UNIVERSITE CHEIKH ..ANIA (JIOP DE OAKAR
FACUl Tf Ot~ SC If.NCES
THf5r Dl DOCTORAT
DE. leme cveLL lN MAllilMAl iOUES
"POLYGONE DE NEWTON ET ORDRE
DE LA DISTRIBUTION
1If"
ltoulenuC) le 21 Juil1al 1Q90 par:
Seydou Nourou lCane. DJ AllO
1
1
Devant If Jury:
1
1
1
Pr~~;tdent=
M.
DOudou Sikhtr f.HIN'I
1
Examlnat~s
Mf1.
c"~r If BADJ1
1
6alaye DIA
f
Edmond FEDIDA
patr1ck SARGOS
f
1
t
~.
ANNEE UNIVER511AIRE 1989-1990

---

."
JI DEDI! CI TRAVAIL
A KA TRES CHEllE H41fA11 ADIARA ~

---

Je' tieu. à exprimer ma profonde reconnaissance l
Monsieur Patrick ,SARCOS pour m'avoir propos' ce luj'et. luivi et
orient' mes recherches avec beaucoup de pédagogie, de dilponibilité
et danl une ambiance amicale.
Je remercie tra. sincarem.nt Mousieur le Profes ••ur
Roger GAY et Monsieur le Professeur Alain YGBR qui n'out ja.ail
,
,
,
a.lurl leur' templ lors de mon séjour 1 Bordeaux pour m'espliquer
.
.
l'int'rlt du sUJet et le s app1 i cst ions pr'at iques qui en cllcoulent.
Monlieur le Professeur Sakhir tRIAM m'a fait l'honneur de
prasider le Jury, je lui en suia très reconnaissant.
Je remercie Messieurs les Professeur, C. BADJI, G. DIA
E. PEDIDA pour: l'intér€t
qu'ils po'rte'nt à ce' travail :et pour avoir
bien voulu .tre Membres du Jury.
Madame Soda NDIAYE a assuré la frappe avec beaucoup de loin.
Je la remercie.
Je me garclerai d'oublier les collègues du dapartement cie
Math'm.tiques qui n'ont cesa' de m'encourager.
Que mes amis, qui m'ont toujours soutenu, trouvent ici ma
-
.
profonde .gr'atltucle. Je citerai crltre a'utres Sogui DIARISSO.
.
.
.
Ousmane DIOP, A1ioune WDIAYE, Mou~tapba NDIAY!.
~--~---------------

---

POL Y GO» E
D!
• E W T 0 •
•
B 'E
o. D R 1
D E L A
DIS J R 1 l. tJ or 1 0»
l/f
-

---

1 0
INTRODUCTION
Le problême de la division des di~tribtition., ~O., par
~
Laure'nt SHWARTZ C8 J, résolu par liORHAMDER [6 ] "~o~r le. poly-
nemes 'et par LOJASIEWIEZ [ 7 ]
pour les fon'ctions analytique.,
."nonce ainsi ~
Soiè"nt Q un ouvert de
]Rn J
f : n - > 1:
une fonction
analytique r&elle,
S
une distribution sur
n.
Peut-on trouver une distribution
T
sur n qui v'rifie
l'lquation
(o. t>
Ce qui revient a dire que
T(f ~) .. S(q»
pour' toute'
.fon'ction"-te"st ,
à support dans
r..
Il a 'Et' démontré par ATIYAH C2 J que ~ dan. 'le cas i.por-
tant
S · t
le probl~me peut-Itre résolu à l'aide du problame de
GELFAND
[5J
à savoir le prolongement méromorphe de la distri-
bution
Ifls. Des m~thodes concr~tes de résol~tion des aingularlt's
de
f
peuve~t alors €tres
appliquées au problême de la divi,iou
.
.
'et on peu t e~pérer obt eni. r, dans ce'rt~ins cas des ~é.u1.t·at. plus
prlci. que la simple existence de solutions de
(O.J).
Par exemple, l'un des problêmes les plus .u"aturels ... t
de
majorer l'ordre de la solution dtATIYAH
de l'~q~atioD
f • T •
1
'Nous r€soudrons
entiarement ce problAme dans 1 • • itaation
particulière suivante
:~, est un voisinage de 0 dans ]R2 ,
f
e'st a valeurs positives, admet un minimum 'stri'ct à l'origine
'et e'st uon de'g~nêrée par rapport l son pol)·gone de" Ne:~toD C9 J '
C1J ; de' telles fou'ctions ont dljl :'tE 'ftudiées daus [10J
La m'ftbode peut-d"tre Etendue l 'une s'itu'ation beaucoup plus
"
-
.
g'nlrale ['4 J J avec une l.gare modific·.tioD dea taault·ata.

