THESE
présentée
A L'UNIVERSITE PARIS VAL-DE-MARNE
pour obtenir
LE DIPLOME DE DOCTEUR DE 3ème CYCLE
par
CONSEIL AFRICAIN ET MALGACHE
POUR l'ENSEIGNEI"V\\ENT SUPEP.îEUR
i
C. A. M. E. S. -
OUAGA~UGOU
~(rivée ':3'1'MAt 199.:)
ft
\\ tnrqistre sous n° ·"·0.0 .3 ..1. 8
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AMELIORATION ET SEGMENTATION DES IMAGES ECHOCARDIOGRAPHIQUES
Aide à la détection des frontières myocardiques par analyse des textures
,..
v'
soutenue le 11 juillet 1989 devant le jury composé de "'r
ç"e:"ro
, ~err:entSU
MM.
Jean-Pierre BONNEFOY, Professeur
Philippe BRUN, Directeur de Recherches INSERM
Maurice GAUDAlRE, Professeur
Ajain HERMENT, Directeur de Recherches INSERM
Guy LORETTE, Professeur
Souleymane SECK, Professeur

---

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de ma
Mère
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---

PREAMBULE
Ce travail a été effectué dans le laboratoire de
Génie
Electrique
de
l'Université
Paris
Val
de
Marne dirigé par
Monsieur le Professeur Maurice GAUDAIRE.
Je tiens à lui exprimer toute
ma
reconnaissance
pour
m'avoir
accueilli
au
sein de son équipe,
pour la confiance
qu'il m'a témoigné en me
confiant
cette
étude
et
pour
sa
constante disponibilité tout au long de mes différents séjours
à Créteil.
Monsieur le Professeur Guy LORETTE a guidé mes premiers
pas dans le domaine du traitement d'images et par ses précieux
conseils, m'a permis de mener à terme ce travail. Qu'il trouve
en
ce
rapport,
la concrétisation de tous ses efforts et une
marque
de
mes
remerciements
les
plus
sincères
pour
sa
constante sollicitude.
Ce
travail
n'aurait
pas
pu être mené à bien sans le
soutien constant et la confiance de Monsieur Souleymane
SECK,
directeur
de
l'ENSUT de Dakar,
qui m'a permis de bénéficier
des accords de coopération Créteil-Dakar. Qu'il me permette de
lui exprimer ici ma profonde reconnaissance.
Je remercie le
Docteur
Philippe
BRUN,
Directeur
de
l'unité INSERM U138 du CHU Henri MONDOR de Créteil,
qui s'est
intéressé dès le début à ce travail
et
n'a
pas
ménagé
ses
efforts
pour nous permettre de disposer d'une banque d'images
en
nous
facilitant
l'accès
au
service
d'exploration
fonctionnelles.
Il me fait également l'honneur de participer à
ce jury.
Qu'il
me
soit permis de remercier également Messieurs
le Professeur Jean-Pierre BONNEFOY et Alain HERMENT, Directeur
de
Recherches
INSERM,
èe
l'honneur
qu'il
me
font
en
participant à ce jury.

---

Je ne saurais oublier:
f
f
Messieurs B. CHAPPEY et B. AUCLAIR de l'IUT de Créteil,
artisans infatigables de la coopération entre l'ENSUT de Dakar
et
l'Université
Paris
Val
de
Marne.
Je
tiens ici à leur
1
f
renouveller l'expression de ma profonde gratitude.
f
Toute l'équipe de chercheurs du LGEC, en particulier E.
1
PETIT,
J.
LEMOINE et P.
BUNEL,
pour leur aide de tous
les
instants et leur constante disponibilité.
1
1
Françoise
TAVERNIER
et
Patricia JAMIN,
qui par leur
charme et leur bonne humeur ont toujours contribué à maintenir
1
!
1
une ambiance agréable au sein de ce laboratoire.
1
1
1
l
Tous mes collègues et amis de l'ENSUT
de
Dakar,
pour
1
~
leur appui sans faille dans la préparation de ce rapport.
1j
l
Tous
ceux
qui
de
près
ou
de
loin ont participé à
l
i
l'élaboration de ce rapport.
1
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1
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11~iil,
1
1
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1
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1
1

---

SOMMAIRE
INTRODUCTION
CHAPITRE
1
:
PRINCIPES DE
L'ECHOGRAPHIE
1.
Les ultrasons: principes physiques
1.2
1.1. Reflexion
1.3
Cl
• • • •
1.2. Diffraction
1.4
CI
9
• • • • •
Il
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
1.3. .Absorption
1.5
II.
Applications médicales des Ultrasons: L'échographie 1.8
l l . 1. P r i ne i pe s
~ . . .. 1. 8
II.2. Différents modes d'échographie
1.11
II.2.1. Echographie mode A
1.11
II.2.2. Echographie mode B
1.13
II.2.2.a Balayage mécanique automatique
1.15
II.2.2.b Balayage électronique sectoriel
1.16
II.2.2.c Balayage électronique linéaire
1.17
II.2.3. Autres types d'échographie
1.17
II.2.3.a Echographie mode C
1.17
II.2.3.b Echographie T.M
1.17
III. Qualité des images échographiques
1.19
111.1. Artéfacts de représentation
1.19
111.2. Résolution axiale
1.20
111.3. Résolution latérale
1.21
111.4. Autres facteurs
1.21
IV.
Particularités de l'examen échocardiographique
bidimensionnel
1.22
IV.1. Contraintes physiologiques ..........•..•..... 1.22
IV.2. Contraintes anatomiques ....................•• 1.22
IV.3. Contraintes pathologiques ...............•...• 1.23
v.
Conclusions
1.27
CHAPITRE
II:
SYSTEMES DE
NUMERISATION.
DE STOCKAGE.
DE TRAITEMENT ET DE RESTITUTION DES
IMAGES ECHOCARDIOGRAPHIQUES
1.
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. II.2
II.
Support matériel .................................. II.2
II.1 Description générale du micro-ordinateur
POP 11/23
II. 2
Sommaire -1-

---

II.2 Systèmes d'acquisition et de traitement des
images
II. 3
II.2.1 Système MATROX . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3
II.2.2 Système de traitement d'images
VIDEOGRAPH
II. 5
0
•
•
•
•
•
•
•
• •
III. Support logiciel ...••......•.•..•.•...•.......•... II.6
111.1 Processeur d'images •.....••...........•..... II.6
111.2 Organisation du logiciel
II.8
IV. Conclusion
'" c _.••••• •• II.11
CHAPITRE
I I I :
AMELIORATION DES
IMAGES
ECHOCARDIOGRAPHIQUES
1.
Introduction .......... ........................... 111.2
II.
Modification de l'échelle de niveaux
111.5
III. Opérateurs d'amélioration d'image .•.............• 111.12
111.1. Opérateurs linéaires •....•...•.......•.... 111.12
111.1.1. Filtre moyenneur spatial
111.12
111.1.2. Filtre moyenneur temporel
111.14
III.2. Opérateurs non-linéaires . . . . . . • . . . . . . . . . . . 111.17
111.2.1. Filtre médian
111.17
111.2.2. Filtre médian moyenneur ...•........ 111.19
111.2.3. Maximas locaux ....•....•......••••• 111.22
IV.
Conclusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. III. 25
CHAPITRE
IV:
SEGMENTATION DES
IMAGES
'T
••
Introduction
e
_
•
•
•
•
• •
IV. 2
II.
Seuillage
IV. 3
II.le Choix du seuil
IV.4
II.2. Cas d'une image multimodale ....•........•... IV.6
III. Détection de courbes, bords ou frontières ...•..•.. IV.6
IV.
Détection des fronts de densité •...............••• IV.S
IV.1. Opérateurs de dérivation .....•...........••• IV.S
IV.2. Opérateurs de passage par zéro .......•...•.. IV.11
IV. 3. Gradient Vectoriel .•..............•......••• IV.12
v.
Application aux images échocardiographiques
IV.14
V.l. Conclusion
IV.1B
Sormnaire -2~

---

'
......
CHAPITRE V:
ANALYSE DES TEXTURES
l .
Introduction
. V.2
II.
Généralités
. V.2
III. Modéles de description des textures •.•.•...•.....•. V.4
IV.
Techniques d'analyse
. V.6
IV.1. Histogra.mm.e
V.7
e
•
IV.2. Statistiques du second ordre •..•.•...•.•..•.. V.9
IV.3. Statistiques des différences de niveau ••.•... V.12
IV.4. Statistiques des variations locales de niveau
V.14
IV.S. Mesure des énergies de textures
(Masques de Laws)
. V.16
V.
Distance d'occurence optimale •.............••.•.... V.18
i
V.1. Exposé de la méthode •..•...•...••••••...•..... V.19
V.2. Applications aux images échocardiographiques .. V.27
t
V. 3.
Conclusions
. V.30
CHAPITRE VI:
ANALYSE DES DONNEES
1.
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. VI. 2
II.
Principales méthodes d'analyse factorielle .......• VI.3
II.1 Analyse en composantes principales •....••..•• VI.3
II.2 Analyse factorielle de correspondances ...•.... VI.4
II.3 Analyse factorielle discriminante •.•.•..••... VI.4
II.4 Choix des méthodes d'analyse ..•..••...•...... VI.S
III. Pratique de l'analyse en composantes principales .. VI.S
111.1 Présentation générale des résultats •••••.•.. VI.6
III~l.l Représentation des variables ....•.••.• VI.6
111.1.2 Cas particulier: Cercle de corrélation VI.S
111.1.3 Représentation des individus .••••.•..• VI.9
111.1.4 Qualité de la représentation de
l'ensemble des individus •.••••.•••.••. VI.10
111.1.5 Qualité de la représentation
d'un individu
VI.10
111.2 Représentation simultanée ••.••..•...••..•.•. VI.12
IV.
Pratique de l'analyse factorielle discriminante ..• VI.12
IV.1. Relations fondamentales ·. . .... ... . . ... ... . . . VI.13
IV.2. Mise en oeuvre pratique ·
. VI.IS
V.
Expérimentations et résultats ·
. VI. 18
V.1 Mode opératoire •...•.........•.•.............. VI.l8
V.2 Analyse en composantes principales
VI.20
V.2.1 Echantillon de 30 Individus
VI.20
V.2.1.a Image origine non traitée
VI.20
V.2.1.b Image exponentielle
VI.27
Sommaire -3-

---

V.2.1.c Con6lusion .............•...•...•.. VI.32
V.2.2 Echantillons de 60 Individus ...•...•...•.. VI.33
V.2.3 Conclusions
VI.34
V.3 Analyse factorielle discriminante
VI.34
V.3.1 Echantillons de 30 Individus
VI.35
V.3.1.a Image non traitée
VI.35
V.3.1.b Image exponentielle . . . • . . . . . . . . . . . VI.41
V.3.l.c Conclusions •....... ~
VI.44
V.3.2 Echantillons de 60 Individus . . • . . . . . . . . . . . . . VI.45
V.3.3 Individus supplémentaires ...•...........•... VI.46
V.3.3.a Population de 30 individus
VI.46
V.3.3.b Population de 30 individus
VI.48
V.3.4 Variables quantitatives choisies ...........• VI.49
VI.
Segmentation des images échocardiographiques
VI.51
VII. CONCLUSIONS
VI. 54
,CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES
SOIl".maire -4-

---

INTRODUCTION
f
Le développement des techniques informatiques durant
ces
dernières
années a impulsé l'éclosion de nouvelles techniques
1
d'imagerie et la recherche de nouvelles proçédures
à'analyse,
de description et de traitement des images numériques.
Par
leurs
multiples
applications
dans
le
domaine
clinique les techniques d'investigation ultrasonore
ont
fait
l'objet
d'études
de
plus
en
plus poussées dans le domaine
médical.
Deux
orientations
principales
de
recherche
se
sont
dégagées:
L'étude des techniques de reconstruction tomographique
typiquement ultrasonores.
- La mise en oeuvre de techniques sophistiquées de
trai-
tement
de
signal devant permettre à terme d'accéder à
une caractérisation des tissus.
Cet intérêt pour les techniques ultrasonores en
imagerie
médicale est dû à l'absence de nocivité de ces rayonnements, à
leur
particulière
adaptation
à
l'exploration
des
organes
internes de l'abdomen,
à l'imagerie cardiaque et à
l'ophtal-
I~,,'.,•...•...',.
mologie.
Les
images
obtenues
par
ce
type
de rayonnement
•
contiennent en
outre
des
informations
particulières
ayant
trait
à
l'interaction des ondes ultrasonores avec les tissus
rencontrés.
Introduction 1

---

La grande difficulté dans
ce
domaine
reste
encore
le
caractère
subjectif
des analyses effectuées qui sont le fait
d'opérateurs humains et c'est pourquoi de
nombreuses
équipes
de
recherche
dans
le monde,
parmi lesquelles on peut citer
celles de GARCIA [16],
GEISER &
Al
[18,19]
et 'de
SKORTON
[17,20],
essaient
de
mettre
au
point des procédures semi-
automatiques ou automatiques de traitement
et
d'analyse
des
images
dans
le
but
de
proposer
des stratégies d'inter-
prétation sur lesquelles pourraient s'appuyer
le
spécialiste
pour formuler son diagnostic.
Pour
notre
part,
au Laboratoire de Génie Electrique de
Créteil de l'Université de PARIS Val de Marne dirigé par Mr le
Professeur M. GAUDAIRE,
nous nous sommes intéressés à la mise
au
point
d'un
Système
d'Aide au Diagnostic par Analyse des
Images Echocardiographiques avec la collaboration
du
service
d'explorations
fonctionnelles
du
centre
hospitalo-
universitaire Henri MONDOR d~ Créteil dirigé par le Professeur
D.
LAURENT,
et plus particulièrement de l'Unité INSERM U-138
dirigée par le Docteur P. BRUN.
Ces travaux, soutenus par un contrat de recherche externe
de
l'INSERM,
ont
pour
objectif
de
prendre
en compte les
caractères
génériques
de
l'imagerie
ultrasonore
et
de
l'échocardiographie
en particulier,
souvent en tenant compte
des connaissances a priori sur le type des images
à
analyser
(courbures, particularités anatomiques etc ... ).
Les
premiers
résultats
présentés en 1983 par E.
PETIT
[25],
nous ont conduit à envisager un développement accru des
procédures
mises en oeuvre et leur application à la détection
des parois myocardiques permettant ainsi d'accéder à une somme
d'informations nécessaires à la connaissance
de
la
fonction
cardiaque permettant ainsi au praticien de disposer de données
quantitatives et objectives pour son diagnostic.
Introduction 2

---

Cette méthodologie devrait permettre également de pouvoir
procéder
avec
l'aide
des
praticiens
à l'élaboration d'une
banque de données informatisée qui pourrait servir de
support
à
des
études statistiques sur l'évolution et la fréquence de
certaines cardiopathies.
Cet objectif ambitieux est
d"autant
plus
réalisable
que
l'apparition de certaines structures de
processeurs et
leur
intégration
rendent
moins
onéreux
le
traitement
de
ces
données
et
sont
garants d'une rapidité
d'exécution qui était un des éléments les plus limitatifs dans
le
traitement
des
images
qui,
jusqu'à
un
passé
proche,
s'effectuait en temps différé.
Dans
ce
mémoire
nous
présentons,
dans
le
premier
chapitre,
les principes physiques de
l'énergie
ultrasonore,
ses
applications
dans
le
domaine
de
l'imagerie
et
plus
particulièrement dans l'échocardiographie.
Le second chapitre
décrit
les
outils
matériels
et
logiciels
utilisés
pour
effectuer cette étude.
Dans
le
troisième
chapitre,
nous
présentons
les
différentes
possibilités
d'amélioration
des
images
pour
essayer d'en dégager les plus appropriées à nos objectifs.
Le quatrième chapitre décrit les méthodes
classiques
de
segmentation
des
images
que
nous
avons appliquées sur nos
images et les résultats que nous avons obtenu.
Nous introduisons ensuite dans le
cinquième chapitre les
notions de texture,
de quantification et de reconnaissance de
textures,
en
appliquant ces notions à la reconnaissance et à
la segmentation des images échocardiographiques.
Le nombre important des paramètres de description de
ces
textures
nous
a
conduit
à envisager de n'en garder que les
plus pertinents et à
cette
fin
nous
avons
procédé
à
une
analyse des données texturelles extraites de ces images.
1
Introduction 3
l
1

---

Les
difficultés
de
la
segmentation
des
parois
myocardiques nous ont amenés à élaborer une nouvelle stratégie
de segmentation basée sur
les
résultats
obtenus
par
cette
analyse
en
dehors
des
méthodes classiques abordées dans le
quatrième chapitre. Le sixième chapitre présente les résultats
obtenus par cette méthode.
Introduction 4

---

t
CHA.PITRE
I
1
P R I N C I P E S
DE
L'ECHOGRAPHIE
f
t
l
f
1.1

---

1.
LES ULTRASONS:
PRINCIPES
PHYSIQUES
On va s'intéresser 'dans la suite aux phénomènes liés à la
propagation des ultrasons
dans
des
milieux
intrinséquement
différents
et
susceptibles
d'être
utilisés
à
des fins de
mesure.
Une onde acoustique
est
constituée
par
une
vibration
mécanique,
dont
les
modes
de
propagation
dépendent
des
caractéristiques mécaniques du milieu
traversé.
Nous
consi-
dèrerons
les
principales
grandeurs
physiques
suivantes
inhérentes à ce milieu :
- La masse volumique :
- La vitesse de propagation de l'onde acoustique:
1
C =
[m.s- 1 ]
V p.~i
- La pression p et la vitesse v en chaque point du milieu de
propagation entre lesquelles existe la relation:
p = p. C . v
- Le coefficient de compressibilité :
dv
~ = -
v.dp
- L'impédance acoustique:
z =
P
[kg.m- 2 .s- 1 ]
qui représente une mesure de la
·d
~
ra~ eur
du
milieu
vis
à
vis des ultrasons.
- La fréquence de l'onde (en hertz):
f
- La longueur d'onde : À
- L'intensité ultrasonore l
[w.m- 2 ]
Dans
le
cas d'une onde sinusoïdale,
on a l = p_~~.v_~~ où
p.~~ et
v.~~
représentent
les
valeurs
efficaces
de
la
pression et de la vitesse radiative en un point.
1.2

---

1.1.
REFLEXION
Lors du passage d'un milieu 1 à un milieu 2, caractérisés
tous
deux
par leurs impédances acoustiques Z1 et Z2'
l'onde
ultrasonore subit un phénomène de réÏlexion analogue
à
celui
rencontré dans le cas d'une onde lumineuse.
Dans le cas d'un~ incidence normale,
les coefficients de
réflexion R,
rapport entre l'intensité ultrasonore
réfléchie
I~ et ·l'intensité incidente Ii,
et de transmission T, rapport
entre l'intensité transmise It et
l'intensité
incidente
Ii,
sont déterminés par les relations :
Ir
r
R =
= L
r It
T =
=
Ii
Ii
Pour
une
incidence oblique,
on observe un phénomène de
réfraction,
conformément aux lois de Descartes pour l'optique
(Figure loI), décrit par les relations suivantes:
C2 0sinc 1 = C1 0sinc 2
Z2oCOSC1
- Z1 j
C 2
2
1 -
sin zc 1
C 2
1
R =
Z2oCOSC1
+ Z1 j
C 2
2
1 -
sin zo 1
C:. 2
L'expression
analytique
de T peut s'obtenir à partir de
l'égalité:
R + T = 1
De manière analogue à ce que l'on observe en optique,
il
existe un angle d'incidence à partir duquel il y a réflexion
totale. Cet angle c~ est donné par :
sin c~ =
1.3

---

Zl
Z2
It
LEGENDE
Ii : Onde incidente
Ir : Onde réfléchie
It : Onde transmise
Milieu 1
Milieu 2
Figure I.I : REFLEXION DES ONDES ULTRASONORES
Cette
propriété
de
réflexion
est
utilisée
dans
les
techniques
d'échographie
pour
visualiser
par
exemple
les
contours d'organes ou les tumeurs.
1.2. DIFFRACTION
Dans ce cas également,
on retrouve l'analogie entre onde
acoustique et onde lumineuse.
Lorsque
l'onde
acoustique
se
propage
au
sein
d'un. milieu,
homogène
à
l'échelle
macroscopique,
elle a
tendance
à
diffuser
au
niveau
des
particules
constituant
le
milieu
(cellules
d'un
tissu
biologique) .
1.4

---

Le phénomène est d'autant plus important que la
longueur
d'onde
est
faible.
par
rapport
aux
dimensions
et
aux
hétérogénéités de la
cible.
Dans
le
cas
où
celle-ci
est
assimilable
à
une
sphére infiniment rigide,
de diamètre a,
l'énergie diffusée par la cible est donnée par la relation:
a 6
W = k.
.1
À4
k · constante
·
Ii: intensité ultrasonore incidente
k · longueur d'onde
·
Dans le cas de tissus biologiques où
les
hypothèses
de
sphéricité
et
de rigidité de la cible ne sont pas vérifiées,
le calcul analytique de
,l'énergie
diffusée
est
alors
très
complexe.
Ce phénomène de diffraction a néanmoins deux applications
en instrumentation biomédicale :
La
rétrodiffusion des ultrasons par des érythrocites est à
la base des mesures
de
vitesses
circulatoires
par
effet
Doppler.
La mesure de l'énergie ultrasonore diffuse permet également
de
caractériser
un
tissu,
en
faisant
apparaître
les
différences
de
comportement
de différentes zones du tissu
vis à vis du phénomène
de
rétrodiffusion.
Cette
dernière
technique
constitue une voie prometteuse dans l'utilisation
des ultrasons pour la caractérisation tissulaire.
1.3.
ABSORPTION
La propagation d'une
onde
ultrasonore
dans
un
milieu
visco-élastique s'accompagne de pertes sous forme calorifique,
et donc d'une absorption de l'onde [15].
Cette absorption est
caractérisée par un coefficient d'atténuation a qui
pour
les
tissus biologiques peut s'exprimer par la relation:
a = k.fB
avec
1 < B < 2
1.5

---

La valeur moyenne de B pour les tissus mous est de 1,1.
Dans
les
tissus
mous,
ce coefficient est sensiblement
proportionnel à la fréquence et varie généralement
entre
0,5
et 3,5 dB.cm- 1 .MHz- 1 • Pour une distance de parcours de 40 cm à
une fréquence de 5 MHz,
l'atténuation du faisceau ultrasonore
dans l'eau est de 2,2 dB alors qu'elle est de l'ordre
de
200
dB dans les tis.sus mous (Figure I. 2 ) •
Ce
coefficient
s'exprime en fonction de la fréquence du
signal émis et donc de la longueur d'onde; il ressort de cette
formulation qu'un compromis entre le choix de la fréquence
et
la
profondeur de pénétration désirée doit être trouvé,
étant
donné
que
l'utilisation
d'une
fréquence
élevée
permet
t
d'obtenir
une
bonne
résolution comme nous le verrons par la
i
suite, mais induit une forte atténuation du signal et donc une
faible profondeur de pénétration dans les tissus ce
qui,
par
conséquent,
ne permet pas l'exploration d'organes profonds ou
1
entourés par un milieu réfléchissant.
1
t
Par
ailleurs
le
choix
d'une
fréquence
basse,
afin
d'améliorer
la
profondeur
du
champ
exploratoire,
est
sanctionné par une perte de résolution
proportionnelle
à
la
longueur d'onde du signal.
Dans les dispositifs d'échographie, il est donc prévu une
compensation
des
pertes
en
fonction
de
la
p~ofondeur
d'exploration.
Elle est.effectuée généralement par 'un circuit
1
,t
amplificateur,
permettant
de modifier le gain en fonction de
1
la profondeur,
commandé manuellement,
ce
qui
introduit
un
~.
biais dans l'échelle de restitution du signal observé.
1.6

---

T(dB/cm.Mhz)
10
/~
Squelcuc
Muscles
Tissus mous
0.1
Solulion d'hémoglobine
(150 g./l. 15°C)
/
/
H
.
/
f(MHz)
-...J
0.1
1
10
100
Figure 1.2 : Atténuation des Ultrasons dans les tissus biologiques en fonction de la fré.quence

---

II.
APPLICATIONS MEDICALES DES ULTRASONS:
L'ECHOGRAPHIE
II.1.
PRINCIPE
Les ultrasons se propagent dans
un
milieu
parfaitement
homogène
avec
de
faibles
pertes,
mais
les
variations
d'impédance acoustique entre deux milieux homogènes provoquent
des
modifications
importantes
de
l'énergie
transmise
ou
réfléchie.
La
célérité
de
propagation
de
ces
ondes
dépend des
milieux traversés.
Pour les tissus biologiques,
celle-ci est
comparable
à
la
vitesse
du
son dans l'eau,
soit approxi-
mativement 1500 mis.
Pour les tissus mous,
la valeur
de
la
vitesse
varie Qe 1450 mis pour la graisse à 1585 mis pour les
muscles;
elle est par contre beaucoup plus
élevée
dans
les
tissus durs (OS) [15].
Les
fréquences
ultrasonores
utilisées
dans
les
applications médicales sont généralement comprises entre 1
et
15
Megahertz.
A
ces
fréquences
les
ultrasons
sont
très
fortement absorbés dans l'air, il est donc nécessaire d'inter-
poser
un
milieu
liquide
(eau,
huile,
gel, ..• )
entre
le
transducteur et la peau du patient.
La
figure
I.3
donne
une
représentation
classique
du
synoptique d'un échoqraphe et
le
détail
de
ses
différents
éléments constitutifs.
Le
processus
d'imagerie
échographi9Ue est fondé sur la
transmission d'un train
d'ondes
ultrasonores
à
travers
un
transducteur
qui
sert
également
à
la
réception des échos
renvoyés par les structures rencontrées. Aprés la réception du
signal
d'écho
et
son
amplification,
il
est
procédé
à
différentes
opérations
de
traitement
du
signal
afin d'en
extraire les informations et de les présenter sous
une
forme
permettant leur visualisation.
1.8

---

TRANSDUCTEUR
TRAITEMENT DU
1 - -
MODULE EMISSION· RECEPTION
1
( - J
SIGNAL
HARD
.--
.....
,
CONSOLE
SYNCHRONISATION SYSTEME
COPY
1
INTERPOLATEUR
VIDEO
MODULES MEMOIRE
~ STOCKAGE
1
H
.
. SYNCHRONISATION
1.0
ECO
E.C.G.
FàglLlre :1.3 : Schéma synoplique d'un échographe

---

La
plus
importante
de
ces
opérations
est
celle qui
consiste à amplifier le signal,
en fonction de la
profondeur
f
de
l'interface
ultrasonore
proportionnellement
au temps de
réception,
afin de compenser les pertes dues à
l'atténuation
1
de l'onde.
t
i
Le signal, détecté et mis en forme, est échantillonné par
J
un
convertisseur analogique-numérique avant d'être sauvegardé
t
dans une
mémoire
numérique.
Cet
échantillonnage
à
grande
vitesse est effectué le plus souvent,
dans les échographes de
nouvelle génération,
avec une dynamique
de
256
niveaux
de
quantification,
bien
qu'il ait été montré que la capacité de
discrimination
du
système
visuel
humain
n'excède
pas
32
niveaux de représentation [26].
1
Cette
amélioration
de
la résolution est induite par le
coût relativement compétitif des circuits spécialisés
et
par
l'introduction
dans
les
chaînes
de traitement du signal de
périphériques
informatiques
nécessitant
le
codage
des
informations
sur des multiples de huit bits.
Cette évolution
va également induire à terme de nouvelles possibilités dans le
domaine du traitement de ces informations.
L'image mémorisée l'est en coordonnées
cartésiennes
X,Y
alors
que
l'exploration
ultrasonore
bid~mensionnelle est
effectuée
sectoriellement
en
coordonnées.
polaires.
Cette
conversion
coordonnées
polaires-coordonnées cartésiennes est
l'un des
maillons
les
plus
limitatifs
de
la
qualité
de
restitution de l'image acquise; elle est faite le plus souvent
par
extrapolation
linéaire
des
points
manquants
à
une
profondeur d'exploration donnée.
La dernière chaîne de traitement est représentée
par
la
conversion
en
mode
vidéo
de
l'image
mémorisée
afin
de
permettre sa visualisation sur un moniteur,
son stockage
sur
bande magnétique ou sa copie sur support photographique.
1.10

---

Les
différentes
possibilités ofÏertes par ces appareils
nécessitent des approches assez différentes [22].
Pour
notre
part
nous
nous
intéresserons
plus
particulièrement
à
l'imagerie bidimensionnelle du
champ
exploratoire,
dans
sa
phase
de
restitution
après
les
modules
de
traitement du
signal,
plus
adaptée
aux
applications
cardiologiques
de
l'échographie.
Les-
applications
de
l'échographie
en
cardiologie
remontent aux années 50.
Les
possibilités
qu'elles
offrent
dans
le
diagnostic
de
différentes
cardiopathies (sténoses
mitrales,
insuffisances
mitrales,
cardiopathies
aortiques,
cardiomyopathies, etc ... )[l] et l'intérêt de ce type d'examen,
non
invasif,
atraumatique
et
transportable,
n'ont
fait
qu'accroitre l'intérêt des cliniciens
pour
cette
technique.
L'évolution
de la technologie et l'introduction assez récente
de la microinformatique n'ont fait que rendre plus
attractifs
encore
les
résultats obtenus dans le diagnostic des maladies
cardiaques et le suivi de leur évolution clinique.
Nous allons
dans
la
suite
présenter
les
différentes
applications
de
l'échographie telles qu'elles se rencontrent
le plus souvent et leurs domaines d'intérêts ainsi
que
leurs
limitations.
I I . 2 .
D~FFERENTS MODES D'ECHOGRAPHIE
I I . 2 . 1 .
ECHOGRAPHIE
MODE A
(Amplitude)
C'est la représentation en fonction du temps de l'énergie
acoustique
réfléchie
par les discontinuités que rencontre le
faisceau ultrasonore (Figure 1.4).
Le
signal
de
synchronisation
fourni
par
l'horloge
commande
un
générateur
d'impulsions.
Celui-ci
excite
le
transducteur piézoélectrique pendant un bref instant (= l~s) .
. 11

---

r
~
x
L y Amplificateur
Base de Temps
~
-
Vidéo
A
\\..
~
Il
Oscilloscope
Horloge
Détection
Amplificateur
Emetteur
=e:( Sonde
H.F.
Figure I.4 : Schéma de principe de l'échographie mode A
Simultanément,
l'horloge déclenche un générateur de base
de
temps
relié
aux
plaques
de
déviation
horizontale
de
l'oscilloscope,
les
plaques
de
déviation
verticale
étant
reliées
au
capteur
par
l'intermédiaire
des
systèmes
électroniques d'amplification et de démodulation.
L'excitation du transducteur peut être réalisée soit
par
une
impulsion
de
grande
amplitude
réalisant
un
choc
électrique,
soit par un
train
d'ondes
comprenant
quelques
sinusoïdes à fréquence f provoquant une oscillation forcée. La
vibration
mécanique du transducteur est transmise au milieu à
étudier par l'inter-médiaire du liquide de couplage.
Lorsqu'une
partie
de
l'énergie
revient
sur
le
transducteur,
celui-ci délivre une tension électrique qui est
envoyée après traitement aux plaques de
déviation
verticale,
les
plaques
de
déviation
horizontale
étant
soumises à la
tension de balayage.
La position du signal d'écho sur l'écran
dépend
directement
du
temps
qui
sépare
l'émission
de la
réception.
1.12

---

Si la vitesse de propagation de
l'onde
ultrasonore
est
connue,
on
peut
étalonner l'axe horizontal et déterminer la
profondeur à laquelle s'est effectuée la réflexion,
le
temps
séparant
l'émission de la réception correspondant à un aller-
retour de l'onde.
Ce
mode
est
couramment
utilisé
pour
la
mesure
des
distances
séparant
les
surfaces
réfléchissantes
et
pour
analyser les irrégularités de structure d'un milieu;
il
est,
par contre, particulièrement inadapté à l'étude des structures
mobiles.
II.2.2.
ECHOGRAPHIE MODE B ET REPRESENTATION
BIDIMENSIONNELLE
Dans ce mode,
les différents échos sont représentés sous
forme de points lumineux,
en principe d'autant plus brillants
que l'amplitude de l'énergie ultrasonore réfléchie est grande.
Lorsque le transducteur se déplace de manière à ce que la
faisceau
ultrasonore
explore
un
plan,
il
est possible de
représenter la coupe réalisée de la même facon qu'on visualise
le champ exploré par un radar (Figure l.S).
Il est alors nécessaire de connaître à tout
instant
les
paramètres suivants :
- La position du capteur dans le plan d'exploration
L'angle que fait la direction du capteur avec une direction
de référence.
- Le temps qui sépare l'émission de la réception d'un écho.
Les signaux fournis par le capteur
sont
alors
utilisés
après
traitement
pour
moduler
le
wehnelt
d'un
canon
à
électrons.
r.13

---

Figure 1.5 : Echographie Bidimensionnelle
Lorsque
le
balayage
est
effectué
à faible vitesse ou
manuellement,
la prise en compte de
l'ensemble
des
données
reçues dans le plan d'exploration nécessite l'adjonction d'une
mémoire
numérique
pour stocker l'information correspondant à
une image.
L'étude des structures en mouvement comme
le
coeur
est
impossible
en
utilisant
cette
technique.
Des
essais
de
synchronisation
de
la
présentation
sur
l'échocardiogramme
(synchro-cardiographie)
ont donné des résultats satisfaisants
mais ont été abandonnés lorsque sont
apparus
les
différents
types
d'appareils
en
temps
réel
qui
éliminent
le
flou
cinétique (échographie B
à
grande
vitesse).
Ces
appareils
utilisent
différents types .de mécanismes permettant d'obtenir
des images de structures mobiles (Figure 1.6).
I.14

---

a
b
c
d
Balayage Mécanique Automatique
••
.
,
e)
Balayage Electronique Sectoriel
ECHOGRAPHIE MODE B
--
- - - ' - - - - - - - - - -
-1
Figure I.6: Techniques d'échographie bidimensionnelle
II.2.2.a. Appareils à balayage mécanique automatique
Le
capteur
n'est
plus
déplacé
à
la
main
par
le
manipulateur,
mais
au
moyen
d'un
moteur
qui
effectue le
balayage à vitesse constante.
De cette
manière
l'image
est
plus homogène. Cependant ce type d'échographie oblige à placer
le capteur dans une poche à eau.
D'autres
techniques sont ensuite apparues beaucoup moins
contraignantes
qui
ont
été
à
l'origine
de
divers
appareillages:
r.1S

---

* Appareils à balayage mécanique sectoriel:
Le mouvement mécanique est obtenu de plusieurs manières :
- Le capteur oscille autour d'un point fixe (Fig l.6.a)
Une
roue
supporte
plusieurs transducteurs activés pério-
diquement lorsqu'ils rentrent
dans
le
cône
d'exploration
(Fig l.6.b)
Un
miroir
tournant
dévie
le
faisceau
ultrasonore d'un
transducteur fixe (Fig l.6.d).
* Appareils à sonde rotative (Fig l.6.cl:
Un
émetteur
d'ultrasons
tourne
au
foyer
d'un
miroir
parabolique
de
sorte
que
le
faisceau
émis
balaye
linéairement
le
plan
de
coupe
sur
une
largeur
d'une
quinzaine de centimètres.
II.2.2.b. Appareils à balayage électronique sectoriel
(Electronic sector Scanning -
1978)
La
tête
de
mesure
est
constituée
de
vingt éléments
piézoélectriques placés côte à côte,
l'alimentation en
phase
variable à 1,3 Megahertz des divers éléments permet d'orienter
le
faisceau
d'émission
dans
un
angle
de plus ou moins 45
degrés (Figure l.6.e).
La réception s'effectue sur l'ensemble
des transducteurs à un rythme de 30 images par seconde.
Les principaux problèmes rencontrés dans ce type de balayage
peuvent se résumer par :
la
mauvaise
qualité
des informations échographiques dans
les régions proches du transducteur
- une densité variable des informations dans l'image
- les dimensions assez importantes de la sonde ultrasonore.
1.16

---

II.2.2.c. Appareils à balayage électronique linéaire
Bâtis
autour
d'un
barreau
détecteur,
de
6
à
15
centimètres
de
long,
constitué
d'un
nombre
important
de
capteurs
ultrasonores
placés
côte
à
côte
utilisés
successivement
comme
émetteurs et récepteurs,
ces appareils
fournissent
une
image
de
n
(nombre
de
capteurs)
lignes
d'exploration parallèles. Le temps de formation de l'image est
de l'ordre du centième de seconde.
Les
dimensions
réduites
des
capteurs
limitent
la
résolution
latérale
et
la
distance
entre
les
lignes
de
balayage est trop importante pour l'étude des organes mobiles.
II.2.3.
AUTRES TYPES D'ECHOGRAPHIE
II.2.3.a. Echographie mode C
Peu usitée,
elle est fondée sur la recherche de l'infor-
mation contenue dans un plan parallèle à la peau
et
situé
à
une
profondeur
choisie par rapport au capteur.
celui-ci est
déplacé parallèlement à lui même et
balaye
ainsi
toute
une
surface pour réaliser l'examen.
II.2.3.b. Echographie T.M (Temps - Mouvement)
Dans
ce
mode
l'échogramme
est
présenté
sur
un
oscilloscope cathodique en mode
B,
il
est
constitué
d'une
seule
ligne
d'exploration
AB représentant l'axe de la sonde
(Figure 1.7).
r.17

---

ECG
A
--.1-----.....
0;.-
_
0
• •
_
• •
• • • • •
lB
o
t
Figure I.7 : Echographie mode T.M.
Si
une
structure
échogène
se
déplace
dans
cette
direction,
sa
distance par rapport à la sonde varie,
l'écho
lui correspondant s'éloigne ou se rapproche donc de l'émetteur
suivant le sens du mouvement.
Très utilisé dans la mesure des
distances
séparant
des
surfaces échogênes, il sert en échocardiographie à estimer les
paramètres de la fonction cardiaque et est le plus souvent co-
résident
dans
les échographes avec le mode bidimensionnel de
par sa complémentarité.
1.18

---

I I I .
QUALITE DES
IMAGES
ECHOGRAPHIQUES
La qualité de représentation
des
images
échographiques
peut
se
mesurer
en
termes
de
quantité
d'informations
pertinentès,
au sens
du
clinicien
ou
de
l'échographiste,
présentes dans l'image. La dégradation de ces informations est
liée
à
différents
phénomènes
aussi
bien
physiques
que
résultant du mode de génération de ces images [26].
On peut généralement distinguer trois facteurs limitatifs
de la qualité des images obtenues par imagerie
acoustique
en
général et échocardiographique en particulier.
RappelIons que
dans la suite, nous nous intéresserons uniquement à l'imagerie
cardiaque bidimensionnelle.
111.1.
ARTEFACTS DE
REPRESENTATION
Les
images
échographiques
présentent
une
structure
granulaire
caractéristique
communément
appellée "Speckles".
Ces
structures,
artéfacts
inhérents
à
toutes
les
formes
d'imagerie
utilisant
les
principes
de
la
diffraction des
ondes,
réduisent
les
capacités
de
discrimination
de
ces
systèmes.
Leur
présence
est
due
aux
fluctuations
de
l'amplitude des signaux reçus par
le
transducteur
provenant
des
phénomènes
d'interférence
entre
sources
de
réflexion
multiples [12.].
Ces
artéfacts,
dans
le
cas
de
l'échocardiographie,
rendent
d'autant
plus
astreignantes
la
discrimination des
échos provenant des interfaces cardiaques,
qu'ils se
situent
le
plus
souvent
à
la
périphérie
de
tissus
extrêmement
hétérogenes (Tissus adipeux, .. ).
Différentes
procédures
permettent
de
réduire
et
de
quantifier la part de ces artéfacts dans les images obtenues à
partir des systèmes d'imagerie ultrasonore [12][33].
1.19

---

111.2.
RESOLUTION AXIALE
La
résolution
axiale
représente
la
quantification du
pouvoir
séparateur
d'un
système
échographique
dans
la
direction du faisceau ultrasonore. Elle est excellente dans la
plupart
des
échographes
puisqu'elle
est liée à la durée de
l'écho reçu qui aux fréquences ultrasonores les plus utilisées
(de 2 à 5 MHZ) est de l'ordre de quelques longueurs d'onde.
:
1Emission d. uain d'ondes
1
D
~ /1.Réflexioninterface(A)
D
~
~ 2. Réflexion interface (8)
.... 1.
1
2.
Cl
4
4 1.
D ....
... *
13.Ré_tion interface (A)
~ 4.2tmerenexion SIIr(8)
4
4
1.
2-
1
4.
~ 4...2-
Transducteur
~ 15.2bneréverbérationsur(A)
(A)
(B)
Figure I.S : Réverbération du faisceau ultrasonore
La réverbération des échos illustrée dans la
figure
I.S
est
un
facteur
limitatif
de la résolution axiale.
Elle se
traduit par la détection impropre d'un interface (l'écho 4 est
interprété par le système d'imagerie
comme
provenant
de
la
détection
d'un
interface
acoustique
dans
la
direction du
faisceau).
Cette réverbération est limitée uniquement par
le
pouvoir
de
pénétration
du
faisceau
et
la
sensibilité du
transducteur en reception.
I. 20

