THÈSE
DE
DOCTORAT
D'ÉTAT
ès Sciences Mathématiques
présentée
à l'Université Pierre et 11'rarie Curie
Paris 6
par
Monsieur
Galaye DIA
pour obtenir le grade de DOCTEUR ès SCIENCES
i CONSEil AFRICAIN
ET MALGACHE
. POUR l'ENSEIGNEMENT SUPERIEUr:
1 c. A. M. E. S. -
OUi\\GADOUGOU
Sujet de la thèse
; 1\\ITivee ·2·9 M·A.\\.·1S9S
.
, L,,:qstré· SOClS n' t·Q·Q· 2..8·0.
'J.
STATISTIQUES D'ORDRE DANS LES PROCESSUS PONCTUELS,
ESTIMATION DE LA REGRESSION
Soutenue le
Jury camposé de :
Président -rapporteur
f'1,
Jo GEFFROY
Mo
Po DEHEUVELS
Rapporteur
~1
Po CAZES
Examinateur
0
M. J,P. LECOUTRE
Rapporteur
~I
G. KREWERAS
0
Examinateur

Je remercie Messieurs les Professeurs CAZES et KREWERAS d'avoir accepté
de faire partie de mon jury.
Monsieur le Professeur DEHEUVELS a été toujours disponible à mon égard
et m'a accueilli dans son laboratoire (L.S.T.A.) où j'ai pu mener mes recher-
ches dans d'excellentes conditions. Je le remercie profondément.
Monsieur LECOUTRE s'est toujours intéressé à mes recherches
je 1e
remercie d'avoir accepté d'être rapporteur de mon jury.
Je remercie vivement Monsieur le Professeur GEFFROY qui a guidé mes
recherches jusqu'à son terme sans discontinuer. Il m'a toujours bien accueilli
à tous moments malgré ses nombreuses charges en me prodiguant de précieux
conseils. Je lui exprime toute ma gratitude.
Mes remerciements s'adressent aussi au personnel et aux collégues de
l'Institut de Statistique de l'Université de Paris où j'ai exercé pendant
deux ans les fonctions d'Assistant Associé. Ils m'ont toujours manifesté
une sincére amabilité sans cesse renouvelée.
Madame TILLY a dactylographié mon manuscrit avec compétence qu'elle
trouve ici tous mes remerciements.
Je n'oublie pas de remercier ma femme qui a su supporter pendant si
longtemps mon éloignement. Elle a œuvré à me mettre dans une certairie
disposition d'esprit sans laquelle tout travail de recherche se trouverait
perturbé voir irrémédiablement compromis.

TABLE DES MATIERES
Pag(J~
l NTRODUCTI ON
CHAPITRE l - ETUDE J)' UNE SUPERPOSITION DE PROCESSUS
PONCTUELS INDEPENDANTS ET EQUIVISTRIBUES SUR R+
0- NOTATIONS ET DEFINITIONS
1- ETUDE DE LA SUPERPOS l TI ON 6in)
5
II - ETUDE DES STATISTIQUES D'ORDRE
13
A- 6' EST UN PROCESSUS DE POISSON NON HOMOGENE DE PARAMETRE
o (Ou. llIe-ou.Ae moyenne) Il
13
B- 60 EST UN PROCESSUS QUELCONQUE
22
1n
LOI LIAIITE DE X
)
35
ni
,\\\\.AfRIC4/1\\I~
CHAPITRE II - ETUIJE DE L' ESTHIATEUR J) • •bVrGRESSIQN,DEFINI E SUR
UN PAVE BORNE (-, DE
R~{['i(~q,l1
37
+< _.
'--,:::../1>, ~ ~\\\\
, 1
1- NOTATIONS ET DEFINITIONS
' \\
--<-_'::
'"
37
./ ,
11- ESTIMATION DE LA FONCTION DE REGRESSION:-DESCRIPTION DE
LA METHODE
' "e~-
38
111- CONDITIONS NECESSAIRES DE CONVERGENCE UNIFORME EN
PROBABILITE DE ~
K
39
n,
IV- CONDITIONS SUFFISANTES DE CONVERGENCE UNIFOR,IIE DE ~
K
40
n,
V- VITESSE DE CONVERGENCE
57
VI - LOI LIMITE (~= 1)
57
CHAPITRE III - ETUDE DE L'ESTIMATEUR DE LA REGRESSION DEFINIE
SUR
R+
66
1- NOTATIONS ET DEFINITIONS
66
II - CONDITIONS NECESSAIRES DE CONVERGENCE DU REGRESSOGRAMME
68
III - CONDITIONS SUFFISANTES DE CONVERGENCE DU REGRESSOGRAMME
73

Page,;
IV- CONSISTANCE LOCALE DE L'ESTHIATEUR ijJ
K
86
n,
A- nÔ EST UN PROCESSUS DE POISSON
A7- PlLeu.ve du. J.néOlLèlne
89
A
90
c -
V-Lte,;.;e de cOllve,"cgellce
,
B- LA PREMI ERE PROJECTI ON DE 6Ô EST UN PROCESSUS DE POISSON
97
C- nÔ EST UN PROCESSUS QUELCONQUE
702
CHAPITRE IV - ETUDE DE L'ENVELOPPE CONVEXE DES POINTS D'UNE
2
SUPERPOSITION DE PROCESSUS PONCTUELS SUR
R
705
+
A- Ùô EST UN PROCESSUS DE POISSON
712
B- nô EST UN PROCESSUS QUELCONQUE
722
CHAPITRE V - ETUDE DE L'ESTIMATEUR DE LA REGRESSION DEFINIE
SUR
R~
129
I- NOTATIONS; HYPOTHESES
729
II - CONDITI ONS NECESSAI RES DE CONVERGENCE DU REGRESSOGRAM,\\IE
731
III - ETUVE DE LA STABI LITE DE xn
734
ln
IV- CONDITIONS SUFFISANTES DE CONVERGENCE DU REGRESSOGRAM,\\IE
737
CHAPITRE VI - BLOCS EQUILIBRES D'UNE SUITE ALEATOIRE DE
VARIABLES STATISTIQUES
]47
I- INTRODUCTION ET DEFINITIONS
147
II- nô EST UN PROCESSUS DE POISSON
150
III- nô EST UN PROCESSUS QUELCONQUE
754
CONCLUSION
771
BIBLIOGRAPHIE

INTRODUCTION
Parmi les problèmes réels qui ont été à la base de nos recherches nous
pouvons citer les exemples suivants:
a) Etant donné un standard téléphonique recevant des appels pendant une
période déterminée on s'intéresse à la durée moyenne des temps d'appels.
b) Si on considère une région géographique où on soupçonne l'existence
d'un certain type d'arbres on peut se poser le problème de la détermination
de la hauteur moyenne de ces arbres répartis dans cette région.
c) L'examen d'un certain type de circulation peut conduire à l'étude de
la vitesse moyenne des véhicules.
Le cadre théorique d'adapté à l'étude de tels problèmes est sans nul
doute la théorie des processus ponctuels.
La théorie des processus ponctuels a connu ces dix dernières années
beaucoup de travaux. Citons ceux de GEFFROY [29 J, MENDES LOPES [82] ,
JAC08 [38] . Les précurseurs dans ce domaine sont RENY! [49] , PREKOPA [46] ,
THEDEEN [ 54] , MOYAL [84] .
L'étude des processus ponctuels utilisée comme outil pour résoudre les
types de problèmes que nous venons d'énumérer fait appel à des variables que
Mr. GEFFROY désigne sous le nom "variables statistiques" ou "variables res-
treintes"
Nous étudions au chapitre 1 les statistiques d'ordre des variables
statistiques (v.s.) associées à une superposition de n processus ponctuels.
Nous généralisons ainsi la notion de statistique d'ordre d'un n-échantillon
d'une variable aléotoire. Nous étudions les problèmes liés à la stabilité
en probabilité de la plus grande valeur de la superposition.
Nous avons choisi, pour l'étude de l'estimateur de la fonction de
régression, le régressogramme à pas fixe. Cet estimateur a été étudié pour
la première fois par TUKEY [98] en 1961 puis étudié par BOSq [4]
MAJOR [ 43] , GEFFROY [ 30] , SABRY [ 83 J , LECOUTRE [ 41] .
Au chap II, nous étudions le régressogramme lorsque la fonction de
regression est définie sur un pavé borné de JRs (s >1). Nous avons fait appa-
raitre dans le régressogramme associé à un processus tout entier une fonction

auxiliaire
ayant les propriétés du régressogramme associé à un n-échantillon.
C'est ce qui nous a permis de montrer la convergence presque compléte, la
vitesse de convergence de l'estimateur vers la fonction de régression. Nous
avons terminé le chapitre en étudiant la loi limite de l'estimateur lorsque
s=l .
Le chapitre III est consacré à l'étude de l'estimateur de la régression
définie sur R+ . Nous donnons des conditions nécessaires de convergence en
probabilité et des conditions suffisantes de convergence presque complète de
l'estimateur vers la fonction de régression. Deux paragraphes ont été consa-
crés à l'étude de la vitesse de convergence lorsque le processus est poisson-
nien. On étudie "la consistance" (consistency en anglais) locale du régresso-
gramme.
Au chapitre IV, nous étudions l'enveloppe convexe du nuage de points de
la superposition et montrons qu'asymptotiquement les points se resserrent de
plus en plus dans un domaine de
R~ qui augmente indéfiniment lorsque la
taille de la superposition tend vers
+ ro
Nous utilisons les résultats du chapitre IV pour définir le régresso-
gramme dans
R~ . Ensuite parallèlement à ce qui a été fait au chapitre III
nous étudions les conditions nécessaires et suffisantes de convergence mais
cette fois seul le cas poissonnien a été envisagè pour les conditions suffi-
santes.
Le chapitre VI enfin est consacrè à l'étude des blocs équilibrès. Nous
montrons, par le biais de la technique de rèduction de chaque nuage de la
superposition déjà utilisée au chapitre 1, que sous certaines conditions on
peut choisir le nombre de blocs de telle sorte que la longueur maximale des
blocs du processus tende vers zéro en probabilité lorsque
n
tend vers + ro

-1-
CHAP ITRE 1
ÉTUDE D'UNE SUPERPOSITION DE PROCESSUS PONCTUELS
INDÉPENDANTS ET ÉQUIDISTRIBUÉS SUR R+
0- NOTATIONS ET DEFINITIONS
On considère sur le même espace probabilisé (0,~,P) n processus
ponctuels indépendants f:
i = 1, ... ,n à valeurs dans R et de même loi
l
+
qu'un processus f
.
Ü
Pour tout borélien A de R+ si l'on pose ;I(A) = P(N(fÜ,A) > 0) où
N(fÜ,A) désigne l'effectif aléatoire de f
sur A , on appelle support de
Ü
la répartition ponctuelle aléatoire ou processus ponctuel f
l'ensemble
Ü
fermé S dans R défini par
+
S
{x, x E: R
, V A ouvert, x E: A , ),JA) > D}
+
On suppose que S = R et que l'effectif aléatoire des f:
i=O,l, .. ,n
+
l
sur R est fini presque sûrement i.e
N(f:, R ) < +00
p.s
i=O,1, .. ,n
+
l
+
Considérons la superposltlOn fin) des n processus fi
' i = 1, .. ,n
dont on désignera par m son effectif aléatoire sur R i.e
+
n
n
L
f:
m
L
N(f:,R)
i = 1
l
i
l
+
= 1
Soit ~ un entier strictement positif et soit 0~ l'ensemble suivant

-2-
{w ( (l , m(w)
~J
On pourra alors désigner par Xl""
,X~ les ~ points de la superposition
numérotés suivant l'ordre naturel dans R
et définis seulement sur D
qui
+
i
est une partie de (l . (l~ est un élément de éL car m est une variable
aléatoire.
A
Soient; E: (i et
CL la tribu trace de 6:., sur; , on appelle
va~iable statistiqu: ou variable aléatoire restreinte toute application X
Ci -mesurable de (l dans R .
On montre que les variables Xl '00' ,X~ définies précédemment sont
des variables statistiques [10].
Les notions de convergence en probabilité ou presque sûre de variables
statistiques (v.s) s'énoncent de la façon suivante.
Dé MiU.-tio rt 2. 0
Une suite (X ) de v.s. converge en probabilité vers 0 si
n
(\\lE>O),
où
(ln
est le domaine de définition de Xn
COn6équ.ertc.e. On peut écri re
-
-< E, (l ) =
P((l )
n
n

-3-
d'où
et
lim
p(rI) =
n-++oo
n
Une suite (X ) de v.s converge
o
_ n
en probabilité vers
Sl
pour tout
E>Oona,si ri
est le domaine de définition de X
n
n
il
lim P(!X 1 < Er )
n-++00
n
ri n
i i )
lim
P(rI) =
n
n -+ +00
Les deux définitions 2) et 3) sont évidemment équivalentes. D'une
manière générale on a
Soit X sur v.s. définie sur
U Q
. Une suite (X ) de V.s définies
n
n;;.1
n
sur rln converge en probabilité vers la v.s X , si la suite (X - X) définie
n
sur rln converge en probabilité vers 0 .
Vé6ÙLCü0l1 5.0
Une suite (X ) de v.s définies sur rl
converge presque sûrement vers 0
n
n
si
+00
+00
y E > 0 ,
l im
P{
n
Xv
< E) / v ~ n rl
(
1
1
v } =
n-++oo
v=n
Cette définition est aussi équivalente à la conjonction des deux
conditions suivantes :

-4-
+00
+00
i )
V E > 0 ,
l im
P(
n
x
< dl
n
Il ) =
(
1
1
\\)
\\)
n -+ +00
\\)=n
\\) = n
+00
i i )
l im
P( n
Il )
\\)
n -+ +00
\\)=n
x(n)
Lorsque m ~ 1 désignons par x\\n~ ... ,
les points du processus
m
ordonnés suivant l'ordre naturel dans R+
Si m=O on pose x~n) = 0
Ainsi on a
Désignons par CJ3+ l'ensemble des borél iens de R+
Pour tout x E R+ posons ~(x) = E(N(fà, [D,x [)) où le symbole E
désigne l'espérance mathématique.
L'application E(N(fà, .)) de CQ
dans R étant une mesure,
),)+
+
la fonc-
tion ~(.) est non décroissante et continue à gauche sur R+
Posons
Il ~ Il = E(N(fà, R)) qu'on suppose fini et prolongeons ~(.)
sur R en posant ~(x) = 0 si x < D
La fonction F(.) définie sur R par
(V x E R)
, F(x) = ~(x)
Il ~ Il
est alors une fonction de répartition.
Appelons H et HZ les hypothèses suivantes
1
*
- F(x+h)
(V h ER)
li m
= D
+
X -+ +00
- F(x)

-5-
1 - F(x)
li m
X -+ +00
P(N(fb,[x,+oo [) >-0)
II ~ Il
Ces deux hypothèses sont respectivement équivalentes aux suivantes
E(N(fb,[x+h,+oo [))
*
H'
(VhE.R)
li m
= 0
1
x -+ +00 E(N(f6,[x, +00 [))
E(N(fb, [x, +oo[))
H'
lim
=
2
X-++ co
P(N(fb, [x, +oo[) >-0)
On vérifie aisément que cette dernière hypothèse HZ est vérifiée
lorsque fb est le processus ponctuel d'effectif total égal à 1 associé à
une v.a X . Elle est aussi vérifiée lorsque fb est un processus de Poisson.
Nous allons étudier la superposition fin) , les statistiques d'ordre
et des valeurs extrêmes lorsque fb est un processus de Poisson non homogène
et lorsque fb est quelconque.
§ I.
ETUDE DE LA SUPERPOSITION 6(nJ
Considérons n processus ponctuels fi
i = 1, •• ,n sur R+
Pour tout 8 E. ~+ on a par définition
n
N(f(n) ,8) =
I.
N(fi ,8)
i =1
où
fin)
désigne la superposition des fi
i = 10 , .,n
La superposition infinie
n'est pas en général un proces-
sus ponctuel convergent. Cependant on a la proposition suivante.

-6-
PJlOpo,;-Gtùm
.7. l
Soient f:
i = 1. .. nn processus ponctuels sur R indépendants. Une
l
+
condition nécessaire et suffisante pour que la superposition
lim
fin)
n -+ +00
soit presque sl1rement convergente est que (v B E 1)+) , B borné,
+00
L
Àk(B) -< +00
où
Àk(B)
P(N(fk ' B) > 0)
k=1
Posons Xk(B) = 1
i.e
\\(B)
est la fonction indica-
W(fk,B) > O}
trice de l'événement {N(f ,B) > Dl
k E N*
k
Xk(B), k = 1,2, ... est une suite de v.a indicatrices telles que
P(Xk(B) = 1) = \\(B) et P(Xk(B) = 0) = 1 - Àk(B)
k= 1,2, ... et on a
l'équivalence suivante
p.s
<=
l im
p. s
n -+ +00
Les Xk(B) étant indépendantes, une condition nécessaire et suffisante
+00
pour que
L
Xk(B) -< +00
p.s est que
L ;\\1 B)' <+ 00 d'après le théorème
k=1
k= 1 k'
de Borel-Cantelli
Désignons par
~ l'ensemble des boréliens de R et soit fa un
processus ponctuel sur R .
Vé6ùU;t{.oYl 2.1
Supposons que l'application E(N(f ,.)) de 5:) dans R soit non atomique
a
et finie sur tout borélien borné. On dit que fa est un processus de Poisson
si les deux conditions suivantes sont vérifiées

-7-
où :B
est l'ensemble des boréliens bornés de
R et À(B) ~ E(N(fÔ,B))
b
ii) (V pE N*-{1}), V Ci En
i~l, ... p C. n C,
b
f J
l
J
N(fÔ'C )
i ~ 1... p sont indépendantes.
i
La condition i) exprime que N(fÔ,B) suit une loi de Poisson de para-
mètre À(B) et ii) que le processus est à accroissements indéperldants.
On vérifie aisément que .la proposition' .1.1 n'est pas vérifiée si les
fi sont des processus de Poisson.
Re.maJr.q tte.
Une mesure À est non atomique (ou diffuse) sur ~ si tout ensemble
réduit à un point est de mesure nulle.
Vé:6·ùü.Li.ol1 3. l
i) On dit qu'un processus ponctuel f' n'a pas d'atome en x si
P(N(f', {x}) > 0) ~ 0
ii) f' n'a pas de points multiples si
P(W]3XER
N(fw,{x}),,2)~O
Lorsque f' est presque sDrement sans valeur limite (i,e son effectif
est p,s fini sur tout borélien borné de R) d'effectif aléatoire m et si on
désigne par (Xl"" 'Xml (m" 1) la suite aléatoire engendrant f' , la
définition 3,1
ii) est équivalente à
ii') (V (i,j) E N* x N*), (i -< j), P{wlw E: (JJ"
X.(w) ~X.(w)} ~ 0
l
J
où
(J.
est défini par (J. ~ {m" j}
ou encore
J
J
ii") (V (i,j) E N* x N*), (i -< j), P{wlw E (JJ"
IX.(w)-X.(w)1 > O}~ 1 •
l
J

-8-
On peut alors ordonner strictement les points du processus f' presque
sûrement,
PltO pMilio Vl 2, l
Un processus de Poisson f' n'a pas d'atomes et n'a pas de points
multiples,
Soit À le paramètre du processus
P(N(f' ,{x}) = 0) = e-À( {x}) = ,
carÀ({x})=0
Soit K un compact de R et soit E > 0 " On a
Àk(V )
L
_ _x_ exp(-À(V ))
k=2
k!
x
où V est un intervalle ouvert et borné de x E K "
x
Comme À({x}) = 0 et que À est une mesure, on peut choisir V assez
x
petit pour qu'on ait:
P(N(f',V ) '" 2) = À(V ){À(V )
x
x
x
exp(-À(V))}
x
k!
( 1)
Soit donc un recouvrement fini Vx. i = 1, .. "n de K par ces intervalles
l
i -1
ouverts de longueur inférieure à E , Le système B. = V
,
U
V
l
xi
k= 1
xk
i=2, ... ,n , B, = V
est un recouvrement de K formé de boréliens disjoints
x,
et A. = K n Bi
i = '," .. ,n est une partition de K , On a
l
n
p(w
~
1
XE K: N(f" ,{x}) '" 2) '"
L
P(N(f" ,A.) '" 2)
.
,
l
1=

-g-
Il résulte de (1) qu'on a
E étant arbitraire on en déduit que le processus f' n'a pas de points
multiples sur K . Cette propriété est alors vraie sur R car Rest o-compact.
On peut se poser la question de savoir à quelles conditions une super-
position de processus ponctuels indépendants converge-t-elle vers un pro-
cessus de Poisson. On a le résultat suivant dans Cinlar [ 7 J.
Pour tout n E N* considérons la superposition
'P ' = f '
1
n
n ,
+ ••• +
où
lim
k =
i =
sont
n
+00
et où pour tout n les processus f' .
n,l
1, ... , kn
n -++ co
indépendants. On suppose que pour tout A (Î> b lim (Sup
À
.(1\\)) = 0
n-Hoo l",i<k
n,l
n
avec
À
. (A)
P(N(f' ., A) > 0)
= 1, ... , k
alors on a le théorème
n ,1
n,l
n
sui vant.
Théollème 1. l
Un€
cond iti on nécessaire et suffisante pour que 'P~ converge en loi
vers un processus de Poi sson de pa ramètre À est que
kn
i )
l im
L
P(N(f' . ,A) > 2)) = 0
n,l
n -+ +00
i =1
kn
i i )
lim
L
À
.(A))
À(A)
n
n ,1
-+ +00
i =1
pour tout A (1) b tel que À(ClA) = o où Cl A désigne la frontière de A •

-10-
On peut, à l'aide de transformations homéomorphes de R dans R , faire
converger en loi une superposition de processus indépendants vers un proces-
sus de Poisson. L'étude de telles transformations a été faite par
Gensbitte l [32].
Revenons à la superposition fin) des n processus ponctuels f:l
i = 1 , ••• , n i ndé pendants, de même loi que f 6 et p.s finis sur R+
Posons
À(A)
=
E(N(f6,A))
A E 1)+
À( R ) =
Il ~ Il
+
Par définition de fin) on a alors E(N(f(n) ,Al)
n À(A)
.
En appliquant la loi forte des grands nombres on a
N(f(n) ,A) = À(A)
p.s
l i m
n-++ oo
n
Définissons la fonction de
~
répartiti~n0~mPirci~ue~~~de la superposi-
I{é"
tion f('n) par
~
\\ h
n~ ~,
N(f(n)'[O,x [) ~
)
--:
(\\1 x ER), F (x) =
~". '\\i22_~)} ,,'s 1 x -< 0
n
N( f .
R ) "
,',
(n)'
+
' .. 'l)ementS09~Y
~
On a le théorème suivant.
ThéOlr.ème. 2. l
La fonction de répartition empirique F de fin) tend presque sQrement
n
vers F lorsque n tend vers +00 •
PJLe.uve.
En écrivant
N(f(n) ,[O,x [)I n
on sait que
N(f(n) ,[O,x [ )/n
N(f(n) ,R)/n
et N(f(n),R+)/n tendent respectivement vers À([O,x [)
et À(R) presque

-11-
sûrement lorsque n -+ +00 et comme À(R+) >- 0 et est fini, il en résulte que
=
À([O,x[)
~(x)
=
(V x E R)
F(x)
À(R )
Il ~ Il
+
On peut alors énoncer le théorème de Glivenko-Cantelli
Tftéoltème 3.1
Soit F
la fonction de répartition empirique de la superposition
n
fin) alors
P{ lim
Sup
IFn(x) - F(x) 1 = O} =
n-++ooxER
Pltwve
Soit k E N*-{ll
Pour j=1, ... ,k-1
posons
x
= min{x E R,
F(x) '"
l
<F(x+O)}
avec F(x-O) = F(x) .
jk
k
On pose x
= +00
, x
= - 00
kk
Ok
A"
= {F (xok+O)
-+
F(xok+O)}
j k
n
J
J
On a d'après le théorème 2.1
P(Ajk)
P(Ajk)
En posant
k-1
A
=
n A
{
sup
IF (xo
+8)-F(xo
+8)I-+O}
,
k
jk
n
J k
J k
j=1
1 <j..;;k
8 = ± 0
on a
k-1
k-1
= p( U AJo ) ..;;
L
o
k
;
j =1
j =1

-12-
+00
Si on pose
A =
n A
on a donc
prA) = 1
k
k=2
Pour tout x E ]x ok ' x ° 1 k ] on a les inégal ités
J
J + ,
1 )
F(xok+O) '" F(x) '" F(xo 1 k)
J
J + ,
2)
F (xok+O) '" F (x) '" F (xo 1 k)
n
J
"0
n
n
J+ ,
3) impl ique
F(x ° 1 k) - F(x ok + 0)
'"
1
J + ,
J
k
En uti lisant 1) et 2) on a
1
4)
F (x)-F(x) '" F (xo 1 k)-F(xok+O) '" F (xo 1 k)-F(x o 1 k)+-
n
n
J+ ,
J
n
J+ ,
J+,
k
5)
F (x)-F(x);;.F (xok+O)-F(x o 1 k);;.F (Xok+O)-F(Xok+O)_l
n
n
J
J+ ,
n
J
J
k
Il en résulte que pour tout x et k
IFn(x) - F(x) l '"
sup
IF (x o +8)-F(x o +8)1
+ 1
l",j",k
k
n
J
J k
k
8=:!:0
ce qui implique
1
sup IF (x)-F(x)1 '"
sup
IF (xok+8)-F(xok+8)1
+
-
xER
n
°
l",j",k
n
J
J
k
8 = :!: 0
d'où
p(
lim
SupIFn(x)-F(x)I=O);;.P(A)
n-++oo
Comme prA) = 1
on a le résultat désiré"

-13-
§
II. ETUDE DES STATISTIQUES D'ORDRE
Nous allons étudier les statistiques d'ordre en considérant d'abord
le cas poissonnien puis nous étendrons les résultats obtenus au cas d'un
processus quelconque.
A-
.6.0 e.-ot u.n p'~OC.e.-o/.)lW de Po.0l/.)on noV! 11OnlogèV!e de paM!.mètlte (0[[ me.-ou.Jte
moyeV!ne) Il
Nous aurons besoin des théorèmes suivants
Théoltème 7. II [44 ]
La superposition de n processus de Poisson indépendants de paramètre À
est un processus cie Poisson de paramètre n À •
ThéoMme 2. II [44]
Conditionnellement
x(n)
à m=J, les v.s x\\n), .. ,
ont la même loi
J
conjointe que la loi d'un échantillon ordonné de j v.a indépendantes de
fonction de répartition égale à ~(x)/II ~II
Calculons explicitement la fonction de répartition Fx(n) de x~n) • x6n)=a
m
L'événement {X~n) < x} est équivalent à l'événement {N(fin) ,[x,+oo [) =a}
d'où puisque fin) est un processus de Poisson de moyenne n~
exp( -nt Il ~ Il - ~(x)))
si x ;;. a
a six < a
On a les propositions suivantes
Pltopo/.)~on 7.11
x(n) tend vers +00 presque comp 1ètement lorsque n tend vers +00 •
m

-14-
est strictement inférieur à 1 et la série
v x ER, FX(n)(X)
m
de terme général exp{-n( Il ~ Il - ~(x))} est convergente pour tout x .
Véfl,ÙU;t{.ol1 1. II
Soit X une suite de v.a
n
i) Une suite certaine an majore X en probabilité et on notera
n
X «a
si
lim
P(X
< a ) = 1
n
n
n p
n
n -+- +00
ii) Une suite certaine b minore X en probabilité et on notera
n
n
b «X
si
li m
P(b
<; X ) = 1
n p
n
n
n
P~OpO~~OI1 2.II
a) Si an est une suite certaine on a
X(n) « a
<= n(l - F(a )) = dl)
m
n
n
n
p
, 1
avec d n) -+ 0 lorsque n -+ +00
b) Si b est une suite certaine on a
n
b «X(n) <=
lim n (1 - F(b )) = +00 .
n
m
n
p
n -+- +00
P~eu.ve
a) X(n) «a <= l im
p(X(n) < a ) = 1
m
p
n
n-++oo
m
n
<=
lim
exp{-n(II~II-~(a))}=
n-+-+ oo
n
La condition sur a
pour que ceci ait lieu est que Il
n
~II-~(a ) =o(l)
n
n
~(a )
ou encore (1 -
n ) = U(~) , soit n(1 - F(a )) = dl) avec dl) -+ 0
_
n
n
n
Il ~ Il
lorsque n -+ +00

-15-
b) De la même manière on établit que
b
«X(n) <=>
lim
n (Il ~II-~(bn)) = +00
ou encore
lim
n(l-F(b ))=+oo
n p
m
n
n -+ +00
n-++ co
P~OpOh~O» 3.11
Lorsque l 'hypothèse Hl est vérifiée x~n) est stable en probabilité.
P~euve:
L'hypothèse H étant vérifiée définissons une suite an par
1
l
D'après les propriétés de F-
voir [
], an est une suite non
décroissante car 1 -~ est non décroissante. On a
1
1-F(a +0)-<-
n
n
d'où
1 - F(a
+ E:)
n
E> 0
,.
l-F(a
+0)
n
et comme
1 - F(a + 0) .. 1 - F(a
+ E/2)
n
n
On a
l-F(a +E:)
n
1 - F(a
+ E/2)
n
l 'hypothèse Hl implique
l-F(a +E:)
n
li m
~~--~-= 0
n -+ +00
1 - F(a
+ E/2)
n
On en déduit que
(1)
(VE>O)
lim
n(1-F(a
+E:))=0
n
n -+ +00

De même on montre que
(2) (V E> 0)
lim
n(l - F(a - El) ~ +00
n -+ +00
n
(1) implique que X(n) -<-< a + E
V E > 0 et (2) impl ique que an - E -<-< x~n)
m
p
n
p
On en déduit donc que X(n) - a
tend vers 0 en probabilité lorsque
m
n
X(n)
n-++ oo
D'où la stabilité en probabilité de
m
Etudions maintenant les statistiques d'ordre a à partir de la droite
soit ya définies de la façon suivante
n
x(n)
si m>a
ya
m-a+1
~
n
0
si m -< a
a E: /N* •
Déterminons la fonction de répartition F
de ya
ya
n
n
L 'événement {y~ -< x}
est équivalent à l'événement au plus (a-1)
points du processus fin) .sont supérieurs ou égaux à x . On a donc
a-1
{n',i ~~ (1 - F(x))}k
exp{ -nll ~ Il (1 - F(x))}
L
si x > 0
F
k=O
k!
(x)
ya
n
o
six-<O
ThéOltème 3.II
Si une suite certaine b majore y~ en probabilité elle majore aussi
n
x~n) en probabilité.
PJteu.ve
l im
v = 1
où v est la suite définie par
n
n
a-1
exp{-nll ~II (1 - F(b ))}
L
n
k=O
k!

