:N.
11
Donc
si
F
est
injectif
r-e sp .
surjectif),
ï
alors
la
restriction
Fi
de
F
à
e .. N'
est un automorphisme du A-module e .. N',
ce qui
11
11
implique que
F
est bijectif,
On en déduit que
le M (A)-module N'
n
vérifie la propriété
(Il
(resp.
(5)).
Par
conséquent
le
Mn(A)-module
N'
est
artinien
Lr e sp .
noethérien) .Soient
Nlet
N
deux
sous-modules
du
2
A-module N
tels que
N
ç
N
Alors
l
2,
N'
N'
l
= {l z
2
n
sont des sous-modules
du
M (A)-module
N'
vérifiant
Ni Ç
N
en
n
2, r i
résul te
que
N
est
un
A-module
artinien
(resp.
noethérien) .
Le
théorème 3.2
est ainsi complètement démontré.
Corollaire L l
Soient
A
et
deux
anneaux
équivalents
au
sens
de
.' 7

---

Morita.
Alors
A
est
un
r-anneau
(resp.
S-anneau)
à gauche si et
seulement si
B
est un I-anneau
(resp.
S-anneau) à gauche.
Démonstration.
Si
A
et
B
sont équivalents
au sens de Morita,
alors
il
existe deux entiers n
et
m
et deux idempotents
fEM(A),
et
n
9 E M (BI
tels que l'on ait les isomorphismes d'anneaux:
m
4
-
l-ANNEAUX
et
S-ANNEAUX LOCAUX.
Soit
A
un anneau local d'idéal maximal
mA • {O} .
2
On
suppose que
(O) •
Notons
L
le
(A,A)-bimodule libre
mA =
•
L
= A(~ ) = e
Ac.
, ou, pour
i
< 1,
c.
=
.i.
(oi,k )kEI1/
avec
•
.i.
iEIN
o.
. =
l,
et
li.
k=
0,
si
k
~
a .
Soient
et
cr 2
les
deux
L , L
L ,
"1
éléments
de
E
= End LA (l'anneau des endomorphismes du A-module
à droite L),
définis comme s u i t :
L
- - - - - - )
L
o
si
i
=- l
=
{
si
i~2
L
.. - - -
Soit
ma
un élément non nul de
mA" Posons
i\\(A,mo'O"I)
(ou tout
simplement
i\\l)
le
sous-anneau
de
E
engendré par mou l
et
les
élements
de
la
forme
a
id
où
a
E A
et
id
désigne
L,
L
l' appl Le at. ion
identi té
de
L.
Posa n s
en f in
i\\
(A,mo'O"z)
(ou
tout
simplement
i\\2) le
sous-anneau
de
E
engendré
par
mou 2
et
les
éléments de
la
forme
aid
Il
est
clair que
L
a
une
structure
L,
de
i\\l-module
(resp.
i\\2-modulel
a
gauche
et
que
pour
cette
98

---

structure
les
Al-endomorphismes
(resp.
A2-endomorphismes)
de
L
sont les A-endomorphismes de
AL
qui commutent avec
moO'l
(z-eap .
m 0' 2 ) .
0
Soit
f
un A-endomorphisme injectif du A-module à gauche AL
commutant avec
moO'l' Avec ces notations on a
:
Soit
f
un
A-endomocphisme
injectif
du
A-module
à
gauche
M(A),
commutant avec
moO'l. Alors
Lemme 4.1.
•
Pour
tout
n
E
IN
,
m f t c
1)'
où
l'on
pose
a
n-
= o.
Démonstration.
Ce
lemme t.r adu Lt.
le fait
que
f
et
eux.
•
Pour tout
rl
E IN
,
f(c
)
s'écrit
n
.
fIc)
= r C.a.
(
)
+
c a
+ k~'1 Ckffik,n
n
i~n ~ ~,n
n n,n
~
où
a
est inversible dalls
A,
et
m
k>n.
n,n
k
E
"»: pour tout
, n
Démonstration.
Ecrivons
où
çar
f
est injectif.
Or d'après le lemme
4.J,
on Ct
\\
m a
lC -
= 0_
k
k
1
kj-l
0
,
Il en césulte que,
pour tout
k>l,
on a
Par conséquent
ak.l~ IliA-
=
o.
Ce
qu a
implique
que
():1, l
est
inve r s i.b Le
9?