---

111.3.
RESOLUTION
LATERALE
Elle représente la capacité
d'un
système
à
distinguer
deux
objets
adjacents
dans
un
plan
perpendiculaire
à la
direction du
faisceau
ultrasonore
et
constitue
un
défaut
essentiel de la plupart des appareils,
puisqu'elle est liée à
la largeur du faisceau qui en l'absence
de
focalisation
est
souvent supérieure au demi-centimètre,
elle peut être réduite
par l'introduction d'un module de focalisation électronique.
111.4.
AUTRES
FACTEURS
Outre la résolution
physique
de
l'instrumentation,
la
qualité de l'image dépend:
- Du nombre de lignes porteuses d'informations, en sachant que
ces
lignes
sont
souvent
dédoublées
ou
interpolées pour
donner
l'impression
d'une
image
avec
une
meilleure
définition.
De la dynamique de l'échelle des niveaux, dépendante le plus
souvent de l'opérateur qui,
sur la plupart des échographes,
la fixe à sa convenance.
Il faut se méfier des images
très
contrastées
et
très
saturées
qui
ne
recèlent
que
peu
d'informations structurelles.
- Des modes
de
transfert
de
l'image
jusqu'au
système
de
traitement,
essentiellement
par
l'intermédiaire
d'un
magnétoscope
avec
tous
les
inconvénients
liés
à
son
utilisation: qualité et taille de la bande magnétique,
type
de magnétoscope utilisé (VHS, U-MATIC, BETAMAX, ... ),
pertes
de codage et de décodage.
De
la
non
représentativité
des
interfaces
acoustiques
tangentielles à la direction du
faisceau
ultrasonore,
qui
affecte
la
visualisation
des
structures
circulaires
ou
ovoïdes qui sont alors
représentées
par
des
segments
de
courbes.
I.21

---

i
t
1
!
!
IV.
PARTICULARITES DE
L'EXAMEN
ECHOCARDIOGRAPHIQUE
1
1
BIDIMENSIONNEL
1
i
j1
L'examen
du
coeur
en imagerie ultrasonore est soumis à
l
des
contraintes
sévères
qui
dépendent
directement
des
f
particularités
de
l'anatomie
et
de la pathologie cardiaque
[1][7].
f
IV.1.
Contraintes physiologiques:
Tout d'abord la coeur est un organe mobile qui exige
une
cadence
d'enregistrement
suffisamment
rapide
pour
pouvoir
t1
apprécier la cinétique valvulaire et pariétale (de l'ordre
de
25 images par seconde).
L'analyse de ces enregistrements peut
f
être effectuée soit sur des images fixes soit
sur
une
bande
enregistrée.
1
Les
images
fixes
sont
le
plus
souvent
obtenues par
1
reproduction photographique de l'image d'intérêt avec tous les
inconvénients liés
à
cette
reproduction
(médiocre
qualité
d'image liée
1
à la sensibilité du film,
par exemple). En fait,
l'analyse de ces images joue encore un
rôle
mineur
dans
le
diagnostic
cardiaque
bidimensionnel.
Le
mode
essentiel
1
d'analyse,
reste centré sur l'enregistrement par magnétoscope
qui
devrait
idéalement
posséder
un ralenti et un arrêt sur
image stables et entraîner une dégradation négligeable
de
la
restitution de l'image.
1
li
IV.2.
Contraintes anatomiques
:
1
La
seconde contrainte est liée à la situation anatomique
1
î,
du coeur qui est recouvert par les côtes et les
poumons.
Ces
[~
deux
structures
étant,
pour
des
raisons
différentes,
r,
infranchissables pour les ultrasons, la visualisation du coeur
r
n'est possible
qu'au
travers
de
fenêtres
anatomiques
qui
1
définissent les différentes coupes possibles
f
Coupes latéro-sternales
- Coupes apicales
- Coupes épigastriques
I.22

---

Ces différentes coupes, définies aussi par la position de
la
sonde,
sont
largement
tributaires
de
l'anatomie
particulière
du
sujet
examiné
et
ne
sont
pas
toutes
interprétables chez un même patient.
Les figures l.9 et l.10 représentent deux des coupes
les
plus
usuelles en échocardiographie et les différentes parties
du coeur observables.
IV.3.
Contraintes pathologiques
:
La troisième contrainte découle
des
particularités
des
pathologies cardiaques habituellement rencontrées. En effet en
cardiologie, si on met de côté les cardiopathies congénitales,
il est relativement rare que le problème à détecter soit celui
de la mise en évidence d'une anomalie morphologique.
Beaucoup
plus souvent la décision thérapeutique dépendra
des conséquences hémodynamiques d'une lésion ce
qui
entraîne
les conclusions suivantes :
Nécessité
du
stockage
des documents,
de facon à pouvoir
juger
de
l'évolution
clinique
d'un
patient
examiné
à
différentes époques.
Intérêt
d'une
méthode de quantification,
afin de pouvoir
mesurer un orifice mitral,
des
dimensions
ventriculaires,
apprécier la performance ventriculaire gauche ...
A
l'heure
actuelle,
trois
méthodes
principales
sont
utilisées pour effectuer ces mesures :
- Méthode manuelle: Elle consiste
à
tracer
sur
un
support
transparent,
les contours cardiaques par superposition sur le
moniteur de visualisation ou sur une
épreuve
photographique.
Bien
que
ne
nécessitant
aucun matériel particulier,
cette
méthode est particulièrement fastidieuse.
l.23

---

1
Legende
1••• Paroi antérieure ventriculaire
droite
2••• Ventricule droit
3••• Septum interventriculaire
3 - - - '
4••• Cordages tendinaux
5••• Paroi antêro-latérale
6
6... Pilier antéro-latéral
7••• Paroi postérieure (VG)
8••• Pilier postéro-médian
9••• Ventricule gauche
Figure 1.9 : Coupe transversale du Coeur
(Voie Parasternale gauche)
1. 24

---

Légende:
1. .. Apex
2••• Ventricule Gauche
3••• Paroi latérale (myocarde)
4••• Cordages tendinaux
5••• Valve Mitrale
11
6••• Oreillette gauche
7••• Veines pulmonaires
8••. Septum interauriculaJre
9••• Oreillette droite
10 •• Valve tricuspide
Il .. Ventricule droit
12 •• Septum interventriculaire
Figure 1.10
Coupe longitidunale (4 cavités)
1. 25

---

l
J
f
Méthode
semi-automatique:
Elle
est
présente
dans
les
f,
nouvelles générations d'échocardiographes, où les mesures sont
i
effectuées, après tracés des contours par l'intermédiaire d'un
f
photostyle sur l'écran, par des curseurs de distance commandés
!f
1
à
partir
de
la
console
de l'échocardiographe.
Elle a été
t
rendue possible par l'intégration de la micro-informatique
et
1
devrait
permettre
la mise en oeuvre de programmes de mesures
f
et d'évaluation de distances, de périmètres, de surfaces et de
f
volumes [16][19].
f
f
i
- Méthode automatigue: faisant l'objet de recherches à l'heure
actuelle
[17],
cette
méthodologie
basée
sur
des
modèles
cardiaques,
devrait
permettre
aux
praticiens
de
pouvoir
disposer de paramètres essentiels de la fonction cardiaque
en
minimisant le facteur subjectif introduit par l'opérateur dans
les méthodes précédentes. Elle n'est pour l'heure présente que
sur
des
prototypes
de
systèmes
d'imagerie
couplés
à des
périphériques informatiques.
Mais
quelles
que
soient
les
potentialités
de
ces
méthodes,
l'analyse quantitative des images bidimensionnelles
du
coeur,
bute
toujours
sur
la
résolution
limitée
des
équipements,
la présence de zones de non représentativité des
interfaces acoustiques quand elles sont parallèles au faisceau
[25] et sur le facteur temps,
proportionnel à la
taille
des
images
à
traiter.
L'introduction de nouvelles architectures
spécialisées (processeurs cablés, architectures parallèles ... )
devrait à terme permettre de nouveaux développements
dans
ce
domaine.
1.26

---

v. CONCLUSIONS
Nous
avons
dans
ce
chapitre
rappellé
les phénomènes
acoustiques mis
en
oeuvre
dans
la
génération
des
images
échographiques,
les
problèmes
liés à leur présence et leurs
applications dans l'étude de l'anatomie et
de
la
pathologie
cardiaque.
Nous
allons
dans
la
suite,
expérimenter les voies et
moyens permettant :
- d'améliorer le rendu visuel et informatif de ces images dans
le cas particulier de l'échocardiographie.
d'accéder aux informations présentes dans ces images afin de
les restituer sous des formes plus accessibles
à
l'analyse
qualitative et quantitative.
1.27

---

1
fl
!
CHAPITRE
I I
SYSTEMES
DE
NUMERISATION,
DE
STOCKAGE,
DE
TRAITEMENT
ET
DE
RESTITUTION
DES
IMAGES
ECHOCARDIOGRAPHIQUES
f!
II.l

---

---

1.
INTRODUCTION
Pour la mise en oeuvre
des
procédures
décrites
dans
les
chapitres
suivants,
nous
avons
utilisé
les
ressources
informatiques dont dispose le Laboratoire de Génie Electrique
de
Créteil.
Elles consistent en:
- Un micro-ordinateur PDP 11/23 de Digital Equipment,
sur lequel
ont été implantées des cartes de numérisation,
de stockage
et
de restitution d'un signal vidéo.
Un
système
de traitement d'image,
V1DEOGRAPH,
interfacé au
micro-ordinateur POP 11/23, qui en est le processeur hôte.
- Quatre micro-ordinateurs compatibles AT,
sur lesquels ont
été
développés les logiciels de traitement de données.
Dans
ce
chapitre,
nous
présentons
les
différentes
configurations matérielles utilisées pour les expérimentations et
les langages de programmation utilisés.
I I .
SUPPORT MATERIEL
II.1 Description générale du micro-ordinateur
hôte
(POP
11/23)
Le microordinateur
PDP
11/23
est
construit
autour
d'un
microprocesseur
16
bits
développé
par
Digital
Equipment
Corporation,
le
LS1
11/23,
pouvant
adresser
64
KOctets
de
mémoire.
II.2

---

Dans
notre
configuration il a été équipé des périphériques
suivants:
- Une unité comprenant deux lecteurs de disques souples
RX02
de
512
KOctets
chacun,
soit
une capacité totale de 1 MOctet en
ligne.
- Quatre lignes séries asynchrones au standard RS-232C supportées
par une carte d'interface DLV 11-J.
- 256 KOctets de mémoire RAM adressables par pages de 64 KOctets.
- Un terminal graphique VT-100.
- Plus récemment d'une unité de disque dur
amovible
RL02
d'une
capacité de 10 MOctets.
Il dispose de plusieurs systèmes d'exploitation,
mono-tâche
(RT11-SJ),
double-tâche (RT11-FB),
double-tâche
supportant
la
mémoire étendue de 256 KOctets (RT11-XM) adressable par pages.
Il
est
doté des langages de programmation BASIC et FORTRAN
IV, ainsi que du macro-assembleur LSI-11.
II.2
Systèmes d'acquisition
e t de traitement des
images
II.2.1
Systême MATROX
Ce microordinateur a été équipé d'un système
d'acquisition,
de
stockage
et
de
restitution
des
images vidéo gràce à deux
cartes MATROX compatibles avec le Q-BUS du L5I-11
(Figure
II.1)
qui permettent:
La
numérisation
des
images
à
une
fréquence
de
30
MHz,
supérieure à la fréquence de Nyquist (Dans la
norme
vidéo
en
temps réel,
la fréquence maximale est de 5 MHz: soit 25 images
par seconde), sur 4 bits (soit 16 niveaux de gris) au niveau de
la
carte
QFG-01
qui
dispose
de
quatre
entrées
vidéo
multiplexées.
II.3

---

Leur
transfert dans la mémoire d'image de la carte
QRBG/256
d'une capacité de 256 par 256 pels,
qui assure
également
la
restitution analogique de l'image stockée.
L'initialisation
de
·l'ensemble
de
la
mémoire d'image à un
niveau de gris donné.
- La rotation dans le sens vertical de l'image en mémoire.
Ce système d'acquisition des images a été programmé en
mode
de
synchronisation externe afin de pouvoir numériser des signaux
vidéo d'origine externe provenant par exemple d'un magnétoscope.
0 ~
lliRMIN/lL / r
" # I §
C(lUJeur
CONVERTISSEUR
J C?+
9" \\~. . . ~
En~5Vi~o
NUMERIQUE
NID
ANALOGIQUE
POP Ilm
r-----------
1 ko~:- ~
r-i RA~
MEMOIRE
NUMERISAlCUR
D'IMAGE
4 BITS
~
1
HROM
256a2S6 Pels
sur 4 bill
-----------
Modulcdc
REGISTRES DE
Synchronisation
COMMANDE
QFG'{)I
QRGB ·256 . ( ').
V
BUS LSI 1"23
Figure II.! Schema synoptique du système PDP!! - MATROX
11.4

---

I I . 2 . 2
Système de
traitement
d'images
VIDEOGRAPH
La conception modulaire de ce système
est
particulièrement
adapté
aux différents problèmes de traitement numérique d'images
vidéo.
Il est
structuré
autour
d'une
mémoire
image
importante
doublée
d'une
mémoire
de
recouvrement
ou
de
débordement
connectées
toutes
deux
à
un
contrôleur
de
panoramique
et
interfacées à grand débit à un générateur de pixels permettant le
traitement des lignes et des colonnes en écriture et lecture.
Dans sa configuration livrée au laboratoire,
il est composé
des modules suivants:
Un
module
Horloge-Synchronisation
à
une
fréquence
de
10
mégaHertz
qui
pilote tous les autres modules (Synchronisation
des convertisseurs Analogique Numérique) tout en respectant
la
compatibilité
aux
normes
vidéo
(625 lignes 50/25 Hz en mode
entrelacé).
- Une interface QBUS du type DMA adaptée aux
entrées-sorties
du
POP
Il
du
laboratoire
possédant
un
débit
de
l'ordre
du
MégaPixel par
seconde.
Des
mémoires
tampons
perme~tent de
réguler
les différences de débit entre les différentes sources
du système.
- Un générateur de pixels dont l'espace d'adressage sur
12
bits
s'étend
sur
l'ensemble
de
la
mémoire
image
disponible
(4096x4096 pixels) pour une zone de
visualisation
de
512x512
pixels.
Un
contrôleur
de panoramique permettant le déplacement de la
zone visualisée au moniteur dans toutes
les
directions
pixel
par
pixel
ou
dans
toute
autre zone de 512x512 pixels de la
mémoire image.
II.5

---

lf1i
Des modules mémoire au format de l024xl024 pixels sur
2
bits
1
pouvant
être
connectés
en
parallèle
de
façon à obtenir un
t,
codage sur 4,
6,
8 bits ou plus en fonction des applications.
Nous
disposons
de
4
modules
mémoire
de ce type donc d'une
f
mémoire image de 1024x1024 pixels codés sur 8 bits.
1
f
- Un module table de correspondance des couleurs et convertisseur
1
numérique-analogique permettant les variations linéaires ou non
[
linéaires du contraste,
l'inversion
vidéo
ou
la
génération
1
d'images en fausses couleurs.
l
1
III.
SU~PORT LOGICIEL
1
Les
différentes
procédures mises en oeuvre dans ce mémoire
ont
été
programmées
soit
sur
le
système
Matrox
soit
sur
l'ensemble
des
systèmes
de
traitement
d'images
installés au
laboratoire.
L'acquisition
récente
du
système
Vidéograph
expliquent. que
l'intégralité
des
programmes de traitement des
images échocardiographiques n'aient pas été totalement implantées
afin d'exploiter les possibilités supérieures de ce système. Leur
réécriture en ce sens est en cours.
111.1 Processeur d'images
Pour des raisons
de
rapidité
de
calcul,
les
programmes
élémentaires
de
traitement ont été entièrement écrits en macro-
assembleur LSI Il,
ceci afin de minimiser leur temps d'éxécution
et
leur encombrement mémoire.
Nous avons utilisé à cette fin le
processeur d'images (Figure II.2) décrit par E.PETIT [25].
Trois registres images sont utilisés dans ce processeur:
- un registre accumulateur RO
- un registre de données RI
- un registre de sauvegarde R2
II.6

---

Dans le cas d'opérateurs impliquant un seul opérande (Figure
II. 2. a) ,
le registre RO est chargé avec la sé~uence ou l'image à
traiter
qui
est
conservée
dans
sa
forme
originale
dans le
registre R2.
Le registre de données Rl
recevant
l'image
après
traitement qui est ensuite transférée dans l'accumulateur.
Pour
des opérateurs à double opérande (Figure II.2.b),
ils
sont stockés respectivement dans le registre accumulateur
RO
et
le
registre
de
données
Rl:
après
traitement le résultat est
transféré dans le
registre
accumulateur
RO
après
un
transit
temporaire dans Rl.
~.t:;:~~~!
l:~~:.;...~t.:R
~o
RE:i:S:;.[ :t
C:s!.HS
..1
a)
~:ii:S~;;[ :JE
S:.L....!::.~"
IiZ
b)
Figure II.2 Architecture du processeur d'images
II.7

---

211.2
Organisation
du
l o g i c i e l
Le
système
MATROX étant directement implanté sur le bus du
LSI Il,
l'ensemble des procédures de traitement et de calcul sur
ce système ont été saisis en macro-assembleur.
Par
contre
le
système
Vidéograph,
faisant
appel
à une
bibliothèque
de
sous
programmes
utilitaires,
nécessite
l'utilisation
d'un
langage évolué (ici le FORTRAN IV).
Dans le
même esprit de minimaliser
l'encombrement
mémoire,
nous
avons
écrit les routines élémentaires en Macro-assembleur et généré des
procédures
d'appel
et
d'éxécution
programmés
en
FORTRP~ IV.
L'organigramme général de ces procédures est donné par la
figure
II.3.
La
structure
de
la
plupart
des opérateurs mis en oeuvre
faisant appel à des masques de convolution de
taille
prédéfinie
(Laplacien,
Sobel,
Gradients,
etc ... ),
nous
utilisons
le
processeur mono-opérande et proçédons à une opération de balayage
ligne par ligne de l'image à traiter suivant l'algorithme
de
la
figure II.4. Les résultats de chaque traîtement élémentaire étant
positionné
dans
l'image résultat à la place du pixel central de
la fenêtre de convolution.
Pour
les
procédures
liées
à
la
génération
d'images
paramétriques, le même algorithme a été utilisé, avec en addition
(en italique) une proçédure de normalisation des ~aleurs stockées
dans
la
limite
de
l'échelle des niveaux de représentation des
systèmes d'imagerie.
Cette normalisation de représentation dans le plan
image
a
pour
but
essentiel
de
permettre
les
post-traitements de ces
résultats considérés dans notre étude comme des images opérandes.
Il est bien entendu que si cette normalisation entraîne
une
perte d'informations non négligeable sur l'évolution du paramètre
étudié, elle permet par contre de mettre en oeuvre des proçédures
de convolution simples donnant des résultats assez satisfaisant.
II.8

---

MEi'lU PRINCIPAL
I1'.TJTlALISATION
TRANSFERT
AMELIORATION
,
1
1
1
1
LUT
ACQ
MEM
DIS
MEM
PAN
ms
LIS
MED
LEN
CAN
COP
VIS
MM
MLX
TEXTURE
UTILITAIRES
OP. SPATIAUX
,
1
1
1
1
IPR
BST
STD
3D
HST
2X
LAP
GRD
SOB
LAW
CLT
SLG
CON
LEGENDE
LUT Table des couleurs
IPR Image paramétrique
ACQ Fenetre d'acquisition
BST Bus)'ness statistics
MEM Mémoires d'image
sm Statistiques des Différences
LEN Taille Image
LAW Masques de Laws
CAN Sequencement de digitalisation
3D Représentation pseudo tridimensionnelle
DIS Stockage'sur disque
HST Histogramme d·une image
MEM Lecture en mémoire
2X ZOOm sur image
pA.~ Mémoire à mémoire
CLT Changement de table des couleurs
VIS Visualisation
cap Copie en mémoire
LAP Laplaciens
GRD Gradients
HIS Recodage d'histogramme
SOB Sohel
LIS Lissage
CON Masques de convolutions libres
MED Médian
SLG Seuillage
MM Médian·Moyenneur
MLX Maxima locaux
Figure II.3. Organigramme général des procédures
II.9

---

Convolution d'une image
Choix de l'opérateur à mettre en oeuvre
Saisie de la taille de la fenètre de convolution Tc
Dimensions de l'image à traiter
Détermination du nombre de convolutions à effectuer
En ligne:
NI
. En colonne:
Ne
Positionnement début Image
Jusqu'à nombre de lignes traitées = NI
Jusqu'à nombre de colonnes traitées = Ne
F
F
Calcul de la convolution Opérateur-Image
a
a
.
.
1
1
Stockage dans un' vecteur ligne résultat
r
r
e
e
Détermination des valeurs minimale et maximale de la convolution
--
Transfert dans le registre résultat
Normalisation des valeurs de convolution sur l'échelle de visualisation
Visualisation et stockage du registre résultat
1
!
1
Retour au Menu Principal
Figure II.4
Algorithme général de Convolution Image
ILIO

---

La
taille
restreinte
de
la
mémoire
installée sur notre
processeur hôte en regard à la dimension importante de la mémoire
nécessaire pour stocker les images traitées (128x128
ou
256x256
pels),
de
même que le codage du point image (16 niveaux pour la
carte Matrox et 256 niveaux
pour
le
Vidéograph)
ont
été
les
critères déterminants pour l'implantation de cette proçédure dans
notre étude.
Nous
avons
effectué
cette
normalisation
en
suivant les
étapes suivantes:
- Détermination des valeurs minimale et maximale des valeurs de
convolution obtenues,
- Normalisation linéaire de
ces
valeurs
dans
l'échelle
des
niveaux retenue suivant la formulation suivante:
xn = N x (Xn - Xrnin)/(Xrnax - Xmin)
xn E N
avec N Nombre de niveaux de représentation
Xi Valeurs de l'image paramétrique non traitée
xn Valeur normalisée
1 V
•
CONCLUSION
Nous
avons
présenté les différents aspects liés au matériel
et au logiciel utilisés pour effectuer
l'étude
que
nous
avons
entreprise.
La
contrainte la plus importante ayant été le temps
d'éxecution directement lié à la taille de l'image considérée
et
au type de traitement effectué. Dans notre cas, nous avons essayé
par
les
différentes
stratégies élaborées de minimiser ce temps
qui ne prête pas à conséquence pour des traitements différés mais
est capital pour des traitements en temps réel.
Les différents
traitements
liés
à
l'analyse
des
données
images
ont
été
quand
à eux effectués sur des microordinateurs
compatibles IBM PC en langage Basic,
seuls disponibles au niveau
de
l'EN5UT
de
Dakar
où j'ai eu à effectuer l'exploitation des
résultats obtenus sur les textures.
II.11

---

CHAPITRE
I I I
AMELIORATION
DES
IMAGES
ECHOCARDIOGRAPHIQUES
I I I . l

---

---

l1r!
I .
INTRODUCTION
t
L'amélioration des images est réalisée par un ensemble de
techniques qui ont pour but
d'améliorer
l'aspect
visuel
de
l'image
en
une
forme
plus
accessible
à
l'analyse.
Ce
traîtement numérique a généralement pour effet d'accroître
ou
f
de diminuer sélectivement une partie de l'information présente
[
dans l'image.
t
J
L'image
est
améliorée
dans
la mesure où l'utilisateur
i
(homme ou machine) considère que
la
nouvelle
représentation
obtenue est plus adaptée à la compréhension,
l'interprétation
ou la manipulation.
En
l'absence
de
théorie
générale
sur
l'amélioration
d'images,
il
n'y a pas à ce jour de critères
standards de mesure de l'amélioration apportée sur une
image.
Certains
auteurs
[31] proposent des méthodes d'estimation de
cette amélioration par évaluation d'un coefficient du
contenu
informel
et de l'entropie sous certaines hypothèses,
l'image
étant
en
effet
supposée
être
un
échantillon
d'un
champ
aléatoire homogène,
mais cette méthode est donnée comme étant
très sensible au
bruit,
ce
qui
limite
son
application
à
certains types d'images.
Pour
notre
part,
nous
avons
pensé
que
seule
une
expérimentation des
différentes
méthodes
proposées
[3],[5]
peut
servir
de
référence
pour
le
choix des traitements à
effectuer dans le cadre d'une application donnée.
Il convient en effet de garder à l'esprit,
dans
le
particulier
des
images
échocardiographiques,
que
restauration et l'amélioration
de
ces
images
nécessite
prise
en
compte
de
leurs
particularités,
telles
que
sauvegarde des hautes fréquences spatiales représentatives
frontières
tissulaires
(péricarde,
endocarde, ... ),
ce
entraîne
par
ailleurs une amélioration du rapport signal
bruit imparfaite,
étant donné que le bruit
se
manifeste
plus souvent par ces hautes fréquences.
111.2

---

Il
convient donc de trouver des opérateurs présentant le
meilleur compromis entre l'amélioration du rapport signal
sur
bruit et la sauvegarde de ces hautes fréquences spatiales afin
de
pouvoir
procéder
avec
les
meilleures chances aux post-
traitements envisagés sur l'image considérée.
L'amélioration des images nécessite d'autre part de faire
la part de l'amélioration visuelle et de celle
qui
permettra
la meilleure prise en compte des éléments d'informations, tant
structurelles que spatiales,
présents dans cette image par le
système de traitement.
Nous devons donc distinguer deux types
d'amélioration:
D'une
part,
celle
qui
permettrait
de
restaurer
dans
l'image le maximum
d'informations
significatives
sur
ses
éléments constitutifs.
D'autre
part,
l'amélioration qui présenterait le meilleur
confort visuel pour
son
interprétation
par
un
opérateur
humain.
L'objectif.
que
nous
nous
sommes
fixé,
nous entraîne
naturellement à privilégier la première expression
sans
pour
autant
négliger
l'aspect visuel de l'image traitée au vu des
destinataires de nos travaux.
Nous allons donc examiner
sous
cet
angle les différents opérateurs mis en oeuvre et en faire
une
étude
comparative
en
utilisant
le
seul
critère,
subjectif, dont nous disposons : la vision.
Dans
le cas des images échocardiographiques,
comme nous
l'avons
vu
dans
le
chapitre
précédent,
le
problème
est
d'autant plus ardu à résoudre que l'homogénéisation de l'image
entraînée
par
ces
opérateurs
et
la
conservation
des
informations de discontinuités indispensable dans
ces
images
sont
deux
objectifs
antinomiques
pour
le
traitement
informatique.
Il convient donc de rechercher pour ces images,
de
nouveaux
algorithmes
d'amélioration
préservant
ces
informations sans introduire de biais significatifs.
111.3

---

Certains groupes de recherche
ont
ainsi
introduit
des
modéles de la perception visuelle [23],
les limitations de ce
type d'opérateurs résident :
premièrement,
dans
la
connaissance
des
principes
d'acquisition
des
informations
visuelles
et
dans
leur
modélisation afin de
les
introduire
dans
une
chaîne
de
traitement ..
1
1
deuxièmement,
sur
le
mode
de
génération
des
images à
traiter qui ne s'apparente
pas
nécessairement
au
système
visuel humain.
D'autre part, leur relative complexité rend d'autant plus
ardue
leur
implantation
dans
des
systèmes
de
traitement
d'images,
qu'ils
nécessitent
la
manipulation
d'un
nombre
important
de
paramètres,
et
donc
un
temps
de calcul non
négligeable, si l'on veut procéder à leur application en temps
réel.
C'est pour toutes ces raisons que nous avons choisi de ne
considérer que les algorithmes d'amélioration
applicables
au
type
d'images
que
nous
avons à traiter et présentant de ce
fait,
un bon rapport signal sur bruit tout en préservant
les
informations structurelles néce~saires à l'interprétation.
Nous
articulerons
donc
ce
chapitre
autour
de
ces
algorithmes
et
des
résultats
obtenus
sur
les
images
échocardiographiques
avec
des
opérateurs
classiques.
Nous
procéderons ensuite à une analyse comparative de ces résultats
afin de dégager ceux qui paraissent les plus intéressants; ils
concernent trois filtres que nous avons mis en oeuvre:
- le filtre sommateur,
- le filtre médian-moyenneur
- et l'opérateur des maximas locaux.
f
f
111.4
1
f

---

II.
MODIFICATION DE
L'ECHELLE DES NIVEAUX
Le contraste
d'une
image
peut
le
plus
souvent
être
amélioré
par
une modification de l'amplitude de chaque point
élémentaire de l'image
(Pel).
Pour
des
images
numériques,
l'implantation
de
la
fonction
de
transfert
permettant la
modification
est
relativement
simple
toutefois,
dans
l'élaboration de l'opérateur de la fonction de transfert,
les
effets de la diminution de luminosité doivent être
prises
en
considération.
Une
image
numérique traitée doit présenter une gamme de
niveaux de gris différente de celle de l'image d'origine
sans
pertes significatives de la dynamique de l'échelle des niveaux
de représentation.
Dans
certaines
applications
de
traitement
d'images,
l'utilisation
de
fonctions
de
transfert
décroissantes,
monotones
et non-monotones est usuelle [5].
Par exemple,
en
présence d'une image fortement non-linéaire dans
les
niveaux
bas de l'échelle des niveaux de gris, une fonction d'inversion
de contraste peut être utilisée pour transférer les régions de
faible
luminance
vers
les fortes luminances et augmenter la
linéarité de la zone d'intérêt.
L'histogramme
des
luminances
d'une
image
échocar-
diographique
typique
échantillonnée
et quantifiée selon une
loi linéaire est à dominance vers les niveaux bas, la majorité
des pels possédant une luminance inférieure à la
moyenne,
en
conséquence
les
détails des images dans les zones sombres ne
sont pas perceptibles (Ex: cordages intraventiculaires).
Il a été montré [26]
qu'un
processus
d'égalisation
de
l'histogramme
de
ces
images,
augmente
sensiblement
la
définition des limites de l'endocarde.
111.5

---

Un processus de modification de l'histogramme
peut
être
considéré comme une transformation monotone de point :
g(k) = T[f(j)]
pour laquelle la variable d'entrée intensité
f(O)
=< f(j)
=< f(J)
j
E [O,J]
est mise en concordance avec une variable de sortie
g(O) <= g(k), <= g(K)
k E [O,K]
telle que la distribution des probalités de sortie
suive
une
forme donnée pour une distribution de probabilités
d'entrée:
où a(j) et b(k) sont les valeurs de reconstruction des niveaux
de rang j et k.
Dans le cas où la densité de sortie désirée doit être une
densité de probabilité uniforme telle que
f!
1
P(g) =
gmin =< g =< gmax
groax - groin
et si P~(f) est la fonction de distribution cumulative
de
la
1
variable d'entrée f.
1
f
!
P~(f) =
E
p(i)
i=O
f
la
fonction
de
transfert
d'égalisation
de
l'histogramme
1
1
s'écrira:
1
g = [gmax - grnin].P~(f) + grnin
l
f
111. 6
t
1
!

---

Le tableau suivant donne les
fonctions
de
transfert
à
appliquer suivant la densité de sortie désirée.
Densité de probabilité
Fonction de transfert
en sortie
Uniforme
g = [groax-grnin]P~(f) + groin
Exponentielle
g = groin
lia ln[l-P~(f)]
Rayleigh
g = groin + [20 2 In(1/(1-P~(f)]2
Hyperbolique
g = [gmax1/3_gmin1/3]P~(f)+gmin1/3
(Racine cubique)
Hyperbolique
g = groin [groax/groin]S
avec S=P~(f)
Afin
de faciliter leur implantation future en temps réel
sur un système informatique couplé
à
un
système
d'imagèrie
ultrasonore,
nous
ne nous sommes intéressés qu'aux fonctions
les plus simples. Les résultats que nous avons obtenus sur des
images digitalisées sur une échelle restreinte de
niveaux
de
gris
(la
digitalisation
est effectuée sur une plage limitée
des 256 niveaux disponibles),
Figures III.l.a et III.l.b,
en
utilisant
les trois premières fonctions décrites précédemment
(Figures III.2.a,
III.3.a,
III.4.a) permettent de
juger
de
l'influence
de
la dynamique de l'échelle des niveaux de gris
sur la perception visuelle.
Cette sensibilité variant suivant
une
loi
logarithmique,
la restitution des contrastes semble
mieux perçue par l'application d'une loi de
distribution
des
niveaux de gris exponentielle (Figure III.3.a).
L'analyse
des
différents
histogrammes obtenus (Figures
III.l.b,
!II.2.b,
III.3.b,
III.4.b)
permet
de
mesurer
l'influence
sur
la
répartition des niveaux de gris des dif-
férentes lois mises en oeuv~e.
On constate
qu'une
meilleure
répartition
de ces niveaux sur la àynamique désirée en sortie
(ici
256
niveaux)
est
obtenue
par
cette
même
loi
exponentielle.
111.7

---

Figure III.3.a Loi exponentielle 0=0.02
Figure III.4.a Loi de Rayleigh 0=80
II1.9

---

Pels
1
l
5250
Image non-traitee
f!
1
3500
1
f
1750
o
51
102
153
204
Ng
Figure III.l.b Histogramme des niveaux:
Image non-traitée
Pels
5250
Loi Uniforme
3500
1750
1
t
0+-
...LlJ--4-_--U._LL-.u.......l~u.u.
o
51
i02
153
204
Ng
Figure III.2.b Histogramme des niveaux: Loi Uniforme
111.10
1
1

---

Pels
5250
Loi Exponentielle
Alpha • 0.02
3500
1750
o
51
102
153
204
Ng
Figure III.3.b Histogramme des niveaux:
Loi exponentielle 0=0.02
Pels
5250
loi de Ra'ile1gh
Alpha = 80
3500
1750
o
51
102
153
204
Ng
Figure III.4.b Histogramme des niveaux: Loi de Rayleigh 0=80
111.11

---

I I I .
OPERATEURS D'AMELIORATION
D'IMAGE
Nous avons mis en oeuvre différents types d'opérateurs en
examinant
d'abord
leurs
apports respectifs dans le cadre de
l'amélioration désirée et en essayant ensuite
de
déterminer,
suivant
des
critères
que
nous
allons
définir,
les
plus
appropriés aux objectifs que nous nous sommes fixés.
Les
opérateurs
les
plus
couramment
utilisés
se
distinguent
le
plus
souvent
par les caractéristiques de la
fonction
de
transfert
qu'ils
mettent
en
oeuvre.
Nous
distinguerons
donc
les
opérateurs
faisant
intervenir
une
fonction de transfert linéaire de ceux présentant une fonction
de transfert non-linéaire.
Nous appellerons filtrage l'opération de convolution d'un
opérateur quelconque avec l'image considérée, cette expression
provenant du fait que chacun de ces opérateurs privilégie
sur
une
image
un
certain
type
d'informations
élémentaires et
fournit donc une image résultat analogue à
une
opération
de
filtrage des info~ations globales de l'image.
111.1.
OPERATEURS
LINEAIRES
111.1.1
F i l t r e Moyenneur
spatial
(Lissage)
Le
filtre
le plus souvent cité et le plus étudié est le
filtre passe-bas plus communément appelé filtre
moyenneur
de
par son principe:
Si
nous considérons une fenêtre de taille m,n prise dans
l'image étudiée supposée de taille M,N on aura:
1
G(k,l) =
1:: G(i,j)
i
E [l,n],
j E [l,ml
n x m
n
m
.
avec .
.
k = ENS( -- ) , l = ENS(
k E N, l
E N
2
2
ENS: Plus petit entier supérieur ou égal.
111.12

---

On alloue au pel
ainsi
défini
la
moyenne
des
points
constitutifs de la fenêtre d'examen.
On effectue donc bien un
moyennage de l'image considérée ~ar balayage continu de
cette
fenêtre dans le plan.
Cette
technique
réduit
notablement le bruit "poivre et
sel" présent sur l'image de la figure III.1,a
visualisée
ici
en
représentation
pseudo-tridimensionnelle
(Figure
IrI.5),
mais présente un inconvénient majeur:
l'altération des hautes
fréquences spatiales,
qui traduisent les brusques transitions
de
niveau,
gue
l'on
trouve
aux
abords
des
contours
et
auxquelles on doit la qualité de
définition
d'un
objet
par
rapport
à
son
arrière
plan.
La
suppression de ces hautes
fréquences spatiales introduit donc un "flou" aux limites
des
objets.(Figure
111.6
moyennage spatial sur fenêtre carrée
5x5)
La diminution de contraste résultant de l'application
de
ce
filtre moyenneur spatial rend d'autant plus contraignantes
les procédures de recherche et de détection des frontières des
objets à l'intérieur des images échocardiographiques [25J.
Figure 111.5 Image Echocardiographique:
representation pseudo-3D
111.13

---

Figure III.6.
Image moyennée
111.1.2
F i l t r e
Moyenneur
temporel
Nous
avons
envisagé,
afin
de
trouver
un
meilleur
compromis
entre l'amélioration du rapport signal sur bruit et
la sauvegarde des informations sur les limites des objets dans
des images dynamiques,
de procéder à une variante
temporelle
du
filtre
moyenneur,
appliqué
plus
particulièrement à des
images échocardiographiques prises au même
instant
du
cycle
cardiaque (images cardiosynchrones).
Ce
filtre
moyenneur
temporel
d'images,
que
nous
appellerons filtre sommateur, procéde à une sommation des pels
de même rang dans plusieurs
images
et
la
normalisation
du
résultat obtenu sur une échelle de niveau prédéfinie,
conduit
à une image résultat égale à
la
somme
point
par
point
des
images de départ normalisés sur la même échelle (Figure 111.7)
111.14

---

1
j
~
~
GN
1
v~
Gk
G1
~.J ,
1
Images opérandes
Gr
Gr (i,j) = L Gk(i,j)/N pour k = 1, ... , ~
Image résultat
Figure 111.7
Principe du filtrage moyenneur temporel
La formulation de cette procédure à N
images
de
taille
P,Q donne :
k E [l,N],i E [l,P],j E [l,Q]
L'examen
des
résultats
obtenus
sur
4
images cardio-
synchrones (Figure 111.8) permet de constater les mêmes effets
que ceux décrits dans
l'application
précédente.
Les
hautes
fréquences
temporelles
sont
elles
aussi
réduites
par
l'application de ce
filtre,
ce
qui
permet
d'améliorer
le
rapport
signal sur bruit dans une proportion de racine carrée
de N (N représentant le nombre d'images), mais les limites des
objets
deviennen~
moins
discernables
que
sur
les
images
d'origine (Figure 111.9), ce dans un degré moindre que dans le
cas de l'application de ce filtre dans le domaine spatial.
111.15

---

On
notera
toutefois
que
la
difficulté
d'obtenir des
images
parfaitement
superposables
entraine
un
étalement
spatial des niveaux dans l'image résultat.
Il est difficile à
ce niveau de faire la part des effets dus au filtrage et
ceux
dus au mouvement cardiaque.
Figure 111.8.
Images cardiosynchrones
Figure 111.9.
Images sommées
111.16

---

111.2.
OPERATEURS
NON
LINEAIRES
111.2.1
F i l t r a g e
Médian:
Il s'agit d'une technique de traitement non linéaire.
Le
filtrage
médian
à
l'inverse
du
filtrage
moyenneur a pour
avantage de
préserver
les
contours.
Son
application
doit
toutefois être controlée, car bien que 'cette technique diminue
notablement
les inhomogénéités de l'image,
elle s'accompagne
d'une suppression des détails d'étendue inférieure à la moitié
de la fenêtre d'exploration [25].
Si nous considérons
une
fenêtre
de
taille
(n,m),
la
valeur
médiane de cette fenêtre est déterminée sur l'ensemble
des valeurs Xk defini par la relation suivante :
Xk
= G(i,j) telles que G(i,j)
<
Xl
avec
l
E [k+l,N]
si l'on pose
N= n x m
pour
k,l E [l,N]
i
E [l,n]
;
j
E [l,m]
comme suit
Med = Xr
(Valeur centrale des Xk ) avec r = ENS (N/2)
On remplace dans cette fenêtre le pel central
par
cette
valeur
médiane.
Le
balayage de l'ensemble de l'image sur ce
principe permet d'obtenir une image résultante constituée
des
valeurs médianes ainsi déterminées.
Les
figures
III.lO.a
et III.lO.b donnent un exemple de
l'application
du
filtrage
médian
sur
une
même
image
échocardiographique.
Dans le premier cas, un filtre de taille
3x3 a été appliqué une fois sur une image de
taille
l28x128.
Dans
le second cas le même filtre a été réitéré 3 fois sur la
même image.
IILl7

---

Figure III.1ü.a. Filtrage médian (1 passage)
Figure III.IO.b.
Filtrage médian (3 passages)
111.18

