UNIVERSITE DE PARIS I
PHILOSOPHIE SYMBOLIQUE ET ALGEBRE DE
LA LOGIQUE : LES LOIS DE LA PENSEE DE
GEORGES BOOLE
TOME I : Traduction
THESE pour le DOTORAT D’ETAT
Option : Philosophie
Présentée et soutenue publiquement par
Souleymane Bachir DIAGNE
Dir.
M.
J.C.
DESANTI
ANNEE
:
1988
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'7/J.II ~ t>-J,..f J,pIJ
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" fA p~&. A
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ra..f~
~.
UNE ETlJDE DES LO l S DE LA f-'E\\SEE
LES THEORIES MATHEMATIQUES
DE LA LOGIOUE ET DES PROBABILITES.
~ r- ""! r- \\ ~ ,- .
Je
ItJllit:'rciE:'
l'luflsieur
Dc'santi
et
~l(,nsieur
Coumet
(J'::1\\oir
cJiri\\]É:'
ce
tTéi\\'ail
éiinsi
que
ma
tllèsf:'
de
Troisième
c~cle.
qui
le préparait.
Je
remercie
Mademoisel le
Imber"t
et
Messieurs
Bouveresse
(,t
J"1ulin
d'avoir
accepté
cie
C(l[)stitller
le
jllr~
jA)UI
c',"tte
thèse.
et
de
m' 3VO i r
3 i dé,
pdf'
1 eurs
remarques
et
j eurs
consei 1 s,
à
réal i ser ce
tra\\'ai 1.
Monsieur
Coumet
m'a
accueilli
dans
dell:'\\
séminaires
c1iric)f.5
pdr
lui:ce
tréi\\ail
cl (1 i t
t)(~êl1J C (lU~)
éJ u:",·~
C 1-1 (~) r-' c r1 e LI r s
que
j'ai
ainsi
rencuntrés,
Je
rf~m,:,rcie
en
particulier
:1on-
si eur
des
cfJéi[,itres
de
Boole
cunC~.·fïjaIlt
les
pl"Ulx.:ilJllites
et
me
faire d'utiles remarques.
!");-J il i el
("n
relisant
cette
tr,Jduction
et
ç~ri
m'évitant
ainsi
l;j en
des erreur's et
maladJesses.
A
travers
son
directeur,
Monsieur
Alioune
Fati,
je
remercie
la
Fondation
Léopold
Sédar
Senghor
qui
m'a
permis
de
prendre
deux
années
de
di sponi bi l i t é
pour
me
consacrer
à
ce
travail,
El ie
Cohen
a
apporté
à
la
réal isation
matérielle
(je
ce
travail
ce
que
seule
l'amitié
la
plus
précieuse
sait
donner.
Les
notes
du
trélducteur,que
l'on
troLlU?ra
en
fin
de
\\'olume,
d f,' 5
] i:' 1 t! f""':;
[Ji l 1j 1)--<' U 1 c, ,"',
(j e l ' ; J \\ 1-' t '.J th" t .
Elles
signalpnt
surtout
les
traductions
uti)ispes
pour
les
citations,
longues parfois.
que
fait
George Boole.
.-l - -
F'REFACE
r'""1 .•7.=.
\\ ! r-; _~~
r- .- --
.. ,
-
par établir le mème système de lois fondamentales
les mt?thodes
applications est bien plus vaste
Ce livr"e présente
les
résultats d'un principe d'étude des opérations de la pensée après
que des années d'examen et de réflexion l'ont mari
le travail
écrit en quelques SEmalnE~ 3près que Jen eus con~u
~~~
termes en usage dans cette science et de ce qui
en fait
l'objet
génér-al
.+ .'- ..;
d'études
Il
est égal ement r-equi sune certai ne cannai s.sance des
principes de l'algèbre sans qu'il
soit nécessaire que leur étude
ait été menée au delà des questions de résolution d'équations
simples
Demanderont une plus grande connaissance de l'algèbre les
particulier les méthodes d'élimination et de résolution
d'équations à
plus d'une inconnue.
On trouvera une introduction
__ 1. -
le Lard~er's Cabinet Cyclopaedia du Professeur O~ Morgan et
le
h
Library of Useful
f\\"notoJIeôge
de Sir John Lubbock
Ajoutons y
1 1
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XI\\.'
et
figurant dans la conclusion
j
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fait
référence à
divers
auteurs
,anciens et
modernes
dans
le but surtout d'illustrer
une certaine conception de 1 'histoire de 12 philosophie
En
CE
l .1
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aucun
moment
fait
une citation sars aVOir
jugé
la
pensée de leur auteur ou le sens géneral
de 1 'oeuvre dont elle
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qu' il
avan<;ai t
Et si
au terme de mon entreprise
dont SEules quelques
personnes pourront
,à ses fruits
apparents
juger de l'effort
qu'elle a coOté
1 on me permet de parler
quelques instants des
sentiments avec
lesquels je prends maintenant congé de ma t~che
je dirais que je n'ai
jamais douté qu'elle ne méritàt tous mes
que
j
ai
sent]
que
quelque fruit
qu'elle
v~nt è
porter
ce ne serait pas là une chose personnelle ou arbitraire
qui
pourrait dépendre
en son essence
d'une opinion humaine.
_~ 3_
avaient sur
la
logique des opinion~ tout à
fait
contraires à
la
persp:ê~ctive qui
fünde
ici
tDute
la délilorl'3tr-atlon
et
12 IÏlf;,.thode
ï '
1•••
sée que tend à
produire une longue attention à
un
aspect
très
particulier de la vérité
:..., .
-.-.. ~.-
. '- ::' --,
fr2~chie de tout élément subjectif
que ses différents 2spects
apparaîtront en
leur
juste proportion
et
qu'aucun d'eux
ne se
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CHAPITRE 1 NATURE ET BUT GE L'OUVRAGE
<1>
t- Le but de ce t~aité est d'étudier les lois fondamentales
des opérations de l'esprit par lesquelles s'effectue le
raisonnement; de les exprimer dans le langage symbolique d'un
calcul
, puis, sur un tel fondement
t
d'établir la science de la
logique et de constituer sa méthode.
de faire de cette méthode
elle-même la base d'une méthode générale que l'on puisse
appliquer à la théorie mathématique des Probabilités; et enfin,
de dégager des différents éléments de vérité qui seront apparus
au cours de la démarche, des conjectures probables concernant la
nature et la constitution de l'esprit humain • ~.
2-Qu'un tel
but ne soit pas tout à
fait nouveau, on a à
peine besoin d'en faire la remarque,
et l'on sait bien qu'aux
deux importants domaines pratiques qui
le constitue,
la logique
et les probabilités t
les philosophes ont
--"-
consacré une part
importiintè 2de leur attention ~
, .~~.,.
De tait. ., dans sà.forme ancienne et sc.olastique , les
êléffién€sde
la logique se rattàchentpresqueexclusivementau
grand nom d'Aristote .. C'est sous l'aspect o.:t elle fut exposée
à
la'Gr~ce'antique par la démarche, en partie technique et en ..
...
partie métaphysique de ]'Organon,
qu'elle a continué, presque
san$~ucun changement es~entiel , de se présenter jusqu'à nos
joùf1ii2:~:1'::è mouvement de recherche originale S'f:?st plutot dirigé>,:.
vers des questions de philosophie générale qui,
quoiqu'issues de
<2>controverses entre logiciens, ont débordé de leur lieu d'origine
$;':
""~.. . .•;<~ "-~...
d'AbéL:wd
,
de RamL''3
,
de D~sc.2.rtes ainsi
que l'opposition -finale
de. BaLan et d!? .Loc}:e se présentent à
la pensée comma autant
d'exemplesdes influences plus lointaines exercées par l'étude de
la démarche da 1 "esprit humain
1
en
partie par ce qu'elle a
: 1ugg~ré d~~~~~\\~",de disçus$i onferti 1 es, et en parti e par ce
qu ',elle a,.prov9q'r~ d,Et f.~ro~c.tt~ (Jpposq:iqn.A.sespn~tel"\\tiqn5.
excessives.
L'histoire de la théorie des probabilités quant à elle a bien
davantage offert l'image d'une croissance rapide qui est la
marque de la science. Dès son origine,
le génie précoce de
Pascal
, . t ~an~son stade plus mÛr de développement , les
spéculations mathématiques les plus abstraites de Laplace ont
visé à la faire progresser ;sans parler d'autres noms à peine
moins illustres que ceux-là.
De même que l'étude de la logique a
eu ceci de re~arquable qu'elle a suscité des questions
métaphysiqlJesJiées. à cett~, discipline, de méme celle des
,,; >, __ -'~." ,,;,
r - : , _~..,
'''.
~,,-"
~
,
' .
pr:Pbabil~té~~:~:!$t,~i 9nalée par l' i mpul si on qu' ell e a donnée aux
" "
>.,~
> 't., l,""'.':'
,
.••.
"',
plus imR;r~apt~~;_d(,1R,\\.~i~~sd~,.lasc,~ence mathématique. En outre,
C:'ë~t"~;'~\\!~~~~7J,~>.tt:e,~.q':l/P'1,?ep~e9Y~ ch}~c:un.~ cJ~, ces delJx scief1ces
v~,fe,aH~R,~~~~'~·f\\~),t'-U~~i.>,p~~n.?péqJlati v.~,qua pratique.
'f
,"-',
-
""-"::-,
",C
',_
" ,
'
, , ' , .
" , '
,
,
L'obje,t de la logique n'est pas seulement de not,.(sapprendre à
f,"
;.
""'._'
~
,-,.,t-."
~.,"" "'" ~_-
\\
.,-_.'
,
' , " ,,-' ,
,~'
,
mener des
".-'
inférences valides étant données certaines prémisses;
et l~)~.p~ ~D~I~.;>t~(:!orie<;fE?s,prol:Jabili~é<;;n'est pas non plus
unt9~~""~?:h.t:q~~~Hs,~m~ei9n~ç~:}~ta9~ir, !e,~LPrl=lbl.~~es,>,~.~.o1issurance
sur des fondements solides; ou à extraire ce qu'il y a de plus
digne d'i.nté~ét dans les innombrables observations enregistrées en
',' .
,
[;~"
;
'-
physique astronomique ou dans ce domaine de recherches sociales
Elles nous renseignent sur la manière dont le langage et lé nombre
servent d'instruments aux procèdures de raisonnement; elles nous
révèlent
,
j\\..Isqu' à un certai n poi nt ,
l ~s rapports qui ex istent
entre les différentes facultés de notre intellect; elles exposent
ce qui
, dans les domaines de la connaissance déductive et dela
connaissance probable, constitue lescr,ttères ,essentiels,de
vérité et de validité. qui ne nous viennent pas de l'extérieur
mais trouvent leur fondement au plus profond de la constitution
des facultés humaines.
Ces fins spéculatives ne le cèdent en rien
ni en intérèt
, ni en dignité, ni non plus ,<3> on peut
l'ajouter, en importance. aux finalités pratiques auxquelles on
associe l'histoire de ces sciences ~- Dévoiler les lois et
relations cachées de ces importantes facultés de la pensée qui
nous permettent d'atteindre et de parcourir le domaine qui
dépasse
la connaissance purement perceptive que nous avons du monde et de
nous-mêmes, est un but qUé l'on a
----"-
pas bèsoin de faire valoir
devànt un'espr-itrationnel i,~·
3-'-Mais:tiieh què certains aspects du but de cetouvrage,aierlt
été trai tés' par d'autres ;' sa concept;t9rl~:généralt:! , sa méthode ,
;,
,'-'-'.;;.' ..,'":', ,,',
et , dans une large mesure, ses résultats sont " j e .le crois,
originaux. C'est la raison pour laquelléjeVais présenter en ce
....
chapitre quelques thèses et explications préparatoires pour faire
entendre le but véritable de ce livre et faciliter la
à:impréhensl'on de la manière dont il traite de son,objet
L'on s'y propose en premier lieu de mener l'étude des lois
fondamentales des opérations intellectuelles par lesquelles
s'effectue le raisonnement.
Il n'est pas nécessaire d'entrer ici
14 0 bjet
d"un doute,
l'on ne doit pas en traiter en s'effor~ant de
décider a priori de ce qui est en question , mais en présentant à
l'attention de celui
qui soulève des objections la réalité de lois
l'introduction de ce traité d'apporter Llne solution à ce doute
mai~,<au tr ~it~ l).J;i-:-m~me • Que l' qn accordé ce postul at qu'une
$ç:ience des facultés intellectuelles est posssible et que l'on
considère un instant comment il est possible d'en avoir
connaissance.
Comme toutes les autres sciences, celle des opérations
intellectuelles doit principalement reposer sur une observation
dont l"objet sera les démarches et les procèdures mêmes dont nous
voulons déterminer les l o i s .
Mais alors que la nécessité pour
elles de trouver leur fondement dans l'expérience est ainsi
une
condition commune à toutes les sciences, il existe des
différences spécifiques entre les modalités suivant lesquelles ce
pfj"flc;-lpe $'applique pour établir des vérités générales selon que
,:.'-~" ','. - C',
.'
. '
_
: _
l:'tibJat. ~d'étudeestl'~esp,-i t oubi en ra nâture exter i eure • L·on
dQiji.attirér,l"attel1tiol1 sur ces modalités'.
, ~,
.
.·,t~·
'. ~:,-..,
<"~~;t'~~: ::Les 'loi s9$"iéral es de la nature ne sont pas , la plupart du
">";~'"''''.::>:l';).>'>,
.
, . ~ .~;~',:.-, -,
;,·.j."'f --:- '.
",~.'
'
tetÎlp~ , des objets Jmmédi ats de percepti on. Elles sont soit des
conséquences înduites d"un vaste ensemble de faits dont elles
~xpriment la vérité commune , soit
, à
leur origine tout au moins,
•
I~ ':-<~
~ê~~,"ypothèses physiques de nature causaleexpUquant Jes
~ -
1
",
]
phénomènes avec une précision constante et nous permettant de
prédire de nouvelles combinaisons de ces phénomènes .Dans tous les
cas elles sont, au sens le plus strict du mot, des conclusions
qui
la
totalement leur caractère de probabilité , à prendre ce mot en
tDute rigueur.
En revanche, la connaissance des lois de l'esprit n'a pas
besoin de se fonder sur un vaste ensemble d'observations. La
vét-ité générale y est aperi,:ue dans l'e}:emple paTticulier, et ce
,-
n'est pasJ~ .rép~,titi on, des exemp,lesJ~t;tit~ S,on'U~r;:lPe • ,~qu~
J ' , '
' , '
.. - , . - - ,
....
•
,
pouvons donner de cette thèse une illustration tout à fait claire.
L'on peut douter que la formule concernant le raisonnement que
l'on appelle le dictum de omni et null0 d'Aristote exprime une loi
première du raisonnement humain;
mais on ne saurait mettre en
question le fait qu'elle exprime une vérité générale de la
logique.
Or cette vérité se manifeste d~ns toute sa généralité
lorsque l'on réfléchit à un seul exmple o~ elle s'applique ~, On a
là à
la fois la preuve que ce principe particulier ou cette
formule repose sur une ou plusieurs lois générales de l'esprit, et
une illustration de la tnèse que l 'appréQension de ces vérités
généra.le~ t;1e dérive pas d 'une ~nd\\.;Acti.ÇJn àpartir,_~;cune
multiplicité de cas, mais découle de la claire perc~ption d'un
seul exemple.
Il est unfai t. non !f\\oil)~ i ll\\Pgr~~n~. !J,~~;c:et~i là:
notre connaissance des lois qui fondent l ~~c i ens~" f.1es f acu 1té~
intellecttlelles , quelle qu'en soit l'étend~e 9U_I:~Qsuffisance.~
n'est pas une·connaissance probable.
Car nous ne lisons pas
seulement dans l'exemple particulier la,yérité générale;
nous y
voyons aussi une vér i té d'une certai ne "a.ture pour ,1 aqLl~ll e not,;re
conviction ne continuera pas d'augmenter avec l'expérience que
nous continuerons d'en faire dans ses vérifications pratiques.
5- Mais si
les vérités générales de la logique sont d'une
la difficulté d'ai11iil.5ser les matériaUi{ de la connai<;-,sance mais dans
celledeleg distinguer selon leur nature et de déterminer <5>
leurs places et relations mutuelles.
Toutes les sciences' sont
constituées par des vérités générales,
mais parmi
celles-ci
certaines sont seules premières et fondamentales
,
les autres
~tant seçonga.ires,et dérivées .Les loi.sdu mouvement elliptique,
découvertes par Képler
, sont des vérités générales en astronomie
mais n'en sont pas les vérités fond~mentales •
Il en va de même
pour les sciences purement mathématiques: une multiplicité quasi
illimitée de théorèmes connus et une possibilité infinie d'en
trouver que l'on ne connatt pas encore, dépendent d'un petit
nombre d'a~iomes simples; et pourtant tous sont des vérités
g~n~rales.On pourrait ajouter qu'à une intelligence suffisamment
pure ces vérités devraient apparattre dans tout l 'éclat d'~ne
lumière qu'elles ne doivent qu'à elles mèmes , sans ces liens et
ces médiations qu'établi t
1 a pensée , ces étapes fast idi euses et
souve'"'tp~niblesQLléparcourt la déduction qLii ,nous mène jusqu'à
l ...ur cbnhài1?sance effective.
Défin~s$on~.comme.fondamentaux ces.lois et principes dont.
peuvent:ètrE;t;dédui tes toutes. 1 es autres vérî tés générales de la
scienCE! .. Serons notis dans 1 'erreur en considérant que c'est là la
vraie science1'de la logique,
qui en établissant certaines lois
élémentaires confirmées par le témoignage même de l'esprit, nous
pet-met ~~lor$,de .dédui re "
par des procèduresuni fm-mes:,
la cha1'ne
entière de leurs conséquences secondaires
, et nous fournit
, pour
ses applications pratiques, des méthodes d'une parfaite
généralité? Demandons nous si, pour quelque science que ce s o i t ,
qui en dérivent et la généralité des méthodes qu'elle permet
d' établ ir. D'autres qüesti ons pourront bien sOr se présentet- •
L'utilité ,'1'orddliliancé ,'ra préférence individuelle pourront
faire entendre leurs exigences et mériter l'attention.
Mais pour
ce qui concerne la question de la nature de la science dans sa
pu.reté ab~trait.~ " j ' a i ) e sentiment que nulle autre considération
que celles-là h'a de valeur.
6-L'on se propose ensuite d'exprimer les lois fondamentales du
raisonnement dans le langage symbolique d'un calcul. Sur ce
chapitre il suffira de dire que ces lois
elles-mêmes de
('I\\C·h./l\\,1r: Ct,.
\\
\\ '
' f "
nature à suggérer ce mode d'expressio ,l\\?
. ,'"
surer d'être
'v
_
~
~\\
particulièrement et exclusivement ad
~'~ ~UIcf
poursuivies.
---------
\\
...:; ,
<6>
Il n'existe pas seulement une
~oite an .l~gie entre les
:r., -:;.
"',
-(;)
'~ /; "---.
,-J~ ,
opérations de l'esprit dans le raiSOnnE!tR.(~~~:~~~néral et celles
qu'il mène dans cette science particulière qu'est l'algèbre,
mais, dans --"-
une trés large mesure, une équivalence exacte des
lois aux quell es 'obéi s'sent· les deux cl assesd 'opér ~t ions • Bi en
. .
- , ".'; .
de manièrè'indépeliçfant,e îtoute équivalence formelle entre elles
~~, - .
'.', .'.'
\\~~ :,'~; --7 - :t,,~ii~...
ne saurait ètr~ étâblie qU~' a p()steriori,après une comparaison
effective. Emprunter A la'science du Nombre sa notation pour
ensuite suppoter que dans'sa nouvelle application les lois qui en
gouvernent l'usage demeu:ent inchangées serait une pure
hypothèse. 'Et+véritê', il èxiste certains principes généraux qui
trouvent leur fondement dans la nature même du langage, et qui
déterminent l'usage des symboles qui ne sont rien d'autre que les
éléments d'un langage scientifique.
Ces éléments sont,
jusqu'à
1
limitée par deux conditions indispensables:
la première es~ que
dans le m~ma raisonnement nous n'abandonnions Ja~ais le sens fixé
une fois qu'il a été conventionnellement établi; la deuxième,
que
que sur le sens ou la signification
, préalablement fixés,
des
sYniboles employéSj'
Si
l'on se c-onformeà. C:~!j.pr·~f1<:ipe~.., toute.
équivalence qui
pourra être établie entt-e les lois des symboles
logiques et celles des symboles algébriques ne pourra
qu'entra~ner l'équivalence des procèdures • Les deux domaines
d'interprétation demeurent séparés et indépendants, chacun étant
soumis à ses propres lois et conditions.
L'étude qui va être menée présente la logique , sou~_sdn
aspect pratique, comme un système de procèdures effectuées.~
l'aide de symboles ayant une interprétation'définie et ~oumis à
des lois qui ne se fondent que sur cette interprètation • Mais,
en même temps,
elle montre que ces lois sont formellement--
à
cel! es des symboles générauR.~a l. ~p,lgèbre -.j' à't:è
pr~sd~e les symbblès 10';1i que~"~ClOf' e~-ilÙs so~~r~ .r..:
.une loi
spécÎ<ile <chap.II>
à
aquelle n'obé~psent pas les:,;
'>"'i{~''':.;';2~('-'''r':::;i.~~ ,,;::,;.,',)
~'/'<.« - ~"_' -~;~,1'; .,. ~"~'~~/':\\~: ":,-;,' <':.:·':;~!·','>tâ;::'{~);';:~;)(;'-::
'syrtibolesquar;tftatifs entant que tels • Je':~e ycjudrais pas
. »,,:,', :~:7'
' ,','".
m'ét~Adre ici sur la natw-e et les raisons de'c~tte loi .'Ces
questions se'ont amplement discutées plus loin.
Mais puisqu'elle
constitue le point essentiel sur lequel divergent les formes
d'inférence dont s'occupe la logique <7> et ,c:elle1:i,que'l'ontrouve
'_',.J
. '"
'
__ . '-,"',,,
:,' ,., ;
" ,.
.
,
~•• '.'
, ' _
~:c.:.::: ~-/' ;c
dans la science du Nombre, cette loi mérite plus qu'une allusion.
Elle est ,peut on d i r e , au fondement du raisonnement en général
et elle gouverne les opérations intellectuelles de conception ou
forma et de leur e~pressian ~ff2ctiYes .On ~~ut dès lor~ aFfirmer
que cette loi constitue le germe ou le principe séminal dont toute
expression plus ou moins adéquate d'une méthode générale en
logique est le développement plus ou moins parfait.
7- L'on a déjà ét~bli
(5)
le pt-incipe selon lequel
le
caractère complet et véritablement fondamental d'un système de
Icis10giques dOf1rJ~e.~d()Jt P04vpir~.~,l1lanife.ster,enpartie "dans
la perfection des méthodes auxquelles elles conduisent.
Il reste
donc à examiner les conditions d'une méthode générale en logique
et à voir dans quelle mesure elles sont satisfaites dans le
système ici exposé •
La logique s'occupe de deux types de relations:
celles entre
les choses et 'celles entre les f a i t s .
Mais puisque les faits
s'expriment dans des propositions,
le second type de relation
peut se ramener, en ce qui concerne les buts de la logique tout
au mains, à une relation entre d~s propositions.
L'affirmation
--que le fait ou l.'événement A est une conséquence inévitable du
fai t ou d~ 1 ;·~vè.Q~(1leqt,B peut J, al.l main!:; 'f0u~ ce rapport, èfre
considérée comm,e, l'.êCJuivaient de celle-cie
La vérité de la
proposi tione~priql~ntque,1 'évèneOlent B ~e prodLli,t.entrat'ne
toujQurs la vé~it. ~~ la proposition exprimant que l'évènement A
se produit. Dès. lors, au lieu d~ dire que la logique s'occupe des
relations ent'e les choses et des relations entre les faits,
nouS
pouvons dire qu'e~le s'occupe des relations entre les choses et
des re.1ationsentre les propositions. Nous. avons. un exemple des
relations du premier type dans la proposition:
"taus les hommes
sont mortels" ; et du second dans la proposition:
"si
le soleil
connaf·t une éclipse totale,
les étoiles seront vi,=ible''3"
.La
3
,'';
l ~:!
:·;\\~?c":-,;;:~~:0 (.~rn:-~ r·'el.;-;:t.l :'.J:-~ f~' tl"-,:~:: l f:'~~E f.:'r" t::·;r)C}·~:.:,i t 1 '~::ins -~_~1 ~'f:;,;:·:cr··tt":3.i I~~:..?~:; "1:~
visibles". Parmi d~ telles relations je suppose comprises celles
Qui
affirment 6u ni~nt ,pour les thoses , leur existence , et
.-".
celles qui
affirment ou nient <8>, pour les propositions
1.,2Lw
\\/ é:r- i té.
Appelons ces choses ou ces propositions dont on exprime ainsi
les relations,
les éléments des Pt-opositi6ns qui
{esé~6n~ent'.'A
partir de cette définition nous pourrons alors dire que les
pr~misses d'un argument logique expriment les relations données
entre certains éléments
, et que la conclusion doit exprimer une
relation implicite entre tout ou partie de ces éléments:
c'est -
à
dire une relation qui
demeure implicitement enveloppée dans les
prémisses dont on doit la déduire.
8- Cela étant posé,
voici comment apparaIssent les
conditions d'une méthode générale en logique:
1) Puisque la conclusion doit exprimer une relation entre tout
ou partie des éléments contenus dans les
-"-
prémisses,
il faut
que
:~.
;-fi'..
nous 'ayons les moyeng'd 'élimine;'-lês éléments que nou'; na vouions
pas voir apparaftt-edansia conclusion;' et.' de déterminer
:.',,'(.',.'r'"
.
~,
.' ~ •.. ~
l'ensemble des relations qu'impliquent les prémisses etexistClot
; .;
1.::,'
entre les éléments que'nous désirons retenir. Les"élémen€s'qui"
'.
n'apparaissent'pas dans la conclusion sont appelés, dans le
langage de la ..
logique ordinaire,
les moyens termes;
et le type
.
,
d'élimination dont les traités de logique nous fourn~ssent .
1 •e}: emp1 ~"ëorisi~tê . àdédui re de deuxpr'op'osi fi 6ns<''C~~p~rf~ktl'~'~'
élément commun ou moyen terme,
une proposition qui
met en
relation les deux autres termes • Mais le problème de
l'élimination tel
qu'il
se présente dans cet ouvrage, a une
c.ie
fr;-::,'tf1i~::-'rE~ g{:f1ér-.?le, d'éliuiiner tJe~.;; !1~"~'\\/~~'CtS t.12t"ig~~~·~ à fJ-~ti--'tir de
.
-
propositions, sans considération ni
du nombre des termes ni
de
celui des propositions ni de la nature de leurs relations.
D'un
tel objectif. les procèdures de la logique pas plus que celles de
l'algèbre, en l'état actuel de ces disciplines ,n'offrent
d'équivalent strict. En ce qui
concerne l'algèbre, on sait que le
,-
problèm~.de l'élimination est ainsi limité
:
de deux équations on
peut éliminer un symbole Quantitatif, de trois équations ,deux
symboles,et
, de manière générale, de n équations,
n-1
symboles
.Mais bien qu'une telle condition, nécessaire en algèbre,
semble
également déterminante dans la logique en son état actuel, elle
n'a plus aucune place dans la logique en tant que science.
En elle
on ne saurai t
tt-ouver quel que rel at i on qu.e ce soi t, et qui
serai t
déterminante, entre le nombre de termes à éliminer et celui des
propositions dans lesquelles on dOlt effectuer cette élimination.
De l'équation représentant une seule proposition, <9> on peut
éliminer un nombre quelconque de symboles traduisant des termes ou
d~ éléments logiques; et.çj'un nombre quelconque d'équations
raprésentaot.+des proposjtions , on peut,de
même, éliminer un
symbol e de ce genre ou tout autt-e nombre que l'on voudra • POLtr
procéder. une telle élimination,il existe une méthode générale
applicable à
tous les ~as. C'est là une des nombreuses et
remarquablestonséquences de cette loi spécifique des symboles
logiques sur laquelle nous avons déjà attiré l'attention.
;"'
2.)U~e méthode générale en logique devrait pouvoir exprimer la
relation finale existant entre les éléments de la conclusion par
n'importe quel
type admissible de proposition, ou dans n'importe
quel
ordre des termes choisi
au préalable.
Par dIvers types de
ce qui dépend de 1 'appat~itiCJn d'éléments partiçuliers dans le
sujet ou dans le prédicat, dans l'antécédent pu dans le
conséquent de cette proposition qui constitue la "conclusion"
•
sont ~ es types de pr~:;)bl èmes réell ement di st~ nçt:s qui peuvent· se
présen~l'?r ~... nous.
Nous avons vu que les éléments entrant dans la relation finale
inférée peuvent être ou des choses ou des propositions.
Prenons le
premier cas :
on peut vouloir déduire des prémisses une définition
ou une description d'une certaine chose, ou classe de choses,
formant un élément de la conclusion, en fonction des autres choses
qui
la constituent.
Ou bien l'~ peut former là conception d'une
chose ou classe de choses donnée,
contenant plus d'un des·
éléments entrant da~s la conclusion, et vouloir l'exprimer en
fonction des autres éléments .
Ou encore, en supposant que les
éléments r~tenus dans la concluslO"n sont des propositions, l'on
peut voulo.ir répondre. à des que',;itions c0l1!megeJle-c~: est ce
d.
qu'en conséquenc::e~es prémisses, telle out,elXe
ces
(,
propositions, prise isolément~, !=,st vr~iep~ f~USSf;!.i? E~t ce que
.
.
,~.,
certaines cO(nbinaisons particulières d~~~~.,Pt'oPpsjt~9n~ sont,
vrai es ou fausses ? Est ce qu' en supposant.:."{rai,a une proposi tian
donnée il
s'e~suit certaines conséquences, et si tel est le cas,
quelles en sont les conséquences pour les aut~es propositions?
Est c~ qu'sn supposant rempJi e, une, conditipn;:~.!;1oDn~e conCern~nt
certaines propositions,
il en découle certaines conséquences, et
lesquelles, pour les autres propositions? etc .••
<10> Je dis que ce sont là des questions générales, et que ce
essentiel de la logique appliquée
Etant donné un ensemble de
prémisses exprimant des relations entre des éléments donnés,
qu'~l s'agisse de choses ou de propositions, on demande
d'expliciter
la totalité des relations que l'on en dedult pour
l'un quelconque des éléments, dans des conditions et sous une
fonne quelçpnque~ préalablelllent fixées.
L'on verra plus tard que
ce problème, sous tous ses aspects,
peut trouver une solution.
Mais ce n'est pas seulement pour dire cela que l'on a lntroduit
la question de la nature et de la fonction d'une méthode générale
en logique.
Il faut que le lecteur comprenne les buts propres à
l'étude que nous allons mener, aussi
bien que les prlncipes qui
vont nous guider pour les atteindre.
9-L'on pourrait peut-@tre me dire ici
que la logIque
d'Aristote, par ses règles pour ]e syllogisme et la conversion,
établit les procèdures élémentaires qui
constituent tout
raisonnement 1 et qu'en dehors d'elles il n'y a ni la place ni le
besoin d'Une méthode générale .Je ne voudrais pas relever les
insuffisantes dada logique ordinaire ni
me référer à. elle plus
qu'il n'est nécessaire pour placer sous son véritable jour la
nature du présent t r a i t é .
Et c~est uniquement dans ce but que je
ferai
léS remarques suivantes
1)
Le syllogisme,
la conversion,
etc ••• ne sont. pas les procédures logiques ultimes.
L'on
montrera dans ce traité qu'elles sont fondées sur des opérations
plus fondamentales et plus simples,
auxquelles elles peuvent être
ramenées, et qui
constituent les vrais éléments d'une méthode en
logique.
Et il n'est pas vrai
non plus ,en réalité,
que toute
inférence se puisse ramener aux formes particulières du syllogisme
générale ne s'en ferait pas moins sentir. Car l'on aurait encore
besoin de déterminer l'ordre dans lequel i~ faudrait effectuer
successivement ces procèdures , ainsi
que leur nature particulière
, paur pouvoir obtenir la relation cherchée.
Par relatIon cherchée
j'entends celle~uiétablit la tot~ljté d~s ~iens existant entre
des él~mentsiqul?:!cof1ques, choisis comme l'on veut dans les
prémisses, et qui
,en outre, exprime ces liens dans la forme et
dans 1 'ordre que 1 'on veut
.
<11> Si
1 'on en peut juger d'après les mathématiques qui
fournissent les meilleurs exemples connus de démarche méthodique,
ce rOle directeur de la Méthode en est la fonction et la marque
principales. Les PJ:ocèdures fondamentales de l'a.rithmétique par
exemple, ne sont en elles-mêmes que les éléments d'une science
possible.
Indiquer leur nature est la première tâche de la
méthode arithmétique,
mais sa fonction suivante,
la plus
importante, est d'éf1'ot-donner la,succession.
Dans les e>:emples
plusc()mp~'fi!xes d~· l~ déductionJog~que t .~'1, particul i~r. ceux qui
constit\\.lent une base pour 1.3 résolution,de quei?tions difficiles de
la tf;léorie .des p,.--obabilités, il est indisp~l}s~t;>lt:! de .. s'appuyersur
une méthode direçtrice comme seuJ peut .en fCJurn~.r un c:a.lcuh '.:
10~D'o~ vient que,les lois ultimes de la. ~ogjque sont
mathématiques~dans leur forme? Pourquoi sont-elles, sauf en un
seul
point, identiques aux
lois générales du Nombre? Et pourquoi
questions sur lesquels il
faudrait quelque audace pour essayer de
se prononcer de fa~on tranchée. Sans doute excèdent-elles nos
facultés limitées.
Il
est sans doute possible à
l'esprit de
de comprendre leur adéquation à leurs fins lorsqu'on les compare à
d'autres systèmes de lois également concevables.
En réalité,
une
telle connaissance n'est pas nécessaire au but de la science qui
ne s'occupe véritablement que de ce qUI
est, et ne recherche pas
les raisons qui ont présidé à un tel choix, ni
le pourquoi
d'une
telle préférence.
Ces considérations suffiront à
répondre à toutes les
objections que soulèverait une présentation de la logique sous la
forme d'un calcul.
Ce n'est pas parce que nous choisissons de la
faire appara~tre sous cette forme,
mais parce que les lois ultimes
de la pensée la rendent pOSSIble,
en commandent les
caractéristiques, et interdisent manifestement à la science de se
présenter de ~2nière parfaite sous une autre forme.
qu'il
est
nécessaire d'adopter une telle exposition.
Il
faut se souvenir que
la science n'a pas pour tache de créer des lois mais de les
découvrir.
Nous ne sommes pas à
l'origine de la constitution d~'
~os propres esprits, si grand que" puisse être notre pouvoir d'en
modifier le caractère. Et,
de méme que les lois de l'intellect
hu~ain nedépend~nt pas de notre volonté, de méme les formes de la
sci~nce, dont elles constituent le fondement,
ne dépendent pa.s,
pour ce qui touche à l'essentiel, du choix individuel.
<12> 11-0~tre la formulation générale des principes de cette
méthode, ce traité en présentera des applications concernant
l~analyse de types très divers de propositions ou d'ensembles de
propositions constituant les prémisses d'arguments démonstratifs.
Ces
exemples ont été tirés de divers auteurs, diffèrent
considérablement par leur complexité et embrassent un large
A cpt égard,
peut'~ètre 12 choix effectué
susceptible d'~pplications très diverses est un point admis;
mais
i l
est tout aussi
assuré que ses farines et procèdures ultimes sont
mathématiques.
Par conséquent, toute objection a
priori
que l'on
cr(Jirait
pouvoir
50ll1ever corltre
le reCOt.lf"S à
ces for-Ines
et
à
ces
procédures dans la discussion d'une question d'éthique ou de
;.:>
, o c '
"
phi 1 0'i50~n+ e, ~.én~rale;t,:el èvef""3.i t
d ~une i ?~o.mpréhens.i on 91;1 d'une
mauvaise analyse .11
n'est pas de l'essence des mathématiques de
s'occuper des idées de nombre et de quantité.
L'application de
procédures symboliques à une question morale est-elle à souhaiter
comme tournure d'esprit générale et habituelle? c'est
là une
autre question.
F'eut-étr-e,
comme
Je l ' a i
indiqué aIlleur-s(*),
la
perfection de la méthode en logique est elle de la plus haute
valeur en tant
que preuve de la vérité spéculative de ses
principes.
Supplanter l'usage du raisonnement ordinaire,
ou le
soumettre à
la rigueur de formes techniques,
rIen de moins
souhai1:âole aux yeux de quiconque conna~t le prix de ce labeur et
de ce cClmba\\,in,tellectuels dont l 'espri~ tire une vigueLlr
athlétique ~t appnôtnd à. lutter contre les difficultés ainsi
qu'à
c~mpter,.rLlrj<j:es.c<p,sopr~$ forces en cas de nécessi t~. Néanmoi ns
certa~ns ~~~~e~~ven~ ~e ~(ésenter oÙ la v~leur d'une démarche
scientifique se laisse épr9uver et reconna~tre, y compris en ces
",'-
'
{
'.
.
matières dont~il est convenu qu'elles concernent le domaine
ordinaire de la raison.
On trouvera des exemples de ce genre dans
. ;;
12- La théorie et la méthode générales de la
logique telles
qu'on vient de les expliquer constituent également un fondement
pour
la théorie des probabilités et
la méthode qui
lui
correspond.
*Analyse J1athématique
de
la
Logique.
Londr-es:
G.Bell.
1847.
1 e pré::i2nt tt-,u té.
Il -=:ù2rài t
donc bon \\~e dunnE"~r quel q'.tes
explications sur la nature de cette application, concernant
surtout <13> la n~tur~ des solutions auxquelles elle conduit. En
rapport 2~ec un tel objectif,
il
se~a nécessaire de donner
quelques détails supplémentaires à propos des formes sous
lesquelles se présenteront les ~ésultats de l'analyse logique.
Ce qui -fondi!'!,i1ll rié~~ssité'd'une méthodè logiqù'e comme base
préalable d'une théorij des probabilités peut s'énoncer en
quelques mots.
Avant de
la
fréquence espérée
d'un évènement d
connue d'autres évènements,
il faut
nce de la
dépendance mutuell~ de~ évènements
parler
techniquement,
nous devons ètre en
dont on cherche la probabilité comme une fonction des évène~ents
dont les probabilités sont données.
Or cette détermination
explici~.~ppartient,danstous les cas, au domaine de la logique.
La probabi 1 i técependa~t, dans'sari accept i on mat.hémati que, admet
':~'.\\:·<f,.....'~,,·.o "':',1... ,':;,;,~;'. , _~;:,',>'. ,'\\
c
,
unemesurê nt..iJltérïqt.'ë.f'arcôn~~qû'ê~ti 'Teg"probàl:ti 1 ft.és rel évent
aussi
bien de là sc{~ncê du Nômbfeque de c::elie'de la logique. En
ret:onnâi$$antifâ'ris;;tiê''ff~''di!scrplil'nèla é:ôêKist'ênc::è et le lièn"de
ces dellx àspetl;sj"Y(f;~f'ésént €râité
diff~rti!'dé t.6dst:eux qui l'ont
préc~dé; et: ~isqLlê;êettedifférencen'affectèpas seulement la'
question de la possibilité d'une solution dans un grand nombre
de
problèmes, maïs rntfôauit éga1'émént des élém~nts'nouveaux et
i mport.\\ints dàns les" sol uti ons ainsi obtenues. je croi s nécessai re
de souligner ici,
assez
longuement,
les conséquences pa~ticulières
de la théorie que développent les pages qui
suivront.
13- La mesure de la probabilité d'un évènement se définIt
le
les ca.::> ont les mém(?s ch.:3nces de se pr"odlJire • C'est la définition
qui est ici adoptée. Hai s on 11ltJntre en In~~me temps,. que la questi on
présente Lln autre aspect
<dont i l
~;;e"'a bientctt question)
que l'on
pOGrrait tout aussi
bien considerer comme fondamental
et qUl
conduirait effectivement au méme système de méthodes et de
conclusions. On pourraitajoutsf" qu'au,?si 10i.o que,s'étende le
champ des conclusions re~ues en théorie des probabilités, et dans
toute la mesure oÙ elles sant les conséquences de ses définitions
fondamentales, elles ne diffèrent pas des résultats
<que l'on
suppose déductivement valides également>
que produit la méthode
sUlvie dans cet ouvrage.
<14> En outre,
bien que les questions de
théorie des probabilités se présentent sous divers asp~cts et
puissent être diversement modifiées par les conditions a1sébrlques
et d'autres, elles semblent toutes,
en to~t cas pour autant
qu'elles relèvent véritablement de la théorie des probabilités,
pouvoir se ramener à
un type général. Si on l'exprime ~"termes de
data et de . qÏJaesitum ,i 1 péut se décrin! dec la mani~... e~ suivante:
.
.
.
- -
.
.
Premièrement lès dàtà sont les probabilités, d'un 'ou plusieurs
évènemei1t'S,donnés', chaque probabi 1 i t~ étant ou. bi.encelle que
~_ i·· '" :
,
-
.",'
' .
l 'évènemèntauquel .elle se rapporte se réalise ab1iÇllumént, ou bien
qu'il se réalise so~s certaines condition. posées pàrhypothèse~
.
Deuxlèmement, "le Quaesitum, autrement dit ce qu'on cherche, est la
probabil~té que se réalise,
absolument ou conditionnellement, tout
êlutrêévènement'dont'l'expression est différente de celle des data
mais contient plus DU moins les mêmes éléments.
En ce qui
concerne
les data,
ils sont donnés soit de manière causale -comme dans le
cas où la probabilité de tel
coup de dé est déduite de la
évènement comme la limite vers laquelle tend le r-appurt des cas
favorables au nombre total de cas observés
<l'uniformité de la
nature étant présuppos~e), lorsque les observations se poursuivent
indéfiniment.
Enfin,
quant à
la nature ou aux relatlons des
évènements en question,
il
reste à fai.re une distinction
évènement composé on ~ntend celui dont l'expression linguistique
ou la conception mentale dépend de l'expressIon ou de la
conception d'autres évènements qui,
dans leur rapport au premier,
peuvent être considérés comme si~ples.
Dir-e "il pleut" ou dire "il tonne", c"est e>:pt-imer
1 . occurrence d'un évènement simple;
mais dire "il pleut et il
tonne" ou dit-e "ou il
pleut ou il tonne", c a s t e:-'primer celle
d'un évènement composé.
Car l'expression de cet évènement dépend
des e>:pressions élémentait-es "il pleut","il
tonne"
.
Le Ct-itère
définissant les évènements simples n'est donc pas une simplicité
.
-'.,';
.
, '-'.',,~ ,
"
d'expressidh linguisli.que pu dei:onç6!pt,ion mentale ..
14-Cel~-.di t ,·lathlêarie dG!s probabi l.i.tés ,dan.ssqn éta.t
<~. ,~; .
actuel:,l1ou!$permet de .résoudre le problème général suivant:
<15>
lesprobabili~és d'évènements simples quelconques étant données,
on demande la~probabilité d'un évènement composé donné, c'est à
dire un ~vènement composé d'une certaine manière .à partir de ces
évènements simples. Le problème peut également être résolu lorsque
l'évènement composé dont on cherche la probabilité dépend de
conditions données, c'est à dire qui dépendent aussi, d'une
etrtaine manière, des évènements simples donnés.
Outre ce problème
méthodes connue~ lorsqu'on fait l 'hypothèse particulière que les
causes sont indépendantes, ffiaisne semblént pouvoir,J'être
d'~ucune ~utre fa~on. Au delà, il ne s~mblepas qu'on ~it
progressé plus avant vers la solution de ce que 1 "on peut tenir
pour le problème général de la science:
étant données les
probabil i tés d'$vènements queH:onqüès, silJ(~lèS OU,coIJlposés., "
conditionnés ou inconditionnés, on demande la probabilité d'un
autre évènement dont 1 "expression et la conception ne sont pas
moins arbitraires.
Dans l'énoncé de cette question on ne postule
même pas l'existence d'éléments communs aux évènements dont les
probabilités sont données et à celui dont on cherche la
probabilité;
car c'est le rOled'une méthode de déterminer si les
donné~d'un problème suffisent pour arriver à
la solution cherchée
et d'indiquer,
lorsque ce n'est pas le cas, ce qui fait défaut.
Ce problème, dans sa formulation la plus générale, peut être
résolu par la méthode qu'expose ce traité; --"-
ou, pour parler en
termes plUs prétI$~sa solution théori que'estdonnéE!<enti..èrecnent
et sà sorut:iÔfl'~r-âtiqLJe ne dépendqüedêp":bCèdllres pureroènt
mathémati~~è~ ~elles que·la ré~olution et·l:analyse d"équations.
.,~
L!.'onpeut:albrs 'égalemènt déc .... ire lés étapes'et ies caràctèrés de
..
la sol ut ion' général e.;
~"
' .~
'
15- Tout •
d'abord,
il est toùjours possible, par la méthode
préalable du calcul
logique, d"exprimer l'évènement dont la-
probabi 1 i té<'est cherchée comme' une fonct î 0,", loqi qùe des "évènements
dont les probabilités sont données.
Le résultat aura la forme
suivante: supposons que X représente l'évènement dont on cherche
la probabilité,
A, S, C etc.
les évèneme~ts dont les probabilités
déve!oppeme~t; elle <16> consiste, dans le c~s le plus général, en
quatre classes distinctes de termes.
La première classe exprime
les combinaison~des évènements A, B, C, qui accompagnent et
indiquent nécessairement 1 'occurrence de l'évènement X;
la seconde
classe exprime les combinaisons qui
accompagnent nécessairement
"
m,ai s
sal)s l~J.mp'lj quer n~cessairement, l'occurrence de l'évènement
X;
la troisième classe,
les combinaisons dont l'occurrence,
lorsqu'elle est en rapport avec l'évènement X est impossible,
mais
ne l'est pas autrement;
la quatrième classe,
les combinaisons dont
l'occurrence est impossible en toutes circonstances.
Je ne m'étendrai
pas davantage sur cette formulation du
résultat de l'analyse logique du problème, si ce n'est pour faire
1 a remarque que les él éments qu' i 1 pl-ésente sont pr-éc l sèment CeL\\}:
par qui
l'espérance de l'évènement X , en tant qu'elle dépend de
notre connaissance des évènements A, B, C, est et peut seulement
être affectée. Le raisonnement général
vérifierait cette
cenci usion,'f mais,leplus souvent, le raisonnement général ne
saUrait débrouiller le noeud compl iqué d'évènements et de
circonstanceg à part~h7 duquel doit être élaborée la solution
déèriteci-dessus. Atteindre'cet objectif constitue la première·
étape vers la solution~omplète du problème proposé.
Il faut noter
que jusqU'ici~la démarche qui mène à la solution est logique, en
d'autres termes qu'elle se conduit dans des symboles ayant une
significatiqn,logique, et qu'elle aboutit à une équation
interprétable comme une proposition Appelons un tel
résultat
l'équation
logique
finale.
La seconde étape de la démarche mérite d'être attentIvement
complète du problème proposé.
Pou~ ce qui est deI. manière dont
s't?ffectué ce passâge,
qu'il
5uf·Hse di~ dire qu'il e~dste une
relation déterminée:"entre les lois'e>::pri,-nant les probabilités
d'évènements comme fonctions algébriques de probabilités d'autres
évènements dont ils dépendent, et les lois exprimant les
comme les autres équivalences entre lois formelles dont nous
avons déjà parlé, n'est pas fondée sur une hypothèse mais nous
est connue par observation
(1.4)
et par examen. Cependant, si
l'an en supposait a priori la réalité comme base de la dËfinition
méme de la probabilité,
la stricte déduction nous mènerait alors
à
la définition numériqùe COl.u'''antE:~ comme à sa <17> conséquence
nécessaire.
La théorie des probabilités, comme nous l'avons déjà
signalé, entretient des rapports aussi
étroits avec la logique
qu'avec l'arithmétique;
et il
importe peu, en ce qui concerne
.----'-
les résultats, de la considérer comme une branche de cette
dernièré', ail comme <fondée sur les relatiOns mut.ûeH lês qUi· lient'i&
~ ',.',:;-"
,,' '.' ,
tés" deux 'sciences.
1
.~
i6:':"0' autres aspects" intéressants peut~ét.rè âUx' "'~tJx d'un
,~,0':",
."',
".. "
mathêmatlciëlÎ, et têillchant les sblùtions"génè,.~lêsquelà méthode
précédentè·per-met de "déduire, méritent sans doutè'd'êtf"e
soul i gnés~
1) Comme la méthode ne dépend pas du nombre des données et de
leur natùre,tell e tèste appl icabl~'" quand~êes>éfpnnés ne ;sùf<fisent
pas à déterminer la valeur cherchée.
Dans ce cas l ·expression
finale de la solution contiendra des termes affectés de
constantes arbitraires comme coefficients.
Et il
leur
n ;,_~c p. S..' -~.~, ":~ ~_ t,-' P_'- ~ f) n_i If.... (J, J~ }- ~,-
•• ~ II' i I~l f._"'''-
1 a \\i ~ l .-~".! l'·' de _..- s
.0·
.... r" _o. t
.. n t'
~t
..
,[=:Ji -
l' '"' s l'
, .
--
"'~
-
1"'
'-'
-~,,'
-
1
. ' " , ' c o ' L . .
I._~
L U {'.::; _~ 1
=l:>,...
c'
1
rendre complète la solution numérique.
Si
l'on ne peut obtenir
ces dQnné~ l'on peut toujours, en donnant aux constantes leurs
valeurs limites 0 et 1 , déterminer les limites dans lesquelles
doit s'inscrire la probabilité cherchée,
indépendamment de toute
nouvelle expérience.
Lorsque l'évènement dont on cherche la
prob~bi 1,i,t,~'E?st t()ut li 'fai t indépendant de ceux dont la
probabilité est donnée,
les limites de sa valeur ainsi obtenues
seront égales à 0 et 1, comme
,à l'évidence,
elles doivent ètre,
et l 'iüterprétation des constantes ne conduira qu'à une
reformulation du problème originel.
2)
L'expression de la solution finale contiendra, dans tous
les cas, un élément quantitatif particulier que l'on ne peut
déterminer que par
la solutjon d'une équation algébrique.
Or,
lorsque cette équation est d'un degré élevé, une difficulté peut
sembler se produire quant au choix de la bonne racine .
En
réalité,
il est des cas où les éléments donnés comme les éléments
complexe~of
l
serait va~n de chercher à trouver de telles
conditfcios~a.r le seul raisonnement lorsqu'il est livré à ses
propres .fo'-cès.
Il faut une méthode distincte pour, cela, que l'on
pourrait trés'bien appeler calcul des conditions statistiques.
Je
ne m'étendrai pas sur la nature de cette méthode <18> si ce n'est
pou'r direquef "comme la méthode précédente, elle est fondée sur
l'usage de "l'équation logique finale"
, et qu'elle fixe,
de
manière précise,
1)les conditions à remplir par les éléments
numériques entrant dans les données pour que le problème puisse
cherchée aur8it varié, si
au li~u d"être déterminée théoriquement,
limites ~er~nt les limites effectivei a~la p~obabill~é cherchée.
Si
l'on suppose que les données sont soumises à des conditIons
fixées comme ci-dessus, i l app~f'"aft oour· tous les cas que j'ai
~xa~~iB~}0~~~t,~~~0~;~~~,i~~}fSti.t;~~~~I~.....• 'J~~i~~n~,:$j~i~{;9~";'.
.•..,.',. '• • •L ... , '
algébrique finale qui réponde a&xconditions exigées.
Toute
source d'ambig~ité est ainsi écartée.
Il semblerait méme que de
nouvelles vérités concernant la théorie des équations algébriques
sont ainsi,
indirecb?ment,dégagées.
I l
estn:~marq\\...lable que
l'élément quantitatif
initial
qui
fait l'objet de la discussion
dans le problème proposé.
Dès lors la solution de chaque problèmS
particulier dé~oue la difficulté commune à toute une famille de
problèmes -
à
savoir l'ensemble de ceux qui présentent l~s mémes
données"",: indépenéiâmment de 1 a nature de 1 é.ir's quaesi ta. Cet aspect
1:
'r'dedô:~~~Sf on"", ',::"i ....1.,.·.'
.~j\\~;;:1~~~~jfJ;)~~~@}~,~t~~1:;~
demaridê"è,lf;!dédÛ~;f$''-Jne$ér i e"
~':~\\f i~:~~l;i~:·~ti,~ 1
relie en outre les sol~t·
~ \\.\\~" ~~.>(:i&~,~~~~,·.Ji(;j) :'c: ""'~, .v. /,:) .,,>;..:.},:~:
-;,_. c~;ho;r'r:~:.',:~; ···.1/
d'une
. . .
.,' .. '.
. ',;j ... , ' .'
":\\' ;--:·\\-<\\5 "J~''''''Y,~'''':'' "'-'-'''''~'~'';'.:~\\_-''\\' t' :-
" - .'
J"
~ , ,
.• ' 'i'..;-'; ~;i: .f~:
centralee't,!"ftindâinenta'l'é~'
1 afilarque d e '
. ~
,.,:' .". "~.
,.
'1
. 1 . apPlication~d~méthodes génér<~u~s~"
>
il-Mais bien que les considérations ,qui précèdent ainsi
que
....
,t'
.~",< --~(C~; ~:~-.
..
,.' ". "
aut~"~~~ mêl"~
d •
natur,&, - N~~M~S~~~}> ..... ·';~!f,~,~~~1.;~}.~~.~~;~.
présentée dans cet ouvrage po~rrésbLld;e'des 'problèmes en théorie
des probabilités, est une méthode géné~aleJ il ne s'ensuit pas que
nous sommes, dans tous les tas, dispensés de la nécessité de nous
qui
sont des constantes ~rbitr3ires; qu'elle peut, en falt, être
totalement indéterminée.
En appliq\\..lant la méthode de ce traité à
certains des, problèmes les plus importants qu'elle peut résoudre,
l'on obtiendrait des résultats de ce type <19> en n'utilisant que
les résultats de l'expérience.
Pour obtenir une solution
déterminée,
il est nécessaire, dans des cas de ce genre, de
recourir,tq42s,hYH.CIth~seSidont la probabilité soit plùs ou moins
indépendante, mais qui
ne sauraient faire l'objet d'une
vérification précise.
De manière générale, de telles hypothèses se
distingueraient des résultats immédiats de l'expérience par leur
;.;
caractère plutOt logique que numérique:
par le fait qu'elles
indiquent les conditions d'occurrence des phénomènes pIutbt
qu'elles n'en déterminent la fréquence relative.
Cet aspe~~ n'est
cependant pas bien important.
Quelle que soit leur na~~re, les
hypothèses une fois poséps, doivent être considérées comme faisant
1
partie des données effectives,
bien qu'elles tendent évidemment à
canfét-er à
li! solution même, un caractère tant soi t
peu
-'-
hY'pothéti,q~,• .A ç:ette réserve près, toLichant 'les sources passibles
des.données,effectivement utilisés,
la méthode est parfâitement
générale, m""i,,4;'i n'est évidemment pas plus responsable de la
validité d~$ éléments hypothétiques introdUits, que de celle des
données numériques tirées de l'e>:périence.
En guise 1'illustratian pour ces quelques remarques, nous
pouvons souligner qu'en astronomie,
la théorie de la réduction des
ob,..ervatiODS* repose, en partie, sur des bases hypothétiques.
Elle pose certaines assertions concernant la nature de l'erreur,
l'égale probabilité qu'elle se produise par excès ou par
* Nous avons l'intention de traiter de cette question soit
dans un travail séparé, soit dans une annexe future.
Dans le
présent traité, nous évitons l 'usage du calcul
intégral.
il
serait
imposible d'obtenir
des
Cependant~ une fois accordées ces assertions, la recherche qui
reste è. faire, rel;ève stricb~I:;€nt du domaine de ~a théorie des
pt-obabi 1 i tés. 00 peut faire les mêmes remarqLles pour l ' important
problème qui consiste à déduire des majOrités enregIstrées dans
une assemblée }=1~lil=>~rante,la prob.abi)ité moyenne d'un jugement
correçt cht;"j: l'un, des membres. Si
l 'on apPl i gl,.te la (lléthode de ce
," -.:
""" :~;/:r,~.,,<;::;,.:~t~f"·· ." >',':""
,.~.,>
...-,-,--,:" ·r,
: , ' ê ;
,
i.;·
,':}'."
",;,~~,,~,,<~;
-
c.. ; , " ' _ . : " : " '
"
: ,•.:";:'
j
::
traité aux simples données numériques,
la solution obtenue est du
type totalement indéterminé que nous avons déjà décrlt.
Et pour
montrer encore mieux l'insuffisance de ces données prises en
elles-mêmes, l'interprétation des constantes arbitraires
(I.lb)
qui
apparaissent dans la solution ne produit <20> qu'une
ceformulationdu problème initi~l. Cependant, si
l'on accorde
l 'hypothèse que l 'opil-lion se forme de manière indépe~-,daï1te qans
-"
l'esprit d'un individu, soit absolument comme le conjecturent
Laplace et Poisson, soit avec certaines restrictions imposées par
l€S'aonnées
effeçtt ....es commec:'n le verra dan 7, ce traité, chap.XXI,
1
j
c;tal;l~;".u"e t:.ri~s,gc:,~g~~. mesure
de. la formation correcte des
hY;~~hèS"'!~;~:~~~~;C";'..~<:~:'!~;' ~<;~~;;~;;~;::f=:;:;~~: :+: ',~:"
~~pécime,:,~a~Et~Ù,.pei;:i!:04jf i ?~nt . p~s .I!,!é,~~r.ill~ru~e solution, et
,
, .
. ' . '. '
.
-
"..
.
-:
<.",,.
~'.
<-.-. ,
',-" •
',-
.
,~
lorsqu'on ne ~eut procèder à l'expérience supplémentaire
qu'indique l'équation logique finale.D'un autre cOté,
l'empressement;il1opportun â former des hypothèses dans des
questions qui par nature m@me excèdent les capacités humaines,
doit rejaillir sur la crédibilité de la théorie des probabilités,
et contribuer à semer le doute dans l'esprit du commun sur ses
)
méthedes de la science a~straite seront susceptibles de rendre un
jour
,aux recherches portant sur des questions sociales, de~
services tant soit peu comparables à ceuxqu~elle~ ont rendu~ à de
nombreux domaines de la recherche concernant'le monde physique.
Toute tentative de résoudre cette question sur la base d'un
raisonr.ement purement a priori nous égarerait à coup sûr.
Par
e~<emple,tla considération du libre arbitre hùmain'~etnblerait, et
première vue, écarter l'idée que les mouvements du système social
puissent jamais manifester, 6U cours de leur évolution, cet ordre
que nous nous attendons à trouver dans le règne de la nécessité
physique.
Déjà, cependant,
les recherches du statisticien nous
révèlent des faits contraires à notre attente.
Ainsi
les chiffres
concernant la criminalité et la pauvreté pré5entent un degré de
régularité inconnu dan,:, les domaines qui
sont à·l'abt-l
du dé1;;6r-dre
que provoquent les besoins et les passions humaines.
D'un autre
cOté,
les variations saisonnières de la température,
les éruptions
volcaniques,
la propagation de la rouille
--'-
chez les végétaux ou des
épit::lémi~sdans
., .':".(
le monde animal', ·tous ces ;~hénomènes qui sonf'oèf'
maniièstemei1t ou principalement dus à des t:au~Fi!s";;natGrel1est;;'hese
laissent pas soumettre à des lois régull ères et èompréfiensibles,;
"Libr~ comme l-air" est une expression proverb{ale~ Réfi~chir' à
des points comme ceux- là nous enseigne, dans une certaine mesufe,
à
réviser nos 'ugements antérieurs.
Le règne d~ la nécessIté,
puis3e,pèr cavuir, à moins que le jeu des C3IJSeS Qui
le f.woduis~?nt
ne soit suffisamment ~imple; ni estimer, d'~,utre part, que le
libr~ ~rbitr~ de.l'individu exclut une certaine r'égularité dans
les ffiolwements du.système dont il est une composante. La.liberté
humaine apparaît comme un fait manlfeste de notre conscience tout
en é~abt aussi, .~mon sens, déduite avec un haut degré de
"'", ::'~
,
pn~b~,b,,~:J,J~~~tç~'~~'~~,J 1) pë\\r. une analogie elle même fondée sur la
.~,
·,··.?~:ft~<~:.'·' >~'~,;;,::;~_-'-:,' . '''''-r..-",:>.','·.:··'
,
nature de cette partie de l'esprit dont nous sommes en mesure
d'explorer la constitution SCIentifique.
Mais, qu'on l'accepte comme un fait de la conscience ou comme
une conclusion approuvée par la raison,elle doit s'interpréter de
fa~on •
ne pas contredire un résultat établi par l'observation:
que les phénomènes ~ui concernent un grand nombre d'hommes
révèlent effectivement un degré remarquable de régularité, qui
nous permet de réunir pour chaque période successive,
les éléments
dont doit dépendre l'évaluation de l'état et du progrès de chacune
pour autant que cf!i'$éléments sont lisibles dans des r-ésultats
objeç~J.l~~r,:'ll"'j/;l";;.~~~n?1." null eob;jecçti on. valide a pr i or i contre la
.
,_-,:::,:>~3~~:~~:~~~::-:-:-;'Y'::":;:)-\\"~' '~. -'-~~:'~-':. :'.';:/:;:~,<~·.r
',",..,' .'
"
,'. ' . '">:, . _.:,
' ,,'
"
pO$sib ..lité dè~,c:e",gel')rède données ,i ndi spensabl es pour fonder
tt'"'4:i,t4J~~ ~è\\Jt Ja.~$ser aucun doute sur l'existence d'un système de
'f},~',:( "
princip~s absfrai ts et, de méthodes fondées sur- eux, grêce au>: quel s
une ma~~e de données sociales, quelle qu'elle soit,
livr-er-a sous
une,,fQtmfit\\:expl i.cl-te. toute i nformati on qu' ell e conti endrai t
... ,.' ",':j".'" '".: ;",
implici~ement.
Il
se pour-rait qu'avec des données d'une trop
grande~complexité, il
soit trés difficile d'obtenir cette
infor-mation -difficulté due, non à
quelque imperfection de la
tGéorie,
mais au caractè~~~5t'eignant j~s procèdures an31ytiques
~>:~.~~;
;:) 5
qu"::?11e indique.
Il est t'::Ji,;\\:1~'~, Tdit ccmcs'vable qLI'en de nOm~)r2UX
cas, cette difficulté soi}: telle que seul un effoy-t collectif
puisse en venir à bout.
Mais affirmer qu'en théorie nous détenons
dans tous les cas
( a.insi
qu'en pratique, dans la mesure où peut
étre fournie la puissance de calcul nécessaire)
les moyens
d'extraire des données statistiques les germes de vérltés
générales enfouies dans la masse des chiffres, c'est là une
position,qu~QO p~ut~'_~moo ayis, défendre, en toute $écur-ité~
Toutefois, au-delà de ces positions générales,
je ne me r-isque
pas à
parler en termes assurés.
L'application de méthodes
scientifiques <22> aux données statistiques permettrait -
elle
d'espérer, outr-e les résultats déjà acquis sans son aide,
d'autres
résultats susceptibles de compenser à ce pOlnt l'effort lnvestl
qu'il
vaudrait la peine d'instituer de telles recherches à une
echelle convenable? L'expérience seule pourrait sans doute
trancher sur ce point.
Il
faut souhaiter, et l'on peut espérer
sans trop de présomption,
qu'en cela, comme en d'autres cas,
les
démarches scientifiques
--'-
abstraites produisent plus qu'une
$atisfactfonintellec:tll~lle.Etil ne semble guèrE;! improbable, à,
considérer l'ordre:quemanifeste ledéveloppement·dessci~nces,et
la maniére dont e~les ont successivement contribué A aider et
servir- l~humanité, qu' i 1-- vienne un jour- où. une ai de semblable et
toujours plus importante nous proviendra des domaines de la
connaissance •
qui
sont encore plus intimement solidaires du bien-
être des hommes. Laissons cependant les conjectures du présent
traité ne reposer pour l~instant que sur leur d r o i t . être tenues
pour vraies.
20-Je me propose enfin de dégager à
partir des résultats
scientifiques qu'auront produit ces recherches, des conjectures
possi bi ) i té de, ce gt~nre d' i:-lf ér-ence.
Une ou deux
'::.bservat ions
générales ~uffiront à indiquer la voie que je m'efforcerai de
suivre.
On n~ peut qu'admettre que notre manière de considérer la
. ~ ..
science de la logique a nécessairement une grande influence, et
+acultés intellectuelles. Ainsi
la question de savoir si
le
r~i,.s~vre;m~n,t: f~n(!:ii 7~es,impl,~,!'l~p~ à, appli qyet;" ,;~r t~i n;,es ~ér,~ t~s
premières et nécessaires dont l'esprit porte originairement la
marque,
ou si
l'esprit est lui-m~me producteur de lois qui
opèrent
d'une fa~on aussi manifeste et concluante dans les formules
particulières que dans les générales,
ou si encore, comme semblent
le penser certains auteurs et non des moinares,
tout raisonnement
concerne des choses particulières, cette question,dis-je,
ne
concerne pas seulement la science de la logique.mais également la
formulation de points de vue justes sur la constitution des
facultés intellectuelles.En outre, si
l'on conclut que l'esprit
est, par sacory~titution originaire,producteur de lois, la
~~7~~;J;~J~l~~I',;n,~t'tre:"',~)T ~~" ~8u.missi on à ce;~.t~ l;~~,-;~"i ~~~f;: ~;~7.Ee
~;a'::;x'~~Pl~~~t~ne"~ti~issa~'c~ parpécessi té comme celle qui expl i que
l,T~
"
'7~,";I~t\\t\\\\é9q,lJ;)~jl"CtT.:uy,
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" ,,' ..,.-.,.";.-",, >: ./',: -; .' ""-'.'\\:, '
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~~,~; in-;:;'i~~~<~:~3)
Ç)':J ..<e~~. c~ ul)~ '?9Y'Ptss,i on,q, ',un, t9ut autre genre., -est aussi .Lm sujet
...,~, " ",:
';..,~ - ,_.~
~,",II:.'*,:- :"'~.'~ .. (~"~ .... ,.;"" ""\\.. ,',
1:. \\:!!,.';""",
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pré$.E?l)t~l)t ,'l..!flprof.0Dd intérètspéculatif. De plus, si l'on
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"
:.-'
_ : :
'
i . . .
,.",
:.
détermine eff!ctivement que l'esprit est soumis à une légalité et
si
aussi
effectivement ses lais,
la question de
humaine à différentes époques revèt une importance trés grande et
mérite une étude patiente en tant que question de philosophie et
d'histoire à
la fois.
CHA?ITRE 2
DES SIGNES EN GE~ERAL,
ET DES SIGNES
APPF:OPRfES A LA ~CIENCE DE LA LOGIQUE EN PARTICU,-
LIER ;DES LOIS AUXQUELLES OBEISSENT LES SIGNES DE
CETTE NATURE.
<24> 1- C'est une vérité généralement adm~se que le langage
, ,,' ~';" ,">i.:.•.::
'~ '-,
."
est un i nsi:":-ùfÎjêfii: 'de laraisont~umail'1e,' ·~·t.::/t1bn pas simpl ~ment un
;~
moyen d'expression de la pensée.
On se propose dans ce chapitre
d'étudier ce qui
rend le langage docile à
la plus importante de
nos facultés intellectuelles.
Dans les différentes étapes de cette
enquête,
nous serons amenés à examiner la constitution du langage
considéré comme un système adapté à un certain but ou finalité;
à
en dégager les éléments; à essayer de déterminer leurs relations
et dépendance mut~!ell es;
et à rechercher de quell e (liani ère il s
contribuent à atteindre l 'objectif auquel
ils se rapportent en
tant que parties coordonnées d'un système.
Pour procèder
--"-
à de telles recherches,
il
ne sera pas
. ~écessaired:';'~'~,êr-é~ it:ians la dlscussion'de la fameuse controverse
et de se demander si le langage doit être considéré comme un
instrument f!ssenti~'l du raiscih~ement eu s'il nous est possible, au
contraire, de ràisonner sans l u i .
J'estime que cette question est
en dehors d e . 'objectif du présent traité pour la raison suivante:
la science a pour rOle de dégager des lois; et que nous
considérions les signes comme re~résentantles choses et leurs
relations ou comme représentant les conceptions et les opérations
~
de l'intellect humain,
lorsque nous étudions 1~?= lDis des sigï,e'=,
Je me propose de riiscuter ces questions et d'autr~s, m~me
iii!par-Faiter;;pnt, dans le cl-';"I~itre qui conclut cet ouvrage. Elles
apparti ennent s~ns doute.au dCill1aî ne de 1 a cannai -;::.sance probab le 01.\\
conjecturale plutOt que positive. Mais il peut arriver que lorsque
manquent des justifications suffisantes pour ~mettre des
,
. '
: . , ' , . ':." - ,
- : '-
" '.
;, ;,~-_., : -
' ,
, -,-. -
"
"~ , "
.'. '
;.:
certitudes scientifiques,l 'analogie fournisse des bases adéquates
pour suggérer des opinions hautement pro~ables. Il m'a semblé
préférable de réserver entièrement cette discussion pour la fin de
et des lois scientifiques.
L'expérience nous apprend suffisamment
que l'ordre adéquat pour mener toute recherche de la vérité
consiste à progresser du connu à l'inconnu.
Certains aspects de la
philosophie et de la constitution de l'esprit humain elles-m~mes
sont situés tout à fait à portée de nos recherches.
Mettre une
connaissance appropriée de ces aspects de notre nature au
fondement de tout effort pour pénétrer au sein des ténèbres et des
incertitudes de ce domaine conjectural
situé au delà"et au dessus
d'eux, est la démarche qui
s'ac~orde le mieux aux
limitations de
,
notre condition présente.
..
,
'
--"- :;'...•..•.:["c.o
..
_.--~: t : ~_
d ' ,
\\
lhar'i{,:~,~~,',}~;t,:)<"
'·.:·'i-;':.,~:_'·
~."
-.,
"
;~:~~~:;~:I'"'
Qe\\,1~ ;,,~jf~4., ,,', ','
qui
font
l 'objet d~ notre
pour le moment~ et ne conc~rne
que la manière dont les ~èsultats sont présentés à l'esprlt.
De
fait,
lorsque nousr.:herchons à dégager a posteriori les lois des
signes,c'est sur la langage et sur les règles quj, en qouverhent
..",
l 'IJ~age que porte immédiatement notre examen, alors qu'en faisant
directement des prbcèdures internes de la pensée la matière de
notre enquête, nous faisons appel de ma~ière immédiate à notre
' 1 :
'X" ~ ~.;,;:",' "
:~;:,~~~~,~,~~~,[;_JJe.rj,~~~~~i~~("V.?U~;';;,:~rSJ'tX~r9-"~;dji~~pfJlplb~
<~ue
1
l
"qans, le~(~;, J; 'i"
deux cas, les résultats obtenus sont formellement équivalents.
Il
nous serait d'ailleurs difficile de concevoir que les lnnombrables
langues et dialectes de la terre aient préservé à travers les âges
tant d'éléments communs et universels~ si nous n'étions sOrs que
leur accord est fondé,d'une manière profonde, sur l'e:<istence de
lois·~ans l'esprit même.
2-Les éléments qui
composent tout langage sont des ~lgnés,ou
des symboles.
Parfois on dit qu'ils représentent les choses,
parfois les opérations par lesquelles l'esprit .combine les notions
,-'-
simples des choses'èb des conceptions complexes; parfois ils
>:;'I;;i~]l~j~€%if"~t~~~;~;~"·',~~·.~§,~~!~.;~~t~r'fl~':~'ta,l'i~Pleq""t~5~:J,f~j
, ' dontn Us percêvons,
')<'istence dans les objets de l10tre
",
; ,
, ' , - '
-'.,'
'
.''' .. ,',,',
':"
:
".~x~~l,;,,~~t:.iJi, par.fcÎi~~~le.',é~tlQn$ ,de l'~priJ:',qt.t( ·p~#àJ,t.
"'<>i<~j
.cèR~ntf~ôt·.lJlenqu~iJ$jOUent~de ces fa'çons et'dÈ! biE!n' d'autres,';~,~'
:::
. ;';""'--::'El"_,,,,~,;,:.-·,>:,,.
"
'.
'~'~':\\'.:,::-__~.::,-~:'
.',
,,'-'"
' .
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'-
.
-~~'-' "",-
.,
" ;- ,.<'(
.
encqrè,t le rOle cS,e ,$ignes ou de symboles représentatifs, les mots
, .. ~,:,
ne sont pas les seuls signes que nous puissions employer.
Les
marqt..l,e~arbitrair,e,~\\qui.ne,parlent qU'à l'oeil, les sons et gest~s
artiftrairés qui s'àdressent à quelqu'autre sens'ont aussi Llne
, . '
' - , ',,- '. :,'"
'.',
: ", • . ~":' .,', '. - " j ;',
,:~.
nature de signes dès lors que leur rOle représentatif est défini
à
la seconde classe de symboles,
qui représentent des
ons ou des relations, plutbt qu'à la
premièn2,
qu.i représent~les éléments numériques et qua.ntitatifs.
La véritable signification d'un signe ne dépend aucunement de
sa. forme otA de sone:<pr-ession particu.liè.... e s , e t i l en va-_de même
des lois qui
en déterminent 1 ·usage.
Dans le présent t .... aité
cependant, c'est à des signes écrits que nous avons affaire, et
c'est exclusivement en ce sens que nous emploierons le terme de
"signeLl.'-resprapriét.és essentielles des signes sont énumérées dans
'~
la définition suivante:
Defi~ition.-Un signe est une marque ~rbitraire dont
l'interprétation est fixée et qui
est susceptible d'étre combiné à
d'autres signes conformément à des lois déterminées dépendant de
leurs interprétations respectives.
3-Considérons séparément les éléments contenus dans cette
définition.
<26> l)D'abord un signe est une marque arbitraire.
Il
est
bien évidemment indifférent de choisir tel
ou tel
symbole
particulier pour l·associe.... à
une idée donnée,poLwvU -'-
qu'une fois
e.ffect1:1é~,".:è:ette association reste permanéhtEH; Les Romains <,'ft ,
i
exprimai~ntpar le mot "civit.as" ce que nous désignorl$ sous le mot deIi
aussi bi~nemployer un autre mot pour traduire le même concept., Oe
i,
f a i t , i l
n'est rien dans la nature du langage qui
nous interdise
~~
~:
d1utiliser
•
une simple l~ttre dans ce même sens.
Dalls ce cas,
les
lois
~
conformément auxquelles il faudrait employer cette lettre seraient
essentiellement les mêmes que celles qui gouve.... nent l'usage de
" c ivitas" en Latin et de "cité" en Fran<;:aic-=',
du moins dans la mesure
est nécessaire que chaque signe
pQssède~
dan$ les
même discours ou d'un m~me
rai sonnament f
une i i1t~rpr-étation fh:ée. La nécessi té de cette
condition.si;.·évidente et semble reposer sur la nature mèmÈ! de ce
doot.'il:Iè$t"'quêst.:i.on;Tcependant la nature précise du rOlé.
,~;,;',;~'~~~E{;:jX~~~~~~{~~;~';:··:';:· " ,
.
.
'
représentatif des mots ou des symboles employés comme noms dans
les procèdurés de raisonnement est sujette à
controverse.
Certains
soutiennen~)qu'ils représentent les seules conceptions mentales;
. !:J~:!a4t;"7ft:~'~~·~'·~~*l'!S~Qi~9t:.é.~l~tl"1"'es'Ghose$'J:r-t..aquest.i on n' a-pas
., '1>- :'1.'.. ::-,._:-:;( ~;\\?;~:,~,-<.~".!','~\\:;~';;;~::;x'~':"_""':'::/-.<;,~~.(~f~~.f :;.":'.:..1.:-: /" ::-'-.,'".,' ',,; "..;,_.,!"" ,'-- '. ,;"~-.'
grande importan.ceici, puisque sa solution ne saurait modifier les
lois qui gouvernent l'usage des signes.
A mes yeu>:, néanmoins,
l 'on peut faire à
cette question et à
d'autres du même genre cette
réponse générale: dans les procédures de raisonnement,
les signes
occupent laplacEfst la fonction des conceptions et des opérations
intellectuelles;
mais comme ces conceptions et ces opérations
représentent des choses alnsi
que_des connexions et relatlon~
entre choses,
les signes représentent des choses et leurs
connexions et relations; enfin, comme les signes représentent les
conceptions et les opérations mentales,
ils sont soumis aux
lois
:~J1~.l~=,~,:.~~i~~t!~,9Ptlr~t-i-on.~1tt.t;.pcttn1:ëEl'vül:fse~a':: i ~
".: i
.. :,:
~~j'~;rrf/~':"';' ~'," ~- -,; ;,i.~\\~;~'!~"-,:::> ,'-,~'
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S'::;l'e 'Prt:*:haih'ahapitre; I1tf l;~e)ëpose Ü:i à seuleTîn
.~
d • ex:p~~_ _i~f~~~S's.~ ~."';lI:lêA'Jemt ${'é:olit_riuS;:' oari.':p 1a·déf i nit i on
1
.'
'e
'-i, ,-
'~~-." '.' ','
. . '
.
.
,
•
.
f
qui.,dépen~ de la' nature de ,=son interprêt'ëftion •
......
4-0n examinera dans la Proposition suivante,
l '~nalyse et la
classifiça,t~pn;des signes <27> dans lesquels sont menées les
opération.,Gt.! rai sonnement.
Proposition
1.
de $
éléments sui ~/,,=UJ L:;:
....~~~
~~;
1)
Des $'l1lrpoles litté/ifI..'J;.· tels que x, \\1., etc, ... représ~ntant
les cho s,fJS :t?:p. ;t}{fI-t qu' 0 b Je t'$ dg, rtO S.çPlI c ept;~~'it)~·.",., .."J."":
2)P~$ si91ie,s."t:J·op~ration te!sque +, ,,,,z>,i(,qulf,traduJ,sent 1.$
l~" ,.
',,'
. , "
op~ratt()n,$ <Je,J ;espr it par lesquglles 1es.~9ft';;;~pl,(~1:ides.·ch'oses
sont c()1tbiTl~esou séparées de manière à foy'mer' de~6w'idles
conceptions ~omprenant les mémes ~léments.
;.\\ '-?I~';
"
.' f/' ;:~(~.'~,~,~_ .f~ . t;;- ~~;;-_:- ')j;'~- -."
~ ,: <
. ':~~:(J,'1j . .
EJ:, ':esiS.'YlJbo,.l:~l!:t'~9,giqCj.es
~'~i!?,n.t, l~Jlr,Usit9.A~.i;,~i"1:~,·)~,:,de.S
. :.-- :~j :-~'';.._','''-'~.e':J:;''''<-',
',.' , ' .
. ' "
',-"
<,>'" ·::::'t)~~;C:-.~,'-:'>/:~~"';'~':-':,>.<'>'·> ~:.:". -'.
déterminées, qui en partie s'accordent et en partie ne s'accordent
pas avec les lois des symboles correspondants dans la science de
l'algebre.
Posons comme critère de définition des éléments véritables du
discours rati,onnel .•
leur capacité à. se com1:;lJner sous les formes
:~.)~;:~~-;',~~,~:~';"
les plus simples et selon ~es lois les-plus ~simples, et à
>.o,·"·..~o<
engendrer, par de telles combinaisons,
toutes les autres forMês
connues et concevables du langage;
et,
adaptant ce principe,
i
"
examinons la classification suivante
-'-;éit. f:,"\\'
..·~)i&f~-~·{tt1;fé', .
al lui àppar tien t •
. . ~,.. c;~~J:,e~~~J..~~.M"J.n.R~S"iPP'J.yofl1l;;;tyi,d~!f\\~
...~."'. ,;;,l<f,J§I.;':\\~(,'~~'f'","., ..
... ,." ....,
'
" : ; " , ; ; ; ; ; ' f 7 '
" ' . , "
S9bst,~.t.if"qu;·jJ.s, }SqJt. ,prppr,e :o~"FO'Ju"J.4n,t,.~~~j..t~::,~<~açtjli!çt~l,;)t40n
.
:' ;'-'j;t~,~.~,'::::!_::'~: }"'<" ~":. ',:" ' ,-".":-;~ _~
" "
peut ,en. faU:: ·cq!l?idérer que cess ~~U)( él~.m~~~".t'e ,diffèrent, ql4e
sur le point
•suivant: le premier exprime comme substance
1 ~~x i stence ,g.e.~J.,.a . (ou des) chose(s)
indi vi~.1:-\\~IJeJs)a l aque,11@ ,:
(,auxquelles~ J) ,~~ rapport~,tql.\\~n,g l~ ~eç.~~er~S4Pf\\gS,.e':lc~t~e
existence.
Si
nous accolons à
l'adJectif
le sujet universellement
'"
raisonnement,
ètre 't~mpia~"-pat- le substantif.
Que pour
l'espr-it,
ca soit ou non lamème cho~e, ~ tous égards, de dire "l'eau est
unè chose fluîê1e-.ol"-4i!il-,ul'èauest. fluide"',
au moins les deux formes
~oot ~quivalel1t:és;'qüant Al l'expression des procèdures du
rÂisonÎ1ement'.
'~'(28) Il est~égàlement évident que nous devons rattacher à
cette classe tout signe qui
pourrait,
par convention, ètre utilisé
pour eJeprimer Uhétât ou une relation dont la-description
. -, "', ,'-':
.~
',':-
sbU~ent le cas des'épithètespoétiques . Elles consistent
habituellement en adjectifs composés qui
tiennent lieu,
à
elles
seules, d'une description en plusieurs mots.
HL'océan -
au -
profond- remous" d"Homère résume toute une description virtuelle
par le seul mot d~ l:p()(elJ~[,("S".ET par convention, toute autr'e
description s'adressant à
l'imagination ou à l'intellect pourrait
également s'exprime~ par un signe unique dont l'emploi serait
soumis ,en tous points essentiels~ aux mêmes lois que celui des
adjectifs "bon"ou !lgrand". Combiné au sujet "chose" ,un tel
signe
dèviendrait virtuèllement un substantif;
et pa~ un seul substantif
'~~l'1f~se~~.~~è;1't.a' S{(jitrficaUân'c"mbi néé d<Un'" "ho"'" ",t
.(f~ oite quali té;::~~ii;l;;*,~;';" ',:'
""\\").\\i '
' ....POUrsüi~l~'~lé signÉ! ayant' éut défini"~ommë'unè marque
4fâitrâ1re,il ~e~t1pé.irmig de'lt'gmplacer tous les signes du type,'
p'féê:édêmment"décflt' par des lettres. Supposons
donc que l'on
. ,-
représente
•
la classe des individus auxquels peut s'appliquer un
ft6~~bU une descFiption particuliers au moyen d'une seule lettre,
parêxetr,ple x. Ainsi, si
le nom en question est "hommes",
S~lpposons que >:
représente Il tous l es hommes Il ou l a c 19"::,::;,e.
.;-.
s'appliquer;
mais
de
~ ;
ce terme de manière à
incl' re le cas ot;t i l n'~l{:i.$tequ'unseul
bien que les cascor-respondant aux termes "rien" ettiQnivers" qui,
•
. 0 '
'.
".~ ','~: "" , ' ,
'
"'" '"
','" , ,'. __ ,
'," ,__ :<.,'-;~9:~·);,'»~, .,:,Y",_:.::-,, __,
en>tant.,quecl ass.e,".doj. vents.' eôten'Qré COÀlme·c:~t~etiAn·t:,;,»J'i.....;,~
,-
•
'
" . - '
-
,
.-
' j '
"
. . . .
respéctivement "auc::an~tre" et "tous les étres~~ De~ème'si ~n
adjectif,
"bon" par exemple, est employé commE:! terme descriptif,
repr:ésentons ,par\\.ln$\\)ettre. l,soi ç é"j'f!,t-outesl~es;:cpQse$C,aux quell es
."
. "-'~~~L':,;',"~'" ?::',',t "'/
~-~ ~'<.:",~:·~::;~~_f:-~"t..··
"',-,', "~'oC "'.,>\\:::-:;~:'_,::,':''-'.",'''~''''''
-
.
ledescripttf "'~O~~;:~g~\\Jt':$r a,ppl i qpenl
au~"'éfO~nt~tdi~j':~'\\;t,g\\.ltesles
":,,",::
' ""('-:~',i,_",:\\"~;:!';::,, _ . .
'
"
,,-: -: ..','-::"-:'<",." '\\>"
""
'" ..:'.,.,.-~- ,\\:'/, "!::'/;~~,\\'_';"~:' ,:' '_' ';~.
"'-;
choses bonnes" ou la classe des "choses bonnes p •
Admettons en
outre que la combinaison xy représente la classe des choses
auxquelles peuvent simultanément s'appliquer les noms ou
descriptions représentés par x et y.
Ainsi, si
x seul
remplace
"choses blanches" et y
"moutons", posons que xy représente
"moutons blancs";
de mèm€;'
si z représente "choses à' cornes" et
que }: et y conservent l eLW précédente si gn i f l cat 1 on.
posons'J:'q'ue
:{ yz.
représente <29 > "1 es moutons blancs à cornes", autrement di t
la collection de choses au:-:quelles le nom de "mouton" et les
_.-
descriptifs~"blanç"~et
"à cDrnes~ peuvent s'appliquer ensemble.
et""~f~j,~~~tj~~~Î~nl'''';,l~jt~t~~~MYff~~~k''~~~%I1{'~'''Y'~'
etc'.~-"~·.;:f!mpt-oyés t;.oqjme 'c:i-de9su$"{:5oritSsoumisi"11"(,~,,:'i': di;'tf,;' 'if' \\
sont écri ts est indifférent.
Les expressions,tcV, et yx repr.ésentent
.
,
l'une et l'autre la classe des choses auxquelles les noms o~
descriptions x et y peuvent s'appliquer ensemble.: Dès ,lors,
nous
avons:·;, ~
':t,
:{ y
= y}: ( 1 \\
cl as:.e des mouton'5> blêH1CS~~i consi dérer l' or-dre dans lequel la
':~i"'"
conception s'est for-mée,
tfJ'rH?Ut y..?voir: une diffénmce; il n'y en
a.;\\L!cun~ quant a',J){,~léjJler1ots individu~ls que cette conception-
SUb$l,.u~e~ De m~/TIe, $( x,représente, "estuaires" et y "fleuves". les
~)$'pr;eS$i.POs,.xy et yxreprésenteront indifféremment "les ,fleuves
,", '
: . '~'
.:
~
-':-'~:':,_,,!,;,_,t,\\: <":~>"',~:~l;,~:,; ..
, . '
-,
".;,'
Co,
>, ,'~,'~:"
qui; sont desestuaire~"ou "les estuaires qui sont des fleuves":
le langage ordinaire combine ici deux substantifs au lieu d'un
substantif et d'un adjectif comme dans l 'exemple précédent~
F:r:,timQQ. 4r,t;-troi?iiè.,ne"symbolez • pour 'représenter ,.la classe des
choses auxquelles peut s'appliquer le terme de "navigable";
alors
l'une quelconque des expresslons
z x y, z y>:, x yz, etc •••
représentera la classe des "fleuves navigables qui
sont des
estuaires".
Au cas où l'un des termes descriptifs devait contenir une
.-'
reférence implicite à
un autre,
11
serait slmplement necessdir2
d'inclure expréssément cette référence dans sa signification
effectivement énoncée pour que les considérations ci-dessus
,;--"-,
restent valables_, Ainsi, s i x représente "sage" et y
"consei 11er",
dans le,consei L
Moyennant une telle
ZI~t;;~'.6: ":àl,-place de substantifs, d'adjecti'fset d't!rH1T1Cés
..
,
'
descripti'fs,
pourvu
que
nous respections
la
r~gle
d'~lT1terpréta~ioT(.se1.(),n laquelle, touteexpressi()n où plusieurs
dece~ symboles sont écrits ensemble représentera tous les
objets ou
(30)
individus
auxquels
leurs
multiples
significations
suffisant,
je
n'estimerai pas
le sujet "choses" chaque
un adject.if. Lorsque .je dirai , "soit x représentant "bon"·' ~ on
de
seul, son interprétation sera "les choses bonnes".
6~En .c:eqt::Ji conc~r~. la loi établie ci-dessus, l'on peut
. ,"
__ ,~ ~ _, ", ,-_;"",t~';·
_~:,,_~:_\\/;-::::.:I;::~~:'/,J.;::~~:;-_
.-
:-;.1,:','
ajoutar}:,l.e';.ff!~ ....que$/Si.~~...ntes qui 1_9n/;outrtè,ciS" appl i quent
également ~ d'autres lois qui seront déduites plus loin.
En premier lIeu,
je voudrais remarquer que cette loi est une
loi de la pensée, et non,
à
proprement parler, une loi des choses.
La différence dans l'ordre des propriétés ou des attributs d'un
objet, en dehors de toute question de causalité, est une simple
différenc~~e-tonception~ La loi
(1)
exprime une vérité générale,
à
savoir qu'~n~ même chose peut être con~ue de differentes
manières, et elle établit la n~ture de cette différence~ elle ne
fait rien de plus.
En
-"-
second lieu,étant une loi de la pensée elle se développe
:~!::~i~l~~~f~W~î~UM:::9a~;j~tt~t~~!q::~ti~::ance. .Î
y
soi t.i~'''/~\\:',~l1i1f~.ité, ~,l;(~9tdr. de Sue:C~5.j"qi~;(tQs,.•djéct i-f·sdotés - ,;:;;~
,
'.,,'-
-''1-,-,_,~<,
. ' ,
'"
-...
.~-:
.:
"-~_~:~ ~:"/-:-:~_:'--)
,,'
•
d~~une$i9nicfi/tât,iOR,4bsa:lûeetappl i.qu~ ,;~':UAtmême'sQjet· èst
indifférent; mais le style poétique doit beaucoup de sa riche
variété à
•
l'extension de cette légitime liberté au substantif.
La
langue delMiltpn se distingue tout particulièrement par cette
sorte deqiver.si:t.é.-Nori seulement le substantif y préc"ède
fréquemment ses adjectifs oualificatifs,
mais il
se place souvent
"The rising world
Q...
"Bright effluence o~ brighfe:.:;seTlce' inc,.,~atel/..
Or ces for~es d'inversion ne sont pas seulement les fruits d'une
licenceptJétique~ Elles sont: l'e}:pression' naturelle d~'un~ liberté
que consacrent <31> les lois intimes de la pensée mais que
l'usage ordinaire du langage n'exerce pas pour des raisons de
commodité.
En troisième lieu,
la loi exprimée en
(1)
sera mieux
caractérisée si
l'on souligne que les symboles littéraux x,
y, z
sont commutatifs comme les symboles algébriques.
En disant cela,
l'on affirme pas que l'opération de multiplication en algèbre,
dont la loi fondamentale est exprimée par l'équation
xy = y>:,
présente e~ elle mème une analogie avec l'opération-ae ~omposition
logique,
t-ept-ésentée plus ïlaut pat- :<\\/;
mais seulemE:'i1t OUE~ 51 le<:=.
opérations arithmétique et logique sont exprimées de la même
manière,
leurs expressions symboliques seront sujettes à
la même
loi
formelle.
Dans un cas comme dans l'autre,
le
-'-
caractère évident
d~tè.tt;t;;4.ti~ét.tQn.;f:?$tassezmani feste~
~:-
;- >{)::'-:;_;_:::,>r::;_~' ?~"'~';;~,;F/:~k+;,~?,:;' - ". "-,,,~- -.,
'9- Puisque la compositiot'l de deux symboles littéraUX sous la
noms DU, qualités représentes par x et· y peuvent s'appliquer
ensemble, il en découle que si
les deux symboles ont exactement la
même
•
signification,
leur composition n'exprime rien de plus que ce
quel 'un ou l'autre exprimaient séparéme~t. Dans ce cas, nous
aurions par conséquent
.. Ôr,'da.rys!'algèbl'"e ur;.din..lJre, la combihalson xx est
représenté'e"Plt1s b"iêVei1lêntpa~)(2. Adoptons ici le mème<principe
dé ndtâ1:idAJt:;jf~;l.it$'afii.r~~bt.ton exprime ûn. successici~",';:o/,
partièul tèr'e d'·opérations mèrltales est une chose en ellemème tout
aussi arbitraire que la manière d'exprimer une seule idée ou
opération
(U.3) • Conformément à cette notation,
l'équa,tion
,- . .
,> '-'?:i~:,·,Û:~:'
,'0; ,~S'P}t~
:-', .,-:~~.;~
-:"\\~·>'::',r-'
précédente pr-end donc la formè\\J ··~,;"'i"J:i:;'·
x 2 = x,
(2)
et, de fait,
elle exprime une deuxième loi
générale des signes par
lesquels sont représentés symboliquement les noms,
propriétés ou
descriptions.
<32> Le lecteur doit rester éttentif au fait que même si
les
symboles x et y, dans les exemples que nous avons précédemment
proposés, ont re~u des significatIons différ-entes, rien ne'~:dÙs
empêche de leur assigner exactement la même.
Il
est évident que
plus leurs significations effectives sont proches, plus la classe
--'- des Chbse$ 6ésignéepar la co~binaison ky est p~ès de s'identifier
·,'~t~\\,~~)[~t;tri~ ""!~ÎÎ,~~t,~;j~~~1~),eil",~tJ;.~I~ê!l,ign~~;;~~',..,,,-
DiH\\ià;i'fi'a~ê
'ân;~tn:t;;-'i·' êQù~tf8rt(\\'<2)"; 'on su~~"ii~fél 1e :'cc1sd'ùne
d~s exem~J.~i"'·dijhs·ttVlatHJage~'Dir-è·flbon" boh!'/à proposd~un sujet
~aelcbhq~e;i~~~~:~i~c·estunpl~oHas~e lou~d êtinutile, c'est la
t
même chose que de dire "bon".
Ainsi
"des hommes bons bons" est
équivalent. :lA '~des hommes bons".
vue de souligner une qualité ou de renforcer une affIrmation.
Mais
nous
natu.... e Ou quenp\\J$~ffE:?ct1':l 05 nOW!i mêmes, sont. 'telles que
"'effet s' accrott~,~:,::,la répê~it.lcm:..'1; ce f ait:b9u5·~dls.p'Osê'a
,>,-">'~?;_~_
_
,._t:-~:,~_;-'c ";~:(:'::'\\~ .,.' <\\.;;,2:";-;,',,';:
'\\,
attendre le même résultat dal)sle cas du langage; et même à
.
,
efuk:lOY~'Ühe .f'é~f~J:fion .1orsqu'~t~~us voultif{~~';I;~;'~:~t;f~~~i>~'Jec,~û~i,~~~{'f
\\< ._(~.,"
':':, .;. ,~:_-:
emphase.Mais ni
d~ns'le st.... ict rafsonnement,nidans le discou,z'i
rigoureux, on ne trouve de justification pou.... une pratique dé ce
';to.~ "! .
..~,,/:, '~1 :-,,:~, .:,j..- ," ~::~~,:
classe de
signes du langage et des lois liées à
leur emploi.
classe I I
li-Les signes des opèrations mentales par
lesquelles nous
réunissons des
parties en un
tout ou sêparons un
tout en ses
.~.
parties.
Nous ne sommes p.::Is" seul ement en meSut-'E, de nous· représen'f'êf des
conceptions de choses en tant
qu'elles sont caractérisées par des
noms,
des attributs ou des états qui
peuvent s'appliquer à
tout
..-"-
élément du groupeconsidé.... é;
mais également de former une
..•'?'~~••~~À~~\\f~' '!'r;~!,: en .~~)it$,~,rj~~
""9rdupes' partiél s 40fttchacun .E!os't.nommé"ôu: "
,.:~-5~~~~!<;~in;P~~,~,~,!.Rrpns ~Ts~,~g,,-!~8Çt~.~~Vii~~.
etc~ ••• "Arbres et>i~inér:-aux", tIDQntagnesar:i~ea:Ru
....•.,•.vf!...11ées
~ .
.
,,'
' . ' . '.' '",.,
.. ,:.'
-
, -"-,
"
, ' ,
.
fertiles", constituent des exemples de ce genre ..
A parler
.'
st"-ictement,<33> "et",
"ou"
,
placés entre des termes décrivant
deux ou plusie~rs classes d'objets supposent que ces classes sont
tout .li fait distinctes, de sorte qu'aucun é1émen,t d e i 'une ne soit
contenu dans l'autre.
En cela,
et sous tous les autres r2pports,
est équi val ente,
lor!pque
pas compte de sens
conventionnels, à l~exp~e
et hommes". Soit x
représentant,"hommes u ,
y."femmas", et soit + la traduction de "et"
et "ou";
nous avons alors
,
)( +y ;: Y + )(.,
(3.
équation qui serait également vraie si x et y représentaient des
nombres, et si + éta~t le signe de l'addition arithmétique.
,,'SoitÈ le symbole' représentant l 'adjectif. "européen"; alors,
comme il
revient en fait au meme de dire Il
les Européens hommes et
femmes" et fi les.hommes européens et les femmes européennes", nous
avons
z<>:+ y>
= zx + zy •
(4)
Et cette équation serait également vraie si
x, y,
et z étaient des
symboles numériques, et si
la juxtaposition de deu>: symboles
littéraux devait représenter leur produit algébrique, exactement
comme elle représente, dans la signifIcation logIque qui
~lent
d'en ètre donnée,
la classe des objets auxquels s'applique un
couple d'épithètes.
Les loi s ch-dessus sont cell es qui gouvernent l ' emp 1 oi du
sigl1è.J.,~1:f~~~i_~.1~~fJJ'if~~urnoter 1 ~·ppération PO$! tille de réunion de
~~\\~t;?:·:;'·, • J ;
..~.~\\
partie9:"'ènt".un~,t.out~" Mai1i' il . idée même' d 'une opérati'on produisant un
changemefltposit.if.r!iemble nous, suggérer celle d'une opération
inverse;ou·~;né9ativequia;poureffet de défaire ce que la première
a fait.
AInsi, nous ne saurions concevoir la possibilité de réunir
des parties
•
en un tout sans concevoir également la possibilité de
séparer~une partie d'un tout.
En langage ordinaire, nous exprimons
cette'opération par' le. signe "excepté";
par exemple:
"Tous les
hommes e>:cepté les Asiatiques",
"tous les Etats,
e;u:epté ceu>~ qui
sont monarchiques".
On suppo~e ici
que les chose$ qui
ont été
exceptées forment
une.partie de celles dont elles ont été
mOIns.
Al fiSl
SI
représentE ho~m?~
à
dl (' ':=
hommes aSIatIques,
(34) alors la conception
"
tous les hommes
l:?>:_ C: E'>I:"~ Ë'
1 es
As i a t 1 clue-::;; Il
-"'E.'r a
ce~< p r- i in',,-'e CI ar
/ ·-v.
E't
SI
fi DU:::;
"aY2\\lït
Lme forme mondrcÎllque"
PUISqU
Il
E::;;t
IndIfferent
indl~fé~ent. Nous avons alors,
comme dans
:';1.: .. ec
"blanc".
App 1 i quet-
l
...
"blanc"
a
1 ensemble de~ nommes
expr l mé par
"Les hommes e:-: cepté 1 es Asi at i ques",
rev i ent
à
dl r e
"1 es homfll.:?s b 1 allcs e:-: cepté 1 es As.i at 1 ques b 1 a.nes".
Nous avons dDne
z
y
= z > : - z y
(6 )
Ceci
est également conforme aux
lois de l'algèbre ordinaire.
Les Equations
(4)
et
(6)
peuvent être consldérees comme des
littérau.~' \\.'
\\ ;
•"' .l'
1 ..
z .•
ete • .•
C(.iT.. naissent
une
pr()prli?t~·
dzstributive.Le fait
général
qu'exprime cette loi
est
celui-cl
si
~ . '- ~ ~_. -.
'... ;
éléments d'un groupe~ corstitué soit par
la réunion SOlt par
l
e:<cIUSlon de groupes partlels,
il
en
résulte la m1?l1IeCOnceptlon
-.
:::' .1
..
~
.'
~.:':~ I~'(ï;'-:~~~r;:"
::..1 E.'-::',
Ci i" c:u.;:~! ('::".'-=:
;~:. :::.:- t] e t·S, aL'''!
l
e:< cl us 1 en.
Ce qUI
C'·::'l..
Ë: l ~_;:TI12r~1 t s
(je
c.. '::'·:::
parties Salent
rellées entre elles.
c: 1 a ~::. ;::. e
~.
,
~~-:
..
'_., ,1.
t::.-
;;:' -
.:: :.:- ..:::,
i._,.!
L ..
l
-,·/e
(:., '::'.: ,::,,-, ~.-
,-
.. "- .", .--'
--'-
ser15
cette
analyse
r"e:~ose
sur
comprendre ce que
l ' on
erltend par
"è, voi r
con qui S
les Gaul es Il
. 2:: or-e<:::·:;::.l on
"quel qu un
qu 1
a
conqul '3 1 es Gau.l e~."
nous ne saurions comprendre
énonce en
questIon.
Cette expression
est,
par
conseouent.
véritablement
un
élement de
l 'enoncé~
un
autre élément en est
"César-li
et
il
en
feout
enCOr-E:' UI13L'.tr-e,
1.:;:<
n'afflrme pas qu'il
n'existe aucune autre maniere de conSIderer
la
relatIon
exprimée par
cette propositIon
"Cesar
conquit
les
i::::"
,-:.:,'
50
co~recte du point de vue particulier adopté ici,
et qu'elle suffit
aux. fIns
de la déduction loglque.
On remarquera· que les participes
(J ~:
ç',
".. ::;..-,'
t:::'
[lU
13-Le 51gne ci-dessus.
est ou sont peut ètre exprIme par
le
::. ··.. -,T!b Cl] é.'
i_ 2':::,
loi 5 ,OU C Dfflill'2 l ' on d l r-,:~:i t
or' d I ne i i~ '2inen t..
1 es
Ci:. '
: - '.:'-
:::- L Li C l ~:.::
Soit
la proposItion
"L.'23
astre::;; sont
J.e=-~ soleils eL les
planètes Il, et r ""'D ," ';:",:':,.
:::,1 anète'::;
.L
\\/ie;-lt
31cJi"--~-
--,
ï
e'=:t
'_E
t::'
•
'_:E:
, ,~. ~
pouvons d'emblée énonce~ les axiomes généraux suivants!
l)Si
à
des choses égales
on ajoute des choses é~~les. on
Obtient des tota~~ égaux.
2>81
Ion ~etranche de choses egaIes des choses égales,
on
obtient des restes égaux.
T .,
., 1,
; :: =: 1'" .~, l, ;- ~:-::-
des équations,
et utilIser
la règle de transpositIon dont nous
venons de ~arler, exactement comme en algèbre ordinaire.
_ . . 1.
..
~
-,
,
r ,':::, '::;
.....-::-: :.-.
::: J
51
d'autres termes,
si
tous les èléments de 1 "une sont élements de
1
autre,
alors les elements de lune des classes ayan~ une
;;C'U':::.
~.
nous avons egalement
:: v.
....::'
':.: ;-
d'une equatlon,
les produits obtenus
sont egau~
1. .:...~. -
; C",_"
2"T CI l ':::;
':::.J
't
•.... ;
.-.: l
-
1
••
_
L
~ d.::":::·':::.'
(j
, 1
'.... ':'1., '_.
.... ~':'7 '_.
;~:.
.i.
,_.
.--"-
4.. t'"
Z .....
que l'équation
0 '
,
SOit aussI
vrale.En dautres termes
1
aXiome des algeor15tes
selon
lequel
on peut diviser
par
la meme quantité les deux
.~
membres d'une équation,
n'a ICI
aucun éqUivalent formel
'":70 '~7' ~I t- ~ t
1;1 e r-· f:" r'" '::? J
iJ E'
c:· .::..
recherches,
Je ne cherche méme pas a
determlner si
l'operation
mentale qUI
est représentée par
la suppreSSIon d'un
symbole
..::::
1 'o~èration arithmétique de ~ivision. C~tte opér~tlon mentale est,
en réalité,
identique à
ce que 1 'on appelle communément
._":'
.1
~- -. .... -
.::-i'
,.:;,
ao~is en
algèbre.
MB:S un
oeu de ~~flexion suffira d
montrer
aue m~me en algèDre
i . ....
':::"'_.'
de lèquation z:-:
= zy n'est légitime que lcwsque l'on sait que z
c
'-' ..
OCJnc:.
l
,- :;
'.:":'
(,
.... i_ •.' '._".
':::.ç)éculat.ic1n"
de
::'j",:
..
-,
":,::. ,__' '_.". il i j. _
~- ~
.---"-
qUI
soient soumis à
la méme loi
formelle.
Nous savons que 0 2 =0 et
que
1~= 1;
et l'équation x 2 = x,
lorsqu'on
la considère comme
algébrique,
n'admet que les racines 0 et
1.Par conséquent,
au lieu
de déterminer
Jusqu'à quel
pOint
les symboles loçiques s'accordent
formellement
avec ceux du Nombre en g~néral
Il nous est plus
~
nadmettant
pour
valeurs
que 0
et
1.
Concevons alors une algèb~e
00 les symboles x,
v, , Z ., •
admettent
indifféremment
le~ valeurs 0
-::,.::::
.. ! ! .
.:".;".
5·3
3
telle algèbre. seront
identiques,
en tout point,· aux
lois
an: i ornes.
et procèdures d'une <38> Algèbre de la LOglqU~. Elles ne se
.'._',/
C' 1
IL:'.' <. ", C.' ::_
ci E
c: 1...1
l6-Il
reste m31n t_erld.r.t
b
m,~,r,trer·
que 1""";:
é:lt='i-;iC;:'i-1.·~
':":'i-,::,:'ltl_'t]+~
:::..';';:
pa,..-agt·'ôlphes précédent,::, de ce chaPl t,..-e peU\\ient,
501 t
,::E'
ranlener
d.
ces m~mes éléments dËJà e~amlnËS. SOIt
pa,..-tlcules et,excepte ont déjà été examinés.Le pronom peut ~t"'-e
comme une
du
: ;:;-- ::
-' E':' ;." _. ':.:.:.
:'1-
.. ::::
,::..--'
::. .i-
.,
;..: .::
' - - ' -
forme et des lOIS
identioues,
a
celles des symbole2 C2~r
i
emp! ~l
et
la signification ont éte expliques dans ce chapitre. Quant
aux
~mployés, soit pou,..- défIni,..- plus p,..-eclsément
le sens ~es te,..-mes du
langage -
qu'ils pa,..-ticipent donc à
1 ·interp,..-étatlon des symboles
litté,..-aux dejà considé,..-és-
,soit pour exp,..-imer une emotion ~u un
,
é:t "?" t
d " '~rnt? d.C C onlp '~!;J rt C:·.n t.
~~ J "', r-,
ne rel èvent donc pas du damai ne de 1· entendement
qUI
=t?uï
nous
conce,..-ne ici-.
C'est à
1 usage que c·avè,..-era le caractË~e
:~ l c'.··
;
i"
: .;. ,
CHAPITRE 3- D~Rf~ÀTid~ DES LOIS DES SYMBOLES LOGIQUES
A PARTIR DES LOIS DES OPERATIONS DE L'ESPRIT HUMAIN.
(39)1-
L'objet
de
la
science,
prise
au
sens
propre,
est
la
connaissance
des
lois
et
des
relations.
Pouvoir
distinguer
ce
qui
est
essentiel
à
cette
fin
de
ce
qui
lui
est accidentellement associé,
est
l'une des plus importantes
conditions
du
progrès scientifique.
Je
dis distinguer
entre
ces éléments,
car
une dévotion. sincère à
la science n'exige
pas que
l'on
se désintéresse
tout
à
fait
d'autres
spécula-
tions,
à
caractère
souvent
métaphysique,
auxquelles
elle
est
fréquemment
liée.
Des
questions,
par
exemple.
telles
que
l'existence
d'un
fondement
permanent
des
phénomènes,
la
réalité
de
la
causalité,
la
propriété
des
expressions
du
langage
impliquant
une
connexion,
effectuée par des opé-
rations,
entre
états
de
choses
successifs,
ainsi
que d'au-
t res,
de
méme
nature.
peuvent
présenter
un
intérêt
et
un
sens profonds dans leur rapport à
la science sans être essen-
tiellement
scientifiques.
En
fait,
il
est
à
peine
possible
de
formuler des
conclusions,
dans
la
science d~.la nature,
sans recourir au
langage de ces notions.
Et
cela n'entraîne
pas nécessairement d'inconvénient pratique.
Ceux qui
croient
et
ceux
qui
refusent
de
croire
que
la
relation
de
cause
à
effet
contient
plus
qu'un
ordre
invariable de
succession
s'accordent dans l'interprétation des conclusions de l'astro-
nomie
physiqu~.
Mais
ils
ne
s'accordent
que
parce
qu'ils
reconnaissent un élément commun de vérité scientifique
indé-
pendant
de
leurs
points
de
vue
particuliers
sur
la
nature
de la causalité.
55
cette distinction a
son
importance pour
la science
~\\;~-,
du monde physique,
elle mè~jte plus d'attention encore
lors-
:,:j;;"
qu'il
s'agit
de
la
science
des
facultés
intellectuelles .
.
Car les questions qui
se présentent dans cette science finis-
sent
presque
nécessairement,
du
moins
quant
à
leur
expres-
sion,
par
se
trouver
inextricablement
liées
à
des
manières
de
penser
et
de
par 1er
qu i
trah i ssent
une
or i g i ne
métaph~/-
sique.
L'idéaliste
donnera
aux
lois
du
raisonnement
<40>
telle
forme
d'expression;
le
sceptique,
s ' i l
est
fidèle
à
ses principes,
telle autre.
Ceux qui
considèrent les phéno-
ménes que
nous
exami nons
dans
ces
recherches
comme
de
purs
états
successi fs
de
la
pensée
où
n' i ntervi ent
aucun
1 i en
causal,
et
ceux
qui
les
rapportent
aux
opérations
d'une
intelligence
active
se
distingueront
également,
s ' i l s
sont
conséquents
avec
eux-mêmes,
par
leur
manière
de
formuler
les choses.
Une différence dans
la classification des facul-
tés
mentales
entraînera
également
une
différence
du
même
genre.
Le
principe que
je voudrais à
présent
énoncer,
comme
étant
celui
qui
nous offre
le seul
terrain assuré et stable
dans une si
grande diversité,
aussi
bien apparente que réel-
le,
est
le
suivant:
si
les
lois en question sont véritable-
ment
inférées
à
partir
de
l'observation,
elles
possèdent
une
existence
réelle
en
tant
que
lois
de
l'esprit
humain,
indépendamment
de
toute
théorie
métaphysique
qui
peut
pa-
raltre
impliquée
par
la
manière
de
les
formuler.
Elles
re-
\\
cèlent
un
élément
de
vérité
qu'aucune
critique
ultérieure
de"la
nature
ou même
la
réalité des
opérations de
l'esprit
ne saurait affecter de manière essentielle.
l'esprit ne soi t' qu' unè successlon
d'états
de
consc i ence,
Uy~ série d'impressions passagères
sans
la
moi ndre
cause
externe
ou
interne,
surgissant
du
néant
pour
retourner
à
nbuveau
au
néant
-
suprême
raffine-
ment
de
l'intellect
sceptique-,
il
demeure
encore
qu'en
tant que
lois de succession,
ou,
du moins,
d'une succession
passée,
1es
résul tats
auxquel s
aura mené
l' observat i on
res-
teraient
vrais.
Il
faudrait
les
interpréter dans un
langage
dont
le
lexique aurait
banni
tous
les termes tels que cause
et
effet,
opération
et
sujet,
substance
et
attribut,
mais
ils
conserveraient
encore
leur
validité de
vérités scienti-
fiques.
Bien
plus:
puisque
toute
formulation
des
lois
de
la
pensée reposant sur l'observation effective doit ainsi
conte-
nir
des
éléments
scientifiques,
indépendants
des
théories
métaphysiques
sur
la
nature
de
l'esprit,
l'application
pra-
tique
de
ces
éléments
à
la
constitution
d'un
systéme
ou
d'une
méthode
de
raisonnement
doit
être tout
aussi
indépen-
dante
des
distinctions
métaphysiques.
En
effet,
c'est
sur
.-----
les
éléments
scientifiques
contenus
dans
la
formulation
des lois que reposera toute application pratique,
exactement
comme
les
conclusions
pratiques
de
l'astronomie
physique
sont
indépendantes
de
toute
théorie
concernant
la
cause
de
la
gravitation,
et
ne
reposent
que
sur
la
connaissance
de ses effets phénoménaux.
Par conséquent,
en ce qui
concer-
•
ne
la
détermination
<41>
des
lois
de
la
pensée
et
l'usage
prat ique
que
permettra
1eur
découverte,
nous
ne· nous
sou-
cions
guère,
dans
la
mesure
où
nos
objectifs
sont
réelle-
ment scientifiques.
de
la vérité
ou de
la fausseté de quel~
que spéculation m'étapl1YSÜ1Ue que ce soi t.
3-
La
voie
qui,
délns
ces
circonstances,
me
paraît
la
pl us avantageuse
à
adopter,
est
de
m' autor i ser
à
user
avec
toute
latitude
du
langage
et
du
discours
ordinaires,
sans
me
soucier
d'aucune
théorie
sur
la
nature
et
les
facultés
de
l'esprit que ce
langage serait censé
impliquer.
Par exem-
pl e,
on
s'accorde
couramment
à
dire
que
nous
nous
entrete-
nons
les
uns
avec
les
autres
par
la
communication
d'idées
ou
de
notions.
cette
communication
se
faisant
grâce
aux
mots;
et
que,
pour
toutes
les
idées
ou
notions
particuliè-
res qui
se présentent à
lui,
l'esprit
possède certains pou-
voirs
ou
facultés
qui
lui
permettent
de
fixer
le
regard
mental
sur
certaines
idées
à
l'exclusion
d'autres,
et
par
lesquels
les
conceptions
ou
les
idées
données
peuvent,
de
pl usi eurs
façons,
se
combi ner.
A
ces
facul tés
ou
pouvoi rs
l'on
a
donné
différents
noms
tels
que
Attention,
Appréhen-
sion
simple,
Conception
ou
Imagination,
Abstraction,
etc ...
-
des noms qui,
non seulement ont constitué autant de titres
de
chapitres
en
philosophie
de
l'esprit,
mais
sont
passés
dans
le
langage
commun
des
hommes.
Toutes
les
fois
donc
que
l'occasion
d'employer
ces
termes
se
présentera,
je
le
ferai.
sans
que
cela
signi fie
cependant
une
adhésion
à
la
théorie
selon
laquelle
l' espri t
possède
tels
et
tels
pou-
vot rs
et
facul tés
comme
autant
ct' aspects
de
son
acti vi té.
,
Et
il
n'est pas non plus vraiment
nécessaire de se demander
si
ces
facultés
de
l'entendement
existent
séparément
ou
non.
Nous pouvons réunir ces différents titres sous l'unique
terme' génériqUe
d'Qpéfailoris
de' 1 •espr't t
humàfn.' défini r
ces
opérat i ons
autant
qu -t:1;. est
nécessa ire
pour
1es
objec-
;$
tifs
de
cet
ouvrage,
avant
de
chercher
à
exprimer
leurs
lois
ultimes.
C'est
là
l"'ordre
général
de
la
démarche
que
je
suivrai,
méme
si,
à
l'occasion,
je
fais
référence
à
des
noms
que
l'on
s'accorde
généralement
à
assigner
aux
états
ou
opérations
intellectuels
particuliers
que
l'on
pourra
rencontrer.
Il
sera
plus
commode
de
répartir
les
résultats
les
mieux
établis
auxquels
nous
a
conduit
l'étude
qui
suit
en
des Propositions distinctes.
<42>
PROPOSITION 1.
Déduire
les
lois
des
symboles
logiques
à
partir
de
l'examen
des
opérations
de
l' espri t
qui
interviennent
dans
l'usage strict du langage comme instrument du raisonnement.
Dans tout discours,
que ce soit celui de l'esprit dialo-
Quant
avec
ses
propres
pensées
ou
cel ui
de
l' i ndi vidu
dans
son
commerce
avec
les autres,
il
existe
une
limite,
tacite
ou exprimée,
déterminant
les objets sur
lesquels ce discours
" - - ' -
opère.
Le
discours
le
plus
libre
est
celui
où
les mots que
nous
employons
sont
compr i s
dans
l ' accept i on
1a
pl us
1arge
possible;
pour
de
tels
mots,
les
limites
du
discours
sont
coextensives à
celles de
l'univers
lui-même.
Mais
il
arrive
plus
fréquemment
que
nous
nous
en
tenions à ·un
champ moins
vaste.
Parfois,
en
parlant
des
hommes,
nous
sous-entendons
\\;
(sans
poser
explicitement
cette
restriction)
qu'il
s'agit
des
hommes
dans
certa i nes
circonstances· et
sous
certa i nes
conditions,
par
exemple
les
hommes
civilisés,
ou
dans
la
53
force
de
l'âge,
ou
les
hommes
sous
quelqu'autre
condition
ou
rapport.
Cela
posé,
:qyelle
que
puisse
étr"e
l 'étendue
~,';'"
""~~
du
ctlamp
où
se
[encon t ren't' tous
les
objets
dont
nous
par-
Ions,
i l
peut
être
proprement
désigné
comme
l'univers
du
discours.
5-
En
outre,
cet
univers
du
discours
est,
au
sens
le
plus
strict,
l'objet
ultime
du
discours.
Le
rôle
d'un
nom
ou
d'un
terme
descriptif
quelconque,
employé
dans des
limi-
tes
données.
est
de
susc i ter
dans
l ' espr i t
l a
concept i on,
non pas de tous
les êtres ou objets auxquels ce nom ou cette
description
est applicable.
mais seulement
de ceux qui
exis-
tent
dans
l'un i vers
du
discours
donné.
Si
cet
uni vers
du
discours
se
trouve
étre
l'univers
effectif
des
choses
ce
qui
est
toujours
le
cas
lorsque
l'on
prend
les mots dans
leur
sens
réel
et
littéral-
alors
par
"hommes"
nous
enten-
dons
tous
les
hommes
qui
existent;
mais
si
l'univers
du
discours est
limité au
préalable par
un accord
tacite.
alors
c'est
des
hommes
dans
les
limites
ainsi
introduites
que
nous
parlons.
Dans
les
deux
cas.
le
mot
"hommes"
a
pour
fonction
de
conduire
une
certaine
opération
de
l'esprit
par
laquelle,
â
partir
de
l'univers
du
discours
approprié.
nous
sêlectionnons
les
individus
signifiés
ou
nous
nous
fixons sur eux.
6-
L'opération mentale que suppose
l'emploi
d'un adjec-
t i f
est
exactement
du
même
genre.
Prenons
par
exempl e
pour
t
univers
du
discours
l'Univers
même.
Alors,
de
même
que
le
mot
hommes
nous
conduit
<43>
a
selectionner
mentalement.
dans
cet
univers,
tous
les
êtres
auxquels
le
terme
d'''hom-
mes" peut
• de
"bon" dans la
combinaison
"hommes
"""'"
bonst'~~d'1l0US conduit,
en
outre,
a selec-
":~~'
tionner
mentalement,
dans
la
classe
des
hommes,
tous
ceux
qui
possèdent
la
qualifé
supplémentaire
d'être
"bons";
et
si
l'on ajoutai t
un autre adjecti f
à
la combinaison
"hommes
bons",
cela nous
conduirait
à
effectuer une nouvelle opéra-
tion de même nature,
correspondant à cette propriété supplé-
mentaire que l'on aurait choisi d'exprimer.
Il
importe de prendre garde à
la nature, réelle de l 'opé-
ration
ici
décrite,
car
il
est
concevable
qu'elle
eût
pu
être
différente
de
ce
qu'elle
est.
Si
l'adjectif
avait
eu
un
caractère
purement
attributif,
il
serait
apparu
qu'en
désignant
par
hommes
un
ensemble
particulier
d'ètres,
le
fai t
d'ajouter
l' ad je ct if
bons nous aurai t
condui t
à
accor-
der
mentalement
à
tous
ces étres
la qualité de
bonté.
Mais
telle
n'est
pas
la
véritable
fonction
de
l'adjectif.
L'opé-
ration
que
nous accomplissons
effectivement
est
celle d'une
sélection selon un principe ou une
idée déterminés.
Il
n'im-
porte
guère
de
rechercher
à
que Il es
fa cu 1 tés
de
l' espr i t
--"-
rapporter
une
telle
opération,
conformément
à
la
classifi-
cation habituelle
de
ses
pouvoirs.
mais
je
suppose
qu'elle
serait
considérée
comme dépendant
des deux
facultés de Con-
ception ou d'Imagination d'une part,
d'Attention de
l'autre.
A
la
première
de
ces
facultés
l'on
pourrait
rapporter
la
formation
de
la
conception
générale;
à
la
seconde,
le
fait
,
de fixer
le regard mental
sur
les individus qui,
dans l'uni-
vers
du
di scours
donné,
répondent
à
cet te
concept ion.
Si
toutefois,
comme on peut l'envisager.
le pouvoir d'Attention
n'est
rien
d'autre
que
celui
de
prolonger
l'action
d'une
autre
faculté quelconque d.e
l'esprit.
l'on pourrait.
à
juste
- ,-
titre,
considérer
la totali~é de
la procédure mentale décri-
te
ci-dessus
comme
relevant
de
la
faculté
mentale
d'Imagi-
nation
ou
de
Conception:
la
première
étape
de
la
procèdure
serait
la
conception
de
l'univers
lui-même,
chaque
étape
venant
successivement
limiter de
manière
définie
la
concep-
tion
ainsi
formée.
Adoptant
ce
point
de
vue,
je
décrirai
chacune
de
ces
étapes,
ou
toute
combinaison
déterminée
de
ces étapes. comme un acte défini
de conception.
Et j'étendrai
l'usage de ce terme de
manière
à
inclure dans sa significa-
tion.
non seulement la conception des classes d'objets repré-
sentées par des noms particuliers ou des attributions simples
de qualité, mais aussi
les combinaisons de ces conceptions
de
toutes
les manières
qui
sont
en accord avec
les facultés
et
les
limitations
<44>
de
l'esprit
humain;en
fait.
toute
opération
intellectuelle,
à
l'exception
de
celle
qui
donne
sa structure à
un énoncé
ou
proposition.
Il
nous
faut main-
tenant
exami ner
1es
loi s
généra 1es
auxque Il es sont
sourn i ses
les opérations de l'esprit.
---
7-
L'on
va
montrer
que
les
loi s
gouvernant
l ' emploi
des
symboles
littéraux
logiques.
qui
ont
été
déterminées
a
posteriori dans le chapitre précédent à
partir de la cons-
titution
du
langage.
sont
en
fait
les
lois
de
cette
même
opération
mentale qui
vient
d'être décrite.
Nous commençons
notre
di scour's
en
présupposant
certa i nes
1 i mi tes
à
son
ob-
jet.
c'est-à-dire
les
limites
de
son
univers.
Tout
nom.
tout
terme
descri pt if
employé
condui t
notre
i nterl ocuteur
· ~...
A effectuer
une
certaine
opération
mentale
sur -cet
objet.
~;;,
,
Et
ainsi
se
commun i Que
l~L'pensee .
Mais.
dans
1a
mesure
où
~i
chaque
nom
ou
terme
descr i pt if
n' est.
de
ce
po i nt
de
vue.
que
le représentant d'une opération
intellectuelle.
laquelle
est
première
selon
l'ordre
naturel
aussi.
il
est
évident
Que
les
lois
du
nom
ou
du
symbole
doivent
être
des
lois
dérivées;
elles doivent.
en
fait.
trouver
leur
origine dans
celles de
l'opération Qu'elles représentent.
L'on va mainte-
nant
montrer
Que
les
lois
du
symbole
et
de
la
procèdure
mentale sont identiques dans leur expression.
8- Supposons que l'univers du discours soit l'univers
réel.
de sorte que
les mots soient employés dans leur pleine
signification.
et
considérons
les
deux
opérations
mentales
correspondant aux mots "blancs" et
"hommes",
Le mot
"hommes"
indique
1 'opération
de
sélection,
par
la
pensée.
de
tous
les hommes,
dans
l'univers qui
est
son objet;
et
la concep-
tion
qui
en
résulte.hommes.
devient
l'objet
de
l'opération
suivante.
L'opération
indiquée par
le mot
"blancs" est celle
de
sélection.
dans
son
objet
"hommes".
de
toute
la
classe
.----~ -
de ceux qui
sont blancs.
La conception finale qui
en résulte
est celle des "hommes blancs".
Or 11
est tout A fait évident
que
si
les opérations ainsi
décri tes avaient
été effectuées
dans un ordre
inverse,
le résultat aurait été
le même.
Com-
mencer
par
former
1a
concept i on
des
"hommes"
pour
ensu i te.
par
la
deuxième
opération
intellectuelle.
la
limiter
aux
,
"hommes
blancs".
ou
commencer
par
former
la
conception
des
"choses
blanches"
pour
ensui te
la
1 imi ter
aux
objets
de
cette
classe
qui
sont
des
"hommes",
ne
change
absolument
63
rien
au
résultat.
Il
est
clair
que
l'ordre
dans
lequel
on
effectue
les
procédures mer_tales serait. aussi
<45'
indiffe-
rent
si
à
1a
pl ace
des
mots
.. blancs"
et.
"hommes"
nous met-
tions
d'autres
termes
descriptifs
ou
appellatifs
quelcon-
ques.
pourvu
seulement
que
leur
signification
soit
fixe
et
absolue.
Par
conséquent.
l'indifférence
dans
l'ordre
d'exécution des deux opérations de
la faculté de Conception,
.
l'une
prodlhsant
l'objet
sur
l ~quel
l'autre
est
censée
opé-
rer.
est
une
condition
générale
du
fonctionnement
de
cette
faculté.
C'est
une
loi
de
l'esprit.
et
c'est
la
véritable
origine
de
cette
loi
des
symboles
littéraux
logiques
qui
constitue son expression formelle
(1).
(chap.II).
9-
Il
est
également
évident
que
l'opération
mentale
décrite
ci-dessus
est
d'une
nature
telle
que
son
résultat
n'est
pas
modi fié
par
sa
répét i t i on.
Supposons
que
par
un
acte
défini
de
conception.
l'attention
se
soit
fixée
sur
la
classe
des
hommes,
et
que.
par
une
autre
opération
de
l a
même
facul tê.
nous
l a ] i mi ri ons à
ceux
de
race
bl anche.
Alors
toute
nouvelle
répéti tion
de
ce
dernier
acJ;..e_ mental
limitant
l'attention
aux
seules choses blanches.
ne modifie
en aucune manière le résultat auquel
l'on est parvenu.
c'est-
à-dire
les
hommes
blancs.
C'est
là.
également.
un
exemple
d'une
loi
générale
de
l'esprit
qui
trouve
son
expression
formelle dans la loi
(2)
(chap.II) des symboles littéraux.
10- En Q.Utre.
i]
est man i feste qu'à part i r
des concep-
tions
de
deux
classes
distinctes
de
choses.
nous
pouvons
former
cell e
d'un
ensembl e
de
choses se
composant
des deux
classes prises ensemble;
et ce résultat est évidemment indif-
férent
à
l'ordre,
de
position
ou
de
priorité.
dans ·lequel
ces
classes
se
sont
préserilées
au
regard
menta 1.
C'est
1à
~ ...-~ .
une
autre
loi
général e
de
l ' espr i t
dont
l' expressi on
est
donnée en (3)(chap.ll).
11-
Il
n'est
pas
nécessaire
de
poursuivre
dans
cette
voie de
recherch~ et de comparaison.
Les
illustrations dbn-
nées suffisent à
manifester
l'évidence des deux propositions
suivantes:
1°)
Les
opérations
de
l'esprit
par
lesquelles
celui-ci.
C
dans
l'application de sa faculté d'imagination ou de concep-
t i on
combi ne
et
modi fie
1es
not i ons
si mpl es
des
choses
ou
des
quaI i tés,
tout
autant
que
les
opérations
de
la
raison
qui
s'effectuent
sur
des
vérités
et
des
propositions,
sont
soumises à des lois générales.
2°)
Ces
lois ont une expression mathématique et se manifes-
tent
effectivement
dans
les
lois
essentielles
du
langage
humain.
Par
conséquent,
les
lois des symboles
logiques
<46>
peuvent
se
dédu ire
de
l'examen
des Dreta.RCil\\âe
l' espr i t
dans
----le rai sonnement.
12-
Le reste de
ce chapi tre
sera consacré à
des ques-
o
tians
liées à
cette , i 0 i· de
la pensée dont
l'expression est
2
x
=
x
(11.9),
loi
qui.
comme on
l'a
indiqué
01.15).
cons-
titue
la différence caractéristique des opérations de
l'es-
prit
dans
le
discours
et
dans
le
raisonnement
ordinaires,
par
rapport.
ses
opérations
dans
l'algèbre
quantitative
générale.
Une part
importante de
l'étude qui
va suivre con-
si stera
à
prouver
que
1es
symbol es
0
et
1
trouvent
pl ace,
et
peuvent
avoir
une
interprétation.
parmi
les
symboles
"
65-
l ogi ques;
11
est
peut-être
nécessai re
d'abord,
de
montrer
comment
des
symboles
particuliers
tels
que
ceux-là
peuvent
/~
légitimement
et
avantageusement
s'employer
dans
la
traduc-
.
tion de différents systèmes de pensée.
Cette "légi tlmi té
ne
saurai t
reposer
sur
une quelconque
communauté d'interprétation.
Car dans des systèmes de pensée
aussi
réellement
différents
que
ceux
de
la
Logique
et
de
l'Arithmétique
(j'emploie
ce
dernier
terme
dans
son
sens
le plus large de Science du Nombre),
il n'y a,
à
rigoureuse-
ment
par 1er,
aucune
communauté
d'objet.
L'un
s'occupe
des
concept i ons
mêmes
des
choses,
l'autre
ne
tient
compte
que
de
leurs
relations numériques_
Mais,
dans
la
mesure
où
les
formes et les méthodes de tout système de raisonnement dépen-
dent
immédiatement
des
lois auxquelles sont
soumis
les sym-
bol es.
et seulement médiatement,
par le biais de la relation
exposée
ci-dessus,
de
1eur
interpréta t i on,
il
pourra i t
être
tout
à
la
fois
légitime
et
avantageux
d'utiliser
les mèmes
symboles
dans
différents
systèmes
de
pensée,
pourvu
que
puissent
leur être assignées les
interprétations qui
rendent
-----
identiques
leurs
lois
formelles
et
cohérent
leur
usage.
Cet usage
ne sera pas fondé sur
la communauté d'1nterpréta-
tion.
mais sur
la communauté des
lois
formelles auxquelles.
à
l'intérieur
de
leurs
systèmes
respectifs.
ces
symboles
sont soumis.
Et cette communauté des
lois formelles ne doit
reposer sur rien d'autre que
l'observation et la comparaison
..
minutieuses
des
résultats
qui
découlent-et
cela
de
façon
indépendante- des interprétations des systèmes considérés.
·~.
. '<t
eN
Ces
expliqt.le~011t la démarchesulvie dans
la
Proposition
qui
va
suivre.
Les
symboles
littéraux
logi-
ques
<47>
la
loi
exprimée
2
par
x
x.
Parmi
les
symboles
numériques,
il
n'en
existe
que deux,
0 et
l,
qui
satisfassent à
cette
loi.
Mais chacun
de ces symboles est aussi
soumis à
une loi qui
lui est parti-
cu 1 i èrè
dans
1e
système
qu i
est
ce 1 u i
de
la
grandeur
numé-
rique.
ce
qui
invite
à
rechercher
quelles
interprétations
il
faut
assigner
aux
symbole~ littéraux
logiques
afin
que
les
mêmes
lois
particulières
et
formelles
puissent
être
posées dans le système logique également.
PROPOSITION II.
13-
Déterminer
la
valeur
et
la
signification
logiques
des
symboles 0 et 1.
Le s)/mbole 0,
tel
quO i 1
est
employé
en
algèbre,
satis-
fait à
la loi
formelle suivante:
Oxy
= 0, ou Oy = 0,
(1)
que 1
que
50 i t
1 e
nombre
que
représente
y.
Pour
que
cet te
loi
formelle
soit
valide
dans
le
système
logique,
il
nous
faut
assigner
au
symbole
0
une
interprétation
telle
que
la
classe
représentée
par
Oy
puisse
être
identique
à
celle
représentée par
O.
quelle
que
soi t
cette
classe
y.
Un bref
examen montrera que cette condition est remplie si
le symbo-
le 0
représente
le Rien.
Conformément à
une définition déjà
donnée,
nous
pouvons
ct ire
que
1 e
Rien
est
une
classe.
En
fait,
le Rie. et
l'Univers sont
les deux limites de l'exten-
sion d'une classe.
puisque ce sont
les
limites des interpré-
tations
possibles
des
noms
généraux
dont
aucun
ne
peut
se
rapporter
à
moins
d'individus
que
n'en
contient
le
Rien,
ni
à
plus que. n'en contient
l'Univers.
Or.
quelle que puisse
être
la
classe
}'.
les
individus
communs
à
y
et
à
la
classe
"Rien"
sont
identiques à
ceux que
contient
la
classe
"Rien",
puisqu'il
n'yen
a
pas.
A.insi.
en
assignant
à
0
l'interpré-
talion
Rien.
la
loi
(1)
est
satisfaite;
et
i l
n'y
a
aucune
autre
façon
de
la
satisfaire
qui
convienne
au
caractère
tout à
fait général
de
la classe y.
En second
lieu.
le symbole
1 satisfait,
dans
le
système
n um é r i que.
1a
loi
sui van te:
lxy = y.
ou ly = y.
quel
que
soi t
1e
nombre
représenté
par
y.
Et
à
supposer
que
cette
équation
vaille
également
dans
le
systéme
exposé
dans
cet
ouvrage.
où
(48)
1
et
y
représentent
des
classes.
i l
apparai t
que
1e
symbo 1e
1
do i t
représenter
une
classe
telle
que
les
individus
d'une
classe
quelconque
y
donnée
soient aussi
l'ensemble
ly des
individus communs à
la classe
y
et
à
la
classe
représentée
par
1.
Un
bref
examen
montrera
que
la classe
représentée
par
1 doit
ëtre
"l'Univers".
puis-
que
c'est
la
seule
classe
où
l'on
trouve
tous
les
individus
.--~-
qui
sont
éléments
d'une
classe
quelconque.
Dès
lors.
les
interprétations
respectives
des
symboles
0
et
1.
dans
le
système
logique.
sont
le Rien et
l'Univers.
14-
Dans
la
mesure
où
l'idée
d'une
classe
donnée
de
choses.
"hommes"
par
exemple.
suggère
à
l'esprit
l'idée
de
la
classe
contraire
d'étres
qui
ne
sont
pas des
hommes;
.",
et
dans
la mesure où
l'Univers.
dans
sa
totalité.
est
compo-
sé
de
ces
deux
classes
prises
ensemble.
puisque
de
chaque
individu
qu'il
contient
nous
pouvons
dire.
soit
qu'il
est
homme.
soit
pas homme.
11
importe de se demand~r
comment
l'on
doit
exprimer
ces
noms
contraires.
Tel
est
'01;:.:
t'"
l'objet de la Proposition sU1vante:
PROPOSITION III.
Si
x
représente
une
classe
quelconque
de
choses.
alors
l-x représente
la classe contraire ou complémentaire.
c'est-
à-dire
la
classe qui
contient
toutes
les choses qui
ne sont
pas contenues dans la cla?se_~
Pour
plus
de
clarté.
supposons
que
x
représente
la
"
classe des
hommes,
et
exprimons,
conformément à
la Proposi-
tion
précédente,
l'Univers
par
1;
si
de
la
conception
de
l'Univers.
composé d'''hommes''
et de
"non-hommes",
nous enle-
vons
celle
des
"hommes".
la
conception
qui
en
résulte
est
celle
de
la
classe
contraire
des
"non-hommes".
Par
consé-
quent.
la
classe
des
"non-hommes"
sera
représentée
par
l-X.
Et,
de
manière
générale,
quelle
que
soit
une
classe
de choses
représentée par
1 e
s~'mbo 1 e x ,
1 a
c] asse cont ra ire
sera exprimée par 1-x.
15-
Bien que la Proposition qui
va suivre appar tienne,
à
proprement
parI er,
à
un
prochai n
chapi tre
de
cet
ouvrage
consacré
à
la
question
des
maximes
ou
vérités
nécessaires.
l'on
a cependant jugé bon de l'introduire ici,
en
raison
de
la grande
importance de
la
loi
de
la pensée qu'elle con-
cerne.
<49> PROPOSITION IV.
L'axiome
des
~étaphysiciens appelé
principe
de
contradic-
tion.
qui
affirme
l'impossibilité
pour
un
être
d'avoir
une
qualité
et
de
ne
pas
l'avoir
en même
temps.
est
une consé-
guence de
la loi
fondamentale de
la pensée dont
l'expression
2
e s_L~- _-=---~_~
Ecrivons cette équation sous la forme
2
x-x
=
0;
alors nous avons
X(1-X)
=
0;
(1)
ces deux
transformations
se
justifiant par
les
lois axioma-
tiques
de
combinaison
et
de
transposition
(11.13).
Pour
plus
de
simplicité,
donnons
au
symbole
x
l'interprétation
particulière
d'''hommes'';
alors
l-x
représentera
la
classe
des
"non-hommes"
(Prop.IIIL
Or,
le
produit
formel
des
ex-
pressions
de
deux
classes
représente
la
classe
d'indivi-
dus qui
leur est commune à
toutes les deux (11.6).
Par consé-
quent,
x(1-x)
représentera
la
classe dont
les
éléments sont
à
la fois
"hommes" et
"non-hommes",
et
l'équation
(1)
expri-
me
donc
le
principe
qu'une
classe
dont
les
éléments
sont,
en
même
temps,
des
hommes
et
des
non-hommes
n'existe
pas.
En
d'autres
termes,
qu' i 1
est
impossi bl e
que
1 e
même
i nd i -
vidu soit.
en même temps.
un homme et un non-homme.
Si main-
tenant
le sens du symbole x ne se limite plus à
la représen-
tation
d"'hommes"
mais s'étend
jusqu'à signifier
une
classe
quelconque
d'êtres
caractérisés
par
la
possession
d'une
qualité
quelconque.
alors
l'équation
(1)
exprimera
qu'il
est
impossible
pour
un
être
d'avoir
une
qualité
et
de
ne
pas
l'avoir en même
temps.
Or
c'est exactement
là
le
"prin-
cipe de contradiction" qu'Aristote a qualifié d'axiome fonda-
mental
de
toute
la
philosophie:"
il
est
impossible
que
le
même attribut appartienne et n'appartienne pas en même temps
au
même
sujet
et
sous
1 e
plus
ferme
de
tous
les
principes ... C'est
la
raison
pour
laquelle
tüute
dêmonstration
se
ramène
à
ce
principe
comme
à
une
ultime
vérité,
car
il
est,
par
nature,
un
point
de
départ,
même pour tous les autres axiomes".*
<SO>L'interprétation
ci-dessus
a
été
introduite,
non
pas
pour
sa
valeur
immédiate
dans
le
prèsent
système,
mais
pour
illustrer
un
fait
significatif
dans
la
philosophie
des facultés
intellectuelles,
à
savoir que ce que
l'on s'est
accordé à
cons i dérer
comme
l' ax i orne
fondamenta 1 de
1 a
méta-
phys i que
n' est
que
1a
conséquence
d'une
loi
de
1a
pensée,
mathématique
dans
sa
forme.
Je
voudrais attirer
l'attention
également sur le caractère suivant:
l'équation (1) qui
expri-
me
cette
loi
fondamentale
de
la
pensée
est
une
équation
du second degré. *--
2
z*
51
l'on prétend que
l'existenc~de l'équation x =x néces-
site
aussi
celle
de
l'équation
x
=x,
qui
est
du
troisième
degré.
et
si
l'on
demande
si
cette
équation
n'indique
pas
une
procèdure
de
trichotom~e.
la
réponse
à
.cette
question
sera
celle-ci:
l'équation x
=x
n'est
pas
interprétable dans
le
système
logique.
En
effet,
en
l'écrivant
sous
l'une
ou
l'autre des formes
x(l-x)(l+x)
= 0,
(2)
X(l-X)(-l-x)
= 0,
(3)
_11
f
_
Sans nous lancer
ici ~ans des spèclJlations sur ]a neces-
si té
de
ce
caractère,
inhérente
à
sa
nature
propl-e,
nous
pouvons
avancer
cet te
thèse
que
s' il
n' ava i t
pas
ex i sté.
la démarche tout entière de
l'entendement eût été différente
de
ce
qu'elle
est.
C'est
donc
en
conséquence
du
fait
que
l'équation
fondamentale
de
la
pensée
est
du
second
degré.
que
nous
effectuons
l'opération d'analyse
et
de
classifica-
tion
par
division
en
couples de
<5U
contraires,
ou,
comme
l'on
dit
techniquement,
par
dichotomie.
Or,
si
l'équation
en
question
avait
été
du
troisième
degré,
tout
en
continu-
an t
d' a dm et t r e ,
telle
que Il e ,
une
i nt e r pré ta t ion,
1a
div i -
sion
mentale
aurai t
dû
être
à
trois
composantes,
et
nous
aurions
dû
procèder
par
une
sorte
de
trichotomie
dont
il
nous
est
impossible,
en
l'état
présent
de
nos
facultés,
de
concevoir
adéquatement
la
nature
réelle,
mais dont
nous
pourr i ons
encore
chercher
1es
loi s
comme
obj et
de
spècu 1a-
tion intellectuelle.
16-
On
appellera,
à
l'occasion,
"loi
de
dualité",
la
__4_
loi
de la pensée qu'exprime
l'équation
(1),
pour des raisons
qui sont claires d'après la discussion Qui précède.
'!{-
nous
voyons que
son
interprétation,
à
supposer qu'elle
soit
possible,
doit
comprendre
celle
du
facteur
l+x
ou
du
fac-
teur
-l-x.
Le
premier
n'est
pas
interprétable,
car
nous
ne pouvons concevoir l'addition d'une classe x,
quelle qu'el-
le
soit,
avec
l'univers
1;
le
second
n'est
pas
interpré-
table,
car
le symbole
-1
n'est
pas soumis à
la
loi
x(l-x)=O
(suite de la note)
:~f~~'
à
laquelle
sont
soumis
Sbus
les
symboles
de
classes.
Par
conséquent.
l'équation
x
=x
n'adm 2t aucune interprétation
analogue
à
celle
de
l'équation
x =x.
Si.
cependant.
ces
deux
équations
avaient
été
vraies
indépendamment
l'une
de
l'autre,
c'est-à-dire
si
l'acte
mental
que
représente
x
avait été tel
que sa seconde répétition reproduise le résul-
tat
d'une
opération
unique.
mais
non
pas
sa
première
ou
simple
répétition.
l'on
peut
présumer
que
nous
saurions
interpréter
l'une
des
formes
(2).
(3),
ce que
nous ne
pou-
vans
faire
dans
les
conditions
actuelles
qui
sont
celles
de
la
pensée.
Il
existe des
opérations.
connues du mathéma-
ticien.
don~ la
loi
peut
êt~e
exprimée
adéquatement
par
l'équation
x =x.
Mais
elles
sont
d'une
nature
complètement
étrangère au domaine du raisonnement général.
En
disant
que
l'on
peut
concevoir
que
la
loi
de
la
pensée
eût
pu
être
di f férente
de
ce
qu' e Il e
est.
je
veux
simplement
dire
que
nous
pouvons
imaginer
pareille
hypothè-
se
et
en
ét ud i er
1es
conséquences.
La
possi bi lité
de
1e
faire n'implique pas
la théorie selon laquelle
la
loi
réelle
de
la
raison
humaine
est
le
produit.
soit
du
hasard,
soit
d'une volonté arbitraire.
CHAPITRE 4~DIVISION DES PROPOSITIONS EN DEUX CLASSES:
Cc
.:., ....
PROPOSITIONS "PRIMAIRES!' ET "SECONDAIRES";
PROPRIETES
~~'~~'-'
CARACTERISTIQUES DE CES CLASSES;
LOIS DE L'EXPRESSION DES
PROPOSITIONS PRIMAIRES.
<52>1-
Les
lois des
opérations mentales qui
intervien-
nent
dans
les
procédures
de
Conception
ou
d'Imagination
ayant été étudiées.
et
les lois correspondantes des symboles
qui
les représentent
ayant
été expliquées,
nous sommes ame-
nés à
examiner
l'application pratique des résultats obtenus:
d'abord
pour
l'expression des
termes
complexes des
proposi-
tions;
ensuite,
pour
l'expression
des
propositions;
enfin.
pour
la constitution d'une méthode générale d'analyse déduc-
t i ve.
Dans
ce
chap i tre.
nous
tra i terons
surtout
du
prem i er
point;
pour
l'introduire,
il
est
nécessaire
d'établir
la
proposition suivante:
PROPOSITION 1.
Toutes
les
propositions
logiques
peuvent
étre
considérées
comme appartenant à
l'une ou l'autre de deux grandes classes
.--.-
auxquelles
l'on peut donner respectivement
les noms de "Pro-
positions
Primaires"
ou
"concrè,tes"
et
de
"Propositions
Secondaires" ou "Abstraites".
Tout énoncé produit peut se rapporter à
l'un ou l'autre
des
types
suivants:
soit
il
exprime
une
relation
entre
choses, soit il exprime une relation entre propositions
".
. ~e é .
t ·
l '
. . . . . "
1
.
SOIt",
qUlvau
a
expresSIon
tl'-:une
d une
telle
re atlon.
Un
énoncé
concernant
les
propriétés
des
choses,
les phéno-
mènes
qu'elles
manifestent
où
les
circonstances
où
elles
se
trouvent
est.
â
proprement· parler.
l'affirmatlon
d'une
r' e lat ion
en t r e
ch 0 ses.
L "\\:>I: pre s s ion
"1 a
ne i 9 e
est
b l an che ..
'~}},;
est,
pour
les objectifs de
la
logique,
équivalente à
l'exp-
ression
"la neige est
unè
chose
blanche".
Un
énoncé concer-
nant
des
fa i ts
ou
des
événements,
1eur
connexi on
et
dépen-
dance
mutuelles,
est,
pour
ces mêmes objectifs,
équivalent,
en
généraL
à
l'affirmation
que
telles
et
telles
proposi-
tions portant
<53> sur ces événements sont dans une certaine
relation
l'une
à
l'autre
quant
à
leur
vérité
ou
fausseté
respective.
J'appelle
"Primaire",
la
première
classe
des
propositions
qui
concernent
des
choses.
La
deuxième,
qui
concerne
des
propositions,
je
l'appelle
"Secondaire".
En
pratique,
cette
distinction
recouvre
presque,
mais
pas
tout
à
fait,
la
division
logique
courante
des
propositions
en
catégoriques et hypothétiques.
Par
exemple,
les
propositions
"le
soleil
brifle","la
terre se réchau ffe",
sont des propos i ti ons pr i ma ires;
la
proposi tion
"Si
le
solei 1
bri Ile,
la
terre
se
réchauffe"
est
une
proposition
secondaire.
Dire
"le
soleil
brille",
" - - ' -
c'est
dire
"le
soleil
est
ce
qui
brille",
et
l'on
exprime
une
relation
entre
deux
classes
de
choses~
"le
solei 1"
et
"les choses qui
brillent".
Quant à
la proposition secondaire
qui
précède.
elle
exprime
une
relation
de
dépendance
entre
les
deux
propositions
primaires
"le
soleil
brille"
et
"la
terre se
réchauffe".
Je n'affirme
pas par cela que
la rela-
It
tion
entre
ces
propositions
est,
comme
celle
qui
existe
entre
les
faits
qu'elles
expriment,
une
relation
causale;
mais seulement que
la relation entre les propositions impli-
que
la
relation
entre
les
faits
et
est
impliquée
par
elle,
,.".~
de
sorte
qu'elle
peut,
polit.
les
objectifs
de
la
logique,
.:\\~~~
être
utilisée
comme
une
représentation
adéquate
de
cette
relation causale.
2- Si,
a la place de la proposition "le soleil brille",
nous
disons
"il
est
vrai
que
le
soleil
brille",
alors
nous
ne
parlons
plus
directement
de
choses,
mais
d'une
proposi-
t i on
concernant
des
choses,
c'est -à-d ire
de
1a
proposi ti on
"le
soleil
brille".
Par.voie de
conséquence,
la proposition
que
nous
énonçons
est
une
proposition
secondaire.
Toute
proposition
primaire
peut
donc
ainsi
donner
une
proposition
secondaire:
celle
qui
en
affirme
la
vérité
ou
en
déclare
la fausseté.
Ce
seront
souvent
les
particules
S1,011
bien,Qll,
qui
indiqueront
qu'une
proposition
est
secondaire;
mais
elles
n'impliquent
pas
nécessairement
que
tel
est
bien
le
cas.
La proposition "les animaux sont
ou rationnels,
ou
irration-
nels"
est
une
proposition
primaire.
Elle
ne
peut
se
ramener
a celle-ci: "ou les animaux sont rationnels ou les animaux
..--"-
sont
irrationnels":
elle
n'exprime
donc
pas
une
relation
de
dépendance
entre
les
deux
propositions
ainsi
reliées
dans
cet
énoncé
disjonctif.
Les
particules
ou
bien,ou,
ne
consti tuent
pas.
en
fai t,
un
cri tère
de
reconnaissance
de
la
nature
des
propositions,
bien
qu'elles
se
rencontrent
plus
souvent
dans
les
propositions
secondaires.
Même
<54>
fi;
la
conjonction
si
peut
se
rencontrer
dans
des
proposi tions
primaires.
"Les
hommes,
s ' i l s
sont
sages,
sont
prudents"
en
est
un
exemple.
On
ne
peut
ramener
cette
proposition
1 .
à
ce Il e-c i:
"st' toUs
l es hommes sont sages,
alors toUs
1es
hommes sont prudents".
3 -
Mon
propos
n' étan
pas
de
d j scuter
1es
mér i tes
ou
les
défauts
de
la
divi~ion
habituelle
des
propositions,
je
me
bornerai
à
souligner
ici
que
le
principe
qui
fonde
la
présente
classification
est
clair
et
défini
dans
son
application,
qu'il
produit
une
distinction
réelle
et
fonda-
mentale
entre
les
propositions,
et
qu'il
revêt
une
impor-
tance
capitale pour
le développement
d'une méthode
générale
de
raisonnement,
Et
le
fait
qu'une
proposition
primaire
puisse
se
mettre
sous
une
forme
qui
la
rende
secondaire
ne
con1.r e.:1Î 1
llililemellt
etC'
'-lue
l'un
\\ i P l l i
':l'affililler.
En
effet,
dans
1es
cas
de
ce
genre,
il
n'est
pas
directement
quest i on
des
choses
qu i
sont
re 1 i ées
dans
1a
proposi t i on
primaire,
mais uniquement de la proposition elle-même,
consi-
dérée comme vraie ou fausse.
4-
Dans
l'expression
des
propositions,
tant
primaires
que
secondaires,
1 'on
utilisera
dans
cet
ouvrage,
comme
on
le
verra,
les
mêmes
symboles,
soumis
aux
mêmes
lois .
----
.
.. -
La différence
entre
les deux cas tient,
non pas à
la forme,
mais
à
l'interprétation.
Dans
les
deux
cas,
la
relation
effective
que
la
proposition
a
pour
rôle
d'exprimer
sera
•
représentée parle sgne =,
Dans l'expression des propositions
primaires,
les éléments ainsi
reliés représenteront ordinai-
rement
les
"termes"
d'une
proposition,
ou,
comme
on
les
appelle plus préosément,
ses sujet et prédicat.
PROPOSITION II.
"..
5-Dédui re
une
métbode
généra le,
fondée
sur
l ' énuméra-
lJJ"HL-.-iL~_qlLfé r e_n t §.~i;!_~._ R~) ~_~.LQ J e ~L._Q..L!L.y_t;'~C1Jt~~f?,-_(L'_e_~QLiJn e1:
7;:-
";,.
constituer un "tl?rme" d'une Proposition Primaire.
Tout
d'abord,
si
l a c l asse
ou
ensembl e
de
choses
à
exprimer
nous est
donnée
seulement
par
les
noms ou
les pro-
priétés
communs
à
tous
les
individus
qui
la
composent,
son
expression
sera un terme unique
où
les symboles représentant
ces
noms
ou
propr i étés
seront
combi nés
sans
si gne
de
lia i -
son,
comme
s ' i l
s'agissait
de
l'opération
algébrique
de
mul tipI ication.
Ainsi,
si
x
représente
les
substances
opa-
ques,
y
les substances polies et
z
les pierres,
nous aurons:
<55> xyz=
les pierres opaques et polies;
XY(l-Z)=
les
substances
opaques
et
polies
qui
ne sont pas des pierres;
X(l-y)(l-Z)~
les
substances
opaques
qui
ne
sont
ni
polies ni
des pierres;
et
ainsi
de
suite
pour
toute
autre
combinaison.
Nous
remar-
querons
que
chacune
de
ces
expressi ons
sa t i sfa i t
à
1a
méme
loi
de
dualité
que
les
symboles
individuels
qu'elle
con-
tient.
Ainsi.
xYZXXYZ = XYZ;
xy(l-z)xxy(l-Z)
=
xy(l-Z);
et
ainsi
de
suite ... Nous appellerons
tout
terme
de
ce
genre
un
"terme de classe",
car
i l
représente
une
classe de choses
"-
au
moyen
des
propriétés
ou
des
noms
communs
aux
éléments
individuels de cette classe.
En
second
lieu,
lorsqu'il
s'agit
d'un
ensemble
de
cho-
ses
dont
di f férentes
part i es
sont
déf i nies
par
différents
·./
b
.
.
~ .
propriétés.
notn~ ouattrlbûfs, nous d~v'oris établir séparé-
.~ ;
ment
1es
expressi ons
de
ces différentes
part 1es
et
] es
ré-
uni r
ensui te
par
Ma i s
si
l'ensemble
dont
nous
voulons
parler
a
été
obtenu
en
retranchant
d'un
ensemble
plus grand une partie déterminée de ses éléments.
nous dev-
rons
mettre
1e
si gne
devant
l'expression
symbolique
de
la partie retranchée.
Ajoutons quelques remarques concernant
l'usage de ces symboles.
6-
De
manière
générale,
le
symbole
+
est
l'équivalent
des
conjonctions
"et".
"ou".
et
le
symbole
l'équivalent
de la préposition "sauf".
Pour ce qui
est des conjonctions "et"
et
"ou",
la pre-
mière
s'emploie
habituellement
lorsque
l'ensemble
à
définir
constitue
le
sujet
d'une
proposition,
et
la
seconde
lors-
qu'il
en constitue le prédicat.
"L'homme de culture et l 'hom-
me
du
monde
recherchent
1e
bonheur"
peut
i Il ustrer
1e
pre-
mier
cas.
"Les
choses
uti les
sont
ou
celles
qui
produisent
li.. plaisir ou celles qui préviennent la douleur" peut ser-
vi r d ' exempl e
au
second.
Or,
chaque
foi s
qu' une
expressi on
contenant
ces
particules
intervi~_ dans
une
proposition
primaire.
il
est trés
important de savoir si
les groupements
ou les classes qu'elles séparent dans la pensée,
sont censés.
être
ou
non
tout
à
fai t
di st i nets
1es
uns
des
autres
et
mutuellement
exclusifs.
Est-ce
que
l'expression
"hommes
de
culture
et
hommes
du
monde"
inclut
ou
exclut
ceux
qui
sont
l'un et
~'autre? L'expression
<56>
"ou celles qui
pro-
voquent
1e. plaisir ou celles qui préviennent la douleur"
inclut-elle
ou
exclut-elle
les
choses
qui
possèdent
ces
deux propriétés à
la fois?
13
A
mon
3vis,
pri ses
dans
leur
sens
le
plus
rigoureux,
les
conjonctidns
"et"
et
"ou"
ont
réellement
-
':<
le
pouvoir
de
séparation
ou
d'exclusion
en
question;
l'expression
"Tous
les
x's
sont
ou
y's
ou
z's",
rigoureusement
interprétée,
signifie
"Tous
les
x's
sont
soit y's mais pas z's,
soit z's mais pas y's",
Mais on doit.-
en même
temps,
admet t re
que
l e
i!L~1-Jlorm_a-----l.Q~nd i
semble
pl utât
pencher
en
faveur
de,
l' i nterprétat i on
contrai re,
L'expression
"ou y's ou z's" est généralement comprise comme
incluant
les choses qui
sont y's et z's en même temps,
ainsi
que
celles
qui
ont
l'une
des
propriétés
mais
pas
l'autre,
Si
l'on
se
souvient
cependant
que
le
symbole
+
possède
véritablement
le
pouvoir
de
séparation
dont
nous
avons
discuté,
l'on
devra
diviser
tout
énoncé
disjonctif
qui
pourrait
se
présenter
en
des
parties
réellement
disjointes
dans
l'esprit,
puis
réunir
leurs
expressions
respectives
par le symbole +,
Ainsi,
conformément à
la signi fication supposée,
l'ex-
pressi on
"1 es
choses
qui
sont
ou
des x '-s--_ou des
y' s"
aura
deux
équivalents
symboliques,
Si
nous
voulons
dire
"les
choses qui
sont
des x's
mais
pas des
y's,
ou des
y's mais
pas des x's",
nous aurons l'expression
x( l-Y)
+
y( l-X);
le symbole x représentant les x's et y les y's, Si,
en revan-
che,
nous
voulons dire
"les choses qui
sont,
soit
des x's,
soit, sinon,
des y's",
nous aurons l'expression
x+y(l-X).
Cette
expression
suppose que
puisse
être
admise
l'existence
-~O,
de
choses QU
des
x's
et
des
y's
en
même
temps.
On
pourrait la traduire plus complètement sous la forme
"
.,
xy +X(l-Y) + Y(l-X);
mais
cette
expression.
une
fois
additionnés
ses
deux
pre-
miers termes, ne fait Que reproduire la précédente.
Nous
remarquerons Que
les
expressions
ci-dessus satis-
font
la
loi
fondamentale
de
dualité
<111.16).
Nous
aurons
ainsi:
(X(1-Y)+Y(1-X)J 2 = X(l-y)+y(l-X).
(X+Y(1-X)}2 = X+Y(l-X).
L'on
verra
plus
loin
Que
ce
n'est
là
qu'une
manifestation
particulière
<57>
d'une
loi
génèrale des expressions
repré-
sentant "des classes ou des ensembles de choses".
7-
Les résultats de
ces
recherches peuvent
se
traduire
dans la règle suivante d'expression des termes:
REGLE.-
On
exprimera
les
noms
ou
propriétés
simples
par
les
symboles
x,y,Z.
etc ... ,
leurs
contraires
par
1-X,
1-Y,
1-z,
etc ... ;
les
classes
de
choses
définies
par
des
noms
ou
des
propriétés
communs,
en
reliant
les
svmboles
correspondants
comme
pour
la
multiplication;
les
ensembles
de
chosescompQsés
de
parties
di fférentes.
en
rel iant
les
expressi ons de ces part i es par
1 e
si gne
+
En
particulier,
l'expression "ou des x's ou des y'sft se traduit par
X(l-y)+y(l-X)
lorsque
les
classes
représentées
par
x
et
y
sont
dlsjo~ntes.
par
x+y(l-x)
lorsqu'elles
ne
le
sont
pas.
De
même,
l'expression
"ou
des
x's
ou
des
y's
ou
des
Z's",
se
traduira
par
x(l-y)(l-z)+y(l-X)(l-Z)+Z(l-x)(l-y)
lorsque les classes représentées par x,y et Z sont disîoin-
tes.
par X+Y(l-x)+z(l-X)(l-v)
lorsque
l 'Dn ne veu~~~__.9!L~~-=
1 es le S0--LE.ŒLL.__ et ainsi
Qe-:sui te ...
8-
C' est
sur
cet te
règ le
d' expressi on
des
termes
que
se
fonde
la
règle
d'interprétation
correspondante.
L'une
et
l'autre
trouveront
dans
les
exemples
suivants des
illus-
trations
que
l'on
trouvera
peut-être
amplement
suffisantes.
Omettons,
par
souci
de brièveté.
le sujet
universel
"choses"
ou "ëtres",
et posons
x= dur,
y=élastique,
z= métaux;
nous aurons les résultats suivants:
"Les mêtaux non élastiques"
se traduira par z< l-}');
"Les
substances
é l ast i ques
et
l es
métaux
non
élastiques"
pa r
y + Z ( 1 - y) ;
"Les substances dures,
sauf
les métaux"
par x-z;
"Les
substances
métall iques,
sauf
celles
qui
ne
sont
ni
dures ni
élastiques" par
Z-Z(l-X)(l-Y)
ou par Z{1-(1-Xl(1-Y>},vide<6),chap.II.
Dans
le
dernier
exemple,
nous
avions
en
fait
à
traduire
ceci:
"les métaux sauf
les métau~_.!l0n durs,
non élastiques".
Les
conjonctions
employées
entre
les
adjectifs
.étant
géné-
ra l ement
super flues.
ne
do i ven t
pas
êt re
expr i mées
symbo l i -
quement.
Ainsi
l'expression
"les
métaux
durs
et
élastiques"
est
équivalente
à
"métaux
durs
élastiques"
et
se
tradui t
par
xyz.
Prenons
l'expression
suivante.
"les
substances
dures.
sauf
celles
<58>
qui
sont
métalliques
et
non
élasti-
ques
et
celles
qui
sont
élastiques
et
non
métalliques".
Ici
le
mot
celles
signifie
substances
dures.
de
sorte
que
la
signi ficatlon
véri table
de
l'énoncé
est:
Les
substances
dures sauf
les substanc es dures métal 1 i q ues,
non
élastiques.
et
les
substances
dures
non
m· êta Il i ques .
élastiques;
le
mot sauf porte sur les deux classes qui
le suivent.
l'expression complète est
x-{xz(l-y)+xy(l-Z)};
ou x-XZ(l-y)-xy(l-Z).
9- La Proposition ci-dessus.
avec
les différentes illus-
trations qui
en ont été données.
est un préalable nécessaire
à
celle-ci.
avec
laquelle
sera
complété
notre
propos
en
ce chapitre:
PROPOSITION Ill.
Dédui re
de
l'examen
de
1eurs
di fférentes
formes
possi bl e~
une méthode général e d' ex~ssi o~des PCQ.Qosi t i ons Primai res
ou Concrètes.
Une
proposition primaire.
dans
le cas
le plus général.
se compose de deux termes entre
lesquels on affirme
l'exis-
tence
d'une
relation.
Ces
termes ne
sont
pas nécessairement
des
noms
qu'un
seu 1
mot
expr i me.
ma i s
peuvent
reprèsenter
tout
ensemble d'objets tel
ceux que nous avons pu voir dans
les chapitres précédents.
Le mode d'expression de ces termes
est
donc
impliqué
dans
les
préceptes
généraux
donnés
ci-
dessus,
et il
ne reste plus qU'à rechercher la manière d'ex-
primer les relations entre
les termes.
Cela dépendra évidem-
ment de
la nature de
la relation et,
plus particulièrement,
,
de
la signification.
universelle ou particulière.
des termes
de
cette
relation:
en
d'autres
termes.
de
la
question
de
savoir si nous parlons de
la totalité de
l'ensemble d'objets
auquel
se rapporte un' terme.
ou.
d'une manière
indéterminée.
deI a
t 0 t a 1 j té
0 u
d' une
par t i e
de
cet
en sem b le,
c e
qui
est
'-~'!~~'~
1e sens courant du mot
"que l'~ues", préf i xé à un terme.
Supposons que
nous
voulions exprimer
une
relation
d'i-
dentité entre
les deux classes "Etoiles fixes"
et
"Soleils",
c'est-à-dire
l'idée
que
"Toutes
les étoiles
fixes
sont
des
solei Is"
et
que
"tous
les
solei Is
sont
des
étoi les
fixes".
Dans
ce
cas,
si
x
représente
1es
êta il es
fixes
et
y
1es
soleils, nous aurons
x = y
qui
est l'équation cherchée.
(59)
Dans
la
proposition
"Toutes
les
étoiles
fixes
sont des solei ls",
le
terme
"toutes
les étoi les
fixes"
sera
appelé
le
sujet,
et
"des
soleils"
le
prédicat.
Nous
êten-
drons
la
signification
des
mots
sujet
et
prédicat
de
la
manière suivante.
Nous entendrons par sujet
le premier terme
de
toute
proposition
affirmative,
c'est-â-dire
celui
qui
précède
la
copule est
ou sont;
et
par Qrédicat,
nous enten-
drons
le second
terme,
c'est-à-dire celui
qui
suit
la
copu-
' - - ' -
1e;
nous
admettrons
que
l'un
ou
l'autre de
ces
termes
peut
être
universel
ou
particulier,
de
sorte que.
dans
les deux
cas.
on
peut
prendre
la
total i té
de
la classe
ou
seul ement
une
partie.
Nous aurons alors,
pour
les cas tels que
celui
de l'exemple précédent,
la Règle suivante:
lO-REGLE.-
Lorsque
le Sujet et le Prédicat d'une Propo-
si t i on
sont
tO\\js
deux
un i verse 1s,
on
en
formera
séparément
les expressions. que 1 'on reliera par le signe =.
Ce
cas
se
présentera
souvent
pour
l'expression
des
1,
1
définitions scientiflquès.ou pour des objets dont.'~bh traite
comme
on
le
ferait
en
science"
pure.
La
définition
que
M.
~
~
Senior donne de la richesse ~ôus en offre une bonne illustra-
'--;:;'
tion:
"La
richesse
consiste
en
des
choses
susceptibles
d'é-
change,
limitées
en
quantité.
et
qui
produisent.
le
plaisir
ou préviennent la douleur".
Avant
de
procéder
à
la
traduction
symbol ique
de
cette
défini tion,
on
remarquera
que
la. conjonction
et
est
super-
flue.
La
richesse
est· véritablement
définie
par
le
fait
qu'elle
a
trois propriétés
ou
qualités,
et
non qu'elle
est
composée de trois classes ou ensembles de choses.
Par consé-
quent.
laissant de côté la conjonction et,
nous poserons:
w= richesse
t= choses susceptibles d'échange
s= limitées en quantité
p= qui
produisent le plaisir
r= qui
préviennent la douleur.
Or,
il
ressort
cl a i remen t
de
1a
na ture
méme
du
sujet
que
l'expression
"produisent
le
plaisir
ou
préviennent
la
dou-
leur".
dans
cette
définition.
a
un
sens équivalent
à
"soit
produisent
le
plaisir;
soit,
si
elles
ne
produisent
pas
le
plaisir.
préviennent
la
douleur".
Ainsi
la
classe
de
choses qui
serait définie par cette expression prise séparé-
ment.
consisterait
en
toutes choses qui
produisent
le
plai-
sir
<60>
ainsi
qu'en
toutes
choses
qui
ne
produisent
pas
'"
le
plaisir
mais
qui
préviennent
la
douleur:
son
expression
symbolique serait
p + U':'p)r.
Si
nous
préfixons
alors
il;, cette expression,
après
J 'avoi r
':,'/,
mise
entre
crochets
pour
montrer
qut, l'opération
porte
sur
ses deux termes,
les symboles s et t
qui
en limitent l'exten-
sion au)( seules choses
"susceptibles d'échange"
et
"limitées
en
quantité",
nous
obtenons,
pour
la
définition
d'origine,
l'équivalent symbolique suivant:
w= st{p+(l-p)r).
0 )
Si
l'expression
"produisent
le
plaisir
ou
préviennent
la
douleur"
ne
voulait
dire
que
les
choses
qui
produisent
le
plaisir sans prévenir
la douleur,
p(l-r),
ou qui
préviennent
la
douleur
sans
produire
le
plaisir,
r(l-p),
(on
exclut
les
choses
qui
àla
fois
produisent
le
plaisir
et
prévien-
nent
la
douleur),
l'expression
symbolique
de
la
définition
serait
w= st{p(l-r)+r(l-p»).
(2)
Tout.
cela
est
conforme
à
ce
qui
a
été
précédemment
ètabl i,
d'une maniére plus générale.
Peut-être
le
lecteur
est-il
curieux
de
savoir
quel
résultat
----
l'on
obtiendrait
si
l'on
traduisait
littéralement
l'expression
"choses
qui
produisent
le
plaisir
ou
prévien-
nent
la
douleur"
par
p+r,
donnant
pour
traduction
symboli-
que de la définition l'équation
w = st(p+r).
(3)
La
réponse
est
que
cette
expression
serait
équivalente
à
(2),
avec
toutefois
cette
nuance
supplémentaire
les clas-
ses
de
choses
représentées,
stp
et
str,
étant
totalement
disjointes,
il
n'existerait
pas
dans
l'univers
de
chose
susceptible
d·éch~n~é.
limitëe
en
qUan~itë
qui.
en
mêfue
temps,
produit
1 e
pla i sir" e t emp ê elle
1a
ct 0 u 1eu r
t 0 u t
à
1a
·'F
fois,
La
manière
dont
on
peut
déterminer
la
signi fication
entière
d'une
équation
sera
expliquée
plus
tard.
Ce
que
l'on en a dit
jusqu'ici montre qu'avant d'essayer de tradui-
re
nos
données
dans
1 e
1 angage
rigoureux
des
symbo 1 es,
il
est,
par
dessus
tou t .
nécessa ire
d' établ i r
ce
que
veu 1 ent
dire
les
mots
que
nous
employons.
Mais
cette
nécessité
ne
peut
être
regardée
comme
un
mal
par
ceux
qui
apprécient
la
justesse
de
pensée.
<61>
et
considèrent
l'usage
rigou-
reux du
langage comme
l'instrument de celle-ci
et son garant
tout à
la fois.
11-
Examinons
maintenant
le
cas
où
le
prédicat
de
la
propos i t i on
est
part i cu 1 i er .
par
exemp 1 e
"Tous
1 es
hommes
sont mortels".
Dans
ce
cas
il
est
év i den t
que
nous
vou Ions
di re
"Tous
les hommes sont quelques êtres mortels",
et nous avons
à
trouver
l' expressi on du préd i ca t
"que 1ques êt res morte 1 s" 0
Représentons
alors
par
v,
une
classe
indéfinie
sous
tout
--0-
rapport,
excepté que certains de ses éléments sont des êtres
mortels;
si
x
représente
"êtres mortels".
alors vx
traduira
"quelques êtres mortel s".
Dès
lors,
si
y
représente
hommes.
l'équation cherchée sera
y
= vx.
Nous
pouvons.
à
partir
de
ces
considérations.
dégager
la
1J.
Règle
suivante
d'expression
d'une
proposition
universelle
1
affirmative dont
le prédicat estparticulier.
REGLE.-
Exprimer
comme
précédemment
le
sujet
et
le
prédicat.
préfixer au second le symbole
indéfini
v et égaler
, '
Il
est
évident
que
v
est
un
s~;mbole de même
type
que
x.y.
etc ... et qu'il est soumis à
la loi
générale
2
v =v ou v(}-v)=O.
Ainsi.
pour exprimer la proposition
"Les planètes sont prin-
cipales
ou
secondaires".
nous
devrons.
conformément
à
la
règle.
procèder de la manière suivante:
Soi t
x représentant 1es pl'anètes (l e sujet)
y=
les corps principaux;
Z= les corps secondaires;
a lors.
en
supposant
que
1a
conj onet i on
ou
sépare abso 1 ument
la classe des corps
"principaux"
de
celle des corps
"secon-
daires".
du moins dans
la
mesure
où
ils
interviennent
dans
notre
examen de
l'énoncé
proposé.
1 a
proposi t i on donne
1· é-
quation
x= v{y(l-Z)+Z(l-Y)}.
(4)
Il
peut
être
intéressant
de
noter
que,
dans
le cas présent.
la traduction littérale des prémisses sous la forme
<62>
reviendrait
exactement
au
méme.
v
étant
un
symbole
de classe indéfinie,
La forme' (4)
est cependant
la meilleure
car l'expression
y(l-Z)+Z(l-y)
se
compose
de
termes
représentant
des
classes
tota 1ement
disjointes. e~ satisfait à
la loi
fondamentale de dualité.
Si
nous
prenons
la
proposition
"les
corps
célestes
sont des soleils ou des planètes
ou des comètes".
en repré-
sentant
ces
classes
de
choses
par
w, X, y, Z,
respect i vement,
son expression
sera,
a supposer qu'aucun corps céleste n'ap-
parti enne
à
1a
foi s
à
deux
classes
di f féren tes
de
cet te
subdivision,
W = v{X(1-y)(1-z)+y(1-X)(1-Z)+Z(1-X)(1-y)}.
Si,
en
revanche,
nous voul~ns entendre que
les corps céles-
tes
étaient
des
soleils
ou,
sinon,
des
planètes
ou,
sinon
des
soleils
ou
des
planètes,
.des
étoiles
fixes
(significa-
tion
n'excluant
pas
l 'hypothèse
que
certains
de
ces
corps
appartiennent à
la fois à
deux ou à
toutes les trois classes
de
la
subdivision
en
soleils,
planétes
et
étoiles
fixes),
l'expression cherchée serait
W = v{x+y(1-X)+Z(1-X)(!-y)}.
(6)
Les exemples qui
précèdent relèvent de la classe des descrip-
tions,
et
non
des
définitions.
De
fait,
les
prédicats
des
propositions
sont,
le
plus
souvent,
particuliers.
Lorsqu'il
en
va
autrement,
soit
le
prèdicat
est
un
terme -singulier,
soit nous employons,
à
la place de
la copule "est" ou "sont",
une
aut re
forme
de
1 i a i son
i mpl i quant
que
1e
pré<ll-Çat
est
à
prendre universellement.
12- Examinons maintenant le cas des propositions univer-
selles
négatives,
par
exemple
"aucun
homme
n'est
un 'ètre
parfait".
Il est évident qu'en ce cas,
nous ne parlons pas d'une clas-
se
appelée
"a\\lcun
homme"
pour
affirmer
d'elle que
tous ses
éléments sont des "étres parfaits".
Mais c'est une assertion
vi rtue Il e
que
nous
fa i sons,
concernant
"tous
1es
hommes",
pour dire qu'ils ne sont "pas des êtres parfaits".
&3
Ainsi,
} e
sens
vér i tab} e
de
cet te
proposi ti on
est
1e
suivant:
"Tous
les
hommes
(sujet>
sont
(copule)
non
parfaits
-
(prédicat)";
dès
lors,
si
y
représente
"hommes"
et
x
"êtres
parfaits",
nous aurons
y
= v(l-X),
<63)
et
i l
en
sera
de
méme
dans
tout
autre
cas.
Nous
avons
donc la régie suivante:
REGLE . -~P~o~u~r_ _t",-r~o~u,-,v,--,e=--r!...-_~l_'~e:..:!x~pl:::.'-r-"e,-"s"-,s,,,--,,-i
~o~n'------o:d,--'~u~n
.....e,=--_..<:p~r--,o:<Jp=o-,=s~i,-,t~i ~o=n
de
la
forme
"Nul
x
n'est
y",
la mettre
sous
la
forme
"Tous
1 es
x' s
sont
non
y' s"
et
procéder
comme
dans
1 e
cas
prècé-
dent.
13-
Examinons
enfin
le
cas
où
le
sujet
de
la
proposi-
tion
est
particulier,
par
exemple
"Quelques
flommes
ne
sont
pas sages".
Ici,
comme on l ' a déja observé,
la négation
ne
... pas
peut
parfaitement
porter,
tout
au
moins
pour
les
objectifs
de
la
logique,
sur
le
prédicat
sage;
en
effet,
nous
n'entendons
pas
qu' i 1
n' est
pas
vrai
que
"que 1 ques
---'- hommes soient sages", mais nous voulons attribuer a "quel-
ques
hommes"
un
manque
de
sagesse.
La
forme
cherchée.
cor-
respondant
à
la
propçsition
donnée,
est
donc
"quelques
hom-
mes
sont
non-sages".
En
posant
alors
y
pour
"hommes",
x
pour
"sages",
c'est-à-dire
"êtres sages",
et
en
introduisant
v
comme
le
symbole d'une
classe
indéfinie
sous
tout
rapport
excepté
qu'elle
contient
quelques
individus
de
la
classe
"'l
a
l'expression
de
laquelle
ce
symbole
est
préfixé,
nous
obtenons
vy = v( l-X) .
so
14-
Nous
pouvons
résumer
tout
ces
résul tats
dans
la
Règle générale suivante:
REGLE GENERALE POUR L' ,EXPRESS ION SYMBOL 1 QUE DES
PROPOSITIONS PRIMAIRES.
1°)Si
la
proposition
est
affirmative.
former
l'expression
du
sujet
et
du
prédicat.
Si
l'un
d'eux
est
particulier.-
lui~éfixer le
symbÇ)le
indéfini ~
et
égaler
les
expres-
sions ainsi obtenues.
2°)Si
la proposition est négative,
exprimer d'abord sa signi-
fication
véritable
en
préfixant
la
particule
de
négation
~rédicat, puis procèder comme dans le cas précédent.
Un
ou
deux
exemples
supplémentaires
seront
une
illus-
tration suffisante.
EX:
"Aucun
homme
n'est
dans
une
situation
élevée
sans
être l'objet de regards envieux".
Sa i t
Y
qu i
représente
"hommes",
x
"étre
dans
une
si tuat i on
élevée",
z
"ne
pas
étre
l'objet
de
regards
envieux".
L'ex-
pression
de
la
classe
définie
comme
"étre
dans
une
<64)
situation
élevée"
et
"ne
pas
être
l'objet-_de
regards
envi-
eux"
est
XZ.
Donc
la
classe
contraire,
c'est-à-dire
celle
qui
ne
correspond
pas à
cette description,
sera représentée
par
1-xz,
et
c'est à
cette
classe que
tous
les
hommes sont
rapportés.
Nous avons donc
y
=
v(l-XZ).
Si
la
proposi tion
ainsi
tradui te
avai t
été
mise
sous
la
forme
équivalente
"les
hommes
dans
une
situation
élevée
sont
l'objet
de
regards
envieux",
son
expression
eût
été
la suivante:
yx
= v( 1- z) .
équl\\.'alente
à
la
prècéclente,
avec
l'ln'pothèse
particulièr'e
que v
est un symbole de classe
indéfinie.
EX:
"Aucun
homme
n'est
un
héros
sans
j 0 i ndre
l ' abnéga-
tion au courage".
Soit
x="hommes",
y="héros",
z="ceux
qui
font
preuve
d'abné-
gation",
1A,="ceux qui
ont du courage".
L'énoncé
signifie,
en
réalité,
que
"les
hommes
qui
n'ont
pas
de
courage
et
ne
font
pas
preuve
d' abnégat i on
ne
sont
pas des fJéros".
Nous avons donc
X(I-Zw)
=
V(I-y)
pour
l'équation cherchée.
15-
Pour
conclure
ce
chapitre,
i l
peut
étre
intéressant
de
comparer
entre
elles
les
formes
principales
que
prennent
les
2:-;pressions
symboliques
des
propositIons.
S1
fi\\:;US
con\\'(?~
nons
de
représen t er
par
X
et
Y
1 es
expr ess ions
symbo 1 i ques
des
"termes"
ou
des
choses
mis
en
re 1a t i on,
ces
formes
se-
ront
X
vY
x
y
vX
vY.
Dans
la
première,
seul
le
prédicat
est
particul ier;
dans
la
seconde,
les
deux
termes
sont
universels;
dans
la
troi-
sième,
tous deux
sont
particuliers.
Quelques
formes mineures
se
trouvent,
en
fait,
comprises
sous
celles-là.
Ainsi,
avec
Y=O,
la seconde
forme devient
x=o;
et
si
Y I .
elle d('\\'ieTlt
X" l :
<65>1 'une et l'autre formes ètant
interprétables.
L'on remar-
quera
en
outre.
que
1 es
expressi ons X
et
Y.
si
ell es
repo-
sent
sur
une
analyse
suffisamment
prècise
de
la
significa-
tion
des
"termes"
de
la
proposition.
satisferont' à.}1a
loi
fondamentale de dualité pour
laquelle nous devons avoir
2
( '
X =X ou Xl-X>
0,
2
y
=Y ou Y(l-Y)
o.
-
.-~.
CHAPITRE 5-LESPRINCIPES FONDAMENTAUX DU RAISONNEMENT
SYMBOLIQUE; L'EXPANSION OU DEVELOPPEMENT DES EXPRESSIONS
CONTE:\\ ANT
DE,S
,:SY;~1iJOLE5
LO(; ] ()! i ES _
(66;
1-
Les
précédents
chapi tres
de
cet
ouvrage
ont
été
consacrés
à
l'étude
des
loi s
fondamenta l es
des
opéra-
tions de
l'esprit dans
le
raisonnement;
de
la
forme
qu'elles
revétent
en
tant
que
lois
des
symboles
logiques;
et
des
principes
de
traduction
qui
permettent
d'exprimer
(jans
le
langage
symbolique
la classe de
propositions que
l'on appel-
le
primaires.
Cette
recherche
était,
à
strictement
parler,
préliminaire.
Elle
constitue
une
introduction
indispensable
à
l'un
des
principaux
objets
de
ce
traité:
la
constitution
d'un
système
ou
d'une
méthode
log i que,
fondée
sur
la
réca-
pitu]ation
précise
des
lois
fondamentales
de
]a
pensée.
Sur
certains
points
touchant
la
nature
de
cet
objectif,
ainsi
que
les
moyens
de
l'atteindre,
il
est
nécessaire,
~non sens, d'attirer l'attention.
2-
Je
voudrais
tout
d'abord
faire
remarquer
que
la
génér'a 1 i té
d'une
méthode
en
log i que
dépend,
en
grande
par-
tie,
de
la
généralité de
ses
procédures et de ses
lois élé-
mentaires.
Nous avons
par
exemple,
dans
les
sections précé-
dentes,
cherché,entre
autres,
les
lois de
l'opération
logi-
que d'addition
dont
le symbole
est
le signe
+.
Or,
ces
lois
ont
été
déterminées
à
partir
de
la
considération
d'exemples
qui
présentaient
tous comme condition nécessaire
la disjonc-
t i on
des
classes
ou
des
choses qu'un i ssa i t
l a
pensée.
L' ex-
pression
x+y
semble
réellement
ininterprétable
lorsque
l'on
ne
suppose
pas
que
l es
choses
représentées
par
x
et
ce Il es
représentées par
y
sont
totalement
distinctes;
qu'il
n'exis-
te
;-jucun
élément
qui
leur
soit
commun.
Et
dF~S
conditions
de
c('
genre
étai ent
illlpi iQuées
clans
les
opér,:tt i ons
de
con-
ception
dont
l'examen
a
permis
de
déterminer
les
lois
des
autres
opérations
symbol iques.
1 l
reste
alors
à
savoir
<67>
s ' i l
est
nécessaire
de
restreindre
l'application
de
ces
loi s
et
de
ces
procédures
symbo 1 i ques,
en
1 es
soumet tant
aux
mèmes
conditions
d'illterprétabilité
que
celles
sous
lesquelles
on
les
a
connues.
Si
une
telle
restr-iction
est
nécessaire,
i l
est
évident
qU'en
logique
une
méthode
géné-
rale
est
chose
impossible.
Mais,
d'autre
part.
si
une
telle
restriction
n'est
pas
indispensable.
comment
considérer
des
procédures
qu i
appara i ssent
in i nterprétabl es
dans
le
doma i ne
de
} a
pensée
où
e I l es
sont
censées
étre
employées?
Ces
quest i ons
ne
re l évent
pas
de
1a
seu 1e
sc i ence
de
la
logique.
Elles
concernent
aussi
bien
toute
forme
développée
de
raisonnement
humain
fondé
sur
l'usage d'un
langage
symbo-
lique.
3-
En
second
lieu,
je voudrais
faire
observer que
cette
apparente
rupture
de
l~-'-correspondance entre
procédure
et
interprétation
ne
se
manifeste
pas
dans
les
applications
ordinaires
de
la
raison
humaine.
Car
aucune
opé'ration
n'y
est
effectuée
sans que
la
signification
et
le
mode
d'appli-
cation
en
soient manifestes;
et pour
la plupart des esprits,
i l
ne
suffit
pas
qu'un
raisonnement
purement
formel
relie
leur s
prém i sSes
et
1eurs
conc 1 us ions:
toute
étape
des
pro-
cédures
transitoires,
tout
résultat
intermédiaire
établi
dans
le
cours
de
la
démonstration,
doit
également
étre
in-
telligible.
C'est
lé,
sans aucun doute,
une condition effec-
t ive
et
une
garant i e
importante
pour
1 es
ra i sonnements
et
les ar~umf-,nts d(~ la vie cle tous le::s JOUi-S.
Bien
des
gens,
peut-être,
n'flE:.'siteraif?-fJt
pas
à
éU~nclre
le
même
principe
à
l'usage
général
d'un
langage
symbolique
comme
instrument
du
raisonnement.
L'on
pourrait
avancer
] 'argument
suivant:
puisque
les
lois
et
les
axiomes
qui
gouvernent
l'usage
des
symbol es
sont
établ i.s
à
paJ-t i r
de
l'étude
des
seuls
cas
où
l'interprétation
est
possible,
nous
n'avons
pas
le
droit
d'êtendre
leur
application
aux
cas
dans
lesquels
elle
est
impossible
ou
douteuse,
bien
que
cette
application
-on
pourrait
l'admettre-
n'intervien-
ne
que
dans
1es
étapes
i nterméd i aires
de
la
démonstra t i on.
si
cette
objection
devait
être
décisive,
il
faut
savoi r
qu'il
n'y durait qu'un
trés
fait;]e
profit
à
tirer de
l'US2\\]E'
d'une
méthode
symbolique
en
logique.
Ce
profit
ne
tiendrait
peut-être
qu'en
un
gain
mécanique
consistant
à
utiliser
des
svmboles
courts
et
commodes
à
la
place
de
signes
plus
complexes.
~ais
l'objection
est
elle-méme
fallacieuse.
Quoi
que
nous
puissions
anticiper
~riori,
c'est
du
moins
un
fait
indiscutable
que
la
validité
d'une
conclusion
obtenue
<68>
par
une
procédure
symbo 1 i que
que 1conque
de
ra i sonne-
ment ne dépend pas de notre capacité à
interpréter les résul-
tats
formel s
qui
se
sont
présentés
aux
di fférentes
étapes
de
la
démarche.
De
fait,
il
existe
certains principes
géné-
raux
concernant
l'usage
des
méthodes
symbo] iques;
je
m'en
vais
d'abord
les
énoncer
en
tant
qu'ils
s'appliquent
plus
particulièrement à
la logique,
avant de faire quelques remar-
ques
sur
la
nature
et
le
fondement
de
ce
qui
doit
justi-
fier qu'on les accepte.
L. -
Lps
cond j t 1 ons
d'un
ra i sonnement
\\'éll ide,
mené
é'lU
moven de symboles,
sont
les suivantes:
1 0 )
qu'une
interpréta t ion
fixée
so i t
assi gnée
aux
symbo les
employés pour exprimer
les données;
et que les lois de combi-
naison
de
ces
symboles
soient
correctement
déterminées
a
partir de cette interprétation.
2~)
que
les procédures
formelles de
résolution
ou de démons-
tration
soient
constamment
menées
en
conformité
avec
les
lois
ainsi
déterminées,
sans
tenir
compte
de
la
question
de l 'interprétabilité des résultats partiels obtenus.
3°)
Que
le
résultat
final
soit
formellement
interprétable
et
qu' il
soi t
effect i vement
interprété
conformément
au
sys-
tème d'interprétation employé dans l'expression des données.
Sur ces principes,
l'on pourra faire
les remarques suivantes
5-
L'on s'est déjà suffisamment
étendu sur
la nécessité
d'une
i nterprétat i on
fixée
des
symbo les
(J 1 .3).
La
nécessi-
té,
pour
le
résul tat
obtenu,
de
se
présenter
sous une
forme
à
laquelle
cette
interprétation
pourra
s'appliquer
repose
sur
1e
pr i nc i pe--'-évi dent
que
l'usage
des
symbo 1es
est
un
moyen en vue d'une
fin qui
est,
quant à
elle,
la connaissan-
ce d'un
fait
ou d'une vérité
intelligible:
Et pour que cette
fin
puisse
être
atteinte,
le
résultat
final
qui
exprime
symboliquement
la
conclusion
doit
se
présenter
sous
une
forme
interprétable.
Mais
c'est
vraisemblablement
le
second
des principes ou des conditions ci-dessus
(V.4)
qui
souléve-
ra
le
plus de
difficultés;
sur
ce
point,
il
est
nécessaire
d'ajouter quelques mots.
Je
ferai
alors
la
remarque
suivante:
l'on
peut
consi-
Cl(:'fPr
que
le
pr'inciPe
en
questiO!l
[c-!,o.se
:SUI
UI,
ra] e
de
)' espr i t
dont
la
conna j ssance ne
nOllS est
p3S
donnée
g---.I2LLori,
c'est-à-dire
antérieurement
à
<69>
l'expérience,
mais
dérive,
comme
la
connaissance
des
autres
lois
de
l'es-
prit,
de
la
claire
manifestation
du
principe
général
dans
l ' e>:emp le
part i cu] i er .
Un
exemp le
un i que
d'un
ra i sonnement
où
l es
s~'mbol es
sont
empl o~/ès
confonnément
à
des
loi s
fon-
dées
sur
1 eur
i nterprétat i on
ma i s
sans
qu' il
soi t
constam-
ment
fa i t
référence
à
ce Il e-c i , -1 • encha î nement
démonstrat if
qu i
nous
améne,
par
des
étapes
in te rméd i Et ires
non
in terpré-
tables,
jusqu'au
résultat
final
interprétarJle,-
semblel
non
seulement
établir
la
validité
de
l'applicEttion
particu-
l i ère,
mai s
3 II S s i n a u s
f 3 ire
con n a j t r~_ l a I 0 i
,;'ü' n é raI e
q u j
st)-,
manifeste.
L'accumulation
des
exemples
ne
saurait
véri-
tablement
rien
ajouter
à
son
évidence.
Elle
pourrait
nous
lionner
une
plus
Claire
notic'rl
de
cet
élément
cu:n:!!un de vèrl-
té
sur
lequel
repose
l 'appl ication
du
principe
et
préparer
ainsi
la
voie
qui
méne
à
'accepter.
EII e
pourrai t,
au
cas
'---'-
où
la
force
de
l'évidence
ne
s' impos~rQ.ir pas
immédiatement,
servir de vérification,
a
posteriori,
de. la validité prati-
que
du
principe
en
question.
Mais
cela
n'affecte
pas
la
thèse
avancée,
à
savoir
que
le
principe
général
doit
se
laisser
voir
dans
l'exemple
particulier,
et
laisser
voir
aussi
bien
la
général i té
de
ses
appl ications
que
la
véri té
de cet exemple précis.
L'emploi
du
symbole
ininterprétable
VC1 dans les procé-
dures
trigonométriques
intermédiaires
illustre
ce
point.
A
mon
sens.
on
ne
saurait
expliquer
cette
application
sans
poser-
implicitement
le
ptincipe
en
question.
Cependarl t ,
bien
qu'il
manque
à
ce
principe
-je
l'admets
la
caution
d'un
ra i sonnement
forme l
-fondé
sur
d'au tres
bases.
i l
n'en
parait
pas
moins mériter
d'étre
rangé
au
nombre
des
vérités
axiomatiques
qui
constitu~nt.
à
un
certain
point
de
vue.
le
fondement
de
la
possibilité
d'une
connaissance
générale,
et
que
l'on peut.
à
juste
titre.
considérer
comme
l'expres-
sion des lois et de
la constitutiop propres de
l'esprit.
6-
Voici
la
manière
dont
le
principe
établi
ci-dessus
sera
appliqué
dans
le
présent
ouvrage.
L'on
a
vu
que
tout
systéme
de
propositions
peut
étre
exprimé
par
des
équations
contenant
les
symboles
x.y.z
qui
sont
soumis.
chaque
fois
qu'une
interprétation
en
est
possible,
à
des
lois
formelle-
ment
identiques
à
celles
d'un
système
de
symboles
quanti-
tati fs
ne
pouvant
prendre
que
1 es
va leurs
0
et
1
( I 1.15) .
Ma i s,
pu i sque
1es
procéàu res
forme Iles
de
ra i sonnernen t
ne
dépenden t
que
des
loi s
des
symbo 1 es
et
non
de
1a
nature
de
leur
interprétation.
nous
pouvons
traiter
ces
s)/mboles
, - - 0 -
<70>
x.y.z.
comme
s ' i l s
étaient
des
symboles
quantitatifs
du
type
que
nous
venons
de
déc rire. En
fa i t •
nous
pouvons
laisser
de
cOté
l ' interprétation
logique
des
svmboles
ent-
rant
dans
l'équation donnée;
les convertir
en
symboles quan-
-=t-=ic...:t"-,a=t-=i-,f,-,s",---,n-,-e""--,p=o-,,,u,-,v,-,a,..n,-,-,,,t,---.r:=p~r-,e=n~d~r-,e=--,q:1.u~e,----'..1
~e,-"s~-"v~a~l~e~u~r-=s~-"O~~eo..:t~--,l~;
~e=--,--f-'..f e c -
tuer
avec
ces
symbol es
ai nsi
converti s
toutes
les
procèdu-
"l.
dans leur
interprétation
logique.
93
Telle
est
la
maniére
de
procéder
qui
sera
effective-
men t
a(jopt ée.
même
s i l ' on
ne
juge
pas
nécessa ire
de
redé-
finir
à
chaque
fois
la
nature
cIe
la
tr~H1Sf(lrmation utilisée.
Les
procédures
auxquelles
obéissent
les
symboles
x.y,z.
considérés
comme
quantitatifs
dans
le
sens
que
l'on
vient
de définir.
ne
sont
pas
limitées par
les conditions auxquel-
les
les
soumettrait
la
pensée
si
elles
ét.aient
conduites
sur
des
symbo 1es
purement
log i ques;
et
nous
j ou i ssons,
(jans
leur
emploi.
d'une
liberté d'opérer
sans
laquelle
la
recher-
che
d'une
méthode
générale
en
logique
ne
serait
qu'une
quê-
te sans espoir.
Cependan t , l e
s~'stémes de
procèdu res
déc r i t
ci-dessus
ne
nous
ménerait
à
aucun
résultat
intelligible
si
les
équa-
tions
finales
qui
en
résultent
ne
se
présentaient
pas
sous
une
for-me
qui
rellcie
possibJe
leur
interpretation,
Ulle
fCJis
rétablie
la
signification
logique
des
symboles.
I l
existe
cependan t
une
méthode
c~énéra1 e
pou r
ramener
1es
équa t ions
à
une
te I l e
forme,
et
c' est
à
son
examen
que
sera
consacré
le
reste
de
ce
chapitre.
Je
ne
dirai
que
peu
de
c110se
de
la maniére dont
cette
méthode
rend
1 'interprétatio~possible
-
je
réserve
ce
point
pour
le
prochain
chapitre
-
pour
m'en
tenir
surtout.
ici.
à
la
procédure
elle-même.
que
1 'on
peut
qualifier
de
procédure
de
"développement".
En guise d'intro-
duc t i on
à
1a
nature
de
cet te
procêdure,
i l
sera i t
à
propos
de
faire quelques remarques préliminaires.
7-
Supposons que
nous considérions une
classe
de
choses
que 1 con que
sou s I e
[' a pp 0 r t
d e I a r e 1a t ion
qu' en t r et i e Tl Tl e n t
ses
éléments
à
la
possession
ou
au
manque
d'une
certaine
~oo
propriété
x.
Puisque
tout
individu
de
cette
classe
possède
ou
ne
possède
pas
la
propr i été
en
quest j on.
nous
pouvons
di\\'iser
la
cléisse
en
(jeux
parties,
la
prernlE.'r-\\:·
,"téint
cons-
tituée
des
individus
possédant
cette
proprU:,te,
la
seconde,
de
ceux qui
ne
la possèdent
pas.
Cette
possibilité de
divi-
ser
dans
l'esprit
la
totalité
de
la
classe
en
deux
parties
const i tuantes
précéde
toute
conna i ssance
tirée
d'une
autre
source, qui
porterait
sur
la
constitution
(ie
cette
classe;
cette
connaissance
<71,
ne
peut
avoir
d'autre
effet
que
de
nous
informer,
plus
ou
moins
précisément,
des
conditions
supplémentaires
auxquelles
sont
soumises
et
la
partie
de
la
classe
qui
possède
la
propriété
donnée
et
celle
qui
ne
la
posséde
pas.
Supposons
donc
que
cette
connaissance
porte
sur
ce
fait
que
les
éléments de
la
partie
possédant
la
pro-
prlété
x
possèdent
également
llne
certaine
prcopri,:'tè
u,
pt
qu'ensemble,
ces
conditions
en
forment
une
définition suffi-
sante.
Nous
pouvons
dés
lors,
représenter
cet te
part i e
de
la
classe
originelle
par
l'expression
xu
( I I . t ,
.s i,
en
outre,
nous
savons
que
les
éléments
de
la
classe
originelle
qui
ne
possèdent
pas
la
propriété
x
sont
soumis
à
une
con-
.---.
dition
v
et
sont
définis
par
là,
i l
est
évident
que
ces
éléments
seront
représeptés
par
l'expression
v( l-X).
Par
conséquent,
1a
classe
dans
sa
totalité
sera
représentée
par
ux+v(l-X);
formu le
que
l ' on
peut
cons i dérer
comme
une
forme
généra le
développée
de
l'expression
d'une
classe
quelconque
d'objets
"
par
rapport
à
1a
possess i on
ou
au
manque
d'une
propr i été
donnée x.
La
forme
générale
ainsi
établie
sur
des
bases
purement
-101
logiques
peut
également
se
déduire
d'autres
considérations
"ur
la
loi
formelle
app]icc~t)le
3U~'.
s\\mboles
Y.. \\'.7.
dans
leur
interprétation
aussi
bien
logique
que
quantitative
dans
le sens mentionné plus hautCV.6).
8-
Défini tion. -
Toute
expression
algébrique
contenant
un
symbole
x est appelée une fonction de x et peut s'écrire
sous
la
forme
abrégée
générale
f(x).
Toute
expression conte-
nant
deux
symtloles,
x
et
)'
est,
de
méme,
appelée
une
fone-
t i on
de
x
et
de
y
pouvant
s' écr ire
sous
1a
forme
généra 1 e
f(x,Y),
et ainsi
de suite dans
tous
les autres cas.
La
forme
f(x)
traduira
donc
indifféremment
'une quel-
conque
(jes
fonctions
x,
l-X,
(1+X)/(1-X),
etc ..
et
f (x , ~' )
traduira
également
l'une
quelconque
des
expressions
X+Y.
x-2y.
(x"'y)/(x-2Y)
etc . . .
Conformément
à
ces
mémes
prIncipes
de
notation,
si
dans
une
fonc t i on
f (x)
que l conque,
nous
remp laçons
x
par
1,
le
résultat
s'écrjr"éf
f ( l ) ;
si.
dans
la
nJf~me
fC)Dction J
nous
remplaçons
x
par
0,
le
résultat
s'écrira
f(O).~insi,
si
f<x)
représente
<72>
la
fonction
(a~x)/(a-2x). f(l>
repré-
sentera
(a+1)/(a-2)
et
f(O)
a/a.
.---~ -
9-
Défini tian. -
Une
fonction
f(x),
où
x
est
un
symbole
logique,
ou
un
symbole
de
quantité
n'admettant
que
les
va-
leurs
0
et
1,
est
dite
développée
lorsqu'elle
est
ramenée
à
la
forme
ax+b(1-X),
a
et
b
étant
déterminés de
telle
sorte
que
le
résultat
soit
équivalent
à
la
fonction
dont
i l
est
dérivé.
Cette
définition
implique
qu'il
est
possible
de
rame-
ner
toute
fonction
f(x)
à
cette
forme.
La Proposition suivan-
te justifie cette supposition:
PROPOSITIOr-;
I.
un svmbole logique.
Grâce au
principe établi
dans ce chapitre,
il
est
lègi-
time
de
traiter
x
comme
un
symbole
quantitatif
n'admettant
que les valeurs 0 et 1.
Supposons alors que f(x)= ax+b(}-x).
En faisant x=l,
nous avons
f(1)=a.
t ( n ) = i).
;IP>:~:S.
'~:j
sul)Sr::!lant
celles-ci
dans
la
première
èquation
nous obtenons
f(x)=
f(l)x +
f(O)(I-x);
(1)
,.,
qui
est
1 e
de\\'e 1 oppem en t
che rchè .
Le
sec (lfid
membr e
cl é
1 . É' -
quation
.73>
reprèsente
adèquatement
la
fonction
f(x),
quel-
le qU'en
puisse
ètre
la
forme.
En
effet,
x,
considèrè comme
symbole
quantitatif,
n'admet
que
les
valeurs
0
et
1,
et
pour chacune de ces valeurs,
le développement
f(l)x
+
f(O)(I-X),
a
la même valeur que la fonction f(x).
xCerta i ns
1ecteurs
noteront
peut -être
avec
intérêt
que
1 e
développement· de
f(x)
obtenu
dans
ce
chapitre
correspond
rigoureusement,
dans
le
système
logique,
au
développement
de
f(x)
selon
les
puissances
croissantes
de x
dans
le
sys-
tème
de
l'algèbre
ordinaire.
On
pourrait
ainsi
l'obtenir
en
introduisant
dans
le
théorème
bien
connu
de
Taylor,
à
savo i r
Ci
1
\\
f(x.) :: 4(0') f (
-l;
0) 'X
+ f' (0') 2:- T {'II (0) 2:-
J".. . (-1)
--1.t
A,~.)
~03
A
t i t r e
d'exemple.
cherchons
a
développer
la
fonction
( 1 - X)
( l ' 2x 1 .
J ci,
101.:"que
:<01.
nO:JS
t r OU\\'OTJ.S
f ( l \\ 02
J,
et
lorsque
x=O,
nous
trouvons
[(0)=1/1
ou
1,
L'expression
cherchée
est donc
(1~X)!(1+2x)= 2/3x + 1-X;
et
cette
équation
est
satisfaite
pour
toutes
les
valeurs
que peut
prendre
le
symbole x.
PROPOSITION
Il.
Donner
l'expansion
ou
le
développement
d'une
fonction
conte-
naQL_~Q nombre ~elconque de sj'mboles logiques.
Commençons par
le
cas
de
deux
symboles
x
et
y,
et
écri-
vons
la
fonction
à
clévelopper
sous
la
forme
f(x,}'),
Tout
d'abord,
si
l'on
considère
f(x,y)
comme
une
fonction
de
x seul ernent,
et
qu'on
la
développe
conformément
au
thèorème
général
(1),
l'on
trouve
f<x,y)=
f(l.y)x
+
f(0.y)(1-X);
(2)
7é<
Oi
f i l , , - ' )
représente
la
fonne
prise
par
13
·('[lction
donnée
lorsque
nous~! sul)stituons
1
à
x,
et
fia,,,')
la
ronne
prise par elle
lorsque nous y
substituons a à
x.
2
3
la
condition
x<l-x)=o.
d'où
nous
déduisons
que
x
=x,x
=x
etc . . .
et que
j .
_
PC)
f ;1(0)
~
~'''(O) J
} X
1{X) -
1
0
-t ,\\i
t-
-+ :....-- -t
( ...
--1,~
1.2.3
En
faisant dans
(1)
x=l.
nous obtenons
4 (i) ::: 1CO) -'< 1'(0) ": f'(~) ~ 4"1(<1 -+ de.··-
D'où
-1
-1,~,'$
f'(O)+
f"(0)/1.2
+ etc . . . =f(1)-f(0),
et
(2)
devient par substitution
f(x)=f(O)+{f(l)-f(O»)x
=f(l)x + f(O)(l-X),
qu i
est
1a
forme
en
quest i on,
Cet te
démonstrat i on,
fondée
sur
l ' flypothèse
que
f (x)
est
déve 1 oppabl e
en
une
sér i e
de
puissances
croissantes
de
x,
est
moins
générale
que
celle
donnée dans le texte.~
Prenons
maintenant
le
coefficient
f(l,y),
et
considé-
rans
le
comme
une
fonet ion
(jp
\\ ' .
Fn
1 e
déve} OPPélnt
comme
tel,
nüus obtenons
f<l,y)=f<l,l)y+f(O,l)(l-Y),
(3)
où
f ( 1,1)
représente
} a
forme
que
prend
f ( l , y)
lorsqu'on
pose
Y=l,
et
fO,O)
celle
que
prend
fO,~I)
lorsqu'on
pose
y=O.
De ln i? me.
1 e
c 0 e f fic i e [l t
f ( (J , ~.)
(j 0 n n e
par ,j é v e } Cl pp C' men t
f(O,y)=f(O,l)Y +f(O,O)(l-Y).
(4)
Substituons dans
(2)
à
f(l,Y)
et
f(O,Y),
leurs
valeurs
dans
(3)
et
(4),
et nous obtenons
f
°)
(.Jo;: • ~.: ) = f ( 1 • 1 ) xy + f ( 1 ,
x ( 1 - y) .. f ( (J • 1 ) ( 1 - x ) y + f ( °.0) ( 1 -.Jo;: )
(l-Y),
(5)
pour
le
développement
cherché.
Ici
fO,1)
représente
la
forme
que
prend
f(x,Y)
lorsque
nous
faisons
x~l
eT:
~':=1;
fO,O)
représente
la
forme
que
prend
f(x,Y)
lorsque
nous
y
faisons
x=l
et
y=O,
et
ainsi
de
suite
pour
les
autres
coefficients.
Alors,
si
f(x,y)
représente
la
fonction
(l-X)/(l-~'),
nous trouvons
fO,1)=O/O,
fO,O)=O/l=O,
f(O,1)=1/0,
f(O,O)=l,
d'où
i1
vient
que
le
développement
de
cette
fonction
est
0/0 xy+
° X(l-y)+ 1/0 (l-X)y + (l-x)(l-y).
Nous
verrons,
dans
le
prochain
chapitre,
que
les
formes
0/0
et
1/0,
la
première
étant
connue
des
mathématiciens
comme
le
symbole
d'une
quantité
indéterminée,
admettent,
lorsqu'on
les
rencontre
dans
des
expressions
telles
que
l a
précédente,
une
interpréta t i on
log ique
dont
l ' importance
est
très grande.
Supposons,
en
second
lieu,
que
la
fonction
a développer
gl~nèrale
f(x,Y,z).
En
procÉ:'ciant
comme
prèceciemrnent.
nous
obtenons
( 75 )
f(x,Y,z)=
f ~ 1 , } , 1 ) X Y Z + f ( 1 , 1 , 0 ) x y ( 1 - z ) + f ( 1 , 0 , 1 ) X ( 1 - )' >z
+f(l,O,O)X(l-Y)(l-z)+f(O,l,l)(l-X)yz~f(O,l,O)(l-X)Y(l-z>
• f ( 0, 0, 1 ) ( 1·· X ) ( 1 - ~. ) z ... f ( 0 , 0, 0) ( 1 - x ) ( 1 -)l ( 1 . z) .
où
f ( l , l , l )
représente
la
forme
que
prend
la
fonction
f(x,Y,z)
lorsque
nous
y
faisons
x=l,y=l,z=l,
et
ainsi
de
suite pour
les autres coefficients.
11-
I l
est maintenant
facile de percevoir
la
loi
généra-
le
qu i
déterm i ne
1 e
déve l oppernent
d' une
fane t i on
que 1 conque
donnée
et
de
ramener
à
une
régI e
1a
méthode
de
déve 1oppe-
ment.
:"lais
avant
de
formuler
cette
rl=:~lle,
JI
.seraié.
L<ln
de faire
les remarques suivantes:
Toutes
1 es
formes
déve l oppées
que
nous
avons
obtenues
sont
constituées
de
cerLains
termes
contenant
les
s\\mlxl1es
;.:.:,',
etc . . .
multlpliés
par
des
coefficients
,jans
lesquels
ces
symboles
n'entrent
pas~_._Ainsi,
le
développement
de
f(x)
se
compose
de
deux
termes,
x
et
1-x,
multipliés
respective-
ment
par
les
coefficients
f ( n
et
f(O).
Et
le
développement
de
f(x,y)
se
compose
des
quatre
termes
xy,
X(l-Y),
(l-x>y
et
(}-X)(l-)'),
multipliés
respectivement
par
les
cofficients
f<1,1>,f<},O),f(O,1)
et
f(O,O).
Nous
appellerons
les
termes
x
et
1-X,
dans
le
premier
cas,
xY,
X(l-X),
etc ...
dans
le
second,
les
constituants
du
développement.
I l
est
évident
que
leur
forme
est
indépendante
de
èelle
de
la
fonction
à
developper.
Dans
le
constituant
xy,
x
et
y
sont
appelés
1 es
f0cJ-_~J.lr~.
La
r è g l e
9 è n é raI e
(j e
cl C' v e l 0 P Ple' rn e Il t
s (, r a
cio n c
c1 Ci ut) l F.: ,
concernant
en
partie
la
fOl"mation
des
~:::'~.lrjstj~1l9J11~ du clève-
loppement,
en
partie
la
détermination
de
leurs
coefficients
respectifs.
Elle s'énonce comme suit:
1°)Développer
une
foncJion~Jel~9nque des
symboles
x~.
On
forme
L1ne
sér i e
de
const i tuants
de
l a
man i ère
su i vante:
le
prem i er
const i t uan t
sera
le
produ i t
des
syrnbo les;
pou r
le
second,
on
remplace
dans
ce
produit
tout
symbole
z
par
1-Z.
Ensuite,
dans
ces
deux
premiers
constituants,
on
rem-
place
tout
s~'mbole y
par
l-Y
pour
obtenir
ainsi
deux
nou-
veaux
constituants.
Ensuite,
dans
les
quatre
constituants
obtenus,
on
rempl ace
tout
symbo le
x
par
1- X,
ce
qu i
donne
quatre
nouveaux
consti tuants,
et
l'on
continue
de
procéder
de cette
façon
jusqu'a épuisement total
du nombre des rempla-
cements possibles.
2 0 ) Tr ou \\le r
l e
C oe f fic ten t_c:L':'JJIL_C aD s LiI \\1<:1n t ...id.lo!\\:' l C_Qll9J1 e .
.'3 i
ce
constituant
~76;
a
x
pour
l'un
de
ses
facteurs,
remplacer
dans
la
fonction
de
départ
x
par
l '
mais
s ' i l
a
pour
fac-
teur
1-x,
remplacer
x
par
0
dans
cette
fonction.
Appliquer
la
même
règle
pour
les
symboles
y,z,
etc . . . En
calculant
la
valeur
finale
de
la
fonction
ainsi
transformée,
l'on
aura
le coefficient cherché.
La
somme
des
constituants
multipliés
chacun
par
le
coefficient
qui
lui
correspond
sera
le
développement
cher-
ché.
12-
I l
est
intéressant
de
noter
qu'une
fonct i on
peut
être
développée
par
rapport
a
des
symboles
qU'elle
ne
con-
tient
pas
explicitement.
Ainsi,
si
conform~'ment à
la
règle.
flOUS
clH:'rchons
à
développer
la
fonction
1-x
par
r2p~lort
aux symboles x et y.
nous avons
Lorsque x=l et y=O
la fonction=O
x= 1
y=O "
"
=0
..
x= 1
y=O
"
"
=0
..
x=O
y= 1
=1
x=O "
y=O
"
=1
Le développement est donc
1-X =
0 xy+ 0 X(1-y)
+ (1-X)y + (1-X)(1-y);
et
c'est
là
un
vrai
développement.
L'addition
des
termes
(1-X)y
et
(1-X)(1-Y)
donne
la
fonction
1-X.
Le
s)/mbole
1,
développé
de
la
même
manière.
conformèment
à
la
règle
et
par
rapport au symbole x,
donne
x+1-x.
Développé par rapport à x et Y.
il
donne
x y + X ( 1 -:" ) • (·1 - x) )! + ( 1 - x ) ( 1 -)/ ) .
De
même.
développé
par
rapport
à
un
ensemble
quelconque
de symboles,
il
PLoguit une série
formée de
tous les consti-
tuants qu'il
est possible d'obtenir avec ces symboles.
13-
Il
faudrait
ajouter quelques remarques sur
la natu-
re des
formes
générales de développement.
Prenons,
par exem-
pl e.
1 e
théorème
général
(5)
qu i
nous
donne
1a
forme
du
développement des fonctions de deux symboles logiques.
Tout d'abord.
ce théorème est
absolument
vrai
et
intel-
ligible
lorsque
x
et
y
sont
des
symboles
quantitatifs
dans
le
sens
adopté
en
ce
chapitre.
quelque
forme
algébrique
que
puisse
prendre
la
fonction
f(x.y);
et
l'on
peut
donc.
de
faç.on
tout
â
fait
intelligible,<77>
faire
appel
è
ce
t hporl'me
à
tout
moment
la
d' anal ~'.se
intermédiaire
entre
le
changement
de
-1' inter-prétation
des
symboles
-les
faisant
passer
d'un
système
logique
à
un
système
quantita-
t i f .
dans
1e
sens
que
nous
venons
de
rappe 1 er -
et
1 e
réta-
blissement
final
de l'interprétation
logique.
En
second
lieu,
ce
théorème
est.
abso l ument
vra i
et
intelligible
lorsque
x
et
y
sont
des
symboles
logiques,
pourvu
que
la
forme
que
prend
la
fonction
f<x,Y)
soit
telle
qu'elle
représente
une
ç_J_as_-?~-.9~1..L._çollection d_~chos~-?, au-
quel
cas
le
second
membre
est
toujours
i nterprétabl e.
Si,
par
exemple,
f<x,y)
représente
la
fonction
l-x+xy,
nous
obtenons,
confol'mément au
tl1èoréme:
l-x+xy = xy+
0 x(l-y)+
(l-X)Y+
(l-X)~l-Y).
=xy
+
(l-X)y +
(l-X)(l-y)
et ce résultat
est
intelligible et
vrai.
Nous
pouvons
donc
considérer
le
théorème
comme
vrai
et
intelligible
gans
tous
les
cas
pour
les
sy-mboles
quanti-
---~-
tatifs
du
type
précédemment
décrit;
pour
les
symboles
logi-
ques,
dans
tous
les
cas
interprétables.
Par
conséquent,
toutes
les
fois
qu'il
sera
fait
appel
è
lui
dans
cet
ouvra-
ge,
on
devra
entendre
que
les
symbo 1 es
x, y
sont
quant i ta-
t i f s
dans
le
sens
précis
déjà
mentionné,
si
le
développe-
ment obtenu n'est pas
interprétable.
Ma i s
si
1 e
déve l oppement
n'est
pas
touj ours
i mméd i ate-
ment
interprétable,
i l
nous
conduit
toujours,
d'emblée,
à
des
résultats
qui
le
sont.
Ainsi
,l'expression
x-y
donne,
par développement,
la
forme
X<1-Y)
-
Y ( l - X ) ,
qui
n'est
généralement
pas
interpT'étaLJle,
l"OUS
ne
pou\\'ons,
par
1 a
pensée,
ôt er-
de
1a
classe
des
choses
qu i
sont
des
x's
et
pas
des
),'s,
celle
des
choses
qui
sont
des
y's
et
pas
des
x' s,
pu i sque
1a
seconde
n' est
pas
contenue
dans
la
première,
Mais
si
la
forme
.-,>~
St:'
pr'(:,sentait
cornIlle'
ie
prem i er
membre
d'une
équat i on . don t
1 e
second
membre
éta i t
0,
nous obtiendrions alors,
par développement,
X(1-y)
-
y(1-x)
=
O.
Or
'on
verra,
dans
le
prochain
chapitre,
que
cette
expres-
sion,
où
'on
considère
x
et
y
comme
quantitatifs
dans
le
sens
déjà
établ i ,
se
ramène
immédiatement
aux
deux
èqua-
tions
x ( l -~' ) = 0,
ces
deux
équations
sont
directement
interprétables
en
logi-
IO\\5~
que
(7S,VI'on
assigne
à
x
et
~' des significations logiquc~s,
Et
l
on pourra
remarquer que même
si
les
fonctions ne
devien-
_ . ' - - - - - - , - - - -
nen t
pas
nécessa i remen t i n t erpré tab l L'S
après
dève l oppemen t,
les g~qti~ns, elles,
peuvent
toujours
se
ramener,
par
cette
procédure,
à des
formes
interprétables.
14-
La
Proposi t i on
qu i
va
su ivre
ét abl i t
que l ques
pro-
pI' i étés
importantes
des
const i tuants.
On
ut i lise
1 e
symbo 1 e
t
pour
représenter
indifféremment
n'importe
quel
constituant
d'un
développement.
Si,
par
exemple,
le
développement
est
ce lui
d' une
fonc t i on
de
deux
symbo 1 es
x
et
y,
t
représente
l'une
quelconque
des
quatre
formes
xy,
X( l-Y),
( l - X » '
et
(1-x)(1-y).
Lorsqu'il
sera
nécessaire
de
représenter
les
constituants
d'un
développement
par
des
symboles
uniques
A{O.
t out
en
1 es
di st i nguant
1 es
uns
des
aut res.
on
ma rquera
cette
distJnctiun
par
des
indices.
,4,insi
on
pourulit
écrire
t
pour représenter xy.
t
pour XII-Y).
etc ..
1
2
PROPOSITION
III.
satisfait à
la
loi
de dualité dont
l'eX.Q[ession est
L..._~__Qrodui t
de
deux
consti tuants
dtstincts
quelcon9.1U?5~'un
développement
est
égal
à
0,
et
la
somme
de
tous
les consti-
tuants est égale à
1.
l C )Prenons
le coefficient particulier xy.
Nous avons
'")
'")
xy x xy
= x~y-.
2
Or
x =X,
d'après
la
loi
fondamentale
des
s~"mbo 1 es
de
classes;
dès
lors
xy x
xy = xy.
Ou bien,
en représentant xy par t.
t,t=t
ou
tll-t)=O.
De
maniére
simil§..i..r:.e.
le
constituant
XII-Y)
satisfait
à
la méme
loi.
En effet.
nous avons
2
2
X =X,
(l-Y)
= 1-y.
'")
donc
{X(I-Y)}~= X(I-Y) ou t<l-t) =0.
Or
dans
chaque
const i tuant.
tout
facteur
est
50 i t
de
1a
forme
x.
soi t
de
la
forme
l-X.
Par
conséquent.
1 e
carré
de
tout
facteur
est
éga 1
à
ce
facteur.
< 79;,
et
1 e
carré
du
produit
des
facteurs.
c'est-à-dire
du
constituant.
est
égal
au
constituant;
d'où
l'on
tire.
avec
t
représentant
un constituant quelconque.
2
t
=t,
ou t<1-t)=O.
2 C )
Le
produit
de
deux
constituarJt:::;
quelcorlquC's
est
C.
Cela
est
évident
en
vertu
de
la
loi
générale
des
symboles
qu'ex-
prime
l'équation
X(1-X)=O;
en
effet,
quels
que
soient
les
constituants
d'un
méme
développement
que
nous
pouvons
choi-
sir,
il
y
aura au moins un
facteur x dans
l'un auquel
corres-
pondra,
dans
l'autre,
un
facteur
1-x.
3°)
La
somme
de
tous
les
constituants
d'un
développement
est
l'uni té.
Ce l a
ressort
man i festement
de
l ' add i t i on
des
deux
con st i t uan ts
x
et
l-x,
ou
des
qua tre
const i t uan ts
xy,
X(l-y),
(l-x)y,
( l - X ) ( l - Y > .
Mais
cela
se
prouve
également,
et
d'une
manière
plus
générale,
par
le
développement
de
1
par
rapport
à
un
ensemble
quelconque
de
symboles
(V,12),
En
ce
cas,
les
constituants
.sont
!(J)m(~ dE:
la
fl1::Hli""I-'~ !l3t:'t-
tuelle,
et tous
les coefficients sont égaux à
l'unité.
15-
A
la
Proposition
qui
précède
'on
peut
joindre
celle-ci,
PROPOSITION
IV,
Si
v représente la somme d'une sérip que l conque de const i - -'-
tuants
dont
les
coefficients
valent
séparément
1,
alors
la condition suivante est satisfaite:
V(l-V)
=
o.
Soient t
, t
, . . . t
ces constituants;
alors
1
2
n
v = t +t +· .. +t
1
2
n .
En
él evant
l es
deux
membres
au
carré
et
en
remarquant
que
etc ..
nous avons
= t
+t
+·
+t
.
1
2
.
n'
d'où
v=v 2
o.
:D a '" c..
\\ICA-V)
CHAPITRE 6-L'JNTERFRETATJON GE\\EP·\\LE
DES Fot'6,TJONS
LOCi JOLiES ET L' t>,;\\ALYSE
DES pp. ,)F'() 5 ] 'r J 0\\:3 CJL' J EN
F:ESLLTE.
LA
CO"WITION D'INTERPRETABILITE DES FO\\CTlœ;S LOGJOL'ES.
·80>
)-
Nous
avons
vu
que
le
développement
total
d'une
fonction
quelconque.
selon
la
règle
générale
établie
dans
le
Cflapitre
pr&e.?ljent.
cOITiJ:Jort8it
deux
catégories
distinc-
tes
d'É'](",ments:
les
constituants
du
développement
et
leurs
coefficients.
Je
me
propose.
dans
le
présent
chapitre.
de
faire
porter
la
recherche
sur
l'interprétation
des
consti-
tuants,
puis
sur
la
manière
dont
les
coefficients
qui
leur
sont
liés modifient cette
interprétation.
On
recour ra
généra 1 emen t
aux
express ions
d'" équat i on
logique",
de
"fonction
logique",
etc ...
pour
cj<,-sign~r
Lu,He
équation
ou
toute
fonction
contenant
les symboles X.Y.
etc ..
susceptible
d'apparaître.
soit
dans
l'expression
d'un
sys-
tème
de
prémi sses,
soi t
dans
l ' encflai nernent
des
résul tats
en
langage
symbolique
qui
inter\\'iennent
entre
les
prémisses
et
la
conclusion.
