THESE
DE DOCTOItAT DE TROISIEME CYCLE DE MATHEMATIQUES PURES
présentée
A LA FACULTE DES SCmNCES
DE L'UNIVERSITE DE DAKAR
par
Galaye DIA
INTÉGRALE A VALEURS CONVEXES
FERMÉES BORNÉES
l
CONSEIL AFRICAIN ETMALGACHE
POUR L'ENse:GNEMENT SUPERIEUR
, C. A. M. E. S. -
OUAGADO
;~::~:~e ',.2·9·MAI... 995. ~~~~I
1 .
'''<j!strc sous n° -# 0 0 2.'l 9
.- -". . ~
Soutenue le 17 novembre 1977 devant la Commission d'examen
S. THIAM
H. SEYDI
S. NIANG
Président
C. BADJI
Examinateurs
A. COSTE
E. FEDIDA

---

INTRODUCTION
.--_.---_.._-
Les préoccupations de l'économie math~matique ont donn~ un grand int~rêt
pour les notions de multi-applications, de multi-mesure et d'int~gration multi-
voque. Nous pouvons citer dans ce sens les travaux de Debreu [tJ ' Schmeidler [IJ,
Aœann LI] , Hildenbrandt Il] , K. Vind lI] , etc ••• Le développement de ces
notions a atteint le stade de théorie grâce aux travaux de mathématiciens comme
R. Pallu de la Barrière [IJ ' Casting [1] , Valadier [2J ' Arstein [IJ ' Godet-
Thobie [1 J, Costé t1] , D. S. THIAU fi] , etc•••
Notre but est de développer dans les chapitres qui vont suivre une
intégration à valeurs dans cfb(E), ensemble des parties convexes fermées born~es,
d'un espace vectoriel topologique E localement convexe, séparé (e.l.c.s) et non
réflexif.
Notre travail comprend quatre-chapitres.
Au chapitre 0 nous nous intéressons aux e.l.c.s E tels que cfb(E) est
complet. Cette classe d'espaces est suffisamment riche car Valadier ~I] théo-
rème 3 p. 29 démontre que si E est un Fréchet alors cfb(E) est complet. Pour la
commodité du lecteur nous donnons une autre démonstration de ce résultat lorsque
E est un Banach c'est le théor&le 1. 0
Au chapitre 1 la notion d'intégrale multivoque rnnotone secondaire l
... / ...

---

2
est définie. Dans la construction de l'espace ~I(l) des fonctions réelles
'J
définies sur un ensemble T et intégrables par rapport à l, le problème est de
prolonger l'intégrale sans connaître la sous-addivité de l'intégrale supérieure
associée à 1. Lorsque 1 est à valeur dans cc(E) ensemble des ~arties convexes
fermées faiblement compactes de E D. S. THIAM fi] dé1!lOntre qu'elle est sous
additive en faisant appel à des arguments d'analyse convexe. Nous ferons le
prolongement en supposant seulement que cfh(E) est complet.
Le chapitre II est consacré aux applications
.- intégration par rapport à une multi-mesure forte définie sur un clan
- intégration par rapport à une mesure vectorielle m. Nous ferons le
lien entre l'intégration univoque et l'intégration multivoque. On comparera
par exemple l'espace Q} (m) à l' espace ~ de DINCULEANU.
Au chapitre III cfb(E) n'est pas complet.
Dans ce cas si fE. ~(l) alors J f ·lf.cfb(E'~ ).
On donne,un cas où 1 f 1 reste dans l'espace cfb(E)-'c'est l'objet du théorème 2.
Pour terminer cette introduction,je tiens à remercier très sincèreoent
D. S. THlAM pour avoir dirigé mes travaux. Ses conseils, la documentation que
j'ai pu trouver auprès de lui, ont contribué de façon.décisive à l'aboutissement
de ce travail.
·.. / ...

---

3
Monsieur le Doyen Souleymane NIANG m'a fait
l'honneur de présider le jury: je lui dois une profonde
reconnaissance.
Je remercie Monsieur Ramet SEYDI pour ses
encouragements et l'aide qu'il m'a apportée pour la
réalisation matérielle de ce travail.
Je remercie Messieurs C. BADJI, A. COSTE,
E. FEDIDA pour l'intérêt qu'ils portent ~ ce travail et
d'avoir bien voulu être membres du jury.
Mes remerciements vont
A tout ceux qui ont participé à la
réalisation matérielle de ce travail.
f. ma feunne Diama GUEYE pour le soin
apporté à la dactylographie de mon manuscrit et pour la
constante et parfaite compréhension dont elle n'a cessé
de faire preuve durant tout ce travail.
A Monsieur M. SECK qui en a assuré le
tirage avec diligence et soin.
·../ ...

---

4
T A BLE
DES
MAT 1ER E S
•••=---
~.
Pages
Introduction
o
Sur les espaces E à cfb(E) complet
5
l
Construction de l' espace ~ 1 des fonctions lnt~grables
9
par rapport à une intégrale multivoque
- Int~grale multivoque monotone secondaire
9
2 - Construction de l'espace ~!(I)
14
3 - Intégrale à valeurs dans cc(E). Théorème de convergence
20
I I
Applications
24
A - Intégration par rapport à une multimesure
24
- Multimesure
24
2 - L'espace ~I(M) des fonctions f
T -+ m. intégrables
28
par rapport n la multimesure M
B - Intégration par rapport à une mesure vectorielle
32
- Mesure vectorielle
32
2 - Comparaison avec l'intégration vectorielle au sens
33
de DINCULEANU
III
Intégrale multivoque à valeurs dans cfb(E) non complet
37
.../ ...

---

5
cnAPIT~_E
')
===•••==_:--======-
Notations :
T
désigne un ensemble non vide
(TI, + , ~) est un sous grou~e
réticulé de
(]RT, + ,~) i., H+ • {~
E:
JI
f
~ à }
E est un espace vectoriel localement convexe séparp. co~let et
non reflexif.
cfb(E)
est l'ensemble des parties convexes fermêes bornées non
vides de E.
cfb(E)
est muni de la topologie de Hausdorff. On suppose qu'il
est complet.
cc(E)
est les parties convexes non vides faiblement compactes de E.
Si
A et B sont deux parties de
E on note adhérence de A + ~
par
(A %0 3).
Les espaces topologiques
E
pour lesquels
cfb(E)
est complet
sont a!,pelés espaces super~complets par
r'l
GODET-TH0BIE
J
Lorsque
E est un Fréchet VALADIER
démontrent que
cfb(r.)
est complet.
Donnons, pour la commodité du lecteur, une démonstration dans le
cas d'un espace de Banach E.
Théorème J. 0
Si
E
est un espace de Ranach alors
cfb(F.)
est co~let.
Démonstration
Soit
(Ai)
une suite de Cauchy dans cfb(E) et considérons
TI
la boule unité de
E,
n°
sa polaire.
.../ ...