---

dans A.
Supposons que pour un entier
n>l
l'on ait
=
L ô.a
1
+
ô
a
+ ')
c m
i<n-l
J. J.,n-
n-l n-l,n-l
k'5'n-l k k,n-l
où
a
est
inversible dans
A
n-l,n-l
et
pour
tout
k>n-l.
Alors de la relation
mo~l[f(Cn)] ~ m f ( ô _ ) ~)
E ma
+ E
m ex
o
n
1
itn-l J. 0
.i
n-1 0
n-1,n-l
s n-r L
On déduit que
f{E
est nécessairement de la forme
n)
= ') ô.a.
+
ô
a
+ ') c m
itn J. J.,n
n n,n
k'5'n k k,n
avec
a
inversible dans
A
et
m
E
mA
pour tout
k>n.
n,n
k,n
Lemme 4.3
*
Pour tout
n E ri
, mA ô
c
Imf.
n
Démonstration
.
D'après
le lemme
4.2,
on peut écrire
où
est inversible dans A et
pour
k>l.
Soit
m
un élément de
mA.
On a alors
-1
-1
-1
[(rrll:i
, lC
~ mal l [(El) ~ mal l(Ela
l
l !
,
l
l
,
0'00
mAclc
lmf.
Soit
n
une
entier
>1.
Supposons
que
pour
tout
i<n,
l'on ait
rnAEi C lmf.
Ecrivons
f(c)~fôa
+
ô
a
où
a
est inversible
n .
J.J.,n
n n,n
n,n
l
n
(k>n).Soit
On a
alors
-1
-1
-
+
. f
l
f t mc
c )
~rna
f ( c )
ma-
a.
C.
n,o n
n,n
n
n,n
l,n L
l
n
11~ C'

---

Comme
~ -1
(
ma
a.
c .) e lmf
(par hypothèse),
donc
i
n
n/n
l,n l
-1
= [ f fmœ
c )
a.
c.)
n/n n
~ -1
(
ma
.
n, n
l,n l
]
E
lmf.
1
n
D'où le lemme 4.3.
•
Lemme 4.4.
Pour tout n €
~
C
E
lmf.
n
Démonstration.
Ecrivons
f([:l)
::
clal,l-+-k~l[:k,lmk,ll
où
al lest
,
inversible et les
mk,l
des éléments de mA'
On a alors
€
lmf,
car,
d'après le lemme 5.3,
)
a~ll m lC
[
k
k]
E
lmE. Soit n un entier> 1.
k~l'
,
Supposons que,
pour tout i
< n,
l'on ait
[:.
E
lmf.
Ecrivons
1
:: )
a.
c.
+ a
[:
+
)
m
e
avec
a
inversible
i~n lin l
n,n n
k~n k,n k
n,n
et les
m
(ko n )
dans
mA.
On a alors
k ,n
=
[f (a-1 c ) - ) a -1 a. c . - )' a - 1
Imf,
car
n/n n
i~n n,n l,n 1
k~n n,n
a.
€
lmf,
d'après l'hypothèse de récurrence et
l,n c]
1
Lemme 4.5.
Le Al-module à gauche A L
n'est pas 2Irt~nlen_
1
1CI

---

Démonstration.
*
La suite
(L)
*
où pour
n E lN 1
L ::; li) c.m
est
une
n nE~
n i>n ~ A
suite strictement décroissante de sous
Al-modules de L.
Des lemmes 4.1,
4.2,
4.3,
et 4.4,
on obtient le résultat suivant
Proposition 4.1.
A L
vérifie
( r ) .
1
Soit maintenant
f
un A-endomorphisme surjectif du A-module
à gauche AL,
commutant avec
m lf . On a les résultats suivants:
o 2
Lemme 4.1'.
Démonstration.
Ce
lemme
est
une
traduction
du
fait
que
f
et
commutent entre eux.
Lemme .!..:..L.
*
Pour tout n E lN
( * * )
1
f ( c ) : : ; c a
+~c.a.
n
n n,n
.
l
l,n
j,
n
où
a
est inversible dans
A.
n,n
_Démonstration.
Soit
k
un entier ~ 1. Supposons que
El ne figure pas,
ITI11!:.i
d'un coe f f .i c.i en t.
.i nve r s ible,
dans
la
décompos i tion
( * * ) de
Alors
de
la
relation m lf
) 1 ::;
mof(c +
i l
résulte
que
cl
o 2[f(E k
k
l),
ne
peut
pas
figurer,
mu n t
ct' un
coefficient
inversible,
dans
la
décomposition
(**)
de
f(c +
On
en
déduit
que
cl
figure
k
l)·
nécessairement,
muni
d'un
coefficient
inversible,
dans
la
décomposition
(**)
sinan on aurait cl ~ Imf.
Soit n un entier> 1.
Supposons que l'on ait
=
c
a
avec
a
n-1 n-l,n-l
+~
c:a ,
l '
· l l l , n -
n-l,n-1
l
n-
1C' 2

