UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
FACULTE DES SCIEJ~CES
SUR
lE CiROVPE $JMPl E
DE
J.
I\\4C
lAUGHLIN
Thèse présentée en vue de l'obtention du
grade de Docteur en Sciences
(Grade Scientifique)
:e académique 1983-1984
D!AHARA Ousmane

A la. mémo-iJt.e de mon Pèlte
et de mU ~oeWL6 Fa.nta. et Vj.iba.

REMERCIEMENTS
Je :ti..en6 à exp1Ume/l. me6 Ileme/l.uem err.-tb au. PIlO 6e6.6 euIl FJUtnw BUEKENHOUT
pouJL .6on aide,
pOuJL ta. pmenc.e et: ta. c.ompétenc.e avec. te6queU.e6 il. a cLiJUgé
c.ette :thè.6 e.
PM te su] ei: qu 1il. a pIlopO.6 ê, il. m'a ouverd: ta. voce à un des
doma...tne6 tes pfu.6 pa.6.6..toMarr.-tb de ta. Ilec.he!l.c.he ma.:théma:ti.que c.on:tempoll.a...i.ne.
Je Ileme/l.ue J. - P.VOlGNON pOUII. t 1 aide qu 1il. m'a appoll.:tée dans ta. pa.Il.:t..te du
plWbtème des c.a.Il.ac.:tèlle6 peJtnu:ta.rr.-tb qu..i. a néc.e6.6lié t 1U.6ag e de t 1 olr.i:Una.:teull.
A xouxes tes pe!l..6011l1e6 avec. qu..i. 1'a...t eu des d..t.6c.U.6.6ion6 6!l.Uctu.eU.6e6 aiüoun.
de mon :tIl.tWa.il., j ' a.d!le6.6 e a.U.6.6..t me6 Ileme/l.uemerr.-tb.
POUII. tes énollme6 .6 e/l.v..tc.e6 nendu», pOUII. te cadse. :tIl.è.6 6avoJUtbte don:t
1'a...t p.L béné6..tue!l. au. c.oU!l..6 de ma 60llmmon, que te Se!l.v..tc.e de GéométJr.,te ei:
te Sec.ll.é:t.aJr.J..a;t du VéPM:temel1:t de Ma.:théma:ti.que à t 1 U. L. B. en .6o..ten:t lleme!l.ué.6.
Je :ti..en6 égaiemen:t à Ileme/l.ue/l. explic..i..:temen:t
Me6da.me6 P.L1EGEOIS, A.M.NEUFCOURT
ei: N. AELST du Se.c.Il.étM..ta.:t du VéPM:temen:t.
Que :tou:te6 c.eU.e6 e:t tous ceux qu..i. au. C.OU!l..6 de C.e6 .6..tx année6 m'0n:t
appoll.:té une tüde ma.:tW-eU.e ou mOllaie, :tIl.ouven:t ..tu t 1 explte6.6..ton de ma. plt060nde
Ileco1111a.-i..6.6anc.e.,
Je pen6e :tou:t d'abolld à M. FJUtnw BUEKENHOUT.
Je pen6e a.u...6.6..t à Mme F!LaJ1une BAECK (A66a...i.1l.e6 EtucUan:te6 à t'U.L.B. J, à Mme MOENS
e:t .6a 6amille, à me6 Camaniuies , et: à d' a.u.:tIl.e6 qu..i. .6an6 êtJr..e c..i..:té.6 .6e llec.onna..UJr.on:t
a.-i..6 émen:t.

TABLE DES MATIERES
PREFACE
INTRODUCTION
CHAPITRE r : RAPPELS
TH E tdl..Î QuE5
SECTION 1 : Représentations linéaires et caractères d'un groupe fini •...•
1.
§ 1. Generali tés
.
1.
1.0. Note historique .
. 1.
1.1. Représentations linéaires d'un groupe fini (1ère approche)
1. 2
1.2. Représentations linéaires d'un groupe fini (2ème approche)
Definitiens
.
1. 4
1.3. Représentations linéaires d'un groupe fini (2ème approche)
Quelques rés11ltats . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. 6
1.4. Quelques résultats de la théorie des caractères .•.•••••....••
1. 8
1 .5. Notion de caractère induit
.
1.15
1.6. Caractères rationnels d'un groupe •••••••••••••.•••.••••••••••
1.15
§ 2. Représentations permutantes d'un groupe fini ••••.•.•••••.•••••••••
1.20
2. 1. Genéralités
.
1.20
2.2. Sur les caractères permutants d'un groupe fini .••••.••••.••••
1.22
2.3. Détermination pratique de la décomposition d'un caractère
permutant transitif en caractères irréductibles de
G •••..•••
1.24
SECTION 2
Matrices des paramètres de graphes associés à un groupe de
perm.utati ons. • ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
1.26
CHAPITRE II : LA CONSTRUCTION DU GROUPE
Mc
Introduction
II.
§ 1. La construction de
Mc (1ère approche) •••••••••.....•.•••.....•..•
II. 2
1 • 1.
Construction du graphe . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. 2
'.2. Demarche
.
II. 4
§ 2. Construction de
Mc (2ème approche) ••••••••••••...•••••..••••.••••
II. 11
§ 3. Les sous-groupes max~maux de
Mc
.
II.14
§ 4. Deux caractérisations du groupe simple
Mc •••••••.•..•.••.•.••..••
11.17
4. 1. 1ère caracterisation
.
11.17
4.2. 2ème caractérisation ••.•••••••••••••••••••••••••••••.••••..••
II. 17

T.2.-
CHAPITRE, III : LES CARACTERES PERMUTANTS PRIMITIFS DE
Mc
Introduction
III. 1
SECTION 1 : Les caractères permutants correspondant
à
U
M
4(3),
22,
U ( 5 )
et
M'1
••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.•••
III. 4
3
4.M
SECTION 2
Les caractères permutants correspondant à
3
et
M
III. 5
10
21.2
SECTION 3
'-
'-
2 4
Les caracteres permutants correspondant
a
.A
2A
7,
8
1 2.3.8
et
5 +
.
III. 8
SECTION 4
Le caractère permutant correspondant à
III. 12
CHAPITRE IV : DEUX MORCEAUX DU TREILLIS DES SOUS-GROUPES DE
Mc
Introduction
.
IV.
§ 1. Préalable
.
IV. 6
§ 2. Les sous-groupes maximaux de
4
2 .A 7' 2A
IV. 8
a et M11 ••••••••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••
2.1. Les sous-groupes max1maux de
U
M
U
et
M
•••..•
IV. 8
h(3), 22, 3(5)
a 1
2.2. Les sous-groupes maximaux de
2 .A
2A
M
et
3 .M
•••
IV. 8
7,
8,
21.2
10
§ 3. Le treillis partiel de
Mc
de base les sous-groupes maximaux d'un
U
à l'exception des
4(3)
A
et
M,O ••••••••••••••••••••••.•••.•••
IV.15
7
§ 4. Le treillis partiel de
Mc
ayant pour base les L
groupes
IV.18
3(2)-sous-
Introduction
.
IV.18
4.1. Les types des L
groupes de
Mc ••••••••••••.•••••••.••
IV.18
3(2)-sous-
4.2. Le treillis partiel dé
U
dont la base est constituée par
4(3)
ses L (2 )-sous-groupes
.
IV.22
3
4.3. Le treillis partiel de
M
dont la base est constituée par
22
ses L (2 )-sous-groupes
.
IV.26
3
4.4. Le treillis partiel de
U
••••••••••••••••••••••.•••••••.•.
IV.29
3(5)
4.5. Le treillis partiel de
Mc
de base les sous-groupes isomorphes
à
A
.....••...•...................••••••••...................
IV.31
7
4.6. Construct ion du treilli s
.
IV.35
§ 5. Le treillis partiel de
Mc
dont la base est formée par ses groupes
isomorphes à
L ( 11)
.
IV.37
2
§ 6. Le treillis partiel de
Mc
dont la base est formée par ses sous-
groupes isomorphes à
A
.•••••.•••••.••••••••••••••••.•.•••.•••••.•
IV.38
5
6.1. Type des A
groupes de
Mc .•••••••••••.•••••••••••.••..•.
IV.38
5-sous-
6.2. Le treillis partiel de M
.•••••••••••••••••••••.•••••..•••.
IV.39
2 1.2
6.3. Le treilli spart iel de
M
.
Iv.45
2ti
6.4. Lestreillis partiels de
2 .~' U
et
M
••.•••.•••••.•••
Iv.49
3(5)
11
6.5. Treillis partiel de
U (3)
.
IV.53
4
6.6. Construction du treillis partiel de
Mc ••••.•••.•..•••••.•.•••
IV.58
6.7. Un corollaire de ce treillis partiel de
Mc •••••••.••.•.••...•
IV.59

T.3.-
CHAPITRE V : SOUS-DEGRES PRIMITIFS DE
Mc.
ORBITES DES SOUS-GROUPES MAXIMAUX DE
Mc
Introduct ion .. ""
"
"
"."""" . . . . . . . . • . "
"."." .. "." .. ,,
V.
SECTION 1 : Les sous-degrés primitifs de
Mc ••••••••••••••••..••••.•••.••••
V. 3
§ 1. Sous-degrés de
Mc
sur S1 2025 = Mc/M
••••••••••.•••.••.••••.••••••
V. 3
22
§ 2. Les sous-degrés primitifs de
Mc
sur
S1
&= Mc/U
•••••••.•••••
V.
5
712
3(5)
1+2
§ 3. Les sous-degrés primitifs de
Mc
sur
S1299376 = Mc/5
.3.8 ••••••••
V. 7
1
4
§ 4. Sous-degrés primitifs de
Mc
sur
S115400 = Mc/3 .M
et
10
1
4
1
S122275 = MC/M21·2. Orhirt.es de 3 .M10 sur S122275 et de M21• 2
sur
S1 ~ 5400 •••••••••••••• i
. V. 9
4.1. Les sous -degr-ês a-cc
n, suoo "••••••••••••••• "•• "".""."""""."" ••• ,, V.11
4
'"
n"1
.2. Les sous-degres sur
H22275 . . . . . . • • • • • • . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . .
V.12
§ 5. Les sous-degrés de
Mc
sur S1~2275 = Mc/2A •••.••••..••••..•...•..••
v.14
8
5.1. Ordres des sous-groupes diédriques de
Mc .••••••••.••.••..•.•••
v.14
5.2. Ordres des normalisateurs des sous-groupes diédriques de
Mc •••
V.15
5.3. Sous-degrés de
Mc
sur
S1;2275 •••••••••••••••••.••••••••••••••
V.15
SECTION 2 : Les orbites
V.17
§ 1. Les orbites sur
V.17
1.1. Les orbites
M
""."".""".""" ••••••• " •• """"""""",,.,,",,.,,.... •
V" 17
2 2
1.2. Les orbites de
U
.••••..•.•••••••••••••••.••.•••••.••••.•••. v.18
3(5)
1. 3. Les orbites de
31+4.2S
••••..•••••••••••••••••••••••••••••••••
V.19
5
4
1. 4. Les orbites de
2 .A
............•••••••.....................•.
V.21
7
1. 5. Les orbites de
2A8 ."""""""." .. ".. "
""
"".,,",,......
V. 21
1.6. Les orbites de
M11 ." ••••••• """ •• " •••• " •••• "."".".""""",,.,,",, •••
V.22
2
1+4
§ 2. Les orbites sur
S1'5400 = Mc/3
.28
.• "••••. """""""".,, .. ,,"""""""""
V.22
5"
.
(
1 + 4 )
2.1. Les orbites de max~maux de
Mc
autres que
3
.2S
sur
5
2
V.23
S1'5400 """"""""""""""""."""""""""""""".,,""""""""""""",,
.
2
2.2. Les sous-degrés de
Mc
sur
S115400 •••••••••.•••.••••.•••.•••••
v.24
§ 3. Détermination de certaines autres orbites de sous-groupes maximaux ••
V.25
3.1. Les orbites de
51+2.3~8 sur S1
= MC/U
•••••..••.•••••••
V.25
7 128
3(5)
3.2. Les orbites de
2A
sur
S1
= Mc/M
••••.•••••.•.•.••••••••
v.26
8
2025
22
SECTION 3 : Comp.L ément s ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
V.27
§ 1. Sur les sous-degrés de
Mc
dans
S1113400 ••••••••••••.•••..•..•..•••
V.27
1 • 1. Rappel . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • . • • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.27
1.2. Comportement réciproque de deux éléments de
~11 .••••..•.•••••••
V.27
2
§ 2. Sur les sous-degrés de
Mc
sur
S122275 ••••••••••••••.•••.••••••••••
V.30

T.4.-
CHAPITRE VI.: GRAPHES ET GEOMETRIES
Introduction
.
VI.
SECTION 1 : Les graphes induits sur
n
= Mc/M
••••••••••••••••••••••
VI. 3
2025
22
Introduction
.
VI. 3
§ 1. Interprétation des 3 orbites non triviales de
M
•••••••••.•.•.••
VI.
22
3
SECTION 2 : Deux géométries associées à
Mc •••••••••••••••••••.••...•••••
VI. 9
§ 1. La géométrie dont les variétés maximales sont les 11-orbites dans
n
des
M
de
Mc ••••••••••••••••••••••••••••••••
VI. 9
275
11-sous-groupes
1 • 1. Remarque ••••••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••••••••••
VI. 9
1.2. Le diagramme de la structure d'incidence ••...........•.....••
VI.l0
§ 2. La géométrie de rang 2 déterminée
par les 3-orbites dans
f.7128
1+2
des
5
.3.8-sous-groupes de
Mc
VI.15
2.1. Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.15
2.2. Informations relatives aux actions de
U
sur les 4
3(5)
orbites non triviales dans
n
••••••••.••••••••••••••..•.•
VI.16
7 128
2.3. Les paramètres du diagramme de la géométrie de rang 2 ••••••••
VI.17
2.4. Le graphe de
Mc
induit par son orbitale de longueur 252 ••••
VI.19
SECTION 3
Des géométries associées à
Mc ..•••••••••...............••..•
VI.20
APPENDICE.
BIBLIOGRAPHIE.

PREFACE
"Avancer en profondeur et en largeur"
sont deux aspects du processus d'inves-
tigation de l'homme dans les différents
domaines du savoir.
Il en résulte un
besoin de classification de ses objets
d'étude, enrichissant sans cesse le
général et le particulier propres à
ceux-ci.
Dans des notes de cours rédigées en 1975, F.Buekenhout, pour illustrer la
portée de la théorie des groupes en Mathématique, a donné la parole à deux
grands mathématiciens contemporains, H.Freudenthal et J.Tits.
Bien que longues
nous avons estimé utile de reproduire ces citations.
"Pourquoi les groupes sont-ils si énormément importants en mathématique ?
la réponse peut être très courte : les groupes sont importants parce que les
automorphismes de n'importe quelle structure forment un groupe: le groupe des
automorphismes de cette structure, et parce que les automorphismes permettent
d'apprendre tant de choses sur la structure elle-même.
Ceci est le principe
des groupes et c'est ce principe qui rend les groupes si universellement utiles
dans toutes les mathématiques.
C'est un principe important;
il est grand
dans sa simplicité, et si les élèves doivent apprendre quelque chose sur les
groupes, alors ce principe est le commencement et la fin de toute sagesse".
[17]
"La théorie des groupes peut être sommairement définie comme une théorie
de la symétrie, de l'indiscernabilité et de l'homogénéité;
le lien entre ces
notions est clair : un objet possède une certaine symétrie si des angles de vue
différents en donnent des images indiscernables, un milieu est homogène si ses
points sont indiscernables.
L'idée apparaît déjà dans la mathématique grecque, où les figures à haut
degré de symétrie jouent un rôle essentiel.
Elle est aussi sous-jacente dans
le principe d'inertie de Galilée: l'indiscernabilité des divers états de mou-
vement rectiligne et uniforme n'est autre que l'invariance de la dynamique pour
un certain groupe.
Cependant, la notion même de groupe n'a été dégagée qu'au
XIXème siècle, dans les travaux d'Evariste Galois sur les équations algébriques.
Galois observe que la complexité d'une telle équation est liée à l'indiscernabi-
lité de ses solutions;
celle-ci est mesurée par un "groupe de substitutions"
mais c'est le groupe "abstrait" correspondant qui résume les propriétés essen-
tielles de l'équation.
C'est encore à l'occasion de recherches sur les équations,
différentielles cette fois, qu'ont été introduits les groupes "continus" (Lie)
et les groupes algébriques (Picard-Vessiot, Maurer).
Mentionnons aussi le
point de vue de F.Klein qui, cherchant un classement systématique des géométries
étudiées de son temps, en arrivait à identifier, de façon un peu abusive, les
concepts de géométrie et de groupe continu de transformations.

P.2.-
Suivant un processus bien connu en mathématique, et sans doute dans les
sciences en général, il arrive souvent qu'une notion ou propriété qui joue
d'abord un rôle auxiliaire devienne un objet d'étude en soi et finisse par
dépasser en importance le problème particulier dont elle est issue.
Née de
la théorie des équations, la théorie des groupes s'est vite érigée en branche
autonome.
Elle ne s'est pas développée en vase clos mais a pénétré au contraire
plusieurs domaines des mathématiques, de la physique et de la chimie théorique,
soit qu'elle y ait trouvé des applications (groupe fondamental, représentations
unitaires, spectroscopie moléculaire, classification des particules élémentaires, ... ),
soit que des problèmes posés par elle y aient acquis une grande importance
(groupes de transformations en topologie différentielle, groupes arithmétiques
et représentations unitaires des groupes p-adiques et arithmétiques en théorie
des nombres, ... ).
La partie pour ainsi dire la plus pure de la théorie des groupes est la
théorie des groupes finis.
Ses problèmes et ses méthodes lui sont spécifiques
et, jusqu'à ces dernières années, elle a été relativement isolée du reste des
mathématiques.
Cette situation est d'ailleurs en train de changer: les aspects
arithmétiques des questions que pose par exemple la classification des groupes
finis simples deviennent de plus en plus apparents.
Dans l'étude des groupes
infinis, les questions les plus intéressantes concernent généralement des groupes
munis de structur$additionnelles ou bien telle ou telle classe de groupes impor-
tants pour d'autres parties des mathématiques;
ainsi, la théorie se ramifie
en plusieurs branches, d'ailleurs liées: groupes classiques, groupes topologi-
ques, groupes de Lie, ~roupes arithmétiques, etc.
Une autre di vis i on se présente lorsque l'on considère la plus ou moins
grande richesse d~s sr~upes en sous-groupes distingués.
Aux deux pôles de la
théorie, on trouve d'une part les groupes commutatifs et plus généralement les
groupes résolubles, et de l'autre ceux qu'on appelle simples, de façon un peu
paradoxale car l'impossibilité de "décomposer" ces groupes, parfois très enche-
vêtrés, ajouterait plutôt à leur complexité.
La théorie des groupes résolubles
fait souvent figure de science auxiliaire, dont les résultats sont intéressants
dans la mesure où ils sont utilisés pour la théorie des groupes simples.
Quant
à celle-ci, un mathématicien connu, féru de structures déformables, l'a un jour
qualifiée par boutade de "supercristallographie".
Dépouillée de sa nuance péjo-
rative, la comparaison est bonne : les groupes simples ont une rigidité et une
individualité qui rappellent celles des systèmes cristallins et, pour revenir
à la mathématique grecque, des polyèdres réguliers.
Il est d'ailleurs signifi-
catif que des groupes apparentés à ceux des réseaux cristallins ou des polyèdres
réguliers, les groupes de Coxeter, jouent un rôle essentiel dans la théorie des
groupes algébriques simples.
Cette individualité des groupes simples explique
l'importance qu'ont pour eux les problèmes de classification et donne son aspect
"concret" à leur étude: paraphrasant G.H.Hardy, on peut dire que pour pratiquer
la théorie des groupes simples, il est nécessaire d'avoir chacun d'eux pour ami
personnel" .
[47]
Lorsqu'on se restreint à la classe des groupes finis, ceux qui sont dits
simples acquièrent de l'importance grâce à une analogie avec le rapport existant
entre les nombres naturels et les nombres premiers [26] .
La rareté relative de ces groupes finis simples a fait naître un espoir
qui ne s'est pas démenti: la possibilité de les classer complètement.

P.3.-
Pour l'historique de ce problème de classification, une bonne référence à
notre connaissance reste [26] .
On pourrait dire que ce problème, qui pour l'essentiel est aujourd'hui
résolu (1), a permis à la communauté des mathématiciens d'inscrire l'une des
plus belles pages dans le livre du savoir de l'humanité, tant du point de vue
de sa solution que des méthodes développées pour y parvenir.
(1) Il Y a 18 familles infinies de groupes finis simples et 26 autres appelés
groupes sporadiques du fait précisément qu'ils n'appartiennent à aucune
famille infinie, au regard de cette classification.
Pour la liste complète,
cf. par exemple [26] .

INTRODUCTION
"
pour pratiquer la théorie des groupes simples~ il est nécessaire d'avoir
chacun d'eux pour ami personnel"
(Préface).
Sans doute ce principe a guidé le Professeur F.Buekenhout lorsqu'il nous a proposé
comme sujet de travail l'étude de l'un des 26 groupes simples sporadiques~ à savoir
celui découvert par J.Mc Laughlin en 1968.
Pourquoi étudier systématiquement un seul groupe et quelle peut en être la portée ?
1. Lorsqu'on inaugure un domaine de recherche~ il est sage de ne pas être ambitieux
dans un premier temps.
2. Bien que centré sur un seul grqupe~ ce travail suppose l'assimilation de plu-
sieurs secteurs de la théorie des groupes et des outils développés pour étudier
ceux-ci.
Et au-delà des résultats obtenus sur le groupe concerné~ il permet
l'acquisition d'une certaine expérience~ de méthodes~ dont les principes pour-
ront être utilisés lorsqu'on s'intéressera à d'autres groupes.
S'inspirant de la méthode de D.G. Higman et C. Sims [24] ~ J. Mc Laughlin [:J3] ~
a mis en évidence un graphe primitif de rang 3~ de paramètres (275~112~162~30~56)
dont le groupe d'automorphismes est transitif et possède un sous-groupe d'indice 2~
Mc~ qui est simple et d'ordre 898128000.
J.Conway établira plus tard ([7] ~ [8] ~ [9]) que
.3~ l'un des 3 nouveaux groupes
simples qu'il a construit~ est une extension 2-transitive de degré 276 de
Mc.2.
Ce lien facilitera la tâche à L.Finkelstein [13] qui déterminera simultanément les
listes des sous-groupes maximaux de
-3
et de
Mc.
Avec le fameux Programme d'Erlangen de F.Klein [32] ~ un pont véritable est
jeté entre la théorie des Groupes et la Géométrie.
Une influence réciproque et
féconde s'exercera entre ces deux domaines: on aboutira à une vision plus générale
de la Géométrie et celle-ci sera un moyen puissant de connaissance intime des
groupes.
Les travaux de J. Tits ([48] ~ etc) ~ de F . Buekenhout ([ 1] ~ [2] ~ [3] ~ [4] )
de M.A.Ronan~ S.D.Smith~ G.Stroth ([ 41] ~ [42] ~ ... ) illustrent parfaitement nos
propos.

11.-
Ce travail s'inscrit dans cette utilisation de la Géométrie pour m~eux
connaître un groupe;
et le problème se ramène à construire sur un ensemble
n
une structure géométrique suffisamment riche, invariante par celui-ci, ce qui
permet une interprétation géométrique de ce groupe.
Notre approche s'inspire des premiers travaux de F.Buekenhout sur le sujet.
Une
telle structure géométrique sera essentiellement induite par une famille
~
de
sous-ensembles de
n, appelées variétés (penser à points, droites, ... ) et une
relation d'incidence entre les variétés qui sera l'inclusion, avec certaines restric-
tions, comme:
1.
Le groupe
G opère primitivement sur
n
2.
Les variétés maximales (pour l'inclusion) ou "hyperplans", doivent être en tant
qu'ensembles de points des orbites sur
n de sous-groupes max~maux de G.
De manière heuristique on pourrait dire qu'il s'agit de travailler avec des espaces
n ayant un "minimum" de points (le contrôle est' plus facile) et d'avoir des hyper-
plans ayant un "maximum" de points (richesse de la géométrie).
Lorsqu'on se donne comme objectif la construction systèmatique de ces struc-
tures pour un groupe donné, il y a "un certain terrain à débiayer" avant d'y par-
ven~r.
Et nous pensons, par le contenu du présent travail y avoir contribué, tout
au moins pour
Mc.
Qu'y a-t-il donc à déblayer?
1.
Il faut établir la liste de tous les espaces
n possibles, ou encore celle
des sous-groupes maximaux du groupe
G.
Concernant
Mc, nous avons déjà signalé
précédemment que L.Finkelstein dans [ 13] , les a tous déterminés.
C'est un point
de départ pour notre travail autrement dit, ce résultat est considéré comme acquis.
2.
Il faut connaître pour chaque espace
n, les candidats "hyperplans" pour une
future géométrie, c'est-à-dire les orbites sur
n de tous les sous-groupes maximaux
de
G
(la raison de cec~ apparaîtra clairement au Chapitre VI).

III.-
C'est donc à cette deuxième tâche gue nous nous sommes attelés.
Et là, la théorie
des représentations linéaires et des caractères a joué un très grand rôle.
C'est
pourquoi nous avons cru utile de consacrer le Chapitre l à quelques rappels sur
la matière.
En le faisant nous n'avons à l'esprit que deux choses: éveiller la
curiosité du lecteur sur un sujet important, difficile mais passionnant;
permettre
une meilleure intuition des résultats qui suivront.
Notre contribution dans cette partie se limite à l'effort de synthèse et à la tech-
nique mise au point pour déterminer les décompositions en caractères complexes irré-
ductibles des caractères rationnels d'un groupe.
Dans la littérature, exceptées les grandes lignes exposées dans [38] , on ne ren-
contre pas les détails de la construction du groupe simple
Mc.
Le lien de
Mc
avec les groupes de Conway explique sans doute cette absence, car on dispose avec
ceux-ci d'un moyen "économique" pour faire apparaître 12 des 26 groupes simples
sporadiques.
Nous nous sommes cependant proposés, ne serait-ce que pour son côté historique,
de consacrer le Chapitre II à l'exposé d'une 'version des détails de construction
de
Mc.
Le Chapitre III a pour objet la détermination des valeurs de tous les caractères
permutants primitifs de
Mc
ainsi que leurs décompositions en caractères irréduc-
tibles.
La recherche de géométries associées à un groupe (au sens précédemment défini) peut
se faire essentiellement par deux voies (cf. Chapitre VI)
: par les "hyperplans"
et par les "droites".
Ce qui conduit à deux problèmes qui font l'objet du Chapitre V
Problème 1 : Si
n est l'ensemble des classes gauches d'un sous-groupe maximal H
de
Mc, déterminer les orbites sur
n de tous les sous-groupes maximaux de
Mc.
Problème 2 : Déterminer les paramètres de tous les graphes induits par les orbitales
auto-duales de
Mc
sur
n.
Nous n'avons pas complètement résolu ces deux problèmes
les tables récapitulati-

IV.-
ves en fin de chapitre indiquent les "trous qui restent à boucher";
tandis que
pour les graphes nous n'apportons de solution qu'à deux cas
H = M
(complè-
22
tement)
et
H = U (5)
(partiellement).
3
C'est dans la solution des tâches ci-dessus que l'intérêt pour le treillis des
sous-groupes de
Mc
est apparu.
Ce treillis s'avère d'une grande utilité par
le capital d'informations qu'il permet de récolter sur le groupe.
Aussi avons-
nous consacré le Chapitre IV à la construction de deux morceaux de ce treillis :
les bases de ces deux morceaux sont formées respectivement par les sous-groupes
de
Mc
isomorphes à
et à
Au Chapitre VIt nous avons mis en évidence deux structures géométriques associées
à
Mc, respectivement de rang 2 et 5.
Nous y donnons également un catalogue des
autres géométries dont nous avons connaissance
et qui ont été mises en évidence
t
par d'autres mathématiciens qui se sont intéressés à
Mc.
Les résultats du Chapitre III ont nécessité l'accumultation d'informations
relatives aux caractères permutants de plusieurs groupes.
En Appendice nous avons
consigné ces résultats
ceux des caractères permutants dont les décompositions
t
figurent également dans [15] ont été vérifiés par nous.

1. 1 .-
CHAPITRE l
RAPPELS THEORIQUES
SECTION 1
REPRESENTATIONS LINEAIRES ET CARACTERES D'UN GROUPE FINI.
INTRODUCTION.
Dans notre travail, la théorie des représentations et plus particulièrement la
théorie des caractères a joué un rôle important.
C'est pourquoi nous avons cru
utile de consacrer une section au rappel des principaux résultats dont nous nous
servlrons par la suite.
Il ne s'agit donc pas d'un exposé (sur un sujet qui du
reste est vaste et que nous ne maîtrisons pas) mais de simples rappels où certai-
nes généralités et des démonstrations courtes ou nécessitant peu de préalables
figurent.
Le lecteur intéressé par le sujet pourra se référer à la littérature
(cf. Bibliographie).
L'essentiel du § 1 se résume à deux résultats :
1. Le nombre de caractères complexes irréductibles d'un groupe fini
G est
égal au nombre de classes de conjugaison d'éléments de
G et tout caractère
complexe de
G est une combinaison linéaire à coefficients dans
lli
de ses
caractères irréductibles.
2. Le nombre de caractères rationnels irréductibles de
G est égal au nombre
de classes de conjugaison de ses sous-groupes cycliques;
et tout caractère ra-
tionnel de
G est combinaison linéaire à coefficients dans
lli
de ses caractères
rationnels irréductibles.
Pour le § 2, il est moins ardu.
§ 1.
GENERALITES.
La théorie classique des représentations d'un groupe fini fut créée et développée
par G.Frobenius durant les deux dernières décades du 19ème siècle.
I.Schur
contribua au développement de la théorie et apporta des simplifications à la pré-
sentation originale de Frobenius.
W.Burnside (qui a découvert indépendamment
plusieurs résultats de Frobenius), avec son trait.é "Theory of groups of finite

1.2.-
order" (1911) donne pour la première fois un résumé systématique de résultats
sur les groupes finis, établis par la théorie des caractères (exemple: tout
ab
groupe d'ordre
p q
est résoluble).
Avec E.Noether (1929) la théorie s'enrichit par l'étude des représ~ntations sur
des modules.
La contribution importante durant ces 50 dernières années est due
à R.Brauer qui a développé la théorie des représentations modulaires.
Notons que
cette dernière a été l'un des outils qui permirent à W.Feit et J.G.Thompson de
démontrer la conjecture centenaire de Burnside: "Tout groupe d'ordre impair est
résoluble".
La théorie des représentations et particulièrement la théorie des caractères est,
. comme la pratique le montre, un des outils les plus puissants dans l'étude des
groupes finis.
La présentation du sujet varie selon les auteurs, et se motive par les avantages
du calcul matriciel ou par l'élégance du formalisme de la théorie des modules sur
des algèbres.
Selon la méthode d'exposition choisie, certains des résultats de
la théorie s'établissent plus aisément.
Nous nous proposons dans la suite de rappeler les principaux résultats dont nous
nous servirons, en mélangeant les différentes voies, suivant les besoins.
Une représentation linéaire d'un groupe
G est un morphisme
A: G ~ GL(n,W).
n
est appelé le degré de la représentation;
suivant que la caractéristique du
champ (corps commutatif)
West zéro ou un pr-enuer
p
on dira que
A
est une
représentation ordinaire ou modulaire.
La représentation principale de
G est le morphisme
Une représentation linéaire
A: G ~ GL(n,W)
est dite réductible s'il existe
un sous-espace propre
W de
V =]i'n
invariant par
A(G), image de
G par
A.

1. 3.-
Ce qui revient à dire qu'il existe une matrice
T E GL(n , F)
telle que
YxEG
E(X))
D(x)
avec
C(x)
et
D(x)
des matrices carrées.
Sinon
A
est dite irréductible.
On
remarque que
B
est aussi une représentation de
G;
et corrélativement
C
et
D
auss1..
Nous avons le résultat fondamental suivant
THEOREME 1 [34; p.15]
: Considérons une représentation linéaire
A: G .... GL(n.F)
de
G.
Alors soit
A
est irréductible. soit il existe une matrice
T
de
GL(n.F)
telle que
YxEG
o
Avec
Yi=1 ... k
A. : G ....GL(n. ,F)
une représentation irréductible de
G
1.
1.
A.. (x)
une matrice
n . x n ,
1.J
1.
J
n
+ n
+ ... + n
= n.
1
2
k
Deux représentations de même degré
A, B : G ....GL(n.F)
sont dites équiva-
lentes si il existe une matrice
T E GL(n.F)
telle que:
YxEG
Une représentation
A: G ....GL(n,F)
est dite complètement réductible s a
i l existe une matrice
T E GL(n,F)
telle que
o
y x E G
~(x)

1.4.-
où chaque
A.
est une représentation irréductible de
G
de degré
n.
et
~
~
n, + n
+
+ n
= n. On dit alors que la représentation B est somme
2
k
directe des représentations
A" ... ,~.
Le théorème de Maschke ci-dessous nous fournit un critère de complète réduc-
tibilité
THEOREME 2 (Maschke - [34, p. 24J )
Soient
G un groupe fini et
TI"
un champ
de caractéristique
p
avec
p = 0
ou
p
premier avec
IGI, ordre de
G.
Alors toute représentation
A: G ~ GL(n,TI")
qui est réductible est complètement
réductible.
1- Notion de F'-a.Lgèbr-e ,
Soit
TI"
un champ.
Une structure algébrique
A
est une F-algèbre s~
(i)
A
est un anneau unital de neutre
1A
(ii)
A
est un espace vectoriel sur
TI"
(iii) V À E TI", V a, b E A : À(ab) = (Àa)b = a(Àb)
Exemples.
* Soient G un groupe multiplicatif fini, G = {x"x ... ,x
et
TI1GJ
le
2'
g}
]F'- espace vectoriel de base
G
~ . e .
g
TI1GJ = { ~
À.x.
À. E TI"}
i=1
~
~
~
Définissons sur
TI"[G]
une loi mUltiplicative comme suit
a = ~ À.x., b = ~ ~.x.
~ ~
J J
ab =
~
À.~.x.x. = ~ À.~.x(" i ) avec x(" i) = x.x.
i,j
~ J ~ J
~ J
~,J
~,J
~ J
~,J
On peut établir aisément qu'avec cette loi, TI"[GJ
devient une TI" -algèbre
c'est
l'algèbre du groupe
G.
...
En identifiant l'élément
x
de
G
avec
1.x
ou
1 E TI"
on a que
G est une
partie de
TI"[GJ.

1. 5.-
* M (F), ensemble des matrices carrées d'ordre n peut être muni d'une struc-
n
ture de F -algèbre.
2. Morphisme d'algèbres.
Soient
A
et
B
deux F -algèbres, de neutre
1A
et
1
L'application
B.
~ : A ~ B est un morphisme d'algèbres s~
~
est à la fois un morphisme d'anneaux
unitaux et une application linéaire i.e. :
(i)
~
est une application linéaire entre les espaces vectoriels
A
et
B
( i i )
V a 1,a
E A : ~ (a 1a
= ~ (a 1)~ (a )
2
2)
2
(iii)
~(1A) = 1B
3. Représentation d'une JF-algèbre.
Soit
une F -algèbre.
Une représentation de
est un morphisme
~ : A ~ M (F).
n
Remarque : Les notions de représentations irréductibles et de représentations
équivalentes se formulent de la même manière que précédemment.
4. Cas particulier où
A = :W[G] .
-
Soit
~ : F[G] ~ M (F)
une représentation de
F[G].
La restriction
~
de
~
n
à
G est automatiquement une représentation de
G
(au sens précédemment défini)
car du fait que
~(lA) = In on aura que: V x E G, ~(x)
est inversible.
-
Réciproquement
soit
~ : G ~ GL(n,F)
une représentation de
G, étendons
à
F[G]
comme suit : V a = ~ Ct.x. E F[G] , t/J(a) = ~ Ct.~(x. ).
~
~
~
~
On vérifie facilement que
t/J
est une représentation de
F[G]
et que sa restric-
tion
t/J
à
G coincide avec
~,donc l'extension est unique.
Remarque
Ce fait permet d'utiliser le langage des représentations des algèbres
finidimensionnelles ou plus généralement des anneaux pour obtenir, de manière élé-
gante des résultats sur les représentations des groupes finis.

1.6.-
1. Une base du centre
Z(A)
de l'algèbre du groupe
A = JF[G] .
Soit
A = ]1G] , le centre de
A, noté
Z(A) = {x 1 V a E A : xa = ax}
On peut vérifier que: V Ct E JF, V z,z' E Z(A)
1
(i)
z + z' E Z(A)
et
Ctz E Z(A)
f
f
(ii) zz' E Z(A)
et
lA E Z (A)
!
Donc
Z(A)
est une sous-algèbre de
A.
1
f
1
Supposons que les classes de conjugaison de
G soient
Posons
K. =
~
x.
Alors on a le résultat suivant
l
xEC.l
THEOREME 3
(i)
{K
••• ,K }
est une base de
Z(A)
1,
r
(ii) Les constantes de structure
a
de la JF-algèbre
Z(A)
i j k
définies comme suit :
K.K. =
l
J
ont la signification suivante
c'est-à-dire que
est le nombre de manières d'obtenir un élément donné
z
de la classe
comme produit ordonné d'un élément de
c.
par un élément de
c ..
l
J
Esquisse de la Preuve.
(L) * V i
K. E Z(A) : comme
c.
est une classe de conjugaison de
G, K.
commute
l
l
l
avec tout élément de
G donc avec tout élément de
A.
g
* {K ... ,K
engendre
Z(A) : en effet soit
où
1,
c = ~
Ct.x.
E Z(A)
r}
l
l
i=l
G = {x" •.. ,x }
g

1
1
1
1. 7.-
1
i
-1
v y E G
'y
cy =
donc Sl deux éléments
x.
et
1
!
J
Il
de
G
sont conjugués, ils ont le
g
c
= ~ a.x.
même coefficient
l
l
i=1
1
Par conséquent dans
c = ~ a.x.
les éléments
x.
d'une même classe ont le
i
l l
l
r
même coefficient et donc
c = ~
B.K.
1
j=1
J J
Trivialement
{K
... ,K
est une partie libre.
1,
r}
(ii) Comme
Z(A)
est une algèbre de base
{K
... ,K
on a :
1,
r}
V i,j : K.K. E Z(A)
et comme tel
K.K.
est une combinaison linéaire des
l
J
l
J
éléments de la base
K.K. =
l
J
Pour
G = {x 1'···,x }
g
Sl
X.X.
g
l
J =~
x.x. =
~
\\jk~ avec À. ik =
l J
lJ
k=1
{0 autrement
Donc
K.K. = (
~
x. )(
~
x. ) =
~
x.x. =
~
~ À. 'k~ = ~
~
l J
l
l J
Àijk)~
x.EC.
x.EC.
J
i,j
i,j k
lJ
k
i,j
l
l
J
J
= ~ ~~ avec a = ~ À"
k
lJ k
k
i,j
Comme précédemment, du fait que
K.K. E Z(A), les
qui sont dans une même
l
J
classe de conjugaison ont les mêmes coefficients d'où
K.K. = ~ aijR,KR, avec
l J
aijR, =
~
À.. R, = I{(x,y)
xEC.,yE C. , xy = z}!
1
lJ
l
i,j
J
où
z
est un élément quelconque malS fixé de
CR,'
Remarque: Ce résultat établit une relation intime entre un groupe fini et l'al-
gèbre correspondante.
Nous verrons plus tard comment on peut déterminer ces constantes.

1.8.-
2. Lemme de Schur [27]
Remarque: Ce lemme et le théorème de Maschke forment [34] les deux piliers de la
théorie des caractères.
Sa formulation dépend du langage adopté.
Enoncé : Soit
A une TI" -algèbre;
A
et
B
A -+ M (TI")
deux représentations
n
irréductibles de
A.
Soit
T E M (TI")
avec
'ri a E A : TA(a) = B(a)T.
Alors soit
T
est la matrice
n
nulle, soit
T
est une matrice régulière auquel cas
A et
B
sont équivalentes.
Corollaire du Lemme de Schur.
Soit
A une TI" -algèbre où
TI"
est un champ algébriquement clos et
A
A -+M (TI")
n
une représentation irréductible de
A.
Alors
C(A) = {T E M (TI")
l 'ri x E A TA(x) = A(x)T} = TI". 1 = {U 1 À E TI"}
n
Dans cette partie
TI"
représente le champ algébriquement clos, de caractéristique
nulle, des nombres complexes.
Il est sous-entendu donc que toute représentation
de
G est une représentation complexe.
1.
Caractère d'une représentation.
Soit
A: G -+ GL(n,œ)
une représentation de
G.
La fonction
~A : G -+ œ
définie par
~A(x) = tr A(x)
(trace de la 'matrice
A(x))
est appelée caractère
de la représentation
A.
Et nous avons les propriétés suivantes :
(i)
~A(1) = n = degré de la représentation (1 étant le neutre de
G)
(ii)
'ri x E G
(iii) 'ri x,y
c'est-à-dire que
~A
est une fonction
qui est constante sur les classes de conjugaison des éléments de
G.

