Université de Montréal
Des problèmes extrémaux pour certaines classes de polynômes
CO~-;~-A;;IC-Ai;-Jé~T-M--A-t-G-A-C-H-El
POUR L'ENSElGNEMEN.'f.SUrER:EUn.
\\ C. A. M. E. S. -
~"ij~~OUGOU
. Arrivée. 05. .lU
,
Enregistré sous nO~.O.~.~· '(l4' . ~
1
par
Abdoul Ousmane WATI
Département de Mathématiques et de Statistique
Faculté des arts et des sciences
,
en vue de l'obtention du grade de
Philosophire Doctor (Ph.D.) .
en mathématiques
Mars, 1991
© Abdoul Ousmane WATT, 1991
7
/ 0
~
'.....'
-,

---

UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL
FACULTÉ DES ÉTUDES SUPÉRIEURES
Cette thèse de doctorat intitulée:
UDes problèmes extrémaux pour certaines classes de polynômes"
présentée par
Abdbul Ousmane WATT
a été évaluée par un jury composé des personnes suivantes:
Monsieur André GIROUX
(président-rapporteur)
Monsieur Qazi Ibadur RAHMAN
(directeur de recherche)
(co-directeur)
Monsieur Norbert SCHLOMIUK
(membre du jury)
.__
,r-
w
1 ---;
/ '
'-
... ,,r
(.......- J
_. (.'L.: .. 1-. U-/-
Monsieur James CLUNIE
(examinateur externe)
Le 7 juin 1991.

---

SOMMAIRE
Soit
Tm
le mièmc
polynôme
de
Tchebycheff
de
première
espèce
et
2
'tn(x):= (1-x ) Tn_2(x). R. Pierre et Q. 1. Rahman
l 5 J ont montré que si p est un
polynôme de degré n s'annulant en ± 1 et tel que 1 p (x~ 1 ;5; 1 pour -1 ~ x ;5; 1
1-x
alors,
pour -1;5; x ;5; 1
et k = 2, 3,....
(1)
En nous inspirant de l'extension [ 1] de l'inégalité de Markoff trouvée par Duffin
et Schaeffer nous examinons s'il existe ou non n -1 points distincts Ân,o ,...• Ân ,n- 2
2
sur [-1, 1] tels que 1p(Â-n •v ) 1 ;5; 1 - Â-n •v , pour v = 0,1,..., n -2, entraîne (1). La
réponse à cette question est positive pour k = 3, 4, ....Cela sera démontré dans le
chapitre 1 où nous présenterons également d'autres résultats connexes.
Maintenant soit !Pn,1
la classe des polynômes de degré au plus n, bornés
par 1 sur le cercle unité. Alors, d'après la fameuse inégalité de Bernstein pour les
polynônes, sup
1 p'(z) 1= n
pour
1 z 1 = 1. Notons
la sous - classe des
pe 'iPn•1
polynômes de
!Pn,1
qui s'annulent au point
z = 1. Il a été démontré par
A. Giroux et Q. I. Rahman [3] que
c
c
n - _1 < sup
max 1 p'(z) 1 < n - ~
n
,.,'" 1zl = 1
n
pe "n.1

---

·",.,
OÙ
Cl
et C
sont des constantes ne dépendant pas de n. Dans le chapitre II nous
2
, - ..
donnons, entre autres, la valeur exacte de
sup
1p'(z) 1 en certains points z de
•
pe fla. 1
1zl =1
1"

---

TABLE DES MATII~RES
SOMrVIAIl~E
.
. . . . . • . . . . . • . • • . . . . . ii
CIJAPITRE 1: POLYNÔMES AYANT UN MAJURANT PARABOLIQUE ET. . . .
INÉGALiTÉ DE DUFrIN - SCIlAEFFER
1-1.
Introduction
.
.1
1--2.
Résultats auxiliaires . . . . .
.3
1-2.1. Bornes illlërieures de 1Tm (x) 1 aux zéros de 't.:t+2 . . . . . . .6
.
(l_x 2) T' (x)
,
1
1-2.2. SIgne de
2
III
J" à lIll zero de 't 2
9
(
x-À
m+
Il
1-3.
Démonstration du théorème 1-1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1-4.
Addenda au théorème 1-1 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1-5. Quelques remarques sur le théorème 1-1
17
ClIAPITRE Il: POLYNÔMES AYANT UN ZÉRO PRESCRIT ET INÉGALiTÉ
DE BERNSTEIN . . .
11-1. Introduction . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 19
11-2. Enoncé du résultat .
.
20
II-3. Quelques
propriétés
de
l'II ,v
- -
22
11-4. Preuve du théorème Il . .
32
CONCLUSION
.
40
BIBLiOGRAPHIE .
41
REMERCIEMENTS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

---

\\
>t %'ES P~rrs 1
TR:J:S 1f'l1%ŒL'E%'E!Jl'T

---

ClIAPITRE 1
POLYNÔMES AYANT UN MAJORANT PARABOLIQUE
ET INÉGALITÉ DE DUFFIN - SCHAEFFER
1-1.
Introduction
Notons Il. Il la nOffile uniforme sur [-I,+IJ et
'1Pn
l'ensemble des polynônes
de degré au plus n. Pour p appartenant à '1Pn et s'annulant en -1 et +1, soit
Il pli : = sup
Ip(x)\\
Il pli
: = sup
Ip(x)l.
*
-1<X<l
Jl-x2
**
-l<X<l
l-x2
De plus, soit Tn(x):= cos (n arc cos x) le nième polynôme de Tchebycheff de première
,
U
)._sin((m+l)arccosx)
espece et
(x .-
. (
)
le mième polynôme de Tchebycheff de
m
SIn
arc cos x
seconde espèce. Nous avons aussi besoin d'introduire les polynômes suivants:
Soit P E '1Pn . D'après un résultat classique de W . Markoff [4]
V ke JN
si Il p Il ~ 1.
(1-1)
On sait également ([ 8 ] , [ 5 ]) que
si Il pli * ~ 1
(1-2)
si Il p 11** ~ 1.
(1-3.1 )
Quant au cas manquant: k = 1,
pour Il p 11** ~ 1 , nous avons [7]
1\\ P 11 ~ 1-r~( 1) 1
si Il = 4,
(1-3.2)
Il p 11 ~ 1-r:,(O) 1
pour n ~ 5 et n impair,
(1-3.3)

---

2
tandis que pour n pair,
quand
n~ 00.
(1-3.4)
2
1t
Ici on peut mentionner que l 't~ (2(n_2) ) 1 = n_2_ ;n +0(n-2 ) quand
n~ 00.
Une remarquable généralisation de (1-1) a été trouvée par Duffin et Schaeffer.
Ils ont démontré
(voir [ 1 , théorème II]
ou
[10, pp. 130 - 138] ):
THÉORÈME I-A. Soit pElP n' Si p(x) est réel pour x réel et
~
1 p(cos V
1
pour
v= 0,1 ,... ,n,
n1t) 1
(1-4)
alors, pour kE IN.
-l~x~l,
-oo<y<oo.
(1-5)
L'extension correspondante de (1-2), qui a été obtenue dans [9], s'énonce
comme suit:
THÉORÈME I-B. Soit
~
~
:==-1
[2V-1 1tJ
,
,",n
et
,",v:== cos ~"2)
v= 1,... ,n-1.
(1--6)
Si pElP n tel que
pour v=O,l, ...,n,
(1-7)
alors,
pour
k =2,3,...
(1-8)
tandis que
Il p'il ~ (n-1) ( ~ log (n -1 ) + 3 ).
(1-9)
De plus, si p(x) est réel pour x réel, alors
1p(k)(x+iy) 1~I u(k)(1+iy) 1 pour (x,Y)E[-l,l]xIR et k =2,3,....
(1-8')
n