-17-
Montrons d'abord que la suite un définie par un=nll ~II (1-F(b n)) est
bornée. Supposons le contraire. Il existe alors une sous-suite u
tendant
nk
vers + 00 lorsque k tend vers + 00 • Comme vn + 1 lorsque n + + 00
v
devrait tendre aussi vers 1 lorsque k + +00 car c'est une sous-suite
nk
d'une suite convergente
mais
li m v
= 0 ce qu i est absurde.
k
n
-+- +00
k
Désignons par M la borne supérieure de un
k
a-1
u
k
n
L
a-1
un
k=O
KT
-u
v
e
n
L
=
n
k
k
k=O
k!
a-1
u
+00
u
.n
n
L
L
KT +
KT
k=O
k=a
=
+00
uk/k l
L
n
.
k=a
1 + a-l
L
uk/k!
k=O
n
comme v + 1
lorsque n + +00
il en rés ulte que
n
k
+00
U n
L
k=a
KT
lim
k
0
n+ oo
a -1
un
L
kT
k=O
on a
~k
+00
un
L
kT
ua
k=a
( 1)
n
>-
k
k
a-l
u
a -1
un
n
L
a l )~
k=O
kT
kT
k=G
Soi t
A = Max(l,M)
On a
k
a-l
un
a-l
L
kT '" a A
. k=O

De l'inégalité ( 1) on tire
+00
L
uk/k!
ua
n
k=a
n
( 2)
>
> 0
a-1
a-1
a.a! A
L
uk/k!
n
k=O
Comme le premier membre de (2) tend vers 0 lorsque n -.- +00 , on en déduit
que u~ -.- 0 lorsque n -.- +00 , d'où u -.- 0 lorsque n -.- +00 c'est-à-dire
n
lim
nll ~II (l-F(b ))
qui est équivalent, d'après la proposition
n
= 0 , ce
n -++ co
2 • lIa), à X~n) «
bn
p
ThéofLèllJe. 4.I1
Si une suite certaine a
minore ya en probabilité, elle minore ya+1
n
n
n
en probabilité.
PlLWve.
=>
a «X (n)
n
m
p
et
a «
lim
nll ~II (1- F(a )) = +00
n
n
p
n-++ co
on a
a {n Il ~ 11(1- F(an)d
= 1 - exp{-nll ~II (1 - F(a ))} L
n
k=O
k!
comme
nll ~II (l-F(a)) -.- +00 lorsque n -HOO, on a
n
a
{nll ~II (1 - F(a ))}k
lim
exp{-nll ~II (1 - F(an))}
n
E
o
n-.-+oo
k=O
k!
d'où
l im
P(a
< y(1+1)
n
n
n
-++ co
Il résulte de ces deux théorèmes précédents le théorème suivant

-19-
TlléOflème 5.11
Etant donné un entier quelconque a> 2 , V~ est stable en probabilité
si et seulement si X(n)est stable en probabilité. De plus on a V1 - Va
tend
rn
n
n
vers a en probabi lité lorsque n tend vers + 00 .
Montrons la proposition suivante
P~OrOh~on 4.11
Si V1 - V2 tend vers a en probabilité lorsque n tend vers +00 alors
n
n
X(n) est stable en probabilité.
m
P~euve: La fonction de répartition H de V1 - V2 s'écrit, en utilisant
n
n
n
le théorèrne 2.11
+00
+00
Hn(x) = P(rn~O) + P(rn = 1)F(x) + J
;:: j(j-1 )Fi;~ [F(x+z)-F(z)]
a j =2
~ e-nll ~II dF(z)
• 1
J.
Faisons tendre x vers +oo .. On peut i~ter.veçtir l'intégrale et la limite
si l'intégrale B suivante existe
+00
+00
B
j (j -1) Fj -2 (z) [l-F(z)]
= J
L
~e-nll~11 dF (z)
a j=2
• 1
J.
On a
~-2
B
e-nll
=
~II (nll ~11)2
+00
Fj - 2(z)
t oo L
[l-F(z)]
n
~)
dF(z)
a j =2
(j-2)!
= e- II ~II n (nll ~11)2 t" enll ~II F(z) [1 - F(z)J dF(z)
a
enll ~II F(z) [1 - F(z)] étant borné B existe

-20-
Posons
~ = nll ~II (1 - F(z))
alors
6 = {II ~ Il ~ e -~ d~ = 1 _ (1 +n Il ~ Il ) e-n Il ~ Il
(j
Si on pose ln =
- H (x), on peut écrire
n
(l+nll~ll) e-nll~11 +6-H(x)
n
soit
n Il Il
+00 +00
. 2
1 =e-
~ (1+nll ~II) + f
it2.JLWj dF(z)
L
j(j-1)FJ - (z)[1-F(x+z)]
n
0
j=2
·1
J .
- nll ~II e- nH ~II F(x) _ e- nll ~II
d'où on tire la relation
((n) (n))
_
I~ax Z1
, •. ,Zm
Sl
m >
Z
=
n
1o
sim = 0
En utilisant .le théorème 2.11 et le corollaire 19 p. 68 [76J
la
stabilité en probabilité de y1 équivaut à y1 - Z tend vers 0 en probabilité.
n
n
n
La fonction de répartition f
de y~ - Zn s'écrit
n

-21-,
En justifiant le passage à la limite sous le signe intégrale lorsque x
tend vers + 00 comme précédemment on a
j
F -1 (z) lrl..llill d F( z)
, 1
J.
j
F -1 (z) lrl..llill d F(z)
, 1
J .
Montrons que pour tout x > 0
l im
(1 - r n(x))
0
.
n -+ +00
De la relation
,
, 1
1 - FJ(x+z) = [1 - F(x+z)][l + F(X+z)+ ... +FJ - (x+z)]
on a
d'où
1 - r (x) '" e- nll ~II t" +~ /
[1 - F(x+z)]
d F(z)
n
0
j =1
Fj -1 (z) lrl..llill dF(z) +
(j -2) !
j
(l-F(x+z)) F - 1(z) ~j d F(z)
(j-1)!
Des relations
+00
[
(l-F(x+z)) Fj -1 (z) lrl..llill d F(z)
j =2
(j -2) !

-22-
et
e-nll ~II /00 +; (1 _ F(x+z)) Fj - 1(z)
i':...llJilll J d F( z) =
o j =1
(j -1 ) !
nll ~II e-nll ~II /00 (l-F(x+z))nll ~II F(z) dF(z)
o
il résulte, en utilisant la relation (1), l'inégalité suivante
1
)1
-(n+1)II~II(l-F(x))e-nll~11
n Il ~ II
n
Comme pour tout x > 0 , In et n Il ~ Il e-n Il ~ Il (1 - F(x)) tendent vers 0
1orsque n tend vers + 00 on a donc
(v x > 0)
l im
n -+ +00
B-
.n.o Mt LU'! pItOC.M-6M pone.tuû quûc.ol'lque
Théoltème 6. II
x(n) tend presque complètement vers +00 lorsque n tend vers +00
.
m
Plteuve:
Soit a E R quelconque.
L'événement {X(n) -< a} est équivalent à l'événement {N(f: ,[a,+oo [)=O}
m
l
pour tout i = 1, ... ,n
Comme les f: sont indépendants i = 1 , •• , n , on a
l
n
p(x(n) -< a) = Il P(N(f; ,[a,+oo [)
o )
m
i =1
On a P(N(fci,[a,+oo [) = 0) -< 1 pour tout a E R car le support de fci est
[0,+00[.

-23-
Si on pose un = [P(N(fà,[a,+oo [) = O)]n , la série de terme général
un est convergente, ce qui assure la convergence presque complète de x~n)
vers +00 lorsque n -+ +00 .
Pour étudier le problème de majoration et minoration en probabilité
on va établir le lemme suivant.
LVllIne I.II
Si a
est une suite certaine non décroissante telle que a
tend vers +00
n
n
lorsque n tend vers +00 on a
1im
0) =
n -+ +00
PJteu.ve;
Considérons l'événement {N(fà,[an,+oo [) ;;. 1] . Lorsque n varie
on obtient une suite décroissante d'événements. Soit
+00
A =
n {N(fà,[an,+oo [) >- l}
n=l
et soit w E A ; on a
N(f~,[an'+oo [);;. 1 pour tout n , d'où N(f~,R)= +00
donc w E "0 défini par "O={wIN(f~,R) = +oo}
Il en résulte que Ac "0 .
Comme P("O) = 0 par hypothèse on a PlA) = O.
C.Q.F.D.
Il résulte de ce lemme que
1im
P(N(fà,[X,+oo [)
0) =
x -+ +00
ThéoJtème l.II
Supposons H vérifiée
2
a) Une suite certaine an croissante majore x~n) en probabilité si
et seulement si
1im
o
n -+ +00

-24-
b) Une suite certaine b
croissante telle que
linl
b
=+oominore,X(n)
n
n-++oo n
rt1
en probabilité si et seulement si
li m
n-++ oo
P,teu.ve :
a) p(x(n) < a )
m
n
Le second membre de cette égal i té tend vers 1 lorsque n tend vers + 00 si
et seulement si n Log P(N(fà, [an,+oo [) = 0) tend vers 0 si n tend vers +00.
Donc
li m
n -+ +00
on a
= -(1 - P(N(fà, [an,+oo [) = 0)) (1 + 0(1))
d'où
[P(N(fà, [an,+oo [) =O)]n
tend vers 1 lorsque n tend vers +00 si
et seulement si
lim
n(1-p(N(fO',[a ,+oo[) = 0)) = 0, c'est-à-dire, en
n-++ oo
n
utilisant l'hypothèse H si et seulement si
2
lim
n E(N(fà, [an,+oo [)) = 0
n -+ +0:;-,
b)
p(x(n) :> b ) = 1 - p(x(n) b ) = 1 est équivalent à
m
n
n -+ +00
lim
n Log P(N(fà [bn,+oo [) = 0) = -00
n -+- +00

-25-
En écrivant
car
P(N(fO' [b , +00 [) = 0) tend vers 1 lorsque n tend vers +00 d'après
n
le lemme, il en résulte que
[P(N(f ' [bn,+oo [) = O)]n tend vers 0 lorsque n tend vers +00
O
si et seulement si
lim
n(l-p(N(f ' [bn,+oo [) = 0)
+ 00
so it, en
O
n++ oo
utilisant H
' si et seulement si
2
1i m
n -+ +00
Thé:oltème 8. II
Supposons l'hypothèse H vérifiée. Alors x~n) est stable en probabi-
2
lité si et seulement si l 'hypothèse Hl est vérifiée.
Supposons donc Hl et considérons la suite an définie à la propo-
sition 3.11
x(n) est stable en probabilité si pour tout E> 0
on a
m
lim
Pla - E .. x(n) -< an + El =
n
m
n -+ +00
En écrivant Pla
- E .. x(n) -< an + El = p(x(n) -< a
+ El-p(x(n) -< a - El
n
m
m
n
m
n
il suffit de montrer que
l im
p(x(n) -< a +El =
et
lim p(x(n) -< a -El = 0
m
n
m
n
n-+_
Le second membre de cette égal i té tend vers 1 lorsque n tend vers + 00
si et seulement si

-26-
lim
n Log P(N(f6, [an + r, +00 [) = 0) = 0
n -;._
Comme la suite an est croissante on a
n Lo g P(N ( f 6, [a n + r , +00 [) = 0) = - n(1 - P(N ( f 6, [a n + r , + 00 [) = 0)) (1 +0 ( 1) )
et le second membre de cette dernière égalité est équivalent à
n E(N(f6, [an + r, +00 [)) qui tend vers 0 lorsque n tend vers +00 d'après
l'expression (1) dans la démonstration de la proposition 3.11.
De même on montrerait que
l im
p(x(n) -( a - d = 0
m
n
n -+ +00
Supposons x(n) stable en probabilité. Il existe alors une suite
m
certaine an telle que pour tout E> 0 on ait
il
lim
[P(N(f6, [an + r, +00 [) = O)]n
n -r +00
ii)
lim
[P(N(f6, [an - r, +00 [) = O)]n = 0
n --'Jo- +00
On peut supposer la suite an monotone croissante. En effet:
considérons la suite an ainsi définie par a
= Inf{a,a
1' ... ] .
n
n
n+
La suite a
vérifie ii) car on a
n
ce qui implique
1im
[P(N(fÜ' [an - E,+oo [) = O)]n = 0
,n++oo
Montrons que an vérifie aussi i)
Il existe n' ~ n tel que a , a , -( a
+ E , d'où
n
n
n
2"

-27-
Comme n' ;> n , le second membre de cette inégalité (1) est inférieur à
[P(N(fà ' [Cl + E , +00 [ = 0) ]n .
n
Fa i sons tendre n vers +00 .
Par hypothèse
lim
[P(N(fà, [an' + ~ , +00 [) = O)]n' =
n 1-+ +00
il en résulte que
1i m
[ P( N(f à, [Cl
+ E , + 00 [) = 0)] n =
n
n1-+ +00
Supposons donc la suite an monotone croissante. On peut la considérer
strictement croissante quitte à extraire une sous-suite strictement
croissante.
i) et ii) sont équivalentes respectivement à
(v E > 0)
i')
lim
n Log P(N(fà, [an+E, +oo[) = 0) = a
n-++ oo
i'i')
lim
n Log P(N(fà, [an-E, +oo[) = 0) =_00
n-++ oo
La démonstration du théorème 7.11 nous montre que i') et i 'i') sont
équivalentes respectivement à
1)
lim
nE(N(fà,[an+E,+OO[))=0
n -+ +00
2)
lim
nE(N(fà, [an-E,+oo[)) =+00
n -+ +00
En suivant la démonstration du théorème de Gnedenko donnée par
r~. Geffroy [76] on a
pour tout t soient an et an+ tels que
1

-28-
On a alors
et
d'où
E(N(fà,[an+E,+oo[))
E(N(fà,[t+E,+oo[))
E(N(fà, [a + +E, +00 [))
n 1
:>
:>
E(N(fà,[a + -E,+00[))
E(N(fà,[t-E,+oo[))
n
E(N(fà,[an-E, +oo[))
1
d
' .
l't'
(_n_).(n+1)
En multipliant chaque terme
e ces 1nega 1 es par
n+l
n
on a en utilisant
1) et
2)
E(N(fà, [t+E, +00 [))
3)
1i m
--~-----= 0
t -+ +00
E(N(fà, [t - G, +00 [))
En posant t-E=X
et
h=2E dans
3) on obtient Hi d'où Hl
Pour étudier les statistiques d'ordre yŒ
comme dans le cas où f'
n
0
est un processus de Poisson, nous allons utiliser une procédure de
réduction de chaque nuage de la superposition.
Quel que soit w E ~ , désignons par N(w) le nombre d'indices
pour
lesquels N(f~ , [0,+00 [) est supérieur ou égal à 1 •
N( w) = Ca rd {i, N( f~, [0, + 00 [) :> 1 , i = 1, ... , n}
N
est une v.a qui suit une loi binomiale ~(n,p) avec
P = P(N(fà, [0, +00 [) .. 1)
Lorsque N(f~ , [0, +00 [ .. 1), choisissons le p~int du nuage correspon-
dant le plus à droite que nous allons désigner par X,(w) • Pour alléger les
_1
notations, nous allons supposer que c'est pour les N premiers indices i

-29-
qu'on a N(f: , [0, +00 [) ;> 1 . Par ce procédé nous formons ainsi un échantil-
1 _ _
lon de taille aléatoire (Xl"" ,L) formé de variables statistiques, lorsque
N;> , . L'échantillon est réduit ~ (0) si N' = a .
Sachant que N= k , déterminons la loi du k-uple (X" ... ,X )
k
P(X
' N= k)
l -< x1"",X k -< xk
C~ P(N(fj,[x ,+oo[)=O,N(fj,[O,+"'[»l, i = loo.,k, N(fj,[O,+oo[)=O,i=k+l,oo,n)
i
Ck
pk(l_p)n-k
n
En ut il i sant l' indépendance des f:
i = 1,oo.,n on obtient
k
l
II
P(N(f:,[x.,+oo[)=O , N(fj,[O,+",[);> 1)
i =1
l
l
P(X 1 -< xl' ..• \\ -< xk/N = k) - - - - ' - - - - ' - - - - - - - - - - - - - - - - -
pk
Il en résulte que sous la condition N= k , la loi du k-uple ~X" .. ,X )
k
est la loi d'un échantillon de taille k d'une variable aléatoire X de fonc-
tion de répartition F définie par
P(N(f6, [x.+oo [)=O , N(f6, [0,+00 [l ;> 1)
F(x) = P(X -< x) =
p
Posons
F# (x) = P(N(f6,[x,+00 [)=O)
En utilisant la formule de Bayes on a
( E ) F # (x) = F(x) p + (1 - p)
Considérons l'échantillon ordonné (X(l)''''X - ) déduit de (X" .. ,X_) et
(N)
N
définissons la v.a
va
de la façon suivante
n
X
si N ;> a
(N-a+l)
Va =
n
a
si N -< a
où a est un entier supérieur ou égal à 1
Cette v.a
Va ainsi définie va nous permettre d'obtenir des résultats
n
de majoration, minoration et de stabilité en probabilité de V~ définie com-
me dans le cas poissonnien.

-30-
Déterminons d'abord la loi de
yQ
n
P~~opo,l,di.OJ1 5. II
Soient X,
"');2
"' ... '" X
les statistiques d'ordre d'un échantillon
,n
,n
n,n
#
_
d'une v.a X de fonction de répartition F
y~' a la même loi que X
1
Le
n-cx+ ,n
a n !
P(Yn < x) = - - - - -
(a-l)! (n-Cf,)!
n
P(Y~ < x) = L PtY~<X/N=k) P(N=k)
k=O
n
-a
-
-
= P(N '" a-l) + L
p(y
<x/N=k).P(N=k)
n
k=a
En utilisant l'expression de la loi de la statistique d'ordre k-a+l par
la fonction béta incomplète on a
n
k
n-k
-
P(Y~
n! p (l-p)
< x) = P(N '" a-l)+
L
fF(x) t k-a (l_t)a-l dt
k=a
(k-a)!(a-l)!(n-k)!
o
a
-
= P(N '" a-l) +
r
ni
l(x)(l_t)a-l [l_p(l_t)jn-a dt
(a-l)! (n-a)!
o
en posant p(l-t) = Y on obtient
p
P(Y~ < x) = _ _ccn-,-!_ _ f
-
(a-1) !(n-a)!
p(l-F(x))

-31-
mais
1
n!
P(N ... a-1) =
/,-1(1_yjn-a dy
f
(a-l)'(n-a)!
p
et d'après (E)
p( H(x)) = 1 - F#(x)
d'où il résulte que
1
p(ya ... x)
n!
ya-l(l_y)n-a dy
=
n
f
(a-1)! (n-a)!
l-F#(x)
C.Q.F .D.
Théoltè.l1Ie 9. II
Supposons HZ véri fi ée.
Si une suite certaine b
croissante majore Y~
en probabilité, elle
n
X(n)
majore aussi
en probabi lité.
m
Plteuve
b
majore ya en probabilité implique que
1im
(l-p(Ya ... b )) = a
n
n
n
n
n -+ +00
1-F# (b )
n!
Soit
1)
1im
f
n ya-1(1_y)n-a dy = a
n -+ +00 (a-1)!(n-a)!
a
Montrons qu'on a nécessairement
lim
n(1-F# (b )) = a
n
n -+ +00
Si a= 1 on a le résultat désiré.
Supposons a> 1 et que n( 1 - F# (b )) ne tende pas vers a . 11 existe alors
n
une infinité d'indices n et un nombre positif ~ > a tels que n(l-F# (b )) > ~
n
on a
Z)
n!
(a-l)!(n-a)!
pour l'ensemble de ces indices qu'on désignera par IN
Pour tout n E: IN , le second membre de l'inégalité 2) est supérieur ou
éga l à l'express i on

-3Z-
.n-a
.l'-In
n!
a-l
3)
(1 -
.Eo)
J
y
dy
n
(a-l)! (n-a)!
o
qui est égale à
n-a
4)
_-----'-n:..:-!
(1 _ .Eo)
n
(a-l)!(n-a)!
a
-.1'-
Lorsque n tend vers
.1'-
e
+'"
, l'expression 4) tend vers
qui est
cd
strictement positif et on n'a pas alors 1) ce qui est absurde.
On a donc
li m
n -+ +00
En uti lisant l' hypothèse HZ on a
ce qui est équivalent à b majore X(n) en probabilité d'après le théorème 7.11.
n
m
Théo~ème 10.I1
Supposons HZ vérifiée.
Si une suite certaine a
croissante telle que lim an
minore ya en
n
-
1
n
probabilité, elle
.
. ya+
b b·l· t -
mlnore aUSSl
n
en pro a l l e.
P~euve: Si a «ya cela impl ique a «x(n) , d'où d'après le théorème
n p
n
n p
m
7.11 et l' hypothèse HZ
l im
n -+ +00
Montrons que
lim p(ya+l < a ) = 0
n
n
n -+ +00
on a
a
p(ya+l < a ) = l:
n
n
k=O
Z)
= - (1 - F# (a )) (1 + 0 ( 1) )
n

-33-
Le terme général du second membre de 1) est équivalent à
qui est aussi équivalent à
3)
L' expres sion 3) tend vers 0 lorsque n tend vers + 00 •
Comme le second membre de 1) est une somme finie on a donc bien
lim
p(ya+1 < a ) = 0 .
n-++co
n
n
On déduit des théorèmes g.11 et 10.11 les corollaires suivants
ConoLt~e 7.11
On suppose HZ vérifiée. Si une suite certaine b croissante
n
majore y~ en probabilité, elle majore aussi x~n) en probabilité.
Pneuve
Supposons
y~ «
bn
p
a) Si N;;. a il y a a variables statistiques de l'échantillon (X(l)""X - )
(N)
qui sont dans l'intervalle [yŒ,x _ ] donc le nombre de v.s de l'échantillon
n
(N)
(n)
(n))
( Xl
""X
leurs valeurs dans cet intervalle est supérieur ou égal
m
prenant
à a . On en déduit que ya appartient à cet intervalle.
n
b) Si
N < a
ya = 0
n
Comme ya ;;. 0 on déduit de a) et b) qui si ya «
b
alors ya
«
b
n
n
n
n
n
p
p
D'après le théorème g. II b majore donc X(n) en probabi lité.
n
m
Conott~e 2.11
On suppose HZ vérifiée. Si une suite certaine an telle que
lim
an = +00 minore y~ en probabilité, elle minore aussi y~+l en probabilité.
n -+ +00

-34-
PftetLve
a lors
D'après le théorème 10.11 on a
ya+l
donc an «
Comme on al' inclusion suivante
n
p
{a
< yCl.+l}
n
n
On en déduit que
Il résulte de ces deux corollaires le théorème suivant
Théoftème l J • II
On suppose H vérifiée.
2
y~ est stable en probabilité si et seulement si X(n) est stable en
m
probabilité et cela quel que soit l'entier positif Cl. . De plus 1a différence
x(n) _ yCl.
tend vers a en probabi lité lorsque n tend vers +00 .
m
n
R~n~~que
La
réciproque
n'est pas toujours vraie comme le montre
l'exemple suivant
Soit
X ,,,,,X " " une suite de v.a i.i.d de fonction de répartition
1
n
si x .. a
F(x) ~ P(X i < x)
a
si x < a
où ~ est une fonction monotone strictement croissante telle que
lim
~(x) ~ Il ~II < +00
X -+ +00
l-F(x+h)
Supposons qu'il existe h> 0 telle que
ne tende pas vers a
l-F(x)
lorsque x tend vers +00 pour un choix convenable de ~ . Nous savons alors
d'après le théorème de Gnedenko [33] que X
~ Sup(X , .. ,X ) n'est pas
n,n
1
n
stable en probabilité.
Considérons le processus ponctuel défini par
VwEr2
avec
X'
~ X
n ,n
n ,n
1+X n,n

-35-
On a
Max {X
X'} = X
n,n'
n,n
n,n
(Vc>O),P(X
-X'
>E)=P(X
-<.l_1)
n,n
n,n
n,n
E:
Comme X
->-+oop.s,onaX
-X'
tendversOenprobabilité.
n,n
n,n
n,n
Lorsque N= k considérons les v.s
Xl'" 'X
de distribution F(x) et
k
soit Zk = Max(X" .. ,X k) •
S'il existe une fonction de répartition ~(x) et deux suites certaines
a > 0 et b
telles que
k
k
lim
(Zk c a
x + b ) = ~(x)
k
k
k ->- +<0
en tout point de continuité de ~, ~ est appelée la distribution limite de Zk
~(x) appartient alors à un seul des trois types de distributions suivants
~l(x)
si xc 0
= J a
Lexp (_x-a) si x> a , a> 0
exp(-(-x)a)
si x -< 0 , a> 0
si x > 0
-x
exp( -e
)
-oo<X<+co
Cons i dérons alors l a suite de v. s
X , •• ,X-
1
N
-
si N >
y 1 = l
et soit
~lax(X" ... ,X-)N..
n
0
siN=O

-36-
Si on écrit
p(x(n) -< x , rl ) + P(m=O)
si x > 0
m
l
o
six",O
où
ri, = {m> 1}
que déterminer la loi limite de x(n) revient ~
m
déterminer celle
On sait que N suit une loi binomiale de paramètres n et p et que d'après
la loi forte des grands nombres
N tend vers p presque sOrement lorsque n tend
n
vers + 00. On peut a lors appliquer le théorème de Simeon Berman [ 3 ] .
Théoltèmc 12.II
Si
1
n-
N tend vers p(p)
lors'que n tend vers +00 alors pour tout x
li m
n -+ +00
où ~ est la distribution limite de Zk

-37-
CHAPITRE II
ÉTUDE DE L'ESTIMATEUR DE LA RÉGRESSION DÉFINIE
SUR UN PAVÉ BORNÉ 6 DE
(s ;;. 1)
I. NOTATIONS ET VEFINITIONS
On considère n processus ponctuels fi
i =', ... ,n à valeurs dans R~ x R ,
indépendants et de même loi qu'un processus fa . On suppose que le support
de f ' est RS x R et que pour tout i = O, ... ,n
N(f:, RS x R) est fini presque
O
+
l
+
sûrement.
n
Soit fin)
L
f:
la superposition des n processus. On pose
i =1
l
n
m
L
N(f:
RS x R) et on désigne par f ' .
i = O,l, ... ,n la projection de
, ~
+
1 , l
i =,
f: sur RS
l
+
Posons
n
f'
L
1 ,
f,'
.
(n)
i
, l
= 1
Si m;;. 1 , soit ((U~, ... ,U~), Yi) i;;.'
la suite des variables statistiques
associées à fa et ordonnées suivant l'ordre lexicographique.
1.
s
On pose Xi = (Ui; ... 'U )
i;;. 1. Les v.s associées à fin) seront
i
désignées par (X~n) , y~n)) et celles associées à fi,(n)par x~n)
;;. 1
où
X(n)=(U"n
Us,n)
l
l
, . . . ,
l
Si m= 0
on pose (X~n) , y~n)) = (0,0) l'origine de

-38-
II. ESTIMATION DE LA FONCTION DE REGRESSION. DESCRIPTION DE LA METHODE
Lorsque l'effectif de f Ü est ~O > 1 posons X= (Xl"" ,X~ ) et
o
y = (Y1""'Y~) .
o
Pour tout j , 1 < j < ~O
on veut estimer la fonction de régression
~.(x.) = E(Y./X. = x.) . On suppose que cette fonction est indépendante de j
J
J
J
J
J
et de ~O et on la désigne par ~(x) .
Pour alléger les notations on peut se ramener au cas où 6 = [0,1[s .
Désignons par ~ la mesure moyenne de fi 0 et posons
x=(x ,···,x )
,
1
s
Il ~I' = E(N(fi,o' R~))
on suppose Il ~II -< +00
~(x1""'\\)
F( xl' ... , xs) = ---'---------=--
f = - - - - -
Il ~ Il
on fait les hypothèses fondamentales suivantes valables, dans toute la suite
de cette étude.
il
E(Y)
existe pour tout j > 0
ii) ~(.) est uniformément continue sur 6
iii) Il existe un nombre p> 0 tel que pour tout pavé TI inclus dans 6 on ait
~ [TI]
> pl TI 1* où on a posé 1.1* comLle étant la T"esure de Lebesgue et
~[.] = E(II(fi 0'
,
)) .
iv) Pour tout pavé TI inclus dans 6 et de mesure de Lebesgue tendant vers 0
on a
~[TI] = (1 + Et ITII~)P(N(fi ,0' TI) > 0) où Et ITII~ tend vers 0 avec ITII*·
Sans restreindre la général ité on posera dans tout ce qui va suivre Il ~ Il = 1 .
Soit K un entier supérieur ou égal à 2 et dépendant de n . En utilisant
des droites parallèles aux axes partitionnons 6 en KS cellules cubiques de côté

-39-
s
1!K et désignons par I\\K,r (r = 1 ,2, ... ,K ) ces cellules.
Si i >- 1 désignons par v
.le nombre d'indices i >- 1 tels que x(n)
n, r,
l
appartient à I\\K
et ç
l'ensemble aléatoire de tels indices. Posons
,r
n, r
L
si v
>-
n,r
v
i E: ç
n,r
n,r
y
=
n,r
o
si v
= 0
n,r
On définit l'estimateur iJ!
K de la régression iJ! pat" la méthode du régressogram-
n ,
me à pas fixe par
s
(Vr E: {1,2, ... ,K }) , (Vx E: I\\K
)
,r
iJ!
K(x) = Y
n,
n, r
et on pose
d(iJ!,iJ!
K)
=
sup
n,
x E: 1\\
-'--II'--'I--'.----'-CO'--N--'-V-'-IT
__I--'O__
N-'-S_N--'E"'C-=-ES'--'S'--A--'-I--'-RE'--'S----'-V-'--E__C--'-O_N_VE'--R"'G_EN_C--'E_UN
__I_F-'-O_R,\\__IE'-----E_,lJ_P_R_O-'--BA_B--'-I--'-L'--IT--'E_V-'----EiJ! n , K
Sous les hypothèses générales il, ii), la convergence uniforme en proba-
bilité de iJ!
K vers iJ! ne peut avoir lieu que sous les conditions
n,
i)
K(n) =00(1)
ii)
KS(n) = G (_n_)
Log n
P~euve
Supposons que fi,o soit le processus ponctuel d'effectif total certain
égal à
associé à une v.a
X de la manière suivante
~
{1
si
XE: B
V B E: J)(R:) ,
N(fi ,O,B) =
0
siX ~ B
s
S
où 1)(R )déSigne l'ensemble des Borél iens de R
. On retrouve alors le théorème
+
+
établi par Geffroy [ 30] .

