,
THE S E
présentée
a l'UNIVERSITE DE BORDEAUX 1
pour l lobtention du grade de
DOCTEUR D'ETAT ES-SCIENCES
par
" ,
ûus ssynou NAKOUL mA
--
'
'.'
.: . -, . .
.-,.- .
. .
•
•
•
INEQUATIONS VARIATIONNELLES ET INEQUATIONS QUASI-VARIATIONNELLES BILATERALES
"
~..~
ASSOCIEES A DES PROBLEMES DE JEUX STOCHASTIQUES A..80MME .~~.,
.'" -,'
, ..
NULLE OU NON NULLE
/> .
. \\
,
.l" -
".; 1
!
..
Soutenue le 22 Janvier 1981 devant la Commission d'Examen
MM. ARTOLA M.
Président
CHARRIER P.
HANOUZET B.
HOGBE-N'LENO H
Examinateurs
JOLY
J.L.
LIONS J.L.
MIGNOT F.
SEYOI
H.
- 1981 -

---

A lJ\\ MÉI'OIRE DE MO'! pèRE;
A MA MèRE ;
A r'ON GRAND FRèRE NACOULMA KEOULE (DIT BA) ,

---

Le P~o6~o6e~ Mi~hel ARTOLA a accepté de p~é~ide~ le j~y, je l'en
~emeJtue btè~ vivemeYlt.
Jean-Luc JOLY m'a ÙÛD.é à l'étude deo6 Inéquat-iotv... vwa.tionneffe1J
et: qUMi-vaJl...W.tionne11.M. C'~t ~OUll ~a rÜ..·'[ec;(;'oll
à
BORDEAUX eX. avec
l'aide canotante et e66ec~ve de P~e'Ae CHARRIER ct Be.nOAd HANOUZET que
j'ai.. 6ad" mM p~emÙ.M pM dans la !I.edteJtehe . A ce~-te époque déjà, je me
6élicJ:tai.1. de la cOMtatt-te fupot1ibil...ité dont ID ons: 6ad" p!l.euve à mon
ég~'[d. ~vé à DAKAR depuiA Octab!l.e 1911, j'a; co~nué de béné6iue!l. de
ieull. acde, expé!uence et: haute compétence. Qu'.{,t.6 bto({vertt: iu l' exp~~o6,{.on
de ma g!l.~(de et i' aMWtance de ma ,~ùlcè!l.e C1Jt1J...ti.ë..
C'Mt aL.Wo6,{. l'occQ..6,{.on POU!l. mo,{. de !I.emeJtc.i.elt ,{.U tOlU ceux qui m'oYlt
po!l.,té con6J..ance et ~out~en.
Je perwe à la FacLLi-té d~ SuencM de l'Ul'livVt6.i;té
de DAKAR qui m'a
ac.c.uVJ!1..i au sein de ~on DépaJt-temertt: de Mathéma.tiqulUJ.
Je perwe au Doyen SoLLieymane NIANG et au P~o6u~eLvl Hettu HOGBE N' LENV
P,'luideYlt de l'Union Mathé.ma.tiqu~ A6tu:c.a;ne qui m'oM p~ de 60't-W
que1.que peu de mon ~olemeYlt . J'a; pu ai..rwi ltenconXAe!l. à DAKAR lO:'l6 du 61!-
rninwe lIOPTIMISATION ET CONTROLE" le P!l.06~6eWt Jacquu LOIL-W LIONS qu.i.
6' M-t -toujou!L6 iYlté!l.M~é a mon btava.A.1. . Il a accepté de f.A..Jl.e le maruL6C!I..i.Â.
de eex:« -thè6e et d' me p!l.éo6eYlt dans le j~y. Je fui.. t:émoigne !I.e6pect et
!I.ec.onnai.1.~anc.e.
J' LU. pu .'lencont/rc!l. aLLMJ... à DAKAR à la même occas a-n e.t ent,lU-te à
BORDEAUX PùJtJte CHARRIER 6an6 l' acde: duquel. c.è tW\\Htte n' a.t.l.~.aJ.,t vu le jOU!l
Le Plt06M6euJL Futbvu MIGNOT a ac.cep.té de Ü!t.e ce :tMVrLte e.t de 6we
paJLÜe du j~y. je l'en !I.emVlue 6,{.nc.èltemeYlt.
C'ut: éflalement une btè6 flltande joie poWt moi de comp.tVl paJurii l~
me.mbJte6 du jWtIJ, Hamet SEYVI qui.. lI'lUJt .toujouM iYltélteMé a mon btava.A.1. e.t
qui a été. à l'ohifline de mon ,{.nt,e!l.tion à DAKAR.
Je sacs fllté à tou1J m~ coUèguM du DépaJt-te.meYlt de Mathéma.;ti.quM pouJt
iewt. am.-i.cal et. corw,funt encoWtage.mertt:.
Madame BORONAT a dactylognaphié ce; page;. Me6dame~ QUINET, JAUBERT en
ont e66ec..tu.é
le
mafle. Je l~ lte.meJt:ue to[de~ ~Jtè.,6 vJ...vement.

---

TABLE DES MATIERES
Pages
INTRODUCTION ,. 1 • 1 • 1 l , • ,. 1 1 1 • 1 • , • 1 1 1 1 1 1 • l , , , • 1 • 1 • , 1 • 1 • 1 • 1 .' •• , • 1 •• ,
PREMI ERE PARTI E
INEQUATIONS VARIATIONNELLES BILATERALES l ,,~_'-f' • , ., , • 1 • , • 1 • , l , •• 1 • ,. ,
15
DEUX 1EME PARTI E
INEQUATION QUASI-VARIATIONNELLES BILATERALES, """""""" '" .. ,
85
- ' - ' - ' - ' - ' -
. . . . .