1.9.-
(iv)
Si
A, B
G ~ GL(n,Œ)
sont deux représentations équivalentes de
G.
alors
V x E G : ~A(x) = ~B(x).
Ainsi deux représentations équivalen-
tens ont même caractère.
Remarque: (i) résulte du fait que
A
est un morphisme;
(iii) et (iv) du fait
que la trace est un invariant linéaire;
comme
G
est fini, que
Œ est algébri-
quement clos, A(x)
est toujours diagonalisable et ses valeurs propres sont des
rac~nes de l'unité et (ii) en résulte.
2. Caractère principal de
G.
C'est le caractère de la repr ês ent.at i on principale de
G, noté
1G ou simplement
...
ou
est le neutre multiplicatif de
3. Décomposition du caractère d'une représentation.
Un caractère irréductible de
G
est le caractère d'une représentation irré-
ductible de
G;
le caractère principal de
G en est un exemple.
Par le Théorème de Maschke (Théorème 2, p.I.4) nous pouvons dire que toute
représentation complexe est complètement réductible, c-à-d. que s~
A: G ~ GL(n,Œ)
est une représentation de
G, alors
3 T E GL(n,Œ)
telle que :
V x E G
B(x)
Par conséquent
Et nous avons a~ns~ le résultat
PROPOSITION 1 : Tout caractère de
G est une combinaison linéaire à coefficients
dans
lli
de ses caractères irréductibles.
3.
Relations d'orthogonalité du 1er type des caractères.
G
Soit
Œ
l'espace vectoriel des fonctions de
G dans
Œ.
Alors la forme
ci-après est une forme hermitienne définie positive
U
E ",G
v
u,v
u.,
< u,v > = ~ ~ u(x)v(x)
xEG

1. 10.-
Et nous avons le résultat suivant
THEOREME 4 [34, p.39]
: Soient
A
et
B deux représentations irréductibles de
G,
~A
et
~B
leurs caractères respectifs.
Alors
Sl
A
et
B
sont équivalentes
autrement
Remarque: Ce résultat s'établit en utilisant le Lemme de Schur (voir p. 1.8)
et représente les relations d'orthogonalité du 1er type.
COROLLAIRE: Soit
Irr(G)
l'ensemble des caractères irréductibles de
G.
(i)
si
~A
est un caractère de
G et
X
un élément de
Irr(G)
alors
<~A'X > est le nombre de fois que
~A contient X
(ii)
Deux représentations de
G qui ont même caractère sont équivalentes.
Ce qui avec la propriété (iv) (p. 1.9)
permet de dire à présent que
"Deux représentations de
G sont équivalentes ssi elles ont même
caractère".
(iii) Un caractère
~
de
G est irréductible SSl
<~,~ > = 1.
4. La représentation régulière de
G.
Considérons un Œ-espace vectoriel
V
de dimension
IGI
dont les éléments
d'une base
B = {e
1
x E G}
sont indexés par les éléments de
G.
x
A tout élément
x
de
G, associons la matrice
R(x)
relativement à cette
base de l'endomorphisme
f
de
V opérant comme suit : V y E G : f (e ) = e
x
x
y
xy
Alors
R: G ~ GL( IGI,œ)
est une représentation de
G de degré
IGI.
C'est la représentation régulière de
G.
Soit
~R
le caractère correspondant.
On a
1
Sl
X =1=
'1
1
~R
si
x =
i
....
1
ou
est le neutre de
G.
1
1
,
1
i1

1
1
1.11.-
1
PROPOSITION 2
Si
G
est un groupe fini, alors le nombre de caractères irré-
ductibles de
G
est fini et chacun d'eux apparaît dans le caractère de la re-
~
<
présentation régulière avec une multiplicité égale à son degré.
2
2
2
1
1
Et si
avec
on a
n
+ n
+ ... + n
= G.
1
1
2
k
Preuve.
Si
X E Irr(G)
alors
1
1
1
i-
Par conséquent
~R
contient chaque caractère irréductible un nombre de fois
it
égal à
X(1)
son degré.
i~
Donc
~
=
~
X( 1)x
et
= IGI =
~
R
xEIrr(G)
xEIrr(G)
Comme
1 G1
est fini et que
X( 1) E :IN,
on a forcément
1 Irr (G) 1
fini.
5. Nombre de caractères irréductibles d'un groupe fini
G.
THEOREME 5 : Le nombre de représentations complexes irréductibles non équivalen-
tes d'un groupe fini
G
est égal au nombre de classes de conjugaison de ce groupe.
Ce qui revient à dire que le nombre de caractères irréductibles complexes de
G
est égal au nombre de classes de conjugaison de
G.
Remarque :
La preuve de ce résultat classique malS important existe dans toute
littérature se rapportant au sujet.
6. Table des caractères d'un groupe.
Relations d'orthogonalité du 2ème type.
Soit
G un groupe fini, {C
... ,c }
ses classes de conjugaison,
1,
r
Irr(G) = {X
... ,X
1'
r}.
La table des caractères de
G
est une matrice
r x r
dont les colonnes sont
indexées par les classes de conjugaison de
G et dont chaque ligne correspond

1. 12.-
aux valeurs prises par un caractère irréductible de
G
sur ces classes.
Pour
X. E 1rr (G)
et
x E C., posons
X·· = X· (x) .
1.
J
1.J
1.
Les relations d'orthogonalité du 1er type peuvent alors s'exprimer a1.ns1.
Ô ••
(1)
1.J
Posons
la matrice correspondante.
r
- t
Alors (1) devient
~ U,kÜ' = ô..
ou encore
U U
= 1.
Ce qui revient à dire
k
k=l
1.
J
1.J
que
U est une matrice unitaire.
Partant
V = ut
auss1. est unitaire, donc
V V
t = l ou
Ô ••
1.J
Soit
V i,j = 1 ••• r
Remarque: Ces relations d'orthogonalité du 2ème type peuvent se comprendre
intuitivement comme suit
en travaillant dans l'espace vectoriel hermitien
la matrice de la table des caractères de
G
possède la propriété suivante :
le carré scalaire de chaque vecteur colonne est égal à l'ordre du centra-
lisateur d'un élément quelconque du groupe appartenant à la classe de
conjugaison indexant cette colonne;
et le produit scalaire de deux vec-
teurs colonnes distincts est nul.
7. Quelques informations qu'on peut obtenir directement à partir de la table
des caractères de
G.
Nous avons vu p. 1.6 que
{K.
1 K.
=
z x, 1. = 1, ... r} est une base de Z(A)
1.
1.
XECi
r
où
C
... ,C
sont les classes de conjugaison de
1,
r
G
et que
K.K. =
z aijkK
1.
j.
J
k=l
Soit
A: A ~ M (œ)
une représentation de
A.
n

t,
[
>
1.13.-
1
1
1
1
t
-1
-1
Si
z E Z(A)
alors
V x E A : A(xzx
) = A(x)A(z)(A(x))
= A(z) donc A(z) EC(A).
!
En vertu du corollaire du Lemme de Schur, A(z) = al
avec
a E Œ.
Il est clair que Sl
A
et
B
sont deux représentations équivalentes
1f,
!
A(z) = B(z) = al.
Par conséquent si
X = ~A
le caractère de
A, on a une cor-
1
respondance
t
1
w = w
Z(A) ~ Œ : z ~w(z) = a
avec
a
tel que
A(z) = al = w(z)I.
X
1
i
Du fait que
A
est un morphisme d'algèbre on peut en déduire que
w = w
est
X
f
aussi un morphisme entre les algèbres
Z(A)
et
Œ.
,
i
Par conséquent
V i = 1••• r : A(K.) = w(K. )1 =* X(K.) = w(K. )x( 1)
(en passant
!
l
l
l
l
1
aux traces).
Or
X(K.) = X( ~
x) = ~
X( x) = IC·lx(x.)
avec
x.
un représentant de la
l
l
l
l
xEC.
xEC.l
classe
C..
l
l
Donc
w(K.) =
l
~ous utilisons
X pour représenter à la fois le caractère de
A et sa restric-
tian à
G).
Il en résulte que
r
w(K.K.) = w( ~
a~J.kKk)
l
J
k=1'"
"
w(K. )w(K.) =
l
J
Ic·llc·lx(x. )x(x.)
Soit
l
J
l
J
=
X( 1 )
Si nous multiplions les deux membres par
X(x~) et que nous sommons sur tous les
caractères irréductibles de
G, nous obtenons :

1.14.-
IC·/IC ·Ix(x. )x(x. )X(x o )
r
~
1
J
1
J
JIv
~
a i j k 1C 1
k
xEIrr(G)
X( 1)
k=l
r
ICkl
=
~
19l
a i j k
°k9"
k=l
J ICkllc9,,1
(2ème type des relations d'orthogonalité)
= a. ·0 ·IGI
lJJIv
x. E C.
1
1
x. E C.
J
J
xR, E C9"
Le théorème 3 et le résultat ci-dessus se résument dans le théorème suivant
THEOREME 6 : Soit
G
un groupe, C , ••• ,C
ses classes de conjugaison et
1
r
Irr(G)
l'ensemble de ses
r
caractères complexes irréductibles.
Soit
A..
= /{(x,y) 1 x E Ci' Y E C
xy = zll
où
z
est un élément quelconque
lJ k
j'
fixé de
C
(donc
A..
est le nombre de manières d'écrire un élément quelconque
k
lJ k
de
C
comme produit ordonné d'un élément de
C.
et d'un autre de
C. ) •
k
1
J
Alors
A
=
lQJ
z
ijk
IC(x)I·IC(y)/ xEIrr(G)
avec
x E Ci' Y E C
z ECk;
C(x)
et
C(y)
étant les centralisateurs dans
G
j'
de
x
et
y.
7.2. Autres informations.
Nous signalerons simplement qu'à partir de la table des caractères de
G, il est
possible de déterminer
* les sous-groupes normaux de G donc la simplicité ou non de G [27; p.23]
* les éléments de G qui sont des commutateurs [27; p. 45] etc

1.15.-
1.5. Notion de caractère induit.
Remarque: Soit
H un sous-groupe du groupe
G.
Si
A: G ~GL(n,Œ)
est une
représentation de
G
alors la restriction
B de
A
à
H est encore une re-
présentation de
H.
~
Nous dirons alors v B : H ~GL(n,Œ)
est une représentation de
H déduite de
A.
Au problème inverse, Frobenius a donné une solution: construire une représenta-
tion
A
de
G à partir de la donnée d'une représentation
B
de
H: A
est
alors appelée représentation induite par B.
Pour le procédé, cf. par exemple
f34; p.69l .
DEFINITION: Soit
H < G et
B: H ~ GL(n,Œ)
une représentation de
H, ~ = ~B
son caractère.
Le caractère
~G de G induit par ~ est le caractère de la
représentation
A
induite par
B.
-
PROPOSITION 3
Soit
~
l'extension de
~
à
G définie comme suit
~ ~(x) ={ ~(x) Sl X € H
~
G~Œ
x
0
Sl
X fi. H
G
1
-
-1
Alors
"Ix€G
~ (x) = THT ~ ~(yxy
)
y€G
Ou encore Sl
C
... ,C
sont les classes de conjugaison de
G
et si nous posons
1,
k
pour
x €
C., alors
l
o
si
c. n H = ~
l
~
~(y)
Sl
c.nH=I=~
y€C.nH
l
l
Introduction : Le but de cette partie est de rappeler une propriété importante
des caractères complexes : leurs valeurs sur les éléments de
G
sont des entiers
algébriques.
Ensuite la connexion entre les caractères à valeurs dans
~ de
G

1.16.-
et les classes de conjugaison des sous-groupes cycliques de
G sera établie.
1. Définitions ([ 5 ] , [34] )
Un entier algébrique est une racine d'un polynôme monique non nul de
ll[x].
On peut montrer que les entiers algébriques forment un anneau;
qu'un nombre
qui est à la fois un rationnel et un entier algébrique est un entier (i.e. un
élément de ll).
On a en plus le résultat suivant
PROPOSITION 4 : Les valeurs prises par tout caractère complexe de
G
sont des
entiers algébriques.
Preuve.
Soit
A
une représentation de
G
de caractère
x.
n
n)
IGI
fini ~'rI xE G 3 nE JN
x
= 1_A(x
= (A(x))n = 1.
Comme
œ est algébriquement clos, A(x)
est diagonalisable et ses valeurs
propres sont des racines du polynôme
~ - 1 E ll[x], c'est-à-dire des entiers
algébriques.
Par conséquent
'ri x E G, X(x)
est une somme d'entiers algébriques,
donc un entier algébrique.
Remarque sur la notion de champ factorisant d'un groupe.
Soit
lF'
une extension du champ lF.
Toute représentation
A
de
G dans
GL(n,lF)
est trivialement une représentation de
G dans
GL(n,lF').
Nous dirons que
A
est absolument irréductible sur
lF
ssi elle demeure irréduc-
tible lorsqu'on la considère comme représentation de
G dans
GL(n,lF')
avec
lF'
une extension quelconque de
lF.
On dira que le champ
lF
est factorisant pour
G
si toute représentation irréduc-
tible de
G dans
GL(n ,lF)
est absolument irréductible sur
lF.
On peut montrer qu'un champ algébriqu~ment clos est factorisant pour tout groupe
ce qui est le cas pour
œ [27, p. 146]
De même, soit
m le plus petit commun multiple des ordres des éléments de
G
et
~(m) le champ factorisant (ou corps des racines) de xm -
sur
~ encore