Si
cette
fonction
ou
cette
équation
SE'_
présente sous une
forme qui
n'est pas
immédiatement
interpré-
table
en
logique,
les
symboles
x,Y.
etc ...
devront
étre
considérés
comme
quantitatifs au
sens établi
dans
les
chapi-
tres
précédents
<II.lS),<V.6).
et
comme
satisfaisant
à
la
loi
x()-x)=O.
Le
problème
de
l'interprétation
d'une
telle
fonction
ou
équation
logique
se
ramène
donc
à
la
réduction
de
celle-
ci
à
une
forme
que
l'attribution
de
valeurs
logiques
aux
symboles
X.Y.
etc ...•
rende
interprétable.
ainsi
que
l ' i n -
terprétation Qui
en résulte.
Les définitions dont nous conve-
nons
ici
sont
conformes
aux
pr i ne i pes
pén(->T'.3UX
gu i d;:mt
] a
m2thode
(je
ce
traité.
tels
qu'ils
ont
été
{è'tatJlis
(jans
le
chapitre précédent.
<81>
PROPOSITION 1.
tion
et
la
non-attribution.
de
toutes
les
manières
possi-
Afin
d'èc1aicir
ce
point.
supposons
que
la
fonction
dè\\e l oppée
c ont i éfJne
deux
sy·mtJo 1es
x
et
y
par
rapport
aux-
quels
le
développement
a
été
effectué.
Nous
avons
alors
les constituants suivants:
xy.
X(l-Y).
(l-X)Y.
(l-x)(l-y).
Il
est
évident
que
le
premier
de
ces constituants
représen-
te
la
classe
des
objets possédant
en
méme
temps
les propri-
étés élémentaires
représentées par
x
et
Y.
et
que
le
second
représente
la
classe
de
ceux
possédant
la
propriété
x
mais
--.-
pas
la propriété y.
De même.
le troisième constituant
repré-
sente
la classe des objets qui
possèdent
la propriété Qu'ex-
prime
Y.
mais pas celle Qu'exprime x;
et
le quatrième cons-
tituant.
(l-X)(l-Y).
représente
la
classe
d'objets
dont
les éléments ne possèdent aucune des propriétés en question.
Ainsi
1es
const i tuants,
dans
1 e
cas
que
nous
venons
d'examiner.
représentent
la
totalité
des
quatre
classes
d'objets
qui
peuvent
être
définies
par
l'attribution
et
la
non-attribution
des
propriétés
exprimées
par
x
et
y.
Ces
classes
sont
disjointes.
,A,ucun
élément
de
l'urlE'
n'est
èlc"ment
de
l'autre,
car
cLaque
classe
possède
un
21ttI'irJut
ou
une
propriété
contraire
à
un
attribut
ou
une
propriété
que
possède
une
autre
classe.
En
outre,
ces
classes,
prises
ensembl e,
const i tuent
l'un i vers,
car
i l n ' ex i ste
aucun
ob-
jet
Qui
ne
puisse
être
défini
par
la
présence
ou
l'absence
d'une
propr i été
donnée:
a i fiS l,
CfJaque
chose
i nd i \\' i due I l e
dans
l'uni vers
peut
être
rapportée
à
l'une
ou
l'autre
des
Quatre
classes
formées
par
les
combi na i sons
poss i bl es
des
deux classes données x
et y ainsi
que de
leurs contraires.
Ces
remarques
concernant
les
constituants
de
flX,y)
ont
un
caractère
tout
à
fait
général.
Les
constitué1nts
d'un
déve l oppement
que l conque
r eprésenten t
des
classes,
l esque l -
les
sont
'82:
disjointes
deux
à
deux,
puisqu'elles
possè-
dent des propriétés contraires,
et
leur ensemble
forme
l'uni-
vers du discours.
Ces
propr i étés
des
const i tuants
trouvent
leur
expres-
si on
dans
l es
théorèmes
que
nous
avons
démon très
à
] a
fin
du
ehapitre
précédent,
et
auraient
pu
en
étre
déduites.
De ce Que
chaque constituant
satisfait à
la
loi
fondamentale
des
symboles
individuels,
l'on
aurait
pu
conjecturer
que
chaque
const i tuant
peu t
représenter
une
classe.
De
ce
que
le
produit
de
deux
constituants
quelconques
d'un
développe-
ment
s'annule,
l'on
aurait
pu
conclure
que
les
classes
Qu'ils
représentent
sont
disjointes.
Enfin,
de
ce
que
la
somme
des
constituants
d'un
développement
est
l'unité,
l'on
aurait pu
inférer Que
l'ensemble des classes Qu'ils représen-
tent
forme
l'univers.
4-
C'est
sur
les
lois
des
constituants
et
la
manière
de
les
interpréter
définies
ci-dessus
que
se
fondent
l'ana-
lyse
et
l'interprétation
des
équations
logiques.
L'on
a
déjà
établ i
que
toutes
ces
équat ions
éta i ent
i nterprétabl es
grace au
théorème du développement.
Je me propose maintenant
de
déterm i ner
1 es
formes
sous
1esque I l es
1a
so lut i on
peut
se
présenter
dans
la
conclusion
d'un
enchaînement
déductif,
et
de
montrer
comment
ces
formes
sont
obtenues.
Bi en
qu'à
proprement
par 1 er,
e I l es
ne
so i ent
que
1 es
man i festat ions
d'un
t~'pe
fondamental
ou
un
principe
d'expression
unique,
la
compréhension
que
nous
avons
de
ces
formes
gagnera
en
clarté si
l'esprit envisage séparément
les différences mineu-
res qu'elles présentent.
Ces formes,
au nombre de trois,
sont
les suivantes:
FORME 1.
5-
La
forme
que
nous
examinerons
d'abord
s'obtient
par
déve 1oppement
d'une
équa t i on
log i que
du
type
v= 0,
don t
le résultat,
une
fois
réduit
aux
équations qui
le
composent,
ex i ge
une
i nterprétati on.
Par
hypothèse,
la
fonctJ-Ç>n
conti-
ent
les
symboles
logiques
x,y,
etc ... ,
et
ceux-ci
apparaîs-
sent
dans des combinaisons
non
fractionnaires.
Les combinai-
sons
fractionnaires
n'apparaîtront
en
fait
que dans
la
clas-
se
de
problèmes
liés
à
la
troisième
des
formes
de
solution
annoncées;
nous les examinerons alors.
PROPOSITION II.
InteeRréter l 'équation
logj~~~~.
Pour
simplifier,
supposons
que
V
ne
contienne
que
deux
symboles <83> x
et y,
et écrivons le développement de
l'équa-
tion en question comme suit:
a
XY+
b
X<l-Y)
+c
(l-x)~r +
d
(]-x)<l-~·)
=
0;
(1)
a,b,c
et d
étant des constantes numeric-lues (jétenninées.
Supposons
maintenant
qu'un
coefficient
donné,
a
par
exemple,
ne
s'annule
pas.
En
multipliant
chaque
membre
de
l'équation
par
le
constituant
xy
auquel
ce
coefficient
est
attaché,
nous obtenons alors
axy = 0,
d'où,
puisque a ne s'annule pas,
xy
= 0;
ce
résultat
est
tout
à
fait
indépendant
de
la
nature
des
autres
coefficients
du
dé,·eloppement.
Son
interprétation,
une
fois
assignée
à
x
et
à
y
leur
signification
logique,
est
la
suÎ\\'ante:
" I l
n'existe
aucun
individu
ar,partt-fiant
à
la
fois à
la classe
représentée par x et à
celle
représen-
tée par y".
Mais
si
le
coefficient
a
~~nnule,
le
terme
axy
n'ap-
parait
pas
dans
le
développement
( 1 ) ,
et,
par
consÉ.°quent,
l'équation xy=O ne peut s'en déduire.
De
la
même
manière,
si
le
coefficient
b
ne
s'annule
pas,
nous avons
x<l-Y)
= 0,
qui
s'interprète:
" I l
n'existe pas d'individus qui
appartien-
nent
en
même
temps
à
la
classe
x
et
n'appartiennent
pas
à
la classe y".
L'une et
l'autre des interprètations ci-dessus peuvent
toute-
fa i s,
comme
on
1e
verra
pl us
loi n,
se
présenter
sous
une
forme différente.
Le
total
des
interprÉ'tations
distinctes
ainsi
obtenues
:3
partir'
des
termes
clu
c1É"d?IoPP(:':1if:,nt
dont
les
coefficients
ne
s'annulent
pas
constituera
l'interprétation
complète
de
l 'èquation v=o.
Cette analyse étant absolument
indépendan-
te du nombre de symboles logiques contenus dans la
fonction
V,l'objectif
exposé
dans
la
Proposition
sera
atteint
gr-âC~
la Règle sui\\'ante:
REGLE. -
Dével~r
la
fonction
v et
égaler
à
0
tout
consti tuant
dont
1 e
coef fic i ent
ne
s' annu 1e
pas.
Les
i nter-
prétat ions
des
résu l ta ts
ainsi
obt enus,
pri ses
dans
1 eur
posée.
<84>
6-
Prenons
comme
exemple
la
définition
que
donne
la
Loi
JUÏ\\'e des
"bétes pures":
"Les lJétes pures sont
celles
0..
qui
ont
les ongles fendus et qui
ruminent",
et posons:
x
les bétes pures;
y
les bètes qui
ont
les ongles
fendus;
z
les bètes qui
ruminent,
Alors
la proposition en question sera~eprésentée par l'équa-
tion
x = yz.
Que nous mettrons sous la forme
x - yz = o.
et
dont
nous
a lIons
chercher
1a
forme
d' in t erprétat i on
qu i
est
ce Ile
donnée
par
1a
présente
méthode.
En
déve 1 oppant
complètement
le premier membre,
l'on a
OXYZ+XY(l-Z)+X(l-X)Y+X(l-y)(l-z)-(l-x)yz+O(l-x)y(l-Z)
~O(l-X)(l-y)z+O(l-x)(l-Y)(l-Z).
Les
termes
dont
les
coefficients
ne
~'dnnulent pa~ donnent
les équatiuns
x~' ( 1 - z) =0,
x Z ( 1 -~' ) =0,
x ( l - Y ) ( l - Z ) =0,
(1 - Xl ~. Z =0 .
Ces
équations
affirment
l'inexistence
de
certaines
classes
d'objets,
à
savoir:
1 ° )Ce Il e
des
bêtes
qu i
sont
pures,
ont
les
ong l es
fendus
mais ne ruminent
pas.
2°)
Celle
des bêtes
qui
sont
pures,
qui
ruminent
mais n'ont
pas
les ongles fendus.
3°)
Cell e
des
bêtes
qui
sont
pures
et
n'ont
pas
les
ongl es
fendus ni
ne ruminent.
4°)
Celle
des
bêtes
qui
ont
les
ongles
fendus,
qui
ruminent
et qui
ne sont pas pures.
Or
toutes
ces
négat ions
sorlt
reel 1 emt:'nL
cornpr i ses
OdrlS
: 3
proposition
originelle.
Et.
inversement.
si
l'on
admet
ces
nêgations,
la
proposition
originelle
en
découlera
comme
une
conséquence
nécessaire.
Elles
sont,
en
fait,
les
élé-
ments
séparés
qui
constituent
cette
proposition.
Toute
pro-
position
primaire
peut
ainsi
se
ramener
à
une série de néga-
tions
de
l'existence de
certaines classes de
choses définies
et
peut.
à
partir
de
ce
système
de
négations,
être
elle-
même
reconstituêe.
L'on
pourrait
alors
se
demander
comment
i l
est
possible
d'établir
une
proposition
affirmative
'85>
à
partir
d'une
sèrie
d'exclusions
ou
de
négations.
D'OÙ
vient
l'aspect
positif?
Je
répondrai
que
l'esprit
pose
l'ex-
istence
d'un
univers.
non
pas
a
priori,
comme
un
faiL
indé-
pendant de
l'expérience,
mais soit ~~steriori, comme dédui-
te
de
l ' expér i ence,
so i t
tl\\'..ILothêJ i quement ,
comme
fondement
de
] a
possi tJi 1 i té
d'un
rai sonLc~m(-'!1t
aSSF! tif_
A,irisi,
rie
la
proposition
" i l
n'y a
pas d'homme
qui
ne
soit
faillible",
qu i
est
une
exc 1usi on
ou
une
néga t i on
de
l'ex i stence
d'" hom-
mes
infaillibles",
l'on
peut
déduire,
soit
h~:pothétiquement
que
"tous
les hommes
( s ' i l
existe
des hommes)
sont
f a i l l i b -
les",
soi t
absol ument
( l ' expéri ence
nous
ayant
assuré
de
l'existence
de
l'espèce)
que
"tous
les
tjOlrlrril~S sor!t
f a i l l i -
bles".
La
forme
que
prennent
les
conclusi
ns
fournies
par
l a
méthode
de
cet te
Proposi t i on
pourra i t
s' appe 1er
"nèga-
tion simple"
ou "conjointe".
FOR!1E
l l .
7 -
De
même
que
la
prem i ère
forme
pro'v'ena i t
du
déve l op-
pement
et
de
l'interprétation
d'une
équation
dont
le
second
membre
était
0,
cette
seconde
forme,
qui
la
complète,
pro-
viendra
du
dé\\-eloppement
et
de
l'inter!=.rétation
d'une
équa-
t i on
dont
le
second
membre
sera
1 _
Cependan t,
une
ana lyse
analogue
ê
celle
de
la
section
qui
prècède
nous
la
fournira
.---.
aisément.
Ainsi,
dans
l'exemple
qui
précède,
nous
avons
déduit
de
l ' équati on
x-yz =
0
la
négati on
conjo i nte
de
l'ex i stence
des
classes
représen-
tées par
les constituants
xy ( 1 - Z ).
x z ( 1 - y),
x ( 1 - y) ( 1 - z ),
(1 - X) Y z ,
dont
les
coefficients
étaient
différ'ents
de
O.
I l
s'ensuit
que
les
autres
consti tuants
représentent
des
classes
qui
composent
ensemble l'univers.
Nous aurons alors
xyZ+(1-X)y(1-Z)+(1-X)(1-Y)Z+(1-X)(1-y)(1-Z)
= 1.
Ceci
équivaut
à
l'affirmation
que
toutes
cIwses
p.'\\Jstantes
appartiennent
à
l'une
ou
l'autre
des
classes
suivantes:
1 ° )Les
bêtes
pures
qui
ont
1 es
ongl es
fendus
et
qui
rumi-
nent.
(86)
2 ° ) Les
bêtes
impures
qu i
ont
1es
ong 1 es
fendus
et
qu i
ne ruminent pas.
3°)Les
bêtes
impures qui
ruminent
mais n'ont
pas
les
ongles
fendus.
4°)Les
choses qui
ne
sont
pas des bêtes
pures,
qui
ne
rumi-
nent pas et qui
n'ont pas les ongles fendus.
Cette
forme
que
prend
la
conclusion
peut
s'appeler
celle
de
"l'affirmation
simple"
ou
"disjonctive":
"simple"
lorsqu'un
seul
constituant
apparaît
dans
]a
conclusion
fina-
le;
"disjonctive"
lorsque
plus
d'un
constituant,
comme
dans
l'exemple qui
précède,
y apparaît.
Tou t e
é q lj a t i 0 n
V = 0 , o ù
V
sa t i s fa i t
à
1a
loi
de
du a 1 i -
tè,
peut
ètre
amenée
à
revêtir
cette
forme
d'interpréta-
t i on
par
réducti on
à
1a
forme
1- \\'
1
et
déve 1 oppement
du
premier
membre.
Ce
cas
est,
en
fait,
impliqué dans
la
forme
généra 1 e
ci-dessous:
comparées
à
ce I l e-c),
1 es
deux
formes
précédentes n'ont qu'une importance mineure,
FORME III.
Dans
1 es
deux
cas
qu i
précêdent,
1es
fonct i ons
à
déve 1opper
étaient
égales,
respectivement,
à
0
et
1.
Dans
le
nouveau,
je
supposerai
que
la
fonction
est
égalée
à
un
symbole
logi-
que
quel conque
w.
Nous
devons
alors
chercher
à
interpréter
l'équation
\\'=w,
\\'
étant
une
fonction
des
symboles
logiques
X.Y,Z,
etc ... Mais
j'estime
nécessaire,
tout
d'abord,
d'in-
dJqw"r
dans
quelles
conditions
peut
être
posf~e
l'equation
vocw,
ou
plutôt,
sous
la
forrr:e
qu'elle
prendra
le
plus
fré-
quemment,
~'=V.
Reprenons
i a
dé fin i t i on
des
"bêtes
pures"
que
nous
avons
ut i l i sée
dans
1 es
exempl es
qui
précédent:
"1 es
bêtes
pures sont
celles qui
ont
les ongles
fendus et
qui
ruminent"
et
supposons que
l'on nous demande de dêterminer
la relation
entre
"les bêtes qui
ruminent"
d'une part.
"les bêtes pures"
et
"les bêtes qui
ont
les ongles
fendus"
de
l ·autre.
L'équa-
tion exprimant
la proposition donnée est
x
=
yz
Si
nous
pouvons
déterminer
z comme une fonction
interpréta-
ble
de
x
et
de
Y.
nous
aurons
atteint
notre
tlut.
Or.
en
traitant
X,Y.Z
comme
des
symboles
quantitatifs
soumis
a
une
loi
particulière.
nous
pouvons
déduire.
en
posant
la
solution de
l'équation.
z = x/y.
<B7!
Mais
cette
équation.
telle
quelle,
n·...est
pas
sous
une
forme
i nterprétabl e.
Si
nous
pouvons
l a
ramener
a une forme
qui
le soit.
nous obtiendrons la relation cherchée.
En
déve l oppant
1 e
second
membre
de
l ' équa t ion
ci -des-
sus.
nous obtenons
z = XY+l/O x(l-y)+O (l-X)y+O/O (l-X)(l-Y),
expression
qui,
comme
on
le
verra
plus
loin
(Prop.3).
admet
l'interprétation suivante:
"Les
bêtes
qu i
rumi nent
sont
toutes
1 es
bêtes
pures
(qui
ont
également
les
ongles
fendus).
ainsi
qu'un
restant
indé-
terminé
de
bêtes
impures
qui
n'ont
pas
les
ongles
fendus
(quelquEs-unes,
aucune,
ou toutes)".
9 -
?"ous
avons
l à
un
exempl e
part i cu lier
d'un
pr'obl ème
de
la
plus
grande
généra 1 i té
en
logique,
et
que
l'on
peut
énoncer
ai nsi:
"Etant
donnée
une
équation
log i que
met tant
en
relation
les
symboles
x,y,z,w,
on
demande
de
trouver
une
expression
interprétable
de
la
relation
entre
la
classe
représentée par W et
les classes
représentées par
les autres
symboles x,y,z,
etc .. "
La
solution
de
ce
problème
consiste,
dans
tous
les
cas,
à
déterm i ner
à
par t i r
de
l ' équat i on
donnée,
l ' expres-
sion
du
s;.:mbole
w
en
fonction
des
autres
s)'mboles,
et
à
rendre,
par
développement,cette
expression
interprétable.
Or,
l'équation
donnée
est
toujours
du
premier
degré
pour
chacun
des
symbol es
qu' ell e
cont i ent.
L'on
peut
donc
tou-
jours
trouver
l'expression
de
\\1,'.
De
fait,
en
développant
l'équation proposée,
quelle que soit
la
forme qu'elle puisse
prendre par rapport
à
w,
nous obtenons une équation du
type
Ew +
E'(}-w)
= 0
(})
E
et
E'
étant
des
fonctions
des
autres
symboles.
De
cette
équation,
il
vient
E'=(E'-E)w.
D'Où
w=E'/(E'-E)
(2)
et,
une
fois
développé
le
second
membre
conformément
à
la
rég 1e
de
développement,
i 1
ne
restera
pl us
qu'à
interpréter
logiquement
le résultat,
selon
la Proposition ci-dessous.
<88>
Si
le
numérateur
et
1 e
dénomi nateur
de
1a
frac-
tion
E'/(E'-E)
possèdent
des
facteurs
communs,
nous
n'au-
rons pas
le dr-oit
de
les supprimer
par
simplification,
sauf
dans
le
cas
de
pures
constantes
numériques.
En
effet,
en
tant qu' ils sont
cons i dérés comme quan t i tat i fs.
les s)'mbo les
x. y.
etc...
peuvent
combi ner
1 eurs
va 1 eur s
o et
1
de
te Il e
façon
que
1 es
facteurs
communs
dev i ennent
nu 1 s.
au-
quel
cas
la
loi
de
simplification
algébrique
n'est
plus
appl i cabl e.
Tel
est
le
cas
que
nous
avons
évoqué
dans
nos
remarques
surl'impossibilité
d'appliquer
l'axiome
algébri-
que
dè
simplification
(11.14).
Trouver
à
la
solution
une
expression
de
la
forme
donnée
par
(2);
sans
essayer
d'opé-
rer
des
simplifications
illicites,
interpréter
le
résultat
grâce au
théoréme du développement:
cette démarche s'accorde
en tout point aux principes généraux de ce traité.
Si
l'on demande
la relation
entre
la classe représentée
par
1-w et
les autres classes x.y.z.
etc ...•
nous déduirons
de (1),
comme plus haut,
1-w = E/(E-E').
dont
l'interprétation nous est
également donnée par applica-
tion de la méthode ~noncée dans la Proposition qui suit.
PROPOSITION III.
10-
Détermi ner
l' i nterprétat i on
d'une
équat i on
log i que
gue 1conque
de
l a
forme
w= V,
où west
un
svmbo le
de
classe.
et V une
fonction des autres symboles de classes et de forme
tout à
fait
indéfinie.
Supposons
que
1e
second
membre
de
cet te
équat i on
ait
été
complètement
développé.
Tout
coefficient
du
résultat
appartiendra
à
l'une
des
quatre
catégories
suivantes.
que
nous
allons
examiner
à
présent.
ainsi
que
leurs
significa-
tions respectives.
1")
Le coefficient est
1.
Puisque c'est
le :3~'mbole de
j'UfJl-
vers et que
le produit de deux classes quelconques représen-
te
les
individus
qui
appartiennent
à
l'une
et
l'autre
de
ces classes,
tout constituant qui
a
l'unité pour coefficient
doit
être
interprété
sans
aucune
limitation,
c'est-à-dire
que
la totalité de
la classe qu'il
reprêsente est concernée.
2")Le
coefficient
est
O.
Puisqu'en Logique,
comme
en
Arith-
métique,
c'est
le symbole du Rien,
aucune partie de
la clas-
se
< 89)
représentée
par
le
const i tuant
auque 1
i l
est
pré-
fixé ne doit être prise en compte.
3")Le
coefficient
est
de
la
forme
0/0.
Comme
le
symbole
0/0 représente,
en Arithmétique,
un nombre
indéfini,
à
moins
qu'il
ne
soit
déterminé
par quelque moyen
spécial,
l'analo-
g i e
suggèrera i t
que
dans
notre
présent
système,
1e
méme
symbole
représente
une
~lasse
indéfinie.
Or,
l'on
verra
clairement,
par
l'exemple
suivant,
que
tel le
en
est
bien
la signification vèritable.
Soit
la
proposition
"Les hommes
non
mortels
n'existent
pas" ;
expr i mons
symbo l lql1ement
cet te
propos i t i on,
et
cher-
chons,
conformément
aux
loi s
auxque Il es
l'on
a
prouvé
que
ces
symboles
étaient
soumis,
une
définition
converse
des
"êtres mortels" en fonction des "hommes".
Si
nous
notons
"hommes"
par
y
et
"êtres
mortels"
par
x,
la
proposition
"les
hommes
qui
ne
sont
pas
mortels
n'exis-
tent pas" sera exprimée par l'équation
Y(l-X):O,
dans
laque Il e
nous
devons
chercher
l a
va leur
de
x.
Cet te
équation nous donne
y-yx
= a
ou yx=y.
S'il
s'était
agi
d'une
équation
édgébr"iqüe
OI-dinair-e.
nous
en
aurions
ensuite
divisé
les
deux membres par
y.
Mais nous
avons
souligné
au
chap.11
que
l'opération
de
division
ne
pouvait
être
effectuée pour
les symboles dont
nous traitons.
Reste
alors
la ressource d'exprimer
l'opération.
et
de déve-
lopper
le
résultat
selon
la méthode exposée dans
le
chapitre
précédent.
Nous avons donc.
d'abord,
x
= y/y.
et.
en
déve 1 oppant
1 e
second
membre
se Ion
1a
démarche
i nd i -
quée.
i l vient
x
=
y
+
%
(l-y).
Cela
signifie que
les mortels
(x)
sont
tous
les hommes
(y).
ainsi
que
1e
restant.
d' étres
qu i
ne
sont
pas
des
hommes
(l-Y),
restant
indiqué par
le coefficient 010.
Cherchons
maintenant
à
établ i r
quel
<90;
restant
de
"non-hommes"
est
impliquée
par
la
prémisse.
I l
se
pourrait
faire
que
ce
res-
tant
comprenne
tous
1 es
étres
qu i
ne
sont
pas
des
hommes.
ou
seu 1 ement
une
part i e
d'entre
eux
et
pas
1 es
autres.
ou
,..--'-
i l
pourra i t
n'en
comprendre
aucun;
et
chacune
de
ces
hypo-
thèses
s'accorderait
parfaitement
avec
notre
prémisse.
En
d'autres
termes,
que
ces
êtres
qui
ne
sont
pas
des
hommes
soient
tous
les
êtres
mortels,quelques-uns
ou
aucun
d'entre
eux,
la
vérité
de
la
prémisse
qui
en
fait
affirme
que
tous
1 es
hommes
sont
morte 1 s
demeurera
éga 1ement
inchangée;
par
conséquent,
l ' expressi on 0/0
si gn i f i e
ici
qu' i 1
faut
prendre
en
compte
tout,partie
ou
rien
de
la
classe
à
l'expression
de laquelle elle est préfixée.
Quoique cette détermination de la signification du
s~.'mbole
%
ne
soit
fondée
que
sur
la
considération
d'un
cas
paI-ticulier,
le
principe
qui
intervient
dans
la
dèlfiCH1S-
tr-ation
est
général,
et,
en
aucun
cas,
le
sY'mbole
ne
se
présentera
sans
qu'on
puisse
lui
appliquer
le
même
type
d'analyse.
Nous
pouvons
légitimement"
appeler
%
un
symbole
de
classe
indéfinie,
et,
le
cas
échéant,
pour
des
raisons
de
commodité,
lui
substituer
le
symbole
simple v,
qui
est
sou-
mis à
la loi
fondamentale v(l-v)=O.
4°)11
peut
arriver
que,
dans
un
développement,
le
coeffi-
cient
d'un
constituant
n'appartienne
à
aucun
des
trois
cas
précédents.
Dans
un
tel
cas,
pour
en
déterminer
la
vérita-
ble
signification,
il
sera
nécessaire
d'établir
au
préala-
ble le théoréme suivant:
Il-THEOREME.
Si
une fonction
v,
représentant une classe
.ou
un
ensembl e
que l conque
d' obj ets
w e s t
_déve tQ'ppée .
et
si
le
coefficient
numérique
a
d'un
constituant
quelcoT~
dans son développement ne satisfait p~s à
]a loi
a(l-a)=O-,_
alors le constituant en question doit étre égalé à O.
Pour
prouver
ce
théorème de
manière
générale,
écrivons
le développement en question sous la forme
w= altl+a2t2+a3t3+ etc ...
(1)
où
t
, t
, t
,
etc .. ,
représentent
les
constituants,
et
al'
l
2
3
a
,a
,
etc . . .
les
coefficients;
supposons
aussi
que
al
et
2
3
a
ne satisfassent pas à
la loi
2
a
(1-a
)=o,
a
(1-a
)=o,
1
1
2
2
<91>
mais que
les autres coefficients soient
soumis à
cette
loi,
de sorte que nous avons
2
a
=a
etc . . .
3
3
Multiplions
chaque
membre
de
l'équation
(1)
par
lui-même.
Le résultat en sera
2
2
w=a
t · a
t
+-
etc...
(2)
1
1 2 2
Ce
résul tat
ressor't
avec
évidence
du
fai t
qu' il
représente
nécessairement
le développement de l'équation
mais
on
peut
aussi
le
prouver
en
procédant
effectivement
à
l'élévation au carré et en remarquant que l'on a
2
2
t 1 =t 1 ,t 2 =t 2 ' t 1 t 2 = 0 ,
etc ... ,
en
vertu
des
propr i étés
des
const i t uan ts.
En
soust rayant
(2) de
(1)
l'on obtient
?
?
(a
-a -)t .(a -a -,t =0.
1
1
1 2 2
2
Ou
a1(1-al)tl+a2(1-a2)t2"Oo.
Multiplions
cette
derniére
équation
par
t
.
alors,
puisque
1 '
a
(1-a
)t
=o,
d'où t
"Oo.
1
1
1
1
De même,
en multipliant
la même équation par t
,nous avons
_
2
a
(1-a
)t
"Oo,
d'où t
=0.
2
2
2
2
On
peut
donc
ainsi
montrer,
de
manière
générale,
que
tout
constituant
dont
le
coefficient
n'est
pas
soumis à
la
même
loi
fondamentale
que
les
symboles
logiques
eux-mêmes
doit
être séparément égalé à
O.
La forme sous
laquelle se présen-
tent
habituellement
de
tels
coefficients
est
1/0.
C'est
le
symbole
algébrique de
l'infini.
Or,
plus
un
nombre
s'ap-
proche de
l'infini
(si
l'on nous passe
l'expression),
moins
il
est
à
même
de
satisfaire
à
la
loi
fondamentale
que
l'on
vi ent d' é\\'oquer.
Le
s}'mbole
%
dont
on
vient
d'examiner
)a
sH:mifica-
tion
ne
viole
pas
nécessairement
la
loi
considérée.
puisque
il
admet
indifféremment
les valeurs
numériques a et
1.
Tou-
tefo i s.
i 1
faut
bi en avouer que son
i nterprétat i on ef fecti ve
comme
symbole
de
classe
indéfinie
ne
saurait
ëtre
déduite.
sauf
par
analogie,<92'de
ses propriétés aritrlmétiques,
niais
doit ëtre établie expérimentalement.
12-
Nous
pouvons
maintenant
rassembler
les
résultats
auxquels nous sommes parvenus dans le résumé suivant:
l°)Le
symbole
1,
comme
coefficient
d'un
terme dans
un
déve-
loppement.
indique
que
la
totalité de
la
classe
représentée
par ce constituant doit être prise en compte.
2°)Le
coefficient
a indique que rien dans la C)8sse n'est
à
prendre en compte.
3°)Le s~'mbole %
indique qu'une partie parfaitement jn<i~fj~
nie
de
la
classe
doit
ëtre
prise
en
compte.
c'est-à-dire
qu' i 1 en
faut
prendre
en
compte
,
parm i
ses éléments,
que]-
qtfe5 uns,
aucun ou la totalité.
4°)Tout
autre
symbole
figurant
comme
coefficient.
indique
que
le
constituant
auquel 'il
est
lié
doit
être
égalé
à
O.
Il
découle
de
tout
cela
que
si
la
solution
d'un
problème.
obtenue par développement,
est de la forme
w = A + OB + %
C +
1/0 D,
cette solution peut se ramener aux deux équations suivantes:
A
+
ve
D
o
v
étant
un
symbole
de
classe
indéfinie.
L'interprétation
de
(3)
montre quels éléments entrent
ou
peuvent
entrer dans
la
compos i t i on
de
IN,
l a c l asse
de
ctlOses
dont
on
cherche
la
définition;
et
l'interprétation
de
Ud
montre
quelles
re lat i ons
ex i stent
ent re
les
éléments du
probl ème
or i gi'ne l ,
de façon tout é
fait
indépendante de ~.
Tels sont
les canons de
l'interprétation.
On peut ajou-
ter
que
leur
application
est
unÏ\\'erselle
et
que
leur
usage
ne
souffre
ni
de
l'échec
ni
de
la
complication
des
excep-
tions.
13-
COROLLAIRE.
Si
V est
une
fonction
logique
interpré-
table
de
manière
indépendante,
elle
satisfera
la
loi
symbo-
1 ique V( 1-V)=0.
Par
fonction
logique
interprétable
de
manière
indépen-
dante,
j'entends
une
fonction
qui
est
interprétable
sans
que
soit
présupposée
une
relation quelconque
entre
les cho-
ses
que
représentent
les
symboles
qu'elle
contient.
Ainsi
x<l-y)
est
interprétable
de
manière
indépendante,
mais
x-y
ne
l'est
pas.
<93>La
seconde
fonction
présuppose
comme
cond i t i on
de
son
interprétation
que
1a
cl asse-.Ieprésentée
par
y
soi t
ent i èrement
contenue
dans
cell e
représentée
par
x;
la
première
fonction
ne
suppose
aucune
condition
de
ce
genre.
Si
V
est
interprétable
de
manière
indépendante,
et
si
w
représente
la
classe
des
individus
que
contient
V,
l'équation
w=V
sera
vraie
sans
entraIner
comme
conséquence
l 'annu l at i on
d'aucun
des
const i tuants
du
déve 1oppement
de
V;
puisque
l'annulation
de
ces
constituants
impliquerait
certaines relations entre
les classes de choses représentées
par
1 es
symbo 1 es
con tenus dans
V.
Dès
1 or s i e
déve 1 oppement
de V sera de
la
forme
a}t}+a
t
+ etc . . .
2
2
les coefficients a
,a
,
etc ...
satisfaisant
tous a la condi-
1
2
ti on
a
(1-a
)=o,
a
(I-a
)=0 etc ...
1
1
2
2
Par
conséquent,
en
vertu
du
méme
ra i sonnemen t
que
délns
1 a
Prop.4,
chap.V,
la
fonction v sera soumise à
la
loi
V(I-V)=O.
On
voit
que
ce
résultat,
quoique
évident
~iori
du
seul
fait
qU'on
pose V comme
représentant
une
classe
ou un ensem-
ble
de
choses,
se
laisse
également
déduire
des
propriétés
des
constituants
dont
i l
se
compose.
La
condition
V(}-V)=O
peut
être
appelée
"la
condition d'interprètabillté des
fonc-
tions logiques".
14-
La
forme
générale
des
solutions
ou
conclusions
log i ques
exposée
dans
1 a
Propos i ti on
qu i
précéde
pourra i t
être
appelée
"Relation
entre
les
termes".
J'emploie,
comme
je
l ' a i
déjà
fait.
le
mot
"termes"
pour
désigner
les
par-
ties
d'une
proposition.
soit
simples
soit
complexes,
qui
sont
reliées
par
la
copule
"est"
ou
"sont".
Les
classes
de
choses
représentées
par
les
symboles
individuels
peuvent
être appelées les "éléments" de la proposition.
15-
EX.l-
Reprenons
la
défini tion
des
"bêtes
pures"
(VI. 6) :
l'on
demande
une
descr i pti on
des
"bêtes
impures".
En
ce
cas,
x
représentant
comme
précédemment
"1 es
bêtes
pures".
y
"1 es
bêtes
qui
ont
1es
ongl es
fendus".
z
"1 es
bêtes qui
ruminent".
nous avons
/131
x = yz;
d'ou
1-X
= 1-YZ;
par développement du second membre,
il vient
<94>
l-x= y(1-Z)+Z(1-y)+(1-Y)(1-Z);
ce
qui
se
laisse
interpréter
par
la
proposition
suivante:
"Les
bêt es
impures
sont
toutes
ce Il es
qu i
ont
1 es
ohg 1es
sans
avoir
les
ongles
fendus,
et
toutes
celles
qui
n'ont
pas les onfgles fendus ni ne ruminent.
EX.2- Soit la même définition:
1 'on demande une descrip-
tion des bêtes qui
n'ont pas les ongles fendus.
De l'équation x=yz,
on tire
y=x/Z;
d'ou
1-Y
= (Z-x), z;
par développement du second membre,
il vient:
1-y
= Oxz~(-l)/O x(l-z)~(l-x)Z +0/0 (l-X)(l-z).
Ici.
conformêment
à
la
RégIe,
le
terme
dont
le
coefficient
est -1/0 doit étre séparément égalé à 0;
nous avons donc
1-y = (l-x)z
+
%
(l-X)(l-Z),
.--'-
x(}-z)
= 0;
par
conséquent.
1a
premi ère
équation
a
pour
i nterprétati on
1a
proposi t i on:
Les
bêtes
qu i n ' ont
pas
1es
ongl es
fendus
comportent
toutes
les bêtes
impures qui
ruminent et un
res-
tant
indéfini
de
bêtes
impures
qui
ne
ruminent
pas
(quel-
ques-unes.
aucune ou toutes),
La
seconde
équation
donne
la
proposition:
Il
n'existe
pas de bêtes pures qui
ne ruminent pas.
C'est
là un exemple
des
relations
indéPendantespont
nous avons parlé
plus haut.
Nous
cherchions
la
relation
directe
entre
"les
b~tes
qui
n'ont
pas
les
ongles
fendus"
et
"les
rJétes
pures
3JrlSi
que
celles
qui
ruminent".
Il
arrive.
ct:'pen1jant.
qu'irnièperJ<jéHrt-
ment de
tout
rapport avec
les bètes qui
n'ont pas les ongles
fendus,
il
existe,
comme
conséquence
de
la
prémisse,
une
relation
distincte
entre
les
bêtes
pures
et
les
bètes
qui
ruminent.
Cette
relation
est
dorJl1ée
par
la
procédure,
de
manière tout aussi nécessaire.
EX.3-
Soit
la
définition
suivante:
"Les
êtres
respon-
sables
sont
tous
les
êtres
rationnels
qui
soit
sont
libres
d'agir,
soit
ont sacrifié
<95>
volontairement
leur
libert_é",
appliquons lui
l'analyse qui
précède.
Soit x traduisant êtres responsables
êtres rationnels
z
ceux qui
sont libres d'agir
w
ceux
qui
ont
volontairement
sacrifié
leur
liberté d'action.
Je
supposerai.
dans
l'expression
de
cette
dèfinition.
que
l'alternative
qu'elle
présente
entre
"les
étres
rationnels
qui
sont
libres
d'agir"
et
"les
ètres
rationnels
dont
la
liberté d'action a
été volontairement sacrifiée",
est exclu-
sive,
de
sorte
qu'aucun
individu
ne
se
trouve
à
la
fois
dans
l 'une
et
l'autre
catégorie.
Cela
nous
permettra
de
traduire
littéralement
la
proposition,
dans
le
langage
des
symboles,
de la manière suivante:
x
= yz +
~'W
(6)
Déduisons-en
d'abord
la
relation
des
"êtres
rationnels"
aux
ëtres
responsables,
à
ceux
qui
sont
libres
d'agir
et
~33
à
ceux
qui
ont
volontairement sacrifié
leur
liberté
d'ac-
tion.
Peut-être
ce
probléme
se
laissera-t-il
mieux
saisir
en
ces
termes:
l'on
veut
exprimer
la
relation
qui
existe
entre les éléments de la prémisse sous une forme telle qu'el-
le nous permette de déterminer dans quelle mesure la rationa-
lité
se
laisse
inférer
de
la
responsabilité,
de
la
liberté
d'action.
d'un
sacrifice
voplontaire
de
la
liberté.
ainsi
que de leurs contraires.
De (6).
i l
v i en t
y
= x/z+w.
et
par
(jé\\eloppement
du
second
membre
et
élimination
des
termes dont les coefficients valent O.
l'on a
~'=1/2
x< l-Z)(I-II;)+O/O
( l - x ) ( I - z )
( 1-w) •
d'où
l'on déduit,
en égalant à
0
les termes dont
les coeffi-
cients valent 1/2 et 1/0.
y
= xz(l-w)+xw(l-z)+v(l-x)(l-z)(l-w);
(7)
XZW
= 0;
(8 )
.--~-
x ( l - z ) ( l - w )
0;
(9)
<96>
que l'on interprète ainsi:
CONCLUSION DIRECTE.-Les êtres rationnels sont tous les êtres
responsables qui
soit sont
libres d'agir et n'ont
pas volon-
ta i rement
sacr if i é
leur
liberté.
soi t
ne
sont
pas
libres
9'agir
pour
avoir
volontairement
sacrifié
leur
liberté.
ainsi
qu'un
restant
indéterminé d'êtres
(quelques-uns.
aucun
ou
tous).
ni
responsables ni
libres et
n'ayant
pas sacrifié
volontairement leur liberté.
~n__Ill_~ig__.LE:'rr;p_~__Li}:-.!TE:'_~_~.gjs_sL_Q.f1Jlc-:::._\\.}!Ie __ ,sLLl l.'::Lt.lQ[L.__2.(J__ U __ê
~QLQIJlj:lj.IemenL sa~LLLLÉ:' ~~__J j berté.
DEUXIEME.Aucun
être
responsable
n'est
empêché
d'qg1r
et,
en même
temps~n~_un~~~Ll.ué!.!:i on_Q..9-.il..._~Ê.__p~_~_vol.9ntaiLe
ment sacrifié sa liberté.
Les
relations
indépendantes
ci-dessus
peuvent
toutefois
être
présentées
sous
une
autre
forme
pl us
commode.
C'est
ainsi que (8) donne
xw = O/z = Oz+O/O
(1-Z)
par développement;
ou
XI.\\,'
v(t-z);
<lO)
et,
de même,
(9)
donne
X(l-w)=O/l-Z =0/0 Z +0
( l - z ) ;
ou
x ( 1 -1.\\,.)
= vz;
( } l )
Et.
lorsqu'on
interprète
(10)
et
(11),
on obtient
les propo-
sitions suivantes:
1 c)Les
ètres
responsabl es ~.L_on.1_\\..QJ.ontairement
sac[)Ji é
leur
liberté ne sont~ libres.
2°)Les êtres responsables qui
n'ont pas volontairement sacri-
.---~ -
fié leur liberté sont
libres.
Ce
ne
sont
là.
cependant.
que
des
formes
différentes
des
relations établies précédemment.
16-
En
consi dérant
ces
résul ta ts,
l e I ecteur
ne
doi t
pas
perdre
de
vue
qu'une
méthode
d' i nfèrence
ou
d'anal yse
a
pour
seule
fonction
de
déterminer
les
connexions
décou-
lant
nécessairement de
la
relation des termes dans
la propo-
sition
originelle.
Par
conséquent,
lorsque
nous
estimons
avoir
atteint
complètement
cet
objectif,
nous
n'avons abso-
1ument pas à nous sOlicier des autrE'S relations qu'évoquer'ait
â
notre
espr i t
la
(97 > ;'iign.J.f.iÇé1U~Il même
des
t ennes
emfll 0-
~'és,
en
tant
qu'elles
se
distingueraient
de
leur
connexion
expl ici te.
Ai nsi.
il
peut
sembl el'
évi dent
de
remarquer
que
"ceux
qui
ont
volontairement
sacrifié
leur
liberté
ne
sont
pas
libres"
car
c'est
une
relation qui
tient
à
la
signifi-
cati on
même
des
termes.
La
prem i ère
des
(jeux
re lat ions
in-
dépendantes
établies
par
la
méthode
pourrait.
par
consé-
quent.
sembl el'
l i mi tée
sans
nécessi té ~
et
de
plus.
super-
flue.
Toutefois.
à
s'en
tenir
strictement
à
la
connexion
des
termes
dans
la
prémisse
originelle,
l'on
verrait
que
cette
relation
ne
tombe
sous
aucun
de
ces
chefs
d'accusa-
tion.
La
solution.
telle
que
l'expriment
conjointement
et
la
conclusion
directe
et
les
relations
indépendantes.
est
tout.
à
fa i t
compl ète
sans
apporter.
en
aucune
façon.
du
superfl u.
si
nous voulons prendre en compte
la relation
implicite
évoquée
ci-dessus
(à
savoi l'
que
"ceux
qui
ont
vol ontai re-
ment
sacr if i é--,l eur
liberté
ne
sont
pas
libres").
nous
pou-
vons
le
faire
en
la
posant
comme une
proposition distincte.
dont l'expression adéquate serait
IN
=
v(l-z).
Nous aurions à
employer cette équation avec celle qui
expri-
me
la prémisse originelle.
La manière dont
une
telle analy-
se
do i t
étre
menée
appara i tra
lorsque
nous
aborderons
la
théorie
des
systèmes de
propositions.
dans un
prochain cha-
pi tre.
Le
résu l tat
auque l
condu i t
cet te
ana lyse
ne
di f fère
qu'en
ce que
la
première des
relations
indépendantes dédui-
..,,1 S6
tes plus haut est éliminée.
17-
EX.4
Soit
la
rn(~me
définition
que
déH1S
j'Exemple
2:
l'on
demande
de
trou\\'er
une
dc'scr i pt i on
des
per'sonnes
irrationnelles.
Nous avons
1-y = 1- x!(z+w)=
(z+w-x)/(z~w)
" 1 .1 2
x ZI.<' +0
X Z ( 1 - \\A.' ) - 0
x ( 1 - Z ) \\A.' - 1 /0
X( 1 - Z ) ( 1 - \\A.' ) .... ( 1 - x ) ZIA'
.... (1-x)Z(1-w)+(1-x)(1-Z)W+O/0 (1-x)(1-z)(1-1.<')
=(1-x)zw+(1-x)z(1-w)+(1-x)(1-z)w+v(1-x)(1-z)(1-w)
=(1-x)Z .... (1-x)(1-z)w+v(1-x)(1-Z)(1-w)
avec XZI.<'=O.
x(1-z)(1-w)=0.
<98:,
Les
relations
indépendantes
ainsi
obi_enues
sont
les mêmes
que
celles
qui
avaient
été déduites
précédemment.
comme
ce
de\\'ait
être
évidemment
le
cas.
puisque
toutes
les
relations.
quelles
qu'elles
soient.
qui
sont
données
indé-
pendamment
de
l'existence
d'Une
classe
d'objets
y.
sont
aussi
données
indépendamment
de
l'existence
de
la
classe
contraire
1-y.
La solution directe qui
découle de
la premié-
re
équation
est
la
suivante:
Les
personnes
irrationnelles
comprennent
tous
les
êtres
irresponsables
qui.
soit
sont
libres d'agir.
soit
ont
volontairement sacrifié
leur
liberté
et
ne
sont
pas
1 i bres
d' a9 i r;
pl us
un
restant
i ndétermi né
d'êtres
irresponsables
qui
n'ont
pas
sacrifié
leur
liberté
et ne sont pas libres d'agir.
18-
Les
propositions analysées
dans
ce
chapitre
appar-
tenaient
toutes au genre dit
des définitions.
Je n'ai
exami-
né aucun exemple où
le second terme ou prêdicat était parti-
cu 1 i er
et
ava i t
pour
type
généra 1
Y=vX,
Y et
X étant
des
fonctions
des
sy'mboles
logiques
X,Y,Z,
cte, .. et
v
un
s\\'mbo-
le
de
classe
indéfinie.
L'analyse
de
propositions
de
ce
genre
est
grandement
facilitée
lorsque
l'on procède a l'éli-
mination
du
symbole
v
(bien
que
cette
étape
ne
soit
pas
nécessaire);
cette
procédure
repose
sur
la
méthode qui
sera
exposée
dans
le
prochain
chapitre.
Je
remets
également
a
plus
tard.
l'examen
d'un
autre
problème
important.
qu'il
est
nécessaire d'aborder pour
complèter
la
théorie des pro-
positions
uniques.
mais
dont
l'analyse
relève
en
fait
de
1a
méthode
de
réduct i on
des
s~'stèmes de
proposi ti ons.
qu i
sera développée dans une section ultérieure de cet ouvrage.
" ' - - - ' -
CHAPITRE 7 -L'ELIMINATION.
-99
I-Dans
les
exemples
examinés
lors
du
chapitre
pré-
cédent,
tous
les
éléments
de
la
prémisse
originelle
figu-
raient
à
nouveau
dans
la
conclusion,
simplement
dans
un
ordre
et
une
relation
différents.
Mais
ce
qui
arrive
plus
souvent
dans
le
raisonnement
ordinaire,
surtout
lorsque
l'on
a
affaire
à
plus
d'une
prémisse,
c'est
que
l'on
ne
veuille pas voir apparaître certains éléments dans
la conclu-
sion.
L'on
peut
considérer
que
ces
éléments,
ou,
comme
i l s
sont
communéments
appelés,
1es
"termes
mo)-'ens",
ne
sont
in trodu i ts
dans
1es
proposi t i ons
or i g i ne l les
qu' en
rai son
de
la
relation
qu'ils
permettent
d'établir
entre
les autres
éléments
dont
on
veut
qu'ils
soient
seuls
à
figurer
dans
l'expression de la conclusion.
2-En
ce
qui
concerne
ces
éléments
intermédiaires,
ou
termes
moy-ens,
des
concept i ons
erronées
préva 1 en t .
C'est
une
idée
courante,
à
laquelle
cependant
les
exemples
du
précédent
chapi tre
apportent
un
dément i ,
qU.:1!ne
inférence
consiste
précisément
en
l'élimination
de
ces
termes
et
que
le
modèle
élémentaire
de
cette
procèdure
se
manifeste
dans
l'élimination
d'un
terme
moyen
de
deux prémisses,
pour
don-
ner
une
conc 1usi on
unique
où
ce
terme
ne
figure
pas.
C'est
pourquoi
l'on
tient
communément
le ~'llogisme pour
le
fonde-
ment
sinon
le
modèle
universel
de
toute
inférence,
laquelle
peut
donc,
qu'elle
qu'en
soit
la
complexité
de
forme
ou
de
structure,
se
ramener
à
une
série
des
syllogismes.
L'on
examinera
dans
un
prochain
chapitre
la
justesse
de
ce
point
de
vue.
Pour
l'instant,
Je
voudrais
attirer
l'attention
sur
un
po 1nt
important,
qu 1
n'a
pourt ant
pas
été
sou ligné
jusqu'ici:
il
s'agit,
sur
la
question
de
l'élimination,
de
la
di fférence
entre
le
SY'stèrne
logique,
lorsqu' i 1
est
traduit en symboles,
et celui de
l'algèbre ordinaire.
Dans
le
système
algébrique,
nous
pouvons
éliminer
un
symbole
de
deux
équations,
deux
symboles
de
trois
équations
et,
de man i ère
généra 1e,
n -1
symbo 1 es de
n
équati ons.
Il
ex i ste
ainsi
une
relation définie entre
le nombre d'équations
indé-
pendantes
données
< 100)
et
1 e
nombre
de
symbo 1es
quant i ta-
tifs qu'il
est
possible d'en
éliminer.
Mais
il èn va autre-
ment du système
logique.
Il
n'y existe aucune relation défi-
nie
entre
le
nombre
des
équations
données,
représentant
les
propositions
ou
prémisses,
et
le
nombre
de
symboles
logiques
que
l'on
peut
éliminer.
D'une
équation
unique,
l'on
peut
éliminer
un
nombre
indéfini
de
symboles
de
ce
genre.
D'autre
part,
d'un
nombre
indéfini
d'équations,
on
peut
n'éliminer
qu'un
symbole
de
classe.
Nous
pouvons
affirmer
que
dans
ce
système
particulier,
le
problème
de
l'élimination
peut
se résoudre dans tous les cas possibles.
C'est
là une consé-
quence
de
cette
remarquable
loi
de
dualité
à
laquelle
sont
soumis
les
symboles
logiques.
AUX
équations
traduisant
les
prémisses
données,
vient
s'ajouter
une
autre
équation
ou ~
système
d'équations
qui
dérivent
des
lois
fondamentales
de
l'esprit
mème
et
qui
donnent
les
moyens
nécessaires
à
la
solution
du
problème
proposé.
De
toutes
les conséquences
découlant
de
la
loi
de
dualité,
c'est
peut-ètre
celle
qui
mérite le plus notre attention.
3-
De
méme
Qu'en
algèbre
il
arrive
souvent
que
l'éli-
mination de
s~nboles d'un système donné d'équations conduise
à
une pure
identité de
la forme 0=0,
où nulle relation
indé-
pendante
n'existe
entre
les
autres
symboles,
il
peut
se
présenter,
dans
le
système
logique,
un
résultat
équivalent,
s'interprétant
de
la
même
manière.
Pareille
circonstance
n'en lève
rien
à
l a
général i té
du
pr i ne i pe
que
nous
venons
d'établir.
La
méthode
que
nous
allons
considérer
a
pour
but
d' él iminer
un
nombre
quelconque
de
s~lmbo1 es
dans
un
nombre quelconque d'équations logiques,
et de faire ap-
paraître
dans
le
résultat,
les
relations
effectives
qui
demeurent.
Or.
il
peut
arr i ver
qu' i 1
ne
subsi ste
pas
de
telles
relations.
En
ce
cas,
la
val iditè
de
la méthode
est
prouvée
par
ce
qu' e Il e
nous
condu i t
à
une
pure
propos i t i on
identique.
4-
La
notation
employée
dans
la
Proposition
qui
va
su ivre
est
1a
même
que
ce 1 le
du
précédent
chap i t re.
Par
f(x),
on
entend
une
expression quélconque
contenant
le
sym-
bole
logique
x.
avec
ou
sans
d'autres
symboles.
Par
f<l)
on entend
la valeur que prend
f(x)
lorsque
l'on y
substitue
1
à
x;
par
f(O)
la
valeur qu'elle prend
lorsqu'on substitue
o à x.
<101)
PROPOSITION I.
5-Si
f(x)=O
est
une
équation
logique
quelconque
conte-
nant
le
symbole de
classe x.
avec
ou sans d'autres symboles
de classe, alors l'équation
f(})f(O)
=
0
) L1
~.Q_:..i'tu t r e ~_ te rm e s......L-..l·_~)..Li..llIina t.i9lL....P ~-..-1<_ daD_~__un ~équa t i on
A'
donnée-9.!lelconque
f(x)7sera
obtenue en substituant
successi-
obtenues.
De
même,
le
résultat
final
de
l'élimination
d'un
svmbole
de
classe
quelconguep<,y,
etc . . .
dans
une
équation
quelcon-
J~remi er
membre
de
l ' équat i on
en
const i tuants
formés .. par
les svmbol~s qui
sont donnés,
en multipliant tQus les coeffL=
à
0,
Le développement
du
premier
membre de
l'équation
f(x)=O
donne
(V. 10),
f<l)x
+
f(O)(l-x)
= 0;
ou (f(l)-f(O)}x +
f(O)
= O.
(1)
donc
x=f(O)/(f(O)-f(l»);
et
i-x =-(f(l)/(f(O)-f(l»)}.
En
remplaçant
x
et
1-x
par
ces
expressions
dans
l'équation
fondamentale
x(l-x)=O
on obtient
-(f(0)f(1)/(f(O)-f(1»)2}=0
ou
f(1)f(O)
= 0,
(2)
qui
est
la forme cherchée.
6-L'on
a
vu,
par
cette
démarche.
que
l'élimination
s'effectue
en
fait
entre
l'équation donnée
f(x)=O
et
l'équa-
t ion
x ( 1 - x ) '" 0 ,
qui
est
v rai e
11 n j v (.:' r sel l e in e n t
et
qui
ex t:' rifT! e
l a I 0 i
fondamenta le
des
s:vmbo 1 es
109 i ques _~[L tan_~lle log i -
ques.
Il
n'est
donc
pas
besoin
d'avoir
plus
d'une
<102>
prémisse
ou
équation
pour
rendre
possible
l'élimination
d'un terme,
puisque cette loi
nécessaire de la pensée rempla-
ce
vi rt ue Il ement
l'autre
pl-ém i sse
ou
équat i on.
Et
quo i que
l'on
puisse
dérnoiltrer
cette
conclusion
de
diverses
autres
manières,
le
mème
élément,
fourni
par
l'esprit
lui-méme,
demeurera
toujours
virtuellement
présent.
C'est
ainsi
que
nous pourrions procéder de la manière suivante:
En multipliant
l'équation (1)
par x,
nous avons
f ( l ) x
= 0;
(3)
utilisons
les méthodes
de
l'algèbre
ordinaire
pour
éliminer
x de cette équation et de l'équation (1).
Lorsque
l'on a deux équations algébriques de la forme
ax ..
b
=
0,
a'x .... b'
= 0,
l'on
sait
parfaitement
que
le
résultat
de
l'élimination
de
x est
ab'
- a'b = O.
(4)
En
comparant
le
système
des
deux
équat ions
ci-dessus
avec.
respectivement,
les équations (1)
et
(3),
l'on trouve que
a = f(1)-f(O),
b
= f(O)
a'=f(})
b' =0,
des
va leurs qu i
donnent,
lorsqu' e Il es
sont
subst i tuées
dans
l • équa t i on (4):
f(1)f(O)=O,
c amme
j:,r éc{~dE-mment.
Dans
cet t e
méthcJde
de
(jE'mons t rat i on,
l'équation
fondamentale
x<1-x)=O
apparaît
dans
la
déduction
de
(3)
à partir de
(1).
J'ajouterai
encore
une
autre
forme
de
démonstration,
de
caractère
logique.
qui
peut
éclairer
davantage
la
démons-
tration de cet
important théorème.
~ous avons,
comme précédemment,
f(l)x
+
f(O)(l-x)
= o.
En
mu l tipI i ant
cet te
équat ion.
d'abord
par
x,
ensu i te
par
1-x.
l'on obtient:
f(l)X
= 0,
f(O)(l-x)
=0.
La
résolution
et
le
développement
de
ces
équations
donnent
<103>
f(l)=
a/x = %
(l-x)
par développement
f(O)=O/II-X)
= %
X.
L' i nterprétati on
directe
de
ces
équa t i ons
est
l a
su i vante:
lO)Aucun
individu
élément
de
]a
classe
représentée
par
f ( l )
n'est un x.
2°)
Tous
les
individus
éléments
de
la
classe
représentée
par
f(O)
sont des x's.
Par
conséquent.
conformément
à
la
logique
ordinaire.
i l
n 'y
a
pa s
d' i nd i vi dus
qui
soient
à
la
fois
dans
la
classe
f ( l )
et
dans
la
classe
f(O);
autrement
dit.
la
classe
f(l)f(O)
ne contient aucun
individu.
Dès lors.
f(l)f(O)
= o.
(5)
Ou
alors.
i l
suffirait
de
multiplier
l'une
par
l'autre
les
deux
équations
développées
pour
voir
le
résultat
en
décou-
ler
immédiatement.
8- Le
théorème
(5)
nous donne
]a Règle suivante:
POUR ELIMINER UN SYMBOLE QUELCONOUE D'UNE EQUATION nONNEE.
RE Ci LE. - A\\~C! DJ;. __Lé1111 e r:t~
J .Q.J!~_-l_~~.
L~J rrif~~
(:LE?
L_'_~"ql-J2..tLcu.L.L
f!(jL_1.LêJl-'iR0S i t i on~~l_!l~ce_~s_'ê..LLg--,---.9_?n~_È_J-lL~l]ligL_ m.fJP~QFe.
donner
successi vemen t
au
symbo 1 e
1 es
va 1 eurs
1
et
O.
pu i s
mûl tipI ier
l 'u~ar
l'autre
les
é!l1L~tions ainsi
obtenues.
L'on a donc prouvé
la première partie de
la Proposition.
9-Considérons maintenant
l'équation générale
f(x,y)=O;
le
premier
membre
représente
une· fonction
quelconque
de
x,y
et
d'autres symboles.
Selon
la démonstration précédente,
le résultat
de
l'élimination de y dans cette équation sera
f(X.l )f(x,O)=O;
car
telle
est
la
forme
à
laquelle
nous
sommes
co ,nduits
] or sque
nous
subst i tuons
à
~',
dans
l ' équat i on
àonn0e,
à' a-
bord
1,
ensuite
0,
et
que
nous multiplions
l'un
par
l'autre
les résultats ainsi
obtenus.
De
même,
si
dans
ce
résultat
nous
substituons
à
x
d'a-
rJord
1,
ensuite
0,
et
que
nous miJltiplions
l'un par
l'autre
les résultats obtenus,
nous trouvons
f(1,1)f(1,O)f(O,1)f(0,0)
= 0;
qui
est
le résultat
final
de
l'élimination.
<104>
Or,
les
quatre
facteurs
du
premier
membre
de
cette
équation
sont
les
quatre
coefficients
du
développe-
ment
tota 1 de
f (x, y),
1 e prem i er membre de
l ' équati on donnée
au
départ;
dés
1 or s,
l a
seconde
part i e
de
1a
Propos i t i on
est évidente.
EXEMPLES.
10-
EX.l.
Soit
donnée
la
proposition
"Tous
les
hommes
sont nlortE:,ls",
pt
sa
tr-aduction symbolique par
l'('quation
y~\\'x
où
y
représente
"hommes"
et
x "mortels";
on demande d'élimi-
ner
le
s~rmbole de
classe
indéfinie
v
et
d'interpréter
le
résultat.
En
transposant
tous
l es
termes
dans
le
premi er
membre.
on
obtient
y
-
vx
~
o.
Lorsque v
= 1.
l'équation devient
y - x
= 0;
et
lorsque \\·~O.
elle devient
~'=O .
La
multiplication,
l'une
par
l'autre
de
ces
deux
équations
donne
y-yx = 0
ou
y ( 1 - x)
~
0,
2
et
l 'on note que y
=y.
L'équation
ci-dessus
est
le
résultat
de
l'élimination
que
l'on
cherche.
et
son
interprétation
est
la
suivâ~e:
les
hommes
qui
ne
sont
pas
mortels
n'existent~. ce
qui
est une conclusion évidente.
Si,
dans
l'équation
que
nous
venons
d'obtenir.
nous
cherchons une description des êtres qui
ne
sont
pas mortels.
nous avons
x
= y/y
donc 1-x
O/y.
D'où
nous
tirons.
par
développement.
1-X
0/0
(I-y>.
dont
l'interprétation
donne:
Ceu~--9Q_i_~Q~ sont_~s mortels
ne
ce
qtl' ~n
logique
ordinaire,
on
appelle
cOTJ\\'ersic,n
par
contr3pcsitic,n
x
ou conversion négative.
EX.2-
Soit
la
proposition
"Nul
homme
n'est
parfait",
que traduit
l'équation
y
= vU-x>.
où
y
représente
"hommes"
et
x
"êtres
parfai ts";
on
,jem3flde
d'éliminer
v
et
de
déduire
du
résultat
obtenu
une
descrip-
t i on
et
des
ëtres
parfa i t s.
et
des
êtres
i mparfa i ts.
Nous
avons
y-v(1-X)=0.
D'où,
selon
la rêgle de
l 'él imination,
(y-(1-X)}
•
y
0
ou
Y-Y(1-X>
= o.
ou
~;x
= 0;
résultat
qu'interprète
la
proposition
les
hommes
parfaits
n'existent~. A partir de cette équation, nous obtenons:
x
= O/y = %
(1-Y)
par développement;
d'où,
par
interprétation:
Aucun
être
..l2..illJait
n'est
homme.
De même.
1-x = 1- O/y = y/y = Y+O/O
(1-Y).
dont
l ' i nterprétat i on
donne:
les
ëtres
i mparfa i ts
sont
tous
les
hommes
plus
un
restant
indéterminé
d'êtres
qui
ne
sont
pas des hommes.
11-
En
génêra l .
1a
démarche
1 a
pl us
commode
lorsque
l'on
traite
des
propositions
sera
d'éliminer
d'abord.
dans
les équations qui
leur correspondent,
le symbole de classe
"'cf.
la
Logic
de
Whately.II.
ii,§!.I.
indéfinie
v
toutes
les
fois
qu'il
appara1t.
Cela
ne
fera
que modifier
leur forme sans affecter
leur signification.
Appl i quons
cet te
procédure
à
l'un
des
exempl es
du
chap. 1 V.
Pour
1a
proposi t ion
"Aucun
homme
n' est
dans
une
si t uat i on
élevée
sans
étre
l'objet
de
regards
envi eux",
nous
av ions
trouvé
l'expression
y
=
V(1-XZ),
et
pour
1 a
proposi t i on
équ i va 1 ente
"1 es
hommes
qui
sont
dans
une
situation
élevée
sont
l'objet
de
regards envieux",
l'expression
yx = v ( ] - Z) ;
<106
et
nous
av i ons
remarqué
que
ces
équat ions,
où
v
est
un
symbole
de
classe
indéfinie,
étaient
elles-mémes équiva-
lentes.
Pour
le
prouver,
il
suffit
d'éliminer
\\' dans chacu-
ne des équations.
La premiére s'écrit
y
-
v(1-xZ)
= 0;
en faisant d'abord \\/=1 puis \\/=0,
et en multipliant
les résul-
tats,
nous obtenons
(Y-1+XZ)Y
= 0
.--.-
ou
yxz = o.
La seconde équation donne,
par transposition,
yx -
v(1-z)
0;
d'où
(YX-1+Z)Yx
0,
ou
yxz =
0
comme
précédemment.
Le
1ecteur
trouvera
fac il ement
l' i nter-
prètation de ce
résultat.
EX.3-
Reprenons,
pour
lui
appliquer
la méthode générale
exposée dans ce
çhapitre,
la définition de
la
richesse don-
née
par
M.
Senior:
"La
r'ictJesse
consiste
en
d(os
ctj()~es sus-
ceptibles
d'ècllange,
limitées
en
qUélntité,
et
'lU]
pro,iUlsent
le
plaisir
ou
préviennent
la
douleur".
NClUS
allons
considé-
rer
que
cet te
déf i nit i on,
se Ion
une
remarque
que
nous
a\\'ons
déjé
énoncée,
comprend
toutes
les
choses
possédant
l'une
et
l'autre
des propriétés exprimées dans
sa
dernière partie;
cela
étant
admis,
nous
avons,
pour
la
traduire,
l'équation
suivante:
w = st{pr·p(l-r).r<l-p»),
ou
w=
st{p+r(l-p»),
où
w représente
la richesse
s
les choses
limitées en quantité
t
les choses susceptibles d'échange
P
les choses qui
produisent
le plaisir
r
les
choses
qui
préviennent
la
douleur.
Dans
cette
équation,
nous
pouvons
éliminer
tout
s~:mbole
dont
nous
ne \\'oulons
pas tenir
compte,
et
exprimer
le
résul-
tat,
obtenu
par
résolution
de
l'équation
et
développement.
en
di sposant
comme
nous
voudrons,
l'ordre
du
sujet
et
du
prédicat.
Demandons-nous
tout
d'abord
ce
que
sera i t
l ' expressi on
de w,
la richesse,
(107)
si
l'élément
r
qui
dénote
la préven-
tion
de
la
douleur,
était
éliminé.
En
transposant
dans
le
premier membre les termes de
l'équation,
nous obtenons:
w -
st(p+r-rp)
= O.
En
faisant
r=l,
nous
obtenons,
pour
le
premier
membre,
w-st;
et
en
faisant
r=O,
i l
devient
w-stp;
par
conséquent,
nous avons,
d'après la Règle,
( 1,.,' - st) (
' - st P )
=
0,
( 7 )
Cl u
1,.,' - 1,.,' s t P -
' st· st p
= 0;
(8 )
d'où l'on tire
w=stp/(st+stp-l);
le développement du second membre de cette équation donne
w = stp+ 0/0 st(l-p).
(9)
Nous
obtenons
donc
la
conclusion
suivante:
La
richesse
con-
~L~t_~~?IL__l l2JJ1.e s ,__L~_~~,tll 0 sg~
LjmU.~_E:'.~_~IL..Q}EI n tLL~ L~ S 11 S i'_~ t i -
bles
d'échange
et
qui Jlroduisent
le
plaisir;
ainsi
qu'un
restant
i ndéterm i né
de
choses
1 i mitées
en
quant i té.
suscep-
t i bl es
d' échange
et
qu i
ne
produ i sent
pas
1e
pl a i si r.
C'est
suffisamment
clair.
Remarquons
qu' i l
n'est
pas
nécessa ire
d'effectuer
1a
multiplication
indiquée
en
(7)
pour
ramener
cette
équation
à
la
forme
(8)
lorsqu'on
veut
déterminer
l'expression
de
w en
fonction
des
autres
symboles.
La
procèdure
de
dévelop-
pement
peut
permet tre,
dans
tous
1es
cas.
de
se
passer
de
la
multiplication.
Ainsi,
en
développant
(7)
en
fonction
de w,
nous
trouvons
(l-st)(l-stp) ....'+stp(l-w)
=/0,
d'où w=
stp/(stp-(l-st)(l-stp»);
et
le
développement
de
cette
équation
donnera,
comme
p~écé
demment,
w=stp+O/O st<l-P).
13-
Supposons
ensuite
que
nous
ayons
à
trouver
une
description
des choses
limitées en quantité
en
tant
qu'elles
dépendent
de
1eur
rapport
à
la
richesse,
à
la
possibilité
d • ët re
échangées
et
à
1a
tendance
à
produire
le
plaisir,
en
1a i ssan t
de
côté
toute
référence
à
1a
prévent i on
de
1a
~so
douleur.
-108
De
l'équation
(8),
ft::-sultant
de
l'élimination
de r
dans
l'équation originelle,
nous tir"ons
~-S(wt~wtp-tp)=O;
d'où
s=w/(wt·~tp-tp)
W(1-t)P+l/0
1,>,' ( 1 - t ) ( 1 - P ) .. 0
(l-w)tp+
0;' 0 ( 1 - ,",,') t ( 1 - P ) .. 0 .' 0
(1 - ,",,') ( 1 - t ) p .. 0 / 0
(1 - v.' ) ( 1 - t ) ( 1 - P ) .
Nous
donnerons
d'abord
l'interprétation
directe
de
cette
solution,
terme
par
terme;
nous
ferons
ensuite
quelques
remarques
générales
suggérées
par
elle;
nous
montrerons
enfin
comment
l'on pourrait
quelque
peu abréger
l'expression
de cette solution.
En
premier
lieu
donc,
l'interprétation
directe
en
est:
Les
clloses
limitées
en
quantité
comportent
loutE>__
ric[Je~.'?g
susceptible
d'échange
et
qui
produit
le
plaisir
toute
r i chesse~u~_cept i bl e
d' échaI"lQ~__q1LL--ll~odJ-li t~_l_e__pLqL
sir
-
une guafltité
indéterminée de
c~i n'est pas ricllesse
mais
qui
soit
est
susceptible
d'écflange
sans ~roduire
le
plaisir,
soit
n'est
pas
susceptible
d'échange
et
produit
le
plaisir.
soit
n'est
ni
susceptible
d'échange
ni
produi-
sant le plaisir.
A
cela
les
termes
dont
le
coefficient
est
1/0
nous
permet tent
d' aj outer
1 es
re 1 at ions
indépendantes
sui vantes:
1 0 )La
richesse
qu i n ' est
pas
susc ept i bl e
d'échange
et
qu i
produit
le plaisir n'existe pas.
2 0 >La
richesse
qu i n ' est
pas
suscept i bl e
d' éctlange
et
qu i
ne produit pas le plaisir n'existe pas.
14-
Cette
solution
suggére
naturellement,
me
semble-
AS1
t- il,
] es r-E='marquE's suivantes:
Tout
d'abord,
l'on
pourr<:3i t
di re
que
dans
l ' expressi on
des
"choses
limitées
en
quantité"
trouvée
ci-dessus,
le
terme
.. tout e
ri ctlesse
suscept i bl e
d'échange", etc..
est
en
part i e
redondante,
puisque
toute
richesse
est
(comme
l'indique
la
proposition
originelle,
et
comme
l'établissent
directe-
ment
les
IetéltioD_~__iDQ~j:!end_stD~es) nécessairement
suscepti-
ble d'échange,
Vo ici
que Ile
sera i t
ma
réponse:
bi en
que
nous
n' eussi ons
pas,
dans
le
discours
ordinaire,
jugé
nécessaire
<.109>
d'a-
jouter
à
"richesse"
l'épithète
"susceptible
d'échange",
si
quelqu'autre
partie
de
notre
raisonnement
nous
avait
amené à
énoncer cette conclusion qu'il
n'est
pas de
richesse
qui
ne
soit
susceptible
d'échange,
il
n'en
reste
pas
moins que
la
perfection de
cette méthode
se
révèle
en
ceci:
en tous les cas,
elle définit
totalement
les objets représen-
tés
par
chaque
terme
de
] a
conc l usi on,
en
établ issant
la
relation
qu'ils
entretiennent
à
chaque
qualité
ou
caractère
distinctif
que--iTous
aurons
choisi
de
faire
intervenir.
Cela
est
nécessaire
pour
une
véritable
sèparation
et
une
vérita-
ble
indépendance des éléments de
la solution.
et pour préve-
nir
effectivement
toute
redondance.
Supposons
que
le
couple
de
termes que
nous venons d'évoquer
n'ait
pas
fait
interve-
nir
les mots
"susceptible d'échange",
et
qu'il
ait
été
uni-
fié
dans
l'expression
"Toute
richesse":
nous
aurions
alors
pu
logiquement
ramener
le
terme
unique
"toute
richesse"
aux
deux
termes
"tau te
richesse
suscept i bl e
d'échange"
et
.. toute
richesse
qu i n ' est
pas
suscept i bl e
d'échange".
Ma i s
"
les
relations
indépendantes montrent
que
le
second
s'élimi-
ne.
Il
n'entr'e
donc
pas
dans
la
,jes,'ription
cLer,:-L{e
et
il
est,
par
consèquént,
re,jondant.
L'outre
terme
s' decor-de
a la conclusion effectivément obtenue.
L'on
pourrait
appeler
;;.~LL~tion.~uIe~ celles
où
l'on
ne
saura i t.
par
des
div i si ons
l ogi ques.
produ ire
des
termes
superflus
ou
redondants.
Telles
sont
toutes
les
solutions
obtenues
par
la
mét hode
de
déve 1 oppernen t
et
d' é 1 i mi nat i on
que
nous
avons
expl iquée.
1 l
faut
noter
que
si.
dans
les
cas
où
cela
était
possible
dans
le
présent
système.
l'on
avait
adopté
la
méthode
d'élimination
de
l'algèbre
ordinai-
re,
l' on
n'aurai t
guère
pu
s'assuré,
de
1a
puretè
des
sol u-
ti ons
obtenues.
Le
manque
de
généra lit é
n'en
eû t
pas
èté
le seul
défaut.
15-
On
remarquera.
en
second
lieu,
que
la
conclusion
contient
deux
termes
dont
on aurait
plus
commodément
expri-
mé
la
signification
complète
par
un
terme
unique.
C'est
ainsi
qu'au
lieu
de
"toute
richesse
qui
produit
le
plaisir
et
qui
est
susceptible
d'échange"
et
"toute
riCflesse
qui
ne
produit
pas
le
plaisir
et
qui
est
susceptible
d'échan-
ge".
l'on
pourrait
dire.
simplement. "toute
richesse
suscep-
tible
d'échange".
Cette
remarque
est
tout
ê
fait
juste.
Mais
il
faut
noter
que
cflaque
fois
que
de
telles
simplifi-
cations sont possibles.
la forme mème de
l'équation ê
inter-
préter
l es
suggère
i mméd i atement;
et
que
quand
cet te
équa-
tion est réduite ê
sa
forme
la plus simple.
l'interprétation
à
laquelle
elle
conduit
se
trouve
également
sous
sa
forme
A$"3
la
plus
simple . .~insi,
dans
la
solution
originE-Ile,
les
termes wtp et wt(l-p),
dont
le coefficient est
1 'unité,
(110~
donnent,
lorsqu'on
les
additionne,
~vt;
les
termes
wCl-t)p
et
wCl-t)(l-p),
dont
le
coefficient
est
1/0.
don-
nent
W<l-t);
enfin
les
termes
(l-w)(I-t)p
et
(l-w)(I-t)
<1-p),
dont
le
coefficient
est
0/0.
donnent
(I-~.n(l-t).
La solution complète devient donc
s=wt+%
(1-w)(1-t)+0/0(1-w)t(1-P),
avec la relation indépendante
w(l-t)
= 0 ou w=%
t.
En voici
alors l'interprétation:
1°)Les
choses
limitées
en
quantité
comportent
toute
riches-
se
susceptible
d'échange
et
un
restant
indéterminé
de
cho-
ses qu i
ne
sont
ni
richesse
Tl i
suscept j b 1~:?__çL~.J':~char~_lUn~i
que
d'objets
susceptibles
d'échange
qui
ne
sont
~
des
richesses et ne prodl)isent pa~_~~_--.Plaisir.
2 C )Toute richesse est susceptible d·échan~.
C'est
là
la
forme
la
plus
simple
que
puissent
prendre
la
~onclusion générale et la condition qui
l'accompagne.
16-
Lorsque
l'on
veut
éliminer,
dans
une
équation don-
née,
deux
symbo 1 es
ou
da'vantage,
l'on
peut
sa i t
employer
(6)
Prop.I,
soit
les
éliminer
l'un
après
l'autre,
l'ordre
dans lequel
on procède étant indifférent.
De
l'équation
w= st(p+r-pr),
nous avons éliminé r
pour trouver
le résultat
w-wst-wstp+stp =0.
Supposons que
l'on veuille éliminer r
et
t.
Alors,
en consi-
dérant
comme
une
premi ère
étape
l ' équat i on
que
l ' on
vi ent
d'écrire.
i l
reste
à
en
éliminer
t.
Or.
lorsque
l'on
fait
t~l,
le premier mE-mbre de cette èquatlOJl de\\'ient
....:-I,..'S-I,..·sp-sP.
et
quand
t = O.
le méme
membre
dev i ent
w.
Nous avons
par
con-
séquent
w(w-ws-wsp+sp)=0
ou
,",,'-ws=O
pour résultat de
l'élimination.
<111>Pour déterminer w dans ce résultat nous écrivons
w=0/(1-s)
= %
s.
c ' est - à - d ire
.. T o-'L~~_-L.Lçhe S~f:'~~~.L~JTI (~~~__~.D~.?11..u--.! é".
Pu i s -
que
p
ne
figure
pas
dans
l'équation,
i l
est
évident
que
celle
que
nous
venons
d'écrire
est
vraie
indépendamment
de
toute
relation
entre
les
éléments
,je
la
conclusion
et
la qualité de "produire
le plaisir",
Reprenons
l ' équa ti on
de
départ
et
che r chans
à
é l i miner
s
et
t.
Nous a\\ons
~=st(p-r-pr).
Plut6t
que
d'éliminer
séparément
s
et
t~_,_conformément à
la
Règle.
i l
suffira
de
traiter
st
comme
un
symbole
unique.
en
remarquant
qu'il
satisfait
à
la
loi
fondamentale
des
symboles avec
l'équation
st(1-st)=0.
Dès lors.
en écrivant
l'équation sous
la forme
w-st(p"r-pr)=O.
en
donnant
successi vement
à
st
l es
val eurs
1
et
0
et
en
prenant
le produit de ces résultats.
nous obtenons
(w-p-r+pr)w = 0
ASS
qui
est
le résultat
cherché.
Supposons,
comme
illustration
particulière,
que
l'on
veu i I l e
dédu ire
une
express i on
des
"choses
qu i
produ i sent
le
plaisir"(p)
en
fonction
de
"la
richesse"
(w)
et
"des
choses qui
préviennent
la douleur"
(r).
L'équation donne pour solution,
P=(w(1-r»)/(w(1-r»)
0/0 wr+w(l-r)+O/O
(1-w)r+0/0 (1-w)(1-r)
w(1-r)+O/0 wr+O/O
(1-w).
I l
en
découle
la
conc]usion:~es_ct10se~_glJj
__J2L9dui_sen_~
~isir
<112>
sont
toute
richesse
gui
ne
prévient
pas
la
dou 1 eur ~.l.m_~--p-ar!
i ndé_t~.rm i née
des
r i rhesses
qu i
pré\\' i pn-
ne n t
1 a
do u 1 eu r
et
li ne
pa r t i n ct é ter min é e
de
ce
q li i n ' est
QQS richesse.
De la méme
équation,
nous tirons
1-p = 1-
(w(1-r»)/(w<1-r»)
= 0/(w(1-r»),
ce qui
donne,
par développement,
w(1-P)=0/O wr+O/O
(1-w)r+0/0
(1-w)(1-r)
=0/0 wr+O/O
(l-w).
C'est-à-dire
les
choses
qui
ne
produisent
pas
le
plaisir
sont
soit
une
richesse
qui
prévient
la
douleur
soit
ce
qui
n'est pas une richesse.
L'examen
de
n' importe
que 1
cas
semb 1 ab 1 e
sera i t
tout
aussi
facile.
17-
Dans
l'exemple
d'élimination
qui
a
précédé,
nous
avions
éliminé
le
symbole
composé
st,
dans
l'équation
qui
nous
éta i t
donnée,
en
1 e
t ra i tant
comme
un
symbo 1 e
un i que.
A5b
La
méme
méthode
s'applique
à
toute
combinaison
de
symboles
qui
satisfait à
la
loi
fODt13mentale
Ijes
s~'rnboles indi\\'idiu-
e]s.
Ainsi
l'expression
p .. r-pr,
multipliée
par
elle-même,
restera
i dent i que;
de
sorte
qu'en
représentant
p. r- pr
par
un
symbole
unique,y
par
exemple,
nous
verrons
satisfaite
la loi
fondamentale:
l'équation
2
y=y
ou y(1-~!)=0
est
vérifiée.
En
effet,
la règle d'élimination des
s~-mboles
repose
sur
l' hypothèse
que
tout
symbol e
i ndi viduel
obéi t
à
cette
loi;
par
conséquent,
l'élimination
de
n'importe
que Il e
fonc t i on
ou
combi na i son
de
ces
symbo l es,
dans
une
équation.
peut
s'effectuer
en
une
seule
opèr"ation
lorsque
la fonction satisfait à
cette loi.
Bi en
que
l es
formes
d' i nterprétat i on
adoptées
en
ce
chapitre
et
en
celui
qui
l'a
précédé
montrent.
mieux
peut-
être
que
toute
autre.
la
signification directe des
s~-mboles
1
et
0/0.
nous
pourrions
user.
avec
autant
de
vérité
et
d'adéquation.
de modes d'expression qui
s'accordent mieux
au
langage
ordinaire.
Par exemple.
l'on peut ainsi
interpré-
ter
l'équation
(9):
Soit
la
richesse
est
limitée
en
quanti-
té,
susceptible d'échange et elle.
produit
le plaisir,
....Jo-
soit elle est limitée <113> en quantité,
susceptible d'échan-
ge
et
elle
ne
produit
pas
le
plaisir.
Et,
inversement,
tout
ce
qui
est
limité
en~uantité,
susceptible
d'échange
-'='e-"t'---""q.."u"-'i'----"p~r~o...d""_'u~i t_~l-"e'----'=p'-'l'--'a~i .,.-s~i__'r_ __"e~.s"'-t"'_____ _'_r__'i__"co.1h~e..:=s:.=s~e .
Il
est
tau j 0 urs
possible de trouver des interprétations inverses comme celle-
là
lorsque
le
développement
final
comporte
des
termes
qui
ont pour coefficient l'unité.
18-NOTE.-L'èquation
fondamentale
fCl)fIO)"O
qui
e:x:pri-
me
le
résultat
de
l'élimination
du
symbole x
d'une
équation
quelconque f(x)=O,
traduit une proposition concernant
les
individus représentés par
la classe x,
par exemple "hommes",
ainsi,
peut-être,
que
d'autres
individus;
et
notre
objectif
est
d'établir
si
la
proposition
implique une
relation
entre
les
autres
individus,
indèpend8mment
de
ceux
qui
appartien-
nent
à
la
classe
des
hommes.
Or
l'équation
f(l)=O
traduit
ce
que
serait
la
proposition
originelle
si
les
hommes
for-
maient
la
totalité
de
l'univers,
et
l'équation
f(O)=O,
ce
qu'elle
serait
si
les
hommes
cessaient
d'exister:
par
sUit;>l'équation
f(l)f(O)=O
exprime
ce
qui
serait
également
vrai
dans l'une et
l'autre hypothèse,
en conséquence
de
la
proposition
originelle;c'est-à-dire
également
vrai.
que
les
"hommes"
soient
"toutes choses"
ou
"rien",
Le théo-
rème
expr i me
donc
cec i:
ce
9U i
est
~emenLvra_i~ ou' une
classe
donnée
d'objets' comPI'enne
la
totalité
de
l'univers
ou qu'elle disparaisse de
l'existence,
est
tout à
fait
indé-
~ndant
de
cette
classej/et
réciproquement.
Nous
avons
là
un
autre
exemple
où
l'interprétation
de
résultats
formels,
immédiatement
déduits
des
lois
mathématiques,
sé
traduit
en axiomes généraux de la philosophie.
./158
CHAPITRE 8- LA REDUCTION DES SYSTEMES DE PROPOSITIO~S.
114
1-
Lors
des
chapitres
précédents
nous
avons
éta-
bl i
la
théorie
qui
suffit
aux
objectifs
les
plus
essen-
tiels
de
la
logique-
des
propositions
primaires
uniques,
ou,
pour
être plus précis,
des propositions primaires
expri-
mées
par
une
équation
unique.
Et
sur
cette
théorie,
I10US
avons
fondé
une
méthode
adéquate.
Nous avons montré
comment
l'on
pouvait
éliminer
un
élément
quelconque
d'un
système
donné
d'équations
et
déduire
la
relation
subsistant
entre
les autres
éléments
sous
quelque
forme
que
ce
soit,
négati-
ve,
affirmative,
ou
du
type
plus
habituel
de
la
relation
entre
un
sujet
et
un
prédi cat.
I l
nous
reste
à
exami ner
l es
systèmes
de
proposi t i ons
et
à
rnenE:'r,
à
1 eur
propos,'
un
ensemble
d'analyses
de
même
nature.
Nous
devons
voir
s' i l
est
possi bl e,
dans
les
équat ions
expr i mant
un
sy'stème
de
propositions,
d'éliminer,
ad
libitum,
un
nombre
quelcon-
que
de
symboles
qui
y
figurent;
de
déduire,
en
interprétant
le
résultat,
la
totalité
des
relations
existant
entre
les
autres
symbo 1es;
et
de
déterm i ner
en
part i cu lier
l ' expres-
sion,
en fonction des autres éléments,
d'un symbole unique
quelconque
ou
d'une
combinaison
interprétable
quelconque
d'éléments,
de
manière
à
présenter
la
conclusion
sous
n'im-
porte quelle forme possible qui
serait demandée.
L'on
répondra
à
ces
quest i ons
en
montrant
qu' i l e s t
possible
de
réduire
un
système
quelconque
d'équcttions
ou
une
équat i on
que l conque
de
ce
système
à
une
équat i on
équ i -
valente
unique
à
laquelle
seront
applicables,
de
manière
immédiate.
les
méthodes
établies
cians
les
ctJélpitn's
précÉ'-
dents.
L'on
verra
ègaleml?nt
que
dans
cette
ré(juction,
i l
intervient
une
extension
importante de
la
théorie des propo-
si t i ons
un i ques,
que
nous
avi ons
dü
écarter
l or sque
nous
avons
précédemment
examiné
la
question.
Ce
fait
n'a
rien
de
bi en
spéc i al.
Pour
nombre
de
doma i nes
part i cu l i ers
de
la science,
i l
n'est guère possible,
de
l'intérieur,
d'en
a\\.'o i r
une
vue
d' ensembl e:
l es
comprendre
dans
toutes
1eurs
dimensions
<115>
demande
qu'on
les
étudie
d'un
point
de
vue
extérieur
et
qu'on
les
considère
dans
leur
relation
à
d'autres domaines proches.
L'on
présentera
en
ce
chapitre
deux
manières
différen-
tes
de
réduire
des
systèmes
d'équations
a
des
équations
uniques
équivalentes.
La
première
repose
sur
1 'usage
de
multiplicateurs
constants
arbitraires.
Cette
méthode
est
assez
simple
en
théorie,
mais
présente
l'incClB\\énient
de
camp l i quer
que 1que
peu
1es
procédures
d' é 1 i mi nati on
et
de
développer.ent
lorsqu'elles
interviennent.
Ce
fut,
cependant,
la
premi ère
méthode
de
réduct i on
découverte,
et.
en
part i e
pour
cette
raison,
en
partie
pour
sa
simplicité.
i l
m'a
sembl é
bon
de
1a
reten i r.
La
seconde
méthode
ne
fa i t
guère
i nterven i r
de
constantes
arbi t ra ires
et
e I l e
est
préféra-
ble,
sous
presque
tout
rapport,
à
la
première.
On
l'adopte-
ra
donc
général ement
dans
1a
su i te
des
ana lyses
qui
seront
menées dans cet ouvrage.
2- Examinons la première méthode.
PROPOSITION 1.
To~s~'-'-~t_ème_ct'-kquations
l ogt.9..!!~_~~ut
se
rédui re~_une
gQ~-----2rgmière équation.
D'après
la
Prop.2
du
chap.VI,
l'on
obtient
l'interpré-
tation
d'une
équation
unique
quelconque
f(x,y •... )=0
en
égalant
à
0
les
constituants
du
dÉ'\\'eloppement
du
premier
membre
dont
les
coefficients
ne
sont
pas
nuls.
Par
consè-
quent.
lorsque
nous
avons
deux
équations
f(x.y •... )=O
et
F(x,y •... )=0.
on
les
réunira
en
une
signification
unique.
contenue
dans
1 e
syst ème
de
rèsu 1tat s
obt enus
en
èga 1ant
à
0
tous
les constituants qui
figurent
dans
l'une
et
l'autre
ou
dans
l'une
ou
l'autre
de
ces
équat i ons
après
qu' e I l es
ont
été
développées
selon
la
Règle
du
cflap.VI.
Soient
les
deux équations
xy-2x
o
(1)
x - y
0;
la première donne,
par développement,
-xy-2x ( l-Y)
= 0; - - ' -
d'où xY=O.
x<l-y)=O.
(3)
<116>
La seconde équation donne.
par développement,
X(l-y)-y(l-X)=O;
d'où X(l-y)=O,
y(l-X)=O.
(4)
Les
constituants
dont
les
coefficients
ne
s'annulent
pas,
dans
l'un
et
l'autre
développements,
sont
xy,
x<l-y)
et
(l-x)y;
pris ensemble
i l s donnent
le système
xY=O,
X(l-y)=O,
(l-x)y=O;
(5)
qui
est
équi val ent
aux
deux
systèmes
produi ts
par
chacun
des
développements.
~uand
on
note
que
l'équation
X(I-y)=O
est
répétée
dans
ces
systèmes.
Tenons
nous
en
au
cas
des
systèmes
binaires
d'èquations:
il
nous
r~ste alors
;3
trou-
ver
une
équation
unique
dont
le
développ,~nJE'nt donnera
les
mémes
constituan~s.
avec
des
coefficients
non
nuls.
que
ceux
produits
par
le
développement
des
équations
originel-
les.
Si
nous représentons par
v =0
V
=0
1
•
2
ces
équat i ons,
VI
et
V2
étant
des
fonet j ons
des
s:-,:mtlo 1 es
logiques x.y.z.
etc ...• alors l'équation unique
où
c
est
une
constante
arbi tra ire
correspondra
à
ce
que
l'on cherche.
En effet.
soit At
un terme quelconque du dè\\"e-
loppement
total
de VI où t
est un constituant et A son coef-
ficient
numérique.
et
soit
Bt
le
terme
correspondant
du
développement
total
de
Vz ; alors le terme correspondant
dans le développement de (6) sera
Le
coefficient
de
t
ne
s'annule
que
si
A
et
B
s'annulent
tous
deux.
En
effet,
si
nous
supposons
que
niA
n i B
ne
s;annulent alors que nous posons,
en méme temps. que
A+cB=O
(7)
seuls les cas suivants pourront se présenter:
1°)A s'annule et B ne s'annule pas.
En ce cas cette équation
devient
cB=O.
<117>
et
signifie
que
c=O.
Mais
cela
contredit
l'hypothése
que c est une constante arbitrêire.
2°)B
s'annule
et
A
ne
s'annule
pas.
Cette
hypothèse
réduit
( 7 )
à
l'équation
AcQ,
qui
VIent contredire
l'h~'pothèse elle-même.
3 D )Ni
A ni
B ne s'annulent .. L'équation
(7)
donne alors
c=
-(A/B),
qui
est
une
valeur
définie,
contredisant
donc
1 'h~lpothèse
que c
est arbitraire.
En
cOIlséquence,
le
coeffIcient
A-cB
ne
s'annule
que
si
A
et
B
sont
tous
deux
nuls.
Dès
lors,
les mêmes
consti-
tuants
apparaîtront
dans
le
développement
de
( 6 ) ,
affectés
de
coefficients
non
nu 1 s
comme
dans
1 es
équat ions
v =0
et
1
\\' =0
lorsqu'on
les
prend
séparèment
ou
ensemtJle.
Et
l'équa-
2
t i on
V +cV =0
sera
équivalente
au
système
constitué
par
1
2
V =0 et V =0.
1
2
Un
raisonnement
analogue
fait
apparaître
que
le
systè-
me général
d'équations
\\'1=0,
V =0,
\\'3=0,
etc ...
2
peut
ètre remplacé par
l'équation unique
V +cV
+c'V + etc ... =0,
1
Z
3
où
c, c "
etc .. ,
sont
des
constantes
arbi tra i res-:- L'on
pour-
ra
traiter.
à
tout
point de vue,
l'équation ainsi
construite
comme
les
équations
logiques
ordinaires
considérées
dans
les
chapitres
précédents.
Les
constantes
arbitraires
c
'
z
etc . . . ,
ne
sont
pas
des
s~'mbo 1es
log igues.
Elles
ne
satisfont pas à
la loi
C (1-C
)=0,
C (1-C
)=0.
1
1
2
Z
Mais
leur
introduction
est
justifiée
par
le
principe
géné-
ral
établi
en
<11.15)
et
(V.6).
et
qui
a
été
illustré
dans
presque
toutes
les
analyses
qui
ont
suivi:
à
savoir
que
les
éq ua t ions
con t ena n t
ljes
s~'mt\\o l f'S
log j q u es
peu '..t::Il t
êt r e
traitées,
à
tout
point de \\'ue,
comme si
ces s:,'mboles É'taient
quantitatifs
et
soumis
à
la
loi
spécLale
X<l-X)=O,
jusqu'à
ce
que
l'étape
finale
de
la
solution
donne
à
ces
équations
une
forme
qu i
pu i sse
s' interpréter
dans
1 e
s~'stème
de
pen-
sée qui
est celui
de
la
logique.
<118'
3-
L'exemple
qui
suit
viendra
illustrer
cette
méthode.
EX.l.
On
suppose
que
l'analyse
des
propriétés
d'une
classe
parti cul ière
de
substances
a
condui taux
concl usions
générales suivantes:
1°)
chaque fois que
les propriétés A et B
se trouvent
combi-
nées,
il
se
présente
également
soit
la
propriété
C
soit
la
propr i été
D',
mais
elles
ne
se
présentent
pas
ensemble.
2°)
chaque
fois que
les propriétés B et C se trouvent
combi-
nées.
soit
les
propriétés
A
et
D
se
présentent
ensemble
avec elles,
soit elles sont toutes deux absentes.
3°)
chaque
foi s
que
les
propri étés
A et
B sont
toutes deux
absentes,
les
propriétés
C
et
D
sont
également
absentes
toutes
deux;
et,
réciproquement,
quand
les
propriétés
C
et D sont toutes deux absentes,
A et B le sont aussi.
L'on
cherche
alors
quelle
conclusion
tirer
de
ces
données
dans tous
les cas de présence de
la propriété A,
en
fonction
de
l a
présence
ou de
l'absence des propr i étés B et C,
lors-
que l'on ne s'intéresse pas à
la propriété D.
Représentons la propriété A par x;
la propriété B par y;
la propriété C par z;
]a propriété D par w.
L • on
t r-Ollvera a 1 or s
pour
les prém i sses ] es express] ons s~..mbo-
liques suivantes:
xy
= v{W(l-Z)+Z(l-W)};
YZ= V{xw+(l-X)(l-w)};
(l-X)(l-y)=(l-Z)(l-w).
En
éliminant
séparément,
dans
les
deux
premières
équations,
le symbole de classe indéfinie v,
nous obtenons:
xy{l-W(l-Z)-Z(l-W»)=O;
YZ{l-xW-(l-X)(l-w)}=O.
En remarquant que,
par développement,
l-W(l-Z)-Z(l-w)=wZ+(l-w)(l-Z),
l-xW-(l-x)(l-w)=x(l-w)+w(l-x),
<119~
et
en
remplaçant
dans
ces
expressions,
pour
plus
de
simplicité,
l-x par x,
l-y par Y ,
etc . . . .
nous déduisons des trois premières équations
Xy(wz+~i)=o;
(1)
YZ(X~+~w)=O;
(2)
xy = Wz;
(3)
Nous devons éliminer w dans ce système.
En
multipliant
la
deuxième
équation
par
c
et
la
troisième
par
c'
et
en additionnant
à
la
première
les rèsultats ainsi
obtenus,
il
vient
xy(wz+wz)+c yz(xw+xw)+c'(Xy-wZ)=O.
Lorsque
l'on
donne
à
w la
valeur
1
et,
par
conséquent,
la
valeur 0 à W,
le premier membre de cette équation devient
xyz+CXyz+c'XY.
Et
}c1rsque.
dans
ce
prE.'mier
nJEèmbre,
l'on
dClnne
à
"..
la
\\'a-
leur 0 et que ~=1, il devient
Par
conséquent.
le
résultat
de
l'él imination de w peut
s'é-
crire sous la forme
et il
nous faut déterminer x dans cette équation.
Si
nous devions procéder
comme dans
les exmples précé-
dents,
nous
aurions
à
multipl ier
l'un
par
l'autre
les
fac-
teurs
du
premi er
membre
de
cet te
équat i on;
ma i s i l
serai t
bon
de
montrer
qu'un
telle démarche
n'est absolument
pas néces-
saire.
Développons
le
premier
membre
de
(4)
en
fonction
de
x,
1 e
symbo 1 e
dont
nous vou l ons déterm i ner
l'express ion;
nous trouvons
ou
Cyz...... ~(Cyz ... c·y)(c·y-C·Z)(l-X)=O;
d'où nous tirons
x = ( ( c y Z +C 1 y ) ( C 1 y - C 1 Z ) ) / ( ( c y Z+ ;::y )(c 1 y - C ' z) - c y z) ;
lorsqu'on
développe
le
second
membre
en
fonction
de
y
et
de z,
il vient
-
2
2 -
<120> x= Oyz +0/0 yz +c'
/c'
yz +0/0 yz;
ou X=(l-y)z+O/O y(l-Z)+O/O (l-y)(l-Z)
ou
X=(1-y)z+0/0 (l-Z);
ce
QU i
s'l nterprét e
ainsi: Çhaque
fo i S
que
se
présente
1 a
propr i été
A.
soi t
C
est
présente
et
B absente.
soi t
C
est
absente.
Et,
inversement. chaque
fois
que
la
propriété
C
.est
présente
et
la
propriét~__absente.
la
propriété A est
Ces
résultats
peuvent
ëtre
obtenus
bien
plus
facile-
ment
par
la
méthode
qu'il
nous
reste
à
expliquer.
I l
est
néanmoins satisfaisant,
pour parvenir à
une mème conclusion,
de disposer
de différentes voies pouvant
se
vérifier mutuel-
lement
.
4-
Abordons la seconde méthode.
PROPOSITION II.
Si
des
équations
quelconques
V1"'O,
V~=O,
etc ...
sont
telles
que
les
développements
de
leurs premiers membres ne
comJ)or-
_. tent__9..1!~_9~~_co~TJ.stijJ,lan~s __1l~_oeliiLi eIlt_~Q~LU fs ,._Q~eut
obtenir
par
addition
de
ces
égjgLtions>
une
é9lLation
uni-
~~ui leur est équivalente.
Comme
précédemment>
soit
At
un
terme
quelconque
du
développement
de
la
fonct i on
V l '
Bt
1 e
terme
correspondant
dans
le
développement
de
Vc»
etc ... Le
terme
corres;:loT;elant
dans le développement de l'équation
v
+v -.-etc ... =0
(1)
1
2
obtenue
par
addition
des
multiples
équations
données
sera
alors
(A+B+etc ... )t.
Mais puisque
par
hypothése.
aucun des coefficients A.B,etc ..
n'est
négatif,
le
coefficient
A+B+etc ... de
l'équation
ré-
sultante
ne
s'annulera
que
si
les
coefficients
A,B,etc ...
s'annulent
tous
à
la
fois.
Par
conséquent,
le
développe-
ment
de
l'équation
(1)
présentera
les
mémes
constituants
que
les
multiples
équations
V1=O.
V =O>
etc ...
du
système
2
de
départ>
prises
ensemble;
et
donc
l'interprétation
de
l'équation
(})
ser-a
équivalente
d21>
a
la
totalitè
des
intE'rprétations des multiples (c>qllaUons dont
elle résulte.
PROPOSITION
III.
5 -
SL--.Y..1 =0,
V~ =0,
etc ..,-.
rE'présent~-l!.L._1.Ul
svstème
gue 1 -
conque
d' é9.!Lat i ons
dont
tous
l es
termes
ont
été
transposés
dans
le
premier membre,
alors
l'interprétation de
l'ens.~mblg
obtenue par addition des carrés des équations données.
Sup~osons en effet qu'une équation quelconque du systè-
me,
v =0 par exemple,
produise
par
développement
une
équa-
1
tion
où
etc. _ .
sont
les
constituants,
et
al'
etc . . .
les
coefficients
qui
leur
sont
attachés.
Le
développement
2
de
l'èquation v
=0 donnera alors une équation
1
2
2
al
t
+
a
t
+
etc . . . = 0,
l
2
2
comme on peut
le prouver,
soit en vertu de
la loi
de dévelop-
pement,
soit
par--é-lévation
au
carré
de
la
fonction
altI
+
azt
+
etc . . . en tenant compte des conditions
z
2
2
t
=t
,
t
,
t1tZ=0,
1
1
z =t2
établies dans
la Prop.3,
Chap.V.
Par conséquent,
les consti-
tuants
qui
apparaissent
dans
le
développement
de
l'équation
Z
VI
=0 sont
les mêmes que ceux qui
apparaissent dans
le déve-
loppement
de
l'équation
V =0
et
leurs
coefficients
sont
l
'
positifs.
La
même
remarque
vaut
pour
les
équations
V =0,
2
etc . . .
Donc,
par la proposition précédente,
l'équation
V 2+ v 2+ etc ... =0
l
2
admettra
une
interprétation
équÎ\\'alente
à
celle
du
S\\'st~'rne
d'équations
Y =O,
Y =O,
etc ...
1
2
Corollaire:
Toute
équation
\\'=0
dont
le
premier
membre
satisfait déjà à
la condition
2
y =y
ou
Y(1-Y)=O,<122>
n'a
pas
besoin
(car
cela
ne
changerait
rien)
d'étre
élevée
au
carré.
De
telles
équa-
tions,
en
fait,
se
développent
immédiatement
en
une
suite
de
constituants
dont
les
coefficients
sont
égaux
à
un,
chap.Y.Prop.4.
PROPOSITION IY.
6-Quand
les
équations
d'un
svstème
ont
été
réduites
~ar le procédé ci-dessus d'élévation au carré ou par tout
autre
prpcédé.
à
une
forme
telle
9!.le
tous
les
const i tuants
figurant
dans
leurs
développements
ont
des
coefficients
29.5i ti fs. toutes
les
équations .-9.1L~n
réstlLten~~~c__~LL!!1.L=
nation
de
svmboles
'présenteront
le
méme
caractère
et
pour-
ront étre additionnées aux autres éguations.
Supposons que
nous a~'ons à
éliminer
un
s~'mbo]e x
d'uné-
équation
quelconque
Y=O,
telle
qu'aucun
des
constituants
du développement
total
de son
premier membre
n'ait
de
coef-
ficient
négatif.
Ce
développement
pourra
s'écrire
sous
la
forme
V X+V (1-X)=0
1
O
VI et V
étant tous deux de la forme
2
a
t
+8 t
+···+ ant
,
1 1
2 2
n
où t
,
t
,
. . . •
t
1
2
n
sont
les
constituants
formés
par
les
autres
symboles
et
ou nulles,
Le résultat de l'~limination est
v v =0'
1 2 '
et
puisqu'aucun
des
coefficients dans
VI
et
V
n'est
néga-
2
tif,
il
ne
peut y avoir de coefficient négatif dans
le pro-
duit V V ,
Par conséquent,
l'équation V V =0 peut être ajou-
1 2
1 2
tée
à
toute
autre
équation
dont
les
constituants
ont
des
coefficients
positifs.
L'équation
qui
en
résultera
résumera
en
elle
la
signification
totale
de
celles
dont
elle
fut
tirée.
PROPOSITION V.
7-Dédui re des Proposi t i ons--PIécédentes une
règl e -2Iat i-
gue
ou
une
méthode
de
réduct i on
des
s~tèmes d' éguat ions
exprimant des propositions~~~~~.
Nos
précédentes
recherches
nous
ont
permi s
d' établ i r
les points suivants:
<123>1°) Que toutes les équations de la forme v=o où V satis-
fait
à
la
loi
fondamentale
de
dualité
V(I-V)=O,
peuvent
ètre--combinées par addition.
2°)
Que
toutes
l es
équations
de
la
forme
v=o
peuvent
se
ramener.
par
le
procédé
d'élévation
au
carré,
à
une
forme
pour
laquelle
le
même
principe
de
combinaison
par
simple
addition sera applicable.
Il
ne
reste donc plus qU'à déterminer quelles équations
exprimant effectivement des propositions relèvent du
premier
type,
et quelles équations du second.
Or
1es
types
généraux
de
proposi t i ons
ont
été
établ i s
dans la conclusion du chap.IV.
Voici
]a
c}assificatic·n
des
propositiclTIS
qu'ils
pfiè:S'2n-
tent
] C )
Les
propositions dont
le
sujet
est
universel
et
le
pré-
dicat particulier.
Le type symbolique <)V.15)
en est
X=vY;
où
X
et
Y
satisfont
à
la
loi
de
dual i té.
En
él iminant
v
on otJt i ent
X<l-Y)=O
(1)
expression qui
s'avère
satisfaire
à
la même
loi.
Le
procédé
de réduction par élévation au carré est
ici
superflu.
2 C )
Les
propositions
dont
les
deux
termes
sont
uTJÏ\\.'ersels
et dont
le type symbolique est
X=y
X et
Y satisfaisant
cbacun à
]a
loi
de
dualité.
En
écri\\'ant
cette équation sous
la
forme X-Y=O et en
l'élevant au carré,
on obtient
X-2XY~Y=O
ou
X ( 1 - Y ) ... y ( 1 - X ) =a .
( 2 )
Le
premier
membre
de
cette
équation
satisfaiC-El
la
loi
de
dualité comme l'atteste sa forme même.
Nous pouvons parvenir
à
la même équation par une autre voie.
L'équation
x=y
est équivalente aux deux équations
X=vY, y=vx.
<124>(En
effet,
affirmer
que
les
X's
sont
identiques
aux
y's
revient
à
affirmer
à
la
fois
que
tous
les
X' s
sont
des y's et que tous les y's sont des X's).
Or ces
deux équations donnent,
lorsqu'on élimine v,
X(l-Y)=O. Y(l-X)=O.
et
leur addition donne (2).
30)
Les propositions dont
les deux termes sont particuliers.
Ces propositions ont pour forme
vX=vY,
mais
v
n'e-st
pas
tout
à
fait
arbitraire
et
ne
doit
donc
pas
être
éliminé.
En
effet,
\\'
représente
9.112_Lques,
ce
qui
peut
bien
signifier
tous, _-!llé:ÜS
non
pas
aucun.
Nous
devons
donc
transposer
lé second membre
et élever au
carré
l'équa-
tion résultante,
conformément à
la règle.
Le résultat sera évidemment
vX(l-Y)·vY(l-X)=O.
Il
peut
être avantageux de résumer
les conclusions ci-dessus
dans une règle qui ne cessera par la suite de nous guider.
8-REGLE.Trouver pour les équations une expression
telle
gue
les
termes
X
et
Y
dans
les
formes-t"'J2~~_ci-=Qes~ous
obéissent à
la loi de dualité,
et transformer
les équations
X=vY en X(l-Y)=O
X=Y en X(l-Y)·Y(l-X)=O
vX=vY en vX(l-Y)·vY(l-X)=O
Aucune équation de· la
forme x=o n'aura besoin d'être
trans-
formée;
toute
équat i on
de
l a
forme
X= 1
peut
être
rempl acée
par
l-X=O,
comme
il
ressort
de
l a
seconde
des
transforma-
tions ci-dessus.
Une
fois
réduites ainsi
les équations du
système,
tou-
tes
ces
équations,
ainsi
que
celles
qui
en
dérivent
par
le procédé d'élimination,
peuvent se combiner par addition.
9-NOTE-Nous avons vu
dans
le
chapitre
IV qu'en
tradui-
sant
littéralement
les
termes
d'une
proposition
dans
le
larl(Jé1ge
des
s~"mboles sans prendre garde à
son
sens
vérita-
ble,
nous
r i sq u ion s
de
former
des
équat i ons
où
les
termes
X
et
y
n'obéissaient
pas
à
1a
loi
de
dual Hé.
L'équation
w=st(p+r),
rencontrée
dans
(3)Prop.3
du
<125>ctlapitre
cité
est de
ce
type.
Néanmoins,
comme
nous
l'avons vu,
de
telles
équations
ont
un
sens.
Si
l'on
décidait
de
les
employer,
par curiosité ou pour toute autre raison,
il
sera préférable
de les réduire selon la Règle (VI.5).
10-
EX.2.
Soient
les propositions de
géométrie
élémen-
taire ci-dessous:
1°)
Les
figures
semblables
sont
toutes
celles dont
les
an-
g 1 es
correspondants
sont
égaux
et
1 es
cotés
correspondants
proportionnels.
2°)
Les
triangles dont
les angles correspondants sont
égaux
ont
les cotés correspondants proportionnels et vice-versa.
Pour traduire ces prémisses,
posons
s=semblables
t=triangles
q=avoir les angles correspondants égaux
r=avoir les côtés correspondants proportionnels.
Les
prémisses
sont
alors
exprimées
par
les
équations
sui-
vantes
s=qr,
(})
tq=tr.
(2)
En
réduisant
le
système
selon
la
règle
ou,
ce
qui
re-
vient
au
même,
en
transposant
dans
le
premier
membre
les
termes de ces équations,
en élevant chacune d'elles au
carré et en les
additionnant,
on obtient
Supposons
que
l' on
veu i Ile
en
dédu ire
une
descr i pt i on
des
figures non-semblables faisant
inten'enir les éléments
représentés
par
les
termes:
triangles,
avoir
les
angles
correspondants égaux,
avoir
les côtés correspondants propor-
tionnels.
De
(3),
i 1 v i en t
s=(tq+qr+rt-2tqr)/(2qr-l).
donc
I-s=(qr-tq-rt+2tqr-l)/(2qr-1)
(4)
Par développement complet du second membre,
on trouve
1- s
=0
tqr+2
tq(l-r)+t(l-q)(l-r)+O
(l-t)qr+(l-t)q<l-r)
+(l-t)r(l-q)+(l-t)(l-q)(l-r).
(5)
( 126>
Dans
ce
dé\\'e 1oppement
deux
des
termes,
a)'ant
pou r
coefficient
2,
doivent
être
égalés
à
0,
conformément
à
la
Règle;
une
fois
écartés
les
termes
à
coefficient
nul,
on
obtient donc
1-s =t(l-q)(l-r)+(l-t)q(l-r).(l-t)r(l-q)·(l-t)(l-q)<l-r);(6)
tq(l-r)
0;
(7 )
tr<l-q)
0;
(8)
VoiCI
l'interprétation directe de ces expressions:
lO)Les
figures
non
semblables
comportent
tous
les
triangles
gui
n'ont
pas
les
angles
correspondants
égaux
ni
les
côtés
correspondants
proporti onne 1 s,
ainsi
que
toutes
les
figures
gui
ne
sont
pas
des
tr iangl es
~ui
soi t
ont
1 es
angl es
correspondants égaux mais non
pas leurs côtés correspondants
proport i onnel s,
soi t
ont
1eurs
côtés
correspondants
propor-
tionnels
mais
non
pas
leurs
angles
correspondants
éJ]aux,
2°)11
n'v
a
pas
de
trianql~s dont les angles correspondants
soient
égaux et
dont
les c6tés ne soient
pas proportionnels.
3 0 ) Il
n' y
a
pas
de
tr i élil9J es dont
1 es
c6tés
correspondants
gaux.
11- Ce sont
là
les interprétatiolls immédiates de
l'équa-
tion
finale.
L'on
voit
Que
conformément
à
la
théorie
géné-
raIe,
la
déduction
de
la
description
d'une
classe
particu-
lière
d'objets,
les
figures
non
semblables,
en
fonction
de
certains
autres
éléments
contenus
dans
les
prémisses,
permet également d'obtenir les relations indépendantes qu'en-
treti ennen t
ces
éléments
du
fa i t
de
ces
mémes
prém i sses.
Et
i l
est
aisé
de
montrer
Que
cette
information
est
loin
d'étre
superflue,
lTll?me
par
rapport
à
l'objet
immédiat
du
problème.
Ainsi,
les
relations
indépendantes
peuvent
tou-
jours
étre
ut i 1 i sées
pour
ramener,
si
on
1 e
souha i te,
à
-'---'-
une
forme
plus
brève,
l'expression
de
la
relation
immédia-
tement
cherchée.
Par
exemple.
si
nous
écrivons
(7)
sous
la forme
a
tq(l-r).
et Que nous l'additionnons à
(6).
puisque
t<l-Q)(l-r)+tq(l-r)
t ( l - r ) .
nous obtenons
1-s=t(1-r)+(1-t)q(1-r)+(1-t)r(1-q)+(1-t)(1-q)(1-r).
<127>
dont
l'interprétation donnerait.
pour
le premier
terme
de
la
description
des
figures
non
semblables,
"les
tri3n-
gl es
dont
les
c6tés
corTPsj..ondants
ne
sont
pas
pr'Opoi't i OTl-
nels",
au
lieu
de
la
description
plus
détaillée
qui
avait
d'abord
été obtenue.
Des considérations de commodité doivent
toujours déterminer l'opportunité d'une telle réduction.
12-
On
gagne
toujours
à
opérer
la
réduction
(VII.15),
qui
consiste à
réunir
les termes de
la description
immédia-
tement
cherctlée,
tels
ceux qui
figurent
dans
le
second mern-
bre de
(5)
ou de
(6).
en aussi
peu de groupes que possible.
Ainsi
les
troisième
et
quatrième
termes
du
second
membre
de
( 6 )
don ne nt,
pa r a d d i ti 0 n •
l e t e r me
uni que
(1 - t )( 1 - q ) .
En combinant cette réduction avec la précédente,
nous avons
I-s=t(1-r)~(1-t)q(1-r)+(1-t)(1-q),
dont vo ici
l' i nterprétati on:
Les
figures
non
semblables
sont
tous
les
triangles
dont
les
côtés
correspondants
ne
sont
pas
proportionnels.
et
ang l e~
cor respondants
sont
so i t
i négaux.
50 i t
égaux.
ma i s
~
sans que
les c6tésVsoient proportionnels.
Le
caractère
complet
de
la
solution
générale
n'est
--~-
donc
pas
chose
superfl ue.
Tout
en
nous
fourni ssant
toute
l'information recherdée,
elle nous donne
les moyens d'expri-
mer cette information de la manière la plus commode.
13-
Il
nous
reste
à
faire
une
dernière
observation
qui
illustrera pleinement un principe établi précédemment.
Deux
des
termes
du
développement
compl et
de
1-s
ont,
dans
l'équation
(5),
2
pour
coefficient
au
lieu
de
1/0.
Comme
nous allons le montrer,
ce
fait
indique que les deux prémis-
ses n'étaient pas
indépendantes.
Pour
le vérifier.
reprenons
Ips
équations
exprimant
l(~s
prémisses
sous
leurs
f01rnes
réduites:
s(l-qr)~qr(l-s)~O.
tqt1-r)+tr(1-q)
= '0.
si
les
premiers membres de
ces
équations
ont
des
constitu-
ants
communs.
la
multiplication
de
ces
équations
l'une
par
l'autre les fera apparaître.
Cette opération nous donne
stq(l-r)~str(l-q)=O.
<128> d'où il
résultera que
stq(l-r)=O.
str(l-q)=O.
1 . une
ou
l' autre
de
ces
éQuat ions
pou\\'ant
être
dèdu i te
des
équations primitives.
Voici
leur interprétation:
Les trian.g1es semblables dont
les angle~Qrrespondants
sont
égaux
ont
leurs
c6tés
correspondants
proportionnels.
Les triangles semblables dont les côtés correspondants sont
Qr'oport i onne 1sont _1 eurs ang 1es c orre~ondan t s égaux.
En
outre.
ces
conclusions
se
laissent
également
déduire
de
l'une
ou
l'autre
prémisse
prise
isolément.Ce
fait
indi-
que.
selon- les définitions qu'on
a
données.
que
les prémis-
ses ne sont pas indépendantes.
14-
Reprenons.
pour
conclure.
le
problème
que
nous
avons
étudié
en
illustration de
la première méthode
exposée
dans
ce
chapi tre;
et
essayons
d' établ i r.
par
cet te
seconde
méthode.
ce
que
l'on
peut
conc 1ure
de
la
présence
de
1a
propriété C par rapport aux propriétés A et B.
Nous
avions
trouvé.
par
élimination
du
symbole
v.
les
équations suivantes:
xy(wz~wz)=O;
(1)
~.:z (x\\.:+-X\\J.')
xy
=
wz
Nous
devons
éliminer
dan~
ces
équations
w
et
déterminer
z.
Or,
(1)
et
(2)
satisfont
déjà
à
la
condition
V(l-V)=O.
La
troisième
équation
donne
par
transpOsition
du
second
membre et élévation au carré,
X>·(l-"'Z)~~'Z(l-XY)=O.
(4)
En additionnant
( 1 ) , ( 2 )
et (4),
on obtient
Xy(wz+wz)+yz(xw+xW)+XY(1-wz)+wZ(1-Xy)
= o.
L'élimination de w donne
( x y z + y ZX ~ XY) { x y Z+ y ZX ...XYz - z(1 - X~7 ) } = 0 .
En
mu l t i pli ant
l es
termes
contenus
dans
le
second
facteur
par
chacun
de
ceux
du
premi er,
et
en
tenant
compte
de
ce
que
x~=o, yy=O, zi=o,
<129>
l'on
voit
presque
tous
les
produits
s'annuler,
et
il
ne reste plus que
xyz+xyz
= 0;
(5)
D'où
z=O/(xY+Xy)
' - - - ' -
=Oxy + %
xy + Oxy
=0/0 Xy
+
%
xy,
ce qui
donne
l'interprétation:
chaque
fois que
l'on rencon-
tre
la
propriété
C,
soit
la
propriété
A,
soit
la
propriété
B est présente avec elle, mais non les deux ensemble.
De
l'équation
(5),
nous
pouvons
déduire
sans
peine
le
résul tat
obtenu
pl us
haut
par
la
méthode
des
mul ti pl i-
cateurs
constants
arbitraires,
aussi
bien
que
toutes
les
autres
formes
de
relation
entre x,y
et
z
susceptibles d'ê-
1
§_0 i L_:'L-S'_L_~_~~LQ rli
t 0 ~t~s_1-~UX__--PLè_~fê'Il!J~§_.L__S 0 .t\\__~__ :? e r:-':l __é1J2_~O_=-
te.
Et,
i nver sement.~L A et
C
sont
tçutes
deux l?r~S~lLt_~
B
sE?ra
absente.
L'expression
inverse
dans
cette
conclusion
repose
sur
la
présence
d'un
terme
xz
a~lant
l'unité
pour
coefficient dans la valeur développée de y.
----. -
CHAPITRE 9 -
DE CERTAINES METHODES D'ABREVIATION.
<130>
1-
Blen
que
les
trois
méthodes
fondamentales
de
développement.
d'élimination
et
de
réduction
établies
et
illustrées
dons
les
chapitres
précédents.
suffisent
à
tous
les objectifs pratiques de
la
logique.
il
est cependant
des cas où elles peuvent encore,
surtout
la méthode d'élimi-
nat i on.
être
grandement
si mpl if i ées;
c' est
sur
de
te 1 s
cas
que je voudrais attirer 1 'attention dans ce chapitre.
Je
commencerai
par
démontrer
quelques
Propositions
résumant
les
principes
de
ces
méthodes
d' abrévi at i on
avant
de les appliquer à des exemples particuliers.
APpelons termes de classe tous
les termes qui
satisfont
à
]a
loi
fondamentale
VI1-V>=O.
Pris
individuellement.
ces
termes
seront
des
constituants;
mais
lorsqu'ils
se
présenteront
ensemble.
tous
ne
contiendront
pas
nécessairement.
comme
1 es
termes
d' un
déve] oppemen t , l e s
mêmes
s~'mbol es.
Ainsi.
ax+bxy+cyz
peut
se déduire comme U~ expression com-
portant
trois termes de
classes x.xy
et
yz.
multipliés
res-
pectivement
par
les
coefficients
a.
b.
c.
Le
principe
qui
va
être
app 1 i qué
dans
1 es
Propos i ti ons
ci-dessous
et
qui.
dans
certains
cas.
abrège
la
procédure
d'élimination
est
ce 1u i
consi stant
à
écarter
des
termes
de
classe
super fI us;
étant
consi dé rés
comme
superf 1 us
1 es
termes
qu i n ' ajoutent
rien aux constituants du résultat final.
PROPOSITION l
2
-
Dans une équation V=O,
V étant une suite de
termes
~t~_~J a_~s~
~ __ssLS'_fLL~Ls~n!5 __ J:.~o_~Ltlf~L- __ DQ u_? .l)ÇUJ~:QJl~
é çéLrJ__~r::
lJ) UL_.L~nL~_ c 011.1_~_Q.~!LL_~~ onWL~_ f."1 C t e l!.r~_ll!:.L ?_lJlr e__ !_E:'L!t!~---,-
~_t__Lg'-f1.s:.L;3-=-
c IT-Q~.f_l ' uni t é---.1 0 ll§'_~~_~Q e f Li cj-.-t'.I!...~_2.Q~ilJ.f.~ .
En
effet,
la
signification
de
cette
suite
de
termes
positifs ne dépend que du nombre et de la nature des consti-
tuants de son développement final.
c'est-à-dire de son déve-
loppement
en
fonction
de
tous
les
sY'mboles
131;
qu'elle
contient
et
non
pas des valeurs effectives des coefficients
(VI.5),
Soit
x
un
terme
quelconque
de
la
suite.
et
xy
un
autre
terme
ayant
x
comme
facteur.
Le
déve l oppement
de
x
en fonction des symboles x et y sera
xy+X(l-y),
et le développement de la somme des termes x et xy sera
2
xy + xO-y).
Mais d'après nos précédentes remarques,
ces expressions
sont équivalentes
lorsqu'elles se présentent dans le premier
membre
d'une
équat i on
dont
le
second
membre
est
nu l
et
où
tous
les
coefficients du
premier
membre
sont
positifs
en
effet,
le déve l oppement
fi na l
ne do i t
conten i r
que
l es deux
constituants xy et X(l-y),
dont ne découleront que
les équa-
tions résultantes
xY=O, x<l-y)=O,
1 l
s' ensu i t
que
la
combi na i son
de
termes x
+
xy
peut
être remplacée par le terme unique x.
Le méme raisonnement s'applique à
tous les cas considé-
rés
dans
l a
Propos i ti on .
Ainsi,
si
le
terme
x
est
répété,
la
combinaison
2x
peut
étre
remplacée
par
x,
puisque
dans
ces conditions,
l'équation x=o doit apparaître dans la réduc-
tion
finale.
PROPOSITION
Il.
3
-_6.lL-..Lour~
cLe_.L1Ujmi fiat i on.
chague__Loj~~.!L~_OUS
Q~vo~mu1 ~l i er deux facteurs ne comportant ~.1Le d~~J...ermes
Qositifs
9.11i
satisfont
à
la
loi
fondamentale
des
svmboles
logiques,
nous
pouvons
écarter
de
ces
facteurs·
tout
terme
çci:~r:Dm1JI1 Ql!_!1s'__L:..-!Ln----.9_-'-!='llx_.....!~U~~E:'_rJIiS'-.9j v i ~i b 1l?~J2a r ..~ __~e rme
de
l'autre
f~cteur; à condition toujours que le terme écarté
soit ajouté au produit des facteurs ainsi
obtenus.
Dans
l'énoncé
de
cette
proposition,
le
terme
"divisi-
bl e"
est
empl o~lé,
pour
des
ra i sons
de
commod i té,
au
sens
algébrique où xy et x(I-Y)
sont dits "divisibles" par x.
Pour
mieux
éclairer
la
signification
de
cette
proposi-
tion,
supposons que
les facteurs à multiplier soient
~ous a f f i rmons
donc
pouvo i r
écarter
1 e
terme
x
de
c es
deux
fact eur s
et
l e t erme
~'W
du
second,
pourvu
que
ces
termes
soient
ensuite
ajoutés
au
~U2)
produit
final.
Par
consé-
quent.
puisque
les
fact~ur obtenus sont y+z et t.
si
à
leur
produit yt+zt,
nous ajoutons les termes x
et yw.
nous aurons
x+yw+yt+zt.
expression
équivalente
au
produit
des
facteurs
primitifs
x+y+z
et
x+yw+t;
c'est-à-dire
équivalente
pour
la procédure
d'élimination.
Exami nons
d' abord
1 e
cas
où
1 es
deux
facteurs
ont
un
terme
commun
x
et
représentons
1 es
par
x+P
et
x+Q,
où
P
et
Q
sont
1 es
sommes
des
termes
posi t i f s
autres
que
x.
On a
(~+P)(X+Q)=x+~P+xQ+PQ
(1).
Or
la procédure d'élimination consiste ~ multiplier
l'un
par
l'autre
certa i ns
facteurs
et
~
èga 1 er
1 e
résu 1 tat
à
o.
Ou
bien
donc
le
second
membre
de
cette
équation
doit
être
éga 1 é
à
0,
ou
bi en
il
entre
comme
facteur
dans
une
expreSSlon qui doit être égalée ~ o.
Prenons
le
premier
cas
conformément
~
la
Proposition
1 ci-dessus,
nous pouvons écarter xP et xQ,
puisqu'il
s'agit
de
termes
posi ti fs
ayant
pour
facteurs
un
autre
terme
x.
L'expression qui
en résulte est
x"PQ,
que
nous
aur ions
éga 1ement
obtenue
en
écartant
x
de
chacun
des
facteurs
pour
l'ajouter
ensuite
au
produit
des
facteurs
restants.
Prenons
le
second
cas:
l'influence
du
second
membre
de
l'équation
( 1 )
sur
le
résultat
final
de
l'élimination
ne doit dépendre que du nombre et de
la nature de ses consti-
tuants,
or
ni
l'un
ni
l' aut re
ne
sont
affectés
quand
on
écarte
1es
termes
xP
et
xQ.
Le
déve 1oppement
de
x
cont i ent
en
effet
tous
les constituants possibles dont x
est
un
fac-
teur.
Examinons
enfin
le
cas
où
l'un
des
facteurs
contient
un
terme,
par
exemple
xy,divisible
par
un
terme
x
de
l'au-
tre facteur.
Soient x .. p et xy+Q,
ces facteurs.
On a
(x+P)(xy+Q)=xy+xQ+xyP+PQ.
Con formémen t
au
ra i sonnemen t
de
1a
Propos i tian
ci -d es-
sus,
le
terme
xyP
peut-ètre
écarté
puisqu'il
contient
un
autre terme positif xy comme facteur.
Nous avons donc
(133;
xy~xQ+PQ
xy+(x+P)Q
Or
cee i
expr ime
la
suppressi on
du
terme
xy
dans
le
second
facteur
et
son
addition
au
produit
final.
La
Proposition
est donc évidente.
PROPOSITION III.
4
-
si~_ est un svmbo le retenu dans le résul tat
fi na l
après
élimination de tous les autres symboles d'un système quelcon-
~ d' é9.1J_at i onf) le résul tÊ..!.-d~~tt~~_U1J1inat i on~1 s' écri-=.
re sous la forme
Et+E'(1-t)=0.
où~~~t obt enu
par
a_t tri but i oTl~----.!--,--Qans
le
svstpme
donné
de
19.. valeur
1
et
par
élimination
des
autres
symboles;
et
~.:...- en-Ro_~nLJ:t?ns__~$ystème,
t=o et
en él iminant
l ps autres
syrnbo les.
Représentons
en
effet
par
0<t)=0
le
résultat
final
de
cette
élimi-Fta-tion.
Le
développement
de
cette
équation
donne
0(1)t+0(0)(1-t)=0
Or
quelle
que
soit
la
procédure
de déduction de
la
fonction
0(t) à
partir du s~'stème d'équations donné, cette même procé-
dure
devrait
nous
donner
0(1)
par
substitution
dans
ces
équat i ons
de
1
à
t;
et
cet te
même
procédure
devra i t
nous
donner
0(0)
par
substitution,
dans
les
mêmes
équations,
de 0 à
t.
La vérité de la Proposition est donc manifeste.
5
-
On
peut
noter
que
sans
être
essent 1ell es au
déve-
Jappement
ou a l'application rigoureuse de la théorie généra-
le,
les
tr'ois
Propositions
démontrées
ci-dessus
jouént
un
rOJe
pratique
important.
Grace
a
la
Proposition
l ,
nous
pouvons
simplifier
les
résultats
d'une
addition;
grâce
à
1a
Propos i t i on
I I .
nous
pouvons
simplifier
ceux
d'une
mu 1 t i pl i cat ion;
et
grâce
à
1a
Proposi t i on
I I I ,
nous
pouvons
diviser
une
procé~dure
compliquée
d'élimination
en
deux
procédures
distinctes
présentant
en
général
un
caractére
beaucoup
moi ns
compl exe.
On
adoptera
souvent
cet te
méthode
lorsque
l'on
cherchera
a
déterminer
la
valeur
de
t
en
fonction des autres symboles subsistant aprés l·élimination.
6
EX. 1.
Ar i stot e,
dans
l ' ~1:1ligge a Ni comaque,
1 ivre
I I ,
chap.3,
commence par établir
que
les actions sont
faites
selon
1a
ver tu,
non
pa ['
1a
pré sen cee n
e Ile s
de
c e r ta i n s
caractères
intrinsèques,
mais
parce
qu'elles
requièrent
une
certaine
<134>
disposition
subjective
chez
celui
qui
1 es
accompl i t
celui-ci
doit
les
accomplir
en
sachant
ce
qu' i 1
fa i t , l i brement
et
en
vue
de
ces
act ions
el Jes-mémes,
en
se
fondant
sur
des
principes
fermes
de
conduite;
ré's
deux
chapitres
suivants
sont
consacrés
au
problème
de
la
subsomption de la vertu sous le genre des Passions,
des
Facultés
ou
des
dispositions
habituelles.
Aristote
fonde
sa
recherche
sur
1 es
prém i sses
ci-dessous
dont
i l
dédu i t
également
la
théorie
et
la
définition
généraleS de
la
vertu
0..-
morale exposées dans
le reste du traité.
Prémisses.
,
1-
La
vertu
est
soit
une passion
(1T~eC». soit une faculté
" '
~ ,
(Ûv~t(rtS), soit une disposition habituelle (f~lS).
~ •• ~.~_~,,,,,_._",,,<~ ..__.,-."_''''
' ~_ "~""_,,, ••""'. ~.o,~ ..._;;..........~ ...~~" ....",", 4.'~_.-:'_ ..~.,.'........,_.,..:,_ ,.....~,>. ,""<..,.;.....':'~."" ......,~'.-,~: ..'",:"....·,; •.c.,,'(,, .•,..:..,~·.... ·,.,..·.,·,.::,,;',,·é',,:...;·c.;...,."·._·;,-:•.::..vt;,'''';.j..,,,~i,-;.:. :;.~ .,'. 'i~'
-
-
2-Les
passions ne
s.ont
pas de nature à
nous
valoir
l . èl ooe
ou le blâme, et ne font pas l'objet d'un ctlO i x délibéré.
3-Les
facultés
ne
sont
pas de nature à
nous
valoir
l . è loge
ou le blâme,
et ne sont pas accompagnées d'un choix délibé-
ré.
4-La vertu
est de nature à
nous valoir
l'éloge ou
le blame,
et n'est pas accompagnée d'un choix délibéré.
5-Tout
art
ou
science
atteint
sa
perfection
en
évitant
les
extrêmes,
et
en
fixant
1e
règard
sur
1e
mo~'en par
rapport
"
,
C
......
à
la nature humaine (TC r~crOY .,. TIfC's l)r<:i. S >.
6- La
vertu
dépasse
en
exac t i t ude
et
en
va leur
t out
autre
art ou science.
c'est
là un argument a
fortiori.
Si
la science et l'art
\\'èritables
craignent
autant
le
défaut
que
l'excès,
à
plus
forte
raison,
la vertu a-t-elle
les yeux
fixés
sur
la voie droite
de
la
modération.
si
celles-là
aboutissent
à
la
perfection
de
leurs
oeuvres,
nous
sommes
d'autant
plus
fondés
à
dire
de -l-a
vertu
qu'elle
aboutit
à
cette
"perfection"
de
son
oeuvre
propre.
Interprétons
ainsi
la
dernière
prémisse.
Omet tons
en
outre
toute
référence
à
l' éloge
ou
au
bl ame,
puisque
leur
mention
dans
les
prémisses
ne
fait
qu'accom-
pagner celle d'un choix délibéré,
et que nous nous proposons
de
retenir
ce dernier
élément,
Nous pouvons alors
représen-
ter en symboles
v~la vertu
p=les passions
f=les facultés
h=les dispositions hahituelles
d=les choses qu'accompagne un choix délibéré
,135 g=les
cJJOses
qui
aboutissent
à
la
perfection
de
leur
oeuvre.
m=les
choses qui
visent
le moyen par
rapport
à
la natu-
re humaine.
<:;:.'
~l
en
ou t re
nous
prenons
q
comme
un
s). mbo 1 e
de
classe
i n-
définie,
nos
prémisses
seront
exprimées
par
les
équations
suivantes:
v=q{pC1-f)(1-h)+f(1-p)(1-h)·h(1-p)(1-f»)
p=qC1-d)
f=q( 1-d)
v=qd
g=qm
v=qg.
Par
élimination
du
symbole
q
dans
chaque
équation,
i l
vient
v { 1 - P ( 1 - f ) ( 1 - 11> - f ( 1 - P ) C1 - h ) - h C1 - pl ( 1 - f ) ) = 0
(1)
pd=O
(2)
--'-
fd=O
(3)
y(l-d)=O
(4)
g(l-m)=o
(5)
Y(l-g)=O
(6).
Nous allons d'abord
éliminer
le
symbole
d
des
équations
(2),
(3)
et
(4).
avant
de
déterminer
y
en
fonction
de
p,
f
et h.
En addi tionnant
(2),
(3)
et
(4),
on obtient
(p+f)d+V(l-d)=O
d'où
l'on
tire.
par
élimination
de
d
selon
la méthode
habi-
tuelle
(p .. f)v=O.
(7)
En
ajoutant
cet t E'
éQuat i on
à
( 1 ),
nous
trouvons
pour-
la
détermination de v.
V=O/(p+f+l-p(l-f)(I-h)-f(l-p)(l-h)-h(l-f)(l-p»).
Ce qui
donne,
par développement,
v=o/O h(]-f)(]-p).
En
voici
l'interprétation
la Vertu est
une dispostion
habi tue Il e,
et non pas une facu 1 té ou une--.J:lassi on.
<136>
Nous
éliminerons
ensuite
f,p
et
g
du
système
d'éQuations
primitif
avant
de
déterminer
v
en
fonction
de
h,
d
et
m.
Dans
1 e
cas
qu i
nous
occupe,
nous
é 1 i minerons
p
et
f
ensemble.
En additionnant
(]),(2)
et
( 3 ) ,
nous
obte-
flons
V{l-p(l-f)(l-h)-f(l-p)(]-h)-h(l-p)(l-f)}+pd+fd = o.
En
déve 1oppant
cet te
équat i on
en
fonc t i on
de
p
et
f . nous
avons
(v+2d)pf+(vh+d)p(1-f) .. (vh+d)(1-P)f-v(1-h)(1-p)(1-f)
o.
Le résultat de l'élimination sera donc
(v+2d)(vh+d)(vh+d)v(1-h)
= o .
.
Or v+2d=v+d+d qui
se
laisse
ramener,
conformément à
la Prop.
l ,
â
v+d.
Le produit de cette expression par
le second
fac-
teur est
(v+d) (vh+d).
qui
se ramène,
selon la Prop.ll,
à
d+v(vh)
ou
vh+d.
De
façon
analogue.
ce
résultat
multiplié
par
le
troisième
facteur,
donne
simplement
vh+d.
Enfin,
cette
expression
multipliée
par
le
quatrième
facteur,
v(l-h),
dOGJ1e
pour
équaticm finale
vd<l-h)
= O.
(S)
Reste à
éliminer g de
(5) et
(6).
Le résultat en est
vU-m)
= O.
(9)
L'on
obtient
finalement,
par
addition
des
équations
( 4 ) ,
<S)
et
(9)
v<}-d)+vd(}-h)+v(}-m)
O.
d'où on tire
v=O/(}-d+d(}-h)+}-m).
Le dé\\'e l oppement de ce rèsu l ta t
donne
\\'=0/0 tldm.
dont
voici
l'interprétation:La
vertu
est
u~e
dj~osition
habituelle.
accompagnée
<137;,
de
choix
délibérL pt
\\'isant
le moven par rapport à
la nature humaine.
A
proprement
parler,
ce
n'est
pas
là
une
définition
mais
une
description
de
la
vertu.
Mais
c'est
tout
ce
qu'on
peut
légitimement
inférer
des
prémisses.
Aristote
lui
ad-
joint
plus
particulièrement
la-n-ecessité
de
la
prudence
pour
déterm i ner
1a
vo i e
moyenne
et
sûre
de
l' act ion;
et
il
ne
fait
aucun doute que
les théories antiques de
la vertu
avaient,
en
général,
un
caractère
plus
intellectuel
que
les
théor i es
contempora i nes
1 es
pl us
généra 1 ement
adm i ses
( à
l' ex cep t ion
d e I a
thé 0 rie
d e I ' u ti 1 i té).
La
ver t u é ta i t
alors considérée comme
la perfection et
la bonne disposition
de
l'esprit
dans
sa
totalité,
plut6t
que
comme
la
seule
suprématie de
la
conscience
ou de
la
faculté
morale.
D'ail-
1 eur s,
dans
une
certa i ne
mesure,
ces
théor i es
éta i ent
in-
dubitablementjustes.
En effet,
bien qu'une obéissance abso-
lue
aux
irnj::lératlfs
de
la
conscience
scdt
un
éJ,:cmènt
f:'ssen-
tiel
de
la
condui te
vertueuse,
il
demeure
que
la
conformi-
té
de -ces
impératifs
aux
principes
immuables
de
la
droite
., f
$:'''
règle
(~ ... ...:J"l(j. Cl-':;.xlol)
qui
reposent
sur
la
constitution
des
choses,
ou
pl utât,
en
sont
e Il es-mêmes
1 e
fondement,
en
est
un
autre
élément.
En
outre,
cette
conformité.
au
ma i ns
à
un
degré
t rés
i mportan t,
est
généra 1 E:men t
i ncompa-
tible
avec
l'état
d'un
esprit
ignorant
et
obtus.
Revenons
à
la
théorie
plus
précise d'Aristote:
il
est
probable
qu'à
la
plupart,
elle semblera de
nature
trop
négative
et
qu'aux
plus nobles énergies de
notre
étre,
fuir
les
extrêmes
n'ou-
vre
pas
un
champ
assez
vaste
pour
se
déployer.
Ar i stote
semble
avoir
été
partiellement
conscient
de
ce
défaut
de
son
systême
lorsqu'au
début
du
1 ivre
VIl,
il
par 1 e
ct' une
:1:
"vertu héroïque"
dépassant
la mesure de la nature humaine.
7-
J'ai
déjà
fait
observer
( \\ ] 1 1 . 1 )
que
la
théorie
des
équa t i ons
ou
propos i tians
un i ques
sou] eva i t
des
ques-
t ion s
a u x que 1 ] es
1eu r
rel a ti 0 n
à
1a
thé 0 rie
ct es
s)' s t ème s
d'équations
pouvait
seule
apporter
une
réponse
pleinement
satisfaisante.
Cette
remarque
se
laisse
illustrer
par
le
problème de
la
détermination,
dans une
équation
unique don-
née,
de
]a
relation
entre,
non
pas
une
classe
élémentaire
unique,
mais
une
classe
composée dont
l'expression
contient
plus
d'un
élément
et
les
autres
éléments.
L'exemple
parti-
culier
ainsi
que
le
problème
général
ci-dessous
sont
de
cette nature.
,
C
,
c
" " , " )
\\
:1: T '\\"
V"t1 ff ~"OIS
Q,f~ r ')'ê
comaque.
Livre VII.
(138).
E\\.2-
Repr·enons
l 'expression
s~dnt)ol iqUE'
de
la
définition de la richesse employée au chap.VII:
IA.l=st{p~r( I-p»).
où.
comme précédemment.
w=
la richesse
s=
les choses limitées en quantité
t=
les choses susceptibles d'échange
p=
les choses qui
produisent
le plaisir
r=
les choses qui
préviennent
la douleur.
Supposons qu'on veuille déterminer sur ces bases
la
relation
qu'entretiennent
les
choses
susceptibles
d'échange~t qui
produisent
le
plaisir.
d'une
part.
et
les
autres
éléments
de
la définition.
d'autre part.
à
savoir
les choses
limitées
en quantité et
les choses qui
préviennent la douleur.
L' expressi on
des
choses
suscept i bl es
d' échange
et
qu i
pro d 1] i sen t
] e
pla i sir
est
t p .
T rad u i son s - 1a
pa r
un
Tl 0 U \\' eau
symbole y.
~ous avons alors les équations
w=st{p"'r< I-p»).
_-0-
y
= tp;
à
partir
desquelles.
par
élimination
de
t
et de
p.
détermi-
ner
y
comme
fonction
de
w.s
et
r.
Le
résultat.
une
fois
interprété.
donnera la relation cherchée.
Transposant
dans
ces
équations
tous
les
termes
du
se-
cond membre.
on obtient
w-stp-str(}-p)=O
y-tp = 0
(3)
Par addition des carrés de ces équations.
il
vient
w"'stp+str(1-p)-2wstp-2wstr(1-p) ... y ... tp-2ytp =0.
(4)
Si
l'on
développe
le
pri.:'ndel'
mé~mbre
E-'fI
fonction
de
t
et
p afin d'éliminer ces s)'mboles,
l'on obtient
(w·s-2ws+1-y)tp~(w·sr-2wsr·y)t(1-p).(W·Y)(1-t)p.(w·y)
(l-t)(l-p);
(5)
et
l'on
trouvera
le
résultat
de
l'élimination
de
t
et
p
en égalant à
0
le produit des quatre coefficients de
tp,
t(l-p),
(l-t)p et
ll-t)(l-p).
< 139 )
Ou en cor e ,
pa r I a Pro p . 3 ,
1 e ré su l ta t
ct e l ' é l i mi -
nation de t
et p dans cette équation sera de la forme
Ey
+
E' (l-y).
où
E
est
le
résultat
otJtenu
par
substitution
de
la
valeur
1
à
Y dans
l'équation
et
par
élimination
de
t
et
p;
et
E',
le
résultat
obtenu
par
substitution de
la
\\'aleur
0
à
~' dans
la
même
équation
et
par
élimination
de
t
et
p.
Dans
chaque
cas,
pour
éliminer
t
et
p,
il
faut
multiplier
entre
eux
les coefficients des quatre constituants tp,
tIl-pl,
etc ..
Avec y=l,
les coefficients deviennent
1°) w(l-s).s(l-w).
__ 4_
2°)
l·w(l-sr)+s(l-w)r qui
est
équivalent
à
1
selon
la Prop.I
3°)
et
4°):
l+w
qui
est
équivalent
à
1
selon
la
Prop.I.
Par conséquent,
la valeur de E sera
w( I-s) +s( l-w).
De
même,
avec
y=O
dans
(5),
nous
aurons
comme
coefficients
10)1+w(1-s).S(1-w) qui
est équivalent à
1.
2°)w(1-sr)+sr(1-w).
3°)
et 4°):
w.
Le produit des coefficients donne
E' =
,",' ( 1- sr) .
L' équat i on
à
part i r
de
1aque Il e
il
faudra
déterm i ner
y
est
donc:
{I.<'(l-S)~S(l-W»)y ~ I.<'(l-sr>(l-Y> = O.
D'où
y=(w(l-sr»)/fw(l-sr)~W(l-S)-S(l-"'»);
Par développement du second membre,
il
vient
Y=O!Owsr~ws(l-r)+l/O
w(l-s)r+l/0
~O(l-w)s(l-r)+%
(l-W)(l-s)r·O/O (l-W)(l-s)(l-r);
La réduction donne
<140>
y=ws(1-r)+0/0 wsr+O/O (l-w)(l-s)
(6)
avec w(1-s)=0
(7)
En voici
l'interprétation:
1 C ) Les
choses
susc~tibl es
d'échange
et
qu i
produ i sen t
] e
plaisir
comprennent
toute
richesse
(limitée
en
quan;ité
de
richesses
<limitées
en
quantité
et)
qui
préviennent
la
dou leur.
et
une
quant i té
i ndét erm i née
de
ce
qu i n ' est ~
ricfLes~_ et n'est pas] imité en quantité.
2°>Toute richesse est
limitée en quantité.
Dans
cette
solution,
j'ai
mis
entre
parenthèses
la
. ' ' - - ' -
partie
de
la
description
totale
exprimée
par
la
relation
indépendante (7) qui
en accompagne l'énoncé.
8-
Le problème ci-dessous,
d'un caractère plus général,
nous
fournira
une
règle
pratique
et
d'application
aisée
pour des questions analogues à
la précédente.
PROBLEME GENERAL.
Etant
donnée
une
équat i on
contenant
] es
svmbQl es
K... v ... w-,-
Z, . . .
On demande de
trouver
l'expression logique d'une clas-
se
représentée.
sous
une
forme quelconque.
par
les symboles
;';~....l_--"---,----"--1__gjl fonction de~ autres svmboles I.<',z,--etc ...
.<',
!'ious
nous
en
t i éllljrOr:S
au
cas
où
i 1
n' y
a
que
(jeux
sym boles
x
et
y
et
deux
symt)oles
'-",
Z,
qui
suffit
pour
établir
la règle générale . .
Soit
v=o
l'équation
proposée;
soit
o(x,y)
représentant
la classe dont
l'expression est à déterminer.
On
pose
t=o(x,y);
et
il
faut
alors
éliminer
de
ces
deux équations les symboles x et y.
L'équation v=o peut être développée sous la forme
Axy+BX(1-y)+C(1-X)y+D(1-X)(1-y)=0(1)
A,B et C étant fonctions des symboles \\>.' et z.
Puisque
0 l X , y )
représente
une
classe
ou
un
ensemble
de
choses,
e Il e
do i t
comporter
un
consti tuant
ou
une
sér i e
de constituants ayant 1 pour coefficient.
(141)
Par
conséquent,
si
l'on
représente
le
développe-
ment complet de o(x,y) sous la forme
ax y • bx ( 1 -)' ) - c ( 1 - x ) )' • d ( 1 - _,1 ( 1 - Y) ,
chacun
des
coefficients
a,b,c
et
d
doi\\-ent
\\'aloir
soit
1,
soit O.
---'-
La
réduct i on
par
transpos i t i on
et
é 1évat i on
au
carré
de l'équation t=o(x,y) donne une expression de la forme
t{1-o(X,y»)+o(x.y)(1-t)=0;
en la développant en fonction de x et y.
on obtient
(t(1-a)+a(1-t»)xy+{t(1-b)+b(1-t)}X(1-y)+{t(1-C)+C(1-t)}
(1-xy)+{t(1-b)+d(1-t»)(1-X)(1-y)=O;
Par addition de cette équation a l'équation (1),
il
vient
Posons
que
1 e
résul tat
de
l ' é 1 i mi nati on
de
x
et
y
est
de
la forme
Et ... E ' ( 1 - t ) =0 0 ;
E
sera
al O['S
d'après
nos
remarques,
le
produ j t
ré,ju i t
des
coefficients
ci-dessus
lorsqu'on
fait
t=l;
et
E'
le
produit
des mémes
facteurs réduit par
la condition
t=O.
E sera donc
le produit réduit
suivant:
(A+1-a)(B+1-b)(C+1-c)(D+1-d).
Si
l'on
prend
un
fact eur
que 1 conque
dans
cet te
équa t j on,
A+1-a
par
exemple.
on
voit
qu'avec
a=1.
i l
est
égal
à
A,
et
qu'avec
a=O,
i l
est
égal
à
1+A.
qui
d'après
la
Prop.I,
se
ramène
à
1.
Nous
pouvons
donc
en
dédu ire
que
E
sera
1 e
produit des coefficients de ceux des constituants du dé\\'elop-
pement
de
v
dont
les
coefficients
dans
celui
de
o(x.y)
sont
l'unité
1.
Par ailleurs.
E'
sera
le produit
réduit
(A+a)(B+b)(C+c)(D+d)
L ' e x am end e l ' un
que 1 con que
d e
ces
fa c t eu r 5 .
A~ a ,
par
e:-: e rn -
pl e,
nous
montre qu' i 1 se
rédu i t
à
A quand
a=O
et
à
1
lors-
que
a=1;
i l
en
va
de
mèrne
pour
les
autres
coefficients,
---. - Donc E' sera le produit des coefficientsQ42> des consti-
tuants
du
développement
de
y
dont
les
coefficients
dans
le
développement
o(x;y)
sont
nuls.
Une
revue
d'ensemble
de ces différents cas nous permet
d'établir
la Règle
suivan-
te
9-Déduire
d'une
équation
logique
la
relation
entre
une
classe
quelconque
représentée
par
une
certaine
cornbinai-
son
des
symbol es
x.
y
etc. ..
et
ce I l es représentées par
n'importe
quels
autres
symboles
contenus
dans
l'équation
Ilroposée.
Et+E'(l-t)=O,
tuants
du
dével~pement en
question
dont
les
coefficients
loppement
des
constituants
à
coefficients
nuls
dans
l'ex-
pression
de
cette
classe.
La
valeur
de
t
déduite
après
ré-
solution
et
interprétation
de
l'équation
ci-dessus
sera
NOTE.Bien
gue
dans
la
démonstration
de
cette
R~le,
on
sup-
facilement
montrer ~e cette condition n'est pas nécessaire~
que
1 a
Règl e
est
parfa i tf>ment
généra 1 e
et
qU' i 1
n'est
pas
\\Taiment
indispensable
que
l'équation
sojt
sous
une
forme
particulière.
lO-EX.3
-
A partir de la même définition de
la
richesse
--'-
que
dans
l'exemple
2,
on
cherche
à
exprimer
les
choses
sus-
ceptibles
d'échange
mais
qui
ne
produisent
pas
le
plaisir,
t(l-P),
en
fonction
des
autres
éléments
représentés
par
W,
s et r.
L'équation
w-stp-str(l-p)=O,
donne par élévation au carré
w+stp+str(1-p)-2wstp-2wstr(1-p)=O;
Par
déve 1 oppement
du
premi er
membre
en
fonet i on
de
t
et
p
,
i l
vient
( ",. - s - 2\\.0.' S ) t P ~ (\\, ~ sr - 2\\-.. s r- ) t ( 1 - P ) • v.' ( 1 - t ) P' \\,' 1 1 - t ) ( 1 - j:.! i = 0 .
Les
coeffici~nts de
cette
équation
se
laissent
mieux
mettre
en évidence sous la forme suivante:
(Wll-s)+S(l-w)}tp+{w(l-sr)+sr(l-w)}t(l-p)+W(l-t)p-Wll-t)
(l-p)=O.
<143>Posons que z représente la fonction t(l-p) à
déter-
miner;
alors
le
développement
complet
de
z
en
fonction
de
t
et pest
Z=Otp+t<l-p)+O(l-t)p+O(l-t)(l-p).
Donc en vertu du problème précédent.
on a
Ez-E' (l-z)=O;
oû E=w(l-sr)+sr(l-w);
E'={W(l-S)+s(l-w)}-w x w=w(l-s);
D'oû
{w(l-sr)+sr(l-w)}Z+w(l-S)ll-Z)=O.
On en déduit
z = [v.' ( 1 - s) ) • ( 2v.' s r - ..... s - sr) .
=0/0
wsr+Ows(1-r)+1/0
v.' ( 1 - s ) ( 1 - r ) - 0 ( 1 - v.' ) s r
+0;0 (l-w)s(l-r)-O!O
(l-w)(l-s)r-O/O
(l-w)ll-slll-r).
Ou encore
z=O/O wsr+O/O (l-w)s(l-r)+O/O (l-w)(l-s).
avec w(l-s)=O.
Donc
les
choses
susceptibles d'échange
et
gui
ne
produisent
pas
le
plaisir
sont
soit
une
richesse
<limitée
en
quantité
et
gui
prévient
la
douleurl;
soit
des
choses
qui
ne
sont
~des richesses mais sont
limitées
en~ll.i!.ntL1.~~_...Qré
viennent
pas
la
douleur;
soit
des
choses
gui
ne
sont
pas
des richesses et ne sont pas limitées en quantité.
Les
résultats
suivants,
déduits
de
façon
analogue.se
vérifient aisément:
lE.~__I~lQ~~~__ Jj_rnjJ:·_É.: e s .~LqiJ.?J:LLi..t.~_~_!.._q~.L.J)LQ.d lJj_â.~J).1.__lg:-.pLéi.i~ÜL
san~--k1r~-S!.es
r ichess~~ne .s_ont_f@~-,=~sÇ_~t i bl ~s~i'chal}.gg.
La_ri chess~_qui ne ...12.fodui t
pas
le ...P.l9j si r
est
sus~t i blg
d'échange,
en quantité limitée et elle prévient la douleur.
Les choses 1 i mitées en B!lant i té et qu i-,-so i t... sont~ne riches....:.
~~.....~.i..L--IT o..QJl i .s e Tl t .. 1 e
pla i s.i.rJ..._ ma i s
pa s
1 e_~S'u~,,?o nt
ou bien susceptibles d'échange tout en prpvenant
la douleur,
ou bien ne sont pas susceptibles d'échange.
Il-L'histoire
naturelle
pourrait
fournir
la
matière
de maints exemples curieux.
Je ne pense pas cependant
~144)
que
de
tell es
i Il ustrations
présenterai ent
par
ell es-mémes
le moindre
intérêt.
Elles ne projeteraient par exemple aucu-
ne
lumière particulière sur
les vrais principes de
la clas-
sification
zoologique.
La
découverte
de
ces
principes
re-
quiert un certain fond de connaissance positive- une certai-
ne
expér i ence . de
l a
st rue t ure
organ i que
qu i
tienne
compt e
de
l'adaptation
téléologique;
or
ce
genre
de
connaissance
ne s'obtient que par
le reêôurs à
des moyens externes d'ob-
servation
et
d'analyse.
Néanmoins.
il
suffit
de
rassembler
un
ensemble
quelconque
de
propositions
d'histoire
naturel-
le pour que surgisse une
foule de problèmes
logiques,
indé-
pendamment
du
système
de
classification
adopté.
Peut-être
vaut-il mieux,
afin d'éviter.
dans la rédaction de ces exem-
ples.
des redondances superflues.
ne pas mentionner
la pro-
priété
que
suggère
immédiatement
le
nom
d'une
classe
ou
d'une espèce- par exemple
la
structure en anneaux des anne-
lidés.
classe
d'animaux
comprenant
le
ver
de
terre
et
la
sangsue.
EX.4
-1"')
Les
annelidés
ont
un
corps
mou
et
sont
soit
nus soit enveloppés d'un tube.
2°)Les
annelidés
sont
tous
les
invertébrés
é
sang
rouge
et à systéme circulatoire double.
Posons a= annelid~s.
s= animaux au corps mou;
n= nus
t= enveloppés d'un tube;
i = invertébrés
r= é
sang rouge,
etc ...
Les
propositions
données
seront
alors
exprimées
par
les
équations
a=vs{n<l-t)+t<l-n»)
( l l
a
= ir
(2)
auxquelles nous pouvons adjoindre
la condition implicite
nt=O
(3)
En
éliminant
v
et
en
ramenant
]e
s~stéme
é
une
équation
unique,
on a
---~ .
a{1-sn(1-t)-st(1-n)}+a(1-ir)+ir(1-a)+nt=0.
Supposons
que
nous
voulions
dégager
la
relation
que
les
animaux
au
corps
mou
enveloppés
d'un
tube
entretiennent
(d'après
les
<145>
prémisses)
avec
les
éléments
suivants:
le
fa i t
d' avo i r I e
sang
rouge.
une
protee t i on
externe
et
une
colonne
vertébrale.
Nous
devons
d'abord
éliminer
a,
ce qui
donne
ir{l-sn(l-t)-st(l-n)}+nt=O.
Alors
(IX.9)
en
développant
cette
expression
en
fonction
de
s
et
t
et
en
réduisant
le
premier
cOI?fficient
s;:-lon
la
Prop.1.
nous obtenons
Donc,
si
st=w,
nous trouvons
nw+ir(1-n)~(ir+n)xir(1-w)=0;
d'où w={ir<1-n»)/{ir<1-n)-n)
=Oirn·ir(1-n)+Oi(1-r)n+O/O i<l-r)(}-n)+O(}-i )rn+O/O (}-i)
r(1-n)+0(1-i)(1-r)n+0/0 (1-i)(1-n).
Par
conséquent.
1es
an i maux
au
corps
mou
enve 1 oppés
d'un
sang rouge et ne sont~s nus,
un
restant
indéterminé d'ani-
maux _invertébrés
qui
n'ont
pas
l~_~ang
rouge
et
ne
sont
~as nus,
ainsi que d'animaux vertébrés oui
ne sont pas nus.
En
outre.
les
équations
réduites
ci-dessus.
que
nous
lais-
sons
au
lecteur
le
soin
d'interpréter.
se
laissent
déduire
du développement
(5) de façon exactement semblable
:
s(}-t)=irn+O/O i(1-n)+0/0 (1-i>.
(}-S>t=0/Ô-C1-i)r(1-n)+0/0 (1-r)(}-n)
(l-s)(l-t)=O/O i(1-r)+0/0 (1-1)
<146>Dans aucun des exemples précédents.
je ne me
suis pro-
posé
d' i Il ustrer
spéc i al ement
1a
pu i ssance
de
1a
méthode.
A
mon
sens,
celle-ci
ne
pourra
se
manifester
pleinement
que
dans
ses
applications
à
la
théorie
mathématique
des
probabilités.
Toutefois,
au
lecteur
désireux
de
se
faire
une
juste
idée
de
la
quest i on,
je
suggérerai s
d' exam i ner
le
problème
ci-dessous
au
moyen
des
règles
de
la
logique
ordinaire,
avant~'en considérer la solution; et de songer,
1
.zoo
ce
fdisant,
que
sa
comple.'\\itè,
qUE:'lle qu'elle
5(lit.
J)(J1JrfélJt
étr'e
inejéfiniment
accrue.
sans
autre
conséquence
que
d'en
rendre
plus
laborieuse.
mais
pas
moins
certainement
réali-
sable.
la résolution par
la méthode présentée
ici.
EX.5-
On
suppose
que
l 'observation
d'un
ensemble
de
productions
naturelles
a
conduit
aux
résultats
généraux
su i \\'ants:
1 0 )
que
dans
toute
product i on
de
cet te
classe
où
manquent
les
propriétés
A
et
C.
on
observe
la
propriété
E
ainsi
que
l'une des propriétés B ou D.
mais pas les deux.
2°)
quand on observe
les propriétés A et D en
l'absence
de
E,
les propr i et és
B
et
C se ront
so i t
observées
ensemble,
soit absentes toutes deux.
3°)
la
propriété
A
étant
obsen'ée
conjointement
à
B.
à
E.
ou
aux
deux
ensemble.
soit
la
propriété
C.
soit
la
propri-
été
D
sera
observée.
mais
p25
les
deux
ensemtlle.Et
in\\erse-
ment.
la
propri été
C
ou
la
propr i été
D étant
observée
sépa-
rément'
la
propriété
A
sera
observée,
conjointement
à
B •
.--. -
ou à
E.
ou aux deux ensemble.
On
demande
alors
d'établir:
premièrement.
ce
que
l'on
peut
conclure,
dans
chaque
cas
particulier,
de
la
présence
observée
de
la
propriété
A,
en
fonction
des propriétés
B,C.
et
D;
et
s ' i l
existe
des
relations
indépendantes
entre
les
propriétés B,C et
D.
Deuxièmement.
ce que
l'on peut
conclure
de
façon
ana l ogue.
dans
le
cas
de
la
propr i été
B,
en
fonc-
tion des propriétés A.C et D.
On
remarquera
que
dans
ch acune
des
trois
données.
l'information concernant
les propriétés A,B,C et D se compli-
~Ol
que
d' un
élément
E
sur
l eque l
flOUS
ne
\\OU l ons
rien
dire
dans
not l-e
conc l usi on.
Il
faudra
donc
é l j miner
l e
s~'mbo le
représentant
la
propriété. E
dans
le
système
d'équations
qui
traduira nos propositions initiales.
< 147>
Représentons
la
propriété
A
par
x,
B
par
Y.
C
par z,
D par w et Epar v.Les données s'écriront alors
XZ=
qV(Y~+wy);
(1)
(2)
-
xy+xvy= wz+zw;
(3)
x
représentant
1-x.
etc...
et
q
étant
un
symbo 1 e
de
classe
indéfinie.
En
éliminant
séparément
q
de
la
première
et
de
la
seconde
équations
et
en
additionnant
ces
résultats
à
l'équation
(3)
préalablement
réduite
selon
( 5 ) ,
chap.VIII.
on obtient
(l-xy-x"y>
=
0
(4)
Dans
cette
équation,
on
doit
éliminer
v
et
déterminer
la
valeur
de
x
à
partir
du
résultat.
A cet
effet,
la
méthode
de la-Prop.3 du présent chapitre sera d'un emploi
commode.
Représentons
donc
le
résultat
de
l'élimination
par
l'équation
Ex + E'(l-x)
O.
Pour
trouver
E.
on
pose x=l
dans
le
premier
membre
de
(4).
ce qui
donne
Par élimination de v.
on obtient
ce qui
donne,
une fois effectuée la multiplication,
et
comp-
.,
i
-
t e t e n u des c 0 fi dit j (1 n s \\..~'\\\\' ~ 0 ,
zz=o. et c ...
E = \\.1,' z ... )'w Z .
Pour trouver ensuite E',
on,pose x=O dans (4),
et
l'on a
d'où,
après élimination de v
et
réduction du
résultat
selon
les Propositions 1 et 2,
-- - - -
E' =
\\.I,1Z", Z\\.I,'+)'\\.I,'Z;
nous obtenons finalement
0;
(5 )
d'où
donc,
par développement,
x=oyzw ... yzw+yzw+Qyzw
-
- --
+Oyzw+yzw+yzw+ yzw;
ou encore,
par réunion des termes écrits l'un sous l'autre,
ce qui
s'interprète ainsi:
Dans toutes
les
substances où
la
propriété A sera obsprvée,
soit
---'-
1a
propr i été
C,
soit
la
propriété
D
sera
observée,
mais
pas
les
deux
ensemble,
soit
enfin
les
propriétés
B,C
et
D feront
toutes
défaut.
Et,
inversement, lorsque
la
pro-
pr i été
C
ou
1a
propr i été
D est
observée
i so 1 ément,
ou
que
les
propriétés
B.C
et
D sont
toutes
absentes.
la
propriété
A sera observée.
Il
apparaît
également
qu'il
n'existe
pas
de
relation
indépendante entre les propriétés B,C et D.
Il
s'agit
maintenant
de
trouver
y.
Le
développement
de (5) par rapport â
ce symbole donne
~03
0;
on en déduit.
comme précédemment,
xzw=o;
(S)
xzw=o;
- -
x zv.' = 0 ;
(10)
La résolution et la réduction de
(10) sous la forme
xz=%
w
donne
la relation
indépendante -Si
la propriété A est absen-
te
et
C présente.
D est
présente.
En outre.
par
réso 1ut i on
et addition des équations (8) et
(9).
nous trouvons
xz+xz=%
W.
Nous obtenons donc,
pour solution générale et pour
relation
indépendante:
<149>1°)5i
la propriété B est présente dans l'une des produc-
tions.
soit
les
propriétés
A,e
et
D sont
toutes
absentes.
soit
une
seule
d'entre
elles
est
absente.
Et,
inversement.
lorsqu'elles
sont
toutes
absentes---->--on
peut
pn
conclure
la
présence de la propriété A.(7)
2° )51
A et
C sont
toutes deux
présentes
ou
toutes deux ab-
.
sentes.
D
sera
absente
tout
à
fait
indépendamment
de
la
présence ou de l'absence de B.(S) et (9).
Je n'a1 pas entrepris de vérifier ces conclusions.
CHAPITRE 10- LES CONDITIONS D'U~E METHODE PARFAITE.
,150,
1-
Apr-ès
avoir
longuement
étudié
le
domaine
des
"
Propositions Primaires.
nous nous apprêtons à
aborder
l'exa-
men
des
Propositions
Secondaires.
La
transition
entre
ces
deux grandes divisions de la science de la logique nous
fournit
une
excellente
occasion
de
marquer
un
temps d'an-et
et de passer en revue certaines étapes de
la démarche suivie
jusqu'ici.
afin
de
nous
interroger sur
les principes
garan-
tissant
la
perfection
d'une
méthode
dans
un
domaine
tel
que
le notre.
Je ne parle pas ici
de
la perfection qui
tient
à
la seule puissance d'une méthode,
mais de celle qui
repose
également
sur
une
certaine
idée
de
son
adéquation
et
de
son
élégance.
Sans
doute
une
analyse
attentive
de
cette
question
nous
amènerait-elle
à
une
conclusion
analogue
à
1a
su i vante:
une
méthode
par fa i te
ne
se
reconna î t
pas
seu-
lement
a
l'efficacité
a\\'ec
laquelle
elle
atteint
les
buts
qui
présidèrent à sa constitution.
mais a l'unité et à
l 'har-
mon i e
qu' e Il e
man i feste
dans
toutes
ses
procèdures
et
dans
tous
ses
éléments.
Ce
point
de
vue
se
justifierait
pleine-
ment
s i l es
formes
mêmes
de
1a
méthode
en
suggéra i ent
1es
principes
fondamentaux
et,
si
possible,
l'unique
principe
fondamental
dont elles dérivent.
Dans l'application
de ces
considérations à
la
science du
raisonnement,
il
sera
bon
de
fai re
porter
nos
regards
au-delà
des
simpl es
procè-
dures d'analyse.
et
de conduire nos
recherches non seulement
sur
la
démarche
ou
la
forme
déductive
à
privilégier.
mais
aussi
sur
1e
système
de
données
ou
de
prêmi sses
à
part i r
duquel
la déduction doit être effectuée.
2-
QUant
à
la
seule
puissance,
il
ne
fait
aucun
doute
que
la
première
des
méthodes
e.,>;posées
au
chapi tre
VIIl
est
parfaite dans ses limites propres.
L'introduction de constan-
tes
arbitraires
rend
la
démarche
indépendante
des
formes
que
peuvent
prendre
les
prémisses,
ainsi
que
de
toutes
les
conditions auxquelles pourraient
être soumises
les
équations
qui
les
représentent.
Mais
ce
procédé
semble
introduire
un
élément
étranger
et
produ i t
des
so 1 ut i ons
de
forme
à
la
fois
plus
complexe
et
moins
élégante
que
la
deuxiéme
méthode
de
résol uti on
établ i e
dans
1e
même
q
51)
chap i t re.
Il
est
toutefoi s
des
cas
où
1a
seconde
méthode
prend
une
forme
plus parfaite encore que de coutume.
Faire de
l'unique
condition fondamentale qu'exprime l'équation
X(l-x)
= 0
la
forme-type
universelle,
conférerait
aux
procédures
et
aux
résul tats
une
uni té
de
nature
i naccessi bl e
autrement.
Si
la
valeur
d'une
méthode
ne
tenait
qu'à
sa
brièveté
ou
à
sa
commod i té.
l ' on
ne
gagnera i t r i en
à
adopter
un
tel
principe.
De
fait,
s'astreindre
à
chaque
étape
à
une
solu-
tion ·du
type
ci-dessus
conduirait,
dans
certains
cas,
à
s'imposer
le
pénible
labeur
d'une
réduction
préalable.
Il
n'en est pas moins intéressant de savoir que cela est réali-
sabl e;
il
est
même
assez
important
de
conna 1 tre
1 es
cond i-
tions
qui
permettraient
qu'une
telle
forme
de
solution
se
présentât
d' e II e -même.
On
ex am i nera
au
cours de
ce
chapi tre
quelques-uns de ces points.
PROPOSITION 1.
~06
3-Réduire
une
équation
quelconque
de
symboles
logiques
? Jj3__ f Cl_LID~ __~'_=-PL __Q-'~L'L~_él!j_~J~i.L _~__LêLJ,Qt ~~__Q_ldgLLL1.f-
V( 1-V)=0.
On a montré chap.V,ProR.5 que cette condi~ion est satis-
faite
lorsque
V
est
la
somme
d'une
série
de
constituants
et
il
est
évident d'après
la
Prop.2,chap.VII
que
sont
équi-
valentes
toutes
les
équations
qui,
lorsqu'on
les
ramène
par
transposition
à
la
forme
v=O,
donnent
par développement
du
prem i er
membre
l a
même
sér i e
de
const i tuants
affectés
de
coefficients
non
nuls;
la
valeur
numérique
particulière
que prennent ces coefficients étant sans importance.
p~[__ conséquent, l 'objet
de
la
proposition
ci-dessus
~eut
toujours
étre
atteint
par
transJ29sition_q~ tous
les
termes
d' uI)e_équat i on
dans
le
premj er _---l!lembr~_9ève1 oppe-
ment complet de celui-ci,
et substitution,
dans
le
résultat,
de
l'unité
à
tous
les
coefficients
non
nuls,
à
l'exception
çt~,Çeu~q~onLQ_éjà çeLte~a1 eue.
Mais
dans
la
mesure
où
le
développement
des
fonctions
contenant
pl usi eur s
symbo 1es
mène
à
des
express ions
d' une
longueur
qui
les
rend
êfifficiles
à
manipuler<152>,
il
est
à
propos de montrer comment éviter cette source de complexi-
té dans les seuls cas qui
se présentent à nous dans la prati-
que.
Nous avons déjà examiné au chap.VIII
les grandes formes
primitives d'équations.
Ce sont
X=vY,
X=y
vx=vY.
Chaque
fois
que
les
condi tions
X< l-XhO.
Y( l-Y)=O
sont
sa-
tisfaites,
nous
avons
vu
que
les
.j~ux
premières
équations
nous donnaient
les
formes
X<l-Y)=O.
(1)
X<I-Y)·Y(I-X)=O
(2);
et
1 'on
peut
montrer
que.
sous
les
mêmes
condi tions.
la
dernière équation peut
s'écrire
v{X(I-Y)·Y(l-X)}=O
(3);
i l
est
évident
que
les
premiers membres
de
toutes
les équa-
tions ainsi
obtenues satisfont à
la condition
V(I-V)=O.
Or
pu i sque
te I l es
sont
1 es
formes
et
1 es
cond i t ions
sous
lesquelles
se
présentent
effectivement
les
équations
d'un
système
logique.
après
a\\'oir
trou\\'è
leur
E.<":pression
adéquate.
i l
est
toujours
possible,
par
la
méthode
précéden te.
de
les
ramener
à
une
forme
où
elles
obéissent
à
la
loi
en
question.
Cependant.
chacune
des
équations peut
étre
soumise
à
cette
loi,
sans
que
leur
somme.
équi\\'alente
au
systéme
(VIII. 4), 1e
so i t
pour
autant;
i l
reste
donc
à
--~-
montrer
comment
on
peut
également
imposer
à
cette
somme
la condition en question.
On
représente
l'équation
obtenue
par
addition des équa-
tions réduites du système sous la forme
v+v'+v" etc ... =O
(4);
cette
équation
unique
étant
donc
équivalente
à
la
totalité
du
systéme
d' où
e Il e
fut
tirée.
On
pose
par
hypothése
que
v,v' ,v" ,etc ...
sont
des
termes
de
classe
<IX.l)
qui
satis-
font aux conditions
1,08
v ( 1 - \\' ) oc 0 • \\' • ( 1 - V • ) = 0 • etc,
On
troU\\'era
l'interprétation
complète
cie
(4)
<153
en
deve-
loppant
le
premier
membre
par
rapport
à
tous
les
s~'mt)oles
élémentaires x.y.etc,.,
qu'il
contient,
et
en égalant à
o tous
les
const i t uants
dont
les
coeff ici ents
ne
sont
pas
nu l s;
en
d'autres
termes,
tous
les
const i tuants
que
l'on
trouve
èaTl S
\\'
ou
v'
ou
\\l" ,
etc, . ,
!'tais
ces
consti tuants
sont
premièrement
ceux
que
l'on
trouve
dans
v,
deuxièmement
ceux
que
l'on
ne
trouve
pas
dans
v.
mais
que
l'on
trouve
dans
v' .. troisièmement ceux que l'on trouve ni dans v. ni
dans
v'.
ma i s
qu' on
trouve
dans
v".
et
ainsi
de
su i te.
Ce
seront
donc
les
const i tuants
que
l ' on
trouve
dans
l ' expres-
sion
v - ( 1 - v ) V ' + ( 1 - v ) ( 1 - v . ) \\' " - etc . "
( 5 )
où
aucun
constituant
n'est
répété
et
qui,
manifestement.
sa t i s fa j t
à
1a
loi
V ( 1- V) = 0 .
si, ~ar conséquent.
nous avions l'expression
où
les
termes
1-t,
1-Z
sont
placés
entre
parenthèses
pour
indiquer
qu'ils
doivent
étre
considérés
comme
des
termes
de
classe
uniques.
nous
devrions.
d'après
(5).
la
ramener
à
une
expression
obéissant
à
la
condition
V(1-V)=0
par
mul-
t i pl i cat i on
de
tous
l es
termes
aut res
que
le
prem i er
par
t,
pu i s
de
tous
l es
termes
postér i eurs
au
second
par
1-v,
et
enfin
du
dernier
terme
subsistant
après
le
troisième
par z;
le résultat sera
(1-t)+tv+t(1-v)(1-Z)+t(1-V)zw
4-Toutes
les équations
logiques peuvent donc
se
ramener
à
la
forme
V=-O.
où
\\'
satisfait
à
la
loi
de
dualité.
Cepen-
dant,
un
degré
de
perfection
plus
élevé
serait
évidemment
atteint,
si
les
équations
se
présentaient
toujours
sous
une
te I l e
forme,
sans
avo i r
à
subi r I a
mo i ndre
transforma-
tion'
et
si
cette
forme
ne
se
manifestait
pas
seulement
dans
leur
expression
primitive,
mais
se
conservait
après
] es
add i tians
qu' impose
1a
réduc t i on
de
systèmes
d' équa-
t i ons
à
des
formes
un i ques
équ i va 1 entes.
Si
e I l es
ne
pré-
sentent
pas d'elles-mêmes ce
caractère,
cela n'est pas
impu-
table,
en
fait,
à
un
défaut
de
la
méthode,
mais
tient
à
ce
que
nos
prémisses
ne
sont
pas
toujours
complètes,
prèci-
ses
et
indépendantes.
Elles ne sont
pas
complètes
lorsqu'el-
les
enveloppent
des
relations
matérielles
(par
opposition
à
des relations
formelles)
qui
demeurent
implicites.
Elles
ne
sont
pas
précises
lorsqu'elles
impliquent
des
relations
qu'on ne voulait pas
leur faire exprimer.
Mais laissant
de
côtè
ces
deux
aspects
qui
offrent
moins
d'intérêt-
ici,
demandons-nous
dans
quel
sens
el l es
pourrai ent
ne
pas
ètre
indépendantes.
--'-
<154>
5-Un
système
de
propositions
peut
être
dit
indé-
pendant
s' i l
n'est
pas
possi bl e
de
dédu ire
à
part i r d ' une
partie
quelconque
de
ce
système
une
conclusion
qui
peut
être
déduite
d'une
autre
partie
du
même
système.
Supposons
'lue
les
équations
qui
en
traduisent
les
propositions
ont
toutes été ramenées à
la forme
V=O;
alors
la
condition
d'indépendance
ci-dessus
signifie
qu'au-
cun
constituant
pouvant
apparaître
dans
le
développement
d'une
fonction
particulière
V
du
système
ne
peut
apparaître
dans
le dèveloppE:'ment
d'une autre
fonction
v'
du mème
s~'stè
me.
Si
cette
condition
n'est
pas
satisfaite,
les
équations
du
système
ne
sont
pas
i ndèpendant es.
Ce l a
peut
se
produ ire
dans plusieurs cas.
Supposons que
toutes
les équations aient
un
premier
membre
satisfaisant
à
la
loi
de
dualité;
alors,
siun
terme
posi t i f
x
appa ra 1 t
dans
le
dève l oppernen t
d'une
équation
et
un
terme
X~J
dans
celui
d'une
autre
équation,
ces
équations ne
sont
pas
indépendantes
le
terme
x
pourra
se développer en xy+x(}-y),
et
l'équation
xy=o
est
donc
contenue
dans
chacune
des deux
équations
du
systè-
me.
De
même,
si
un
terme
xy
apparatt
dans
une
équation
et
un
terme
xy
dans
une
autre,
chacune
d'elles
peut
être
de\\e-
loppée
de
mani ère
à
fa i re
appara 1 tre
le.
const i tuant
com-
mun
xyz.
On
peut
fac i l ernent
i mag i ner
d' aut res
cas
où
des
prém i sses
qu i
semb lent
à
premi ère
vue
t ota l emen t
i ndépen-
dantes
ne
le
sont
pas
en
réal i té.
Toutes
l es
foi s
donc
que
--..des
équations
de
la
forme
v=o ne sont pas réellement indé-
pendantes,
mème
si
prises
individuellement,
elles
satisfont
à
la loi
de dualité
V(}-V)=Q
l'équation
équivalente
obtenue
par
leur
addition
n'obéira
pas à
cette condition,
à
moins qu'on effectue
les
réductions
nécessaires
selon
la méthode du présent
chapitre.
A
l'inver-
se,
lorsque
les
équations
d'un
système
satisfont
à
cette
loi
et
sont
également
indépendantes
les
unes
des
autres,
leur
somme
obéira
aussi
à
la
même
loi.
Je
me
suis
étendu
sur
ces
points
plus qu'il
n'eût
été nécessaire
s ' i l
ne m'a-
\\'ait sE-rnblé
important que nous nous efforçions de concevoir
et
de
garder
présent
à
l'esprit,
dans
tous
nos
travaux,
le modèle
d'une
perfection
idéale,
comme
but
et
comme
guide
de
nos
prochains
efforts. < 155>
Dans cet
ordre
de
recherches)
la
principale
amélioration
qu'il
faille
s'efforcer
d'appor-
ter
à
la
méthode
doit
être
de
facilitel'
la
transformation
des
équations,
dans
la
mesure
où
l'exigence
de
brieveté
le permet,
de façon
à
rendre universelle
la condition
fonda-
mentale évoquée ci-dessus.
En
rapport
avec
ce
sujet,
les
Proposi t i ons
su i vantes
sont dignes d'intérét
PROPOSITION II.
~_i_L~_RLeJlLier membre d~J1e éQuat i~CUJ..i"kQ)]..9JJe v=o sat i sfa i t
à
la
condition
V(1-V)",O,
et
si
l'expression
d'un
svmbole
9..!:!elcoJ19ue
t
dans
cette
_~Quation est
déterminée
comme
une
fonc t i on
déve 1 oppée
des
aut res
s\\'mbo les. - 1 es
coe f fic i ents
du
déve 1 oppement
ne
peuvent _:prendre
d' aut re
forme
~ 1,0,
.--'-
Si,
en
effet,
on
développe
l'équation
par
rapport
à
t.
on obtient le résultat suivant
Et+E'(1-t)
E et
E'
étant
les valeurs prises par
V
lorsqu'on
y
remplace
t
par
1,
puis
par
O.
E
et
E'
eux-mêmes
satisfont
donc
les
conditions
E( 1-E)"'O,
E' (1-E' )"'0
(2).
Or (1) donne l ' équat i on
t=E'/<E'-E),
dont
i}
faut
développer
} e
second
nlE'mbre
comme
une
fonet ion
(jes
autres
sym)xl1es.
IL
est
évident
que
les
seules
\\'aleurs
nurnér i ques
que
pu i ssent
prendre
E
e t E '
l or squ 'on
ca leu le
les
coefficients seront
1
et
O.
Seuls
les cas sui\\.'ants peu-
vent donc se présenter
:
l ° ) E ' = l .
E=l.
donc E'/(E'-E)=1/0.
2°)E'=l,
E=O,
donc E'/(E'-E)=1.
3°)E'=O,
E=l,
donc E'/(E'-E)=O.
4°)E'=O,
E=O,
donc E'/(E'-E)=O/O.
La vérité de la Proposition est alors évidente.
(156)
6-0n
remarquera
que
les
formes
l,
0
et
%
appa-
raissent
dans
la
solution
des
équations,
indépendamment
de
toute
référence
à
la
condition
V(l-V)=O.
Mais
il
n'en
\\'a
pas
de
même
du
coefficient
1/0.
Les
termes
au:"quels
ce
coefficient
est
attaché
lorsque
cette
condition
est
satis-
fai te
peuvent
prendre
toutes
sortes
de
\\'21 eurs
aut res
que
1 , 0
et
0/0,
lorsqu'elle
ne
l'est
pas.
On
pourra
remplacer
par
1/0
ce
qu i
donnera i t u n e
éc rit ure
un i forme
tout
coefficient
dans
un
développement
qui
ne
se
présenterait
sous aucune des quatre formes mentionnées dans cette Proposi-
tian;
1/0
devra alors
être
considéré
comme
le
symbole
indi-
quant
que
le
consti tuant
auquel
il
est
attaché
devrai t
étre
égalé à
O.
C'est un procédé que j'adopterai
souvent.
PROPOSITION III.
7-Le
résultat
de
1 ' é} i mina t ion
de~mboles
que} conques
Y.
etc . . . d'une
équation
V=O,
dont
le
premier
membre
satis-
fait à
la
loi de dualité
V(l-V)=O,
Supposons
que
l'équation
v=o
ne
contienne
que
trois
symboles x.
y.
t,
et
qu'on doive
en
éliminer x
et
y.
Posons
que le développement de l'équation par rapport à
t e s t
At·B(l-tl=O
(1);
A et B ne contenant pas le symbole t.
En
vertu de
la Prop.3.
chap.IX.
le
résultat
de
l'élimi-
nation de x
et y dans l'équation donnée sera de la forme
Et+E'(]-t)=O
(2)
où
E
est
le
résul tat
de
l 'él imination
des
s~'mboles x
et
y
dans
l'équation
A=O,
E'
le
résultat
de
l'élimination
de
x
et
y
dans l'équation B=O.
<157>
A et B doivent satisfaire à
la condition
A(}-A)=O.
B(]-B)=O
Par
conséquent,
soit
A
(pour· nous
en
tenir
ici
à
ce
coeffi-
cient
)
sera
égal
à
0
ou
à
1,
soit
A
sera
un
constituant
ou
la
somme
d'une
partie
des
constituants
contenant
les
symboles
x
et
y.
si
A=O.
i l
est
évident
que
E=O;
si
A
est
un
const i tuant
un i que
ou
1a
somme
d'une
part i e
des
const i -
tuants
contenant
x
et
y.
E
sera
égal
à
O.
En
effet.
le
développement
complet
de
A
par
rapport
à
x
et
y
contiendra
des
termes
dont
les
coefficients
s'annulent.
et
E
est
le
produit
de
tous
les
coefficients.
Donc
lorsque
A=l.
E
est
égal
à
A;
mais
dans
tous
les
autres
cas,
E
est
égal
à
O.
De
même.
quand
B=].
E'
est
égal
à
B'. ma i s dans tous les
autres cas.
E'
s'annule.
Bref.
l'expression
(2)
sera la
partie cIe
(1).
si
elle e:dste,
où
les coefflcientst..
~,t
B sont
égaux
à
l'unité.
Ce
r-aisonllE'werJt
est
gE-néral.
5uppo-
sons en
effet,
à
titre
d'exemple.
que
\\'
contienne
les
sym--
baIes
x,
Y.
Z,
t
et
qu'on
demande
d'éliminer
x
et
y_
Si
le développement de V par rapport à
Z et
t e s t
zt+xzCl-t)+y(]-z)t+(I-Z)(I-t),
le résultat cherché sera
zt+C1-z)<I-t)=O,
c'est-à-dire
la
partie
du
développement
où
les
coefficients
sont égaux à
l'unité.
Donc,
si
d'un
système quelconque d'équatic'T1s, on (jéduit
une
équation
unique
v=o
qui
lui
est
équivalente,
et
si
V
satisfait à
la condition
V(I-V)=O,
on
peut
se dispenser
complétement des procédures habituelles
d'élimination
et
leur
sutlstituer
le seul
procédé de ,jro",e]op-
pement.
8-11
peut
arriver
que
l'on
ne
gagne
rien
à
emplo~'er
l a
méthode
exposée
ici,
e Il e n ' en
présen te
pas
mo i ns
une
cohérence
et
une
complétude
théoriques
qui
lui
méritent
l'attention,
je me propose par conséquent de consacrer
un
prochain
chapitre
(XIV)
à
l'illustrer.
Les
progrès
des
mathématiques
appliquées
ont
pu
fournir
d'autres
exemples
remarquables
de
réduction
des
systèmes
de
problèmes
ou d'é-
quations
sous
la
domination
d'une
loi
centrale
et
omnipré-
sente.
<158>
g-Ce qui
précède montre qu'il
y
a
une seule clas-
se
de
propositions
auxquelles
il
n'est
pas
nécessaire
d'ap-
pliquer
les
procédés
spéciaux
des
présentes
méthodes
de
transformation
préalable.
Elle
se
caractérise par
les condi-
,
tions suivantes:
Premièrement,
que
les propositions soient du
type ordi-
naire qu'indique l'usage de
la copule est ou sont,
les prédi-
cats étant particuliers.
Deuxièmement,
que
les
termes de
la proposition
puissent
se
comprendre
sans
que
l'on
suppose
une
re 1at ion
i mpl ici te
quelconque
entre
les
éléments qui
figurent
dans
l'expression
de ces termes.
Tro i si èmement,
que
1 es
proposi t ions
so i ent
i ndépendan-
tes.
\\ous
pouvons,
si
de
telles
spéculations
ne
sont
pas
tota1e-
ment vaines, aller jusqu'à conjecturer que c'est à
ces
cond i tians
que
devra i ent
obè i r,
dans
1 eur
emploi
du
1angage
comme
instrument d'expression et de pensée,
des êtres infail-
libles
qui
disent
simplement
ce
qu'ils
voudraient
dire,
sans
recourir
ni
à--·L'ellipse,
ni
à
la
redondance.
Lorsqu'on
1 es
cons i dère
aussi
bi en
dans
1 eur
rapport
à
l ' idée
d'une
1angue
parfai te
que
dans
1 eur
rapport
aux
r:>rocédures
d'une
méthode
exacte,
ces
conditions
méritent
également
l'atten-
tian du lecteur.
CHAPITRE 11- LES PROPOS]TIO~S SECO~DAIRES
E1
LES PRIJ',CJPES DE LEUR
EXPRESSIOK SYI1BOLlOl'E.
<: 159>
1-
Nous
avons déjà
établ i ,
au
chap. 1v,
que
tou te
propos i t ion
log i que
pouva i t
se
rappor t er
à
l'une
des
deux
grandes
classes:
celle
des
Propositions
Primaires
et
celle
des
PrOfHJsitions
Secondaires.
L'étude
àe
la
premi2fe
cla-
se
a
fa i t
l ' obj et
des
chapi t res
précéden t s,
et
nous
abor-
dons maintenant
l'examen des Propositions secondaires:
c'est-
à -d ire
des
propos i t ions
portan t
sur
d' aut res
proposi t ions
considérées
comme
vraies
ou
faussesjou
qui
leur
sont
liées.
L'étude
que
nous
allons
entreprendre
présentera
le
même
ordre
et
la
mème
démarche
générale
que
celle
que
nous
avons
déjà
merJèe.
La
di fférence
dans
l'anal>se
tient
a
celle
àes
objets
de
pensée
dans
l es
deux
doma i nes,
et
non
pas
aux
lois
formelles
et
scientifiques
qui
S'~I
révèlent,
ni
aux
méthodes
etaux
procédur es
qu i
son t
fondées
sur
ces
loi s.
La
probabilité,
dans
une
certaine
mesure,
nous
laisserait
prévoir
un
tel
résultat.
Elle
consiste,
à
partir
de
tout--·-
ce
que
nous
savons
de
l'uniformité
de
la
Nature
et
de
tout
ce
que
nous
croyons
de
l'immuable
constance
de
l'Auteur
de
la
Nature,
à
supposer
l'existence
dans
l'esprit,
qui
a
été
doté
de
facultés
si
élevées
et
dont
i l
use
non
seulement
dans
ses
relations
au
monde
qui
l'entoure,
mais
aussi
pour
se
connaître
lui-même
et
réfléchir
aux
lois
de
sa
propre
const i tut ion..
d'une
harmon i e
et
d'une
un i formi té
qu i
ne
sont
pas
mo i ns
rée Iles
que
ce I l es
que
nous
fa i t
connaître
l'étude
des
sciences
de
la
nature.
Nous
ne
devons
jamais
faire
de
telles
anticipations
la
r-égle
première
de
nos
r e c ~ le r che s ,
e t e Ile s
fi e
do ive nt.
e fi
au (: une
f 3 ç 0 n.
flOU s
détourner
de
la
démarche
lente
et
patiente
par
laquelle
nous
établissons
effecti\\"ement
la
constitution
du
domaine
particulier
qui
fait
l'objet
de
notre
étude.
Mais
lorsque
nous
avons
réellement.
"et
objectivement.
fait
apparaître
les
fondements
d'une
res~emb]3nce. i l
n'f,"st
f:jas
illégitime,
même pour des
fins
purement
scientifiques,
de
faire
de
cette
ressemblance
un
sujet
de
réflexion.
d'en
explorer
l'étendue,
et
de
recueillir
les
éléments
de
vérité
qui
n'avaient
pas
encore
été
découverts,
et
qu'elle
peut
160>
nous
paraître
con ten i r.
On
n' abandonne
donc
pas
1a
nécess i t è
d' en
appe 1er
ultimement au
fait,
et
l'on n'étend pas
l'usage de
l'analogie
au - de] à
d e s 0 n
r ô l e p r 0 pre:
su 9 g é r e r
des
r a j":' P0 r t s
q u . U Ii e
recherche objective devra vérifier ou rejeter.
2-Les
Propositions
Secondaires
sont
celles--9.!LL~ort_~!lt
sur D' aut res
propos i t i ons
cons i dérÉ'es
comme
vra i es
ou
f aus-
ses
ou
gu i
] eur
son t
liées.
i\\ous
e:>:pr i mons
les
re 1a t ions
ent re
,choses
par
des
proposi ti ons
pr i ma ires.
Ma i s
nous
pou-
vons
aussi
faire
des
propositions
elles-mêmes
l'objet
de
la pensée
et
exprimer des jugements à
leur propos.
L'expres-
sion d'un
jugement
quelconque de
cette
nature
est
une propo-
sition secondaire.
Il
n'est pas de proposition,
quelle qu'el-
le
soit,
pour
laquelle
nous
ne
puissions,
avec
un
degré
de
connaissance
suffisant,
énoncer
l'une
ou
l'autre
des
affirmations
suivantes:
soit
que
cette
proposition
est
vraie
soit
qu'elle
est
fausse;
et
chacune
de
ces
affirmations
est
une
proposition
secondaire.
"Il
est
vrai
que
le
soleil
brille";
"il
n'est
pas
\\Tai
que
les
planètes
br-ilJent
de
leur
propre
l UII1 i ère"
en
const i t uen t
des
e>~ernples.
Dans
le
premier,
on
affirme
de
la
proposition
"le
soleil
brille"
qu'elle
est
vraie.
Dans
le
second.
on
affirme
de
la
propo-
sition
"les planètes brillent de
leur propre
lumière"
qu'el-
le
est
fausse.
Les
propositions
secondaires
comprennent
également
tous
les
jugements
par
lesquels
nous
e~prim0ns
une
relation
ou
une
dépendance
entre
des
propositions.
A
cette
classe
ou
subdivision,
nous
pouvons
rapporter
les
propositions
conditionnelles
telles
que
"Si
le
soleil
bril-
le.
la
journée sera
tlelle".
:\\insi
que
la
plupart
des
propo-
sitions
disjonctives
telles
que
"Ou
le
soleil
brillera
ou
l • en t repr i se
sera
rem i se" .
Dans
le
prem i er
exemp le.
nous
exprimons
que
la
vèrité
de
la
proposition
"la
journée
sera
belle"
dèpend
de
cel le de
la
proposi tion
"le
solei l
bri lIe-
ra".
Dans
le
second,
nous
expr i mons
une
re l at i on
en t re
les
deux
proposi ti ons
"1 e
so lei l
brillera"
et
"1 'entreprise
sera
remise".
qui
indique
que
la
vérité
de
l'une
exclut
ce l l e--de
l ' aut re.
Nous
devons
auss i
rapporter
à
la
méme
classe des
propositions secondaires toutes celles qui
affir-
ment
la
vér i té
ou
l a
fausseté' si mu l tanée
d' aut res
proposi-
tions;
par
exemple
"il
n'est
pas
vrai
à
la
fois
que
"le
soleil
brillera"
et
que
"le
voyage
sera
remis''''.
Les
élé-
men ts
de
di f férence
que
nous
avons
notés
peuvent
même
se
retrouver
dans
la
même
proposition
secondaire.
Celle-ci
peut
contenir
à
la
fois
l'élément
disjonctif
exprimé
par
ou
bien,ou
bien,
et
l'élément
conditionnel
exprimé
par
si;
à
cela
il
faut
ajouter
que
les
propositions
ainsi
connec-
tées
peuvent
être
elles-mêmes
de
nature
composée.(161)âi
"le
soleil
brille"
gel
que
"nous
en
avons
le
tE:'mps",alors
ç)u----.!d~~n
"nous
commencerons
l ' entréprise".
ou_l2.Len
"nous
ferons
quelques
p"réparatifs".
Dans
cet
exemple.
plusieurs
propos i t i ons
sont
connec t ées,
non
pas
d' une
façon
arbi t ra i -
re
et
sans
signification,
mais
de
manière
à
exprimer
un
lien
deJ-_erfllipé
les
unissant
et
qui
concerne
leur
\\"èr"ité
et
fausseté
respectives.
Cette
combinaison
constitue
donc,
selon notre définition,
une Proposition Secondaire.
La
théorie
des
Propositions
Secondaires
mérite
une
étude
attentive
aussi
tlien
pour
ses
multiples
applications
que
pour
cet te
ana log i e
ét ro i te
et
flarmon i euse.
que
nous
avons
déjà
évoquée,
qu' e I l e
en t reti en t
avec
1a
théor i e
des
Propositions
Primaires.
Sur
CfJaCUn
de
ces
dE:'uX
points
j ' a i -
merais faire quelques observations supplémentaires.
3-
Je
remarquerai
d'abord
que
c' est
sous
1a
forme
de
propositions
secondaires.
au
moins
aussi
souvent
que
de
propositions primaires,
que
se
manifestent
les
raisonnements
de
la
vie
courante.
Les
arguments
du
moraliste
et.d-u méta-
physicien
aussi
concernent
sans
doute
moins
souvent
les
choses
et
leurs
quaI i tés
que
les
principes
et
les
hypothè-
ses,que
les
vérités
ainsi
que
la
connection
et
la
relation
entre
les
vérités.
Les
conclusions
que
notre
expérience
1 i mi tée
propose
des
grandes
questi ons
éth i ques
et
soc i al es
qu i
demeurent
encore
sans
réponse
révè lent,
à
bi en
des
é-
gards,
les
limites
qui
tiennent
à
leur
origine
humaine;
et
si
nous
ne
devons
pas
remet tre
en
quest i on
l ' ex i stence
de
principes
universels,
i l
demeure
que
les
formulations
partielles
qui
exprirrient
notre
connaissance
de
la
manière
dont
i l s
s'appliquent
sont
conditionnèes
et
susceptibles
d' except i ons
et
d' éctlecs.
Ainsi,
clans
1es
recherches
que
1a
na t ure
de
1eur
objet
devra i t
rendre
i mportan t es
ent re
toutes,
l 'essent i el
de
not re
conna i ssance
e f fec t i ve
est
hypothéti-
que.
L'on
verra
pl us
loi n
que
1 a
tendance
est
tI-ès
forte,
chez
les philosophes spéculatifs,
à
adopter
les mémes
formes
de
pensée.
c'est
pourquoi,
établir
une
méthode
générale
d'ana 1~'se
des
proposi t ions
hypothét i ques
ainsi
que
des
au-
tres
formes
de
propositions
secondaires
nous
offrira
un
plus vaste champ d'applications que précédemment.
4-
L'intérêt
de
l'analyse
des
Propositions
Secondaires
tient
ensuite
à
l'étroite
et
remarquable
analogie
qu'elle
entretient
avec
la
théorie
des
Propositions
Primaires.
L'on
verra
< 162'
que
1 es
loi s
formell es
auxquell es
sont
soumi ses
1es
opéra tians
men ta 1es
trouvent,
dans
1 es
deux
cas,
une
expressi on
i dent i que.
Par
conséquent,
1es
proc édures
ma t hé-
matiques
fondées
sur
ces
lois
sont
également
identiques.
Les
méthodes
qui
ont
fai t
l'objet
de
nos
recherches
dans
1a
prem i ère
part i e . de
cet
ouvrage
cont i nueront
donc
d' étre
applicables dans
le
nouveau domaine que
nous allons aborder.
Ma i s
si
1 es
loi s
et
1es
procédures
demeurent
inchangées,
1a
rég 1e
d' i nterprétati on
devra
étre
adaptée
à
de
nouve I l es
condi t ions.
Aux
classes
de
choses
nous
devrons
subst i tuer
des propositions,
et
à
la place
de
relations entre des clas-
ses,
nous devrons considérer des connections entre des propo-
sitions ou des événements.
On
\\'pr ra
cependant
qu' j 1
ex j st e
ent re
1es
s~'st èmes,
aussi
différents
soient-ils
dans
leur
signification
et
leur
interprétation,
une
relation
d'harmonie
partout
présente,
une
analogie
qui,
tout
en
facilitant
la
solution
de
toutes
les
difficultés
qui
pourraient
encore
subsister,
est
en
elle-méme
un
important
sujet
de
reflexion
et
une
preuve
concluante
,je
l'uni té
de
natur'e
qui
marque
la
consti tution
des facultés humaines.
PROPOSITION
J.
5-Etud~ de
la
nature
du
lien
entre
les
Propositions
Secon-
Qj3js e~__~.~~--'-tQé~_~r ernps .
I l
est
nécessaire,
avant
d'aborder
cette
étude,
d'éta-
blir
clairement
la
nature
de
l'analogie
entre
les
Proposi-
tians Primaires et
les Propositions Secondaires.
Les
Propositions
Primaires
expriment
des
relations
entre
des
choses
consi dérées
comme
él éments
d'un
unÏ\\'ers
qui
définit.
les
limites
de
notre
discours,
qu'elles
soient
coextensives aux
limites de
l'univers réel
ou
non.
Les
rela-
tions
exprimées
sont
essentiellement
substantielles.
QUelqUe~nS, tous ou aucun des éléments d'une classe donnée
sont
aussi
éléments
d'une
autre
classe.
Les
objets
sur
l esque l s
portent
1 es
propos i ti ons
pr i ma ires
-
les
re l ati ons
entre
1 es
objets
qu' elles
expr i ment
sont
tous
de
cet te
nature.
Ma i s
lorsque
nous
tra i tons
des
proposi ti ons
seconda i -
res,
nous
nous
occupons
d'une
autre
catégori e
d'objets
et
de
relations.
En
effet
les objets auxquels nous avons affai-
re
sont
eux-mémes
des
proposi t i ons,
de
sorte
que
nous
pou-
vons
nous
poser
la
question
sui\\'é:lnte:
peut-on
considérer
ces
objets
·163"
é9alement
cc·mrne
d.::,s
ÇJ!..QSE~
et
les
r~-jpj.:Ji)r
ter,
par
analogie
avec
le
cas
précédent.,
à
un
univers
qui
leur est propre? Encore une fois
les relations entre ces
proposiLions-objets
sont
des
relations
de
coexistence
entre
leur
vér i té
ou
leur
fausseté,
et
non
d' équ i va l ence
substan-
tielle.
Nous
ne
disons
pas,en
exprimant
la
relation
entre
deux
propositions
distinctes,
que
l'une
est
l'autre
,mais
,selon
la
signification
que
nous
voulons
exprimer
,nous
employons
des
formules
telles
que:"~Q-i-..t
la
proposition
X
est
vraie
soit
la
proposition
Y
est.
vraie";"si
la
proposition
X
est
vraie,
la
proposition
y
est
vraie";"les
propositions
X
et
y
sont \\Taies ensemble";etc",
En
examinant
des
relations
comme
celles-là
nous
n'a-
vons
pas
à
chercher
toute
l'étendue
de
leur
signi fication
possible
<cela
pourrait
nous
mener
à
des
questiclns
rnéta-
phy'siques
de
causalité
qui
sont
au-delà
des
limites
pro-
pres
de
la
science);
mais
il
suffit
d'établir
une
signifi-
cation
qui
assurément
est
la
leur
et
qui
convient
aux
ob-
jecti'fs
de
lQ... déduction
logique.
Examinons
par
exemple
la
proposition
conditionnelle"Si
la
proposition
X
est
\\Taie
la
proposition
Y
est
vraie".Une
signification
avérée
de
cette
proposition
est
que
le
temps
durant
lequel
la
pro-
posi ti on X est
vra i e
est
le
temps durant
l eque l I a
proposi-
tion
Y
est
vraie.Il
ne
s'agit
là
,en
fait,que
d'une
rela-
tion
de
coexistence
qui
peut
ou
non
épuiser
la
significa-
tion
de
la
proposition
mais
qui
découle
véritablement
de
son
énoncé
et
qui,en
outre
suffit
à
tous
les
otJjectifs
de
'inférence logique.
Le
langage
ordinaire
confil'me
l'jijèe
d'un
lien
('5.5erJ-
tiel
ent.re
les
propositions
secondaires
et
la
notion
de
temps.C'est
ainsi
que
nous
limitons
l'extension
d'une
pro-
position
primaire
par
le
mot
"quelqu~'
mais
celle
d'une
prciposition
second3ire
par
le
met
"quelquefois".
L'É'fJonce
"l'injustice
triomphe
quelquefois"
est
identique
à
l'affir-
mation
qu'il
y
a
des
moments
où
la
proposition"l'injustice
triomphe"est
une
proposition
vraie.
Il
y
a
effectivement
des
propositions
dont
la
vérité
ne
se
limite
pas
ainsi
i.~
des
périodes
et
des
circonstances
particulières;des
pro-
positions
qui
sont
vraies
en
tout
temps
et
qui
ont
reçu
le
nom
(je
"vérités
éternelles",
Cette
,jistinction
àOlt
ê:_re
familière
à
tout
lecteur
de
Platon
et
d'Aristote;
celui-
ci r
en
particul ier, l' emploie
pour
exprimer
la
(ji fférence
enu-e
les
vérités
abstraites
de
la
science
-telles
que
les
prc-
positions
géomètriques
qui
sont
toujours
'164'
\\Taies-,
et
les
re lat ions
cont i ngentes
et
phénoména l es
des
choses,
qui
quelquefois
sont
yraies
et
quelq~ois
fausses.
Mais
les
formes
linguistiques qui
expriment
l'un
et
l'autre types
de proposition~ontrent leur commune dépendance de l'idée
de temps;dans un cas leur vérité se
limite à
une durée déter-
minée
,dans l'autre elle se projette vers l'éternité.
En
fait,on
peut
dire
que
dans
le
raisonnement
ordinai-
re
nous
sommes
souvent
totalement
inconscients
de
cette
not i on
de
temps
enve l oppée
dans
l'usage
même
du
langage.
Mais
cette
r-C'lTiarque, si
juste
soit-elle,
ne
fait
que
lTIGntrer
que
nous
raisonnorls
ordinainoment
en
usant
(jes
mots
et
des
formes
d'un
langage
bi en
cons t ru i t,
sans
prendre
cons-
cience
des
fondements ultimes sur
lesquels ces
formes
elles-
mêmes
ont
été
établies.
La
démarche
que
nous
adopterons
dans
les
présentes
analyses
nous
permettra
d'illustrer
le
même
principe.
J'utiliserai
la
notion
de
temps
pour
déterminer
les
lois
de
l'expression
des
propositions
se-
condaires
ainsi
que
les
lois
de
combinaison
des
symboles
qui
les
traduisent
.Mais
une
fois
déterminées
ces
lois
et
ces
formes, on
pour ra
,dans
l a
prat i que, se
passer
de
cet te
notion
de
temps(que
je
crois
essentielle
à
l'objectif
que
nous
venons
d'indiquer).
~ous
pouvons
alors
passer
des
formes
du
langage
ord i na ire
aux
formes
,déjà
exposées
-qu i
leur
sont
analogues
de
man i ère
si
étroi te-de
l ' instrument
sy-mbo l i que
de
1a
pensée
, en
emp loyer
1 es
procédures
et
en
interpréter
les
résultats
,sans
faire
aucun
usage
conscient
de
l'idée de temps.
---.-
PROPOSITION I l
7-Etabl i r
un
système
de
notati on
pour
expr imer
les Proposi-
tions
Secondaires
et
montrer
que
ses
symboles
sont
soumis
aux
mémes
loi s
de
combi nai son
que
les
svmbol es
correspon-
dants utilisés pour
l'expression des Propositions Primaires.
Utilisons
les
lettres
majuscules
X.Y.Z
pour
traduire
les
propositions
élémentaires
dont
nous
voulons
affirmer
quelque
chose
concernant
leur
vérité
ou
leur
fausseté,ou
pour
lesquelles
nous
cherchons
à
exprimer
une
relation
sous
la
forme d'une proposition secondaire.
Et utilisons les
minuscules
correspondantes
x,Y.z,dont
nous
considérerons
qu'elles
expriment
des
OPt~r'ations
mentales
dans
le
sens
, 165
suivant
x
représente
un
acte
mental
qui
fixe
l'at-
tention
sur
la
portion de
temps durant
laquelle
la
proposi-
tion
X est
vraie.
Utilisons
en
outre
les
symboles
de
rela-
tion
+ -,=
etc . . . dans
le
sens
suivant:
x+y
représente
la
réunion
des
portions
de
temps
durant
lesquels
les
proposi-
t j ons
X
et
Y
sont
respect i vement
vra i es
, ces
temps
étant
tout
à
fait
distincts.
De
même,x-y
représente
le
temps qui
reste
lorsque
de
1a
port i on
de
temps
où
X
est
vra i e
nous
retranchons
la
portion
de
temps
qu'elle
contient
(on
le
suppose)
et
où
Y
est
vraie.
x=y
traduira
de
même
que
le
temps
durant
lequel
la
proposition
X est
vraie
est
identi-
que
au
temps
durant
lequel
la
proposition
Y
est
\\raie.
Nous
appe lIerons
x I e
symbo 1e
représentant
1a
proposi t i on
X etc . . .
De
ces (jéfinitions
il
découle
que
nous
aurons
toujours
.---. -
en
effet,
1 es
deux
membres
de
cet te
équat i on
représente-
ront la même réunion de portions de temps.
Tradu i sons,
en
outre,
par
xy
l ' e f fec t uat i on
success ive
des
deux
opérat i ons
représentées
par
x
et
y
, c . est -à-d ire
l' 0-
pérat i on
menta 1e
tota 1 e
qu i
se
décompose
dans
1 es
éléments
suivants:
l°)la
sélection
mentale
de
la
portion
de
temps
pour
laquelle
la
proposition
Y
est
vraie.
2°)la
sélection
mentale,
dans
cette
portion
de
temps
,de
celle
qui
y
est
contenue et pour laquelle la proposition X est vraie;
le
résultat
de
ces
opérations
successives étant
de
fixer
l'at-
tpnticJn
de
J'esprit
sur
la
totalité
de
la
portion
(je
temps
où
les propositions X et Y sont
toutes deux vraies.
De
cet te
déf j nit i on
il
décou le
que
nous
aurons
tou-
jours
xy= ~'x
( 1 )
En
effet,
que
l'on
sélectionne
mentalement
d'abord
]a
por-
tion
de
temps
où
la
proposition
Y est
vraie,
pour
ensuite
sélectionner,
dans
le
résultat,
]a
portion
de
temps
qui
y
est
contenue
et
où
X est
vraie;
ou
que
l'on
commence par
la
portion
de
temps où X est
vraie pour sélectionner
ensui-
te,
dans le résultat,
celle où
la proposition Y est vraie:
on
aboutit
toujours
au
même
résultat,
à
savoir
la
portion
de temps où
les propositions X et Y sont toutes deux vraies.
'166
En
poursuÏ\\'ant
ce
raisonnement,
on
peut
établir
que
les
lois
de
combinaison
des
symboles
x,y,z,
etc ... ,
pour
le
type d'interprétation
que
nous
venons
de
leur
assi-
gner,
trouvent
une
express ion
i denti que
à
ce lIes
des
loi s
de
comb i na i son des mêmes s:-'mbo l es pour
le type d' interpréta-
tion
que
nous
leur
avions
assigné--érans
la
première
partie
de
ce
traité.
Cette
identité
finale
a
une
raison
évidente.
En
effet,
dans
1 es
deux
cas,
c'est
de
1 a
même
facu 1 té
ou
de
1a
mème
combi na i son
de
facu 1tés
que
nous
étud ions
1es
opérat i ons;
ces
opérat i ons
demeurent
inchangées
dans
1 eur
nat ure
essent i e Il e
qu' elles
concernent
l'un i vers
des
choses
où
toute
existence
est
inscrite,
ou
l'univers
du
temps
où
tous
1 es
événements
se
réal i sent
et
auquel
se
rapportent,
au
mo i ns
pour
une
certa i ne
durée,
toutes
1 es
a ff i rmat ions,
les vérités et les propositions.
Ainsi.
outre
les
lois
que
nous
venons
d'établir,
nous
aurons.
(=n
vertu
de
( 4 ) ,
chap.ll,
la
loi
dont
l'expression
est
x ( ~' - z ) = x y .. x z ;
et,
plus
particulièrement.
la
loi
fondamentale
de 'dualité
(2,1,
chap.II,
qui
s'écrit
2
x =x
ou X(l-X)=O;
(3)
une
loi
qui,
tout
en
permettant
de
distinguer
le
système
de
pensée
logique
de
celui
de
la
science
de
la
quantité,
confère
aux
procèdures
du
premi er
un
caractère
compl et
et
général
qu'elles n'auraient pu avoir autrement.
8-
De plus.
dans
la mesure où
les symboles 0 et
1 satis-
font
à
cette
loi
(ainsi
qu'aux
autres),
nous
sommes
con-
du i ts,
comme
précédemment,
à
nous
demander
si
ces
symbo 1 es
peuvent
trouver
IJne
interprétation
dans
le
présent
s~stÈ:'me
de pensée.
En
raisonnant
comme
nous
l'avions
fait
alors.
nous montrons
que
c'est
bi en
1 e
cas
et
nous
pou\\'ons
af fi rmer
l es
thèses
suivantes:
1°)
Dans
l'expression des
PI~Positions secondaires,
0
repré-
sente
le rien par rapport à
la notion de temps.
2° ) Dans
1e
méme
système,
1
représente
l ' un i vers
ou
1a
tota-
lité
du
temps auquel
on
suppose
que
le discours
se
rapporte
d'une manière ou d'une autre.
De
même
que
pour
les
propositions
primaires
l'univers
du
discours
se
limite
parfois
à
une
petite
partie
de
l'uni-
vers
réel
des choses et
parfois
lui
est
coextensif,
de même,
pour
les
propositions
<167>
secondaires,
l'univers
du
dis-
cours peut
se
limiter à
un
seul
jour,
à
l'instant qui
passe,
ou
embrasser
la
totalité de
la durée.
]1
peut,
au
sens
lit-
téral,
être
"ét.ernel".
En
Ldt,
si
la
nature
mf~me du
dis-
cours n'introduit pas une
limit.ation explicite ou
implicite.
l'interprétation adéquate du
symbole
1
dans les propositions
secondai res
est
"l' éterni té";
exactement
comme son
interpré-
tat i on
adéquate
dans
le
système
des
proposi ti ons
pr i ma ires
est
l'univers réel
existant..
9-
Plutôt
que
d'assigner
aux
symboles
x.y.z.
la
fonc-
t i on
de
représenter
la
vér i té
des
proposi t i ons,
nous
pour-
rions
parfaitement
les
employer
à
traduire
l'occurrence
des
événements.
De
fait,
l'occurrence
d'un
événement
signi-
fie
et
est
signifié
par
la
vérité
d'une
proposition:
celle
qu i
a f firme
l' occur rence
de
l'événement
en
quest i on.
L'un
des
sen s
d u s y mbol e
x
con t i e fi t
Tl é ces sa ire men t
l' au t r e .
] l
sera
tout
à
fait
pratique
de
pouvoir
employer
nos
s~'mboles
dans
l'une
ou
l'autre
interprétation
-
elles sont
effective-
ment
équivalentes-selon
que
les
conditions
d'un
probléme
nous amènent
à
préférer
celle-ci
ou
celle-là;
je
profiterai
de
cette
liberté
ch~ue
fois
que
ce
sera
nécessaire.
Dans
les
probl èmes
purement
logiques,
je
considèrerai
l es
symbo-
les
x.y,
etc ...
comme
représentant
des
proposi·tions
élémen-
taires
entre
lesquelles
existe
une
relation
exprimée
par
les prémisses.
Dans
la
théorie mathématique des probabilités
qui
repose.
ainsi
que
je
l'ai
déjà
indiqué
(1.12).
sur
un
fondement
logique.
et
dont
traitera
une
prochaine
partie
de
cet
ouvrage.
j'empoierai
les mémes symboles pour désigner
les
événements
simples dont
la
fréquence,
supposée
ou
cher-
chée.
est un des éléments de cette théorie.
PROPOSITION III.
positions Secondaires.
- - - ~ _ . _ ~ - - - - - - - - - - - - -
Les
di fférentes
analyses
que
cette
Proposi tion
amène
à
effectuer
nécessiteront moins des démonstrations complètes
puisqu'elles
sont
exactement
analogues aux
analyses de
méme
nature
que
nous
avons
déjà
menées
pour
les
propositions
pr i ma ires.
Nous
exam i nerons
d'abord
l' expressi on
des
termes
puis celle des propositions qui
relient ces termes.
< 168>
Pu i sque
1
représente
1a
durée
tota 1e
et
x
1a
portion de cette durée où la proposition X est vraie,
}-x
représentera
l a
port i on
de
temps
où
1a
proposi t i on
X
est fausse.
Ensuite,
puisque
X:l:
représente
la
portion
de
temps
où
1 es
proposi t i ons
X
et
Y
sont
toutes
deux
vra i es,
nous
sommes conduits,
par cette remarque et par celle qui
précéde,
aux interprétations suivantes:
L'expression
X(l-y)
représentera
le
temps
durant
le
que 1
la
proposJ-tj on
X
est
vra i e
et
1 a
proposi t i on Y fausse.
L' expressi on
(1-x) ( 1-Y)
représentera
1e
temps
durant
1 eque 1
les propositions X et Y sont simultanémefrt fausses.
L'expression
X(1-y)+y(1-X)
représentera
le temps durant
lequel
X
est
vraie
ou Y vraie.
mais
pas
les
deux
ensemble;
en
effet,
ce
temps
est
1a
somme
des
temps
durant
les_que 1 s
e Il es
sont
vra i es
chacune
et
où
1eurs
vér i tés
respecti ves
s'excluent.
L'expression xy+(1-x)(1-y)
représentera
le temps durant
1eque 1
X
et
Y
sont
soi t
vra i es
toutes
deux
so i t
fausses
toutes deux.
S'il
s'ajoute
un
troistëme
s\\'mbo]e
Z,
les
méméS
prln-
cipes
continueront
de
s'appliquer
te
le
temps
où
les
propositions
X,Y
et
Z
sont
simultané-
ment
vraies;
(1-x)
(1-Y)
(1-z)
celui
où
elles
sont
simul-
tanément
fausses;
et
la
somme
de
ces
expressi ons
représen-
terait
le
temps
où
elles
sont
soit
vraies
soit
fausses
en même temps.
Il
n'est
pas
besoin
d'illustrer
ou
d'expliciter
davan-
tage
1es
pri nc i pes
généraux
d' i nterprétat i on
contenus
dans
ces exemples,
11-
On
peut maintenant
dégager
les
lois de
l'expression
des
propositions
et
les
étudier
dans
les
différents
cas
où elles
interviennent
Il
est
cependant
un
principe
d'une
importance
capitale
sur
lequel
je
voudrais
d'abord
attirer
l'attention
Si
les
principes
d'expression
qui
ont
été
établis
sont
tout
à
fait
généraux
et
nous
permettent
de
limiter
nos
affirmations
concernant
]a
vérité
ou
la
fausset~ des propositions à
certaines portions de
la totalité
.-- .-
du
temps
(qu'il
s'agisse
d'une
éternité
sans
fin
ou
d'une
période
dont
le
début
et
la
fin
sont
précisément
définis
ou
de
l'instant
qui
passe)
qui
constitue
l'uni vers
du
discours
• i l
demeure
que
1e
ra i sonnement
huma in
s' ef fectue
dans
la
réalité
sans
faire
intervenir d'ordinaire
une
telle
limitation.
Lorsque
nous
affirmons
qu'une
proposition
est
vra i e,
nous
entendons
en
généra 1
qu' e Il e
est
\\ira i e
pendant
la
totalité
<169>
du
temps
auquel
se
rap porte
notre
discours;
et
lorsque
di f féren1:t5
a ff i rmati ons
de
1a
vér i té
ou de la fausseté
inconditionnelles de certaines propositions
forment
ensemble
les
prémissps
d'une
démonstration
logique;>
c'est
au
même
univers
temporel
et
non
a
des
portions
part i cu 1 i ères
et
déterm i nées
de
ce 1 u i -c i
que
se
rapportent
ces affirmations.
En ces matiéres nécessaires qui
constituent
l'objet ou le domaine des sciences exactes.
toute affirmation
de vérité peut être celle d'une "vérité éternelle",
Lorsqu'on
raisonne sur des phénoménes transitoires
(sur telle ou telle
conjoncture
sociale
par
exemple).on
peut
atténuer
toute
affirmation
en
la
rapportant
immédiatement
au
temps
présent."Maintenant".Mais
dans
les
deux
cas
.a moins que
le
contraire
soit
clairement
précisé.c'est
à
la même durée
que
se
rapporte
chaque
proposition
indiividuelle.
Les
cas
qui
se proposent alors
à
notre examen sont les sui"ants:
1°)Exprirner
la
proposition
La
proposition
X est
vraie".
Il
s'agit
ici
d'exprimer
l'idée que
dans
le temps où
s'ins-
crit
l'objet
de
notre
discours.la
proposition
X est
vraie.
Or
le
temps
où
la
proposition
X
est
vraie
est
représenté
par
x
• et
1a
durée
a 1aque Il e se rapporte notre discours
est représentée par 1.
Nous avons donc
x=l
(4)
qui
est l'expression cherchée.
2°)Expr1rner
la
proposition
"La
proposition
X
est
fausse"
Ici
nous devons exprimer
l'idée qu'à
l'intérieur de
la durée
à
laquelle
se
rapporte
notre
discours.la
proposition
X est
fausse; autrement
dit. que
dans
cet te
durée
i 1
n' y
a
aucune
portion de
temps où elle soit vraie.
Or
la portion de
temps
où elle est vraie est x
. L'équation cherchée sera
donc
x=O
(5)
On
aurai t
pu
obteni r
ce
résul tat
en
égalant
à
la
durée
totale.c'est-à-dire
l,l'expression
du
temps
durant
lequel
la
proposition
X
est
fausse.c'est-à-dire
l-x.
Ce
qui
donne
1-)\\=1
d'où x=o.
3°)Exprimer
la
proposition disjonctive
"Soit
là
proposition
X
est
vraie
<170>
soit
la proposition Y est
vraie";on sup-
pose~_onJ:;:_q~le$~J2J'oposit i ons
en
quest ion
s' exc 1 uent
mu-
tuellement
.c'est-à-dire
qu'une
seule
d'entre
elles
est
vraie.
Le temps durant
lequel
soit
la proposit
ion X est vraie
soit
la proposition Y est
vraie.mais pas
les deux ensemble,
est
représenté
par
l' expressi on
x ( l-Y) +y ( l-x) .
Nous
avons
donc
X(1-y)+y(1-X)=1.
(6)
qui est l'équation cQerçhée.
Si dans cette proposition on ne suppose pas aux particu-
les soit,soit
un
caractère absolument
exclusif. -on n'écarte
donc
pas
la
possibilité d'une
vérité
simultanée des
propo-
si t1 ons
X
et
Y
on
doi t
ajouter
au
premi er
membre
de
l'équation (6)
le terme xy. On aura donc ainsi
xy+x(l-y)+y(l-x)=l.
ou X+(l-x)Y=l.
(7)
4°)Exprimer
la
proposition
conditionnelle"Si
la
proposition
y
est vraie,la proposition X est vraie ,~.
propositic\\ns X et
Y.
Elle
peut
É'galernent
avoir
les signifi-
cations
suivantes:
que
la
vérité
de
la
proposition
Y
est
une
condition
indispensable
de
la
vérité
de
la
proposition
X:
en
ce
cas
nous
avons
v=l:
que
même
si
Y
exprime
une
condition
qui,
lorsqu'elle
est
remplie,
nous
assure
de
la
vérité
de
X,
Y
peut
cependant
étre
vraie
sans
entralner
que cette condition est réalisée:
en
ce
cas
v
représente
un
temps
compr i s
en
part i e
dans
1e
temps
total
X',
enfin
que
la
proposition
Y n'est
absolument
pas
vraie:
en
ce
cas
v
représente
un
certain
temps,
sans
aucune
part i e
commune
avec
1e
temps
x.