---

-
J -
f 1
ENONCE DES RESULTATS
, Soient n un voisinage ouve'rt de
(0, 0) dan.
m2 •
.
-
f
: n ->lR
une fonction analytique r§e11e nulle l
l'origine 'et
adlie'ttant un min.imum strict en ce point. Nous nous iut'ressoD. 1
l'ordre des distributions
T,
définies sur
n, qui sont solutions
de l'Equation
( 1. J)
f T : :
J
(cf C 2 J)
Noua construisons. l
partir du polygone de Newton
de
f, un entier
~(f) ~
qui v'rifie les propritt_. suivantes.
-,
Tbéor~me
1 :
Si
f
est non dégEnéré. par rapport 1 son
rolygone de Newton
[9 J, alors, il exfsteune distribution
T,
~olution de
( l . t ) dont l'ordre e~t
~(f).
Ih~orame
2 :
Toute solution de (1.1) e~t d'ordre ~ ~(f).
Si
f
est dég§nérêe par rappo'rt l
son polygo~e de Newton,
le th6or!me
1 est faux. Un contre exemple est donna au 1 2.5 •
La méthode utilisée est celle 'de
C3J" 'et la démonstration
revient a minimiser le nombre des int'gra~ion8 par parties annoncées
dana le 'lemme 3.1 de
[ 3 J .
Les d'finitions et la con~tru~tion de
U(f)
sont données
au 12. La démon'stration ~u th'orame
1
falt l'oblat du
'3.
Ce-lle du' th'or~me
2, plus facile, e'8texpos'e au
14.
... / ...

---

-
2 -
• 2
PRELIMINAIRES
Les vecteurs de la base canonique de]R2
saut notés
e l · Cl. 0)
et'
e
•
(0.1)
et on pose
1- (1. l).~. (0.0).
2
La notation
f(x)«
~(x)
(x ,
X) signifie qu'il existe
une con~ta~te
c > a
telle que
f(x) ~ c g(x) V x 8 X •
Le prod~it scalaiTe dans , ]R2
e"st n"ot~
2
<À. a>
'et
• r À. a· (0;) À • 0, t' À2)
•
J 1
1
1-
Enfin
Ç8(O>
d'8~ne l'espace des fonctions Cœ l support
compact contenu dans
g. ';II en) e'st l'espace des di'8tTibutio~s sur
n e t
f.9(Q) est l'iel'al engendrê pax
f.
.
Le symbole"
l
la fin d'un 'nonc' signifie que la d'mons-
tration ne présente pas de difficultés ~t a ~té omise.
2.2. - Fon~tion non d~g~n~r€e
'Etant donnée la fonction
' f
: .Q->lR
anal'ytique. réelle
admettant le développement en s'rie e"ntiare
i
j
f(x
• x
) ·
L
2
a
~1 x
J
2
'. on appelle polygone de Newton de
(i.j)GN
ij
2
f
l'en.emble
(Conv(A)
désigne l'enveloppe convexe de
A;
1R+
•
[!J. +~C >.
Pour chaque f&ce T de ~t(f). le polynome qU~8i hOlllogine
issocii l
f
est
f
(x
X)
..
I
b
. x. i
xi
T
l ,
2
2 " f
1
2
ei.j)Q~"'1N
J
NOUI
diTons que
f
est non d'4générie paT rappoTt a Ion
,
polygone de Newton si, pour chaque face ~orné~ ~ de ~f)! le
i. .
gTadient
f'
ne s'annule pas en dehoTs des axe. de coordonnles.
~
.,
••• 1•••