1. 17.-
appelé mi ème
extension cyclotomique de
~
[16];
alors
~(m)
est un champ
.tt
~....J:Q. ~~~ ..L. G- ~
~~~~ t?u.v <Q(~)
factorisant de
G V (Théorème de Brauer, cf. [2'7] p.161).
L'importance du travail sur
t, ~(m)
ou sur tout autre champ factorisant apparaît
avec le résultat suivant :
THEOREME '7 [ 12, p.39]
: si
]li'
est un champ factorisant de
G, de caractéristique
nulle
et
A une représentation irréductible de
G, alors le degré de
A divise
l'ordre de
G.
2. Caractères irréductibles conjugués.
Rappel: Soit
~(m) le champ factorisant (ou corps des raClnes [6 ]) de xm - 1
sur
~.
~(m)
est une extension finie normale, séparable de
~.
Le groupe de Galois de
sur
~, noté
est isomorphe au groupe multiplicatif
G
des élé-
m
ments inversibles de
ll/mll.
De plus
G(~(m),~)
opère sur l'ensemble des racines
. . .
i èmes I '
. --
A
-- --
prlmltlves m
de
unlte:
tout element
0
de
correspond un
unique élément
r
de
G
tel que
o(c) = cr
(où
C
est une racine primitive)
m
et réciproquement ([ 16] , p.395).
* Remarque : Soit m le ppcm des ordres des éléments de G et ~(m) le champ
factorisant de
xm-1
sur
~. Du point
précédent nous pouvons déduire que tout
caractère complexe de
G est à valeurs dans
~(m).
DEFINITION : Soit
G( ~(m) ,~) le groupe de Galois de ~(m) sur ~ et <p un caractère de
G
Pour
0 E G(~(m),~), définissons
<po
par: V x E G, <p°(x) = o(<p(x)).
On peut démontrer que
<po
est un caractère de
G;
<po
est dit (Galois) conjugué
par rapport à
<p.
Et nous avons le résultat suivant
PROPOSITION 5
G(~(m),~)
opère sur
Irr(G)
autrement dit

1.18.-
cr
cr
Preuve : Pour cela nous devons prouver que si
<x,x>= 1
alors
< X ,X > = 1.
Il suffit d'appliquer la définition.
Le résultat important de ce point se résume dans le théorème ci-après
THEOREME 8 : (i)
Un caractère
~
de
G est rationnel (i.e. à valeurs dans
Q)
cr
ssi V cr E G(Q(m),Q),
~
=~.
(ii)
Soient
x
et
y
deux éléments de
G tels que
< x> = < y >
et
~ un caractère rationnel de
G, alors
~(x) = ~(y).
En d'autres termes si
~
est un caractère rationnel de
G alors
~
prend la
même valeur sur les classes de conjugaison de
G contenant les éléments d'un
sous-groupe cyclique donné de
G.
(iii) Soient
01, ... ,Or
les orbites de
G(Q(m),Q)
opérant sur
l'ensemble des caractères irréductibles de
G.
Posons
~. =
l
Alors
a) V i = 1... r,~.
est un caractè~e rationnel de
G
est
l
l'ensemble des caractères rationnels irréductibles de
G.
b) Soient
C
... ,C
les classes de conjugaison de
G.
1,
k
Décidons que
c. == C.
ssi
3 x. E C., x. E C., <x. >=<x. >
c'est une rela-
l
J
l
l
J
J
l
J
tion d'équivalence.
Soient
C
les classes d'équivalence correspondantes.
1"",Cs
Par (ii) un caractère rationnel prend la même valeur sur les classes de conju-
gaison contenues dans un
C., donc est un s-uple de rationnels:
l
Nous avons
r = s
(i.e. que le nombre de caractères rationnels irréductibles
de
G
est égal au nombre de classes de conjugaison de sous-groupes cycliques
de
G) et tout caractère rationnel de
G est une combinaison linéaire à coeffi-
cients dans
JN,
des
~ l' ... '~r'
NB : La forme de la présentation des résultats ci-dessus peut être différente de
celle qu'on pourrait rencontrer dans la littérature.
On se référeraà [27],
[43]
[ 48] •

1.19.-
Esquisse de la Preuve: (i)
Comme
~(m)
est
YR. Q1;J,amp factor; sant
de
G, tout
e8paetQPil de
G
est à JTalelJrs àatls
~(m).
Nous savons que S1.
G( ~(m) ,~)
est le
groupe de Galois de
~(m)
sur
~~ alors les seuls points fixés par les éléments
c1Q"W) lQ (""1
de
G(~(m) ,~) "sont ceux de
~.
Par conséquent
v cr : ~cr = = <y>
alors
Y = x
avec
(t,n) = 1
et n = 1< x >1.
Soit
~(n) le champ factorisant de ~ - 1 sur ~. Comme (t,n) =
alors
t E G .
Soit
l'élément correspondant de
n
iemes
<p(x) = ~ E.
avec les
E.
des racines n
de l'unité
1.
1.
(iii) a) * Chaque
<p.
est un caractère de
G
(c'est
1.
le caractère de la représentation qui est somme directe des représentations dont
les caractères interviennent dans
<p.).
1.
~
cr
X =
z
X' =<p.1.
XEO.
X'EO.
et alors en vertu de (i)
1.
1.
~.
est rationnel.
1.
* On peut facilement se convaincre que chaque
<p.
est irréductible sur
~.
1.
b) Soit
<p
un caractère rationnel de
G et
Irr(G) = {X ' ••• 'X }
les caractères complexes de
G.
1
k
n
<p = z
avec
a. E :lN
1.
i=1
k
De
~
a.xq = <p
et de l'unicité de la décomposition de
1.
1.
i=1
nous tirons que si
et
sont conjugués, alors
a. = a ..
X·1.
Xj
1.
J
r
Par conséquent
<p =
~
b.<p.
avec
b. E :IN,
c'est-à-dire que tout caractère ration-
1.
1.
1.
i=1

1.20.-
nel de
G est une combinaison linéaire des caractères rationnels irréductibles.
Plus généralement, soit
fi
l'ensemble des fonctions de
G dans
~
qui prennent
la même valeur sur les éléments des classes de conjugaison contenues dans un même
Co.
fi
est un ~-espace vectoriel de dimension
s, donc isomorphe à
~s. Soit f
1.
un élément de
fi.
f
est évidemment constante sur les classes de conjugaison de
G.
Donc
f =
r
et par un raisonnement analogue
f =
~
Yo~ ..
o 1
1. 1.
1.=
Donc
{~l""'~rl
est une partie génératrice de
fi
et comme elle est libre,
c'est une base de
fi
et on a
r = s.
§ 2. REPRESENTATIONS PERMUTANTES D'UN GROUPE FINI.
2.1. Généralités.
DEFINITIONS: * Soit
X un ensemble fini.
Nous pouvons supposer, sans restric-
tion à la généralité que
X = {1,2, ... ,nl.
Soit
G un groupe de permutation de
X et
B = {e1, ... ,enl
la base canonique
n
de
a: .
Associons à tout élément
x
de
G la matrice
A(x)
relativement à
B de l'en-
n
domorphisme de
a:
opérant sur
B comme suit: eo ~ e (0)'
1.
X 1.
On définit ainsi une représentation
A: G~GL(n,lr)
de
G: c'est lareprésen-
tation permutante de
G
(associée à
X) [43,p.17].
On a
v x E G
A(x) = (00 (0))
1.X J
Par conséquent s1.
~ = ~A est le caractère de A: ~(x) = I{i E X 1 x(i) = ill
PROPOSITION 6 [12l
: Si
G est un groupe de permutations d'un ensemble
X,
~
le caractère permutant de
G
(associé à
X)
et 1 le caractère principal de
G,
alors le nombre
c
d'orbites de
G
sur
X est égal au nombre de fois que
~
contient le caractère principal 1

1.2'.-
,
c = <<p~' >=-IGI ~
xEG
Preuve: il suffit de compter de 2 manières les couples
(x~i)
avec
x E G~ 1 E X
et
x(i) = i.
THEOREME 9 : Soit
G un groupe opérant transitivement sur deux ensembles finis
X
et
Y;
<PX
et
 = nombre d'orbites de G sur X x Y
= nombre d'orbites de
G
sur
Y
x
(où
G
est le fixateur d'un point
x
de
X dans
G)
x
= nombre d'orbites de
G
sur
X
y
(où
G
est le fixateur d'un point
y
de
Y
dans
G)
y
Preuve
Soit
<Px
et
<P
respectivement les restrictions de
=c =-'- ~ <Py(t) = nombre d'orbites de G sur y
x
,
IGxl tEG
x
x
,
<<Py~' >= c
= - -
~
<Px(r) = nombre d'orbites de
G
sur
X
2
IGyl rEG
y
y
~ c,IGxl = c,IGxl IXI = c,IGI
car
G
est transitif sur
X
xEX
=
~
~
 car les valeurs de
=TGf
<PX
ou

2
D'autre part on peut facilement se convaincre que
~
défini par
~(t) = <Px(t)<Py(t)

1.22.-
est le caractère permutant de
G
sur
X x Y et par conséquent le nombre
d'orbites de
G
sur
X x Y est égal à
Rang d'un groupe de permutations transitif.
Soit
G un groupe de permutations transitif sur
X.
Le rang de
G
sur
X
est le nombre d'orbites de
G
sur
X
où
G
est le fixateur d'un point
x
x
quelconque
x
de
X.
Il résulte du Théorème 9, que si
~X
est le caractère permutant de
G
sur
X, le rang de
G, noté
Rg(G)
sera égal à
NB : Dans tout ce qui suit
G opère transitivement sur
X ce qui revient à faire
opérer
G sur les classes gauches d'un sous-groupe
H
de
G
avec
X = G/H.
Nous verrons dans ce cas que le caractère permutant de
G
sur
G/H
n'est autre
que celui induit sur
G par le caractère principal
'H
de
H.
Certaines propriétés d'un caractère permutant seront rappelées et nous indiquerons
deux techniques utiles dans la solution du problème de la détermination des valeurs
et de la décomposition d'un tel caractère en caractères irréductibles.
PROPOSITION 7 : Soit
H un sous-groupe de
G et
~
le caractère permutant de
G
sur
G/H.
si
Cl(x)
désigne la classe de conjugaison de l'élément
x
de
G,
alors
ICl(x) n HI· IcG(x)1
~(x) =
rHl
Si
Cl(x) n H = D, U D U ... Dt
où les
D.
sont des classes de conjugaison
2
:l
de
H, soit
a. E D.
alors :
:l
:l

1. 23.-
0
Sl.
Cl (x) n H = <p
<p(x) =
t
ICG(x)1
~
lCH(cx
1 autrement
i=1
i)
Preuve: G/H = {yH 1 y E G}. Soit x E G, x(yH) = yH SSl.
Soit
A(x) = {y E G 1 y-1xy E H};
A(x)
est une réunion de classes gauches
de
H et
IA(x)1 = <P(x)IHI.
On peut aisément se convaincre que
IA(x) 1 = \\CI(x) n H\\·lcG(x) 1.
Certaines propriétés d'un caractère permutant [27]'
Soit
 = 1
(i.e.
 1 ne divise pas
H alors
<p(x) = 0
Ic·I<p(x)
l.
(vi )
Sl.
C.
est une classe de conjugaison de
G et
x E C.
alors
<P(1)
E-JN.
l.
l.
(vii) V X E Irr(G) : <<P,X>~X(1)
(L, e. le nombre de fois que
<p
contient un
caractère irréductible donné ne peut dépasser le degré
X(1)
de la repré-
sentation associée).
Remarques: Si les 5 premières sont évidentes, les 2 dernières le sont mOl.ns.
(vi) s'établit en comptant de 2 manières les couples
(x,a)
avec
x E G, a E G/H
et
x(a) = a;
tandis que (vii) utilise la loi de réciprocité de Frobenius.
Comme toute combinaison linéaire à coefficients dans
JN
de caractères irré-
ductibles de
G
est un caractère de
G, les propriétés ci-dessus fournissent des
conditions nécessaires pour qu'un caractère donné de
G soit un caractère permu-
tant.
Notons que celles-ci ne sont pas suffisantes (cf. Contre-exemple dans [ 2TI ,
page 70 ).

1.24.-
transitif en caractéres irréductibles de
G.
1. Méthode algorithmique.
Elle consiste en une détermination simultanée des valeurs et de la décompo-
sition du caractère permutant consideré.
Si
[G:H] = nt on sélectionne les caractères rationnels irréductibles de
G de
degré inférieur à
n',
puis on essaye de trouver une combinaison linéaire de
ceux-cl
~ a.~.
contenant exactement une fois le caractère principal;
telle que
l
l
~ a.~.(1) = n
et qui satisfait aux propriétés (i), (ii), (v) (éventuellement (vi)
l
l
et (vii)).
S'il n'y a qu'une seule qui soit admissible on est certain que c'est
la décomposition cherchée; sinon on devra faire appel à d'autres outils comme la
connaissance d'une borne inférieure ou supérieure du rang de
G
sur
G/H.
Si les limites de cette méthode sautent aux yeux
(cas où
n
est tel que le nom-
bre de caractères rationnels irréductibles de degré
< n est relativement élevé)
elle n'en reste pas moins pratique dans certains cas.
2. Méthode de la résolution d'un système linéaire.
Elle présuppose que l'on soit déjà parvenu à calculer les valeurs du caractère
permutant.
Concernant ce problème nous y reviendrons au chapitre III.
Considérons la table des caractères rationnels de
G dont les colonnes sont inde-
xées par un représentant des classes d'équivalences
C.
(cf. Théorème 8) et dont
l
les lignes sont les valeurs des caractères rationnels irréductibles de
G.
La matrice correspondante
A est carrée d'ordre
r
et régulière.
r
Supposons que
~ = ~ x.~.
avec
~1 =,
(caractère principal de
G).
i=, l l
Posons
x = (x"x , ... ,x )
et soit
a = (a" ... ,a
le vecteur-ligne des valeurs
2
r
r)
de
~.
Nous avons la relation
t
= a

1.25.-
La résolution de ce système linéaire
r x r
livre les coefficients
de la décomposition de
~.
Remarques : Cette deuxième méthode reste valable pour le cas plus général de la
détermination de la décomposition de tout caractère rationnel de
G, en narticulier
d'un caractère permutant non transitif.
Dans ce dernier cas
n'est autre
que le nombre d'orbites de
G sur
X.
Si on travaille sur un caractère permutant transitif, on peut simplifier le
travail en ne considérant que la matrice
B obtenue à partir de
A par suppression
de la 1ère ligne et de la 1ère colonne.
B reste régulière et le système précédent
avec
et
r
~ = 1 + ~ y.~.
i=2
1
1

1.26.-
SECTION 2 :
MATRICES DES PARAMETRES DE GRAPHES ASSOCIES A UN GROUPE DE PERMUTATIONS
INTRODUCTION
Soit
G un groupe de permutations d'ordre palr, de rang
r ~ 3
sur un ensemble
X.
Il est possible de construire sur
X, au moins un graphe régulier, non trivial et
non dirigé, dont
G
est un groupe d'automorphismes.
Les paramètres de ce graphe
sont "donnés" par des matrices introduites par D.G.Higman [ 23].
Nous rappelons
lCl, les résultats dont nous aurons besoin.
Définitions et résultats [23]
Pour tout
x
élément de
X, soient
~i(x), i ~ O, ... r-l, les orbites de
Gx
dans
X avec
~ (x) = {x}.
La notation étant telle que les orbites de
G
o
g(x)
sont
~i(g(x)) = g(~i(x)).
Alors les
~., i = O, ... ,r-l
sont appelées orbitales
l
de
G et si nous posons
R,. = 1~·(x)1
alors
{ R, •
1i = 0,... r-1} est l'ensemble
l
l
l
des sous-degrés de
G
sur
X.
A toute orbitale
~
de
G
correspond une orbitale
~', appelée duale de
~
et définie par :
v x E X
Remarquons que
y E ~(x) • x E ~'(y)
donc
(~')' = ~
Si
~
est
une orbitale auto-duale (i.e.
~ = ~'), elle induit sur X un graphe régulier de
valence
I~I : deux éléments x et y de X étant adjacents SSl
yE~(x).
k
A toute orbitale
~k
de
G on peut associer une matrice
Mk = (m .. ) définie
lJ
par
pour
bE~.(a).
J
k
Intuitivement
m..
est le nombre d'éléments de
s. (a) qui sont adjacents à un
lJ
l
élément quelconque
b
de
~ . (a), relativement au "graphe" induit par l'orbitale
J
~k
sur
X.
Avec la convention
(~.)' = ~., nous avons les relations suivantes
l
l

1.27.-
k
~ m.. = R,k
(i.e. la somme des éléments de chaque colonne de
Mk vaut
1.
1.J
r-1
...
k
(2)
~ m.• = $1,.
(i.e. S1.
N = ~
Mk alors les éléments de la i~ ligne de N
k
1.J
1.
k=O
valent tous
$1,,)
1.
k
(3)
m.
= ôikR,k (i.e. les éléments de la 1ère colonne de
1.0
l\\ sont tous nuls
sauf celui de la (k+ 1)~ ligne qui vaut
~)
(4)
k
m
= ô
oj
i k'
k
1.
(5 ) m.. =
1.J
~j'
k
k'
(6)
$1, .m .. = R,.m ..
J
1.J
1. J1.
Remarques
Les 5 premières découlent immédiatement de la définition;
la 6ème
s'établit en comptant de deux manières les couples
(b,c)
avec
b E ~.(a)
et
J
c E ~k(a) n ~i(a).
Si
~k
est auto-duale, (4),
et (6) deviennent respectivement
(4' )
(i.e. tous les éléments de 1ère ligne de
sont nuls sauf
le (k+1)~ qui vaut 1).
k
k
(6') Lm .. = R,.m ..
J
1.J
1. J 1.
Notons que (6') est particulièrement importante pour la détermination explicite
de
l\\'
D'autres propriétés importantes de ces matrices
Mk seront rappelées au Chapitre VI
lorsque nous en aurons besoin.

II. 1.-
CHAPITRE II
LA CONSTRUCTION DU GROUPE Mc
INTRODUCTION.
Dans la chasse aux groupes finis simples, les groupes de rang 3 attirèrent
l'attention comme source possible de nouveaux groupes par les faits suivants:
a) Les groupes finis simples connus jusqu'alors (début 60) admettent une
représentation primitive de rang au plus 5 et tous ne possèdent pas une représen-
tation 2-transitive [ 22] .
b) A un groupe
G de rang 3 sur
X est associable un graphe fortement ré-
gulier dont il est un groupe d'automorphismes.
Une étude systématique de ces groupes de permutation fut entreprise, notamment
par D.G.Higman [:::2] ainsi que la détermination des graphes fortement réguliers
qui admettent un groupe d'automorphismes primitif.
si
(n,k,~,À,~) est l'ensemble des paramètres d'un tel graphe, Higman et Hestene~
[21] sont parvenus à déterminer les quintuples admissibles pour
n < 1 000.
Si
(n,k,~,À,~) est admissible, le problème qui se pose est l'existence d'un graphe
qUl possède ces paramètres.
Notons que cette VOle a été fructueuse, car elle a permis la découverte de 5
groupes finis simples
Hi-S (100,22,77,0,6;M
en 1967 [24]
22)
Ha-J-I-l (100,36,63,14, 12;U
3))
en 1967 [ 19]
3(
Mc (275,112,162,30,56;U
en 1968 [38]
4(3))
Suz (1782,416,1365,100,96;G
en 1968 [45]
2(4))
R-C-W (4060,1755,2304,730,780;2F4(2))
en 1972 [10]
où
G(n,k,~,À,~;H)
signifie qu'il existe un graphe fortement régulier de paramè-
tres
(n,k,~,À,~) dont
G
est un groupe d'automorphismes de rang 3, primitif,
et dont le fixateur d'un sommet dans
G est
H.

11.2.-
§ 1. LA CONSTRUCTION DE
Mc
(1ère APPROCHE).
Introduction.
Dans [38], J.Mac Laughlin donne les grandes lignes de la construc-
tion du groupe simple sporadique
Mc, qu'il a découvert.
Cependant, à notre con-
naissance, les détails n'ont jamais été publiés.
Nous proposons dans ce paragra-
phe, une version de ces détails.
La démarche de Mc Laughlin peut se résumer ainsi
1. Le groupe
V4(3) des projectivités unimodulaires de PG(3,9) qUl conser-
vent une quadrique hermitienne possède: un sous-groupe maximal d'indice 112 (le
4
stabilisateur d'une droite totalement singulière de la quadrique), 3 .A
et un
6
sous-groupe maximal d'indice 162, M
= L (4) [20].
2 1
3
Les actions de
V4(3) sur les classes de chacun des 2 sous-groupes sont de rang 3,
avec respectivement les sous-degrés
[1,30,81]
et
[1,56,105].
2. Se basant sur les résultats des travaux de D.G.Higman sur les paramètres
des graphes fortement réguliers associés aux groupes de rang 3 [22] il se pose le
problème suivant :
existe-t-ilun groupe primitif de rang 3 sur un ensemble
X tel que le fixateur
d'un point soit
U4(3) et l'action de celui-ci sur l'une des deux orbites non tri-
viales soit équivalente à celle sur les droites totalement singulières de la qua-
drique hermitienne ?
Il remarque alors que
(n,k,t,À,~) = (275,112,162,30,56)
est admissible.
3. S'inspirant de la méthode employée par Higman et Sims [24], il construira
un graphe fortement régulier dont le groupe d'automorphismes est transitif et
contient un sous-groupe d'indice 2, simple: Mc.
Nous allons dans la suite, exposer les détails de cette démarche.
- Pour
U = V4(3) , posons 6 = vi 4
et
r = VIM
3.A
21
6
La table de certains caractères permutants de
V
(cf. Appendice) nous indique

II. 3.-
~ue ceux, correspondant
aux actions sur
~
et
r
sont respectivement
<1>112 = 1 + X
et
21 + X90
<1>162 = 1 + X21 + X140
On peut alors établir aisément que :
* l'action de U sur ~ est primitive de rang 3 avec les sous-degrés
[1,30,81 ]
* l'action de U sur r est primitive de rang 3 avec les sous-degrés
[1,56,105]
* comme
possède deux orbites de longueur 81 dans
r,
M
possède deux orbites de longueur 56 dans
~
et
U possède deux orbites
0
2 1
1
et
O
sur
~ x r
(Th. 9 du Chap.I).
2
- Notation : Pour
x E ~
et
y E r
soient
et
les 2 orbi-
tes de
U
dans
r·,
et
celles de
U
dans
~, de sorte ~ue :
x
y
= [U ~~6(Y)] x r
2
= 1,2
yEr
Soit
n = {a} U ~ U r avec Inl = 1 + 112 + 162.
Construisons sur
n le graphe (1. comme suit : si adj (x)
est l'ensemble des
2
points adjacents à
x,
- adj (a) = ~
- V x E ~
adj (x) n ~
est formé des points de l'uni~ue 30-orbite de
U
dans
L
x
V y E r
adj (y.) n r
est formé des points de l'uni~ue 56-orbite de
U
dans
y
V x E ~, V Y E r, x
et
y
sont adjacents S2
(x,y) E O.2
On obtient le schéma suivant :
y
x
112
t
al
56
Ise
a
l'"
~
r
.

II.4.-
qui correspond à deux graphes réguliers
~1
et
~2' de valence 112, ayant la
propriété que le fixateur d'un certain sommet dans le groupe d'automorphismes
DEFINITION: Appelons graphe de Mc Laughlin, un graphe régulier de 275 sommets,
de valence 112, tel que le fixateur dans son groupe d'automorphismes
G d'un
certain
sommet
a
contient un U4(3)-sous-groupe.
1.2. Démarche.
Nous allons établir les résultats suivants :
* si n est l'ensemble des sommets, ~ = adj(a), r = n, {a} U ~, le graphe
développé à partir du point
a
est un schéma identique à celui de la page
précédente et si
G = Aut(~)
alors
Ga = U.2
et
~
est unique à un isomorphisme
près.
* Le sous-graphe induit par ~ dans r est fortement régulier de paramètres
(162,56,105,10,24), unique à un isomorphisme près, et a son groupe d'automorphismes
2
isomorphe à
U.2 .
* Pour y E r posons ~(y) = adj(y) et r(y) = n, ~(y) U {y}. Alors
le graphe développé à partir de
y
est aussi un graphe de Mc Laughlin.
Par
suite
G = U.2.
Il en résultera que
G est transitif sur
n
et
IGI = 275.IUI .2.
y
* G = Aut(~) possède un sous-groupe d'indice 2, simple qui sera noté Mc.
PROPOSITION 1 : Le graphe de Mc Laughlin est unique à un isomorphisme près, et
Ga ~ U.2
extension de
U = U
par une certaine involution extérieure.
4(3)
Preuve: Sur un ensemble
n, avec Inl = 275, il n'y a que deux manières de construire
un graphe de Mc Laughlin, et ces deux manières donnent lieu aux graphes
~1
et
&2
(cf. point 1.1).
Comme toute action transitive de
U
sur 112 points est primitive et équivalente à
4
l'action sur les classes gauches d'un 3.A
Ga
contient un unique sous-
6-sous-groupe,
groupe
U
et donc
U ~ Ga'
Par suite
U < Ga < Aut(U) = U.DS·

II. 5.-
• y
56
56
•CI.
56
105
r
n
Soit
y E r ,
U 1':::$ M
et
"-
opere comme indiqué ci-dessus sur
n. Par les carac-
y
2 1
tères
l
permutants
(i
1,2,3)
ct> 1 12
et
ct> 162
de
U
et
ct> 56
=
de
M2 1' on montre
que les 3 orbites de longueur 56 correspondent aux 3 classes de
A
du
6
M21·
Il est clair que
M
= Aut(M
opère comme
S3
sur ces 3 classes de
A
2 1.D 12
2 1)
6
2
2
(car
Aut(A
= A
et
D
possède une classe de conjugaison de 3 2 -sous-
6)
6.2
12
.
2
groupes).
Par conséquent le stabilisateur d'une classe de
A
est
M
et
6
2 1·2
le stabilisateur des 3 classes est
M21.2.
D'autre part
U possède 2 classes de
M
qui sont fusionnées par
Aut(U) = U.D
2 1
S
(sinon
M
par conséquent le stabilisateur des 2 classes est
2 1.DS ~ Aut(M2 1))
2
un U.2
(il ne peut être
u.4
car
Aut(M
ne contient pas de 4-élément).
2 1)
2
2
U.2
b. x r
possède évidemment une orbite (car
M
possède une orbite sur
b. ) ,
1
2 1·2
2
donc
U.2
permute
et
et le stabilisateur de
et
est un
U.2.
°1
°2
°1
°2
Il en résulte que
G
= U.2
et
G
et
1
(12
sont isomorphes.
CI.
PROPOSITION 2 : Soit
H
un graphe connexe, de 162 sommets, régulier de valence 56,
tel que le fixateur d'un certain sommet
x
dans
H = Aut(H)
contienne un
M21.
2
Alors
H
est unique (à un isomorphisme près) et
H 1':::$ U.2 , transitif sur
H.

11.6.-
Preuve
Le schéma d'un tel graphe développé à partir de
x
est nécessairement
x 56
1
110
45
~
-
f"
56
la 5
Comme
M
~ H
et que
M
ne fixe qu'un seul point, il est nécessairement tran-
2 1
x
2 1
sitif sur les 56 sommets adjacents à
x',
sa transitivité sur ce dernier ensemble
implique celle sur les 105 sommets non adjacents à
x
(sinon il aurait 5 orbites
de longueur 21.
Or un
A
opère comme
[6,15]
sur une 21-orbite, d'où l'impos-
6
45
24
sibilité d'obtenir une liaison
•
.).
M
opérant transitivement sur 56 points est primitif de rang 3 avec les sous-
2 1
degrés
[1,10,45].
M
ne possède qu'une action transitive sur 105 points
ceux-c~ sont les drapeaux
2 1
de
PG(2,4).
Nous avons
30
16
• .l'. Ait
4
30
x
16
1 4
la
•
16
1 16
24
45
45
64
Il n'y a qu'une seule manière de construire ce graphe.: il est unique à un
isomorphisme près.
On peut donc (à un isomorphisme près) supposer qu'il existe un
groupe
U = U ( 3 )
tel que l'ensemble des sommets de
fi
4
soit
r = UlM21
2
Par suite
U ~ H = Aut(fi) ~ U.2
(le stabilisateur dans
Aut(U)
des 2 classes
2)
de M
est isomorphe à
U.2
et
2 1-sous-groupes
2
Il en résulte que
H
est transitif etH ~ U.2 .

11.1.-
Remarque: La proposition 2 s'inspire de la partie de l'article de M.S.Smith [44],
où elle montre que
U ( 3 )
est l'unique extension transitive de rang 3 et de degré
4
162 de
M •
Mais signalons qu'il y a eu une erreur, car elle obtient
H = U.2
21
2
au lieu de
U.2 .
COROLLAIRE DE LA PROPOSITION 2 : U = U
peut être caractérisé comme l'unique
4(3)
extension transitive de rang 3, de degré 162 de
M
= L (4) ; et le graphe associé
21
3
est fortement régulier de paramètres ,( 162,56,105,10,24).
PROPOSITION 3
Soit
G un graphe de Mc Laughlin de schéma
112
a
avec
G = U.2
où
G = Aut(~)
a
r
Soit
y
un point de
r. Alors le schéma de G développé à partir de y (i.e.
G
"vu de"
y)
est aUSSl un graphe de Mc Laughlin (Le. régulier de valence 112,
sur 275 points avec
UE;;;G)
et donc
G = U.2.
y
Y
Preuve : Il s'agit donc de démontrer que pour
y Er, il exi ste
1::. '
et
r' ,
avec
a E r'
tels que nous ayons :
112
81
56
et
U E;;; G •
y
Y
1::.'
r'

II.8.-
Considérons le schéma de
G à partir de
a
et soit
y E f.
U
= M
opère comme
[56,56]
sur
/1
et
[1,56,105]
sur
I' .
y
2 1
•a
1
Supposons
adj (y) = /1
U f
et posons
/1' = adj(y)
et
f' = n, {y} U /1'.
56
56
Soit
z E f
.
U
= A
opère sur
n comme indiqué ci-dessous :
56
yz
6
a
•
Un 5-élément de cet
A
fixe au mOlns un point dans chacune des 2 36-orbites et
6
par les caractères permutants de
U
nous savons que ce sont les seuls.
Les points fixes de ce 5-éléments sont les sommets d'un pentagone dans le graphe
G
~----y
, . . . . - - - -..z
b
En effet: dans
U, N(5) = D
tandis que dans
10.2;
Par conséquent
Nu(5) est transitif sur {a,b} et sur {y,z}; et comme y n'est
pas adjacent à
a
et
b·,
z
aussi ne sera pas adjacent à
a
et
a.

II.9.-
Il en résulte que les adjacences de
z
sont, compte tenu du fait que
G induit
dans
r un sous-graphe fortement régulier de paramètres
(162,56,105,10,24):
y
•
De la connaissance des sous-graphes induits sur
~
et
r par ~ et des actions
des fixateurs d'un point dans chacune des orbites de
U
on déduit le schéma
y
suivant :
56
112
2
Sur
r' = {a} U ~56 U r
nous avons, en particulier un graphe connexe, régulier
105
de valence 56, et tel le fixateur du sommet
a
dans son groupe d'automorphismes
contient un M - s ous - gr oupe .
2 1
Par la Prop.2, r'
est identifiable à un ensemble
où
UlM21
U stabilise
r'
et opère sur
La seule action possible sur ce

II.10.-
dernier est de fixer
y
et d'être transitif sur
~' = ~~6 U f
Partant
~'
56.
est identifiable à l'ensemble des droites totalement singulières de la quadrique
hermitienne associée à
u.
Ainsi
U induit un groupe d'automorphismes de
G, et nous avons le schéma suivant
112
1
81
56
1
l" .
50
~
avec
U ~ GY
~'
f'
Par suite
G
= U.2 en vertu de la Prop.1.
y
COROLLAIRE DE LA PROPOSITION 3 : Soit
G
un graphe de Mc Laughlin.
Alors
8 6 3
G = Aut(G)
est transitif et d'ordre
275.2. 1 1
U = 2 .3 .5 .7.11
et
G
est for-
tement régulier de paramètres
(275,112,162,30,56).
PROPOSITION 4 : Le groupe d'automorphismes du graphe de Mc Laughlin contient un
sous-groupe d'indice 2, simple: Mc.
Preuve: Nous venons d'établir que
G = Aut(G)
est transitif sur
n et que le
stabilisateur
G
d'un point quelconque
x
de
n est isomorphe à
U
x
4(3).2.
Soient
C
la classe de conjugaison des U
1
4(3)-sous-groupes ainsi déterminés et
C
la classe correspondante de leurs M
2
2 1-sous-groupes.
G
opérant par conjugaison est transitif sur
C
et
C
les fixateurs d'un
1
2,
élément étant isomorphes respectivement à
K
= U
= M
1
4(3).2
et
K2
2 1.2.
Aut(M
= t1
opère comme
S3
sur les 3 classes de conjugaison de A
2 1)
2 1.D 12
6-sous-
groupes du
M
et le noyau
N = M
est nécessairement isomorphe à
K
2 1,
2 1.2
2.
Nous allons montrer que
N
est une extension de
M
par des dualités
2 1
PfL (4) = M
opère comme
S3
sur les 3 classes de A
par
3
2 1.S3
6-sous-groupes,
conséquent
N n PfL
= M
Il en résulte que toute involution de
N, extérieure
3(4)
2 1.
à son M
est une dualité.
2 1-sous-groupe

II.11.-
4
Les éléments de
C
déterminent deux familles
D
et
de 2 -groupes (car
2
1
4
chacun possède deux classes de 2 -sous-groupes).
D
et
D .
Par suite
G possède un sous-groupe d'indice 2, que nous notons
Mc,
1
2
transitif sur
O.
Montrons à présent que
Mc
est simple
Supposons que
Mc
ne soit pas simple et soit
*- H <l Mc :
1. U
<Mc
Slnon
Mc n U
= 1 (car U
est simple)
et alors
4(3)
4(3)
4(3)-
IGI~IMC.U4(3)1 ce qui est impossible
2. Par un argument analogue, H n U (3) = 1
4
3. Comme
~
est connexe, G
est primitif sur
0
[23];
par suite
U4(3)
est maximal dans
Mc.
Il en résulte que
Mc = H.U
c'est-à-dire que
H est
4(3),
2.11
un sous-groupe normal de
Mc, régulier sur
O.
Mais alors
IHI = 5
et un
~...t
11-Sylow serait caractéristique dans
H
doncVdans
Mc.
Partant
U
opérerait
4(3)
sur un ensemble de 11 points (l'orbite du
~11
contenant son point fixe dans
0).
Contradiction car
U
ne fixe qu'un seul point dans
O.
4(3)
§ 2. CONSTRUCTION DE
Mc
(2ème APPROCHE).
Introduction.
Dans cette 2ème approche, Mc
apparaît comme le fixateur d'un
24
simplexe, en fait d'un triangle 322, dans le groupe des isométrie: de
lli
con-
servant le réseau de Leech;
et.3
l'un des groupes de Conway comme une extension
2-transitive de degré 276 de
Mc.2.
Notre propos dans cette section n'est pas de décrire cette approche malS seulement
de fournir une intuition de celle-ci
(tâche d'ailleurs difficile compte tenu
des nombreuses étapes par lesquelles il faut passer).
Nous renvoyons aux référen-
ces [7 , 8 , 9] ainsi qu'au mémoire de licence de A.Regnier [40] où on trouvera
des détails de certaines démonstrations omises dans celles-ci.

II.12.-
Définitions et Notations.
1. Le réseau de Leech.
Soient
S
le système de Steiner
S(5,8,24)
construit sur
n = {0,1, ... 22,00};
C
le sous-vectoriel de dimension 12 de
p(n)
sur
GF(2)
engendré par l'ensemble
C
des octades de
S;
l'espace réel euclidien dont la base canonique est
8
indexée par
n : B = {e. 1 i E n}.
l
Le réseau de Leech est le ll-module
A, réunion des ensembles
[C,ml
où
e et m
parcourent respectivement
C
et
ll,
[C ,ml
étant l'ensemble des vecteurs
x = ~
x.e.
de
soumis aux conditions
l
l
iEn
* ViE n : x. E II
l
* ~ x. = 4 m
l
iEn
m (mod 4)
Sl
i t- e
* xi ={m + 2 (mod 4) Sl l E e
On a la propriété que : V x,y E A : x.x =0 (mod 16)
et
x.y =0 (mod 8)
ce
qui permet de définir les ensembles
A
= {x E A
x.x = 16n}
(appelés ensemble
n
n
de vecteurs de type
n)
et les intervalles
- - -...
•
avec
x - y E A
(appelés
n
x
y
intervalles de type
n ) •
2. On définit des simplexes de dimension 1, 2 et 3 comme suit
a
pour un intervalle de type
•
~
a;
pour un triangle de type
abc
•
0..
pour un tétraèdre
abcaSY
24
Si
·00
désigne
le groupe des isométries de
E
conservant
A
(isométries
de
A) et
-0
le groupe des isométries centrées, on note
.s
le fixateur d'un
simplexe
s
dans
.00.

II.13.-
Résultats
Rl
En étendant linéairement l'action des éléments
TI
de
M
= Aut(S(5,8,24))
24
sur les vecteurs de base
(TI: e
- eTI(i))' celui-ci devient un sous-groupe
i
de
·0.
R2
·0
possède un centre
Z = {I,-I}
avec
l = 1
et
.O/Z = ·1
est un groupe
24
21 9
4
2
simple d'ordre
2
3.5.7 .11.13.23.
R3
'00
est transitif sur les intervalles de type 2 et 3;
sur les triangles de
type 322, 222, et 332;
et sur les tétraèdres de type 322222.
18
5
3
·2
est simple d'ordre
2
.3.5 .7.11.23;
·3
est simple et d'ordre
10
7
3
2
.3.5 .7.11.23.
Ces 2 forment avec avec
.1 les 3 groupes simples spo-
radiques construits par Conway en 1968 [4].
R4
Pour
x = 4eoo + en E A
et
y = - 4e
+ en E A , Oxy
est un triangle 322.
3
o
2
(Pour
C ~ n : e
= ~ e. ) .
C
1.
iEC
A = {z E A
Oxyz
est un 322222}
est formé
2 1
- de 22 éléments
p. = e
- 4e.
avec
i E n ...... {O oo}
,
1.
n
1.
- de 77 éléments
qK = en + 4e
- 2e
avec
{O,oo} c K E C
00
K
8
- de 176 éléments
r
= 2e
avec
K' n {o ,»} = {oo}
et
K' E C
K,
K,
8
Ainsi il y a 275 tétraèdres 322222 de base
Oxy
et on peut montrer que
V Q , b E A : a - b E A
ou
A .
Grâce à cela on peut définir sur
A
une
2
3
structure de graphe
t;
en décidant que : V 0 E A : adj (a.) = {b E A 1 a - b E A }
3
Ce graphe
t;
s'avère être régulier de valence 112. avec
-322
comme un
groupe d'automorphismes.
D'un autre côté
-222
est isomorphe à
U
Si
Oyz
est un triangle 222
6(2).
et
B = {x E A
est un 322222}
alors la transitivité sur les tétra-
3 1 Oxyz
dres implique celle de
U
sur
B
et le fixateur d'un point de
6(2)
B
dans
8.
celui-ci est d'indice
2
11 = 2816
donc isomorphe à
U (3) .
4
Par conséquent
·322
contient un
U
comme fixateur d'un point dans
A.
4(3)

11.14.-
Le graphe
G est donc régulier de valence 112 et le fixateur d'un certain
sommet contient un
U
En vertu du § 1, G est un graphe de Mc Laughlin
4(3).
et
IAut(G) 1 = 2\\-3221.
Par conséquent
-322 ~ Mc.
R5
Considérons à présent le vecteur
x = 4e
+ en E A .
Il Y a un ensemble
Ô
o
3
de 276 paires vecteurs
{y,d
avec
y + z = x
et
y,z E A2
{{4e
+ 4e
4e.}
1 E n ....... {a}}
au nombre de 23
o
i,en
1
{{2e
+ e
- 2e
K,4eo
K} 1 a E K E Cs}
au nombre de 253
n
Et Sl
{yo,zo}
est une paire quelconque de
Ô, pour toute autre pa1re
{y,z}
de
Ô, un calcul permet de se conva1ncre qu'on a le schéma suivant
o ...---.;~---~,. x
Pour
(-a)
= '3, la transitivité de '00 sur les triangles 322 et les tétra-
x
èdres 322222 implique la 2-transitivité de
·3
sur
Ô
et le stabilisateur
de la paire
{yo,zo}
contient un sous-groupe d'indice 2 isomorphe à
,322.
-3
est donc une extension 2-transitive de degré 276 de
Mc.2.
§ 3. LES SOUS-GROUPES MAXIMAUX DE
Mc_
Introduction.
La détermination des sous-groupes maximaux d'un groupe fini simple
se base sur les principes suivants, contenus dans un Lemme de Finkelstein [14]
:
LEMME : Soit
G un groupe fini simple et
M(G)
la collection de tous les sous-
groupes max1maux de
G.
M(G)
est caractérisé par :
(i)
Tout élément de
M(G)
est le normalisateur d'un sous-groupe caractéris-
tiquement simple de
G
(ii)
Tout normalisateur d'un sous-groupe caractéristiquement simple de
G

-
-
-------~
11.15.-
est un sous-groupe d'un certain élément de
M (G)
(iii)
M(G)
est minimal pour (i) et (ii).
Comme tout groupe caractéristiquement simple est abélien élémentaire ou produit
direct de groupes simples non abéliens isomorphes, la détermination de
M(G)
se
ramène à
1°/ recenser les abéliens élémentaires de
G pour chaque premier
p
divisant
IGI;
déterminer les normalisateurs de ceux-ci et sélectionner les maximaux pour
l'inclusion: on obtient ainsi les maximaux p-locaux.
2°/ recenser les groupes simples et produits directs de groupes simples non
abéliens contenus dans
G, déterminer leurs normalisateurs et sélectionnèr de nouveau
parmi eux les maximaux pour l'inclusion.
Dans [ 13] , Finkelstein a déterminé tous les sous-groupes maxlmaux de
Mc.
Dans notre travail, nous considérons ce résultat comme acguis;
il se formule
dans le théorème ci-après.
THEOREME 1 [13]
: Mc
possède 12 classes de conjugaison de sous-groupes maximaux
4)
4
3 classes de 2-locaux
N(2
(2 cl)
= 2 .A
et
C(2) = 2 AS
7
4
4
2 classes de 3-locaux
N(3A)
31+4.
=
28 5
et
N(3 ) = 3 .M 10
classe de 5-locaux
N(5A) = 51+2. 3. S
6 classes de non-locaux
U
(1 cl);
M
(2 cl);
U
(1 cl);
4(3)
22
3(5)
N(M
) = M
(1 cl)
et
M
( 1 cl) .
2 1
2 1·2
11
Remarques à propos de l'existence de ces groupes comme sous-groupes de
Mc.
* Pour U
cela résulte de la construction même de
Mc
et il opère comme
4(3),
2,112,162]
[1
sur
S"2
.
276
* Les faits suivants permettent des deductions :
1)
-3
contient
Mc.2
qui opère comme
[1,275];
Hi-8
comme
[100,176]
et
M
comme
[23,253]
(cf. [9 ] ) .
Par conséquent
Mc.2
contient
M
[1 ,22,77 , 176] ;
23
22

II. 16.-
4
et
2. A [, ,7, '5 , '12, '40] .
Il en résulte que
Mc
contient
7...
4
des sous-groupes isomorphes a
M
U ( 5 )
et
2.A
(si
G = H.2
alors tout
22,
3
7
sous-groupe de
G est soit contenu dans
H
soit de la forme
K.2
avec
K un
sous-groupe de
H) .
2. Pour
x = (2'2,0'2) = 2e
avec
D
une dodécade de
S(5,8,24)
on a
D
x €
11. '
Si
-3 = (-0)
et
e: = e:
(e:(e.) = e.
si
i ,. D et
- e.
S1
1
€
D)
3
x
D
1
1
1
alors
C(e:)
qui est le centralisateur dans
-3
de cette involution est de la
forme
e: x M'2
et
Mc.2
contient un
2 x M"
soit donc que
Mc
contient des
M". [ 9]
3. J.G.Thompson a construit la table des caractères de
Mc
et (probablement)
déterminé les structures des centralisateurs des éléments de
Mc.
En particulier
1+2.3.4.
C(2) = 2 A
(extension centrale irréductible), C(3A) = 3,+4.
8
2A5, C(5A) = 5
4. Le fixateur des sommets des 2 t.ypes d' arêtes du graphe de Mc Laughlin sont
et donc les stabilisateurs sont de la forme
On
verra au chapitre 3 que
(Section 2).
Nous donnons dans le tableau ci-dessous les ordres, indice et actions sur
n275
des sous-groupes maximaux de
Mc.
5~.~. ~';:f~;- ---- .--,----- ---'- --o-
f
cn.J."~h
U~(!)
lun~o ,J'.36.~.J
[4,111, Hl]
. _. - - - . - - - f - - - - - - - - , . - . - - - - - -
--------_._.- '-' ---- - --_..., ,- -_..-------
L
(N'J) .. (UJI)
,,~5.5"~O: t J 3 $.~
JOI!\\":
3". s'
(u.lI,HeJ
4
J
- - . - - - - _.._--_._.
_ . - - _ . - - - - - - - - ---_._.. - - - - - - - - - -
- - - - - - j
U.. (5)
4UOOO: J". 3'.5"'. i
- - - - _ .__.- ._----- - - - ' --------_._-
"':1" .. 00: 1'. 5'. J
rA.,
i f
s o , Ri, Hl]
------_... ----_._---
- -- ._ .._ ...._ .. -_. -_._---
"'51t0~: 1'. S'I. 7.11
( 5,11oJ
- . - - - - - - - - - f - - - - - . - - - - - -
{ 1. 11'.111, 1... J
-_. _._-_... _---. _.- _..._---_.-
[B.I~OJ
- - t - - - - - - - . - . - - - - - - - . - - - - - - - - - - - - - - - - . - - - - ----..-
M11
1910 : )".3'.5.14
- - - - - - -
._------------
-.-------- -. - - - - - - - - - 1
5H J. ~. 8
J 1100,
l'. 3. s J
{1B, HoJ
- - -_._-_......_ - - - - - - - - - -
- - - _ . _ - - - - - - - --_._------_._--------'

III. 1.-
CHAPITRE III
LES CARACTERES PERMUTANTS PRIMITIFS DE
Mc
INTRODUCTION.
Appelons caractère permutant primitif de
Mc, le caractère permutant correspondant
à son action sur l'ensemble des classes gauches d'un de ses groupes maximaux.
Pour un groupe
G, Sl
H
et
K
sont deux sous-groupes conjugués, alors les actions
de
G sur
G/H
et
G/K
sont équivalentes et les caractères permutants correspon-
r
dants sont identiques.
Dans ce chapitre, nous nous proposons de déterminer les valeurs des caractères permu-
tants primitifs de
Mc
correspondant aux 12 classes de conjugaison de ses sous-groupes
max~aux, ainsi que leurs décompositions en caractères irréductibles.
La résolution d'un tel problème n'est pas uniforme, cependant notre expérience concrète
nous a conduit à essentiellement 4 cas que nous examinerons succesivement :
1er cas
U4(3), M
U
et
M
22,
3(5)
11
4
2ème cas
3.M
et
M
10
2 1·2
4
1 2.3.8
3ème cas
2.A , 2 A
et
5 +
7
8
4.2S
4
1
ème cas
3 +
5
Et nous avons la proposition suivante
PROPOSITION 1 : (i)
Les valeurs des caractères permutants correspondant aux 12 classes
de conjugaison des sous-groupes maximaux de
Mc
sont fournies par la Table 1.
(ii) Les décompositions de ceux-ci en caractères irréductibles sont
fournies par la Table 2.
Remarques: (i) Dans la Table 1, pour chaque caractère permutant, la 1ère ligne indique
les valeurs, et la 2ème les orbites du centralisateur dans
Mc
de l'élément corres-
pondant lorsque celui-là opère sur l'ensemble des points fixes de celui-ci;
avec la
convention que
"t"
signifie que l'action est transitive.
(ii) On constate qu'aux deux classes de
M
correspond le même carac-
22
tère permutant;
il en va de même pour la classe de
M
et les deux classes de
2 1.2
4
2.A .
Cependant pour ce dernier cas les actions des centralisateurs diffèrent (cf.
7
pour les. involutions).

11.17.-
§ 4. DEUX CARACTERISATIONS DU GROUPE SIMPLE
Mc.
4.1. 1ère caractérisation.
Elle est due à Z.Janko et S.K.Wong [31] et se formule
THEOREME 2 : Soit
G un groupe fini simple d'ordre palr.
Supposons que:
(i)
G possède une involution
t
telle que
H = CG(t)
soit isomorphe
à
AS = 2 AS
(l'extension centrale irréductible de
A
par une involution)
8
(ii) G '*02,(G).H, avec
02,(G)
le plus grand sous-groupe normal d'ordre
impair de
G.
Alors
G est isomorphe au groupe
Mc
de
J.Mc Laughlin.
Remarque: Cette caractérisation s'inscrit dans ce qu'on a appelé le "Problème
du centralisateur d'une involution" à savoir : ~ étant donné un groupe
S
conte-
nant une involution
t, dans son centre.
Déterminer tous les groupes finis sim-
pIes
G tels que
CG(t) ~ S ~ [26]
Pour
S = A = 2 A
(n ~ 4)
(Schur a montré que
Za ) est d'ordre 2), il n'y
n
n
n
a que deux solutions : n = 8
qui donne
Mc
et
n = 11
qui donne le groupe sim-
pIe sporadique de R.Lyons [35] noté
Ly-S.
4.2. 2ème caractérisation.
D.E. Taylor [16] a prouvé que
·3 = Aut(o)
où
0
est un 2-graphe régulier de
paramètre
(276,55,-5).
J.M.Goethals et J.J.Seidel [18] ont prouvé qu'il existe un unique 2-graphe régulier
de paramètres
(276,55,-5)
et que le dérivé par rapport à un point est un graphe
fortement régulier de paramètres
(275,112,162,30,56).
D'autre part à tout graphe fortement régulier sur
n avec les paramètres ci-dessus,
on peut associer un 2-graphe régulier sur
n = {x} u n dont il est le dérivé par
rapport à
x.
Il suffit pour cela de prendre pour ensemble de triples ceux de la
forme
{x,w
}
avec
{w
}
une 2-clique de type 112 ~
{w
}
tel qu'il
1,w2
1'w2
1'w2'w 3
contient exactement une ou trois 2-clique(s) de type 112.

1Ct~) 1
Z~l6.S'~ l.1I ~~at..s: " ~J. 36.S Z~ 3$ .tS: 3 !.I.SJ
Si
t~a~s .t~ al ~.~
1.1
.1 3
aS
aJ I.a.$' if
11
.t~' ~.l
l.f
J.I.S'
'.I.t t.~.S l.!.S
x
-fA
.lA
3A
36
&tA
SA
S8
6A
68
~A
lA*
lA
SA
SA" 10A
HA 1fA- flA t/fA illN' it'A
1(~« JoA 3oN'
t~s
Z~S"
&S
s
-tlt
l-
a
s
5'
!
l
t
-t
l-
'"
0
a
0
-t
0
0
0
0
0
0
~
t-
il,'!
-1,6
t
t
iL
~
~
"" ..
l '
.lo.tf
lfoS
<tOI
0
Jl
9
0
s
0
a
z
t.
of
0
0
0
i
5
'"
0
0
0
0
0
0
0
~
t
J.'
~
t
fi
t
1\\113
11tet
16B
0
.tl
Jlz.
&
3
a
3
J,
t.
L
0
0
a
0
a
0
0
0
a
a
0
0
t
t
t
t
."
~
~
t
iL
t
1S"'ctClO
.no
...0
al
.r.o
0
5
JlO
-f
0
0
J,
of
of
0
a
0
1,
0
0
0
0
0
0
<t>:r'too
t
e
-f, ,u.l
r, .t
~
t
",,z,
-11.
~5'''. iS',.OO 5"6
9i
10
.fI.
15
0
Jlf
.t
0
0
'"
"1
1-
of
0
0
.1
0
0
of
i
of
of
t
t'
-f,10
'1.1.
'f6
~ttlS .U~1s"
".~5'
0
5"ct
1S-
0
5'
0
6
1.
-t
i-
0
a
0
0
0
0
JI
'1
0
0
0
0
Ho,3i$'
t:
3, (,l
t
1:
- - - - --.--- ____ 0"
_._- ._"- . -
~:HS
..
.lH1S
4.1r
0
S'Ct
"$"
0
5
0
6
1-
1
"1
0
0
0
0
0
0
of
0
0
0
0
15',lftO
J,L
3, Il
t:
32,
1>~llS
JUlS'
.l"-1
Si
~l-
J-
.f.5
0
(
1-
i
..
'1
0
0
'1
0
0
"
1
""
-1
'"
1
1
-t,HO
~
1:
-f,'
1:
-1,3L
4~UJlf~ -113't~
ho
0
Sct
""z
0
5
0
6
0
0
t
0
a
0
(
i-
a
0
0
0
0
0
0
~
l:
t
t:
t
1~
f~316 -l993i-6 336
486
0
fi
"1
"1
6
0
0
-0
ft
0
0
-i
a
0
.1-
0
0
-i
1
1
1
H
t
1:
ItL
l:
1"
1'"
H
H
.ro.
TA BLE 1
1

III.3.-
S~1~t Rca."")
.:Déc.CP'\\'Poti~- k
,cQK a.eA;~ f ctI\\."""",ta.~ ~"'fAlf cm.cl~
41i1'CL":'IW\\.!
u.. (~)
a
cR~S' : -1 +.xu + XJSl
4
l
iou: '1 ~ Y-Jl. .. 1.~~1 + 1"15'0
"u ,Mu It
U (r)
s
3
cf'H18 : '1 + :1.11. ...J..JSI. ... 11':15'0 + 151 0J
3lt M10
10
~S"O't) Jf+.xu ...1.1.1S'J. ...X ~ x;S"zo +X"S'CTO + 1
:
1 1 5 0
S103
3"""•.2 s,
S
~C"I'O ~~ s.; ... X"S'~ + X
::
S 10 3
+ XSS'''''''
M2"l • J.
1a
t:J.l~S = ..,+.x.rt ... .1X~S1 ... ~ X'11S'o ... ~~S'zo + XS103 ... X961S'
(.2.: A~1.
13
~1:11S :
(.z~A~\\
<B:~H'
J.A,
6
~u~.r : If+ X,zS'J ... X"'lSO + .xS103 ... .xSSI+I+ + .x".zS'
t1.....
39
~"3"'~ .., ~ .x~t ...
~
:
.2Xl Sl
3 X1?50 + .2.X~5l0 + x".Sot> ...~ .ls-IOJ.
- 4
Y.
... i"
... 3X
~ i"
- 1
- 1
+:1.
+'J.
-"
+t.
'150
IUc>
~Us
9156
9156
103'5
10395
5"+1.3. Z -1-t4
- 1
-2.
X
1 1
:J.
1 + 'xJ5% + 'xS9'
t'93t6 =
't XI 9 , '"
":fS'o +
3$%0'" 3
,,"S'cm
- 1
- "
- 1
+ ~ .xItlS1 ... 3 15 163 ... ~ ~S51t&t + 11'C>19 ... .1 j'.019 + 3 XU50
-1.
X
- 1
- 1
- 4
1.2.
... 3 X'15'c> + lt
~'25"'.t ~9IS' ... ~ X9 IS' + Jt 110395 ~ 1+ 10395
TA8LE
.t

III.4.-
Preuve de la Proposition ,.
Nous allons exarruner séparément les 4 cas annonces
dans l'introduction, dans les quatre sections qui suivent.
SECTION'
Les caractères permutants correspondant à
U4(3), M
U (S)
et
M"
22,
3
Démarche générale.
Soit
H un sous-groupe d'un groupe
G.
Nous avons vu (Prop. 7, p.I.22) que les
valeurs du caractère permutant sont données par la formule
1 Cl ( x ) n HI· 1CG (x) 1
v x E G
cP(x) =
IHI
où
CI(x)
est la classe de conjugaison de
x
dans
G.
Par conséquent pour connaître les valeurs de
cP, il suffit de déterminer les inter-
sections de
H
avec chaque classe de conjugaison de
G.
Pour cela, notons d'abord que si
X est un caractère de
G, sa restriction à
H
est un caractère de
H.
Soit
X un caractère non principal, irréductible, de degré minimal, de
G;
sa
restriction à
H
est une combinaison lineaire de caractères irréductibles de
H,
soit
X.
Si
C
est une classe de conjugaison de
G, avec
C n H *cP
alors
V x E C n H
X(x) = x(x).
Par conséquent nous avons le lemme suivant:
LEMME : (i)
X
étant choisi comme précédemment, C une classe de conjugaison d'élé-
ments d'ordre
n
de
G, H
contenant des éléments d'ordre
n.
Une condition nécessaire pour que
C
rencontre
H
(i.e.
C n H *cP)
est qu'il existe
un caractère
X de
H, de même degré que
X
et une clas se
Cd' éléments d'ordre
n
de
H tels que: X(x) = X(y)
avec
x E C
et
y E C.
(ii) Si
C
satisfait (i), une condition nécessaire pour que
CcC n H est

III. 5.-
Remarque: Avec ce lemme (cela a été le cas pour nous), il est possible dans bien des
cas de parvenir à déterminer les valeurs du caractère permutant
~.
Sinon, il faudrait
faire appel à d'autres moyens : par exemple la connaissance des actions de
G et
de
H
sur un certain ensemble
X
et de certains graphes qui y sont associés.
Notons que les tables des caractères de
M
U ( 5)
et
M
figurent dans [37], tan-
22,
3
11
dis que Todd [49] a construit celle de
U4(3) .
Solution du problème.
Mc
possède un caractère irréductible de degré 22 qui est rationnel.
Lorsqu'on le
restreint à
U4(3) , M
U ( 5 )
et
M
un algorithme simple montre que les décompo-
22,
3
11,
sitions sont respectivement
~1 =
+ X
pour
U
2 1
4( 3 ) ;
~2 = 1 + X21 pour M22;
~3 = 1 + X
M
.
2 1
pour
U ( 5 )
et
~4 =
+ X
3
10 + X11
pour
11
En calculant les valeurs correspondantes de
~1' ~2' ~3
et
~4
on établit aisément
les correspondances entre les classes de
Mc
et celles de chacun des sous-groupes
\\
maximaux concernés.
Il est alors aisé, avec l'aide de la Proposition 7 (p. 1.22)
de déterminer les valeurs des caractères permutants (cf. Table 1).
Pour obtenir leurs décompositions, il suffit de former le système linéaire approprié
(cf. Chap.I) et de le faire résoudre par l'ordinateur, ce qui conduit aux résultats
de la Table 2.
SECTION 2
Les caractères permutants correspondant à
Introduction.
Désignons par
G(112)
et
G(162)
les graphes induits sur
n
par les orbitales
275
de longueur 112 et 162.
Nous avons vu au Chapitre II que
3~M10 et M
étaient respectivement les stabi-
2 1.2
lisateurs d'une arête de
G(112) et
G(162).
Par conséquent les actions de
Mc
sur
Mcl 4
et
MclM
2 sont équivalentes respectivement aux actions sur l'ensemble
3. M
21 .
10
des arêtes de types
112 et 162.

III.6.-
1
Calculer les valeurs des caractères permutants
et
1
revient donc
4>15400
4>22275
à déterminer le nombre d'arêtes de chaque type stabilisées par un élément de
Mc
dans son action sur
Nous adopterons la démarche suivante :
- Grâce aux valeurs de
4>275' on connaît la décomposition en cycles des éléments
de
Mc
dans son action sur
n
tandis que les valeurs de
4>112
275;
et
4>162
pour
U
(cf. Appendice) nous livrent les graphes induits par
G(112)
et
G( 162)
sur
4(3)
l'ensemble des points fixes
Fix(x)
de tout élément
x
de
Mc.
Il est alors possible de connaître le nombre d'arêtes de chaque type fixées par un
élément de
Mc, mais aussi le nombre de 2-cycles que cet élément contient.
Il suffit
alors de déterminer la nature de ces 2-cliques pour connaître les valeurs de
et
- Nous nous intéressons en même temps aux actions de
CG(x)
sur
Fix(x)
dans
1
et
n 15400
pour déterminer explicitement les structures de classes de
4
3.M
et
M
qui se résoud de la manière suivante:
10
2 1.2,
Sl
CG(x)
possède les
.4tt
-
-
orbites
8 , ... ,8
sur
Fix(x)
alors
Cl(x) n H
se casseV C
... ,C
avec pour
1
s
1,
s
x. E C.
1
1
Solution du problème.
*
a2b]
Une involution admet la décomposition
[1
avec
a = 35, b = 120.
Son centra-
lisateur
C(2A) = 2 A
opère sur
n
comme
[35,240].
Sur
Fix(2A)
il opère
8
275
comme
A
donc l'action est primitive de rang 3 avec les sous-deErés
[1,16,18].
8
Sur la 240-orbite l'action est imprimitive avec 120 blocs de 2 et le stabilisateur
4
d'un bloc qui est d'ordre
2 .3.7, contient un 7-élément.
Par suite les blocs sont
des 2.cliques de
G(162).
1
Il en résulte que
= 35.16 = 280 et
= 35.,18 + 120 = 315 + 120 =
4>15400(2A)
2
2
C(2A)
est transitif sur
Fix(2A)
dans
tandis qu'il possède deux orbites
n~5400
1
4
[120,315]
dans
(i .e.
3.M
possède une classe d'involutions tandis que
n22275
10

III. 7.-
M
en possède deux).
2 1.2
M
possède donc 120 involutions extérieures, conséquemment c'est l'extension de
2 1.2
M
par un automorphi sme du champ
GF (4) .
2 1
*
1 4.2A
Sur les classes d'éléments d'ordre 3 (C(3A) = 3 +
et opère comme
A
sur
5
5
2,12]
Fix(3A) [13];
C(3B) = 3~A4 [33] et opère comme
[1
sur
FiX(3B)), 5, 6, 7,
9, 10, 11, 12, 14, 15 et 30, par un raisonnement analogue, on détermine les valeurs
1
1
de
4> 15400
et
4>22275' ainsi que les orbites des centralisateurs correspondants.
* Pour les classes (4A) et (8A) on partira des considérations suivantes :
2
Soit
a
un élément d'ordre 8.
a
et
a
admettent les décompositions en cycles
3
7
30
suivantes sur
n
:
[1. 2 . 4 . 8
]
et
[1 7 . 2 14 . 460]
et
a
opère comme
275
sur
6
Le graphe induit par
G(162)
sur
2)
• C(a
qui est d'ordre
25.3
opère transitivement sur l'ensemble des 32-cliques
de
G(162)
de la 6-orbite.
Partant le 8-élément opère nécessairement comme suit:
• 162
· l
C)---.....I:::( )
car
M
ne possède qu'une classe de 8-éléments
(cf. Atlas [5'ItJ).Par conséquent
2 1.2
1
1
4
4
4
4>15400(8) = 2
et
4>22275(8) = 1.
Il en résulte que
3.A
= 3 .(A
~ 3.M
6·2
6·2)
10
car
A
possède des 8-éléments
(donc
* S6) et ne contient pas de 10-éléments
6.2
(donc
* PGL (9)).
2
2)
• Tenant compte du fait, C(a
contient des éléments de la classe
(12A), (8A), on
peut établir que
opère sur
comme
[1. 6· 12· 16]
"
,
et que les 2-cycles
2
de
a
dans la 12-orbite et la 16-orbite sont respectivement du type 162 et 112.

III.S.-
1+2
SECTION 3
Les caractères permutants correspondant à
et
5
.3.S.
Introduction.
Au départ, nous ne disposions d'aucune information concernant ces 3 groupes (structure
de classe ou table des caractères).
Nous avons dû déterminé nous-mêmes leurs struc-
tures de classe.
Par la suite, avec la parution de l'Atlas [54], la table des carac-
tères de
2 AS
est devenue disponible.
Nous estimons qu'il n'est pas inutile d'indi-
quer la méthode que nous avons employée pour ce cas des extensions centrales irréduc-
tibles.
Pour
2~A7' suite à un entretien avec B.Fischer, il nous a été possible de construire
sa table des caractères (cf. Appendice).
Un des outils dont nous nous servons ici se résume en ceCl
Soit
H
un sous-groupe de
G et supposons que le caractère permutant
~
de l'action
de
G
sur
G/H soit connu. Alors:
- V x E G, Sl
Cl(x)
est la classe de conjugaison de
x
dans
G alors
- Si
~(x) =
alors
Cl(x) n H est une classe unique dans
H
- Si
~(x) >
alors
Cl(x) n H se casse en
t
classes où
t
est le nombre
d'orbites de
CG(x)
sur
Fix(x).
A. CAS DE
Todd a construit les tables des caractères de
M
et
23
4
D'autre part
2.A
peut être vu comme le stabilisateur d'un point dans l'action tran-
7
sitive de
M
sur les 253 heptades du
S(4,7,23);
ou comme le fixateur d'un point
23
dans l'action de
2~AS sur l'octade qu'il stabilise (2~AS étant le stabilisateur d'un
point dans l'action transitive de
M
sur les 759
octades du
S(5,S,24).
24
Un algorithme simple montre que
~253 = 1 + X
+ X
et
~S = 1 + X
Les valeurs
22
230
7.
correspondantes de ces 2 caractères sont fournies par les tables 3 et 4.

IC(~I t~,~r.l. Il.U ,t1.s.:J 1'.3~S .l$'
a.s
1".3
1.f
l.~
.I J
1'1
'1'1
I.:J
1.~
&.S
3.&
15
l i
..
~
~
.tA
3A
4-A
SA
6#1
1A
iA*
SA
'f'fA
".,,.. 'f".,.
.If.'"
15""
1S A·
UA
"JA·
--la...
11"
11",8 1'3' 1"t',," 1"S'" i,cz& ,51.6& 13 ~3 111' 1&.1 It 1" 1"'11' 1&""~ 1~ f11t
'I.t '1' 1" '1ISiS
"'31' 1S
1U
'tU
~SJ
.19
tg(")
"'0
S
3
.t
'1
1
1
0
0
1-
i
0
0
0
0
TA BLE 3
1c(lIll .140 3~ S.:J 1"°. ~.1 .l~. 3 li. 51 1!3~S .If
,.t.
I.S
13.3
. .21. 3
1.1
1.l
J"
1.l
J.1
'In, su. nit
I l
~
1A
~A
t6
3A
38
".A
.. 8
~A
fiA
66
fA
lA-
lA
"liA
1~A·
Je .lJ)
..e
.. 1>
xl.lla
"t
l '
1·1' 113" 11'3
1.. ,.tl
11'"
1
1~S
1'3'
1213
1 '1
'U
1'" ...
·n
i l
.t.
.1.
J't
..~
~Ill.z_
".1'-
l' ~8
1'.l' 1'3' 1'al. 1ltZ 2 't"
1..1.....
1"5" 1',f' 316"
1',t'3"è
l' "
"'13 11.l ..3' 11lllt 1211.,. 1'.t' .1'" 1_ \\.. .,.6
t. ('\\
8
a
r,.
.t
5'
If-
1
3
.l
'1
'1
1
.1
i
1
0
0
0
0
8
'It
'..
11
i l
'1S'
'If
ifE
1fF'
'c
'f1 A
'!SA
1$'''-
TABLE lt
.. 3-
Itt
.l s
16
5S
as
.ltr~ .. 1~,tl If."
11 ,tl 3"6.l.
ZIf'U,
H
1 J 5 1S
1U'1S
H
H
.<o
0
0
0
0
0
0
1

111.10.-
Dans Table 3, la 3ème ligne indique la décomposition en cycles de chaque élément dans
son action sur les 24 points du
S(5,S,24);
tandis que dans Table 5 les 3ème et
4ème lignes correspondent aux actions sur l'octade stabilisée par
et sur les
24 points.
Grâce à ces deux tables, on peut déduire la structure de'classes de
L'unique
difficulté apparaît avec les classes d'éléments d'ordre 4, où là on peut faire appel
à l'argument suivant: A
qUl est le fixateur d'un point et d'une heptade non 1nC1-
7
dents possède une seule classe de 4-éléments, avec un centralisateur d'ordre 4.
2
Pour déterminer les valeurs de
~22275' seules les classes d'éléments d'ordre 3
nécessitent une nouvelle argumentation : en partant du fait que les orbites de
sur
n
sont de longueurs
[7,16,112,140], que celles de longueurs 7 et 16 sont
275
4
des cliques de type 162, on verra que ces classes dans
2.A
proviennent des classes
7
(3B)
et
(5B)
de
Mc.
NB : Il est également possible à partir de la table des caractères de
de rés ou-
dre la question comme à la Section 1.
Ici, la restriction à
du caractère ration-
2
nel de degré 22 de
Mc
se décompose comme suit: 1 + X6 + X15.
B. CAS DE
2 AS
La détermination des classes de conjugaison de l'extension centrale irréductible
2 AS
partira des considérations générales suivantes
1. Nous connaissons les classes de conjugaison de
Mc
et de
AS
(cf. Appendice).
-
Soit
f : 2 AS ~ AS : x ~ x
l'épimorphisme canon1que.
Donc
x = {x,ix}
où
1
est
l'involution centrale de
2 AS.
Soit
x
un élément d'ordre
n
dans
AS:
si
n
est pair, alors
x
et
1X
sont simultanément d'ordre
n
ou
2n
dans
2 AS.
Si
n
est impair, alors
x
et
1X
sont l'un d'ordre
n
et l'autre d'ordre
2n

III.11.-
2. Si
Cl(x)
est la classe de conjugaison de
x
dans
AS
alors
-1
-
f
~l(x)] = Cl(x) U Cl(ix)
où
Cl(x)
et
Cl(ix)
sont les classes de conjugaison de
x
et
ix
dans
2 AS.
Par conséquent toute classe de
AS
détermine une ou deux classes de
2 AS
suivant
que
x
et
lX
sont ou ne sont pas conjugués dans
2 AS;
en particulier toute
classe d'éléments d'ordre impair de
AS
détermine deux classes dans
2 AS.
A partir de ces deux considérations, on détermine aisément les traces des classes de
3
conjugaison de
Mc
dans
2 AS' donc les valeurs du caract~re permutant
cf>22275' et
la structure de classes de
2 AS.
Introduction.
7 6 3
Mc
qUl est d'ordre
2 .3 .5 .7.11
poss~de une seule classe de
U ( 5 )
qui est
3
4 2 3
d'ordre
2.3.5.7.
Conséquemment tout 5-Sylow de
Mc
est un 5-Sylow d'un certain
D'autre part Sl
a
est un élément de la classe
(5A)
de
Mc, il fixe 3 points dans
1+2
N
(a) = 5
.3.S
op~re transitivement sur
Fix(a)
et le fixa-
n 712S = MC/U3(5)'
Mc
teur d'un point est
K = NU (5)(~)' qui n'est autre que le fixateur d'un point dans
3
l'action 2-transitive de
U ( 5 )
sur les 126 points de la conique hermitienne de
3
PG(2,25)
qu'il stabilise.
L'idée sera donc de déterminer les classes de conjugaison de
K, ensuite de déduire
1
celles de
5 +2 . 3 . S
~,
.
grace a la connalssance de
~t~p~ ! : Structure 3e_c!a~s~s_d~ _K~ ~oEm~l~s~teur dans
U ( 5 )
3'~_5~-§1~m~n~o
3
En Appendice, nous avons le caract~re permutant
cf> 126
de
U ( 5 )
operant sur
U ( 5 ) / KO
3
3
Grâce à la formule "V x E U ( 5 ) : ICl(x) n KI.lc
3
u (5)(x) 1 = cf>126(x) .IKI"
on determine
3
les traces des classes de
U ( 5 )
dans
K, et il est alors aisé d'obtenir la structure
3
de classe de
K.

III.12.-
51+2 . 3 . 8
~~p~ II : Structur~ ~e_c!asses de
et valeurs de
4>299376.
". ".
'"
51+2. 3. 8
...
En se referant aux valeurs de
~7128
on constate que
opere comme
S3
1+2.3.8
1+2.4).S3.
sur
Fix(~) dans 4>7128. Par suite 5
= (5
Si on combine les.conna1ssances que l'on a des valeurs de
4>7128' de la structure
de classes de
K, on arr1ve plus ou moins aisément à déterminer les classes de conju-
gaison de
1+2 . .
5
3 8
...
et les valeurs du caractere permutant correspondant
4>299376·
SECTION 4 : Le caractère permutant correspondant à
PoUr ce sous-groupe maximal, nous avons été confrontés à deux difficultés
1. son indice est relativement grand pour permettre une application directe de la
méthode algorithmique.
2. sa structure de classes n'est pas aisée à déterminer.
2
Notre démarche a été celle-ci : Posons
TI = 4>15400
le caractère permutant de
Mc
2
sur
n15400.
Il est une combinaison linéaire à coefficients dans
lli
des caractères
rationnels irréductibles de
Mc, dont les degrés sont dans l'ensemble
{1,22,231,
1540, 1750, 1792, 3520, 4500, 4752, 5103, 5544, 9625}.
Nous savons que
31+~S = N(3A) possède une 5-orbite sur
correspondant aux
5
points fixes du 3-élément qu'il normalise;
et si
~5
est la famille des 5-orbites
1+4
des sous-groupes de la classe de conjugaison de
3
.2S
l'action de
Mc
sur
5,
2
n15400
est équivalente à son action sur
~5.
Au Chapitre V (Section 2) nous avons établi
que
31+4. 2S5 possède 2 orbites sur n275
4
3.M
possède 5 orbites sur
10
l'5
M
possède 4 orbites sur
2 1·2
J) 5.
...
1
Cela revient a dire que
< TI ,4>275 > = 2, < TI ,4>~ 5400 > = 5 et
> = 4.
< TI,4>22275
1
Supposons que
TI = 1 + aX
cX
+
22 + bX252 +
dX
+ eX4500 + fX
+ X
1750
3520
5 103 + gX9625

III. 13.-
Alors nous obtenons les équations :
+a+b=2
+ a + 2b + C + d + e + f = 5
+ a + 2b + 2c + d + e + g = 4
c = g = 0
c + g = 0
( 1 + a + 2b + c + d + e) + f = 5
( 1 + a + 2b + c + d + e) + c + g = J
f = 1
...
...
(1 + a + 2b + C + d + e) = 4
b+d+e = rt:
f = 1
a + b =
donc
Comme
b + d + e = 2
et
b E {0,1}
nous avons pour le triple
(b,d,e)
les valeurs
admissibles suivantes
(1,1,0), (1,0,1), (0,2,0), (0,0,2), (0,1,1).
Pour chaque valeur , nous essayons de voir si
7T
admet une décomposition de cette
forme
1
* (b,d,e) = (1,1,0) - 7T = 1 + X
+ X
+ X
+ X
avec
X(1) = 6524
252
3520
5 103
et par la méthode algorithmique on constate
qu'il n 'y a pas de solution.
* (b,d,e) = (1,0,1) donne 2 solutions
mais
7T
est exclue car
7T(4A) = - 4.
2
* (b,d,e) = (0,2,0) donne une solution
ma~s elle est exclue car
7T(6B) = - 31.
* {b,d,e) = (0,0,2) ne donne aucune solution
* (b,d,e) = (0,1,1) donne une solution
mais elle est exclue car
7T(6B) = - 6.

111.14.-
Ce qui conduit au résultat suivant
La décomposition du caractère permutant de
Mc
2
sur
n15400
est :
Et alors il est aisé de calculer les valeurs de ce caractère permutant.

IV.'.
CHAPITRE IV
DEUX MORCEAUX DU TREILLIS DES SOUS-GROUPES DE
Mc
INTRODUCTION.
L'intérêt pour le treillis des sous-groupes de
Mc
est apparu avec un des problèmes
qui font l'objet du Chapitre V : la détermination des orbites de ses sous-groupes
maXlmaux.
De simple moyen pour connaître des orbites, la connaissance, même par-
tielle de ce treillis nous a paru d'une importance certaine par le capital d'infor-
mations sur
Mc
qu'il permet d'obtenir.
Aussi avons-nous jugé utile de consacrer
ce chapitre à la construction de deux morceaux de celui-ci : les bases de ces treil-
lis partiels sont constituées par les sous-groupes isomorphes respectivement à
et
Convention de notation.
Dans un treillis, une classe de conjugaison de sous-groupes de
Mc, isomorphes à
H,
sera représentée par une bulle ~ avec un nombre à l'intérieur qui indique le
cardinal de la classe ou indice du normalisateur d'un élément de cette classe dans
Mc.
Le schéma ci-après s'interprète comme suit:
8x2
Chaque M
de
C,
3
contient une classe de conjugaison de 330 2.L
22-sous-groupe
3(2)-
sous-groupes contenus dans
C
et tout élément de
C
est contenu dans 2 élé-
2
2
ments de
Cl.

IV.2.-
- Tout 23.L
de
C
contient deux classes de 8 L
groupes
3(2)-soUs-groupe
2
3(2)-sous-
contenus dans
C
et qui fusionnent dans
Mc
(i.e. les éléments de ces 2 classes
3
dans
sont conjugués dans
Mc).
Résultats
PROPOSITION 1 : (i)
Le treillis partiel de
Mc
de base les sous-groupes isomorphes
à
L
= L
est fourni par le Schéma 1.
Le nombre de classes de conjugaison
2(7)
3(2)
des sous-groupes de
Mc
isomorphes à ceux intervenant dans ce treillis est
-----------y--- ~--
TyP" d' l.';l'llYlrphi snr
du sous-igroupe
Nomhre rl~ c]n~seo
.,
?
Il
c
de con..lllr,niRon
- - - - ' _ . - - -
Les types des sous-groupes et leurs actions sur
n
sont donnés par la Table 1.
27 5
(ii) Le treillis partiel de
Mc
de base les sous-groupes isomorphes
...a
est fourni par le Schéma 2 .
Le nombre de classes de conjugaison des sous-
groupes isomorphes à ceux qui interviennent dans ce treillis est :
ùA
Ty pe d'i"l'morphisme
UII~~~~~~5 .-~~~r~'~I'~I·'11"]1~1'1:]-ë~_"_1'11~laL'~]-~~~~'~~~1~':1~ '~j~~'-;;~l\\ 5~J'Ù~'>
'(
2
Nomhrp d~ cl~"Res
'l]
[
~i
~
d~ conJuv,Al"on
1
l
'-
1
2
1
;>
?
1
1
1
Il
l
,.
:'
2
Ù
1
1
.
._- .. _.... - -
-
-
-
- _ . _ - - --
-- .. -
---
.- - - - -
Les types des sous-groupes et leurs actions sur
n
sont donnés par la Table 2.
275
Remarque: La construction de ces morceaux de treillis est fort longue, ce qU1 rend
difficile l'exposé de tous les détails.
Notre démarche sera la suivante:
au § 1 nous énonçons un lemme dû à Finkelstein [14] et qui est un des outils prin-
cipaux dont nous avons fait usage.
Le § 2 donne la liste des sous-groupes maximaux de maximaux de
Mc
qui interviennent
dans ces treillis.
Pour
M
ceux-ci sont déjà dans .
11,
4
la littérature [15, 52 ] .
2.A
et
2 AS
nous avons établi
7

•
•
•
•
•
•
•

t""" -~"""1'"' (M)
Td~'
A.L:....
4w<
(1J1t''' 1\\..;
Nil. (Il)
",u.:_ ~ 1\\' ~ li
N.~
vY(J)
i Mtl
(tA, 18 ,~~, se, 'e, fA ,M',\\A, 11A, l'A ,)
[H, H, l1(,J
-...:-t.
i
--_..
...------'
--
! 11,~
(lA, u, ~II,s"8,'8,lll,lA',an,1t~,1'A')
[H, u, 1lf.]
,... .~.J.
l
, lJ5lS)
(a, 56, ~ ", s'l, SB, hl, lA ,lA', lA, 1~II)
[56 t , HfJ
-_J.
1
,--
1 !J. (Il
(lA, H, 16, ~A, se,6A,'8,1A,lA',lA,'A,'A',1U)
[1, Ml, 1'lJ
-...........
,
1
!'4 Ai
(lA,~a,,,A, s's, 'B, fA, lA', IA,nA,I~A')
[1,1("
11l, 1~oJ
..............J
,
f----:-
1 Z" A,l
(lA, ~6, "A, S8, &fo, ~,lA",'A, "~A ,1~II')
[1,16, 11L, ,,",0)
............t
!
-
1
lAI
(U, iA, 38, 'tA, '4,€.A,~, 14,lA',M,-loA,4lA,1otA,
[ 35, .1..,0)
_-...0
!
101'
UI
. . . .
~.A loA"
-
1 H,". 4
(tll.U,~A, r6,",lA,lAe,u,~~A,1~A')
[l,56, 16r-, 111.]
_.....:-l
i
._-
j
A'
(lA,ll! ,"II ,U, '8, l~,loll')
[1,1, 1r, Ir, ..{,lo,iOT]
Af
U,(S), .r.~II; ,uJ(r)
,
,
,
-
-
i A'
(lA ,\\9, ~~t ra,~, h,lA')
[1,1,11", Ir, ftl, p,1.oS"J
Al
U, (s), J~lIll , ~ (r)
1
i A;
(lA, '11, .,,,, s6, &6, l-A, 111')
[1,f,"r,H-,,,t,1oI~]
A~
~(II, H.c;
. ---------
i A:
(.I.A, ~, ~A, 58,~, 111, 1/1'1
[1,1, ".r,3 r , ...1. r To, 10rJ
Af.
U~ (1) , ",~
~ AI
(lA, ~, ..A, fil, 6-6, 11\\, lA' J
[f' "r!., 3fl,ltl, "Iii]
Al-
Us(S), /T,;, He:
!
._--
l
H'
(U,n, 'tA, 1"S,l" ,lA')
[1 4
..
, H', -lOSJ
H"..L
U, (J), 111.0"
j
----
i l\\~
(lll,~, "",$"6,1011, M"'
[1, HL, 56', 1lo]
~
U, (1), t1~ , t1l~
l
! UJ(J)
(lA, JA,U, !tA, 'A, U,lA', U,1tll)
[1, H, "~t, it' ]
US(I)
U~(I)
1
1 (t"/JI"),
(t~,38,~A,'l!,'",:tA,lA' ,1~A,'.I\\'l
(l, H, U , h, 1~o]
J!L~(l)
.r.~,,\\ 1.41
l
- - - - -
l
1(l"L
(l4,16, ~A,~,tA, lA,M",1'tA,1~A6)
, 1.A,
J (11)4
[l,16,II,I~, 1~O]
.r.~~(l)
.r."4f
!
l
(J"L
CtA ,le., ~ A, 'fi, lA, lA , lA", 1~A, 1~A')
[1,16,l.I\\ -I1t J
.r.'LJ(l]
J~A.;
J(l))1
._-
tJ"~(A)L
(.lA, 511, "A,61l,rA,l",11\\·,14A,1~A")
[1,14, U,11lLJ
.r.~LJ (l)
l~A~L.
1 (J'IJ(,,'.
(.I.A, U, ~A, U, 111, lAI)
(1. ,l, 1~L, ss-, 11l]
(l·~tl)).
H':" ' l.";
i (,llJ(.,)"
lU, 18, 4A, 68, lA,14')
[l, Il, 1~L, s€.l, 111]
t"LJ(')~
ha~ , N~
i
1 l.L.l(')
(lA, 16 , ~", '8, H,lll' ,1.A,~.Ai)
[l, 1\\ ,,~l,ll, .l, f,5J
leL)("
~Lt. L 1 l'~, l'A: ' l.A,
!
"~, "~L , 1J1(J), H••:t-,-· -- -.
1 (LJllI)
(.r.a,18,~A ,lA.H')
["'\\ P, 1~', H, U",!tl,r6 ]
LJ{ll
l
"f,)
i (li(")"
(lA. H, ~",l" ,11\\')
[1t , 1', ,,~l,.I.1, u·, 1ft, HJ
J1L3(1)
1Il<.l, Ut. l"A;, l"Ai, u (s) , u~ (1)
J
(t.J(t\\)"
(111,38, '<A, lA,U')
[-1,1., 8 ,,,~,,u], "1,84]
1J(l)
Il;, ' l""i, Ul(I) , 111~ , V,U)
1,
(lJ(l')
~A, H, .A,lA,l11')
!tr, 'li]
1
.
f
3(1)
n::-:.r.·4~ ,U.l(~~-t1~::V1U) .. -. ,.
[ ", 1\\ l, 1~', 11
TIl BLE
1.
•
•
•
•
•
•
•

IV. S'
SeI/EMil l
•
•
•
•
•
•
•

1
1
1
1
""
1
4
4
....
~
"-
;!'
....
...
of
~
~
~
-
-:
-:
-t~
"::
-5 ..
.
~
.... .>:::~ ::'f :::~
1:
~
01
:::"
~.J
>l
r::"
... 'E
..- . .r::~
... -
- ·
~
~
~
~
.... .....
..~=
:"
- ~ ~
i
"
T:~
,.
;,"
;!'
~
.
..
~
"'"
- - .- "'*"
;;
1:
;)
.
..
..
~
- .. ... .. ... .~
-
.
..
..
ff
.... .
:::
>::~
Of
.. ....
r
:f
..
::;)
~
~
- . - .
--
~
,]
~
..
....
-:J
.
.~
..
r:
...
~
~
...
~'
"::i'
;f
"
-:S
:$
'"
-1 J
~J
11
j-J
1
~l ~l
-1 ·1
- ,
%.
"i
-
1 1
·1
-s
~
.. ,..
,
<d
•
l 1 ~ 1 "'1
J.:
;(
;,
.~
•
c
.
J
'4
1
"!
~
..
"
Jî'
"v\\"
..
....
op
.. <n ~
~
l
l,
%
't
f
J
.. oP
..
r"f
r."
...
..
~
'"
op
~
'"
- • 1
""
c
co:
~
1
t
1
..
z
~
...
Of
Of
... .... ..,
3'..
~
,.....,
..
%.......
'?
~
71
..., ,..,
ï l
&::
2
f t
..
o·
a
,-.,
'r1
'4
Q
......
...,
,.....,
,.., ~ .--.
o·
0
~
~
'"
...,
...
cl
<n
- -
"0
-
....
.. ~
~
s
.;
-
':1'
'"
:>'
...
.. ..
.. .. ... ~
...
...
...
.
-
0
~
r J
..
~
r-.
...
..
...
.. .. .. -
-
..- ""
..,
· ~ ~
J
...
0-
••
..
0
" "..-
.. .. ..
.. ~ 0 - ....
- "ô
'"
cl
'"
"':"
..
...
"
s
oS
.--.
~
:>'
.;
- ... ... .. .,. .. .. ... ... ln. -
...
.;
,,-
..- ..
...
...
.. .. ...
~
-
.. ..- ~ ·~
~
-
...-
-
...
~
i
...
..-
-
.
co:
...
.
0
.. ... ... ...
...
-
.. ..... ..
0
-
...
0
'"
...
.. ... 0:
~
~
14-
...
'"
.. .'" .. - ...
..
'"
...
....
..
...
.
.. ..
...
..
.....
L..o
...... L...I
..
ln
..
- ...- .: ..:
'"
-
-
...
- -
...
-
-e
.;
.;
- ~ Q
.;
... ...
~
L...I
' - '
L-J
'--'
.......
.... '-' '" .: w""
...,
3-
Of
..;
ft-
·
.....
..- - - .; ..- ...
.. ...
Of
0-....0
~
...
...
...
~
.-.. '-' '-' --.0 0-....0
~
..
...-..c• ..... -~...
..
i
..... ..
~
..
..
..:
...
-- .. - '"
--
.. - '" ...
..
...
~
...
,.
...
..
oc
~
:>-
",.
-
.-
..
.
0
c -
C
-
·
-
...
...
..
..
'" ';'
.....
oc
«
...
- ... ... ... ...
..
lit
0
:
...
cr
c
c-
~
- ...
oz:
..
...
,.
..
...
...
- -
...
-
.. ..
~
- c
:;
-
c
- ..
- c
:
..-.
..
~
~
- ..
...
..
oc
...
- - -
..
•
...
..
é:
c
.
- ...- -
...
..
011
.,.-
c
e
...
...
- - c
.. c: . .. ..
":.
-
~
..
- .. ..
c
...
,
~
oc
&
...
ê
-
...
-c
~
'"
-
-
.. ~ rt:l- - ...
.. 00-
...
-:
,....,
f
-1
...
- .,.-
c
..
.
G
cG
..
rt:l
- ..
-
.....
...
1
.- - :c
:
... ...
-
...
..
c
00
:f
... ",'
1
•
..
G
..;
'"
- ... ""
.. .. .. ..
'"
Ui
.,i
\\.0
...
~
..
...
-- - , ....
.. . - a-
v
..~ <IJ-
•
.,.
cg
-
•
L e
..- ... .. -
..
c
..
di
...
.. ..
!!J'
-
-
- .. ...
-
..
-
-
.. - - ..
cl
tG
.. .. <
-
.. - ...
-
-
...
c
.-
::r
c
.
-- .,;
•
'"
c
~
'"
-
c:
-
c
.. ,.
,..
.
· ra
CIl
rD
éj
~
..
~
..
...
.... ..
~
"
'7
"
tG
l-
c-
c
-
.
c:
~
,..
c
cl
oC
.:r
.:r
..
.-
.:r
c
éj-
- oZ
rD"
-
-
...
-
~
~
- ..- .
...
•
""
oQ
...
...
.;
...
...
~
..
...
...
</J-
-
- q
c
c
ra-
...
III
'"
...
-
...
...
- ...
éj
....
-
...
..
-
- ...
-
- c
..;.
...
....
-
..,
.. c . C
...
...
.. .. ..-.
..
.......
.... ..
e
......
..
...
..
c
' - J
..
c
Of
- c
~
c'
·
c
- c-
C
c
c-
c
c
'-'"
' J
' - '
- . ; '
~
.. ... .. ~
- J
~
c
c
ê
..:!.-
.....
..:Y
...
'-'"
'-"
-- -~
'-'"
-~r..- .
....
1
~
'n
..,
-t
.. .. .. ..
~
x:
.•
.- "-
-:co
......
.... ....
.~
III
'OC
,
r
....
r
-...
q;
..
..
r
x4
4
r
a:
..,
~
..
=3'"
J:
X;
7
17 ·it q'" ...
l
.=.
r
"li:
,..
." ..;:
:;
""
q:
:.
7?
-
...
..,

1V.6.-
nous-mêmes ces listes utilisant en cela les informations dont on dispose sur
M2"
A
et
AS [ '5] .
7
Les § 4 et 6 sont consacrés à la construction des treillis de base les sous-groupes
isomorphes à
L (7)
et
A
respectivement.
Aux § 3 et 5 nous avons déterminé
2
5
deux treillis de
Mc
pour faciliter notre travail : celui de base certains sous-
groupes maximaux de
U4( 3) et celui de base les L2(")-sous-groupes.
§ 1. PREALABLE.
Le Lemme suivant, dû à L.Finkelstein [ '4], est un des outils qu~ ont serv~
dans la construction des treillis.
Supposons qu'un groupe
G possède un sous-groupe
H engendré par deux éléments
x
et
y.
Si
xy = z
notons
Cl' C
C
les 3 classes de conjugaison (non nécessairement dis-
2'
3
tinctes) de
G contenant respectivement
x, y
et
z.
Nous dirons que
H admet le
~ (C"C 2,C ) ·
3
Notation.
• S(C"C
=
>}
2,C
{H ~ G
' xy E C
désigne la famille
3)
1 H = < x,y 1 x E Cl' y E C2
3
de tous les sous-groupes admettant le type
(C"C
)
c'est-à-dire les sous-groupes
2,C 3
H
de
G qui sont engendrés par deux éléments
x
de
C,
et
y
de
C
avec
xy E C .
3
3
• Pour z fixé dans C posons K(C"C
x
C
xy = z}
3
2,z) = {(x,y) 1
E C"
y E
2'
donc
IK(C, ,C
comme produit
2,z) 1
est le nombre de manières d'écrire l'élément
z
ordonné d'un élément
x
de
C,
avec un élément
y
de
C
C'est la constante de
2.
structure correspondant aux classes
Cl' C
et
C
et par le Théorème 6 (p. 1.,4)
2
3
nous avons :
~
xE1rr(G)

IV.7.-
Enoncé du Lemme: (i)
si
CG(z)
est transitif sur
K(C"C
alors
S(C"C
2,z)
2,C3)
est une classe de conjugaison de sous-groupes de
G.
(ii) si
CG(z)
possède m orbitesalors
S(C"C
)
est la réunion
2,C 3
de au plus
m
classes de conjugaison de sous-groupes de
G, non nécessairement iso-
morphes.
Preuve
(ri )
Comme tout élément de
S(C"C2,C ) est déterminé par un triple (x,y,z)
3
de
C, x C
x C
avec
et celle de
2
xy = z, la transitivité de
G
sur
C
CG(z)
3
3
sur
K(C"C
impliquent que
2,z)
S(C"C2,C ) est une classe de conjugaison.
3
(ii) Soit
A = {(x.y,z)
(x,y,z) E:
x C
et
xy = z },
Alors
G
1
C, x C2
3
possède aUSSl
m orbites sur
A
et à chacune d'elles correspond une classe de
conjugaison de sous-groupes de
G.
Donc au mieux, ce qui peut arriver est que
toutes ces classes soient distinctes.
~ Lorsque CG(z) n'est pas transitif sur K(C"C
il peut arrlver que les
2,z)
classes de conjugaison contenues dans
S(C"C
)
correspondent à des sous-groupes
2,C 3
non tous isomorphes, car deux groupes non isomorphes peuvent admettre une même pré-
sentation.
S5
et
A6 en sont des exemples pour la présentation
2
<x,y 1 x
= y4 = (xy)5 = , >
Concrétisons par le cas
G = M".
Nous savons que
M"
contient des sous-groupes isomorphes à
A
et à
de même
6
qu'il possède une seule classe d'éléments d'ordre 2, 4 et 5.
Donc tout
A
ou tout
6
S5
de
M"
contient des éléments de ces 3 classes.
Dans
M"
IK(2A,4A,5A)! = '5 .
Etant donné un 5-élément
z
de
M", un
A6 qUl le contient apporte une contribution
de '0 au cardinal de
K(2A,4A,z)
tandisqu'un
S5
en apporte 5.
Il en résulte qu'un 5-élément de
M"
est contenu dans un unique
A6 et dans un unl-
que
S5.
Conséquemment
M"
possède une seule classe de
A6 et une seule de S5"

IV.8.-
Or on peut s'assurer facilement que
M
possède precisement 3 orbites sur
1 1
A = {(x,y,z) 1 x E (2A), y E (4A), z E (SA)
et
xy = z}
dont 2 determinent la
même classe de
A6 et la 3ème la classe de SS.
§ 2. LES SOUS-GROUPES MAXIMAUX DE
2A
et
MIl.
B
2.1. ~~~_~~~~:~~~~~~~_~~~~~~~~_~~ U4(3), M22, U3(5)
et
MIl·
R.A. Wilson [S2] a determine la liste des sous-groupes maximaux de
U ( 3 ) .
Il y
4
a 16 classes de conjugaison.
Dans [lS] nous avons la liste des sous-groupes max1maux de
M
(8 classes), U ( S)
22
3
(8 classes), et
M 11
(S classes).
Dans le tableau recapitulatif ci-après nous donnons les ordres et indices de ceux-ci.
4
2.2. ~~~_~~~~:~~~~~~~_~~~~~~~~_~~ 2.A 7, 2 AB' M2 1.2 et
Remarque: Tous les 4 groupes consideres sont des extensions.
La determination des
sous-groupes max1maux d'un groupe
G = N.H, extension de
N par
H peut se decom-
poser en deux parties
• Il existe une bijection preservant l'inclusion entre les sous-groupes de
G
conte-
nant
N et ceux de
H.
Par consequent, de la connaissance des maximaux de
H on
deduit ceux de
G contenant
N.
• Reste à examiner les maximaux de
G ne contenant pas
N.
Là, nous avons le Lemme
suivant qui s'avèrera fort utile.
LEMME
Soit
G = N.H
et
M un sous-groupe maximal de
G ne contenant pas
N.
Si
1{)
G ~ H est l'epimorphisme canonique de noyau
N alors
I{)(M) = H et
M = (M n N).H
Preuve: Supposons que
X = I{)(M) * H.
Comme
1{)
est surjective
l{)-l(X) * G et
nous avons aUSS1
l{)-l(X) * M (car N ~ M et N ~1{)-l(X)). Ainsi il existerait un
sous-groupe propre
l{)-l(X)
de
G
contenant proprement
M, ce qU1 contredit la maxi-

IV.9.-
malité de
M.
PROPOSITION 2
possède 6 classes de conjugaison des sous-groupes maximaux
4
4
4
+
2. A
(1 cl),
(2 cl), 2.S
(1 cl), 2. ( 4 ,3)
(1 cl)
et
(1 cl).
6
5
Preuve : Par [15] nous savons que
A
possède 5 classes de conjugaison de sous-
7
groupes maximaux: A
(1 cl), L
(2 cl), S5
(1 cl)
et
(4,3)+
(1 cl).
Nous
6
3(2)
4
4
obtenons par extension du
2 , 5 classes pour
2.A7.
4
Du Lemme précédent nous tirons que tout maximal
M de
2.A
ne contenant pas le
7
4-sous-groupe
l.A
i
2
est isomorphe à
2
l E {O,1,2,3}
et
2
= M n 4.
2
Mais
A
7,
7
4,
est transitif sur les 15 involutions du
2
par conséquent
l = 0 et M~ A7.
4
4
Donc tout sous-groupe maximal de
2.A
ne contenant pas le
2
est isomorphe à
A
7
7.
Comme
contient des A
pes, examlnons le nombre de classes de
7-sous-grou
opère comme
[7 , 16]
sur les 23 points d'un
s(4,7,23), et un
ne peut opérer sur l'orbite de longueur 16 que comme
[1,15].
Donc
possède
une seule classe de
A7.
PROPOSITION 3 : 2A
= AS possède 6 classes de conjugaison de sous-groupes maximaux
S
2(5,3)+
(1 cl), 2(A
x A
(1 cl), 2S
(1 cl), 2~3L3(2)]
(2 cl)
et
2A
(1 cl)
4
4).D4
6
7
Preuve: De la liste des sous-groupes maximaux de
AS
[15] on déduit ceux de
AS
qUl contiennent l'involution centrale.
Par le Lemme précédent, on obtient que tout maximal de
2A
disjoint de l'involution
S
centrale est isomorphe à
AS.
Comme l'extension centrale est irréductible, AS
ne
contient pas de AS-sous-groupes.
4
PROPOSITION 4 : 3 .M
possède 7 classes de conjugaison de sous-groupes maximaux
W
4
4
4
4
3 .A
(1 cl), 3 .M
(1 cl), 3 .D
(1 cl), 3 .SD16
(1 cl), M
(3 cl).
6
9
10.2
10
~
. .
.
Preuve : * Partant du fait que un sous-groupe maximal,d'un groupe
G
(
".
non necessal.-
/
:'
remen~simPle) est ~~/~ormalisateur d'un sous-groupe caractéristiqu~ent simple et
de ; 'information q~ les 2-Sylow d' un M
sont semi -diédriques/d' ordre 16, que
11

IV. 10.-
M
est 3-trahsitif sur 10 points, on etablit aisement que
M
possède 4 classes
10
10
.
r"'A
de sous-igzoupes max:Lmaux/,
6
/
(1 c.l).
---,-/
r
-.. ---"
-
* On en deduit les sous-groupes maX:Lmaux de
contenant le
* Ensuite usant du Lemme precedent on obtient que tout autre maximal est de la
forme
3:L' M10 avec i E·{0,1,2,3}.
Si
i * 0, alors un S-element du
M
centra-
10
4
liserait forcement au moins un 3-element du
3:L
et
3 .M
contiendrait des 1S-
10
elements, ce qui contredit la structure de classes de celui-ci.
Pour le nombre de
4
classes de conjugaison de
M
dans
3 .M
nous n'avons pu le determiner qu'après
10
10
la construction du treillis de base les AS-sous-groupes (notons qu'il n'y a pas de
cercle vicieux).
PROPOSITION S : M
(extension de
M
par une involution du champ
GF(4»
2 1.2
2 1
possède 6 classes de conjugaison de sous-groupes maximaux: M
(1 cl), S6
(1 cl),
2 1
Preuve : Dans [15] nous avons la liste des maX:Lmaux de
M21
4
L
(3 cl), 2.A
(2 cl).
3(2)
S
- _ . - -. ..
----- -I-
Le fait que
M2~2
possède des involutions extérieures à
M
nous permet de dire
2 1,
que: tout soy(;-groupe maximal de
M
autre que
M
est de la f~me
M.2
avec
2 1.2
2 1
/
(
/
./
M un sous-iroupe maximal de
M2.{.
I
Il
,/
En effet/ * tout sous-groupe' H
1
de
qll n'est· pas dans /,i.1
est de la forme
;'
2 1
li = H n M .
/
2 1
/1
f
/
-
* si Mri. M2lo' et M maximal gt;.ns M .2, alors M
est maxiJllal
2 1
/1'
sinon i l e;.i~sterait un sous-~~oupe
H
de
M
avec
M< li < M
E>t H
2 1
2 1
/
/
etendu par une in~ution de
M' M serait propre da~s
et contiendrait pro-
prement
M, ce .stti'i contredirait la/maximalite de
M~
-------.--------"....._--...._---------.-_.---_..-._..
Les involutions de
M
exterieures à . M
opèrent comme
[1,2]
sur les 3 classes
2 1.2,
2 1

IV. 11 .-
TABLEAU RECAPITULATIF DES SOUS-GROUPES MAXIMAUX DE
4
4
u (3 ) , M
U
3 M
M
2 A
2A
4
22,
3(5),
10,
21·2,
7,
8 et M11
Types
Nombre de
Ordres
Indices
classes de
d'isomorphisme
t'onj ugai son
4
3
6
4.7
3 .A
= N(34)
2 .3 .5 = 29160
2
= 112
1
6
4.5
2
U
é.3
= 25920
2.3 .7 = 126
2
4(2)
6
2
4
M
2 .3 .5.7 = 20160
2.3
= 162
2
2 1
4.2S
4.36
31+
= N(3A)
2
= 11664
3
2 .5.7 = 280
1
4
U
5
3
2 .3 .7 = 6048
22. 33. 5 = 540
1
3(3)
4
4
4
2.A
= N(2 )
27.32.5 = 5760
6
3 .7 = 567
2
3
2
4.34
A
2 .3 .5.7 = 2520
2
= 1296
4
7
2
4
2(A4 x A4).D4:C(~ 27• 3 = 11'52
3 .5.7 = 2835
1
4
2
M
= N(A
3
4
2 .3 .5 = 720
10
6)
2 .3 .7 = 4536
2
7
2
2. M
M
= 2 .3 .5.7.11 = 443520
22:
22
2
L
11)
2 .3.5.11 = 660
25.3.7 = 672
1
2(
,
4
2
M
= N(A
2 .3 .5 = 720
23.7.11 = 616
1
10
6)
23.L
= N(23)
6
2 .3.7 = 1344
2.3.5.11 = 330
1
3(2)
2~S
4)
= N(2
27.3.5 = 1920
3.7.11 = 231
1
5
3
2
4
A
2 .3 .5.7 = 2520
2 .11 = 176
2
7
4
7
2
2.A6
2 .3 .5 = 5700
7. 11 =77
1
M
26.32.5.7 = 20160
2. 1;l = 22
1
2 1

IV. 12.-
Types
Nombre de
Ordres
Indices
d'isomorphisme
classes de
conjugaison
4
2
28
= C(2A)
2 .3.5 = 246
3.5 .7 = 525
1
5
4
2
2
M
= N(A
2 .3 .5 = 720
10
5 .7 = 175
6)
3
51+2.
2
8=N(5A)
23.53 = 1000
2.3 .7 = 126
1
3
2
2
A
2 .3 .5.7 = 2520
2.5
= 50
3
7
4. 3~MlO:
4
4
6
3 M
= 2 .3 .5 = 58320
lO
1
•
'
4
3.A
23.36.5 = 29160
2
1
6
4
4
2
3.M = 3 .3 . Q8
23.36 = 5832
10
1
9
4
2
4
22.
3 . (D
2 .3 .5 =1620
32 = 36
1
10.2)
4
4.34
2
3 .8D
2
= 1296
16
3 .5 =45
1
4.32.5
4
M
= N(A
= 81
10
2
= 720
3
3
6)
5. M21.2; IM
= 27.32.5.7 = 40320
21·21
1
6
2
!
1 M
2
1
2 1
2 .3 .5.7 = 20160
1
2~85 = 4)
N(2
27.3.5 = 1920
3.7 = 21
2
4.32.5
8
=
6
N(A6)
2
= 720
23.7 = 56
1
2 x L
4
3
3(2)=C(2B)
2 .3.7 = 336
2 .5.7 = 280
1
2
4.32
3
_
M
= N(3 )
2
= 144
2 .5.7 - 280
1
9.2

IV.13.-
Types
Nombre de
Ordres
Indices
classes dé
d'isomorphisme
conjugaison
4
7
2
2 .A
2 .3 .5.7 = 5760
7
1
6
4.L
2
= C(2A)
27.3.7 = 2688
3.5 = 15
1
3(2)
4
2 .L (2) = N(23)
27.3.7 = 2688
3.5 = 15
1
3
3
2
4
A
2 .3 .5.7 =.2520
2
= 16
1
7
4
2 .85
27.3.5 = 1920
'3.7=21
1
24.(4,3)+
27.32 = 1152 .
5.7 = 35
1
7. 2A8: 12A = 27.32.5.7 = 40320
81
2A
4
2
4
2 .3 .5. 7 = 50 0
23 = 8
1
7
2 [23L
27.3.7 = 2688
3.5 = 15
2
3(2)]
4
= 2.L3(2)
28
25.32.5 = 1440
22.
6
7 = 28
1
2(A x A .D
7 .·i
4
= 1152
4)
4
2
5.7 = 35
,
1
4
2
2{5,3)+
2 .3 .5 = 720
23.7 = 56
1

IV. 14.-
4 2
= 2 .3 .5.11 = 7920
Types
Nombre de
Ordres
Indices
classes de
d'isomorphisme
conjugaison
4.32.5
M
= N(A
2
= 720
11
1
10
6)
2
L
11)
2 .3.5.11 = 660
22.
=
1
2(
3
12
2
4.32
M
= N(3 )
2
= 144
5. 11 = 55
1
9.2
8
= N(A
3
2 .3.5 = 120
2.3.11 = 66
1
5
5)
4.3
28
=
= 48
2.5.11 = 165
1
4
Q8· 83
2
= C(2A)

IV. 15.-
de
A
et les 3 classes de
L
et stabilisent les autres classes de maXlmaux.
6
3(2),
4
Par conséquent
M
possède 2 classes de
(2.A
une classe de
2 1.2
5).2,
classe de "A
et une classe de
L (2 ) . 2 .
6.2
3
4 4 4
(2.A
= 2 .(A
~ 2 .S5
(car
2A
= C(2) ne contient pas de A
groupe,
5).2
5.2)
S
5-sous-
cf. § 5).
A
~ S6
(car il possède des involutions extérieures à
A
et ne contient pas
6.2
6
de 1o-élément) •
L
= 2 x L
car une involution extérieure au
M
est centralisée par un
3(2).2
3(2)
2 1
L (2).
3
§ 3. LE TREILLIS PARTIEL DE
Mc
DE BASE LES SOUS-GROUPES MAXIMAUX D'UN
U4 ( 3)
AL' EXCEPTION DES
A 7
et
M10.
Remarque: De la construction même de
Mc, il résulte que ces U4(3 )- sous- gr oupes
jouent un rôle privilégié.
Nous commençons par ce morceau de treillis pour son
utilité dans la suite.
Les cas des sous-groupes isomorphes à
A
et
M
un peu
7
10,
plus complexes, seront examinés respectivement dans les treillis
de base
L3(2)
et
PROPOSITION 6 : Le treillis partiel de
Mc
de base les sous-groupes maXlmaux de
U4( 3) (exceptés ceux qui sont isomorphes à A
et
M
et les actions des sous-
7
10)
groupes du treillis sont fournis par la Table 3.
Esquisse de la Preuve : En Appendice nous avons calculé certains caractères permu-
tants de
U4( 3) , ce qui permet de connaître le nombre d'orbites de chaque maximal
1 - - . - -
o 0r---1n=n275

IV.16.-
~
...
c:
...
...~
ln
....
CT'
ln
eo
ln
<
...,
'"
51
r,.
rt)
'""""
..... r-t
0
~
~
... ....
cr
~
00
...f'f)
~
E
...,..
•
V')
~
ev
.0
0
r - t
...
..,
!Ir
..
+
-.D
....
. ;
~
,."
......
'-'
Q ..
§
-• ,..., ,...,
.,
CC'
::r
•~
,.
,
l'li
'::ft'
..
...
.;
..
..
CC'
-
00
.:t
'-"
oIJ
~
..,
::J
~
&.....J
op
,...,
,...,
--... ...
oIJ
0
ln
~
..
-.;:;...-
""
..
\\D
00
..,
C
0
oof"
'0
••
..
oIJ
PI
~
~
-
~
...
..,
........
,...,
...
..,
"
':;1""
oIJ
...
...
~
L....I
'0'
et
-- ,..., ..,
~
...
....
et"
ë.-
~
....
..,
~
\\-.J
......
ln
. - "
0
~
~
~..
~
Of
~
~
~
..
~
~
r-o
..,
-=i
r""
...
..,
~
..
3
~
: l
...
0
.. .......
.....
, ~ e-
~
c
r;t- J !
... "'~"'.;....--------------------------I •.
•
~ :::
.,,~
1
Vl
JCZ' ~cr

IV. 17.-
* U
possède deux classes de
U
Par un argument arithmé-
4(3)
4(2)-sous-groupes.
tique, aucun autre maximal de
Mc
ne contient de U
Les degrés
4(2)-sous-groupe.
primitifs de
U
sont
27, 36, 40, 45 (cf. [15]), il doit être transitif sur
4(2)
r et avoir 2 orbites sur ~. L'unique possibilité est d'opérer sur ~ comme
[40,72].
Donc
U4 (2)
opère comme
[1 ,40,72, 162]
sur
n
.
Comme il ne fixe
275
qu'un point, N
= N
= U
Par conséquent les 2 familles
Mc(U 4(2))
U4(3)(U4(2))
4(2).
de
U
déterminées parles U
de
Mc
ne peuvent pas fusionner.
4(2)
4(3)-sous-groupes
* U
possède deux classes de M
Par la construction de
Mc,
4(3)
2 1-sous-groupes.
2,56 3,105],
nous savons qu'il possède des
M
opérant comme
[1
normalisés par
2 1
M
D'un autre côté un M
opère comme
[22,77,176]
et contient
2 1.2.
22-sous-groupe
des
M
qUl opéreront comme
[1,21;21,56;56,120].
Et aucun autre maximal de
Mc
2 1
ne possède de M
Il en résulte que
Mc
possède exactement deux clas-
2 1-sous-groupe.
ses de M
Et le reste en découle.
2 1-sous-groupes.
* U
possède une seule classe de U
et par un argument arith-
4(3)
3(3)-sous-groupes,
métique ce sont les seuls maximaux de
Mc
qui possède de tels sous-groupes.
Les
degrés primitifs de
U
sont 28, 36 et 63 [15], il doit opérer transitivement
3(3)
sur
~
et avoir deux orbites sur
r.
4
* Pour 3.A
on procède de même.
6
* 1+4.28
1+4.28
3
= N
opère comme
8
sur
Fix(3A)
par conséquent
3
5
MC(3A)
5
4.
opère comme
[1,4]
sur
Fix(3A)
et stabilise deux ensembles de 108 et 162 points
1+4.28
dans
n
, Fix(3A).
Comme
3
a 2 orbites dans
~ et est transitif sur r,
275
4
ces deux parties stables sont des orbites.
Et il est immédiat que les seuls maxi-
1+4 .
( )
1+4
maux de
Mc
contenant un
3
284
sont
U
3
et
3
.28
4
5.
* 2(A
=
=
4 x A
C
et est donc un sous-groupe de
A
2A
Ce sont
4).D4
U4(3)(2A)
8
S.
les seuls maximaux de
Mc
contenant des sous-groupes de ce type d'isomorphisme.
+ 3 + 2 = 6 orbites sur
n
.
275
2A
est primitif
de rang 3 sur
Fix(2A)
avec les sous-degrés
[1,16,18]
par
8
conséquent
2(A
x A
.D
possède une 16-orbite dans
~
et une -ts -orbite dans
r
4
4)
4
donc opère comme
[18,144]
sur
r.

IV. 18.-
D'autre part
2A
est imprimitif
avec 120 blocs de 2 sur
Q275 ,
Fix(2A)
et
8
2,72]
on peut montrer que
A
opère comme
[24
sur les 120 blocs.
8
*
4
Les maximaux de
Mc
contenant un
2.A
sont: U
(2 cl), M
(1 cl)
6
4(3)
22
4
(1 cl).
Mc
possède 2 classes de 2 ·-sous-groupes
normalisés par des
Donc
Mc
possède exactement deux classes de
qui fusionnent dans
Mc.2, à cause de la fusion des 24-sous-groupes.
Ce qui donne les liaisons
du treillis.
D' un autre côté un
M
opère comme
[22,77,176]
par conséquent
22
4
ses 2.Açsous-groupes comme
[6,16; 1,16,60;80,96] .
§ 4. LE TREILLIS PARTIEL DE
Mc
AYANT POUR BASE LES L 3(2)-SOUS-GROUPES
INTRODUCTION.
Pour construire ce treillis, nous sommes passés par une série d'étapes:
*
2
Un
1
= 1
admet la présentation
< x,y 1 x = y3 = (xy)7 = >.
3(2)
2(7)
Nous déterminons d'abord les types possibles des 1
groupes de
Mc
(cf. § 1).
3(2)-sous-
* 1es maximaux de Mc contenant des 1
sont isomorphes à
U
M
U
3(2)
4(3),
22,
3(5),
4
M
2 .A
et
2A
Nous construisons les treillis partiels de ceux-ci, que nous
2 1.2,
7
8•
"collons" par la suite.
Notre méthode est assez longue, ce qui rend difficile l'explicitation de tous les
détails.
Cependant comme il y a similitude dans les démarches, nous traiterons
pour illustration quelques cas.
LEMME : Tout 1
de
Mc
est du type
(2A,3B,7A)
c-à-d. que tout
3(2)-sous-groupe
1
de
Mc
admet la présentation
< x,y 1 x E (2A), y E (3B), xy E (7A) >.
3(2)
En effet un calcul des constantes de structure livre
IK(2A,3A,7A)1 = 0
et
IK(2A,3B,7A)1 = 49
et le résultat en découle.

T't~~ }lax.b:& k
U l~)
lt
,.J..
bC\\.d'?
t"
L3 (.l) - ,oO'\\.VJ j't-O"V:j>e.6.
(3)
(1)
(2)
(4)
(5 )
.5d~~Wla.. .3
H
<:
\\0
1

T~1'.e,J ~ Ae\\:.:nu /k.Ut- Q4~""t~\\:..:'""" {'C, c',rr ..d.2.4 -<!Cl.V> '2...G1.41""A..1. Ult(~) ..:...bvLlT.('t'Ut-t Ad.M.4_
ke':~<1 jJo.J<.kJ k k.e
t..,
L_~ (.2.1 - /.Ilt\\M) ' ....4 ed -
Sau.4 -,~
T~~
Acl..: ....... '"""" â
AcJ...- ~ r
G'l4pkO! c:...J....;.t- ......... 1." 'l'-'..J4 ?(e.
N
(l-n
UIf O)
M'
M;-1
(.tA 13 D, lf.A, 1+ e, SA, lA, 1':\\<)
[56 t ]
[ -1 , 56, '105]
-1GL
'rll.o. '"
•
•
-.J.
x
A"
( .t A, 3 B, H), 1+ B, SA, (,<::, 14, "11\\0)
[ ~, 35", :to J
[15", 1ft, 105"J
.«00.
~....l
~".«
_o.JLA.~
l
- 4
4
(.t A, sc, 3 D, /1. B, SA, 6 B, 7A,"1/1')
[1,H",1t>]
[-1S", lf-t, 'loS]
.
1
~
ri.....t f.:....~
_a.ot.o:w....§.
.l-
(.U.'l, 31>, 411, ~e) SA, 1A, 14")
[5G t J
C.11\\ 1-lo]
.-p...:-.t: {,,~
-.a.x.;.-.J..
Ml"
A-..
U3 (3)
( t p.. 3A , 3]) 1 IL A, '(.l, 1 Il, 1 Il'' , sP. ,1.( ,,'
[ 1-1,t J
[36,1-l6]
..(Mt..
1>..v..l. t-"e
-.0....:_01
A~
(~A, ~C, ~D, 1111, 5"1\\, G~, 11\\,14" )
[f' 35,"1t.l
[1" 4-.1, '10~J
......... 1'aVo-t ?'(e
lt>IA .cO:-oQ
A;
(lA, 3E1, ~D, 1+ 6, SA, sc, 1A, 1A«)
[1,35",1,-,1
[ 15", '+1, 1"JS]
......... t~ flCe
,"",<1""'~
L~~t 1
(lA • 3D , Id~ , 11\\11\\')
[ "l \\
1
.lEt., Ii.t J
[1,14-\\ .11,28'-,5(; ]
16t
L (l)
3
.'
1
li:
L~ (1)
1\\ VI , 3D , ,+B 1 11\\ , '1A'}
[""!-.t, a", p J
[-1,11f.t, J1 ~ H t , 5"6 ]
•
1'L
L
1
3 (.t )
%
L\\ (1)
(11\\
311
1+-A
'-A
,
,
l
,
,
'7~~)
[ jS't ]
[1, "1.~, 1lf.I., 1-1, cL.t, S6J
lb:
•
•
l~ (.t)
'.,
L~ (:)
( Ul"
=Iii, li e, 'lA, ] f.\\ ..)
[l~,1.<J.""'t.t.J
[ 1,t,l1', ~,+\\ :'Q, ~Ct ]
~.
~.;...t ~...
L~ (l \\
0;
,.
t~ (.:)
~ (!. , ~ 1) / '...p" '113, '14" ,
[f.1.} l~1 "'.lÎ
r H
~ '1 t
'g 'l 1
l..;,
..J
- ' ,
,Cf,',4J
AMc..-
'te..';'~
/
~xt'
L~ (-< J
TA BLE ft
<
~

<, LA
C.
(.l)
~
AA
A&
AC.
l3 (.tl
6
6
6
.z~Alf
(l~Ast
3
(.t)
':~.t,f
L~ (~)
[-1, Z-t, 4t , 5"J (8,18, tlt]
(8,.lt,8IfJ
11" 401
~t1.
~ Sl.
1f1t1.,.lA ,5'6
1,1q.
6
.l~2.
L~ (r)
8,.t',h
" , H ,It1, S"6
t ,U 181t
.2~1t
l-.&., ,+1
"'ft.&., H,S"
1,1e,.
LC
.tg!.
.a L
=fs., ct
3 (.l)
8,.u ,8t,.
t,U,!lt
", l-t, 1t.l,S6
L
..;fil-l., .21,5'6
1,14-
AA
1S'~, ~o
601
6'01
.-1, -10, 45"
~o,a'
,,(0,36
ao~,ItS
6,H'
6
TA8LE S'
AB
60~
15'20, 90
nI.
re , ~6
",.-10,1+$
.zo,a,
301 , ifS'
b
',"5
AC.
Gb.l,
6ll.t.
1S'~ 90
.to)36
.to,a,
If, -fO, 45'
30\\ ifS
6, H'
b
.l~ A".
"'~, ZIt, 6ct .0161., llf, 64
16", .t't, 'ft
-f6.c., ..t ct
16%., .t't
161., ..t't
..f, It.t., "'6~ ''''
-1, 1t,16
. A, ~o
(.l ~ As).
40, so
,,"0,80
/4. 0, SO
""E.,lf. O
-16,'+0
'16, ft 0
5", .t.D, 10
. 5",-16
:-4'~ ,
R~.,., OK't"'Y: _ u...,
La Col'
&l
A-.
A, -.t ~a.
A
~
Mu ( Ale ou c) ..... 1'~QN'.U ~~
'b ,
lt -~_....t4
H
<:
A~
~(u.~"'~
M,t-1 •
J\\)
....
_ L~ "'-~ J... 1.4 .ceu.c. (4., ~) 1IcnJ: ~ ~~fM k
~ ~~ ,J". LA i ~ ..t.:1'K.t. A.c.lIc. 1'-.0~
<tu ~ 6Cl.U. tL..,
k
12crwJ -,~~ 4c..RA
j ~ d~.

IV.22.-
L3(2)-~~~~:~~~~~~~.
PROPOSITION 7 : Le treillis partiel de
U4(3) "déterminé" par ses L3(2)-sous-
groupes et les actions de sous-groupes du treillis sur
{x,~,r}
sont fournis
par le Schéma 3 et la Table 4 ci-avant.
Preuve: La construction s'est faite en deux temps, parce qu'en ce qui concerne
les liaisons des
A
nous n'avons pu les forcer que lorsque le treillis de
Mc
7
a éte construit.
Cependant c'est sans cercle vicieux.
Un calcul des constantes de structure livre
IK(2A,3A,7A)
=
1
IK(2A,3B,7A)1 =
IK(2A,3C,7A)1 = 0
et
IK(2A,3D,7A)
=
1
35.
Donc tout
L
de
U
3(2)
4(3)
est du type
(2A,3D,7A).
~~~ l.I_:_T.!:eil!i~.Ea.!:tie! È.e M21·
M
possède 3 classes de L
qui sont maXlmaux, 3 classes de
21
3(2)-sous-groupes
4
4
2 classes de
2.A
et une classe de
2.A
(cf. par exemple [ 15] ).
5
4
(cf. Appendice)
on peut
Avec l'aide des caractères permutants transitifs de
M21
aisément construire la Table 5 qui résume les actions réciproques des sous-groupes
cités.
Pour un M
nous avons le treillis suivant
2 1-groupe
Nous avons vu que
Mc
possède deux classes de M21-sous-groupes.
3,105]:
Considerons un
M
qui opère sur
n
comme
[1,56
2 1
275