---

L'altération des informations inférieures à la moitié
de
la
taille
de
la
fenêtre
d'exploration
est
beaucoup plus
perceptible sur la seconde figure où le filtre à été
passé
3
fois.
Par
contre
la
sauvegarde
des
informations
de
discontinuités est
parfaitement
illustrée
par
la
pre~ière
figure où le filtre n'a été utilisé qu'une fois.
111.2.2
F i l t r e
Mêdian-Moyenneur
Dans
le
b~t
de
sauvegarder
dans
un
même filtre les
avantages
respectifs
des
filtres
précédents,
nous
avons
utilisé
un
filtre hybride associant le filtrage médian et le
filtrage
moyenneur
[24J,[41J
afin
d'améliorer
le
rapport
signal
sur
bruit
tout
en
préservant les hautes fréquences
spatiales représentatives des bords ou contours des objets
de
l'image.
Ce
filtre que nous avons dénommé filtre médian-rnoyenneur
utilise une combinaison des propriétés des filtres précités et
a pour avantage de minimiser les inconvénients liés
à
chacun
d'entre
eux tout en préservant leurs propriétés fondamentales
à savoir
pour
le
filtre
moyenneur
homogénéisation
des
différentes
zones
de
l'image
et
pour
le
filtre médian:
préservation des informations de discontinuités.
Dans son principe,
on détermine la valeur médiane de
la
f~nêtre d'examen f de taille prédéfinie (n,n), puis on procède
au
remplacement
du pel central (i,j) de cette fenêtre par la
moyenne des pels,
appartenant à une fenêtre plus grande F
de
taille
(m,m) incluant la première et centrée sur le même pel,
dont les valeurs sont comprises dans un
intervalle
prédéfini
autour de la valeur médiane (Figure 111.11).
I I I . l 9

---

J
f(n,n)
Figure 111.11
Principe du filtre médian moyenneur
La formulation de cette procédure est la suivante
G(i,j) = Moy ( GF(a,b) E [ Med-q,Med+q ])
avec:
a,b E [l,m]
Med = médiane [f]
q : accroissement autour de la valeur médiane
A l'analyse (Figure 111.12), sur la même image test, avec
une première fenêtre de taille (5,5)
incluse dans une
seconde
de
taille
(7,7),
on
s'apercoit
que
ce filtre préserve de
manière
satisfaisante
les
contours
tout
en
rendant
plus
homogènes les zones à faible variance de luminance, grace à la
conjonction
des
propriétés
respectives
des deux filtres de
base entrant dans sa composition. Ses propriétés sont beaucoup
mieux perçues sur la
représentation
pseudo-tridimensionnelle
(Figure
111.13) que nous avons adoptée (à comparer avec celle
de notre image non-traitée).
111.20

---

Figure 111.12. Filtre Médian-Moyen
Figure 111.13. Représentation Pseudo-tridimensionnelle
111.21

---

111.2.3.
Maxima
locaux
Cette méthode non-linéaire que nous proposons procède des
mêmes
objectifs de renforcement des contours en réduisant les
inhomogénéités sans introduire
de
dégradations
notables
du
rapport signal sur bruit de ces images.
Elle
consiste
à
prendre
sur
une
série
de
N images
cardiosynchrones et pour
tous
les
points
élémentaires
des
images
de
mêmes
coordonnées
(i,j)
la valeur maximale qui va
servir à générer une nouvelle image GR.
pour k E [l,N]
Il paraît
évident
qu'une
telle
méthode
va
également
conserver
lé
bruit présent sur chacune de ces images
(Figure
111.14) et donc augmenter notablement le
rapport
signal
sur
bruit de l'image résultante.
Il
nous
faut
rappeller
encore
ici,
les
limitations
majeures dans l'utilisation des
images
cardiosynchrones
qui
résident
dans la précision des prises de vue (précision de la
synchronisation du
gel
de
l'image
sur
l'échocardiogra~~e,
stabilité de l'arrêt sur image du magnétoscope utilisé, ... ) et
dans
le
mouvement
cardiaque qui font que ces images ne sont
pas superposables en tout point.
L'intérêt de leur utilisation réside justement dans cette
dernière
considération
où
l'on
peut
supposer
que
des
informations
altérées
dans
une première image
(par exemple,
paroi parallèle au faisceau)
peuvent être
mieux
représentées
sur d'autres images du fait de ce mouvement du coeur.
Pour diminuer l'effet de ce bruit,
nous avons procédé de
la même manière, mais cette fois sur des images sur lesquelles
un
filtrage
médian
contrôlé
a
été
précédemment
effectué
(Figure 111.15).
111.22

---

Pour
les
raisons
précitées,
on
constate
alors
une
dégradation
des
contours
dus à l'étalement spatial de leurs
points représentatifs dans les images cardiosynchrones
prises
en compte pour cette opération.
Figure 111.14. Images cardiosynchrones
(maximas locaux)
Figure 111.15 Filtrage médian 3x3 et maxirnas locaux
111.23

---

Afin
de
permettre
de
réduire
la
prise en compte des
informations dues au bruit de digitalisation,
très importante
dans ces deux premières op~rations, nous avons alors choisi de
ne
prendre
en
compte
pour
cette
procédure,
que les pels
satisfaisant à un critère de connexité.
Dans le cas où nous considérons un voisinage défini en
8
connexité,
nous
avons
choisi
de
prendre
une
fonction
majoritaire comme
critère
pour
cette
application,
ce
qui
conduit à la formulation suivante
GR(i,j) = Sup Gk(i,j)
si MAJ [Gk(i+n,j+m)] > Gk(i,j)
avec n,m E ]-2,2[
Les résultats obtenus par cette variante,
présentés dans
les figures 111.16 et 111.17
où
une
représentation
pseudo-
tridimensionnelle
a
été
adoptée,
permettent d'apprécier la
réduction des pels représentatifs du
bruit
par
rapport
aux
résultats précédents.
Figure 111.16. Variante Maximas locaux
111.24

---

Figure 111.17. Représentation Pseudo-3D
IV.
CONCLUSIONS
Les procédures d'égalisat~on d'histogramme que nous avons
introduites
en premier lieu,
devaient permettre tout d'abord
d'obtenir
un
meilleur
confort
visuel
sur
des
images
ne
couvrant pas l'ensemble de la dynamique disponible des niveaux
àe
gris
et
améliorer
comme nous le verrons par la suite la
réponse des différents opérateurs statistiques que nous
avons
eu
à
mettre
en oeuvre.
La loi exponentielle est la seule à
répondre de manière satisfaisante à ces deux considérations et
c'est donc celle que nous avons retenue pour la suite de notre
étude.
La comparaison des images échocardiographiques améliorées
par les différentes techniques que nous avons mises en oeuvre,
permet dans
un
premier
abord
de
mettre
en
évidence
les
résultats obtenus par l'application du filtre médian-moyenneur
qui rend le meilleur confort visuel.
111.25

---

CHAPITRE
I V
SEGMENTATION
DES
IMAGES
ECHOCARDIOGRAPHIQUES
f
1
~
t11!l
1
IV. l
1
f

---

---

I~
INTRODUCTION
La segmentation et la détection des contours myocardiques
dans une scène d'imagerie
ultrasonore
sont
deux
opérations
fondamentales
dans
l'élaboration
d'un diagnostic clinique à
partir de l'examen échocardiographique.
En effet,
la détermination par le médecin spéçialiste de
certains
paramètres
physiologiques
du
coeur
(épaisseur
myocardique,
fraction d'éjection,
volume
ventriculaire ... ),
permet
de
détecter
et
de
pronostiquer la présence chez le
sujet examiné de certaines cardiopathies.
A l'heure actuelle,
malgré
les
progrés
importants
en
imagerie . médicale,
ce
type
d'examen
présente
certains
inconvénients liés
surtout
au
temps
de
dépouillement
des
données images.
Certaines procédures permettant d'obtenir quelques uns de
ces
paramètres
ont fait leur apparition durant ces dernières
années
[17][19][20],
mais
elles
nécessitent
encore
une
interaction
avec
l'opérateur
qui
doit délimiter une région
d'intérét pour la détermination de ces bords et ne
concernent
que
la
dél~mitation des contours endocardiques.
ZWELH [16]
. décrit
toutefois,
un
système
entièrement
automatisé
de
détermination des frontières de la cavité ventriculaire.
Toutes
ces
méthodes
de
segmentation diffèrent par les
opérateurs mis en oeuvre;
certaines d'entre
elles
extraient
les
contours
d'images
figées
en
utilisant
des opérateurs
spatiaux,
tandis que d'autres,
parmi laquelle celle proposée
par
PETIT
[25],
utilisent
les informations inhérentes à la
mobilité des
organes
éxaminés
en
analysant
des
séquences
d'images.
Une
compilation
de
ces
méthodes
est donnée par
BALLARD et BROWN [11].
IV.2

---

Mais des difficultés restent liées à l'application de ces
méthodes à la segmentation
des
images
échocardiographiques,
SKORTON
et COLLINS [21] en font une synthèse intéressante que
l'on peut résumer par ces quelques points:
- Quelle'est la
validité
des
contours
déterminés
par
les
spécialistes et quelle est leur reproductibilité?
La
grande
difficulté
de
la délimitation du contour épi-
cardique.
Donc
l'utilisation
à
cette
fin
des
algorithmes
classiques,
présentés
ci-après,
doit
nécessairement
tenir
compte de la nature même de ces images et
des
phénomènes
de
rétrodiffusion
des
ondes
ultrasonores
dans
les
tissus
,
rencontrés.
I I .
Seuillage
Dans n'importe quel cas,
l'image peut en
principe
être
segmentée,
ou
les
objets
détectés
par un simple seuillage
point par point des niveaux de gris des pels,
quand
le seuil
est
choisi
de
telle
façon
que
les points appartenant aux
objets et au fond aient des niveaux respectivement compris
de
part et d'autre de ce seuil.
Mathématiquement,
si
l'on note f(x,y)
le niveau de gris
du point image de coordonnées x et y,
seuiller cette image
à
un
niveau
S
donne
naissance
à
une
image binaire fs(x,y)
définie par:
fs(x,y)
= l
si f(x,y)
~ S
= 0
si f(x,y)
< S
Une seconde méthode consiste à supprimer les
niveaux
de
gris du fond en les mettant à 0,
en préservant les niveaux de
gris appartenent aux
objets.
Ce
qui
conduit
à
une
image
fo(x,y) dite demi-seuillée telle que:
f(x,y)
si f(x,y)
~ S
= 0
si f(x,y)
< S
IV.3

---

1
II.1.
Choix du seuil
S
Une
première
méthode de détermination du seuil S,
afin
1
d'extraire une classe
donnée
d'objets,
est
d'examiner
les
1
fréquences
avec
lesquelles
les
différents
niveaux de gris
apparaissent sur l'image en construisant l'histogramme
P~(Ng)
des niveaux de gris de l'image f.
Quand
une
image
contient
des objets appartenant à une
certaine classe de niveaux de
gris
différente
de
celle
du
fond,
leurs
présences donnent le plus souvent naissance à un
autre maximum, la position et l'importance de ces maxima étant
proportionnelles à l'espace occupé par ces deux ensembles dans
l'intégralité de l'image.
En
d'autres
termes,
si
une
image
contient
deux
populations de points appartenant respectivement aux objets et
au
fond,
dont
les
niveaux. de luminance s'étendent dans des
gammes différentes,
on
peut
espérer
que
l'histogramme
de
l'image sera bimodal.
Chacun de ses modes caractérisant l'une
des populations précitées.
r
La meilleure façon,
dans ce cas,
de choisir le seuil de
1
segmentation
5
afin
de procéder à la distinction des points
1
appartenant à chacune de ces populations est de lui donner
la
valeur
du
niveau
correspondant
à
la vallée entre les deux
1
maxima de l'histogramme (Figure IV.l).
Cette valeur de niveau
de
gris
5 est sensée représenter le niveau intermédiaire des
points frontières entre l'objet et le fond.
Une des limites de cette méthode
provient
du
fait
que
dans
bien
des
cas,
et
plus
particulièrement
en imagerie
médicale,
les histogrammes des images sont rarement
bimodaux
mais multimodaux.
Toutefois en première approximation,
elles
peuvent être traitées
comme
des
images
bimodales
si
l'on
considère
que
le
pic
représente
une population de niveaux
représentatifs d'un objet pris dans le sens large et le
reste
1
des niveaux un second objet.
IV.4
1
1

---

r----------- .. -'-"-' -- - -_.. '"
-
-------l
0
1
1
P (Ng)
1
HISTOGRAMME aI~ODÂL DES NIVEAUX
FOND
1
1
OBJET
1
1
J
SEUIL
t
1
i
1
1
~
,
i
0
1
0 -
•
•
_ _ •
_ _
•
0
L
I
0
Ng
1
J
o.
.
.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
0
•
IV.l Principe du seuillage bimodal
Une
illustration
en
est
donné
sur une image échocar-
diographique dans la photo de
la
figure
IV.2
où
le
seuil
considéré est le premier minima rencontré après le pic.
IV.2.
Image échocardiographique seuillée
IV.5

---

• ~,~\\f'''- ,..,;l'~\\_
.::",'
tt1
I I . 2 .
Cas d'une
image multimodale
r
!i
Plusieurs
autres
techniques
existent pour définir avec
i
l
plus de précision le seuil optimal et pour éliminer
le
bruit
~
résultant
d'un
seuillage
imparfait
de
l'image (Procédures
1
d'érosion-dilatation, filtage médian, etc .. ).
f
Dans la plupart des cas,
le seuil optimal
peut
ne
pas
étre
le
même sur l'ensemble de l'image,
par exemple dans le
cas de la segmentation de caractères imprimés,
les caractères
peuvent
ne
pas
être tous de le même classe de niveaux ou la
page peut ne pas avoir été éclairée de manière uniforme.
Une
des
possibilités
afin
de
résoudre
ce
problème
consisterait
à
procéder à un seuillage adaptatif de l'image,
en
la
divisant
en
fenêtres
relativement
petites
pour
lesquelles
on va déterminer le seuil optimal en se basant sur
leurs histogrammes.
I I I .
Détection de
courbes
bords ou frontières
r
Dans une image numérique,
une courbe continue
ressemble
localement
à
un
segment
de
droite.
De
ce fait,
il sera
possible de détecter les courbes par une adaptation de gabarit
utilisant des segments de lignes comme masques.
Pour des courbes noires sur fond clair,
les
masques
de
taille
3,3
pour
des segments de ligne dans les 4 directions
fondamentales seront les suivants:
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
1
1
-1
1 - 1
-1
1
-1
-1
1
-1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
-1
-1
-1
1
o degré
45 degrés
90 degrés
135 degrés
IV.6

---

ROSENFELD et WESZKA [4) recommandent de ne point utiliser
cet opérateur linéaire pour détecter des lignes ou des courbes
à moins d'être surs qu'il n'y ait ni fronts, ni points bruités
plus contrastés
que
les
courbes
dans
l'image
cible.
Ils
proposent
notamment
d'introduire
quelques
degrés
de
non
linéarité dans l'opérateur de détection de lignes.
Considérons un voisinage d'ordre 3 de points a
connexes,
dans
une
image
autour d'un pel central que nous noterons CO
(Figure IV.3).
VI
V2
V3
V4
CO
VS
V6
V7
Va
IV.3: Voisinage d'ordre 3 en a connexité
On peut discriminer une ligne verticale à condition que:
V2+CO+V7 > VI+V4+V6
et
V2+CO+V7 > V3+vS+va
Conditions qui seront satisfaites si
V2,CO
et
V7
sont
des
points
appartenant
à une ligne ou si l'un d'entre eux est un
point bruité. Mais non satisfaites si ces points appartiennent
à un front.
De la
même
façon,
on
pourra
discriminer
les
points
bruités en posant:
VI + V3
V4 + VS
V6 + V8
V2 >
CO >
V7 >
2
2
2
IV. Î

---

1
Par contre,
la reconstruction partielle
des
zones
mal
représentées
est
obtenue
par la technique des maxima locaux
1
associée à un critère de connexité qui permet également
à
un
f
degré
moindre
d'accroître
l'homogénéité
des
régions
t
appartenant à une même structure anatomique.
Cette
technique
'1i
devrait
permettre
d'obtenir
des
résultats
beaucoup
plus
1
significatifs
quand
les
facteurs
limitatifs
de
la
1
J
synchrocardiographie pourront être minimisés.
i
f
Dans tous les cas, l'amélioration reste insuffisante pour
qu'un
simple
seuillage
permette
de
séparer
les
régions
myocardiques des régions cavitaires. Ce critère que nous avons
1
utilisé afin de mettre en évidence l'amélioration
qualitative
du
point
de
vue
informatique
(dynamique
des
niveaux,
1
homogénéisation des différentes zones d'intérêt) ne nous a pas
permis de distinguer une méthode plus particulièrement adaptée
aux images échocardiographiques.
C'est pour
ces
raisons
que
nous
avons
envisagé
une
approche
tout à fait complémentaire.
Au lieu de supprimer ou
de diminuer les inhomogénéités tant locales
que
globales
de
l'image,
nous
avons
pensé
les exploiter par une analyse de
leurs textures afin de pouvoir procéder à leur segmentation.
1
1
1I1.26

---

---

1(
Conditions qui seront satisfaites si b,
e, et h appartiennent
à un front ou à une ligne, mais non si l'un d'entre eux est un
point bruité.
Finalement on pourra tout aussi
bien
éliminer
les points bruités ou appartenant"à un front en posant que:
V2 > Vl, V2 > V3, CO > V4, CO > VS, V7 > V6 et V7 > va
Dans
tous
les cas,
la valeur d'adaptation sera définie
comme suit:
V2 + CO + V7 -
( VI + V3 + V4 + VS + V6 + va )/2
et sera la même que celle d'un opérateur linéaire,
conçu pour
donner
une
valeur
d'adaptation
nulle
pour
des
entrées
constantes.
( Vl = V2 = V3 =
= CO =
= V7 = va )
IV.
Détection des
fronts
de densité
Un front dans une image est une zone dans laquelle i l y a
un changement brusque de luminance.
Ces fronts
peuvent
être
détectés
en
appliquant
différents
types
d'opérateurs
de
dérivation sur l'image,
à l'emplacement où il y
a
variation
brusque
de
niveau
de
luminance
et ce dans la direction du
changement.
IV.1
Opérateurs de dérivation
Le plus utilisé de ces opérateurs de
dérivation
est
un
opérateur anisotrope, l'amplitude du gradient, il est nul dans
la
direction de tangence au bord et maximal dans la direction
de la normale. Il est, défini pour une image f(x,y) par:
Il ç f Il
r
IV.8
1
t

---

Pour une L~age numérique nous utiliserons les différences:
Sf'
rxf = f(x+1,y) - f(x,y)
à la place de
Sx
Sf
ryf = f(x,y+1) - f(x,y)
à la place de
Sy
On peut aussi approximer la racine carrée de la somme des
carrés par la somme ou le maximum des valeurs absolues.
Il est usuellement conseillé d'utiliser des opérateurs de
dérivation qui soient isotropes, c'est à dire qui réagissent à
des contours dans n'importe quelle direction.
On peut également citer les opérateurs de Laplace
et
de
Sobel qui sont parmi les plus fréquemment utilisés [5][16][23]
et
qui
représentent
des
exemples
typiques
d'opérateurs
linéaires isotropes (Laplacien) et
non-linéaires
anisotropes
(Sobel) .
L'opérateur
Laplacien
est
défini
par
un
masque
de
convolution
suivant
le
voisinage
considéré
tandis
que
l'opérateur
de
Sobel nécessite l'utilisation de deux masques
de convolution.
Les masques de convolution numérique
de
ces
opérateurs
sont les suivants:
-1
-1
-1
0
-1
0
Opérateur Laplacien
-1
8
-1
-1
4
-1
, -1
-1
-1
0
-1
0
8 connexité
4 connexité
1
0
-1
-1
-2
-1
Opérateur de Sobel : H =
2
0
-2
V =
a
0
0
1
0
-1
1
2
1
S = J H2 + V2
IV.9

---

Ces opérateurs mettent en valeur les régions de l'image à
fort
gradient
de luminosité.
La détection des contours doit
être précédée
d'un
seuillage
préalable
afin
d'isoler
les
changements significatifs de niveaux,
car dans la plupart des
images à traiter,
il existe de nombreux sauts de luminance qui
ne sont pas obligatoirement associés aux
contours
recherchés
mais
le
plus souvent à la structure même de l'objet (Figures
IV.4: Laplacien et IV.S: Sobel)
IV.4. Laplacien 8 Connexité
IV.S Sobel
IV. 10

---

l
1
~
La
détection
de
ces
"faux"
contours
complique
>
1
sérieusement
l'extraction
des
contours
réels,
d'où
la
~i
nécessité de la mise
au
point
d'algorithmes
permettant
de
•
réduire
l'influence
de
ces
artéfacts
dans
la
recherche
1
automatique
de
contours
appliqués
aux
images
j
i
échocardiographiques
sans
pour
autant
introduire
de
j!
connaissances à priori sur l'objet d'intérét.
!1
IV.2.
Opérateurs de passage par zéro
1
j
Comme autres opérateurs de détection de front de densité,
1
l
nous pouvons
aussi
citer
les
opérateurs
de
détection
de
passage
par zéro.
La philosophie de ces opérateurs est basée
1!
sur deux contraintes essentielles:
j
l
1
Il s'agit d'opérateurs
de
dérivation
de
l'image
qui
doivent
pouvoir
agir quelle que soit la taille de la fenêtre
d'intérêt considérée sur l'image.
La détection d'un front de densité doit correspondre à un
1
passage par zéro de ces opérateurs.
1
1
On
peut
citer
comme
opérateur
correspondant
à
ces
exigences
l'opérateur
Laplacien
décrit précedemment mais i l
1
est particulièrement sensible au bruit.
1
L'opérateur de MARR et HILDRETH [14], lui peu sensible au
1
bruit,
est basé sur la
conjonction
d'un
filtrage
par
une
distribution gaussienne bidimensionnelle et d'une détection de
1
passage
par
zéro
d'un opérateur Laplacien.
Mais il est par
contre très complexe à mettre en oeuvre et nécessite un
temps
li
de calcul important.
l
j
i1
Pour mémoire, nous citerons également certains opérateurs
j
,j
de
suivi
de
lignes
de
crêtes
basés
sur une recherche du
1
i
maximum du gradient.
1
1
1
i
1
1
IV.11
1
1
,j
<~~

---

IV.3.
Gradient
Vectoriel:
Le principe de cette méthode de détermination
de
fronts
le
long
d'un
vecteur
d'observation,
s'appuie
sur
une
modélisation de la courbe d'évolution de ce vecteur. Le modèle
utilisé
représentant
une
courbe
de
densité
idéale
est
représenté
sur
la
figure
IV.6.a.
Il
présente des valeurs
constantes de densité Dl et D2 de part et d'autre
d'un
point
de discontinuité.
Si nous considérons un vecteur d'observation de N points,
les
valeurs pei) représentant la densité de chacun des points
de ce vecteur. Dans le cas idéal, un tel vecteur présentant un
front non
équivoque
de
densités
aura
l'allure
du
modèle
précédent.
Dans la réalité,
un tel vecteur pouvant présenter en son
sein,
un front de densités significatif,
sera nécessairement
entaché
de
bruit
ou
déformé
par
le présence de fronts de
moindre importance (Figure IV.6.b),
d'où la nécessité pour un
tel vecteur de modéliser son évolution de manière à distinguer
la présence d'un tel front.
Ce
modèle est enfin ajusté afin de minimiser un critère,
défini par la somme des erreurs absolues en
chaque
point
du
vecteur d'observation.
Il s'exprime par:
E(n) = n
~ 1 f(i) - Dl 1 +
~~ 1 f(i) - D2 1
i=1
i=n+1
1
n
1
N
avec ; Dl =
.~ iCi)
et
D2 =
. ~ f(i)
n
1.=1
N -
(n+1)
1.=n+1
IV.12

---

J Densité
Densité
Dl.....-
-,
D2
-x
x
a) Modèle idéal
b) Cas réel superposé au modèle
IV.6 : Modèlisation d'un front de densité non équivoque
Le
critère
E{n)
sera
minimisé par rapport à n,
cette
quantité n représentant la position du front dans
le
modèle.
Sa détermination ne pouvant être effectuée analytiquement, car
n n'apparait pas explicitement dans la formulation de E{n), la
minirnalisation
du
critère
sera
effectuée en calculant E{n)
pour toutes les valeurs de n et en retenant
la
valeur
de
n
pour
laquelle E{n) est minimal.
La valeur de n ainsi obtenue
représente la position présentant le maximun de
discontinuité
pour ce modèle sur le point de contour recherché.
IV.13

---

v. APPLICATION AUX IMAGES ECHOCARDIOGRAPHIQUES
Nous avons adapté cette procédure à la discrimination des
contours myocardiques
sur
des
images
échocardiographiques.
Prises
telles
quelles,
certaines
imperfections
dans
la
détermination
des
points
de
contours
significatifs
apparaissent
dans
l'image
résultat
(Figure IV.?),
si nous
considérons comme éléments constitutifs
du
vecteur
d'examen
les niveaux de gris de l'image.
D'où l'obligation d'adjoindre
à cet algorithme,
une méthodologie permettant de
discriminer
les
points de contours réels des transitions de niveaux dus à
la texture des tissus rencontrés par le
faisceau
ultrasonore
et au bruit de digitalisation.
Pour
arriver
à
ce résultat,
nous avons appliqué cette
méthode
à
des
vecteurs
d'observations
dont
les
points
élémentaires
seraient
constitués
de
valeurs
normées
représentant la quantification de
paramètres
performants
et
ayant une bonne immunité au bruit.
IV.?
Application du gradient Vectoriel
IV.14

---

1
j•j
Les paramètres que nous avons considéré à cet
effet
ont
1
été
tirés
de
l'étude
des
matrices
de
co-occurences déja
!
effectuée dans notre laboratoire par
PETIT
[25].
Différents
pa~amètres
peuvent être tirés de ces matrices appliquées dans
le domaine spatial,
et ont été donnés comme ayant
une
bonne
immunité
au
bruit.
Une présentation de ces paramètres et de
leurs propriétés est
faite
dans
le
chapitre
suivant,
ces
paramètres
ont
des
propriétés se rattachant aux textures et
nous ont mené par la suite à nous y intéresser.
Les
paramètres
choisis
dans
cette
procédure
ont
été
respectivement:
le contraste (CON)
le moment angulaire du second ordre (MASO)
Suivant
la
réponse
de ces paramètres nous avons obtenu
les
résultats
illustrés
par
les
figures
IV.S,
IV.9
qui
représentent la détection des gradients des mesures effectuées
par
des
paramètres
choisis.
Nous
donnons
également
les
histogrammes
de
ces
images
paramétriques
(Figures
IV.10,
IV.l1)
sur
lesquels
nous
constatons
une
tendance
à
la
bimodalité,
plus
nette
pour
le
paramètre
contraste
qui
s'explique
par
la faible amplitude de ses valeurs,
qui nous
ont permis par application du gradient vectoriel de
retrouver
les
contours
significatifs au sens de ces paramètres sur les
images échocardiographiques.
L'étude de ces images après traitement montre que
chacun
de
ces
paramètres
pris
isolément
permet
la' détection de
frontières
qui
superposées
permettrait
de
reconstruire
l'ensemble
des
contours
significatifs de l'image considérée
avec une bonne
approximation.
La
détection
de
l'endocarde
semble
être
celle
qui
est
la
plus
aisée
à
obtenir par
recoupements,
celle de l'épicarde,
frontière entre le muscle
cardiaque
et
l'extérieur
est
par
contre
beaucoup
plus
approximative.
IV.15

---

i1
1~•
1
1
1
1
!
1
"
[
J
IV.S Image paramétrique CON
IV.9 Image paramétrique ~~SO
IV.16

---

N (Cont)
Fenetre 15x15
i
i1
o-+-
-.::=.::::...:::::_~________________ 1
o
Cont
1
--------~
IV.lO Histogramme de l'image Paramétrique CON
r--
---._---_._---------
--..------.------_····_--1
N (MASO)
1
Fenetre 15x15
1
1
,•,
j
1
1
l1
i
1
-i
1
O.........L.._
o
MASO
IV.ll Histogramme de l'image Paramétrique ~~SO
IV.17

---

VI. CONCLUSION
Les résultats sur la segmentation des
parois
cardiaques
obtenus
par
ces
différents
opérateurs ne permettent pas de
parvenir à une détection suffisamment
précise
de
l'épicarde
permettant
avec le contour de la cavité d'évaluer l'épaisseur
du muscle cardiaque, finalité de notre travail.
C'est pourquoi,
au
vu
des
résultats
obtenus
par
la
segmentation
des
images
paramétriques
par
le
gradient
vectoriel,
nous avons étudié les propriétés
texturelles
des
images
échocardiographiques
bidimensionnelles
pour
à terme
pratiquer une segmentation de ces images par une addition
des
propriétés
de
différents opérateurs de mesure de texture que
nous allons présenter dans le chapitre suivant.
J
ff1
r
f
1
IV.1B
f
f

---

---

1
1
1
[
Î
,
f(
f
l'(
1
l'
t
f!:
t
CHAPITRE
V
/'
r
ANALYSE
DES
TEXTURES
,
1
~
t
1
i
1
,
i
1
•1f1\\'1
f
l1
1
V.l
1

---

---

1.
INTRODUCTION
i
1
L'analyse
des
propriétés
texturelles
des
images
échographiques est récente et se limite actuellement à l'étude
1
et
la
caractérisation des propriétés tissulaires des organes
1
examinés.
~1
Les résultats obtenus par MAILLOUX [28] en 1985
dans
la
génération de textures de la glande thyroïde à partir d'images
échographiques
bidimensionnelles et les possibilités offertes
par cette étude dans la reconnaissance des zones
tissulaires,
de même que ceux présentés par COLLINS [29] dans son étude des
variations
de
texture
des
tissus
myocardiques
durant
la
contraction cardiaque nous ont amenés
à
approfondir
l'étude
des
caractéristiques
texturelles
globales
et
locales
des
images échocardiograpniques et à examiner la faisabilité d'une
procédure
de
segmentation
du
myocarde
à
partir
de
ces
caractéristiques.
La
détermination
sur ces images des limites externes du
muscle cardiaque, est d'autant plus importante que, les parois
endocardiques étant
déterminées
avec
précision
[25],
leur
connaissance permettrait de rendre accessible à l'opérateur ou
au
clinicien
les
variables
quantifiant
les
variations
d'épaisseur du myocarde et la
mobilité
du
muscle
cardiaque
durant
le cycle,
paramètres physiologiques déterminants dans
le diagnostic de certaines cardiopathies nécessitant à l'heure
actuelle l'utilisation d'examens Doppler.
II.
GENERALITES
Les variations d'intensité qui caractérisent une
texture
reflètent
en
général
des
variations
physiques de la scène
observée. Il est possible en principe, de connaître la texture
en modélisant ces variations physiques.
V.2

---

L'approche que nous avons
envisagée
traite
la
texture
comme
d'un espace bidimensionnel d'intensités et ne considére
pas les bases physiques de génération de cette texture.
Différentes tentatives de formalisation de la
notion
de
texture
ont
été
effectuées
[9][30]: nous allons en retenir
deux approches assez différentes:
Celle-ci est
généralement
interprétée
comme
étant
la
modélisation
d'un phénomène de surface organisé,
intervenant
auusi bien dans les images microscopiques que dans les
images
macroscopiques.
La
définition
de
texture
est controversée
selon
que
l'on
considère
la
texture
comme
un
phénomène
périodique
de
génération déterministe de surface ou comme un
phénomène aléatoire de génération de surface.
On retiendra principalement que
l'on
peut
décrire
les
textures à l'aide de deux notions:
La
première
concernant les éléments de base ou primitives
composant l'image.
Ces
primitives
sont
le
plus
souvent.
liées aux valeurs de niveaux de gris de l'image.
La
seconde
fait intervenir la répartition spatiale de ces
primitives
entre
elles.
Cette
répartition
pouvant
être
décrite
en
termes
d'organisation structurelle,
aléatoire
ou fonctionnelle.
On
peut
distinguer
également
deux
types
d'approches
concernant les méthodes d'analyse des textures:
L'approche
structurelle,
particulièrement adaptée dans le
cas où les primitives sont
bien
définies.
Cette
approche
correspond
à
une vision macroscopique des textures où l'on
s'intéresse à l'agencement spatial de ces primitives.
V.3

---

L'approche
statistique
[38][27],
dans
le
sens
où
l'interaction "entre
les
primitives
est mesurée en termes
de
probabilités,
très
souvent
utilisée
dans
la
vision
microscopique
des
textures
où
la notion de primitive est
difficilement
identifiable
autrement
que
par
le
point"
élementaire de l'image.
III.
MODELES DE DESCRIPTION DES TEXTURES
La difficulté d'arriver à une définition précise de cette
notion de texture a amené les chercheurs à s'intéresser à tout
un panel de méthodes d'analyse et donc à considérer de fait la
texture
sous
des
angles
assez éloignés les uns des autres,
mais qui tendent tous à arriver à une formulation
aussi
fine
que possible du phénomène observé à travers l'image.
Les
phénomènes
qui procèdent à la génération de l'image
étant par ailleurs très différents d'un domaine d'intérét à un
autre,
on
peut
concevoir
la
difficulté
d'arriver
à
une
formulation précise et générale qui satisfasse des domaines de
recherche
aussi éloignés que la météorologie et l'échographie
par exemple.
Ces modèles de
description
des
textures
peuvent
être
différenciés en trois classes:
Les
modèles
basés
sur les points élémentaires de l'image
où les textures sont décrites par
les
statistiques
de
la
distribution des niveaux de gris ou des intensités.
Les
modèles
basés
sur
les propriétés locales des points
élémentaires de l'image,
les
probabilités
sont
calculées
en fonction de la distribution de ces propriétés.
V.4

---

Les
modèles basés sur des régions de l'image où la texture
est
d'abord
segmentée
en
régions
d'intérét,
,puis
des
statistiques
sur
la
forme
et
l'arrangement
spatial des
régions
sont
utilisées
pour
la
caractérisation
de
ces
textures.
Sur
la
base
de
ces
différents
modèles,
différentes
techniques ont été développées se rapportant
à
l'un
de
ces
modèles
ou
utilisant
des approches pouvant génériquement se
rapporter à un ensemble de ces modèles.
Différentes méthodes ont été ainsi introduites [4][34][38]:
Suivant le type d'images à
'analyser,
un
choix
sur
le
modèle
de description doit être effectué en relation avec les
connaissances que l'on peut avoir sur la nature
des
textures
présentes dans cette image. Cette connaissance ne pouvant être
acquise
que
par
rapport
au type d'analyse à laquelle on va
soumettre cette image afin de mieux déterminer ses différentes
caractéristiques qui vont conduire à la génération d'un modèle
descriptif
pouvant
être
introduit
dans
une
chaine
de
traitement.
Différentes
techniques
d'analyse
des
propriétés
statistiques des images
ont
été
introduites
et
vont
donc
servir
de support à la caractérisation des images à analyser.
Il parait évident que la méthode d'analyse sera étroitement en
relation avec le type du modèle descriptif qui va être généré,
une technique d'analyse basée sur l'étude
statistique
de
la
répartition
des niveaux de gris dans l'image,
utilisant donc
comme primitives les points élémentaires constitutifs de cette
image,
va naturellement conduire à élaborer un modèle du même
type.
V.S

---

IV.
TECHNIQUES D'ANALYSE
Une
image
peut être segmentée en classifiant ses points
constitutifs
à
travers
des
propriétés
locales
comme
primitives.
Deux
propriétés
principales
se
dégagent
pour
définir ces primitives:
1
- La première est tout naturellement la primitive
"niveau
de
gris"
(ou
niveau
de
luminance)
de
chacun
des
points
1
élémentaires de l'image considérée [9].
f
- La seconde est liée à la répartition spatiale de ces niveaux
de gris dans un voisinage élémentaire à définir [10].
Nous avons examiné les
différentes
méthodes
existantes
afin
de
les restituer dans le contexte qui nous est propre à
savoir l'analyse des images échocardiographiques.
La texture peut être abordée comme
étant
une
structure
composée
d'un
ensèmble
plus
ou
moins
ordonné
d'éléments
similaires
ou
d'objets
de
telle
facon
qu'une
impression
globale d'homogénéité soit offerte à l'observateur.
Une
texture
déterministe
peut
être
décrite
par
les
caractéristiques d'un sous élément ou d'une primitive
et
par
les
régIes
définissant
le
distribution
spatiale
de
ces
primitives.
Les textures stochastiques obéissent quand à elles à
des
lois statistiques.
Toutefois
des
textures
déterministes
peuvent
être
perturbées dans leur répétitivité et leurs primitives
peuvent
être similaires mais non identiques. Cette texture ne présente
plus
pour
nous
la
configuration
d'une texture idéale mais
plutot
celle
d'une
texture
réelle
empruntant
des
caractéristiques aux deux modéles précités.
V.6

---

Certains degrés de hierarchie doivent être introduits: On
peut
généraliser
ces
notions
de texture en considérant que
l'on peut se trouver face à des primitives ayant
elles
mêmes
certaines propriétés des textures;
nous dirons alors que nous
sommes en présence de microtextures,
les formes générées
par
de
plus
grandes primitives seront quand à elles appelées des
macrotextures.
IV.1.
HISTOGRAMME
L'une des méthodes les
plus
simples
est
l'analyse
de
l'histogramme
des luminances de l'image;
mais elle donne des
résultats très insuffisants dans la grande majorité des cas.
L'histogramme est une donnée définie comme étant
la
loi
de
densité
de
probabilité
de la variable niveau de gris au
sein de l'image associée à la dynamique de ces niveaux.
Ng
Figure V.l. Histogramme Multimodal idéal
V.7

---

Ainsi,
une
image
présentant
différentes
classes
(ou
objets),
à
chacune
desquelles
est
associée
une
plage de
niveaux de gris, sera d'autant plus facile à segmenter qu'elle
sera visuellement contrastée. Ceci s'interprétera au niveau de
l'histogramme par une forme multimodale très prononcée (Figure
V.1 )
La reconnaissance et la
modélisation
des
textures
des
objets
appartenant
à
cette
image
pourront être facilement
effectuées par une segmentation des différents modes de
cette
image
et
la
détermination
des
propriétés
statistiques du
premier ordre de chaque mode.
La limite de cette
méthode
provient
du
fait
que
les
objets
appartenant
à
l'image analysée seront assez rarement
associés à des classes disjointes de niveaux de
gris,
et
au
fait
que
la
texture
est ici prise comme étant associée aux
niveaux de gris et non comme étant une loi de distribution
de
ces
niveaux
dans
les
différentes
textures
présentes dans
l'image.
P(i)
Ng
Figure V.2 : Ima!!es à distribution bimodale de niveaux de gris
V.8

---

L'exemple
précédent
(Figure
V.2)
illustre
bien
ces
limites.
On
est
en
présence
de deux images idéalisées ayant le
même histogramme bimodal mais présentant:
la
première
deux
textures
associées
chacune à une plage de niveaux de gris et
la seconde une texture unique liée à l'agencement spatial d'un
motif élémentaire.
IV.2.
STATISTIQUES DU
SECOND ORDRE
Cette
méthode,
dérivée
des
matrices
de
co-occurence
introduites par HARALICK en 1973 [2], semble celle qui apporte
les
meilleurs
résultats
dans
la
caractérisation
et
la
reconnaissance
des
textures
présentes
dans
une
image
numérique.
Appliquée
le
plus
souvent
dans
le domaine des
images aériennes [4],
elle a fait l'objet
d'études
dans
le
domaine de l'imagerie biomédicale associée à d'autres méthodes
pour la caractérisation des tissus myocardiques [29].
- Description de le méthode:
Pesons ô = (ôx,ôy) un vecteur de déplacement dans le plan
(x,y).
Pour
tout vecteur de ce type et pour n'importe quelle
image f(x,y),
on peut calculer la densité de probabilité
des
paires
de
pels,
de
niveau
de gris i et j,
séparés par ce
vecteur.
S'il n'y a qu'un nombre fini de niveaux
de
gris,
cette
densité
de
probabilité s'exprime sous la forme d'une matrice
Pô représentant les probabilités pour qU'une paire de pels
de
niveaux respectifs i et j
soient séparés par cette distance ô.
Cette matrice sera de taille LxL,
L représentant le nombre de
niveaux de gris.
V.9

---

Si l'image f est une image numérique,
i l est
simple
de
pro~éder au calcul de la matrice PS pour cette image, si Sx et
Sy
sont
des
entiers,
en
comptant le nombre de fois où les
paires de pels de niveau i et j séparés par
ce
vecteur
sont
présents dans cette image.
Ce qui se traduit, par la relation :
NS(i,j) = #{[(x,y).,(x',y')] /
f(x,y) = i, f(x',y')
= j}
où:
# représente le cardinal de l'ensemble
et x' = x + Sx, y' = y + Sy
NS(i,j)
représentant
le
nombre
de points de niveau i
ayant
pour voisin
un
point
de
niveau
j
à
la
distance
S
sur
l'ensemble
de la fenêtre d'exploration.
Ce qui donne pour la
matrice PS la relation:
NS(i,j)
PS (i, j) =
1: NS(i,j)
La matrice ainsi obtenue
est
dénommée
matrice
de
co-
occurence spatiale des niveaux de gris.
Pour
des
raisons
de commodité de calcul,
on détermine
généralement une matrice symétrique en comptant les paires . de
pels séparés d'une distance égale en valeur absolue à S.
Nous
noterons cette matrice MS.
Si la texture de l'image est régulière et si S est
petit
par
rapport
à
la taille des éléments de cette texture,
les
paires de pels à cette distance auront
le
plus
souvent
des
niveaux de gris similaires. Cela se répercutera sur la matrice
par
une
concentration
des
fortes
valeurs
autour
de
la
diagonale principale. Par contre pour des textures fines, si S
est comparable à
la
taille
de~
éléments
de
texture,
les
niveaux
de
gris des points séparés par cette distance seront
le plus souvent différents,
les valeurs dans
la
matrice
MS
seront alors réparties de manière relativement uniforme.
V.10