---

-
3 -
Ex!mple:
f(x, y) = x 2 + 29xy + y2
e~t non d~g!n~r~e si et
seuleme~t si e / _1 ; elle admet un minimum ~trfct si et seulement
si
e > -1.
2.3. _ Une construction géométrique de
~(f)
Soit
F
une face compacte de .....<::(1:;. (Une telle face existe
si
f
est nulle à l'origine et admet en ce poi'nt un minimum
'stri'ct) •
Soit
D
la droite affine engendrée par
F -
l ; alors D
coupe chacun des axes de coordonnées. Soit' t i
l'abscisse du point
• •.
lntersec t'10n d e
D
avec le 'l ème
d
axe d e CQor cl onn é '
es p on d'"eSlgne
par
~.(F) l'entier imm~diatement sup6rieur à t.
l
atitrement dit
l
~.(F)
entier et
~.(F)-
~. t. < 1J. (F) •
l
l
l
1
On pose alors pour toute face
F
cl e /~(f).
si
F
bornée
{ll(F)
(2.4)
1J(F) = 0
si
F
non bornée
Soit enfin
le maximum po'rtant
(2.5)
sur
1J(f)
l'ensemble
= max
des
~(F)
faces de A,(f).
Exemple: si
f(x,
2
y) = x4 + y6 + x
y2, alors
~(f)· 4
(cf figure ci-dessous)
.....:::~-~':,~'.~::~':::::-::---~~ ._..._---.-._-.•.------..:..
.- .~ ....- ~' .. '-~:-":,:,:,,:,,,,:,~ ..."::......_-_--:..'=':"'~.'
..-
S ... ,
• .•'''''l'!'.....
.•.'-.....
. . . . . . .
,
.
J
1
t · ..-
3
-
.t,
E...
'"
.... 1-
,.,-
- "'"'-=---.,_.;_.
....
0
...
-t
~
-1
5
o
"'1.
=•• / •••

---

- 4 -
2.4. - Une caractérisation de ~(f)
SoIt
F
une face de ~(f). Nous appellerons covecteur
associf l
F
le vecteur non nul À = (~1' ~2)t o~thogonal à
F,
te 1 que
p. g. c • d •
0'1' À2 )
,..
1.
Si
F
est bornée, alors À. ~ 0
pour
i
•
J, '2.
1
Lemme 2.1 :
Soi t
F
une face bornée de ~ (f)
de cove'c,teur
À •
(À 1, À2) et a • (al' ( 2 )
un sommet de
F. Alors ~(F)
eat le
plus petit entier
K
tel que l'on alt
2
( 2 • 6)
1 · (p, q) g ~
e t
p + q •
K -> <À, R. > ~ <À, CI - l > + 1.
-----------------~----.
Remarque: Comme
f
admet "Un minimum 'strïet, ~~f)
possade,un
sommet sur ehaque axe de coordonnées. Les deux faces non bornles
,
1
r"
'de ~(f)
sont done contenues dans les axes decoordonniea et
leurs covecteurs sont
el = (J, 0)
~t
e
= (O. 1). Pour ces
2
faces, l'analogue de
(2.6)
s'écrit
<A, CI -
1> +
1 • 0 •
-
2.5. - Un contre exemple
Si
f
e'st dégénérée, alors le' théor~me
1
e'st faux. Plus
pr4ciseme'nt, i l existe
f1c.'
adme'tta'nt un minimum 'strïet a l 'ori-
gine, tel que
lJ(f
)
= 1 e't tel que'to'ute solution de (1.1) soit
k
d'ordre
~ N1c.
avec
1 im
Nk '" + al
k++co
2
Eu eff'et, posons
fk(x,
y)
= 0x _ y)2 + x 1c.
D'aprês la construction géom'crique du '2.3, on a p(fk>· 1.
Faisons maintenant le changement de variables suivant
.
et posons
{:~:-Y
fk(U, v) •
f1c.(x, y).
On a alors
ll(I )
k
DO
k,
ce qui fournit le contre exemple
cberch' d'ap~ês le Théorême 2.
• • • 1• ••

---

- 5 -
i'
',;.
-
.-.- ;7'
",
-
-
,
-~._--
-
-
-..-
"'-'._-
.
·t
~
,
r
1 of
"
3-
' ,
'R. /
_... _.
-tel
"'- ..
~._.,
---'-
.-.: -
._.
,
--'
.L
.~~ .3 1
':D
0'
C )~i
f 3
DEMONSTRATION DU THEOREME
-------------_."""="'"
Solt
f
1 Q ->IR
une fon:ction analytique réelle adllet-
ta~t un minimum ~trict a l'origine, non d~g~nfir~e par rapport l
Ion polygone de Newton, nous al1on.f' con'struire 'une di'stribution T
sur 0 d'ordre
~ ~(f)
v~rifiant (1.1) c'est-à-dire vérifiant
r
( 3. t>
T (<Il)
'"'
J; ~~ ;~_YL) d x d y
'\\J (i G t9'( n)
A, t x, y
\\ .
La· méthode de [ 3 J utilisant un découpage 'et des partitions
de l'unlt~ s'applique 1 notre prcbllme en ve~tu du principe suivant.
Lemme 3.1
: Soit
(oi)
une
famille
finie de mesures sur
n
i ' l
)
telles que
w
O,
soit ~gale à la mesure de Lebesgue sur
Q
iGI 1
Considérons l'équation
f
T
Supposons que pour chaque
i,
il ex i'a te
Ti G 5&<n> solution
de (3.2).
Alors
T ·
T.
2
e~t sol~tion de (1.1) dans
1.
a •
iGI
••
•• • 1• ••