---

6
La famille
l (. /A.) est t.miformément de Cauc.l1y sur n°. elle
J.
converge donc vers une fonction notée
À
uniformément sur
0)
À:
est évidemment sous additive et nositivement homogène.
i)
~~ntrons qu'elle est bornée sur toute partie êquicontinue V.
de
E' •
Il existe alors
k > 0
tel que
~ r:: k BO
!-C:/Ai)
est uniformément de Cauchy sur kn°
on a pour tout
E ' 0
..
il existe
tel que pour tout
i ~ i
et pour tout
j~i
ana
o
.0
sup
y€.
kB
et en passant ù la limite par rapport ~
i
sup
À (y)
ô"" (y/A )
j
1 < E
j ~ i 0
y €-
kP.
d'où
>If"
0
,
(1)
IÀ(y) 1
t
+
1ê
(y/A.) 1
YE;kB. j
~ i
J
0
Aj
étant borné implique qu'il existe
n > 0
tel que
Aj ~ n ~
d'où
-
k
0
kEC n AO
c' est'-à~dire quel que soit
yË kr)°
on a
sup 1< y, x>1
~... n donc
1
(2)
1 ~
(y/Aj ) 1 < n
pour tout
y~ kBo de (1) et (2) il résulte que
1 À (y)
l ,
E + n
pour tout
y~k~O d'où À
est borné sur
~.
ii)
À
est serni continu inférieurement sur
~o comme limite uniforme
de fonctions semi'~continue infp.rieurement sur
iii)
À
est finie ce qui r~sulte de
i)
en prenant
K· {y}
1
pour tout
y €
E.
•
0
. / • • •

---

7
Pour tout
kE.JP
{Yé,r.'? ;\\(~T) ~ k} est convexe et son intersection
avec n° ëstfermi!e" dans BO on en déduit w d'après 'le théorème 'de Krein-Smulian[ J],que
{YE:.E';;\\(y) ~ k} est fermé car toute partie équicontinue (f,e E' est absorbée
par BO , d'où ;\\ est s.c.i
On déduit de 0), i), ii), iii) que
\\ est la fonction d'appui d'un
convexe
fet'DÉ borné.
nous considérons maintenant un
e.l.c.s quelconque dont cfo (E)
est complet. On a le théorème suivant
~~o~ème '2.0~ 'ce(E) èat'un ,souS 'espace fernê'ùè
cfb(E) muni de la topologie
:fe'1t8usdorff •
~!:~yy~ : Soit (Au) une famille de Cauchy dans cc(E). F.Ue converge vers un
élément A appartenant à cfb (E). Nous allons montrer que A~ cc(F).
L'adhérence  de A dans E'~ pour la topologie
a(E'~, E') est
compact car A est borné et E'~est semi-réflexif,
Soit xE. Â montrons que'
:x: " E
Comme E est complet i l sl'ffit de montrer que x est a(F' ,E) CglltÏDue a
l'origine sur la polaire de tout v~isinage ~ de l'origine d'après le théorè~
3 p. 106 de A.P.ROI'ERTON (1) c'est-à-dire
Pour tout e > 0
i l existe un voisinage a(E' ,F.) faible V' tel Clue
Soit e > 0
et
U un voisinage de l'origine dans E.
A
converge vers A au sens de Pausdorff donc i l existe Ci tel que pour tout
a
A
A
~
_
Â
a > li' on ait
A C A + eU
d'où
A C A.
+ tU
ce qui entraîne
Ac. A
+ e:U
a
a
a
...
A
car
Aa est compact et eU est fermé.
.../ ...

---

8
Jt
xE.A
implique que
x • x
+ ES
a
X f: A
et s f. U COtTJIDe
Aa,E cc(E)
a
a
et xa est a (EV,E) continue à 1~ori8ine de n°. Il existe V' tel que
1<
A
x ,y >1 < E
pour tout y appartenant à V' ('.
a
UO
comme (To = n°
on a
pour tout YE UO nV'
< x, y > • < xa + ES,y > • < xa ,y > + E <s,y>
donc
1 < x, y >1
~ 1 < x
>~ +
a
E
1 < s, y >1
d'où x est continue à l'origine de UO ce qui prouve que X4EE
comme Â~·. ët que A eRt fermé pour la topologie initiale donc faiblement fermé
,.
on a A • A donc A est aCE, E') compact •
... / ...

---

.-. 9
CHAPTTRE
l
......-=....:=...==
CONSTRUCTION DE L' ESPACE ~l DES FaNCTIONS
!NTEGRMLES PAR FAPPORT A UNE INTEGRALE JfULTIVQliUE
§
I·~
INTEGRALE MULTIVOQUE HONOTONE SECONDAIRE
Définition'I.I ~ TIne intégrale multivoque secondaire monotone. I, définie sur
H+ • à valeurs dans cfL(~) est une application de
14 dans cfb(E) vérifiant
l' 0~l(h) pour tout hE.}-l+
2) Pour tous
hl et
hi éléments de
F~
3) Si (h)
1 est une suite décroissante d'éléments de H+ qui converge
n n~
simplement vers
o,.~
n-'~
au sens de la topologie de Hausdorff dans cfb(g)
(On note
~~ 0
dans
q+
entraîne
lim
l
(~) = {o}
).
n-+ co
Soit
RV l'ensemble des fonctions f
éléments de 1fT+
qui sont limite
simple d'une suite croissante
(hn)n~1 d'éléments de h+ • On écrit ~ + f •
Considérons l'application
I~ de HV dans
Cf(E), ensemble des
parties convexes fermées de
E , définie par
{' (f) ""
Hm
I(hn)
n-+ co
la limite étant au sens de l' ordre
~)
dans
cf(E) •
·../ ...

---

10
-
La limite
I(hn) est indépendante de la suite (h ) choisie dans R+
n
h
t-f. En effet soit
(k) >1 une suite d'éléments de
R+ ' ka t f , et
n
a a ..
considérons
h
n
étant fixé. On a
n
sup
(inf(h
k ) .
h
a
n
Q
n
et
inf
(hn ~ k ) ,h ,f
a
a
Comme
1
est croissant (cela résulte de 1) et 2) de la définition 1.1) on 8
(1)
1
{ inf (h
, k
)} ~
l(k
) '~(f)
n
a
a
,,
,
etenR~ssant~' tonctions d'appui
'.
-----_._-----,./
. ,. "', ~ ~.'
Comme
hn - inf(hn~ ka) converge vers 0 en décroissant et que 1 vérifie la
proprÎ'été (3) de la définition 1.1 on a
l&mè:a(.( 1 I(h
- inf(h ~ ka» ) .. 0 ,
n
la convergence étant simple sur E' dual topologique de ~ • Il en résulte que
Hm
t( 1 I(inf (h ,k »}
a
n
a
La suite inf(h ,k ) est une suite croissante de a , par suite
n
a
I(inf(hn,ka» est une suite croissante de convexes fermés bornés d'où
1àm :( 1 I(inf(hn,ka») = -6 (1 1] I(inf(hn t ka»)
soit
... / ...

---

Il
de l'inégalité (1) on a
-If
Hm
l (inf (h
I(k )C ~I (f)
n ~ k »c. Hm
a
a
a
a
soit
I(h)C
Hm I(k )C ~(f) pour tout n d'où lim I(h). 1im I(k )
n
.
a
a
n
n
a
a
Prooriétés 1.2
.
contient
H
, il est réticulé et stable par addition.
+
1
est addittve, croissante et prolonge 1
Soient
f
et
g
deux éléments de
HV
il existe hn et k
.
n
éléments de H+
tels que hn t f et kn tg. On a sup(hn,kn)~ sup(f,g)
pour tout n •
et la sutte sUp (hn,k ) est une suite croissante d'éléments de H+ • De
n
l'inégalité
Isup(f,g)
OD déduit que
sup(h ,k ) t sup(f~g)
n
n
Il est évident que nv
est stable par addition.
-
1
est additive. 'En effet, soient fi
et f
deux
2
~léments de HV
et soient
( hl)
et (h2)
deux suites croissantes de
H+
qui convergent
n n ~t
n n ~]
vers
f] et f 2 respectivement. On a 1im (h~ + h~) • fi + f 2
et
1im I(h]
+ h2) • ~ (fi + f )
par définition.
n
n
n
2
La famille { I(h~) ~ I(h~)} n~]
étant une suite croissante de
convexes ferme. borDé., . GD •
1im I(h l + h2) • 1im {I(h l ) ~ I(h2)}
... l
D
lJ{I(h) ; I(h2)}
(f
+ 'f )
n
n
n
n
n
n
n
n
.In
]
2 .
.../ ...