---

-
1 -
INTRODUCTION
Ce travail est
consacré à l'étude des Inéquations avec contraintes
bilatérales qui n'interviennent dans des problèmes de temps d'arrêts optimal
avec deux joueurs 1 et 2
Les problèmes de Jeux ont été étudiés par plusieurs auteurs, par
exemple
A.FRIEDMAN [1&]. N.V.KRYLOV [23], A.BENSDUSSAN et J.L.LIONS [5 l.ect..,
soit avec des méthodes probabilistes ou de théorie du potentiel ([ 23] ,cf aussi
J.M.BISMUT [9 ]. (10]), soit par des méthodes variationnelles que nous re-
tiendrons ici ({16]. (6 J,etc .. ).
La notion d'inéquation variationnelle (en abrêgé I.V.) a été intro-
duite par J.L.LIONS et G.STAMPACCHIA [26]. Les I.V
interviennent dans l'étu-
de de nombreux problèmes : problèmes
de mécanique, de physique(cf :G.JUVAUT
et J.L.LIONS [15]). de contrôle optimal ([6 ],J.L.LIONS [25]),etc .•.
La notion plus récente d'inéquation quasi-variationnelle (en abrégé
LQ.V) a été introduite par A.BENSOUSSAN et J.L.LIONS [3 J, [4], [51, [7 J,
pour étudier des problèmes de contrôle impulsionnel. On les rencontre aussi
dans les problèmes de frontières libres (cLBAIOCCHl [1 l ) .
Ces deux notions ont été ensuite reprises pour étudier des problèmes
de jeux stochastiques ([ 16], [6 l,etc •. ). C'est ainsi que lorsque le jeu est
à somme nulle (ce que le joueur l gagne, le joueur 2 le perd) on est amené
à considérer une l.V
bilatérale, c'est-à-dire une I.V. dont on cherche la so-
lution
u
dans un convexe des contraintes défini par deux fonctions d'obstacles
"1<"2 ("I<u< "2)' [16], [6], etc ...
Le cas du jeu a somme non nulle conduit quant à lui à des I.Q.V.
(cf : A.BENSOUSSAN et A.FRIEDMAN [2 1 et [7 1 aussi).
Nous lui associons dans ce travail, précisément un système d'I.Q.V bilatérales,
c'est-a-dire un problème bilatéral où les obstacles sont définis implicite-
ment a l'aide de la solution.
Les I.V
bilatérales stationnaires de
type elliptique, mais surtout
d'évolution de type parabolique étaient beaucoup moins étudiées que les
I.V
unilatérales dont l'étude par contre a connu un grand développement
avec les travaux de plusieurs auteurs parmi lesquels on peut citer par exemple

---

- 2 -
A.BEN50USSA.\\l' et J.loLIONS (6 1. M.BIROLI [8] ,H.BREZIS r Il], P.CHARRIER [12],
P.CHARRIER. B.HANDUZET et J.L.JOLY' 13J, P.CHARRIER et G.M. TROIAVIELLO [14],
B.HANQUZET et J.L.JOLY 118],[19]. [2D},Y.lIAUGAZEALl {21}. J.L.JOLY el U.l>',îS('1)
(22], J.L.UONS [24], [2SJ, F.MIGNOT et J.P.PUEL [27],U.MOSCO Ize], [29],
V.MOSea et G.M.TROIANIELLO [30J ,M.PIERRE [331. L.TARTAR [34J ,etc ...
quant aux I.Q.V
bilJtérales et d'une façon générale pour toute I.Q.V,
nous savons que leur étude supppose d'abord celle plus approfondie des l.V
auxquelles elles sont associées.
Pour situer donc rapidement notre travail (par r.ippo r t au cas unilaté-
ral) on peut déjà d i r c que la plupart des résultats connus pour les problè-
mes unilatéraux possède une versicn "transp0l>ée" dans le cas bilatéral
. Un
exemple: 1<3. question essentielle de l'existence cl 'une solution faible
"na ture l l.e" pour le pr ob Lêne b i.Lat ra I d'évolution est id r ês o Iuc . Dans 10":
ë
cas unilatéral. ce problème a été résolu par F.MIGNOT et .l.P.PUEL [27J.
La pr-em i ê t-e partie de cc travail est con s ac rê li. une étude avs t.émat i quc des
propriétés des LV bi l at rnl.es aussi bien stationnaires que d'évolution. Ce f ut;
ê
la motivation initiale de cette partie don~ les résultats, originaux dans
l'ensemble, étaient annoncés dans [3J]
et publiés dans [32J.
La deuxième partie de cette thèse est cnnsacrée à l'étude d'une
l .Q.V b i.l a cé r a Le que nous proposons comme outil pour étudier un Jeu stochas-
tique à somme non nulle. (Cec i. jus t i.fi.. déjà, si besoin
tai.c encore la pre-
ë
mière p ar t i e dp ce t r av.i i I ) . l.'I.Q.V c on s i dé r é e est originale, nous s emb l c t;»
r
il, non seulement par sa forme, mais aussi par la méthode de résolution que
nous proposons.
PREMIERE PARTIE:
I.V. BILATERALE
On considère ici un jeu stochastique de temps d'arrêt avec deux joueurs.
Le jeu est à somme nulle. On pst alorB amené à envisager un problème du type
Trouver une fonc c i on Il qui v r i
ô
f i e '(' système J'inégalités c ompLêraen r a.i r e s
suivant
i
<; u<
l,
YI
i
'2
1
\\
+
(1)
(Lu-f)
( u-
'Jl ) - 0
l
1
1
(Lu-r f )
(u- ": )
0
l

---

-
3 -
où
L est un opérateur elliptique du 2° ordre, wl'~2' et
f sont des fonctions
données.
Le système (1) permet du caractériser les points selles du jeu.
En effet si
li
est une solution régulière (continue par exemple)
de (1) , on peut alors interpréter
li
comme la valeur (le gain du joueur l
par exemple) du jeu où les décisions des deux joueurs sont des temps d t ar rêt;s
(cf. (6]
• [16].[23], cf
aussi P.CHARRIER [12l,etc .. ).
Le problème (1)- formel pour le moment - suppose une certaine régula-
r~te de
li
(si par exemple les inégalités et égalités ont lieu P.P. il faut
que (Lu-f)+ et (Lu-f)
aient un sens en tant que fonctions). Mais la
technique des l.V permet de le formuler sous forme variationnelle qu~ exige
moins de régularité :
Soit
V un espace de Hilbert réel de (classes de) fonctions réelles.
On note
V' le dual de V . Une l.V bilatérale est un problème du type:
Trouver
u
telle que :
uE V,
ljil < li ";lji2
(2)
<Lu, u-v>"; <f,u-v>.lfvEV, t/!1$VSljiZ'
Les fonctions d'obstacles ~l
lji2
sont données et définissent
le convexe des contraintes bilatérales
"2
K~l ~{ vE V
~l";v,,; Wz }.
La fonction
f
est le second membre de l'l.V on note p (~l,ljiZ' f)la solution
u, si elle existe et est unique, du problème (2).
Pour étudier le problème (Z), noUs avons introduit un autre problème
où l'on cherche un couple (u
u
de V x V
tels que:
l'
Z)
où
Test l'application qui à la seule fonction l 'obstacle ~! et à f
données
associe
1" ( t/! • f),
solution d'une L. V unilatérale. 1.e
d'une
LV relative à un convexe du type K~)~{ vEV , v z ~I I .