-40-
IV. CONDITIONS SUFFISANTES DE CONVERGENCE UNIFOR,\\IE DE ÙJ
K
. Il,
Nous cons~rvons les hypothèses i), ii), iii), iv) du paragraphe II.
Désignons par N
la v.a égale au nombre d'indices i(i = 1, ... ,n) tels que
n,r
N(f '
. , 6
) > 1 •
1 ,1
K,r
On aura besoin des lemmes suivants
LenJme J.IV
Soit p un nombre positif satisfaisant à la condition iii) et soit
p' E: ]0,p/2[
Posons
KS
::n
{N
nK-sp'}
=
n,r
r=l
Si K satisfait la condition
KS = 0 (_n_) on a
Log n
I.
P(H )
n
n=l
PJteuve
N
suit une'loi binomiale de paramètres n et PK
=P(N(f,' 0,6
»1)
n,r
,r
, I K
, r
on a
E(N
) = n p
n,r
K,r
et
1
avec
on a pour n suffisamment grand
n
n PK ,r
ce qui prouve que E(N
) ->- +'0 lorsque n ->- +00
•
n,r
En posant
m = [_n_
p'] on a d'après une inégalité de Feller [21 ]
KS
-
n - m+l
P(N
-< m)
n,r
(n+ 1) PK
- m
,r
Désignons par 6
le second membre de cette inégalité on a alors, en utilisant
n
le même raisonnement que dans la démonstration du ~emme 1 de GEFFROY [30]
.

-41-
1
S - < -
n
n
p'
où
n
= Log n
Ô
est un nombre strictement positif et -
KS
En
d'où
KS
"
P (H ) = ~ ( U
(N
'" ml), KS
n
n,r
Sn
r=l
s
La série de terme général K Sn
est convergente
Lemme 2. IV
Soit p le nombre pas itif du lemme 1 et soit p' E JO, ~ [
Posons
KS
H = n
(\\1
> nK.-sp'}
n
n,r
r=l
si K satisfait à la condition
KS= a ( n
on a
Log n
+00
l:
p(Hn)
-<
+00
n=1
PJLeu.ve
Elle résulte immédiatement du lemme 1 car on a
Nous aurons besoin d'une fonction intermédiaire ~
K(x) que nous allons définir
n,
et étudier.
Si N(f,' . ,6
);;. 1 soit (X. , Y.) la plus grande valeur du ième nuage
,1
K,r
l
l
projeté suivant l'ordre lexicographique dans
S
R+ • Soit N
la v.a définie par
n,r
N
= Ca rd ( i, i = 1, ••• , n
N(f ' . ,6
);;. 1}
n,r
1 , l
K,r
N
suit une loi binomiale de paramètre n et PK
défini par
n,r
,r
PK
= P(N(f1' . ,6
);;. 1)
,r
,1
K,r

-42-
On pose
L
Yi
-
i l~
-
n,r
Y
si
=
N
>-
n,r
n,r
~I n,r
o
si
N
= a
n,r
,v
où ){J n,r est l'ensemble aléatoire des indices i tels que N(f,' . ,f'.K ) >- 1
, l
,r
On définit alors ~
K par
n,
VrE{1,2, ... ,KS },(VXEf'.K)
,r
IjJ
K(x) = Y
n,
n ~ r
On a le lemme suivant:
Lemme 3. IV
Sous les hypothèses générales du paragraphe lIon peut écrire
pour toute réalisation m = m ' m >-
O
O
1
(~
-
( ( n)
(n) )
(
)
,
((n)
(n))
EY
/H
n Xl
, .•. ,X
=~~K
+ À
n ,r
n
m a ' r
K 1
X1
' ... , X
n,r
m0
1
où ~K,r est un point arbitraire dans f'.K,r ' À
l '
es t
K tend vers 0 avec K et
n,r
bornée pa r 1 .
PILeuve
Résulte du lemme 2 de Geffroy [30]. ~(x) étant uniforniér.lent continue sur
[O,l]s il existe une fonction À(u), (u >- 0) décroissante telle que
on a alors si ~K
est un point arbitraire dans f'.K
,r
,r
On a le théorème suivant
Th~oILime I.IV
Supposons que le processus fi,(n) satisfasse aux conditions
sui vantes

a)
(V x E (0,1 [s) , (V ma ' ma ;.. 1) , (V k, kEN * )
V
E {l, ••• ,ma} ,
E(Y\\n))~x)
1
1
< +00
b)
(~V > 0), (V x E [0,1 (s) , (V i E {l, ... ,ma})
var(y(n) lx) -< V
l
c) (:J M> 0) , (V x E [0,1 [s), (V ma ' ma .. 1), (V
E {l, ..• ,ma} )
(V k .. 2)
IE( [y(n)_E(y(n))lk lx) 1 -< !:l MK- 2 var(y(n) )
,
l
l/x
2
l/x
alors la relation KS = 0 (
n
) implique la convergence uniforme presque
Log n
complète de ~
K vers ~
n,
-
-
i.e
d(~n,K'~) -+ 0 (p.co. )où d(~n,K'~) =
sup
I~(x) - ~
K(x) 1
XE[O,1[s
n,
'"
-
2
PJ1.e.u.ve.:
Si ·Card (~
) .. 2
les v.s
n,r
(Y.)
sont indérenuantes. Soit 0
la
l
i El;
vùriance de
L
·Y. conditionnée par (x\\n) , .. ~:~,x~n)), (ma" 1).
-
l
i ( .lJ
a
n,r
D'après l'inégalité de Bernstein on a
( 1)
(V c , c > 0), (V Cl , a < Cl I~ -< 1/2)
1
( (n)
(n)))
-c
Hn n Xl' ... , X
-< 2 e
mO
on a d'après b)
s
et si H est réal isé on aN
.. nK-
p'
d'où (2) implique
n
n, r
Ks
-
c
+ClV/H n
a n pl

Soit E> a , E -< _V_
on choisit alors a vérifiant aV = I ce qui implique
m
que la condition (1) est satisfaite.
Choisissons ensuite c tel que
c KS
E
-
an p'
2
2
Log n
c' est-à-di re
c =
~
4V
En
(3) implique alors
2
E p' Log n
4 V E
()
(I~
(-
-
((n)
(n))) 1.
-
((n)
(n))
4
P V
-EV
/H n Xl
, .. ,X
>E/HnX
, .. ,X
)<2e
n
n, r
n, r
n
ma
n
1
ma
on utilise le lemme 3 pour montrer comme dans la démonstration du théorème 2
de Geffroy l 30]
La série dont le terme général est le second membre de (4) est convergente.
Comme
on a
d(ljJn,K' ljJ)
-+ a
(p.C0.).
Pour démontrer la convergence uniforme presque complète de ljJn,K vers ljJ sous
les conditions du théorème 1 nous aurons besoin de la condition suivante
d) (3 A > a),
' ma >-1) ,
})
a
(Vm a
(v i E {l, ... ,m a
1v;n)1 .;; Aa
et des lemmes suivants

-45-
Lemme 4.IV
Sous l'hypothèse iv) paragraphe II, on a
Plleu.ve
D'après iv) on a
Comme
Ecri vans
on a alors
avec
a = sup f(x)
x E [O,1]s
Lemme 5.IV
Sous les hypothèses iii) et iv) du paragraphe II , la série de
terme générale U défini par
n
KS
_
s
(v E > 0)
U
= P (
U
(1 N
- n PK
1 > n p' K- E))
est convergente.
n
r=l
n,r
,r
Plleu.ve:
D'après l'inégal ité de Bernstein on a
(0 )
P(IN
-nPK
l>tvnp
qK
)-<2
n,r
,r
K,r
,r
qK,r = 1 - PK,r
et
(1)
0 -< t -< 3 vnPK,r qK,r
3
Prenons t = 2 JL09 n
alors t satisfait à (1) en effet
3
2 j Log n3
2 j Log n
(2 )
car
PK
-< ~[LlK
] + 0 , K + 00
,r
,r
3 1 n~[LlK,r]
2 j Log n3
2 j Log n3
.2V3 VEn
=
+ 0 lorsque n + + 00
•
3 VP
3 Jn~(LlK
]
3 j npK- s
,r

np'
J
Montrons maintenant que E --- > t
n PK
qK
dès que n est suffisamment
K 5
,r
,r
grand , t
2 .; Log n3
0
s
on a
t ln PK
qK
<
t jn K-
a
avec a
,r
,r
0
sup
f(x)
x([0,1J s
t ln K- s a
2 ,ha IE
2 V3a VLog n
n
(3)
0
-+ 0 ,
n -+ +00
-s
E n K
p'
, j Log n
E p'
Ep
- -
En
s
s
d'où
t yi nK- a <
E n K-
p'
pour n suffi samment grand. On déduit a lors de
l'inégal ité (0)
3
P( N
-
1
nPK
1
> En K- S p') '" 2 e-Log n
= 2
n,r
,r
7
pour n suffi sarnment grand. La séri e de terme général KS /
est convergente
3
n
d'où {Un} est convergente.
Supposons que le processus fi ,0 satisfasse aux hypothèses suivantes
s
N(fi,o,[O,ll
) admet des moments de tous les ordres
(3 B> 0), (V C E~([O,lJs)), (V k >- 2)
k
k 2
E[(N(fi ,O,C) - w[C]) I
'"
~ B - k! var(N(fi ,O,C))
s
(3 A> 0), (V C E1)([O,lJ ))
, var(N(fi o'C)) < AICI*
,
.f, ([0,1 Js) dés i qnant l' enser:lble des boréliens de [0,1 Js .
Lemme
*
.
6.IV
Sous l es hypothèses fi. , i =0, 1,2 et l' hypothèse i i i) du paragraphe 11,
.
l
.
la série de terme général w défini par
n
KS
-s
(V E> 0)
wn
>Ep'nK
))
0
P( U
(Iv
r-nw [LI
rJ[
n
K
r=l '
,
est convergente.

7-
P,"ce.LLVe. ;
*
HO et
*
H impliquent d'après l'inégalité de Bernstein [24 ]
1
-C
(0 )
P( Iv
- n\\l(lI
) 1
a
Va r( v
)) -< 2 e
r
n, r
K,r
r
n, r
1
si
a
> 0 ,
Ba
-<-
C > a quelconque
r
r
2
r
Choisissons Cr et a
vérifiant
r
2
-s
( 1)
C :> a
Var(v
) et (2)
Var(v
) -< EP' n:(
r
r
n ,r
n,r
on en déduit les inégalités
C
s
(3 )
2a Var(v
)-< ---.!:. + a
Var(v
) -< nEp' K-
r
n,r
Ci.
r
n ,r
r
(3)
implique
-s
nE p'
K
(4 )
=
d'après l 'hypoth(;se H~ on a
-s
E p' K
E p'
(5 )
2A
Prenons
E p'
=
2A
1
Pour E assez pet i t on al' i néga lité Ba
-<
"2
satisfaite .
r
En cons i dérant l' i néga lité lI) on a
2
a
Var(u
)-<
r
n ,r
On prendra

-48-
Avec ces choix de Cr et a
on a
r
L'inégalité (0) entraîne
s
P(lv
-n~(I\\K)1 >Ep'nK- )<2e
n ,r
.,r
d'où
(6 )
et la série dont le terme général est le second membre de (6) est convergente.
Th~o~~me 2.IV
Soit An la v.a définie par
Nn,r
sup
s(1-
r;l , ... ,K
v n,r
Sous les hypothèses des lemmes 4,5,6.IV la. v.a
An tend presque complètement
vers 0 lorsque n -.. +00 •
P~eu.ve
Observons d'abord que N
~ v
r ' Soit E > 0
n ~ r
n,
KS
N
KS
P{ U [1 - ~ > EJ!H } ; P{ U [(vn,r - Nn,r) >sv
]!H}
r;1
n
r;l
n, r
n '
vn,r
Si H est réalisé,vn,r > n K- s p'
d'où
n

-49-
KS
KS
P{ U [(v
- N
) > E v
] /H } <; P{ U
n,r
n,r
r=1
n,r
n
r=l
(i)
KS
+ P( U
r=1
KS
+ Pt U
r=']
Pour n suffisamment grand, le deuxième
terme du second membre de l'inéga-
lité (1) est nul d'après le lemme 4.IV.
(1) implique pour n suffisamment grand
KS
_
K
s
P{(U[(v
-N
»EV
])nH}<;p{(U[lv
-n~(LIK )l>~n K- p'])nH )
r:;1
n,f
n,r
n,f
n
r=l
n,r
, f
3
n
KS
-
E
- S
+ pU U
[N
- nP
> - n K
p' ] n H }
1
I
n,r
K
r=l
,r
3
n
-
d'o~ d'après les lemmes 5 et 6.IV
KS
P{ ( U
[(v
-N
» E V
])}<;U
+w
+PCH)
n,r
n,r
n,r
n
n
n
r=1
i.e
PlA > E) <; U + W + P(H )
n
n
n
n
La convergence des séries de terme général un' w et P(H ) implique celle
n
n
de la série PlA > E)
n
Théoltème 3. IV
Sous les hypothèses générales du paragraphe II et celles des théorèmes 2
et 1 , la relation
KS = 0 (
n
) implique la convergence uniforme presque
Log n
comp l ète de 1ji
,
vers 1ji
n,K

-50-
PJLWVe.
Ecrivons 0/
K sous la forme
n,
v x E 6
L
K
0/
K(x)
01
,r
n,
v n,r
i E ç
- ~
n,r
n,r
N
= -'-----
y(n)
n,r
+ 0/
K(X)
l n ,
v n,r
d'où
d'où
-
N
(1)
d(~ K'o/) ~ A A
~
O +
n,
n
sup
l~n,K(x)
- ~(x) 1
x([O,1]s
v n ,r
rE{1, ...
s
,K }
Considérons le second terme dans le second membre de (1)
N
N
~-
+ Io/(x) ~ - o/(x)1
1 ~
K( x)
n,
v n,r
d'où, en posant ~ =
sup
o/(x) et comme N
~ v
XE [O,I]s
n,r
n,r
-
N
-
sup
10/
k(x) ~- o/(x)1 ~ d(o/n K'o/) + ~ An
xE[O,l]s
n,
v
,
n,r
rE{1, ... ,k s } .
Il en résulte que
-
(2)
d(o/n,K'o/) ~ An AO + An ~ + d(o/n,K'~)
Chaque terme du second membre de (2) converge presque complètement vers °
lorsque n -+ + 00 donc

-51-
d(ljJn,K,ljJ)
-+ 0
p.co.
lorsque
n -+ +00
Rvncv'Lqu.e
Si A était une v.a dominant presque sûrement
O
on aura it
alors la convergence uniforme presque sûre de ljJ
K vers ljJ
n ,
V. VITESSE DE CONVERGENCE
Considérons les hypothèses suivantes
e)
ljJ est différentiable de dérivée bornée
(i.e) (30) 0),
Il grad(ljJ) Il <0
f)
·.On a le théorème suivant
Tl1éo.'Lème 7. V
Supposons que les hypothèses du paragraphe II soient satisfaites ainsi
que les conditions a, b, c, d, e, f,
*
*
HO' Hl
Posons
X( n) =
(Log n)e
n
alors pour tout
1
e , e>
, la relation KS = o~
)
impl ique
2
Log n)
P( 1im
X(n) d(ljJ,ljJn,K) = 0) = 1
n -jo- +00
Pour montrer ce théorème on aura besoin des théorè~es et lemmes
suivants
Sous les hypothèses du théorème 1.IV la v.a. X(n) d(ljJn K,ljJ) tend
presque complètement vers 0
n
'
lorsque n -+ +00 , KS = 0 ( - )
,
X(n) =oo( 1)
Logn

-52-
On a
V(x,x') E [O,l]s x [0,1]s
<)!(x) -4'(x') = -< grad(<)!)(E;), x-x' >
avec
E; E ]x,x' [
1
grad(<)!)W! . Il x - x' Il
D'où
D VS
V(x,x') E /':,K
x'~J
, IIjJ(x) -1jJ(x')I<:
,r
r-,r
KS
Prenons ÀK =
dans le lemme 3 et considérons l'inégal ité (3)
dans la démonstration du théorème 1.IV soit
s
=
(=
-
(n)
(n)) 1
CK
-
((n)
(n~)
-c
(0) P(IY
-E Y
/H n(X
, •.• ,X
> - - +a V/H
n Xl
, ... ,X
')<:2e
n, r
n, r
n
1
ma
'
n
ma
a r, p
où dans cette inégalité C est quelconque et a vérifie
1
( 1)
a -< aM <: "2
Choisissons a et c vérifiant les conditions
2 n
S
p' V
c K
E D
il
a
c ..
et
i i )
- - -
+ a V <:
S
K
n a p'
X(n)
on en déduit les i néga 1ités suivantes
ED
(2 )
2aV
<:
+ Ci. V <:
n Ci. p'
x(n)
d'où
E D
(3 )
a<:
ED
D dLog n)8
comme X(n) -<
on a - - - - >
(Logn)8
2 V X( n)
Prenons alors
(4 )
Ci. =
d'où

-53-
( i ) devient
2
D
s2(Log n)28 p'
(5 )
c >
4 V
2
0
s2(Log n)28 p'
Prenons
c =
4 V
on a
S
c K
DE(Logn)8
R-n
os (Log n) 8
Ds
(6 )
=
-<
Ct n p'
2
2~
2 X(n)
S
K
(2) et (6) impliquent qu'on a bien la condition ii)
(1) est vérifié pour n assez grand
D'après le lemme 3. IV on a
S
2 VS K
=
..;
s KS(Log n)8
et comme
2 VS
-;. 0 lorsque
n -, +",
)
On en déduit que pour n
((Log n)8
sD
suffisamment grand 2 À
-< - -
K
x(n)
On a d'après le choix de c
02 s2(Logn)2e p'
(8 ) P( I.Y
-E(Y
/H n (x(n)
x(n) ))1> ~/ H n (x(n)
x(n)))
2
4V
n r
n 1"
n
1 ,... , m
n
1 ,.••,
..;
e
"
G
X( n)
nia
(7) et (8) entraînent
D2 s2(Log n)2e p'
4V
d'où
2
2
28
D
s (Logn)
p'
-
4V
H ) ..; 2 KS
e
n

-54-
ce qui implique
2
02 E (Log n)28 p'
> --=-2-=-O-::E,-} n
Hn )
-<
2Ks
4 V
e
x(n)
il en résulte que
20E
P(d(1jJ
K,1jJ)
>
+ P(H )
n ,
n
X(n)
2
2
La série 2 KSexp( _ 0
E
(Lo9 n)28 ) est convergente .
4 V
S
En effet K < n pour n assez grand
3
02
2(
) 28
2
(8) Log n
exp(-
0
E
Log n
) ~ 3 Log n -
4V
Le second membre de (8) tend vers _00 lorsque n ..,. +00 d'où la série de
terme général
converge.
Comme la série {P(H )} est convergente on a le résultat désiré.
n
Le.mme 7. V
Sous l' hypothèse f) on a
S
lim
K x(n)(~[LlK rJ-PK r) ~ 0
n--++ CXJ
"
PJteuve
K2S(~[LlK,rJ-PK,r) ..,. 0
(Log n)8
Lemme 2. V
Sous l es hypothèses i i i) et i v) du paragraphe II, la séri e de
terme général U' défini par
n
KS
_
n pl K- s
1
U' ~ P(U
(1 N
- n PK
1 >
---'=---_---'E=__
))
es t convergente.
n
r~l
n,r
,r
x(n)

P~euve:
On va utiliser les résultats du lemme 5.IV en substituant à c
c'/X(n). L'égalité (3) de ce lemme donne pour tout
t = 2 JLogn 3
t /r:K- s CI. X(n)
2 V3O. vE;;" X( n)
(1)
-s
=
c' n K
p'
2 ~ vÇ/~
2 V3a. Vc-jLo 9 n
n
cn
-<
=
c' p' (Log n) 8
c' p'(Log n)8
2 J3;
-<
-7
0
lorsque n -7 + 00 .
c' p' (Log n) 8-1/2
ce qui prouve que pour n suffisamment grand on a
-<
x(n)
d'oD il résulte que, pour n suffisanment grand
-
-s
- Log n3
2
p( INn,r - n PK,r 1 >c' n K
p'fx(n))
-<
2 e
= 7
2KS
la série {-cr} est convergente d'oD {U~}.est convergente.
n
Lemme 3.V
Sous 1es hypothèses ~), H';)
et l' hypothèse iii) du para-
graphe II, la série de terme général w~ définie par
KS
wn'=P{U(lv
-n~[6K JI>c'p'nK-sfx(n))} est convergente.
r=1
n,r
,r
P:Lwve:
On utilise de même les résultats du lemme 6.IV.
Considérons l'inégalité (5) de ce lemme; on a, en remplaçant c par
c'/x(n)
(5')
2 A X(n)

-56-
Or
x(n)
<
8
(Log n)
E' P
E'
p' (Log n)8
>
2 A X(n)
'- j]S; A
. KS
Prenons
2
a
Var(v
)-<
r
n, r
(E'p,)2(Log n)28
4 A
Prenons
(E'p' )2(Log n)28
4 A
on vérifie alors que pour ces
choix de a
et cr
on a
r
donc l'inégalité (0) du lemme 6 implique, lorsqu'on remplace Epar E'/x(n)
2
28
(E'p') (Logn)
-s
4 A
> E'P' n K
Ix(n)) -< 2 e
2
28
d'où
(E' P , )( Log n)
4 A
(6' )
et la série dont le terme général est le second membre de (6') est convergente.
ThéoJ1.ème. 3 . V
Soit
A'
la v.a 'définie par
n
Nn,r
A' = x(n)
sup
s (1 -
n
r=l, ...
v
,K
n,r

-57-
Sous l es hypothèses des lemmes 1, L, 3 V, la v.a fi' tend presque complète-
n
ment vers a lorsque n ~ + '" •
Plleuve:
On utilise le même raisonnement que dans la démonstration du
théorème 2.IV.
Plleuve du. tIHi.oM'.lile J.V
Elle résulte de l'inégalité (2) du théorème 3.IV ,
soit
d(~n K'~) < fi AO+ fi ~ + d(~ K'~)
,
n
n
n,
VI. LOI LIMITE ,6 ;
et supposons que l'hypothèse H
suivante soit vérifiée dans tout ce qui va
3
suivre :
H3 - (V j .. 1) , (Vm
' ma .. 1)
O
E{[y(n)_E(Y(n) / X-(n))]'! .x(n)]
l
l
ma·
ma
et
est indépendante de i et de ma
En posant
y(n) = y
et
x(n) = X
l'hypothèse H
nous amènera à
1
1
1
1 '
. 3
considérer par la suite l'expression E{[Y,-E(Y,/X,=x)]J/X, = x] , j .. 1 qu'on
désigne par v(x) si j : 2.
Désignons par (x .)
eJ~
les N
points de l'échantillon (X.)
r l .
.
n,r
l
.
l
E
l
n,r
qui appartiennent à ~K
.
,r
rV
Appelons Y .
E J
N
v.a telles que
rl
n,r
n,r
..J
(Vr E (l, ... ,K}), (Vi E jn,r)
(x . E l ' , )
rl
K, r
-
(0)
PlY
< y) = P(Y
< y/x
)
ri
i
ri

-58-
On a du fa i t de l' indépendance des v. s (X.,Y.)
~
l
l
i E:J n,r
( 1)
P(
LN
y. < y / (x .)
'-'
) ; P (
1..
Y
< y)
l
n . E: ~ n r
"
ri
i E~
l
,
iE:~
n,r
rl,r
et de plus, par hypothèse sur la régression
(2 )
E(Y
/(x.)
ooJ
)
;---=:--
1..",
1jJ(x.)
n,r
niE:~
N
li
n
n,r
n,r
i E: Ù n,r
On écrira par la suite (x .) pour (x
) ooJ
n
ri E: ~ rl,r
Thé.OftèJl1"- 1. VI
On se place dans les conditions du théorème 1.V
0) Supposons que f(x), v(x), 1jJ(x) soient différentiables et à dérivée bornée
sur [0,1] et que: f(x»c>O. Vx ([0,1] et (3 Vo > 0), (V x E: [0,1])
v(x) > Vo
Si
1) (Vx E: [0,1], (3t
> 0), (H: Itl <to) ,
O
E(exp(t y(n)) / x(n); x)
< +00
l
l
2) (Vj .. 2), (3 m. > 0), (3 fl. > 0), (Vx E: [0,1])
J
J
J
m '" EU Y - E(Y /X ;x)]
/ Xl; xl'" r'l
j
l
l
1
j
alors les conditions
il K(Log K)3;
o(n),
ii) n;
o(K3 )
impl iquent (V8>1)
(~a
a
-+ 0
P s)
2'~r.'n
0 "

-59-
>!Jn,K(x)-tjJ(x)
Vy E R, P{
sup
ylnf(x)
<
J 2 Log K- Log Log K+ y
xE:[ü,lJ
K
f0;j
-y/2
+ exp ( __--'e'-----__
2 rrr-
) lorsque n + +00
On remarque que .les·conditions i) et ii) sont satisfaites lorsqu'on choisit
K(n) tel que
Pour montrer ce théorème nous aurons besoin des lemmes suivants
Li'JJlme I.VI
Soient
sn1"'"
sni
une suite de v.a indépendantes Vn E N* ,
ri
centrées et réduites telles que
i) (3t
:>- 0), (Vn E N*), (Vj E (1, ... ,i }), (H, Itl < ta)
a
n
t s '
E(e
nJ ) < + 00
i i) (V P ... 2), ('la
:>- 0),
(3A
:>- 0),
(V n E N*)
P
P
in
a
-< -~ 1 L
E( s p) 1 -< A
p
i
'1
nl
P
n
1 =
alors
s ,:>- Ji x ) ~ 1 - <t>(x )
nl
n
n
n
~ étant la distribution de la loi normale standard.
P,teu.ve :
Voir Lecoutre [40] •
Lemme 2.VI
Sous les hypothèses du lemme 5.IV on a
Nn,r
P( l im
=
) = 1
n-++ oo
nPK ,r
PJtQ.[WQ.
:
D'après l'inégalité de Bernstein
(0)
P(IN
-nPK
1:>- t !nPK
qK
) -< 2
1 - p
n,r
,r
,r
,r
K,r

-60-
si
( 1)
a < t < 3 V nPK qK
)r
,r
N
-
(2 )
P{ 1 n,r
- 11 > d = P(IN
-nPK
1 > E nP
)
n 1 r
,r
K,r
nP K,r
t = 2 j Log n3 satisfait à (1) d'après les résultats du lemme 5.IV
Montrons que E nP
pour n suffisamment grand ou encore
K,r
E VnP
> t
K,r
or
E/~ ~Ejn~{lIK »Ej~P
,r
,r
K
et
E j ~ P / j 3 Log n
+ + 00
lorsque
n + + 00
K
(0) implique alors
Nn,r
-Log n3
2
P( 1
- l l > d - < 2 e
= j
nP K
n
,r
d' où- le résulta t annoncé.
Lemme 3. VI
Sous l es hypothèses du lemme 6. IV on a
P( lim
vn,r
1) =
n++ oo
(
)
n~ lI K,r
PlLellve :
Comme dans le lemme 6.IV on utilise l'inégalité de Bernstein.
-c
(a)
P(lv
-n~(lIK·)I>
a
Var( v
r)) < 2 e
r
a vec c
> a
n, r
,r
r
n,
r
quelconque, a
tel que 0 d = P (1 v
- n~ (lI
) 1 > En~ [lI
]) .
n,r
K,r
K,r
n~ ( lI
)
Kr
On choisit cr et a
vérifiant
r
2
c
> a
Var{v
)
a
Var(v
) -< EP' n
r
r
n ,r
r
n, r
K

-61-
c'est-à-dire d'après les résultats du lemme 6. IV
2
cp'
(cp') n
Ci
- - -
et
r
cr =
2 A
4 A K
comme cp' .Il < cn~(6K
), (0) impl ique
K
,r
v
(cp' )2 n
( 2)
P(
n ,r
_ 11 >- cl -< 2 exp( -
_
1
n~(6K,r)
4 A K
La série dont le terme général est le second membre de (3) est convergente.
Titéollème 2.VI
Sous les hypothèses 0),1),2), il, ii) du théorème LVI on a
-1jJnK-1jJ(x)
jnf(x)
Vy ER, P{ sup
10xr. < Jz Log K- Log Log K+y} ->-
XE[O,l]
K
V (x)
-y/2
exp( -
e
lorsque n ->- + 00
2 VTT
Soit (x
)
une réalisation de l'échantillon (x\\n)), i
ri
r=l , ... ,K
Posons
IV
E~n - -
2
-
(Vi
r) Y' . = y . - 1jJ( x
)
a·
L:Var(Y'.)
,
r1
r1
r.
nr
i
r1
l
IV
Les v.a
Y' . / a
i E jn r
et
r=l, ... ,K
vérifient l es hypothèses
r1
n,r
,
du lemme 1. V1
On a alors si z
= o(N 1/ 6 )
n
n,r
L:
Y' .
i
r1
Vr=l ... ,K
P {
>- z
}
[l-cjJ(z )](1+0(1))
n
n
a n,r
Ecrivons
-
-
(Vx E 6 K,r)' 1jJn,K(x) -1jJ(x) = 1jJn,K(x) - E(Yn,/(xri ) n Hn)
(3 )
+ E(Y
/(x.) n H)
-
1jJ(x)
n, r
rl
n
Par la continuité de 1jJ on a d'après (2) page 58
=
=: Tl E 6
: E(Y
/(x.) n fi )
=1jJ(Tl)
K,r
n,r
rl
n
et par l' hypothèse sur la déri vée de 1jJ