---

12
-
et en prenant aux fonctions d'appui •
• lim
s (/I(h 1»
+ lim
n
n
n
Les suites
1
I(h )
étant des suites croissantes
n n ~1
de convexes fermés bornés non vides on a
• lf (/LJI(h~» +
• l( 1 r(f » + 6'" (1 i"(f »
1
2
• t( 1 r(fl» ~ I""(f2»)
d'où
t'est croissante. Il suffit pour le prouver de reprendre la démonstration
montrant que
111( (f) • Hm
1 (h)
h ..:. If
,h
+f était indépendante de
n
n
n~
+
n
{ hn } n ~1 • En effet, soient f et g ~léments de SV tels que g ~ f
et soient
h
et
k
deux suites
h
+ g
et
k
+ f • Pour n
n
a
n
CI
fixé on a
inf (h , k ) ~ k
~ f
•
sup (g,f)
n
a
a
et on avait montré que
1 (h ) c..lim
1 (k ) c.;. -! (f)
pour tout
n
n
a
a
)(
.",.
cl 'où
1 (g) = lim
I(h )<:1 (f)
n
,
... / ...

---

13
-
(2)
(fn)n ~I est une suite croissante de EV on a
.x
sup f €
l!v et
t (sup f ) .. sup l (f ). La borne su~érieure dans le second
n
n
n
n
n
n
menbre est pris dans
(cf(E),e)
~~~~~
on a le résultat d'après D. ~. !HLM!, proposition 5.1 p. 38 [1 ]
Définition 1.3 : L'intégrale supérieure 1~ associée à l'intégrale secondaire
::If
T
1 est l'application 1 ~
lR+
-+
cf(E)
définie par
Considérons l'ensemble suivant
p ·oposition 1.4
(J:f , + ,~) est ml sous groupe réticulé de .!' , + , ,)
Soient
f
et
g
éléments de n-. Il existe $ et ~ éléments de
HV
tels que
Ifl
' $
Igi ~ ~
Ona
Isup(f,g)1 ~
sup(lfl , Igi ) , $+~
-JIE
d'où
f - g
et sup(f,g) appartiennent ~
H
structure de groupe additif. Pour cela nous considérons sur
de voisinages convexes fermés de l'origine. Dans tout ce qui va suivre dans ce
chapitre lorsqu'on écrit V~~r-il s'agira d'un voisinage convexe fermé de
l'origine.
·.. / ...

---

14
-
§-2 • CONSTRUCTION DE L'ESPACE
1 (I)
r-
Pour tout
VE.~ Boi.t
~ 7'
~
Proposition 2.1 : La famille notée
X des V lorsque V parcour;{ est
'...,,-
-
-
une base de filtre
~x*
Preuve
---.---
~t+ n'est pas vide car Hf':- U
-ylt
~.
-M
Pour tout
tE::.. 0 ' V est non vide car oé v.
Soient
éléments d~~définis par v.
i-I,2 •
1
J:: - {
1f
f é: H
~
""
l
(I/J)C VI}
~
l
(41)CV2}
si
g~ *
V
alors
d'où
Proposition 2.2 :~I~st un filtre des voisinages de l'origine dans une topo-
~
logie compatible avec la structure de groupe commutatif de
q
~ ,f;t
~ ,r*
~
~
Preuve
évident C!ue ~ V e 0 car on a V • - V •
- -
4'
Si
V t: J il es t
~
~:-\\.
Soit
V f/J et soit
V associe à
v.JIr.. Il existe P E.-Y
tel que
T-Y + WC. V • Soit
*
TJ
et considérons deux éléments de
~
t.y
soient
f
et
g. Il existe I/J
et 41
éléments de
EV
tels que
~
-II:
avec
l
(I/J)C W et Ig 1 ~ If» avec
l
(If»k:: trI
On a
If+gl ~ Ifl
+ Igi ,If»
+I/J.
·.. / ...

---

15
-
~
.~,v-
~~
~
l '
étant additive
l
(/fl +ljI):I
l' ( /fl) + l
(ljI)
et comme
l
(ljI)C lJ
et
:f.
"*'.
~
..
l
(/fl)e. W on a
l
( ljI) +
l
(/fl)'- H
+ ~!< V • V ce qui prouve que
'H" +
w*CV. n'où le résultat dés iré d ~ après Bourbaki [1 J T G III p. 3
41
Définition 2.3:
L'espace
~5~(I) est l'adhérence dans H de H
i(' V'"
f
appartient à ~)(I)
si et seulement si pour tout
V ~ éJ
~
i l existe
h ~ JI
tel que
f - h 2. V
Proposition 2.4
i) L'espace (c~I(I) , + , ~)
est un groupe additif ordonné
réticulé
H) ;,:1
-11
(1) =.jl (1)
(1)
~I
~~
avec 01./+ (1)· {f t2 ,.uI)
f ~ 0 }
Hi) j~ (I)
est l'adhérence de
B+ dans
p~:
i)
(~I(I), + ,~) est un groupe additif ordonné car c'est
l'adhérence d'un sous-groupe ordonné
R
dans
l~ qui est un groupe.
-)ft
Soient
fi
et
f 2 deux élé1ll2nts de ~I (1) et soit v1:...,{)
~Vr;-1(
~
;'t
~
Il existe
H~E: () tel que W + ~J {~ V et il existe
.li.
tels que
fi - hl e U et
il-
de EV
tels que
If. ·-h·1 ~
ljIi
i • 1,2
et
l
(ljIi)C H
i:lr 1,2 . On
1
1.
a d ' après le letllll6 2.2 p. 126 de D. S. TPW~ DJ
ISup(f p f 2) -
sup(h p h 2) 1 .$\\f t " h t 1 + If2 - h~1 ~ ljIt + ljI2
~
~.
Col1DIle
l
( ljIt + ljI2)·
l (ljIt) + l "(1/J2) c.. V et
h = sup(h
' h
l
2)
appartient
-(':
à
li
Otl a sup(f
' f )(:. ~~(I)
t
•
2
·.. / ...

---

J 6
-
ii) Soit
ft=~(I) et soient f+ .. sup(f,o),f-. sup(-f ,0)
On A
f+
et
f"
appartenant à cS!' (I) car~} (I)
est un groupe
additif réticulé. Comme
et
+
f
>, 0
,
f~ ~o
on a
fC-:~ J <:0
'..; ~+
-~ ~(1) •
*-
iii)à1 ~ (1) est l'adhérence de P+, dans
= {fç. H
f ~ ol
/ '
~y-;lt
en effet soient
f~) J (1) et V ~ û. Il existe hE Ir tel 'lue
.+
~
""","-
(f - h)~. V
et il existe
If .. h I~ ljJ, l (ljJ)c. V d'après
le lemme 2.2 p. J26 de D. S. TI-!~ fJl
1f .. h+ l, If - hl, ljJ
~ J
,
d'où
f
appartient è l'adhérence de
doncO( ... (!)~ Ad~~E+) •
et que~ 1(1) est fermé dans P:
on a
Ad'1!~~(B+)C.~~(1)
d'où
Théorème 2.5 ~ L'aoplication
1: tl+ ~ cfb(~)
est uniformément continue de
..
H+
muni de la topologie induite par celle de
R dans cfb(F) muni de la
topologie de I~usdorff
-J'"
,
Preuve
Soit
V
un élément de Ô . Pour tout couple
(h, h ) dans
....\\
(..1.. lI)
R+ • H+
tel que
(h - h ') t-
i l existe
ljJ E:: I~v
tel que Ih - h' 1 ~ ljJ
2
~
1
et
l
(ljJ)L. 2 V
Des inégalités
h ~ h' + 1 h - h' 1
·.. ,...

---

17
-
i l résulte que
I(h)C I(h ' ), .;. l( Ih c_ hi 1 )
1 (h ' ) C. l (h)
+ I( 1 h - h' 1 )
d'où
In..)CI(h') ~ ·1v • f) .{l(h ' ) + J. V + Vi}
, -
~
171 ~,..
2
r
..,. 1)
1
et on a
f • { 1Ch 1) + -2 V + ~1v le I(h') + ..!,. V + _'JI.v .. 1(h') + V
V~f':{'
L
car
V
est convexe ~ ceci entraîne
I(h) '- I(h ') + V
de même on montre que
I(h ')C I(h) + V •
!,ro10ngement de
1
à ~.1 (1)
+
J.;!
Soit
f Et{~ (I) . Il existe une suite généralisée
(h >
apparte-
.. a
nant à
II+
convergeant vers
f
pour la topologie de~~ (1). (ha) est donc
une suite de Cauchy généralisée, c'est-à-dire pour tout voisinage
V il
existe
ao tel que pour tout
a > ao et tout 8 > ao ' ha ~ hâ
%
appartient à
V
i.e. il existe
Des inégalités
h
,Ih"-hol
B
a
IJ
i l résulte que
1 nt)c 1 (1 h
-" h l )
a
a
a
I(h ) CI(l ha .. hal)
... l(h
a
a)
."