---

-
6 -
3.1. - ~COUp2g~~
U:l d~cou?~g~ Li tune partie mesurable
A
de
]R2
.ast une
partition de
A
l des ensembles n~gligeablei pris
(cf
[ 3 J §2.J).
a)
~!~2~e!a~_~!_~ 1. 0 2
Pour tout
&. (El' (2) -
( t l , ±J)
on pose
2
c ..
•
{(x)' %2) G 'm
0
&
~ &i xi t. 1
i
•
J. -2 } •..
La famille
fo1'me un découpage de
G- J. 0 2 en
qu·atre car1".
r - -
.1
--.-.+-----t---.;.-~._
- -j i
t
1
1
~-_._--+--_.......
-1-
re~ 1~ lem~ê 3.1
nous sommes ramenés à rEsoudTe, pour
chaqu.e
Et
l'€'It.,atic'~'\\
r.
1
IÇ· ~ x 1 ~
:le 2 )
T(~J
~
D
f(X , x '
dX 1 dX 2
1
2
e:
p~~ symitrie. noua nous r~streindrons au cas ou
-
,.- 2
{~
."
e '" L::1t ~
•
Dé~Cct~-r.p,O'e de
.. ,', .....,_c;;,_.g, __ ..... _
D~~i8U03S par
~c' FI"··' FR
les faces de ,f,< f)
rans'e 6
par pente cr~i~oante (de _œ à 0) ~t par
leur.
À- o '
À 1 , · · · ' À R
covect6ur6 ~e~pectifs. ?O~1' chaque
r z
1, •••• R
solt
r • lR \\
~ :Œ. À
le cBne convexe engend 1'6 par
et À
•
l'
+"1'-1·
+
r
r
Alors 1& famille
(rr;
forme un d6eoupage de
}~r~R
Considéron& l!~pplication
..A;. if'
,.., 2
'\\,
1R 2
oG,i:
L:"
~
>
+
(Xi'
x 2 ) ---->(-Log xl~ -Log x2)
• • • 1•••

---

- - -- _._ .." ..__.. ...
----------
,
--"--------'--~
---------------
..-_. --~
------
.
- 7 -
Alors
la
famille
(S
)
r
l~r~R
forme
un découpage de @' iJ 2 .
~--
1 ...,-
-.- --
-.--
-
s..
soient
F et G deux faceS adjacenteS de
teurs
respectifs
--tU). de covec-
À
et
y et soit
S =-<-1('IR
oU
+ À + 'IR +y).
tration
La
du théorème
d~mons-
se
ramène
à celle du
••• 1• • •

---

-
8 -
Lemme 3.2.
Soit
S
un iliment du d~coupage (3.4).
Alors il existe une àistribution
T ~ ~(n) d'ordre
~ ma~{u(F), ~(G)} telle que l'on ait
(3.5) T(À\\) =J!l1{X' y)
dx dy
(D.'
b f,Olen).
'1'
f(x,
y)
;Q
S
En effet. en appliquant le lemme 3.2 à chaque êlément du
découpage ci-dessus. on obtient grâce au lemme 3.1 une solution T
dont l'ordre est ~ U(f). Mais le th~orême 2
(do~t la démon8tr~tion
est indépendante) implique que ce~te sol~tion e~t en fait d'ordre
]J(f).
A partir d'ici! on fixe
F
'et
G
'et par conséquent -aussi
(,' y et S.
3.2.
Le Changement de variable w associé à
F
et G
On considèré l'application
(3.6)
w
@. 0 2
.......
> @• 0 2
,
- À
- /\\ 1
'Y t
2
"(2
(u, v)
1
y)
- > ~x,
"" (u
v
• u
v
)
La restriction de w à JO, 0 2
peu t-'!tre
définie par le
diagramme
CL 7)
s
?
où
p
est l'application
p
---> ]R-+
.../ ...