-62-
IljJ(n) - ljJ(X) 1 <
D
où
D ~
sup IljJ'(x)1
K
[ 0 , 1]
(3) devient
(4) (\\Ix E 6
), ljJ
K(X) -ljJ(x) ~ Y
- E(Y
/ (x .) n H ) + O(J..)
K,r
n,
n,r
n,r
rl
n
K
D'après (1) on a
~
-
-
(5 )
P(Y
-E(Y
/(x.) n H ) <y/(x .)n H) = P(----'---
z:
Y'.<y)
n,r
n,r
rl
n
rl
n
...
n
Nn,r
Posons
sr~Y
-E(Y
/(x.)nH )
n,r
n,r
rl
n
on a la relation
K
-
(6 )
~
Il
P(sr < y/(x ri ) n Hn)
r~1
on dédu i t de l' éga lité (5)
,
z:
Yri
N
i .
n,r
(7)
p( - - ' - -
< Yr ) ~ P(
s
< y /
r
r (x .) n
°
°
H
n,r
n,r
n
n
La relation (6) entraîne
.Z:
Y' .
N
K
n
p(_i
(8)
p{ sup
~s < Z /
} ~
Il
r~1 , .. ,K
r
n
{ (x .)
H
r=1 ... K}
r~1
on ,r
n
n
n'
on , r
D'après la continuité de v on a
2
(\\Ir E {l, ... ,K}), (olt
E 6
), °
~
n, r
N
v(t)
K,r
n,r
n,r
nr
Et en tenant compte du lemme 2.VI on a

-63-
ri K
1
f
f{t)dt = K f{~)
avec
~ ( /::'K ,r
r-1 IK
on peut écrire
f(~) = f(x) + (~- x)f' (x+8{~-x)) ,
0 -< 8 -< 1
x E /::'K ,r
d'où
et on a
(g)
N
- (1 + 0 (1)) n[ l f{x).+()(~)]
n, r
S
K
KL
De méme
vtt
)=v{x)+(t
-x)v'(x+8'(t
-x))
XE/::'K
,0-<8'-<1
n,r
n,r
n,r
,r
d'où
v(t
)=v{x){lV{l))
n, r
K
et
ri
= (1 +0 (1) n[ f (x) +()~) ]v (x) (1 +0 l ))
n, r
s
K
KL
K
nf(x) v(x){l + 0 (1)){1 +0 l ) )
( 10)
K
S
K
L'égalité (8) devient, en tenant compte de (4)
j~ f{x)
( 11 )
P{
sup
[1jJ
K(x) -1jJ(x) +0 l
)]
K
(1 +0 l
)) -< z 1
XE[O,1J
n,
K
j -
K
n
v{x)
K
Y' .
=
n
Il P{ l:
-< Z )
n
r=l
Il en résulte par une intégration par rapport à (x .). r = 1, ... ,K
n
-
1
IR- f{x) (1 +O(~))
P{
sup
[(1jJ
K(x) -1jJ{x) +0( -
))]
-< zn
H }
n
XE[O,l]
n,
K
/v(x)
l:
Y'.
K i n
-
(12)
= Il
P{
-< z)
P(H )
n
r=l
a
n
n,r

-64-
On a
o(
I-R f(x)
l )
1
1
rn
(1 +0 - )) ~O - V -"- )
K
r;(;)
K
K
K
Le premier membre de (12) s'écrit)
IR f(X)(;n,K(x) - 1jJ(x)
1
r;;
1 -
P {sup
---"---------::==---- -< (zn +0 - v'~ ))(1 +0 -)), Hnl
xE: [O,lJ
1VfX)
K
K
K
Prenons
[z
+0 l v~)]( 1 +0( 1 )) ~ /2 Log K -
LogLog K+ y
n
K
i<
K
soit
zn ~ (1 +0 l )) 12 Log K - LogLog <+ y + O( l
J~
K
K
K
z
0(;;1/ 6 )
o(( n ) 1/6)
-
si
K(Log K)3 ~
o(n)
et
n ~ o(K3)
n
rJ,r
K
On a alors d'après le lemme 1. V1 e'( la conciition i )
K
L
Y' .
Cl
-y/2
K
TI
p( l
-< Z ) ~ [1 -
e
(1+0(1))]
n
r~l
on ,r
2 v'n K
pour n suffisamment grand. D'où
/v f(x)(~n K(x) -1jJ(x))
P{
5up
,
-<
12 Log K - LogLog K+ y }
XE[0,1J
lv (x)
-y 12
K _
[ 1 - - - - e
(1+0(1))]
P(H ) + 0(1)
n
2 v'TI K
on obtient ainsi, en faisant tendre n vers l'infini, le résultat désiré.
Montrons le théorènle
. Ecriv9JlS
N
(1') (Vx E: 6
) 1jJ
K(x)-tjJ(x)
+ (~-
K,r
n,
1) 1jJ(x)
\\J n,r
Nn r
-
.
+
----, (1jJ
K(x)-1jJ(x))
\\J
n,
n,r

-65-
Nn,r _
D'après les lemmes 2 et 3.VI on a
lim
~~
~
p. s
n-++ ro
v n,r
Nn,r
Comme
Vr E {l, ... ,K}
..;;
1
il en résulte que
v n,r
Nn,r
li m
Sup
=
p. s
n-++ oo
r=1 ... K
vn,r
(1') s'écrit
N
+ ( n ,r _ 1) 1jJ ( x )
vn,r
-
+0 (1)(1jJ
K(x)-1jJ(x)) + ('jJ
K(x)-1jJ(X))
5
n,
n,
Les théorèmes 1.V et 2.V nous permettent alors d'écrire
N
-
1
Sup
Su p
1-----'--
L
y(n) +
,J
l
(~- 1)1jJ (x) +0 (1) (\\)J K(x) -1jJ (x) ) 1= 0 (~-)
r=1,... K XE i'.K
v
v
s
n
s x(n)
,r
n,r iEÇn-3n
n,r
r~in (li, K)
(2' )
avec xli,) =
, e > 1/2
(Log n)e
f( x)
est borné sur (0,1] . On peut donc écri re
v(x)
(Log n)e
Sup
fr-+
K
xE [0,1]
i.1in(v'f, K)
J~ f(X)(~n,K(x)-IHx))
Sup
x E [0,1]
L'hypothèse ii) entraîne que Hin(jïf , K) = ~ dés que n est suffisamment
K
K
grand. D'où le résultat désiré d'~près le théorème 2.VI.

-66-
CHAP ITRE III
ÉTUDE DE L'ESTIMATEUR DE LA RÉGRESSION DÉFINIE SUR R+
I. NOTATIONS ET DEFINITIONS
2
On considère sur
R
n processus ponctuels f: , i=1 "'J n indépendants
+
l
et de même loi qu'un processus f Ô
2
On suppose que le support de f Ôest R et que l'effectif aléatoire
+
2
des fi
i=O,l,oo.,n sur
R est fini presque sûrement.
+
n
Soit
L
f:
la superposition des n processus et soit m son
i =1
l
effectif aléatoire sur
R2 . i.e
+
n
m
L
N(f i ' R:)
i =1
Désignons par f,'
.
i=O,l ,oo.,n la projection des fi sur
R
, l
+
On pose
n
f'
-
f '
.
, ,(n) -
L
1
i =,
, l
Soit ~ l'effectif aléatoire de f
sur R:
Ô
Pour tout x E
R+ posons ~(x) = E(N(fi ,O,[O,x[)) où E désigne l'espérance
mathématique et Il ~II = E(N(fi ,0' R))
On suppose
Il ~ Il, -< + m

-67-
La fonction F définie sur
R pa r
~(x)
si
x > 0
(\\Ix
Il
,
~ Il
E:
R)
F(x) =
0
si
x -< 0
est une fonction de répartition.
Nous supposons que F est absolument continue de densité f.
Lorsque !è "" 1 désignons par (X 'Y
1
1)""'(X!è'Y9,) les points de fa
ordonnés suivant l'ordre lexicographique.
Si 9, = 0 on pose (XO,Y ) = (0,0) .
O
Le problènle d'estimation de la régression que nous nous proposons de résoudre
par la méthode du régressogramme à pas fixe est le suivant
Supposons que l'effectif aléatoire de fa est 9,0 (9,0"" 1) et considérons
la fonction de régression
~.(x.) = E(Y./X. = x.)
j = 1, ... ,9,0
J
J
J
J
J
On suppose que ~.(x.) est indépendante de j et de 9,0 et on la désigne
J
J
par ~(x). C'est précisément cette fonction ~ qu'il s'agira d'estimer.
Pour m... 1 soient (X\\n), y\\n), ... ,(X~n), y~n») les v.s associées à
fin) ordonnées suivant l'ordre lexicographique.
Soit K un entier superleur ou égal à 2 et fonction de n qui désignera
le nombre de cellules de longueur 1/K de l'intervalle unité.
Posons
r-1
r
R
= U [ -
+
r=1
K
K

-68-
r-1
r
6
=
[
- - - , -
[
K,r
K
K
Désignons par v
le nombre d'indices i tel que x(n) appartient à
'-{
n,r
l
6
et cJ
l'ensemble aléatoire de ces indices.
K,r
n,r
Posons
si
vn,r
a
si
v
= a
n,r
Le régressogramme à pas f "
"
- (x(n) y(n))
(x(n)
lxe Ij!n,K aSSOCle a
1
'1
,- .. ,
m
si m>- 1 et
(X~n), y~n)) = (0,0) si m= a est défini par
= yn,r
Nous allons introduire une distance entre Ij!n,K et Ij! sur un intervalle
aléatoire de R . C'est la variable aléatoire
+
d(1j!
K,Ij!) = Sup
Sup
- Ij!( x) 1
n,
r
6
c
K, r
Etudions maintenant les conditions nécessaires sur K pour assurer la
convergence en probabilité de Ij!
K vers !jJ au sens de d .
n,
Il. CONDITIONS NECESSAIRES DE CONVERGENCE DU REGRESSOGRAMME
Si
fâ soit un processus de Poisson, alors on a le théorème
suivant:
Thé.O!èè.me 7. II
Supposons les hypothèses suivantes vérifiées
1)
Ij! est continue sur
R+
2)
K = "'( 1) ,
Alors pour que d(1j!
K,Ij!) tende vers a en probabilité lorsque n tend vers +00
il faut que x~n) s~it stable en probabilité.

-69-
PJtffiVe.:
Supposons que x~n) soit non stable. D'après la proposition 4 chap. 1
il existe alors y> 0 et 6> 0 tels que P(Y~ - Y~ > 6) '" Y pour n appartenant
à une partie infinie de
N.
Considérons l'ensemble suivant
o =
1
{ r
D
C
[0, Yn - ~ [}
n
K,r
't
Soient ~ > 0 et X > 0 tels que ~(x) > a sur un voisinage ]xO-h,xO+h[
o
de X o ' h assez petit.
Supposons n suffisamment grand pour que diam D
< h
K,r
L'événement {X(n)
> 2x
+ 6} n { U
(v
= O)}
m
0
D
r
n,r
E
n
implique
sup
I~n K(X) - ~(x) 1 > a
,
]xO-h,xO+h[
donc
d(~ K'~) > ~
n,
On peut écrire
P( U
(v
= 0)) '" p(X(n)
rE D
n,r
m
n
Comme
X(n)
m
-> +00 p.c et d(~n K'~)
,
->O(p)ona
( 1)
lim
P(
U
(v
=0))
0
n,r
n++ oo
r E Dn
Cons i dérons l'ensemble C suivant
n
C = { r
D
c ] Y1 _ 2. , y 1 _ 2. [ }
n
K,r
n
2
n
4
( 1) implique

-70-
(2 )
lim
P(
U
(v
=0))
a
C
n,r
n-++ co
r E:
n
mais {Y~-Y~>8} implique
U
(vn,r = 0)
i l en résulte que
r E: Cn
1 _ y2
li m P(y
>
8) = a
ce qUl est absurde.
n
n
n-++ co
Ce théorème reste encore valable lorsque f6
est le processus ponctuel
d'effectif certain égal à 1 associé à une v.a X .
En plus des hypothèses générales du paragraphe
[, faisons l'hypothèse
suivante
*
H
-
fi ,(n) est à accroissements anticorrélés i . e
(Vn), (Vj >- 2),
3
VA
(%+ ' Ai borné i=l, ... ,j, Ai n A = ~ i t k
i
k
~ k c;: 1 1 ", ,j
j
p(
n (N(fi ,(n) ,Ai) > 0)) .;;
i = 1
Théohème 2. II
La convergence de d(ljJ
K,ljJ) vers a en probabilité pour toute
n,
fonction ~ supposée continue ne peut avoir lieu que sous les conditions
i )
K
oo( 1)
ii)
K= o (_n_)
Log n
Phe.LJ.Ve:
i) Si K prend une infinité de fois la valeur Ka la fonction ~
K
n, a
étant constante
sur les intervalles 6
,on ne pourra pas approximer
KO,r
uniformément certaines fonctions ~ aussi près que l'on veut, d'où la néces-
sité de i) .
ii) Soit ~ une fonction de régression continue en un point xo > a
avec ~(xO) > d > a .
n existe alors h> a tel que ~(x) > d pour tout x de l'intervalle
[xO-h ,xO+h] .

-71-
Posons
( 1)
R = {[K(x o-h)]+1, .... ,[K(xo+h)J}
où
[ . ]
est la fonction partie entière
d(ljJn K,ljJ)
+
o(p)
lorsque
n -++ 00
impl ique
,
lim
P(
U (v
=0))
a
(2 )
n,r
n-++ co
rE: R
ou encore
l i m P(
U
(N (f i ., Ll
) = 0,
i = 1 , ••. , n)) = a
(3)
K
n-++ co
rER
,1
,r
(3)
s'écrit de façon équivalente
(4)
lim
P(
n
(N(firn),i'l
r) > 0))
K
=
n++co
rER
,1
,
d'où, en util isant l 'hypothèse H~
(5 )
l im
TI
P(N ( f l' ( ), i'lK ) > 0) =
rER
~n,r
cette dernière égalité peut s'écrire
(6 )
l im
Soit r tel que
inf (l - P(N(f,' O,Ll
) > 1)}
K
rER
" r
(6) impl ique
Card (R)
(7)
lim
[1 - (l - P(N(fi o,i'l
r) > l)}n]
=
K
n-++CQ
~,
Désignons par Œr le maximum de f sur i'l r . On a
K,
-< Œ-r

et
d'où
(8)
(7) et (8) entraînent
I["I[
Card(R)
(9 )
lim
[1-{1-
(1.- llJ:.li } n ]
= 1
n-++ co
r
K
(9)
est équivalente aux deux conditions suivantes
n
a)
l im
(1 -
W )
(1.-
= 0
n-++co
r
K
n
b)
li m Card(R) (l-(l.-lliJL)
0
n-++ co
r
K
a) implique
l illl
n
(l.r Il ~ Il = + 00
n-++ co
K
d'où
(10)
K = n En
aVec
En -+ 0
lorsque
n -++ 00
On a Card(R)
;;-
[2kh-2J
donc b) implique
l im
(Log K
2n
-
Il
(1.-
~ '[[[ ) = - co
r
n-++ co
K
soit
l im
n
KLog K
-
- 2 (l.r Il ~ Il )
- 0 0
n-++oo
K
n
d'où
K Log K -< 2 (l.r '1\\ ~ Il dès que n est suffisamment grand et pour
n
toute valeur de (1.- . On en dédu it donc
K
que
lim
Log K= 0
r
n-++ co
n

-73-
on a
K Log K
K Log n
=
+ E Log En
n
n
n
comme
l im
E Log En = a on en dédu it que
n
n""""+OO
K Log n
l im
a
i.e
K = o(
n
)
Log n
III. CONDITIONS SUFFISANTES DE CONVERGENCE DU REGRESSOGRMIME
Nous utilisons pour cette étude la procédure de réduction de chaque
nuage projeté sur l'axe ox comme elle a été exposée au chapitre l p. 28.
ème
Désignons par Xi le point le plus à droite du i
nuage erojeté lorsque
son effectif est supérieur ou égal à 1 et Xi = a sinon. Soit N la v.a
définie par
Vw E Si
N(w) = Card {i, N(fW . ,[0,+00 [) ". 1
, i=l, ... ,n}. .
1, l
Lorsque Nest supérieur ou égal à l_nous obtenons par construction un
échantillon de taille aléatoire (Xl , ... ,X-) dont les éléments sont supposés
- N
être ceux des N premiers processus. Si N = a l'échantillon se réduit à (0).
D'après les résultats du chapitre l page 28 et suivantes, condition-
-
-
ne 11 ement à N= k , k "" 1 , les v.s
Xl':",X
ont la même loi que celle
k
d'une v.a X de fonction de répartition F définie par
.u
( 1)
F"(x) = F(x) p + (1 - p)
où par définition on a posé
.u
F"(x)= P(N(fi ,O,[x,+oo [)
0)

-74-
Nous considérons dans cette étude les lois FtX) vérifiant les conditions
suivantes
1) F# est absolument continue admettant une densité f
telle qU'à
1
partir d'une valeur Xo > 0 , f est décroissante et vérifie
1
(Vh > 0)
, (3p, 0 < p < 1),
p
i nf f 1(x)
XE[O,xO+h]
2) a(x) = - l Log G(x) est monotone non décroissante à partir de Xo
x
avec G(x) = 1 - Fff(x)
3) (~Ct), (0< Ct < 1) , b <; (Log n)Ct
n
avec
Lorsque 1), 2), 3) sont vérifiées on va montrer qu'on peut choisir K telle
que d(i)in,K'W) tende vers 0 presque complètement lorsque n -++00 , Wétant
supposée uniformément continue sur
R+, K un entier fonction de n .
Désignons par \\J
-...
_
n, r (resp. \\J
) le nombre de points de l'échantillon
n,r
(X , ... ,X_) , N> 1
=
1
se réalisant dans ~-K
(resp. ~K
)
\\J
\\J
=0
N
,r
,r
n,r
r1,r
siN = 0
Re.mMQu.e.
Si on choisit K tel que, \\J(n) Ltant une suite de nombres tendant
vers +00 avec n ,
i )
]nf
\\J n,r »
v(n)
r=1, .. ,[Kb ]
p
n
alors en prenant
K = [Kj3 ] on a
i i )
X(n) »
b
1 =>
]nf \\J
»
v(n)
ni
n
K
n, r
( )
p
{r:~- c [O,X n ]}
p
K, r
m
En effet soit r défini par
r = rK X(n) ]
m

-75-
il implique si on pose
Cl = inf( [Kb ] ,r)
n
Inf vn,r >->- v(nl
p
1) Si "a = r
alors tout intervalle 6K,r contient au moins un intervalle
6 K,r
2l Si a = [KbnJ
on a
r -
[Kb ]
1 -- 0
(1+s) Log Log n
on va établir les lemmes suivants.
Le.mme. I.TIT
On suppose que les hypothèses sur F#et K sont satisfaites.
Cons i dérons l'événement sui va nt :
Log n }
p
p' E: J 0
En
2
1
, E: > a quel conque
(l+s)Log Log n
On a
al
lim
P(Hn' =
n-++ oo
+00
b)
L
P(H )
<
+00
n
n= 1
PJte.uve. :
Déterminons d'abord la loi de v n,r
Posons
À
f
K,r
f (tldt
1
6 K,r

-76-
n
p( v
= )',)
=
L
P(v
=)',/ N=j)P(N=j)
n,r
n,r
j=)',
n
=
L
j=)',
n-)',
s+)',
n-s-)',
n!
=
L
( 1-p)
s=O
)',!s! (n-)',-s)!
-
-
)',
(p À
)
K
n!
n-)',
, r
~--'(_n
L
---")','-'--).:-!_
{( 1_~ K
)p} s
)',! (n -)',) !
s=O
s! (n-)',-s)!
,r
n-)',
Le terme sous la sommation est égal à (1-À
p)
et d'après la
K,r
relation (1)
À
d'où
K,r
-
p(vn,r
v
suit donc une loi binomiale de paramètres À
et n .
n, r
K,r
Soit
l'entier défini par
D'après l ' hypothèse 1) sur f 1 on a pour n assez grand
n
Vr E [ 1 , P ]
E(v
r) = n À
> - P
n
n,
K,r
K
=
Ecrivons P(H) sous l a forme
P
[Kb ]
n
=
n
Log n
Log n
P(H) <;
L
p( v
.. p'
) +
L
P(v
<; p'
n,r
n,r
E
r=l
En
P +1
n
n
n
Log n
Comparons
-
p
et
p - -
On a
K
En
n
n
p n
n
p
= -----"~--,;--
-
p.
(
l-a et
K
En Log n)
p Log n
(Log n )Z-a
qui tend vers +00
lorsque n++ oo
•
D'où

-77-
Posons
Log n ]
1 )
m =
[p'
En
On a pour n > n1 E(\\'
»m
n,r
Une inégalité classique de Feller (Tl 2ème édition p. 140) nous permet
d'écrire
n-m
(n-m+1)À
n
2)
I
K,r
P(V
'" m)
n,r
À
(l-À
)
K,r
K,r
(n+1)À
-m
K,r
on a
n ÀK
>
m
,r
d'où
(n-m+l) ÀK,r
-<
n-m+ 1 '"
n
(n+1) À
-m
K,r
Appelons Sn le second membre de 2) . En utilisant la formule de Stirling
on a
1/2
m-n
3 )
S
-< n(1 + E
){ _-'-n'-----_}
(1 -
!Jl.)
avec E
-;. 0
n
n,m
21Tm(n-m)
n
n,nl
n et m -++00
La fonction xm(l_x)n-m est décroissante pour x > ~
n
En tenant compte des inégalités
m-< p
on a
n-m
3' )
Log n }
p -
n En

-78-
On peut écrire
m =
'
Log n
avec
p'
-> p
si n ->+ ro
Pn
En
n
m
Comme
tend vers 0 lorsque n -> + ro
, on peut écrire
n
(1+E')
n-m
-m
m-n
Sn < n
n
À~ (1 - À
)
(~)
(1 - f!l. )
,r
K,r
El
-+ 0
n-+ +00
[2;;;;
n
n
n
m
,
Log n
puis comme
n = Pn
, on a, en tenant compte de l ' i néga lité 3')
n En
n-m
1
Log n
+ E'
m
- p n E
4)
n
S
< n
(-p_)
{
n
}
n
rz;;
,
,
,Log n
Pn
1 -p
n En
D'autre part on a
1-p Logn
n (n
(n-m) Log
(n-m) {-p
Log n
- - - + o ( Log n
)}
,Log n
n En
n En
1-0
'n n En
= n(1-
f!l.) Logn {-p + p' + O(1)}
n
n En
n
On obtient de l'inégalité 4)
1 + E'
5)
n
S < n
exp {
Log n
n
- - - (p - P~ - P~ Log -2, + 0( 1) ) )
En
Pn
La suite
p - P~ - P~ Log -7 tend vers p - p' Log p - (p' -p'Log p')
n
quantité qui est strictement positive car 1a fonctionx-lcLogx est stricte-
ment croissante sur[ 2,+'°[. 11 en résulte que à partir d'un rang n , n >n
z
Z
1
et pour un nombre 6> 0 on a
P - 0' - p' Log
p
>
6
'n
n
P'
n
On en déduit que pour n assez grand n > n
' (n
> n
3
3
z) on a

-79-
6)
(6 + D( 1)) }
d'où
p("
'" m) .;; 0
S -< K b
Sn
n,r
. n
n
n
Montrons que la série de terme général Kb
Sn est convergente.
n
On a
1
Kb
Sn'" n En(Logn) (LO g n)-"2
_1_, exp{- Logn
(6+0(1))}
n
En
p
En
.;; ~ Log n exp{- Log n Co + 0(1 ))}
P
En
2
Log n K b
13
.;; 3 Log n + Log Log n -
Log n (6+ D( 1)) + Log ~
n
n
En
P
Le second meElbre de cette dernière inégalité tend vers -00 lorsque n-++oo
d'où la séri e K b I3
est convergente.
n n
Etudions maintenant la somme
P("
'" p' Log n
n, r
En
La décroissance de fI à partir de xo nous permet d'écrire
(Vr)
;
(Vm' ( N)
7)
P("
'" m')
n,r
On rappelle que
"
est le nombre de points de l'échantillon apparte-
n,[KbnJ
[Kb J-l
[K b J
n
nant à l'intervalle [
n
[ ~ I\\K [K b J
K
K
'
n

-80-
On a
bn
nJ
f (t)dt
car f est décroissante
1
1
1
b --
n K
à partir de Xo
bn
1
nG(b--)-1
n
K
comme a est non décroissante, on a pour n suffisar.lment grand
d'ou
a(b )
n
8)
nG(bn-i)
>- exp(
K
a(b )
Log n
comparons
exp(
n)
et
On a
E"
K
n
(Log n) 1-a
LogLog n + Log En
>-
- LogLog n + Log En
K
1 - E LogLog n + E Log En
n
n
Le second membre de cette derni ère i néga lité tend vers + 00 lorsque n -+ + 00 •
D'ou
a(b )
9)
exp(
n)
>
(p+1) Logn
pour n assez grand
K
En

-81-
avec
[14 > n
. On en dédui t que
3
•
(p + 1) Log n
nIK[Kb]>
,
n
En
Ce qui nous permet d'écrire
E(v
[KbJ»m
n,
n
L'étude faite précédemment en utilisant l'inégalité de Feller et la formule
de Stirling nous permet d'écrire
avec Sn vérifiant l'inégalité 6) à partir d'un rang n
n
> n
. En utili-
S
S
4
sant l' i néga lité 7) on a alors
[K b ]
n
L
P(vn,r';;; m)
.;;;
([K bn] - Pnl Sn .;;; (K bn - Pn)Sn
r=p +1
n
et
[K b ]
n
_
L
P(v
<ml..;;
( Kb - p ) s + p
S
.;;;
K b
Sn
r= 1
n, r
n
n
n
n
n
n
On en déduit que
+=
-
L
P(H ) < +
l im
P(H ) =
n
00
et que
n
n=1
n-++oo
Lemme. 2.III
On suppose les conditions du lemmelIDsatisfaites ainsi que
l 'hypothèse H
• Cons i dérons l'événement
2
r
=-
=
n
(\\in r
r=1
'
où
r =
et
K
K ]
J
a lors
a)
li m P(Lnl =
n-++ oo
+=
b)
L
p(r ) < + 00
n
n=1

-82-
PJLeuve;
a) On a
lim
P(H) =
d'une part d'après le lemme 1
n-++ co
n
D'autre part la loi FH est stable et la suite
b -
1
est non
n
K
décroissante. D'après le théorème 7.11
b
- 1 «
X(n) si et seulement si
n
K
m
li m
n E(N(f ' O,[b - l , +oo[))
1,
n
K
En utilisant H on a
2
lorsque n -++ 00
n(1-P(N(f ' o,[b
_l, +00[)=0)) =
1 ,
n
K
D'après les inégalités
8) et
9)
on a
lim
nG(b
- 1)
n-++co
n
K
La conclusion en résulte d'après la remarque
b)
L
=>
H
n
{b
- 1 '"
x(n) )
n
n
n
K
m
D'où
( 10)
u
{x(n) <
b _ 1)
m
n
K
Montrons que la série de terme général un définie par u = p(X(n) < b _ 1
n
m
n
K
est convergente.
On a
u
= {WI(f1' O,[b - 1
+00 [) = O))n
n
,
n
K
= 2 Log n - n (1 - P(N(f,' O,[b - l, +00 [) = 0))(1+0(1))
,
n
K
= 2 Log n - n G (b - 1)(1+0(1))
n
K

-83-
(8) et (9) impliquent, pour n assez grand
Z
(
) Log n
( 11 )
Log n u
< Z Log n -
p+1
- -
(1+0(1))
n
En
Le second membre de (11) tend vers - = lorsque n -+ + = d'où la séri e un
est convergente.
+=
l
P(H )
il en résulte que
l
p([ ) < + =
n
n
n=1
n=1
LeJ)JI)Je 3.III
On suppose les conditions du lemme 1.111 satisfaites ainsi
que l' hypothèse HZ • Cons i dérons l'événement sui vant :
r
n {
,Log n }
\\!
;;. P
- -
r=l
n,r
En
où \\!
est le nombre de points de la superposition se réalisant dans 6
n,r
K,r
K et r étant définis au lemme Z.III alors on a
b)
l
P(H)
<
+ =
n
n=l
P.teuve:
On a l'inclusion L c
H et l'inégalité p(H ) -< P([ ) d'où le
n
n
n
n
résultat désiré d'après le lemme Z.III.
Lemme 4. II 1
Pour toute réalisation du processus d'effectif ma > 1 telle
que (x\\n J , ... ,x~Jn)) soit compatible avec H et pour tout rE {l'; ... ,[Kb +1]},
n
n
on a
a
_
( )
( (n)
(n))
- JjJ S~K
+ À-
K T
X l ' ••• , X
, r
n, r
ma
où
SK,r
est un point arbitraire choisi dans 6 ,r ' À
tend vers a avec
K
K
1
et
JjJ étant supposée uniformément continue.
K

-84-
PJLeuve :
Elle se déduit immédiatement du lemme 2.II1 de Geffroy
[30] où
ÀK = À(~) , À(u) étant une fonction décroissante de u > 0 , tendant vers a
K
avec u et qui vérifie
(Vx et x' E: R) , IljJ(x) - ljJ(x')1 -< À(lx-x'l)
Des deux lemmes précédents on déduit le théorènie suivant:
ThéoJLème J.III
On suppose que les conditions des lemmes 3.111 et 4.111 sont
satisfaites et que le processus f'
vérifie les hypothèses suivantes
1, n
1) (3V> 0), (Vx E:
R+) , (Vm o, ma> 1), (Vi E: {l •... ,nio})
Var(y(n)/x) .. V
l
2) Sachant que Iil=m o (ma> 2) les v.s yIn) sont indépendantes
3) (::J~I > 0), (VIil
> 1), (Vx E:
R), (Vk> 2), (Vi E: {l, ... ,ni })
O
O
IE([y~n) _ E(y~n)/x)]~x)l" k!
k
H - 2 Var(y~n)/x)
2
Dans ces conditions si on choisit K tel que
1-a
(Log n)
K
E> a
arbitraire
( 1+E) LogLog n
alors d(tjJn,K,tjJ) tend vers a presque complètement lorsque n -7 +00 , R =[ï J
1
Soit c ~ a et a tel que 0 -< a H -< -
et posons pour m = m >
2
a
i = Var
On ad' après l' i néga 1i té de Berns tei n [24 ]
Vr E: {1, ... ,F} ,
(Vx E: 6-
)
K'. r

-85-
(1) P(!'Ii
K(x)-E('Ii
R(x)/H
n (X(1 nJ, ... ,X(n))) 1>
c
(n)
(n)
(
/H n X1 ,•••,X
. ))'"
n"
n"
n
111 0
a.v
n
ma
n,r
\\) n,r
2 e- c
(n)
(n))
.
pour toute réalisation de ( X
, ... ,X
compatlble avec H
1
ma
n
L' hypothèse
2
1) implique
a
.;; \\)
r V et
H \\)
> p' Log n
n ,
n
n, r
En
donc (1) implique
(2)
Vr E:: {1, ..• ;r}, (V x E: 6-
)
K, r
( (n)
(n)))
-c
+ a V/ H n X1 ,..., X
< 2e
a p'Log n
n
ma
V
La condition a < a~i < l
impl ique
a V .;;
2
2fi
V
Soit E > a
tel que
E <
et prenons a et c tels que
2M
C E '
E
a V ~
et
_ _-"n,-_ ~ ~
2
ap' Logn
2
(2) devient
(3)
Vr E: {1, ... ,~} ,
(Vx E: 6-
)
K,r
2
E
p' Log n
(n)
(n) \\ 1
(
(n)
(n) ) )
- ~
En
(
(
p
ljJ
-K(x)-E(~, -K(x)/H n Xl
,..., X
,) > E/H
n X
,..., X
.;; 2e
1
n,
n,
n
ma
n
1
ma
D'après le lemme 4.111 on a
(V r E: {1, ... ,~}), (Vx E: 6-
)
K,r
(4 )
1 E(ljJn
-K(x)/H
n (X,(n), ... ,x(n))) -ljJ(x) 1 < 2 À-
, n
ma
K
Si on choisit nO tel que Vn> nO
2Àj( < E
on a de (3) et (4)

-86-
d'où
n
(6)
P(d(ljJ -K,ljJ) > 2E/H n (x(l ) , ... ,X(n))) -< (1+Kb ) 2 e
n,
n
m
n
O
Intégrons cette inégalité (6) par rapport à la loi de
sur
On a
Log n
(7)
~
On en déduit que
2 , Log n
-E P
(8)
P(d(ljJ
v,ljJ) > 2E) -< (K b +1) 2 e
4VE n
n~~
n
Considérons le premier terme du second membre de (8) ; il vient
La série dont le terme général est le second membre de (g) est conver-
gente.
Comme la série de terme général P(Hnl est convergente on en déduit
que d(ljJn,K,ljJ) tend presque complètement vers 0 lorsque n-T+ OO
l__V--,._CO-,-N--,S--,I--,ST_A_N_C_E--,L:..:.O_C_AL=-E--,-V,,-E_L_'_ES_T_I_M_AT_E_U_R_ljJ
K
-
n,
Dans ce paragraphe nous étudions la consistance locale de l'estimateur
ljJ
K de la régression ljJ . L'étude se fera en trois parties. Dans une première
n,
partie on suppose que le processus ponctuel f' est un processus de Poisson.
Nous donnons dans ce cas particulier la vitesse de convergence de ljJn,K
vers ljJ en chaque point au sens de l'erreur moyenne quadratique.
Dans une deuxième partie nous considérons un processus f' dont nous
supposons que la première projection est de Poisson. Cette étude nous per-
mettra de dégager des hypothèses générales qui seront suffisantes, lorsque f'
est quelconque, pour assurer la consistance de ljJ
K; ce sera l'objet de
n,
la troisième partie.