---

inversible dans A.
Des relations
= m 0'2 l f (c
1) 1 = L m a
o
n-
n 0
n-l,n-l
+
)'
ma.
1.
i~n-l 0 J.,n-
est nécessairement de la forme
C a
+)' C.a.
,
avec
a
inversible
dans
At
car
n ntn i~n J. J.,n
n,n
m"
l
l ' O.
o n-
, n-:
Lemme 4.3'.
Si
L
figure
dans
la
décomposition
( * *)
(Lemme
4.2')
de
k
f{C
muni d'un coefficient inversible dans A,
alors L +
figure,
i),
k
l
muni
d'un
coefficient
inversible,
dans
la
décomposition
(**)
de
f(c +
i
) ·
l
Démonstration.
Si
+
L . a.
.,
avec
inversible
J
J,
"k
.
l
, l
dans A,
alors des relations
= Ok l m "k .
+
)' C,
l
ma . .
T a , l
j~k J+
a
J,l
i l résulte que
f(c
+
est de la forme
i
l)
=
+ ) '
c . a · ·
avec
l
j'1'k+l J
J,l+
ak+l,i+l
inversible dans
A
d'oQ le lemme 5.3'.
Lemme 4.4'.
f
est injectif.
Démonstration.
Soit
y
un élément non nul de
MI A).
Ecrivons y = L C.a.
iEr J. J.
•
ou
l
est une partie de ~
et pour tout i
E l,
1
non vide et finie,
) n
~,

---

a. un élément non nul de A.
Soit
n
le
plus
grand entier de
l
et
.i.
o
soit
k(n
)
(~n
)
le
plus
grand
des
entiers
j
tels
que
c
o
o
j
figure,muni
d'un
coefficient
inversible,
dans
la
décomposition
(**)
de
f (c
).
D'après
le
lemme
4.2' ,
pour
tout
entier f~k Ln )
no
o
et pour
tout
i
E
I\\(n
figure
dans
(H: )
la
décomposition
o}'
cl
de
f(c.)
avec
un coefficient non iversible dans A.
Comme A
est
r.
un anneau
local,
f(y)
est donc de la forme
f(y)
=
+
)'
c·I3·,
avec
o.
I l
en
i~(n )1 1
o
résulte que
f (y)
'le-
O.
Dr où le lemme 4.4'.
Lemme ~.
Le A
à gauche
n'est pas noethérien.
2-module
A L
2
Démonstration.
n
Pour
tout
n
IN *
E
soi t
H ::
0
c.m "
I l
est
clair
que
A
n
i::l 1
(H)
*
est une
suite
strictement
croissante
de
sous-A
ules
n
nelN
2-mod
de A L.
2
Avec les lemmes 4.1'
4.2',
4.3'
et
4 . 4 '
on a
Proposition ~
A L
vérifie
(S).
2
Théorème ~
Soit
B
un
anneau
local
dont
les
idéaux
à
gauche
et
les
idéaux
à
droite
sont
bilatères,
d'idéal
maximal
ms
'le-
[al
avec
2
_
m
-
{ol. On suppose qu'il existe un sous-anneau local A de B tel
B
que
B::
A + ms
(somme de
(A,A)-bimodulesL
Alors
si
B ~ A,
il
existe un B-module à gauche qui n'est pas artinien (resp.
qU1 n'est
pas noethérien) et qui vérifie (Il
t r e sp .
(S)).