et comme
1( Iha - hel>e l (t/I)C V on a
ce qui prouve que
(I(h »
est une suite de Cauc~y gén~ra1isée dan~ cfb(E)
a
muni de la topologie de Hausdorff.
(l(ha» converge donc vers un élément
noté
C dans
cfb(E) •
... / ...

---

le.
-
~
f~ntrons que
C = l (f) .
Comme
(ha) converge vers
f
~our tout
v' il existe
a' tel que
~
on.li
f " h
(--
V
c'est-à-dire qu'il existe tPEHv
pour tout
a ~ n
a
tel que
~
-
1 f
.. h
1
~~)
et
l
(ljJ)C ~T
pour tout
a , a
a
En utilisant les inégalités
f ~ If "h 1 T h
a
a
.
~
il vient
a) f
~
ljJ
+ h
d voù l (f) C I(n ) + V et en utilisant les
a
CI
1
fonctions d'appui» puis en passant à la limite on a pour tout
yEE
*'
")#.
J(
F
6 (y / l (f) ) ~
ô (y/C) +
ô (y/V)
donc quel que soit
V voisinage de 0
dans E on a
f
•
(f)C C + V
d'où
(1)
I~(f)Cn(C .; V) .... Adh (C) III C
V
~)'-
t
(]
en utilisant le raisonnement précédent on a pour tout
y !c::. Et
-
~
.
d'où
C e l (4))
+
V pour tout
V
"(,
"'=
d'où
C C. Adh ( l
( 4>) )
... l ' ( 4> )
ceci étant vrai quel que soit
4> ~
f ,
t" aV , il en résulte que
(2)
C C
( / \\ 1*(1/»
... 1- (f)
4> ~ 1
4> t RV
de (1) et (2) on a le résultat désiré.
... / ...

---

19
-
.J'
Définition 2.6 ~ L'intégrale de
ff --../ 1 (I) E.r rapport ~. 1 notée
I f 1
+
est par 2éfinition
I~(f)
Propos i t ion 2. 7 '~ .L' applicat ion
~.)I g~I(I) ~ cfb(E) est monotone, addi-
'-+
.
.
( 1 )
uve et cont1nu d~ 0( (1
muni de la topologie induite par celle de
à*
+
dans
cfb(E)
muni de la topologie de Hausdorff.
\\.>
Preuv.e
1(.)1
est monotone
.
51
f
et g
sont deux "'1'"
e ements ~.,c '0," ,1 (1)
+
tels que f
'8
on a
"
..
k ~ f }
d'où
donc
If l r--
_
/ ..1
0 -
I(.)I
est additive
Soient
f
et
deux éléments de r " t (1)
g
~ ,+
et soient
ha
et k
1
a
deux suites généralisées
indexées par un même ensemble d'indices, d'éléments
p
de
H+
qui convergent respectivement vers
f
et
g. On a par continuité .
d'après le théorème précédent
.
1im 1(h
+
k y) • 1im { I(h ) + 1(k ) }
y
y
y
y
y
• lim
1(h) + lim I(k
)
Y
Y
Y
Y
y
étant tel que
y ~ a
et
y ~ al
d'oti comme
h
+
k
tend vers
f + g
y
y
1~-(f + g ) :II :r-(f) .t ~(g)
L'application est évidemment continue.
... / ~ ..

---

20
Définition 2.8
Si
f e: ~l (I) on pose
Iv
- - - -
'.. x f:... f{"
l
}
§3-
Intégrale à valeurs dans cc (E). Théorème de convergence
Le but de ce paragraphe est de montrer que lorsque
l
est à valeurs dans
cc (E)
le théorème de la convergence dominée est vraie.
Théorème 3.9
Soit 1: H+
-+- cc(IO .ttfl;\\:t~t@A"~le secondaire.
----
,,_.-;-,,--<~'-'"'-"'~
- - " ' - - -
. /
~
,.
..
',,"
" , ' , "
Soit (fn) n = J,2, ..... ~'u.ttê ,suitè\\ croissante d. véléments de
-
, ' - < . '
l
1
l,
\\ " , ' .
'
~
~~i~ (1) telle que f ~
n
g ~ gC.,~~ ~6rjfiân~ la condition
(C) i l existe
e~·~ftiJç:'~c(F.). Alors la fonction
liroite étant prise au sens de la topologie de T~ausdorff dans cc(F.)
Preuve
Posons
i "" 1 ,2 ••••
f
= 0
o
k
cp.
et f .. f
"" SUD
• E
1
cp.
1
n
k>û
1-n+
1
A . .
,~1
Les
~i appart1ennent ac{+
(I) pour tout i EN. On va tOOntrer
?f:
que f ~ f
tend vers 0 pour la topologie de B •
n
Soit V un voisinage de 0 dans E , il existe donc
'il. r=.- J!V
tels que
'il.
et ""
l ('il) a: 1
21
1 ' - - -
V
1
>
on peut !,rendre
'ili tels que l (~i) E: cc(E). En effet comme il
~
existe
tel que g ~ ~
et l (~) E... ccCE)
on a
~
Icp· - a. 1 ~
cp. + a. ~ ~
1
1
1
1
l
(~ + a.) ..
1
~
.
l ('il) + l (a . ) r- ccCE).
1
-
... / ...

---

21
en prenant
'l'i
.. inf ('l'.
,
i
1
~.>/.-
7«.'
1 ('l'~ ):,.:.. 1 ('l'
+
a.) donc 1 ('l'!) ~__ cc (E)
et
1 1 1
..x-
Dans la suite les
'l'i sont tels que :t ('l' i) ~ cc(E).
Des inégalités
N
N
N
i~n+
1:
'l'.
1i ~n+ 1
(~i" ai) 1 ~
1
1<l>i
"
à i 1 ~
i=n+l
1
on déduit
QO
(1)
1f
.~ f
I:
'l'.
n
i""n+l
1
~
1 (f - fn) tend vers 0 au sens de P~usdorff voir le théorème 4.2 p. 133
de D. S. TRIAl! [1-; . Donc pour n suffisamment grand on a (2) 1* (f - fn)C V
N
Jo,,-
'l'.) =.I:
1
I ('l'.) résulte que
1
1-n+
}.
*:
N
N
I (.I:
1
V"(I:
1)'1
1zn+
i-n+l -.
2'-
pour tout N d'où
~
QO
10
(3) !
(
I:
'l'i)C
(I:
!_ ) VC.V pour tout n.de
i-n+l
i-n+ 1 2i
l'inégalité (1) on déduit
a>
• I:
'l'. + f. - f
1-n+l
1
n
~
comme f - f
~ g il existe 'l't- EV tel que f _. fn' 'l' et l' (1/1) 'E cc(E) •
n
.../ ...

---

22
-
1 ï
Donc diaprès la proposition 2.1 p. 123 de D. S. TH1Ar~ II \\on a
'--
7("
00
. . .
00
l
CI:
1
1=n+
a.)C ICI: + 1
1
1=n
et pour n suffisamment grand il vient d'après (2) et (3)
De (l) on a
00
00
(4)
00
f - f
~
.I:
I~. + .r
a. ·.r
(il'. + a.)-
n
1-n+
1
1=n+l
1
1=n+1
1
1
00
i~n+l (~i
v
+ ai)EH
Des relations (3) et (4) pour n suffisamment grand
on a
*00
00
*00
.*00
l
(1.!n+l ~. +
r a . ) = l
(.r +1 ~.) + l
(i~+1 a·)
- u
1
icn+l
1
1-n
1
- u
1
c: V + V + V = 3 V si V est choisi GDDvexe fermé
donc f
converge vers f pour la topologie de
n
~d'où ~~~I(1).
.~~+
L'application! (.) l de ';31 (1) dans cc(E) étant continue on a
\\+
Théorème 3. 10
Soit JaH+ ~ cc(E) ~e intégrale secondaire
est une suite décroissante d'p.1éments de
1
JI~(I) vérifiant la condition (C) suivante
..
(C) il existe
00
et il existe WE~v tels que f
,l1J l
(111) t:. cc (E)
n o
·.. / ...

---

23
'\\
Alors la fonction f = inf f
t ·
t " ' "
1(T)
t
.appar 1en
a.:; 1
..
e
on a
n
+
ff l = Hm
ff.. l
~~Es de la topologie de Hausdorff dans cc(E).
n""*OO
n
•
Théorème 3.11
Convergence dominée
Soit
l
P.+ + cc(E)
une intégrale multivoque secondaire.
~
Si (fn) n-l,2 •• est une suite dVéléments de ~/I(I) convergeant simolement
vers une fonction f
et telle gue Ifni ~ g pour tout n avec
----
vérifiant la condition (C) suivante
Alors
et on a
fn ... Hm ff l
pour la topologie de
n""*OO
n
Hausdorff dans cc(E).
~~~~~ ~ Voir théorèmes 4.2 et 4.3 p.134 et 135 [j] et le théorè~e 3.9
ci-dessus •
•
0
. / • • •