---

Compte
tenu
de
ces propriétés,
une bonne méthode pour
caractériser les textures et leur régularité est de
calculer,
pour
différentes valeurs de S,
la répartition des valeurs de
la matrice autour de la diagonale.
De
la
même
manière,
si
la
texture
de
l'image
est
directionnelle, c'est à dire plus régulière dans une direction
privilégiée,
les valeurs autour de la diagonale principale de
cette matrice varieront en fonction de la direction du vecteur
S
(en
supposant
que
sa
valeur
soit
optimale).
La
directionalité
de
cette texture pourra être appréciée par le
calcul de la répartition des valeurs da la matrice
autour
de
la diagonale et ce pour différentes directions.
HARALICK
[38]
propose
un
ensemble
de
14
paramètres
pouvant être utilisés
pour
extraire
de
cette
matrice
les
informations
pertinentes
sur
la texture étudiée.
Nous n'en
citerons que les plus souvent rencontrés chez d'autres auteurs
[4][32].
- Contraste (CON):
Ce paramètre est une quantification du moment
d'inertie
de
la matrice autour de la diagonale principale.
Il représente
la mesure de la distribution des valeurs de la matriqe.
CON - E (i_j)2 PS(i,j)
- Moment Angulaire du Second ordre (MASO):
Ce paramètre est petit quand les
valeurs
de
PS(i,j)
sont
proches
les
unes
des autres.
Il est par contre important
quand des valeurs sont plus importantes
que
d'autres,
par
exemple en présence de valeurs numériques fortes concentrées
autour de la diagonale.
V.II

---

- Entropie (ENT):
La
valeur de ce paramètre est importante pour des écarts de
niveaux équiprobables à la
distance
considérée
et
faible
quand les probabilités sont très différentes.
1
1
~
ENT = - E PS(i,j) log( PS(i,j)
)
1
!i
1
1
- Corrélation (COR):
~
1
~
Ce
paramètre donne le degré de corrélation entre les lignes
1
1
et les colonnes de la matrice.
Il est de fort module
quand
i\\
les valeurs sont distribuées uniformément dans la matrice.
J
~
1
,ti1
avec : sur la matrice MS
1
~x et Ox moyenne et écart type de la somme des lignes
1
1
~y et Oy moyenne et écart type de la somme des colonnes
1
1
1
- Moment Inverse des Différences (MIO):
1
f
~j
~
~
PS(i,j)
!
MID = E
1 + (i_j)2
1
1
•
j! .
IV.3.
STATISTIQUES DES DIFFERENCES DE
NIVEAUX DE GRIS
Pour
des
commodités
de
calcul
et
pour
faciliter
l'implémentation
des
algorithmes
sur
les
systèmes
f
informatiques, une procédure dérivée de la détermination de la
l
matrice
de
co-occurence
a
été proposée par WESZKA [4],
i l
s'agit de la statistique des différences de
niveau
de
gris.
1
Basée
sur le même principe que la matrice de co-occurence des
f1
niveaux de gris
d'une
image
numérique,
elle
ne
nécessite
l'étude que d'un vecteur de taille maximale égale au nombre de
1
niveaux présents dans cette image.
~
f!
V.12
1

---

Si pour un déplacement S, nous posons:
fS(x,y) = f(x,y) - f(x+Sx,y+Sy)
Soit pS, la densité de probabilité de fS(x,y). S'il existe L
niveaux
de gris,
cette densité aura la forme d'un vecteur de
dimension L dont la composante i
est
la
probabilité
que
la
fonction fS(x~y) ait une valeur i.
Les
paramètres
que
l'on peut déterminer sur ce vecteur
restent similaires
à
ceux
déduits
de
la
matrice
de
co-
occurence spatiale tels qu'ils ont été définis par Haralick.
Ils s'expriment par les relations suivantes:
CON = E i 2 PS(i)
ENT = E PS(i) log PS(i)
PS(i)
MID = E
Il
n'existe
pas
de
paramètres
analogues au paramètre de
corrélation défini pour les matrices de co-occurence spatiale.
Par contre un nouveau paramètre est introduit:
- La moyenne de ce vecteur des
différences,
définie
par
la
relation:
1
MOY =
E PS(i)
L
Les
paramètres
ainsi
définis
répondent
aux
mêmes
définitions et ont les mêmes propriétés que précedemment
dans
le cas de la matrice de co-occurence.
Dans
le
reste
de
cette étude,
nous utiliserons cette
formulation
plus
simple
à
implémenter
dans
des
systèmes
informatiques et beaucoup moins gourmande en temps de calcul.
V.l3

---

IV.4. STATISTIQUES DES VARIATIONS LOCALES DE NIVEAUX DE GRIS
Plus
connue
dans
la
littérature
sous la dénomination
anglo-saxonne de "busyness statistics", cette méthode s'appuie
sur l'étude des variations locales de
niveau
de
gris
d'une
image,
qui
traduisent la distribution de ces niveaux dans un
voisinage donné.
En effet,
la discrimination des différentes
régions
d'une
image
peut
s'exprimer
en
termes de moyenne
spatiale et de variation des
niveaux
de
gris
dans
chacune
d'entre elles.
Cette
méthode
présentée
par Dondes [9] et utilisée par
-Collins
[29]
dans
son
étude
sur
la
quantification
des
paramètres
de
texture
dans les images échocardiographiques,
détermine
le
degré
d'homogénéité
d'un
voisinage
de
pels
considéré dans l'image.
Deux paramètres principaux déterminent cette statistique:
- Variation Minimale Totale:
Ce
paramètre est calculé en déterminant dans une fenètre
de l'image de taille MxN,
la somme minimale de la différences
des pels contigüs pris dans des directions données.
Si nous considérons un voisinage de points image de taille 3x3
ci-dessous,
la
variation minimale totale dans les directions
verticales
et
horizontales
des
niveaux
de
gris
de
ce
voisinage,
ou
variation
minimale
totale
bidirectionnelle
(VMTB), S'exprimera par la relation:
VMTB = Min [(a-b)+(b-c)+(d-e)+(e-f)+(g-h)+(h-i),
(a-d)+(d-g)+(b-e)+(e-h)+(c-f)+(f-i)]
a
b
c
d
e
f
Voisinage 3 x 3
g
h
i
V.14

---

Cette valeur
minimale
aura
un
module
élevé
dans
un
voisinage dont une majorité de pels voisins auront des niveaux
de
gris
différents
et un module faible dans un voisinage de
densité
de
niveaux
homogène
ou
recouvrant
une
frontière
horizontale ou verticale entre deux zones de densités globales
différentes.
Un
des
problèmes
de cette mesure de la variation telle
qU'elle a été définie est
son
insensibilité
aux
frontières
obliques
matérialisant
les
zones
de
transition entre deux
régions de l'image.
Pour résoudre ce problème DONDES
propose
la
prise
en compte,
pour ce paramètre,
de la variation des
pels dans les directions obliques en
déterminant
le
minimum
des
moyennes
des
différences
de
paires
de
pels dans les
directions d'examen.
Ce qui, dans l'exemple précédent, conduit à déterminer la
variation minimale" totale (VMT) dans 4 directions à l'aide
de
la relation ci-après:
1
VMT = Min [
(a-b)+(b-c)+(d-e)+(e-f)+(g-h)+(h-i),
6
1
(a-d)+(d-g)+(b-e)+(e-h)+(c-f)+(f-i),
6
1
(a-e)+(e-i)+(d-h)+(b-f),
4
1
(c-e)+(e-g)+(b-d)+(f-h)]
4
- Médiane des différences absolues:
Définie
comme étant la médiane des différences en valeur
absolue de toutes les paires de pels de la
fenètre
dans
les
directions horizontales et verticales.
Dans
une
région hétérogène,
le module de cette médiane
aura une valeur sensiblement égale à celui de la
moyenne
des
différences absolues.
V.1S

---

1
r
t
Par
contre dans une fenètre incluant une frontière entre
!
deux régions homogènes,
cette médiane sera plus faible que la
tî:
1
moyenne
car
seule une faible proportion des différences sera
r
élevée.
l
tf1
IV.S. MESURE DES ENERGIES DE TEXTURES (Masques de LAWS)
1
LAWS [6] propose une série
de
masques
de
convolutions
bidimensionnels
qui
mesurent
l'énergie
des
différentes
textures
d'une
image
tout
en
préservant
certaines
caractéristiques
déterministes
de
cette
image
sans
aucun
prétraitement préalable.
Ces masques sont
dérivés
de
trois
vecteurs de dimension 3 (Equations 5.1),
qui représentent les
opérations monodLmensionnelles de moyennage
centré
(L3),
de
différenciation
symétrique
du
premier ordre ou détecteur de
front (E3) et de différenciation du second ordre ou
détecteur
d'Lmpulsions (53).
L3 = (1,2,1)
E3 = (-1,0,1)
S3 = (-1,2,-1).
La
convolution
de ces vecteurs de dimension 3 entre eux
permet d'obtenir cinq vecteurs de dimension 5
qui
présentent
des propriétés similaires.
L3*L3
(
1, 4, 6, 4, 1)
Moyenneur centré
E3*E3 = L3*S3
(-1, 0, 2, 0,-1)
Détecteur d'impulsion
S3*S3
(
1,-4, 6,-4, 1)
Détecteur de rampe (Ripple)
L3*E3
(-1,-2, 0, 2, 1)
Détecteur de front
E3*S3
( 1,-2, 0,-2, 1)
Détecteur de périodicité
On
peut
obtenir des vecteurs de dimension supérieure en
réitérant l'opération de convolution croisée sur les
vecteurs
ainsi obtenus.
En effectuant de même la convolution de ces vecteurs avec
les transposés des vecteurs de même dimension,
on obtient les
masques de convolution bidimensionnels de LAW5.
V.16

---

L'étude du pouvoir de discrimination des textures par ces
différents masques a permis à LAWS de montrer que les
masques
les
plus
performants sont ceux dont la somme des composantes
est nulle.
Nous donnons ci-après les
masques
d'ordre
3
et
d'ordre
5
obtenus et répondant à cette exigence.
Masques de LAWS d'ordre 3:
-1
o
1
-1
2
-1
-2
o
2
-2
4
-2
-1
o
1
-1
2
-1
-1
-2
-1
1
o
-1
1
-2
1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
l
2
1
-1
o
1
-1
2
-1
-1
-2
-1
1
o
-1
1
-2
1
2
4
2
-2
o
2
-2
4
-2
-1
-2
-1
1
o
-1
1
-2
1
Masques de Laws d'ordre 5:
N.B. Certaines convolutions des vecteurs d'ordre 5 donnant les
mêmes résultats, nous ne présenterons donc que les 4 masques à
somme
nulle,
intrinséquement
différents,
jugés
les
plus
performants dans la discrimination des textures [10].
-1
-2
o
2
1
-1
0
2
a
-1
-4
-8
o
8
4
-2
0
4
a
-2
-6
-12
o
12
6
o
0
o
0
o
-4
-8
o
8
4
2
0
-4
0
2
-1
-2
o
2
1
1
0
-2
0
1
-1
0
2
o
-1
1
-4
6
-4
1
-4
0
8
o
-4
-4
16
-24
16
-4
-6
a
12
a
-6
6
-24
36
-24
6
-4
0
8
o
-4
-4
16
-24
16
-4
-1
0
2
o
-1
1
-4
6
-4
1
V.17

---

1
1
~
PIETIKAINEN [10] montre quant à lui,
que les
propriétés
discriminatives
de
ces
ma~ques dépendent plus de leur forme
générale,
c'est à dire de la distribution de leurs différents
éléments, que de la valeur quantitative de leurs composantes.
Les
meilleures
statistiques
sont
obtenues,
toujours
d'après ces auteurs,
en étudiant sur une image la
somme
des
,
!
carrés
ou
des
valeurs
absolues
des réponses de chacun des
~1
masques utilisés.
i
1
1
1
Nous avons sur les images échocardiographiques
étudiées,
1
utilisé
la somme des valeurs absolues des masques de taille 3
i
]
et 5 pour des raisons de rapidité de calcul,
vu la taille des
1
1
images
que nous avons eu à traiter et le nombre des masques à
utiliser.
Les masques de
taille
supérieure
n'ont
pas
été
l
utilisés
pour
des
raisons
que
nous
invoquerons
dans
la
1
i
paragraphe suivant.
1
1
l~t1j
j
1
v.
Distance d'occurence optimale
-
Détermination de
1
l a t a i l l e optimale de
l a fenêtre
de
calcul
1
1
,
~
Afin
de déterminer la taille de~ éléments de texture que
1
nous aurons à rencontrer sur les
images
que
nous
aurons
à
1
traiter,
nous
avons
mis
au
point
une
procédure
de
î
1
1
détermination de la taille des primitives présentes
dans
ces
1
i
i
images. Pour ce faire nous nous sommes inspirés des paramètres
Î
f
1
utilisés
dans
les
matrice
de co-occurence spatiale et nous
~
1
f
avons cherché à en tirer la distance d'occurence optimale pour
!
1
1
~
l'étude des images échocardiographiques.
rt
1
f
Nous
avons
étudié
l'évolution
de
ces
différents
i
1
paramètres
en fonction de la distance S d'occurence,
afin de
t
1
1
1
1
mettre en évidence,
s'il y a lieu,
la présence
de
textures
!
l
it
régulières et la taille de leurs primitives . .
1
1
ij
V.IB
1
j
1
1
1

---

V.l.
Exposé de
l a
méthode
Nous avons d'abord effectué une étude
sur
une
première
image
test
(Figure
V.3),
constituée d'un ensemble de raies
verticales,
d'une largeur de 4 pels alternativement de niveau
de
gris
de
valeur
0
et
100 sur une échelle totale de 256
niveaux.
Nous
avons
obtenu,
pour
des
distances
5
dont
les
composantes
élémentaires
en x et y sont égales,
les valeurs
suivantes pour les paramètres que nous avons retenus :
5
CON
MASO
ENT
MID
1
1273,82
0,777
0,381
0,872
2
2513,04
0,623
0,563
0,748
3
3764,59
0,530
0,662
0,623
4
5008,62
0,500
0,693
0,499
5
3757,03
0,530
0,661
0,624
6
2511,79
0,623
0,563
0,748
7
1263,93
0,779
0,379
0,873
8
19,35
0,996
0,014
0,998
9
1272,36
0,777
0,381
0,872
10
2513,56
0,623
0,563
0,748
I l
3767,13
0,530
0,662
0,623
L'étude des courbes obtenues
à
partie
de
ces
valeurs
(Figures V.4, V.5, V. 6, V.7) nous a permis de constater que:
La
taille
des
raies
(4 pels) se traduit par la présence
d'un maximum sur les paramètres de contraste
et
d'entropie
et par un minimum pour les autres paramètres.
La
taille
de
l'élément
de
texture
constitué
par
l'alternance des raies (8 pels),
est mise en
évidence
par
un
minimum
sur
les
courbes de contraste et d'entropie et
par un maximun sur les
courbes
représentatives
du
moment
angulaire
du
second
ordre (MASO) et du moment inverse des
différences (MID).
V.19

---

1
1
1
v.3. Image test 1: Raies verticales
Contraste
f
,
1
14400
1
,
i
i
1
1
:3300
i
1
!2200
11100 L~_--f-. 1 ·--+-----+---....1 --"'F~--f----I--__..
,i 0 123
4
5
6
7
8
9
10
Dist
V.4 Evolution du paramètre CON
V.20

---

1 HASO
1
1
1 .9 t
1
1
1
•8 !
1
1 .7,
1
.6_
1
1
5
1 .
1
1
+-__
. 4 +---lll----+·---~-___+--~,
.+__--+__~,.....-
1
7 8
.
1
2
3
4
5
6
91~:J
1
-~
V.S Evolution du paramètre MASO
_..
.. ---..----0.--- ._.__.
,
------------- - - - -
,
Entropie
1
.
!
1
l
1
;
1
.8_
1
i1
1
i .6_
1
1
1
1
.4
1
1
1
.2 T
1
0 J
,----1
1
+-
1
_ i _ _ - -
_.-+------l
-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D1st
!
_ _ _ _ _ _ _ ..
.__
_
._o... __~
V.6 Evolution du paramètre ENT
V.21

---

-_._-----------
--.---.-----------"l
HID
!i!;
1
.9
1
1
,
1
.8
1
1
;1
1
i
i
.7
!
1
i
1
i .6
1
1
11 .5
1
1
1
1
i
.4+-_-+
-+-_'--1--- +1----11------1----1--..-..
:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D1st
L _ ---------------------
V.7 Evolution du paramètre MID
1.<'
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1
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" .
V.s. Image test 2: Alternance de raies verticales et
horizontales
V.22

---

Avant de procéder à une généralisation de ces
résultats,
nous
avons
réitéré
l'expérience
sur une seconde image test
(Figure V.8) constituée par une alternance de raies verticales
de niveau 0 sur 6 pels et de niveau 100 sur 3
pels,
avec
en
surimpression
une
raie
horizontale
de
niveau 150 et d'une
largeur de 2 pels répétée tous les 6 pels.
Nous obtenons alors le tableau des valeurs suivantes pour
les 4 paramètres considérés et ce pour des
distances
variant
de 1 à Il:
S
CON
MASO
ENT
MID
1
2816,56
0,638
0,737
0,789
2
5594,37
0,402
1,119
0,583
3
6419,15
0,3483
1,197
0,501
4
6446,84
0,3485
1,1963
0,502
5
6443,41
0,3482
1,1965
0,501
6
6435,53
0,347
1,1977
0,499
7
3720,40
0,530
0,895
0,701
8
993,24
0,827
0,345
0,905
9
1980,41
0,771
0,469
0,873
10
4629,66
0,493
0,973
0,673
Il
5510,45
0,407
1,111
0,588
L'analyse
de
ces
courbes (Figures V.9,
V.10,
V.11 et
V.12) est plus complexe que les précédentes et cela de par
la
nature
de la texture que nous avons voulu mettre en évidence,
les
différents
éléments
la
composant
ayant
été
intentionnellement pris de taille différentes et dans les deux
directions
d'examen
que nous avons privilégiées (horizontale
et verticale).
L'évolution des
courbes
présente
encore
des
extrémas
significatifs que nous allons essayer de rattacher à l'élément
texturel de base.
V.23

---

-------------··---------·----------------------------1
Contraste
1
15500
1
T
i
4500
1
i13500
1
1
12500
1
!11500
1
500
+
,.
1
~-----+I--+-1
-1-1- - I - - - + - -
L l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dist
-----------~-------.-
V.9 Evolution du paramètre CON
HASO
.el
.6
j
l-i,
i
i:
.4.,.
i
.
1
1
l
1
l
f
1
!
1
1
.2
1
l
1
1
1
1
1
t
1
1
- - 1 - - -
1
0 1
2
-;---~-
1
--+-----+---+-~
t
L
_
5
6
~ ~__~__~~__D1~~.J
V.IO Evolution du paramètre MASO
V.24

---

_ _ _ _ _ _
· 0
0
_
-------------.-.------l
Entropie
1
1
1
i
•
11.25
1
1
.
1
1
1
1
.75
.5
.25
0
t - - -
1
1
-+---
1
- - f - - - I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
_0___-
~st 1
- - - -
V.ll Evolution du paramètre ENT
MID
1
1
l.eJ
1
.
1
1
l
.65
.45
. 25 +---+---t------+--~-___t_I
- - - r i--1It----t1
1
...
1
2
3
4
5 6 7 8 9
10
Dist
V.12 Evolution du paramètre MID
V.25

---

On note l'apparition d'extrema pour des distances de 6 et 8
pels
un changement
de
pente
des
courbes
au
voisinage
d'une
distance
de
2 pels qui devient constant après une distance
de 3 pels
Ces const~tations permettent de préjuger
de
l'existence
sur
la base des extrémas de primitives de textures de tailles
relatives de 6 et 8 pels,
que nous pouvons rattacher au vu du
principe
de
génération
de
notre
image
test
aux
raies
verticales de taille 6 et au motif vertical composé de la raie
de 2 pels répétée tous les 6 pels soit
un
total
de
8
pels
élémentaires.
Le
changem~nt. de
pente
au voisinage de 2 pels et de 3
pels pouvant se rattacher respectivement à
la
taille
de
la
raie
horizontale de 2 pels et à la raie verticale de raison 3
pels.
Toutes ces conclusions,
nous
conduisent
à
penser
que
l'étude
de
l'évolution
de
ces
paramètres
sur
une
image
quelconque devrait permettre de mettre
en
évidence
si
elle
existe
une
structure régulière de la texture la composant en
permettant ainsi de dimensionner les différentes tailles
dans
les
directions
horizontales
et
verticales
des
motifs
élémentaires la composant.
Nous avons donc appliqué aux images échocardiographiques,
objets de notre étude,
cette méthodologie afin de
mettre
en
évidence
s ' i l
y
a
lieu
une certaine régularité de texture
permettant d'utiliser un modèle d'analyse plus approprié.
V.26

---

V.2.
Application aux
images
êchocardiographiques
Au VU de ces résultats,
nous
avons
procédé
aux
mêmes
mesures sur un ensemble d'images échocardiographiques prises à
des
instants
différents du cycle cardiaque afi? de mettre en
évidence l'existence d'une certaine
régularité
des
textures
sur
ces
images
et
la
taille éventuelle des composantes ou
primitives de ces textures afin de mieux adapter la taille
de
nos filtres et masques de convolution dans cette étude.
Le
tableau ci dessous donne un exemple des résultats que
nous avons obtenus sur une des images testées.
Ô
CON
MASO
ENT
MID
1
94,01
0,107
2,648
0,324
2
220,63
0,073
3,108
0,253
3
302,58
0,060
3,309
0,223
4
370,04
0,055
3,424
0,213
5
426,77
0,051
3,506
0,201
6
479,88
0,048
3,570
0,194
7
522,60
0,046
3,616
0,190
8
551,68
0,045
3,645
0,194
9
580,47
0,043
3,684
0,181
10
605,88
0,041
3,716
0,176
I l
633,36
0,041
3,739
0,174
La reproductibilité
des
résultats
sur
l'ensemble
des
images
testés
nous
a conduit à ne faire l'interprétation de
ces courbes que sur l'une d'entre elles.
Les courbes obtenues sur ces valeurs (Figures V.13, V.14,
V.15 et V.16) montrent toutes une asymptote quand la
distance
croit,
nous
ne
notons sur aucune de ces courbes la présence
d'un extrémum significatif pouvant se rattacher à la
présence
d'une structure de texture régulière.
V.27

---

1"'-'--"'._" o· ••__._._•••••_.- ----. -.---- -- -. -_._. -----.-- •••••••••••••_ ••_'" "" _._••__••••_-_._-,
! Contraste
1
i
1
1
•
t
j
1 600
500 ...
400
300
1 200
1
1
100
1
-1-1- - + I - - - t l - - - f - - - - - f - - · - - + - - - -
!
0
1
+-
l '
5
6
7
B
9
10
D1st
1
1
2
3
4
L--
.
# _ .. _ _ .
. .
.
_
V.13 Evolution du paramètre CON
MASO
.1
1
11
1 .05 1
1
1
1
1
1
l_1__2-3--+-~-· 5~_-_-_""'_~__-_7_-_-_-_ S_-2-=-10 ~ ~:J
-_t_
V.14 Evolution du paramètre MASO
V.28

---

__._------_._----_._-----,
._.
Entropie
1
3.5
3
2.5
~. ~_._-.-11-4.~~~~_~ -_+-~~~~~~~_-_~_~_-.._-_~__1~__D_1s_t_ _..I
V.lS Evolution du paramètre ENT
MIO
.3
.2
.1
1
o+---+--+----4---+I--"--+-I---tt--
- t . _ -
1
2
3
4
5
6
7
B
9
10
D1st
""--------------------- ._-----
V.l6 Evolution du paramètre MID
V.29

---

De plus l'évolution des
paramètres
en
fonction
de
la
distance
permet
de
constater
que
la
pente
décroit
très
rapidement et se stabilise autour d'une distance S de 3
pels.
La
repétitivité
de
ces
résultats sur l'ensemble des images
échocardiographiques que nous avons testées nous ·permet
alors
d'avancer les conclusions suivantes:
V.3.
Conclusions
Il
n'existe
pas
à
priori
de
textures ou d'éléments de
texture présentant une régularité telles que des méthodes de
description
structurelles
puissent
être
utilisées;
ce
résultat nous a permis de limiter nos expérimentations à des
modèles
de·
description
de
textures
s'appuyant
sur
des
modèles statistiques.
La
distance
assez
faible
à
partir
de
laquelle
les
différents
paramètres
tendent
vers
une
stabilité,
nous
conduisent à penser que
la
structure
de
ces
images
est
composée
d'éléments
présentant une certaine cohérence dans
leurs tailles.
Cette constatation
est
corroborée
par
la
nature granulaire observable sur ces images.
V.30

---

---

CH.A.l?ITRE
'\\TI
ANALYSE
DES
DONNEES
TEXTURELLES
DES
IMAGES
ECHOCARDIOGRAPHIQUES
VIol

---

---

1.
INTRODUCTION
L'analyse
des . données
regroupe
des
méthodes
très
nombreuses
et
très
différentes
d'analyse statistiques.
On
distingue deux démarches principales:
- La classification automatique (Classement des unités et
des
variables statistiques).
L'analyse
factorielle
(Description
des
individus et des
variables)
Dans l'étude que nous avons entreprise sur les paramètres
de texture des images échocardiographiques
dans
le
chapitre
précédent,
il
est
clair
que
la
diversité
des
méthodes
proposées et les quantifications qu'elles
apportent
sur
les
différentes
textures
rencontrées,
peuvent
être redondantes
pour une segmentation de ces images à partir de ces
textures.
D'autre
part
la prise en compte de l'ensemble de ces données
dans un système d'aide au
diagnostic
comme
celui
que
nous
élaborons
va singulièrement jouer sur la taille du système et
sur le temps de traitement de ces images.
Il reste donc à définir pour ce
type
d'images,
quelles
sont
les
variables
pertinentes nécessaires et suffisantes à
l'élaboration d'une stratégie de segmentation
de
ces
images
afin
d'en réduire la complexité et la lourdeur.
A cette fin,
nous avons
naturellement,
songé
à
utiliser
ces
techniques
d'analyse
statistique
des
données [47] sur les variables de
description de texture que nous avons utilisées.
Au vu de nos objectifs,
une analyse factorielle
de
ces
données
parait
être
la
première
approche
à
privilégier
d'autant plus que les
résultats
obtenus
par
cette
méthode
[46],
comme nous allons le voir,
sont en parfaite adéquation
avec ce que nous voulons.
VI.2

---

Nous allons donc dans ce chapitre,
tout d'abord préciser
les
définitions
et
la méthodologie de l'analyse factorielle
dont nous nous servirons,
avec les
différentes
possibilités
qu'elle nous offre,
puis les résultats que nous avons obtenus
dans
la
caractérisation
des
textures
sur
les
images
échocardiographiques.
I I .
PRINCIPALES METHODES D'ANALYSE
FACTORIELLE
Le
terme
d'analyse
statistique
multidimensionnelle
recouvre en fait plusieurs techniques
d'analyse
de
données:
Typologie, segmentation, analyse discriminante, etc ...
Toutes
ces méthodes ont en fait un même but: i l s'agit à
la fois de décrire,
de classer et de clarifier
les
données.
Certaines
techniques conduisent à des descriptions sous forme
de cartes définies par des facteurs,
ce sont
les
techniques
d'analyse factorielle.
Un autre type de dépouillement conduit
à des représentations sous formes d'arbres,
on parle alors de
classification automatique.
Dans
la pratique,
i l existe des recouvrements entre les
fonctions assurées par ces différentes méthodes.
II.1.
Analyse en composantes
principales
(ACP)
Elle consiste à décrire un
ensemble
d'individus
et
un
ensemble de caractères qualitatifs. Les individus statistiques
constituant
un
échantillon
d'une
population
donnée
ou
l'ensemble de la population.
Elle, est basée sur l'analyse
de
la
covariance ou de la corrélation entre les variables.
Elle
est principalement utilisée lorsque le tableau de données
est
du type individus x caractères qualitatifs.
VI.3

---

Les
résultats de cette analyse sont donnés sous forme de
représentation graphique et leurs interprétation est effectuée
à l'aide
de
paramètres
numériques
également
calculés
par
l'analyse. Une description de la méthodologie de cette analyse
est donnée par la suite.
II.2.
Analyse factorielle de correspondances
(AFe)
Tout
d'abord
limitée
à
l'étude
des
tableaux
de
contingence,
son emploi a été généralisé et on l'utilise pour
analyser
des
tableaux disjonctifs complets,
des tableaux de
données ordinales et des tableaux de mesures positives.
Cette
méthode
a été construite dans le but de décrire les lignes et
les 'colonnes
d'un
tableau
de
contingence,
c'est
à
dire
d'étudier
la dépendance de deux caractères qualitatifs;
elle
est basée sur une décomposition en chi-deux de contingence
et
l'étude
de
la
dépendance
est
effectuée
à
l'aide
de
représentations
graphiques
et
de
paramètres
numériques
permettant de les interpréter.
II.3.
Analyse f a c t o r i e l l e discriminante
(AFD)
Lorsque
la
population
statistique
est divisée en sous
ensembles disjoints,
cette partition étant équivalente à
une
variable
qualitative
et que sur èhaque individu,
un certain
nombre de paramètres quantitatifs
ont
été
mesurés,
i l
est
possible
d'effectuer
ce
type
d'analyse.
Elle
permet
d'expliquer, au sens de la regression, la variable qualitative
par les caractères quantitatifs.
On pourra notamment à l'aide de cette analyse:
- évaluer la façon dont l'ensemble des variables quantitatives
permet de reconstituer le groupe,
déterminer
les
variables
les
plus
explicatives
de
la
partition,
VI.4

---

- mettre en évidence les individus dont les valeurs numériques
ne correspondent aux groupes auxquels ils ont été affectés,
classer
des
individus supplémentaires dont on connait les
valeurs
numériques
des
caractères,
mais
non
le
groupe
auxquels ils appartiennent.
I I . 4 .
Choix des mêthodes d"analyse
L'analyse factorielle de correspondance va nous permettre
dans
une première étape,
de mettre en évidence les relations
entre les différentes variables descriptives de
ces
textures
et
de
ne
retenir
que
les
plus
explicatives
et les plus
pertinentes pour la discrimination
des
différentes
textures
dans les images échocardiographiques.
Les
propriétés
de
l'analyse
factorielle discriminante
paraissent
être
celles
qui
se
prétent
le
mieux
à
la
segmentation
des textures des images échocardiographiques par
une approche de classification supervisée ou
avec
professeur
en
procédant
en
deux étapes successives.
Respectivement un
apprentissage et une reconnaissance des individus à partir
de
la partition obtenue dans la première étape.
Dans
la
suite,
nous allons présenter la méthodologie à
mettre
en
oeuvre
sur
ces
deux
méthodes
que
nous
avons
retenues,
et les résultats obtenus quand les données étudiées
sont les paramètres
descriptifs
de
textures
appliqués
aux
images échocardiographiques.
I I I .
PRATIQUE DE
L"ANALYSE
EN
COMPOSANTES PRINCIPALES
Dans
la
pratique,
les
résultats
d'une
analyse
en
composantes
principales
se
présentent
sous
formes
de
représentations
graphiques·
planes et d'indices permettant de
les interpréter.
VI.S

---

Deux options sur le choix
de
la
métrique
définie
sur
l'espace des individus sont classiques:
La
métrique canonique: Les relations considérées entre les
variables sont alors mesurées par les
covariances
(Analyse
en composantes principales canonique).
La
métrique
normée:
Elle est équivallente à l'analyse en
composantes principales canonique
des
variables
réduites.
Les
relations
considérées
entre
les variables sont elles
mesurées par les coefficients de corrélation.
la covariance dépendant des unités choisies pour
mesurer
les
variables,
on
a tout intérét à effectuer une analyse en
composantes
principales
normée
quand
celles
ci
sont
hetérogénes [13].
111.1.
Présentation générale des
r é s u l t a t s
A chaque individu est associé un point représentatif dont
les
coordonnées sont les valeurs des composantes principales.
De la même facon,
chaque variable
sera
représentée
par
un
point
dont
les
coordonnées
seront les covariances avec les
composantes principales réduites.
III.1.1. Représentation des variables
La qualité de la représentation graphique
des
variables
dans
un plan est un paramètre important dans l'interprétation
des résultats. On utilise pour la mesurer l'indice q1,2 défini
dans le plan principal lx2 par la relation:
L
E l~
i=l
l~
Valeur propre de la composante principale de rang i
VI.6

---

Par définition on appelle :
Indice de reconstruction de la variance totale de l'ensemble
des variables par la composante principale C'r le rapport:
L
~ l~
i=l
- Indice de reconstruction de la variance totale dans le
plan
C'r X C'., la somme qr + q.
On
démontre
que
la somme des indices de reconstruction
étendue à toutes les composantes principales est égale à 1.
L
~ q1 = 1
1=1
Donc plus cet 'indice qr,. sera
proche
de
1,
meilleure
sera la reconstruction de la variance totale et par conséquent
la représentation des variables.
Avant
toutefois d'interpréter les positions relatives de
deux variables,
il est nécessaire de s'assurer qu'elles
sont
bien
représentées
et
que
la proximité de leurs projections
correspond à une proximité réelle.
La qualité de la représentation d'une
variable
X
peut
j
être
mesurée
par
l'angle
8
qu'elle
forme
avec
le plan
j
considéré ou plus simplement par son cosinus carré.
On démontre que [13]:
si 81 et 82 représentent les angles formés par la variableX j
et les composantes principales C'1 et C'?.
On
sait
d'autre
part
que dans l'espace considéré,
le
cosinus est égal au coefficient de corrélation, c'est pourquoi
l'on parle plus souvent de corrélation des variables avec
les
axes qui sont engendrés par les composantes principales.
VI.?

---

Interpréter
la
représentation
graphique
des variables
revient donc à donner leurs caractéristiques
statistiques
en
fonction des positions de leurs points respectifs.
Dans le cas où les variables ne sont pas réduites:
- La distance à l'origine des axes d'une variables est égale à
sa norme, donc à son écart type.
Le
cosinus
de l'angle formé par deux variables est égal à
leur coefficient de corrélation.
En général,
on parle de groupes
de
variables
dont
on
explique la formation soit par les coefficients de corrélation
entre
elles,
soit par leurs coefficients de corrélation avec
une composante
principale.
On
met
ainsi
en
évidence
les
caractères généraux de la population étudiée .
•
1
III.1.2. Cas particulier
Le cercle de corrélation
Les
représentations
graphiques des variables en analyse
en composantes principales normée sont souvent
effectuées
de
manière
différente,
en
effet
au
lieu
de
représenter les
variables
X
proprement
dites,
on
considère
plutôt
les
j
variables réduites Yj •
Dans
l'analyse classique,
les coordonnées des variables
Xj
sur
les
composantes
principales
sont
les
covariances,
lorsque ces variables sont réduites ce sont les corrélations:
O j
:
Ecart type de la variable Xj
Il
en
découle
que plus proches seront les variables du
cercle
de
corrélation
de
rayon
1,
mieux
elles
seront
représentées et inversement.
VI.S

---

111.1.3. Représentation des individus
Le
tableau individus x composantes principales donne les
coordonnées des individus
sur
les
axes
engendrés
par
les
vecteurs principaux u 1 , u2 , •••• , uL •
Ces axes forment un système orthonormé et l'on représente
habituellement
les
individus
par
leurs projections sur les
plans engendrés par U
et u
et
1
2 ,
U 1
U3'
etc •••
L'orthonormalité des axes est fondamentale, les positions
respectives des individus n'étant respectée que
dans
ce
cas
(Figure VI.1).
Axe 2
1 Jl,.... - .- . . - -- - - - •.
C2<l)
:
C2(6)
-----.,
1
1
;
C,(2)
C,(4)
C,(5):
C,O)
: c,(6)
Axe 1
1
,
. 3
c <3) - - -.- - - - - - - - - - - - - _.~
.
,
2 x~ - - - - - - - - - C2 <:2 )
.
C (5)
- - -1' 5
2
Figure VI.1
Projection de l'ensemble des individus
sur le plan principal 1x2
Les coordonnées des individus sur le premier axe sont les
valeurs
de la première composante principale et celles sur le
second axe, les valeurs de la seconde composante principale.
VI. 9

---

111.1.4. Qualité de la représentation de l'ensemble des
individus
Quand on représente le
nuage
des
individus
par
leurs
projections
sur
un
plan,
on
ne
conserve
qu'une
part de
l'information totale. Pour mesurer cette dernière,
on utilise
le
même
indice
que
celui
défini
dans
le
cas
de
la
représentation des variables.
La variance est ici considérée comme
une
mesure
de
la
dispersion
de
l'ensemble
des individus et l'axe 1 est celui
pour lequel la dispersion est maximale,
l'axe 2 possédant
la
même
propriété
sous
contrainte
d'orthogonalité
avec l'axe
précédent et ainsi de suite.
Le
rapport
qr,.
que
nous
avons
appellé
indice
de
reconstruction
de
la
variance
totale
par
les composantes
principales C'r et C'. est
souvent
appellé
"Contribution
à
l'inertie du plan principal r,s".
111.1.5. Qualité de la représentation d'un individu
Pour
évaluer
la qualité de représentation d'un individu
par le plan principal,
on
étudie
comme
dans
l'espace
des
variables
les
cosinus
des
angles qu'il forme avec les axes
(Figure VI.2).
La proximité de l'individu i
avec le plan r,s est
mesuré
par
le
cosinus
carré
de
l'angle
qu'il
forme
avec
sa
projection.
1/ pei) 1/2
cos 2 e = IIX(i) 11 2
VI.lO

---

i
Axe r
\\
\\
\\ ,
\\
\\ ,
\\
\\
1
\\~ PO)
Figure VI.2
Angles de projection d'un individu
sur le plan principal r,s.
Le
vecteur
P(i)
s'exprime
en
fonction
des
vecteurs
principaux ur et u.
Il vient donc:
où
er et e. sont les angles formés par le vecteur X(i} et les
vecteurs principaux.
Pour mesurer le proximité de ce
vecteur
avec
le
plan
r,s,
Il
suffit donc d'effectuer la somme des
cosinus carrés des angles qu'il forme avec les vecteurs Ur
et
u ••
VI.ll

---

111.2.
Représentation
simultanée
On appelle représentation simultanée des individus et des
variables,
la
représentation
des
individus
et en éléments
supplémentaires, des individus caractéristiques des variables.
Les axes engendrés par les vecteurs de ces
individus
n'étant
autres
que
les
axes définis par les variables initiales X ,
1
X2 ,
• • • • ,
Xp
(Figure VI.3).
Axe 2
,
1 '
.'\\,, ,
'. 2 ( "
'.
v
, "
,
"
,
,
" , '
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Axe 1
\\
1
3"\\ ,
\\ ,
,
,
,
Figure VI.3 : Représentation simultanée sur le plan lx2
IV.
PRATIQUE DE
L'ANALYSE
FACTORIELLE DISCRIMINANTE
L'analyse
factorielle
discriminante
est
une
méthode
dérivée
directement
de l'analyse en composantes principales,
dont la finalité est d'étudier
le
lien
entre
une
variable
qualitative et un certain nombre de variables quantitatives.
VI.12

---

La
donnée
d'une variable qualitative sur une population
étant équivalente à une partition de cette population,
chaque
individu
étant
affecté par sa modalité à un sous ensemble et
un seul dénommé groupe.
la discrimination des groupes va consister
à
mettre
en
évidence
les
propriétés
qui
les
distinguent
les
uns des
autres, à travers trois démarches principales:
- Qualité de la
séparation . des
groupes
par
les
variables
quantitatives.
Mise
en
évidence
de
variables
responsables
de
la
discrimination.
- Affectation d'individus supplémentaires aux groupes auxquels
ils sont les plus proches.
IV.1
Relations
fondamentales
A la représentation des individus
telle
qu'elle
a
été
décrite
dans l'analyse en composantes principales,
on ajoute
une
variable
qualitative
Q,
cette
dernière
possédant
q
modalités
numérotées
de 1 à q,
qui définit une partition de
l'ensemble des individus l
telle que:
Ig = [i E Ii Q(i) = g]
avec g = [l,2, .••••.• ,q]
La famille Ig
est
une
partition
de
l'ensemble
l,
chaque
individu ayant une modalité de Q et une seule.
Si
nous considérons le groupe des individus possédant la
modalité g. Le poids du groupe g, PG(g), est défini par:
Le poids d'un individu i dans le groupe g est noté:
Pg(i) =
VI.l3