Tous
ces
cas
sc,nt
compr i s
lorsqu'on
pose
de
man i ére
généra le
que
v
est
un
symbole de temps indéfini.
5° )Exprimer
une
proposi tion
présentant
à
la
foi s
un
carac-
tère conditionnel
et un caractère disjonctif.
La
forme
générale
d'une
proposition
conditionnelle
est
"Si
Y est
vraie,
X est
vraie"
et
on
la
traduit,
selon
la
section
qui
précéde,
y=vx.
Nous
pouvons
très
bien,
par
analogie
avec
l'usage
établi
pour
les
propositions
primai-
.---'-
res,
appeler Y et
X
les termes de
la proposition
condition-
nelle dont
elles sont éléments;
nous pouvons également adop-
ter
le
langage de
la
logique ordinaire qui
désigne
le
terme
y
auque l I a
part i cu le
si
est
préfi xée
comme
l'" antécédent"
de
la proposition,
et
le terme X comme le "conséquent".
Supposons
maintenant
que
les
termes
ne
soient
pas,
comme
dans
la
proposition
précédente,
des
propositions sim-
pIes mais que
chacun
d'eux
ou
un
seul
d'entre
eux
soit
une
proposition
disjonctive
contenant
différents
termes
connec-
tés
par
les
particulesQ-'.~,Q!!.comme dans
les
e).;emples
sui-
vants
oü
X.Y.Z.
etc . . .
repr-É'sentent
,jes
propositions
simp-
les.
1°)Si X est vraie ou bien Y vraie.
alors Z est vraie,
2°)
Si
X
est
vraie
alors
ou
Y
est
vraie
ou
Z
est
vraie.
<172>3°)
Si
X
est
vraie
ou
bien
Y
vraie,
alors
ou
Z
et
W
sont
toutes deux vraies,
ou elles sont toutes deu.x fausses.
Il
est évident que dans ces différents cas.
la
relation
entre
l ' antécédent
et
le
conséquent
n' est
pas
affectée
par
le
fait
que
l'un des deux ou
tous
les deux soient de
nature
disjonctive.
Par
conséquent,
tout
ce qu'il
faut
faire
c'est
trouver,
conformément
aux
principes
déjà
établis,
l'expres-
sion
adéquate
de
l'antécédent
et
du
conséquent.
préfixer
a la seconde le symbole indéfini v et égaler les résultats.
Ainsi,
pour
traduire
les
propositions
énumérées
ci-dessus.
nous aurons les équations correspondantes:
1°)
X(l-Y)~(l-X)Y = vz.
2°)
x= V{Y(l-Z)~Z(l-Y)}.
3°)X\\~-Y)+Y(1-X)=v{~'+(1-Z)(1-W»).
La règle ainsi
illustrée s'applique universellement.
L'on pourrait conçevoir des cas où les éléments disjonc-
tif
et
conditionnel
apparaitraient
dans
l'expression
d'une
proposition
complexe
autrement
que
dans
ces
exemples.
Mais
je
ne
croi s
pas
que
1 es
exi gences
naturell es
de
1a
ra i son
humaine nous en présentent jamais:
je m'abstiendrai
donc
d'en
parler.
Cette
omission
n'entraInera
aucune
difficulté
véritable
dans
la
mesure
où
les
principes
généraux
dont
découl ent
1 es appl i cat ions
ci-dessus
sont
vra i ment
généraux
~3&··
et
qu'un
petit
effort
de
réflf'xion
pourra
les
adapter
à
tout cas imaginable.
13-
Dans
les
lois
d'expression
que
nous
venons
d'éta-
blir
sont
implicitement
contenues
celles
de
l 'interpréta-
ti on.
L' équati on
x=l
doit
se
comprendre
comme
]a
traduction
de
la
proposition
X est vraie;
l'équation
x=o
de la proposition X est fausse.
L'équation
x~'= 1
traduira que
les propositions X et Y sont
toutes deux vraies
simultanément;
et
l'équation
xy=O
qu'elles ne sont pas simultanément vraies.
<173>
De même,
les équations
X(l-Y)"Y(I-X)=I,
X(l-Y)"Y<l-X)=O,
affirmeront
respectivement
la
vérité
et
la
fausstf"t'é
de
la
proposition disjonctive "Soit X est vraie.
soit Y est vraie"
Les équations
y=vx
y=V(l-X)
traduiront
respectivement
les
propositions
"Si
la
proposi-
tion Y est vraie.
la proposition X est vraie",
"Si
la propo-
sition Y est vraie.
la proposition X est fausse".
Nous
rencontrerons
souvent.
dans
les
procha i ns
chapi-
t res.
des
cas
où
certa i ns
termes
d'un
membre
part i cu 1 i er
·
i'
d'une
équation
seront
aff4,ctés
du
s:-"ITlbole
indéfjni
v
sans
que
les
autr'es
le
soient.
En
vojci
une
illustration:
sup-
posons que nous ayons
y = x Z + VX ( 1 - z) .
Cela
signifie
que
le
temps
où
la
proposition
y
est
vraie
contient
la
totalité
de
celui
où X
et
Z
sont
simultanément
vraies.
ainsi
qu'une
portion
indéfinie
,ju
temps
où
X
est
vraie
et
Z
fausse.
Il
est
donc
possible
de
voir
1°)
que
s1
Y
est
vra 1e.
s01 t ·x et Z sont si mul tanément vrai es.
soi t
X
est
vrai e
et
Z
fausse;
2°)
que
si
X
et
Z
sont simul tané-
ment
vraies.
Y
est
vraie.
On
peut
appeler
cette
seconde
signification
de
l'expression
son
interprétation
inverse;
elle
consiste
è
prendre
l'antécédent
dans
le
second
membre
de
l'équation et
le conséquent dans
le premier.
L'existence.
dans
le
second membre.
d'un
terme è
coefficient
1
rend pos-
sible
cette
deuxième
forme
d'interprétation.
On
peut
en
établir le principe général de la maniére suivante:
14-
PRINCIPE.-Tout
(tous)
terme(s)
constituant(s)
d'un
/'-
membre
particul ier
d 'une
équation.
avant
1 'uni té
pour
coef-
ficient.
peut
(peuvent)
être
pris
comme
antécédent
d'une
proposition dont
le cbnséquent sera tous les termes de l'au-
tre membre.
Ainsi
l'équation
y=xz+VX(l-z)+(l-X)(l-Z)
aurait pour interprétations:
<174>INTERPRETATION
DIRECTE:Si
la
proposition
Y
est
vraie.
alors soit X et Z sont vraies.
soit X est vraie et Z fausse.
soit X et Z sont toutes deux fausses.
1 NTERPRETATJ ON
INVERSE. -~L_X __~L __~_5-911J
yraiS'c~L __Ql,LJ)j~D
X e C);__ L-? \\J;iS e~-L_~ f: SJ_,~Lqi e .
La
réunion
de
ces
interprétations
partielles
exprimera
la
signification totale de l'équation donnée.
15-
Revenons
ici
sur
l'observation
suivante:
si
l'idée
de
temps semble
un
élément
essentiel
de
la
théorie de
l "in-
terprétation
des
propositions
secondaires,
on
peut,
dans
la pratique.
la laisser de coté dés que les lois de l'expres-
sion
et
de
l'interprétation
ont
été
clairement
établies.
Les formes produites par ces lois semblent réellement corres-
pondre
à
celles
d'un
langage
parfait.
Imaginons
une
langue
connue
ou
exi stante
donnée.
débarrassée
des
tournures
id i 0-
matiques
et
dépouillée
de
toute
redondance;
exprimons
dans
cette
langue
une
proposition
donnée.
de
la
manière
la
plus
simple
et
la
plus
littérale,
qui
s'accorde
le
mieux
aux
principes
d'une
pensée
pure
et
univ~rselle et
sur
lesquels
sont
fondés
toutes
les
langues:
toutes manifestent
ces prin-
cipes mais
toutes s'en
sont
plus ou m9j jlS éloignées.
Passer
de
cette
langue
à
la
notation
algébrique
serait
seulement
subst i tuer
un
ensembl e
de
si gnes
à
un
autre.
sans
aucun
changement
essent i el
de
forme
ou
de
nature.
On
subst i tue-
rait
des
lettres aux
éléments
dont
on
exprime
la
relation.
qu' i Is
soient
des
choses
ou
des
proposi tions;
on
écrirai t
+
pour
le
connecteur
disjonctif;
'"
pour
la
copule
ou
signe
de
relation.
Jnuti le
de
pousser
plus
loin
cette
analogie.
L'examen
des
formes
d' expressi on
qu i
se
présenteront
dans
les
prochaines
applications
de
cette
théorie.
fera
mieux
appara1tre
que
cette
analogie
est
réelle
et
totale;
on
les
comparera
en
effet,
directement.
à
cet
instrument
impar-
fait mais noble de la pensée:
la langue Anglaise.
16-
~ncernant l'analogie générale entre la théorie
des
propositions Primaires et
celle
des propositions
secon-
daires.
j'aimerais
ajouter
quelques
remarques
avant
d'en
fi ni r a\\'ec
l' objet du présent clidpi tre.
Nous aurions sans doute
pu
établir
la
théorie des Pro-
positions' Primaires
sur
la
notion
simple
d'espace.
de
la
même
<175>
manière que nous avons établi
celle des Proposi-
tions Secondaires sur
la notion de
temps.
Peut-être qu'alors
l'analogie que nous observons aurait été davantage en harmo-
nie
avec
le
point
de
vue
de
ceux
qui
considèrent
l'espace
et
le
temps
si mp l ement
comme
des
.. formes
de
l' en t endemen t
humain".
comme
les
conditions
de
la
connaissance
que
la
constitution même de
l'esprit
impose à
tout
ce qui
est
sou-
mis
à
son
appréhension.
Mais,
outre
qu'on
ne
peut
prouver
ce point de
vue.
il
nous contraint
à
reconnaitre
le
·"lieu".
\\
IV
1:0 'TT 0 U •
comme
une
catégorie
essentielle
de
l'existence.
Je
crains
que
la
question
de
savoir
s ' i l
en
est
ainsi
ou
non
ne
dé.passe.
en
véri té.
nos
facul tés;
mais on
peut
éta-
blir.
et
je pense
l'avoir fait.
que
les procédures formelles
de
raisonnement
dans
les
propositions
primaires
n'exigent
pas.
comme une condition essentielle. que l'on fasse apparal-
tre
la
notion d'espace
dans
les
choses
sur
lesquelles on
ra i sonné.
.) qu' ell es
cont i nuera i ent
de
s' appl i quer.
donnant
à
la
démonstration
la
même
rigueur.
si
elles
concernaient
des
formes
d'ex i stence
- s' i 1
en
est-
qu i
sont
au-de l à
du
..f
domaine
de
l'étendue
sensible.C'est
un
fait,
Qui
sans doute
n'est
pas
sans
présenter
quelque analogie avec
cette
remar-
que,
que nous pouvons,
dans maints exemples connus de géomé-
trie
et
de
dynamique,
faire apparaltre
une analyse
formelle
de
problèmes, fondée
sur
une
certaine
conception
intellectuelle
de
l'espace,
qui
diffère
de
éelle
que
nous
x
présentent
les
sens
ou
que
peut
produire
l'imagination.
Je
pense,
par
conséquent,
que
l'idée
d'espace
n'est
pas
<176>
essentielle au
développement
d'une
théorie
de~ propo-
sitions primaires; mais j'incline à penser, même si
je préfè-
re
èt re
t rés
prudent
sur
une
quest i on
aussi
di f fic i 1 e,
que
l'idée
de
temps
est
essentielle
à
la
constitution
d'une
théor i e
des
propos i tians
secondai res.
Il
est,
sernbl e- t - il,
des
raisons
de
penser
que
méme
sans
aucune
modification
des
facultés
qui
interviennent
dans
le
raisonnement,
la
x • L'espace
se
présente
à
notre
percept i on
comme
possédant
les
trois
dimensions
de
longueur,
largeur
et
profondeur.
~a i s
pour
un
vaste
dama i ne
de
probl èmes
qu i
ont
tra i taux
propr i étés
des
surfaces
courbes,
aux
rotat i ons
de
sol ides
autour
d'un
axe,
aux
vibrations
des
milieux
élastiques,
etc ... ,
cette
limitation
apparatt
arbitraire
à
la
démarche
analytique;
et
s ' i l
ne
s'agissait
que
des
procèdures
qui
mènent
à
la solution.
on ne verrait aucune
raison
empêchant
l'espace d'exister avec quatre dimensions ou davan-
tage.L'analogie
éclaire
trés
bien
la
démarche
intellectuel-
le dans le monde imaginaire que l'on évoque ainsi.
Voici
comment
Aristote
présente
l'existence
d'un
espace
à
trois
dimensions
ainsi
que
les
réflexions
qu'il
suggère
à
l'esprit religieux et philosophique de l'Antiquité:
-~~~f~~S
Of--r~rÈ.V f'{' 'iv J~fd.~'r~ l"t~ ~'~T{~ 00ù 't"/lTfDO"i }\\:O ô'J(lT~
1:f:ol. (f"W)Acl.. \\<cù. 'i'lolf~ 1:CXV"Cot o"iJl< '(O'"'tl'V "~\\>'v!f~ttL?5J~\\.d.."(~
1
l
"l'
" . . ,
f
lt
'
,
"c rl ol
"
(Il, V \\: ex.
i: l Vc( L
'K ~ l
L () T f l S TI a. '( ~ "\\. t<c( or: TI (1 '6 ~ f f~~ l K ol L
c " " " "
" "
JI\\.
,
01..
TTVelll~offto'-}"to110(\\1 Ko(L"(o( "Tro{V'to( ~ot.~ 1:.rt.<T,l\\1 wfl.'J"""[.G(I..·
-r'i.ÀfU"(~ ~~r K"O('t. }J..~~()" K~~ ~fA~ "L~V O{fL~~" ~f.Xf\\. L~"'"l~
,
""--
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\\......
1 <\\'1
l '
t -
1
?
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l'oC\\YT.D!.
of l..U" 'CY)S LfLO/OOS. DlO "ttdfd.. 'l:.~S flJ~fL.;lS ,LL-
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e
1
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1
l'îc.r0 T'(S "";'vTït:f VCPDVS 'i:JI"Ü(rd l "''){L 1TfoS L"-5 ~~~Tlfl::XS \\f)l..~·~
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( w\\l
~ W~ '"t. W Illi> l ').J.. W
l
û v '1" w
•
D ~ Ca. e'-O
--1.
1
1
/
1
1
-
,
man i èr-e
dont
l'espace
se
pr'és!ë:'nte
à
l' espr i t
t!\\lH!::Ol in
3UI'a i t
pu
être
autre
qu'elle
n'Est;
mais
il
n'en
est
aucune
(pas
1es
mêmes,
en
tout
cas)
de
supposer
que
le
temps
pourra i t
se
présenter
à
nous
autrement
que
nous
le
percevons.
Mais
laissons ces spéculations qui
ne manquent sans doute pas
de
quelque
audace,
pour
affirmer
que
la
raison
véritable
pour
laquelle
le symbole
1,
dans
les propositions primaires,
représente
l'univers
des
choses
et
non
l'espace
qu'elles
occupent,
c'est
que
le
signe
d'identité
lorsqu'il
relie
l es
membres
des
équati ons
correspondant
à
ces
proposi t ions
signifie que
les choses qu'ils représentent
sont
identiques,
et non pas simplement qu'elles occupent
la même portion
d'espace.
On affirmera
de
même que
la
raison
pour
laquelle,
dans
les propositions
secondaires,
le
symbole
1
représente,
non
pas
l'uni vers
des
événements
mais
l' éterni té
avec
ses
moments et ses périodes qui
se succédent et où se produisent
ces
événements,
c'est
que
le
méme
signe
d'identité
reliant
les membres des équations logiques correspondant à
ces événe-
ments,
traduit,
non
pas
l'identité
des
événements
qu'ils
représentent
mais
celle
des
moments
où
ceux-ci
se
produi-
sent. Il
me
sembl e
que
ces
ra i sons
déc i dent
de
la
quest i on
immédiate
de
l'interprétation.
]}ans
un
précédent
traité,
(Mathematical
Analysis
of
Logic,
p.49),
en
suivant
Wall is
dans sa
théorie
de
la Réduction des Propositions Hypothéti-
ques,
j'avais été conduit,
sur cette question,
à
interpréter
le symbole 1, dans les propositions secondaires, comme l'uni-
vers de
"cas"
ou de
"concours de circonstances";
mais cette
manière
de
voir
mène
à
l'obligation de
définir
ce
que
l'on
entend
par
"cas"
ou
"concours
de
circonstance";
or
i l e s t
certain que
toute signification contenue dans ce tE:'rme outre
la
notion
de
temps.
est
étrangère
à
l 'objet
de
la
logique
formelle et constitue une limitation de ses procèdures .
.--'-
CH.~,PI TRE ]:2 -
LES METHODES ET
LE.5 PF:OCEDl'RES .A. .ADUPTER
DANS LE TRAITEMENT DES PROPOSITIONS SECONDAIRES.
<177>
1-Nos
recherches
précédentes
(XI.7)
ont
fait
apparaître
que
les
lois
de
combinaison
des
symboles
litté-
raux
étaient
identiques,
que
ces
symboles
soient
employés
à
exprimer
des
propositions
primaires
ou
des
propositions
secondaires;la
seule
différence
dans
les
deux
cas
étant
une différence d'interprétation.
Nous avons également établi
(v. 6)
que
quand
des
systèmes
de
pensée
et
d' i nterprétat i on
différents
relevaient
du
méme
s~'stème
de
lois
formelles,
c'est-à-dire
de
lois
concernant
l'emploi
et
la
combinaison
q.u..:"~
de
symbo 1 es, 1es
procèdures
sourn i ses
à
ces
loi s
et" i n termé-
diaires entre l'expression des données premières d'un problé-
me
et
l'interprétation
de
sa
solution
symbolique, étaient
identiques
dans
les
deux
cas.
Par
consèquent,
puisqu'il
existe
entre
les systémes de
pensée qui
se manifestent
sous
la
forme
de propositions primaires et de propositions secon-
---'-
daires,
une
telle
communauté
de
lois
formelles.
les
procé-
dures
établies
et
illustrées
quand
nous
avons
étudié
la
première
classe
de
propositions
continueront,
sans
change-
ment,
de s'appliquer à
la seconde.
2-
Ainsi
les
lois
des
deux
procédures
fondamentales
d'élimination
et
de
développement
sont
identiques.
dans
le
système
des
propositions
secondaires,
à
ce
qu'elles
é-
taient
dans
celui
des
propositions
primaires.
Nous
avons
vu
également
<chap.VI.
Prop.2)
comment
obtenir,
dans
les
propositions
primaires,
l'interprétation
d'une
équation
Que l conque
donnée,
ne
contenant
pas
de
formes
frac t i onna i -
res,
en
la
développant
en
une
séri e
de
const i tuants
et
(>n
égalant
à
0
tout
constituant
à
coefficient non nul.
On peut
appliquer
la
même
méthode
aux
équations
représentant
des
propositions secondaires;
elle nous conduit.comme pour les
propositions primaires (VI.6). à
un résultat qui
s'interprète
en une conjonction de négations.
Mais.
alors que
dans
le
premier
cas.
ces
négations
portent
sur
l'ex i stence
de
certa i nes
classes
d' obj ets.
dans
le
se-
cond.
e Il es
concernent
la
véri té
de
certa i nes
combi nai sons
des
propositions
<178>
élémentaires
contenues dans
les
ter-
mes des
prém i sses qu i
sont
données.
Nous av i ons vu,
s' ag i s-
sant des propositions primaires,
que ce systéme de négations
pouvait
se
convertir
en
différentes
autres
formes
de
propositions
(VI.7).
etc ... ;
nous
verrons
de
même
qu'une
telle conversion est également possible dans le cas présent,
l'unique
différence
consistant.
non
pas
dans
la
forme
des
équations.
mais dans la nature de leur
interprétation.
-~~De plus.
comme dans le cas des propositions primaires
pour
lesquelles
nous
savons
exprimer
un
élément
quelconque
d'un
système
d'équations
en
fonction
des
autres
éléments
(V 1.7) -
ou
d'un
nombre
Que 1conque
de
ces
autres
éléments
-et
interpréter
cette
expression
comme
une
conclusion
logi-
que.
nous pouvons.
dans le cas des propositions secondaires.
atteindre
le
même
objecti f
en
employant
la
même
démarche;
la
seule
différence
sera
d'interprétation.L'élimination
des éléments que
l'on veut
faire disparaître de
la
solution
finale.
la
réduction
du
sl-'stéme d'équations
en une
équation
uni que.
sa
sol ut ion
al gébr i que
et
son
dév€' l oppempnt
en
une
forme
interprétable:
aucune
de
ces
étapes
ne
di ffère
en
quoi
que
ce
soit de
celle qui
lui
correspond dans
l'analyse
des propos(tions primaires.
Toutefois.
afin
d'écarter
toute
difficulté
éventuelle,
il
est
sans doute
souhaitable de
résumer
en une Règle géné-
rale,
les
différents
cas
qui
se
présentent
dans
le
traite-
ment des propositions secondaires.
REGLE.-Exprimer
symboliquement
les
propositions
qui
sont données.<XI.ll).
El i mi ner
sép~..Iément....._dans
chéLgtje
équat j on_~où
-.J__l__ fi...Ql!re.
le svmbole indéfini
v
(VII.S).
Eliminer
les autres svmboles que
l'on veut
faire dis-.2araltre
de
la
solution
finale:
avant
dl:'_--.lli35Ser__ à
l'éliminatiop.on
réduira
toujours
en
une
équation
unique.
celles où
figurent
le
svmbole
ou
les
s\\/mboles
à
éliminer
(\\,111.7).
Réunir
les
équations ainsi
obtenues en une équation unique v=o.
Pro c è der
en sui te.
5 e l 0 n
l a
for me --2a r tic u 1 i ère
sou s
l a que l l e
on veut exprimer
la relation
finale.
de
la manière SUivante:
1 ° )51
cet te
forme
est
une
négat i on
ou
un
système
de
néga-
tions.
développer
la fonction V et égaler à
0 tous les cons-
tituants à coefficients non nuls.
2°)
si
cette
forme
est
une
proposition disjonctive.
égaler
à
1
la somme des constituants à
coefficients nuls.
3°)5i
cette
forme
est
une
proposition
conditionnelle
avant
pour
< 179>
antécédent
un
élément
si mpl e.
par
exempl e
x
ou
l-x.
déterminer
l'expression
algébrique
de
cet
élément
a-
vant de la développer.
symbole
t
et
déterminer
t
comme
une
fonction
développée
des
symboles
qui
doivent
a~araitre
dans
le
conséquent,
en
utilisant- soit
les méthodes
ordinaires,
soit
la
méthode
spéciale du (JX.9).
5°)Interpréter les résultats selon <XI.13.14).
Lorsqu'on
veut
seul ement
établ i r
si
une proposi t ion
é 1émen-
taire
donnée
x
est
vraie
ou
fausse.
on
doit
éliminer
tous
que
la
proposition
est
vraie,
x=o
qu'elle
est
fausse,
0=0
que
les
prémisses
ne
suffisent
pas
à
établir
si
elle
est
vraie ou fausse.
4-
EX.l.La
prédiction suivante
est
l'objet d'une
curi-
euse
discussion
que
l'on
trouve
dans
le
traité
inachevé
de
Cicéron,
De
Fato:
-"Si
quis
<Fabius)
natus
est
oriente
u.
canicula,
is
in
mari
non
morietur".
Je
vais
lui
appliquer
la
méthode
exposée
dans
ce
chapitre.
Représentons
par
y
la
proposition
"Fabius
est
né
au
lever
de
la
Canicule".
par x
la proposition "Fabius mourra en mer".
Par x
représen-
te
la
proposition
"Fabius
etc ......
nous
entendrons
simple-
ment que x est un symbole correspondant <XI.7) à cette propo-
sition
de
telle
manière
que
l'équation
x=l
affirme.
et
que
l'équation
x=O
nie.
la vérité de
cette proposition.
L'équa-
tian que nous allons examiner est celle-ci:
y=v(l-X)
(1)
Essayons tout d'abord de réduire cette proposition en une
négat i on
ou
un
S~'st ème
de négat i ons
lX II .3).
Nous
obt enons,
par transposition
y-v<l-x)=O.
Par élimination, nous avons
y{y-(l-X»)=O.
ou
y-y<l-x)=O
ou
yx=O.
(6)
L'interprétation
de
ce
résultat
est
la
suivante:
"Il
n'est
pas vrai
que Fabius est né au
lever de
la canicule et qu'il
doive
mourir
en
mer".
<180>
Cicéron
appelle
"Conjunctio
b
ex
repugnantibus"
cette
forme
propositionnelle,
et
il
remar-
que que Chrysippe
pensait
pouvoir
échapper
par
la a
la dif-
ficulté
qu'il
croyait
exister
dans
les
futurs
contingents:
"Hoc
loco
Chrys i ppus
aest uans
fa Iii
spera t
Cha 1deos
caete-
rosque
divinos,
neque
eos
usuros
esse
conjunctionibus
ut
ita
sua
percepta
pronuntient:
Si
quis
natus
est
oriente
Canicula
is
in
mari
non· morietur;
sed
potius
ita
dicant:
Non et natus est quis oriente Canicula,
et
in mari
morietur.
o
licentiam
jocularem! ...
multa
genera
sunt
enuntiandi,
nec
ullum
distortius
quam
hoc
quo
chrysippus
sperat
Chal-
e
deos contentos stoicorum causa fore".
Cie.
De Fato.
7,8.
5-
Ramener
cette
proposition
a
une
forme
disjonctive.
Les constituants qui
ne figurent
pas dans
le premier membre
de (2) sont
X(l-y),
(l-X)y,
(l-X)(l-y).
Nous avons donc
Y(l-X).X(l-Y).(l-X)(l-Y)=l.
(3)
dont
voici
l' interprétation:Ou
fabius
est
né
au
lever
de
Lé! CanJi=JA1~__E'.-L_jJ
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QSl.?__Dé aJLJ_gvec.._Q~ Can.Js_IJ._U~>__eLU_I'!'~j1!OUrra __pas er:L.IT~er.
Dans
des
cas
comme
celui-là
où
i l
y
a
des
constituants
qui
ne
di ffèrent
l ' un
de
l'autre
que
par
un
seul
facteur,
i l
est pl us
commode,
comme
nous
l'avons
vu
(VI l . 15),
de
réun i r
ces
const i tuants
en
un
seu l
terme.
En
réun issant
a j fiS i
les
premier et troisième termes de
(3),
nous obtenons
(1-Y)X+1-X=1;
et
en
réunissant de même
les second et
troisième,
nous obte-
nons
Y(l-X)+l-y=l.
Ces
formes
équationnelles
donnent
respectivement
les
inter-
prétations suivantes:
Soit
Fabius
n'est
pas
né
sous
le
signe
de
la
canicule
et
i l
mourra en mer,
soi t
i l
ne mourTa~_en mS'r.
Soit
Fabius
est
né
sous
le
signe
de
la
canicule
et
i l
ne
mourra
pas
en
mer.
soi t
i l
n'est
pas
né
sous
le
si one
de
la canicule.
<181>
I l est évident que ces interprétations sont rigou-
reusem~nt équivalentes à
la précédente.
Etablissons
sous
la
forme
d'une
proposition
condition-
nelle
les
conséquences
découlant
de
l 'hypothèse
que
"Fabius
mourra en mer".
Dans
l'équation
(2)
qui
exprime
le
résultat
de
l ' é l i -
mination de
v
dans
l'équation originelle,
nous devons déter-
miner x
comme une fonction de y.
Nous avons
x=o/y
= Oy+O/O
(l-y).
par développement,
OU
x=O'O Cl-Y);
en
\\' 0 ici
l ' i nt e r p r è ta t ion:
sL_ X atÜJJ~ .-StQ..t1-_-.r.J10 _\\l r tL ~Jl__ J!1.S'.L.....
il n'est _2~? né au lever de la CéUlicule.
Ces
exemples
illustrent.
dans
une
large
mesure,
le
lien établi.
dans les précédentes sections.
entre
les propo-
sitions
primaires
et
les
propositions
secondaires.
et
dont
les
deux
caractÈ:'res
distinctifs
sCJnt
l'identité
des
procé-
dures et l'analogie de l'interprétation.
6-
EX.2.-
On
trouve,
dans
le
second
livre
de
La
Ré--
publ i que
de
Pl aton.
un
argument
remarquabl e
en
faveur
de
l'immutabilité
de
la
!\\ature
Divine.
Il
constitue
un
très
bel
exemple
d'induction
prudente
à
partir
de
cas
familiers
qui
permet
à
Platon
d'arriver
à
des
principes
généraux,
et
d'une
logique
claire
et
bien
menée
qui
lui
permet
de
déduire
de
ces principes
les
inférences précises qu'il
veut
établir.
L'argument
est
contenu
dans
le
dialogue
suivant:
"Si
un
étre
sort
de
sa
forme,
ne
faut- il
pas
ou
qu' il
se
transforme
lui-méme ou qu'il
soit transformé par un autre?
-Il
le
faut.-Mais
les choseS- les mieux constituées ne
sont-
elles pas
les moins sujettes à
être transformées et changées
par une cause extérieure? Par exemple les corps par fa nour-
riture,
la
boisson,
la
fatigue
et
toutes
les
espèces
de
plantes par
la chaleur du
soleil,
les vents et autres acci-
dents semblables? N'est-ce pas le plus sain et le plus robus-
te
qui
est
le
moins
changé?
-Assurément.
-
Et
s ' i l
s'agit
de
l'âme,
n'est-ce
pas
la
plus
forte
et
la
plus
sage
qui
est
la moins troublée et
la moins altérée par
les accidents
extérieurs? Et parmi
tous
les objets fabriqués,
vases édifi-
ces,
vË'tements.
< 182'
ne
faut- i l
pas
admettre
pour
la
même
raison
que
ceux
qui
ont
été
bien
travaillés
et
sont
en
bon
état
sont
ceux que
le
temps
et
les autres agents de destruc-
tian
altèrent
le
moins?
C'est
juste.
Et
tout
ce
qui
est
bien
constitué,
que
ce
soit
grace
à
la
nature
ou
à
l ' a r t
ou
à
l'une
et
l'autre
est
1 e
ma i fiS
exposé
à
un
ctlangemE::nt
venu du dehors.
-11
le
semble.
-
Or Dieu et
les choses divi-
nes
sont
absolument
parfaits.
-Sans
aucun
doute.
-Et
donc
Dieu
est
le
moins
susceptible de
recevoir
plusieurs
formes.
-Le moins
susceptible,
assur-érnent.
-Mais
ne peut-il
se
chan-
ger
et
se
t ransfor-mer
1u i -même?
- Ev i demmen t
si,
s' i 1
est
vra i
qu' i 1
se
transforme.
Se
ctlange-t-il
alors
en
mieux
et
en
plus
beau,
ou
en
pis
et
en
plus
laid?
-
Si
vraiment
i l
change.
c' est
nécessai rement
en
pi s;
car
nous
n'avons
garde
de
dire
qu' i 1
manque
à
Di eu
aucun
degré
de
beauté
ou
de
vertu.
Rien
de
plus
juste,
dis-je;
mais
s ' i l
en
est
ainsi,
penses-tu,
Adimante,
qu'un
être,
Dieu
ou
homme,
veu i I l e
prendre
de
1u i -même
une
forme
in fér i eure
sous
que 1-
--~-
Que
rapport
Que
ce
soit?
-
C'est
impossible,
d i t - i l .
I l
est
donc
impossible,
même
pour
un
dieu,
repris-je,
Qu'il
consente
à
ctlanger;
et
chacun
des
dieux
étant
1e
pl us
beau
et
le
meilleur
possible,
garde
à
jamais
et
invariablement
.
d.
la meme
forme",
Les prémisses de cet argument sont
les suivantes:
1°)
Si
la
divinité
subit
un
changement,
Elle
est
changée
ou par elle-même ou par un autre être.
2°)Si
Elle
est
parfaite,
Elle n'est pas changée par un autre
être.
3°)La divinité est parfaite.
4°)
Si
la divinité est changée par elle-même,
elle est chan-
gée en pis.
5°)Si
Elle agit
d'elle-méme,
Elle n'est
pas changée en pis.
6°)
La divinité agit d'elle-même . .
Représentons
les
éléments de
ces prémisses de
la
façon
suivante:
Soi t
x
représentant
1a
proposi t i on
"La' di vi ni té
subi t
un
changement".
Y.
Elle est changée par elle-même.
Z,Elle est changée par un autre être.
s,
Elle est parfaite.
t.
Elle est changée en pis.
w, Elle agit d'elle-même.
Alors,
une
fois
exprimées
dans
le
langage
symbolique,
les
prémisses
donnent,
aprés
élimination
du
symbole
de
classe
indéfinie v,
les équations suivantes:
<183>
XYZ+X(l-Y~J-Z)=O.
(1)
sz=o,
(2)
s
=
1
(3)
y(l-t)=o
(4)
wt = 0
(5)
w = 1
(6).
Gardant
x,
éliminons
successivement
z,s,y,t
et
w
(tel
est
1 . ordre
d' appar i t i on
de
ces
symbol es
dans
1e
sys téme
ci-
dessus),
et interprétons les résultats obtenus.
Eliminant z de (1) et de (2),
nous avons
xs(l-~./)=O.
(7)
Eliminant s
de
(3) et de (7).
X(l-y)=ü.
(8)
Eliminant y de
(4)
et de (8).
X(l-t)=ü.
(9)
Eliminant t
de (5) et de (9),
X~)=O.
( l 0 )
Eliminant w de (6) et de (10).
x=O.
(11)
Ces
équat ions,
à
parti r
de
(8),
donnent
1es
ré su 1 tats
sui-
vants:
De
( 8 ) .
nous avons:
x=%
~/,
donc Si
la divinité
subit
un changemen~Elle est changée par Elle-même.
De
( 9 ) ,
il
vient:
x=O/O
t:
Si
la
divinité
subit
un
changement,
Elle est changée en pis.
De
(10),
il
vient:
x=O/O
(J-~'):
si
la
divjnit~_~_l)bit
un changement,
Elle n'agit pas d'Elle-même.
De
( l l )
il
vient:
La
divinité
ne
subit
pas
de
change-
ment.
Telle est la conclusion de Platon.
---'-
J'ai
déjà
fait
remarquer
que
l 'ordre
d'élimination
était
indifférent.
Essayons
de
le
vérifier dans
cet
exemple
en
él iminant
les
mêmes
symboles
dans
un
ordre
inverse.
en
commençant par w.
Nous obtenons les équations
<184>
t=O.
y=O.
x(l-z)=O,
z=O.
x=O;
qui
donnent
les interprétations suivantes:
Dieu ne change pas en pis.
Il
n'est pas changé par Lui-même.
S' 1 l
subi t
un
changement,
1 l
est
changé
par
un
autre
Nous aboutissons
donc
par
une
autre
voie
à
la même
conclu-
sion.
Bien que
les exemples qui
précèdent n'aient que peu d'impor-
tan c e s ' i l s ' agi t
de
rn 0 Il t r e r i a
Q1! i s sa Il ce
d e i a
mé t h od e ,
ils
en
montrent
la
nature
et
le
caractère
aussi
bien
que
d'autres illustrations plus complexes.
7-
On
peut
remarquer,
en
guise
d'illustration
finale
de
l'analogie
qui
existe
entre
le
système
des
propositions
primaires
et
celui
des
propositions
secondaires
que
dans
ce dernier aussi,
l'équation fondamentale
X(l-X)=O,
est
interprétable.
Elle
exprime
l'axiome
selon
lequel
Une
I!LQQosi t i on
ne
saura i t
étre
vra i e
et
fausse
en
même
temps.
Faisons
la
comparaison
avec
l' interprétation
correspondante
du (111.15).
Lorsqu'on résoud cette équation sous la forme
_X~O/(l-X) = %
x,
par développement,
elle
donne
respectivement
les
axiomes:
"Une
chose
est
ce
qu'elle
est",
"si
une
proposition
est
vraie,
elle
est
vraie";
ce sont
là des formes de ce qu'on a appelé "le prin-
cipe d'identité".
Sur
la nature de ces axiomes on a
exprimé
les points de vue les plus divers.
Certains les ont considé-
rés
comme
la
quintessence
même
de
la
philosophie.
Locke
leur
a
consacré un
chapitre
intitulé
"Des Propositions Fri-
li:
voles".
Dans
l'un
et
l'autre
points
de
vue
apparalt
un
mélange
de
vérité
et d'erreur.
Lorsqu'on
considère qu'elles
:"2
substituent
à
}'e.'\\périence
ou
qu'elIE's
fournissent
matiè-
re aux disputes vaines et
verbeuses de
l'Ecole.
ces proposi-
tions
sont
pires
que
frivoles.
Mais
lorsqu'on
considère.
en
revanche.
le
lien
essentiel
qu'elles
entretiennent
aux
lois et conditions de la pensée.
elles prennent une autre
importance.
au moins spèculative.
.--'-
x
Essai
sur l'Entendement Humain.
Livre IV.
chap.viii.
CH,\\PITRE 13 -ANALYSE D'l1r\\E PARTIE DE LA "DEMONSTRATION DE
L'EXISTE;-lCE ET DES ATTRIBUTS DE DIEU" DU DR.
SAMUEL CLARKE
ET D'Uf-;E PARTIE DE L'''ETHICA ORDINE GEO!1ETRICO DEMONSTRATA"
DE SPINOZA.
<185)
1-
Voici
la
démarche
générale
qui
sera
suivie
dans
les analyses qui
font
l'otljet
de
ce
chapitre:
j'exami-
nerai
quelles
sont
les
véri tables
prémisses
contenues
dans
les
démonstrations
de
certaines
proposi tions
générales
de
ces
traités,
qu'elles
soient
exprimées
ou
seulement
impli-
cites.
Par véritables prémisses,
j'entends toutes
les propo-
si tions
qui
sont
supposées
au
cours
du
raisonnement
sans
être
prouvées,
et
qui
contribuent
à
établir
le
fondement
sur
lequel
la
conclusion
finale
est
construite.
Aprés avoir
ainsi
déterminé
les
prémisses,
je
les
exprimerai
dans
le
langage des symboles et j'en déduirai
alors,
selon les métho-
des
développées
dans
1 es
chapi tres
précédents,
les
concl u-
sions
les
plus
importantes
qu'elles
impliquent
en
plus des
conclusions
particulières
qu'en
ont
effectivement
inférées
ces
auteurs.
Il
m'arrivera
de
modifier
ces
prémisses
en
y
omettant
tel
fait
ou
tel
principe,
en
y
ajoutant
ou
en
y
substituant
telle
proposition
nouvelle:je
verrai
alors
comment
ces
transformations affectent
les
conclusions
fina-
les.
I l
ne
m'appartiendra
pas,
ce
faisant,
de
me
demander,
sauf
incidemment,
jusqu'à
quel
point
l'on
peut
tenir
pour
assurés
les
principes
métaphysiques
qui
sont
posés
dans
ces
ouvrages célèbres,
mais seulement de déterminer
quelles
conclusions
se
peuvent
légitimement
déduire
de
prémisses
données;
et
je
montrerai
par
lA que
nous sommes parfaitement
li brE:'s
et
pour
le
choix
et
pour
l 'ordre des éléments l1e\\'ant
entrer
dans
les
propositions
finales
ou
conclusions;
c'est-
à-dire
pour
déterminer
quelles
propositions
élémentaires
sont
vraies
ou
fausses
étant
données
certaines
restrictions
ou dans certaines combinaisons.
? -
Dans
la pratique,
la difficulté essentielle de cette
démarche
<186>
n'est
pas
d'appliquer
la méthode
aux
prémis-
ses
une
fois
qu'elles
ont
été
déterminées,
mais
d'établir
quelles sont ces prémisses.
Dans ce que
l'on considére comme
les
exemples
d'un
raisonnement
rigoureux
appliqué
â
des
questions
métaphysiques,
on
verra,
â
l'occasion,
que
se
conjuguent
des
argumentat ions
différentes;
que
des
éléments
partiels
mais
essentiels
de
la
démonstration
sont
donnés
par
parenthèse
ou
en
marge
de
la
démarche
démonstrative
principale;
que
la
signification
d'une
prémisse
peut
étre
que l que
peu
ambi gue;
et
que,
bi en
souvent,
l es
arguments
considérés
du
point
de
\\'ue
des
lois
rigoureuses
du
raisonnement formel
se révèlent
iné01rects ou non concluants.
Dans
ces
cas
là,
la
difficulté
de
déterminer
et
de
faire
clairement
apparaître
les
véritables
prémisses
d'unê
démonstration peut
être tout à
fait
considérable.
Mais c'est
une
difficulté
que
doivent
vaincre
tous
ceux qui
voudraient
pouvoir
déterminer
si
une
conclusion
est
prouvée
ou
non.
quelque
forme
qu' ils
pui ssent
ensui te
être
prêts
à
donner
au
cours
du
raisonnement.Il
ne
s'agit
donc
pas
d'une
difficulté propre à
la méthode de cet ouvrage bien que celle-
ci, mieux que toute autre,
la fasse clairement appara1tre.
,
~ ,.
,
--
De
fait,
le
rapport
entre
les deux
est
si
étroit
qu'il
est
impossible,
par
la
mèttJOlie
de
ce
traité,
de
formuler,
ne
serait-ce
qu'une
conjecture
concernant
la
validité
d'une
conclusion
si
l'on
ne
perçoit
pas
clairement
et
que
l'on
n'établit
pas exactement
les prémisses dont
elle dépend.Dans
1es
démarches
pl us
habi tue Il es,
en
revanche.
il
n'est
rien
de
pl us
courant
que
d' exarrd ner
quel ques
étapes
d'une
argu-
rnentat i on
pour
se
former
une
i mpress i on
vague
et
généra 1e
de
l~allure d'ensemble,
sans avoir mené au
préalable aucune
analyse précise des prémisses qu'elle suppose.
On
ne devrai t
pas considérer
comme
un mal
la
nécessi té
de
déterminer
rigoureusement
les
vèritables
prémisses
d'une
démonstrat i on;
surtout
parce
qu'en
respec tant
cet te
obI i ga-
t i on,
on
écarte
toute
source
de
doute
ou
d' ambi gO i té.
La
méthode
de
ce
tra i té
permet tra
de
juger
que
l'ordre
dans
lequel
les
prémisses
sont
disposées,
le
mode
de
relation
qu'elles
entretiennent
et
d'autres
conditions
de
ce
genre
sont
tout
à
fait
indifférents;
et
que
la
procédure
d'infé-
rence
est menée avec
une
exactitude que
l'on pourrait
pres-
que qualifier de mécanique .
.3-
La
"Demonstration
de
l'Existence
et
des
Attributs
de Dieu" consiste en une suite de propositions ou théorèmes,
<187>
dont
chacune
se
démontre
à
partir
de
prémisses
qui
peuvent se ramener.
pour la plupart.
à
deux classes distinc-
tes:
des
faits
d'observation.
tels
que
l'existence
d'un
monde
matér i el.
le
phénomène
du
mouvement.
etc...
et
des
principes hypothétiques dont on suppose
l'autorité et
l'uni-
versaI i té
reconnues
a
priori.
Lorsque
le
raisonnement
est
forme Il ement
correct,
c'est
bi en
ent endu
sur
1a
vér i té
des
r:Jropositiofis
de
cette
seconde
classe
que
repose
réellement
la
validité
de
la
démonstration.Mais quoi
qu'on
puisse
pen-
ser,
sous
ce
rapport,
de
sa
légitimité,
il
ne
fait
aucun
doute que comme performance intellectuelle, sa valeur -
est
trés grande.
Bi en que
1es déduct ions qu i
1a
const i tuent
ne
soient
pas,
en
général,
tJien
miseSen
ordre,
elles
sont
cependant.
presque
toujours.
des
spec i mens
de
1ogi que
correcte
et
elles
révèlent
une
intelligence
et
une
force
de
raisonnement
qui
ont
rarement
été
égalées.
jamais
peut-
être
surpassées.
Nous
y
voyons
1e
couronnement
des
efforts
intellectuels
qui
ont
pris
naissance
dans
le
domaine
des
recherches
métaphys i ques.
à
une
époque
où
l' on
quest i onna i t
moins
que
maintenant
la
domination
de
principes
hypothéti-
ques.
et
où
1es
démonstrati ons
rigoureuses
de
1a
nouve Il e
éco 1e
de
physi que
mathémat i que
1eur
ava i t
fourn i
1e
gu ide
d'un
modê 1 e. Ces dêduct i ons me
para i ssent,
pour
cet te
ra i son
(sans
compter
la
dignité
de
leur
objet),
mériter
la
plus
grande attention.
et Je_ne
saurais trouver
inutile ou
vaine
la tâche de
consacrer
une analyse précise à
certaines d'en-
tre elles.
4-
L' Eth i que
de
Baruch
Spi noza
est
un
t ra i té
dont
1e
but
est
de
prouver
l' ident i té
de
Di eu
et
du
monde.
et
de
fonder sur cette doctrine un système de morale et de philoso-
phie.
L'analyse
de
son
argument
principal
est
extrêmement
difficile.
non
pas
à
cause
de
la
complexité
des
proposi-
tions
qu'elle
contient
prises
individuellement.
mais
parce
qu'on
y
emploie
des
définitions
vagues
et
des
axiomes
dont
on
est
bien
en
peine,
du
fait
de
ce m~:me manque tie
clarté,
de décider de les accepter ou.de les rejeter.
Bien
que
le
raisonnement
du
Dr.
Samuel
Clarke
soit
en partie du verbiage.
celui
de SpInoza l'est beaucoup plus;
et
c'est
peut-être
la
raison
pour
laquelle.
à
certains
es-
prits.
il
a
paru
posséder
une
force
concluante
formelle
à
laquelle,
en
réalité,
il
ne
saurait
prétendre.
!'lais
ces
Q..
points seront examinés en leur lieu.
<188> LA DEMONSTRATION DE CLARKE.
PROPOSITION 1.
En voici
la preuve:
"En
effet.
puisque
quelque
chose
existe
aujourd'hui,
il
est
clair que quelque
ctlose a
toujours existé;
autrement
i l
faudrait
dire
que
les
choses
qui
sont
maintenant
sont
sorties du
néant
et
n'ont
absolument
point
de
cause de
leur
ex i stence.
ce qu i
est
une
pure
cont rad i ct i on
dans
l es
ter-
mes;
car si
l'on dit qu'une chose est produite et que cepen-
dant
on
ne
veui Il e
reconnal tre
aucune
cause
de
sa
produc-
---'-
tion.
c'est dire qu'une chose est produite
lorsqu'elle n'est
produite
par
rien.
c'est-à-dire
lorsqu'en
même
temps
elle
n'est
pas
produite
du
tout.
Tout
ce
qui
existe
doit
avoir
une
cause
de
son
exi stence.
ou
en
vertu
d'une
nécessi té
qu'il
trouve dans sa nature même.
auquel
cas il
est éternel
par
soi -même.
ou
en
conséquence
de
la
volonté
de
quelque
autre
être;
et
alors
il
faut
que
cet
autre
être
ait
existé
avant
lui,
au
moins
d'une
priorité
de
nature
et
de
causa-
1 i té" .
Procédons é
l'analyse de
cette démonstration.
Sa
premi-
ère phrase peut se décomposer selon
les propositions suivan-
tes:
10)Quelque chose existe
2°)8i
quelque
chose
existe.
soit
quelque
chose
a
toujours
existé.
soit
les
choses
qui
sont
maintenant
ont
dû
sortir
du néant.
La
su i te
de
1a
démonstrat i on
est
une
preuve
que
1a
seconde
partie
de
l'alternative.
c'est-à-dire
"les
choses
qui
sont
maintenant
sont
sorties
du
néant"
est
impossible;
elle peut se décomposer de la manière suivante:
3°)8i
les choses qui
sont
maintenant
sont
sorties du
néant.
une
chose
s'est
produite
et.
en
mème
temps.
cette
chose
n'a été produite par rien.
4°)8i
cette
chose
n'a
été
produite
par
rien.
elle
n'a
pas
été produite du tout.
La
seconde
part i e
de
cet
argument
appar ait
comme
une
simple supposition de ce qui
est à
démontrer.
ou alors elle
essaie
de-{21arifier
la
question
en
la
formulant
différem-
ment.
La
troisième
et
dernière
par~ie
de
la
démonstration
contient
une
preuve
distincte
qui
vérifie
soit
la
proposi-
tion
originelle
à
démontrer.
à
savoir
que
"quelque
chose
a
toujours
exi sté".
soi t
ce qui
a
été établ i
dans
1a
deux i-
ème
partie
de
la
démonstration.
c'est-à-dire
qu'on
ne
peut
soutenir
(189)
l 'hypothèse que
"les choses qui
sont
mainte-
nant sont sorties du néant". Elle se décompose ainsi:
5° )8i
que 1que
chose
ex i ste.
ou
cet te
chose
ex i ste
en
vertu
·".
d'une
n~cessitè qutelle trouve dans sa nature m~meJ
ou
elle
existe en conséquence de la volonté d'un autre être.
6 c )Si
elle
existe
en
vertu
d'une
nécessité
qu'elle
trou\\'e
dans sa nature. quelque chose a toujours'existé.
7°)Si
elle
existe
en
conséquE:nce
de
la
volonté
d'un
autre
être.
alors
la proposition que
les choses qui
existent
sont
sorties du néant est fausse.
Cette
dernière
proposition
ne
se
présente
pas
sous
cette
forme dans
le
texte de Samuel
Clarke.
mais
la conclu-
sion qu'il
énonce à
propos d'un autre
Etre signifie exprés-
sément
la
négation
de
]a
proposition
selon
laquelle
les
choses qui
sont maintenant sont sorties du néant.
Il
apparaît
par
conséquent
que
cette
démonstration
se compose de deux arguments différents:
le premier comprend
ce
que
j'ai
appelé
les première
et
deuxième
parties de
la
démonstration;
l'autre
comprend
les
Rremière
et
troisième
parties.
Examinons le second argument.
Les prémisses en sont:
lO)quelque chose existe
""--'-
2°)si
quelque
chose
existe.
soi t
quelque
chose
a
toujours
existé.
soit
1es
choses
qui
sont
ma i ntenant
sont
sort i es
du néant.
3°)si
quelque
chose
existe.
ou
cette
chose
existe
en
vertu
d'une
nécessité qu'elle trouve dans sa nature même.
ou elle
existe en conséquence de la volonté d'un autre être.
4 ° ) s i e Ile
ex i ste
env e r- t u
d' une
né ces s i té
qu' e Ile
t r 0 u ve
dans sa nature. quelque chose a toujours existé.
5° ) si
e Il e
ex i ste
en
conséquence
de
1a
vo 1 onté
d'un
autre
être.
alors
l'h~'pothèse que
les
choses qui
sont
maintenant
sont sorties du néant est
fausse.
Exprimons symboliquement ]a Proposition.
Soit x= quelque chose existe
y= quelque chose a
toujours existé
z=
les
choses
qui
sont
maintenant
sont
sorties
du
néant.
p=
elle
existe
en
vertu d'une
nécessité qu'elle
trou-
ve dans sa nature
(il
s'agit de
la chose mentionnée
ci-des-
sus) .
q=
elle existe en conséquence de
la volonté d'un autre
Etre.
<190>11
doit
être
entendu
que
par
l'expression
"Soit
x=
quelque
chose
existe"
on
ne
\\-eut
rien
dire
de
plus
qüe
x
est
le
symbole
représentant
cette
proposition
(XI.7>.
les
équations
x=1
et
x=O
en
affirmant
respectivement
la
vérité
et la fausseté.
Les
prém i sses
se
t radu i sen t
par
1 es
équa t i ons
su i van-
tes:
--'-
1°) x=1
2°) X=V(y(1-Z)+Z(~-y);
3°) X=V{p(1-q)+q(1-P»;
4°) p=vy;
5°) q=v(1-z);
et par élimination des symboles indéfinis v.
on obtient
l-X=O;
(1)
X(YZ+(1-y)(1-Z»=O;
(2)
X{pq+(1-p)(1-q»=O;
(3)
-_ ~'3
p(l-~I)=O;
(4)
qz=O.
(5)
6-
J'examinerai
tout
d'abor-d
la
possibilité
de
déduire
de
ces
équat i ons
des
conc 1us i ons
concernant
1a
vér i té
ou
1a
fausseté
des
proposi t i ons
si mpl es
représentées
par
1 es
symboles
y,Z,P.q,
c'est-â-dire
des
propositions
"quelque
chose
a
toujour-s
existé",
"les
CfJOses
qui
sont
maintenant
sont
sort i es
du
néant",
"ce
qu i
est
ex i ste
en
vertu
de
1a
nécessi té
qu' i l
trouve
dans
sa
nature
même",
"ce
qui
est
existe en conséquence de la volonté d'un autre ëtre".
Dans ce but,
i l
faut éliminer séparément tous les symbo-
les
à
l'exception
de
Y.
tous
à
l'exception
de
z,
et
ainsi
de
suite ... L'équation
obtenue dira s ' i l
existe des relations
particulières de ce genre.
Pour
éliminer
x
de
( 1 ) , ( 2 )
et
(3),
i l
n'est
que
de
substituer
dans
(2)
et
(3)
la
valeur
de x
dans
( l ) .
On
ob-
t i ent:
YZ·(l-Y)(l-Z)=O
(6)
pq+(l-p)(l-q)=O.
(7)
----"-
Pour éliminer p nous avons,selon
(4)
et
(7).
et par addition
p(l-y)+pq+(l-p)(l-q)=O;
(8)
d'où nous tirons
(l-y)(l-q)=O.
(9)
<191>
Par
élimination de q
dans (5)
et
(9),
nous obtenons
qZ+(l-y)(l-q)=O;
d'où nous déduisons
Z(l-Y)=O
(10)
I l
ne
reste
donc
pl us
que
1 es
deux
équati ons
(6)
et
(10) Qui donnent,
par addition,
YZ"l-y=O.
Par élimination de Z àans cette équation,
il
vient
1-y=0 ou Y=l.
(11)
Par élimination de y dans la même équation.
on obtient
z=o.
(12)
Vo ici
l ' interpréta ti on
de
( Il) : Que 19.Q!?__chos_e__a
t ou jours
existé.
Voici
celle de
(12):Les choses qui
sont
ne sont
pas sorties
du néant.
Reprenons
1 e
systéme
(6), ( 7),
ai ns i
que
1 es
deux
équa-
tions
(4)
et
(5)
pour
déterminer
les
deux
équations
conte-
nant respectivement p et q.
Pour éliminer y,
nous déduisons de (4) et
(6)
P(l-y)+yZ+(l-y)(l-z)=O;
d'où (p+l-z)z=O ou pz=O.
(13)
Pour éliminer z dans (5) et
(13),
nous avons
qZ~pz=O;
d'où nous déduisons
0=0.
I l
n.e
reste
donc
plus
Que
l'équation
(7)
d'où
nous
déduisons,
par
élimination
de
Q.
0=0
comme
équation
finale
en p.
Par
conséquent,
il
n' y
a
pas
de
conc 1usi on
déduct i bl e
des prémisses qui
affirme simplement
la vérité ou
la fausse-
té de la proposition "Ce qui
est existe en vertu d'une néces-
sité qu'il
trouve dans sa nature même".
Et
puisque
l'élimi-
nation
de
p
donne
le
même
résultat.
0=0,
pour
la
dernière
èquat i on
en
q,
il
en
dècoul e
éga 1 ement
qu 'lJ__ n~s_Si
.Rft~_ de
ç 0 Qtl~-L~_t~rL_~~gJl_Ç_!;j. Q_Lf:'_...Qg§_~C...~1J1L~g.ê __ qll.L_~ILQIJ.r. ~ __ .~j..rn..QL~lI!_~Jî t
l.ê-vé[J_1..~__ou 1iLf_iLl·Lsse.1...~ de_~~9Positi.9_o "Ce qui.......É'st~iste
en conséquence de la volonté d'un autre Etre".
<192>
Parmi
les
relations
qui
font
intervenir
plus
d'une des propositions représentées par
les symboles élémen-
taires.
on
a
seulement
besoin
d'examiner
celle
qu'exprime
l'équation
(7)
liant
p
et
q:
en
effet.
les
propositions
représentées par
les autres symboles sont
vraies ou
fausses
absolument.
indépendamment
de
toute
relation
comme
celle
que nous venons d'évoquer.
Voici
l'interprétation
de
(7)
lorsqU'on
la
met
sous
la forme
p,1-q)+q(1-P)=1:
ce qui
est existe soit en vertu d'une nécessité qu'il
trouve
dans sa nature même.
soit
en
conséquence de
la volonté d'un
autre être.
J'ai
peut-être
exposê
le
détail
de
cette
analyse
avec
une
insistance
et
une
proli-x·Lté
inutiles;
mais
la
raison
en
est
que
dans
1 es
exempl es
qu i
vont
su ivre.
mon
propos
sera
de
simplement
indiquer
la
démarche
Qui
conduit
aux
résultats plutôt que d'encourir le reproche de répétitions
fastidieuses.
Les
conclusions
obtenues
ci-dessus
par
application
de notre méthode peuvent se vérifier aisément par
le raison-
nement ordinaire.
Le
1ec teur
n'aura
aucun
ma 1
à
appl i quer
cet te
méthode
aux
autres systèmes de
prémisses contenues dans
la première
'-
Proposi t j on
de
Cl arke,
et
à
en
dédu ire
l es
deux
prem i ères
conclusions
auxquelles
nous
sommes
arrivés
par
. ana 1 ~-se
qui précède.
PROPOSITION II.
7-9u'un être
immuable
et
ind~endant a
existé de
toute
éternité.
voici
les prémisses qui
servent à
prouver cette Proposition:
1°) Quelque chose a
toujours existé.
2°)
Si
quelque
chose
a
toujours
existé,
soit
il
a
existé
un
être
immuable
et
indépendant,
soit
l'ensemble des
choses
existantes forme
une succession d'étres dépendants et
sujets
au changement.
3°)Si
l'univers n'a été qu'une succession d'êtres dépendants
et
sujet s
au
changement,
so i t
cet t e
cha 1 ne
a
une
cause
qu i
lui est extérieure,
soit elle a une cause interieure.
4°)Elle n'a
pas eu
une
cause extérieure
(puisque,
par
hypo-
thèse,
elle contient toutes les choses existantes>.
(193~
5° .>Elle
n'a
pas
eu
une
cause
intèrieure
(car
aucune
de
ses
parties
n'est
nécessaire,
et
si
nulle
partie
n'est
----
nécessaire,
le tout ne saurait être nécessaire>.
La issant
de
cOté,
par
soue i
de
br i èveté,
1 es
preuves
subsidiaires
qui
sont
entre
parenthèses
dans
les
quatrième
et
cinquième
prémisses,
traduisons
celles-ci
de
la
manière
suivante:
Soit x= Quelque chose a toujours existé
y=
Il a existé un être immuable et
indépendant
z=
l I a
ex i sté
une
successi on
d'êtres
dépendants
et
sujets au changement.
p= cette chaine a eu une cause extérieure
q= cette chaine a eu un~cause intérieure.
Nous avons alors le système d'équations suivant:
1°) X=l
2°)
x=
v{y(l-Z)+Z(l-y»);
3°)
Z=
v{p(l-q)+(l-p)q);
4<')
p=O;
5°) q=O;
qui,lorsqu'on
élimine
successivement
le
symbole
indéfini
v,
donne
l-x=O
( l )
X{YZ+(l-y)(l-Z»)=O;
(2)
Z{pq+(l-p)(l-q»)=O;
(3)
p=O;
(4)
q=O.
(5)
L'élimination,
dans
ce
s~:stème,
de
x,p,q
et
~J
conduit
à
l'équation
z=o.
Et,
de méme,
l'élimination de x,p,q
et z,
conduit à
l'équa-----
tion
y=l.
Voici
les
interprétations
respectives
de
ces
équations:
10)L'ensemble des choses existantes ne forme pas une succes-
sion d'êtres dépendants et sujets au changement.
2°)11
a existé un étre immuable et
indépendant.
< 194>
Cette
dernière
proposi tion
est
celle
que
prouve
Clarke.
Puisque,
selon
l'analyse
précédente,
toutes
les
proposi ti ons
représentées
par
1 es
symbo 1 es
1 i t téraux
x, y, z,
p,q
ont
été
posées
comme
vraies
ou
fausses
atJsollJnlent,
il
est
inutile
de
chercher
s ' i l
existe
des
relations
entre
ces propositions.
Il
ex i ste
de
cet te
Prop. II
une
aut re
preuve
dont
je
ne
parle
pas par
souci
de
brièveté.
Remarquons que
l'impos-
sibilité
d'une
"succession
infinie",
dont
la
preuve
consti-
tue
une
partie
de
l'argument
de
Clarhe,
a
été
communément
tenue
pour
un
principe
métaphysique
fondamental,
et
étendue
à
d'autres
questions que
celle de
causalité.
Aristote
l'em-
ploie
à
établir
la
nécessité
de
principes
premiers
de
la
dèmonstration:l:;
la
nécessité
d'une
fin
(le
bien)
pour
les
.
x x
actIons
humaines
,
etc ...
Il
n'y a
,peut-être,
aucun
prin-
cipe qui
soit
plus souvent
évoqué dans ses écrits.
Les Sco-
lastiques,
de méme,
l'ont
employé
à
prouver
l'imposSIbilité
d'une
subordination
à
l'infini
de
genres
et
d'espèces,
et,
par conséquent,
l'existence nécessaire d'universaux.
Apparem-
ment.,
notre
incapacité
à
former
une
conception
définie
et
complèt.e d'une série
infinie,
c'est-à-dire à
la penser comme
lfil- tout,
a
été
assimilée
à
une
impossibilitè
logique
ou
une contradiction dans l'idée méme.
8- L'analyse de
l'argument suivant relève de
la théorie
des Propositions Primaires.
PROPOSITION III.
Que
cet
Etre
immuable
et
indépendant
doit
exister
par
lui-même.
Les prémisses en sont:
:1:
Métaphvsique,III.4.
Anal.Post.1 .19,et sq.
xx
Ethique à Nicomaque.livre I,chap.II.
lO)Tout
être,
soit
doit
être
venu
à
l'existence
en
sortant
du
néant,
soi t
a
dû
être
produi t
par
que] que
cause
extérieure,
soit doit exister par lui-même.
2°)Nul
être
n'est
venu
à
l'existence
en
sortant
du
néant.
3 0 ) L' Etre
i mmuabl e
et
indépendant
n'a
pas
été
produi t
par
une cause extérieure.
Pour
les traduire s\\mboliquement,
nous allons poser,
<195>
x=
les êtres qui
sont sortis du néant
y=
les êtres qui
ont été
produits par une cause exté-
rieure.
z=
les êtres qui
existent par eux-mêmes.
w=
l'Etre immuable et indépendant.
Nous avons donc
x ( 1 - Y ) ( 1 - Z ) ~ y ( 1 - x ) ( 1 - Z ) ~ z ( 1 - x ) ( 1 - ~' ) =1 •
( 1 )
x=O
(2)
w=v( l-Y);
(3)
par élimination de v dans la dernière équation,
il
vient
wy=O.
(4)
Lorsque,
comme
ci-dessus,
on
donne
0
ou
1
poup·_va leur
d'un
symbole,
la
meilleure
façon
de
l'éliminer
est
une
simple
substitution. Ainsi.
l'élimination de x donne
y(l-z)+Z(l-y)=l;
(5)
ou
YZ+(l-y)(l-z)=O.
(6)
Par addition de
(4)
et
(6)
et
par élimination de
Y.
on
ob-
tient
w<l-z)=o.
donc w=vz;
dont
voici
l'interprétation:
L'étre
immuable
et
indépendant
!"2.:J_!s t ~__Il~~_~""--~::ÜLS'm eJl-!__~êL.-'JJi: [lL~)ll~ .
L' i nterprétat i on
de
( 5 ) ,
so.us
l a
forme
où
el le
se
trouve
est
la suivante:
Tout étre~oit~_~_~_tè produit par une cause
extérieure,
soit existe par lui-même.
9-
Dans
1es
remarques
de
Samuel
Cl arke
à
propos
de
cette
proposition,
on
trouve
un
argument
remarquable
qui
vise à
prouver que
le monde matériel
n'est
pas
l'être exis-
tant
par
lui -même dont
il
vient d'être questi on.
Le
passage
auquel
je fais référence est celui-ci:
"Si
la matière existe
nécessairement,
il
faut
que dans
son
existence nécessaire
elle
renferme
le
pouvoir
de
gravi-
tation
ou
qu'elle
ne
le
renferme
pas.
Si
elle
ne
l'a
pas,
i l s ' ensu i vra
que
1e
mouvement
n'aura
pu
ent rer
dans
un
monde
purement
matér i el,
à
1a
formati on
duque 1
auc un
être
intelligent
n'a
présidé.
puisque
le
mouvement
n'est
pas
nécessa ire
par
1u i -même,
comme
il
a
ét éprouvé.
et
comme
on
le
suppose maintenant.
Mais si
on dit
<196>
que
le
pou-
voir
de
gravitation
est
compris dans
la
prétendue
existence
nécessa ire
de
1a
mat i ère,
il
faudra
nécessa i rement
un
vi de
(comme
l'incomparable
Sir
Isaac
Newton
a
démontré
qu'il
fallait
l'adme"ttre
si
on
fait
de
la
gravitation
une
qualité
universelle
ou
une
propriété
de
la
matière).
et
il
faudra
aussi
avouer
que
la
matière
n'existe
pas
nécessairement.
Car
si
1e
vide
exi ste
effect i vement.
il
est
pl us
que
pos-
sible que la matière n'existe pas".
On
trouvera,
par une analyse attentive,
que
les prémis-
ses
contenues
dans
cet te
démonstrat i on
sont
1es
su i vantes:
1°)
Si
la
matière
est
un
être
nécessaire,
soit
la
proprié-
té
de
gravitation
~,
est
nécessairement
prèsente,
soit
elle
en est nécessairement absente~
2°)
Si
l a
gravi tati on
en
est
nécessai rement
absente
et
que
le
monde
n'est
soumis
à
aucune
Intelligence
directrice,
le mouvement n'existe pas.
3°)
Si
la
propriété
de
gravitation
y
est
nécessairement
présente,
] 'existence d'un vide est nécessaire.
4°)
Si
l'existence
d'un
vide
est
nécessaire,
la
matière
n'est pas un être nécessaire.
5°)
si
la
matière
est
un
être
nécessaire,
le
monde
n'est
pas soumis à
une Intelligence directrice.
6°) Le mouvement existe.
Les
quatre
premi ères
prémi sses
sont
énoncées
dans
la
démonstration;
la
cinquiéme
est
implicite
dans
la
relation
entre la première et
la deuxième phrase de
la démonstration;
et
la
sixième
exprime
un
fait
que
l'auteur
ne
semble
pas
avoir
jugé
nécessaire
de
formufer,
mais
qui,
à
l'évidence,
contribue à
fonder
son
raisonnement.
Représentons
les propo-
sitions élémentaires de la manièr~suivante:
soit x= la matière est un étre nécessaire.
y=
la gravitation est nécessairement présente.
z=
le
monde
est
purement
matériel
et
n'est
soumis
à
aucune Intelligence directrice.
w=
le mouvement existe.
v= un vide est nécessaire.
Alors
le
système
des
prémisses
se
traduira
dans
les
équa-
t i ons
su i vantes,
où
q
est
employé
comme
symbol e
de
temps
indéfini:
· 197' X=q{Y(l-t).(I-y)t)
tZ=q( 1- ....')
y=qv
X=qz
w=!.
D'où on déduit,
par élimination des symboles q,
le système
X{yt+(l-Y)(l-t»)=O
(1)
tzw=O
(2)
Y(l-V)=O
(3)
vx=O
(4)
x(I-z>=O
(5)
1-w=0
(6)
Par
élimination,
dans
ces
équations,
de
W,\\/,Z,y
et
t,
on
obtient
l'équation
x=O,
qui
exprime
la
proposition:
La
matière
n'est
2?~_1J.n_ètIe
nécessaire.
c'est
la conclusion de Clarke.
En essa~'ant d'éli-
miner
un
autre
ensemble
de
cinq
symboles,
quel
qu'il
soit
(à
l'exception
de
l'ensemble
v,z,y,t
et
x
qui
donnerait
w=l>,
on
obtiendrait
un
résultat
de
la
forme
0=0.
Il
appa-
rait
donc
qu'il
n'y
a
pas
d'autre
conclusion
exprimant
la
vérité ou
la
fausseté absolue de
l'une quelconque des propo-
sitions représentées par des symboles individuels.
Il
n'y
a
d'autre
conclusion
se
présentant
sous
la
for-
me
d'une
équation
contenant
deux
symboles
que
celle-ci:
Si
le
monde
est
purement
matér i el
et
n'est
pas
soumi s
à
une
Intelligence
directrice.
la
gravitation
n'en
est
pas
nécessairement
absente.
Cette
conclusion
se
traduit
par
1 -
•
l'équation
tz=O,
d'où Z=q(l-t).
Si
dans
cette
analyse
nous, supprimons
la
prémissp
qui
con-
cl ut
à
l'ex i stence
de
fai t
du
mouvement.,
sans
rien
changer
aux
principes
hypothétiques
qu'énoncent
les
autres
prémis-
ses,
i l
en
découle
quelques
conclusions
remarquables.Je
me propose de les signaler dans le prochain chapitre.
10-
J'indiquerai
brièvement
la
substance
et
les
arti-
culations
de
la
suite
de
l'argument
de
Clark~~m'étendant
uniquement
sur
certains
de
ses
points
(198)
de
nature
plus
comp] exe
que
le
reste,
et
qui
constitueront
donc
de
meilleures illustrations pour notre méthode.
L'auteur montre dans sa Proposition
IV que
la substance
ou
l'essence
de
l'être
qui
existe
par
lui-même
est
absolu-
ment
incompréhensible.
La
teneur
de
son
raisonnement
est
que si
nous
ignorons
la nature essentielle de
toutes choses.
combi en
pl us
nous
ignorons
l'essence
de
l'être
qu i
ex i st.e
par
lui-même.
~-.~
Dans
sa
ProposItIon
V,il
soutient
que
"bi en
que
la
substance
ou
l'essence
de
l'être
qui
exi ste
par
1ui -même
.
nous
soit
elle-même
incompréhensible,
nous pouvons cependant
démontrer
pl usi eurs
de
ses
at t r i buts
essent i el s
aussi
bi en
que son existence".
La
Proposition
VI
affirme
que
"l'ëtre
qui
existe
par
lui-même
doit
nécessairement
ëtre
infini
et
omniprésent"
et
soutient
que
cette
infinité
doit
être
"une
infinité
de
plénitude
aussi
bien
que
d'immensité".
La
démonstration
se
fonde
sur
1 a
thèse
qu'une
nécessi té
abso 1ue
d'ex i stence
ne
doit
avoir
de
relation
ni
au
temps,
ni
au
lieu
ni
AUX
conditiorls,
qu'elle doit
être sans
limitation et,
par consé-
quent,
exc l ure
t ou te
imper fec t i on .
On
en
conc l ut
donc
que
l'être
qui
existe
par
lui-même
doit
être
"un
être
simple.
immuable
et
incorruptible.
sans
parties.
sans
figure,
sans
mouvement.
un
être
en qui
ne
se
rencontrent aucune des pro-
priétés de la matière".
On
peut
faire
apparaître
les
prémisses
effectivement
employées de la manière suivante:
1-
Si
un
être
fini
existe
par
lui-même.
il
est
contradic-
toire de supposer qu'il
n'existe pas.
2-
Un
être
fini
peut.
sans
contradiction,
étre
absent
d'un
lieu.
3-
Ce
qui
peut
sans
contradiction.
étre
absE:'nt
d'un
lieu
peut.
sans
contrad i ct i on.
être
absent
de
tous
les
lieux.
4-
Ce
qui
peut.
sans
contradiction.
être
absent
de
tous
les
lieux.
peut.
sans
contradiction,
être
supposé
ne
pas
exister.
Posons
---"-
x=
les êtres finis
y=
les choses existant par elles-mêmes.
Z=
les
choses
dont
i l
est
contradictoire
de
supposer
qu'elles n'existent pas.
w=
les
choses
qui
peuvent.
sans
contradiction,
être
absenlls d'un lieu.
t=
les
choses
qui
peuvent.
sans
contradiction.
être
absentes de tout
lieu.
<199>
Par
la
traduction
symbolique
de
ces
prémisses
et
par
élimination des symboles indéfinis,
on obtient
xy( }-z)=o
x(}-I,f)=o
W(1-t)=O
tz=O
(4)
Par élimination de t.w et z,
successivement. on a
Xy'=Q,
donc y=O/O (l-X);
dont
voici
l'interprétation:
Todt
ce
qui
existe
par
soi
est infini.
La
Proposition
VII
affirme
que
l'être
existant
par
lui-même
doit
nécessairement
être
unique.
La
dêmarche
qui
le prouve est que l 'ètre existant par lui-même "existe néces-
sairement", que "la nécessité absolue en elle-même est simple
et
uniforme et
ne
reconnalt
ni
différence ni
variété quelle
qu'elle soit", que toute "différence ou variété d'existence"
implique une dépendance;
et que donc
"seule existe nécessai-
rement
l' essence
si mpl e
et
un i que
de
l' êt re
ex i stant
par
lui -mëm~~.~
La conclusion découle également des prémisses suivantes
1- S'il
Y a
deux ou plusieurs êtres nécessaires et
indépen-
dants,
on peut supposer que chacun d'eux existe seul.
2-
Si
l'on
peut
supposer
que
chacun
d'eux
exi ste
seul.
il
n'y a
point de contradiction à supposer que
l'autre n'existe
pas.
3-
S' i 1
n'y
a
point
de
contradiction
à
supposer
cela,
il
n'y a pas deux êtres nécessaires et indépendants.
Représentons
les
propositions
élémentaires
de
la
maniêre
suivante:
x=
il
existe deux ëtres nécessaires et
indépendants.
y=
chacun d'eux peut ëtre supposé exister seul.
Z=
il
n'y
a
pas
de
contradiction
à
supposer
que
l'autre
n'existe pas.
Nous avons donc.
en procédant comme ci-dessus:
X(l-y)=Ü
(1)
Y<l-Z)=O
(2)
zx=O.
(3)
<200>
Par élimination de y et
z. nous obtenons
x=O.
Donc:
1 l
n 'ex i ste
pas
deux
étres
nécessa:i res
et
i ndépen-
dants.
Il -
On
sa i t
que
l ' Evèque
But 1er,
qu i
au
moment
de
la
publication
de
la
Démonstration.
faisait
ses
études
dans
une
uni\\'ersité
non
conformiste,
a
soulevé
quelques
objec-
tions
concernant
les
prémisses
d'où
sont
déduites
les
deux
propositions
qui
précédent;
elles
font
l'objet
de
lettres
cé 1 èbres
qu i
figurent
souvent
en
append i ce
des---éd i t ions
b
du texte de Clarke avec
les réponses de ce dernier.
La véri-
table question qui
se pose est celle de la validité du prin-
cipe
selon
lequel
tout
ce
qui
est d'une nécessité
absolue
est
absol ument
nécessa ire
en
chaque
part i e
de
l ' espace
et
en
chaque
po i nt
de
1a
durée";
ce
pr i nc i pe
est
présupposé
par
le
raisonnement
de
Clarke,
et
il
est
explicitement
for-
mul é
dans
sa
réponse
à
la
premi ére
1 et tre
de
But 1er.
Dans
sa
deuxième
lettre.
Butler
déclare:
"Je
ne
vois
pas
que
l'idée de l'ubiquité soit renfermée dans l'idée de
l'existen-
ce
par
soi-mème
ou
qu' _~J_J.~ ~Jl
~_QLt_lcLn~_.c.QD_~_CL1J_s'J1Ç~
__QjIJ:>_c:L~.
Tout
ce
qu i
est
contenu
dans
cet te
idée
c' pst
que
t out
ce
qui
existe,
existe .9...1J_~lg!L~.paLl'·. Ce qui
,"'eut dire que
l'ex-
istence
nécessaire
implique
l'existence
en
quelque
partie
de
l'espace
mais
non
en
chaque
partie
de
celui-ci.
Il
ne
semble
pas que Clarke
soit
jamais véritablement
venu
à
bout
de
cet te
abject ion.
Toute
1a
cor respündance
est
ext rèmement
curieuse
et
intéressante.
Les
objections
de
Butler
sont
précisément
celles
qui
viendraient
à
un
esprit
aiguisé
et
pénétré de
la conviction que
c'est sur
le
choix des princi-
pes premiers plutôt
que sur
l 'habileté mécanique à
raisonner
que
dépend
1e
succés
d'une
recherctle
de
1a
vér i té.
Et
rnème
si
on
ne
peut
pas
dire
que
les
réponses
de
Clarke
soient
satisfaisantes.
elles
révèlent
à
un point
remarquable,
cette
puissance intellectuelle particulière que manifeste l'ouvrage
qui
fit naître la discussion.
12-
La
Proposition
VIII
affirme
que
l'ètre
existant
par
lui-méme
et
qui
est
cause
originale
de
toutes
ctwses
.--. -
doit étre un Etre intelligent .
Le
principal
argument
en
faveur
de
cette
proposition
est
le
suivant:
la
cause
étant
plus excellente que
l'effet,
l'étre
existant
par
lui-méme,
en
tant
que
cause
et
origine
de
toutes
choses,
doit
renfermer
en
lui
les
perfections
de
toutes
choses;
et
l ' 1 nte Il i gence
est
une
des
perfect ions
visibles
dans
une
partie
de
la
création.
Il
est
affirmé
également
que
cette
perfection
n'est
pas
une
modification
de
<201>
la
figure,
la divisibilité ou aucune des propriétés
connues
de
1a
mat i ère;
car
ce
ne
sont
pas
des
per fec t ions
,
,,-
Qu'un
repos éternel
puisque,
alors,
ce mouvement
se
trouve-
ra i t
dét erm i né
de
tous
c6tés
en
mème
temps.,.
~3 i s
dira ~
t-on
que
sans
avoir
une
existence
nécessaire
en
vertu
de
sa
nature même
et
sans devoir
son
existence
a quelque cause
extérieure
et
nécessaire.
le
mouvement
a
existé
de
toute
éterni té
par
une
communication
et
une
transmission
à
l' in-
fini?
Spinoza
a
eu
l'inconséquence
de
sembler
l'affirmer.
Ma i s
j ' a i
déjà
montré
(dans
1a
preuve
de
1a
seconde
propo-
sition
générale
de
ce
traité)
que
c'est
là
une
contradic-
tian manifeste.
Il
reste donc à
conclure qu'il
faut de toute
nécessi té
que
1e
mouvement
ait
été
or i g i na i rement
produ i t
par quelque être intelligent".
On
peut
énumérer
les
prémisses
de
cet
argument
de
la
manière suivante:
1-
Si
le mouvement a
commencé dans 1e
temps.
1a cause pr emi -
ère est un être intelligent.
<202>
2-
Si
le
mouvement
a
existé
de
toute
éternité.
ou
il
a
été
produit
de
toute éternité
par un
être
intelligent
et
éternel.
ou
il
existe
par
soi.
ou
il
doit
avoir
existé
par une communication et une transmission à
l'infini.
3-
Si
le
mouvement
a
été
produi t
de
toute
étern i té
par
un
être
i nte Il i gent
et' éterne l , l a
cause
premi ère
est
un
être
intell igent.
4-
S' i 1
existe
par
soi.
la
matière
est
à
la
fois
en
repos
et non en repos.
5-
Que
le
mouvement
ait
existé
par
une
communication
et
une
transmission à
l'infini
et
qu'en même
temps
il
n'existe
pas
par
soi
et
n'ai t
pas été
produi t
de
toute
éterni té
par
un être intelligent et éternel. cela est faux.
Pour
traduire
symboliquement
ces
propositions.
posons
};=
le
mouvement
a
commencé
dans
le
t.emps
(et.
par
consé-
quent)
l-x=
le mouvement a existé de toute éternité.
y=
la cause pr2mière est un être intelligent
p=
le mouvement
a
de toute éternité été produit par un être
éternel
et intelligent.
q=
le mouvement existe par soi.
r=
le mouvement a
existé par une communication et une trans-
mission à
l'infini.
s=
la matière est en repos.
Les équations qui traduisent
les prémisses sont alors
x=vy
l-x=v{p<l-q)(l-r)-q(l-p)(l-r)+r(l-p)(l-q))
p=vy
q=vs(l-s)=O
r<l-p)(l-q)=O.
Puisque
d'après
la
quatriéme
équation.
q=O,
on
obtient.
par substitution à
q de sa valeur dans les autres équations.
--'-
le système
x=vy.
l-x=v(p(l-r)+r(l-p»).
p=vy.
r(l-p)=O;
par
élimination
dans
ce
système
des
symboles
indéfinis
v.
on aboutit au système final
réduit qui est le suivant:
X(l-y)=O
(1)
(l-x){pr+(l-p)(l-r)}=O
(2)
p(l-y)=O
(3)
[ll-p)=O.
(4)
'203)
Cher chans d' abord
l a
va leur de y,
] e
sy"mbo] e qu i
appa-
rait
dans
la
conclusion
de
Clarke.
En
premier
lieu,
élimi-
nons x dans (1)
et
(2):
nous obtenons
(l-y){pr+(l-p)(l-r»)=o.
(5)
Ensuite,
pour éliminer r
àans (4)
et
( 5 ) ,
nous écrivons
r(l-p)·(l-y){pr+(l-p)(l-r»)=O,
d'où {l-P+(l-y)p)x(l-Y)(l-p)=O;
donc
(l-Y)(l-p)=O.
(6)
En f j n,
pa r
é 1 i min a ti 0 n de p ct a fi s
<3)
et
(6 ),
no usa \\ 0 fi S
1-y=0
donc y= 1;
cette
équation
traduit
]a
conclusion
cher'chée:
Lêi_cause
première est un être intelligent.
Cherchons
maintenant
quelles
autres
conclusions
se
peu\\"en t
dédu ire des prém i sses.
En
substituant
à
y,
dans
les
équations
(1),<2),(3>
et
(4),
cette
valeur
que
nous
venons
de
trouver,
nous
réduisons
ces équations au couple suivant:
(l-x){pr+(l-p)(l-r»)=O et r(l-p)=Q
(7)
Par élimination de x
dans ces équations,
il
vient:
r(l-p)=O, d'où r=vp.
Cela
traduit
la conclusion suivante:
Si
le mouvement a
exis-
té
par
une
communication
et
une
transmission
à
l'infini,
il
a
été
produi t
de
toute
éterni té
par
un
étre
éternel
et
intelligent.
Par élimination
,cette fois,
de r
dans ce couple d'équa-
tions,
il
vient
(l-X)(l-p)=O
OU
l-X=vp.
Cette
èquation
exprime
la
conclusion:
,';;i_Je
mouvement
a
existé de
toute
éterrlité,
il
a
été produit de
toute éterni-
~ar un être intelligent et éternel.
Enfin,
par
él imination
de
p
dans
ce "même
couple,
on
obtient l'équation
(l-x)r=O,
qui,
sous la forme
(}-x)=v(}-r) ,
<204>
donne
la conclusion suivante:
Si
le mouvement a
existé
de
tou te
étern i té,
i l n ' a
pas
ex i sté
par
une
commun i cati on
et une transmission à
l'infini.
Lorsqu'elle est ramenée à
la forme
r=vx.
la méme
équation mène
à
la
conclusion équivalente
suivante:
si
le
mouvempn t
ex i ste
par
une
commun i cat i on
et
une
trans-
mission à
l ' infini,
il
a commencé dans le temps.
13-
Or
il
apparal t ..-a~
lecteur
que
la
première
et
la
derniére
des
quatre
conclusions
déduites
ci-dessus
sont
i ncompat i bl es.
Les
deux
conséquences
tirées
de
l '-hypothèse
que
le mouvement
existe
par
une
communication et
une
trans-
mission
à
l'infini.
à
savoir
1°)
qu'il
a
été
produit
de
toute
étern i té
par
un
être
éterne 1
et
i ntell i gent.
et
2°)
qu'il
a commencé dans le temps,
sont manifestement contradic-
toi res.
Et
pourtant,
l'une
et
l'autre
sont des conséquences
rigoureuses
des
prémisses
originelles.
Leur
contradiction
n'est pas de nature
logique,
mais de celle que l'on appelle,
techniquement,
mAt~rielle. Cette opposition aurait pu, cepen-
dant,
être
expl ici tement
ét_abl i e
dans
1es
prèmi sses.
1\\ous
auri ons
pu
1 eur
adjoi ndre
une
proposi t i on
énonçant
exp] ici-
tement
Que
.. tout
ce
QU i
a
été
produit
de
toute
éternité
par
un
être
éternel
et
intelligent
ne
commence
pas
dans
le
temps".
Si
on
l'avait
fait,
on
n'aurait
rencontré
aucune
contradiction
de
ce
genre
(jans
les
conclusions.
La
logique
formelle
ne
peut
tenir
compte
Que
de
relations
explicite-
ment
formulées
(VI.16);
ainsi,
il
peut
s'avérer
nécessaire,
dans
certains
cas,
de
formuler,
de
manière
explicite,
une
re 1 a t i on
entre
1 es
prém i sses,
qu i,
sans
èt re
expressément
affirmée,
est
contenue
dans
la
signification
méme
de
notre
langage.
Pour
illustrer
ce
point,
ajoutons
aux
équations
( 2 )
et
(4)
l'équation
px=O,
qu i
expr i me
] a
cond i tian
que
nous
\\'enons
d' évoquer.
.\\ous
avons
--.-
Par
élimination de
p
dans cette
équation,
on
trouve
simple-
ment
r=O,
qui
traduit
la
proposition:
Le
mouvement
n'existe
pas
par
une
communication
et
une
transmission
à
l'infini.
En
rem-
plaçant r
par sa valeur dans (8),
il
vient
(l-X)(l-p)+px=O,
ou l-x=p;
<205 >
l ' i nterprétat i on
en
est
donc:
Si
1e
mouvement
a
ex i s-
té
de
toute
éterni té.
Il
a
été
produl t
de
toute
éterni té
inverse,
La
proposition
IX
affirme
que
"i 'ètre
existant
par
1u i -même
et
qui
est
1a
cause
or i g i na 1e
de
toutes
choses
n'est
pas
un
agent
nécessaire,
mais
un
être
libre
et
qui
agit
par
choix",
La
preuve
en
repose
essentiellement
sur
le
fai t
que
cet
être possède
l' intell igence,
et
sur
l'exis-
tence
de
causes
finales
qui
supposent
un
but
et
un
choix.
A l'objection selon laquelle la cause suprême agit par néces-
sité pour
produire
le meilleur,
il
est
répondu qu'il
s'agit
d'une
nécessité de
convenance
et
qui
découle de
la
sagesse,
non d'une nécessité naturelle.
14-
La
proposition
X affirme
que
"l'être
existant
par
lui-même.
la
cause
suprême de
toutes
choses.
doit
nécessai-
rement
avoir une puissance
infinie".
La démonstration repose
sur
le
fait
que
comme
"tout
ce qu'il
y a
de
puissance dans
le
monde
vient
de
lui,
rien
ne
peut
contrarier
l'exécution
de sa volontê ou s'y opposer",
Il
est établi que la puissan-
.----
ce
infinie
de
l'être
existant
par
lui-méme
ne
s'étend
pas
à
"produire
une
chose
qui
implique
contradiction",
ou
à
accomplir
ce
"qui
signifierait
une
imperfection
(qu'elle
soit naturelle ou morale>
dans
l'être à
qui
cette puissance
est attribuée",
mais elle s'étend à
la création de la matiê-
re
et
d'une
substance
immatérielle
et
pensante.
qui
a
le
pouvoir
de
commencer
le
mouvement
ainsi
que
le
libre
arbi-
tre
ou
la
faculté
de
choix.
Sur
ce
sujet
de
la
liberté.
le texte soutient que nous sommes en mesure d'apporter une
réponse
satisfaisante
à
cette
question
aussi
importante
1
\\
"
qu' an cie n ne: 11 ci \\; i 1,1 "t Q \\< ;)t \\( 0 V' ,
que Ile
est
l a c a use
e t
l' c r- j 9 j -
ne du ma)"? Je citerai
brièvement
l'argument sur cette ques-
tian:
"Tout
ce
à
quo i
on
donne
le
nom
de
ma l
se
rapporte
à
l'une des
trois classes:
les maux d'imperfection,
et dans
ce rang je mets le manque de certaines facultés et de certai-
nes
perfect i ons
que
d' autres
créatures
possèdent;
1es maux
naturels,
tels
la
douleur,
les maladies,
la
mort
et
autres
choses
semblables;
les
maux
moraux
comme
sont
les
vices
de
toutes
espèces.
Le
premier
ordre
de
maux
ne
porte
ce
nom que
très improprement;
car toutes
les
facultés et
toutes
les
perfections
que
les
créatures
possèdent
étant
un
don
gratuit de Dieu, . . .
il
est clair que,
comme ce serait parler
fort
i mpropremen t
que d' appe l er
un ma I l e
néan t
dans
l eque l
il
l es aura i t
lai ssées,
supposé qu' i l
ne
leur
eO t
pas donné
l'existence,
ainsi,
on
ne
saurait
appeler
ma]
1e
manque
de
facu l tés
ou
de
per fec ti ons
qu i n ' on t
jama i s
appartenu
à
] a
nature.
Le
second
genre
de
ma l,
à
qu i
nous
donnons
le
nom
de
ma l
nature l,
est,
ou
une
su i te
nécessa i-rè- du
<206>
premier.
telle
est
la
mort
à
une
créature
qui
n'a
pas
été
faite
pour
être
immortelle,
et
celui-ci
porte
le
nom de ma l
auss i
improprement que
le prem i er.
Ou bi en c'est
un
mal
qui
se
trouve
contre-balancê
par
des
biens
aussi
grands
et
même
pl us
grands
que
n' est
le
ma 1:
de
ce
nombre
sont
les
afflictions
et
les
souffrances
des
gens
de
bien,
ce
qui
fait
qu'à
proprement
parler
aussi.
elles
ne
sont
point
un
mal.
Ou.
enfin,
ce
mal
est
une
puni tian,
auquel
cas
il
est
une
suite
nécessaire de
la
troisième et dernière
espèce
de
mal,
c'est-à-dire
du
mal
moral.
Celui-ci
tire
totalement
son
origine
de
l'abus
que
les
créatures
font
de
1 a
1 i berté
que
Di eu
1 eur
ava i t
accordée
pour
d' autTes
fins,
parce
qu'il
était
juste
et
bon
qu'Il
la
leur
donnât
pour
la
perfection
et
le
bel
ordre
de
toute
la
création.
Mais
les
hommes
tenant
une
conduite
toute
contraire
aux
intentions
et
aux
commandements
de
Dieu,
ont
fai t
servir
à
1eur
corrupt i on
et
à
1eur
perte
une
facu 1 té
qu i
éta i t
nécessaire
pour
la
perfection
de
la
totalité.
C'est
ainsi
que
toutes
sortes
de
maux
sont
entrés
dans
1e
monde
sans
faire
aucune
bréche
à
la
bonté
infinie
de
celui
qui
en est
le Créateur et le Souverain Maltre H .(p.112>
On peut établir
les prémisses essentielles de cet argu-
ment de la manière suivante:
1°)
Tous
les
maux
connus
sont
ou
des
maux
d'imperfection,
ou des maux naturels,
ou des maux moraux.
2°) Le mal
d'imperfection n'est pas un mal absolu.
3°) Le mal
naturel
est ou une conséquence du mal
d'imperfec-
__tj on,
ou
il
est
contre- ba 1ancé
par
un
bi en
pl us
grand,
ou
est une conséquence du mal moral.
4°) Ce qui,
ou bien est une conséquence d'un mal
d'imperfec-
tion
ou
bien
est
contre-balancé
par
un
bien
plus
grand,
n'est pas un mal absolu.
5°) Tous les maux absolus sont parmi
les maux connus.
POur traduire ces prémisses,
posons
w= lTJal
connu
x= mal d'imperfection
y= mal
naturel
Z=
mal
moral
p= conséquence d'un mal d'jmperfectlon
q= contre-balancé par un bien plus grand
r= conséquence d'un mal
moral
t= mal
absolu.
Dés
lors,
en
consi dérant
1es
prémi sses
comme
des
propos i -
tions
primaires
àont
,207'
tous
les
pré(jjcats
sont
parti-
culiers,
et
les
conjonctions
ou
bien,
ou,
comme
totalement
exclusives,
nous écrivons les équations suivantes:
W=V{X(1-y)(1-q)+Y(1-X)(1-z)+z(1-X)(1-y)}
x=vCl-t).
y=v{p(]-q)(]-r)·q(1-p)(1-r)+r(1-p)(1-q)}.
p(]-q)·q(1-P)=v(1-t).
t=\\'W.
Lorsqu'on
élimine
successivement
le
symbole
v
de
chacune
de ces équations,
il
vient:
",. { 1- x ( 1 - y) " ] - z > - y ( 1 - X) ( 1 - z ) - z ( 1 - x ) ( ] - y ) } = 0 ,
( 1 )
xt=o
(2)
~r { 1 - P ( 1 - q ) ( 1 - r ) - q ( 1 - p) ( 1 - r ) - r ( 1 - p ) ( 1 - q ) } =0.--- - ( 3 )
{P(1-q)+q(1-p)}t=O,
(4)
t(1-w)=O.
(5)
Soit
à
chercher,
d'abord,
quelle
conclusion
découle
légiti-
mement
des
prémisses
exprimant
ce
qu' il
en
est
des
maux
absolus en tant qu'ils dépendent des maux moraux et de
leurs
conséquences.
Il
nous
faut,
dans
ce
but,
déterminer
t
en
fonction
de
Z
et
r.
Par
conséquent
éliminer
les
symboles W,x,y,p,q.
Cette
procédure
s'effectue
aisément
car
tout
sous-ensemble
des
èqua t ions
ci-dessus
peut
se
rèd\\J ire,
pa r
arjd i t j nn ,
à
une
équation unique.
Par élimination de 1;,1 dans (1) et
(5),
il
vient
t{1-X(1-Y)(1-Z)-Y(1-x)(1-z)-Z(1-X)(1-y»)=0.
(6)
L'élimination de p dans (3) et (4) donne
yqr+yqt+yt<l-r)(l-q)=O.
(7)
Par suite,
l'élimination de q dans cette équatio~ entraine
yt(l-r)=O.
(8)
L'élimination de x dans (Z) et (6) donne
t{YZ+(l-y)(l-z»)=O.
(9)
L'élimination de y dans (8) et (9) donne
t< 1-z) (1-r)=0.
C'est
là
la
seule
relation
existant
entre
les
éléments
t,
z et r.
<Z08> Nous avons donc
t= O/[(l-z)(l-r»)
0/0 zr·O/O z(l-r)·O/O (l-z)r·O (l-z)(l-r>
0/0 z·O/O (l-z)r;
dont
voici
l'interprétation:
Le
mal
absolu
est
ou
bien
un
mal
moral.
ou bien.
si
ce n'est pas un mal
moral.
une consé-
quence d'un ma} moral.
Tous
1es
résu 1 tats
obtenus
au
cours
de
la
procèdure
qui
a
condui t
à
cet te
sol ut i on
sont
interprétabl es.
Ainsi,
nous pourrions déduire de (8)
t= 0/(y(1-r»)=0/0 yr+O/O (l-y)r+O/O (1-y)(1-r)
=0/0 yr+O/O (l-Y);
donc:
Les
maux
absolus
sont
ou
des
maux
naturels
qui
sont
!1es
conséquences
de
maux
moraux,
ou
ne
sont
pas
du
tout
çl~~_m_al-!\\__rE'l!JlL~_l s .
DIfférentes
autres
conclusions
peuvent
être
déduItes
des
équa t ions.
en
réponse
à
des
quest ions
arb i t ra ires
qu i
seraient
posées.
J'en donnerai
quelques exemples sans expli-
citer cependant les procédures intermédiaires de résolution.
Question.l-
Peut-on,
à
partir
des
prémisses,
déduire
une
relation
entre
les
éléments
suivants:
les maux
absolus,
les
conséquences
des
maux
d'imperfection,
les
maux
contre-
balancés par un plus grand bien?
Réponse-
l I n ' ex i ste
aucune
re lat i on
de
ce
genre.
Par
élimination
de
tous
les
symboles
autres
que
z,p,q,
on
ob-
tient comme résultat 0=0.
Question
2-
Existe-t-il
une
relation
entre
les
maux
absolus,
les
maux
d'imperfection
et
les
conséquences
des
maux d'imperfection?
Réponse- La relation finale entre x,t et pest
xt+pt=o;
par suite
t=o/(p+x)=%
(l-P)(l-X).
Donc:
Les
maux
absolus
ne
sont
ni
des
maux
d'imperfection
ni des conséquences de maux d'imperfection.
<209>
Question
3-
On
demande
la
relation
existant
entre
les maux naturels d'une
part
et,
de
l'autre,
les maux d'im-
perfecti on
et
1es
maux
contre-balancés
par
un
pl us
grand
bien.
Nous trouvons
pq~'=O ,
d'oû y=O/pq=O/o P(l-q)·O/O (l-P).
Donc:
l,~_?_Jr,_a1J.~---DSltl)LE'l~L ~Q_Dt _S'QjJ
f~C"? cQfj_ S_~_çnL~nç~~_ç;LE' m~JJ.-"-~
11_' i mpgLf~LLiQ.D~~DJ~ __~QD-L _Q~~_~__Ç_qILU__e_::: t;)_3__LillLÇ~_!? __lJ~L_1)_[L_Qlj.J s
9..[Qnd_-9_LE:'~
soi t
il s
ne
sont__l~~~JL toUl- de~
consèqueJ:Lçe~
de maux d'imperfection.
Question
4-
Quelle
relation
entretiennent
les
maux
naturels
qui
ne
sont
pas
des
maux
moraux
aux
maux
absol us
et à
leurs conséquences?
Posant y(l-z)=s.
on trouve,
après élimination,
tS(l-r)=O;
d'où s=O/[t(l-r»)=O/O tr·O/O (l-t).
Donc:
Les
maux
naturels ~L~_sont~~_~Les_mau~_~oraux.
soi t
sont
des
maux
absol us.
conséquences
de
maux
moraux.
soit ne sont pas du tout des maux absolus.
Les
conclusions
qui
vont
suivre
ont
été
déduites
de
la
même
manière.
Pour
chacune
d'elles,
son
sujet
représen-
tera
l es
choses
part i cu li ères
dont
on
cherche
une
descr i p-
tion.
et
son
prédicat
traduira
les
éléments
qui
doivent
entrer dans cette description.
Les
maux
absol us
qui
ne
sont
pas
des
conséquences
de
maux moraux sont des maux moraux et non pas naturels.
Les maux
absol us qui
ne
sont
pas des
maux
moraux
sont
des maux naturels.
conséquences de maux moraux.
Les maux naturels qui
ne sont
pas conséquences de maux
moraux ne sont pas des maux absolus.
Cherchons
.enfin,
une
description
des maux qui
ne
sont
pas
des
maux
absolus,
en
fonction
des maux
naturels
et
mo-
raux.
On obtient l'équation finale
I-t=yz ... O/O Y(I-Z)"'O/O
(I-Y)Z"'(l-Y)(l-Z).
L'interprétation
directe
de
cette
équation
est
une
vérité
nécessaire,
mais
l'interprétation
inverse
est
tout
à
fait
remarquable:
Les maux~
sont
<210'
à
la
fois
natu-
rels
et
moraux
ainsL.-9..~~au~i ne
sont
ni
naturels
ni moraux,
ne sont pas des maux absolus.
Cette
conclusion,
quoiqu'elle
puisse
ne pas ètre
\\raie,
n'en est
pas moins
impliquée par
les prémisses
telles qu'el-
les sont explicitement établies.
15-
Prenons,
pour
le
même
argument,
un
système
pl us
étendu
de
prémi sses
pour
l esquell es
nous
supposerons
que
les
particules
ou
bien, ou,
n'ont
pas
un
sens
absolument
exc l usi f,
de
sorte
que
dans
le
sens
de
l'express! on
ou
un
mal
d'imperfection,
ou
un
mal
naturel,
ou
un
mal
moral,
nous
compreni ons
toutes
choses
possédant
une
ou
pl us
d'une
de ces qualités.
Soient
les prémisses
1-
Tout
mal
(w)
est
soit
un
mal
d'imperfection
<x>,
soit
un mal
naturel
(y)..,--..soit un mal
moral
(z).
2-
Le
mal
d'imperfection
(x)
n'est
pas
un
mal
absolu
(t).
3 -
Le
ma l
nature l
(y) , soi t
est
une
conséquence
d'un
ma l
d'imperfection
(p),
soit
est
contre-balancé
par
un
plus
grand bien
(q),
soit est une conséquence d'un mal moral(r).
4-
Tout
ce
qui
est
une
conséquence
d'un
mal
d'imperfection
(p),
n'est pas un mal absolu
(t).
5-
Tout
ce
qui
est
contre-balancé
par
un
pl us
grand
bi en
(q),
n'est pas un mal
absolu
(t).
6-
Le
ma l
mora l
(z)
est
une
conséquence
de
l'abus de
1 i ber-
té
(u).
7 -
Ce
qu i
est
une
consequence
d' un
ma 1
mora l
(r)
est
une
conséquence de l'abus de liberté (u).
8- Les maux absolus sont parmi
les maux connus.
En
traduisant
les
prémisses
de
la
manière
habituelle
et
en éliminant
les symboles
indéfinis v,
on obtient
les
équa-
tians suivantes:
w(1-X)(1-y)(1-Z)=O,
(1)
xt=O,
(2)
Y(1-P)(1-q)(1-r)=O,
(3)
pt=O,
(4)
qt=O,
(5)
z(1-u)=O,
(6)
r<l-u)=O,
( Î )
t(1-w)=O,
(8)
chacune
de
ces
équations
satisfaisant
à
la
condition
V(I-V)=O.
'211;
Il est facile de déduire les résultats suivants
Soit
le
mal
naturel
est
un
mal
absolu,
conséquence
-'-
d'un mal moral.
soit il n'est pas du tout un mal absolu.
Tous
1 es
maux
sont
soi t
des
maux
absol us
conséquences
de l'abus de liberté.
soit ne sont pas des maux absolus.
Les
maux
naturels
sont
soit
des
maux
d'imperfection
qui
ne
sont
pas des maux absolus.
soit
ne sont
pas du
tout
des maux d'imperfection.
Les maux absolus sont soit des maux naturels conséquen-
ces de
l'abus de
liberté.
soit ne sont pas des maux naturels
et,
en même temps,
ne sont pas des maux d'imperfection.
1.e s __E.()J:L'i-~9JJ.E;J1_Çg_~_ ..d_E;_.J~ a Q~J.?_9.~__ .LLÇJ_E'L1_É'_..LC~ILPL.E;.ri 11.l?D.L __1CJ.1l"':'
J~S__mêQ~.._lJf;lJ- u r ~l~_qu L.J:L~__~.fmJ .....Qaâ-.g..E:.L!llau~...é'1Q~J1!_~_Dj_. d~~
maux _Q..:..j mperfect i on ..__éUJrsi_qu"':.!l.!L.L~stant_jndèf
in i
de
maux
naturels
qui
ne
sont_~ absolus
et
de
maux
qui
ne
sont
pas naturels.
16-
Ces
exemples ·suffiront
pour
illustration.
Le
lec-
teur
en
pourra
aisément
trouver
d'autres,
si
nécessaire.
Abordons
ma i ntenant
l'examen
des part i es
1 es
pl us
i mportan-
tes de la démonstration de Spinoza.
DEFINITIONS.
1-
J'entends par
cause de
so i
(ca1!sa~u i)
ce dont
l' essenc e
enveloppe
l'existence;
autrement
dit
ce
dont
la
nature
ne
peut être conçue sinon comme existante.
2- Cette chose est dite finie en son genre,
(in suo genere
finita)
qui
peut
être
limitée par
une autre de même
nature.
Par
exemple
un corps est
dit
fini,
parce que nous en
conce-
vons
toujours
un
autre
pl us
grand.
De
méme
une
pensée
est
limitée
par
une autre
pensée.
Mais un
corps n'est
pas
limi-
téf~ar une pensée, ni une pensée par un corps.
3-
J'entends
par
substance
ce
qu i
est
en
so i
( in
se)
et
est
conçu par soi
(per
se com:ipitur):
c'est-à-dire ce dont
le
concept
n'a
pas
besoin
du
concept
d'une
autre
chose,
duquel
il doive être formé.
4-
J'entends par attribut ce que
l'entendement perçoit d'une
substance comme constituant son essence.
S-
J'entends par mode
les affections d'une substance,
autre-
ment
dit
ce
qui
est
dans
une
autre
chose,
par
1 e
moyen
de
laquelle il
est aussi
conçu.
6-
J'entends
par
Dieu
un
être
absolument
infini.
c'est-à-
dire (212'
une substance constituée par une
infinité d'attri-
buts dont chacun exprime une essence éternelle et infinie.
Explication.
Je
dis
absolument
infini
et
non
infini
en
son
genre;
car
de
ce
qui
est
infini
seulement
dans
son
genre
nous
pouvons
nier
une
infinité
d'attributs;
pour
ce
qui
au
contraire
est
absolument
infini,
tout
ce
qui
expri-
me
une
essence
et
n'enveloppe
aucune
négation
appartient
â
son essence.
7-
Cette chose est dite
libre qui
existe par
la seule néces-
sité
de
sa
nature
et
est
déterminée
par
soi
seule
à
agir:
cet te
chose
est
dite
nécessa ire
ou
pl utât
cont ra i nte
qu i
est déterminée par une autre à
exister et à
produire quelque
effet dans une condition certaine et déterminée.
S-
J'entends
par
éternité
l 'existence
elle-m~me
en
tant
qu'elle
est
conçue
comme
suivant
nécessairement
de
la
seule
définition d'une chose éternelle.
Explication.-
Une
telle
existence,
en effet,
est
conçue
comme
une
vérité
éternelle,
de
même
que
1 • essent:e
de
la
chose,
et.
pour
cette
raison,
ne
peut
être
expl i quée
par
la
durée
ou
le
temps,
a lors
même
que
la
durée
est
conçue
comme n'ayant ni
commencement ni
fin.
AXIOMES.
1-
Tout
ce
qui
est,
est
ou
bien
en
soi
<in
se),
ou
bien
en autre chose.
2- Ce qui
ne peut être conçu par
le moyen d'une autre chose,
doit ~tre conçu par soi.
3-
D'une
cause
déterminée
que
l'on
suppose
donnée,
suit
néces~airement
un
effet,
et
au
('c·ntraire
si
nul le
cause
déterminée
n'est
donnée,
il
est
impossible qu'un effet
suive
4-
La
connaissance
de
l'effet
dépend
de
la
connaissance
de la cause et l'enveloppe.
5-
Les
choses
qu i n ' ont
rien
de
commun
l'une
avec
l'autre
ne
se
peuvent
non
pl us
connal tre
l'une
par
1 t aut re;
autre-
ment
dit,
1 e
concept
de
l'une
n' enVE 10J>pe
pas
1e
concept
de l'autre.
6-
Une
idée
vra i e
doi t
s'accorder
avec
l'objet
dont
e Il e
est l'idée.
(Idea vera debet cum suo ideato convenire).
7-
Toute
chose
qui
peut
être
conçue
comme
non
existante,
son essence n'enveloppe pas l'existence.
<213'
Certaines démonstrations
font
intervenir d'autres
définitions
et
présupposent
d'autres
élxiomes.
C'est
ainsi
que la Proposition
J,
"une substance est antérieure en natu-
re
à
ses
affections",
dont
la
preU\\,'e
n'est
qu'un
simple
renvoi
aux
définitions
3
et
5,
semble
présupposer
l'axiome
suivant:
"Ce
par
quoi
une
chose
est
conçue
est
antérieure
en
nature
à
1a
chose
conçue".
De
même
1 a
démonstrat i on
de
la
Prop.V
suppose
vraie
la converse
de
cet
axiome.
On
ren-
contre mai nts exempl es de ce genre.
Il
est donc
i mpossi bl e,
par
les
seules
procédures
logiques,
de
déduire
la
totalité
des
conclusions
du
premier
livre
de
l'Ethique
à
partir
des
axiomes
et
des définitions qui
ouvrent
ce
livre et que nous
venons
de
reproduire.
Dans
la
brève
analyse
qui
va
suivre,
je
m'efforcerai
de
présenter
dans
leur
ordre
propre
ce
qui
me
semble
constituer
les
prémisses
véritables,
qu'elles
soient
expl icitement
établ ies
ou
qu'elles
soient
seulement
implicites,
et
je
montrerai
comment
elles
impliquent
les
conclusions au~quelles Spinoza a été conduit.
17-
I l
m' appara î t
donc
que
àans
le
c ours de
sa
démons-
tration.
Spinoza
effectue
plusieurs
divisions
parallèles
de l 'univers des existants possibles, les distribuant
1 0 )
en
choses
qu i
sont
en
so i , x,
et
en
choses
qu i
sont
en
autre
chose,x';
par
suite,
puisque
la réunion de
ces classes
de choses forme
l'univers,
nous avons
x ... x·=l
(Ax.l>
ou
x=l-x·.
2 0 )
en
choses
qui
sont
conçues
par
soi,
y,
et
en
choses
conçues par autre chose,
y';
par suite
~'= 1-Y'
(AX.2)
3 e )
en
substance,
z,
et en modes.
z';
d'où
z=l-z'
(Déf.III.V)
4 0 )
en
choses
libres,
f,
et
en
choses
nécessa j res, f';
par'
suite
f=1-f'
( Dé f . VII) .
'---'-
5°)
en
choses
qui
sont
causes
et
existant
par
soi ,e,
et
en choses produites par autre chose.
e';
on a donc
e=l-e'
( Dé f . 1.
AX. VII )
<214>
Et
son
raisonnement.
à
partir
de
là.
repose
sur
le
principe
explicite
ou
tacite
selon
lequel
ces
divisions
ne
sont
pas
seulement
parallèles
mais
équivalentes.
Ainsi,
dans
la
Déf. 1 l l , l a
substance
est
posée
comme
équ i va lente
à
ce qui
est conçu par soi;
i l
vient donc
z=y.
De
même,
l'axiome
IV,
tel
qu'utilisé
effectivement
par
Spi-
nazi':!.
pose
l'identité
de
la
cause
et
,je
ce
par
quoi
une
chose est conçue;
c'est-à-dire que
~'=e .
De
m~rne
encore.
dans
la
Déf in i tian
\\' 1 l.
1 es
choses
libres
sont
identifiées aux choses existant par soi;
c'est-à-dire
f=e.
Enfin.
la
définition
V
pose
l'itjentité
du
mode
et
de
ce
qui
est en autre chose; donc z'=x'
et.
dès lors,
z=x.
Tous ces résultats peuvent ètre réunis dans la série d'équa-
tians suivante:
x=y=z=f=e=l-x'=l-y'=l-Z'=l-f'=l-e' .
Et
les équations obtenues lorsqu'on écrit
le signe d'égali-
té
entre
deux
membres
quelconques de
cette
série.
expriment
des
conclusions
qui
sont
des
conséquences
légi times de
son
s~:stème, que Spinoza
les ait
effectivement
déduites ou non.
Ainsi,
l'équation
z=l-e' ,
...--"-
tradu i t
1a
si x i ème
Proposi ti on
du
s~'stème:
"Une
substance
ne peut pas être produite par une autre substance".
De même.
l'équation
z=e.
traduit
la
Proposition
VII:
"
Il
appart i ent
à
1a
nature
d'une
substance
d'exister".
Il
est
inutile
de
poursuivre
ce
genre
de
déduct i on.
Spi noza
l'ut il i se
surtout
à
inférer
les
propriétés
de
la
Nature
Divine
telle
qu'il
la
voit.
après
s'être
d'abord
efforcé
de
prouver
que
l'unique
subs-
tance
est
Dieu.
Les
différentes
étapes
de
sa
démarch~
me sf.'mblent
cOflterJir des
falltes
àe
raiSDfJnt~ITient qui
ti(;f;r:ent
principalement a l 'ambigUité des termes qu'il emploie ;sur
ces fautes
il est nécessaire d'attirer l'attention.
<215>
18-
La Proposition
V veut
montrer qu'''il
ne
peut
y avoir deux ou plusieurs substances de même nature ou attri-
but".
La
preuve
en
est
la
suivante:
s ' i l
e:-;iste
plus
d'une
substance,
elles
se
distinguent
soit
par
leurs
attributs
soit
par
leurs modes;
si
c'est
par
leurs attributs,
il
est
donc
accordé
qu'il
n'yen
a
qu'une
du
méme
attribut;
si
c'est
par
leurs
modes,
alors,
mettant
ceux-ci
à
part
comme
i nessent i el s,
on
n'a
pl us
de
fondement
réel
permet tant
de
les di st i nguer.
Par
conséquent,
i 1 n' exi ste qu'une subst ance
possédant
le
même
attribut.
Les
présuppositions
qui
inter-
viennent
ici
sont
incompatibles
avec
d'autres,
que
l'on
rencontre
en
des
endroits
différents
de
l'ouvrage.
C'est
ainsi
que
la substance,
selon
la Déf.4,
est
perçue par
l 'en-
tendement
au
moyen
de
l'attribut
et
qu'elle
peut.
selon
la
définition
VI,
avoir
plusieurs
attributs.
Il
est
donc
--'-parfaitement concevable qu'une substance puisse se distin-
guer
d'une
autre
par
certains
de
ses
attributs
alors
que
les autres demeurent
identiques.
La
Proposi t i on
VIII
veut
montrer
que
"Toute
substance
est
nécessairement
infinie".
La
preuve
en
est
la
suivante:
il
n'existe
qu'une
substance
possédant
un
certain
attribut
selon
la
Prop.V;
et
il
est
dans
sa
nature
d'exister,
selon
la
Prop.VII.
Il
sera
donc
dans
sa
nature
d'exister
soit
comme chose
finie
soit
comme
chose
infinie.
Mais ce ne peut
être
comme
chose
finie
car
selon
la
Déf.II,
elle
devrait
étre
limitée
par
une
substance
de
même
nature
qui.
elle
a uss i.
d' apr'ès
J a
Prop. VII, .. devra i t
ex i st er
1i~çe~~E!JreJn~Dt.
En
un
mot,
il
y
aurait
deux
substances
de
même
attribut,
ce
qu i,
d'après
la
Prop. V,
est
absurde.
La
substance
est
donc
in fin i e .
Dans
cette
démonstration.
il
Y
a
confusion
entre
le
mot
"fini"
et
l'expression
"fini
en
son
genre"
(Def.ll>.
On
y
suppose
donc
que
rien
n'est
fini
s ' i l
n'est
limité
par
une
autre
chose
de
même
nature.
Cela
s' accorde
avec
le sens courant du
terme.
L'usage que
fait Spinoza du
terme
"fini".
tend à
faire de l'étendue
la seule forme de la subs-
tance,
et
de
toutes
1es
choses
ex i stantes
des
affect ions
de
l'étendue;
c'est
là
véritablement,
à
mon
avis,
l'un
des
fondements ultimes de son système.
Le
premier
scolie
concernant
cette
Proposition
est
remarquable.
voici
ce
qu'il
dit:
"eum
finitum
esse
revera
sit
ex
parte
negatio,
et
in
infinitum
absoluta
affirmatio
existentiae
al icujus
naturae,
sequi tur
ergo
ex
sola
Prop.
C.
VII.
omnem
substantiam
debere
esse
infinitam-:"-Or ceci
est,
en
fait,
une
formulation
du
principe
affirmé
par
Clarke
et discuté par
<216>
Butler
(XIII.ll),
et selon lequel
l'ex-
istence
nécessaire
veut
dire
l'existence
en
tout
point
de
l'espace.
Il
est
probable
que
l'on
trouvera
toujours
ce
principe
au
fondement
de
toute
tentative
de
démontrer.2
priori,
l'existence d'un Etre infini.
Si
l'on
se
donne
1es
propr i étés
général es de
1a
subs-
tance
énumérées
ci -dessus,
et
la
défini tion
de
Dieu
comme
la
substance
constituée
d'une
infinité
d'attributs,
cette
~oo
doctrine
particulière
de Spinoza
concerné:.lnt
la
!\\ature
Divi-
ne
en
décau l era
néc essa i ïement .
De
mème
que
1a
substance
existe
par
elle-même,
est
libre,
cause
par
sa
nature
même,
qu'elle
est
ce
dans quoi
toute
autre
chose
est
et
par quoi
elle est
conçue,
on
attribuera à
la
Divini té
les mêmes pro-
priétés.
Elle
existe
par
elle-même,
Prop.XI;
Elle est
indi-
visible,
Prop.XIII;
Elle
est
l'unique
substance,
Prop.XIV;
l'être
en
qui
sont
toutes choses
et
par
quoi
toutes
choses
sont
conçues,
Prop.XV;
cause
immanente
de
toutes
choses,
Prop. XVIII.
La
preuve
que
Di eu
est
1a
substance
un i que
est
tirée
de
la
Déf.VI
qui
s'entend
comme
l'affirmation
que
"Dieu
est
l'Etre
absolument
infini,
duquel
nul
attribut
qui
exprime
une
essence
de
substance
ne
peut
être
ni é".
Tout
at tri but
concevabl e
Lui
3Y'ant
ai nsi
été
accordé
par
définition,
et
la
Prop.V ayant
établi
qu'il
ne peut y
avoir
deux
substances
de
même
attribut,
il
en
découle
que
Diel '
est
la substance unique.
Bi en
que
l ' Eth i que
de
Spi noza,
comme
une
grande
part
de ses autres écrits,
se présente sous
la
forme
géométrique,
elle n'offre guère un bon entralnement à
la méthode symboli-
que
exposée
ici.
Bien
entendu,
toute
déduction
admet,
une
fois ses prémisses ultimes véritablement déterminées,
d'étre
traitée.selon
cette
méthode;
mais,
dans
le
cas
présent,
un
tel
traitement
diffère à
peine,
sauf par
l'usage
de
lettres
è
la place des mots,
des procèdures empoyées dans les démons-
trations originelles.
On ne
rencontre pas souvent un
raison-
nement
Qui
consiste
si
largement
à
jouer
sur
des
mots
que
l'on définit comme équivalents;
et c'est plus en raison
de
l' i ntèrét
qui
s' at tache
au
sujet
que
pour
1es
mér i tes
des
démonstrations
-bien
que
certains
les
tiennent
en
haute
estime-.
que j'ai consacré quelques pages à
leur exposition.
19-
Il
n'est
pas
possible,
è
mon
sens.
après
avoir
examiné
les arguments de Clarke et de Spinoza.
de n'en point
retirer
la
conviction
profonde
de
la
vanité
de
tout
effor·t
pour
établir,
entièrement
~L---l2.Liori,
l'existence
<217;
d'un
Etre Infini. de Ses attributs et de Son rapport au monde.
Le
principe
fondamental
de
toutes
les
spéculations
de
ce
genre.
à
savoir que tout ce que nous pouvons concevoir clai-
rement
ex i ste
nécessa i rement,
échoue
à
réa 1 i ser
cet
objec-
tif.
même
lorsqu'on
en
accorde
1a
véri té.
Car
comment
1e
fini
pourrait-il
embrasser
l'infini?
Et
pourtant,
la
possi-
bilité
de
le
concevoir
doit
être
accordée
et
cela
en
un
sens
qui
va
au-delà
de
la
simple
possibilité
de
franchir
les
limites
de
l'existence
phénoménale,
avant
de
pouvoir
établ ir
un
fondement· sol ide
pour
la
connaissance.a
priori.
de choses
infinies et
éternelles.
Spinoza affirme clairement
et
explicitement
la
réalité
d'une-t'elle
connaissance:
"Mens
humana
adaequatum
habet
cognitionem
aeternae
et
infinitae
d..
éme
essentiae
Dei"
(Prop.XLVII.
2
partie).
Comparons
cela
éme
à
la
Prop.XXXIV.
2
partie:
"Omnis
idea
quae
in
nobis
a.
est
absol uta
si ve
adaequata
et
perfecta.
vera
est";
et
è
ére
l'axiome
VI.
1
partie:
.. 1dea
vera
debet
cum
suo
i deato
conven i re ..f Bi en pl us:
il
fa i t
de
ce
genre
de
conna i ssance
l'élément constitutif essentiel
de
toute autre connaissance:
"De
natura
Rationis
est
res
sub quadam
aeternitatls
specie
éme
percipere" '<prop.XLIV.
Cor.II,
2
Partie).
Si
l'on
disait
qu'i l
Y a
une
tendance
dans
l' espr i t
fJ1jrr.;:l in
a
5--' É' J 2\\er
de
la
contemplation
du
particulier
à
l'unh/ersel,
du
fini
à
l'infini.
du
transitoire
à
l'éternel;
et
que
cette
tendance
nous
indique.
avec
une
probabilité
élevée.
une
existence
qu i
sera i t
au -de l à
de
ce
que
perço i vent
1es
sens
ou
de
ce
qu'embrasse
l'entendement:
il
se
trouverait
au
moins
un
grand
nombre
d' espr i t s
pour
accepter
cet t e
thèse.
l l e s t .
cependant.
un
genre
de
spéculations
dont
il
faut
expliquer
la nature
en
faisant
appel,
pour
partie,
à
d'autres causes:
l ' i mpat i ence
devant
la
conna i ssance
seu l ement
probabl e
ou
limitée.
qui
est
si
souvent
la
seule
que
nous
puissions
vér i tabl ement
at te i ndre;
1e
dés i r
de
cert i tude
abso 1 ue
1à
où
il
ne
nous a
été donné que des conjectures qui
suffisent
à
nous désigner
le chemin du devoir mais non pas à
satisfai-
re
les
exigences de
l'intellect
spéculatif;
peut-être aussi
une
insatisfaction
devant
les
choses
telles
qu'elles
sont.
Lorsque
ces
raisons
prévalent
de
manière
illégitime,
la
procédure
plus sobre de
l'analogie
et
de
l'induction
proba-
bl e
est
nég li gée.
Pourtant.
il
est
hors de doute que ce Il e-
ci
est
la démarche
la plus adaptée à
notre condition présen-
te . . Dédui re
l' exi stence
d'une
cause
i ntell i gente
à
part i r
des
multiples
témoignages
qui
nous
entourent
d'un
dessein
conscient,
s'élever
jusqu'à
l'idée
d'un
Souverain
MaItre
du monde moral
en nous fondant
sur
l'étude <218> de la cons-
titution et des dispositions morales de notre propre nature:
cet te
démarche,
méme
si
e Il e
ne
tradu i t
que
l es
pas
i ncer-
tains
d'un
entendement
dont
les
facultés
sont
limitées
et
dont
les éléments de connaissance sont maigres.
est davanta-
~o3
ge
8
notre
mesure
que
l'ambitieuse
tentative
d'3ccË'der'
à
une
CE'J-titude
que
l'on
ne
peut
atteindre
à
par"tir
de
la
rel igion
naturelle.
Et
ce
sont
là
toujours,
la
Ré\\}élation
mise
à
part.
les
plus
sol ides
des
fondements.
parce
que
les plus anciens,
de
la croyance que
le cours du monde n'est
pas laissé au hasard et à
l'inexorable fatalité.
--"-
~.
\\
CHAPITRE l~
- EXEMPLE D'A~AL"SE D'LN SYSTEME D'EQCATIONS
SELON LA METHODE DE REDUCTION A CNE EQUATION EQUIVALENTE
UNIQUE V=O,
OU V SATISFAIT A LA CONDITION V(l-\\,)=O.
<219>
1-
Prenons
le
remarquable
système
de
prémisses
qui
a
été
employé
dans
] e
précédent
chapi tre,
pour
prouver
que
"La
mat i ère
n'est
pas
un
être
nécessa ire";
supprimons
la
sixième
prémisse,qui
dit
que
le
mouvement
existe,
pour
examiner
certaines
des
conséquences
découlant
des
autres
prémi sses.
Cel a
rev i ent,
en
fa i t,
à
accepter
comme
vra i s
les principes hypothétiques de Clarke,
mais aussi
à
supposer
que
nous
ignorons
nous-mêmes ce qu'il
en est
de
l'existence
du mouvement.
Il
peut arriver qU'à choisir ainsi
une partie
seulement
des
prémisses
d'un
argument,
l'on
soit
conduit
à
des
conséquences
intéressantes:
mais
c'est dans
une
autre
perspect i \\'e
que
nous
revenons
au
présent
exempl e.
Nous
em-
ploierons effectivement les prémisses suivantes:
I-Si
la
matière
est
un
étre
nécessaire,
ou
la
propriété
de
grav i tat i on
y
est
nécessa i rement
présente,
ou
el le
en
-'-
est nécessairement absente.
2-5i
1a
gravi tat i on
en
est
nécessa i rement
absente
et
que
le
monde
n'est
soumis
à
aucune
intelligence
directrice,
le mouvement n'existe pas.
3-5i
la gravitation y est nécessairement présente,
l'existen-
ce d'un vide est nécessaire.
4-5i
l'existence d'un
vide
est
nécessaire,
la matiêre n'est
pas un être nécessaire.
5-Si
la
matière
est
un
être
nécessaire,
le
monde
n'est
pas
soumis è
une intelligence directrice.
Alj()ptant
la même notation que précédf=mment,
nous trac1ui-
rons les propositions élémentaires de la manière suivante:
x= La matière est un être nécessaire.
y= La gravitation y est nécessairement présente.
w= Le mouvement existe.
t= La gravitation en est nécessairement absente.
z=
Le
monde
est
purement
matériel
et
n'est
pas
soumis
à
une intelligence directrice.
v= L'existence d'un vide est nécessaire.
'220' En
t radu i sant
syrnbo 1 i quement
1es
prérn i sses
et
en
é 1 i -
minant
les
symboles
de
classe
indéfinie
(q),
nous
obtenons
le système d'équations suivant:
tzw=O.
yv=O,
vx=o,
xz=O;
OÛ,
pour
abrège-F...
y
représente
1-y,
t.
1- t,
etc ... ;
nous
-
-
avons donc également I-t=t.
l-y=y.
etc . . .
Pu i sque
1es
premi ers membres
de
ces
équat i ons
ne
con-
tiennent
que
des
termes
posi tifs.
nous
pouvons
former
une
équation
unique
en
additionnant
membre
à
membre
ces
équa-
tions.
Il vient
xyt+Xyt+yv+vx+xz+tzw=o.
et
il
reste à
rèduire
le premier membre de telle sorte qu'il
satisfasse à
la condition V(l-V)=O.
,Pour
ce
faire
nous
allons
d'abord
écrire
son
développement
par rapport aux s;."mbo l es x et ~"" !\\ous obt enons:
-
-
-
( t ~ \\" ~ \\' - z ... t Z\\A.' ) x~' .. ( t .. v .. Z + t Z\\A.·) xy ... ( V + t Z\\A.' ) xy .. t Z\\A.1)iS =0 0 .
Nous
aurons
atteint
notre
objectif
si
nous
réduisons
les
quatre coefficients de ce développement
à
des formes équiva-
lentes
qu i
e 11 es -mêmes
sa t i sfassent
à
1a
cond i ti on
en
ques-
tion.
Puisque dans le premier coefficient
v+\\'=l,
il
s'écrit
qui
se ramène à
l'unité (IX.Prop.l).
Le second coefficient est
t+V"'Z+tzw;
et a
pour forme
réduite
(X.3),
-
t+tv .. tvz+tvzw.
Le
troisiéme
coefficient,
v+tz~,
se
réduit
de
même
à
v+tzwv;
et
le
dernier
coefficient
tzw n'a
pas besoin d'ê-
tre réduit.
Le développement devient donc
qui
est
la forme réduite cherchée.
2-Con formément
au
pr i ne i pe
établ i
dans
1a
Prop. 1 J-t·,
chap.X.
on
peut
déduire
l'expression
complète du
lien
entre
des symboles Quelconques de
l'équation ci-dessus en dévelop-
pant
celle-ci
par
rapport
à
ces
symboles
et
en
ne
retenant
dans
le
résultat
que
les
constituants
dont
le
coefficient
est
l'unité.
C'est
ainsi
que
si
nous
choisissons
les symbo-
les x et Y.
nous obtenons immédiatement
l'équation
xy=o.
d'où y=O/O (!-x).
dont
voici
l'interprétation:
Si
la
gravitation
y
est
néces-
~é:l_L[ ~llLE;D~ __PL~~~D_t_~.... _l~.. JI1'ê_!J_~rJ~ __D_'.!'_~! ""Qe~"_\\U:L_~1.r.~JJ?"c._E;'_~ ?"aj"r::~ .
Cherchons maintenant
la relation entre x
et w.
En déve-
loppant
Cl) par rapport a ces symboles, nous obtenons
(y ..t: y.. t Vy~ t vzy~t vZy )xw .. (y~ty .. tvY .. t "\\:Zy )xw .. (v~, .. t zvy" t Zy)xw
.. VYX\\.l,l=O.
Le
coefficient
de xw,
et
IUipeul,
se
réduit
a l'unité.
En
effet,
t\\."zy·tvzy=tvy.
t\\.'y~tvy=ty et
q.>-ty=y
et,
enfin.
Y"Y=l.
Ces
réductions
s'effectuent
toujours
de
cette
maniè-
re.II
vient donc
xw=O
d'où w=o/O (l-x),
dont
voici
l'interprétation:
Si
le
mouvement
existe,
la
matière n'est pas un être nécessaire.
En
développant
de
même
Cl)
par
rapport
a x et z, nous
obtenons l'équation
xz=o
d~où X='O/O z
qui a pour
interprétation:Si
la matiére est un être nécessai-
re =-·1 e
monde
est
purement
matér i el
est
n'est
pas
sourn i s
à une intelligence directrice.
<222>
Il
ne
s'agit
lé,
en
fait,
que de
la
simple
reproduc-
tion de la cinquième prémisse, mais elle montre qu'il
n'exis-
te pas d'autre relation entre ses deux éléments.
Pour
trouver
la
relation
entre
les
éléments
x,w
et
Y.
nous avons.
en développant
(1)
par rapport a ces symboles
et en procèdant comme ci-dessus.
xy"xwY=O.
Soient
à
chercher
alors
les
conséquences
de
l'hypothèse
,
"Le
mou\\'ern~nt n' ex i st e
pas"
en
fone t i on
de
1a
quest i on
de
la
nèc2ssité
de
la
matière
et
cle
la
pl-èsence
nécessaire
de la gravitation.
Nous trouvons
\\,t; ~ ( - xy) / xY.
d'oû
l-w=X/X~=1/0 xy·xy·O/O x;
ou
l-W=XY.O/O x.
avec xy=O.
L'interprétation
directe
de
la
premiére
équation
est
celle-
ci:
si
le
mouvement
n'existe
pas-,-- soit
la
matière
est
un
être
nècessaire
et
la
gravitation
n'y
est
pas
nécessaire-
ment présente.
soit
la matière n'est pas un être nécessaire.
L ' i n ter p r è ta t ion
in\\' ers e
en
est:
~l__
l Q
mati é r e
est
un
é t r e
nécessaire
et
que
la
gravitation
n'est
pas
nécessaire.
le
mouvement n'existe pas.
On
trou\\'erai t
exactement
de
l a
même
mani ère>
en
ctler-
chant la relation compléte entre x.z et w:
xzw·xz=O.
Par suite.
z=xw·O/O x avec x\\,t;=O.
Par
conséquent:
Si
le
monde
est
purement
matéF-Lel
et
n'est
pas
soumis
à
une
intelligence
directrice.
soit
la
matière
est
un
être
nécessaire
et
le
mouvement
n'existe
pas.
soit
la matiére n'est pas un être nécessaire.
Et.
inversement:
Si
la
matiére
est
un
être
nécessaire
et
qu'il
n'existe
rien
de
tel
que
le
mouvement.
le
monde
est
purement matériel.
3-
Nous pourrions.
bien
entendu.
ètendre
cette
méthode
à
la
<223>
détermination des conséquences de n'importe quel-
le hypothèse complexe u.
par exemple:
"Le monde est purement
matériel
et
sans intelligence directrice
( z ) ,
mais
le mouve-
m~~nt existe"
(w).
en
fonction
des
autres
e1É:ments
contenus
dans
les
prémisses
originelles
et
qui
font
l'objet
d'un
doute
ou
d'une
i nterrogat ion,
par
exempl e:
"La
mat i ère
est
un
être
nécessaire"
(x),
"La
gravitation
est
une
qualité
nécessaire de
la matière"
(y).
Nous pourrions,
dans ce
but,
adjoindre a l'équation générale (1), une nouvelle équation
u=wz,
réduire
le
systèmê
ainsi
obtenu
à
une
équation
unique
v=o
où V satisfait à
la condition V(l-V)=O et effectuer
la même
démarche
que
précédemment
pour
trouver
la
relation
entre
u,x
et
y
et
enfin
u
comme
fonct ion
déve 1 appée
de
x
et
de
y.
Mais
il
est
de
loi n
préférabl e
d'adopter
1 es
méthodes
des
chapi tres
VIII
et
IX.
Je
me
contenterai
de
donner
j ci
quelques
résultats
et
d'indiquer
les
principales
étapes
qui
ont
permis
de
les
obtenir
en
laissant
au
lecteur
le
choix de procéder a la vérification.
Pour
ce
dernier
probléme,
nous
trouvons
entre
x,y,w
et z,
la relation suivante:
xw+xwy+xwyz=O.
En
écrivant
u=xy et
en éliminant
les
symboles x
et
y
selon
le problème général du chap.IX,
nous trouvons
xu+xyu=O,
d'où U=l/O xy+O XY+O/O x,
par suite, wz=O/O X. avec xy=O.
Par
conséquent:
Si
le
monde
est
purement
matér i el
et
sans
une
intelligence directrice et qu'en même temps le mouvement
existe.
la matière n'est pas un être nécessaire.
110
Or.
nous avons montré
précédemment Que Si
le mouvement
~2\\.j~tg,_JaIT1tjJ:j_~Le_n'g~t__ Jl3_~ __un __~tr~ n~c~<;;_'?.QLL~;
en
consé-
quence,
cette
conclusion
nous
én
dit
encore
moins
que
ce
que
nous
a\\,'ions
précédemment
établ i
(par
déduction)
comme
vrai.
Néanmoins.
cette
conclusion
est
la
réponse
exacte
et
enti ère
à
1a
questi on
posée qu i
éta i t
de
dèterm i ner
1 es
consèQuences d'une hypothèse complexe donnée.
'224>
4-
On
pourrait
aisément
dèduire,
IIi ërn e
à
pé2rtir
du système restreint de prémisses que l'on s'est donné.
ma i ntes
autres
conc 1 usi ons
contenant.
sous
1es
cond i t ions ,-
présentes.
toutes
les
différentes
combinaisons
de
proposi-
tions
élémentaires
que
l'on
voudrait.
Si
la
condition
est
incompatible
avec
les
prémisses,
la
forme
que
prendra
la
solution
le
révèlera.
Cette
méthode
permettra
d'assigner
la \\'aleur 0 à
la combinaison de s~'mboles traduisant
la condi-
tion en Question.
Si.
en revanche. cette condition est satis-
faite
sans
imposer aucune restriction aux propositions entre
1 esque Iles
on
cherche
une
re 1at ion
toute
combinaison
de
ces
propositions
étant
alors
également
possible-
la
forme
de
la
solution
le
révèlera aussi.-Les deux
cas
sont
illus-
trés ci-dessous.
Cherchons.
par
1 a
démarche habi tue Il e.
1 es conséquences'
de
la condition selon
laquelle la matière est un être néces-
saire et.
en même temps. Que le mouvement existe;
elle affec-
te
les
propositions:
le
monde
est
purement
matériel
sans
une
intelligence directrice
et
la gravitation
est
nécessai-
rement présente;
nous trouvons l'équation
xw=O.
qui
montre
que
cette
condition
est
incompatible
avec
les
prémisses et ne peut donc être satisfaite.
Cherchons les consèquences de la condition selon laquel-
que L~IJLQ~1-L\\'em~Jl~~xtste, en
fonct i on des mèmes proposi t ions
que
précédemment.
è.
savoir
.L'~tJsence
d'une
intelli~nce
directrice
et
la
nécessité de
la
gravitation:
nous obtenons
le résultat suivant:
( 1 - x ) lA' =0 / 0
YZ ~ 0 / 0
y ( 1 - Z ) ~ 0 i 0
( )- y) Z" 0 ! 0
( 1 -y ) ( 1- Z )
qu i
pourrai t
s' interpréter
lit téra l ement
de
l a
man i ère
sui-
vante:
S i l a
ma t i ère
n' est
pa s u n
ê t r e
né ces sa ire
et
que
l e
mouvement
existe,
alors soit
l~_monde est PllLement_!natéri~
et
sans
une
i nte Il i gence
di rectr i ce,
et
1a
gravi tat i on
est
nécessa~re, soit
l'un de ces résultats en découle mais sans
l'autre,
soit
ils sont
tous ~eux faux.
Par conséquent,
cette
conclusion
affirme
que
<225>
parmi
les
quatre
combinaisons
possi bl es,
dont
l'une
est
nècessai rement
vra i e
et
dont
une
seule
peut
l'être.
n'importe
laquelle
peut
étre
vraie.
Un
te l
résu l tat
est
un
tru i sme,
une
si mpl e
vér i té
nécessa 1re.
Il
exprime néanmoins
la seule réponse que
l'on puisse appor-
ter è. la question posée.
Je ne crois pas nécessaire de me défendre d'avoir choi-
si
des
applications
laborieuses
et
sans
intérêt.Il
peut
s'avérer
nécessaire
de
consacrer
du
temps
è.
des
détails
inutiles
en
eux-mêmes
afin
de
raffermir
la
confiance
en
des
principes
et
des
méthodes
généraux.
Une
fois
atteint
cet
objectif,
ce
qui
est
le
propos
de
ces
analyses.
l'on
pourra
oubl i er
tout
ce
qui
aura
contri bué
è.
y
parveni r
et
qui se sera ensuite avéré superflu.
iü0E ARIS1CfELICIENNE ET SES
DEVELOPPEMENTS MODERNES A LA LUMIERE DE LA
.
METHODE EXPOSEE û?)!\\ÎS' CE TRAITE.
(226) 1- Le systèmelogfque d'Aristote~ ~~i a subi de~
modifications de détail
mais dont les tr3its essentiels n'ont pas
varié,
occupe une place si
importar;te dans l'enseignement qu'on ne
~'àaf"alt 'mah"~iir;TEi'i;'de di re quelques"'rncJts dtl'sâ"nat'ure et
d ;)èx'lî~{ A~p"~\\? f~~~~~irH: ';'1 'ès" ·'trf{f(2't pââ}t ; p'robr~~é~~~u ·'t~l' pose' ~' '<'Il ne
s'agit pas du tout d'apporter à
cette t~che un esprit de critique
étroit et pointilleux.
Mon propos,
en ,~it, n'est pas de comparer
point par point ce système en honneur dans les écoles depuis des
siècles et celui du présent traité=
mais pla~ant la vérité au
dessus de toute autre considération, de m'attacher à dégager la
nature véritable de l 'ancienne doc~rine , et d'écarter un ou deux
•
contresens répandus concernant son étendue et son achèvement.
Ce que l'on peut tenir pour l'essentiel de l'esprit et de la
méthode de la logique ~(stotélicienne, ainsi
que des systèmes qui
toutes les
'ri~tt;ê 'a:~[BWt'jttqG~'(~~~·ilfe·~~:~ii~'i'~i.:d'~'l{ri sfot~h.rltl\\ut 'fa ~Jf;,i~'~t:,
;;~Jfii't:-~é ou nié du genre':'péuti,'êti\\f''la mêineft\\.:l.nièri~,'êtrë a~.firmê ou
nié de toute espèce comprise sous ce genre.
Concë~hànt de teli r
. principes généraux, on peut remarquer,
me semble-t-il,
qu'ils se
présent.en'tdè 'dêux manières':
soit ils posent di rectement ,
mais de
Par ailleurs t l s ét3.b)issent dans.la logique deux grandes
branches ~
d~ns l'une on s'occupe du traitemG~tdes propositions
catégoriques. dans l'autre de celui
des propositions <227}
hypothétiques ou conditionnelles.
Cette division recouvre à
peu
près celle qui
a été ici établie entre propositions primaires et
~ropQsi:ti,.Qn.1i\\s.e.c:Qndaires.d'''';:E!xamende'la ,.t.héorie .des ,propositions·
cat:ègoi-i"qüe$l}(e$t~:,d:an$,.t:.ous···lestrciitéi5cot.1rants del'ogi que',
beaucoup plus complet et élaboré que celui des propositions
hypothétiques;
il
porte en partie sur les anClennes distinctions
scolastiques, en partie sur les canons de l'inférence déductive.
Il ne sera
nécessaire ici d'attl~~r l'attention que sur ce second
poi nt _>
2- On classe les propositions catégoriques sous les quatre
41
rubriques suivantes:
Type
1)
Les p~opositions universelles affirmatives
Tous les Y's sont
des X 'g,.
"J:, __
nég·~·~if~~~:J;;f·}AÙ~Urt:V'. q'~est
3).
L . L ........,.L i ères· affirmati'ves: Quel ques ,'JI' s
sont
4)
par'ti cul i ères. 'néqati ves '
: Quel quesY '$ ne
sont pas desX's~,
Quatre autres formes ont été récemment ajoutées à celles-là;
on obtient de la sorte, un total de huit formes
( voir la
prochail'l~:set:tion)
qui s e l ai ssent:cependant ramener; à six; elles
syllogistique à
laquellales meilleur25 autorités ne se réfèrent
qu'avec le plus grand re~pect.*
Les prbcèdure~ de logique formelle constituées à partir de ce
système de propositions se déc~ivent selon deux types:
la
"conversion"
et le ",;:.yllogisme".F'ar- con\\/ersion on entend
l'expression sous une forme éqUIvalente de l'une quelconque des
proposi ti~i;),,;ci-d~ssu$'t après i nterver-:.si on de l ' ordre de ses
i
~
tet-mes. Paf" syllogisme on entend la déduction, à partir de d e u x f
propositions se présentant sous l'une de ces quatre formes et
possèdant un terme commun -
qu'il
soit sUjet ou predicat-.
j'une
troisième proposition qui en est la "conclusion", et qui
se tire
des deux autres où elle se trouvait contenue.
La plupart des
auteurs en logique tiennent que ces procèdures révèlent les types
universels du raisonnement,
que certains mème ramènent à
la seule
le
procédu~e syllogistique;
et ils estiment que 1 esprit a pour role
de se conformer, dans toute démonstration, conscIemment ou ~228>
inconsciemment, aux modèles particuliers que
constituent les
,----
1!ls$ées .pat'/;,l e s l og ici ens çjans leurs, livres.
,.;"-;, --,;·tv~i',;;~~\\' ;,~ ~~,
.
J~.
': 4:"'" .:~'
•
'est' de tfflontrjer cQm~n-t,...tes"procèdüresdu·'": •. ;: ,c.
:r
"
..
,.
'?.t,..'è"..
,".-".\\' '.
'<~.',:~'-
syllogismeetdê14:(:oNversibn peuvent's'ÉHfectuer de la manière
•• Pl'U~Qi~:'~lê~~,,~lbr(ê~~i~p.rincipe$··dé~~ce;1.t.taité~f!t.'én·les
,-;':?~~5*~:<f·i .-'.--~ :x; ";'t··'" -..
.'<.,-. /~J"
.
si tuant: dans' le::contexte d'un système de 10gi que Qui trouve ses
fondements,.:'cdest:ma position, dans les lois ultimes oe la pensée,
de m'attacher à déterminer leur vraie place et leur nature
essent i ell e~'
.", * Thomson :Outli1'les'of" the laws,of thought. p.117.
1)
Tous les Y'~
\\ "
1
- yv "
2)
Aucun Y n'est X
Y :: v ( 1-,",' ) •
3)
Quel ques"Y' s sont "des X . s
vy ::: vx~
4)
Quelques V's sont non-X
vy = v ( 1-;-( ) •
5)
Tous les non-V's sont des X's
1-y~::: 'vx.
;( 1 )
6)
Aucun non-V n'est
X
l--y ,- v(l-:.:) ·
7)
Quelques non-V's sont des X's
v (1-y)
:::
V>~ •
y U ....y)
= y (1-x) ·
En parlant de ces formes,
il
sera commode d'appliquer,
en un
sens qui
va bientOt être élucidé,
les épithètes concernant la
quantité logique:
"universel" et
"particulier"
, et concer-nant. la
qualité logique :
"affir'iI~,3.tif"
et
"nË'gatif" ,
non pas au:.:
propositlons~lj~s mêmes,
mais aux termes oes propositions
Nous
considérerons donc le terme "tous les Y's" comme universel-..
affirmatif,
le terme "des 'y"s" ou "quelques Y s"
C(Jmll~e
particulier-affirmatif;
le terme "Tous le':> non Y's" comme
universel- négatitjle terme "quelques non y's" comme particulier-
esston, "Aucun,,, y.v. >.n: est pa~t!\\~
-'-
propr;:emen~:p~!~r~ un
f.
i~},::i:,~'i.'6h.~,:hCà.rï~';lti{~~n~{ ~"~;'ti'~,i~(~':\\~,,~,~l'~;O~~;j;~t on"
,'jiè'f;:,'è7? < ,,""
/
(
'~.'?' " ' , "': ::7:,;'(''~i:;Y;i;';' ':(:~. ,.' .... /,!,,~,:-,T:',:'t:i' <,P,~'
':~~~~(n y n~~ss;' _'r èst ..TOLlS 1es Y'$ sont de~:{1tm':"'X'st·.':JLe:sujetde
''', (
'~!"t1b<~:-èprOpd$i' ,(,,-; ~;;§~~~~~;:d~nç .uni Vérsel~afflt1~~â~':~~ t~ 'pr~t~'i~~f}if""
'd'~~iicu1i é~;;l{'ri·ê~1~·t~;~ft:~: ~; ~;"Ç!
~
'.'
t i
. .Vr\\'t~:t,
"Qu/il' y ait!\\,,;uhè réelle différence entre ,les conceptions
d'"hommes" et de "non hommes" est évident.
C'est seulement cette
différence que~j'ai en vue lorsque j'utiliseocomme je viens de le
,
faire lesmot~~~affirmatif" et,·lInégatif"irsaMsme dem~nde~ si leur
.
, "
vati f."· aurai erit. été> '
,.
' .. -.' , :
,
'....
,
.. "
. ,.<' "'.'
,<' .. ,..: , '
•.\\'~' "
.'
~Jn a c~ é j -~ U -:'.1 :t / '::-:"; 2
1. e
L c~~::~tl;2t-
d ~.n s
t~~\\n
~;ef! s
(j é~~. el"· !T. l r; E'.
, \\;~_:f'~
4-0es 'fo:-8es ~ymbQliq~.!~S 0Gu~néré2S ci-dessus découlent
~mmé~iatement les1ais d~ la convdrsion. Ainsi, d~l 'équation
c
'u.
1\\,;'
~.::,.">:' '.'
\\"~;
y
= VX,
qui):.radyit la proposition
"Tqus les V's sont des X'S",
6n déduit,
.
-".
. . ' ' ' ' ' . . . ,
,
> , '
en
éliminant v,
y
(1->:)
= 0,
90t;l~(,~Jc). so!Hti8n,;J~~nre ppl-lC l-~t.
1-)( = %
<1-y);
l'interprétation en est
"To:,IS les non-X"s sont
dE'S
norl-Ys".
C'est là un e>:emple de ce que l'on a appelé
"la conver-sion
négati ve".
y
= v (1->:)
qUl
tradult
la proposltion
"Nul
Y n
est
XI,
aonr',e
x = %
(l-y),
qLli
s' i nterprèt:.~ :
"Nul
X n' est Y".
C'est
1 à
un e;:empl e de ce
que
'---0-
.. app~l~"c:9Qy.aç.!:iioo
,?ilT\\P~EtJ t?J.eQ ql,1'~n réalité elle spit de
~; o:".~W~.;~:X~;.t;~~;~;r:(]"'f"':""" ""Co' ", "~.. .•
. 0 " , . 0 .
'
'
•
.. A\\,' 17,~~~}~~~~t~~4:1S~{',Vr{,,~t~
~~tf,~,~~u,!o~ ~.~?~~.\\~'~,~.,etT!{J~~eç,éctd~f!t,·
1
Tous 'le? Ei!~elllple~'dec;of1Versionqu~connai
ssentles logiciens ou
.~
;~
-'i. ..•., ",f : ..:,
t~,~'" .b;-}',",~ ..1" '".-,~" ",..~••~,,~.'\\:.~ :.".:":: .;". _;".':.
J,.; ',.'
..._ -,r.
" ' " , _ , : 1 : , ; , , ' ,
~:"'---
~-.
',
• .~"~'.' .:\\
.•~.
'
,
.
•
•
'~~~i~,~~h,.~~'~$!~~~~~.Q~tureJ oubfen ne cons'i~te~f qu'en une simple
1
' .
"...:~;:-,!',--?<,~>.'.',,:,/' ,~_.
. . ' : " ' . , ' , ~.'.'.
'. ,"
tran~p6si ~içn o·,ge$,);:er:m7.~ ~ 'un~,proposi tian qui n'en change pas la
1
qU,è1]..,~.i:;é'",P?t:" '>':'~ !,~
vy = vv traduisant Quelques Y's sont des X's
se transforme' en
vx
= vy traduisant Quelques X's sont des V's;
ou bien se présentent comme une combinaison des deux procédés où
U,?duit,
L~n la
v,
vy = vx traduisant Qwelq~es V's sont des X's,
7'
et par sui t?
vx =vy qui tr&duit Quelques X's sont des V's.
<230> Dans cet e>:emple,
lept-océdéde limii'ationpréèèdè celUi
de transposition.
L'on voit par ces exemples que la conversion n'est que
a connu déjà maintes illustrations dans ce iivre.
Cette méthode a
pour objectif de déte~miner n'importe quel élément, dans n'importe
quelle proposition,
si
cOl1lple;{e soit-elle, comme une fonctIon
logique des autres éléments.
Au lieu de nous attacher au sujet et
au prédicat, considérés comme des termes simùples, nous pouvons
prendre<Il'impor-te quel élément ou n'impor-te quelle combinaison des
- ----~
éléments qui
les constituent l'un et l'autre;
fair-e de cet élément
-
ou de cette combInaIson le "suJet" d'une nouvelle
..
pr-oposltion;
.
-
déter-miner- enfin quel
en sera le prédicat, confor-mément aux
données que nous possèdons.
L' on peut r-enl.:).r quer- que même les
--"-
donné. outre la.'proposition déjà déduité",'lestrois'suivantést,
1 )
y
(
1->:
)
= 0
Il
n'y a pas de Y qui
soit non-X.
2)
.
·l:TY = 0/0' x .+; (l-x) . Les choses qui sont non-Y compr-ennent
toutes c::ellesi..'qui sont des· non7.X""'s!~et
des Y's et un ensemble indéterminé de
.'
choses qui sont des non-V·s.
Il
est vrai
que ces conclusions ne font
qu exprimer la
proposition sous d'tautrès formes équivalentes, mais c'est. là, ni
plus ni moins,
ce que f6~t l'opération traditionnelle de
"conversi on négat ive" .
Pa.... aillelJr$, ces opérations de conversion ne sont pas des
pr-ocèdur-esé1êrtlentairl?smais'des combinaisons de procèdures plus
simples qu'elles, et qui reposent d~ manière plus immédiate. sur
les 2=<iornes et les 101S ultimes qUl
gou'iet-nent ~~ 'usaqi:::' de
l'instrument symbolique du <231> raisonnement.
On peut faIre la
méme remarque à propos du syllogisme que nous allons maIntenant
examiner. '
5- La nature du syllogisme appara~t mieux dans un exemple
~
partlculier.
Supposons données les orOOosltlons
Tous les X's sont des Y's,
Tous les Y's sont des Z's.
ttsitigns nous"pouvons déduire la. conclusion
,..:~<~'~jZ~7C!
,;,
',' [ijT,{\\' :'i
: ,:. ~\\,
.
,Ji?':,,;::."; ;",~"'*i,':,';~~tt~V;;~"';'~!1t ;de,.; Z'...UM " ,;co,'
.' .
.'t,,,e~est;J.'à1:u·ri~:ln:fêr~nce.syllogistique.
Les t e .... mes X et Z,
,.:' :~:~~~:>;~t~rî~f"~,~j,i4~,~~'~~~f:'~t.1( 9'appelle 1~moyente~lfte. L on peut
#
.'>-~~
-;'''':< -,
<~~;t~>··_<:,<\\"~~:,,
,-. -_~-,
données decuL,p .... opositions·,qui sont de l'une ou l'autre des formes
spécifiques énumérées dans le tableau
(1),
et qui
contiennent un
tèrme maten b~~Commun Y lié dans l'une à un extrème X ,et dans
""t'autrea-.uh ex tréme l
:on demande de trouver 1 Q relation entre
prend dans l'30tre.
Ri en n.' est plü5 f ac.:i 1 è que de .dédLtir-.e ,dans \\des.,cas,
>.-:,."'''-
. ,
.- ,. -,
. ,-'
par·ticuliel-s~ la conséquence du syllogisme par. la méthode de :ce
traité. Sa r-ésol lit'ionn 'ester, fait'· qu . une appl it::a"t:fon ,f' ~ j,.""
particulière de la procèdure de réduction des systèmes de
propositions.
Prenons les exemples ci-dessus.
Nous aurons
y = v z;
d'où,
par substitution,
que l'on interprète:
Tous les X's sont des Z's.
Ou encore, en procèdant rigoureusement, selon la méthode exposée
dans le chap.
VI!I"
7, an en"deduit. ;,<
•
------
x (l-y) =0
y
(1-z)
= 0 •
•
En additlonnant ces equatlons et en~éliminant y,
il
vient
:-:
(l-z)
= 0;
<232> par suite, x = 0/0 z ou encore Tous les ~'s sont des Z·s.
-"-
.- ,~-~-,:,
;,.-.,' :':.-',
Dédu.jr,e~; Ie:s~' r ~gl e:r génerâtes âU5ylf<lgi sa1fê'T~: t ",""., .: 2:~:;
F'at- t-ègles générales du syllogisme,
j'entends ici
les rè"9les
applicab~es,à de-s prémisses dont" les sujets,,~t; les prédicats'"
peuvent avoir n"fmpor-tequel1'é1 quan't<it.é ou'qtlalité'''ma:l'.
qui ne
- -;-:
Salent X et Y :es él
s OU 125 choses qui constItuent la
prem:. ère !=wémi sse,
Z et
Y c,:=,u.x
qui
entl--ent dans la s:=:-c cmde.
D';?ux
c~~.alors~ de naturesfo~damentalementdifférentes, se
présenteront. Les termes en Y auront soit la m~me quaiIté, soit
des ~ualités contraires: on considère Que ces termes ont. la même
qualité 10t-squI'=- tous deu>: pat-lent des "Y's" DU tous deu:< des "non'-
Y'S"~ et ils ont des qualités différentes lorsque l'un parle des
satisfaisantl~~premièfecondition pourra se traduire par les
équations
v:<
= \\: :./ ,
( 1 )
.
.,
wz = ~.J Y
(
)
,
.:..
nous pouvons en effet employer le symbole y
pour rep~es2nter SOlt
"Ious, les Y's" S01,t '~Tous les noq-Y's",
l'interprétation du
symbole étant pure~ent conventionnelle.
Si
nous employons y au
G
sens de
"Tous les-non-Y·s".
l e~·
Y
-';:. "
et l'on n'effectuera aucune autre transformation.
L ~n
a
la méme
liberté pour les~ymboles x et z, de sorte que les éqw3tlons
(1)
rsqu'on assigne à x, y, et z l'interprétation
~~},->~',
" :;.
}
..?utes le!l ((!t)mbinaisons de prémisses qui
~~<~':"
.. ~
de leurs termes respectifs.
Par
'li~'i':
t
..,,~<.)..·•.·:',:,'~'è~~:;:.:.~~~:
_~.faux Symb(!)lés{·V,' ~ !";'.,~.:·q,,,,!.·fk."i figurent: }dans
." .
,.~.."-; L
' .,....'. ,~I
cè;··~qU:àti on~,';'i'~f;;t:~rprétat i on adéquate, on peut aussi
r~prëienter tous les cas qui di;fèrent selon la quantité. <233>
Ainsi ,si nous prenons le cas v = 1, et que nous rep~ésentons pa~
V',uneclasse 'indéfinie,
l'équation
(1)
traduira une proposition
uniMerselle'au sens courant de ce mot, c'est à dire une
ypothèse l'exige,
ilsne soi~nt, pas
séquent,l~ système (1) et (2)
"
.
,
t.r~çJjJ.~:~ ·~Y~I;'>';~f1~,:;g~J~.~,~~ g~nér ~l itéjJ. t:9~i;~t,çgm!:lic:h'tj"~pn,,pQ?stt?7 E;l,;
de pn~f(ti s~,e!:: comportant LIn moyen terme qui a 1 a mème qLlal i té.
9~ Pour mont~~r ,'~~é;flotre mani ère' "~e procèderp~u~ être aussi
gt~riér-ale que les équë'.tjons ë."u;~quelles elle s'3pplique~ n()u~,
allons,
conformément ~ la méthode dece livre, éliminer y de
(1)
z et des symboles v, v'~w, w'. Ces différentes expressions
constituent toutes les formes prises par le sujet de la
conclusion.
La forme v
(l-x)
est exclue, car nous ne pouvons,
a
partir. de l'inte[pr~tationvx = Quelques X's donnée,par les
prémisses,
interpréter v
(1->:)
comme Quelques non-X's.
Le symbole
y,
~mp~px~,;~u~~~e~~~~~I1't:;y~~:~~r~:we~~'" (, 'l'~,_~~~}r~pR8Gte,:9~\\·.~~t~r~f:;!,,;
.......,:-:-'
" ,
",
'...
auquel
i l est préfixé dans les prémisses.
Les résultats de l~-~r()cèdure seront les suivants:
:<
=[vv'ww'
+ %
{vv' (1-~..j) (l-w') + ~'>Iw' (l-v) (l-v')
+(l'7"Y)(1-~)j]'f'+.90!-.i vv· (1-w.') + l-VJ (1-z),
( l II)
C,hacun~ 'è~ ç:~s.. ~~pr.e§s~~pn~, Fontient l;1~ux t"erQles' 8.af1~ §on second
8embre.~~~nt l'unaz'pour facteur et l~~~tre l-z. Mais
ét6bl1r les règles de ~e type
.~
O'lnfér-eoc:e,
déter:l1iner-
les conditions ~;CiUS le5qU€~11es lE':'; seconds
,.
.
membr,:~s de chf:icüne de nos equations peuvent se ram~ner à un terme
unique.
La ~o~mè la plus simple est la (III) qui se ramène à un terme
unique lorsque w'=l.
L'équation deVIent alors
vx = vv ~z,
(3)
.
.
oa"lê ~""i!M'i'e,. membre et!lt-ïden~1que eu terme extrême de la première
1
prém~~~t!~~~}~f'oèi'îè\\séc:tfhd~â lk'fuème 1&uàntité et la même qualité
.~
que le terme extrême de la seconde prémisse.
Car,
puisque w'=l,
le
second membre de
(2)
qUI
contient le moyen terme y est unIversel;
donc, par hypothèse,
le premier membre est particulier et par
suite le second membre de
(3),
dont
le coeffiCIEnt contient le
même symbole w, est également particulier. Nous déduisons donc au
\\
total,
la loi
suivante:
Condition de l'inférence:
Un
tet-me
mo'/er: au mOIns t;":::.i::.
unIversel.
Règle de l'inférence:
Egaler les extrèmes.
--'-
';·~';i~..~;:~f!a<S équa~itin,~;(1) et (I 1) montrera en outre, que
·t:~~~e'~~;;:i"::';t\\~~éi&.a~~'~g~'~~~<:laseulê quê demandë"l'infêfenê~'
;;Yl10~t'sir&&e! lorsqu~~-t~s'~fnayef1S'ternil"!'S ·'ont la' mème' quaI i té. Ainsl
,·,:,<:-·",<.-,.···J:.t::,;.·.: -_'-
,<;-~-~.':..;-:-_>-~~. "':-",_, ,'" .,: _' . ' , ' . '.
,_ ___ ,-'.
,',,-,'.," _
",
·ti~~fs~·~~1~~1ibfi-é}~Ht!:,::(:t'~~t·'r·~~:m'Mè\\' A unwt~rme'-'ûnlqUli. r8rasqû~*~w-~'~'f~
• •.
<:;,:;i~1f:i~~5;~:flK •... .
. , . . . . . , ' .
t
V=I\\'-'wil'fl'·'ôtns éhaé::Gri'dê+'ce!i'troi.s cas, H'estnéc:essaire d'avoir
w':=liqûf"'É!it l'unique'condition suffisante déjà établie.
Soit,
en sE~ond lieu,
le cas où les moyens termes ont une
quilrt~ dif'~fente. L'on peut donc représenter comme suit les
,{,l{'
/i,'!'~~" ':' Irl'~! 11111'~},t>,~(!ll 1"1<lf:cvH:,(hO <1:cv 'U L~~t,>,
~v ' <1-~~ $'~~~" ~}J z :
, \\ '
' '
+ [vy 'W·t3~t~"::f:(1~Yl (l~v' ~. +y',~,':' .~~w' :JJ .
<IV)
<235>
-;"<.
'.
~
', ..
f,:;(\\!~'~;~~,~~~f: "t1:;:~)J1~~~g:(; 1t-X~ (~n,~~~,:{!~hf'~.\\,,~,r~~i":~S;;~"tl"""11ti'j':~,j,ti;,?,' •.
+(lèVl#f .
~1~WJ ~t/V:'1~(~0;ff'tl0:w' tJJ.~ ""H,'-'
+[Y(l-V'~+O/O{V'(l-l"l')+(l-y) (l-V'>]] (l-z)
(\\.-')
VX
= 1vv,:.(~:;;wlJ'~'tO{OY\\l,' ,St~'§.+.~ (~::~' ~ z
:].'
+{VV'l.. ·+O/OVY' (l-W')]
(1-;:)
(V 1) •
Le second m~ffib~~ de (VI) se ra~ène à un ter~e unique par rapport à
,If
z
lorsque ~==,1;en donnant
V}:
= {VY'W'+O/O VV'O-W'>]
(1-;:>;
le second membre ~e cette équation est ,le contraire,~elon la
- ; - - - - . " _
•..."_,l,,,
,~'
'''~'_. '.~'
- j ' , . f
-i
'i~
f.·,
....
~
Première condition de l'inférence-Il
y a
au moins un
terme
~5~r ~~~,,!;J~i~,~;:?lr\\ ;,;;; '';"' fu~';\\ '; i1,i'ln;'cLe; t "f'~_'\\i $. G"'; ~_ ~ 1
.. i~' .,-;_.
,Règle, de lEt~,l,h'~·f,~~.,ce:~Çq,a[lgfp~~~.qU~R t i,~f'i~titI ~.;,qUfi)it;,;;9~,~,
l-x
= vw+O/ü(l-y)w
Or,
puiE:que y'"",! et w'=l,
les moyens ter'mes dES prémisses sont
tous deux univ~r~rs.et: par suite, le$ 'extrêf{lf:s wx, wz sont.
-
,
,~'
,
~irticuliers: Màis daA~"la conclusion, le terme extrême qui
~ontient x esE le cbntrai~e, selon la quantité et selon l~
qualité, du terme extrême vx dans la première prémissË,
alors que
le terme extrême contenant z a
la même quantité et la même qualité
{236>
Deuxième condition de l'inférence-Il y a deux mayens termes
U ri i li ers e 1 5 •
Règle de l 'inférence:
Cha~ger la quantite et la qualite de
l'un
au
l'autre
terme
extréme.
et
égaler
le
résultat
au
I l
n'y a pas, dans le cas de termes moyens ayant des qualités
différentes d'autres conditions ou de règles d'in+erence
"
que
celles-là.
Ainsi
l'équê<.tior:
(IV),
bien qu'elle puisse se r2mener à
la forme d'une conclusion syllogistique lorsque w=l et V;::J..'L n'en
~:~<irês g~n~falês'dâ"'jyilogismèque "nous'venons J"énumérer:
5,~~
' . : , ; lr.
'Tous1'es Y's sont des X·s.
Tous les Z's sont des Y's.
Cet exempl e' se':ra'ppoffe' au cas 1. Tous 1 es Y' s est 1 e terme moyen
û.ni'v~rsel."En ègafârit les e:<trèmes, on obtient la conclusion
2) •
des ''/'' 5.
,,,l>"
. ,rtf":/'<
L~!~B~i~~S~9.?'~~'Î:~~J§~;1:~eTçes p~émisses; est:
'.1:
".' ~ "
~·i':c.::~~~~·' ~-';:';""~
On est dans le cas 2 où les prémisses satisfont la seconde
condition de l'inférence.
Le terme moyen Y"s est, dans la premièt-e
prèjtll$Se. ê~.,.t~tâ\\l'~·
:~f}_f;lfJn.~l:.:tf,;"·I.$terîne ~moy.en 'dàu's'~la·seconde•
-,,:;,,:~.::;_::_.>r{;';fq~;;~:<·'~,~,:'r;,~,,:.;,<f0Y:_~~'.,.'
.: ,c,' ,
' : " "
1
T t' '~.".~'
< ,'" :
hon:':-V~s', e$t··pà,..tidùïtê('.~néqa.ti'f ~ Si;. nous prenons comme terme
extrême universèl Tous les l's, et que nous en changeons,
conformément à
la règle,
la quantité et la qualité,
nous obtenons
1 e terme Que~ques nOn-:-~:' sJ
égal ant ce terme à
l'autre terme
extrème Tous les X's, hous avons
Si
nous commençons'par'i 'autre terme extrême universel, en .,
appliquant le m~me procède, nous obtenons le resultat equivalent
Aucun Z n'est x.
<237>
-'-
I~fa~~jl
!I):I~. '..;'";.
sat{k~aft..~;'~t~:~~6~Î~~~~ht, c\\ >larêgl';~~"tnous.: changeons ta«" '"'
quantité et la qualité du premier terme extréme
(Quelques)X's,
Tous les
sont des X's.
Les cClnclusions des deu}; del-niers e:;emples, ri' auraient pas été
..
:1. '
..~ ...'
/
reconnué$.2éSffime légitimes par le système 16giqt.,te scolaflitil1ûê qui
-"'"
.
.
-"
, -
' . " ,
"./,,'--.;~"'.." , ','
o '
u:
impose p~a~t~uement que 1; sujet d'une proposition soit
affirmatif:Êlles sont pou';tant"par-faitement légitimes'en:~il
mêmes,
et les règles qui
ont permis de les obtenir constituent,
sans nul
doute, les canons les plus généraux de l'inférence
syll o9fsfïj~tf:" Li" J:.r'6tèdU:f'e" ~i.ii·!( aine~J~"t!<;ï~~;'\\léduct'i ~~'> pourr l!l
-:s -.-:-_.
.
p~'ut":étré}l:~~ê1nbfêr"d ;iih'è·"t1!iu{fte ·éompf~~·t·'té;"lei\\'iI'est ~ra~1 qu on
aurait pu les obtenir bien plus facilement,
et sans recourir à
quelqu'outil
symbolique que ce SOlt.
Mon pr-opos cependant ét6,t de
mener cette recherche de la 'manière la plus générale, par
l'analyse la plus mlnutieusE et la plus exhaustiVE.
Lorsqu'on
pdUr$u1\\t"(l:Hrr~tl objeéti-l", :1~ 'br-i'èvet'é <1i1"-r à: "'prolix i té ci'e (~:
~'
méthode employée importe peu.
En fait,
l'analyse qui a ~té ienée
n'est pas à propr?ment parler celle du sylloqlsme, mais celle
d'une combinaison bien plus générale de proposltions;
car nous
pouvons interpréter les symboles v,
v',
w, w'~me représentant
tbute'~ 1rl':~,;$es .de.n~t.re·'ê'h~l x •. poùii~.iirÙ5itrer ce' poirit;
";::';';(~~:
'~"6idtf.,j,h'li
, ..
J
1;u';·ê1t;.;j~~thàire 5uîvar>t J.
..
.stP;P~$8ttJ~;"qUè l 'On 'è'x~mi'~~;q;un èe;t'1t~ïn""nb~~'~ de 'pi~'êe~"'d~'~';;~
",.~:~~,\\~~'L;L,J~\\:. ",' ",~, ,J" '
. ",.;<:: ,..:, _
, ,"
",' ~,'':;::;:-:~::~.-:: '.i~~t~~::_,';:::',,:;, -: ._~, ,,/,~:',~"·~~',;;t,>?~,i: ï'<" -' .:"::;'i~~;-::-~' .i'''~~'':,.'
':~'~:::'-:~:~;.J~~'"'>';';'-"_"l';"~~~'':~'~~
,':.:
..
"~t'~~ff'tp' .'
...·~S.,7ç.a.~tt~~i!r'~'i'tfll~rl;:~t;{lt··t:~f~u~~~:·':t
~'~~~T:~~::,
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.. -
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.
,
1
'"
. ' ",'c
"
..
.~
.'~
i.e." ~;,·,-ti.,:'~f"t,'t',1:
ob~érvë'Al\\?àf'\\5ujet '
\\;"'!
W
"
c
'1)' 'qLl~c"fbûtè pièce portant' des rayures' bl anches et vertes
porte aussi des rayures noires et
jaunes et réclproquement;
2)
qlïfi,'t'oùt:,'e ~ï.èC:e portàht des rayL~~s ~oug~s et oranges
part. ~~~if'~~~ F~yures ~ie~es et jàJnes~"e~ ~~~ipr~que~~~t.
·,i
x= vert, v -
noir,
y
= jaune, w=
vx = v/y"
WZ = w'Y';
" ..
et
(2).
L'équation
(1)
nous mène
alors à
la concl~si9n suivante:
,~iù~r·~~f~;f~Yt'Y2~e·
',~l:afu:t\\es,',:nol,rès .~,roLtges
toutes les pièces de ce type comptant au nombre de celles rayées
de vert;
soit des rayur-es Ot-anges,
blanches et nOlr'es <1,a1=: no., pas
rouges nt bl~ues;' soit des rayures oranges, rouges et bleues mais
ni
des blanches ni
des noir-es;
soit des r-ayures or-anges mais ni
de 7;)J:;.1 an.5!,~~j',;~\\E~,fM~~>··.~~)lJges;, soi t ,des rayure~i~lanches et noires
. -,
.;;:\\-~'>,};-.>.,.,-~," ;:-
mais ni
des bleues ni
des or-anges;
soit enfin elles ne portent ni
•
rayures blanches ni rayur-es or-anges.
A considérer la natur-e de cette conclusion,
l'on est bien
convaincu que ni l 'expression ~ymbolique <1>
qui
la traduit, ni
des règl~~~et des méthodes, à'
l'analyse d'un couple d'équations,
c'est à
dire du système {1}
et
(2) ·~n3,.squed:~.2,<tel"'més moyens.des' prémi sses ont même quali té, et
," ','.' '. '. ";,,~;,~~~'H;~:'~:;i;i~;i;/
",
.. , ,
.
'
du:·systèméI4)~èJ',~·:l5), l orsqu'~ tls:$ont de q~alité différente" De
rlf~:t<bnt
'.
. (<;,,&1",
il .. Ha pr9cIVé 'le 'elles
fquaî ent~.n'lJlf.por:te'·q~elsitèmect' équatiC?,~)S....
: '.','; .... .:.~:.. "
'. ",:....
... 'i.<.,
.... .... c, " ", '."
;c.: : . 'é J, .
" .
'
~~~t~~~~~{M:,.i,,~~\\~, ~~t;~~·t,:.~~~~{na~;~if:~:~t-1~,~:~~~;~~~~:·'.... \\5~~~~V~?;~,.~k.
. J. . .
moyens' cie tr'anch~,:<l~, qu·estion:t:i:,J.a
'~~~~ï~t>\\ e\\~~~:~~j;~1~~~"~~~~. .
de'~es lois est co-extensive à t~ile de
l'ex al;>en.
On ne
puisse
être 1 'unique procèdure essentielle de raisonnement sans que le
~
développement de c~~te" procèd~,r~..,~ll e même;p';;,~it,~~nn~. ~,~di quer f.~';;~'i~;,"";"'.,I:
caractère de primauté et de prééminence.Et pourto~t, rien ne' vient
i~7~:$;/'i}~~f~·J,.t"~~.,~~~::rj·:lgg~1:!i::,~~1,~;~~'.'·~c'··fRg:1~:'.4~:~~.~i1êi~~?~~5{~~t'~.·Jii~;~~~f~'vi?~
t.raduisant des propositions puisse être conduit. dans le seul cadre'
~
du système part i cul i el'" étud i é dan/s. ce chapi tt-e.
Pourtant 1 •
es
auteurs en logique ont été unanimes à
Eoutenir, non seulement la
suprématie, mais l'entière suffisance de l'inférençe syllogistique
-"-
"
destiné à
ètre substitué à n'importe quel autre mode;
mais comme
i nfère "p§'=},nOI.,.l\\;'·'~lJe,~/,'~r{.::Jp
de moi ndn2 ou d 'égale génér' al i té.
,/,;,~Ù'""··'''"''··'. , .
. . . ..
B~ctventse: ramener à c~s· for'mes". IlajoLlte :' "Nous aVbnsdbnc:
."Ir,.
....;, .-l' ' , .
',,;~~!~i~~~,i~!'i'~!tpA~~~~rl$'\\f~~"').t~:[·Opini~~~~e~tjJid~"'n
·î~9'i~·.i:~is~Qè·con~j~~~'~~;que 'lesde~~ modes é>lémenta'i're~ de la
.,;>,>~i;!,,:/~,~t,...,ti '
..·Y;f.·;,:;,~'· ........•."'......:::.", .'..,,:2 '" '..~/: ." .'.., .'fi) ..,..•.•, :<;;::,', ,0>;":"; .
""At~mî" '. '::i'fJ;g4~e,'$:M.·
'_\\i~:)typ"e6"'ânlv~sel s' de .'ttsùt."f'âl6'6riî1emen
?;~:,;';;:";0.i;~;.i~,;~:~:;;;%{i;i:~tJf ;t~11:;ii\\;~-;;tL' "~::;~;~:ié
'(.~~)\\", :';, ." ':;;;;:)'{);?:;i~;:,:;: " 'l' i,., :~",;~'::.,~:;.
iorrec:f".
D~n~ le mème ordre d'idées, l'on a pu soutenir que la
science de la l09igue ne connaissait ni
les imperfections ni
les
ffiétapnore audacieuse, à
la naissance mythologique de Pallas.
Le syllogisme étant une forme d'élimination,
la question
posée éqLlivaut évid~m~nt a.ux deux.suivantes:
lx) Toute
.'
"*' ,.
.
·i~"C~; ..
-'
élimination peut elle se ramener au syllogisme? 2y)
Peut-on
. J,~9j. t i;lD~,me[lt" Ci!l;itl.lI,\\~t:;',•.;qYfo!~l,,!!,,,~ 240); ,rat sonnement déduc.t i f ne
,',' ",';'__>~',.' .' , , .. :.'~~~.'; -''-<.;~-;:~':,::,.r,"" ,0:',tF.':-:. :7<~~: -:;_ '.i/ ~·.f~;:t'~.)_/,,;;:':./>':~_" :' '-." c~ ,,' , ,
~>', ;~'_'~",-';.:":.,' "" .
,',1
consiste qu~en l'élimination?
...
Après un examen-attentlf,
la véritable réponse à
la première
question me paraft être que,
s ' i l est toujours possible err
théorie,..de transfor.mer et de combiner des propositions, de
en une:<;pr·ocèdure'.d'élimination. Nulle
définition n'en saurait suffire qui
le rédui~ait à être moins de
t;boseiqu:e;;-\\,':èr11$embt:e;cles,méthodesfondées sur les lois 'de la
'-~.':';':~:;":'----
,--"">-:,-,':::~~,,,,~f:;·Ç':,,·~-,·< ~','~~..----.-'
- '.-~---,
.
*";E-ij~'e.~.ts~,.O,.,$i:LQ()iC.P,,,'13':' "neùviè'me édi tionir,', Ll.,.r'~ :
** Int.roducti on~à 1 a . Logi que de 1<2l.nt.
l'appeler autrement -
que l'on
"
"
".";
c;oii(t1Iet ordi nai rement sur lâ nature du ,,?yll ogi sme et l'étendue de
ç
.<
t : , . " ' . , ·
ri'?"
~on j"=Zke ~" ~<:~~~,l ~·,.;t;:~r:tj~,~:;':.~~de part i e, repose~.sur la di spas i t i on à
considérer comme pre1ltî,IJl"es toutes le$. vérités logiques qui
~-,': ;~
j ',,,~
<,':
~)
.~-
présentent uncaractè?k'de simplicité et dOévidence intuftive,
,1..
sans examiner le rapport qu'elles soutiennent avec d'autres
vérités du Raisonnement en tant que science, au avec ses méthodes
gén~r,aJ:f:9,~~,~~rt~t~,~;~~~~j!_,~e,.d1,;tu~'r~~~~~~~,;~~tn41~~;d'Aristote.
est un,pli.i\\C:',fpe~~rdent en soi,' mai s 'he"ii'qî.u"·e pas parmi fas loi s
I,~ "; {,"
ultimes de la faculté de raisonnement auxquelles se laissent
ramener toutes les a~tres 1015,
quelque simples et évidentes
qu'elles puissent être, et dont elles se laissent déduire dans
/-
.."
1 'ordre rigoureux
que réclame un aeveloppement sc!entiflque.
Car,
bien qu'en général
les vérités fondamentales de chaque science
_~ i
',,':"(;
ê,~~-,," :';~-_-)f',-f' ~'.
,'! }~",-i>~..
.
soient aussi
les plus simples à saisir, cette simplicité n'est pas
•
pour autant
le crit~c~ selon lequel
Juger de leur droit ~ être
tenues pour fondamentales.Ce crItère est à
chercner dans la nature
et l'étendue de l'édifIce qu'elles sant capables de soutenir.
A ce
---"-
t'Joint de Vue, Leibni~ me semble avoir ,correctement jugé la
.~~~~iî~~~~;~::~'~:~?:~;:"~;;~~~~{~f~~;4;~~~:ew."
f ondame~'~,!,l f: ~nJ g9 ~ ~Ut;; **"no~s aV~fl~ "la ~~~r'c.,et ~~t 1 eSS~:Il;séq~~nces
~'':~;~'~;,}'d''/l·~,·,,;t:ti''''''< "
'", ',' •r *.;?~~~k·"','· • '.' " , " ' "
... !,' ,
dela<1'oii:;;itè·l'a À'e~'séÈl"\\dontcepri ne lo,j~~:~,t::-%~'#'e~pre$$it:)h
<w',,,' 'l<"~~i;~\\~~'t~~;,~ P~'~\\~:';'J'~,*\\' ~i' ç f (.",\\ :. ''''\\0 ':1M', ~Yt;~fi·';J~"':·;'~'*,"".r,;~)~',~~~:;tr' j
ax i omat~, 9u~( 111.1;,5) •
..
_, ..
./ ;.~ t,:.
Mais la nature de l'inférence déductive ainsi
que ses éléments
constitutIfs n'ont été que trop longuement traités.
~241; La
question de l'induction pourra san~ doute rec~voir quelque
..,-,
"".,,.'f-
,;'
*** Nouveaux Essais sur l'entendement humain. Livre IV; chap.2
Th~odicêe l·r~ partie.se~t. 44
proposi tiens h'Y~,pthé
.:À:~;iç'_~':":;':-~;.:;,:,"./-)li~;':;~"\\:~2,:;:;{;:""':fÇc,:; -";<J-·,:,"Li:~li'f;
""_
qu, <t:el ui dè'S catégor iqué •
qu" on appell e cwnmunément le.
~~f
,
"(Syll Ogisl,"netlYJ}.othétiqUEi!~·avèf""e
.'~. 1f~~i 'j2;~ï~~~:~;~~~'~t'~~~fJ>«"
.~
Donc C est D;
.x;!~~t~;,~:~F·}~:~
Or X est vraie
Donc Y est v~aie;
X traduit la proposition A est B et Y la proposition C est D.
On
voit alors que les prémisses ne contiennent que deux termes ou
éléments alo~s qu'un syllogisme, par définition, en comporte
':::' ;?j:,':";,:A~::~~(;~i~?~'f7~~:f~}~;~~~~~~',,'_',i::t<'r~{"
.; -~'"
',,; '-,~,
~~
trois.
Un authentique syllogisme hypothétique se présenterait pal~ .-'
e:< emp le comme suit:
•
Si
X est
vr ai. e,
Y est vraie;
Si y est vraie,
Z est vraie;
s..-
Donc
)( est vraie, Z est vraie.
--"-
v~ry,t.,~fft-i r~.SO~'ii·.!-CJÛt "r a.pp()il;.i·~ ..'
'~"1"'~l~'~;'{)"'~ft*·('~·~f.!"1il'r,·;,·t~ttf''ï~(lt ': .'...' ."ln@
....;r~trf,~t~~:,~G~~~tt%l~~~é';~~t~iIiir:~~'{~·
"fffOpoSi ti ons
pa,. t i culi I,.es comme
"Quelquefois, si
X est vraie,
Y est vraie", et les conditions et
règles d'infér~nce établies dans ce chapitre pour le syllogisme
.;,
.... ''-'<'
._.;:.~
l
catégoriql1e p'J!i,l'yent, sans restriction, recevoir une interprétation!
adaptée au cas des syllogismes hypothétiques.
CHAPITRE 16- LA THEORIE DES PROBABILITES.
<243>
1-
Avant
la fin de cette année,
il
se sera écoulé
tout
juste
deux
siécles depuis que
Pascal
a
résolu
le
pre-
miel'
probl ème
connu
en
théor i e
des
probabi 1 i tés
et
établ i ,
par
cette
solution,
les
fondements
d'une
science
qui
n'a
en
partage
rien
de
l'attirance
qui
est
celle
des
spécula-
tions
mathématiques
plus
abstraites.
Le
problème
que
le
Chevalier
de
Méré,
un
joueur
célèbre,
a
proposé
au
reclus
de
Port-Royal
(il
ne
s'était
pas
encore
désintéressé
de
la science* pour les méditations,
qui
le sollicitaient davan-
tage,
sur
"la
grandeur
et
la
misére
de
l'homme"),
était
le premier d'une
longue série qui
devait provoquer l'appari-
tion de méthodes nouvelles en analyse mathématique et
s'avé-
rer
trés
utiles dans
les questions
pratiques de
la vie cou-
rante.
Mais
l'intérèt
de
la
question
ne
réside
pas
seulement
dans
ses
implications mathématiques ou dans son utilité pratique.
On
trouve
une
sat i sfact i on
à
s' intéresser
à
1a
théor i e
des
,--"-
probabilités
en
tant
qu'objet
de
réflexion
indépendant.
aux modalités
fondamentales
sous
lesquelles elle a
été con-
çue,
aux grands principes dérivés qui,
comme pour
la Mécani-
que
contemporaine,
se sont
progressivement
trouvés
lui
étre
rattachés,
et enfin à
l'état et au degré de perfection qu'el-
le
a
maintenant
atteint.
Je
parle
ici
de
la
perfection qui
*
Voir
en
particulier
une
lettre
de
Pascal
à
Fermat
qui
avait
attiré
son
attention
sur
un
problème
mathématique
(Port-Royal
par
M.de
Sainte-Beuve);
cf.également
divers
p~ssa~es du
recuei 1
de
fragments
publ i é p a r
M. Prosper
Fau-
gere.
consiste
en
une
unité
de
conception
et
en
une
harmonie
des
procf>liur'es,
L'on
se
propose
en
ce
chapitre
d'p:"amirH:,r
briè·
vement quelques uns de ces 'points,
x
2-
Voici
comment
un· auteur
remarquabl e
a
établ i
les
définitions fondamentales de cette science:
<244 > "La
probabi 1 i té d'un
événement
est
1a
ra i son que
nous
avons de croire qu'il a
eu lieu,
ou qu'il aura lieu".
"La mesure de
1a
probabi 1 i té d'un
événement,
est
1e
rapport
du
nombre de cas
favorables
à
cet
événement
au nombre
total
de cas favorables ou contraires et
tous également
possibles"
(également
vraisemblables>.
De
ces
définitions,
i 1
suit
que
le
mot
probabilité,
dans
son
acception
mathématique,
se rapporte à
l'état de notre connaissance des circonstances
sous
lesquelles
un
événement
peut
se
produire
ou
ne
pas
se
produire.
Selon
la
quantité
d'information
que
nous
pos-
sédons
sur
1es
circonstances
d' un
événement,
1a
ra i son
que
nous
a\\'ons
de
cro ire
qu' il
va
se
proliu ire,
ou,
PUUI
~=rnp 1G .
yer
un
terme unique,
notre espérance de
l'événement,
variera.
La
probabilité est une espérance
fondée sur une connaissance
' - - ' -
partielle.
Une
connaissance
parfaite
de
toutes
les circons-
tances
concernant
l'occurrence
d'un
événement
ferait
de
l'espérance
une
certitude
et
il
n'y
aurait
ni
la
place
ni
le besoin d'une théorie des probabilités.
3-
Bi en
que
l'espérance
d'un
événement
cro i sse
avec
l' aug-
mentation du
rapport
entre
le nombre de
cas
favorables
con-
nus
et
le
nombre
total
de
cas
également
possibles,
favo-
x
Poisson.
Recherches sur la probabilité des
jugemens.
rables
et
contraires.
ce
serait
aller
contre
la
philosophie
que
d'a f f i rmer
que
l ' in tensi té
de
cet 1: e
espérance.
cons i dé-
rée
comme
une
émotion
mentale.
peut
faire
l'objet
d'une
.
évaluation
numérique.
L'homme
de
tempérament
sanguin
nour-
rit
de
grands
espoirs
là
où
le
timide
désepére
et
que
le
velléitaire s'égare dans ses doutes.
Il
y
a
là quelque ana-
log i e
avec
l' QQi n ÎQl! et
1a
,?~n~-!J~f! cons i dérés comme objets
de recherche scientifique.
Le thermométre et
la plaque photo-
graphique
soigneusement disposée
n'indiquent
pas
l'intensité
des
sensations
de
chaleur
et
de
lumière.
mais
les
circons-
tances physiques qui
accompagnent
la production de ces sensa-
tions.
De
méme.
la
théorie
des
probabilités
s'occupe
de
l'évaluation numérique des circonstances qui
fondent
l'espé-
rance;
et
cet
objectif constitue
la
totalité de ses applica-
t ions
1 ég i t i mes.
Les
règ 1es
mi ses
en
oeuvre
dans
1 es ques-
tions
d'assurance-vie
et
autres
applications
statistiques
de
1a
théor i e
des
probabi lités
son t
t ota 1ement
i ndépex ndan-
tes
des
phénoménes
mentaux
de
l'espérance"
Ell es
reposent
sur
le
postulat
que
l'avenir
ressemblera
<245
au
passé;
---"-
que
dans
les
mêmes
circonstances.
le
même
événement
tendra
à
se
répéter
se Ion
une
fréquence
numér i que
déterm i née;
et
non
sur
une
que 1conque
tentat i ve
pour
mesurer
l ' i ntensi té
des espoirs et des craintes de l'homme.
Or
l'expérience
témoigne
effectivement
de
l'existence
d'une
catégorie
déterminée
d'événements
qui.
dans
certaines
cir-
constances
préc i ses.
tendent
à
se
répéter
se Ion
une
fré-
quence définie.
que
l'on connaisse
ou non
leurs causes véri-
tables.
Bien
entendu.
cette
tendance
ne
se
manifeste.
en
général,
que
quand
le
nombre
des
observat i ons
est
suf fi sarn-
ment
important.
Les
rapports
judiciaires
d'une
grande
na-
tian.
ses
reg i stres
de
na i ssances
et
de
décès
en
fane tian
de
l'âge.
du
sexe
etc ... ,manifestent
une
remarquable
uni for-
mité
d'une
année
à
l'autre.
Dans
une
langue
ou
une
famille
de
1 angues
données.
1 es
mêmes
sons,
1 es
mêmes
su i tes
de
sons,
et,
dans
le
cas
d'une
langue
écrite,
les mémes
car'ac-
tères
et
les
mêmes
sui tes
de
caractères
se
répètent
selon
une
fréquence
déterm i née.
La
clef
permet tant
de
comprendre
les
inscriptions
en
la
langue
primitive
d'Ogham
que
l'on
trouve
en
différents
endroits
d'Irlande,
et
pour
lesquel-
1 es
on
ne
saura i t.
à
prem i ére
vue,
découper
des
mots,
a
été
retrouvée
lorsqu'on
a
appliqué
systématiquement
ce
prin-
x
~~
cipe.
La
méme
méthode,
semble-t-i l ,
a
été
ut i l isée
pour
déchiffrer
les
tablettes
en
cunéiforme
découvertes
dans
les ruines de Sinive par
les soins de M.Lavard.
%
La
découverte
en
a
été
fa i te
par
1 e
Rév, Char 1es
Graves,
Professeur
de
math.ématiques
à
l 'Universi té
de
Dubl in. Vide
Proceedings
of
the
Royal
Irish
Academy.14.Fév.1848.
Le
Pro-
fesseur
Graves
m'apprend
qu'il
a
vérifié
ce
principe
en
établ issant
des
tabl eaux
de
séquences
pour
toutes
1 es
lan-
gues européennes.
%%
par
le savant orientaliste.
le Dr. Edward Hincks.
4-
Essayons,
à
partir
des
affirmations
et
des
définitions
qui
précèdent,
de
concevoir:
l'objet
légitime
de
la
théorie
des probabilités.
La
probabi 1 i té,
on
l'a
dit,
est
l'espérance
fondée
sur
une
connaissance
d'un
type
particulier,
celle
de
la
fréquence
relative
suivant
laquelle
des
événements
se
produisent.
Ce
qu i
donc
const i t ne,
en
tous
1es
cas.
nos
données,
ce
sont
les probabilités d'événements ou de combinaisons d'évé-
nements pouvant être déduites d'une connaissance des circons-
tances
particuliéres dans
lesquelles ces
événements
se
pro-
duisent,
ou
bien
d'une
longue
observation
de
la
série
des
cas
où
ils
se
sont
produi ts
ou
ont
manqué
de
se
produire.
La
probabilité d'un
événement
ou d'une
combinaison d'événe-
ments
qui
lui
i246
sont
liés,
constitue
le
quaesitum
cor-
respondant,
autrement dit
ce que
l'on cherche.
Dans
le sens
qui
est
le plus général,
tout en restant parfaitement rigou-
reux,
du
mot
.. événemen t " .
toute
combinaison
d'événements
est
aussi
un
événement.
L'occurrence
simultanée
de
deux
ou plusieurs événements,
ou celle d'un événement dans certai-
-"-
nes circonstances données,
ou en une relation,
quelle qu'el-
le
soit,
avec d'autres événements,
sont
toujours des événe-
ments.
En usant librement de ce terme,
dans toutes ses appli-
cations possibles,
l'on
pourrait
définir
l'objet de
la thé-
orie des
probabilités de
la manière suivante:
Etant
données
1 es
probabi 1 i tés de
certains événements,
de
nature
quelcon-
que,
trouver
1a
probabi 1 i té
d'un
autre
événement
qu i
1eur
est 1 ié.
5- On peut diviser
les événements en simples et compo-
sés,
les
seconds
étant
les
(J\\.'èrJf'fTlents
CCHlstituE:'s
par
une
combinaison
d'é\\ènements
simples
(1.13).
De
cette
manière,
l'on
pourrait
définir
comme
but
pratique
de
la
théorie,
la
détermination
de
la
probabilité
d'un
événement,
simple
ou
composé,
à
partir
des
probabilités
données
d'autres
évé-
nements,
simples
ou
composés,
auxquels
i l
est
lié
selon
les termes mémes de sa definition.
Ain si,
s i l ' 0 n
sa i t
pa r I a
con st i tu t i 0 n
d' 11 n
dé,
qu' i l
Y
a
une
probabi l i t é ,
mesurée
par
la
fract ion
1/6,
que
le
résu l tat
d'un
coup
donné
so i t
un
as,
et
que
l'on
demande
de
trouver
la
probabi l i t é
qu'en
deux
coups
success i fs
l'on
ai t
un
as
et
un
seul,
l'ordre des data
et
du
quaesi tum
dans
ce probléme pourra être ainsi
établi
Premi er
datum.
La
probabi l i t é
de
'événement
qu i
est
que
le premier coup donne un as est
1/6.
:;3.~~on<:L_çLéH,IJJT.I, La probabi 1 itè de
l'é\\'énement
qui
est
que
le second coup donne un as est
1 6.
Quaesitum.
La
probabilité
de
l'événement
qui
est
SCllt
que
le
prem i er
coup
donne
un
as
et
pas
le
second;
so i t
que
le
premier coup ne donne pas d'as mais
le second si.
Les
deux
data
sont
ici
les
probabilités
d'événements
simples
ainsi
définis:
le
premier
coup
donne
un
as
et
le
second
coup
donne
un
as.
Le
quaesi tum
est
la
probabi l i t é
d'un
événement
composé:
une
certaine
combinaison
disjoncti-
ve
des
événements
simples
<247>
contenus
ou
impliqués
dans
les
data.
Sans
doute
arrivera-t-il,
en
général,
lorsque
les
conditions
numériques
d'un
probléme
peuvent
se
déduire,
comme
précédemment,
de
'etat
de
choses
dont
dépend
leur
existence,
que
les
donn~)es soient
des
prohabi] i tl"S
c!'é\\'éne-
ments ;;jm1>les et
que
l'on cIH:'r-clle
la
prorJEüJilité
d'un
É~véne
ment
.r:-QJ!!P9sé
dépendant
de
ces
événements
simpl es,
C'est
le
cas
pour
une
catégorie
de
problèmes
auxquels
les
cher-
cheurs
en
théor i e
des
probabi 1 i tés
ont
consacré
pl us
d' at-
tention
qu'il
n'était
sans
doute
nécessaire:
i l
s'agit
des
jeux
de
hasard
et
d' adresse;
pour
1es
pl'em i er s,
une
cond i -
tion
physique
telle
que
la
constitution
d'un
dé,
détermine
la probabilité de
chaque étape du
jeu dont
le résultat
final
est
une
combinaison définie de
ces étapes;
pour
les seconds,
l'adresse
relative
des
joueurs,
que
l'on
suppose
connue
a
priori,
permet
également
de
déterminer
la
méme
chose.
Mais
lorsque,
comme
dans
les
problémes
de
statistiques,
ce
qui
constitue
notre
connaissance
ne
nous
vient
pas
de
l'examen
de
la
constitution
des
choses,
mais
des
résultats
tirés
de
l'observation
de
la
nature
ou
de
la
société
humai-
ne,
i l
n'y
a
pas
de
raison
pour
que
les
données
qu'appor-
tent
ces
obser vat ions
soi ent
des
probabi 1 i tés
d' é\\/ènements
simples.
Bien
au
contraire,
le
fait
que
des
événements
ou
des
conditions
se
présentent
dans
des
combinaisons
détermi-
nées
(indiquant' un
lien
caché
ou
de
nature
causale),
nous
montre
l'intérêt
et
1e
prof i t
qu' i 1
Y
aurai t
à
établ i r,
pour
en
tirer
ensui te
un
enseignement,
la
fréquence
numéri-
que
de
ces
concomittances.
Or
les
données
apportées
par
de
te I l es
observat i ons
sont
des
probabi 1 i tés
d'événements
composés.
Une
méthode
général e
de
réso 1ut i on
de
probl èmes
présentant
de
telles
données
n'est
pas
seulement
nécessaire
à
un
parfait
développement
de
la
théorie
des
probabilités,
ma i s
const i tue
éga l ement
une
cond i t i on
peut - êt re
nécE'ssé.I i I-e
à
son
application
à
un
champ
de
problèmes
à
la
fois
large
et d'une grande importance pratique.
Avant
de
voir
jusqu'à
quel
point
des
méthodes
connues
peuvent
s'appliquer
à
la
résolution de
problémes
comme
ceux
que
l'on
vient
d'évoquer,
il
sera
utile
de
remarquer
qu'il
est
une
autr'e
manière
de
considérer
toutes
les
questions
qu i
se
pôsent
en
théor i e
des
probabi lités:
cet te
man i ére
consiste
à
substituer
aux
événements,
les
propositions
qui
a ff i rment
que
ces
événements
se
sont
produi ts
ou
vont
se
produ ire;
et
à
cons i dérer
que
l' élément
de
probabi lit é
se
rapporte
à
la
vérité
de
ces
propositions
et
non
à
(248)
l'occurrence
des
événements
à
propos
desquel s
e Il es
aff i r-
ment
quelque
chose.
Ainsi,
au
lieu
de
regarder
la
fraction
numér i que
p
comme
l ' expressi on
de
la
probabi lité
de
vo i r
se
produire
l'événement
E,
considérons
qu'elle
représente
la
prol)abillté
que
la
proposition
X
soit
vraie
qui
affir-me
que
l'événement E se produira.
De
méme,
au
lieu
de
regarder--une
probabi l i rté
q
comme
se
rapportant
à
un
événement
composé,
tel
que
la
copncomit-
tance
des
événements
E
et
F,
considérons qu'elle
représente"
la
probabi lité
que
soi t
vraie
la
proposi t ion
qui
affi rme
que
E et F se produisent ensemble;
et,
de
la même manière,
transformons
les
combinaisons
disjonctives
et
hypothétiques
d'événements
en
propositions
disjonctives
et
conditionnel-
les.
Bien
que
la
nouvelle
signification
ainsi
assignée
à
la
probabilité
concorde
nécessairement
avec
l'ancienne,
l'adopter présentera
l'avantage
pratique suivant:
nous avons
· 3~i .
déjà
étudié
la
ttll"orie~ dt"s propositlons.
(IClUS
l>n avons eJÉ:'fj-
ni
les
di ffér'ents
U:pes,
et
nous
avons
ètabl i
des
méthodes
permettant
de
déterminer,- dans
chaque
cas,
la
signification
et
la
nature
de
leurs
relations
de
dèpendance
mutuelle.
C'est
là-dessus,
ou
sur
un
fondement
équivalent,
que
doit
reposer
toute
théor i e
généra le
des
probabi 1 i tés.
Je
ne
nie
pas
que
dans
certains
cas,
les
applications
de
lé:!
ttléorie
ne
puissent
exiger
d'autres
considérations.
Les
données
peuvent
se
révéler
insuffisantes
à
produire
une
solution
déterminée,
et
l'on pourra alors
juger nécessaire de pallier
ce
manque
en
introduisant
une
hypothèse
supplémentaire.
Ou
alors,
lorsque
l'on
a
affaire
à
de
grands
nopmbres,
il
peut
se
produ ire
des
di f f i cu 1 tés
qu i
se man i fest eron t
9J2Lès
la solution,
car cette situation requiert des méthodes spéci-
ales de résolution.
Mais,
en tous les cas,
l'on a affaire à
une
forme du
probléme
général
qui
a
été
décrit
ci-dessus
lart,4J.
et
c'est
à
étudier
ce
problème
que
s'attache
précisément
et
particulièrement
la
théorie.
Je
voudrais
indiquer
que
c'est
là
l'objectif
principal
des
recherches
qui
seront
menées
dans
les
chapitres
qui
suivront.
L'on
ne
cherchera
pas
à
entrer,
sauf
de
manière
incidente,
dans
des
questions
fai-
sant
i nterveni r
des
hypothèses
suppl émentai res,
car
il
est
de
la
première
importance,
même
pour
des
problèmes
de
ce
genre
(I.7>,d'établir
au
préalable
une
méthode
générale
reposant sur un fondement théorique solide et suffisant.
Nous
allons
présenter
un
résumé,
tiré
essentiellement
de
Laplace,
des
principes
qui
ont
été
appliqués à
la
réso-
lut ion de questions de probabilité.
Ce sont des conséquences
des
définitions
fondamentales
249
que
nous
avons
déjà
données,
et
l'on
peut
considél'er
qu'ils
indiquent
jusqu'à
quel
point
l'on
a
réussi
à
rendre
ces
définitions
opéra-
toires.
Premie~rinci~. Si
p
est
la
probabilité
qu'un
événement
quelconque
se
produise.
I-p
sera
la
probabilité
qu'il
ne
se produise pas.
Second principe.
La
probabilité que deux événements indépen-
dants se
produisent
ensemble est
le
produit
de
leurs
proba-
bilités respectives.
Troisiéme
principe.
La
probabilité
que
deux
événements
dé-
pendants
se
produisent
ensemble
est
égale
au
produit
de
1a
probabi 1 i té
de
]' un
par
] a
protJabi lité que si
cet
evene-
ment se produit,
l'autre se produise également.
Q"IQ~ctèrpg,__ -1"Œ:_Lr1ÇiJ:l~.
La
probabi 1 i té
que
si
un
é\\'ènement
E
se
pro(ju i t,
'un
évènemen"t
F
se
produ i se
aussi.
est
èga l e
à
] a
probabi 1 i té
que
1es
evénemen ts
E
et
F
se
produ 1 sent
ensemble,
divisée par
la pFOoabilitè que E se produise.
Cinquième
principe.
La
probabilité
que
se
produise
1 'un
ou
l'autre de deux
événements qui
ne
peuvent
arriver
ensem-
ble,
est égale à
la somme de
leurs probabilités respectives.
Sixième
principe.
Si
un
événement
observé
ne
peut
résulter
que
d'une
seule
d'entre
n
causes
qui
sont,a
priori,
égale-
ment
probables,
alors
la
probabilité
de
l'une
quelconque
de
ces
causes
est
une
frac t i on
dont
1e
numérateur
est
1a
probabilité
de
l'événement
dans
l'hypothèse
que
cette
cause
ex i ste,
et
dont
1e
dénom i nateur
est
1a
somme
des
probabi-
lités
définies
de
la
même
manière
pour
toutes
les
causes.
â~lJt i ~1]J~_.J'Lir!ÇjJ;!~.
La
pnJl)atli 1 i tè
d'un
ev('·nerupnt
futur
est
la
somme
des
probabi 1 i tés
obtenues
en
mul tipI iant
la
proba-
bi 1 i té
de
chaque
cause
par
1 a
probabi 1 i té
que,
si
cet te
cause existe,
l'événement
futur
en question se produise.
Sur
le
domaine
d'application
et
le
caractére
relative-
ment
complet
de
ces
pr'illcipes,
'on
peut
faire
les
lernar·
ques suivantes:
1°)
I l
est
toujours
possible,
en
combinant
adéquatement
ces
principes,
d'exprimer
la
probabilité
d'un
événement
composé
dépendan t,
d'une
man i ère
ou
d' une
autre.
d . evène-
ments
simples
et
indépendants,
dont
les probabilités
respec-
tives
sont
données.
Une
proportion
importante
des
problèmes
qui
ont
trouvè
une
solution
effective
sont
de
cette
nature,
et
la
difficulté
que
prèsente
leur
résolution
n'est
pas
née
de
l'insuffisance
des
im1ications
données
par
la
thèo-
rie
des
probabilités,
mais
de
l'absence
li'une
anal~se
qui
permettrait
d'utiliser
250
ces
indications
lorsque
ces
problèmes
font
intervenir
des
fonctions
comportant
des
grands
nombres
ou
des
sér i es
de
termes
nombreux
et
compl i -
. qués.
On
peut
dès
lors
admettre
tout
à
fa i t
que
tous
1 es
problèmes
où
les
données
sont
des
probabilités
d'événements
simples,
relèvent du domaine de méthodes déjà connues.
2°)
Certains
des
principes
ci-dessus
énumérés,
en
particu-
1 i el'
1 e
six i ème et
le
septième,
ne
présupposent
pas
que
toutes
les
données
soient
des
probabilités
d'évènements
simples.
Toutefois,
lorsqu' i l s
s'appliquent
précisément
à
des
probl èmes
de
causalité,
on
suppose
ef~ectivement que
les
C8uses
considÉ'r-ées
s'pxclufc'nt
rnutuelll:'rnellt.
[jE-'
surte
qu'il
n'est
pas
possible
qU'elles
se
cümbinent
J.-'OlH
plodui-
re
un
effet"
Si,
comme
nous
l'avens
expl i qué,
nous
rappor-
tons
les
probabilités
numériques
des
événements
qu'elles
concernent
aux
propositions
qui
expriment
ces
événements,
nous
pourrons
formu l er
le
probl ème
le
pl us
généra l
auque l
peu ven t
s " appl i quer
les
pr i ne i pes
ci-dessus,
en
di sposan t
comme suit
les data et
les quaesita:
SONT DONNEES
1°) Les probabilités de n
propositions conditionnelles:
Si
la cause Al
e.'\\iste,
l'événement
E s'ensui\\Ta~
E
I l
E
E ..
A n
2°)
La
condition
que
les
antécédents
de
ces
propositions
sont mutuellement
incompatitdes.
ON CHERCHE
La
pl-obabilité
que
soit
vraie
la
proposition
atfirmant
que
l'événement
E
se--produira;
également,
lorsque
l'on
sa i t
que
cette
proposition
est
vraie,
les probabilités que
soient
vraies
les
diverses
propositions
affirmant"
l'existence
de
chacune des causes A
,A
, . . . ,A
.
1
2
n
Ici
l'on
vo i t
que
l es
données
sont
les
probabi lités
d'une
série
d'événements
composés
qu'expriment
des
propo-
sitions
conditionnelles.
Mais,
à
l'évidence,
le
système
est
trés
limité
et
trés
particulier.
En
effet,
les
antécé-
dents des propositions sont
soumis à
la condition de s'exclu-
re
mutuell ement,
et
i l
n' y
a
qu' un
conséquent
dans
tout
le
système:
'È'\\('flement
E.
Nutre
c;nx:lcltè
<'1
analyser-
un
système
comme
celui-l~
251
ne
signifiera
pas
que
nous
puissions
résoudre
des
problèmes
où
les
données
seront
les
probabilités
d'un
s~.'stème
de
propositions
conditionnelles;
encore
moins
que
nous
puissions
résoudre
des
problèmes
où
les
données
sont
les
probabilités
de
nous considérons
la question dans son aspect matériel
plutôt
que
forme l ,
i 1
est
évident
que
l'hypothèse
de
causes
mutuellement
exclusives
n'est
pas
souvent
réalisée
dans
le
monde
ph~'siqlle
où
les
phénomènes
apparaissent
habituellement
comme
les
produits
de
causes
complexes
dont
l'action
commune
ne
nous
est
pas
connue
dans
toute
sa
signi fication
et
dans
toute
sa
nature.
Tel
est,
assurement,
le
cas
dans
presque
tous
les
domaines
de
recherche
sur
le
monde
ph~/sique
ou
le
momie
social.
et
pour
lesquels
1-'
théorie
des
probabi 1 i tés
offre
toutes
sortes
de
promesses
nouvelles d'applications utiles.
9-
Aux
principes
précédents
nous
pouvons
ajouter
un
-"-
autre,
que
le
Professeur
d'astronomie de
l'université d'Ox-
fard
titulaire
de
la
Chaire
savilienne,
a
formulé
dans
les termes suivants:
"Principe
8-
Soit
un
nombre
quelconque
d'hypothèses
h
,h ,
1
2
h
, . . .
s'excluant
mutuellement;
leurs probabilités respecti-
3
ves,
dépendant
d'un
état
particulier
de
notre
information,
~
"De certaines questions
relatives à
la
théorie
des
proba-
bilités"
par
W.F.Donkin.
M.A,F.R.S
etc .. in
Philosophical
Magazine.
Mai
1851.
sont
soit
donnée
une
information
nOllvellt:J
qu i
change
1 es
probabi 1 i tés
de
certa i nes de
ces
hypothéses,
par
exemp 1e
ce Ile
de
Il
et
de
toutes
celles
qui
1 <'1
su i -
m-1
rapports
entre
1 es
probab i 1 i tés
de
ces
dern i éres
son t
1 es
mémes,
aprés
la
nouvelle
infor'mation,
que
ce
quO i l s
etaient
auparavant;
en d'autres termes,
P •
'p'
'p'
-p'
p
p
' P '
P
l '
2'
3"
-,
m =
1:
2'
3 . . ' · :
m'
où
les
lettres
portant
un
accent
expriment
les
valeurs
ob-
tenues ap['E~~s l'acquisition de]a nouvelle
information".
Ce
principe
est
apparemment
d'une nature
plus
fondamen-
ta 1 e
que
tous
ceux
qu i
ont
été
précédemment
énumérés.
et
l'on
pourrait
peut-étre,
comme
l'a
suggére
le
Professeur
Donkin,
le
considérer
comme
axiomatique.
I l
semble
reposer
véritablement
sllr
la
définition Inprne
de
la
probabili[p
corrn-°
"1 e
rar>port
du
nombre
de
cas
favorab 1 es
à
un
éVf!nemen t
au
nombre
total
de
cas
favorables
ou
contraires
et
tous
égale-
ment
possfrlles" ,
En
effet,
si
on
adopte
cette
définition,
i l
est évident que quelle que soit
la proportion dans laquel-
le
on
diminue
<252>
le
nombre
de
cas
également
possibles,
le nombre
des cas
favorables demeurant
inchangé,
c'est
exac-
tement
dans
la
même
proportion
qu'augmenteront
les
probabi-
lités
des
événements
que
ces
cas
concernent.
Et
puisque
la
nou\\"elle
tlypottll?Se,
celle
d'une
diminution
du
nombre
de
cas
possi bl es
sans
changement
du
nombre
des
cas
favora-
bl es
à
l ' événement,
augml?nte
1 es
probabi lités
de
ces
événe-
ments
se 1on
un
rapport
constant,
1es
mesures
re 1at ives
de
ces
probabi 1 i tés
resteront
inchangées.
Si
donc
1e
pr i ne i pe
que
nous
examinons
est,
à
ce
qu'il
semble,
contenu
dans
la définition
même de
la probabilité,
i l
peut difficilement,
tou~ seul,
nous
mener,
pour
résoudre
des
problémes,
plus
loin
que
ne
le
ferait
seulement
l'examen
attentif
de
la
définition.
I l
découle
donc
de
ces
remarques
qu'il
est
douteux
que
sans
une
aut re
a i de
que
ce I l e
(jes
éléments
env i sagés
jusqu'ici,
'on
puisse
esp~rer
un
développement
important:
que
c e s 0 i t
en
thé 0 rie
des
pro ba b i 1 i tés.
1 0 r sq u e
celle - c i
est
consi dérée
comme
une
i:l['anche
d'une
(:Ollfla i ssance
purE
ou
dans
les
solutions
pratiques
apportées
aux
problémes
qui
s'y présentent.
Et
i l
semble
impossible
d'établir,
sur
la
seule
---'-
base
d'un
ensemble
de principes comme ceux ci-
dessus,
une métho-
de
universellement
applicable
à
la
résolution
des
problè-
mes,
sans considération du
nombre
ou de
la nature des propo-
sitions
qui
interviennent
dans
l'expression
de
leurs
don-
nées.
En
effet,
pour
atteindr-e
un
tel
objectif,
l'on
a
be-
soin
d'autres
éléments.
Et
c'est
à
examiner
ces
eléments
que sera consacré le prochain chapitre.
-----
CHAt' l T RE
l , -
DEMONSTRAT! ON
D'UNE METHODE (.îENERALE POLR
LA RESOLUTION
DE PROBLEMES
EN
THEORIE DES PROBABILITES.
·253
1-
L'on
a
défini
(XVI.2)
que
"la
mesure
de
la
probabi 1 i té
d'un
événement
est
1 e
rapport
du
nombre
de
cas
favoratJles
à
cet
é\\.:énement
au
nombre
total
(je
cas
favora-
bles
ou
non
favorables
et
tous
également
possibles".
Dans
1 es
consi dérat ions
qu i
vont
su ivre,
1 e
terme
de
probabi 1 i -
té sera
employé dans ce sens de
"mesure de probabilité".
De
cette
définition
nous
pouvons
tirer
les
conclusions
suivantes:
1-
Lorsqu'il
est
certain
qu'un
événement
va
se
produi-
re,
sa
probal:dlité.
dU
sens
matrH"matique
indiqué
ci··(jessus,
est
1.
En
ef fet,
1 es
cas
favorab 1 es
à
l ' événement
et
1es
cas
possibles
sont
ici
les
mémes.
Dés
lors,
si
p
est
la
probabi I l té
qu'un
evénement
:.;
se
produise,
1-p. sera
la
pro-
habilité
que
l'événement
en
question
ne
se
produise
pas.
Afin
que
ce
résultat
se
déduise
immédiatement
de
la
défi-
nition,
posons
que
m est
le
nombre
de
cas
-'-
favorables
à
l'é-
vénement
x,
n
le
nombre
de
cas
possibles:
alors
n-m
est
1 e
nombre
de
cas
défavorabl es
à
l'événement
x.
Par
consé-
quent,
et par définition,
min =
la probabilité que x
se produise.
n-m/n
=
la probabilité que x
ne se produise pas.
Or,
n-m/n
=
1-m/n =
1-p.
11-
La
probabilité
que
deux
événements
quelconques
se
produisent
ensemble
est
le
produit
de
la
probabilité
de
l'un
quelconque
de
ces
èvenements
par
la
probabilIte
que,
si
cet évènement
se produit,
l'autre se produise aussi.
So i t
mIe
nombre
de
cas
favo rabl es
au
pr'em i er
èvéne-
ment,
et
n
le
nombre
de
cas,
tous
également
possibles,
qui
lui
sont
défavorables;
alors
la
probabilité
du
premier
é\\'é~
nement
est.
par
'.>"'" J
, ~:::>4
définition,
rn rn-n.
Supposons que
parmi
1es
m
cas
favorabl es
au
prem i er
événement.
cas
soient
favorabl es
à
1a
conjoncti on
des
prem i er
et
second
événe-
ments;
alors,
par
définition,
l/m
est
la
protl3bilité
que
s i l e
pr'pm i er
é\\"ènemen t
se
prod u i t.
1e
sec oneJ
se
pr'orj \\li se
aussi.
Le produit de ces
fractions donne
(m m+n)x
lim
Mais
le
résul tat
1 ·m+n
a
pour
numérateur
le
nombre
de
cas
favorables
à
la
conjonction
des
événements,
et
pour
déno-
minateur
le
nombre
m-n
ûes
cas
possibles.
donc
la
probabilite
que
se
produisent
ensemble
les
deux
é\\iénements.
Par
conséquent,
si
p
est
la
probabi 1 i té
d'un
événement
x
quelconque,
et
q
la
probabi 1 i té
que
si
x
se
produi t
y
se produise,
la probabilité de
la conjonction xy sera pq.
111-
La
probabi 1 i té
que
si
un
événement
x
se
produ i t,
l'événement
y
se
produise,
est
une
fraction
dont
le
numé-
rateur
est
la
probabilité
qu'ils
se
produisent
ensemble,
et
le
dénominateur
la
probabilité
que
l'événement
x
se
pro-
duise.
c'est
là une conséquence
immédiate du second principe.
1V-
La
probabilité
que
se
produise
un
événement
d'entre
une
s(:,r'ie
d'événements
s'éxcluant
rnutuelléfllf?nt
est
égé11e
à
la sOlllme de
leurs probabilités respectives,
En
effet.
soit
n
le
noml)re
de
cas
possibles:
ml
le
nombre
dee
cas
favorabl es
au
premi er
événement;
m
1 e
nom-
2
bre
cie
cas
favorables
au
second.
etc, .. En
outre,
puisque
ces
événements
s' exc 1 uen t
mut ue 1 1emen t,
aucun
des
cas
fa-
vorabl es
à
l ' un
n'est
favorabl e
à
l ' autre:
par
conséquent,
le nombre de cas
favorables à
un événement de
la série sera
ml' m
+
• • •
2
et
la
pl'obatJi l i t é que
se
pr'odui se
un
des e\\'énements de
cet te
série
sera
(m
+m + ... >/n.
Or,
c'est
là
la
somme
des
frac-
1
2
tiorJs
ci-dessus,
ml
n.
m
n,
etc, ..
Le
principe
est
donc
2
évident.
255
2-
DéfintliQ!!.Deux
événements
sont
dits
indé-
pe[j(jan ts
lorsque
1a
protlabi 1 i té
que
se
produ i se
l'un
des
deux
ne
var i e
aucunement
se Ion
l ' esp('rance
de
\\,'0 i r I ' autre
se produire ou ne pas se produire.
.---.-
De cette
défini tion ainsi
que du Principe
I I .
i l
décou-
le
la conclusion suivante:
v-
La
probabi 1 i té
que
se
produ i sent
ensembl e
deux
é-
vénements
indépendants est
égale
au
produit
des probabilités
respectives de ces événements.
En
effet,
si
p
est
la
probabilité
d'un
événement
x ,
q
celle
d'un
événement
y
considéré
comme
totalement
indépen-
,jant
lie
x,
alors
q
pst
aussi
la
prolJat>ilitè
que,
si
x
se
produit,
y
se
produise.
-Donc,
d'après
le
Principe
I I ,
pq
est
la probabilité que x
et
y
se pr-oduisent
ensemble.
Dans
les
mêmes
conditions,
la
probabi 1 i té
que
x
se
produise
sans
y
sera
p( l~q).
En
effet,
p
est
la
probabi 1 i té
que
x
se
produise
et
l~q
la
probabilité
que
y
ne
se
produi-
se
pas.
De
même,
<l-p)(l-q>
sera
la
probabilité
que
ni
l'un
n i ' autre événement ne se produi se.
3-
I l
est
encore
un
autre
principe,
de
nature différen-
te
des
précédents,
mais
qui
est
Ilécessair-e
pour
les
rèf]e~
xions
qui
vont
suivre
en
ce
chapitre;
j'aimerais
toutefois,
ava.n t
de
formu 1er
ce
pr i ne' i pe.
fa i re
une
ou
deux
remarques
préliminaires.
Je
remarquera i
tout
d'abord
que
1a
di st i nc t i on
en t re
sur
1 a
nature
des
è\\:énemen ts
eux -mêmes,
ma i s s u r i a
man i -
ère
(Ion t
i l s
se
prèsen t en t
à
l ' espr i t
et
1 e
rapport
sous
---"-
lequel
celui-ci
les
conçoit.
Combien
d'élèments
distincts,
par
exemple,
entrent
dans
les
expressions
"être
en
bonne
santé" ,
"être
prospére",
etc . . . ,
chacune
d'elles
pouvant
cependant
être
considérée
comme
1a
traduc t i on
d'un
"événe-
ment
simple"?
L'usage
prescriptif
du
langage,
qui
a
assi-
gné
à
des
combinaisons
particulières
d'éVénements,
des
noms
uniques
et
déterminés,
tout
en
laissant
quantité
d'autres
combinaisons
s'exprimer
par
des
combinaisons
correspondantes
de
termes
ou
de
phrases,
est
essentiellement
arbitraire.
Lorsque
donc
nous
appelons
événements
simples.
ceux
qui
s' expr i ment
par
un
seu l
verbe
ou
par
ce
que
1 es
gramma i -
riens
appe I l en t
un
énoncé
si mp le,
nous
n' ent endons
pas
par
la
une
simplicité
réelle
des
évènements
eux-mémes,
mais
nous
utilisons
ce
terme
uniquement
pour
désigner
une
simpli-
cité de
l 'expr"ession grammaticale.
<256>
4-
Or.
si
cette
division
des
événements
en
sim-
pl es
et
composés
ne
repose
pas
sur
un
fondement
rée 1,
dans
leur
nature,
mais
sur
les
accidents
du
langage,
elle
ne
saurait
affecter
la
question
cie
leur
indép~::-ndance
les
uns
par
rapport
aux autres.
Si
tout
ce
que
je
sais
de
deux
évé-
nements
simples
se
réduit
à
ce
fait
particulier
que
la
pro-
babilité de
voir
l'un
se
produire
est
p,
et
q
quand
i l
s'a-
git
de
l'autre,
alors
je
considère
ces
événements
comme
indépendants;
et
j'affirme
par
conséquent
que
la
probatJll i
té
qu'ils
se
produisent
ensemble
est
pq.
'lais
cette
affir-
mation
ne
repose
pas
sur
la
siropl ici té
de
ces
é\\"énements
mai s
sur
1e
fa i t
que
1es
données
ne
fourn i ssent
BUC une
i n-
formation concernant un lien ou une dépendance entre eux.
Lorsque
sont
données
des
probabilités
d'événements.
mais
aucune
information
concernant
leur
lien
de
dépendance.
l'esprit
les
considère
comme
indépendants.
Et
cette
manière
de
penser
est
aussi
légitime
lorsque
les
événements
sont
simples
ou
COolj)(Jses
-(:.n
en
juge
par
leur
e)\\.f,ro?ssion
effecti-
ve
c'est-à-dire
qu'ils
s'expriment
chacun
par'
un
seul
verbe ou par une combinaison de verbes.
3-
Supposons
toutefois
qu'outre
les
probabilités
de
certains
é~énements,
nous
a~'ons
une
information
précise
concernant
1PUI'S
combinaisons
possibles.
Supposons,
par
exemple,
que
nous
sachions
que
certaines
combinaisons
ne
peuvent
se
produire,
et
donc
que
seules
les autres combinai-
sons
sont
possitJJes.
Alors
le
rni"'me
principe
générd]
conti-
nueré:l
encore
d'étre
é:lppllcat:de.
L.a
manière
dont
nous
utl-
lisons
cette
information
pour
calculer
la
probabilité
que
sp
produise
url
résultat
quelconque
que
'on
peut
concevoir.
ne
dépend
pas
de
la
nat ure
des
événements
dont
on
conna î t
1 a
probabi 1 i té
ainsi
que
1 e
nomtJre
1 i mi té
de
combi na i sons
clans
lesquc'lies
Ils
peu\\lc-nt
se
pr"csenter.
elu'lls
soif::'[j(
simples
ou
composés n'a
Pé:lS cl'impol'té:lnce.
I l
est
Indiffèr'ent
de
savoir
de
quelle
sour-ce
ou
selon
quelles
rnéU10lies
fut
___--4 _
obtenue
1 a
conna i ssance
de
1 eurs
probabi 1 i tés
ou
des
re 1 a-
tions
qui
les
lient.