---

Démonstration.
Quitte
à
quotienter
par
un
idéal
convenable,
on
peut
supposer que
B
est de la forme
B ~ A ΠAmI
,où
mA ~ Amo'
mB ~ Am Œ AmI· Considérons alors les deux applications
o
~1
B = A 0
Am
>
1
"'1 = A(A,mo'O'l)
a + bm
> aid
1
+ bm0"1
et
~2
B = A e AmI
>
=
"'2
A(A,mo ' 0' 2 )
a + bm
> aid + bm
1
0"1
Il
est clair que
/Pl
et
/P
sont
des
homomorphismes
surjectifs
2
d'anneaux. Le théorème résulte alors des propositions 4.4
et
4.4'
et des lemmes 4.5
et
4.5'.
Notation.Si
A est
un
anneau,
J(A)
désigne
le
radical
de
Jacobson
de A.
Corollaire.
Soit
B
un anneau dont les
idéaux a gauche et les
idéaux à
droite
sont
bilatères.
On
suppose
que
B
est
un
module
de
type
fini sur son centre
Z(B)
et que
B/J(B)est une
Z(B)/J(Z(B)i-
algèbre
séparable.
Alors
les
conditions
suivantes
sont équivalentes
:
11
B
est un I-anneau à gauche
2 )
B
est un S-anneau a gauche
3 )
B
est artinien et tout
jdéal de A
est principal.
Démonstration.
L'équivalence
2 )
<==~)
]
)
est
démontrée
dans
[4
J.
L'implication
2)=~=> 1) est démontrée dans
[2].
l)~~~> 3). D'après
[5],
B
est
artinien.
Comme
tout
idempotent
de
B
est
central
d'après
[lJ,
donc on peut supposer 8 local.
Si B
possédait un idéal
non
principal,
alors
qUllte
à quotieJlt par
un
idéal
convenable.
B
serait
de
la
forme
U ~
A
I~ Arn
(sCmITle
directe
de
A-modules)
oG A
l
est un sous-anneau local de 3 d'idéal ITlaxj.mal
: '-' ~,

---

Arno *
{a}
avec
ml
* a et mOm
(voir
13]) .
l
Ce
qui
serait absurde d'après le théorème
REFERENCES
[Il
R.C.
COURTER,
Finite dimension al
right duo algebras are duo,
Proc. Amer. Math. Soc . ,
84
(1982), 157 -
161.
[2]
A.
KAIDI et M. SANGHARE,
Sur les S-anneaux dont les idéaux à
gauche et
les
idéaux à droite sont bilatères,
Cahiers Math.
Montpellier n° 39
(1992),
214 -
224.
[31
H.C. POP, On the Structure of Artinian rings
Comm. in Algebra 15 (11)
(1987),
2327 -
2348.
[4]
M. SANGHARE,
On S-Duo-Rings, Comm. in Algebra
20
(8)
(19921,
2183
-
2189.
[5]
M. SANGHARE,
Subrings of I-rings and S-rings
(soumis à publication).
[6J
C.T. TSAI,
Report on injective Modules,
Queen's
papers in pure and Applied Mathematics n " 6.
(1965).
(A.J. COLEMAN,
P. RIBENBOIM editorsl. Queen's UniversiLY,
Kingston,
Ontario.
1 il (.

---

PROBLEMES OUVERTS
Les résultats obtenus dans cette Thèse confirment l'intérêt qu'il y a de poursuivre
l'investigation dans l'étude des I-anneaux et des Svarmeaux afin de trouver une réponse
à certains problèmes qui restent ouverts el de généraliser éventuellement certains résultats
déjà établis.
Nous laissons ouverts les problèmes suivants :
PROBLEME 1:
Un l-anneau à gauche est-il nécessairement artinien à gauche? Est-
il nécessairement de dimension globale pure à gauche finie?
PROBLEME Il ,
Les notions de I-anneaux et de S-anneaux sont-elles équivalentes en
général ?Un I-anneau (S-anneau) à gauche est-il un I-anneau (S-
anneau) à droite?
PROBLEME III:
Un I-anneau (resp. S-anneau) aninien (à gauche et à droite) est-il de
type de représentation finie 7
A notre avis une réponse à l'un de ces problèmes pourrait donner des précisions
sur ce problème ouvert: un anneau sur lequel LoU( module à gauche est somme directe
de modules de type fini est-il de type de représentation finie?
107

---