---

et
peut
s'interpréter
comme
étant
la
probabilité
conditionnelle
de
l'individu i,
sachant qu'il appartient au
groupe g.
On définit alors les moyennes et covariances conditionnelles:
E(Xj/g) =i~IPg(i),Xj(i)
Cov(Xj,Xj./g) =i~IPg(i).(Xj(i)-E(Xj/g)),(Xj.(i)-E(Xj./g))
On appelle alors centre de gravité du groupe g,
le vecteur de
RP défini par:
La
matrice
,
notée
Vg ,
des
covariances
calculées
sur
l'ensemble
I g
est
appellée
matrice
de
covariance
g-
conditionnelle.
Chaque
groupe
g
étant
muni du poids Pe(g),
on étudie
l'ensemble des
centres
de
gravité.
Le
vecteur
moyen
des
centres de gravité est donné par la relation:
On démontre que
On
sait
d'autre
part
que
la
moyenne
des
variables
calculée sur les centres de gravité est égale à la moyenne des
variables calculée sur la population totale.
L'analyse
factorielle
discriminante
consistant
à
déterminer la combinaison linéaire Y pour laquelle les centres
de
gravité
sont
le plus dispersés possibles ou,
à variance
totale égale,
pour laquelle les individus des groupes sont le
moins dispersés possible en moyenne.
VI.14

---

Il
s'agit donc de calculer la combinaison linéaire Y des
variables X1 , •••• ,
Xp ,
telle que le rapport de
la
variance
inter-classes
à
la variance totale soit maximal ou telle que
la variance inter-classes soit maximale et la variance
totale
égale à 1.
Ce
critère repose sur la relation fondamentale existante
entre les matrices de covariances.
Si l'on appelle matrice de
covariance
intra-classe
Vz
la
moyenne
des
matrices
g-
conditionnelles pondérées par le poids des groupes et
matrice
de covariance inter-classe Ve la matrice des covariances entre
les
p
variables définies par leurs moyennes à l'intérieur de
chaque groupe avec:
VG(j,j') =
~
Pe(g).E(Xj/g).E(Xj./g)
gEG
V:t(j,j') =
~
PG(g)·Vg(j,j')
gEG
On a la
.
relation
V = Ve + VI.
La matrice V représentant la matrice de covariance totale
IV.2.
Mise en oeuvre pratique
La
pratique
de
l'analyse
factorielle
discriminante
ressemble
évidemment
à
celle
de
l'analyse
en composantes
principales. Certaines différences apparaissent toutefois, les
individus étant par exemple toujours considérés comme éléments
supplémentaires.
L'analyse
factorielle
discriminante
est
une
méthode
d'analyse
des
données
qui
débouche
sur
un
problème
de
décision.
Il est malgré tout parfois difficile de mesurer
la
qualité
de
la discrimination et un grand nombre de variables
peut être préjudiciable à la qualité de cette
discrimination.
C'est
pourquoi i l est recommandé d'e·ffectuer au préalable une
analyse en composantes principales
et
d'effectuer
l'analyse
discriminante à l'aide des deux ou trois premières.
VI.15

---

En général, il existe trois genres d'individus:
- Les centres de gravité des groupes 1 1 , ••• , I g , ••• , I Q
- Les individus de la population l
Les
individus
supplémentaires
de
la
population l ' pour
lesquels les variables quantitatives sont connues,
mais non
les modalités de la variable qualitative.
Ces
deux
derniers
groupes
étant
considérés comme des
éléments supplémentaires pour cette analyse.
On
représente
les
différents
résultats
obtenus
graphiquement,
la
qualité
de
cette
représentation
étant
mesurée par le même indice q~,. que celui défini
precedemment
en
analyse
en composantes principales.
On utilise également
les cosinus carrés des angles formés par les individus et
les
plans.
En
général,
si
les
centres
de
gravité
sont bien
représentés (la somme des cosinus carrés des angles formés par
un centre de gravité et chaque axe est proche de 1),
il
n'en
est pas de même pour les autres individus qui sont projetés en
individus supplémentaires.
Le
but de cette analyse n'est pas d'obtenir la meilleure
représentation possible,
mais la meilleure discrimination
au
sens
de
la
variance inter-classes: plus cette dernière sera
élevée, meilleure sera la discrimination.
Une
autre
façon
de
mesurer
la
discrimination
est
d'étudier
la fonction d'affectation des individus qui suit la
règle du centre de gravité
le
plus
proche
au
sens
de
la
métrique
de Mahalanobis où la distance entre un individu i et
un centre de gravité Gl. est donné par le produit matriciel:
d:2 ( i , g ) = 1 X ( i ) - X ( 9 ) 1'. v-
1
1. •
X ( i)
-
X ( 9 )
1
VI.16

---

En réalité on utilise la
relation
liant
le
centre
de
gravité
à
la
projection
P(i)
de
l'individu i
sur le sous
espace E engendré par les composantes principales, on a alors:
d 2 (i,g) = d 2 (i,P(i)) + d 2 (P(i),g)
= d 2 (i,P(i)) + E ( D1 (i) - D1 (g) )2
D1 () représentant les coordonnées de l'individu ou
du
centre
de gravité sur la lème composante principale.
Le
premier
terme
du second membre étant indépendant du
centre de gravité,
on peut se borner
à
calculer
le
second
terme
et à déterminer le centre de gravité pour lequel il est
minimum.
On
peut
donc
compter
le
nombre
d'individus
de
la
population
l
qui
sont
affectés
au
groupe
auxquels
ils
appartiennent,
le rapport à l'effectif total de la population
est
le
pourcentage de bien classés.
L'analyse sera d'autant
meilleure que ce pourcentage sera grand.
On
cherche
également,
en
effectuant
une
analyse
factorielle discriminante,
à mettre en évidence les variables
quantitatives
initiales
les
plus
liées
à
la
variable
qualitative.
Les
composantes
discriminantes
maximisent
ce
lien,
c'est
pourquoi
l'on
étudie
les
corrélations
des
variables avec chacune d'entre elles.
On utilise pour cela le
coefficient de corrélation inter-classes, c'est à dire calculé
sur les centres de gravité des groupes.
Le
reste
du
calcul
s'effectuant comme en analyse en composantes principales.
VI.l7

---

V.
EXPERIMENTATION ET RESULTATS
V.1.
Mode opératoire
Nous avons procédé à ces analyses en métrique normée,
de
par l'hétérogénéité des variables quantitatives retenues,
sur
des
images
échocardiographiques
en
coupe
transverse
de
dimensions 256x256 pel~,
non traitées et après égalisation de
l'histogramme
par une loi exponentielle,
sur lesquelles nous
avons effectué un échantillonnage des variables
sélectionnées
avec une taille variable de la fenêtre d'exploration.
Nous
avons retenu comme variables quantitatives de cette
étude:
Les variables statistiques
du
premier
ordre:
la
moyenne
(MOY)
et
la
variance
(VAR)
des pels appartenant à cette
fenêtre.
Les variables statistiques des différences de niveau:
CONT: contraste
MASO: moment angulaire du second ordre
MOlF: moyenne des différences absolues
- Les variables de mesures des variations locales
MOA : médiane des différences absolues
VMTB: variation minimale totale bidirectionnelle
- Les variables quantitatives des énergies de texture:
LAW3 : somme des valeurs absolues des
masques
de
LAWS
de
dimension 3.
.
LAW5
somme
des
valeurs absolues des masques de LAWS de
dimension 5.
Notre choix a été effectué en fonction de la facilité
de
programmation de ces différentes variables en macro-assembleur
LSI
11/23
et
du
temps
de
calcul relativement faible pour
chacune d'entre elles.
VI.18

---

Ces sous programmes en macro-assembleur sont appel lés par
un programme principal en FORTRAN
IV
assurant
également
le
pilotage
du
système
de traitement d'images VIDEOGRAPH dont,
nous le rappelIons,
la bibliothèque de programmes de commande
a été écrite sous ce ·même langage.
Les
données
ainsi receuillies ont été analysées par des
programmes
d'analyse
factorielle
des
données,
écrits
en
GWBA5IC
sur
un
microordinateur compatible AT et inspirés de
FOUCART [13], après avoir été saisies manuellement.
Deux
grandeurs
d'échantillons
ont
été
prélevées
sur
chaque image (30 individus et 60 individus) pour une taille de
fenêtre
donnée,
afin de pouvoir juger de la reproductibilité
des résultats, sachant que le nombre d'individus, pour ce type
d'analyses, n'est pas un facteur déterminant sur les résultats
obtenus. Nous avons distingué durant l'échantillonnage,
trois
zones
d'intérét principales délimitées' par l~s particularités
anatomiques observables du coeur dans cette coupe.
Ces trois zones distinctes
visuellement
sur
une
image
échocardiographique
(figure
VI.4)
ont
été délimitées comme
suit:
- 1ère zone: Cavité cardiaque,
les échantillons de cette zone
sont précédées du préfixe C.
2ème
zone:
Zone correspondante à la présence du myocarde.
Les échantillons de cette zone, précédés du prefixe M,
sont
limitées
dans
leur
taille
par l'épaisseur relative de ce
muscle.
3ème zone: Les régions de
l'image
n'appartenant
ni
à
la
cavité,
ni
au
myocarde
et
correspondants
aux
tissus
périphériques du coeur.
Nous appellerons
cette
zone,
par
abus
de
langage,
"Pericarde"
et
ses échantillons seront
précédés du préfixe P.
VI.19

---

Figure VI.4 Zones d'intérêt dans l'image échocardiographique
Pour les deux premiers groupes de variables, la taille de
la fenêtre d'exploration a été prise impaire et variant
d'une
taille
llxll
à
une
taille
de 23x23 pels.
Les paragraphes
suivants donnent les résultats obtenus sur ces populations
et
l'interprétation que l'on peut en faire.
V.2.
Analyse en
composantes
principales
V.2.1
Echantillon de
30
Individus
V.2.1.a: Image origine non-traitée
Sur une fenêtre d'exploration de taille llxll, le tableau
des
corrélations
croisées· des
variables
ci-dessous
a été
obtenu:
VI.20

---

La
contribution
à
l'inertie
totale
des
différentes
composantes
principales
(nous
en avions demandé 4) a été la
suivante:
PLANS DE RECONSTRUCTION
AXE
%
4
3
2
1
69,6
73,2
75,1
84,4
2
14,8
18,4
20,3
3
5,5
9,1
4
3,6
Les deux premières composantes principales reconstruisant
84,4% de la variance totale,
nous bornerons
notre
étude
au
cercle
de corrélation sur le plan C'1,C'2 pour les variables,
et au plan principal 1x2 pour les individus.
VI.21

---

Sur ce cercle de corrélation (Figure
VI.S),
toutes
les
variables
statistiques
sont
bien
représentées
(elles sont
proches de
la
circonférence).
Les
variables
du
troisième
groupe
(énergies de texture) sont par contre relativement mal
représentées.
Il apparait une distinction
nette
entre
les
variables
MOlF,
MASO,
CONT,
VAR et le groupe des variables MOY, VMTB,
MOA qui sont fortement corrélées entre elles
(CF
Tableau
de
corrélation des variables).
L'étude
du
plan
principal en représentation simultanée
des
individus
et
des
variables
(Figure
VI.6)
permet
de
distinguer
deux
groupes
de
part et d'autre de l'axe l,
le
précodage des
échantillons
permet
de
remarquer
que
cette
partition
se
fait
sur
les
individus
provenant
d'un
échantillonnage de la cavité.
La reconstruction de la
première
composante
principale
est
basée
sur
une
opposition
entre
la
variable
MASO et
l'ensemble des autres variables,
plus
particulièrement
avec
les variables MDA,
VMTB, MaYet VAR fortemment corrélées avec
cet axe.
Nous donnons
ci-après
les
cosinus
carrés
des
angles
formés
par
ces variables avec les deux premières composantes
principales et la somme de
ces
cosinus,
qui
représente
le
degré
de
reconstruction
de ces variables sur le plan généré
par ces composantes.
Plus
cette
somme
sera
proche
de
l,
meilleure sera la reconstruction.
MOY
VAR
mA
VMTB
CONT
MASO
MDIF
LAW3
LAW5
AXEl
.7832
.7522
.9421
.9554
.3552
.9045
.2498
.7349
.5382
AXEZ
.00Z4
.0748
0
0
.5743
.0147
.6Z37
.0007
.0439
P!an1x2
.7856
.827
.9421
.9554
.9295
.9192
.8835
.7356
.6321
Vr.22

---

ANALYSE EN COMPOSA!\\rrES PRINCIPALES
PLAN PRINCIPAL lx2: Cercle de Corrélation
VMT
Image Origine - Fenêtre llxl1 - 30 Individus
Figure VI.S
Cercle
de
corrélation
des
variables sur les
deux premières composantes principales réduites
VI.23

---

Représentation simultanée dans le plan principal lx2
C6
B
M7
B
-MUY
MS
P6
P7
P9
P3
Pl
C4
o0
o B
0
B
Cl
0
P2
PO
M40 ~ M6
o OCS
B B r.I
CO ~ OC3
PS
C2
Ml
IJ
o
OMO
M2
o
-
M9
-
0
1
1
1
1
J
J
Figure Vr.6
Projection
simultanée
des
variables
et
des
individus dans le plan principal lx2
Vr.24

---

Le
second groupe de la population est plus difficilement
interprétable. On peut toutefois noter une certaine opposition
entre les individus provenant du myocarde et du
péricarde
de
part
et
d'autre
de
l'axe
2,
qui
doit
son
existence
à
l'opposition de deux variables, MDlF et CONT.
Les autres variables (LAW3,
LAWS) interviennent très peu
dans cette représentation,
et sont peu significatives dans ce
plan.
Nous
pouvons
également
noter
que
la
meilleure
représentativité
de
la variable LAWS est obtenue sur le plan
1x3 où elle obtient un indice de représentativité
de
0,9112,
tandis que la variable LAW3 est mieux représentée dans le plan
1x4 où elle obtient un score de 0,9751.
L'analyse
du
tableau ci-après,
de représentativité des
individus sur les différents plans générés par les composantes
principales, permet de noter les différents points suivants:
Hormis le cas particulier de l'individu
PB
et
dans
un
degré
moindre
de
l'individu P9 qui ne sont bien représentés
par aucun des axes demandés,
on peut mettre l'accent
sur
la
bonne
représentativité
des
individus
"cavité" dans le plan
principal et sur la
dispersion
de
la
représentativité
des
autres
individus
entre les différents plans principaux ayant
pour axe principai l'axe 1 généré par la
première
composante
principale.
Vl.2S

---

1
1
i
IND
1x2
1x3
1x4
IND
1x2
1x3
1x4
J
1
co
.9839*
.9799
.9789
M5
.3259
.5227
.6405*
i
Cl
.989 *
.9541
.9545
M6
.7093
.7115*
.5766
1
C2
.991 *
.9886
1
.9885
M7
.5863*
.1857
.1927
j
C3
.9894*
.9881
.9864
M8
.3904
.1159
.3937*
1
<1
l
C4
.9569*
.9333
.9201
M9
.9377*
.436
.4142
'1
C5
.9848*
.9718
.9679
PO
.6807
.8097*
.7355
C6
.8348*
.7262
1
.6625
Pl
.8724*
.8367
.8016
C7
.9732*
.7724
.7611
P2
.9014
.9117
.9226*
1
C8'
.9737*
.7439
.7357
P3
.747
.7125
.7585*
C9
.9828*
.7176
.7155
P4
.6201
.7073*
.6054
1
1
MO
.8857*
.8797
.8769
P5
.7186
.7998
.881 *
1
1
Ml
.4557
.5403
.8126*
P6
.6762
.7371*
.7368
1
M2
.7824*
.6874
.6601
P7
.6169
.761 *
.4933
1
M3
.582
.7206*
.5785
P8
.0574*
.0082
.0627
M4
.3436
.8483*
.3131
P9
.2969
.2384
.384 *
L'astérisque * indique la valeur maximale de représentativité.
Nous
pouvons
dégager
de
ces résultats les conclusions
suivantes:
Les
variables
représentatives
de
cet
échantillon
d'image
échocardiographique non traitée sont de prime abord:
Les
variables d'énergie de texture (masques de LAWS) qui
distinguent
en
dehors
des
deux
prem1eres
composantes
principales,
un
certain
nombre
d'individus
fortement
corrélés aux plans 1x3 et 1x4.
- La variable MASO,
qui en opposition
avec
le
groupe
de
variables
fortement
corrélées
entre
elles
(MOA,
VMTB,
MOY, VAR) définit la première composante principale.
VI.26

---

- Les variables MDIF et CONT qui,
en
opposition
l'une
et
l'autre,
définissent
la
seconde composante principale qui
permet de distinguer l'un des groupes d'individus.
V.2.1.b: Image exponentielle
La procédure d'analyse a été réitérée sur la
même
image
ayant
préalablement
subi
une égalisation de son histogramme
par une loi exponentielle avec un coefficient a égal à 0,02.
Nous
donnons
ci-après
la
table
de
contribution
à
l'inertie des 4 axes différents.
La représentation simultanée
des individus et des variables sur le plan principal
1x2
est
celle
pour laquelle nous obtenons la meilleure contribution à
l'inertie totale (89,7%).
PLANS DE RECONSTRUCTION
~E
%
4
3
2
1
78,7
82,1
82,8
89,7
2
11
14,4
15,1
3
4,1
7,5
4
3,4
Au niveau du cercle de corrélation des variables
(Figure
VI.7), on note toujours la même représentativité des variables
du
premier
groupe.
La variable d'énergie de texture LAWS se
trouvant la plus mal représentée dans ce plan.
La distinction des variables se
fait
surtout
entre
la
variable
MASO,
la variable MDIF et un ensemble regroupant le
reste des variables.
La
première
composante
principale
est
définie
par
l'opposition de la variable MASO avec cet ensemble, tandis que
la
seconde composante principale est quand à elle définie par
la variable MDlF.
VI.27

---

L'étude
du
tableau
des
corrélations
croisées
des
variables
ci-dessous,
montre
la
forte
corrélation
des
variables formant cet ensemble entre elles.
MOY
VAA
I{)A
VMTB
CONT
HASO
HOIF
LAW3
LAW5
illY
VAR
.8888
KlA
.9611
.9149
VHT8
.9791
.9326
.9773
COHT
.9097
.9952
.9246
.9498
1
MASO -.8824 -.7594 -.8487
-.878
-.7801
KlIF
.1166
.2417
.2763
.1961
.2114 -.182
1
LAW3
.8882
.8708
.9066
.876
.8692
-.796
.2166
1
LAW5
.7491
.7439
.7405
.7516
.7485 -.7197
.0491
.824
1
La
représentation
simultanée
des
variables
et
des
individus
(Figure
VI.S)
permet
de
distinguer
3
groupes
d'individus caractérisés par le dispersion des variables MASO,
MDIF et de l'ensemble des autres variables le
long
de
l'axe
principal généré par le première composante principale.
L'axe 2 est par contre caractérisé par l'opposition de la
variable MDIF avec toutes les autres, ce qui est corroboré par
la
table
des
cosinus
carrés
des
angles
formés
par
ces
variables avec les axes principaux.
MOY
VAR
I{)A
VHTB
corn
HASO
11) 1F
LAW3
LAW5
AXEl
.9349
.905
.9494
.9638
.9211
.7376
.054
.88
.6849
AXE2
.0106
.0015
.0039
.0004
0
.0012
.9341
.0001
.0413
Plan1x2
.9455
.9065
.9533
.9642
.9211
.7883
.9881
.8801
.7262
VI.28

---

ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES
PLAN PRINCIPAL lx2: Cercle de Corrélation
AXEl
D
MAS
Image Exponentielle - Fenêtre llxll - 30 Individus
Figure VI.?
Cercle de corrélation
des
variables
sur
les
deux premières composantes principales réduites
VI.29

---

Représentation simultanée dans le plan principal lx2
LM
El
C9
~
Mm:
M4
P8
M6
C4
B
B
B
B
1-
MS
P9
B
B El
P4
M3
El
C6
Pl
MS
B
El
M7
M2
CS
El
B
B
El
M9
6.2 El
B
PO
r:I
C3
co
M1 ls
VAR CON
El
"
VMI LA3
Ef3
Cl
B
C7
El
fl2
Ml
1- El
MO
B
PS
El
P6
MI2A
B
El
CS
~.ill
P7
El
1
1
1
1
Figure VI.S
Projection
simultanée
des
variables
et
des
individus dans le plan principal lx2
VI.30

---

L'étude de la représentativité de ces variables dans
les
plans
générés
par
les
autres composantes principales et la
composante
principale
C'~
montre
que
la
meilleure
représentativité des variables LAW3,
LAW5 et VMTB est obtenue
sur le plan Ix3 où elles obtiennent respectivement des indices
de-représentativité de 0,9065, 0,9397 et de 0,9852.
Les variables VAR
et
MASO
sont
quand
à
elles
mieux
représentées
dans le plan lx4 où elles obtiennent des indices
de 0,9693 et de 0,9685.
L'étude des individus sur
cette
représentation
suivant
les axes principaux 1 et 2,
montre de prime abord l'existence
de trois groupes distincts d'individus,
encore
mieux
percue
par
la
codification
que
nous
avons
adoptée.
De même que
précedemment,
une étude des cosinus carrés (Tableau
suivant)
permet de relativiser cette constatation.
On
constate
sur
ce
tableau,
une représentativité des
individus répartie majoritairement sur les plans
lx2
et
lx4
pour
les
individus
caractéristiques
de
la
"cavité" et du
"péricarde"
et
une
certaine
dispersion
des
individus
caractéristiques du myocarde.
En
conclusion,
sur
cette
étude
d'une image "exponen-
tielle": Les variables caractéristiques de
la
population
se
trouvent être:
- Les variables VAR et MASO,
qui caractérisent principalement
les individus de la cavité en
opposition
avec
toutes
les
variables dans le plan lx4.
Le
groupe
des variables d'énergie de texture LAW3 et LAW5
qui sont mieux représentées dans le plan principal lx3.
- On retrouve
également
un
groupe
de
variables
fortement
corrélées entre elles (MDA,
CONT,
MOY) qui en opposition à
la variable ~~SO,
servent à la génération
de
la
première
composante principale.
VI.31

---

IND
1x2
1x3
1x4
IND
1x2
1x3
1x4
CO
.6769
.7882
.8438*
M5
.7279
.7975*
.7267
Cl
.4884
.2828
.7582*
M6
.9064*
.7227
.7828
C2
.743
.7458
.8439*
M7
.9269
.9678*
.9522
C3
.288
.3141
.4917*
M8
.5132
.5023
.8352*
C4
.7644*
.5228
.5536
M9
.9473
.9483
.9745*
C5
.7512
.7572
.7646*
PO
.8918
.8909
.9944*
C6
.7278
.6514
.8184*
Pl
.8814
.8683
.9836*
C7
.686 *
.4146
.6315
P2
.9716*
.8994
.9036
C8
.8673*
.1392
.1723
P3
.937
.9286
.9892*
C9
.9437*
.3229
.3063
P4
.9667*
.897
.9048
MO
.8244
.9359*
.769
P5
.9655*
.6881
.6775
Ml
.9542*
.9316
.9434
P6
.9652*
.6678
.6709
M2
.9877
.9873
.9903*
P7
.9601*
.5481
.5277
1
M3
.4492
.7299*
.4649
P8
.9399*
.7377
.7362
l-i4
.895 *
.8813
.8403
1
P9
.9245*
.838
.8406
L'astérisque * indique la valeur maximale de représentativité.
1
l
V.2.1.c Conclusions
t
r
!
Sur
l'ensemble
de
ces
deux
études,
pour différentes
l
1
fenêtres d'exploration,
on peut remarquer
que
la
meilleure
f
! "
;
1
représentativité
des
variables est obtenue après égalisation
(
1
de l'histogramme par une loi exponentielle,
ce qui peut
être
f
expliqué
par
la
meilleure
exploita"tion de la dynamique des
1
niveaux sur cette image et donc une réponse plus
étendue
des
!
1
différentes variables de caractérisation de texture utilisés.
f
1
!!1
1
1
VI. 32
l
1
fl

---

D'autre
part,
les
résultats
concomitants
quand
à la
corrélation du groupe de variables
MDA,
CONT,
MOY
et
VAR,
devrait
permettre par un choix judicieux de réduire le nombre
de variables descriptives de ces
images
et
conduire
à
une
meilleur
discrimination des différents groupes de textures la
composant.
V.2.2
Echantillons de GO
Indiviqus
La même étude a été menée
sur
des
échantillons
de
60
individus.
Nous
donnons en annexe 1 un exemple des résultats
obtenus sur des fenêtres llxll et ISxlS.
Nous pouvons effectuer la synthèse suivante de l'ensemble
des résultats obtenus sur les différentes images et
pour
des
tailles de fenêtre d'exploration différentes:
Les
deux
premières composantes princi~ales représentent
près de 90 % de contribution à l'inertie totale, ce qui permet
de limiter l'étude au plan défini par ces deux composantes.
Nous notons que la
première
composante
principale
est
toujours
déterminée par l'opposition de la variable MASO avec
toutes les autres tandis que la seconde est principalement due
à la position de la variable MDI dans ce plan.
Les
variables
du
troisième
groupe
LA3
et
LAS
sont
toujours les plus mal représentées dans le plan défini par ces
deux premières composantes principales.
Il faut aussi noter dans la représentation simultanée des
individus
et
des
variables,
un
regroupement
nettement
perceptible
des
individus
appartenant
à
la
cavité
du
principalement
à
la
faible
dispersion
des
variables
de
description texturelle dans cette zone.
VI.33

---

J
~
i
j
V.2.3 Conclusions
i
Sur
l'ensemble
de
cette
analyse
en
composantes
i.:j1
principales
de
données
texturelles
provenant
d'images
1
1
échocardiographiques,
nous pouvons retenir que les
variables
1
retenus
sont
dans une large mesure assez représentatives des
1
;
différentes
images
traitées
et
ce
d'autant
plus
qu'une
1
amélioration
par
égalisation
de
l'histogramme
aura
été
préalablement effectuée.
1
l
i
Le
nombre
d'individus
considérés
ne
biaise
pas
les
i
J
résultats
et
ceci
en
parfait
accord avec les principes de
l
1
j
cette analyse qui ne concerne que les variables qualitatives.
l
i
Il nous
faut
retenir
également
que
les
valeurs
des
1
variables
retenues
sont
toujours
assez
homogènes
dans la
cavité,
t
et permettent déjà à ce
niveau
de
procéder
à
une
!
'1
certaine
;
discrimination de ces individus.
Ce résultat laisse
~
présager que la discrimination
de
la
cavité
sera
la
plus
1~J
simple
à
mettre
en
évidence en utilisant les propriétés de
l'analyse factorielle.
Nous allons donc,
dans la suite de ce
chapitre,
examiner_
les résultats obtenus dans le cadre d'une
111
analyse factorielle discriminante.
j
1
1l
V.3.
ANALYSE
FACTORIELLE DISCRIMINANTE
!!
Nous avons effectué une analyse factorielle discriminante
!
i
des mêmes ensembles de données que précedemment,
en procédant
en deux étapes principales:
11
j
Conservation
de
l'ensemble
des variables quantitatives
1
!
déja utilisées.
i1
- Utilisation des
résultats
de
l'analyse
en
composantes
principales,
et
selection
des
variables qualitatives les
plus descriptives de la population des échantillons.
VI.34

---

Les différents groupes déja définis (cavité,
myocarde et
péricarde) ont servi de base à la classification des individus
en
trois
groupes distincts.
Trois groupes définissant trois
centres
de
gravité,
et
ces
trois
centres
de
gravité
définissant
un
plan
unique
de
représentation.,
la
classification a été éffectuée sur les deux seules composantes
principales
existantes.
La
discrimination
sur
un
nombre
supérieur
de
composantes
principales est possible mais elle
introduit un biais significatif sur les résultats.
V.3.1
Echantillons de
30
Individus
Pour cette première expérimentation,
nous avons
utilisé
l'ensemble
des 3 variables quantitatives déja définies et une
variable qualitative possédant trois modalités.
Ces modalités
décrivant
l'appartenance
à
une des zones d'intérét définies
précedemment. Pour chacune de ces modalités nous avons prélevé
10 échantillons,
ce qui nous dùnne un total de
30
individus
pour la population. Le codage da ces individus est le même que
celui explicité plus haut.
L'analyse a été effectuée sur des images balayées par une
fenêtre d'échantillonnage de taille croissante.
Comme dans la
précedente analyse nous nous sonmes intéressés
aux
résultats
obtenus sur une image non traitée puis sur la même image ayant
fait
l'objet d'une égalisation de son histogramme par une loi
exponentielle.
V.3.1.a Image non traitée
L'interprétation de cette analyse étant similaire à celle
de l'analyse en composantes principales,
nous allons
surtout
nous
attacher
~1
mettre
en
exergue
les
particularités de
l'analyse factorielle discriminante.
Les résultats décrits ci-dessous sont ceux
obtenus
pour
une fenêtre d'échantillonnage d'~ne taille de llxl1 pels.
VI.35

---

Les
variables
étant
projetés
en
individus
supplémentaires,
leur représentativité par
rapport
au
plan
discriminant
est
égal
à
1.
La
même
table de corrélation
1
croisée des variables que celle de
l'analyse
en
composantes
1i
principales
est
obtenue
sur
cette
analyse,
la population
~
étudiée étant la même. Le tableau des corrélations carrées aux
axes permet d'estimer quelles sont les variables initiales les
1
plus corrélées aux composantes discriminantes.
1
1
!
~R
VHTB
CONT
HASO
MDIF
LAW3
LAW5
i
AXEl
.8584
.9411
.9995
.9989
.7697
.9968
.9284
.9655
.9994
f
j
AXEl
.1416
.0589
.0005
.0011
.2303
.0032
.0716
.0346
.0006
f
1
L'analyse de ce tableau permet de
constater
que
toutes
i
ces
variables
sont
fortement
corrélées
à
la
première
1
composante
discriminante,
à
l'exception
toutefois
de
la
1
J
variable
CONT
qui
joue
un
rôle
moindre
dans
cette
discrimination
mais
non
négligeable
si
l'on
compare
sa
1
corrélation
avec
l'axe
1
avec
les
valeurs propres de ces
1
composantes.
j
1
1
Valeur propre
Inertie
0,9705
57,3%
i
0,7237
42,7%
1
1
Le cercle
de
corrélation
inter-classes
(Figure
VI.9)
1
donne
la
représentation des variables et permet d'estimer la
1
liaison
entre
la
variable
qualitative
et
les
variables
l
1
quantitatives.
La
première composante discriminante est très
i
fortement corrélée aux variables
LAW5,
MASO,
VMTB
et
MDA,
}1
c'est
donc
par
ces
variables
que les groupes diffèrent le
:
1
plus.
La
seconde
composante
discrinante,
s'appuie
sur
1
l'opposition existant entre les variables CONT et MOY.
1
i
1
VI.36

---

On
peut
juger
de
la
qualité
de
représentation
des
différents centres de gravité des
trois
groupes
introduits,
par
les
cosinus
carrés
des
angles
qu'ils
font
avec ces
composantes discriminantes.
Centre de gravite
Axe 1
Axe 2
1
.9971
.0029
2
.2487
.7513
3
.3716
.6285
L'examen
de
la
représentation
des
individus
et
des
centres
de
gravité
sur
le plan discriminant (Figure VI. ID)
montre que les groupes sont très homogènes par
rapport
à
la
première
composante
principale,
du fait que les projections
des individus appartenant à un même groupe sur
cet
axe
sont
très
proches les unes des autres,
propriété mise en évidence
aussi par le module de la première valeur propre.
Par
contre
leurs
projections sur le second axe sont plus dispersées,
ce
qui est normal,
puisque la
seconde
valeur
propre
est
par
définition inférieure à la première. On note toutefois que les
recouvrements
des
projections
de
ces
groupes
est
peu
importante.
La
table
de
description
des
individus
de
la
page
suivante,
donnant
en première colonne le groupe d'origine G,
en seconde colonne
le
groupe
d'affectation
G'
et
sur
la
troisième
la
somme
des
cosinus
carrés
des
angles qu'ils
forment avec les axes du plan principal,
est un des
éléments
d'interprétation de cette analyse. L'étude des cosinus carrés,
dans le plan discriminant lx2, des individus n'apporte que peu
d'informations
supplémentaires,
étant
donné
que
le but de
cette analyse n'est pas de donner une représentation optimale.
VI.37

---

1
i!
l
1
J
•~
1
f
1
t
ANALYSE FACfORIELLE DISCRIMINANTE
1
PLAN PRINCIPAL lx2: Cercle de Corrélation
i
!
AXE 2
1
1
,
1
t
i
~
1
i,!ij
1
i
1
1
l
f
1
!
j
j
i
1
f
•
AXE 1
MDA~A5~
--+
-t
1
VMT
~AS
1
l
1
l~jj
1
i
1
1
ï
1
1
1
îi
Image non traitée - Fenêtre llxll - 30 Individus
i
1
1
i
1
1
1
1
Figure VI. 9
Cercle de corrélation
des
variables
sur
les
1
i
deux premières composantes principales réduites
i
VI.38
1
f
!
f
f

---

Représentation des individus dans le plan principal lx2
-
1-
-
M9
S S~3
M4
-
MO~~
MS-tS . GM8
M2 M6
SMl
Cl
P7~
D CO
C9
• P6 .
Sr:1c2
~C8
~~u
C6 tlC3
C :~C4
P8
CS
03
f-
~D
"
• PS
n
BP9
1.'
GP3
BP4
f-
,
I
1
r
1
1
Figure VI.lO
Projection
simultanée
des
individus dans le plan principal lx2
VI.39

---

Table de description des individus
!1
l
IND
G
G'
1x2
IND
G
G'
1x2
]
il
CO
1
1
.3428
M5
2
2
i
.1498
i,,
Cl
l
1
.321
M6
2
2
.3133
1
C2
1
1
.4866
M7
2
2
.1461
j
J
i
C3
1
1
.6254
M8
2
2
.0974
;1
1
"
C4
1
1
.4797
M9
2
2
j
.151
j
C5
l
1
.7047
PO
3
3
.1202
1
,
C6
1
1
.1304
Pl
3
3
.1936
C7
1
1
.2738
P2
3
3
.2837
C8
1
1
.3427
P3
3
3
.3555
1
C9
l
1
.3669
P4
3
3
.6409
MO
2
2
.1578
P5
3
3
.2142
1
Ml
2
2
.0833
P6
3
2
.0731
M2
2
2
.0697
P7
3
2
.0656
M3
2
2
.2733
P8
3
3
.0897
M4
2
2
.1447
P9
3
3
.2528
1
Par contre,
la table d'affectation des individus
permet
1
1
,
d'estimer,
la
qualité
de
la
discrimination.
Elle peut se
1
résumer
le tableau suivant:
!
par
j
"
.~
1
,
1
,
APPARTENANCE
i,l
G1
G2
G3
ii
G1
10
0
0
l'~
AFFECTATION
G2
0
10
2
1
~~
G3
0
0
8
,7.
.?;
",
~
Elle s'interprète comme suit:
1
~
G1 (cavité)
:10 individus affectés au même groupe
l
,
G2 (myocarde) :10 individus affectés au même groupe
G3 (péricarde): 8 individus affectés au même groupe
2 individus affectés au groupe G2
Ce qui donne un pourcentage de bien classés égal à 93,3%.
VI.40

---

Ce résultat est très satisfaisant,
en regard à la faible
discrimination
visuelle
entre
les
deux
dernières
zones
d'intérét
(myocarde
et
péricarde).
Ce
qui
se
traduit
d'ailleurs
par
une
affectation
d'échantillons
supposés
appartenir au "péricarde" au myocarde.
V.3.1.b Image exponen~ielle
Sur cette image,
pour les mêmes hypothèses
de
travail,
nous
allons
donner
les
différents
résultats obtenus et en
faire leur interprétation.
CORRELATION DES VARIABLES AVEC LES AXES
MCY
VAR
i~DA
VHTB
CONT
MASO
!{)IF
LAW3
LAW5
AXEl
.9345
.6275
.8968
.8574
.6562
.8572
.0001
.8585
.749
AXE2
.0656
.3727
.1034
.1427
.3440
.1429
.9999
.1416
.2512
Valeur propre
Inertie
0,9886
59,1%
0,6856
40,9%
•
L'examen
des
corrélations
des
variables
avec
les
composantes
discrimina~tes ~t du cercle de corrélation de ces
variables sur le plan discriminant généré par ces
composantes
(Figure VI.11),
montre que ~outes les variables à l'exception
de la variable MDIF fortement corrélée à la seconde composante
principale, définissent la prem~ère composante principale. Les
groupes diffèrent donc le plus par ces variables.
Toutes
les
variables
interviennen~ en~ore ici dans la discrimination de
cette population.
VI.41

---

ANALYSE FAcrORIELLE DISCRIMINANTE
PLAN PRINCIPAL lx2: Cercle de Corrélation
AXE 2
AXEl
MOY
1
Image exponentielle - Fenêtre l1xl1 - 30 Individus
Figure VI.II Cercle de corrélation
des
variables
sur
les
deux premières composantes principales réduites
VI.42

---

Représentation des individus dans le plan principal lx2
,..
.
-
C4
r.1
-
Dcs
cs
co '_ C2
f-
~
C6~C7
c3BG- Cl
1-
8
OMS
C9
POn-r:;Pl
OMS
11P3
M30 OM6
.
P61
P2 .. 'P4
P5 [J
@
M90
P7 OPS
,..
~
MIB -'B-M2
OMO
1-
OM7
1-
I3M4.
~
-
1
1
1
1
1
1
Figure VI.12
Projection
simultanée
des
individus dans le plan principal lx2
VI.43

---

L'examen de la table des
corrélations
croisées
de
ces
variables
montre
la
forte
corrélation
des
variables déja
décrites dans l'analyse en composantes principales.
La représentation graphique des individus et des
centres
de
gravité
sur
le
plan
discriminant (Figure VI.12) montre
encore une fois
le
pouvoir
discriminateur
de
la
première
composante principale, et la faible dispersion des projections
des
individus de chaque groupe à rapprocher à la valeur de la
première valeur propre.
La· table
d'affection
des
individus
corrobore
ces
résultats
et
l'on
obtient
encore
une
fois
un
très
bon
pourcentage
de
bien
classés,
meilleur
que
celui
obtenu
précedemment sur l'image non traitée.
APPARTENANCE
G1
G2
G3
G1
10
1
0
AFFECTATION
G2
0
9
0
G3
0
0
10
Pourcentage de bien classés: 96,7%
V.3.1.c Conclusions
Les
résultats
obtenus
dans
les
deux
types
d'images
considérées où l'on ne s'intéresse qu'à des échantillons de 30
individus permettent d'avancer les conclusions suivantes:
La
première
composante
discriminante
est
due
principalement
à
l'opposition
de
la
variable
MASO à
l'ensemble des autres variables considérées.
- On parvient à obtenir une
assez
bonne
discrimination
des
différents
individus
suivant
leur
appartenance à
l'une
des
régions
considérées
quelque
soit
le
tyPe
d'images considérées.
VI.44

---

La
procédure -d'amélioration
d'image
par
une
loi
exponentielle
permet
d'obtenir
une
meilleure
discrimination de ces individus.
Il
convient
toutefois
de
noter que l'accroissement de
taille des fenètres d'échantillonnage s'accompagne d'une perte
de fiab~lité des résultats obtenus,
due principalement
à
la
faible
largeur
relative
de
deux des zones considérées,
le
myocarde
et
le
péricarde,
qui
peut
conduire
durant
l'échantillonage
à
considérer
des
individus
recouvrant la
frontière entre deux régions.
V.3.2
Echantillons de 60
Individus
Les résultats obtenus
pour
des
échantillons
de
cette
taille
sont donnés en annexe 2 pour des fenêtres de taille Il
et
15.
L'interprétation
des
résultats
obtenus
conduit
pratiquement
aux
mêmes conclusions générales données dans le
paragraphe
précédent.
Il
convient
toutefois
de
préciser
certains résulta~s propres à ces échantillons.
L'étude
effectuée
sur
les
images
préalablement
améliorées permet
de
mieux
apprécier
l'influence
des
variables et celles qui définissent la seconde composante
discriminan~e.
- Le nombre relativement important d'individus considérés
rend
plus
problable
la
redondance
de
certains
échantillons,
qui peuvent alors
biaiser
les
résultats
obtenus,
bien
que
le
marquage
préalable
des
zones
d'échantillonnage auquel nous avons procédé
minimise
ce
facteur.
La
discrimination visuelle des différents groupes est
facilité
par
une
meilleure
connaissance
des
caractéristiques
statistiques
des
variables
qui
les
caractérisent.
VI.45