---

ttt
- 9 -
. 1
1
1
litt
1!1.1
()

---

-
10 -
Les propriétés de
l!application W peuvent ~tre résumées
comme suit
Lemme 3.3 : Soit Ct le sommet commun à F
et
G;
m = <À, a>
et
n = <y, ex> • Alors il existe une fonction ana-
lytique réelle
f *
r'!êfinic cL';s t:'1 '~oisiné'ge
W
telle que l'on ait les deux proprietés suivantes
m
n
*
(3.-8)
f OUl
(u,
v)
= u
v
f
(u,
v)
(u, v)
"
(3. 9)
si
(li
•
a.lors
f * (ua' v
o -
o )
Démonstration
Posant
f(x,
y)
ou a
<À.
(i,j»
foW(u,v)
= l
<v.
(i,j»
a ..
u
v
r
i,j
1)
..
mais !,our t'ont
: ,
: '
,..
_,.,.2 Aj~(r'
'"
JI
~
~ )
.<.1.,",
.(
~l\\-,
J..},
on a
et
<y,
(i,j»
4. n ,
par convexité.
On v~rifie
alors que
la série entière
,..
<y, (i, j ) > -n
f
(u, v)
L
a ••
v
( i , j ) GIN 21\\--te f )
1J
1
converge au voisinage de
Lù-
(02)
; ce qui prouve' (3.8).
Pour montrer (3.9) 1
on utili~e le lemme 9 d~ §8 de
[lJ
:1.:
qui caractérise l'hypoth~se de non d~gê~~rescencè-e~' termes de f
•
Cela peut se résumer ainsi.
SOlt
(u
- 1
1
\\"
)
G w
(Q). Notons que
o
0
avec
Supposons que
f*(U
, v ) = 0
; alors nécessairement
o
0
u
= 0
et
v
;
0
ou
u
~ 0
et v
•
O. Si on prend
u
= 0 et
o
o
o
*
0
0
v
~, la fonction
v
- > f <O. v). a valeurs posïtives, admet
, 0
, -
" , . . ,
un min imum en
Vot
ce qui implique que a2 f (ua' va) e~t nul.
Ce dernier poi~t contredit l'hypoth!se de non dégénérescence
(cf
[ I J ) .
C.Q.F.D.
• • • 1• ••

---

-
1 1 -
D'après (3.7; J
la formule de changement de variables
appliqu€e
à
l'int~grale (3.5) s'icrlt :
':il (
(3. la)
r
-v
'lr
.... !
y)
dx dy
:;-
f(x, y)
A/~2 4>( (ul v)> '-VI v 2
f * -
u
du dv
J
(u, v)
s
où on a posé
6. = ldeto., 'Y) 1
et
{\\)1 = <À, (X- I > + 1
(3.11)
\\i
= <'V
CI.-
l >
+
1
2
' ,
3.3. - Utilis.!.t2:2.E' d'u::.. ~~!!i.tion
del'Unlté
AIt aide èe
la
formule
C3, la) :et ci rune pa't't'it'ion de l'unité,
. . . . . .
..
on peut ramener la dimonstraticn du lemme 3.2 au r€sultat
suivarit
,Lemrt\\e
Po~r ch4que (u, v ) Q w-1(0), il exi~te ~n voisin~ge
(>
0
- "
(JI
ouvert TI de
(u
" "0)'
V CW' tel que,
pour' toùt
p GU(U),
o
la forme
linêairc
L
d6finie sur
f. 9 en)
par
f
.
. . ( , ' ' ) -v -v
4; \\w u, v.' "
(.i{ U.
V
u . 1 v
.2
)
du dv
......*.
'''':"_
;""'\\2
f
(u,v)
~' ~ :.J
se prolongé ei:l une èistribu:icn
T "gCQ>
d'ordre ~
-~_._----------------
Le leullne
3.2
Gè
déduit du lemme 3.4 comme suït
:
) 1; 0 -le
\\
~J,
..
3 4
pout: cnaqu,:,
(l~O' v
~.)l.t
U
comme dans le lemme
....
o
Ext!'ayons de cet en8emoJe d'OU\\iCl:ts un recouvrement fini
- i (
,
UI'~'.:I UN. de
(J
.0; et poson8
= U 1 V U2 V.... VON"
J
Choisissons un voisinage compact
de w- <2,>. WoC.W1 ..
Con'struisons uta famille
;
p.
"g(U.)
pour i=l, ••• ,N
1.
1
t(üle
que
l p~ :; 1 sur \\01 • Rotons t..:(.ep) l'ïnt'grale (3.12)
o
....
i
...
corresponds·nt à (J •• Par le lemme S.2 de [ 3 J , il existe un voisi-
l
~
1
nage
V
da
a
dan's mL
tel
que
w- (V) c: W •
o
('
N
si 4i (; f • ÇB.(V)
on ft) iHi,X;.) dx dy ""
l Li (41) d'apr~s (3.10).
ir:l
S
On conclut avec le !emme 3. l.
Il nous re~te 1 d!montrer le lemme 3;4.
• • • 1•••