---

- 4 -
Le problème
(3) est un système d'I.Q.V unil~t~r~les.
11 a été introduit par A.BENSOUSSAN et J.L.LIONS [ 3 J dans un c ad r a
totalement différent.
La considération du système
(3) permet de trouver le passage des
problèmes unilatéraux aux problpm~s bîlatéraüx. Cc passage est tradull par
le r êsu Ic a t
suivant fondamental dans
toute la suite de cette première par-
tie :
Si (ul,u
désigne une solution du système d'I.Q.V unilatérales (3),
Z)
alors
u
= li ~~t une solution de l'I.V bilatéral~ (2).(on on prend
1-u Z
f = f
) .
1-f2
La correspondance ainsi rn.ï s
e n êv Lct.... uc e entre les pr ob Lëmes
(:.)
ë
et (3) s'avère un outil particulièrement commode pour étudie~ les propriétés
de ces deux
problèmes. Ce f a i.s aut , lIUUS avons obtenu pour l 'LV bilatérale
de nombreux résultats:
Système d'inégalités complémentaires,
théorème de
comparaison. estimation duale. régularité. etc,. Pour le système d'l.Q,V (3)
déjà étudié aussi dans
f 5 J. (22J et [1OJ. nous obtenons de nouveaux résul-
tats (d'existence el de régularité essentiellement).
ce s cl' évolution.
La première difficulté des problèmes d'évolution associés à (2)
était de définir une solution faible lorsque les obstacles ~l et ~2
dépen-
dent du
temps de manière peu régulière. Ce problème est ici résolu erâC'€
encore au découplage de l'I.V en un système d'l.Q.V unilatérales d'évolution
justiciable quant JI lui en théorème d'existence de F.MIGNO'r et l.P.PUEL [27].
On caractérise ainsi une solution particulière
u
de
l'l.V bilatérale e t
cette solution vérifie la plupart des rÉsultats du ('as stationuaire.
On obtient aussi des résultats de régularité pour le svs t êœe d'I.Q.V
(cf. aussi [14]).
Pour terminer, deux remarques.
D'une pavt; la correspondance entre
l'
LV b i l at.ê r al e et le systeme d'LQ.V unl.Larêr a Ies est éclairée par
l'étude stochastique de ces deux problèmes par F.CHARRIER [12]. D'autre part,
ce découplage perm(:t
de tr~vailler avec des 0r2rateurs d~fférentiels qui ne
peuvent se mettre sous forme d i.ve rgen t i.e I l e
(cf : ~1.G.GARRONl et H.A.Vl.VALDl 117]).

---

- 5 -
DEUXIEME PARTIE
I.Q.V
BILATERALE
Le point de départ de cette seconde partie est une série de probl~mes
posés par un article de A.BENSOUSSAN et A.FRIEDMAN [2 ] relatif à un problè-
me de jeu stochastique avec deux joueurs, ~ somme non nulle et où les déci-
sions des joueurs sont encore des temps d'arrêts. Le jeu sera exposé plus
loin. Ces auteurs proposent le système d'inégalités complémentaires suivant
pour d~finir les points de Nash du jeu : Trouver deux fonctions
u
et u
1
2
vérifiant :
u. -: ",.
i = 1,2 ;
,
,
r Si u. =
(4 )
"'. alors u. = cp.
= l,2
i
,
,
" J
"j
J
J
i.
l si u;.ccp. , , "j , alors
J
J
Lu.$ f.
, (u.-CP.) (Lu.-f.)
0
,
, ,
, ,
.
i.
où
L est encore un opérateur elliptique du 2°ordre, ~i'~i et fi des
fonctions données.
Formellement, si (u
désigne une solution régulière de (4)
1,u 2)
alors on peut interpréter
u
et u
comme le coût minimum à payer par
1
2
chacun des joueurs
1
et 2 .
Dans le cas stationnaire, A.BENSOUSSAN et A.FRIEDMAN proposent la
technique des I.Q.V
pour étudier le problème (4). Mais la formulation de
leur système d'I.Q.V, bien que
résolvant la question de l'existence des
solutions (sous des hypothèses par ailleurs restrictives, nous y reviendrons)
laisse quelques problèmes ouverts parmi lesquels on peut citer la question
dela régularité. Quant au problème l'évolution associé à (4). A.BENSOUSSAN
et A.FRIEDMAN l'ont étudié dans le cas particulier de la dimension
l
d'espace.
Pour tenter de résoudre ces problèmes, nous proposons ici une autre
approche de (4). On va étudier en fait un problème plus général que (4). Il
n
s'agit de trouver deux fonctions
u
et u
et deux parties
KI et K
t )
l
2
2(de
telles que :

---

- 6 -
u..r;
(P.
i
== 1,2
i,
r.
Sur
K.• on a
u .
1J!.,
i,j
1 , 2 , 1 f J ;
J
r.
Sur [K.
(ecomp Iêment a i.r e de. K.)
on a
(5)
J
J
Lu.-f.s 0
• (u.- ~.)(Lu.-f.)
o .,
~~
~1
1 . 1
su pp
(Lu.,-f.)-C K.
C[l1. =c;.1
1.
1.
1.
1.
1.
où
[u.=q:.] ={ x
, ,
U
(x)
== l:P
(x) ~ .
i
i
si (u
, \\
, K )
est une solution de (5), alors
(u
définit un
1,u2
2
1,u 2,K 1,K 2)
point de Nash du jeu .
Pour étudier
(5), nous lui a s a oc i.on s une f or mu l a t ion quasi-variation-
nelle qui prend ici la forme d'un système d'LQ,V bilatérale; on cherche
deux [onctions H] ,u z o t deux parties KI et K'1 telles que:
u,c::: V
,
(6)
"2 - pl"2(K,) , M,(Kl ) , f 2)
su pp (Lu.-f.) C
K. C [u.» q'.].
1 1 1 . 1 1
où
N. (K.)
(_00)1
+
I)!,
1
i • j
1,2 ,
i "J (x)
,
J
'CK.
i
K.
J
]
M. (K. 1
~J • 1
+ ~, .1
i,
J
1,2 ,
i,
K.
K.
1
]
"j
,
J
i,
'c
et p
est l'application qu r au triplet (YI,x2f) as socLe r:(Y1'X:L,f) solution
d'Une Lv b l a r ëra l e dont les ob s t ao l o s sont Xl et x
et le second membre f
î
2
Une première r ema r que :
lorsque le jeu est li. somme nulle
U
= a
l+U 2
on montre que le eys t êrnc d'LQ.V b i l at.ô ra l e s
(6) sc réduit en :.:IlP. LV
bila-
térale qui intervient
"W'It·\\JrP.J r ernen t"
d ana
le cas du jeu à somme>. nulle et
on a
(
fI (
1è r e
. 1
1~1'~1'
c f . .
p a r t Le ) ,
(~)
1
est la fonelir'il ~8Tact6risti(lU~ de 1 'rnsemll].G y
K