---

24
CHAPITRE
II
• •
D a . .
•
APPLICATIONS
A
INTEGRATION
PAR
RAPPORT
A UNE
MULTIMESLIRE.
l
§1
-
MULTIMESURE
On considère un ensemble
T
non vide,
E
est un
e.l.c.s.
pour lequel
cfb(E) est complet. Nous rappelons les définitions d'un clan et d'une multimesu-
re forte voir
O.S.
THIAM
I-1]
Définition 1.1.
V.?
Une famille ~} de parties de
T
est un clan si elle vérifie les
deux propriétés suivantes
1°)
Pour tout
A e ~ et pour tout 8 e 'tS; on a
A'-B
e ~
Pour tout
A et
8
éléments de :6 ~.. A ~J8 e'f,
Définition 1.2.
...~":',
Une application
M ee \\.c>
dans cfb(E) est une multimesure si elle
vérifie
10)
M (~ )
=
{O}
/!
-..p
2°)
Si
{A
n=1, 2 ••••••• }
est une
.., _ partition de
A e b
n
alors
M(A)
=
lim
{MeA ) •+
M(A )
~
•
+
+
• • • • •
D
•
MeA }}
1
2
n
ll+<'O
la limite étant prise au sens de la topologie de Hausdorff.
Conséquences :
'v
1°)
M est additive sur
t?
Soient
A et
8 deux éléments de
~ • Al)8 = C appartient à '0 car 0 est
un clan. En considérant la partition
{A, 8.
~ ••••• ,~J
de
C
i l résulte de
.../ ...

---

25
.•
M(C)
=
M(A)
+
M(B)
+
M(~)
+ •••• + M(~) •••
.
d'où
M(C)
=
M(A\\!B)
= M(A)
+
M(B)
2°)
Pour tout
y e E'
dual topologique de
E
l'application
ô~(yIM(.))
0+~ est une mesure
En effet
a)
Soient
A e €'
et
B e (h.
On a d'après propriété
d'addivité de
M et de
ô7f.... , pour tout y e E'
b)
Soient
(An)n e~
une suite dénombrable d'éléments de
t deux à deux disjoints tels que leur réunion A appartient à 'f;.
Nous voulons montrer que
lim
r Ô~(YIM(Ai)) Il !ëyIM(A)).
-+œ i=1
Soit
E > 0
et considérons
V = {x e E
I<x, y>I<E}. D'après
le 2°) de la définition 1.2.
il existe
n
tel que pour tout
n>n
o
0
.
.
on a
+ •••••• + -;.~M(A )
+
V
n
+
+
M(A) C M(A)
+
V
n
soit en passant aux fonctions d'appui
lô~(YIM(A))
l,
-
~(yIM[A1) +•••+M(A )
~(ylv)
n
cette inégal!té s'écrit encore en utilisant
a)
et par le choix de
V
I~(YIM(A) r
~(YIM(Ai))1 ~ E
i=1
cqfd
Soit ~ l'ensemble des fonctions en escalier réelles basées sur le clan
LP
~
l'?
Un élément
h
de ~ est donc de la fonne
ne:mJ
ai e lR+ et
Ai
e ~
pour
i=1, 2, ••• n
.~
On considère l'application
lM
de
ê=+- dans cfb(E) définie par
•
+ ••••••• +
a
M(A)
n
n
.../ ...

---

1.6
_.
~ 1
On veut définir ~/
(M)
grâce à la théorie de l'intégrale multivoque
monotone secondaire.
I.f?
Pour 'tout
A e ~ désignons par 'f;A l'ensemble des éléments de ~
1
"-
a support dans
A
Considérons
IMI
la borne supérieure de
+ M
et -M
dans l'en-
semble des rnultimesures faibles à valeurs dans cf (E).
Cet ensemble es~ complé-
tement reticulé d'après le théorème 3.1.
Page
4.11
R - Pallu de la Barrière(!J'
,
Lorsque la multimesure
M est a valeurs dans
cc (E),
ensemble
des parties convexes faiblement compac~e$de E, DS.THIAM 0] P 151 démontre que
IMI est une multimesure forte en supposant que
M satisfait à une propriété de
....J:)
compacité faible. Nous supposerons que
IMI (A) e cfb(E) pour tout A e:p. Nous
aurons besoin de l'hypothèse suivante
..0
(H1 ~our tout
A e ~ et pour toute eami-norme
p
continuo sur
E
1
sup
L IIM(Bi) Il
est borné
Bi
étant une ~partition dénombrable de A,
i
p
à . {O}
I\\MCB
est la distance de Hausdorff de
M(B )
associé à la semi-
i ) II p
i
fto1l'llle P,
la borne supérieure étant prise sur toutes les partitions dénom-
brables de
A.
Théorème 1.3.
est une multimesure forte à valeurs dans cfb(E)
On aura besoin du lemme suivant
Lemme 1.4.
L'application [II Mill
:
~ --> IR définie 'par
IlIM/lI(A)
=
sup
L IIM(B )/Ip
i
i
..0
8
étant une }J-partition dénombrable de
A. Le sup étant pris sur touteB les
i
~-partitions dénombrables de A est une mesure.
Preuve :
On a évidemment j IIMI I~~)
= 0
Soit
Ai
est une famillé dénombrable de \\~ deux à deux disjointes tel-
'ooLJ
le que leur réunion
A e 'P
et soit
Xi
une partition ~nombi!'abl~ quelcon- .
que de A
.../ ...