,t
IV.23.-
1
Alors les schemas ci-après visualisent les actions sur
Q275
de representant
1
!
de chacune des 3 classes de
L3(2).
f
, . . = - - - - - - - - - - - - ,
•
•
•
r
L~(2)
Le l ibelle d'un
L (2)
correspond à celui de la clas se de 4-élement de
M
qu'il rencontre.
3
2 1
1
Il est immediat que les 3 familles de
L
determinees par ces M - s ous - gr oupe s
3(2)
2 1
correspondent à 3 classes de conjugaison dans
U4(3).
1
!
2
2
Considerons à present un
M
de la 2ème classe, qUl opère comme
[1,21
,56 ,120]:
2 1
1
1
1
•
Les actions de ses 3 classes de
L
se visualisent comme suit
3(2)
•
.----------,;:,...------------y
•
Partant i l contient une classe de
L
qui fixent deux points dans
Q275
et deux
3(2)
autres classes n'ayant qu'un point fixe.
Les 2 familles de
L
(ayant un point
3(2)
fixe dans
Q275)
déterminées par cette classe de M
correspondent à
2 1-sous-groupes

IV.24.-
deux classes de conjugaison dans
U ( 3 ) : en effet un tel
M
s'identifie à sa
4
2 1
2
2
120-orbite dans
r. Or ces L
opèrent sur
r comme
[7 ,14 ,8,28,84]
et
3(2)
120 = 8 + 28 + 84
est l'unique decomposition possible en somme de 3 orbites, donc
un
L
fixant un point est dans un unique
M
3(2)
2 1.
Il en resulte que
U ( 3 )
possède au moins 5 classes de conjugaison de L
4
3(2)-sous-
groupes.
Soit
r
le nombre de classes de conjugaison de
L
dans
U ( 3 ) .
3(2)
4
Aut(L
= PGL(2,7)
et comme dans
U ( 3 )
le centralisateur de
L
est
3(2))
4
3(2)
trivial, son normalisateur est un sous-groupe de
PGL(2,7), et en fait egal à
L
car dans
PGL(2,7)
tous les 7-elements sont conjugues.
3(2)
Donc tout 7A-élement
z
de
U ( 3 )
est contenu dans un unique
L
de chaque
4
3(2)
classe et celui-ci apporte une contribution de 7 au cardinal de
K(2A,3D,z)
qui
vaut 35.
Par consequent
35 = 7r + E
avec
r ~ 5
donc
r = 5
et
E = O.
Comme tout M
de
U ( 3 )
est du type
(2A,3D,4A,4B,5A,7A,7A*), en
2 1-sous-groupe
4
tenant compte du couplage suivant leurs 4-elements entre les
A
et les
L
6
3(2)
d'un
M
nous obtenons le resultat suivant:
2 1
PROPOSITION 8 : U ( 3 )
possède 5 classes de conjugaison de L
et
4
3(2)-sous-groupes
2
tout sous-groupe de
U ( 3 )
qui admet la presentation
< x,y
= y3 = (xY)7 = 1 >
4
1 x
est isomorphe à
L
De plus nous avons:
3(2).
classe
de-L
du type (2A,3D,4A,7A,7A*) qUl fixent 2 points dans
n27~
3(2)-sous-groupes
2 classes de L
du type (2A,3D,4B,7A,7A*) qui fixent 2 points dans
n
3(2)-sous-groupes
27:
2 classes de L
du type
*
(2A,3D,4B,7A,7A ) qui fixent
point
dans
n
3(2)-sous-groupes
27:
!t§P~ .PI i. !r~illi.sJ>..ê:r~i~l_d~ U ( 3 ).
3
Dans
U (3 ) ,
IK(2A,3A,7A)
3
1
= 0 et
IK(2A,3B,7A) 1 = 7;
il resulte k
Le......--.
1> \\V-T
qu'il possède une unique classe de
L
Par [15] nous savons qu'ils sont maxi-
3(2).
maux d'indice 36.

IV.25.-
•
Il en résulte que
Un
L
de
U ( 3 )
fixe deux points et est du type
*
(2A,3D,4A,7A,7A)
dans
U ( 3 )
3(2)
3
4
(car
U (3 )
est du type
(2A,3A,3D,4A,6A,7A,7A*,8A,12A)
dans
U ( 3 )) . Son action
3
4
sur
Q275
se visualise comme suit :
•
!t~~ .!.v_:_T.!:.ei}li~ Ea.!:tiel ~e A7.
Dans
A
IK(2A,3A,7A)1 = 0
et
IK(2A,3B,7A)1 = 14.
Comme un
L
est son pro-
7,
3(2)
pre normalisateur (car maximal), un 7A-élément
z
est contenu dans un unique
L3(2)
de chaque classe, qui apporte une contribution de 7 au cardinal de
K(2A,3B,z)
qUl vaut 14.
Par conséquent
14 = 7.2
et
A
possède deux classes de
L
7
3(2),
qUl sont maximaux d'indice 15.
Remarque: Les informations recueillies jusqu'ici permettent de construire le treillis
pour
U (3)
à l'exception des liaisons concernant ses 4 classes de A
groupes.
4
7-sous-
Pour ceux-là nous attendrons de construire le treillis de
Mc
pour pouvoir décider.
La Proposition 8 permet d'établir le résultat suivant:
COROLLAIRE [13]
: Tout A
groupe de
U ( 3 )
possède 7 orbites sur
Q275
de
7-sous-
4
longueur
[1 ,7, 15,35,42,70, 105] .
Preuve: Considérons un 7-élément de
A ~ U ( 3 ) .
Il a son deuxième point fixe
7
4
dans
r.
Soit
X l'orbite de
A
dans
r
dans laquelle un 7-élément à son 2ème point fixe.
7
Comme les seuls sous-groupes de
A
contenant des 7-éléments sont isomorphes à
7

IV.26.-
1.3
ou
1 (2)
on a que
Ixl =110 ou 1~
3
* Ixl = 15 en effet si [x] = 120 les seules actions possibles de A
sur
r
1
2,120]
seraient
[21
ou
[1,35,120]
ma1.S alors une involution de
A
(donc de
1
U
10 points au lieu de 18.
4(3))
fixerait dans
r
Par conséquent
A
possède une unique orbite de longueur 15 dans
r, ce qui impli-
1
que qu'il possède une classe de
1 (2)
ayant 2 points fixes et une autre ayant un
3
seul point fixe dans
n
.
Par les caractères permutants de
U (3) , A
possède
215
4
1
3 orbites dans
~
et 3 dans r .
2,282,42]
1es actions sur
~ et rd' un 1 (2) ayant un seul point fixe sont [1
3
2
2
et
[1 ,8,14 ,28,84];
il en résulte qu'un
1 ( 2 )
de
A
fixant 2 points opère
3
1
2,282,42]
2
2
comne
[1
et
[1,14 ,21,28 ,56]
sur
~
et
r
(car les caractères permu-
tants de
A
sur ses 2 classes de
1 (2)
coincidant, on doit avoir le même nombre
1
3
d'orbites sur
~
et
r
pour les
1 (2 ) ) .
3
Sur
r
l'unique action possible de
A
et
[15,42,105]
avec
1
15 = 1 + 14 = 1 + 8
42 = 14 + 28 = 14 + 28
105 = 21 + 28 + 56 = 1 + 14 + 84
(le cas
14 + 21 = 1 + 28 étant exclu car
ne peut être transitif sur 112 points).
Au regard des caractères permutants de
A
(cf. Appendice) la seule action de
A
1
1
compatible avec les orbites des
1 (2)
est
[1,35,10]
avec
3
1 = 1
35 = 1 + 28
10 = 28 + 42
L3(2)-~~~~:~E~~e~~·
Remarque : Par [15] nous connaissons la liste des sous-groupes maX1.maux de
M22
et ceux qui contiennent un
sont isomorphes à
et

IV.27.-
Dans
M
N(1
= 1
car son centralisateur est trivial et
M
deux
22,
3(2))
3(2)
22
classes non reelles de 7-elements.
Par suite un 7A-element de
M
est contenu
22
dans un unique 1
pe de chacune des
r
classes de conjugaison.
3(2)-sous-grou
Comme
IK(2A,3A,7A) 1 = 28
on a
28 = 7r + E
donc
M
possède au plus 4 classes
22
de conjugaison de 13(2)-sous-groupes.
Cas d'un M - s ous- gr oupe de
M .
2 1
22
Ce problème a ete traite au 4.2 et il est immediat que ses 3 classes de 13(2)-sous-
groupes sont contenues dans 3 classes de conjugaison disjointes de
M22.
Cas d'un A
groupe de
M .
7-sous-
22
M
possède deux classes de A
pes qui correspondent aux deux familles
22
7-sous-grou
d'octades d'un
S(5,8,24)
passant par un point de
{a,b}
et disjointes de l'autre
avec
M
le fixateur dans
M
de
a
et
b.
22
24
Nous savons que
opère sur
n
comme
[22,77, 176] .
Soient
et
275
deux représentants de ces 2 classes de A
groupes;
on peut etablir aisement
7-sous-
que leurs actions respectives sur
n
sont
[7,15;35,42;1,70,105]
et
[7,15;
275
35,42;15,35,126].
Par consequent les elements des 2 classes de
1
d'un
3(2)
fixent 1 et 2 points;
tandis que ceux de
A
ne fixent qu'un seul point dans
7
Supposons que
A
opère sur les points de
S(5,8,24)
comme
7
o
Nous savons qu'il y a 15 points disjoints de
0 U {b}
et 15 octades uassant par
b
et disjointes de
O.