---

- 7 -
Les questions qui se posent pour le problème (6) sont l'existence
(éventuellement l'unicité) et la régularité des solutions. Les résultats
obtenus sont essentiellement :
- Un résultat d'existence des solutions sous des hypothèses plus
générales que celles de A.BENSDUSSAN et A.FRIEDMAN. La méthode que nous
utilisons pour établir l'existence des solutions de (6) repose sur l'idée
naturelle de chercher les points fixes d'un certain opérateur construit à
partir d'une LV bilatérale (cf.[34]).
Dans notre cas on construit deux applications 8
et 8
qui vont
1
2
opérer non sur des fonctions, et c'est là l'originalité nous semble-t-il,
mais sur des ensembles. Cette approche qui consiste à travailler avec les
ensembles K. vérifiant (6) et les ensembles de contact [ u ;> e.l
est
,
,
,
d'ailleurs éclairée par l'interprétation stochastique que nous avons signa-
lé plus haut. Nous y reviendrons.
- Nous avons obtenu aussi un résultat de régularité : continuité dans
an sauf éventuellement sur un ensemble polaire situé sur la frontière de K.,
et régularité
wi~~ (C Ki)'
cas d'évolution
Les problèmes liés au cas d'évolution sont de même nature que le cas
stationnaire. Nous avons
obtenu aussi un résultat d'existence et ce grâce à
la notion de solution faible que nous avons définit pour les 1.V bilatérales
d'évolution. Quant à la régularité des solutions, la continuité n'est pas en
général assurée, même lorsque les données sont très régulières. Un exemple
2,l,p
est donné. Nous avons toutefois la régularité
W
(CK.).
loc
1.

---

---

- 9 -
BIBLIOGRAPHIE
DE
L'INTRODUCTION
(I 1
C.BArOCCHI.
Sur un problema di frontiera libera conneSBO a questioni
di idraulica, Ann.Mat. P.A.(IV), XCII (1972).p.17-127
et C.R.A.S. 273 (l9]!)
p.1215-1217.
(2]
A.BENSDUSSAN et A.FRIEDMAN. Non-zero SUffi stochastic . DifferentiaI
Games with Stopping Times and Free Boundary Problerns.
Trans.Amer.Math.Soc. vol.231 0°2 (1977) .
[3]
A.BENSOUSSAN et J.L.LIONS . Nouvelles formulations de problèmes de
contrôle impulsionnel et applications.C.R.A.S., série A,
276 (1973) pp.IIB9-1192 .
[4 1
A.BENSOUSSAN et J.L.LIONS. Contrôle impulsionnel et Inéquations quasi-
variationnelles d'évolution.C.R.A.S. série A, 276,(1973)
pp.1333-133B.
[5 1
A.BENSOUSSAN et J.L.LIONS. C.R.A.S., 278, série A, 1974.
[6 1
A.BENSOUSSAN et J:L.LIONS : Application des inéquations variationnelles
en contrôle stochastique- Dunod.
[7 1
A.HENsoaSSAN et J.L.LIONS
Livre en préparation.
[ B 1
M.HIROLI. Solutions faibles des inéquations variationnelles d'évolution
avec convexe dependant du temps C.R.A.S. série A, 280
(1975) p.1209.
[9 l
J.M.BISMUT. Sur un problème de Dynkin, Z.Wahrscheinlichkeistheorie
verw.Gebeite 39,(1977),pp.31-53.
[la]
J.M.BISMUT. Controle stochastique, jeux et temps d'arrêts: application
de la théorie probabiliste du potentiel .Z. wahrscheinli-
chkeitstheorie verw
Gebeite 39 (1977) pp.315-318.
[11]
H.HREZIS. Problèmes unilatéraux .J. Math.Pures et Appl. 51
(1973).

---

-
10 -
[12]
P.CHARRIER. Thèse d'Etat- BORDEAUX 1978.
:'" ,\\ r., '
-- -,
[13]
P.CHARRIER, B.HANOUZET ,at J.L.JOLY. Estimation pour la sou a-cso l ut i on
'·~~,~imum'd·l un pr ob l ême unilaté raI cl' évo1ution. C. R.A. s.
sé~ie A '283 (1976) pp.591-593, et sous-iso l.ur i on pour un
problème unilatéral d'évolution: caractérisation et
régularité. Séminaire Goulaouic-Schwartz 1975-1976 nOXX.
(14)
P.CHARRIER et G.M.TROIANIELLO. Un résultat d'existence et de régularité
pour les solutions fortes d'un problème unilatéral d'évo-
lution avec obstacle dépendant du temps et On styone solu-
tions ta par abolie unilateral problems with obstacles
dependent on time. J.Math.Anal.Appl. 64 (1978),
[ls1
G.DUVAUT et J.L.LIONS.
Inéquations en Hê c ani que et en Physique, Dunod 1972.
(16]
A.FRIEDMAN. St ocnas t i c games and v a r i a t i ona l i.nequa l i r i.e s . Ar chdv .
Mech.Anal. 51
(1973) pp.321-346.
\\17]
M.G.GARRONI et M.A.VIVALDI : Bilateral Inequalities and implicit unila-
teral systems of the non variationa1 type. Rapport interne
Università deg1i Studi di Roma. et à paraître.
[lB]
B.HANOUZET et J.L.JOLY. Méthodes d'ordre dans l\\interprêtation de cer-
taines inéquations variationne11es.C.R.A.S. série A, 281
(1975) p.375.
{191
B.HANOUZET et J.L.JOLY . Un résultat de régularité pour une inéquation
qu as i r-var i a t conne Ll e du type
Neumann intervenant dans un
problème de contrôle impulsiunnel.C.R.A.S. série A,
281
(1975) PIJ.799-841
etJ.Math. Purus et Appl. 56(1977).
pp.327"-337.
[201
B.HANOUZET et J.L.JOl,Y. Convergence un i Eor me des itérés définissant la
solution n'une i néqunc i on qua.s i.r-v a ri a t i.ouuel l c C.R.A,S.
s~ruc A, 286 (1978).