-87-
On considère les hypothèses suivantes :
i) F est absolument continue de densité f strictement positive sur R+
ii) Il existe une constante V> 0 telle que
2
(Vr>-1),J
~~,(Vit:J ),E(y(n))/v )<V
n,r
n,r
l
n,r
iii) ~I est de classe Cz
sur
R+
Posons pour x t:
R:, x fixé
-r = [Kx ]
On a alors x t: 6~ -
et ~ est une fonction de n telle que ~ = 00(1)
K,r
Notons
~ISE(~1 K(x)) = E{(ljJ K(x) -ljJ(x) )2}
n,
n,
Biais ljJ
K(x) = ljJ(x) - E(ljJ
K(X))
n,
n,
on a
MSE(ljJ
K(X)) = (Biais ljJ
K(x))2 + Var(~)
K(X))
n,
n,
n,
Posons par définition
E(./6J"-)=E(o/V
- = j )
K,r
n, r
on a alors d'après l 'hypothèse sur la régression
j
(Vj>- 1), (Vi E J -), E(Y(n)/6 _)
E(y(n)/x(n) E 6 -)
n,r
l
K,r
l
l
K, r
= E(Yl/Xl E 6 -)
K,r
Calculons
E(Yl/X, E 6 -)
,
K,r

-88-
Par définition de l'espérance conditionnelle on a
y 1(w) dp((0)
= f
E(Y,/X =x')
1
XL E 6
,r
K
d'où
1
f1jJ(x')dF,,(x')
p(X 1 E Ll
-''1
K,r) x' E Ll K,r
Il en résulte que
inf
1jJ(x') < E(Y /X, C LI
-) <
sup
1jJ(x')
1
K,r
X'E LI
-
x' E LI
-
K,r
. K, r
1jJ étant continue, il existe donc
SK -
E adh(Ll
-) tel que
'\\, r
K,r
7
._---'C:..:::aY.=c.l.....:ü''---'''.df'..::......:Ec.:..I1jJ
K(,lé ) )
-
11
-
J
+00
r
Plv
- = j) E(1jJ
K(x)/v
- = j)
'1
n,r
n,
n,r
J=
= 1jJ ( sK ,-r)
r
P(\\)
- = j) = 1jJ ( C -) [1 - P(\\)
- = 0) ]
. 1
n,r
1\\,r
n,r
J=
.:.2.....:"--,Cc:::a.c::f.c.::.:.(l:.:.f.-.:d::..::l?:......:..:VM=--(1jJ
K(,lé) )
11,
-
+00
2
E(1jJ
K(x)) =
n,
r
E(1jJ2 K(x) / v
- = j) Plv
- = j)
j=l
n,
n,r
n,r
E(1jJ2 K(x)/v
- = j) = E{-l, ( r
y(n)2
+ 2
r
yin) yin) / v
_ = j)}
n,
n,r
je.
i
1
i < il
1
l n , r
1
= --:y
J
ou encore

-89-
(1) E(1jJ2 K(x)/\\!
-= j)= ---1,- { L(Var(y(n) /~JK' _) + 1jJ2(
n,
n,r
. L .
l
,r
J
l
Appelons le second membre de (1) B
. Il vient
j
+00
2
(2) Var(1jJ
K(x)) =
L
B. P(\\!
-= j) - {1jJ( éK -)(1 - P(\\!
- = D))}
n,
j=1
J
n,r
,r
n,r
Ces calculs préliminaires étant établis passons à l'étude des cas
envisagés 00 on a noté W pour W .
1
~6 à EST liN PROCESSUS DE POl SSQ,IJ
Tfléohèlll<!. 7. IV
On suppose les hypothèses du paragraphe 1 satisfaites ainsi
que les hypothèses i, ii, iii précédentes. Les conditions K = O(_n_) ,
Log n
K = 00(1) impliquent que l'estimateur 1jJ
K de la régression est consistante
n,
l .e
(Vx ER)
1i ni
n-++ co
On a
B.J
d'où
1
((n)
j
Var 1jJ
K(X) =
j)
n,
L
-VarY.
/~K-)'P(\\!
j =1
j
l
,r
n,r
+00
2
(3)
+ 1jJ ( é K,r)
L
Pl\\!
- = j) Pl\\!
- = 0)
n ,r
n, r
j = 1
Comme
(Vj;;.1)
il en résulte que
+00
1
Var 1jJ
K(x)
<;
V
L
-
plv
- =
p(\\!
-= j) Plv
-
= 0)
n,
j =1
j
n,r
n,r
n,r

-90-
On a
-n~ (6 -)
(4)
{Biais ljJn,K(x)}2 = {ljJ( ç
-)(1-e
1
K,r) - l)!(x)}2
K,r
d'où
( 5)
MSE(ljJn,K(X))';
V. A(r) + 1jJ2( ÇK,r)
2
-n~1 C\\K r)
+ (l)! ( ç K -) -l)! ( x))
- 2 l)! ( ç K -) e
' ( ~) ( ç K -) - ~) ( x) )
, f
,r
',r
où on a posé
+00
A(r) =
l
.l Plv - = j)
j=1
j
n,r
+00
-n~ (il -) +00
l
.l P(v _ = j) = e
1
K,r
l
j=1
j
n,r
j=1
•• 1
JJ.
J
+00
(n~1(6K,r))J
-n~ (il -)
+00
1
K,r
(n~1(6K,r))
-n~1 (6 -)
=
l
e
+
l
e
K,r
j =1
(j+1) !
j =1
j(j+1)!
-n~1(6K-) +00
(n~1(6K,r))j
.;
2 e
,r
l
j=1
(j+1) !
Comme
n~1(ilK -) -+ +00
lorsque n-++ oo
, et ljJ est continue, il résulte de
" r
l'inégalité (5) que MSE(ljJ
K(x)) tend vers 0 lorsque n-++oo d'où le résultat
n,
dés i ré.
2 ljJ"(x)
En écrivant ljJ(ÇK -)
,r
= ljJ(x) + (ÇK r- x)ljJ' (x) + (ÇK -r - x)
,
,
2
(5' )
2
+ o(ç
--x)
K,r
on a

-91-
2 V
2
---='-----'---+{(ç
--x)ljJ'(x)+(ç
--x)
(6 _)
K,r
K,r
n~l
K,r
-n~1(6K~)
2 \\)J"(x)
e
'
{(ç
--xW(x)+(ç
--x)
- -
K,r
K,r
2
-n~ (6 -)
1
e
1
K,r
= o( ~ )
on déduit de (6)
K
(7)
avec
a
=
inf (t) IljJ 111
tE: [a,x+1J
Cherchons la valeur de K rendant minimunl la somme des deux premiers
termes du second membre de l'inégalité (7). C'est la valeur Ka telle que
2 V
a n
d'où
1/3
2
an {ljJ'(x)}
K = {
a
}
V
Cette valeur Ka dépend de ljJ'(x) qu'on ne cannait pas a priori. En lui
donnant une valeur arbitraire d> a et en substituant la valeur correspondante
dans (7) on obtient
2 V2/3 d2/3
V2/ 3
d2/ 3
I~SE(\\)J K(x))
<:
+
n,
2/3
2/3
Ci
n
(a n)2/3
soit
(8)
flSE(ljJ
K(x))
n,
<:
3
On voit alors que la convergence de ljJn,K(x) vers ljJ(x) est de l'ordre de
-2/3
n
•

-92-
Nous allons donner un~ expression équivalente de MSE(~
K) qui va nous
-2/3
n,
montrer qu'une vitesse de convergence de l'ordre de n
est optimale. Pour
cela nous aurons besoin des hypothèses supplémentaires suivantes
iv)
f est continue
2
v)
~ E(y(n) / X(n) E 6 _)
1
1
K, r
2
~ E(Yl / Xl E 6 -)
pour tout j ;;,. 1 et pour tout i;;'1
K,r
2
vi) ~2(x) ~ E(Y / X = x) est une fonction continue de x et
l
1
Var(Y /X
~x) > a pour tout x
l
E
R+
l
Une conséquence des deux demi ères conditions précédentes est que la
limite lorsque n ~
1
+
var(y(n) /6
-)
00
de
est Var(Y / Xl = x) . En effet
1
K, r
l
Va r ( Y(n) / 6l -
) = E( Y( n ) 2 / X( n) E 6
_) _ {E (Y( n) / X( n) E 6 ,-r) }2
1
K,r
1
1
K,r
1
1
K
De la même manière qu'on a montré que
De la continuité de ~ et
de ~2 on a,le résultat désiré.
De (3) et (4) on a l'expression suivante de ~lSE(~
K(x))
n,
-
2
-n~ 1(L'K -)
(9)
~lSE(~n,K(x)) =Var(Y 1/Xl E 6 ,r}A ( r) + ~ (ÇK,r) e
,r
K
-n~ 1(6K r)
e
'[~(ÇK,r) - ~(x)]

-93-
On écrira désormais ~1 pour ~1 (Ll ;;:-) et on pose
K
En utilisant le développement de 1jJ(sK -) fourni par (5') (9) devient
,r
(10) NSE('~
K(x))~Var(Yl/x1ELI -)A(r)+1jJ,2(x)(sK -- x)2+<IJ'(x)(sK -- x)3~,,(x)
n,
K,r
,r
,r
3
+ o(s
--x)
+ 1\\
-
K,r
K,r
où
+00
(nfJ )j
-n~
+ ,~
(n~ 1)j e-n~l
+00
(n~1)J
-n~l
1
e
1
L
~
L
+
L
e
~ A( r)
j ~1
jj!
j ~1
(j+1) !
H
j(j+l)!
-n~
-n~
+00
(n~ 1)J
e
1}+e
1
- n~1
L
~--
j~1 j(j+1)!
(10) s'écrit
-n~
(n~1)je
1
j(j+1) !
+ <IJ,2(X)(SK _-x)2+1jJ'(X)1jJ"(X)(SK _-x)3+ 0(SK __ x)3+ il
-
,r
, r , r
K,r
On va montrer que NSE(1jJ
K(X)) est équivalente à
n,
(12) c var( Y1/x l E Ll
-) + 1jJ'2(x)(sK - - x)2 + 1jJ' (x)1jJ"(x)(sK - - x)\\O(SK __ x)3
n
K,r
,r
,r
,r
+ 1\\
-
K,r
et pour cela on va montrer d'abord que la limite lorsque n-++oo de l'expression

-94-
(n~ 1) J
L
(13 )
j =1
j(j+1)!
n~lVar(Y1/Xl Ef',K -r)cn+n~1[\\)J'2(x)(ÇK _-x)2+IV' (x)\\)J"(x)(ÇK --r)3+0(ç __x)3]+n~ f\\ -
,
,r
,r
K,r
1 K,r
est nulle. Il suffira de montrer que la limite du numérateur est nulle,
n->+'"
,et que les deux derniers termes de la somme figurant au dénominateur
sont positifs pour n suffisamment grand. On a
2
2
'
3
3
n~l[ljJ' (x)(ÇK-- x ) +\\)J(x)\\)J"(x)(ÇK-- x ) +O(ÇK-- r ) ]
~r
,r
,r
( 14)
si \\)J' (x)1' 0
'2
2
et le signe du second membre de (14) est celui de n~l\\)J
(x)(ÇK,r- x)
c'est-à-dire positif pour n suffisamment grand.
d'où
li m
n~
f\\
-
= 0
1
K,r
Considérons le numérateur. On a
+'"
(n~l)j
+'"
(n~ 1) j
+'"
(n~l)j
L
=
L
+ 2
L
j =1
j(j+l)!
j =1
(j +2) !
j =1
j(j+2)!
n~l
+'"
(n~l)j
3 e
-<
3
L
-<
H
(j+2)!
(n~1)2
D'où
e-n~l
+'"
(n~ 1)j
3
( 16 )
n~l
L
-<
j =1
j(j+1) !
n~l
Le second membre de (16) tend vers 0 lorsque n ->+ '" . On a donc bien
le résultat annoncé.

-95-
L'expression (12) est aussi équivalente à
var(Y1/X1E'''K,r)
2
2
3
3
(17)
+ ,~' (x)(sK -- x) + ljJ'(x)1)I"(x)(sK -- xl
+ orsK -- xl
,r
, r , r
+ Il
-
K,r
car (12) s'écrit sous la forme
Var(Y IX
E il K -)
'2
2
3
3
[
1
1
,r + ljJ
(x) (sK -r - xl
+ 1)1' (x)ljJ" (x 1(s
- - x)
+ 0(s
- - xl +11
-] x
K,r
K,r
K,r
n~
,
1
+ Il
- )
K,r
On a évidemment
-n~
-n~
e
1
e
1
+ n~l
Var(Y 1/X1EilK,rl - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Var(Y1/X1EilK -)+n~1{1jJ'2(xl(s
--x)2+\\~,(x)ljJ"(x)(SK _-x)3+0(SK __x)3
,r
K,r
,r
,r
+ Il
-
}
K,r
tend vers 0 lorsque n -++00 .
Ecrivons
SK - sous la forme
,r
8
-
K,r
S
-
= x + - -
avec
K,r
K
Comme
Il
- = 0(-1,) on peut écrire l'équivalence suivante notée ~
K,r
K~
2
8 -
ljJ'(x)ljJ"(x)8-
K,r
+
K,r
( 1 )
3
+ O - j
K
K
On a
r
K
fCc
H\\l1 1\\
K
~1lilK -)=IIu.1I C f( tldt =
,r
,1
-
E il
-
,r
'1
.r-l
K
K,r
K,r
K

-96-
En utilisant les hypothèses iv, v, Vl on a
3
K Var(Y IX
= x)
1)I'2(X)8~ -
1)1' (x)l)l"(X)8
-
( 19 )
~ISE (1)1 K(x)) ~
l '
+
' r +
K, r + 0 ( 1 )
2
3
n,
.
n f(x)11 ~111
K
K
KT
Ecri vons ('9) sous la forr,le
2
K Var(Y1/X,=x)
1)I'2(X)8
_
--~~- + --~2--:.K:...>,.:-r ] x[1 +
n f(x)11 ~I,l
K
K4
Var( Y / X =x)
1
1
--~-'----- +
n f(x)11 ~111
1
avec
d-.T) + 0
lorsque K ++00 •
K
On déduit de cette forme que si on choisit K ~ C na, avec a tel que
4a- 1> 0 , C étant une constante positive, alors pour tout BK - ,
, r
18K -1 -< 1 , on a
,r
(20)
~'SE(1)I
K(x))
~
n,
comme
C V
(Y IX
x)
",'2(x) 82 -
ar
,
1=
C
'i'
Var(Y1/X1=x)
K, r
( 21 )
+ ----'----'-'---
+ - - -
1 a
2
2a
n -
f(x)11 ~II
C n
n'-a f (x) Il ~111
La valeur optimale de a , indépendante des variations de 8 -
K,r
(K ~ C na) est obtenue en écrivant que la dérivée par rapport à a du second
membre de (21) est nulle soit
3a-1
C Var(Y1/X = x)
2 1)I,2(x)
Vn ,
n
= 0
2
Il
C
~II f(x)
1
1/3
1
{ 1)I,2(x) f(x)1ll:'.lJ1 }
d'où
a = -
et
C
3
Var( Y1/ X,=x)

-97-
En substituant ces valeurs de a et C dans (20) on obtient
2/3
(1 +~)
ljJ' (x) var(Y1/X1=x)
(22)
t,1SE(ljJ
K(x))
~ --,.",,--- {
}
n ,
n2;3
Il
Il ( )
~l f x
où
e- est l'expression de BK -
lorsque K ~ Cn 1/3
r
,r
-2/3
La vitesse de convergence optimale est alors de l'ordre de n
.
E- LA PREMI cRE PROJECTI ON DE 6~ EST UN PROCESSUS DE PO ISSON
On désigne par 'Ti (slle sous-ensemble de
~
d
-
tel que pour tout i ,
n,r
cJ n, r
E: J (sl
( n)
i ème
( >f ( s )
,
n,r
Xi
est un point du s
nuage
0n,r = ~ si N(fi ,(s),LlK,r)=O).
On a
n
U
s =1
On fait l 'hypothèse suivante
vii) Les v.s y;n) sont uniformément bornées par un nombre M .
Lemme 1.IV
Sous l'hypothèse précédente et la condition il,
1
L
E(y(n)y(n)/Ll j
-) étant le terme figurant dans l'expression (1)
l
l •
K, r
7 il'i'
p. 89.
,on a, si K = 00(1)
+00
2
2
li m
L
---:T
ljJ (x) .
j =1
J
Pf1.euve
Ecrivons cette expression sous la forme
qui s'écrit encore

-98-
ou
1
--:z
J
Comme
L
Plv
-=j)-+1
~
n,r
et
L
P(v
-- = j) 7- 0
lorsque n-+ +00
,
j =1
j =1
j
n, r
il faut montrer que l'expression
(23 )
1
l:
7
L
j=1
J
i ;1 i '
tend vers 0 lorsque n 7- + 00
Cons i dérons
(24)
L
i ;Ii'
Lorsque
(s ;1 s') on a Cov(y(n) y(n)/li j -) = 0
1
' l I
K,r
car f~ et f~, sont indépendants (on fait la convention que cette covariance
est nulle si
';)(sl
= ~ ou
'J (s~) = ~ ) .
n,r
Donc dans l'expression (24)
n,r
on sommera sur les indices i et i' appartenant au même ensemble
J (sl
n,r
s = 1, .. .,n
On a
(24)
L
Cov(y(n) ,y~?) /v
=j)p(v
=j) = L
i ;Ii '
l
1
n,r
n,r
i ;1 i '

-99-
(24)
où
XA désigne la fonction indicatrice de l'évènement A et 'N'r
est la
variable aléatoire égale au nombre d'indices s tels que N(fi ,(s),6 ,r) ;;;. 1
K
L'expreision (24) devient
(25)
On a
Ca rd {( i , i ') E J(sl x J (sl , i te i'} = ca rd J(sl x (ca rd J (sl - 1)
n,r
n,r
n,r
n,r
et card ~~~~ suit une loi de Poisson de paramètre ~1(6K,r) .
D' où en tenant compte de l' hypothèse vi i)
(26)
j
< L
2
2 M P(v
r
= j) a(a-l) P(card 1 (s~ = a
n
a = 1 '
~n,r
+00
<
2
2 H
p(v
-=j)
L a(a-l) P(card ~ (s~ = a)
n,r
a= 1
n, r

-100-
Come
~oo a(a-1) P(card ~~~f-= a) = ~~(l\\K,r) on a
a= 1
P(v
-= j)
n,r
D'où l'expression (25) est inférieure à
n
2
(27)
2 M ~21(l\\K -)p(v - = j)
L
H
CN- = 9,)
,r
n,r
9,=1
r
.
Ur suivant une loi binomiale de paramètre n et PK,r= P(N(fi ,0,I\\K,r) ;;. 1)
(27) dev i ent
(28)
D'Où finaler.lent
+00
1
(n) (n)
0
2
2
+00
(29 ) 1 L
- 2
L
cov(Yo,Yo,/l\\J -)P(v
-=j)I-<2M
n~1
L
1
p( v
- = j)
1
2
o
OF'
l
l
,r
,r
0
K
n
J=
J
l r 1
j=1
j
n,r
On a
+00
1
0
-n~l
+00
(n~ 1) j
-n~
+00
(j+1 )(n~1)j
L
---:T p(v -= J )=e
L
j=1 j
n,r
j=1
c
=
e
1
L
. c.
. 1
02 (' 1) 1
J
J 0
j =1
J
J+
0
-n~
+00
(n~ 1) j
=
e-n~1
+00
(n~1)j
e
1
L
+
L
j=l
o2(0 1) 1
j(j+1)!
j=1
J
J+
0
-n~1
(n~1 )j
<;
2 e
L
j =1
j(j+1)!
mais
-n~1
+00
(n~1 )j
-n~
+00
(n~ 1)j
-n~
+00
(n~l )j
2e
L
= 2 e
1
L
+ 4 e
1
L
j=1
j(j+1)!
j =1
(j +2) !
j=l
j (j+2)!

-101-
d'où
+00
-n~
+00
(n~l )j
6
L
A-p(V
- = j )
e
1
L
.;;
'" 6
j =1
j
n, r
j =1
(j +2) !
(n~1 )2
Il en résulte que
2
2
+00
12H
n~l
(30)
1
((n)
(n)
j
(
.) 1
L-7LCOVY.
,Y.,/6
-)Pv
=
1
K
r =J
""
j=l
j
ifi'
1
1
,r
n,
(n~1 )2
n
Le second membre de (30) tend vers 0 lorsque n-7+OO d'où le résultat annoncé.
Thton~me 2.IV
On suppose les hypoth~ses du paragraphe 1 satisfaites ainsi
que les hypoth~ses i,iii, vii. La condition K = 00(1) implique que l'esti-
mateur ~
K de la régression est consistante. i.e
n,
(VX ER)
lim
E{(~n K(X) - ~(x))2} = 0
n-++ co
'
Pne.llVe
On a
+00
(n
(31) Var(~ K(x))=
L
[-~ L E(y )2/6J' -)]P(v - = j) +
n,
j=l
j<
i
1
K,r
n,r
L
E(y(n)Y(~)/L\\k -)]P(v -=j)-{~(sK -)(l-P(v _=0))}2
;<;1
1 1
,r
n,r
,r
n,r
comme
+00
2
(32)
L
-~ L E(y /6J' -)P(v -= j)
.1- P(v -= j) = t~2 A(r)
. 1J'<
1"
l
K,r
n,r
J
n,r
J=
comme
A(r) tend
vers 0 lorsque n -7+00 et que {ljJ(sK -)(l-P(v
-= 0))}2
,r
n, r
tend vers ~2(x) lorsque n-7+OO on a d'apr~s le lemme l.IV
Var(~ K(x))
n,
tend vers 0 lorsque n -7 + 00 •
Le calcul du biais nous donne

-102-
expression qui tend vers 0 lorsque n ++00 •
Comme
il en résulte que r'1SE(lji
K(x)) tend vers 0 lorsque n + +00
n ,
c- /1'
EST Ull PROCESSUS OUELCONOUE
_lO
.....
~
Lemme 2.IV
On suppose les hypothèses du paragraphe 1 satisfaites. Supposons
en plus que
1)
K = oo( 1)
2)
N( f i/(n) "\\;ro)
p.s
lorsque n ++ 00
alors l'expression Aero)
définie par
l Plv - = j)
j
n,r
tend vers 0 lorsque n + + 00
•
PJteuve :
si NUi ,(n) ,lIK,r) > 0
Posons
o
On a a l ors ~ n '" 1 et ~n + 0 p. s
A(r)
= P(N(fi,(n),lIK,r) > 0)
E(
1
/ NUi ,(n) ,lIK,r) > 0)
N(fi ,(n) ,lIK,r)
E(~n)
=
La convergence dominée de Lebesgue entraîne
o d'où le
résultat désiré.

-103-
Désignons par ~~,r le moment factoriel d'ordre Z de N(fi,0,6 ,r) •
K
Considerons les hypothèses suivantes
viii) Il existe une suite br . de nombres positifs vérifiant
n ,J
lim
o
b) (\\In E N*)
la série de terme général
est convergente
de somme Br vérifiant
n
1
o( - " Z -
n ~ K,r
c) (\\Ir .. 1)
Le.mme. 3.IV
Sous les hypothèses i) et viii) a,b,c,
1
l:
étant le terme fi gurant dans l'express i on (1)
7 i W
p. 89
on a
(n) 0)
.
li m
Z
l:
--:Z-.
. , E(y.Y.,/LlJK-)P(v
-~j) ~
11
,r
n,r
J
l< l
P,te.tJ. v e.
L'expression (26) est majorée par
(33)
~ a(a-1) br . P(card 'j(sl ~ a )
a~ 1
n, J
n, r
et on a
+00
(
l:
a(a-1) br . P(card j sl ~ a) ~ br . ~(21
a~1
n,J
n,r
n,J
K, r
d'où l'expression (Z5) est inférieure à

-104-
n
(2 )
(34)
L
~K r
P(N- = Q,)
r
Q,=1
,.
et (34) est égale à
n p
_
br . ~(21
K,r
n,J
K,r
1l en résulte que
ln) (n)
.
(35)
L
cov{Y.,Y.J~~-) Plv - = j) 1 .; n ~(21 br .
i fi '
l
l
,r
n,r
K,r
n,J
d'où
+00
br .
1
(n)
ln)
j
.
(2)
(36)
n,J
L
L
cov(Y.,Y.,/il
-) Plv
-=J)I.;n~K-
L
if;1
l
l
K
.2
j =1
7
~r
n,r
,r
j=1
J
En tenant compte de l' hypothèse viii) b, le second membre de (36) tend
vers 0 lorsque n -.. + 00
•
D'après la décomposition
1
L
E(y{n)
1
7
= ---:T
/ ilJ -) +
K, r
ifi'
l
J
j
+00
comme
L
P( v
-
=j) et
L
l Plv - = j) tendent respectivement vers 1
. 1
n,r
j
n,r
J=
j =1
et vers 0 lorsque n -.. +00, on a bien le résultat désiré.
Il résulte de ces deux lemmes précédents le théoréme suivant:
TnéMème 3.IV.
On suppose que les hypothéses i ,iii ,vii ,viii a), b), c) sont
satisfaites. La condition K = 00 (1) implique que l'estimateur de la régression
est consistante i.e.
Plteu.ve.
elle suit celle du théorème 2.IV.