---

-
27
_.
et.)
..
On a donc
A •
U _Ai
~.JXj
i=1
1
00
M(X )
=
l
M(Ain X
j
j )
i=1
00
d'où
Il M(x.) Il
~
l Il M(A. () Xj Il
J
p
~
P
i=1
ce qui entraine
00
l Il M(Xj ) Il p <:::...... L l IIM(Ainxj ) Il p
j
i"1
j
00
z
l
sup
l IIM(Ai (lXj )/Ip
~
i=1
j
les' {Aifl Xjl
pour
i
fixé est une partition dfnombrable quelconque
de A..
car
A.C l 1 X.
donc
1
1
T
J
sup
l IIM(A[ixj)ll
=
,II M(A )1I1
p
i
j
d'où finalement
00
l
IIMexj)ll p ~
l IIIM(Ai)11 i
j
1=1
ce qui implique
00
tIl Mil j A
=
sup
l
Il M(X ) Il ~ Lili M(A • ) Il i
j
j
P
i=1
~
montrons l'inégalité dans l'autre sens.
Soit
~ > O. Il existe une partition ~mbrable {Xij} de Ai telle que
ClO
ClO
l tIl MIl ~Ai) - ~ ~ l
l
IIM(x ·)II
i
i:=1
. i=1
j
J
p
X
est une partition d~nombrable de A lorsque i et j varient d'où
ij
ClO
i~1 ,IlMIl~Ai) - ~ , sup l IlM(Xij)Ilp
1, j
i , j
ceci étent vrai pour tout
~
on a donc
ClO
L fil MIl (Ai) , III MIII(A)
...
i=1
/ ...

---

-.
18
_.
Di!montroDS maiutenant le théorème.
On a d'après le théorème 3.1. P. 4.11
Pallu de la Barrière
t.~
= sup
BeA
d'où
sup
6*' (y Il MI (A) )
,
sup
yeBO
BCA
f
,
sup
L II M(B )ll
i
p
= llIMlltA)
i
Si
A
est une suite décroissante vers
~
on a
n
sup
t'(yIIMI(A))
'!''l''III~An)
yeBp
n
et comme Il IMIII (An)
tend vers zéro d'après le lemme on a le résultat désiré
4>1
§ 2.
L'espace ~ (M)
des fonctions
f : T~~ intégrables par rapport à la mul-
timesure
M vérifiant
IMI
est à valeurs dans
cfb(E).
'IC'
Théorème 2.1.
Pour tout
A e lc~
on a
.0
IMI (A)
=
Adh
fffM.
f e foA
- 1 ,
f '
+
1}
Preuve
on ad' abord
0 e 1MI
(A Jo
Eg effet des inclusions
(1)
M(A)cIMI(A)
et
-M(A)C IMI (A)
et du fait que
IMI(A)
est convexe il résulte que
0 e
IMI (A)
on en déduit Que
pour tout
a
avec
a
M(A)C a
IMI (A)
C. IMI (A)
(2) -
a M(A) C
IMI (A) C IMI (A)
·../ ...

---

l
29
..
Soit
f 8
f
est de la forme
L a 1
étant
i8r
i
Ai
une
~ - partition finie de A et
,
1
i 8 1
des inclusions
(2) on déduit que
=
d'où
(3)
Adh
{J f M. f 8&A :-
/
1 ,
f , 1 }el!""1 CA)
Pour démontrer l'inclusion dans l'autre sens il faut d'abord démontrer que l'ap-
$'
plication
A
\\p --> cf CE) définie par
ACA)
1, f , 1} est une multime5ure faible.
I l
Adh
f 8
~
-
1
A
En effet pour tout
y 8 E'
on a
(4)
o*"CyIACA))
= sup { ~CYIJfM).
f 8 CA
- 1, f , + 1}
de l' égali té
(4)
et de l'additivité de
lM
on déduit que si
A et
B sont
deux éléments de ~ disjoints on a
C4')
ot(yIACAUB))
=
ot-CyIACA))
+
~-CyIA(B))
Soit
CA
n=1. 2. .... )
une suite décroissante de ~ tendant vers
n
De l'inclusion
(3)
on a comme
o 8 A
o ,
·ô~CyIACAn)) , t'j·CyIIMICA))
pour tout
y 8 E'
n
IMI
étant une multimesure faible.
On a
lim
#""CyIACA ))
tend vers zéro lorsque
n
tend
n
l'l'+clO
vers l'infini. Il 8n résulte que
A est une multimesure faible.
-f"
Soit maintenant
A e
~ on a
MCA) c=- ACA)
et
-MCA) c: ACA)
il suffit de prendre respectivement
f
= + 1
et
f = - 1
dans la définition
A
A
de
ACA).
Donc
A
contient la plus petite multimesure faible contenant à la
fois
M et
- M
c'est-à-dire
d'où
IMI CA)
CACA)
Des relations (3)
et
CS)
on a le résultat désiré.
.../ ...

---

.-
30
.-
Considérons l'application
IIMI
définie par
n
IIMI (h)
= 1hlMI
= i!1 ai IMI (Ai)
avec
Proposition 2.2.
L'application
IIMI ainsi définie est une intégrale monotone
secondaire.
Preuve
On a évidemment
est additive
et
pour tout
{}
h -ta
~
h 6 lOt
. Montrons que si
dans .~~ IIMI (h )
tend vers
{a}
au sens de
n
n
Hausdcrff.
pour tout
t 6 T • Posons
h
= ra. 1A
1
i61 J.
i
I
est un enseMble fini d'indices.
a = sup
ai
On déduit de l'inégalité
I
que le support des
h
est inclus
dans U A
= A
et
n
i61
i
..p
A 6 ~
car on êl une union finie d'éléments de }O.
Soit
E > a
et considérons les ensembles
T
= {t 6 T
h (t)
n
n
) E}
CT
n=1. 2. ... )
est une suite décroissante tendant vers
<1>
n
De l'inégal! té
on déduit
(h )C a
•
lM] CT )
+
IIMI
E
1MI (A)
n
n
mais
l!m
IMI (T )
=
{a}
d'où
lim
(h ) CE
n
IIMI
1M1 (A)
n
l'}+oo
Il+<xl
E
étant arbitraire donc
lim
(h )
=
{a}
IIMI
n
fl+<lO
+>1
Définition 2.3.:
L'espace ~~
(M)
des fonctions
f:T--~~ intégrables
f1
par rapport à la mu 1timesure
M : t: -~cfb (E)
est l' espace ~
Si
f e cr
(II MI) ...on a par définition
=
.../ ...

---

31
'f/Ic-
de la topologie induite par celle de,~
et cfb(E)
(&
On munit
de celle de Hausdorff.
D
est une application uniformément continu de .~~ dans cfb(E)
llMI
~
et corrrne
lM (h) C l 1M1(h)
pour tout
h 6 ,b+
on en déduit que
uniformément continue.
~
Considérons un élément
f
de ~ + CI 11\\'11). Il existe une suite géné-
ralisée
fa
de
~
convergeant vers
f
et vérifiant pour tout voisinage
1""+
V de
0
il existe
a
tel que pour tout
a ~ a
et tout
a ~ a on ait
est une suite généralisée de Cauchy dans
cfb(E) complet donc converge vers un
élément
C e cfb(E).
Le prolongement
de lM
à
f
est
C.
... / ...