---

-
11 -
[21]
Y.HAUGAZEAU. Sur les inéquations variationnelles.C.R.A.S. série A,
265 (1967) pp.95-98.
[22]
J.L.JOLY et U.MOSeO. A propos de l'existence et de la régularité des
solutions de certaines inéquations quasi-variationnelles
A paraître.
[23]
N.V.KRYLOV. Control of Markov processes and w-spaces Math. URSS
Izrestia 5 (1971) pp.233-266
[2~]
J.L.LIONS. Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites
non linéaires. Dunod. Paris 1969.
[25]
J.L.LIONS. Sur quelques questions d'analyse, de mécanique et de
contrôle optimal. Les presses de l'Université de Montréal.
[26]
J.L.LIONS et G.STAMPACCHIA . Variational inequalities C.P.A.M. 20
(1967). p.493
[27]
F.MIGNOT et J.P.PUEL. Solution maximum de certaines inéquations
d'évolution paraboliques et inéquations quasi-variation-
nelles paraboliques.C.R.A.S. série A 280 (1975) p.529 et
Thèse d'Etat.PARIS VI (1975).
[28]
U.MOSCO. Implicit variational prohlerns and quasi-variational inequali-
ties in "non linear operators and calculs of variations ll
Lecture. Notes in Math. n05~3
[25]
U.MOSCO. Regularite forte de la fonction de Hamilton Jacobi du contrôle
stochastique impulsionnel et continu C.R.A.S. série A
286 (1978) pp.211-214.
[301
U.MOSCO et G.M.TROIANIELLO. On the smoothness of solutions of unilateral
Dirichlet problems, B.U.M.I.
8 (1973) pp.57-67
(311
O.NAKOULlMA. Sur une notion de solution faible pour les inéquations
variationnelles d'évolution à deux ohstacles.C.R.A.S.
Série A 28~ (1977) p.1037-l0~0.

---

12 -
[32]
O.NAKQULlMA. Inéquation w, il ationnelle et système d r Lnêqua r i cns '~~' ';-;j-
va r i a t i onnc "f e s stationnaire de type elliptique (-t
d'évolution de type parabolique. Ar r i.ka.Hat emat Lke ,
vol.! n 01 (1978) et vol.II n02 (1980)
[33]
M.PIERRE. Capacité parabolique et équation de la chaleur avec cbs tac Ie
irrégulier.C.R.A.S. série A.
287.
(1978) ppv l I ? et Thèse
d'Etat. Paris VI .
1341
L.TARTAR.
I.Q.V,
abat r a i te si Cvn.Ac S. série A 278 (1974) pp.llS3-\\J',6
- ' - ' - ' - ' - ' - ' -
. . . . . .

---

- 15 -
PREMIÈRE PARTIE
INEqUATIONS VARIATIONNELLES BILATERALES

---

---

-
17 -
TABLE DES MATIERES
Pages
PREMIER ARTICLE:
INEQUATION VARIATIONNELLE ET SYSTEME D'INEQUATIONS QUASI-
VARIATIONNELLES STATIONNAIRES DE TYPE ELLIPTIqUE
19
1.-
Notations
. Les 1. V. [
, [ K" fi .............•.... 20
2.-
Un système d'I.Q.V. associé à l'LV. [
• f 1 .................. 21
3.-
Propriétés de l'I.V [
,f 1 .....................•••.••••••••• 25
4.-
Propriétés du système d'I.Q.V . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • . . . • . . . • . . . • . . • 35
DEUXIÈME ARTICLE: INEQUATIONS VARIATIONNELLES ET SYSTEME D'INEQUATIONS QUASI-
VARIATIONNELLES n'EVOLUTION DE TYPE PARABOLIQUE ..•••••••.••••...•...••• 43
1.-
Les inéquations variationnelles [
, f , u l ...................•43
o
II.-
Un système de deux I.Q.V
d'évolution unilatérales .•.•.........•.. 48
"2
II1.-
Une solution faible "naturelle" pour [ Klfi
•r , u 1 .....••••......65
o
1
IV.-
Propriétés de p (1Ji , J./! 2 ' f, ua)
68
1
V.-
Régularité de p (lfi , J./! 2 ' f , ua )
. . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . .72
l
VI.-
Propriétés du système d'I.Q.V.
(9)
•.•....•••....•.......•..••• ·76

---

---

• 19 -
AFRIXA MATEMATlKA • Vol. 1 • Na 1 - 1918
INEQUATION VARIATIONNELLE
ET SYSTÈME D'INÉQUATIONS QUASI.VARlATION:-''';LLES
STATIONNAIRE DE TYPE ELLIPTIQUE
P"
0. NAKOULIMA
{Haute-Volta)
Introduclion
Le but de ce travail est l'étude d'une inéquation variationnelle (l.V.)
relative à un convexe de type deux obstacles; Le. un convexe de la forme
{If; !fi J ~ Y ::s:; <f~} et d'un système de deux inéquations quasi-variationnelles
(I.Q. V.) qui ne font intervenir chacune qu'un obstacle.
Ces deux problèmes ont été introduits. respectivement pour "LV. par
J. L. LIONS el G. STAMPACCHIA [9] et pour Je système d'I.Q.V. par A. BEN-
SOU.'lSAN et J. L. LIONS [3]. le premier intervient dans la théorie des jeux
stochastiques (cf. A. FIlIFDMAN [5). P. CHARRIER [4j, etc.) quant an second
problème, il est considéré dans l'étude des fonctions coûts d'un processus
qui évolue suivant deux phases (cf. [3] et (4)); on s'intéresse ici à quelques
propriétés des deux problèmes précédents.
On commence par montrer que l'LV. elle système d'I.Q.V. sont en fait
étroitement liés (théorème 1), lien qui se traduit par un découplage du
problème à deux obstacles en deux problèmes à un seul obstacle. Cela
nous permettra alors d'obtenir de nouvelles propriétés pour les solutions
respectives des deux problèmes étudiés.
Cet article reprend et développe les résultats indiqués aux « JOURNÉES
S.M.f.,
C.N.R.S.
:
INÉQUATIONS
QUASI-VARIATIONNELLES
tenues à l'Université de Bordeaux 1 (avril 1977) et fait partie d'une thèse
de 3" cycle de J'auteur.
Le plan adopté est le suivant;
1. -
NOTATIONS -
Les LV. [K:~, fL (Kt, fl, [Kr' fi.
2. -
Un système d'I.Q.V. associé à t'LV. [K::. f].