-105-
CHAPITRE IV
ÉTUDE DE L'ENVELOPPE CONVEXE DES POINTS
D'UNE SUPERPOSITION DE PROCESSUS PONCTUELS SUR
Nous allons étudier dans ce qUl va suivre, le comportement asymptotique
de l' enve loppe convexe des poi nts de la superposition des n processus ponc-
2
tuels fi
i = 1, ... ,n à valeurs dans
R , indépendants et de même loi qu'un
+
processus fa .
On désigne par fin) la superposition et par m son effectif aléatoire
sur
R~ i.e
n
2
m = L
N(f:
R )
l '
+
i = 1
Soit
Xi = (U , Vi)'
~
i
1 la suite des v.s associées à fa et ordonnées
suivant l'ordre lexicographique. On pose Xo = (0,0) l'origine de R~ .
On désigne par X(n) = (U(n), v(n)) les v.s correspondants à f(·n) ordonnées
l
l
l
(n)
suivant l'ordre lexicographique et Xo = (0,0).
Désignons par ~ la mesure moyenne de fa et posons
~(u,v) = E(N(fa,[O,u[x[O,v[))
Il ~ Il = E(N(fa, R~))
Il ~II-< +00 , et F(u,v) = ~(u,v)
Il ~ Il
On suppose que F est absolument continue et on note f(u,v) =
(u,v) ,
dU 3v
2
(u,v) E R , sa densité.
+

-106-
Les hypothèses suivantes sont supposées vérifiées par f
P .
f est unimodale, strictement positive et atteint son mode à
1
l'origine
PZ'
Pour tout c > 0 les domaines O(c) définis par
O(c) = {(u,v) E R~, f(u,v) :> c}
sont convexes de fronti~re régulière.
P .
En faisant le changement de variables u = p cos 6 ,v= p sin e
3
(0:> 0,
0", 6 '" -Z) et en posant g(p,6)=f(p cos e, p sin 6)
on suppose :
g(p+h+6)
(Vh> 0),
li m
sup
o
p-Hoo 6 UO'-ZJ
g(p,e)
On cons i dère l' hypothèse sui vante KO
K -
Pour toute famille croissante C(a) de domaines de
RZ , convexes
O
+
contenant l'origine (0,0), telle que
lim
C(a) =
R:
on a
a-++ co
EUI(fà, L(u)))
l im
P(N(fiJ, L(a))>O)
On supposera K vérifiée dans toute la suite.
O
Les hypothèses Pi et Pz impliquent
1) pour tout w> 0
la relation f(u,v) = f(w,O) détermine de façon
unique une courbe de niveau
C frontière de O(f(w,O)) noté 0
w
w
Z
Z) Qu'on peut définir sur
R
une relation de préordre '" de la façon
+
suivante :

-107-
i = 1 ,2
Si
m;;. i
(i ;;. 1) définissons la v.s
w(n) par la relation
1
=
f(W(n) ,0)
1
Si 1 = 0
vJ(n) = 0
o
Nous allons étudier la stabilité en probabilité de W(n) qui est la plus
grande valeur du processus wIn). Pour cela on va utilisermune procédure de
réduction de chaque nuage de la superposition comme dans le cas à une dimen-
sion mais en utilisant la relation de préordre < définie en 2) (remarques).
2
Si N(f:, R ) ;;. 1 soit
X.
un point du nuage le plus éloigné selon la
1 +
l
"'"'
" ' , - . . . ,
relation de préordre ~ . Il lui correspond W' tel que f(X.) = f(W. ,0). En
1
1
1
itérant cette procédure on obtient un échantillon de taille aléatoire
; où; = card{i : N(f'-:l, R2 ) ,. 1},
Supposons que c'est ~our+les i
premiers indices i qu'on a N(f;, R~) ;;. 1).
Un calcul similaire à celui du cas à une dimension nous montre que, condi
tionnellement à N = k, la loi de (w ' ... ,~) est la loi d'un k échantillon
1
d'une v.a
vi de fonction de répartition F'W définie par
P(N(f ' ,D ) = 0,
O
N(f ', R2) ,. 1)
O
F (1'1)
P(W < w) =
.
W
+
W
p
Posons
F#(W) = P(~(fO',IT ) = 0) . On a alors la relation
YI
(2)
F#(\\'f) = p F~(w) + 1 - p
w
D'après une étude qui a été déjà faite [chV D, Sl Ka est vérifiée on aura la
stabilité de W
donc de w(n) si et seulement s 1 on a
'f{
m
1 - F# (w+h)
K -
(Vh > 0)
li m
1
= 0
\\'1, -+- + 00
1 - F#(w)

-108-
Compte tenu de l' hypothèse Ka cette condition est équivalente à
Il u Il - u (D
K -
(Vh >- 0)
li m
w+ h)
= a
2
1;1 -+ + 00
Il ull- u(Dw)
où on a posé pour tout borélien B de
2
R
u(B) = E(N(fO,B))
+
Pour tout 1'1 >- 0, soit p(e,I'I) la représentation polaire de C
• Considé-
VI
rons les hypothèses suivantes
P ,
Pour tout e E [0, ~] et pour
4
tout w >- a , p(e,w) admet une dérivée
par rapport
11
à 1'1 soit ~~ (e,w) continue sur [0'2] x R*+
P '
Il existe deux constantes positives a et b telles que
S
Désignons par Wla v.a ayant pour fonction de répartition F définie de
W
la façon suivante
sivl>-O
a
si 1'1 .;; a
On a le théorème suivant
ThéoJŒme
Sous l es hypothèses P3' P4' PS
i )
Ffi admet une densité f Wdéfinie par
11/2
fw(w) = f(w,O)
J
~~ (e, vI) !f(e,1'1 ) de
a
i i )
K est vér.ifiée.
2
P~euve
i) On a
n/2
p(e,w)
n/2
FW(w) =
J
J
r g(r,e)~r de =
J
<jJ(e,w)de
a
a
D
p(e,w)
où
<jJ( e ,Iv) =
J
r g(r,e)dr
a

-109-
Soit Wo> 0 et soit h> 0 tel que \\'0 - h > 0 d'après l' hypothèse P4
~(8,w) est dérivable par rapport à w de dérivée ~~ (S,w) continue sur
L\\h ~ [0, TI/2] x] VIO - h, \\'0 + h[. En util isant un théorème classique
(V. Titchmarsh)
on en déduit que F est dérivable en W
w
o de dérivée
TIl 2
f
~~/S'WO)dS
o
On a
9 ( 6, p( S, vi )) ~e (S, w) p( S,w)
f(w,O) ~p (S,w)p(S,w)
aW
d'où le résultat désiré
f(w+h,O) ~
ii) L'hypothèse P
entraTne que Vh > Olim
0
3
\\,J.-+ +00
f( w, 0)
et en utilisant Ps on voit alors que
fw(w+h)
li m
~ 0
ce qui implique K2
W-r+CO
f~i(w)
Posons
-1 ( 1
T
~
1 - F
et appelons f
le domaine compris entre
n
G
il) avec G
W
w
W
n
l es cou rbes C
et C
On va montrer que le nombre de points du proces-
T
-E
T
+E
n
n
sus appartenant à r
croît indéfiniment en probabilité lorsque n-++'"
et que
n
·ces points se resserrent de plus en plus.
L~mm~ 1
Soit F
une fonction de répartition vérifiant l 'hypothèse suivante
O
1-F (x+h)
O
HO:(Vh>O)
l im
~ 0
x -)- + co
1-F (X)
O
a lors en posant
Log(1-F (X))
O
A(x)
x
on a
lim
A(x)
+'"
x-++ oo

-110-
Posons cp(x) ~ -Log(l - FO(x)) •
La fonction cp est une fonction croissante de x
et on a
1)
cp(x+h)-cp(x) ++00
lorsque
X++ oo
Soit
cp (p+ 1)
cp(p+2)
Cl
~ i nt{
, ... }
pEri!
p
p+ 1
p+2
et montrons que
l im
[1.
~ + 00
p++oo
p
1) implique cp(p+1) - cp(p) + +00 lorsque p ++00
Soit A> 0 arbitrairement grand, il existe Po tel que (Vp > po)
on ait cp(p+1) - cp(p) > A d'où cp(p+l) - cp(po) > (p-PO+1) A ce qui entraîne
2)
>
+
p+l
p+ 1
p+1
d'où
lim
[1.
> A donc
l im
[1..
= +00
On en déduit donc que
p
p-++oo
p++oo
p
lim
cp( p) ~ +00
p-++co
p
cp(x)
~étant une fonction croissante on en déduit que
li m -~-
X -+ +00
X
Co!lOlicUAe 7.
Si Fa vérifie les conditions du lemme 1 , en posant
et
on a
b =
n
0 (Log n )
P!leuve :
Go(x) ~ ~ -x A(x)
1
1 - n implique - Log n ..;; Log GO(b ) = -b
A(b )
n
n
n
d'où
( )
Log n
Ab
-<
~ -+ +00 lorsque n-++ oo
d'où le résultat annoncé.
n
Lin
La fonction f(t,a) est
une densité de probabilité à un facteur constant près.

·-111-
+00
-w A(w)
Donc,si on pose G(w) =
f
f(t,O) dt
e
w
on a d'après le lemme 1.
A(w) -++00 lorsque W-++ oo
. rJous allons établir
le lemme suivant
LeJi1me 2.
Si
A(11) est monotone croissante pour w assez grand et Sl
A(vl) = oo(Log vil
alors on peut trouver une suite a
tendant vers +00 et un
n
scalaire À> 0 tels que
sa
>
À (Logn)
n
n
VJte.uve.
D'après Ps on a
awf(11,0) .2!. -<
fW(w)
2
d'o0
T +[
n
(Vs> 0)
a 11 f
wf (w, 0) dw
-<
2
T -[
n
ce qui implique
Tn
(1)
f
f( w,0) dw
-<
soit
T - [
n
(2 )
soit
(3)
Gh n)
Comme
-+ 0 lorsque n -+ +00 du fait de la stabilité de la loi dont la
Ghn-sJ
densité est proportionnelle à f(w,O) et que T
-++00 , n-+ oo
(3) entraîne:
n

-112 -
~ (rn1
(4)
- - -
Il ~ Il
En appliquant le lemme 11 de Geffroy [31] on a alors
ECi
n G(1 -El > (Log n)
n
n
(4) et (5) impliquent le résultat désiré.
Supposons que l' hypothèse sui vante soi t véri fi ée
P -
(3Ci
> 0), (OlS
> 0), (VS E [0,IT/2]), (Vw E
R* )
6
1
1
+
~~ (S,w) existe et Cil ~ ~~ (S,w) ~ S1
Partageons r
en Y domaines par des demi-droites issues de l'origine et
n
n
d'angle polaire S, = ~ i
i = 1, ... 'Y
. Appelons ces domaines r
.
n
n,l
1
2Yn
Chaque domaine r
. est délimité par les demi-droites d'angle polaire S= Sl'-1
n,l
on po seS 0 = 0 .
A- tl~ ~~.t LLI'! ):J!wee.-Hu..6 de. Po-d,lOn
- y
On a les propositions suivantes
P~OpO~~OI'! 7
Il est presque sûr qU'à partir d'un certain rang chaque
domaine r
l' contient au moins un point du processus si y
vérifie la
n,
n
cond iti on
(P)
Log Y =Ü(LogLog n)
n
. P~e.LLVe.
considér~ns l'événement K suivant
n
ftn = {Vi =1,···,yn , N(f(n)' rn,il >- 11
Nous allons montrer que
l im
P(
n
Jt ) = 1
n
N-.+oo
n>- N

-113-
On a
n
P(N(f(' ),r
.)=0) =
P(N(fO',r
.) = 0)
n
n ~ l
n,l
c'est-à-dire
-n~(r
.)
( 1)
e n , l
D'après Lecoutre [40] on a les inégal ités suivantes
Yi=l""'n
et en utilisant le lemme 2 on a
Ea
'n
Il ~II À (Logn)
n
= n
L
i =1
Sl 4
(-)
~(rn 1')
i=1"""n
a 1
'
(1) implique alors
-1
E a
-'n
c(Log n)
n
( 2 )
e
'"
l n
a
4
avec
c = (~) Il ~II À
1
Etudions la série dont le terme général est le second membre de l'inégalité
(2) qu'on pose égal à un
Ea
2
c(Log n)
n
Log n
un = 2 Log n + Log 'n -
'n
E a
- 1
Log 'n
(Log n)
n
= (Log n) {2+
- c
}
Log n
l n
€a
- 1
(Log n)
On
tend vers +00 avec n si et seulement si
'n
(3 )
(E an - 1) Log Log n - Log 'n tend vers + 00
avec n

-114-
(3) s'écrit
Log y
(4)
{ ( E Ci
- 1) _ __---'-'-n_
} Log Log n
n
Log Log n
Log 'In
et tend vers + 00 avec n
si
est borné et dans cette condition
Log Log n
Log 'In
est aUSSl borné ce qui entraîne que
2
Log n
u
va tendre vers - 00
Log n
n
lorsque n tend vers + 00
d'où la série de terme général un est convergente
PltOpo,;azOYl 2
Pour tout C > 0
soit N
.(c) le nombre de points du proces-
n,l
0
sus appartenant à r
. . Si 'In vérifie la condition (P)Log 'In ~
(Log Log n)
n , l
alors on a
CCi
7lc(Logn)
n
-<-<
N
. (c)
n, l
'In
p
Plte.u.ve :
Pour tout i ~ 1, .. ,'1
et pour tout c> 0 N
.(c) suit une loi de
n
n, 1
Poisson de paramètre n ~(r
. ) . Appliquons l'inégalité de Bienaymè-Tchebychev
n , l
(1)
P(n~(r .)-(n~(r .))3/4-<N .(c)-<n~(r .)+(n~(r .))3/4»
1-
1
1/2
n,l
n,l
n,l
n,l
n,l
(n (r
.))
CCi
~ n, l
La condition Log 'In ~O(Log Log n) entraîne que
lim
(Log n)
n ~ + 00 •
n-++ oo
Oe l'inégal ité
(2 )
n~ (r
.)
n, l
pour tout i ~ 1, ... Y ' On a donc pour tout 71 , 0 -< 71 -< 1 , il existe nO
n
tel que V n>n O ' Vi~" ... ,Yn
CCi
1
-4
71 c (Logn)
n -<
n ~(r
1.)[1 -(n~(r.))
]
n,
n, l
(1) implique alors
CCi
(3 )
p(71 c (Logn)
n -<
N
.(c)) > 1 _ --,-'--.--;r
n,l
(n~(r .))1/2
n, l

-115-
d'où
Vi~l""'Yn
[an
y
1/2
(4)
P(ll c
(Log n)
-<N
.(E))>-1-(
n
)
Y
n,l
c(Log n)Ea n
n
donc
[ a
(Log n)
n
(5 )
p(
inf
N
·(E)>-llC
>- 1 -
l<i<y
n ,l
n
Yn
Etudions le second membre de (5). On a
3/2
Y
3/2 Log Y
c
n
n
(6)
Log -----,------,""
{
} Log Log n
Ea
1/2
n
(c Log n
)
Log Log n
2
2 Log Log n
On voit bien que si la condition (p) est vérifiée
le
second membre de (6)
tend vers -00 lorsque n++oo
d'où le premier membre de (5) tend vers
lorsque n++ oo •
Considérons sur le segment [O,T - El les points
'Ii.
qui s'écrivent sous
n
J
.
la forme T - [- 2E{v -j) , j ~ 1, ... ,v
. Désignons par
r J la reglOn comprise
n
n
n
n
entre les courbes C
et C
où on pose
C
~ {a}. Chaque région est décou-
w. 1
w·
W
J -
J
o
pée par les demi-droites issues de l'origine et d'angle polaire e.~_TT_i
l
2 Yn
i~l""'Yn en Yn domaines que nous désignons par r~,i
Faisons l 'hypothèse suivante
H-
(3PO>- 0), (ve E [0,TT/2n, (V(w' ,l'''))
PO<p(e,w') -< p(e,w")
=> p(e'\\'I")g(p(e,w") ,e) < p(e,w' )g(p(e,w') ,e)
Alors on a la proposition suivante
j
PftOPOJ.>.{);{.OVl 3
On suppose H vérifiée. Pour tout [>- a soit N .(E) le
.
n,l
nombre de points du processus appartenant à r J . et pour n assez grand soit
n, l
jo l'entier défini par

-116 -
.
.
f I '
.
1
JO = ln eJ,J= ,··.,\\J
ve
n
E: [0, .JT. J , p(6,1'.) > PO}
2
J
Si Y
vérifie la condition
n
(P)
Log Y
= a (Log Log n)
n
alors on a
SŒn
nc(Log n)
(Vs> 0), (Vn E: JO, H),
«
p
PfLe.UVe. :
E11 e résulte de l' i néga lité sui vante
Vi E U, ..... ,Y } (v. Lecoutre [40J)et du schéma de la preuve de la proposi-
n
tion 2 .
PflOP0!.l.iX{.(iV( 4
Sous l es hypothèses précédentes, il est presque sûr qu'à
partir d'un certain rang chaque domaine r j
.
(j > JO) contient au moins un
n, l
point du processus si Y
vérifie
la condition suivante
n
(P)
Log Y
=O(LogLogn)
n
Pfle.UVe. :
On remarque d'après la définition de \\Jnquesi P est vérifiée on a
( P' )
')n =O(Log Log n). La preuve suit celle de la proposition 1 en posant
:P l'ensemble suivant
n
1 \\ = {Vi=1,···,y , Vj=jo, ... ,\\Jn'
n
et en montrant que
.
l im
P(
n 13 n) =
N->+oo
n>N
On a
\\! n
..;
L:
j -J'
- 0
En utilisant l'inégalité (1) dans la preuve de la proposition 3 et (2) de la
proposition 2 on a alors

-117 -
Ea
-1
p(1\\)
-y
c'(Logn)
n
(1)
'" v y e n
n
n
a 1 5
avec
c'
s;- ) Il ~ Il \\
En appelant v
le second membre de
n
(1) on a
Log v
Log
EŒ -1
y
(Logn)
n
(2) Logn 2 v ~(Logn) (2 +
n +
n
- c'
n
)
Log n
Log n
D'après le raisonnement fait dans la démonstration de la proposition 1 si
2
la condition P est satisfaite Logn v va tendre vers
n
- 0 0
lorsque n-++oo .
D'où la série v
est convergente d'où le résultat désiré.
n
Posons l'a
En appelant Diam D
le diamètre du domaine D
posons
Wo
Wo
ra ~ Diam DWo
Soient B{X,E) une boule de centre x et de rayon E> a . On a la proposition
hopMilicm 5
Pour tout E> a et pour tout x du domaine D on a
a Log n
N(f(n) , B(X,E)) »
p
3 En
avec
E
-+ a lorsque n -+ +00 , a ~ inf f(u,v)
n
D
P!è,w.ve :
Par des parallèles aux axes ou et ov découpons le domaine
2
D en K
cellules de côté
~ où K est un entier supérieur ou égal à 2 .
K
2
Soit
K
~
n
K
ro( 1)
On a d'après
En
~
1es résultats du
Log n
2
K
chapitre
a Log n
II
lim
P{H ) ~
n
où
H ~
n (v
>-
)
n
n,r
n-++oo
r~l
3 En
Pour tout x E 6
soit r(x) défini par
2
r(x) ~ inf { r 1 r~1, ... ,K
, x E 6 ,r}
K
d H
{
a .Log n }
e
n C
v n ,r{ x);;'
3

-118-
on a
>>-
p
et comme pour n suffisamment grand
6K,i(x) c S(X,E) on a bien le résultat
désiré.
Nous allons étudier la frontière de l'enveloppe convexe des points du proces-
sus, l'origine comprise en nous intéressant à sa partie située à l'extérieur
du domaine délimité par la courbe C
et contenant l'origine. On désignera
T -2E
n
cette partie par H
n
m
Cons idérons l' hypothèse P7 sui vante
P7 (ve E lO, ~ [), (Vw>- 0), p(e,w) est dérivable par rapport à e et
2
(~ 6
~~
2 >- 0),
(e, VI)
10
1
l
' "
2
On a le théorème suivant
TfLéo.1è.me- 2
Si les conditions P ,P ,P3,P6,P7 sont satisfaites ainsi que
1
2
les conditions K et P • On choisit Y .. Log n alors
O
n
l im
d*(H n
C
) = O(p) où d* désigne l'écart maximum
m'
T n
entre deux ensembles de
r~enons par l' ori gi ne de
demi-droite orientée OX de pente e
arbitraire. Elle coupe C +
en un point T qui appartient à un domaine r
.
T
n, l
n E
On a l'inégalité suivante (V. Lecoutre) [40l
(1) Diam r
. < 2n B
+
n, l
1
où
8
est une constante positive.
3
Supposons ft
réalisé pour tout n supérieur à N . Il existe donc un
n
point Mdu procesus MEr
. . Soit M' sa projection orthogonale sur OX . On
n, l
a Il TM' Il <
Diam r
' . Considérons la distance de 0 à M' soit
n, l

-119-
Il O~I' Il = P(e,Tn+E) - Il TM' Il
De l' i néga 1ité (1) on a
T
(2 )
Il OW Il > -2n 6 ~ +
1 Yn
Montrons l'inégalité suivante
(3)
Elle est équivalente à
(4 )
Si on choisit 'in '" Logn le second membre de l'inégalité (4) tend vers 0
lorsque n-r+OO alors que le premier membre est minoré par EU
d'après la
1
condition P ce qui prouve (3).
6
Soi t
~n l'événement sui vant
t; = {tous les points du processus sont à l'intérieur du
n
domaine DT +E} .
n
Nous savons que
lim
P( ~ ) =
n-++ oo
n
Supposons que pour tout n > N j[ est réalisé et soit n un entier supérieur
n
à N pour lequel
~ est réaliSé.nH est alors contenu dans le domaine
\\J n
m
délimité par la courbe
CT -2
et
C
d'où
c
n
~
T n+E
(5 )
3 E 61
comme on a
(6 )
On déduit de (5) et (6) que
n
H )
-<-<
,
m
6 E 61
p

-120-
E étant arbitraire on a donc
lim
d*(C
, H~) = a (pl
n-++co
T n
Désignons par "~l l'enveloppe convexe des points du processus. On a le
théorème suivant
Théo,~èl1le- 3
Soit An
le rayon maximum des boules ouvertes centrées sur "n
m
m
et ne contenant aucun point du processus i.e
Sup (inf (II PM Il )]
si m ;;. 1
n
.
1
P f:"
1'" 1 '" ni
r,l
On a
l im
o(p) Sl les conditions P ,P ,P , P sont satisfaites ainsi
1
2
3
6
n-++ co
que les conditions KO'P, H et si l'on choisit Y ;;. Log n .
n
PILe-uve-
Supposons
=
n Jt
réalisé et considérons les couronnes
n
n>-N
Il
= 0
- D
n
T +E
'[ -s
n
n
Etudions ces couronnes pour n >- N •
Deux couronnes consécutives se recouvrent partiellement en effet
Il suffit de prouver que
(1)
VS ( [0, il
ou encore
on a
TT "
VSE[0'2 J

-121-
[llh -T
1+ 2E) < p(e,T +E:) - p(8,T
1-E:) < B (T -T
1 + 2E:)
n
n+
n
n+
1
n
n+
Il suffit alors de prouver que T -
+ + 0 lorsque n+ +ru
n
T n 1
or
T
-
G-1 (
1) _ G-1 (1) < G-1 (~) _ G-1 (1)
n+1
T n =
W
n+l
~! n
W n
W n
1
si on prend k = -2 . D'après le théorème 21 de Geffroy [76] G-l(~)_G-l(l) + 0
~J
n
~J
n
lorsque n ~+ ru
donc
lim h
+ -
) = 0 .
n
T
1
n
n -)- +00
Considérons alors la couronne comprlse entre les courbes C
et
C
T N+ 1
T n
Elle est recouverte par les domaines fN+p,i
p=l, ... ,n-N
i=l""'YN+P
dont le diamètre est inférieur à 3 € 3
et chaque domaine contient au moins
1
un point du processus. Donc tout point P de cette région est à une idistance
moi ndre que 3 € 3, d'au moi ns un de ces poi nts du processus.
Si
1
CU
en p us on suppose que n
est réalisé et que pour n> N
~ N)J n
l'événement suivant est réalisé
[\\Ix E {',
on a alors
Sup
(Infll P~\\ Il)
<
3 € 31
IloP Il < p(8,T
-E)
1.-;; i.-;;m
N+ 1
o .-;; e .-;; Tf/2
t
Si donc
n 1)
et
(n> N) sont réalisés on a
n > N
n
n
Sup
(
Inf Il Pt\\ Il )
<
SE 31
Il oP\\I < P(8,T +E:)
.-;;i.-;;m
n
ü.-;;8'-;;Tf/2
ce qUl implique
~ = Sup {inf
(II PI\\ Il )}<3E:B 1
P E "~l.-;;i .-;; m

-122-
On en déduit que
(VE > 0)
A~«
3 E 13
d'où
li m An=O(p)
1
m
P
n -++ co
En plus des hypothèses générales du paragraphe 1 nous supposons que ~
vérifie les hypothèses suivantes
i) Pour tout boré lien B E ~(R:) de mes ure de Lebesgue tendant vers 0
on a
~ [B] = (1 + El 1Bi») P(N(f à'B) > 0) 0 ù El 1Bil tend vers 0 avec 1 *
B1
mesure de Lebesgue de B et ~[.] = E(N(fà"))'
i i) vc E ~( R:), N(fà ' cl admet des moments de tous l es ordres
iii) (3M> 0), (VC E1J( R:ll, (\\lk;;. 2)
k
k 2
El (N(fà,C) - ~[C]) I
..;
i H - klVar(N(fà,C))
iv) (3A> 0), (VC E 1)(R:Jl, Var(N(fà,C)) < A ~ICr
:YJ( 2
R ) désignant l'ensemble des boréliens de
R: . On écri ra ~ ( .) pour ~ [.]
+
On a la proposition suivante
P!WPO,;.z.,UOf1 6
Il est presque sûr qu'à partir d'un certain rang chaque
domaine f
. contient au moins un point du processus si Y vérifie
n, l
n
( P, )
Log Y
=O(Log Log n)
Y ;;. Log n
n
n
P!l.e.u.ve.
Soit
.ft l'événement suivant
n
jt = {Vi=1 "",Yn , N(f(n),fn) >- 1}
On va montrer que
N~~100 P( n ~ Nft n) = 1

-123-
n
( 1)
P(N(f(' ),r
.)=0) =
P(N(f ', r
.) = 0)
n
n , l
O
n, l
On a
8.
P(8,T +E:)
8
l
n
i
r
. r
f
2s
op (8 c) de
1
= f
d8
dp de
= f
n , l e
3w
' '-;>
i -1
P(e,Tn-E:)
e· 1
l -
~ E: Je -c,", +c [
.
n
n
En utilisant l'hypothèse P
il vient
6
11
6 s
1
=
Ce qui nous permet d' écri re sous l' hypothèse i)
P(N(fO',r
.) = 0)
n, l
avec O( 1) tendant vers 0 lorsque n -+ + 00
(1) devient
n
nl.og(1-(1+0(1))~(rn i))
( 2 )
..
L
e
'
i =1
comme
Diam(~(r
.))
on a
n ,
.. 3 c 6
l
1
lIi=l'''''Yn
n
-(l+ç(s))~(r
.)n
(3 )
e n ,
..
L
l
i = 1
ç(s) -+ 0
lorsque c -+ 0
En utilisant l'inégalité (2) de 1a proposition 1 on a
1
S Ct
e-Y~ c(1+ç(E:))(l.ogn) n
..
Yn
4
Ct
avec
c = ( _1)
Il ~ Il JI
61
l.a démonstration se poursuit comme dans la proposition 1 en remplaçant c
par c' = (1 + ç(s))c

-124-
PMpOl.>.{.,UOVl 7
Pour tout E > 0
soit Nn i (E) le nombre de points du processus
,
appartenant à r
Si Y
vérifie
n , i
n
(p' )
Log y
=o( LogLog n) ,
y n ;;. Log n
n
a lors on a
ECI.
nc'(Logn)
n
(VE> 0, (Vn E ]O,I[ ,
«
inf N
.(E)
n ,1
Yn
p
1",i"'Yn
PhiWVi!.:
Appliquons l'inégalité de Bernstein
c
( 1)
P(IN
.(E)-n~(r ·)1> !è+Cl.Var(N .(E)))<2e-
n,l
n,l
a
n,l
où c > 0 quelconque et
0 < CI. M '" 1/2
Choisissons CI. et c vérifiant
3/4
2
1)c;;'Cl.
Var(N
.(E))et2)
!è+Cl.VarN
.(E)",[n~(r .)]
n,l
Ct
n,l
n,l
on a alors
3/4
2 CI. Var(N
.(E)) '"
.<: +
[n~(rn
n,l
CI. Var(N
.(E)) '"
n,l
il]
,
CI.
d'où
3/4
3/4
[n~(r
.)]
[~(rn i)]
n ,1
,
CI.
'"
4
2 Var(N
.(E)l
2 n1/
Var(N(f ' ,r
.))
n,l
O n,l
L'hypothèse iv) implique
3/4
[~(r
.)]
n,l
4
2 n1/ 4 Var(N(f ' ,r
.)
1
2 n /
~(r 1.) A
O n ,1
n,
Prenons
CI.
= ----'---~~
174
2A[n~(r
.)]
n,l
0< CI. M", 1/2
est satisfait pour n assez grand car n ~(r
.)
tend vers +00
n,l
lorsque n -. +00
.

-125-
Cons i dérons le second membre de l' i néga lité 1)
a 2 Var(N
. ,(s))
..
-:...1_ _,.--,-,;,-
.nA~(I'
.)
n,l
2
1/2
n,l
4A[n~(I'
.)]
n,l
1
1/2
- l n ~(I'
.))
4A
n, 1
Prenons
c=_l_(n~(I' .))1/2
4A
n, 1
c et a ainsi choisis impliquent que 2) est satisfaite et (1) entraîne
( 2)
p(IN
.(s)-n~(I' .)I>[n~(r .)]3/4)-<2
n,l
n,l
n,l
san
(Log n)
La condition Log 'in = 0 (LogLog n)
entraîne que
lim
= + 00 •
n-++ oo
Comme on a
sa
(Logn)
n
(2' )
n~(r
.) ;;.
c'
n ,1
'in
il en résulte que pour tout n , 0 -< n -< 1 , il existe nO tel que Vn > nO
et Vi =
1
sa
-7[
(3 )
(Logn)
n
( l ' )
n c'
-<
n ~
.
[1 - (n~ ( l'
. ) )
n,l
n,l
'i n
(2) est équivalente à
3/4
(4) P(n~(I' l·)-[n~(I' .)]3/4-<N
.(s) -< n~(r
.) + [n\\1(I'
.)]
) >
n,
n,l
n,l
n,l
n,l
1
1 '2
-4A[n~(rn il] /
1 -2 e
'
(4) implique en tenant compte de (3)
sa
(5 )
p(llc'(Logn)
n-<N
.(s))>
n ,1
(2) entraîne

-126-
E an 1/2
Ea
1 [(Logn)
]
P( n c' (Log n)
n
(6 )
<
N . (El) > 1 - 2e- lIA
Yn
n , l
Yn
Cette inégalité étant vraie pour tout i~l""'Yn ' il en résulte que
E an
1/2
E an
_ 1 [(Logn)
]
Il c'(Logn)
(7) p( inf N
.(s)
>
» 1 - 2 y
e llA
Yn
n , l
n
1<i<Yn
Etudions le second membre de (7)
Ea
E a
1/2
_~[ (Log n)
nJ
1
(Log nJ-T-
= Log y n -
4A
(8 )
Log Y e 4A
Yn
1/2
n
Yn
E a
/2
Log Y
(Logn)
n
n
[ - - - -
~--'-'T,,--------J Log Log n
Log Log n
4 A y~/2 Log Log n
La condition Log Y ~ O(Log Log n) implique que
n
(8) tend vers _ 00
lorsque n++ro , d'où le premier menbre de (7) tend vers 1 lorsque n++oo
PltO pO!.>,wo Yl 8
On suppose H vérifiée. Pour tout E> 0 soit Nj .(E) le nombre
j
n,l
de points du processus appartenant à f n i et pour n assez grand soit jo
,
l'entier défini par
Si Y vérifie la condition
n
alors on a
Ea
nc'( Logn)
n
(VE> 0), (Vil E JO,l[),
«
Inf N~,i(El
Y
p
n
l<i<Y n
jO<j o;;;\\>n

-127-
PfLe.UVe. :
Elle suit le schéma de la démonstration de la proposition 7 en
utilisant l'inégalité suivante
PfLopo~~on 9
On suppose H vérifiée, il est presque sûr qu'à partir d'un
certain rang chaque domaine rJ . (j > jO) contient au moins un point du
n , l
processus si,
vérifie la condition suivante
n
(pl)
O(
)
Log 'n =
Log Log n
,
Cons i dérons l'événement sui va nt
13=
n
{Vi=1, .. "n' Vj=jo'··· ,\\ln' N(f(n)' rti) > 1}
On va montrer que
1im
P (
n ']j ) = 1
N-.. +00
n>N
n
On a
j
'n
-n(1+t;(dMr
.)
r
e n , l
i =1
avec
t;(E) -.. 0 lorsque
E + a
En utilisant l'inégalité (2') de la proposition 7 et l'inégalité (1)
de la proposition 8 on a
_
-1
ECi n
-,-
c"(Logn)
(1)
P(Î>n)
'"
vn 'n e n
Cl
5
avec
c"=(t-)
11~IIÀ(1+t;(d)
1
La séri e dont 1e terme général est le second membre de (1) est convergente
1
si 'n
vérifie (P)
d'après la démonstration de la proposition 4.
On peut énoncer

-lZ8-
ThéoMme 4
Sous les hypothèses Ka' P , PZ' P , P , P
ainsi que les
1
3
6
7
hypothèses il, ii), iii), iv) alors
a
(p)
où
d*
désigne l'écart maximum entre deux ensembles de
ThéoJtème 5
Supposons les hypothèses il, ii), iii), iv) satisfaites.
Soit An le rayon maximum des boules ouvertes centrées sur Dn et ne contenant
m
m
aucun point du processus 1.e
= Sup{ 1 i nf
(II P~1i Il )} si m;. 1
P - Dn
"'l ... m
t.
JI1
a
si m = a
Si les conditions P , PZ' P , P
sont satisfaites ainsi que les conditions
1
3
6
1
Ka' P, alors
(p)
La démonstration de ces théorèmes reste la même que celle donnée dans le cas
poissonnien, la proposition 5 étant encore vraie.