---

3
Dans (1-8) et (1-8') l'égalité a lieu si et seulement si
p(x) =y Un(x)
avec
1yi = 1. De plus, le nombre ~ , apparaissant dans le second membre de (1-9), ne
peut être remplacé par aucun autre nombre plus petit ne dépendant pas de n.
Ici nous démontrerons le théorème suivant:
THÉORÈME 1-1. Pour tout n donné, n ~ 3, soit
Àv = Any := cos (V1t ) ,
v= O,1, ... ,n-2.
.
n-
(1-10)
2
Si p(x):= (l - x2 ) q(x) est un polynôme de degré au plus n tel que
Iq(Ay)1 ~ 1 pour v =O,1,...,n-2
(1-11)
alors
pour
k = 3,4,....
(1-12)
De plus, si p(x) est réel pour x réel, alors
Ip(k)(x+iy)I~I"t~)(l+iy)1 pour (x,y)e[-1,1]xIR et k=3,4,....
(1-12')
1-2.
Résultats
auxiliaires
Nous allons prouver le théorème 1-1 par un raisonnement analogue à celui de
Duffin et
Schaeffer [1].
Cependant, certains
détails
deviennent
beaucoup plus
compliqués et nous aurons également à démontrer de nouvelles propriétés de Tn'
Les deux premiers lemmes proviennent de [1].
LEMME 1-1 [1 ,LEMME 1]. Si
P(z) = c fi (z-xy )
y=l
est un polynôme de degré n ayant n zéros réels distincts et si p est un
polynôme de degré au plus n tel que
1p'(x) 1 ~ 1P'(x) 1
( v = 1,...,n ),
alors, pour k = 1,...,n

---

4
aux racines de p(k-I)(x) = O.
LEMME 1-2 [l,THÉORÈME 1]. Soit P un polynôme de degré n ayant n
zéros réels distincts tous situés à gauche du point 1 , et supposons que
1P(x+iy) \\ $1 P(l+iy) 1 pour (x,y)e[-l,l] xIR.
Si p est un polynôme de degré au plus n , à coefficients réels, tel que
1 p'(x) 1 $1 P'(x) 1
quand P(x) =0 ,
alors, pour k= l,2, ...,n
1 p(k)(x+iy) 1 $1 p(k)(l+iy) 1
pour (x,y)e[-l,l]xIR.
Nous aurons besoin du résultat suivant pour établir une nouvelle propriété de
Tm contenue dans le lemme 1--4.
LEMME 1-3. Si p est un polynôme de degré m ayant tous ses zéros dans
lm z > 0, alors, pour ~ ~ 0,
( m2 + 2 ) p(z) + 3( z - i~ ) p'(Z)
a aussi tous ses zéros dans lm z > O.
Démonstration. Soit zj.1.:= xj.1.+ iyj.1.
( IJ. = l,...,m) les zéros de p. En outre,
soit z = x+iy, xeIR , yeIR. Alors, pour y $ 0,
lm { p'(z) 1 = ~ lm
1
= ~ - ( y - y~) > 0;
p(z)
~=1
X - x~ + i (y - y~ )
~=1 1z _z~12
SI ~ ~ 0
et z - i~ ~ 0 alors, pour y $ 0,
2
2
Im{- m +2 }=m +2
y-~ $0.
3(z-i~)
3
z-i~1
1
2
2
Ainsi, si ~ ~ O,alors _ m +2 ~ p'(z) pour lm z $ 0 pourvu que z - i~ ~ 0 , i.e.
3 (z-i~)
p(z)
(m2+2) p(z) + 3 (z-i~) p'(z) ~ 0 pour lm z $ 0 et pour tout ~ ~ 0 sauf ,peut - être,
quand
z - i~ ::: O. Mais, si z - i~ =0 , (m2+2) p(z) + 3 ( z-i~ ) p'(z) se réduit à
2
( m +2) p(z) , qui est non nul, pour lm z $ 0, par hypothèse.

---

5
LEMME 1-4. Le polynôme 'tm+2(z) := ( 1- z2) Tm(z) satisfait l'inégalité:
l 't~+2(x+iy)1 ~I 't~+2(l+iy)1
pour
(x,y)e[-l,l] xlR.
Démonstration. Observons d'abord que
't~+2(z)=(l-z2)T~(z) -4zT:n(z) -2Tm(z)
= zT~(z)-m2Tm(z)-4zT:n(z)-2Tm( z)
Maintenant, soit çe[O,l]. Alors, pour xe[ç, 00), nous avons
1Tm( x+iy) 1 ~ 1Tm( l+x~+iy) 1.
Par conséquent,
Ra(z):= aTm(z) + Tm(l~+ z)
ne s'annule pas dans le demi - plan
~ zelC : 1Re z ~ ç ~ pour 1a 1 < 1. En
appliquant
le
lemme
1-3
au
polynôme
Ra (iz + ç)
nous
déduisons
que
(m2+2)Ra (iz+ç)+3(iz+ç) R~(iz+ç)
ne s'annule pas pour lm z ~ 0, Le.
a~
2
(m +2)Tm(z) +3zT~(z) ~+ (m2+2) Tm(l~+ z) + 3z T~(l~+ z):I: 0
pour Re z ~ ç
et 1al < 1. En posant z = ç +iy nous obtenons
2
l 't~+2 (ç+iy) 1 == 1(m +2)Tm(ç+iY) + 3(ç+iy)T~(ç+iy) 1
~ 1(m2+2)Tm(l+iy) + 3(ç+iy)T~(l+iy) 1.
(1-13)
Remarquons maintenant que
se trouve dans le demi - plan droit. Ainsi,
1 1+ (ç+iy)wl ~Il+(l+iy)wl
et donc, le membre de droite dans (1-13) est majoré par

---

6
2
1 (m +2)Tm(1 +iy) + 3(1 +iy)T~(1 +iy) 1 == l 't~+2(1 +iy) 1 .
Sachant que
l 't:;1+2(-z) 1 == l 't~+2( z) 1== l 't~+2( Z ) l, l'inégalité
l 't~+2(ç+iy) 1 ~ l 't~+2(1 +iy) 1
est aussi vérifiée pour ÇE [-1,0).
1-2.1. Bornes inférieures de 1 Tm (x) 1 aux zéros de
't~+2
Etant donné mE IN, soit ÀIl-= Àm.Il-:= cos ~, (Il = 0,1 ,...,m). Si Ço' ÇI,...,Çm
sont les zéros de 't' 2 pris dans l'ordre décroissant, alors il est facile de voir
m+
d'une part qu'ils sont tous dans l'intervalle (-1,1) et sont symétriques par rapport à
1
l'origine et d'autre part que ç" (co,2~
E
1
À")
1t ,
puur
~~O,...{m; J el que
ç m =0 dans le cas m pair. A chaque çll- associons la quantité
2
En utilisant l'égalité
ainsi que l'identité
nous obtenons
(Il = O,l,...,m).
Dans le lemme qui suit nous obtenons une borne inférieure de Sil' Elle n'est
pas la meilleure possible, cependant elle est adéquate pour notre étude.
LEMME 1-5. Soit
m ~ 3. Pour Il = 1,...,m-1
S~ > .826674148.
(1-14)
Démonstration. Pour chaque m, Sil est une fonction décroissante de 1çlll .