IV.2S.-
Et ces deux ensembles correspondent aux 2 classes de
L
de
Donc
3(2)
possède une classe
L
de
L
groupes qui sont contenus aussi dans des
1
3(2)-sous-
M
et une deuxième classe
L
de L
qui eux sont
2 1-sous-groupes
2
3(2)-sous-groupes
3.L
contenus simultanément dans des 2
(stabilisateurs d'une octade disjointe
3(2)
des deux points fixes de
M ) et dans des
A
de la 2ème classe (stabilisateurs
22
7
d'une octade par
b
disjointe de
a).
Les éléments de
L
opèrent sur la 22-
2
orbite de
M
comme
[72,S]
donc ne sont pas contenus dans des M - s ous - gr oupe s .
22
2 1
Donc
M
possède au mOlns 4 classes de conjugaison de L3(2)-sous-groupe~
22
3
Cas d'un 2 .L
groupe de
M .
3(2)-sous-
22
23.L
possède respectivement 2, 3 et 3 orbites sur les orbites de
M
de
3(2)
22
longueur 22, 77, 176.
* 3.L
2
opère sur la 22-orbite comme
-[S,14]
3(2)
* Etant donnée une' octade disjointe de 2 points a et b, nous avons
- 14 octades par
a
et
b
qui la coupent en 4 points
- 2 octades par
a
et
b
qUl la rencontrent suivant 2 points donnés
et donc
77 - (14 + S.7 • 2) = 7 octades par
a
et
b
disjointes d'elle.
2
3
Donc
2 .L
opère comme
[7,14,56]
sur la 77-orbite.
3(2)
3
* De même on montrerait que 2 .L
a pour orbites
[S,56,112]
sur la 176-orbite.
3(2)
Ainsi
possède au moins 2 classes de
L
correspondant aux 2 S-orbites
3(2)
et en fait le treillis ci-après nous assure qu'il en possède exactement deux :
En résume nous avons le résultat :
PROPOSITION 9
(i)
M
possède 4 classes de conjugaison de sous-groupes isomor-
22
* une classe fixant 2 points dans n275
* 3 classes ayant un seul point fixe

IV.29.-
(ii) Le treillis de
M
de base ses
L
pes est
22
3(2)-sous-grou
4.4. ~~_~::~f~~f~_.e~::~f~~_~~ U3(5).
U
possède 3 classes de
A
qui sont les seuls maxlmaux contenant des
L
3(5)
7,
3(2).
2
Les orbites de
U
sur
n
sont
[50 ,175].
Usant de la connaissance que
3(5)
275
nous avons de ses caractères permutants et de
~275' il devient immédiat que les
deux 50-orbites correspondent à deux classes de
A
et la 175-orbite à l'ensemble
7
des arêtes du graphe fortement régulier de paramètres
(50,7,42,0,1)
sur les
classes gauches de la 3ème classe dont les éléments opèrent comme
[15,35;15,35;
7,42,126].
Dans
U
IK(2A,3A,7A) 1 = 21
et par un raisonnement similaire on
3(5),
obtient le résultat suivant :
PROPOSITION 10 : (i)
U
possède 3 classes de conjugaison de sous-groupes ~so
3(5)
morphes à
L3(2)
* 1 classe dont les éléments fixent 2 points dans n275
* 2 classes dont les éléments ont un seul point fixe

IV.30.-
(ii) Le treillis correspondant de
U (5)
est
3
~ Par les 3 cas traités précédemment nous pensons avoir illustré les techniques
que nous utilisons.
A peu de choses près, les cas qui restent se traitent de la
même manière.
Nous énonçons donc dans une proposition globale, leurs résultats
PROPOSITION 11 : (i) Les treillis partiels des groupes
et
2AS sont
donnés par les schémas ci-après :

IV.31.-
4
4
Remarque : 2 .A
= N(E) où E est un 2·-sous-groupe. E possède 15 involutions
1
3-sous-groupes.
et 15 2
Les 2 classes de
2 4. L
2)
de
correspondent à ces
3(
4
2 ensembles.
Donc il y a une classe de
2.L
qui contiennent une involution
3(2)
4
3
centrale
2.L
= 2. [2 L
(cf. sous-groupes maximaux de 2A
et une classe
3(2)
3(2)]
8)
4L
3-sous-groupe
de
2
qui contiennent un 2
normal.
3(2)
* Les seuls maximaux de Mc contenant un A
pe sont : U
(4 cl),
1-sous-grou
4(3)
4
1+4
1+2.3.8
3 .M
3
.28
M
et
5
sont
10,
5,
11
écartés par un argument arithmétique;
M
parce que tout sous-groupe simple de
2 1.2
M
est contenu dans
M
2A
pàrce qu'il ne contient pas de A
pe
2 1.2
2 1;
8
5-sous-grou
(cf. § 5).
Par le Corollaire de la Proposition 8 (4.2) nous avons que tout
A
de
Mc
7
fixant au moins
un point dans
n
possède des orbites de longueur [1,7,15,35,
21 5
42,10,105].
Les points 4.3 et 4.4 nous apprennent également que
Mc
possède des A1-sous-groupe~
2
2
dont les longueurs d'orbites sur
n
sont
[7,15 ,35 ,42,126].
275

IV.32.-
Nous avons le resultat
PROPOSITION 12
(i)
Mc
possède 5 classes de conjugaison de sous-groupes 1somor-
(ii) Le treillis partiel de
Mc
dont la base est constituee par
les A
groupes est
7-sous-
Remarque : Pour etablir cette proposition, nous utilisons un morceau du treillis
de
-3
que nous allons construire dans ub premier temps.
Dans [13], L.Finkelstein a determine eF,alement les sous-groupes maximaux de
-3
en particulier nous avons le tableau
Sous.groupe
U
Mc.2
HS
4(3)·D4
(1 cl)
M
U
23
3(5).S3
2
Action sur
n
1 ,112,162
23,253
1,275
100,176
126, 150
276
Lorsque nous combinons les informations dejà recueillies (Corollaire Prop.8) avec
la connaissance de sous-groupes des groupes du tableau ci-dessus et des arguments
arithmetiques, nous construisons assez facilement le morceau du treillis de
-3
ci-après à l'exception des liaisons avec la classe n02 de A
pour lesquels le
7,
Lemme suivant permet de decider .

(sc HEfr1A 41
IV.33.-
~.
"'1
e.l
~
li
tn-'
\\D
... . ..., ...
oC)
.a
OC)
....
...
' - J
- ~ ~
,...
-.;;'
~ ln
•
'n
'i;;'
.....
~
:::
':::J-'
~ \\0
~<q ~
111\\
...
~
..
e
0
..
0
...
....
...
..
.0
'"
q:
-~
-
-0
-
..0<)
CP
Cr> -
...
W
...
. Ml
Vl
..,
'iil
•
~
.....
~
~
.....
E
,..
J:
"' ~
~
...
;,""a
.....
;,"'
-D
~
IS'"
~
..,
g
0
•
..
.. ...
......
U
~
Oll
0
U
...,
~
....
... --
~
~
~
~
...
...
..
'Ir>
"l"
"l"
-
~
......
g
~
00
~
:t-'
en
...,
Of)
fi:
..,
..
\\0
-t
...
~
-0
~
.:t' -
~
~
~
1
A
~
· 0
.......
... ...
- e
-t'tl 0
....-
......,
ln
.::!.
ln
iJ
•
'ln
...
~
....
•
;:r
0'>
.~
rC')
~
.....
J
"'1
~
......
=»
f'Q
.-...>
N)
~
=:l
~

IV.34.-
LEMME [ 13]
-3
possède une seule classe de
A
ayant un point fixe dans
n
.
7
276
Preuve du Lemme: Un tel
A
est nécessairement dans un
Mc:2,...J.-.c...J.-.c.4 He.
7
Mc
contenant un
A7
(Rappel
. si
c
~ 2
8t ~ossèàe àeo iBvolutioBo exte!ieureo à
II, tout maximal
de
G
est àe
J a
forme
Ii: 2
amilQ
K
b1E:
ee!"'l;aiB BO\\l:S gpou~e marximal:).
* ':CQu:!; A'( Qe Un (3) 2 ri xe tleax poillh
* Dans Mc~' ~ .. "Gc~,cl'(.<ccCI{~ qui fixent un seul point d,.. rl:i,"•.ô) opèrent comme
•
C I ·
2
2
[1,7, 15 ,35 ,42, 126].
Ils apparaissent dans
M
et dans
U (5)
qui sont des
22
3
sous-groupes de
HS.
HS In
:
[100,176].
Un
M
de
HS
opère comme
[1,22,77; 176]
276
22-sous-groupe
tandis que ses 2 classes de
U
[36] que nous notons
V
et
V
opèrent
3(5).2
1
2
respectivement comme
[100;50,126]
et
[100;1,175]
cette dernière correspondant
au normalisateur dans
Mc.2
d'un U
: V
= U
~ Mc.2.
3(5)-sous-groupe
2
3(5).2
2
2
Donc tout
A
ayant un seul point fixe dans
n
opère comme
[15,35; 1,7 ,42, 126] .
7
276
Le stabilisateur dans
-3
de la 126-orbite est
Aut(U
= U
qui ne pos-
3(5))
3(5).S3
sède qu'une seule classe de
A7.
Il en résulte que
-3
contient une classe unlque de
A
ayant un seul point fixe
7
[1 ,7,30,42,70, 126] .
La conséquence est que
Mc.2
possède une seule telle classe et donc gue
Mc
pos-
sède une seule classe de
A
n'ayant aucun point fixe sur
n
.
7
275
* Il résulte du Lemme précédent que Mc possède une classe unlque de A n'ayant
7
2
2
aucun point fixe dans
n
, qui opèrent comme
[7,15 ,35 ,42,70,126].
275
* Les 4 familles de A
déterminées par les U
ne peuvent pas
7
4(3)-sous-groupes
fusionner dans
Mc.
Donc
Mc
possède 5 classes de A7-sou~-groupes et le normalisateur d'un élément
de chaque classe est isomorphe à
AI:

IV. 35.-
* Les 2 classes de M
déterminent deux classes disjointes de
A
ayant un
22
7
point fixe sinon un
M
d'une des classes aurait 3 orbites de longueur 22, 176,
22
176 sur l'ensemble des classes gauches d'un élément de l'autre classe, mais alors
la 4ème orbite serait de longueur 1651 qUl ne divise pas
IM2~'
*
4
Il en va de même pour les 2 classes de
2 .A
: Slnon un tel
A
aurait 2
7
7
orbites de longueur 15 en fixant un point.
* De même les .2 classes de
d'un
ayant un point fixe sont dans
des classes disjointes de
Mc.
* Un A
et un
de
qUl fixent un point de
ne sont
7
pas conjugués dans
Mc : en effet
7
15
70
M22
Si
M
= (HS)a et U
~ (HS)b' cela reviendrait à dire que dans ~ ~Qt" 1c..k:dQ
22
3(5)
J., -3".uA<.
A~ -d. J... ,J.Q.MR ('1) .w: d.0-c(A .J..w.)( V3(.r) - ~ ~ :--G,J;....d...:c.t:~
(? \\11.33)
* Il en va de même pour un A
de
et un
A
de
ayant un point fixe
7
7
dans
n
(on travaille alors avec
[23,253] ).
275
Ce qui achève la construction du treillis de
Mc.
4.6. Construction du treillis.
Convention de Notation.
Supposons que les 3 classes de 4-éléments d'un M
soient notées
(4A), (4B)
2 1-groupe
et (4c).
Les correspondances avec les classes de
U
et
M
(cf. Appendice)
4(3)
2 1.2
seront pour nous :
(4A)
et
M
n
2 1
(4B)U (3) = (4B) U (4c)
4
(4A) U (4B) , M
n (4B)M
= (4C) et
2 1
2 1.2

IV.36.-
* Tout 1
de
Mc
fixe un ou deux points dans
n
, donc est contenu dans
3(2)
275
un
U
1a détermination des classes de
1
dans
Mc
revient donc à déter-
4(3).
3(2)
miner les fusions de celles de
U ( 3 )
dans
Mc.
4
U4(3) = (Mc)x
M
=
2 1
(Mc)xy
(A), (B)o~(C) indique la 56-orbite du
M
•
21
x
où les 4-éléments des classes
(4A), (4B)
et
(4c)
'fixent respectivement 4 points.
Ces notations sont compatibles avec celles de Etape II (4.2).
* Comme les classes de 1
de
U
sont déterminées essentiellement par
3(2)
4(3)
les classes de
1
de ses M
convenons de noter
3(2)
2 1-sous-groupes,
1~(2) 1~(2)
1~(2) 1~(2)
1~(2) 1~(2)
1
2,56 3,105]
=
=
=
pour
M
[1
2 1
1i(2) = 1~(2)
15(2) = 1~(2)
1~(2) = 1~(2)
~1
2
2
pour
:
[1,21 ,56 ,120]
3
* M
qu'il normalise, par
2 1. 2
fusionne les 2 classes
(4A)
et
(4B)
du
M21
conséquent les classes déterminées par
1~(2) et 1~(2) fusionnent dans Mc.
* 1es classes correspondant à 1~(2) et 1~(2) ne peuvent fusionner dans Mc
du fait que leurs éléments n'ont qu'un point fixe dans
n
.
275
* Dans Mc, C(1
= 1 ou Z2 et il n'y a qu'une classe dont les éléments sont
3(2))
centralisés par
Z2;
par suite un 7A-élément de
Mc
est contenu dans 1 ou 2 élé-
ments d'une classe de
1
suivant le normalisateur des éléments d'une telle
3(2)
classe est
2 x 1
ou
1
3(2)
3(2).
Soit
r
le nombre de classes de conjugaison de
1
qui sont "auto-normalisant"
3(2)
alors, de
IK(2A,3D,7A)1 = 49
on obtient
49 = (1 + 2r).7. r = 3.
D'où le résultat:
PROPOSITION 13 : Mc
possède 4 classes de conjugaison de sous-groupes isomorphes à
1
Et du point de vue de la notation du treillis de
U
ce sont les classes
3(2).
4(3)
(1~(2)) U (1~(2)), 1~(2), 1~(2), 1~(2).

IV.37.-
Remarque: Il n'y a plus qu'une seule information supplémentaire pour pouvoir
construire le treillis.
Elle concerne les 2~13(2)-sous-groupes.
On verra au Chapitre V que pour
n
= MC/M
M221n2025 :
[1,330,462,1232].
2025
22'
31
3.1
3)
4.1
Un
2:1
du
M22~ fixe 2 points et N(2
= (2
~ N(2 ~ 2
3(2)
3(2))
3(2)).2
3(2)
~4
4 . . .
4
( )
~ 2 .A
car nous avons vu que
2 .A
possede 2 classes de
2 .1
2
dont une
7
7
3
3-sous-groupe
4.
correspond aux normalisateurs d'un 2
du
2
donc
Il nous est à présent possible de forcer les liaisons des
A
dans le treillis
7
de
U
Pour les longueurs d'orbites, on peut les déterminer plus ou moins
4(3).
aisément.
Pour les types, il suffit de se référer aux différents caractères permutants
(cf. Appendice).
§ 5. LE TREILLIS PARTIEL DE
Uc
IXJNT LA BASE EST FORMEE PAR SES GROUPES
ISOMORPHES A
L 2 ( 11 ) •
Nous déterminons ce morceau de treillis pour son utilité dans la suite.
2
Un 1
admet la présentation
< x,y 1 x = y3 = (xy)ll = 1 >.
2(11)-sous-groupe
Dans
Mc, IK(2A,3A, llA) 1 = 0, IK(2A,3B, llA) 1 = 11, donc tout 1
11 )-sous-groupe
2(
de
Mc est du type
(2A,3B,11A).
si
z
est un llA-élément de
Mc, alors
CMc(Z)
= Zl
est transitif sur
K(2A,3B,z)
et par le 1emme du § 1, on a que
Mc
possède une
seule classe de 1
et
N(1
= 1
2(11)-sous-groupes,
2(11))
2(11).
Les sous-groupes maximaux de
Mc
contenant un
1
sont isomorphes à
M
et
2(11)
22
M
Par conséquent nous avons le treillis partiel
11.

IV.38.-
Determinons à present l'action de
L ( 11 )
sur
n
:
2
275
Mll1n275 :
[11,22,110,132] .
Des caractères permutants de
M
on deduit que
l l
L ( 11)
possède
1 + 2 + 2 + 3 = 8 orbites dans
2
n 275·
M221n275 :
[22,77, 176]
et
L ( 11)
possède egalement
2 + 3 + 3 = 8 orbites.
2
En combinant ces 2 informations on obtient que les orbites de
L ( 11)
dans
2
2
2
l
2
2
sont
[11;11 ;55 ;11,110]
ou
[11 ;11 ,55;11 ,55,110]
soit
5
2
]
[11,55,110.
§ 6. LE TREILLIS PARTIEL DE
Mc
DONT LA BASE EST FORMEE PAR SES SOUS-GROUPES
ISOMORPHES A
AS.
Introduction : Nous ne pourrons pas non plus ici donner tous les details de la
construction de ce treillis partiel.
La demarche sera illustree aux points 6.2
et 6.3 par les cas de
M
et
M
En 6.3 nous donnons les resultats pour
2 1.2
22.
4
2.A
U
et
M
En 6.4 nous esquissons la construction du treillis partiel
7,
3(5)
l l.
de
U
et en 6.5 nous indiquons la procedure engagee pour produire le Schema 2tpl~!.
4(3)
LEMME
Tout sous-groupe de
Mc
isomorphe à
A
a pour presentation
5
< x,y
x E (2A), Y E (3B), xy E (5B) >.
Preuve: Dans
Mc, IK(2A,3A,5A)1 = IK(2A,3B,5A)1 = IK(2A,~,5.)1 = 0
et
IK(2A,3B,5B) 1 = 125
et le lemme en decoule.
Consequemment
1+4
51+2.3.8
3
.2S
2A
ne contiennent pas de A
grqupes
5,
S et
5-sous-

IV.39.-
les deux premiers parce qu'ils ne contiennent pas de 5B-élément, le 3ème parce
que son 2-Sylow est un
ZS.
6.2. ~~_~~~~~~~~_~~~~~~~_~~ M2 1.2.
Au § 2, nous avons déterminé les sous-groupes maXlmaux de
M
et les seuls qui
2 1.2,
4
contiennent des
A
sont isomorphes à
M , S6' et
2. S5.
5
2 1
Tout A
groupe de
M . 2
est contenu dans le
M
(car
est simple).
5-sous-
2 1
2 1
Cas de
M
.
2 1
* M
possède 7 classes de A
: en effet
IK(2A,3A,5A)1 = 35
2 1
5-sous-groupes
dans
M ;
tout
A
y a un centralisateur trivial, et comme
M
possède 2
2 1
5
2 1
classes non réelles de 5-éléments, N(A
~ A
Donc un 5A-élément de
M
est
5)
5.
2 1
dans un unlque
A
(de chacune des
r
classes de conjugaison du
M )
qui apporte
5
2 1
une contribution de 5 au cardinal de
K(2A,3A,5A).
D'où
35 = 5r ~ r = 7.
* Considérons l'action de M
sur le plan projectif
PG(2,4).
Ses maximaux
2 1
qUl contiennent des
A
sont les 3 classes de
A
qui correspondent aux hyperova-
5
6
4
les et les 2 classes de
2.A
= M
qui correspondent respectivement aux points
5
20
et aux droites de
PG(2,4).
Un
A
de
M , en stabilisant une hyperovale possède deux orbites sur les points
6
2 1
[6, 15]
et deux orbites sur les droites
[6,15].
I l contient deux classes de
A5
dont les éléments correspondent respectivement au stabilisateur dans
M
de,
2 1
l'hyperovale et d'un point de celle-ci, de l'hyperovale et d'une droite disjointe
de celle-ci: soit des actions
[[1,5,15], [5,6,10]]
et
[[5,6,10],
[1,5,15]]
sur les points et les droites de
PG(2,4).
Conséquemment les 3 classes de
A6
déterminent 6 classes disjointes de A
groupes de
M
5-sous-
2 1.
D'autre part le stabilisateur dans
M
d'un anti-drapeau est isomorphe à
A
et
2 1
5
opère comme
[[ 1,5, 15] , [1,5, 15] ] .
Nous obtenons le treillis suivant

IV.40.-
(A)
(c)
(B)
(A1)
(A2)
(ci)
(C2)
(B 1)
(B2)
Nous déduisons automatiquement de ce treillis qu'un
de
possède 4
classes de
A .
5
* Convenons que les libellés au-dessus des classes de A
de ce treillis cor-
6
respondent à ceux de leurs 4-éléments dans
M
Il résulte du point 4.6 (§ 4)
2 l.
que
M
permute les classes de
A
libellées
(A)
et
(B)
en stabilisant
2 l.2
6
(C)
et les 2 classes de
Par conséquent, au niveau des classes de
A
nous aurons
dans
M
les
5,
2 l.2
2 fusions
(A1)
ave c
( B1) ;
( A2 )
a ve c
( B2) .
Cas de
8
et
6
On peut aisément établir que le
treillis partiel
de
8
est le schéma ci-après
6
48
et déduire du travail précédent celui d'un
2
de
M
5
2 l.2.
8
Il en résulte que la classe de
A
correspondant aux stabilisateurs d'un anti-
5
drapeau et les classes
(Cl)
et
(C
sont normalisées par des
8 ,
2)
5
Ce qui conduit au résultat :

'cl
8
..,
Il'
..,
CD
1-"
16
tn
t--'
CD
t--'
tn
1-"
tn
:x>
'cl
V1
Il'
..,
c+
1-"
CD
t--'
p,
CD
1\\):;:
......1\\)
Il
1\\
1\\):;:
.....
'"Q
..
:x>
+
:x> 1
V
p,
CD\\
c+
CD
~
1-"
::l
CD\\
rn
.g
CD\\
..,
(en
1-'-
CD
~
..,
CD
a
H
lb
c:::::
::l
c+ +"
--"
~
-161
•
16:'
•
11:.1
17V
~
111V
1L
~
.f~~

IV.42.-
PROPOSITION 14 : M
(extension de
M
par l'involution de
GF(4))
possède
2 1.2
2 1
5 classes de conjugaison de sous-groupes isomorphes à
A
et son treillis partiel
5
de base les A
groupes est donné par le Schéma ci-avant.
5-sous-
Remarque: Pour clôturer ce point, nous allons déterminer à présent les actions
sur
n
de tous les sous-groupes de
M . 2
qui interviennent dans ce treillis.
275
2 1
*
2,56
M
3,105]
a pour orbites
[1
ce qui ~onne le schéma
2 1
•
Avec la même convention de notation pour les correspondances entre les 3 classes
de A
de
M
et ses 3 classes de 4-éléments.
6-sous-groupes
2 1
* M
possède 3 classes de
A
dont les actions sur
n
se déduisent très
2 1
6
275
facilement de la Table 5 (~.IV.J1).
2,45]
A
[1] ,
[20,36] ,
[20,36] ,
[1],
[1,10,45] ,
[30
6(2A,3A,4A,5A,B2)
2,45]
A
A,B2)
[1] ,
[20,36] ,
[1,10,45] ,
[1] ,
[20,36] ,
[30
6(2A,3A,4B,5
2,45]
A
A,B2) :
[1] ,
[1,10,45],
[20,36] ,
[1],
[20,36] ,
[30
6(2A,3A,4C,5
Il en résulte que tout
A
de
M
donc de
M · 2
possède sur
n
les orbites
6
2 1,
2 1
275
3
2
2
2
2
[1 ,10,20 ,30 ,36 ,45 ] .
Conséquemment
S6 = N(A~)
est transitif sur les parties
2
suivantes
[1,10,45],
[2,40,72],
[30 ,45].
Donc
S6 ~ U
et par le caractère
4(3)
permutant correspondant (cf. Appendice) : ce sont des orbites donc
S6:
[1,2,10,
t
2
2
30,40,45,72].
1
f
*
4.A
M
possède 2 classes de
2
dont les actions sur
n
sont identiques.
2 1
5
275
4
2.A5(2A,3A,4A,4B,4C,5A,B2) :
[1],
[16,40],
[16,40],
[1],
[16,40],
[5,20,80]
1
2
3
3
soit donc des orbites de longueur
[1 ,5,16 ,20,40 ,80]
sur
n
.
Il en résulte
275
1
1

Iv.43.-
4
4
2
automatiquement que
2 .S5 = (2 .A
opère sur
Q275
comme
[2,5 , 16,20,32,40,80 ]
5).2
* Considérons un A
de
M
: il possède 2 class
et a pour orbite
6
2 1
7s de A5
3
2
2
2
2
[1 ,10,20 ,30 ,36 ,45 ].
En appendice nous avons le treillis des sous-groupes de
A
et
(ce qui livre
6
les degrés de toutes leurs représentations transitives) et tous les caractères per-
mutants de
A6:
•
•
30
56
105
Dans cette action d'un
Q275' les 2 orbites de longueur 30 correspondent
à ses 2 classes de A
sinon un 3-élément aurait trop de points fixes.
4-sous-groupes
On peut alors déduire qu'un A
pe a une action visualisée par
5-sous-grou
•
•
3,5 2,62,105,
Donc S1
A ~A6 ~ M
alors
A
possède comme orbites sur
Q275 :
[1
5
2 1
5
2,20,30
15
5].
Il en résulte que si nous considérons le
A
de
M
normalisé
6
2 1
par
S6' les
A
de ses 2 c Las s es sont normalisés
par des
S5
dont les actions
5
2 2 2
dans
Q275
sont
[2],
[1,10,15,30],
[12,20 ,60],
[5 ,15,20,30]
car les involu-
tions de
M
. 2
extérieures à
M
sont des involutions de champ.
2 1
2 1
2
2 3 3
Soit donc
S5:
[1,2,5 ,10,12,15 ,20 ,30 ,60] .
* Considérons un A
stabilisateur d'un antidrapeau de
PG(2,4).
Comme le
5
caractère permutant de
M
est le même sur chacune de ses 7 classes de
A
2 1
5,
on aura que cet
A
possède aussi
4 + 4 + 4 + 6 = 18 orbites sur
5
A B C
r
u r
u r
u r
.
56
56
56
105

IV. 4ft.-
• L'existence d'une unlque classe de
D
dans
M
et le fait que
D
soit
10
2 1
10
maximal dans
A
impliquent que
A
possède une orbite de longueur 6 dans chacune
5
5
des 3 56-orbites de
M .
2 1
• Un 3-élément de
M
fixe 2 points dans une 56-orbite de
M
et
2 1
2 1
N(3) ~ S3
est maximal d'indice 10 dans un
A
contenant ce 3-élément.
Par conséquent
A
5
5
possède deux orbites de longueur 10 dans chacune des 56 orbites de
M
(car
2 1
8
opère comme
[1,3,6]
sur les 10 points).
3
2
Il en résulte que
A
opère sur chacune des 56-orbites comme
[6,10 ,30].
5
• Dans son action sur les 105 drapeaux de
pG(2,4), cet
A
stabilise 6 parties
5
3
2
qui sont donc forcément des orbites
[5, 15 ,60].
Donc le stabilisateur d'un antidrapeau de
PG(2,4)
opère sur
n
comme
275
2
3
3
6
2
3
[1 ,5 ,6 , 10 , 15 , 30 ,60].
Il en résulte que son normalisateur qUl est isomorphe à
8
opère comme
5
3
2
2
2
2
[2,5 ,6, 10 , 12, 15 ,20 ,30,60 ] .
6.3. ~~_~~~~~~~~_e~~~~~~_~~ M22·
De la liste des sous-groupes maximaux de
M , les seuls contenant un
A
sont
22
5
4
4
L
M , 2 .8
A , A , 2 .A
et
M .
2(11),
10
5,
7
7
6
2 1
En considérant
M
comme le fixateur de deux points d'un
8(5,8,24)
dans
M
22
24
~.
~
L
apparaît comme le stabilisateur de deux dodécades complémentaires contenant
2(11)
respectivement
a
et
b.
M
comme le stabilisateur de deux dodécades complémentaires dont l'une contient
10
a
et
b
4
2 .A
comme le stabili sateur d'une octade passant par
a
et
b
6
4
2 ,S5
comme le stabili sateur d'une paire
{c,d}
disjointe de
a
et
b
A
et
A
comme les stabilisateurs d'une octade passant par un des points et
7
7

IV. 4s ,-
disjointe de l'autre
M
comme le fixateur d'un 3ème point.
2 1
Par le travail fait aux § 3, 4 et 5 nous connaissons les actions de tous ces sous-
groupes à l'exception de
M .
10
On peut établir sans trop de peine qu'un M
de
M
a pour orbites
10-sous-groupe
22
[10+12,2+30+45,20+36+120]
soit
[2,10,12,20,30,36,45,120]
sur
n
.
215
Cas d'un M - s ous - gr oupe de
M .
2 1
22
2
2
Ses orbites dans
n
sont de longueur
[1,21 ,56 ,120]
et considéré comme un
21 5
sous-groupe du
U ( 3 )
correspondant à son point fixe, cela donne le schéma:
4
•
Nous déduisons automatiquement les actions suivantes, grâce à la Table 5( p.tV.~l)
2
[1],
[20,36],
[20,36],
[6,15],
[6,15],
[15,90]
2]
A
A,B2)
[1], [20,36],
[1,10,45],
[6,15],
[6,15],
[60
6(2A,3A,4B,5
2]
A
A,B2)
[1],
[1,10,45],
[20,36],
[6,15],
[6,15],
[60
6(2A,3A,4C,5
4
2 A
A,B2)
[1],
[16,40],
[16,40], { [1,20]
et
, [5,20,80]
5(2A,3A,4A,4B,4C,5
[5, 16] }
ou
[5 , 16]
et
[1 ,20]
Ainsi Sl
A ~ M
~ M
alors les orbites de
A
sur
n
sont
6
2 1
22
6
215
2
4
2
2
2 2 2
2
[1,6 ,15 ,20 ,36 ,90]
ou
[1 ,6 ,10,15 ,20,36,45,60]
4A
Tout
2
d'un M
de
M
fixe une arête de type 162 et donc est
• 5
2 1-sous-groupe
22
contenu dans un
M21.2.
D'autre part s i
A ~ M
alors
est contenu dans au m01ns un élément
5
2 1
de l'une des 2 classes de
et donc est dans
M21.2.

IV.46.-
Cas de
A
et
7
Nous avons vu (point 4.5) que
M
possède deux classes de A
groupes
22
7-sous-
une classe notée
(A ) :
[7+15,35+42;1+70+105]
et une autre notée
7
(A
:
[7+15,35+42,15+35+126].
7)
A
possède une classe de
A
correspondant à sa 7-orbite et dont les éléments
7
6,
sont dans un M
il opère donc comme
[1+6+15 , 15+20+6+36, 1+10+60+45+60] .
2 1-sous-groupe
A
possède aussi une classe de
A
correspondant à sa 7-orbite et nous avons
7
6
l'action suivante pour cette classe de
A
:
[1+6+15;15+20+6+36,15+15+20+36+90].
6
Le treillis partiel d'un
A
est le schéma
7
DeN'\\.
Donc tout
A
d'un
A
est contenu dansVA
On déduit de l'étude
5
7
6-sous-groupe.
faite en 6.2 les actions des A5-sous-groupes.
Cas de
En tant que stabilisateur d'une paire dans la 22-orbite de
M
il est contenu
22,
dans
M
et en 6.2 nous avons déterminé son treillis partiel.
2 1.2
Cas de
Janko [29] a construit la table des caractères de
Par une technique identique à celle du § 2 on peut démontrer le résultat suivant
4
2
PROPOSITION 15 : Les sous-groupes maximaux de
sont
(2 cl), 2 . (3 .4)
4
(1 cl), 2 ,S4
(2cl) et
A
(2 cl).
6
Pour la connalssance du nombre exact de classes de conjugaison de
A
on peut
6•
2
utiliser le fait que
A
admet la présentation
< x,y
= y4 = (xy)5 = 1 >
6
1
x
et en calculant les constantes de structures correspondantes, seul
IK(2B.4C,5A)1

IV.47.-
1
1
1
est non nul et vaut 20.
4
1
Comme un
A
contenant un 5A-element apporte une contribution de 10 ~ 2.A
6
6
contient au plus 2 classes de
A
et comme il en contient au moins 2, on en
6
4
conclut que
2.A
possède exactement 2 classes de A
6
6-sous-groupes.
1
4
4
Si
M
:
[22,77, 176]
et
2 .A
~ M
on a
2 .A
:
[6+16,1+16+60,80+96].
22
6
22
6
4
4
2 .A
possède une classe de
2 .A
fixant 2 points dans
(elle correspond
1
6
5
à sa 6-orbite) et y est du type
(2A,2B,3B,4A,4B,5A,B2).
Tandis que les elements
de la 2ème classe ont un seul point fixe et sont du type
(2A,2B,3A,4A,4B,5A,B2,6A).
Dans
IK(2A,3A,5A)1 = IK(2A,3B,5AI = 0
IK(2B,3A,5A)1 = 5
et
IK(2B,3B,5A)1 = 20
4
Par consequent
2 .A
possède une classe de
A
de type
(2B,3A,5A,B2)
et 4
6
5
classes de
A
du type
(2B,3B,5A,B2).
5
4.A
En tenant compte des types des sous-groupes de
2
on construit le treillis
6
partiel de
qui a pour schema
(2B.3A.5A,B2)
4
Si nous travaillons dans un
S(3,6,22). 2 .A
est le stabilisateur dans
6
d'une hexade.
Ses deux classes de
A
correspondant aux 16 points et aux 16
6
'/
hexades disjoint.(e)3 de l 'hexade qu'il stabilise.
Par consequent les 2 classes de
4
A
determinées par les
2 .A
sont communes aux
M
et aux M
6
6
2 1
10-sous-groupes.

P.
1-3
.,
(1)\\
c+
(1)
(1)
1-"
~. f-Jf-J1-"
~
CIl
(1)\\
Id
Id
p:J
.,
p:J
., c+1-"
CIl
(1)
(1)
f-J
CIl
P.
(1)
~
\\Jl
:s:
ro
ro
H
<:
.j::-
(X)
1
162
112
112
162
•
162
•
~2
162
1~2
1 6 V 6 2
_"",-",_"""_.~
__",,,,,,,,,,,__,".. ,,,,,,,,.....,,,.,...,_,~,, ,',"-"'-' -_ ..,-" ...
~.~_-~"" ..._ _•.,.,,,...,,.,,~_,~ •• ,,.,"~..
,,.,,.,...<",,,.~~-~"~"''''''''';''''''''.~''''.~"'l_ _
, ""--'!.""..'-·1-'·'-'.......",.' ....."~-.·_,·~,"·"."-,····,·,·'"'··"····-··,.,.......'"'~•.'~,
.. ~__.-.....<"'._."...,.,'.,.~ - - .•-,..•,.- "..'••~_.-.~,>.~'- •.-.,..
..,.;...,.,..""""~~--_•.''''-'''...-,.....''''-~...,~.'-'"",'~-"' .......·,·...',.-·~;~·~'"-",,~"'"',."">"1ll7l"i'W""<~'~C·'1"""'·'...,..";
<r:
-~~"'!·,;.,..,;,·,·,·~,."''<·,'}~'_·,·"''';'''<,·~;~"'·'j_,,..·''''"S':'·""''',~9..,.-"''''',·'"

Iv.49.-
Les schémas des treillis de ces 2 groupes s'obtient aisément et donnent
L ( 11 )
2
et
Classes de conjugaison de
A
du
5
Dans
M
IK(2A,3A,5A)
22,
1 = 50.
M
contient exactement deux classes de
S5
provenant de ses 2 classes de
A
22
7
4
et contenus dans ses
2 .S5-sous-groupes;
donc
contient deux classes de
avec un normalisateur isomorphe à
S5
et
r
autres classes avec
N(A
= A
5)
5.
Un
ù.:
de
M
est contenu dans un ou deux
A
d'une classe de conjugaison
5
22
5
selon que le normalisateur d'un
A
de cette classe est
5
S5
ou
A5·
Par conséquent
50.4 = (2 + 2r). 4.5 "r = 4.
Avec les informations recueillies jusqu'ici, on peut plus ou mOlns aisément aboutir
au résultat :
PROPOSITION 16 : Le treillis partiel de
M
dont la base est formée par ses sous-
22
groupes isomorphes à
A
est le schéma ci-avant.
5
et
Pour ces trois groupes, notre démarche a été identique aux précédentes: ayant les
listes de leurs sous-groupes maximaux (§ 2) nous avons considéré ceux d'entre eux
qui contiennent des
A
et déterminé leurs actions sur
Q275 : pour
ses
5
maximaux ont déjà été rencontrés, pour
U
les actions de ses M
3(5)
10-sous-groupes
s'obtiennent sans trop de problème;
pour
M
également.
11
Usant alors de la connaissance que nous avons des treillis partiels de ces maXlmaux,

1-3
'1
11l
.....
1-'
1-'
.....
Ul
'0
~
.....
11l
1-'
ft
ro
»+=-
-J
P.
iD'
c+
11l
a.....::l
iD'
'0
1II
'1
Ul
11l
Ul
»
V1
4
f'
2 A
x
6
1. xe
dans
V7
A
fixe
y
dans
7
V 16
A~ fixe x et z,
H
z E V 112
<:
.
'V
112
V1
162
~y
x '"
_ y
o
.
'" ~ '"
1

1-3
'1
Cl>
1-'-
1-'
1-'
1-'-
[Il
'd
ID
~
1-'-
Cl>
1-'
P-
Cl>
c:::
LV.......
\\.Tl
' - "
P-
Cl>\\
c+
Cl>
~
1-'-
::s
Cl>\\
[Il
~
'd
Cl>\\
'1
1-'-
Cl>
~
Cl>
~
::s
c+
'd
ID
'1
[Il
Cl>
[Il
:t>
xn 1[Il
0
~
H
[Il
<:
.
1
()Q
xn
'1
0
162
•
•
.§
Cl>
[Il
.....-~..."'."
..."'...-~---~-"""'~ ...."_." .."'.,....,,,}.\\.
.......','''>.,~.~,,~ -Ç/;''''''''''''~'~>''''';'''"l\\F ..·_""""",·"~·t-'''_.·,,,,~,,·,,,,...,_,,,,·~~'-''''''''-·'~t'''''''·'I';~·\\~'''"''_''''''''"''~''''"l;'~=,,".'''~''''';''':'<!'O''''''·",~"".'""",-.~,""",~"",.,,,,<,_v· ...,~'I't:',,,-",,,,,}:'._,__ ~
"''' "","",~~~"""..,=.~_",',m''''''"'''''''''''''''''''"''''_''''tI'''~''''''~'''"',,,,"".*'r_.;;~"n'''''.''''''.'''~...."..".·l"""i,·~-.,.",.·\\~"""!"..,.~~'-_"'··,.'·,·""·"""'···,,"_,'_·_"'t'·"'"."'~ '~''''_''','''''''J'''P'_'' '''''_'~''''-''''''''''"",_,.'''.,".1I'''''''l'',~'_'·l'>'~_'"~.~,.,,,.r"'r"''''''~ ·_Y'~ " " "'·''''-'_·''"·."''''·'' ' ''''·'· '''''' -'~."~,,,;,~,,,,:,,"? ··"'~~ ·""~
"'\\')'"'''_·'C~'''"'''''·_·'·~V"''~:;''''ll''''~

IV.52.-
Treillis partiel de
M"
déterminé supérieurement par ses A
groupes
5-sous-

IV. 53.-
et disposant des tables des caractères des
et
on peut cons-
truire leurs treillis partiels.
Ces resultats sont consignes dans la proposition qUl suit
PROPOSITION 17 : (i)
Les treillis partiels de
et
sont
donnes par les schemas ci-avant
.La M10
(ii)
Pour
U
: [502,175), ses 3 classesVont pour orbites
3(5)
[2+12+& 6,20+30, 10+45+120],
[20,30,2+12+36,10+45+20]
et
[20+30,20+30,1+12+72+90].
(iii) Pour
M
[11,22,110,132], son M - s ou s - gr oupe a pour
11
1O
orbites
[1+10,2+20,20+90,60+72].
6.5. ~~~~~~~~_~~~~~~~_~~ U4(3).
Remarque: Du travail fait aux points 6.2 à 6.4, on peut constater que la plupart
des sous-groupes rencontres dans les treillis precedents apparaissent comme des
sous-groupes de
U
(car ils ont au moints un point fixe dans
n
) : en par-
4(3)
275
ticulier tous ceux qui sont isomorphes à un
A , A .
5
6
PROPOSITION 18 : Le treillis partiel de
U4(3) dont la base est formee par ses
sous-groupes isomorphes à
A
est le Schema 5;
les types et actions de ses sous-
5
groupes contenant un
A
sont donnes par la Table 6.
5
Preuve de la Proposition 18 : Dans la construction du treillis partiel de
U4(3)
nous avons procede comme suit
1. Nous avons determine les types des
A
de
U
5
4(3)
et le nombre de classes
de conjugaison : il y en a 8.
2. Puis nous avons considere tous les sous-groupes maxlmaux de
U4(3) qUl
contiennent un
A , construit leurs treillis partiels (en fait seuls les treillis
5
4
et
3.A
n'avaient pas ete rencontres) et constate comme les
6
types d'isomorphisme des sous-groupes qui interviendront dans le treillis de
4
sont: U
M21~3
(pour les maximaux)
et
4(2),
.A6, M10, A7
pour les intermediaires.

IV.56.-
3. Jouant alors avec la connalssance des actions sur
n
, nous arrivons à
275
produire le treillis.
Etape l
Dans
U ( 3 ) ,
IK(2A,3A,5A)
4
1
= 0, IK(2A,3B,5A) 1 = IK(2A,3C,5A) 1 = 5 et
IK(2A,3D,5A) 1 = 60.
Par conséquent les types des A
groupes de
U ( 3 )
sont
(2A,3B,5A), (2A,3C,5A)
5-sous-
4
et
(2A,3D,5A).
Soit
z
un 5A-élément de
U ( 3 ) .
4
du type
(2A,3C,5A)
apporte une contribution de 5 au cardinal de
K(2A,3C,z).
IU
IU
A
I
4(3)1
4(3)1
51
Donc
z
est dans un unique
A
et
. -2- , par
5(2A,3C,5A)
= 1N(A )
22. 5
5 1
2 .5
conséquent
Donc
U
possède une classe de
A
du type
4(3)
5
(2A,3C,5A)
et son normalisateur est isomorphe à
S5.
Il en va de même pour les
A
du type
(2A,3C,5A).
5
Considérons un
A
du type
(2A,3D,5A)
N(A
= A
en effet dans
U
5
5)
5
4(3)
et dans
Par conséquent un 5A-élément
z
de
U
est contenu dans 2 A
groupes de
4(3)
5-sous-
chacune des
r
classes dont les éléments sont du type
(2A,3D,5A).
D'où
60.4 = (2r).5.4 ~ r = 6
t
Ce qui donne le résultat suivant
LEMME : U (3)
possède 8 classes de
pes.
4
conjueaison de A5-sous-grou
classe
du type
(2A,3B,5A)
et
N(A
=
5)
S5
classe
du type
(2A,3C,5A)
et
N(A5) R1 S5
6 classes du type
(2A,3D,5A)
et
N(A
= A
5)
5
Etape 2.
U
possède 13 classes de conjugaison de sous-groupes maximaux contenant un A
4(3)
5.
4
4
Ce sont
3 .A
M
(2 cl), U
(2 cl), 2 .A
(2 cl), A
(1,. cl), MlQ
(2 cl).
6,
2 1
4(2)
6
7
Par la table de caractères pèrmutants de
U
(cf. Appendice) nous connaissons
4(3)

IV.5i.-
les types de tous ces sous-groupes max~aux donc aUSSl les types des
A
qu'ils
5
rencontrent.
Nous connaissons leurs treillis partiels de base
A
à l'exception
5
et
Cas de
U4(2)
De la liste des sous-groupes maXlmaux de
U
[1~] on déduit que ceux contenant
4(2)
4.A
4)
un
A
sont
8
= N(A
du type
(2A,2B,3B,3C,4B,5A,6c,6D)
et
2
= N(2
5
6
6)
5
4.A
du type
(2A,2B,3B,4A,4B,5A,6B,6B*,6D).
Donc un
2
de
U
est une exten-
5
4(2)
4
sion de
2
par
A
qui contient des 6-éléments.
D'autre part
5
IK(2A,3B,5A) 1 = IK(2A,3C,5A)1 = 0
et
IK(2B,3B,5A)1 = IK(2B,3C,5A)1 = 5.
Par conséquent
U
possède deux classes de conjugaison de
A
groupes et
4(2)
5-sous-
donc les A
groupes d'un
de
sont tous du type
(2B,3B,5A).
5-sous-
Usant de la connaissance que nous avons du treillis partiel de
8
nous construisons
6
aisément celui de
U4(2)
(2A,3C,5A)
Cas de
On peut avec la technique développée au § 2 déterminer les types d'isomorphisme
4
des sous-groupes maxlmaux de
3 .A
et les seuls contenant un
A
seront
6,
5

IV.58.-
,
4
Comme
A
possède deux classes de
possede deux classes de 3 .A
6
5-
sous-groupes.
4
.
Pour le nombre de classes de conJugal son de
A
dans
3 .A
dans la constructlon
6
6:
du treillis il y a 9 classes qui apparaissent.
Et par Finkelstein [ 13, p.82]
nous
savons qu'il y en a exactement 9.
Nous ne sommes pas parvenus à construire le treillis partiel d'un
a priori,
malS celui-ci se déduit des treillis de
U
et
Mc.
4(3)
Etape 3.
* Tout A
de
U ( 3 )
a pour orbite sur
tJ.
et
r : [7,35,70]
et
[15,42,105].
7
4
U
en contient 4 classes qui déterminent dans
U
4 classes de
A
disjointes
4(3)
4(3)
6
ayant pour orbites
[1+6,15+20,10+60]
et
[15,6+36,45+60].
Chaque
A
de ces 4
6
familles détermine des
A
ayant 3 points fixes avec un graphe induit
5
~162
et
~
"
* M~1 qui a pour orbite
[5 621 , [ 1, 56 , 105]
contient 3 classes de
A
dont les
6
éléments fixent 3 points avec les graphes induits suivants :
le
<::]
6 2
et x,
112
162
Par conséquent ces 3 classes ne peuvent fusionner dans
U ( 3 ) .
Leurs A
groupes
4
5-sous-
ont donc aUSSl les mêmes points fixes et donc les mêmes graphes induits.
Ainsi de proche en proche on arrlve à construire le treillis sauf les liaisons entre
les 2 classes de
et les classes de
Nous indiquons seulement la procédure gue nous avons adoptée :
1. Nous avons fait pour chacun des sous-groupes maximaux contenant un
A
la
5,
liste de tous les sous-groupes qui interviennent dans son treillis partiel.
Cela
permet d'avoir les types d'isomorphisme des sous-groupes de
Mc
qui interviendront

IV.59.-
4
4
dans la construction: il y a les maximaux
(U4(3), M
U (5) , 3 .M
M
2 .A
22,
3
10,
2 1·2,
7
et
M ) ;
les sous-groupes qui sont simples
(A , A
A , U ( 2 ) , L ( 11)
et
M ) ;
11
5
6,
7
4
2
2 1
les normalisateurs de sous-groupes simples
(8 , 8 , M ) ;
les sous-groupes conte-
5
6
10
4
4 4 4
nant un 2 -sous-groupe normal
(2 .A , 2 .A
2 .8 )
et les sous-groupes contenant
5
6,
5
4 4 4
un 3 -sous-groupe normal
(3 .A , 3 .A
5
6).
2. Pour
M , L ( 11) , A , U
2 1
2
7
4(2 ) , cela ne pose aucun problème.
4
4
3. Nous déterminons les treillis partiels de base les 2.A
groupes et les 3.A -
5-sous-
5
sous-groupes.
4. Nous traitons le cas des
A , A , 8 , 8
en fin.
5
6
5
6 et
M10
Dans le 8chéma 2 comme dans la Table 2 une notation comme
A(1,3,6)
signifie
5
6
que les 3 classes de
de
notées
et
(A )
fusionnent dans
5
Mc.
4
(i)
3 .M
pos sêde 3 classes de conJugal son de M
10
10-sous-groupes.
4
(ii) 3 .A
possède 3 classes de conJugal son de A
pes.
5
5-sous-grou

V. 1 .-
CHAPITRE V : SOUS-DEGRES PRIMITIFS DE
Mc.
ORBITES DES SOUS-GROUPES MAXIMAUX DE
Mc
INTRODUCTION.
Dans l'introduction générale, nous avons défini le problème auquel ce Chapitre est
consacré.
La Section 1 se penche sur le 1er aspect : ~ Si
H
est un sous-groupe
maximal de
Mc, déterminer les orbites de
H
sur
n = Mc/H~.
Les longueurs de
ces orbites sont appelées sous-degrés primitifs de
Mc.
Nous nous sommes acquittés
de cette tâche pour tous les sous-groupes maximaux à l'exception des deux cas
4
H = 2 .A
et
H = M
sur lesquels quelques éléments seront donnés plus tard.
7
11,
Dans la Section II, nous nous sommes occupés du 2ème aspect : < H étant toujours
un sous-groupe maximal de
Mc, déterminer les orbites de tous les autres sous-
groupes maximaux de
Mc
sur
n = Mc/H ~.
Ce deuxième aspect du problème aussi
n'a pas été complètement résolu.
Nous résumons en fin de chapitre les résultats
obtenus, ce qui indique en même temps les "trous à boucher".
Notre expérience nous enseigne qu'il n'y a pas de voie uniforme pour la solution
des tâches exposées ci-dessus
* Pour la détermination des sous-degrés primitifs, il y a eu essentiellement 4
.
" .
. "
(
3 1 + 4 )
"
.
approches : la technlque des
lntersectlons
M
.2S
' celle des
pOlnts
22,
5
2.3.S),
fixes"
(U (5) , 51+
l'utilisation des sous-groupes diédriques
(2A )
et
3
S
4
la méthode des "graphes induits"
(3 .M
M
10,
2 1.2).
Plutôt que de décrire ces approches, nous préfèrons les appliquer en espérant que
leurs aspects généraux se dégageront.
* Avec la méthode des "graphes induits" ressort toute l'importance d'une connalS-
sance des graphes que l'on peut aSSOCler à
Mc
(Sect.2, Chap.I).
Comme nous le
verrons, cette méthode permet de déterminer plus ou moins aisément les orbites des
autres sous-groupes maximaux sur l'ensemble des classes gauches des stabilisateurs
4.M
d'arêtes, 3
et
M
10
2 1.2.
* Pour les orbites de sous-groupes maximaux, les deux morceaux du treillis
construits au Chapitre IV ont permis également la détermination directe de cer-
taines d'entre elles.