---

1,r!
V.3.3
Individus
supplémentaires
i
r
Dans une
dernière
étape
nous
avons
procédé
à
cette
1
analyse
factorielle
discriminante des données texturelles en
r
incluant à la population
servant
à
la
caractérisation
des
trois
groupes
consiàérés,
un
échantillon
supplémentaire
1
!
d'individus pris sur la même image afin
de
procéder
à
leur
!1
1
1
rattachement
à
l'un de ces groupes en fonction des résultats
1
obtenus sur la population de référence.
1
Nous avons effectué cette é~ude pour les
populations
de
1
1
!
référence
de
taille ~O et 60 q~e nous avons déja étudié dans
1
t
1
les paragraphes précédents,
à lesquelles nous
avons
rajouté
f
1
pour
une
taille
de
fenêtre
donnée la population de taille
l
l
différente.
l
~
~
1
1
Les
résultats
de
l'analyse
factorielle
discriminante
1
étant
ceux
de la population de référence que nous avons déja
t!
étudiée, nous ne donnons pour cette étude que les résultats de
classement des individus supplémentaires.
1!j
V.3.3.a Populatio~ de référence àe 30 individus
1
,
~l
Images non traitées:
i!1j
Population de 60 individus
1
l
fj
i
1
Individus supplémentaires reconnus
Taux de
Taux de
Cavité
MYocarde
Péricarde
reconnaissance
reconnaissance AFD
1
i
Fenêtre 11x11
19
19
18
93,3 %
95
%
l
~Mre1W5
20
14
Il
75
%
76,7 %
1
,
VI.46

---

Les résultats que nous avons obtenus sur ces
populations
montent que cette analyse sur des images non traitées perrnèt
d'obtenir
des
taux
de reconnaissance qui ne sont pas trop
éloignés de ceux que nous avons obtenus quand ces
individus
supplémentaires
sont
pris
comme
population
de référence
(taux de reconnaissance AFD).
- Images exponentielles:
Population de 60 individus
Individus supplémentaires reconnus
Taux de
Taux de
Cavité
~ocarde
Péricarde
reconnaissance
reconnaissance AFD
Fenêtre 11xll
18
9
20
78,3 %
95
%
Fenêtre 15x15
14
10
6
20
%
96,7 %
Dans ce cas,
on
note
une
nette
diminution
du
taux
de
reconnaissan~e des
individus
supplémentaires notamment pour
les populations de fenêtre 15. Ce résultat est surtout du à la
caractérisation beaucoup
plus
marquée
des
zones
pour
des
images
de type exponentielle et à l'influence de la taille de
la fenêtre sur la précision de l'échantillonnage (recouvrement
de bords et redo~dance des &chantillons).
Ces facteurs induisent alors une difficulté plus marquée
de
distinction
entre les inàividus appart~nant principalement au
myocarde et au péricarde.
VI.47

---

1
V.3.3.b Population de référence de 60 individus
1
i
- Images non traitées:
Population de 30 individus
1
Individus supplémentaires reconnus
Taux de
Taux de
Cavité
MYocarde
Péricarde
reconnaissance
reconnaissance AFD
Fenêtre I1x11
10
8
9
90
%
93,3 %
Fenêtre 15x15
8
9
8
83,3 %
96,7 %
Ces résultats ne font que conforter ceux obtenus dans
la
paragraphe précédent sur le même type d'images.
On note des
taux de reconnaissance proches les uns des autres.
- Images exponentielles:
popu~ation de 30 individus
Individus supplémentaires reconnus
Taux de
Taux de
Cavité
Myocarde
Péricarde
reconnaissance
reconnaissance AFD
Fenêtre 11x11
10
10
10
100
%
96,7 %
Fenêtre 15x15
10
10
2
73,3 %
~
%
Dans ces
résultats,
il
est
intéressant
de
noter
la
précision
obten~e
dans
le
reconnaissance
des
individus
supplémentaires,
par le nombre plus élevé des échantillons de
référence qui permet d'affiner la caractérisation des zones et
1
~
introduit
une
. tolérance
plus
importante
dans
les
caractéristiques des écnantillons à reconnaitre.
1
~
Le taux de reconnaissance plus faible pour la fenêtre
de
1
taille
15
démoatre encore une fois de plus l'influence de la
r
J
dimension de
la
reconnaissance
sur
la
discrimination
des
1i
individus appar~e~ant a~ myocar~8 et au péricarde.
r
,
1
VI.48
1
t
1

---

V.3.4 Variables
q u a n t i t a t i v e s
c h o i s i e s
Sur
la base des résultats obtenus en analyse factorielle
des
correspondances,
nous
avons
essayé
de
juger
de
la
pertinence
des
résultats
obtenus
en
analyse
factorielle
discriminante en ne considérant que
les
variables
les
plus
significatives au sens de la première analyse.
Les
plus
mauvais
coefficients
de corrélation dans les
deux
premiers
axes
principaux
ayant
été
obtenus
dans
l'ensemble
de
notre
-étude
pa~' les variables de Laws,
nous
avons choisi de ne pas les consiàérer
dans
cette
partie
de
l'étude.
Pour
ces
images,
avec
30
individus de taille 15,
en
considérant l'ensemble des
variables
de
lequel
nous
avons
retiré
les variables LA3 et ~A5,
nous obtenons les résultats
suivants que nous allons
comparer
à
ceux
obtenus
pour
la
totalité des variables de l'étude.
Contribu~ions à l'inertie des axes discriminants
Axe 1
Axe 2
Toutes variables
59,50 %
40,50 %
Sans LA3 et LA5
61,51 %
38,49 %
Tables d'affecta~ion des individus et taux de reconnaissance:
Toutes variables
Sans LA3 et LA5
G1
G2
G3
G1
G2
G3
G1
10
0
J
G1
10
0
0
G2
0
5
1
G2
0
10
0
G3
G
G
10
G3
0
1
9
96,7 ~":.
96,7 %
VI.49

---

1
Nous
voyons
que
la contribution à l'inertie du premier
axe discrimant augmente faiblement ce qui était à prévoir dans
la mesure où la contribution des
deux
variables
considérées
était
défavorable dans le plan discrimant défini par les deux
1
composantes principales.
1
1
1
Le taux de reconnaissance ne varie pas globalement,
mais
1
les
individus
non reconnus n'appartiennent pas dans ces deux
cas aux mêmes régions.
Dans le premier cas c'est un
individu
1
du myocarde qui est affecté au péricarde, dans le second c'est
l'inverse qui s'est produit.
1
Si
nous
considèrons
maintenant
un
échantillon
de 60
1
individus pour une même taille de fenêtre,
nous obtenons
les
1
~
résultats suivants:
1
Contributions à l'inertie des axes discriminants
1
1
',(
1
Axe 1
Axe 2
Toutes variables
l-
79,55 %
20,45 %
I
Sans LA3 et LA5
84,67 %
15,33 %
,!
1
l
Tables d'affectation des individus et taux de reconnaissance:
1
Toutes variables
Sans LA3 et LA5
!1
G1
G2
G3
G1
G2
G3
1
G1
19
1
0
G1
19
1
0
\\
G2
0
14
6
G2
0
I l
9
1
i
G3
0
7
13
G3
0
6
14
i
76,7 %
73,3 %
VI.50

---

Dans
ce
cas par contre,
les conclusions sont les mêmes
quand on ne considère que les contributions
à
l'inertie
des
différents
axes,
mais elles diffèrent quand on considère les
taux de reconnaissance obtenus.
Ce taux est plus faible
dans
le
cas
où
lion
fait
abstraction
des variables LA3 et LAS
données
comme
moins
représentatives
dans
l'analyse
en
composantes principales.
Les
résultats
obtenus
sur
l'ensemble des echantillons
éxaminés nous donnant sensiblement les mêmes
résultats,
nous
avons
retenu
que
chacune
des variables de texture que nous
avions retenu intervenait sur la discrimination des
individus
pris
dans
les
zones
que
nous avions délimitées pour notre
étude.
VI
Segmentation des
images
êchocardiographiques
Nous avons utilisé.les résultats obtenus
dans
l'analyse
factorielle
discriminante
pour effectuer une caractérisation
des différentes zones que
nous
avions
délimitées
dans
une
image échocardiographique bidimensionnelle.
A
p
p
R
Jt .'
E
N
T
~
t:t PatlilioMement de fespace
1
Observallons de
1) Séleclion des
1 - -
des individus
S
référence
allribuls
1---
S
A
4 . - >-
G
E
'\\..7
Image •
~ Acqulsillon tt> Prélrallemenl R> Détermination dos ~ Classement ~ Segmentation
analyser
anrlbuls
r
r Observaiions à classer -1
Image numérisée 1
Figure IV.13 Classification supervisée ou avec professeur
VI.Sl

---

1
1
La
procédure
de
classification
supervisée
ou
avec
1
professeur que nous avons adoptée est décrite
par
le
figure
1
VI.l3.
Nous
avons simulé cette procédure sur les systèmes de
1
traitement d'image dont nous disposons en effectuant l'analyse
1
des données d'apprentissage et la classification sur le micro-
ordinateur sur lequel les programmes d'analyse factorielle ont
1
î
été développés. Les langages de programmation disponibles pour
i
la gestion de ces systèmes se prétant peu à
l'élaboration
de
1
)
tels programmes.
1
1
Les
figures
IV.l4
et
IV.l6 donnent respectivement les
1
résultats que nous avons obtenus dans le reconnaissance de
la
~
~
cavité
et
du myocarde avec des échantillons de 30 individus .
.
1
Les zones reconnues par cette procédure apparaissent
en
noir
1
sur ces photos.
i
1
~
On
peut
noter
sur
la
première
de
ces
photos,
une
~
discrimination
de
la
cavité
se
rapprochant
de
la
1
discrimination
anatomique
du praticien effectuée sur la même
i•
image après application de la segmentation par matrice de
co-
!
!
occurence temporelle (Figure VI.lS).
1
4
,~i1
La distinction du myocarde après la phase d'apprentissage
1
~
se _ ramène
surtout
aux
pels
appartenant
à
la
zone
de
1
i
surbrillance
de
l'image.
La
dispersion
importante
des
l
caractéristiques
de
cette zone induisent un rattachement des
1
voisinages de pels de faible luminosité au péricarde.
~
t
.i
La
reconnaissance
de
"péricarde"
s'est
avérée
plus
!
délicate,
de
par
la
faible
différence
entre
les
caractéristiques texturelles
de
cette
zone
et
la
majeure
1
partie du myocarde.
Nous ne faisons pas figurer les résultats
1
obtenus sur cette zone,
car de par le codage
utilisé
(noir)
pour
distinguer
les échantillons reconnus,
l'image se prête
peu à la visualisation.
VI.S2

---

Figure IV.14 Segmentation de le cavité
Figure IV.15 Segmentation par co-occurence temporelle
VI.53

---

.. .
1
-
.4
~ "7 ~
---'~-A
--:.- ..,.". ....;
.,. ./
r
Figure VI.l5 Segmentation du myocarde
VII.
CONCLUSIONS
L'analyse factorielle
des
données
entreprise
sur
les
variables
de
caractérisation
des
textures
que
nous avons
retenus,
nous
a
permis,
dans
l'analyse
factorielle
des
correspondances,
de juger de la pertinence des choix que nous
avons
effectués
sur
ces
variables
et
sur
la
méthode
d'amélioration que nous avions retenue.
L'analyse factorielle discriminante, seconde méthode mise
en
oeuvre,
s'appuyant
sur
une discrimination préalable des
échantillons dans les trois zones d'intérêt
que
nous
avions
définies,
nous
a donné des résultats encourageants et nous a
conforté dans la faisabilité d'une procédure
de
segmentation
des
images
échocardiographiques
permettant de délimiter les
limites
anatomiques
du
muscle
cardiaque
dans
une
échocardiographie bidimensionnelle.
VI.54

---

Il
apparaît
au
vu des résultats que nous avons obtenus
qu'il est encore difficile par ce
moyen
de
déterminer
avec
suffisamment
de précisions les limites épicardiques,
mais la
méthode de discrimination que nous
proposons
pourrait,
avec
l'adjonction
de
variables
beaucoup
plus
sensibles
aux
variations
de
texture
entre
le
myocarde
et
les
tissus
environnants,
permettre
de préciser les limites de ce muscle
et donc de disposer d'un outil précieux dans le quantification
de certains paramètres physiologiques
déterminants
(fraction
{.,
d'éjection,
volume ventriculaire,
... ) dans le diagnostic de
certaines pathologies cardiaques.
La procédure de classification supervisée
d'échantillons
de texture que nous avons mise au point pourrait aussi trouver
un intérêt dans la classification tissulaire, autre domaine où
la
signature des tissus traversés par un faisceau ultrasonore
est caractéristique du milieu traversé.
VI.55

---

Le projet que nous poursuivons (SADAIE,
Système d'Aide
au Diagnostic par Analyse
d'Images
Echocardiographiques)
en
collaboration
avec
l'unité
INSERM
U138
de l'hôpital Henri
Mondor de Créteil, vise à mettre au point un ensemble d'outils
logiciels
d'aide
à
la
décision
pour
le
diagnostic
de
pathologies
cardiaques
à
partir
de
ces images.
Parmi ses
objectifs figurent l'estimation des volumes cardiaques,
de la
fraction
d'éjection et des variations d'épaisseur du myocarde
j
au cours du cycle cardiaque.
Il
a
donc
été
nécessaire
de
1
1
trouver
une
méthode
de
segmentation
des différentes zones
d'intérêt du muscle cardiaque.
1
j
Les méthodes
classiques
de
segmentation
ont
montré
'!
1
leurs limites sur ce type d'images. Nous avons alors introduit
une
procédure
basée sur l'estimation d'un gradient vectoriel
de
densités
et
avons
constaté
les
améliorations
qu'elle
1
apporte
sur
la
détermination des frontières.
Les résultats
obtenus sont encore plus nets
sur
des
images
paramètriques
1
génêrées par le çalcul des réponses de certains des paramètres
i
statistiques
proposés
dans
la
méthode
des matrices de co-
1
occurence spatiale de Haralick.
îi
La difficulté d'arriver à une détermination globale
de
1
ces
frontières nous a conduit à étudier la caractérisation et
1
la
segmentation
des
textures
de
ces
images.
Une
étude
l
bibliographique préalable nous a permis de sélectionner quatre
l
groupes
de
variables
descriptives des textures sur lesquels
1
nous
avons
procédé
à
une
analyse
factorielle
des
1
correspondances
afin
d'apprécier
la qualité de leur réponse
sur ces images.
1
Nous avons ensuite
effectué
une
analyse
factorielle
discriminante
des
données
recueillies
sur
trois
zones
prédeterminées
de
l'image
échocardiographique
pour
nous
permettre
de
juger
des
possibilités
discriminatives
de
l'association de cet ensemble de paramètres.
Conclusion 2

---

CONCLUSION
Cette étude sur les
procédures
d'amélioration
et
de
segmentation des images échocardiographiques bidimensionnelles
a
montré
l'intérêt
de
procéder
à
un prétraitement de ces
images afin
d'en
améliorer
le
contenu
informel
avant
de
procéder à leur segmentation.
Nous
avons
retenu,
sur
l'ensemble
des
opérateurs
d'amélioration d'images
mis
en
oeuvre,
que
les
meilleurs
résultats
aussi
bien
visuels que statistiques sur une image
sont obtenus par une égalisation de l'histogramme par une
loi
exponentielle.
La
restitution
des
informations
de
discontinuités
étant
mieux
assurée
par
une
procédure
de
recherche
de
maxima
locaux
sur
une
séquence
temporelle
cardiosynchrone avec application d'un critère de connexité.
, ,
La possibilité, offerte par les échographes de nouvelle
génération,
de disposer directement
d'images
numériques
de
lignes de balayage ultrasonores compatibles avec les cartes de
traitement d'images sur micro-ordinateurs de type PC,
devrait
permettre de tester de nouveaux algorithmes d'interpolation et
surtout
d'éliminer
les
imperfections
introduites
par
la
dégradation
des informations sur les supports magnétiques que
nous avons utilisés.
L'expérimentation de ces procédures
sur
ces
nouvelles
images
est
actuellement
en
cours
sur
les
systèmes d'imagerie de ce type, disponibles au laboratoire.
Conclusion 1

---

,
Il nous est
apparu
la
nécessité
d'adjoindre
à
cet
ensemble
de nouveaux pa+amètres plus sensibles aux variations
de texture entre le myocarde et les tissus
environnants,
les
résultats
obtenus
sur
la
reconnaissance de la cavité étant
très supérieures à ceux obtenus pour
les
deux
autres
zones
d'intérêt.
Nous
proposons ensuite une procédure de classification
supervisée, ou avec professeur,
basée sur deux phases d'étude
s'appuyant
sur
une
analyse
factorielle
discriminante
des
réponses fournies par les paramètres choisis:
Une
phase
d'apprentissage
durant
laquelle
on
va
procèder
à
une
caractérisation et à une classification
des échantillons prélevés dans les trois zones cibles.
- Une
phase
de
reconnaissance
et
de
classification,
utilisant
les
résultats obtenus durant l'apprentissage,
par un balayage de la totalité de l'image.
La méthode qui vient d'être exposée,
nous ayant
donné
des
résultats
prometteurs
dans sa simulation,
est en cours
d'implantation dans un logiciel convivial
de
traitement
des
images
échocardiographiques utilisant des systèmes d'imagerie
portables
implantés
sur
micro-ordinateur
de
type
PC
et
compatibles avec les sorties numériques des échocardiographes.
Elle
pourra
ainsi être implantée sur site et son application
pourra être étendue à d'autres types d'images (plans de coupes
différents, analyse d'autres organes).
Une
amélioration
est
actuellement
en
projet,
elle
consiste
en
la
mise
au
point
d'un
système expert devant
permettre la mise en mémoire des caractéristiques
des
images
étudiées et leur exploitation pour la segmentation d'images de
même
type
en
s'affranchissant
ainsi
de
la
phase
d'apprentissage de notre méthode.
Conclusion 3

---

---

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de
connaissances,
à
priori,
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la
détection
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l'aide d'un modèle elliptique.
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Bibliographie 4

---

ANNEXES
I

---

;

---

==:=========:=================================
ANALYSE FACTORIELLE EN COMPOSANTES PRInCIPALES
----------------------------------------------
IIa2e non trait~e - Fen@tre Il - bû individus
par H. COREHTHIN ENSUT Dakar le 22-02-1939 en Metrique Norlee
iJIbre de variables principales:
9
. Nombre de variables sEcondaires:
0
li du fichier contenant les donnees principales
: or6û-ll
les nOls des variables
: nvar9
les nOls des Observations: nomobs60
!prêsentation demandee sur 4 Axes Principaux
Etllde Univariee
Variables
Moyennes
Ecarts-Types
Coef. de Variation
Hors Intervalle
MOY U
91. 200
18.5839
0.20
15
25.0 4
VAR U
906.700
937.1194
1.09
10
Ib.77.
"DA U
3.317
2.22411
0.b7
.,."
C~
.,.
,
...li.
.J">''Io' ,.
V"T U
389. b17
256.7747
0.66
30
50.0 7.
CON U
1393.333
1337.7560
0.9b
26
43.3 I
l'lAS U
1503.250
1365.4030
0.91
lb
26.7 t
l'lOI U
23.917
7.7788
0.33
la
30.0 :4,
LA3 U
112.700
82.1302
0.73
21
35.0 k
LA5 U
462.767
333.5877
0.33
17
.," ~ If
i.d.to.i le
CORRELAT [oNS
l'IDY
VAR
KDA
VMT
CON
MAS
MDI
LA3
LA5
MOY l
1.0000
VAR l
0.3596 1.0000
l'IDA * 0.8635 0.3364 1.0000
VI1T l
0.3406 0.9469 0.9911
1.0000
CON l
0.4527 0.5580 0.4556 0.4904 1.0000
l'lAS l
·0.7243 -0.6726 -0.3601 -0.3760 -0.4121
1.0000
l'lOI l
0.562b 0.5281 0.7383 0.713b -0.1140 -0.6090 1.0000
LA3 l
0.7423 0.6908 0.8170 0.3219 0.3956 -0.7458 (l.b091
1.0000
LA5 * 0.6291 0.7102 0.7101 0.7520 0.3618 -0.6832 0.4355 0.7234 1.0000
DIAGGNALISATIOU
li
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
leurs Propres
.
b.424B
1.1442
0.4459
0.361:)
itribution à l'Inertie Totale ••
71.3n
12.711.
4.957.
4.02%
~
'1
VECTEURS PROPRES EN COLONNE
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
."0,( l
0.3522
0.0573
0.3544
0.3453
VAR l
0.3512
0.1666
0.205\\)
0.54%
I1DA l
0.3830 -0.0632
0.1872 -0.1202
'IMT l
0.3353 -0.0285
0.0375 -0.!~94
CON l
0.1996
0.16BS
0.1100 -0.2378
l'lAS l
-0.3473
0.0471
O.082·~
O. 5'~94
MDI l
0.2759 -0.6067
0.2130 -0.0323
LA3 l
0.3451
-0.0514 -0.2942 :0.1534
LAS l
0.3185
0.0144 -0.79ï9
ü.3~B3
~~
t-------------------------------------------------------
~l:
COORDONNEES DES VARIABLES SUR LES COMPOSANTES
,
PRINCIPALES REDUITES
t------------------------------------------------------
1COLONNE: COORDONNEES
2e.e COLONNE: CORRELATION
(CARREES;
,
1
VARIABLES
COMPOSANTES PRINCIPALES
~
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
MOY II 0.8927 0.7970 l 0.0613 0.0038' 0.2367 0.0560 l 0.2079 0.0432 l
VAR II 0.8902 0.7924 l
0.1732 0.0318. 0.1369 0.0137 * 0.3231 0.1076 l
MOA *l 0.9709 0.9426 l -0.0676 ·0.0046 l 0.1250 0.0156 t -0.0723 0.0052 i
VMT II 0.9773 0.9561 l -0.0305 0.0009 t 0.0585 0.0034 1 -0.0333 0.0070.
CON II 0.5059 0.2559 l
0.8223 0.6762 l
0.0735 0.0054 t -0.1430 0.0204 t
MHS II -0.a302 0.7748 l 0.0504 0.0025 t 0.0553 0.0031 1 0.3604 0.1299;
MDI II 0.6994 0.4892 l -0.6490 0.4212 t O. 1456 0~0212 t -0.0191 0.0004 l
LA3 II 0.9746 0.7649 l -0.0550 0.0030 t -0.1165 0.0386 1 -0.0935 0.0097 t
LAS II 0.3073 0.6513 l 0.0154 0.0002 t -0.532B 0.2939 1 0.1974 0.0390 1
AI-l

---

PLAH 51 51
~XE 51 : HORIZONTAL
AXE 51 : VERTICAL
l
*
CON
*
*
*
*
*
*
*
t
*
i
*
l
*
S
*
*l
t
•
t
t
t
*
l
*
t
l
*
l
t
l
l
t
t·
*
t
VAR
*
t
*
i
l
t
l
* MA~
MOY
l
l-------------------------------------------------~--------------------------------------lA5--------
t
!
YMT
l
1
LA3
t
t:
!
MDA
l'
1
t
;
1
t
r
'
t
l
1
l
t
!
l
1
!
l
t
!
t
t
!
t
le
!
l
f
!
t
•
1
t
t
!
t
•
1
t
•
t
l
t
•
t
t
MDi f
t
s
l
l
1
t
t
t
AI-2

---

===================
ETUDE DES INDiVIDUS
-------------------
-------------------
re COLONNE:COORDONNEES
2ele COLDNNE:COSINUS CARRES
sur les 4 Axes deiindes
IHDIVIDUS
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
61 CO II -3.7179 0.9384 t -0.1195 0.0010 l 0.1422 0.0014 l 0.8216 Q.0453 l
62 Cl II -3.0452 0.9653 l -0.1136 0.0013 t -0.0188 0.0000 l 0.1894 0.0037 t
63 C2 tl -2.6212 0.8797 l -0.8136 0.0843 l -0.0763 0.0008 l 0.33\\4 0.0141 l
64 C3 II -2.6976 0.9303 t -0.2541 0.0083 l 0.0639 0.0005 l -0.1569 0.0031 t
65 C4 lt -2.9513 0.8526 t -0.8624 0.0723 t 0.2539 0.0063 l
0.5424 0.0288 l
6b CS lt -3.1084 0.9579 t -0.2604 0.0067 l 0.0219 0.0000 l 0.4471 0.0198 l
67 C6 II -3.2796 0.9471 t -0.3173 0.0039 l 0.1166 0.0012 l 0.6027 0.0320 l
68 C7 II -2.9151 0.8394 l -0.9457 0.0883 l 0.4175 0.0172 l 0.4090 0.0165 l
69 C8 lt -2.5396 0.9130 l -0.6723 0.0644 l 0.0212 0.0001 l -0.0494 0.0003 l
70 C9 II -3.60b8 0.9154 l -0.2740 0.0053 l 0.0873 0.0005 l 0.9091 0.0582 l
71 CIO tl -3.0669 0.3114 l
4.3623 0.6300 l
0.1212 0.0005 t -0.3730 0.0046 t
72 CIl tl -1.6957 0.6248 l -1.0760 ù.251b t 0.1423 0.0044 t -0.5310 0.0613 l
73 C12 tl -3.2642 0.9338 l
0.1364 0.0016 l -0.1274 0.0014 l
0.4330 0.0164 1
74 C13 II -3.0451 0.9310 l -0.2666 0.0071 l -0.0980 0.0010 1 0.5027 0.0254 t
75 CI4 II -2.9065 0.3011 l -1.0246 0.0996 l
0.3890 0.0143 l 0.5270 0.0263 t
76 CI~ II -2.9030 0.8586 l -0.8760 0.0782; 0.3391 0.0117 t 0.4355 0.0193 l
77 CI6 II -3.3012 0.9662 l -0.3790 0.0127 t 0.1334 0.0016 t 0.3835 0.0130 t
79 C17 II -3.4268 0.9430 l -0.0677 0.0004 t -0.1766 0.0025 t 0.6505 0.0340 l
79 cla II -3.5755 0.7011 l
2.3136 0.2935 l 0.0664 0.0002 t 0.1437 0.0011 t
BO C19 II -2.8510 0.b08S t 2.2340 0.3736 l -0.1055 0.0008 t -0.3957 0.0111 l
81 "0 II 4.3553 0.7723 l 1.4492 0.0855 l 0.3051 0.0264 i
0.0023 0.0000 l
82 "1 II 3.1002 0.7757 l 0.0488 0.0002 t -1.2822 0.1327 l 0.5270 0.0224 l
83 H2 lt 0.7474 0.2019 l -0.2306 0.0192 l -1.4179 0.7266 l -0.2528 0.0231 l
84 "3 II -0.3696 ,0.0620 l -0.8505 0.3283 t -0.2722 0.0336 l -0.8332 0.3152 l
85 "4 II -0.5183 0.2203 l -0.5766 0.2726 l -0.1148 0.0103 l -0.2791 0.0634 t
Bb ~5 II 0.3659 0.0567 l -0.8019 0.2721 l -1.0909 0.50361-0.1277 0.00b9 l
a7 "6 II -0.5722 0.1964 t -0.7450 0.3329 l 0.2202 0.0291 l -0.6153 0.2274 l
aB "7 II
1.04B9 0.2071 t -1.3361 0.3361 t 0.7593 0.1035 l -1~1243 0.2380 l
89 M8 II 0.7296 0.3799 t -0.2712 0.0525 l -0.5581 0.2223 l -0.5065 0.1331 l
90 M9 II
1.2868 0.3643 l -1.0856 0.2593 l 0.3829 0.0322 l -1.0921 0.2576 1
91 "10 lt 0.8275 0.2626 t -1.0236 0.4017 l -0.4993 0.0956 l -0.4297 0.0709 i
92 Mil lt 0.3849 0.1079 t -0.7004 0.3573 t -0.b76J
0.3329 f -0.2328 0.0395 l
93 MI2 11 -0.2384 0.0073 l
2.4452 0.8177 t -0.6611 0.0598 t -0.7275 0.0724 l
94 "13 lt -1.906S 0.3075 l 2.~071 0.5459 l -0.0913 0.0003 l -1.0370 0.1013 l
95 "14 tl -0.8a75 0.0981 l
2.3419 0.6331 t -0.b334 0.0500 l -1.0211 0.1299 l
96 H15 lt -0.4999 0.1722 l -0.6005 0.2485 l -0.7108 0.3493 l -0.3701 0.0944 l
97 MI6 lt 0.6262 0.1481 l -0.4690 0.0331 l 0.7530 0.2169 ~ -1.1045 0.4b06 l
9B "17 tl 0.5393 0.1290 l -0.9555 0.4048 l -0.1392 0.0086 j -0.9JI0 0.3843 l
99 "13 lt -0.5330 0.1673 l -0.9731 0.5530 l -0.010"/ 0.0001 l -0.3146 0.0572 l
100 M19 II 0.4919 0.1591 1 -0.5192 0.1772 j -0.239û 0.0375 t -0.0477 0.0015 t
101 PO II 2.7001 0.8051 t 0.2303 0.0087 t -0.7640 0.0645 j
0.0369 0~0003 l
102 Pl tl 2.9117 0.9620 l -0.3356 0.OJ23 l 0.5184 0.0293 t -0.5063 0.0282 t
103 P2 tl 3.1401 0.91b2 l -0.0004 Q.OOOO l 0.7305 0.05b6 t 0.1785 0.OÙ10 l
104 P3 II 2.9307 0.7871 l -0.2294 0.0047 j -0.4772 0.0202 * -Q.4038 0.0144 l
105 P4 tl 2.3314 0.7390 l -0.0292 0.0001 l 0.8909 0.1079 t 0.0399 0.0002 t
106 P5 II 2.7a87 0.7323 t 0.6324 0.0377 1 1.2504 0.1472 t 0.5433 0.0278 t
107 Pb II 2.3002 0.6858 l -0.5847 0.0443 t 0.7369 0.0704 * -0.7434 0.0716 l
108 P7 II 1.7394 0.7109 l -0.3920 0.0341 l -0.7320 0.1353 l 0.3916 O.03~0 l
109 pa tl 0.3937 0.1068 l -0.1443 0.0151 t 0.0759 0.0042 l -0.0207 0.0003 l
110 P9 tl 0.9030 0.2535 t -0.4111 0.0525 l 0.833& 0.2423 l 0.0908 0.0026 l
III PlO II
1.7411 0.6464 t 0.2149 0.0099 t -0.0984 0.0021 t 0.3893 0.0323 l
112 Pli II 2.1239 0.4900 l 0.3206 0.0731 t 1.6870 0.3091 l 0.5943 0.0384 t
113 PI2 lt 4.5275 0.7935 * 0.2610 0.0026 * -1.4370 0.0799 l
0.9943 0.0333 l
114 PI3 lt 4.0338 0.8098 t 0.8780 0.0334 l 1.1331 0.Ob3Q l 0.7633 0.0462 l
115 P14 lt 3.4430 0.7910 l -0.1630 0.0019 t 0.'335 0.0125 t -0.3433 0.0079 t
ll6 PIS II 1.31S8 0.7080 t -0.2100 0.0180 l
0.1931 0.0152 l -0.4574 0.0952 t
117 Plb lt
1.4287 0.74il l 0.205b 0.0153 t 0,5753 0.1202 l 0.0524 0.0010 l
118 Pl? li 4.1944 0.7735 l 0.4368 0.00B4 l -1.7771 Q.1339 l 1.0067 0.0446 t
119 PI8 lt 1.9264 0.7564 t -0.3413 0.0237 t -0.6608 0.0390 l O.~533 0.0254 l
t
AI-3
1

---

· REPRESENTAiIOti SIMULTANEE PLAN 1 2
AXE 1 HORIZONTAL
AXE 2 VERiICiiL
CüN
CI0
1
1
1
1
,
1
1
1
1
1
1
""'1
1
nlL
.
CUt
l'I14
1
CI9
IJAR
NO
MOY
PI3
Pli
P19
P5
1
1
P17
1
PO
1
P16 PlO
P12
CI2
~
MI
- CIT - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P4 - - - - P2 - - - - - - - - l'IDA
CCI
C l i P S
P14
VMT
tH
C'1
CS
[;3
!
H2
PIS
I v
DI
C~ en
1
P'1
?7P18
1 •
CI6
l'Ii6
M4
MI9
CS
MD
Mil
C~ Cl
1'13
MS
e7
MIS
M'-
1 J
ca
CIl
MIO
MDI
M7
SUPERPOSITIONS EN
!tari Vert
CS C13
lQ
'1
C7 CIS
12
!
C6 Clb
T
a
n2 Ma
65
Cf
"4 l'l15
47
b
îllb MI9
61
7
~lDil VlH
120
Il
n~A LA3
120 11
MDA LAS
120
Il
AI-4

---

----------------------------------------------
ANALYSE FACTORIELLE EN COMPOSANTES PRINCIPALES
----------------------------------------------
liage Ex~onentielle - Fen~tre Il - 60 Individus
par A. CURENTHIN ENSUT Dakar le 22-02-1989 en MetriGue Normee
~br! d~ variables principales: 9
Nombre de variables secondaires:
0
1 du fichier contenant les donnees principales
: exp60-11
les nOls des variables
: nvar9
les nais des Observations: nomobs60
'présentation de.andee sur 4 Axes Principaux
Etude Univarlee
Variables
Moyennes
Ecarts-Types
Coef. de Variation
Hors Intervalle
1'I0Y U
39.150
29.4329
0.75
30
50.0 l
VAR ta
1220.733
1782.9740 .
1.4&
a 13.3 1-
"DA U
3.833
3.0885
O.al
,,~
i..J
41.7 l
VIIT U
398.367
293.3376
0.75
30
50.0 %
CON U
1913.667
2375.2190
1.50
7
! 1. 7 %
liAS U
1965.717
1333.3410
0.63
."
'}1
51.7 %
l'lOI U
24.317
5.8439
0.24
13
21. 7 ~
LA3 U
114.400
101.0233
0.33
17
28,3 7-
l..AS aa
445.233
460.4336
1.03
9
15.0 l
CORRELATI ONS
KOY
VAR
~DA
VMT
CON
MAS
/'ID 1
LA3
LA5
110Y a
1.0000
VAR a
O. son 1.000[1
"DA a
0.9230 0.8205 1.0000
VMT a
0.9631 0.B565 0.9625
1.0000
COll a
0.7176 0.B200 0.6372 0.7131
1.0000
l'lAS a -0.3767 -0.7364 -0.3965 -0.9012 -0.5583 1.0000
"Dl a -0.0761 -0.05160.0750 -0.0017 -0.4287 -ü.0317 1.0000
un a 0.9030 0.6512 0.754b 0.7984 0.5933 -0.7447 -û.0686 1.0000
LA5 a
0.6935 0.6998 0.6730 0.7310 0.b474 -0.6278 -0.0531 0.7584 1.0000
DIAGONALISATION
1
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
Lurs Propres ••.•••••••••••••••
6.3790
i.232B
0.4853
0.4438
,ribution à l'Inertie Totale ••
70.837.
13.70'1.
5. 39;~
4. 93;~
1
VECTEURS PROPRES EN COLONNE
AXE 1
AXE 2
AXE 3
flXE 4
MOY a
0.3735
0.0348 -0.1973 -1).1572
VAR a
0.3549 -0.0424 -0.1177
0.5541
l'IDA a
0.3717
0.1785 -0.2514 -0,0559
VIIT a
0.3861
0.0949 -0.167B -0.0372
CON t
0.3155 -(1.4267 -0.0292
0.4511
l'lAS a
-0.3537 -0.1728
0.2837
O. :!175
1101 a
-0.0343
0.8617
0.1233
0.3569
LA3 *
0.3334
0.0310
0.4266 -0.4659
LA5 a
0.3212 -0.0267
0.7599
o• '''j''
1... ·)4
i}------------------------------------------------------
COORDONNEES DES VARIABLES SUR LES COMPOSANTES
1 .
1
PRINCIPALES REDUITES
1------------------------------------------------------
lcoLONNE: COORDONNEES
2e.e COLONNE: CORRELATION
(CARREES)
.~:
VARIABLES
COMPOSANTES PRINCIPALES
AXE 1
AXE 2
AXE :.
AXE 4
1I0Y aa 0.9559 0.9137 a 0.0396 0.0015 i -0.1374 0.01&9 t -0.1061 0.0112 t
VAR aa 0.8963 0.3034 a -0.0471 0.0022 a -0.0920 0.0067 a 0.3691
0.1363 a
IIDA aa 0.9389 0.8815 t 0.1782 0.0393 l -0.1751 0.0307 t -0.0372 0.0014 t
VMT aa 0.9752 0.9509 t 0.1054 0.0111 t -0.116'; 0.0137 t -0.0248 0.0006 t
CON aa Q.7969 0.b350 a -0.4737 0.2244 t -0.O~04 0.0004 t 0.3005 0.0903 t
MAS aa -0.8934 0.7982 a -0.1919 0.0368 a 0.1976 0.0391 a 0.2115 0.0447 t
MDI aa -0.0966 0.0075 a 0.956a 0.9154 t 0.0859 0.0074 t 0.2378 0.0565 a
LA3 aa 0.8547 0.7305 a 0.0344 0.0012 l 0.2972 0.0833 t -0.3103 0.0963 t
LAS ta 0.B113 0.6583 a -0.0297 0.0009 t 0.5293 0.2302 t 0.0801 0.0064 t
AI-S
1
!
ii
1
t
--------------~--_.-----"-

---

?L4N 51 51
AXE 51 : HORIzonTAL
AXE 51 : VERTICAL
t
MDI
t
t
l
t
t
l •
t
l
t
t
t
t
t
l
t
•
t
l;
•
t
1
t
t
•
t
t
t
t
t
t
t
l
t
t
t
t
MDA t
t
t
t
VMT
t
t
t
.
LA3 "OH
t-------------------------------------------------~-------------.-----.-----------------------------
*
1
LA5
t
t
~
VAR
•
t·
~
t
•
~
t
t
1
t
t nAS
f
t
t
*
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
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i
t
t
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t
t
t
t
•
i
t
t
*
t
t
t
*
t
•
*
t
t
AI-G