---

7
Par conséquent, il suffit de démontrer (1-14) pour 1.1=1. Un simple calcul montre
que 8 1 = .957214044... si m=3 tandis que 8 1 = .924950591... si m=4. Soit donc
m ~ 5. Il vient:
Ç1 < À = cos 11. < 1_ L
+ -L ~ 1- 4.772448 .
(1-15)
1
2
4
2
~
2m
24m
m
D'où, pour m ~ 5, nous obtenons m2(l~12) > 8.633845604 qui,à son tour, implique
8.633845604
12.633845604 = .826674148.
Le lemme suivant nous donne une borne inférieure de À~ - çw
LEMME 1-6. Pour 1.1= 1,... ,[ m; 1 ]
À~
Ç
- ç~ > (38~ - 1) ç~ = 2 : - 3(1 - 8 ) ç~ .
(1-16)
m
m
~ m2
Démonstration. Nous observons que
'"
"'Il
-2À~Tm(À~)~(l-x2)T~(x)-2xTm(X)]Il= f {(l-x2)T~(x) - 4xT~(x)-2Tm(x)} dx
1;11
1;11
f{-3xT~
2
=
(x) - (m + 2) Tm (x)} dx
1;11
"'Il
2
= -3À~Tm(~) +3Ç~ Tm(Ç~) -(m -1)f Tm(x)dx
1;11
et ainsi
f
3/;.Tm(s,,) - /;. ,go (Tm(J.,,» ~ J." Tm(J." )- /;. ,go (Tm(J." »+ (ml-1) Tm(x) dx.
1;11

---

8
~
Puisque
JTm(x) dx ~ Â. - çJ.l et 8J.l > ~ , nous obtenons
1l
1;11
2
(38J.l- 1) çJ.l < Â.J.l--ÇJ.l + (m - 1) (Â.J.l - Çll)'
c'est ce qu'il fallait démontrer.
2
A cette étape de l'étude il est important d'obtenir une bonne borne pour Çll'
LEMME 1-7. Soit m;;::: 2. Pour Il = 1,...,m - 1
(1-17)
et alors
2
4çll
< l-
(1-18)
°11:=
2
-
5 .
m2(1- çll)
Démonstration. Il nous suffit de démontrer (1-17) seulement pour Il = 1.
Si
m:::: 2,
alors ç} = 0 et ainsi (1-17) a lieu. Un simple calcul montre que
ç2 = .170563828 < ~ = 1-
10
si
m=3
tandis
que
1
19
m2 + 10
ç2 =.403143528 <..l.. = 1 _
10
si m =4. Maintenant, soit m;;::: 5. De (1-15) et
1
13
m2 + 10
(1-16) il découle
ç < 1- 4.772448 __
1 [38 - 1J ç
1
m2
m 2
1
l'
Comme 81 ;;::: .826674148 , nous obtenons
1- 4.772448
2
Çl <
m__ _ < 1- 6.252470444 + 9.253796588 ~ 1- 5.882318581 .
1+ 1.480022444
m2
m4
m2
m2
D'où,
ç2 < 1- 10.38057029 < 1-
10
1 -
m2
m2+ 10
Donc (1-17) a lieu. Quant à (1-18), c'est une conséquence directe de (1-17).

---

9
Nous allons utiliser (1-18) afin d'obtenir une borne inférieure cruciale pour S~
dépendant de 0w
LEMME 1-8. Pour Il = 1,...{ m21j
1
1
2
S~~ 1-2 0~+"4 O~.
Démonstration. D'après le théorème de Taylor
S~ = 1
= :S(o~J= s CO) + o~ S'CO) + 2\\ o~ S' (0)+ 3\\ o~ S "'(0)
J1+ o~
. ,
1
4
(iv)
,
+ 4! o~ S
(0)
avec
O~o ·~O~
1
3
2
5
3
35
4
, _2-
= 1-20~ + 8 o~ -1"6 o~ + 128 o~ (1+0) 2
1
3
2
5
3
> 1-20~ +8 o~ -16 o~
1
3
2
1
2
~1-20~+80~-80~
par (1-18)
1 1
2
= 1-20~ + 4" o~.
(1- X2) 2T ~ (X) J"
1-2.2.
Signe
de
à un zéro de 't'~ +2
(
X-Àjl.
LEMME 1-9. Soit ç un zéro de 't'~+2' Alors, pour
Il = 0,1 ,... ,m
où
2
J
2
2 (
2
2Î
2 2l
<j>(ç,t):=(ç-t){ 3ç((m2--4)(1~ )+2 (t~) -2(1~) m2(1~ )+6ç j(t~)+4ç(1-ç) J.
Démonstration. Un simple calcul montre que

---

10
2
(1-3\\.J.x+X2+ 3\\.J.X3 -2x4) T~(x)+ m (-\\.J.+X+\\.J.X2_X3) Tm (x)
- -
2
(x-Àjl)
et
où
2
2
2
2
A(x):= (x-À~}(m2+3- (m +6)x ]-2(x-\\t) (1-3Àjl x + 2x ) (l-x ) ,
B(x):= (x - ÀJ.li 5m2x + (x - Àjl)2 2m2 (1 - x2).
2
A un zéro ç de 't~+2 nous avons
(1-ç )T~(ç) = 2çTm(ç). Ainsi, en posant
nous obtenons
2 d2 {(l_x2)2T~(X)}
_ A (ç)(Ç-Àjl)3 +Aiç)(ç-Àjl)2 +A
1
3(ç) (ç-Àjl)
(1-{ )-2
À
-
4
Tm(ç)
dx
x- jl
1x=Ç
(ç-Àjl)
= <1> (ç, À~) Tm(ç).
(ç-Àjl )
REMARQUE 1-1. Il est important de noter que pour ç = 0 ,qui est un des
zéros de 't
2 quand m est pair, on a
1
m+
<I>(ç , Àjl) = <1>( 0 , Àjl) = 2m2À ~ ~ 0
pour J.1 = 0,1,... ,m.
Nous affirmons que
<I>(çjl' À.y) ~ 0
pour J.1 = 0,1 ,... ,m
et
v = 0,1 ,...,m.

---

Il
Ce fait déterminant sera établi dans les quatre prochains lemmes. La preuve, faisant
appel aux lemmes 1-5 - 1-8, est longue et ardue. La difficulté réside dans le fait que
<1>(1;11 ,t) change de signe dans (-1,1) sauf pour m pair et Jl = ~ .
LEMME 1-10. La fonction
<1>(1;, t) a un zéro dans (1,00) si 0 < 1; <1.
Démonstration. Comme <1>(1;, t) ---? - 00 quand t ---? + 00, il suffit de vérifier
que
<1>(1;,1»0.
(1-19)
Il est facile de voir que
<1>(1; , 1) =(1 - 1;)3 g(l;)
où
):
2):3
2
):2
2
):
2
g(':I):=(m -4)':1 -2(m -2)':I-(m -2)':I+ 2m
et donc, il suffit de montrer que g(l;) > 0 pour 0 < 1; <1. En effet, si m = l , alors
g(l;) = _31;3 + 21;2+ 1; + 2> 2, tandis que si m = 2 , g(l;) = -41;2_ 21; + 8 > 2. Dans le
cas m ~ 3 ,nous obtenons la conclusion désirée en remarquant que:
2
g(-2) = -12m + 44 < 0, g(-1) = 6 > 0,
g(1) = 2 > 0, g(2) = -12 < 0 et g(t) ---? + 00
quand t ---? + 00.
LEMME 1-11. Pour
-1
Jl- ,..., [m-1J
- 2 -
~(/;",S.+(38.-1):,)~O.
Démonstration. Nous devons vérifier que si
<1> (l;, t)
L(I;,t):
t-I;
alors
Nous avons:

---

12
3
=- :~ {m2(l-ç~) -4(l-Ç~) +2}{4-12(1-e~)+9 (1_e~)2}
6
2 {2
2
2}
24
3
2
- m (l-e~)ç~(1-ç~)
2
m (1---Ç~)+6ç~ + m2 ç~(l-ç~)
= ~; ç~ (1-Ç~) - ~ Ç~{-4(1---Ç~)+2}+ ~~ (1-e~)ç~{m2(1---Ç~)-4(1---Ç~)+2}
27
2 3{ 2
2
2 }
6
2 {2
2
2}
- m (l-e~) ç~ m (1---Ç~)-4(1---Ç~)+2 - m
4
2 (1-e~)ç~(1---Ç~) m (l---Ç~)+6ç~ .
D'après le lemme 1-8
D'où
par le lemme 1-8

---

13
= ~ (e~_ll )1;~ (l-1;~)
m4
15
~O
par le lemme 1-5.
LEMME 1-12. Pour J.l = 0,1,... , [m-1J
-2-
et
v = O,l,...,m
<p(1;~ ,Àv) ~ O.
(1-20)
Démonstration. D'après le lemme 1-10 , nous savons que
<p(1;~, t) a un
zéro dans (1 ,00). En plus, nous remarquons que <p(1;~, t) a un zéro en 1;~ avec
d <p(1;~, tJ\\
=-41;~ (1-1;~) <O.
dt
t=~f1
D'où, si Il =1,..., [ mil] , alors en tenant compte du lemme 1-11, <p(1;~, t) doit
aussi avoir un zéro dans (1;~ ,1;~ + (3e~- 1) 1;~). La fonction <p(1;~, t) étant un
m
polynôme de degré 3 en t, elle n'a pas d'autres zéros et, est donc positive sur
1;~
[(-1,1;~ )U(1;~ + (3e~-1) 2 ' 1)]. Il découle du lemme 1-6 que l'intervalle [À~ ,1] est
m
contenu dans [1;~ + (3e~-1) 1;~2' 1] , et donc <p(1;w t) ~ 0 pour t E[-l,1;~ ]U[À~ ,1].
m
Ce qui démontre (1-20) pour J.l =1, ..., [mil]. Nous pouvons discuter de la même
manière le cas J.l = 0; bien que le lemme 1-11 ne soit pas vrai dans ce cas, (1-19)
nous donne la conclusion désirée.
De façon plus générale, nous avons
LEMME
1-12'.
L'inégalité
(1-20)
est
vraie
pour Il = O,l,... ,m
et
v = O,l,... ,m.

---

14
Démonstration. Nous avons déjà indiqué, en remarque 1-1, que (1-20) a lieu
pour ~ = ~ quand m est pair. L'inégalité est vraie aussi pour ~ =[ m; 1] , ..., m
puisque
<j)(ç, t) == <j)(-{, -t)
et,
ç~=-{m-~
(~=O,l,...,m),
Ày= -Am_y
(v = O,l, ...,m).
Maintenant nous sommes en mesure de démontrer le lemme suivant:
2
LEMME 1-13. Soit p(x):= (1- x ) q(x)
un polynôme de degré au plus
n
tel que Iq(x)I~1 en Ay=COS V1t
(v =0,1, ... , n -2).
Alors, aux racines
n-2
de 't~(x) = °
L'égalité a
lieu
seulement si
p(x) == 'Y 'tn(x) ,où
'Y est une constante telle
que l'Y 1 = 1.
Démonstration.
2
Soit ",(x):= (1 - x ) T~ (x) où m = n -2. Alors,
q(x) = i q~Ày) ",(x)
v=o'" (Av) x-Ày
et donc,
En utilisant le lemme 1-9, nous déduisons que si ç est une racine de 't~(x) = 0,
alors
(1-21)

---

15
En particulier
't"(ç)= Tm(ç) f
Tm(Ây)
<I>(Ç,Àv)
n
l_ç2 v=o -Ây T:n(Ây)-m2Tm(Ây) (ç-À )4
v
et comme Tm(Âv) et
'" '(Âv) = - Âv T~ (Âv) - m~m(Àv) sont de signes opposés,
l'égalité précédente devient
"(~) _ Tm(ç) ~ 1
1
1 <I>(Ç, Àv )
(1-22)
't ':l - -
LJ
'(À)
4 .
n
l_ç2 v=o '"
v
(ç-Àv)
Sachant que 1 q (À v) 1 ~ 1 par hypothèse et que <I>(ç, Ây) ~ ° d'après le
lemme 1-12', alors en comparant (1-21) et (1-22) nous obtenons
1p"(ç) 1 ~ l 't~ (Ç) 1
où l'égalité a lieu SI et seulement si
q(À) = YTm (À),
(v = 0, l ,... m), Le.
p(x) == y'tn(x), y étant une constante telle que 1 yi = 1.
1-3. Démonstration du théorème 1-1
Soit p(x) := (l-x2) q(x) un polynôme de degré au plus n tel que 1 q(À) 1 ~ 1
pour v =0,1,...,n-2. De plus, soit p(x) réel pour x réel. Si p(x) $: ±'tn (x) , alors
d'après le lemme 1-13 il existe une constante c> 1 telle que 1 cp"(x) 1 ~ l 't~(x) 1 aux
zéros de 't~. Puisque les zéros de 't~ sont tous réels et distincts, il découle du
~ lemme 1-1 que 1cp"'(x)1 ~ l 't~'(x)1 aux zo/Ôs de 't~. Les lemmes 1-2 et 1-4 donnent
pour (x,y) E [-1,1] xIR
et k = 3,4,....
Ainsi (1_12') est vérifiée. En particulier
pour
k = 3,4,....
(1-23)
Dans cette dernière inégalité, la condition p(x) réel pour x réel peut être supprimée.
En effet, soit p(x):= (1-x2)q(x) un polynôme de degré au plus n tel que 1q(Âv) 1 ~ 1

---

16
pour v = 0,1 ,... n-2.
Si Il p(k) Il est atteinte en x* E [-1,1 J • alors en ce point le
polynôme
p(k)
peut
s'écrire
p(k)(x*) = II p (k)lI
iu
e
. Considérons
p*(x):= Re (e-iup(x)} = (l-x2)q*(x) qui est un polynôme de degré au plus n tel que
1 q*(Àv) 1 ~ 1 q(Àv) 1 ~ 1
pour
v=0,1,... ,n-2. De plus, p*(x) est réel pour x réel,
d'où d'après (1-23)
pour k = 3,4,....
Sachant que
nous obtenons l'inégalité (1-12).
1-4. Addenda au théorème 1-1
Soit
et
m
w(x):=(l+x)n 1(l_x)n 2 II (x - YII)
Il=O
..
où nI et n2 sont des entiers non négatifs. En plus, soit
w (x):= w(x)
Il =0,1 ,...,m,
Il
x-Yll'
et n:= m+nl+n2 et notons
Cl!!.1 ~ ~.2 ~ ... ~ Cl!!.n-k,
Il =O,I,... ,m
les zéros de ffi~k). Supposons maintenant que Pn est un polynôme de degré
n=m+nl+n2 ayant les propriétés suivantes:
(i) il a des zéros de multiplicités nI et n2 en -1 et +1 respectivement,
(ii) le polynôme ~n(x):=
P:(X)
n
change de signe aux points YO,YI""Ym'
(l +x) 1(l-x) 2