-129-
CHAPITRE V
ÉTUDE DE L'ESTIMATEUR DE LA RÉGRESSION DÉFINIE SUR
I. NOTATIONS
HYPOTHESES
Les notations sont celles du chapitre II lorsque s = 2 . On fait sur f
les hypothèses générales suivantes :
1- f(u,v) > a pour tout (u,v) E R: et est continue.
2-
f est unimodale et atteint son mode en un point xo ' Il xoll > a
3-
A partir d'une valeur cO> a les domaines D(c) définis par
D(c) = {(u,v) E R:, f(u,v) ~ cl
sont convexes de frontière régulière pour tout c , Co
c> a .
4-
Lorsque f(u,v) , Co ' faisons le changement de variables
u = r cos e,
v = r sin e
(r> 0, 0, e ,.z )
et posons
g(r,e) = f(r cos e, r sin e
on suppose alors que
g(r + h,e)
(\\!h > 0) ,
lim
sup
1T
= 0
r -+ +
e
00
E [0 '7]
g(r,S)
R8naAqu~:
L'hypothèse 3 implique que pour w suffisamment grand (w ~ w )
O
la relation f(u,v)=f(w,O) détermine de façon unique une courbe de niveau
Cw frontière de D(f(w,O)). f(wO'O) = Co .

-130-
Pour w > Wo soit p(S,w) la représentation polaire de la courbe Cw
Considérons les hypothèses suivantes
*
5-
(3a
> 0), (36
> 0), (118 E: [0, ;]) , (liw E.
R)
1
1
~~ (8,w) existe et al < ~~ (8,w) < 61
6-
(liS E. JO, TI/2[), (IIvl> 0), ~~ (S,vi)
existe et
Soi t
K
l' hypothèse sui vante
O
K -
Pour toute famille croissante C(a) de domaines de
, convexes
O
contenant 1'origine (0,0) et telle que
lim
C(a) ~
on a
a-++ co
E(N(f ,1,[(a)))
O
l im
~
a-++c:o
P(N(f ,l ,c(a)) > 0)
O
où
((a)
Lorsque les hypothèses ci-dessus sont satisfaites, nous savons que
2
pour une partition convenable de
R les points de l'enveloppe convexe ~n
+
m
des points du processus se rapprochent de plus en plus lorsque n-++ oo •
Ceci va justifier alors la distance que nous allons utiliser pour mesurer
l'écart entre ~ et son estimateur ~
K' Donnons d'abord 1a description
n,
de la méthode.
Soit K(n) un entier supérieur ou égal à 2 . En utilisant des droites
2
parallèles aux axes, partitionnons
R
en carrés de côté égal à l/K et
+
désignons ces carrés par f',K
(r~1,2, ••. ).
,r
S 'tnnl'
0 1 " ,
enve l oppe convexe des
' t
pOln s
X(1 n), ... ,x (n)
(m> 1) et posons
m
m
n
U {f',K
,bK r C "
}
,r
,
m

-131 -
sim = 0
on pose
den = {( 0,0 )}
Posons
y(n)
L
si v
;;.
"V n, r
if::d
l
n,r
y
=
n,r
n,r
0
si v
= 0
n,r
où v
désigne le nombre de points du processus dans 6
et
n,r
,r
J
K
n,r
l'ensemble aléatoire de leurs indices.
"
_ ((n)
(n))
((n)
(n)
Le régressogramme à pas fixe ~
K aSSOCle a
X
'Yl
, ... , X
,Y
)
. n,
1
m
m
(n)
(n)
sim;;. 1 et ( X
' y 0
) = (0,0)
si m=O est défini par
o
(Yr ;;. 1), (Yx li: 6
)
~n
K,r
K(x) = Y
)
n, r
On pose
IL CONDITI ONS NECESSAIRES DE CONVERGENCE DU REGRESSOGRMIME
Faisons l 'hypothèse suivante
K -
fi ,(n)
est à accroissements anticorrélés i.e
1
2
(Yn), (Yj ;;. 2), YB· Ec:b( R ), A. borné i=1, ... ,j,
Al' n Ak = 'Î'
i f k
l
+
l
Théo~ème 7.11
La convergence de d(~
K'~) vers 0 en probabilité pour
n,
toute fonction ~ supposée continue ne peut avoir lieu que sous les conditions
i )
K = oo( 1)
ii) K2 = O(_n_)
Log n

-132-
i) Si l'entier K prend une infinité de fois la même valeur K ' la
O
fonction ~
K étant constante sur les intervalles
n,
on ne pourra pas
0
approcher certaines fonctions ~ uniformément aussi près que l'on veut d'où
la nécessité de i)
ii) Soit ~ une fonction de régression continue en un point xo > 0
avec ~(xO) > d > 0
Il existe alors h> 0 tel que ~(x) > d
x E:
1
1
2
2
[x O- h , Xo+ h] x [x - h, X
O
o+ h] , Xo =
Appelons R l'ensemble des indices r tels que Co
CE avec
K, r
E = [[K(X6-h)] + 1
[K(X~+h)]] x [ [K(x6-h) J + 1 ,[K(x6+h)]]
où [.] désigne la fonction partie entière
d(~n,K'~) -+ O(p) lorsque n -++00 implique
(1)
lim
p(
U
(\\ln r
0)) = 0
n~+oo
f E R '
égalité qui s'écrit
(2 )
lim
p(
n
(N(fi (),il
»0)) =
K
n-++ oo
rER
' n
,r
d'où en utilisant K1
1im
TI
P(N(fi ( ),il K ) > 0) = 1
rE:R
, n , r
En utilisant le même raisonnement que dans la démonstration du théorème 1.11
Chapitre Illon a
card(R)
(4)
lim
[1-a-
]
=
n-++c:o
r
-
où
r
est tel que

-133-
=
inf [1-P(N(fi O,6
) ~ 1)}
K
rER
" r
et
et;:: est le maximum de f sur 6 ,r
K
(4 ) est équivalente aux deux conditions suivantes
Il wIl n
a)
lim
( 1 - a- ---:T ) =CD
r
n-++ oo
K
Il wIl
n
b)
l illl
Card(R) (1 - ar ----.-.-z-
= 0
n-++ co
K
n
a) entraîne que
l im
- a - Il wll
2
=
d'où K
+00
=
avec
E
-7
0
n-++
n
oo
K2
r
lorsque n -7+ 00
On a
Card(R)
~ [2kh-2]2
donc b) implique
2
lim(LogK
-
K2~ arllwll)= -00
n-++ co
soit
2
2
n
Log K
l im
( K
- 2
é
ar Il wIl ) = -00
n-++ co
K
n
i l en résulte que
-<
2 Cir II, wIl pour n suffi samment grand et pour
n
toute valeur de Ci- , d'où
r
li m
= 0
n-++ co
n
On a
2
2
2
K Log K
K Log n
=
+ En Log En
n
n
i l en résulte que

-134-
. 2 Log n
1im
K
= 0
n++ co
n
n
d'où
2
K
= 0 ( - -
Log n
Considérons les v.s Il X\\ n) Il , ... , Il X~ Il
m>l
et posons
y( n)
=
Sup
Il X(n) Il
si m = 0
m
·
1
l
<l<m
On désigne par D(O,r), r> 0 , le disque de centre de l'origine et de
2
rayon r dans
R . Nous avons le théorème suivant dont la démonstration se
+
déduit immédiatement de celle du théorème 7.11 Chapitre 1
Théoltème 1. III
On suppose que l' hypothèse K est véri fi ée.
O
i) Une suite certaine croissante (b ) majore y~n) en probabilité si
n
et seulement si
1im
n E(N(fi 0 ' D(O,b n))) = 0
n++ co
'
ii) Une suite certaine croissante (an) telle que
1im
an = +00
n++ co
minore y(n) en probabilité si et seulement si
m
1im
n E(N(fi 0' D(O,a n))) = +00
n++ co
'
Pour étudier la stabilité de y~n) on a besoin du lemme suivant
Lemme 1. III
On suppose l' hypothèse 4 vérifi ée.
Soit lune v.a de densité f . Alors la plus grande valeur d'un n-échanti11on
Il l,II,,,, Il ln ll de Il III est stable en probabilité.

-135-
Si on appelle H(z) la fonction de répartition de Il Z'II
montrons
que
- H(Z+h)
(Vh >- 0)
lim
= 0
- H(z)
On a
11/2
z
H(z) = p( Il ZII
< z) = J
J p g( p,8)dpd8
o
0
Soit E >- 0
D'après l'hypothèse 4 , il existe z tel que (H), (t;;. z) on ait
ve([o,~]
g(t + h, e) .;; E g(t,e)
2
ce qui implique que
11/2
+00
11/2
+00
J
J
t g(t+h,8)dtd8 .;; E
J
J tg(t,8)dtde
o
z
o
z
ou encore
- H(z+h)
.;;
cC 1 - H(z))
- H(z+h)
soit
.;; E
- H(z)
E étant arbitraire, on a le résultat désiré.
Théo~ème 2.111 Si les hypothèses 4 et KOsont vérifiées alors x~n) est
stable en probabilité.
1
P~euve
Soit an défini par a
= H- (1 - 1)
n
n
D'après le lemme précédent on a (VE >- 0)
(1)
lim
n(1 - H(a
+El) = 0
n
(2 )
lim
n(1 - H(a -El) = +00
n
On veut montrer que
l im
Pla
- E .;; x(n) < an + El =
n
m
n~+oo

-136-
Il suffit de montrer que
a)
1im
p(x(n) -< a
+ s)
m
n
n-++ oo
S)
1im
P(x( n ) -< an - sl --
m
n-++ oo
°
Considérons a)
" On a
n
p(x(n) -< a + sl = [P(N(f " o,D(O,a +sJ)
m
n
= 0)]
1, n
Le second membredel 'égalité tend vers 1 si et seulement si
lim
n Log P(N(fi ,0,D(0,an+s)) = 0) = a
n-++ oo
on a
En utilisant 1 'hypothèse Ka on a
et
E(N(fi,o,D(O,an+s))) = JJ
Il ~II f(u,v)dudv
D(a,an+E
a +E
rr/2
n
= Il ~II J
J
pg(p,e) dpde
a
°
= Il ~II H(a +s)
n
d'où
et
fi E(N(fi,o,D(O,an+s))) = 11~lln(1-H(an+s)) qui tend vers ° lorsque

-137-
n -++00 d'après (1) .
On a une démonstration analogue pour la partie S) .
Posons
G(u) = 1 - H(u) et supposons
7-
G(u) = exp(-u A(u))
où A(u) est une fonction monotone non décroissante telle que
lim A(u) =+00
n-+t oo
8-
H est absolument continue de densité f 1
Nous allons utiliser les résultats du paragraphe III pour établir des
conditions suffisantes de convergence de ~
K vers ~ supposée uniformément
n,
continue.
Observons d'abord que l'hypothèse 5 a été essentiell e dans l'étude du
comportement asymptotique de l'enveloppe convexe ~n . Aussi nous a-t-elle
m
suggéré l' hypothèse sui vante
9-
(V(u,v) E:
IV. CONDITIONS SUFFISANTES DE CONVERGENCE DU REGRESSOGRMI~IE
Comme dans le cas à une dimension, nous procédons à la réduction de
chaque nuage de points. Compte tenu de la non existence d'une relation
d'ordre totale dans
2
R
, le choix du point dans chaque nuage d'effectif
supérieur ou égal à 1 se fera de façon plus large dans un sens que nous
allons préciser.
Considérons le nuage d'indice i d'effectif supérieur ou égal à 1 , nous
choisissons de façon équiprobable un point quelconque que nous allons dési-
gner par Xi
Soit alors v
le nombre de points de l'échantillon de taille aléatoire
'L-
n,r
JV = (X , .•. ,X-) se réalisant dans 6~K
où K est un entier> 2 , ses élé-
1
N
' r
ments étant supposés être ceux des N premiers processus où N est défini par

-138-
2
V'ù E ri , N(w) = Card (i ,~I( f"1' ., R ) >- 1 , i =1, ••• ,n}
, l
+
Si N = ° , l'échantillon se réduit à l'origine de
N suit une loi binomiale de paramètres n et Il avec Il = P(N(fi ,0' R:) >- 1)
Un rai~onneme~t analogue à celui du cas à une dimension nous fournit
la loi de (Xl"" ,X ) lorsque N= k , k>- 1 • Elle s'écrit
k
k
_
1
2
- -k
TI
p(X. < x·, N(f ' ., R ) >- 1) .
l
1
1 , l
+
P
i =1
Supposons que le processus f Ü soit poissonnien en projection. Nous
allons étudier dans ce cas des conditions suffisantes de convergence de
1jJ
-K
vers 1jJ •
n,
Déterminons expl icitement la loi du k-échantillon.
On a
+00
2
2
p(X.<x, N(f ' ., R ) >- 1) =
L
P(X.<x, N(f ' ., R ) = j)
l
1, l
+
1
1,1
+
j =1
+00
2
2
= L
P(X. < x/N(fi ., R ) = j)
P(N(fi "' R ) = j)
j=1
1
, l
+
, 1
+
I~a i s pour un processus de Poisson on sait que pour tout j >- 1
P(X
/N(f '
R2) = J") = ~(x)
. <; x
l ' ,
[44 ] . Il en résulte que
l
,1
+
II~II
+00
2
~(x)
2
p(X.<x, N(f ' "' R ) >- 1)
L
P(N(f,' ., R )
j)
l
1 , l
+
Il ~ Il
,1
+
j =1
= ~(x) (1-e- 11 ~II)
Il ~ Il
Comme Il = PUl(fi ,0' R:) >- 1) = 1 - e- II ~II , on en déduit que, conditionnel-
-
-
lement à N= k , la loi de (X, , ... ,X ) est la loi d'un k-échantillon d'une
k
v.a X de fonction de répartition égale à F(x) .

-139-
Remcv~qLLe:
Supposons que K tende vers +00 avec n . Désignons par v
le
n,r
nombre de (X , ... ,X )
l
se réalisant dans ~K
.
N
,r
Si on choisit K tel que, v(n) étant une suite certaine tendant vers
+ 00 avec n on ait
i )
Inf v
»
v(n)
n,r
p
2
r~1, .. [Kbn]
alors en
K
prenant
K c [
]
0-
on a
J
x( n)
. "
i i )
»
b -
=>
Inf v
»
v(n)
m
n
K
n,r
p
{~_ c~n}
K,r
où on a posé
b ~ H- 1(1 - 1)
n
n
Ce résultat se déduit du cas à une dimension (Ch. III Remarque) en remarquant
que tout carré ~
de côté situé sur l'axe ou contient au moins un inter-
K,r
valle D
.
K,r
Considérons 1 'hypothèse suivante
1u-
(3a), (0 < a < 1),
bn -< (Log n)a . On suppose a connu.
Choisissons
(
1-a
[
Log n)
s > 0 quelconque.
( 1+E) Log Log n
Soit Po
on pose
En
P
Inf f(u,v)
P ~ P P
( 1+E) Log Log n
[0,PO+1JxCO,P +1J
O
Lvnme 1.IV
On suppose les hypothèses 3,7,8,S,lU satisfaites. Considérons
l'événement suivant

-140-
lKb ]2
n
Log n
H =
n
{v
P'E]O,P
n r
;;.
p
}
n
r=1
,
En
2
On a
a)
li m
P(Hnl =
n-++oo
+00
b)
L
P(H )
n
-<
+00
n= 1
PJtwve;
Elle suit celle du lemme 1.111 chap. III .
Appelons ~ le carré [0,PO+1Jx[O,PO+1J et b l'ensemble des indices r
K
tels que 6K c ~ . On peut écrire
,r
P(H)
'"
L
P(v
'" p' Log n ) +
L
.'.()
n,r
En
réb K
r E éK
r< [Kb ]2
n
Posons
If
f(u,v)dudv
[, K r
,
v
suit une loi binomiale de paramètres n et A
n r
K,r
avec
= l
il
1
K,r
On a
d'où d'après 3, pour n suffisamment grand, (\\Ir
D'apres les résultats du lemme 1.111 Chap. Illon a
Posons
( 1 )
m = [p' Log n ]
En
On a pour tout n > n1 et \\Ir E ~K ' E(vn,r) > m .
Une inégalité de Feller (T1 2ème édition p. 140) nous permet d'écrire
(\\Ir E t;K) et (\\In.> n )
1

-141-
-
(n-m+1).À K,r
(2 )
plv
-< m) -< Cm
Àm (1 _ À
)n-m ~~~~'-'-'-'-'--_
n, r
n
K, r
K, r
( n+ 1) À
_ m
K,r
En appelant le second membre de (2) Sn on a comme au lemme 1.111 chap. III,
pour n suffisamment grand
(2')
exp{ - Log n (8 + 0( 1) )}
En
avec
8>0
d'où
L
P(~
-< m) -< (Kb n)2 Sn
'IJ
n,r
E
r
DK
on a
(3 )
(Kb)2 S
-<~ (Logn)2 exp{- Logn (8+0(1)))
n
n
p
En
La série dont le terme général est le second membre de (3) est convergente.
-
Etudions la somme
L_
2 P( v
-< p'
r E''''
r -< [Kb ]
n , r
\\:oK'
n
La croissance pour e du rayon polaire p(e,w) des courbes C (w ~ w ) nous
w
O
permet d'écrire (Vr ( '€K)'
(r '" [Kb ]2), (l'm' E IN)
n
( 4)
'"
m')
'"
P(v
[Kb] 2 '"
m')
n,
n
[Kb ]-1
[Kb]
[Kb ]-1 [Kb ]
[ n
[~_n_ [x [ ~~n~
I l [
fi,
2 dés i gnant le carre
K, [Kb ]
K
K
K
K
n
(5 )
En utilisant l'hypothèse g. il vient
1
1
1
f (u)du = -{ G(b - -) - - }
1
1
K
n
K
n
b - -
n
K
nX
2
K [Kb ]
,
n

-142-
.
A (b )
1 ;;. exp (__n_ )
On a
n G(b
- -)
n
K
K
1
( A( bn ) )
Comparons
-
exp
K
K
W
A(b )
(6 )
E . exp
En L exp (~)
n
;;.
K Log n
(
1
) +a
Log n -2-
En prenant le logarithme du second membre de (6) on a
A(b )
n
1
(1 +a)
+
-
Log E
Log Log n
K
2
n
2
(Log n) 1-a
1 Lo
(1 + a)
.::..:...,'-'-'-!._- + -
g E
-
-'--~ Log Log n
n
K
2
2
(
1-a
Log n)
+ l Log
(1+a) L
;;.
Log n
1-a
En - - -
og
---z-
2
2
vEn(Log n)
l-a
1
(1 +a)
(7)
; ; . - [(Log n)Z + VEn Log VEn -
'If Log Log n] .
n
VEn
2
Le second membre de (7) tend vers + 00 lorsque n -+ + 00 d'où
A(b )
(8)
~ exp (_n_)
pour n assez grand. D'où
K
K
pour n assez grand
-
E(v
2)
>
(p+l)
E.
>
n,[KbnJ
K
ce qui nous permet d'écrire

-143-
L'étude déjà faite en utilisant l'inégalité de Feller nous permet d'écrire
P(\\,
2)-<
m ) -< Sn
n,[KbnJ
avec Sn vérifiant 2') pour n assez grand.
En uti 1i sant l'inégal ité (4) on a alors
2
L: _
P( \\J n, r 0;; IJi) 0;; ([ Kb n)1 - Ca rd ( G)) Sn
K
r d5 K
ro;; [Kb ]2
n
Il en résulte que
[Kb ]2
~
n
P(H )
0;;
0;;
L:
P(\\,
0;; m)
2( Kb ) 2
n
n,r
Sn
n
1"= 1
d'où
+00
~
L:
P(H )
-<
+00
et
1i m P(H )
n
n
=
n= 1
n-++ oo
Lemme 2.1V
On suppose les conditions du lemme 1. IV satisfaites ainsi que
l' hypothèse Ka • Cons i dérons l'événement
-2
r
n {v
> p' Logn }
n,r
r=1
En
où
K
r =
et
K =
3
alors on a
a)
lim
P(L )
n
n4.+CO
b)
L:
p([ ) -< +00
n
n=1
P.'tel<ve :
a) On a
l i m P(H ) =
n
d'une part d'après le lemme 1.IV et d'autre
ri -+ +00
pa rt la loi H est stable et l a suite b
1
- -
non décroissante. D'après le
n
K
théorème 1.1 II
b - 1
y( n)
-
-<-<
si et seulement si
n
K
ni
P

-144-
( 1)
lim
n E(N(fi,o' D(O,b -t))) =
n
+00
n-++ oo
1
1
or
E(N(fi,o' D(O,b n - K)))= 11~11(1-H(bn-K))
=11~IIG(b_1)
n
K
A(b )
A(b )
comme
n G(b
- 1) > exp( _ _n_)
et que
l im
exp (
n) =
n
K
K
n-++ co
K
on a bien (1) d'où a) d'après la remarque du début de ce paragraphe
d'où
( 2)
Ln
c
H \\J (X( n) -< b - 1} .
n
m
n
K
Montrons que la série u
= p(y(n) -< b _1 ) est convergente. On a
n
m
n
K
1
n
un
{P(N(f ' 0' D(O,b --)) = a)}
1 ,
n
K
2
Log n
u
2 Logn - nll ~II (1 +0(1)) G(b - 1)
n
n
K
L'inégal ité (8) du lemme l.IV impl ique pour n assez grand
(3)
Log n2 un
-<
2 Logn
- (p+1) Logn
(1 +0(1))
En
Le second membre de (3) tend vers -00 lorsque n -+ + 00 d'où la séri e un
est convergente.
Comme
il en résulte que
L
P(L) -< +00
n
n=1
Le.mme. 3.IV
On suppose les conditions du lemme l.IV satisfaites ainsi que
l' hypothèse K
. Cons i dérons l'événement sui va nt
O

-145-
-2
r
, Log n }
=
n
{v n , r ;;. P
E
r=l
n
où
v
r
est le nombre de points de la superposition se réalisant dans
n,
6
; K et ~ étant définis au lemme 2.IV . Alors on a
K,r
a)
l im
P(H ) = 1
n
n-++ oo
+00
b)
I:
P(H )
-<
+00
n
n=l
PJteu.ve
résulte de l'inclusion
Ln c H et des conclusions du lemme 2.IV.
n
Le,"me 4.IV:
Pour toute réalisation du processus d'effectif m ;;. 1 telle
O
(n)
(n)
-
2
que (X.
, ... ,X . ) soit compatible avec H et pour tout r E t 1, •• , CRb
1
m .
o
n
n+1] }
où
ç
est un point arbitraire choisi dans 6
À
tend vers 0 avec
K,r
K,r
K
.l et IT
(X;n), .. ,x(n))I.;; 1, tjJ étant supposée uniformément continue.
K
n, r
mO
PJtwve
Voir lemme 4.111 Chap. III .
On a le théorème suivant.
Tf1éoJtème J.IV
On suppose que les conditions des lemmes 3.IV et 4.IV sont
satisfaites et que le processus fi,(n) vérifie les hypothèses suivantes
1) (~V
~
> 0) , (\\Ix
v
E R+2),
(\\1vIllO,m
" 1) , (".
. 1 E {1 , ... ,m })
O
O
2
2) (3M> 0) , (Vm O" 1) , (Vx E R+) , (Vk .. 2)
(Vi E {l •.. ,m })
O
IE([y(n) - E(y(n) Ix)jk/x )
~ ~lk-2 vady1(n) lx)
1
. ; ;
1
1
2

-146-
3) Sachant que m~ m
(m
O
o ;;' 2), les v.s
y~n) sont indépendantes.
Dans ces conditions si on choisit K tel que
( Log n) 1-0.
E> 0
arbitraire
( 1+E) Log Log n
alors
d(~)
,ljJ) tend vers 0 presque complètement lorsque n-7+OO .
n,K
Elle suit celle du théorème 1.111 chapitre III
IIrEt1, ... ,r2},(lIxEfI,
)
K,r
P( IljJ
(x)-E(ljJ
(x)/H
n
-
-
n
n,K
n,K
( 1)
D'après le lemme 4.IV, on a
(
{
-2· )
\\Ir E l , ... , r I , (\\Ix E fi,
)
K, r
(2)
1 E(1j!
(x)/H
n (X(l n ), .. ,X(n))) -ljJ(x)1 -< 2Â
n,K
n
mO
K
Soit nO tel que (\\In> nO)'
(1) et (2)
impl iquent pour n > nO
2 ,Log n
-E p - -
4VE
(3)
P(d(ljJ
,1j!)> 2E)< (Kb +1)2
n
2
-
n
e
n,K
(4 )
Log n )
4VEn
La série dont le terme général est le second membre de (4) est
convergente. Comme la série de terme général P(H ) est convergente on en
n
déduit que d(',p
,..p) tend presque complètement vers 0 lorsque n-7+oo.
n ,K

-147-
CHAPITfIE VI
BLOCS ÉQUILIBRÉS D'UNE SUITE ALÉATOIRE
DE VARIABLES STATISTIQUES
I. l NTROVUCTI ON ET VEFI NITI ONS
Nous conservons les hypothèses gènérales sur f6 (cf. Chap. 1) et
appelons x\\n) , ... ,x(n) ([;1 '" 1) les v.s associées rangées suivant l'ordre
naturel dans R+ . o~ pose x~n) ~ 0
Si m >= 2 , on appelle bloc de l
't
x(n)
x(n) t
t .
11
a SUl e
1
, ••. , m
ou
lnterva
e
de la forme (x(n) ,x(n)). Les blocs de la forme (x(n), x(n )) sont appelés
l
J
l
1+ 1
mailles.
Afin d'étudier ces notions nous supposons que les v.s
X(1 n), ... ,x(n)
m
(m", 2) sont presque sûrement distinctes c'est-à-dire: si m~ [,la ' ma ;;. 2
on a
H ) V(i,j), (i<m
3
o)' (j.;;; mol, (i cf j), p(x(n) cf x(n) /" ) ~
l
J
[,la
Nous pourrons alors ècrire
a -< X(n) -< ••.• -< X(n)
1
mO
Pour tout a E tt considerons les v.a ainsi définies
x(n)
si m;;'a
m-a+l
ya
~
n
0
si m -<: a.