V.2.-
Convention : Soit
H ~ G et
Q = G/H. Si ~ est un graphe induit sur n par
l'orbitale auto-duale
~
de
Mc
de longueur
t
nous dirons qu'un ensemble de
cardinal
l
est une i-clique de type
t
si cet ensemble est une clique (i.e. un
ensemble de points deux à deux adjacents) pour le graphe
~.
Ainsi pour
H = U4(3) et G = Mc il y a 2 orbitales auto-duales non triviales de
longueur 112 et 162.
Elles induisent deux graphes
G(112)
et
G(162)
sur
Q275 :
nous parlerons donc de 2-clique de type 112, de 3-clique de type 162, ...

V.3.-
SECTION 1
LES SOUS-DEGRES PRIMITIFS DE
Mc
Remarque : Nous traitons ici le cas où
n = MclH
1+2.
M
et
5
3. 8 .
Nous sommes supposés ne pas encore connaître le carac-
2 1.2,2A8
tère permutant de
Mc
sur
Mcl 1+4
C'est POurqUOl nous reportons la déter-
3
.2S 5
mination des sous-degrés de
Mc
sur cet ensemble dans la Section 2, § 3.
Nous donnerons en Section 3, quelles résultats partiels sur les cas
et
H = M11.
§ 1. SOUS-DEGRES DE
Mc
SUR
n
= Mc/ M
20 2 5
22
La méthode que nous employons est celle que nous avons appelée
"technique des
intersections".
Sur
n
= Mc/U (3)' les orbites de M
sont de-longueur 22, 77 et 176.
275
22
4
Si
m
est une des 2 classes de conjugaison de M
de
Mc, soit
~22
22
22-sous-groupes
l'ensemble des 22-orbites sur
n
des éléments de
ffi
.
275
22
LEMME
Deux éléments
V
et
V'
de
~22
se coupent suivant 0, 1 ou 5 points.
Preuve: Soit
V la 22-orbite d'un certain
M
Nous savons que
M
est 3-
22.
22
transitif sur
V.
Par conséquent
V
une clique de l'un des deux graphes déterminés
par les orbitales auto-duales de
Mc
sur
n
: G(112)
et
G(162).
Comme les
275
cliques maximales de
G(112)
sont de cardinal 5 • V
est une 22-clique de type 162.
La transitivité de
Mc
sur
~22 et le fait que
M
est 3-transitif sur
V
lm-
22
pliquent que
Mc
est transitif sur les ensembles
{(x,V) 1 x EVE ~22}'
{(x,y,V) 1 x,y EVE ~22}
et
{(x,y,z,V) 1 x,y,z, EVE ~22}
et les stabilisateurs
4
d'un élément dans chacun de ces 3 ensembles sont respectivement
M
M
= 2.A
2 1,
20
5
4
et
2 .3.
Comme
Mc
est également transitif sur les ensembles de 2-cliques et de
3-cliques de type 162, il en résulte que par une i-clique
(i = 1,2,3)
de type 162
il passe un même nombre
x.
de
V E ~22
et un calcul simple montre : x
= 162,
l
1

v.4.-
x
= 21, x
= 4.
2
3
Soit
P E n
etU
= (MC)p.
U
opère primitivement sur l'ensemble
275
4(3)
4(3)
des 162 éléments de
~22
qui passent par
p
avec les sous-degrés
[1,56,105].
Donc
V étant fixée, les éléments de
~22
qUl rencontrent
V suivant au mOlns
un point déterminent sur
V
deux structures de 1-design
S56(1,K,22)
et
S105(1,L,22)
à blocs éventuellement répétés.
Comme
x
= 21, soient
p
et
q E V.
(MC)pq = M
opère primitivement sur
2
2 1
l'ensemble des 21 éléments de
~22
passant par
p
et
q, avec les sous-degrés
[1 ,20] .
Donc
V étant fixée, les éléments de
~22
qui rencontrent
V suivant au mOlns
deux points déterminent sur
V une structure de 2-design (à blocs éventuellement
répétés); S20(2,M,22).
Et ce 2-design "provient" forcément d'un seul des 2
1-design précédents.
Soit
b
le nombre de blocs de ce 2-design
et nous devons aVOlr
b = 22.56
ou
b = 22.105
M
M
L'unique possibilité (car
M doit être entier) est
b = 22.105
et alors
M = 5
M
et
b = 462.
Donc dès que deux éléments de
~22
ont au mOlns 2 points en commun ils ont auto-
matiquement et exactement 5 points en commun :
Il Y a
b = 462
éléments de
~22 qUl rencontrent V en 5 points
(2;).56 = 1232
éléments de
~22 qUl rencontrent V suivant exactement 1 poar f
2025 -(1+462 +1232)=330 éléments de
IJ
qUl sont disjoints de
V
!
<22
Comme l'action de
Mc
sur
n
est de rang 4 nous avons le résultat suivant
2025
1
f
LEMME 1 : L'action de
Mc
sur
n
= Mc/M
est primitive de rang 4 avec les
2025
22
t;
sous-degrés
[1,330,462,1232].
i1

V.5.-
§ 2. LES SOUS-DEGRES PRIMITIFS DE
Mc
SUR
n
= Me/U (5).
71 2 8
3
La méthode employée ici est celle que nous avons appelée "la technique des points
fixes" .
Il a été établi au Chap , III que l'action de
Mc
sur
est primitive de
rang 5, et la Table 2 (Chap.III) nous donne les valeurs du caractère permutant
~128 sur les éléments de
Mc, en particulier nous avons
x
2A
ô B
4A
5A
5B
6B
7A
8A
1üA
<P
(x )
168
27
12
3
3
3
2
2
3
7 128
4 2 3
=2.3.5.7.
Soit
a
un 5A-élément, P
un 5-Sylow de
Mc
contenant
a
alors nous savons
Mc
de
N '. N(N) -_ 51+2.3.8 = N(P)
et celui-ci opère
que le normalisateur dans
~
~
comme
S3
sur
Fix(5A).
1 2.3.8
Donc
5 +
possède une 3-orbite dans
n
.
Soit
~3 l'ensemble des 3-
7 128
1 2.3.8.
orbites sur
n
des éléments de la classe de conjugaison de
5 +
7 128
Par un point
p
de
n
il passe
299376.3 = 126
éléments de
~
7 128
7128
3·
Si
U
= (MC)p' l'action de
U
sur ces 126 éléments de
~3
est primitive
3(5)
3(5)
de rang 2 et équivalente à l'action de
U
sur les points de la conique her-
3(5)
mitienne de
PG(2,25).
Par conséquent deux éléments de
~3
se coupent suivant ü
ou 1 point (car si
V et
V' E ~3' contiennent
p
et se coupent en un 2ème point,
un 8-élément fixeràit automatiquement au moins 4 points dans
n
) .
7 128
Il en résulte que
U
possède une orbite
~1
de longueur
126.2 = 252
et
3(5)
son action sur
~1
est imprimitive avec 126 blocs de 2, le stabilisateur d'un
1+2 .
.
, .
bloc étant
N(5A) = 5
8
et le flxateur d un pOlnt
51+2. 4.
Dans
~ l' tout 5-
élément de
U
y fixe 2 points.
Comme un 5-élément a 3 points fixes dans
3(5)
n
, toutes les 3 orbites restantes sont de longueur un multiple de 125 = 53.
7 128
Examinons le cas des 7-éléments.
Soit
~2
l'orbite contenant le 2ème point fixe d'un 7-élément et
x
un point de
~2.

v.6.-
•
•
x
p
112
IU3(5).1
Si
n
est le nombre de 7-Sylow de
(U
nous avons
. 1
7
3(5))x
1112 1·n7 =
3.7
4
4
d'où
111
= ~.125 avec n ::
(mod 7)
et
n
un diviseur de
2 .3.
21
n
7
7
7
L'unique possibilité est
n
= 1 ou n = 8.
Mais alors l'action de
U
7
7
3(5)
sur
11
est imprimitive avec 50 blocs de 120 ou 50 blocs de 15.
Par conséquent
2
le 2ème point fixe d'un 8-élément est dans une autre orbite: 11
Soit
y E 11
3•
3•
Si
~8
fixe
y, :N(Z8)
qua est un 2-Sylow
de
U ( 5 )
fixe aussi le point
y.
Soit
3
n
le nombre de 2-Sylow de
(U ( 5 ) )y .
Nous
2
3
•
•
y
p
avec
n
E {1,3,9}.
2
(car
11131:: 0 (mod 7)
puisqu'un 7-élément n'a plus d'autres points fixes).
Si
11
est la 4ème orbite non triviale de
U ( 5 ) , 11141 = 125a
avec
a E lli
et
4
3
4
2
0
nous avons l'équation: 7128 = 1 + 252 + ~ 125 + 1- 7.125 + a.125
ou encore
n
n
7
2
avec
n
E {1,8}, n
E {1,3,9}
et
a E lli .
7
2
o
L'unique solution admissible est
n
= 8, n = 3 et a = 28
(car
M
n'a pas
7
2
10
d'action transitive sur 5 points).
D'où le résultat
LEMME 2 : L'action de
Mc
sur
n
est primitive de rang 5 avec les
7 128
sous-degrés
[1,252,750,2625,3500].

•
•
•
•
•
•
•
•
'
K z ",.
'1.
n V ..
[?J.

~"'"' -i"4"
T'j1''''
Ae.b.-. A-ux-
fJ.
A<t:... """- r
C"Afi.• .....l-<t .......
N
(H)
~ ~"'"
U.lI)
"
-_._----" _.- .--
H'
(lA. 3~, ~ A, • B, ~ A , SA \\
(Le", H1
[.t,~O,6c, gO]
..-. p
~...
....a.t...:...... J:.
10
f - - - - -
._.------- .
- - - - -----_..
~1'
( l Il, !>]), 4 A , .8,sA , n)
1,
[:...', t~]
[1%, ~o~, 90J
.....~r....
-..
- _ . ' - - - ------------_..
.. _ - - - -
f - - - - - - ._--. - - - - - - -
_..
~, 'J,
(lA, 3D, .A,413 ,SA, 1A, lA')
[ 56 ' ]
[l,H,""'f"]
~~
---
- _. -
-----
---~--_.
-~--
l"
(lA, 3D, 4A, "B,SA, 111, '11\\')
[56
-:1
')
[H ',1toJ
.... r-t~......
-..
f---
. - - - - --_.-- --~.-
N~
(lA, 111. 10, 4A,,, a, SA, Le ; lA\\
[H', rol
[6,6", ~6]
..... r-t f'"
",.,
.
J'~
(lA, lé,ID, 4A,48, GB, sl1)
[16',!lb1
[6,~,%J
..... ~(-...
......
--
---_.- f----- ---- - -------- ------
, .
_..
:\\'A~
1,<.
(JA, Ut ~a. 3'
3.l);1.f.1~,
l
SA,'A,6'8)ci C, 9.4,9A·, 9a QI' )
[1,JO,SI]
j
[ 81'1
•
.----- ---------
- - - - - - - _.. --- - .-
-
- - -- .
A'
(lA, 33,ID,
l
.8, SA,GC, lA, 1A')
(1, !>S". 'la]
[~~, 4t , 1oS"J
- .,...--t r'"
-,..
--
"------
Al
(H, H, ID, 413, ~A,(c,7-n,tA'l
[lr l . , lG]
[ 1f",.1,UI]
....... ~ (-·t..
,...,..
1
f----
. _ . 0_ _ _ _-------
_ _ .____
_..
A'
(lA, s c , lb, 46 , 5A,61'>, Hl, 111')
f
[l,U,1oJ
[1f", 4L, -Ico-rJ
...... r--t r'"
._ - - - - - - - - . _ - - .. -.-----
--_
"-"---
.
il'
(14, le, ID, ~ a, .A, GB, tA,lA')
1
[l,3r,~.1
[H', ~L, u-rJ
........ ~ r-"
"""-.
----------- .
____o. -
_.._____
--~
~
U;l'\\ (J~,3-I\\,IQ, 3C,~A,411, 5n,61I,G-il,6c.:,~~,q8·, 1!.it)
[.o,HJ
[46t J
....... r.J:- f-'....
_4'
- . " -.-._--. - - - - ---_.- ---_._--_._.._-_ ...
_..
lI;(.) (lA, 'rlI,l8, k 1 'A, 4 B, SA, 61\\.f.1l,6c, 9A,9A'. 'WI)
[4 0.1t]
[ HL]
-- t"'" r'"
"--,,---- -- ". - -
.,
-~
5(,
(lA, !B,le, 4&, SA, bll,Ge)
[J, '0,10" 40J
[.r',11]
s,
- - ~ ~~e ,
---
.. __. - - - - - ---- ----
1\\'
(!A. ID
.
..
1 4A, SA)
[""",36']
[~l, ~o, lo" 4S']
~
H'
~
...
>l,
----------_._--~
A'
(lA, 30, !tA, Sil)
(.to', 36l ]
(,t, u 4, "'J
- 'l'""-l t',..
H.;
~
-
lItA
..
.
1
('A, 1j), 4A, 41\\, 5A)
[ 1~<, 40' J
[-1. s, 16,t.o,.0,Jllj
'6&
L'Ar f' •.,t- J'-1"",.t
5
J
PÜ(l,ql {___
---'- "-- -_.,-- ------- .... -- _._-----
J"A~
(1f\\,ID, 41\\, 4B,SA)
[~6',~O"]
[1,5'", i6(tQ1401 ru]
... "t-
l'Ar f ....t- .1',--
~ta
./ _ _ P~(l,'\\
- - - - - - _ .
A~
~lll, 30, Itll, SA)
'CA, ,(,Q,.to,16,llr}
lA, Lo, IO', 16, ~rJ
i"~~' 7
A(,
Ill.
...... /'61
A'
(lA, Hl, 4B, SA)
[~, "". teo, lb, 'tsJ
(1,to, \\<>',3b, ftsJ
~;4
A(,
c
"'~i
- - - - --
- - - - - .<-
A'
(lA,3D,4B ,SA)
(-1, .-\\a, U, !I6, lfS"J
[(,", 1,.',60'J
k
•
"'
•
A,
(,
,
--1,1:- ---_.
--_._--_.-- -
(a,jD,t"~ ,5A)
(1,
IL
..
>\\o,t.o, !', ~!J
[G', H', 61>L J
"
A,
G
.--------
- - - - - - -
-- ----_.- -"
..,
3'11,
[~,lo,Il1J
( n-j
,,~
~'Ar
- - - - -
3" f\\(
[~, 1<., ~]
[ Il'J
~~
~'Ar
-
C
Jlo A
(lA, Ill, ~A,~8, fil, Ge)
[~(,\\ 40"]
t
L6, "', %.1
....... ,-;..t- f"
J.."A,{
1
~. A!L
( H , !>C , ~ A, 4 e, s A l 611)
[H', .0'J
[6,60,U]
-~r"'-
tU~s"
- - - -~--
---- - -- ------ -------_.
Al
(lA,H, .H,~e, SA)
("1, ',-10 IU"lta, 60]
[6,'f", lb, ~r,60.]
~ ~
AI.
(,
-------
S~
(l A, !>8 , ~ B, $"A1 Ge)
[t, Ml, .tot, ~t J
[ ~-'. 11.,1~~, 10,60] --r--J ~..
5r
- - - -
- - - - - - - -
Ag
(J A, ~8, lb, ~ 6,·'A\\
[1,6,'I.o,~f",Lo,60)
[ G•~ f",
..
lG ,4 s, &t.]
lit
~
A,
(,
A9
(lA 1Je, 1 D , 4 Il,!A)
[1, b, W, 15",1.0 1_]
[(,,1f,l6,4f",""J
4. .
A6
(,
---------
"-
-_._-
--
_ . ~ - .
-------------
_.-
SL
(lA,K,48,5Il,68)
[1,-«.,1.o",I..'J
[s-1.11lI1r~ La 1\\1,Go]
5
r'-" ~...
s.
f
- --"_._-_.
A'o
(~I\\, le, ID, 48,>1\\\\
[ ~ . (" 1Q, ,r, Lo, 61> ]
[(,,1f",36, ~r, "'.1
.. ~
AG
~
_ _ _ _ _ _ _ 0 -
- - - - _ . _ - - - - - -~--- ------- ----
--_._- -
AU
(lA, !> 8 l le: , "B 1 s Il)
(,
[1~, ~o, lû', 3a ' ]
[ j6', <zr']
~
.,
L ______
"-- -_.---
-s:J"L
ISb
•
•
• f\\~'" •
•
•
•
..

V.7.-
§ 3. LES SOUS-DEGRES PRIMITIFS DE
Mc
SUR
n299376 = Me/ 1
5 +2. 3. 8
Nous faisons usage ici aussi de la "technique des points fixes".
L'action de
Mc
sur
n299376
est de rang 114 et les valeurs du caractère permu-
tant sur certains elements de
Mc
sont:
x
2A
3A
4A
5A
5B
6B
8A
12A
q,299376(x)
336
486
8
1
1
6
4
2
1+2
Soient
~1""'~113 les orbites non triviales de
5
.3.8.
Comme un 5-element
ne fixe qu'un seul point - V l
Examinons les 12-elements.
1+2.3.8
Soit
~~ l'orbite contenant le 2ème point fixe d'un 12-element. 5
possède ~x
ie 12-element et
N(12) = ~12.2
fixe forcement ce 2ème point.
Il en resulte que
1~11 = 125.
2
Nous allons déterminer les valeurs du caractère permutant de
51+ . 3 . 8
sur
~1'
permute,par consequent il possède un unique
~4 J..t.e.M. ~r-u
.cl-.(M.<.
~~
7L1. •
1+2 . .
5
3 8
....
.
Comme
possede des classes unlques de
375 Z8' 25 Z6' 125 Z4' 25 ~3
et
1+2.3.8
25 ~2' on en déduit les valeurs suivantes du caractère permutant de
5
sur
~1
x
2A
3A
4
6A
8
12
q,125(x)
5
5
1
5
1
1
Considérons le cas des 8-éléments.
Comme l'action de
Mcln299376
est équivalent à l'action sur l'ensemble
Sy15(Mc)
de ses 5-Sylow , U
possède une 126 orbite sur
n299376'
Si
~126 est la
3(5)
famille des 126-orbites de la classe de conjugaison des U
pes de
Mc;
3(5)-sous-grou
par un point
p
de
n299376
il passe 3 eléments
V1' V2, V
de
~126'
3

v.8.-
1 2.3.8
Posons
5 +
= (Mc) .
P
V
2
v1
Nous avons forcément
Sinon un 5-Sylow
P, qui fixe
V
V
V
opèrerait sur
V
n V
et comme il
1'
2'
3
1
2
opère régulièrement sur chacune de ses orbites dans
n299376' {pl
IV
= v
1 n v2 ' = 1 (125)
et alors
V 1
•
2
1 2.3.8
Comme
5 +
opère comme
S3
sur
{V ' v
U v
U V
,
{pl
1
2'V }
on a
~2 = (v
3
1
2
3)
qui est une orbite et le fixateur d'un point dans
~2 est Z8·
Par conséquent il existe une 3ème orbite
~3 contenant le 4ème point fixe de ce ~8
et
1~31 = 125.3 ou 125. Mais 1~31 =1= 125 sinon le fixateur d'un point serait
3.3
d'ordre
2
et contiendrait un 6-élément (impossible car un 6-élément n'a plus
de points fixes).
C
·
·
....
•
5 1
e qUl nous 11vre les caracteres permutants sUlvants de
+2 . 3 . 8
x
2A
3A
4
6A
8
12
~125(x)
5
5
1
5
1
1
2. ~375(x)
30
0
6
0
2
0
1 2.3.8
Par suite, les seuls éléments de
5 +
qUl ont encore des points fixes sont
les involutions
336 - (1 + 5 + 30) = 300
les 3-éléments
486 - (1 + 5 + 0) = 480
1 2.3;8
Le fixateur
R
d'un point dans toute autre orbite de
5 +
est donc isomorphe
à 1, Z2
ou
Z3.
(car
IRI divise 2.3 puisqu'il ne peut pas contenir de 4
d
8 ~ ~
,
6
5 1+2.3.8
ou
e
-element et comme les sous-groupes d ordre
de
sont des
Zh

V.9.-
H = 1, Z2
et
Z3) .
Soit
N
le nombre d'orbites dans lesquelles le fixateur d'un point est
1
Soit
N
le nombre d'orbites dans lesquelles le fixateur d'un point est
2
Z2
Soit
N
le nombre d'orbites dans lesquelles le fixateur d'un point est
3
Z3
alors, nous avons le système
N, + N + N + 4 = 114
N
2
= 5
3
2
1500.1 N = 330
d'où
N = 12
25
. 2
3
1000. 1 N
480
N1
93
25
. 3 =
=
ce qu~ conduit au résultat
LEMME 3 : L'action de
Mc
sur
Q
- Mcl
299376 -
1+2
est primitive de rang 114
5
.3.8
avec les sous-degrés
[1,125,3752,100012,15005,300093].
s 4. SOUS-DEGRES PRIMITIFS DE Mc SUR
4
ORBITES DE
3 .M
SUR
W
4
4
3 .M
= (3 .A ) . 2 est le stabilisateur d'une arête ou 2-clique de type 112, avec
10
6
•
Q
275
Ses orbites sur
Q275
sont de longueur
[2,30,81,162].
* 4.M
3
opère imprimitivement sur la 30-orbite avec 10 blocs de 3 (car
10
4
2
10
3
4
3 1Q275 : [1 ,3
,81]), le stabilisateur d'un bloc est
3 .M
et le fixateur
9
3
d'un point est
3 .M
dont l'action sur la 30-orbit~ est forcément
[1,2,27].
9

V.lO.-
0 @w
• Le fixateur d'un point dans la 81-orbite .,.:. -
...
@
il correspond à un
(dans la Table 6 - Chap.IV).
* 4
3 .M
est imprimitif avec 2 blocs de 81 dans la 162-orbite, le fixateur d'un
10
point est isomorphe à
A
avec
e 6
8
2
162
e
30
81
car il a un graphe induit du
et donc correspond à un
type
~12"
112
dans le treillis de
62
* Par conséquent
Les informations que nous tirons du treillis (Schéma 2, Chap.IV) permettent de
dire que les graphes induits par
G(112)
et
G(162)
sur cette action de
sont respectivement
(Fig. 1)
(Fig.2)
Une arête
(k,t)
sera une arête dont les sommets se trouvent dans les orbites
de longueur
k
et
t.

V.11.-
On déduit de Fig.1 les morceaux d'orbites suivantes pour
opérant sur
(2,2) : 1
(81,81) : 81;20 = 810
(2,30) : 2 x 30 = 60
(81,162) : 81 x 72 = 5832
(2, 162)
2 x 81 = 162
162.20 = 1620
2
30.2 _ !o
(30,30)
- 2 - -
( 162, 162)
(30,81)
30 x 54 = 1620
162.45 = 3645
2
(30,162) : 30 x 54 = 1620
Comme
Mc
est de rang 10 sur
n~5400' ces morceaux d'orbites sont en fait des
orbites.
De Fig.2, où nous avons le graphe induit par
G(162)
nous tirons les morceaux
1
d'orbites suivantes pour l'action de
sur
n22275
(2,81) : 2 x 81 = 162
(81,81) : 81 ; 60 = 2430
(2,162)
2 x 81 = 162
(81 , 162) : 81 x 90 = 7290
30.27
162.30
(30,30 )
= 405
= 2430
2
2
162 x 30
(30,81)
30 x 27 = 810
( 162, 162)
= 2430
2
162 x 36
(30, 162) : 30 x 108 = 3240
= 2916
2
1
1
4
Puisque
< ~15400'~22275 > = 10, 3 .M
possède exactement 10 orbites sur
10
par suite les morceaux d'orbites ci-dessus sont des orbites.
Ainsi nous avons le résultat :
LEMME 4 : (i)
L'action de
Mc
sur
n~5400 = Mcl 4
est primitive de rang 10
3
3 .M1f
avec les sous-degrés
[1,30,60, 162,810, 1620 ,3645,5832
4.M
(ii) Son sous-groupe maximal
3
possède 10 orbites sur
10
n~2275 =
2,405,810,24303,2916,7290]
Mc/M21.2
dont les longueurs sont:
[162

V.12.-
M
est le stabilisateur dans
Mc
d'une 2-clique de type 162 et normalise un
2 1.2
M21 dont l'action sur Q275 est
[2,56,105,112] •
* M
est primitif sur la 56-orbite, le fixateur d'un point est
8
dont
2 1.2
6
l'action sur
Q275
se visualise par;
* Pour M
opérant sur la 105-orbite, le fixateur d'un point est
2 1.2
dont l'action sur
Q275
est
[2,16+16+24,1+4+4+16+16+64,32+32+48].
est imprimitif avec 56 blocs de 2 sur la 112 orbite, le fixateur d'un
point est
avec un graphe induit 162 ~x et donc est un A3 dans le
~
6
treillis de
U ( 3 ) .
4
Avec les informations de la Table 6 (Chap.IV) nous obtenons les 2 figures qUl
représentent les graphes induits par
G(112)
et
G(162)
sur l'action de
M21.2
(sur
Q275).

V.13.-
2
56
2
56
105
112
(Fig.3)
(Fig.4)
De (Fig.4) nous déduisons 13 morceaux d'orbites pour
M
opérant sur
21.2
et comme le rang de
Mc
sur cet ensemble est 13, ce sont donc des orbites pour
M .2.
2 1
Pour l'action de
M21.2 sur n~5400' il était déjà possible de déterminer les
orbites avec l'aide de (ii)-Lemme 4.
Si nous essayons de déterminer directement
ces orbites à partir de (Fig.3) nous dénombrons 11 morceaux d'orbites: donc deux
parmi ces 11 morceaux doivent fusionner:
dans l'action de rang 6 de
M
sur 105 points, les 2 orbitales de longueur 16
21
sont duales l'une de l'autre, tandis que les 3 autres sont auto-duales: Sl
r 16
et
r;6
sont ces deux orbitales nous avons deux morceaux d'orbites dans la 105-
orbite: 01 =[{x,y}
y E r 16(x)]
et
02 = [{x,y} 1 y E r;6(x)].
On a
1°11= 1°2 = 105;16 = 840.
1
Soit
{x,y} E 01
et
{x,y'} E 02.
M
est transitif sur la 105-orbite • 3 a E M
2 1
21
tel que
a(y) = x • a{x,y} = {x,z}
avec
z = a(x) E 0( - : (11'):: r1' (,. (oU'1)):: r"/b (x)
l.e.
(x,z) E 02.
La transitivité de
M
sur
°
3 S E (M
tel que
S(z) = y'.
S
2 1
2 •
2 1)x
0
a
enVOle
{x,y}
sur
{x,y'}
donc
01
et
02
fusionnent.
Nous avons les résultats suivants

v.14.-
1
LEMME 5 : (i)
L'action de
Mc
sur
n22275 = Mc/M21.2
est primitive de rang 13
3,1120,1260,25202,3360 3,4032]
avec les sous-degrés
[l, 112,210
•
(ii) Son sous-groupe maximal
M
possède 10 orbites sur
2 1.2
1
2
3
n15400 = Mcl 4
de longueurs
[112 ,280,560,1680 ,2016,2240,5040].
3 .M 10
§ 5.
LES SOUS-DEGRES DE
Mc
SUR
MC/2A8
Nous ne nous servirons ici que des caractères de
Mc.
Nous avons vu (Chap.III) que l'action de
Mc
sur cet ensemble est primitive de
rang 6;
en fait elle est équivalente à l'action sur la classe des involutions de
Mc.
Comme deux involutions engendrent un groupe diédrique, nous allons essayer
de classer les involutions de
Mc
par rapport à une involution donnée
z
par un
critère qui est "l'ordre du sous-groupe diédrique qu'elles engendrent avec celle-ci".
Les familles ainsi obtenues seront forcément des réunions d'orbites de
C(z) = 2A8
3
sur
n22275·
Mc
contient des sous-groupes isomorphes à
A
de type
(2A,3B,4A,5B).
Donc il
6
possède des sous-groupes diédriques
D
de type
(2A), D
= S3 de type (2A,3B),
4
6
D
de type
(2A,4A)
et
D
de type
(2A,5B).
8
10
De même il contient des L
de type
(2A,3B,6B,11A,11A*)
donc aUSSl
2(11)-sous-groupes
des
D
de type
(2A,3B,6B).
12
Donc étant donnée une involution
z
de
Mc
il existe des involutions qui engendrent
3
avec
z
des
D
avec
n = 2, 3, 4, 5 et 6.
Comme le rang de
Mc
2n
sur
n22275
est 6, nous pouvons énoncer le lemme suivant :
LEMME : Si
D
est un sous-groupe diédrique de
Mc
alors
n = 2, 3, 4, 5 ou 6
2n
et les sous-groupes diédriques
D
pour chacune de ces valeurs de
n
forment une
2n
classe de conjugaison.

V.15.-
5.2. ~!~!~~_~~~_~~!~~~~~~~~~!~_~~~_~~~~:~!~~~~~_~~~~!~q~~~_
~~__~~.
2
n
1
D
=< x,y 1 x = y2 = (xy)n = 1 > = < z,t 1 z2 = t = 1, ztz = t- > sont deux
2n
présentations d'un groupe diédrique d'ordre· 2n.
Connaissant les types de chacune des 5 classes de conjugaison de
D
nous allons
2n,
déterminer les ordres de leurs normalisateurs en comptant de 2 manières les couples
(t,D
avec
t E D
et
t
d'ordre
n.
2n)
2n
Le calcul des constantes de structure correspondantes donne
IK(2A,2A,2A) 1 = 210
IK(2A,2A,4A)1 = 12
IK(2A,2A,6B)1 = 6
IK(2A,2A,3B)1 = 54
IK(2A,2A,5 B)1 = 5
Pour
t
fixé, la contribution d'un
D
le contenant au cardinal de
K(2A,2A,t)
2n
est 2 pour t E (2A), 3 pour
t E (3B), 4 pour
t E (4A), 5 pour
t E (5B)
et
6
pour
t E (6B).
210
Par une conséquent une involution est contenue dans
2
= 105 D4-sous-groupes
un 3B-élément
-.
54
appartient a
= 18
D
3
6-sous-groupes
12
un 4B-élement appartient à
3
D
4""" =
8-sous-groupes
un 5B-elément appartient -.
a
2-
=
D
5
10-sous-groupe
-.
6
un 6B-element appartient a
1
D
b
=
12-sous-groupe
I l en resulte que
IN(D ) 1 = 27.32, IN(D
= 22.
) 1
6
1
1
2
2
=
=
4
2 ,
N(D
2 .5
6)1
33, IN(D8
10)
3.3
et
IN(D
1 = 2
2.
12)
Soit
z
une involution fixee.
Posons
~ (z) = {x E (2A) 1 < Z,x >~ D }.
n
2n
Il est clair que {z}, ~2(z), ~3(z), ~4(z), ~5(z), ~6(z)
sont les orbites de
3
2A8 = C(z) sur n22275.
2
2
Considerons les triples
avec
x, y E D
< x,y > = D
x
= y = 1.
2n,
2n,

v.16.-
En les comptant de 2 manières nous avons la relation
~
I~ (x)l·
!
1 = 1N ~:~ )
= {(x,y) 1 x,y E D
1
1r (D2n) 1
avec
I(D2n)
2n,
21 Asi
n
< x,y > = D2n}
t
t
choix
choix
de
x
de
y
21 ASI
ce qui donne
. 1I(D
I~n(z) 1 = IN(D
1
2n) 1
2n)
nous obtenons :
3
LEMME 6 : L'action de
Mc
sur
n22275 = MC/
est primitive de rang 6 avec les
2AS
sous-degrés
[1 ,210,2240,5040,6720,S064] .

V. 17.-
SECTION 2
LES ORBITES DE SOUS-GROUPES MAXIMAUX
1
§ 1. LES ORBITES SUR
Mel 4
ET
n
= Mel
22275
M
3 .M
2 1.2
10
Conventions
L'action de
M
sur
n
donne les orbites
[22,77,176].
22
275
Le fixateur d'un point dans la 176-orbite est un
A
qui opère comme suit :
7
QQ
\\:J~
Nous dirons alors que l'action de
A
sur
n
est
[7+15,35+42,1+70+105].
7
275
Soit
(Mc)x = U
qui opère
comme
~,~,r]
sur
n
, nous dirons que ce
4(3)
275
même
A
opère comme [1],
[7,35,70],
[15,42, 105]
sur la partition
[x,~ .rl
et
7
nous savons alors que dans
G(112)
x
est adjacent aux points de la 7-orbite, de
la 35-orbite et. de la 70-orbite, tandis que dans
G(162)
il sera adjacent aux
points des orbites de longueur 15, 42, 105.
Avec cette convention nous mesurons toute l'importance du travail accompli au
Chap.IV.
1.1. Les orbites de
M22 •
Les orbites de
M
sur
n
sont
[22,77, 176] .
22
275
* Le fixateur d'un point dans la 22-orbite est M
qu~ opère comme
2 1
2
[1+21,21+56,56+120].
Son action sur la partition
(x,~,r)
est
{x},
[56],
2
[2-' ,120].
4
* Le fixateur d'un point dans la 77-orbite est 2.A
[6+16·,1+16+60,80+96].
6
2
Son action sur la partition est
{x},
[16 ,80],
[6,60,96].
* Le fixateur d'un point dans la 176-orbite est A
[7+15,35+42,1+70+105]
dont
7
l'action sur la partition est
{x},
[7,35,70],
[15,42,105].
Les graphes induits par
G(112)
et
G(162)
sur l'action de
M
(sur
n
)
22
275
se déduisent automatiquement.

v.18.-
22
(Fig.6)
77
176
Et par le même procédé qu'au § 4, nous déduisons de (Fig.5) les orbites de
M22
et de (Fig.6) celles sur
Nous avons le résultat
2,61602]
LEMME 7 : (i)
M
possède 5 orbites de longueurs
[616,1232
sur
22
4
2,8102]
et dualement
3 .M
possède 5 orbites de longeurs
[81,162
sur
n
10
2025.
(ii) M
possède 6 orbites de longueurs
[231,462,2310,2640,7392,9240]
22
1
sur
n22275
et dualement
M . 2
possède 6 orbites de longueurs
[21,42,210,240,
2 1
672,840]
sur
n 2025.
1.2. Les orbites de
2
[50 ,175].
Le fixateur d'un point dans
chacune des deux 5O-orbites est un
A
qUl opère comme
[1+7+42,15+35,70+105]
7
ou
[15+35,1+7+42,70+105]
avec une action
{x},
[7,35,70],
[15,42,105]
sur la
partition
(x,~,r).
Le fixateur d'un point dans la 175-orbite est un
M
[20+30,20+30,1+12+72+90]
10
2
2
avec une action
{x},
[20 ,72],
[12,30 ,90]
sur la partition.
1
On peut alors aisément déduire les orbites sur
et
n22275' ce 'qui donne
le résultat
2,1750,35002,6300]
LEMME 8 : (i)
U
possède 6 orbites de longeurs
[175
sur
n~5400
3(5)
4
2,810,16202,2916]
et dualement
3 .M
possède 7 orbites de longueurs
[81
sur
n
10
7 128.
3,52502,7875]
(ii) U ( 5 ) possède 7 orbites de longueurs
[750,1050
sur
3
1
3
n22275
et dualement
M
possède 7 orbites sur
n
de longueur
[240,336,
2 1.2
7 128
1680 3,2520] .

V.19.-
1.3. Les orbites de
1+4.28
Un 3A-élément de
Mc
fixe 5 points dans
n
.
N(3A) = 3
opère comme
8
275
5
5
sur
Fix(3A).
Donc
Fix(3A)
est une 5-clique de type 112 que nous appellerons
cercle.
* Montrons que 31+4 . 285 a pour orbites
[5,270]
sur
4
2,3 10,81 3]
Un 3 -sous-groupe de
Mc
opère comme
[1
et
[2,30,81,162]
a•
r
4
L'action de
3 .M
sur la 30-orbite est imprimitive avec 10 blocs de 3, le sta-
10
bilisateur d'un bloc est
34 M
. d
.
t
.
.
d
31+4. 28
en
. 9
qUl
eVlen
alnSl un sous-groupe
e
5
opérant sur le cercle correspondant comme
[2,3].
4
3 .M
est transitif sur les 27 points restants (car
M
est 3-transitif sur 10
9
10
1+4.28
points).
La transitivité de
3
sur les paires de
Fix(3A)
et celle du
5
4
stabilisateur d'une paire
(3 .M )
sur les 27 points qui sont adjacents simulta-
9
1+4.28
nément aux points de cette paire dans le graphe
G(112)
impliquent que
3
5
24
1
1
L -
r

V.20.-
4
Considerons le cercle
C
= {a,b,x,y,z}. Supposons que 3 .M
soit le sous-groupe
2
9
qui stabilise
C
= {a,b,c,d,e} avec les orbites {a,b} et {c,d,e}.
1
4
3 .M
est imprimitif avec 9 blocs de 3 sur l'ensemble des 27 autres points de
9
la 30-orbite du
le stabilisateur du bloc
{x,y,z}
est
et le
fixateur d'un point est
33. QS.
Notons que
QS
est transitif sur
{y,z}
et
sur
{a,b}
car le fixateur de 3 points d'un cercle est d'ordre
22. 35);
il est
3
aussi transitif sur les S autres blocs de 3 et comme le 3 -sous-groupe est transi-
tif sur au moins un de ces blocs ~ 33. QS est transitif sur l'ensemble de 24 points.
Dans
~S1 il y a 3 blocs de 27 points adjacents simultanement et respectivement à
1
{x,a}, {y,a}
et
{z ,a}
tandis que dans
r
ily a 3 autres blocs de 27 points
S 1
2
qui le sont à
{x,b} , {y,b}
et
{z çb},
Dans
r
nous aurons les 3 blocs de 27
S1
points correspondant aux paires
{x,y}, {y,z}
et {x,z}.
3
Le 3 -sous-groupe de
33. QS opère regulièrement sur chacun de ces blocs.
QS
possède des 4-elements
operant sur
C
comme (a)(b)(x)(y,z)
ou
(a,b)(x)(y)(z)
ou
(a,b)(x)(y,z).
2
3 1 2
Par consequent
3 .QS
operant sur
~S1 U r
u r
possède 4 orbites de longueurs
S1
S1
54,. 10S, 54, 27.
1 4.2S
En resume pour
3 +
[5,270]
sur
n
, nous avons
5
275
0G!J
vCY
et
8
Nous deduisons aisément les graphes induits par
G(112)
et
G(162)
270
270

V.21.-
Ce qU1 nous donne le résultat
1+4.28
2]
LEMME 9 : (i)
3
possède 5 orbites de longueurs
[)0,270,540,7290
sur
5
1
4
2
et dualement
3 .M
possède 5 orbites sur
n15400' de même longueur.
n15400
10
1+4.28
(ii) 3
possède 4 orbites sur
n~2275 de longueurs [810,3240,
5
3645,14580]
et dualement
M . 2
possède 4 orbites de longueurs
[560,2240,2520,
2 1
10080]
1.4. Les orbites de
Les orbites de
sont
[7 , 15, 112, 140] .
Les fixateurs de points
4
2
+
dans ces orbites sont respectivement
2 .A
A
A
et
2.(4,3) .
8eul ce dernier
6,
7,
6
groupe a une action non encore connue.
En utilisant la connaissance des actions
4
des 3 précédents on arrive à déterminer le caractère permutant de
2 .A
sur
7
la 140-orbite ainsi que les orbites de
2~(4,3)+ sur n
:
[3+4,4+12,12+16+36+48,
275
1+3+16+36+36+48] .
Et alors par notre technique des "graphes induits" on détermine les orbites de
1
1
sur
n15400
et
n22275;
dualement nous obtenons celles de
et
2
sur
n22275
(cf. Tables récapitulatives)
1.5. Les orbites de
2A
= C(2) a pour orbites sur n
[35,240].
La 35-orbite correspon~ à
Fix(2).
8
275
Les fixateurs d'un point dans les 2 orbites sont
2(A
x A
.D
et
L
avec
4
4)
4
3(2)
L
fixant 2 points (car
2A
est imprimitif avec 120 blocs de 2 dans la 240-
3(2)
8
orbite) et correspondant à
L~(2) dans la Table 4 (p. IV .10 ).
Par la technique des "graphes induits" on obtient les morceaux d'orbites: 6 pour
les 2-cliques de type 112 et 8 pour celles de type 162.
La connaissance des 3
caractères permutants indique que deux doivent fusionner dans chacun des cas.
Et
en fait on montrera les 4 orbitales de longueur 28 du
L
sur la 240-orbite se
3(2)
répartissant en 2 familles d'orbitales duales.
Et alors on obtient les orbites de
et
(cf. Tables récapitulatives).

V.22.-
1.6. ~~~_~~~~~~~_~~ MIl.
M
opère sur
n
comme
[11,22,110,132].
11
275
Le fixateur d'un point dans la 11-orbite est un
M
qUlopère
[1+10,2+20,
10
20+90,60+72]
et correspond à un
Mf,o de la Table 6.(p.IV. ).
Le fixateur d'un point dans la 22-orbite est un
A
qUlopère
[1+10,1+1+20,
6
20+45+45,30+30+36+36]
et est un
A~ dans la Table 6 (p.IV.Ç~).
Du treillis partiel des
A
d'un
M
(Chap.IV) on déduit que l'action de
5
11
M
sur la 132-orbite est imprimitive avec 66 blocs de 2, le fixateur d'un point
11
est
A
qui opère (cf. 6.2, Chap.IV) comme
[5+6,5+5+6+6,10+10+15+15+30+30,
5
2
1+1+10+10+10+10+30+60]
et est un
A5
dans la Table 6 (p.IV.~4).
Compte tenu des valeurs des caractères permutants
~113400' ~11' ~22 et ~132
on en déduit
~i1 0
et on
constate que l'action doit être imprimi ti ve avec 55
2
blocs de 2 et il est alors possible d'établir que le fixateur d'un point, 3 .D8
opère comme
[2+9,4+9+9, 1+ 1+ 18+18+18+18+36, 12+12+18+18+36+36] .
Par notre méthode des "graphes induits" on arrive, avec la connaissance des carac-
1
1
tères permutants
~113400' ~15400 et ~22275 à déterminer les orbites de M .
11
(cf. Tables récapitulatives) .
§ 2. LES ORBITES SUR
Me/ 1+4
3
.2S5
2
L'action de tout sous-groupe de
Mc
sur
n15400
est équivalente à l'action sur
les 5-cliques de type 112 ou cercles.
La technique que nous employons est la
suivante: connaissant l'action du maximal
H
sur
n
, on détermine le compor-
275
tement des cercles par rapport aux orbites de
H.
Nous illusterons avec le cas
H = M
la démarche et dans les Tables récapi tulati ves p. V. 32 ... on trouvera les
22
résultats.
Nous traitons également dans ce paragraphe le problème de la détermination des
sous-degrés de
Mc

V.23.-
2
sur
n15400'
Cas de
M22.
1
Considérons l'action de
M22 sur n15400 : il possède deux orbites.
Essayons de déterminer le comportement des cercles par rapport aux orbites de
M22
[22,77,176].
Soit
a
un point de la 22-orbite.
2
- M
= (M
opère comme
[1+21,21+56,56+120]
sur
n
et
{1},
[56],
2 1
22)a
275
2,120]
[21
sur la partition
(a,t.,r).
- A = M
n 24.A~[1+6+15,1+6+10+15+45,20+36+60+60], et par rapport au point fixé
6
2 1
4.A
par
2
c'est un
A~ (dans Table 6)
par conséquent un cercle qui contient
6
un point
a
de la 22 orbite et un point
b
de la 77-orbite ne contient qu'un
seul autre point dans cette dernière (car le graphe induit par
G(112)
sur une 56-
orbite de
M
est fortement régulier de paramètres
(56,10,0,2)) ce qui revient
2 1
à dire qu'un cercle passant par un point de la 22-orbite se comporte comme suit :
77
176
Nous dirons qu'il rencontre
[22,77,176]
suivant
[1,2,2]
ou plus brièvement un
cercle du tyPe
[1,2,2].
4
Considérons toujours
2 .A
et sa 2ème classe de A
6
6-sous-groupes.
16
60
f - - - - - \\
16
80
96
6
o
f 22

v.24.-
Par la Table 6 nous savons qu'il y a 10 points dans
r
qUJ. forment avec chaque
22
4
paire
{a,b}
(b E 10-orbite de
2 .A
dans
r
)
un cercle unique, et connne
6
11
par
a
il passe 280 cercles, cela donne 2 familles
16.10 = 160 cercles par a qU1. rencontrent
[22,11 , 116]
selon
[1,2,2]
280 - 160 = 120 cercles par a qU1. rencontrent
[22 ,11 , 116]
selon
[0,1,4]
Donc
11 . 160 = 6 160
et
11.120 = 9240.
2
Pour
on procéderait de la même manière.
Du fait que
nous connaissons les caractères permutants, il n'est même pas nécessaire parfois
de connaître toutes les intersections d'un cercle avec les différentes orbites du
sous-groupe maximal
H:
2,115]
U ( 5 ) :
[50
donne lieu à 3 ramilles de cercles du type
[2,2, 1], [', 1 ,3]
3
et
[0,0,5]
[1,15,112,.140]
donne lieu à 4 familles
[1,1,.,.],
[1,0,.,.],
[0,1,.,.]
et
[0,0,.,.]
2A
[35,240]
donne lieu à 4 familles:
[5,0],
[2,3],
[1,4]
et
{D,5]
8
M
[11,22,110,132]
donne lieu à 6 familles:
[1,2,2,0],
[1,0,.,.],
[0,1,.,.]
11
[1 , 1, . , .],
[0 , 0,2,3]
et
[0 , 0,3,2]
2
Nous savons que
Mc
est primitif de rang 5 sur
Q15400
et que son action est
équivalente à celle sur l'ensemble
~5
des cercles de
Q215: le stabilisateur
1+4.28
3
d'un élément
V de
~5 est 5-transitif sur les points de V qui forment
5
une 5-clique de type 112.
Par la technique
(cf. § 1) "des intersections", si
X.
est le nombre de
V E ~5'
1.
passant par une i-clique de type 112 on obtient: x
= 280, x = 10, x = 1.
1
2
3
Donc deux éléments
V et
V'
de
~5
se coupent suivant 0, 1 ou 2 points :
V étant fixée : il y a
(~).9 = 90 v' E ~5 qui la coupent suivant 2 points
(;)[280-(1+4. 9)] = 5.243 = 1215
qU1. la coupent suivant
exactement 1 point

V.25.-
15400 - (1 + 90 + 1215) = 14094
qui sont disjointes d'elle.
1 4.28
Comme
3 +
possède 4 orbites non triviales et que
14094
ne divise pas son
5
ordre, les éléments de
~5' disjoints de
V, se répartissent en 2 orbites.
De l'étude faite en 1.3, nous pouvons déduire que parmi les 14094
n
i l y a
5
(;).9.(~) = 2430 V' qUl possèdent une paire d'éléments, formant avec une autre
paire de
V
une 4-clique de type 112 et
14094 - 2430 = 11664
qUl ne possèdent
pas cette propriété.
D'où le résultat suivant
2
LEMME 10 : L'action de
Mc
sur
Q15400
est primitive de rang 5 avec les sous-
degrés
[1,90,1215,2430,11664].
§ 3. DETERMINATION DE CERTAINES AUTRES ORBITES DE SOUS-GROUPES MAXIMAUX.
1 2.3.8
3.1. Les orbites de
5 +
sur
Q7128 = Mcl u (5)
3
5 1+2 - 8
...
6 '
f"I
. j .
possede
orbltes dans
~'7128'
1 2.3.8
Comme un 5-élément fixe 3 points dans
Q7128' 5 +
= N(5A) possède une orbite
de longueur 3.
, ,
51+2 . 3 . 8
Les valeurs de
~7128
sur les elements de
sont
x
2
3
4
5
6
8
10
12
~7128(x)
168
0
12
3
0
2
3
0
Par conséquent chacune des 5 orbites restantes est de longueur
= 0 (375).
Un 8-élément fixe 1 point dans la 3-orbite et a son 2ème point fixe dans une 375-
orbite.
Dones les 4 autres orbites sont de longueur 750, 1500 ou 3000 et nous
devons avoir
7128 = 3 + 375 + a750 + 81500 + y3000
avec
a + B + y = 4.
Ce qui conduit au système

v.26.-
{a+28+4Y= 9
f3 + 3y = 5 .
...
Comme
f3 ~ 4
on a
f3 = 2
et
y =
a +
f3 + y = 4
d'où
a = 1.
Nous obtenons alnSl le résultat
1+2 _
2
LEMME 11 : 5
.J.8
possède 6 orbites de longueurs
[3,375,750,1500 ,3000]
sur
n
et dualement
U ( 5 )
possède 6 orbites de longueurs
[126,15750,31500,
7 128
3
2,126000]
63000
sur
n299376'
3.2. Les orbites de
sur
n
Mel
2 0 2 5
M22
<~2025'~~2275 > = 3. Donc 2A8 possède 3 orbites sur n2025.
Comme
M
possède une classe de conjugaison de 1155 involutions, il possède une
22
1155-orbite sur
et dualement
possède une 105-orbite sur
Avec la technique des points fixes, on parvient à calculer les longueurs des deux
autres orbites, d'où le résultat:
LEMME 12 : 2A
possède 3 orbites de longueur
[105,240,1680]
sur
n
et
8
2025
dualement les orbites de
M
3
[1155,2640,14480] .
22
sur
n22275
sont de longueur
Dans les tables V.32 à v.43 nous récapitulons les longueurs d'orbites qUl ont pu
être calculées :
1. Dans les pages qUl précèdent nous avons vu comment certaines ont pu être
déterminées.
2. Pour les autres, nous avons utilisé: les 2 morceaux de treillis de
Mc
(par
exemple la détermination de l'action d'un
M
d'une classe sur
22-sous-groupe
les classes gauches d'un
M
de l'autre classe) ou les propriétés des groupes
22
(par exemple
N(3A) = 31+4' 285 et
51+2. 3. 8 possède une classe de
25
Z -
3
2
sous-groupes et donc
51+2. 3. 8
possède une orbite de longueur 25)
1
n15400
ou une combinaison des précédentes avec les techniques que nous avons utilisées
tout au long du chapitre.