---

17
n
n
A
Dans [6, théorème 1] on démontre que, si p(x):= (l +X) 1 (l-X) 2 p(x)
est
un
polynôme de degré au plus n tel que
1 p(y~) 1 ~ 1λn(Y~) 1 ,
Il = O,l,...,m
(1-24)
et p(x) est réel pour x réel, alors pour les z situés à l'extérieur du disque ouvert
de diamètre (am ,1' ao, n-k) , on a
L'énoncé du théorème 1 dans [ 6] contient une légère inexactitude: les chapeaux sur
p et Pn dans (I-24) y ont été omis par inadvertance.
En appliquant le résultat que l'on vient d'énoncer à Pn(x):= (l-x2) Tn_2(x) et
1l1t
y :=-cos - -
Il =0,1,... ,n-2
~
n-2
nous obtenons
THÉORÈME 1-2. Soit p(x):= (l-x2) q(x) un polynôme de degré au plus n tel
que (1-11) ait lieu. Si p(x) est réel pour x réel,alors pour k = 0,1,2...
1 p(k)(z) 1 ~ l 't~)(z) 1
(1-25)
pour 1 z 1 ~ ~ où ~ est le plus grand zéro de
L{(l-X2)T~_2(X) }.
dxk
l+x
D'après un résultat dans [5], l'inégalité (1-25) n'est pas vraie à des points
immédiatement à droite de --<X
et également à ceux immédiatement à gauche de
K
a • Ainsi, dans le théorème 1-2, a
ne peut être remplacé par aucun autre nombre
K
K
plus petit.
1-5. Quelques remarques sur le théorème 1-1
1-5.1. Dans le théorème 1-1 nous avons montré en particulier que, pour
k= 3,4,..., la conclusion (I-3.1)
reste vraie sous des hyphotèses plus faibles. Plus

---

18
précisèment, nous avons supposé que p(x~ est borné par 1 aux points x = cos V1t ;
v
l-x
n-2
v=0,1, ...n-2. Cela soulève la question suivante: existe - t - il d'autres n-l points,
dans l'intervalle [-1,1] ,ayant la même propriété? La réponse est non. En effet, si
E est un ensemble fermé quelconque de points dans [-1,1] qui n'inclut pas tous
les points xv= cos ~_1t2 ' alors il existe (voir [ 1 ,p.526] ou [10, Remarque 3 p. 138 ] )
un polynôme q, de degré n-2, borné par 1 dans E tel que q(k)(1) > T~~~ (1)
pour
k = 1,2,... , n - 2. Ainsi p(x):=(1-x2)q(x) est un contre-exemple puisque
1-5.2. IL est naturel de s'interroger sur la validité de (1-12') ou au moins
de (1-12) pour k = 2. De plus, on peut se demander si
(1-3.2), (1-3.3) et (1-3.4)
restent vraies sous la condition (1-11). La seule chose que nous mentionnons ici à
cet égard est que (1-3.2) n'a pas lieu sous notre hypothèse plus faible. En effet,
soit
p(x):=(1-x2 )q(x)
où
q(x) = _x 2 +x+ 1 . Il
est
facile
de
vérifier que
Iq(cosV1t)I=1
pour v=0,1,2 tandis que IIp'll =9+;~157 >2=1't~(l)1.
2
1-5.3. Le théorème 1-1 peut aussi être énoncé comme suit:
THÉORÈME 1-1 '. Si
p est un polynôme de degré au plus n satisfaisant
(1-4) , alors
cf
(k)
I I - ((l-x2 )p(x))11 $;1't +
k
n
2 (1)1
pour
k=3,.4, ....
dx
De plus, si p(x) est réel pour x réel et
~:= { x+iy: -1 $; x$; 1} , alors
pour tout y E IR
et
k = 3, 4.....

---

ClIAPI1'l{E Il
POLYNÔIHES Ay ANT UN ZJtRO PRESCRIT
ET IN(~GALITÉ DE BEnNSTEIN
11-1.
Introduction
Il
Soit (Pli la classe des polynômes p(z):= L llv ZV de degré au plus n. Notons
v =l)
Il p " . = 1 le l1laxi IrIUI11 de 1p(z) 1 sur le cercle unilé et Ü~l, 1 la sous - classe dcs
17 1
polynômes p de (Pli tcls que Il plll;>:1 =1 :s; 1. Enfin, désignons par
iP~~ 1 l'ensemble
des pulynômes de ~l, 1 qui s'annulent au point z = 1.
D'aprés l'inégalité de Bernstein pour les polynôlIles
sup 1 p'(z) 1 = n
(11-1 )
PElPn,1
en tout point z du cercle unité. De plus, le supremulll est atteint si p(z):= eiy ZIl,YE IR.
Dans cette deuxième partie de la thèse nous éludions la question suivante: que
devient l'inégalité de Bernstein en un point z prescrit sur le cercle unité si on se
restreint aux polynômes p de la sous - classe
*
(}JII,I de !RI, l '! A priori le supremum
peut être différent en différents points. NOlis avons oblellll une réponse exacte pour
des points z appartenant ~I 1111 certain ensemble En qui sera spécifié plus tard.

---

20
11-2.
Énoncé du
résultat
Pour n E IN soit T
le nième polynôme de Tchebycheff de première espèce.
n
Pour v entier dans [1, 2n -1] soit Pv l'unique solution de l'équation
1
1_p2
Tn(p) =
(11-2)
2
n sin( ~~J
1-p cosl ~~J
dans (cos ;n ' 1) si v est pair; sinon Pv= cos ;n . Notons Cf>v l'unique racine de
l'équation
cos!- =p cos V 1t
(11-3)
2
v
2n
dans (0, 21t). L'ensemble Bn auquel on a fait allusion plus haut a pour éléments
les points Zn,v= ei'Pv ,1 ~ v ~ 2n -1.
Il a été prouvé dans [2] que si n est impair alors, pour p E 'a:' * 1 ' on a
n,
1 p'(-l) 1 ~ n cos2 :n .
(11-4)
Dans (11-4) l'égalité a lieu si et seulement si p =eiyp, où "tE IR et P est défini par
Nous avons pu trouvé, dans cette étude, les polynômes de
*
'a:'n, 1 qui maximisent
1 p'(z) 1
en tout point z donné de En'
Soit
2 cos Cf>v
-1
. I-pv
2
z-z
- 1 - -
- -
, (v=1,...,2n-l).
Pv
. Cf>v
2
sm-
2
Sachant que T est pair ou impair suivant que n est pair ou impair respectivement,
n

---

21
il est facile de voir que, pour v =1,2'00" 2n -1 • la fonction
_ ~"~I-pvT(p)z+z-l v 2 ~
+i" t-Pv T (p )
q>v~~
{Jp2_COS2q>v
cos 2 z-z-l T'(Ç (z»
n
n v
2
. q>v
n
n v sin q>v
2
n v
nPvslOT
T
est un polynôme pair de degré 2n et peut donc être écrit sous la fonne Pn.v(z2)
où Pn.v est un polynôme de degré n.
Maintenant nous sommes prêts pour énoncer le résultat principal de ce
chapitre.
,
,
...
THEOREME n. Le polynôme Pn.v appartient à 'iPn. pOW' 1 Sv S 2n - 1 et
1
p2_COS2q>V
~
J
sup .1 p'(eicpy) 1= ~
~ q>v 2 + v I;Pv T~(pv)
(11-6)
pelPn 1
SlO-
.
2
Le supremwn est atteint si et seulement si p =ei"( Pn.v' où 'Y E 1R.
REMARQUE ll-l. De (ll-2) et (ll-3) nous tirons
T(p)=
1
Pv~
n
v
q>
•
v J
nsin 2
p;_cos2~V
T~(pv) =
n
JIL P;