---

32
B
INTEGRATION PAR RAPPORT A UNE MESURE VECTORIELLE
I I
- J 1
Mesure vectorielle.
Corrrne dans la partie
l,
T désigne un ensemble quelconque non vide J
.p
~
basées
~;
un clan de parties de
T.
Soit ,fe" l'ensemble des fonctions en escalier
..p
~+
.J:
sur ~.
est le cOne positif de b'
E
est un
e.l.c.s.
complet.
1
..ç,
Définition 1.1. :
Une mesure vectorielle définie sur.t)
à valeurs dans
E
D
est une application
m: p
~ E vérifiant
2°)
Si
{A
: n = 1,2... }
est une ~- partition de
A e t
-
-n
n
alors
m(A) = lim
r
- -
m(A~~
pour la topologie de E.
("t+<lO
i=1
On considère l'application
r
de f; +
da. 6' E définie par
m
I (h)
= ! h m =
~
m
i=1
n
avec
h =
r
ai 1
ai)
0
pour
i = 1 •••• n.
On veut
A
Ai e
i=1
i
~
..,.)1
\\
définir cj~
(m)
grâce à la théorie de l'intégrale multivoque monotone
secondaire.
On peut se ramener à l'étude faite dans la partie
1 en posant
M(A)
=
{m(A)}
pour tout
A e ~.
Et dire qu'une
suite xn
d'éléments de
E converge vers
x e E pour la topologie de
E
c'est équivalent
converge vers
{x}
pour la topologie de Hausdorff.
Consi-
.
dérons l'application
{ml
f~ cfb (E) définie par {m}(A) = {m(A)} •
1
Posons
Iml
=
sup
({ -ml , {+m}).
On suppose que
Iml (A) e
cfb(E)
pour
tout
A e ~. Nous ferons l' hypothèse ( H) de la partie 1.
Théorème 1.2.
j
L'application
1ml.
:
€ ~ cfb(E) est une multimesure forte
à valeurs dans cfb(E).
Preuve :
Elle se déduit du théorème 1.3
de la partie précédente en posant
{meA)}
=
MeA)
pour tout
A eI€
.
.../ ...

---

33
Théorème 1.3
Pour tout
A.
~
e, "
on
a
n
,,0
Iml
(A)
=
adh { r
(li
m(A. )
(A.
ieI)
est une /~-partition
~
~
i=1
,
finie de
A,
ai e :IR
lail
1
i e I}
n
.
Preuve
On se ramène au théorème 2.1
en posant
f = r
(li 1A
i=1
i
Proposition 1.4:
L'application
.Ilml
ainsi définie est une intégrale multi-
voque monotone secondl'd.re.
Preuve :
il suffit de reprendre la proposition
2.2
et remplacer 'IMI
par
Iml
dans la démonstration.
..p1
Définition 1.5
LI espace CJJ (m)
des fonctions f
T +~
intégrable par
~
~1
rapport à la mesure vectorielle
m
: ~ü + E
est l'espace dJ
CI 1ml) •
~)1
Si
on a par définition
f f
=
f e(~.J
CIlml)
Iml
f f
Ilml
est une application uniformément continue de
muni de la
topologie induite par celle se t;* dans cfb(E) muni de la topologie de Hausdorff.
L'application l
: ~
est une section de
d'où
l
est uni-
m
+ E
m
+
,
i;l
formément continue de ~
dans
E
complet .
.vi
Soit
f e ~J+
(m)
il existe une suite généralisée
(f )
d'éléments
a
'-Q
de ,0+ convergeant vers
f .
Iimi
(f(l)
est donc une suite
généralisée de
Cauchy d'où
l
( f )
m
(l
est une suite généralisée de Cauchy dans
E
complet donc
converge vers un élément de
E
noté
f f m
qui est la valeur en
f
du pro-
longement de
l m
§ 2
- 'Comparaison avec l'intégration vectorielle au sens de
OINCULEANU
[j ]
Nous allons comparer dans ce paragraphe l'espace ~ (m)
de
$1
Dinculeanu et l'espace ~J (Ilml)
~appels :
Soit f:; un clan,
E
un espace de Banach, et soit
m :
une mesure vectorielle à variation finie tA
On désigne par
H
l'ensemble
.../ ..'.

---

34
,,J
des fonctions simples basées sur ,x~
. On considère que
m
et lt
sont éten-
dues à la semi tribu
r (r)
des ensembles )_..1'" -mesurables de masure ,~lf~ finie,
*'
~ étant la mesure extérieure de fJL
Défini tion 2.1
Une fonction
f :
T +~
est
m-intégrab1e si il existe une
suite de Cauchy
f
de fonctions basées sur
r (~)
convergeant presque par-
n
tO:Jt.vers
f.
L'inté~ra1e~. f Qst l'élément de E noté Jfdm défini par
=
1im
p++oo
~)1
Remarque
Si
f
e(~j (m) alors Ifl
d'après la proposition
4
page 122
Dincu1eanu
[1]
Théorème 2.1
Si
f E ~ est intégrab10 au sens de Dincu1eanu par rapport à
la mesure vectorielle
m à
variation finie t~
alors
f
appartient
à
-'21
1
:x.... U lml )
1
• . •
Nous aurons besoin du lemme suivant en supposant que
f
est
m-mesurab1e.
.
~1
Lerl1T1e 2.1
Si
f E ~ ri ,.J,
(u)
alors
+ 1
. I./V+
1-
_.".
-
~
BO
étant la polaire de la boule unité de
E
Preuve
V
i)
Si
f E
H
on a
+
=
sup
gt"(Y1r
(f))
= sup
(sup
~(Ylr (h))
yEBO
Iml
yE 80
n
Iml
n
=
sup
sup
cS+- (y 1r
(h) )
n
yEBO
Iml
n
.../ ...

---

-
35
..
h
l n 1
la somme étant finie.
posons
'"
ai
n
Ai
.~ 1
n ~
,
sup
ô (y l
(h) )
sup
1: a. Ô (y1lml (Ai))
yEBO
Iml
n
yEBO
~
les termes de la somme étant tous positifs, le second memere s'écrit encore
j
sup
!(Y1Iml (A.))
=
l a~ sup III ajm(Ai )Il
yEBO
~
~
JEJ
Il.11 désigne la normo de l'espace de Banach E, le sup étant pris sur tous les
avec
la.1
,
1
j E J
fini
et
A~ est une partition finie
J
~
de
A ••
~
Par définition on a
d'où
sup
ô"'(yII
(h))
~
2 atfJ,·JAi )
=
J hn d ~~
yEBO
Iml
n
1
donc
sup
~(YII (f)) , ~ s~pJ hn d~ = Jf d f'A
yEBO
Iml
ii)
Si
f
E ~+
v
, sup
g EH,
g ~f }
yEBO
,
v
inf sup
{ ti~ (y 1l
() )
g EH,
g ) f }
yEBO
Iml g
~
V
inf {
fs d~ g E H g ~ f } f
=
f d~
d'où le lemme démontré
Démontrons le théorème
Soit
f
un élément de
H~ intégrable au sens do Dinculeanu il
+
existe une suite de Cauchy de fonctions simples basées surj; convergeant presque
partout vers
f
(voir
le corollaire de la proposition
13 'P.! 128
Dinculeanu [IJ)
On a
f
- f
r = O. 1f-f 1 E ~.
n
est ~ - intégrable et
;:~c:o JIf n-f1d
n
+
.../ ...

---

.-
36
-
De l'inégalité du lemme il résulte que
(1 )
~
Montrons que
f
tend vers
f
pour la topologie
de
H
n
On
a pour tout
E > 0
Il existe
n
tel que pour tout
n ~ n
o
o
D'après la définition de
J1f-f l d~
on a alors pour tout
n
V
n ~ n
i l existe
g 6 H
tel que
If - f 1 < g
et
J gdr < E
0
n
~
~
De (1) on déduit que
sup
ô (ylII I(g))
,
E
ml
0
yBB
.l(
On a donc démontré que pour tout
(E B)
voisinage de l'origine de
H~ il existe n tel que pour tout
n) n
f - f
B
lE B~
d'où
o
0
n
. ... / ...