---

-
J2 -
3.4. - Démon'str'ation du lemme~2.:.i
No usd ev 0 n s €: nvis Ct ge T 1e s' t roi s cas sui v sOn t s
:
(U
,
o ' v ) = 0
~
= 0 et v
f 0 ,
,. 0 'et v
= 0 •
o
-
o
0
o
Nous nous contenterons d'~tudier le premier cas, les deux
autres Itant plus simples. Nous supposerons donc (u , v ) • 0 •
0 0 -
a)
Construction de
U
~---~-------------
Nous choisissons
U
assez p'et'i t
pour que
f *
ne
s'annule pa's dans
U
et tel que
(3. J3)
u c:: J _ex>, 1 [
x
]
_00. 1 [
(dans le cas
U
...
0
et
v
o
0
-;
0 t
l'analogue de
~3. 13) aur~it ~té
U c: J _co J
1 [
x iR ~
Nous allons montrer que
1.
pe·ut....·être prolongée en une
distribtition sur Q d'ordre ~ max{~(F), ~(Gr)·
T~ cab 1. i ~:; son sIe z c. 0 Tl .", ~ n t i 0 j S sui v an tes :
G~
- e d€signe
un élément d~
;)jeU)
non nécessairement le m@me i
chaque écriture.
- B(t)
d€signe
une fonction 'gale i
a + bLog t
(a, b riels)
non nécessairement la même i
chaqae écriture.
Par exemple,
G(u, v) 'et
, t- B+ 1 B'(t)
e'st une
primitive de
. t-$ rr(t).
Avec ces n'ot'ations t
la formuled 'ineegr'ation par parties
par orappo·'t"'t à
u
ou par rapport
à
'V
admet 1 t'6cr'iture 8impli~iée
suiva'nte ;
••,°.1 •••

---

-
13 -
Lemmet:..2.:
Soient
.z,"'" (P.q)
~~
k}D
k
J9" f.G(fl.)
2
alors on â
B (V) du dv
""
2
-"2+<y J Jl.>+k2
v .
B (v) du dv +
2
-\\l 1+<.). ,i>+k 1+ 1
+
u
J,
.'
_/f
1.' ~
-\\JI' "., .?+K
-Vi"<"'( ,2.+e ])'+k
'""?'1" 1 ~q
1
2
9@(ll,V!l e(u,v)
B] (u)
B (\\r) du ëv
~1
;2
u
.
v
2
+
ro r'"
~'..J
+
J'
-v .+<). ,i>+k l
-"2+<y,x.+e,,>+kt)
&P a<J.+ 1 .. :W{u vJI
,
2 . : .
,
. O(Il,v) u 1
B (U)
:B (v) du dv
1
2
... ~
~
v
+
,
1
2
ro i'4
)..;':..1
\\i +<'
" > .,..
-
j
r.,;" ""1!o..1
1.1
+
. "
La premiare
êgalit~ est ,ob:~nue en intigtent par parties
par rappcrt l u : cn prend une primitive de la ~on~tion
-Vl+<À,~>+kT
.
u ......> u
. :B \\ (,ri
et on dêr~ve 1..: fon·etior:.
•
La secorLcie égalité est obter:ue en utilisallt le ::ême pro{;C:l,~
par rappor~ à
v.
Les termes aux b~rds 60~t nuls d'aprês (3. '3) et d'après
le résultat suivant
:
(j)
2
t.emme 3.6 :'Soit
-,-_........
~ ç; f • 1. (n) ~et Q.'. (p,q) ç:6 , alors la
q
u' -V 1'+<À,l> v·-V 2+<Y'R.>
fon'ction
(u,v) ->ay· 02 rjl(w{u,v»
..,
est born'e dans
@' 0 ,- .
• • • 1•••