---

===================
ETUDE DES INDIVIDUS
-------------------
"e CGLONNE:COORDONNEES
2ele CCLONNE:COSINUS CARRES
sur les 4 Axes deiandes
INDIVIDUS
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
61 CO Il -0.2159 0.0025 1 -4.2022 0.9433 1 0.4627 0.0114 1 -û.3588 0.0069:
62 Cl Il -0.1044 0.0006 1 -4.2037 0.9165 1 O.695Q 0.0251 1 -0.6098 0.0193 1
63 C2 II -0.7624 0.5120 1 -0.0443 0.0017 1 -0.2604 Q.0597 1 -0.5569 0.2731 1
64 C3 II -0.8824 0.5204 1 0.4326 0.1251 1 -0.4035 0.1115 1 -0.2024 0.0274 *
65 C4 Il -1.5748 0.6287 1 0.4468 0.0506 t 0.0510 0.0007 1 -0.0024 0.0000 1
66 CS II -0.2814 0.0661 1 0.1378 0.0159 1 0.6432 0.3453 t -0.5737 0.2795 *
67 C6 II -0.2914 0.1059 1 0.2205 0.0607 1 -0.0225 0.0006 1 -0.4341 0.2352 1
bB C7 tl -0.1149 0.0215 1 0.5265 0.45261-0.1032 0.0191 1 -0.3397 0.1884 *
69 C8 Il -0.1227 0.0254 1 0.5183 0.4554 1 -0.0948 0.0152 1 -0.3337 0.1886 t
70 C9 tl -0.5107 0.2637 1 0.0111
0.0001 1 -0.0370 0.0014 1 -0.6153 0.3828 *
71 CIO Il -0.2883 0.0909 1 0.2236 0.0546 1 0.0252 0.0007 1 -0.4773 0.2489 1
72 CIl Il -0.5213 0.2138 1 0.3942 0.1223 1 -0.5240 O.216ô 1 -0.5387 0.2293 1
73 CI2 II -0.5365 0.2613 1 0.6499 0.3335 1 -0.3312 0.0996 1 -0.3427 0.1066 1
74 C13 II -0.9559 0.5054 1 0.3527 0.0698 1 -0.0127 0.0001 1 0.0178 0.0002 1
75 CI4 II -0.3089 0.0734 1 0.5869 0.2650 1 -0.4745 0.17321-0.6163 0.2927 1
76 CI5 II -0.1465 0.0263 1 -0.0826 0.0084. 0.0483 0.0029 1 -0.6274 0.4822 1
77 C16 II 0.0438 0.0021 1 0.6261
0.3427 1 -0.3311 0.0958 1 -0.3460 0.1047 1
78 C17 Il 0.2999 0.0969 1 0.3015 0.0979 1 -0.1309 0.0352 1 -0.4417 0.2101 1
79 cla II 0.5931 0.2224 1 0.0620 0.0024 1 -0.4370 0.1208 1 -0.9932 0.6299 1
80 C19 II 1.1299 0.3773 1 1.1608 0.3983 1 -0.5387 0.0858 1 -0.5597 0.0926 1
BI "0 II 2.5770 0.7754 1 0.5477 0.0350 1 -1.0203 0.1216 1 0.2234 0.0053 1
82 "1 Il 3.9039 0.6782 1 0.0462 0.0001 1 2.4769 0.2730 1 -0.5320 0.0126 l
83 M2 Il 1.8327 0.7362 1 -0.0770 0.0012 1 -0.4564 0.0433 l -0.3323 0.1441 l
84 "3 II 3.3712 0.7440 1 0.1576 0.0016 1 1.1010 0.0794 1 -1.0640 0.0741 l
35 "4 Il 4.3758 0.8905 1 1.0509 0.0514 * 0.7379 0.0253 1 -0.0308 0.0000 1
Sb "5 Il 3.0436 0.8703 1 0.7062 0.0469 1 0.6103 0.0350 l 0.3438 0.0111 l
B7 "6 Il 3.4971 0.7637 1 1.5294 0.1461 t -0.3535 0.0073 * 0.9506 0.0564 1
88 "7 Il 2.0384 0.9032 1 0.2641 0.0152 l -0.3394 0.0249. -0.2379 0.0123 1
39 Ka II
1.2431 0.4604 t 0.4540 0.0614 1 -0.9121 0.247a t 0.1673 0.0095 1
90 "9 It 3.130a 0.617a t 0.8211
0.0425 l
2.:748 0.2931 t -0.3431 0.0074 1
91 "10 Il 2.3949 0.5042 1 1.7782 0.2780 1 -0.4311
0.0163 t -0.7021 0.0433 1
92 Mil Il 1.3348 0.4364 1 1.1409 0.3189 t -0.6635 0.1078 1 0.0271 0.0002 *
93 MI2 Il 1.3091 0.4690 1 0.4432 0.0533 1 -0.4137 0.0468 l -1.1096 0.3370 t
94 "13 Il 1.9146 0.7221 1 0.7063 0.0983 1 0.3647 0.0262 1 0.1714 0.0053 *
95 "14 at 1.1417 0.5361 1 0.5372 0.1428 t -0.5795 0.1473 1 -0.2495 0.0256 1
9b "15 It 3.1679 0.7605 1 -1.0859 0.0894 1 -O.41~5 O.Oi291 -0.7991 0.0484 1
97 "16 Il 4.0343 0.6659 t -0.6056 0.0150 1 -2.1244 0.1346 t
1.5309 0.0959 t
QS K17 II 8.0907 0.3901 1 -1.0930 0.0162 1 1.2182 0.0202' 2.2759 0.0704 *
99 M13 Il 4.7484 0.7335 1 -2.1903 0.1561 1 -0.9234 0.0277 1 1.4953 0.0713 t
100 MI9 Il 2.35b2 0.45791-2.1301 0.3742 1 -1.1824 0.1153 1 -0.2233 0.0041 1
101 PO II -2.6094 0.7599 1 1.1071 0.1373 1 0.2349 0.0091 1 0.7325 0.0683 t
102 PI Il -2.9293 0.9603 1 -0.2006 0.0045 1 0.1839 0.0033 1 0.4361 0.0213 1
103 P2 II -3.0314 0.895~ l 0.1564 0.0023 l 0.4795 0.0216 1 0.30e8 0.0617 t
. 104 P3 II -3.0695 0.9309 1 -0.4137 0.0169 1 0.2520 0.0063 1 0.5207 0.0263 t
105 P4 II -2.9730 0.9420 t '0.0776 0.0006 t 0.2493 0.0066 l
0.5903 0.0372 1
106 P5 II -2.9648 0.6459 t -1.9767 0.3075: -0.0789 0.0005 t -0.2514 0.0050 1
107 P6 II -2.3327 0.9774 1 -0.4013 0.0260 1 -0.27&~ 0.0125' -0.0545 0.0005 1
108 P7 II -2.1777 0.3797 1 -0.4295 0.0340 1 0.1921 0.0063 1 -0.0764 0.0011 t
109 P9 II -2.3451 0.3604 1 -0.5537 ~.0490 * -0.3045 0.0145 t -0.0965 0.00\\5 t
110 P9 II -2.5714 0.7499 1 0.2399 0.0093 1 0.0531 0.0005 l' 0.4305 0.0266 t
111 PlO It -2.1880 0.6394 1 1.0972 0.1734 1 0.1119 0.0013 1 O.49bb 0.0355 1
112 PlI Il -2.4957 0.9001 1 -0.bI13 0.0544 1 -0.2038 0.0061 t 0.0144 0.0000 1
113 P12 II -2.3607 0.7452: 1.0267 0.1410 1 0.3203 0.0137 1 0.609: 0.0496 t
114 PI3 Il -2.3520 0.9373 1 -0.6313 0.0459 t 0.1057 0.0013 1 0.2389 0.0066 1
115 P14 II -2.3034 0.9177 t -0.2977 0.0154 t 0.0722 0.0009 l 0.0304 0.0011 t
116 PIS II -2.7411- 0.3577 1 -1.0400 0.1235 1 0.0169 0.0000 1 -0.0Ib9 O.QOOO *
117 P16 tl -3.i965 0.9101 t -0.3141 0.008S t 0.3303 0.0017 1 0.6794 0.0411 1
118 P17 It -2.ib63 0.2469 ~ 0.7b08 0.0640 l 0.2337 0.0060 * 0.8097 0.0725 1
119 Pla Il -3.0369 0.7949 1 0.9083 0.0690 t 0.5267 0.0229 1 1.0394 0.0978 l
AI-7

---

REPRESENTATION SIMULTANEE PLAN 1 2
AXE 1 HORIZONTAL
AXE 2 VERTICAL
MDI
1
1
1
HOA
LA3
MIO
MOY
N6
\\'MT
CI9MII
PO PlO
Pla
PlZ
M9
PIl
1'113
M5
CI2 C7Clb
1'114
MO
C4
C3 CU css
l'lB
PI9 P'1
CI3
Cb '!
CI7
HI2
M7
P2
,
C5
~
CIB
113
MI
P44 - - - - - - - - - C2 C? C15 - - - - - - - - M2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - VAR
Pl
1
LAS
P3
Pb
1
PI6
pg
1
P13 PU
Nib
PIS
M15
M17
P5
1'111
/'118
1
1
1
CO 1
CON
5U?SQPQ5ITION5 EN
Hari Vert
CO CI
.,~
....\\.J
(1
C7 CS
33
30
Cb Ci')
JI
28
C3 C13
24
29
Z CCI4
31
30
119 M12
43
29
P2 P4
~
')"7
,j
L I
Q~
ri7
1 V
r,
Il
24
PlO P12
9
~.,.
... ..
\\
\\
Pb PI4
10
')J
Lot
0-
.,_\\ P16
1
24
AI-8
MOY VMï
120 3i
MDA LA3
120 40

---

=================================:============
AN~LYSE FACTORIELLE EN COMPOSANTES PRINCIPALES
==========:===============:=::====:===========
1
liage non traitée - Fen@tre 15 - 60 Individus
par A. CORENTHIN ENSUT Dakar le 22-02-1989 en Metrique Norlee
abre de variables printipales:
9
No.bre de variables setondaires:
(1
1.1iu fithier tDntenant les donnees printipales
: orbO-15
1
les nOls des variables
: nvar9
les nais des Observations: nomobsbO
!
présentatiDn de.andee sur 4 Axes Printipaux
t
Etude Univariee
1
Variables
lIoyennes
Etarts-Types
Coef. de Variation
Hors Inhrv<.lle
1'I0Y U
9a.167
15.5340
0.18
9
15.0 %
VAR U
12b4.000
1520.6100
1.20
10
Ib.7 7-
"DA ft
3.233
2.1320
0.6&
30
50.0 7.
1
i
VI'IT U
7&9.400
502.3Q55
0.&5
30
50.0 7-
CON U
139&.933
1519.2580
1.09
7
11.7 %
J
"AS U
1346.333
1201.9490
0.99
14
23.3 %
1
"DI U
20.400
6.8707
0.34
19
31.7 7.
i
LA3 U
109.3b7
39.4476
0.32
16
26.7 4
t
i
LA5 U
4b4.5bi
433.2075
0.93
13
21.7 7.
1
CORRELATIONS
f
l'IOY
VAR
l'IDA
VMT
CON
MAS
l'ID1
LA3
LA5
,
MOY t
I.OOOQ
-î
YAR t
0.9108 1.0000
j
"DA t
0.9278 0.8728 1.0000
VMT t
0.9259 0.8550 O. 976b 1. 0000
!
l
CON t
0.8225 0.7b88 0.7265 0.7312 1.0000
l;
"AS l -0.b985 -0.b050 -0.9029 -0.3511 -0.4896 1.0000
i
;!
IIDI t
0.3b35 0.25b2 0.5068 0.5078 -0.0973 -0.5823 I.QOOO
i
,~
LA3 l
0.bb40 0.6107 0.7331 O.i424 0.5177 -0.6471 0.4003 1.0000
;:j
LA5 l
0.59b7 0.5335 0.b642 0.6703 0.4299 -0.bI61 0.3iu2 0.7554 1.0000
l
DIAGONAlISATIOtl
!
~!
~
f
~XE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
Lurs Propres •••••••••••••.••••
6.2938
1.263b
0.b502
0.3004
ltribution A l'Inertie Totale •.
69.937.
14.047.
7.22%
3.34:
r
VECTEURS PROPRES EN COLONWE
1
t
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AlE 4
noy t
-0.3751 -0.1780 -0.1952
0.1917
1
VAR t
-0.3501 -0.2534 -0.2003
0.4115
f
"DA t
-0.3884 -O.(I(Ilb -0.1561
0.0679
WH t
-0.3909
0.0123 -0.1450 -0.0958
l
CON t
-0.299b -0.5392 -0.0214 -0.~(J75
"AS l
0.3345 -0.2517
0.1167
0.791b
lt§
"DI t
-0.1938
0.7110 -0.3473
0.2901
!
LA3 t
-0.3235
0.1229
0.5223
0.1743
,
LA5 t
-0.2987
0.1708
0.6845
0.0378
~
t
1
1
.t---------~--------------------------------------------
1 COORDONNEES DES VARIABLES SUR LES COMPOSANTES
j
PRINCIPALES REDUITES
t
,
.t------------------------------------------------------
~f~
'COLONNE: COORDONNEES
2ele COLONNE: CORRELATION
(CARREES)
il,
VARIABLES
COMPOSANTES PRINCIPALES
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
"Dy tt -0.9409 0.8853 l -0.2001 0.0400 l -0.1574 0.0243' 0.1050 0.0110 t
VAR H -0.8783·0.7715 l -0.2848 0.(1811 t -0.1615 0.0261 t 0.2255 0.0509 t
l'IDA tt -0.9743 0.9493 l -0.00J3 0.0000 l -0.1253 0.0158 t 0.0372 0.0014 l
VMT lt -0.980b 0.9615 l (I.013e' 0.0002 t -0.1169 0.0137 l -0.0525 0.0023 t
CON II -0.751b 0.5650 t -O.bObl 0.3674 l -0.0172 0.0003 l -0.1137 0.0129 l
MAS tl O.839~ 0.7044. -0.2330 0.0301 l 0.0941 0.0039' 0.4339 0.1882 t
MDI tt -0.48b2 0.23b4 t 0.7992 0.6388 t -0.23ù4 0.0786 i
0.1535 0.0236 t
LA3 tl -0.8116 0.65ab t 0.1332 0.0191 l 0.42J2 0.1774 l O.09sa 0.0092 l
LA5 II -0.7495 0.5b17 l 0.1920 0.03b9 l 0.5520 0.3047 i
0.0207 0.0004 l
,i
AI-9
1
f
l

---

PLAN 51 51
AXE 51
HORIZONTAL
AXE 51
VERTICAL
•
t
•
•
MDI
1
t
t
t
t
t
a
t
t
·1
t
t
t
a
t
t
•
t
t
t
t
l
t
t
t
•
t
l
t
t
t
*
t
*
t
*
LA5
t
t
LA3
*
t
l
l
t
t
!
t
VMT------------------------------------------------~-------------------------------------------_.-----
/'IDA
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
l
r.OV
l
*
l
t VAR
MAS
t
t
t
t
t
t
t
l
t
*
t
l
;
*
t
t
t
t
t
CON
t
t
t
l
t
*
l
t
t
t
AI-10

---

===================
ETUDE DES INDIVIDUS
-------------------
! COLONNE:COORDONNEES
2ele COLONNE:COSINUS CARRES
sur les 4 A~es demandes
INDIVIDUS
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
61 CO ** 3.0588 0.8942 * 0.0668 0.0004 * -0.2ù79 0.0041 1 0.9629 0.0836 *
62 CI Il 2.8347 0.9207 1 -0.5513 0.0348 1 0.3820 0.0167 1 0.2050 0.0048 *
63 C2 1* 2.9304 0.9751 * -0.3433 0.0143 * -0.0042 0.0000 1 0.0097 0.0000 1
64 C3 ** 3.0008 0.8756 * 0.1901
0.0035 * -0.1753 0.0030 * 1.0131 0.1009 *
65 C4 *l 3.2046 0.8674 * -0.0167 0.0000 * -0.2681 0.0061 t 1.1339 0.1096 *
66 C5 tt 3.3875 0.8903 t -0.9012 0.0630 t 0.1555 0.0019 t 0.6062 0.0285 1
67 C6 *t 3.3779 0.5846 t -2.7268 0.3810 t 0.6959 0.0248 * -0.0205 0.0000 t
6B C7 ** 2.7663 0.9875 * -0.0521 0.0004 * -0.0479 0.0003 1 0.2766 0.0099 t
69 ca t* 2.9349 0.8932 * -0.0629 0.0004 * 0.2135 0.0047 * 0.9492 0.0934 t
70 C9 ** 3.1109 0.9258 * -0.0307 0.0001 * -0.2989 0.0085 * 0.7722 0.0570 t
71 CIO 1* 2.9623 0.9379 * 0.0516 0.0003 l -0.0991 0.0011 * 0.7159 0.0545 1
72 CIl ** 3.1866 0.6397 * -2.2092 0.3071 * 0.8690 0.0476 * -0.0137 0.0000 1
73 C12 ** 2.8904 0.6209 * -2.1356 0.3390 * 0.4921 0.0180 1 -0.4970 0.0134 *
74 C13 *l 3.4944 0.9995 * -0.9390 0.0653 * 0.3481 0.0090 * 0.4006 0.0119 *
75 C14 *t 2.9910 0.9619 * -0.3344 0.0120 t O.Ohvj 0.0004 l 0.4434 0.0211 *
76 C15 ** 2.6790 0.9755 * -0.2300 0.0072 * -0.1182 0.0019 t -0.1433 0.0028 1
77 C16 ** 2.3967 0.9457 * 0.0934 0.0014 t -0.2140 0.0075 * -0.3563 0.0210 1
78 C17 ** 1.2453 0.5793 * 0.9140 0.3124 * -0.0303 0.0004 * -0.3928 0.0548'
79 C19 ** 2.0733 0.8306 * 0.3795 0.0279 t 0.4307 0.0358 * -0.3043 0.0179 i
80 C19 ** 2.6633 0.9612 * -0.1757 0.0042 * -0.170S 0.0040 * -0.2376 0.0112 *
81 MO '* -3.4350 0.6873 t -0.8439 0.0415 1 0.4015 0.0094 * 0.2600 0.0039 l
82 Ml t* -3.3236 0.8523 * 0.2479 0.0047. 1.2944 0.1293 l 0.1785 0.0025 *
83 M2 ** -5.5015 0.7297 * -2.4439 0.1446' -1.9460 0.0913 * 0.9731 0.0231 *
84 "3 ** -4.7273 0.3455' -1.0S05 0.0447 * -0.7û79 0.0190 S 1.1096 0.0466 *
85 "4 ** -3.2110 0.7136 * -1.2093 0.1019 * -0.6919 0.0334 * -0.0539 0.0002 *
96 M5 S* 0.1367 0.0073 * 1.3574 0.7149 * -0.6346 0.1567 t -0.0964 0.0036 *
87 M6 ** -0.la70 0.0145 * 1.1513 0.5489 * -0.3169 0.2760 * -0.3909 0.0600 *
8a M7 ** -0.7838 0.3022 t 0.5474 0.1474 1 -0.7614 0.2852 1 -0.2642 0.0343 t
a9 M8 ** -0.1714 0.0123 * 1.1733 0.5763 t -0.7?85 0.2b70 l -0.392a 0.06i6 *
90 "9 ** -0.1055 0.0041 * 1.2230 0.5541 l 0.3395 0.0427 1 -0.2506 0.0233 *
91 MIO ** -0.6691 0.3955.* 0.4393 0.1697 * -O.35i3 0.1093 * -0.3516 0.1092 l
92 KIl ** -2.1170 0.6276 * 0.9870 0.1364 * 0.2785 0.0109 * 0.2i37 0.0064 *
93 M12 *1 0.1031 0.0133 * 0.6049 0.4594 t O.29d7 O.IO~O t -0.5505 0.3304 *
94 M13 ** 0.7794 0.2576 t 0.7479 0.2372 t 0.3992 0.0676. -0.3502 0.0520 *
95 MI4 ** 0.B253 0.2347 * 0.6033 0.1544; -0.9760 0.3976 t -0.4096 0.0701 t
96 "15 tl -0.4365 0.0552 * 1.5645 ü.571Q * -0.0596 0.0003 1 -0.0029 0.0000 *
97 MI6 ** 0.1547 0.0076 t 1.2931 0.5347 i -1.0715 0.3671 * -0.2966 0.0231 *
9a K17 ** -1.6675 0.5749 * -0.303b 0.1335 * -û.25g: 0.0139 t 0.1129 0.0026 *
99 M19 *1 0.1226 0.0123 t 0.9311
0.7079 t -0.1775 0.0257 1 -0.3739 0.1142 *
100 M19 ** -2.2237 0.7;96 * 0.0371 0.0002 * 0.9190 0.1331 * 0.1600 0.0040 *
101 PO ** -2.3045 0.a345 * 0.4730 0.0359 t 0.6292 0.0622 1 0.3489 0.0191 *
102 PI l* -1.2825 0.4910 * 0.1866 0.0104 * -1.2115 0.4381 * -0.0309 0.0003 t
"103 P2 ** -1.3260 0.5244 * 0.9083 0.1298 * 1.4420 0.3270 * -0.1291 0.0026 t
104 P3 ** -0.2576 0.0410 * 0.2721
0.0457 * 0.3092 0.4043 * -0.6034 0.2246 *
105 P4 ** 0.5833 0.2567 * 0.7739 0.4520 * -0.1077 0.0038 l -0.5587 0.2355 *
106 P5 ** 0.4257 0.0827 î 1.2682 0.7347 t -0.3995 0.Oi29 * -0.2732 0.0341 *
107 P6 ** 0.1119 0.0062 * -0.7095 0.2439 t -0.4393 0.1194 * -0.3759 0.3794 *
10a ?7 ** -4.4150 0.65b9 1 0.5918 0.0113 t 3.0724 0.3181 j
0.5123 0.0033 *
109 pa ** -1.7570 0.5477 t 0.9039 0.1450 * :.1110 0.2190 * -0.16t7 0.0046 *
110 P9 ** -2.0721 0.6943 t 0.6714 0,0729 t -O.93~8 0.1410. -0.073; 0.0009 *
111 PlO ** -0.2015 0.0277 l 0.6359 0.2764 ~ -0.8263 0.4667 t -0.4077 0.1136 *
112 PlI ** -0.6630 0.1274 * 1.6317 0.7604 * -0.li74 0.0090 l -0.0017 0.0000 *
113 P12 *t 0.3441
0.0637 f
1.1382 0.6964 t -0.3940 0.0334 t -0.4543 0.1110 *
114 P13 *l 0.2802 0.0518 * 0.9354 0.4601 t 0.b087 (:.2443 t -0.2&93 0.0480 *
115 PI4 t* -0.1342 0.0038 * -t.3449 0.3738 * :.0680 0.2389 t -1.1943 0.2937 *
116 P15 ** -1.5934 0.2964 t -2.0500 0.4906 t 0.6695 0.0523 t -1.0646 0.1323 t
117 Plb lt -3.7532 0.4501 * -3.i239 0.4419 * -0.2645 0.0022 t -0.9539 0.0290 *
118 P17 t* -4.5457 0.3412 t 0.9826 0.0317 * 0.9006 0.0330 t 0.9323 0.0354 *
119 Pla *f -5.3579 0.9598 * -û.13ab 0.0006; -0.2304 0.0013 t 0.7903 0.0209 t
AI-ll

---

REPRE5ENTAiIûN SIMULTANEE PLAN 1 2
AXE 1 HDRIZONiAL
AXE ~ VERTICAL
aDr
LA5
1
1
1
M15
,
LA3
PlI
'M5 P5
MH;?~tH6
Maa!
Pl:
l'Ill P2
'M18
CI7
PI7
PSS
! P13 P4
P9
1
~13
P7
M7
PlO M12
M14
1
PO
MIO
P3
!
Cla
MI
Pl
1
~~
L.,'
1'119
~
C16
eo
MUA - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - e7ee C4 - -
Pla
!
Cl9
C99
~
C2CI4
1
CI5
Cl
PI9
Pb
MO
Ml7
,
C5CI3
:13
114
rmy
PIS
MAS
CI2 CIl
M2
VAR
C6
Plb
CON
SUPERP05ITIONS EN
Hari Vert
C4 C9
lib
29
CO CIO
114 30
C2C CI5
110 27
l'lb MB
72
39
MS tllb
ib
40
P2 PB
ef
~,.
..JJ.
".'1
MIS PIl
65
42
~iDA 'J/H
,
"1"\\0
1
.. 7
AI-12

---

~ al 51
AXE 51 ? HORIZONTAL
AXE 51
VERTICAL
Î
•
•
t
t
t
•
•
f
• •
l
1
•
t
•
$
•
•
•s
1
t•
•t
•
t
•
t
J
•
•
~r
•t
••
r
1
l
lA3
•
l*
~
•
~I
LA5
'
1:
1
l
1
~NYAR
~.
!
1
i
1
~
.
•
l
1;;---------------------------------------------;------------------------------------------------j
f,
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!
t
!
1
•
j
f
1
•
J
i
t
}
Î
•
l.
!
l
h
!
•
li •t
~~
• •
1 t
~
•
! •
~
l
i
a.
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t
1
t·
!
•
1
t
1
t
1
t
1
t
,
•
!
•
1
*
•
1
•
t
1
•t
i t
• t
MDI
•
AI-14

---

========================================:=====
~NALYSE FACTORIELLE E~ CO~POSANTES PRINCIPALES
==============================================
liage exponentielle - Fen~tre 15 - 60 individus
par A. CGRENTHIN ENSUT Dakar le 22-02-19B9 en Metrique Nor~ee
Ua.bre de variables principales: 9
Nombre de variables secondair~s:
(1
Nom du fichier contenant les donnees principales : exp60-15
les noas des variables
: nvar9
les noms des Observations: nomobs60
Représentation delandee sur 4 Axes Principaux
Etude Uni var iee
Variables
Moyennes
Ecarts-Types
Cnef, de Variation
Hors Intervalle
MOY U
Bl.967
32.1864
0.39
'10
'"u
46.7 t
VAR U
4332.033
4725.4830
1.09
7
11.7 i.
"DA al
7.117
2.9726
0.42
15
25.0 7-
VI1T al
1533.217
647.5176
0.42
26
43.3 t
CON al
41B9.817
3025.1130
0.B7
12
20.0 i.
/lAS U
721.193
603.91&0
o.n
Il
18.3 i.
MDI U
22.783
4.79%
0.21
16
20.7 i.
LA3 U
233.433
132.7756
0.57
14
23.3 ~
LAS U
902.133
613.2159
0.68
15
25.0 i.
CORRELATIONS
MOY
VAR
MDA
VMT
CON
MAS
MDI
LA3
LA5
l'fOy * 1.0000
VAR * 0.7869 1.0000
/IDA * 0.8792 0.8402 1.0000
VI1T * 0.8868 0.9421 0.9458 1.0000
CON * 0.8743 0.9507 0.9192 0.9232 1.0000
MAS * -0.7370 -0.5416 -0.7295 -0.7482 -0.6204 1.0000
0.3544 0.1974 0.3709 0.3605 0.2461 -0.4515 1.00(1)
l'fDI *
LA3 * 0.5604 0.5367 0.6240 0.6219 0.6399 -0.4150 0.0913 1.0000
0.5244 0.5091 0.5537 0.6181 0.5832 -0.4212 0.1325 0.b203 1.0000
LA5 *
DIAGONALISATION
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
Valeurs Propres
6.0815
1. 0782
0.7101
0.4209
t • • , . I l • • • • •
Contribution à l'Inertie Totale ..
b7.57i.
11. 984
7.a9%
4.bB;~
VECTEURS PROPRES EN COLONNE
AXE 1
AXE 2
AXE 7
AXE 4
-'
"DY * -0113735 -0.0763 'j.l731 -(J,113B
VAR * -0.3563 0.1437 0.352i (1.3799
MOA * -0.3B79 -0.0406 (1. 13vi 0.0042
VI1T t
-0.3923 -0.0223
0.0366 -0.0163
CON * -0.3362 0.li70 0.2326 0.2303
HAS * 0.3123 0.3441 0.0101 0.7521
MDI * -0.1574 -0.7850 -0.3640 0.4163
LA3 * -0.2852 0.3839 -0.4413 -0.16;)6
LAS * -0,2750 0.2706 -0.6612 O.14i4
COORDONNEES DES VARIABLES SUR LES COMPOSANTES
PRINCIPALES REDUITES
1ere COLONNE: COORDONNEES
2eille COLONNE: CORRELATION i CARREES)
VARIABLES
COMPOSANTES PRINCIPALES
AXE 1
AXE 2
AXE }
AXE 4
MOY ** -0.9210 0.B483 * -0.0792 0.0063 * 0.1458 0.0213 * -0.0733 0.0054 *
VAR ** -0.3300 0.7744 * 0.1492 0.0223 * 0.2763 0.0331 t 0.2465 0.0608 *
l'IDA f* -0.9567 0.9152 * -0.0422 0.0018 * 0.1177 0.0139 * 0.0028 0.0000 *
VI1T ** -0.7674 0.9358 * -0.0232 0.0005 * 0.0729 ù.00~3 t -0.0109 0.0001 *
CON ** -0.9525 0.9072 * 0.1319 0.0174 * 0.1960 0.0384 t û.1497 0.0224 *
/lAS ** 0.7715 0.5952 * 0.3573 0.1277 ~ 0.0085 0.0001 t 0.4380 0.2381 *
~DI ** -0.~982 0.1507 l -0.8151 0.0644 t -0.3067 0.0941 t 0.2701 0.0729 *
LA3 ** -0.7033 0.4947 l 0.3937 0.1539 t -0.3722 0.1386 t -0.1094 0.0120 t
LA5 ** -0.6732 0.4600 * 0.:810 0.0790. -0.5572 0,3104 * 0.0956 0.0091 •
AI-13

---

-------------------
ETUDE DES INDIVIDUS
-------------------
-------------------
re COLDNNE:CDDRDDHNEES
2ele COLDNNE:COSINUS CARRES
sur les 4 Axes delandes
INDIVIDUS
AXE 1
AXE 2
AXE 3
AXE 4
61 CO II 1.2597 0.5745' -0.3227 0.2450 l -0.2440 0.0216' -0.3534 0.0452'
b2 Cl"
2.3204 0.7765' -0.5062" 0.0369 • -ù.5694 0.0469 l 0.7958 0.0913'
63 C2 l' 3.5519 0.7759 l 0.0751 0.0003 t -0.1592 0.0016' 1.7975 0.1987'
64 C3 •• - 2.7279 0.9275' -0.0969 0.0009 t -0.3367 0.0126' 1.036B 0.1195 l
b5 C4 l' 3.9493 0.7392 l 0.5636 0.0151 l -0.7196 0.0245 l
1.9214 0.1750 t
6b C5 •• 4.2665 0.6678' 2.785b 0.2846' 0.5079 0.0095' 0.4332 0.0069'
67 C6 •• 3.5772 0.7795 t 1.0004 0.0610' 1.4600 0.1299' -0.0240 0.0000'
b8 C7 •• 2.8225 0.8681' 0.1499 0.0024' -0.4489 0.0220' 0.9317 0.0946 l
69 C9 l' 2.4754 0.8957 l -0.6062 0.0537' 0.1133 0.0019' 0.4037 0.0238'
70 C9.. 2.4531 0.8779 t -0.4539 0.0300 l 0.5910 0.0509 l -0.3091 0.0139 l
71 CIO't 0.6191 0.0867' -1.1925 0.3218 l -1.5057 0.5131 t 0.1272 0.0037'
72 CIl tt 2.1943 0.7931 l -1.0016 0.1646 t 0.0841 0.0012 t -0.0432 0.0003'
73 CI2 •• 2.0188 0.9191 • -0.7583 0.1156' 0.1338 0.0036 t -0.0792 0.0013'
74 CI3 •• 1.6394 0.6059 l -0.7670 0.1326 t -0.8941 0.1902' 0.3384 0.0258'
75 C14 lt 2.3163 0.S513' -0.8521 0.1152' -0.Q397 0.0002 l 0.2641 0.0111'
76 C15 II 1.9149 0.9076 t -0.4014 0.0355 l -Q.3412 Q.0256. -0.0745 0.0012'
77 C16.l 2.9676 0.6496' 1.8438 0.2521' 0.9491 0.0664 S -0.3332 0.0032'
78 C17 lt 2.9689 0.7096 t 1.7653 0.2509 l 0.3b93 0.0109' 0.0935 0.0007'
79 C18't 3.0914 0.7289' 1.7012 0.2207' 0.3229 0.0079 l 0.3ï97 0.0110'
80 C19 lt 2.5309 0.6182'
1.8624 0.3347 t -0.0350 O.OQOl • -0.1927 0.0036 l
81 "0 •• -7.6247 0.9872 l 1.6634 0.0422 t 0.7359 0.00a3' 1.7733 0.0480 t
82 "1 II -3.9790 0.6287 t 2.4002 0.2299 t -0.9090 0.0328' -0.4702 0.0088 l
83 "2 •• -2.3106 0.6517 l 0.1979 0.0048 t
1.5003 0.2747' 0.1574 0.0030 t
84 "3 't -4.4578 0.7716 t 0.2525 0.Q025 t' 1.3025 0.1262 t 1.2084 0.0567 t
85 "4 •• -3.6231 0.8093 t 0.3603 0.0090 t 1.4061
0.1219 l 0.2862 0.0050.
86 "5't 1.1469 0.3134' 0.0827 0.0016 t 1.2683 0.3333 t -0.9763 0.2271 t
87 "6"
0.4360 0.0826 l -0.9307 0.3765. -1.00bl
0.4399 t -0.1664 0.0120 t
88 K7 lt -0.6259 0.2776' -0.3735 0.0989 l -0.1579 0.0177 l -0.4b34 0.1522 l
89 "8 tt -0.4606 0.0619 l 0.0594 0.0010 l -0.5841
0.0996 l -0.1266 0.0047.
90 "9"
0.8901 0.3244 t -1.0833 0.4915 t 0.1326 0.0140 t -0.5095 0.1097'
91 "10'l 0.5691 0.0703 l -1.9655 0.3386 t -0.3101 0.0209 t 0.0619 o.oooa t
92 nll t' 0.9587 0.2012 t -1.7477 0.6638 t -0.1644 0.0059 t 0.1748 0.0067'
93 "12 II 1.6759 0.7363 t 0.0645 0.0011 l 0.2387 0.0213. -0.3924 0.2033 t
94 "13 t. 0.6437 0.0895 t 0.5574 0.0671 l -0.9207 0.1330 l -0.5601 0.0678 t
95 "14 'l -0.4799 0.0294 l 0.7581
0.0711 t -2.1343 0.5637' -0.2201 0.0060 l
96 "15 II 0.7624 0.0840 t 1.2923 0.2412' -0.5605 0.0454 l -1.4657 0.3103'
97 "16 II -3.1022 0.7252. 1.4974 0.1667 t -0.9b93 0.070a l Q.0323 0.0001 l
98 nI7.. 1.0737 0.5034 t -0.5071 0.1123 t -0.2905 0.0369 l -0.4554 0.0905 t
99 "19 II -0.8375 0.2784 t -0.9804 0.3397' 0.5333 0.1026 * 0.1693 0.0102 t
100 "19 II -1.1515 0.4840' -0.1030 0.0039' 1.0601 0.4102 l -0.1318 0.0063'
101 PO lt 0.0082 0.0000 t -1.8602 0.3925' 0.0416 0.0004 l -0.0625 0.0010 t
102 Pl •• -0.3140 0.0336 t -0.8B78 0.2686' 1.1413 0.4443 t -0.2944 0.0295 t
103 P2 tl -0.8091 0.2945 t -0.7221 0.2266 l 0.5736 Q.1430 l -0.1129 0.0055 l
104 P3 .t -1.9662 0.8a27 l -0.1313 0.0044' 0.00:3 0.0000 l -0.3560 0.O~21 t
105 P4 'l -3.0315 0.8309 t -0.6656 0.0400 * -0.9653 0.0343 l 0.3261 Q.OQQ6 l
106 P5 't -2.9927 0.7531 l -0.8403 0.0594 * -0.4617 0.0179 t 0.0106 0.0000.
107 Pb tt -2.3149 0.6397' -1.1151 0.1434 l 1.0567 0.1333 l 0.1319 0.0021 t
lOB P7 lt -3.2207 0.6765 l 0.9039 0.0533 l -1.98iQ 0.2577 l -0.0547 0.0002 l
109 PB tl -1.0999 0.3589' 0.1011 0.0030 t 0.3549 0.0374 l -0.7910 0.1856 t
110 P9 •• 0.3579 0.0579 l -0.OB44 0.0032' 0.9969 0.4494 l -0.6491 0.1905 t
111 PlO *l -1.8349 0.4459 t -0.9459 0.1135 t i.5669 0.3252' -0.0996 0.0013 t
112 Pli l' -3.9589 0.9029 t 0.34B4 0.0070' -0.6947 0.0270 l 0.4340 0.0135 l
113 P12 tt -3.4305 0.3932 t -0.3562 0.0092 l -0.13iO 0.0024' 0.431b 0.0136 l
114 P13 •• -1.2471 0.5498 t -0.1312 0.0061 t -0.9773 0.3376 t -0.3740 0.0494 l
115 P14 tt -1.2015 0.7721 l -0.5986 0.1916 * -0.1069 O.OObl t -0.1020 0.0056 t
lib PIS t' -2.3418 0.7752 l -0.3713 0.1079. -0.6018 0.0514.
0.1484 0.0031 t
117 P16 •• -1.5097 0.4142 l 1.1794 0.2523 l -0.0776 O.OOil l -1.0395 0.1964 l
113 P17 lt -1.1909 0.3199 t 1.0415 0.2447 * -0.6043 0.0325' -0.8319 0.1561 •
119 PIS"
0.6177 0.2014 l -0.2349 0.0291 j
0.4443 0.1042 t -0.5142 0.1316 l
AI-15

---

?EPRESENT~TION SIMULTANEE PLAN 1 2
AXE 1 HORIZONTAL
AXE 2 VERTICAL
LA3
LAS
cs
~;AR
CON
111
CI9 CI
CI la
Nib
PI6
MiS
P''''
• .li
C1
I l
C4
Pli M4
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n:
1
P8
li8
1
P19
rlS
nl2
C7
C2
MOY - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P3 - - M19 - - - - - P9 - - - - - - - - - -
C3 - - - - - - - -
~DA
Pl3
!
PIE
PI2
M7
C15 C9
MI7
, r,
\\,,1
P4
P2
CI3 C12 csa
P5
PIS
PlO
PI
co
[14
P6
t'l18
119
Cil
C10
111 :
MDIPO
MIO
SUPERPOSITIONS EN
Hari VErt
CI C8
102 8
Cl] Cla
109
22
M19 pn
6S
II
~oy HOA
1
Il
MOY \\'tH
Il
\\'AR Coti
27
AI-16

---

.ANNEXES
I I

---

---

---------------------------------
ANALYSE FACTORIELLE DISCRIMINANTE
Image non traitée - fen~tre 11 - 60 individus
par A. CORENTHIN ENSUT Dakar le 22-02-1939
---------------------------------
---------------------------------
tBRES DE VARIABLES QUANTITATIVES:
9
BRES DE GROUPES OUALITATIFS
: 3
:fRVATIDNS SUPPLEMENTAIRES
: NON
.BRE D' AXES DEI'IAt~DES
: 2
ETUDE UNIVARIEE
~LATIDN TOTALE
EFFECTIF: 60
VARIABLES
MOYENNES
ECARTS-TYPES
IIOY U
91.200
18.5339
VAR II
906'.700
937.1194
"DA U
3.317
2.2243
VMT
U
389.617
256.7747
CON U
1398.333
1337.7560
liAS U
1508.250
1365.4030
1101
U
23.917
7. liaS
LAS U
112.7(10
22.1302
LA5 U
462.967
333.5877
CORRELATIONS TOTALES
l'IOY
VAR
MDA
VtlT
CON
MAS
KDI
LA3
LA5
"DY 1 1.0000
VAR 1 0.6596 1.0000
l'lDA 1 0.9635 0.B364 1.0000
VI'lT 1 0.9406 0.9469 0.9911 1.0000
CON 1 0.4527 0.558Q 0.4556 0.4904 1.0000
liAS 1 -0.7243-0.6726-0.9ôOI-0.8760-0.4121 1.0000
l'lDI 1 0.5626 0.5291 0.7383 Q.71B6-0.1140-0.60QO 1.0000
LA31 0.74230.69080.81700.9219 0.3956-0.7458 0.6091 1.0000
LA51 0.b291 0.71020.7101 0.7520 O.3619-0.b9~2 0.4855 0.7234 1.0000
1
1E PAR GROUPE
!
GROUPE
EFFECTIF
'~ARIABLES
MOYENNES
EC~,RTS- TVPES
~~
20
MOY 1
73. (l50
o. 6\\~3S
VAR 1
18.350
20.4217
MDA 1
0.750
• 0.5362
vIn 1
32.(150
29.1710
CON 1
612,(15(1
1508.9500
MAS 1
3336.:(;0
7ü5.5i4b
l'lOI 1
17.700
.~. 9793
LA3 1
28.2(10
~5.aS5a
LAS 1
96.4ü(1
41.1077
2
20
MOY 1
36.4(;(1
.'o. '''.,,,
I L l ....
IJA:\\ •
81'1'.4(;(1
693.55'17
l'IDA 1
3.700
l.H77
VIIT 1
4111.750
167.7'1l2
CON 1
1527.9(:0
1285. 376(!
MAS l
723. IlW
204.2497
MDI •
25.400
7.71bi
LA3 1
126.500
45. (1328
lA5 1
547.70(1
294.0464
~
20
110'{ l
114.150
10.9054
'JAR 1
1801. 350
829.4543
I1DA 1
5.500
1.02/;7
VMT t
l,24.050
1i 7. 8566
CO:i l
2056.550
609.4038
MS f
464.95,0
7~.97B:
I1DI l
23.650
3. H)6b
LA3 i
183.4(10
75.174ï
, ,,1:
I.HJ 1
744.3(:0
363.7095

---

AXE 1
AXE:
VALfJR5 PROPRES
Q.7259
0.6846
CONTRIBUTION AL'INERTIE
57.47 7.
42.51 ï.
ETUDE DES VARIABLES
lere Colünn~ : CORRELATIONS
Zeme Colünn~ : CARRES DES CORRELATIONS
VARIABLES
COMPüSANTES PRINCIPALES
AXE 1
AXE 2
MOY * -0.9üû4 0.3107 * 0.4358 0.1299 *
VAR l -0.9455 0.8940 l 0.3263 0.1064 t
MDA l -0.9933 0.9876 * 0.1122 0.0126 t
VMT l -0.999B 0.9996 * 0.0218 0.0005 i
CON * -0.9953 0.9906 * 0.0977 0.0095 1
MAS * 0.9817 0.9637 * 0.1998 0.0360 *
MDI * -0.9993 0.999b * 0.0209 O.OOO~ t
LA3 l -0.9952 0.9905 * 0.0934 0.0097 t
LA5 l -0.9996 ~.9992 * 0.0238 0.0008 l
CéRCLE OE CORRELATION : AXE 1 HORIZONTAL
AXE 2 VERTICAL
**
*
*
*
*
*
l
*
*
*
;
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l
*
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t
t
1
t
t
t
t
t
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t
t
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t
LA3
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t
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•
*
t
i
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t
t
*
t
*
t
l
t
t
1
t
t
1
1
t
5UPERPOSlïlONS EU
Vert Hari
VHT r.OI
30
1
AII-2
:·n~·! 1ri ~
-:7
1