V.27.-
SECTION 3
COMPLEMENTS
Nous ne sommes pas parvenus à obtenir tous les sous-degrés de
Mc
sur
2
n22275 = MC/4
et sur
n113400 = Mc/M
Dans cette section, nous allons donner
11.
2.A7
quelques résultats partiels.
§ 1. SUR LES SOUS-DEGRES DE
Mc
DANS
n
•
11 3 400
1.1. ~~.e.e~:!
Mc
possède une classe de conjugaison de M
m , qui centralisent
11-sous-groupes,
11
les involutions de
Mc.2
extérieures à
Mc;
et
M111n275
[11 ,22, 110, 132] .
Soit
~11
la famille des 11-orbites dans
n
des éléments de
m , et V un
275
11
élément fixé de
~11'
Si
M
est le stabilisateur de
V, il Y est 4-transitif
11
par conséquent
V est une 11-clique, forcément du type 162.
Sur les i-cliques de type 162, Mc
possède une orbite pour
1
= 1,2,3 et 3 orbites
pour
1
= 4.
Si
Xi
est le nombre d'éléments de
~11
passant par une i-clique
de type 162 donnée, x
= 4536, x = 280, x = 24.
1
2
3
1 1 2
2
Soient
C
= {(p,q,r,s) 1 s E r
= {(p,q,r,s) 1 s E r4(r)},
4
4(r)},C 4
C~ = {(p,q,r,s) 1 s E r
les 3 orbites de
Mc
sur les 4-cliques.
64(r)}·
(6~) .x4 =x 8 admet comme unique possibilitE 64.x4 = x 8 et x4 = 3. Donc
3·
3·
les 4-cliques d'un élément de
~11 sont dans l'orbite C~.
Soit
{p,q}
une 2-clique de type 162, et
M
= (MC)pq
Par
p
et
q
il passe
2 1
280 éléments de
~11
sur lesquels
M
opère primitivement avec les sous-degrés
2 1
3
3
[1,9,18 ,72 ].
Donc les éléments de
~11
qui rencontrent une
V fixée en au
moins deux points déterminent 7 structures de 2-design (à blocs éventuellement
,répétés) : S9(2,K, 11), S1S(2,L
11)
et
S72(2,M
i = 1,2,3 .
i,
i,11)
Les conditions arithmétiques d'existence de ces 2-design impliquent
K E {2 ,3,6, 10},
L. E {2,3,4,5,6,10}
et
M. E {2,3,4,5,6,9,10}.
1
1

v.28.-
Comme
M
possède une un1que action transitive sur 280 points~ les 280 éléments
2 1
de
~11
passant par
p
et
q
s'identifient aux 280 coniques hermitiennes du
PG( 2 ~4) •
56
•p
105
Soit
r
un point de la 105-orbite de
4
Donc
2 .A
possède 4 orbites sur l'ensemble des 280 con1ques hermitiennes
4
si
r = (x~D)
est un drapeau ce sont
280.9 __ 24
.
,
105
qU1 sont tangentes a
D en
x
280.9 _ 24 = 120 - 24 = 96
qui passent par
x
et sont sécantes à
D
21
24.4 = 96
qU1 sont tangentes à
D en un "autre point que
x
280
(24 + 96 + 96) = 64
qU1 sont secantes à
D et disjointes de
x.
En resumé donc pour
p
et
q
fixé~ r
et r
respectivement les points qui
105
280
forment une 3-clique de type 162 avec
(p~q)~ et les éléments de
~
contenant
11
p
et
q~ nous avons
24
9
80
Ainsi un élément de
~11
peut être vu par rapport à deux de ses points
p~ q
comme la réunion de
{p~q}
avec les 9 points~ ou plus exactement les 9 drapeaux
tangents à la conique hermitienne qui lui correspond.
Et si
r = (x~D)
et
V
correspond à la conique hermitienne
(CH) onaque
r E V
ssi
CH
est tangente à
D
en
x.
4
Considérons l'action de
2 .A4 = (M
(x~D) sur les 24 coniques hermitiennes
2 1)

V.29.-
tangentes à
D
en
x: elle est imprimitive avec 3 blocs de 8 (chaque bloc repré-
8
·
. ~
.
l '
22
sentant les
conlques flxees par une lnvo utlon du
-sous-groupe
de
6
le stabilisateur d'un bloc est d'ordre
2
et le fixateur d'un élément est
~8'
2,2
qUl
'"
opere comme
[1
3,82] .
Par conséquent les éléments de
Q11
qui rencontrent
V
suivant au moins 3 points
déterminent 6 structures de 3-designs: 8(3,N,11); 8
l = 1,2,3;
2(3,Pi,11)
8
j = 1,2.
8(2,Rj,11)
Les conditions d'existence de tels designs impliquent que
N = 3;
P. €
{3,5};
l
et
R. €
{3,4,5,6,10}.
J
En résumé nous avons 7 2-desigœet 6 3-desi~ ces derniers provenant forcément
des premiers.
8upposons que
K ~ 3
alors les éléments de
8
passant par
p
et
q
9(2,K,11)
donneront naissance à des 1-designssur
V, {p,q}
avec l'équation
9.À = 9.À'
et ce sont donc des
8
ou encore des
8
(3,2+À,11)
avec
À(1,À,9)
a·l
~ a· = À
et
K = 2 + À.
l
Un raisonnement analogue sur les
8
donnerait des
18(2,K
8~L
i,11)
(3,2+11, 11)
avec
l
~ 8· = 2ll et sur les 8
on aurait des
8
( 3 , a-v, 11)
avec
~ y. = 8v.
l
72(2,Li,11)
y.
l
l
Examinant les valeurs admissibles de
À, II et
v, les nombres de blocs de ces
designs, et en tenant compte du fait que
x4 = 3
(i.e. il existe des
V' €
Q11
qui rencontrent
V
suivant au moins 4 points donc suivant 4, 5 ou 6 - pour des
raisons arithmétiques), on obtient les résultats suivants:
K = 3· 8
= 8
9(2,3,11)
1(3,3,11)
L. = 3· 8~8(2,3,11) = 8~(3,3,11) i = 1,2,3
l
1
2
M
4 . 8
U 8
1 =
= 8
72(2,4,11)
8(2,4,11)
8(3,4,11)
1
2
M
et
8
2 = M = 2 ... 8
3
72(2,2,11)
72(2,2,11)
Et nous avons le résultat
PROP08ITION
Deux éléments
V
et
V'
de
Q11
se coupent suivant 0, 1, 2, 3 ou
4 points.

V.30.-
COROLLAIRE 1 : Dans l'action primitive de
U
sur
U
7 de ses sous-
4(3)
4(3)/M 10,
2
degrés non triviaux sont
[20,45,90,180,240,720].
Preuve : Par
p E n
il passe
4536 v' E ~11
et les
V'
qui rencontrent
275
V
en au mOlns
p
déterminent un
8
1,2,10) (45), 3
9(
un
8
(240)
72(1,3,10)
2
8
(720)
72(1,1,10)
Et par la technique des points fixes, on détermine une autre orbite de longueur 20.
Remarque: En fait nous
avons 3 possibilites pour les sous-degr-ês de
U (3)
4
3
2
2
4
5
4
[1,20,45,90 ,180 ,240,360 ,720 l , [1,20,45,90,180 ,240,360,720]
ou
3 4 3
[1,20,45,90,180 ,240,360 ,720]
sur lesquelles nous n'avons pas pu nous prononcer.
COROLLAIRE 2 : Dans l'action primitive de
Mc
sur
n113400
nous avons 9 des 38
2
sous-degrés non triviaux soit
165,990,660,3960
220 = 20 x 11
1980 = 180 x 11
3960 = 360 x 11
7920 = 720 x 11
s 2. SUR LES SOUS-DEGRES DE Mc SUR
4
4
[7,16,112,140].
80it
C
une classe de conjugaison de
2 Prln
2 .A
275
7-sous-
groupes de
Mc, ~7
et
~16
respectivement les familles de leurs 7-orbites et 16-
orbites dans
n
En appliquant la technique des intersections nous obtenons:
275.
Cas de ~7.
Deux éléments
V et
V'
de
~7
se coupent suivant 0, 1 ou 2 points;
par un
points
p
de
n
il passe 567 éléments de
~7' sur lesquels
U
= (MC)p
275
4(3)
opère primitivement avec les sous-degrés
[1,30,96,120,320], la 120-orbite corres-
pondant aux
V' E ~
qui rencontrent
V en deux points.
[cf.
[20] pour les sous
7
degrés) .

V.31.-
2
Par conséquent nous obtenons 4 sous-degrés de
Mc
sur
022275
7 x 30 = 210
;
7 x 96 = 672
7 x 320 = 2240
;
7;6. 20 = 420.
Cas de
1."16'
Par un point
p
de
0275
il passe 1296 éléments de
1."'6
et
u· (3) = (Mc)
opère
4
p
primitivement sur cet ensemble :
1°/ Nous constatons que
x
= 1296, x = 120, x = 16 et que une V ~ 1."16
1
2
3
possède 2 types de 4-cliques
F
E {(p,q,r~s) 1 s E r ( r )}
et
1
4
F
E {(p,q,r,s) 1 s E r
(r ) } .
Par une 4-clique de type
F
il passe 4 éléments
2
64
1
de
1."16' tandis que ce nombre est 3 pour une F2-clique.
2°/ Nous démontrons que les sous-degrés de
U
sur
01296 = U
sont
4(3)
4(3)/A7
2
[1,105,140,210 ,630]
et que
Mc
possède les sous-degrés
16.140 = 2240
16.210 = 3360
16;15. 42 = 5040
16.15. 14. 1
420
3_
4.3.2.1
.
-
16.15.14.122_ 672
5.4.3.2
.
-
2
En résumé nous avons 6 des 12 sous-degrés non triviaux de
Mc
sur
022275
[210,420,672,2240,3360,5040] .
Les tables ci-après récapitulent les actions dont les orbites ont pu être
déterminées :

V.32.-
LES AC:: :::3 S:"-:I. L' ElISE~·G::.E :)ES CLASSES GAUCHES DE
H = U (3)
4
Sous-groupes
Nombre
Indices
max~maux
d'orbites
Longueurs des orbites
U (3)
4
275
3
1, 112, 162
1
M
2025
22
3
22,77,176
~2
2025
3
22,77,176
2,175
U
7128
3
50
3(5)
4
3 .M
15400
4
2,30,81,162
1O
31+4. 285
15400
2
5,270
M
.2
22275
4
2,56,105,112
2 1
1
4A1
2
22275
4
7, 16, 112, 140
7
4A2
2
22275
4
7 , 16, 112, 140
7
2A
22275
2
8
35,240
M
113400
4
11,22,110,132
11
51+2. 3• 8
299376
2
125,150

V.33.-
LES AC:::J:;S S~"? L' :::IS:::~·3:'E ):::S CLASSES GAUCHES DE
H
Sous-groupes
Nombre
maximaux
Indices
d'orbit.es
Longueurs des orbites
U4(3)
275
3
162,567,1296
,
1
M
4
1,330,462,1232
22
2025
~2
2025
4
22,176,672,1155
U
7128
4
3(5)
50, 175,750, 1050
4
15400
5
81 , 1622,8102
3 .Ml0
1+4
3
.2S
15L80
2
810,1215
5
M .2
2 1
22275
6
21,42,210,240,672,840
4A l
2
22275
6
7,30,336, ...
7
4A2
2
22275
6
21,112,240, ..•
7
2A
22275
8
3
105,240,1680
M
113400
7
12,66 , ...
1 1
51+2. 3• 8
2.99376
3

V.34.-
2
LES AC':IO:;S S:'::I :s'::::IS:=::~·3:'E JZ:S CLASSES GAUCHES DE H = M22
Sous-g~oupes
Nombre
maX1.maux
Indices
d'orbit.es
Longueurs des orbites
U4(3)
275
3
162,567,1296
1
M
,
4
22
2025
22,176,672,1155
~2
2025
4
1,330,462,1232
U
7128
4
50,175,750,1050
3(5)
4.101
2,8102
3
10
15~00
5
81,162
31+4. 2S5
15:'00
2
810,1215
M2 1·2
22275
6
21,42,210,240,672,840
4A 1
2
22275
6
21,112,240, .. ·
7
4A2
2
22275
6
7,30,336, ...
7
2A
22275
3
105,240,1680
8
M
113400
11
7
12,66, .. ,
51+2. 3. 8
299376
3

V.35.-
LES AC::J:;S S~~"? L' :=:jSE~·3:"E :ES CLASSES GAUCHES DE
H =
U (5)
3
Sous-groupes
Nombre
maximaux
Indices
d'orbi'tes
Longueurs des orbites
U (3)
2,4536
4
275
3
1296
1
M
2025
4
176,616,2640,3696
22
~2
2025
4
176,616,2640,3696
U
7128
5
1,252,750,2625,3500
3(5)
4
2,810,16202,29
15:'00
6
81
16
3 .M1Q
3,+4. 2S5
15LCO
3
810,1458,4860
3,16802,2520
M21·2
22275
7
240,336
4A 1
2
22275
7
16,336, ...
7
L 2
2 A
22275
7
16,336, . ••
7
2A
22275
4
168,240, ...
8
113400
M'1
9
66 t·· •
51+2. 3• 8
299376
6
2
3,375,750,1500 ,3000

4
v. 36.-
LES AC:: :::;S S:"? l,' :::rS:::~·3:J: J:::S CLASSES GAUCHES DE
H = 3 .M 10
Sous-groupes
!iomt re
Iniices
maX:l.maux:
d'crbi:.es
Longueurs des orbites
U (3)
4
275
112,1680,4536,9072
1
2,61602
M
2025
5
616,1232
22
~2
2025
5
616,12322,61602
2,1750,35002,6300
U
7128
6
175
3(5)
4.M
3
10
15:"'CO
10
1,30,60,162,810,16203,3645,5832
1+!..
2
3
.2S
15:"':0
5
10,270,540,7290
5
M2 1·2
22275
10
1122,280,560,16803,2016,2240,5040
4A 1
2 2 2
2
22275
10
112 ,560 ,1120 ,2016,2240,2520,5040
7
4A2
2
22275
10
1122,5602,11202,2016,2240,2520,5040
7
2,5040,6720
2A
22275
5
280,1680
8
2
2
3,3960
M
113400
14
11,55,220 ,440,792 ,990,1320 ,1980
11
51+2. 3. 8
299376
11

v.37.-
LES AC::::J:;S S-_'7. :: ~jS:::~·3:"E J:::S CLASSES GAUCHES DE H = 31+4. 2S5
Sous-groupes
Nombr-e
maximaux
In.:iices
d'orbi~es
Longueurs des orbites
U (3)
4
275
280, 15120
1
M
2025
2
6160,9240
22
2
M
2025
6160,9240
22
2
U
7128
3
1750,3150,10500
3(5)
4
2
3 .M
. 15~()0
10,270,540,7290
1O
5
1+!+
3
.2S
15:":0
5
1,90,1215,2430,11664
5
M
22275
4
2 1·2
560,2240,2520,10080
4A 1
2
22275
4
840,1120,3360,10080
7
24 2
22275
4
840,1120,3360,10080
A7
2A
22275
4
56,2240,5040,8064
8
M
113~00
6
110,440,990,1980,3960,7920
11
51+2. 3• 8
299376
10
.tS', ·--'

v. 38.-
LES AC':!C:;S S·~? !.' ;:IS:::~·3:.E J:::S CLASSES GAUCHES DE
H =M
.2
21
Sous-groupes
Nombr-e
maximaux
Indices
d'orbites
Longueurs des orbites
U4(3)
275
162,4536,8505,9072
1
M
2025
6
231,462,23 10,2640,7392,9240
22
~2
2025
5
231,462,2310,2640,7392,9240
U
7128
7
750,1050 3,52502,7875
3(5)
4.M
3
2,405,810,2430 3,2916,3240,7
lO
15~OO
10
162
290
31+:'.2S
15:":;0
4
810,3240,3645,14580
5
M2 1·2
22275
13
1,112,2103,1120,1260,25202,33603,4032
4A 1
2
22275
13
21,120,210,420,6722,840,16802~2520,33602,
7
6720
24 2
A
22275
13
21,120,210,420,6722,840,16802~2520,33602,
7
6720
2
2
2A
22275
8
7
120,315,1680 ,5040,6720
3
6
2
2
M
113400
19
11
22,55,66,220,660 ,792,990 ,1320,1980 ,3960
51+2.3.8
299376
13

V.39·-
4
LES AC::: ::;:; S:"? L' ::::j:;~~·3:"E ::;:::S CLASSES GAUCHES DE H = 2 A 1
7
Sous-groupes
Nombre
maximau.x
Iniices
d'orbit.es
Longueurs des orbites
U4(3)
275
4
567,1296,9072,11340
1
M
2025
6
77,330,3696, ...
22
~2
2025
6
231,2640,1232, •.•
U
7128
7
50,1050 , •••
3(5)
4
15~:)0
2,8102,16202,2916,3240,3645,7290
3 .M
162
W
10
3 1+:'.2S
15:":;0
4
1215,1620,4860,14580
5
M .2
2 1
22275
13
21,120,420,6722,840,16802,2520,33602,6720
4A 1
2
22275
13
1,112,210,420,672,2240,3360,5040, ...
7
4A2
2
22275
13
120,336, •••
7
2A B
22275
7
15.420 , - ..
M
113400
11
19
66, •••
1+
5
2.3.8
299376
13

V.40.-
4A2
LES AC::::;S S·_? ~'::::jS:::~·3:"E J:::S CLASSES GAUCHES DE H = 2 7
Sous-groupes
!Iom'tre
maxi maux
Iniices
d'orbit.es
Longueurs des orbites
U (3)
4
275
4
567,1296,9072,11340
1
M
6
231,2640,1232, ...
22
2025
2
M
2025
6
77,330,3696, ••.
22
U
7128
3(5)
7
50, 1050) •..
4
3 .M
1622,8102,16202,2916,3240,3645,7290
lO
15:;'ClO
10
4.2S
3 1+
15:"':0
4
1215,1620,4860,14580
5
1-1
.2
2 1
22275
13
2 2 2
21,120,210,420,672 ,840,1680 ,2520,3360 ,672C
1
4A 1
2
22275
13
120,336 J •••
7
4A2
2
22275
13
1,112,210,420,672,2240,3360,5040, ...
7
2A8
22275
7
15,420 1 . ---
M
113400
11
19
66, ...
1
5
2.3.8
+
299376
13

v.41.-
LES AC::::;S S:"? !,'==rS~~·3:.E :r::S CLASSES GAUCHES DE
H = 2A8
Sous-groupes
!i:::>mbre
maximaux
In~ices
d'orbites
Longueurs des orbites
U4(3)
275
3
2835,19440
1
M
2025
3
1155,2640,18480
22
~2
2025
3
1155,2640,18480
U
7128
4
3(5)
525,750, ...
4
15~80
405,24302,7920,9720
3 .M10
5
3 1 4.2S
+
15:":;0
4
81,3240,7290,11664
5
2,5040,67202
M2 1·2
22275
7
120,315,1680
4A 1
2
22275
7
15, 420, ...
7
4A2
2
22275
7
15, 420, ...
7
2A
22275
6
1,210,2240,5040,8064,6720
8
M
113400
11
11
165, ...
51+2. 3. 8
299376
12
25, ...

V.42.-
LES ACr::J:;S S:'? L' :::rs:::~·G:.E ~ES CLASSES GAUCHES DE
H =
M11
Sous-groupes
Nombre
maximaux
Indices
d'orbites
Longueurs des orbites
U4(3)
275
4
4536,9072,45360,54432
1
M
672,3696,_--
22
2~25
7
~2
2025
7
672,3696,. __
U
1128
9
1050, ___
3(5)
4
2 2 2 3 2
14
3 .M1Q
15~00
81,405,1620 ,3240,5832 ,7290 ,9720 ,14580 ,
29160
1+4
3
.2S
15:'00
6
810,3240,7290,14580,29160,58320
5
3
6
M21·2
22215
19
112,280,336,1120,3360 ,4032,5040 ,5720,
100802,201602
4A 1
2
22275
19
336, ___
7
4A2
2
22275
19
336, __ -
7
1
2A
22215
11
840, ...
S
M
113400
11
39
1,165,220,660,990,1980,33603,7920, ...
1
1
51+2.
!
3• 8
299316
47
î

v.43.-
1+2
LES ACTIŒlS S~;Ï~ L' ENS2·ffiLE DES CLASSES GAUCHES DE
H = 5
.3.8
Sous-groupes
Nombre
maX1maux
Indices
d'orbites
Longueurs des orbites
U4(3)
275
2
136080, 163296
1
M
2025
3
22
~2
2025
3
U
7128
6
126,15750,31500,630002,126000
3(5)
4
3 .M1Q
15400
11
1 4.2S
3 +
15400
10
It~6, - - -
5
M2 1·2
22275
13
4A1
2
22275
13
7
4A2
2
22275
13
7
2A
22275
12
8
336
M
113400
47
11
1
5 +2.3.8
299376
114
1,125,3752,100012,15005,300093

VI. 1.-
CHAPITRE VI
GRAPHES ET GEOMETRIES
INTRODUCTION
Que la Géométrie soit un outil puissant pour une connalssance intime des groupes,
est une assertion qui n'a plus besoin d'être démontrée.
Avec sa théorie des
Immeubles, J.Tits [48] a permis une meilleure intuition des groupes simples du
type de Chevalley.
S'inspirant des idées de Tits, F.Buekenhout [1,2,3,4], Ronan, Smith, Stroth [41,42]
s'intéresseront aux interprétations géométriques des groupes sporadiques.
Notons que contrairement au cas des groupes du type de Chevalley, et bien que des
résultats intéressants aient été obtenus à leur sujet, l'approche géométrique des
groupes simples sporadiques n'a pas èncore trouvée une axiomatique unique.
Leurs
"doubles singularités" y sont sans doute pour quelque chose.
Notre approche
s'inscrit dans le cadre des travaux de F.Buekenhout sur le sujet.
Une géométrie
r pour un groupe G sera une structure d'incidence r = (f,t,I,~)
où
~ = {O,1, ... ,n-1};
f
une famille de sous-ensembles d'un ensemble
n sur
lequel
G opère transitivement;
t : f ~ ~
une application surjective;
l
une
relation d'incidence entre les éléments de
f
(pour nous ce sera l'inclusion).
Appelons les éléments de
f
des variétés, et
ViE ~
sera l'ensemble
des i-variétés.
L'axiomatique que nous considérons comporte entre autres les points suivants
1(o)
1. n = t-
et
G est primitif sur
n
2. Toute variété maximale (pour l'inclusion) est une orbite d'un sous-groupe
maximal de
G.
3. Toute intersection de variétés maximales est une variété ou égale à
~
ou
n.
4. G est transitif sur les drapeaux maximaux et le stabilisateur d'un drapeau
maximal est résoluble.
5. Tout drapeau non maximal est contenu dans au mo i ns 2 drapeaux maxrmaux
(F)
6. V i,j E ~
(f. U f.,I)
est un graphe connexe et la propriété reste vraie dans
l
J
tout résidu d'un drapeau
F.
(SC)

VI. 2 .-
Cette approche géométrique s'est accompagnée chez Buekenhout d'une généralisation
des diagrammes de Dynkin, par l'introduction de la notion de (g,d·,d )-gone [3 ].
La construction des structures géométriques (au sens précédemment défini) peut se
faire par le procédé suivant: on part d'un ensemble
n = G/H avec H un sous-
groupe maximal de
G.
On considère une famille
~
d'orbites de longueur donnée
d'une classe de conjugaison de sous-groupes maximaux de
G, comme candidats de
variétés maximales: ce sont les hyperplans.
En déterminant toutes les intersec-
tions possibles des éléments de
~, on obtient l'ensemble
F des variétés.
On peut aussi avoir des structures géométriques qui ont plus d'une famille d'hyper-
plans
(penser aux quadriques réglées).
L'expérience montre que dans ce travail, la connaissance des graphes induits sur
n
par les orbitales auto-duales de" G sur
n est d'une grande utilité.
Nous nous intéressons, dans ce chapitre, aux géométries que l'on peut associer à
Mc.
En Section 1, nous déterminons les 3 graphes induits par les orbitales auto-duales
de
Mc
sur
n
= MC/
.
2025
M22
Dans la Section 2, nous produisons deux géométries de rang 5 et 2 associées à
Mc.
Enfin dans la Section nous donnons une liste de gé~métries de
Mc
que d'autres
ont construites.

VI. 3.-
SECTION 1 : LES GRAPHES INDUITS SUR
PAR LES ORBITALES NON TRIVIALES
INTRODUCTION.
Nous avons établi (p. V.3) que l'action de
Mc
sur
Q2025
est primitive de
rang 4 avec les sous-degrés
[1,330,462,1232].
Les orbitales non triviales sont
auto-duales.
Conséquemment elles induisent sur
Q2025' 3 graphes réguliers
G(330), G(462), G(1232)
(cf. Section 2 du Chap.I).
Nous nous proposons de
déterminer les paramètres de ces 3 graphes.
§ 1. INTERPRETATION DES 3 ORBITES NON TRIVIALES DE
M2 2•
Soit
ffi
une classe de conjugaison de M
de
Mc, ~22
la famille
22
22-sous-groupes
des 22-orbites sur
Q275
des éléments de
ffi22 ·
Si
xi
est le nombre de
V E ~22
passant par une i-clique de type 162, nous avons vu que
x
= 162, x = 21, x = 4.
1
2
3
Etant donné un élément
V
de
~22
il y a 330 éléments de
V
qUl lui sont dis-
joints, 1232 qui la coupent suivant un point et 462 qui la rencontrent suivant 5
points.
Soit
p, q, r E V
• • •
p
q
r
V
{p,q,r}
détermine une hexade du
S(3,6,22)
sous-jacent, et détermine alnSl une
partition de
V : {p,q,r}, Q3
et
Q16
où
{p,q,r} U Q3
est l'hexade.
Soient
{V,V ,v
1
les 4 éléments de
~22 passant par p, q et
r.
2,V 3}
4A
(MC)pqr ~ 2 4 est 2-transitif sur {V,V
et le fixateur de
V qui est
1,V2,V3}
4.3
2
est transitif sur
Q16' Q3
et
{V 1,V2,V
Par conséquent
Vi n Q16 = $
3}·
sinon on aurait
16.k = 3.(~) ce qui n'a pas de solution entière.

VI. 4.-
Donc
v. n v c {p,q,r} U Q
et
V.
pe~ être identifié au couple
(x,B)
avec
l
-
3
l
x E B une hexade et
V n v. = B <, {X}.
l
Nous avons les fixateurs suivants
M22
•
330
77 X6=22 X21 =462
22 XS6 =1232
Par la méthode algorithmique (p. 1.24) on détermine le caractère permutant de
M22
sur
r
,
330
La même méthode livre deux caractères admissibles de degré 462
et
Mais nous constatons que
TI ( 6 ) = 0
et
TI ( 6 ) = 3.
Ils correspondent respec-
1
2
4A
tivement aux caractères permutants sur les 2 classes de
2
de
M
et
5
22;
TI
est le caractère permutant qui nous intéresse car le
24.A5
est dans
M
1
2 1.
1
Usant de la relation
V x E M22
~2025(x) = 1 + ~330(x) + ~462(x) + ~1232(x)
et de la méthode (p. 1.24) nous obtenons le caractère permutant de
M
sur sa
22
1232-orbite
Il est alors immédiat que les sous-degrés de
M
sur Q330
sont
[1,7,42,112,168]
22
en effet, cette action est primitive et équivalente à l'action sur les 330-octades
disjointes de 2 points dans
8(5,8,24). Etant donnée une octade
0, il y a parmi les
329 octades disjointes de
a
et
b
1....-
----1
0

VI.5.-
14.3 = 42
octades qui coupe
0
suivant les 4 points d'un bloc du
S(3,4,8)
sous-jacent
[(~) - 14].2 = 112 octades qu~ coupent o suivant 4 points qUl ne forment pas
un bloc du
S(3,4,8)
(~).6 = 168 octades qui coupent 0 suivant exactement 2 points
et donc 7 qui lui sont disjointes.
De même on établirait que dans l'action de
M
sur
0462
nous avons les sous-
22
2
2
degrés
[1,5,20 ,80 ,96,1060].
Quant à l'action sur
01232
elle semble un peu
difficile à déterminer.
Partant des définitions de la Section 2 (Chap.I) nous obtenons les' formes suivantes
pour les 3 matrices d'intersection
0
0
0
0
0
0
330
u
5x
0
v
1
1
5x
1
2
M
=
M
=
330
462
0
7x
v
1
~
3z 1
7x2
2
0
56Y1
8z
u
0
8z
1
56Y
3
2
~
et
0
0
0
0
w
5x
1
3
M
=
1232
0
7x
w
3z
3
2
3
56Y
8z
w
3
3
3
Les propriétés de ces matrices conduisent à 14 équations à 18 ~nconnues qui se
1
ramènent à 6 équations à 10 inconnues
+ u
= 330
1
1 + 7x
+ 56Y
1
1
1
+ 5x
+ v
= 462
2
2 + 8z 2
1 + 15Y
+ 3z
+ w
= 1232
1
3
3
3
x
+ x
+ 8Y
= 66
1
2
2
Y
1
1 + Y2 + Y3 = 22
l
J

VI. 6 .-
Usant de la conna2ssance de l'action de
M
sur
n
on arr2ve à déterminer
22
462
x
=4
et alors
v
= 5 + 160 + 20
ou
5 + 160 + 20 + 96
et alors
8z
= 80 + 80
2
2
2
ou
80 + 80 + 96
2.e.
z2 = 20
ou
32.
En faisant appel à la connaissance que nous avons de l'action de
M
sur
f
22
330
on arrive à 2 formes possibles pour
M330
0
0
0
0
0
7
150
30
7
110
45
A =
et
B =
0
210
20
60
154
20
75
0
112
160
240
168
200
Mais la forme
A
est automatiquement écartée pour son incompatibilité avec l'action
3
de
20L
dans
n
:
[28,42,56,112,224]
donc
M
= B.
3(2)
462
330
D.G.Higman [23] a établi que si le degré du polynôme minimal de
M
est égal
330
au rang de
M
sur
n
alors
M
et
M
sont les uniques matrices
22
2025
462
1232
<LL;l c.....ot
une 1ère ligne avec partout des zéros sauf en une colonne où on a 1, qui
v
commutent avec
M
On établit facilement que le degré du polynôme
minimal est
330.
4 et en exigeant de
M
et
M
de commuter à
B = M
on obtient le
462
1232
330
résultat :
0
1
0
0
0
0
1
0
330
7
110
45
0
154
20
75
0
154
20
75
462
28
185
96
0
168
200
210
0
280
256
291
0
0
0
1
0
168
200
210
0
280
256
291
1232
784
776
730

VI. 7.-
Au niveau des 3 graphes, cela se traduit par
* Graphe associé à r 330
330
p
r
(p)
1232
* Graphe associé à r462
1+62
p
r
( p )
1232
Dans la détermination des sous-degrés de
M
sur
r
, pour
p = V et
q = VI
22
462
deux éléments de
Q22
ayant 5 points en commun, les 7 orbites non triviales se
caractérisent par
*
1
les éléments de
n (p , q ) sont disjoints de q
20
*
2
les éléments de
n (p , q ) u n (p , q ) U n
(p , q )
5
20
160
.~
20
20
rencontrent
q
suivant 5 points
5
80
80
•
*
1
2
les éléments de
n (p , q ) u n (p , q ) U n (p , q )
p
80
80
96
96
160
rencontrent
q
suivant
point.

VI. 8.-
* Graphe associé à r
.
1232
p
r
(p )
462

VI. 9.-
SECTION 2 : DEUX GEOMETRIES ASSOCIEES A
Mc
§ 1. LA GEOMETRIE DONT LES VARIETES MAXIMALES SONT LES 11-0RBITES DANS
n275
DES M
DE
Mc
1 1-SOUS-GROUPES
Au Chapitre V, Section 3 nous avons obtenu les résultats suivants:
Soit
m"
la classe de conjugaison des M,,-sous-groupes de
Mc, ~"
la famille
de leurs "-orbites dans
n
, alors deux éléments
V
et
V'
de
~"
se coupent
275
suivant 0, "
2, 3 ou 4 points.
Si
T ' T"
T
O
2, T3 désignent respectivement ces ensembles de ',2, 3 et 4 points
d'intersection d'éléments de
~"
et si
T4 = ~"
alors nous obtenons le schéma
suivant
2
T3
Posons
!::. ={O,' ,2,3,4}, T
= T
t-'(i)
U T, U T2 U T3 U T4 et t : T~!::. avec
= T..
0
1.
Considérons la structure d'incidence
r = (T,t,l,!::.)
"-
ou la relation d'incidence
r
est l'inclusion.
C'est une structure d'incidence de rang 5, qui satisfait aux
6 axiomes que nous avons rappelés dans l'introduction.
Notre propos sera à présent de déterminer le diagramme auquel appartient cette
structure d'incidence.

VI. 10.-
Si
r = (S,t,I,~) est une structure d'incidence, le diagramme auquel appartient
est essentiellement déterminé par ses résidus de rang 2 qui correspondent aux
arêtes pondérées d'un graphe construit sur
~.
Si
F
est un drapeau de cotype
i
(g .. ,d. ,d.)
J
{i,j}
le résidu de
F
déterminera l'arête pondérée
_
2J
2
J
-
qU2
représente les structures d'incidence de rang 2
(P,L,I)
avec
P = {ensemble des i-variétés} = {points}
L = {ensemble des j-variétés} = {droites}
d. = diamètre ponctuel, d. = diamètre linéaire, g .. = gonalité (cf.3)
2
J
2J
En particulier
C
3,3,4
- -
...
est identique a
-
•
2,2,2
- •
...
est identique a
•
•
3,3,3
•
•
...
est identique a
•
•
Si nous prenons
r ..
comme le résidu d'un drapeau de type
{i,j,k}, on peut
2J k
sans peine établir que
r
, r
, r
' r
' r
sont des graphes bipartis
leurs dia-
134
124 , r 123
024
023
0 13
grammes sont donc des digones généralisés : •
•
2
C
3
r 4 est un graphe complet : son diagramme est donc •
•
0 1
Nous allons à présent nous intéresser au diagramme de
r
.
0 12
Dans la Section 3 du Chapitre V, nous avons vu que S2
* {p,q} est une 2-clique de type 162, il y a 280 éléments de ~11
contenant
ces 2 points
* M
= (MC)pq et (p,q,r) une 3-clique de type 162, alors r = (x,D)
est un
2 1
drapeau du
PG(2,4)
et il y a 24 éléments de
~11
qui contiennent ces 3 points.
Ce qui a permis d'identifier les 280 éléments de
~11
aux coniques hermitiennes
du
PG(2,4)
et
V E ~11
contient
r = (x,D)
ssi la conique hermitienne corres-
pondante est tangente à
D en
x.

l
VI. 11 .-
1
Coordonnons le plan projectif
PG(2,4)
avec
GF(4) = {0,1,i,1+i}.
m
n
p
(0, Hi)
q
h
J
k
(O,i)
d
e
f
(0,1)
g
0
a
b
c
(0,0)
( 1 ,0)
(i,O)
(Hi,O)
Les droites de
PG(2,4)
sont :
{O,a,b,c,A}, {d,e,f,g,A}, {h,j ,k,t,A}, {m,n,p,q,A}
{O,d,h,m,B}, {a,e,j',n,B}, {b,f,k,p,B}, {c,g,t,q,B}
{O,e,k,q,C}, {a,d,t,p,C}, {b,g,h,n,C}, {c,f,j,m,C}
{O,f,t,n,D}, {a,g,k,m,D}, {b,d,j,q,D}, {c,e,h,p,D}
{O,g,j,p,E}
{a,f,h ,q,E},' {b,e,9J,m,E}, {c,d,k,n,E}
{A,B,C,D,E}
la droite à l'infini
A
C
D
E
B
(Fig.1)
ID
Supposons que
r = (A, <AB ».
Les 24 coniques hermitiennes tangentes à
<AB >
en
A sont déterminées par les 24 triangles de sommets
B et de base 2 autres
points alignés avec
A.

VI. 12.-
Posons
C = {24 coniques tangentes à
<AB>
en
A}
P = {64 drapeaux de
PG(2,4) E r
( r ) }
64
3
B
P
PROPOSITION: La structure d'incidence est un (3;4,4)-gone et est aussi une
géométrie partielle de paramêt res
( 3,8,2) .
Preuve : La transitivité de
sur
C
et sur
P
implique que tous les points
ont le même diamètre ponctuel, et toutes les droites le même diamètre linéaire.
1.
Soit
x =(0,< OB »
un point.
Il y a 3 coniques hermitiennes tangentes
à
< OB > en 0 déterminées par les triangles
B
B
c
b
a
c
a
b
( CH 1)
(CH2)
(CH3)
Donc le point
x
est incident à 3 droites qui déterminent
7.3 = 21
autres
points.
Et un examen attentif de la figure précédente (Fig.1 ) indique que chacun
de ces 21 points est incident à 2 des 21 droites restantes;
chacune de ces der-
ni ères étant elle aussi incidente à deux parmi ces 21 points.
Les 21 droites
déterminent chacune 6 autres points qui sont incidents forcément à 3 parmi les 21.
Ce qui donne le schéma
3
7
6
3
x
donc
d
= 4.
p

VI, 13.-
~ Les bulles ne sont pas des orbites du fixateur de x qUl est 7L3
2.
Nous avons en plus la situation suivante
Considérons une quelconque des 21 droites restantes, l.e. une conlque hermitienne
non tangente à
< OB > en 0: par exemple, celle déterminée par le triangle
e
f
( CH)
Alors nous avons la situation suivante
x
(p , <P:....:c_>..:...)-I-_~~~r..l...:!:..:"-J....
_ CH
CH1
(CH2)
Donc étant donnés un point
x
et une droite
(CH)
non incidente il passe par
x
2 droites qUl coupent
CH.
3.
Soit
~ = CH une droite.
Elle est incidente à 8 points et chacun d'eux est
incident à deux autres droites, chacune étant incidente à un unique point de
~
(2 coniques ne peuvent avoir 3 drapeaux tangents en commun).
Ce qui donne le
morceau
8
1
~
Par le 2. ci-dessus, chacun des 56 points est incident à 2 droites qUl rencontrent
~
et est sur l'une des 7 droites restantes.
Soit
8
Par conséquent
d~ = 4.

VI. 14.-
4.
Les 2 schémas précédents indiquent que
g ~ 3
et nous avons le circuit
(CH 1)
(f,<cf»
.---'-----...
;<OB>)
(cH4)
avec
(cH4)
determine parle triangle
e
g
(k,<kg»
(CH3)
Donc
r
est bien un (3,4,4)-gone.
La structure d'incidence du rang 2 possède
0 12
les propriétés
* Toute palre de points est incidente à au plus une droite
* Toute droite contient 8 points
* Tout point est incident à 3 droites
* Etant donnés un point x et une droite
t
non incidents, il y a 2 droites
incidentes à
x
et qui rencontrent
t.
Il en résulte que
r
est'aussi une géométrie partielle de paramètres (3,8,2)
0 12
Les droites de
r
se répartissent en 3 familles de 8 droites 2 à 2 parallèles
0 12
telles que tout point est sur une seule droite de chaque famille, c'est-à-dire que
r
est un
Net
de
degré 3 et d'ordre 8 [53]
0 12
Remarque
Ce
net(3,8)
est un carré latin d'ordre 8 que nous avons construit,
et suite à une discussion avec F.De Clerck (RUG-Gent), il a été possible d'établir
que ce carré latin est isotopique à la table d'addition de
1
x 1 .
2
4
Le diagramme de. rang 5 auquel appartient la structure d'incidence précédemment
construite est :
c
3,4,4
•
•
•
•
•
1
1
1
7
2
1
2
3
1+
I l
275
22275
779625
121+74000
1131+00
B = {1}
4
M
(2 .A
3.8
2 1·2
4)83
4
M11

VI.15.-
On en déduit pour
U
le diagramme
4(3)
U (3)
c
3,4,4
4
•
•
•
•
1
1
7
2
1
2
3
10
162
8505
1811+1+0
1+536
B = {1}
4
M
2 .8
3.8
M
2 1
4
3
10
Remarque
On peut déduire aisément les diagrammes de d'autres résidus.
§ 2. LA GEOMETRIE DE RANG 2 DETERMINEE PAR LES J-ORBITES DANS
n712B
1+2
des 5
.J.B-SOUS-GROUPES DE
Mc.
2.1. ~~~~~~~.
Au Chapitre V (p. V.5, V.7 et V.25) nous avons obtenu les résultats suivants:
* L'action de Mc
sur
0.
est primitive de rang 5 avec les sous-degrés
7 128
[1,252,750,2625,3500]
* L'action de Mc sur 0.299376 est primitive de rang 114 avec les sous-degrés
2,
[1,125,375
100d\\ 15005,30009 3]
1 2.3.8
2
* 5 +
a pour orbites dans
0.
[3,375,750,1500 ,3000]
et les orbites
7 128
2,126000]
[126,15750,31500,63000
.
Nous allons lCl nous intéresser à la famille
~3
des 3-orbites de la classe de
1+2
conjugaison de
5
.3.8, dans
0.
comme ensemble de variétés maximales d'une
7 128'
certaine géométrie.
Toujours en page V.5, nous avons établi que deux éléments
V, V' E ~3
se coupent suivant 0 ou
point.
Par le même procédé qu'au § 1, nous définissons donc une structure d'incidence de
rang 2
r = (T,~,t,I) avec ~ = {0,1},T = 0.
T
= ~3' T = T U T
O
7 128,
1
O
1 et nous
avons le schéma
126
T 1

VI. 16.-
Avant de déterminer les paramètres de cette structure d'incidence nous allons
d'abord donner quelques résultats.
2.2. Informations relatives aux actions de
sur les 4 orbites non
triviales dans
st 7J28
On peut, sans trop de pelne, établir les résultats suivants
•
r
r
2625
3500
* Les caractères permutants de U ( 5) sur les 4 orbitales non triviales sont
3
$252 =
+ 21 + 105 + 125
$750 =
+ 2.21 + 28
+ 28
+ 28
+ 84 + 125 + 126 + ~ + ~
1
2
3
$2626 = 1 + 2.21 + 2.28
+ 2.28
+ 2.28
+ 84 + 2.105 + 4.125 + 4.126 +
1
2
3
~ + ~ + 3. 144 + 3."14"iÇ
1
+ 3.21 + 2.28
+ 2.28
+ 2.28
+ 2.84 + 3.105 + 5.125 + 4.126 + 2.~ +
1
2
3
2.126
+ 4.~ + 4.~
2
* ulr
2,125 2],
est primitive de rang 4 avec les sous-degrés
[1
le fixateur
252
,
.
1+2 4 '
.
d un pOlnt
5
.
possede les orbltes
* ulr
est imprimitive de rang 13 avec 50 blocs de 15;
les sous-degrés sont
750
2 3 4
[1,14 ,21,28,56 ,84 ,168], le fixateur d'un point
1
possède les orbites
3(2)
2,842],
[42
[21,282,422,562,8410,1689]
sur
r252 et r2625
* ulr
est imprimitive de rang 74 avec 525 blocs de 5, les sous-degrés sont
2625
4
3
6
429 4 39
[1, , 12 , 1,2
, 8
];
le fixateur d'un point
28
possède les orbites
4
6
2]
[
2
2
2
10
9
[12,24 ,48
,
6,8,12,16 ,24
,48]. sur
r252 et r750
* ulr
est imprimitive de rang 116 avec 175 blocs de 20;
les sous-degrés sont
3500
2,64,92,
24,3684]
2.4
[1
18
, le fixateur d'un point
3
ayant les orbi tes

VI. 17.-
Remarque
Les autres actions semblent un peu plus difficiles à déterminer.
PROPOSITION: La structure d'incidence définie en 2.1 est un (4,7,7)-gone.
Esquisse de la preuve
La carte de cette structure d'incidence développée à
partir d'un point est
126
p
On établit aisément cette carte à partir des orbites de
U
sur
n
et
3(5)
7 128
n299376
et du fait que les droites sont des 3-cliques de type 252 dans
n7128.
Lorsqu'on s'intéresse à la carte développée à partir d'une droite on peut travailler
dans
n299376
grâce à la dualité entre cette structure d'incidence et une autre
induite par les 126-orbites des U
groupes de
Mc
dans
n299376'
Les
3(5)-sous-
droites de celle-ci deviennent les points de celle-là et
un morceau du développe-
ment donne
3
i
Le reste de la carte est plus difficile à compléter malS, cempte tenu des orbites
et des liaisons possibles, et du fait que dans la carte ponctuelle ce sont des droi-
tes qui sont à distance 7 de
p, on obtient di = 7.