Nous
devons
considérer
les
événements
comme
indépendants
de
toute
relation
autre
que
celle
dont
nous
sommes
informés,
et
estimer
quO
i l
est
indifférent
que
cette
information
nous
ait
été
explicitement
fournie
par
les
données,
ou
dédui tes
d'elles
par
une
inférence
10-
gi.cLue.
Et
cela
nous
conduit
à
établir
le
principe
génèré:ll
qui
est
le suivant:
V J -
Les
èvenements
dont
J f'S
PI ub.=!IJi J i t ('s
nous
SClllt
données
doivent
être
considerés
comme
indépendants
de
toute
re 1at i on
aut re
que
ce Il e
qu i
est
expr i mée
dans
1es
données
ou
qu i
en
déc ou le
nécessa i remen t;
et
1a
man i ére
,257'
don t
nous
devons
utiliser
la
connaissance
de
cette
relation
est
i n ct è pen'j an t e
d e I and t il r e
ct e
1 a
,'-; Cl U [' c e
(j' 0 U
cet t e
c (1 Il na i s-
sance fut obtenue.
L'importance
pratique
de
ce
principe
tient
au
fait
que,
quelle que
soit
la
nature de
l'événement dont
la proba-
bilité
est
cherchée,
nous
sommes
toujours
en
mesure,
en
appl i quan t
1 e
ca 1 cu 1
log i que.
de
déter'm i ner
son
express i on
comme
une
combinaison
précise
des
autres
événements.
et
d'établIr.
de
manière
définie.
la
totalité
des
relations
existant
entre
ces
évènements.
Autrement
di t,
nous
pouvons
déterminer
de
quelle
combinaison
d'É.:'vènf:'ments
la
protJabili-
té
est
cherchée
et
quelles
combinaisons
sont
les
seules
possi bl es.
Il
découl e
donc
de
ce
rJr i ne i pe
que
nous
pouvons
raisonner
sur
ces
événements
comme
s ' i l s
étaient
simples
et
comme
si
les
conditions
qui
définissent
la
possibilité
de
certa1nes combinaisons nous avaient
été directement
four-
nies
par
l'expérience.
et
qu'il
faille
cherCfler
la
probabi-
lité
d'une
combinaison
déterminée.
C'est
en
effectuant
une
telle
réduction
que
l'on
rend
possible
une
méthode
générale
en probabilité.
6-
Dans
la
mesure
où
nos
prochaines
réflexions
repo-
sent
sur
l'emploi
du
cd]cul
logique,
i l
pst
nécessaire ci'ex-
pliquer
certains
termes
et
certaines
manières
de
s'exprimer
qui
découlent de son application.
Par
événement
x ,
j'entends
l'événement
dont
la
propo-
sition
qui
affirme
qu'il
se
produit
s'exprime
s)'mbolique-
ment
par
l'équation
x
= 1
Par
événement
0<X,y.Z, . . . >,
j'entends
l'événement
dont
l 'oc-
currence est
exprimée par
l'équation
(J(X,y,Z, . . . )
~
1.
Un
tel
événement
peut
étre
dit
composé
par
rapport
aux
évé-
nements
simples
X , \\ ' , 2 ,
qui
entrent
dans
sa
conception.
-\\in··
si,
s i x
représente
l'événement
"i l
pl eut",
)i
l ' événemen t
"i l
tonne",
l es
occurrences
respect ives
de
ces
événements
s' e."\\r'f i maIl t
par
1 es equd t i uns
los)] ques
"
= 1,
)'
= 1,
x ( 1 -y)
~,l(l-x)
représentera
l'è\\'enement
ou
l'erat
....--. -
de
choses
que
"258>
traduit
la
proposition
"Ou
i l
pleut,
ou
i l
tonne,
mais
pas
les
deux",
l'expression
symbol ique
de cet
état de choses étant
XCI-Y)
+
Y(l-X)
= 1.
Si,
pour
abréger,
nous
remplaçons
la
fonction
0<X,Y,Z . . . . >,
qui
a
la
signification
indiquée
plus
haut,
par
v,
i l
est
évident
<VI.13) que
la
loi
de dualité
V(l-V)
=
0
sera
identiquement satisfaite.
Les
É'\\'én(JlTlents
simp}f'.:s
x,:-",z
sprollt
dits
"cofJditicHlIiè's"
lorsqu'ils
ne
peuvent
pas
se présenter
dans n'importe quelle
combinaison
possible;
en
d'autres
termes,
lOf squ ' i 1
est
impossible
que
se
produise
quelque
événement
composé
qui
dépend
d'eux.
Ainsi
les
évènements
que
trarjuisE:'nt
les
pro~
positions
" i l
pleut",
" i l
tonne",
sont
"coflditioflflés"
si
l'événement
que
traduit
" i l
tonne
mais
i l
ne
pleut
pas"
ne
peut
se
produire;
de
sorte
que
le
champ
des
combinaisons
possibles
est
moins
étenciu
que
celui
(jes
combinaisons
conce-
vables.
Les
événements
simples
incofl1ji t ionn~s
sont,
par
définition,
indépendants,
De
même,
un
è\\'énement
l-c,mpc)sé
est
di t
"condi tionné",
si
l'on
pose
qu' i l
ne
peut
se
produi re
que
sous
une
condi-
t i on
préc i se,
à
savo i r
en
comb i na i son
avec
un
aut re
événe-
ment rjont
la prèsence constir.ue
la condition en questIon.
7-
Nous
allons
suivre
l'onjre
naturel
de
la
penspe
en
allant
des
événements
simples
et
incowjj tionnès
éiUX
É'\\'è-
nements composés et conditionnés,
PROPOSITION 1.
1°)
Si
p,Q,r
sont
les
probabilités
re~pectives d'événements
simples
et
inconditionnés
x,y,z,
l<L.J2I'obabilité
d'un
événe-
ment
composé
V
Quelconque
sera
CV),
une
quanti té
obtenue
en
remplaçant
dans
la
fonction
V
l~~__~boles
x,y~-----.1?9-r
I:J~L-~,1~· ..
;;e
produi t,
un
But re
événement
V'
se -.QLodui se
aussi
sera
tipI iant
e n t~r--,e"---,=e-,,,l---,l,-,p=-_""s~ les
fonct i OD~ 1ogiques
v
et
V' ,
et
Tenons
nous
en
tout
d'abord
aux
combinaisons
259
possibles de deux événements simples x et y,. dont
les proba-
bilités
respectives
sont
p
et
q.
Les
combinaisons
primiti-
ves
de
ces
événement s
(V. 11)
et
les
protlatJi 1 i t ès
qu i
1 eur
correspondent,
sont
les suivantes:
EVENEMENTS
PROBABILITES.
;.; et y se produisent ensemble,
pq
X(I-Y)
x se produit sans y
pll-q)
( 1-,;.;)y.
y
se produit sans x,
(l-plq
( 1 - ;.; ) ( 1 -:--' )
ni
x
ni
:--
ne se prucllllspnt
( 1 - p) ( 1 - q ) .
I\\CJus
vo:--'ons
que
dans
ces
di fféretlts
cas,
la
pf'()b3bilite
de
l' evénement
composé
expr i rné
par
un
const l t Udf! t e s t
1Cl
~--.-
méme
fonct i on
de
p
et
q
que
'expr~ession
logique
de
cet
événement
l'est de x et y;
et il
est évident que cette remar-
que est valable quel
que soit
le nombre d'événements simples
dont
les
probabilités
sont
données.
et
dont
l'existence
ou
l'inexistence
simultanée
est
contenue
dans
l'événement
composé dont nous cherchons la probabilité.
Co riS i fie r Ull S
e Il
St' t'und
l i PU
1.1Il e
C Uin t) ! na i son
~ll SJ()HLU_-=-
\\'e
que 1 conque
des
C DTlSt i t uan t s e i --dpssus.
L' É'vÉ'nemen t
compo-
sÉ'
qui.
dans
le
langage
onnnaire.
s'exprime
comme
l 'occur-
rence
.. oude
l ' événemen t
x
sans
l ' événemen t
y.
ou
de
l ' évé-
nemen t
Y
sans
l ' événemen t
x"
trouve
pour
t raduct i on
symbo-
Jique
X(l-~/l
:.! (
+
1 - ....... ) ,
et
sa
probabi lité,
déterminee
par
les Principes
IV et V.
est p(l-q)
+q(l-P).
La seconde expres-
t..~e.
sion
symbolique
est~--fonction de p et q.
que
la
première e~st
de
x et
y,
Et
i l e s t
clair
que
c'est
là,
aussi,
une
illustration
particulière.
d'une
règle
générale.
Les
événements exprimés par
deux
cons-
tituants
quelconques,
ou
davantage,
s'excluent
mutuellement.
Leur
seule
combinaison
possible
est
une
combinaison Qi~~nc-
tive,
qui
se
traduit
dans
le
langage
ordinaire
par
ou,
et
dans
celui
de
la
logique
s)/mtlolique
par
le
signe
P"1r
a i I l eurs.
J a
probabi l i tè
que
se
produ i se
un
événement
parmi
plusieurs
qui
s'excluent
mutuellement,
est
la
somme
de
leurs
probabilités
respectives
et
se
traduit
en
reliant
par
le
' - - ' -
signe
+
les
expressions
de
ces
différentes
probabilités.
Ainsi
la
loi
dont
nous
venons
de
donner
quelques
i llustra-
t ions
appara 1 t
comme
généra le.
La
probabi 1 i té
d' un
événe-
men t
i ncond i t i onné
que l conque
V
sera
obtenue
en
remplaçant
dans V les symboles x,
y,
Z, . . .
par
P.
q.
r,.
8-En
outre,
selon
le
Principe
I I I .
la
probatJilité
que
si
'événement
V
se
produit,
l'événement
V'
l'accompagne
~bO
une
ff'actiun
dont
le
lIUIlit::' 1 al ('ur
tc'st
Id
prollabi 1 i té
que
V
et
V'
se
produ i sent
ensC'mtJl e.
et
] e
(jèno-
minateur
la probabilité que V se produise.
Or
l'expression
de
cet
événement
ou
état
de
choses
const i tué
par
l'occurrence' si mu 1 tanée
des
événemen ts
V
et
V'
s'obtiendra
en
multipliant
l'un
par
'é:lUlTe
] es
expres-
sions
V
et
V'
selon
les
régIes
du
calcul
logique;
en
effet,
tous
les
constituants
figurant
à
la
fois
dans
V
et
V',
et
seulement
eux,
apparaîtront
dans
le
produit.En
outre,
nous
venons
de
le
montrer,
la
probabilité
de
l'évènement
que
t radu i t
ce
produ i t
sera
déterm i née
en
y
rempl açan t
x, y, z,
par
p,
q.
r.
. ... Par
conséquent.
1 e
numérateur
cherché
cor-
respondra
à
la
définition
de
[VV'J.Et
le
dénominateur
sera
(V);
dès lors.
1a
probabi 1 i té
que
si
V
se
produ i t,
V'
se
produ i se
auss i
(VV' ) /( V) .
9-
Par
exemple.
si
les
probabilités
des
évènements
simples
x..,...-.y.
z
sont
p.q.r
respectivement.
et
qu'on
demande
de
trouver
la
probabi 1 i té
que
si
x
ou
y
se
produi t.
Y
ou
z
se
produise.
nous
aurons
pour ·expressions
logiques
de
l'antécédent et du conséquent:
l°)~X ou y
se produit.
x<I-y)
+
y(l-X).
2°)~y ou z se produit
y( 1-z)
+
z( 1-Y).
si
nous
multiplions
entre
elles
ces
expressions
conformé-
ment
aux
règles
du
calcul
logique,
nous
trouverons
pour
expr~~'ssi un du cunClllll'S ;Jf~
l ' ;:HltE'cl'(i»!lt
pt
du
CU!lspqul>nt
XZ<l-:,,l)
+
y ( l - X ) ( l - Z > .
En
rem p] a ç a n t
dan s
c e
rés u l ta t
x.)/. Z
pa r
p . q ,r
r e s p e c t ive -
ment.et
en
appliquant
la
même
traflsformation
à
l'expression
de
l'antécédent.
l'on
obt i ent
pour
la
probabi lité
cherchée
la valeur
(pr(1-q)+q(1-p)(1-r»)/(p(1-q)+q(1-P»).
La
fonction
spécifique
du
calcul,
dans
un
cas
comme
celui-
1 à.
est
de
remp 1 acer
la
r·a i son
dans
son
rô 1 e
qu i
est
de
déterminer
les
circonstances
qu'expriment
aussi
bien
le
conséquent que
l'an-
técédent.Mais
l ' intérét
de
cette
application
n'apparaîtra
pleinement
que
plus
tard
,261/.
et
sera
clairement
établi
dans une proposition ultérieure.
PROPOSITION
I I .
10-
On
sa i t
Qu~nd
un~on(j i t i on donnée V est sat i s-
~.
sont
respect i vement
P. q. r . . . . ;
V
étant
une
foncW-on
de
x.y.z . . . . . On
demande
les
probabilités
absolues
des
évé-
nements
x.v.z •.. ~fest-à-dire
les
probabilités
de
leurs
x
occurrences respectives
indépendam~eDt de la condition V.
x
Dans
la
Prop.II,P.261.
par
"probabilités
absolues
des
événements
x.y'.z ....
on
entend
simplement
ce
que
devf'aient
étre
les
prol)abi 1 i tés
de
ces
événements
pour
qu'en
consi-
dérant
qu' i l s
sont
i ndépenciants
et
que
1eurs
probabi lités
sont
les
seules
données
dont
on
dispose. l 'on
trouve
p.q.r.
pour
probabi 1 i tés
des
mêmes
événements
1or squ 'est
don-
née
la
condition
V.
Il
faut
modifier
de
la
même
manière
la
formulation
du
problème
de
l'ur'ne
qui
sui t
cette
propo-
sition.
La
véritable
solution
de
ce
problème.
tel
qu'il
-...;, , l ,. rit
~ ,
. f I . r
, l ' te.
l )r ;-} t ;l. j t) j lit 1 ) _~-;
c . est - ;j - (i J r e
r~\\.' i 1 PS
,('unsiejéres,
non
seulement
comme
simples.
mais
aussi
comme
indépendants.
Alors,
d'après
la
Prop.I.
les
pr'obabilités
que
ces
événe-
ments
se
produisent
lorsque
la
condition
V,
que
traduit
l'équation logique V=l.
est satisfaite.
sont
( x v ) / ( \\' 1 =P ,
(~. v J / ( v ) = q , ( z V ) / ( \\' ) ~ r , etc . .
et.
à
partir
de
ce
système
d'équations
dont
le
nombre
est
le.·
même
que
ce 1u i
des
quanti tés
P'. q' • r ' ... , on
peut
déter-
miner
les valeurs prises par elles.
Or
xV
est
tout
simplement
la
somme
des
constituants
de
V
dont
x
est
un
facteur.
Ecrivons
cette
somme
V
et
représen-
x
tons
de
la
même
manière
yV
par
V
etc . . . . Nos équations
s'é-
)-'
riront alors:
est
libellé.
est
p'=ep.
q'=cq.
où
c
est
la probabilité arbi-
traire
de
la
condition
qui
veut
que
1a
bou 1e
tirée
sr- i t
blanche.
de
marbre.
ou
1es
deux
à
la
fois.
voir
p.27ü,
cas
I I .
Par
conséquent.
puisqu'en
effectuant
la
réduction
logique.
on
ramène
tous
1es
prob 1èmes
en
théor i e
des
probabi 1 i tés
à
une
forme
qui
consiste,
à
partir
des
probabilités
d'évé-
nements
simples
s.t,etc. ,étant
donnée
une
condition
v,
à
' - - ' -
déterminer
la
probabilité
d'une
certaine
combinaison
A
de
ces
événements. avec
la
même
condition,
voici
le
véritable
principe de
la démonstration qui
fait
l'objet
de
la Prop.lv:
"La
probabilité
de
cette
combinaison
A
sous
la
condition
V.
doit
être
calculée
comme
si
les
événements
s,t,etc . . .
étaient
indépendants
et
avaient
des
probabilités
telles
qu'elles
rendraient
les
probabilités
dérivées
de
ces
événe-
ments,sous
la
méme
condition
V.identiques
à
celles
qui
leur
son t
assi gnées
dans
1es
données". Je
tiens
ce
pr i nc i pe
pour
un
axiome.En
même
temps.il
peut
être
indéfiniment
vérifié.
di rectement
ou
à
travers
les
résul tats
de
la
méthode
qu' i 1
fonde. I l
faut
ajouter.
je
pense,
que
c'est
sous
cet te
for-
me
que
ce
pr i IlC i pe
s· est
à' abord
pr-ésenté
à
mon
espr i t
et
que
c'est
ainsi
que
je
l ' a i
toujours
compris
l'erreur
qui
figure
dans
le
problème
particulier
que
j ' a i
évoqué,
est
due
au
manque
de
di scernemen t
dans
1 e
cho i x
d'une
i 1-
lustration concrète
IV
J!I\\'J~p.
(V
J/l\\Jc.q,
e(c . . . ;
( 1 )
X
Y
où
{V
J
traduit
le
oLtenu
en
replaçant
X
les
s~'rnboles
X,Y',z,etc ...
par
p' .q' ,r'
etc ...
Pour
mif~ux
faire
apparaître
la
signification
du
problème
général
et
<262>
le
principe
de
sa
résolution.
nous
prendrons
l'exem-
pIe
suivant:
Supposons
que,
tirant
(jes
tloules
d'une
urne,
on
ne
se
so i t
occupé
que
des
cas
où
1es
bou 1es
tirées
ou
bien
avaient
une
couleur
particul iére,
soi t
"blanche",
ou
bien
avaient
une
composition
particulière,
soit
"en marbre",
ou
bien
présentaient
ces
deux
propriétés
à
la
fois;
on
n'a
pas
prété
attention
aux
cas
où
une
boule
qui
n'était
ni
blanche
ni
en
marbre
avait
été
tirée.
Supposons
ensuite
qU'on
ait
trouvé
que
chaque
fo i s
que
1a
cond i t i on
supposée
é ta i t
sa ti s f ait e ,
i 1
Y
a va i t
une
pro ba b i 1 i té
P
de
t i r e r
une
bou 1 e
bl anche,
et
une
probabi 1 i té
q
de
l i rer
une
bou 1e
en
marbre,:
on
cherche,
à
part i r
de
ces
seu l es
données,
1a
probabilité
que
le
prochain
tirage,
de
manière
tout
à
fait
indépendante de
la condition que
l'on vient d'èvoquer,
donne
--'-
une
bou 1e
bl anche;
et
éga 1 ement
la
probabi 1 i té
qu' i 1 donne
une boule en marbre.
Si
x
représente
ici
le
tirage
d'une
boule
blanche.
y
celui
d'une
boule
en
marbre.
la
condition
V se
traduira
par
la
fonction
logique
(V
1 e r'
,
1\\
I-q;
X
~.
e t
l (, s
~, '1 u a t. i 0 li S
f J Il a 1 L' ,..:.:, d 11
l't(' CI t) 1un e
S 0 ri t
p' ,: ( p' q . + p' ( l-q , ) +q , ( 1- p' ) J
=p
q'/{p'q'.p'( ]-q' ).q'(]-
p' JI =q;
nous en tirons
p'=<p-q .. ])/q
,
q,=(p~q_l)
p,
L'on
voit
que
p
et
q'
sont
proportionnels à
p
et
q
respec-
tivement.
ce
qui
devait
être
le
cas
d'après
le
principe
du
Professeur
Donkin.L'on
pourrait,
en
fait,
rèsoudre
ce
genre de problèmes en appliquant directement
ce principe,
Pour
répondre
à
une
objection
possible,
je
ferai
la
remar-
,
que
que
le
raisonnement
qu i!précède
n'a
pas
besoin
de
suppo-
1
ser
que
le
tirage
d'une
boule
t,lanche
et
d'une
boule
en
marbre
sont
i ndêpendants , du
fa i t
de
1 a
const i tu ti on
physi-
que
des
boules.
L'hypothése
de
leur
indépendance
est
en
fait
contenue
dans
la
solution,
mais
elle
ne
repose
sur
aucune
,263;
présuppos i t i on
concernan t
1a
na t ure
des
bou 1 es
ainsi
que
les rapports
(OU
absence de
rapports)
entre
fopn~,
couleur,
structure,
etc . . . Elle
repose
sur
la
totale
igno-
rance
où
nous
sommes de
ces
choses.
La
probabilité
concerne
toujours
l'état
de
notre
connaissance
effective,
et
sa
va-
leur numérique change avec
la variation de
l'information.
PROPOSITION III.
1 i en
1 oill..Q.!J~çntr·e
C~l)' on
cherche et
1 es donnée,â..;
en d' au-
tres
tlrmes, détermi n=e~r~=--'éVénem~nt dont
on
cher.che
1 a
proba-
i? LQJL~tQLLtl É' ~. __sg_nt~g911DJ:; ~::'_?-,-
Soient
S.T.etc ...
des
E:'\\.'ènements
composés
quelconques
dont
les
pro ba b i l i t é s
son t
don fi é es,
les
exp r e s ion s
deS, T,
é tan t
des
fonctions,
que
l'on
connait.
des
symboles
x.y,Z,
etc ..
qui
l-eprèsentent
des
é\\.'énements
simples.
De
la
même
maniè-
re,
soi t
loi
représentant
un
événement
dont
la
probabi l i t é
est
cherchée.
W
étant
une
fonct i on.
que
l'on
canna i t.
de
x,y,Z
etc . . . . Puisque
S.T.
o.W
satisfont
nécessairement
la
0
loi
fondamentale
de
dualité.
nous
pouvons
les
remplaçer
par des symboles
logiques uniques s,t . . . . w.
Posons alors
s=5.
t=T.
W=W.
On
aura
là,
par
définition
de
S.T, .. oW.
une
série
d'équa-
tions
logiques
reliant
les
symboles
s.t •... w
aux
symboles
x. y. Z. 0' 0
Employant
les méthodes
du
calcul
logique,
nous
pouvons
éli-
miner
de
ce
système
n'importe
lequel
des
symboles
x.y.z.o o'
qui'représentent les
éVénem~ dont les probabi 1 i tés ne sont
pas
données.
et
déterminer
w
comme
une
fonction
développée
de
s,t,etc .. et
de
ceux.
parmi
les
symboles
x.y.z.
etc . . . .
s ' i l
en
existe,
Qui
correspondent
à
des
événements
dont
les probabilités sont données.
Le résultat sera de
la
forme
W = A +
OB +
a/a C + 1/0 D.
où
,!\\,R,C
et
D
contienw'nt
tous
les
COIL~Jj_JJLé:ln~~ possibles
que
l'on peut
former à partir des symboles s.t,
etc .. ,
c'est-
évènements dont
les protlé::!tJi 1 i tes sont
données.
L'expression
ci-dessus
sera
èvid0mment
la
traduction
complè-
te
de
la
relation
cherchée.
En
effet,
elle
détermine
tota-
lement
l'événement
W,
représentée
(264)
par
le
symbole
uni-
que
\\'\\",
comme
une
fonctloll
ou
unlé'
corntJinaison
dfJS
èvèrlf-:ments
représentés
de
la
même
manière
par
les
symboles
s,t,
etc .. ;
et
elle
établit,
conformément
aux
lois
du
calcul
logique,
que
la condition
D =
0
pose
une
relation
entre
les
événements
s,t,
etc.
eux-mè-
mes. Nous
pouvons
donc,
d'après
1 e
Pr i nc i pe
v r,
cons i dérer
s,t,
etc.
comme
des
événements simples dont
la
combinaison
w,
ainsi
que
la
condition
D qui
l'accompagne,
sont
précisé-
ment
définies.
Puisqu' i 1
est
souhai table
que
les
procédures
logiques
de
réduction
soient
uniformes.
je
vais
établir
l'orejre
qui
.--"-
sera
généralement
suivi.
12-
Selon
(VIII.8),
les
équations
premières
peuvent
se ramener aux
formes
s(l-S)
+
S(l-s)
0;
t<l-T)
+
T ( l - t )
0;
(1)
w(l-W)
..
W(l-w)
=
0;
~ ,;- i t
l
l
,
t: 1(j 1 1 l ' ! f l ! !; 't ' ~
le ; : • :"" ~ .•' Ir: t j
f·1
S<1IJS
quI':'
leur
siqnificatiun
l'II
SUit
dfftc·cté·c.
\\uu.':
rH.-'~J\\OflS
ij 0 n c
É' 1 j
i ne r i e s
s :,:m tlO 1 es.>: , :,', Z
U fi
à
u n
011
t 0 lJ S
;~
1a
f () i s .
Si
l'on
choisit
le
seCÙIJ(j
proU:·"dè.
i l
est
néc~"ssé1il-e. :lP,É'S
avoir
additionné
les
equations
du
système,
de
développer
ner,
et
d'égaler
à
0
le
produit
de
t.ous
1('s
coeff clPnts
des constituants
(VII .9).
Pu i sque
west
1e
s:-'mbo 1 e
don t
on
cherche
l'express ion.
l'on
peut
aussi.
d'aprés
Prop. I I I .chap.IX,
e:-:pr i mer
le
r('sul-
tat
de
l'élimination sous
la
forme
Ew •
E'<l-w)
= 0;
on
détermine
E
puis
E'
en
faisant
successivement,
dans
le
système général
(1)
1.0.'=1
et
I..'=O,
et
en
éliminant
les
symboles
x,y,z, . . . . .Ainsi
les
éqlations
uniques
à
partir
desquelles
on
doit
détermi-
ner E puis E'
deviennent:
.---.-
s( l-S).S( 1-s)+t( 1-T)+T< 1-t)+ . . . +l-W
0;
s(l-S).S<l-s)·t<l-T).T(l-t)·W
= O.
De
ces équations,
i l ' ne
reste
plus qU'à
éliminer x,y,z etc ..
et à
déterminer w en
effectuant
ensuite un développement.
<265>
Pour
effectuer
l 'él imination,
nous
pouvons,
s' i 1
en est besuin,
utiliser
les procédés de sirnplificatinll cjps F'lop.I
et
I l
chi
chap.IX.
13-
si
les
donné€'s,
outre
qu'elles
nous
infol'lTlf"IJt
ries
probabi 1 i tés des èvènemen t s.
ciE''''' a i en t
nous
i nd i quer- que 1que
exprimée
logiquement
.et
. équa t i on
ou
1es
éqUd t i ons
a j Ils i
formées devraient
figurer dans le système général.
PROPOSITION
IV.
14 -Sa i en t
données
1 es
probab i 1 i tés
d'un
systéme
que l -
çonq IH~)__ (j , é\\'én~men t s;
dpt ~ rm i n(~T
'par
u_ne
rrl_~JJ:'__0_(1~
9~lJf:'LaJ~
la probabilité conséquente ou dérivée d'un autre événement.
Comme
dans
la
Proposition
précédente.
soient
S.T.etc . . .
1es
événements
dont
les
probabi lités
sont
données.
W ce lui
dont
on
cherche
la
probabi 1 i té;
tous
ces
événements
étant
des
fonctions,
que
l'on
connait.
de
X,Y,Z,
etc ... Représen-
tons
les données comme suit:
Probabilité de S =p;
Probabilité de T
=q;
etc ... ,p,q,
etc...
étant
des
valeurs
numériques
connues.
Si
ensui te
nous
représentons
l'événement
composé
S
par
s.
T
par
t,
W
par
w,
nous
trouvons,
d' aprés
1a
propos i t ion
pcèc;.édente
W = A +
OB +
%
C +
1/0 D;
(2)
A.B.C
et
D
étant
des
foncttons
de
s.t.
etc . . . En
outre.
les
données (1) deviennent
Prob.s =P.
Prob.t
=q.
etc...
(3)
L'équation
(2)
se décompose pour donner
le système
w
A"
qC
o
O.
où
il
est
un
sl,nlboll:'
de
classe
irlc1efirJie
(VI.12).
Mais
puis-
que.
selon
les
propriétés
des
constituants
(V.Prop.III)
nous avons
A + B + C + 0
= 1.
la
seule
équation
du
système
précédent
peut
s'écrire
sous
1a
for-me
A
+
B
+
C
=l.
<266>
Si
nous
représentons
la
fonction
A+B+C par
V.
le sys-
tème
(4)
s'écrit:
w
A
+
qC;
v
1
Arrëtons
nous
un
moment
sur
ce
résul tat.
Puisque
V
est
la
somme
d'une
sèrie
de
constituants
formés
de
s.t.
etc . . . .
ce
symbole
représente
l'événement
composé
constitué
par
l es
événements
simpl es
exprimés
par
s. t.
etc...
Par
consé-
quent.
(6)
montre
que
l es
événements
expr i més
par
s, t.
etc.
et
dont
les
probabilités
sont
p,q,
etc ...
possèdent
ces
probabilités
non
pas
en
tant
qu'événements
indépendants.
mais
en
tant
qu'événements
soumis
à
une
certaine
condition
V.
L'équation
(5)
traduit.
de
la
même
manière.
\\.II
comme
une
combinaison conditionnée des mêmes événements.
Or.
d'après
le
Principe
VI.
la
manière
dont
nous
avons
eu
connaissance
de
la
relation
entre
les
événements
est
sans
influence
sur
la
façon
dont
i l
faut
l'utiliser.
une
fois
qu'on
l'a
eue.
Nous devons
raisonner
à
partir
de cette
con-
événements
s,t,
etc ...
comme
des
É'vérH::'ml:'rlt.s
slInplL's,
pou-
vant
entrer
dans
n'importe
quelle
combinaison,
mais
possé-
dant,
lorsqu'ils
sont
effectivement
soumis
a
la
condition
v,
les probabi1ités P.q.
etc ...
So i en t
a 10 r s
p',
q , , .
les
probabi 1 ites
correspondant
a
ces
événements
lorsque
la
restl'lction
V
est
levée.
D'aprés
la
Prop. 1 1
du
présent
chapi tre,
ces
quanti tés
seront
déter-
minées par
le système d'équations
(VsJ/lVJ=p,
(VtJ/(VJ=q,
etc ... ;
(7)
et
d' aprés
1a
Prop. l , l a
probabi 1 i té
de
l'événement
w,
sous
la méme condition V,
sera
Prob.
w =(A+cCJ/(vJ;
( 8 )
où
V
représente
1a
somme
des
const i tuants
de
V
dont
s
est
s
un
facteur,
et
(V
)
ce
que
devient
cette
somme
lorsque
s.
s
t , .
sont
remplaçés
respectivement
par
p' ,q' . . . . . La
cons-
tante
c
représente
la
probabi 1 i té
de
'événement
indéfini
q;
elle
est
donc
arbitraire
et
admet
n'importe
quelle
va-
' - - ' -
leur comprise entre 0 et
1.
On
remarquera
que
le;:;
valeurs
p' .q' ,etc ... ne
sont
détermi-
nées
à
part i r
de
(7)
que
pour
pouvo i r
ét re
rempl açées
dans
(8),
afin
que
Prob.w
soit
une
fonction
de
quantités
connues
p,q,
etc ... (267lIl
est
donc
évident
qu'au
lieu
des
lettres
p',q',
etc ... ,
nous
pourrions
en
utiliser
d'autres
comme
s,t,
etc ...
présentantles mémes significations ggan..1LLativ~.
Cl'
pf'océ(jè
paf'ticulier-
entraifierElÏt
simplement
un
ctlangement
de
signification
des
symboles
s,t,
etc ... qui
cesseraient
d'étre
logiques
pour
devenir
9,lLantitatifs.
Les
systèmes
(7) et
(8) s'écriraient alors
V /V=p .
vt/v=q etc ... ;
( 9 )
s
Prob.w
(A+cC)/V.
<l0)
En
utilisant
ces
équations.
il
est
seulement
nécessaire
de
déterminer.
à
partir
de
( 9 ) .
les
symboles
s.t.
etc . . .
considérés
comme
quantitatifs.
en
fonction
de
P.q.
etc . . . .
et
de
substi tuer
dans
(10)
l es
va 1 eurs
obtenues.
Il
est
clair
que
que
s.t.
etc ...• en
tant
qu'ils
représentent
des
y,
QLobabilités.
seront
des
fractions
proprement
dites
posi-
ti ves.
L'on
peut
écrire
le
système
(9 )
sous
une
forme
plus
symé-
trique:
v /p = vt/q .... =v.
( I l )
s
Ou
alors
écrire
ensemble
(9 )
et
<l0)
soUs- la
forme
d'un
système symétrique:
Vs/p = vt/q ... = (A +cC)/u
v
(12)
où u représente Prob.w.
15-
Reste
à
i nterprèter
la
constante
c
censée
repré-
senter
la
probabilité
de
l'événement
indéfini
q.
L'équa-
w = A + qC,
j
l ' (> \\/ P rIl' ITII ' rit
A
se
produit
ou
bien
l'évènement
C
en
l i31son
avec
l'évène-
ment
q.
l'événement
w se
produira.
et
seulement
dans ce
cas.
q
représente
donc
la
condition
pour
que,
si
l'événement
c
se
produi t,
l'événement
w se
produi Se.
Or
la
probabi l i t é
de
q
est
c.
Dés
lors.
c
13
probé:!t)i lite
que
si
l'é\\,'énement
C se produit.
l'événement w se produise.
Par conséquent.
d'après le Principe
I l .
c
= (Probabi l i t é
du
concours
de
C
et
de
w
) /probabi lité
de C.
<268>
Nous
pouvons
donc
déterminer
la
nature
de
cette
nouvelle
expérienc~dont i l
est
possible de déduire
la
valeur
effective
de
c.
Car
si
à
s.t,
etc ...
nous
substituons
dans
C
leurs
expressi ons
or i 9 i ne I l es
comme
fonc t i ons
des
événe-
ments
simples
x.y.z,
etc ... ,
nous
éc r" irons
l'expression
de
l'événement
dont
la
probabi 1 i té
consti tue
1 e
numér"ateur
de
c;
et
le
rapport
de
l a
fréquence
de
c et
événement
au
précéden t, détermi né
par
de
nouve 1 l es
observa t ions.
donnera
la valeur
de c.
L'on
remarquera
ici
que
la constante
c
n'ap-
paraIt
pas
nécessairement
dans
la
solution
d'un
problème.
C'est seulement
lorsque
les données ne suffisent pas à
déter-
mi ner
la
probabi litée
cherchée
que
cet
é l émen t
arbi t ra ire
se
présente;
et
i l
est
clair,
dans
ce
cas,
que
l'équation
finale
(2)
ou
(S)
nous montre comment
le déterminer.
Si
l'on
ne
peut
effectuer
la
nouvelle
expér"ience
qui
permet
de
déterminer
c,
l'on
peut
toujour's,
en
assignant
à
c
ses
valeurs limites a et
1,
déterminer
les limites de
la probabi-
lité de w.
Ce sont
Limite
inférieure de Prob.w =A/V.
Limite supérieure
=(A+C)/V.
I l
est
certain qu'entre
ces
limites,
l'on
trouvera
nécessai-
rement
la
probabilité
cherchée,
indépendamment
de
toute
nouvelle
expérience
n'allant
pas
radicalement
à
l'encontre
des expériences déjà effectuées.
Si
l ' expressi on
de
l'événement
C comporte
de
nombreux
cons-
tituants,
la valeur
logique de w étant de la
forme
w =
A
+
a/oc
.. a/oc,:> + et c ... ,
1
~
nous pouvons.
au
lieu d'avoir
comme précédemment
leur
somme.
présenter
la solution
finale sous la forme
<269>
Ici
c
=
probabilité
que
si
l'événement
Cl
se
produit.
1
l 'événemen t
w se
produ i se;
i 1
en
est
de
méme
pour
1es
au t-
res.
L'on
décidera
selon
des
-"-
raisons
de
commodité.
quelle
forme préférer.
16-
C'était
là
la
solution
théorique
complète
du
pro-
blême
proposé.
L'on
peut
ajouter
qu'elle
s'applique
éga-
1ement
au
cas
où
tous
1 es
événements
concernés
dans
son
libellé
sont
conditionnés.
Ainsi.
si
l'une
des
données
est
1a
probabi 1 i té
p
que
s i l ' événemen t
x
se
produ i t,
l ' événe-
ment
y
se
produise.la
probabilité
que
x
se
produise
n'étant
pas donnée,
nous devons poser
Pro~).x-
c
(une
constante an>l-
traire>
et
donc
Prob.
xy
",cp;
et
ces
deux
conditions
de-
vront
être
introdui tes
dans
les
données
et
uti 1 isées
selon
1a
méthode
précédemment
exposée.
De
plus,
s i l ' on
cherche
-à
déterminer
la
probabi 1 i té
que
si
un
événement
x
se
pro-
duit,
un
événement
y
se
produise.
la
solution
prendra
la
forme
Prob.
cherchée = Prob.
xy 1 Prob.x,
dont
1es
numérateur
et
dénomi nateur
devront
ètre
détermi nés
séparément,
selon
la méthode générale précédente.
17-
Les
résul tats
de
ces
recherches
nous
met tent
en
mesure
deformuler
une
règle
générale
pour
la
solution
de
questions de probabilités.
REGLE GENERALE.
l°cas-Tous les événements sont
inconditionnés
Ecr ire
1es
expressi ons
symbo 1 i ques
des
événemen ts
(jon t
1es
probabi 1 i tés
sont
données
ou
cherchées.
Egal er
ce I l es
de
ces
expressions
qui
concernent
des
événements
composés,
à
une
nouvelle
série
de
symboles
s,t.
etc ... dont
on
consi-
dère
Qu'ils
représentent
les
événements
à
l'expression
des-
Quels
on
les
a
égalés,
non
plus
comme
composés
mais
comme
simples.
Eliminer
dans
les
équations
ainsi
obtenues
tous
les
sym-
boles
logiques,
à
l'exception
de
ceux
exprimant
les
événe-
ments
s,t,
etc ... dont
les
probabilités
respectives
p,q,
etc . . . sont
donnt'!es,
ou
de· l 'événemen t
w don t
1a
protlab i 1 i t (>
est
cherchée;
déterminer
ensuite w comme fonction développée
de s,t,
etc ... sous la forme
W =
A + 0 B + %
C + 1/0 D.
<270>
Posons
A+B+C
=V,
et
Que
V
représente
la
somme
s
des constituants de v qui
contiennent s comme facteur,
vtcel-
le
des
constituants
Qui
contiennent
t
comme
facteur,
et
ainsi
de
suite pour
tous
les symboles dont
les probabiYités
sont
données.
Ensuite,
passant
de
la
logique
à
l'algèbre,
ècrivons les équations
Vs/p = Vt/Q = V,
(1)
Prob.w = (A+CC)/V;
(2)
â.
partir de
( l )
on détermine
s,t,
etc ... comme des
fonctions
de
P,Q,
etc ... ,
et
on
leur
substitue dans
(2)
ces valeurs.
Le résultat sera l'expression de la solution cherchée.
Ou bien,
on écriL le système -symétrique d'équations
Vs/p = Vt/q
=(A+CC>/U =V/1,
(3)
où u représente la probabi1 ité-eberchèe.
Si c apparalt dans la solution,
son interprétation sera
c
= Prob.Cw / Prob.C,
1
et cette
interprétation
indique de Quelle nature est
l'expé-
rience nécessaire pour découvrir c.
2 0
cas
Certains événements sont conditionnés
S' il
est
donnè
1a
probabi 1 i té
p
que
si
un
événement
X se
produi t,
l'événement
Y
se
produise,
et
si
la
probabi 1 Hé
dp
'an t écèden t
X
n'est
pas
donn('E'.
décomposer
1(1
propos i -
tion en ces deux suivantes:
Probabilité de X = c
Probabilité de XY = cp.
Si
ce
qu'on
cherche
est
1a
probabi 1 i té
que
si
l'événement
W se
produ i t,
l'événement
Z
se
produ i se,
déterm i ner
séparé-
ment,
d'aprés le cas précédent,
les termes de
la fraction
Prob.WZ /
Prob.W,
et
cette
fraction
sera
l'expression
de
la
probabilité
cher-
chée.
(271)
On
comprend
en
ce
cas
que
X, Y ,W, Z
peuvent
être
n'importe
quels
événements
comp osés.
Les
expressions
XY
et
WZ
représentent
les produits des expressions symbo liques
de
X
et
Y
ainsi
que
de
W et
Z,
formées
selon
les
règles
du calcul
logique.
La détermination
de
l'unique constante
c
peut,
dans certains
cas,
se
ramener
à,
ou
être
remplaçée
par,
la
détermination
d'une
série
de
constantes
arbitraires
c
,c
, ... selon
ce
1
2
qui
est plus commode,
comme on l'a déjà expliqué.
18-
L'on
a
établi
0.12)
qu'il
existe
deux définitions
différentes
ou
deux
manières
de
voir,
sur
lesquelles
on
peut
fonder
la
théorie
des probabilités:
l'une
a
un
rapport
plus
immédiat
au
Nombre,
l'autre
se
rapporte
plus
directe-
ment
à
la
Logique.
Nous
avons
donc
examiné
les
conséquences
découlant
de
la
définition
numérique,
et
avons
montré
com-
men t e l ) e
nous
mène
à
un 'j)oi nt
où
se
man i feste.
dans
tou te
son
évidence.la
nécessité
d'une
connection
avec
la
logique.
Nous avons
commencé
de
voir
la
nature
de
ce
lien;
et
aussi
de
quelle
manière
les
procédures
logiques
particulières
et celles.
plus familières.
de l'algèbre quantitative.
inter-
viennent
dans
la
même
méthode
générale
de
résolution;
cha-
cune
de
ces
façons
de
procèder
réal i se
son
object i f
propre
de sorte que l'on peut
les considérer comme complémentaires.
I l
reste
à
mener
l'étude
en
sens
inverse
et.
partant
d'une
définition
de
la
probabilité
où
la
relation
logique
inter-
vient
de
manière
plus
immédiate.de montrer
comment
la défi-
nition
numérique
en
découlerait.
et
comment
l'on
aurait
la
même
méthode
générale.
reposant
également
sur
l'un
et
l'autre
élément:
on
établirait
en
fait
cette
même
méthode.
mais simplement par une démarche différente.
Qu'entre
les
expressions
symboliques
du
calcul
logique
et
celles
de
l'algèbre
i l
existe
une
analogie
étroite.
c'est
un
fait
qu'on a
souvent -rappelé dans ce
traité.
On pourrait
même
dire
qu' e I l es
présent en t
une
communauté
de
formes
et.
à
un
degré
très
important.
une
communauté
de
lors.
A
une
seule
exception
près
pour
ce
second aspect.
leur
différence
n'est
que
d' i nterprétat ion.
Ai nsi
1a
même
expressi on
admet
une
interprétation
logique ou quantitative selon
la signifi-
cation
particuliére
que
nous
assignons
aux
<272>
symboles
qu'elle
contient.
L'expression xy signifie.
selon
le premier
. '
aspect,
un
concours
des ""évènements
repr'É'sentés
par
x
et
y;
selon
lesecond,
le produit des nombres ou quantités repré-
sentés
par
x
et
y.
Et
ainsi,
toute
expression
traduisant
un
événement,
simple
ou
composé,
peut
avoir,
dans
un
autre
système
d'interprétation,
une
signification
purement
quanti-
tative.
I l
se
pose
alors
la
Question
de
savoir
s ' i l
existe
un
principe
qui
fait
la
transition,
et
d'après
lequel
les
interprétations
logique
et
numérique
de
la
même
expression
symbolique
auront
entre
elles
une
connect
ion
intelligible.
c'est
à
cette
Question
Que
répondent
les
considérations
qui
suivent.
19-
Accordons
qu' i 1
ex i ste
un
sent i ment
comme
l ' espé-
rance, qu i
concerne
l'occurrence
des
événements.
et
qui
peut
connaltre
différents
degrés
d'intensité.
Accordons
aussi
que
ce
sentiment
d'espérance
accompagne
la
connaissance
que
nous
avons
des
circonstances dans
lesquelles
les événe-
ments
se
produisent,
et
quO i l
varie
avec
la
quantité
et
la
nature
de
cette
connaissance.
Alors,
sans
supposer
ni
sous-entendre
que
l'intensité
du
sentiment
d'espérance.
considéré
comme
une
émotion
mentale.
peut
faire
l'objet
d'une
mesure
numérique
précise,
i l
est
tout
à
fait
légi-
t ime
de
rechercher
s' i l
est
possi bl e
de
trouver
un
mode
d'évaluation
numérique
qui,
au
moins,
satisfasse
les
condi-
tions
suivantes:
la
valeur
numérique
qu'il
lui
attribue
augmente
lorsque
les
circonstances
qui
sont
connues
et
dans
~i_-·--
1esque Iles
un
èvénemen t
se
produ i t ,
semb 1l'nt
j ust i fier
une
espérance
plus
forte;
elle
diminue
lorsqu'elles
commandent
une
espérance
plus
faible;
elle
demeure
constante
lorsque,
visiblement.
elle commandent le même degré d'espérance.
Or
ces
condi tions
lA
au
moins
seron't
satisfai tes.
s1
nous
supposons
que
le
principe
fondamental
de
l'espérance
est
le suivant
les lois de l'expression de
l'espérance.
consi-
dérée comme un élément
numérique,
seront
les mêmes que pour
l'expression
de
l'événement
espéré
considéré
comme
un
élé-
ment
logique.
Ainsi.
si
0(X.Y.Z)
représente
un
événement
inconditionné quelconque se composant d'une manière ou d'une
autre.
des
événements
x.y,Z,
posons que
la
même
expression
0(X.Y,Z).
conformément
au
principe
précédent.
traduit
l'es-
pérance
de
cet
événement;
x, y. z
ne
représentant
donc
pl us
les
événements
simples
constituants,
mais
l'espérance
de
ces événements.
(273)
En
effet.
tout d·' abord
il
est évident que dans cette
hypotlèse.
1a
probab'i-l i té que
se produ1 se un événement
parmi
un ensemble d'evénements s'excluant mutuellement.
sera égale
â
la
somme
des
probabil 1 tés
respect! ves de' ces
événements.
Ainsi.
si
les
alternatives
en
question
sont
constituées
par n événements s'excluant mutuellement,
et dont les expres-
sians sont
0 l ( X , Y , Z ) ,
O
( X , y , z ) , . . . 0
( X , y , z ) ,
2
n
l'expression de ces alternatives sera
"1 ( x , y , Z )
+
"2 ( x . y . Z)
+
. . . , . .
"n ( x , y , z)
=
1;
les
symbo les
l i t téraux
x, y, z,
étant
des
symbo les
log i ques
se
rapportant
aux événements simples qui
composent
les trois
a.(t.e.rnqhvEt$:
et,
par
hypothèse,
l'expression de
la probabi-
lité que se produ i se
l'une de ces . e:Ut~r.f1 CLti-Ve.s est
" l ( X , y , Z l
+
O
(X,y,Zl
+ . . . +on(x,~/,Z).
2
où
x. y, z
représentent
les
probabi lités
de
ces
événements
simples.
Or
cette
expresion
s'accrolt,caeteris
partibus,
avec
l'accroissement
du
nombre
d' o\\tf.f~~tl"€.S-
en
jeu,
et
diminue
avec
la
diminution
de
leur
nombre;
ce
qui
est
con-
forme à
la condition établie.
En
ou tre, si
nous
partons
de
la
déf i n i t i on
hypothèti-
que
précédente
de
l a
mesure
d'une
probabi lité,
nous
serons
t!C:~!"f-
amenés.
so i t
par
une
inférence,
so i t
parce
que
des
étapes
successi ves,
que
nous
pourr i ons
peut -étre
dire
nécessa ires,
nous
l'auront
suggéré.
à
la
définition
numérique
déjà
éta-
blie.
Nous
sommes
tout
de
suite
amenés
à
reconnaître
l'uni-
té
(1)
comme
la
vraie
mesure
de
la
certitude.
Car
ilest
- ' -
certain qu'un événement quelconque x
ou son contraire
1-x
se
produira.
L'expression
de
cette
proposition
est
la
suivante:
X +
(l-X)
'"
l,
et
donc,
par
hypothése,
x
+
(l-x)
qu i
mesure
1a
probabi lité
1
de
cette
proposition
devient
la
mesure
de
lacertitude.
Mais
la
valeur
de
cette
expression
est
l ,
quelle
que
soit
la
valeur
particulière de x.L'unité,
ou
l,
est,
par conséquent.
selon
l 'hypothèse envisagée,
la mesure de la certitude.
~.~~ .
...).....:....
'" ,1~/.:;;;;,i~i:~j.,
soit,
en
second
lie4i
n
événements
s'excluant
mutuel-
lement,
mais
tous également
possibles;
nous
les
représente-
rons
par
t
,t , ... t
"
<274>
La
proposition
qui
affirme que
l
2
n
l'un
de
ces
événements doi t
se
produi re
sera
exprimée
par
l'équation
et
puisque,
lorsque nous passons aux probabilités numériques
conformément
au
raisonnement adopté dans
la
précédente sec-
tion,
la même équation reste
formellement
vraie;
et puisque
les probabilités t l , t z , ... t sont égales: nous avons
n
nt
1;
l
1/n;
et,
de
la même manière,
t
=
l/n,
t
=
1/n.
2
n
Supposons
alors
qu'on
demande
de
déterminer
la
probabi 1 i té
qu'un
événement
de
la série
partielle
t
,
t
se
pro-
l
z , ... t m
duise:
nous trouvons pour l'expression cherchée
l/n +
l/n " .jusqu'à m termes
m/n.
On
en dédui~·~ar conséquent,
que s'il
y
a
m cas favorables
à
l'occurrence de
certaines alternatives parmi
n
événements
possibles
et
également
probables,
la
probabilité
que
se
produise
ces alternatives
s'exprimera
par
la
fraction
min.
Or,
l'occurrence
d'un
événement
quelconque
pouvant
se
produire
de
manières
différentes
et
toutes
également
possibles,
est
réellement
équivalente
à
l'occurrence
d'une
alternative,
j
...,....,. ;.~....' ·'1
. ,',·t
.... l
c'est-à-dir'e
d'un
élément
d'un
ensemrJle
d'alternatives.Par'
conséquent,
la
probabilité
que
se
produise
un
événement
quelconque
peut
s'exprimer
comme
une
fraction
dont
le
nu-
mérateur
représente
le nombre de cas
favorables à
son
occur-
rence,
et
le
dénominateur,
le
nombre
total
de
cas
qui
sont
tous
également
possibles.
Or
c'est
là
la
définition
numéri-
que
rigoureuse
de
1a
mesure
d'une
probabi 1 i té.
Cet te
déf i -
nition
est
donc
contenue
dans
celle,
plus
spécifiquement
logique
dont
nous
avons
essayé
de
déterminer
les
conséquen-
ces.
20-
Des considérations qui
précèdent,
i l
apparaît
clai-
rement que
1°)
nous
pouvons
partir
de
la
définition
numérique
ordinaire
de
la
mesure
de
la
probabi 1 i té
ou
de
la
défini-
t i on
qu i
déterm i ne,
pour
cet te
mesure,
une
loi
qu i
en
as,
signe
la
valeur
de
manière
à
établir
une
identité
formelle
entre
1es
expressi ons
log i ques
(275,
des
événements
et
1es
expressi ons
al gébr i ques
de
1eurs
va 1 eurs:
nous
abouti ron-s--'-
au même système de résultats pratiques;
2°)si
l'on
prend
l'une
des
deux
définitions,dans
tou-
tes
ses
conséquences
et
par
1es
re 1at ions
qU' e I l e
fa i t
i m-
manquablement
intervenir,
elle
nous
mènera,
par
inférence
ou
par
suggestion,
à
l'autre
définition.
Pour
se
faire
une
idée
scienti fique
de
la
théorie
des
probabi 1 i tés,
i l
est
essentiel
de
considérer
ensemble
l'un
et
l'autre
principes.
dans leur rapport et leur dépendance mutuelle.
CHAPITRE 18 -
ILLUSTRATIONS ELEMENTAIRES DE LA METHODE
GENERALE EN PROBABILITES.
<276 > 1-
On
se
propo'se
i c 1 d' i Il ustrer.
par
des exem-
pIes
élémentaires,
la
méthode
générale
qui
a
été
démontrée
dans
le chapitre précédent.
On choisira surtout des exemples
Qui.
par
leur simplicité.
permettront une vérification rapi-
de
des
solutions
obtenues.
Mais
on
verra
apparaltre
des
i nd i cat i ons
concernant
une
catégor i e
supér i eure
de
probl è-
mes qui
seront
pleinement
examinés plus tard et dont
l'ana-
lyse
serait
incomplète
sans
l'aide d'une méthode distincte.
permettant
de
déterminer
quelles
conditions
sont
nécessai-
res
dans
les
données
pour
qu'elles
puissent
traduire
une
expérience
possible.
et
d'assigner
aux
solutions
finales
les limites correspondantes. On
examinera
de
manière
plus
détaillée
cette
méthode
et
ses
applic~Lons dans le prochain chapitre.
2-
EXI. -
La
probabi 1 i té
QU' il
tonne
un
jour donné
est
P.
la
probabi 1 i té qu t il
tonne
et, Qu'il
grêle â
la
fois
est
Q.
mais
on
ne
suppose
aucune
information
supplémentaire
concernant
la
relation
entre
les deux phénomènes du
tonner-
re
et
de
la
grél e.
On
demande
la
probabi 1 i té
pour
QU' il
grêle ce jour là.
Soit x représentant
l'événement -il
tonne.
Soit y représentant
l'évènement
-
il
grêle.
Alors
xy
représentera
l'événement
il
tonne
et
il
grêle;
et les données du problème seront
Prob.x = p,
Prob.xy = q.
puisqu'il
n'y a
ici
qu'un seul
événement composé xy,
posons,
conformément à
la régie,
xy = u.
(1)
Nos données deviennent alors
Prob.x =p,
Prob.u =Q;
(2)
et 1 'on demande de trouver Prob.y.
Or (1) donne
<277> y=u/X=UX+1/0 u(1-x)+O (1-U)X+O/O (1-u)(1-X).
D'où(XVII.17)
il
vient
V =ux+(l-u)x =x
V =uX'
x
'
u
'
et les équations Que donne
la RégIe Générale,
c'est-à-dire
v /p = V /q = v
x
u
Prob.y = (A+cC)!V
deviennent,
par
substitution,
et
en
remarquant
q~._ A=UX,
C=(l-U)(l-X),
et que V se ramène à X+(l-U)(l-X),
x/p = ux/q = X+(l-U)(l-X),
(3)
Prob.y =(UX+C(l-U)(l-X»)/(X+(l-U)(l-X»),
(4)
d'où
nous
déduisons
immédiatement,
par
élimination
de
x
et u,
Prob.y
q+ C(l-P).
( 5)
Dans
ce
résultat,
c
représente
la
probabilité,
inconnue,
t11
que
si
l'événement
(l-U}t(l-X)
se
produit,
l'événement
y
se
produise.
Or,
(l-u)(l-x)
(l-XY)( l-X)
l-x,
lorsqu'on
effectue
le
produit.
Donc
c
est
la
probabilité,
inconnue,
que s ' i l ne tonne pas,
il grêle.
La solution générale (5) peut donc s'interpréter comme suit:
-La probabilité qu'il
gréle est égale à
la probabilité qu'il
tonne
et
grêle.q.
plus la
probabilité
qu'il
ne
tonne
pas,
l-P.
multipliée par
la probabilité c que s ' i l
ne tonne pas.
il
grêle.
Le
raisonnement
ordinaire
vérifie
ce
résultat.
Si
c
ne
peut
être
déterminé
numériquement,
on
trouve
en
lui
assignant
les valeurs
limites 0 et
1.
les
limites sui-
~~ates pour Prob.y:
limite inférieure
q
limite supérieure
q
+
1
-p.
<278>EX
2-
On
a
deux
événements;
la
probabi 1 i té
que
l'un
ou
tous
les
deux
se
produisent
est
P.
et
celle
que
l'un
ou
tous
les
deux
ne
se
produisent
pas
est
q.
Quelle
"~st la probabilité qu'un seul de ces événements se produise?
Soient x et y les deux événements;
les données sont donc
Prob.xY+X(l-Y)+(l-X)y·= p.
Prob.X(l-y)+(l-X)y+(l-X)(l-y) =q;
Et on cherche
Prob.X(l-Y)+Y(l-X).
Ici
tous
les
événements
auxquels
nous
avons
affaire
sont
composés.
On pose donc
xy+x(1-y)+(1-x)y
= s.
X(1-y)+(1-x)y+(1-X)(1-y)
t.
X(1-Y)
+ (l-X)Y
= w.
Eliminant
x
et
y
et
faisant
de
w
une
fonction
développée
de s
et
t,
on trouve
w=
st+O s(1-t)+ 0
(1-s)t +1/0 ( l - s ) ( l - t ) .
O'où
A=st.
C
=0,
V=st+s(l-t)+(l-s>t
=
s+(l-s)t,
Vs=s.
Vt=t;
et
les
équatiopns
données
par
la
Règle
Générale
(XVII .17)
deviennent
s/p = t/q
= S+
(l-s)t,
Prob.w = st/s + (1-S)t.
d'où nous déduisons,
par élimination de s
et t.
Prob.w = p
+ q
-
1.
1
est
donc
1a
mesure
de
1a
probabi 1 i té
cherchée.
On
peut
vérifier
ce
résultat
de
la
manière
suivante:-
Puis-
que
p
est
la
probabi 1 i té
que
l'un
des
événements
ou
1es
deux
se
produ i sent,
1-p
sera
1a
probabi 1 i t~tru ' ils
ne
se
produisent
ni
l'un
ni
l'autre;
et
puisque q
est
la probabi-
l i t é
que
l'un
ou
les
deux
ne
se
produisent
pas,
l-q
est
la
probabi 1 i té
qu' i Is
se
produisent
l'un
et
l'autre.
Par
conséquent,1-p+l-q,
ou
2-p-q
est
la
probabilité
que
~us
les deux se produisent ou que ni
l'un ni
l'autre ne se produ-
ise.
Mais
le
seul
cas
possible
qui
reste
est
que
un
seul
des
èvénements
se
produise.
La
probabi 1 i té
de
ce
cas
est
donc
1-(2-p-q) ou p=Q-l comme ci-dessus.
''''''
(279)4-EX
3.-La
probabilité
qu'un
témoin
A
dise
la
vérité
est
p,.
la
probabilité
qu'un
autre
témoin
B dise
la
vérité est Q,
et
la probabilité Qu'ils
fassent
des déclara-
tions contraires est
r.
Quelle est
la probabilité pour Que,
s ' i l s disent la même chose,
leur déclaration soit vraie?
Soit x
l 'hypothèse Que A dit
la vérité;
y Que B dit
la véri-
té;
donc
l'hypothèse Que A et
B font
des déclarations cont-
raires
sera
x<l-y)
...
y<l-x);
l'hypothèse
Qu'ils
disent
la
même chose sera xy + <l-X)(I-y),
et
l'hypothèse Qu'ils
font
tous
deux
une
déc 1arat i on
vra i e
sera
xy.
Nous
avons
donc
les données suivantes:
Prob.x = p,
Prob.y = q, Prob. X(I-y)+y(l-x) =r,
et nous devons en déduire
Prob.xy/(Prob.xy+(l-X)(l-y»).
Mais
puisque
Prob.x( l-Y)
+ y( l-x)
r,
il
est
évident
Que
Prob.xy + (l-x)(l-y) sera l-r;
nous devons donc chercher
Prob.xY/l-r.
---"-
Vu
que
les
événements
composés
Qui
interviennent
dans
le
problème ont pour expressions X(l-y)+y(l-X) et xy,
posons
X(l-y) + y(l-x) .=
xy
0)
Nos
données
sont
alors
Prob.x
p,
Prob. y
Q,
Prob. s
r,
et
nous
cherchons
Prob. W.
Le
système
(1)
donne,
après
réduction,
(X(I-y)+Y(l-X»)
(l-s)
+s{XY+(I-x)(I-y)}+
XY(I-W)+W(I-xy)=O;
1
d'où
l'on
tire
IN
'" (X ( 1 - y) ( 1 - s )
+ y ( 1 - x) ( 1 - s)
+ sxy + S ( 1 - X) ( 1 - y)
+xy )
/2xy
-
1.
=1/0
xys+
XY(1-S)·0
X(1-y)S+1/0
X(l-y)(l-S)+O
(1-X)ys
+1/0
(l-X)(l-y)S +1/0 (l-X)y(l-S)
+ 0
(1-x)(1-y)(1-S).
(2)
( 280>
Dans
l'express i on
de
ce
dève 1 oppemen t .
le
coe f-
ficient
1/0 a
pour
fonction de
représenter
toute autre
for-
me qui
lui
est équivalente
(X.6).
Nous avons ici
v = XY(l-S)+ x(l-y)s +(l-X)ys + (l-X)(l-y)(l-s);
Donc,
passant de
la
logique à
l'algèbre nous écrivons
(xy(l-s)+X(l-y)S)/p
(xy(l-S)+(l-x)ys)/q
=(X(l-y)S+(l-X)YS)
/r = xy(l-s)+X(l-y)S+(l-x)ys+(l-X)(l-y)(l-S).
Prob.w=(xy(1-s»)/(xy(1-s)·x(1-y)S+(1-x)yS+(1-X)(1-y)(1-5»),
d'où nous dédui:sons immédiatement
Prob.w = (p+q-r)/2;
donc Prob.xy/1-r = (p+q-r)/2(1-r)
(3)
qui
est
la valeur cherchée.
Si,
de
la
même
manière,
nous
cherchon§....-.!a
probabi lité
que
si
A
et
B
font
la
même
déclaration,
celle-ci
soit
fausse,
nous
devons
remplaçer
la
seconde
équation
du
système
(1)
par celle-ci:
(l-x)(l-y)
w;
L'équation finale sera alors
W=1/0
xys+
O.xy(}-s)·O
x(}-y)s
1/0 x(}-y)(}-s)+
a
(}-X)ys
+1/0
(l-x)y(l-S)·
1/0(1-X)(1-y)s+
(l-X)(l-y)(l-S);
(4)
d'où nous déduisons.
selon
le méme procédé que
tout a l 'heu-
re
Prob.w
(Z-p-q-r)/Z.
(5)
Nous avons.
par conséquent
<Z81>Prob.(1-X)(1-y)/(1-r)
= (Z-p-q-r)/Z(1-r)
(6)
qui est
ici
la valeur cherchée.
Ces
résultats sont
compatibles
l'un avec
l'autre.
Car
puis-
qu'il
est
certain que
la déclaration commune de A et B doit
être
ou
vraie
ou
fausse,
les
seconds membres
des
équations
(3)
et
(5)
donnent
nécessairement
1
lorsqu'on
les addition-
ne.
Or nous avons bien
(p+q-r)/Z(1-r)
+ (Z-p-q-r)/Z(1-r)
= 1.
I l e s t
pro ba b 1e .
vu
1a
sim pli c i té des rés u 1ta t s
(5 )
et
(6).
qu'on
pourrait
les
déduire
facilement
en
appliquant
des
principes
connus;
mais
on
remarquera
qu'ils
ne
relèvent
pas
immédiatement
de méthodes connues.
Le
nombre de données
excède
celui
des
événements
simples
auxquels elles se rapp,q~~t
M.
Cournot.
dans
son
remarquabl e
ouvrage
Exposi t i on
de
1a
Théor i e
des
chances.
a
proposé.
pour
des
cas
comme
ce 1u i -
là.
de
choisir
dans
les
prémisses.
différents
ensembles
de
données.
chaque ensemble ayant
le même
nombre d'éléments
iMP\\'~S ~
que
celui
des
événements
simpl es
1es données;
de
supposer
que
ces
événements
si mpl es
sont
indépendants;
d'en
déterminer
séparément
les
probabilités
à
partir
de
chaque
ensemble
de
données;
et.comparant
les
différentes
valeurs
ainsi
obtenues
pour
les
mêmes
éléments.
de
juger
de
la
légitimité
de
l'hypothèse
selon
laquelle
les
événe-
ments
sont
indépendants.
Cette
méthode
ne
peut
être
val ide
que
lorsque
les
événements simples en question se
révèlent.
selon
le critère ci-dessus.
presque ou
tout
à
fait
indépen-
dan ts;
or
dans
1es questi ons
de
têmo i gnage
et
de
jugement.
on
peut
douter
qu'il
soit
bien
légitime de
faire
une
telle
hypothèse.
lorsque
l'on connalt d'expérience
le comportement
humain.
S-EX
4.-Des
observations
faites
lors
d'une
période
de
maladie
généralisée
ont
fait
apparaître
qu'en
choisis-
sant au hasard une maison dans un quartier donné.
il
y
avait
une
pro ba b i 1 i té
p
q u . e Ile
ait
con n u
des
cas
de
fièvre.
une
probabilité q
que
ce soit
le choléra et
une probabilité
r
qu'elle
ait
échappé
à
ces
deux
maladies
et
qu'elle
ne
connaisse
pas
de
mauvaises
conditions
d'hygiène
pour
ce
qu i
concerne
1a
propreté
et
l'aéra t i on. Que Ile est
1a
proba-
..~--'-
bilité
qu'une maison
quelconque.
prise au
hasard.
connaisse
de mauvaises conditions d'hygiène?
Pour
chaque maison.
assignons aux
symboles x.y.z
les signi-
fications suivantes:
<282> Pour le symbole x
les cas de fièvre.
y
"
choléra.
z
les mauvaises conditions d'hygiène.
Les
événements dont
les
probabilités nous sont données sont
donc
représentés
par
.x.y.
et
(]-XH]-y)(l-Z>.
J'événement
dont on cherche la probabilité est z.
Posons alors
(l-X)(l-y)(l-Z)
= w;
nos données sont donc
Prob.x =p,
Prob.y =Q,
Prob.w =r,
et nous devons trouver Prob.z.
Or
Z
= (1-X)(1-y)-W)/(1-X)(1-Y»)
= 1/0c xyw+ %
xy(l-W)+ 1/0 x(l-y)w+ %
X(1-y)(1-W)+
1/0 (l-X)YW+ O/O(l-x)y(l-W)+ a (1-X)(1-y)w+
(1-X)(1-y)
(1-w).
(1)
On en déduit Que la valeur de V est
( 1-w)
=l-W+W(l-X)(l-y);
Et,
réduisant
de
la
même
manière
VX,Vy'V
'
on
obtient
w
V
=
x( l-w),
V
= y(1-w),
V
=w(1-x)( 1-Y);
X
Y
w
ce Qui donne les équations algébriques
X(l-W)/p = y(l-W)/Q = W(1-X)(1-y)/r = l-w+W(l-x)(l-y).
(2)
Pour
les
termes
du
développement
dans
lesquels
apparaît
le
coefficient
a/a,
au
lieu
de
les
réunir
en
un
seul,
je
les mettrai,
pour changer (XVII.1B),
sous la forme
0/0 x(l-w)+ %
(1-x)y(1-W);
la valeur de Prob.z sera alors
<283>Prob.z
=(l-X)(1-y)(l-w)
+cx(l-w)
... c . ( 1- x) y ( 1 -w) J /
[1-""''''( l-X)( l-YJJ.
(4 )
De (2) et
(4)
nous tirons
Prob.z
(l-p-r)(l-q-r»)/(l-r)
+
cp
+
c'(q(l-p-r»)/(l-r>.
qui
est
l'expression
de
la
probabilité
cherchée.
Si.
dans
ce
résul tat.
nous
posons
c=O
et
c' =0.
nous - trouvons
comme
limite
inférieure
de
sa
valeur
(l-p-r)(l-q-r»)/(l-r);
et
si
nous
posons
c = 1.
C' = 1.
nous
obtenons
comme
1 i mite
supé-
rieure l-r.
6-Il
apparaît.
à
l'examen
de
cette
solution,
que
les
prémisses
choisies
étaient
par
trop
insuffisantes.
C'est
ce
qui
nous
est
indiqué
par
les constantes c
et
c',
et
les
termes
correspondants
(3)
de
l'équation
logique
finale
mon-
trent
comment
pallier
cette
insuffisance.
Ainsi,
puisque
X(l-w)
= X(l-(l-X)(l-y)(l-Z)} = x,
( l - X ) y ( l - w )
=
( l - X ) y ( l - ( l · - X ) ( l - y ) ( l - Z ) }
( l - X ) y ,
nous
apprenons
que
c
est
la
probabi 1 i té
que
si
une
mai son
que 1conque
a
connu
des
c~
de
fi évre,
e Il e
conna i sse
de
mauvaises conditions d'hygiène,
et que c ' e s t
la probabilité
que
si
une
maison
quelconque
a
abrité
des
cas
de. choléra
mais pas de fièvre,
elle connaisse de mauvaises conditions
d'hygiène.
si
l'on
avai t
réuni.
comme
dans
la
formulation
directe
de
la
RégIe
générale,
les
termes
du
dé"'eloppement
logique
af-
fectés
du
coefficient
a/a,
la
solution
finale
se
serait
présentée sous la forme~uivante:
t
i
Put
sque
lorsque
la
proposition
Y est
vraie,
la
proposition
_0-
X est
vraie
,il
est
nécessaire
et
suffisant
ici
d'exprimer
l ' idée
que
1e
temps
où
1a
proposi t i on
Y est
vra i e
est
un
temps où
la proposition X est vraie;c'est-à-dire une portion
indéfinie
de
la
totalité
du
temps
où
la
proposition
X est
vraie.
Or
le
temps
où
la
proposition
Y
est
vraie
est
y,
et
la
totalité
du
temps
où
la
proposition
X est
vraie
est
x.
Soit
v
un
symbole
de
temps
indéfini;vx
représente
alors
une
port ion
i ndéf i nie
du
temps
tota 1
x.
Nous
aurons
par
conséquent
y=vx
qui est
l'expression de la proposition donnée.
12-
Lorsqu'on
considère
ainsi
v
comme
un
symbole
de
temps
indéfini
,vx
peut
s'entendre
comme
représentant
la
totalité
,une
portion
indéfinie
ou
une
portion
nulle
du
temps total x;
en effet,
chacune de ces significations possi-
bles
peut
se
réaliser
comme
détermination
particulière
du
symbole
arbitraire
v.Ainsi,si
on
détermine
v
comme
un
temps
où
le temps x est
totalement
inclus,vx représentera
la tota-
li té
du
temps
x. Si
on
détermi ne
v
comme
un
temps
dont
une
pattie
est
<171>
comprise
dans
le
temps
x,
mais
sans
en
recouvrir
la
durée
totale
,vx
représentera
une
partie
du
temps x
. Si on détermine,enfin ,v,comme un temps sans commu-
ne partie avec
le
temps x,vx aura
la valeur
0 et
correspon-
dra à
"aucun moment" ou "jamais".
On
remarquera
que
la
proposition
"Si
Y
est
vraie,X
est
vraie" n'affirme rien de la vérité de l'une ou l'autre des
Pro t) . z
,{ ( 1 - P - r' ) ( 1 - q - r' ) J ;' ( 1 - r)
• c [ p • q - ( pq ) / ( 1 - r ) )
c
représentant
ici
la
probabilité
que
si
une
maison
a
été
touchée
par
l'une
ou
l'autre maladie
ou
les deux,
elle
con-
naisse
de
mauvaises
conditions
d'hygiène.
Ce
résultat
est
tout
à
fait
compatible
avec
le
précédent
et.
de
fait,
l'on
peut
établir
formellement
l'équivalence
néce?~ai[e
entre
1es
di f férentes
formes
de
so 1uti on
qu i
se
présentent
pour
ce genre de problèmes.
La
solution
ci-dessus
peut
se
vérifier
sur
des
cas
particul iers.
Si
on
prend
la
deuxième
forme,
l'on
a,
pour
C=1.
Prob.z
1-r,
qui
est
un
résultat
juste.
En
effet.
,
si
la
présence
du
choléra
oude
la
fièvre
indique
certaine-
ment, 284)
de mauva i ses
cond i t i ons d' hyg i ène,
1a
probab i 1 i té
qu'une
ma i son
conna i sse
de
mauva i ses
cond i t i ons
d' hyg i ène
sera
simplement
la
probabilité
qu'elle
ne
se
trouve
pas
dans
la
catégorie
Teprésentée
par
z.
qui
serait,
d'après
les
données,
1-r.
Vérifier
en
général
cette
solution
serait
sans doute difficile. --"-
Les
constantes
p,q.
et
r
de
cette
solution
sont
soumises
aux conditions suivantes:
p
+
r ~ 1.
q
+
r~.
1.
7-EX.S-
Etant
données
les
probabilités
des
prémisses
d'un
syllogisme
hypothétique.
trouver
la
probabilité
de
la conclusion.
Supposons que
le syllogisme.
réduit
à
sa plus simple
expres-
sion,
soit
Majeure:
si
la proposition Y est vraie,
X est vraie.
Mineure:
Si
la proposition Z est vraie,
y est vraie.
Conclusion:
si
la proposition Z est vraie.
X est vraie.
Supposons
que
1a
probabi 1 i té
de
1a
majeure
soi t
P.
ce Ile
de
la mineure q.
Les données sont
donc
les
suivantes
-
on
représente
la
pro-
posi tion
X par
x,
etc ... ,
et
on
pose
Que
c
et
c'
sont
des
constantes arbitraires-
:
Prob.y
c,
Prob.xy
cp;
Prob.z
c·.
Prob.yz
c'q;
et
il
nous faut en déduire
Prob.xy/Prob.z ou Prob.xy/c'.
Posons
xy = u. yz = v. xz = w;
en
procédant
selon
la
méthode
habituelle
pour
déterminer
w comme une fonction développée de y,Z,U et v
-les symboles
représentant
les
propositions
dont
les
probabilités
nous
sont connues -.
nous trouvons
w
uzvy+
0
u(l-z)(l-V)y+
o
(l-u)zvy+
O/O(l-u)z(l-v)(l-y)
+
o
(l-U)(l-Z)(l-V)Y+
0
(l-U)(l-z)(l-V)(l-y)+
les
termes
Qui
ont pour coefficient
1/0;
<285> passant de la logique à
l'algèbre,
l'on a
(uzvY+U(l-Z)(l-V)y)/cp
(uzvY+(l-u)zvY+(l-u)z(l-V)(l-Y»)/C'
=(uzvY+(l-u)zvy)/c'q
=(uZVY+U(l-Z)(l-v)y+(l-U)Zvy+(l-U)(l-Z)(l-V)y)/c
V.
où
v
uzvy+U(l-Z)(l-V)Y+(l-u)zvy+(l-U)Z(l-v)(l-y)+(l-u)
(l-Z)(l-v)y+(l-u)(l-Z)(l-V)(l-y).
La solution de ce systéme d'équations donne
Prob.w = c'pq + ac'(l-q).
d . 0 Ü Pro b . x y / c'
"
pq
+ a ( 1 - q )
qu i
est
1a
va 1 eur
cherchée.
Dans
cet te
expressi on.
1a
cons-
tante
arbi tra ire
a
est
1a
probabi 1 i té
que
s i l a
proposi t i on
Z
est
vraie
et
Y
fausse,
X
soit
vraie.
En
d'autres
termes,
c'est
la
probabilité
que
si
la
mineure
est
fausse.
la
con-
clusion soit vraie.
Cette
démarche
eût
été
considérablement
simplifiée
si
on
avait
supposé
la
proposition
Z
vraie.
pour
alors
chercher
la probabilité de X.
Les données eussent simplement été
Prob.y =q.
Prob.xy =pq;
d'où
on
aurait
déduit
Prob.x
pq +a <l - q ) .
I l es t é v ident
que
dans
les
conditions
présentes.
on
aurait
pu
adopter
cet te
man i ér.e-._de
procèder.
ma i s
on
a
préféré
dédu ire
1a
solution
en
appliquant
directement
et
inconditionnellement
la méthode.
Le
résultat
peut se vérifie.r par
le raisonnement
ordinaire.
et.
de
fait.
i l
n'est
pas
besoin
d'un
calcul
pour y
parvenir.
Les méthodes générales ont
tendance à
paraî-
tre
extrêmement
compliquées
lorsqu'on
les
applique
à
des
C3S
qui
demandent
le moins leur utilisation.
Remar-quons
que
la
m(>thode
ci
(Ü$US
peut
é~~alprnf.:>nr s'ap-
pliquer
au
syllogisme
catégorique.
et
pas
seulement
au
syl-
logisme.<286>
mais
à
toute
forme
de
raisonnement
déductif.
Etant
données
les
probabilités
respectives
des
prémisses
d'un
argument
Quelconque.
i l
est
toujours
possible • . par
la
méthode
précédente,
de
détermi ner
1a
probabi 1 i té
résul-
tante
qu'une
conclusion
légitimement
inférée
de
ces
prémis-
ses
soit
vraie,
I l
n'est
pas
besoin
de
rappeler
au
lecteur
que
la
vérité
et
la
validité
d'une
conclusion
sont
choses
différentes.
8-11
est
intéressant
de
noter
un
fait
tout
à
fait ~~m~~-
qOQ..We lorsque l' on procède à ce genre d' appl i cati ons. C'est
que
des
propositions
qui.
lorsqu'elles
sont
vraies.
sont
équivalentes.
ne
le
sont
pas
nécessairement
lorsqu'on
les
considère
seulement
comme
probables.
En
voici
une
i llustra-
tion.
EX.6-Soit
donnèe
la
probabilité
p
de
la
proposition
disjonctive
"Ou
la
proposition
Y
est
vraie,
ou
les
propo-==--._
si tions
X
et
Y
sont
toutes
deux
fausses";
on
demande
la
probabilité
de
la
proposition
conditionnelle
"Si
la
propo-
sition X est vraie.
Y est vraie".
Soient
x
et
y
représentant
respectivement
les
propositions
x
et Y.
Nous avons donc
Prob.y
+
(l-x)(l-Y)
=
P.
et
l'on
demande
d'en
déduire
la
valeur
de
Prob.xy/Prob.x.
Posons
y
...
(l-x) (l-y)
t.
0:
(1)
Eliminant Y.
nous avons
( l - x ) ( l - t )
= 0
d'où
x= %
t
+ 1-t;
en procédant de
la manière habituelle on trouve
Prob.x = 1-p+cp
(2)
où
ces t
1a
pro ba b i 1 i té
que
si
Y
est
v rai e
0 u
X
et
Y
f a Il s -
ses,
X soit vraie.
Cherchons alors Prob.xy.
On pose
xy
= w.
En éliminant y de
(1) et
(3),
on obtient
z(l-t)
=
0;
<287>
d'où,
en procédant comme ci-dessus,
Prob.z = cp,
où c
a
la même
interprétation que ci-dessus.
Par conséquent
Prob.xy/Prob.x = cp/(1-p+cp),
qui
est
la
probabilité
que
soit
vraie
la
proposition
condi-
tionnelle en question.
Or,
dans
la
science
de
la
logique
pure
qui,
comme
telle,
,
4
_
ne
s'occupe
que
du
vrai
et
du
faux,
les
proposi tions
dis-
jonctive
et
conditionnelle
qui
précèdent
sont
équivalentes .
.
Elles
sont
simultanément
vraies
et
simultanément
fausses.
Pourtan t
1e
probl ème
précédent
nous
montre
que
lorsque
1a
proposition
disjonctive
a
une
probabilité
p,
la
proposition
conditionnelle
a
une
probabilité
différente,
et
en
partie
indéterminée,
cp/(1-p+cp).
Néanmoins
ces
expressions
sont
telles
que
quand
l'une
devient
1
ou
0,
l'autre
prend
la
f!l~I!!S'~_\\:.Q 1eu r . Les rèsu 1 ta t s
son t
donc
pa r fa i t emen t
campa l i b 1es
et
la
transformation
logique
sert
à
vérifier
les
formules
déduites en théorie des probabilités.
Le
lecteur
prouvera
aisément.
par
une
analyse
similaire.
que
si
la
probabilité
de
la
conditionnelle
avait
été
P.
celle
de
la
proposition
disjonctive
aurait
été
l-C·Cp.
où
c
est
1a
probabi l i t é
arbi tra ire
que
1a
proposi t i on
X
soi t
vraie.
9-EX. 7. -Soi t
à
détermi ner
la
probabi lité
d'un
événe-
ment x
lorsque
l'on dispose de
la première ou de
la premiè
de-
re
et
la
seconde.
ou VIa
premiére
.la
seconde
et
la
troisiè-
me des données suivantes:
l°)La
probabilité
que
se
produise
l'événement
x.ou
bien
que
parmi
1es
troi s
événements
x. y, Z.
. 1"
l
1
SOI t
seu
à
ne
pas
se produire.
est p.
2°)La
probabilité
que
se
produise
l'événement
y: ou que.
parmi
les
trois
événements
X.Y.Z.
i l
soit
seul
à
ne
pas
se produire,
est q.
-'-
3 0 ) La
probabi 1 i té
que
se
produ i se
l'événement
z.
ou
que.
parmi
les
trois
événements
x,Y.Z.
i l
soit
seul
à
ne
pas
se produire.
est r.
SOLUTION DU PREMIER CAS.
On suppose
la première des données ci-dessus.
;288'
Nous avons donc prob.{x+(l-X)yZ}
= P.
et
i l
faut
trouver Prob.x.
Soit
X+(l-X)Yz = s;
éliminant yz comme si
c'était
!Hl
s~/rnt)lllC' uniquE',
Of!
()t>tiull
X(I-s)
=
0
d'où
X
= O/(I-s) = %
s
+ 0
(1-S).
d'où nous déduisons,
d'après la règle,
Prob.x = cp,
(1)
où
c
est
1a
probabi 1 i té
que
si
x
se
produ i t,
ou
bi en
est
seul
à
ne
pas
se
produire,
l'on
ait
le
premier
cas.
Les
limites de la solution sont,
à
l'évidence,
a et p.
L'on
voit
que
cette
solution
n'apporte
aucune
information
qui
ai Ile
au-delà
de
ce
que
le
seul
bon
sens
nous
aurai t
appris.
C'est
là,
toutefois.
tout
ce
que
l'unique
donnée
considérée
ici
nous
permet
d'inférer.
Dans
la
solution
qui
va
su ivre,
nous
verrons
comment
une
donnée
suppl émenta ire
restreint
les limites qui
encadrent le résultat
final.
SOLUTION DU SECOND CAS.
Ici
nous posons comme données
les équations
Prob.{x + (1-X)yz)
p
-'-
Prob.{y + (1-y)xz)
q.
Nous écrivons
X +
(l-x)yz
s,
y
+
(}-y)xz
t;
de
la
première
équation
nous
déduisons,
d'après
(VIII.7),
{X+(!-X)YZ}(1-S)
+ s{!-X-(l-x)yz)
=
0,
ou
(x
+ xyz)s + Sx(1-yz)
=
0;
--
pour
simplifier
nous
écr i \\Jons
x
à
la
place
de
(1-x>,
y
à
la
place
de
(l-y)
etc .•. Si
nous
remplaçons
l-yz
par
son
développement en constituants.
nous écrivons
1
une équation ne comportant que des terme1poSi t i fs.
<289>
De
la
même
manière.
nous· déduisons
de
la
secon-
de équati on.
(y+yxz)t + ty(xz+xz+xz)
= 0;
et
i l
nous
faut
éliminer
Y
et
z
de
la
somme
de
ces
deux
équations.
En
faisant
dans
cette
somme
y=1.
z=1,
on
obtient
le
résul-
tat s + t.
En
faisant
dans
la même somme
y=1.
z=O.
on obtient
le résul-
ta t
X5
sx ..
+
t.
En faisant dans la même somme y=O.
z=1.
on obtient
- - - .-
xs+sx+xt+tx
Et
enfin.
en
faisant
dans
la
même
somme
y=O,z=O,
on
trouve
- -
-
xs+sx+tx+tx,
ou XS + sx
+
t.
L'on
doit
multiplier
entre
elles
ces
quatre
expressions.
' - - ' -
On
peut
multiplier
la
première
et
la
troisième de
la maniè-
re suivante:
De
même.
le produit
de
la deuxième
et
de
la quatrième donne
d'après <IX.Prop.I)
xs +
-
sx.
(3)
Enfin,
la multiplication de
(2)· par
(3) donne
~oi
L'équation finale est donc
<l-s>x + s<l-t)<l-x)
= 0,
dont
la solution par rapport à x est
x
lS<l-t»)/ls<l-t)-<l-S»)
0/0 st+ s(l-t)+ 0 (l-s)t+ 0 <-1-S)(l-t),
<290,
et
en
traitant
cette
équation
d'après
la
règle,
nous
obtenons finalement
Prob.x = P(l-q)+ cpq.
(4)
où
c
est
la
probabilité que
si
l'événement
st
se
produit,
x
se
produise.
Or,
si
nous écrivons
l'expression développée
de
st
en
mul tipI iant
1 'une
par
l'autre
les
expressions
de
s et de t,
nous obtenons:
c
Prob.
que
si
x
et
y
se
produisent
ensemble,
ou
que
x
et
z
se
produi sent
ensembl e, y
ne
se
produi sant
pas,
ou
que
y
et
Z se
produisent
ensemble,
x
ne
se
produisant
pas,
l'événement x se produise.
Les limites de Prob.x sont à l'évidence,
P<l-q) et p.
Cette
solution
est
plus
déterminée
que
la
précédente
car
...--. -
elle contient
un
terme qui
n'est pas affecté d'une
constan-
te arbitraire.
SOLUTION DU TROISIEME CAS.
Les données sont ici
Prob.{x +
(l-X)yz)
p,
Prob. {y + (l-y)xz)
q,
Prob.{z +
(l-Z)xy)
r.
On
écrit
comme
précédemment
x
à
la
place
de
l-x,
etc ... ,
et on pose
x -+ -
xyz
S.
..
Y
-yxz
t .
z .. zxy
u.
En réduisant.
selon (VIII.8>.
il vient l'équation
Ensuite.
plutôt
que
d'éliminer
directement
y
et
z
de
cette
équation.
nous
poserons.
conformément
à
(IX.Prop.III>
que
le résultat de l'élimination est
Ex ..
E'(l-X)
=
0;
on
trouvera
E en
faisant
x=l
dans
l'équation
et
en
él imi-
nant
y
et
z
de
la
nouvelle
équation
ainsi
obtenue;
E'
en
faisant
x=O
dans
cette
même
équation.
et
en
éliminant
y
et
z
du
résultat.
Nous
avons
donc
tout
d'abord.
faisant
x= 1 .
et
en
fa~sant
successivement.
dans
le
premier
membre
de
cette
équation.
Y=l.Z=l.Y=l.Z=O.
etc . . . .
et
en
multipliant
entre eux les résultats obtenus.
nous aurons l'expression
qui
est équivalente à
(s .. t .. ù)(s-+t-+u) •
C'est
là
l'expression
de
E.
Nous
la
garderOns~ous cette
forme.
Nous
avons
déjà
vu
sur
un
exemple
(VllI.3)
qu'il
n'était pas nécesaire.
bien que cela soit commode.
de
rédui-
1..03
re
lie
telles
exp,-essions-
en
procèdé:l/lt
effectivem('lJt
a
Id
mul tipI ication.
Faisant ensuite dans (5)·x=0.
nous obtenons
à
partir
de
cette
expression.
par
le
même
procédé
d'élimi-
nation.
nous trouvons pour E':
Le
résultat
final
de
l'élimination
de
y
et
z dans
(5)
est
donc
O.
d'où nous tirons
ou encore, par développement du second membre,
x =0/0 stu+ 110 stu+
1/0stû+ stû+
110 stu+ 05tu+ a stû
+OstÛ.
(6)
Passant de la logique à
l'algèbre.
nous écrivons
- - --
( st u +st Ü ) 1p
(stu+stu)/r
stu+stu+stu+stu
+stu.
(7)
<292> Prob.x
(8)
Pour
si mpl i fier
ce
système
d' équat ions,
on
transforme
sis
en s.
t l t en t,
etc ... , et on pose ensuite que À est
stU+S+t+l. On a alors
Prob.x = (s+cstu)/À
(9)
avec
les relations
(stu+s)/p =(stu+t)/q =(stu+u)/r =stu+s+t+u+l
À.
( l a )
De ces équations on dédui
stu+s
~p,
(11)
stu+s
>,-t-U-1,
donc ÀP = À-u-t-1,
u+t = >'O-p)-l.
De méme u~s = \\(l-q)-l,
et s+t = À(l-r)-l.
De ces équations l'on tire
S=(À(l+p-q-r)-l)/Z,
t=(À(1+q-r-p)-1)/Z,
U=(~(1+r-p-q)-1)/Z.
OZ)
Or, d'après (10),
stu = ÀP-s.
En
substituant
dans
cette
équation
les
valeurs
de
s,t
et
u ci-dessus déterminées,
l'on obtient
((1+p-q-r)~-1){(1+q-p-r)À-1){(1+r-p-q)~-1)
= 4{(p+q+r-1)~+1),
(13)
et
cette équation détermine À.
Les valeurs de s,t et u sont
alors données par
(1Z),
et
leur substitution dans
(9)
comp-
lète la solution du problème .
-
....--~
<Z93>.10-
Ici
s'élève
une
difficulté,
celle-là
méme
que
l'on
a
voulu
bien
faire
percevoir
au
lecteur
en
trai-
tant
du
problème
qui
précède.
Comment
déterminer
la
racine
de
l' équati on
ci-dessus
qu' il
faut
prendre
pour
valeur
de
)...?
Nous
avions évoqué cette difficulté
au
début
du
présent
chapitre
et
nous
avions
indiqué
qu'un
examen
plus
poussé
lui
serait
consacré
dans
le
prochain;
c'est
de
cet
examen
que l'on tire les résultats suivants.
"
Pour
que
1es
données
du
probl ème
pu i ssent
se
dédu ire
d' une
expérience
possible,
les
quantités
p,q
et
r-
doivent
être
soumises aux conditions suivantes:
l+p-q-r 1. O.
l+q-p-r 1. O.
(14)
l+r-p-q
) O.
En
outre,
la
valeur
de
>..
uti 1 isée
dans
la
solution
généra-
le doit satisfaire aux conditions suivantes:
Ces
deux
séries
de
candi t ions
suffisent
à
1 imi ter
la
sol u-'
tian
générale.
L'on
peut
montrer
que
l'équation
principale
<l3)
ne
donne
qu'une
seule
valeur
à
>..
qui
satisfasse
à
ces
condi tions,
et
que
cette
valeur
de
),
est
celle
que
l'on
cherche.
Soit
}+p-q-r
le
plus
petit
des
trois
coefficients
de
À
ci-
dessus;
alors
l/<l+p-q-r)
sera
la
plus
grande
des
valeurs
au
dessus
de
1aque I l e
nous
devons
mon trer
que
>. prend une
valeur et une seule.
Ecrivons (13)
sous la forme
et appelons V le premier membre.
Posons ~ = l/(l+p-q-r). alors V devient
-4(p+q+r-l)/(1+p-q-r)+}l
= -4(2P/(}+p-q-r»).
qu i
est négati f.
<294>Soit À=oo.alors v est QQsttU et infini.
Par ailleurs.
2
2
.
(d V)/(d~ )=(1+p-q-r)(1+q-p-r){(1+r-p-q)~-1) +
des
termes
positifs semblables.
expression qui est positive entre les limites
.
A =1/( 1 + p-q - r) et ,\\ = 00.
si
.alors.
nous
construisons
une
courbe
dont
l'abscisse
est
mesurée
par .. >..
et
1es
ordonnées
par
V.
ce Il e-c i.
entre
les
limites
indiquées.
passera
d'en
dessous
de
l'abscisse
>..
au
dessus.
sa
convexi té
restant
di ri gée
vers
1 e
bas.
Par
conséquent.
elle
ne
coupera
l'abscisse
A qu'une
seule
fois
à
l'intérieur
de
ces
limites;
et
l'équation
(16)
n'aura
donc qu'une racine correspondant à
cette intersection.
Au
total.
la solution
est
exprimée
par
(9).
A étant
la
ra-
cine
de
(13)
qui
satisfai taux
condi tions
(15).
et
s. t
et
u
étant
donnés
par
(12).
L'interprétation de c
peut
se
dé-
duire de la manière habituelle.
Tout
cela
fai t
apparat tre
que
le
problème
est.
dans
tous
les cas.
plus ou moins indéterminé.
1
1
CHAPITRE 19- DES CONDITIONS STATISTIQUES.
<295 >1-
Par
cond i t ions stati sti ques
j'entends
1es
con-
ditions
qui
établissent
le
lien
entre
les
données
numéri-
ques. d'un
probl ème
de
sorte
qu' e Il es
pu i ssent
être
compa-
tibles
entre
elles:
ce
sont
donc
les
conditions
que
des
observa ti ons
sta ti sti ques
pOUrrc4\\e~t no~s Q,\\lO\\" fOY'" ~d '. Détermi -
ner ces conpitions est
un problème
important.
et
je voudrais
dans ce chapitre.
m'attacher à
le
résoudre.
au moins autant
que
l'exigent
les
objectifs poursuivis dans
le
présent
tra-
vail,
en
le considérant,
d'une part.
comme un objet
indépen-
dant
de
réflexion,
mais
de
l'autre
aussi
comme
un
complé-
ment
nécessaire
à
la
théorie
des
probabilités:on
l'a
déjà
qUelqU~eU montré.
On
peut
ainsi
formuler
la
nature
du
1 ien
qui
uni t
les deux
domaines:
Il
existe
des
exemples
nombreux
comme
cel ui
que
nous
avons
examiné
dans
le
précédent
chapitre,Ex.7,
où
la
solu-
tion
d'un
problème
en
théorie des probabilités dépend ulti-
mement
de
celle
d'une
équation
algébrique
de
degré
élevé.
Dans des
cas de
ce
genre,
le choix de
la bonne
racine doit
être
déterminé
par
certaines
conditions
ayant
trait,
en
partie
aux
valeurs
numériques
assignées
dans
les
données,
en
partie
à
la
nécessité de donner
des
limites à
la valeur
cherchée.
On
peut
parfois
découvrir
ces
conditions
par
le
1
seul
raisonnement.
Ainsi,
s ' i l
y a
une
probabilité
p
que
se
produ i se
un
événemen t A .
et
une
probabi 1 i té
q
que
cet
événement
A
se
produise
avec
un
autre
événement
B,
i l
est
évident que nous avons nécessairement
p 2. q.
Mais.
pour
déterminer· en
géQérQl
ce
genre
de
relations.
1 • on
a
beso·i n
d' une
méthode
parti cu 1 i ère.
que
nous
entre-
prenons d'établir.
En
tant
qu'elle
est
déduite
d'une
expérience
réelle,
la
probabi 1 i té
d' un
événement
est
1e
résul tat
d'une
procédure
d'approximation.
C'est
la
limite
du
rapport
entre
le
nombre
de
cas
où
l'on
a
observé
que
l'événement
se
produ i sa i t
et
le
nombre
total
de
cas,
également
possibles, <296'
qui
ont
été
observés
une
1 i mite
dont
on
se
rapproche
à
mesure
que
le nombre des observations augmente.
Posons que le symbo-
le
n,
lorsqu'il
est
préfixé
à
l'expression
d'une
classe
quel conque,
représente
1e
nombre
d' éléments
contenus
dans
cette
classe.
Par
exemple,
x
représentant
"hommes"
et
y
"êtres blancs",
posons
QX = le nombre des hommes
nxy = le nombre des hommes blancs.
nX(l-y)
=
le nombre des hommes non-blancs;
etc ...
con formément
à
cet te
notat i on
n (1)
représentera
1 e
nombre
d'éléments contenus dans
l'univers du discours.
et
n(x)/n(l)
la
probabilité
qu'un
être
quelconque,
choisi
dans
cet
uni-
vers d'ètres que dénote n<ll,
soit
un
homme.
Si
l'observa-
tion ne nous a pas permis de connaître
les valeurs complètes
den ( x )
et
n ( 1),
a 10 r s
1a
pro ba b i 1 i té
en
que s ti 0 n
est
1a
limite
de
n(x)!n(1)
lorsqu'augmente
le
nombre
des
observa-
tions successives.
De
1a
méme
mani ère,
si,
comme
nous
1e
supposerons en
géné-
ral
dans
ce
chapitre,
x
reprèsente
un
évènement
observé
d'un
genre
particulier,
n(x)
représentera
le
nombre
des
occurrences
de
cet
événement,
n( 1)
1 e
nombre
d'événements
observés (également probables)
de
tous genres,
et n(x)!n(l),
ou
sa
1 imi te,
la
probabi 1 i té
que
se
produi se
l' événement
x.
I l
est
donc
clair que
toutes
les
conclusions que
l'on
peut
tirer
concernant
les
rapports
entre
les
quantités
n(x).
n (y) •
n(l).
etc ... se
peuvent
transformer
en
conclusions
concernant
1 es
probabi 1 i tés
des
événements
représentés
par
x,y.
etc . . . . Ainsi. si nous trouvions une relation
n(x) + n(y)
( n(l).
qui
signifie
que
le
nombre
d'occurrences
de
l'événement
x
et
1e
nombre
d'occurrences
de
l'événement
y
sont.
pr i s
ensembl e.
mo i ndres
que
1e
nombre
n ( 1)
d'occurrences
possi-
bles.
nous pourrions en déduire la relation
n(x)!n(l)
+
n(y)!n(l)
< 1.
ou
Prob.x + Prob.y (
1.
<297>D'une
manière
génèrale,
les
relations
statistiques
1
comme
celle
là
seront
transformées
en
_re19tions
entre
les
probabilités
des
événements
auxquels
l'on
a
affaire,
en
substituant 1 à
n(l) et Prob.x à
tout
. symbole n(x).
3-
Nous allons donc.
tout d'abord.
chercher une méthode
pour
déterminer
les
relations
numériques
entre
les
classes
ou
les événements.
et plus particulièrement
les ilmites supé-
reure et
inférieure d'une valeur numérique.
Nous
allons.
en
second
lieu.
appliquer
cette
méthode
à
la
limitation
des
solutions
obtenues
dans
des
problèmes
de
probabilités.
Il
est
évident
Que
l'opération
Qu'effectue
le
symbole
n
est distributive.
Nous avons ainsi
n{XY+(l-X)(l-y)}
= nxy + n(l-x)(l-y)
nX(l-y)
=
nx - nxy.
etc ... Le nombre d'éléments contenus dans une classe Quelcon-
Que susceptible de se subdiviser en groupes ou parties dis-
tincts
est
égal
à
la
somme
des
nombres
d'éléments
de
ces
différentes
parti es. I l
est
évi dent.
par
a i Il eurs.
Que toute
expression
constituée
des
symboles
logiques
X.Y.
etc ...
peut
trouver
n'importe Quel
développement
ou expansion com-
patible avec les lois des symboles:
et dans ce cas,
le symbo-
le
n
pourra
être
accolé à
chaque
terme
du
résultat.
pourvu
Que
tout
mul tipI icateur
constant
Qui
viendrai t
à
Y
figurer
soit
pl acé
à
gauche
du
symbo 1 e
n'. la valeur du résultat
n'en
sera
pas changée.
Si
l'on
rencontre
l' expressi on n( 1),
1
t
1
, /~.
elle aura
le sens du nombre des éléments contenus dans l'uni-
vers.
Ainsi.
n(l-x)(l-Y)
= n(l-x-y+xy)
=n(l)-n(x)-n(y)+n(xy).
De même,
n{xY+(l-X)(l-y)}= n(1-x-y+2xy)
= n(l)
- nx - ny + 2nxy.
Dans
le
dernier
membre,
le
terme
2nxy
signifie
deux
fois
le nombre d'éléments contenus dans la classe xy.
4-
Nous
allons
maintenant
chercher
quelles
sont
les
limites
numériques
des
classes
dont
l'expression
logique
nous
est
donnée.
Pour
cet te
recherche.
1es
pr i nc i pes
sui-
vants seront d'une
importance capitale.
lO)Si
tous
les
éléments
d'une
classe
donnée
ont
une
pro-
priété x.
le nombre total
d'individus contenus dans
la clas-
se
x
<298>
se~
une
limite
supérieure
du
nombre
d'indivi-
dus contenus dans la classe en question.
2°)Une
limite
inférieure
du
nombre
d'individus
dans
une
classe
quelconque
y
sera
obtenue
en
soustrayant
une
1 imi te
--.-
supérieure de
la classe contraire
l-y du
nombre des
indivi-
dus contenus dans l'univers.
Pour
illustrer ces principes.
nous allons
les appliquer
au problème suivant:
PROBLEME-
Etant
donnés
nO).
n(x)
et
n(~l).
trouver
les
limites supérieures et
inférieures de n(x~').
1
Nos
données
son t i c i
1e
nombre
t j ' i nd i v i dus
contenus
dans
l'un i vers
du
discours.
1 e
nombre
d' i nd i v i dus
contenus
dans
la
classe
x
et
celui
des
individus
contenus
dans
la
classe
y;
et
on
demande
de
déterminer
les
limites du nombre d'élê-
ments
contenus
dans
la
classe
constituêe
des
individus
qui
appartiennent à
la fois à
x et à
y.
D'après
le
principe
1.
ce
nombre
ne
saurait
dépasser
celui
des individus contenus dans la classe x.
ni
celui
des indivi-
dus
contenus
dans
la
classe
y.
Sa
1 i mi te
supér i eure
sera
donc
la plus petite des deux valeurs n(x)
et n(y).
D'après
le
principe
I I .
une
limite
inférieure
de
la
classe
xy sera donnée par
l'expression
1
n(l)
-
limite supérieure d~"(X(l-Y)+Y(l-X).(l-X)(l-Y»)(1)
puisque
x<l-y)+y<l-x)+(l-x)(l-y)
est
le
complémentaire
de
la
classe
xv.
autrement
dit
ce
qui
lui- manque
pour
consti-
tuer
l'univers.
Or.
X(l-Y)+(l-x)(l-Y)
= l-y. Nous avons donc pour (1)
n(l)
-
1 imi te supérieure de!,,(l-y .y(l-x»)
n(l)-n(l-y)
---~-
-
limite supérieure d~tf(l-X~.
(2)
La
limite
supérieure
d~~f.v(l-x)J est la plus petite des deux
valeurs
n(y)
et
nO-x).
Si
n(y)
est
la
plus
petite.
alors
(2) devient:
n(l)-n(l-y)-n(y)
= n(l)-n(l)+n(y)-n(y) = O.
Mais si
n(l-x) est plus petite que n(y).
alors
limite supérieure de ny(l-x)
= n(l-x);
(2)
devient donc
(
1
299
Il ( 1 ) - TI ( 1 - Y )- n ( l - x )
n <
.c
1 ) - TI ( 1 ) + TI ( ~' ) - Il ( l ) + Tl ( X )
=nx+ny-n(l).
La
limite inférieure de nXy est donc ou bien 0 ou bien
n(x)+n(y)-n(l).
selon que n<y)
est
plus petite ou plus gran-
de
que
n(l-x);
ou.
ce
qui
est
une
condition
équivalente.
selon que n(x)
est plus grande ou plus petite que n(l-Y).
Or.
pu i sque
0
est
nécessa i rement
une
1 i mi te
in fér i eure
de
la
valeur
numérique
d'une
classe
quelle
qu'elle
soit.il
f
suffit.
pour
la
limite
inférieure
de
n(xy)
de
considérer
la seconde des expressions ci-dessus.
Nous avons donc
1
Li mit e
su pé rie ure
den ( x y )
la
plus
petite
des
valeurs
n(x)
et n(y)
Limite
inférieure de n(xy)
n ( x ) +n ( y ) - n~ ) li:
PROPOSITION 1.
5-Exprimer
les
limites
supérieure
et
inférieure
d'une
classe
représentée
par
un
consti tuant
quel conque
formé
des
symboles
X.Y.Z.
etc ...
étant
données
certaines
valeurs
1
de n(x).n(y).n(z).
etc ...
et n(l}.
.--'-
Prenons d'abord
le constituant xyz.
JI:
Cette
expression
de
la
limite
inférieure
de
nxy
est
ap-
pl iquée
par
le
Professeur
De
Morgan,
qui
semble
avoir
été
le premier à
la donner.
à
la forme syllogistique suivante:
La
pl upart
des
hommes
dans
une
réuni on
portent
des
man-
teaux.
La
plupart
des
hommes
dans
la
même
réunion
portent
des
gilets.
Donc
quelques
hommes
dans
la
réunion
portent
des
manteaux
et des gilets.
fl'11l!
Il
pst
évident
que
la
1 imi te
r1umÉ'rique
superieure
sera
la
plus petite des valeurs n(x).n(y).n(z).
La
limite
numérique
inférieure
peut
se
déduire,
comme
dans
le
problème
précédent.
mais
elle
peut
aussi
être
tirée
de
la solution de ce probléme.
Ainsi,
Limite
inférieure de n(xyz)
=
n(xy)+n(z)-n(I).
(1)
Or,
cela
signifie que
n(xyz)
est
au moins égale à
l'expres-
sion n(xy)+n(z)-n(l).
Mais n(xy) est au moins égale à
n(x)+n(y)-n(l).
Par
conséquent.
n(xyz)
est
au
moins
égale
à
n(x)+n(y)-n(l)+n(z)-n(l)
ou n(x)+n(y)+n(z)-2n(1).
<300> Nous avons donc
Limite inférieure de n(xyz)
=
n(x)+n(y)+n(z)-2 n(I).
En
poursuivant
cette
manière
de
raisonner.
nous
arrivons
aux conclusions suivantes:
lO)La
limite
numérique
supérieure
de
la
classe
représentée
par
un
constituant
quelconque
sera
obtenue
en
préfixant
séparément
n
à
chaque
facteur
du
const i tuant
et __e_n
prenant
la plus petite des valeurs ainsi obtenues.
2°)La
limite
inférieure
s'obtiendra
en
additionnant
toutes
les
valeurs
dont
il
est
question
ci-dessus
et
en
soustra-
yant
du
résul tat
autant
de
fois
~
.~:. ..
moins
une,
la
valeur de n(I).
Nous aurons donc ainsi
Limite
supérieure
de
n.xy<l-z)=
la
plus
petite
des
valeurs
nX,ny et nc 1-Z),
Limite
inférieure de nxy(1-z)
=
n(x)+n(y)-n(z)--n(l).
Lorsqu'on
emploi e
des
symbo 1es
généraux,
i l
est
peut -êt re
préférable de considérer
toutes
les valeurs n(xl,n<y>.
nO-z)
comme
des
limites
supérieures de n(xy<l-z)},
puisque.
de
fait,
cette
expression
ne
saurait
dépasser
aucune
de
ces
valeurs.
Dans
les
problèmes
qui
vont
suivre,
j'adopte-
rai
ce mode d'expression.
PROPOSITION II.
6-Déterminer
la
limite
numérique
supérieure
d'une
clas-
se
constituée
d'une
série
de
constituants
formés
des
svmbo-
les
x,y.Z,
etc ... ,étant
données
les
valeurs
de
n(x).n(y).
n(z),
etc ...
Ev i demmen t,
une
maniére
de
déterminer
cette
limite
sera i t
de
former
l a
pl us
peti te
somme
poss i b 1e
des
l i mites
supérieures
des
nombreux
constituants.
Ainsi
----', -
une
limite
supérieure de l'expression
n(xy
+
(l-X)(l-y)}
sera i t
obtenue
en
add i t i onnan t
1a
plus
peti te
des
va leurs
nx
et
ny,
données
par
le
premier
constituant,
à
la
plus
petite
des
valeurs
n(l-x)
et
nO-y)
données
par
le
second
const i t uan t .
Si
nous
ne
savons
1aque lIe,
dans
chaque
cas.
est
1a
pl us
pet i te
va leur,
nous
devons
trouver
1es
qua tre
Sl)mmeS
possibles
E't
rejeter
celles
qui
sont
f'gales
ou
supé-
rieures
8
n(1).
Ainsi,
dans
l'exemple
qui
précède,
nous
devrions avoir
<301>
n(x)
+ n(1-x)
= n(1),
n(x)
+ n(l-y)
n(1)+n(x)-n(y),
n(y>
•
n(l-x)
n( 1) +n(y)-n(x),
n(y>
+ n<1-Y)
n(l).
Rejetant
la
première
et
la
dernière
de
ces
valeurs,
nous
avons
n(1)+n(x)-n(y)
et n(l)+n(y)-n(x).
qu i
sont
les
expressi ons
cherchées,
l ' une
qu i
sera
(sau f
si
nx=ny)
moindre
que
n(1),
et
l'autre
plus
grande.
C'est
bien entendu,
la plus petite qu'il
faut
prendre.
Lorsque
deux
des
consti tuants
ou
pl us,
ont
un
facteur
com-
mun,
x
par
exemple,
ce
facteur
ne
peut
produire
-c'est
évi-
den t
d'après
le
Pr i nc i pe
1
qu'un
seul
terme
n(x)
dans
l'expression
finale
de
la
limite
supérieure.
Ainsi,
si
n(x)
apparaît
comme
une
limite
supérieure __ qans
deux
constitu-
ants
ou
plus,
nous
devons,
lorsque
nous
additionnons
ces
limites,
remplacer
nx
+ nx par nx etc . . . . Prenons par
exemple
l'expression
n{xy
+
X(l-y)Z).
Les
limites
supérieures
de
cette
expression,
que
nous
obtenons
immédiatement
par
addi-
tion,
seraient
1-
nx.
4- ny+nx.
2 -
nx +n ( 1 - y) .
5- ny+n(l-Y).
3- nx+nz.
6-
ny+nz.
On
n'aura
besoin
de
['etenir
que
la
pr'emière
et
la
sixième;
les
deuxième.
troisième
et
quatrième
étant
plus
grandes
que
la
première,
et
la
cinquième
étant
égale
à
nI 1).
les
limites
sont
donc
n(x)
et
n(y)+n(z);
et
entre
ces
deux
va-
leurs on
choisira
la
seconde,
en
supposant
qu'elle est moin-
dre que n(l).
Ces
considérations
nous
conduisent
à
formuler
la
Règle
sui-
vante:
REGLE.-Prendre
un
facteur
dans
chaque
constituant;
lui
préfixer
le
symbole
n.
additionner
les
termes
ou
résultats
ai ns i
obtenus
en
év i tant
toute
répéti t ion
d'un
mème
terme;
1a
somme
ai ns i
obt pnue
sera
une
l i mite
supér i elJre
de
l ' ex-
~ss ion.
et
la
plus pet i te
de
toutes
ces
sommes
est
à
con-
sidérer comme
la
limite supérieure
Ainsi
les limites supérieures de l'expression
xyz + X(l-y)(l~Z)
+ (l-X)(l-y)(l-Z)
seraient
<302>
n(x)+nO-y).
et n(x)+n(l-z),
ou
n ( x ) +n ( 1) - n ( y),
e t
n ( x ) +n ( 1) -R< _Z) .
Si
nous
commençions
par
n(y).
choisi
dans
le
premier
terme,
et
que
nous
prenions
n(x)
dans
le
second,
nous
devrions
prendre n(l-y) dans le troisième,
ce qui
donnerait
n(y)+n(x)+n(l-y),
ou n(1)+n(x).
Mais
puisque
ce
résultat
est
plus
grand
que
nO),
qui
est,
évidemment.
une
limite
supérieure
pour
n'importe
quelle
classe.
l'on n'a pas besoin de le prendre en compte.
PROPOSITION I l l .
boles X,y,z, 0.0'
étant donnés n(x),n(y),n(z),o .. ,n(l).
L'on
peut
y
arriver
en
appliquant
la
Proposition
précédente
et
le
Principe
II,
mais
i l
sera
préférable
d'employer
la
méthode suivante:
So i t
1a
somme
de
deux
const i tuants
que 1conques
qu i
ne
di f-
fèrent
que
par
un
seu 1
fac teur:
ils
formen t
donc
une
classe
ayant
pour
expressi on
un
terme
un i que
de
1a
man i ère
dont
x(l-y)
+
xy
donne
x;
on
a
procédé
autant
qu'on
le
pouvait
à
ce
ty'pe
de
regroupement,
c'est-à-dire
que
l'on
a
choisi
dans
1a
sèr i e
des
const i tuants
au tan t
de
sommes
de
cet te
nature
que
l'on
en
pouvait
effectuer.
chacune
comportant
autant
de
constituants
qu'il
était
possible
de
réunir
en
un
terme
unique;
l'on
ne
s'est
pas
inquiété.
ce
faisant,
de
savoi r
si
l'un
de
ces
const i tuants
entrai t
dans
la
com-
position
d'autres
termes;
et
l'on
a
écrit,
sous
la
forme
de
termes
distincts,
les
résultats
ultimes de
ces
regroupe-
.---'. -
ments
de
constituants
ainsi
que
ceux
qui
ne
pouvaient
en-
trer
dans
de
tels
regroupements
alors
les
limites
infé-
ri eures
de
ces
termes,
dédu i tes
con formément
à
1a
Prop. J ,
seront
les
limites
inférieures
de
l'expression,
et
parmi
elles une seule sera également positive.
c'est ainsi
qU'à partir de
l'expression
xy+(l-X)y+(l-X)(l-y)
nous
pouvons
former
les
sommes
y
et
1 -'
en
é.Hjc1 i t i orlrlan t
r-espec t i vemen t
1 es
~Jf'(c>rn i er
E:' t
s(Jcond
termes
d'une
part.
les
second
et
troisième
de
l'autr-e.
Par
conséquent.
n(y)
et
nU-x)
seront
les
limites
inférieures
de
l'expression.
De
la
méme
manière.
si
l'on
se
donnait
l'express i on
·303 )
( 1 - z ) ,
l'on
aurait,
par
addition
des
quatre
premiers
termes.
le
terme
unique
z,
par
addition
du
premier
et
du
cinquième.
le
terme
unique
xy.
et,
par
addition
du
quatrième
et
du
sixième,
le
terme
unique
<1-X)(l-Y);
i l
n'y'
a
pas
d'autre
manière
de
réunir
les
constituants
en
des
termes
uniques,
et
nul
constituant
n'aura,
de
cette
manière,
manqué
d'ëtre
pr i s
en
compte.
Les
tro i s
termes
rësu 1 tant
de
ces
regrou-
pements donneront
comme
limites
inférieures de
l'expression.
les valeurs
n(z),
n(x)
+ n(y)
-
n(l).
et
n(l-x)+n(l-y)-n(l).
ou n(l)-n(x)-n(y).
--'-
8-
La
preuve
de
la
règle
qui
précède
tient
en
l'appli-
cation correcte des principes suivants
lO)La
limite
inférieure
d'un
ensemble
quelconque
de
consti-
tuants
susceptibles
d'être
réunis
en
un
terme
unique
sera.
à
l'évidence.
la
limite
inférieure
de
ce
terme
unique.
Cela
expl ique
la première partie de
la règle.
2"'lLa
limite
infërieure
de
la
somme
de
deux
termes,
qu'ils
soient
des
constituants
distincts
ou
qu'ils
se
composent
de
constituants
distincts
non
additionnables,
sera
la
somme
de
leurs
JirniU's
1111er ipures
n>specti\\'C's
si
I>J!PS
Sl!!l!.
fou-
tes
deux
positives;
si
J'une
est
positive
et
J'autre
néga-
tive,
elle
sera
égale à
la seule
limite
inférieure positive.
En
effet,
si
on
lui
ajoutait
la
limite
négative,
la
valeur
de
la
1 imi te
diminuerai t,
autrement
di t
elle
serai t
moindre
pour
1 a
somme
des deux
termes que
pour
un
seu 1.
Or,
lorsque
deux
constituants
différent
de
plus
d'un
facteur.
et
qu'on
ne
peut
donc
effectuer
leur
somme,
leurs
limites
inférieures
ne
peuvent
être
toutes
deux
positives.
Soient,
par
exemple,
xyz
et
(l-X)(l-y)z,
termes
qui
différent
par
deux
facteurs;
la
limite
inférieure
(1u
premier
est
n(x+y+z-2).
celle
du
second n( l-X+l-y+z-2).
ou
1°)
n{x~Y-l-(l-Z)}.
2°) n{l-X-Y-(}-Z)}.
Si
n(x+y-l)
est
positif.
n ( l-X-Y)
est
négati f
et
la
seconde
valeur
est
nécessairement
négative.
Si
n(x+y-l)
est
négatif,
la
premiére
est
négative;
et
i l
en
va
de
même
pour
Jes
cas
où
i 1
i nterv i en t
un
pl us grand
nombre
de
fac teurs.
De
cet te
manière,
l'on
peut
montrer
que
selon
la
façon
dont
on
a
effectué
les
regroupements
de
termes,
<304>
en
appliquant
la
règle.
on ne saurait additionner deux
limites
inférieures
de
termes
di st i ne ts:
car,
ou
bi en
ces
termes
comporteront
un
constituant
commun,
et
dans
ce
cas
i l
est
évident
qu'on
ne
peut
additionner
leurs
limites
inférieures.ou
bien
leurs
limites
inférieures
ne
seront
pas
toutes
deux
positives,
et dans ce cas
leur addition serait
inutile.
PROPOSITION IV.
9-
Etant
donnés
Ips nombres çL'é1.~!lJ~I1ts
__~Q_nteJJJJ~l'espec
tivement
dans
des
classes
quelconques
s,t.
etc ...
définies
logiquement.
déduire
un
système
de
limites
numériques
pour
une autre classe w elle aussi
définie logiquement.
Puisque c'est
là
le problème
le plus général
que
le présent
chapi t re
a
pour
objet
d' exam i ner.
1es
consi dèrati ons
précé-
dentes
n'en
constituant
que
les
préliminaires.
et
celles
Qui
suivront
s'occupant
des
applications
résultantes,
i l
serait
nécessaire
d'en
indiquer
clairement
la
nature
et
1a
fi na 1 i té .
Lorsque
l'on
dit
des
classes
s.t ....• w.
qu'elles
sont
définies
logiquement.
on
entend
qu'elles
sont
définies
de
manière
qu'on
puisse
écrire
leurs
expressions
symboliques,
que ces classes soient simples ou composées.
Selon
la métho-
de générale de ce
traitè,
le symbole w peut
étre directement
déterminé comme
fonction développée des symboles s,t.
etc ...
sous la forme
w = A + 0 B + %
C +
1/0 D,
(1)
où
A,B,e
et
0
sont
formés
des
constituants ayant
pour
fac-
teurs
s,t,
etc., .L'on
verra
bientôt
comment,
à
partir
d'une
telle
expression,
l'on
peut
déterminer,
de
la
manière
la
plus
générale,
les
limites
numériques de w.
Pour
l'instant.
nous
voulons
seulement
montrer
jusqu'~ quel
point
les
prin-
cipes
exposés
dans
les
sections
précédentes
permettent
d'y
arriver;
une
telle
démarche
suffit
aux
objectifs de
ce
tra-
vai 1.
Pour
sirnpl i fier',
je
fer'ai
reposer
mon
argument.ation
sur le développement particulier suivant:
W = st+
0 s(l-t)+ 1/0 (l-s)t+ %
(l-s)(l-t).
(2)
dans lequel sont présents tous les types de coefficients.
Le
constituant
(l-s)(l-t)
qui
a
pour coefficient
%
-signi-
fie qu'une partie ou rien ou
la totalité de
la classe repré-
sentée
< 305)
par
ce
const i tuant
se
retrouve dans w.
Il
est
évident
que
n(w)
aura
la
valeur
numérique
la
plus
grande
lorsque tous les éléments de la classe représentée par
(l-s)(l-t)
se
retrouveront
dans w.
Par
ailleurs,
puisqu'au-
cun
des
éléments
contenus
dans
les
classes
représentées
par
s(l-t)
et
(l-s)t
ne
se
retrouvent
dans
w,
les
limites
numériques
supérieures
de
w
seront
les
mémes
que
celles
de la classe st+(l-s)(l-t). Ce sont donc
ns + n(l-t) et nt + n(l-s).
De
la méme maniére.
on
pourra
trouver un systéme de
limites
supérieures
pour
le
développement
A+OB+0/OC+1/0D
à
partir
de celles de A+C conformément à
la PT~p.II.
En
outre,
toute
limite
numérique
inférieure
de
w,
d'après
le Principe II, sera donnée par l'expression
n(l)- limite supérieure de n(l-w);
or,
le
développement
de
w étant
exprimé
par
(1),
celui
de
(l-w) sera évidemment
1-w
0 A+ B+ %
C+ 1/0 D.
On
peut
le
prouver
directement
par
la
méthode
qu'expose
la Prop.2,
chap.X.
Dès lors,
Lirni te
inférieure
(Je
n(w)-=
n(] > -
1 irni te
sU(H:..'rif:,ufe de
<8,C>
= limite inférieure de
(A+D)
d'après
le
Principe
I I ,
puisque
les classes A+D et
S"'C sont
complémentaires.
Ainsi
la
limite
inférieure du second membre
de
(2)
serait n(t);
en généralisant ce mode de raisonnement,
nous arrivons au résultat suivant:
Un système de
limites infèrieures pour
le développement
A ...
0
B ...
%
C ...
1/0 0
~onné par les limites inférieures de A... O.
Ce
résultat
peut
aussi
être
déduit
directement.
En
effet,
parmi
les
limites
numériques
inférieures,
nous
devons
cher-
cher
la plus grande.
Or,
en général,
nous trouvons une
limi-
te
inférieure
plus
grande
que
celles qu'on
pourrait
obtenir
autrement
en
réunissant
la
classe
D
<306>
et
la
classe
A
dans
l'expression
de
W',
plusieurs
exemples
logiques
nous
montrent
que
c'est
là
une
combinaison qu'il
nous est
permis
de faire.
Enfin,
puisque
le dernier
terme du développement
de W donne
l'équation 0=0,
il
est évident que n(D)=O.
Nous avons donc
Limite inférieure de n(O) ~O,
et cette équation,
traitée conformément à
la Prop.3,
indique
quelles
condi tions
sont
requises
pour
que
le
problème
cor-
responde
à
1 a
réa 1 i té
et
comprenne
dans
ses
données
les
résultats d'une expérience possible.
Ainsi,
à
partir
du
terme
1/0
<l-sH
dans
le
second
membre
de
<2>,
nous pouvons déduire
n(l-s)
+ n(t)
- n(l) ~ O.
donc
n(t) ~ n(s).
L'on peut réunir ces conclusions dans la règle suivante:
10-
REGLE.-
Déterminer
l'expression
de· la
classe
W
comme
une
fonction
logique
déyeloppée
des
symboles
~t..--
etc ...
sous la forme
w = A + OB + %
C + 1/0 D.
On aura ensuite
Limite SUp.w
limite Sup.A+C.
Limite Inf.w
Limite Inf.A+D.
et
les
conditions
numériques
nécessaires
auxquelles
~9_nt
soumises les données seront traduites par l'inégalité
Limite Inf.D ~ n(l).
Pour appliquer cette méthode à
trouver
les limites des solu-
tions aux
problèmes de pro~abilités. il
est seulement néces-
saire de remplacer dans chacune des formules n(x)
par Prob.x
n(y)
par
Prob. y.
etc ...
et
enfin
n( 1)
par
1.
L'importance
- ' - - ' -
d'une
telle
application
pourrait
toutefois
commander
de
formuler
comme
une
règle
les
principaux
résultats
obtenus
par ces transformations.
11-
Etant
données
1es
probabi 1 i tés
d'événements
que 1-
conques s.t.
etc ...
dont
un autre événement west une
fonc-
tion logique développée de la forme
w = A + a B + %
C + 1/0 D.
<307>
on demande de
trouver
les systèmes de
limites supéri-
eures
et
inférieures
de
Prob.w.
ainsi
que
les
conditions
3uxquelles sont soumises les données.
SOLUTION. -
Les
l imi tes
supérieures
de
Pnlb. (A+C)
et
les
limites
inférieures
de
pro~.(A+D) constitueront
les
sys-
tèmes
cherchés.
Les
conditions
liant
les
constantes
qui
figurent dans les données s'exprimeront dans l'inégalité
Limite Inf.
Prob.D ~ o.
Dans
l'application de ces principes
l'on a
toujours
- ( n - l ) .
Par ailleurs.
les limites
inférieures ne peuvent
être déter-
minées
qu'à
partir
de
termes
uniques,
qu'ils
soient
donnés
ou
bi en
obtenus
par
des
regroupements.
Les
l i mi tes
supér i-
eures
sont
comprises
dans
la
forme
~prob.x, Prob.x ne con-
cernant
que
des
symboles
di fférents,
pris
dans
des
termes
di fférents
de
l'expression
dont
on
cherche
la
1 imi te
supé-
rieure.
Les
limites
supérieures
de
Prob.
xyZ+X(l-y)(l-Z)
sont donc
Prob.x.
Prob.y+ Prob.(l-z)
et Prob.z+ Prob.(l-y).
Remarquons
que
si.
dans
le
dern i er
cas.
nous
av ions
pr i s
Prob.z
dans
le
premier
terme
et
Prob.(l-z)
dans
le
second.
une
combinaison
permise-.
nous
aurions
obtenu,
en
les
additionnant.
1.
ce
qui
eût
été
un
résultat
inutile
parce
que
nécessa ire
a
pr i or i.
I l
est
év i dent
que
nous
pouvons
ainsi
écarter
toutes
les limites qui
ne se situent pas entre
o et 1.
Appl i quons
cet te
méthode
à
l'Ex. 7.3 0 cas.
du
chapi tre
•
Ji:.
précédent.
La solution logiijue finale en est
les données étant
Prob.s = P. Prob.t
q,
Prob.u = r.
Nous
allons
chercher
à
la
fois
les
limites
numériques
de
x et les conditions qui
lient p,q,
et r.
<308>
Les
limites
supérieures
de
x
sont,
d'après
la
règle,
données par celles de stu+stu. Ce sont donc
p, q+l-r,
r+l-q.
Les limites inférieures de x sont données par celles de
slu + stü + stü + stu.
Nous
pouvons
regrouper
le
premier
et
le
troisième
de
ces
consti tuants pour
former
le
terme
unique st,
et
le deuxième
et
le
troisième
pour
former
su.
Les
limites
inférieures
de x doivent alors se déduire séparément des termes
s<i-t),
s(l-u>~ (l-s>tu. ce qui donne
p+l-q-l,
p+l-r-l.
I-p+q+r-2
ou
p-q,
p-r et-q+r-p-l.
Enfin.
les
conditions
liant
les
constantes
P.q
et
r
sont
données
par
les
termes
stu.
stu.
stu.
(j'où
l'on
déduit,
conformément à la règle:
p+l-q+r-2~O, p+q+l-r-2~O, I-p+q+r-2~ O.
ou l+q-p-r~o, l+r-p-q ~O.
l+p-q-r~O.
Ce
sont
là
les
conditions
restrictives
qui
interviennent
dans
l'analyse
de
la
solution
finale.
Les
condi tions
qui
indiquent
les
limites
de
êette
solution,\\ n'ont
été,
toute-
fois,
déterminées
qu'à
partir
de
l'exigence
que
les
quan-
tités
s,t
et
u
soient
positives.
On aurait
pu,
selon
toute
probabilité,
trouver
des
limites
plus
étroites
de
cette
quantité par la démarche qui
précède~
12-
L'exemple suivant
est
tiré d'un
problème
important
dont la solution sera donnée dans le prochain chapitre:
Soient données
Prob.x
Cl'
Prob.y
c
,
Prob.s
c P ,
Prob.t
c
2
1
1
2 P2'
ainsi que l'équation logique
z =stXy+stXy+stXY+Ost+l/O{stxy+stxy+stXy+stXy+stXy+stXY
+stXy+stXy+stXY};
<309>
l'on
demande
de
déterminer
les
conditions
liant
les
constantes
c
,c ,Pl,P2'
ainsi
que
les
limites
inférieure
l
Z
et supérieure de z.
Cherchons d'abord
les conditions
liant
les constantes,
En
nous
en
tenant
aux
termes
dont
les
coefficients
sont
1/0,
nous
écrivons
immédiatement,
par
le
regroupement
des
--'-
constituants,
les
termes
suivants:
S(1-X),
t(t-Y),syO-t),
tx( 1-s) ;
et
nous
ne
saurions
écrire
aucun
autre
terme
qui
ne
soit
déjà
un
de
ceux-là.
Les
conditions
liant
les
constantes
sont donc
n(s)+n(l-x)-n(l) ~O,
n(t)+n(l-y)-n(l)~O,
n ( s ) +n ( y ) +n ( 1- t ) - Zn (f~, ~0,
n(t)+n(x)+n(l-s)-Zn(l) ~O.
Remplaçons
n(x)
par
cl'
n( y)
par
c
'
n(s)
Z
par
cl Pl'
n(t)
par
c P
et
n( 1)
par
1 :
i 1
vient.
après
Que 1Ques
pet i tes
2 2
réductions.
ClPl~Cl' c zPz ~c2' clPl~1-CZ(1-PZ)' cZP2~1-cl(1-Pl)'
Ce sont donc là les conditions cherchées liant les constantes.
Par
ailleurs.
les
limites
supérieures
de
z
sont
celles de
l'expression
stXY+S(1-t)X(1-y)+(1-s)t(1-X)y;
Qui,
10rsQu'on se rappelle les conditions n(s)~n(x) et
n(t)~n(y) déterminées ci-dessus. seront donc
n(s)+n(t).
n(s)+n(l-x).
ou.
1-C 0-
)
1
P 1
n(t)+n(l-y).
ou,
1-C (1- P 2)·
2
Enfin~ pour établir
les limites inférieures de z.
nous écri-
vons
immédiatement.
à
partir des constituants dont
les coef-
ficientS.ft0nt
1 ou
1/0.
les termes uniques s
et
t;
et aucun
autre
terme que
ceux-là ne
peut être
trouvé
<310>
ou
formé
par
regroupement.
Par
conséquent.- nous avons pour
les
limi-
tes inférieures de z les valeurs c1P1 et c
.
2 P2
13-
Il
faut
remarquer Que
la méthode exposée ci-dessus
ne
donne
pas
toujours
1es
1 im i tes
1es
pl us
étro i tes
QU' il
soit
possible de
trouver.
Mais.
en
tous
les cas.
elle donne
des
limites suffisamment
restreintes.
à
mon avis.
aux solu-
tions des problèmes qui se posent en théorie des probabilités
-. t
Le
problème
pour
déterminer
les
limites
jes
plus
étroites
de
l'extension
numérique d'une
classe
peut,
cependant.
tou-
:0:
jours
se
ramener
à
une
forme
purement
algébrique.
Ai ns i .
reprenant 1 'équation
W = A+O B+O/O c+l/0D,
posons que
la plus grande des
limites numériques
inférieures
de
west
donnée
par
la
formule
an(s)+bn(t)+ ... +dn(l>.
où
a,b.c . . . . d
sont
des
constantes
numériques
à
déterminer.
et
s,t,etc ...
les symboles
logiques qui
forment
les consti-
tuants A.B.C.D.
Donc
an(s)+bn(t)+ ... +dn(l)=
limite inférieure de A sous la condi-
tion 0=0.
Si
alors
nous
développons
la
fonction
as+bt+ ... +d.
et
que
nous
écartons
du
résultat
tous
les
constituants
figurant
dans
D.
les
coefficients
de
ceux
des
autres
constituants
se
trouvant
éga 1ement
dans
A ne
devra i ent
pas,
séparément,
excèder
la
valeur
1.
et
les
coefficients
de
ceux
qui
ne
se
trouvent
pas
dans
A ne
devra i ent
pas
excéder
1a---va 1eur
O.
Nous aurons donc
une série d'inégalités de
la
forme
f~l,
et
une autre série de
la
forme
g~O,
f
et g étant des
fonc-
tions linéaires de a,b.c,
etc ...
:0:
Je regrette d'avoir perdu un manuscrit.
écrit
il
y a envi-
ron
quatre
ans,
où
cette
méthode,
me
semble-t-il,
avait
été trés longuement exposée.Mon souvenir du contenu du manus-
cri t
tient
presque
tout
à
l' impression
que
le
principe
de
la
méthode
était
le
même
que
celui
exposé
ci-dessus,
et
qu'il
avait
été
prouvé suffisant.
Les méthodes précédemment
exposées
dans
ce
chapi t re.
est - il
beso inde
1e
dire,
sont
plus faciles bien que certainement moins générales.
Par-
conséquent,
1("s valeuf-s cie a,b, .... lj qui,
tout
en
s<éJlis
,.c"
faisant
les conditions ci-dessus.
donnent a la fonction
an (s) +bn (t) + ... +dn ( n
sa valeur
la plus grande,
doivent ètre déterminées,
et cette
plus
grande
valeur
<311>
sera
la
plus
grande
limite
infé-
ri eure de w.
A la précédente
nous pouvons ajouter
1es
re 1a-
tions
,que
l'on établit de
la méme manière,
pour déterminer
les rapports entre les constantes données n(s),
n(t) ... n(l).
14-
L'exemple
qui
va
suivre
-
il
est
un
peu
complexe-
montrera
comment
limiter
une
solution
lorsque
le
problème
comporte
un
élément
arbitraire
ce
qui
en
fai t
donc
le
type
d'une
catégori e
de
probl èmes
dont
1 es
données
concor-
dent mais dont
les quaesita sont trés variables.
PROBLEME.- Pour n événements xl'
x z ' .. ,x ' on a les infor-
n
mations suivantes:
1 0 ) La
pro ba b i 1 i té
que
l'évènement
se
produise
ou
bien
Xl
qu'aucun des événements ne se produise est Pl'
ZO)
La
probabi 1 i té
que
l'événement
X z se produ i se ou bi en
qu'aucun
des
événements
ne
se
produise
est
PZ'
Et
ainsi
de suite pour les autres ...
On
demande
de
trouver
la
probabilité
d'un
événement
unique
ou d'une combinaison d'événements que traduit
la forme
fonc-
tionnelle générale 0(X ,X " .x ), ou 0.
l
Z
n
Adoptant
une
notat i on
déjà
employée,
on
écr i t
1es
données
du problème
et
l'on cherche prob.o(x1 ... x
>.
n
On pose. de manière générale.
x +
r
Xl' .. Xn =
Cl>
o = w.
(2)
On obtient alors comme équation logique générale du problème
2:"{(X
+X
. . . X )5 +S (x -x ... x )}+0W+W0 = O.
(3)
1
1
n
r
r
r
1
fi
Dans cette équation nous devons éliminer les symboles Xl •...
X
'
et
déterminer
w comme
une
fonction
logique
développée
n
de sI'"
sn'
Ecrivons le résultat de cette élimination sous la forme
Ew +
E'(1-w)
= 0;
alors E sera le résultat de
l'élimination des mêmes symboles
dans l' éQuati on
~ {(x +xl •.• x )5 +s (x -xl ... x )}+1-0
O.
(4)
r
n
r
r
r
n
Alors E sera le produit des coefficients dé tous les consti-
tuants
( 1 • on
considère
les
<312>
qui
figurent
dans
le
développement
du
premier
membre
de
cette
équation.
Par ailleurs.
0.
et donc
1-0.
seront
formés d'une
--~-
série
de
consti tuants
du
même
type
ayant
pour
coefficients
respectifs
l'unité.
Pour
déterminer
les
types
des
coeffi-
cients
figurant
dans
le
développement
du
premier
membre
de
(4).
il
sera commode de
1es considérer dans
l' ordre sui-
vant:
1°)Les
coefficients
des
constituants
Qui
figurent
dans
1-0.
Le
coefficient
de
s' i 1
se
t r"ouve
dans
0.
3°)
Les
coefficients
des
constituants
qui
figurent
dans
o à
l'exception dt$COnstituantsx1,
x
, .. x
'
2
n
Cette classification est manifestement exhaustive.
Donc,
tout d'abord:
le coefficient de
tout constituant
figu-
rant
dans
1-0 sera,
dans
le développement du
premier membre
de (4). de la· forme:
1+ des termes positifs tirés de~.
On
pourra
donc
remplacer
tout
coefficient
de
ce
genre
par
l'unité ( Prop.I,
chap. IX).
Deuxièmement:
le
coefficient
de
s' i 1
fi gure
dans
Xl' . . X n '
0,
sera,
dans le développement du premier membre de
(4)
Troisièmement:
le
coefficient
de
tout"
autre
constituant,
x.
l ' . ,x
,
figurant
dans
",
sera,
dans
le dévelop-
1+
n
pement du premier membre de (4),
5 ",+5.+S. l,,"ts ,
1
1
1 +
n
On
le voit.
E est
le produit de tous les coefficients déter-
minés
ci-dess.us;
mais
puisque
les
coefficients
des
consti-
tuants
qui
ne
fi gurent
pas
dans
0
se
ramènent
à
l'un i té,
E
peut
être
considéré
comme
le
produit
des
coefficients
des
constituants
figurant
dans
0,De
la
manière
dont
sont
formés
ces
coefficients,
nous
déduisons,
pour
déterminer
E,
la règle suivante:
dans
chaque
constituant
fi gu r'an t
dans
n.
sauf
remplacer
xl
par
SI'
X
par-
SI
etc .. _
et
add i t i armer
les
1
résultats
obtenus;
pour
le
constituant
XI' X
' .. x
s' i 1
Z
n '
figure
dans
o.
le
remplacer
par
s1+s2"
.+sn;
le
produit
de toutes ces sommes est E.
Pour
trouver
E'.
nous
devons.
dans
(3),
poser
w=O
et
éliminer
x 1 '
X?' • • x
de
l'équation
ainsi
réduite.
Cette
...
n
équation sera
2(Xr+X1 .. ,+xn)Sr+sr(Xr-X1 ... xn)}+12J
= O.
(5)
<313>
Donc
E'
sera
formé
des
constituants
figurant
dans
1-0,
c'est-à-dire
des
constituants
qui
ne
figurent
pas
dans
121,
de
la méme manière que E est
formé des constituants appa-
raissant dans o.
Prenons ensuite l'équation
Ew +
E'(I-w)
=
O.
Elle donne
w =
E' /(E' -E).
(6)
Or
E
et
E'
sont
des
fonctions
d~~._symboles s1,s2"
.sn'
Le
développement
qui
donne
la
valeur
de w sera donc
l'ensemble
des
constituants
que
l'on
peut
former
avec
ces
symboles,
munis
des
coefficients
que
leur
attribue
la
règle
de
déve-
loppement.
En
outre.
E
et
E'
sont
chacun
1e
produ i t
de
facteurs,
et
l'un
et
l'autre
ne
peuvent
s' annu 1er'
que
si
l'un
des
fac-
teurs
qui
le
constituent
s'annule.
Or
un
facteur,
s1+' .+sn
par
exemple,
ne
peut
s'annuler
que
quand
tOIlS
les
tel'mes
dont
i l
est
la
somme
s'annulent
ensemble,
puisque.
dans
1 e
déve 1 oppement.
nous
ne
donnons
à
ces
termes
que
1 es
va-
1 eurs
0
et
1.
1 1
est
éga 1 ement
év i dent
que
deux
fae teurs
différents ne
peuvent
s'annuler
ensemble.
Ainsi
les
facteurs
.-
-
sl ... s..., ......... s
et
ne
peuvent
s'annuler
simulta-
.:..
n
nément,
car
le
premier
ne
s'annule
que
si
5 =0,
c'est-à-
1
dire
s =1'
1
•
mais
le
second
ne
peut
s'annuler
que
si
Cherchons tout d'abord le coefficient du constituant
SlS2"
.sn dans le développement qui
donne la valeur de w.
Supposer
en
même
temps
5 =1,5 =1 ... Sn=l,
annulerait
le
fac-
1
2
teur
sl ... s2 ...... +sn
s ' i l
devait
figurer
dans E ou
E';
et aucun
autre
facteur,
dans
la
même
hypothése,
ne
s'annulerait;
mais
n'apparaît
comme
facteur
ni
dans
E
ni
dans
E';
par
conséquent,
aucune
de
ces
quant i tés
ne
peut
être
nulle.
Et
donc
l'expression
E'/(E'-E)
n'est
ni
l ,
ni
0,
ni
0/0.
C'est
la
raison
pour
laquelle
l'on
peut
écrire
1/0
le
coef-
dans
le
développement
qui
donne
la
valeur de w.
En
second
lieu.
nous
chercherons
le
coefficient
du
consti-
<314>
annuleraient
le
facteur
Or
ce
facteur
figure
dans
E
et
pas
dans
E'
lorsque
0
comporte
à
la
fois
les
constituants
X
X
·· .x
et
x1~2"
.x
·
Dans
ce
cas
donc
E' /(E' -E)
devient
1 2
n
n
E'/E t
ou
1.
Le
facteur .s1+s2+ ... +sn
figure
dans
E'
et
pas
dans
E
si
'"
ne
contient
ni
le
constituant
Xlx
.. ,x
ni
le
Z
n
- -
constituant xlxZ",x
'
Alors.
dans ce cas.
E'/(E'-E) devient
n
O/-E
ou
O.
Enfin.
le
facteur
sl"s2+'"
+sn
figure
aussi
bien
dans
E
que
dans
E'
si
l'un
des
const i tuants
x 1X2' .. x
et
n
X
X
.. ,x
se trouve dans 0
et pas l'autre.
Alors
1 Z
n
E'/(E'-E) devient 0/0.
Le
coefficient
du
constituant
slsZ"
.sn
sera
donc
1,
0
ou
0/0,
selon
que
0
contient
à
la
fois
les
deux
constituants
- -
-
et
x 1x?
_
. Xn , _~o,-"u:.-,-"ao-:u=.cc=u~n,----~d,-"e~s,,-.-:d=.ce=uo=..;x,-,,~--=o,--,u=--_u=n_=d=e=s:.---=d"-,e,,-,u=x,-,,
sans
l'autre.
Enfin.
i l
s'agit
de
déterminer
le
coefficient
de
n'im-
Les
hypothèses
Sl=l •... S.=l,S.
l=O' ...• s
=0
annuleraient
1
1 +
n
le
facteur
51'"
+5. +S.
1'+'"
+S
.
Or.
ce
facteur
figure
dans
1
1'"
n
E
si
1 e
const i tuant
Xl"
.X,X.
l " ' X
figure
dansjo.
et
dans
}
1+
n
E'
si
ce
constituant
ne
f-f'gure
pas dans
0.
Dans
le
premier
cas nous avons E'/(E'-E)=E'/E'=l; dans le second.
E'/(E'-E)= O/(O-E)= O.
Par
conséquent.
le
coefficient
de
tout
autre
constituant
SI"
.s.s.
l " ' s
est
l
ou 0
selon que
le constituant
cor res-
1
1'"
n
pondant Xl"
.X,X.
l " ' x
figure ou non 9?nS 0.
l } +
n
Nous
pouvons
donc.
en
prat i que.
déterm i ner
1a
va 1eur
de
w
de
la
manière
suivante.Ecartant
de
l'expression
de
(}
les
constituants
x x
.. 'X
et
x x
.. ,x
'
si
les
deux
ou
l 2
n
1
2
n
un
seul
d'entre
eux
y
figuraient,
remplaçons
les
symboles
X
, ..
dans
le
résultat
obtenu
respectivement
par
l ,X
'X
51'
2
n
Les
coefficients
des
constituants
et
-
sls2"
.sn
sont
déterminés
<315:
par
les
règles
spécifiques
concernant
les
cas
ci -dessus
énumérés,
et
tout
autre
cons-
tituant
a
pour
coefficient
O.
Le
résultat
sera
alors
la
valeur de w comme fonction de sl,s2'"
.sn'
Prenons comme cas particulier (}= xl'
On cherche à déter-
miner
à
partir
des
données,
la
probabi 1 i té
de
l'événement
s~'mbo1 e
xl'
développé
en
fonction
de
la
série
entiére
des
symboles
X
'X
' ... x
'
produira
tous
les
constituants
1
2
n
formés
de
ces
symbo 1es
et
ayant
x 1
comme
facteur,
Parmi
Donc,
dans
le
développement
qui
donne
la
valeur de xl
com-
me fonction des symboles sl,s2'"
.sn'
le constituant
sls2"
.sn aura pour coefficient %
et le constituant
- -
sls2"
.sn aura pour coefficient 1/0.
S1
dans
nous
écartons
le
constituant
le
résultat
sera x -x x
" . x ,
et
en
remplaçant dans celui-
1
1 2
n
ci
xl
par
sI
etc .. ,'
nous obtenons sl-sls2 ... sn pour
l'élé-
men t
correspondan t
dans
l' express i on
de
X l
comme
fonct i on
de sI' s2' , . sn'
Au total.
l'expression finale de x~ est
tuants a~'ant pour coefficient O.
(7)
Dans
ce
développement,
la
somme
de
tous
les
constituants
dont
les
coefficients
sont
1
ou
a ou 010 sera
1-5 5 "
'Sn'
1 2
Nous
aurons
donc,
pour
détermi ner
Prob. Xl'
1e
système
~.:.
bÙgg~ su i vant:
prob.X =(Sl- S 1S 2· .. sn+ cs s
·· .sn>!U-S S
···S ),
(8)
1
1 2
1 2
n
avec
les relations
L'on
verra
que
les
relations
qui
déterminent
s1s2"
.sn
sont
tout
à
fait
indépendantes de
la
forme
que
prend
la
fonction
0,
et
que
les
valeurs
de
ces
quantités,
une
fois
détermi-
nées,
serviront
'316>
pour
tous
les
problémes
possibles
présentant
1es
mémes
données,
1 eurs
Quaesi ta
pouvant
être
différents.
La
nature
de
l'événement
ou
de
la
combinaison
d'événements
dont
on
cherche
la
probabilité
n'affectera
que
la
forme de
la
fonction
où
1 'on doit procéder à
la subs-
titution des valeurs déterminées de sI
s2"
.sn'
De (9),
i 1 v i en t
SI
=
Pl~' s2 = PzÀ •... sn = Pn~'
D ' 0 Ù
1 - ( 1 - P 1À ) ( 1 - P z~ ) . . . ( 1 - Pn ~)
= }..
.
\\ ) .
( l a )
Ou
1 -.x = (1- P lA ) ( 1-P ~ ) ... ( 1-Pi 1\\ •
et
c'est
à
part i r
de
cet te
équat i on
qu' i 1
faut
détermi ner
la valeur de À.
En
supposant
cette
valeur
déterminée,
celle
de
prob'X
sera
1
(P1.À- (1-C)P1PZ"
.PnÀn)j( 1-( 1-,P1~)( 1-P2~)'" (l-Pn~»)'
ou.
par
la réduction que permet
(lU>.
n-l
( I I )
prob'X 1 = Pl-<I-C)PI P2··· Pn'"
.
Cherchons
maintenant
les
conditions
auxquelles
sont
soumi-
ses
1es
constantes
ainsi
que
les
limites
de
la valeur de prob.x .
1
Puisqu'il
n'y
a
qu'un
terme
comportant
le
coefficient
1/0.
il
n'y
aura
pour
les
constantes
qu'une
seule
condition:
Limite inférieure (1-sl)(1-S2)·· .<1-S ) ~ O.
n
Ou n(l-s )+n(1-s )+ . . . +n(l-s )-(n-l)
n(l) ~ O.
1
2
n
Ou n ( 1 ) - n (s ) - n ( S0 ) ... - n (s ) < O.
1
_
n
est la condition cherchée.
La
limite supérieure de prob.x
est
la
limite supérieu-
1
re
de
la
somme
des
constituants
ayant
pour
coefficients
1 ou 0/0.
Mais cette somme est sI'
Par conséquent.
Limite supérieure prob.x l = limite supérieure. sI
Pl'
'317>
La
limite
inférieure
de
prob.x
sera
la
méme
que
la
l
limite inférieure de l'expression
-'--'-
SI - s 1s2' .. sn + ( 1- sI) ( 1 - s2) . . . ( 1 - sn) .
Un
peu
d'attention
montrera
que
les
différents
regroupe-
ments de
termes qui
se
peuvent
effectuer dans cette
expres-
sion.
chacun réunissant
le plus grand nombre de constituants
possibles,
seront les suivants:
SI ( 1 - s2 .>,
sI ( 1 - s3 ) . . . . sI ( 1 - sn ) , ( 1 - s2 ) ( 1 - 53) ... ( 1 - sn) .
Nous
en
déduisons,
pour
la
limite
inférieur'e.
les
expre5-
sions suivantes
La
valeur
de
prob'X
ne
sera
(jonc
rno i ndre
qu'aucune
de
1
ces valeurs.
ni
n'excédera
la valeur de Pl'
Toutefois.
au
lieu
de
faire
usage
de
ces
conditions.
nous
pouvons
utiliser
directement
le
principe
établi
dans
la
démonstration
de
la
méthode
générale
en
probabilités.
La
condition
selon
laquelle
s1's?' ... s
doivent
chacun
être
_
n
plus
petit
que
l'unité
suppose
que>..
soit
plus
petit
que
chacune
des
quantités
I/Pl.l/Pz.' ...• lIPn.
Et
la
condition
selon
laquelle
doivent
chacun
être
pl us
grand
que
0
suppose
que
~ soit aussi
plus
grand
que
O.
Or
Pl )PZ--'
étant
Pn
des
fracti ons
proprement
dites
qu i
satisfont
la
condi t i on
Pl +PZ+· .. +Pn'l,
l'on
peut
montrer
qu'une
seul e
val eur
posi t i ve
de
~ peut
se
déduire
de
l'équation
essentielle
<lb),
qui
soit
moindre
que
chacune
des
quanti tés
1/ P l ' I/Pz'"
.1/Pn'
Cette
valeur
de ~ est donc celle que l'on cherche,
Pour
le~~ouver, considérons l'équation
(1-P1À)(I-PZ).> ... (1-PnÀ)-1+,À
= O.
Lorsque
,,=0
le
premier
membre
s',annule
et-
l'équation
est
satisfaite.
Examinons
les
variations
du
premier
membre
dans
l'intervalle ~=O et ,À=1/P ,
en
supposant
que Pl
est
la
plus
1
grande des valeurs Pl,P2'"
.Pn·
lJo~(U\\t "
. 318>
· · r
.,'-;::
le premier membre de
l'équation
,nous avons
dV/d;,
,.'
qui,
10 r- sq u e
'A =- a ,
de vie n t
- P 1 - P2' . . - Pfi .. 1
et
a
u fi e
val eu r
négative.
Nous avons ensuite
une
série
de
termes
qui,
dans
les
conditions
restrictives
données concernant la valeur de À.
sont QQsitifs.
Enfin.
lorsque
,À=l/Pl'
nous
avons
v=
-1+
l / P l '
qui
est
positif.
Au
total.
il
apparaît
que
si
nous
construisons
une
courbe
dont
les
ordonnées
représenteront
la
valeur
de
V
correspondant
à
l'abscisse A.
celle-ci
passera
par
l'origi-
ne.
et,
pour des valeurs petites de X. se situera en dessous
de
l'axe des abscisses.
Sa convexité sera.
entre
les
limites
A=O et À=l/Pl' dirigée vers le bas. et. à la limite extrême
1/ P
•
la
courbe
sera
située au-dessus de
l'axe
des
abscis-
l
ses.
l' ordonnée
étant
posi ti ve.
I l
sui t
de
cet te
descr i p-
tion
qu'elle
coupera
l'axe
des
abscisses
une
fois
et
une
seule
dans
l'intervalle
indiqué.
c'est-à-dire
en!r~
)...=0
et )...= l / P l'
La
solution
du
problème
est
donc
exprimée
par
( l 1 ) .
la
valeur
de
)..
étant
la
racine
de
l'équation
( l a )
située
entre les limites 0 et 1/Pl.l/P2'·· .1/P .
n
La
constante
c
est
évidemment
la
probabilité
que
si
les
événements
x
'x . . . . x
se
produisent
tous,
ou manquent
tous
l
2
n
de se produire.
ils se produisent tous.
Cette détermination de
la valeur de .À
suffit
pour
tous
1 es
probl èmes où
1 es
données sont
1 es mêmes
que dans ce 1 ui
que
nous
venons
d·anéllys(~r. C'est,
comme
nous
le
laissaient
prévoir
certaines
considérations antérieures,
une détermina-
tion
tout
à
fait
indépendante de
la
forme prise par
la
fonc-
tion 0.
<319'
Supposons,
pour
prendre
un
autre
exemple,
que
0=
ou w= X (l-X)
( l - X )
·X
(1~X)
(l-x
)
'1
' 2 ' "
"n
...
' n
" 1 ' "
n-1'
Ce l a
équ i vaut
à
chercher
la
probabi 1 i té
que
,parm i
les
évé-
nements
x ,x , ... X ,
un
et
un
seul
se
produise.
La
valeur
l
2
n
de ~ sera, à
l'évidence,
w
sI ( 1 - s2) ... ( 1 - sn ) , .... sn ( 1- sI) ... ( 1 - sn _ 1 ) • 1 ! a
(1 - SI) ...
( } - s
) ,
n
d'où nous devrions déduire
Prob. (x
(I-X )·· .(l-X
) . . . ·x
(l-X
' · · .(l-x
1»)
1
2
n
n
I
n-
(s (l - s2 >. . . (l - s
).. .... s
( l - sI) . . . ( 1 - s I ) ) / ( 1 - ( 1 - sI) . .
1
n
n
n-
( l - s
»)
n
= (p 1 >- ( 1 - p 2 À ) ... ( 1 - PnA ) ...... p n'\\ ( 1 - Pl" ) , , . ( 1 - Pn _ 1À ) ) / ~
= ( Pl ( 1 - f.. ) ) / ( 1 - Pl À ) ... ( p 2 ( 1 - t. ) ) ! ( 1 - P.z>- ) ........ (pn ( 1 -,\\ ) J / ( 1 - PnÀ) .
Cette
solution
illustre
parfaitement
les
remarques
faites
dans
le
chapitre
introductif(I.16).
Les
difficultés
essentielles
du
problèm.e
tiennent
à
la
nature
des
données
et non à
celle des guaesita.
L'équation principale qui déter-
mine
À
et
les
questions
particul ières
qui
lui
sont
1 iéE>s
s' appl i quent
éga 1ement
à
toute
forme
que
pourra i t
prendre
le
problèmE>
lorsque
l'on
fai t
varier
l ' interprétation
des
éléments
arbitraires
intervenant
dans
sa
formulation
origi-
nelle.
CHAPITRE 20-
PRORLEMES CONC~W~ANI
LES RELAfrONS
DE CAUSE A EFFET.
< 320 d
-
Sa i si l'
dans
toutes
ses
man i festati ons
parti cu-
1 iéres
le
1 ien
de
cause
à
effet,
de
façon
à
rel ier
les d.eux
extrêmes,
dans
la
pensée,
selon
'ordre
qu i
1es
re 1 i e
dans
1a
na t ure
(car
1e
modus
ope rand i
nous
est
inconnu
et,
de
toute
nécessité,
le sera
toujours),
tel
est
l'objectif ulti-
me
de
la
science.
Ce
traité
a
montré
que
la
constitution
même
de
nos
facul tés
intellectuelles
a
spécialement
trai t
à
un
te 1 objec t i f .
I l
est
une man i ére de penser qu i
comprend
les
choses
comme
éléments
coexistant
au
sein d'un même
uni-
vers;
mais
i l
en
est
aussi
une
autre
<chap.XI)
qui
les com-
prend
comme
maillons
d'une
chaine
continue
et.
selon
une
perspective
humaine,
sans
fin;
qui
les . comprend
donc
comme
inscrites
dans
un
ordre
qui
les
relie
à
la
fois
à
ce
qui
s'est
déjà
passé
et
à
ce
qu'il
adviendra
ensuite.
A contem-
pler
cette
succession
ordonnée.
l'on
ne
peut
que
ressentir
la
prééminence
qu'il
faut
accorder,
au-dessus
de
toutes
les autres.
à
la relation de cause à effet.
Je
me
propose
ici
d'examiner,
dans
leur
forme
abstraite.
quelques
problèmes
où
intervient
cette
relation.
Ces
pro-
blèmes
sont
d'une
grande
diversité,
comme
le
laisserait
prévoir
la
natu.-e
de tci
relation qu'ils
font
intervenir.
A
partir
de
probabilités
de
causes,
déterminées
a
priori
" r
ou
données
par
l'expérience,
ainsi
que
leurs
probabi 1 ités
respectives de
se
voir
associer
un
effet
observé,
l'on
peut
demander
de
détermi ner
1 a
probabi 1 i té
de
cet
effet;
so i t
absolument,
soit
sous
certaines
conditions
données.
C'est
l'objeëtif
de
certains
des
problèmes,
',.
_
les
;pr·~mie."S_.
qui
vont
suivre.
D'autre
part,
l'on
peut
demander
de
déterminer
la
pro-
babilité
d'une
cause
particulière
ou
d'un
lien
particulier
existant au sein d'un système de causes,
lorsqu'on a
observé
certains
effets
et
qu'on
connaît
la
tendance
de
ces
causes.
séparément
ou
ensemble,
à
produire
de
tels
effets.
Ce
genre
de
quest i ons
sera
exam i né
dans
une
sect i on
u 1 tér i eure
de
ce
(321)
chapitre;
on y considèrera également d'autres direc-
tions
que
prend
la
démarche
générale.
Je
signale
que
si
ces
exemples
ont
bien
pour
rôle
essentiel
d'illustrer
une
méthode,
on
ne
s'est
pas
préoccupé,
en
l'appliquant.
de
questions
de
simplicité
ou
de
commodité.
Bien
au
contraire,
on
les a
conçus
-
jusqu'à quel
point
y
a-t-on
réussi-
comme
des
exemples
du
type
de
problèmes
que
l'on
s'attendrait
à
voir
nattre. de
l'étude
de
la
relation
de
cause
à
effet.
dans
ses
manifestations
effectives
et
réelles
les plus
com-
plexes.
2-
PROBLEME
l, Les
probabi 1 i tés
de
deux
causes
Al
et
A
sont
respectivement
cl
et
c
,
La
probabi 1 i té
que
si
la
2
2
cause
Al
se
produit
un
événement
E
l'accompagne
(qu'il
soit
ou non conséquence de
la cause
A )
est p
.
et
la probabilité
I l '
que
s i l a
cause
A
se
produ i t
l ' évènemeIlt
E l ' accompagne.
Z
qu'il
en
soit
ou non
la conséquence,
est PZ"
De plus.
l'évé-
nemen t
E
ne
saura i t
se
produ ire
en
l'absence
de
l'une
et
x
l'autre
causes
Al
et
A
"
On
demande
la probabilité de
l'é-
Z
vénement E.
L'on
cannait
bien
la
solution
de
la
forme
prise
par
ce
pro-
bléme
lorsque
les
causes
Al
et
A
s'excluent
mutuellement:
Z
C'est
Prob.E
C
P
+
c
I
1
zP z ;
qui
exprime
un
cas
particulier
d'un
principe
fondamental
et
trés important de
la théorie des probabilités telle qu'on
la
connaît.
On
se
propose
ici
de
résoudre
le problème
indé-
pendamment de cette condition restrictive.
xOn
peut
facilement
concevoir
de
quelle manière des données
de
ce
genre
pourraient
nous
être
fournies
par
l'expérience.
Face
à
la
fenètre de
la pièce
où
j'écris se
trouve
un
champ
qui
risque
d'être
inondé
pour
deux
raisons différentes mais
qui
peuvent
se
combiner:
les' crues
des
o..ff.ht€1l~SdU fleuve
Lee.
et
1es
marées
hautes
de
l'Océan.
Supposons
que
l'on
ait
observé
à
N
occasi ons
di f férentes
1es
résu 1 ta ts
su i -
vants:en A occasions le
fleuve a grossi de l'afflux de
cours
d'eau,
et
en
P
occasions--cJ-'entre
celles-là,
le
champ
a
été
inondé
pour
cette
raison
ou
non.En
8
occasions,
le
fleuve
est
entré
en
crue
à
cause
de
la
marée
haute,
et
en
o occasi ons d' entre cell es-là,
1e
champ
a
été
1 nondé,
pour
cette
raison
ou
non.
En
supposant
que
le
champ
ne
puisse
être
inondé en
l'absence de ces causes que
l'on vient d'évo-
quer,
on
demande
la
probabilité
générale qu'il
soit
inondé.
Ici,
les
éléments
a,b,p,q,
du
problème
général
représentent
les
rapports
AIN,
PIA,
8/N,
0/8,
ou plutôt
les valeurs vers
lesquelles tendent
ces rapports
lorsque
la valeur de N croit
iwjéfiniment.
,322
Représentons
la cause Al par x
la cause A
par y
2
l'effet Epar z.
Nous avons alors les données numériques suivantes:
Prob.x = cl'
Prob.y
C 2 '
Prob.x~ = C1PI' Prob.Yz
c 2P2 ,
(1)
On
sai t
en
outre
qu'en
l' absence des
causes
Al
et
A
à
la
Z
fois,'
l'effet
E ne
se
produit
pas;
nous avons donc
l'équa-
ti on 1ogi que
(l-X)(l-y) = v(l-z).
Ou, en éliminant v,
Z(l-X)(l-y)
= O.
(2)
Posons alors
xz = s,
yz = t
(3)
Par
réduction
de
ces
équations
(VIII.7)
et
en
considérant
( Z ) ,
il vient
XZ(l-s)+S(l-xz)+yz(l-t)+t(l-yz)+Z(l-X)(l-Y)
= O.
(4)
Dans
cet te
équat i on
on
do i t
déterm i ner
z
comme
une
fonc-
tion
logique
développée
de
x,y,s
et
t,
et
déduire
alors
sa probabilité au moyen des données
Prob.x
= cl'
Prob.y
= c
'
Prob.s
C
,
Prob.t
= c P .(S)
Z
1P l
Z
2
Déve 1oppan t
(lt)
par
rapport
à
z
et
remplaçant
l-x
par
x,
l-y par y,
etc ... , on obtient
(xs + SX + yt + ty + Xy)z + (s+t)z
0,
d'où z :(s+t)/(s+t-xs-sX-yt-ty-XY)
=stXY+l/ostXY+l/OstXY+l/ostXY+l/ostXy+stXY+l/OstXY+l/OstXY
+l/oStXY+j/ostXy+stXY+l/ostXy+ostXy+ostXY+ostXy+ostXY.
(6)
'323
De ce rèsul lat nous tirons <XVII .lï>.
Passant
de
1 a
1 ogi que
à
l'a 1 gèbre,
nous
obtenons
1 e
systè-
me
d . èquat ions
qu i
su i t,
où
U
représente
1a
probabil i té
c t1 e [' c h è e :
(stxy+stXy+stX)/c =
(stXy+stXy+sty)/cz=(stXy+stXY)!CtPt
l
=(stXy+stXy)/czPz=(stXy+stXy+stXy>/u=(stXy+stXy+stXY+si)/l
=V;
( ï )
dans ce système il
nous faut éliminer s,t,x.y et V.
Or,
lorsque
nous
avons
une
série,
quelle
qu'elle
soit.
de
fractions égales comme
a/a'=b!b'=c/c' ... =x,.
nous savons que (la+mb+nc)/(la·+mb·+nc')=~.
Nous
pouvons donc
dédu ire du
précédent' système d' èquati ons:
stXY!(U-CtP ) = stxy/(U-Czpz)
= st/(l-U)
= V;
l
d'oll
nous
tirons,
en
égalant
le
produit
des
trois
premiers
membres au cube du derni~r,
-z -z - -
(ss tt XXyy)/(u-clPl)(u-cZPZ)(l-U»)
(8)
Du système (7) on déduit également
stX/(l-U-Cl+ClPl)=stY/(l-U-CZ+CZPZ)=stXY/(ClPl+CZPZ-U)=v
d'où 1 'on obtient,
en procèdant comme ci-dessus.
-z -z - -
3
(ss tt XXYY)/(1-Ct+clPl-U)(I-CZ+c2P2-u)(clPt+cZPZ-Ull=V .(9)
3
'324'En
égalant
les
valeurs
de
V
données
par
(8)
et
(9),
on obti ent
(U-CIPl)(U-CZP2)(t-U)={t-Ct(I-PI)-U){l-CZ(t-P2)-U)
(c
+czPz-U),
t P t
que 1 'on peut êcrire,
plus commodément,
sous la forme
(l-CZ(l-PZ)-U})/(l-U).
(10)
De cette équation.
on peut dêduire
la valeur de u.
Il
reste
seulement
à
déterminer
laquelle
des
racines
prendre
pour
cette valeur.
3-
L'on a
montré
<XIX.lZ)
Que
la Quantité u,
pour être
la
probabilité cherchée dans
l'exemple
ci-dessus,
doit
être
pl us
grande
Que
chacune
des
Quant i tés
Cl Pl'
et
être
moindre
Que
chacune
des
Quantités
l-C
(l-Pl)'
l-c
(l-P )
l
Z
2
et
les
constantes
sont,de
plus,
sourn i ses
à
1a
condition Que ces trois Quantités doivent
chacune être plus
grande
Que
1es
deux
prem i ères.
Je
va i s
ma i ntenant
mon trer
Que
lorsque
ces
conditions
sont
satisfaites.
l 'éQuati on
finale
(10)
n'a
qU'une
racine
si tuée
dans
l'intervalle as-
signé.
Cette
racine
sera,
par
conséquent,
la
valeur
cher-
chée.
Représentons les limites inférieures c
, c
'
respec-
l P l
ZPZ
tivement
par a
et
b.
et
les
limites supérieures
l-Cl<l-Pl)'
l-CZ(l-P )
et
c1P1+cZP
par a'.b'.c'.
respectivement.
Alors
Z
Z
l'équation générale peut s'écrire
(u-a)(u-b)(l-u~-(a'-u)(b'-u)(c'-u)= o.
(11)
ou (l-a'-b')uZ-{ab-a'b'+(l-a'-b')c'}u+ab-a'b'c'
= o.
En
représentant
le
premier
membre
de
l'équation
ci-dessus
par v,
nous écrirons
Z
Z
d v/du
= Z(l-a'-b').
OZ)
:3upposons
ensuite
que
a
soit
la
plus
gri.11Hje
des
limites
inférieures de u,
a'
la plus petite de
ses limites supérieu-
res,
et
décrivons
la
variation
des
valeurs
de
Ventre
les
limites u=a et u=a'.
Lorsque
u=a,
nous voyons,
en considérant
la
forme du
premier
membre
de
(11),
que
V
est
négatif;
et
lorsque
U=3',
nous
voyons
que
V
est
positif.
,325'
Entre
ces
limites
V
varie
2
2
de manière continue sans devenir
infini~ et d V/du ne chan-
ge pas de signe.
Si
donc
u
représen te
l'axe
des
absc i sses,
V
ce 1u ides
ordonnées
(j'une
courbe
plane,
i l
est
évident
que
celle-ci
passera
d' un
po in t
situé
sous
l'axe
des
u.
cor respondant
à
u=a,
à
un point
situé au-dessus de
l'axe des u,
correspon-
dant
à
u=a';
la
courbe
restant
continue
et
sa
concavité
ou
sa
convex i té
étant
toujours
tournée
dans
1a
méme
di rec-
tion.
Un
peu
d'attention
montrera
qu'en
ce
cas,
elle
doit
couper
l'axe des u une
fois et une seule.
Par
conséquent,
entre
les
limites
u=a,
u=a',
i l
existe
une
valeur
de
u
et
une
seule qui
satisfait
l'èquation
(11).
On
verra
ensui te.
si
on
trace
mentalement
la
courbe.
que
l'autre
valeur
de
u
sera
moindre
que
a
lorsque
la
quantité
1-a'-b'
est
positive.
et
plus
grande
que n'importe
laquelle
des
val eu r- s a ' • b',
c'
10 r sq u e
1 - a ' - b '
est
né g a t i f . J 1
vie n t
donc
que
dans
la
solution
de
(11),
c'est,
pour-
le
radical,
le signe positif qu'il
faut prendre.
L'on trouve alors
u
-=
( a b - a ' b ' + ( 1 -a ' - b' ) c ' + 't/Q) / ( 2 ( 1 -a ' - b ') ) ,
( 13 )
où Q ~ (a b - a . b' + ( 1 - a . - b' ) c • )2 - 4 ( 1 - a ' - b' ) ( ab -- a • b . c . ) .
4-
On
peut.
jusqu'à
un
certain
point.
vérifier
les
résultats
de
cette
démarche.
Ainsi,
i l
est
évident
que
la
probabilité de
l'événement E doit étre plus grande,
en géné-
raI,
que
la
probabilité
de
voir
se
produire
ensemble
l'évé-
nement
E et
la cause
Al
ou A
"
Nous devons donc avoir,
comme
2
1a so 1 u ti on l ' i nd i que,
I l
est
clair,
d'autre
part.
que
la
probabilité
de
l'effet
E
doit
être
plus
faible.
en
général,
que
ce
qU'elle
serait
si
les causes Al
et A
s'excluaient mutuellement.Donc
2
U~C1Pl+C2P2'
Enfin,
puisque
la
probabilité
que
l'effet
E
ne
se
produise
pas
alors
que
se
présente
la
cause
Al
doit.
en
général.
être
plus
faible
que
la
probabilité
absolue
que
E
ne
se
produise pas,
nous avons
cl<l-p
)<
l-u,
l
-
donc u~ l-C (I-PI)'
.--'-
I
<326> De même,
Et
c'est
ainsi
que
se
trouvent
confirmées
les
conditions
limitant
la solution générale.
Posons maintenant
PI=I.
P2=1.
C'est-à-dire qu'on suppo-
se que
lorsque
l'une ou
l'autre des
causes
Al
et
A
se pro-
2
duit,
l'événement
E
se
produ i t. Nous
avons
donc
a=c l ' b=C
,
2
a'=l,b'=l.
c'=c
+c
;
par
substitution
dans
(13).
nous
obte-
I
2
nons:
-------_ __._---
..
u =(c c
-c -C -l+V<C r:
-c -c -1)2. 4 (C c_-c -c?')/-2
1
2
1
-2
1 -2
1
2
1
2
1
_
c
+c -c c
par réduction
1
2
1 Z
1-( l-C
)( I-C
).
I
2
C'est
là
l'expression
bien
connue
de
la
probabilité
que
l'une
au
moins des causes
se
présente,
ce qui,
dans
le
cas
présent,
est évidemment
la probabi lité de l'évènement E.
Enfin.
supposons
cl
et
trés
pet i ts,
de
sorte
que
leur
produit
soit
négligeablè;
alors
l'expl-ession
de
u
se
raméne
à
c1P1+c2PZ'
Or,
plus
faible
est
la
probabilité
de
chaque cause,
plus faible.
à
un degré encore plus
important,
sera
la
probabilité
d'une
conjonction
de
ces
causes.
AU
tota 1 donc,
en poursu i vant
ce type de réducti on,
1 a
probabi-
1 i té de
l'événement E est
1a méme que s i l es causes s' e.':c 1u-
aient mutuellement.
Je
me
suis
longuement
étendu
sur
cette
solution
car
elle sert de modèle,
à
certains égards,
à
celles qui
suivent
et
à@ot
quelques unes,
étant de
nature plus complexe,
pour-
raient
paraltre
difficiles
sans
la
préparation
qui
a
été
ainsi offerte.
5-
PROBLEME
II.
Au
1 i eu
de
l' hypothèse
adoptée
dans
le
problème
précédent.
c'est-à-dire
que
l'événement
E
ne
~e.t'-e""'"t'~
peut
se produire en
l 'absen~ses Al et A )-
2
supposons
que
ces
causes
ne
pu i ssent
pas
etre
tou tes
deux
absentes.
et
ne changeons
rien aux autres données.
On cher-
che donc
la probabilité de l'événement E.
Ici,
au
1 ieu
de
l'équation
(2)
de
la
solution
précédente.
nous avons l'équation
(l-X)(1-Y)
= O.
L'on trouve pour l'expression logique développée de z:
<327;.
stXY+1/0stXY+1/0stXY+l/ostXY+1/0stXy+stXY+l/ostXY
xy;
et la solution finale est
Prob.E
u;
la quantité
u
sera déterminée
par
la
solution de
l'équation
(u-a)(u-b»)/(a+b-u)
=(a'-u)(b'-u»)/(u-a'-b'+1),
(1)
où a=c p
b=c p
a'=1-c
<1-p)
b'=1-C
<1-p )
1
l '
2 2'
1
l '
2
2 '
Les
conditions
qui
donnent
les
limites
de
la
solution
sont
1es
sui van tes: - La
val eu r
de
u
qu' i 1
fa u t
ch 0 i sir
do i t
é t r e
plus grande que chacune des trois quantités a,
b et
a'+b'-1,
et,
en
même
temps,
être
moindre
que
chacune
des
trois quantités a',
b'
et a+b.
Exactement
comme
pour
la
solution
du
problème
précédent,
l'on
peut
montrer
que
l 'équati on
quadratique
( 1)
;;lura
une
.- -
racine
et
une
seule qui
satisfasse ces conditions.
Les con-
ditions
elles-mêmes
ont
été
déduites
selon
la
même
règle
que
précédemment,
mais
la
limite
inférieure
a'+b'-l
a
été
trouvée en cherchant la limite supérieure de 1-z.
On
peut
ajouter
que
1es
constantes
figurant
dans
1 es
don-
nées,
outre
qu'elles
satisfont
aux
conditions
pusées
ci-
dessus,
c'est-à-dire
que
les quantités a' ,b'
et a+b doivent
chacune
être
plus
grande
que
a,b
et
a'+b'-1,
doivent
aussi
sdtisfaire
la condition cl+c2~1. Cela découle aussi
de
l'ap-
plication de la règle.
PROBLEME
III.Les
probabilités
de
deux
événements
A
et
B sont
respectivement a
et
b;
la probabilité que si
l'é-
vénement
A' se
produi t,
un
événement
E l ' accompagne
est
p,
et
la
probabilité
que
<328>
si
l'événement
B
se
produit,
1e
méme
événement
E l ' accompagne
est
q.
On demande
1a
pro-
babilité
que
si
l'événement
A
se
produit,
l'événement
B
se produise,
ou,
réciproquement,
celle que,
si
B se produit,
A se produise.
Représentons
l'événement
A
par
x,
l'événement
B
par
y
et
l'événement Epar z.Les données sont donc
Prob.x
a,
Prob.y = b,
Prob.xz = ap,
Prob.yz = bq.
on demande d'en déduire
Prob.xY/Prob.x ou Prob.xY/Prob.y.
Posons xz=s,
yz=t, XY=W.
--'-
En éliminant z,
on obtient,
par réduction,
sx+tY+Syt+xts+XyW+(l-XY)W = 0,
done w=(sx+tY+Syt+x~s+XY)/(2xY-l)
=Xyst+l/Oxyst+l/OXyst+l/0xysf+l/OXyst+OXyst+l/OXyst
+1/OXyst+l/Oxyst+l/0xyst+OXyst+l/0Xyst+Xyst+OXyst+OXYSt
+ox~;sE.
( 1 )
On en déduit,
en passant de la logique à
l'algébre,
Prob.xy= (Xyst+Xyst)/v,
.'
X. ~/. S et tétant détermi nés par 1e système d' équat ions
(Xyst+xçsr+xy;E+x~;i)/a = (Xyst+~y;t+xy~i+~yii)/b
=(Xyst+xyst)/ap = (Xyst+xyst)/bq
=Xyst+xyst+xyst+Xyst+Xyst+Xysi+xysl = V.
<329>Pour
ramener
ce
système a une forme plus commode,
notis
diviser-ons
chaque
mernbl-e
par
xç'st,
et,
dans
le
résultat.
nous poserons
xs/xs = m; yt/yt = m'; x/x
n; y/y
n' .
Nous trouvons alors
( mm . +m+n n ' +n ) / a
= ( mm ' +m ' +n n ' +n ' ) / b
= (mm' +m) / ap = (mm' +m ' ) / bq
Et.
également,
Prob.xy =(mm'+nn')/(mm'+m+m'+nn'+n+n'+l).
On peut ramener ces équations aux formes' suivantes:
(mm'+m)!ap = (mm'+m')/bq = {nn'+n)/la(~-p)}
=(nn'+n')/(b(l-q))
= (m+1)(M'+1)+(n+l)(n'+1)-1.
Pr 0 b . xy = (mm' +nn ' ) / ( (m + 1 ) (m ' +1 ) + ( n + 1 ) ( n ' + 0.-:.1 ) .
Posons alors
(m+l)(m'+l)=~/(.+~-l). (n+l)(n'+l)=~/(~+~-l). (2)
Alors,
puisque mm'+m=(m(m'+1)(m+1»)/(m+1)
=m~/(m+l)(~+~-l»),
et
ainsi
de
suite
pour
les autres
numérateurs
dans
ce
s~'s
tème
d' èqua t ions,
nous
trouvons,
en
procédant
aux
subst i -
tutions
et
en
multipliant
chaque
membre
du
système
par
~+~-1, les résultats suivants:
m~ / l ( m+ 1) a p ) oc m. ~ / l (m ... Il bq ) ~ fi ~
" 1. ( ri + 1 ) a ( 1- P ) 1 en'
~
/ l ( fI . + 1 )
b(l-q)]=l.
Prob.xy~ (mm'+nn')(~:~-l).
(3)
De ce système,
l'on déduit
rn/(m+l)
~ ap/~ d'où m=ap/(~-ap).
(330)
De même,
m ' =
bq / ( ~ - bq ) •
n = a ( 1 - P ) / [ ~ - a ( 1 -- p> ) ,
n . =b ( 1 - q ) / ( ~ - b ( 1 - q ) J •
d'où m+.1=J.I/(~-ap). n+l=~/(~-a(l-p»), etc ...
En
substi tuant
ces
valeurs
dans
l'équation
(2).
elle
méme
ramenée à
la forme
nous obtenons
~ + ~ - 1 = ( ( ~ - a p ) ( ~ - bq ) ] / ~ ~ ( {~ - a ( 1 - P ) ) {~ - b ( 1 - q ) ) ] / ~ .
( 4 )
En
substituant
aussi
à
m.m'
etc . . .
leurs
valeurs
dans
(3).
nous obtenons
=(abpq)/~+(ab(l-p)(l-q»)/~d'après(4).
Or
la première équation du système (4)
nous donne
~+~-l =.J.I-ap-bq+(apbq)/J.I.
(5)
d'où apbq/J.I = V-l+ap+bq.
De même.
(ab(l-p)(l-q»)/~ =~-l+a(l-p)+b(l-q).
En
add i t i onnant
ces
équat i ons
et
en
remarquant
que
le
pre-
mier
membre
du
résultat
est
alors
identique
à
l'expression
que l'on vient de trouver pour Prob.xy.
nous écrivons
P r- 0 b . x y
= 'V .. ~ .. a + b - 2. ~. "
Représentons Prob.xy par u et posons a"b-2=m;
il
vient alors
~ .. ~ = u -m.
(6)
Et,
par ailleurs.
de (5) on déduit
~ i
a p bq - ( a P" bq - 1 ) ~ .
( 7 )
,331;
De
la même manière.
en égalant
les premier et
troisi-
ème membres de (4).
on écrit
~V=ab(l-p)(l-q)-{a(l-p)+b(l-q)-l}~
Abrégeons ap+bq-l
en
h
et a(l-p)+b(l-q)-l
en
h'.
Nous
trou-
vons.
en égalant
les valeurs de ~ ci-dessus.
h~-h'~ =ab(pq+(l-p)(l-q»
=ab(p+q-l).
Posons ab(p~q-l)=f. alors il vient
(8)
De (6) et (8).
on déduit
~ = ( h ' (u - m ) .. e) 1m,
~ =( h ( u - m) - e) /m .
En
substituant
ces
val,eurs
dans
l'équation
(7)
ramenée
à
la forme
abpq,
nous. obtenons
2
(hu-l ){h' <u-m)+l}
apbqm •
(9)
une
équation
quadratique
dont
la
solution
donne
la -valeur
de
u.
qui
est
la
Prob.xy
cherchée.
On
peut
immédiatement
mettre la solution sous la forme
\\, _ Ih '+ ~ t h'rn - l" :t 'J' ~ t~' ~_ ~ ~'rn - ~)1t~ '" ~h'~~ rj~~
,~
-
\\-. ' " 1
Mais si.
en outre.
nous remarquons que
~h'-h(h'm-e) = t<h+h')-hh'm= (t-hh')m,
puisque h= ap+bq-l.
h'=a(l-p)+b(l-q)-l,
d'où
il
vient
nous trouvons
Il
T'este
à
déterminer
quel
signe
mettre
devant
le
r'adical,
Nous pourrions en décider grâce à
la méthode générale
illus-
trée
par
le
problème
précèdent.
mais
il
est
bien
plus
faci-
le.
et
tout
à
fait
suffisant dans
le cas prèsent.
de déter-
miner
ce
signe
en
comparant
la
<332>
formule
ci-dessus
au
résultat
concret
d'un
problème
que
l'on
connaît.
S'il
est
sOr.
par
exempl e,
que
l' événement
A est
tou jours
accompa-
gné par
l'événement
E.
et que
l'événement B ne
l'est
jamais.
il
est
sOr.
alors.
que
les
événements A et
B ne
se produi-
sent
jamais ensemble.
Donc,
si
p=l.
q=O.
nous devrions avoir
u=O.
Or,
en supposant p=l,
q=O,
on a
h=a-l.
h'=b-l,
1=0, m=a+b-2.
En substi tuant ces val eurs dans (10),
il
vi ent
(l{--i)(~-~)(4-\\b-.t):±'(o.~\\,_~)(a-1)(b--i)
Prob.xy=
J (~-~)Cb-.{)
et
cette
expression
s'annule
lorsque
l'on
choisit
le
signe
Par
conséquent,
la
solution
finale
du
problème
général
s'exprimera sous la forme:
~) ~ ~ (~'~ f ) - "'" vi (t - ~~' )!.. lt \\., '...
P .
_
tA \\, P'1
Prob.xy/Prob.x=
-
.(o.h~'
où
h=ap+bq-l,
h'=a(l-p)+b(l-q)-l.
m=a+b-2.
Puisque
les
termes
de
la
solution
logique
finale
qui
ont
pour
coefficient
1/0
sont
les
mêmes
que
pour
le
premier
probléme
exposé
dans
ce
chapitre.
les
conditions
auxquelles
sont
soumises
les
constantes
seront
identiques,
c'est-à-
ap i. I-b<l-q).
bQi. l-a<1-p>.
7-
Une
confirmation
de
la
validité
de
cette
solution
1
est
apportée
par-
le
fai t
Que
1 • expressi on
est
Sym~étrique
par
rapport
aux
Quant i tés
p
et
Qd' une
part,
!-p
et
!-Q
de
l'autre,
c'est-à-dire
qu'elle
ne
change
pas
si
l'on
transforme p
en
I-p et Q en l-Q,
Cela apparaît Quand on considère l'éQua-
tion
Prob.xy=
ab(pQ!~+{(l-P)(l-Q)}!~)
Qui
a
permis
de
déduire
le
résultat
final.
Or,
s ' i l
existe des probabilités
p
et
q
que se produise
l'événement E,
reposant sur
une con-
nai ssance des événements A et
B,
il
existe des probabi 1 i tés
I-p,
l-q,
pour
l'événement
contraire,
c'est-à-dire
pour
Que.
dans
les
mêmes
circonstances,
E
ne
se
produise
pas.
Puisqu'alors
la
forme
même des données ne change
pas,
<333>
que
nous
y
traduIsions
l'occurrence
ou
la
non-occurrence
de
E.
il
est
évident
Que
la
solution doit
être.
comme elle
,
l'est,
une fonct i O}J._sym· étr i Que par rapport à
p, Q.
et
I-p.
l-Q.
Examinons le cas particulier où P;l. Q;l.
Nous trouvons
et,
en procèdant à
la substitution,
__ ~~~r;~l!!..:-:21-..L) ~(<-~_-=-C<
~-Q.=-,,::~:...L) ~(
-=..-.=...b
_-
Q_+_b_-.z~)_[Ci._b Cl_-b_+_oi_'
Pr'ob.xy/Prob.x=
_~
"t
o..H)
-
-,z"(o."",\\- -1-')
=(-2ab(a+b-l»)!(-2a(a+b-!»)=b.
Il
apparaîtrait
alors
qtle
dans
ce
cas,
les
évènements
A
et
B
sont
en
fai t
indépendants
l ' un
de
l ' autr'e.
L' hypothèse
qu' i ls
sont
invariablement
accompagnés
par
un
autre
événe-
ment
E,
dont
on
ne
sait
rien
de
la
fréquence
sinon
qu'on
peut
la déduire de ce
lien particulier,
n'établit aucune
re 1at i on
de
dépendance
en t r'e
J es
événemen ts
A
et
B
eux --mê-
mes.
Je
pense
que
la
raison
peut
admettre une
telle
conclu-
sion,
bien
que
certains
exemples
particul iers
puissent
sem-
bler,
à
première vue,
indiquer un résultat différent.
Par
exemple,
si
l'on a
déterminé séparément
les probabilités
de
tomber,
au
bord
de
1a
mer,
sur
une
espèce
part i cu 1 i ère
d'algues
ou
sur
un
certain
type
de
zoophytes,
et
si
l'on
a
égal ement
établ i
qu'aucun
de
ces
événements
ne
saurai t
se
produire
en
l'absence
d'une
agitation
des
vagues
sous
l'effet
de
la
tempête.
l'on cane 1 uerai t,
justement
je pense.
que
les
événements
en
question
ne
sont
pas
indépendants.
Ramasser
un
bout
d'algue
de
l'espèce
en
question
devrait
rendre,
pourrait-on
présumer,
la
découverte
de
zoophytes
plus
probable
qu'il
n'en
aurait
été
autrement.
Mais
cela
repose
à
mon
avis
sur
la
connaissance
que
nous
avons
d'un
autre
fai t
ne
figurant
pas
dans
les
données
effectives
du
problème:
qu'une
tempête
n'est
qu'un
phénomène
occasionnel.
Supposons que
toutes nos observations n'aient concerné qu'u-
ne mer
toujours agitée
par
la
tempête.
Nous
verrions alors,
à
mon
sens,
que
tomber
sur
ces
a 1 gues
et
tomber
sur
ces
zoophytes
devraient
être
considérés
comme
des
événements
indépendants.
Pour parler de manière plu$ générale.
i l
existe
des
cond i t i ons
communes
a
tous
1es
phénomènes
<' 334:.
ma i s
dont
on
sent
bien
qu'elles n'affectent
pas
leur
indépendan-
ce
mutuelle.
Je
pense
donc
que
ce
qu'indique
la
solution.
c'est
que
quand
une
condition
particulière
s'est
présentée
tout
au
long
de
n~bs!?rvation~. ell e
revét.
par
rapport
à
1a
classe
des
phénomènes
concernés
par
ces
observat ions.
le caractère dont on vient de parlér.
~. PROBLEME IV.-Pour illustrer. dans une certaine mesure.
1 es
remarques
qu i
vi ennen t
d'être
fai tes.
supposons
qu'en
pl us
des
données
du
probl ème
précédent.
on
ai t
1a
probabi-
lité
abso 1ue
de
l ' événemen t E ;
le
système
comp 1et
des
don-
nées étant donc
Prob.X = a.
Prob.y = b,
Prob.z
c.
Prob.xz = ap.
Prob.yz
bq.
on demande de trouver Prob.xy.
En
posant
comme
précédemment
xz=s.
yz=t.
xy=w.
on
a
l'équa-
tion
log~que finale
w=Xystz+Xystz+O(Xystz+Xystz+Xyzst~xyzst+xyzsl~xyzsE)~
des
termes dont le coefficient est 1/0:
(1)
Lorsqu'on
a
établi
le
système
algébrique,
les
éliminations
que
l'on
effectue
ensuite
peuvent
se
simplifier
grâce
à
la
transformation
uti 1 isée
dans
le
problème
pn?cédent.
Le
résultat
final
est
Prob.xy = ab(pq/c
+(l-P)(l-q)}!(l-C»).
(2)
i
Les
conditions auxquelles
sont
soumises
les
constantes sont
c 2 a P ,
c..2. bq ,
c.s... 1 - a ( 1 - p),
c.s...l - b ( 1 - q ) .
Si
p=l et q=l,
on trouve
Prob.xy = able,
c
ne
prenant
aucune
va 1eur
pl us
pet i te
que
a
ou
b.
On
en
déduit donc que si
l'on sait que
l'évènement E est occasion-
nel,
sa
présence
continuelle
avec
les
événements
x
et
y
augmente
la
probabilité
que
ceux-ci
se
produisent
ensemble
en raison inverse de sa propre fréquence.
<335>
L'on
peut
vérifier
la
formule
(2)
dans
un
grand
nombre de cas.
Comme cas particulier,
posons q=c;
on trouve
Prob.xy = ab.
(3)
Or,
poser
q=c
signifie,
par
définition
<chap.XVI>,
l'indé-
pendance des événements B et E.
Si
donc B et E sont
indépen-
dants,
aucune
relation existant entre A et
E ne peut établir
une
relation
entre
A
et
B;
d'où
il
vient
que
A- et
B sont
aussi
indépendants,
comme
l'indique
l'équation
(3)
ci-des-
sus.
A partir de
(2),
on peut montrer que la valeur rl~
Prob.z,
qui
fait de Prob.xy un minimum,
est
la suivante:
Prob.z=vpQ/lvPQ + V(l-p)(l-q»).
si
p = q.
cela devient
Prob.z = p;
un
résul tat
dont
la
val idi té
peut
être
prouvée
par
la
même
analyse que celle appliquée a (3).
PROBLEME
V. -
So i ent
données
1es
probab i 1 i tés
de
t ro i s
événements
quelconques
ainsi
que
la
probabi lité
de
leur
conjonction;
on
demande
la
probabilité
de
la
conjonction
de deux événements quelconques parmi eux.
Supposons que les données soient
Prob.x=p.
Prob.y=q.
Prob.z=r.
Prob.xyz=m;
et que l'on cherche Prob.xy.
Posant xyz=s,
xy=t,
on
trouve
comme équation
logique
finale
t
Xyzs+Xyzs+O(Xys+xs) +1I0( somme
de
tous
1es autres
cons-
ti tuants);
d'où l'on déduit enfin
Prob. xy = (H-~4pqr2-4pqrm) /2r
où p=l-p,etc ... H= pq+(p+q)r.
Ceci
se
vérifie
lorsque
p=l,
que
q=l,que
r =0,
et,
par
conséquent. que m=O,
etc ...
Si
l'on
avait
pas
posé
la
condition
prob.z=r,
la
solution
aurait encore été déterminée.
Nous aurions eu
<336>
Prob.xy =(pq(l-m)+(l-p)(l-q)m)/(l-m);
-.--. - et
l'on
peut
ajouter,
comme
ultime
confi rmat i on
de
leur
validité.
que
les
résultats ci-dessus deviennent
identiques
lorsque m= pqr.
9-
Le
problème
qui
va
suivre
est
une
général isation
du
problème
I.
et
sa
solution,
quoique
nécessairement
plus
complexe,
est obtenue par une démarche similaire.
PROBLEME
VI. -
Si
un
événement
ne
peut
se
produi re
que
comme
conséquence d'une ou plusieurs d'entre
certaines
cau-
-'0-'
et
si,
de manière
générale,
C.
repr'ésen te
l
la
probabi lité
de
la
cause
Ai'
et
la
probabi lité
que
si
la
cause
A.
existe,
l'événement
produise,
alors,
l
étant
donnée
la
série
des
valeurs
de
Ci
et
Pi'
on
demande
s
la probabilité de l'événement E.
Représentons
l es
causes
Al'
et
l'événement Epar z.
Nous avons donc,
de manière générale,
prob.x
= Ci' prob.xiz = c
i
i P i ·
En outre,
la condition selon
laquelle E ne peut se produire
qu'en relation avec une ou plusieurs des causes Al'
A ,·.·
Z
A
établit
la condition logique suivante:
n
x
Je dois peut-être signaler que j'ai
proposé cette question
à
l'attention
des
mathématiciens
dans
le
Cambridge
and
Du-
bl in
Mathemat i ca l
Journa l,
Nov. 1851,
en
l'accompagnant
des
observations suivantes:
"Les
mot i fs
qui
m'ont
conduit,
après
une
longue
réflexion,
à
adopter,
pour
cette
question,
une
démarche
aujourd'hui
inhabituelle,
et
que
l'on
aurait
les
meilleures
raisons
de
rétablir,
sont
les
suivants:
d'abord
je
propose
cette
question
comme
un
test
du
caractère
gç~evé
des
méthodes
qui
ont
cours.
Ensuite,
je
prévois que
son examen ajoutera,
dans
une
certaine
mesure,
à
nos
connaissances
concernant
une
branche
importante
de
l'analyse
pure.
Toutefois,
c'est
seulement
sur
le
premier
motif
que
je
désire
en
établir
la justification.
Tout en espérant qu'il
se
trouvera des gens pour juger cette
question
digne
de
leur
attention,
sans
pour
autant
changer
1e
cours
de
1eurs
précédents
travaux,
j • écarte
tota 1ement
l'idée
que
je
puisse
l'avoir
proposée
comme
un
test
d'ha-
bileté ou de savoir
individuels:
je voudrais qu'on
n'y voie
que
l'intérêt
pour
des
fins
universelles
et
scientifiques;
pour elles seules cette question a été proposée."
Je
crois
nécessaire d'ajouter
que
la
publication de
ce pro-
bléme
a
provoqué
une
intéressante
correspondance
privée
mais n'en a pas apporté de solution.
·337 Posons.
de manière gén~rale. 4ue
XiZ = t i •
ce qui
peut s'écrire
X.Z(l-ti)+t.(l-X.Z)
= O.
1
1
1
pour' former
le modèle d'un système de n équations qui.
avec
(1),
exprimeront
les
conditions
logiques
du
problème.
En
additionnant
toutes
ces
équations
ainsi
que
nous
pouvons
le
faire
après avoir
effectué
la
réduction
ci-dessus,
nous
obtenons
Z{X.Z(1-t.)+t.(1-X,Z»+Z(1-X
)(1-X
) " ' U - X )
o.
(Z)
1
1
l
1
I
Z
n
(la
sommation que
traduit~va de i=1 à
i=n),
et
cette
uni-
que
équat i on
suffi t,
avec
1 es
2n
données
que
représentent
les èquations générales
Prob.x.=c.,
prob.t.=c. P •
Cs)
1
1
1
1
i
à
fournir
les éléments à
partir desquels
nous devons déter-
miner Prob.z.
Développons (Z) par rapport à
z.
Nous obtenons:
( L (x. <1- t. ) + t . <1 -x. ) ) + Cl -x 1 ) ( 1- x", ) ... ( 1- X ») Z + L t l' ( 1- z) = O.
1
1
1
1
~
n
d'où
Z=~ti/(~ti-?{Xi(l-ti)+ti(l-Xi»-(l-Xl)(l-Xz)··
.(1-X »·(4)
n
Tout
constituant
dans
le
développement
du
second
membre
de cette équation comportera Zn facteurs dont n seront parmi
les
éléments
Xl' X 2 ' .... X n • 1 - Xl'
et
n
parmi
les
symboles
t1.t2 . . . . tn,1-t1.1-tz, ... 1-tn.
aucune
combi-
nciison de
la
for'me
X <1-X
),t
<1-t
)
ne
pouvant
être
admise.
1
1
1
1
Considérons
d'abord
les
constituants
dont
<1-t
).<l-t
) . . . .
1
Z
(
( l - t )
forment
le
facteur
en
t,
c'est-à-dire
celui
qui
fi--
n
gure dans l'ensemble t
,·: .1-t
.
1
1
On
trouvera
le
coefficient
de
n'importe
quel
consti-
tuant
de
cette
nature
en
remplaçant
respectivement
t
, t
'
1
Z
... t
par
0
dans
1 e
second
membre
de
(4),
et
en
donnant
n
à
Xl ,X')' ... X
leurs
valeurs
qui
dépendent
de
la
nature
du
_
n
facteur
en
x
du
constituant.En
donnant
simplement
à
t
,
1
t z '" .t
la valeur 0,
le second membre devient
n
O/(-LX -(I-X )(I-X )· .(I-X »),
i
1
2
n
<338>
et
i l
s'annule
quelles
que
soient
les
valeurs
que
nous
assignons
ensuite
à
Car
si
ces
valeurs
ne
sont
pas
égales
à
0,
le
terme ~x.
ne
s'annule
pas,
et
1
si
elles
sont
égales
à
0,
le
terme
-<I-X
) ... (I-X
)
devient
1
n
- l ,
de
sorte
que dans un cas comme dans
l'autre,
le dénomi-
nateur
ne
s'annule
pas:
donc
la
fraction,
elle,
s'annule.
Par
conséquent,
les
coefficients
de
tous
les
constituants
dont
( l - t
>, ... ,(I-t ) est un facteur seront nuls, et, puis-
1
n
que
la
somme
de
tous
les
constituants
possibles
en
x
est
On
considère,
en
second
lieu,
tout
constituant
dont
le
facteur
en
t e s t
t
, t
,· . . t
<l-t
1) . • . < l - t ) ,
r
étant
1
Z
r
r+
n
plus
grand
ou
égal
à
l'unité.
En
faisant,
dans
le
second
membre
de
(4) ,
les
égalités
t
=I, ... t
=l,t
I=O' ... t
=0,
1
r
r+
r
on obtient
l'expression
r/(x
· .. +X -x
1"
.-x -<l-X
)(I-X
) ... (l-x
»).
1
r
r+
n
1
2
n
'"",',
,i\\:".'/
Or.
les
symboles
ne
pouvant
admettre
que
les
valeurs
0
et
1.
il
est
évident que cette expression sera égale à
1 lors-
que
Xl=l, ... ,x =l,x
l=O . . . . X =0.
et
que
pour
toutes
les
r
r+
n
autres
combi na i sons
de
val eur,
cet te
expressi on
sera
supé-
rieure à
l'unité.
Le coefficient
l
sera donc préfixé à
tous
les constituants du
développement
final
qui
auront
la
forme
XI····X (l-x
l) ... (l-X ) t l · · · t (l-t
l ) · · · < I - t ) ,
r
r+
n
r
r+
n
1e
facteur
en
x
étant
analogue
au
facteur
en
t;
alors que
les
autres
constituants
qui
interviennent
dans
le
cas
con-
sidéré
auront
en
fait
1/0
pour
coefficient.
Il
est
clair
également
que ce
raisonnement
ne dépend pas de
l'ordre par-
ticulier dans lequel
se succèdent les symboles individuels.
Par
conséquent,
1e
déve 1oppement
compl et
de
Z
sera
de
la
forme
Z
= ~(XT)+O(}-tl)<l-tZ)' .. <l-tn)+des
constituants
dont
le
coefficient est 1/0,
(5)
où T
représente
un
const i tuant
que 1conque
en
t,
à
l' excep-
tion
de
(1-t L .. <l-t >.
et
X
le
constituant
qui
lui
cor-
1
n
respond,
ou lui est analogue,
en Xl'"
.X .
n
<B39> Par exemple,
si
n=Z,
nous aurons
~(XT)= Xlx2tltZ+XlxZt;tZ+xlxZtltZ'
x I ,x2 ' etc ... représentant l-X , I-Xz,etc ... ; d'où
l
Z=
xlxzt l tZ+xlxzt l t Z+x 1x Zt l tZ+0(Xlxzt;t2+Xlx;r;tZ+X1xzt1 t z
-
- -
+xlxZtlt Z )+ des constituants dont le coefficient est 1/0.(6)
Ce
résultat
est
conforme.
à
la différence de
notation
prés.
au
développement
de
Z
dans
le
Problème
de
ce
chapitre.
comme il est évidemment normal.
--10- Pour
évi ter
une
trop
grande
compl ex i té.
je
me
propose
de déduire de cette équation
(6)
les conditions nécessaires
pour
déterminer Prob.z dans
le
cas particulier oû
n=Z.
sous
une
forme
qui
nous
permette.
en
poursuivant
mentalement
le même
type d'analyse,
de déterminer
les conditions corres-
pondantes concernant
le
cas plus général
oû n est
un
nombre
entier quelconque.
Posant donc n=Z.
nous avons
+X1xZt1t Z ·
prob.Z=(XlxztltZ+XlxztltZ+XlxztltZ)/V'
1es
cond i t i ons
permet tant
de
déterm i ner
Xl' t l'
etc..
étant
- - -
<XlxZtltZ+X1xZtltZ+XlxZtltZ+Xlx2tltZ)/c1=<XlxZtltZ+XlXZt1tZ
+XlxZtltZ+XlxZtltZ)/cZ=(XlxZtltZ+XlxZtltZ)/clPl=<XlxZtIt Z
+x1xZt tz)Jc
= V-;-"_
1
z Pz
Divisons les membres de ce système d'équations par
x1xzt1t
,
et
les
numérateur
et
dénom1 nateur
de
Prob. Z
par
z
cette
même
quanti té;
puis
faisons
dans
le
résul tat
obtenu
(340)
on trouve
Prob.z=(m m +m +m
>I(m m +m +m +n n +n +n +1)
1 2 1
2
1 2 1
2 1 2
1
2
.
et
(mlmZ+ml+nlnZ+nl)/cl=(mlmZ+mZ+nlnZ+nZ)/cz
=<mlmZ+ml)/c1Pl=(ffilmZ+mZ)/cZPZ=mlmZ+m1+ffiz+nlnZ+nl+nz+l. (8)
d'où.
en posant
(m +1)(m +1)=M.
(n +1)(n :l)=N.
1
2
1
2
nous déduisons,après une petite réduction.
Prob.z = (M-l)/(M+N-l),
(n1(n2+1»)/(Cl(1-P1»)=(n2(nl+1»)/(C2(I-P2»)
=o(m
(m .. ll)/c p =(m?(m +1»)/C P?
M+N-1;
1
2
1 1
_
1
2
=0
_
ou
mlM/(ml+1)clPl)=m2M/((m2+1)c2P2)=nlN/((nl+1)cl(I-Pl»)
=n N/(n +l>c (1-P2»)
= M+N-l.
2
z
z
Effectuons
mentalement
une
série
similaire
de
transforma-
tions
et
de
réductions
pour
l'équation
logique
finale
( 5 ) .
Nous aurons.
pour déterminer Prob.z,
l'expression suivante:
Prob.z = (M-1)/(M .. N-l)
(ID>
où M= (m 1 + 1 ) (~2 + 1 )
(m
+ 1 ) •
0
0
0
n
N=(n +l)(n +l) . . . (nn+ 1 ),
l
2
ml'"
omn,n ··· .nn étant donnés par le système d'équations
l
mlM/(ml+l)cIPll=m2M/(m2+l)c2Pzl= ... =mnM/[(mn+l)CnPril
=n1N/(nl+1)cl(1-Pl»)='"
.=nnN/(nn+1)Cn(1-Pn»)
=M+N-1. (11)
Pour simplifier encore davantage les résultats,
posons
--'-
<341>
(M+N-l)/M=I/~,
(M+N-l)/N=I/~ ;
donc M=~/(~+~-l) , N= /(~+~-l).
On trouve
=l/~,
nl/(nl+l)c1(1-Pl»)=nZ/(nz+1)c2(1-PZ)l= . . . =nn!(nn+l)c n
(l-p
»)
=
1/~;
n
d'où il vient
ml oc cl P 1/ ( ~ -c 1Pl ) , .... , m occ P
n
n n /( ~ - c n Pn ) ;
et
finalement:
ml + 1 = II / ( ll- cl Pl) , ... mn + 1 = ~ / ( ~ + en Pn ) ,
n
+ 1 = V/( V- c
0 - P
)}, . . . , n
+ 1 = ~ I l ~ - c
(1- P
) l-
I
l I n
n
n
Remplaçons dans (9) M et N par ces valeurs:
on obtient
Posons alors
1- ~ =u; nous obtenons
l
}
kt.
_
&_c-tP-t)·_·_(/-'-c"p,,) _
i"{·c~(~-p~)-411·--{A-(.J~-,,,,)t~
/ -
-
/".-i.
CA--v-)"-~
<342> Si.
pour simplifier,
nous posons
c p
=a
,
c
p =a
,
1-C
(1- P )=b ,
etc ...
1
l I n n
n
1
1
1
nous
pourrons
écrire
les
équations
qui
précèdent
sous
la
forme
n-1
~-u =(~;:..a-t) ... (ll-an»)/~
,
(14)
n-1
où II
= U+(b -u) ... (b -u)}/(1-u)
.
(15)
1
n
En
substituant
dans
(14)
cette
~aleur
de
ll.
on
obtiendra
une
équation
en
u
seulement,
dont
la
solution
déterminera
Prob.z
puisque.
d'après
( 3 ) ,
Prob.z=u.
I l
reste
à
définir
les limites de u.
11-
C'est
exactement
la
mème
dèmarche
qui
a
permis
de déterminer
les
limites de
la
solution dans
le
cas parti-
cul ier
où
n=2
(XIX.l·2)
qui
nous
mène,
dans
le
cas
présent,
_...., ,
au
rèsu 1 tat
QU i
va
su ivre.
La
quant i té
u,
pour
pouvoi r
re-
présenter
la
valeur
de
Prob.z,
doit
avoir
pour
limites
in-
férieures
1es
Quant i tés
et
pour
1 imi tes
supé-
rieures
les
Quantités
bl.bz .·· .bn.al ... a ... ·· ....a . Nous pou-
Z
n
vons
donc
inférer.
9----'2Li a ri ,
.QU· i 1
ex i stera
toujours
une
racine
et
une
seule
de
l'équation
(14)
satisfaisant
à
ces
conditions.J'estime
suffisant.
pour
le
vérifier
en
prati-
Que.
de
montrer
Qu'il
y
aura
une
et
une
seule
racine
de
l'équation
entre
les
limites
et
. . . • b
·
n
Consi dèrons d'abord
1 a
façon dont
~ var i e dans (15).
lorsque
u
change
de
va 1 eur
entre
que
nous
supposons
être
la
al'
plus
grande
de
ses
limites
inférieures.
et
b
•
que
nous
l
supposons
être
1a
pl us
pe l i te
de
ses
1 i mi tes
supér i eures.
Lorsque u=a
•
i l
est
évident que
~ est positif et plus grand
1
Lorsque
nous
avons
p=b
qui
est
également
1
positif.
Entre
les
limites
u=a
et
u=b
,
l'on
peut
montrer
1
1
,..--. -
que ~ croit avec u.
Nous avons donc
n-l
d~/d(]"= 1-(b -u) ... (b -U»)/(l-U)
- ( b -u)(b -U) ...
2
n
l
3
n-l
n
(b -U»)/(I-U)
., .+(n-l)(b -U)(b -u) ... (b -U»)/(I-U)
(16)
n
1
2
n
Posons donc (b -u)/(I-U)=X .···(b -u)/(I-U)= X
.
1
1
n
n
<343;
I l
est
évident
Que
X
.X
•.. 'X
seront
des
fractions
1
2
n
proprement dites.
et nous avons
dlJ/du= l-X,,x3' .. x
-x 1x
· .. x
' .. -Xl x
·
_ 1
· .. "n
n
3
n
. . x
+( n- l lX
X
2
n
1 2
= 1- ( l-x 1 )X X
· .. X
-Xl ( l-X
) X
· .. X
· -X 1X
· . X -
(l-X
)
2 3
n
2
3
n
2
n
1
n
-X
·
1 X
··
2
.X n
Or.
les
termes
négatifs
du
second
mf.:~mt)re
sont
si
flOUS
pouvons
employer
le
langage
des
développements
logiques)
des
constituants
formés à
partir
des quantités
fractionnai-
res
Leur
somme
ne
peut
donc
excèder
1 . un i té;
par
conséquent
d~/du est
posi t 1 f,
et
~
cro i t
avec
u
dans
l'intervalle indiqué.
Ecrivons maintenant (14) sous la forme
n-l
(~-al)" .(~-an»)/~
-(~-u) = 0,
(17)
et posons u=a . Le premier membre devient
1
n-l
(~-al){(~-a2)" .(~-an»)/~
-IJ,
(18)
et
la
valeur de cette expression est
négative.
Car,
en
fai-
sant dans (15)
les mêmes hypothèses,
on trouve
n-l
~-al = ( b -U) ... (b -u»)/(l-U)
= une quantité positive.
1
n
Nous avons également
n-1
(~-a2)" . (~-an») /~
=(~-a2)/~' .. (~-an)./~'
et,
pu i sque
1 es
facteurs
du
second
membre
son t
des
frac-
tions
positives,
ce
membre
est
plus
petit
que
l'unité,
par
conséquent,
( l S )
est
négati f.
Au
total
donc, en
posant
u=a
.--.-
1
on rend négatif le premier membre de (17).
Posons ensuite u=b ;
alors,
d'après
(15),
~=u=b
et
le
pre-
1
1
mier membre de (17) devient positif.
Enfin,
dans
l ' intervalle
u=a
et
le
premier
membre
1
de
(17)
cro 1 t
de
façon
cont i nue.
Car
1e
prem i er
terme
de
cette expression, écrite sous la forme
'3!~4
croIt,
puisque ~l croIt et,
avpc
lui.
tous les facteurs
que contient
l'expression.
En outre,
le
terme négatif
~-u
diminue
lorsque
u
croit,
comme
on
le
voit
d'après
sa
valeur déduite de
(15) et qui
est
n-1
( b -u) . . . (b -U»)/(I-U)
.
1
n
Ici
donc,
dans
l'intervalle
u=a
,
u=b
,
le
premier
membre
1
1
de
(17)
croît
de
façon
continue
et
passe,
ce
faisant,
d'une
valeur
négative
à
une
valeur
positive.
Par
conséquent,
dans
l'intervalle
indiqué,
il
existe une
valeur de u et une seule
satisfaisant
l'équation en question.
12-
En
réunissant
ces
di fférents
résul tats,
l'on
ar-
rive â
la solution suivante du probléme général:
La
probabilité de
l'événement
E sera
la
valeur de u déduite
de l'équation
n-l
~-u =(~-cIPl)" .(~-cnPn»)/~
,
(19)
n-l
où ~=U+((l-Cl(I-Pl)-u)... (l-C
(I-
)-U))/(I-U)
,
n
P n
et
cette
valeur
s'inscrit
entre
les
quantités
c P l'
c
'
1
ZP Z
. . . c p d ' une
pa rt ,
de
l'autre
n n
1 - c 1 ( 1 - P-f:.t, 1 - c 2 ( 1 - Pz) . . .
l-C
(I- P ),
le
premier
groupe
étant
celui
de
ses
limites
n
n
inférieures,
le second celui de ses limites supérieures.
Et
l'on
peut.
de
pl us,
inférer
pour
1 e
cas
généra l ,
comme
on
l'a
prouvé
pour
le
cas
particul ier
où
n=Z.
que
la
valeur
de
u,
ainsi
déterminée,
ne
sel-a
pas
plus
grande
que
1a quan ti té
J\\"f~
13-
On
ajoutef"d
à
cela
quelqups
v(Jr"iflcations
par"ti-
.-
culières.
lC)Soit
P =l. P =l •...• P =1. C'est-à-dire que l'on pose comme
1
Z
n
certain
que
si
l'un
des
événements
A .A
•... A
se
produit.
1
z
n
l 'événemen t
E
se
produ ira.
Dans
ce
cas
donc.
1a
probabi 1 i té
que
E
se
produise
sera
simplement
la
probabilité
que
les
évènements
ou
causes
A
.A
"
.. A
ne manquent
pas
de
se
pro-
1
Z
n
duire.
et son expression sera par conséquent
1-(1-C
)(1-C?) . . . (l-c
).
1
_
n
D'après
la solution générale
( 1 9 ) ,
i l
vient
n
1
345
IJ-U=(IJ-c
>.•. (IJ-C »)/IJ -
,
l
n
n
n-1
où
IJ=U~(l-U) /(l-u)
=
1.
Donc
]-U=(l-c
) ... (l-c
),
1
n
d'où u=
l-(l-C
)·· .<l-C
),
l
n
ce
qui
équivaut
bien
à
l'expression
précédente.
déterminée
a priori.
2°)
Soi t
Pl =0.
Pz=O'''Pn=O;
(19)
devient alors
IJ-U = IJ.
d'où U =0,
ce qui
est èviQe~ment normal.
3 C )
Supposons
que
cl'c
'"
,c
soient
des
quantités
si
peti-
Z
n
tes
que
leurs
carrés
et
leurs
produi ts
soient
négl igeables.,
Alors.
par
le
développement
du
second
membre
de
l'équation
<19),
i 1 v i en t
" n
n-1
n-1
IJ-u=lIJ -(C P l+C PZ+·· .+cnPnIIJ
)!IJ
1
Z
=IJ-<c P
~CzPz+··· ~CnPn)'
l
l
d'où u=
clPl+cZPz+"
.+cnPn'
13 -
0 n
a j 0 u ter a
à
cel a
que 1que s
v è [' i fic a t ion s
pa r ti -
.-
culières.
1°)Soit
Pl=I. P =1 •...• Pn=l.
C'est-à-dire
que
l'on
pose
comme
2
certain
que
si
l'un
des
évènements
A
.A
•... A
se
produit.
1
2
n
l 'événemen t
E
se
produ ira.
Dans
ce
cas
donc.
1a
probabi l i t é
que
E
se
produise
sera
simplement
la
probabi l i t é
que
les
événements ou
causes
A
.A
•... A
ne
manquent
pas de
se
pro-
1
2
n
duire.
et son expression sera par conséquent
1-(I-C
)(I-C?) . . . (l-c
).
1
_
n
D'après
la solution générale
(19).
i l
vient
n-l
'345;'
~-u=(~-Cl)... (~-cn»)/~
•
n
n-l
où ~=u+(l-U) /(l-u)
= 1.
Donc
l-u=( l-C
)··· (l-C
),
1
n
d'où u=
1-(1-C1) . . . (1-C
).
n
ce
qu i
équ i vau t
bi en
à
l ' expressi on
précédente.
déterm i née
a priori.
2°) Soit Pl=O.
P2=O"'Pn=O;
(19)
devient
alors
~-u = ~.
d'où u
=0.
ce qui
est évidemment normal.
..--. -
3°)
Supposons
que
c
.c
•... c
soient
des
quantités
si
peti-
l
2
n
tes
que
leurs
carrés
et
leurs
produits
soient
négligeables.
Alors.
par
le
développement
du
second
membre
de
l'équation
(19).
i l vient
, n
n-l
n-l
Il-u=lll -(ClPl+c2P2+"
.+cnPn)~
)!Il
=11- (C 1Pl +c
P2+' .. +c
)·
2
P
n
n
d'où u=
cIPl+c2P2+"
.+cnPn"
Or,
c'est
la
la
solution
que
l'on
obtiendrait
si
les causes
A
,A
1
,
. . . A
s'excluaient
mutuellement.
Plus
faibles
sont
0
.:::..
n
1es
probabi 1 i tés
de
ces
causes.
plus
e Iles
sont
proches
d'être
mutuellement
exclusives.
puisque
plus
faible
est
la probabilité qu'il
y
ait parmi
ces causes quelque concours
que
ce
sa i t.
Par
conséquen t.
1e
résu 1 tat
ci-dessus
consti-
tuera
sans
aucun
doute.
la
forme
limite
de
l'expression
de la probabilité de E.
4°)Dans
le
cas
particulier
où
n=2.
nous
pouvons
immédiate-
ment
éliminer
~
de
la
solution
générale.
Le
résultat
en
est
(U-C1P1)(U-C2P2»)!(C1P1+CZP2-U)
=({1-C
(1- P
>-U}{1-C
1
1
Z
(1- P Z)-U))!(1-U).
ce
qui
est
conforme à
la
solution
obtenue précédemment
pour
ce cas-là.
Bien
que.
d'après
le
systèm~ (19),
la
solution
dépende
en
général
de
celle
d'une
équation
de
degré
élevé.
elle
(346)
n'offrira
guère.
cependant,
de
grande
difficulté
dans
...--' -
la
pratique.
En effet.
les conditions concernant
les
limites
nous
permettent
de
choisir
immédiatement
une
valeur
appro-
.
chée
de
u.
et
les
formes
qui
constituent
le
système
(19)
se prêtent aux procédures d'approximations successives.
14-
PROBLEME
VII. -Les
données
sont
les
mêmes
que
pour
1e
probl ème
précédent;
on
demande
1a
probabi 1 i te
que
l ' évé-
nement
E se
réalise.
s ' i l
se présente une combinaison déter-
mi née elonnée c1e causes Al .l\\,., . .. A ..
....
n
Les
faits A .A
•... A
étant
représentés comme
précédem-
1
Z
.n
ment par x
,x
... x
respectivement,
on traduira par o(x1,X '
1
2
n
Z
... x
),
la
combinaison
de
ces
fai ts
qui
interviennent
dans
n
1 e
probl ème;
de
sorte
que
l'occurrence
ef fec ti ve
de
cet te
combinaison aura pour expr'ession l'équation
logique
o (x l ' x
' . . . x
) = l .
Z
n
Les données sont
prob,xl~Cl"'" .,prob.xn=c ,
n
Prob.x1z=c P
, · · .,prob.Xnz=c p
;
(1)
1
I
n n
et le résultat qu'il
s'agit de déterminer est
Nous chercherons d'abord la valeur du numérateur.
Posons
XIZ=t 1 '···· .xnz=tn ,
(3)
0(X
,X ,··· ,Xn)Z=W.
(4)
1
Z
Si,
pour
simplifier,
nous
écrivons
0
l'expression
0(X ,
I
x z,··· ,x >, la dernière équation sera
n
0Z = W,
(5)
à
quoi
l'on ajoutera l'équation
o.
Toute
équati on
x z=t
du
s~'stéme
peut
se
mettre
sous
r
r
la forme
x zt
+
t
(l-x z)
= o.
r
r
r
r
En
réduisant
de
la
même
manière
(5)
et
en
faisant
la
somme
des différents résultats ainsi
obtenus,
on trouve
l'équation
logique
~ t.",
. 3 ~ ï ; Z. (x z t'lr. 1 - x z») + X ... ·X Z· 1(1 ZW • W ( 1 - 0 Z ) ~ (1 ,
(7)
r
r
r
1
n
dan s
1a que Ile
l ' 0 n
ct 0 i t é l i min e r
z
et
dé termin e r
w
c omm e
une
fonction
logique
développée
de
x .:<2'··· ,x ,t •··· ,t ·
1
n
1
n
En
faisant
successivement
z=1
et
z=O
dans
cette
équation.
et en multipliant
les résultats ainsi
obtenus,
l'on a
En
développant
cette
équation
par
rapport
a w et en rempla-
çant
dans
le
résultat ~t +1 par 1. conformément i
la Prop.I
r
chap. IX.
on obtient
Ew • E'(l-w)
0;
où E
~L(X t ·t x )+X ... x
•
0.
r
r
r
r
1
n
E'
= Lt (L(X t
· t X )+ Xl"
')(n+0).
r
r
r
r
r
On en déduit que
w = E'j(E'-E).
(8)
Nous
devons
mai ntenant" déve 1 opper
1 e
second
membre de
cet te
équation
par
rapport
a
la
double
série
de
symboles
X
'X
'
1
Z
" ' X
et
t
. t
•...• t
. -ce
faisant.
le
plus
commode
sera
n
1
Z
n
de
ranger.
dans
le
développement
obtenu.
les
constituants
en
trois
classes
distinctes.
et
de
déterminer
~éparément
les coefficients qui
correspondent à
ces classes.
Tout d'abord.
nous considérerons les constituants dont
t
·· . t
est
un
facteur.
En
faisant
t
=0 •...• tn=o.
on
trouve
1
n
1
E'~ o. E=ZX +X ·· .X +0.
r
1
n
I l
est
évident
que.
quelles
que
soient
les
valeurs
(0.1)
attribuées
aux
symboles
en
x,
E
ne
s'annulera
pas.
Donc
les coefficients de tous les constituants
contenant
I l ' ' .ln sont nuls.
Considérons
en
second
1 ieu
les
consti tuants
ne
conte-
nant
pas
le
facteur
t
... t
et
qui
sont
symétriques
par
l
n
rapport
aux deux
ensembles de
symboles X, ... x
et
t
· · · t
.
1
n
1
n
On
entend
par
consti tuants
symétriques,
ceux
qui
demeurent
inchangés
lorsqu'on y
remplace Xl
par
t
,
x
par
t
,
etc ...
l
2
2
et
réciproquement.
Les
consti tuants
Xl"
.Xnt
... t
,
Xl' 'X
l
n
n
ili.
lI" .tnVsont. en ce sens, symétriques.
(348)
Pour
tous
les
constituants
symétriques
il
est
évident que~(x f
+t X ) s'annule.
Pour ceux qui
ne contien-
r
r
r
r
ne nt
pa s
t 1 . . .t n '
i 1 est
en
0 u t r e
é v ide n t
que xl"
. x n s' an-
nule aussi; dés lors
E=0
E' = zt (0), w=:2:"t (o)/Cfl un-"0J.
r
r
r
Pour
1es
const i tuants
dont
1e
facteur
en
X figure
dans
0 .
le
second membre de
cette
équation
est
égal
à
1;
pour
ceux
dont
le
facteur
en
x
figure
dans
0,
il
est
égal
à
O.
Par
conséquent.
le
coefficient
des
constituants
symétriques
ne
contenant
pas
t
... t
,
et
dont
le
facteur
en
x
figure
) :
1
n
dans 0
sera
1;
celui
de ceux dont
le
facteur
en x ne
figure
pas dans 0 sera O.
Considérons
enfin
les
constituants
qui
ne
sont
pas
symétriques
par
rapport
aux
deux
groupes
de
symboles
et
qui
ne contiennent pas non plus t
... t .
1
n
Il
est évident,
dans ce cas,
que ni
E ni
E'
ne peuvent s'an-
nuler,
et
donc que
le
n4mérateur
de
la
v31eur
fractionnaire
de
w dans
(8)
est
nécessairement
plus
grand
que
le dénomi-
nateur.
Dès
lors,
cette
valeur
ne
peut
se
traduire
ni
par
l
ni
par
0
ni
par
0/0.
Elle
doit
alors
nécessairement
se
traduire,
dans
le
développement
logique,
par
1/0.
Ce
sera
donc
là
le coefficient correspondant à
cette classe de cons-
tituants.
En
conséquence,
l'équation
logique
finale
exprimant
w
comme
une
fonction
logique
développée
de
x l ' · · · ,xn,t
,
l
... t
, aura la forme
n
IN
'=
Z<XT)+O{Z:(XT)+tl" .. t
)+l/O(somme
des
autres
consti-
-1
~
n
tuants),
(9)
où 21XT)
représente
la somme de
tous
les constituants symé-
triques
dont
le
facteur
X figure
dans
0,
et ~(XT)
la
somme
de
tous
les
constituants
symétriques
dont
le
facteur
X
ne
figure
pas
dans
0
devait apparaftre,
étant écarté dans les deux cas.
Passant
de
la
logjque
à
l'algèbre,
on
pourra
observer
que
<349>
dans
le
cas
présent
et
dans
tous
les
cas
analo-
gues,
la
fonction
v qui
permet
d'établir
le
système
algé-
brique
d'équations
devant
déterminer
les
valeurs
de
Xl'
.. xn,t
" . . ,t
est
indépendante
de
la
nature
de
toute
autre
1
n
fonction
{}
contenue,
non
pas
dans
l'expression
des
dat~,
mais
dans
celle
du
quaesitum
du
problème
proposé.