---

22
REMARQUE 11-2. Afin de simplifier la présentation nous introduisons, pour
v = 1,..., 2n -1, les fonctions suivantes:
9
2
cos <i>v
ç (S): = Çv( /2) = P cos.!!. + 1- Pv
2 sin.!!.
(II-7)
v
n,v
2
Pv
. <i>v
2
SIn-
2
(11-8)
S '-
1
/ 2
2 <i>v
. S
1 (l:
(S)
In,v( ).-
. <i>v \\1 Pv -cos T
SIn 2" Tn ":ln,v )
(II-9)
nPvsInT
<i> -S
sin ------,v-
T~(pV>
(~ T~(Çn v(S»,
(II-lO)
sin~
,
2
définies sur [0, 21t). En outre, il est facile de voir que
. (n
1)
.
9
P
(e i 9) = e - 1 2" - <i>v el n "2 (R
(8) + i 1 (8».
(II-11)
~
~v
~
II-3.
Quelques
propriétés
de
Pn,v
Dans les lemmes 11-1 - II-4 qui vont SUIvre nous allons démontrer des
propriétés de PIl,v utiles dans notre contexte.
LEMME 11-1. Le polynôme Pn,v appartient à J> *
pour 1 ~ v ~ 2n - 1.
n,1
Démonstration. Nous avons déjà noté que Pn,vest un polynôme de degré n.
D'après la remarque 11-2, en utilisant les formules (II-8) , (II-9) , (II-lO) et (II-11)
nous obtenons
2
2
2
=Rn,v (S ) + In ,v (S ) + wn,/S )

---

23
CP -S
l_p2
sin-
v -
}2
+
Tn (p) Tn(çn )S)) +
n
{
2 v T~ (p)
. :ffv
T~ (çn )S))
sm--
2
f
= T~(çn,v(S)) + (l - ç~.v (S)) ~2 {T~ (çn.v(S))
=1.
Enfin, une simple vérification montre que
Pn,v(1) =O.
REMARQUE II-3. La preuve du lemme II-I montre, en particulier, que
i
2
2
1 Pn.v<e 9) 1
+ con .v(S) = 1.
Dans le lemme 11-2 nous allons décrire les points où
1 Pn.v(Z) 1 atteint son
maximum sur le cercle unité.
LEMME 11-2. Soit v un entier dans
[1, 2n - 1]. Le maximum de 1 Pn.v(Z) 1
sur le cercle unité est 1 et il est atteint aux n points
zk:= e i 9K, 1 ~ k ~ n
où
0 < SI < S2 <...< Sn < 21t. Les nombres Sk dépendent de n et de v ; si v
est impair ils sont caractérisés par
Çn.v(Sk)=COS kn1t , 1~k~ v; 1 -1 (v:;tl)
~
S
V1t
S
"'n.v( v+l ) = cos 2 n '
v+1 :=CPv
(11-12)
2
2
~
(S )=cos(k-l)1I. , V +1 + l~k~n
(v:;t2n -1)
"'n.v
k
n
2

---

24
tandis que si v est pair ils vérifient
, 1 $ k $ n.
Démonstration. Ecrivons
ç
(8)
sous la forme ç
(8) = p. cos (8. - 2
8 ) où
n,v
n , v .
2
2<Pv
(l-p;)
cos y
P.=
et
8. E (- ~ , ~)
est tel que
8
Pv
cos. = -
P;
sin2
P.
<i>v
2
<Pv
.
1 I-p; COSy
sm 8. =-
- -
. Nous en déduisons, en particulier, que çn,/8) décroît de
P.
Pv
sin <Pv
2
Pv à -Pv sur l'intervalle [48., 21t ] ç [0 , 21t] si 8. E [ 0 , ~) et décroît de Pv à
- Pv sur l'intervalle [0,48. + 21t ] C [0 , 21t] si 8. E ( - ~ ,0]. D'après la
remarque 11-3
1Pn,v(ei 8) 1= 1 si et seulement si
ffin,v(8) =O.
Soit v impair. Alors, Tn(pv) =Tn( cos ;n ) =O. De la formule (11-10) il suit
8
que ffin,v(8) s'annule si et seulement si sin <Pv -
T~(çn,/8)) = 0, Le. si 8 = <Pv ou
2
çn,v(81l ) =cos Jln1t , Jl = 1,...,n -1. Si nous nous référons à la formule (11-7) et
nous rappelons que <Pv satisfait l'équation (11-3) nous obtenons

---

25
~ (q> ) = _1 cos q>v = cos V7t .
(II-13)
.v
v
Pv
2
2n
En posant
9~:= q>v on voit que les nombres 9k sont bien caractérisés par
2
(11-12) pour v impair.
. 9
m-
Considérons maintenant v pair. Puisque e 2 con,v(9) = Q(ei9 ) • où Q est un
polynôme de degré n. COn.v(z) a exactement n zéros dans la bande 0 S Re z < 27t.
Nous allons
montrer qu'en fait
tous ces zéros
sont réels.
Supposons que
9. E [ 0 .~) et étudions Tn(~,v(9» si 9 appartient à [O. 27t). Pour k = 1.....n -1
k
soit '6
la valeur dans (O. 27t) pour laquelle
Çn,v('6 ) = cos 7t .
Alors.
k
k
n
T
»=
n(Çn,v('6
(_l)k et
T~(Çn,V('6k» = 0 • ce qui implique. d'après (II-I0).
k
con,v('6 ) = (-I)kT
k
n(pv). De l'étude de ~v(9) il découle que Tn(~v(9» croît de
Tn(pv) à Tn(P.) sur l'intervalle [0.29.]
et décroît de Tn(p.) à -1
sur l'intervalle
[29•• '61], Dans l'intervalle ['61 , '6n -1] la courbe représentative de Tn(~ v(9» a
,
n - 2 branches passant de -1 à 1 ou de 1 à -1. Enfm. quand 9 varie de '6n-1 à
27t. Tn(~v(9» croit ou décroît suivant n de (_I)n -1 à (-Jt Tn(pv). Dautre part.
un simple calcul montre que con,v(O) = 1 et con,v(27t) =(_I)n. De ce qui précéde il
découle donc que con,v(9) s'annule au moins une fois dans chacun des n intervalles
( 0 .'61 ) • ('61 • '62 ) ..... ('6n-1 • 27t). Si nous supposons maintenant que 9.E (- ~ .0]
l'allure de la courbe de Tn(Çn,v(9» change mais. de façon analogue au cas
précédent • nous aboutissons à la même conclusion pour le nombre de zéros
de con,v(9)
A titre d'illustration nous donnons ci-dessous les graphes de çn,i9) et
Tn(~v(9» sur [0, 27t) dans les deux cas 9. E [0, ~) et 9. E (- ~ ,0] pour
n = 5 et n = 6.