---

ETUDE DES CENTRES DE GRAVITE DES GROUPES
re.Colonne : COORDONNEES
~e Colo~ne : COSINUS CARRES
GROUPES
AXE 1
AXE
2
1
l 1.31Q4 0.9453 l 0.3147 O.05~5 l
2
l -O.~374
0.0914 t -1.1334
O.91g~ t
7
."
l -0.9730 0.5857 l
0.3137 0.4147 j
ETUDE DE3 iNDIVIDUS
S:2PREMIERS CHIFFRES SONT:
,No du GROUPE auquel appartient l'INDIVIDU
No du GROUPE auquel il est AFFECTE
INDIVIDUS
AXE 1
AXE 2
CO
1 1 l
1.7791 O.33b3 l
0.5942 O.I)4:;Z l
Cl
1 1 • 1.1413 O.2b78 • 0.0991 0.0020 l
C2
1 1 t
1. 2262 0.4026 l
0.3098 0.0257 i
C3
1 2 t 0.6b40 O.1{J3S • -0.7383 0.1280
C4
•
1 1 l
1.5455 0.4125 t 0.6173 (1.0653 l
~r:
LJ
1 1 l
1.4216 0.4865
Ch
1 1 t
1. 6030 0.5209 • Q.5346 O. i)633 t
l
0.7393 0.126:\\ t
C7
1 1 t
1. 4264
0.3192
C8
1 1 l 0.8517 0.2072 • Q.541~ 0.0460
l -0.17a2
O.OO9i •
i
C9
1 1 l
1.3309 0.4609 • 0.9015 0.1117 ••
CIO
1 1 t
1.3996 0.Q603 t 0.4732 0.0070 t
Cil
1 2 t
0.4123 0.0208 •-0.6732 0.0556 l
CI2
1 1 t 1. 3216 0.1839 l
0.41 Ob
(1,(1132 t
C13
1 1 i
1. 4933 0.4232 t
0.6915 0.0901 t
CI4
1 •1 t
1.5326 0.2983 l
0.3293 0.0819 t
C15
1 1 t
1. 4816 0.4378 l
0.60(14 0.0719 •
Clb
1 1 t
:. :444 0.:3251 l -0.0797 0.0013 t
C17
·1 1 t 1.4938 O.343Q t 0.3655 O.(I2~i~ t
cie 1 1 i 1.3983 0.2448 l 0.3225 0.0130 l
C19
1 1 t
0.S9b3 O. :)993 t -ü.1223 0.00:9
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M14
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• •
M17
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• •
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• •
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TABLEAU: APPARTEt!ANCES D'OR1SINE ET AFFECTATIDN8 D"APRES LES CALCULS
D'APPARTENANCE: EN LIGNE
~'AFFECTATION
: EN COLONNE
GROUPE 1 GRGUPE 2 GROUPE J
GROL1P~ 1
13
:
GROUF'f 2
(1
t

---

=======:==:====::===:====~~==:=====:~~====
Represenlalion graphique des !ndiviàus
====:=============;=;==========~==========
PlAtl 1 1 2
1 HDRIZONT~L
2 IJERilCAl
P19PIZ
PU
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1 1 J
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Pl.
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+ C19
~2. --}
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+ Ma.
~51 --:;.
!:= 27 )'= 13 : + i119
P3.
~= !9 '1= 38 : + Plb
AII-4

---

1
==:==:========;=:===========~====
ANALYSE FACTORIELLE DISCRIMINANTE
Image exponentielle - Fen~tre li - 60 indiiidu5
par A.CORENTHIH ENSUT Dakar le :2-0Z-1939
---------------------------------
liBRES DE VARIABLES QUANTITATIVES: 9
1
MBRES DE GROUPES UUALITATIFS
: 3
SERVATIONS SUPPLEMENTAIRES
: NON
!
MBRE D'AXES DEMA~DES
: 2
ETUDE UNIIJARIEE
1
~ULATIorf TOTALE
EFFECTIF:
60
1
VARIABLES '110YENr~ES
ECf"iRT5-TYPES
KOY H
39.150
29.nZ9
l
VAR aa
1220.733
1782.9740
f
MDA U
3.833
3.0885
VI1T al
398.8b7
211a.3376
1
CON li
1913.667
2375.2130
liAS al
1965.717
1333.3410
1101
li
24.317
S.8438
(
lA3 la
114.4M
101.n::;3
LA5 la
445.233
460. n36
t
CORRELATIONS TG1ALES
t
KOY
VAR
MDA
VMT
CON
MAS
MDI
LA3
LA5
1I0Y a 1.0000
VAR a 0.8096 1.0000
1
KDA' 0.9230 0.8205 1.0000
VHT a 0.9631 0.8565 0.9625 1.0000
CON a 0.7176 0.8200 0.6372 0.7181 1.0000
t
MAS a -0.8767-0.7364-0.8965-0.9012-0.5583 1.0000
"DI a -0.0761-0.0516 0.0750-0.0017-0.4287-0.0317 1.0000
r
LA3. 0.8030 0.6512 0.75460.7984 0.5913-0.7447-0.0686 1.0000
1
LAS * 0.6935 0.6998 0.6730 0.7310 0.6474-0.6278-0.û531 0.7534 1.0000
~~E PAR GROUPE
1'~
GROUPE
EFFECTIF
VARIABLES
MOmmES
ECARTS-TYPES
1
20
MOY a
44.0S0
3.0410
!JAR a
.,.ei.· ~e(,
""'.JO,..i,J'.'
253.5bOh
t
~
l'IDA a
3.8!jQ
1.720S
~,
WH a
:;96.450
93.6309
COll
MAS •
1246.250
2103.0330
1
a
2103.450
677.1311
~
l'ID! a
22.950
6.5b87
1
LA3 a
110.400
34.0bi3
f
LA5 a
378.500
1~3.b123
2
20
110Y a
71.0S0
13.8761
1
VAR a
3279. 650
1748.b320
MDA a
7.20(1
1. 7~OS
VMT l
738.950
16~" 0589
cml
4471.50(1
3121.6500
1
MAS *
a
425.850
116.3324
l'ID 1 a
24.550
5.4173
LA3 l
21b.000
97.b995
LA5 a
854.900
561.2071
3
20
1'10'1 •
2.350
1.1019
VAR t
24. 1)01)
17. i73b
l'IDA a
0.500
0.5000
VMï a
61,200
19.0305
CON t
23.250
1b,5'i35
l'lAS a
3367.850
733.4369
MDI •
25.450
5.1718
LA3
16.800
6.8819
t
LAS *a
102.300
66.2670
1

---

AXE 1
AXE 2
VALEURS PROPRES
O.Q732
0.b3l3
CONTRIBUTION AL'INERTIE
53.30:
41.20 ï.
ETUDE DES VARIABLES
lere Colonne: CORRELATIDNS
2ele Colonne : CARRES DES CORRELATIONS
VARIABLES
COMPOSANTES PRINCIPALES
AXE 1
lm 2
~OY l -0.9639 0.9387. -0.2476 0.0613 l
VAR l -0.6945 0.4823 l -0.7l95 0.5l77 $
MDA 1 -0.9280 0.Bbl3 ~ -0.3725 0.1387 l
VMT l -0.9290 0.3629 t -0.1702 0.1371 ~
con * -0.8096 0.6555 t -0.5870 0.3445 t
MAS t
0.8987 0.8077 l 0.4335 0.1923 t
MDI * 0.b716 0.4511 t -0.7409 0.5439 1
LA3 l -0.9130 0.9427 1 -0.3966 0.1573 *
LAS t -0.3651 0.7484 1 -0.5016 0.2516 t
CERClE DE CORRELATION: AIE 1 HORIZONTAL
AIE 2 VERTICRL
*
**
l
l
t
1
*
l
*
l,
*
l
*
t
1
t
*
*
1
1
*
*
r
*
1
1
*
*
l
I
t
,
*
*
t
J
t
*
i
MAS
•
t
t
i-
t
t
1
!
1
t
t
t
t
*
t
t
t
t
*
l
t
t
1
t
t
t
1
t
t
t
i
f
1
*
1
i
t-------------------------------------------------l-------------------------------------------------t
1
t
t
t
t
t
1
t
t
t
t
t
t
t
i
1
t
*
t
t
1
l'IlJV
*.
t
*
t
t
1
t
t
t
t
t
MfIA*
t
t
vnu
t
t
t
i
t
t
*
t
L~5l
t
t
j
t
t
CON
t
t
t
*
t
t
t
*
t
l
t
VI1R*
*
!
t
*
~1DI
t
*t
t
l:
t
J
SUPERPDSITIONS EN
Vert Hüri
MDii ViH
18
4
AII-G

---

ETUDE DES CENTRE5 DE GRAVITE DES GROüPES
'e Co1onne : COORDONNEES
~ Colonne: COSINUS CARRES
GROUPES
AXE
1
AXE 2
1
l -0.5035
0.1794 t
:.0371 0.3206 i
2
l -0.3709
0.47b3 l -0.9123 0.5232 t
3
l
1.3793 0.9941 * -0.1751 0.0159 *
ETUDE DES INDIVIDUS
: 2 PRE~IERS CHIFFRES 50tH :
No du GROUPE auquel appartient l'INDIVIDU
iNo du GROUPE auquel il est AFFECTE
i
INDIVIDUS
AXE
1
AXE 2
1
CO
I I I -0.4623 0.0092 t 1.5646 0.1056.
i
CI
1 1 l -0.4166 0.0075 t 1.3936 0.0334 l
C2
1 1 * -0.5055 0.0429 * 1.0276 0.1773 t
1
C3
I I I -0.4459 0.0454 l
1.4350 0.5040 l
i
C4
1 1 * -0.4747 0.0117 * 1.1031 0.0637 l
}
CS
l I t -0.5317 0.0525 t
1.4697 0.4010 t
1
Cb
1 1 * -0.5071 0.0472 * 1.4361 0.4053 t
~~
C7
1 1 * -0.4992 0.1114 t 0.7232 0.2338 l
ca 1 1 *-0.4766 0.1221 t 0.6350 0.2523 t
C9
I I I -0.4715 0.0491 l
1.3389 0.3962 l
CIO
1 1 * -0.4843 0.0379 t 1.52~7 0.3757 t
CIl
I I I -0.4138 0.0290 l
1.~OI9 0.2383 t
C12
l i t -0.4733 0.0427 * 0.1615 D.1764 •
C13
1 1 * -0.4932 0.0245 l
1.9844 0.4137 l
CI4
1 1 * -0.3836 0.0377 t 0.837: û.1965 l
C15
1 1 * -0.65B4 0.1214 l
1.1316 0.3910 t
elb
I I I -0.5632 0.0676 t 0.9:01
û.176b l
CI7
I I I -0.5452 0.033(, l 0.7739 0.0690 l
CI8
l I t -0.6500 0.1225 l 0.1361
iÎ.(qOl) t
CI9
1 2 i -0.7137 0.1053 l -0.1493 0.0046 l
no
2 2 l -1.0653 0.0977 * -0.9464 0.0770 l
KI
2 2 * -0.9528 0.0439 * -û./&bS 0.0234 t
"2
2 2 l -0.8504 0.1225 t -0.6244 0.0661 l
M3
2 2 * -0.8413 0.0322 * -1.3636 0.0346 *
M4
2 2 t -1.0369 O.07b~ t -0.3199 0.0431 t
M5
2 2 l -0.7446 0.0691 t -1.5652 0.3010 l
n6
2 2 l -1.1539 0.1139 l -0.4816 0.0205 *
n7
2 2 l -0.4005 0.0473 l -1.0427 0.3240 t
M8
2 2 l -0.6919 0.0696 l -0.2335 0.0079!
M9
2 2 * -0.7520 0.0291 l -1.3951 0.1000 l
nlo
2 2 l -1.1735 0.0668 l -0.5769 0.0161 l
"II
2 2 t -1.1192 0.1231 * -0.0157 0.0000 t
M12
2 2 l -0.7141
0.0554 l -0.2610 0.0074;
"13
2 2 t -0.5747 0.0549 * -0.6514 0.0706 l
MI4
2 1 * -0.3352 0.1321 t O.206? 0.0031 ~
M15
2 ~ l -0.3631
0.0524 l -1.5013 0.1534 *
nl6
2 2 l -O.9ûbO 0.0276 l -2.1496 0.1554 l
MI7
2 2 t -1.3124 0.OS8a t -2.3132 0.1935 i
nl8
2 2 l -0.3825 0.0070 î -2.0634
0.2026 i
~19
2 1 l -1.0417 0.0713 t 0.3232 0.0069 l
PO
3 3 t
1.5b23 0.3833 l -0.5275 0.0446 i
Pl
3 j t 1.4323 O.7b54 i -0,0817 0.0025 i
P2
3 3 l
1.4816 0.4434 l 0.2701
0.0147 l
P3
3 3 t 1.4Q2~ 0.4491 1 0.3150 0.0227 t
P4
3 3 l
1.4748 0.6696 l -0.0739 0.0017 l
P5
3 3 t
1.1291 0.1173 * 0.4616 0.0197 1
Pb
3 3 t
1.2930 0.3104 i -0.b66Û 0.0323 t
P7
3 3 1 !.27Qb 0.3b45 l -0.5294 û.Ob33 l
PB
3 3 1 1.2574 0.3032 1 -0.5583 0.0519 1
P9
~ 3 l
1.3896 0.6560 t -O.309~ 0.0325 t
PlO
3 3 l
1.3993 0.2036 i -:.0339 0.1132.
Pli
3 3 t
1.~545 0.4352 t -0.2424 0.0162 t
P12
3 3 t 1.4378 0.3054 l -0.7714
0.0821 :
P13
3 3 l
1.2753 0.5877 l
0.0924 0.0031 t
PI4
3 3 l
1.2514 O.40~7 t -0.3963 0.0403 i
P15
~ 3 l
1.2112 0.35Q3 t 0.0:24 0.0001 t
.
P16
j
3 t
1.4332 0.3493 t Or50~9 O.04}2 l
'1;
PI1
) 3 l
1.5174 ~.5üa4 l -0.1551 û.OocJ~_\\'
1
PIS
~ 3 l 1.5502 0.3254 t 0.0539 0.0005;
1
P19
~ 3 l
1.5131 0.4722 t
0.1260 0.0033 r
',.'
"~L
'"
r1l
t't, l
'''inlf!..:t.u
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T""' EAu'· • "~'pnRTE!!ryr·~~ D'rïD'r--lr'.Iê
Ho..
r T( ;:,r~"(".","r,'lr n·r· ...
.,}
r C\\.: 1n 1 i \\.:p,J
i/
t'if' c,C',:
'r" ,.~, "UI ':
'->1
n'AP?ARTENA~CE : EN LIGNE
, D'AFFECTATION : EN COLONNE
~
GROUPE 1 G~OUPE ~ GROUPE 3
1
GROUPE 1
lQ l
(i
t
AII-7
·!)rt'lO'C
.,
i
Oj .'_U' L..
s..
(:
t
2 t

---

====:=======:=======:=:=====~=========~===
Representation graphique des Individus
=====:====:=:=====:=============~=========
F'L~N 1 i 2
1 HORIZONTAL
2 VERTICAL
C13
CO.
C3.
C5.Cl.
C9.
CIl
C1561.
C2.
C12
Clb C14
C17
C7.
ca.
P16
P5.
0'1
r Lo.
K14 Cla
P3.P19
P13
P18
- ~ll - - - - - - - - - - - -~- - - - - - - - - - - - - Pl5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
~
Pt.
Cl9
!
63. Pl7
MB.
!
PlI
Kl2
1
P9.
Pl4
116.
P7.
PO.
MtO
pa.
!'l'l.
1'113
Pb.
Ml.
Pl2
M.
MO.
62.
117.
PlO
1'13. "9.
1'115115.
1'118
Mlb
M17
StiPERPOSIilotm :
51, --} ~= 20 1= 48 : f- C4.
(3. --}
x= 19 y= 54 :
t CS. + C6 t CIO
r"!
__ \\
'~I
+
•
1
~= 20 y= 43 :
CS.
CI. --} i:= ln y= 52 : + C9.
ct 2 -- > ~= 18 y= 46 : t Clb
'J,
l
L .
~= 64 y= 37 : t P3.
PI. --;.
i:= 6~ t= 32 :
t r'4.
AII-S

---

ANA[YSË=FAëTOR1ËEËË=DlSëRlfiIFiAnTÊ
Image nün traitée - Fen@tre IS - 60 individus
par A. CORENiHIN ENSUT Dakar le 22-02-1939
=================================
IMBRES DE VARIABLES DUAUTITATIVES: 9
IMBRES DE 6ROUPES QUALITATIFS
: 3
,SERVATIOHS SUPPLE"ENTAIRES
: NON
Il'IBRE D'AXES DEMNDES.
: 2
ETUDE U~IVARIEE
EFFECTIF: 60
VARIABLES
MOYENNES
ECARTS-TYPES
l'ID"
st
83.lb7
15.5340
VAR la
1264.000
1520.6100
.,. """.,
.J.4~J
2. 1320
"DA la
VMT la
769.400
'502.3055
COll
la
1396.933
1518.2530
l'lAS U
134b.333
120:'84'10
i'lDI la
20.400
6.8707
LA3 II
109.367
39.4476
LA5 H
464.'567
433.2075
CORRELATIONS TOTALE5
"DY
VAR
"DA
VHT
CON
MAS
MDI
LA3
LA5
IIOY l 1.0000
VAR l 0.9108 1.0000
l'IDA t 0.9278 0.9728 1.0000
V"T l 0.9259 0.8550 0.9766 1.0000
CON t
0.9225 0.7689 0.7265 0.7312 1.0000
"AS t -0.6985-0.6050-0.9029-0.8511-0.4396 1.0000
l'lUI t 0.3635 0.2562 0.5069 0.5079-0.0973-0.5923 1.0000
1
LA3 l 0.6640 0.6107 0.7331 0.7424 O.5177-0.b477 0.4003 1.0000
1
,{
LA5 t 0.5967 0.5335 0.6642 0.6703 0.4299-0.6161 0.3702 0.7554 1.0000
~
tDE PAR GROUPE
-~
6ROUPE
EFFECTIF
'~ARIABLES
MOYENNES
ECART5-TYr'E5
1
20
MOY l
73.50(1
0.9743
VAR t
49.100
62.0515
"DA t
0.7(11)
O. 435~
VI1T t
181.300
80,2304
CON •
379.000
754.b4~2
"AS t
291Q.21)(I
779.1161
MDI l
14.70(1
5.7301
LA3 t
27.'100
15.3685
LAS •
103.100
124.4998
2
20
110Yt
95.050
13.6239
VAR t
2029.0')(l
1703.4150
l'IDA •
4.350
1. 7400
'JMT t
1033.900
34-1.1778
CON t
1696.850
1303.4290
MAS •
573.900
176.3829
MDI t
24.150
"!
'J~"TJ
..i , LI~'1 0
LA3 t
lU.70(1
82. 521~}
111':-
LM..!
i
543.200
3i3.439b
3
20
MOY •
95.950
1q. 63~,a
VAR t
1713.7(10
lOn.WHO
"DA t
4.450
t.4Q'iL
VIIT t
1')93.000
333.7143
CON l
2114.950
1729.7380
l'lAS •
554.9(11)
162.7500
•
MDI l
22.~50
'
~. ~."'li
IJ.iJO/"
LA3 t
152.500
83.0059
LAS t
742.400
485.4472
~
.t
AXE 1
AXE 2
lEURS PROPRES
0.8722
0.2243
tTRIBUTION AL'IUERTIE
79.55 Z
20.45 %

---

ETUDE DES VhRIABLES
tere Colonne : CORRELATIOnS
2eae Colonne : CARRES DES CORRELATIONS
VARIABLES
CDMPDShNTES PRINCIPALES
AXE 1
AXE 2
nov l -1.0000 0.9999 l 0.0039 0.0001 l
VAR l -0.9814 0.9632 t 0.1918 û.03b3 l
MDA l -0.9998 0.9996 t 0.0196 0.0004 l
VMT l -0.9999 0.9998 l -0.0136 0.0002 l
CON t -0.9823 0.9649 t -0.1374 0.0351 l
MAS t 0.9993 0.9936 l -0.0373 0.0014 t
MOI t -0.7749 0.9504 t 0.2228 0.0496 t
LA3 t -0.9799 0.9999 l 0.0104 0.0001 t
LA5 t -0.9644 0.9300 l -0.2645 0.0700 t
CERCLE DE CORRELATION: AXE 1 HDRIZONTAL
AXE 2 VERTICAL
tt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
l
l
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
l
l
t
l
t
l
t
i
t
l
*
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
l
t
t
l
i
t
t
NDI
t
l
VAR
t
t
i
t
l
t
t
l
i
t
t
t
t
t
MOy------------------------------------------------t-------------------------------------------------t
VI1T
i
t
t
t
MS
i
t
t
t
t
t
t
l
t
corn
t
t
l
t
t
LA5
l
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
l
t
t
t
l
t
l
l
t
l
l
t
l
l
l
t
l
~
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t
t
t
t
t
t
t
t
i
l
t
t
1
:
t·
t
l
t
tt
tt
ti
i
SUPERPOSITIONS EN
Vert Hori
MûY t~DA
30
1
iJOV LA3
30
1
AlI-lO

---

ETUDE DES CENTRES DE GRAVITE DES GROUPES
"e·Colonn~ : COORDONNEES
I~ Colonne : COSINUS CARRES
GROUPES
AXE
1
fiXE
:
1
* i.3195 0.9995 * -0.0:97 0.0005 t
1
'1
Jo
* -0.6070 0.5123 * O.594J 0.4377 *
3
* -0.7105 0.6129 * -0.564& 0.3371 *
ETUDE DES INDIVIDUS
j 2 PREMIERS CHIFFRES SONT :
No.du GROUPE auquel appartient l'INDIVIDU
No du GROUPE auquel il ~st AFFECTE
INDIVIDUS
AIE 1
AXE ~
C<)
1 1 * 1.6932 0.433Q 1 0.1630 O.004~ *
CI
1 1 * 1.2804 0.3632. -0.1450 0.0047.
C2
1 1 * 1.0739 0.4902 t 0.0455 O.~ooq i
C3
1 1 * 1.6987 0.4192 * 0.3bb4 0.0195 *
C4
1 1·* 1.3356 0.4474' 0.Ob90 0.0006 *
CS
1 1 * 1.8959 0.4349 * -0.4734
0.0302 *
C6
1 1 * 1.3143 0.2741 t -1.6311
0.2216.
C7
1 1 * 1.2021 0.8131 t Q.2852 0.0460 t
C3
1 1 * 1.7147 O.59~0 t 0.1715 0.0058 t
C9
1 1 * 1.6235 0.5392. 0.1779 0.0071 *
CIO
1 1 t
1.5459 0.6119 * 0.3434 0.0311 1
CIl
1 1 * 1.6598 0.3231 t -1.:634
0.i612 t
C12
1 1 * 1.3436 0.2307 t -0.b981
0.0623 t
CI3
1 1 t
1.6623 0.3311 t -0.6250 0.0468.
1
CI4
1 t * 1.4681 0.7492 * 0.2937 0.0310 *
. ~
CI5
1 1 * 0.921b 0.3509 * 0.46~2 0.0890 t
1
CI6
1 1 * 0.5717 0.0952 t O.7i7Q 0.1762 *
e17
1 2 * -0.0153 0.0001 • 0.4732 0.064& *
CI3
1 1 * 0.5281
0.0611 * -0.0339 0,0003 *
,
C19
1
1 t
0.8147 0.2021 * 0.5352 0.0372 t
1
"0
2 2 * -0.3294 O.O~24 * 1.3844 0.1154;
3 1 -0.3431
0.0934 t -1.0503 0.1451 *
"1
2 2 t -0.7502 0.0245' 2.0376 0.1308 t
"2
'1
Jo
1
2
"3 2
* -û.6912 O~0195 * 2.9477 O.353~.
3
"4
'1
Jo
* -0.724b 0.0320 t -0.7372 0.0373 t
2 * -0.4050 0.0~89 t
1.3658 0.3284 i
"5
'i
Jo
3 t -0.6334 0.0370 * -O.3~44 0.0272 t
"b
2
M7
'1
.. 2 * -0.893b 0.1342 * O.480~ 0.0382 *
1
M3
2 2 , -0.7411
0.1153 t
0.0660 O.oooQ t
"9
'i
.. 3 * -0.3525 0.0184 * -1.0840 0.:738 *
1'110
'1
Jo
3 • -0.bb47 0.14b4 t -0.3509 0.0402 t
t
2 * -1.0768 0.1032 * 0.5313 0.0251 t
"11
'!
..
"12
2 3 * -0.48JI 0.1279 t -0.2351 0.0305 t
r
"13
2 2 * -0.1972 0.0059 t
1.:833 0.2111 t
"14
'1
.. 2 * -0'40bl 0.0220. 0.3538 0.0936.
"15
'1
Jo
2 * -0.8106 0.0594. 0.9389 0.0798 t
1
I\\lb
'1
.. 2 • -0.6934 0.0689 1 O.56i3 0.0454 t
MI7
'1
... 2 * -0.3409 0.0076 1 1.7541 0.2002:
(:
MI9
'i
Jo
2 * -0.3b22 0.0362'* 0.3720 0.0392 t
[
"19
2 2 t -0.2836 0.0063.
O.76~7 0.0461 t
i
PO
3 2 * -0.5375 0.0592 t
ü.8~37 0.l527.
PI
3 2 * -0.6233 0.0336. 1.4936 0.4301 *
1
0'1
... 3 3 * -0.9353 0.113b * -1.3199 O.22bû *
·1
..
P3
,1
3 * -0.5931 0.0439 t -1.2030 O.20!~.
..
1'4
,1
3 * -0.4367 0.071? t -0.3722 0.0522 *
1
P5
3 2 * -0.4421 0.0634 t 0.7304 0.1731 *
..
Pb
,1
3 * -0.6436 0.0323 * -0.7637 0.0443 t
..
P7
J
3 * -1.114b 0.055b t -1.657? 0.1231 *
PB
~
3 t -0.6522 0.0519 * -:.3785 0.2320.
P9
~
3 * -0.1762 0.1165 t -0.2747 0.0935 *
"
PlO
3 2 * -0.5179 0.0440 * 0.0864 0.0012 t
l'II
"3
2 * -0.5625 0.048,] t
tl.2(1~:& 0.0063 t
PI2
J
2 * -0.5973 0.1219 l 0.3603 0. 0472 t
..
PI3
.' ~ * -0.3552 0.0225 * 0.4294 v.ûJ2Q l
..
P14
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3 t -0.3234
0.0104 * -1.5bOO 0.2430 t
..
PIS
;;.
3 ." -0.7532 0.0559 * -1.2266 0.1492 t
..
Plô
;;.
3 t -0.3331 0.0212 t -1.4477 O.05~a t
..
P17
",'
3 t -0.9530 0.0283 * -1.45~3 0.0654 2
t
PIS
,1
3 • -j.3437 0.1333. -i.3533 0.1374 t
..
PI9
~
3 t -0.9437
o.o~oa t -0.G~37 0.040:;
1
TABLEAU: APPARTENANCE3 D'ORIGiNE ET AFFE~ThTIONS D'APRE3 LES CALCUL~
i~
D'APPARTENANCE: EN LIGNE
D'AFFECTATION : EN CQLONNE
GROUPE 1 5FOUP~ ~ GROUrt 3
1
t
GROUPE 1
19
GROUPE 2
Cl
14
" T T
1 1
l

---

r
=:===========~=========~============:=====
Representation graphique des Individus
====::====================================
PLAN 1 1 2
1 HORIZONTAL
2 VERTICAL
1'13.
112.
1'l0.
!'l17
Pl. 1'15.
H13
1115
PO.!'l14
PS. "19
Clb
62.
ml
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Ml.
Pl3
C17
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1
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Cl4
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1
CO.
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C2.
C3. [4.
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-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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_1-
_
CIS - - - - - -
51. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1
1
Cl.
1'112
1
1
l'lb. P4.
1
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1
C12
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Pb.
1
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1
1
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11 ~
1
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1
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1
PZ.
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pa.
Fib
P17
?14
P7.
Cil.
SUPERPOSmmG :
CO. --)
i:= 67 y= 24 :
+ ca. + C9
Nb. --;- ;:= 15 y= 17 :
+ MIO
:14. --}
~= lb y= 12 : t Pb.
Plb --)
~= '1 y= 3: t ?17
?7 ~ --}
::= 9 y= 11 :
+ P19
AII~12

---

;:==~===:==:===========::~==~====
AtlALYSE FACïORIELLE DISCR IWlii1lTE
I.age e~ponentielle - Fen~tre 15 - 60 individus
par A. CORE~THIN ENSUT Dakar le 22-02-1989
=================:======:==:=:=:=
JMBRES DE VARIABLES QUANTITATIVES: ' 9
1MBRES DE GROUPES QUALITATIFS
: 3
;SERVATIONS SUPPLEMENTAIRES
: NON
II'lBRE D'AXES DEMANDES
: :'
ETUOE UNIVARIEE
~PULATION TOTALE
EFFECTIF: bO
1
VARIABLES
MOYENNES
ECARTS-TYPES
1
!
,
MOY U
81.967
32. iBM
VAR U
4332.033
4725.4330
MDA U
7.117
2.9726
VMT U
1533.217
647.5176
CON Il
4199.817
3625.1130
MS U
721.183
663.9186
1101
U
22.783
4. n'lb
LA3 U
233.43~
132.7756
LA5 U
'102.133
613.2159
CORRELATIONS TOTALES
1I0Y
VAR
MDA
VMT
CON
liAS
MDI
LA3
LAS
MOY t 1.0000
VAR * 0.7869 1.0000
/IDA t 0.8792 0.8402 1.0000
VIIT * O.88b8 0.8421 0.9458 I.QOOO
celN t 0.8743 0.95670.9192 0.9232 1.0000
liAS * -0.7370-0.5416-0.1295-0.7482-0.6204 1.0000
/lDI * 0.3544 0.1974 0.3709 0.3605 0.2461-0.4515 1.0000
LA3 t 0.5604 0.5367 0.6246 0.6218 0.6399-0.4150 0.0913 1.0000
j
LA51 0.5244 0.5091 0.5537 0.b181 0.5832-0.4212 0.1025 0.6208 1.0000
j~DE PAR GROUPE
~
GROUPE
EFFECTIF
VARIABLES
MOYENNES
ECARTS-TYPES
20
MOY t
45.800
4.IObl
VAR t
673.800
369.9863
HDA *
4.400
1.5937
VIlT *
857.(1(1(1
182.9326
COtl t
941. 650
393.2655
MAS *
1494.350
641.2794
MOI t
20.950
5.9705
LA3 l
1:i6.200
bl. i21b
LAS *
486.900
~}9,3(19S
2
20
MOY t
37.70(1
24.1435
VAR *
6860.150
6439.5.100
MDA
.11 •
7.950
2.9407
VII· t
1900.150
5?9.m7
CON t
5673.(1(10
4,193.1480
MAS •
347.950
10~).2125
l'lOI t
22.350
3.b915
LA3 *
262.800
162.4234
LA5 i
1126.6N;
686.4659
3
20
MO'( t
1j2. 400
15.5255
VAR t
5462.150
19Z0.53Bn
MOA i
9.!)OO
1.9235
Viii •
1742.~i)(l
411. Zn7
CO~1 t
5954.80(1
1792.1410
MAS t
321.750
b3.6t:a
MDI t
24.550
.3 •.~53'1
Ul3 •
281. 300
i16.52b9
LAS t
1092. 900
533.2tû2
(f
~
!
AIE 1
AXE 2
lEURS PROPRES
0.9163
0.5684
ITRIBUTION AL'INERTIE
61.73 ï.
33.27 i.
~

---

ETUDE DES VARIABLES
lere Colonne : CORRELATIONS
2eme Colonne : CARRES DES CORRELATIONS
VARIABLES
COMPOSANTES PRINCIPALES
AXE 1
AXE 2
MOY l -0.9946 0.9893 l -0.1034 0.Oi07 l
VAR l -0.7672 0.5886 * -0.6414 0.4114 *
HDA l -0.9065 0.9341 * -0.2567 0.0659 t
VMT l -0.9365 0.S771 * -0.3506 0.1229 l
CON l -0.9093 0.3269 l -0.4161 0.1731 t
HAS l 0.8964 0.8035 * 0.4432 0.1965 *
MDI' -0.9999 0.9999 * 0.0124 0.0002 *
LA3 i -0.9422 0.8877 * -0.3351 0.1123 t
LAS * -0.8648 0.7479 t -0.5021 0.:521 t
CERCLE DE CORRELATION.: AXE 1 HORIZONTAL
AXE 2 VERTICAL
*
l .
l
*l
*l
*
•
*
*
l
*
*
*
*
l
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MAS
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•
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*
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*
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*
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*
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*
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*
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*
l
LA3 l
*
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*
•
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*
*
l
LA5'
*
•
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•
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**
*
*
•
l
l
l
l
t
l
l
t
*
*
i
l
*
•t
t
*
3UPER?DSITIONS EW
Vert Hor i
VMT LA~
19
3
AII-14

---

ETUDE DES CENTRES DE GRAVITE DES GROUPES
're Colonne : COORDONNEES
le Colonne : COSINUS CARRES
\\,
GROUPES
AXE
1
AXE 2
J
1
l
1.2016 0.3566 l
0.4915 0.1433 l
'1
L
l -0.0601
0.0032 l -1.0651
0.9968 l
~
l -1.1415
0.7984 l
0.5736 0.2016 l
1
ETUDE DES INDIVIDUS
G2 PREMIS~S CHIFFRES SONT :
1
Ka du GROUPE auquel appartient l'INDIVIDU
Na du GROUPE auquel il est AFFECTE
1
1
INDIVIDUS
ilXE
1
kXE 2
i
CO
1 2 l 0.7119 0.1494 1 -0.4510 0.0599 l
CI
I I I
1.4419 0.4236 l
0.3663 0.1529 l
C2
I I I
1.6296 0.2222 l
1.9195 0.3032 l
C3
I I I
1.6045 0.3330 l
1.43~6 0.3275 l
C4
I I I
1.3185 0.0725 t
1.0758 0.049~ l
C5
I I I
0.9391
0.0386 l 0.4915 0.0106 l
Cb
I I I
1.0379 0.1009 l
0.3019 0.0602 l
C7
I I I
1.4480 0.4561 l
1.0986 0.2625 l
C8
I I I
1.2701 0.3733 l 0.6035 0.0344 l
C9
I I I
0.9693 0.2284 l -0.1027 O.Ù026 l
CIO
1 2 l
0.7673 0.0859 l -0.5480 0.0438 l
Cl!
l i t !.0935 0.2835 l -0.2162 0.0113 l
CI2
l i t 0.92B2 Q.2550 t -0.4401
0.0573 t
CI3
1 t 1.1449 0.3466 l -0.2826 0.021! l
CI4
1 l 1.1620 0.4378 l 0.1346 0.0123 l
CI5
1 l 1.1220 0.3a21 l -0.2730 0.0235 l
CI6
1 l
1.lb19 0.140a l 0.5858 0.0358 l
CI7
1. l.qOOO 0.2206 l
O.9ÇOO 0.1103 l
cla
1 * 1.5305 0.2479 * 1.3657 0.1773 l
CI9
I I I
1.3620 0.2470 l
0.6821
0.0619 l
HO
2 2 t 0.2484 0.0022. -2.2042 0.17b2 l
MI
2 2 t -0.0725 0.0003 l -1.4037 0.0996 l
H2
2 2 l -0.2499 0.0079 * -1.6684 0.3542 l
"3
2 2 l .0.0698 o.oon l -2.7mb 0.3620 l
H4
2 2 l -0.2031
0.0034 t -1.1151
0.1039 l
~5
2 2 l -0.1476 0.0030 l -0.8343 0.0974 l
M6
2 ~ l -0.1280 0.0052 l -0.3393 0.0370 l
M7
2 2 l -0.0352 0.0002 l -0.1646 0.0045 l
M3
2 2 l -0.0693 0.0005 l -1.7041
0.2680 l
"9
2 2 t -0.1413 0.0050 l -0.4281 0.0457 l
MIO
2 2 l
0.0993 0.0013 l -0.3539 0.0235 l
Mil
2 2 * 0.2602 0.009S l -1.2794 0.2139 t
MI2
2 2 l
0.3140 0.0295 l -0.3401
0.2109 J
M13
2 2 l
0.0111
0.0000 l -0.9573 0.0686 t
MI4
2 2 l -0.1612 0.0013 i -1.3519 0.1233 l
MI5
2 2 l
0.1342 0.0011 l -1.(1969 0.0731 l
MI6
2 2 l -0.7056 0.0577 l -1.3350 0.2224 l
MI7
2 2 l -0.066B 0.OQ12 i -0.70a8 0.1312 t
Mla
2 2 l -0.1321
0.0013 l -0.4737 0.0168 t
"19
2 2 l -0.2264 0.0089 l -0.2949 0.0151 l
PO
3 3 t -0.7918 0.0731 l
0.4670 0.0272 l
PI
3 3 l -0.BI92 0.091B l -0.1646 0.0037 l
P2
3 3 t -1.0494 0.2237 l 0.0297 0.0002 l
P3
3 3 l -0.9319 0.2581 l
0.3675 0.0401 l
P4
3 3 l -1.2783
0.2353 l
1.2213 0.2149 l
P5
3 3 l -1.83Ç3 0.3112 l
I.S~98
0.3320.
P6
3 3 l -1.0843 0.1275 l 1.4289 0.221: l
P7
3 3 l -0.6177 0.0368 l 0.1158 0.0020 *
pa
3 3 i -1.43bb 0.2474 t 0.87:0 û.034Q l
P9
3 3 l -0.9917 0.1176 i
O.2~70
0.0108 t
PlO
3 3 l -1.6862 0.2370.
l.Z42r; \\1.1236 l
Pll
~ 3 l -1.6127 0.2498 l
O.:4~Ù 0.0057 t
P12
3 3 l -1.7168 0.1705 l 1.5751
0.1435 l
?13
3 3 l -1.1111
0.3900 l 0.3293 0.0343 i
PI4
~ 3 t -0.7093 0.2929 S -0.2582 0.0399 t
PIS
3 3 t -1.2702 0.2590 l 0.6493 0.06 77 t
P16
3 3 l -1.4151
0.12QO. -0.0440 0.0001 l
PI7
3 3 l -0.7902 0.0517 l 0.5600 0.0260 t
Pla
~ 3 l -0.6932 0.0430 t 0.3901
0.0156:
P19
3 3 l -0.9447 0.1733 t 0.2145 0.0089 l
1
TABLEAU: APPARTENANCES D'ORIGINE ET ~FFECTATIQN~ D'APRE5 LES CALCULS
kED'APPARTENANCE: EN LIGNE
tE D'~FFECTATIüN : EN COLONNE
1
1
GROUPE 1 GROUPE 2 SR8v?E 3
:3
r,
o
L
i
o
...·tl
L·.·
3 i \\il.~ SEi 'Y%
il
h

---

------------------------------------------
Representation graphique des Individus
=====:==========:=========================
PLAN t 1 2
1 HORIZONTAL
2 VERilCAL
,..,
P5.
l"i..
PI..,
!~
C3.
Pb.
elS
PlO
P~.
C4.C7.
Cl7
PB.
Cl.
C4.
Cl9
PiS
CS.
G3.
P17
Clb
PO.
C5.
61.
P3.
PIS
P13P9.
PIt
P19
P7.
C14
- - - - - - - - P2. - - - - - - - - - _i_ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Plb
!
C9.
Pl.
H7.
Pl4
1
ell
M19
1
C:3
Nb. !NIO
Cl5
M9. ~
CO. Cl2
H13 !
C10
1
K171
M5. lm
M12
1
1
G2. K15
M4.
~1
1
Ml!
111 Ô
Hl.
MI4 !1
1
H2. 118.1
1
1
1
1
1
1
HO.
1
1
1
1
1
f
1M3.
1
5UPERPOS ITI ONS ~
C13 --)
~: b5 y= 33
+ CI5
MI. --) ~= 37 y= 19
+ "14
M9. --) 1.= 37 y= 31
+ 1118
AII-16

---

Thèse de Doctorat
de
3ème Cycle
S p e c i a l i t e :
GENIE
BIOLOGIQUE
ET
MEDICAL
Nom de
l ' a u t e u r :
CORENTHIN
Alex
Suj e t
de
l a
thèse:
Amélioration et segmentation des images
échocardiographiques:
Aide
à
la
détection
des
frontières
myocardiques par analyse des textures.
RESUME:
Nous
proposons
dans
cette étude,
des procédures
d'amélioration
spatiale
et
temporelle
des
images
écho-
cardiographiques
et
une méthode de segmentation basée sur le
calcul d'un gradient
vectoriel,
améliorant
sensiblement
la
détection des contours épicardiques.
La
difficulté
d'arriver
à une segmentation du myocarde
nous ont conduit à étudier les
différentes
textures
de
ce3
images.
Une méthoqe de caractérisation,
basée sur l'étude de
la régularité et de la taille des éléments de textures,
a été
mise
au
peint
et validée.
L'analyse de ces textures nous a
permis
d'estimer
la
faisabilité
d'une
procédure
de
discrimination
des
trois
régions
principales de ces images
(myocarde, cavités, tissus périphériques),
et de proposer une
méthode de classification supervisée,
basée sur les résultats
obtenus par une analyse factorielle discriminante des réponses
de certains paramètres descriptifs de ces textures, permettant
la segmentation de ces régions.
Mots
cl es:
Echocardiographie,
Amélioration,
Segmentation,
Textures, Analyse de données, Classification supervisée.
Laboratoi're:
"Laboratoire de Génie Electrique de Créteil",
Université Paris Val-de-Marne, 94010 Créteil Cedex
Directeur de
Recherche:
Professeur M. GAUDAIRE
Adresse
de
l 1 auteur:
Ecole
Nationale
Universitaire de
Technologie (ENSUT) BP 5085 Dakar-Fann SENEG~~

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