C'est
ainsi
que nous avons pour
l'exemple présent
Prob. W = z'i< XT)!V,
·
( la)
=~(XT>+tl" .tn
lci~(XT)
représente
la somme de tous
les constituants symé-
triques
formés
des
symboles
en
x
et
t,
à
l'exception
du
constituant
Xl"
.Xn,1.
· .. t
.
Cette
valeur
de
V est
la
méme
l
n
que
celle
employée
en
fait
dans
la
solution
du
probléme
précédent,
et nous pouvons donc
utiliser
les résultats alors
obtenus.
si
donc
nous
posons,
comme
dans
la
solution
que
nous
venons d'évoquer,
xltl/xltl=ml'
xntn!Xntn=mn'
xl/xl=n l , etc ...
nous obtiendrons un résultat qui
peut s'écrire:
Prob.w = Ml!(M+N-l>,
( 1 1 )
Ml
étant
obtenu en
écartant de
la
fonction
0
le constituant
-
-
5 • i 1
Y
fig ure.
e t e n
div i sa n t
1 e
rés u 1 ta t
pa r I e
xl' . 'X n '
même
constituant
en
rempl açant
nI'
X
/X
par n
etc ... Les valeurs de M et
N sont
les mêmes
2
2
Z
que dans
le problème précédent.
En prenant
ces valeurs ainsi
que celles,
correspondantes, de ml,m '
etc ... ,
on trouve
Z
Prob.w = M1 (II+~-l)
...
,
les valeurs générales de mr,n
étant
r
m
n =c (l-p >!(IJ-C
(l-P »);
r =c rPr !(IJ- c rPr)'
r
r
r
r
r
et
IJ
et i seront
donnés
par
1a
so 1uti on
du
système
d' équa-
tions suivant:
( /- - c-
r-1) ... (j" - '-"
_ {-J-Cd-'Lr1)} ... {,_(,,(-L~")~
ol
1"' ,- '>
< 350 > IJ + ~ - 1 = -.=:.----'------:-'--------
y\\_-l
/"
V"'-i.
La valeur de Prob.w ci-dessus sera
le numérateur de
la frac-
tion
(2).
Il
reste
maintenant
à
en
déter-miner
le
dénomina-
teur.
Pour ce faire,
nous posons
,,( xI' X
' . . . , X
)
=
v,
Z
n
ou
,,== v;
-
donc "V +
-
VO = o.
En remplaçant dans
(7),
par
le premier membre de cette equa-
ti on,
1 a
forme
correspondarte 0ZW+W<l- oz),
on
obti ent
comme
équation logique première
~{X zt +t <1-X z)}+x ... x .Z+OV+V0 = 0;
r
r
r
r
1
n
d'où
il
vient,
après élimination de
z
et
réduction,
confor-
mément à
la prop.II,chap.IX,
ov+v0+2t {.2:(x t +t X )+X ' .. X } = O.
r
r
r
r
r
1
n
Donc V=(0+Lt {~(X t
+t X +X ... x »/(20-1)
r
r
r
r
r
1
n
et,
en développant comme précédemment
v
==Zi(XT)+t ...t
L (X)+O{Z,(XT)+t ... t
Z(X)}+1/0<somme
des
1
1
n
<v
1
n-t
autres constituants).
Ici ~i(X)
représente
la
somme de
tous
les constituants
figu-
__-0-
rant dans O,~~X) la somme de tous les constituants ne figu-
rant
pas
dans
0.
En
fai t,
on
ut il i se
ces
expressi ons
au
lieu de 0 et 1-0 pour préserver la symétrie.
Il
ea découle donc queZix)+~(X) == 1 et que, comme précédem-
ment, ;~:\\(XT)+Z~XT)= Z(XT).
Dès
lors,
v aura
la
même
valeur
que précédemment,
et nous aurons
Prob.v :(Zl(XT)+t ...t
:2.}X»)/V.
1
n "-
Ou,
par la même transformation que dans le cas ci-dessus,
( 3 )
< 35 l '0 Ù
Nie s t
0 b te n u
pa r
div i si 0 n
de
0
pa r
xl'"
x n e t
pa r
remplacement,
dans
le
résultat,
de
Xl/Xl
par
nI'
X?/X?
par
- ....
n
,
etc . . .
2
La
so lut ion
f i na 1e
du
probl ème
proposé
sera
obtenue
en
at-
tribuant
leurs valeurs aux termes de
la fraction
(Prob. '" (x l ' ... x
) z) ! (Prob. '" (x l ' ... ,x
) ) ,
ou
Prob.w!Prob.v.
n
n
Nous avons donc,
d'après (11)
et
(13)
Prob.cherchée = M !(M
+N
).
I
1
1
En
prêtant
Quelque
attention
à
la
manière
dont
on
a
établi
les
fonctions
Ml
et
NI'
l'on
verra
que
l'on
peut
grandement
simplifier
la démarche.
L'on peut,
en
fait,
déga-
ger
sous
forme
de
règle,
la
solution
du
problème
général;
elle sera
la suivante:
Ecarter de
la
fonction 0(X
'X
' ... ,X
)
le constituant
l
2
n
x l ' .. Xns' i 1
y
figure,
suppr i mer
dans
tous
l es
autres
cons-
tituants
les
facteurs
etc ... et
remplacer
partout,
dans
le
résultat,
xrparycrP~!(~-C2P2) Appeler
ce
résultat
Ml .
Ensuite,
le
constituant
xl"
.Xn,s' i l
y
figure.
par
l'unité;
suppri-
mer
dans
tous
les
autres
consti tuants
les
facteurs
X
,X •
I
2
etc . . . ,
et
remplacer
partout,
dans
le
résultat,
X
par
1
(c
(l-p
»)!(V-c
(l-p
»).
r
r
r
r
Alors
la solution cherchèe sera exprimée par
la
formule
Ml/(Ml+n
),
(14)
l
J..l
et ~ étant définis par
la
solution
du
système
d'équations
1..l+~-l=(~-ClPl)" .(~-c p »)!l-ln-1=({V-Cl<l-P )l. .. C·Lc
n n
1
n
,,- -t.
(l-p
»))!~ .
(15)
n
On peut ajouter que
les limites de ~ et~ sont les mèmes
Que
dans
le
problème
précédent.
On
pourrai t
l' inférer
du
principe général
de continuité;
mais on peut aussi.
épartir
d'autres -considérations.
établir
des
conditions
limitatives
qui
'352>
seront sans doute suffisantes.
c'est ainsi
que de
la démonstration de
la méthode géné-
raIe
en
probabilités.
chap.XVII.
Prop.IV.
il
découle
Que
les
Quantités
xl'"
.Xn.t •... t
•
dans
le
systéme
initial
l
n
d'équations
algébriques.
sont
nécessairement
des
fractions
proprement dites positives.
Or,
x
!<1-x
)
= n
(c
<1-p
»)/{~ -c (l-p>l.
r
r
r
r
r
r
r
Donc.
de maniére générale.
n
est
nécessairement
une quanti-
r
té positive.
et.
par conséquent.
nous devons avoir
,Vi c (l-P).
-
r
r
De la même manière.
puisque nous avons
nous aurons.
de maniére générale.
1-1
> c p .
r r
16-
Il
est .fort
probable
que
les deux
types de
condi-
tions
ainsi
traduites
suffisent
ensemble
à
déterminer.
en
toute généralité.
Quelles racines des équations Qui
définis-
sent
1-1
et ~ il
faut
choisir.
Considérons
en
particulier
le
cas où n=2.
Nous avons
I-I+V-l=(I-I-ClPl)(~-C2P2»)!~=~-(ClPl+C2P2)~ClPlC2P2/~'
d'oû ~ =1-cIPl-c2P2+clPlc2P2!1-I
=1-clPl-(I-I-ClPl)C2P2)!I-I·
Nous
en
dédu i sons.
de
man i ère
généra 1 e.
pu i sque
~
Nous avons de méme,
~.s..I-C2P2' ~.s.. I-C <l-P1)' ~~ 1-C <l-Pz)'
I
Z
Or
l'on
a
déjà
montré
qu'il
n'existe
qu'une
seule
valeur
de
~
qui
satisfasse
l'ensemble
des
conditions
ci-dessus
concernant cette quantité,
c'est-à-dire
~<
1-c
<l-p
);
-
r
r
la
solution
de
ce
cas
au
moins
est
donc
déterminée.
Et
je
(353)
pense
que
1a
méme
méthode
peut
s' appl i quer
dans
1e
cas
général
et
qu'elle
suffit.
Mais
c'est
une
question
qui
demande à
étre davantage éclairée.
Pour
vér i f i er
1 es
résu l ta ts
ci-dessus,
supposons
que
0(X
, ... ,X
>=l,
ce
qui
est,
en
fait,
le
cas
considéré
dans
I
n
le
précédent
problème.
On
sait
que
le
développement
de
l
produit
tous
lets
constituants
qu'il
est
possible
de
former
à
partir
des
symboles
Xl'"
.X
.
En
procèdant
donc
selon
n
la Règle,
l'on trouve
n - - .
MI=~ /(~-CIPI)···(P-CnPn»)-l~l/(~+ \\) -1~-1
d'après
(15).
N 1 = ~n / ( ( ~ - c 1 ( 1 - Pl) ) . . . (~ - c n ( 1 - P n ) ) ) - 1 =D / (~ + ~ - 1il-- 1 .
Par substitution dans (14),
on
trouve
Prob.z = 1-~,
ce qui
est conforme à
la solution précédente.
Supposons
ensuite
0(X
, ... Xn)=X
'
ce
qui
donne,
après
I
I
développement et suppression des facteurs x
' ... X ,
Z
.
n
X
(X
+I) ... (Xn+l);
nous en déduisons
1
Z
n-l
,
MI=cIPI~
/(~-cIPI)"
.(~-cnPn»)=cIPI/(~+v-l) d'après ( 15) .
n-l
.
Nl=(Cl(l-Pl)~
/((~-Cl(l-Pl)}' .. O-Cn(l-Pn »))
=(cl(l-Pi)J/(~+~-l).
Par substitution on obtient
Probabi 1 i té
que
si
l'événement
A se
produ i t,
E se
produ i-
se
Et
les données vérifient
un
tel
résultat.
On
pourrait
aisé-
ment ajouter d'autres vérifications.
Considérons le cas où
0(X
X X
1 ,·· 'Xn)=X1X z '" 'X n +X z 1
·· .X
3
n +·" .+xnX 1 ·" .X n - 1 ·
Nous trouvons ici
~ -c (l-Pl»)+' .. +(c (l-p )]/(
-c (l-p »)"
1
n
n
n
n '
Nous obtenons donc
le résultat suivant:
<354) Probabi 1 i té
que
si
l'une
seu 1 e
des causes
Al' A ' . . . , An
Z
se présente,
l'événement E s'ensuive -
2:- ~~~p~~
,"'"
/"" _ C, p",
z.. ~ -T L c~ (-i-f"-J
.#- (l f"t
~ - ("- (~ - f'''t ')
Remarquons
que
ce
cas
est
tout
à
fait
différent
de
celui,
bien
connu,
où
le
fait
que
les
causes
A1,A '"' .A
Z
n
s' exc 1uent
mutue Il ement
est
une
des
données
et
expr i me
une
condition Qui
est
celle des observations mêmes dont
on sup-
pose
Qu'elles
ont
permis
de
déterminer
la
probabilité
de
A1,Az,etc ...
Considérons
enfin
le
cas
où
0(X , · · · ,xn)=x1x
"· .x "
1
Z
n
1 c i
Nl = ( c l ( 1 - Pl) ... c n ( 1 - P n ) ) ! ( { .:J- cl ( 1 - Pl) ) . . . { ~ - c n ( l - Pn ) } J
n-1
~
:(c10-P1>·· .cnO-Pn»j{~
(J..I+
-1».
L'on en déduit
le résultat suivant;
La
probabi 1 i té
que
si
toutes
1 es
causes
Al . . . . An
concour-
rent,
l'événement E s'ensuive
Cette
expression
prend.
comme
il
est
normal.
la
valeur
1
lorsque chacune des quantités P1 . . . . P . est égale à 1.
.
n
17-
PROBLEMEVH,L-
On
impose
à
certaines
causes
A
,A
,
1
2
... A
de
ne
pouvo i r
tou tes
manquer
de
se
produ ire;
ma i s.
n
toutefois,
de
ne
pouvoir
se
produire
que
dans
certaines
combinaisons détermOinées que traduit
l'équation
étant
données
les
probabilités
respectives
de
ces
causes.
et
les
probabilités
correspondantes
p
qu'un
événement
E
suive
de
la
réalisation
d'une
de
ces
n
causes.
l'on demande
la probabilité de l'événement E.
Ce
problème
diffère
de
celui
qu'on
vient
d'examiner
sur
plusieurs points.
mais surtout
en
ceci
que
la
condition
restrictive
Que
traduit
l'équation
0(A •...• A )
l
fi gure
1
n
dans
les données.
et Qu'on
la suppose
<355>
issue de
l'expé-
rience
même
(ou
en
accord
avec
elle)
d'où
nous
provient
la connaissance des éléments numériques du problème.
Si
l'on
représente
1es
événements
respectivement
Al···· .A n
par Xl' ...• x
'
et
l'événement Epar z.
l'on a
n
Prob.x
Prob.x z
(1)
r
r
Posons,
de maniére générale,
x z = t
.
r
r '
en
composant
le
systéme
d'équations
ainsi
obtenu
et
les
équations
Xl'· .Xn=O,
0(X
,·· .Xn)=l ou 0=1,
l
fournies
par
les
données,
nous
trouvons
finalement
pour
expression développée de z:
où
X
représente
successivement
tous
les
constituants
figu-
rant
dans
0,
et
T
une
série analogue de
constituants
formés
des
symboles
t
, ... , t
; ~(XT)
ne
contient
que
des
cons_ti-
l
n
tuants
symétriqu.es
par
rapport
aux
deux
catégori es
de
sym-
bol es.
La
méthode
de
réduc t i on
à
employer
dans
1e
cas
présen t
est
à
ce
point
simi laire
à
celle
qui
a
déjà
été
illustrée dans
1 es
probl èmes
précédents,
que
je
me
bornera i
à
donner
1 es
résultats auxquels elle conduit.
Nous trouvons
Prob.z = M/(M+N),
ainsi
que
les relations
.---.
(4)
lei
M
est
obtenu
en
supprimant
dans
0(X
, ... ,x
)
tous
les
l
n
facteurs xl"
.X , et en remplaçant dans le résul tat xl par
n
ml'
X
par
m ,· .. ;
tandis
que
N
est
obtenu
en
remplaçant
2
2
dans
M
ml
par
n
,
etc ... ;
en
outre,
Ml
est
la
partie
de
l
M dont ml
est
un
facteur,
NI
celle
de N dont
nI
est
un
fac-
teur,
etc ...
Soit,
à
titre
d'illustration,
le
cas
particulier
où
les
causes Al' ... A
s'excluent mutuellement.
Nous avons alors
n
o (x l ' ... X
)
· .... XnX l ... X
n = Xl x · .. X
2
n
n - l .
(356)
Par conséquent,
Par substitution,
nous trouvons
m/c P
m Ic p =
I
t · ..
n
n n
D'où il vient
<ml +m " ... +m ) / (cl Pl +c P2 + ... +cnPn)
M+N,
2
n
2
ou
M/(c P +·· .+cnPn) = M+N.
1
1
Donc,
d'aprés (3),
Prob.z
C
P +·· .+cnPn'
I
1
un résultat que
l'on connaît.
Il
est
d'autres
cas
particuliers
où
le
systéme
(4)
trouve
une
solution
immédiate.
Toutefois,
il
est
bien
évi-
dent que dans
la plupart des cas,
il
conduirait à
des résul-
tats d'une très grande complexité.
Il
me semble assez
impro-
bable
que
l'existence
d'une
relation
fonctionnelle
entre
les
causes,
telle
qu'on
l'a
supposée
dans
les
données
du
probl ème
général,
nous
soi t
souvent
offerte
dans
une
expé-
rience
effective;
sauf
dans
les
cas
particuliers
que
nous
venons d'examiner.
Si
l'on
avait
modifié
le
probléme
général
par
la
con-
dition
restrictive
que
l'événement
E
ne
puisse
se
produire
en
l'absence
de
toutes
les
causes
Al' . . . ,An'
au
1 i eu
de
celle
qui
pose
comme
impossible
qu'elles
viennent
tautes
à
manquer
de
se
produire;
et
si
l'autre
condition que
tra-
duit
l'équation o<A
, ... ,A
)=1
,demeurait
inchangée,
nous aur-
1
n
ions trouvé pour équation
logique
finale
Z = ~.f XT )
+
0 L ( X ) ,
2(X)
étant,
comme
précédemment,
égal
à
0(X
, ... ,x ),
mais
1
n
~(XT) étant obtenu en écartant de 0
1e
consti tuant
parti cu-
lier X ... x ,
s ' i l
y
figure,
et
en
multipliant
ensuite
cha-
1
n
que
const i tuant
en
x
du
résu 1 tat
par
1e
const i tuant
en
t
correspondant.
I l
est
évident
que
dans
le
cas
particulier
où
les
causes
s'excluent
mutuellement,
la
valeur
de
Prob.z
ainsi
déduite sera
la même que celle obtenue précédemment.
18-
PROBLEME lX . -
L' on
garde
1es
données
de
n' importe
1equel
des
(357)
probl émes
précédents,
et
l ' on
demande
de
dèterm i ner
1a
probarJi 1 i té
que
s i l ' événemen t
E
se
produ i t,
i l
lui
soit
associé
la
cause
particulière
Ar'
en
d'autres
termes,
i l
s'agit
de
déter-miner
la
probabilité
a
posteriori
de
la
cause
A
lorsque
l'on
a
vu
se
produire
l'événement
r
E.
Dans
ce
cas.
i l
nous
faut
chercher
la
valeur
de1"â-
fraction
Prob.x z/Prob.z,
ou
c
p
/Prob.z
d'après
les
don-
r
r
r
nées.
( 1)
Puisque,
dans
les
problèmes
précédents,
l'on
a
établ i .
sous
di fférentes
hypothèses,
que
la
valeur
de
Prob. Z
dépendai t
du
1 i en
ou
de
l'absence
de
1 i en
ent re
1es
causes,
i l
est
év i dent
que
dans
tous
ces
cas,
1 e
probl éme
présent
peut
trouver
llne
solution
déterminée
par
simple
substitution
dans (1)
de
la valeur de cet élément ainsi
défini.
Si
1es
probabi 1 i tés
-"i
~T__LQLi
df.'S
C3uses
sont
É'Qa 1('s,
nous
avons
c
=c = ... =c
.
Donc,
pour
les
différentes
causes,
l
2
r
la
valeur
(1)
variera
en
raison
directe
de
la
quantité
p
.
r
Par
conséquent.
quelle
gue
soit
la
nature
du
lien
entre
1es
causes.
1a
probabi 1 i té
a
poster i or i
de
chacune
d' e I l es
sera proportionnel le a la probabilité de l'événement E obser-
\\lé,
lorsque
l ' on
sa i t
que
cet te
cause
ex i ste.
L' on
conna i t
bi en
l ' instance
parti cu 1 i ère
de
ce
théorème
qu i
est
ce I l e
où
les
causes
s'excluent
mutuellement.
Nous
avons
en
ce
cas
Prob.x
z/Prob.z = c p
/~c p
= Pr!(PI+P2+·· .+Pn>'
r
r
r
r
r
les valeurs de cl' ... c
'
étant égales.
n
Bi en
qu' i l
ne
so i t
pas
nécessa ire,
pour
démont rer
ces
théorèmes
ainsi
que
d'autres
du
même
genre.
dans
le
cas
particulier
où
les
causes
s'excluent
mutuellement.
d'intro-
duire
le
symbole
fonctionnel
0
-ce
qui
revient
en
fait
à
nous
permet tre
de
choi si r
toutes
l es
hypothèses
possi bl es
eb concevables
concernant
le
lien
entre
les
causes
tou-
tefois.
à
quelque
forme
que
l'on
ai t
affaire.
la
méthode
du
présent
trai té.
appl iquée
à
des
probl èmes
où
1e
nombre
de
données
est
indéfiniment
grand,
conduit
à
des
solutions
de
nature
toujours
quelque
peu
complexe.
Inuti le
de
se
de-
mander
si
1e
caractére
systémat i que
de
l a
démarche,
où
l'on
s'occupe d'abord des relations
logiques et
ensuite des rela-
tians
numériques
qui
interviennent
dans
un
problème,
vient
compenser
1a
longueur
et
1e
caractèrf'
souvent
compl i qué
-: 358 > de
ses procèdures.
ri
est
hors de (loute que son
pr i n-
cipal
intérêt
réside
dans
sa
puissance
dans
la
mal trise
qu'elle
nous donne
sur
des questions qui
visiblement échap-
peraient au pouvoir d'une raison humaine
livrée à
ses seules
forces.
C'est
la
raison
pour
laquelle
l'on
n'a
pas
jugé
super-flu
de
montrer.
dans
ce
chapitre.
la
façon
dont
la
méthode
s'appliquait
à
des
problèmes
dont
certains
pour-
raient sans doute paraltre rébarbatifs à cause de leur diffi-
cuIté.
sans,
en
plus,
avoir
pour
eux
la
perspective de
leur
utilité
immédiate.
A mon avis,
i l
nous
est
impossible,
pour
l'instant,
de
juger
définitivement
de
la question de
savoir
si ce genre de réflexions offre un autre intérét.
13 .. Le
problème
qui
suit
est
plus
facile
à
analyser
que
ceux qui
l'ont précédé.
PROBLEME )(.
La
probabi 1 j té
que
se
produi se
certai n
phénomène
naturel.
dans
des
circonstances
données,
est
p.
L'observation
a
également
permis
de
retenir
l'existence
.--'-
d'une probabilité a
pour que se présente une cause permanen-
te de
ce
phénomène.
c'est-à-dire d'une cause gui
produirait
toujours cet événement. dans les circonstances gui sont
supposées.
Quelle
est
la
probabilité
gue
si
l'on
voit
le
phénomène se produire n
fois de suite dans
les circonstances
ème
données.
il
se
produise. _la
n+l
fois?
Quelle est égale-
ment
la
pr-obabilit~ lorsque
l'on a
fait
cette
ob~ervation..L.
de
l'existence
de
la
cause
permanente
- - .-
- - - - _~ gues-
tion?
PREM 1ER
CAS. - t
représent e l ' ex i stence
d' une
cause
per-
manente
et
x ·x,. . . . . x
.1
les
occurrences
successi"ps
du
1
~
n·
phénoméne naturel.
Si
1a
cause
permanente
ex i ste,
les
événements
x
.x ···x
1
1
2
n ...
sont des conséquences nécessaires.
Par conséquent,
t
VX
,
t
= VX '
etc ...
I
2
et,
en éliminant
les symboles
indéfinis,
t< 1 - x
;.::0 t( 1 - x ~.O. .. , t< 1 - xl) = O.
1
2
n ...
Nous
devons
ma i ntenant
chercher
1a
probabi 1 i té
que
s i l a
combinaison x x ... x
se produit,
l'événement x
1 se produi-
1
2
n
n ...
se;
autrement dit nous devons chercher
la valeur de
la
frac-
t i on
Prob.x x ... x
/prob.x x
. . . x
.
1
2
n'" 1
l
2
n
Cherchons d'abord la valeur de prob.x x
·· ,x
'
l
2
n
, 359
Représentons
la
combinaison
X
x?
. -x
par-
nous
1
_
n
avons alors les équations logiques suivantes:
XIX?'.,X
_
n =w.
En ramenant cette dernière èquation à
la forme
(X
X
, · · X
)O-W)
...
W(I-X
x
. . . x
)
=
0,
I
2
n
l
2
n
et en l'additionnant aux précédentes,
il
vient:
où ~est
la
somme
de
tous
les
X.,
lorsque
va
de
1
à
n;
1
c'est
là
une équation
logique unique traduisant
les données.
A cela nous devons adjoindre
les conditions numériques
prob.x =prob.x =·· .=prob.xn=p.
Prob.t=a;
l
2
et notre objectif est de trouver Prob.w,
De
(1),
i 1 v i en t
"
.\\.
1)
t
+
(X 1 x 2" . . -' n )"
II
( ZX 1x 2' . . x n _ 1)
(1 - t ) .
( 2 )
lorsqu'on
développe
par
rapport
à
t.
On devra
ensuite déve-
lopper ce résultat par rapport à
x
,x " "
,x
'
1
Z
n
Lorsqu'on
fait
X =l,
X =l,."
,X =l.
les
coefficients
1
Z
n
de
t
et
de
t-1
sont
tous
deux
égaux
à
1.
En
assi gnant
à
ces mémes
symboles
tout
autre
ensemble
de
valeurs dont
cha-
cune
est
0
ou
l,
il
est
evident
que
le
coefficient
de
t
sera
négatif,
alors que
celui
de
(l-t)
sera nul,
Par consé-
quent.
le développement total de (2) sera
w=x x
, .. x t+x x
" . x (I-t)+0(1-x xr~"'x )(l-t)+
des
cons-
1 2
n
1 2
n
1 _
n
tituants
dont
les
coefficients
sont
1/0
ou
équivalents
à
1/0.
Nous avons alol's
v= x X "
.x t+x x '· .X ( 1-t)+( 1-x x ·· .x )( 1-t)
1 Z
n
1 Z
n
1 2
n
=x x
' · .Xnt+
1-t;
1 2
Passant de
la logique à
l'algèbre,
nous écrivons:
<360>
= (x 1x
· . , x
t +x
(l - t ) ) / p = ( X1x
t )fa =Xl x
' .. x
t +1 - t .
2
n
n
z ... x n
2
n
Prob.w = X X · ' ,X /(X x
' .. Xnt+l-t).
I
2
n
l
2
Les
formes
mêmes
de
ces
équations
montrent
clairement
que
nous
avons
xl =X =, ., =x
'
Remplaçons
alors
chacune
de
ces
2
n
quantités par x;
le système devient
n
n
n
(x t+(l-t)x)/p = x tla = X t+1-t,
n
n
Prob.w = x
/(X
t+l-tl;
d'où nous déduisons immédiatement
n-1
Prob.w = prob.x x
, .. x
= a+(p-a>(p-a)/(l-a»)
.
1 2
n
En remplaçant dans ce résultat n par n+1.
il
vient
;).;.a',.)
Proh. X x
• • •
x
'"
a + (p aIl ( p
r
1
2
n· l
NOliS
trouvons donc
(3)
qu i
est
l ' expressi on
de
1a
probabi 1 i té
que
si
1 e
phénoméne
ème
se
répète
n
fois.
i l
se
produise
encore
la
n+1
fois.
Par
la
méttlode
du
chapitre
XIX,
on
trou\\'e
que
a
ne
saur-ait
étre plus grand que
la valeur p.
Les vérifications suivantes sont évidentes:
1°)
Si
a=O.
l'expression
se
réduit
à
P.
comme
i l
est
normal.
En
effet.
lorsqu'il
est
certain
qu'il
n'en
existe
pas
de
cause
permanente.
1 es
occurr-ences
success ives
du
phénomène
sont
indépendantes.
2°>
Si
P=l.
l'expression
est
égale
è
l ,
comme
i l
est
normal.
3°)
Si
p=a.
l'expression
est
égale
à
1.
sauf
si
a=O.
Si
1a
probabi 1 i té
d'un
phénoméne
est
éga l'e
à
1a
probab i 1 i té
qu' i 1
(361'
ex i ste
une
cause
qu i.
dans
des
circonstances
données,
produira
toujours
ce
phénomène;.
alors.
1 e
fa i t
que celui-ci
ait
toujours été observé dans ces circonstances-
1à.
rend
certa i ne
sa
réappar i tian
dans
1 es
mémes
ci rcons-
tances. '"
"'Pu i sque
nous
ne
pouvons
ni
ret rouver
ni
nous
rappe 1er
1e
stade de
l'enfance.
nous ne
saurions dire
jusqu'à quel
point
des
résultats
comme
celui-là
peuvent
expliquer
la
confiance
avec
laquelle
les
petits
enfants
relient
des
événements
une
fois
qu'ils
ont
perçu
leur
association.
Mais
nous
pou-
vons
supposer.
de
maniére
yénérale.
que
l'intensité
de
leur
esp~rance
tient
à
la
nécessité
de
faire
des
inférences
(à
cause
de
leur
nature
rationnelle>,
et
à
leur
expérience.
limitée
mais
vive.
sur
laquelle
s'exerce
cette
faculté
de
déduction.
Cela
explique
qu'ils
ramènent
toute
sorte
de
succession
à
celle
d';.:rie
caus'."
et
d'un
effet.
L'un
de
mes
tout
jeunes 3'":lis qu'on
allait
(",che
posa
à
son
frère
cette
per'tirtl:'nte
qlystion
-'''Feur'',',,)l,,']'!-
se
coucher.
le
soir.
LilL
qUf!
le
j!'ur'
SC~
] "'\\".:,
.hl
d i " ) "
Le
frére.
qui
avait
avec
1..,
rr~quence de ses ~pparjt ion~
.n rèsu 1 -
tat
j_. ~- c· i)a -
bi 1 Ü.~
l'exi:I:,dce
(j'UfH:'
nte
du
p~
1~:
.! r
de
la fraI
~
'.,'~..
..~ .~." .. 'li
. . 'n •
cunt ....il ,
I l
puis,
loppem~~t :,~i~ue _ .' \\" ~
w
· v
~
0
\\1-:
,
~
L.' 1 '"'2' .. x n + '
,
Dès
l'of'
~ brs. l<:.:ssant de 1al:
imméd\\irtc'"
Prob.w
a ,
un
r'(>~\\ll Lat que l'on eût pu prètlo'U1.
numér,... t
''; (
,
t
dènomi nateur
de
notre
1 ~',' l ,-
1:'::
!
respe(' t .
·(',·-tJves,
on obtient
comme
proLk\\Jll.·
caus~. !rn:nr,C:;;i::.-nte l' expressi on
< 3 6 2 , .
0-1
" 'ana->(p-a)(p-a)!U-a)}
J.
I l
eS,t évident
que
la valeur
de cette p";:,ression
crot t
avec
celle
de n.
Je doi..
xx
tS
A un correspondant
très savant
- i l
a dèjâ été
un an
demain de plus,
sut
rèpondre que
le
jour
se
lèverait
le
len-
1e so i ';,
même si
les petits garçons n'allaient pas se coucher
r.
'" :c
1 1
s'agi'
lu Professeur Donkin.
fait
mention
de
ses
cunlrit)utions
originales
à
la
ttleorie
des
probabilités
-
l'exemple suivant.
qui
vérifie
le premier
des résultats ci-dessus (3).
"La probabilité totale de
l'événement
(dans
les circons-
tances
données)
étant
p,
et
celle d'une
cause
C
le
produi-
sant
nécessairement
étant
a.
on
appelle
x.
la
probabilité
que
l'événement
se
produise
en
l'absence
de
la
cause
C.
Nous avons donc
l'équation
p
a+(l-a)x.
d'où
x
( p - al / ( 1 - a ) .
Or.
le
phénoméne
observé.
c'est
n
occurrences
de
l'événe-
ment.
La probabilité ~~L~ci en serait
1,
en supposant que C existe,
n
,
.
x
• en supposant que C n eXIste pas;
Par
conséquent,
la
probabi 1 i té
a
posteriori
que
C
existe
n
est
a/(a+(l-a}X
J,
et celle que C n'existe pas est
n
n
(l-a)x
J/(a+(l-a)x
J.
Par
suite.
la
probabilité
d'une
nouvelle
occurrence
est
a/(a+(l-a)xnJ-l
+(l-a)XnJ/(a+(l-a)XnJxa.
ou
(a+(l-a)xn+lJ/(a+cl-a)xnl.
<363,
ce qui,
lorsqu'on remplace xpar sa valeur
(p-a)/(l-a),
apparaîtra conforme ê
(3)."
L'on
pour-ra i t
aussi,
probablement,
trouver
d'autres
exemples vérifiant
les résultats suivants.
obtenus en appli-
quant directement
la méthode générale.
La
probabi 1 i té
que
dans
1es
mémes
circonstances.
et
pour
éme
n occasions,
l'événement se produise
la n+l
fois.
aprés
s'ètre
pr'odu i t
r-
fois
et
m"Hlqué
fI-r-
fo i s
de
se
produire.
f f_=_i v __ l tt
est
.
-1-Do.;
où m=
(n(n-I) ... n-r+1l/1.2 ... r et 1= r/n.
,
La
probabi 1 L:té
de
l' exi stence
d'une
cause
permanente
(r
étant plus petit que n) est O.
Cela se vérifie aisément.
Soit
p
la probabilité d'un événement.
et
c
la probabi-
.1 i té
qu'après
n
occurrences
successi ves
de
cet
événement,
ème
il se répète à
la n+l
occasion est
n
n-l
(c+(l-c)x l/(c+(l-c)X
J.
où x=
(P(l-C»)!(l-cp).
20-
Il
est
remarquable
que
les
solutions
des
problè-
mes
qui
précèdent
ne
comportent
aucun
élément
arbi tra ire.
Nous aurions difficilement pu prévoir ce fait en considérant
simplement
les données.
Il
faut
pourtant voir que dans
tous
ces
problèmes.
la
probabi 1 i té
des
.causes
qui
y
intervien-
nent
est
supposée connue a
priori.
En
l'absence de ces élé-
ments
de
connai ssance
que
l'on
suppose.
il
sembl e
probabl e
que des constantes arbitraires seraient nécessairement appa-
rues
dans
la
solution
finale.
Cette
remarque
est
confirmée
par une catégorie de problèmes dont
on s'est beaucoup occu-
pé, et que, pour finir,
je m'en vais examiner.
(364)
L' on
a
observé
qu' il
ex i ste
dans
1es
cieux
un
grand
nombre
d'étoiles
doubles,
extrêmement
proches
l'une de l'autre, Ou bien ces phénomènes. qui apparemment
manifestent
une
relation,
ont
un
fondement
physique.
ou
bien ce n'est pas
le cas.
si
ce n'est pas
le cas.
nous pou-
vons
consi dérer
1e
phénomène
ct' une
éto i le
doub 1e
comme
1e
rèsultat
accidentel
d'une
"distribution
al èa toi r'('"
des
é tOile s
sur
1a
\\'0 Ü t e e è 1 est e ,
c' e s l - a - d ire
d' urie
(j 1 S tri tJ Il -
tion
qui
assignerait
exactement
à
l'un
et
l'autre
èléments
du
système
double
la
même
probabilité
d'apparaître
en
tel
ou
tel
endroi t.
Si
l'on
adopte
une
telle
hypothèse.
et
si
l'on connait
le nombre d'étoiles possédant
tel
éclat considé-
ré.
l'on
peut
déterminer
la
probabilité
d'en
trouver
deux,
situées
à
une
distance
telle
l'une
de
l'autre,qu'elles
donnent
naissance
au
phénomène
observé.
C'est
ainsi
que
.
x
MItchell.
estimant
qu'il
existe
230
étoiles
de
même
êclat
que 13 du
Capricorne,
dans
les
cieux.
donne
à
80
contre
1
la
possi-
bilité de
voir apparaître une
telle
combinaison si
les étoi-
les
étaient
distribuées
de
maniére
aléatoire.
On
demande
alors
la
probabilité.
lorsqu'une
combinaison
de
ce
genre
a
été
observée.
qu' i 1
existe
entre
ses
éléments
une
rela-
tion physiquement
fondée.
Pû.V' ~i. n e-u r$ , l a
somme
des
i nc 1 i na i sons
des
orb i tes
des
dix
pl anétes
connues
par
rapport
au
pl an
de
l ' éc 1 i pU que
était,
en
l'an
1801,
de
91°4187
selon
les
mesures
françai-
ses.
Si
toutes
les
inclinaisons étaient
également probables.
xx
Laplace
établit
qu'il
y
aurait
seulement
la
probabilité
extrêmement
faible
de
0,00000011235
que
la
moyenne
de
ces
incl inaisons
s'inscrive
dans
l'intervalle
qui
a
été
ainsi
assigné.Et
i l
en déduit alors une trés forte probabilité
xPhilosophical
Transactions.
An.1767.
xx
Théorie Analytique des Probabilités.
p.276.
en
faveur'
de
l ' exi stence d' une
cause
or'dunnalr' i ce qui
aur'ai t
ainsi
inscrit
les
inclinaisons
(1es
or-bites
planètaires
à
l'intérieur
de
1 imites
aussi
étroites.
Le
Professeur
De
Morgan
prenant
92'"
pour
somme
des
inclinaisons,
accorde
à
la
probabi 1 i té
ci -dessus
la
valeur
0,00000012,
et
i l
en
( 0 ",trot. UMe.-
déduit
"qu'il
existe
1/0,00000012 chances'VQu'une cause néces-
saire
ait
présidé
à
la
for'mation
du
systéme
solaire
avec
les
inclinaisons
telles
qu'elles
sont".
L'on
a
tiré
une
conclusion
tout
aussi
déterminée
des
coïncidences
observées
entre
la
direction
de
,365>
la
polarisation
circulaire
dans
le
cristal
de
roche
et
celle
de
certaines
faces
obliques
x'*'
qui
apparaissent dans sa structure cristalline.
Tous
ces
problémes
sont
de nature semblable.
L'on envi-
sage
une
certai ne
hypothèse
pour
1aque I l e l ' on
peut
assi-
gner,
avec
une
précision
parfaite,
les- probabilités
de
ses
différentes
conséquences
possibles.
L'observation
nous
don-
nant
un
résu 1 ta t
rée l,
qu i
fa i t
part i e
de
ces
conséquences,
et
sa
probabilité hypothétique étant
ainsi
connue,
on deman-
.---'-
de
de
déterminer
la
probabi 1 i té
de
l 'hypothèse
adoptée
ou
de
son
contraire.
Dans
le
problème
de
Mitchell,
l'hypothè-
se
est
celle
d'une
"distribution
aléatoire
des
étoiles",
les
conséquences
possibles
et
observées,
l'apparition
d'une
étoile
double
proche.
La
trés
faible
probabilité
d'un
tel
résultat
est
censée
indiquer'
que
la
pl'obabilité
de
l'hypo-
thèse est également
faible ou.
du moins,
qu'elle est d'une
x
Encyclopaedia Metropolitana.
art."Probabilités".
:n:Edinburgh
Review,N°185.p32.
Bien
qu'il
soit
parfois
enta-
ché d'erreurs,
cet article mérite grandement d'ètre connu.
Li 1 t) \\ t'5S.'
(jp
rnémp
ordre.
Et
l ' on
PH
i rdèr'p
<1\\ Uf S
1d
prul1d-
bilité,
très élevée,
et,
pour cel'tains,
déterminèe.
de
l'e"
istence
d'une
cause
ordonnatrice
de
la
configuration
des
étoiles.
L'on
peut
faire
le
même
genre
de
remarques
sur
les autres exemples qui
ont été ajoutés à
celui-là.
21-
Le problème génèral,
sous quelque
forme qu'il
puis-
se
se
présenter,
ne
peut
avoir
qu'une
solution
indètermi-
nèe.
Soi t
x
représentant
l ' hypothèse
proposèe,
y
un
phéno-
mène
pouvant
se
produ ire
comme
l'une
de
ses
consèquences
possibles
et
dont
la
probabilité,
calculée
en
tenant
l'h~'-
pothèse
pour
vraie,
est
p;
on demande de déterminer
la
pro-
babi 1 i té
que
l' hypothèse
x
so i t
\\Ira i e
lorsque
le
phénomène
V
est
observé.
Les
vér i tabl es
données
de
ce
probl ème
ne
sauraient
être
exprimées
sans
l'introduction
d'un
élément
arbitraire.
Nous pouvons seulement écrire
Prob.x = a,
Prob.xy = ap;
(1)
a
étant
parfaitement
arbitraire
même
s ' i l
s'inscrit
dans
l'intervalle
entre
0
et
l,
bornes
comprises.
Si ,alors,
P
~-_.. -
représente
la
probabilité
conditionnelle
cherchée,
nous
aurons
P
Prob.xy/Prob.y = ap/Prob.y.
(2)
Il
reste donc à déterminer Prob.y.
,366>
So i t
x~'
t;
il
vient
y=t/x =tx+l!O t(I-X)+O (l-t)x+O/O <1-t l(I-Xl.
(3)
Dés
lors,
en
remarquant
que
Prob.x=a,
Prob.t=ap,
et
en
pas-
sant de
la logique à
l'algèbre,
nous écrivons
Prob.y
(tX+C(I-tlX)!(tX+l-t),
ainsi
que
les
rela-
tions
(tX+(I-tlx)!a = tx!ap = tX+l-t.
Nous obtenorts alor's,
irnmediaternent,
Prob.y = ap+c<}-a)
(4)
Revenant à
(3),
nous trouvons que c
est
la probabilité que
si
l'événement
(l-t)(l-x)
se
produit,
l'événement
~' se pro-
duise.
Or,
(l-t)(l-x)
(l-XY)(l-X)
= l-X.
Par
conséquent,
c
est
la
probabilité
que
si
l'événement
x
ne se produit pas,
l'événement Y se produise.
Remplaçant
dans
(2)
Prob.y par
sa valeur,
nous obtenons
le théorème suivant:
Lorsque
sur
1a
base
d' une
hvpothès~l!Ysi que
x,
l'on
calcule
la
probabilité
p
d'un
phénomène
quelconque
y,
la
probabi 1 i té
a
posteri or i
P
de
l ' hv~thèse
physi que,
après
que
le phénomène a été observé,
s'exprime par
l'équation
P
ap!(ap+c(l-a»),
(5 )
où
a
et
c
sont
des
constantes
arbi traIres
dont
la
première
représente
la probabilité éL.P-riori
de
}'hvpothèse,
la
secon-
de,
celle
que
si
l 'hypothèse
est
fausse,
l'événement
y
se
----~ -
produise.
La
principale
conclusion
que
l'on
peut
déduire
de
ce
théorème
est
que,
les autres
éléments
demeurant
invariants,
la valeur de P croit
et décrott
avec
celle
de
p.
Par
suite,
plus
la
probabilité du
phénomène
est
grande
ou
faible
lors-
que
l'on
adopte
l'hypothèse,
plus
la
probabilité
de
celle-
ci
est
grande
ou
faible
après
que
l'on
a
observé
le
phéno-
mène.
Lorsque
pest
trés
faible.alors,
généralement,
Pest
aussi
faible,
à
moins
que
a
soit
élevée
ou
c
faible.
<367>
I l
en
découle,
ensuite,
que
si
la
[.Jf"obabilité
du
phénomène
S-oo
('st
l n ' s
faible
lorsque
l'oll
adopte
l 'h~potlJt'Sf.:',
la
prOIJ3-
bilité
de
celle-ci,
aprés
que
le
phénoméne
a
été
observé.
est
trés
faible.
à
moins
que
la
probabi 1 i té
a
priori
a
de
l'hypothèse
soit
élevé
ou
bien
Que
la
probabilité
du
phéno-
mène.
sous Quelque autre hypothèse Que ce soit.
soit
faible.
L' expressi on
(5,)
peut
se
vér i f i er,
de
man i ére
préc i se.
dans
différents
cas:
par
exemple
lorsque
c=O,
ou
a=l,
ou
a=O.
Mais
i l
est
évident
Qu'à
moins
d'avoir
les
moyens
de
déterminer
la
valeur
de
a
et
de
c,
on
ne
peut
en
tirer.
pour
P,
une
valeur
déterminée.
Toutes
les
solutions
Qui
prétendraient
donner
un
tel
résultat
ou
bien
seraient
érro-
nées dans
leur principe
ou
bien
impliqueraient
une hypothése
tacite
concernant
les
éléments
arbitraires
dont
on
a
parlé.
La
solution
Que
donne
M.
De
Morgan
du
probléme
de
Laplace
pour
ce
Qui
est
de
l'ex i stence
d' une
cause
ayant
déf i ni
les
limites
étroites
où
s'inscrivent
les
inclinaisons
des
orbites
planétaires
par
rapport
au
plan
de
l'écliptique.
me
semble
relever
du
second
cas.
Ayant
trouvé
une
probabi-
lité p
= 0.00000012 Que la somme des inclinaisons soit moins
Que
92 0
si
tous
les
degrés
d' incl inaison
étaient
également
probabl es
pour
chaque
orbi te.
cet
auteur
remarQuabl e
note:
"5' i l
exi ste
une
rai son
pour
Que
ces
i ne 1 i nai sons
soi ent
telles Qu'elles sont
décrites.
la probabilité de ,l'événement
est
1.
Par
conséquent.
la
pr'obarJi 1 i té
est
de
1: 0,00000012
tcntv"t WV\\
(.
<c'est-à-dire
1G.p)
Qu'il
~'
ait
eu
une
cause
nécessa ire
à
la
formation
du
système
solaire.
les
inclinaisons
étant
telles Qu'elles sont".
Or,
ce
résultat
est
celui
qu'aurait
effectivement
donné
l'équation
(5)
si,
attribuant à
p
la valeur ci-dessus,
nous avions posé c=l,
a=I/2.
Car nous aurions alors trouvé
P = <1/2.p)/(1/2.P +1/2)
= p/(l+p)
d'où
1 - P:
P::
1; P.
(6)
Mais
P
représentant
la
probabi 1 i té
,~t posteriori,
que
toutes
les
inclinaisons
soient
également
probables,
I-P
est
la probabilité,a posteriori, qu'il
n'en soit pas ainsi;
ou,
selon
l'alternative qu'offre
M.
De Morgan,
qu'il
existe
une
cause
déterminante.
L'équation
(6)
est
donc
conforme
au résultat de M.
De Morgan.
Avons
nous
toutefois
le
droit
d'attribuer
à
a
et
à
c
des
valeurs
particuliéres?
J'incline
fortement
à
penser
~ue non.
(368)
La quest i on se pose mo i ns dans
1 e
cas préc i s
que
pour
ses
déve 1 oppements
u 1 tér i eurs-.
Dans
1es
appl i ca-
tions
connues
de
la
théorie
des
probabUités,
il
n'appa-
ra 1 t
pas
expl ici tement
de
constantes arbi tra ires;
ma i s
dans
celle-ci
et
dans
beaucoup
d'autres
cas
qui
ont
pour
eux
-~-
les
meilleures
autorités,
l'on
a
essayé
d'en
donner
une
détermination
effective.
Et
cela
a
apporté
aux
résultats
de
la
théorie,
surtout
en
ce
qui
concerne
les
questions
de
causalité,
un
caractère de précision et
de détermination
qui,
tout
en
donnant
l'impression
d'exalter
le
règne
des
nombres
et
d'en
étendre
le
domaine
d'application
-
au-delà
:a:
méme
de
leur
viei Ile
prétent i on
à
gouverner
le
monde -
a
:a:Mundum regunt numeri.
èq;llf~ment,
par
ailll~UI'S,
pru\\'()qIH.'
(il'
\\jl](III['PIJ>;!':--,
I)r'("l'~'d-
ri ons
con t re
1 eur
i nt rus i on dans des doma i nes ou
l ' in fèr'ence
x
ne se
fonde quP sur
la conjecture,
Le
fait méme qu'apparais-
sent
des
constantes
arbitraires
dans
la
solution
de
problè-
mes comme
celui
ci-dessus,
lorsqu'on
leur applique
la mètho-
de
de
ce
traité,
semble
indiquer
qu'une
solution
détermi-
née
est
impossible
et
tracer
la
limite
où
devrait
s'arrè-
ter
la recherche.
Nous avons,
en réalité,
les moyens d'inter-
prèter
ces
constantes,
mais
l'expérience
ainsi
suggérée
est
tout
autant
hors
de
notre
por tée
que
ce I l e
qu i
écarte-
rait
la
nécessité
de
toute
tentative
de
solution,
quelle
qu'elle soit.
I l
est
une
autre
difficulté
qui
s'attache
à
ces
ques-
tions
et
qui
est
peut-étre
inhérente
à
la
constitution
même
de
nos
facultés:
c'est
celle
de
définir
précisément
ce
que
l'on
en tend
par
Ordre.
Nous
n'avons
aucun
ma 1
à
repérer
1es
man i festat i ons
de
ce
pr i nc i pe,
sau f
dans
des
cas
trés
complexes,
et
nous n'hésitons pas à
lui
trouver
un
fondement
presque
nécessa ire
dans
des
causes
qu i
ag i ssen t
se Ion
une
Loi.
Mais
lui
appliquer
un
cri tére
de
mesure
numérique
se-
rait
une
entreprise
vaine,
pour
ne
pas
dire
présomptueuse.
Et
pourtant,
i l
faut
en
mener
l'essai
avant
que
nous
pui s-
sions
espérer
évaluer
avec
précision
les
probabilités
de
configurations
différentes
de
'univers,
pour
déterminer
les
seuls
éléments
sur
lesquels
nous
pouvons
établir
une
"'cf.
un
article
trés
intéressant
du
Prof.
Forbes
dans
1e
Philosophical
Magazine.Déc.18Sü;
cf.
également
la
Logique
de Hill,
chap.xviii.
solution déter-millee des prol)l~'mes l1eja évoqués.
23-
La
démarche
la
plus
habi tuelle
lorsque
l'on
s'ef-
force
d'échapper
au
èaractère
nécessairement
arbitraire
de
la
solution,
en
théorie des probabilités,<369>
de problè-
mes
où
les
données
sont
insuffisantes,
est
d'at.tribuer
à
un
é l é men t
don t
1a
pro ba b i 1 i té
rée Ile
est
i n con nue,
t 0 u s
1es
degrés
possi bl es
de
probabi 1 i té;
de
supposer
que
ces
dtlrés
de
probabi 1 i té
sont
eux-mémes
tous
éga 1ement
prol;>a-
bles;
et,
les considérant
comme autant
de
causes différentes
du
phénomène
observé,
d' appl i quer
1es
théorèmes
concernant
le
cas
d'un
effet
dû
à
l'une
d'entre
certaines
causes
éga-
lement
probables
mais
s'excluant
mutuellement
(Problème
9).
Si,
par
exemple,
l'on
a
observé
m
fois
successives
que
le
soleil
se
levait
après
une
certaine
période
d'obscurité,
1 a
probabi 1 i té
qu' i 1
se
1 éve
de
nouveau,
dans
1 es
mêmes
circonstances,
se
calcule,
selon
les
principes
établis,
de
la
manière
suivante.
Soit
p
une
probabilité
inconnue,
comprise
entre
0
et
l ,
et
c
(une
quantité
infinitésimale
.--'-
et
constante)
la
probabi 1 i té
que
la
probabi 1 i té
du
lever
du
soleil,
après
une
période
d'obscurité,
soit
comprise
en t r e l es
1 i mit e s
p e t
p + d p .
A 10 r s
1a
pro bab i 1 i té
que
1e
soleil
se
lève m fois de suite est
1~pmdP;
et
1a
probabi 1 i té
qu' i 1
le
fasse
et
se
lève
à
nouveau
ou,
ce
qui
revient
au
même,
qu'il
se
lève
m+}
fois
de
suite,
(oi m+ 1
est
c l P
dp.
-
0
Par conséquent~ Ja probabilité que s ' i l
se
léve m fois de
suite,
il
se
lève
la m+}éme
fois est
.~
(ft m. 1
(cje
1 ( '
J /.)
dpI
pm (1 p 1
( m· 1 )
J u
qui
est
la solution connue et universellement acceptée.
Cette solution
repose.
de manière
générale.
sur
l'hypo-
thèse
d'une
analogie
entre
ce
problème
et
celui
du
tirage
de
boules
d'une
urne
contenant
un
mélange
de
boules
noires
et
blanches.
et
dont
on
suppose
l'égale
probabilité
de
tous
les
l'apports
numériques
entre
elles.
Et
i l
est
r'emarquable
qu'il
existe deux
ou
trois hypothèses différentes conduisant
au
mème
résultat
final.
Si.
par
exemple.
les
boules
sont
en nombre
fini
et que
l'on ne remette pas celles déjà extrai-
tes,
'370>ou
si
elles
sont
en
nombre
infini.
que
l'on
remette
ou
non
celles
déjà
extrai tes.
alors.
en
supposant
que
m
tirages
successi fs
n'ont
donné
que
des
bou 1 es
bl an-
ème
ches.
la
probabi 1 i té
que
sorte
une
boule
blanche
au
m+l
tirage est
(m+l)/(m+2). '"
L'on
a
dit
que
le
principe
qui
intervient
dans
ce
cas
et
dans
d'autres
semblables
est
celui
d'une
distribution
égale
de
notre
connaissance
-
ou
plutôt
de
notre
ignorance:
l'attribution
à
différents
états
de
choses
dont
nous
ne
savons
rien
de
~rés égaux de probabilité. Je crains que
ce
ne
soit
là.
toutefois.
une
manière
arbitraire
de
procè-
der.
I l
peut
se
rencontrer
des
cas.
et
l'on
en
a
déjà
évo-
qué
un.
où
di fférentes
hypothèses
mènent
à
la
méme
conclu-
sion
finale.
Mais ces cas sont
exceptionnels.
"'voir
un
mémoire
de
l'Evêque
Terrot.Edinburgh.Phil.Trans.
vol.XX Part.lv.
COIlcel·Ilélnt
le
probleme
preCiS
dollt
nous
nous
occupons.
le
mémoire
qui
a
été
cité
montre
qu'il
existe
une
hypothèse
menant
a
une
conclusion
différente:
celle
où
les
boules
sont
en
nombre
fini
et
qU'on
ne
les
remet
pas dans
l'urne;
et
i l
est
facile de voi~ qu'il
est d'autres
hypothéses
qui
font
intervenir
tout
autant
le
principe
de
"l'égale
distribution
de
connaissance
ou
d'ignorance".
et
qui
conduiraient également à
des résultats contraires,
24-
On
traduit, par
exemple ,le
lever
du
soleil
par
le
tirage
d'une
boule
blanche
d'une
urne
contenant
un
nombre
infini
de
tJoules.
qui
sont
toutes
ou
tJlanches
ou
noires;
et
on
adopte
le
principe
selon
lequel
toutes
les
constitu-
tions
possibles
du
systéme
de
boules
sont
également
proba-
bles.
Par
constitution
du
système.
j'entends
un
arrangement
qui
assigne
à
chaque
boule
du
système
une
couleur
détermi-
née.
no ire
ou
blanche.
Cherchons
a lors
1a
probabi 1 i té
que
ème
si
m boules
blanches
sortent
en
m tirages.
le m+l
tirage
fasse sortir une boule blanche .
..---. -
Supposons
tout
d'abord
que
le
nombre
de
boules
soit
~.
et qu'on
les associe aux symboles x1.X2 •... X~ de la mani-
ème
èr'e
qui
suit.
x.
représente
l'événement
qui
est que
la
i
1
boule
du
système
est
blanche.
la
proposition
qui
affirme
un tel
fait étant x.=1.
De même.
le symbole composé
<371>
i
.ème
.
l-X.
l'eprésenle
le
fai t
que
la
1
boule
est
nOire.
I l
1
est
évident
que
les constituants
formés
de
la
série
entière
de
s~:mbo 1es
Xl' X?' ... x
•
-
représenteront.
de
la
même
façon.
~
les différentes constitutions possibles du système de boules
en
fonction
des
couleurs
noire
et
blanche;
le
nombre
de
50'
ces
constitutloflS
ptant
de
1a
pr-otlabi 1 1 tè
de
chacune
d'elles
sel'a,
d'aprés
l'h~'pottJése, 1/21J • C'est cette valeur
que
nous
devrions
trouver
en
substituant
dans
l'expression
de
n'importe
quel
constituant,
la
valeur
1/2
à
chacun
des
symboles
x
,x
,·· .xlJ'
Par
conséquent,
la
probabilité
de
1
2
n'importe quel
évènement pouvant
se
traduire comme une série
de
const i tuants
de
même
nature
que
ci-dessus,
sera
obtenue
en
substituant
dans
cette
expression
la
valeur
1/2 à
chacun
de ces symboles.
Or,
plus
IJ
est
grand moins
i l
est
probable qu'une boule
que
l'on
a
tirée
puis
remise
soit
de
nouveau
tirée.
Lorsque
IJ
tend
vers
l ' i n f i n i ,
cette
probabi 1 i té
tend
vers
O.
Et
dans
ce
cas,
la
configuration
des
boules
effectivement
t i -
rées peut
s'exprimer
comme
une
fonction
logique de m d'entre
les
symboles
X 1 ' .. x?' ... x
,
et
donc,
par
développement,
-
IJ
comme
une
série
de
consti tuants
formés
de
ces
m
symboles.
On
en
trouvera
par
conséquent
1a
probabi 1 i té
en
subst i tuant
à
chacun
des
symboles,
que
ce
soit
dans
la
forme
développée
.---. -
ou
non
développée,
la
valeur
1/2.
Mais
c'est
précisément
la substitution qu'il
serait nécessaire et suffisant d'effec-
tuer,
si
la
probabilité
d'avoir
une
boule
blanche
à
chaque
tirage était connue,a priori,
étre égale à
1/2.
l i e n
décou 1e
a lors
que
si
1 e
nombre
de
bou 1es
est
infini
et
toutes
les
constitutions
du
s~:stèrne
également
probables,
la
probabilité de
tirer
à
la
suite m tloules blan-
ffi
ches sera égale à
1/2
,
et celle de tirer à
la suite m+1
m+1
boules blanches
à
1/2
;
par
suite,
la
probabilité qu'après
avo i 1-
tiré
m
bou 1es
blanches,
1e
tirage
Sll i van t
donne
lIne
Sol
tJoule
l)lanche
sera
de
1 '2.
En
d'autres
372
termes,
l'expé-
['ience
antérieure
n'affecte
pas,
en
ce
cas,
l'espérance
pour
le futur.
25-
Il
sera peut-être satisfaisant de vérifier ce résul-
tat
par des méthodes ordinaires.
Pour ce faire,
nous cherche-
rons
d'abord:
la
probabi lité
d' avoi r
r
bou les
bl anches
et
p-r
boules noires en p
tirages d'une urne contenant
~ boules,
toutes
étant
remises
après
tirage,
et
toutes
les
constitu-
tions du système êtant,
a priori,
égaiement probables.
Puis:
la
valeur prise par cette probabilité
lorsque
~ devient
infini.
Ensuite:
la
probabilité
qui
en découle que
si
m bou-
ème
les blanches ont été
tirées à
la suite,
la m+l
boule tirée
soit également blanche.
Lé:!
protlabilitè
d'a\\'oir
r
boules
blanches
et
p-r'
boules
no ires
en
p
tirages
d'une
urne
contenant
~
bou l es,
toutes
ètant
remises dans
l'urne après
tirage
et
toutes
les consti-
tutions
du
système,
selon
la
définition
ci-dessus,
étant
éga l ement
probabl es,
est
éga l e
à
l a
somme
des
probabi lités
d' obten i r
l~-même
résu l ta t,
en
partant
des di f férentes
hypo-
thèses
suivantes:
il
n 'y
a
pas
dans
l'urne
de
boules
blan-
ches,
il
Y a
une
boule blanche,
enfin,
il
Y a
~ boules blan-
ches.
C'est
donc
la
somme
des
probabilités
d'obtenir
ce
ré-
sultat
à
partir
de
l'hypothèse
qu'il
y a n
boules
blanches,
n variant de 0 à
~.
Or,
en supposant qu'il
y ait n boules blanches,
la proba-
bilité
d'obtenir
une
boule
blanche
en
un
seul
tirage
est
n/~,
et
celle
d'obtenir
r
boules
blanches
et
p-r
noires,
dans un certain ordre,
en p tirages,
est
·
[
.
p - r
<n'IJ)
(1-'
nilJ)
Mais il
Y a autant d'ordres de ce type qu'il
y a de combinai-
sons
de
n
éléments
parmi
p;
par
conséquent.
la
probabilité
totale
d'obtenir
r
boules
blanches
en
p
tirages
dans
le
systéme de IJ boules dont n blanches.
e~t.
(p(p-l) ... (p-r+1 »)/(1.2 ... r)
(n/lJ)r (1-
n/lJ)p-r.
(1)
Par
ailleurs.
le
nombre
de
constitutions
du
systéme
des
IJ
boules contenant exactement n boules blanches est
et
le
nombre
des
constitutions
possibles
du
système
est
Par
conséquent,
la
probabilité
qu'il
y
ait
exactement
n
boules blanches est
En
multipliant
( I )
par
cette
expression.
et
en
prenant
la
somme
des
produi ts
lorsque
n
varie
entre
n=O
et _n~lJ.
il
vient
p(p--l.) ... r-~.f1.
?
c.r--L)- .. (?-·'H~)
,AIl
.) .1 .. ' ~
.Â
;l . .. rn.~
qui
est
1 'expression
de
la
probabilité
totale
d'obtenir
d'un
système de
IJ
boules dont
toutes
les constitutions sont
également
probables.
r
boules
blanches
en
p
tirages.
Nous
avons:
(3)
.,,8
o
représentant
e
- ~&
l e sy mbo l e
d! d
,
de
so 1- t e
que
eH. 0) E
o<n)[.
Mais,
d'après un théorème bien connu,
t m= am,. 6010 t + l:::..2am/ 1 .2 t ( t - 1 ) + t:? am /1 . 2. 3
U t - 1 ) ( t - 2) .
'1 (
lt)r
d'où
j)V>\\ (-1-+L6)~ =-1 o~~ 1J.OM j) t j}O: D (Ù_i)1-dc
r -1 + ~
•
\\
1..(
{}
Posons,
dans le second membre,t=x;
i l
en résulte
( "'" - 0"'"
01
o -+ 'b,
-,:. -
..,..
dx
puisque
i
i
0<0-1> . . . (O-i+1>
x
(d/dx)
.
-374>
Effectuons,
dans
le
second
membre
de
cette
équation,
les
différentiations
et
faisons
X=l
(puisque e=0>;
nous
Le
dern i er
terme
du
second
membre
de
cet te
équat i on
sera
~Cz-~)'-' V
... -{' t.V"-O-- 0'#-"'" .
/.
'\\
(
rn.-t
J)
)
-<-
-;..~ ( v. - -1 ." ï -
-'l-
--
1
/
1
.'
.A, ~
""0""
puisque6:
=
1.2 . . . 10.
Lorsque
Il
est
un
grand
nombre,
la
va-
leur
de
ce
terme
excède. ce Il e
de
tous
l es autres,
et
lors-
que
Il
tend
vers
l ' i n f i n i .
cette
valeur
tend
à
être
infini-
ment
élevée en comparaison de celle des autres termes. Etco\\"l'lme.,
de-
10
Il-m
plus,
ce
terme
prend
la
forme
Il 2
,
nous
avons,
par passage à
la
limite,
om u
1O
1J
+ t 6 )1J
=
Ilm2 1J -
=
<1l/2)m2 •
Par
conséquent,
si
C2l (0)
représente
une
fonct i on
Que 1conque
du symbole D,
pouvant
se développer
en une série de puissan-
ces croissantes de D,
nous avons
5'10
o<DJ< l~ t.(1)1J
<4 )
si G=O
et
jJ= f>C>.
A
parler
rigoureusement,
cela
signifie
que
1 e
rapport
des
deux
membres
de
cet te
équat i on
tend
vers
l'unité
lorsque jJ
tend vers l ' i n f i n i , 8étant égal
à
O.
Par
ce
théorème,
le
dernier
membre
de
(3)
se
ramène
à
la·
(2)
donne donc
{( p ( P -1 ) ... ( p- r + 1) ) /1 .2 ... r} ( 1/ 2) p .
qui
est
l'expression de
la probabilité que d'une
urne conte-
nant
un
nombre
infini
de
boules
noires
et
de
boules
blan-
ches,
toutes
les
consti tutions
du
s~'stème
étant
également
probables,
on obtienne r
boules blanches en p
tirages.
Si
donc
nous
faisons
p=m,
r=m,
la
probabilité
qu'en m tira-
ges
toutes
les
boules
soient
blanches'
est
(1/2)ID,
et
la
probabilité qu'il
en soit ainsi
et
<.375> .qu'en plus
le
ème
m+ 1
tirage
donne
une
boule
blanche
est
par
sui te,
la
probabi 1 i té
que
si
les m premier.-s_ tirages
ne don-
ème
nent
que
des
boules
blanches,
le
m+1
donne
aussi
une
boule blanche,
est
(1/2)m+1 J /(1!2)m J = 1/2;
et,
de
manière
générale,
tout
résultat
aura
la
méme
proba-
hilité
comme
s ' i l
y
avait
toujours
la méme
chance,
que
cha-
que
tirage particulier ait donné une boule blanche ou une
boule
noire.
Cela
est
conforme
à
la
conclusion
obtenue
pré-
cèdemment.
26-
Ces
résultats
ne
font
qu'illustrer
le
fait
que
lorsque
l'on
supplée
à
l'insuffisance
des
données
en
fai-
sant
une
hypothèse.
les
solutions
obtenues
varieront
en
général
avec
la
nature
des
hypothèses
posées;
de
sorte que
demeure
toujours
la
question
de
savoir
si
les
principes
de
1a
théor i e
des
probabi 1 i tés
nous
a i dent
à
bi en
cho i si r
ces hypothèses;
la formulation de cette question est simple-
ment
plus
précise.
J'ai
déjà
dit
ma
conviction
qu'ils
ne
nous
a i dent
guère
-
une
conv i ct i on
que
ren forcent
d'autres
raisons
que
celles
déjà
évoquées.
Ainsi.
lorsque
l'on
a
trouvé.
pour
un
problème.
une
solution
déterminée.
grâce
à
la
méthode
de
ce
traité.
l'on
peut
parfois
obtenir
une
solution
également
déterminée.
grâce
à
la
même
méthode.
quand l'une des données,
prob.x~Pl par exemple.
a
été omise.
Mais
je
n'ai
pu
trouver
aucune
maniére
de
déduire
cette
seconde
solution de
la première par
intégration
par
rapport
à
P.
dont
on
suppose
qu'il
varie
dans
l'intervalle
défini
dans
le chapitre XIX.
Une telle déduction pourrait toutefois
être ef fectuée.
je pense,
si
1e
pr i nc i pe évoqué dans
l'art.
23 était valide.
Mais ce n'est pas sans hésitation que j'ex-
prime
mon
désaccord.
sur
ces
points.
avec
les
mathémati-
ciens
en
général
et.
plus
particulièrement.
avec
celui
qui
parmi
les
auteurs
Anglais.
a
le
plus
complètement
pénétré
l'esprit et les méthodes de Laplace;
et
j'ose espérer qu'une
quest i on
de
cet te
nature.
qu i
ne
1e
cède
en
importance
à
aucune autre en
théorie des probabilités.
recevra tout
l'in-
térêt et l'attention qu'elle mérite.
CHAPI rRE 21 .
.APPL 1 c ..\\ r 1O~ SF'EC r ALE DE c.c"! TL :'1LTHoDE GENLkALE
A LA QUESTION DE LA PROBABILITE DES JUGEMENTS.
<376>1-
Supposant
que
la
méthode
générale
de
ce
trai-
té,
pour
la
solution
de
problèmes
en
théorie
des
probabili-
tés,
aura
été
suffisamment
explicitée
dans
les
précédents
chapitres,
je
me
propose
maintenant
d'en
examiner
une
des
appl ications
pratiques,
choisie
dans
le
vaste
domaine
des
statistiques
sociales:
l'évaluation
de
la
probabilité
des
jugements.
Cette
application
n'est
peut-être
pas,
si
on
en
juge
à
ses
résultats
immédiats,
la meilleure
que
j'eusse
pu
choisir.
L'une
des
premières
conclusions
auxquelles
elle
méne
est,
en
effet,
que
les
données
que
l'expérience
seule
peut
fournir,
sont
nécessai rement
i nsuffi santes
pour
réal i -
ser
l'objectif
le
plus
important
de
la
démarche.
Mais
en
nous
montrant
clairement
la
nécessité
de
poser
des
hypothé-
ses
complètant
les données
de
l'expérience,
et
en
nous
per-
mettant
de
déduire
rigoureusement
les
conséquences
d'une
hypothèse quelconque pouvant
être adoptée,
la méthode accom-
p l i t
tout
ce qui.
véritablement.
relève de son domaine d'ap-
plication.
Et
l'on
pourrait
observer
que dans des questions
qu i
concernent
1 e
comportement
de
notre
propre
espèce.
1 e
recours
à
des
hypothèses
se
justifie
davantage
que
dans
des
questions
comme
celles
soulevées
dans
les
derniéres
sec t i ons
du
chap i tre
précéden t .
Not re
expér i ence
généra 1e
de
la
nature
humaine
vient
pallier
l'insuffisance
et
l'im-
per"fection des données statistiques.
2-
Les
éléments
qui
interviennent
dans
les
problèmes
, ,
relatifs aux assises criminelles sont
les suivants:
1 ° ) La
probabi 1 i té
qu'un
membre
donné
du
j ury
se
forme
une
opinion correcte de l'affaire.
2°)La probabilité que
l'accusé soit coupable.
3°)
La probabilité qu'il
soit
condamné
ou qu'il
soit acquit-
té.
4 0)
La
probabi 1 i té
que
sa
condamnat i on
ou
son
acqu i t tement
soient justes.
5°)
La constitution du jury.
6°)
<377>
Les données
fournies
par
l'expérience.
par
exemple
le
nombre
de
cas
où
l'on
a
pu
arriver
à
des
décisions
à
l'unanimité
ou
obtenir
des
majorités
relatives;
le
nombre
de
cas
où
les arrêts
ont
été
infirmés par
des
cours d'appel
etc ...
En
outre.
l'on peut
considérer
les questions à
examiner
comme
des
problèmes
directs
ou
des
problémes
inverses.
Les
probl èmes
di rects
de
probabi 1 i té
sont
ceux
où
la
probabi 1 i -
té d'un
bon
jugement
de
la part
de chaque membre du
tribunal
ou de
la
culpabilité de
l'accusé est
supposée connue a
prio-
Li.
et
où
l'on
cherche
la
probabilité
d'un
jugement
d'une
nature
donnée,
ou
bien
rendu
à
une
majorité
déterminée.
Les
probl èmes
inverses
sont
ceux
où.
à
part i r
des
données
de
l'expérience,
l'on
demande
de
trouver
un
élément
qui.
tout
en
entretenant
~'ces
données
une
re lat i on
de
cause
à
effet.
ne
peut
pas
s'observer
directement;
ainsi.
par
exempl e.
lorsqu'à
part i r
des
procès-verbaux
d'arrêts
rendus
par
des
cours,
on
demande
de
détermi ner
la
probabi 1 i té
de
la
bonté
du
jugement
d'un
membre
du
tribunal.
c'est
à
ce
type
de
pI~olJlèmes.
difficiles
et
impur'tants
crltrt'
tous,
que l'on s'attachera principalement
ici.
3-
La
solution
des problèmes directs,
selon
la
typolo-
8'~'
ci-dessus,
ne
présente
aucune
difficulté.
Supposons
qu'il
n'y ait qu'un membre dans le jury. Soit k
la probabili-
té
de
la
culpabilité
de
l'accusé;
x
la
probabilité
que
le
membre du jury se fasse une opinion correcte;
X la probabili-
té de la condamnation de l'accusé:
alors
kx
1a
probabi 1 i té
que
l'accusé
so i t
coupabl e
et
que
1e
juré le dèclare coupable.
(1-k)(1-x)
la
probabi 1 i té
que
l'accusé
soi t
innocent
et
que le juré le déclare coupable.
Or
ce
sont
là
les
seuls
cas
où
un
verdict
de
condamnation
peut
être
prononcé;
et
puisqu'en outre
ils s'excluent
mutu-
ellement,
nous avons
x = kx • (1-k)(1-x).
(1)
De
la même manière.
s ' i l
y a n jurés et que les probabilités
respec t ives
de
les
voir
rendre
un
bon
jugement
sont
x
. . . . x
.
la probabilité d'un
verdict
à
l'unanimité
de
con-
2
n
damnation sera
x = kx x ... x
+ (1-k)(1-X
)<l-x ) ... <l-x ).
1 2
n
1
2
n
<378>
Par
conséquent.
si
les
probabilités
x
.x . . . . x
sont
1
2
n
égales et qu'on les représente toutes par x.
on aura
x
kx n + (1-k)(1-X)n.
( 2 )
Dans
le
second
cas.
la
probabilité
d'une
culpabi lité
de
l'accusé sera
n
n
n
kx l(kY +(1-k)(1-x)
J.
Tous
ces
résultats
présupposent
que
les
événements
dont
les
prolJal>i 1 i tés
sont
repn?sent.ées
par
K,x
,x
,
pt. c ... ,
1
2
sont
indépendants;
une
présupposition
qui
est,
toutefois,
inscrite,
de
notre
point· de
vue,
dans
le
fait
que
ces
èvé-
nements sont
les seuls dont soient données les probabilités.
La
probabilité
d'une
condamnation
à
un
nombre
donné
de
voix
peut
s'obtenir
grâce
aux
mêmes
principes.
Si
un
jury
se
compose
de
tro i s
personnes
et
que
1 es
probabi 1 i tés
de
les
voir
se
former
une
opinion
correcte
sont
x,x',
x",
la
probabi 1 i té
X
que
l'accusé
soi t
déclaré
coupabl e
par
2
deux d'entre elles sera
x
-=
k {xx' ( 1- x" ) + xx" ( 1 - x ' ) + X • x" ( 1 - x) }
2
+(1-k){(1-x)(1-X' )x"+(1-x)(1-x")x'+(1-x' )(1-X")X),
expression qui,
lorsque x=x'=x",
se ramène a
Et
1 e
même
mode
de
rai sonnement
fera
apparat tre
que
s i X .
représente
1 a
probabi 1 i té
que
l'accusé
so i t
déc 1 aré
1
coupabl e
par
voix
dans
un
jury
de
n
personnes,
et
que
1 es
probabi 1 i tés
respec t ives
de
1 es
vo i r
prononcer
un
bon
---. -
jugement sont égales et représentées par x,
alors
i
X
n
=
(n(n-l) . . . (n-i+I»)/1.2 . . i
{){xi(l_X)n-i+(l_k)x
-
i
(l-X)i).
(3)
si
l'on
cherche
la
probabilité
d'une
condamnation
à
une
majorité a déterminée,
on écrit simplement
i-a=n-i,
d'où
i
= (n+a)/2 ,
SiC
:\\7'}
tH'l-e
valeur
qUI.:'
]'on
dOit
sutlstltuer
11dflS
1 ·f' ....~pr-('ssi()n
ci-dessus.
Il
est
t)i en
entendu
que
a
ne
prend
que
des
va-
leurs
pour
lesquelles
i
est
entier.
Si
n
est
pair,
ces
va-
leurs
seront
0,2,4,
etc ... ;
s ' i l
est
impair,
1,3,5,
etc ... ,
ce qui
est évident par ailleurs.
La
probabilité
d'une
condamnation
à
une
majorité
d'au
moins un nombre m,
donné,
de voix,
sera
obtenue en addition-
nant
les
probabilités
suivantes,
établies
comme
précédem-
ment:
1°)
La
probabilité d'une condamnation à
une majorité d'exac-
tement m voix.
2°)
La
probabilité d'une condamnation à
la majorité
immédia-
tement supérieure de m+2 voix;
et
ainsi
de
suite ... ;
le
dernier
élément
de
la
série
étant
la
probabilité
d'une
condamnation
à
l'unanimité.
Ainsi,
la
probabilité
d'une
condamnation
à
une
majorité
d'au
moins
4
voix parmi
12 jurés serait
X +X
+··· .+X
,
S
9
12
l es
va leurs
de
ces
termes
étant
données
par
(3),
où
l'on
aura fait
n=12.
4-
Lorsque,
au
lieu
d'un
jury,
on
considère
le
cas
d'une
simple
assemblée
dél ibérante
comportant
n
personnes,
la
probabi 1 i té
pour
chacune
d' ell es
de
donner
un
bon
juge-
men t
étau t
représen tée
par
x,
on
cons t ru i t
des
expressi ons
différentes
des
précédentes
et
que
l'absence
de
la
quantité
k rend un peu plus simples.
La probabilité d'une décision à
l'unanimité est
n
n
X = X
+
(1-x)
.
La
pC'ùbabi 1 i té
que
per'sorlTles
d'entre
toutes
pr'f>llllent
la
même décision est
i
n-i,
i
X.
=(n(n-l) ... (n-i+l»)/1:2 ... i
(x
(l-x)
\\l-x)
J.
1
I l
n'est
pas
nécessaire
de
poursuivre
plus
avant
ce
genre
d'ana 1yses.
EII es
ont
fa i t
l'objet
de
déve 1oppements
considérables
de
la
part
de
Condorcet.
Laplace.
Poisson
et
d'autres
auteurs.
qui
ont
examiné.
en
particulier.
les
procèdures de calcul
et de réduction dont
l'emploi
est néces-
sa ire
lorsque
n
et
i
sont
de
très
grands
nombres.
I l
est
clair
que
la
démarche.
dans sa
totalité.
revêt
un
caractère
trés
spéculatif.
Les
valeurs
x
et
k
ne sauraient
être
<380>
déterminées
à
partir
d'une
observation
directe.
La
seule
chose
que
nous
puissions
supposer.
c'est
qu'elles
doivent
excèder
toutes
deux.
en
général.
la
valeur
1/2;
que
la pre-
mière.
x.
croIt nécessairement en fonction du niveau d'intel-
ligence
de
la
société;
que
la
seconde.
quant
à
elle.
dépend
des
procédures
préliminaires
dans
l'administration
de
la
j ust i ce
qu i
permet tent
de
fa ire
compara i t re
1 es
personnes
--.-
susp,ec tées
d'un
dè 1 i t
devan t
1es
t r i bunaux
de
1eur
pays.
Poisson
a
fait
la
remarque
que dans
les
péri~es révolution-
na ires
comme
1e
Règne
de
1a
Terreur
en
France.
1a
va 1eur
de
k
peut
tomber
trés
nettement
en
dessous
de
la
limite
1/2.
si
l'on
tient
compte
des délits politiques.
L'histoire
récente
de
l'Europe
confi rmera i t
sans
doute
cet te
remarque
et montrerait que ce n'est
pas à
cause de
l'excessive
licen-
ce
en démocratie,seulement,qu'il
faut
craindre de voir
l ' i n -
nocence accusép-.
Laplace
suppose
que
toutes
les
valeurs
de
x.
de
x=1/2
5i&
qu'un
juré
soit
davantage
susceptible
d'ëtre
trompé
que
de
ne
pas
l'ëtre,
mais' il
suppose
que,
dans
les
limites
qui
sont
celles
de
la
probabilité
pour
un
individu
de
se
former
un
bon
jugement,
nous n'avons
aucune
raison
de
choi-
sir
telle
valeur
de
x
plutôt
que
telle
autre.
Cette
hypo-
thèse
est
tout
à
fait
arbitraire,
et
i l
serait
ici
inutile
d'en examiner
les conséquences.
Po i sson
sembl e s ' être
d'abord
ef forcé
de
conc 1ure
de
l 'expér i ence,
dans
une
démarche
déduc t i ve,
1es
va 1eurs
de
x
et
de
k.
Dans
les
six
années
entre
1825
et
1830
incluse,
le
nombre
d'individus
accusés
d'atteintes
aux
personnes
et
ayant
comparu
devant
les
tribunaux
français.
était
de
11016,
et
le
nombre
de
condamnations
était
de
5286.
Les
jurés
se
composaient
de
12
personnes,
la
sentence
étant
prononcée
à
la
majorité
simple.
En
considérant
ces
nombres
comme
suffisamment
grands
pour
une
évaluation
de
probabili-
tés,
l ' on aura i t
a lors une
probab i 1 i tè donnée par
1e
rapport
5286/11016,
soit
0,4782
de
voir
condamner
un
accusé
à
une
majorité simple.
L'on aurait
l'équation
<381>
l'expression
générale
de
X.
étant
donnée
par
l 'équa-
1
tion
(3)
où
l'on aura
fait
n:12.
En
l'an
1831,
la
loi
ayant
connu
une
transformation
et
exigeant
une majorité d'au moins
quatre
personnes
pour
qU'une
condamnation
soit
prononcée,
le
nombre
d'individus
jugés
pour
atteintes
aux
personnes,
dans
l'année,
étant
de
2046,
dont
743
condamnations,
la
probabilité
de
voir
condamner
quelqu'un
à
la
majorité
indi-
X8~X9~'"
~X12 ~ 0,3631.
(6)
En
supposant
que
les valeurs de
k
et
de
x
étaient
les mêmes
en
l'an
1831
que
pour
1es
si x
années
précéden tes,
1es
deux
équations
(5)
et
(6)
nous permettent
de
les caculer
approxi-
mativement.
Poisson trouva ainsi
k
=
0,5354,
x
~
0,6786.
Pour
des
atteintes
aux
biens,
durant
la
même
période,
i l
trouva,
par une démarche analogue.
k
= 0,6744,
x
= 0,7771.
La
résolution
du
système
d'équations
(5)
( 6 )
donne,
dans
chaque
cas,
deux
va 1eurs
pour
k
et
deux
val eurs
pour
x,
1 . une
étan t,
dans
chaque
coupl e
de
va 1eur s,
pl us
grande.
et
l'au t re
pl us
pet i te,
que
1/2.
L' on
posa
que
dans
chaque
cas,
i l
fallait
choisir
la
plus
grande
car
on
considérait
plus probable
la
culpabilité d'un accusé que son
innocence,
et- pl us
probabl e
qu'un
juré
se
formât
une
opi ni on
correcte
que
fausse,
à
partir des preuves présentées.
--5"-
Les
données qu'utilise
Poisson.
en
particulier
cel-
les
de
l'année
1831.
sont,
à
l'évidence.
trop
imparfaites
pour que
nous puissions nous
fier
beaucoup aux valeurs ainsi
déterminées
de
x
et
de
k;
et
c'est
surtout
pour
la
méthode
elle-même
que
ces
déterminations
ont
été
ici
évoquées.
I l
eût
été
possible
d'établir,
durant
les
six
années
1825-30,
ou durant
toute autre période semblable,
le nombre de condam-
nations
prononcées
à
toutes
les
majorités
possibles.
Les
valeurs
des
éléments
X
,X
, .. ,X
auraient
pu
être
établ ies
S
9
12
avec
précision
si
des
raisons
de
police
ne
l'eussent
inter-
( XV 1 1 1 .4 ) .
6--Je
m'en
vais
appl i4Uf~r
léi
Olt"tllode
de
ce
tral te
d
1a
ca tégor 1e
de
prob 1èmes
évoquèe
plus
haut,
en
me
deman-
dant,
d'abord,
si
les
pr'ocès-verbaux
des
tribunaux
et
des
assemblées délibérantes
peuvent,
~euls,
nous
donner
quelque
information que
ce soit
concernant
les probabilités de voir
les
individus
qui
les
composent
former
des
jugements
cor-
rects;
et
ensuite.
puisqu'il
apparaît
que
ce
n'est
pas
le
cas,
en
essayant .d' établ i r i e
nombre et
la nature des hypo-
thèses
nécessaires
s'accordant
le
mieux
avec
les
données
effectives dont nous disposons.
PROPOSITION 1.
A partir
des seuls procés-verbaux des décisions d'un
tribu-
nal
ou
d'une
assemblée
délibérante.
il
n'est
pas
possible
de
déduire
une
conclusion
déterminée concernant
la
validité
des jugements respectifs de leurs membres.
Quoique
cette
Proposition
ne
semble
exprimer
que
la
conclusion
du
simple
bon
sens,
il
n'est
pas
sans
intérêt
de montrer qu'elle peut ètre rigoureusement démontrée.
<383> Prenons le cas d'une assemblée délibérante compor-
tant
n
membres;
on
n'a
fait
aucune hypothèse
sur
la dépen-
dance
ou
l'indépendance
de
leurs
jugements.
On
utilisera
les symboles logiques x
.x ' ... x
selon la définition suivan-
t
2
n
te:
1e
symbol e
générique
x.
représente
l'événement
qu'est
1
ème
l'expression,
de
la part du
i
membre A.
de
la cour,
d'une
1
opînion
juste.
Nous
considérerons
les
valeurs
de
prob.x
,
t
prob.x , .. prob.x ,
comme
les
quaesita
d'un
problème
pour
2
n
lequel
nous
devons
d'abord
chercher
l'expression
de
ses
données possibles.
CPS
donn~es
sont
! es
protJah i 1 i t ès
d' (-,vénempn t spou-
vanl
S'l!xpt'imer
comme
des
fonctions
loqiques
des
s~/mboles
x
,x
,· " x
'
Soient
X
,X
,.
'X
ces
fonctions,
et
soit
le
1
2
n
1
2
m
système de donnèes suivant:
prob.x =a
,
prob.x =a
,
prob.x = am'
1
1
2
2
m
D'après
la
nature
méme
de
ce
problème,
l'on
peut
montrer
que
1es
fonet i ons
Xl' \\~,
. X
ne
changent
pas
si
l'on
y
m
transforme
x
,x ' . · ,x
en
1-X
,
1-X
, · · ,l-X
,
respective-
1
2
n
1
2
n
men t.
Ainsi.
s i l ' on
sava i t
que
dans
une
proport i on
donnée,
les
votes
ètaient
unanimes,
l'événement
dont
la
probabilité
est
ainsi
dèterminée,
en
supposant
le
nombre
de
cas
suffi-
samment grand,
serait
exprimé par
la
fonction
logique
Xl
t
X
· .. X
( l - X
) ... ( 1 <"'n ) ,
2
+ ( l -X
n
2
qui
satisfait
la
condition
que
l'on
viént
d'èvoquer,
Suppo-
sons,
d'autre
part,
que
l ' on
sache
que
dans
une
proport i on
donnèe
de
cas,
le
vote
d'un
individu, 'Al
par
exemple,
dif-
fère
de
celui
de
tous
les autres membres de
la
cour.
L'évé-
nemen t
dont
1a
probabi 1 i té
est
ai ns i
donnée
sera
expr i mé
par
la
fonction
Xl <1-x
) · · · <l-x
)
+
<l-X
)X
· .. x
;
2
n
1
2
n
qui
satisfait
la
méme
condition.
Ainsi,
puisqu'avoir
l~
méme
avis
peut
signifier
être
d'accord
sur
une
vérité
ou
sur
une
erreur,
et
pu i sque
quand
1es
av i s
sont
partagés,
l'une
ou
l'autre
partie
peut
avoir
raison
ou
tort,
i l
est
évident
que
l'expression de chaque
état
particulier de
l'as-
semb 1ée,
d'accord
ou
de
divergence
des
op in ions,
dépendra
d'une
fonction
logique des symboles x
,x
' ... ,Xn,(3B4~ conte-
1
2
nant,
de
manière
analogue,
les
sym~oles
privatifs
l-X
,
1
l-X
•.. · .l-X
.
Mais
dans
les
comptes-·rendus
des
assemblées.
2
n
l'on
n'f~st
pas
CE:'nsp
c1irp
qllel
lJl~UUpe (j'opinl()!lS
a
rdl~(l!l
ou
tort.
Par
conséquent.
les
fonctions
XI,X.") •...• X
seront
~
ID
simplement du genre de celles que
1 'on vient de décrire.
7-
Cherchant
à
déterm i ner •
con formément
à
1a
mét hode
générale.
la
valeur
de
prob.x
•
nous
devrons
commencer
par
l
égaler
les
fonctions
XI.X., •... ,X
à
une
nouvelle
série
de
.<...
m
symboles t
•...• t
,
Dans les équations
l
m
X1=t l • X2 =t 2 •··· .Xm=tm•
ai ns i
obtenues.
nous
devrons
é 1 i miner
1 es
symbo 1 es
x
• x
•
2
3
...• x
•
pour
ensuite
déterminer
xl
comme
une
fonction
logi-
n
que
développée
des
symboles
t
. t
•·· . t
•
traduisant
des
l
2
m
événements dont
les probabilités sont données.
Soit
le résul-
tat suivant de cette élimination:
EX!
+
E'(l-X
)
=
0;
(1)
l
E et E'
étant des fonctions de t
. t
•... ~tm'
I l
vient
l
2
xl
=
E'/<E'-E).
(2)
Or
1 es
fonc t i ons
Xl' X
•...• X
sont
symétr i ques
par
rapport
2
m
aux
symboles X l ' " "X
et
l-Xl . . . . . l-X
.
I l
est
donc
évident
n
n
que
dans
cette
équation.
E'
doit
être
identique
à
E.
(2)
donne alors
~ = E/O,
et
il
est
clair
que
les seuls
coefficients
pouvant
apparaI-
tre dans
le développement du second membre de cette
équation
sont
%
et
1/0.
Le
premier
se
présentera
lorsque
les
va-
leurs
assignées
à
t
•...• t
pour
déterminer
le
coefficirnt
l
m
d'un
constituant
sont
telles
qu'en
conséquence.
E=O.
le
second,
ou
un
coefficient
équivalent.
dans
tous
les
autres
cas.
Nous
pouvons
donc
représenter
le
développement
de
la
manière suivante:
x
. 1
(JiU
C
'
1,0
U,
( j )
Cet
0
étant
des
constituants
ou
des
ensembles
de
consti-
tuants
formés des symbole~ t
,t?' ... , t
.
1
...
m
,385;
Si
nous
passons
alors
de
la
logique
à
l'algèbre.
nous écrivons
prob,x
cC/C =
c.
I
la
fonction
v dont
i l
est
question
dans
la
RégIe
générale
(XVlI.I7)
se
ramenant
ici
à
C.
La
valeur
de
prob'X
est
1
donc
tout à
fait arbitraire,
sauf pour cette condition qu'el-
le
ne
doit
pas
être
en
dehors
de
l'intervalle
de
a
à
1.
Les
valeurs
respectives
de
prob.x z , .... prob.x , sont arbi-
n
traires de
la même
façon.
I l
ne s'ensuit pas que ces valeurs
arbitraires ne sont
pas
liées entre
elles par des conditions
nécessai res
qui
dépendent
des
données.
La
recherche
de
ces
conditions.
toutefois.
relèverait
à
proprement
parler.
des
méthodes exposées dans le chap.XIX.
Si,
revenant
à
l'équation
logique
finale.
nous
cher-
chons
à
interpréter
c.
nous
n'obtenons
qu'une
reformulation
-
~--~.
du
problème
originel.
En
effet.
puisque
C
et
D,
ensemble.
contiennent
tous
les
constituants
qu'il
est
possible
de
former avec
t
. t
•... ,tOI'
nous avons
1
Z
C +
D = 1;
et
puisque
D
a
pour
coefficient
1/0.
i l
est
évident
qu'en
substituant
à
t
, t
, ... ,
z
t
,
1
.
m
1 t'urs
expressions
en
xl' X z .
... ,x
nous
au," ions
D
O.
La
même
substitution
donnerait
n
donc
C
1.
Or.
d'après
la
règle.
c
est
la
probabi 1 i té
que
si
l'événement
représenté
par
C se
produ i t.
l'événement
Xl
se
produise.
Par
suite,
si
C
est
égal
j
l,embrassant
élillsi
toutps
les
(:.'\\'~>ntudlités pusslt.11f'S,
flUUS
d(,\\'CllClS
Intpr
prêter
c
comme
1a
probab i 1 i té
abso 1ue
de
l ' occur rence
de
l'événement Xl'
I l
peut
être
intéressant
d'établir.
sur
un
cas
parti-
culier.
la
forme
effective
de
l'équation
logique
finale.
Supposons
alors
que
les
éléments
dont
découlent
les données
soient
la
connaissance
d'événements
distincts
et
s'exclu-
ant
mutuellement.
Supposons.
par
exemple.
que
les
données
numériques
al.aZ . . . . . a
•
soient
les
probabilités
respecti-
m
ves
d' obten i r
des
major i tés
déterm i nées
différentes.
Dans
ce
cas.
les
fonctions
logiques
XI,X':>
_ • . . . X fi ,qui
s'excluent
mutuellement.
doivent satisfaire
les conditions
Nous avons donc
<386>
Dans
ces
conditions.
1 'on
peut
facilement
montrer
que
la valeur
logique développée de Xl sera
XI"'OIO<tltz ... tm+tltz ...tmt'.. +tmtl .. tm_l)
+
des
constituants
dont
le coefficient est
1/0.
Dans cette équation t
remplace
l - t
•
et ainsi
de suite ..
l
l
Ces
procèdures
s'appl iquent
également
dans
le
cas
où
les
données
d'un
problème
sont
constituées
par
les
probabi-
1 i tés
des
verd i c ts
d'un
jury,
en
ce
qu i
concerne
l'accord
ou
la
divergence
des
opinions.
Soit
le
symbole>
logique
w
qui
représente
l'événement
ou
la
situation
qu'est
la
culpa-
bilité
de
l'accusé.
Dans
ce
cas.
les
fonctions
Xl'X
"
" ' X
Z
m
dans
1e
présent
probl ème,
sont
te I l es
qu'aucune
transforma-
t ion
simul tanée
de
w.
x
,x
.. · ,x
en
w,x
,x
' ... ,x
respec-
1
2
n
1
2
n
l.i\\'t!iTIont,
fl'~'
apportl~r'8It
(je
ctlangement.
la
valeur
logique
finale
de ~',
comme
celles
de
XI,x
'"
" x
Z
n
s'écriraient
sous
la
même
forme
( 3 ) ,
et
l'on
en
déduirait
une conclusion générale semblable.
I l
est
donc
établ i
qu'à
part i r
de
simpl es
documents
statist iques,
l'on
ne
peut
rien
dèdui re
ni
sur
la
val idi té
de
l'opinion
individuelle
d'un
juge
ou
d'un
membr-e
de
con-
sei l ,
ni
sur
la
culpabi l i t é
d'un
individu,
ni
sur
le
pour
et
le
contre
d'une
question
litigieuse.
si
tant
est
que
l'on
puisse,
en
science,
effectuer
la
détermination
de
ces
éléments,
ce
sera,
nécessai rement,
en
supposant
un
cri tère
de
vér i té
qu i
fourn i sse de
nouve Iles données,
ou
en
fa i san t
une
hypothése
concernant
le
lien
entre
les
jugements
indivi-
duels
ou
alors
leur
indépendance,
et
qui
justifiera
une
nouve I l e
forme
de
procédure.
Dans
l ' ana lyse
des
conséquen-
ces
qu'entraînent
différentes
hypothéses,
l a
Propos i l i on
générale qui
suit sera précieuse.
PROPOSITION
I I .
8-
Etant
données
les
probabilités
des
n
événements
simples X1,X
' . . . ,xn,à savoir
Z
prob.x1=c
,
prob.xz=C
" · · ,prob.xn=c
,
(1)
1
z
n
ainsi
gue
les
probabi 1 i tés
des
m-l
événements
composés
Xl'
Xz '" .Xm_1,gui sont
prob.x1=a
,prob.x?=a
' · · .Prob.X
l=a
l '
(2)
l
_
z
m-
m-
387
les
événements
de
la
seconde
série
~tant
distincts
et
s'excluant
mutuellement:
l'on
demande
la
probabilité
d'un autre événement composé X.
Dans cette proposition,
on suppose que x
'X
' ... ,
1
2
X
ainsi
que
X.
sont
des
touctious
des
seuls
symbolps
ru - 1
x1'x
'"
.x
'
Par
ailleurs.
puisque
les
èvènements
X1.X
'
Z
n
Z
... X
1 s'excluent mutuellement.
nous avons
m-
X1XZ=O •... X1Xm_l=O.
X X =O.
etc . . . ;
Z
(3)
3
le
produit
de
deux
éléments
quelconques
du
système
étant
nul.
Posons
X1=t1 •... xm_1=tm_1.
X=t.
( 4 )
On
doit
alors
déterminer
t
comme
une
.fonction
logique
de
Xl' . . . • X n • t 1 •...• t m- 1 .
Or.
d'après (3).
(5 )
t
t
=0.
t1tm_1=0,
t
t
=0,
etc . . . ;
1 Z
z
3
c'est-à-dire
que
tous
les
produits
deux
à
deux
des
éléments
t
• . . . ' t
_
s'annulent.
L'expression
développée
de
t
ne
1
m 1
peut
donc
comporter,
parmi
la
séri e
des
const i tuants
ayant
pour
coefficients
1,0
ou
0/0,
que
ceux.
où
figure
l'un
des
facteurs suivants:
t t
1 z ···tm_ 1 ,
t l t z ... tm_l' ...• t1
tm_2tm_l:
(6)
t
étant
écri t
pour
1-t
etc
I l
reste
à
déterminer
la
1
1
partie
de
chaque constituant qui
contient
les symboles Xl'"
X :
ainsi
que les coefficients correspondants.
n
Puisque
X. =t.
( i
étant
un
entier
quelconque
compris
1
1
entre
1 et m-l bornes comprises).
i l
est évident que
X . t l · · · t
1 =0,
1
m-
du
tdit
m{>mf>
cie
la
cunstitution
dl's
tUIICtluIIS.
rout
CO/lStl-
tuant
figurant
dans
Je
premier
membre
de
cette
équation
aura alors pour coefficient
1/0,
Posons
X
( 7 )
m
i l
est
clair
que
les
constituants
où
figure.
comme
facteur,
t
· .. t
-
et
qui
ont
pour
coefficients
1.0
ou
0/0,
apparaî-
l
m 1
tront
388>
nécessairement dans
J'expression
x t ,,·t
l '
m 1
m-
Or,
X
peut
s'écrire
en
deux
parties,
XX
et
(}-X)X
,
la
m
m
m
premi ére
étant
la
somme
des
consti tuants
de
X qui
figurent
m
dans
X.
la
seconde
celle
des
constituants
qui
ne
figurent
pas
dans X.
I l
est
évident
que
dans
l'expression
développée
de
t.
qui
est
équivalente
à
X,
le
coefficient
des
consti-
tuants
dans
la
première
partie
XX
sera
L
alors
que
celui
m
des constituants dans
la
seconde,
(l-X)X
sera
0,
Par
consé-
m
quent,
i es
él éments
que
nous
avons
considérés
apporteront
au développement de t
les termes
XX
t 1 ' .. t
1 +
a ( 1 - X ) X t 1 ' , , t
1 '
m
m-
___o. -
m
m-
De
même,
puisque
X =t
,
et
que
X
=t
=0,
etc .. "
i l
est
1
1
z t 1
z t 1
évident
que
seuls
les
constituants
où
figure
le
facteur
t
t
"
. t
_
et
qui
ont
pour
coefficients
l,a
ou
a/a
figure-
1 2
m 1
ront dans l'expression
et.
en
ra i sonnant
comme
précédelnrnen t,
nous
VO~!OflS que
ce 1a
apportera au développement
de
t
les termes
XX t
1 1 t z " .tm- l
+
O(I-X)Xltltz " ,tm-l'
En
procédant
de
la
même
mani ère
avec
1es
autres
termes
de
( 6 ) ,
nous trouvons pour expression
findle de
t,
t
. t m-
. l
-
rn 2
t
+
t m-
m-1
0< 1 - X ) Xmt 1 ..
t m_
°
1 + 0 ( 1 - X) Xl t 1 t 2 ° ••
1
+etc .. +
des
termes dont le coefficient est
1/0.
(8)
On
remarquera que dans cette expression,
XX
représente
m
la
somme
des constituants
communs à
X et
à
X ,
cette
somme
m
étant
,en
fait,
obtc-:,nue
en
multipliant
X
et
X
selon
les
m
règles du calcul
logique.
Passant
de
la
logique
à
l'algèbre,
nous écrirons
(XX)
RI
le
résultat
de
ce
produit,
lorsqu'après
avoir
effectué
la
multiplication
ou
choisi
les
constituants
communs,
nous
donnons aux symboles xl'"
'X
une signification quantitative
n
<389>C'est
ainsi
que
nous
aurons,
d'après
la
Règle
générale (XVII.17),
Pro b . t = ( (XX
)t
.., t
1 + ( XX 1 )t 1 t Z· . . t
1 + . . . + (XX
1 >t 1 . . .
m
1
m-
m-
m-
-
v
o
(I~ )
=X
t
· · · t
-
+X t
t
t
t
m 1
m 1
1 1 2
• •
m- 1 + . . . +X m- 1 t 1 ··· t m- 2 m- 1 ;
donc
les
rapports qui
déterminent
xl'"
.x , t
, · · .t
-
auront
n
1
m 1
la forme
<i variant de 1 à
n),
--'-
( x . k ) t
... r
+(x.X
)t1 t Z··· t
1+"'+(X'X
1)t 1 ···t
2
1
m
1
m-l
1
1
.. , m-
1
m-
m-
y-
- -
tm_Il
ICi
= (Xltltz···tm_l)/al-(Xm_lt1··tm_zt1)/am_1
=V.(Il)
Nous allons
ensuite
éliminer,
dans ce
système,
les symboles
t
, · · · , t -
.
Nous avons
1
m 1
t
(}2)
1 · · · t
zt
1= a
1 V/X
l '
m-
m-
m-
m-
En substituant ces valeurs dans (10),
on obtient
v = X t 1 .. t _ 1 + a 1V+
+am _ 1V .
m
°
m
D'OÙ t
· .. t
-
= (1-a -
-a _
)Vl/X
.
1
m 1
l
m 1
m
530
Posons
( 13 )
nous aurons alors
t
= amV/X
l ·· . t m- 1
m
En
réduisant.
gr-âce
aux
équations
( 2 )
et
(14).
l'équation
( 9 ) .
puis
l'équation
ainsi
obtenue
en
égalant
au
symbole
v
le
premier
membre
de
<11>;
en
écrivant
aussi
Prob.X
à
la place de Prob.t.
i l
vient
Prob. X = (a 1 (XX 1) ) IX
+ (a
(XX
) ) IX
+ • • • + (am (XX
) ) IX
•
(15)
1
2
2
2
m
m
(a
(X,X1)J/Xl+(a2(x'X2))/X2+"
.+(a
(x.X
)J/X
(16)
I l
.
1
m
lm
m
où X
et a
sont donnés par
(7)
et
(13).
m
m
<390>
Ces
équations
contiennent
la
solution
directe
du probléme que nous examinons.
En
(16)
nous avons
le modèle
de
n
équat ions
(obtenues
en
donnant
suc cess i vernen t
à
1 es
valeurs
1.2 • . . . • n)
d'où
i l
s'agit
de
déduire
les
valeurs
de
xl.x?
... ,x
;
et
en
substituant
ces· valeurs
dans
(15).
~
n
nous obtenons la valeur de Prob.X comme
fonction des constan-
tes al' cI'
etc ...
Une
conclusion
qui
mérite
l'attention
et
que
l'on
peut
..,--. -
déduire
de
cette
solution
est
la
suivante:
si
les
probabi-
1 i tés
des
événements
composés
X 1 ····X
l '
. m-
sont
les
mêmes
que
si
les
événements
Xl •... 'X
étaient
totalement
indépen-
n
dants
et
avec
des
probabilités
données
cl •. · .• c
'
alors
n
la
probabilité
de
l'événement
X
sera
la
même
que
si
on
la
calculait
après
avoir
fait
la
même
hypothèse
de
l'indépen-
dance absolue des événements x l . · · · .X
·
n
En
effet.
dans
cette
hypothèse,
poser
xl=c
,
X
=c
1
n
n
donnera i t •
dans
1e
système
quanti ta ti f.
Xl =a l '
X =a
•
donc
m
m
(15)
et
(16)
s'écriraient
- ._--._-------,-------..,.--..,....
S3i
Prub.X=(XX
)·(XXC»· . . . +(XX
"
( 17 )
1
~
m
(X.Xl)~(X.X?)~ . . . ~(X,X )
= cl"
( 18)
I l , , " , ,
1
m
Mais,
puisque
X ~Xz+"'+X =1,
il
est
év i dent
que
1e
second
1
m
membre de
(17)
sera obtenu en
prenant
tous
1es
const i tuants
qui
figurent dans X pour
leur donner une signification algé-
br i que.
Et
l'on
peut
fai re
,pour
(18),
une
remarque
semb-
Jable.
Par conséquent,
ces équations donnent respectivement
Prob.X (logique)
= X (algébrique),
Xi
=
ci'
Ainsi donc,
si X=0(X
,X .. ·· ,X
),
il
en découle
l
Z
n
Prob.X = 0(C
,C?, ... ,c
),
l
"""
n
qui
est le résultat cherché.
Il
s'ensuivrait
donc
également
que
si
les
quantités
cl'
.. , ,c
étaient
indéterminées et que
l'on n'avait
formé aucu-
n
ne
hypothèse
sur
leur
communauté
de
valeurs,
le
système
(15)
(16)
serait
satisfait
par
l'assignation
à
ces quanti-
tés des valeurs X ,x ' ... ,x
donnant bien les équations
l
2
n
x =a ,··· ,x - =a - , X=a,
1
1
m 1
m 1
en supposant que
la valeur
de
l'élément a,
ainsi
que cellês--
de al'"
.,a -
nous aient été fournies par l'expérience.
m 1
<391>
9-
Avant
d'appliquer
la
solution
générale
(15)
(16)
à
la
question
de
la
probabi 1 i té des
jugements,
Il
se-
rait
commode
d'effectuer
la
transformation
qui
suit.
Ecri-
vons les données
X 1 =C 1 '··· ,xn=c n '
Prob.x =a ,·· .,Prob'Xm_z=a _ :
l
1
m z
et soit à
chercher Prob.X
l '
dont nous écrirons la valeur,
m-
former
X en X
l '
m-
Prob.X en a
l '
m-
Xm- 1 en Xm- 2 '
a
1 en a
2
m-
m-
X
en X
I+X,
a
en a
+a'
m
m-
m
m
m-l
m'
avec
ces
transforma tians,
et
en
remarquant
que
(X
IX
)=0,
m-
r
sauf
si
r=m-l,
auquel
cas
l'expression
est
égale
a
X
-
,
m l
on écrira les équations (15) et (16)
a
1 = ( a
l+ a
)X
1)/(X
l+ X ),
(19)
m-
m-
m
m-
m-
m
c.=(a (x.X »)/X +·· .+(a
2(x.x
z»)/X
2
~(a
~a)
1
1
1
1
1
m-
1
m-
m-
m-l
m
(x.X
I+X'X »)/(X
l+X),
(20)
1
m-
1
m
m-
m
De (19)
l'on dédu i t
X
la
=
X la
=
(X
l-+X
)/(a
}+a),
m-l
m-l
m
m
m-
m
m-
m
ce qui
permet de ramener
le dernier terme de
(20)
à
la forme
(a
I(X'X
l»)/X
1 + (a (x.X »)/X
.
m-
1
m-
m-
m
1
m
m
Grâce à
ces réductions,
l'on
peut
remplacer
le
systéme
(17)
et (18) par le système symétrique suivant:
X
la
= X la
( Zu
m-l
m-l
m
m'
c.
(22)
1
Ces équations,
avec
les équations
(7)
et
(13)
nous
permet-
tent
<392>
de
déterm i ner
a
comme
une
foncti on
de
m-l
c
,al, ... ,a
2'
qui
sont
les
données
numériques
que
l'on
n
m-
suppose
fournies
par
l'expérience.
Nous
allons
maintenant
procéder à
l'application de ces équations.
PROPOSITION
III.
10-Soit
donné
un
système
quelconque
de
probabilités
obtenues
à
partir
de
l'observation
de
cas
d'unanimité
ou
de majorité à
un
nombre déterminé,
dans
les décisions d'une
533
•
l'assemblée prononcer un bon ju~ment;
L'on
a
indiqué.
dans
une
section
précédente
de
ce
cha-
pitre.
de
quelle
manière
l'on
pouvait
déterminer.
à
partir
de
l'expérience.
les probabilités d'une.décision à
l'unanimi-
té
ainsi
que
de
major'ités
à
un
nombre
précis.
Adoptant
la
nota l i on
ut i 1 i sée
dans
Prop. 1.
nous
a lions
représenter
1es
événemen ts
dont
1es
probabi 1 i tés
nous
sont
données
par
1es
fonctions
X .X
. . . . . X -
.
La
nature
même
du
cas
considéré
I
2
m l
a
fait
apparaître
que
ces
événements
s'excluent
mutuelle-
ment
et
que
1 es
fonc t ions
qu i
1es
représentent
sont
symé-
triques
par
rapport
aux
symboles
x
.x ... "X
'
Nous
conti-
I
2
n
nuons
à
employer
ces
symboles
avec
la
même
signification
que
dans
la Prop.I.
c'est-à-dire
que
par
Xi'
nous
entendons
l'événement
que
constitue
la
formation d'une opinion
correc-
ème
te par
le i
membre de l'assemblée.
Les données
immédiates de
l'expérience sont
Prob.X
1
= a
l '
(2)
m-
m-
Xl"
" ' X
-
étant
des
fonctions
des
symboles
logiques Xl'"
m l
X
•
qu i
représentent
des
événements
dont
1es
probabi 1 i tés
n
se
voient
assigner
la
valeur
indéterminée
c.
Nous
aurons
ainsi
prob,x
prob.x
=· .. =prob'X
= c.
l
2
n
L'on
a
vu.
Prop.I.
que
les
données
immédiates
(1)
et
(2).
sans
aucune
hypothèse
supplémentaire.
ne
conduisaient
qu'à
une
reformulation
du
problème.
Par
ailleurs.
i l
est
évident
que
si.
<1c111ptant
les
rnèUHlfü'S
(h-
l.il!'ldCI'
('t
!'ui.':,;s()fJ.
flOUS
utilisons
(3)
comme
seul
système
de
donnèes
é'luxquelles
ap-
pl i quer
1a
méthode
de
ce
t ra i té
pour.
fi na 1emen t.
comparer
1 es
résu 1 ta ts
obtenus
au
système
(1)
(2)
fou rn i
par
l ' expé-
rience.
nous
nous
fondons
entièrement.
ce
faisant.
sur
une
hypothèse
douteuse:
l ' indépendance
des
jugemen ts
i nd i v i du-
els.
Mais
<393>.
méme
si
nous
ne
devons
pas
nous
fonder
ent i èremen t
sur
cet te
hypothése.
nous
ne
saur i ons
nous pas-
ser
d'elle
totalement.
ou
d'un
substitut
équivalent.
Exami-
nons
donc
1es
conséquences
d' une
indépendance
J i mitée
des
jugements
individuels;
les conditions
limitatives sont appor-
tées
par
les
données
qui
semblent
superflues.
A
partir
du
système
(1)
(3)
nous
allons.
par
la
méthode
de
ce
traité.
déterm i ner
Prob. X l '
pui s.
en
comparant
ce
résu 1 ta t
avec
m-
(2).
déterminer
c.
Même
dans
ce
cas.
l'on
s'est
arrogé
un
pouvoir
arbitraire
de
choisir.
Mais
i l
est
évident.
d'après
la
Prop.I.
qu'un procédé de
ce
genre
est
inévitable
si
l'on
veut
obteni rune
so 1ut i on
dèterm i née.
En
ce
qu i
concerne
le
principe
du
choix.
i l
me
semble
que
l'équation
(2).
que
l'on
réserve pour
la comparaison
finale.
devrait étre
tenue •
.
à
cause
de
la
grandeur
de
l'élément
numérique
a
1
qu'elle
m-
contient.
pour
la
plus
importante
de
la
série
de
données
premières fournies par
l'expérience.
Puisque
les
événements
représentés
par
les
fonctions
X .X
' · · · "X -
s'excluent
mutuellement.
les
équations
fina-
1
2
m 1
les évoquées dans
la proposition précédente
trouvent à
s'ap-
pliquer.
Le
caractère
symétrique
de
ces
mémes
fonctions.
ai ns i
que
1a
réduc t i on
du
système
des
va 1curs
représentées
tians
I-eprésen t ées
par
(22),et
l'égalité
des
valeurs
x
, · · . 'X
'
que
l'on
peut· donc
remplacer
par
l'unique valeur
2
n
x;
par suite,
nous avons simplement
xm-l/a m- l = xm/am,
(4)
al (XXI )/X
(xx
)/x
c.
( 5 )
I
+
a 2
2
2 +··· +am(XXm)/X m
Voici
quelle
est
la
nature
de
la
solution
ainsi
indiquée:
Les
fonctions
Xl""
'X -
et
les
valeurs
al""
,a
étant
m l
m- l
fournies par les données,
nous avons d'abord
am
l-al-···-a m_ l ·
Dans
chacune
des
fonctions
X 'X ' ... 'X
ainsi
données
ou
l
2
m
déterminées,
nous devons choisir
les constituants qui
conti-
ennent
un
symbole
particulier,
Xl
par
exemple,
comme
fac-
teur.
Cela permettra de déterminer
les fonctions (XX ),(xX
)
I
2
etc ... ;
ensuite,
nous
devrons
remplacer,
dans
toutes
les
fonctions,
chacun des symboles x
,x ' .. " x
par x.
Ou alors.
I
2
n
nous
pouvons
considérer
<394>
chaque
fonction
algébrique
X.
du système
(4)
et
(5)
comme
l'expression de
la probabili-
l
té
de
l'événement
représenté
par
1a
fonet i on
1ogi que
Xi'
en
supposant
que
les
symboles
logiques
xI.x •· .. ,x
repré-
Z
n
sentent
des
événements
indépendants
dont
la
probabilité
commune
est
x.
En
faisant
la même
supposition.
(xX.)
repré-
l
senterai t
la
probabi 1 i té
du
concours,
avec
Xi'
d'un
événe-
ment
particulier
que 1conque
de
la
série
Les
expressions Xi.(xX
),
etc ..
une
fois déterminées,
l'équation
i
(4)
donne
la
valeur
de
x;
et
celle-ci,
après
substi tution
dans (5),
détermine la valeur de l'élément c cherchée.
EII t r e l es
(j f:' IJ -"
\\' il 1C' Il r s
q 11 . 0 f f r i r' d
l' C' tIf:'
S (l l lJ 1 1 (JI! .
l ' II ri f'
plus
grande
et
l'autre
plus
petite
que
1/2,
i l
faudra
choi-
sir
la pius grande
.chaque
fois que des considérations géné-
raIes auront
rendu
plus
probable qu'un membre de
l'assemblée
rende un bon plutôt qu'un mauvais jugement.
Dans
ce
cas
donc,
en
adoptant
le
principe
selon
lequel
on
devra
garder.
pour
comparaison.
la
plus
grande
valeur
a
_
q ui
apparaît
dans
l'équation
(2),
nous
obtenons,
pour
m 1
le
probléme
proposé.
une
solution
déterminée.
Et
le
même
type
de
solution
continuerait
de
s'appliquer
si
à
la
place
de
(2)
l'on
avait,
de
la
méme
manière,
gardé
en
réserve
une
autre
équation
du
système,
en
obéissant
à
d'autres
rai-
sons:
une plus grande exactitude par exemple.
11-
Voyons
jusqu'à
quel
point
le
fait
de
garder
cette
équation
en
réserve
a
eu
une
influence
sur
la
solution
f i -
nale.
I l
est
évident
que
l'équation
(5)
est
tout
à
fait
indépendante
d'un
te 1
cho i x.
l I e n
va
de
même
du
second
membre de
(4).
si
nous avions gardé en
réserve
la
fonction
au
1 i eu
de
X l '
l'équation
permettant
de
déterminer
m-
x eût été
X 11 al
= xm/am ;
mais
l'on aurait
eu
encore à
substituer
la valeur de x
ainsi
déterminée
dans
la
méme
équation
finale
(5).
Nous
savons
que
si
les
événements
Xl , x ? " "
,x
étaient
réellement
indé-
~
n
pendants.
les
équations
( 4 ) . (6)
et
toutes
celles
dont
elles
constituent
le
schéma,
se
révèleraient
équivalentes.
et
que
la
valeur
que
l'une
quelconque
d'entre
elles
donnerait
à
x
serait
la
véritable
valeur
de
c.
Cela permet
de vérifier
les
cOllditions
Qui
ont
été
évoquées.
pouvoir
se
vérifier
lorsqu'on pose c;x.
En d~autres termes,
l'équation
al (XXI )lX
+ a
(xX )/X
+ . . . +am(XXm)/X
I
2
2
2
m
<395>
devrait.
une
fois
résolue,
donner
à
X la
méme
valeur
Que
l'équation
(4)
ou
(6).
Or
ce
sera
le
cas.
En
effet,
puisque.
par hypoyhèse,
nous avons,
d'après un théoréme bien connu.
xl/al ;x /a ;··· ;xm/am;(X +x +··· +Xm)/(a +a +·· +a )
1.
2
2
I
2
l
2
m
Par
conséquent,
(7)
s'écrit,
lorsqu'on
remplace
Xl
par
3
,
1
et ainsi de suite ...
( xX 1 ) + ( XX
) + . . . + (XX )
x,
2
m
une pure
identité.
Lorsque,
donc,
les événements x
,x ' ...• x
sont
réelle-
l
2
n
ment
indépendants,
le
système
( 4 ) , ( 5 )
est
valide
et
ne
dé-
pend
pas du
caractère arbitraire du
premier
procédé
employé
dans
la
démarche
qui
a
permis
de
l'obtenir.
Lorsque
ces
..,.--. -
événements ne sont pas indépendants,
le système final
d'équa-
tions,
laissant
en
suspens
le
principe
de
choix
précédem-
ment établi,
comportera un élément arbitraire.
Mais de l'in-
variance
de
la
forme
de
l'équation
(5),
l'on
peut
déduire
que
la solution est arbitraire à
un degré moindre que celles
auxquelles
l'hypothèse
d'une
indépendance
absolue
des
juge-
ments
individuels
nous
mènerait.
L'examen
des
limites
de
la
valeur
de
c,
comme
dépendant
de
celles de
la
valeur
de
x,
devrait nous permettre de préciser ces points.
Ces remarques donnent
naissance à
la question de savoir
XI.X'"),
_ ...• X,
m
ne
comportant
aucun
élément
arbitraire,
et
rigoureusement
exacte
lqrsque
les
événements
Xl' X z .... , X n
sont
réellement
indépendants,
ne
pourrait
pas
ëtre
adoptée
pour
solution
générale
moyenne
du
probléme.
La
meilleure
façon
d'en
décider
serait,
à
mon
sens,
d'établir
si
la
va-
leur
Qu'elle
donnerait
à
x
s'inscrirait,
en
général,
dans
les
limites assignées à
la valeur de c,
et qui
sont détermi-
nées
par
le
système
des
équations
dont
(4)
et
(5)
offrent
le schéma.
Il
semble
probable que dans des
conditions ordi-
naires,
ce serait
le cas.
Toutefois,
indépendamment
de
ces
remarques,
nous
pou-
vons
considérer
(7)
comme
étant
elle-même
l'expression d'un
certain
principe
de
résolution:
en
considérant
X 'X ' .. ·,
1
2
X
comme des causes,
s'excluant mutuellement,
de
l'événement
m
dont
la
probabilité est
x,
nous
recevons
'396
les
probabi-
lités
de
ces
causes
de
1 • expér i ence,
mais
nous
établissons
les
probabilités conditionnelles de
l'événement,
qui dépendent de ces causes
(XX
)/X , (XXz)/X
, etc". (XVII. Prop. 1).
1
1
z
en
faisant
l'hypothèse de
l'indépendance des
jugements indi-
viduels.
pour
déduire
ainsi
(7).
J'estime.
cependant,
que
c'est
là une manière de procéder moins rigoureuse, quoiqu'el-
le
puisse,
en
pl-atique,
être
plus commode que
celle
adoptée
pour
la solution générale.
1Z-
Il
ne
reste
pl us.
ma i ntenant,
qu'à
détermi ner
1 es
formes
particulières
prises
par
les
fonctions
algébriques
<xX. ),
etc . . .
fi guran t
ci-dessus,
lorsque
la
fonction
1
luqlque
X,
1 . f'\\'(-'rlt,'iTlPn t
("Of:st i tue
p~jf
1
(jans
un
sens,
de
r
membres de
l ' ,1ssernrJI èe,
et,
dans
l ' dut rp.
de
n-r
membres.
I l
est
évident
que dans
ce
cas,
la
fonction
al gébr i que
X.
est
l'express i on
de
ce
que
sera i t
1a
probabi-
1
l i t é
de
l'événement
en
question
si
étaient
in(j{'pendants,
et
si
leur
commune
protlabilité
était
mesurée
par x.
Nous aurions donc,
selon Art.3,
J,
1!n(n-1) ... (n-r+1»)/1.2 ... rJ
r
n-r
x
(x
+(1-x),
).
i
Dans
les
mêmes
conditions,
(xX. )
représenterait
la
1
probabilité
de
l'événement
composé
qu'est
l'expression,
pa r
un
membre
de
l ' assemb 1 ée,
d . un
bon
j ugemen t,
en
même
temps
que
l'état
général
du
vote
est
celui
que
l'on
vient
de décrire.
Ce serait donc
la probabilité qu'un membre parti-
culier
vote
dans
le bon
sens,
pendant
que
r-1
des n-1 autres
membres
votent
éga 1 ement
dans
1 e
bon
sens;
ou
bi en
que
ce
membre vote .dans
le bon sens pendant que r
d'entre les
n-1
autres
membres
votent
dans
le
mauvais
sens.
Dès
lors,
r
i(
l xX i ) {( ( n - 1 ) (!l..:::?) . . . ( n - r .. 1 ) ) / 1 . 2 . . . r - 1 }
x
<n - 1 ) ( n - 2) . . .
n-r
<n-r»)/1.2 ... r } x
.
PROPOSITION IV.
13-Etant
donné
un
système
quelconque
de
probabi 1 i tés
déduites
de
l'observation
de
cas
d'unanimité
ou
d'une majo-
rité
à
un
nombre
défini
de
voix
dans
les
arrêts
d'une
co~r
deiusti ce,
on
demande,
en
faisant
des
hypothèses
i dC:ï-' ti -
gues
à
ce I l es
posées
dans
1a
Pr'opos i t ion
prée éden Le ,
(je
trouver
1a
probab i 1 i té
moyenne
c
de
vo i r
(397)
un
membre
de
la cour
rendre
un bon
iugement
et
la probabilité générale
k de
la culpabilité d'un accusé.
l , l
:-;"iu! J(Jll
(~I'
',"\\ ,
PIUlll"!1i1
l,,-
'J Î t f t'I \\'
qUI'
1 r t'S
peu
(je
Cf=' Ile
du
pIècE'den t,
et
Pt,'U t
fa i Ir'
iippe l
aux
mêmes
formu-
les
générales
( 4 )
et
"(5),
ou
( ï ) ,
On
remarquera
que,
puisqu'il
y a
deux
éléments
c e t
K,
à
déterminer,
i l
faut
nécessairement
garder
en
réserve
deux des
fonctions X
,X
, ..
I
2
X -
,
par
exemple
Xl
et
X
-
,
pour
proc~der à
la comparaison
m l
m l
finale.On
travai lIera
donc
ou
sur
les
rn-3
autres
fonctions
figurant
dans
l'expression
des
données,
ou
sur
les
deux
sér i es
X
, X
, . . . X -
et
Xl' X
, .. ,X _ 2'
Dans
1es
deux
cas
2
3
m 1
2
m
on
suppose
qu'il
y
a
nécessairement
au
moins
deux
des
don-
nées
originelles
qui
sont
indépendantes.
Si
l'on
n'utilise
que
l'équation
<ï>,
elle
donnera,
dans
le
cas
présent,
deux
équations qui
peuvent
s'écrire
al(XXI)/X
...
a
(xX
)/X
+
x,
I
2
2
2
al(kXI)/X
+
a
(kX
)/X
+
.. +a
(kX
)/X
k.
(2)
I
2
2
2
m
m
m
On
uti lisera
ces
équations
de
la
manière
suivante:
x
représenteront
les événements que
constitue
l'expression,
n
par
ctlacun
des
membres
de
la
cour,
d'une
opinion
correcte.
--~'. -
IN
représentera
l'événement
que
constitue
la
culpabilité
de
l'accusé.
A
l'aide
de
ces
symboles,
nous
pouvons
expri-
mer
logiquement
les
fonctions
X
,X
, .. "X
-
dont
les proba-
I
2
m l
bilités nous sont
données,
ainsi
que
la
fonction
X
.
Ensuite
m
on
choisira
dans
la
fonction
Xl'
les
constituants
où
appa-
rait,
comme
facteur,
1 • un
que 1conque
(jes
symbo 1es
de
la
série
ainsi
que
les
const i tuants
où
IN
appa-
rat t
comme
facteur.
Dans
ces
résul tats.
on
changera
tous
les
en
x,
et
IN
en
k.
Ces
résul tats
donneront
(xX l )
et
( kX l ) .
si
l . on
effectue,
tout
long,
1 es
mêmes
t r ;1 ris fu 1 !nid ions,
1P
S ) ,s t (' ni ('
( 1 ) , ( ~ )
il" J fi) 1 • t t [ d •
( L 1 ri ,S
• 1j \\
pot hèse part i cul i ère retenue.
de (1étel'mi ner x
et k.
De
ces
cons i déra tians
l'on
peu t
dégager
l es
fa i ts
et
conclusions suivants:
Premièrement.
Qu'à
partir
de
la
simple
observation
de
cas
d'accord
et
de
dèsaccord
en t l'e
l es
api nions
d'un
groupe
huma i n
que l conque.
on
ne
peu t
dédu i re
aucune
conc lu-
sion
,quanti fiable
de
manière
définie,
quant
â
la
probabi-
lité
de
voir
<398>
un membre de
ce
groupe avoir une
opinion
juste,
ni
quant â
celle du
pour
et
du
contre dans
les ques-
tions soumises à
sa réflexion.
Deux i èmement.
Que
ces
conc 1 usi ons
se
peuvent
dédu ire
en
faisant
plusieurs
hypothèses
différentes,
par
exemple
1°)
en
faisant
1 'hypothèse
de
l'indépendance
absolue
des
jugements
individuels;
2°)
en
uti 1 isant
certaines
variantes
définies
de
cette
hypothèse
permises
par
les
données;;
3°)
en
uti lisant
un
principe
di fférent
de
résolution,
suggéré
par
l'apparition
d'une
communauté
de
forme
des
solutions
obtenues grâce aux variantes en question.
Enfin.
Que s ' i l devait y avoir un doute concernant
les résul-
tats
finaux.
i l
ne
tiendrait
pas
à
l'imperfection
de
la
méthode,
qui
s'accorde
également
à
toutes
les
hypothèses.
mais à
l'incertitude des hypothèses mêmes.
Toutefois.
i l
semble
probable
que
même
avec
la
plus
grande
1 a t i tude
dans
1 e
cho i x
des
hypothèses,
à
cond i t ion
qu'elles
soient
compatibles
avec
la
prise
en
compte
de
tou-
tes
l es
données de
l ' expér i ence,
1 a
var i at i on des
résu l ta ts
obtenus
resterait
faible,
et
que
leurs
valeurs
moyennes
pourra i ent
ét r'e dèt erm i nées
. avec
beaucoup rje
sûreté.
gr'âce
aux
méthodes
de
la
Prop.III.
Parmi
ces
méthodes.
j'aurais
.
tendance â
acc.order
tine
préférence
â
la
première.
adopté
ce
pri ne i pe
d'une
so 1ut i 9n
moyenne.
d'autres
consl-
." (.....
," .~:~'" -
dérations
semblent
indiquer
Que
les
valeurs
de
c
pour
des
tribunaux
et
des
assemblées
d'une
constitution
définie
et
dont
les
délibérations
sont
conduites
selon des
règles
déterminées.
resteraient
Quasi
constantes;
connaissent •. toutefois.
une
petite
variation
séculaireQ.ui
dépend des progrès de la connaissance et de la justice humai-
J
nes.
Il
n'est
aujourd'hui
Que
trés
peu
de
données
-s'il
en est- qui pourraient permettre de les déterminer.
.';-
"
·...::.{<;;.~:~;/:~i: ..:;'~;i~·(A'~'{~.ii
.•
<399>.t-J'~~t~nd$par constitution d'un système l'ensemble des
~ ..
'
':
::-.~(; ....:~ ~~.'{~
caL!seset. d~~i;:~.ndances qui lui dônnent son cCircactér-e manifeste
~.~f; ':.(' >t..i,('· .~:, F~"'~!' !~'\\:' <;~\\~~:: "f
.1'
lorsqu'ellèsé.\\gAssent,sans aucune influence e}:tér-ieure ,
dans les
condItions auxq~elles Il est censé étre adapté. Nous
jugeons de
cette adaptation
.n nous fondant nécessa{r-ement ~ur l'analyse des
;"
.: ';'<7!.;~.;"~"~~:"t:lj',-;>
' " ,
circonstanCè!i~~Q~le système atteintsaplus g~ande liber-té de
";'·i:;!j:~:·!i.;:~{~~:·r~~~.·t:{}î'.F>
.
'.., ' ;
fonctionnement,produit
les r-ésultats les plus har-moniew: ou
réalise de quelque autre manière la fin pour laquelle il
a été
constitué.Il est des cas DU nous connaissons distinctement les
causes dont dépend le fonctIonnement d'un systeme ainsi
que ses
condItIons et sa finallté.C est
là
le ty~o le plus parfait de
où nous ne connaissons qu'imparfaitement ou partiellement les
causes qui sont. l'oeuvre,mais où nous pouvons cependant établir
dans une certaine mesure les lois de leur action,et,au
--'-
delà,décOUvf~r,des tendances générales et en inférer une finalité
:'~\\~·"'-1.
-1
',',~_
• ,.'.
;"''' -,. .
'.'
"~.;' ,.." .,'
.""
p'
d 'unE;t faculté morale :
non pas que r,ous
';~,,~,.·t~lt~~ ,', f*'I"l;;t."'·i~~;(tf~l'i~(;;':: ,~'ê~+"'t"V 1'1",.,( +'",l,
c::omp~
~!1ismes spécifiques de son a"ctit::m" à lamànïère
<-.::;-:: \\;>~j~~7t:_ i-r
"1:;(it.,. ~,\\!..~~~ ta!~ ~'s,: 5 r tt",. C' i "~( ~~"'~J'; ,~>1t._,' . :~.- ~-__~ \\1~t~: ~;, .( i)(~ "~._. ~3
dont nous",..hQtlSiil'argane et la faculté de la vue';
non pas que
t;~';~~a~~~i'~t:2~t:~~~t ~d,oPtér
à
des règl'es Lihivers~lles d'e
conduite;m~im
parce que,d'une manière ou d'une autre,i? sentiment
d'approbation ou de désapprobatIon morale se manifeste chez tous.
marque d'une constance et d'Lme légalité à
la fois.
La manifestation d'un Or"dn? provoque uf'livers~nement la
présomption,non quantifiable sans doute, mài~tout à fait
réell e
(XX. 22> ,qu 1 un objecti f
ou une final i té;s' accb'mpli ~sêht et
qu'il
existe un fondement de toute causalité ordonnée.
<400>-2-La question plus SpéCIfique de la constitutIon de
l'intellect a attiré -est-il besoin ce le dire?- à toutes les
époques, les efforts du géni~ spécul~tif~Car ~lle n~conc'rhe ~as
seulement ce désir de savoir dont
les plus grands ma~tres de la
pensee antique ont
juge qu'Il
était
inné à notre esppce :
à
la
force n~turelle d'une telle motivation elle ajoute l'attrait de
l'intérË't
vérité ne se fixe que rarement des fins partielles,mals tout en
incitant à
parcourir les séduisants domaines que
découvre
1 observatIon du monde exterleur,il
interdit de nègliger l'étude
de nos propres facultés.
Meme aux
époques où l'on a
le plus consacré d'intérêt au monde
matériel~le
cours de la pensée s'est ---"-
en partie retourné sur lui-
chose n 'a cessé derenai.'tremalg.... é ses décept.i~on$.
cpoti.nùerd' ani mer. les sectateurs sincères ttfèf 11'12 vér'ité si' t>,·&tt
avait univ~rsellement partagé la conviction qUe ce genre de '~~'c~-
lation était désespérèment stérile.Peut-étre bien a-t-on pensé que
si
les résultats de ce genre de recherche devaient'touJours ~tre
entachés de cette part d'erreur et d'incertitude bien naturelle
·?oU}:
mots
qU'~1L\\}: choses;
c'nfln
et:
~;u,·-tout~qUi-'~' inrbme des corjclU'3ior~s
pr0bables tirent de leur objet mème un intérét et une valeur qui
1 i?5 rencleid:'~\\.Is~=.i di gnes' d' attenti on que 1 es résul t.ats pl uS
e>~acts et 'plus éclatants des sciences de la nature ...
..
' .
!
De'tellesçol'lsidéràtions semblent.parfaitèmentléqitimes.Sî inso-
-
,
lubIes que puissent sembler de nombreux problèmes relatifs à
l 'enquéte sur
la nature et la constitutIon de l'esprlt,ll
nen
manque pas d'.utres pour lesquels se laissent atteindre soit une.
cannai 5!iiancè •1 i mi téematscer'tai ne. solt . les conclusions que 1 ivre
une analogie hautement probable.De même que les royaumes du jour et
de la nuit ne sont pas tout à fait contlgus,mals sépa~es par une
région crépusculaire où la lumière de 1 'un se fond progressivement
dans l'obscurité de l 'autre,l 'on peut dire que chaque +erritoire
que constitue une connaissance positive est entouré o'une zone où
règnent'débats et spéculations;et sur cette zone une telle
connaissance étend,Jusqu'à un certain point,son lnfluence et sa
lumière. C'est ainsi
que certaines questions relatlves à
la
constitution de l 'intellect,sans être absolument décldables
.actuel.de nos ~onnaissances,pourraientvoir leur so-
è';i~Pff,~&.i~,.fac:j.;l,it:~e)lSi.··.unE··'quant.itéadéqUate
..:.d;'~~h2::l,
.....•..... ".'
";.,, """ ,:~:~~:)F',~t\\',.~,r,
':;';,;-..., '. , .'. .
., .
.
. \\~~ü:ti:~f,:.
t
:,
fordlilt;'t'·
ê art5·~e";hHtéct1ir.l~sur elles.Et quépeut-ëtre,surèér":"
.·~~~~J~Î~~'.,~fg~(~l;tV$",~i,~~~.~~"Q'"la,..,,~(>U.et"émj!\\i\\ co,
..• /çJ~,,·~.kiitf:tHi,'t1~t~~ ..t!'t,épr.i es;. !s(Zt~ni;t.fi.ques parti cul i·ères, si. ,J(qq<~.<>,
admet:les,.'pricipes'généraux e>:posés en cet ouvrage, l'on ne pour.ra
,;0..,
-,
qu'avoir des opinions positives,qui
pourront être différentes de
,*l,.·~xempl~suivant suffira :certaines des hautes autorités
mèdernês·~"qrainmat,..eprét:endent que les conjonctions ne rel ient
1- ~ ~O'h~h.<) • ~ n~ .u.Cl~~ ~MJc~
~-
J
u::tft-
sujets généraux
que nous venons d'évoquer.
3-Au 'nombre des cohc:l usions concerna.nt notret:of\\·::1t:.i tuti o n ::
l
. ; ; : ,
",/,f:~;':':~";':'\\{)1~if,
. ,:~~~:,·~j~,ù;·;';~';;":
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'>:;\\f'''':):'''$.''',;,''~
Intellectuelle dont'noo!i pouvons consipérer qu'e~les relèvent
1
,
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'
' , ' . c "
1
d 'Urle <:oOl"lI s}~n<:~ ,e~~i>V'" nou"; P,;~~ft~~;~,o"Pt".. t~"l"iS
,
scientifiques de la pensée et du raisonne~ent qui fondent la
méthode générale de ce traité ainsi
que les principes
(chap.
V)
qui ont défini
leur application;la division de la sphère
,",;,;
" " ,
i{::;""",
,"
"';"}'\\"?:')',
. ;,:';;~L~~(}I~~;"""
intel1ec:tueUê:en'dE~ofdomaïne5 distinc:ts mais 'C09')flSj,tants
,
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..
-, '-'-:~ :.
"-T"
(IV.XI);la soumissiort,dans ces domaines,des opérations
inteJlec:'lJelles à
un systeme commun de 101S
O:Ii=le car3ctère
général ,mathématique de ces lois et la forme effective que prend
leur expression
(11.111>;1 'étendue de leur concordance avec
les
lois de
a pensée dan
numér.-I que ai nsl. , qu~ . 1 e poi nt
}··~,~:,'---r:<:~;f'~r>"'~',:;~'-'
-t'~\\ li;~i : :
d'o~ elles divergent;l~importancedes deux conceptions limites
d
unlvers et d'éternité qUI
les distingue parmi
tous les oCJets de
pensée dont s'occupe la logique;le rapport entre ces conceptions
et celle
-'-
d'unité,fondamenta1e dans la science du Nombre :tous ces
résultats et d'aui~es ~emême nature ne sont pas à~onsidérer
>~~" ...'(~~;;~J2j?~~:.~~" ':, ' ,_'_, "".
__ __,
'~"" 'i""',:L~':·:(; •
., '
}')t:ttncl usio
~{;:}··,i~i:~:j·l·i':J\\ilÙ:..:~r
tlmémènt:<ê
, ";"i;·,.;:,f'~·'·'~F";;\\'~-i/;,'~'~"('·
.• ". ;'f ....' ,;; (.
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"'1e~\\~9~j;f~~~9~~;'c~$
~~~~te .W:;
'.~~~,j.'
iq~~Mkg,~~t~~~~~~$s:f~9~Ù"r~er~~!~~i;i~';~~t~;'ff~'i~~ii~
posit"i()j1'~?t: valab,~~6U oon,on voitcl~irementql.J~'~p
.• "ne saurli.i.1'
"'être,sati1i~tontradiei{bn,par,tagée parl~ lecteur '~~»accepte 1 è~",··.~
principes scientifiques de ce traité:elle lui a,pparatt en 'effet "
comme!~afl~g.ationde lapossibilité,soit d'effectuer-,soit
"
d'exprirfi~r'lM~ opération mentale,dont les lois ont'cèpendant été
examinées et appliquées à
ces deux points de vue dans le présent
ouvrage~(Latham:an ,t'1"? En gl i sh Lan guage ; l'uT! i v 7Lsai Gr amlTiarde7}'~;;~~fJ~~i
sir Jàh'ft';Stoddi1;-t,etc ••• )Q..
,
'.':',l;;,,; '.
"
dans le progrès des formes
les plus exactes ~e
connaissance.L'étude de tout domaine des sciences de la nature
commence avec l'observat~on,progressepar la mise en rapport des
faits
jusqu'à 1 'hypothèse d'une loi
qui
les relie et dont
la validité
est ensuite épl'"ouvee par de nouvell es e>:péd.ences C"on<;:ues, de
manière à
augmenter
indéfiniment
la probabilité de cette
hypothèse si
elle est bien fondée;enfin,lorsque l'on
s'est
suffisamment assuré d'avoir établi
la loi
du phénomène,la
:'·',-echerche'dè'ses· causes, C(::ullb:inant de f:ill;On adéquate unmél ange
d'hypothèse et de déduction,vient couronner la démarche.A cette
et 101S particulières dont on a examiné la nature dans cet
ouvrage.II 2St donc évident que 51
nous voulions examlner
ObjectIvement soit la nature de la SClence soit notre constltutlon
intellectuelle dans ses rapports avec la science,nous ne devrions
deux
séries énumérées ci-dessus.F'lus partj,cLlliè~ement~noLls
~)
devrions considérer
dans leur relation et leur connexion
mutuelles~le~vérités. entretenant entre elles
des liens ,quelle
-/",9.4(en so(t;;,~~~~~~*:+"rJe., de c:o.p,1émentar:itéiL.!
'
>': :' -""":0,,;' ;_:,.~.:);;:>,~;:::\\;:~~.. _:;t..:~tr,: ~';;)<~',"!~':':>'-
,_.' ,,- .
f
4 ....Au.,tot~i:~:~i.i,on
considère à la fois la nécessité pour toute
p~nnai$sanc:~,;~;P'Ô$itIiYe..}d âv(,)j." ~l).fondement eNpérimental, aio$i que
1
',_ ','-
. ' , ._> ..'(..;:j''-,'Y .- '.
'
",
.-
_ ' ~c
"
t\\,
~lois et de principes mentau~que' nous venons de rappeler,1 'on
i[
verra s'éclairer des questions importantes qui
divlsent enccre
,
. dans une larga'mesure
,le monde de la pensée spéculative. Comment
,
à
partir des faits particulIers que présente l'expérience,
qui
lUl
est propre? En un mot,quelle est la nature de la vËrita
scientifique,et sur quoi
r2pose 1 assurance avec laquelle elle
ex i ge d'être ret;:lIe?
•. ,
<403> Qu'on ne puisse
apporter à des questions de ce genre
i
une
réponse unique et génét-ale,cela doit être évidenLDans
certains cas elles ne demandent méme pas discussion.L'on conna~t
des exemples où les propositions ganérales exprIment simplement
per
ertu.merat1.()n~lI simpIicem, un fait que l 'observ2~.ion effective a
établi dans tous ,'ies: cas. auxquels s'applique cette proposition.
L'astronome affirme ainsi
que toutes les planètes connues tournent
d'OLlest en Est autour du soleil.~1als 11
est aussi
CJes
énonce des propositions générales pour aVOIr constacé dans c~~talns
cas particuliers une vérité que l'on étend alors à des cas qUl
n'ont pas été observés.Aucun principe de raisonnement SImplement
déductif ne peut légitimer une telle démarche.
Képler inféra la forme elliptique de son orbite, cette conclusion
allait au delà des prémisses ou, en vérité
,de toute prémlsse que
la simple
-"-
observation pat fournir.Quel
autre élément est donc
néc:essaire P04t8';id96rie~-nefQ~-.èe qu' uns'va.lidi té hypothét i que a des
gé~éralisations;de)·1:e genre ? C'est la capacité, inhérente à notre
quel(,i,fUei'1l\\anière"qu~onilafonde"lfque les:phénomènes de la nature
$ont reliés par un"principe d'Ordre.Sans ces éléments,
l'on
n'aurait jamais pu établir les vérités générales des sciences de la
Nature.Quand bien même la déma .... che ainsi établie ne mènerait qu'à
des résultats probables ou approximatifs,il
s'e~suit seulement que
naturelle, notre ~ssurance qu'slles sont vraies re~oit
indéfiniment conf ir'mati on -et ne se distingue plus bientôt de la
certitude.
L'existence de ce principe que nous venons de présenter
. '. . .'
.
.
constitüantl~ fondemènt du raisonnement' inductif, nous permet de,
résoddt-e la question si
contt-oVE?I" ''''és de la nécsssi té ,dans le
raIsonnement, de propositIons générales.
Le logicien affirme l'impossibilité d'inférer une conclusIon à
partir de~prémisses particulières. Certains auteurs modernes de
grande réputation ont soutenu que tout raisonnement procède de
guise d'exemple que pour conclure de la possession d'une propriéte
do~née par
certains él~ments d'une c l a s s e .
à
la possession de
cette propriété par un autre elément
,
il
n'est pas nécessaIre de
poser la conclusion intermédiaire générale <404> affirmant qui tous
les élements de la classe poss~uent cette commune proprletË"
Or
,quoi
qu'il
en soit
,le prIncipe d'ordre ou d'analogie
d'après lequel
on conduit le raisonnement,
dOlt nécessairement être
.--"-
énoncé ou compris comme; une vérité générale pour valider la
çonçl~~î.i,rJ..c~:jhal e:,,*,i;~.<(:e.tt:Je f Orme du. moi i1s, ..l a nécessité de
t'~':"{,~;~'::,"/" ..';.
-~ :'~:r' >Y'
<
.'..'.:.'\\.di,t:~;~;f:~,(;::.~"i:r~>r" ,:~èi.f~~\\g{:;·,}~"·'
'. . , deI ii"férence
proposi.rt:'i.Qtts,génér à r~4i,'c'dmme fan d em'ent.
setroG$"i;·~§,!j:,:
.{.",
,.;,'.<"
;""
cbnf;it~:è;.~;·'~n'L:"é#~~"~ê'dont.,,je pense.J~ui~ti!lJ;~déCouleJ(1,.,t".~~.f.r$;~f
l~~>;.l~~~~f~~",~f!me"~t/;,,,el\\!~.:k~'1Core: !I~:; la11 atur~part,i culièr:et;des"
facultés·1:lont les lois ont été examinées ·dans cet ouvrage. En effet
une analyse attentive de la démarche déductive fera apparattre que
l'on y fait ab~traction de toutes les particularités de l'individu
sur lequel
porte la conclusion
, et que seules les propriétés
induction à partir des faits d'expérience
J
il
en existe d'autres
relevant du domaine des vérités dites nbces~aires.C·est le cas des
proposi tians . 9én$r~1 e$,d~·l 'Arithiilèt i que ainsi
que dès proposi ti ons,,,
lois de la pensée sur lesquelles se fondent les
.,
générales è>:posées dans ce tr?ité;
et ces proposl!:ions ne·
-; :':<,"J,
sont pas seulemenf susceptibles d'ètre vérifiées de manière
rigoureuse dans des cas'particuliers ,mais
se manifestent
même de l'étude de cas
Par ailleurs,
il existe des propositions générales traduisant
des vérités nécessaires,
mais qui
ne sauraient
,
è
cause de
l'imperfection de nos sens,
étre vérifiées avec exactitude.
Certalnes propositions de la Géométrie ,SInon toute~ ,sont de cette
e
;~'ik~2.~~!s~,;t~~;~;~~t~.~~i;:' ~~~;.~,da,ns 1 e seul domal ne de 1 a Geométt-I e quej
1 1 5n rencontre di telles~rop6sitions • La question de leur nature
~
et de leur orIgIne est très anCIenne;
et comme elle touche de plus
près à
l'enquête sur la constitution de l'intellect que toute autre
question que nous ayons effleurée ici
,
il ne sera pas hors de
.---..'- de Cex~#\\î'h'~r.Voi~tcertainesopinions parmi les plus
~~~:!~~~~.imf,:~~~';t/les'elftpr~i~t:es
,,,,~t.det:tif$.rthétYp~s, censés tout.~foispossèder
;i'.~·~·f;'i~?;;;i;:;:.!."'-, ·r;" .' .>..-:;..,1 .'~(,-.:;:,""
,}".'>',:~-':
- "~'>
<- ;,-:',>: . ':,"
-
,
r
une réalité dont tous les objets sensibles ne sont que les pêles
reflets 'ou les':é:squisses'obscures ,
que Platon a peuplé son monde
idéal.
que les propositions
qui
les concernent doivent b l'imperfection de ces objets de n'être
vraies qu'en pat'-tTet ;
enfin, qu'il s'agit de produits de
l ' intellect, form~spar' abstraction à
partir des perceptions
i
sensibles decho.esindividuelles, mais de fa~on à devenir ce que
ne peuvent
jamais étre les choses individuelles:
des objets de
science ,e est-à-dire des objets dont on peut affIrmer des
propositions rigoureuses et générales.
Ou.t ....e ceux7"'.);à", d' autres ,points de vue e}: i stent " OÛ"
tantbt l'élément sensible,
tantbt l'élément
jntellectuel ou idéal
pro é(jc!iÏI~ ne.
Or si
l'on prend le second des points de vue que l'on vient
d'évoquer
( car
i l
n'est pas question de dlscuter Ici
le pur
idéalisme ni
le pur. nominalisme ),
et si
l'on demande ce que sont,
au sens indiqué ci-dessus ,les véritables objetso? la science,
vraies sans aucun élément d'erreur)
,1 'on s'aper~oit quune seule
réponse est possible.
C'est que ni
les objets d'experience
pa... ticuLier.s, , n i , selon toute probabilité,
ii?s
--"-
images mentales
';'.
1.:.
"
_
._,
~Lil?,:SI;J99k~J11;:.ljoi,f1e'peuvel)b,: ~:m, t.oute., rigueur "'. préten~'Q:l>cCei"·"
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':. -;~/;;'::~::~'o~r:'. ~- '.
-
- -,
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'-'il':,:
--.
i
tH:.re ·.'UP.:fr-at-:fassuré que ni
la nature ni
l ' art ne f~~~issent
'f
4
... j~l);quJ, {çoi-i~~d~.r~>: ~temen:t· ~ 1. déf i ni t: i on~9ébmé,tf.',j q~JA./ufte
;
·i
dj.ffér~nce 5f;?t"ai b impercepti b 1 e;
et l'on peut juger au moins
douteux
que nous puissions former une image ou conception mentale
pa... faite
,
et qui
serait plus adéquate à
de tels objets.
Mais l'on
ne saurait douter que de telles conceptions, si
lmparfaites soient
nsture,ils échappent è
tous nos pouvoJrs de conceptJon
représentative et
ne se prËsentent que dans la pensée comme la
limite d'un proc:essuti indéfini d'abstt-action;
l'on peut en faire
toutefois, gràce è une faculté merveilleuse de l'entendement,
l'objet de propositions qui sont vraies absolument.
Le domaine de la raison s'av~re plus vaste que celui
de
1 'lmaqination.En f a i t ,
si
nous penslons pouvoir nous representer
,
avec une entière précision,
les éléments scientiflques que sont la
forme,
la di rettti on
i
la grandeur (406) etc ••• ,ces éléments, tels
qu'ils seraient effectivement con~us , constitueraient alors les
véritables objets de
la SClerlce
•
Ma3.s SI
~
comme
:l,l
;1~2 sernole pl~.~
juste de le supposer,
une inévitable lmperfectlon carac~èrise toutes
nos tentatives pour nous reprèsenter orècisément c~s ~:Ëm?nts
.:::'.i i~_:"- ~
plus certains états -limItes
(qUl
peuvent n'être Jama15 etfectlvement
atteints)
seront approchés,
soit dans la réalité par les objets
l'analogie, plus les propositions générales de la SCience portant su~
ces objets ou ces conceptlons approchent de la vérit~ acsolue et
voient dispara~tre progressivement ce qui
les en sépare .
A blen des
'~_ ~~ "-'}c_-~__~:.,:~7'~~;;,'~~~·.~,_JJ.-~}:,,,. '."r:?,':::': \\
':",
/ , 1
éqa,r:R~:t",>_,1~~'~~._!i:~~remarque5,peuvef1t égatèment'étre f ai tes pour 1 es
,,(~,;~,,-'f,l"'::\\l-~}rç'"à,~\\'~r?t.;p~~'_-r':;l"
'-"é_~;k
';;,
-
.', ,."
scienceg-'âe-,tà :idat1.1ftéi:,;;.Ce quel' on a-appelé- les "noti ons
- , i
"
-'-"~,ÎÎ\\t,-f~~'~ ';, i.
fondament~l~~T;'-;ic;e~sciences
1
la force,
la polarité 1
la
'."- .
,v i,y,t' {:;
intellectuelles indépendantes de l'expérience,ni de simples copies de
choses extérieures;
mais si
d'une part elles procèdent de
1 'expérience;leur ~ormation exige d'autre part l'exercice de notre
pouvoir d'abstraction,
conformément à
quelque faculte ou dlSposltion
gravitation sur les mouvements des corps célestes en faisant
l 'hypothèse limite que les planètes sontdas (407) sphères ou des
sphérofdes parfaits.
Nous Béterminon~ par ~pproK!matibn le trajet d'un
rayon luminew: à travers l'atmosphère, par une démaFche qui fait
, .
« .. >;:: .\\'
. ,',"
.
. - "
:.-,,~-,-,(
-
".",-, -','-:',--'.-'.'."'".
abstract i on de toutes 1 es i nf 1 uences'per'turbatri èès','de températur~. Ce
.'
que ces opérations intellectuelles ont de remarquab!~, c'est la
disposition
~et la capacité qui
lui correspond, à s'élever des
représentations imparfaites des sens ~tde la diversité des
.
..
expériences indi viduellesà la percéjÙ,/i on de Vérités générales et'
peut-être éternelles.Lorsque cette disposition et cette capacité se
trouvent reUlîles
,
toute se~le ae faits naturels reliés entre eux P2Lt
suggérer un ordre plus rigoureux
que celui
qu'elle manifeste
Immediatemen~.Car une tellp SËrIe peut ~tre la cause occasl0nnelle de
l'exercice de ces facultés
, dont le rOle est de saisir les verltés
générales illustrées par des exemples, mais jamais avec une parfaite
*Whewell
:Phllosophy ~f the Induc~ive Sciences. pp 71.77,213 .
**Sur l'idée d'ordre l'on a fait cette profonde remarque qu'elle
portait
en elle -
même S~ propre justification ou son propre contrOle
la confiance même que nous pouvons avoir en nos facultés se Jugeant
à
la conformité des résultats qLl'elles-nous présentent à un ordre
qui satisfait laraison."L'idée de l.,'ordre a cela de singulier et
d 'éminent,qu'elle(perf;~ en elle -mêm~,~ajLlstifj.çëlt(on,ou son
. c:ontr.Ql~.'·f?ou.r .~r~~Y~(f·:~~~nos autr~$i"#f~~~tU.t~~'rl<?~$rt.r6I1\\p~ot. 9u!nè·$~
now~ 'tf'oinpen~ Pël,?·';~.·Qgy~ ·éxaminons~i~~:f:~f'~~ttq~~,:~·~'rr,f?lt~.~~··nÔtJ~·, ~
donnent s 'enchatne'nt: ;~qtJne s' encha:tn~nt,::·,pàs·sùi vantrjuh.rirdré'qüi
satisfasse.> lar~i~p(l'·.Cournot E$sai.<:ur.J.esfoTldellentSde nos
COD.a li; gkiibl? :S!;""r'~;[~lJ.tt:,~;~~1t~:jj<~;nl>."
~.
·ct;~:.;~\\~\\(..\\*1\\t1~~w·i,~~t,.'t~*~t~:i;~tff.\\~~'t;~'J4 ~1)r~iJ).'. ;:",
Si l'on admet qJe't:~l est le p,..incip~qUi·9uid~·"' les' pouvoirs
d' abstr:àct ion' que,.:..nous '(:.pbssédons'lit\\C;::Qnt_stiib l-ement',.JI~~l(t:;a.ppar;;afït.~ii~i·
.~
contraire à la philosophie de supposer que les idées fondamentales des
sciences ne peuvent dériver deI ·expérienc~. Nous ëonser-verions sans
doute notre capacité à
comprendre le monde tel
qu'il serait si
la
disposition en était transformée, à condition que sous une forme ou
sous une autre le règne de 1 'ordre soit maintenu.
L'on peut penser
que si
la réflexion avait un théatre si
nouveau,
les idées
fondamentales
des sciences ç)oL~rraient Ët~e ·lo·ta:lefnerlt
d}ffé~P!ltes de
ce que nous ,connaissons actuellement
,.alors que les lOIS de la
démarche intellectuélle resteraient les mêmes.
A n'envisager que la seule vérité scientifique,
nous pourr'ions
être
dl(ienès à
conel w-e à ·un paraI 1 él i srne pr-esque stx i ct entl~e 1 es
opérations intellectuelles et les mouv'ements de la natur-e e:-:térieur-e.
Supposons qu'un amatedr des sciences de la nature peu habitué à
réfléchir sur la nature de ses propres facultés.
ait
appris qu'il
était prouvé que les lois de ces facultés étalent mathématIques;
il
est probable qu'une fois surmonté le premier sentiment d
incrédulité,
.'
"'
i l 'aurait<l'impression que l'ordre de la pensée doit
,en
l:oTtséqueTtce
être aussi
nécessaire que celui
de l 'univer-s matérIel.
l .~
conne:-:ion absolue entr-e éléments initiau:-:
f.:'t
flnau;·;:
l1c 1n
problème,
lorsqu'elle 5'e~prime sous une forme mathé~~tlou2
adéquatement la nécessité phYSique llant
la cause d
l'effet.
La
succession nécessair-e des états et des conditions dans '1.Le monde
dans les procèdures r-igour-euses de cémonstration ICI
applIquées
paraissent coordonnées.
La question pourrait naître de savoir à
laquelle de Ces deux séries s'applique au premler chef
le ter-me
.nJ"l~~'~~~~f~~:~~;<;I"~ la constance observée <408> dans' la Nature , ou à
", '""i ""',:,:,'.. ,··,..,~~f·k.;,~··t}>tix,,;..;'.;·,;.
cettec:ohJfëetionindissolubledes propositions quepr6duit tout
..a*", 'o"'W,;:x,;;'~rect"i'ilt.,... ,::poi nt de 'vueh i stOl" i qUé ntius de..r i ori'IifN',,",
peUt;t;7~~f}tl,ll.c:c:;:orderf)otre
préférence .li la première solution
,
d'un
point d@vue philosophique à
la seconde.
Mais le fait
lui-même de la
connexion est
indiscutable
et l'analogie qu'elle suggère,
évidente.
Si donc les lois d'un raisonnement correct étaient uniformément
r-espectées
,
il exister-ait un parallelisme trèS étroit entre les
j.'_~."':~
~;, ",-,,:;:,:>~,
'.'" ' . '
-
•.
1
serai t
é9a.lt$;mgi'H:.·t,~tal· e,i""'uq~\\t,~"'s~l, •··}'O'.,tt}··· '.'
.
.
; ,:,:·~~{~.{i4(lt· i
. '. ·;'<'~,$~;-"L:;i\\';0':}';:>
~.'.. .':.;:;5A!(:"'~((·;;J'< . ',i' ' •. ;. . '};. . .
Mais al 01''"$ 'que l f obserV.;i.'tion de l &1n~t·wt"e:.c.ëx téC:i. eure t.$mqî gne,
. '.:~ .
,', ::' . ,.
oPération's'et. ::.~ sClumiss10n {nvari3.bl'e{d'~"~~lais étabii'~~'<;;r~gn.e·
partout
le moindre examen des procédures effectuées dans le monde
~ ~'.
t;·dechoses
""r~l~~~~~
lois du rai.sonnement correct, et leur tran~gression effective est un
faIt
qui
ne cesse de se reproduire.
L'erreur qui
n'a pas sa olace
dans le système matériel en occupe ici
une importante
C'est Lm fait
que nous devons accepter comme ultime,
11
n'appartient pas à
la
d'être violées.
Nous devon5 leur reconna~tre une autorité qUI
ne
.".-~./~
tient à aucun pouvoir
, et une domination que l 'analDgie avec ::. 'ordre
inviolable qui
règne d.:.ns le monde naturel
ne nous aide
à
comprendre
.--..'-'
de la nécessité , non à
l 'e>:istènc~â'i;ahe certainedCJ~inàt:i:on iég'ltimè de la vérité • Le~ iois'~
tel les que C?t ouvr~ge les établlt
, o u ,
pour
dans 1 es canci usi ons d'une ",:tal yse e;.:haust ive
,
ne consti tuent
qu'une
partie du s(stème de lois qui
gouvernent
les procédures effectives du
3'
rai sonnernent
,
qu'elles soient correctes OLt non.
Supposons. que si
noUs
connaissions dans sa to~alité ce système
, i l
nous seralt
a~paru Due
toute notre démarche intellectuelle etalt n~ce5salre ,
2t
meme à
la
fa~on dont les mouvements du monde inorganique sont nécessaIres.
Et
supposons enfin
,en conséquence de cette hypothèse
que lorsqu'un'
-.'-1
raisonnement
incorrect ou une erreur se produit
ce ~-O],t a
ca~Jse de
valide
IL n'en demeureralt pas mOlns
que parml
toutes
~es lois de
les autres par
le caractere SpécIfique SUIvant
toute opÉ',"at.lon
intellectuelle qui
s'effectue en n'obéis::;<i:lï.t
qu'à elles est ,::orrecte
interférence mais une VIolation
On
ne peut
que VOlr
Due L~~~
conféreraIt à
ces lois une, propriété distInctive assurant
leur
prédominance.
On verrait avec
la plus grande évidence
qu" e11 es
$E!mb~ènt ihdiquent.lne of inal i té quin 'est pas toujours atteinte ,
qu'elles possèdent une autorité immanente et légitime mais qui
ne
çomfllclndepasutoujours l ' obéi esance ..
r:'J';"y~;Or un ,examen.rapi de montrera qu' i 1 ne se présente ri en de tel dans ~
la manière dont
la loi
naturelle gouverne le monde.
Le règne de la
nature inorganique ne conna~t ni
préférence ni
distlnctlon
Noue;:, ne
saurions y sélectionner un sous ensemble de lois et
~ffirmer qu'elles
seules mérltent obéissance
quelles seules ont
pour fonctlon
ae
pou~ autant
que nous PUISSIons :a
comprendre. Il n'e~t pas besdin de constate~ cümbi~n souvent les
dévî at ions lèsplAe!.:marquées de l ' ordt'-e apparént du mol1de i nor-gani que
-'-':""?.:.
telles que les perturbations du système planétaire,
l'interruption du
,
- ' ,
/~',
pt-ocessus de crl'si~lii~atiorl SOLIS l'action d'un~forceextérieure , et
d'aut~es phénomèn~sde méme naturè , ou bien se ~é50rbent dans la
COllceptIorl d'ull sclïéme d'ordr-e plus élevé, ou bIen ne pt-éSei"lCent plus
après un e>: amen <4tO) plus at tenti of et mi eux
informé
, l e u r carac1:;ère
.-
·anormal
.On nepé:\\.l~t'çÎ6nnerde tels'ofait~ qu 'une seule" e:<pl i cat i on :'
,,-.-';,'1',
,.'
w
que la distinction entre vrai et
faux,
ent~e correct et
domaine de la nécessité physique.
LO"-"'qUF'
f,I"JUS
passons des états les plus humbles:; de 1. 'Ë·t'-e
organique au degré le plus élevé de la conSCIence intelllgen~e , ce
contraste s~ fait sentir avec toujours plus de clarté. Partout où les
phénomènes de vie se manIfestent.
le rèane ~o la 101 ~nfle 181e ~0Ge
le pas,
dans une certaine mesu~e , à ce mvste~ieux principe
d'activité.
Ainsi, bien que la structur-e des société-3 anilT:ales
puisse se
-'-
cOQ'Former ,à;certains types, ceux -
ci
,
malgré tout
, ne
sont.par:h~j~(qJ~ft':'~:'ji~~ài'tementréat'lO;:;és',et.tu<~egÀr:d des cri tèrsS
l'~S plus élé~ê~'" '~i~~~Uté :~dfh~rl1Îôriiê , i l!i/':~i:s~W~peut - étr~'
tbl.(jOüt'"·s
• ·u.ètS'~;,~'~!~~.E!~\\<d.;l~t,_~,.t:l!tati.ve' ·~~.f,l~~~jJél's 1 (Art:,~'f;,;:: "
hésite"
de zno$ '.:i~~:~,sC)nt l 'exaç;t,e i mi tation.qe~formes
individuelleS d*tine"part,de ) 'autre la tentative d'arriver
,par
abstraction à partir de ces formes,
à
la conception d'une gr~ce et
d'une expression idéales " que jamais sans doute ne réalisent
parfaitement les formes de ce bas monde.
l entl?ili~?nt
à
ce qu'il
semble
sous l'irrésistible pression des circcnstanc95 externes mais par ce
jaillissement d'une énergie interne .La vie sous toUtes ses f
~~';,; ,~
peut donc ainsi être opposée à la fixité passive de la nature
inorganique.
Mais puisque la per/ection des typesd~~s i~.sqâkî~;:)'1~~i~~~}"::i
se réalise phvsiquement ne présente,
dans une certaine mesure,
caractere id~al
,
puisque nous ne pouvons définir
avec précis10n
pour cette excellenc~ de forme et d'adaptation
.
-...,
qui n'est que suggéré,
l'opposition est moins
qui
existe entre les opérations intellectuelles et celles du monde
purement matèriel
Car
le caractère techniqu? et determiné des 1015
mathématiques qui
gouvernent les unes et les autres éclaire mieux
la
ciffét-t::;-nce
fOf"lfj3rnentale
ou,}.
s·;·-istE.'
entr-f:?
Jf.::-':~'
e:<ercet-,t sur
1 eurs domal nes· respecti f 5
•
·f
I l
Y a un autre point en rapport avec notre objecfif général
dans
,.:e
C!ï.~.pl t.l'··E
provenant de dIfférentes sources suggère à
la réflexion une direction
intéressante
I l
s'agit de la comparaison entre les lois de la pensée
daris leur expression scientifique et les formes
--'-
effectives qu'ont eu
';
t~~~~~~~ prehd~~ ~~;1>
qUe\\~5;~~sr~CUl1!i~"$~1"ti
à
1a réf! ex ion physi
rëfl~x:f'Ori mét~physique de tous les temps. Sur d~U}c·:;~;êtnples'ë.tJI,,,;;\\{t,,<: 11
." . .
. '
. A,;j"':ll' ul i"'};,
;::~,~r,î.~~.::.-':l~~9~,tr~:,~~~,~ remarque .. ,.J«;; ~oudr at~~ '",;'fl~...~.. .~.:;"
":f;;:f",1
,iFi .)\\~:;~ttention •
'- ·t-
ir
1)
L'on a montré, (III
•
13)
qu' i 1 Y a
un rapP9rt sci enti fi qui;
iJ
entre les conceptions de l'unité dans
la SCIence du Nombre et de
l 'l,If11 :-Jers en 1 qgi que • Ell es occupent dans 1 eurs systèmes re~p~s:t~ls,
!!~~~~ place relative et sont soumises aux mémes loi s formel_,l~~;~,~jiJ)r, ~
',·,'",:1' ".\\~'l' i"·"\\-),'-:
.
comme~iaiRnt de se découvrir alors que les moyefl~ d'observation
manqu<'!.ient encore et que leUf~ nécessIté n'était pêlS coitlprL:;;e • les
.
ql_\\asi
ideotiQf..le~,,;. Etablir, la nature da l 'l,mité dont tOLIte existence
1
étai t
cens~eiét,r~Lu!e fllii'ni festat i on , t~l étai t le but prel!li sr de la
philosophie
1*). Thalès a cherché cette unité ~ondamentale dans l'eau.
Anaxlmène et Diogène ont pensé que c'était l ' a i r .
Hlppase de
Métaponteet Héraclited'E~hèse déclarè...·ent que c'était le feu.
110ins
catégOr;iquQ;qû,.mQj,rds,~S$t;l
.... t de .ses thè!\\ies,· Parméni dea-ffi,rma
simplement que tout ce qui
existait était Un
;
Méllssos que 1 univers
é t a l t
inflfll
identique à
lul-mème et que le mouvement n'avalt pas d'être malS
seulement une apparence d'être
(**).
Dans une ....echer-che qUl, ,
à
Lin
espr- i t
aUSSl
ref l éO-.l
qu Ar-l stote
apparut elllp .... ei n·te de retenue par comparai son avec 1 es empor-tements:.
speculatifs précédents
,
Anaxagü~e ae Clazümen~
peut-étre les traces de son concitoyen Hermotlme
,
voulut
VOIr en
1 'Intelli~encE la cause du monde et de l'ordre q~'ll manifeste
l***)
---0-
"
"
pr-lnClpE
~::.'~:>,::,er,tj,el f?t
Vl\\:,:;;;nt
,
qui
n','>ll':,nt
p",:;:, r:>té ut11i;;;é,es dans
les
surtout référé
,
a.bondent -en allu!:.icms sur ce point, bien que le
,
'
nombre de ceux ~ui se sont livrés alors à ce genre de spéculations
soit plus grand encor-eet que l'on ait probablement perdu jusqu'à
-
-
leurs noms.
Etrange vérité mais significative:
qu"alors que les
croyances du peuple se dispersaient ~~ns la multiplICIté de ses dIeux
la conception d'une unité première,
meme sous une forme grossière
et matérie~le , ait ainsi
poussé les plus profondes racines et
ait survécu en plus d'un coeur médItatif,
aux
peines d
une vie de
2) Il
Y a également un lIen tres étroit entre la loi
de la pensée
loi
de dualite et la tendance de la pensee antIque à
se porter vers
ces formes de spéculation philosophique c6~nues sous le nom de
du...=-. J, i ::-.:;Ji'12
_
contrad:ctions S2 manifestant dans la nature en les rapportant aux
deu:,;
pr-incipes contraIres <412:.> de la "haIne" et de l'''amitlé''
,
alnsi
-----
que la théorie J?Leucippe
<***) qui ramenait toute existence aux deux
-
~
::::~~;:~~~f:r~~:
. ..c;
: '
'\\.
- . "
~!~~~!:~~:~:g~:=:a;:~:~~~::~:;!~
.,'
...
,
.,
~~~~:~; :~:,:;ebr: t":~
;:S:CI(",trwII °tff).O~ "1l\\JY:,,'10\\J
iQO~«~~~~")'~_':'.
l
,,~"}~t:HIf9~,~i.~,o~ çS'.).t,,:~ô'ef· ~~t'irct't,P1)~"~ ,',>7,(;','; ,?.:''. .,)Pi;",.
,
"iifn-~vt(v,ç.~ {W'i). ~~(. .llv~J'i"~f~~~$ C(1t"Ill~,,\\S
i
'~JCtlt~I)If'~V':\\S:~ O'tf1l"~...~(l.r,'i~o~ "<IooY' ftf"~~~'"
.~
1'(,$
fI/' -C'4llù"t:O ~f ~«..,
""('lI"~,,&,,
Ces vers sonvcités par Ritter
et
je me risque à en proposer la
i
version suivantJ :
~
Be mine,to partial
views no more confin'd
Or sceptic doubts
,
tne truth-illumin"d mind
For,
long deceiv'd
,
yet still
on Truth inten~ ,
Still restles5 thought the same high quest essays ,
And st i 11 the On'e ,th;: AU
,el udes my gaz e
.
dualisme et d·~utre~élément5 dérivés de l'étude des nombres et de
.
,
lèurs rel àti.pns; ~:Qn";;.r~ç:onna'Î't d,i x oppositi. ol1,?fpndamental es :
f i ni
et
infini
,
pair et impair
,
un et ffil.w.tiple
,
dr-pit~ ,et gauche ,m~le~t
femelle.,
repos et 'mouvement,
droit et courbe,
clë:ir et'obscur
,
bien et mal
,
carré et ublong
.
Dans celui
d'Alcméon
le même dualisme fondamental
est adopté mais
sans la limitatiQO"pesdéterminat,ions nLlmér.iqu~s à
laquelle il
se
··1
,
tr-ouveassocié'dat'l~:î~ .système pythagoricien. L'on trouve cependant
le plus important déveJoppement de cette idée dans
lanclenne doctrine
religieux de la Perse,
mais s'est aUSSI
largement repandue dans
l 'histoire ;d~ l/"iEgl,i;se. L 'qr,igin.e du duaU~me;c;omme doctrine
spéculative, non pas encore liée à
la personnification du prinCIpe d"
l'unité pt-emière de lét, Nature est
a1115i
établie P~~l- P:r'lstote
:
"i'1a.i:=
en s"apen;ut
Que les opposés du BIen se rencontraient aussi
dans la.
natt,.lf- •. ;
quencih .:sJ'!u\\ ement 1 'ordre et le beau s'y trouvaient
,
mais
~~t~1~fjitiî~~~~"(1.iltc~F~
;,~~~t~iL~~r
1 e mal,l
l e bien et
lé"l aJd s~;:~le be,~~..C ~ ~st alors qu'un autre ,philosophe i ntt-odui si t
"r· (
,.
.
"
1:',~i~î~)ti~~~i··i::fi~·ti~.Jf:\\"cKac:uQ~! ~f.,iaoll es estl.'i:,~à(.Î1:ù~de 1 'un de ces
déffiî(:èf f et~"~f~'~~':~,;.l·,;#~;"'/:("'"
** Ar!st.
Hét
1 .4.6
***Arist.
ffét.I.4.9.
--'II.'
,
(~)
~ ,
.
**** "l1l'w'tf0'1tOS «f"oY~, o~w..
lftf ~~~,;)V
1C'....' l
Xvr,s
. Héraclite.
cité dans Orig~ni5 Philosophumena
l X ~
9
•
Eqalement Plutarque
~
De
lSlae
et
Oslrlde
La conséquence éthique de cette doctrine qui
~414> s'accorde le
mieux à
l 'esprit Grec se !it dans la grande opposition qu'établit
F'laton entre "l'êt.re et lé non étl'~ell , le premier se' r~ttachant·;atout;!
..,'
.
'
-
,
.-.~: '., ,~,
.
ce qui
est bon et vrai
aux
idées·éternelles et au monde archétypal
. -',
1 e sècond au mauvai Si
, à l'erreur et aux ::>hénomènes. pé"'i ssàb 1 eè. i:I;'lci-
~as . • L_es detJ>~ démal:·ches spécuJ.at:ives que nOlJS avons considél~ée~ se
trouvaient là liées;
et ce n'est pas seulement dans les périodes de
jeunesse et de maturité de la philosophie grecque que les tendances de ~
la pensée ainsi ''décrites se sont manifestées. Lês"époques d"imitation
retrouvèrent et s'assimilèrent le même esprlt .
C'est surtout aux
perceptible.
L'unité de tout être véritable, son Identité au vrai
et
l'irréalité profonde de toute e}(istence purement phénoménale;
telles
étai ent 1 es mani ères de perlser que tendai t
surtout à enco;\\rager cette
l nf l Uf~nCE'!
D' OL:
lorsque pour la Grèce l 'heure de gloire fut passée aussi
bien dans le domaine intellectuel
que dans le domaine SOCIal
, cette
--'-
propension au mysticisme qui devint. dominante dans ses Ecoles de
/
phiTÔ$oph!~p~urafi~indre sa plus haut'e expres'Sipr,t~~h.èZ:les .... ··.··c;l':;··'é'"
·4~' '~+F. '. < . ~:' ~r,~ '. : ....
. ' ; " , : ;.
" .
'.f"'C/
,.,.\\~ü.;'r.i,/.'
•
.-"
Pl atanicien's d' ArV~aridrie . Les tràités' 'âtt~'~t)\\:iés''à't>~~~s'1 ; Aéropag
;:~
.'.·~"",tî;.:;"".i_
.
. , . . ,
'
. ; .
•
' , '• .{ : , ' .
_
'
t ' "
: ' , : .
, · " . . .
~~~~-f~dèrj~n~~'*ir';~~~d~'étette' în~luè~éé,,~'\\~,'~ëi"p~tt~" qti~~:~::~t:slib~·i~~,'~
d~;tnlpbrtaht~es'·tt"ansfdrmêltions ~au côntact·'de<3';thêbr-<i'é~'t~"". ..
** Voir la célèbre dérivation des élément~ , chez Aristote, à
p2.r'"tJ.r
..-jes
qLtë~lité'=' dL!.
1ich.~·:·"u.dlf
a
du
1l~.E·CIi et.
dE'
lei..J.("-·;:-.
CL,(·-!t.. r"··.:::·!,.:.r·!~::~;)
•
Il
est significatif que Platon mette leur génératIon en rapport avec des
~
principes mathématiques.
Timée
chapitre XI
vraie foi
qu'avec la saine phIlosophie.
Cette doueR influence des
sentill:ents humains"
ce r.:':Jport familier' ,31...1>; choses quotidiennes 'de'la i;,
~.. qUi~&-:~,éiui~ht:;:.,tine part si gt-al!Bfi?:: de l a di scipliMe', vér{'t~~t~.t'è:_'~:
,·,.'>~;<,~;:;':~;;:"t(:'i';:if·(:;~:f0W!1;,,:·. '
'.": '.' .
.';' .
.".
. , ' è "
:N
par<::equ T elle ~ét€~itls.i voulue , d~notre naturé, né sauraient:::>;';'ê' t;
,...
.;··pa""uh;~;~~Xie~Pl ati 6n ,fO~;~~"~~;'l';;èb;ètl e ·SÇui.él~vé".W~~i;;~~
'-,
.'.. ,;,:;.),';\\,.-"
la pensée',"qLle l'on ven~ait dans un'~ abstraction e~·;cessive cClCTime;':L~~~'
chose dont on ne peut ni
affirmer ni
nier
la moindre proposItion
intell igibH:?<*>.
- "
"
',1
-
, - ' ,
",~<-"~':-;:~: .'
, .- 'Jeri~\\*,~ç~i;:·'fq~~"V.~>â11usibntàpiâ~\\~~9f:,.§ùèc'~
point .~hx
\\ -'. ... ' ~::;~fY
."j",.:.;~/,.~.:;!:, ~t~~- -'~:::,~<,' '-- -- ' ""
spéculations concernant la nature divine qui
lui
attribuèrent <415>
l'unIon parfaite de
qualités contraires
l**l,
ou au~
traltËs
remarquables de St Anselme visant à
établir une théorie de l'univers à
partit- des analogies de la pensée et de l è t r e
(';';'*'l!-)
L "unité première est ici
con<;ue comme ayant, sa demeLlre dan s l.~
';::"l_?~ >,,;,·:~\\~·,~~'H~..,;~:;-{:~,:·: ')~,~:ji"
;">~;-'t~,~ .,'
.. :\\ ~., .'.
:,.;s",,;-;"',4
..'
_l"l'e'.;
."":'~:;;}'~::-,':,;r"'~ ~
Vérité une et éfernelle .La conformité de la Nature à
ses loi s
,
.
1 'obéissance des_agents
moraux
aux
impératifs de D~olture constItuent
la mérne vérité ap~r<;ue en son action;
le monde lUl-méme n étant rien
d'autre qu'une expression de la pensée de son Auteur
S~ réfléchissant
e-même,t*)..,.. ~Xenouveau des démarches
"",,<, :'. :.
,-
,.
'-'-'" ,,-.-
. -:'-~.' .,. C:,"·":L <1--":('" ,.".'.': '
. •
...
':<
.
.
.'i'Tl:'" _ t('~l.
}flÂllJi
~:.~~~1J~~·:~!!: '11~;' '..",.{~~~.
~.k",,~t"!!tJ '.. t(.I<'O!~ . ..........'.;'*'\\."t-wv cU.n.cv
V6.~~~·ù.~. ~It"ft tr.('h
il _.;'l'Véi:x.~·~., ....W"l::,'''.t..···~'J.I,j:i\\''*·ittÀ.},·,: ....~··.·.,··;\\:\\. .'''' <~,::,~.ji/''.';i:".,,; ... ,,:f,'i(,~,~~
J;?;c"""c""""";'''.t " '. . "
, ' ···t.t'-r~';""'iJ""'''·:·'!~ 4.'V\\'''lI\\~1JS ·1ya.~~t.i·?ovo'h.'~' ,
,.~~~.~;ti;'. ,.;.>.:,:/;~';~·C::;<
.
c'''.
. ..
. .
. ". "
~·';:.~·fll'Vil$'·Ho"~tlibus chap~ V J . Et le genre de cannai ssance., ..
quél' 6rl'-c'hêfcn'e. 'atrîlii . 'àat tei ndre se décri tCOlTlllle une "dbscLlri té.iÛ...,
"
•.... ,"
c
'
delà de la. lumière", "qf<f~-r;cc; '(IoJCfoS
• <De
N,/st'ica
Tlieoloqia.
chap.1)
Mil tCln ~~~rimeUl"le pensée analogue :
i
. "
. f'S&nbre~"d'une excessive brillance apparai ssent Tes contours fi • <
(Le
Paradis
perdu.
Livre I I I l
(f)
OnOPPR?er- a à ce~. pensées la noble simpliCIté de Jean.1
,
i
5
"
*** Hor;'àlcgiù1llj'P'toso] oqium
et De veritate
•
de n'.::l!.JVEaU
,
soi t
à
la tâc:he de résoudt-e l ' i:\\nt I qUE' qu,'?st J or; De Una ,
Vero ,
Bono ,
s~i t: ~ 2êifé 'dJ"prouver que de tell es recherches' étai ent
futiles et vaines
(**')~';
Les éléments logi.~'ue~ qui' se trouvent'i~~ fondE'ment de toutes ces
spécu12tio~s et auxquels manifestement elles emprun~ent
que leur forme
, peuvent se retrouver aisément dans les grands traits
de systèmes plus modernes;
plus partIculièrerr~nt G3nS le rapport
.. -"''',,,. ~ . ,
l~'différence entre le Hoi et
s'élever è
quelque pInacle du
IraI
doù il
p0urrai~ surplomb0~ le
pens~e déductive se sont différenciées moins par les formes théoriques
qu'elles ont produites que par la nature des interprét2tions aUl
en
furen~ donnees
(*~*).
* !dci~co cum ipse summus spiritus dicit se Ipsum dlClt om~13 8uae
-t"'c'--
.::\\
".- d.
<:;I""A~)
::, _, 1 t '- ,
•
"l',r
(." 1/ ')]')9
(.
• (.
Il
chap
1 . XXIII
•
** cf.les dével.9P.flements de Spliloza , F'ie de la Mirandole, H.
r10re etc .••
Les~nalyse7. modernes de même nature sont menées S;,urtout
en rapport avec l'esthétîque',
la formule suivante de St Augustin
~~r~~~rtSd~::?~~::~~"~~:~~:L~~lA!pp1~Crt:~n.; ..
i
OmQ i s po, ro
.
• *** C"est ainSI par exemple que le mysticisme cultivé de Giobertl
,
to~t'i en Q~,ffar;ant,"gr~gd~,,»,mt"dan~ S9'l.,esp,..~ti't,...9~n~ ~~'? çoncl u?i ons.!.,',"
du" pàrl{h~rsmi? 'de"Âegef >;:Y"'i'ès."aèu>: systèmêsS4itanE"sank' àoute aussi loi n ,
~ ~:.HlJ,;;\\.R\\J~ ~"?~~~,~ ~e")}\\t~!f!ri t~,), 1 uil'";,~.?~e{llb,l ~ ev çe f:, q'f ' i l ~pp 1 i que
aUSSI bIen à la penste qu'à l·~t,.e les prIncîpes d'unité et de
dualité.
On, demande :
;~9rc~on è egli chiaro che ogni disco~so si
rlduce in fine aIle idee di
Oio
, deI
monda,
e della creazione ,
1 'ultima delle quali
è
il
legame delle dLle prime '";'" Cètte que:::tion
ayant re~u une réponse affirmative par la formule
"l'Ente crea le
esistenze"
,
il
est dit de cette. formule -"ç:ssa abbraccia la realtà
Uj~i·'/,,?r-s,=-de ne11'.3 du.?li.t'; ch? 1 nec"~C:5.-3,r-jD I~ deI contincjente , ":<';;·DrliTl2 il
vincolo dl
queS"tl
GLt2
O~Olnl
,
E
co.i.iocandolo r~ell2 CF"ea2iOt-j
sostanziale,riduce la dualità reale a un princlpio unico
,
aIl
unità
orimordlale dell 'Ente non astraltî)'
complessivo
, 2
qenerlco
•
Co"""J:.ô -,V\\~v~.d:o
~to J e O\\.t:(,\\,t~~ ,~l od ~ e" .Id' ikL,nN
autn:?lT\\ent des cC:lI,cept i. ons qu' Ils se font de c:equ' est l'uni. té et (je 1 <3,
natura des nH ations autres que cell e de simpl ecausal i té qu 'él1 e
entreti ent avec'E?ux. Cest 1 à
égal ement ql..le l'un peut voi r
l'impuissance de la seula logique,
l'insuffisance de la eonnaissance
la plus profonde des lois de l'entendement à résoudre les problèmes
qUI
nbus touchent toujours plus profonaement
,
a mesure que les ann2es
qui
passent arrachent à notre vie les illusions de son aube dorée.
a-Si,l'on tient compte, du caractère tout'à fait a.rbitraire~des
opinions humaines,
on n'attendra pas -
aussi
n'est ce pas ce que
sol ut 1 ons con Jectur" al es que 1 a
ré-f le;; 1011 humai ne ai t
<::fOUVe
au
pro~lème de
l'existence
d'autres formes oe doctrine, sous !e masque desquelles l'on retrouve
néanmoins, très souvent, celles que l'on vient de cécrire
<*J.C417
MalS la prevalence des
theor12S
leur analogie manIfeste avec
l
expressIon des 1015 De la pensée
peuvent à
juste titre ~tre tenues pOUF
les InCIces c
un
rapport entre
,.---'"-
les deux syst'mes .De même que toutes les autres opérations ~t
app~lée loi d$dqalité dans cet ouvrage , peutç:omporter sa prop.re
contradiction ce qui
n'est qu'une simple absence d'accord. ,
constituant ainsi
un monde que nous ne pourrions VOIr
que comme
composé d'ensembles complémentaires:
nous formons alors l'image d'un
,.c,_".-,-'t-;;te
....~-.!,".
..
''',;'
-.
~.
~avoir si
le dualisme est sous une forme ou une autre
Il
est toutefois plus important ici
d'examIner en dét~i] dans quelle
me~~re ces démarsb~sspé~ulativ~sdociennes ,
sous leur forme moderne
ont contribué au~ progrès de !a connaissance véritable ; et sur ce
point
j'aimerais ,poursuivant en cela le,propos de la section
précédente,
ajouter
les remarques SUIvantes:
l)Toute vraie philosophie se prGnonce contre ce genre de
spéculations
,en tant qu'elle est un moyen d'établIr la veritable
.
constitution de~,choses.Ilest.possibleque le progrès des sciences de
la natL(re tende à
la reconnaissance d'une ce~-tairlE:' UriIte es::.e:itielle
naturelles entre les partIes d'un systeme ne sauraIt guere ètre mIse
r::',;
cDute
et des hommes remarquaoles on~ refléchl
raIson,
à
un lieo~plus IntIme entre les forces ou manGe mat2rIel
que
c.::-l ui- que nous amène à
supposer- l a
seul e not i Dn d'un s.ysteme . Pl us
:
selon
la Sup~ème Volonté,
des nü~breu5es dlve~slté5 relatives
que
--'-
présente la Nature.
nfç;'Q~ ~ura ~Q{iJ"Rre~ye de cette .thèse dafls le remarquable traj,té qui
vient de para~tre sous le titre
(dont on peut douter qu'il
soit
adéquat)
de Origenis Philosophumena
•
Les corruptions primitives du
christianisme qu'il
rapporte,
bien qu'elles dérivent pour bon nombre
-
ce qui
se voit assez
à
leur caractère ophite -
des racines mémes du
paganisme,
révèlent certaines formes persistantes de la spéculation
philosophique •
Pou~ la plupart, soit elles relèvent du schéma
derives
,
oû
,
pour deux d'entre eux,
on peut retrouver
Le
rapport
dualiste.Oriq.
Phil.
pp
135,139,150,235,253,264 .
cjl:?
la ~-:'E'>~uèl,li,té et de la polar'ité • Je liH? 1'-isquE11-ai à
aJoL.ter
d.
cela
lllypothèse suivante::
qu'i.l
n'est pas vraiment improb':::1.blti que,
d'une certaine manière
, ' l a constitution des choses e>;térieures
puisse correspondre à
c e l l e ,
intérieure, de l'esprit. Mais une telle
co~-respondam:e , si l'on devai t
jamai s
proùver qu'elle exj ste ,
ap::,:.a.rai'trait comme l'ultime induction à part..:ir des:, connai'.3sances
humaines et non comme le premier principe d'une recherche
scientifique.
L'ordre nat"lrel de la découverte va du particulier: à
l 'universel'Li,etl 'on peut affirmer. <418> què nous n'avons pas
suffisamment avancé dans cette voie pour ~tre en mesure de déterminer
dans
la nature
,et d'où elles recevront
leur explication
tormes de la pensée et la constitutIon effective de la nature
,
la
correspondance ou la relation,
quelles qu'elles soient,
qu'il
pourraIt ~tre cense établIr entre les deux
systèmes ne
cf •.::·nqeraient
rien à
la qi...ie=tlon de l,-"ur
indé:Jendance mutuelle.
En
aucun cas cela ne mènerait à
la conclusion que l'un des systèmes
est le si mpl e effet de l" autre • Une tendance trop
---'-
forte à
s'ad6nnér à
la spéculation métaphysique semble;.,darts certains cas
avoir ~~vo~i~é cette espèce d'illusion.
C'est ainsi
Que de
cherèt'aé';'.4'attri:buél'" .!au fai t
un c:aractère purement;~relatif,eO'i,e,
faisant,reposer sur une sorte d'opposition logique à
1 'élément
,
relatif lui
aUSSI
du bien.
Il
suffit de dir-e qu'une telle
suppositiOn est purement gratuite.
Ce que peut étre le mal
pour
une sagesse et une pureté infInies
,
nous ne pouvons au mieux
que
MalS peur
nous
• sous toutes ses formes,
qu'il
soit souffrance ou défaut,
transgression morale ou
et austère réalité contre laquelle
,
pou~ peu que 1 on se place
au-dessus des considérations de prud2nce
,
si élevées soient elles
toute la puissance qui eh nous s'oppose au mal peut s'exercer.
Or
ce
que l'on vient ~e dire sur cette question particulière
s'appliquê ~ussi Ade nombreu>~ 8utt-es POiîlts de IH:fgé et1
philosophie:
par exemple la réalité externe de l'espace et du
temps.
Pien ne nous autorise à
les ramener à
de pures formes de
l'entendement ,
bi~n qu'il soit hors de doute qu'ils déterminent
le doma1ne·effectif'denotr~connaissance.
Et de manière plus
générale,
rien n'autorise cette tendance Extr~me à 10
Lorsqu'aux yeux de l'intellect dIfférentes hvpothèsES conViennent
l'autorit~ au témoignage instinctif de la conscience concernant la
valeur respective de ces hypothèses.
déterminer la constitution effectIve des cnoses ni
d'expilque~
c =
faits qui
en découlent, et qui
~
à
toutes les epoques
, ont
--0-
plonge lE:'s sagas dar'\\s la perple:dté <419> et les penseurs dans la
tri stèls~e', 'eU;'e;nàù:s plirmet., encore moi ns de nous élever au
dessu-ide'notrèc:6ndi€ion
ontologique présente, ou de nous
conns-tssance'intUi>tillede l'infini
et de l ' inconditionné -
que
nous cherchions cette connaissance dans le domaine de la Nature ou
au -
delà d ' e l l e .
On ne peut
Jamais dire que nous comprenons ce
qui
se donne à la pensée comme la limite d'un pr-ocessus indéfini
d'abstra~tion .
Un progrès ad infinitum est impossible à des
l ' i n f i n i ,
il
pourrait y avoir des raisons,
méme scientifiques.
est constitutif de la nature humaine"
Nous ne saurions trouver'unee)~pr-essionparfai'te â~;~ "16isde
't.,
d'"Eternité".Cümme pour les abst.ractions pures de la Gé6rnétrie ,
on voit
, dans le domaine de la Logique aussi
, que l'empire ou
connaissance ne peuvent être totalement parcourus que depuis un
point de vue extérieur. de m~m2 la théorie des ocerations
intellectuelles,
qui
ne concernent que des objets f i n i s ,
semble
imDliquer la reconnaissance d'une sphère de la pensée où toutes
les llmite~ sont effacées.
Si donc il est vrai que nous ne saurions voir dans les lois de
la pensée et les analogIes qu'elles presèntent
, une base
suffIsante pour prouver les conclusions d'un mysticisme trop
ambitieux,
il demeure que ce serait une erreur d~ considérer
>,
.~'
qu'elles ne ....ous> indiquent rien du
-'-
tout
.En tant que composantes
, ~,:\\) i'- ::,..';,'~,:;:;,._:. ,~<':::;; ,:"; ~.: ~:~:«':" "\\.,....,....-:.:. "::<, ,}....?:~_-,;~.:':t:':~i:_;:,\\~~;:c~~> ':'~~::~. :-,:- -,'.,' .,::.;~\\
,"''",:
",.::,:;~i:~
<
' '.
... !:'''''-' "','.' '. ,," ~f.'~ .'~. ,~ ,.<t:'
h~tJ.iY;e .~n.tell ~Ç:tüÉ;>lXÉ(~i l' J'le' parat-tdpas; i~p' '
. '
.'•.<:}!~t~i·,,;.· ·.··;<"';.'/",.w;';.;·::f(fu'fijji~V~·;'.:{;t,:t{;·f;··, ·tt'.t~~~ .·\\,··",'.;;';:~:'~f<f~:',J*:~(;.i·
el! es mani i=estent '1 eurprésetice autrementqtien pr
Si..nP}' émt#Ô~;t~~~.'ç:iJ~~:~;(~~·:'t~~;:''i·~<î'i)f.éir~~~~;i·;f,fjtffl~J.,.l~
.k~1$oient 1~~ 'J".;ca'~ son5tde le,S!'l~~·~ç~,~rl:,:rapportavec .l~s·':!;t\\irt~~çes"
~':
spécifiques de la spéculation physique chez les philosophes
ioniens et italiques,
les mêmes raisons existent de les associer
à
une disposition de la pensée qui
est à
la fois plus commune et
plus légitime.
Au moins nous ne saurions attribuer à des influences
accidentelles notre esprit méditatif qui
joui~ le plus de sa
nous sommes le plus pénétrés de la conscience Ge v~rités
ét2rnelles
, et qui
sait lire dans les cieux
nocturnes la
lumineuse révélation d'un ·ordre ;
ou ressentir
,
au sauvage
spectacle des montagnes (420),
les signes de quelque chose de plus
élevé que cette éternité abstraite. qui
s'est déroulée avan~ même
que fussen~ posées leurs sombres fondations
(*).
9- Renonçant à
poursuivre plus avant des réflexions qUI
certains·, pourraient sembler de nature t~op spéculative,
(
! ."'.,'
.. \\-"
reprenons brièvement les résultats fermes dw-:quels nous avons été
conduits.
Nous avons vu qu'il
eXIste Rn
nous des facultés
qui
aux
proposItions genérales qui
constituent le fonoement
Ce
la
C......
propositions générales,
acceptées comme vraies
1 es COI'IC l USIons
particulières qu'elles entraînent
Nous avons vu que les
operatIons d~ ces facultes sont soumIses
a
ces
lo_~ qUl~~~ 8,
investies d'un~ autorité qui
.----..-
quand on la compare avec celle des
lois de la nature, est différente sui
generis,et non dérlvée.
;'!""
•
Nous avons vu é9al~me!1tque l'adéquation était évidente entre la
.,~~~}~.",.,~f,.\\'-,~
.f~
; .
<
. -'~:'.ftbt~:~~!·t~{
.': ~-i;f- '':;
.,~" •
démarche intellectuelle qui
nous est ainsi
connue et les
conditions des choses ~Gi nous entourent ,
je veu~ dire cet état
où existent des espèces liées entre elles par des ressemblances
générales, des faits réunis sous des lois générales
ainsi
que
l
union entre la permanence et l'ordre qUi
,assurant
la
stabilité
des connaissantes acquises
permet d~ fonder l'espoir d'un
progrès indéfini
~.
la nature humaine de fa~on tout à
fai. t
indépendante des tendances
-,(~)
* Psaume XC .
objet de connaissance spéculative, ce rapport peut tout autant
être ètudiéen détail
-
pluS:
est aLlssi
digne d'une tsÙleétude
..
qUel es 'hombretix domai't'l'es"itëés sciences de la naturè cons! èf~Y:~i:~ à.
èe même poihtdé vue.
.J
Je' vdudrais plus particulièrement attirer l'attention sur
montre soumis à des lois d'une nature déterminée,
mais q~i
n'a'gisselit pa$"avé.ç·, .l~i:ô"'c'e de la néces~ité ; qui le révél e
affranchi
d~ l'èmprise de la fatalité sans l'abandonner aux
caprices du hasard
.
Nous ne po~Yons adhérer è
cette conception
sans accepter comme étant au mOlns proDables
les Indlcations
qu'elle parait nous fournIr!
en vertu du princlpe a'analogie
!
SLtr-
Lln
aL~tre aspect
plus é).E~·é je ~·l(jt~e nature:
sa
SGLtmlS510~·~
dans la sphèreètl.l devoi f- 'êOmmê dans celle du savoi r
,
<42i)._-_~ des
lois déterminées dont l'autorité ne réside pas en la force :et sa
constitution d'après un modèle idéal
et
.::.'
-]'+--
une
,]. ne'.•, l ,_,= ultlmE< .
L'on a pensé qu'en fait
les recherches SCientifiques
encourageaient une tendance à négliger les diffé~ences spéci~ques
qui.exist.ententr:-$'le mohde matériel et le monde moral, ou à
l!dbjet d~uneconn~i.~ancé précise .11 est certain que to~te
l'''èch'ercne e~clusi've.tènd":"~':proaÛire de~ pàfnf:.s de vuepaçti~'îs et
,
'
'._,,'-.-.:,
sans doute , un èsprit longtemps et profon8ément plongé dans la
contemplation dé spectacles oÙ l'empi~e de la nécessité physique
est total
et incontesté,
ne pour~a -
t- il admettre que
diffiCilement là possibilité d'un autre ordre de choses .Mais
c'est à cause du caractère exclusif de son attachement à un
domaine particulier de connaissance qu un tel
p~éJuge s'empare,
:':':.:'
; li.~:d t-=:'-'::,·
l'effectue dans un esprit de r~cherche impartial et sans négliger
Il
constitutiôn dt! ftôt:f'e nâturê', étre admis comme des 'faits bien
tju'on 'ne PÜi§$i!~'les considérer comme des lois, semble nOL\\S
10-A la question de savoir
quel
est le but pratl~uE ce telles
recherches, on peut répondre' qu'il
existe différents domaines
déter~i~ée~ p~r:'l'idée qu'ils se font de la nature humaine.
L'éducation,
au sens large du ter-me,
en
es.t un
.~_e 'f-o;;dement
ultime de toute recherche sur sa nature et ses méthodes repose
nécessairement sur une théorie ant~rleure et plu~ ~~né~ale de
ce qu'est 1 'ho~me
,les fins pour lesquelles fure~t
~~es
~~s
nombreuses facul~és ,les raisons qui peuvent les incliner à mener
parfaits et les plus assurés .On pourrait se demander si
ces
questions ont
jamais vraiment été étudiées , de façon tout à
fâi's complète et impartiale, sous les rapports que l'on vient
-'d'indique~ti';>t;~):è""'Ciè:e'leplüs élevé du goOt par l'étude des purs
,,:,',;"
' - , - ' .
ètj:ja$ t'H.~ç;t~"~~'ifè$ sei encê~màdèrnes de III nat.ure , dans 1 a
,>!;.';"', ·•.. ··;?~{(.'t~.y::--?:~y:">; . ' ; ; i " '~'"
,
perspectivède?:=et aspect plus large de notre n'ature , ne peuvent
;,.1r:Xi: ~---:'«~ ~:..,~:,
.<
-.
:appara-ttre(quèÔcommedes él élrients d 'Une éducation i ntell ectuell e
parfaite. En considérant sous le m~me angle les moyens à employer,
nous pou~rions,être amenés à nous demander si l'appel exclusif
"
"qui "est fâi·t"d'~ nos jours à l'esprIt <422.> d'émulation et à la
cupidité ne tend pas à affaiblir le rOle de ces motifs olus
durables qui semblent avoir été l~olantés en nous en vue de
conciliation de,fa liberté de penSè~ et d'
que de di Yef;t;~~~:'}~,~~$la pratique ,ne,:,ençp::
,
, " ;:,:.',;::>1,.·:'i::_?~,}::,~>,~<,:~:.~.'r!,.':·' -,~:,:.:'
.
:::;1.:' __ ._~-~> .
>,>;:' --:_;,:~,;--' ~
1. _ :.' 1
pouF"tant,'a~"""~9a,~d de la froi ~e raison ,
des activités humaines.
rlen qui
ai~ plus de poids et
d'importance'qua? cette question,
lorsqu'on lac:dnsidère, c:o~me je
':,,:-__-_.-',-::',.-:<".:>:~:::,:'·"·::~è,··->:">\\:,:<-"
_ ',:',':, .. :
,:',
.', ,,', ,,,,,~,'-_~'.:~.,J"'-"
l '-ai, dit
...~àrl"lli.:~.:,,'!d90if ic:ati-9p" l à',p14$,1....,;"·~
)~';;.+::"'ti.~1~~·
'i"f'?'.:,l·~:\\'arl~,;t~;}i",:~.. '.
.";'fi:: '<~i;'" .• ,'.. "~,fi} ;:
Or toutc~:/~J.i';::"~~n'd à rendre pl us i::l ai re"et plus p;~eI'se
connaissance de la nature humaine,
dans tous ses aspects
veritables,
tend p~oportionnellement à circonscrire ces questions
dans ~n champ mieux
déflnl et à rest~eindre les limites de leur
solution possible.
C est al~si que mème des reche~ches
ses principes essentiels.
Peut-être la conséquence, manifestement l~ plus légitime à
tirer de ces réflexions,
concernerait-elle la question de la
place des mathématiques dans le système des conrtâ"rssances humaines
J
~it1!Eii.~9~e,~~~{
rOI a. desé;t:ud~.$\\
;~~~~~~l~i~i~t~"
.t~u~~~~~~~;;~:'P)'
débà
l e:-~,
l
~nt.~ n' iront. guèrE? . penser
,.,'".",.."..,::;·:J?\\~~r4~~~~.. "('''-:\\~~;;ct~~i~~~~~,!s.'~:>;,:':';·:J.'!~~~~>;>.'~,;!!\\ ..~::.'il~:"·;B;~~; i"
une question
'importante • Ceux qui cints
.~;.:~~?~/.~. _);:!:~:;:~';:'~E?~"~~~~::;::'..>:,'\\i~\\I~~;ii~~!~f_~~~:i~~~~\\{~~'1~'::~~~~~~.;tÎ~~~t{ (.::
~;
~/)-,;-.
h
•
t " ......, ". "'. ;.;;.. ,',....,'~,
des mathémat~,ques, sdus ces
-
•
, , '
>
•
- ' " , .
ont tiré l'un de leurs arguments les plus solides de l "é'tatactûel
des choses .La structure. du monde matét-iel
repose,dans tous ses
.' .ç\\J'\\~7,;·'<"~~;:.}~*;{til!~t .,,..;( .... '.,
""
aspeë't·.'s"sur" des 'relations nu~êf"i ques • TQut.~~;,le~ ,.acti ons
'di~~2fqu~~'\\~'~ith~t~îqd~s , ect~l?<~~les ,;';t~~~~t~~~.t~~b'l,~·t;':Ii;');
él
pas seulement mesurables en elles-mêmes, mais aussi
reliées les
nature parfaitement déterminée.
MalS cette position me semble
..>!,eP9~er
svr une pa.se ~nco,...e pl \\j5 profonde • Les>~q~s de la
'ct'
, :"~'::~'" :..'".~_
•
""-""" " -:-,:~"~
tOutes ~é$j:)t:ocèdures de 'tonceptionet t1è'':'~i~ôMnement ,
.·Çfên$toutes~~M.~~r,ations cfont le lë:lngage ~f>it l'$.xpr:ession
.
.>.fr?,{.~,'·:<· .
",
.". .
.
:'1/1 nstrument
" S;()ïit de même na.ture que l es lois des pr-ocèdures
mathématiques reconnues.
On ne veut pas dIre pa~ là qUIl
nous
ft
soit nécessair.e de connaî·tre ces loi s pour penser- correctement .,
~
.".....,.....
·;;>·:~~t''';. .'.
'
.
.
'
. ..1'··... .
~Jl~~". sens ~~.t'~~ l'~xpre~~jon • <"23>bi;'(!~~~!~06ner , l~i~',\\
hommes effectuent des inférences sans aucune conscience des
r
éléments dont dépend toute la procèdu~e .On voudrait encore moins
exalter la faculté de raisonnement au détriment des facultés
d'observation, de réfleXIon ou de Jugement.
Slmplement
• en nous
appu,,'ant s:_,,"
fai t
qUE'
ultimes, se rév~tesoU$ des -formes mathémat.iques , nOLIs pouvons
présumer que les sciences mathématioues occupent
.~ cause de la
constitution même de notre nature
, une place fondamentale dans
les connaissances humaines et qu'aucun système de culture de
l 'espr i t
ne saura.it êtr-e achevé ou fondët.mental s' i l
en nég Il ge
~:};::,:>;1;~iN~:f'".
;2'6~sfd~rati o~~'c:(~,[;;t:~~:~î·~flf .. avec:
'1'
,1··.· .
..
èlle'n"est pas qliè cela. Si l'espr-it , en tant que faculté de
r~isonnement for-mel
t
obéit
, consciemment ou inconsciemment à des
>}, ,r~;;'~i\\
~,~.:c;:,;.:
'f
.~~§R~'~;.;.fJ\\att:émati ques··, il n'en ex ige pas moi ns , pour ses a u t r e s : i
'\\;';:~~1~Jft~~);aè sentir et' d'agir, pou"" sa percePtio~"de la perfectiti~i;;'·t
esthétique et morale, pour ses profonds élans d'émotlon et
d'affection.
de rester en raoport
~V~~
une p~Jssanc:~ da sensibi 1 i té au. v~à'1
..
.;,
""",:- .. ,
"'::,
,..1;put t= S4.....·.~.eJ;.·~aD ~. f ~ ~JJa.t.:i..Q,l'),~/:;i;., 9yt.DI1~ .·~,~;~~~~CJ;.~.p..~Ji.<'
"...;....
.' ·~!:D!2i;);.~'f",:1~ ::"~,""', .3<......• :', '::.''r,.~~'i'i}', ' ':-.:·:.~::·;\\·:~~~g:\\,}J.;~}\\;tt:X:.\\· ;',i:;~Y, .','.'·.·i)~;;. f'
la sUbtl'lttii de 'la faéulté 1:Ifalec:t;tel'et1'liéf
8è-roè' 1:
' 0 '
.... .' >J',·.,/c4)·...; .i';>' '·,,'.Elot;',: ..':;'···/<;'>:":·;'~''.!'è:;(;>''0' ; . '<:;.
911i vêb~'·,·ht~t~r:f~J",~al't~::·S9r:t·. ét,~rHj9i~;6t. tl,:~,;m.~;t
:: ",
' ,,:<. :~< - -',
~': :..~'~~:; ~',:_ _~~~:/~}":i-';:~:~~~:'
J, :••:-,:'.
,
.:
,',;. :~.< ",;}~)/ ;"h::';;', \\:: ?~; );~:- ' "::t··:~:\\:;i;;,~··:·:,':-i-;·1:\\::{~~~~;: ~;;\\i~~': ;:,:';:\\-'.§~:: 'l~'
omnipr~~eQt:..~t 'dans ..?es..,1 ai s imillU~l:,~~\\~.'~~t.,fl~?;t)~~~f>,~île~~!)t
appréhendée,
de la manière la plus pleine, par celui
qui
aura
nous seront les procèduires de simple ratiocination lorsqu'il
s'agira
de comprendre les questions plus importantes qu'ils
posent.
I l
est donc vraI
que cUltlV2r la facult~ mathématique ou
est tout aussi
vrai
qu'elle n'en forme qu'une partie.
Le préjugé
qui
bannirait ou cOLrronnerait ur('domaine quelconque de la
connaissance DU une faculté quelconque de l'esprit traduit non
seulement une erreur de jugement "--'mai 5
Llne absence de cette
~,-.... '
Cette erreur qui
sé~it effectivement parmî nous
due en
grand17par.ti e
, au caractère spéci al i sé et séparé de 1 'en~ei gnement
" ,
"
~'":~:_~_',, ,,:tJ~,~'~~:.',,:.•.~;. "._.
'
.."
",,):'\\:_ ..:>'i
c'·'.
''''_~-:'.
\\:~"
~
,-~,.,-:-,-,>:~,:,~,:,;·:t-'>':
"',,'Or',
; . " .
'"
_
,"
, , ' ,
':
" " - , " .
. sc{êtiti~f:itt~e qu'elle a tendance i:,.en. retour,'.:l-ré('i-l=Q.f'iter.
'i1!~>.~f;;";'~;':i~:' . ",";-,';';::'''"
.,.-;;L·'-ô.~~~~{;.1>"", :';i..,:'" <\\
études plillosophiqùes
~ à quelqu~s notables exc
n'ont pas réUSSI
à
marcher du même pas que les nombreux domaines
t~i:i~;:~~~:,,~~~i;'
~~~~~;~'fî}',
sur la
.~ê!f ~fhtêr'ft:
Il
n'est pas difficile de voir qu'à la limite
S l
de
tels
motifs co"~i;,..",,,td' "p~r"r san" q"" d~~J;:~i.Ü~è'; d' adi onp) u,,·,·,·"'·,·::·,···.,~.
·i;"'l~~~t:,.:;~,: 5an~/ .'
..,
'.·.'..
~'~::r?i~~::!;X~~~·~'~;::~{>:~<:: '~:: i'~:t~:~;:::_~""i,,. ,. ~,.; ,'" ·.:.I~.).i ~
",'
~
.,~"~ ~.~.tœ.:\\
~
...• ,....•. •..W.j~r"~
.•:.l.,.'&.•.•.:i.•.•....•..·:",·.'.fi..•..• ..'••.•..·,:..'.·.·.•.•.•:.·,::•.·tl:;.:..·.}.!.•
,"~"C
·,:'t~~,)r·
, , , '
~
.•,.~.'
iP·:!"
·~~·.I'
enne 1es corri gel"" , il sâài vent tèndre à '
rabaisser l'idéal
de l'esprit dans sa poursuite des objets de
connaissance, et à
vider de leur sens et de leur efficacité,
les
quelques restes qui
subsistent encore d'une foi
noble.
Et
lorsque ces condltions se trouvent rêalisees
peut-étre que nous tFOIjVOnS parfois Llne notion plus juste de ce
qu "est l'uni té ·des di fférents él éments du vr·ai
chez ceu:-:
qui
ne
met tent 1'" i en au -
dessus de l'aspect changeant de 1 . hU:Ti2.rn té dans
son
que-:ehez):::9L\\X qu~ prof essent: une
,.::::~1~;~~f;:'~~;-<:'~: ~"". ,(J
.·~):;;~:~5:-\\·t';~~~~:,-:~:~.~,., :f~"
- -. '
;~.:
soit au~Jd~~ des
5i+
NOTES
DU TRr\\DUCTEl'R.
PREFACE.
a-
Richard
Whately
(1787-1863),
archevêque
anglican
de
Du-
blin.
devint
professeur
d'Economie
Politique
en
1829.
Son
traité de
Logique,
publié
en
1826,
devint
en
effet
un manuel
pour
plusieurs
générations
d'étudiants
en
logique
et
connut
de nombreuses rééditions.
Wi I l iam
Thomson
(1819-1890>
fut
archevêque
d'York.
Le
t i t r e
complet
de
ses
Lois
de
la
Pensée
est
'-'A=n
...:=o:....:ou=....:t"-'l~i.:..:n=e
of
the
necessary
Laws
of
thought.
a
treat i se
of
pure
and
applied
logic.
<cf.
édition
de
1892
parue
chez
Longmans.
Londres) .
b-
Sir
John
William
Lubbock
(1803-1865>,
astronome,
fut
coauteur,
avec
John
Drinkwater
Bethune,
d'un
IraiJé
de_~ro
t)3IlLLU-i:~ publ i é a Lond i PS eJl 1835.
c-
Lambert
Adolphe
Jacques
Quetelet
(1796-1874).
poète.
ph~sicien.
astronome
et
statisticien
belge.
commença
à
pu-
b! i er
.5es L~lires sur:_~j3__ttH~ori~.ges j:Jrobabi lités en
183ï.
C'H.-\\P I TRE
:2.
a-
P.
Messiaen donne de ces vers
la
traducti~rr'~uivante
(Aubier Montaigne.
Coll.
Bi lingue.
1966):
Fille du ciel
née
la première
Brillante effusion d'une brillante essence
incréée.
Le
monde
s' élevant
des
eaux
ténébreuses
et
profondes.
En
Français.
les
inversions
qui
intéressent
ici
Boole
n'au-
raient pas été un écart stylistique comme en Anglais.
CHAPITRE 3.
a-
(trad.
Tricot):
" I l
est
impossible
que
le
même
attri-
but
appart i enne
et
n • appart i enne
pas
en
même
temps
au
même
sujet. ..
Vo i l à
le
pl us
fE'rme
cte
tous
] es
pr j ne i pes ... C' pst
la
raison
pour
laquelle
toute
démonstraUon
se
ramène
à
ce principe comme à
une
ultime
vérité.
car
i l
est,
par
natu-
re.
un point de départ,
même pour
tous les autres axiomes".
CHAPITRE 4.
a-
Nassau
William
Senior
(1790-1864),
économiste.
fut
le
prem i er
professeur
d' Econom i e
Po l i t i que
à
0::-:: ford.
(nous
su i vons
1 a
traduct i on
de
1 a
ci tat i on
de
Sen i or
donnée
par
Louis Liard dans Les logiciens anglais contemporains.).
CHAPITRE 5.
a-
cette
démonstration.
"moins
générale",
était
celle
de
J'Analyse Mathématique de
la Logique.
CHAPITRE b.
a-
Lévitique.
XI.3.
Trad.
E.Dhorme.
Pléiade.p.554.
CHAPITRE 9.
a-
Pour
traduire
les paraphrases de Boole.
nous paraphrasons
la traduction de Tricot.
b-
"une vertu surhumaine.
héroïque et divine.
en somme".
CHAPITRE I l .
a-
trad.
Paul
Moraux
(éd. Budé) :
"Dans
les
grandeurs.
celle
qui
s'étend
sur
une
dimension
est
une
ligne;
celle
qui
s'é-
tend
sur
deux
dimensions
est
une
surface;
celle
qui
s'étend
sur
trois
dimensions
est
un
corps.
I l
n'y
a
pas
d'autres
grandeurs
que
celles-là.
pour
la
raison
que
trois
équivaut
à
tous
et
que
trois
fois
équivaut
à
totalement.
En
effet.
comme
le
disent
eux
aussi
les
Pythagor ici ens.
1e
Tout
et
la
totalité
des
choses
sont
d~terminés par
le
nombre
trois,
fin
mi 1 ieu
et
debut
forment
le
nombre
car'actéristique
du
Tout,
et
leur
nombre
est
la
Triade.
Voi là
pourquoi,
la
na-
t ure
nous
ayant,
en
que 1que
sorte,
1 i vr'é
ses
propres
loi s,
nous
nous
servons également
de
ce
nombre
dans
les cérémonies
du culte des dieux".
CHAPITRE
12.
a-
"Si
quelqu'un
(Fabius)
est
né
au
lever
de
la
Canicule,
i l
ne mourra pas en mer".
b- C'est-à-dire
."
rapport de propositions contradictoires".
c-
"Ici
ClIry'sippe
se
sent
chaud,
et
i l
se
flatte
que
les
Chaldéens
et
les
autres
devins
se
laisseront
abuser,
et
qu' i Is ne
se
ser\\'iront
pas de
rapports
formulant
(je
la
sorte
1 eurs
\\'('r- i l ès
rj' p.'..peri ence:
"SI
que 1qu'un
est
ne
au
1e\\er
de
la
Canicule,
i l
ne
mourra
pas
en
mer",
mais
plutôt:
" i l
n'y
a
personne
qui
soit
né
au
lever
de
la
Canicule
et
qui
doive
mourr'ir
en
mer",
Comme
i l
en
prend
plaisamment
à
son
ais e! ,
1 1
)'
a
tJ e a Il cou p
d P
fa ç 0 n s
d' é non cel'
cel a:
au c une
de
plus
contour'née
que
celle
que
Chrysippe
se
flatte
de
fa ire
admet t re
aux
Cha 1déens
pour
l'amour
des
St 0 ï ci ens -, .
<Trad.
Albert Yon.
éd.
Budè'-.
d-
trad.
E.
Chambry.
(éd.Budé).
CHAPITRE
13.
a-
Nous
adoptons,
pour
les
passages
cités
de
Clarke,
la
traduction
de
Ricotier
(Oeuvres
Philosophiques
de
Samuel
Clarke.
Par i s.
Nouve Il e
éd i t i on
de
1843).
Pour
1 es
passages
ci tés
de
Spinoza,
la
traduction
sera
celle
de
Ch.
Apputm.
b-
I l
s'agit
des
Lettres
d'un
gentilhomme
de
la
Province
de Glocester
écrites au
Docteur Clarke
au
s~t de son trai-
c-
" Comme "être fini"
est.
en réalité.
une négation partiel-
le.
et
"étre
infini".
l'affirmation
absolue
de
l'existence
d'une
nature
quelconque,
il
suit
donc
de
la
seule
Prop.VII
que toute substance doit être
infinie".
d-
"L'âme
humaine
a
une
connaissance
adéquate
de
l'essence
é ter n e l l e e t i n fin i e (j e Die u" .
e-"Toute
idée
qui
en
nous
est
absolue,
c'est-à-dire adéqua-
te et parfaite.
est vraie".
f-"
L'idée vraie doit
s'accorder avec
ce dont
elle est
idée"
g-"1l
est
de
la
nature de
la
Raison de
percevoir-
les choses
comme possédant une certaine sorte d'éternité",
CHAPITRE 16.
a-
Il
s'agit
des
PeJ.)sées __fXEilmpnts
et
lettr'es~e_Blaise
Pascal! ~ubliés pour
la premiére
fois conformément aux manus-
cri ts
originaux
en -.9ranQ~~[l.Jg_ inedi--.L~_-fl-ar_---,-~_~...9~er
Faugére.
Paris.
1844.
CHAPITRE 20.
a-
Le passage de Laplace est,
en effet
le suivant:
"La somme
des
i nc l i nai sons
des
orbi tes
des
pl anétes
à
ce Il e
de
la
terre.
était de 91°,4187 au commencement de 1801.( ... )
10
( I /
1.2.3 . . . 10>. <0,914187)
< . . . )
est
l'expression
de
la
probabilité que
la
somme des
inclinaisons des orbites serait
comprise
dans
les
limites
zéro
et
91°.4187,
si
toutes
les
inclinaisons
étaient
également
possibles.
Cette
probabilité
est
donc
0,00000011235.
( . . . >
ce
résultat
indique
donc
avec
une
trés
grande
probabilité,
l'existence
d'une
cause
primi-
tive
qui
a
déterminé
les mouvements
des
planétes
à
se
rap-
procher-
du
plan
de
l'écliptique.
ou
plus
natul'ellt:'ment.
du
plan
de
l'équateur
solaire.
et
a se mouvoir dans le sens
de
la
rotation
du
soleil".(Théor:_t~~l}alvtiquedes PLQllabili-
tés.
Seconde édition.
Parjs.
1814.
CHAPITRE 22.
a-
Dr.
Robert
Gordon
Latham.
Ih~n~lLJ=QJ)guag~. :2. Vol s.
(''l'IP
Londres.
4-'-
édition revue et augmentée en
1855.
Si r
John
Stoddart.
The
phi losophy
of
language
cOJTJpre-
hendi ng
Uni versaI
Grammar
or
the
pure
sc i ~nce
of
Language.
seconde édition
1849.
Encyclopaedia Metropolitana.
b-
" I l
pensait
que
le
tout
était
infini,
immuable,
immobile,
un.
identique a soi,
plein.
I l
disait
que
le mouvement
n'ex-
istait
pas et
n'était qu'une apparence".
c-
(trad.
Tricot>:
"Aussi,
quand
un
homme
{ATl8XaçJotel
\\int
dire
qu'Il
~:
avait
dans
la
nature,
comme
chez
les
animaux,
une
Intelligence
cause
de
l'ordre
et
de
l'arrangement
uni-
ver se l ,
i l
apparu t
comme
seu 1
en
son
bon
sens
en
face
des
di '-aga t i ons
de
ses
prédecesseurs.
Sans
aucun
dou te.
Anaxa--
gor-e,
nous
le
savons,
adopta
cette
solution.
mais
i l
fut
devancé.
dit - on,
par Hermot i me (je Cl azoméne" .
--'-
d-
" I l
faut
avoir
pour
lot
un
esprit
avisé
comme
moi-méme,
circonspect
( j ' a i
été
égaré
dans
une
voie
fourbe,
étant
plus
âgé)
et
ferme
dans
toute
méditation;
de
quelque
manié-
re
que
je
tende
mon
esprit
vers
l'un.
l'un
lui-même
et
le
tout
lui
échappent".
e-
"A
moi,
libéré
de
la
cage
des
opinions
partielles
/
Ou
des
doutes
sceptiques,
esprit
qu'illumine
le
Vrai
/
Long-
temps
je
fus
trompé
et
pourtant
tendu
vers
1e
Vrai /
Les
ans
déclinant
de
la
vie
s'épuisent
dans
le
désordre
des
êgarements/
Ma
pensée
sans
repos
dans
la
même
quête
monte
a 1 'assaut/ Et toujours l'Un. le Tout échappe a mon regard".
f -
"Hanllon i e
d<>
foIe es
0PPOs('es
COllllIJfJ
de
lyre".
g-
" I l
est
l 'Au-delà!e
toute
3ffirmation
et
de
toute
néga-
tion" .
h-
" l i n ' est
donc
pas
atlsu rde
de
prendre
appu i
sur
ces
i ma-
ges
étffail:Jlies
pour
rpmuntel
JUSqU'il
la
cause
universelle,
et
de
contempler
avec
des
yeux
qui
ne
sont
pas
de
ce
monde
la
totalité
des
choses
(y
compris
celles
Qui
s'opposent
entre
elles)
dans
la
Cause
universelle
sous
la
forme
de
l'unité
et
de
l'union".
(Trad.
Maurice
de
Gandi llac.
Oeu-
vrps
compl étes 9~J=_,?_eudo_~~DJ~_-l~~~é~:JP.!:1j]jJe. Aubi el' Mon ta i -
gne.
Paris.
19:'3>.
i -
"La
lumière
l u i t
dans
les
tenèbres
et
les
ténèbres
ne
l'ont.
point
rl:'cuP".
j-
"C'est
pourquoi.
lü,-sque
l'esprit
suprême
se
dit
lui-
même.
i l
dit toutes choses créées".
k-
"Donc
tout.e
forme de
la beauté
est
uni té".
1-
"Or
n'est-il
pas
évident
que
tout
discours
se
réduit
à
la
fin
aux
idées
de
Dieu.
du
monde
et
de
la
création,
cette derniére étant
le
lien entre
les deux précédentes?
-
(1' ètr-e crée
l ' exi stence) .
Elle
embrasse
la
réalité
universelle
dans
la
dualité
du
nécessaire
et
du
contingent,
elle
exprime
le
lien
entre
ces
deux
ordres,
et
en
la
plaçant
dans
la
création
substan-
tielle,
elle
réduit
la
dualité
réelle
à
un
principe
unique.
à
l'unité
primordial~ de
l'Etre,
ni
abstrait.
ni
universel,
ni
générique,
mais
concret,
inclivicluè.
absolu
et
créatl:'ur".
(~u Beau et du Bon).
m-
Avant
que
les
montagnes
soient
nées,!
Que
tu
aies
donné
583
un
commencement
à
la
Terr-e
et
au
monde,'
D'~'ternitè en E'ler
nite
tu
es Dieu".
.--0-
TABLE DES MATIERES.
PREFACE
p.1
CHAP 1.
NATURE ET BUT DE L'OUVRAGE.
p.4
CHAP.2.
LES SIGNES ET LEURS LOIS
p.35
CHAP.3.
DERIVATION DES LOIS
p.54
CHAP.4.