---

37
INTEGBALE NULTIVOQUE A VALEURS
DANS cfb(E) NON COMPLET
-.k' 1
Nous examinons dans ce chapitre le prolongement de l
: H+ -+r--I
(I)
'-1,,*
dans le cas où cfb(E) n'est pas complet. Nous désignons par E'~ le dual a1gé-
brique de E' •
Soit
i l existe une suite ~énéralisée (ha) ae
haEJ!+ pour'
A
tout a€ A convergeant vers f pour la topologie de H~ • Nous SAvons que l (ha)
est une suite généralisée de Cauchy dans cfb(E) (Voir chapitre 1 p. I~ et que
les fonctions d'appui ~ (.) associées convergent ponctue11e~ent vers une fonction
a
~ (.) sous-linéaire et finie (voir cha!,)itre 0 p. 6)\\
On nentre aisément que cette fonction ~ ne dépend pas de la suite
généralisée (ha) particulière car nous faisons un prolongement par continuité.
Proposition et définition 1.
Le sous·~diffêrentie1,
V '.... ~ • { x€. E'~
<x,Y> ~ ~(Y) \\f YEE'},
E
de ~ ~ 0 ~ E' ~ ~partient à cfb(E'~ ). On a
On appelle intégrale de f par rapport à l l'ensemble
VE'~ ~
i.e
·.. / ...

---

38
~!:~yy~
!1ontrons que 1r " À': E:. cfb (E '}(:)
E
..
Cet ensemble est évièemment convexe. Il est a(E'.5 E')-ferrné car c'est
une intersection des ensemb1es 5 { xéE'*: <x,y>
~ À(y) } , y€F'
5
qui sont
Pour tout xE V
~.'
on a
E''--
.. ~~) ~ <x y> ~ ~(y) \\fY€.E'
5
d'où V '.,l():.est a(F.'*5 E') - borné.
E
On a
ë(Y/VE'~~) ~ ~(y) pour tout YEE' montrons qu'on a l'éRalité
pour tout yE.E'
Supposons qu'en un point yo~E' on ~it
Considérons l'application linéaire x sur yoIR définie de la manière suivante
Nous avons évidemment
Si a < 0
posons - a' • a
avec a' > 0
Ons
o ~ A(a y ) + ~(-a y )
' 0
0
d'où
~ ~(a y ) < ~(-a v )
0 "
• 0
soit
·../ ...

---

39
en multipliant par - 1 on a
a y >
f; a' ~(··Y )
o
0
le second membre s'écrit
a ' ~ (··Y ) III ~ (-a' y ) .. ~ (a y )
o
0
0
de (2) et (3) on a
< X, a y >
o
D'après le thÉorème de Hahn Banach algébrique voir Dunford-Schwartz [1)
théorème la p. 62 il existe xE E'~ telle que
(4)
< x, a y > • < x, a y > ~a f:;m
o
0
et
(5)
< x, y >
,~(y)VYE:E'
(5) entraîne que xt;. VE'~~ et d'aprb (4) < x, Yo>· ~(Yo) ce qui est absurde
d'après (1)
c.q.f.d.
Nous allons utiliser une caractérisation d'une ~artie convexe fermée
faiblement localement comracte sans droite pour donner une condition pour que
l'intégrale d'une fonction f~~~(I) appartienne à cfb(E).
Théorème 2
Soit fE:~(I) telle qu'il existe une fonction \\/Jot UV vérifiant
\\/Jo ~ f ~ ~('o) est faiblement localement co~act sans èroite alors ~ f I~cfb(E).
!!~~!~ : Soit (ha) une suite généralisée d'éléments de ~+ convergeant vers f.
Pour tout V voisinage de 0 dans E il existe a tel que o.our tout a ) a on ait
·.. / ...

---

-
40
-
~ (V* ~
d~f ..
h '
l
14 )
,
t
-
'1
. t
f - h €
V
etant
e.1n1 au c ap1tre
p.
• 1.e pour tou
a ~ a 1
eX1S e
a
De l' inégali té
h
~ 1 f-h 1 + f
il résulte que
a
a
1(h )c:1~W ) + V pour tout a ~ a
a
0
D'où pour tout y E. E'
pour tout voisinage V de 0 dans E. c'est-à-dire
:+-
~
~(y) ~ ~ (y/1 (w »
o
~ est sous-liné~ire et finie.
D'après Valadier [i lcorollaire 15 p. 14, il existe yo~E'
tel que
~ (./I~(ljjo» est fini et contintl en Yo pour la topologie de t~.ackey 't(F.', E)
donc majoré sur un voisinage de Yo •
~(y) étant positif pour tout YE E' et de l'inégalité (2) on déduit
que ~(Y) est borné sur un voisinage de Y ' De plus
o
~(y) est fini pour tout
Y€ E' et d'après Bourbaki [2] proposition 21 p. 60 elle est'Z(E', E) - continue.
En utilisant le corollaire de la proposition 6. 3. 2. p. 495 de Laurent [1 J
~(y) est a(E', E) s.c.i
c'est donc la fonction d'appui d'un convexe fermé
borné C de E.
C est élément de cc(E) résulte du théorème & 25, 5 (2) de Kothe f}J.
·.. / ...

---

41
B 1 B LlO G R A PHI E
......................=.=
z. ARSTEIN
Set~·Valued Heasures
Transactions of the Americain
Mathenatical Society
Volume 165, Harch 1972
N. BOURBAKI
Topologie Générale
Nouvelle édition Hermann Paris 1971
[2]
Espaces Vectoriels Topologiques
chapitres 1 et II
2èrne édition Hermann Paris 1966
C. CASTING
Sur les multi-applications mesurables
thèse de Doctorat d'Etat Caen J967
A. COSTE
Contribution à la théorie de l'Intp.gration
li1Ultivoque
thèse de Doctorat d'Etat Paris J977
G. DEBREU AND D. SCHMEIDLER (J]The Radon-Nikodym dérivative of a correspondance.
Proceedings of the Sixth Berkeley pymposium'on
~~thematical Statistics and Probability
Vol II - J97J
N. DINCULEANU
Vector H.easures
Pergamon Press J967
.../ .. ~

---

42
DUNFORD-SCl!WARTZ
[IJ
Linear Operators 1
Interscience Publishers, INC New York
GODET-THOBIE
111
Multi·-rnesure et :t1esure de Transition
~
_
. __ J
thèse de Doctorat d'Etat
Montpellier Mai 1975
W. HILDENBRANDT
[IJ
Core and equilibria of a large economy
Princeton Tmiveraity Press 1975
J. L. KELLEY
Linear Topologicsl Spaces
Springer-Verlag 1976
G. KOTIŒ
Topological ~7ector Spsces 1
Springer Verlag 1969
J. P. LAURENT
Approximation et Optimisation
cours Polycopié de D. E. A.
Grenob le 1972
R. PALLU DE LA BARRIERE
[1 ]
Colloque lIIntégration Vectorielle"
CAEN, 22 et 23 Mai 1975
Exposé nO 4
A. P. ROBERTSON
Topological Vector Spaces
Cambridge at the University Press 1973
•
• • /
• • _e

---

43
D. s. THIN!
Intégration dans les espaces ordonnés
ct IntégrAtion multivoque
thèse de Doctorat ~'Etat
Paris Février 1976
VALADIER
[IJ
Rédaction de synthèse sur les multi-
applications mesurables
convexe
(1970) Paris

---