---

20 -
AfRIKA MATEMATIKA - Vol. r - N°
IQ78
3. -
Propriétés de l'LV. [K:~, fJ.
(caractérisation - système d'inégalités complémentaires, estimation duale -
régularité),
4. -
Propriétés du système d'LQ.Y. (estimation duale - régularité).
5. -
Bibliographie.
l. Notations: les inéquations variationnelles [K::, fi; [KY, fl; [K , f]
Ifi
Soit n un ouvert borné de Rn, très régulier, de frontière I". Un désigne
par Hl «(1) l'espace de Sobolev d'ordre 1
:\\v
2
.
HI(n) = fv
VEL~(i2)
-:;- E L (m. 1 = l, .." n)
IlX;
Tout élément v de Hl (n) admet une tr-ace sur l ' : Yav "--. vu- élément
de H I 2
/
(r). On noie:
H~ (n) = {v, v E HI (n), vII ~ 0)
On désigne par V l'espace H r (U), ou Hii (H) (on pourrait prendre aussi
pour V un sous-espace de H! (n) constitué cie fonctions nulles sur une
partie de I'}, V est muni de la norme naturelle Il .llv- L2 ln) étant identifié
•
- ,
1
â son dual, on note V' l'espace/dual de V.,_-Qn a les injections contin lies
sUivantes.
chaque espace étant dense dans le suivant.
On se donne par ailleurs la forme bilinéaire continue a (. ,.) sur
Hl (D) X HI (n) à valeurs rédies définie par:
iVUEHI(n) , VveHI(il)
a(u,v)=
'J
l
Suov
alj(x)--dx--!· nJ
l
'"
aj(x)-vdx---l--.
i.j.l
ri
31(, aXj
;=1
n
a:l:;
Ja(l(x).u.vdx
n
où les coefficients "u- a., a~ appartiennent à L"" (.0).
On suppose que la forme a (. , .) est eocrcive sur V :
(1)
311>0
tel que
VveV
a(y,v);;::tIHI~
On associe à la forme a (. , .] l'application A Je Hl (0) dans V' défini
pa,
(2)
(Au, v;,v'v = a(u, v)
VUEHI(D.)
;
"'VEV

---

- 21 -
"'i'"Fll(~ MATE~1ATIKA - vot , - N'> J - :978
où ( .. ";Y'V désigne la dualité: entre V' el V. D'autre part pour tout 1\\
dans Hl (il), on note Lu __ pAu la restriction à HJ (il) Je Au, élément
de V'
(~)
v u S Hl (.n)
Sait maintenant K un convexe ferme non vide de V. Pour tout f appar-
tenant à V', on sait que l'inéquation variationnelle (1. V.) suivante
/uEK
(4)
t a (LI, 11 - v) ::;:; (r, u -- <:v'Y
'l(YEK
possè-e unesoh:~inr, lmi'1.ue II dan,\\ K Id. J. L. Lml-'S, G. S'O,/>fPA,(;C:II1A [':lJ).
On s'intéresse ici à des convexes K ct~fini~ par deux obstacles
K '--=
"
K~"
ni! ,J.,l ct '~" som dcuc roncüo-» definie" 5;Jt il 2. valeurs clans 11\\ et tellp.s
que '~J ~ 'h p.p. dans il.
,II,
'
0/1,
1 •
La notation [K"", f] désrgncm 1'l.V
(4) relative il K""
et sa sn unon u,
lorsqu'elle existe sera notée
U
P(~l' h,
0 =
f)
Nous conuoërerone nusst (1<'s convexes K délinis par LHl seul obstacle
,
K' ~ (v
v e
.... .,; '~ p.p. dans il}
K" - [,
v "' V
v ~ .~ p.p. dans D}
Les notations (KÇ, fl el [K"" f] désigneront les LV. (4) relatives à ces
cnnvexex el leurs solutions rcvr-cctivcs seront notées cO. n pl ,. (:1, f).
2. Un syctème d'!~équafiflns qaasl-venarionneêles assoelé à [K:~, fJ
Etant donnés f: et f 2 o.ms V', ou envls~l!~e le système d'inéquations
quasi.....ariarionnelles (l.Q.V.) suivant
trouver (u I , u2) dans V x V tel
que:
J U
('J
I -= -;(~l + U 2, rd
\\ U 2 =
,;(-'h + u"fz)
Ce système d'LQ.V. est étroitement fié au problème [K::, f] comme le
montre le résultat suivant
THF.DRÈMI: 1. -
Si (U I, /il) désigne une solution de (5) alors
lil -
u2 ----= Il tll'l' 'Pl,!l ---!l)

---

2Z-
ArRIKA MATEMATIKA - Vol. 1 - N° [ - J978
Ttémnnstration
Cne solution (U I, ll,) du système (5) vérifie
fUl~YI-I-U2
(6)
\\a(ul.uj-v) s; <'fI'Uj-VI':\\"V
;
V v, ~ V
'il
~ of 1 -t U
r u} ~ -'~J "r U1
(7)
ta (u!, U1 --- \\'1) s; <fl • u~ -- V2':)~"V
Donc
Soit maintenant v un élément quelconque K::; on choisit dans (6) et (7)
"',=\\'+U2
vJ=--v+-u[
pour obtenir après addruon des deux inégalités:
'J.\\\\II-U2,UI-Ul--V)~ ' . f - f2, u ,
Donc
U
- -
u~= PIY,_ .:,,~, ç, --1'2)
1
Nous allons maintenant établir I'existe.rce d'nu moins une: solution pour
le système i}), Pour cela mvus f.usor» s ur Ics données l'l' (l,fi et Yl l'hypo-
thèse de régularité suivante
(8)
3u
i
j Ë V
=
l , 2
tels que
Au,:;<= f,
TllrORÈMl 2.
S()l~S l'hypurhèse (8), le systeme d'I.Q.V.
l
-i
u\\ ,.--, t' (li'!
UZ.!l)
1U2 = T(-- 'P2 -r- 11 ' ./2)
1
possède au moins une solution,
Dénions/ra/ion
D'après (8) le convexe K:: est non vide. Par suite pour tout (vI> vl )
dans V x V les convexes K\\l-r+V' el K -\\l-,+v, ne sont pas vides, donc t'ap-
plication
est bien définie, 011 note S cette application de V " V
(w l ' w l ) -= S(vl' v1)