DIVISION DES PROPOSITIONS
p.73
CHAP.5.
PRINCIPES DU RAISONNEMENT SYMBOLIQUE
p.93
CHAP.6.
DE L'INTERPRETATION
p. 112.
CHAP.7.
L'ELIMINATION
p.138
CHAP.8.LA REDUCTION
p.158
CHAP.9.
METHODES D'ABREVIATION
p.179
CHAP.10.
CONDITIONS D'UNE METHODE PARFAITE
p.204
CHAP.1l.
LES PROPOSITIONS SECONDAIRES
p.2l6
CHAP.12.
METHODES POUR LES PROPOSITIONS SECONDAIRES
p.243
CHAP.13 CLARKE ET SPINOZA
p.255
CHAP.14.
EXEMPLE D'ANALYSE
p.3ü4
CHAP.15.
LA LOGIQUE ARISTOTELICIEN:-iE
p.312.
CHAP.16.
LA THEORIE DES PROBABILITES
p.333
CHAP.17.
METHODE GENERALE EN PROBABILITES
p.349
CHAP.18.--i1..LUSTRATIONS ELEMENTAIRES
p.383
CHAP.19.
LES CONDITIONS STATISTIQUES
p.4ü7
CHAP.2ü PROBLEMES CONCERNANT LES CAUSES
p.442.
CHAP.21.
LA PROBABILITE DES JUGEMENTS
p.5l2.
pi'
CHAPt
22.
LA CONSTITUTION DE L'INTELLECT.
p.543.
NOTES
p.577.
UNIVERSITE DE PARIS I
PHILOSOPHIE SYMBOLIQUE ET ALGEBRE DE
LA LOGIQUE : LES LOIS DE LA PENSEE DE
GEORGES BOOLE
TOME II : Philosophie symbolique et constitution de
l’algèbre de la logique
THESE pour le DOTORAT D’ETAT
Option : Philosophie
Présentée et soutenue publiquement par
Souleymane Bachir DIAGNE
Dir. : M. J.C. DESANTI
ANNEE : 1988
Boole
2
Introduction
Un ouvrage récent, qui se pr0p'0se de dire les -mythes et les limites-
de l'intelligence artificielle- débute ainsi : «Depuis l'invention, par les
Grecs de la logique et de la g€<.métrie, l'idée que tout raisonnement peut
être réduit à une sorte de calcul -en sorte que toute discussion puisse
trouver sa conclusion une fois pour toutes- cette idée a fasciné la plupart
des penseurs rigoureux de la tJadition occidentale» 1.
Mettre fin aux 11scussions par le calcul, par une mécanisation des
opérations de l'entendement humain -cette faculté grâce à laquelle ,
justement, l'on -s'entend- - c'était le programme de Leibniz. Il est cert.es
caricatural de déclarer ainsi que toute la tradition philosophique vlsait. à
meUre fin aux débats qui l'ont constitu~, en se réalisant et en ;:;'achevant
-à tous les sens du mot- dans le programme d'une ra.1':;on-(:21cul Et 11 :,; ft
davantage de provocation que de sérieux à dire que «l'tüstoire de
l'intelligence artificielle pourrait bien remonter2» à la naissance de la
pens4e philosophique elle-même.
Il est toutefois possible de soutenir que <d'idée leibnizienne d'une
logique, voire d'une intelligence (ou tout au moins d'un comP9r~ment
intelligent) mécanisables a trouvé aujourd'hui une actualité qu'elle n'avait
encore jamais connue, à tel point qu'on a pu qualifier notre civilisation de
la logique formelle et de l'ordinateur de -ci';Tilisa.tion leibnizienne 3"». Il est
clair en effet que la substitution par Leibniz d'un -calculons· à un
·raisonnons· a trouvé, à l'époque que nous vivons, toute sa signification :
on mécanise effectivement tout ce que la pensée humaine peut comporter
de machinal. Quant à savoir si ce qui se révèle ainsi mécanisable est
encore de la pensée, c'est une autre histoire.
Cependant, poursuit l'ouvrage de Hubert Dreyfus «Leibniz n'avait que
des promesses à offrir, mais avec: l'ceuvre de George Eioo1e, tnat.hérnat.1c1E'f1
et logicien du début du siècle dernier, son projet fit un pas en direction de
Boole
3
la réalité. De mêm~ que Hobbes, Boole partait du princi~ que l~
raisonnement est un w.1cul et il s'empk'l'a à €:~"plorer les 1()i::;
fondamentales de ces opérations de l'esprit par lesquelles progre~8e le
raisonn~ment, afin de 1€'S exprimte'r par le langage symbolique d'un
calcul...».
L'algèbre de Boole €'St une algèbre binaire destinée à représenter des
fonctions logiques. Si «a» et «b» représentent des va.riables, si <<:.>~
représente <<et», «+» représente «OU», et «1» et «0» représentent «vrai>:- ou
«faux», alors les lois régissant la manipulation logique peuvent
être écrites sous une forme algébrique, comme suit:
a+a=a
a+O=a
a+l=l
a.a=a
a.O=a
a.l =a
Le monde occidental était désormais prêt pour le calcu14".
George Boole (l ô15-1864) est donc ce]1..Ü à qui il a appa.rtenu ,.je
réaliser le projet leibnizien tout juste esquissé de constituer une loglque
mathématique, de substituer au raisonnement verbal un véritable calcul
symbolique. Et comme les écrits proprement loglques du plülosopl1e de
Hanovre,étaient demeurés de simples fragments, ce fut BI)o1e qui.. le
premier, donna à la science du raisonnement sa forme mat.hématique la
plus achev~. La citation qui précède a donc certainement raison de faire
de lui un jalon essentiel de. la voie et de la tradition qui ont mené à notre
-civilisation de la logique formelle et de l'ordinateur-.
Mais regardons de plus près les six équations cl-dessus qui
présentent œ qui vient d'être appelé -algèbre binaire- de Boole. Pour dire
que, comme on verra pourquoi, ni la première, a +a =a, ni la troisième a +
1 = l, ne peuvent figurer dans ce qui a effectivement été l'algèbre logique
créée par George Boole: écrire a + a ou a + 1 n'y a littéralement pas de
sens.
La première remarque à faire €>st
alors que le sy~tèm.e invent.é par
Boole pour donner à la logique sa forme mathématique n'est pas la
Boole
4
structure que notre modernité appelle walgèbre de Boolew. Il faut donc
revenir
à 1'ceuvre
historique
€'l1€'-m~me, a.ux démar(:l1e~; et .3UX
tâtonnements d'où est née ce qui deviendra une algèbre de Boole.
Or revenir à l'oeuvre elle'-même, -dont on peut douter U en effet,
,
-qu'elle soit tr~ pratiquéeu5, c'est mesurer tout le décalage qui peut
exister entre ce dont notre époque crédite Boole et ce qu'il a eu lui-même
l'intention d'accomplir. Sur ce "malent.endu", nous citerons ces lignes de M.
Ernest Coumet:6
-L'Histoire joue parfois de curieux tours aux créateurs. Ils peuvent
devenir célèbres, en quelque sorte par ricochet, pour un résultat qui n'a
été tiré qu'inejirectement de lel..lIs oeuvres. Le malentendu va même
parfois si loin qu'un tel résultat empêche qU'on s'intéresse Vf2tlment à
l'oeuvre.. puisqu'on sera inévitablement déçu de n'y rencontrer que sous
célèbre de voir son nom attaché à des Algèbres, et dérivé en ad}€'CUfs
(
booléen, booléien".J }·...lais on peut douter que son oeuvre soit très
pratiquée. Le lecteur moderne., s'il n'est pas déjà reliut.é par les reféfence~;
à la scolastique ou. les développements philosophiques. aura la pénible
surprise d'y trouver un langage mathématique__ ~'un autre âge, mis
lui-même, par moments, au service d'entreprises contestables. Pour peu
qu'on sache aussi de lui qu'il est un des fondateurs de la logique moderne,
on l'imagine volontiers comme un logicien qui a eu la bonne fortune de
découvrir une nouvelle structure mathématique. En fait, il s'agit, à
l'inverse, d'un mathématicien qui a voulu doter la logique de sa véritable
structure
formelle.
Ce
que
cette
dernière
devint
lorsque
les
mathématiciens revinrent plus tard y chercher leur bien, &)ole ne l'avait
certainement pas prévu. Il ne songeait nullement, en ce domaine,'à faire
progresser les mathématiques, mais à fonder une étude scientifique des
lois de la pensée".
De même que William Rowan Hamilton, le mathématicien qui créa les
Boole
-Quaternions- pensait tenir ainsi la clé des se<.rets du monde physique et
constituer u.ne science du "temps pur-) George D()(ile croya.it (iB-wuvnr lBS
lois qui lui ouvraient le monde de l'esprit?
Et s'il a réussi à -doter la logique de sa véritaNe structure formelle',
c'est ausst en effet, parce qu'il pensait trouver, ce faisant, la véritable
'constitution de l'intellect- humain. Il voulait éclairer le fonctionn€'ment de
l'esprit, mais aussi l'histoire de la p2nsée, grâcE' à la logique enfin
reconstruite "scientifiquement-.
En proposant donc une traduction de S€'S lt')js de ki .Pfws~ nous
avons voulu contribuer à faire naître cet intérêt direct pour l'oeuvre
elle-même,
un commencement bien déroutant en eH.;::t de D('rt.re
"civilisation de l'ordinateur'.
Ce retour à l'œuvre prendra également la forme d'unE' mterrogation
cOfjcernant les conditions de possibilité même de l'entJepri':;e qrj cl
consist,6 à donner à la logique la forme d'une alg~bre. De détacher la
science du raisonnement de sa tradition aristotélidenne -qui p€'ut donc
apparaître comme sa préhistoire- pour l'assocl€>f désormais à l'fLl::;t(:Olr..;c d7
la mathématiqueô.
Par sa réalisation même Boole portait un démenti à la célèbre tbèse
de Kant exposée au début de la préface à la Oitiqlle d~ kf rtd~l.).n pllfe:
pour œ dernier, en effet, la logique, dè-s Aristote et ave< lui, avait atteint
sa perfection, c'est-à-dire qu'elle était désormais achevée et sans histoire
future. Boole a démenti cette affirmation parce que tout son travail
mathématique anœrieur à la création de l'alg~bre de la logique avait
démontré la fau~œ d'une autre thèse de Kant selon laquelle ·on peut
déterminer à quelle sorte d'objets la connaissa.nce mathém3.tique ne
saurait être étendue9-.
Ce travail a prépar~ l'entreprise de constitution d'une logique
algébrique pour avoir contJibué à l'émergence de la notion .j'aJgèt)fE'
-#D
abstraite où l'on ne saurait plus "déterminer d'objets" exclusifs de '1a
Boole
6
connaissance mathématique- : celle-ci n'ayant plus, par essence, affaire à
la
sHl1e
qua.ntité,
pouvait donc,
aussi
bien
d.eVêll1f
la
ou
une
matl1ém3tique des lois de la pen::;ée.
En un mot, les recherches mathématiques de l'époque d~ BooI~ ~t ses
premiers travaux lui perm~ttront de pass~r sans rupture de l'idée que les
maL'1ématiques ne sont pas nécessairement la science de la quantité mais
la mise en ceuvre d'un raisonnement syrnt,olique à celle que le
raisonnement, dont traditionnellement la logique est la science, est la mise
en œuvre de procédures symboliques.
Pour s'être donc interrogé dans ses premiers travaux mathématiques,
et son époque avec lui, sur les principes logiques ju.stifiant les démarclles
mécaniques de l'algèbre.. George Boole a pu dégagH ces principes pour
eux-mêmes, les appliquer à d'autres objets de la pens~ que le nombre et
1::1 (11J·-r:t·t/, 11('\\'
('(',or.t-
{:>
('
( , '
l . ~ )
.= ,,=··:··;,·t t.t ~ Ip c- ~c·t·:·· ,;::, n','2 y,;:.
0
•
' 0
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d.L1.z::- 1o.... ,J.r ... ,!1,:.·:JU1L .o.e 'ol,Jl
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des "Lois d~ la pensée-, Ainsi son travail a trouvé son unité comme la
rechercbe d'une théorie générale des signes. Signes mathématiques. signes
du langage, de la logique ...
Encore fallait-il que la logique traditionnelle elle-même fût arnvée
aux conditions de sa matllématisati~n; Or, sur ce point aussi, son époque
est celle d'une réforme des Analyfiqut?s d'Aristote où se trouve expos* la
logique du Stagyrite. Par cette -Nouvelle analytique- qui s'est ainsi
constituée, Boole est l'héritier de progrès importants réalisés dans la.
logique classique et qui ont permis en particulier d'écrire la proposition
traditionnelle attribuant un prédicat à un sujet au moyen de la copule
sous la forme d'une équation. Il était dès lors devenu possible de traiter
des propositions logiques comme des équations algébriques C'est là
l'intuition fondamentale qui fut au principe ni&me de l'entreprise
booléenne.
Ainsi George [;oole est en fait, lui aussi, un "nouvel a.na1ytiden" qUI
grâce à une nouvelle philosoptüe de l'algèbre qui a rendu possible u.ne
Boole
7
telle réalisation a pu achever le projet de généraliser la logique d'Aristote.
Il nous a s€>mNé qu'unB prërni.s.re partie cie ce travail devalt donner
quelqu.€>S
indiC3.tions biographiques vis-ant surtout à montrer comment,
tout en étant l'oeuvre d'un autodidacte, la constitution par Boole de
l'algèbre de la logique s'inscrivait da.ns cette époque de la première moitié
du XIXème siècle britannique qui a vu l'émergence de l'algèbre
abstraite 10.
De ce point de vue, la S€'(onde
partie prolonge la première en ce
qu'elle décrit le passage, qui s'effectue à l'époque de Boole, d'une algèbre
numérique à une algèbre abstraite dont la logique symbolique est une
réalisation particulière.
La troisième et la quatrième parties constituent un commentaire de la
démarche de Boole concernant à la fois l'élaboration t.echnique du ca.1cul
du raisonnement et les réflexions pl1i1osopl"liques que celui -(1 in::;Plre :3 ':;on
auteur, ainsi que les fins spéculatives qu'il croit pouvoir assigner à la
logique.
Une cinquième partie ia.it état des tentatives de Boole.. ver::: la fin de
sa vie, de reconsidérer l'usage qu'il avait fait de l'è::riture et de::;
procèdures de l'algèbre pour "doter de sa véritable structure formelle"
cette discipline - la logique- qui, traditionnellement, était l'affaire des
, philosophes.
Les travaux de William Stanley Jevons et de John Venn qui sont
comm~ntés dans la dernière partie, s'inscrivent dans le droit fil des
questions agitées par Boole lorsqu'il fait ainsi retour sur son oeuvre, et ils
contribuent à éclairer cette
·philosophie symbolique· qui est au
fondement de l'entreprise booléenne et dont ce travail s'est voulu une
étude.
En n'envisageant ainsi que son immédiate post.érité, nous avons voulu
rester au plus près de l'entreprise et de la problèmatique de Boole
lui-même, en nous contentant de donner, en annexe, quelques repères
Boole
8
pour u.ne chronologie du de'y'enir ultérieur et proprement mathématjquE'
(je la cré3tion dé l'algàbre- de la logique.
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Boole
PHI LOSOPHIE Syy.,..1BOUQUE ET
CONSTITUTION DE L'ALGEE\\RE DE LA LOGIQUE
--'-
Boole
9
PREMIERE PARTIE
L'AUTODIDACTE
1ère partie: l'autodidacte
10
Toute 1'1mportance de George Boole pour notre modernité se
rne:::urera
donc
aux
expressions qui
fûrü
pôr-tie de notre culture
rnôUlémôtique : algèbre booléenne, ônneôux booléens} circuits tll)o1éens,
etc... Et l'on pourra s'étonner d'apprendre que l'homme ôUQue1 renvoient ses
adjectifs -booléen, booléenne, de 8001e- était un autodidacte.
MalS n fout} ici encore plus Qu'ôllleurs, ne pas se prendre au mystère
et à la faSclnation qui dressent la figure de l'ôutodi,jacte comme celle
d'un rlOrnme exceptionnel dont les réal1satlons ne renvoient qu'aux
mônlfestot1ons
à jamois
incompréhensibles
du
génie.
Un
homme
exceptionnel, c'est un homme qui n'est pos de son époque. C'est un homme
qui, hors de lInstitutlon sco1ôire où la société maintient, développe et
transmet les savoirs, ô tiré des ressources de son génie propre .. sems
aucune assistance ou si peu} non seulement la connaissfmce de ces
savoirs, mais aussi ,jes ~;"j'v'oir::: nouveaux .. insoupç:onné~: Ju~:qLJ'Ô lui et qui
ont ouvert un avenl r Que ri en ne préparal1.
La \\/le de G. Boole nous enselgne une manière toute différente de
comprendre cette figure et nous per-met de formuler l'hypoU"lèse que
l'autoljÏijôcte est le produit de son époque: c'8st-ô-dire que certfnnes
époques Ijemôndent et suscitent des autodidactes} du moins ceu!'_,9ui ont
compté dans l'histoire par les réa1isattons importantes auxquelles leur
nom se trouve attaché.
Cet enseignement, nous pouvons le tirer de ce pOlnt-ci de la
bl ographi e de George Boole 1 : à l'âge de vi ngt -Quatre ans, cet autodidacte
déjà engagé dans des recherches mathématiques origlnales, manifeste le
désir, sous la pression de ses amis Qui connaissent son génie, de
s'inscrire à l'Université de Cambrldge : i1 pense s'être mis dans les
conditions de rentrer dons l'institution scolaire à ce niveau élevé et
est ime avoir besoin autant d'accroître son savoir Que de le vOlr
sanctionné pôr la dé1ivrance ,je diplômes et titres urlÎversitijires.
Son ami DF Gregory (1813-1844) Leettlrer et ttltor
de cette
1ère portie : l'autodjdacte
11
unlversité de Cambridge, auquel 11 fa1t part de ses intentions et il qui il
ljernôn,je infotTrvltions et consells lui prodigue des renselgnernents et de~,
avis Qui le décideront fi ne pas (inscrire finô1ement il l'1Jmversité et Ô
demeurer donc l'autodidacte t.lUthentiQue que l'histoire de sa vie nous
présente. Ces renseignements concernaient d'abord le coût énorme des
éludes universitaires à Cambridge et George Boole était pauvre. :13
concerm~ient aussi la nature même des enseignements et des exôrnen~:; qui
constituaient le contenu du cursus universitaire.
Citons ces passages de la lettre Que D.F. Gregory écrivit cl George
Boole en réponse à ses demandes de renseignements concernant son
inscription éventuelle cl l'Université:
«Vous devrez vous attendre il sub1r une discipline mentale tlien
contraignante, ce qui ne convient guère ô un l'Jamme rlôbltué à pen':;er pô r-
~:,oi-mêrne.
lei,
un
diplôme
unilvlersite~re
récornpen~;e
tG~.Jt
::ut.Ôrit
l'appllcaation laborieuse fi suivre certains parcours prédéterminés que le
tô1ent pour les mathématiques L) Ce Que je connais de vos dons en
môthémôtlques me fait dire que vous pourriez en tlt-er pleinement ~L3rt.1
en tentant vot.re chance: môi s, en même tenws, vous de'y'ez sôvoi r que 1e
succès est ici un peu comme une loterie et Que ce n'est pas touJour~; le
choix le plus judicieux Que de tout risquer sur un seUl coup de dés».2
Voilà donc QU'u~ homme de l"înstitution Qui, par ailleurs a déjà
accepté dans la revue de mathématiques Qu'il dirige - The Célm!trj{/!?~
mothemotico/ JOlJrntl!- un article de George Boole et l'invite dans cette
même lettre 6 lui en présenter d'outres, explique il l'autodidacte Qu'il
possède déjà ce Que l'Ecole ne saurait lui apporter et Qu'elle pourrait
même lui ôter: l'esprit de la recherche originale en mathématiques.
C'est Que l'institution scolaire était alors flgée. C'est aussi Que
cette sclérose elle-même était à l'image du caractère figé des
mat.hématiques en Angleterre au début du 1ge siècle., qui était enCDre
sensible dans le contenu du cursus ci l'Université de Cambridge dont il
1ère partie: l'autodldacte
12
faut rappeler Qu'elle fut l'alma mater d'Isaac Newton.
C'est peut-êtr-e la raison pour laquelle, lors d'une Ylsite Qu'il fit il
Car-nbr-i dge en 1Ô42, 1e maU"lérnat i ci en ô11 emônd Jacobi il Qui l'on avôi t
demandé quel était il son avis re plus grand mathématicien ônglais vivant
répondit qu'i 1 n'yen ayait ôucun3. Sans doute ce professeur qui formait
ses propres étudiants il la recherche en leur faisant souvent cours sur les
dernières découvertes qui faisaient l'objet ,je ses tn3Y8UX4 avait-il été
effaré par les mathématiques Qu'on enseignait il Cambridge. Mais il cette
date, 1842, et en ce lieu, Cambridge, cette réponse était injuste.
Il faut en effet dire Qu'en 1813, 0 Trinit y Co11ege, il Cambridge, il
s'était
formé
une
société
sôvônte,
l'Atio/yl/co/ Soc/ply,
dont
les
f ondMeurs
furent
George
Peôcock
( 1791- 1658) ".John
Herschel
( 1792-1 871) et Chôr1 es Babbage ( 1792-1 ô71).A cette date, et avec cette
Société, les jeunes mathématiciens de Cômtll-idqe s'étaient Ijonné le cclljre
-
~
institutionnel
Qui
exprimait
leur commune
volonté
de
contraindre
l'Université il se réformer sur le modèle des universités du Continent et
de l'Ec08::;8 et de rnener ,dans le domaine de l'algèbre en particulier ,ce
qui ..
avec la naissance de l'algèbre i:ibstrôite, était une véritôttle
rêvo lut ion.
.---. -
11 s'agissait donc pour l'Ecole des Algébristes de Cambridge de
s'ouvrir ou Continent et de mettre fin 0 l'isolotlonnisme intellectuel de 10
Grande-Bretagne. Cela vou1 aH di re aussi tourner 1e dos il 11 nsti tut i on
universitaire Qui les ayait formés et à ses méthodes, pour se mettre en
Quelque sorte 8 l'école du Contlnent, en menant par eux-mêmes l'étude
réfléchie de grands mathématiciens
européens : Lacroix, Lôgremge,
Arbogast, Laplace... Et, dans le fond, c'est aussi ce Que fH George Boole
dont les premiers articles en mathématiques yers 1838 seront suscités
par ses notes de lecture de la t1éctJ/Jiqlle /JJ7tJlytiqlle de Lagrange.
~;i donc être un autodidacte c'est développer en soi l'aptitude à la
recherche et il la découverte sans ôutre f,lide que celle des livres, le
1ère parUe: l'autodidacte
13
mouvement des jeunes algébristes de Climbridge fut aussi, d'un cer-tain
point de vue, un rnouvernent d'ôutCnjiljôctes S'il s'ô91t de Ijécou'v'nr WH-
soi-même et pour soi-même d8~; rnét.rt("jes qui eorlljuisent èS l'intelJlgence
de la nature des mathématiQués, Boole est tout à fait de son époque qui
reconstruisit et reformula pour elle-même les fondements de l'algètwe
symbolique. Il représente son époque et l'exprime pleinement Jusque dons
son histoire personnelle d'un autodidacte doué pour les mathématiques.
Telle est peut-être la signification profonde qu'il
est per/ms
d'accorder à la lettre que lui écrivit Duncan F. Gregor-y, un de ces Jeunes
"nouveaux mathématiciens· lui aussi, lui déconseillant amicôlement de
troquer un diplôme universitaire (aJéôtoire pour Qui ÔVént Iju tôJenO .. :::1
prestigieux soit-il pour J'ôutodidôcte ,jésirônt s·éle ..... er ~:oclôleme.nt..
contre l'esprit de découverte et d'i nvent i on qu'l1 avait clynrnencé de
rnôm fester,
George Boole est né 1e 2 novembre 1Ô 15 ô Li nco1n d'une f ôrni 11 e t.out
Cl fait t'wrnb 1e pui sque son père était un peU t cornrnerçônl j'lô 1::: ce
t10utiquier sôns fortune ét.ait aussi un homme qui aimait 185 ChOS8~. Ije
l'esprit. 58 femme en témoigne p8r l'admiration naïve et touchante qu'elle
lui \\lou8it : un jour où on lui fais8it compliment d'être la mère d'un
m8thémoticien de tolent comme George Boole, elle répondit ·oui, je peux
dire Que George est intelligent, très 'intelligent; mais avez-vous connu
son père? LJ Ah ! C'ét8it un philosophe r
C'est de ce ·philosophe· plus Que de son "école nation81e· où il fit les
seules études que les m8igres ressources familiales pouvaient lui offrir
Que George Boole reçut l'essentiel sinon lô totôlité Ijes rudiments de
Sêlyoi r rnôthémôtique qu'i 1 déve l oppô ensuite tout ~;eul. ,:;on pere [iij 111 ô
l'obsence de ressources ô i nvest i r dôns une véritôtrl e éducôt i on seo1ôi re
1ère partie: l'autodidacte
14
de ses enfants en sachant consacrer son temps et ses efforts à leur
inculquer les prerniers élérnents d'une bonne instruction et surtout
l'amour de l'étude et des 1i \\Ires.
Ce n'est pEiS d'abord vers Tes mathématiques Que cet amour de l'étude
dirigea George Boole, mais vers les langues anciennes, le latin et le grec.
Et c'est peut-être dans ce domaine, lorsQul1 se mit .oussi à falre ses
"humanitéS- Qu'il correspondit le plus fa llmôge classique de l'ôutclljidôcte
fasciné pôr la culture et ne négligeant aucun effort pour flccéder ôu monde
Qu'elle représentait.
Son père ne pouvant plus lui être d'aucun secours pour les langues
anci ennes, il revi endra à un voi si n, anti Quai re de son état et hornme d'une
certaine culture classique, Ije conduire son initiôtion ci la grôrnrnôire
latine. Il semble Que pour ce Qui est du Grec, George Boole se soit mis à
l'étude SM3 l'Elide de personne. Il pallia l'ôbsence d'un l'naître po ur-
véritablement
le guider dans ses études classiques
d'une manière
progressive et disciplinée, par une boulimie de lecture Qui lui fit dévorer
t. out 1i "ire d'un auteur grec ou !ô tin Qui vi nt il 1ui tomber sous 1a môi n. Et
c'est comme helléniste qu'ô l'age de Quôtorze ans il connut sa première
publi cat ion.
---. -
Il avait en effet traduit du grec et en vers anglais, une ·Ode au
Printemps· de Méléagre. Dons so fierté, son père avoit foit pub1.ier cette
traductfon dans un journal local en prenant bien soin d'indiquer r8ge du
traducteur. Cette traduction lui valut également, à Quatorze ans, S8
premi ère controverse i nte11 ectue11 e pub1i Que : un professeur de 1ettres
ayait écrit au journal pour dénoncer ce Qui lui paraissoit une imposture
affirmant Que la nat.ure même du texte montrait 1ïmpossitJilité QU'une
telle traduction fût l'œuvre d'un garçon aussi jeune.
En outre, la rançon de la publicité fut aussi Qu'on ne manqua pas de
souligner t.outes les fautes et les malEldresses de la tn3duction de
l'enfant. Il est heureux et tout fa fait siÇlnificatif Qu'il eut alors la saine
1ère DfJrtie: l'autodidacte
15
réaction de travailler /jyec encore plus d'acharnement il parfaire se
nH:JÎtrise des lôngues ônciennes. Tout cela ,je\\o'Ôlt lUI donner une culture
clôssique solide, raison pour lôquelle peut-être il enYlsôgeô un moment
d'en tirer profit en entrant dens le clergé.
Toujours est-il Que cette culture classique sera sensible dans ses
écrits et dans ses discours publics où il lui arriva parfois de montrer le
plus grande éloquence .. en sachant ôussi élTlôiller son propos de citations
latines et grecques toujours très bien venues.
En 1854, 10 même ônnée où parut son grônd oU'I'Toge, 1es i [ils de ft
Pensée, lorsque le Professeur au Queen's College Qu'll était devenu depuis
1549, fut nommé président d'une société sô'v'ônte, lô CU'f'ieran SocietJ~, Il
fit devemt cette institution un discours qui ôppôrôît cor-nrne un véntëtde
hymne au s8voir et au progrès, comme sans Ijoute seul un 8utoljidi:Jcte
devenu un grand savant et un t-lornrne de cultu~-e pou',,'ait le prononc2'-
"CheQue générati on Qui passe", di sait -i l, "transmet il la sui vante non
~;eulement ses réalisations matérielles de pierre et de marbre, de bronze
et Ij'acier, mais ôussi les vérités qu'eJ1e ô su conquÉ:nr et. le::: l:Jèes
qu'elle a appris il penser: son art, sa littérature, sô science, et JlEqU'Ô un
certain point, sa spiritualité et son éthique. Cette transmission contlnue
----. -
de la lumière du seyoir et de la culture 8 pu être comparée ès ces passages
du flambeau Que connaissait l'Antiquité lorsqu'une torche enflammée
était transmise d'un coureur à un autre jusQu'au but final. C'est aInsi,
a-t-on dit, Que les générations se succèdent, empruntant 18 lumière pour
la retransmettre, recevant les principes du savoir pour en éprouver la
vérité, en élargir le champ d'application, en augmenter le nombre avent de
les léguer aux généraUons futures.
'Et Quasi cursores vitaie lampada tradunt'.
Ce lien entre la découverte intellectuelle et le progrès historique de
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Otme a cllôque t!. dpe
~. ô 1-" t'tri H:.r e .:"j ,.J. t" 1_., lJt'
signification humaine. Toute t-évélôtion nouvelle, qu'elle concerne le::; lois
1ère partie: J'autodidacte
16
de J'univers physique, Jes principes de J'art ou les grandes vérités de
l'éthique ou de \\8 politique n'est pôs seulement un pas dans le prü,yè::; IjU
savoir mais aussi dans l'histoire de notre espèce-S.
Les premiers enseigneménts Que son père iui avait donnés, en
mathématiques, ne devaient décider de la carrière de George Boole que
relatlvement tard. Ce n'est Que vers sa dix septième année, après les
efforts consentis pour maîtriser les langues I.mciennes, que l'étude des
rnathémôtiQues constitua le but essentiel de l'autodidacte. Ses seuls
maîtres, encore une fois, furent les livres. Par eux il acquit la maîtrise
d'un autre type de langage: celui de l'analyse et de l'algèbre.
George Boole se plaindra d'avoir, dans ses études supérieures Ije
rnôtJlémôtiques, perdu au rnoins cinq années où ~;es progrès furent ttien
trop lents feute d'une bonne méthode et de le présence d'un rnaître pour
1i:lider ô résoudre les difficultés qu'il pou','ait rencontrer.
Le Révérend Harley Qui rappporte ce jugement de Boole ajoute Que
ce 1ui -ci "ne tient pas compte de l a yi gueur Que donnôi ent il ses capacités
l nt.e 11 ectue Il es 1es combats couronnés de succès que :3ôns ai de extéri eure
il livrait aux difficultés rencontrées" ; et que "de fait, les efforts
consentis pour éclaircir les points où les livres ne le satisfaisaient pas,
.--. -
lui
montraient des
méthodes Qui
se révélèrent
par la suite des
découvertes originales-6.
Pour bien entendre ce commente'ire du R.P. Harley, reportons-nous au
Truité Que Boole publie en 1859 sur Jes EqlJ8tions [Jillérentiellel et,
tout simplement, à la manière même dont ce sujet est présenté en cet
ouvrage : dans la première partie du Traité, Boole exposeles problèmes
d'équations différentielles il la rmmière traditionnelle Que nous Ijirons
notionnelle, et dans une sec'Onde par-He, en par-ticulier dans le chapitre
XVI intitulé -Méthodes symboliQues-, il remet pour ainsi dire en chantier
la question en suivant des rnétholjes Ije résolution purement sqrnt1olique:;
Qui ne dépendent Que des lois formelles définissant les possibilités
1ère partie: l'autodidacte
17
cornbinôf.oires des signes algébriques, des symboles Qui entrent dans les
équôtions étudiées.
En d'autres termes, d'une partie de J'ouvrage ci l'autre, ïon passe de
la .l'fo/jof) de différentielle, indécomposable, représentée pBr dx/dy, à lB
considération des sjjmboles d/dy et x qui entrent dans cette écriture de
la différentielle. Cette nouvelle approche, symbolique, consiste à penser
!j/dy
comrne
un
signe
d'opération ,je Ijlffér-entiôtion
(opérateur)
s'appliquant à un signe x (opérande), et fi étudier ce syrnbole d'opération
d!dy pour lui-même, en dégageant les lois formelles selon lesquelles il se
combine fs d'flutres signes.
Passer des notions aux symboles, penser des signe~; é la piece de::;
choses afin de substituer ôux idées un c6'lali s~rnt;olique, telle est de
rnônière générale, la condition d'émergence en ce XJXe siècle t1ritfmnique
R.P. Hflr1ey, 11 est permis de le comprendre ainsi: George Boole, parce Qu'il
élôit ôutodiljôct.e, apprit il penser Dour son propre apprentissage des
mathématiques qu'il '~ ô'oIait 16 un Fô/s(i/~'!?8ml?rJt sY/1.if,'[illÇù'P qU'li lUl
f.jl1ait maîtriser, qu'il 8xlsta1t ce qu'il devait ôppeler "une theorie
générale des symboles constituant le fondement de l'Anôlyse"Ô et qu'il_)~i
fallait découllrir,
Et c'est en mettont en œuvre des procédures symboliques, pour
comprendre, Qu'll rencontrait le mouvement de son époque visant ô
inllenter une nouvelle intelligence de la nature des mathématiques. Cette
idée
d'une
Dthéorie
générale
des
symboles-
fi découvrir et d'un
-raisonnement
symbolique-
pelr
lequel
s'effectuent
les
procédures
mathématiques, sera au fondement même de toute la réflexion et tous les
travaux de George Boole tout eu long de sa carrière. Elle trouvera sô plus
haute réalisation dôns son œuvre môîtresse Qui est la mathématisation de
la logique classique, 18 création de l'ôlgèbre de lô logique.
A seize Ô%, il obtint un enw]oi rj'''ôuxiliôire- (jôns un établissement
1ère partie: l'autod1dacte
18
d'enseignement 6 Doncaster, dans sa ville. Il mit 6 proflt ce poste de
"pion" comme nous dirions, non seulement pour pourSi..Jl'llre ses étuljes
classiques et de mF.fthématiques, niêlis ôussi pour se mettt-e il l'ôllern.:md,
au français et 6 l'italien. Pendànt une courte période, 11 occupera un poste
de même nature dans un pensionnat, dirigé par un Monsieur Hall, ci
Waddington, un village situé à environ 5 km de Lincoln. Puis il retournera
dans sa ville de Lincoln pour y ouvrir et y diriger lui-mêrne un ext.er-nôt de
jeunes des deux sexes. Enfin, cl la mort de son ancien employeur, Monsieur
Holl, il prlt S6 succession 0)0 tête de l'établissement, s'installant avec
ses parents à Waddington. Il ne Quittera plus ce village et ce poste Que
pour occuper la chaire de professeur de mathérnôt iques au Queens Colleoe
ô Cork en 1849.
C'est durant cette période Qu'il se mit 6 publier ses premiers
art i cl es de môthémôt i Ques nourri s de ses 1ectures des grandes œuvre:::
comme L0 l1êconiqlle olJolytiqlle de LfJgrange ou L0 NectJlJiqlle cêleste de
Laplace ... Comme nous l'avons déjà dit, ses notes de lect.ure de Lt,
.Np.(:ÔJ7f~7l/e O/ifllyt/{ji/e lui inspireront. ses premiers ôrf.1cles : en 1Ô39, les
problèmes de maxima et de minima rencont.rés dans sa lecture le
conduisent à écrire un mémoire "sur certains théorèmes du Calcul des
Vari8tions· 9, où il se propose d'améliorer les méthodes mises en œuvres
par Lêlgnmge. Nous voyons bi~n là, encore une fois, comment ses efforts
solitaires pour mieux comprendre se pouvaient révéler des ·découvertes
originales·.
Ce n'était pas le tout d'écrire un tel mémoire, si important Qu'il pût
être: 11 fallait encore pouvoir le publier lorsque l'on n'était Qu'un obscur
maître d'école ê1utodidacte. C'est ôlors qu'il rencontre véritablement le
mou't'ement de son époque, celui des algébristes de Cambridge et Qu'lI
cesse d'être celui QUi"~ affaire, dans ses études et ses travaux, Qu'à des
1ivres.
Les Algébristes de Cambridge s'étôient dotés, deux ôns auparavant,
t ère portie : l'elJtodid8cte
\\9
en 1837. d'une revue. le C8mltridge t/8th8m8tic8/..Iotlrn8/ Que dirigeait le
r-nôthématicien DJ. Gregory. La revue et ,:,on ,jirecteur Jouer-ont ur t-ois
essentiel dans la carrière de George Boole.
La création de cette revue était bien dans la
philosophie du
mouvement algébriste et ses fondateurs déploraient QU'aucune possibilité
de publication ne fût offerte â des articles de Mathématiques si ce n'ételit
dans les -comptes rendus- et "Trayaux· des Sociétés savôntes.
A Cambridge. en particulier, expliquaient-ils dans l'éditorial ,ju
premier
numéro
de
la revue,
·où
l'on
cultive
si
lôrgement
les
mathématiques. l'on pourrait espérer Que l'on soit ou,'ert il l'idée de
trayaux exclusivement consacrés à cette science sôns qu'ils ~;oient
nécesselirement d'un grand intérêt pour le monde en génhal. Nous a'v'Dn,:; la
certitude Que beaucoup de gens, ici, ont le désir- d'offrir il un pénodique
mat.hémat.iQue des contributions de vôleur et qu'ils ~;ont. en meSIYt 'JS 18
faire: l'existence de tels trovaux en susciteroit d'autres et attlrerellt
grandement l'attention sur la recherche originale-. 10
A voir le succès immédiat ,je l'entt-eprise .. on est COn\\iôlnCI.. qu en
effet cette revue venait 0 son heure et répondôit il une attente Ei1e 8;:;t.
devenue très vite une institution essPl1t/ellepour les môHlémat.Jques è
Cambridge et ailleurs. raison pour laquelle elle se développera ensuite
pour devenlr plus tard le Ct!mbridge und [)lIblin t/tlt!lemoticol...lollrlltJ!
C'est donc à cette revue que Boole propose ses premiers écrits
mathématiques. Le premier envoyé n'est du reste pas celui sur le Calcul
des Variations mais un autre article, suscité également par sa lecture de
Lagrange
et
portant
le
tHre de
"Recherches
sur
le
Théorie
des
transformatlons analytiques: application spéciale à la réljuction de
l'EQuotion Générole du Second degré". 11
Nous pouvons imaginer l'état d'esprit du maître d'école autodidacte
dans son villôge de Waddington lorsQu'ôu bout de quelques ::;ernEnne~:;.. i1
n'ôvait toujours DOS de nouvelle de l'arti cIe qu'i 1 ôvôit f ôit pôr-ven i r ci 1fi
1ère part je: l'outodi decte
20
revue. Finalement, 11 reçut une lettre de D.F. Gregory: il1ui ayait fallu du
terTlps pour tJien rnaîtriser le contenu de l'article et se prononcer ;
maintenant, il l'ôvait bien lu et serait tout è fait heureux de lui faire une
place dans sa re·,ue. Avec beaucoup d'amitié, il lui signalait toutefois
Qu'il y avait certaines corrections à apporter pour la publication, Qui
tenaient essentiellement à des obscurités dans l'expression. Enf"in, il lui
demônljait de lui faire parvenir ce rnérnoir-e sur le Calcul des Variôtions
ljont Boole lui aV6it parlé et Qu'il aimerait également publier. Cette lettre
de D.F. Gregory fut écrite le 4 novembre 1839. Les corrections Qui furent
ainsi suggérées il Boole furent apportées et son article parut dans le
numéro de février 1ô40 du Ca/J?/iridge rlallle/liOlicol jal/rna!
Di'ms le nurnéro suivônt, un trirnestre plus tard, on trcJl.Jve en bonne
place le mémoire sur le Calcul des Variations et un autre article portant
sur 'Tintéqration des Equations ,jifférentielles linéaires à coefflC1ents
constants·. Au total, dans le Cambridge t/o/hemel/col JO{//71e/ puis le
Ctimoridg8 aflo' Dt/olifl tletllemoticol jotlrno!. George Boole ne présentera
pôs rn01ns de vlngt-quôtre contntlutions.
L'ôrnitié ,je DJ. Gregory a joué un rôle essentiel dans sa carnere.
Nous avons vu les avis éclairés Qu'il lui prodigua lorsqU'il manifesta
----. -
l'i ntent i on de S1 nscri re il l'Uni versité. Son ai de prenai t aussi d'autres
formes comme en témoigne ce passage d'une lettre Qu'il lui adressa de
TrinHy Co11ege, il Cambridge, le 16 février 1840:
"... Je pense Que runique raison pour laquelle votre article n'a pas été
publié par le P/Ji/osop/Jicol l1ogozine
est celle-ci : le rédacteur est
ignorant en mathématiques et ne désire pas se risquer à publier un texte
rnathématique
sôns qu'une connaissance préalable de son auteur ne lui
offre Quelque garantie concernant la voleur de l'article. Je serais très
heureux de faire publier votre texte dans la revue mais je me demande si
l'article, tel que vous me 1'6'\\"ez envoyé, est présenté sous la rneilleure
forme possible. Il me semble que vous n'exprimez pas de manière
1ère parUe: l'autodidacte
21
suffi samment cl ai re 1es poi nts où vous avez apport é des ôrnÉ'1iorôti ons et
Je pense Que ~)OUs a ez égalernent introduit trop de complications en (jes
points que ceux qui
ous liront vous auraient accordé très (fJcilernent C..)
Si vous en êtes d'accord, je vais réarranger le texte dans le sens qui me
semble le plus propre à la publication et le soumettn:J1 ensuite à votre
b t ·
·12
appro fi 10n
...
Ses articles dans le Cenlbnde t/e/!l8ll:ib//tli/ ,...Itft/O?6/ ô'/aient ,~ppo:-tÊ
Ô Boole une certaine renommée. C'est encore D.F. Gregor-y qui l'aidera dôns
une seconde étape de sa carri ère et de son ascensi on : ses travôux
concernant 1es méthodes symbo1i Ques
de résolution des problèmes
,j'Equations différentielles, et cette idée tou.i0ur-s pr-ésente en lUI d'une
"trléorie
génén;,le des
symboles" avtlient
mené George
8001e ô
].:1
découverte d'une "Métlîû,je générôie en Anôl~se" Il estirnôit que c'étôlt. ].:
un travail suffi:::ôrnrnent important. pour êt.re sournl<:: é une::c=:c::.-:
saytmte comme la Royal Society. 11 s'en ou','rit 0 son ami qui lui répondit
de Londres où il se trou'v'ôit alors. dans une lettre datée ,ju 19 Juin 164: .
"... Mon a'v'i s est Que certôi nernent vous de'v'ez vous efforcer Ije fis :r-s
publier 'v'otre texte par lfJ Royal Society, à la fois parce que vous 8'·... it en 82
ainsi
des
frais
considérables 13et
QU'aussi
un
article
dans
Je~;
PIJi!l7S0pIJiclJ/ Tr8ns8c/ions a plus de chances d'être connu et lu QU'un
texte imprimé tout seul. Si ','ous connaissez un de ses membres, vous
pourriez lui demander de communiquer votre texte à la Société; môis
dans le cas où ','ous n'en connaîtriez aucun, je pourrais demander 0 M. Airrd
de le faire. Bien entendu, 11 ne saurait en garantir la publlcation : cela
doit dépendre du rapport que feront ceux à qui le texte sera donné à lire.
Permettez-moi de faire la remarque Qu'un article pour les Tr§lls6["t/L~li:;
doit comporter moins d'illustrations et d'exemples qU'un texte Que vous
pourriez éditer à ','otre propre compte". 14..
George Boole fit ce Que lui conseillait son ami, réécrivant son
mémoi re en respectant les f OnYl8S souhaitées pour une putil i côU on
1ère partie: l'autodidacte
22
éventuelle, et en janvier 1844 celui-ci fut transmis à la Royal Society.
Pour la petite histOIre., ce texte qui devait être si dét.ermlnônt Iji3ns lô
côrrière du maître d'école autodidôcte eut un rapport très défavorable ,je
l'un des deux membres du comHé de lecture â Qui il fut confié. L'autre,
fort heureusement, étliit à la fois plus compétent en mathématiques et
plus écouté des membres du Conseil de la Société. Son rapport décida de
la publication de l'article dans les Tniv8l1x de la Société qui résolut en
outre de lui attribuer la Médaille Royale pour l'année 1844. Il s'agissait
d'une méd6ille d'or Que 16 Société 6vait décidé d'6ccorder 0 l'article le
plus important en mathématiques Qui lui seraH communiqué entre juin
1641 et Juin 1644. Elle échut à la tlr?t!Jode gél7értJ/e Bf7 Al7ff/!/se /:.
qu·ôvôit découverte George Boole.
Voici ce Qu'écrit Boole dôns les premières lignes de l'introduction de
ce rnérnoi re:
"L'on s'est beaucoup intéressé récemment à une méthode en enalyse
Cürtnue sous le nom de calcul d'opérations ou méthode de séparation des
s~mtll)les
M. Gregory, dans ses
E!r.'emp/es de Co/al! D/ffèrent/ei BI
/11/égrL.9/et dans Ijivers êwticles publiés par le ComltridgB./,/,:'ttIiB/7?stic,-9i
,jm/r/lO! C..) a clairement établi les principes qui fondent cette méthode ..
---. -
et montré son utilité grâce à de nombreuses applications à la fois
i ngéni euses et importantes. les noms de Servoi s Cl de M.R.Murphy C), du
Professeur De Morgan, etc ... devraient également être associés il l'histoire
de cette branche de l'analyse. Puisque je v6is présupposer les principes de
la méthode et Que j'aurai l'occasion de faire référence à divers théorèmes
QU'ils ont permis d'établir, "il serait nécessaire,en introduction, de faire
quelques remarques générales sur le sujet.
M. Gregory pose le principe fondamental de la méthode en ces termes:
-Nombre de théorèmes de l'algèbre ordinaire, apparemment prouvés
uniquement pour des syrnboles qui représentent des nornbres, ôljrnettent.
pourtant une application beaucoup plus lorQe. Ces théorèmes ne dépen,jent
1ère parti e : l'outodl dacte
23
Que des lois de combinaison auxquelles obéissent les symboles et sont
donc vrais pour tous les symboles, quelle Qu'en soit la nature, qUl ~,ont
soumis ôux mêmes lois de cornbirn3ison".
Cette Méthode Générale én Analyse (Qui devint aussi un hommage ci
Gregory Qui venait de mourir au moment de sa parution) marque un
moment important dans la démarche intellectuelle de Boole et une étape
vers
18 constit.ution
future d'une
théorie symbolique
des lois du
raisonnement.
Elle
établit
clairement,
dôns
son
"Post
scripturri,
l'importonce pour le roisonnement - uniquement rn6thémôtiQue, pour
l'instant il est vrai- d'une "plus grande attention aux lois de combinaison
des
symboles·,
il
des
procèdures
purement
symboliques
Ije
son
effectuation.
Désormais, George Boole n'étôit plus un inconnu et les revue::;
continuait de publier dans le COhlbridge o/}d Ot/bli/} rlo/hemo//co! Jot/r/}o!.
il fit paraître dôns les TroytJuxde la .k'(l!ltJ!lrjs!JAc8d8mydeu>~ importants
f:lrticles "Sur les fonctions continues" et "Sur les lntègôles dèfln1b" .. et
le l11f/osoplJic8! l1egtJz/ne publia, en 1646.. ses "Remôrques sur le:::
Quaternions· du mathématicien Harnilton. 16
Son intérêt pour les Quaternions n'était pas du tout fortuit. Ceux-ci
constitueront, ovec son propre col cul du roisonnement, une des gremdes
réalisations de la notion d'algèbre abstraite. 17En Septembre 1844, Arthur
Cayley avait adresé à Boole une lettre où 11 lui faisait part de
l'importance Qu'il accordait 0 ces Quaternions Que Hamilton venait de
découvri r en ces termes:
·J'ôi été trés lnt.éressé récemment par un court article de Sir
William Hamilton dans le PhilosophictJl rltJgozine concernant un nouveau
système de Quantités imaglnaires. Il considère ce QU'll appelle des
Quaternions, c'est -à-dire des expressions Ije la forme
X + iy + jz + kw
1ère parUe: l'autodidacte
24
où i,LIe sont des symboles imaginaires tels Que 12:-1 :j2=k2 ,1j=k:-ji,
Jk:::i:::-kj, kl=j:::-ik; ce qu'il y fj de remarquable, c'est bien évidemment Que
les termes d'un produit ne sont pos interchôngeôbles, IYJ/jlS, cornrne il le
déc1are ,_J!..our.f/.tloi
/e sertJiént-i/s.? Les résul tats 6uxQue1s conduit 1e
postulat sont, sans aucun doute, tout à fait cohérents les une avec les
autres
et
certains
sont
trés
remarquables.
Les
propriétés
des
déterminants, par exemple, changent de façon trés cuheuse ..." 18
"Pourquoi pas?" s'est donc di t W.Hami lton, en constatant que 1es
symboles imaginaires
des Quaternions
n'obéissaient pas à la loi
commutaUve de la mulUplication. Et c'était bien là, en effet, l'idée d'lIn6
algèbre Qui puisse avoir des lois différentes de celles de l'algèt're
ordinaire.
C'est la même notion Que l'on retrouvera avec la logique algébrique
Ije George Boole: l'une de ses lois, dite "des indices".. x2:::x, ne vaut pô::;, il
l'évldence, comme une 101 de l'ôlgèbre numérique ordinaire. Ainsl, Wllliam
Hamilton et Boole ont contr'ibué à l'émergence de cette idée d'une
multiplicité d'ôlgèbres possibles pour avoir partagé, devant des lois
symboliques allant à l'encontre de celles de l'algèbre ordinaire .. une même
phi 1osophi e du -pourquoi pas".
.---. -
En 1849, la renommée de Boole se traduisit enfin par un autre état
Que celui de maître d'école il Waddington lorsque .le Queen's Co11ege Qui
venait d'être créé 6 Cork, en Irlande, le choisit parmi de nombreux autres
candidats pour occuper la chaire de mathématiQues. C'est seulement alors
QU11 Quitta le comté nata) où JUSQU'alors s'était déroulée toute sa vie.
Deux ans plus tard, il était Doyen de la Faculté des Sciences et c'est
en tant que tel Qu'il lui revint} en octobre 1851, de prononcer le discours
de rentrée. Il choisit d'y parler des Exigences de. 10 Science" (t1n'dées 8I'i
pOl1iClllier Sllr ses relotions d 1(1 N(lttlre hllm(line. t 9 Ce discours sera
publié il Lor"jres en 1851.
George Boole y pose notamment la Question suivante: "Le domaine
1ère partie: l'autodidacte
25
dont s'occupe la Science s'achève-t-il avec le monde matériel ou bien y
ô-t-ll pour nous la prorne::;se d'une connôis~;ônce exacte, tden que rnoin~:;
étendue, ,je la province intérieure et plus notl1e de l'esprit- 19.
C'est là la Question Qui l'occupe depuis de nombreuses années déJà,
la question d'une Science des -Lois de la Pensée". Elle le conduira ô écrire
trois ans plus tard son grand ouvrage, qui réalisera ce qu'avant lui Leibniz
avait esquissé: une logique mathématique.
Sa rechercfle constante d'une "théorie générale des syrnbol~, par
delà ses réalisations proprement mathématiques, avait ainsi ôrnené
George Boole à imprimer à l'histoire de la logique son premier tournant
Yéritôblement
décisif
depuis
At-istote,
18
faisant
passer
ije
sa
"préhistoire" ô son histoire rnôthérnôtique. Avec lui cette discipline
accédait à son statut de science
en trouvant sa vraie struct.ure
:;yrnbolique et. formelle.
Cette histoire nouvelle avait débuté en 1847 : la même ônnee ou
Auguste de Morgan publiait sa FormaI Logie"
Boole faisait paraître un
peti t essôi i nt itul é L {rna/ys8 metlie/lla//çtI8 (78 i{i Lt.'f/~7t/e En 1U1 prenô1 t
corps ce qui avait toujours été la prémisse des étlJdes et des recherche~:;
mathématiques
de
George
Boole
:
l'idée
que
les
procédures
Iju__
raisonnement étaient symboliques, qu'elles s'effectuaient dans et pôr Ijes
symboles dont une -théorie générale- était possible.
Très vite, cette ldée avait donc également signifié pour lui que les
formules et les procédures algébriques pouvaient traduire les relations et
les raisonnements logiques. Et c'est ainsi que, comme l'indique le titre
même
de
ce
petit
ouvrage,
18
logique
classique
de
tradition
aristotélicienne trouve désormais une expression algébrique.
L'année
sUlvante,
en
1848,
dans
le
Comoridge
and Dl/oli/;
l1otlJ8motical ..lotlmal, Boole publle un article intitulé LeCalctIILogif/lli?(
dans lequel il réexpos8 le ~;ystème logique qui fut celui ,je ]'Ô/iÔ'/~/S'f
llJatIJémotiqtl8
en
même
temps
qUIl
lui
donne
de
nouveaux
1ère partie; l'autodidacte
26
développements. Ces deux textes faisaient désormais de la logique un
côlcul symbolique.
La logique jusQu'alors n'était pas l'affaire des rnaHlérnôticiens en
tant Que tels. Elle était celle des phl1osophes. En déclarant que -nous ne
de\\lrions
plus associer logique
et métaphysique
mais logique
et
mathématique- et en faisant désommis de cette discipline cette science
à laquelle, en ôpparence, on ne pouvôit plus accéder Qu'en acceptant de
faire des mathématiques, Boole invitait les phllosophes, tout à la fois
logiciens par tradition et logiciens selon la tradition, il pratiquer les
mathématlQues. Bref, il les provoquait il le lire. Ce qu'l1s ne firent
général ernent pas. Il s ne vi rent en ce travail QU'i l s s'empressèrent
d'i gnorer QU'une entrepri se absurde pour habi 11 er la l ogi que dans des
vêt.ements mathémôti ques qui ne lui convenôi ent guère.
Au fon1j, l'essai de 1647 ôinsi que ïarticle de 164Ci qui lUi fôlt ':;I.nte
s'adressai ent il des mathématici ens avant tout. Désormai s George Boole
s'emploiera à parler aussi aux logiciens traditionnels, c'est-ô-dire aux
philosophes. Pour l'autodidacte qu'il était., cela signifiôlt apprendr-e leur
langue avant de reprendre son système de formôlisation du rôisonnernent
lj€ductlf afin qu'un travail plus vôste, plus élaboré et médité, en exposant
les procédures symboliques, prenne ôussÎ le temps de démontrer la
nécessité de réaliser la logique· classique en un système formel. Ce
1{/'qlA-l.-"QP.,...."
trôvail sera l'Etude des Lois de III Pensée sur)8Ql/elle sont {ondées le~
tlJéones mlltlJémlltiqlles de /0 Logiqlle et des ProboPJlités, qui pôraîten
1854.
Dans la Préface de ce livre, Boole explique que son AlïOl...~lSE:
motlJémothltle de 10 Logique avait été écrite il la hâte, en Quelques
semaines après qu'il en eut conçu l'idée. Il avait même déclaré qu'il en
regrettait 1ô publication. Ce nouveau travail, paru sept ans plus tard,
-mûri par des années Ij'étude et de réflexion- et nourri de ses nornbreuses
lectures de logique, philosophie et psychologie., tout en "étôbli%ônt. le
1ère partie: l'autodidacte
27
même système de lois fondamentales- Que l'Essai précédent, expose -des
méthodes plus générales ôu ChtHnp d'ôpplicôtiün t1eôucoIJp plus vfJste·'':'l.
Le Révérend Hewley ra entendu ,jire, parlônt de cette période ,je
maturation, Que -lô Science de l'esprit était devenue sa recherche et les
mathématiques sô dét8nte-.22
Jusqu'à sa mort, il ne cessera de poursuivre cette -recherche"
r-e\\'.'en.3nt encore et encore sur les just.ifications prli1osophiQU8S ,je son
système logique comme l'on peut le const.ater en voyent les nornbreux
articles et ébauches 4u'il 8 18issés concernônt 18 logique, et dont certôins
ont fôit l'objet d'une publication posthume.23 Et pourtônt, dans le même
ternps, sa ",jétente" comme il ÔYôit appelé ses tra'y'f:lu>=: môthérnôtiqLJe~;.
continuait ,je se tradUlre pôr des écr-its qui lui vôlurent de nouvel1es
heures Ije gloire.
l'opplicotion de 10 Théorie des rTo!to!tilités ti 10 qtles-t/o/l 08 /t.
rom!tl/'Joison oes Tétnoigno,!les Otl oes ...Il/pemeflts Ô 1ô Royal '3ociet:;
d'Edimbourg et un autre texte mémoire port.ant sur un ~;uJet t.out Ijlf i f:. sn 1•
TheOrie des /nteprtJles defiliies 8 la Royal Societ~. Cette capacite è
.::=-- -
réfléchir à lô fois sur deux sujets d'égôle importance et totalement
différents montre l'extraordinaire puissance de trô','ail de George Boole.
Ces deux text.es furent publiés dans les Trovo"x respectifs de ces
Sociétés sa','ôntes. Le premier ','alut à l'auteur la gloire d'obtenir lô Keith
Medal de la Royal Society d'Edirnbourg, temdis Que le second précéda de
tl\\ci$
quelquesYson élection comme Membre de 18 Royal Society.
En 1859 il fit paraître ô Cambridge un Trei!é Stlr .les Eq!letlàl?5
Différentielles
et 1'8nnée sUi','lmte
un
Troité stlr le Colal! des
Différences finies: ~1ces deux ou','rages se révélaient, sur les Questions
traitées, Ij'excellents rnônue1s conmw pouvait en écrire quelQU'un qui
ôvait ôppri s fi comprendre tout seulles môthérnôti ques : ils furent
1ère parUe: l'autodidacte
28
utilisés comme tels à Cambridge. Le premier fut vite épuisé et Boole
tnlvail1f:1it à une seconde édltion augmentée lorsque Id rrwrt 1'interrürnplt
en 1864. Cette seconde édition fut éUiblie et putiliée 1'<:Jnnée suivônte.. en
1865.
'-
2ème pe.rt1e :
30
1. DE L'ALGEBRE NUMERIQUE A L'ALGEBRE DE LA LOGIQUE
A.
L'école
des
lJlgébristes
de
Cambridge
et
la
question de la caractéristique.
Les efforts de George Boole pour comprendre les procédures
syrnt10iiques qui ljéfinissent l'ôlgètw8 ont donc rencontré les tr-ô'v'ôux ,je
toute une générat i on de mat~lérnat ici ens Qui ont f ai t de son époque
celle de la naissance de l'algèbre abstraHe. C'est dans un tel contexte
historique
en
effet
Que
s'inscrivent
ses
premiers
trôvôux
môthématiQues et que se compren,j, il leur suite .. son Œuvre maîtresse
Que fut la création de l'algèt're de la logique.
L'histoire a regroupé sous le nom d'Ecole llBS i..9/~lÉ!/iristpS' o't
L~m/irjdge ces môt.hémat.iciens ônglôis de lô première rrwitiè Iju 1ge
siècle. Ce n'est pas là une simple dénomlnation a posteriori pour
caractériser un mouvement Ijont l'unité -::erôit ôppôrue ô'y'8C 1s recul
historique: dès ses origines ce mouvement a eu une lljée tout il fôlt
claire de lUi-même, de ses objectifs et de ses finôlités .: il s'est
constitué dans la nette conscience d'être une "Ecole" et avec la volonté
affichée de -faire école-, c'est-à-dire de mener un vérHable combat
pour une nouvelle intelligence de la nature et des méthodes des
mathématiques.
Il y eut donc là un volontarisme Qui se traduisit par la création
d'institutions intellectuelles -sociétés
savantes,
revues ... -
grâce
auxquelles ce mouvement se dota des moyens nécessaires à la
poursuite de ses ffns. L'on a parlé déjà de la créaUon en 1Ô 13 par
Peacock, Babbage et Herschel de rAnoly/jcol Society. A cela s'ajoute
la création sous l'impulsion de Peôcock encore, de Sedgwick (17Ei5-
1873) et Henslow (1796- 1861) de la CtJmlt.ndge PtJi/oS"aptJicol Soc/pif,
en 1819.. qui s'occupait de philosophie naturelle. C'est encore ;3
2ème partie:
31
l'initiative de Charles Babbage Qu'est due la création, en 1831, de la
BritiS/J Ass[/clôt/ti;? .for t/Je At.iv&/lC8Ili8iit (Il Sc/ellce ..
Les trô'v'ôux de toutes ces soci étés sôyôntes f ôisôient éviljernment
l'objet de publications dans leurs actes qui, avec des revues comme le
Combncge /10t!l81J10tfCO/ JourntJ/, donnent au mouvement de l'Ecole
analytique les moyens de son expression.
Ce que se propose ce rnouvernent, ô ses on gi nes, c'est de rornore
l'insularité de la Grande Bretagne,
sur le plan matrlématiQue en
particulier, et de contraindre les universités ônglaises, à l'instar Ije
celles d'Ecosse, à s'ouvrir aux méthodes continentales; il se propose
également,
en
conséquence,
de
trônsforrner
le
contenu
de
l'ensei gnernent
des
môthémati ques.
Ce
combat
entre
Jeunes
réformateurs et conservateurs en plôce dans l'institution univer-sHôire
t r," j J\\' " c· îJ .. T' CI,-'-· i r 1P .. 111"" ,.• :<=< ... l' f e,.. t e :1 '" ,'.~ l'~ q1\\ - C· t ' ,- n u-l û l' .:, .-, .-i t ' ,",-
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1 n \\..lI !
;:..
U'.J 1 \\.:,
I~
.. t!~, _! J
_
L, '.' i
! '. '." c
mathémati que e11 e-même.
En effet, respect le plus visible de l'insularité anglaise dEms le
Ijomôine
Ijes
rnaU1érnôtlques
étôlt,
ôU
Ijébut
du
1ge
~;iècJe.
l'attôct-Iement
têt.u
il
l'écriture
newtonienne
en
ônôlyse.
Cet.
attachement prenôit
même l'allure
tout il fait
irrationelle d'une
--'-
véritable
sacralisation
de
cette
tradition
notôtionelle
par
des
mathématiciens anglais qUl se voulaient avent tout les hér:-Hiers de Sir
Isaac Newton.
Cette réactlon de sacrallsation étaH l'effet ,je la bruyante querelle
de priorité entre Newton et Leibniz concernant l'invention du calcul
infinitéslmal et les jeunes mathématiciens de Cambridge s'étaient 't'He
convaincus Qu'en science encore plus Qu'ôilleurs le nationalisme était
synonyme de sclérose. Leur mouvement aura eu par conséquent l'allure
d'une bataille quasi sacrilège et iconoclaste opposant selon le mot
plein d'humour de Charles Babbage les "D-i:::tes· (mot Quil forge è Pi:wtp-
du D, opérateur différentiel qui marque la spécificité de l'écriture
2ème partie :
32
infinitésimale leibni2ienne) à ceux de Tâge du point- (11 s'agit du point
diôcritique par lequel Nevvton rnôrqu8 le résui1.ôt d'une operôtiOn de
différentiation) 1.
En d'autres termes, le sens du mouvement des algébristes de
Cambridge
était d'abord de faire admettre Qu'indépendamment de
l'inut11e Querelle de priorité proprement dite, la notation différentielle
que Leibniz avait créée pour l'ônôl~se était tden supérieure ô celle
inventée dans 1e même domaine par Newton.
Dons le fond, Leibniz lui-même, fidèle en cela à l'esprit de
conciliation Qui le caractérise, ne disait pas autre c~lose : «Il faut
rendre cette justice 8 M. Newton (.J qu'encore en ceci fi. e. le calcul
infinitésimal] il fi eu quelque chose de semtdôtde de son crlef., suivant
ce qu'on en el su depuis. Il est vrai qu'il se sert d'ôutres caractères:
port
de l'art
dlnventer,
je
crois
Que
les
nôtres donnent
plus
d'ouverture».2
Tout est là, en effet, pour Leitlniz Une .. cjractérl:,:;tlque .... ;juf.rernent
dit une écriture, peut se révéler n1el11eure qu'une ôut.re tout en
exprimant la même chose, parce Que plus commode lorsqu'il s'ôgit.
d'effectuer certaines procédures: c'est ainsi dit-il que les chiffres
orobes ont «donné plus d'ouverture» Que les chHfres romoins lorsque
l'Occi dent les 8 adoptés.
C'est cette volonté, constante chez
Leibniz, ,je trouver la tlonne
caractéristique, l'écrHure la plus riche de poss'ibilités, Qui le poussa cl
substituer 8 ses premières not8t1ons des opér8tions de différent.iation
et d'intégrôtion (1 et omn), les signes Que nous utili::;ons ôUJounj'hui (Ij
e t j et à préférer il omn 1 =~d l'écriture moderne suivant.eS,j'd =y.
2ème part ie :
33
En revanche, Newton est l'inventeur de la notation Mf1uxionnelleM: si
nou::: pr-enons en effet la courbe Ijécrite par un point en rliou,,"'8men1.,
cette trajectoire est ôppelé, pôr lui, une "fluente-, c'est-ô-dire une
QuantHé (ici la distance) Qui varie selon un paramètre donné (ici le
temps) ; la -fluxion- sera dès lors l'accroissement relatif de la
distance par rapport au temps, autrement dit la dérivée première: la
flu::.:ion de cette fluxion sera bien entendu l'accélération...
le fluxion de x sera, par Newton, notée x (le dx 1eibmzien) qui
notera de la même manière xle d2x 1eibnizien et ~y ou (xy}" le d3xy
selon l'écriture de leibniz.
L'on voit par là déjà ce que peut signifier que J'écriture leitrnizienne
Iju calcul infinitésimal "donne plus d'olj'y'erture" que les "carôctères
ne'v"ltoniens-. En termes st.ricts de commodité d'écriture, lô notation
1-1 i f f ;.., rC", nt l' e11 e ec t
mP. ; 11 ....-'J re "ue -, pll ,.., t-'Il" ; ,- r-' p 11 p
dü r'J ,-., v t ,-, "\\ H '~}' .-
.J ' , 1 c: 1 ~
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,"', i ,_J :"-'
_..'
c ,
r:: h i. :_' :
•
l '-, _ .:.
l'essentiel, l'argument le plus convaincant, n'est pas là : il réside dans
la différence des démarches qui furent Ô l'œuvre dans la création des
notations et dans les con~;équences
qui en découlèrent pour-ie
,jév81oppement ultéri eur des mathémati QUErS.
Le poi nt de départ de la démarche newtoni enne est 1a question,
-
--~.
physique, de la vitesse pour un mouvement. Son langage ref1ètera donc
des préoccupations dynamiques et sera ~ssentiellement géométrique.
C'est-à-dire Que x est ayant tout la notation d'une Quantité obtenue à
part ir d'une autre Quantl té x par déri yat ion par rapport à une yari ab1e
donnée et déterminée (1e temps).
L'écriture leibnizienne dx/dy Quant à elle désigne aussi à chaque
fOlS la variable par rapport Ô laquelle l'opération de di ffét-enti ôti on est
effectuée et, par là, elle apparaît bien plus générale.3
Au total, débarrassée de préoccupations exclusiyement physiques
et,
par conséquent,
de géornétrisrne, l'algèbre leitn-iÏzienne Ijes
infiniment
petits
apparaît
véritablement
comme
2ème pflrtfe :
34
c'est -a-dire Qu'elle s'éct-if. d'un point de vue fonnel. C'e:::t ce QUi
ôppôrôît clairement dijns la /K;~/J metlJ(h.itlS pro 1716:.Y/irds et !njjJJ/7iiS de
Leibniz lorsqu11 écrit 4:
« ... Voici quelles seront les rèqles du calcul.
Soit a une quantité donnée constante, da sera égal à 0 et d (ax) sera
égal à adx. Si y est égal à v, dy sera égal à dv. Pour l't~ddition et la
soustrôction si z - y + '1'1' + X est 8ga1 fi v, d (2 - Y-r w + x) sera égal ci
dz - dy + dw + dx. Pour 18 multiplication: d (xv) est égôl à xdv + vdx LJ
Pour 16 divlsion d y/y est
égo1 li :!: ydy ~ ydv / yy (..) Pour
l'exponentiation dx4 =a . x 8-1 dx...» 5.
La démarche s'effectue donc ,j'un point Ije .....ue rormel con~;is1.:jnt ci
poser 6 priori les règles opératoires qui définissent le nouveôu calcul ..
cette «nouvelle
façon d'ajouter., de ~;üustrôire,
de multiplier, ,je
:j i viser.. d' ext rôi re prop re fl Uf.; quônt.1 te::; i ne CI rnp ô r-ôtJl es, c' e~;t - 6-Ij] r e ;~
celles
Qui
sont
infiniment
grandes
ou
infiniment
petites
en
cornpôreli son des ôutres>,6
L'on considère donc l'lnfinJrnent petit en tant Qu'il obéit ô Ijes
règles
de cô1cu1
clôirernent formulées
qui défmissent le nouvel
algorithme
infinitésimal.
Les
procédures
demeurent
purément
algébriques,
c'est-à-dire
qU'elles
ne
dépendent
que
des
règles
opératoires qui régissent le maniement des symboles et non de ce Que
ces symboles signifIent de ce Bquoi 11s renvoient. Ici n'intervient pas
la Question de la flattlre de la quantité infinitésimale mais seulement
celle de son
comportement formel Qui est commandé par des règles
explicites.
En bref, l'on voit se profiler derrière la question de la notation et
lui donner tout son sens, celle d'une philosophie de l'algèbre symbolique
Qui est le véritable enJeu de la bataille menée sur le front de l'écriture
môthématiQue par le mouvement des jeunes algébristes Ije Cambridge.
Défenljre le ",j-isrne" en effet. n'ét.ait pôs :31rnrdernent. rejeter le ',ns11
habit. de la notation newtonienne pour le vêtement leibntz1en du
symbollsme différentiel ,et le premier è ayoir introduit ce symbollsme
nouveau en Anqleten-e ,ôvant la création tje L4IJ5/(ltic8! S..rf(Jé/t./
....
.......
,",'
Robert 'w'ooljl1ouse, Mfirmôit fort justement:
«Je veux marquer un désaccord tot81 d'avec ceux Qui disent Que la
question de 16 notation est de faible importance: je la conçois comme
très importante au contraire, et 18 plupart des progrès Que cette
sci ence a connus, sont 8 attri buer 6UX développements Qui se sont
produits Iji:ms le lôngôge même ,je l'ônôlyse»7.
Ce sont donc ces udéve loppernents" Que 1e mou'...·ement des jeunes
algébristes de Cambridge yisera à transplanter en Angleterre à trayers
l'ôdopUon de l'écrHure am~lytiQue leibnizienne. Suivre l'histoire ,je
cette trôn::;plant.ôtion c'est voir comrnent une nouvelle p~lilosophie de
l'algèbre qui était enveloppée pour ainsi dire dans la notation
leibnizienne, c'est-à-Ijire l'idée que cette science est ôvônt tout un
::;y·;tème et des méthodes symttoliques a permis la naissance de
l'algèbre abstraite dont l'algébre de la logique de George Boole fut une
Un fil con,jucteur essentiel, grâce auquel sere donné à lire cette
révolution algébrique ônglôise est la naissance, sur le Continent, du
coleul d'opérations et son rapide déyeloppement-Oên Angleterre après
l'adoption de l'écriture leibnizienne Qui a permis ce calcul et auquel les
écrits mathématiques de Boole ont apporté une contribution décisive.
Tels furent les fruits du programme Que se fixa l'An6lytic61 soclet!;
dès sa création et Que Babbage exprime en ces tennes dans les
l"Iénloires publiés par cette société en 1813 :
«nous devons môintemmt réimporter l'(écriture) ét.rangère, après
presque un siècle de développement 6 l'extérieur, pour la naturaliser
une fois de plus parmi nous».8
2ème portia:
36
B. L'algèbre symbolique
Introduire la notation leibnizienne à la plôcede l'écriture
fluxionnelle de Newton n'était donc pas seul ement substituer un
langage à un autre: c'était vouloir également, contre les métholjes
géométriques elles aussi sacralisées par une trôdition nE"~\\'tonJenn2,
l'émergence d'un point de vue algébrique qui était celui de Leibniz et du
Continent.
Que dans "les mathématiques pures" la ·preuve ne dépende point des
exernples· et Que comme Euclide le fit souvent, l'on "démontr-e par la
raison ce qui se voit assez pôr les irnôges sensibles,,9) ét.ait une.
exi gence essenti elle àe la phl1 osophi e lei bni zi enne au t onde ment de
1
s;es: rechercrles de 1El bonne côrôctén st 1que ,je'v'ônt permettre Ô ':' S;':~;i-~ '.
de penser dans les signes: c'est-à-dire de calculer par eux
l'idée Que l'Art tllltJ//jtiq1l8 (c'est-à-dire l'l:l1gèt're) de celui-ci ét.ait. 1e
modèle même de l' tirs ffJY8/l/811df
de l'art de la découverte ';e~;
1
travaux mathématiques et la recher-crle de la bonne caract.éristique
étaient donc l'affirmation constante Que le raisonnement pouvait et
devait se f ai re colclIl de part en pôrt.
Or l'idée d'un pur calcul dans et par les signes deyant aboutir à la
naissance de l'algèbre abstraite se heurtait à la croyance Qu'il ne
u
saurait y avoir de vie propre de ul'art analytiQue , lequel ne saurait
nous donner aucune connaissance du monde physique contrairement à la
rnécôni Que et à son 1engage géométrique.
De ce point de vue par conséquent, les méthodes proprement
analytiques de résolution de problèmes ne sauraient tenir leur vôlidité
que de l'existence de constructions ou de répondants géornétriques
venant limiter et contrôler le~; procédures Ije calcul et cffnr :2
subst rat in t IJ i tif nup l'î1n pc:t i mi'! i t 1j:llir Pt r-~P1nlQ6LcQooc-~c~",Liiroo:L-
i
2ème partie:
37
Au total, l'émergence d'un point de ',lue algébrlque, objectif du
mouvernent de l'Ecole analytique lmglaise, devait se faire contre une
tradition de géornétrisrne, et c'est dans les ter-mes de cette opposition
également Que se trôduH la quesUon notationnelle : Leibniz contre
Newton.
C'est la raison pour laquelle, en poursuivant l'objec-tif d'introduire
et
de populariser
récriture
leibnizienne
en
Angleterre,
Robert.
w'oodhouse écrit : «Ce Qui fi trouvé une expression anal yU Que peut
entrer
dans
des
combinôisons
ônalytiques
et
se
résoudre
ônalytiQuement» ; cela, dans un article de 1802 à l'intitulé tout à fait
explicite : «On the
independônce of AnôlyUcal
emd Geornetrical
investigations emd on the t1d·.,'ônt.ôges
to be derived from trleir
seperôtion» 10
(de
l'indépendance
des recherches
analytiques
et
géométriques et Ijes ÔI/Ônt<:1ges qU'il 'd '::1 Ô les séparer)
Cette affirmation de l'ôutonomie des méthodes purement
analytiques de résolution de problèmes est le point de départ d'une
véritable p~'lÏlosophie du symt,olisme, d'une réflexion poussée sur ce que
cela ..... eut dire rElÎsonner dôns les signes, et sur lô dHférence entre les
symboles ôlgébriques et les figu.Le~ géométriques_
L'indépendance de lô méthode anôlytique signifie donc l'exigence
Que
celle-ci
puisse
conduire
ses
propres procédures
de Jôçon
strictement algébrique, c'est-à-dire selon des règles déductilr'es Qui
dépendent des signes et de leurs lois de combinaison. Par conséquent,
-les démonstrations et méthodes de déductlon- algébriques doiyent
poulr'oir montrer, ·alr'ec une évidence suffisante, Que l'introduction
d'expression et
de
formules
géométriques
dôns
des
recherches
analytiques n'est absolument pas nécessaire·...; contre l'«opinion selon
laquelle la vôleur de certaines expressions exigerait de mônière
essentielle l'existence de courbes et de figures géométriques, et la
recherche de leurs propriétés» 11_
2ème perti e :
38
Mettre fin au géométrisme pour voir émerger un véritable point de
vue
ôlgèbriqu8,
c'est
d'ôt:ùrd
réfléc.hu-
ô
la
signifiC:ôtwn
ijun
syrrlt101isrne et comparer 1es métholjes géot"né tri Ques et 1es rnét!iO,jes
analytiques comme deux langages, deux manières de construire des
signes, de les agencer et de raisonner pôr eux. Il ya tout d'ôbord, dit R.
\\Jioodhouse, une différence de fl{Jtt/re entre les signes Que ces ltlngages
géornétr-iQue et algébrique mettent en œuvre:
«Alors qu'en algèbre, les signes sont tout ci fait ôrbitraires, en
géométrie 11s comportent une ressembh:ince oux choses signHiées et
sont dit signes no/t/rels puisque la figure d'un tritmgle ou d'un carré
suggère à l'esprit la même figure tangible qu'en Amérique .: et cette
ressemblance du signe il la chose signifIée 8St SUPPOt;ee êt.re ],3
principale
cause
de
la
clôrté
supérieure
d'une
démonstration
, "1
géométri que» 1 k.
En outre, si l'on voulait éc 1ai rer j uSQu'ôu bout la 1ogi que du
géométrisrne, l'on pourrait dire "Qliôfin d'éviter toute ambigûîté et
8tTeUr, il e~;t souvent nèces~;ôJre Ij'opérer un r-etour Iju siqne a la cr-ICise
.
~
siqnHiée et Qu'en ce cas, cela se fera d'ôutant plus facilement que les
modes de représentation sont moins généraux et moins ôrbitn:nres. Par
-
. , - - .
conséquent en géométrie plus facilement qu'en algèbre» 13.
11a1 s l'on voit alors bi en, poursui t R. Woodhouse dans sa réfl exi on
sur le symbolisme, Qu'ultimement cette logique géométrique se
retourne contre elle-même: en effet, il est évident Que les avantages
intuitifs Qu'offre l'usage de ·signes naturels· en géométrie sont limités
par cela même que le rapport mimétique, le rapport de ressemblance du
signe à la chose signifiée n'existera Que pour des signifiés de "nature
simple-. Il ne saurait exister au-delà d'un certain seuil de complexité
outrepassant les capacités de représentation de la pensée géométrique.
Dè.s lors, quand il s'agit d'un généralité plu:,:; I]rônde, l'avôntage intuitif
qui était celui du signe géométrique devient une limitation que ne
2ème parii e :
39
connaît pas le signe algébrique du fait même de son caractère
ôrbi trô i te.
On le voH : le mou'v'ement de l'Ecole analytique êmglaise el pu Ijonner
nai ssance 6 l'algèbre abstraite pour 8voi r donné toute son i rnportônce,
pour le développement des mathématiques, à une réflexion sur les
signes et le symbolisme; à une véritable philosophie de l'algèbre qui ne
posôt plus cette science comme un simple instnJment, une Aservônte de
A
la géomét.rie . Avant George Boole et ses recherches concernant une
"théorie générale des symboles·, Babbage et Peacock se sont aussi
engagés dans ce chemin de la réflexion sur le symbolisme lui-même.
Là où Woodhouse semblait malgré tout faire une concession El
1'ÔVtlOtôge int.uitH que représente le côrôctère "naturel" du si'Jne
géométrique, Bôbbôge produit le raisonnement SUivônt4~ si l'on choi::;lt
pour
e)~ç;rimer
un
nornbr-e
quelconque
,je
le
r8~ln?:::enter
géométriquement sous l'aspect d'un segment de droite, il est sôns
aucun
doute possible,
en
l'ôbsenee de
toute
unité de
mesure
préalablement déterrrllnée, de voir en lô figure tracée un segrnent .en
générôj" qui en fasse donc lô représentation d'un segment "quelconque".
Mais il.su1fira alors d'introduire dans le raisonnement ôlnsi
·géométriséH un autre segment de droite pour qu'objectivement le
caractère général des si gnes géométri Ques se voi e détnJit : même
l'absence de toute unité de mesure Qui ferait de chacun des segments
pris lsolément, un segment particulier (au sens où il a une mesure bien
déterminée), pris ensemble, les deux segments seront nécessoirement
dans un certain rapport objectif de longueur Qui les individualise.
C'est -à-di re que chacun d'eux f oneti onnen:! en Quelque sorte cürnrne
unité de mesure de l'outre.
Il demeure bi en entendu Que le ral sonnement Qui prend appui sur
Ijes représentati ons géométriques garde toute sa général i té. 1"lai s
préei sément, dit Babbage, c'est parce Qu'en réal ité il ne prend pôs
2ème piilife :
40
véritablement appuf sur les figures effectivement tracées mais sur des
signes idéels, non présents, qUJ e:~priment ces segrnEmts queJconqu8~;
Les signes géométriques pô18nt ainsf toujours tribut il un certain
p1atonfsme.
Et l'on peut ainsi entendre ce rôisonnement de C. Babbage: 8 perler
en toute rfgueur il n'y a pas de signes naturels. Et si la -nôturalité"
n'est plus un avantage lorsque l'on réfléchit véritôtllement à ce QI/est
un signe, il reste que la générôJaé, elle, est du côté du symbole
olgèbrique:
«les signes employés en géométrie sont fréquemment de purs
i ndi 'y'ÏJjus
pri s dans l'espèce
qu'i l s représen tent
Cl lors
que ceu:·:
ernp1oyés en ô19èbre, ayant. une rel ôt i on purement ôrtlÎ trôi re ci l'e::;pèce
Qu'ils
représentent,
n'imposent
il l'attention
aucun
individu
,je
préf érence à aucun autre» \\ 5
Finalement, l'opposition entre un caractère intuitif des méthodes
géométriques Qui en ferait la validité et un caractère calculatoire ou
rnécôni que des procét:lures ô1gébri ques n'est p] u::: que 1ô pôrti cu j an té et
la limitation du langage géométr-ique lorsQu'on le compare ô 1;3
généralité et à l'abstraction du langage algébrique. Dans le refus_!j~
procédures analytiques totalement autonomes, libérées de l'exigence
d'un oppui sur un substrat géométrique fntuit if, il Y ale refus par une
rai son-i ntuiti on d'une rai son-ca1cul, d'un rai sonnement qui serait de
part en part symbo1i que:
«La nature presque mécanique de nombreuses opérations de
l'algèbre, une nature qui contribue certainement, dans une très large
mesure, à sa puissance, ô été étrangement incomprise par certain::: qui
l'ont même considérée comme un défaut» 16.
l'arbitrofre du sfgne algébrique n'est donc pas un udéfaut" Qui
souJ i gnerôit par con trôst.e 1'exce11 ence des rnétt1(lIjes géornétri que::;,
mais un facteur de généralité; de même que le carôctère mécanique des
2ème partie:
41
procédures algébriques ,Qui est 16 conséquence de cet arbitraire du
syrnbole algébrique, est lô marque de leur puissance.
C'est précisément parce Qu'il est arbitraire que 1e signe
81 gébri que permet cc Que C. Bôbbôge appe11 e -une général i sat i on et une
contraction- Que l'on peut comprendre comme le fait de pouvoir loger Je
maximum
de
signification dans
le minimum
d'espace signi flant.
l'ôuteur donne comme exemple de cette "généralisation et contraction"
le symbole ~(x, 1) Qui signifie, dit-il, «toute combinaison symétrique,
Quelle Qu'elle soit. des deux Quantités inverses x et l/x» t 7.
Dès lors Qu'on les compare en tant Qu'elles sont des 1r:mgages, en
tent Qu'elles mettent en jeu certains types de signes, la géométrie et
l'algèbre appôrôissent lô prernière comme un langage particulier, la
seconde comme le langage universel. Il se dessine alors cette idée
nouvelle que le rapport Ije l'ôlgètw8 il la géométrie n·e~;t. plu::: c81u; :Je
méthodes déductives parallèles où la seconde viendrait normer et
contrôler 18 première, mais celui de l'uni','erse1 ô sô particularisat.ion.
,je 1ô démarche symt,01ique pure il ~;on interprétôt.lOn géornét.rique Ce
couple de concepts, démôrche symbolique pur-e et interprétation, aura
une importance capitale dans l'algèbre de la logique de George Boole
après Quï l aura été préci sé par Peacocl<.
C'est à George Peacock ,en effet. parfois surnommé TEucllde de
l'algèbre- par les historiens. Qu'il reviendra de reconstruire l'algèbre
comme système symbollQue. c'est-à-dire sur le fondement d'un point de
vue postul ationne1 Qui commence par dég8ger expli citement 1es loi s de
combinaison des symboles.
Il opèra une distinction entre algèbre arithméUque et ôlgèt're
symbol1Que.la première correspond à ce Que François Viète appela
naguère "logistica speciosa" par opposition à une "logistica numerosa"
ou ôrithmétiQue usuelle .c'est donc une arithmétique littéral e où
l'usage des symboles littéraux représentant des quantités numériques
2ème pertle :
42
Quelconques assure toute généralité 8 l'tlrithmétiQue.
Dans cette VOle de la générallsation et de 1'ôbstn'lCtion, un pô~,
Ijécisif est fn:mcht avec la mise en place de l'algèbre syrnboltQl1e. Ici
les symboles sont tout 0 foit généraux, ils représentent des objets tout
à fait Quelconques et sont soumis 8 des règles de combinaison définies
a pri ori. En résumé, l'algèbre deyi ent véritablement une sei ence
généra le des si gnes et des loi s de comtti nai son de ces si qne~;
défi ni %ônt des procédures symt10 li ques, rnécôni ques (que Lei bni z
disait ·sourdes- ou -aveugles").
C'est seul ernent après exécution de ces pt-océdures purement
symboliques .. sôns référence il un quelconque sens ,jes si!Jnes, que vient.
le rnornent de l'interprétôtion où il ::;'ôgit de trouver le (ou les)
m01jèle(s) au sein duquel les règles posées ô priori trouveront. leur
vôliljité et. le::; ,=wnt'oles emplo~és une ::;ignificôtion
Par conséquent, l'interprétation est toujours finale: le sens n'est
pas inscrit dans les expressions symboliques mêmes, il leur est
l O
as::;igné ôpres coup lU
Il derneure toutefois que c'est l'ôlgèt,re fwithmétlQue qui vient.
normer l'algèbre symbolique. G. Peacock en effet éQ9~ce un principe Qui
a pour effet de lier l'algèbre symbolique à l'algèbre arithmétique: il
s'agit du uPrincipe de permanence des Formes Equivalentes U Qu'il énonce
ai nsi
dans
son
Rttpport devant
la
Bn"t.;sh Associetion for tht
AdnJlJcement of Science., en 1833:
«Toute forme 81gébriQuement équivalente à une autre lorsqu'elle est
exprimée en symboles généraux doit continuer à lui être équivalent
Quoi que ces s~mboles dénotent» 19.
Par conséquent, l'algèbre symbolique nous apparaît comme une
extension de l'algèbre arithmétique où il est demandé aux lois définies
sur les symboles généraux (pouvant représenter non seulement des
quantités -réelleS- mais ôussi des quantités "imôginôires"), d'être
43
'.'.
..
,;' )
'.J ',' !,: ,_"
'_J
: :;uxk,
une
reconstrucUon véritnb1e cornrn:: '~.(,''::;i(~' ':,2(iuctl'v'8, il (;erneure Qu'elle
reste liée à la notion de quôntité {ju feit if!èrne d'un parallélisme Qu'e11e
continue de respecter 8V.~C l'arithmétique Ainsi qu'i11e déclore:
«Tous les résultats de l'algèbre arithmétique qui sont déduits pôr
application des règles qu'elle connôÎt et qui sont génén:lux dôns leur
forme quoique particuliers en valeur, sont des résultats équivalents en
algèbre symbolique où ils sont généraux en voleur eJussi bien que dons
leur forme».20
L'influence des travaux de G. Peêlcock pour la suite ,ju mouvernent ,je
l'Ecole analytique anglaise sera considérable Elle est 11~;lb1e dans les
trôyaux
du
mathématicien
Auguste
de
rlor-gôn
(" 1606-1871)
Qui
::ôrticipô ô la création de la Bril/s/:; A~;S~Y'~i...9t7(;/; i.:'''' (,,;,p i...'?i..7':'~~,"tl::'.':;'é<· ~c,
Science ou ceux de D.F. Gregory pour ne citer que ceux-1 Ô.
Le second, qui continue de mener la réflexion sur la nat.ure réelle
-:
1
d 1·'-1 '. b
-.
b l' l
'
_.
rI;
-'q'~. ·t ,o-c. .-, (.-." O",,;" ,-. '/,.-.,;;." .; :7>:'."'-""''': i
.=;
e ij ge re ':iym 0 lqde ,Lill "rf' r~,-,llIj (,/ c 1.....':;;//...11....1,1..'-,,' ,:,"~.,i..i '-,,'
..
I~
eu pour le travail de George 60û1e l'irnpcwtônce que l'on ~ cor,r(iencé ,je
yoi r et sur laque11 e nous revi endrons.
De Morgon ,comme Boole ,participera à la création d'une ère nouvelle
dons l'hls.toire de la logique : la phase mathémfltique de cette
discipline. Il énonça dès 1830 , puis, en 1849, dans sa Trigo/lomet/}
tJnd dOl/ble tJIgebrtJ 22, lldée que la noUon d'algèbre symbolique devait
pouvoir déboucher sur la possibilité de multiples algèbres ,jifférant
selon les lois de comb-inaison dl~c sl~mbo1es QUf:' l'on ô définies.
En effet, si l'ôlqèbre sur(,t
1:
OU"
..
,[c,t, ou aucun :3igne ne
~
-.J
contient en soi 1p ,';;;'
n'ô affaire "Qu'aux
symboles et fi }P:T
.. "
..,(': oensée comme
"la grammaire ::> .~' 1j8t1n?S c, ~
~ui iJ'.iront. un
sens".23 L'on voi
' L LU1n!r"~ïit cette épam:;:
ông1 ai se a vu
2ème partie:
44
naître l'idée de la possibllHé d'l/lie algèbre particulière
comme
l'ôlgètH-e de la logique de George 6001e.
De mônière générale, l'importante réflexion ,ju n)OU'v'emen1. db
ôlgébristes de Cambridge sur la symbolique a dégôgé un certain nombre
de thèmes qui seront au fondement du travail ultérieur de George Boole
celui de l'arbHraire du signe, du caractère mécanique des procédures de
l'algèbre qui
en
fflH
la puissance ..
du
côrdctère
nécessôlrernent
terminal de l'interprétation.
Au total, avec l'émergence défi ni t i "'e il son époque d'un poi nt de
vue algébrique qui s'est dépris désormais des méthodes géométriques
pour donner naissance il l'idée d'algèbre abstraite, le passage que 'y'ô
effectuer Boole de l'algèbre de la quantité ci l'algètrre de la logiJWe 8:::t
devenu possible Sa contribution à ce mouvement, ôvant la création ,je
son ô1gèbre de la logique, ô Ij'ôtlor:j pris la fcn-me Ije trô''I'Ôu>~ :::i,r- ~~
calcul d'opérations dans le cadre de ses recherches concernant les
méthodes de résolution symbolique des équations différentielles, un
sUjet pour lequel son nom rest.e ô~,socié à celuÏije son ômi D:.Hi::Y
Fôrquharson Gregory.
c. le col cul d"opérot ions
1. les antécédents continentaux
les débuts du calcul d'opérations sont un excellent exemple pour
donner raison il Leibniz d'avoir déclaré Que sa propre écriture du calcul
infinitésimal était meilleure Que celle de Newton en ce Qu'elle donnelit
-plus d'ouverture-. Elle permettait en effet, dit-il (dans une lettre à
Wallis), de constater l'analogie existant entre l'élévation d'une sornrne
de n termes à une certaine puissance m et la différentielle r-r#rM d'un
produit de n facteurs.
Ce constôt fut énoncé pôr Leibniz Iji:ms un article inti!.:.;]e
Symbolismtls memortJbilis ctJlcl/li tJ!gebrtJ!c! 81 /o/irJiI8S/015!is- l/
2ème partie:
45
cO./lJ{lortftione potention/m et dillerentitJrllm et de legehomogeneonlm
trô/js[p/lderJte/1 2d. Cet elrticle faisait état, selon les mots de l'auteur,
d'une "certeline ônôlogie rnystérieuse Qui existe entre les Puissances et
les Différences·25. Elle apparaît
clairement dans les exemples
suivants:
(1) (x + y)l =X + y =Xl "10 + xO yl
d (:.:y) = xdy + ydx = d"x d' y + d' >0: dOy
(2) (x + y)2 =xl + 2 xy +!i = lyox2 + 2X1yl + lxoi
d2 (xy) = 1dOyd2x + 2d' X dl Y+ dO;.: d2y
Dans ce même texte, pour mieux faire ressortir encore cette
ônô1ogi e entre 1e~: pui ssônces et 1es di ff érences, Lei bni z propose
d'écrire les pUlssences 'l! ou (x + yl sous 18 forme ~x ou ~ (x + y) ..
rendant ainsi homogène l'écriture de d2 (xy) et ri (x + y)26.
Cette anôlogie pOurTô ljonc ~;e forrnuler cürrime suit: 6 corlljjtion
Ije suppléer, dans 1e déve] oppernen t bi nômi aIl es facteurs ;,.:0 et yO et
d'écrire dans le développement différentiel, x et y sous 18 forme dOx et
.---. -
dOy.. pour trouyer de(xy), 11 suffit de considérer le déyeloppement
binômial de
(x + yf et de transformer.. pour obtenir le résultat cherché, tous les
'l'If' en tf)( (f'\\y.
Cela reste yalable, ajoute Leibniz, lorsque l'on passe du binôme
au polynôme. La fécondité de cette analogie qui est celle-là même,
encore une fois, de l'écriture leibnizienne du calcul infinitésimal lui
suggéra ainsi Qu'à Bernouil li de tenir l'intégrale pour une différentielle
1l
d'ordre négeli f , c'est-à-dire QUif= d- ,l
Cependant cette analogie, cornme toute analogie simplement
constatée, demandait à être fondée en raison: Leibniz, nous l'ayons vu,
2ème partie:
46
la disait -mystérieuse-. Il utilisera le même mot pour en parler à Johan
ôernouilli : «ptd{7' /78'<;[/0 qmO' b:r(l};7i s{/!resse}} qUI lui r-épond qu'en
effet «!NJlId dt/blé 91it/mo' OFCi..9/1i Sl/liPst »28. Lever tout -rny::.tère",
autrement dit fonder en raison cette analogie, ce sera créer les bases
d'un o,,'éritable calcul d'opérations aux règles explicites et dont on
puisse produire les titres de validité.
Cette analoqie et les développements fécorlljs qu'elle sernttlôit
promettre suggèrèrent au Françôis L.F.A Arbogast, au tout début du 1ge
siècle, une -méthode de séparation des échelles d'opérations- qui portât
« ... au plus haut degré de simplicité, Ije clarté et de généralité, l'espèce
particulière de calcul qui a pris naissance dans l'analogie otfser-vée pôr
Leibniz entre les puissances positives et les différentielle~;, et entre
les puissances négatives et les intégrales»29.
de dérivation comme suit :
«La dérivfltion totale que l'on obtient en faisant varier ô la foi::; ô
et 0( dans le produit ô(X' ou dans la fonct1ün f(ô, Dl) i::tant r-epre::;entse è
l'ordinaire par D, nous désignons Dl la dérh'ôtion pôr rôpport è C>(
seulement, et par D1 la dériYôtion par nipport Ô 8 seulement .: réerlelle
de dérivation sera:
o = 0,1 ... Dl'» 30.
De même, lorsque l'on passe de la dérivation à la différentiation,
considérant la fonction ~(x,y), -d désignant la di fférentiation totale,
d'l celle par rapport à y seulement et dl' celle pôr rapport à x
seulement, on aura l'échelle de différentiation:
d =d'l + dl'.
Il vient donc Que l'on écrira
d (x.y) = (d'l ... dl') xy = d'l (xy) ... dl' (xy) =xdy ... ydx"3 1.
Dès lors, on voit que la "rnéthofje" consist.e il IjéU,,::her le ::;I..lrnt'cis
de différentiation d de lô quantité (xy) sur laquelle il opère pour le
2ème partie:
47
considérer en lUI-même comme composé de la somme arithmétique de
,jeux symboles de différentitation d"
et d"
dont l'un concerne x à
l'exc1'Jsion de y, le second y à l'exclusion de x. Il y a dans cette méUlode
trois éléments Qu'il faut souligner.
Le premier est cette décomposition de la Quantité infinitésimale
Ijx en une opération de différentiation d ou opérateur, et ce sur quoi
porte cette opération c'est-à-dire x ou l'opérao1je.
Le second élément est cette écri ture curi euse à pre mi ère vue de
l'addition de deux opérations de différentiation. -Curieuse- car elle 0 la
même signification Que la somme (e) + (.) de deux opérations de
multiplication par exemple. En d'autres termes, l'addition d" + dl' a ici
le sens d'une combinaison d'opérations.
Enfin le troisième élément est que dems les égal ités écrites
ci -!je~:$u~;, trouver d (x y) est revenu ô rnult i pli er x'd pôr lô :30rnrne
dl + dl'.
A partir de cet exemple, Louis François Arbogast procède fi la
généralisation suivante:
«Pui sque lô différentie 11 e seconde proYi ent de la prerni ère, cornrne
celle-ci est proyenue de la fonction, il s'ensuit Que pour avoir la
--. -
différentielle seconde, il n'y a Qu'à multiplier la différentielle
première por dol + dl': on OUfa oinsi l'échelle:
d2 =(d,l +d )(d'l +dl')=(d,l +dl')2
'
et en continuant, on aura également: dn =(d'l + dl )n»32.
Par conséquent, dans le cas le plus général, on appliquera la
règle
dn (x y z u) =(d' + dA + dU + d"')n zyzu ,
on écrit le déyeloppement polynômial de (d + d' + d- + d"')n comme si
l'on avait (a + b + C + d)n (en considérant donc les opérations de
Ijifférentiôtion cornme des symboles de Quantités, au même titre qUiô,
b, c, d); puis, comme le dit L.F. Arbogast, ·on multiplie x1dzU pôr ces
2ème partie:
48
déve1oppements respect ifs·33.
En trôvôl 11 tmt ,comme il ïô f aH ,ô i n\\'enter une "esp8ce part l cUI i fre
de côlcul·, Louis Fronçois Arbogôst a donc produit les premiers
éléments d'un calcul d'opérations. Mais celui-ci manquait encore des
principes qui pouvaient le fonder en raison.
L'anô10gie -sur laquelle toute la méthode reposait- entre les
puissances et les différences ,-est13it encore purernent ffJctuelle
Arbogast âura cependant eu le double mét-He d'indiquer quelle pouvtnt
être la fécondité de l'algorithme le'ibnizien du calcul infinitésimal
d'une part, de l'autre d'avoir permis de dégager clairement ce Qui
demandait
légitimation
pour
que
le
nouveau
calcul
füt
fot'iiJe
véritablement : il s'agit du traitement des symboles d'operôt.1on::;
comme symboles de quôntités, Il faut pouvoir expliciter les raisons Gui
symboles comme d, d'etc. "tantôt comme les signes représentatifs
destinés il môrquer les états variés des grandeurs E!vec lesquelles Ils
'7
~
se trouvent préfixés, tElnt.ôt comme des quantHès ôlgétwiques"~"1
C'est à une telle explication que s'ôttachen:l DJ. Gregory dôns S2::;
tn:lvaux sur l'algèbre symbolique, Qui auront une importance décisi'v'8
pour l'œuvre de George Boole.
2. Le calcul d'opéraUon de D.F. Gregory
Dans un article important intitulé ·On the real nature of
symbollcôl algebra", D.F. Gregory rôppelle Que les démarches qui ::;ont
celles de ce calcul d'opérations ·ont été pendant longtemps traitées
comme ,je simples analogies et peu de gens ont semblé disposés ci fôin~
confiance li une méthode dont les principes n'apparaissaient pas de
manière bien consistante LJ En France, Servais fut L') le seul
rnôtliémôf.icien à essayer d'expliciter les principes (,je ce Cij;!>l!,:,
cependant que Brisson et Ct:ll1chy l'utilisèrent pôrfois et en étenrjirent
2ème parti e :
49
les epplicet1ons-35.
Il rattache donc son propre trôvail il celui du rnôHlématiclen
Servois Qui
avança
l'idée Que c'était
parce Que
les symboles
,j'opérations et ceux de Quantités étaient soumis aux même lois
formelles de combinoison, Que l'on pouvait les troiter de manière
ident iQue.
Serv'ois cornprit en effet qu'il fellait chercher du côté des
propriétés formelles des opérations ce Qui lui fit rencontrer celles de
"commutativité- et de -distributivité~, termes Qu'il forgea llJi-même.36
Seule une telle approche formelle, Qui sera également celle de Gregory,
pou',Iait permettre d'exhiber la vflliljité logique des procédures du côlcIJ1
d'opérations, car elle seule pouvait saisir véritablement, c'est-à-dire
dans sa généralité et son abstraction, la notion (fopérateur.
Tout le protrlème de la méthode d'Artlogô~;t., en effet.. éL31t cs'. ".S
nature double des symboles, tantôt d'opérations, tantôt de quantités
algébriques. L'approche nouvelle, formelle, consiste précisément ô
évacuer toute référence à la nature du symbole au profit Ije la seule
considération de son comportement formel. Une telle démarche e~;t un
changerne_nt radical de point de vue: les propriétés combinatoires de
l'opérateur une fois explkltées, deviendront en fait sa définltion
formelle.
On ne décrit
plus par si.mple analogie
de folt
les
comportements d'urre opération, on la définit par ces comportements.
Ainsi l'on dirait, d'un point de vue moderne, -soit l'opérateur D tel
Que:
1. D(ax) =(Do) x + a (Dx)
2. D(a + x) = Da + Dx
un tel opérateur, ainsi défini par ces deux propriétés, sera appelé
opérateur différentiel-.
Ainsi, dans la mesure où l'opérôteur est désormais étudié en
lui-même, par ses propriétés formelles et indépendamment de la
2ème part te:
so
QuantHé â laquelle il s'appllQue, l'on asslste 8 l'émergence d'un
\\'éritôblE' point de vue algébrique et fûrrnel sur les opérations, celle de
diffét-enUation en pEsr-ticulier. Cela pen·net ci DJ. Gregory d'écrire, ,jôns
l'article Que nous avons cHé :
"Comme ces opéraUoils différentes sont toutes soumises à ,jes
lois de comblnaisons communes, tout ce dont on prouve la vérité par le
seul rnoyen de ces lois., est également nécessôir-er-nent vrai de toutes
les opérations".37
Avec un tel principe, le calcul d'opérations connaît une vérltôble
généralisation dans un contexte
purement algébrique. L'on peut
Ijésormôi s considérer toute opérat ion en e11 e-rnême, de manière
séparée. en fôisont ôbstrôction de ce ci quoi elle s'ôppliQue, pour lô
définir par ses propriétés formelles. Tel est l'objet de cet ôrticle de
DF Gregory qui étôtdit !je cette m5niÈcr-8 une t~pO]Ogi8 (:J'o~li?r<stion': .
1.
Une
première
classe
dite
de
"fonctions
circulantes"
ou
"reproductives" dans sa terminologie propr-e Elles sont définies pôr les
(1) FF(a) =F(a)
(2) ff(a) = F(a)
(3) Ff(a) =f{a)
(4) fF( a) = Ha)
2. Les opérations soumises aux lois suivantes:
(1) f m (a) .fn (a) = f m+ n (a)
(2) fmfn (a) = f m.n (a)
3. Les opérati ons soumi ses aux loi s sui vantes:
(1) f(a) + f(b) =f (a+b)
(2) f 1f(a) =ff 1(a)
Ces Ijeux proprlétés sont celles de ,jistritlutivité et de commutativité
qu'avait dé jà définies Sen/ois.
2èrne partie:
51
4. Une classe d'opérations dénnies p6r la loi:
f(x) + f(y) =f (xy)
où, lorsque x et y ont pour significôtion d'être des nombres, l'opération
s'interprète comme le log6nthme an thmétiQue.
5. Une cinQuème et demi ère classe d'opérations où l'on considère les
deux propri étés sui vantes:
(1) aF(x+y) = F(x) f(y) + f(x) F(y)
(2) af(x+y) =f(x) Hy) - cF(x) F(y)
L'on peut faire deux remorques sur cette typologie de Gregory.
La première est Que si ces propriétés ne sont pos établies de manière
arbitraire, mais sont dégagées à partir d'opérations connues et déjà
inscrites dans la pratique mathématicienne counmte, rien n'empêcrierô
d'écrire des symboles d'opération qui n'ôient pas d'interprétôtion de
répondant. actuel. Gregory ne s'en prive pôs pôrfois. 3,ô
La seconde remarque c'est Que toute 10 fécondité de cette
démarche
form611ste
consiste
en
ce
que
les
opérations
ainsi
considérées en elles-mêmes, indépendamment des Ijiverses r-nat1È't-e::,
auxquelles elles sont appliquées, permettent de se retourner sur le
pratique mathématique courante pour éclairer les analogies entre
différents domaines de cette discipline.
L'fntérêt de la. démorche Qui est ou principe de 16 typologie
ci-dessus apparaîtra mieux sf l'on considère l'exemple simple de
l'opération d'addition.
Si l'on pense ici en termes de nôture de l'opération, l'addition des
nombres, apparai ssant comme une réuni on de coll ect ions d'unHés, est
différente de l'addHion des figures (longueurs, angles, surfaces etc.)
Qui correspond à leur juxtaposition. Elle est également différente de
l'addition des forces QUl est leur composition produisant une résultônte
Qui n'ô rien à voir avec une juxtaposition.
Qu'est -ce donc qui justifie la communauté d'un même nom,
2ème part i e :
52
l'addi ti on, pour troi s opérations si di ft érentes en nature ? C'est
précisèilieilt leur-s propr-iétés forrnelle.s cornmunes Que l'on peut. ôltlSl
énumérer:
1) fi + b = b + a;
2) a + (b + C ) = (a + b) + c;
3) a + 0 = 0 + 6 = a.
Ce sont ces propriétés qui constituent véritôblernent la
définition de l'addition. "Se combiner selon les mêmes lois formelles"
tout en gôrdant bien entendu des contenus différents, tel est donc pour
D.F. Grego'1l le fondement logique et légitime de l'analogie. Et l'on voH
comment le nouveau calcul d'opérations permet d'exhiber des identités
formeJ1es, structurelles entre des domôines qui diffèrent en nature.
Le cas de l'opérateur différentiel, pour en revenir ô lui .. s'insent
'-f . f -, 'Y .-, ,- t .;.",,~
f t
j'~
.- r -, h
,... ~ . ". .- l -, .- bc· 1. - ; t
r' P n -" + .-, n -."" Ci +
PÔ! ,Ôl'.t.i,it'il. ,,,,.-,n.:. eel.-'? 1 t'!YI,j,l. e ~~lIenlll:' (j ~, tÔI.8. J" ... t'dl. ::;"
t.:._
dégager
et
établir
les
propriétés
suivôntes
de
l'opération
de
différentiation:
1 u étônt. une fonction de deux vewiôbles x et y, l'on El :
d/dxd/dy (u) =d/,jy.d/dx (u).
Puis u et v étant deux fonctions de la vôriôble},_
2. d/dx (u +v) = d/dx (u) + d/dx v
3. (d/dx)m.(d/dx)n] (u) = (d/dxmn (u).39
Les deux premières propriétés sont celles de commutativité et de
distributivité. La troisième est dite "loi des indices". Ces propriétés
concernent également les symboles de Quantité. Dès lors, l'identité
formelle des lois de combinaison Ijes deux registres de syrnt1üles
(symboles
de
Quantité
et
symboles
d'opérations)
jusHfiera
un
traHement analogue : les symboles d'opérations différentielles se
comportent
formellement comme
des s~rntloles
de quôntlté
CS]i3
permet ô D.F. Gregory d'aller encore plus loin et d'écrire:
2ème part ie :
53
"Nous 8110ns (toujours) porlé comme s'il y aveH une différence
entre ce Qu'on ôppe 11 e usue l1ernent des syrnbo1e~, d'opérôt i on et ce quO on
appelle des symboles de Quantité. l'lais nous avons p,:jrfôiternent le
droit d'eppeier également ces derniers des symboles d'opéraUon"40
Ce ·droit~ vient en effet de ce que, sur le plan formel, 11 n'y a pas
de distinction à faire puisque ce sont les mêmes lois abstraites de
combinaison des signes Qui valent pour les deux t'dpes de symboles et
Que le moment de l'interprétation, où les symboles se \\loient assigner
un sens donné, et toujours 0 posteriori.
Lo primauté accordée ici à l'opération est l'émergence même
d'une mathématique générale et abstraite dont les obJets véritables
sont
les
opérations.
L'iljée
est
donc
dé~;orrneJis
possible
Ij'une
mathématique qui ne soit pas celle de la Quantité rnôis celle Ije~;
opérations de J'esprit· cette rnôU1É'rnôtiaue dont 6001e iJinj qu'elie 8~:t
celle-là même de l'esprH humain.
D. les troyoux mathématiques de George Boole
CBleul des
opérations et méthodes symbol1Ques.
C'est dans la continuité de ce Qu'a accompli son ami DJ. Gregory
concern.ont le calcul des opérotions Que Boole mène ses travaux
mathématiques Qui
le conduisent è une désinterprétation et une
déquantHication du symbolisme algébrique eC en conséquence, è la
notion irnportlinte d'une
méthode
symbolique
générale,
condition
d'émergence de l'algèbre de 10 logique. L'on pe.ut retracer rapidement le
cheminement Qui ',la de ces travaux rnôt~lérnôtiques ci son œuvre
maîtresse où il expose l'algèbre de la logique.
Bien Que son traité des Pifferentio/ Eqllotions 4 date de 1859, soit
quatre ôns après l ô parution des L(ris OP M Pe/?S-88 et douze iJns ôprès
celle de l'AfJo/yse l10tllémtJtiqtle de/tJ LO!,7iqi/8, il y Ij une emtériorité à
2ème pert i e :
54
la fois logique et chronologique de la matière qui fait l'obJet de ce
trôtté par rapport è ses ouvrages pnJprernent logiques,
Rappelons en effet Que le Tr8stis-e {?/J L?lffpr8litMI Etll/ô"t/(i/)S est
ovant tout un manuel - ce qu'fI de.,.iendra à Cambridge par la suite -
dans 1eque l, ci nq ans avant sa mort, l'auteur, dans une démarche de
synthèse et de clt:wification, fait le point sur la Question et expose à la
fois sa propre recherche et les écrHs Ije nombreux ôutres auteurs, L'on
peut donc bien parler d'une démarche qui irôit du 1re/té aux Lois 081'6
Pensee.
L'on voit, à la lecture du chapitre XVI de ce Troité intitulé
"MeUwdes Symt'o1iques" que Boole.. comme son ami DF Gregory, ij
égaiement travaillé à établir de rnEmière stJtisfaisemte les principe::;
logiques de la méthode de sépôrôtion des symboles d'opérations Min de
l'F\\r,p1l'qu'"'r-
1
. _ , . . .
r;::
~ 1""
f...J. G
r,~crllJtl'or"
ë "_, J (
d'r'QI'-tl"in C
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;
'...J 1
G
-..,j
u-lj'ffe'r- ûrt
l ' "
'_'; / ti ü
._ i c: l J .:.·:
ou début de ce chapitre:
"Le terme "symbolique" s'ôpplique plus spéciôlement, pôr une
re~Jriction de son sens qui e~t plus étendu, fi ces rrlls·tho,jes ernployee::
en analyse oij les opérations .. séparées pôr une ôbstractlon rnent:l1e ,je::
objets auxquels elles s'ôppliquent, sont exprimées sous la forme de
- '-
symboles dont les lois de combinôison représentent les lois auxquelles
sont soumi ses 1es opérat ions elles-mêmes. "42
Ainsi du/dx se décompose, pt',,- "abstraction mentôle" en un
opérateur "séparé" d/dx et en un opérande u, et les lois purement
symboliques aUXQuelles est soumis le signe d/dx expriment les lots
même de l'opération de différentiation dénotée par ce signe. L'on peut
alors, dès le départ, produire les règles formelles ôl.Jxql.Jelles 8:::t
soumi se cette opérat i on. Ce seront:
-la distributivité par rapport à l'addition:
- la commutativité:
2ème port je :
55
dix au =a.d/dx u.
- lô loi des indices:
Or, et nous restons toujours ici dàns 10 continuité de ce que nous
ayons vu avec DJ. Gregory, ce sont là des lois de combinaison de signes
d'opérations Quj demeurent valides lorsque ces symboles représentent
des Quantités algébriques. Cela pern1et Ô 8001e., en ôppelant "fonction
directe de d/dx" toute fonction de la forme f (d/dx) où la présence de
d/dx indique une différentiotion, d'énoncer le "théorème- sui vont :
ïhéorème : Toute fonction directe de d/dx et de quantités
constantes peut se tr-ônsforrner en faisant comme S1 d/dx était
soi -même une quanti té". 43
L'on passe de manière continue Ije ce "sens restreint" Iju rnot
exemples Qui se rencontrent dans le texte du Trolti Citons-en deux:
Le premier concerne la question des opérations inver::;es, tel1e
qu'e 11 e découle tout naturell ernent de cette nou'v'811 8 hô[ri tude :je
considérer une opération en elle-mêrne, Ijétôctiée de la tll;:,Uère Ô
laquelle elle s'applique.
.---'-
Etant donnée réquat ion:
(d/dx + 0) u =v,
Boole se pose 10 question suivante : y étant donné, comment trouver u
telle Que si on lui oppliQue l'opération (d/dx + 0), on obtienne Y. Ce10
revient donc è trouver l'opération inverse de (d/dx + a). Par conséquent
comme dit Boole, "l'analogie suggère le notation suivonte- :~
u =d/dx + a) - 1 v.
Or, remarque l'auteur, le symbole (d/dx + or 1 ne comporte par
soi-même oucun sens: ce signe n'a d'autre signHicatlon que d'être une
consigne opératoire, l'indication que lorsqu'on applique au résuHat ije
(d/dx + ôr 1 v l'opération directe (d/dx + a), J'on doit retrolJ'·/p
2ème parUe:
56
1'1dentité; en d'autres termes, Y. En effet, la composition des deux
opéra t i on~; e.st
(d!dx of ô) (d/dx + a)-l v = \\/.45
L'opération inverse, c'est-à-dire l'écriture symbolique Qui la
représente, ne signifie donc Qu'une chose: Que l'opération directe la
neutralise. Et c'est là, dit Boole, toute sa définition, toute formelle et
opératoire par conséquent. :
.....c'est la fonction du symbole inverse 1]8 proposer une question et
non de décrire une opération. Il est, dans sa signification la plus
immédiate, interrogatif, non directif- 46.
Si donc .. poursuit l'auteur, l'on considère les trois équations:
1) dO/dxo + Al do- 1/dx o- 1 + ..... + An)U = v
ô vec l 'j nverse ô1gébn que)
3) u =(1/ dn/dxn + Al dn-l/dxn- 1 + ..... + An)v (exécution de l'opération
elles diffèrent quant è leur int.erprétation Mais, 11e l'une ci l'autre. ~;ur
le plan formel, la même relation entre u et 'y' est conservée, "1'anô 1oQle
.---. -
consistant,
comme
toute
vraie
analogie
en
une
similltude
de
relations".47
Le second exemple est de nature légèrement différente. Boole écrit
dans le Tr8ité Que:
-Nous ne pouvons attacher aucune signification directe ô l'expression
Eh.d/dX.Hx), mais que si nous développons cette exponentielle comme
si d/dx était un symbole quantitatif, nous otlt.enons :
Eh.d/ dx f (x) =(1 + h d/dx + 1/1.2 h2 d2/dx2 + etc...) f (x)
=f (x + h) d'ôprès le théorème de TôYlor".48
Nous sommes donc ôtTivés, en tran~;formônt. ~;!drntll=diquernent. une
expression "sans
significôtion", c'est-à-dire selon les procédures
2ème partie:
57
purement algébriques suggérées par l'êcriture exponentielle de cette
expression, è le traduire comme l'image per la fonction f de x plus un
certôin accroissement h. C'est-è-dire Que le réwltat final est .. lui,
interprétable.
Telle est, au total, la généralité maximale du -symboliQue n ou du
-raisonnement symbolique- comme Boole rappelle : l'existence de
formes purement symboliques, c'est-à-dire d'expressions comme
f(d/dx) ou
th d/dx, auxquelles il
n'est pas possible d'attacher
directement une sign1tication;mais Qui, lorsqu'elles entrent dans des
procédures
de transformations
obéissant
à des règles définies,
produi sent
un
résultat
qui
1ui
est
1nterprétôb1e,
possède
une
si gnlfi cat ion.
C'est là une constante dans l'œuyre et mathématique et logique de
Boole que les procédures de l'ôlgèt're portent :::ur des expr-e::::;ion::;
symbollQues désinterprétées, qui ne sont finalement Que les méthodes
symboliques de résolution Qu'elles suggèrent.
L'algèbre, dans cette optique nouvelle .. est déquemtifiée .. car la
notion de gnmdeur où Chôrles Babbage voyait encore la raison de
__ ~'exactitude des mathématiques (l'algèbre arithmétique devant encore,
pour lui, normer l'algèbre symbollQue)49 n'intervient nullement dans
des
procédures
Qui
s'effecttJent
conformément
aux
seules
lois
symboliques de combinaison des signes. Comme le dit George Boole
dans une thèse célèbre: "il n'est pas de l'essence des mathématiques de
s'occuper des idées de nombre et de quantité".50
Du reste, 6 proprement parler, la mathématique n'est plus
définissable par ce Qui en ferait l'objet. Lorsqu'on la pense comme un
pur calcul dans les signes, elle devient véritablement 10 science du
raisonnement en général, du raisonnement formel et déductif. L'époque
,je Boole qui voit la nôissance de l'idée d'algèbre universelle, pour
reprendre l'expression de Whiteheôd,51 conduit ôussi ô voir cette
2ème part fe :
58
albèbre comme la scfence du pur rafsonnement abstraH : en un mot
l'ô1gèbr-e abstrôite pourra ôPPdrelÎU-e carnme une 1agi que uni verse 118
Poursuivant le programme qui fut iniUé pôr Leibniz, Boole, Qui en
cela est bien de son époque, passera donc sans rupture de l'idée Que les
mathématiques scnt la mise en œuyre
d'un raisonnement par les
symboles, à celle Que le raisonnement lui-même est un ensemble de
procé,jures syrnbol i ques. Et c'est. Ijôns sa pratique de môU1érnaticien
d'ôbord que Boole fi rencontré la puissance de ces procédures Qui lui ont
ouvert
la possib'il1té d'une logique mlithématiQue,
c'est-à-dire
symbo1i Que.
Sur le mouvement de l'Ecole algébrique anglaise, au sein duquel les
travaux de George Boole prennent place et s'expliquent, s'est donc
projet.ée l'ombre immense Ije S.W. Leibniz. Que l'on considère la
que~;t.ion de 1ô notation 1or,:q:.!8 ':,on écriture Iju calcul infinit.é::;irc;~: ô
supplanté celle de Newton ou celle du calcul d'opérations que ses
remarques ont initié, il apparaît qu'en de nombreux aspects, le<.:; trôvôw<
de
l'Ecole
anôlytiQue
anglaise
ont
conslsté
ô
dérouler
le:3
déye1oppement.s Que perrnettôit se "pt1i1osophie symbolique"
Cette constatation permet de dire quelques mot.§_s_ur la rencontre -
en donnant à ce mot aussi un sens de hasard - entre les travaux
logiques de Leibniz et l'analyse mathématique de la logique Que devait
mener Boole deux cents ans après le Maitre de Hanoyre.
On saft en effet Que l'algèbre de la logique de George Boole 6
retrouvé bien des élén1ents des travaux logiques de Leibniz bien Que
ceux-ci n'eussent guère été connus de notre auteur. De toute façon, les
travaux de Leibniz où se trouvent exposées ses découvertes proprement
logiques sont restés ,encore une fois, à l'état fragmentaire et souvent
inédits.
11 n'y Cl par conséquent aucune continuité t1i storiQue entre:;es
essôis logiques et l'analyse mathématique de la logique que Boole mena
2ème partie:
59
plus tard.
Il derneure ceperpjtlllt une continuité tout à fellt rèelle Qui est dans
les conditions de possibilité rnêmes de la créôtion de la logique
R
algorithmique: cette ·phlloso'phie symbaliQue
leibnizienne d'où put
naître l'idée d'une mathématisation possible de 18 logique. C'est grâce il
sa transmission à l'Angleterre par le mouvement de l'Ecole analytique
R
anglaise Que, à nouveau, cette Rphilosophie
a corl/juit à l'entreprise
d'écrire en môthémaUcien Rhars des môthématiques·S2 , de recréer
cette ·spécieuse générale· Qui est la mathématique de l'entendement
humain lui-même.
L'analyse mathématique de la logique qu'effectue Boole ô rencontré
les essais logiques de Leibniz pôr ce que l'autodirjôcte, et son époque
ô','ec lui, a retrouvé la manière leibnizienne de penser l'algèbre comme
un calcul ôtlstrôit ô '~'ôleur formelle et rl~pothétiquernent néce':;::;i:lii-e .
une manière qui était au principe même d'une logique algébrique,
al90ri thrni Que.
2e partie:
62
exemple tout llntérêt de cette quanUficotion du prédicat: ·animal
raisonnable· est en effet un exe.rnple de la manière ar-istotélic:ienne
de définir une chose (homme) pôr son genre (ônimal) et sa di ff érence
spécifique (raisonnable). On reste dans une logique de l'inhérence du
prédi cat dans le sujet.
En revanche, dire ·tous les hommes sont tous les animaux
raisonnables·, c'est affirmer l'égalité entre deux classes d'objets,
celle des hommes et celle des anirnaux raisonnables. En (j'autres
termes, le point de vue est devenu résolument 8X!8/Jsionf'lB/(on pense
en termes d'extension des classes), où il ne s'agit plus de l'inhérence
d'un prédicat dans un sujet mais de l'identification de deux
quantités: on quantifie le prédicat autant qu'il est nécessaire pour
l'égaler il la Quantité du sujet.
Bref, l'intérêt décisif de cette quantification du pré,jicôt est
,je ~;ubstituer ci iô fon'ne canonique "S e~;t P" de lô propo~;it.ion
logique, une nouvelle forme éqlJtJ!ionnelle Dès lors ·une proposition
est
sirnplernent. une é'~!.lôtion, une ident.ificôtion, une rnl:;8 en
congruence de deuxnot ions pôr rôpport Ô leur extension- 4.
En outre, cette quantification du prédictlt se présent.e CDmme
une conséquence du postulat fonoÔrrlental sur lequel repose la
réforme logique de la Nouvelle Analytique: la logique doit ·énoncer
explicitement dans le langage tout ce Qui est contenu implicitement
dems la pensée-S.
Ce postulat, malgré sa simplicité qui fait qu'une fois énoncé
il semble aller de soi, aura, pour 18 Nouvelle Analytique, été inaperçu
dans l'ancienne.
Ainsi, lorsqu'il s'aglt de mener l'analyse .du langage, la
formulation
logique
doit
énoncer
de
manière
explicite
la
QUfmtificôtion du prédicat qui demeure implicite dans la pensée Les
limites ôppôrentes du langage ne sont pas celles de la pensée et la
10gique a pour tikhe première d'exprimer pleinement t.out. le contenu
2e partie:
63
de cette demi ère.
Postulat capital: il traduit tout d'ôbord cette idée qu'il y a
ft
une grammaire logique., plus profonde, ·philosophique , pour parler
comme Leibniz, qui est à découvrir derrière la ftgrammaire de
surface- de 10 longue naturelle. Et si elle manque de mener au
préalable une telle opération, l'analyse logique demeurera inaboutie.
En second lieu, ce postulat exprime une certaine idée de la
nôture de la pensée. Chercrler dans le lônWlge lô grammaire lo!~ique
Qui n'apparaît pas toujours clairement en lui, c'est concevoir la
pensée Qui s'exprime dans cette grammaire logique comme un
système de loi s. Pour Ham"il ton en effet, l'absence d'une Quantité du
prédicat dans le lôngage est la preuve Que ce dernier exprime ce Qui
est pensé et non la .manière dont nous le pensons.
En d'autres termes, en lui apparaît la ll.i5tfere de la pensée
plutôt que la lonne qui peut se Ijéfimr COiTiflle "la rnônière ,je
penser- en général et Qui est l'affaire propre et exclusive de la
logique véritable. Pôr là.. la pensée se mônifeste comme un s~stèrne
de lois Que la 10QiQue a pour rôle d'exhitrer afin de définir comme
val ide toute procédure qui est en accord avec ce système
La
véritable analyse logique, celle Qui est menée jusqu'à son terme, est
celle-là Qui reconstruit le langage selon le système des lois de la
pensée.
Avant d'en arriver aux conséquences de 10 Quanti fi cest i on
du prédicat sur le plan proprement opératoire, il faut dire Quelques
mots de son histoire. Cet élément
essentiel
de la Nou,,'elle
Analytique ne fut pas le fait du seul Sir William Hamilton. Elle fut
au contraire l'occasion d'une bruyante Querelle de priorité entre
celui-ci
et le mathématicien
Auguste
de Morgan, chacun en
revendi Quant la pat ernit é-:
Auguste de Morgan, comme Boole un peu plus tesrd, s'étôlt
intéressé il lô lo,~ique en rnôthérnaticien et les trôvôu:>< qu'il
2e port1e :
64
consacrait 8 cette discipl1ne l'avalent mené, entre autres, a ce
principe de la quantlfication du prédicat. W. Hôrnilton, du hôut de se
chaire de Logique et r1étôphysique Qu'il occupait ci Edirnbourg depuls
1ô40, lui a'f'ôit cherché alors une fort mauvaise Querelle, l'accusant
publtQuement de plagiat. Ce Qui n'avait aucun sens pour au moins
deux n'li sons.
La première étflit que c'est en mathématicien, c'est-à-dire
dans un contexte et selon une perspective toute autre que celle dE
Hamilton et en conUnuité avec ses propres recrlerches en algèbre
symbollque Que de
Morgan avait rencontré ce
principe
de
la
Quantificôtlon du prédicat. Et dans le fond, plus qU'un plagiat, c'était
de s'être intéressé 8 lô loqique par les môthématlques Qu'il hôÎssait
vérit6blement, Que Hamilton lui reprochait.
La seconde rôison étôit Qu'à considérer 16 Quantification du
prédicôt en elle-même, irlljépendôrnrnent donc, ôm::;i
que Je fit.
Hamilton, de tout le contexte Qui était au principe de sa découverte
et des perspectives qu'elle ouvrait, ni lui .. ni ,je ~1orgôn n'en étaient d
proprement parler 11 menteur. On en trouve trace tout au 1ûng oe
nlistoire de la logique, y compr-is 6 son origine, et cela Hamilton ne
l'ignorait pas: Aristete lui-même avait envisagé cette question de
la quantification du prédicat même si cela avait été pour aussitôt
l'écarter comme -inutlle et impossible- (AnoJ Prior.I,27.436).
Cette querelle (wait eu pour effet d'attirer l'attention de
George Boole, qui était en relaUon avec de Morgan, sur le lien entre
mflthématique et logique: elle contribua il déclencher la mise en
f orme des questl ons qu'i 1 méditait sur la noti on de -rôi sonnernent
symbolique- et c'est ainsi Que presque en même temps que la Fo/m'JI
Logic
d'Auguste de
Morgan, il
publia en
1847
son
AnoJysE:
r/othérllotiqllB de Jo Logiqt/8.
Dès lors, il se rangeait, dans cette
querelle qui ôvait le sens profond d'une rupture entre la logique des
prli losopl1es
et
celle
,jes
môthémôti ci ens,
du
câté
:je
1ij
2e parUe:
65
mttthemotico-/ogiqtJ8.
Pour mesurer lïmportônce de cette rupture, 11 n'est que de
voir comment Hêlmllton s'est arrêté sôns ôVüir su ou voulu tirer
véritablement toutes les conséquences contenues en germe dans ce
principe de la Quantificat10n du prédicat.
Bien Qu'l1
ait lui-même affirmé le forme désormais
équationnelle de la proposition logique, 11 n'a guère su traiter dans
sô théorie du rôisonnernent les propositions ccrt"nrne les équations
qu'elles
auraient
dû
être.
Car
contrairement
aux
mathématico-logiciens Que furent Boole et de Morgan, il n'a pas su
se donner le symbolisme adéquat Qui eût pu permettre de conduire
les développements ôDpelés pôr la quôntificôtion du prédicat.
Sur ce plan du symbolisme logique employé, il était même
en retrôH par rapport il Quel qu'un comme George Bentham Qui ôvôi t
su véritôblernent e{'/~/rp la pro~Ii)~;ition logique ::;OUS Sô nouvel1e
fom1e d'équation.
George Bentham est un botaniste qui, en 1ô27, quelques ôlmées
,jonc avant Hamilton, dans un ouvrage passé Quasi inaperçu (sinon
Hamilton n'ôurôlt guère soulevé la querel1e du plagiat), lntltulé
Ollt/ine (Jf tt new system of L[lgic.,
avait exposé les huit formes
.---.-
proposHionnelles Que l'on obtenait en Quantifiant universellement ou
partiellement aussi bien le sujet Que le prédicat. Aux Quatre formes
tr8dHionnelles du carré logique s'ajoutaient donc quôtre nouvelles,
l'ensemble constituant selon G. Bentham le tableau suivant:
( 1) X in toto = Y ex parte
(2) X in toto Il y ex parte
(3) X in toto = Y in toto
(4) X ln toto Il V in toto
(5) X ex parte =V ex parte
(6) X ex parte Il y ex parte
(7) X ex parte =V in toto
2e partie:
66
(8) X ex parte Il V in toto
Dans ce tablet)/J} l'égalité entre le sujet et le prédicat.
QUélntiflés tous deux} est exprimée pôr le signe mathématique =, la
différence entre les deux l'est Dar le signe de diversllé Il (signifiant
donc -n'est pas égal o·) ; les mots latins -in toto· et -ex parte- (-en
totalité- et -en partieN traduisent respecti ....ement l'universalité et
)
la
partIcularité. AInsi
par exemple, la
forme
(l)
traljuit
la
proposition -tous les Xs sont Quelques yç, et lô fonne (6) • "Quelque::;
Xs ne sont pas Quelques Vs N •••
A ....rai dire, G. Bentham rejette Jes formes (7) et (8)
estimant Qu'elles redoublent inutilement les formes (1) et (2)
auxquelles elles sont identiques: c'est Qu'en effet, l'adoption d'un
point de ....ue extensionnel manifesté par la quantification du prédicat
rend caduque 18 distinction QualitEltive entre le sujet. X et le prédicat
iyi ; dès lors, entre les formes (1) et (2) ,j'une p,jt-t et le::: fürrn8~: ln
et
(8)
de
l'autre,
les
membres
de
l'équation
n'auront
fait
qu'intervertir leur position de pElrt et d'Elutre du signe d'égalité = ou
du signe de diversité II. Ce rejet est normal côr il est cohérent avec
l'idée même d'une forme équôtionnelle de la proposition logique et
donc- a....ec le choix fait ici du signe mathématique de l'égalité pour
traduire la copule -est- (sont).
Par comparai son, l'on peut mi eux .... oi r en Quoi Hami Iton, dans
le symbollsme Qu'il emploie, est en retrait
par rapport à la
conception éQuationnelle nou....elle de la proposition. Il retrou.... e les
huit formes propositlonnelles de Bentham: Quatre ôffirmôtlves et
Quatre négati ....es Qui sont l es sui ....antes :
(1) les affirmôU .... es toto-totales où le sujet et le prédicat sont pris
uni .... ersellement dans toute leur extension: il donne comme exemple:
tous les triangles sont tous les trilatères.
(2)
Les
affirmatives
toto-partielles
ou
le
sujet
quantifié
universellement est égal au prédicat quôr1tifié pôrticulièrernent..
2e partie:
61
Exemple: "Tous les triongles sont Quelques ffgures·.
(3)
Les
affirml3Uves
parti-totales
où
le
sujet
Quantifié
particulièrement est égal ElU prédicat pris universellement. Exemple
: "Quelques figures sont tous les triangles·.
(4) Les affirmatives parti-partielles où le sujet comme le prédicat
sont Quantif1és particulièrement et sont égaux. Exemple: "Quelques
triangles sont Quelques équilatères".
(5) Les négatives toto-totôles où 18 sujet pris universellernent dans
toute
son
extension est
exclu
du
prédicat
pris
lui
aussi
universellement dans toute son extension. Exemple: ·Aucun triangle
n'est aucun carré·.
(6) Les négatives toto-pôrtielles où le sujet pris universellement
est exclu d'une partie seulement de l'extension du prédicat. Exemple:
"Aucun triangle n'est quelque équilatère".
1,'."7),
Les
•
negô t·Ives
part· t
1-.0t 1
ô/es
ou
1
e
"
sUJe t
'r'"
QuantI le
particulièrement est exclu du prédicat pris universellement dans
toute son extension Exemple: "Quelques équilatères ne sont aucun
tri angl e".
(8) Les négatives parti-partielles OIJ le sujet pris pôrticulièrerrlent
est exclu d'une partie de l'extension du prédicat. Exemple : "Q~l14ues
r
triangles ne sont pas Quelques éQUilatères·.
Bien Que dans cette typologie ainsi établie le signe
mathématlQue = semble aller de SOl pour traduire l'égalité} Hamilton}
en un symbolisme tout il fait étrange} lui préfère le signe ..... où
l'extrémité 16 plus large est tournée du côté du sujet et la pointe du
côté du prédicat. De 16 même manière} la diversité s'exprimera par le
signe ~
Cette écri ture conserve encore une di ff érence Qual itatl "le
entre sujet et prédicat alors Que par définition même d'une équation}
c'est-à-dire du fait de 18 commutativité de l'identité} rien ne devrait
''l'enir irl ljiquer une telle différence C'est là le signe qu'ult.irnement la
2e partie:
68
logique de H6ml1ton ne pense P6S véritablement, Quoi Qu'il en dise,
les propositions comme de pures équations Et cele StlnS dout.E' petree
que (eût été 1a voi e ouverte dans 1e damôi ne de 1ô 1ogi que ci une
sei ence des équaf.j ons : l'el gèbre.
Il reste toutefois Que la nouvelle conception équationnelle
de 18 proposltion logique permet des développements lmportônts.
Entre autres, per exemple, 18 simplification qu'elle introduit dans
i'opérôtlOn logique classique de conversion Ijes propositions.
Il s'agit, on le sait, il partir d'une proposition ,jonnée..
d'obtenir par une inférence imméd18te, une proposition nouvelle où
les sujet et prédicat de la première auront permuté leurs rôle et
place. La nécessité de tenir compte de la quantification du sUJet et
de
la
qualité
de
la
proposition
a
convertir
conduisôit
trôditionnellement à distinguer différents types de converSlOns
s/l?ipI81or-squ'i1 n'y avait rien il chônger- ni ô 113 Quantite m a 1.]
qualité de 16 proposltion (exemple d'Aristote, An Pr.I,2 : -nul plaisir
n'est un bi en" se convertil s/mrr/e.mp!lt 011 encore p8rf r..9ite"l1?p/:-! en
"nul bien n'est un plaisir"), ou por 8cr}o'erJt lorsque la proposltlOtl
devait changer de Quantité (exemple: si tout p1liisir est un tJien.
quelque bien est un p1alsir).
Or, lorsque désorm81s, avec 18 Quantiflc8tion du prédicat où
ce dernier est Quantifié aut8nt Qu'il faut pour être égal 6 l'extension
du sujet, l'opérat1on de converslon repose sur 18 propriété de
commutativHé
de
l'identité,
toutes
les
différentes
formes
proposH i onnelles admettront une conversi on si mp 1e. C'est 1ri un
exemple de l'8v8nt8ge il penser 18 proposHion comme une équation,
et qui préfigure ce que ser8 18 logique lorsqu'en outre la théorie du
raisonnement ser8 étudlée véritablement sur le modèle d'une science
ôlgébrique des équations. Il el appartenu il George Boole d'act"lever de
cette
manière
en
une
algèbre
de
16
logique
les
nouveaux
déve1oppements
ôpportés
en
cette
sei ence
pôr
1ô
Nou'",'e 11 e
2e parUe:
69
Analytlque.
B. Lô notion d'univers du discours
Pour penser le rôisonnement logique sur le modèle d'une
science des équations, 11 restait encore 0 pouvoir obtenir une forme
éQuationnelle homogène pour tous les types de propositions. Or, une
telle homogénéité et une telle simplicité ne pouyaient guère être
etteintes tant qu'à côté des véritôbles équations propositionnelles
que sont les affirmatives, subsistaient des propositions disant la
dHférence, la diyersité : les propositions négatiYes.
Encore une fOlS donc, concernant la notion de négation, 11
fallait remettre en chantier l'ônalyse logique du langage et la
pousser plus loin que la grômmaire de surface Qui se rencontre ôu
prernier ôbord. Cette réflexion sur ce Que signifie nier une
propo~;ition senj le fait lj'Auguste ,je Ivlorgôn et serô au principe de id
création par lui du concept capital en logique algébrique d'·uniyers
du discours".
"La copllle - vieille actrice toujours un peu susceptible -
demande (aux logiciens) : ~est-ce moi qui prendrai le "ne pas", ou
dois-je le lôisser au prédicat?" C'est bier.l6-t:juestion en effet dont
on reconnaît sans peine qu'elle est iCl posée par Lewis Carroll 8.
Au grand dépit de la copule, Auguste de Morgan ayait déjà
répondu que le prédicat prendrait la négation. Ainsi, donc, au lieu de
dire négatiyement que Nul X n'est V, l'on dirait, sous une forme
ôffirmative, Que Tout X est non-V et de cette manière la logique
n'aurait plus affaire qu'il des propositions affirmatives.
liais Qu'est-ce que cela veut dire, non-Y? En d'autres termes,
en
une
écriture
non
littérale,
qu'est -ce
Qu'un
·non-homme",
expression qui 8pparaît comme totalement étrangère au langage
ordinôire ? A nouveau fonctionne ici le postulet qui veut Que 18
logique ne soit pas asservie aux fonnes ôctuelles du lôn1]age
2e partie:
70
ordinaire, Qu'elle sache eller au-delo des limites de l'expression
langagière courante pour exprimer en sa tot.a1ité le contenu même de
18 pensée.
Elle découvre ainsi Que tout terme fi toujours, dans la
pensée, un négat if. même s'lI n'exi ste pas de nom Qui 1ui corresponde
dans le discours ordinaire et qU'un nom en général, Quel Qu'il soit.,
divise les êtres en ceux qui ont les qualités qu'fI dénote et ceux qui
en sont dépourvus. Par conséquent, "positif" et. "néqôU r" ,je',,!] ennent
totalement relatifs, un terme quelconque étant toujours négôtif
relativement 8 son contraire: "homme" est aussi bien le négatif de
"non-homme" que 1'i nverse.
Et de Morgan d'illustrer ce point, non sans hurnour, pôr une
image géographique: si nlémispl1ère Nord était dans sa totalité
continent et J'hémisphère Sud océôn dans sa totalité, dirait-on
plutôt que le Nord est une île ou que le Sud est un lôc ? Une te;):?
Question, ajoute-t-il, provoque autant de perplexité qu'en connut
rêne de Buridan 9
Il manque cependônt, il ce poi nt -ci ,je 1ô réfl eXlOn sur 1es
termes négatifs, de lever l'indétermination que dénote un norn
négatif comme non-homme. En effet} Aristote déjà avait envisagé
cette Question de la Qualification négative des concepts, mais l'avait
aussitôt écartée en raison précisément de l'indétennination qu'elle
introduit: "non-homme" est n'importe Qui et désigne aussi bien des
êtres non humains Quelconques que des non-êtres; c'est un nom
totalement indéfini et, au bout du compte, la pensée d'une tell e
i ndéfi nité n'est plus qU'un néant de pensée.
Mais J'on pourra répondre 8 cela Qu'il en est de ces termes
privatifs comme de concepts d'''jnvertébrés'' ou de "non-blanc". QUl ne
pense
en
effet
que
loin
d'être
le
nom
de
n'importe
quoi,
"in-verbebrls" est aussi précis Que "vertébrés" et dénote, dans la
partition des animôux en deux classes désignées pôr ces terrne~;,
2e partie:
71
rune de ces classes? Quant ft "non-blanc·, et pour prendre un exemple
actuel, s'il est vn~i Qu'il peut s'appliquer 8 n'importe Quelle chose
réelle ou idéelle Qui n'ait pas le couleur blanche, il devient d'une
précision terrifiante lorsqu'on se place dans J'univers Dfirticulier de
l'apartheid et de la ségrégation raciale.
Tout est donc fonct.ion de J'·univers· dans lequel on se situe,
c'est-à-dire de ce dont on parle. L'usage de termes privôtifs ne sera
dès lors plus l'introljuction en logique de l'irnpensable indéfini
comme le croyait Ari stote, mai s présuppose l'exi stence d'un uni vers
du discours dessinant les limites à l'intérieur desquelles ils seront
aussi précis Que les termes ·positifs· Qui leur correspondent.
Ainsi, à tout concept correspondra, sinon Ijans le langage, en
tout cas dans la pensée, son négatif, et le
couple ainsi formé
épuisera la totalité des êtres qui composent l'ensernble au sein
Ijuque 1 on parI e, l'uni vers du di :;cours. A proprement parl er, cett. e
notion d'uniyers du discours n'est pas inscrite dans la logique même:
présupposée nécessôire de cette science, elle est extrôlogique et.
Ijessine de l'extérieur les limites de l'ensemble de choses dont II est
Question. Comme dira plus tard J. Yenn, un successeur de Boole, elle
appartient,
plutôt
Qu'à.fa- science
logique
elle-même,
à ses
-Pro1égomènes· t O.
L'on yoit l'analogie Qui existe entre -l'univers du discours· de
De Morgan et le concept moderne d'ensemble universel. Ainsi le
négat if d'un terme apparaît comme ce Qui dénote le complémentaire
d'une classe donnée, désignée par le terme posHiC par rapport à
l'univers du discours. Dans son symbolisme, Auguste De Morgan
utilise les lettres majuscules de J'alphabet pour désigner les termes
·positifs· et les mêmes lettres, mais minuscules, pour désigner les
termes ·privatlfs· Qui leur correspondent. Si X désigne 16 classe des
"hommes", x désignera celle des "non-hommes u
la réunion de X et x
;
constituera l'univers du discours tôndis que leur intersection ou
2e partie:
72
produit logique sera 16 classe vide: Xx =o.
Au total, avec l'usage ré'Jlé des termes négôtifs grâce ô
J'Introduction Ije la notion d'univers du ,jiscours, l'int.rôditionnelle
copule
de
la
proposition
logique
classique
pe~t se traduire
unf ormément par un si gne d'égal Hé dans 1a nouvelle concepti on
équôtionnelle de la proposition.
Celô n'est pas sans ôvoir des conséquences importantes que De
1"1orgôn envi sôge dans une réf! exi on sur 1e sens f ülTne 1 de 1ô copuJ e
La question Qu;i1 adresse il la copule, et qui est instruite de toutes
ses réflexions: mathématiques sur le symbolisme algébrique, est
celle des propriétés formelles de cette copule Qui permettent la
1i ai son des proposit i ons en rai sonnernents.11.
Ce Qui donne ri la copule ce caractère d'être le moteur du
rai sonnernent, ce n'est pas son sens ("être" se di t en des sens
convertibilité (nous dirions symétrie) et de transitivité.
proposition, toute l'opération repose sur la propnété de s~métne Ij8
la relation entre sujet et prédicat; de la même manière, le moteur ,ju
syllogisme classique est dans ceci, que si A est en une relation
.---'-
donnée avec f3 et B dans la même relation avec C, lorsque celle-ci
est
•
transitive, A et C sont dans la même relation.
Cette façon de voir
fi 10 conséquence importante de rendre
manifeste Que la copule n'est pas seule il posséder ces propriétés
formelles de symétrie et de transitivité. En particulier, l'égalité Qui
les possède aussi vaut formellement pour copule, ce Qui justifie
plelnement, c'est-il-dire
formellement,
le
choix d'une écriture
olgébriQue de la proposition logique, et constitue un pas en direction
de l'algébrisation de cette discipline.
Une autre conséquence, non rnoins important.e.. est l'abôrlljon de
la t.rôdition qui consistôit il vouloir réduire t.oute proposition Iju
2e partie:
73
langage
â le forme canonique S et P. A côté des copules
-convertibles", c'est-à-dire symétriques, existent de pleln ijro1t des
copules non convertibles du genre "est plus grand Que", "est le père
den qui commandent un autre traitement: c'est ainsi Que nÔQuit une
logique des relations et que fut possible un syllogisme de 18 relation
dont le syllogisme classique où la relation est symétrique, n'était
plus QU'un cas particulier.
Point de vue résolument extensJOnnel et conception
équetionnel1e de la proposition logique grêce 6 la quantification du
prédicat; effacement de la différence dans récriture éQuetionnelie
des propositions affirmatives et des propositions négatives grâce ô
la possibilité d'une QuôlificaUon néqôti',Ie du prédlcat lui-rnêrne :
autant d'éléments qui ont prépôré le rencontre de l'algèbre nouvelle
et de la logique réformée en ses fondements.
Celle-ci n'est plUE; J'affaire des seuls logICIens
trôditionnels Que sont les philosophes : elle intéresse aussi les
môthémôticiens
acquis
à
l'idée
d'une
infinité
,j'ôlqoritrlrnes
algébrlQues possibles, pôrmi lesquels l'algorithme logiquel~ C'est
là sans doute la raison d'être de cet ôyertissement de Sir William
Hamllton, ltôtTt l'aversion pour les mathématiques est restée célèbre:
-Les mathématiQues ne sont en aucune manière une voie
conduisant à 16 logique, Que ce solt à la logique spéculative ou ô la
logique pratique. Que dis-je? Il fout se louer SI les mathématiques
C..)ne ruinent pas positivement les habHudes de raisonnement de
celui qui les cultive. Le phllosophe doit avoir quelque connaissance
de leur objet et de leur méthode, mais il ne doit s'y ôdonner qu'ôllec
modération et précaution. Un m6thémoticien en matière contingente
est comme un oiseau de nuit en plein jour- 13.
George Boole sera cet oiseau de nuit en plein iour.
,
,
,
1 ~:(
..;
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i \\ : i f.,:
..--. -
3epartie:
75
1. la reconstruct j on symbolique du langage
Au début du second chapi tre de son œuvre ma itresse .. Les
L(lis de 16 Pensée., Boole écrit:
"C'est une vérité génén~lement admise Que le langage est un
instrument de fa raison humaine, et non Des simplement un moyen
,j'expression de la pensée, (J Ou'est-ce Qui rend le lônqôqe docile
510 plus importante de nos facultés intellectuelles?" 1.
Cette interrogation opère un véritable recentrage de la
Quest ion du rapport entre Logique et Langage dans le sens de la
démarche qui est la sienne: celle d'une construction d'un Calcul ,ju
rai sonnement.
L'analyse logique du langage qui sera menée en effet, évitera
ainsi les questions qui trôversent la trô,jaiûn de lô phl1o::;opI"Jle iJ·.;
langage et consistant par exemple à se demander ·si le langage doit
être considéré comme un instrument essen/leI du rôisonnernent ou
s'il nous est possible, au contraire, Ije raisonner sôns lui" 2.
Il s'ôgit pour Boole Ije circonscrire If! r-éflexion sur le::;
si gnes l ogi Ques à 1'i ntéri eur d'une démarche posi ti ve Qui en exhibe
les lois et Qui écarte donc les Questions -philosophiques· auxquelles
elle n'a Des â répondre, tout eu moins dans la phase de reconstitution
de l'out11 du raisonnement comme système symbolique.
Cette position, nettement aff1rmée dans Les Lois de It
Pensée.. ne l'avait pas été sept ans pl us tôt, dans L'AllolySt
l1othe./nQtlJiqlle de. 16 Logiqlle où l'auteur, après avoir écrit Que "la
théorie de la logique était intimement liée â celle du langôge" 3étaH
revenu sur cette thèse dans un post scr1ptum à cet ouvrage pour
déclarer Que "le langage est un instrument de la logique, mais non un
instrument indispensab1e",4
C'est que si le systèrne de lois et de procéljures lo jiqU8::;
'
3e partie:
76
demeure essentiellement, d6ns le second ouvrage, ce Qu'il était dans
le premier, la démarche symbolique .. dans LpsL{I/s de/ô n::'/;'5',Dt·
f"nCJrie" par "des années d'études et de réflexlOn" 5., est devenue plus
consciente
d'elle-mêrne.
Et
pour
ce
Qui
concerne
plü::.
particul i èrement
le n~pport entre Logique et LEmgage,
cette
démarche consiste avant tout à comprendre l'expression du -Langage
comme instrument du raisonnement- dans le sens strictement défini
Délimiter ainsi Tusage strict du 1ôngJ:lge comme instrument du
raisonnemene fi , débouche sur un double constat.
Premièrement, le langage ôpparliÎtra dès lors comme un système
de lois qui sera l'équivô1ent formel de celui auquel obéissent le::;
opérat i ons de 1ô pensée : lorsque nous ét udi ons les loi s des si gne::: ou
lorsque nOLIs établissons celles de nos conceptions mentales., l'otlJet
rf"t·"je
r.r·t·
le
t··e'fr1e
C-I'r·t~r-'--
-iF'
... I:! .... I
.
r:.:.
1·
fi.
~'~;:. I:! dt'
1.; •.
lojs
vu
de deux
rnônlères
différentes.. de l'extérieur pour ainsi dire dans le premier ca::: .. de
l'intérieur Dour le second. Du point ,je vue de~; 101-:: fot-rneJ18:':; qu: 1:::
organisent en s~stème, la pensée et le lengage sont trlÏroirs l'un ije
l'autt-e.
Le second constat est le sUlvant : du fÔlf que les "lois de lô
pensée- sont communes et universelles,
il découle Que "les
innombrables langues et dialectes de la terre ont préservé, â travers
les âges,
des éléments
communs
et
universels" 7,en
tant
précisément Qu'ils sont l'expression de ces lois de 18 pensée.
C'est ce Qu'il y 8 de -commun et d'uni verser derrière l'infinie
diversité empiriQue des langues naturelles Qu'il s'agit de dégager et
de mettre en lumière dans une reconstruction symbolique du lôngôge.
A. Les lois des signes
3e plirtie :
77
Boole commence par déclarer que les éléments dont se compose tout
langage sont des ·signes ou des symboles· dont les propriétés sont
regroupées dans la définition suivônte :
"DéfinHion
:
Un
signe
est
une
marque
arbitraire,
dont
l'interprétation est fixée, et Qui est susceptible d'être combiné il
d'ôutres signes conformément à des lois déterminées dépendant de
1eurs in terprétati ons respectl ves ." 8
De J'arbitraire du signe linguistique, dans cette définition. il
retient la conséquence, capitale pour la constitution de l'écriture
symbolique des éléments de la logique, Que "rien, dans la nature du
langage· ne s'oppose à ce Que nous employions, à la place des signes
que sont les mots du langage, "de simples lettres" 9.
Et, en second lieu, cette "définition" reprend l'affirmation Qu"'il
existe cerü"ins principes généraux qui trouvent leur fondement àans
lô nature même Iju langage et qui Ijétennlnent l'usage des :3~rntlo18::;
qui
ne
sont
rien
d'autre
que
les
éléments
d'un
langage
scientifique" 10 .
Dès lor-s, toute la Ijémarche vô consister dans l'exrlibition et
rétablissement de ces principes premiers. Mais elle devra d'ôtlord
s'interroger sur la nature des symboles dont ils déterminent l'usage
A ce point, Boole adopte la procédure Qui consiste à d'abord
produire le résultat d'une classification des signes du langage
logique en tant que U1angage scientifique· 6vant de le justifier en un
commentaire qui s'appuiera sur l'analyse du langage ordinôire.
Celui-Cl est donc convoqué après coup, après l'énumération des
symbo1es logi Ques qui est donnée en la proposition 1 de ce chapitre Il
des Lois 08 10 PenseE!., la première de l'ouvrage:
"Proposltion 1 :
Toutes
les
opérations
du
langage.,
en
tant
QU'instrument
du
raisonnement, se peuvent condui re
dans un système de si gnes
composé des éléments suivemts :
3e parUe:
78
l. Des symboles littéraux, tels que x, Y, etc.,
représentant les
choses en tant Qu'ob.i ets de nos concept ions.
2. Des signes d'opérations, tels que +, -, X, qui trôdui~;ent le~
opérations de l'esprit pôr lesquelles les conceptions des choses sont
combi nées ou séparées de mani ère 6 former de nouve 11 es conce~lt ions
comprenant les mêmes éléments.
3. Le signe d'1dentlté, =.
Et ces syrnt10les logiques VOlent leur usage soumis ci ,jes lül~;
déterminées., Qui en partie s'accordent et en partie ne s'accordent
pas allec les lois des symboles correspondants dans la science ,je
l'algèbre·. 11
Cette énumération se Justifie, selon Boole} lor~:;que l'on
considère la classification des signes linguistiques selon les t.rois
grôndes rutwiques suivantes:
qui comporte les substantifs, oussi bien Que les adjectifs, du
lôngôge ordinait-e. Ce sont. ces éléments ,ju langage que repn?~;ent.ent.
le:: ~:;!jrnt'oies litterôux x., y.. z.. etc. dont parle la Proposition 1
La différence qu'étonlit le langage ordinaire entre les
substant lfs et les adjecti fs est réduite, sur le plan de la logique,
grâce à l'introduction de l'élément 1inguistique ·chose· ou ·être· dont
800le nous dlt qu'il est ·unillersellement sous-entendu·. "Chose· ou
Mêtre· 1I0nt fonctionner dès lors comme un opérateur du langage qUl
transforme un adjectif en un substantlf : l'adjecUf -fluide" pour
Boole n'est rien d'autre que la classe des ·choses ou des êtres
fluides".
Notons que dans l'affirmation booléenne Que ·chose· ou "être·
est ·universellement sous-entendu·, on retrouve ce postulat de 18
Nouvelle AnfJlytlque selon lequel l'analyse du langage dans le but de
constHuer la logique se doit touJours "d'énoncer explicit.etTlent ce
3e portie :
79
Qui demeure implfclte dans la pensée-, C'est-à-dire Que s'11 est
1égit i me
d'objecter
que
!jôns
l'usôge
Quoti di en
du
1ôngôge
l'expl-ession "l'eau est fluÏJje" n'équivaut pas è "l'eau est une chose
fluide·,l1 est ici d'avance répondu à cette objection Qu'en tant qu'il
est
instrument
du
rôi sonnement
1e
1angage
1. i ent
ces
deux
expressions pour éQuiv81entes : dans le langage de la logique,
l'épithète n'ô plus véritablement de foncUon ottri!llltiv8(accordant à
l'eau la qualité d'être fluide) malS une fonct.ion séiP(·lh-Jp\\consist.ant
à dire Que l'eau fait partie des choses fluides).
Si nous représentons maintenant par x une classe d'individus
désignés par un même nom dans le langage ordinaire, pôr exemple
"]es hommes·, et de la même rnônière par y., la c1ôs~;e ,jes "choses
bonnes" on représentera
symboliquement pôr xy la classe des
in,jividus qui sont à la fois "!iornrnes· et "bons"; en d'ôutres termes.
:~y représentera "les l'wrnrnes bons", De rnême, si x est lô clas,:;e des
·moutons·, y celle des ·choses blanches· et z celle des ·choses à
Cette juxtaposition des s~rnboles .. qui est une rnônière
hôbituelle
en
môthémôtiQues
d'écrire
le
produit,
traduit
une
opératlon
de
l'esprit
dont
l'équivalent
linguistique
est
l'accumulation
-des
épithètes
descriptives
pour
produire
une
définition plus précise- 12 0
Il est désormais possible de s'interroger sur les lois de cette
opération Qui est le produit logique des symboles littéraux, Il est
alors visible Que l'on peut poser
xy = yx (1)
et trouver dans le langage ordinaire des exemples Qui Justifient
cette première de la loi de la Pensée, selon laquelle Tordre dans
lequel les symboles lit ténwx se suivent et indHfèrent" 13 C'est bien
une loi de la pensée, précise Boole, et non une loi Qui serôit inscrite
Ijônc-
1- ,..,
r'h 0"'0"'" C'
-11 -,... r-' ~ r0ee'
)-. e] ] Ü'~ -l~ J'
ri -'li' ""'1'
f- '.
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J- r-r-Ir\\'-, ,-.,:. r-
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~ .:' - ! II:' ri '0',
1
f- ,_, .:. '.'
'..J J_,
o ' '
\\ . .
' : "
3e partie:
80
contralre un ordre. par exemple chronologique. des tütributs Qui leur
sont prélji Qués.
En second lieu, 600le fait la remarque qu'ô cûnsiljérer cette
loi de 1El Pensée, il peut se reposer ici 18 Ques ti on de 18 di ff érence
linguistique entre un substantif et un odjectif. Si, en effet,. le
langage ordinaire ne répugne guère 6 changer l'ordre de succession
des épithètes, 11 n'en Y8 pas de même lorsqu'il s'agit d"intervertir les
~tlôces du sutlstôntif et de l'attnbut.
La réponse de 6001e consiste., à nouveau, au nom du langage en
tant Qu'instrument du raisonnement. à faire violence aux habitudes
linguistiques ordinaires et B puiser les exemples pouvant justifier
l'inversion du sutlstôntif et de l'adjectif dans l'usôge... poétique du
langage. Voici que les inversions poétiques" dont récriture ,je f11lton
fliit un usôge aussi heureux Que constant, sont moins l'écf:lrt pf:lr
niDport. au li:mgôge courant par quOl l'en-t poétique dèflnït le ::·t.!dle.
Que l'indice d'une plus grande proximité aux lois de l'esprit dont la
t , 11
.
t ' l '
,
,14
prose.. quan a e, e.. ses e olgnee .
En dernier lieu, l'analogie avec le symbolisme algébnque
permet Ije défInir cette loi en disant comme Boole "que les 5!-lmboles
1it téraux x,y,z-sont commutatifs n ou comme l'on dirait plutôt de nos
jours :le produit logique est commutatif. Il est donc fait mention
explicitement. de l'analogie entre la multiplication algébrique et le
produit logique. Que signifie cette analogie Qui sera constante tout
au
long
de
la
constitution
de
la
logique
symbolique
?
En
elles-mêmes, c'est-il-dire par nature, les deux opérations n'ont rien
de
commun;
simplement.
leurs
expressions
symboliques
sont
soumises il la même loi formelle commutative.
L'on peut poser une seconde loi concernant les symboles
littéraux logiques et leur produit lorsque l'on considère le cas où x
et y ont la même signification. C'est-à-dire Que l'on Bura
xy =x,
3e partie:
81
Qui peut encore s'écrire
xx = x
Il
est tl1or-s posslble d'utiliser la manière rlôbituelle
mathématique d'ôbréger l'écriture de xx en 'i et d'exprimer cette loi
sous la forme
De cette ·loi des indices· (index law), Boole déclare Qu'elle
e::;t la "loi fonc!ôrnentôle" ,je son slJ~;tèrne
'-'
L5 C15SS8 /~ nous dit Boole, est constituée ·des siÇlnes
traduisfJnt les opérations mentales par lesquelles nous réunissons
des parUes en un tout ou séparons un tout en ses portieS-,15
Ces signes sont donc +, -" X comme il était dit dans la
Proposit i on 1. x traduit 1e produit l ogi que dont nous ayons dé j il parl é.
+ représent.e l'usage Que nous faisons Ijes conjonctions "et" et "ou"
contraire, l'opération inverse correspondant aux mots ·sauf- ou
"excepté- :::e trôduit pôr le si gne -
Il Vlent donc que si x représente "les hornrnes" et ~ "les
femmes", on traduira symboliquement "les t'Jommes et les femmes"
par x + y. De même, lorsque x représente "1 es humai ns' et y 1es
.---' -
·AsiatiQues·
x -
y traduira -les hommes il l'excepUon des
AsiatiQues-.
Une particularité remarquable du système booléen est Qu'il
s'interdit d'écrire le signe + entre des classes non disjointes. En
d'autres termes, il fait le choix d'une signification exclusive de ·ou-:
-A parler strictement,
·et-, ·ou· placés entre des termes
décrivant deux ou plusieurs classes d'objets supposent que ces
classes sont tout à falt distinctes, de sorte Qu'aucun élément de
l'une ne soit contenu dans l'autre" 16.
Le plus curieux est Qu'il affirme fonder un tel ctloix ~;ur un
3e partie:
82
l'usage ordinaire du langage, semble plutôt entendre "ou" dans un
sens inclusif, il maintient Que le signe + disJoint véritablement les
part ies Quï 1 est chargé de réunir en une nouvelle totôlite. A nouvfi3U,
il est fait violence à l'usage ordinaire du langage au nom du fait
logique Qui est ici l'esprit d'une analogie entre le syst.ème logique et
l'algèbre.
C'est 1orsQùï l transcrit symbo 1i quement un "ou· exc 1usif
que le si gne + 1agi que est EJnô 1ogue au même si gne ô1gébr-i que u~:;u21
et Qu'en pôrti cul i er, l a duel ité entre les opér-ôti ons + et - ôppôrô il.
Ainsi, s'il impose à "ou" une significat10n exclusive, c'est Min Que de
i1 s'ensuive Que
z =- x - y,
c'est-ô-dire la classe des éléments qui ôppôrtiennent a x ::;ôn~:
ôDPôrteni
.
r à ~.
~
Cette analogie formelle entre logique et algèbre usuelle est
encore visible ,jans les lois logiques suivôntes :
ô)
x + y = y + X (3)
b) Pour le signe -, Boole déclare Qu'en ce Qui concerne les finôl1te~::
---e-ssentielles du raisonnement (Qui ne sont donc pas l'usage élégant ou
ordinaire du langage) l'on peut parfaitement écrire la loi
x - y =- y + X (4).
c) En représentant par z l'adjectH "Européens·, par x "les hommes" et
par y -les femmes-, l'on dit bien la même chose par l'expression -les
Européens hommes et femmes" Que par "les Européens hommes et les
Européennes femmes". Ce Qui se traduit par la loi
z (x + y) =zx + zy (5)
d) De la même manière on écrira une dernière loi
z (x - y) =zx - zy (6)
(3) et (4) expriment des propriétés de cornmutôtlvité, (5) et (6)
celles Ije distributivité, comme en ôlgètJre onjinaire .. Iju produit
3e partie:
83
logique par rapport 6 10 somme et à la différence logiques.
L~ c/6"sse III, si l'on se reporte 8 la Proposit ion 1 des Lois de /L~
Pelis§e, comporte le seul -::igne de l'identit.é ::. Elle est, nous dit
Boole, celle des -signes Qui expriment la relation et élU rnoyen
desquels nous formons des propositions-. En Ij'autres termes, elle
contient en droit tous les \\o'erbes du 1engage, c'est -à-dire les
éléments linguistiques par lesquels nous mettons en liaison des
concep ts pour ôffi rrner ou ni er une re 1ôt ion
püur enoncer un
jugement.
Ici, Boole retrouve une démarche qui fut déjà celle
d'Aristote, ramenant tous les yerbes à la seule copule -est" ou -n'est
pas", C'est ainsi Que pour Aristote la proposHion "les hommes
marchent" se ramenait il celle-ci : "les rlornmes sont môr-chônt",
transformation Qui ne fait pas violence .. comme en frônçô1s pôr-
exernrd e. ô 1ô 1.:mque qrecque De 1ô même rnôni ère, Boole rôrnène 1El
' .
.
~
~
proposition ·César conquit les Gaules· à la forme -César est celui qui
conquit les Gôules- Ainsi, 6Dole s'inscrit dôns la tradition classique
qui 'v'eut que la forme cônonique de toute proposition' soit S est P
même 51 désormai 5 cette forme est devenue éqLJôti onne Il e.
Ce qui YÔut pour une équation ô1gébri que yôudnr'ôljssi pour
une équation logique, c'est -à-dire que si
x =y + Z
exprime la proposition ·les éto11es sont les sole11s et les p1anètes-,
on pourra en déduire Que
x - z = y,
c'est-à-dire ·les soleils sont les éto11es à l'exceptlon des planètes·,
En d'autres termes, comme en algèbre ordinaire, on peut
transposer un terme d'un côté à l'autre du signe d'égalité, dans une
équat i on, à condit i on de changer son si 9ne. Il .....i ent aussi Que l'on
peut aljdit i onner ûu soustrôi t-e membre fi membre des équations, ou
multiplier les rnerntlt-e,:; Ij'une équôtion par un mêrne tenr:e DO!K
3e partie:
84
obtenir de nouvelles équations. De l'égalité
x = y
il vient
zx = zy,
z représentant une closse Quelconque.
Au total, dans cette reconstruction symbolique du langage
qu'i1't'ient d'opérer par cette classification .. Boole s'est donné, pour
transcrire les propositions logiques, l'écnture qui lui est fôrniliè.(f,
de l'algèbre ordinaire. Celle-ci le conduit à sïnterroqer sur le
traitement de ces propositions selon le modèle de la science
al gébri Que des équat ions.
La classification des signes du 1,'jngôge est ôinsi achevée
pour Boole qui affirme que tout autre élément du langage Qui
n'apparôÎt pas dans l'une des troi s cl asses constituées devn:ll 1.
alors une modification tout 8 fait inessentielle 17.
A
ALe pronom p~tr exemple "peut être considéré cornrne une Tarrne
particulière du subst.antif ou de l'ôdJectif" tôndis que l'ôlj'y'erbe ne
fait que "modifier le sens du verbe sans en ôffecter la nature" et que
la fonction ultime des prépositions est de "préciser le sens des
symboles littéraux· 18.
Quant aux éléments du langage qui expriment les différentes
modalHés
de sentiment
ou
d'état
d'esprit
Qui
accompagnent
l'énonciation d'une proposition, 11s sont, déclare Boole, étrangers au
champ propre de l'entendement, c'est-a-dire de la faculté de
raisonnement, et par conséquent hors du domaine de la logique.
Demeurent cependant certai ns él éments li ngui stiQues comme
·si...a1ors·, ·ou bien...ou bien·, et ·ou· dans certains de ses emplois,
dont la classification établie ne rend guère compte. Ces éléments se
rencontrent dans des propositions comrne "si le solell connaît une
éclip::e t.otô1e} ôlors les ét.oiles seront vi::ible:;", ou e.ncore "ou le
3e partie:
85
sole11 brillera ou la promenade sera remise·, etc.
Avec de tels exemples, dit Boole, nous ne sommes plus dans
le
domaine
des
"propositions
prirnclires·
pour
lequel
cette
classification était suffisante, mais dans celui des "propositions
secondaireÇ où interviennent ces connecUons linguistiques. Que
signifie cette distribution?
La proposition logique, explique G. Boole, exprime une relation
hommes sont mortelÇ) ou entre des faits (Téclipse du soleil- et "la
visibilité des étoiles· dans l'exemple ci-dessus); et l'on comptera
comme relation entre des faits 1es affirm6tions d'existence ou de
vérité :" Nous exprimons les r-elôtions entr-e
choses. par des
pmpositions
primaires.f1ais
nous
pouvons
aussi
faire
des
propositions elles-mêmes l'objet de la pensée et exprimer des
une proposition secondaire" 19.
En d'ôutres termes .. le calcul booléen des propositions primaires
est ce que nous appelons un calcul des classes quend le calcul des
Propositions seconljaires est ce qui correspond ',Iéritablernent ô
notre calcul moderne des propositions. Mais) on Je verra, il ne s'agit
pas là, dans le système booléen, de deux calculs différents, sur le
plan formel. Ils entretiennent en effet une ·analogie si étroite et si
remarquable" que formellement, il n'y 6 en vérité qu'un seul calcul
qui s'interprête aussl biencomme un calcul des classes que comme
un calcul des Propositions.
Dès lors) la reconstruction symbolique du langage s'est achevée
lorsqu'ôvec l'écriture symbolique anôlogue à celle de l'algèbre
ordinaire, Boole s'est donné l'alphabet de toutes les opérations de la
faculté de raisonnement.
Ei Les lois ije~; conceptions rnentôles
3e partie:
86
"En étudiant", di~:ôH ,jonc Boole, "les lOlS ,jes signes", ce sont
les lois rnêrnes de l'esprit, c'est-fJ-ljire de nos opérôtlOn::: mentale::.
que nous étudions. Il y ô donc Quelque redondance ri étUijier les "1015
de la Pensée" ôprès celles des signes puisqu'elles seront identiques.
f1ôis si Boole consacre le chapitre III des L01~"de J8PellSe8 à dériver
les lois des symboles logiques des lois ,jes opérations de l'esprit
hurnôin", c'est pour une doutde rôison
La première est Qu'il faut justifier la thèse selon laquelle
Pensée et Langage, du poi nt de yue des loi s formelles 8uxQue11 es
elles sont soumises. sont miroirs l'un de l'autre.: la véritable
Ijérnarche scientifique vouljrôit que cette Jusf.ifiultion ,:;oit
~
.f!aslerior/ .. il f ôut montrer eff ecU vernent que 1e systèrne des loi ':;
des
signes
du
langage
logique
Ijèrh,'e
vèritôtl1ernent
lje
If
La seconde raison est liée il cette première et l'expl ique :
Ijépêché de se donner le sldrllt!l:Jli::;rne Ije i'ôlgèt1re onjlnôire peur
présenter lô logique sous la fon-ne Ij'un calcul ôlgébnque L'ouvr;:l!~8
était passé inaperçu, surtout des logiciens Qui étaient avônt tout des
philosophes_ Pour écrire les Lois de ft! Pensee.. Boole avait pris le
temps de la réflexion et ôvait lu en particulier ce Qui, en
philosophie,
s'était
écrit
dôns
le domaine
de
la
science
du
rai sonnement.
Il faut donc voir dans ce chapitre III Qui, pour rétablissement
des lois formelles auxquelles sont soumis les symboles logiques, ne
fait Que redoubler le chôpitre Il, lô volonté d'ôsseoir son système
sur un fondement inattaquable Qui puisse convaincre les pt-lilosophes
logiciens: il y pôrlerô donc leur lôngage, celui des fôcultés de
l'espri t.
3e partie:
87
lois de l'entendement est totalement indépendante des dHférentes
spécu1ôtions métôph1dsiques sur la nat.ure de nos fôcultés ment.ales
Sa Ijérnarche, et tout.e démarche scientifique en général, vise Ô
mettre
en
évidence
"des lois
et
des
relations"
QU,
existent
indépendôrnment de tous les points de vue phllosophiques, comme la
loi de 1fj gra\\litati on et ses effets physi ques exi stent en toute
indépendance par rapport à une quelconque théorie de la cause de
celle-ci.
Comme l'atteste le dernier crlôpitre des Lois de M ?817Sh
consacré à la réflexion sur la ·constitution de l'intellect-, Boole ne
s'interdit pas de méditer sur les fins spéculatives de la Logique.
11ôis préci::;érnent, celles-ci sont Ô la fin, àans une dérnôrche que l'on
pourrôit dire positiviste, consistent Ô écôrter d'ôtlord tout les ô
pri ùri métflphysi Ques. Ou plut ôt Ô 1es renvoyer dos à dos en Iji sôrlt
lois formelles.
Il prévient. pôr conséquent, son lecteur que s'il nlié:;ite pi::::: è
employer les concepts d'AttentlOn. Ije Conception, d'lrnôgini3t.1ün ou
!j'Atl~;trôcti on qui se rencontrent dôns les ouvrôges trôdit lOnne ls
consôcrés à 16 phi10soptüe de l'esprit, ce sera d'une manière naïve et
innocente, sans consi dérat i on des i nterprétoti ons métaphysi Ques
quï ls pourraient impliquer.
Ces termes, classiquement, constituaient autant de têtes de
chôpitres de la philosophie de l'esprit humain. Lui les comprendra
tous sous "le nom générique" unique d,uOpératîons ,je l'esprit humain"
qu'il s"agit de définir et dont il faut chercher les 10is.20
L'opération mentale simple est celle que l'on pourrait appeler
opération de conception: le fait de tenir ensemble, pour ainsi dire
sous le regard .. une collection déffnie de choses, que l'on réfère cet
acte rnentôl ô ce que l'on appelait Conception, Imagination üu
Attent.ion
3e partle :
88
Dès lors, la première opération de l'esprlt est la conception de
l'Univers du discours lui-même, Qui est celui des choses dont on
pôrle. Chélque autre opération de conception consist.erô 6 délimiter
au sein de cet Univers une sous-collection de ctloses... Voici qui
explique,
rétrospectivement,
l'abrupt
début
de
l'AnoJysE:
ltôtl18mo/iql/e de 18 Logique où Boole, d'emblée, dons les Prell7ierf.
Frit1cipes s'était donné l'Univers dù discours puis
avait défini la
notion de classe d'objets.
C'est la même présentation un peu brutale Que l'on trouve
exposée dans l'article Le Co/al! Logique...~?1 pUblié en 1848, une année
ôprès 1 'Ano/yse t/othémotiqt/e de Jo Logiqt/e.·
"Supposons Que nous ôyons la concept i on d'un enserntil e
quelconque d'objets consistant en des Xs, des Vs, etc... et que x.. que
nous appellerons un symbole électif, représente l'opérôtion mentale
con~:;istônt ci sélectionner dans cet enserntl1e tous les ~:s QL!'l1
conUent, c'est-a-dire à flxer l'attentlon sur les Xs fi l'exclusion de
tous les éléments qui ne sont. pô~; Ijes Xs.. Id l'opèrôtion mentale 1je
sèlectîon-des "r's etc.; dès lors, 1 ou l'iJni'v'ers du tjiscours étant notre
(premier) objet de conception, nous aurons:
X 1 ou x :: lôctasse X
y 1 ou y =la classe V
xy J ou xy =la classe dont tout élément est à ta fois X et V etc.- 22
Il est important de noter Que tous les symboles littéraux de
l'alphabet logique sont en réalité des symboles d'opération. L'on
retrouve ici le principe d'une primauté accordée à l'opén:ltion pôr
Boole et le mouvement analytique anglais avec lui. L'opération est
ici celle Qui constitue une classe par sélection ou limitation ôu sein
de l'univers des objets concevables: x est en fait une opération Qui,
appliquée à J, représenttmt l'univers du discours, donne les Xs
contenus dans cet univers. En d'autres termes, un symbole électif x
est. l'opération d'int.er~3ection ,je la classe des y.:~; et. de l'Univers ql.n
3e partie:
89
1e cont i ent.
Mai s, comme il est courant en mathématiques. Boole ne ferô
pôs toujours la distlnction entre cette opération de sélection
représentée par x et le résultat Ije cette opénition Qui est la classe
représentée par X. En pratique donc, l'on pourre parler de le classe x,
en ayant bien à l'idée cependant Que c'est là un 8bus de langage.
Tout cele étant posé, l'on pourra dérouler en parlent non plus
Ije prôt i que lôngagi èr-e rneli s de compos i 1.1 on des concepti ons, 1El suite
de lois déjà rencontrées pour les signes:
(1) xy = yx puisque ce Qui est à la fois x et y est également à la fois
y et x.
(2) x + y = y + X puisque tout ce qui est ou b!p.n x ou ttien y est ou bien
y ou x.
(3) z (x + y) =zx + zy puisque tout ce qui est cl la fOlS z et (ou bien x
ou tl1en !~) est ou tlien (2 et x) ou bien (z et y)
(4) z (x - y) = zx - zy puisque tout ce Qui est à la fois z et (x mais
pas y) est z et x mais pôs z et y.
(5) Si x = ~d ôlors zx = zy
(6) x - y = - y + X
Dans les
équations Ci-dessus}
le
produit
est-"Fopération
d'intersection entre des classes d'objets, .. l'opératlon de réunion
des éléments de deux classes disjointes, - l'opération d'exception de
certains éléments dans une classe donnée} et = la relation qui pose
Que deux classes comportent les mêmes éléments.
Il vient donc au total Que les lois des opérations de l'esprit
(1 es
combi nai sons
de
nos
concepti ons
) ·ont
une
expressi on
mathématique et se manifestent dans les lois essentielles du
langage humain.
Pôr conséquent, les lois des symboles logiques
peuvent se déduire de l'exômen des opérations de l'esprit d::ms le
raisonnement" 23.
Celô veut ,jonc Ijire que ces lois sont fonrlellernent Îljentique::
3e partie:
90
8 celles Qui 't'filent pour les symboles quantitatifs de l'algèbre
ordinaire. Mais cette ômllogie trouve sô limite' ôvec ce QUI? 8001e
avait appelé la "loi des indices"
x2 -- x,
et Qui, ici, dons le longage des conceptions mentales, traduit le fait
QU'une opération de conception, par itération, continue toujours de
donner la même classe.
Elle trouve égalerYlent sô lirnite avec le fait Qu'en logique.
s'il est permis d'écrire Que
si x =y, alors zx =zy,
il n'est pas permis d'écrire J'inverse, c'est-èl-dire Que de
zx =zy
on ne peut dédui re
x =y :
avec une même troi si ème comportent 1es mêmes éléments Que ces
raxiorne des algét'ristes selon lequel on peut di vi ser par la rnérne
quantité les deux membres d'une équation n'ô ici aucun équlVij]ent
former 24.
Mais ensuite Boole fait la remarque Qu'en algèbre ordinaire non
plus cet axiome n'a pas la généralité des autres lois considérées
JUSQU'ici puisque la ·simpl1fication" par z n'est poss'ible QU'ô la
condition de supposer z ~ O. Lorsque donc z peut être égal à 0,
l'analogie entre symboles logiques et symboles de l'algèbre ordinaire
demeure.
....
Il en va de même lorsqu'en considénmt la loi XL = X, l'on
réfléchit sur les limites de l'analogie entre symbolisme logique et
système des lois algébriques. Rappelons que cette loi des indices,
particulière 8U seul champ logique, en est la loi .. fondamentale ....
précisément pour la rôi~;on que c'est el1e qui fôit ,ju côlcul lCJ~lqu8
3e partie:
91
Qui se constitue une algèbre spéciale où un telle loi est valide.
Mais S1 l'on se replace dans le ch6mp de j'6lgèbre numérique
ordinaire, l'on salt Que l'équôtlOn
x2 =x
y possède deux racines QU1 sont 0 et t, les idempotents parmi les
nombres.
En un mot, à cons1dérer les cas où se lisent les limites de
l'idenUficôtion fonnelle entre ôlqèbre ordinôir-e et sqstèrne lOQique,
~
~
~.
l'on arrive 8 la conclusion que ces limites s'effacent lorsque l'on ne
considère les lois algébriques Que pour des symboles admettant les
seules valeurs 0 et 1. En d'autres termes, S1 l'on ne définit que
forme 11 ernent 1es syrnbo 1es 1ogi ques comme étant ceux soumi s ô 1ô
loi côrôctéristique x2 = x, 0 et t seront des symboles logiques. Il
fôut
,jonc
pouvoir
leur
assigner
une
significôtion
logique,
c·e~:;t.-ô-,jlre, ici, exp11Quer quel1e::; "conceptlOns" leur correspondent.
Tel est l'objet de la Proposition" du chapitre" 1 des L {lis de ft,
L'on sôit d'ôbord Que le symt,ole 0 en algèbre est tel Que Oy = 0
et cela quel que soit y. Si l'on interprète cette égalité en termes de
classes, on di ra Que 0 est 1ô cl ôsse -dont 1e produi t 1ogi Que ôvec
n'importe Quelle autre classe y donne toujours comme résultat la
classe O. Par conséquent, la signification logique de 0 est le Rien ou
la classe vide.
Pour ce Qui concerne t, 11 symbolise, en algèbre usuelle,
l'élément neutre pour la multiplication: c'est-à-dire que l'on a
l'égalité t.y = Y quel Que soit y. Interprêtée en termes de classes,
cette égalité signifie Que 1 est la classe dont le produit logique ou
l'intersection avec n'importe quelle classe y donne cette même
classe y. Il vient donc Que ce symbole 1 représentera l'Univers des
objets conce .... ôbles ou l'Univers du discours.
On en déduit dès lors la tn31juction symtllJliQue ,je 1ô négôtion •
3e part e:
92
si x est l'opération de sélection des individus ayant une propriété x
donnée, 18 négation de cette propriété, ôutrernent dit le clesse des
indi','idus n'ôyônt pes cette propt-iété x sera représentée pôr 1 - x :
l'Univers salJf les x. En d'é}iJtres termes, 1 - x est Je complémentaire
de x et si x représente les hommes, par exemple, 1 - x représentere
1es non-hommes.
oet 1 ayant ainsi, désormais, une signHictltion logique, la loi
f ondômentô le x2 ~ x peut s'écri re
x - ::.::2 =0
selon une tnmsformation algébrique usuelle. D'où l'on déduit Que
x (1 - x) = o.
Or si l'on int.erpête maint.enant cette dernière équôt.lOn, el1e
signifie Que le produit logique d'une classe et de sa négation est la
classe vide. Ou encore Que les indi'v'Ï1jus qui ont la propnété >:: et QUl
ne l'ont pas n'e>;istent pas. On reconnôit pôr con::;équent ic] un.=:
écriture du principe de contradiction, cette M10i suprême de la
pensée- Qu'Arist.ote., cité pôr Boole, exprimait en ce::; tet-me::; . "i1 8':t
impossible que le même ôttritllJt. ôppôrtlenne et n'appart.ienne pô::: en
''15
même temps {lU même sujetA.~ ..
Et Boole d'anticiper sur les fins spécu1f1tives de la logique pour
faire remarquer Que l'axiome fondamental de la métaphysique Qu'est
-le principe de contradiction est en réalité une conséquence d'une loi
de la pensée dont la forme, mathém6t1Que, est celle d'une équation
du second degré.
L'étude des A101S de la PenséeA s'est donc donnée un symbolisme
analogue il celui de l'algèbre ordinaire et a établi Que cette analogie
est totale lorsque l'on ne considère QU'une fl1gèbre des nombres 0 et
1. Si Leibniz ne fflisait Que rêver d'une caractéristique où ,comme en
61gèbre, l'on pense ôux symboles ô 1fl place des cr,oses,25 Boole vient
de dérouler le fil d'Ariane fluQuel la pensée logique pourra se confier
pour eft ect uer ses procédures.
e
,
"
3e partie:
93
..--. -
a
Li .. ,....
3.11.
94
3. II. L'optimisme du symbolique
S'appuyant sur les ré~;ultats déjà produits par l'entlepnse de
reconstruction symbolique du langage, G. Boole énonce le pnncipe
fondamental sur lequel il va constituer l'ensemble de son calcul logique en
ces termes:
"Concevons alors une algèbre où les symboles x, y, z etc. admettent
indIfféremment les valeurs 0 et l, et ces valeurs seules. Les loi::.. ~1xj.:)nlS'::,
et procédures d'une telle algèbre seront identiques, en tout point ,aux lois,
axiomes et procédures d'une algèbre de la 10gique.E1les ne se distingueront
que par une différence d'interprétation. C'est sur ce princip€' qu'est établie
la rnétlK4e de cet ouvrage" 1.
'-'
Qu'est-ce donc que l'algèbre de la h)giqUê de George Boole, td1€' que
C'est d'une part l'observation, a posteriori.Jprécise Boo1e2 , que toutes
l~'="
......_, l(,i~
........_' d'-'c
. ~_I O:'nmt)ol~c
._"V
1 .... ..1
1()~gl'ql1~C'
!
'~'._',
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llt·,;:,
_ .... !
~1'-";;'1-,!-c.
,:lJ.:, .•. ~_.
\\..
, , _ 1
J . .
.i.
,_,
des seuls nombres 0 et 1; c'est, d-autre part, la conclusion suivant.e, que l'on
tire de ce constat: comme nous y invite la philosophie même de~; metJwdes
symboliques que Boole partage avec l'ensemble du mouvement analytique
.,--. -
anglais à son époque, l'on peut faire totalement abstraction de l'interprétation
logique et considérer que le nouveau calcul n'est que l'ensemble des
procé-dures de l'algèbre ordinaire restreint.es à des symboles n'admettant pour
valeurs que 0 et 1.
Cela veut donc dire qu'une fois traduites dans son symbolisme.. les
données d'un problème logique ~ront traitées selon le mécanisme des pures
transformations algébriques qui produiront des résultats à interpréter
logiquement. La question est alors de savoir quel sens logique auront les
transformations algébriques elles-mêmes., qui sont intermédiaires entre la
h-aduction symbolique des données logiques et l'interprétation logique des
résultats.
3.11.
95
En posant la question autrement, elle est celle du rapport que le
nüsonnement huma.in continuera d'entretenir au. lcingage et aux procédures
symt)()1iques, puisque dans les transformations algébriques auxquelles ellE- va
se confier désormais, ne seront plus lisibles ce que l'on conviendrait être "les
applications ordinaires de la raison humaine-. Celle-ci n'apercevra pas
toujours la signification logiqUe de S€"S
propres opérations, partant de
prémiSS€'S
dont le sens logique eSt donné, aboutissant à des conclusions
qu'elles sait interpréter, mais à travers des transformations mattlématiqué"s et
des étapes dont elle ne peut pas toujours dire la signification.
"Pour la plUpart des esprits, il ne suffit pas qu'un raisonnement
purement formel relie les prémisses et les conclusions: toute étape d~
procédures transitoirèS, tout résultat intermédiaire établi dans le cours de la
démonstration doit également être intelligible- 3.
Mais :pour Boole, cette exigence qui semble exprimer le simple t)(tn
':;ens ne saurait. être légitimement appliqu.ée à la logiquE' conçu':? (ornrn,,=,
science
symbolique.
Pour
celle-ci,
1'ininterprétabilité-
des
étapes
intermédiaires.. loin d'en détruire la validité, est au cont.J-aire une conditicr:
(j'efficacité du système symbolique.
Ce renversement signifie ceci: si à toute étape, la pensée, ou la
raison dans--ses applications ordinaires, devait :pouvoir apercevoir le sens
logique de ce qu'elle fait, cela voudrait dire que les méthodes symboliques de
résolution de questions logiques ne seraieht qu'une écriture abrégée de
raisonnements qui se pourraient conduire verbalement : le seul intérêt du
symbolisme serait par conséquent d'être une sténographie.
Au contraire, l'ininterprétable est l'indice de ce surcroît qu'apportent
les méthodes symboliques par rapport au seul raisonnement verbal. Et &..olè
considère comme un fait indiscutable -que la validité d'une conclusion
obtenue par une procèdure symbolique quelconque de raisonnement de
raisonnement., ne dépend pas de notre capacité à interpréter les résultats
formels qui se sont présentés aux différentes étapes de la démarche" "±,
C'est cette confiance dans le fait que, le principe d'une ;:l1131ogie
3.11.
96
formelle ent.re logique et algèbre ordinaire des nombres 0, 1 étant posé, les
méthodes qui valent pour la seconde produiront d~ résult-3ts interprét:lbles
dans la prE'tnlère, que nous appellerons chez Boole un
(JptJm~'~~j7& dl,
S}'l1Jl)(>ljqll~ qui est au fondement de toute sa dérnarche.
Cette démarche n'était pas aussi nettement définie lors de la rapide
rédaction de 1~4.mrlySt? M3tlJ~mL'ftiqu~ d~ iL'f l()g}qll~ .C'est la raison pour
laquelle Boole s'y était donné comme fil conducteur la logique trad.itionnelle
qu'il était en tra.in (je faire pa%ër de sa "prétlist(JlrE~" a ::;2. v"'érit:::lble hist.oire
mathématique.
sa. manière de procéder en cet ouvrage consiste à épouser étroitement
l'ordre classique d'exposition de la logique traditionnelle considérant d'abord
les propositions, les inférences immédiates que sont les conversions d€'
propositions, les inférences médiates que sont les syllogismes, caMgoriques ou
hypotl1étiques. En u.n mot, il garde les yeux fixés sur la logiqu.e lssue
classiques, par comparaison, les procédures nouvelles d'une algèbre de la
logique.
Dans cette comparaison.. il s'agit pow' Boole de montrer q1Je ::;3. logique
mathématique peut t;:)ujours rendre raison des ré::;ultats qui s'effect.uaip-nt
dans la logique traditionnelle, et faire également accéder celle-ci àllrr niveau
de généralité qu'elle ne pouvait connaitre. Ensuite, dans un second moment, il
développera pour lui -même, de manière tout à fait générale, le nouveau calcul
logique.
L'ordre d'exposition du système dans les ù?}s {1~ kt ~n~ est
l'inverse du précédent: Boole commence par constituer le ca1cu1logique dans
toute sa généralité mathématique, sur le principe de l'analogie formelle avec
l'algèbre ordinaire des idempotents 0 et 1; c'est ensuite seulement, dans le
chapitre XV de l'ouvrage, avant l'application à un nouveau champ des
mathématiques
qui
est
le
calcul
des
probabilités,
que
la
logique
aristoMlicienne et ses d4veloppements modernes est e:.œ.minée selon la
méthode de l'algèbre de la logique.
3.11.
97
Cette logique issue d'Aristote que Boole appelle· "scolastique" ou
l
"ordinaire" ne figure donc plus ici qu'à titre d'applicatJon à des problèmes
traditionnels d'une "th~ori€' plus parfaite du raisonnement déductif" ).
Dans la mesure où le système formel, d'un ouvrage à l'autre, demeure
essentiellement le m~me (à quelques détails près que nous signalons), nous
suivrons pour l'exposer un ordre qui combine les deux pr~nt3.tions.
A L'expression symbolique des Propositions
Dans 1;4rxlly~ M..itlJ~.m~itiql1~ d~ la ItWAlllf, après avoir défini les
lois des symboles logiques, Boole commence par réécrire dans son symbolisme
les quatres formes propositionnelles canoniques qui constituaient le carré
logique AEIO.
Cest-à -dire la
proposition
universelle
affirmative
(1-.),
l'universelle négative (E), la particulière aîfirmative (I) et la particulière
négative (0).
Soit la proposition universelle affirmative IOus les Is sont des Ys". La
signification de cette proposition est que tous les Xs se trouvent. parmi le':: Ys
et que séle<:tionner dans l'univers les Ys, puis.. dans cette classe, les Xs, cela
revient à s~lectionner d'embl~ les Xs de l'univers. En d'autres termes X'f =x:
--.- d'où il vient, en multipliant par (1 - y) (la négation de y),
xy (l - y) =x (l - y).
Or, puisque y (1 - y) ="0, on a :
X (l - y) =o.
De la m~me manière, dire qu'-aucun 1 n'est Y" (universelle négative) c'est
affirmer qu'il n'y a aucun élément commun à la classe des Xs et à la classe des
Ys. La classe de ces éléments communs étant le résultat du produit logique xy,
il vient que l'on écrira la proposition sous la forme xy = O.
Soit à exprimer la particulière affirmative "quelques Xs sont des Ys".
Cette proposition signifie que la clasc--e des éléments communs à X et Y n'est
pas vide. Soit V cette classe, obtenue par l'o~ration de s~leçtion v. On récrira
v ='Tf,
3.11.
98
ce qui est l'expre-ssion symbolique cherchée. 'lest donc aussi bien -quelques
1
L'expression de la partkuhère négative "quelques Xs ne sont V\\~ de~:
YS- fait intervenir le même symbole au...iàliaire v. Les non Ys ét3.nt traduits par
(1 - x), la proposition signifie en effet que quelques Xs sont des non Ys, et de
manière analogue on traduira: v =X (1 - y).
Nous avons vu qu 'un d~ fondements de la Nouvelle Analytique, la
qua.ntification du prédicat, produisait huit formes propositionnelles au lieu des
quatre du carré logique. Boole, dans les lœs d~ /3 ~.lJsk:. s'occupe de la
traduction symbolique de ces huit formes où la quantité logique n'est plus
celle des propositions elles-mêmes, mais des termes (sujet et prédicat) qui les
cornpc:;ent Le tableau suivant donne la t.nv:iuction de ces formes :
1. Tous les Ys sont des Xs (i.e: Tous les Ys sont quelques Xs) : y ='lX.
2.•6.ucun d~; Ys n'est X (Le. : Tous les Ys sont quelques non Xs : y = V (1 - iL
3. Quelques Ys sont des Xs (i.e. : Que1que~; y~: sont quelques Xs) : 'ly = vx
4. QlJ.elques Ys ne sont pas des Xs (i.e. : Quelques Ys sont quelques non Xs) :
'lV = v {l - X'I
l
'.
J .
5, Tous le~, non Ys sont des Xs (i.e. : Tous les non Ys sont quelques X~:) :
1 - y = v.x.
6. Aucun des non Ys n'est X (i.e. : Tous les non Ys sonCquelques non Xs) :
1 - Y=v (l - x).
7. Quelques non Ys sont des Xs (i.e. : Quelques non Ys sont quelques Ys) :
v (l - y) = vx.
Ô. Quelques non Ys sont des non Xs (Le. : Quelques non Ys sont quelques non
Xs) :
v (l - y) = v (l - x).6
Dans la terminologie de la logique traditionnelle, il s'agit là de
propositions catégoriques. Qu'en sera-t-il de l'expression des propositions
hypothétiques de la forme -si X alors Y" ou disjonctives comme "ou bien X ou
tlien Y" ?
Nous avons vu qu'avec de tels exemples nous étions dans le
c:hamp de ce que Boole a appelé des -propositions secondaires", celles qUi
3.11.
99
·conc~rn~nt ou r~1ie-nt entt~ elles de-s propositions considérées comme vraies
ou fausses- 7,
Or l'un d~s points les plus imp<)rtants du systkme de Boole ('est.
que, constate-t-îl, 1a th40rie des propositions secondaires" entretient à celle
des -propositions primaires- une étroite et remarquable analogie- a, et que
les lois formelles auxquelles- sont soumises les opérations de l'esprit trouvent
des expressions identiques dans les deux cas 9.
Cette analogie est fonnelle, ('est.-à -dire qu'elle ne conCBnle pas
les contenus (puisqu'il y a une différence de nature entre -les objets de
pensée· considérés dans les Propositions primaires ~t dans les Propositions
secondaires), mais seulement -les lois formelles et scientifiques C..) et les
métllodes ou procédures qui sont fondées sur ces lois" 10
Par conséquent, krit Boole, "les métl10des qui ont fait l'objet de
nos recherches dans la première partie de cet ouvrage, continueront d'être
applicables dans le nouveau domaine que nous 3110n::; aborder. Mais s11e::; loi:::
et les procédures dem~urent inchangées, la r~le d'interprétation devra être
adaptée à de nouvelles conditions" Il.
S'interrogeant sur la nature de cett.e interprét3.tion nouvH1e du.
même symbolisme en termes de Propositions secondaires, Boole déclare que
dans une proposition de la form~ ·Si X alors r ,par exemple., on entend "Si X
est vraie alors Yest vraie-, œ qui signifie encore qu~ le temps durant lequel la
proposition XéSt vrai~ est le temps durant lequel la proposition Y est vraie.
C'est donc en rapport avec le concept de temps que la nouvelle
interprétation du symbolisme établi pour le calcul des classes doit être
constituée selon l~ tableau ct -après :
X, Y, Zseront les propositions élémentaires
X, y, z exprimeront les moments du temps où X, Y, Zsont vraies
X. +, -, = traduiront respectivement la composition, l'addition, la soustraction
et l'identité de ces moments
1 sera la totalité du temps
osera le néant du t~mps
3.11.
100
Selon donc cetœ interprétation x = 1 repr~œra "X est toujours vraie", x = 0
ou (J - x) = 1 traduira "X n'est jam3is vraie" c'est-à -dire "X E>st touiours
fausse".
(1 - x), on le \\o'oit.. est la clas.se des moments du temps où Xest fausse. De la
même mani~re xy est le temps où X et Y sont toutes deux vraies. x (1 - y)
celui où Xest vraie et Yfausse. x + y le temps où X ou bien Y (mais pas les
deux ensemble) est vraie. x - y est le œmps qui reste lorsque de celui où Xest
vraie, on retranctle celui où Yest vraie.
L'on voit par ailleurs que toutes les lois fondamentales établies pour le calcul
des clas-ses seront ici valides :
(l)x+y=y+x;
(2) xv =VX:
. ..
0) x(x + y) =};'y + xz;
{ ,""
?
' " l ' "
i,'i)X'"'=XOUXI,
-X)=u.
symbolisme, Boole donne les exemples suivants 12 :
"<l
.
'1
.
D()jj
~ .... _ r
. . . . ~''':{nrl'
. . . . _!w·
IT1 6 ,· ..
v..
L·;'Cl. prOp(,r·l·
_
. •
".:0 t·, ()!:'
...:.~. . . X
. . . c:>ct
. . ,_••' Uf"~:l.i·.o."
, .. r
0;;;;-
on
_
~(·ri
v _ "
... ["
o. .,
A
-
-
1.
(2) Pour expnmer"La propo~;1t.iOI1 X e::t fausse" on écrira x = 0 Ce :;er:::l 1.::\\
même chose de dire que sa négation est vraie, autrement dit 1 - x = 1.
Et l'on constate cette dernière équation, par transformation strictement
algébrique, donne la précédente: x = O.
(3) Soit maintenant à exprimer la disjonctive "Ou la proposition Xest v'raie ou
la proposition Y est vraie-; on sous-entend donc, précise Boole, que les
propositions X et Y s'excluent mutuellement, c'est-à-dire que l'une seule
d'entre elles est vraie.
Le temps où soit la proposition Xsoit la proposition Yest vraie, mais pas
les deux simultanément, est traduit par la formule x (1 - y) + Y (1 - x). La
disjonctive sera donc exprim4e par l'équation
x (l - y) + y (1 - x) = 1.
Si l'on ne veu.t pas exclure la possibilité d'une vérité Simultanée des deux
propositions, si donc on envisage un sens inclusif de ou, on écrira
3.11.
101
Y:f + y (1 - y) + y (1 - x) =·1 (on ajouté donc le produit logique xy).
Cette 6quation s'é-crit encore:
x + (1 - x) y = 1
(4) Soit à exprim€'r
la Proposition conditionnelle "Si Y est vraie, alors X €'St
vraie· ou tout simplement ·Si y alors r.
Cette conditionnelle signifie qu'au moment où Yest vraie Xest vraie. En
d'aut.res termes, la classe des moments du temps où Y est vraie est incluse
dans celle des moments où X est vra.ie : elle en est dit Boole. une po:tlOn
indéfinie.
Soit donc v un symbole représentant un temps indéfini; si x et y
représen~t respectivement le temps dans lequel la proposition Xest vraie et
c<?lui dans lequel la proposition Y~t vraie, il vient que vx représent.era une
portion indéfinie du temps x et qu'on écrira:
y =vx
pou.r t.Jaduire la conditJonnelle "si YaJors X".
Par définition donc du symbole auxiliaire v ici introduit, vx peut être
une partie strictement indétéfminée du ternps z, ou la t{)t~üité de ce ternp:: r)lJ
enfin une partie nulle de ce te!nps.
Le premier cas revient à dire que la vérité de X ne commande pas
né-cessairement celle de Y; le second que lorsque Y est vraie} X l'est
né-cessairement : le temps où les deux propositions sont vraies est le même; le
. troisième cas enfin où v = 0 revient à supposer la fausseté de Y. Par
conséquent} en des termes modernes, nous dirons que les significations
possibles de v correspondent aux trois cas de vérité de l'implication logique}
étant écarté celui où l'antécédent y est vrai et le conséquent x est faux.
Au moyen des différents exemples ci-dessus énu.mérés} l'on peut
trouver aisément la forme symbolique de propositions plus complexes faisant
intervenir à la fois disjonction et conditionalité.
Contentons-nous ici de citer trois exemples donnés par Boole 13 :
1) Si ou Xou Yest vraie alors Zest vraie.
2) Si Xest vraie alors ou You Zest vraie.
,
. ;
3,11.
102
3> Si ou X ou Yest vraie, alors ou Z et W sont toutes deux vraies ou elles sont
toutes deux fausses.
Pour traduire symboliquement ces trois propositions complexes, on
é(;rira resp<?ctivement :
1) x (l - y) + (l - x) y =vz.
2) x =v[y(l - z) + z (l - y)l
3) x (l - y) + y (l - x) =v [zw + (l - z) (l - w)}
Trouver pour l'exprE'ssion dE's propositions une écriture algétlnquE' qtH
les traduise correspond, dans l'ordre classique des e~ de la logique
traditionnelle, aux chapitres concernant les concepts etles jugements. Il reste
dès lors à passer de l'écriture symbolique algébrique aux méthodes
symboliqu.es de résolution des problèmes lc)giques, c'est-à-dire à ce qui
classiquement, concernait le raisonnement. Il s'agit donc d'amener les formes
traditionnelles du raisonnement logique à s'exprimer dans le rnec;=:tfl1:;::;me
algébriqu.e qui ~rmet désormais l'écriture symbolique
B Le nouveau symbolisme algébrique et le r;::I1::;onnement log'L'jue t.r::lditi(·nnel
Ce raisonnement logique traditionnel peut être défim comme l'art
d'effectuer des inférences qui sont de deux sortes.
D'une part les inférences immédiates où à partir d'une seule proposition
donnée on déduit comme étant sa con~uence immédiate une nouvelle
proposition dont les termes ont échangé leur place (le sujet de\\'enant prédicat
et réciproquement) : il s'agit de la conversion des propositions.
D'autre part les inférences médiates où à partir de deux ou plusieurs
propositions, on déduit leur cons6quence qui sera une nouvelle proposition
dont les termes figurent dans les propositions que l'on s'était données.
L'exemple type de ces inférences étant le syllogisme classique.
Dans 1 ~4nL!fly~ MqtlJ~mL':ftjque de lL!f lcWique" Boole, après avoir t.raité <.le
l'expression symbolique des propositions consacre les deux chapitres qui
suivent, le premier à la conversion des propositions, le second au syllogisme
r
3.11.
103
1 La conv~rsion
commenc~ par rappel~r la typologie classique des différentës formes de
conversion, exemples à l'appui 14 :
1) Le premi~r exemple, où la proposition "Nul homme vertueux n'est un
tyran - se convertit en -nul tyran n'est un homme vertueux·, correspond à la
convE'f:::ion dite simple: en effet on n'a rien fait (l'autre que transposer les
termes de la proposition initiale.
2) Le second exemple où la proposition "Tous les oiseaux sont des
animaux· est transformée en la proposition ·quelques animaux sont des
oiseaux· traduit une conversion dite par acçiclE'nt ou par limitatJon : outre la
transposition des termes, il a été procédé ici à un changement de quantit.é au
bout duquel l'on est passé d'une universelle à une particulière
.3) La troisièm~ forme de conversion dit~ par cont.Japosition ou par
négation est lisible dans l'exemple qui fait passer d~ la proposition "Tout poète
est un h()mm~ de génie" à "qui fi 'è,:t pas tlor.nme de génie n'e::t V:r:: p,)&te"
l'affirmation initiale est devenue une n€-gativ~
œ manière général~., les logiciens ont su que E et l pouvaient se
..--"-
conv~rtir simplement, A et 0 par contraposition, A et E par accident. La
question que pose Boole ici est celle de savoir ce que nous enseigne l'Ekriture
algébrique sur cette opération logique de conversion et comment elle rend
raison des règles de cette opération qui accèdent ainsi à leur transparence à
soi.
l) SOient E et 1 qui s'écrivent respectivement, xy = 0 et v = xy. L'algébriste
voit tout de suite que ces équ.ations sont symétriques par rapport x et y Par
conséquent elles demeureront inchangées par l'opération de permutation de x
et y. C'est là, dit Boole, toute l'explication de 1a règle connue des logiciens
disant que l~s propositions universelle négative et p;:trticulière affirmative
admettent la conversion simple" 15.
2) Soi~nt A et 0 qui s'éuivent respectivement
3.11.
104
x (l - y) =0 ~t v = x (t - y).
On peut également les écrire
(l - y) [1 - (l - x) J =0
pour A en r4écriyant x sous la forme 1 - (1 - x) et
v = (I - y) [1- (I - x)]
en procédant de la même mani~re pour o.
La comparaison entre la nouvelle équation exprimant A et celle
exprimant E ci-dessus suggère pour celle-là l'int.erprétation suiv;:l.ntê _ 'Tou::-
les non Ys sont d~ non Xs-. De même la comparaison entre la nouvelle
équation exprimant 0 et celle exprimant 1 ci -dessus nous conduit à
l'inœrpréœr ainsi: -Quelques non Ys ne sont pas des non -Xs-. Dans ce second
c·as, il était également possible d'écrire 0 sous la forme
v=(l-y)x
par commutativité du produit logique et d'interprét.er cettE> formule qui dit
la prkédente.
fonde la règle des logiciens disant que l'universelle affirmativE" S-~. l;:j
particuli~re négative admettent la conversion par contraposition_
3) Ecrivons
A : x (l - y) = 0
et
E:xy=O
sous les formes
(l - y) x =0 et yx = o.
L'on p€'ut, dit Boole, ramener ces équations à celles-ci :
x =vy et x =v (l - y).
Ici Boole ne donne pas le détail des transformations algébriques
permettant d'obtenir ces nouvelles égalités, lesquelles seront exposées plus
t.ard dans l'ouvrage, dans le chapitre portant sur les équations électives. Il se-
contente de renvoyer le lecteur à la vérification de la légitimité qu'il y a à
inférer ces nouvelles équations, en s'assurant que· les valeurs de x qU'E'11ë::;
d(mn~nt vérifi~nt les ~uations initia1~ indépendamm~nt du symbol~
1
auxil13.i1"E' v. Dàs lors on interpràtera x = vy comrne "quelques Ys sont. des Xs M
et x = v (1 - y) comme ·QuE>lqu~s non 1s sont dt:>S Xs".
Encore une fois donc ,c'est le pur mé-canisme algébrique qui rend
raison de la règle disant qu~ l'univerwlle affirmative et l'univerwlle négative
sont convertib1~spar accident ou par limitation.
Pô.f a.illeurs, du f8.it. même de leur nat.ure d'a.utomatismes symboliques,
les pfoc~dures mises en œuvre pour rendre raison de ces règles (ie conVèf::;lOn
tout à fait classiques introduisent un~ généralité bien plus grande, c'est-à -dire
non limitative, dans les lois de la conversion et de la transformation générale
des propositions· 16.
En effet, remarque Bode, les auteurs traditionnels ne sont P;33 tüU~:,
d'accors sur la légitimité de la conversion négative pour n'être pas tous
d'accc'rrj ~:;t.1.r la légitimité d'uti1i:::;er des termes négatifs comme non Xou non Y.
Or, de ne point ainsi admettre l'usage de ces termes conduit.. par
exemple.. à refuser de considérer la conversion de "Aucun X n'est y· en ïous
1ê~; Y:: sont des non Xs "quoiqu'elle SOit pou.rtant tout 3 fait légitime D~pa::sêr
ces limitations afin que, par des méttlOdes purement symboliques d'exécution
des opérations logiques, puissent s'énoncer 1% lois "de trémsformation
générale des propositions·, ce sera d'abord "reçonnaître les élémentssûivants,
chacun étant lié à une procédure mathématique distincte :
1. La négation d'un Utrme, c'est-à-dire le changement de X en non X ou de non
XenX.
2. La transposition d'une proposition d'une catégorie dans une autre, opération
qui verrait la transformation d~ "Tous les Xs sont des Ys" en "Quelques Xs sont
des ys" c'est-à-dire A en 1; ce qui est l~itime LJ /il s'agit de l'opération
classique de subalternationl.
3. La conversion simple d'une proposition.17.
(Pour le 2e point, exprimant l'opération de subalternation, on voit qu'en
prenant les propositions universelles A = x (l - y) = °et E : xy = 0, l'on peut
multiplier ces équations par le même terme v pour obtenir vx (l - y) = 0 et
...
2.
..2 " yga Laa J.
$
,.
3.11.
106
vxy = 0, qui s'inœrprètent resp€'Ctivement
"Quelques Xs sont des Ys·,
c'est-à-dire J, la particulière affirmative, et "Quelques Xs ne sont pas des Ys.
(.·~t-à -dire 0, la particulière négative) .
Ce ~ra enslüte opérer certaines transformations algét)riques sur les
propositions qui forment le carré logique. Ainsi
a) pour les universelles:
soient A : tous lèS Xs sont des Ys ou x (1 - y) = 0
et
E : au.cun X n'est Y ou xy = 0
E s'écrit xlI - (1 - y)} = 0 et ,pa.r analogie avec A, s'interprète "Tous les Xs
sont des non Ys·.
De même A, sous sa forme x (1 - y) = 0, par analogie avec E, s'interprète
ainsi: "Aucun X n'est non r.
Par cons4quent A se transforme en E et inversement. par négation du
prédic.:at.
b) Pour les particu.1ières :
Soient 1 : Quelques Xs sont des Ys ou v =xy
et
0 : Quelques Xs ne sont pas des Ys ou. v = x (1 - y-)
La différence, formelle, d'avec les équations précédente~;, ('e:::t l'égalH.e av'?( ~,1
et non plus avec O. Par conséquent, en menant un raisonnement ;3.r13Jc~gUE', c,n
..
,
conclura' Cl.' la regle selon laquelle J se transforme en 0 et inversement, par
négation du prédicat.
Au total donc, les procédures symboliques nous permettent de
déduire les règles suivanœs de transformation des propositions dont toute
opération de conversion n'est qu'une application:
-1.
Une proposition
affirmative peut se transformer
en la
nêgative
correspondante (A en E, 1 en 0) et inversement, par négation du prédicat.
2. Une proposition universelle peut se transformer en la partiçu.lière
correspondante (A en l, E en 0).
3. Dans une proposition particulière affirmative ou dans une proposition
universelle-n~gative les termes peuvent. s'~çhanger" .lô
3.11.
107
2. Le syllogisme
Boole ouyre le chap1tl-e du syllogisme comme \\1 avait débuté celui de la
conversion des propüsitions en cOlnnHfnçant par rappeler 1~ définitions
classiques: celles des prémisses, de la conclusion, des tenues majeur, mineur
et moyen, des quatre figures du syllogisme déterminées selon la situation du
terme moyen, des différents modes de ces figures ...
Mais, immédiatement après ces rappels, vient la maniere
proprement et purement a.1gét)rique d'at")tjrder le syllogi~;me : "L'équation par
laquelle nous exprimons une proposition concernant 1€'S clascv€'S X et Y€'St une
~uation entre les symboles x et y, et l'~uation par laquelle nous exprimons
une proposition concernant les classes Y et Z est une ~uation entre les
symboles y et z. Si de ces deux équations nous éliminons y, le r~su1tat, s'il ne
s'annule :pas, sera une équation entre x et y et s'interprètera comme une
propo-:;1tion concernant les çla~;2.es X et Z. Et il constituera par conséquent la
troisiem€'
composante, ou concluSlon,
d'un syllogisme dont les deux
propositions initiales seront les prémisses- 19.
A 'rlS1'
la "·'adurt-i()f") '-'ln l:.t·fl·('l1,'6 ~"" 1'1'f'"lfl:.t''"'nr·A '-'TTl1{"'1'~t'i{111A ('('l'lc""~hnt .;.
r~l
..
lJ.
. v .............. .1
O. E....·)
-1...1-::::- t ... ç
.1 .........
, . . . . . ~
.:';'
._.-:::, -~..."l'.1-V
·k'·
._'J':'.~_
JO
',J.
faire dlsparaîtl-e, dans la concluslOn, le moyen terme qui figure dans la
majeure et la mineure, c'est 1'4limination d'un même symbole figurant dans
deux ~uations donné€'S qui traduisent l~ prémisses:-
Le modèle d'une telle opération est alors le suivant: étant donné le
système des deux équations suivantes en y
ay + b =0 et a'y + b' =0
-éliminer- y c'est écrire l'~uation~onc1usion
ab' - ab =O.
Soit par exemple le syllogisme en barbara suivant (c'€'St-à -dire où les
prémisses et la conclusion sont toutes trois d~ propositions universelles
affirmatives) : tOUS les hommes sont mortels.
Tous les Athéniens sont des hommes.
Donc tous les Athéniens sont mortels".
L~ symboles x, y, 2 représentant respectivement les mortels, les hommes et
.
<
,
"
3,11.
108
les Athéni~ns, le système d'équations traduisant les prémisses de ce
syllogisme s'écrira :
y (1 - x) =0
z (l - y) = 0
Inférer la conclusion revient, algébrIquement, à éliminer y de ce système.
Pour se ramener au modèle exposé ci-dessus, on rékrira ce système de la
-manière suivante :
(l - x)y = 0
zy - z = 0
où a = (l - x). b = 0, a' = z et b' = -z.
n vient donc que l'on écrira l'équation -conclusion : z( 1 - x) = 0 ce qui
s'interprète: "Tous les Zs sont des XS-, autrement dit "Tous h;?s P.UAniE"ns:»tlt
mortels".
Il est. un point bien plus important que celui qui (:on~;1::3t.€' ;;:1 ;:!.1r~~;l
t'[l(·,ntn'r (lU6- {"'Ù qU1- c>", fal' C''='l't C'1,;<c-c'lt'11E=>n-1P[lt dA T-I-j'-;"'l;':'!'';:' u;:>l-t-"-;'J ,;:.. ,-; ",-,,: lA
...
....
..t'IV
'1.
'IV'"
..... ç
.... V"
__IV.
• '_\\-,:0'_'
"1 _ ~-
.-
'.'
._ .~.
'_-.'
_... _.
.Jo
' _ '• ..1
•••.
.....
v'.'
k- ' ... '
.c ...._
Jo -~.
raisonnement syllogistique, s'effectue désormais mécaniquement dans les
m6 tllodo.c- svmboll'quoc- . c'oc-t q'lù la --f"C';"l"['I"'Ç;> d,..... (:ùt+--" t.-·c.(l'i,-t<.·-,t-, (l,;.
v
...
Ç ....l
l i
.....
ç . . . . . . . 'Ç"._".
l _ Ç
_
r....O.d-_"._.(1._.. e.i........
w~
.. çA..t:"
~.J.'_t,....,. __ ·.·,_... ·~_ ...
-~.'.
l'inférence syllogisUque dans l'kriture et l'automatisme symbülique;:; conduit
Boole à réinterroger la manière même de penser le syllog1sme et son élE'Vatlon
deux fois millénaire au rang de paradigme du raisonnement logique. Car, au
bout du compte, les méthodes symboliques révèlent le caractère arbitraire de
ce qui a toujours été tenu pour la -structure essentielle" du syllogisme:
-La structure essentielle d'un syllogisme est, dans une certaine mesure,
arbitraire. En supposant fixé rordr~ des prémisses et qu'ainsi la distinction
entre le terme majeur et le terme mineur soit déterminée, ce n'est plus qU'une
question de choix que de décider de la préséance de l'un des deux t.ermes
dans la conclusion, Les logiciens ont réglé la question en faveu.r du terme
mineur mais il est évident que c'est là une convention, On eût pu aussi bien
accepter que la première place, dans la conclusion) revînt au terme majeur:
c'eût été construire un schème logique moins commode) dans certams cas, que
l'actuel, mais su~rieur en d'autres. Ce qu'on aurait perdu enbtrII!\\.1I-..9, on
3.11.
109
l'aurait gagné (tn br..flJJJ..wt.ip.La commodité est ~ut-êtrê en rav~ur de l'usage
adopté. mais il faut. se rappeler que ce n'est là qU'un hsage" 20
Cette remarque découle de la nature même de l'instru.ment alg4bnque
mis en œuvre dans les ot*rations logiques : déduire une conclusion y
revenant à écrire, à partir d'~uations donnm, une nouvelle é-quation où ne
figurera pas un symbole donné (que l'on a donc "éliminé"), les méthodes
symboliques présenteront plus de conclusions possibles (dont le formalisme
:31..1.ra établi la légitimité abst.raite) que celles qui sont prévues et aC(;Bptkes par
les canons de la logique classique.
Lorsque la tlléori(t du syllogisme est ainsi prise en charge par une
tlléorie des équations algébriques, ni l'ordre des prémisses ni celui des termes
n'a l'importance qu'on leur accordait t.J-a.ditionnellement, et cette théoriE'
classique du syllogisme n'apparaît plus que comme un cas particulier et u.ne
illustration tout à fait restreinte des procédures du raisonnement symbolique
AinSl Tana.1yse rnat...hém3tique de la Logique" que mene Bc":)le se
révèle id, de même que quand il s'agissait des opérations de conversion,
comme une vérit3t)le "analyse" : en ce seIiS que le symbolisme algébnque
n'est pas seulement l'outil d'e}{pression d'un modèle logique reçu de la
tradition., mais un ensemble de méthodes mathématiques puissantes qUl
révèlent l'étroitesse des limiœs--otl les métllodes déductives anciennes
tenaient en!(trmé-e la logique classique.
Si donc 1e but de ces recherches s'était en premier lieU linùœ à
l'expression {algébrique1de la logique reçue et aux formes de la disposition
aristotélidenne, LJ il est très vite apparu que l'on introduisait ainsi des
restrictions qui étaient tout à fait arbitraires et qui n'avaient pas de
fondement dans la nature des choses· 21.
Lever toute "restriction", c'est décider donc d'adopter un point de
vue matllématique pour substituer à rapproche traditionnelle du syllogisme
et aux classifications opérées par elle, une véritable systématicitk formelle d€'
la classification. La s;'stkmatisation booléenne dans l'AnL~iys~ A.-!.itJiPDiat.JqUf.
d;p iL!? logiqu;p distinguera donc les quatre classes suivantes:
3.11.
110
Classe 1 : elle comporte tous les cas où n'intervient pas le symbole auxiliaire v.
Le syllogisme en b..vb..':?nf ci -des-sus en constit.u.e un éxemple
Cl3sse II : elle comporte les cas où le symbole 3uxlliaire v apparaît dç}DS la
conclusion.
Soit l'exemple d'un syllogisme dont les prémisses, "Tous les Ys sont des
Xs· et ·Aucun Z n'est y· se traduisent dans le système d'équations:
y(l-x)=O
zy
= 0
La solution la. plus générale de la. premi&re équation y (1 - x) =0 est
y =vx.
En substituant cette valeur de y dans la seconde équation du système.. il
vient
0= vzx
que l'on interprètera comrne la conc:iusl0n "quelques X~: ne -sont p;~t: des Zs" du
Remarquons que sur cet exemple se manifeste une des difficu.ltés que
t'"~n(Y)l-Jt:r~
J,
' v
lc> c·yc-t2.n1(:;
ç...J
'..J
hO(\\l;'_~r. f.)(j"!'
./!t:-"
J • '.' IJ.
cc> ('<111'
.~ '-1....
~st dlJ
. . '
. "T~I.,..,t)(,l,:::,
~l ~\\
.i,J.
.J.".
·='11''';~':=''~-c.
,_,
_'
;.·_·1
'.
T~'
En effet, formellement, rien n'ernp&dle V2.X = C: rj'&tn:- lnt.erprH.S'
comme "quelques Zs ne sont pas des Xs". Mais, dit t\\t)ol€' .. "la fa.ison p'>1.Jr
laquelle nous ne pouvons interpréter vzx = 0 comme "Quelques Zs ne sont p;::r:
des Xs- est que par les termes m~mes de l'équation [y =vxt l'interprétation de
vx est fixée comme étant -quelques Xs-; v n'est considéré comme représentant
-quelques- qu'eu égard à la classe r 22.
En d'autres termes, v est pour ainsi dire attaché au seul symbole
é1e<:tif x bien que l'écriture purement formelle n'indique guère ce statut de
-préfixe- d'un terme déterminé.
Classe II 1 : cette classe comporte les cas où v figure dans l'une des équ.ations
mais ne se retrouve pas dans la solution.
Soit par exemple: quelques Ys ne sont pas des Xs vy =v (1 - x)
Aucun Zn'est Y
0 =zy
Il vient en conclusion
3.11.
111
o= y (l - x) z
qui s'interprète' quelques non Xs ne sont pas Zs
Comme précé-dernment, Boole remarqu.e que c'est l'é-quation de la
première prémisse qui nous pertnet d'interpréœr y (I - x) et qui ne nous
pe-rmet pas, en revanche, d 'int~rpréœr vz.
La c1a~ IV est celle des cas où ventre dans les deux ~uatjons. Ici, nulle
inférence n'est possible car le résultat de l'élimination se ramène soit à une
forme 0 = 0, soit à une forme yv' = 0 où v et v' sont des symboles auxiliaires.
Ainsi, soit:
a) Quelques Xs sont des Ys vx =vy
Quelques Zs sont des Ys v'z =v'y
Il vient:
'.lv'x =vv'z.
LLo,-.
ç.:, ~'''11-;,+;()rl'-'
-.ol·'i __ ._·.w·....
-: ~'uvoil;':>ir'''''~ n{ 1 X') - \\Î
...... .f.... lQ.• '=:="-=" \\1,.... - ..... -
v'
Lot
ç
.
v'(l-z} =0
donnent vx = v et v'z =v'. Par subsitution nous obtenons vy' =yv') de la forme
o =o.
b) Quelques Ys sont des Xs
vy =YX
vy = vx
Quelques Zs ne sont
~_4_
pas des Ys v'z = v'O-y) d'où v'(l-z) = v'y
Il vient:
vv'( l-z) =vv'x.
Les ~uations auxiliaires étant v(l-x) =0 et y'(l-z) =0, l'équation précMente
se réduit à vv' = O.
L'analyse mathématique de la logique, c'est ,au total, par le moyen de
méthodes purement symboliques de résolution -on le voit dans cet exemple
d'une classification selon des critères purement matllématiques- l'int!odudion
de "ordre et de l'unité- qui selon lèS mots de Hamilton manquaient à l'édifice
logique d'Aristoœ.
C'est également, en conséqu.ence, une généralisation que ~;eull'algontlHne
algébrique pouvait effectuer car «il donne les moyens d'une analyse parfaite
de tout système concevable de propositions, un but en vue duqu.el les regles
s, :Q,_!&S
3./1.