-148-
D'après la proprieté H on a , si m~ m ' m ;;.. 2
3
O
O
1
ma
y >
>Y
>
0
n
n
Réordonnons ces v.a . On a
o<Y
1< .... <Y
n,
n,ma
Soit K un entier arbitrairement choisi tel que 2 < K < m • On peut partager
O
l'intervalle ]0, y
] en K blocs de la forme
n,mO
]Y n,R(j-1)' Yn,R(j)] ,
j ~ 1, ... ,K avec Y C~O .. et y
R(K) ~ Y
de telle manière que chacun de
n,
n,
n,rrL O
mO
mO
( )
( )
n
ces blocs contienne
[-] ou [-] + 1
points de (X
, ... ,X n )
1
K
K
mO
Posons
V
~
y
nj
Yn,R(j)
n,R(j-1)
j~1, ... ,K
V
~
Sup
n
V
< j < K nJ
r'lO
\\)
~
[-]
K
comme m -7+00 p.s ,lorsque n-7+OO , on peut considérer que K peut prendre toutes
valeurs de
*
N et dépend fonctionnellement de m ainsi que R .
On suppose les hypothèses suivantes verifiées dans toute la suite.
On pose
F(x) ~ H(x)
Il ~ Il
1) F(x) est absolument continue de densité f(x)
2) (\\Jh > 0), (Va> 0), (3X
E:
R), (\\Jx;;..x )' (\\Jh' ",h)
O
O
f(x+h')
f(x)
3) (\\Jx
> 0) ,
inf f(x) > 0
O
o < X < Xo

-149-
Le support de fà étant
R implique que celui de Fest
+
Montrons la proposition suivante
f(x+h)
PIlOpM-GUOVl
J. l
Si
l im
existe pour tout h> 0 alors la condi-
x-++ co
f(x)
tion (4) suivante
(4)
(Vx > 0), f(x) > 0
et
(Vh> 0),
lim
f(x+ h) ~ 0
X -.-+ 00
f(x)
est équivalente cl H1
PIl~UV~;
Supposons (4) vérifiée. Soit E> 0 et h> 0 . On a (~xO)'
(Vx > x ) , f(x + h) -< E f(x) . D'où
O
f
f(t + h) dt -<
E f
f(t) dt
x
x
ou encore
1-F(x+h)-<E(1-F(x))
Réciproquement supposons H vérifiée et soit h > 0 tel que
1
f(x
li
+ h)
m
~ À
f(x)
cela implique que
f
f(t+h)dt
li
x
m
~ À
x-++co
+00
f
f(t)dt
x
ou encore
1-F(x+h)
l im
~ À
x-.-+oo
1-F(x)
d'où
À
0
Nous allons maintenant étudier les condition nécessaires et suffisantes
sur K pour que Vn tende vers 0 en probabi l ité lorsque n tend vers +00 •

-150-
~60 EST UN PROCESSUS DE POISSON
Etablissons le théorème suivant
Titéo,tèmc. 1. II
Si on peut choisir la fonction K telle que V tende vers 0
en probabi lité lorsque n -++00 alors on a la stabilité en pro~abilité de x(n)
m
Supposons que Vn -+ O(p) on a alors Yn,R(K) - Yn,R(K-l) -+ 0 et
1
2
comme Yn,R(K) - Y
cela implique y
- y
-+ O(p) d'où la
n,R(K-l) > Y~ - Y~
n
n
stabilité de x~n).
Supposons que fa soit le processus ponctuel d'effectif total égal à
associé à une v.a X • On a alors m= n certain.et M. Geffroy a établi les
lemmes 7 et S suivants [31]
Lemme 7
On suppose que le support de Fest
R+ et que les hypothèses
1) et 2) sont vérifiées. Soient E> 0 et a E ]0,1/3[ et soit a> 0 tel que
(Vx ;;. a), (Vh ;;. t) , f(x+h)
f(x)
Choisissons b > a , et une suite
J(m) telle que
lim
_J(m) = F(b) et que
m-++ooK(m)
J(m) E {1,2, ... ,K(nl)-1l . On a alors
:Je> 0 , p> 0 et m tels que
O
(Vj > mOl
K (m)
p(
U
(V
>c)/In=j)<
{P(Vn,K>s/m=j)
r = J (m)
n,r
1-2a
pj
+ C [K(j) - J(j)J e-
}
Lemme 8
On suppose l' hypothèse 4) véri fi ée ai ns i que l es hypothèses du
lemme 7
Soit a' > b ; il existe alors trois nombres ~ > 0 , c' > 0 ,
p' > U et un ell·cier ml tels que pour tout j ;;. ml on ait

-151-
J(m)-l
a'
R[J(j)]
p(
U
(V
>E/m=j))<- [v(j)+E](l-
E~
)
r=1
n,r
E
v (j ) +3
Evaluons PlV
> E) en utilisant ces lemmes
n
+00
=
L
P(V
> E , m=j) =
L
PlV
> E/m=j).P(m=j)
n
j=O
j=O
n
Décomposons cette somme en ut il i sant m = max (ma ,ml)
2
m2-1
+00
( 1) plv >E) =
L
P(V>E/m=j)P(m=j)+
L
n
j=a
n
j=m
P(Vn>E/m=j).P(m=j)
2
On a
J(m)-l
K
P(V>E/m=j).;;P(
U
(V
>E/m=j)) + P(
U
(V
> E)/m > j)
n
r= 1
n, r
r=J(m)
n,r
et si j ;;. m
on a en utilisant les lemmes 7 et 8
2
1
e- pj }
P(Vn>E/m=j) '"
~~ {plV
K> E/m=j) + c[K(j) -J(j)]
1-2a
n,
+
~[v(j)+3](1- E~ ) R(J(j)) +c'e-p'j
E
v(j)+3
En utilisant cette majoration de P(V
> E/m=j), (1) devient
n
m -1
2
(2 )
L
PlV >E/m=j)P(m=j) +
"a
n
J=
L
P(V" '" > E i Cl=j)P(m=j) +
1-2a
j-m
nl,h
J
- 2
+00
pj
L
c[K(j) - J(j)] e-
p(lll=j) +
1-2a
j =m 2
R(J(j))
a'
pj
- "
[v(j)+3](1-
E~)
P(m=j)+c'
L
e-
P(m=j)
E
v(j )+3
j-m
- 2
Supposons que V
K + 0 en probabilité lorsque n++oo
n,

-152-
m -1
2
La première somme
oL
P(V
> E / m=j) P(fii"j) dans le second membre de (2)
FO
n
mZ-1
est majorée par
L
P(m=j) donc tend vers 0 lorsque n-7+OO
.
j =0
+00
Considérons la seconde somme
1-2a
1
Elle est majoré par - - P(V ,K> cl et tend vers 0 lorsque n -7+ 00
si la
1-2a
n
longueur du dernier bloc tend vers 0 en probabilité lorsque n-7+OO
.
On a
+oc'
+00
pj
pj
L
C[K(j)-J(j)]e-
P(m=j) ..;
c
- - -
L
j e-
P(m=j)"
1-20.
j=m
1-20.
j=m
2
2
et
c
J
j e -pj
c e- nll ~II
o
p
- - -
L
P(m=J) ..; - - - -
L
j{(nll ~II) e- } /j!
=
1- 20.
O-m
J - 2
1-20.
j =1
n Il ~ Il
-p
-n Il ~ Il
n Il ~ Il e- P
~e
e
e
1-2a
..; !2lLd e-P e-nll ~II (1-e-P)
1-2a
comme 1-e-P > 0 , la dernière expression tend vers 0
si n-7Tro
De même on a
+00
+00
pj
c'
L
e-
P(m=j)
..;
c'
L
O-m
j
J
=0
- 2
..; c'
-7 0
lorsque n -7 +00

-153 -
Il reste à étudier la quatrième somme de (2). Il s'agit d'étudier le choix
de K(m) de tell e sorte que cette somme tende vers 0 lorsque n -+ +00 . On
utilisera le lemme 9 de Geffroy [3] ] où m= m
est certain.
O
Le.liIIlle. 9
Pour que la fonction
R(J(m o))
= [v(m )+3](1-
EU
)
tende vers 0 lorsque m -+ +00
O
O
v(m )+3
O
liE> 0 il faut et il suffit que l'on ait
= + 00 ou encore
Supposons donc que v(m ) vérifie la condition du lemme 9 on va montrer que
O
la quatrième somme figurant dans (2) tend vers 0 lorsque n-++ oo
•
mo
D'après la démonstration du lemme 9 de Geffroy le choix de v(m ) = O(
/Logm )
O
O
implique
lim
J(m ) = 0
quel que soitE>O
O
.m -++ oo
O
Soit E' > 0 . 3m~
tel que IIj > m~
on ait
J(j) < E'
Posons m = max(m
,m~) on a
3
2
m
+ ( » )
3
(3)
J(j) P(m=j) =
l:
J(j) P(m=j) +
l:
J(j) P(m=j)
j=m
j =m + 1
2
3
Considérons la première somme dans le second membre de (3) . On a
m3
(nll ull)j
J(j) P(m=j) -<
l:
[v(j)+3l
e-nll ull
j=m
• 1
2
J.
m3
(nll ull)j
-nll ull
-< l:
j
- - - - e
j=m
• 1
2
J .
m -1
(nll ull)j
m
-< n Il UII e-n Il UIl
3l:
3
ni'
Il
-«m-m+1)(nllull
e-
lU
-+0
m -1
• 1
3
2
J .
2
lorsque
n -++00

-154-
J (j) P(m~j) ... E'
I:
P(m~j) ... E'
j~m3
+00
d'o~
YE' > Olim
I:
J(j) P(m~j) ... E'
n -+ + 00
j ~m2
On peut énoncer le théor~me suivant
ThéOlLème 2. II
Sous les hypothèses 1), 2), 3) et en supposant que le nombre
de blocs K(m o) soit tel que
et
::: + co
On a alors
Examinons maintenant le cas général.
III. 60 EST UN PROCESSUS QUELCONQUE
On suppose que fà satisfait aux conditions générales du paragraphe 1
notamment l'hypothèse H
•
3
Considérons la fonction de répartition Ffx) ~ P(N(fà,[x,+oo [) ~ 0)
et
supposons H vérifiée. On a le lemme suivant :
2
Lemme 1.III
i)
Pour tout h > 0 on a
lim
x-++c:o
ii)
F#
est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.
PJLeuve :
i) Au vOlslnage de l'infini on a, d'après HZ ' 1- Fli(x) est équivalent
à E(N(fà,[x,+oo[)), On en déduit que

-155-
- F~ (x ~ h)
n
est équivalent à
- FTt(x)
E(N(f6,[x+h, +00 [))
qUl d'après Hi tend vers 0 lorsque x tend vers +00
.
E(N(f6,[x, +00 [))
ii) Il suffit de le montrer pour 1 - FiI(x) = (x) . On doit montrer que
pour tout €
> 0 , il existe <5 > 0 tel que pour toute famille {]c
' dk[}~=1
k
d'intervalles disjoints de
R tels que
+
n
n
L
(d
- Ck) <
on ait
L
1(d ) - (c ) 1 < €
k
<5
k=l
.
K
K
k=1
~(x)
étant absolument continue on en déduit que
Il ~ Il
Il ~II - ~(x) = E(N(f6,[x,+oo [)) est absolument continue.
Les fonctions (x) et E(N(fÔ'[x,+oo [)) sont des fonctions décroissantes de x .
On peut 0crire :
+00
E(N(f6,[x,+oo [)) =
L
P(N(f6,[x,+oo [) > j)
j=O
et pour tout j=O,1, ...
P(N(f6,[x,+oo[) > j)
est une fonction décroissante
de x
+00
Wl(f6,[x,+oo [)) = (x) +
L
P(N(f6,[x,+w [) > j)
j~1
En appliquant à
E(N(f6,[x,+oo Cl) la propriété d'absolue continuité on a
n
LIE(N(f6,[d ,+oo [)) - E(N(f6,[c ,+oo [l) 1 =
k
k
k=1
n
n
+CJ..l
L
1(c ) - (d ) 1+ L {.L [P(N(f · ,[ck,+oo [) > j) -
k
k
O
k=1
k=1 ]=1
P(N(f6,[d ,+w [) > j)]} < €
k
tous les termes ensommation sont positifs, d'où

-156-
n
n
l:
l:
< E
k=l
k=l
ce qui prouve que ~ est absolument continue.
c.q. f .d.
Nous ferons une hypothèse sur F# à savoir
(5 )
F" à pour support
R+
Considérons les variables statistiques
X , ... ,X-
précédemment définies.
l
N
Nous savons que sous la condition N = k la loi de (Xl"" ,X ) est ce~le
k
d'un échantillon de taille k d'une v.a X de fonction de répartition F
définie par
Fi/(x) = F(x) p +( 1 - p)
où p = P(N(fà,[O,+oo [) ;;. 1)
On en déduit que F est absolument continue et a pour support
R+
Soit
X(1)""X -
l'échantillon ordonné issu de (X , .•• ,L) et soient
1
(N)
N
Y~ les statistiques d'ordre définies par
X _
si
N;;.a
ya
(N-a+l)
n
o
si
N< a
Soi t K un entier quelconque tel que 2 < K< NO où NO est une valeur
prise par N supen eure ou égale à 2 . On peut partager l' i nterva 11 e
-
- -
JO,Y
- J en K blocs lie l~ forme JY n,R(j-1)' Yn,R(j)), j=l, •.. ,K avec
Il , r, 0
y
a = 0 et Y
- -
de manière que chacun de ces blocs contienne
n,
n,R(K)
N
[ -J
NO
J ou {
] + 1
points de (X" •.• ,X-
. Posons
K
K
NO

-157-
j=l, ..• ,K
-Vn = Sup
Vn,j
1"j " K
NO
v
[
=
--;;;-J
K
On sait que N -++00 p.s ,on peut considérer que K peut prendre toutes les
valeurs de
N* et dépend, ainsi que R , fonctionnellement de ~
Appelons f# la densité de F# et supposons les hypothèses suivantes
vérifiées.
2') (Vx
> 0),
inf fll(x) > a
O
a < x < xo
On va utiliser de nouveau les lemmes 7) et 8) de Geffroy.
Lemme l
On suppose 1') vérifiée. Soient s> a et a E ]0,1/3[ et soit
a > a tel que
('Ix >- a), (Vh >- %) ,
-
Choisissons b > a et une suîte J{~) telle que
lim
J{~) = F#{b) et que
n-++ oo
K{N)
-
J{N) E {1 ,2, ... ,K(N)-1} . On a alors
:Je> a , p> a et NO tels que
(Vj > I~O)
K
_
_
_
P{
U
- (V
> s) / N=j) <---'--- {p(V
_ > s/N=j)
r = J{N)
n,r
1-2a
n,K
+ C [K{j) - J(j)] e- pj }

-158-
Lemme 8
On suppose 1') et 2') vérifiées. Soit a' > b ; il existe alors
troi~ nombres W> 0 , c' > 0 , p' > 0 et un entier N tels que pour tout
1
j ;;. N1 on ait
J(N)-1 _
R[J(j)]
p(
u
(V
>E)/N=j)-<~[v(j)+3](1-
EW)
+ c' e-p'j
r=1
n,r
E
v(j)+3
-
-
n
_
(1)
PlV >E/N=j)P(N=j) +
n
L
P(Vn>E/N=j)P(N=j)
j = N2
On a
-
J(N)-1 -
_
K
_
plv
>EIN=j)",P(
U
(V
>E)/N=j)+P(
U
(V
>E)/N=j)
n
r=1
n,r
r=J(N)
n,r
Si j ;;. N les lemmes 7 et 8 entraînent
2
pj
P(Vn>E/N=j) '"
1
{P(V
_
>E/N=j)+c[K(j)-J(j)] e-
}
1- 2a
n, K
.
+ ~ [v(j)+3](1 - _E_W_) R(J(j)) + c' e- pj
E
v(j )+3
En utilisant ces inégalités (1) devient
_
N -1
2 _
(2 )
plv
>E)",
l:
P(Vn>E/N=j) P(N=j)+
n
. 0
J=
n
l:
PlV
_,>E/N~j)P(N=j)+
1-2a
n,K
j = N2
n
L
C [K (j) - J (j )] e - pj
p(N = j) +
1-2a
j = N2
a'
R(J(j))
-
n
_
l: _ [v(j)+3](1 _
E W
-PJ
)
P(N=j)+c'
L _
e
P(N=j)
E j = N
v(j)+3
2
j = N2

-159-
La première somme figurant dans le second membre de (Z) est majorée par
N -l
Z
L
P(N =j) donc tend vers 0 sin + + 00
j ~O
La deuxième somme est majorée par
p(V
_
> E)
et tend vers 0
1-2a
n,K
lorsque n ++00
si la longueur du dernier bloc tend vers 0 en probabilité
lorsque n + + 00
n
1
Cons i dérons l a somme - - -
L
clK(j)-J(j)]
1-2a j ~ N2
n
n
c
-pj
L _
c l K(j) - J (j )] e - pj P(N ~ j) <
L
P(N ~ j)
J e
1-2a j ~ N
1-2a
2
J~
1~2
n-N Z
n! (p
n-N -k
(3)
c
< - -
L
(1-p)
Z
1-2a
k~O
_
N2 n-N
-
-p k
n-N
c n(n-1) ... (n-N
2-k
+1)(p e- p )
2 (ri-Nz)!(pe
) (l-p)
2
< - - - - - - = - - - - - - - ::
- - -
1 - 2a
k~O
-
-
(N +k-1)I(n-N -k)!
2
2
_
n-N -k
(n-N )!(pe- p)k(1-P)
2
2
1 - 2a
k! (n-N -k) !
2
Cette dernière expression est égale à
La série de terme générale u est convergente d'où U + 0 lorsque n ++ 00
n
n
ce qui montre que la troisième somme figurant dans (2) tend vers 0 lorsque
n-++ CXJ •

-160-
j
n
n
p
-PJ
n!(pe- )
De même
c'
L
e
P(N=j) = c'
L
(l_p)n- j
j = N
j = N
j!(n-j)!
Z
Z
n!
N +k
n-N -k
;:;
Cl
L
-P
Z
Z
(pe)
(l-p)
(4)
k=O
-
-
(NZ+k)! (n-K-N z)!
-
N
n-N
Z
Z
.; c' n(n-l) ... (n-N z+1)(pe-P) [pe-P +l-p]
le second membre tend vers 0 lorsque n ~ + '"
Pour montrer ·la convergence vers 0 de la quatrième somme dans (Z) on utili-
sera le lemme 9 ci-dessus.
Soit c' > 0 . 3 N3 tel que Vj > N3 on ait d(j)
n
-
N3
-
n
(5)
L
J (j ) P(N=j) =
L
J(j)P(N=j) +
L
J(j)P(N = j)
j = N
j = N
j = N +1
Z
Z
3
Considérons la première somme du second membre de ( 5 ) elle est majorée par
N3
-
j P( N = j) et
L "
j = NZ
-
N]
N3
n!
pj( l_p)n- j
L
j
P(N=j) =
L
j = N
j
= N
(j-l)!(n-j)!
Z
Z
N +k
n-N -k
n! p Z
( l-p)
Z
=
.. -
(N z-l+k)!(n-N -k)!
Z
-
-
N
n-N
Z
3
n(n-l) ... (N
-N
3
z+1) p (l-p) N -N -k
(N -N )1 pk(l_p) 3
z
3
Z
-
-
(N z-l+k)!(n-N z-K)!.

-161-
N·
n-N
(6)
<; n(n-1)(N -N +1) p 2(1_P)
3
3
2
La série dont le terme générale est l'expression dans (6) est convergente
-
d'où
J(j) P(N=j) tend vers 0 lorsque n-7+OO
Et pour la seconde somme dans (5) on a
n
-
n
L
J(j) P(N=j) <; s'
L
P(N=j) -< s'
j = N
j = N
3
3
d'où
Vs' > 0
on a
n
lim
L
J(j)P(N = j) -< s'
n-++ oo . N-
J-- 2
Si on considère les hypothèses suivantes sur Fit
i)
F"
a pour support
R+
ii)
Fit
est absolument continue de densité fil
i i i )
fil
vérifie
(Vh > 0, (Va. > 0), (3X
E
R), (Vx» x
O
o), (Vh' » h)
n
fIT (x + h ' )
- - - - < ; a.
f"(x)
iv) (Vx
> 0) ,
infil(x) > 0
O
o < x < Xo

-162-
On peut énoncer le théorème suivant
Th~onlme 3.111
Sous les hypothèses il, ii), iii), iv) et en supposant
- -
-
que le nOmbre de blocs K(N ) soit tel que K(N ) = O(N )
et
O
O
O
K(N )
O
1im
on a alors
Log NO
V + 0 (p), (n ++00)
n
<=>
V _ + 0 (p) (n ++00)
n,K
Si
V
tend vers 0 en probabilité lorsque n++ oo cela implique que
n,K
V
tend vers a en probabilité. Nous allons examiner maintenant les
n,K
conditions sur
v = [N/Kl pour que
V -
tende vers 0 en probabilité.
n,K
Supposons i) et ii) vérifiées et l 'hypothèse suivante
"
f!t(x+h)
v) fff(x) > a
IIx > 0 et
(Ilh > 0 )
lim
= a
x-++ co
fll(x)
Posons
IH
b
= G
(*) où G#(x)
1 -
=
F#(x)
Nous a11 ons établir le
n
ThéoJelme 4. II l
Pour que
V
tende vers a en probabilité lorsque
n,K
n + +00 il faut et il suffit que
(I) (liE> 0)
p.s
Désignons par Nn(E) le nombre de points de l'échantillon (X, , ... ,x_)
N
dont l'abscisse est supérieure à b - E . On a
n
Lemme 1. III
Nn(E) étant précédemment défini on a
-
-
(liE> 0)
lim
P(Nn(E) > v) = ,
<=
lim
PlV
--<El =
n-++oo
n-++ oo
n,K

-163-
PlLeuve :
-
a) Déterminons d'abord la loi de Nn(E)
-
n
_
(1) P(Nn(E) = k) =
L
P(Nn(E) = k/N =~) P(N = ~)
~ =k
La loi de
_
Nn(E) conditionnée par N est une loi binomiale ':B(n,p) où
p = P(X >- b - E) (voir p.156) d'où
n
n
k)
L
~ = k
En posant
~ - k = j on a
-k
n! p
k
n-k
(n-k)!
p
L
j=O
k!(n-k)!
j!(n-k-j)!
n! (p p) k
-
n-k
[l-p+ ( 1-p)pJ
= k! (n-k)!
La relation
FI! = P F + (l-p) (p.156) nous permet alors d'écrire
( 4)
P(Nn(E) = k) = (k( 1 - F#(b - E))k (FIi(b
- E) )n-k
n
n
n
d'où
Nn(E) suit une loi binomiale c))(n,GII(b - E))
n
-
-
b)
plv
- -< E) = plV
--<E
b - E -<
x_ -- cl
n,K
n 1
N
En utilisant la stabilité en probabilité de
X-
on a
N
(6)
lim
plV
-
-<
E
b - E -<
x_ -< b + E) =
n
n
N
n
-++00
n~K
lim
P(V
- -< E , b - E -< x_
n
n-++ oo
n,K
N

-164-
-
et 6')
lim
P(V
_<E
IX- - b > E) = a
1
n-++oo
n,K
N
n
mais on peut écrire
P( V
- > E, b - E '" X_'" b +E)= P( X_ - E < X_
<
X_ + E, b - E < X-
n
n
-
n,K
N
N
N-v
N
n
N
= P( X_ - E < X.: _ , b - E < X_
N
N-v
n
N
(7)
= P(b
- 2E < X_ _
b - E < X_
n
N-v
n
N
En tenant compte des égalités 6), 6') et de la stabilité de
X_ on a donc
d'après
N
5)
lim
P(V
<E) =
lim
P(b -2E<X __
n
n-++ oo
n,K
n-++ co
N-v
et l'évènement {b - 2E <
X__ } est égal à l'événement {N (2E) > v}
n
N-v
n
E étant arbitraire on a le résultat désiré.
P~euve du théo~ème
On a
E(Nn(E)) et la stabilité en probabilité de X_
N
impl ique que E(Nn(E)) -+ + 00, n -+ + 00 •
Supposons que V· _ tende vers a en probabilité.
n,K
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne
.
/1
il
3/4
- .
3/4
7') P{n G (b -E) - [n G (b -E)]
< N (E) < n Gli (b -E l + [n G" (b -E)]
}
.
n
n
n
n
n
et comme
lim P(Nn(E) > v) =
on a, pour tout n> a et dès que n est assez
grand ,

-165-
-
-
-
-
.
#
-1/4
1 - n '" P(Nn(E) > v) '" P(Nn(E) > v, Nn(E) -< n GI!(b n-d(1+ [n G (bn-E)J
))
.
-1/2
+ [nG"(b-E)J
n
d'où pour tout n > 0 et dès que n est assez grand
-
Il
Il
-1/4
Il
-1/2
1-n..; plv -< n G (b - E)(1 + (n G (b - E))
)) + [n G (bn-E)J
n
n
ce qui implique donc que l'on a
.
-1/4
v
-<-<
n GI/(b -E)[1+(n Git(bn-E))
n
(pl
Considérons l'événement
-
Si W E: En on a
_v:...o(c:cw-,--)- - . . 1
et si de plus on choisit E'
dans
n-++ co
n GI/(bn-E)
JO,E[
on a
(8)
TIiil
o , le second
n-++ co
n
membre de (8) est nul on a donc
lim
_~v~(=W~)_ = 0 d'où il résulte que
n-++ co
n GtI(b -El
n
E c {
lim
o }
n
n-++ co
et comme
lim
P(E) =
on a
p( l im
ce qui prouve
n-++ co
n
n~+co
(1) . Réciproquement si (1) est réalisé. Soit n> 0 arbitraire. On a pour
n assez grand

-166-
mais
#
# ; ;
#
-1/4
P(v < n G (bn-E))..; P(v < n Gr (bn-E),n G- (b -E)[1-(n G (bn-E))
J<Nn(E))
n
-1/2
+ {n G#(b
- E)}
n
d'où
_li
-1/4
V Tl >- a
1 -Tl";
lim
P(v[1 - (n G"(bn-E))
< Nn(E))
-
cette inégalité entraîne nécessairement
l im
P(v<N(E))=
n
ce qui d'après le lemme 1 est équivalent à
V
tend vers 0 en probabilité.
n,K
Nous a11 ons voi r dans ce qUl va sui vre cOllllllent l'étude qu'on vi ent de
faire sur les blocs du processus réduit va nous permettre d'assurer la
convergence en probabi lité vers 0 de V lorsque n -+ + 00
•
n
On va montrer le théorème suivant:
Tf1éolLème S.III
On suppose que les hypothèses il, ii), iii), iv) de la
page 1[,1 sont
vérifiées et qu'en outre le nombre de blocs K(m ) est
tel
O
que K(m ) = 0(11I ) et
lim
K(mo)/Log 11I
=
o
0
0
+00
•
On a alors
ma -r + 00
où
v(m) = [ m
K
Posons
B
j=1, .•. K
n ,R(j-1 )
B
-
=
j=1, .. ,K
n,R(j-1)

-167-
Pour tout j > 1 définissons Y
par
n,R(9"-1 )
Yn,R(,H)
=
Sup
{Yn,R(i) \\
Yn,R(i)';; Yn,R(j-1) }
0.;; i.;; K
211 ~ Il
et pour
K> [
] + 1
(p.s)
soi t l'événement
p
[lllEJJt1
p
-
A . = {Bn,R(j-1) c
U
B
-
}
n ,J
n,R(t-l+s)
s=O
Pour établir le théorème on aura besoin des lemmes suivants
Lemme. 2. II I
Si on choisit K égal à K on a alors
p
Il ~ Il
où
a (1) tend presque sûrement vers a lorsque n"'" + 00 •
S
.
D'après la loi forte des grands nombres on aN"," p (p.sJ
n
N
N n
p
et
.fil. "'" Il ~ Il (p •s.)
lorsque n"'"+oo d'où il résulte que
- - -
","---'--
n
m
n m
Il ~ Il
(p.s) lorsque n++ oo
ou encore
N =
p
m(1 +0 (1))
et d'après la définition de v(N)
et
v(m)
Il ~ Il
s
on a bien le résultat annoncé.
Lemme. 3.III.
En conservant la condition sur K du lemme 1 on a
(~j)j>1
P(7\\
.
i. o.) = a
n ,J
P~euve:
Soit c' = ~ et soit
n> a quelconque. D'après le lemme précé-
dent il existe un rang nO à partir duquel les événements {1-c' <
v
< 1+c' }
v
p - -
Il ~ Il

, '!"l_
-168-
sont simultanément réalisés avec une probabilité supérieure à 1-n
c'est-à-
dire en posant
+00
T'={.l<
3 }
on a
P(
n
2
n
T'»1-n
2
n
n=n O
comme
v ~ v
on a
T' c {
P ""v < v < v} = Tn
n
2 Il ~ Il
(on sait que p ~ Il ~II )
Pour tout n l'événement T implique A . d'où
n
n,J
P(
n
A .) >1 - n
n,J
n = nO
+00
on déduit donc que
l im
P(
n
A .) = 1
n++oo
CL ,J
CL=n
Lemme 4. III
Sous l 'hypothèse du lemme précédent on a
(VE > 0) , (Vn > 0), (Vj ;;. 1)
[~J]+1
p
"
P(V.>E)
~
L
n ,J
s=O
dès que n est suffisamment grand.
FfLeuve :
De la décomposition
(V
. > E) = (V
. > E) n T U (V
. > E) n l
on a , pour n suffisamment
n,J
n,J
n,J
grand
( 1)
P(V
. > E)
~ P((V
. > E) n T ) + n
n,J
n,J
n
D'après le lemme 3 on a
p((V
.>E)nT))
~ p((V
.>E)nA
.r.........
n,J
n
n,J
n,J
et
...>. -
(2)P((V
.>E)nA
.))~
...;/
n,J
n,J

-169-
(1) et (2) entrainent le résultat annoncé.
Le.mme. S.III
On conserve l 'hypothèse du lemme précédent. On a (Vc > 0),
(Vll > 0)
P(V
> cl
-< P(V > cl 2 Il "II
) + Ti
n
n
[~]+2
p
dès que n est suffisamment grand.
PJtwve.:
Comme précédemment en utilisant la décomposition de Q en T et
n
T on a, pour n assez grand
n
( 1)
on a aussi
(Vj;;. 1), {(V
·>cl nT} c {(([.lliJ:Jh+2) V > cl nT}
d'où
n,J
n
p
n
, n
(2 )
{SupV
. > c} n T
j
n,J
n
d'où il résulte que
(3 )
p((V
> cl nT)
-< p(([~I]+2) V > cl)
n
n
n
p
(1) et (3) entrainent le résultat désiré.
PJte.uve. du -thé.oJtème.:
Considérons K vérifiant les conditions du théorème 5.
L'égalité (II)
N ~ ~p~ m(1 + 0 (1)) implique
Il ~ Il
s
- -
i)
N
v (NO) -7 +00 lorsque NO -7 +00
, avec v(N) ~
K
-
K(N o)
ii)
l im
~
+00
N -7+oo
Log NO
O
c'est-à-dire que K satisfait les hypothèses du théorème 3.

-170-
De même si v (m) = 0(n G" (b - E) ) p.s, (II) implique
#
n
v(N) = O(n G (b
-E)) p.s.
n
D'après les théorèmes 3 et 4, on en déduit donc que
V ~ 0 (pl
n
lorsque n~ +00 •
En utilisant le lemme 5 on a alors
(VE> 0), (V n > 0)
lim
P(V
v ~ 0 (p)
n > E) ~ n
n
n-++ oo
lorsque n ~ +00

CONCLUSION
Le travail que nous venons de présenter généralise certains résultats
connus dans le cas de l'échantillon. Certains problémes restent cependant
ouverts.
L'étude que nous avons faite au chapitre 1 doit pouvoir se faire suivant
les modes de convergence presque sûre et presque complète. La réciproque du
théorème Il.11 p 34 doit être vraie pour un processus quelconque lorsque
l' hypothèse HZ est véri fi ée.
Au chapitre II peut-on assurer la convergence de l'estimateur sans 1 'hypo-
thèse
que les v.s.
y~n) sont uniformément bornées (oudominées par une v.s. Y ).
l
Nous avons fait aussi une hypothése d'indépendance des v.s.
y(n)
pour
l
assurer la convergence presque complète de l'estimateur vers la fonction de
régression. Peut-on aboutir a la même conclusion sans cette hypothèse?
Nous avons étudiè l'enveloppe convexe des points de la superposition au
chapitre IV ; il serait intéressant d'étudier le comportement asymptotique de
ce que
PERKAL [99] appelle enveloppe
E
-
convexe des points ..
Le chapitre VI
prépare l'étude du regressogramme à pas aléatoire. Nous
regrettons de n'avoir pas eu le temps de nous y consacrer.
Il est aussi certain qu'on pourrait envisager d'autrestypesd'estimateurs
de la régression comme par exemple la méthode du noyau.
Nous pensons pouvoir travailler à l'avenir sur toutes ces questions.

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