---

-
2] -
AFRIKA MATEMATIKA " Vol. r - Nu
1978
Les points fixes de S sont exactement les solutions du système (S). On
introduit par ailleurs les solutions U, , i
1.2 des equations
':!.i EV
i,.-I,2
Il est clair que ':!.; s; U,; 1
1, 2. Soit 1 l'intervalle de Ll CCl) »: L1 (D.)
défini par:
S est une application croissante de 1 dans lui-même : S étant évidemment
croissante, mourrons que 1 est invariant par S en prouvant que:
(~(, ':!.2) ~ s (~I' ~1)
(!JI' û2) ;?: s ro., u 2)
Soit (w J • w1) = s (1:1.1. ':!.l): on sait que WJ = -r NI + ':!.1' rd vérifie
AW J ;;. fi, donc W1 ? ':!.l'
Pour prouver l'autre inégalité, on remarque que Ut vérifie AUI ;;. f et
u1 ? IJ.il + u}> Par suite Ul est une sur-solution (cf. définition page Sa) de
[K+, +~" rd. donc uj ;;. 'l'(<f: + u1,fJ). L'inégalité analogue pour u} prouve
alors le résu Ital.
Soit:
D'après L. TARTAR [12], le sous-ensemble 1+ admet un élément mini-
mum (u]' u1 ) qui est le plus petit point fixe de S dans 1 :
Mais en général, il n'y a pas unicité des solutions comme le montre
l'exemple suivant
Exemple 1
On prend:
,
n~IO,l[
V~H,(]o,10
a (u, Y)
11
=
u'v'dx
f = 0

---

- 24 -
AFRIK!\\ MATEMi\\TIKA " Vol. 1 . N° 1 . 1978
Soit i. E IR; 0 -c À <
1. on c onsidëre YI t'\\ 'h définies par (fig. 1)
1
,
1
-- x -
1 sur [0, Al
),
\\ -
-:;:- x + [ sur [0, Al
'i 1 (x) ---co )~
'h{X)'-"/!
1
-.. ~ x -+ 1 sur [A, 1]
,
- x -
1 sur [A, 1]
),
,•
Le couple (0, 0) est solution du systeme d'LQ,V.
J UI
1"('';'1'';
11 2_ (1)
l U2 '--- ";"(--- 'h -1- u., 0)
Soit maimcnaru h définie par r (fig. 2) :
" ln SUI {O, f,l
où ~ el k' vérifient k .> 0
,
k ' < 0
h(XJ--!
, k'(x .- 1) sur [A, 1]
et k;.."
-k'(I--'À)
On il h E HJ (JO, 1[) et le mu pie (h, h) c~t encore souninn du système
d'I.Q,\\'. précédent.
Nous verrons en lA une condition nécessaire el surlisanle d'nnicnc pour
le systeme d'I.Q.Y. (5).
DÜJNIrtON, -
On appelle sur-soluüo» de \\'l.V. {Ko" ;']. (Hile r(1l1ction u
de V qui vérifie :
Ali ?- r

---

- 25 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol 1 - N° 1 • 19711
el d'après le théorème de comparaison de Y. HAUGAZEAU [7], on sait que
1" (if. f) est la plus petite des sur-solutions de {K." [J.
k),
-
_
o
1
•
Figure 2
3. Propriétés de l'LV. [K::. f)
Nous allons dans ce paragraphe utiliser le système d'I.Q.V. pour obte-
nir des propriétés de la solution de ['LV. [Kt. f].
3.1. Un théorème de caractérisation pour P (!fI. 'f2. f)
Nous savons que la solution de l'LV. relative au convexe K. (resp. K")
est la plus petite des sur-solutions (resp. ta plus grande des sous-solutions).
Pour p (ifl' 'f2. f), on établit une caractérisation analogue. Pour cela,
nous faisons sur les données r, ~I' Y2 l'hypothèse (H) suivante, analogue
à (8) ,
3 r, EV' ; i = 1,2
tels que
f = f( -
fl
(H)
- .
.
-
..
( 3 u, EV; 1 = 1, 2 tels que Au,? f ; '/1? Ut - U2 ? h
THÉORÈME 3. -
Sous Fhypothèse (H) /a solution de l'I. V. [KS,'. Il est
caractérisé par ..
P ('lfl' 'lfl'!) =
Ul -
U2
où (u l • u2 ) est l'élément minimum de:

---

- 26 -
ÂFR1KA MATEMATIKA - Vol. I - N° 1 - 1978
Démons/ra/ion
(H) implique que le système d'I.Q.Y. (5) possède une solution. On va
montrer que la plus petite solution du système (5) coïncide avec l'élément
minimum de J, ce qui en vertu du théorème 1, démontrera le résultat.
Soit (u , lI l) la plus petite solution du système d'LQ.V. (5)
(ll p li]) = min r'
Comme toul point fixe de S est évidemment dans J, en particulier
Par ailleurs, pour toul (v,. v2) dans J, on a
,'1
et
c'est-il-dire que Y, et YI SI'Il! rcspecnvcrucur sur-solutions des problèmes
[K..,,,,,.
fi]
et
11\\:_.,1,_,.".
[2\\'
Donc
- ('~I
v:"
1'1)
s;
',Il
el
.. ( - '':'2
" V,, t'2) ~ v.. c'cM-iHiITC que S (VI' v1\\ ~ (YI. Yz) et comme
V,
3- u.. 1
1. ~. on Cil déduit que
Jnlc::l '
C'L le minimum de l' app.uurut n J ni: donc J'élément minimum de 1+
est l'clement miuunun: d,·.1 il 1. donc de J
( Il t _ 1i • 1
mill 1 j-
min .r
,
r.
CUllOLLAllŒ 1. --. 011 suppose I"hYPolhèsc (H) oérlfiée
Soit (u j • u2 ) un
~lJm('/11 .Ie 1. On c les iIJlp/ic{{/irJIl\\ suivantes .'
,
AlJi
/,
c-
/) (V'), '1'1, /)
{}" (V'~' n
r.:
AIl,
1~
" fi 1~! l' iI'.~. t 1
T (V'I, n
,
,
r;
"
A"t
A/1~
1
»
Ilh'l' 11'-, () -
u,
u,
Considérons u
POl' '~2' f)
\\1
u). où III"
Il;)
"min J. On a
,
,
toujours III < u! -; li!; donc s ",u l
1'1' néù"ssairl'nlcnt ;