112
de conversion d'une seule proposition catégorique ne sont que le premier
pas». 23
En eH€'( "un système de proposltions" se traduit commE> un système
d'€-quations
d'un nombre quelc~nque où l'on p€'ut éliminer algébriquement
autant de -moyens termes" que l'on veut; car, si en algèbre ordinaire, "nous
pouvons éliminer n-l symboles de n équations", une telle conditjon restrictive
n'est plus requise dans l'algèbre de la logique : -en conséquence de cetœ
équation unique l'on peut éliminer un nombre indéfini de symboles (.-J et
d'un nombre indéfini d'équations un seul symbole logique"24 .
Le pas généralisateur qui apparaît à la fin de 1Anlf1y~ M'ftlJé1JNftiqll~
de 13· Ù:tlql1~ va consister désormais à se placer d'embl~ .lorsqu'il s'agit des
ù?is do? ki kns*, dans une "tlléorie générale du raisonnement déductif" dont
la logique issue (j'Aristote n'est qu'une région particulière.
~,t:
John Venn n'a pas l1ésité à cornparer dans sa ù:'[;i:zu:?':' j,: 1,.:;(, l,:et.t.~
généralisation de la logique ancienne à l'extension qui a fait. passer de l'idée
de "poids" à celle de "gravitation uniVt.>fselle"
C. La Uléone générale du raisonnement déductif
Il ne s'agit donc plus d'avoir les yeux fixés sur le modèle aristotéIIélên
mais de dérouler les conséquences du princi~ fondamental selon lequel -nous
pouvons laisser de côté l'interprétation logique des symboles entrant dans une
équation donnée; les convertir en symboles quantitatifs ne pouvant prendre
que les valeurs 0 et 1 ; effectuer avec ces symboles ainsi convertis toutes les
proc~ures que demande la solution et les rétablir finalement dans leur
interprétation logique- 26.
Ce sera alors là la forme la plus générale du raisonnement logique valide
dont Boole précise ainsi les conditions:
«1. OU 'une interprétation fixée soit assignée aux symboles employé,; pour
exprimer les (jonnées ; et que les lois de combinaison de ces symboles soient
correctement déterminées à parHr de (eU!.? interprét:ÜJon.
3.11.
t 13
2. Que le-s procé-dures form~l1es de résolution ou de démonstration soi~nt
constamment menées en conformité ayeç les lois ainsi déterminées, sans tenir
compte de la question de l'int"::'rprétabilité des résultats partiels obtenus
3. Que le résultat final soit ~ormel1€'ment interprétable et qu'il soit
effectivement interprété conformément au syst.ème d'interprétation employé
dans l'expression des donné-es» 27.
1 Développement !j'une fonction logique
Ces précisions faites, Boole introduit, dans le chapitre V d~ 1(45 df.
13 .A?o~ consacré aux '"Principes du raisonnement symbolique-, la notion de
"développement" en quoi se réali~nt les procédures formelles de résolu.tion
des problèmes logiques.
Il commence par en donner une idée intuitive: soit une classe
dont les élernents se divi~nt en ceux qui ont une certaine prr.)priété x et CéUX
qui ne l'ont pas. Supposons que ceux qui possèdent cette propriété x
possèdent aussi une propriété u et que cette double propriété suffi::;€'
;~, les
définir. Si, de même, ceux qui n'ont pas la propriété x ont une certaine
propriété v et que ces deux conditions suffisent. à les définir, la classe de
départ, dans sa totalité, sera la réunion des deux classes représentée;;
symboliquement par ux d'une part et v(l-x) de l'autre. On l'écrira par
conséquent ux + v( l-x).
Une telle é<:ritur~ pourra être considéré comme la forme générale
développée d'une classe donnée en rapport avec la possession ou non d'une
certaine propriété x. C'est un tel développement qu'il s'agit maintenant
d'obtenir par des considérations purement formelles, des méthod~ de part en
part symboliques. Il faut d'abord, pour ce faire, préciser quelques définitions:
1ère définition: ïoute expression algébrique contenant un symbole x,
est appelée une fonction de x et peut s'écrire sous la forme abrègée générale
f(x). Toute expression contenant deux symboles x et y, est, de même, appelée
une fonction de x et de y et pouva.nt s'écrire sous la [·:)rrne '~én4n::de H:::.v)
'-'
'
~
3.11.
114
etc...» 28.
De ces expressions algébriques, Boole nous dit qu 'elles pe1Jvent avoir
n'importe quelle forme, par eXE.~fflple x tout ~;eul.. l-x, l+x/l-x, x-2y, x.y/x-2y
etc... dont on serait en effet bien en peine de dire quelles significations
logiques elles comportent!
2ème dMinition : "une fonction f(x), où x est un symbole logique, ou un
symbole de quantité n'admettant que les valeurs 0 et 1 est dite déve10ppoo
lorsqu'elle est ramenée à la forme <3x+b( l-x), a et b étant dét.errniné~; dE' tell'2'
sorte que le résultat soit équivalent à la fonction dont il dérive» 29
En supposant donc la fonction développable sous la forme
f(x) =ax+b( 1-x),
on pose d'abord que x= 1. On aura: f( 1) =a.
De même, en posa.nt x = 0, on aura HO) = b Par conséquE-nt en
fE:'mplaçant dans l'équ.ation originelle ces valeurs de a et de b on obtient. pour
le (jeveloppement cherché, la. formule
f(x) =f(l)x+ f(O)(l-x).
(C'est id le lieu de faire 1J.ne remarque, en (omp;:,r;::mt 1;::1 not.v'!1 de
,jéveloppement telle qu'elle apparaît dans les
.ù')}~~ dt? l:r P>?1JS:.?-? et.
l'introduction dans 1AnL'fJy~ M:rtIJéflJtdJqu>? fi>? Ja LOglqUt? des "fonct..1on~;
électives· : lille fonction élective est une fonction de symboWs-é1ectifs.
Dans l'ouvrage de 1ô47, en effet, c'est par l'utilisation du théorème de
Maclaurin que Boole effectue le déve1op:F*ment d'une fonction Hz) en
puissances croissantes de x. Il l'écrit donc
<I(x)= <1(0) + q'(O)x + 1"(0)/1.2 x2 + etc ...
Puisque d'après la loi des indices
x2 = x, x3 = x etc..., on obtient, dit-il:
<I(x) =<1(0) +xfqr'(O) +q"(O)/1.2 +etc...).
En faisant x = 1dans la première formule, il vient
<I(l) =<1(0) +q'(O) +«"(0)/1.2 +etc...
d'oU. l'on déduit que
('11'( î)
<''11''(0) /1 2
(!T""
"o') / 1 ~J?
1\\,1.•.
t
- {If '1 \\ ,1T
+'11
.,. +." I,l! . .'::'.J+(>.c ... -,,\\
'o''
,1-,,\\ ....
3.11.
115
La seconde formu1& peut alors s"écrire :
1(x) =1(0) + [q'( 1) - <J(O)]x
ou encore
q(x) = 1( l)x + 1(0)( l-x),
Cette manière de développer la fonction élective présuppose un cert3.in
nombre de conditions dont celle-ci: que f(x) soit développable en une suite de
puissances'croissantes de x. Ce développement ne figurera plus, dans les lois
a'ë la hjJ~ qu'en une note où tlo)ole explique qu'il constitue "une
démonstJation moins générale D que celle retenue dans le texte)O
Ce changement intervenu ici entre le petit opuscule de lô47 et
l'ouvrage de 1854 préfigure le moment où, plus tard, Boole estimera avoir
trop été "sous la domination d'idées maUlématiques ..31 lorsqu'il 3 constitué
son système de logique algébrique),
De la même maniére que pour le développement d'une fonction f(x), on
écrira pour une f olKtion
~;yrnboles
développement suivant:
f(x"y) =f(l..l)xy + f(l,O)x(l-y) + f(O..l)(1-x)y + HOO)(l-x)( l-y)
L'on déduit par là, la forme des àévelopp€'ments de fOfKtions avec
trois ou davantage de symboles logiques",
Les termes où entrent les symboles littéraux x, y et leurs négations,
c'est-à-dire ici 'ri, x( l-y), (l-xy, (l-x)( l-y) seront appelés les f).'mstit.lJ3fltsdu
développement. Et <Jans la forme dévelopf'OO ron voit que ces constituants
sont multipliés par des o.'>Ieffiaf:'ots comme f( 1, 1), f( 1,0) etc,.. qui ne
comportent pas de symboles logiques.
On notera enfin avec Boole:
1. Que tout constituant noté t d'un développement satisfait la loi de dualité t2
=t ou t(l-t) =o.
2. Que dans un développement donné le produit de deux constituants
quelconques est ~al à 0, c'est-à-dire que le développ€'ment
produit des
classes deux à deux disjointes.
3, Que la somme de l'ensemble des constituants d'un développernnt <kn:w '?:t
f.
3.11.
116
égale à 1 ou l'univers du discours.
Prenons l'exemple d'une fonction f(x,y) représent3.nt l-x/ l-y Nous
trouvons que
t( 1, 1) =0/0, f( 1,0) =0/1, [(O,l) = 1/0 et f( 1, 1) = 1.
Le développement de cette fonction sera par conséquent
O/Oxy +OX( l-y) + l/O(l-x)y + (l-x)(l-y).
Que peut signifier, pour la logique, une telle formule où se rencontrent des
"Prindpes du raisonnement symbolique" Boole arrive au moment de
l'interprétation, à celui de la signification proprement logique des procédures
symboliques effectuées.
2. Int.erprétation des fonctions logiques
Par la nature même (ju développement d'une fonction loglqUS' 11
apparaît que deux fonctions logiques comportant les mêmes symboles, auront
,......,,;,(·l-ü·......
t7J.~_ ....
"'t·,t
·'.Çlll'Ç' ....
1.....
~ .::·
....I
rrl:::'m"'c
' : "
(·Ol",("·tl·t'·l·::'t"lt':·
V.,J..,
~.;:'~. .·Lt:.J.
-_'
ût
' Ç .
n~
.1. .........
"0/'
rll·ff~t-p.t·()nt
._~
'."
v
.....
J
('1'~ n·"',· 1.:.c
~.c.t.l.
,t·......_ I '-"(iL:>"fi(·~t"lt·:
·....... ·.•
J.l ..... ,l ..- ........_
Or il est bien évident que ces fonctions, étant de formes difién?nte~:
devront avoir des interprétations différentes. Boole introduit alors, en ce
chapitre VI des l{')is titi'}..fl ~n~ l'id~ qu'il y a une interprétation logique
des constituants et une -modification-de cette interprétation par lès
coefficients qui leur sont préfixés.
L'interprétation logique des constituants découlera des deux points
précédemment notés, à savoir, d'une part qu'ils représentent des classes deux
à deux disjointes et , de l'autre, que leur totalité forme l'univers du discours
Prenons par exemple une fonction logique f(x,y) ne comportant que
les deux symboles x et y. Les constituants du développement de ces fonctions
seront xy, x(l-y), (l-x)y et (l-x)( l-y). Or si nous considérons les symboles
électifs x et y comme exprimant deux propriétés, les constituants en question
3.11.
117
l~ composent possooent ou non rune des propriétés x et y ou les deux. Ces
1
(:lasses, disjointes deu.x à deux divisent la tt)t:~.1it.k de l'uni\\?ers du di':;(:(iUrs
Il est donc permis d'énoncer la propositJon suivante : ~Les constitnants
du d~velop}*ment d'une fonction quelconque des symboles logiques x, y, etc,.,
sont in~rprMa.bles et représentent les diverses partitions mutuellement
exclusives de l'univers du discours , formé~ par l'attribution et la non
attribution, de toutes les manières possibles, des qualités désignées par les
symboles x, y, etc"," 32,
Qu'en est-il maintenant de l'interprétation des coefficient.s, ou plutôt
de la manière dont ils viennent -modifier- celle des constituants ?
Puisque dans le cours du raisonnement déductif la méthode de
développement conduit à écrire (jes é<=1uations logique~:" l'interprétatji:i11 de ce::
coefficients apparaîtra dans celle des différentes formes d'équations logiqu.es,
Celles-ci S€'font au nombre de trois: V = 0 ou V = 1 ou V = W, V ét:mt. une
fonction logique des symboles éledlh x, y, z etc, et '.Al un syrnbole loglque
• Première forme V =0, Nous pouvons supposer, pou.r plus de commodité, que
n n~ COfIlPOl-t'6 qlJ6 (~ÙUx -="lrnb(,l p '-' l')"l(nl~r. x {.:>t TT T{.:> (~/V'::'~()T)'!l{.:>·Y·{.:>t·,t d8 \\/ = C'
0(
.ç
'"
"'C'
•
6 '1
~;:'.
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-'~ -- ':' .' \\.. '", 1-' 1" " Hl,.· "',.
0 '
-..J i
" .,' L,;:'
1.0 ,
nous donnera l'équation suivante :
axy + bx(l-y) + dl-x)y + d(l-x)(l-y) =0,
a, b, c, d, étant les coefficients numériques que fait apparaît.re le
développement.
Prenons un coofficient, a par exemple, et supposons qu'il ne s'annule
pas. En multipliant les deux membres de l'équation par le constituant Tf, il
vient:
axy =0,
car d'une part les constituants représentant des classes deux à deux di:~j()inte~;
le produit de xy par tout autre constituant que xy s'annule; d'autre part, par
la loi des indices, le produit de axy par xy est toujours axy,
Puisque nous avons fait l'hypothèse que a est différent de 0" nous avons
finalement X5'T=O, un résultat qui est indépendant de la nature des au.tJ-es
coefficients du développement. Nous ::;av1,:.Il1S int.erpréter cette ég:::dité xy = 1)
3.1t.
118
qui dit que 1~ éléments a.ppartenant à la fois à la cla~ repré-s€'ntée par x et à
celle représ-entke par y n'existent pas 33.
Si le coefficient Et devait s'annuler, le terme axv fi 'anT)8raîtr.l.it [\\;3': d.j.n': lE'
•
1
1:" l>
~
développement et l'équation }.."I = 0 ne serait pas dédUit? De la m&me
manière, en supposant b '* 0 et en appliquant le même proc-édé, on obtiendra
x( 1-y) = 0 etc,.. Par conséquent, Boole peut énoncer la règle suivante :
"Développer la fonction V et égaler à 0 tout constituant dont le coefficient ne
s'annule pas LéS interprétations des résultats ainsi obtenus, prises en~;E'rnble,
constitueront l'interprétation de l'équation proposée" 34,
L'exemple que donne Boole est un énoncé de la Loi Juive définissant les
"bêtes pures" : les bêtes pures sont celles qui ont les ongles fendus et qui
ru.minen t".
Soient X, y, z représent.ant resp€'Ctivement "les b&tes pures", "les t)êtes
a ongles fendus"
et
"les bêt.es (1U1 ruminent",
La (jéfinition
....
'1
~;'é(rir;::\\
x = yz
(~we l'on DE'ut mettre sous la forme
.
.
x-yz = o.
Le prenuer terme de cette équation sera développée (omme suIt :
Oxyz + xy(l-z) + x(l-y)z~x(l-y)(l-z) - (l-x)yz + O(l-x)y(l-z)+O(l-x)(l-;Oz +
OU-x)(l-y )(1- 3),
En prenant, conformément à la règle précédente, tous les constituants
dont le coefficient ne s'annule pas, l'on obtient les quatre équations suivantes :
xy( l-z) = 0; x( l-y)2 =0; x( 1-y)( l-z) =0; (l-x)yz =O.
Toutes ces équations, intMprété~s affirment l'inexistence de certaines classes,
à savoir:
1. Celle des bêtes qui sont pures, qui ont les ongles fendus, mais ne sont pas
des ruminants.
2. Cella des bêtes qui sont pures, qui sont des rU.minants, mais n'ont pas les
ongles fendus.
3. Celle des bêtes qui sont pures, mai:;; n'ont. pas les ongles fendu::; m :-L,?;/:":T
3.11.
J t9
des ruminants.
4. Celle des oot.es qui ont les ongles fendus, sont d€>s' ruminants et ne sont. pas
PUfE.'S.
C'est l'enSèrnb1e de ces n~ations qui était contenu dans la définition
initiale, et la procwure a consisté en la décomposition en c~ différentes
n~ations de l'exist~nce de certaines clasws. Pour cette forme sous laquelle se
présentent les conclusions, Boole propose l'expression de .. négation conjointe"
(Conpint Demaj) 35.
• Déuxième forme V =1. C'est la forme duale de la précédente et la règle qui
la concerne dé-coulera dire-ctement de celle établie pour V = 0 : la somme
logique d~ constituants, autres que ceux dont le coefficient ne s'annule pas,
sera égal* à 1 pour constituer l'univers du discours.
Ainsi, en prenant l'exemple qui précède, on écrira:
xyz + (l-x)y(l-z) + (l-x)(l-y)z + (l-x)(l-y) (1-z)= 1.
En d'autres termes, on affirme par là que tout.es les cho::;e::; eXEtantes
appartiennent à l'une ou. l'autre des classes suivantes :
1. Celle des bÊles pures qui ont les ongle::; fendus et sont des ruminant.:.:;
2. Celle des b~t.es non pures qui ont les ongles fendus mais ne sont pas de-s
ruminants.
3- Celle des bêtes non pures qUi sont des ruminants mais n'ont pas les ongles
---
fendus.
4. CeUe d~ êtres qui ne sont pas des bêtes pures, qui ne sont pas ruminants ni
n'ont les ongles fendus.
De manière duale à la préc~ente, Boole propose d'appeler cette lorme
de conclusion L') une affirmation diSjOnctive"36.
• Troisième forme V := w. Elle est la p1u.s importante, dit Boole, celle qui
traduit le cas l€ plus général. Il est bon, tout d'abord de voir ce qu'elle signifie,
quelle situation elle traduit: si nous reprenons la définition des bêtes pures
ci-dessus et que nous cherchons à déterminer la relation existant entre d'une
part "les ~tes qU.i ruminent" et de l'autre "les bêtes pures" et les "animaux à
()r:1Çll~t;:- f~rld11c:n t'lO"lC- U(ln"'l'C q116 ('6 ""111" ["'lI'=" (''''~I-(11()t'C' (.' ,...,,-·t (j'=lt'lc'l'~nlqt1""t-l
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...
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ll.j,_ .......·.Ll ..·
."
-• .lI._,.· "V"-=:t.") '. ,_.
"_,
"."-11-'.'--.•- IV'
3.11.
120
x = yz ,à détermin~r z comm~ un~ fonction interprétabl~ des deux autres
S;lnlboles x et y
Nous vmvonsJ en fais-ant comme si x, Y.. z éta.iE'nt. de~: syrnbolE's
numériques, écrire alors que z = x/y. Mals il est bien évident que sous cette
forme, une telle équation n'a aucune signification logique, est ininterprétable.
Ell~ est, tout au plus, la <').?DSjgl}~ indiquant que c'est là l'équation à mettre
sous une form~ qui pui~ donner la relation r~uise par le problème.
En développant le second membre de cett.ë équation commE:' nou::::tVOfr::
désormais appris à la faire, il vient:
Z = X'f + l/OX(l-y) + O(l-x)y + O/O(l-x)(l-y).
Toute la question est dès lors de trouver une signification logique à une t.ëlle
formule.
Le problème posé est, nous dit Boole, le problème le plu~; général de la
logiq.ue et. il peut. se formuler ainsi : "Et.ant donnée une équation logiqUE:'
'"r" - ft' ." t
6t"
r 'l·"ti)n 1" c svn1bol""s x y .., ~~l '"'1" j':>f"11"11-' (-.1 p (~r.. t,· ""., n,;:," ".",;:.
ü1e"~~1..d· .-..1
e o. t..
e_.·,
ç , . ,
<.,
V" ..
\\) 1 (,".•
c ..... ~.
.... <:'
'.": '·o·!... ·; .... ~
""'.'0'
expression interprétable de la relation entre la classe représentée par w et les
.
.
'7
,..1.::\\.:.,:,,:>':. rA"".o':'C·~r.'t.6.PC'- D'''!"
.-.L '_0 "_' -.' '_" "_,
t:-'l-·.i ...... __,'.' L .'"•. '_"~ .' ,~
1,....
ç ·:· 'Al1tr~c:
c;'l"'r"lb"l,....<'· X v .,
,_, '_'. '_', _
.... ":-....
..
,"...1 ~.:-
....
"
'-"
.c.tr-
......
• J...._., • ".)
.L
'
~
•
Cett.ë équation donnée peut toujours être dévelop~e sous la forme
Ew + E' ( 1-w) = 0
où E et E' sont-des fonctions logiques des symboles autres que Vol Ce qui s'~:;rit
encore
d'où l'on conclut
w = E'/(E'-E).
Et c'est alors qu'en développant l~ second membre de l'4quation nous
rencont.rons toutes sortes de coefficients de la forme 1, 0, 1/0, 0/0.. m.. 1ln..
m/O, mIn ou m et n seront des entiers relatifs différents de 1. Quelle
interprétation donner de ces coefficients ?
Il suffit, dit Boole.. de considérer quatre cas différents pour voir ce
que signifie l'idée d'une
"modification" de l'int.ërprétation logique dE's
('(-'1-1C
'.-.'
·toit
'_'...J.
ll·;lf1t·:·
'_.
,_.
..._. p'''r
Q.
l~""
'.' ~ r·()t:>!"fi·
.... '-'
r'1'
..... P!1t c
'.'
_._' ''1111'
'"1 _.
l"'llr
-:::- -
0("l!"lt
.:" •.
•. "')r~fl"76c'
1-
'-'
:t,;,...... '-'
.
3.11.
121
1er cas : le coofficient est l, c'est-à-dire le symbole qui représenœ l'univers
du discours. C'est la ra.ison pour laquelle on énoncera la ft?gle que -tout
(:onstibJant qui a l'unité pour coefficient doit être int.erprété sam. aucune
limitation, c'est-à-dire que la totalité de la classe qu'il représente est
concernée-3ô.
2ème cas : le coefficient ~t 0, c'est-à -dire le symbole qui représente le "rien".
En conséquence on ne prendra en compte aucune partie de la classe
n:>r'~'~c;"'nté~ ,.,..;)[ 1"" (:''ln'''·Ut1 1·:.nt O'(lf t 1~ CO,....ffl· ~1·Ant ,;-'ô-f tiul A
• '.' l'J•••..~<-: ""."
1-"-<
'Ç
. , .
;;.
.,>','.•" '
',' 1 ..
"
.. y . (. ..... ~.
l
v .
3ème cas: c'est celui où le cO€'fficient est 0/0. Nous notons d'abord avec E-.oole
qu'en aritllmétique c'~t là le symbole d'un nombre indéterminé. L'analogie
qui est au fondement du travail logique de Boole suggère que ce symbole 0/0
représente en logique une d3S:"~ indéterminée avant qu'un exemple ne vienne
corroborer l'idée qu'il en est bien ainsi.
~,oit donc, par exemple, ia proposition "léS rwmmes non mortels
x "êtres mortels-. Supposons que l'on veuille exprimer -êtres mortels" en
e(:f1vons
v-vx::
, ,
0
ou encore
yx =y.
---'-
Il n'est, rappelons-le, pas question de procéder à une -simplification-
par y. Par conséquent en é-crivant x = yIy l'équation pré-cooente nous
n ~11e-.--:t.I./{?DS pas une opération de division (sans signification ici), nous
exprimons la consigne d'avoir à développer le second membre de l'équation
ainsi que nous avons appris à le faire. Il vient donc que l'on écrira:
x =y + O/O(l-y).
Cette formule, interprétée, signifie que "les mortels" (x) sont "tous les
hommes- (y) plus un supplément d'êtres qui ne sont pas des hommes (l-y).
Quel -supplément d'êt.res- faut-il considérer en rapport avec l'information
contenue dans la proposition initiale?
t'
•
3.11.
122
hommes, ou aucun autr~ $tr~ (c'est-à-dire que les humains $(traient
•
~,trictE'mént inclus dans léS mortE'ls) ne change rien à la vérit.é de la pre-nlis::;p
R
que 1€>S Rhommes non mortels n'exist.ent pas
Par conséqu.ent l'é::pr"?~.~;lOn
O/O(1-y) traduit bien une classe indéterminée d'êtres pouvant être aUSS1
"tous-les non-Ys, -quelques uns" d'entre eux, ou -aucun" d'eux.
Boole $(t conœntant de ce seul exemple dont il dit qu'il est
parfait~'ment généralisable, déclare donc que le cœfficient 0/0 traduit Nen
une classe indéterminée qui
apparaît comme l'equivalent du ':,yrnb~·ls
auxiliaire "v· de l'alphabet logique.
4ème cas : ce cas est celui de tous les
coefficients autres que les trois
précédents et il se présente usuellement sous la forme l/O.
C" (1'11' f'"'l·t la ,jl·ffe'ren A l:>. l:>.rl~·-e -.,;, "Ill·:.t''-1· 6'-rl'''' ,'.-•.~ ,..,t Ip-,-, h'()1',· ~·.t·,:::.···i.··J.··.·.t.-:
<:'
v . · . . . . ·
l.-ç-
v
Y
.
(.,
('1-.'.Ac.l
<:'J..
ç-
..... c.e.:. <:'.'
....:;.
.... '.'
.:.
1'.';' ... •.....··..• '::'lJ.·.·: ..
c'est, dit Boole, que les coefficients ici considérés n·obéis:3ent. pa~; à 1;:1. loi de
dualité.
Soit a un tel ((-.efficient: flOU::; n'aurons donc pas a( l-a) = (1 St1rv':>:n::;
que le développement de V dans l'équation w = V donne l'équation
OÙ 1% ai sont les cœfficients et 1€>S ti les constit.uants
Supposons en outre, poursuit Boole, que a l et 32 ne satisfass€>nt pas à lé1 loi
de dualité al (1-a l) = 0 et a2 (l-a2) = 0, alors que It?S autrt?S coefficients ai y
satisfont.
En élevant l'équation (a) au carré on aura:
2
(b) w=a1 t l+a2 2t2+ ... +~11carw2 =w,~2 =~pouri *1 eti '* 2, \\2 =\\
et t-ntm =0 pour n:t m .
En soustrayant membre à membre les deux équations (a) et (t») on écrit. :
2
2
0= (al - a1 )t1 + (a2 - a2 )t2·
l·,ut.rement dit
. 'l'
•
3.11.
123
vien t. .
Puisque al(l-al) t O,par hypothèse, on conclut que t l =O.
De même, en multipliant la même 6quation (c) par t 2 et en appliquant le
même raisonnement, on concIuera que tz = O. C'est là selon Boole, la
dénl(iflstration d'un "U"léorème- que l'on peut ainsi énoncE'r :
«Si dans le développement d'une fonction V destinée à représenter une classe
ou une collection d'objets w, il se rencontre le coefficient numérique a d'un
constituant qui ne satisfait pas à la loi a( 1 - a) = 0, alors le constituant en
que~:tion ,joit être égalé à 0» 39
Au. total, si nous revenons à l'équation qui nous avait servi d'exemF..le
pour cette troisiÈ'm€' forme V = W, c'est-à-·jire à .
Z = k7 + i/Ox (l - )7) + 0(1 - X)jT + %
(1 - x)(1 - Tl).
nous avons désormais les mO;1ens de l'interpréter en écrivant
Z = X'j + V (1 - x)( 1 - y)
et.
En d'auu€'s
termes "les animaux qui ruminent comportent t)US les
---'-
animaux purs qui ont l'ongle fendu et une classe indéterminée d'animaux
impurs qui n'ont pas l'ongle fendu- et les animaux purs qui n'ont pas l'ongle
fendu n'existent pas-.
La première Partie de cette inœrprétation exprime bien la relation
entre Z et 1% autres symbolw logiques de la prémi~, alors que la se<onde
partie montre quelle relation existe entre les éléments x et y de la donnée
initiale indépendamment de w.
De manière tout à fait générale par conWquent, si l'équation w = V est
mise lorsqu'on développe V, sous la forme
V,!T = A + OB + %
C + 1/0 D
(1/0 représentant tous les cO€'fficients
possibles autres que l, 0 et 0/0),
3.11.
124
intefpré~r CE" résUltat, ce sera mterpréter le sy'stkme des deux équations
suivant€'s :
~,,,r::A+v(,
D::O
probleme ürigmel de iaçon tout a fait mdépendante de
'11,~'
w};.
dont 11 d€'<Jare
que 'leur application est umver'::elle H '~U':- it-ur j_::,.~:'='":"
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d'équations à une équation umque.
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d'équations logiqu€'s
: et de f;:ufe appar3.1tl'e da.n::; le resu1t..:lt, ~e:; r":'l:;~.L;n~,
/ - ,
~ffectivesqui demeurent (entre les autres élémentsl» '1 ....
Remarquons d'abord av~ Boole qu'il ~st parfaitement posstble qu'l1 ne.
subsiste guère de relations c'est-à-dite que, comme cela arnve en a12ebre
ordinaire.. nous soyons conduit à une pure identité de la Ïorme 0 :: IJ La
m€-thode d'élimination nous sera fournie dans la Proposition 1 du chapitre VII
des 1ms de 13 .Pen~:
«:Proposition 1 : si f(x) :: Û est une équation l(>glque q1J.E"1conqu€'
contenant l~ symbole de classe x.. ave-c ou sans d'autres symboles de classe
alors l'équation
r(l ::r(i):: = (J
3.11.
125
est vraie ind~pendamment de l'interprétation de x et elle sera le r~u1tat final
de l'É-limination de x da.ns l'équation propos~.
En d'autres termes, l'élimination de x dans une É'quatJon donn~
quelconque f(x) = 0 sera obten~e en substituant succef.sivement à x dans
cette ~uation les valeurs 1 et 0 et en multipliant rune par l'autre les deux
équations ainsi obtenu~.
~ même, le r~ultat final de l'~1imination d'un symbole de classe
quelconque x, y etc. dans une éq.uation quelconque de la forme \\7 = 0 sera
obtenu en développant complètement le premier membre de cette équation
en constituants formés par l~ symboles qui sont donnés, en multipliant tous
les coefficients de ces constituants et en égalant le produit obtenu à OU. 43
De la première affirmation de la 'Yr0p':)~;itjon", concernant le. C3S d\\1!:'
seu.l symbole logique x, Boole ne donne pas moins de trois démonstrations
différentes. (11oi51sson5 la seconde: en développant le premier membre de
l'équation logique f (x) =0, il v1€'nt :
f (1) X + f (0) (t - x) =0,
ce qui peut E'w:ore s'écrire, ;n rnE'tt:l.!1t x en fadeur
If( 1) - ((O)) x~ 0 (a).
hiultiplions l'équation (a) par x. L'on obtient
(b) f ( 1) x = 0
(puisque x2-;·x).
Le problèm~ revient alors à éliminer x du système d'équations
(a)
[f( 1) - [(O)} x + f(0) = 0
(b)
f (1) x = O.
L'on sait déjà que le résultat de l'élimination de x dans
ax+b=O
a'x+ b' = 0
est ab' - a'b = O.
On a ici a = f (1) - f (0), b =f (0), a' = f (1) et b' = O. Il vient donc le résultat
f (t)f (0) = o.
Nous remarquons avec Boole qu'il n'est pas besoin d'avoir plus d'une
prémi::;se, ('e,:J-à -dire
plus d'une équation pour rendre
L3.
prc<eduft-
.',.
3.11.
126
d'élimination possible: tout 00 passe comme si la loi de dualité
x (1 - x) =0
était unE' forme d'2 sKonde prémisse t3.cite ou virt.uellE' rarne-na.nt 1~ p!oblerne
au cas algébrique ordinaire d 'élimination d'une variable da.ns un syst.krne
d'équations.
Passons maintenant à la ~(:onde partie de la Proposition l, qui pose le
problème de l'élimination de plus d'un symbole électif dans une équation
(x,y) = O. f (x.y) peut comporter d'autres symboles que x et y mais c'est
ceux-là qu'il nous est demandé d'éliminer.
Considérons d'abord que nous n'avons à éliminer que le seul symbole y
Le résultat en sera donné r..ar la formule
f (x, 1) f (x. 0) =0
comme il a été dit précédemment Si de cette nouvelle équation nor:
procédure,
f I' 1 1"1 1- {() 1 "i t' "1 (j ", i ! n (,", = (;
j
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bien les coeffic-1ents qui apparaissent dans le développement de 13, fond.i0L
f (X,y). La seconde partie de la Proposition 1 est donc par là démontrée.
Boole applique sa méthode à l'élimination du symbole auxiliaire v dans
les équations où il figure ainsi qu'on le voit dans l'exemple suivant: soit
l'universelle affirmative ''Tous les hommes sont mortels- qui trouve son
expression symbolique dans l'équation
y =vx
où y représente "hommes-, x -mortelÇ. Soit donc à éliminer v. Nous écrivons
cette équation sous la forme
y-vx =O.
En faisant v = l, il vient y - x = 0 et en faisant v = 0 l'équation devient y = 0
En multipliant membre à membre li?s deux nouvelles équ3.tions.. on
obtient
i'
..
3./1.
127
y-yx=o
(car y2 ,. y)
qu'on peut écrire
y (1 - x) =O.
D~ cettë nouvelle équation va bien ét~ éliminé et on l'interprètera comme
suit: -Les hommes non mortels n'existent pas-.
Si maintenant nous voulons obtenir à partir de cette dernière 6quatlOn
une description des êtres non mortels, c'est-à-dire si nous voulons exprimer la
relation de x à v.
, . nol..v:; aurons
x =y/y.
D'où il vient:
..
1 - x = O/y.
En développant le second membre de l'équation, on obtient
l-x= 0/0 (l-y)
dont l'interprMation est
"Ceux qui ne sont pas mortels ne sont pas des
tlornmes" Et nous retrouvons là ce que les 10Qiciens traditionnels ont 8Pf-:1I?1€
.....
.
(':00 v&fSJào p..'ff O.ÎDt,rlfP:)5:iti<''JD.
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...
·(1& iL;'- J-"1?JJS-A? où les métllOdes et questions de la logique classique ne lUi
servent plus de gUIde mais apparaissent au détour d'un exemple au ,=,ein de
l'entreprise plus vaste et résolument mathématique de la mise en place d'une
théorie générale du raisonnement déductif.
Ce qui lui permet d'écrire que 1a conversion n'est que l'application d'une
méthode bien plus générale en logique LJ. Cette méthode a pour objectif de
déterminer n'importe quel élément dans n'importe quelle proposition, si
complexe soit-elle, comme une fonction logique des autres éléments. Au lieu
de nous attacher au sujet et au prédicat, considérés comme des termes
simples, nous pouvons prendre n'importe quel élément ou n'importe quelle
combinaison des éléments qui les constituent l'un et l'autre ; faire de cet
élément ou de cette combinaison le -sujet- d'une nouvelle proposition ,:
déterminer enfin quel en sera le prwic.at , conformément aux donn(i.es que
nous possèdons" .44
r•
3.11.
126
4 La ré-duction des systèmes de propositions
Ii s'a.git ici d'établir une métllode permettant de réduire un syswme
quelconque d'6quations logiques à une S€'u1e équation équivalente., de manière
à pouvoir lui appliquer les métiJ.odes déjà déHnies d'interprétation d'une
équation donn~. Boole en présente deux en ce chapitre VIII des l()Js d~ lL1
La première est celle des multiplicateurs indéterminés et trouve la
formulation suivante: 'Tout système d'équations logiques peut se réduire à
une équation unique équivah:mte en multipliant chaque éo'-iuation autre que
la première par différentes
const.antes nurnériquE:'s
arbitraires
et en
.·.. c
;:'J.{jditionnant les résultats obtenus, ainsi que la première équation" '1.)
Il faut donc pouvoir montrer que si nous prenons p-:1.f exemple deux
équ.ation::: logiques
V 1 =0 et V 2 =0
"1'
TIl
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C;'~Ilt .j"- "'·t'·''';'·rr d' ~- ,-Pt·["'··1···C ""~1''"'116c' .-
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...
l·.e~:. 11..) .. J;·.·t.... !,..) 1.:.
t:~:, .:,·,,· ... ll...-li·)ll::',_, .il.)~d. t1_v,-, ~::..,
\\', ~ 0' ÎJ.
l
t:.
' w · ,-
unique
V 1 + cV 2
.---"-
où c est une quantité constante arbitraire est l'équation unique cherchée.
Pour le vérifier, considérons un terme quelconque du développement de
Vl,soit At, où A est le coefficient du constituant t ; U1ui correspond, dans le
développement de V 2 Je terme Bl. Le terme correspondant dans V 1 + cV2
sera par conséquent (A + cB) l.
Pour montrer donc l'équivalence entre l'équation résult3.nte et le ':::y:::.tàrne
initial, il faut pouvoir montrer que les mêmes constituants apparaissent dans
le développement de l'équation réSUltante avec des coefficients qui ne
s'annulent pas s'ils ne ~;'annulaiént pas déjà dans V 1 = C et V) = O. Cela
.
~
revient dès lors à montrer que dans U-. + cB) t, A + cf:. ne s'annule 'lue ~j l,. et P.
f•
3.11.
129
s'annulent tous l~ d~ux
•
Raisonnons donc par l'absu.rde en supposa.nt A + cE = 0 alo!"::: r;t't' ,1;., E't t~
ne s'annulent pas tous les deux. Trois cas ~uvent S€' pré-senter :
1. A s'annule et B ne s'annule pas_: on a alors cB =0 donc c =0 ce qui contredit
11lypotllèse que c est une constante arbitra.ire.
2. B s'annule et A ne s'annule pas. Mais alors A ... cB =0 donne A = 0, ce qui est
contradictoire.
3· Hl ,è', ni B ne s'annulent. A ... cB = 0 donne donc (: = -AlI> qui contredlt. à
nouveau l'hYIX'>thèse que c est une constante arbitraire quelconque.
En raisonnant de la même manière ctans le cas plus général, on montre
que le système
V 1 = 0, V 2 = 0, V 3 = 0, ...etc
f.>E>ut se H~dllire en l'équation équivalente unique
VI'" cV 2 ... cV 3 ... etc = 0
OÙ c, c', c" etc. sont des constantes arbitraires. De cette métbode P>oole déclare
qu'"elle est simple en Ul€-one
mais en pratique elle complique le; f-"[({~dures
f t
d 'f.: liminatj,C'n qui pourraient suivre.
Mais il €'st important de noter qu€' c'est sur l'e1.1x'sé. de cette mft1"J.ode
des multiplicateurs indéterminés que s'achevait l'AnL~ly,%l M3tl}t2irMtjqu~ diJ lLi
..----. -
Logique. En exposant, dans les it")is de la knmune ~onde rnétllode, plus
commode, Boole révèle encore une fois cette volonté de simplicité en même
temps que de généralisation abstraite qui tait la différence es%>ntielle des
deux démarches, celle de lô47 et celle de lô54.
La seconde mé1llode de roouction d'un système de propositions, celle
qui a la préférence de Boole, tient en une double règle.
Prernière règle : Si nous avons les équations V1 = 0 V2 = O... etc. et si les
dévelop~ments respectifs de Vl' V2 etc. ne font apparaître que des
coefficients positifs, l'unique équation obt.enue par addition (je cs-lle3
constituant le sysoome, c'est-à -dire
t.
3.11.
130
V 1 + V2 + ~tc. =0
pa.r (Ol1SE!'quent ~quivalente.
La condition exigée, à savoir que les coefficient.s apparaissant dans les
différents développements soient positifs, est une manière d'éviter qUE' par
addition, des coefficients ne s'annul~nt dans l'équation r6sultante, alors qu'ils
ne s'annulaient pas dans celles qui constituent le syst.èmE' initial.
Il en découle donc une dem·jèmê règle qui ~st la suivante :
Deuxième règle : . Si V 1 = 0,
V2 = 0 ,etc. représentent un syst.ème
quelconque d'équations C..) l'interprétation de l'ensemble du système sera
l'équation unique
~!
")
v , TT'
t
'
l~'" "'2-+€"c=ü
obtenue par addition des carr&s des É.>quations donnée::;" 46
dévelop~mentdonne al t 1 + 212t 2 + etc := 0 où les ~ sont les constituants et
')
~
.3.
~tl
1
+ a2 t 2 + et~ = 0 (puisque ~L: = ~ et ~1 = 0 r.c,ur 1 :t= p.
Par conséquent, on aura les mêmes constituants dans V 12 qU;-dâns V 1
avec des coefficients positifs. Dès lors, on peut} pour un système d'équations
Vi =0 appliquer la première r~le.
AVf!K- l'exposé de ces règles de réduction d'un système d'équations
logiques, Boole a fini de présenter sa logique algébrique et les métbodes
symboliques d'expression et de résolution des problèmes g~n~raux du
raisonn~ment déductif. Il ne donne plus dans les d~ux dlapltres qui suivent
que des méthodes pour simplifier ici ou là les calculs, les rendre plus élégants.
Ainsi, après deux autres chapitres où il montrera comment son
prop<')sitions secondaires.. il peut faire le point en quelque -:;orte et comparer lE"
·~
.
3.11.
131
système qu'U vient de mettre en place à l'édifice de la logique classique.
1
C'est bien entendu pour con-::tater qu'il n'est point be301n de· mu1tlpli08f
les exemples pour voir que les questions de la logique tJaditionnel1e.. la
conversion ou le syllogisme par exemple n'~taient qu'une application
particulière de la méthode bien plus générale exposée tout au long de
l'ouvrage; le syllogisme en particulier ~tait une manière d'appliquer la
méthode de réduction d'un système de propositions.
Tout son t.r3.vail ~t là poUf apporter une réponse négative à la
question de savoir si l'étude du syllogisme est co-extensive à l'étude de la
logique en général. Et surtout pour porter un démenti à la thèse qui a t.rouvé
chez Kant une expression célèbre, que la logique était née parfaite et achevée..
dès son origine.. du cerveau du Stagyrite.
D Application de la théorie du raisonnement déductif à l'an3Jyse d'arguments
mét3.physiques
Dans un petit texte écrit entre 1ô4ô et 1ô5,4 et non pnNié de ::;01"1
V1vant. intitulé "Esquisse d'une théorie et d'une méthode en Probabilités
fondées sur le calcul logique" 47, P.oole expose sa "MétJlode générale- en
~-. -Logique· et lui trouve comme illustration l'analyse de la "Th?monstration de
l'Exisœnce et des Attributs de Dieu· par le philosophe Clarke. Cette illustration
sera reprise en l ô54 en un cliapitre entier des l{)ig d~ k? Ff!f}sM,. le chapitre
XIII intitulé "Clarke and Spinoza",
Ce chapitre XIII est important à plus d'un titre.
PremiériJmeot: après avoir achevé l'exposé proprement dit de la logique
algébrique et des méthod~ symboliques de calcul, et avant de traiter dan~; h%
chapitres de XVI à XXI des l<?is de J..'? Ff!n~, d'une théorie d~ Probabilités
qui pour lui en est une application dérivée, Boole utilise sa logique à mener ce
que nous appellerions des analyœs d'arguments.
Or ces analyses sont une occasion de montrer l'identité des
[.,!"y,ç.(lllt"'-"Ç' qPl' ~~':.l..... t·,t nAIlr 1~ ('a1(·111 ,j""O;. [.'!·")[.'(·)':·l· t l·()!·lo;· r,t'1·!..-,:,1t',:,·:· !=>t r·lI·-·,"t- '·,::,11'i
."
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'.'.- 1" ....•_I..L
·'0··.· .. '-"".'
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3.11.
132
ana1ogu~, des Propositions se-condaires : les raisonn~ments métaphysiques d~
A .
Cl
-' arke et de Spinoza sont des enCh31llements de Propositions secondaire~: (je,nt
il ~:'a.g1t dE' tester la validité formelle au rnoyen de ~la méthode gêneraI€- en
Logique~ e1.1)()sé-e et étudiée JUSqU'iCI surtout pour le calcul des proposition:;
primaires,
.f)&llxjém~m~n(. et surtout, les arguments dont il s'agit ici de mener
l'analyse logiqu~ ne sont. pas de simples illustrations choisies arbitrairement:
en bien cles endroits cie son livre" Boole a fait état de certaines flnalit.ës
as...c;ignées à la création d'une logique symbolique qui concernaient au premier
chef la philosophie, Lorsqu'il introduit par exemple l'étude des Propositions
secondaires et qu'il souligne toute leur importance pour les ~raisonnements
da.ns la vie ordinaire", c'est pour tout de ,;:u.ite ajouter: ég::l.1ement "(eux du
moral1ste et du mM.aptlysiden" 4.$
("lt'tç'ut "";6S 16 pt-"'!}11'''''r Cl-l':;'P1't':J'Ç;, (j"o..::, l )/.;;' ,-J~ !~ ~"'(L;.i~ l'fltit' j1 ':' ".-::.tll'-Ç;, ç;,t
_"
·} .......v
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{~'... .J,(T ,J ... .J.J ..'~'...
"_".1°_-
..... '_ ._.,_'.....'
•. '..
à ces formes et à ces procédures (symboliques de la logique) dans la
discussion ct 'une question d'étrlique ou de philosophie générale rE'1~npr:3_1t
-
'"
"M,i
d'une 1rlwrnprenenslOn,_ .",
F.nÜ'J; et en conséquence. ce (bapitre nous rappelle que (''?-st. :31)::;::::1 un
aspect dont il faut tenir compte lorsque l'on parlé-'de l'Œuvre logiqu,e de
George Boole, qu'elle est également une réflexion sur les fins s~u1ativE>S de
la logique symbolique: s'il faut abstraire la logique de la philosophie et de la
métaphysique en particulier, pour la reconstituer comme une science formelle,
celle-ci, en retour, doit pouvoir suggérer des considérations philosophiques
(ou à propos de la philosophie) que Boole réunit et systématise dans le dernier
chapitre du livre intitulé la constitution de l'intellect",
Voici, en ce chapitre XIII, en quels mots Boole présente la démarche qui
sera la sienne: Texaminerai quelles sont les véritables prémisses contenues
dans les démonstrations de cert.:l.ines propositions générales des tr::ütés [de
Clarke et de Spinozal c.J qu'elles soient exprimées ou seulement impllC1te:::
""l,
6, T'l'- ç,c- :-:1~~('1' t' ':, l' t-l':::l' rji.·R1-t-r-l i t-li>
lç;,·:' r"t' P~-l-' l' c-·:-.::.·:'
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J. ... r~·'"
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.
3.11.
133
langage d~ symbol~ et i'en déduirai alors, selon les méthodes développées
da.ns les chapitres pr~c6dents, les coneJusfons les plus importantes qu'elles
impliquent, en plus des conclusions particulières qU'en ont effectivement
inférées CèS auteurs· 50.
Son but n'est donc pas ici d'interroger les princi~s métaphysiques
eux-mêmes, mais seulement d'examiner
·quelles conclusions peuvent
légitimement être inférées de prémis...~ données· Il se place donc sur un plan
Pl1f'''''!'''1~!'lt tA("hfU'qU"" qU1' "·()n'"'l·,..·t,:, .~ tôc'tr'l' ';:''''1' fI \\"'C fI-l;'tl"()~":' .:·tll·:r:,\\·)..··,11"~·'l,:,ç· ('':'''':
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enchaînements déductifs. Le but poursuivi ici est donc double:
1. Il s'agit tout d'abord de montrer la capacité de l'algoritlune constitué par
Boole, sur des exemples qui ne sont plus spécialement construits comme
illustrations, à tester la validité formelle d·u.n raisonnement. c'èst-à-dire 1;::"
manière dont les conclusions effectivement tirée~, s'enchaînent aux prémisses
que l'on s'est données.
2. A P'='t·t'r
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L'"
1- 1 . . . .lpc.
. . .
_
résultats qu'il nous permet d"obtenir, il s'agit de produire de nouvelles
conclusions qui, qUOique souvent inaperçu€'S des auteurs, n'E'n sont pa~; moin:::
des inférences légitimes déduites des données premières. Le cas est par
conséquent tout à fait possible d'une conclu.sion en quelque sorte "in(i€':::irable"
bien qu'effectivement impliquée par les prémisses initiales.
I. L'exemple de Oarke
Boole analyse tout au long du chapitre un certain nombre
d'arguments de Oarke constituant autant de -démonstrations· de l'existence
de Dieu.
Considérons un exemple parmi ceux étudiés par Boole, celui de la
démonstration par Oarke ·de l'existence d'un être intelligent existant par soi"
telle qu'on peut l'inférer "de l'existence phénoménale du mouvement dans
l'univers" 51
3.11.
134
Boole commence par longuement citer le texte de t'argument de Clarke,
sous sa forme verbale.. en en omettant, dit-il, "des'e}.-plic:ations san~; grande
t mp()rtance" .
Reconstituer symboliquement t'argument, c'est, dans un premier t.emps..
dégager les propositions qui en constituent les prémisses et qui ne sont pas
toujours indiquées comme telles dans le raisonnement. selon Boole, ces
prémisses sont au nombre de cinq :
1. "Si le mOU1lHflent. a commencé dans le temps, la cause première est. un être
intelligent.
2. Si le mouvement a existé de toute éternité, ou il a été produit de toute
éternité par un êt.re intelligent et éternel, ou il existe par soi, ou il doit avoir
E'xisté par unE' cornmunication et une transmission à l'infini.
5. Si le mouvement a été produit de toute éternité par un être intelligent et
éternel. la cause première est. un être intelligent.
..::'i lA fl'lfll"UA!l-'Al't
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repos.
5- Que le mouvement ait exist.é par une communicaUon et une transmi%ion à
l'mfini et qu'en même t.emps il n'existe pas par soi et n'ait pas été prc,dult. de
toute ét.ernit.é par un être intelligent et éternel, cela est faux' S2.
La seconde démarche,'après l'étaNissement des prémisses (je
l'argument, consiste à exprimer, au moyen de symboles logiques, les
propositions qui entrent dans ces prémisses afin de faire acc~der le
raisonnement aux conditions d'un calcul symbolique. La traduction suivante
est alors effectuée :
·x =le mouvement a commencé dans le temps.
1 - x =le mouvement a existé de toute éternité.
y =la cause première est un être intelligent.
p = le mouvement a de toute éternité été produit par un être intelligent et
ét.ernel.
q = le mouvement existe par soi.
3.11.
135
l'infini .
s = la matjère €>st un repos" 53
L
propoç-i t,
b<:-
'lns~ ('o'l'pl"'zyoç' n 11' "'-'f.It IPc' ri riO f-'" ':'1"1" l' '-"~C>C: ('l' ,-1 ;:"'-C'11 ,-
Ç".,;)
....,.
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v
J.
J.
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J. ~ .. 1 .;..:
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- ; -
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_ • .:.
peuvent donc se traduire symboliquement comme suit:
(a) x = vy,
(b) 1 - x = v {p (l - q)( 1 - r) + q (l - p) (l - r) + r (l - p)( 1 - q) L
(c) P = vy,
(d) q =vs (l - s) = 0,
(e) r (l - q) (l - p) = O.
La prémisse (d) donne pour q la valeur O. En substituant cette
valeur à q dans toutes les équations il vient:
(a) x = vy,
(b) (l - x) =v {p (I - r) + r (1 - p)} .
(c) p= vy
(e) r( l-p)=O.
Puisque dans x = vy, nous le savons, éliminer v c'est ~rire cette
équ3tlon
x(l-y)=O,
on obtient en élimina.nt. v de t.outes le~; équations'
(1) x (l - y) =0,
(2) (l - x) { pr + (l - p)( 1 - r)} = 0,
. (3) p (l - y) = 0,
(4) r (l - p) = O.
Tester symboliquement la validité de la conclusion à laquelle
aboutit le raisonnement de Oarke, à savoir que 1a cause première est un être
intelligent", c'est déterminer dans ce système réduit la valeur de y.
L'on procèdera donc d'abord à l'élimination de x dans les équations (1)
et (2) pour obtenir l'équation
(5) (1 - y) {pr + (1 - p) (1 - r)} = o. (On uWise la règle ab' - tYa' = 0).
Ensuite, de la même manière, on éliminera r des équations (4) et. ()) On
~ .
.
3.11.
136
r (1 - p) + (1 - y) {pr + (t - p) (t - r)} =O.
On sait que l'éliminatJon de r consiste à faire r = l puis r = (1 et à
mult~p1ier les ro?sultats des substitutlOns de ces va.lew-s de r dans l'equat.1on
L'on obtient donc:
{l - p + (l - y) p} x (l - y) (l - p) =O.
D'où l'on déduit l'équation
(6): (l - y) (l - p) =O.
Enfin on élimine p des équations (3) et (6) pour ot)t-E"nir
1 - v = 0
. .
C'est-à-dire y = 1 ou "y est toujours vraie".
Cette dernière équation exprime bien la conclusion à laquelle avait
abouti le raisonnement purement verba.l de ClarKe' "La cause première e:;t un
être intelligent". La machine algébrique aura donc reproduit symboliquement
la conclusion de l'argument de Clarke" et cela correspond au premier ~lspect. du
t.est 1c::tI2:iaue. Le second asnec:t consiste maintenant à ::;e demander "(~.t,pil;,;:
~.
J.
.t
autres conclusions se peuvent déduire des prémisses· 54.
On sait en effet qu'un système d'équations algébriques étant donné
il est t):)u}ours formellement possible de voir, de manière €'x11anstiVE', quelles
expressions t-<JllS les symboles qui y figurent peuvent trouver le:; une:: en
fonction des autres. En-d'autres termes, et puisque dans l'algorithme booléen
-tirer une conclusion" se ramène à un tel type de procédure, il est toujours
possible de rechercher, en plus de la conclusion visée éxplicitement et inférw
"verticalement- pour ainsi dire des prémisses, quelles autres conclusions
"obliques- ou marginales sont légitimes.
Plus donc qu'un simple test de validité formelle, le calcul est une
machine à produire exhaustivement et explicitement toutes les conclusions
qu'enveloppent les données
"principielles" d'un raisonnement. Que va
produire le traitement symbolique de la 'œmonstration" de Clarke?
Substituons cette valeur y = 1 dans les quatre équations exprimant
les prémisses. On obtient alors le système suivant:
U - x) {pr + (l - p) (l - r)} = 0
3.11.
137
et
r (t - p) = o.
L'éllminatjon de x de ces équations nous donne •
r (l - p) :: 0;
autrement dit
(et)
r = vp.
Ce qui s'interprète: NSi le mouvement existe par une communication et une
transmission à l'infini, alors il a été produit de toute éternité par un être
int.elligent et éternel".
L'élimination de r du nouveau système donne
(1 - x) (1 - p) = 0,
ce qui s'écrit encore
(13)
1 - x :: vp
et s'interprète: ·si le mouvement a existé de toute éternité, il a été prodUlt de
toute éternité par un être intelliQent et éternel".
<..'
Enfin, l'élimmatJon de 1) du rn&rne sv~:;tènw donne
.
J~
•
(l-x)r=O
qui s'écrit également
(l - x) :: v (l - r)
Cette formu.le est encore équivalente à celle-ci :
(~) r =vx,
---"-
ce qui s'interprète de la manière suivante : "Si le mouvement existe par une
communication et une transmission à l'infini il a commencé dans le temps.
J
Si l'on compare maintenant les interprétation des conclusions ((X)
et (~), l'on constate avec Boole que 1es deux conséquences tirées de
l'hypothèse que le mouvement existe par une
communication et une
transmission à l'infini, à savoir :
1. qu'il a été causé de toute éternité par un être intelligent et éternel;
2. qu'il a commencé dans le temps,
sont à l'évidence contradictoires. Et pourta.nt l'une et l'autre
sont
des
,
cc
consequences rigoureuses des prémisses originelles". j j
3.11.
138
un~ contradiction ·matéri~l1~·, Qu~ signifi~ un~ telle distinction ? quelle
cons~uence entraîne-t-elle ?
1. Dire que "logiquement" il n'y a pas contra.·jlCtion entre "ft.re }!f;)d131t ds
toute M.k>rnité par un êtJe intelligent" et "avoir commencé dam; le t.ernps', cest
tout simplement constater que sur le plan strictement formel, c'est-à-dire par
les seules métllodes symboliques d'inférE;>nce qui ont été mises en œuvre" les
dE;>uX conclusions (tx) ~t ~) sont également déductibles des prémisses que la
pensée métaphysique s'est données
Mais "matériellement" la contradiction est là : c'est-à-dire que si
l'on prend en compte l'intention démonstrative de Clarke} le fait qu'il se
propose de démontrer une tl1èse bien déterminée} l'égale déductibilité de f.t1..)
et dE;> (0) dE;>vient indésirable.
L'on voit donc la conclusion implicite de ce constat d'une contradiction
..matérielle.... cachée pour ainsi dire, dans les prémisses de Clarke
::;eul
l'algorithrlie algébrique pur} seul le calcul symbolique en quc'i :::'2 re'::~~1:;'2 1;:1
logique, a permis de révéler à la pensée métaphysique l'indésirable surplus
qui était enve1opp~ dans les prémisses qu'elle s'ét..ait données
2. En corr:;éqnence} c'est aussi le r3.1S0nnement formel qUi itEi1qU.E'~< l:} per~::>:+
le moyen de réduire "l'indésirable surplUS" : en l'occurrence il faut f>2'ndre 1::!
contra~tion impossible en la rendant ~al€'ment 10gique", de "ma.tk.nelle"
qu'elle était.
Ce sera chose faite à runique' condition} dit Boole, de rajouter aux
prémisses initiales l'hypothèse nouvelle que -ce qui a été produit de toute
éternité par un être intelligent et éternel ne commence pas dans le temps-.
Le formel ou encore le logique- apparaît d~ lors comme la norme du
-matériel- : le calcul de Boole commande à l'int.ention démonstrative.. à
l'argument visant à démontrer une thèse donnée d'apprendre à se réecrire
après une réorganisation réglée et normée par le calcul symbolique.
La conclusion de cet examen logique des raisonnements philosophiques de
Clarke est dans ce que déclarait Boole avant même de mener l'a.nalyse de
(!?rt..a.ins ;:lfqUment~; de la "Démonstration" de cet auteur
"[:'1~r1 ,. -.
.~-'-
,-'
.
,
. .
3.11.
139
dwuctions qui (la) constitu~nt n~ soient pas ,en général, bien mises ~n ordre,
1
elle-s sont çer-~ndBnt) presque toujours, de-s sp~dmt?ns de logique corr~(te, et
ellE?S r~vèlent u.ne mt.eltigenc:€' et une force de f8.isonnement qui ont rarement
été égalws, jamais peut-être surpass~es,' 56
1l, 1 Ftbiqllf.' de Spinoza
Cette appréciation qUE' fait Bode de la logique de~; raisonnements (je
Clarke change totalement lorsqu'il en vient à considérer 1'3.na1,.% logique des
premières
"démonstrations" de 1FtlJiqll~ de Spinoza
: "Bien que le
raisonnement du Dr samuel Clarke soit en partie du verbiage, celui de Spinoza
l'est beaucoup plus , et c'est peut-&t.re la raison p<mr laquelle, à cert;3ins
esprits, il a paru posséder une for(:e conduante formelle à laquelle.. en réalité..
il ne saurait prétendre" 57
f.oole cornrnence par enurnérer les l'lUIt "dEdimtion(' et les sept
"axiomes" qui
ouvrent JFtlJiqll~, Ensuite,
prenant pour
exemple les
"déductions' de cert-1ines "F1"opositions", il s'attache à rrlOntrer c:ommE'nt selon
lui" les diiférent.f1$ "Propositions" de l'Ethique ·sont en réallté inférées, Ije
manière subreptice.. de définitions et d'axiomes demeurés implicites, et qU.l
sont autr~ que ceux effectivement posés,
-'-
La démarche consistera donc ct 'abord à exhiber" les prémisses
véritables, qu'elles soient explicitement établies ou qu'elles soient seulement
implicttesh afin de montrer "comment elles impliquent les conclusions
auxquelles Spinoza a été conduit"Sô,
Pour Boole donc tout le déroulement dwuctif tient
a) à l'application d'un princi~ de dichot..eomie qui divise l'u.nivers ontologique
et l'univers du discours en
1. ce qui est en soi et ce qui est en autre chose, soit x et x',
2, ce qui est conçu par soi et ce qui est conçu par autH~ chose, soit y et y',
3- substance et modes, soit 2 et 2',
;' .
,
3.11.
140
5· cau~ de soi existant par soi et ca.u~ par autre chose, soit e et e',
b) au principe que M
ces divisions ne sont pas s~ulement par311è-le': m:=J1~
équ.1va.lentes", c'est-a-dire qu'il est (:l!JSSl proc.?dé à 1'tdentJ.f1c3tlO11 SU.1V2nte '
x=y=z=f=e
d'une part, et d'autre part :
x' = y' = z' = f' = e'.
Si l'on écrit au moyen des symboles littéraux et de l'univers du discours noté
x = 1 - x'J y = 1 - y' z = 1 -
J
z' f =
I
1 - f
)
e = 1 - e' •
Tout ~ résumera dès lors dans la série des équations suivantes:
x = y = z = f = e = 1 - x' = 1 - y' = 1 - z' = 1 - f = 1 - e',
Et en fait, déclare f..oole, les Mconclusions· qui sont inférées dans ce dél)ut dlJ
livre 1 de lFt!Jl'qll&ne sont rien d'autre que l'énumération des égalités entre
<.ieux tenues quelconques de la série que l'on vient .3.11131 décrire Ut préu,To::-
,j'une Proposition est plutôt qu'une preuve, la pure I:?Jéffc'[{',?:? ·:ie: dE-!'lL:<:::':,:
ou à d'autres propositions déjà obtenues de la même manière,
Ainsi en est-il de l'égalité z = e exprimant la proposition VI I du livre l
de F1i7./JJqut?: "il appart.Jent à la nature d'une substa,nce (i'e:>Q:::ter"; de m.;,mE-
que l'équation z = 1 - e' exprime la proposition VI : "une substance ne petH
pas être produite par une autre substance".
Au total, les démonstrations de Spinoza apparaissent être hors d'atteinte
du test logique de Boole à la différence des raisonnements de Clarke. Ce test
tourne court lorsqu'il s'agit de lFtbiqlle, car, de l'aveu de Boole, on ne peut
guère aller au-delà de la simple traduction en symboles littéraux des énoncés
spinozistes : ''Bien entendu, toute déduction admet, une fois ses pr€-misses
ultimes véritablement déterminées, d'être traitée selon cette métJlode ,: mais
dans le cas présent, un tel traitement diffère à peine, sauf par l'usage de
lettres à la place des mots, des procédures employées dans les démonstrations
originelles-59.
Par conséquent, "Bien que 1Ft)jl~~Uf.' de Spinoza, (:ornme une grands
3.11.
141
guère un bon entraînement à la méthode symbolique e~ ici- 60.
M . 0·""'1
'
....f-A
1'"
....
31S uvve ne s a.rr~1,..t;' pas a, a ce const.at de ce qu'il jugE' etrE' unE'
''trahison" de la forme g~om€-trique : il ne s'agit plus sE'ulem€'nt ct 'illushef sa
métlwde
par une analyse d'arguments, mais de
rendre ra.ison
du
contre-exemple spinoziste. Et il explique, pour ce faire, qu'à la différence de
Oarke, dosant dans les 11ypoth~es qu'il se donne des faits d'observation
comme l'existence phénoménale du mouvement et des principes a priori que
l'on fY?ut SUPpO%'f acceI)t3bles par tous, Spinoza a tot:tlement ignoré "la
procédure plus sobre de l'analogie et de l'induction probablen61 : le test
logique n'est plus alors celui de la cohérence déductive mais la condamnation
de l'a priorisme en général.
Il y 3. donc bien une philosophie derrière l'idée d'illustrer sa méthode
en choisissant de mener l'analyse d'cu-guments philosophiques et par
conséquent dernère ce choix de Clarke d'une part, de JEtlJjql1~de Spinoza de
lautre : c'est 1'1fjée que le c3.lcullogique doit pouvoir être Juge de la rigueur
philosophique pour la parfaire comme dans le cas de Qarke ou la dénoncer
comme appal-eflce dans le cas de Spinoza.
S'il PE?ut être permis ict en un· ;jJiactlronisme, de parler (je
"posüJvi:::rne logique", c'est dans le sens ::;uivant
Boole se propose de
véritablement réécrire les textes des auteurs qUïl~'rd considérés en faisant
prendre conscience, par le calcul formel, d'abord de l'exigence d'écrire
explicitement toutes les prémisses que présuppose leur raisonnement alors
que bien souvent elles passent ina~rçues; ensuite et surtout de celle de
r40rganiser les appareils déductifs mis en œuvre lorsque l'analyse logique du
raisonnement a montré s11 était besoin de rajouter d'autres prémisses qui
fonctionneraient comme des restrictions ~rmett.ant d'éviter des conclusions
indésirables_
Au bout du compte, autant qU'une mise à l'épreuve des Mchaînes de
raisons· mises en œuvre dans les démonstrations de Clarke et de Spinoza,
comme illustration de la "méUlode générale en logIque", Boole a voulu faire de
3.11.
142
philosophes. Il s'agit aussi pour lui d'engager le dialogue avec eux., de
provoquer pour ainsi dire, à le lire, les logiciens selofJ la tradition '11Ji? sont les
philosopl1es
Mais n'avait-il pas déjà, entre eux et lui creusé un abîme
infranchissable? On l'avait vu regretter la publication rapide de son A1J8lySf.
M..1?t.lJt?nNrtjqll~ d~ kf l()gjqll~ et s'attacher pendant des ann~es à lire les
La volonté de patient.es justifications y est. lisible en effet. liSlt,l~
~alement son intention de montrer que sa logique algébrique vaut aussi p:3J
les fin spkulatives qu'elle peut avoir Mais les formules matllérnatiques t
Mais le HtlSf)nneBient ordinaire '~.
que si son t.ravail demande.. pour être wmpris., "une cert:1.lne conn;:1l':s;:'nc,:.:ie:
prl'Il"l'r.)~-:' ,"p. 1'-:jl(';~b1"6 n1~i11":' ';:";'1"": ('i11'l'l ':'()l't t"1{:.('P',:·:":.irp. '"'11':" 1':"lH' ,:.,h~(1,:.:\\p ,:.,;-..:,
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.
menée au-delà des questions de résolution d'équations simples·,62 il est
certain que les formules n'ét3,ient pas faites pour IUl attirer riE'::: ledeur3
tlOstilité dE> principe ,
Quant au "raisonnement ordinaire", il semble en effet blen
profondément enfoui dans les formules et procédures mathématiques dont on
ne voit guère quelles opérations intellectuelles s'expriment en elles, Cette
volonté de parler -aux logiciens d'Oxford-, aux philosophes, donc fera que ces
questions auront une importance de plus en plus grande dans l'esprit de
Boole.
Ses recherches logiques ne sont pas achevées avec son grand ouvrage,
Jusqu'à sa mort, dix ans plus tard, en des manuscrits qui ne seront pas publiés
de son vivant, il reviendra sur ses idées logiques, sur la question des
méthodes symboliques de raisonnement En un mot, sera lisible dans ces
manusuits un véritable remords de Beorge Boole d'aVOir fait de la logique une
".
3.11.
143
mathématicien.
.---0-
144
I I I -
La Théorie des probabilités comme
1
Un ouvrage récent
sur le système constitué par Boole note
"Jamais clairement comprises et considérées de toute façon comme fausses,
les idées de Boole concernant la probabilité ont tout simplement été
ignorées par l'histoire de cette question qui s'est développée selon
d ,
d"
,,2
A'
.
autres
lrectlons
.
InSl, "contrairement
logique, cet aspect
de l'OEuvre de Boole n'a laissé aucune trace historique. En dehors peut-
être d'une simple inégalité qui porte son nom, il n'est fait mention
nulle part de Boole dans ce qui s'écrit habituellement en probabilité
et l'ouvrage le plus récent qui examine les idées de Bcole sur cette
question est celui de Keynes (1921)3, c'est-à-dire un livre publié il
.
. ,
,,4
Y a plus d'un deml-slecle
.
De fait, l'un des signes les plus évidents de cet oubli relatif
des
travaux de Bcole en th~orie des prcbabilit~s ~st cu'aucu~e des ~:~mu-
nications présentées lors de la célébration du Centenaire des Lois de la
PenséeS ne fut consacrée à l'exposition de son calcul des probabilités.
--
A peine trouve-t-on. dans l'une d'elles. ces quelques lignes: "La seule
application que Boole a cherchée pour sa logique est celle concernant
le calcul des probabilités. Les probabilités figurent dans le titre même
des "Lois de la Pensée" et un tiers de l'ouvrage est consacré à cette·
6
question. Un livre
posthume de Boole. écrit probablement vers 1850
(avant les "Lois de la Pensée" donc) sur "Les Propositions Numériquement
Définies"constitue pour ainsi dire la transition entre la logique et le
calcul des probabilités. A partir de relations logiques il est possible
d'inférer des relations numériques et donc des relations de probabilités,,7
f.
145
Les historiens de la logique ~gale~ent restent allusifs sur les
chapitres des Lois de la Pensée qui concernent le calcul des Probabilit6s.
Pourtant, comme le rappelle la citation que nous venons de faire,
Boole lui-même a accordé une grande place et une grande importance à
l'application du calcul logique à celui des probabilités. Cela constitue
l'innovation la plus visible par rapport à l-'AI~l~se ~2thématique de la
Logique et elle fut préparée et mûrie par un certain nombre d'articles
(certains publiés de son vivant, d'autres'posthumes )8écrits entre la
date de parution de cet opuscule et celle des Lois de la Pensée. Et,
parlant de la "puissance de sa méthode" logique, Boole déclare qu'''elle
ne saurait pleinement apparaître que dans son application à la théorie
mathématique des probabilités" (LI. p. 146). L'on pourrait ajouter à
cela que les premi~res réactions que suscita l'ouvrage de Boole port~rent
sur les chapitres qui y sont consacrés à l'application du calcul logique
à celui des probabilités. Dès 1854, c'est-à-dire dès la parution des
~?is de-la Pensée, Henry Wilbraham publia dans le numéro de Juin du
Philosophical Magazine une critique assez sévère de "la théorie des chances",
comme l' on--a.ppelait aussi le calcul des probabilités, "développée dans les
Lois de la Pensée du Professeur Boole,,9. Ce dernier publiera, par deux
fois, les r~ponses à ces objections et, snrtout, ne cessera plus de revenir
sur sa th~orie et sa méthode des probabilités pour les simplifier et les
.
10
corr1ger
Par ailleurs, même si l'histoire de la probabilité s'est ensuite
"développée selon d'autres directions" que celle explor~e par Boole
grâce à l'éclairage particulier de son symbolisme et de son calcul logiques,
i.
146
rétrospectivement. lorsque l'on sait aujoprd'hui que "l'on peut définir
l ~~ probabilité par une algè-t>re des év(n",:r.ents qui est une alg2bre
de Boole normée"ll. on ne peut s'empêcher. malgré les confusions dans la
démarche que l'ouvrage de Keynes. entre autres. a relevées. de créditer
toute l'entreprise d'une
"intuition
droite" selon l'expression de
12
Suzanne Bachelard
.
Cela dit, nous nous bornerons ici. en cette section consacree au
Calcul des probabilités tel que Boole le constitue, à décrire la théorie
dans le seul but d'éclairer la notion "d'application dérivée du calcul
logique" qui est l'expression employée par Boole lui-même pour parler
l3
de la probabilité
. En un mot, à dégager les principes selon lesquels
il a procédé, de manière originale par rapport à la tradition. à une
logicisation des problèilles de probabilité. à la constitutio~, àans la
continuité de son travail logique, de cette logica probabilium que
Leibniz avait envisagée.
A - Langage et Probabilités
---. -
L'application du Calcul Logique à la théorie des probabilités offre
à Boole l'occasion de revenir sur sa réflexion et ses analyses concernant
le
langage
naturel. Ou plutôt, faudrait-il préciser,le principe même
qui lui permet d'effectuer la logicisation du calcul des probabilités.
est fondé sur un retour à ce que nous voulons véritablement dire lorsque
nous parlons de la probabilité des événements.
Ce qui. en effet, constitue "l'originalité et le génie" de Boole,
l4
selon les mots de Keynes
• et qui lui permet d'effectuer une véritable
LA) 1
147
rupture d'avec la tradition en théorie d~s probabilités, c'est que
reprenant les définitions fondamentales elles-m~mes, il propose "une
autre manière de considérer toutes les questions qui se posent en théorie
des probabilités ; Lune) manière
[qui] consiste à substituer aux événements
les propositions qui affirment que ces événements se sont produits ou
vont se produire; et â considérer que l'élément de probabilité se
rapporte à la vérité de ces E!0positions et non à l'~ccurrenc~ des événe-
ments à propos desquels elles affirment quelque chose".
(LI.
p. 247-248).
Boole ne semble voir, cependant, dans "la nouvelle signification
ainsi assignée à la probabilité" (ibid. p.
248) qu'une "autre manière"
qui, ultimement, concorde avec l'ancienne m~me si elle offre certains
.
15
"avantages pratiques" dans la résolution des problemes
. En revanche,
lorsque Louis Couturat reprendra le projet de voir dans le calcul des
probabilités "simplement une branche de la Logique
algorithmique,,16,
i l
ira plus loin en affirmant que "l'autre manière", celle qui envisage
la probabilité des événements,
est, en fait,
"une incorrection de langage
d
. ,,17
("
1 "
)
E
ff
l .
" 1 " ·
.
et
e pensee
Je sou~lgne.
n e
et,
exp lque-t-l,
un evenement
n'est pas plus ou moins probable:
i l arrive ou i l n'arrive pas
( ... )
----. -
un événement n'est pas vrai ou faux:
ce qui est vrai ou faux,
c'est le
jugement par lequel nous a!firmons qu'il arrive, ou plutôt par lequel
nous affirmons cet événement lui-même,,18.
En tous les cas, en opérant cette modification d'une définition
fondamentale de la théorie des probabilités concernant la notion même
de probabilité d'un événement, Boole vient de se donner les moyens de
repenser Cette théorie dans les termes et selon les procédures du calcul
148
logique qu'il a déjà constitué. Il peut pésormais mettre en place une
nuuvelle arproche de la probabilit~ qui utilisera essentiellement les
19
méthodes déjà établies dans son sY5t~me logique
En effet, le calcul des probabilités n'aura plus affaire à des
événements mais concernera d'abord des jugements: 111es faits" disait.
Boole, "s'expriment par des propositions" et "la logique traite" à côté
des "relations entre les choses", "des relations entre les propositions l1
(LI p.7)
; ainsi, si "dans les problèmes purements logiques,
(on) considère
les symboles x, y, etc ... comme représentant des propositions élémentaires
entre lesquelles les prémisses expriment une certaine relation l1 ,
on
pourra employer "les mêmes symboles pour désigner les événements simples
dans la théorie mathématique des probabilités l1 dont on voit alors qu'elle
"repose sur un fondement logique".
(LI. p. 16ï). S'effectue ainsi le
passage entre les I1propositions secondaires l1 vraies ou fausses et les
propositions-événements qui sont simplement probables ; ou, pour le
dire dans les termes de Louis Couturat, on passe avec le m~me symbolisme
et, jusqu'à un certain point, - celui où le calcul numérique ordinaire
prend le relais - avec les mêmes procéàures, du calcul des "jugements
..---. -
" ,
l '
d
" .
. b 1
,,20
constants
a ce U1
es
Jugements var1a
es
.
A total, c'est à tort qu'on a pris l'habitude d'associer le calcul
des probabilités aux seules mathématiques, même si cette association se
comprend parfaitement en raison des conditions historiques de création
de la discipline. Il y a là, bien entendu, tout d'abord une raison de
chronologie : la théorie des probabilités est née bien avant que la
science des Illois de la pensée" ait trouvé sa véritable structure formelle.
t.
149
En second lieu, elle est née lorsque le ~hevalier de Méré a posé ses
problèmes pr~cis de grand joueur â la capacit~ d'analyse math~m2tique
de Pascal, c'est-à-dire, par conséquent, à l'occasion de questions prati-
ques requérant immédiatement de l'outil mathématique
les solutions techni-
ques qu'il pouvait offrir. Autrement dit, elle n'a pas été, à son origine,
celle logica probabilium dont Leibniz avait pu rêver, une application
des lois logiques de la pensée à la science du hasard. En déclarant denc
que "l'intérêt de la question ne réside pas seulement dans ses implications
mathématiques ou dans ses utilisations pratiques".
(LT. p. 243), Boole
assigne à son projet la finalité de ramener les origines techniques de
21
ce calcul a son v~ritable commencement logique
Il faut donc réfléchir de nouveau, en matiÈre de pro~abilité, sur
'":'''
le langage, cet "instrument
.
.
.
Il''--
~
orulnalre de la raIson
, qui constitue le
medium entre le pur calcul, la simple technique de résolution des
problèmes)et son véritable fondement logique.
En d'autres termes, lorsqu'il s'agit de la science du hasard aussi,
il faut tirer toutes les conséquences de ce principe toujours présent
dans la démarche de Boole qui trouve sa formulation la plus précise dans
ces mots: ·"il y a un logos dans la constitution des choses dont le langage,
sous ses diverses formes, est le reflet en l'homme, mais ce reflet n'existe
jamais sans cet élément humain constant qu'est la liberté et la faculté
de choisir,,23.
La conséquence essentielle en est ici que "l'expression, dans le
langage,des données d'un problème en Théorie des Probabilités, est dans
une certaine mesure arbitraire, car elle dépend de l'étendue de la
"
150
l'
signification des termes premiers simples.qui servent à traduire les
événements dont la conception intervient dans ce probl~me. Mais décider
de ce que sont les termes simples est arbitraire, vu sous l'angle de
notre pouvoir absolu de choisir. L'on peut considérer que n'importe
quelle combinaison complexe d'événements forme un seul tout dans l'esprit
et s'exprime par un seul terme. La création de nouveaux termes simples
pour traduire ce qu'on exprimait avant par une combinaison de termes
74
est un phénomène normal dans le développement du langage"~
c'est qu'une des premières choses à faire en théorie des probabilités
est, pour Boole. de définir la notion d'~~énement simple et. en conséquence
et par différence, celle d'événement composé. La réflexion sur le langage
nous apprend donc, tout d'abord. que la simplicité n'est pas une manière
d'§tre inscrite dans la nature des choses mais une manière de parler des
événements, donc aussi de les concevoir. Boole écrivit déjà dans les
Lois de la Pensée, concernant la première différence à établir entre les
événements: "Par événement composé on entend ~elui dont l'expression
dans le langage ou la conception dans la pensée dépend de l'expression
ou de la conception d'autres événements qui, par rapport à lui. peuvent
.---'-
être considérés comme simples. Dire "il pleut" ou dire "il tonne", c'est
exprimer l'occurrence d'un événement simple; mais dire "il pleut et il
tonne" ou dire "il pleut ou il tonne" c'est exprimer celle d'un événement
composé. Car l'expression d'un tel événement dépend des expressions élé-
mentaires "il pleut", "il tonne". Le critère définissant les événements
simples n'est donc pas celui d'une quelconque simplicité supposée de
leur nature. Il n'est fondé que sur la manière de les exprimer dans le
langage ou de les concevoir dans la pensée" (LT p. 14).
151
Au total, les événements simples s~nt donc ceux qui s'expriment
par des propositions él~~entaires et les événements compOSeS ceux qui
s'expriment dans des propositions complexes reliant entre elles des
propositions simples au moyen de connecteurs logiques : la simplicité
se définit par la structure grammaticale.
et que pose Boole dans les écrits postérieurs à cet ouvrage, en particulier
dans l'article que nous avons cité plus haut: celui de "l'élément humain
qu'est "la liberté et la faculté de choisir" des expressions différentes
pour dire une meme "constitution des choses". En d'autres termes, le
principe posé dans les Lois de la Pensée, selon lequel n'importe quelle
combinaison d'événements peut être considérée comme un événement simple,
demande à être précisé et complété en fonct~on de ce fair que le langa-
ge humain présente diverses formes et peut dire de diverses manières
"la constitution des choses,,25.
_ . 26
Sur cette question, Boole reviendra par trois tOlS
,
GdnS ses
écrits d'après 1854, sur un exemple présentant deux formulations diffé-
rentes des données d'un même problème en Théorie des probabilités. Cet
exemple est. le suivant: " ... supposons que l'observation ait fourni les
éléments suivants d'un problème:
Probabilité de la pluie = p,
Probabilité de la pluie avec de la neige
q,
ce qu'on cherche dans ce problème étant la
Probabilité de la pluie sans la neige.
152
La traduction de ce problème par un obser.vateur dans la langue duquel
il n'existerait pas de TIJot pour dire "neige" mais ou toute combinaiscT,
d
1 ·
d '
.
1 ' ' ' ' . ,
.
,,27
.
1
.
e pUle et
e neIge seraIt appe ee
preCIpItatIon
,seraIt
a SUlvante:
1°) Probabilité de la pluie = p,
Données
2°) Probabilité de la précipitation = q,
JO) Quand ily a précipitation, il y a toujours pluie. ]
On demande la probabilité de la pluie sans la précipitation".
Boole poursuit : "On affirme alors que ces deux formulations sont
équivalentes. L'espérance d'un phénomène ne sa~rait être affectée par sa
simple formulation et par les circonstances dont dépend cette formulation.
Pour ce qui est des deux maniÈres ci-dessus de formuler le problème, l'on
voit que dans la premièle l'une des probabilités données est celle d'un
événement composé ; que dans la seconde les deux probabilités données
sont celles d'événements simples entre lesquels on affirme l'existence
d'une relation absolue (JO)
et en fonction desquels l'événement dont on
cherche la probabilité s'exprime directement,,28.
---~ -
Que se passe-t-il, en effet, lorsque le développement naturel ftes
langues tend - c'est l'avis de Boole - à la multiplication des termes
simples pour exprimer des combinaisons définies de choses et qui se
répétent souvent dans l'expérience? La réponse est qu'en ce cas on
assiste aussi à la multiplication de définitions expliquant ces termes
et de propositions en général exprimant les relations qui existent entre
C '
l'
d'
B
1
1
f
.
.
.. 1
d
d i '
.
29
ces termes.
est
a,
It
00 e,
a
onctIon principa e
u
ctI0nnaire
.
153
Ainsi. pour reprendre l'exemple ci-dessu~. la création du seul mot
"précipitation" pour dire une u'mbinaison de pluie et de neige va de
pair avec l'apparition dans le dictionnaire de la dêfinition expliquant
de quelle combinaison il s'agit et c'est cette définition qui se traduit
aussi par la "relation absolue" constituant la troisième donnée dans
la seconde formulation du problème précédent.
Cela veut dire, en un mot, qu'au delà de ce que Boole appelle
"1
. d
d l " 30
d
1
d .
. ' d
1
h '
es aCCl ents
u
angage
ou
e
a
lverslte
es
angages
umalns
il existe bien un invariant qui fonde l'équivalence de toutes les formu-
lations correctes possibles d'un même problème: cet invariant est la
quantité d'information enveloppée dans les données et que toute formu-
lation se doit d'exprimer dans sa totalité
ainsi~s'il semble y avoir
une déperdition d'information lorsque le langage adoDte des ter~es siùples
pour dire des combinaisons, les définitions de celles-ci et les relations
entre les événements qu'elles fournissent, viennent y suppléer; en d'autres
termes "la solution d'un problèrr.e en théorie des probabilités doit dépendre
de l'information contenue dans les données, non des éléments et construc-
tians particuliers du langage qui est le véhicule de cette information.
Les langues sont très différentes sur ces points. Les choses et événements
qui dans une langue. s'expriment par des termes simples, se traduisent
dans une autre par des combinaisons de termes simples. Il est clair qu'une
méthode de résolution parfaitement générale doit être indépendante de
différences comme celles-là et se situer au-delà d'elles,,3l.
Au total, et d'une manière générale. en ramenant les événements
à des jugements (la probabilité représentant des "degrés de confirmation")
et les liens entre événements à des relations logiques entre propositions,
154
Boole adopte, pour constituer cette "métqode générale de résolution"
des questions de probabilité, ce que l'on est convenu d'appeler une
d~marche "logiciste" par opposition à
un point de vue "fréquentiste".
En effet, écrit-il, "avant de pouvoir déterminer la manière dont la
fréquence espérée d'un événement donné dépend de la fréquence co~.œ
"d'autres événements, nous devons avoir une connaissance de l'interdépen-
dance des événements eux-mêmes. Pour parler techniquement, nous devons
être en mesure d'exprimer l'événement dont on cherche la probabilité
comme une fonction des événements dont les probabilités ~ont données.
Or cette détermination explicite est, dans tous les cas, du domaine de
la logique" (LI. p. 13).
B - Des jugements constants aux jugements variables
S'il appartient au symbolisme et aux procédures logiques de déter-
miner explicitement les liens entre les événements ou plutôt les relations
entre les propositions qui les expriment, il demeure que
la probabilité,
dans son sens mathématique, admet d'être mesurée numériquement
; que
donc
l'objet des
Probabilités, appartient tout autant à la science du
---"-
Nombre qu'à celle de la Logique.
(LI. p. 13).
En d'autres termes. il faut trouver, comme l'écrira Couturat.
"un substitut ou un équivalent numérique à ce caractère subjectif et
logique des jugements qu'on nomme leur probabilité" ; se donner "le
moyen de mesurer cette probabilité, à la condition qu'on ne croie pas
que la probabilité soit par elle-même une grandeur mesurable, mais
qu'on entende par là qu'on substitue une grandeur (exprimée par un nombre)
à un état de conscience qui n'a pas de grandeur et ne comporte pas l'appli-
.
d
b
,,32
catlon
u nom re
.
Couturat semble écrire ces lignes ;es yeux fixés sur le texte
de Boole. Celui-ci en effet est t0Ut â fait explicite â la ~ois en ce
qui concerne un caract~re subjectif certain de la probabilité d~finie
avec Poisson comme "la raison que nous avons de croire qu'un événement
a eu lieu ou qu'il aura lieu" - notre espérance' de l'événement - et le
caractère objectif de la mesure que l'on substitue à un état de conscience
qui est, par nature, variable selon les individus: "il serait", dit
Boole, "contraire à la philosophie d'affirmer que la force de l'espérance,
considérée comme une émotion de l'esprit, peut se rapporter à quelque
critère numérique que ce soit. L'homme de tempérament sanguin nourrit
de grands espoirs là où le timide désespère et où les gens irrésolus
se perdent dans les doutes". Mais, par ailleurs, "le thermomètre et la
plaque photographique soigneusement préparée indiquent, non pas 1'inten-
sité des sensations de chaleur et ~e lumi~re, mais certai~es circonstances
h
"
1
d
.
d
.
,,33
'1
P YS1ques qU1 accompagnent
a pro uct10n
e ces sensat10ns
; 1
en
va de même de la théorie des probabilités qui "s'occupe de la mesure
numérique des circonscances sur
lesquelles se fLonde l' e5p';rance" et non
pas, directement, de l'espérance elle-même comme "phénomène :nE-~cal seule-
me nt" (LT. p. 244 )
le calcul n'est pas celui des "espoirs et des craintes
des hommes", mais celui de leurs raisons objectives de craindre ou d'es-
,
34
perer
Il est donc une "mesure de la probabilité" qui sera désormais
ce que l'on entendra par le terme de "probabilité". Boole en redonne
la définition proposée par Poisson dans ses Recherches sur la Probabilité
des Jugements: "la mesure de la probabilité d'un événement est le
rapport du nombre de cas favorables à cet événement au nombre total de
cas favorables ou
çontraires
et tous également possibles,,3;.
6'
.
156
Il découle de cette définition clas~ique de la mesure de la probabilité
un certain nombre de principes tout aussi classiques, dont Boole d&clare
36
qu'il les trouve chez Laplace
Ces principes dérivant de la définition
peuvent s'énumérer commê suit:
1°) Lorsqu'un événement est certain, sa probabilité est 1, le nombre
de cas favorables (numérateur) étant ici le même que celui des cas possibles
(dénominateur). Par conséquent si p est la probabilité que se produise un
événement donné, I-p sera la probabilité con~raire, c'est-à-dire la proba-
J"
bilité que l'événement ne se
(''1 ù)
produise pas
.
2 e ) La probabilité du concours de deux événements, lorsqu'ils sont
indépendants, est le produit de leurs probabilités respectives.
3°) La probabilité que se produise une série d'événements qui s'excluent
mutuellement est égale à la somme des probabilités respectives de ces évé-
nements.
L'énumération par Boole des principes laplaciens du calcul des pro-
--'-
babilités ne s'achève pas avec les trois qui précèdent, mais on peut s'arrê-
ter là pour l'instant afin de voir ce qu'il en est de la possibilité même
d'une logicisation des probabilités: de passer de relations logiques à
des relations numériques de probabilités ; en un mot de donner du calcul
des classes une interprétation nouvelle qui convienne au calcul des proba-
bilités. On retraduira donc les principes qui précèdent en disant que
f.
157
a) la probabilité de la classe univ!rselle 1 est égale à 1.
b) la rrobabilitê du complémtôntaire de x, c'est-a-dire de la classe l-x
est égale à la probabilité de la classe l moins celle de la classe x.
c) la probabilité de la classe x + y est la somme des probabilités
respectives des classes x et y.
d) la probabilité de la classe xy lorsque x et y sont indépendantes
est le produit des probabilités de x et de y.
Cette traduction permet de construire le tableau ci-après (LT. p.259)
qui établit la correspondance entre l'écriture symbolique des événements
- ou plutôt des jugements-événements - et qui est la ~ême que celle du
calcul des classesJet celle des probabilités
x et y étant des événements
de probabilités respectives p et q on écrira
Evénements
Probabilités
xy
concours de x et de y
pq
x(l - y)
occurrence de x sans y
pd - ci)
Cl - x)y
occurrence de v sans x
Cl
p)q
( l - x ) ( l - y )
absence commune de x et y
( l - p ) ( l - q ) .
' - - ' -
L'on voit par là ce que peut signifier en effet, l'emploi du calcul
logique lorsqu'il s'agit de résoudre des questions de probabilités qui
reviennent en définitive à chercher la probabilité d'un événement qui
s'exprime logiquement)en fonction d'autres événements, à partir des proba-
bilités, connues, de ces derniers. Si l'on écrit l'équation x = 1 pour
affirmer l'occurrence de l'événement x - la vérité de la proposition
affirmant que x se produit -, on pourra écrire Cf(x,y,z, .. ) = 1 pour
dire que se produit l'événement composé dont le premier membre de l'équa-
158
tian est l'expression et qui est fonctio? des événements simples x,y,z, .••
Cela ~tant, on voit apparattre, dans le prfc~dent tableau o~ il est qu~stiun
donc d'une fonction ~(x, y) - que "la probabilité de l'événement composé
représenté par un constituant est la même fonction de p et q que l'expres-
sion logique de l'événement l'est de x, y".
(LT. p. 259). De manière géné-
raIe, "si p, q, r sont .les probabilités respectives d'événements simples
et inconditionnés quelconques x, y, z, la probabilité d'un év~nement
composé V sera Lv1, la fonction [VJ étant obtenue en remplaçant dans la
fonction V, les symboles x, y, z rrp, q, r, etc .•. " (LT p. 258). C'est
là la première partie de la "Proposition 1" du chapitre XVII" consacré
à établir une "méthode générale en probabilités".
La seconde partie de cette "Proposition" fait intervenir un autre
"principe laplacien" qu'il faut ajouter aux trois précédemIr,ent énumérés
et que Boole formule de la manière suivante : "La probabilité que si
un événement x se produit, l'événement y se produise, est une fraction
dont le numérateur est la pH'babilité de leur occurrence
COIT:mune
et
le dénominateur la probabilité de l'occurrence de l'événement x" (LT.p.254).
On pourra donc compléter la Proposition 1 par une seconde partie qui dit
----. -
que "dans les mêmes circonstances (que précédemment), la probabilité que
si l'événement V se produit, un.autre événement V' se produise aussi
l
sera
~J ' où [vv~ représente le résultat obtenu en multipliant l'une
par l'autre les fonctions logiques V et V' et en remplaçant dans le résul-
tat x, y, z rr p, q, r, etc...
"(LT. p. 258).
Dans cette "Propostion" les événements considérés sont "simples
et inconditionnes". Qu'est-ce à dire? Boole explique le sens qu'il faut
donner aux termes de "conditionné" et "inconditionné" : "les événements
159
•
simples x, y, z seront dits "conditionnés" s'ils ne sont pas libres
de produire dans n'importe quelle combinaison possible; en d'autres
termes, lorsqu'il n'est pas possible qu'un événement composé qui dépend
d'eux puisse se produire. Ainsi les événements exprimés par les proposi-
tions "il pleut", "il tonne" sont "conditionnés" si l'événement exprimé
par la proposition "il tonne mais ne pleut pas" ne saurait se produire,
de sorte que le champ du possible est moins large que celui des combinai-
sons concevables. Les événements inconditionnés simples sont par définition
indépendants. Un événement composé quelconque est dit, de la même manière,
conditionné si l'on suppose qu'il ne peut se produire que sous une certaine
condition, c'est-à-dire en combinaison avec un autre événement dont 18-_
présence constitue donc cette condition" (LT p. 258).
Cela amene à considérer la notion capitale d'indépend2nce d'un
événement que nous avons vu intervenir dans l'énoncé du deuxième des
"principes" précédemment énumérés. De cette notion d'abord introduite par
de Moivre (1667-1754), Boole donne la définition suivante: "Deux événe-
ments sont dits indépendants lorsque la probabilité qu'arrive l'un d'eux
ne change pas avec notre espérance de voir se produiié-'ôu ne pas se produire
l'autre".
(LT p. 255). L'on a vu ce qu'il en était de la probabilité du
concours de deu>: événements lorsque ceux-ci étaient indépendants. Il
est un autre principe "classique concernant les événements dépendants",
dégagé aussi par de Moivre et que Boole formule en ces termes : "la
probabilité du concours de deux événements qui dépendent l'un de l'autre
est égale au produit de la probabilité de l'un par la probabilité que
37
si cet événement arrive, l'autre arrive aussi" (LT p. 249)
.
"
.
160
Se trouve complétée avec ce dernier la liste reprise et reproduite
par Boole,
des principes Laplaciens, ceux qui sont "COlTIITiUnc·ment acc2"~":-S"
en théorie des Probabilités.
A cette liste traditionnelle Boole ajoute un "nouveau principe" :
"Les événements dont les probabilités sont données doivent être considérés
Comme indépendants de toute relation autre que celle qui est exprimée
ou nécessairement contenue dans les données; et la manière dont notre
connaissance de cette relation doit être utilisée est indépendante de la
nature de la source d'où nous vient cette connaissance".
(LT pp 256-257).
Ce principe qui d'une certaine façon pourrait sembler s'accorder
à la définition célébre de Laplace disant que "la probabilité est relative
en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance",
est pour
J .M. Keynes "l' erreur centrale du système de probabilité [de Boole] 38".
En effet, selon cet auteur, Boole adopte en même temps "deux définitions
lQ
l'indépendance " ....... -'
incompatibles de
Nous venons de voir une définition où l'''indépendance" est ainsi
.--'-
affirmée, pour ainsi dire, "par défaut" d'éléments indiquant l'existence
d'une relation entre les événements considérés. L'autre définition, celle
qui pour Keynes est compatible avec celle-là, a été rappelée plus haut :
elle constitue une défir»tion "objective" et classique de l'indépendance
en ce qu'elle répond à la question de savoir si la connaissance d'un
événement précis donne un fondement rationnel à l'attente d'un autre.
Tout le problème donc, tient à la première défintion : on passe du constat,
du pur fait que rien, dans les données, n'indique aucun lien de dépendance
entre les événements considérés, au droit de les tenir pour indépendants.
161
Dans les écrits postérieurs aux Lois de ~a Pensée. en particulier dans
l'article de 1857 qui lui valut
la m~daille Keith, Boole réaffirme ce
mgme principe: "A la question de savoir s'il n'y a donc aucune diff~rence
entre le cas où nous savons que les événements x et y sont indépendants
et celui où nous sommes seulement ignorants de l'existence d'une quelcon-
que relation entre eux; ma réponse est qu'il n'yen a aucune pqur ce
qui concerne l'évaluation numérique de la probabilité,,40
Ce qui fait finalement problème par conséquent, c'est ce que l'on
pourrait appeler ici une réduction de l'ontologique au logique. C'est-à-
dire que le principe ajouté aux principes laplaciens classiques replie
pour ainsi dire la notion d'indépendance réelle,oui est à établir,(par
exemple sous la forme d'une hypothèse à tester), ou celle d'une indépendance
L-~ique ou les événements sont consià~rés c:-rnme libres de t:-ut lien
simplement parce que nous
ne
savons rien des relations qu'ils peuvent
effectivement entretenir. C'est sans doute là ce qui donne à l'entreprise
bcal.enne de 1ogicisation de la th~orie d~s probabilités une allure réduc-
tionniste expliquant peut-être que l'histoire de cette science l'ait
ignorée car "de nos jours l'on considère qu'il faut nécessairement une
.---.-
information positive ou une hypothèse effective pour affirmer l'indépen-
dance stochastique 41 d'événements. C'est du reste, Boole lui-même qui
utilise le terme de "réduction" : "Il suit de ce principe( ... ) que nous
pouvons raisonner sur les événements comme s'ils étaient des événements
simples dont les conditions déterminant les combinaisons possibles nous
ont été données directement par l'expérience et à partir desquels on
cherche la probabilité d'une combinaison déterminée. La possibilité
d'une méthode générale en probabilités dépend de cette reduction".
(LT.
p. 257).
162
Regardons sur un exemple simple d'iiPplication de la "Proposition 1"
pr~ceden~ent cit~e, l'aspect sous lequel se présente l'utilisation de
"l'art combinatoire" pour r'::soudre une question de probabilités.
Soient, dit Boole, les év~nements simples x, y, z dont les probabi-
lités sont respectivement p, q, r. Il s'agit de trouver la probabilité
que si x ou y se produisent alors y ou z se produisent.
(LT p. 260).
I~ s'agit, dans un premier temps, d'exprimer logiquement les rela-
tions connues entre les différents événements qui sont celles d'un anté-
cédent -"x ou y se produisent" - à un cons~quent - "y ou z se produisent"-
qui sont tous deux des propositions complexes. On écrira selon le symbo-
lisme logique habituel
antécédent
x(l - y) + y(l - x)
conséquent
yO - z) + zO
y)
L'on se trouve dans un cas qui relève du principe suivant lequel "la
probabilité que si un événement x se produit l'événement y se produise,
est une fraction dont le numérateur est la probabilité de leur occurrence
commune et le dénominateur la probabilité de l'occurrence de l'événement
x". Par conséquent on appliquera le pur calcul logique à la détermination
de l'expression du concours de l'antécédent et du conséquent, ce qui
correspond à l'opération d'effectuation du produit logique. L'expression
du concours de l'antécédent et du conséquent est donc:
xz (l - y) + y (l - x)
(l -
z).
163
c'est ensuite qu'intervient, dans ~n second temps, le passage
de la Logique à l'alg~bre ordinaire, des propositions-évfnernents â
leurs probabilités mesurées. L'application de la "Proposition 1" permet
d'effectuer ce passage ~ on obtiendra la fraction cherchée en remplaçaot
~ans le résultat que l'on vient d'obtenir les lettres x, y, z par p, q, r
respectivement pour trouver le numérateur, et en opérant sur l'expression~
antécédent la même transformation qui donne le dénominateur. Il vient
donc finalement, pour la probabilité cherchée, le rapport suivant:
pr Cl - q) + q Cl - p) Cl - r)
pel - q) + q(l - p)
Le cas des événements simples mais conditionnés fait l'objet
d'une autre "Proposition" qui est la suivante
"Proposition II : On sait que lorsqu'une certaine condition V
est satisfaite, les probabilités de certaius événements siŒples x, y, z.o.
sont p, q,
r ... respectivement
v étant une fonction de x, y, z,o •.
On demande les probabilités absolues des événements x, y, Z,
' 0 "
c'est-
----- -
à-dire les probabilités de leurs occurrences respectives indépendamment
de la condition V.
Soient p', q', r', etc ..• les probabilités cherchées, c'est-à-dire
celles des événements x, y, z,
... , considérés non seulement comme simples
mais aussi comme indépendants. Alors, d'après la Propostion l, les proba-
bilités que ces événements se produisent lorsque la condition V, que
traduit l'équation logique V = 1, est satisfaite
sont:
164
, (yv)
etc •••
(r)
où LXV) représente le résultat obtenu en multipliant V par x conformément
aux règles du calcul logique
et
en remplaçant dans ce résultat x, y, z
par pl, ql, rI etc .•. Or ces probabilités conditionnées sont par hypothèse
respectivement égales à p, q, r ... Nous avons donc:
(xV)
[zvJ
etc ....
p,
~= q,
r.
[V)
[V)
[v]
et à partir de ce système d'équations dont le nombre est le même que
celui des quantités pl, q', r' •... on peut déterminer les valeurs prises
par ces quantités.
Or xV est simplement la somme des constituants de V donc x est
un facteur. Ecrivons cette somme Vx et représentons de la même manière
yV par Vy etc ... Nos equations s'écriront alors:
etc ...
r, ls1
q,
LV]
Lv)
où (vx)
traduit le résultat obtenu en remplaçant dans Vx les symboles
42
x, y, z etc ••• par pl, ql, rI, etc •.• " (LT p. 261)
•
Ces "propositions", ainsi que les deux suivantes rencontrées
dans le chapitre XVII des Lois de la Pensée sont les éléments de la
- - - - - - - - - - )
démonstration d'une "méthode générale en probabilités" qui convienne à
l'objet de cette théorie: "étant données les probabilités de certains
événements, de nature quelconque, trouver la probabilité d'un autre
événement qui leur est lié".
(LT p.
246) 43.
165
Voici comment Boole établit dans uq article postérieur aux Lois
dt: la Pens~e et
sans la d~moDstration qui figure dans cet 0uvragE:,
sa m~thode générale en théorie des probabilités :
"Soient s, t, v, etc ... qui représentent les événements dont
les probabilités sont données; p, q, r, etc ... ces probabilités et
~
44
l'événement dont on cherche la probabilité
(alors) quelles que
puissent être les définitions de s, t, ... et w, et quelles que puissent
être les relations entre elles, il est toujours possible, par le calcul
logique d'établir comment w dépend logiquement de s, t, etc ... sous la
forme la plus générale qui est la suivante :
w
Q
=
C
1
A + OB + 0
+ 0 D.
A, B, C, D sont ici des combinaisons logiques des événements s, t, etc ...
et les relations qu'entretiennent ceux-ci à l'événement
w d'une part)et les
u~s aux autres d'autre part sont les suivantes: A tradui~
les combinaisons
ie s,
t,
etc ... qui sont totalement comprises dans w, c'est-à-dire qui
ne peuvent se produire sans que nous ne puissions dire que ~ se produit.
----.-
B représente les combinaisons qui peuvent se produire sans être comprises
dans w ; de sorte que lorsqu'elles se produisent, nous pouvons dire que
w ne se produit pas. C représente les combinaisons qui lorsqu'elles
se produisent ne nous indiquent pas si w se produit ou pas ; D celles
dont l'existence entrainerait une contradiction logique.
Il suit de ce qui précède que la forme prise par le problème
se traduit de la manière suivante
t.
166
1
Etant donné que: Prob. s = p, Prob. t = q, Prob. v = r, etc ...
s, t, v étant considérés C(lmme des événements soumis à la condition
logique explicite
A + B + C
1 (45)
On demande la probabilité u de l'événement dont l'expression logique
est la suivante
w = A + Q C
o
et l'on montre (LI p. 265)
( •.. ) que la solution du problème est inscrite
dans les équations algébriques suivantes :
Vs
Vt
A + cC
v
(1)
p
q
u
ou les fonctions V, Vs, Vt,
... sont obtenues de la manière suivante
1°) V est obtenue à partir de A + B + C, sans changement de forme,
en interprétant s, t, etc ... non plus comme des symboles logiques mais
comme des symboles de quantité.
( ... ).
2°) Vs est la somme des termes de V contenant s comme facteur,
Vt la somme de ceux qui contiennent t comme facteur, etc ..•
La quantité c est une constante arbitraire pouvant prendre n'importe
quelle valeur comprise entre 0 et 1.
Pour
obtenir la
solution,
les quantités s,
t,
etc ... doivent
être
éliminées du
système
(1)
et u
déterminé comme une fonction
de p,
q,
r,
etc. La constante
arbitraire
c
peut ne pas
167
apparaître dans le résultat final, car 1, forme développée de w peut
ne contenir aucun terme qui soit affect~ du symbole § . ~2is s'il en
apparaissait, la constante c admettrait uue interprétation qui indique
quelles données nouvelles sont requises pour rendre la solution déter-
minée,,46.
L'on voit, à la lecture de cette "méthode générale" qt:e nous
avons citée dans sa totalité, comUlent Boole utilise, dans les questions
de probabilités, les procédures du calcul logique - celle de développement
en particulier -
; comment s'y effectue le passage de l'algèbre de la
logique à l'algèbre quantitative ordinaire, la théorie des probabilités
relevant, pour lui, de l'une comme de l'autre.
Il consacre une part
importante de la suite des Lois de la Pensée à des exemples qui illustrent
cette ":néthode générale".
Concernant ces exemples, nous dirons seulement que les domaines
dont ils relèvent sont tout à fait classiques et que Boole reprend dans
les Lois de la Pensée, du point de vue de sa propre méthode, les applica-
tions qui ont souvent été faites de la science des hasards. Laplace avait
.---.
consacré une section de son Essai philosophique sur les probabilités
à l'application de celles-ci à la "Philos?phie naturelle,,47
Boole
s'occupe, en un long chapitre de son ouvrage, des "problèmes concernant
les relations de cause à effet (chap. XX). Il Y revient en particulier
sur une question d'Astronomie physique qui avait déjà fait l'objet d'un
article d'avant les Lois de la Pensée: "le problème de Mitchell concernant
la distribution des étoiles fixes,,48.
f'
•
168
Les probabilitis avaient également otrouvi, traditionnellement,
un tout autre domaine d'application: celui de ce que Laplace a appelé
"1
i
l
,,49
C
.
es scences mora es
.
e dernIer consacre en particulier de nombreuses
pages de son Essai à la "Probabilité des témoignages", qu'étudièrent
J.Bernouilli
au XVIlème siècle et surtout Condorcet au XVIIIème. Le
chapitre XXI des Lois de la Pensée traite de'~'application de la méthode
g~n~rale à la question de la probabilité des jugements", et les types
de questions discutées déjà par Condorcet, Laplace ou Poisson ...
Theodore Hailperin remarque que, comme il fallait s'y attendre,
les exemples considérés pdr Boole
comportent beaucoup plus de relations
logiques que ce que l'on trouve dans les ouvrages écrits sur le sujet
des
b b 'l'
. ,,50
pro a l I t e s
Dans la mesure ou, de plus, nous ne nous proposons
~~ ce chapitre sur les probabilit~s de Boole, que d'fclairer le sens
de l'application qui y est faite, des procédures du calcul logique, nous
considérerons seulement deux exemples parmi ceux qui figurent dans les
lois de la Pensée, qui concernent pr~cisément la probabilité de la.
conclusion d'un raisonnement déductif. étant données les probabilités
des prémisses. En outre, Keynes citera le second de ces exemples pouI-_
préciser davantage encore sa critique de la notion "d'indépendance"
chez Boole.
C - Illustrations élémentaires de la méthode
Il s'agit de l'exemple 5 donné par Boole à la page 284 des Lois
de la Pensée. "Soit", dit-il, "le syllogisme" suivant, "réduit à sa
plus simple expression" :
i"
if
169
Majeure
si la proposition Y eEit vraie, X est vraie
Mineure
si la proposition ~,~ est vraie, Y est \\'r,7. i e
Conclusion:
si la proposit ion Z est vraie, /: est vraie.
Supposons que la probabilité de la majeure soit p, et celle de la
mineure q". Il s'agit d~ trouver la probabilité de la conclusion. On
représentera la proposition X par la minuscule x, Y par y, Z par z.
Posons ensuite, dit Boole, que c et c' sont des constantes arbitraires
telles que Prob. y = c, Prob. z = c'.
Nous écrirons donc nos données de la manière suivante :
Prob. xy = cp ; Prob. y = c'q ; il s'agit de déterminer maintenant
51
Prob. xz
Prob. xz
autrement dit
Prob. z
c'
Posons xy
u, yz
v, xz
w.
Selon des procédures qui relèvent entièrement des principes du
calcul logique, on écrira 'II comme une fonction développée de y, z,
~~t v. Il vient en ce cas dit Boole :
o
'II
= uzvy + Ou(l - z)(l - v)y + 0 (1 - u)zvy + 0 (1 - u)z(1 - v)(1 - y)
+ 0(1 - u)(l - z)(l - v)y + 0(1 - u)(l - z)(1 - v)(l - y) + les termes
qui ont pour coefficient ij
L'on passe ensuite de la Logique à l'Algèbre conformément à la
méthode générale. établie précédemment. Ici, pour reprendre la notation
utilisée dans l'exposé de cette méthode, V est la somme de tous les
170
constituants figurant dans l'expression ~récédente, à l'exception de
ceux (non ~crits du reste) qui ont pour coefficient l . On a donc
o
v
uzvy + u(l-z)(l-v)y + (l-u)zvy + (l-u)z(l-v)(l-y) + (l-u)(l-z)(l-v)y
+ (l-u)(l-z)(l-v)(l-y).
On en déduit, pour Vu qui est la somme des termes de V contenant u
comme facteur
Vu
uzvy + u(l-z)(l-v)y
De même on a
Vv
uzvy + (l-u)zvy
Vy = uzvy + u(l-z)(l-v)y + (l-u)zvy + (l-u)(l-z)(l-v)y.
Vz
uzvy + (l-u)zvy + (l-u)z(l-v)(l-y).
Vz
Vv
L
'
.
l
' b '
Vu
es equatlons a ge rlques --
cp
C'
C'q
V, qui apparaissent
dans l'exposé de la méthode générale, s'écriront donc ici:
uzvy + u(l-z)(l-v)y
uz~+ (l-u)z~ + (l-u)z (l-v)(l-y)
cp
c'
uzvy + (l-u)zvy
---'-
c'q
uzvy + u(l-z)(l-v)y + (l-u)zvy + (l-u)(l-z)(l-v)y
c
V.
A + aC
Et l'on sait que ces rapports sont aussi égaux à
, où A est
Prob.w
le constituant uzvy ayant 1 pour coefficient, C le constituant
o
(l-u)z(l-v)(l-y) ayant 0
pour coefficient, et a une constante arbitraire.
Cette égalité permet donc d'écrire:
Prob.w = uzvy + a(l-u)z(l-v) (l-Yl
V
171
Toutes ces équations algébriques c9nstituent dès lors un système
qui donne la solution suivante :
Proh. w
c'pq + Be'(l - q).
On en déduit en remplaçant w par xy
Prob.xy =
qui est la valeur cherchée.
pq + a (l-q)
c'
"Dans cette expression", dit Boole, "la constante arbitraire a est
la probabilité que si la propositoin Z est vraie et Y fausse, X soit vraie.
En d'autres termes, c'est la probabilité que si la mineure est fausse,
la conclusion soit vraie".
Boole fait deux remarques à la suite de cet exemple. La première
est que "cette démarche eût été considérablement simplifiée en supposant
la proposition Z vraie et en cherchant alors la probabilité de X",
Les données eussent alors été :
Prob. y
q, Prob. xy
pq
."---"-
ce qui eût permis de déduire alors Prob. x = pq + a(l - q). Par conséquent
le raisonnement ordinaire, la raison livrée à ses seules ressources eût
pu se passer des procédures symboliques de calcul. Mais il s' ag issait
d'illustrer une méthode donc de l'utiliser dans toute sa puissance même
pour un cas où elle apparaissait bien compliquée au vu du résultat à
obtenir.
Theodore Hailpenin, commentant cet exemple et cette première
remarque de Boole utilise une notation et des procédures modernes du
f.
172
calcul des probabilités pour montrer commF-~Boole introduit dans son
raisonnement, de mani~re implicite, une donn~e supplémentaire. En effet,
dit-il, les données du problème sont: P(y/z) = q et P(xy/z) = pq. Et
l'on avait, dans le problème initial P(x/y) P(y/z)
pq. Or il est une
loi en théorie dES probabilités,connue sous le nom de loi de multiplication,
et selon laquelle P(xy) = P(x/y) p(y)52. Par conséquent on aura:
P(xy/z)
P(x/yz) P(y/z).
Donc en posant que les données sont P(y/z)
q et P (xy /z)
pq Boole suppose
implicitement que P(x/yz) = P(x/y) = p53.
La seconde remarque de Boole est pour déclarer que cette application
~e concerne pas les seuls syllogismes hypothétiques mais toute
autre
"forme de raisonnement déductif" : "étant données les probabilités respec-
tives des prémisses d'un argument quelconque, il est toujours possible
par la méthode précédente de déterminer la prDbabilité qui en résulte
qu'une conclusion légitimement inférée de ces prémisses soit vraie".
(LI p. 286). Et il ajoute que ce type d'application de la méthode conduit
-----
au constat "spécial" que des "propositions qui, lorsqu'elles sont vraies
sont équivalentes ne le sont pas nécessairement lorsqu'on les considère
seulement comme probables".
L'exemple suivant a pour fonction, selon lui, d'illustrer ce
fait qui peut apparaître comme tout à fait paradoxal :
On donne la probabilité p à la proposition disjonctive
"àu la
proposition Y est vraie, ou les propositions X et Y sont toutes deux
173
fausses ll ; on demande la probabilité de ~a proposition conditionnelle
" S i l a p r (' p Cl s i t ion X est \\'1" '" i e, ~. est \\' r 3 i e " •
On sait ces deux propositions logiquement équivalentes c'est-à-dire
qu'elles sont vraies ou fausses simultanément. Traduisant les données
de la manière suivante: Prob.y + (l-x)(l-y) = p, on écrit l'expression
dont on cherche la valeur comme étant Prob.~
Prob.x
L'application de la méthode conduit Boole au résultat:
Prob~
~
(LI pp. 286-287)
Prob.x
I-p+cp
ou c. est une constante arbitraire qui s'interprÈte com!ne Étant "la proba-
bilité que si Y est vraie ou X et Y fausses, X est vraie".
Voici donc que des pre'positions équivalentes lorsqu! il s'agit de
parler, en logique, de leur vérité ou de leur fausseté, ont des probabilités
différentes)p d'une part et
~
Ces valeurs sont en effet égales
l-p~cp
en 0 et en 1, c'est-à-dire lorsque la probabilité devient certitude dans
un sens ou dans l'autre, c'est-à-dire lorsque des "jugements variables"
on passe aux "jugements constants ll •
Encore une fois, la probabilité cherchée aura été traitée par Boole
comme une probabilité conditionnelle et non comme la probabilité d'une
cond "
1t1onne Il e 54 ; quant ,a J . M. K
"1
eynes)1
y vo i t 1 a preuve que l
e
'
tra1te-
ment des événements-propositions comme indépendants, lorsque rien ne
nous permet de supposer un lien entre eux, conduit à des paradoxes qui
le
demeurent quelles que soient les explications qu'en donne Boole,
•
"
dA l' 1
" ,
1
'
55
11
et qU1 aura1ent
u
a erter sur
1 erreur centra e de son systeme
Charles Sanders Pierce remarque que, si l'addition logique boolienne
est toujours entendue comme une or~ration disjonctive concernant deux
classes nécessairement disjointes, c'est pour rendre la notation logique
56
homogène à celle du calèul des probabilités
Quant à Louis Conturat,
parla~t au terme de l'article où il revient sur la méthode consistant
à appliquer la logique algorithmique au calcul des probabilités, il
d~clare "que cette méthode consiste, en somme, à revenir à la notation
de Boole, c'est-à-dire à exprimer les négations par des différences
et à rendre toutes les sommes disjointes, afin que l'addition logiqu~
d
' l ' dd' i
' h "
,,5 7
correspon e a
a
lt on arlt metlque
Et il ajoute dans une note
sur ce point : "Cette correspondance exacte des formules logiques de
Boole et des formules du calcul des probabilités nous fait croire que
l'algorithme de Boole lui a été suggéré par le calcul des probabilités.
En tout cas, èans aucun système, le passage des unes aux autres n'est
l
.
1
l '
'd'
,,58
p uS Slmp e et p us lmme lat
.
Point n'est pourtant besoin de pr~céder â un tel renversement
en mettant les probabilités booliennes avant sa notation et ses procédures
logiques, en indiquant ainsi que les premières pourraient avoir inspiré
---'-
les secondes. C'est à la fin de son Analyse mathématique de la Logique,
dans un "Post script" que Boole indique, "de manière plutôt obscure,,59
"qu'il est en fait possible, en partant de la théorie des Probabilités
(qui est purement quantitative) d'arriver à un système de méthodes et
de procédures pour traiter des hypothétiques} qui seront exactement les
rf 60
mêmes que celles qui ont été établies [par le calcul logiqu~ 1
•
Rien
ne permet de supposer que cette idée fût déjà bien claire dans son propre
esprit et qu'il fût déjà)pour ainsi dire dans sa tête, en possession
de ce qui sera son point de vue 1I10giquell sur le calcul des probabilités.
175
Même si le symbolisme qu'il vient d'étab~ir, en particulier l'écriture
d~ 0 et de 1 pour dire la fausset& et l~ v~rit~, 12 Rien Et le Tout,
sug~~re l'intuition de considérer 0,1 comme un intervalle ou des jugements
variables prendront diverses valeurs de probabilités tout en conservant
les procédures qGi ont fait leurs preuves lorsqu'il s'agis8ait de juge-
ments constants ..
En outre, il est permis d'accorder tout crédit au tÉmoignage
de son premier biogTdpfrt:, le R.P. Harley puur qui le point de départ
des réflexions systématiques de Boole sur l'application de sa logique
algorithmique aux questions de probabilités fut le"prob1ème de Mitchell
l
'
"
d
'
'1
-.
,,61
" 1 '
d"
sur
a repartltlon
es etol es tlxes
et
es lmporta~tes
lSCUSSlons
qu'il provoquait à cette époque parmi les mathématiciens et les astronomes".
I~ écrit en effet que "le ?rofesseur B':'ole en conçut u" ,~r2:,d i;lt~r-;'t
à la fois pour son importance intrinsèque et aussi pour le lien que
cette question entretenait aux réflexions qu'il menait depuis longtemps
d~jà. Sa mani~re de voir la th~orie des pr(lbabilit~s semjl~ avoir ~t~
soutenue publiquement pour la première fois dans un article qu'il écrivit
sur cette question et qui fut publié dans le Philosophical Magazine de
Juin 1851,,62.
Au total, la "simplicité" et "l'immédiateté" du passage entre
le calcul logique et celui des probabilités, plutôt que d'indiquer
une quelconque antériorité chronologique ou logique du second sur le
premier, demeure ce qu'il a dû être pour George Boole lui-même: un
nouveau témoignage éclatant de la fécondité de l'analogie formelle.
11
.
176
4EME
PARTIE
SUR LES FI~S SPECULATIVES DE LA LOGIQUE
-----. -
177
~ous avons vu Boole appliquer le calcul logique à l'analyse d'argu-
ments métaphysiques. Mais
la logique, dans ce sens, n'entretenait â
la métaphysique, ou plutôt au raisonnement métaphysique, qu'un rapport
extérieur et technique d'évaluation. Dans le chapitre final des Laws of
Thought, en revanche, nous le voyons s'occuper de questions "métaphysiques"
comme telles et "considérer que la forme mathématique que son système
avait assignée aux lois de la pensée permettait d'éclairer une question
comme celle de la constitution de l'intellect humain"l ou la nature
de la science. En effet, et selon ses propres termes, il se propose en
cette conclusion de l'ouvrage "de dégager â partir des résultats scien-
tifiques de
ses
recherches, des conjectures générales concernant la
nature et la consitution de l'esprit humain" (LI p.
22).
Ce chapitre de clôture est sans doute le plus "déplaisant" pour
un historien moderne de la logique qui aura appris avec Frege que la
logique se ccr:stitue comme science er: eta"t résclu'"':cIit anti ?sycholog:"ste
et avec Lukasiewicz que "les lois de la logique ne concernent pas plus
nos pensées que celles des mathématiques". Parlant des "passages méta-
physiques auxquels [Boole] attachait une très grande importance", William
Kneale écrit: "Il me semble qu'il était sur une mauvaise voie lorsqu'il
commença à chercher dans la constitution de l'intellect humain le fonde-
ment de la logique. Je dirais pour ma part que le principal mérite de
son livre est d'avoir mené vers la libération de la logique de la domi-
nation de la psychologie et de l'épistémologie entrainant ainsi sa renais-
'1
sance comme science indépendante"L.
178
Mais l'oeuvre de Boole c'est aussi cette "importance" accordée
aux "paSSaf€s
métaphysiques" et à certaines fins spéculatives du pur
calcul.
D'un côté il çonstitue un système formel - dans un sens
qui n'est pas celui que recouvre cette expression de nos jours - où
une algèbre logique conçue par analogie avec les procédures usuelles
de l'algèbre ordinaire et qui "prouve clairement et concrètement que
la logique peut faire l'objet d'une étude qui ne se refère pas aux
démarches de notre esprit,,3
Mais d'un autre côté il affirme que cette
construction formelle a pour point d'ancrage les lois mêmes de la pensée.
On pourra estimer avec Robert Blanché que "cette interpétation
philosophique contestable de son oeuvre demeure ( ... ) extérieure à
son oeuvre même et ne contamine en rien la rigueur scientifique de
son calcul" et passer outre l'équivoque de l'expression "lois de la
pensée" en disant qu'elle "renvoie non pas à l'activité pensante du
sujet. mais à ce vers quoi elle se tourne, à la pens~e en tant qu'entité
"
"
o(
),,4
ab Jectlve
...
.
' - - ' -
Il demeure que pour Boole la science de la logique s'inscrit dans
une science de l'esprit qui lui confère toute sa valeur même si la
démarche positive de constitution du calcul en dehors de tout préjugé
philosophique peut en effet être séparée des conjectures métaphysiques
auxquelles il donne lieu.
La valeur spéculative du calcul logique c'est essentiellement,
pour Boole, la lumière qu'il projette sur les aspects spirituels de
la nature humaine. Et l'on trouve dans ce chapitre final des Laws of
~..
lï9
par la biographie meme de Boole et la tournure mystique de ses sentiments
religieux. Il raconte que c'est â Doncaster, en 1833, qu'il a eu l'inspi-
ration, en une véritable expérience mystique que Desmond Mac Hale n'hésite
pas à comparer à celle de Saul sur le chemin de Damas, de la possibilité
S
d'exprimer en des formules algébriques les relations 10giques
"Il se sentait appelé", ajoute Mac Hale, - et c'est dans son sens
religieux qu'il faut entendre ce mot - à traduire les opérations de
l'esprit humain en une forme symbolique ou mathématique C... ).
(Boole)
considérait l'esprit humain comme le plus bel exemple de la création
divine et sa conception de Dieu s'exprime mieux sans doute comme une
personnification du savoir et de la connaissance,,6. Il est certain qu'il
avait, devant les vérités mathématiques, devant la beauté de la généralité,
une attitude religieuse. C'est encore sa femme, Mary Everest Boole, qui
nous apprend qu'il a ~12c~ ses
. '
.
t raV3U:( ~i2 t~:è:na t 1. ques
ce verset: "A jamais, 0 Seigneur, Ton verbe est au Ciel", dèS mots
dont elle veut également qu'ils aient été ses dernières paroles sur son
.--"-
lit de mort 7.
Que les lois de la logique soient mathématiques dans leur forme
et leur expression, c'est là un fait et un mystère. Le fait est ce
qu'établit la démarche positive qui en étudiant les opérations mentales
et les opération dans les signes du langage qui en sont le miroir, montre
qu'elles obéissent à des lois explicites. Le mystère se présente lorsqu'à
ce système de lois mathématiques on pose la question non plus du
comment
mais du pourquoi. Avec le "pourquoi" l'on quitte le domaine des connaissances
1
180
p0sitives et fermement établies pour celui de la conjecture et du pr~b2-
ble et dans lequel Boole se propose d'induire à partir du connu, des
opinions sur des questions philosophiques et épistémologiques qui con-
cernent le mystère de la constitution de l'esprit humain.
De ces questions dont Boole a pensé que son travail en logique
algébrique leur pouvait apporter quelque lumière, Venn a estimé qu'elles
8
' .
"
•
11
etalent
extravagantes et sans lmportance
• l vo Th ornas est l ' un des
rares commentateurs à considérer sérieusement ce que Boole dit en ce
chapitre final des Laws of Thought sur la nature de la science, et
9
à lui trouver quelque intérêt . Nous nous bornerons à exposer les spécu-
lations de Boole en ce dernier chapitre, sans vouloir leur trouver
à tout prix un intérêt philosophique ou épistémologique, mais sans
non plus les écarter d'un revers de main, ainsi que font ceux qui dans
Boole ne veulent voir que le système de logique algébrique : comme
FE.li>: E. Hachett :10US estimons que "le sentimeGt t:'Lofcfld de l'unité
de la nature et de l'unité dans la nature" que révèlent les dernières
pages des Laws of Thought, constitue "l'élément focal qui active toute
--'-
10
sa pensée"
l - Le principe de transcendance et la notion de limite
Nous empruntons cette expression de II pr incipe de transcendance"
au Père Gratry (1805-1872). Dans La Logique de ce dernier. nous apprend
Xrne Mary Everest Boole, George Boole a découvert de nombreux points
de contact avec ses propres réflexions sur les fins spéculatives de
la logique 11. Elle écrit en effet : "Un de mes plus agréables souvenirs
181
concernant Boole lui-m~me c'est de me le rappeler ~tudi~nt avec un
bonheur presque extatique les pages du P~re Oratorien qui avait formul~
avec netteté et une parfaite clarté le principe fondamental qu~ lui-même
s'était en vain efforcé d'exprimer,,12
Commentant ces lignes de Mary Everest Boole, Desmond Mac Hale
~crit qu"'il est vraisemblable que Boole a considér~ l'attitude mystique
et religieuse de Graty envers la logique et la philosophie comme complé-
tant parfaitement la manière précise et mathématique dont lui-même
avait traité de ces questions".
Il ajoute que bien que la Logique de
Graty eût été publiée un an après ses Laws of Thought, "les deux hommes
ont travaillé dans la même perspective métaphysique. Le chapitre final
des Laws of Thought c.:mti ent de nC'mbreux points de vue et CDi nions
très proches de ceux de Graty. On peut en énumérer certains: l'idée
d'une source intuitive des lois fondamentales de la pens~e, le caractère
essentiel des C0~cepts d'unit~ et de z~r0 dans toutes les 2?[ratioDS
de la pensée, et la nature tra0scenda~tale de l'esprit humain qui est
la raison pour laquelle il est conduit par une puissance surnaturelle
.--'-
à rechercher et à atteindre la connaissance de la nature et de sa propre
.
.
,,13
constltutlon
.
Cette convergence et ce témoignage de Mme Boole nous font dire que
le principe sous-jacent aux réflexions finales des Laws of Thought
et dont Boole aura par la suite trouvé chez le Père Graty la formulation
"parfaite" est ce que ce dernier définit comme "le principe de transcen-
dance" : la thèse qu'''il y a dans les données intellectuelles, telles
qu'elles nous apparaissent d'abord, des limites et des accidents à
182
sacrifier, pour arriver aux pures et simples id~es m3rqu~es du car3rt~re
d
l "
f'
,,,14
e
~n
~n~
. En effet, A. Gratry affirme l'existence d'un "sens de
l'infini" qui. s'il transcenùe l'intellect humain, n'en est pas moins
le "ressort qui nous élève" des données intellectuelles à la connaissance
1S
de Dieu
. Chez lui donc la notion de "logique inductive" prend le sens
tout à fait particulier d'un saut vers l'infini, et il assimile, de ce
point de vue, la dialectique platonicienne et l'induction - l'épagôgê -
aristotélicienne, comme étant la même visée de ce qui est au-delà des
données immédiates.
Pour sa part, et dans le meme ordre d'idées, Boole écrit dans
le chapitre final des Laws of Thought : "On ne peut jamais dire que
nous ~omprencns ce qui se àonne à la pens~e comme la limite d'u~ processus
indéfini d'abstraction. Un progrès ad infinitum est impossible à des
facultés finies. Mais bien que nous ne puissions comprendre l'infini,
il pourrait y avoir des raisons, même scientifiques, de pe~ser qu'un
certain rapport à l'infini est constitutif de la nature humaine"
(LI p.419) .
.---. -
Pour comprendre pleinement ce qu'est ce "principe de transcendance"
il faut peut-être reven~r à l'analyse logique des arguments métaphysiques
de Spinoza qu'avait menée Boole dans le chapitre XIII des Laws of Thought.
Non pas au test logique de cohérence déductive lui-même, mais au commentaire
philosophique de Boole concernant la position métaphysique de l'auteur
de l'Ethique: ce que Boole reproche à Spinoza, en dernière instance,
c'est d'avoir tenu, dans la Proposition XLVII du Livre II de l'Ethique
que "mens humana adaequatum habet cognitionem aeternae et infinitae
essentiae Dei" ; bref d'avoir installé d'emblée l'esprit humain dans
183
l'infini, au lieu de respecter "la procédyre plus sobre de l'analogie
et de l'induction probable"
(LI p. 217). La th~se m~taphysique
de Bool~,
son "principe de transcendance" à lui, c'est que si l'infini agit [lOS
facultés intellectuelles-comme leur "ressort caché", dirait Gratry - il
n'est jamais un donné mais l'effet d'un passage à la limite. C'est dans
sa capacité de produire des conceptions limites que se lit, dans l'esprit,
qu'il est travaillé - c'est là sa nature profonde - par "le sens de
l'infini" : li ••• la théorie des opérations intellectuelles qui ne concer-
nent que des objets finis semble impliquer la reconnaissance d'une sphère
de la pensée où toutes les limites sont effacées".
(LI p. 419).
Sur cette notion de limite, Boole écrira, à la suite des Laws of
Ihought, dans un article publié après sa mort: "Nous pensons et raison-
nons à propos du fini, mais nous pouvons le faire parce que nos facultés de
raisonnement ont un rapport à l'infini. D'un côté, l'infini est pour nous
la limite inatteignable de l'abstraction; de l'autre il est le fondement
de l'exactitude des proc~dures
fcrmel~es de la pensée. De fait, cela
semble un mystère de dire que là où échoue l'irnaginationla science cow~ence;
mais si ç'en est un, il n'est pas le seul que l'étude des relations intel lec-
--'-
tuelles nous présente, et là, au moins, il n'y a pas de contradiction. Nous
n'avons pas l'impression qu'il y en ait une semblable pour ce qui est du
monde physique, lorsque nous disons que les vérités de l'Astronomie, dans
leur certitude absolue, concernent des cieux idéels,,16.
Sous l'aspect d'un pouvoir d'abstraction généralisatrice, cette
capacité de notre humaine condition à produir~ des conceptions limites
est le fondement m~me de notre sciance. Elle est à l'oeuvre dans tous
les aspects du savoir humain.
181~
En astronoœie par exemple, nous venons de le voir avec Boole,
"nous ~tudions par approximation les effets de la gravitation sur les
mouvements des corps célestes en faisant l'hypothèse limite que les
planètes sont des sphères ou des sphéroïdes parfaits" (LT pp 406-407).
Et il en va ainsi des sciences de la nature en général: "Ce que l'on
a appelé les "notions fondamentales" de ces sciences, la force, la polarité,
la critallisation etc ... ne sont ( ... ) ni des productions intellectuelles
indépendantes de l'expérience, ni de simples copies de choses extérieures;
mais si, d'une part, elles procèdent nécessairement de l'expérience,
leur formation exige, d'autre part, l'exercice de notre pouvoir d'abstrac-
tion, conformément à quelque faculté ou disposition de notre nature qui
nous pousse sans cesse à rechercher un ordre et nous rend capables de
le percevoir".
Qu'il y ait d~ général, qu'il n'y ait de science que de ce général
et que le vrai exc~de donc ~otre ?ure cap2cit~ imaginative, c'est aussi
ce que nous enseignent les exemples de la géométrie, de l'arithmétique
ou de la logique algébrique. "Le triangle ou le carré ou le cercle parfaits
n'existent pas dans la nature, ils échappent à tous nos pouvoirs de con-
ception représentative et ne se présentent ~ nous que dans la pensée
comme limite d'un processus indéfini d'abstraction; l'on peut en faire
toutefois, grâce à une faculté merveilleuse de l'entendement, l'objet
de propositions qui sont vraies absolument. Le domaine de la raison
s'avère donc plus vaste que celui de l'imagination".
(LT p. 405).
Dans le domaine de la logique les conceptions limites sont indiquées
comme étant celles "d'univers" et d"'éternité,,17. A quoi il faut bien
.'
185
entendu
aje,uter leur cuntriJire le,gique qu'est le Rien ; II~~, c""~'eptic:-:
d'une classe a deux formes limites; la conception de l'Cnivers qui
est la plus large et la conception du Rien qui est la moins large de
toutes les classes possibles,,18
La notion de limite conduit aussi Boole à s'interroger sur les
vérités dites nécessaires et sur lé possibilité même des propositions
générales qui les énoncent. Sont-elles des synthèses d'expériences?
A-t-on raison de soutenir comme certains que l'on ne raisonne jamais
que du particulier au particulier ? .. La réponse de Boole à ces questions
est qu'il existe des vérités générales et nécessaires qui s'exemplifient
dans le particulier où nous avons la capacité de les apercevoir sur un
seul cas. Dans les procédures logiques, arithmétiques au g~cmétriques
se rencontrent maintes vérités de ce genre. ~ais d'où viennent les
propositions nécessaires qui les expriment ?
Entre l'idéalisme platonicien d'un
monde archétypal qui scit la
raison d'être des propositions nécessaires et le nominalisme pour qui
elles portent sur des abstractions obtenues à partir des individus
concrets, Boole pense pouvoir définir une voie moyenne
celle d'une
"merveilleuse faculté", présente en nous, d'idéalisation de l'indivi-
duel jusqu'à la conception limite qui transcende tous nos pouvoirs
de représentation.
Comprendre alors la nature de la science - et c'est là le sens
de l'intitulé de ce chapitre final des Laws of Thought - c'est comprendre
la constitution de ce par quoi l'homme connait : son propre intellect
186
qui est le siège de "pouvoirs et cie f3cU~tès qui le pcussent a In"ttr12
en forme et en ordre les détails dispersés qui sont l'objet de sa con-
,
,,19
C
.
"
"
, ,
nalSsance
.
ar Sl notre esprit a la capacite ae s elever au general
et à l'éternel c'est qu'il est un désir, une véritable pulsion à chercher
un ordre qui puisse le satisfaire. Et c'est à cette satisfaction qu'il
reconnaît l'ordre puisque selon les mots de Cournot que cite Boole,
"l'idée de l'ordre a cela de singulier et d'éminent, qu'elle porte en
Il
-
. . f'
,
-1 ,,20
e
e-meme sa Justl lcatlon ou son contra e
.
Si donc la science commence avec l'observation et l'expérimentation,
seule la compréhension de la nature de l'intellect, de sa spontanéité
qui en fait un désir et une faculté d'ordre, permet d'expliquer qu'elle
se constitue en système.
II - Système matériel et système intellectuel
Comme le fera aussi A. Gratry dans sa Logique, Boole se sert de
l'exemple de Kepler pour mettre en évidence le principe d'ordre et déployer
par là toute la signification, métaphysique au bout du compte, du principe
d , ' -d
ln
.
uctlon 21 • Lorsque, d'l t '1
- l , Kep 1er a
'
'
tlre de ses a b serva t'lons d e
la planète Mars qu'elle devait certainement se mouvoir sur une orbite
elliptique, la conclusion ainsi déduite excèdait ce que pouvaient enve-
lapper les prémisses. L'on est donc obligé de penser un autre principe
qui ne permette pas seulement de déduire du même au même, et ce principe
est "la capacité inhérente à notre nature à reconnaître un Ordre, jointe
à la 'supposition, de quelque manière qu'on la fonde, que les phénomènes
de la Nature sont reliés par un principe d'Ordre,,22.
187
ci te s loi s f i x e set i mm ua b les. Dé j à, le, r s qu' i l ava it 19 ans, ci ans une
communication faite à l'.Institut Mécanique de Lincoln, sa ville natale,
George Boole avait trouvé admirable que "grâce aux travaux de Lagrange
les mouvements perturbés d'une planète fussent ramenés, avec toute
leur complexité et leur variété à une question purement mathématique",
ajoutant dans le mâme texte et à propos de ~ewton : " les rouages éternels
de l'univers sont sous nos yeux et l'on en peut suivre les révolutions
sous les diverses transformations de cause, de circonstance ou d'effet,,23.
Mais rien n'indique mieux la pens~e profonde de Boole concernant
la satisfaction de l'esprit devant l'Ordre que manifeste la Science que
ce
"Sennet 3U ),'ombre Trois" où il exprime son sentiment mÉtaphysique
et religieux devant le spectacle du système de la Nature
"Lorsque le :;?T3nG Architecte, sur sa creat:or: per:ch~' / T'élut U'l,
parm: tes frères,
et par toi disposa! Le Monde que découvrent nos sens,
et qu'il permit pourtant / A ceux dont l'esprit résolu et ardent /S'en
---. -
va regarder derrière le voile des phénomènes / De voir un espace multiple,
d'infinis systèmes / Révélés à la seule pensée; était-ce pour que
nous / Mystérieux mélanges de pouvoirs spirituels / Finis par les sens
infinis par la pensée / Sachions sentir combien immense, combien étroit
est notre dépôt/ - De là haut, l'arche élevée qui déploie des orbes lourds
et profonds / A la vague légère qui vient mourir sur la rive -/ Jusqu'à
ce que du fond de notre faiblesse et de notre force puisse s'élever!
Une. louage à sa gloire, le seul omniscient,,24.
188
Tout au long de sa vie. Boole ?crivit des p00mcs, SOuvent pour
traduire des sentiments m2taphysiques de cette nature. Comment n'aurait-
il pas été ravi de rencontrer sous la plume de A. Gratry ces mots
"L
' .
d
.
.
l ' "
25
?1I
a poesIe
ans son essence est aussI vraIe que
a geometrle.
Le système matériel dans son ordre et son harmonie trouve son
pendant dans le syst~me intellectuel. En effet, "si les facultés inhérentes
à l'esprit s'étaient trouvées en présence d'un monde de hasard et de
désordre, elles n'auraient jamais conçu la réalité d'une loi". Mais,
"d'un autre côté, les spectacles de l'ordre le plus manifesR, les séries
causales les moins discontinues se seraient découverts en vain 2 un
esprit qui aurait manqué de ces facultés élev~es nécessaires à leur
.
,,26
p
.
1'1
perceptIon
.
ar consequent
existe un parallélisme entre le systÈme
matériel que l'esprit cannait et découvre et le système intellectuel
par quoi le monde est connu. Ce dernier, également, mène à concevoir
La première remarque concerne le r61e des mathématiques dans l'un
et l'autre systèmes. Le monde matériel voit les relations qui le consti-
tuent s'exprimer mathématiquement. Et "les lois de la pensée, dans
toutes ses procédures de conception et de raisonnement, dans toutes
les opérations dont le langage est l'expression ou l'instrument, sont
de même nature que les lois des procédures mathématiques reconnues".
(LT p. 422). Ce constat conduit Boole à des réflexions sur la place
et l'importance des mathématiques dans la culture et l'éducation. Et
Ces réflexions constituent une réponse à ceux qui, comme le philosophe
W. Hamilton, accusaient l'étude des mathématiques de "déssécher l'esprit".
189
,
.
La seconde remarque a trait à une conClUSIon qu'on ne saurait
manquer de tirer du parallélisme entre syst~me naturel et systême iote1-
lectuel
qu'ils devraient connaître tous deux Ip règne de la même
nécessité. Or cela n'est bien entendu pas le cas: la science, "dans
la Nature, nous découvre un système de légalité qui fCYCè l'obéissance,
dans l'Esprit/un système de légalité qui demande l'obéissance,,27. Sur
cette distinction se séparent les deux systèmes, mat~riel et intellectuel.
Les lois de la logique, dans toute leur rigueur mathématique, ne sont
jamais que les lois du raisonnement correct ou valide et non seulement
leur transgression, sanctionnée par l'erreur, est toujours possible,
mais elle se produit souvent.
Il Y a pour Boole un véritable mystère de l'erreur lorsqu'elle
est trangression de lois "que même la rigueur de leur forme mathématique
n'empêche pas d'être violées" (LI p. 408).
On aurait pu croire dans un premier temps qu'en définissant les
lois de la logique comme celles du seul raisonnement correct, Boole
..--. -
les décrochait en quelque sorte de leur ancrage psychologique : on
aurait lu là une reconnaissance du fait que les lois logiques ne sont
pas celles du penser mais du pensable. Mais que la non validité soit
appelée erreur et l'erreur pensée comme un mystère, comme ce qui ne
devrait pas être, montre bien, encore une fois, que l'objet des Laws
of Ihought, est bien les mécanismes de l'intellect humain.
Mais l'erreur prend aussi ici une valeur positive comme liberté
humaine, et son mystère est celui-là même du libre arbitre de l'homme.
190
L'ordre in~uable ne se ma~ifeste com~2 tel que dans la fIxité
passive de l'inorganique et lorsque l'on s'~l~ve de l'inorganique jus-
qu'o~ domine de l'Esprit, la l~galit~ qui existe (cependant) a tous
les niveaux rencontre la liberté humaine de violer la Loi de la Raison
ou de transgresser la Loi Morale. Car, pour Boole, dans l'ordre moral
également règne une légalité. De même qu'il existe des lois intellectuelles
du raisonnement valide, il existe des lois morales de la conduite juste.
Et si le libre arbitre humain ici aussi se traduit en une faculté de
transgression, la condamnation unanime d'actes répréhensibles ou le
remords qui leur succède font signe vers une règle interne à l'esprit,
de justesse morale : nous pouvons lui désobéir
mais
nous ne pouvons
l'ignorer car elle est, dit-il, "le témoignage secret du coeur,,28.
Au total, à la signification près de la nécessité, il y a un paral-
lélisme entre système matériel et système intellectuel. Et dans la
suite de ses sp~c~latio~s rhilcfcpl1iques! Boole ~roduit a l'appui de
ce point de vue un argument ~_contrario consistant à dire qu'avant
l'ère de la Science classique. à l'époque pré-inductive du savoir humain,
-----
l'esprit substituait à la véritable science du monde matériel la projection
de ses propres lois dans l'Univers.
I I I - L'ère de l'araignée
C'est Francis Bacon qui divise les philosophes entre ceux qui
tiennent de la fourmi, ceux qui tiennent de l'araignée et ceux qui
29
tiennent de l'abeille
. La fourmi représente le philosophe empirique
191
"qui SE: Cl'ntente d'amasser et dl.? C(1nS(',nmer ensuite
L' araignée est le rationaliste qd '\\)ljrdit les toiles dont la m2thre
est extraite de sa propre substance". Quant à l'abeille, "elle garde
le milieu; elle tire la matière première des fleurs et des jardins;
puis par un art qui lui est propre, elle la travaille et la digère".
Et Bacon d'ajouter que la démarche de l'abeille est celle de la "vraie
philosophie", celle qui sait s'~lever â partir d'une véritable base
expérimentale, au lieu de ne compter que sur les forces naturelles
de l'esprit humain.
Pour Boole, le premier age de la philosophie correspondait à ce
qu'on peut appeler une "ère de l'araignée" où l'esprit humain, manquant
de ce support expérimental qui est la condition sine ~ua Don d'une
science du monde matériel, ne voyait s'offrir à lui, dans sa quête
philosophique, que la voie consistant "à projeter ses propres lois
et conditions dans l'univers peur les consid~rer ccm8e des r~5]it~s
.
' .
,,30
C'
-
1
,
1
1 "
"
exterleures
.
est peut-etre ~ aspect
e p us
extravagao[
pour
reprendre le mot de Venn de ces spéculations finales des L1\\-.'S ci Thought:
.--'-
la philosophie antique, qui pour Boole se révèle être une métaphysique
dans le sens précis où elle est une spéculation physique. se voit expli-
quée par l'importance de la notion d'unité (Nombre) et d'univers (logique)
et par la loi de dualité x(l - x) = 0 ! La physique ne se donnait pas
les moyens de dire l'univers matériel tel qu'il était, et lui substituait
des idoles qui n'étaient autres que les lois mêmes de la pensée humaine
projetées dans le monde en une gigantesque fantasmagorie.
1 'J2
•
Dans cette idol~trie particuli~re l'ant~riorit~ logique, sinon
chronologique appartient à la conception logique de l'univers et de
l'unité: "Etablir", dit Boole, "la nature de l'unité dont toute l'exis-
tence était censée être une manifestation, tel était le but premier
de la philosophie". En relèvent, pour lui, toutes les recherches d'un
principe premier qui fût la !~io essendi de toutes choses: l'eau
pour Thal~s, l'air pour Anaxim~ne ou Dio~~ne, le feu pour H~racl ite
d'Ephèse ... En relèvent aussi, la thèse parm~nidienne de l'unité des
étants ou la notion, due à Melinos, d'un univers infini, identique
31
à soi, un et ne connaissant ni mouvement ni changement
. Au total,
"l'idée préminente des premi~res ~coles philosophiques, l'ionienne,
l'éléatique, etc ... , était que l'univers était unité. Elles différaient
dans la manière de rendre compte de cette unité, l'expliquant de diverses
manières par l'eau, l'air, le feu,
l'intelligence, etc ... , mais l'existence
d'une unité fondamentale, enveloppant la totalité des phénomènes était
sans doutE, pour toutes ces ~coles, un point d'accord. Les termes d'unit&
et d'univers ~taient apparemment considér~s presque comme synonymes.
Le langage panthéiste de X,~nophane qui "levant les yeux sur toute l' immen-
sité des cieux déclara que l'Un était Dieu" est un exemple
---'-
de leur
32
manière de penser la plus courante
Ce fut ensuite au tour de la loi logique de dualité de se voir
projetée dans le monde extérieur sous les avatars des doctrines méta-
physiques dualistes qui ont traversé l'histoire de la philosophie mais
aussi celle de l'Eglise, de sa doctrine, de ses hérésies.
193
Ce sont les th~ses d'Emp~docle sur une contrari~té principielle
et fondamentale entre "l'amitié" et la "haine", de Leucippe pour qui
le nwüde est lutte du ,"plein" et du "vide" ; ce sont les antithèses
récurrentes dans la pensée antique entre l'être et le non-être, la
matière et la forme, le bon et le mauvais, le fini et l'infini, le
pair et l'impair, l'un et le multiple, le droit et le courbe. etc ...
~e dualisme platonicien et la tournure prise par le mysticisme néùpla-
tonicien sont paradigmatiques à cet égard.
C'est enfin la systématisation de la doctrine d'une contrariété
principielle dans le dualisme manichéen récurrent dans l'histoire des
hérésies chrétiennes, lorsqu'elle prend l'aspect d'une
personnification
du Principe du Mal. Et il n'est pas jusqu'à la pr&tendue mcderni[~
du système hégélien - et comme A. Gratry, Boole en fait une figure
du panthéisme - qui ne puisse être ramenée, dans sa tentative de déduire
2
priori,
de quelque ;:rincipe métaphysique,
la cannai SS3=-~ce du IThJncie,
à l'antique influence de la pensée dualiste .
..-.-.-
Voilà qu'un ouvrage majeur de l'histoire de la logique et des
mathématiques s'achève sur des considérations qui entre autres font
de l'histoire de la pensée philosphique les avatars d'une prise de
conscience des lois de la pensée. Qu'il s'achève sur la condamnation
d'un mysticisme trop ambitieux et impatient, prompt à prendre pour
la réalité de son objet le fantôme des projections de l'esprit humain.
Qu'il lui substitue la démarche plus sobre qui voit en la science du
système matériel et celle du système intellectuel la pensée même de
Dieu.
194
--'-
Sème purtle :
195
Dans un ôrticle posthume, ne ponant ni titre n1 date, C;eorge
Boole est revenu sur "le trôVf111 qu'il ôvaJt publié quelques années
auparavant - - il s'agit des Lois de ltJ Pel7sée- et dans 1eque1 il avait
développé -la Science de la Logique sous une forme môthémôtique".
Ir exprlme dtms ce petit texte ce que nous ôvons convenu
,j'ôppeler un "rernomS' en ces terrne:;:. ,
"J'imagine Qu'il ya pel.J de gen~; qui, ôyônt connu rnon trôvôil,
n'ont pôs ressenti} comme
je le ressens mai-même., qU'aussi
curl euses et exactes que fussent les ôna l ogi es forme 11 es entre l ô
1), il eût été souhôitôble Que lô prernièr-e trouvM un développement
irllJépendônt. Bien qu'il rn'ôpparaisse que sôns la lurnière Ije cette
101S formelles le système de méthodes et de résultôts qu'a produit
rnon travail, Je suis prêt ô ôdrnet.tre franchement qu'en l'écri",1:::'+
.
J'etais bien trop ::;ou~, la !jorninôf.ion :j']ljées rrIi3H,Émii3t1que,:;" ;,
de George Boole, après lô publicôtion de son Œuvre môîtr-esse, il est
bon de dire quelques mots de l'histoire des manuscrits posthumes où
s'exprime ce retuur critlque sur sô réôlisôtlon antérleure.
A la fin de se biogrôphie de George Boole} publiée en 1866, le
Révéfend R. Hôrley ônnonçait le parution lmminente d'une "Quantité
consi déreb1e de mf1nuscri ts 1ogi Ques "de Boo1e} qui serai ent pub1i és"
soit sépôrément, soit dans une nouvelle édi ti on des Lois de lt.
Pel7sée~ Il n'en fut rien: il fallut attendre près d'un siècle pour qu'en
1952, une partie de ces manuscrits Quitte le dépôt de la Bibliothèque
de la Royal Society il qui ~1me Boole les confia en 1ô74, et. soit
pl..Jbll
.
'e··e p~t- R
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RI-Ieee
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c;ol"cle
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L· ..'
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.L L.'~"
l..
~v'(7'
(...ii...
p·-,-,I-·,:;·I-';J·'~I
.' 1 L"l.I'Lil.ll l l.!,:-
par George Boole",
Sème partie:
196
l'éditeur explique, dans 1'1ntroduction de cet ouvrage: les
rôisons qui ont conduit ô renoncer Ô la publication des écrits
posthurnes Ijôns les ônnees Qui suivir-ent lrnrnédiôternent lô mort de
George Boo)e.
L'on avai t demandé 8 son ami Auguste De Morgan de consulter..
avant leur publication, les manuscrits qu'il avait laissés. De ~1organ
y avait vu d'une part des écrits qui ne pouvaient être publiés que
éventuelle
des
Lo/s 08 Jo P8nsée..
d'autre
part des
textes
visiblement écrits pour paraître tels quels mais dont la publication
fut par lu; déconseillée ,jans une lettre datée du 30 novembre 1667
en ces tennes :
",Je ne saurai cansei 11 er la pub1; cati on [de ces écritsl. Après
rnüre réflexion. Je rne contente de donner deux raisons. La prernière
c'e::;l que l'auteur lui-rnêrr;e eût trouvé d reljire ci leur putdicôtlon
sous la forme où ils se présentent LJ La seconde est Que leur
parution produIrait une impression fausse. Un ouvrôge postl1ume de
I~eorge 8001e sur la lo,~ique serait consIdérée comme l'ex~n-esSlOn ,je
ses dernières pO-:;ltions et les plus inwortantes sur le ::;;uJet Les
gens les mieux informés .. en lisant un tel ùlJvrage .. auraient tendance
8 éprouver Quelque décepti on; mai s ceux Qui n'aurai ent eu aucune
connaissance approfondie du sujet croiraient réellement tenir là
tout ce Qui constitue le projet de Boole. Et comme l'on vendrait une
centaine d'exemplaires de cet ouvrage pour un seul des Lois de Jl
P8/Jsé8, il s'ensui vrait un très 1arge mal entendu sur 1e contenu des
L .
. J'"
.'
2
a
0/S 08 0 r '8/lS88
.
Il est fort probable que ce fut alors De Morgan 1ui-rnême Qui
conseilla le dépôt des manuscrits posthumes 8 la B'ibllothèQiue de la
Royal 50ci et y., ayant préféré lai sser ô 1a postéri té ri mage de Boole
cornrne auteur des LO/S (78 Je Pensée, sans le remords final Ij'avoir
trop été en l'écrivônt "::;ous la Ijor-ninôtion d'i,jées maUlérnôtiques".
5ème part je:
197
Quelle fut la raison du remords de Boole?
,
A la fin de
l' ;~~-t 1c 1e
Gue
nous
ljVOn~;
.
C11.8,
ou
,- ..
,,-. ~
:::.'
,~. '_
i
...;;
"rnôtlièrliôti:::me" de son t.rô',,·'ôiJ antérieur, et ;~uqu81 l'éditeur re·:
5fm..1/es If} L[lgic 8/1d Fr(ibeln///l,l ô donné 1e titre de "Logi c ônd
Reôsoning" (Logique et RôisonnernenO, 16 veuve de George Boole Ô""ôit
écri t quelques 1i gnes :
qui ôur-ôit eu pour but ije tUlduire Jes ~winc1pe::: des Loi,::: Ije la Pen:388
en un lôngôge non mathémôtique. ~lonsieur Mac~liJlfJn soutlôitôlt que
George 8001e écrivît un tel ouvrôge et il 8 souvent essayé de le faire:
mai::: il ô touJours échoué"
Est-ce dûnc sur la derriôrtlje de l'écliteur tjes L,i/S' LiE /:.
Pe/isée que George Boole avait entrepri s rje reveni r sur son al gètire
lit=' 1;:;
l'''"';''I!P pt '""j'il or' pl.",;+ f't.'r.'j',,'P,· :j~ ,-j.,p,r..';"_'~'::',Y,'I..' ,.'p.'t,t,p. "0.;",!',''-·,1./"!::;.t.'",,·
_ _
'....
,'_" 'j . t~ _'" _
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'~_'
, _ " )
_"._ I.J
1 /.
1.J
d'Idees mathématiques" '?
En réôlité, il fôut voir en ce rernords final l'atlf)utissernent
Ij pro'I)i .:. 1 '.l ,r,... l.IIC'(j l"l.c;·t J-,,i.rr/'R t l'P!J(j ,.7't~ ,1,:;,. i {if!? ,·,..,/!Cf
,-: Ü,'
'.,:.' "',' ("11,-.1-1,'.•.
__•· ••_:,·ü,. ,l' ,1.',".,:', ",'; '.'
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_·~·_I·_-
.~.I.'L'_'':'-'''''" ..\\ .'L' //L/.'.l..'l. L:o(l/C7 L'Lo IL'.L.
.;:""~'\\.'L.
.JO:
'..J...
r:
_ -
rnôthemôtisme des Lois de !tt Pe/isee est ôussi lô croyance en IÔ
possibilité de retraduire les procédures et les résultats de cet
ouvrage en un "langage familier aux logiciens d'Oxford"; et dans un
petit texte posthume classé il la Bibliothèque de la Royal Society
sous le numéro 8.2.2., il explique combien sa logique a manqué, dôns
les Lois 08/8 Pe/lset?,. d'ôvoir pu être mieux présentée "comme un
sys tèrne phi 1osophi que".
Au total, la réflexion de George 8001e en logique, dans le::;
derni ères années de sa vi e, prendra deux di rect ions : ce 11 e d'une
d'une tentative .. avortée .. de remettre en chantier la réalisôtion ,j'une
sel ence
de
1ô
1ogi que,
pour
l'expri mer
en
un
1ôngij!~e
ne
Sème part i e :
198
mathémaUQue.
Le nVl U-ierllàtl srne et 1ô ques ti on de 1'J t1l nt.erpr-é1.ôtJ1 e
L'ôspect le plus visible du mathématisme booléen est 5f:lnS
ôucun doute ce postulat qui est au fondement de sa méthode générale
en logique : que l'on peut effectuer toutes les procédures de
corrlme Leibniz, c'est-il-dire en pôSsEmt par des étapes Qui n'ont
aucune signification logique, pourvu seulement que le résultat final
soie lui, interprétable.
C'est en effet. ce postulôt qUI t.raduit ce que nous ayons ôppele
l'optimisme du s~mbolique de Boole Qui a creusé l'abîme entre la
science
Ije
lô
logique
algébrique
et
l'usage
or-dinaire
d'un
n::lsc'nnernent qui se corlljuit (Jïnt.elllglble en entell1g1ble et Gt.J]
saisit clairement, 8 chacun de ses moments, la pleine significat.ion
,jes opénit.i ons au'11 eff ect.ue
f'1ettre en cause donc lô "!jorninôtion Ij'iljées rnôUiérnatique':;"
c'èt.ait remettre en question un tel postulat que Boole ô'v'ôlt formulé
pour avoir considéré com~·vôlôble,. en logique aussi" la méthode
courante en mathématiques Qui consiste il introduire dans le
raisonnement
des
formules
ininterprétables
: il
en \\'a
de
l'1ninterprétable
en
logique
comme
de
l'imaginôire
en
môthématiques" ne cesse de répéter Boole lorsqu'il s'ôgit de
j ustifi er 1e postul ôt qui fonde son système, et, pôr conséquent, 1e
"trou" d'inint.elligibilité par lequel il fait pôsser la raison dans
l'exécut ion de ses procédures.
Dans un appendice à un essai non publié de son vivant, écrit
peu avant les Lois de /0 Pensée et intitulé MEsquisse d'une théor-ie et
Ij'une mètho,je en probabll itès f ondées sur 1e Cel cul 1agi que 'L~ Boole
se
sert
de
cette
anô1ogi e avec
l'usage
de
1'1 rnagi nôi re
en
Sème port je:
199
mathématiQues pour justifier l'écriture, en logique .. de formules
lninterprétôbles
faite 6 l'introduction de constôntes numériques c, c etc dans le
système: "si l'on peut interpréter x comme symbole logique", en
effet, le produit cx où c est une constante numér-ique est" en
revanche, dénué ,je signification et on ne peut lui ,jormer un sens
"
10gique."-t
Lô réponse de Boole sera que "les lois formelles ,je
combinaison des symboles ont une plus grande extension que les lois
de leur interprétation" et qu'en nous conformant stricternent ô
résultat ininterprétôtile et de ce der-nier il nouveau ci un r-e:3ultat
i nterprétabl e. Ainsi, en trigonométrie .. nous emp 10ldons i ô fonne ../ - !
arithmétique, en parfaHe sécurité. J'imagine que le fondement
phi 1osophi que de cet uSôl~e est que nous ét ôtll i ::;son::; 1e': ~ Ci1:: :je ne::
constn./1 :30ns un 1ôngôge ou une notatl on ou 1es sqr-nDo 18:: ne sont
soumis QU'ô la condition restrictive suivemte : de ljevoir obéir ô ce~;
--'-
lois (et de ne pas se plier à cette restriction Que toute combinaison
obtenue soH i nterprétabl e); que 1es procéljures de rô] sonnement
menées dans ce ltmgôge sont plJrement formelles et ne ,jépendent que
des lois générales auxquelles sont soumis les symboles; que toute
interprétation que nous sommes en mesure d'ôt:signer il un tel
langage est particulière.: enfin, que la vôlidité ,j'une conclu::;ion
dépend des deux conditions suivantes: d'abord que l'interprétôtion
soit compatible avec les lois formelles auxquelles sont soumis les
symboles et qU'ensuite ces lois formelles n'ôient Jamais ét.é violées
c
dans 1e cours du raisonnement" ..J.
A la suite de ce passôge .. Boole prévient une ot']ection cont.r-e
Sème partie:
200
l'analogie ici employée (Que l'on peut résumer en disant Que / -1 est
ô l'arithmétique ce Que les formules logiQuemént ininterDrétôtl1e~
il iôire remarquer que /-1 a bien une lnter-prétôtion géornetnque
possible. La réponse de Boole il une telle objection est la suivônte .
"si l'on objecte Que le symbole /-1 a bien une interprétation en
géométrie, je répondrai Que la yalidité des résultats obtenus ô rôide
Ij'une telle interprétation",6
Une telle réponse se comprend mieux lorsqu'on la rapporte ô un
principe de l'Ecole algébrique anglaise Que l'on t.rouve exprirné chez
1\\'YIOOd~louse : Rappelons en effet que ceJul-ci déclôrôlt ,jôn~ ~:;ür";
article intitulé On t!Je int..i8Jt8.1l0ftnce of 8fJ61ytic61 6ndp80il.if1nr:{/,
ifJV8st!~7MiOllS ond on t!Je 60VO/it tiges t0 /i8 oeriv8o' l/[i//? t.1~P//
"]'introljuction
Ij'expre::;::;1on~:;
et
!je
f::::Tnu 1e::
géométriques dons des recherches analytiques n'est ôbsolurnent. pas
!~èornètn que,
récuse
que
repré:;entôt. ion
QPL-,rr"lPt r-1 ni 'P
.. ..
' _ . , ~ ... -
l'imaginaire.. ex"tFinsèque donc eux procédures purement ônôltdtiques
apparaisse comme leur garant intuitif: la représ81ltotion n'est pas
la significotion directement intelligible des formules analytiques,
Dans les Lois de 10 Pensée., Boole est revenu sur 1e même
postulat dont il fait l'une des aconditions d'un rôisonnement yalide
a
mené 0 raide de symboles .8
Ce qui est nouveau par rapport ou t.exte de rappendi ce Que
nous venons de citer, c'est Qu'il fait ici explicitement de ce postulôt
une "loi général e de l'esprit·. 11 écrit Qu'·un exemple uni Que d'un
rôisonnement où les symboles
sont ernployés conformément ô ,jes
]oi s
f onljées
sur leur interprétôtion, mais
sans qu'il
soit
const.ôrnrnent fait réf érence il celle-ci - l'enchô Înernent ,jérnonst r-ô ti f
~.
Sème part1e :
201
Qu1 nous amène, par des étapes intermédiaires non interprétables
Jusqu'ôu résultat final interprétôble-
semble, non seulernent
ét,jblir lô validité de l' ôpplication pôrticu1ière [du postulat), nlôlS
aussi nous faire connaître la loi générale qui s'y manifeste" 9 .
Cette "loi générale" n'est donc pas aperçue a priori mais
"dérivée" des applications particulières qui la manifestent. Il
demeure selon Boole Qu'il n'est point besoin de multiplier les
ôpplicôtions pour se convôincre de la rÉ'elllté et de la validité d'une
telle loi: un seul exemple y suffit car le général est directement
lisible dans le partlculier et l'accumulation des exemples n'ajoute
rien â l'évidence de la loi.
Ici l'analogie avec /-1 .. considéré comme le paradigme même de
l'ininterprétab1e,
joue
un
rôle
moins
important
en
tant
Qu'''il1ustration'' possible IjU postulat : celui-ci prend désorrnôis
pL:Jce .. ~;elon Boole, pôrrni les "vérites ôXlOrnôtiqu8S" de le ~;Clence ,ju
raisonnement
symbolique
et
comme
tel,
il
est
simplement
"manifesté" et non corroboré par toute application que l'on en peut.
trouver.
Et ceci relativise l'analogie entre les formules ininterprétables
en logique et Femp10i de Quantités imaginaires en arithmétique
comme justification du principe Que la validité de la méthode ne
dépend pas de lInterprétabllité des résultats inte'(médieires.
C'est en fondant sa méthode générale en logique sur cette
"Yérité axiomatique" Que George Boole a donné l'impression Que sa
logique n'étalt finalement QU'une branche des mathématiques.
Revenir de la "domination des idées mathématiques"> c'était
donc revenir à une conception que nous dirons plus traditionnelle de
la logique: â l'idée Qu'elle est la science des démarches déductives
intelligibles de part en part; Que si elle est la mise en œuvre des
"lois de la pensée-, celle-ci doit pouvoir toujours comprendre ci
chaque étape et totalement, la nature et la signification de ce
5ème palila :
202
Qu'elle fait.
Cette remise en Question par Boole de Jrusô']e ,je formes
symboliques
logiquer-nent ininterprétôbles
va dans
le ~;ens rjes
critiQues Qui seront très vite adressées à son système par ses
contemporains et par ses successeurs immédiats dans le domaine de
la logique algorithmique.
Peu d'entre eux adhèreront véritablement à sa démarche et è
ses rnétl"lodes.;
Jorm Venn (1634-1923) fut de ce peU t nornbre, La
plupart des lecteurs de Boole furent au contraire plutôt de 1'8,,'is
exprimé par Lotze dans sa Logique (dont la traduction anglaise fut
publiée en 1882) Que dans les procédures établies par Boole -seules
1es prémisses et l'équation finale étaient des faits logiques,. le
dérnarehe
intermédiaire
n'étant
qu'un
paradoxe
dénué
de
signification",10
Ou encore de celui de 'w'.s, ,.Jevons 8CTivônt : "la compllcôtlOn
des méthodes symboliques de transformation par lesquelles de
nombreux exemples de problèrnes sont résolus dems les Lois de Ir:.
Felisée
fait
Que seuls
des esprits rnathérnôtiqueshauternent
entraînés peuvent les suivre,: et même un mathématicien échouerait
à trouver une f oree démonstn~tlve dans un cal cul Qui SEinS hésitati on
emploie des symboles dénués de sens et incompréhensibles pour leur
attribuer
une
signification
par
une
procédure
ultérieure
dlnterprétatlon-. 11
De fait, et c'est là un aspect lmportant du -mathématisme- de
George
Boole, certains
points du
système révèlent
davantage
l'habileté
extnwrdinaire
à manipuler
des
symboles
pour
le
mathématicien
de
talent
Qu'il
était,
QU'ils
ne
font
l'objet,
véritablement,
de
justifications
théoriques
absolument
convaincantes.
L'on peut, pour i 11 ustrer cet aspect du système boa l éen où
l'ingéniosité et la grande habileté rrlônipu1ôtoire môsquent souvent
5ème parUe:
203
certains embarras théoriques, revenir à l'usage Qui est fait du
symbole auxiliaire v devont exprimer le pôrticulôt-Tté
Pour d'ôtlord rôppeler Que, cornrne nous le disions
précé1jernment, v, différent en cela des autres symboles ordlnalres
de classes, voit se signification dépendre de ce 0 Quoi il est préfixé:
il ne peut ètre détaché de ·ses condiUons d'interprétabil ité" et ne
saurait donc représenter -Quelques· indépendamment de tout terme
ôuque1 il serôit pr-éflxé. Bref, sur ce poi nt on notera i:J'v'8C Bourt:ôkl
que le pas décisif en logique formelle ne serti franchi Que vers la fin
du X/Xe siècle avec l'adoption -de véritables quantificateurs {au sens
modernet. 12
Ensuite.. et en rapport avec ce premier point, nous noterons
une autre difficulté liée Èl remploi du symt10le v et Qui concerne la
portée existentielle des propositions. En d'autres termes, nous
poserons ici la question de savoir ce quon ijH de l'e>:istence de :~
lorsque l'on traduit symboliquement la proposition "Tout X et V" en
écrivant
x =vy
En expl1quant Que v est un symbole de classe indéfinie sous tout
FOffport sauf Qu'elle a avec y des éléments communs, Boole semble
affirmer Que la classe des Xs n'est pas vide et Que la proposition
'x =vy
o donc une portée existentielle.
Mais, par ai neurs, lorsque à la page 90 des Lois de /8 Pensée.,
Boole déclare Que v est l'équivalent du symbole %
de classe
indéfinie et Quïl lui est substituab1e lorsque des ·considérations
pratiques" l'exigent, 11 vient d'écrire Que l'expression %
indiQue
Que dans la classe 8 laquelle elle est préfixée, tOllS les éléments,
quelqt/es tins ou Ot/Clln d'entre eux est à prendre en compte. L'on a
donc ]8 possibilité Que ]a classe x= vy soit vide et Que la
proposition Qui l'exprime s'interprète
x est I~ (si x exist.e).
N
5ème partie:
.
.
La critique de Wllliôm Stanley .Jevons portera entre ôutres
sur l'emploi per 8001e de ce symbole indéten-rliné Il : ,.Jevons le trouve
trop vôgue et indéfini car s'il nous dIt Que Xest Quelque partie de Y,
lorsque l'on écrit l'expression x = vy, il ne nous dit guère Quelle
partie.
C'est la raison pour laquelle il préfère, dit-il, exprimer 16
même proposi t i on sou~; l ô forme
x =xy
Qui ne fait pas intervenir de symbole auxiliaire indéterminé et évite
pôr conséquent les difficultés liées à son usage. 13
.John Venn répondra à cette critique. et prendra 1ô déf en se ,
sur ce poi nt, du symbo 1isme booléen en rôppe lant Que ,jans 1a
pratique, lorsqu'll s'ôgH de rnener les calculs symboliques et
,j'inférer de2. conclusions, 8001e utllise 113 rnérne forme x = x~ que
Jevons: les deux formes sont équivalentes car si dans x = vy on
"élimine- \\/, on obtient l'écriture équivalente de l'universelle
affirmative.. soit x (1 - y) = O. De cette équation il vient x = xy.
Réciproquement, en partant de x =xy et en IjéveloPDant x, on retrouve
la forme x =\\/y 1 4 . - - , -
Dans la pratique donc, Boole -élimine- toujours le symbole
auxiliaire indéterminé Y, en écartant p6r la même occasion aussi 18
portée existentielle de 18 proposition-équation où 11 figure. Mais 11
n'est pas permis de la même manière d'él imfner v dans un cas comme
celui de la propositlon particulière 6ffimiative vx = yy : une telle
élfmination donnerait l'équation 0 = 0) sans intérêt. Et è la page 124
des Lois de /0 Pensêe,.
Boole énonce la règle de réécriture des
\\
équations où ftgure le symbole auxllfaire v :
x =vy se transforme en x(l - y) =0)
x =y en x( 1 - y) + y (1 - x) =0 et
vx =vy en '.IX (1 - y) + vy (1 - x) =o.
Sème part fè :
205
Comme on le YOa, y est traité dlfféremment dans le trolSlème
côs, il n'est pas éliminé
Au total, le fait que malgré les difficul1.é~; t.héoriques réelles
du système et des méthodes établis par Boole, celui-ci obtienne des
résultats qUl ,une fOlS interprétés, ont une signification logique, a
prodUlt chez les lecteurs le sentlment plusieurs fois exprimé par
W.S. Jevons Que le symbollsme booléen consistait en un revêtement,
pôr des "formes maUlémôtiques" de procéJ:1ures logiques qui n er'
avaient guère besoln; et qu'ainsi la compllcation des mimipu1ôtions
symboliques ne faisait Que rendre ·obscures et mystérieuses" les
méthodes condUlsant è des résultats auxquels on serait pôrvenu
"di rectement et i ntuit 1vement. pôr 1ô 1ogi Que onji nôi re ou pure" 15
Les premières critiques que WS Jevons ô aljressée~; il 6001e
furent l'objet d'un échange de 1ettres entre eux ô part i r ,ju rnoi ~
d'ôoût 1663", Quelques mois donc avant la mort de J'auteur lJ::':: l('}~~
16
de 10 Pensee.
le "môthématisme" de George Boole, .Jevons se fera le défenseur et le
restaurateur d'un "Logi que Pure" ou d'une "10gi que de 1el pensee
commune" contre la confi ance accordée aux méthodes symbo1i ques
aveugles.
Entre autres pOlnts portant précisément sur tel ou tel élément
du système établl par Boole, Jeyons pose 6 l'auteur, dans une lettre,
la Questlon générale et fondamentale SUl vante : "est -ce Que yotre
système correspond à la logique de le pensée commune" ? 17
Or ce retour à une "logique pure" et à des méthodes plus
intuitives de résolutlon de problèmes était préclsément la direction
où semblalt s'engager Boole en dénonçant "la domination d'idées
mathématiques" sous laquelle il s'était trouvé en écrivtmt :38S L{~'/:-,
de 10 Pensee. C'est ce qu'il explique ô Jevons, en refusônt de
discuter de manière très précise avec lui de son propre -:;'dstèrne
5ème partie:
206
/
ayant d'ayoir publié ses tr8Y8UX Jes plus récents où il étaft revenu de
son "mathématisme" :
"j'incline ô penser", lui écrivit-il, -que je pourrais en pell de
ternps tirer de ces travaux une matière suffisante Qui exposerait
publiquement mes idées sur la Question; et je me sens actuellement
disposé il le faire; mais je ne le pourrais pas si je m'engageais
,j'ôbord dans une discussion avec vous sur nos di ",ergences-. 18
On ::;ôit Qu'il ne publiô iômôis ce livre qu'ônnonr':ôient le::.
-
,
manuscrits auxquels il fait ici allusion.
II. Le livre il venir
Ce li ',re qui, pour Boo1e ,ôurô'î t repri s 1es L(lis 08- Jo Pensée pour
se présenter davtmtôge cornrne "un système philosophiQue-, aurait dû,
,j::ms son esprit, répondre ô la question suivante: "Ouelle est lô
signification logique des procédures mises en œuvre? Si l'on écarte
les
ônalogies,.
mathématiques
et
autres,
Quelle
théohe
des
opérations
'intellectuelles
derneure
cachée
sous
les
forrnes
elles-mêmes ?" 19
Mais S'Elgit-n, en posant cette --question, de remettre en
Question ·les formes elles-mêmes· ? En d'autres termes, s'agit-il de
seulement expliquer la signification 10gtQue QU'enveloppent les
"formes·, ou de lui trouver une expression autre, non mathématique?
DElns un texte conservé il 18 BibllothèQue de la Royal Society sous le
numéro W. 3.2 & 3 20et Qui eût flguré comme élément d'une
introduction ElU ·livre il venir", Boole Elfftrme des Lois de /0 Pensée
Que cet ouvrage fut écrit "pour des matt1ématiciens u Il semble donc
•
d'ire Que le llvre Qu'n projetait d'écrire le serait en un langage Qui
éviterait le symbollsme mathématique pour s'adresser à un public
plus vaste et ô'ux "logiciens d'Oxford" en particulier. C'est là
remettre en question lô notion même d'une analogie entre algèbre et
.'
'i
Sème partie:
207
logique puisqu'elle n'est plus dèslors ·essentielle- à la constitution
d'une Nouvelle AnelytiQue.
Voici ce qu'il écrit dôns ce texte: "Si l'on tient Que cette
ÔI1iilogie n'est pas essentielle ci l'obJet Que l'on ô en vue, il s'ensuit
une conséquence évidente. Il doit alors être possible d'interpréter à
1'i ntéri eur même de 1a sphère purement 1ogi Que et par des noU ons et
conceptions purement logiques toutes les procédures, les méthodes
et les résultats auxquels cette analogie Cl conljuit C'est une telle
interprétation qui est l'objet du présent ouvrage. Je cherche 6
dégager et à mettre en évidence les éléments philosophiques Qui
dans la présentation Que j'en avais fl:~ite auparavemt étaient bien trop
cachés sous le valle d'une écriture symbolique ... Jôi éct-if. mon
ouvrage précédent pour des mathématiciens. ~1ais le ~;u.iet est d'un
intérêt plus lôrge. Ce livre-ci est écrit à l'intention du grôn1j public
' Î 1
Les rnôtrlérnôt i ques n'y ôPPe'lf"Ô îtront qu'en note" LI.
Le li'tlre projeté aurait donc renversé les Lois de 10 Pensée.
alors qu'en ce derni er ouvrage c'est 1e plus souvent dans 1es not e~:;
Que
sont
évoqués
des
élérnents de
lô
logique
t.raditionnelle,
classique, en celui qu'il pense écrire dans le langage de l;j tradition ..
ce sont, au contraire, les mathématiques Qui "n'ôpparaÎtraient qu'en
note-.
L'on trou'tle parmi les manuscrits de la Bibliothèque de la
Royal Society ce Qui aurait été une -table des matières- possible de
ce Hvre Qui ne fut jamais écrit. Cette -table des matières· se
présente comme sui t :
-chap. 1 : De la logique ordinaire - une analyse de 10 logique
contemporaine comprenant la nature de la proposition, les principes
d'identité, de contradicUon et de tiers-exclu, le syllogisme ...
chap. \\1 : Oes opérations de la pensée en relation avec la science du
nombre (i.e. l'algèbre) - une descriptiün des opérôtions ordinaires de
l'algèbre et leurs lois.
Sème partie:
208
chap. "1 : Des lofs de la pensêeen logiQuè. Les· lois dèle conception
J
se révèlent être les mêmes que celles des nombres 0 et 1 en iJlgèt're
onjj naire.
chap.
IV : Interprétation des méthodes -
une descriotion des
.
'
méthodes des Lois de hJPensée en langue non mathématiQue-.22
A simplement parcourir les intttulés des différents
chôpitres ainsi énumérés, on peut faire le commentaire suivant:
d'une part. les chapi tres Il et "1 semblent garder au bout du compte
les perspectives et la démarche générale Qui furent celles des Lois
de hJ Pensée.: d'autre part, le chapitre final ne propose pas des
méthodes non mathématiques de résolution mais simplement de
,jécrire "en langage non mathématique" les méthodes sldmtloliques
étôblies dans les Lois de /BPe.ns8e.
Pôr conséquent, des L[fis d8 lo P8liS8e fi ce "1 ivre ci veni rU 1
J
El
différence est flnôlernent de perspective. Il s'ôgit, ci partir d'un point
de ',lue Qui n'est plus offusqué par "les idées mathérnaUQues·
d'exhiber le côn:1ctère proprement logique des méthodes qui ont été
mi ses en œuvre.
Car Boole, mel1gré tout, continue de tenir ferme le principe
Qui fut au fondement de S--6·réalisation, écrivant ft Je',lons durant la
brève période où ils ont correspondu et Quelques mois seulement
a',ltmt sa mort: Te n'est pas une supposition arbitraire mais une
chose Qui véritablement trouve son fondement dans la constitution
de la pensée, Que nous pouvons mener nos procédures en accord a',lec
les lois formelles des opérations sans Qu'elles soient limitées par
les conditions d'interprétationM 23
•
Cette différence de perspective correspond à une double
conception de ce Qu'est la nature de 18 logique. Et selon Boole, la
réfl exi on sur 1a nature de 18 1ogi Que nous condui t â ce Qui est
"1 ô
Question la plus profonde de la Philosophie de la LogiQue" Qui se
formule de la manière suivante:
5ème port je :
209
·Sommes-nous tenus, lorsque nous menons dans le langage
les procédures de raisonnement de garder constôrnrnent à l'esprit les
condi ti ons d'i nterprétôbi l ité, par conséquent d'ernp loyer Ijes f ünne~,
Qui
imposent de telles conditions, c'est-a-dir-e donc seulement
lorsque ces conditions sont satisfaites? En d'autres termes, la
Logique a-t-elle nécessf:lirement un caractère ostensH ? Ou bien ce
QUl gouverne 1es procédures i nte1\\ ectue 11 es en Logi Que, n'es t -ce pas
seulement Qu'elle~; dépen1jent de fO/Tnes et de lois atlstnllte::; '; ::;j
l'on adopte ce second point de vue, 113 Logique devrait être décrite L)
non pas comme une science ostenslve, mals comme une science
noétique- 24.
Par 113 nous somrnes rnieu;.:; ôu fôit de ce Que pouvait. se
proposer George Boole en ce "livre ci venirft comme nous l'avons
ôppelé
:
projeter
un
éclôirôge
"ostentif"
sur
les
rnétho!jes
c·l'r·'.'[î·il·q 'e'" qui f
ert dC\\'-j ,r,p"oc- d~t"c' "'C /,·,/·c· n'CI/'R ~',;,.,-! .~.:. ':'''d',':'
"':1["_"
U ..;>
•
ur.1
l:!1l:!cf-,e~~,
(j,J._,Ii:'~·J..L,.•''-'L.. L.'''L.,-,SL'L·'-''-''·''_'
renier fondamentalement la nature "noétique- de la Science de la
Logique dont ces méthodes furent l'expre~;::;ion.
Il s·ôgit .. en d'autres tennes, ,j'ernprunf.er la '.... oie (Je
J'explication et du commentaire, de J'enquête sur- la :;iWlificôtlOn
proprement logique des procédures formelles, ce Que Boole appelle
.---.-
encore 1a présentat1on ·phll osophi Que- de ses méthodes et de ses
résultats.
C'est ainsi QUll lui faut par exemple produlre -la philosophie
de la plus importante des procédures [établies dans les Lois de Il.
Pells8e/c'est-à-dire celle de Développement". 25
Prenons pour ce faire un exemple en considérônt les deux
conceptions d'-homme" d'une part et d'''être rationnels" de l'autre.
Antérieurement 6 toute connaissance de la signification de ces
termes et antérieurement à toute lnformation ôpportée par les
prémisses d'un raisonnernent où ils pourraient entrer.. nous dit 6001e,
nous pouvons poser comme nécessaire la proposition suivante : "Le~;
Sème parUe:
210
hommes sont ou bien rationr.els ou bien non rationnels".26 Celle-ci
•
n'est en effet rien d'autre Qu'une instemce de la loi du tiers-exclu et
tient d'e Ile par conséquent son carBet ère de nécessi té.
Supposons m8inten~nt Que soit introduite une troisième
conception, celle d'·animal·. De la même manière, c'est-à-dire
totalement a priori et de façon absolument nécessaire, nous pouvons
poser la proposition complexe suivante:
"Les hommes sont ou bien des animaux rationnels
ou bien des être rationnels mais pas des animaux
ou bien des êtres rationnels et des animaux
ou bien ni rationnels ni animaux·
qui exprime la nécessité pour tout individu d'appartenir il l'une Ijes
Quatre classes qui forment le terme prédicôt" 27
De la même manière, l'introduction d'une nou'·/elle
conception aurait permis récriture d'une nouvelle proposition
nécessaire comprenant huit clôsses formemt le t.erme prédicôt et
ainsi de suite...
En tlref, et au totôl, "les principes de contradiction et de
tiers-exélo nous permettent de former une proposition nécessaire
mettant en relation un nombre Quelconque de conceptions que l'on
s'est données, de manière parfaitement indépendante de toute
relation établie entre elles par les prémisses· 28 : 11s produisent a
priori, et de manière exhaustive, les différentes possibllités
combinatoires Que l'on peut obtenir à partir de ces ·conceptions"
données.
Si l'on revient 8 la première proposition nécessaire, formée
8 partir des deux ·conceptions· Que sont -hommes· et ·rationnels·,
l'on remarque Qu'en di sant ·1 es hommes sont ou bi en rat ionne1s ou
bien non rationnels", le sujet "les hommes" est pris universellement
ôlors que les prédicats "rationnels" ou "non rôtionnels" demeurent
Sème part i e ;
211
indéfinis pour ce Qui est de leur Quantité logique. On ne dit pas, en
effet, s'11 faut prendre la classe des "êtres' rôtionnels"ljôn,:; s;~
totalité ou en une certaine partie Qui peut être nullE'.
Boo Je regroupe ces détermi nôti ons de Quanti té sous 1e
terme générol de "catégorie- 29.
Ces différents éléments vont désormais pet-mettre à Boole de
préci ser ce Qu'il entend par la ~phi1osophi e du développement" : il va
donc port.er un éclairage nouveau sur l'idée exprimée Ijôns le~; i [Ii;'.· L7t
/B Pen~e8
d'une interprétation des constituants obtenus par la
procédure de déve1oppemenl modifi ée pôr 1es constituants Qui
apparai ssent dans 1a f onction développée.
La modification, en effet, dépend des con,jition-:: qui sont.
enveloppées dôns les prémisses particulières Iju raisonnement
particulier où se rencontrent les conceptions dont il est questlon
information pemettant de -limiter de manière plus définie les
propositions nécessôires· du genre de celle obtenue plw:; !·J:~l.Jt è
partir de
"hommes", "rationnels"
et 'ômmôux"
où ies
clôs~:w:;
distinctes
composant
le
terme
prédIcat
restôient ..
en
effet.
indéfinfes.
Cette 11 mi tat i on concerne par conséquent 1a Quantité 1ogi Que
des différentes classes alternatives Qui forment le terme prédicat
de 16 proposition nécess6ire posée 6 priori.
Résumons ce point: Une conclusion logique 6 toujours la forme d'une
proposi Uon nécessai re 1ndépendônte des prémi sses et Qui, en tant
Qu'ïnstantiation- des principes a priori
de contradiction et de
tiers-exclu, ne dépend Que des conceptions qui entrent dans les
données; l'information particulière contenue dans les prémisses
\\/ient,
dclnS
un
second
moment,
-modifier"
cette
proposition
nécessaire,
c'est-à-dire
définir
les
catégories
des
c]asse~;
alternatives qui en forment le terme prédicat. Ces catégories. ,jit
Sème partie:
212
Boole, sont les Quatre suivantes:
1. "L'uni versel. Lorsque rune des cl esses /j1t ernat ives du pré,ji cat
tombe sous cette catégorie, cela veut dire que tous ses éléments
sont contenus dans lô clflsse Que dénote le sujet" 30. Cette cJasse
est donc 8 prendre universellement.
2. L'indéfini. C'est l'absence de toute détenninatlon Qui seraH
introduite par les prémisses. Il peut donc être rune Quelconque des
3. Le non existant. "Lorsque rune des classes alternatives du
prédicat tombe sous cette catégorie, cela veut dire Qu'ôucun de ses
éléments n'est contenu dons le sujet" 31.
4. L'impossible. "lorsque rune des classes alternatives du terme
prédicôl tombe sous cette catégorie, cela signifie deux choses dans
le syrnbolisme~ lô première est. Qu'il est impossible qu'ôucun élément
de cette clôsse puisse être élément de la classe ljénotée pôr le
sujet; la seconde est la non existence absolue de cette classe
elle-même..Je suppose", aJout.e Boole, "Que nous pouvons lier ces
,jeux sîgnificatlons et nous en tenir à 18 concluston lô plus génerale
qui est que cette classe est absolument non existônte~ côr celô
i mp11 Que 11 mpossi bi 1ité de retrouver ses éléments dfH1S quel qu-e-
autre classe Que ce soit" 32.
Tous ces éléments permettent d'établlr une "phllosophie" du
développement lorsque l'on remarque Que les catégories énumérées
ci-dessus se trouvaient traduites, dans 16 méthode de développement
des fonctions logiques, par les coefficients 1, 0/0, 0 et 1/0 des
différents consUtuants obtenus par combinaison des symboles
électifs entrant dans ces foncUons.
Cette "philosophie" sera résumée comme suit : dans 18
méthode de développement telle Qu'on la rencontrait dans le calcul
symbol iQue exposé par les Lais 08 Jo Pensée.,
on partait des
prémisses elles-mêmes et., en se fondant sur "le principe que la
Sème part1e :
213
logique est formelle par nature", on leur appliquait les lois
formelles de dérjuctlon pour produire, sous la fdr-me d'une fonction
développée, la conclusion à interpréter log1Quernent en interpn~tônt
les coefficients Que ce développement ôVôit fôit apparaître,
C'est là une manière de procéder directe dont 8001e dit Qu'elle
est
sc ientifiQue"33
: il
l'appelle méthode
"synt.hétique"
de
M
rai sonne ment pèr opposition à une méthode inverse Qui est 1a
méthode "ônalytiQue" : "Celui qui, dans je t-ôi~;onnernent onj;nôju:,
adopte cette mani ère [et] rai sonne de f ôçon anal yt i Que (J pelft d'une
proposition nécessaire et lui impose des limitations spéciales de
manière à raccorder aux prémisses" 34,
Afin d'illustrer cette dérnôtTI18 déductive qui e::<prirne !jf
rnônière "ostensive" la signification logique qui était rjemeurè-e
"côchée" dfms 1es procédures purernent syrnboi iques, Boole prer"j
" - - - 1 j'
11' r
d- + l - r- é .... " - - - - - - - t' 1- -
-- c -,' t 1 - ,',-, ,
i !:'xt!rllp e 1 un sy
ogbrne un~ e::; l.Jrt:,r:,':;':;~::, ':;utl_ t:!::; pt up '':'! '-lU,j:· ,
"Tous les hommes sont mortels
Les Grecs sont des rlommes" ,35
En considérant Jes t.ermes ôutres que le moyen, c'est -ô-dlre
les conceptions de "Grecs M et de "mortels",. il vient que J'on peut
---
écrire la proposition nécessaire: "Les Grecs sont ou bien mortels ou
bien non morte1s-.
Accorder cette proposi t ion nécessai re à ri nf orrnat ion
opportée p8r les prémisses, c'est ronger la closse des -mortels- dans
la cotégorie de Tindéflnl- et celle des non mortels dans celle du
"non existont-o Il reste par conséquent la conclusion aristotélicienne
de ce syllogisme en BtJrborli: -Les Grecs sont des mortels",
En consldér8nt les mêmes conceptions, l'on pouvait également
écrire 18 proposition nécessaire: -Les mortels sont ou bien des
Grecs ou bien des non Grecs-, On aurait obtenu de 18 même rnl:mière ..
conformément aux prémisses du syllogisme, une classe des "Grecs"
tombant sous 10 catégori e de l'uni verse1, et celle des "nons Grecs·
i
Sème partie:
214
j
tombant
sous
16 catégorie de l'indéfini. C'est-â-dire Que 18
•
conclusion logique eût été alors que "les mortels sont tous les Gr-ecs
et une partie indétetTninée (tous, quelques-uns ou aucun) de non
Grecs·,
D'une manière génén~le, en considénmt l'ensemble des
termes Qui entrent dans les prémlsses du sylloglsme, l'on peut
obtenir,
de
façon
combinatoire,
une conclusion
Qui
sera
une
rno:jifjcôtion ,je lô proposition néC2%ôire, ô priori, suivante:
ô) lout mortel est ou bien un homme et un Grec, ou bien un homme
mais pas un Grec, ou bien un Grec mais pas un homme, ou bien ni un
Grec ni un homme-, L'on peut également écrire la proposition
nécessaire:
b) "Tout homme est ou bien Grec et mortel,. ou bien Grec et non
mortel, ou bien mortel mais non Grec .. ou tden ni mortel, ni Grec"
Dôns le Cos a) la modification ,je la proposition néc8~::Stl1re
introduite par les prémisses rangera les deux premières classes
ôlternôtives sous la côtégorie de l'universel, 18 troisième sous celle
de l'impossible et 18 dernière sous celle de l'indéfln1. La conclusion
logique sera donc que "les mortels sont. tous les hommes Grecs et
non Grecs et une partie indéterminée d'êtres qui ng-'sont hl hommes
ni Grecs-.
Dans le cas b) on rangera de la même façon la première classe
alternative sous la catégorie de l'universel, la seconde sous celle de
l'impossible, la troisième sous celle de l'indéftni et la Quatrième
sous celle du non existant pour obtenir la conclusion logique
suivante: -les hommes sont tous les êtres Qui sont Grecs et mortels
et une classe indéterminée de mortels Qui ne sont pas Grecs. Etre
Grec et non mortel est impossible-.
Parlant des procédures symboliques établies par Boole dans
son algèbre de la logique, ..John Venn écrira: "Elles sont, en leur
fon1jement, logiques et non mathématiques rnôis elles sont établie:::
5ème partie:
215
dems une forme symbolique atteignant un si hl.wt niveau de
généralisation et dans un revêtement rnôn,ér1-iôtique tel que le
lecteur C..} peut en user plusieurs fois ôvônt de cornrnencer ô
acquérir
la
conviction
Qu'il
en ôVôit,
au
préalable,
quelque
connaissance" .36
Et, en effet, dans l'article d'où ces mots sont tirés, il
s'attache, il la suite de ces écrits posthumes de Boole, il regarder les
rr·'€···thod· ... C dec L '~J'L~ ,'''0 1.0 p'-,".>;r',6.,:.. ...rIJt· r - l' t" t J", \\" IÜ rlll "at"lüt'lt ·1 ...·" i ,.,. ie
i.
-
C",,-,
.....'
L'
...'
L'L.·
lu
L·i ......, ..-L·
'-0
~ 1 r!U
l _ 1 t
. '_"'_ ~ ..... ~ '_. 1 ç
'-Id' -11..",,_.
Il arrive en particulier, comme Boole l'a fait" il rnontret- que Ja
signification de toute 18 prod,jure "aveugle" de développement des
fonctions électives, n'est autre "qu'une sorte de généralisation
ô 1gébri Que, ou plutôt une généra 1i sôti on sug Ijérée per 1es procédure"::
algébriques, de la loi tJÏen connue du Tiers-E:x:clu" 37
C'est la raison pour lôquelle il propose de parler de procérjé
de "0·1-'-:_ t'I U', t• 'Lit-riltil p."
_
I)!•J \\J' P
_
"diI'v11
l . . c;l·
. .
L-I ri" bi Rfl
1"-.
QUp B0 fi " P. rI'
.
P.
• n'i
"
[11;";
1 , 1 _ i
. P
_
if"!
. 1 - t-·,·'l
1
,1'1 ::'
_l_" ".. P ::._
termes,
mettant
à leur place
ceux
de
"Développement"
ou
"d'expansion",
De
même__
..John
Venn
estime
que
le
term8
d'"élimination" est un terme malheureux .. eifet d'une ",jorninatlOn
d'idées mathémôtiQues", pour traduire l'idée de 'Tôtl~mdon d'une
partie de la "connotation" d'un t.erme" 35.
A justifier la méthode de développement par la démarche
inverse et' -analytique- comme le fait Boole, ou bien à en rendre
raison comme procédé logique de part en part de "dichotomie" comme
le fait Venn, on soulève une Question importante Qui est celle-ci: il
Quoi
sert
le
symbol1sme
et les
procédures
symboliques
de
raisonnement si ce dernier peut finalement s'en passer?
La réponse à cette Quest i on est dans l'i dée de
-générallsation-, Elle est du côté des méthodes symboliques de
résolution définies Quel Que soit le niveau de complexité des
problèmes et le nombre d'éléments qui entrent dems son libellé et
non du côté de l'intuition qui s'efforcerait d'en saisir tous les
5ème petile :
216
I%pects.
"Prenons·, dit. Venn, ·un ces simple, Dem::mt.:Îons è une personne
non entrôînée de trouver tous les mots, qU'ils aient un t;ens ou non,
que l'on peut const ituer à partir des lettres du mot Rome; l'on pourra
s'attendre à ce qu'il n'en trouve QU'une partie. Mais quiconque aura eu
une fois fi considérer la théorie des Permutations les alignerait tous
en une minute ou deu>( 39.
Il propose .. d;:ms le rnèrne ordre d'idées .. un exemple qui ô fait
l'objet d'une expérience réelle, Un problème de logique algorithmique
"avait été proposé LJ fi quelque cent cinquante étudiants comme un '
problème de logique ordinaire. Ne donnèrent la bonne réponse, tout au
plus, que cinq ou ~;jx pijrt"ni eux On le proposa ensuite cornme
e>;emple d'application de la méthode de Boole fi une petite classe
]j'étudiônts qui ôvôient. suivi quelques cours portant sur lô nature de
ce:::; rnél. hOljes syrnt10 1i que:::. Lô rnoH 1e Ije 1ô cl ôs:::e ou davantage donnô
assez vite le bonne réponse· 40.
Au bout. du compte, emprunter la voie de l'explication et du
comment.aire, de l'enquête sur la slgnification proprement logique
des procédures s~rnbo 11 ques bref pôrl er nI a 1angue des 1ogi ci ens
J
d'Oxford·, ce n'était pas dire que ce que la logique algébrique pouvait
faire, l'ancienne logique le pouvait aussi
en son langage non
mathématique auquel donc n fallait revenir. Le nouvel organon .
logique ne pOUY6it véritablement être tel qu'en ne manquant plus fi sa
véritable structure formelle, QU'en se donnent son langage et ses
procédures nécessairement symbol1ques.
D'autant - et ceci est une autre réponse ê 18 question -
que sur ce problème des méthodes symboliques établies par les Lois
de ft} Pensée .' les personnages qui entrent en jeu ne sont pas
seulement l'ancienne logique et la Nouyelle Analytique booléenne. Il
y a égalerTlent un troisième personnage qui est le mathématicien: si
Boole, en môthérnaticien, s'est proposé de doter la logique ancienne
Sème partie :
217
de S8 vérit8ble systématicité formelle, il n'av8it guère conscience,
,
sur ce point., que de faire progre'::-:;er lô logique. Or voilà oue l'ô19èbre
héritiers Qui
sont les rnôtrlérnôticiens ernplo~ant dôns notre
modernité des structures appelées algèbres.
Pour ceux -là Qui dans les œuvres lagi ques de George Boole
sont 1311 és cr,ercher cette structure mathémat ique qui porte son nom
désormais et Qu'il n'a Jamais lUl-rnêrne dégagée en tônt que te1ie et
pour elle-même, cet effort des dernières ônnées pour parler nie
langage des logiciens d'Oxford M ne serait que l'aveuglement d'un
homme qui aurôit méconnu lô Yôleur profonde de ce qu'il ôvôit
o·
, .
. '
ieô Il se.
218
6EME
PARTIE
LA ~AISON-CALCUL ET L'IMMEDIATE
POSTERITE DE BOOLE
219
En constituant sem systèrrd:~ logique, a àonc confesst' B'''Jl", vers
la fin de sa vie, il était "bien trop sous la domination d'idées mathé-
matiques". Et nous l'avons alors vu tenter de se défaire de ce "mathéma-
tisme"
outré qui avait été le sien au moment o~ il écrivait les Laws of
Thought.
William Stanley Jevons)comme John Venn, nous avons commencé de
le voir, posent, chacun à leur manière, la question du "mathématisme"
dans le système booléen.
Le premier est considéré comme un disciple de Boole et il en admire
en effet les écrits qui lui "apparaissent en
eux-mêmes parfaits et
presque inimitables"!
Aussi bien ne les imite-i l pas, juste;r;ent.
Il
s'agit au contraire pour lui, en prenant COIT~e point d'appui le.
points
de vue logique
de Boole, de constituer un autre système logique que
celui de sc~ maitre,lequel lui appara!t aussi con~~ un 2xtraordin2ire
mélange d'intuitions décisives et d'erreurs tenant à une surestimation
de la puissance des méthodes symboliques - pour lui, en derni8re instan-
----. -
ce,
tout simplement mathématiques - et à une certaine ignorance de
ce qu'est véritablement le raisonnement logique et son exigence d'intelli-
gibilité totale. Il écrit ainsi: "L'extraordinaire pouvoir d'analyse
de Boole et sa parfaite maîtrise des méthodes symboliques l'ont habi-
tuellement amené à surestimer le rôle qu'ils devraient jouer dans le
raisonnement et à sous estimer la valeur d'une compréhension simple
et intuitive de la question. Le principe même qu'audacieusement il
adopte et selon lequel des symboles inintelligibles peuvent produire
220
des résultats intelligibles et rueme concluants sera probablement rejet~
2
par les mathématiciens dans l'avenir ... " .
Ce système qu'il présente comme une simplification des méthodes
précedemment employées par A. De Morgan et Boole signifie pour lui
le retour à une logique pure", plus intuitive. C'est donc au nom d'une
certaine philosophie de ce que c'est que raisonner qu'il juge devoir
proposer, à la place de celui de Boole, son propre système logique.
En exigeant que ne soient considérées comme véritablement logiques
que les seules procédures directes et intuitives, Jevons remet en cause
toute la philosophie symbolique qui est celle de George Boole. Et veut
substituer à cette philosophie du mécanisme symbolique
une philosophie
de la mécanique logique, c'est-à-dire de la réalisation mécanique et
directe d'opérations simples et intuitives qU4 pour lU4 font la nature
essentielle du raisonnement.
Comparé à Jevons, John Venn apparait comme la fidélité même à
Boole et à son système. Le mécanisme symbolique l'enthousiasme véritable-
" ' - - ' -
" l '
ment et
U1 sembl
d'
.
1
l ' d
.
e
eposer entre ses ma1ns
a c e
e toute conna1ssance ,,3 :
car "quelques symboles étaient disposés, des procédures effectuées
sur le papier, certaines d'entre elles présentant une analogie avec
ce qui se passe dans l'esprit lorsqu'on pense, d'autres non; et l'on
obtenait un résultat qui était finalement interprété, ce à quoi on
ne semblait pas devoir parvenir grâce aux seules fonctions naturelles
4
de la pensée livrée à elle-même" .
221
Surtout,dit-il, et cette remarque vise Jevons explicitement, Boole
est le seul à avoir réellement constitué un ~~tème logique. Les trans-
formations locales qui y sont rapportées - faire prendre au signe de
l'addition un sens non exclusif -, les modifications d'écriture ou
les reconstructions de fragments, si importantes soient-elles selon
lui, ne suffisent pas pour parler d'un autre système qu'on opposerait
S
à celui de Boole .
Sa démarche sera donc tout autre que celle de Jevons : elle se
rapproche en fait de celle de Boole lui-même dans ses manuscrits post-
Laws of Thought lorsqu'il cherchait, comme nous l'avons vu, une meilleure
présentation de sa logique comme "système philosophique".
Venn)pour sa part)parle du "génie du système" qu'il s'agit mainte-
6
nant de "développer", ce que G. Boole a manqué de faire
. Il se fixe
pour tâche de d~ployer les Explications et les justifications omises par
Boole afin de faire apparaître en eux-mêmes "les principes du calcul
logique de manière tout à fait indépendante de ceux du calcul mathémati-
7
que" •
Ce faisant) il conduit une réflexion importante sur les signes
qu'utilise le raisonnement et cela en se proposant de parler,comme
Boole voulait le faire,au "logicien ordinaire" : dans une langue aussi
simple que celle d'une "expérimentation physique" à laquelle il compare
la représentation diagrammatique du raisonnement symbolique.
222
L'article de 1876 de Venn, "Boole's logical system" et surtout
son ouvrage de 1881, Symbolic Logic, visent essentiellement à redresser
une erreur qu'il considère comme "naturelle N: l'idée selon( laquelle
Boole a véritablement réduit la logique à l'état d'une province de
1
la mathématique, de l'algèbre plus particulièrement~. Et ce qui rend
une telle erreur "naturelle" c'est la présence, dans un texte de logique,
de symboles d'opérations comme +, -, x, :, mais aussi des lettres minus-
cules x, y, etc ... au lieu des majuscules X, Y, etc ... traditionnellement
en usage chez les logiciens.
Rechercher cette erreur, c'est mener une réflexion de logicien)
bien sûr,mais aussi de philosophe et d'historien des formalismes logiques
la Symbolic Logic se veut un ouvrage pédagogique qui déploie sur la
langue symbolique une réflexion riche de sa profondeur historique et
défend ainsi le symbolisme algébrique de Boole dans ce qu'il a de moins
facile pour le "logicien ordinaire" tout en lui parlant son propre
langage, celui des procédures plus directes et plus intuitives. Il
faut donc, avant tout
contredire l'idée répandue que le système bool~ en
a "emprunté" illégitimement son écriture aux mathématiques pour ensuite
montrer que la signification véritable et ultime des procédures algébri-
ques de Boole est logique.
223
1. Le "transfert de signification" et la langue des symboles
----------------------------------_._---------------~-
-----
Contre l'idée d'un simple emprunt des symboles mathématiques,
de l'importation illégitime d'une écriture algébrique en logique, Venn
met en avant le concept de "transfert de signification" : c'est lui
qui permet et justifie l'usage en logique de la notation algébrique,
autrement dit, et selon les termes de Leibniz, que l'on "écrive mathéma-
tiquement hors des mathérnatiques,,2
Ce concept de "transfert de signification" s'éclaire tout d'abord
au moyen d'une véritable "fiction" au sens roussèaLJiste de ce terme:
Venn "feint" en effet, pour mieux justifier le langage symbolique qui
est devenu celui de la logique, un état ou l'on peut encore choisir
telle ou telle notation pour la science du raisonnerr,e:lt. Cette "fiction"
va consister, contre l'idée d'un déroulement nécessaire de l'histoire
des formalismes, à mettre en place des possibles qui auraient eu tout
autant le droit à l'existence: c'est ainsi qu'il envisage la possibilité)
pour le formalisme logique tel qu'il est au moment où il écrit, qu'il
ait précédé la notation algébrique-dont on prétend, chez les logiciens
"anti mathématiciens", qu'il n'a fait que l'emprunter. "En vérité",
écrit-il, "rien dans la nature même des choses, ne s'oppose à ce qoe
le calcul logique ne se soit développé pour atteindre son état actuel
3
avant que les mathématiques n'aient seulement commencé de progresser"
Si donc les Grecs n'avaient à leur disposition aucun symbolisme
digne de ce nom pour les sciences mathématiques, rien "dans la nature
même des choses" ne permet de penser comme impossible
l'invention
224
par eux du meme langage que celui de l'alg~bre de Boole pour exprimer
les procédures logiques. Et dans ce cas, poursuit Venn, si quelqu'un,
par la suite, s'était avisé de l'intérêt qu'il y avait à utiliser ce
symbolisme logique pour traduire des relations et des procédures algébri-
ques, c'est du côté des mathématiciens que seraient venues les protesta-
tions contre ce qui serait alors apparu comme une importation illégitime
d'une écriture étrangère à l'objet qu'elle vient "habiller"é+.
Cette violence qui est ainsi faite à l'histoire, à l'ordre chronolo-
gique au profit d'une coexistence logique des possibles n'est bien
entendu qu'une "fiction". Mais elle comporte une double vérité.
La première est de présenter le "mathématisme" de Boole, c'est-à-dire
ce qui apparait comme la "domination d'idées mathématiques" en logique,
comme un simple "accident" historique.
Il établit ainsi une différence
radicale entre la substance même de la langue des symboles et des calculs
et l'accident de sa réalisation effective d'abord dans le champ de
la mathématique.
La seconde, liée à la première, est de dénoncer chez ceux qui
disent de l'algèbre de la logique qu'elle est algèbre et non logique,
une ignorance profonde de la nature même des mathématiques. Cette nature
qui se laisse précisément découvrir dans les "transferts de signification"
qui s'effectuent d'un domaine à un autre à l'intérieur de cette discipline.
Prenons par exemple le signe (+) de l'addition. Déjà en passant
de l'arithmétique et de l'addition des nombres positifs à l'algèbre
225
et â l'extension que représente l'introduction des nombres r~latifs,
l'on a vu ce signe subir un transfert de signification: le préfixer
à un nombre négatif c'est lui donner le sens d'une soustraction. Ensuite,
dans le cas de l'addition vectorielle de A et B, l'on voit que A+B
"indique â la fois un certain changement de grandeur et de direction"S.
Ces exemples visent â montrer qu'une véritable compréhension de la
nature des mathématiques suppose que l'on sache disjoindre le symbolisme
et son interprétation ; et le transfert de signification consiste â
assigner à un même symbolisme une interprétation qui l'inscrit dans
un tout autre domaine que celui auquel on avait l'habitude de l'associer.
Que ce transfert de signification soit une opération intramathématique
et qu'il ne soit pas familier hors des mathématiques ne signifie nullemen~
toutefois, qu'il ne puisse s'effectuer entre cette discipline et une
autre qui lui serait, en sa nature même, hétérogène, c'est-â-dire la
logique. Et c'est bien lâ l'opération qu'a ré3lisée George Bcole d'un
transfert de signification entre algêbre et logique pour avoir compris
que la nature profonde des mathématiques consistait dans l'existence
---. -
réelle d'une langue des symboles désinterprétée, c'est-â-dire â laquelle
nulle signification n'était attachée a priori de manière essentielle.
Cette langue des symboles se réalise ensuite en des langages différents,
mathématique, logique et autres - pourquoi pas? -
; et même, à l'intérieur
d'un langage, en de véritables dialectes.
C'est ainsi que si nous écrivons simplement A + B, nous avons
utilisé la langue des symboles. La seule chose que puisse en dire quel-
qu'un qui viendrait à lire une telle expression serait que le signe
226
d'op~ration ~crit entre A et B est par exemple commutatif, c'est-à-dire
qu'il garde, quel que soit le langage parlé ou écrit ici, une des pro-
priétés formelles qui 1~ caractérise. Quant à la nature de ce lang~
lui-même, il aura besoin de s'entendre préciser s'il est logique ou
mathématique. En supposant maintenant qu'il sache qu'il s'agit d'un
langage logique, rien ne lui indique en quel dialecte cette expression
A + B est écrite: s'agit-il de donner à + un sens exclusif ou au con-
traire non exclusif? Enfin, l'information ne sera complète que s'il
sait en outre la signification ou l'interprétation des symboles utilisés,
en d'autres termes si A et B représentent des classes, des propositions
d
"
6
ou
es evenements .
c'est en cette analogie simple, pédagogique, que John Venn commente
1
la notion bool{enne d'une "théorie des signes" qui est l'étude des
lois des symboles telles qu'elles peuvent s'appliquer aussi bien en
logique qu'en mathématique)sans signifier la tentative et la tentation
de réduire un domaine à un autre.
Il reste toutefois à soulever deux questions. Premièrement : pour-
---"-
quoi y aurait-il une langue unique des symboles se réalisant en différents
langages? Autrement dit, pourquoi la logique n'a-t-elle pas inventé
sa propre langue)ce qui l'aurait dispensée d'avoir à se justifier de
s'écrire comme l'algèbre? Et deuxièmement: qu'est-ce qui, dans la
nature même de la logique, explique la nécessité d'un tel recours à
une langue des symboles? S'il ne s'agissait que d'étendre la logique
classique, n'était-il pas plus simple d' atendre aussi le langage tradi-
tionne1 ?
227
Le cha pit r e l V deI a ~::E2P_? l i _~_~~~~~, in t i t u lé Il S Cl r l e c ho lx d' lin
langage symbolique", s'emploie à r~pondre à la premi~re question. Le
premier argument en faveur de l'adoption àu langage mathématique, le
seul, précise Venn)qui existe comme réalisation effective de la langue
des symboles, est un argument d'économie: celui-ci existe déjà et
nous dispense d'avoir à apprendre une autre langue. Or, l'on a déjà
prévenu l'objection que les signes de ce langage ne valaient que pour
les mathématiques : ils ne sont que des signes polysémiques, soumis
à des lois d'opération et dans l'attente d'une interprétation qui peut
parfaitement être logique. Ils se prêtent donc tout à fait à l'extension
qui leur est demandée par le développement logique, de la même manière
qu'ils se sont prêtés à des extensions analogues quand il s'agissait
de nouveaux domaines mathématiques cc'mme la "théorie des quaternions".
Cette référence à la théorie des quaternions permet du reste de
p~évenir une seconde objection: celle qui consisterait ~ dire qu'avec
la loi spécifique à la logique x 2 = x, l'on s'écarte de la graF~aire
du langage algébrique lors même qu'on fait appel à lui. Cet écart,
----
7
répond Venn , n'est pas plus important que celui qu'effectue le "quater~
nioniste" lorsqu'il crée une algèbre non commu'tative et que ,pour lui l
xy et yx possèdent des interprétations différentes.
Mais l'argument le plus important est sans doute celui-ci, qui
continue et explicite l'argument d'économie précédent: les symboles
mathématiques nous apportent une "facilité mécanique,,8 que l'on n'aurait
pas sans eux. Les lois d'opération auxquelles sont soumis les signes
228
du langage mathématique. pourvu qu'on leur ajoute les lois sp~cifiques
du domaine logique, nous indiquent déj~ quelles proc~dures sont à effectuer
lorsque ces signes sont adoptés. John Venn insiste aussi sur le caractère
"
.
suggestl f,,9
.
»lnd'
'f
lcatl ) du symb 0 l'lsme a l
'b
ge rique, retrouvant 1 '
'
idee
que Boole avait retenue de sa pratique de mathématicien : les signes
de l'analyse sont avant tout des c~nsi~n~~ opératoires.
Venn indique,par exemple)que dès que nous adoptons l'écriture
symbolique xy = z pour exprimer qu'une classe z est l'intersection
de deux autres classes x et y "nous ne pouvons nous retenir d'écrire
z "
aussi x
COllùl1e nous le suggere le symbolisme lui-même, et de "nous
y
voir imposer l'interprétation (logique) de cette dernière expression"lO
Enfin, l'adoption du symbolisme mathématique a une valeur pédagogique
certaine : en le voyant fonctionner dans deux domaines hétérogènes
comme sont l'algèbre et la logique, l'Étudiant se pénétre de cette
notion fondamentale d'une disjonction entre les lois symboliques d'opé-
,
l
'
' .
"Il
P
l '
'1
d
.
d
1
ratlon et
eur lnterpretatlon
.
ar
a, l
pren
conSClence
e
a
.--'-
réalité de cette langue des symboles qui, même si elle n'existe jamais
que lorsqu'elle est concrètement inscrite dans tel ou tel domaine précis,
mathématique ou logique, n'en demeure pas moins toujours indépendante
de ses réalisations particulières. C'est la raison pour laquelle, plutôt
que de remettre en usage le vieux concept d'''algorithme'' et de parler,
comme le fait Delboeuf, d'une "logique algorithmique", John Venn déclare
préférer, pour sa part, l'expression de "Logique symbolique,,12
229
Il reste à considÉrer maintenant. en sê'((lnd lieL:,
lé: c;uesticn
de la nÉcessitÉ d'un langage aussi technique que celui des symboles.
La réponse de Venn est si!!!plement que "ce sont des besoins techniques
qui appellent un langage technique,,13
A cela s'ajoute l'idée, sur
laquelle il insiste en maints passages de la~Symbolic Logicique le
passage de la logique commune à la logique symbolique n'est pas une
simple extension mais un véritable et radical changement de point de
vue: la signification même de la proposition n'est pas la même pour
la logique commune, proche de la langue ordinaire, pour la logique
qu'il appelle "quantifiée" par référence à la quantification hamiltonienne
du prédicat, et pour la logique symbolique; par conséquent, cela répond
à l'objection "antimathématicienne" selon laquelle on aurait pu essayer
d'étendre le langage de la logique traditionnelle en foncti~~ des ~cu
14
veaux développements de cette discipline
.
Xais la justification d'un langage technique COIT~e celui de la
langue des symboles peut s'appuyer malgré cela sur ce qui se fait dÉjà,
en matiêre d'utilisation de symboles, en logique ordinaire. La logique
--'-
traditionnelle, en effet, parle de Barbara ou de AAA pour exprimer
une forme d'argument quelle qu'en soit la réalisation particulière,
concrète. Il y a donc bien un intérêt à avoir une forme symbolique
commune pour des expression variées et différentes lorsque l'on veut
montrer par là que ces expressions peuvent être identiquement soumises
à des procédures communes. Or, il n'en va pas différemment de l'usage
que fait la logique symbolique des signes mathématiques.
230
Soient par e:,:emple les expressions"tout xy qui n'est ni A ni B"
et "Nul AB qui n'est pas X, n'est y". Toutes deux contiennent le tenne
X
C
. d"
d
.
d
k~
1
,.
. "
.
onSl erees
e ce pOlnt
e vue, on peutvappe er
fonctions ae X
pour abstraire et exprimer cette communauté de forme. Rien n'empêche
alors d'écrire cette forme commune f(x), en faisant usage de la langue
des symboles telle qu'elle s'est déjà réalisée dans le domaine mathéma-
tique,et en exprimant aussi l'idÉe que les €xpressio~qui peuvent ainsi
15
se noter f(x) se comporteront formellement de la même manière
Ecrire f(x) n'est pas seulement utiliser une écriture abrégée
pour dire qu'une expression contient x : c'est aussi se donner une
véritable consigne opératoire, nous l'avons vu. Il faut donc aussi
répondre de la signification ~;ique des procédures mécaniques qu'induit
l'adoption de la notation mathématique.
Au fond, pour Venn, Boole est aussi responsable de cette "erreur
naturelle" selon laquelle il aurait tout simp-l-eJlJent réduit la logique
à n'être qu'une branche des mathématiques: le choix qu'il a fait de
termes comme "élimination" ou "développement" pour nommer les procédures
les plus caractéristiques de son système, peut, à cet égard, être consi-
dé ré comme quelque peu malheureux. Ils sont en effet importés tels
quels du métalangage mathématique sans que l'on ait suffisamment discuté
de la nouvelle signification qui leur est assignée lorsqu'ils s'appliquent
16
au domaine logique et non plus mathématique
. John Venn se propose
231
donc, dans l'article de ]876 du Vol. l de Mind, puis
longue~Tlent
dans la ~~~~_<:-~i.c publiée cinq ans plus tard, de revenir sur les
explications et les justifications de méthodes symboliques utilisées
en logique)et qui ont gardé leurs noms mathématiques que sont la "divi-
sion", l'''élimination'', le "développement" ou "expansion" ...
Pour ce qui est de la jivision, elle est en effet, des quatre
opérations logiques du système boolten, - les trois autres étant l'addi-
tion, la soustraction et la multiplication - celle à laquelle on ne
saurait, à priori, donner un sens logique. La notion en semble appelée
par le symbolisme lui-même, de manière indépendante àu domaine logique
que ce symbolisme est censé servir : tout se passe en effet comme si,
la soustraction étant l'opération inverse de ll addition l~~ique. une
pure raison de symétrie poussait à introduire dans la notation symbolique
l ,
'
.
d
1
1
l'
,
l '
1
d'
,
,
17
operatlon inverse de celle
e
a mu tip lcatl0n
oglque:
a
lV1Sl0n
.
Il faut donc ici prendre la question par un autre bout, si l'on
peut dire, et voir s'il est, indépendamment de cette exigence symbolique
de symétrie, des raisons logiques à l'existence d'une opération inverse
de celle de la multiplication •
•
Dans cette démarche, Venn s'appuie sur une réflexion épistémologique
générale concernant la notion d'opération inverse, et retrouve d'abord
la formule de Boole lui-même, énoncée dans les DifferentiaI Equations
Cp. 377) et qu'il cite : "c'est la fonction du symbole inverse de
proposer une question et non de décrire une opération. Il est, dans
232
sa signification la plus immtdiate, interrogatif, non directif,,18.
La réflexion générale sur l'opération inverse et les exemples mathéma-
tiques qui sont cités à,ce propos apportent ensuite un autre élément
important. C'est que le plus souvent, il entre de l'indéterminé dans
le résultat que donne l'opération inverse d'une opération donnée.
Venn écrit ainsi: "C'est une règle, que ce qu'on appelle opérations
inverses soient indéfinies. Au lieu qu'il y ait seulement un point
de départ tel que l'effectuation de la procédure directe nous conduise
de là au résultat cherché, il est possible d'avoir une multiplicité
de points de départ de ce genre, ou même qu'il y en ait un nombre indé-
fini. Ainsi, en trigonométrie, la valeur d'un angle donné est déterminée
par exemple sin 45 0 = l-
. Mais le résultat du calcul de l'angle dont
V2
la valeur est donnée est indéterminé
ainsi, le sin 135 0 est aussi _1_
i2
,
"
. -1 1
(2
1)911 +". ,,19
0
l·t
et de maniere generale Sln
n + 2" " - '"'G'
n pourra
aussi citer ici l'opération ~ntégration qui nous donne toute une
famille de fonctions qui sont identiques mais à une constante près.
On trouvera, dans le cas du résultat de l'opération logique de division,
.--'-
cet élément d'indétermination.
Prenons d'abord l'opération directe de multiplication xy. Que
signifie-t-elle, finalement?
233
•
l~~ a, nous dit Venn, le sens d'une "
. .
,,20
réstrJctJon
. c'est-~-dire eue l'on
restreint la classe x en posant la condition de n'y consid~rer que
les individus qui sont également y. Quelle signification sera, en con-
,
x
sequence, celle de -
? En d'autres termes, quelle consigne opératoire,
y
quelle "indication" nous donne un tel symbole ? Celle "de trouver une
classe telle que, lor_~qu'0~_lui_}ml'~_~a-.E_t::2tri~tio~"y,elle se r4mène
exactement à x,,2l.
Poser ainsi la question, ce sera produire un raisonnement, logique
de part en~, qui vienne donc donner sens à l'écriture de ~ . Ce
raisonnement consiste à énumérer, "dans l'orère, tous les cas possibles".
Tout d'abord, la classe cherchée doit contenir la totalité de x. Consi-
dérons ensuite ce qui ,en elle)est un surcrolt par rapport ~ ~, c'est-à-
dire sa partie non -x. Cette partie non x ne saurait contenir des y
car ,dans un tel cas,elle ne se raménerait pas à x lorsqu'on lui impose
la restriction y. Par conséquent, la partie ~on x de la CJeSSé cherchée
est également non y. C'est le deuxième point. En troisième lieu on
notera que cette partie non -x et non-y est ?arfaitement indéterminée
(voilà la part d'indétermination qui entre dans l'effectuation d'une
opération inverse)
elle est simplement telle que) contenant non y,
elle
s'annule en se combinant à y.
Récapitulons : la classe a sera x plus une partie indéterminée
de non x (x) non -y (y). Ecrire symboliquement ce résultat requiert
l'existence d'un symbole qui représente l'élément d'indétermination
introduit par l'opération inverse. Nous n'avons pas de raison de ne
234
•
pas adopter le symbole employé ~ cet effet par Boole et d'~crire fina-
lement ce résultat comme suit
--22
a = x + vxy
Vérifier la validité d'un tel résultat serait montrer que par
l'opération directe de multiplication par y, cette expression a donne
bien x. Or,on obtient dans ce cas non pas x mais xy. Cette différence,
exp 1 ·1que a l ors Venn2 3
,
.
V1ent
.
S1mp1 ement d e ce que d l
ans "
i
ecr ture du
x
symbole y on a nécessairement présupposé que tout x soit y : "chercher
une classe telle que avec la restriction y elle se ramene a x,implique
nécessairement que tout x soit y car)sinon)il ne serait pas possible
d'effectuer cette opération. S'il y a la moindre partie de x qui soit
non -y, cette partie s'annulerait bien évidemment avec la restriction ~
c'est-à-dire qu'une partie de x disparaîtrait de notre résultat alors
'14
qu'on nous demande d'arriver à obtenir tout x et rien de plus""- . Or
dire que "tout x et yU c'est dire que x et xy sont une même classe.
a peut donc aussi s'écrire
a = xy + vxy.
--'-
Nous pouvons faire deux remarques sur ce raisonnement de Venn
qui ramène la division de deux classes à sa signification proprement
et purement logique :
La première remarque concerne le symbole d'indétermination v.
Venn insiste en effet sur la nécessité de ce symbole contre ceux -
Jevons en particulier - qui n'y -ont vu qu'une complication dont on
pouvait réussir à se passer. Pour mieux souligner cette nécessité,
235
comparons cette op~ration logique de division de deux claSSES, â celle
qui semble lui être analogue en logique traditionnelle et que)classique-
ment)on appelle l'Abstraction. Si l'homme se définit en effet comme
un animal raisonnable, l'abstraction de la "rationalité" en "l'homme"
nous laisse, semble-t-il, l '''animalité''. Mais dans le nouveau système
"homme
représenterait l'homme rationnel plus une portion indéfinie
rationnel
de ce qui n'est ni rationnel ni humain. Dans les deux cas nous étendons
la classe des hommes (ou des hommes rationnels), mais alors que dans
le premier nous l'étendons jusqu'aux limites exactes de l'''animal'',
dans le second}nous avouons notre ignorance de ce que devraient être
" .