---

-
14 -
D€mon.tration
du lemme
3.6.
Posons !p "" f'~.
T.t:: calcul de
a~ a~ f'il par la for.ule
de Leibnitz nous ram~ne à la major~tion
\\l ,- <À, 1>
" \\)2 - <y,R.:>
2
a~ ai f(w(u, v» « u
v
«u, v) ;
~'" 0 ).
, t
C
x.,8
avec
t, •
t,s
tels que
Ct
ri 0
donc aP+ t
aq+ s f(O,O) ~ 0 par c:ous'queut
,6
1
2
(p"+t,
q+s) G1(f)
a.lors
<A, (p+t, q+s»
~ 'Ill :li. \\lI
<'Y ,
(p+t,
q+s»
~ n ~ "2
Dans l'expression
a~ ~~ f(w(u, y») .. I
2~,
Ct
u<A,(t,S):> 'v<'Y,.(t,s):>
(t,S)b]N /'\\L.l,f)
,8
Yt-<À,1>
\\l~-<y,1>
on peut mettre en fact~urs le terme
u
v"~
ce qui
prouve le lemme 3.6 et avec lui le lemme 3.5.
.,.
"et
"2 > v
L 'hyp"othè se
\\l r > 0
et
\\)2 > 0
implique que les faces
F
'et
G
svnt bo"tuées. On peut donc cara'c tér ise r
f,l(F)
'et
lJ(ç) l
.
-.
l'aide du lemm.e 2.1- Nous a\\Ton. s "donc
t: .. (p,q) 2
b IN
et p+q ~ l.l(F) - > <À,1> ~ YI
(3.14)
,
SI
JN2
(p,q) G
el;
p... q ~ }.l{G) - > <)',R.> ". ~2
~OU8 appliquons mainte~ant le lemme 3.5 en intlgrant par
. parti.es l'intégral€
(3.13) par rappiirt i
u. Nous obtenons
J
-Vt+ r
"'2
L(<j»
•
2 al dlr'W(u,,,,-n 9(u,v) u
\\~
:8(u) du dv +
~, 0
' ~
...
j
.
'""
-\\'1
-',12+ 1
;.
~2~@(usVl..J ecu,v) u v '
:S(v) du dv
+
@:J,2
-v +1
-v
r."(
"
,
)
,1
.2
( )
+
2 <!>/w u,v":..!
elu)v
U
v
B u
du dv.
@,Q
-
Nous allons à nouveau intégrer par p:irties par rappo"rt à
u
ceux des' termes ci-de8~Ug dont l'exposa"nt de
u
e'.t < 0 et
nous laissons" tels quels les autre~ termes.
• •• 1•••

---

-
15 -
Au bout de cette deuxi~me op'~ation, nous avons obtenu
.
. .
•
2-
L(~) sous la forme d'une somme d'au plus
3
termes.
A nouveau, nous intégrons par p~rtie8 par rapp~rt l
u
tous les termeS dont l'exposant de
u
e~t < 0
sans modifier
le8 autres et ainsi de suite.
Au bout de
VI
opérations, nous aurons montré que L(~)
v
est 'gale l
la somme d'au plus
3' l, termes de la forme
J a~la~I.(",(u,v»
(3.15)
e(u,v)
2
[p,!J
avec
k t ' ~
Ro). (Pl' Cl 1) ~ Ji2
KI ~ \\11' Pl +ql ~ ~O\\). <À,R.\\> + kt ~ v)
La deuxiame inégalité est due au fait que l'exposant ·de
u
pugme~te au moins de
~ chaque op~r~tion, jusqu'à ce qu'il Boit
pos·itif.
On recommence maintenant le m!me procédé avec la variable. v.
Par~îJi' tous les' termes de
(3.15) t
ou laisse' tels quels ceux dont
l'exposant de
v
est ~ 0
et on i'utègre par partie. par rappc'rt
l
v
1e8 autres et ainsi de suite.
Au bout de
V
opérations. nOU8 aurons exprim6
2
comme somme d'au plus
opérations de la forme
avec
kt
et
k
entiers
2

---

- 16 -
En particulier les eiposarits de
u
~t'
v so~t positifa et'
P J of- P 2 + Cl J + Cl 2 ~ maxht (F), 1-1 (G)} •
.•
L'expression (3.16) montre que
L, d'finie inîti.lement
.~
pour. " f9CO) se prolonge en une dïstrib~tion .~r
]R2
dtordre
~ max{~(F), ~(G)}.
d)
Si
vJ· 0
(ou si
v
• 0) le m~m~ p~oc'd' fe~t.
2
valable : on intlgre par parties seulement par rappo~t l
v
(ou par
rappo'rt l
u).
Le Théorème 1 est enti~rement d~montré.
§ 4
DEMONSTRATION DU THEOREME 2
,
SOlt
f : n - > l R
une fon"ctlon ans.l'ytique, réelle aèmet-
.
.
tant à l'origine un mini~um strict, ce qui implique
~(f) > o.
Le th'or~me 2 est une conséquence du r~sul~at suivant
,-;:,
Lemme 4.1.
: Il'existe une suite de f.on:ctiuns
4'k " f.~(O)
vfrifiant lea propriétés suivantes r
(4. J)
3~ 3~
2
<Pk(x l ' "'2)
«
1 ((p,q) ,":fi
et
p + q < U(f)
;
~
1( G ]g.
(Xl' x
'
G nr'''')
2
lim
lc++CIO
DfmoQstration du lemme 4.1
:
Solt
F
une face de ,icf>' telle qu~
'\\J(F)
-)J(f).
Comme
\\.I(f)
> 0"
Fest c01l1pacteet i l exi'lte
il (l~, j ~ 2),
tel que
~j(F). ~(F). Prenons par exemple
j . '1.
Soïc alors
R •
}J(f) - 1
J
N
-fi"
t
e
si
t
> 0
Posons
Pk(t) •
0
si
t
~ 0
•• .1. • •