VI. ,8.-
2.4. ~~_~~~E~~_~~__~~ __~~~~~~_E~~_~~~-~~~~~~~~-~~-~~~~~~~~- ~~~ .
De la carte de la structure d'incidence développée à partir d'un point nous tirons
le schema suivant pour le comportement des droites
r 2625
D'où le graphe
252
9+72
12+96

VI. 19.-
SECTION 3 : DES GEOMETRIES ASSOCIEES A
Mc
1. F.Buekenhout
[~ a construit 3 géométries associées à
Mc
dont les diagrammes
sont
c
•
•
•
4 2
B = 3 + . 4
•
•
31 4
+ . 285
2. M.A.Ronan et G.8troth ont également const uit des géométries associées à
Mc
[42]
4A
2
A
8 «s
L
7
7
3
3
3(2)
4.5 2.11
4
4
3
2
21+4
2
U
2A
•
•
•
4(3)
S
4
2
52. 11
3 .5 .11
4.5 2.11
4
3
3
3 .5 .7.11
35.5 3.11
4A
2
7
34.5 2.11
L
A
A
3(2)
7
7
4
4
4
2
2
M
2 1+4
2
M~2
22
A
fT
M
7
22
35.5 3.11
35.5 2.11
A7 V
•
•
•
4.5 2
4
3
3 .5.7.11
s". 52. 11

APPENDICE
Dans cet appendice, nous avons voulu consigner certaines informations
relatives à des tables de caractères et à des caractères permutants
:
4
1. Pour les tables des caract~res, seule celle de
2.A
a €t€
calcu-
7
l€e
par nous, suite à un entretien avec B.Fischer.
2. Pour les caractères permutants, certaines d€compositions
figurent
aussi dans
[15,52].

:---,.,.
,'l
Cl
'l:V'----,-r "-·"\\:1'-
~-:~,. -v-r-r-
'7
-6
l J
~,
1.,;'
\\ ~
·---='--··'-·'"G'·~-··-;7~-~T1-,u-"-...,.-r---~ "-'---T .'_."""";"","'----"-
fi
t f
l.lC
t .
, "
l' /
'0
i:
( '
zo 2;1
Î
25 3G0
3e
14
lt,
e 27 27 ;0 11 11 1:'
11,
UJ312CaCO 320 ~~O 972 9-> 750
~~
)0
~J
~o
~o
•
• ?2ù 72::1
10
40
16
'j
Hl
-n ',0
ro "
11
1;>
:2
A
A
A
Ail
n.\\
A
J..
A
.&..
p ~~~Qr
A
A
A
A
A.A
A
1.
A.I~
J~\\
hA
A,"..
:~ .... u.: :1>\\1\\
.""
A
I\\n
A
A
1JH
'"1.11
}:;l
Ais
Ît..J
ic . A:~
t.s
.~l
A
A
A
;JI.
n,'.
A
A
A
1.
A
AA
A
A
AA
;"',
BA
1....
Al. AM 3A,\\
A
A
p' p~rt
~
A
A
rm
A
A
nn AD n., :.3 I."J AR ~;, A:i :.:'
5n 61. 65
71. ~I.
BA 9A EN 10A 111.
i1:d
lA
'lA
}A
}B
4A
51.
nu ,21. "41.].... 151. n.:. }OA li" full bd 'ln 4il sc 0::1 sc lml 12D 1~'C 20:. Il*" 22.\\ 1:'" 2..,\\ BH
..
1
++
+
22
6, -5
4
2 ~3
2
}
0
o
o
0
-1
-1
-1
0
0
-2
-2
1 " +
0
~
0
-2
2
C
-2
-1
-1
0
0
+
23'
7
15
6
-1
6
7
-2
0
0
-1
0
0
2
0
0
_1
0
0
0
0
l.
~
1
++
"
-5
2
-1
-1
-2
0
0
C
0
-1
-1
.. 252 26 9 9. 4· 2 2.. 1
O·
0
o 0
0
-2
-1
-1
o
o -1 -1
1
++
10
10
2
2
o
o
o -1' -1 -1 -1
o
170 -~4 -1}
5 -2 -5
o 7
o
0
o -1 -1
1
0
0
o
o bl~
. . b15
-
+
0
0
o
o
o o
o
o o
o
0
0 0 0
o
17J -~~ -1'
5 -2 -5
o
7
Ci
0
o -1 -1
1
0
0
1
o
o ** b15 ..... b15
o
696
0
}2 -4
0 - 4
o
C
0
0
0
-1
-1
0 bl1
. .
0
0
0
2
2
0
0
1
00
16
0
-2
0
0
o
0
0
0 bl1
.*
0
0
o·.
~
09G
0 32 -4
0-4
o
0
0
0
0
-1
_1
0
*" bll
0
0
0
2
2
0
0
:
·JO
16
0
-2
0
0
o
0
0
bl1
0
0
+
1750
70· -51},
2.
O.
0
-5
o 0
0
-2
-2
0
-1
o 0
0
0
0
0
1
++
10 -10
4
0
0
-1
-1
0
0
-1
-1
+
:-520" é4 -44
Hl.
0
-5
0
4 -2
-1
-1
0
. 1
-1
-1
H
1 .-1
0
0
0
0
16
0
0
O'
0
-2
-2
o
0
0
0
O'
-
3520.20-.64 -44
10'
0 -5
o -4
2 -1
-~
o
0
0
-1
-1
~O
0
0
0
0
0
0
o
o 15 -1;
0
0
0
0
+
4500
20
45
-~, 4, Q o
51 -1 -1. -1.
0
Clj
0
o
1.
1.
,.
-1' -1.
0
0
0
0
1
++
10
10
1
-2
-2
0
o
0
-1
-1
1
-
~752 -46 54
0
0
2
2 -p
0
-1
-1
o
0
0
2
0
0
O'
1
1
"'1 -1 -1 -1
1
QO
0
0
0
0
0
0
o
o
0
0
0
0
16-iG
+
5103 6}
0 0
s. ,. -~
0
O·
0
0
Q.
0
}. -1
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
++
45
9
0
}
-1
0
0
0
-1
-1"
1
o 0
+
55·14 -5q 3&
9
0
19
-1
4
o
0
0
o.: 0 -1
0
0
0
0
0
, .
-1
-1.
1
·1+
44 -4
-1
0
0
-1
2-1
o
0
0
0
,-6
o
6019 -45
0
0
-1
0
0 -b7
** -1
0
0
0
0
0
0 -b7
-
0
0
0
0
+
0 . 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
o
6019 ~5
0
o
, - 6
-1
0 0 " " " -b7
-1
0
0
0
0
0
0
-
-b7
0
0
0
0
o
5750
10
15
6
-2
0
0;"5
-2 -vt ...
0
0
0
0
0
0
b7
**
0
0
0
0
+
0
0
0
0
0
0
0
0
~
0
0
0 0 0
o
62')0
10
1.5
6
-2
0
0
-5
-2
n
-b7
0
0
0
0
0
0
...
b7
0
O'
0
0
+
9625 105
40
-5
- ,
0
0
0
}
0
0
-1
1
o
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-t+
55
-5
1
-}
o -2
0 0 0
0 0 0
o
9656
O..ao..a
0
6
o
0
0
0
0 b27
**
0
0 .
0
0
0
0
0
0
0
0
+
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
o
9656
0-60..a
0
.6
o
0
0
0
0
** b27
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
o 10}95 -21
27
o -1 -5
0
, o 0 0
o
o -1
0
0 - 1
o
0 b15
**-b15
*.
+
o o 0
0
0
0
0
0
0
0 . 0
0
0
0
o 10}95 -21
27
o _1 -5
0
, 000
o o -1
0
0 - 1
o
0
-
b15
--b15
11.-1
1
2
,
,
4
5
5
6
6
7
7
8
9
9
10
11
11
1~
14
14
15
15
}O
'0 tu. 1:d
2
4
6
8
8
10
12
12
20
20
22
22
24
24'
}
6
:5
12
15
15
6
6 21
21
24
'0
3}
n 12 42 42 15 15 }O}O
-
}
6
}
12
'15
15
6
6
21
21
24
30
}}
}}
12
42
42
15
' ;
30 30
TABLE
DES
CAr..ACTER.ES
DE.
-1
2
0
0
0
0
0
-1 bl1
-
-1
.
02
126
14
-9
0
2
o
0
1
1
-1
-1 .
*
0
2
0
0
0
0
0
-1
** b1' -1
Mc
c2
.•,:!fl
~" -9
C
2
.,
o
0
l '
i
-~
-,
•
0

Table des caract~res de U~(J).
(source ('+9 J )
x
1
2A
JA
JB
JC
JD
4A
4B
.sA
6A
6B
6c
7A
7A~
BA
9A
9AlI
9B
9B'"
12A
A
A
AA
CA
BA
A
A
A
A
A
AA
f - - -
7
6
6
5
4
Ic(x)1
2 .J .5.7
27.J2
z3.J
22. J
l . J5
J4
~.J 2
5
2J.J2
22.J2
22. J2
7
7
2J
JJ
JJ
Y
JJ
22. J
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
21
5
-6
J
J
J
1
1
1
2
-1
-1
0
0
-1
0
0
0
0
-2
2
)5
J
8
8
-1
-1
J
-1
0
0
)
0
0
0
-1
-1
-1
2
2
0
J
J5
J
8
-1
8
-1
J
-1
0
0
0
J
0
0
-1
2
2
-1
-1
0
...
90
10
9
9
9
0
-2
2
0
1
1
1
-1
-1
0
0
0
0
0
1
5
140
12
5
-4
-4
5
4
0
0
-J
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
1
6
189
-J
27
0
0
0
5
1
-1
J
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
7
210
2
21
J
J
)
-2
-2
0
5
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
8
2ao
-8
10
10
1
1
0
0
0
-2
1
-2
0
0
0
1
1
al.
ii.
0
9
2ao
-8
10
10
1
1
0
0
0
-2
1
-2
0
0
0
1
1
do
ex.
0
10
zao
-8
10
1
10
1
0
0
0
-2
-2
1
0
0
0
ot
Qi.
1
1
0
11
2ao
-8
10
1
10
1
0
0
0
-2
-2
1
0
0
0
;.
Il/.
1
1
0
12
J15
11
-9
18
-9
0
-1
-1
0
-1
-1
2
0
0
1
0
0
0
0
-1
1J
)15
11
-9
-9
18
0
-1
-1
0
-1
2
-1
0
0
1
0
0
0
0
-1
14
420
4
-J9
6
6
-)
4
0
0
1
-2
-2
0
0
0
0
0
0
0
1
15
560
-16
-34
2
2
2
0
0
0
2
2
2
0
0
0
-1
-1
-1
-1
0
16
640
0
-8
-8
-8
1
0
0
0
0
0
0
Jr7
ii7
0
1
1
1
1
0
17
640
0
-8
-8
-8
1
0
0
0
0
0
0
il
Jfl
0
1
1
1
1
0
18
729
9
0
0
0
0
-J
1
-1
0
0
0
1
1
-1
0
0
0
0
0
19
896
0
J2
-4
-4
-4
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
-1
0
>
.ro.
al •
-1 + 3M
avec N= ~1 (1IOd 4).
1
BR-
-1 + J:N
2
2

4
Table de caractères de 2 .~.
x
lA
2A
2B
3A
)B
4A
4B
50\\.
6A
6B
1A
1A*
8A
14A
14lF"
.
A
B
A
AA
DB
A
A
A
AA
AA
' . 0 _. . •
!
1
2
1
5
'C(x)\\
22.)2
22.)2
2 .) .5.1
2 .).1
2 .)
~
2)
5
22.)
22.)
2.1
2.1
z3
2.1
2.1
1
4)
25
xl~
11
11 . 1)22
1)2
'1
1)22
124
1
1)2
22)
1
1
124
1
1
16
8
426
4
2
-1 + l[î
2r
01.-
xlV
1
2
1
14)4
1)5
4
1224)
15)
2262
1)6
FI-
214
214
16
12.1-
1
2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
C(lA}
-
24.~(2)
1
6
6
2
0
)
2
0
1
0
-1
-1
-1
0
-1
-1
C(4B)
•
Z2-" Z4
2
10
10
-2
1
1
-2
0
0
1
1
Q(,
iiL
0
01.
~
...
)
10
10
-2
1
1
-2
0
0
1
1
i
Il.
0
Ci
4
14
14
2
2
-1
2
0
-1
2
-1
0
0
0
0
0
5
14
14
2
-1
2
2
0
-1
-1
2
0
0
0
0
0
6
15
15
-1
0
)
-1
-1
0
0
-1
1
1
-1
1
1
1
15
-1
)
)
0
-1
1
0
-1
0
1
1
-1
-1
-1
B
21
21
1
0
-)
1'1
-1
't
0
+1
Q
C
-1
C
0
9
)5
)5
-1
·t
-1
.1
.1
0
.1
-1
0
0
1
0
0
10
45
-)
-)
0
0
1
1
0
0
0
01.
ôt
-1
_Cl.
-i-
n
45
-)
-)
0
0
1
1
0
0
0
«.
aL.
-1
-';.
-01.
12
90
-6
6
0
0
-2
0
0
0
0
-1
-1
0
1
1
1j
105
-1
-)
)
0
1
-1
0
-1
0
0
0
1
0
0
)::>
14
120
-B
0
-)
0
0
0
0
1
0
1
1
0
-1
-1
LA

As
'lA
'lA
.tA
16..
3B
.tB
4A
5'"A
M
â-e
18*
1&"8
1.)8.
-1s8
1nr'
2B
3A.
3B
4A.
I~B
5A
6A.
6B
14A.'"
15A.
x
lA
2A.
15A't(.
30A.
30A.""
A.
A.
A.
A.
A.
A.
B
A.
Al.
a#l
BB
BB
A.
A.
A.
Al.
Al.
Al.
Al.
Al.
Al.
A.AA
A.AA
6 3 2 2 2 5 4
3 2 2 2 2 2
· 3
2
Ilc(xlll 7
2
7
2
~~ .3 .5.7 2.3 .5·7
2.3
2.3.5
2.3
2.3
2
2.3.5
2.3 .5
2.3
2.3
2.3
2.7
2.7
2
2.3.5
2.3
2.7
2.7
2.3.5. 2.3.5
2.3.5
2.3.5
o
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1
1
7
7
-1
4
1
3
-1
2
4
1
-1
-1
0
0
1
2
o
0
0
-1
-1
-1
-1
2
14
14
6
-1
2
2
2
-1
-1
2
o
o
0
0
o
-1
-1
0
0
-1
-1
-1
-1
3
20
20
4
5
-1
4
o
o
5
-1
1
1
-1
-1
o
o
1
-1
-1
0
0
0
0
4
21
21
-3
6
o
1
1
1
6
o
o
o
0
0
-1
1
-2
0
0
1
1
1
1
5
21
21
-3
-3
o
1
1
1
-3
o
o
o
0
0
-1
1
1
0
0
Bl5
Bl5
B15
Bl5
6
21
21
-3
-3
o
1
1
1
-3
o
o
o
0
0
-1
1
1
0
0
B15
Bl5
B15
Bl5
7
28
28
-4
1
1
4
o
-2
1
1
-1
-1
0
0
o
-2
1 0 0 1 1 1 1
8
o
o
o
35
35
3
5
2
-5
-1
o
5
2
0
0
-1
1 0 0 0 0 0 0
o
9
45
45
-3
o
o
-3
1
o
o
o
o
lfl
B7
1
o
o
lfl
ii7
0
0
0
0
10
o
45
45
-3
o
o
-3
1
o
o
o
o
iit
lfl
1
o
o
B7
lfl
0
0
0
0
11
56
56
8
-4
-1
o
o
1
-4
-1
-1
-1
0
0
o
1
0 0 0 1 1 1 1
12
64
64
o
4
-2
o
o
-1
4
-2
o
o
1
1
o
-1
o
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
0
0
o
o
13
70
70
-2
-5
1
2
-.2
o
-5
1
-1
0
0
0
0
0
0
14
8
-8
o
-4
2
o
o
-2
4
-2
o
o
1
1
o
2
o
-1
-1
1
1
-1
-1
15
24
-24
o
-6
o
o
o
-1
6
o
o
o
lfl
iit
o
1
o
-lfl
-"il
-1
-1
1
1
16
24
-24
o
-6
o
o
o
-1
6
o
o
o
B7
lfl
o
1
o
-iit
-lfl
-1
-1
1
1
17
48
-48
o
6
o
o
o
-2
-6
o
o
o
-1
-1
o
2
o
1
1
1
1
-1
-1
Cl
a
18
56
-56
o
-4
-1
o
o
1
4
1
o
o
o
-1
o
o
o
1
1
-1
-1
19
56
-56
o
-4
-1
o
o
1
4
1
et
IlL
o
o
o
-1
o
o
o
1
1
-1
-1
20
56
-56
o
2
2
o
o
1
-2
-2
o
o
o
o
o
-1
o
o
o
Bl5
Bl5
-Bl5
-Bl5
>
21
56
-56
o
2
2
o
o
1
-2
-2
o
o
o
o
o
-1
o
o
o
Bl5
Bl5
-Bl5
-Bl5
+:"
.
22
64
-64
o
4
-2
o
o
-1
-4
2
o
o
1
1
o
1
o
-1
-1
-1
-1
1
1
BK- -1 + J~
avec 1f'!!:1 (.00 4),
Ill. -
i [J.
2

Table de caractères de 24.~(2)
(source [JO] )
x
21..
21..
2B
le
JI..
41..
4B
4C
61..
6B
6C
71..
71..
81..
141..
141..
A
A
A
A
A
B
C
AIt.
AB
AB
A
A
A
AIt.
AIt.
7.3.7
7
6
4
2.)
Ic(x)1
2
2 .3.7 2.)
25
22.)
~
2
??
2
22.)
22.)
2.7
2.7
2)
2.7
2.7
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
aL
_
1
1 + l;"Z
3
3
)
-1
0
-1
-1
1
0
0
0
oit
-Dt.
1
-~
-Ii
2
2
3
3
3
-1
0
-1
-1
1
0
0
0
~
--
1
-Il.
-~
3
6
6
6
2
0
2
2
0
0
0
0
-1
-1
0
-1
-1
4
7
7
7
-1
1
-1
-1
-1
l
1
1
0
0
-1
0
0
f- 1/j
5
7
7
-1
-1
1
3
-1
-1
1
-1
-1
0
0
1
0
0
6
7
7
-1
J
1
-1
-1
1
1
-1
-1
0
0
-1
0
0
7
8
8
8
0
-1
0
0
0
-1
-1
-1
1
1
0
1
1
8
8
-8
0
0
2
0
0
0
-2
0
0
1
1
0
-1
-1
, ,
9
8
.-8
0
0
-1
0
0
0
1
1
1
0
-1
-1
,
10
8
-8
0
0
-1
0
0
0
1
i
1
1
0
-1
-1
11
14
14
-2
2
-1
2
-2
0
-1
1
1
0
0
0
0
0
12
21
21
-3
1
0
-)
1
-1
0
0
0
0
0
1
0
0
13
21
21
-3
-3
0
1
1
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
14
24
-24
0
0
-
0
0
0
0
0
...
0
0
-i-
0
~
ii.
15
24
-24
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-~
-Il.
0
Ci
CIL
~
.
V1

4
Table des caracti!res de 2 .A
(source Janko [29J )
6
x
lA
lA
2B
3A
JB
4A
4B
4C
SA
Il2
6A
8A
A
A
A
A
A
A
A
B
A
A
AA
A
7.32.5
7.3
2.J2
4
2.3
i3
\\c(x)\\
2
2
~
2
J2
z.5
2
23
5
5
2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
5
1
2
-1
1
1
-1
0
0
2
-1
2
5
5
1
-1
2
1
1
-1
0
0
-1
-1
3
8
8
0
-1
-1
0
0
0
et
Qi
-1
0
4
8
8
0
-1
-1
0
0
0
Ôl.
Cl(.
-1
0
5
9
9
1
0
0
1
1
1
-1
-1
0
1
6
10
10
-2
1
1
-2
-2
0
0
0
1
0
7
15
-1
-1
3
0
3
-1
-1
0
0
-1
1
8
15
-1
J
3
0
-1
-1
1
0
0
-1
-1
9
JO
-2
2
-3
0
2
-2
0
0
0
1
0
10
45
-3
1
0
0
-3
1
-1
0
0
0
1
11
4S
-3
-3
0
0
1
1
1
0
0
0
-1
t:L •
1 + i I5
2
>
.0\\
1

~
:!
?!
~
;:U1. ott I.IU Ir. 4h ..uo ..Ut. uS'
..
..
~
oi
Q
~~
·
:'O ::
~
~.. ~'O
· ~
~
i
+!U&' .......... I.U.U ...J'.HO+.lH+Jlr
.,
.. · ·
..
Q
. ..
!
·
·
=-
~ ;: ·
+;'~Q. ., U • .ah 1$". tI. J.1n + 1,,1f0+ Hi. ,iïi, ...... + 1. SIS'
· : ~ il
~
Q
· ·
·
.
·
·
· :l
~
• . ~
~f
.-
.
';:
·
· ·
~
·
~
:;
·
::;"
i
"
g
Il
'i ~
·
-
li :f ,.
2
.-
·
î
:<
.~
~ or i
·
~
· .. ~ · .-
:
., y .~ 1; ;;. ~ ..... ·
~
}'
-::
.::
·
~
Il
t
· .;
.
l::I\\RAC.TfRI.50
PAiMITi FS
....
:j
~ t
i"
~
! .....; ~
~ ·
.
-
~
:ï
-}
"
~
~
·
:
ir
t
.
~
~
I
3"
.?
3"
3"
.:!.
;;-
"
';
;;-
;:
;;- 'j;'
'"
;:
~
.. ..
.. ..
..
i: •
..
..
~
C
~.
0
.. - · .~ ".:;
0
0
· ....:.
· 0
0
~
0
~
.,
";,
;::- · · "" · ~ 0 • 0 · 0
Q
0
-;,
:- .. 0 "" 0 · · 0 0 · • .,
Q
0
-;,
: . · 0 0 " . · ., • • · 0 0
0
0
-:.
C
...
Q
0
" " ~
•
0-
0
0
0
0
0
0
~
..
..
..
..
-:.
~
~-
0
0
0
.... ! .. .!: ~
- 0
0
0
--
~
.. · · · .. · ..
0
0
0
· .. 0
e
0
·
0-
o
o
..
..
::
0
0
Q
o-
· O'- O· · ~- 0--.. 0-
O·
o
v_
.. ,
..
0
;
~
..
.-
...
~
-
0
~M
"" " · "M 0 ~ 0
0-
o
'" o. .. 0
'"
"'~ -- .. 0
0
..- .. .-.. ..
.. -
J
"
. . u
OS
...
.. ..
-:;
.. . ..
0
..
C ·
0
j
"
"~ -~ .. .. -- "
0
..
.. ..
..
~
;:. · .. e- 0 ~! ..~ .. .. ..
-e:
::'
-:
<:'
..
0 -
J
..
"s
~
-t. .~ .-
~
:-
, ...
~
0
- - .~
J
.
~
':;
:::-
..-.
...
..
Q
-- .- _. -.-:. - - 0 0
".
_.
=.
..
..
:!
- ..-
..
"
-- ..-.- ..-
. . M-
e-
,
:z
.-
~
~
0
~-
• • ~- 0 ':- e
..
.:-
.' : ;! · ;- ..-.. 0 :;- .. :- 0 :;
0
.:;-
"
..
...
..
::
::! ~
..
= ~ 0
:: :- 0
0
"-
· ;; 0
'i'
..
~
~
;oM -~ ~1 _M :-
.'
.,;
~~
=l =~ :- :- ~
;: -
:1 .::.
...
..
..
.. ..
..
c
..
c '
...
;
i
...
~
: ~ 0: ~ ~ ~
s
.-
l •
~
i
+
~
::r~
1
..
.. .---.
:f ~
-::,
..:~
; ~
. .
i
.,f
;
: 0
Q
0 0 0 0
...
'"'
Q
0
0
~ 0
_
0
c
o
..
0-
1
;
"t"" - -'("_.
:"
C: 0---
~
a--
--
'CT
..-- ~o--. 0-- [0 ·'10-
...
Q
.. ... · -
.. ..
..
Q
~
~
';
0
~
~
"
"
1
-0
0-
.
~
o
a
-:..
..
rD
.,
.. ..
r
-:
~
- .. r .. ~ 0
0
0
1
1
0-
o
o
o·
.
-:.
c
~ I;f
..
0
ro-
O'
- .. ~
"
• 0
~
· 0
0
.
~
...-. «
_....
G-I
I~
i
..
1
. .
o
- ~ 0 0 0
0
0
~
0
0
O,
""'.=,
'"
.
--
.,
l'.
1-.;
.. : .. ~ 0 0 0 l>- 0
--;
0-
0
0
Q..
c;
0"-
0
" " -
0·-
0-'"
'"
-f .. ·
0 -
0--
..
"
On
If
,
'" ..
.. ... .. f
"
0 -
·
-
- -r " 0- 0
. ...
"1
0-
0-
0
. . . \\ <>
li
. 0 -
"'M 0
o
'" -
0-
•
i
... .... ... ..
..
.,
..
~
..
0
...
'"
~
· -: ~
·
r
..
o
" M O
o
o
On~O
o
le>
On
" ..
·~
..
0 .
u
.. 0
1
· .. ., .. ~ 0 0
· · T ~
'.
·
,
·~~ .."'..
-
c __
+
_.
o
0--·0"
o
....
..
Q
., .. .. t
~
0-
-"
.. '" 0-
~
~
::
-
0-
0-
0--
.,
::"
--- .,.- ..
..
1
.ol"
- -
--
~
c
. ... .. ,
.. ..
..
...
..
0
~
'f
':-
-"'" .. -
~
~
"
or
""'1. '"
..-
1
-:.
~
.. " · 0 " 0 " · · 7 · 0 0 0
".
-. ~ .. ., .. ... · .. .. -: ": 0 " 0 " 0
~ i
.,
.-
..
~
.- ~ ... : On "
"
,
·
...
'"
~
0
,
"
..
..
..
:1
:;
~.
~
o
~
..
:f
:{
;:
i 'l i
.;'
;
"
~
.
- ..
~
'
..
'"

--::0-
~
.. ..
~
..
~
~
~ .' ..::.
~
~
..::.
.. !
..
-c
! ~ s:
-s -'t
.,
t
~
f i
:<"
:,
l' If
•
"7 "1 1 ~ ~ i;'
...
.:::.
~
.::!.
.,
· ..
~
...
1:
Ici
..!.
"
·
·.. · ft
..
~..
'i
~
... +
•
••
f ';~ ·
~
..
z:
.'
· ·
dl
'"
z
..
~
3
- z
...
·
..
~ ....
'.:i! ;~
..!
------
-:.
:~
..
0
0
-
0
"
-:;. ==
~~
.. ..
~
e
"
CI
-
:0
~
..................
cc
'"
· 0 0 0 ·
• t
1
1
1
...
:::
..
..
0
.....,... ......
.:
. c
• • 1
'" I~ ·
....
· 0
...i .. ,... .......
.. .
-"
~4) 0
0
.. ,
· 0#
.............................
,
"
~
~" .. .. .. .. .. 0
:. ..
..
':.
- ..
of
0
....................... N N ....
I l
I l
,
"-
=
..
.. ..
0
· d -
..
.... _ ............. NN ...
..
"
1
Ë
.- :f -
.. ~ CI
....
• ....... ,.. ...... N
"
·
l
,
:
...
..
..
..
~
... .,. ....... "" ... ON"" . . . . . .
~
of
•
1 1
...
' 1
'JJ
- ~
...J
'" '"
~
~
~ CI
-:;
CO
d
............ - .. _......
<"
... N", . . 1l"I. . " " . _ : : : :
":
l-
..
..
':.
!
1",
:
~
:
"
-
'ï
'. 1
~
I- I
--3- "1- ~
I~
-e ~
.. ~ .. ~
~
J;i'
..
= ..
"1 z ..';"..
l
,
;
.
·
"i ~.
!
7
+
.
;;;.
.,.
-
;.
,!
-g-
? :t"
.:!..
"1
7- -
~
..
+
.
~
!i
~.
..
.- .....-
.. .
+
...
.. ..
,-.
-J ~
.
1=' '-
.. +
+
+
..
?
.
li'
.... ·
.... .
. . M
.
~
"i
·
.
+
:!
'i
~ ..'f ;; ..
~
~ :.1
~
4'"
~
-e
.:!
.... ~ ~ a
.....
~
~
~
~ ~ s
.,. .."
~
- ..
.,.
.. .
~
"
#'
-
!
~
~
'0
--- o'
0"
0
0
~
·
~
.. ;- ..
1"
l;
;;
;:
1
.. ; .. e
..
..
.
0
0
0
~
0
0
; f .
1
..
0
· CI 0 ~. 0
e
+
.,
; '"
1
CI
0
0
0
0
0
o·
..
..
.
+
..
Il
~f-:
..
o·
..
c>-
+
'
0
:!
.. ...
~
· 0 0
·
<>
Q'
0
.~
-
1
! ..
'"
..
. ·
..
0
o·
0-
..
~
.. ..
...
!
~ ....
..
J:'" .
-
-,:; -.,.-. -e:
e--
-of
~:
.. .
O'
a:
1
0
--
0
e
.;
,," ~
.. ..
:: .
.. ..
_.
...
..
0
0
0
0
..
...
..
..
.. -
.. ..
~--
~
0
0
cr
-,.
'"
'O
•
0
<>
"'. 0
o·
.. ..
~
.f
..
..
~
l
-: . .. -· ..
..
~
0
. ..
..
...
!
-=-
,..
~~
'
0 '
~.
ai
0
- .. - o· · ...
-
1
..
-:.
..
:!
J
...
::
-- - ~ - - .. ..
...
..
~~
T
•
a-- ..... ..
0
a"· -..--
+
. .
<.:
=
f
..
0
0
$
0
0
·
.. .. ...
•
!
.. ..
::
-- - .. - .. ·
.=; -..
..
:1-
..
~-
o'
..-- .... W·
.. ..
--
..
..
...
~
:
0
- .. l' 0 " CI
..
.. ...
~
:
...
. ...
-'
~ 0
..:
'4
:
::
...
~
~
..
,.
~
::
:::
~
f
·
• [
~
~
:; .), ..
:! ,1~ j .
... :; , ~ .. !.

1
9
0
\\Il
!!
....
.
..;
•s
•
.. ..
.... ._- ,"";'# "I~"
.. :
.: -;.. ..
.
. ..:- ..- ...
·: I~ lw- ':- '-:~.
p
·
..
-
·
·
..- ..- ..- ..-
- ..
..
,..oo ....~
...."
0:
i~ ..
·
..
·
..
~
'
~
..-
~ · :
·
.J
.
:t
~
·
..
.
--;
..
~
~
..
.'-e 1
: ~ -s
C
C
"J -
C
i.
'J
- - - - ..
.,
...
c
e c
C
~
C
.;
';.
i 'J .e e
·
..
~
- :!..
c
è'
.. .. .. . ..
..
··b
1:
..:.
Io
';.
~
..
.
::
.. -
.
0
0
0
0
o·
- 0 0
.. ..
.
.
c
. ·
..
0
c
~
· 0
· p 0
0
..
0
0
·
· 0 0 p 0 0
-:.
·
ot':::' p
..
-_
-:.
..- · - -•. e- ...::. 0--. .~ G- o . o'· .
..
-:q
:
..
..
-- .. 0 _M· ...:i...:: 0 0 Q. -- 0
._
';'
.~
. .-. -- ·_. ...~ .... A •.
- C· -- ..- ..- -':;' _o·
'"
..
· 0
._~ .. ~
Q
= :: ,:.. g
.:,;
W
~
~
.. .. ... ..
":i
..
. 0
• 0
..
-- ...
-
"l
~
-1
oi
~
;.. .. - 3
~
-:.
l
-
-"
1
..
..
-
J
of
..
...
::
..
0
t
.s
""
j
-a
·r
.. ..
T
.:
..
1 .: -:.
."
.. ~
~
""
i
fi
i Jo.
.. 'i"
_"
~
.. 'i"
..
..
":1
... ·• J "'': -:.
c,
i
....
..
o .
t .
I:f
~-
l':.
..
1:·'
-
· 0
i~'
·
.. · . .
e
.. · .. Ir· - :-... ~~-
~.,.
~..
:
; -
Il
.. ..
~
':"-
.
S
·
:
· ..
..
.
~
..
0
:: ~.. ::.. . :: ~- #
.;
.;
;
;
. .
~
··
! i ;
.
i-
'".
;;
:
..
· · ·
.. : :
-?
· :
;
0
1 z:
'"
'i ._~
~ ·
i
.
i
0
;
·
9
:;
:{
M
,...
""
· ""
:"0
·
-::::
..(
'i =- .e ..:!
-l'
-e
.,
,}
J
·~
';1 ..;.,
"
:
i
:!
-e
.
t- é
,,;
.,4
..'" -
i
J
,}
~
""i
..
:ï r
..
~.
..J
:! ~
~
-;".
:!. ~
-
~
,f
~
~'" :1: ~
J
!
.. .. ..
,
-!!
~
.:'
-!
,
~
~
.. ...
..
.J
7 .1
J
~
1
la
~
i:
~
:!..
J
.. l
J.
1. 1 T
-
.. .. ..
..
l- l-
i
T
~
l
;_. ~
.. ..
..
..
... -
..
~
0
p
·
~
l:'
""
· 0
.. ..
.. ..
_.... .. ..
.,
0
0
p
p
p
0
· ..
-
:-
~ 0
0
O·
O·
0
0
..
.
..
. .
;J
..
p
""
- .. 0
0
p..
~
i
· 0 0 0 · · 0
J
.. . ..
..
.. ..
~
~.
p
0
Q
0-'·
· 0
- ·c _.-- .... .. 0 · '!
0
..
J
.. .. ..
_. ..
_o.
!"
::
.. .. 0
"oo .. ~
-:.
:
;
.~
0 0
p . '
-
.--
..
.
0-
0 -
a
---
..
~
..
':,
:
. Q
0
0
.~.
0
·
0
:i
p
· · · 0 - .. a
.. ..
..
..
.. _.
~
~
- .- 0
~ .
.. 0
- 0
::
~
-!'
0
-:f a· · - .=.-
~
0-
:
...
..
.. ..
~~
:, ..,.=. .. . ..- ..-
~
~
_M·
"';
.
-:.
:
-î a -';'. -•. p
- ~~ ..
.:!:
.. -
.. 0;
-
C
wl .. -.. -
.. .. -.- ..
C
.
~
~
'#~
. -_. ...
~
~
.i.
-- -- p
· --_o·
-.
..-
~
c
.... -. ..':. ~1" ;: M•. ~- S
~.-
-
::
.:.
p "
..
0
0
..
0
0
~
::
.. .. ;;; ; .. ... · ..
::
~
~
~
' 0
~
2
;
~
::
:::
~
::
·
;
p
-

BIBLIOGRAPHIE
F.BUEKENHOUT, Diagrams for geometries and groups, J.of Comb.Theory (A) 27, (1979).
2.
F.BUEKENHOUT, The basic diagram of a geometry.
Lecture Notes, Springer 893 (1981)
3.
F.BUEKENHOUT, (g,d* ,d)-gons.
Proceedings of a conference in honor of
T.G.Ostrom. M.Dekker (1982)
4.
F.BUEKENHOUT, Diagram geometries for sporadic groups. to appear ln Proc.
Finite Groups - Coming of Age.
5.
M.BURROW, Representation theory of finite groups, Academie Press NY-SF-London
( 1965)
6.
P.M.COHN, Algebra, II. J.Wiley and Sons (1979)
7.
J.H.CONWAY, A group of order 8, 315, 553,613,086,720,000.
Bull.London Math.Soc.,
1 (1969), 79-88
8.
J.H.CONWAY, A perfect group of order 8, 315,553,613,086,720,000 and the spo-
1
radie groups.
Proc.Nat.Ac.Sc. 61 (1968), 398-400
1
9
J.H.CONWAY, Three lectures on exceptional groups in "Finite simple groups",
ed. M.B.Powel and G.Higman, Academie Press 1971
1
10
J.H.CONWAY and D.WALES, The construction of the Rudvalis ample group of order
145,926,144,000.
J.of Algebra 27 (1973) 538-548
1tl
11
C.W.CURTIS and I.REINER, Methods of representation theory with applications to
finite groups and orders
!
1.
Wiley, Interscience Publication (1981)
t:
"
!1
12
L.DORNHOFF, Group representation theory, A, Marcel Dekker, INC, New York (1971)
i
13.
L.FINKELSTEIN, The maximal subgroups of Conway's group
C
and Mc Laughlin's
~
3
f
group, J.of Algebra 25 (1973), 58-89
Î
14.
L.FINKELSTEIN and A.RUDVALIS, Maximal subgroups of the Hall-Janko-Wales group.
J.of Algebra 24 (3), (1973), 486-493
6-maximal
15.
J.FISCHER and J.Mc KAY, The non abelian simple groups
G, IGI < 10
subgroups.
Mathematics of computation, vol.32, 144 (1978), 1293-1302
16.
J.B.FRALEIGH, A first course in abstract algebra, Addison Wesley Pub.Comp.
( 1977)
17.
H.FREUDENTHAL, Mathematics as an educational task, Ed.Reidel Dordrecht (1973)
18.
J.M.GOETHALS and J.J.SEIDEL, The regular two-graph on 276 vertices.
Discrete Math. 12 (1975), 143-158.
19.
~.HALL Jr and D.WALES, The simple group of order 604, 800, J.of Algebra 9
( 1968), 417-450
20.
E.M.HARTLEY: Two maximal subgroups of a collineation group ln five dimensions.
Math.Proc.Camb.Phil.Soc. 46 (1950) 555-569
21.
M.D.HESTENES, Rank 3-graphs, manuscrit non publié.

B.2.-
22.
D.G.HIGMAN~ Finite permutation groups of rank 3~ Math.Zeitschr. 86 (1964)~
145-156.
23.
D.G.HIGMAN, Intersection matrices for finite permutation groups~ J.Of Algebra 6
(1967),22-42
24.
D.G.HIGMAN and C.C.SIMS~ A simple group of order 44~ 352, 000.
Math.Z. 105
( 1968) ~ 110-113.
25.
G.HIGMAN, Construction of simple groups from character tables, in "Finite simple
groups", ed. M.B.Powel and G.Higman, Acad.Press (1971)
26.
J.F.HURLEY and A.RUDVALIS~ Finite simple groups, the Am.Math.Monthly, vol 84~
9 (1977), 693-714
27.
I.M.ISAACS, Character theory of finite groups~ Academic Press NY-SF-London (1976)
28.
N.JACOBSON~ Basic algebra II~ W.H.Freeman and Company~ San Francisco (1980)
29.
Z.JANKO~ A characterization of the Mathieu simple groups 1, J.of Algebra 9,
(1968), 1-19
30.
Z.JANKO, A characterization of the Mathieu simple groups II~ J.of Algebra 9~
( 1968), 20-41
31.
Z.JANKO and S.K.WONG~ A characterization of the Mc Laughlin's simple group.
J.of Algebra 20 (1972),203-225
32.
F. KLEIN ~ Le programme d'Erlangen, Coll. "Discours de la méthode", Gauthier-Villars,
(1974)
33.
K.HARADA
, A characterization of the simple group
U
Nagoya Math.J. 38
3(5),
(1970) ~ 27-40
34.
W.LEDERMAN, Introduction to group characters~ Cambridge University Press (1977)
35.
R.LYONS~ Evidence for a new finite simple group.
J.of Algebra 20 (1972)~ 540-569
36.
S.S.MAGLIVERAS~ The subgroup structure of the Higman-Sims simple group,
Bull.of the Am.Math.Society 77 (1971)~ 535-
6-character
37.
J.Mc KAY, The non abelian simple groups
G~ IGI < 10
tables~
Communications in Algebra~ 7 (13) (1979)~ 1407-1445
38.
J.Mc LAUGHLIN~ A simple group of order 898~128~000 in "Theory of finite groups
(a symposium)", Ed. by R.Brauer
39.
K.W.PHAN, A characterization of the finite simple group
U
J.Austral.Math.
4(3),
r
Soc. 10 (1969), 77-94
i
1
40.
A.nEGNIER, Groupes de Conway~ mémoire de licence (1974-75), Univ.Libre de
Bruxelles (Belgique)
41.
M.A.RONAN and S.D.SMITH~ 2-local geometries for sorne sporadic groups.
Proc.
of Symposia in Pure Mathematics 37 (1980)
~.
1
J

B.3.-
h2.
M.A.RONAN and G.STROTH, Minimal parabolic geometries for sporadic groups.
European J.Of Combinatorics, vol.5 (1984), 59-92
43.
J.P.SERRE, Représentations linéaires des groupes finis, Hermann faris,
Collection Méthodes (1978)
44.
M.S.SMITH, On rank 3 permutation groups, J.of Algebra 33 (1975), 22-42
45.
M.SUZUKI, A simple group of order 448,345,497,600, Theory of finite groups
(Symposium, Harvard Univ.
1968)
Benjamin, N.Y. (1969)
46.
D.E.TAYLOR, Regular 2-graphs, Proc.of the London Math.Soc. Serie 3, vol.35
(1977),257-274.
h7.
J.'I'ITS, Discours inaugural au Collège de France
!tEL
J . rrIC['S, Buildings of spherical type and fini te BN-pairs.
Lectures Notes ln
Math. Springer Verlag, 386
49.
J.A.TODD, The characters of a collineation group in five dimensions.
Proc.Roy.Soc.London, Ser.A, 200 (1950), 320-336
50.
D.WALES, Uniqueness of the graph of a rank three group, Pacific J.of Math.
voi , 30, 1 (1969), 271-276
51.
H.WIELANDT, Finite permutation groups.
Academic Paperbacks, NY-London, 1964
52.
R.A.WILSON, Maximal subgroups of
U
communication personnelle
4(3),
53.
R.C.BOOSE, Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced
designs.
Pac.J.Math. 13 (1963), 389-414
54.
J.H.CONWAY, R.T.CURTIS, S.P.NORTON, R.A.PARKER, and R.A.WILSON, An Atlas
of finite groups.
Oxford Univ.Press, London/NY;
to appear

n.~ Q. 1V• 9
?'l.e.e....u< ...Jt L..
·P"'"1.n.:l..:,,~.. if
~ G ....... d~ - ~~o.-:~ ~ sJ;:J L; f.~&. ..k MA ~ 1~
~WUl~~L:r~~~. Al..M t"u.t ~-'1~ __-;,~..u. G -4é t. ~ ~~ A/MAA.
1.Q;~ .J.a. X Gu. .. la. ~-.. K. U -<1.UoC.C KE:k, K~.i...J-.cAG c.I:. H 4~I94.J..dctA.&4 G/f( •
C.""*kn-J:
~u.J~t ~ ~ 'rl:4
.cft
.oc...i.1i.,..,J;"
- . .t_~R-...r.J.. M-fi ~ ~J.i.c..:.cL..:.~ ~'n..k.. -16')
H1.( ~ 4 -k4wk.t.:J Au.t. -1-1 ~; -. Â~~ a..:~wou...t ~
11-1.0 t"--.(. ~ ~..lA. A(; ') 3 ~
,u c..iA,A.1~ ~ ~ ~ itl1.~~)C:
~(.t) == 5.016 (-tel) , N(3~) = H!1 (.1c:1), N(sh.I>;o·,z : S". 4(-t
a... -. .là.t....4t •.•
1'r~ k.L. 'P~&--. s
.D~ [ifS] ~ ~ .L iA.t. k ~~tn.~x ~ H.l-1: M~ (1ci) 1 AE) (3&'),
~~ 0<
~
M.to<Jl
.. ,,-..i.l
H.t'I:.t, 'è.'X.f:~~~ ~ M..t... ~ e ...........~ -s: ~'''''''Jo-.Vt--. .d..t (.(-~r-'j""4
....,,~ ~~ k
M.t-1' Si ..J.~ ~ .o.cL........ 4c.u\\. l.t.., ~ ~ .-.4 M.x... ,01. ~ b-ôt.'.t.e C:~__
e ~ - ~ k """-7~ A.. ~ ~ ~ H.:-i:.t Jl.f L ~~~~-e.uJ\\. ..,[f~ .,f~'~
~ ..t.. C .4c.-\\a. AM<. ~ 4~
~ Il r:
M • .,
a
'1 -
-··
~~aJL...ua.
:.t1· A. ~
-
DI~ 1".......t 1 lrsvJ;; ~ 1"-r ~e.t.hi.~~~ ~k ~ ~:t., ~ ~ ..J~ M<'1
~ -
.t - Ô~ -<if ~ .t,,, / <AA. 8. .
o, ~ ~ ~.,..- A ~cJ..:~~ ,J.... ~ ~ T"'~ ~~t;~ M""'1..t. ~
M..t1 :.t , ~ ~ f1.t1' ~ JC4~ ~
Mot.. O'-C- -J._ AM<. ,........,. ,.M i'.u.- ..c4-t! ~