,,25
ces 1 lmltes
.
Cette ignorance faisant partie du résultat, Boole a eu le mÉrite
d'être le premier a avoir compris la nécessité d'écrire le symbole
d'indétermination v.
Si par ailleurs nous comparons, en anticipant, le résultat préc~dem-
ment obtenu avec le "développement ", selon la méthode de BOole, de
--'-
1
o --
l'expression ~
qui est "1 xy + 0 xy, l'on voit la correspondance, l'équi-
y
o
valence entre le symbole v et o . Et ceci éclaire la critique formulée
par Venn contre Jevons : en ôtant du système de Boole de telles expressions
considérées comme "obscures", "anormales", mystérieuses" ou "symboliques",
il a jeté précisément ce qu'il y avait de plus "caractéristique" et
26
de "plus attirant" dans ce système
La seconde remarque concernait précisément le lien que cet exemple
a fait apparaître, entre cette opération inverse de division et la
~36
procédure s~nbolique de dêveloppement dont Venn dit également que sa
signification est totalement logique.
Démonstration avait commencé d'en être faite par Boole lui-même,
dans ses manuscrits posthumes, en adoptant une démarche qui considérait
la logique comme une science "ostensive". Et déjà, dans les Laws~
Thought même, lorsque G. Boole avait indiqué, même rapidement, l'idée
intuitive qui était au fondement de toute la procédure d' "expa osion"
27
ou de développement d'une fonction
.
Mais il manque, selon Venn, aux justifications de Boole, d'avoir
clairement dégagé le point de vue logique simple, intuitif et direct
dont les formes symboliques sont à la fois une traduction et une géné-
ralisation abstraite. Ce point de vue qu'il appelle "compartimental"
ou "dichotomique" est le suivant: "une classe donnée, quelle qu'elle
soit, admet une dichotomie ou une division en deux parties, soit x et
')8
non-x, quelle que soit la propriété représentée par x"~
De même,
si l'on considère deux propriétés)x et y par exemple, une classe déter-
._-'-
minée est potentiellement divisible en quatre sous classes etc. D'une
manière générale la subdivision d'une classe par rapport à un terme
x dénotant une classe en donne deux autres, celle par rapport à deux
n
termes quatre, celle par rapport à n termes, 2
classes j et si,sur
ce plan, la logique avait voulu inventer son propre métalangage pour
dénommer la procédure de développement, l'expression qui eût été plus
appropriée selon Venn est celle de "dichotomisation continue,,29.
237
Soit/par exernple,l'expression f(x.y,z) = xy ~ xz. La m~thode de
"dichotomisation continue" peut ici se conduire, dit Venn, par "simple
.
.
,,30
,
. cl'
l
.
l
1
1nspect10n
, c est-a- 1re se on un ra1sonnement
ogique direct. C est
ainsi que si nous prenons le premier terme xy,il est clair qu'il ne saurait
encore se subdiviser selon x ou selon y : il ne peut se décrire en
termes de non-x ou non-y. Il n'admet donc qu'une division selon z qui
donne les deux classes xyz et xyz. De la même manière, le second terme
-
xz ne se subdivise que selon y en deux classes xyz et xyz. Le résultat
-
de la dichotomisation continue est donc ici xyz + xyz + xyz + xyz.
Venn ne revient pas sur cet exemple mais nous pouvons aisément
vérifier pour notre part que le résultat ainsi obtenu est identique
à celui auquel l'on serait arrivé par la méthode bool~enne de développe-
ment de la fonction f(x,y,z). Ecrivons la formule générale de développe-
ment
f(x,y,z) = f(l,l,l)xyz + f(l,l,O)xyz + f(l,O,l»):~z +
:0 l
J . .
"
l)~vz
.J
+ f(O,l,O)~y~ + f(O,O,l)~yz + f(O,O,O)~Yz.
----. -
L'on voit que dans le cas présent, les seuls coefficients qui ne s'annu-
lent pas sont f(l,l,l), f(l,l,O), f(O,l,l) et f(O,O,l). En outre, ces
quatre
coefficients sont égaux à l'unité. par conséquent, le développe-
)
ment de l'expression considèrée donne bien la somme des quatre consti-
tuants auxquels ces coefficients sont préfixés,
c'est-à-dire:
xyz + xyz + xyz + xyz .
Mais il ne suffit pas de montrer l'équivalence des résultats auxquels
l'on parvient par développement symbolique et par dichotomisation continue.
238
Oter au premier son caractère "myst';rieux", c'est montrer q\\l' il se
ramène effectivement à la seconde et qu'il n'y a pas seulement entre
les deux manières de protéder comme une incompréhensible harmonie pré-
établie.
Prenons, pour ce faire, un autre exemple simple, celui de l'expression
31
x +y + xyz qu'il s'agit de développer ou de subdiviser selon x
.
Le premier et le troisième terme de cette expression qui contiennent
déjà x demeureront inchangés par l'opération; en revanche le second
terme, y, se subdivisera en xy et xy, autrement dit en y(x + x). Le
résultat du développement est donc x + y(x + x) + xyz (1).
Supposons maintenant que nous écrivions cette dernière expressio~
(1) en une somme de deux termes, celui où entre x d'une part, de l'autre
celui où entre x. Il vient l'expression (1 + y + yz)x + yx. Considérons
alors les facteurs l + y + yz de x et y de x. On peut constater que
l + y + yz est obtenu en faisant, dans l'expression de départ x + y +xyz,
x
1. Et que le facteur y est obtenu de la même manière en faisant,
dans cette même expression de départ, x = O. par conséquent, le résultat
1
du développement est obtenu en l'écrivant f(l)x + f(O)x, ce qui est
effectivement la règle donnée par Boole (LT p. 72). Résumons avec Venn
"Par des opérations logiques parfaitement simples et intelligibles)
nous pouvons réduire une classe composée en toutes les classes élémentaires
qui la composent; et nous pouvons montrer que l'on peut obtenir le
même résultat exactement par la règle symbolique qui indique "d'écrire
pour f(x), f(l)x + f(O)x,,32.
239
Par suite, Venn pourra exposer les proc~dures symboljq~es g~n~rales
qui sont celles du syst~me de Boole et reprendre, concernant le dévelop-
pement de X en A + OB + %C + tD, les explications qui ne changent pas
tellement par rapport a ce que disait déjà Boole à propos de la "modifi-
cation" des constituants d'une expression par les coefficients qui
l
' f '
, 33
eur sont pre lxes
En montrant ainsi que le développement est une généralisation
mécanique d'opérations qui,dans les cas simples,se peuvent effectuer
directement et intuitivement par une dichotomisation, Venn peut reposer
la question centrale de l'ininterprétable.
Car Boole "considérait la règle de Développement, appareIT@ent,
comme une sorte de machine assez puissante pour réduire à une série
de termes logiques intelligibles des expressions qui,
telles qu'elles
Deus ~taient données, ne comportaient pas la moindre trace de significa-
tian intelligible"J4
Peut-on alors simplement en
appeler à la pratique
du mathématicien et à l'usage qu'il fait du symbole v:1 ?
Cela nous conduirait, dit Venn, à de profondes réflexions "sur
la nature du raisonnement et les limites dans lesquelles on peut s'appuyer
sur lui" mais aussi sur la question de savoir "si véritablement les
procédures mathématiques présentent réellement des étapes que l'on
peut appeler ininterprétables". En un mot faire de l'usage de l'ininter-
prétable pour arriver à un résultat interprétable un postulat de la
pensée, est une solution qui laisserait encore pendantes d'importantes
questions philosophiques concernant le raisonnement humain et la langue
des symboles.
240
Or pr~cis~ment,
dit Venn, les principes adoptés d~ns san prcpre
travail, qui permettent "d'expliquer les principes du calcul logique
èa~s l'entière indépendance de ceux du calcul mathématique", ne con-
duisent pas à ce genre de réflexions. Appliquer les formules dont on
a exhibé la signification logique à des formes fractionnaires dont
on a pu aussi montrer toute l'intelligibilité, cela ne fait pas inter-
venir des considérations sur l'ininterprétable. Et la procédure de
dichotomisation, de subdivision continue, apparaît comme "l'infrastructure"
même sur laquelle reposent les opérations logiques, et constitue plutôt
"1
'l"
d
1
l '
-
,,35
es pre lmlnaires
u raisonnement que
e raisonnement
Ul-meme
.
Il ne reste plus, enfin, qu'à rendre raison logiquement de la
troisième caractéristique du système de Boole qui a pu provoquer l'e~reur
naturelle d'y voir une réduction de la logique à la mathématique
la procédure d'''élimination''.
c'est là encore, sans doute, un terme malheureux car "le lecteur
sera évidemment plus habituÉ à voir ce mot utilisé en mathématiques
plutôt qu'en logique". Mais il sera facile de montrer que la logique
commune aussi a recours à ce genre d'opération
et de dégager)par consé-
quent,"l'identité substantielle qui existe entre les formes élémentaires
et développées (symboliquement) que peut prendre l'élimination,,36.
Que signifie en effet cette opération d'''élimination'' dans les
termes traditionnels de dénotation et de connotation d'un concept?
"En logique, ce qu'on appelle élimination n'est en réalité rien d'autre
que l'abandon d'une partie de la connotation d'un nom. Si les hommes
241
sont des mortels rationnels, il est tout à fait clair qu'ils sont des
mortels ( ... ) Lorsque l'on parle en termes de d~notation cela revient
simplement à dire que ce qui est inclus dans une classe pllls petite
t
"
l
d
1
1
d '
l '
'd
,,37
es
aUSSI Inc us
ans une casse p us gran e qUI contient
a prece ente
Cette opération est effectuée traditionnellement aussi bien dans
les inférences immédiates comme dans l'exemple ci-dessous que dans
le syllogisme qui est un cas d'élimination du "terme moyen". Cela revient
donc, au total, à omettre un déterminant et se traduit par conséquent
par une perte de détermination : on dit moins dans le jugement que
"les hommes sont des mortels" que celui qu'ils sont "des mortels rationnels",
Soit par exemple l'équation w = xv + X~ que considère J. Venn.
Que veut dire éliminer y dans cette équation ? Dans la mesure où celle-
ci nous donne une description de la classe w en fonction des classes
x, y et z, nous pouvons dire, dans un premier temps que abandonner
la référence à y c'est simplement déclarer que west "quelque" x plus
,
, 0
- 38 (1 Î
"e
l intersection de x et z ; et ecrire alors w = 0 x + X2
/ .
et te
---. -
méthode d'élimination", dit Venn, " a au moins le mérite de la franchise.
Elle nous indique quels éléments déterminants ont été laissés de côté
et souligne exactement la valeur et le degré de l'imprécision qui a
été ainsi introduite,,39. Mais les expressions auxquelles l'on a affaire
n'ayant pas toujours cette simplicité, il faut trouver une méthode
plus générale d'élimination.
Considérons alors l'ensemble des négations qu'implique l'expression
w
xy + xz et qui a la même signification qu'elle. La description
242
de w que donne cette expression signifie qu'un w qui Est x (donc n'Est
-
pas ~y) sans être y n'existe pas
qu'un w qui est x (donc n'est pas xy)
sans être z n'existe pas; qu'un w qui est y (n'est donc pas xy) sans
être z n'existe pas; et réciproquement aussi)qu'un xy qui n'est pas w
n'existe pas et qu'un xy qui n'est pas w n'existe pas non plus. Voilà,
exhaustivement les cinq interprétations négatives de cette description
que l'on peut écrire
w~y = 0, w~z = 0, wyz = 0, ~xz = O. Eliminer
y sera désormais ne pas tenir compte des négations faisant intervenir
les symboles y ou y et ne plus garder donc que wxz
o et wxz = 0(2).
40
On écrira : wX~ + wxz
°
=
pour le résultat cherché
. On peut alors
voir que les méthodes symboliques d'élimination inventées par Boole
sont venues généraliser ces opérations et substituer â la nécessaire
attention â ne pas se tromper et à envisager toutes les possibilités,
l'assurance mécanique qu'il en est bien ainsi.
Soit donc une équation f(y) = ° d'o0 l'on veut ~liminer y. Cela
veut dire, d'après ce qui précède, sélectionner les nÉgations qui ne
comportent ni y ni y. O~ dans un développement complet de f(y~ tout
terme comportera y ou y. En réalité donc un terme donné, dans ce déve1op-
pement, ne comportera pas les termes y ou y si et seulement s'il peut
s'écrire lui-même comme facteur de la somme (y + y). Ce qui veut dire
que si Ay + By est le développement complet de f(y), lI a l ors les termes
qui ne comportent réellement pas de y sont ceux, et seulement ceux
qui apparaissent à la fois dans A et dans B. Or
la méthode pour trouver
les éléments communs â A et à B est simplement de multiplier A par B,,4l.
243
Si l'on se rappelle, en outre, que A et B dans le d~~e10ppeffient
de f(y) sont f(l) et f(O), cela veut dire que se trouve justifiée la
règle booléenne selon laquelle le résult~t de l'élimination de y dans
f(y) est f(l) f(O) = O. Et cette règle, on le sait, se généralise au
cas d'un nombre quelconque de symboles de classe à éliminer. Si nous
-
reprenons l'exemple ci-dessus, w = xy + xz nous voyons bien que f(l)
w - x - xz et f(O) = w - ~z. Il vient donc f(l) f(O) = (w - x - ~z)
(
- )
0
+
' d '
42
.
l '
1
w -xz
=
= wxz
wxz par re uctlon
,ce qUl est
e resu tat que
l'on avait obtenu.
L'on voit donc comment la précédure symbolique offre une formule
abstraite pour une suite d'opérations qui n'avaient été qu'empiriques.
Et d'une manière générale, comment la langue des symboles e~ les mfthodes
booléennes traduisent à la fois la généralisation de la logique ordinai-
re et le changement de point de vue par rapport à elle que Venn a comparé
au passage de l'idée de poids à celle de gravitation unive:3èlle~3.
---'-
Faut-il véritablement parler ici d'un langage des diagrammes quand
tout ce qui précède tendait à démontrer l~ rencon tre entre les exigences
de la Nouvelle Analytique booléenne et la langue des symboles seule
en mesure de les satisfaire? En d'autres termes, peut-on aller plus
loin qu'une simplification historique qui lie le nom de Venn aux dia-
grammes, ceux-ci n'ayant d'autre fonction que celle d'illustrer la
logique des classes de Boole, comme ceux d'Euler avaient auparavant
illustré la syllogistique classique ?44
Voici en quels termes Venn lui-m~me pr€sente
son entreprise dans
la "Préface" de la .Sym~.~li~.!=~l.':. : ce qu'elle a, explique-t-il, de
"caractéristique et d'original", c'est de mener "l'examen complet de
la logique symbolique dans sa totalité, c'est-à-dire dans sa relation
à la logique ordinaire ainsi qu'à la pensée et au langage ordinaires:
la constitution et l'explication de toute expression et règle symbolique
g~nérale sur des principes purement logiques au lieu de voir principa-
lement la justification formelle; et l'invention et l'usage d'un nouveau
procédé d'écriture diagrammatique qui sera en véritable harmonie avec
nos généralisations,,45. Qu'apporte "ce nouveau procédé d'écriture"
à une science du raisonnement dont il est dit par ailleurs que sa langue
est celle des symboles? Car la langue qu'écrit ce procédé est celle
des figures de la géornétrie,quand l'éDergence d'une véritable théorie
des symboles s'est effectuée en séparant radicalement le signe arbitraire
de la représentation picturale. four répondre à cette série de questions,
nous allons d'abord faire état de la critique du graphisme d'Euler
par Venn, qui revient, nous le verronsJà dire qu'il n'est pas en "har-
monie" justement avec l'objet qu'il a fonction d'illustrer; cela nous
.--'-
permettra, dans un second temps, d'interroger la notion mime d'une
"harmonie" entre les symboles et les diagranunes géométriques.
A - La critique d'Euler
46
Dans ses Lettres à une Princesse d'Allemagne
,Euler posait qu'''on
peut représenter par des figures (les) quatre espèces de propositions,
pour exprimer visiblement leur nature à la vue" et que, par exemple,
"pour la notion d'homme, on fait un espace dans lequel on conçoit que
245
tous les hommes sont compris. Pour la notion de m~rtel. on fait aussi
un espace,
o~ l'on conçoit que tout ce qui est mortel est compris.
Ensuite, quand je dis qu~ tous les hommes sont mortels, cela revient
47
à ce que la première figure est contenue dans la seconde"
. C'est-à-dire
qu'on construira la figure suivante:
ou le cercle noté M représente "les mortels"
et le cercle noté H "les humains".
D'une manière générale, lorsque deux classes d~terminées sont
ainsi définies d'un point de vue extensif et représentées par des figures
géométriques comme les "cercles d'Euler",
elles seront en reL~tion
l'une avec l'autre selon les cinq possibilités suivantes:
9
\\§) ~ m 80
~
~
~
~
5
....--"-
c'est-à-dire que (1)
la première classe peut coïncider totalement avec
la seconde,(2) peut être
incluse dans elle,
(3)
l'inclure,
(4)
avoir
avec elle une partie commune,
(5)
l'exclure totalement.
La première remarque que fait Venn sur cette spatialisation des
notions est qu'elle efface la différence qualitative entre prédicat
et sujet:
quand il n'est plus ainsi question que du rapport entre
deux classes de choses sur le plan de leur extension, la distinction
traditionnelle entre sujet et prédicat n'est plus que d'ordre "purement
24.6
pë.rnmatical,,48. Ainsi la figure (2) nous dit aussi bien que B contient
A que A est contenu dans B, et ces deux manières équivalentes de lire
un diagramme d~construit totalement le privilège du prédicat sur ce
qui lui est attribué, qui dépendait en fait d'une priorité onto-logique.
La seconde remarque est pour dire que cette représentation géométri-
que manque son propre objet tel qu'il était défini par Euler
"
'
represen-
49
ter les quatre espèces de propositions" du carré logique A E l 0
.
Seule la Sème figure correspond exactement à la négative universelle E :
"Nul A n'est B". "Mais", ajoute Venn, "une telle correspondance n'existe
dans aucun autre cas. Soit donné "Tout A est B", nous ne pourrions
qu'hésiter entre les figures
(1) et
(2)
; et si l'on prend la figure
(:') nous ne saurions pas s'il faut la décrire en disant "quelque A
est B" ou "Quelque A n'est pas B" car elle convient également à l'une
,
. .
,,50
ou l autre proposltl0n
La troisième remarque sera une conséquence de la seconde : à parler
en toute rigueur, ces diagrammes ne pourront pas non plus illustrer
---~-
les relations syllogistiques entre les propositions et
"nous découvrir
tous les mystères dont on se vante dans la logique et qu'on y démontre
avec bien de la peine, pendant que, par le moyen de ces figures, tout
51
saute d'abord aux yeux"
• Soit le syllogisme en Celarent par exemple.
Nous pouvons, dit Venn, le trouver représenté comme suit :
!'lais alors la prémisse univêl"seUe affirmative n'est pas ici "Tout
A est B" mais "Tout A est quelque B". Il faudrait donc ajouter a ce
~ - - - ~ -
diagramme celui-ci
qui représente "Tout A es[tout B" et "Nul B n'est C" let dire seulement
52
que l'un des deux représente le syllogisme en question
En fait l'on
peut, sur cet exemple, douter que cette critique
soit vt~L.ment fondée puisqu'elle s'effectue d'un point de vue, celui
de la quantification du prédicat, qui n'est pas le point de vue du
s:llogisme classique que ces figures ont pour rôle d'illustrer. La
véritable critique est donc ailleurs : les insuffisances des diagrammes
eulériens, "démodés" comme dit Venn, apparaissent en fait lorsqu'on
les cOIT;pare au procédé d'écriture g~cmé[rique que lui-mâme propose.
Le principe en est le suivant: soit le diagramme suivant, apparemment
eulérien, pour deux termes x et y
--.... -
Considéré comme eulérien, il représente la proposition "quelque x est
y" (mais en fait, aussi bien "quelque x n'est pas y" et "quelque y
n'est pas x"). Ce qu'il y a d'original et de caractéristique dans la
manière dont Venn conçoit cette figure c'est "qu'elle ne représente
pas encore une proposition mais seulement le cadre où peuvent s'inscrire
des propositions" faisant intervenir les deux termes x et y ; "c'est-à-
248
dire qu'elle indique seulement les quatre combinaisons que repr~sentent
-- 53
les expression litt~rales xy, xy, xy, xy"
Cela veut donc dire que les deu~ cercles x et y subdivisent l'espace
de cette feuille en quatre compartiments - l'espace de leur intersection,
l'espace de x sans cette intersection, l'espace de y sans cette inter-
section et l'espace extérieur aux deux cercles qui n'est ni x ni y donc -
Avec un troisième terme z nous aurions ainsi huit compartiments d'après
la figure suivante
(b)
avec quatre termes 16 compartiments etc ... Enoncer alors une proposition
c'est affirmer l'existence ou la non existence d'individus dans un
compartiment donné. Par conséquent "ce que nous faisons, c'est dire
quelles classes sont niées par une proposition quelconque donnée, et
trouver le moyen de les signaler d'une manière ou d'une autre sur le
diagramme. Pour ce faire, le moyen le plus efficace est alors de les
,,54
h achurer
Soit par exemple la proposition "tout x est y". On entend donc
qu'il n'existe pas de x qui soit non-y. autrement dit que le compartiment
x~ n'existe pas. Il vient donc que ce cadre (a) sera hachur[ .pour
représenter cette proposition. comme suit
Pour "tout x est tout y" l'on aurait
249
Pour prendre un dernier exemple, plus complexe, et qui manifestera
le caractère "dépassé" du schéma eulérien, considérons avec Venn la
proposition "seuls les x's sont ou y ou z". Nous nions donc les cürupar-
timents xy et xz pour avoir le diagramme
Nous pouvons maintenant revenir sur la critique du schéma eulérien
du point de vue de la représentation, non plus des propositions, mais
du raisonnement, syllogistique par exemple. Prenons le syllogisme "~ul
v '
Z
X
v
d I X '
Z,,55
R '
I d '
i
n est
, t o u t .
est "
one nu
. n est
.
epr~sentons
e
lagr2m-
matiquement par les figures (a) et (b), la première étant eulérienne,
la seconde celle que donne le procédé de Venn ; il vient :
\\
(b)
"[n grand avantage" de la figure (b) "consiste en ceci qu'elle se prête
facilement à la représentation des accroissements successifs de connais-
sance qui se produisent quand on considère les propositions l'une après
l'autre au lieu d'avoir à essayer de représenter le résultat brut
,
I156
d'emblée
. On voit donc
10) Que le procédé de Venn consistant à hachurer des compartiments
au fur et à mesure que les différentes propositions du raisonnement
indiquent de le faire permet de "dépasser les cas simples qui sont
ceux des différents modes du syllogisme", de la même manière que le
système booléen faisait de ces modes de simples cas particuliers de
ses procédures plus générales.
250
2°) Que si l'on se limite au cas ~imple du syllogisme et que l'on
compare la diagrammatisation d'Euler à celle de Venn, la critique en
sera la suivante: les diagrammes d'Euler ne font que dessiner un résultat
là où il s'agit de figurer une procédure de raisonnement. Le procédé
de Venn épouse en quelque sorte la dynamique même du raisonnement alors
que le diagramme eulérien essaie d'en figurer le résultat,
3°) Qu'en conséquence de ce second point, l'écriture diagrammati-
que de Venn est plus que la simple figure qui illustre et vérifie une
démarche. Elle est véritablement un lan~ autre et équivalent dans
lequel se peut conduire le raisonnement logique : elle double pour
ainsi dire le langage des symboles, ce qui semble poserJà côté d'une
.
raison-calcul qui pensE symboliquement, une véri table
" " .
ra~sc~-ge0metrle
qui réalise aussi le point de vue "compartimentaI".
B. Harmonie d'une raison-calcul et d'une raison-géométrie
L'appel à la visualisation diagrammatique, comme la démarche générale
qui est celle de Venn dans la Symbolic Logic, a une fonction pédagogique
et explicative indéniable. Cette "interprétation géométrique "du système
d
B
1 57.
d
.
d l . . . . . . . . l
l'
h'b'
,
e
00
e
Joue,
e ce pOlnt
e vue,
e meme ro e que
ex l ltlon
des fondements purement logiques des procédures algébriques utilisées
dans la Nouvelle Analytique booléenne, en ce qu'elle contribue aussi
à "enlever leur "mystère" aux formules hérissées de symboles qui avaient
effrayé les logiciens d'obédience scolastique
et à "permettre effectivement
d'atténuer ce que pouvait avoir de dangereux la référence, permanente
chez Boole, à la "Science du Nombre" ..• ,,58.
251
c'est ainsi que parlant des diagrammes en général, \\'12,,1: d?clare
qu'ils ont "la force démonstrative d'une expérience effective" et écrit
que "si une imagination, quelque peu lente ne réalis8it pas immédiatement
que de "Tout A est quelque B" et Nul B n'est quelque C" nous pouvions
inférer que "Nul A n'est quelque C", elle n'aurait qu'à tracer les
cercles pour le voir aussi clairement que n'importe qui voit les résultats
d'une expérimentation physique,,59
A cette comparaison avec "l'expérimentation physique" il faut
ajouter ce que dit Venn de l'intérêt des figures qui "font voir" les
raisonnements et leur apportent le "coup d'oeil". Il faut cependant
remarquer, sur ce point, la nécessité d'opérer une disjonction entre
le fait et le droit; c'est-à-dire que théoriquement ce la~gage géomé-
trique est totalement en harmonie avec celui des lettres et peut accom-
plir les mêmes procédures, mais en fait, au delà d'un certain nombre
de termes eT.ployés par le raisonnement, la complication des figures
va ôter l'intérêt principal du diagramme: le "coup d'oeil". Venn écrit
en effet: "Théoriquement, ce procédé est susceptible de s'étendre
--'-
à un nombre quelconque de termes. Le seul inconvénient que rencontre
son extension indéfinie est que, au delà de trois termes, il n'est
plus possible d'utiliser des figures aussi simples que des cercles
car quatre cercles ne peuvent se couper entre eux de la manière requise.
En employant des figures plus compliquées, nous pourrions poursuivre
indéfiniment. Il suffit de remplir la condition suivante : dessiner
une figure continue qui coupera une fois, et une fois seulement, toute
subdivision existante. Le nouveau contour doit être tracé de manière
252
â partager en deux chacun des compartilnents d~jâ existants, et à doubler
ainsi leur nombre. Il est clair qu'aucune raison ne s'oppose à la pour-
sui te indéfinie de ce procédé,,60.
L'on voit par exemple, sur la figure suivante. ce qu'il est en
du diagramme tracé
termes x,y,z et w :
Mais Venn relativise
cette limitation de fait du langage géométrique
en posant la question de savoir si/dans la pratiquejil arrive vraiment
que nous ayons besoin d'introduire plus de cinq termes pour résoudre
les problèmes qui se posent à nous. Et dans la mesure où ce n'est presque
jamais le cas, en effet, il affirme "qu'aucune combinaison de termes
représentant des classes ne pourrait être inventée ou exprimée soit
dans des symboles, soit dans le langage ordinaire qui ne puisse être
rendue sensible aux yeux par une construction diagrammatique adéquate,,61
--'-
A l'intérieur donc de la sphère de nos besoins réels, l'harmonie est
totale entre la langue des symboles et celle des diagrammes. Mais alors,
Venn n'a-t-il pas inventé là cette notation propre à la logique dont
il avait fait l'hypothèse, n'a-t-il pas "géométrisé" la logique de
même que Boole l'avait "algébrisée" : n'est-il pas, en un mot, en train
de constituer une véritable raison-géométrique (ou géomètre) qui fait
des figures un véritable langage concurrent et non pas une "interprétation"
de celui de l'algébre de la logique?
253
En faveur d'une réponse affirmative ~ une telle questiGD, on peut
voir en effet que ce langage des figures définit de manière autonome
de véritables lois d'une opératioD géométrique que l'on pourrait appeler
"traverser une frontière". Citons ce passage de Venn : "Le lecteur
logicien pourra penser à un certain nombre de déductions qu'on lui
laisse le soin de développer en détail. On peut en indiquer brièvement
quelques unes. Rar exemple, deux compartiments quelconques entre lesquels
nous pouvons communiquer en traversant une seule ligne, ne peuvent
différer que par l'affirmation et la négation d'un seul terme général,
ainsi xyzw et xy~w. En conséquence, lorsque les deux termes correspon-
dant à deux compartiments tels que ceux-ci sont unis, ou comme nous
pouvons le dire, "ajoutés" l'un à l'autre, le résultat peut être simpli-
fi~ en omettant le terme z ; car les deux ensembles ferment xvw. Deux
compartiments quelconques entre lesquels nous ne pouvons cOIT~uniquer
qu'en traversant deux frontières, par exemple, xy~w et xyzw, doivent
différer à deux égards: il faudr2it quatre compartiments semblables
pour que soit possible la simplification qui résulterait du fait qu'on
aurait le droit de laisser tomber deux termes. Par exemple, xyzw, xyzw,
xyzw, xyzw, pris ensemble, donnent simplement xw. Lorsqu'on parle ainsi
de traverser des frontières, il faut se souvenir qu'il est équivalent
de traverser deux fois la même, ou de ne pas la traverser du tout,
et qu'il revient au même de la traverser trois fois ou de la traverser
une fois seulement; cela nous conduit à l'extérieur si nous étions
auparavant à l'intérieur,,62.
Il Y a donc bien là un véritable renversement où les opérations
logiques traduisent des procédures topologiques. Mais dans le fond, et
254
de manière plus générale,
le point de vue "compartil:lental" dont Venn
dit qu'il est celui qui caractérise le système de Boole, n'est-il pas
lui-même un point de vue de géométrie? Rétrospectivement, les métaphores
spatiales que sont les "compartiments" ou ce que M.E. Coumet appelle
justement l'''imagerie d'occupation et de non-occupation de compartiments,,63,
apparaissent ici comme tout autre chose que des métaphores dans lesquelles
la pensée figure ce qu'elle fait lorsqu'elle raisonne
elles sont,
pour ainsi dire, le raisonnement même.
Ajoutons enfin ce que dit une note de Venn citant F.A. Lange et
sur laquelle l'auteur ne revient pas lorsqu'il reparle de ce logicien
dans ses "Notes historiques" à la fin de la Symbolic Logic : "F.A. Lange",
écrit Venn, ~dans les ~?gische Studien,
affirme que de telles intuitions
spatiales sont au fondement de nos axiomes logiques exactement comme
elles le sont dans le cas de nos axiomes mathématiques,,64
Cette référen-
ce}appelée par l'expression qu'utilise Venn "d'intuiter la propositiün~
n'est pas co~~entée, mais n'est-ce pas là, sur ce fond d'''intuitions
spatiales" que reposent pour Venn ultimement, la "perfection théorique"
.-----
de la langue des diagrammes d'une part, l'harmonie entre celle-ci et
la langue des symboles de l'autre?
Quoiqu'il se contente donc, au total, de tenir fermement "que
les lettres sont les instruments véritablement appropriés du calcul l1
logique et non moins fermement qu'on ne saurait objecter aux "preuves
géométriques" d'être "en quelque manière que ce soit inappropriées
à la logique", étant simplement "trop compliquées pour des cas généraux,,65,
_ _ _ _ _ _ _ _-~i."""":
255
Venn ne laisse pas de poser le probl~~€ du raisonnement intuitif, d'u~
certain "géométrisme,
en logique. Couturat se prononcera sur ce point
en faveur de la lRngue des symboles d'abord en critiquant le peu d'utilité
des diagrammes, "attendu que les constituants sont aussi bien représentés
par les symboles algébriques que par des régions du plan, et sont beau-
66
coup plus maniables sous cette forme"
. Mais aussi, et surtout à la
philosophie qui est au principe d'un tel langage
géométrique et qui
se lit dans la référence à Lange faite par Venn : il s'agit pour lui
de bannir totalement l'idée que la Logique puisse étre "fondée" sur
une intuition, spatiale ou autre", une position derrière laquelle il
reconnaît "les Kantiens qui veulent à toute force trouver des intuitions
jusque dans les principes de la Logique ... ,,67
Dans le cas précis du rapport entre le symbolisme booléen et son
interprétation privilégiée qu'est la logique des classes}dont Venn
fait un autre langage, géométrique, il semble que l'éclairage ne puisse
venir que de la notion de structure lorsqu'elle sera plus tard dégagée
pour elle-même du système de Boole. Mais en attendant, il faut dire
que si Venn n'est pas un antiformalistejil a privilégié ici l'aspect
que Boole avait appelé le caractère "ostensif" de la logique - quand
elle parle le langage de l'imagination - par opposition à son caractère
noétique" - lorsqu'elle parle le langage de l'entendement -. Lorsque
dans sa démarche qui consiste à reprendre le système en ses fondements,
il a procédé par une construction ostensive qui explique et justifie
la construction caractéristique de Boole, il représente, d'un point
de vue qui est différent de celui de Jevons, une certaine revanche
de l'intuitionnisme sur le formalisme booléen, un questionnement plutôt
qu'une remise en question de l'optimisme du symbolique.
256
Parler, en présentant l'irr~édiate postérité de George Boole. de
Jevons après Venn c'est quelque peu bousculer une chronologie habituelle.
Si W.S. Jevons est en effet né un an après Venn, c'est-à-dire en 1835,
ce dernier lui aura longtemps survécu puisque Jevons est mort, noyé
accidentellement, en 1882 quelques mois donc après la parution de la
Symbolic Logic. En outre, et surtout, une telle présentation revient
à exposer les remarques et les critiques de Jevons concernant le système
de Boole après avoir parlé, même rapidement, des réponses apportées
par Venn à ces objections.
Mais, par ailleurs, l'ordre ici adopté ne signifie pas non plus
que dans la mesure où les travaux de Venn témoignent globalement d'une
fidélité au système booléen, l'on considère que Jevons est situé. sur
le vecteur du progrès en logique symbolique, après Venn qui n'aura
1
apporté à celle-ci que la diagrammatisation . Les progrès techniques
s'apprécient en effet à partir d'un point de récurrence qui est celui
de la structure moderne de l'algèbre de Boole. Or dans la correspondance
de 1863 entre Boole et Jevons ce n'est pas là l'enjeu: c'est une con-
ception du raisonnement et de la logique quren est la Science que Jevons
oppose au système de Boole. c'est-à-dire un point de vue philosophique
sur la raison-calcul.
Par conséquent l'ordre dans lequel nous présentons ici les succes-
seurs de Boole que sont Venn et Jevons et celui-ci.: Venn partage avec
Bool~la même philosophie symbolique concernant la logique, et se propose
257
'")
d'apporter au calcul "le sérieux des justifications"~; .J "vons, en revanche,
remet totalement en question cette philosophie symbolique elle-même,
au nom d'une autre philosophie pour laquelle nous avons proposé l'expres-
sion de "mentalisme 10gique,,3 : s'opposant à une raison-calcul qui
se confie aux signes et procédures symboliques, i l insiste sur "nos
4
pouvoirs mentaux"
et leurs opérations intelligibles de part en part
;
à l'expression mathématique de la logique, il substitue la rÉalisation
mécanique de l'inférence et construit dans ce but une machine logique.
Lorsqu'en 1863 il s'engage dans une correspondance avec Boole
pour lui apporter les objections qu'il fait à son système, ~illiam
Stanley Jevons est un jeune homme qui a fait
ses humanités.
Il n'est
donc pas mathématicien.
Par la suite, de
1866 à 1876 il sera professeur
de Logique, de philosophie et d'économie politique à l'Université de
Manchester avant d'être, de 1876 à 1880 professeur d'économie politique
à Londres. Quand Boole met fin à leur brève correspondance et l'éconduit
en interrompant le débat qu'ils avaient cOIT~encé à mener, Jevons continue
de travailler dans la direction qu'indiquaient ses remarques et objections.
/
et dès Novembre 1863 il achève un ouvrage publié en 1864 et dont le
titre se traduit ainsi : "La logique pure ou logique de la qualité
séparée de la quantité avec des remarques sur le système de Boole et
sur la relation entre logique et mathématiques"
(Pure Logic or the
Logic of quality apart from quantity with remarks on Boole's system
and on the relation of Logic and Mathematics).
Cet intitulé, on le voit,
scande le projet de Jevons en une série
d'objections au système de Boole qui constituent autant de transformations
258
techniques de celui-ci, et en une d~finition du point de vue philoso-
phique qui fonde ces objections
celui d'une "logique pure".
A. Les objections au système de Boole
Dans le dernier chapitre de sa ~ure Logic, Jevons énumère les
objections qu'il fait au système de Boole après avoir soulign~ que
celui-ci, tout en étant "parfait en lui-même" ne l'était pas en tant
que "représentation du système naturel de la pensée humaine"S.
La première objection trouve la formulation très gén~rale suivante:
"les symboles utilisés par Boole diffèrent en essence des noms ou sym-
baIes du discours ordinaire - sa logique n'est pas la logique de la
pens~e commune,,6 En fait, à lire l'objection dans sa totalit~, l'on
voit qu'elle concerne entièrement la signification exclusive assignée
par Boole à la conjonction "ou". En d'autres termes la logique de Boole
n'est pas "la logique de la pens~e commune" car sur ce point décisif
du sens exclusif ou non de "ou", elle n'est pas conforme au jus et
---.-
nonlla loquendi.
Jevons a alors beau jeu de multiplier les exemples du langage
ordinaire tant oral qu'écrit faisant de ce sens inclusif la règle,et d~
la signification exclusive l'exception. Parmi eux figurent deux exemples
tirés du texte ••• de Boole lui-même: il rappelle que Boole interprète
"produisant du plaisir ou empêchant la douleur" dans l'une des illustra-
tions de sa méthode (LT p. 59-60}, de manière à ne pas exclure les
choses qui à la fois produisent du plaisir et empêchent la douleur.
259
Or que dit Boole dans cet exemple, si nous revenons au texte meme
des Laws of Thouth ? Que la signification évidemment non exclusive
de u ou " dans le cas présent conduit à utiliser l'expression p + r(1 - p)
plutôt que p + r pour traduire les choses qui produisent du plaisir (p)
ou qui empêchent la douleur (r). Et Boole ajoute plus loin cette remar-
que que l'expression p + r (1 - p) ou p + r - rp "multipliée par el1e-
même, se reproduit identiquement" c'est-à-dire qu'elle satisfait la
loi fondamentale des symboles logiques individuels"?
x 2 = x. En consé-
quence donc, cette expression, que notre terminologie moderne appelle
la différence symétrique, est interprétable de manière indépendante.
C'est-à-dire que cette notion, qui apparaît ici au détour d'une illustra-
tion particulière, aurait pu comme Théodore Hailperin en fait la remar-
que, "jouer un rôle central" dans la logique de Boole, si, ajoute-t-il,
" '1
"
"
, , -
'" d
' .
,
l ' b '
,,8
l
n avalt pas ete si
enterme
ans ses prejuges a ge rlques
L2
second exemple que prend Jevons es[ celui de la proposition
x = y + z, ou x = César, y = Conquérant des Gaules, z = premier empereur
de Rome. Cette proposition signifie donc que "César est le conquérant
.---. -
des Gaules ou le premier empereur de Rome". n'une telle expression
littérale, Boole infère x - z = y ce qui traduit l'étrange conclusion
selon laquelle "César, s'il n'est pas le premier empereur de Rome est
le conquérant des Gaules".
En d'autres termes, dans ce second exemple, Jevons retourne contre
Boole, en partant de l'expression logique d'une proposition vraie tout
à fait banale du langage ordinaire, la raison qui conduit à adopter
260
le sens exclusif de l'addition logique:
la possibilit~ de trouver
à cette opération un inverse qui est la soustraction logique.
La seconde objection de Jevons découle alors de cette première
et consiste à dire qu'''il n'existe rien de tel que des opérations d'addi-
tion et de soustraction en logique pure,,9
Les seules opérations logiques
pour Jevons étant la combinaison et la séparation des termes, ou de
leurs significations, correspondant à la multiplication et à la division
en mathématiques"lO. Que sont ces opérations,
les seules donc qui ont
droit de cité en logique ?
Dans le chapitre IV de sa Pure Logic,
Jevons définissait ainsi
l'opération logique de combinaison des termes: "lorsque deux termes
ou davantage sont concaténés
, le terme qui en résulte doit avoir pour
'
,
JIll
signi f ication l a somme d es significations des termes pris separement
Dans le chapitre suivant,
il analyse l'opération de s~paration à partir
de la "loi de la pensée" dite "des memes parties"
: "les mêmes parties
-
.
,,12
a b straites des memes touts donnent les memes part les
Si la combinai-
son des termes en logique est analogue à la multiplication des nombres
-"-
en arithmêtique, leur séparation qui n'est pas toujours possible, est
analogue à la division numérique qui elle non plus n'est pas toujours
possible. Cette correspondance est établie par Jevons dans le tableau
.
13
SUlvant
261
Les termes connus admettent
Les nombres connus admettent
la combinaison
la multiplication
la séparation
la division
(saur si l'un ou l'autre dividende
(sauf si le diviseur
0)
"
l
d""
)14
cont~ent
e
~v~seur
Les termes inconnus admettent
Les nombres inconnus admettent
la combinaison
la multiplication
la séparation
la division.
Quant au signe +, qui dans la "science des nOII1bres" représente l'opéra-
tian d'addition, il ne lui corres;.JL'nd pas en "logique pure" d'opération.
Voici comment Jevons introduit ce signe dans son propre système
on
définit un "terme multiple" comme étant un terme "qui possède U:1e signi-
15
fication entre plusieurs possibles sans qu'on sache laquelle"
JJé's
lors) + "est tout simplement un signe qui remplace, pour des raisons
d
l
' 1
. .
b"
d
l
d · ·
,,16
e carte,
es conJonct~ons et, ou
~en,
ou, etc ...
u
angage or ~na~re
.
Il ne devient une
opération que si. tournant le dos. comme le fait
Boole. au jus et norma loquendi on ne l'écrit qu'entre des alternatives
tenues pour exclusives. Mais en ce cas on est déjà sorti de la sphère
d'une logique pure pour celle de la "Science du Nombre".
262
ainsi formulée : le système de Boole est "incompatible avec la loi
de la pensée, évidente par elle-même, qui est la Loi d'Unité (A + A
Avant d'en arriver à la quatrième et dernière "objection" de Jevons,
arrêtons nous un instant à ces trois puisqu'elles concernent toutes
la signification de "ou" et le sens à donner au signe + en logique.
Tout vient
selon Jevons, répétons-le, de ce que Boole a méconnu
l'usage ordinaire du langage en la matière. C'est-à-dire que les voies
suivies par Jevons et par Boole concernant le rapport entre langage
et système logique sont ici suffisamment parallèles pour que l'on puisse
véritablement parler d'un "dialogue de sourds" qui explique que leur
correspondance de 1863 ait finalement tourné court.
Tout d'abord, là où Jevons parle d'un usage ordinaire du langage
qui est le signe du caractère "naturel" du raisonnement déductif, Boole
parle du "langage en tant qu'instrument" de l'entendement, ce qui n'est
_..... -
pas la même chose; c'est ce qui explique que le langage doive faire
l'objet
d'une "reconstruction symbolique" préalable qui ne retienne
de lui que les éléments utilisés par l'entendement lorsqu'il se fait
raison-calcul. Et sur ce plan, Venn va plus loin que Boole en établissant
clairement - puisque le logique symbolique n'est pas seulement une
extension de la logique commune mais un changement radical de point
de vue sur la science du raisonnement - la nécessité de décrocher le
"
systeme nouveau de l usage ordinaire du langage "Gont il est très
éloigné,,18.
263
p.....JV\\..
'f
En second lieu, et pour plus precIsement de ce sign~ ~. le di21c~ue
entre Jevons et Boole reposait sur un malentendu car "il ne leur est
apparemment pas venu à l'esprit - et cela vaut aussi pour ceux qui
dans les vingt années qui suivirent, à l'exception de Harley, soutinrent
ou critiquèrent l'un ou l'autre - qu'ils parlaient de deux opérations
19
complètement différentes lorsqu'ils écrivaient le même symbole +"
L'exception ici soulignée, que constitue Harley, fait référence à ces
lignes qu'il a écrites: "l'objection ( ... ) de M. Jevons selon laquelle
"il n'existe rien de tel que des opérations d'addition et de soustraction
en logique pure" repose sur une incompréhension. L'opération mentale
qui dans le système de Boole est représentée par + est celle par laquelle
nous formons la conception de cet ensemble ou collection de choses
que constituent les deux classes prises ensemble. Comme opération mentale,
elle est totalement différente de cecte opération de l'esprit OG nous
passons de la notion arithmétique d'un objet à celle de deux, trois
ou plusieurs objets
de même nattire. De la mê~e maniêre, la scustractioTI
logique qu'exprime le signe - et qui est l'inverse ou le négatif de
l'addition logique est totalement différente, comme opération mentale,
---'-
de la soustraction arithmétique. Cela n'empêche pas M. Jevons d'entrer
dans une argumentation assez compliquée pour prouver que l'addition
et la soustraction arithmétiques n'ont pas leur place en logique pure!
Une autre objection selon laquelle "le système de Boole est incompatible
avec la loi de la pensée. évidente par elle-même, la Loi
d'Unité
(A + A = A)" n'est pas non plus fondée. M. Jevons assigne au symbole
+ sa propre signification qui diffère en essence de celle que Boole
lui assigne et n'a rien à voir avec elle. Par conséquent ces deux symboles
264
dans les deux s\\'stèmes ne sont pas le meme
; ils sont deux et
toute
,
argumentation qui pr~supposerait leur identit~ serait fallacieuse ,20.
L'on peut ici, dans cette liste des objections techniques de Jevons
au système de Boole, compter la condamnation de l'usage d'un symbole
indéterminé v, bien que dans ses "Remarques sur le système de Boole"
il ne la fasse pas figurer dans l'énumération de celles-ci. Elle figure
cependant dans d'autres textes de Jevons.
Ce serait alors une quatrième objection que l'on pourrait ainsi
formuler:
il n'est pas besoin,
en logique pure, de faire intervenir
un symbole spécial exprimant la particularité. Soit par exemple, la
proposition "le fer est un métal" autrement dit "le fer est quelque
m~tal" lorsque l'on quantifie le prédicat. Si on l'écrit s)~boliquement,
la manière de Boole, sous la forme x = vy (x représentant le fer et
y
les choses métalliques),
on ne sait pas ,dit Jevons,
ce que c'est
que x
: seulement que les x's sont constitués par une sélection indéfinie
parmi les choses qui sont y, "v étant le symbole de cette quantité
ou classe indéfinie de choses sélectionnées,,2T: Il substitue à cette
expression symbolique la forme x = xy "ne comportant que les lettres
x et y tout en exprimant parfaitement que les qualités de y sont parmi
celles de x mais pas nécessairement celles de x toutes parmi celles
d
,,22
L'
f
.
b ·
l
d
e y
.
on peut
alre sur cette su stitutlon
es
eux remarques
qui suivent
265
pas plus en écrivant ltéquation x = xYjpar conséquent l'indétermination
demeure. C'est la raison pour laquelle, commentant cette manière de
Jevons de traduire la particularité, Venn s'en est moqué en ces termes
"l'apparence d'un gain d'information et de détermination lorsqu'on
dit que x est xy est parfaitement trompeuse. Nous ne faisons rien de
plus par là qu'une généralisation symbolique de la vieille plaisanterie
"quelles fonctions remplit un archidiacre ? des fonctions archidiocé-
saines,,23. Pourquoi donc, dès lors, Jevons ne veut-il pas à priori,
de l'écriture d'une indétermination marquée positivement par la présence
du symbole auxiliaire v ? Deux raisons à cela :
a) il envisage bien, dans la E.ure L~gic, l'utilisation d'un s;'mbole
spécial U pour traduire "quelque" ou "un genre de". Mais alors, comme
Boole aussi l'avait déjà noté, "aucun terme U n'est à prendre comme
2t2~t le même qu'un autre t2~me [" dans un même raisonnement, par cCDsé-
"l'
.
. L
l '
.,,24
quent
on ne salt pas Sl
. = u est vral
Ecrire donc A
DB sous
la forme A = AB permet d'éviter ce qui semble un~ exception g~nante
---<-
au principe d'identité, ou alors la nécessité d'une multiplicité de
symboles auxiliaires pour traduire la même chose.
b) Ecrire x = xy relève d'une attitude que l'on pourrait qualifier
d'empiriste: on se demandera par exemple ce qu'est y, pour écrire
y = yz, puis ce qu'est z etc ... En d'autres termes, et la nature même
des exemples choisis le plus souvent par Jevons le montre, l'écriture
symbolique d'un terme produit l'analyse empirique d'une notion où il
s'agit de lever progressivement, par énumération, une indétermination
originelle.
266
~_alit~ti'::.e x = xy. De manière générale, ce qui caractérise la logique
de Jevons c'est le retour à une conception intentionnelle fondée sur
la qualité ou l'attribut à la place d'une conception extensionnelle,
jugée quantitative et fondée sur la classe. Le refus d'écriture d'indé-
termination au moyen du symbole v ~articipe donc de cette position
globale pour laquelle "lorsque nous disons que l'homme est mortel nouS
entendons que les attributs de la mortalité sont compris dans les attributs
25
de l'homme"
plutôt que la classe des hommes est incluse dans celle
des mortels : "la logique (pure) acquiert un degré nouveau de simplici-
té, de précision, de généralité et de puissance lorsque la comparaison
1 " ,
" ,
'f"
1
" (
),,26
en qua 1te est traitee separement de toute re erence a
a quant1te ...
.
Il Y a bien une ccrrespondance entre le système quantitatif fondé sur
l'extension et le système qualitatif, m6is le premier détruit le caractère
de simplicité qui doit être celui de la Logique Pure.
Nous retrouvons cette opposition entre système quantitatif et
expression qualitative dans la "quatrième objection" de Jevons qui
devient, dans notre énumération, la cinquième.
Cette cinquième objection est ainsi formulée par Jevons : "les
l
0
0
l
,
symboles l' 0' l' 0 ne possedent en eux-mêmes aucune signification
logique et n'ont d'autre signification que celle que l'on dérive d'une
méthode de raisonnement que ne contient pas le système symbolique,,27
La critique ici adressée à l'algèbre logique de George Boole est donc
double :
267
l'écriture de symboles qui en eux-mêmes ne veulent rien dire.
L'intui-
tionnisme de Jevons ne tolère aucune écriture qui soit "symbolique"
- mot qui pour lui est toujours synonyme de "mystérieux" ou "obscur" -
dans une science qui étant celle du raisonnement humain, ne devrait
connaître que des procédures de part en part intelligibles. Le système
combinatoire en quoi se réalise ce raisonnement ne saurait âtre que
celui d'une composition de significations toujours claires pour produire
de nouvelles significations, sans que les opérations déductives elles-
mêmes introduisent quelque déperdition d'évidence que ce soit. Et au
début de sa PUJe Lo~ic, Jevons précise d'emblée que tous les symboles
qu'utilisera son systèffie,
littéraux ou d'opérations,
ne sont jamais
que des abréviations pour des expressions qui pourraient toujours se
traduire verbalement et qu'en tout état de cause aucune procédure déduc-
t ·
,
.
d '
d
28
Ive n en Intro ulra
e nouveaux
2°) C'est ensuite la critique de la notion même d'interprétation!
c'est-i-dire la remise en question totale,
pour ce qui est du domaine
logique à tout le moins, du couple conceptuel symbolisme/interprétation
qui est au fondement de l'idée d'algèbre.
En d'autres termes, s ' i l
est nécessaire d'avoir un système d'interprétation qui vienne conférer
au symbolisme, à ses procédures et résultats une signification, cela
ne peut vouloir dire qu'une chose pour Jevons: que le système symbolique
n'est jamais qu'une sorte "d'image réfléchie "du système d'interprétation
qui est en réalité,
et de manière quasi inconsciente, celui o~ se mènent
véritablement les opérations déductives et dont elles tiennent leur
validité en dernière instance. Bref, si les dérivations aveugles et
268
symboliques fontionnent quand meme et produisent des r~sultats qui
ont un sens logique, ce n'est pas parce qu'il existera, après coup,
une interprétation logique consistante, mais parce qu'elles ne sont
jamais qu'une "contrepartie obscure" de ce système logique d'interpré-
tation qui est leur constant g~rant
la duplication en symbolisme
et interprétation apparaît à Jevons une inutile duplicité.
Revenir à une "Logique Pure" c'est donc exhiber la méthode intuitive
de raisonnement "que ne contient pas le système symbolique" et qui
dévoilera quelles formes simples sont ainsi travesties dans les coeffi-
l
cients numériques l'
29
Prenons, pour ce faire, un exemple considéré par Jevons
: soit
la prémisse donnée A = BC, qui fait intervenir les trois termes A, B, C.
30
On notera a, b, et c les contraires respectifs des termes A, B et C
.
~es différentes combinaisons possibles obtenues à partir de A, ~, C,
a, b, et c sont au nombre de 23 = 8 et sont les suivantes
ABC, ABc,
AbC, Abc, aBC, aBc, abC, abc. Combinons maintenant chacun de ces termes
----.-
composés avec chaque membre de la prémisse A = BC. Il vient :
i)
ABC = ABC
ii)
ABc
ABCc = 0 (car Cc, la combinaison d'un terme et de
son contraire, est nulle ou encore, comme le dit Jevons,
"exclue de la pensée")
iii)
AbC
ABbe = 0
iv)
Abc
ABbCc = 0
v)
0 = AaBC = aBC
2b9
vi)
o
AaBc
aBCc
c:
vii)
o
A8bC
aBbC = 0
viii)
o
AabC
aBbCc
o
Considérons la première équation i)
: ABC combiné avec chacun des membres
de la premisse n'en annulle aucun, c'est-à-dire qu'aucun des nouveaux
membres ainsi obtenu ne contient de contradiction, autrement dit un
terme et son contraire. Jevons appelle alors le terme ABC un "sujet
inclus" de la prémisse.
Lorsque le terme combiné aux deux membres de la crÉmisse cree
une contradiction dans l'un et l'autre, il est appelé "sujet exclu"
de la prémisse; c'est le cas pour les équations vi), vii) et viii)
ci-dessus.
Lorsqu'il ne cree de contra~icti2n que dans un ~ç~bre de la Douvelle
équation, il est appelé "sujet cl'ntraèictioire".
sujet
inclus
cu exclu est un "sujet possible" alors qu'une combinaison contradictoire
est un "sujet impossible,,31
Nous pouvons alors comprendre maintenant, pour ce qui est de cette
cinquième objection, ce que signifie pour Jevons le retour à une "Logique
Pure" et l'idée selon laquelle les coefficients booléens ne sont que
d'obscures contreparties de certains éléments d'un autre système intuitif
de raisonnement, faussement considéré comme une "interprétation"
,,1.
,
1 apparaissant comme coefficient d un terme signifie que le terme
en question est un sujet inclus de la prémisse ( ... ) §signifie que
270
(
)
1
o
le terme est un sui~t exclus de la
._
signifient
.
\\ • . •
è t
0 ou
.".~--_.--_._---_ ..-
En apparence, la démarche adoptée ici par Jevons présente quelque
ressemblance avec celle de Venn : à première vue, l'un et l'autre succes-
seursde Boole ont voulu rendre raison de ce qu'il y avait de plus dérou-
tant dans le système de leur martre en le traduisant dans des formes
plus simples, directes et intuitives. Mais là où Venn parlait d'une
"harmonie" entre deux langages, celui des symboles et celui de la géométrie
des diagrammes, Jevons parle, quant à lui, de la "fondation" par une
logique intuitive de ce que l'algèbre logique de Boole peut comporter
de valide. Le premier rend raison des formes symboliques. Le second
cherche, derrière l.:vr "ombre", la proie véri table des procédures directes
et intelligibles qui constituent le système naturel de la pensée
"La cc'rrespo~ddnce entre ces f (,'r-::.es ClDscures et lèS inférences
évidentes par elles-m~mes du présent systÈme est si étroite et si claire
qu'elle suggère irrésistiblement que les opérations du Professeur Boole
.---'-
menées dans son calcul abstrait sur l et 0 ne sont qu'un simple équiva-
lent d'opérations évidentes par elles-mêmes et menées dans les symboles
intelligibles de la logique pure. Le Professeur Boole part de notions
logiques et des lois de la pensée évidentes par elles-mêmes ; brusque-
ment il transmute ses formules dans d'obscurs équivalents mathématiques
et après des manipulations diverses et compliquées, il aboutit à certaines
formes qui correspondent à celles auxquelles l'on arrive directement
et intuitivement par la Logique ordinaire ou Pure - par cette analyse
dont il tire et confirme l'interprétation de ses symboles. Grâce à
271
cette intepr~tation il transfêre la signification et l'~vidence des
conclusions purement logiques à des formes obscures qui, à supposer
qu'elles aient un sens, n'ont certainement pas de force démonstrative
par elles-mêmes. Le système de Boole est comme l'ombre, le fantôme,
l'image réfléchie de la logique ( ... ),,33.
B - Le mentalisme logique de Jevons
Ce que nous appelons ici "ment alisme logique" pour caractériser
le système de Jevons recouvre l'idée fondamentale que ce système se
présente comme une logique des qualités que nous saisissons et que
nous abstrayons mentalement. Ce point de départ est à l'opposé de celui
de Boole. Et cette différence peut se dire dans les termes de l'opération
de conception qui est le point de départ de Boole opposée à l'acte
mental de saisie de la qualité qui est celui de Jevons. Qu'est-ce à
Boole, rappelons le, part de "l'opération ;nentale élémentaire"
-----. -
qui dans le langage symbolique sera représenté par un opérateur. Comme
l'écrit M.E. Coumet : "une des intuitions fondamentales de Boole tient
presque toute entière dans ce qui n'est presque qu'un jeu de mots:
il a symbolisé l'opération mentale la plus élémentaire par un opérateur,,:4
La "conception" n'a donc pas le sens de la saisie d'une chose ou de
sa notion mais celui d'une opération: la classe des X's, autrement
35
dit l'opération de sélection des X's au sein de l'Univers du discours
.
En d'autres termes il n'y a dans cette algèbre booléenne des opérations
mentales de conception aucune charge ontologique.
272
En revanche,
le systeme de Jevons qui prend le parti cie l'intentio~
contre l'extension apparaît comme une ~_~to-~}que des qualités, se
donnant un univers de choses qui se livrent à la pensée ou saisie mentale
à travers les attributs qu'elles possêdent : "Les choses telles qu'elles
nous apparaissent dans la nature réelle sont enveloppées dans d'inépui-
sables attributs, inscrits pour ainsi dire dans le cadre de l'espace
et du temps. Par nos pouvoirs mentaux,
nous abstrayons d'abord le
temps puis l'espace, puis un attribut après l'autre jusqu'à ce que
nous puissions finalement penser les choses comme des unités abstraites
dénuées de tout attribut en ne retenant que la condition logique origi-
nelle que chacune est distincte de toutes les autres. En logique nous
parlons de choses comme semblables et une, dans la science du nombre
nous raisonnons sur elles en tant qu'elles sont cl
1
. Il
,,36
istinctes et p urle
es
L'acte mental par excellence est donc celui qui saisit une chose
à travers ses attributs et "la Logique Pure nait de 13 COi'1?araison
des choses selon leur ressemblance ou leur différence en quelque qualité
ou disposition que ce soit ( ... ). La logique,
en ne s'occupant que
de noms et en établissant les relations de similitude et de différence
de leurs significations, s'occupe indirectement, comme elle est seule
à pouvoir le faire, des ressemblances et des différences entre les
choses,,37.
Identité et différence dépendent des conditions logiques que nos
"pouvoirs mentaux" imposent aux choses. L'unité des actes justes par
exemple est l'identité d'une même qualité de justice qui les parcourt
tous. De la même manière les objets rouges sont différents les uns
273
des autres, mais;en elle -meme
,1;-1 "relU,leur",
CUTI"',,'" qualité, f'.<2 (c,mpc,rte
aucune diversit&
"en tant qu'elle est simplement la rougeur, elle
est 'Jne et la même partout et possède l'unicité absolue,,38. En tant
qu'il est le
nom de ces objets, l'adjectif rouge enferme la diversité,
la pluralité, bref le nombre. Mais en tant qu'il est la qualité de
rougeur il ne comporte que l'unicité et s'enferme en elle. La rougeur
est unique car elle n'est elle-même pas rouge mais "forme la significa-
,,39
tion intensive du terme rouge
Il faut donc ici opérer une distinction
entre les conditions logiques qui produisent l'unicité du terme abstrait
et celles qui donnent un terme gén~ral comportant une diversité et
une possibilité de d~nombrement des choses (discernables par d'autres
qualités) qu'il subsume sous une appellation unique.
Au total, premièrement: lorsque la logique est v~ritablement
"pure" et représente le système naturel de la pensée, la comparaison
ci e qua lit é s () u de" sig il if i c.::. t i~) il ::: i :: t è n s i '/ e S'l qui' f ~:: i t
~'l-: '=' j t::' :-;' G cl If: e t
comme lois que celles traditionnellement connues comme " .,.
--
.LOlS
su~remes
de la Pensée" et quelques autres teiut aussi évidentes par elles-mêmes.
Deuxièmement, le retour opéré par Jevons à une logique pure comporte
également un aspect fondationnel : il ne s'agit pas simplement, contre
la démarche de Boole, de disjoindre radicalement une science de la
qualité (la logique) d'une science de la quantité (algèbre numérique).
Il s'agit aussi de montrer que celle-là fonde celle-ci et que "donc
le nombre, et la science du nombre proviennent de la logique et, que
s",r
les conditions du nombreVdéfinies par la logique,,40
274
Dans sa Pure Logic, Jevons établit comme suit la liste des princi-
pales lois ou conditions de la logique 41
La loi d'identité qui constitue "la condition ou le postulat" de
tout raisonnement: A = A, B = B etc ... ; c'est-à-dire qu'un même
terme possède la même signification tout au long du raisonnement
ou il est utilisé.
- La loi de similitude
Si A = B = C alors A = C.
La loi de simplicité
AA
A, BBB = B etc ...
La loi des mêmes parties et touts
Si A = B alors AC
BC.
La loi d'Cnité : A + A = A, B + B + B
B etc ...
La loi de contradiction : Aa = 0, ABb
o etc ...
- La loi de dualité : elle ne correspond guère à ce que Boole appelle
loi de duali t~ x (1 - x) = 0 et traduit l'évidence qu' "en logique,
un terme contient nécessairement la signification de l'un d'un couple
quelconque de termes logiquement contraires". Soient B et b ces termes.
----. -
D'après la loi du Tiers Exclu, soit un terme A contient la signification
de B et A = AB, soit il contient la signification de b et A = Ah.
Par conséquent on pourra écrire la loi de dualité
A = A(B + b) =
AB + Ab.
On appellera cette expresssion AB + Ab, le développement de A par
,
42
rapport a B .
Au terme de cette énumération, Jevons écrit : "les lois de Simpli-
cité, d'Unité, de Contradiction et de Dualité fournissent les prémisses
275
universelles du raisonneme~t.
La loi de Similitude est d'un ordre tDU~
autre, plus élevé, en ce qu'elle concerne l'lnf~rence autrement dit
,,43
le Jugement sur les Jugements
Cette dernière phrase sera le point de départ, cinq ans après
la Pure Logic, d'un autre texte de logique de Jevons intitulé : La
substitution des semblables, le vrai principe du raisonnement
(The
substitution of Similars, the true principle of reasoning)
: ce principe
étant précisément cette loi "d'un ordre plus élevé" qui était celle
de Similitude et qui, dans la Nouvelle Analytique créée par la quantifica-
tion du prédicat, joue le r6le qui, dans l'Ancienne, était celui du
dictum de omni et nullo d'Aristote.
Dans ce texte de 1869, ~.s. Jevons a le projet de reprendre les
choses en leur racine meme, dès lors qu'avec la quantification du prédi-
, ,
~::..L
cat
pro p c s i ( i t" li
û2venue
de réfléchir sur ce qu'est une Équation. sur ce que signifie l'écriture
du signe d'identité
entre deux noms de choses. Il faut donc mODerer
que toute proposition est au fond une identité même si celle-ci peut
prendre plusieurs formes :
• Les identités simples ont été meconnues par la logique ancienne
bien qu'elles soient fréquemment utilisées dans le discours ordinaire.
Ainsi "le fer est le plus utile des métaux" ou "Snowdon est la plus
haute montagne de Grande Bretagne" sont des identités simples ou le
sujet et le prédicat dénotent exactement les mêmes individus. Ou plutôt,
pour parler le langage même de Jevons, c'est-à-dire celui des significations
276
intensives, tout ce que nous savons du terme sujet et se peut affirrne~
du terme prédicat et vice versa. L'expression symbolique de ces identités
simples est A = B.
. Les identités partielles : de ce type sont les propositions
comme "Tous les métaux sont des éléments" ou "les mammifères sont des
vertébrés"
dans lesquelles la copule traduit l'inclusion des métaux
parmi les éléments ou des mammifères parmi les vertébrés. L'on sait
qu'avec la quantification du prédicat la première proposition devient
une équation où "Tous les métaux'" quelques éléments" ; et puisqu'à
la question de savoir quels éléments sont ces quelques éléments la
seule réponse possible pour Jevons est "ceux qui sont des métaux" l'expres-
sion de cette proposition est l'équation "Tous les métaux = tous les
éléments métalliques" et celle, symbolique, des propositions de ce
genre : A = AB .
. Les identités limitées. Posons que A = gaz, B '" oxygène et
C
' l '
4 5 .
d
' l '
1
f
C '
,.
'" e ement
. Gne i entite
imitee est de
a
orme BA '" B
qUl S lnter-
._-4_
prète ainsi: le gaz qui est de l'oxygène est l'élément oxygène. Ce
qui signifie qu'un gaz est un élément à condition qu'il s'agisse d'oxygène.
En d'autres termes: A = C dans les limites de B.
. Qu'en est-il enfin des propositions négatives? "bien qu'elles
puissent être traitées sous leur forme purement négative", dit Jevons,
"Il est habituellement plus corr~ode de les transformer en des propositions
affirmatives. Cette transformation se fait en usant de termes négatifs,
un procédé qUQ n'ignorait pas la logique ancienne, mais qu'elle n'a
277
pas employ~ autant qu'elle l'aurait dG. Ainsi la proposition n~gative
An' est pas B ou A V'\\ B est bien plus commodément traàuite par la propo-
sition affirmative ou l'~quation A = Ab, o~ b repr~sente la qualit~
ou le fait d'être diff~rent de B,,46.
Jevons partage donc avec les "nouveaux logiciens" de son époque
une conception équationnelle de la proposition. ~ais, ajoute-t-il,
"durant les deux ou trois dernières ann~es" - c'est-à-dire donc pendant
le temps qui a séparé la Pure Logic de la Substitution of Similars -
"l'idée s'est constamment présentée à mon esprit, que les logiciens
modernes ont changé la forme de la proposition aristotélicienne sans
proc~der à aucun changement ~quivalent du
dictum ou principe évident
p('r
lui-même qui constitue le postulat fondamental de son svstè:;,e".
Il reproche par cons~quent à la Nouvelle Analytique ce que celle-ci
reprochait à l'Ancienne: son inachèvement.
Achever véritablement la constitution d'une analytique nouvelle
c'est se demander selon Jevons, ce qu'il advient, avec la forme équa-
tionnelle de la proposition, du dictum de omni et nullo d'Aristote
que la tradition scolastique a traduit dans la double formule latine
Quicquid de omni valet, valet etiam de quibusdam et singulis et Quicquid
de nullo valet, nec de quibusdam nec de singulis valet; autrement
dit tout ce qui s'affirme ou se nie d'une classe s'affirme ou se nie
des él~ments qu'elle contient.
Or la quantification du pr~dicat et la forme ~quationnelle de
la proposition qui en résulte empêchent désormais la distinction entre
278
un sujet et un pr&dicat, un contenant et un contenu, bref le point
de vue de l'inclusion d'une notion dans une autre qui seul justifie
le dictum dans sa formulation traditionnelle.
Il faut, pour ainsi dire,
que le dictum ne nous mène plus unilatéralement de ce qui est affirmé
(ou nié) du prédicat à ce qui est affirmé (ou nié) du sujet qu'il contient,
mais fonctionne dans les deux sens. Le nouveau postulat ou principe
de la logique moderne sera alors ainsi formulé par Jevons
: "Tout ce
qui est connu d'un terme peut se dire de son égal ou équivalent", ou
en d'autres termes,
"tout ce qui est vrai d'une chose est vrai de son
47
semblable"
.
l'on remarque que ce principe ne ressemble en apparence pas à
la "notion commune" d'Euclide selon laquelle "deux choses égales .3
une même troisième sont égales entre elles" ou si a = b = c alors a
c.
Mais il ne faut pas se tromper à l'apparence d'une différence entre
une formulation faisa~( intervenir deux termes et une autre qui en
concerne trois:
c'est bien le postulat logique qui remplace le dicturn
d'Aristote,
celui d'une substituabilité des semblables qui est au principe
de l'axiome d'Eulide.
Nous ferons deux remarques sur ce point
1°) Du point de vue qui est celui de Jevons,
l'axiome d'Euclide
n'est pas
encore une notion aussi "commune" qu'il le dit, c'est-à-dire
aussi simple et fondamentale,
car i l demeure quantitatif donc dérivé.
La substituabilité ne concerne pas seulement l'identité quantitative
mais toutes sortes d'identités. A l'égalité dont i l est question ici,
i l faut donner le sens qualitatif plus général d'une équivalence. A
cette condition l'on verra apparaître "l'union si longtemps recherchée
2.79
i Cl
'
.
,,"'
h
c
~ntre le raiSCflnEment 10~iq\\J~ et le raisoilnement mat effia(~que
2°) Ce moteur de tout raisonnement que constitue pour Jevons la
règle de "substitution des semblables "tourne le dos à une conception
que nous dirons "mathématique" du symbole d'identité
qui traduit
la copule, et qui est celle de De Morgan et de Boole. Prenons, pour
le voir, ces lignes de De :lorgan où il explique la signification de
la copule "est" : "Voici les caractéristiques du mot "est" qui, lors-
qu'elles sont présentées dans une signification quelconque qui en est
proposée, font que cette signification satisfait les exigences des
logiciens quand ils ~crivent la proposition A est B ... Supposons que
la proposition soit doublement singulière, c'est-à-dire que nous nous
referrions â une seule instance de chaque terme, un seul A et u~ sEul
B : supposons donc que la proposition dise "cet A-ci est ce '0
. "
.u-Cl
sition doublement singulière, doivent être indifférentes ct la conversion:
"A est B" et "B est A" doivent avoir la me me signification et être
_-0-
vraies ensemble ou fausses ensemble.
2°) La relation "est" existant entre un terme donné et chacun
de deux autres doit en conséquence exister aussi entre ces deux derniers.
3°) La caractéristique essentielle de "n'est pas" est tout simple-
ment que "est" et "n'est pas" forment une alte~native contradictoire,
l'une étant nécessairement vraie et les deux ne pouvant l'être ensemble,,49.
280
les logiciens démandent donc & tc".:t .~V.r..T'~_~'-!~ traduisant la copule
"est" de présenter les propriétés ci-dessus, dont
les deux premières,
pour s'en tenir ici à cellps-là, sont la symétrie et la transitivité.
Il est donc défini par un ensemble d'exigences formelles, et de les
satisfaire est sa seule "nature". Et De Morgan établit explicitement
une continuité, de l'algèbre à la logique, d'une même philosophie symbo-
lique sur cette question précise de la copule : "De même que maintenant
nous inventons des algèbres en abstrayant les formes et les lois de
l'opération et en insérant de nouvelles significations, nouS avons
pouvoir d'inventer de nouvelles significations pour toutes les formes
d'inférences de toutes les manières qu'il nous est possible de donner
à "est" et"n'est pas" des significations qui satisfassent les conditions
•
-1.
-
•
d
,,50
lnulquees Cl- essus
.
Nous avons donc, d'un côté "la substitution des semblables" comme
principe et moteur suprêmes de tout ra:sonnement, de l'autre des proc~dures
symboliques reposant sur la propriété formelle de transitivité du symbole
d'identité =. Contre toute irruption de forme ou de procédure symbolique,
.---.-
Jevons présente la "substitution des semblables" comme un acte mental
simple, direct et intuitif de "pouvoir - mettre - à la place de .•. ",
comme nous pourrions l'appeler. La disposition typographique qu'il
utilise va dans ce sens :
a = b
donc
a
u
"c
c
281
"Ici l'on voit que l'infÉrence est effectu~'e en SlJb':'tituant"
a à b en vertu de leur égalit~ qu'exprime la première équation a
b,
la seconde, b = c étant celle où l'on a procédé à la substitution.
L'une des équations est active et l'autre passive et c'est par accident
lié à cette forme d'inférence si l'une ou l'autre équation peut indifférem-
-
h"
' l ' '
.
.
,,51
ment etre c OlSle comme etant
equatlon actIve
.
La "substitution des semblables" où Jevons voit la seule procédure
10gique7c'est-à-dire directe et mécanique de raisonnement - ce dernier
terme s'opposant ici à symbolique - permet des opérations qui ne supposent
plus que les trois "lois suprêmes de la pensée" ; la loi d'identité,
la loi de contradiction et la loi de dualité ou de Tiers-Exclu : A = A,
Aa
0, A = AB'~Ab52. l'universalité et la simplicité de ce principe
font qu'il intervient partout: dans les procédures de raisonnement
scientifique bien sûr, par exemple dans la substitution du definiens
au defini_endum ; mais aussi dans les techniques courantes d2 cl&ssific3-
tion "consistant à ordonner les choses dans l'esprit ou dans les arrange-
ments de specimens selon leurs ressemblances"S3. Enfin, la notion û1eme
de jurisprudence ou de précédent juridique repose sur ce principe
"l'humanité éprouve un respect insttoctif pour les précédents, car
elle sent que quelle que soit notre manière d'agir dans un cas particulier,
nous devrions agir de même dans tous les cas semblables jusqu'à ce
qu'une raison contraignante ou la nécessité nous obligent à établir
" d
,,54
un nouveau prece ent
Regardons sur quelques exemples comment ce principe de substitution
des semblables fonctionne dans le système logique de Jevons.
282
(2) B = Be
Le principe de substitution permet d'écrire A = ABC. Il n'est que de
donner à A, B, C, les significations suivantes : A = fer, B = métal
et C = élément pour voir que les équations(l) et (2) traduisent respec-
tivement les prémisses "le fer est un métal" et "un métal est un élément"
et le r~sultat A = ABC la conclusion "le fer est fer, métallique et
SS
élémentaire" d'un syllogisme en Barbara
•
. Jevons envisage également le cas d'inférences que la logique
traditionnelle n'avait pas prises en compte. Ainsi l'inférence immédiate
par addition de déterminant "sur-laquelle le Dr. Thomson a attiré l'atten-
tion dans son Outline of the La~~~~ Thought § 87. Soit la proposition
"Un nègre est notre semblable", On en infère immédiatement, par addition
du déterminant "qui souffre", qu'''un nègre qui souffre, c'est notre
semblable qui souffre", En effet traduisons A = nègre, B = notre semblable,
C = qui souffre. La proposition initiale se traduit par A = AB. La
loi d'identité peut être considérée comme une prémisse non formulée
de ce raisonnement: en
---'-
l'occurrence, l'on a AC = AC. La substitution
à A de AB donne donc le résultat :
AC = ABC
qui s'interprète comme suit: "un nègre qui souffre est notre semblable
nègre qui souffre"S6 .
. Jevons considère aussi les formes de raisonnement indirect dont
dit-il, personne avant Boole n'a traité de manière aussi systèmatique
que cet auteur. Son système devra donc présenter la même généralité
283
qUE;'
celui de Boole, d0ra,~sdnt ainsi ce que l'on pouvait faire dans
le cadre de la logique p~ripatéticienne, tout en le simplifiant selon
les exigences de la logique "pure" : on n'utilisera que le seul principe
de substitution en ne faisant appel qu'aux lois traditionnelles de
la pensée.
S7
Soit par exemple le syllogisme en Camenes suivant
(1) Tous les monarques sont des êtres humains.
(2) Auncun être humain n'est infaillible
(3) Aucun être infaillible n'est donc monarque.
La traduction en symboles étant la suivante: A = monarque, D
être humain,
C
être infaillible, les prémisses du syllgisme s'écriront
. ])
A
<';B
(2)
B = BC
La loi de dualité permet d'écrire C
aC + AC. Et le principe de substi-
tution que
C = aC +ABCe ;
La loi de contradiction permet de supprimer ABCe et d'avoir donc, finalement:
C = aC,
qui traduit la conclusion du syllogisme.
Ces quelques exemples le montrent : pour Jevons la logique, pour
être véritablement la science du raisonnement, doit toujours, à chaque
étape, voir uno intuitu la signification de ses opérations. Le retour
284
a une logique pure mais qtli
ti~nne compte de l'avancée consid{rable
quo 1 a été la constitution par Boole d'un système de logique algébrique
a un double sens:
premièrement. montrer que l'on peut accomplir tout
ce qu laccomplit le nouveau système sans "l'obscurité" des méthodes
symboliques. à l'aide des seules lois connues de tout temps comme étant
les "lois suprêmes de la Pensée" et de ce "vrai principe du raisonnement"
jusque là non clairement aperçu
: la substitution des semblables. Deuxième-
ment, montrer que l'analogie entre procédures logiques et procédures
algébriques tient précisément au fait que la science de la qualité
est à la base. au fondement. de celle de la quantité.
Il. Le "logicisme" de Jevons
Est-il ici utile d'insister sur les guillemets à mettre au mot
"logicisme" ? Ce concept ne saurait en effet. cela est bien entendu,
recouvrir ici la signification précise,
technique,
qu'il aura da~s
l'oeuvre de Frege par exemple.
Il ne s'agit donc guère pour Jevons
de vouloir reconstruire l'édifice mathématique dans son ensemble sur
un fondement logique qui lui soit organiquement lié au sein d'un unique
langage formel. Nous appelons donc "logiciste" tout simplement la réponse
que Jevons apporte à la question par lui soulevée, notamment dans les
Principles of Science, du lien existant entre la mathématique et la
logique. Trois points de vue. déclare-t-il, sont possibles:
1°) La science de la quantité dépend de celle de la qualité
2°) La science de la qualité dépend de celle de la quantité
3°) Toutes deux dépendent d'un meme ensemble plus fondamental
de
principes.
285
Et il estime que la
pcsition dt:' Bo(·le,
bier. (~Ul:' ce èey-nier
ne s'en explique pas, est le second point de vue; le sien, déclare-t-il,
est le premier.
Si Boole ne s'explique guère sur le point de vue qui est le sien
parmi ces trois possibles, c~stqu'en fait cette question de la dépendance
n'est pas la sienne, que rien dans la constitution de son système ne
vient la poser: la philosophie symbolique et le concept même d'un
raisonnement symbolique applicable à divers domaines selon des algorithmes
spécifiques, en un mot la réalité, clairement exposée par Venn, d'une
1angue des symboles qui se différencie et se régionalise en langages
suivant les domaines d'application, font de la dépendance du logique
ou d~ mathématique, l'un de l'autre, une fausse alternative. Au sein
de cette langue des symboles ou "théorie générale des signes" comme
Boole l'appelle, et qui deviendra avec Whitehead
le concept même d'''Algèbre
lniverselle", ces algorithmes qui diff0rent selon les lois ~2~~amentales
qui les constituent se situent tous sur le même plan sans qu'il soit
question de les hiérarchiser selon des rapports de fondation. Leibniz
.--"-
ne concevait pas autrement sa Caractéristique Universelle qui prendra
la forme d'une infinité d'algèbres possible: "Cum speciosa generalis
nihil aliud sit quam combinationum per notas repraesentio atque tractatio,
variaeque sint combinandi leges excogitabiles, hin fit ut varii oriantur
modi computandi,,59
Ce que nous appelons donc ici le logicisme de Jevons, c'est aussi
une attitude qui évacue la notion même d'une multiplicité possible
d'algèbres lorsque l'algèbre traditionnelle n'est plus liée
à l'idée
286
de quantité. Il n'y a pour lui qu'une seule alg~bre et elle est quanti-
tative en son essence. Et si, par métaphore, l'on pouvait appeler la
logique, cette science de la "comparaison des qualités", "l'algèbre
60
de la qualité", ce serait encore expliquer, dit-il, ignotum per ignotius
Le logicisme ici c'est aussi la tentation et la tentative de produire
une définition logique du nombre et de faire dépendre la validité des
axiomes d'opérations comme l'addition ou la soustraction numériques
de conditions qu'il dit "10giques,,61
L'affirmation d'une "nature analytique des lois numériques" pour
Jevons est formulée dans ces lignes des Principles of Science qu~ cite
G. Frege: "Le nombre n'est que l'effet d'une distinction logique,
et je tiens l'algèbre pour un développement de la logique,,62. Ce qui
fait dire à ce dernier: "Se peut-il que l'arbre de la Science des
nombres, à la cime élevée, à la vaste ramure,lui qui ~ê cesse de s'accrcî-
tre, s'enracine dans la seule identitÉ? Et comment les formes vides
de la logique pourraient-elles extraire d'elles-mêmes un tel contenu?,,63 .
-
.--.
Comment nait le nombre? se demande Jevons. Par une abstraction,
répond-il, qui tienne compte de "l'existence de la différence et de
la pluralité", en d'autres termes par la considération des propriétés
64
ou qualités par lesquelles les choses diffèrent entre elles
. Hobbes
déclarait que "le nombre, absolument parlant, suppose en mathématiques
d
" ' d '
Il
d
'1
.
,,,65
C
es unltes l entlques entre e
es
ont l e s t constltue
.
antre
cette thèse qui semble avoir pour elle toutes les apparences du bon
287
sens, Jevons écrit: "On a pu penser que les unitls sent des unités
en tant qu'elles sont parfaitement semblables. Par exemple que trois
pommes sont trois unités en tant que chacune a exactement les mêmes
qualités que les autres et qui font qu'elle est une pomme. La vérité
est exactement le contraire. Les unités sont des unités en tant qu'elles
so~ log1quement contraires.Pour autant que trois pommes sont exactement
identiques, aucune ne pourrait se distinguer d'une autre. S'il y avait
trois pommes, ou trois choses quelconques, si parfaitement semblables
sous tout rapport que nous ne puissions en indiquer la différence,
elles seraient une seule et même chose exactement de la même manière
1
1
1
d ,
' (
)
.' = A,,66.
que se on
a
oi
unite
\\'"
nous avons A + A + ~
"Etre logiquement contraires' pour des unités numériques, c'est
seulement pouvoir être, en tant qu'objets de pensée, discriminées les
unes des autres. Ainsi par exemple l'espace et le temps sont principes
de discrimination entre des choses qui seraient identiques p.'
toutes
leurs autres qualités: les battements d'un pendule se dénombrent en
6ï
autant d'unités selon leur succession ordonnée dans le temps
..---. -
"Quand" donc "je parle de trois hommes je n'ai pas besoin de donner
en même temps les traits particuliers par' lesquels chacun d'eux se
distingue des autres.Ces traits distinctifs doivent bien exister s'il
y a vraiment trois hommes non un seul et unique, et quand je parle
d'eux comme de plusieurs, j'affirme en même temps l'existence des diffé-
rences requises.
C... ) Le nombre abstrait, alors,
est la forme vide
de la différence, le nombre abstrait "trois" affirme l'existence de
marques sans en spécifier la nature,,68.
288
Jevons propose alors une notation dont il veut qu'elle soit une
~criture analy_tique de ce que cela veut dire "trois pommes". Pour lui
il s'agit de prédiquer la qualité d'être une pomme - que nous notons A -
., , ,
d'unités
"logiquement contraires" que nous écrirons donc 11, l' , , l
•
Nous avons finalement 3 A's distincts notés AI, A", A"', tout se
passant donc
co~~e si nous avions l'équation
A(l' + 1" + l ' " )
A' + A"
+ A' , ,69.
A partir de cette écriture analytique, Jevons pense ensuite pouvoir
re~dre raison, par des considérations purement logiques, des opérations
numériques habituelles afin de donner corps à l'idée selon laquelle
la science de la qualité est fondatrice de celle de la quantité.
Que signifie par exemple, analytiquement, que "deux fois deux
soit quatre" ? On traduira d'abord:
Cl + 1). Cl + 1)
+1+1+1.
'---'-
Mais, en logique, d'après les lois de simplicité et d'unité, on
devrait avoir (1 + 1). (1 + 1) = 1. La signification logique de la
procédure est donc autre, et pour mieux la comprendre il est préférable
de substituer à ces symboles 1 le symbolisme alphabétique et de dire
que "si nous avons deux notions logiquement distinctes et que nous
les divisons chacune en deux notions logiquement distinctes nous avons
quatre notions logiquement distinctes,,70. Autrement dit
(A + a)(B + b) = AB + ab + aB + ab où A et a, B et b traduisent
des contraires logiques.
289
Si l'on revient, après ce èÉtour par la combinatoire proprement
logique, au symbolisme des unités l, on réécrira la première traduction
ci-dessus de deux fois deux font quatre de la manière suivante :
(l' + 1").(1'" + 1"")
l' + 1" + 1'"
+ l ' ' ' ' .
Par ailleurs, si nous avons la proposition A + B + C = A + D + E
dont la signification logique est que "ce qui est A ou B ou C est A
ou D ou E et réciproquement", la soustraction de A qui figure dans
les deux membres de l'équation n'a ici aucun sens. En revanche, soit
la proposition
(a) fu~ + B~n + CmN = fu'~ + DMn + EmN.
71
Il est évident, dit Jevons
, que selon le principe logique de contradic-
tian, A..'1l\\ ;1e peut ~tre ni m1n, ni
Em]'; qui comportent respectivement
les négatifs n et m de N et M figurant dans AMN ; et il est tout aussi
~vident, pour les ~~mes raisons, qu'aucune des trois alternatives ne
saurait être l'une quelconque des autres. En un mot, l'on a avec cette
proposition (a) des alternatives mutuellement exclusives et dans ce
cas, di t Jevons, "l'on peu t librement soust·raire A..T'1N des deux membres
de l'équation pour obtenir l'inférence nécessaire:
72·
(b) BNn + CmN = DMn + EmN"
.
Cette opération de "soustraction" n'a pas d'autre signification que
celle-ci: en multipliant les deux membres de l'équation - proposition
(a) par le facteur (Mn + mN) et en abstrayant tous les termes contradic-
toires, l'on obtient comme résultat l'équation - proposition (b). Ce
qui est donc appelé
"soustraction" et qui n'est possible qu'à la condi-
dition logique d'avoir affaire à des alternatives mutuellement exclusives.
n'est par cons&quent qu'llne façon d'abr&ger les proc~dcres v~ritablement
logiques de combinaison de termes.
Il en va de meme pour l'addition: "Aprês avoir ainsi établi la
possibilité de soustraire certains termes, à condition que toutes les
alternatives soient exclusives, nous avons la possibilité correspondante
d ,
"d
" .
,,73
ad
itionner selon l operation loverse
.
Au total, "les opérations logiques d'addition et de soustraction
dérivent donc des proc&dures logiques de combinaison. Les axiomes de
l'addition et de la soustraction ne sont valides que sous une condition
logique qui n'est certainement pas applicable en g&n&ral à la pensée
ou au langage. Et cette condition est celle que la logique impose au
nombre : que deux unités constiuteront des alternatives logiques exclu-
sives. C'est la logique qui réduit à l'unité, par la Loi d'Unité A + A
A
2eux alternatives quelconques dont on sait qu'elles S0~t la m~me, en
sorte que la science du nombre en traitant des unit&s,
traite d'alterna-
tives dont on sait qu'elles sont différentes ou exclusives. Mais la
logique est elle-même la science supérieure et peut traiter d'alternatives
dont on ne sait pas si elles sont identiques ou différentes,,74.
Nous ferons deux remarques sur la définition analytique du nombre
proposée ici par Jevons et sa tentative de dériver les lois d'opérations
arithmétiques de celles de combinaisons logiques.
c:, c
ll:--'~_t·~S ~-()~t ièe~~iqLt.:S cntTt: é12t:~,f'
plLrquci ,_n maintient un
Ci-ITIunun,
ni pourquoi a la pldC" de
, , +1"+1"'+
,
,
1 1
!
1 ,
,
,
. .
.
.
.~..:-
C:~~--:.l~)':_C:
l~l~e
sc'rvi
L2
un nous file entre les doigts
il nous reste les objets, avec toutes
, ,
, , .
:
1
....: - ~~ ...
....... ' - . J . . . .
_
ç
~
,"
.
'" 5 t
•
,
t
1
(l'
+ 1" + l ' ' ' )
( l " "
+ l""')"
qui est une transcription tout aussi légitime
Il est clair
dit-il,
que "ça ne pourrait être 1,,,76.
Bref, la tentative de Jevons, en donnant une définition logique
J.,
U
,_
d'attribuer aux u~it~5 3 la
bilité, ne réussit pas à constituer la série numérique comme telle,
cl
I l ,
' l '
bl
l"
h ' .
,,77
et est
onc
lnutl lsa
e pour
arlt metlque
292
!~_~_:?_~~:.:nè~ remarque nuus Yéimene a Boole et à la critique qu'adresse
Jevons à son système. C'est en fondant ce dernier sur cette condition
que les termes sont toujours exclusifs les uns des autres, et qui res-
treint indûment les lois de la pensée en général, que Boole a manqué
de mettre en place une Logique pure. Si son calcul cependant n'est
pas la vraie logique, dont le caractère spécifique est la loi d'Unité
A + A = A, il a généralisé la logique ancienne de manière à permettre
d'obtenir des conclusions à partir des prémisses de n'importe quel
degré de complexité. Dès lors il ne restait plus, et c'est ainsi que
Jevons voit sa propre réalisation, qu'à revenir au véritable fondement
du raisonnement humain pour "retraduire les formes (boolÉennes) dans
les procédures dont la signification et la force déductive sont évi-
d
,,78
" b '
b l'
1
"
bl
'
" , d
entes
; qu a su stItuer au sym a Igue
a verIta
e mecanlClte
e
la manière naturelle de raisonner.
C.
~d machine logiqc2
Le 16 octobre 1869, ~.S. Jevons fit parvenir à la Royal Society
un mémoire intitulé On the Mechanical Performance of Logical Inference
(La Réalisation mécanique de l'inférence logique) qu'il présentera
devant cette Société le 20 janvier 1870. Ce texte paraitra la même
79
année dans les Philosophical Transactions
. Le mémoire présente les
principes constitutifs et les plans d'une machine logique, d'un disposi-
tif mécanique permettant de réaliser l'inférence logique et d'accomplir
ainsi, enfin, la logique comme un Organon au sens propre: un instrument
de l'entendement.
293
En effet, rappelle Jev0Ds au d~but de ce m~rnoire, l'abaque a f0ur~i
un outil aux calculs arithmétiques avant que la machine arithmétique
de Pascal, construite en 1642-1645, vint inaugurer l'ère des machines
à calculer. Il rappelle également que, plus près de lui, "Babbage a
montré, avec sa Machine Analytique, qu'un appareillage mécanique pouvait,
en théorie à tout le moins, rivaliser avec les efforts des mathématiciens
les plus exercés dans toutes les brar,ches de leur science,,80. "Ainsi",
écrit-il, "l'esprit semble capable d'imprimer certaines de ses facultés
les plus éminentes dans la matière et de créer son propre équivalent
dans les roues et leviers d'une machine illsensible"Sl.
Pourtant, ajoute-t-il, dans le domaine proprement logique, il
apparaît que les logiciens n'ont conçu le nom d'''Organon ll appliqué
à leur science que dans un sens purement métaphorique et que seuls
des ouvrages de fiction comme les satires de J. Swift ont envisagé
la possiblité de cr~er de véri~2bles ffiachines à raisonner.
Et Jevons de rendre hommage à George Boole d'avoir permis le passage
de la métaphore au nom, de la fiction à la réalité. En effet la logique
ne manquait de son instrument au sens propre que parce qu'elle n'était
pas encore devenue le système général et achevé, constitué sur les
vraies lois de la pensée, dont une machine logique aurait été la traduction
matérielle et concrète: 1I1'ancien syllogisme ne pouvait se réaliser
mécaniquement à cause de son caractère extrêmement incomplet et grossier.
Et c'est seulement après que nous avons fondé notre système sur les
lois fondamentales de la pensée elles-mêmes que nous obtenons un système
d~ductif qui peut se concr~tiser en une machine qui fonctionne selon
Grâce à Boole donc, le reve
longtemps caressé par les logiciens d'un Organon véritable ou d'une
logique instrumenta~ est devenue une réalité, et Jevons présente sa
83
machine logique comme "la concrétisation des Laws of Thought"
~ais, on l'a vu, les formes obscures et compliquées selon Jevons
qui se rencontrent dans la théorie booléenne de l'inférence logique
sont loin de se pouvoir traduire en "mouvements" matériels "simples
et uniformes".
Entre cette théorie donc et sa concrétisation matérielle
il Y a la médiation de la logique "épurée" pour ainsi dire, qui est
le système de Jevons.
Or cette apparente linéarité qui à partir de la révolution booléenne
mène à la machine logique est trompeuse. Le passage de l'une et l'autre,
r~p~to~s-le, est l'abandon de la philosophi~ sy~bclique qui es: celle
,
. .
,
,
de Boole, et la substitution d'une raison meca.T11Clenne a
.
"
.lé'.
r3130n-C3.LCUl
in
qui 'est la notion centrale.
c'est le lieu
de reparler ici de Leibniz. Pour ce qui est de l'idée
et du projet d'une machine logique, Jevons est plus proche du Maitre
de Hanovre que Boole. Comme lui il trouvait "naturel que, après avoir
réduit le raisonnement à un calcul,
(on) voulût le réduire, comme les
1
1
' .
'
' .
'
. 1,,84
E
H
b
H
K
h
ca cu s numerlques, a un mecanlsme materle
.
t
er ert
.
nec t,
rappelant que pour Leibniz la logique avait une valeur instrumentale
comme "t~lescope de l'esprit" - quasi mentis telescopium -Jécrit que
295
"le thèF.le de l'_in~!J1i..s~~_art~fic~_e:lles'inscrit tout naturellement
dans l'espace mental du XVlIème siècle,,85, qui se fait une image de
l'esprit comme automato"
spirituale.
En concevant la logique comme une Arithmétique, une Algèbre ou
une Mécanique "toutes symboliques et constituant autant d'''expressions''
.
d'
-
.
b
.
,,86
. b
.
bl'
.
concretes
une meme SCIence a stralte
, Lel niz eta
Issalt une
équivalence totale entre les concepts de "symbolique" et de "mécanique".
Tout cela revient à rendre "palpables et sensibles" les raisonnements
humains et la raison-calcul, dans ce cadre, est la même chose qu'une
raison mécanicienne.
Boole, lui, reste enfermé dans son intuition première que la logique
est une interprétation nouvelle de l'algèbre "légitimée par la polysémie
naturelle de la mathématique symbolique,,87
Pour lui, est mécanique
cu
symbolique telite procédure qui se mène algébriquement dans le respect
de lois fondamentales explicitées au départ .
--'-
.
Cette intuition n'ouvre guère sur l'idée d'un algorithme logique
indépendant de la langue des symboles et qui se puisse concrétiser
88
matériellement dans une machine
. Il en va tout autrement du système
de Jevons où le moteur du raisonnement, "la subtitution des semblables"
est un acte purement matériel et mécanisable consistant, au propre,
à mettre une chose à la place d'une autre.
Pour parler maintenant plus précisément de la machine logique
Il
~
.
1
d'
d'
l
. .
89
e
e-meme, nous nous contenterons Slmp ement
en
1re
e prIncIpe
2Y6
On dresse à l'avance les tables des combinaisons des 1, 2, 3, 4 ...
termes et leurs négatifs qui peuvent intervenir dans un problème. Les
prémisses permettront ensuite de splectionner, dans ces combinaisons,
celles qui sont compatibles avec elles.
Soient, par exemple, les termes A, B, C. Ils forment les huit
combinaisons suivantes: ABC, ABc, AbC, Abc, aBC, aBc, abC, abc.
Soit maintenant la prémisse A est B. Elle subdivise l'ensemble
de ces combinaisons en trois sous groupes : celui des combinaisons
exclues, celui des combinaisons incluses mais contradictoires avec
cette prémisse et celui des combinaisons incluses et compatibles avec
la prémisse. aBC, aBc, abC, et abc appartiennent au premier, AbC et
Abc au second
seules ABC et ABc appartiennent au troisième. Ainsi
les prémisses A est B et B est C suppriment toutes les combinaisons
ne contenant pas A - Il reste donc ABC, ABc, AbC, AbC.
Ell~s su?priment
ensuite les trois dernières ne laissant que la conclusion A = ABC du
syllogisme en Barbara .
---.-
.
En un mot, la loi de dualité donne, antérieurement aux prémisses,
toutes les alternatives qui peuvent se présenter; la loi d'identité
permet de procéder à toutes les substitutions qu'il faut et la loi
de contradiction supprime toutes les combinaisons incompatibles avec
les données. Il ne reste plus dès lors qu'à inventer le dispositif
mécanique qui permette de faire disparaître les combinaisons exclues
et de faire apparaître les solutions retenues. C'est ce qu'a accompli
297
clavier de cet instrument se compose de touches indiquant les divers
termes simples ( ... ), leurs négations et les signes + et =. L'instru-
ment comporte d'autre part un tableau où sont inscrites sur des tablettes
mobiles toutes les combinaisons des termes simples et de leurs négations,
c'est-à-dire tous les constituants de l'univers du discours. Au lieu
d'écrire les égalités qui traduisent les prémisses, ou les "joue" sur
le clavier, comme sur celui d'une machine à écrire; cela a pour résultat
de faire disparaître du tableau les constituants qui s'annulent en
vertu des prémisses: Quand on a "j oué" toutes les prémisses, le tableau
ne présente plus que les constituants dont la somme est égale à l,
c'est-à-dire forme l'univers relatif au problême (son tout logiqu~,90.
Parlant de l'importance de la machine logique qu'il avait créée,
W.S. Jevo~déclare que son intérêt est pédagogique mais surtout théorique.
Elle constitue une illustration claire et palpable de la réalité d'un
système permettant de mener des inférences plus générales que celles
qu'effectuait la logique traditionnelle et devrait donc mettre fin
à l'ignorance où les logiciens avaient tenu les travaux de G. Boole
qui l'on rendue possible.
Dans les Principles of Science, Jevons déclare que Boole marque
une êre nouvelle dans la science de la raison humaine. C'était en montrant,
pour le dire dans les mots de Leibniz, que l'on pourrait raisonner
mathématiquement~hors des mathématiques". Jevons qui n'était pas mathé-
St"'5
maticien et qui, dans le fond, a ignoré levmême
de l'algèbre symbo-
298
lique qui est restée pour lui une science quantitative, a compris par
là que la raison humaine pouvait creer son équivalent dans la machine
et l'intelligence se mêcaniser. Ce sent là deux attitudes différentes
mais que le recul historique a fondu ensemble. Et dès 1868, Mary Boole,
la veuve de George Boole elle-même opêrait une telle fusion en écrivant
ces lignes que l'on peut considérer comme prophétiques: "le calcul
et le raisonnement, comme le tissage et le labourage sont des travaux
faits, non pas pour les âmes humaines, mais pour les astucieuses combi-
naisons de mêtal et de bois,,9l.
Mais pour en revenir aux objections que la différence entre les
points de vue sur ce que c'est que raisonner inspire à Jevons contre
le calcul de Boole, y a-t-il véritablement un sens à parler de progrès
réalisÉ par le système de Jevons sur celui de l'inventeur de l'algèbre
logique ?
Du point de vue de la structure appelée algèbre de Boole certainement.
L'abandon, en logique, de la thèse selon laquelle le signe + ne s'écrit
qu'entre des termes exclusifs et l'adoption qui en découle de la loi
d'unité a + a = a, marquent à la fois une simplification de l'algèbre
des classes et un progrès vers l'êmergence d'une telle structure. Mais,
et c'est toute la question. ce point de vue rétrospectif n'a rien à
voir avec l'esprit dans lequel Jevons mène son entreprise d'une "êpuration"
de la logique al, gébrique pour dégager dans sa simplicité une science
du raisonnement plus mêcanicienne qu'algébrique c'est-à-dire symbolique.
Pour substituer à la langue des suymboles son propre abêcêdaire logique
qui est un langage-machine.
299
Du point de vue de l'esprit donc, le syst~me de Jevons marque
meme un recul par rapport à la réalisation et la révolution booléennes:
le point de vue intentionnel qui est adopté, son mentalisme logique
ainsi que son incompréhension de l'importance du couple symbolisme/
interprétation, sont autant d'aspects qui marquent un retour en arrière
par rapport au commencement booléen de la logique symbolique. Comme
en un labyrinthe où la proximité géométrique du but ne signifie guère
un progrès mesurable, le système de Jevons est à la fois une avancée
et un recul pour la logique symbolique. Et dans les dédales où nous
mène la controverse entre le maître et son disciple respectueux et
infidèle, seule la récurrence historique sait tracer, au prix de rapides
simplifications, la voie royale d'un progres vers la structure d'algèbre
de Boole de la logique des classes.
--'-
300
----. -
Conclusion
301
Dans la Préface de 1897 de son Trttité d'A/gëlJre l/IJi~ersel/~ Alfred
Nor-th Whitehead écrit :
"En vérité, (J la logique symt10lique ô slngu1ièrement manqué
de chance, car elle a été reniée par de nombreux logiciens sous le
prétexte Que son intérêt est mathématique, et par de nombreux
mathématiciens sous le prétexte Que son intérêt est 10giQueM 1
•
Il a ensuite préféré laisser de côté le ·prétexte- de ces
logicien~; POUt- s'ôttôcher- il montt-er corntden le ljésintérêt relôtif des
rnôthérnôticiens était, en revanche, le signe d'une incompréhension
de la signification de cet être mathématique nouveau Qu'était
l'algèbre booléenne de la logique. Et de son importance historique.
Môi s an-êtons-nous d'ôbord, ôvônt de pari er ôvec '"...nti teheôd
de ce que le môthérnôticien a trouvé chez Boole comme étant un bien
Drécieux, ô l'attitude des logiciens devant la logique symbolique
cre ee Ij;Jns 1es i. (fiS c/e /ô F'81iSee .
Des logiciens selon la tradition .. c'est-a-dire les philosophes,
l '
"1
' t · t
" M
tt
/ '
t
.
t
on ô vu ce qu 1
en e .Ôl ..
u6... /prr.h_9 ,ce St/fJ"
/l[lf!
lPgt/fJ, tIr
déclarèrent-ils en SU[lstônce, selon le mot que Frege Cl rnlS dans leur
bouche pour trôdui re 1eur re j et d'une l agi que mM hérnôt i Que.
C'est ce rejet qui s'exprime jusqu'ô la--caricature dans les
jugements
portés
par
le
philosophe
Hamilton
contre
les
mathématiques venues s'introduire, selon lui, où elles n'avaient Que
faire.
A la démarche de George Boole, fortement marquée, en effet,
par des préjugés al gébri stes qui lui font écri re des f ormul es qui ne
trouvent aucune interprétation logique, ils opposent un usage Qui
leur semble plus naturel de la raison Qui, pour effectuer ses
déductions, se
conduit d'intelligible en intelligible jusqu'à la
conclusion finale. Une telle opposition n'est pas sans reprendre, en
des
termes
queiQue peu différents,
celle
de
l'intuitionnisrne
cartésien à la philosopriÏe sqrnboliQue de Leibniz.
Conclusion
302
Mais ces ·préjugés algébristes· dont il éprouvera, vers la fin
de sô vie, que~Que ·remords" étaient peut-être bien le condition d'une
Anô Jyt. ique véritôb 1ernent nou\\/e JI e en ce qu'e 11 e ti rôi t enfi ni;:
logique de son long pôssé otlstinérnent aristotélicien pour la fel1re
entrer
dans
son
histoire
mathématique.
Son
·optimisme
du
symbolique" comme nous l'avons appelé, et Qui le fait plus sûrement
héritier du rêve de Leibniz QU'une inexistante cont'inuité historique
logique, ce .. n}ao/Is ope-rémdi p8r c/lorocteres" Qui s'esquissôit en
fragments chez le Maître de Hanovre.
Le calcul booléen de la JogiQue, dans sô généralité Qui tient.
au>; méthodes :::'drnboliques qu'il ô su mettre en ceuvre, ô DU ôln':1
effacer le~: frontières qu'il révélait étroites et. artificielles de lô
Logique classique. Par 16 aussi, il creusait un f1bÎme ent.r-e ie Nouvel
restés scolastiques. D'où ce "reniement" dont il ô été question dans
lô citfüion de WhiteheellJ r'1ôis plus tanj ?
la
rnort
de
Geon~e
Boole..
C,ottlole
Frege
fit.
parôltre
':"·on
B8grillssc.lJilt. 2.
Bi en sûr, Frege aussi connaîtra 1e même "melnQue de chance"
dont parlait Whitehead à propos de la logique symbolique booléenne.
Mais bientôt l'histoire retiendra cette date de 1879 pour celle de la
véritable émergence de la logique mathématique, faisant de l'algèbre
de Boole cette première yéritôble réyolution dans 1'histoire de la
logique Quelque chose comme une fin de préhistoire.
C'est que s11 ô ôppôrtenu à George Boole de réal i ser une
logique mathémôtiQue, cette expression a désormais ôvec G. Frege
une accepti on
tout ôutre. C'est
une t.e 11 e différence
dans 1ô
signiflcation que Couturat exprirne dans la toute dernière phrôse Ije
son exposé de i 'Algetrre d8 ltt L(lg/qtle 31orsqu1 1écrit: "On peut. donc
Conclusion
303
dire Que l'Algèbre de la logique est une logique mathématique, parsa
forme et par 58 méthode: môis il ne fôut pôs le prendr-e pour la
loglQue des 11ôthérnôtiques.. 4
Frege est anlmé d'un projet fûndôtionnel où il s'agit de
dégager 16 logique des mothématiques où se trouvent ul eurs concepts
et leurs principes fondamentaux· 5.
Boole aura, Quant à lui, constitué un colcul, c'est-à-dire une
"technique de rnônipulôiion de ~;yrnbo]e~, sutstitutHs conforrnérnent ô
des règles fixées, et de déduction il partir de là de propositions
vraiesM 6.
D'un côté donc un système déductif sur le mOljèle de l'algèbre,
de l'autre une véritable théorie Ije lô dèduction. En Ij'ijut.r'es terme::;,
6001e aura réalisé le projet ,je Le1bniz d'une logique abstraite ou
Colr.tl!l/s rotiocin.otor quand Frege est 1e véri tôb le créateur de ce qui
cIJorocterico l/llipBrSolis. C'est Frege lui-même qui traduit ainsi dans
les concepts leibniziens, la ljifférence entre son Bepnffssr/'ir/lt et.
l'ôll~èbre de la loglque Ije George Boole
Du point de vue d'une logique des rnôthétYlôtlQue,:, I]OnC, vOllô
que la rupture entre l'al gèbre de la 1ogi que et l el l Ogl que cl assi que
devient toute relative. Couturat écrit dans la conclusion de son
trôité de l'Algebre dB 10 logiqtle:
-[l'Algèbre de la logique} n'est, à proprement parler, Que
l'Algèbre de la logique classique;
comme celle-ci, elle reste
enf ermée dans le domôi ne ci rconscrit pôr Ari st ote, il sôvoi r le
domaine des relôtions d'inclusion
entre
des concepts,
et des
relations d'implication entre des propositions. Certes, la Logique
clôssiQue (même
abstraction fa1te
de
ses erreurs et
de ses
superfétations) était beaucoup plus étroite Que l'Algèt,re de la
Lûgique; elle étalt presque entièrement confinée dans la théorie du
syllogisme., dont les tlornes pôrôissent ôu.10unj'hui bien restreintes
Conclusion
304
et bien artificielles. Néanmoins, l'Algèbre de la Logique ne foit
encore Que traiter,. avec beaucoup plus d'ampleur et de générellitè
des prot,lèrne~:. de rnêr-ne onjr-e";
Ainsi, Leibniz d'abord, et Boole ô sa suite} malgré la
révolution Qu'ils firent subir à la logique classique et le tournant
décisif QU'ils lui imprimèrent en lui donnant sa forme algébrique la
plus
générale,
ne
sont
cependant
pas
sortis
du
cont.exte
précis de problèmes.
C'est Qu'ils continuèrent, explique Frege} de partir des
concepts
comme Aristote
l'avait
fait} alors
Que lui-mêrne ô
véritablement rompu
ôvec lô tr-ôdition Dlus
\\lllÛ
tlj· - r-r', i
4
t..
i . '1
1
Pti;=' ;,-~.
_.,'~'!'-
aristotélicienne} en commençant pôr- le Jugement.
En d'autres t.ermes, ils adootèrent la philo~,ophie
ensuite reliés pôr une opération de prédication Min de former un
jugement. En reconnôi ssônt l'ôutonorni e et 1ô ~'ri or-Hé du jugement.
comme fô1t forjljôrrlentôl Dropn:>rnent logique, Frege ô ,jonnè rÉ'ôlite;j
l'idée de "langue carôctéristique" et créé une logique mathématique e
la fois plus large et plus profonde que l'Algèbre de la logique de
---. -
Boole, et
Qui participe du projet logiciste de
fondation des
mathémat i Ques.
L'algèbre de la logique, interprétée comme calcul des
classes,
va
s'inscrire
au
sein
de
cette
nouvelle
logique
mathématique, -il titre de théorie spéciale- comme dira Blanché dems
son Hl~C1toire de lt! LOg/q/le. 8
Il demeure que la seule place occupée au sein de l'édifice
logistique n'épuise pas la signification et l'importance de -ce Qui
fut·} comme il est dit dems 1es Pri-nc/pio l1othelnotico de Russell et
'Whitehead parlant du calcul
des classes, "le point lje départ
flistor-ique de la logique symbolique" 9 : cette signification est ce
Conclusion
305
Que Whitehead lnvftoft Rles nombreux mathématiciens· Qui ne
.....oyaient dans lô création de Boole que son intérêt. pour 18 10ljique ô
reconnôHre Ô 113 logique syrnt!oliQue.
Son tntér-êt et se modernité résideront en ce Que la logique
symbollQue de Boole est
l'un des Rprincipaux exemples"
des
différents systèmes de raisonnement symbolique en rapport avec
l'algèbre ordinaire" Qui constituent l'objet même de "l'Algèbre
Universelle". Ou il
s'ôQit
de
donner
ÈI
la
môHlérnôtlque
"sa
signification la plus large [comme] développement de tous les types
de raisonnement formel, nécessaire, déductif"·l 0.
Or c'est là le message même de l'œuvre de Boole qu"'il
n'est pas de l'essence des rnôtrlÉ!môt i ques de s'occuper des i ijée:; ;jE
nombre et de Quantité".11 En créant son alqèbre de la loqique.
-
~..
c'est-fl-dit-e en appliquant ô la Logique classique les procé,jure~:
tï:ecan1que~; IJe l'algèbre ordiniJire, Boole aI/aH cn?é le l.qpe ie Ci;:::
simple d'algèbre non Quantitative, non numéri Que.
N'ôyônt à sa disposit. ion que 1e seul concept d'''ô 1qèt1t-e
syrntll:t1ique" tel qu'il pouvôit le t.rouver chez G. Peôcock ou chez ~;on
ômi DJ. Gregory, il n'avait conscience que de donner un nouveau t.ype
d'interprétat+ol'l des symboles généreux de l'algèbre, l'interprétation
logique, celle-ci se trouvant être non Quantitative. Il n'avait pas
conscience de créer un être mathématique nouveau, à savoir l'ldée
même d'lIne
algèbre, c'est -à-dire d'un système fondé sur des
axiomes différents de ceux de l'algèbre ordinaire.
Cette idée se dégagera mi eux lorsque 1es successeurs de
Boole se seront engagés dans 18 voie de la simplification de
l'algorithme logique QU''i1 avait créé. Cela signifiera en particulier la
dispar1 Uon des grandeurs numériques ini nterprétables ainsi que
l'adoption de la signification non exclusive de l'eddition logique: lô
"loi d'unite" de .Jevons,
ConclUSlon
306
deYlendra 6insi le signe distfnctif d'une algèbre non numérique par
di ft érence d'avec l'équôtl on
Ô + Ô =2ô
caractérisant l'algèbre numér-iQue. Cela signifiera ôlJSSI et surtout la
mise en forme YérHablement axiomatique de cette algèbre de le
logique Qui en révèlera ôinsi la véritable simplicité et la véntôble
structure.
'''''
p., l' nc: l' 1 dar"~' ~:(In J~'-X i i c,. d '.1 J'08' hrc,. Li Ù;' " .. c,t-c'cd 1':" c·.:.-' """~'Il t w~" p ,'" 1"1
.....
1 Q
_"
)
Lo'} L L
L'.M....
-LI.' L·
' . ' . }
:" j,.-.'
...'
L-} ! L-
. ' ; 1 1
1 • ,_ ! 1 _" '........i
définit ôxiomatlquement l'algèbre de la logique symbolique en posônt
les lois formelles suiyantes :
"1. les lois qénérales de l'addition:
Ô + b + C =(8 + b) + C =Ô + (b + c)
2, lô loi spéciale de i'additlon
3. la définition de l'élément nul
'4. le~, 1013 générales de la rnultip11côt.ion
c (a + tl) =ca + cb
(er"+-b) c =ac + bc
5. les lois spéciales de la multiplication:
ab =ba
abc =ab.c =a.bc
aa =a
a + ab =a
7. (lô définition] du comp1émentelire : un élément b sera appelé
complémentaire d'un élément fi si l'on a a + b =1 et ab =O. b est alors
noté iI-.
D'ôutres axiomatisôiiüns étaient bien 8videmrnent POssltlles
et furent égôlement proposées. 13
Conclusion
307
L'importance de ce processus d'8xiomat1sation où s'engagèrent
les successeur-s de Boole se mesure 8 deux choses.
système n'est pas organiquernent lié à son lnterprétation logique.
Comme le souligne Whitehead "Le seul modèle de cette algèbre non
numét-ique" Qui s'est développé jusqu'à présent est l'Algèbre de la
Logique Symbolique {mais] il ne semble y avoir aucune raison pour
que d'autres algèbres Ije ce genre ne se développent de manière 6
recevoir des interprétations dans des domaines de la science qui
demandent un raisonnement démonstratif rigoureux sans relation au
nombre ou è la quantité" 14 En d'autres tennes. l'ôlgèbre de la
logique est tout sirnp1ernent une algèbre, et lij lc,,~pque une ,je ses
i nterprét at ions.
Et dans le même ordre Ij'idées.. Couturôt ô ouvert son Algeon
, .
,
.
t
08/6 i.. [:~Ç7.'qt/B sur C8::; mo .::: :
"Les lois fond6menta1es de ce calcul ont été inventées pour
expri mer les rifi nci pes du rai sonnement, les "1 oi s de 1ô pensée"; môi s
on peut considérer ce cô1cu1 au point de vue purement formel .. qui est
celui des Mathématiques .. comme une Algèbre reposant sur certains
principes arbitrairement posés. C'est une question philosophtque de
sayoi r si, et dans Que11 e mesure, ce cal cul répond aux opérati ons
réelles de l'esprit, et est propre à tradUlre ou même à remplacer le
raisonnement <...>. La valeur formelle de ce calcul et son intérêt pour
le mathématicien sont absol ument indépendants de l'interprétation
Qu'on en donne et de l'appl icôt ion Qu'on peut en faire aux problèmes
logiques. En un mot, nous l'exposerons, non en tant Que Logique, mais
en tant Qu'Algèbre". 15
Le second aspect important de ce processus d'axiomatisation
concerne la notion de structure. Il faudra bien ent.en,ju attendre le
XXe siècle pour que la structure algébrique proprement dite soit
dégagée pour elle-même cornrne un être mathématique et un ot1jet
ConclUSlon
308
d'étude.
Mais il n'est que de comparer les lois formelles ci-dessus
convôincre Que ce processus est lEi \\laie qui ouvrit vers l'érnergence
de la notion de structure dont l'étude définit notre algèbre moderne:
"Une algèbre de Boole B = < B, +, ., " 0 , 1 > est une structure
comportant deux opérations binaires + et ... une opération unaire " et
IjeUl; constantes (...) 0 et 1.. 1.811e quelle satisfait ôw< ôxiornes
suivants:
(i) ab =ba1 a + b =b + a
(il) (ab) c =el (bc), (ô + b) + C =el + (b + c)
;····'1·
__
-
" j " ' - - f t
\\.111,
I.ü - d, t
. i:J -,~
(iv)ôô'=o,ô+ô'= 1
(v) el (b + c) =ab + ôe. el + bc =(El + b) (8 + C)
..-
':\\'1) ijÔ = ô.:j +;~ = ô';D
L'on voit cornrnent, rjébonjemt l ô p] ace rno:jes te ou' elle e,:; t venue
rTlôtrll3rnôtiqu8, J'œuvre lje i3eürge Eioü1e ô connu l'évolut.ion qui a faH
d'elle l'érnergence d'une structure. Comment le--eherninement des
idées de l'autodidacte Qui s'était intéressé il la uscience de l'esprit U ,
et Qu'il n'aurait certes jamais pu pré\\loir, a fait naître de l'algèbre
de 16 logique de Boole ce Qui est , simplement, une algèbre de Boole.
309
ANNEXE 1:
Lorsque Frege caractérise
l'algébre de
la
logique créée
par
Boole
comme
un
simple
calcul
du
I~aisonnement
(çalcuLus
ratiocinator)
en
l'opposant
ainsi
à
sa
propre
langue
scien-
tifique
universelle
(lingua
characterica
universalis),
il
répond
au
reproche,
formulé
par
Schrbder,"de
n'avoir
pas
tenu compte des t ra\\3UX (je Boo le" 1 .
La
signification
de
cette
opposition
est,
selon
Van
Heijenoort,
d'une
trés
grande
importance
pour
une
pleine
comprérlension
(je
l'[listoire
de
la
logique,
df:'
la
nature
'7
des deux traditions,
booléenne et fregéenne.~
"Si
l'on
prend
une
vue
d'ensemble
du
langage
formulai-
re
de
Boole",
écrit
Frege,
"on
voit
qu'il
consiste à
habil-
1er
la
logique abstraite du vétement
des signes algébriques;
il
n'est pas propre à
l'expression d'un contenu et tel
n'est
pas
non
plus
son
but.
Or,
c'est
là
précisément
mon
inten-
t ion.
Je. veux
fondre
l es
quel ques
si gnes
que
j'ai
i ntro-
duits
avec
les
signes
mathématiques
en
un
seul
formulaire.
Les signes existants correspondraient à
peu près aux racines
des
mots,
tandis
que
les
signes
introduits
sont
à
comparer
aux
terminaisons
et
aux
particules qui
établissent des
rap-
ports logiques entre les contenus des racines".3
Ce
qu'il
souligne
dans
ces
lignes,
c'est
qu'un
ablme
sépare
l'étude
des
relations
algébriques
entre
deux
propo-
310
sitions.
qui
constitue Urt calcul.
et
la
creatlon d'une
véri-
4
taule
langue
caractéristique
dont
la
science
a
besoin
.
car
el le
y
trouve
la
possi bi 1 i té
de
sa
réécri ture
symbol i ~
que:
la
"reconstruction
scientifique
du
langage"
effectuée
par
Frege
s' oppose
donc
à
ce
que
nous
avons
appe 1 é
sa
"re-
construct ion
symbo 1 i que"
par
une
ana l ~/se
rnathémat i que
de
la logique.
Au -de l à
des
po i nts
sur
l esque l s
Frege
compare
son
"1-
déograph i e"
au
1angage
formu lai re
de
Boo le,
a fin
de
prouver
la
supériorité
de
celle-la
sur
celui-ci,
Van
Heijenoort
montre
que
leur
opposition
est.
de
maniére
générale.
celle
d'une
conception
universaliste
et
absoJutistp
de
la
loqique
et
d'une
conception
que
l'on
peut
dire.
par
différence.
5
relativiste.
Nous
a\\'ons
liéja
è\\'OqllÉ'
le
jugement
de
Fr'ege
qUi
'"sti-
mait
que
la
véritable
rupture
d'avec
la
tradition
aristoté-
licienne
en
logique
était
l'analyse
de
la
proposition,
non
plus en sujet et prédicat (quelle que soit
la nouvelle signi-
fication
de
ces
termes après que
l'on a
donné à
la
proposi-
tion
une
forme
équationnelle>,
mais
en
fonction
et
argu-
ment(s):
"c'est
bien
là
une
des
différences
les
plus signi-
ficatives
entre ma
conception
et
celle
de
Boole,
et
j'ajou-
terai
ce Il e
d'Ar i stote,
que
je
ne
pars
pas
des
concepts
mais des jugements".
Ajoutons
que
pour
Frege,
la
limitation
de
la
logique
chez
Boole
comme
chez
Aristote
"tient
à
l'absence
d'une
théorie
de
la
quantification"
qui
est
"la
nou\\'eauté
essen-
Q
J
311
t i plI e d e s 0 nid è 0 gr' a phi e" , 6
Et
c'est
sur ce point qu'apparaît
le mieux
l'opposition
entre une
conception universaliste et
une conception relati-
viste,
que
Van
Heijenoort
exprime
en
ces
termes:
"Dans
le
système
[de
Frege),
les
quantificateurs
liant
les
variables
d'individus
portent
sur
tous
les
objets,
On
le
sait
bien.
pour
Frege,
le
fourniment
ontologique
de
1 'univers
consiste
en
objets
et
en
fonctions.
Boole
a
son
univers
de
classes
et
De
Morgan
son
uni vers
du
discours
représentés
par
'·1".
Mais
ceux~ci
n'ont
guère
de
signification
ontologique,
On
peut
en
changer
comme
on
veut.
L' uni vers
du
discours
ne
cont i ent
que
1es
objets
que
nous
convenons
de
cons i dérer
à
tel
moment.
dans
tel
conte-"te,
Pour
Frege,
il
ne
saura i t
être
question
de
changer
d'univers.
On
ne
pourrait
même
pas
dire
que
l'on
s'en
tient
à
un
univers,
Son
univers est
ï
l'uni\\/ers" .
Si
sa
conception absolutiste
de
la
logique
a
donc
per-
mi s
à
Frege
de
créer-
un
système
formel
au
sens
actuel
de
cet te
not ion,
il
restequ' e Il e
écarte
toute
possi bi 1 i té
d'un
point
de
vue
extérieur
sur
lesystème
lui-même,
toute
possi-
8
bilité de considérations métaSystëmatiques.
Or,
l ' intérêt,
dans
l 'histoire
de
la
logique,
de
cette
noti on
d'un
uni vers
du
di scours
dont
on
peut
changer
comme
on
veut,
c'est
d'avoir
réintroduit,par
la
suite,
une
telle
possibilité.
Comme
l'écrit Warren.D.
Goldfarb:
"Pour arriver
à
la
métamathématique
à
partir
de
la
conception
de
Russell
(et,
sur
ce
plan.
de
Frege),
nous
devons
1u i
ajouter
1e
312
"méta",
c'cst<-1-dire
la
possibilité
de
considér'er
des
s\\sté-
mes
logiques
d'un
point
oe
vue
extérieur.
Pour
arTiver
à
la
métamathématique
à
partir
de
l'algèbre
de
la
logique,
nous
devons
lui
ajouter
la
"mathématique",
c'est-à-dire
une
appréciation
exacte
de
la
manière
dont
le
systéme
peut
servi r
à
représenter
des
ma thémat i ques
et,
par
conséquent,
de
1a
man i ère
dont
nos
ana 1yses
métasystémat i ques
peuvent
être conçues comme
s'appliquant aux mathématiques".9
Et
pour
Van
He i jenoort
comme
pour
W. D. Go 1 d far-b,
c'est
pour
avoir
"renoué
contact
avec
Boole
et
scth'bder",
par
delà
le courant
et
la nouvelle tradition
instaurés par Frege
et
Russell,
que
Lowenheim,
en
1915,
a
établi
le
théoréme
qui
1 0 .
d
porte
son
nom.
Cen est
que
ans
la
ligne
de
de
la
logique,
et
plus
précisément
lorsque
l'on
a
une
no-
tion
comme
celle
de
liberté
de
choix
d'un
univers
d'objets.
qu'une
quest i on
comme
ce Ile
posée
par
Lowenhe i m,
concenlan t
la
validité
d'une
formule
selon
les domaines que
l'on
consi-
dère.
pouva~~-étre posée.
En
d'autres
termes,
tout
en
englobant
ce
qui
n'appa-
raissait
que
comme
un
pur
calcul
du' raisonnement,
la
lan-
gue
caractéristique
avait
laissé
en
dehors
ce
qu'on
peut
en
appeler
l'esprit.
Et
c'est
là,
encore
une
fois,
du point
de
vue
proprement
logique,
ce
qui
empêche
de
dire que
1'31-
gèbre
de
la
logique
de
Boole
ne
se
définit
que
par
la
place
qU'elle
est
venue
occuper
au
sein
de
l'édifice
logistique
construit par Frege et Russell.
313
QUELOUE.5 EL.EMENTS POLIR UNE CHRONOLOGIE DU DEVENIR NATHEMA-
TIQUE DE L'ALGEBRE
DE BOOLE.
Robert
BI anché
éc r i t
qu'" i l
faut
bi en
comprendre
que
l'algébre
de
la
logique.
au
sens
le
plus
large
du
mot,
a
un
caractére
ambigu
ou,
si
l'on
préfère,
qu'elle
apparaît
sous
deux
jours
différents
selon
qu'on
la
regarde
en
mathématicien
ou
en
logicien",]
Notre
propos
était.
du point
de
vue
logique,
le
traitement
algébrique
de
la
science
du
raisonnement
et
la
philosophie
symbolique
qui
'a
rendu
po s s i b 1 e .
L ' 0 n
s e c 0 n t en t E' r a
Ij 0 fi C I e i d ' l TI d i q LI e r'
Cl u e l que s
repères
qu i
ont
ja 1 onné
1 e
déve 1 oppement
de
l ' a 1 gèbre
de
la
logique
comme
calcul
indépendant.
comme
un
être
maUJémat ique
part
entlere
et
non
plus
comme
une
'-:)
"mathématique appliquée"
a la science du raisonnement.-
Cette
perspective,
qui
rompt
radicalement
avec'ée-lle
de
Boole.
est
parfaitement
décrite
dans
ces
lignes
de
Ed-
ward V.
Huntington:
"L'algèbre
de
la
logique
symbolique,
telle
qu'elle
a
été
développée
par
Leibniz,
Boole,
C.S.Peirce,
E.Schrb-
der
et
d'autres,
est
décrite
par
whitehead
comme
"le
seul
type
connu
d'algèbre
universelle
du
genre
non-numérique".
Bien que
cette
algèbre
eût
été
étudiée,
à
l'origine,
simple-
ment
comme
un
moyen
de
traiter
de
certains
problèmes
en
logique
des
classes
et
en
logique
des
propositions,
elle
314
a
pr i s
rècernrnt"Tl t
qup] que
j rnport aTic le.
rornrne
ca l cu l
i ndépen-
dant;
dès
lors,
i l
serai t
sans
doute
d'un
grand
intérêt
de
l a
cons i dérer
d' un
po i nt
de
vue
purement
mathémat i que
ou
abstrait,
et
de
montrer
comment
cette
algèbre,
prise
comme
un
tout
et
dans
sa
forme
abst ra i te,
peut
être
déplo-
yée
à
partir
d'un
ensemble
choisi
de
propositions
fondamen-
tales
ou
postulats,
qui
seront
independants
les
uns
des
autres
et
dont
pourront
être
déduites
toutes
les
autres
proposi t i ons
de
cet te
algèbre,
par
des
procèdures
purement
formelles".3
Cette
chronolo<;lie
sommaire
du
devenir
purement
mathé-
,
matique
de
l'algèbre
de
Boole
const.fUtera
ici
à
indiquer
br i èvement
certa i nes
contr i but i ons
de
ces
auteurs
énumérés
par Huntington.
-Dés
1867,
Charles
Sanders
Peirce
(1839-1914)
écrivit,
:;:;cie~lCe~,(vol.7.pp. 250-2b1>,
un
éif'licle
intitulé
"Sur
une
amélioration
du
calcul
booléen
de
1<:1
Logique"
(On
an
impro-
4
vement
in
Boole's
Calculus
of
Logi c)
qui
débute
par
ces
mots:
"Le
principal
usage
du
calcul
booléen
de
la
logique
réside
dans
son
application
à
des
problèmes
relatifs
à
la
probabilité".
L' amé l i orat i on
qu'annonce
ce
t i t r e
consi stera
surtout
à
introduire
dans
le
symbolisme
booléen
le
signe
b
qui
a
signifie
"la
fréquence
des
b's
parmi
les
a's",
quand
on
parle
en
termes
de
classes,
et
"le
fait
que
si
a
se produit,
b
se produit",
quand on parle en
termes d'événements.
L'absence
d'un
tel
signe
et
de
la
notion
correspondan-
315
te,
déclare-t-il,
a
conc1uit
Boole
à
juger
que
sans
l'adop-
tion
du
principe
selon
lequel
(jes
(-'vènements
inconditionnés
dont
les
probabilités
sont
donnés,
sont
indépendants,
un
calcul
logique
applicable
aux
probabilités
serait
impos-
5
sible.
Une
autre
innovation
importante,
est
l'introduction,
pour
reprr~senter
la
copule,
du
s:-rmbole
d'inclusion
<que
Peirce note -<):
l'égalité x",y étant
la conjonction de
l'in-
6
clusion de x
dans
y,
et de
y
dans x.
Ce symbole permettra,
entre
autres,
de
trouver
pour
l ' a 1 gèbre
de
1a
log i que,
une
interprétation
étrangére
au
domaine
proprement
logique:
pour
des
régions de
l'espace
par
exemple,
ainsi
que
le
fera
E.V.
Huntington.
Signalons
enfin
un
article,
non
put)liè,
de
188U,
inti-
tulé
"Une
algèbre
booléenne
avec
une
constante"
(A
Boolean
7
Algebra
with
one
constant)
,
qui
constitue
une
anticipation
S
de
ce
que
fera,
en
1913,
Henry
Maurice
Sheffer
avec
le
symbole logique de rejet.
-
Le mathématicien Allemand Ernst Schrbder mettra égale-
ment
au
fondement
du
calcul
des
classes
de
Boole,
non
pas
la
relation
d'égalité
mais
le
signe
d'inclusion.
Donnant
à
l'addition
logique
un
sens
non-exclusif,
il
proposera,
pour
le
calcul
des
classes,
le
système
d'axiomes
suivants
(on
écrit CIe
signe
d'inclusion,
x'
le
complémentaire
de
x): 9
1.
x ex
2. si xc::.y et y~z, alors xcz;
3.
(X+Y)ê z si
et seulement si
xc z et yez;
316
5.
x<Y+z>
X.y
..
X.Z.
6.
x Cl
7.
a ex
8.
1cx+x'
la
9.
xx' CO.
bra
der
Logik.
l'expression
de
"calcul
identique".
de
somme
et
de
produits
"identiques",
évitant
ainsi
l'emploi
de
l'ad-
jectif
"logique",
pour
affirmer
la
nature
proprement
mathé-
ma t i que
de
ce
cal cul
qui
est
an t é rie u r
à
l a I 0 g i que
pro Pl' e -
ment di te>.
Cette
axiomatisation
sera
simpl i fiée
par
le
mathéma-
. .
_ . '
d
.
Il
tIcIen AmerIcaIn E \\A,'3rd.V.
HuntlTJgton.
"Considérer
d'un
point
de
vue
purement
mathématique
ou
abs-
trait",
l'algébre
créée
par
Boole,
c'est,
pOUl'
lui.
étudipr
la
notion
de
"ttléorie
dérjucLÏ\\e
en
général",
Une
théorie
déducti ve
conSI stera
en
un
ensembl e
de
"concepts
fonclamen-
taux"
ou
"symboles
non
définis",
et
d'un
ensemble
de
propo-
sitions
fondamentales
indépendantes,
permettant
de
déduire
les
autres
propositions
(théorémes)
de
la
théorie.
Celle-
ci
devra
être
consistante,
c'est-à-dire
ne
pas
envelopper
de contradiction.
Les
concepts
fondamentaux
que
considére
Huntington
sont
les suivants:
1°)
Une
classe
K
d'éléments
a,b,c.
etc . . . Lorsque
deux
élé-
ments
a
et
b
de
la
classe
sont
équivalents,
on
écrira
a=b.
sinon
a=b.
(Sont
alors
évidents
les
théorémes
suivants:
317
<'}oa;
si
a=b.
alors
h=a;
si
a
tJ
et
b=c,
alors
a=c.
O'ail-
leurs,
ajoute
Huntington.
l'on
peut
définir,
formellement,
l'équivalence par ces propriétés).
2°)
Pour
l'algèbre
de
la
logique,
on
peut
choisir
l'un
des
concepts
fondamentaux suivants:
a)
l'addition,
notée0
b)]e produi t,
notè 0
c)
la relationO ou symbole d'inclusion.
Chaque
couple
de
ces
concepts
pourra
se
définir
en
fonction
du troisième.
Dans
son
article
de
1904,
Huntington
définira
trois
ensemb 1 es
de
postu l ats
fondamentaux
pour
(K,
8 ' 0), pour
<K,O)
et
pour
<K, 8).
Chaque
ensemble
définira
donc
une
algebre.
et
l'on
pourra
ensui te
montrer
que
les
trois
algé-
br es
ainsi
obtenues
sont
équivalentes
d'une
part,
et,
de
l'autre,
qu'elles
permettent
de
déduire
les
thèorèmes
fon-
damentaux
de
ce
que
Whî tehead
et
Schrbder
avai ent
exposé
l ':>
comme
étant
'algèbre Q~~lQgique. -
Mais
rien,
encore
un"é'-fois,
ne
vient
privilégier
une
telle
interprétation
logique.
Au
contraire,
l'interprétation
la
plus
intuitive
que
propose
Huntington
de
(K,
+
,<)
est
la suivante:
-K
est
la
classe
des
régions
du
plan,
y
compris
la
"région
nulle"
notée
(symbole
utilisé
en
1903
dans
Le
Formulaire
de
Mathématiques,
vol. IV,
de
Peano,
pour
dénoter
la
classe
vide
ou
le
rien>,
et
le
"plan
total"
noté
(
l'uni vers
pea-
ni en) .
-
a G b est
la plus peti te région cobntenant a
et b.
318
a
8
b
est
l Ct
plus
~F dlJcJe
rég i on
con tenue
à
la
fo i s
delDS
a et dans b.
-
a (;) b
signifie que
la région a
Est
contenue dans
la région
b.
Nous
nous
en
tiendrons
au
premi er
ensembl e
de
postu-
Jats donné par E.
V.
Huntington pour
(K, El, C):
Ja~
Si
a
et
b
sont
de
la
classe
K,
a 2, b
est
de
la
classe
K.
1b-
Si
a
et
b
sont
de
la
classe
K,
a C b est de
la
classe
K.
11a-
Il
existe un
éU!ITIE'f1tl" tel
que a :::.-/\\ ~a pour tout élèment
a.
1Jb-
JI
existe
un
élément '/tel
que
a
:,V=a
pour
tout
élé-
ment a.
111a- a 0 b
b 0 a
l l l b--
a r- b
7
b 0 a
'-'
1\\'a-
a 0
( b ~ c)=
(a 8 bl 0 (a cD c )
--
1Vb-
a 0 <b G c)=(a Q b)0 ( a ~ c )
Va-
Si / \\ et VdonC--î lest questi on dans
lIa
et
lIb
ex i stent
et
sont
uniques,
alors,
pour
tout
élément
a,
il
existe
un
élément â,
tel que a Ga ='let a 0 a=/\\
VI-
La
classe
contient
au
moins
deux
éléments
x
et
y
tels
que x
~ y. 13
Pour
démontrer
la
consistance
de
l'algébre
ainsi
défi-
nie,
il
suffit,
déclare
Huntington,
d'en
exhiber
ce
que
nous
appelons
un
modéle,
c'est-à-dire
de
montrer
qu'il
lui
correspond
un
système
qui,
puisqu'il
existe,
n'est
pas con-
tradictoire.
L'interprétation
intuitive
proposée
précédem-
319
~= {O,l} et G ,Osant définies par les tables
-~~-~
0: 0; 1
1! 1i1
Pour
montrer
que
cps
postulats
sont
indépendants,
on
trouvera,
pour
chacun
ct' eux,
un
s)lstème
(K,
(3
o ) qui
satisfait
tous
les
autres
mais
pas
lui.
Par
exemple,
on
prendra
pour
le
postulat
Vi,
la
classe
K
contenant
le
sin-
gleton a,
avec a 8 a
=a et a 2- a~a.
On
voit
comment
définir ;:) en
fonction
de ~ et
Si
a
+
b=h,
ou bien a ,~ b=a,
ou bien a
+
b= Vou bien a r;', b=
'-:...
'-..-"
1\\
on
a
-
.-
14
alors
écrit
b
(ou
b
al
En fin,
Hunt i ng t on
clemontre,
au
moyen
de
ces
postu 1 a ts,
les théorèmes fondamentaux de
l'algèbre de
la
logique.
En
191'3,
parait
un
article
de
Henr\\
Maurice
Slleffer
intitulé
"Un
ensemble
de
cinq
postulats
indépendants
pour
les
algèbres
de
Boole;
application
aux
constantes
logiques"
._-0-
(A
set
of
five
independent
postulates
for
boolean
algebras,
with application to
logical
constants).15
Tout
d'abord,
l'auteur
explique
pourquoi
l'on
devrait
parler,
au
pluriel.
de
"la
classe
des
algèbres
de
Boole
pour
lesquelles,
d i t - i l ,
Schrbder,
Whitehead
et
Huntington
ont proposé des groupes de postulats:
en premier
lieu,
aucun
groupe
de
postulats
n'est
~atégorig1Je,
c'est-à-dire
qu'il
ne donne pas une seule algèbre mais
toute
une classe d'algè-
bres
(on
ne
parlera
donc
plus
de
"l'algèbre
de
la
logique"
comme
1 e
fa i sa i t
encore
Hunt i ngton);
en
second
1 i eu,
.. ~~
320
head
et
Russell,
qui
contiennent
ces
algèbres,
mèritent
davantage
ce
nom d"'algètH;-e de
la
logique";
enfin,
l'algèbre
de
la
logique
symbolique
n'est
plus
qu'un
objet
historique-
ment
daté,
et
qui
fa i t
préc i sément
ré férence
à
George
Boo 1 e
sans
épuiser
tous
les
développements
qu'elle
a
connus
en-
suite.
L'apport
de
Sheffer
est
de
ne
considérer
qu'une
seu 1 e
"loi
de
combinaison
non
définie":
le
rejet
ou
"barre
de
Sheffer",
comme
on
l ' appell era
ensui te,
et
qui
est
noté
1.11 n'utilisera alors qu'un petit nombre de postulats (5),
et
n'aura
pas
besoin
de
postulats
qui
posent
l'existence
de
z
(symbole,
chez
1 ui,
de
la
classe
vide,
du
zéro),
et
de u
<l'univers),
ou du complémentaire a'
d'un élément
a.
Les
postulats
de
Sheffer
sont
les
suivants
(notés
de
On se donne
1
une
classe K
---'-
II
une loi
de combinaison f, définie sur K.
III
Les propriétés de K et 1 suivantes:
1- K contient au moins Z'éléments distincts.
2- Si a et b sont de la classe K,
alb est de la classe K.
Déf.
a'= ala.
3-
Si
a
et
b
et
leur
combinaison
par
cette
loi
sont
de
la
classe K,
(a' )'=a
4-
a/(blb') = a'.
S-
Si
a,b,c
sont
de
la
classe
K
ainsi
que
leurs
combinai-
321
son s
pa r i a
loi,
a 1 0 r s
) 6
(al(blc»'=«b'!a l
(c'I al.
1
En
1933,
Huntington
reviendra
sur
son
axiomatisation
de
1904
pour
proposer
de
"Nouveaux
groupes
de
postulats
pour
l'algèbre de
la
logique,
en
rapport
avec
les
Prin~LQiQ
MaUJ.~!!LélLic<:'!
de
Wh i tehead
et
Russe 1 1"
(New
sets
0 f
i ndepen-
dent
postulates
for
the algebra of
logic,
with special
refe-
rence
to
Whitehead
and
Russell's
Principia
Mathematica).17
L'objet
de
ce
nouveau mèmoire
est
de
construire
un
ensemble
de
postulats
indépendants
pour
une
algébre
de
Boole.
en
se
donnant
(K, + , , ),
et
de
comparer
ce
s~;stéme à
ce 1 ui
des
La
notation
a
changé:
Huntington
supprime
le
cercle
dessine
autour
des
oper"ations
c't
adopte,
cumme
::3hlJ f
fer,
z
et
u pour
le zèro et
l'univers.
Il
rappelle également
1 a
suggest i on
de
ce
derni er
concernant
l' adopt i on
de
]' P'<P
ression
"algèbres de Boole"
au pluriel
Enfin,
à
l ' interpré-
tation
proposée
d'un
calcul
sur
les
régions
du
plan.
il
18
ajoute
l'exemple suivant,
donnè encore par Sheffer:
K= classe des huit nombres 1,2,3,5,6,10,15,30;
a+b = le plus petit commun multiple de a
et b.
a'
30/a
ab
le plus grand commun diviseur de a
et b.
a<b signifie "a est un diviseur de b".
Huntington
propose,
entre
autres,
le
système
de
postu-
lats suivants:
1-
Si
a
et
b
sont
de
la
classe
K,
a+b
est
de
la
classe
K.
2- Si
a
est de
la classe K,
a'
est de
la classe K.
322
tJ~a.
5-
a+a
= a.
6-
(a'+b')'+(a'+b)'= a.
Enfin,
en
1936,
paraI t
l'important
article
de
M.H.
Stone,
qui
montrera
que
l'on
peut
passer
d'une
algèbre
de
BOolt"
LPlle
qu'Elle
pst
cal~actèrisée axiomatiquement
par
.
d I t
. ,
t
19
l
Hunt l ngt on.
à
un
anneau
e
Boo e
e
rec l proquemen:
se on
les
termes
de
l'article.
les algèbres de
Boole
sont
"identi-
ques"
aux
anneaux
avec
unité,
et
où
tout
élément
est
idempo-
tent.
Désormais,
"les
algébres
de
Boole
sont
les
systèmes
mathématiques
développés
d'abord
par
George
Boole
lorsqu'il
a
traite
la
logique
pal
clps
mèthocJes
s~-mboljques et
qui
ont,
depuis,
été
étudiés de manière
approfondie par
d'autres
chercheurs
en
log i que.
pa rom i
l psque l s
Schrbder.
Wh i tehead.
Sheffer,
Bernstein
et
Huntington.
Puisqu' i l s
contiennent,
sous
une
forme
atJstraite.
les
principales
régIes
algébri-
ques
qui
gouvernent
l'usage
des--e-rasses
ou
ensembles,
ces
systèmes
présentent
un
i ntérét
techn i que
pour
le
mathéma-
ticien
autant
que
pour
le
logicien.
I l
est
naturel
de
pen-'
seI'
que
l'étude
des
algèbres
de
Boole,
par
les
méthodes
de
l ' al gèbre
moderne,
s'avérera
fructueuse
et
produi ra
des
résultats
importants et utileS".20
323
) Il
HlJhH r
L.
III p\\'fus
L!.ü~~LLL~!LC:~__fŒtlLUL~JJe>_rm~U!-t:;~
~-.1._LU.!l.Ll~_~. p. 3. F l alRmét ri on 198~. r r'ad .
Danit'l
Auej l er.
j L_I l fi .
'}
HerrJer t H .
J<:neclJt La_.J_ll..9...i. 9..ue_c.tle.?o~l:~jJ;;)[J i z~__r:~~é!.L_~ur ~
LÇ1J;i.gna U-,~I1!~_12;':U.ç,çÜJ~.
(p. b "" ) . bJ .
l ' M:jE'
d' Homme _Cu I l .
D j Ct l fc·r: -
1 i ca.
LduSant'p
l qb 1 .
:)-
E.
Coumfc't.
"Logique,
maU'Jemé.11 jques
et
langage
di:1T1s
] 'oeu-
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1 i.
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184'.
Boole Press.
Dublin
1985.
8-
Boole
écrit
que
''!l'ous
ne
oe\\.rions
plus
associer-
logique
et
métaphysique.
mais
logique
et
mathématique".
Analyse
~at.hpmatiglle _9~__ Ja__J-.ogj...9!1e. (abrèg'~
erJ
M ..o\\.L)
in
S~lJg)es
.LJl._L".Q.gic
~~!DiL-.ELQt)~tlÎLLlï (désonnais
abrègè
en
S.L.PI.Watts
& Co. Londres.
1952;
p.58.
10-
"La
nais.sance
de
l'algèbre
abstraite",
(Th!?
ri se
of
324
abèt.riilct
alger,ra),
eet le titre du cr, .. pitre cons ....cré p...r Carl B.
Boyer à cette époque s A Hi~~o!~_J~~;h~~~ii~~. Wi1ey & Son~. 1960.
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325
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F.R.~" l'lliJlir" pr~Jllll]pt 18hb ctans
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l:-i-
Boole
avait
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une
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c1·alJt"'~ur.
326
16
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L. i t f~
:--j t • 1-~
~\\ , • ~- - l ,
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2~-
il1
S.L.P p.4·~5.
~3-
Dans les S.L.P.
24 -A-~!~l?aJ:J_sC'__ (2IL-l-.tt~_Ç_a l ~~Jl.!l.~_QL __F:'Lo..Lt~_ JlLU~J=em"~'~'
1860
Macmillan C~rnbridgp.
\\
ceri
AnIJJal'3
"dot age"
quand
on
Sri i t
'jllte'
"(\\ot <-:I(;)e"
.s i (Hi i fi>?
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"les
!111111ipes
du
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Uni\\'E'Jsit~ ~'n-èSS.
l'JïS.)
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"Consi(JF:'r-atiuIIS
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lionc
ueaucuup
IJjus
j
1
1 e
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(j L ~l
pu i sse
fa 1 rI?
usage
dans
les
équ::'lt i (lllS
aux
(iér i vé(c's
part i pl -
les,
quand
la
dérivation
El
1 leu
par
rapport
à
plusieurs
variables.
En
second
lieu,
si
l 'OIl
consi dér'p
par
exempl e
une
fUllction composée,
z=
id. X > ,
uù
z=
q(y)
el
)'=
f(x),
compa-
ree à
la notation newtonienne
h ' ( .'\\ ) = g' ( )')
f ' ( x )
la notation
leibflizleliIJE'
dz/dx=
dz/d~'
plutôt
que
sur
leur
lien
foncti(lnnpl
explicite,
Ce
lien,
indiqué
p3r
Ne\\~ton,
PAr)l iml:'
une
opération
qui
pr'oduit.
une
qUEInlitp
\\!;'1
par'tir
rJ'U/lP
: l l l t r p ,
.,.
,\\11
('on1.rai.rp
11"
S,,;IIlDn-
)
328
1{; ! t"l1J j .' 1· i-:
\\ l ,l : l ,-
1 J U; j, 1 t 1 1 " , '
J l-iii
11ees
commf:'
si
elles
etaif'f1t
dèS
qllotieIlts
actuels.
et
ce
G.\\\\.IJ'it'I!I,·
··".n'cl
r·1f·I,IJudus
~n'I fII;i:\\lml~ t"'t
I1IJnillli:s.
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M~~J!!..')lrS __üJ
t,lJI:::'
!_\\!J<jl~l.L~_:_;::tj __ ::3.Qçjt_~.j.: . pp. i 1 -
Camt,ridge.
1813.
9 -
G . ~ . Lei. bIll Z
~Q!D-':~au.x_ E~~~_L~-----5UL __L En telldemeIt!__.1!~maiI!.
Pr-éface p.35.
Garnier Flammarion.
1966.
1 u-
1802.
pp.8'j-125.
cita-
tion
p. lOS.
11-
j....b..i.~L_ p.116.
1 2 -
.LbJi1 pp. Il 9 - 1 20 .
329
"
j r ; d.
j.'. l:=:r 1.
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et
cie
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cornl1lnalsons,
cunstruite
sl"loTi
ses
réglés
pr'u-
1 U ~
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l ; 1 t ~ -'
i!'urs
i\\::~-';Uj;,II.,=,·
l~-:l-
u.f-"'dCL,rk
art..cil.
cette
proposition
eH
ces
termes:
"loute
forme
èqui\\:alente
que
on
pourlait
trouver
f!n
algèbre
arithmétique
cons ~-
dérèe
comme
la
sCience
suggestive
lorsqlle
1 es
s:-.'mbol es
sont
géneraux dans
1eur
fnrme
quo i (lue part 1 cul i ers en va 1 eur
continupr-a
(j'étre
UllE'
forme
equivalente
lorsqut.!
les
symbo-
les
s,-,nt
IJénèidl]:\\'
en
lld(Ure
COlllllle
par
leur
f U l r n " " . l i b l ( j l .
Ce
sCJnt
dunc
les
règJ(>s
cuml.dllat_oires
de
] 'algpljre
ar-ithmè-
qui
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salit
une
extension
ou
promotion
particulièl'e
de
la
logique générale",
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FragmPllts'·.
El1jllltlour (1
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9-
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10-
,John
Venn
~.l'rnboL.Lç~QiJ.iç.
<[1.189)
Nacmillan.
Londres.
1081
12-
cf.
Cl=S
lignes
dt"
Leibniz:
"CUIn
speciosa
generalis
ni-
ni l
aliuli
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CjUAlII
comhinationufII
per
not.as
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1 1 " j , 1 . , l . ' " ,
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rppetitlnnis,
51',.'11
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(PuisquE'
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1 e
presen t
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Cf'
texte',
I~lte ~Jar
('CtltlUfa.f,
félit
(.'cTill-";,1
Cf'
denllf.:,r:
l ' ;, "~'
1 t 11 1
i
.-
t 1 t j ~ j i J t.·'
il . (1 ; '.1 (I! i L 1Ill: I~,~
i " '.-; ~ l, l; î (,:-; ,
(ie~
f~unsè(~u':'lIce~
Ili':',' ~.S.':';d 11;->,'-,
(' r
t ur III,:, l 1"'5
cIe
:'>t:'S
15!J s
fOll'
(jc1!nt::'IJtales.
pal'tuul
(Ill
ces
1,:lill.:.'
serunt
'vl~rjtiée:>, ('lJ calcul
sera
appl icable
avec
tOl1tes
ses
l'ègles
et
forlllules.
Il.
est
iml=,ossible
de
définir
plus
clair'ement
la
véilt::-ur
formelle
et
h:':P_Qlhétique(!lf::'flt-.lL~''."~-,-ssaLrede toute 31 gèbrp".
Ces
lignes
de
Leibniz
et
le
commentaire
de
Couturat
se
trouvent
p. ']'21
lje
La~__~Q,g.Lque__rte_LeiJ:!ll.Lz, Par l s.
Al can
1901.
] ';'
p .
ï li ':'
! n
:"Ur _~ i-'l.l.éHIL JI~:i rrUJL('II~:,?,__ Dj-,-"j('JJ,?_-?l~'.Il,?i.._-'-' rL'p!Jj,lS2....:
sophy ,_and__ .-l.i1..ter éLt1!.re.-'--'_'~gJd~3.ti or!, __<?.ill1... _J1r.Ü versit V_-LeJor'm.
'Je
èd.
Blackwood and Sons.
Edimbl.ur'g et
Londres.
1866.
3~S
1·
L1
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p.2b.
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:'1 ALi li .sL Pp. 5 1 .
13-LT p.30.
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LI
pp
JO 31
1 "'.-
LI
r' . 32.
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P
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17-LT p.38.
336
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341
NOTES
( Probabilités)
1.
Theodore Hailperin. Boole's Logic and Probability. North Holland-
Publishing Company. 1976.
2.
Ouvrage cité p. Dl.
3.
Il s'agit du Irea~~_e on..Yrobability. (MacMillan and Co. 1921)
de Jcim :'-laynard Keynes.
4.
Boole's Logic and Probability. Introduction p. 2-3
5.
In Proceedings of the Royal Irish Academy. Vol. 57, Section A, N°6.
6.
En fait il s'agit un article, publié aprês sa mort par De
Morgan
en 1868 dans les Transactions of the Cambridge Philosophical Society,
Vol. XI. Cet article est repris dans SLP p. 167
à 186.
7.
Robert Feys : "Boole
as a Logician" in Actes du Centenaire. loc.
cit. p. 101.
8.
Ils sont repris
Gans les SLP.
9.
Henry Wilbraham : "On the theory of chances developped in Prof essor
Boole's Laws of Thought". Cet article figure en appendice dans
les SLP. p. 473 à 486.
la.
Une première réponse est envoyée, sous forme de lettre à la Revue
Philosophical Magazine and Journal en Juillet 1854. Une seconde,
sous forme de lettre également, fut envoyée à cette même Revue
en Août. Par la suite, la remise en chantier par Boole de sa méthode
en probabilités vaudra à l'un de ses articles intitulé "On the
application of the Theory of Probabilities to the Question of
the Combination of Testimonies or Judgernents", paru en 1857 dans
les Transactions of the Royal Society of Edingburgh, Vol. XXI, la·
médaille Keith. Cet article est repris dans les SLP p. 308 à 385.
342
11.
Jean Hyppo1ite. art. "Langage et Pensée", note p. 912 in Figures
de la J)en~_~_~_J'~:Uo~~'.PJ:1iqu~. T II. PUF. Coll. Epirnethée. 1971.
12.
Suzanne Bachelard. art. "Forme et Contenu", p. 226, in Hommage
à J~an Hyp~lite. PUF. Coll. Epimethée. 1971. Cf. également le
texte de Théodore Hailperin qui écrit : "La relation fondamentale
entre une algèbre de Boole et le Calcul d'événements,qui est aujourd'hui
un lieu commun dans les traités de probabilités, fut d'abord pleinement
comprise et exploitée par Boole".
(ouvrage cité p. 131).
13.
Il parle en effet des "applications dérivées" du Calcul Logique
dans un article posthume, écrit avant les Lois de la Pensée et dont
l'intitulé, sur ce point, est tout à fait explicite: "Esquisse d'une
théorie et d'une méthode en probabilités fondées sur le Calcul Logique".
("Sketch of a theory and method of probabilities founded upon the
Calculus of Logic") in SLP p. 141.
14.
J.M. Keynes, ouvrage cité note 3 p. 168.
15.
Dans une lettre adressée au Philosophical Magazine and Journal parue
en Août 1851 et intitulée "Further observations on the theory of
probabilities" (in SLP p. 260 à 267), Boole déclare que W.F. Donki~,
professeur d'astronomie à Oxford lui a posé la question de savoir
"s'il n'avait pas une conception de la probabilité fondamentalement
différente de celle co~~unément reçue" ; à quoi il répond, dans
cette lettre, (SLP p. 266) que "la théorie des probabilités a, selon
le point de vue qu'(i1) a été conduit à adopter, deux sources distinctes
mais concordan~es". Que "quelle que soit celle dont on peut la dériver,
elle enveloppera l'idée de grandeur numérique;mais(que) dans un cas cette
idée ne concernera que la fréquence relative selon laquelle les
événements se produisent, ce qui constitue effectivement le fonde-
ment accepté de la théorie; dans l'autre, elle concernera la perma-
nence de certaines formes de pensée qui se manifestent également dans
les opérations qui sont celles de la Science
du nombre, et dans
les raisonnements et arguments de la vie ordinaire. En partant de
l'une ou l'autre de ces sources,on peut
( ••• ) sans difficulté,
atteindre à une connaissance de l'autre".
16.
Louis Conturat. "La Logique algorithmique et le calcul des probabilités"
in Revue de Méta~~v~?~~~i_je_~~~~~,
Vol. 24.
1917 p. 291 à 313.
17.
op. ci t. p. 293.
18.
ibid.
19.
Après avoir affirmé qu'il y a "plus qu'un simple avantage verbal
à discuter de la vérité et de la probabilité de propositions au
lieu de l'occurrence et de la probabilité d'événements", John Maynard
Keynes, ajoute une note d'où il ressort que cette conception
booléenne
de la probabilité n'est pas, à rigoureusement parler, nouvelle.
Il cite en effet ces mots d'Ancillon tirés de son ouvrage intitulé
Doutes
sur
les bases du calcul des probabilités (1794)
: "Dire
qu'un fait passé, présent ou à venir est probable, c'est di"e qu'une
proposition est probable".
(J.M. Keynes, ouvrage cité;J. 5). Il
demeure que si Boole n'est pas le premier à avoir cette conception,
il est le premier à avoir eu également les moyens, grâce à un système
logique déjà constitué, d'en tirer pleinement parti peur =r:~cs~r
une approche, disons "logiciste", de la probabilité.
20.
Conturat écrit : "l'n jugement variable est un jugement t:énéral ou
indÉterminé qui s'applique indifféremment à un individu ou à un
cas quelconque pris dans un ensemble dÉterminÉ ( ... ). On pe~t consi-
dérer, sans nuire à la généralité des raisonnements, tout jugement
variable sous la forme "x
est un a" le sujet x étant individuel et
indéterminé, au moins dans l'étendue d'un certain domaine. Ainsi
un jugement variable peut être regardé comme représentant une collec-
tion de jugements singuliers ayant respectivement pour sujet l'un
des individus d'une certaine classe. Chacun de ces jugements singu-
liers est déterminé et constant, par suite toujours vrai ou toujours
faux: vrai quand il coincide avec un jugement singulier vrai; faux
quand il coincide avec un jugement singulier faux. Autrement dit,
il peut être vrai pour certaines valeurs de x et faux pOBr les autres.
Il peut même être vrai, ou faux, pour toutes les valeurs de x ; cela
ne change rien à son caractère de variabilité. Dans ces deux cas
extrêmes, il prendra la valeur 1 ou la valeur 0, mais non pas de la
344
même manière qu'un jugement constant qui ne peut prendre que ces
deux valeurs ; car il est toujours conçu comme pouvant prendre
des valeurs intermédiaires".
(Ouvrage cité p. 291-292). Ces défini-
tions permettent alors â Couturat d'écrire que 'Ile calcul des juge-
ments variables n'est pas autre chose que le Calcul des Probahilitês"
(p. 292).
21.
C'est encore Couturat qui écrit du calcul des probabilitês que
"c'est une doctrine essentiellement logique, dont la forme mathêma-
tique ne doit pas masquer le caractère vÉritable. C'est le premier
exemple de l'application de l'Algèbre à la Logique; mais de même
que la Géométrie analytique est encore de la Géométrie et Rue la
Physique mathématique est toujours de la Physique ,le
calcul des
probabilités est en principe une Logique, la logique des jugements
variables" (ibid. p. 292-293).
Dans le même ordre d'idées, John Venn refusait aussi que le seul
intérêt de la "Logique du hasard" soit de technique mathématique.
Il écrit dans la Préface à
sa
Logic of Chance: "l'on chercherait
en vain dans les ouvra;es de la plupart des auteurs [sur cette questiLl~:';
un examen critique des principes fondamentaux sur lesquels reposent
les règles [ne ce calcul}, des domaines où il s'applique le plus
proprement, ou de la relation qu'il entretient à la logique et aux
règles générales de l'évidence inductive" et il ajoute que "les
exceptions les plus notables" sont justement la FormaI Logic de
De Morgan et les Lois de la Pensée de George Boole.
(John Venn.
The Logic of Chance. 2ème ea·ïtion augmentée. MacMillan and Co. 1876.
Préface à la 1ère édition de 1866. pp viii et ix).
22.
Boole. art. "On the theory of probabilities, and in particular on
Mitchell's problem of the distribution of fixed stars" (in The
Philosophical Magazine. Juin 1851). SLP p. 251.
23.
Boole écrit ces mots en 1862, dans un article où il revient sur
sa "théorie des probabilités" et qui semble être le dernier qu'il
ait publié sur ce sujet. Cet article, publié dans le Vol. 152 des
Philosophical Transactions est repris dans SLP p. 386 à 424. Cette
citation se trouve p. 388 de cet ouvrage.
345
24.
Ibid. P 387.
25.
Le meme probl~me ne se posait gu~re pour le cacul proprement logique.
S'agissant des "lois de la pensée" en tant que lois présidant à la
combinaison des signes représentant nos conceptions mpntales, Boole
s'était donné les moyens, en considérant le langage comme "instrument
du raisonnement", de ramener la àiversité des formes linguistiques
à ce que les langues comportaient de "commun et d'universel". C'est
ici, pour le calcul des "jugements variables", que se pose "vérita-
blement la question de la correspondance entre la manière d'être
des choses et la manière de dire les événements.
26.
Une première fois pp.296-297 de SLP dans l'article intitulé "On
a général Method in the theory of probabilities" paru dans le
Phi~osophical Magazine. Vol. viii, Décembre 1854 ; une deuxième
fois dans l'article paru en 1857 intitulé"On the application of
the theory of probabilities to the question of the combinat ion of
testimonies or judgements" in SLP p. 317 ; une troisième fois
pp.
387-388 de SL? dans l'article que nous avons déjà cit~ Er
qui s' intitule "On the theory of probabilities".
27.
le terme anglais est "sleet" qui signifie neige
fondue.
28.
Dans "On a general method in the theory of probabilities". ::'n SLP
pp.296-297.
29.
Cf. SLP p. 318, art. "On the application of the theory of probabilities
ta the question of the combination of testimonies. or judgements".
30.
Ibid.
p. 317
31.
Ibid.
32.
1. Couturat. art.
cité pp.293-294.
33.
Couturat reprend le même exemple, qui écrit : "on peut mesurer
la probabilité dans le même sens que l'on peut mesurer la température,
346
en faisant correspondre aux divers états caloriques des corps une
~'chelle arbitraire de DC)lTihrE:s". art. cité p. 294. Déjà l.aplace
écrivait : Il Il arrive ici la m~me chose que dans toutes les Sciences
physico-mathématiques; nous mesurons l'intensité de la lumière,
les différents degtés de chaleur des corps, leurs forces, leurs
résistances, etc. Dans toutes ces recherches, les causes physiques
de nos sensations, et non les sensations elles-mêmes, sont l'objet
de l'Analyse" P.S. Laplace. in Essai philosphique sur les Probabilités.
p. 224. Ed. Christ ian Bourg ois. Coll. "Epistême". 1986.
34.
Cf. S.F. Lacroix: "L'entraînement qui nous fait adopter une opinion
n'est pas toujours sa probabilité. Dès qu'il n'y a point de discussion
complète,de développement des cas favorables et des cas contraires,
il n'y a point, à proprement parler, d'estimation de probabilité
il y a croyance aveugle, illusion, emportement. C'est l'habitude
de céder à cet entraînement qui produit dans un si grand nombre
d'esprits une vacillation continuelle, une fluctuation d'idées qui
les rend le jouet de toutes les sottises et les exagérations que la
mode ou l'intérêt enfante chaque jour". in Traité élémentaire des
probabilités. Mallet-Bachelier. Paris 1864 p. 14.
35.
Cité LI pp 244 et 253. Xotons que Couturat, sur cette définition
traditionnelle également, va plus loin que Boole dans son projet
d'une logicisation du calcul des probabilités qui devient ainsi
un calcul de jugements. Il relève en effet les "difficultés métaphy-
siques" liées à la notion de "cas possibles" comprenant aussi bien
ceux qui sont favorables que ceux qui sont défavorables à l'événement:
"car qui nous dit qu'un événement est possible, en dehors des cas
favorables, c'est-à-dire dans les cas-où il n'arrive pas ?" A cette
déf~nition traditionnelle il préfère, par conséquent, substituer
celle-ci: "La probabilité absolue (il souligne) d'un jugement (je
souligne) est le rapport du nombre des cas où il est vrai au nombre
des cas où il est vrai ou faux, c'est-à-dire où il a un sens, où
i l est applicable" _ art. ci té p. 294.
3'- Cf. Pierre Simon Laplace: Essai philosophique sur les probabilités
(souvent cité par Boole) pp. 39-50. Ed. Christian' Bourg, ois. Coll.
"Epistême". 1986.
347
}~.<I,~\\bn peut aussi, dit Boole, "déduire ce résultat directement de
la défini tian" : soit
!TI
le nombre de cas favorables à l'événement
x, n
le nombre de cas possibles. n - fi est alors le nombre de
cas contraires à x.On
~crit, d'après la définition:
m
probabilité que x se produise
n
n - m
probabilité que x ne se produise pas
n
or
n - m
1 - ID
1 - p
n
n
On remarquera ici, avec Théodore Hailperin, qu'une telle formulation
ne fait pas la distinction entre la probabilité conditionnelle
et la probabilité d'une conditionnelle: "à l'évidence, ce résultat
donne, justement, la valeur de la probabilité conditionnelle de
V' étant donné V, et non celle de l'événement conditio:mel "si V
alors VI". ouvrage cité. p. 140.
~."..
Cf. le "quatriÈ-rne princip"," que GCl.ne Laplace dans l' Essai pniloso-
phique sur les probabilités (ouvrage cité p. 41)
: "Quand deux
événements dépendent l'un de l'autre, la probabilité de l'événement
composé est le produit de la probabilité du premier événement, par
la probabilité que cet événement étant arrivé, l'autre arrivera".
38.
J.M. Keynes. ouvrage cité p. 16ï.
' - - - ' -
39.
Ibid.: "l'erreur centrale dans son système de probabilité provient
de ce qu'il donne deux définitions incompatibles de l'indépendance".
40.
In "On the application of the theory of probabilities to the quéstion
of the combination of testimonies or judgements". in SLP p. 314.
41.
Theodore Hailperin. Ouvrage cité p. 136. C'est en tout cas la
thèse de J.M. Keynes pour qui "les erreurs" en théorie des probabilités
de la plupart des auteurs sont "dues à leur mauvaise compréhension
de la signifi~ation de l'indépendance". Selon lui, l'importance
de la critique de Wilbraham contre la démarche de Boole en Calcul
348
des Probabilités est qu'elle porte en réalité sur ce point, même
si, dit-il, le critique lui-même ne l'a pas très clairement aperçu.
En fait, dans l'article où il critique Boole, si Henry Wilbraham
ne pr~sente pas d'objection explicite et frontale contre le principe
ajouté par Boole, ç'est bien de lui qu'il est question lorsqu'il
reproche à l'auteur des Lois de la Pensée d'introduire dans les
données des problèmes qu'il considère, des présuppositions tacites
qui les tranforment en problèmes déterminés alors qu'ils sont souvent
naturellement ind~terminés : "lorsqu'on ne donne aucune condition
concernant les chances d'événements simples, mais seulement les
chances absolues de ces événements, le raisonnement que conduit
le Professeur Boole dans le chapitre XVII de son livre montre qu'il
présuppose que les événements sont ind~pendants..• ". Par ailleurs,
et c'est la seconde objection importante, Henry Wilbraham affirme
qu'en adoptant explicitement ce que Boole ne fait que pr~supposer,
l'on se passe parfaitement de la logicisation des problèmes pour
les traiter selon les m~thodes classiques et ordinaires de l'algèbre
"en adoptant les mêmes présuppositions que le Professeur Boole ( ... )
je traiterai [des mêmes problèmesj sans l'aide de ses équations logi-
ques. Toute question qui se peut résoudre par la méthode logique
peut aussi l'être de cette façon".
(Henry Wilbraham. art. cité. in
SLP. Les citations faites se trouvent respectivement p. 473 et 475).
Quant à Hailperin, pour parler de quelqu'un plus proche de nous,
s'il déclare que "Boole a tort" et qu'"il peut n'être pas toujours
évident, dans une application donnée, qu'on puisse considérer les
--'-
~v~nements comme simples et inconditionn~s", il ajoute toutefois
"que c'est en r~alité une question qui concerne la manière dont
on doit appliquer corre~tement la théorie - un aspect auquel Boole
prête peu d'attention - plutôt que de savoir si la théorie est cor-
recte".
(Ouvrage cité p. 144).
42.
Theodore Hailperin fait la remarque que si ce "système d'équations
( ... ) mettant en relation p, q, r avec les inconnues p', q', r'
comporte effectivement un nombre d'~quations égal à celui de ces
inconnues, elles ne sont pas toutefois nécessairement linéaires
et leur traitement, comme Boole le réalisera plus tard, comporte
d'énormes difficultés pour ce qui est de l'existence et de l'unicité
349
des solutions et aussi de l'existence de solutions comprises entre
o et 1 n~cessairement requise lorsqu'il s'agit de valeur de probabi-
lités". ouvrage cité: pp. 141-142.
43.
Cet "objet" général de la théorie des probabilités se distribue
dans les deux Propositions III et IV de ce chapitre XVII. La Proposi-
tion III s'occupe de la manière d'~tablir, dans un problème quelconque
de probabilit~s,le lien logique entre ce qu'on cherche et les données,
c'est-à-dire de déterminer l'événement dont on cherche la probabilité
comme une fonction logique des événements dont les probabilités sont
données".
(LT p. 263). Quant à la "Proposition IV", elle est la
suivante: "Soient données les probabilités d'un système quelconque
d'~vénements ; déterminer par une méthode générale la probabilité
conséquente ou dérivée d'un autre événement".
(LT p. 265).
44.
Bien entendu s, t, v, w peuvent prendre les lormes les plus générales;
par exemple:
s' =Cf\\(x,y,z), t =Cf2(x,y,z ... ), v = Cf3(x,y,z)
w = <r (x,y,z ... ).
45.
Cela veut donc dire aussi la condition
D
O.
46.
On the theory of Probabilities.in SLP pp 396 - sag.
4 1
Cf. P.S. Laplace. ouvrage cité p. 89 sqq .
.--. -
48.
Article publié en Juin 1851 dans le Philosophical Magazine et
intitulé "On the Theory of probabilities, and in particular on
Mitchell's pr9blem of the distribution of fixed stars". in SLP
p. 247 à 259. La question est consid~rée à nouveau in LT p. 364 sqq.
Son importance ainsi que celle d'autres problèmes d'Astronomie
physique énumérés par Boole du point de vue des probabilités tient
aux implications philosophiques qu'ils comportent concernant les
notions d'hypothèse et de cause physiques. Dans ces questions en
effet, la démarche habituelle consiste à aller de l'observation
à l'hypothèse pour revenir à l'observation. Comme dit Boole, "on
envisage une certaine hypothèse dont on peut, pour différentes
conséquences possibles. assigner les probabilités. L'observation
350
nous donnant un résultat effectif qui figure parmi les conséquences,et
sa probabilité hypothétique étant ainsi connue, OP demande de déter-
miner la probabilité de l'hypothèse adoptée ou de son contraire"
(LT p. 365). Or Boole établit le théorème suivant: "Lorsque sur la base
d'une hypothèse physique x,on calcule la probabilité p d'un phénomène
quelconque y, la probabilité a posteriori P de l'hypothèse physique,
après que le phénomène a été observé, s'exprime par l'équation:
P
~----
ap + cO - a)
ou a et c sont des constantes arbitraires dont la première représente
la probabilité a priori de l'hypothèse, la seconde celle que si
l'hypothèse est fausse, l'événement y se produise". (LT p 366).
Toute la question est alors de savoir si l'on peut rendre déterminés
les problèmes de cette nature, c'est-à-dire si l'on a le droit
"d'attribuer a a et c àes valeurs particulières".S'accorder ce droit,
selon Boole, c'est transgresser "la limite où devrait s'arrêter
la recherche", et sur les questions de
causalité d'un Ordre où
"les causes agissent St:'1cn une Loi", ignorer que bien souvent c'est
là le domaine de la seule "conjecture".
~9.
Cf. P.S. Laplace. ouvrage cité., la section intitulée "Application
du Calcul des Probabilités aux sciences morales" p. ln sqq. L'auteur
s'y propose de "présenter les principaux résultats" de l'application
qui a déjà été faite avant lui, du calcul des probabilités "à plusieurs
obj ets des sciences morales rr.
'--'-
50.
Th. Hailperin. ouvrage cité p. 159.
51.
Nous voyons ici apparaître la confusion signalée par Th. Hailperin
entre la probabilité d'une conditionnelle et la probabilité condi-
tionnelle. En d'autres termes, Boole traite de la probabilité de
"Si y alors X" comme
de la probabilité de X étant donné Y. cf.
Th. Hailperin. ouvrage cité p. 166.
P( xy)
52.
Th. Hailperin, ouvrage cité p. 47. Sous la forme P(x/y) = P(y)
avec P(y)4bO. dit l'auteur. cette loi apparaît comme une "reformu-
lation de la définition d'une probabilité conditionnelle".
351
53.
Th. Hailperin. ouvrage cité p. 167.
54.
Idem p.
168.
55.
J.M. Keynes. ouvrage cité p. 168 et note 2, même page.
56.
Charles Sanders Peirce. "Notation for Logic of relatives". in
Collected Papers. III, 3-67.
57.
Louis Couturat
art. ci té. p. 313.
58.
Ibid.
59.
William Kneale "Boole and the revival of Logic" in Mind Vol. 57,
1948 p. 167.
60.
ln SLP p.
119.
6i.
I l s! agit àe l ' article intitul~ "An inquiry into the ;JrC'Da:::'e
Magnitude and Parallax of the Fixed Stars, from the quantity of
light which they afford ta us, and the particular circumstances
of their situation" publié par le Rev. J.
~ichell
dans les Philoso-
phical Transactions en 1767.
62.
R.P. Harley. "George Boole FRS". Appendice A in SLP p. 449.
352.
•
NOTES DE LA aUA-ra'EME PARTIE.
NOTES
1.
John Venn. "Boole' s logical system". p. 490 in Mind Vol. 1. 18ï6.
2.
William Kneale. p. 174. "Boole and the revival of Logic". Mind
Vol. 57. 1948.
3.
Ibid.
4.
Robert Blanché. Li! logique et son histoire d' Aritote a Ru: =11.
Coll U. Armand Colin. pp. 2ïl-272.
Dans le mime ordre d'idées, W. Kneale écrit: ,"(Boole) croyait,
sans aucun doute, qu'il s'occupait des lois de la pensée en un
sens psychologique de cette expression équivoque; mais en réalité,
il s'occupait des lois les plus générales des choses pensables".
Ibid.
5.
Desmond Mac Hale. Gecrce BCGle. His life anè work p. 190.
6.
Ibid. p. 69. Soulignons qu'une telle conception convient mieux
aux fortes tendances unitariennes attestées chez lui par ses bio-
graphes. Et même, s'il faut en croire son épouse, son inclination
était forte pour le monothéisme absolu de la religion juive. Il
semble en tout cas qu'il n'acceptait guère la divinité du Christ.
7.
Cf. ibid.
p. 241.
8.
Cf. art. cité p. 490. Il ajoute que Boole n'a pas eu beaucoup
de cette "capacité métaphysique qui se rencontre rarement".
9.
Ivo Thomas. "Boole's concept of science" pp. 88 à 96. In Celebra-
tion of the cent enary of "The Laws of Thought" by George Boole.
Proceedings of the Royal Academy. Vol 57. Section A, N°6. 1955.
la.
Felix E. Hackett "The Method of George Boole" p. 80 du Vol. du
Centenaire déjà cité.
353
Il.
~~~~ par A. Gratry, Prêtre de l'oratoire de l'immaculée
Conception. Ed. Charles Donniol. J. Lecoffre & Cie.
Paris 1855.
Torne l
et 11.
12.
Cité par Desmond Mac Hale. ouv. cité. p. 203.
13.
Ibid. PP 203-204.
14.
Augus~Alphonse Gratry. ouv. cité. p. 13 - TI.
15.
Ibid. p. 407. Dans le même ordre d'idée il cite à la page 51 de
son ouvrage ces mots de Leibniz : "La vérité qui parle en nous
quand nous voyons des théorèmes d'éternelle certitude est la voix
même de Dieu".
16.
"Logic and Reasoning" in SLP p.
229.
1;.
~a:-:s les Lav..7 s of Thou§;ht p. ~ûl ~ 3,-'01e ;Jdrl.e de "~ i~,?,::'!"tar:.ct2
t
des deux conceptions limites d'univers et d'éternité dans tous
les objects de pensée dont s'occupe la logique, ainsi que du "rapport
entre ces conceptions et celle d'unité,
fondamentale dans la Science
du ~ombre".
Et dans l'article "Logic and Reasoning" il revient
sur l'idée d'une conception abstraite et générale qui excède les
pouvoirs de l'imagination en ces terilles : "Le fondement de toute
la logique est la possibilité d'appréhender les lois des conceptions
----. -
générales. Les conceptions elles-mêmes peuvent n'être que les
limites inatteignables de processus d'abstraction. Nous pouvons
être incapables de nous les représenter dans leur essence séparée.
C
"
. . . , '
e sont des \\jo1-r)/,r QS des
:l.VTe'l--C;>l;
18.
"Logic and Reasoning" in SLP p 221. Boole est tenté de dire que
le Rien est le contraire logique de l'Univers comme néant d'espace
et celui de l'éternité comme néant de temps. Mais s'il
incline
à penser que la notion de temps est essentielle pour constituer
35 4
une théorie des propositions secondaires" il admet qu'en revanche
celle d'espace puisse ne pas ~tre esse~tielle au a· veloppement
d'une théorie des propositions primaires. Cf. LT ?p 175-176.
19.
"The claims of Science especially as founded in its relation to
Ruman nature" in SLP p. 189. Ce texte qui est celui d'un discours
de rentrée au Queen's College de Cork, prononcé en Octobre 1851
et publié la même année à Londres annonce bien des réflexions
de ce chapitre final des Laws of Thought.
20.
Note p. 406 des Laws of Thought.
21.
A. Gratry. OUVe cit. TIl. Du principe d'induction, A. Gratry précise
que "ce n'est en aucune sorte l'induction baconienne. C'est l'an-
cienne induction, l'ancienne dialectique dont ont parlé les vrais
philosophes ... " p.3.
22.
Cf. LI P 403.
23.
"Communication sur le Génie et les Découvertes de Sir Isaac Newton".
Ces passages sont cités par le petit fils de Boole, Goefrey Taylor
ddns "George Boole 1815-1865". p.
ïO in Vol àu Centenaire déjà
cité.
24.
Ce_sonnet souvent cité par les biographes de Boole lorsqu'ils
parlent des poèmes qu'il écrivit tout au long de sa vie a été
reproduit p. 157 du Mind d'Avril 1948 par William Kneale : "Boole
and the Revival of Logic".
25.
Ouv. cit. TIl p. 120.
26.
in "The Claims of Science". SLP pp 190-191.
27.
The Claims of Science" in SLP p. 197. Dans cette distinction
C.D. Broad voit le seul point digne d'intérêt dans les spéculations
finales de Boole :~Sa thèse la plus caractéristique", écrit-il,
'35S
"est la suivante : alors que le fait que les lois de la pensée
et les lois de la matiêre ont une forme mathématique pourrait
nous conduire à supposer que l'esprit comme la nature est gouver-
né par la nécessité, un autre fait, celui de l'erreur, montre
que cette conclusion est illégitime et qu'ou bien l'esprit peut
briser les lois de la pensée ou bien, à tout le moins, que ces
lois ne sont que partie d'un système plus large de lois et peuvent
être suspendues ... 11. in Mind. Vol. 26. 1917. p. 99.
28.
ibid. p. 195.
29.
Cf. Novum Organum. LT, § 95.
30.
The Claims of Science. Kate finale p. 207 SLP.
31.
Cf. LT p. 411.
32.
,
,
"The Claims of Science". in SLP p. 208. Xénophone est ici "'VC'Cjue
dans une citation d'Aristote. Méthaph. l, 5.
'---'-
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ecrIt après 1855.
25-
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"Logic
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359
NOTES DE LA S [X 1 EME P.!\\RT lE.
;\\ (iT ES
1.
W.S. Jevons écrit dans Pure Logic and Other Minor works dans un
article envoyé en 1870 à la Literary and Philosophical Society
of Manchester et repris dans cet ouvrage) Londres. Mac Millan,
1890. p.
176 ~ "De ces écrits du Professeur Boole, je dois dire
ce que j'ai jugé ailleurs d'autres parties de son oeuvre: qu'ils
apparaissent en eux-mêmes parfaits et presque inimitables".
2.
ibid. Remarquons que Jevons parle ici d'un rejet de la part des
mathématiciens eux-mêmes et non des logiciens pour qui c'était
déjà fait en grande majorité. Or Boole précisément, pour justifier
l'usage de llininterprétable, faisait appel à ce qui se Dratiquait
en mathématiques.
3.
John Venn p. 479 in "Boole's Logical System". ~lind. Vol. l - 1876.
4.
Ibid.
John p,enn
xxviii
'.' -...,.
. ~c ......
and Co. 1881. Signalons que Venn a rédigé, dans le Vol.
5 de Mind
(1880)
(p.
297) une note de lecture sur le Begriffschrift de Frege
paru en 1879. Et qu'en
en ayant ?ris distraitement connaissance
il n'est frappé que par le caractère "compliqué" et "mal commode"
de la notation. Supposant que l'auteur ignorait tout des travaux
de G. Boole, il écrit dans cette note de lecture que Frege lui
semble.présenter comme des "nouveautés" des choses qui n'en étaient
guère selon lui, avant de confesser au bout du compte qu'il lui
était difficile de juger d'un système dont l'écriture ne lui était
pas du tout familiè~
6.
Ibid. p. xxix.
7.
Ibid. p. xiii.
360
VENN
NOTES
1.
"L'idée la plus répandue concernant Boole est probablement qu'il
a considéré la logique comme une branche des
mathématiques, et
qu'en fait il a simplement appliqué des règles mathématiques i
des problèmes logiques. C'est là une erreur naturelle ... ". ln
"Boole's logical system". Mind. Vol. 1. 1876, p. 480.
2.
Une des deux épigraphes de la Symbolic Logic est une citation
de Leibniz
IISunt qui mathematium vigorem extra ipsas scientias,
quas vulgo mathematicas appelamus, locum habere non putant. Sed
illi ignorant, idem esse mathematice scribere quod in forma, ut
logicj,vocant, ratiocinari".
3.
Symbolic Logic. Introduction p. xii.
4.
Cf. ibid p. xii - xiii.
5.
ibid. p. xii.
6.
Cf. ibid. p. xv. Du rapport de cette langue des symboles à la
mathématique, Venn dit qu'il est celui d'un "genre" à une "espèce".
Cp. xvii).
7.
Cf. ibJ,d_. p. 91.
8.
Ibid. p. 92.
9.
Ibid. p. 95.
10.
Ibid. p. 96.
11.
Cf. p. 96.
12.
Ibid. p. 98.
361
13.
ibid. p. 86.
14.
Venn écrit, et ce sont là les premières lignes du chapitre 1 de
l'ouvrage
"Le système de Logique que ce livre se propose d'exposer
n'est pas simplement une extension des méthodes ordinaires - meme
si c'est là peut-être sa caractéristique principale - mais entraine
aussi un changement considérable du point de vue ordinaire. Cette
seconde caractéristique n'a pas, je pense, suffisamment attiré
l'attention de ceux qui ont discuté de la question, et c'est de
l'avoir négligé qui a ôté beaucoup de leur précision aux critiques
qui ont été faites dans un sens et dans
l~utre". (Symbolic Logic
p. 1).
15.
Cf. ~ymbolic Logic p. 86 - 87.
16.
Encore une fois, Boole s'en est avisé dans ses manuscrits posthumes
que Venn ne connut pas. On l'a vu, par exemple, s'interroger,
après les Laws of Thought, sur la "philosophie du développement"
en des termes qui ne sont pas éloignés de ceux qu'utilisera Venn
pour exhumer le fondement logique de cette méthode de développement.
1Î.
"La question qui dès lors se pose iIllillÉdiacemenc d'elle-même Est
celle de savoir s'il ne pourrait y avoir une quatrième opération
qui serait l'inverse de la troisième, comme la seconde l'est de
_-"_
la première. Il faut avouer que cette question nous est suggérée
plus par le symbolisme que par la démarche logique elle-même dans
sa réalité".
(Venn : Symbolic Logic. p. 67).
18.
Cité par Venn p. 70 de Symbolic Logic.
19.
Symbolic Logic p. 69.
20.
Cf. ibid. p. 71
21.
Ibid. C'est Venn qui souligne.
362
22.
Pour ce raisonnement cf. Symbolic Lo~ p. 71-72.
23.
Ibid. p. 72.
24.
Ibid.
25.
Ibid. p. 80. En réalité, bien entendu, l'opposition est ici bien
plutôt entre un point de vue de l'intention où l'abstraction de
la qualité de rationalité donne en effet la qualité d'animalité
et un point de vue de l'extension qui seul s'interroge effectivement
sur les limites d'une classe d'individus. C'est la raison pour
laquelle Venn dénonce ensuite l'apparente analogie entre multiplica-
tion et division logique d'une part, "Détermination" et'Abstraction"
de l'autre.
26.
Symbolic Logic p. xxvii.
'27.
Cf.
3ème partie,
chap ..
II,
la section
intitulée "Développement
d'une fonction logique". p. 77.
28.
Symbolic Logic p. 190-191.
29.
Ibid. p. 190.
30.
Ibid. p. 192.
----"-
31.
Cf. 196-197.
32.
Symbolic Logic p. 200.
33.
Notons simplement l'explication logique et intuitive qu'il donne
de la présence possible. dans un développement donné, de coefficients
o
1
autres que l, O. 0 ou O. Soit par exemple à développer x + y.
se.
Il vient x + y = 2xy + xy + xy. Si l'on~rappelle que l'addition
logique ne s'écrit qu'entre des classes mutuellement exclusives,
3&3
on sait que xy = O. Le coefficient 2 vient donc nous rappeler
que cette classe COIT@une xy ;d'une part a été comptée deux fois
dans notre subdivision logique, de l'autre que le constituant
auquel il se trouve préfixé doit être égalé à o. Le développement
a donc aussi pour fonction d'écrire explicitement les conditions
qui restent implicites dans les données.
x
1 -
0-
On le voit encore pour le développement de y en lxy + oxy +
xy
+ %~y, lorsqu'on considère le coefficient ~ (qui a la mê~e significa-
tion que tout autre coefficient différent de 1, 0 et §) : avoir
à égaler à zéro le constituant xy auquel il est préfixé, c'est
simplement écrire la condition x = xy dont nous avons vu qu'elle
x
était implicite quand on pose le symbole -y
34.
?ymbolic Logic p. 201.
35.
"Cette subdivision dichotomique des termes n'est pas la logique
même mais plutôt une infrastructure de la logique. C'est une pro-
cédure ordonnée qui assigne tous les éléments qu'utilisera lé
raisonnement à leur compartiment; l'accomplir constitue donc
plutôt un préliminaire au raisonnement que le raisonnement lui-
même. C'est, toutefois, un préliminaire absolument nécessaire
lorsque nous devons traiter de prepositions ou de greupes de pro-
posi tians complexes ... ".
(~lic
Logic p. 192). Rappelons que
Boole avait aussi dégagé, en étudiant la "philosophie du développe-
ment", cette infrastructure qui f'st·_finalement, la "loi suprême
de la Pensée" : le principe de Tiers - Exclu.
36.
Symbolic Logic p. 285.
37.
J. Venn. "Boole's logical system" p. 483 Mind. Vol. 1. 1876.
38.
Symbolic Logic p. 290. Venn ajoute qu'à vouloir éviter l'usage
du symbole d'indétermination % en écrivant par exemple cette expres-
sion w = wx + ~:z- (comme le ferait Jevons) on ne fait que "déguiser
une impréCision réelle sous une apparence d'information précise".
364
39.
Ibid.
40.
Ibid. p. 291. On peut, dit Venn, vérifier l'équivalence entre
(1) et (2). En multipliant les deux membres de (1) par xz et par
Won obtient les deux négations qui constituent (2).
41.
Ibid. p. 303.
42.
(w-x-xy) (w-xz)
w - wx - wxz + xz
wx - w~z - wxz + xz (w - ~~ se réduisant en wX)
wxz
wxz + xz (wX - wXz se réduisant en wXz)
wxz + wxz (xz - wXz se réduisant en wxz)
43.
Symbolic Logic p. xxi. En une autre analogie, il dira que la logique
symbolique ne remplace pas plus la logique commune que la géométrie
analytique ne remplace la géométrie euclidienne (p. xxvi).
44.
C'est ainsi que ~.E. Coumet s'interroge sur une périndisation
de l'histoire de la logique qui se scanderait en une époque de
la logique classique, "une sorte d'âge d'or ou des figures géométri-
ques dotent la syllogistique d'illustrations lumineuses; une
renaissance au cours de laquelle les figures, remaniées, font
de meme pour la logique des classes ; après quoi elles quittent
la scène, ne survivant qu'à titre de curiosité historique, ou
pour motif de commodité pédagogique". in p. 33 de l'article "sur
l'histoire des diagrammes logiques, "figures géométriques". Mathé-
matiques et Sciences Humaines. N° 60. 1977.
45.
"Préface" p. xxix - xxx.
46.
L. Euler. Lettres à une Princesse d'Allemagne. ed. Emile Sainet,
Paris, Charpentier, 1843.
47.
Lettre xxxiv p. 260.
:365
48.
Venn. Symbolic Logic. p. 7. Cette distinction entre ordre logique
et ordre grammatical est l'occasion de souligner une diff€rence
entre Boole et Venn : nous avons vu Boole justifier certaines
lois symboliques en prenant appui sur le langage ordinaire "en
tant qu'instrument du raisonnement". Rien de tel pour Venn qui
insiste à nouveau sur le changement de poiut de vue qui fonde
le langage et les méthodes de la Logique Symbolique. Si la logique
classique possède une valeur pédagogique certaine parce que son
point de vue prédicatif ne rompt pas avec le langage ordinaire,
il n'eo va pas de même de la logique symbolique: il est attesté
"grammaticalement" que dans la plupart des cas et dans nombre
de langues, la répétition produit un surplus de sens; cet état
de choses empirique relève de la grammaire mais la logique symbolique
elle, n'est pas l'affaire du grammairien: l'interrogation sur
la répétition n'a rien à voir avec l'acte décisoire qui pose "univer-
sellement que xx sera considéré comme étant la même chose que x"
(ibid. p. 56 - 57).
49.
Justement parce qu'elle n'accorde plus d'importance à la différence
qualitative entre sujet et prédicat. Elle ne se conçoit que dans
une perspective résolument et totalement extensionnelle, ce qui
vient tempérer le jugement que Venn reprend chez De ~organ pour
faire de la représentation diagrammatique comme un "réflexe" naturel.
(Cf.
sur ce point M.E. Coumet. art. cité p. 34 - 35).
50.
Symbolic Logic p.
7.
51.
L. Euler. ouv. cité. Lettre xxxv, p. 261.
52.
Cf. Symbolic Logic p.
16.
53.
Ibid. p.
105.
54.
Ibid. p.
112.
55.
Ibid. p. 115.
1 :
~LJ!
366
56.
Ibid. p. 113. Les mots soulignés dans la citation le sont p~r
nous.
57.
Venn souligne, dans une note (p. 104 Symbolic Logic) que Boole
lui-même n'a jamais usé de diagrammes ni donné quelque indication
que ce soit concernant l'introduction d'une telle interprétation.
58.
M.E. Coumet. in "Les Diagrammes de Venn". Mathématiques et Sciences
Humaines N° 10 p. 44.
59.
Symbolic Logic. p. 15.
60.
Ibid. p. 105-106. Nous adoptons, dans cette citation, la traduction
de M. Coumet. art. cité p. 38.
61.
Ibid. p. 108.
62.
Ibid. p. 109. ~ous adoptons, dans cette citation, la traduction
qui est donnée par M. Coumet. art. cité. p. 44.
63.
Art. cité p. 45. Dans le sens de ce que nous disons, remarquons
avec H. E. Coumet que "Si Venn n'a pas été trop troublé dans le
maniement de cette notion délicate (qu'est la classe nulle), c'est
qu'il se laissait guider par son imagerie d'occupation et de non-
occupation de compartiments".
64.
Symbolic Logic. note p. 28
65.
Ibid. p. 124.
66.
L.Couturat.
L'Algèbre de la Logique p. 77;
67.
1.
Couturat. "Sur les rapports logiques des concepts et des proposi-
tions" (Revue de métaphysique et de morale. 1917 pp. 47-48). Sur
la critique de Couturat concernant les schémas géométriques, cf.
M.E. Coumet, "sur l'histoire des diagrammes logiques, "figures
géométriques" pp. 47 - 48.
JEVONS
'361
!\\OTES
1.
C'est ainsi que N.l. Styazhkin consid~re que les écrits logiques
de Jevons sont un "développement et une généralisation" des "résultats
obtenus par George Boole".
2.
C'est M.E. Coumet qui écrit que par rapport à l'Analyse Mathématique
de la Logique, les Lois de la Pensée de Boole ont "la lourdeur
et le sérieux de justifications". E. Coumet : "Logique. mathématiques
et langage dans l'oeuvre de Boole" in Mathématiques et Sciences
Humaines N° 15. p.S.
3.
in Souleymane Bachir Diagne. De l'algèbre numérique à l'algèbre
de la logique p. 177. Thèse IIIème Cycle. Université Paris 1. 1982 .
.:..
Cf. § 204 des "Remarques sur le système de Boole" (Remarks on
Boole's System) p. 77 in Pure Logic and Other minor Works. Mac Millan
and Co. Londres. 1890.
s.
Ibid. § 176 p. 67.
6.
Ibid. § 177 p. 68.
-----
7.
Laws of Thought p. 112.
8.
Theodore Hailperin : Boole's Logie and Probability p. 75. Nortb-
Holland and Publishing Company. 1976.
9.
Jevons - ouvrage cité § 184 p. 70.
10.
Ibid. p. 71.
Il.
ibid. § 39 p. 15.
368
12.
ibid. § 58 p. 21
13.
Ibid. § 60 p. 22
,1
14.
Dans ce cas, de AC = AB on ne peut inférer C
B en "simplifiant
par A.
15.
Ibid. § 63 p. 24.
16.
Ibid. § 16 p. 8. Les mots soulignés le sont pour nous. Pour distin-
guer cette "addition" logique, Jevons l'écrira +
17.
Ibid. § 193 p. 74. Cette loi est la plus caractéristique et la
plus remarquable du système de Jevons : elle est devenue la marque
me me d'u~algèbre non numérique.
18.
Signalons cependant
que pour ce qui est de la question du sens
exclusif ou non de "ou ll qu'entre :3 pre.mière édi.~ic!n
:881) Gc
la Symbolic Logic et la seconde (1894), Venn adoptera la signification
non exclusive sans toutefois ressentir la nécessité de bouleverser
plus avant les procédures booléennes.
19.
DesGond :lac Hale : "Bcole a pleinement réalisé le besoin d' un
"ou" inclusif et en a bien évidemment usé en utilisant l'expression
xy +_K_O - y) + yO - x). Jevons, lui, a carrément déclaré que
x + x = x est une loi logique ce que Boole a catégoriquement refusé
mais il ne leur est apparemment pas venu à l'esprit - et cela
vaut aussi pour ceux qui, dans les vingt années qui suivirent,
à l'exception de Harley, soutinrent ou critiquèrent l'un ou l'autre -
qu'ils parlaient de deux opérations complétement différentes lors-
qu'ils écrivaient le même symbole +". p. 237 in George Boole, his
life and work. Boole Press - Dublin. 1985.
20.
Revérend Robert Harley in "George Boole". in SLP p. 470.
21.
Jevons. Pure Logic § 140 p. 50.
369
22.
Ibid. § 144 p. 52. Dans cette expression Jevons utilise les lettres
ffiôjuscu1es A et B que nous avons remp12c~~S par x et y. ~otons
que l'~criture A = AB est également celle de Leibniz. Cf. Couturat
La logique de Leibniz pp. 345 - 346. Il faut ajouter, puisqu'il
est ici question de ressemblance avec Leibniz - et celle-ci n'est
pas la seule - que Jevons d~clare, dans la Préface de 1877 â la Seconde
édition de ses Principles of Science (1884) qu'il a lu Leibniz
après la publication de son propre ouvrage.
23.
J. Venn. p. 489 "Boole's logical System". Mind Vol l 1876. Il
est dommage pour le sel de la plaisanterie qu'il n'existe pas
véritablement, en français, d'adjectif formé sur "archidiacre"
autre que "archidiocésail'l "qui ne rend pas parfaitement l'anglais
"archdeaconal".
24.
Jevons. Pure Logic § 144 p. 52.
25.
Ibid.
137 r"
~9"
26.
Ibid. Introduction p. 3.
27.
Ibid. § 197 p.
,).
28.
Cf.
§
16 pp. 8-9.
29.
Pure Logic - § 116 p. 43.
30.
Jevons adopte, on le voit, l'écriture de De Morgan qui traduit
les termes "positifs" par des lettres majuscules et leurs "négatifs"
par les minuscules correspondantes. Il refuse donc d'attribuer
une quelconque signification au 1 booléen représe~nt l'univers
du discours.
31.
Cf. Pure Logic § 115 et 116, pp 42 - 43.
32.
Ibid. § 201 p. 76.
')70
33.
Ibid. § 202 p. 76 - 77.
3~.
E. Coumet
: "Logique, mathématiques et langage dans l'oeuvre de
Boole" MSH N° 15, p. 7.
35.
C'est-à-dire que l'on retrouve dans son algèbre logique ce point
de vue de la primauté de l'opération qui a permis l'émergence
de l'algèbre abstraite. L'on voit mieux ce qui fait la nouveauté
de ce point de départ adopté par Boole en constatant quel était
le sens que la logique classique assignait au mot de conception,
par exemple dans ces lignes de Whately : "l'appréhension simple
est la notion (ou conception) d'un objet quelconque dans l'esprit,
analogue à la perception des sens", in R. Whately. "Logic" in
Encyclopaedia metropolitana.
2nd edition.
36.
Pure Logic § 204 p. ï7.
r .
lbid.
§
..,
;:J.
E.
38.
Jevons
Principles of Science p. 27. Londres 1874.
39.
Ibid.
40.
jevon. Pure Logic § 185 p.
71.
41.
Cf. Ibid. § 109 pp 38-39.
42.
Cf. ibid.
§ 99 et § 101 pp 34 -
35.
43.
Ibid. § 109 p. 39.
44.
De la découverte de la quantification du prédicat, il crédite
Jeremy Burtham et à sa suite, son neveu.
George Bentham et renvoie
à l'ouvrage de ce dernier intitulé Outline of a ~ew System of
Logic. LondrES 1827. Il ajoute que "Sir William Hamilton, l'Arche-
371
vêque Thomson et le Professeur De Morgan ont redécouvert et développé
cette même idée n'~'uvE-llè''' pendant que "le Dr. Boole utili-séllit
cette notion fondaIT,entaIe Cl)mme point de départ, a récemment créé
un syst~me mathématique de l'inférence logique d'une extraordinaire
originalité". The substitution of Similars p. 83 in Pure Logic
and other minor works.
45.
Cf. The Substitution of Similars ouvrage cité p. 102.
46.
Ibid. p. 106.
47.
Ibid. p. 90.
48.
Ibid. p. 96.
49.
A. De Morgan. FormaI Logic. Les expression soulignées dans cette
citation le sont par nous. l f Ço)
50.
Ibid.
51.
'Jevons. The Substitution of Sirnilars p. 92 ouv. cité. Notons que
si Leibniz définit l'identité par la substituabilité - eadem sunt,
quorum unum in a1terius locum substitui pot;.st sa1va veritate" -
il pose aussi comme axiome le principe du syllogisme (consequentia
per se vera) selon lequel "si a est b et b est c, a est c : cf .
.---'-
Couturat. La logique de Leibniz p. 338.
52.
Dans l'expression 'symbolique de la loi de dualité, écrit Jevons,
"le signe + traduit l'a1ternation, et est équivalent à la véritable
signification de la conjonction disjonctive ou". ibid. p. Ill.
53.
Ibid. p. 126.
st...
Ibid. p. 127.
55.
Cf. Ibid. p. 100. Cette démonstration de Barbara au moyen du principe
de substituabilité est exactement la même que celle que l'on trouve
1ï2
chez Leibniz lorsque ce dernier entreprend de démontrer le Erinci2~
axiome. Cf. Couturat La~j~~~_Le~~~iz. p. 347.
De la même manière, Jevons montre le fonctionnement de ce principe
pour d'autres modes du syllogisme, Qarii, Darapti, ainsi que pour
les sorites ou chaînes de syllogismes ...
56.
Cf. ibid. pp. 103 - 104.
57.
Cf. ibid. pp 112-113.
58.
p.
155
59.
in Couturat
La L~ique de Leibniz. note p. 321.
60.
Cf. Pure Logic. § 15 p. 8.
61.
Cf. Pure Logic.
§
191 r'.
/:0.
62.
Principles of Science p. 156. Cité par Frege in Les Fondements
de l'arithmétique. trad. C. Imbert. Seuil. Paris 1969 p.
143.
63.
Frege ouv.cité p. 143.
64.
"L'abstraction numérique ( ... ) est donc un procès
différent de
l'abstraction logique; car dans la seconde on laisse de côté
l'existence même de la dit férence et de la pluralité". Principles
of Science p. 158.
65.
Cité par Frege. Op. Cit. pp. 162 - 163.
66.
Jevons Pure Logic. f i-i.
67.
Cf. Pure Logic. § 192 p. 74.
68.
Principles of Science p. 158. Nous suivons ici, en grande partie,
la traduction de C. Imbert. in Frege. ouv. cit. p. 172.
"1
......... /
......
3ï3
69.
Cf. ~ure Logic. § 186 p. 71. On peut rapprocher toutes ces 2n21yses
cle J"'\\'OlèS de la tentative de Léibniz dE dcnner une définitio;;
logique du nOI:.bre cardinal. Citons à ce propos ces lignes de Couturat
"Voici d'abord comment Leibniz définit le nombre un : Si a est
ID,
et b est ID, et si a est b et b est a, ID est un ( .•• ) L'idée
de ~lusieurs est définie d'une manière contraire: Si a est ID
et b est ID, et si a n'est pas b et b n'est pas a, il y a plusieurs
ID ( .•. ) Si a est m, et b est ID, et si a et b sont disparates,
il Y a "deux" ID ; Si a est m, b est ID, c'est ID , et si a, b, c,
sont disparats, il y a "trois" m... " in La Logique de Leibniz
pp 342-343.
70.
Ibid.
71.
Ibid.
§
188 p. 72.
72.
Ibid.
73.
Ibid.
§ 190 p.
73.
74.
Ibid.
§ 191 p.
73.
75.
Frege. Ouv.cit. p.
165.
76.
Ibid. pp. 166 - 167.
,._--0_
n.
Ibid. p. 168.
78.
79.
Il est
reproduit
dans Pure Logic and other IDinor Works pp 139
à 172. C'est à cet ouvrage que nous continuerons ici de faire
référence.
'3Î.~
80.
Pure Logic p. 141. Signalons à ce propos que Desmond Mac Hale
se prend à "spéculf:r sur ce qui sErait arrivé si l "'Il avait réuni
le harj~are de la machine analytique de Babbage et le software
de l'algèbre des classes de Boole". Plus sérieusement il nous
apprend que si Boole s'est intéressé à cette "machine des différences"
puisqu'elle reposait sur la notion de l'opérateur différentiel
qui avait fait l'objet de
ses propres travaux ll il n'y avait vu
qu'un moyen mécanique curieux plutôt que l'illustration de princi-
pes mathématiques" in Ge~~:_g~.!3001e. His LHe and Works. p. 235.
81.
Ibid.
82.
Ibid. p. 142. Les mots soulignés le sont par nous.
83.
Ibid. p. 144.
84.
Couturat
- La logique de Leibniz p. 115.
85.
Herbert H. Knec~t. La logique chez Leibniz. Essai sur le rationalisme
baroque. Dialectica. L'Age d'Homme.
1981 p. 63.
86.
C~uturat. ouv. cité. p. 116.
87.
Herbert H. Knecht ou\\'. cité. p.
126 .
.~--. -
88.
John Venn)dont l'entreprise peut se penser comme le projet de
rendre "sensibles et palpables" les procédures de Boole,a.>lui
aussi) constitué une machine logique sur le principe de sa diagram-
matisation. C'est la raison pour laquelle il l'appelle "machine
logique - diagrammatique". Elle consiste à créer les moyens mécani-
ques de sélectionner les compartiments qui répondent aux données
du problème envisagé (cf. Symbolic Logic pp. 121-123), ce qui
dit-il, en fait l'équivalent de l'abaque logique de Jevons. Mais
il ajoute qu'il a finalement peu d'intérêt pour les machines logiques
dont on a rarement besoin puisque les problèmes qui sont proposés
3ï5
en général ne présentent guère une complexité telle que la machine
50it d'un secours tr~s important. Que faut-il f~ire ibee à un
problème logique? 1°) écrire les données en un langage formel
qui évacue les ambigultés et les variations du langage ordinaire.
2°) Les écrire dans le langage de la machine. 3°) Traiter les
prémisses et 4°) Interpréter les résultats en faisant preuve de
jugement dans les différentes manières possibles de lire les réponses.
Or si les machines logiques ne peuvent accomplir que la 3ème étape,
peut on encore véritablement les dire "logiquef ? (Syrnbolic Logic
p. 120).
89.
La traduction de la Réalisation mécanique de l'Inférence Logique
est donnée par F. Gillot ainsi que les plans de la machine logique
dans Algèbre et Logique ~rès les textes originaux de G. Boole
et W.S. Jevons. Blanchard. 1962.
90.
L. Couturat . L'Algèbre de la logique Scientia. Mars 1905. pp.77-78.
91.
~ary Everest Boole. The Message of Psychic Science in Mary Everest
Boole: Collected Work .s (1931). 4 vol. édités par E.B. Cobham.
cité par Desmond Mac Hale p. 235 de sa biographie de Boole.
376
j) . \\' i .
2-
Grlt t 1 uh
FrL'IJ;-;
~(jJJ.1J~(:tJLJ~t;_,-_EiJI(-~
çlt~L_9r:jJ.J}mf:'JU:,;cllt"'l!
[lac tw_<:'l2.U rJ_~ti'~_f_ÇlL!!H:~l sEr::.~l.t;'}l~
d_~~_E0.lIi:'lLJ2;_·n.t"f'_n:;; -
Ha] l f? _
l .'-'7Q .
) __'~~J
3 - L () IJ i ~
C () 11 t U L-d
-' -
Il Il \\' . (: j t
P . Cl ::1 .
'") - i hi li.
6-
wb j t. p!1ead.
Oll\\. cft
p.~.
c( ~ll t Il i ,j 1
,,11\\ .(-it.r,.q-,.
o_
.::>
----
9-
Rlls:::-e] l
et
Wh i t.,.]1Péld.
~/ld.ed.
p.20S.
10-
Whitehead.
ouv.cit.
··Prpface".
Il
LT
J). 12.
13-
cf.
"/\\nnexl-:'
Z".
377
15-
Cflllt11lat:
oU\\..cir
pJ.
Hn]lrlntl
Pur.lljshing
C()mpéln~:.
O~ford,
l <) ï S
(p . .2 ~\\ 1 •
' - - ' -
378
NOTES
1-
Frege."Sur
le
but
de
l'idéographie".
p.IO,
Ecritjs
logi-
ques
et
Phi losop~ues.
Trad.
et
Introduction
de
Claude
Imbert.
Seuil.
1971.
2-
J.
Van HeijE.'lloort
"Logic
as Calculus and
Logic
as Langua-
ge"
(1967). in
BQ~L~St!1d ~~_ilL~t]l._~.__j:,-hiL~Ql:J!lj,l_~_L Scj~nc~.
3.
pp 440-446.
3- Frege.
art.cit.
p 13 de
l 'ouv.cité.
4-
Voir
son
ar-ticle
intitulé
"Que
la
science
justifie
le
,-ecours à
une
idéographie".
oU\\'.cité.p.
63.
5-
Van
Heijenoort.art.citè.
cf.
éçwlement.
du
méllle
auteur.
"Absolutism
and
r'elalÏ\\lsm
in
Logic",
repris
avec
le
prèce
dent dans ses Sel ec ted »~~. g ))cu1"
Mt,~·, (I~\\\\-)\\\\Vr~)' ~ J 8';
Imbert." 1 ntrC)(jlll't ion.
p.2.'1
1 -
Van
HeiJenoort,
"Logic
as
Calculus
and
Logic
as
Langua-
ge".
La-théorie des
t~'pes de Russell, pr-écise-t- i 1, ne \\'i ent
pas relativiser cet univers.
même si
elle
le stratifie.
8-
jbid.
Voir
également
Warren
D.
Goldfarb:
"Logic
in
the
twenties:
the
nature
of
the
quantifier";Journal
of
Symbolic
Logic.
volume
44.
N°3.
Sept.1979
pp
351-368.
Cet
auteur
écrit:
"Si
le système constitue
le
langage
logique universel
il
ne
peut
exister
de
point
de
vue
extérieur
à
partir
du-
quel
on
pourrait
examiner
et
interroger
ce
système.
Les
considérations
métasystèmatiques
sont
plutôt
illégitimes
que simplement
indésirables".(p.353)
9- W.D.
Goldfarb.
art.cit.
p.356.
379
10-
Trad.anglaise
sous
le
t i t r e
"On
possibilities
in
the
calculus
of
relatives",
in
From
Frege
to
Gbdel.A
source
book
in
mathematical
logic.1879-1931.
Van
Heijenoort.
Har-
vard University Press.
Cambridge.
1967.
(pp 228-251).
Van Heijenoort.
dans son article,
donne du théoréme de Lowen-
heim
la
formulation
suivante:
si
une
exprtession
bien
formée
est
va l i de
dans
un
doma i ne
dénombrab le,
e I l e
est
val ide dans tout (jomaine".
.---"-
380
J'iUlES.
1-
R.
Blallché.
La_~illÇLue et
son
histoire.L--.9'Aristote
à
B1Lss~ll.
pp 290-291.
Armand Colin.
Coll.U.
1970.
2-
cf . .I-\\lfred
North
Whitetlead:
"L'étude
purement
mathémati-
que
de
cette
a]g!">l)l--e
a
décliné;
la
théorie
de
]a
Dua]ité,
1 a
théor i e
du
Déve] oppement
par
1a
procédure
de
Di chotomi e
et
la
théorie
des
Equations,
semblent
avoir
épuisé
la
ques-
tion
de
ses
propriétés
purement
mathématiques.
Les
recher-
ches
concernant
ces
propr i étés
ont
été
in i t i ées
par
Boo] e
et
portées
par
Schrbder
à
un
degré
élevé
de
perfection.
Mais
l'etssentie]
des
tra\\'aux
consacrés
à
cette
algèbre
peut
être
appel è
"lIlathémat i que
app] iquée";
i ]
concerne
avant
tout
]e
rapport
du
symbolisme
à
son
interprétation
dans
le
domaine
logique
et
à
son
usage
comme
un
instrument
prati-
que
permettant
d . e."\\.pl 1mer
ri goureUst'ment
le
raisunnement
déductif
< ••• ).
Ce
mèmoire
montre
que
cette
algèbre
prèsen-
te
beaucoup
plus
de
propr i étés
pu remen t
mathémat i ques
que
cel ] es
q li • Cl ri
1 u i
d
j 11 ,--Cl 11 • i c j
r' p co TlIlllf' s".
i n
"1'1 em 0 j r
() ri
the
"lgetlT'd
of
S\\:mtJoI ie
Logic",
p.139.
:;mericanJoUT::.Di~:tLJdJ_Mat,ll_e~
ll1aUJ=-s.
\\"01.
23.
1901
<PI:I.
139
165).
v.
--"-
HUll t i ngt on."
Sets
of
.lndependent
postulates
for
the
algebra
of
Logic'·.
in
Transactions
of
the
American
Mathematical
Society.
vol.
5.
1904.
pp.288-309.
4-
Repris
dans
les
Collected
Papers
de
C.S.Peirce.
Harvard
University Press.
1933.
cf.
C.P.III.
Comme
le déclare Peirce
lui-même,
en
fait,
ses
perspectives
sur
la
logique
de
Boole
sont multiples. <C.P.III.§455l;
6-
Voir,
par
exemple,
C.P.
III,§47.
I l
indique
en
note
de
ce §47 que cette
copule est plus simple que
l'identité.
7-
C.S Peirce.
C.P.
vol .IV.
4.12 à
4.20).
381
8·
cf.
ci-après.
9-
cf.
N. 1.
stYélzhkin.
!:tL~tQU:'-_QJ_M3ttlematical Logic
from
LejbnL~~~e~no. p.209.
M.I.T
Press.
Cambridge.
Mass.
1969
10-
ibid.
11- E.V.
Huntington.
art.cit.
12-
cf.
art.cit.pp
290-291.
Le
cercle
entourant
le
signe
d'opération
pour
le
distinguer
de
son
équivalent
arithméti-
que usuel
est une réminiscence de Leibniz.
13-
cf.
art.cit.
pp.
291-292.
14-
On
voit
que
l'inclusion
peut
s· interpréter
comme
une
"implication"
lursque
les
èl'c'ments
dt:'
h
ne
sont
pl us
lit.:' S
classes mais des propositions.
15-
in
TCSlJ.1?-9.ÇJ;j_9_0:;>._-2L_J:'x!R.-,À.rn p rLçé!I}_11.aJ hemsLt U~_a~_-,~oçjgt_y
,"ul.
14.
1913.
pp.
481-~88.
16-
art.cit.
p
482.
B.A.
Bt:'rnstein
r-éduira
à
quatre
les
postulats. <cf.
B.A.
Bernstein.
"A
set
of
four
independent
postulates
for
Boolean
Algebras".in
Transactions
of
the
American Mathematical
Society.
vol.
17.
1916.
pp.50-52).
Un
an
plus
tard.
dans
le
vol.l9
des
Proceedings
of
the
Cam-
bridge
Philosophical
Society.
0917.
pp
32-41>.
J.G.
Nicod
proposera
"une
réduct i on
du
nombre
des
Proposi t ions
log i -
ques
primitives"
(A
reduction
in
the
number
of
the
Primiti-
ve Propositions of Logic).
17·
in
Transactions
of
the
American
Mathematical
Society.
vol. ·35,
1933.
pp.274-304.
l8-in
American
Mathematical
MOTllliL~'.vol. 27.
(l920).P.
310.
382
19
M.H.
Stclne
"Trie
UJE.'or\\.
of
1Vt-'!C'SIJIiLdticlIiS
fOI
BD(J]~Jdn
al gebras" •
in
TranSdc1.i.Qps _0 f _lJ1E:'__------'-~er iS'----an__ ~Mé:I.!JH:~IIl<li..U=d 1
Society.
vo1.40.
1936.
pp.37-111.
20-
a r t . c i t .
p.37.
383
cj-mU!\\OL OG 1 E
DES TR,\\ \\-~L;X PUEE lES DF BOOLE.
Researches
on
the
Theory
of
Analytical
Transformations,
with
a
special
application
to
the
Reduc t i on
of
the
Genera 1
Equation
of
the
Second
arder
(1841)
Camtwidge
Mathema.-11~tl
Jour'nat,
Vol.2,
pp.64-73.
On
Certain
Theor'erns
in
the
Calculus
of
Var'iations
<1841>
Cambridge Mathematical
Journal,
Vol.2,pp.97-102.
On
the
Integration
of
Linear
DifferentiaI
Equations
with
Constant
Coefficients
(18,~1)
Cambriqge
Mathematical
Journal
Vo1.2,
pp.114-119.
Analytical
Geometry
(1841)
Cambridge
Mathematical
Journal,
Vo1.2,
pp.179-188.
Exposition
of
a
General
Theory
0 f
Li near
Tr"ansformat i on.
Part. l
( 1842)
Cambr i dge
Mathematical
.Journal,
Vol.3,pp.
1-20.
Exposition
uf
a
Gener"al
Ttleor~
of
Llnear
Transfol"lTiations.
Pa r t . l l
( 18-'1-Z )
CaITl--.p__LLç19~__ Jl9.t h_~maJ,ü~J
LoJJl)îa L,
\\'01.3, pp.
106-119.
.-----
On
the
Transformation
of
Definite
IntegraIs
(1843)
Cambrid-
ge Mathematical
Journal,
Vol.3,pp.216-224.
Remarks
on
a
Theorem
of
M.Catalan
(1843)
Cambridge
Mathema-
tical
Journal,
Vol.3,pp.277-283.
On
a
Ge nè1Cl1
:'le UJOd
j n
/\\I1o::-tl ys j s
(18.1+4)
Ph i l osoph i ca l_TrJ:lll..-=-
sactions of
the Ro~l Society,
Vol.134,pp.225-282.
On
the
Transformation
of
Multiple
IntegraIs
(1845)
Cambrid-
384
gP_l'ldtJlcrna tLc-,,'ü_ JClurna 1.
\\'01.1< . pp. 20 ::::8.
On
t11e
Inverse
Calcll]us
of
DE~filJite
Jntr:>grals
<184':.)
Cam
bCl.Q.-9S'_ Ma1hem~tiç9J~J,.)ULIEÜ, Vo l .4, pp. 82 -87.
~otes on
Li near
Trallsforrnat Ions
(181<5)
ÇAJ1lbrLçlg~_t1a!:lleJ!1at;j--=
cal
Journal,Vol .4,pp. 167-171.
On
Llle
rheor~'
of
De\\"eloprnents.
Part.]
(1845)
Ç~1fTlJ2l~i(:tm~_Ma
themg-.ticql Journal
Vol.4,pp.211<-223.
On
the
Equation
of
Laplace's
Functions
(1845)
Report
of
the
Br i t i sh
Assoc i a t i Ofl
I,9_L._lhe_
Advancemer:Lt:.._.QL_Sc i~ce,
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the
Equation
of
Laplace's
Functions
(1846)
Cambridge
~_llçt_Dubl in Mathematical_JQurDa~. Vol.1 ,PP.10-22.
The
Mathematical
Anal\\.'sis
of
Logic,
being
an
Essay
towards
~
CoU cuL~LJ>.~du~!ive
Reason i.Jlg
< 1847)
Macmillan,Barclay
and Macmi llan.Cambridge.
On
a
J\\lf:>tholi
nf
Dt"fltlite
InterJration
(1847)
B~~~c.L_(JL Uîe
Ç\\LLL]:-:;tL_~:3S0 c.L9__tu:m_f Q"Lll~~~_çlyéJ.JJ.~·.f~n~_nt __ Q.L~i~ i en_~l:o'.
O.'J D r ct .
Part.2.p.2.
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On
the
Attraction
of
a
Solid
of
Revolution
on
an
External
Point
(1847)
Cambridge
and
Dublin
Mathemat~i~c=a~I__~J~o~urnal,
Vol.2,pp.1-7
On
a
Certain Symbolical
Equation
(1847)
Cambridge
and
Dublin
Mathematical
Journal,
Vol.2,pp.7-12.
Remarks
on
the
Re\\'.B.BI-OII~...·jn·s 1'1eUtod
for
Differ"ential
Equa-
tions
(1847)
Philosophical
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pp.6-8.
Note
on
a
Class
of
DifferentiaI
Equations
(1847)
Phi.l.Qsophi-
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(1848)
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Equarion
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.QLlli~_..BoYQ.L.L!:Jsh AcademL
Vol.2.1,pp.140-149.
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GPIJf'r al
Transfurrnation
of
é.ll1\\,'
QUêlIltitative
Fllllction
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The
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of
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(1848)
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PPEMIERE PARTIE: L'AUTO[JIDACTE
p.
9
DEU;<IEI1E PAPT lE: RENCONTRE~;
D.
,:: 1)
A. L'Ecole des Algébri::;t.es de Côrnbndge et
1ô quest i on de 113 carôctéri sti que
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C. Le côlcul () openJtlüns
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1- Le::, antécéljent·: cDnt1nent.;3u>~
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Bo La not i on d'uni vers du di scours
o.
69
TROISIEME PARTIE: L'OISEAU DE NUIT EN PLEIN JOUR
p
74
1. La reconstruction syrnt,01ique du langage
D 75
A. Les loi::; cles siones
D.
76
B_Le::: ]Ci 1:3 Ij e::; CCt ncep t 1(1 n':; rn ent ale ':.
,..1.
,-...'
II. L'optirnisme du symbolique
p,
94
[1
97
B. Le nou··... eôu sl~rntll)lisrne ôll~ébrique et le
n:li sonnement. l o,~i que t. r;:jtjit. i onne l
C,
1ü2
LOi
SIXIEME PARTIE: LA RAISON-CALCUL ET
l'IMMEDIATE POSTERITE DE BOOLE
p. 218
1. Venn et la représentation diagrammoUQue
du rai sonnement
A. Le" t nm sf en ,j e ::,1 'Jn111 Ci:: 1. le n" et 1ô
lanGue des sljrntlole~,
...,
~
B, Lô signification lOQlque des procèdures
;j 1gét'ri Ques de Boo le
1- La cnUque ,j Euler
2- Harmonie ,j'une raison-calcul et dune
raison- 9èornétrie
Ci
~'51:.'
11 1P ',l'-, 1'1 ': pt',·::, t'':'''' '1 ].•:. ,::d i ,', ", ,y, ç, ,-..; ~'. i ., IJ P. il P. l' 1 ni p ,-.;:, ",,- G Ci
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•
_
A. Les objections ôu S!~::;tèrne de Boole
B. Le ment. ô li ::;rne l Cil] 1Gue ,je .Je',ion::;
\\- Les lois de lô logique pure
p. 274
cor~CLU~31 ON
D. . 1:,
ANNEXE 1: CALCULUS RATIOCINATOR ET LINGUA
CHARACTERICA UNIVERSAL IS
0,
309
ANNEXE 2: QUELQUES ELEI'1ENTS POUR UNE CHRONOLOGiE
DU DEVENIR MATHEMATIQUE DE L'ALGEôRE DE BOOLE
p
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-,
NOTES
p. '. '7
"_j.L.. -_-'
Ei 1BL IIlGPAPH 1E
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7'= '7
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\\- La conversion
DIO::
2- Le syll ogi sme
p. 107
c. Lô théorie gènérale du r-ôisonnement
1- [1 C ; , - i -. r' c. c" ,'.':' ,', T' JO>' Il',,:. ..... ! l '-, r' '.- ,l' ,"" , -
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