---

~r
_.
:t."
r
r
-
17 -
1
1
(4.4)
tk(x , x ) •
, x )
l
2
Pk(x 1) X(x 1
2
avec
1
X G'ton. X(x 1, x 2).:
au voisinage
le~,
0 ~ X ~ 1.
1
La vErification de
(4.1) ~t (4.2)
It aiaée.
Pour voir
i
1
que ~k
est daus
f.~(n), on peut utiliser
il1'gal'itê de
LOJASIEWICZ (C 7 J, f 1.7) qui montre que t
e' , 1 croissance modérée
!1
a~ voi~iu.ge de
0
alors
i
que
4>k
est 1 d'c
'issance rapide ainsi
que' to'ute, ses dlSrivEe 8.
Il nous ~e8te l établir (4.3).
.t
Soient À le covecteur associée a
e un sommet de F.
Choisissou.
G
la face adjacente l
F
ayan
pour sommet a et de
covecteur
y . Le c3ne
r.- m+ À + lR+ y e'st
ors d'intErieur non
vide.
Posons
~J • <À. a - 1> + 1 ~t V
~ <y, a - 1> + 1 •
A l'aide du changement de variable;
w
(cf 53.2) on obtient
r
J
) 4l
)
x
k (x 1 • x 2
2
dX
dX
$k (l< l'
1
dX
dX
1
2
~
1
2
f (x) • x
)
,
2
f (x l' x 2
(1).0 2
::[- l (r)
J$k(W(U' v. -v -~2
.. 'A
'"
"u
. 1
v
du dv
.
f
Cu t v,
@.!J2
J'le
-\\1
(w(u.""
)
u
. 1 du dv
(k >.. 1)
»
\\3>,0 2
À 1
)' J
Eu posant
t
... u
v
et à l'aidE d'inêgal'itês faciles,
ou vo'it que c'ette dernière intigrale e'st
1
- kt
N -
(v'
1).. 1
"dt
e
t
J
.-t
Hais d'apr~s (2.3), l'exposànt
N.
(V - !?n'l e.t ~ 0
, :e t
Ce qui prouve (4.3) : le lemme 4.1 est: d.êmont
avec lui le
"tb'orlme 2.

---

-
J8 -
B 1 B L l O G R A P H I E
_=_=_=_=_D_D_=_=_=_=_Z_=
_
[
1 J -
V. ARNOLD, A.
VARCHENKO,
S'b GO~SEIN-~ADE
"Singularit~ des applic~tions diff~rebtiables"
Tome 2, Editio~s
Mir, Moscou.
[2J -
M. F. ATIYAH : "Resolution of singularities and division of
distributions", Comm. pure Appl. Math •• Vol 23
]45-150
(1970).
[3J -
1
S fi
J. DENEF et P. SARGOS
:
'Polyedre de Newton et distribution f+
Journa 1 d'Anal yse Ma tb'mat i que, Vol. 53, 201-218 (1989).
.t
[4] -
S.N. DIALLO
P. SARCOS: "Sur l'ordre de la di~tribution
1 fi
f
en prépar"a t ion.
C5J -
le M. GUELFAND et G. E. CHILOV : "Les di~tribtition8"
DU~OD
..
[6J -
L.
HORMANDER
:
"On the divis ion of d ts t r ibü t: ions by polynomial s"
Ark. MaL, Vol 3,
1958, p. 555-568.•
[7J -
S. LOJA§IEWICZ
: "Sur le problême de la division"
Studia Math., Vol
18,
1959, p. 87-136.
[8J -
L.
SCHWARTZ: "Theorie des distrib"ut:i.or~811, Hermann - p~ris (1959}
C9J -
A.
N.
VARCHENKO
:
"Newton polyhedra and e·stiniation of oscilla-
tins
IntegraIs", Fun1'ts-lmalyz .... Vol.
]0,
N°3,
13-38
(1976).
DoJ -
V.
A. VASILIEV
:
"Asymptotic behav'our of expone'ntial integrals,
Newtons diagram and classific~tion of minimal points"
Funktl. Analys. Vol.
]3~ N°4. 1-12 (1979).
~---~---------------

---