---

2h
0.75
0.5
Il = 5 , P", = .95
et
O. = ~
() . 2~)
( J - - - I - -
2.5
- 0 . 2~)
-0.5
-D.75
-1
0.5
P", = .99 et 0", = ~
30
2n
---- 1-1""..... 0
, 1
1
-0.5
1
-1
11~ =.99 et 0 - 1t
.
·-30
-0.5
-1

---

21
ç (0):::: p cos (8. - U) avec
Il,\\'
•
2
0.75
7t
o.!)
Il :::: 5 ,1) :::: .95
el
e.:::: - 5
j.
0.25
..I--~O
1 1 . Ij
-0.2.5
-0.5
-0.75
-1
11:::: .99 et e. =_E-
30
2Jr
--1--13""0
fi 1
1
-o.s
1
1
1
-1
1
IJ :::: .99 et O. = _ E-
*
30
-0.5
-l

---

28
Si, comme précédemment, nous notons 8k (l :5 k :5 n) les zéros de wn,v' alors
d'après (II-10) ,il suit que
J
Pv
l-ç~,v(8K) sin ~ Tn(çn,v(8k»
+Jn2(p~-cOS2iV)Sin2iV _p~(l_p~)Sin<i>v2-8k JI-Ç~,v(8K) T~(Çn~v(8k» =0.
nous donne
et
np sin <i>v
v
2
+
2
P2(l_J:
(8 »sin2<i>v + (n2(p2 _cos2<i>v )sin2<i>v _p2(1_p2» sin2<i>v-8k
v
~n,v
k
2
v
2
2
v
v
2

---

29
Soit maintenant 8. E [ 0 , ~). Puisque v est pair et <t'v satisfait (11-13) alors,
v
Tn(Çn)<t'V)) =Tn(cos ~~) =cos v re = (_1)2
2
d'où, <t'v est une des valeurs
'Ô
(k = 1,2,... , n -1). Nous observons également
k
que
T~(Çn,v(8)) est alternativement négative et positive dans les intervalles
( 28. ,'Ôl ) , ('Ôl ,'Ô2) ,---, ('Ôn .1 ,2re ); de plus Tn(ç (8k)) T~(ç (8k)) est négatif
n,v
n,v
(resp. positif) si <t'v > 8k
(resp. <t'v < 8k ) _ Ces remarques et l'identité
p~(l-Ç~,v(8k))Sin2iV +(n2(p~ -cos2iv )sin2iV -p~(l-p~)) sin2<t'v~8k =
(p2 -cos2 <t'v ) (n2 sin2 <t'v sin2 <t'v -8 k + sin2 8 k)
v
2
2
2
2
nous conduisent aux résultats énoncés dans la seconde partie du lemme 11-2. Le
même raisonnement reste valable si 8. E (- ~ ,0].
Dans
le
lemme
11-3
qui
suit
nous
évaluons
Pn,v(z)
aux
points
Z '= e i eIC 1 < k < n
k'
, -
-
.
LEMME 11-3. Soit v un entier dans
[l, 2n -1] et
zk:= e i eIC
(l $ k $ n)
les points où 1 Pn,v<z) 1
atteint son maximum. Alors, si v est impair
. ( n I )
.
eK
-1 -
-
lJlv In-
Pn,v<e i eIC ) = (_l)k e
2
e
2
1 <k< v+1 -1
-
-
2
ie v + 1
1t
-
iv- icn
(
2)
2
't'v
PnoV e
= e
e
8 v + 1 := <t'v
2
. (n
1)
.
eK
-1
-
-
q>
I n -
Pn,v(e ieIC ) = (_l)k-l e
2
v e
2
v+1 +l<k<n
2
- -
tandis que si v est pair
,1 $ k $ n.

---

30
Démonstration. Soit v impair, alors par définition
p = cos ..1L. En vertu
v
2n
des formules (II-11), (11-8) et (11-9)
nous obtenons, pour 1 ~ k ~ n ,
J
. n
. 9"
p2
2 <Pv
.
-1(- -l)<p
m -
v -cos T
S
Pn,v(e I91C )=e
2
v e
2 (Tn(Çn,v(8k))+i
sin--f-T~(çn'V(Sk)))'
n p sin <Pv
v
2
Alors, en faisant appel à la première partie du lemme 11-2, nous aboutissons aux
résultats du lemme 11-3 pour v impair.
Maintenant soit v pair. D'après les formules (11-8) et (11-9), la remarque 11-1
ainsi que la seconde partie du lemme 11-2 il suit que
n sin <Pv sin <Pv -SIC
R
(8) = (_l)k+l
2
2
n,v
k
S
sin 2..
2
Par conséquent, pour avoir la conclusion désirée il suffit de remplacer ~)Sk) et
In,v(Sk) par leurs valeurs dans (II-11).
Calculons maintenant
1 P~,v(z) 1
aux points de En'
LEMME
11-4. Soit
V
un entier dans [1, 2n - 1], <Pv et
Pn v définis
,
comme précédemment. Alors,
, 1 ~ v ~ 2n-1.

---

31
Démonstration. Un simple calcul montre qu'en dérivant (II-11) par rapport à
8 on obtient, en 8 = (j'v ,
(l ~ v ~ 2n - 1) ,
où
De (11-7) nous déduisons
(11-15)
Soit v impair, alors Pv = cos ;n . A l'aide des formules (11-3), (11-13) ,
(11-15) et l'équation différentielle
(l - x2) T~(x) - x T~(x) + n2 Tn(x) = 0
nous
obtenons

---

32
d'où
p' (èpV)=e v~
2.!! [J
2
2
+
J
i
P;-COS <f>v
1
n,v
2 ,
<f>
sm.......Y...
2
Maintenant soit v
pair, Dans ce cas, les formules (11-3), (11-13) ,(11-15) et
l'équation différentielle que l'on vient de citer nous conduisent à
Le lemme est ainsi démontré.
11-4.
Preuve
du
théorème
II
IN
.
-:0*
Soit n E
et v
un entier dans [1, 2n -1] . De plus soIt p E u-n,l . Par la
formule d'interpolation de Lagrange
n+l
n
i
p(z ) =l
p(~ )Lk(z ) = l P(zk ) Lk(z ) , zk = e ek (l ~ k ~ n ) , zn + 1 = 1 (11-16)
k=l
k=l
avec
i
et zk = e ek , 1 ~ k ~ n
sont les
n
points sur le cercle unité où
1 P n,v(z ) 1
atteint son maximum . De (11-16) il suit

---

33
n
p'(èl'Y) = L p(ei 8k ) L~(eiq>y )
, 1 Sv S 2n - 1 .
(11-17)
k=l
Puisque Ok (1 S k Sn) sont les zéros de (On,v<O) on a
et alors
i (.!!.. - 1) 8
{
ie 2
1
0 (On ,v (0)
-cos-
+
i.!!..8
0
2
2
0-0
2e 2 k sin---.!s.. (0'
(0)
sin
k
2
n,v
k
2
J'.
(On,v(O)
0
. n . 0 (On,v(O) }
sm- +}- Slfi----'----
(11-18)
0-0
(
2
2
2
0-0
sin
k
sin
k
2
2
Nous démontrerons tout d'abord les propriétés suivantes: si
v
est impair,
alors
•
Tt _ _.....,..."._
L~(eiq>Y
i
) = el v"2 P ,v (e 8k ) 1L~(eiq>y ) 1
n
( k = 1,..., n) ,
(11-19)
tandis que si v est pair
i
L ' (eiq>y ) = e i (f + l)n P
(e 8k ) 1 L' (eiq>y ) 1
( k = 1,..., n ) .
(11-20)
k
n,v
k
On remarque en premier lieu que (O~,v(Ok) = (_l)k 1 (O~.v(Ok ) 1
(1 S k Sn) .

---

34
En effet, puisque
OOn ,v(SI ) = 0 et OOn ,/0) > 0
alors
OO~,v(SI) < O. Le même
raisonnement montre que OO~,v(S2) > 0 , OO~.v(S3 ) < 0 ,'" etc. Ainsi, OO~./S) change
de signe en SI' S2 ' ..., Sn
respectivement.
Soit v impair. Nous distinguerons trois cas:
Cas (i). 1 ~ k ~ v ; 1 - 1. Alors ,<Pv '# Sk et d'après (11-10) et (11-13) OOn ,v(<Pv)=O.
D'autre part, un simple calcul montre que
T~(~.V<S»
S-S
sin
k
2
D'où, d'après
(II-18)
• 1t
• (n
1)
. n e
1t
1
•
1 -
2 1 -2 -
<tJy -1-
2 1C
k i(V+I)-2
Lk(el<tJV) = - e
e
e
(-1) e
J
S
<P -S
<P
4100' (S )1 sin----!.. sin v
k
p2_cos2---.Y...
n,V
k
2
2
v
2
par le lemme 11-3.

---

35
Cas (ii), k = V; l , Dans ce cas 8v+1=CPv et
2
d'où
et
v+l
= (-1) 2
CPv
N
i (v+ 1)~
cos-
2
P
1 p2
=_ e
2 _--==-- ~=v==-=v==-
2s1'n2CPv
/ 2
2 en
2
\\/ Pv -cos ;v
De la fonnule (11-18) et des deux dernières relations il découle
L~(èjlv) = e-i</lv
n P v N
J
41 ro
p2
1
(en) 1sin CPv
- cos2 CPv
n,V 'Yv
2
v
2
par le lemme II-3.

---

36
Cas (iii). V; 1 +1 ~ k ~ n. Comme dans le cas (i), on a (On ,/q>v ) =0 et q>v'# Sk.
Alors,
et
par le lemme II-3.
Maintenant soit v pair. De (II-lO) et (II-13) on tire
•
1t
I V -
(On )q»
= e
2 Tn(pv)
(On ,v(S) )'
(
S-S
.
k
sm
2
S=q>v
Alors,

---

37
'(V
1)
.n
.n
_nsin<PVsin<Pv-ek_isin~
l '
1 "2 +
1t
k 1 (- -1)<Jl
- 1 - 91C
2
2
2
Lk(el<Jly) = e
(-1) e 2
Ye
2
_;:=:.=====================-
par le lemme 11-3.
Appliquons finalement l'interpolation de Lagrange à Pn,v' De l'égalité
n
Pn,v(z) = l Pn.v<ei 91() Lk(Z)
k=1
il découle, pour v impair,
•
1t
L' ( i<Jly )
n
I V -
e
= ~ e
2
k
L~(è~y) par (II-19)
LJ
1L' ( i<Jly) 1
k=1
k e
iv~ n
= e
2 l 1L~(ei<JlY ) l ,
(11-21)
k=1
et ,pour v pair,
"
n
i (~+ 1)7t L~(e i<Jly)
P
(el <Jly) = ~ e 2
n,v
LJ
par (11-20)
k=1
1 L~(e i<Jly) 1

---

38
(11-22)
Par conséquent, d'après (11-17) ,on obtient
n
1p'(ei<PY) 1 ~ L 1p(e i9t ) Il ~(ei<PY)1
k=l
n
~ L 1~(ei<PY ) 1
k=l
par (il-21) ou (il-22),
ce qui, avec le lemme 11-4, démontre le résultat (II-{j) énoncé dans le théorème il.
li reste enfin à prouver que l'égalité a lieu si et seulement si p = ei'Ypn,v ,
avec 1eIR. Si p =ei'ypn,v il n'y a rien à démontrer. Supposons donc que
Le.
n
n
1 L p(e i9t ) L~(ei<py) 1 =1 L Pn,v(e i9,,) L~(ei<PY) 1
k=l
k=l
n
n
icpy
1 L p(ei E% ) ~(ei<PY ) 1= L 1~(e
) 1
par (il-21) ou (11-22)
k=l
k=l
Cette dernière égalité a lieu si et seulement si
Par conséquent, d'après (11-19) et (11-20),

---

39
(k=l,...,n),
ou
( k = 1,..., n ) ;
de plus,
D'où
•
1t
- l V -
P =Ee
2 P
ou
n,v
ce qui compléte la preuve du théorème.
REMARQUE ll-4. Si v =n et n est impair alors Pv= cos fn
et
CPv =1t •
On voit alors facilement que Pn,v coïncide avec le polynôme P défini par (11-5).

---

CONCLUSION
Dans le chapitre 1 de la thèse nous avons obtenu des réponses satisfaisantes
au problème posé pour toutes les valeurs de k sauf pour k =2. Ce cas qui reste à
étudier sera un projet intéressant et nous souhaitons l'entreprendre dans le cadre
d'une recherche postdoctorale.
Dans
le
chapitre
II
on
a trouvé, pour un
ensemble de
points
zn,v'
V = 1,...,2n -1, le supremum de 1p'(zn ,v) 1
pour tous les polynômes de degré n
s'annulant en
z = 1 et tels que 1 p(z) 1 ~ 1 sur 1z 1= 1. Il serait intéressant de
trouver le supremum en tout point du cercle unité.

---

IJIIJLIOGRAPHIE
[l]. R. J. Dumn and A. C. Schaerrer, A refinemellt of an inequality of the
brothers Markoff, Trans. Amer. Math. Soc. 50 (1941), 517-528.
[2].
C. Frappier, Q. I. Rahman and
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a prescribed zero, Constr. Approx. 2 (1986) , 171 - 177.
[3].
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Q. I. Rahman , Ineqltalilies
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[4].
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[5].
R. Pierre
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Q. I. Rahman, On
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[6].
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---

42
[9]. Q. I. Rahman and G. Schmeisser, Markov - Duffïn - Schaeffer inequality
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polynomials with
a
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majorant,
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Math.
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[lU].
T. J. Rivlin, Chebyshev
polynoniials: from
approximation
theory
to
algebra
and number
theory,
2nd ed., John
Wiley
&
Sons, Inc.,
New York, 1990.

---

REMERCIEMENTS
Je voudrais expnmer toute ma gratitude au professeur Q. 1. Rahman qui m'a
fait profiter de son immense expérience. Il m'a guidé durant toutes ces années dans
le domaine exigeant de la recherche. J'ai beaucoup appris avec lui, non seulement
sur le plan des connaissances mathématiques mais aussi sur celui de la persévérance
et de la rigueur dans le travail. Je voudrais aussi lui témoigner ma reconnaissance
pour le support moral et financier qu'il m'a apporté pendant des périodes difficiles
que j'ai eu à traverser.
J'ai eu de multiples consultations avec Mr P. Olivier au sujet du problème
considéré au chapitre Il. Je lui exprime mes sincères remerciements pour sa
collaboration. J'apprécie la patience et le soutien de ma famille durant ces années
d'absence. J'adresse également mes remerciements aux familles DialIo, Diop, Guèye ,
Marcoux, Olivier, Pam et Tardif pOlir leur amitié avec une mention spéciale pour
Mme Hélène Tardif
Enfin, à tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à l'aboutissement de
ce projet je dis merci.

---

---

1•
•,r
,
t
•: '~
..,

---