---

- 27 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. 1 - N° l
1978
A
A
Puisque u
=
-r ( - YI -l- u
on en déduit
l
l ,
f1) .
U l -- U 2 ~ h el
A
A
Au, -
AU ~
1
f; c'est-à-dire que u ~ u1-u]est une sous-solution du
problème [Kl"l, f].
A
U -=- u , -
U z .s; -r (ch, f) =~ rt
A
A
Montrons l'inégalité dans l'autre sens. On a -
(J
-t- Ut ? -
h -l- u, et
A
A
-
Ail -t- AUI ?
f donc .-, (f -1- u, est une sur-solution du problème
[K -..,+u,' f).
Par suite -
(J
-l- U
?-: u
l
z, c'est-à-dire
A
U = U , - - U 2 ?
(f
Donc
De même, on montre que si AUI
fr. le problème à deux obstacles
se réduit à un problème sur l'obstacle '-Il'
La dernière implication est immédiate et montre que P ('~I' YI' f) est
la solution dc l'équation Au =
f.
3.2. Interprétation de e(~j, '~I' f)
On SUPPOSl' les coefficients de la forme bilinéaire suffisamment réguliers;
la formule de Green suivante :
f
a tu, v) --
{Luj-vdx ·1
<y" (u), Yov)w'I'ln.H't>lfJ (')
n
habituellement utilisée lorsque u est régulière s'étend (cf. B. HANOUZFT,
J.-L.. JOl..Y [6]) à toutes les fonctions de :
{U,UEV
AUEV*}
où V.. désigne le dual d'ordre de V (cf. [6] et en. Ceci permet d'interpré-
ter les solutions des LV. sur KI' ou Kl/P avec second membre dans V-;
solutions qui possèdent de façon évidente la régularité Au EV-,
•
•
8u
..... •
(') -i, (u) =
~ (1: a., -,-)Ir cos (n, eJ) désigne la trace sur I' de la dérivée
1 _,
,_ 1
:>:,
conormale de u ,
~slla normale extérieure à 11.
~
e J est le j.m. vecteur de base JR.'.
L~) V* est l'ensemble des formes linéaires de V' qui sont différence de deux (ormes
positives.

---

- 28 -
AFRIKA MATEMATlKA - Vol. 1 • N° 1 - 1978
En toute généralité la solution du problème à deux obstacles. ne possède
pas la régularité Au e V* comme le prouve l'exemple suivant :
Exemple 2
Soient:
o -= ]0, I[ ; V =, HI (JO, I[J ; a tu, v) = .c u'v'dx + { u-vdx f = 0
On définit Yl et h par (fig. 3)
pour
xEjO,I[
-~,.
/
1
1
t
t
1
t
t
._1
•
,
,
"
OI1<1'~l
'~2E!I(\\lO.!fl: 1:,
:.~'t: "ll_~ foru-tinuu
c:~1 sohuion dcrt.v.
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1 i)
,-!rl E V*
" III :1 'J c: V tet (/1/" ..III r- l ' ,/ '.•
Il ~'sl irnmêrkl' que: ~l '".- l"~
1'\\ T'''': ","l' I,i;) '·'1 ':·r;lil'\\" (prendre
f)
Il),

---

- 29 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. 1 - N° 1 - '918
Réciproquement, supposons réalisée (ii). En se ramenant à l'hypothèse (H)
le résultat découlera des théorèmes 1 et 3.
Soient fi et f 2 dans y .. telles que r = fI -
[1' On pose fI V f 2 sup (fi' f~).
D'après (ii), AB E V*, donc A6 = (A6)+ -
(A6)- où (A6)+ = sup (AB, 0)
et (A6)- = sup ( - AO. 0).
On résoud alors les équations:
dont les solutions u et u~ existent et vérifient:
j
Au, ~ fi
i = 1,2
el
Au( -
AllI = AV
Donc u1- u1 = 0 ct puisque 'fI ~ il ~ <fl' on obtient l'hypothèse (H)
du théorème 3.
Soit donc u = p ('h. '~2' f) = u, -
u1 où (u., u2 ) est une solution quel-
conque du système d'LQ,Y. (5). (u.. uJ appartient à J; donc en particulier
Au; ~
fi' i =
1, 2 et comme fi E V*, on a Au; E Y*. Par suite
Au = Alli -
Au~.
Le résultat précédent permet de caractériser la solution de I'I. V. [Kt:, f]
par un systeme d'inégalités complémentaires.
On utilise pour cela le fait que V est un espace de Dirichlet (cf. A. AN-
roNA [2]). Ce qui permet de choisir dans chaque classe d'équivalence
modulo l'égalité dx.p.p. un représentant « précisé ».
On utilisera aussi le résultat suivant de F. MIGNOT, J.-P. PUE(. et A. AN-
CONA (cf. l-. MIGNOT [JO]).
Quels que soient <fI et ~1 définies sur n à valeurs dans R. et telles que
K~: #= cP, il existe ~I q.s.c.s. el ~2 q.s.c.i. avec ~l ::;; ~l q.p. telles. que:
0/1:
-
K~, = K~l
"
On considère donc \\' comme urt espace de Dirichlet sur J'espace de
base X.
CorWLLAIRE 2. -
On suppose que l'hypothèse (H) est térifiee, Alors
Il = P (!fI' v-J) est caractérisée par fa condition suioante :

---

- 30
AFRIKA MATEMATIKA
vot. 1 - Nu 1 - 19'18
JI existe "1 el Il2 dans V tettes que
1
li =
iii -
/i2
(9)
Ali, --- fi = P'i
i = J, 2
où p, désigne ta mesure de Ration (d'énugie/Illie) sur X associée à :lu, -I"
Dbrwnsrralioll
Soit li P (VI, 'fl' () ,-- li l .- 1.:< où (u l , li]) désigne tille solution du sys-
teme d'LQ,\\'.
Le système d'inégatirès complémentaires pour chacune dc~ IV, à un
seul obstacle qui constitue le système d'LQS. donne
r (u-- t;) dll; -,-- 0
,
"
Réciproquement.soit li vcnûanr (9). Pour tout v de V tel que '~J ~ V s; ~2t
on a :
a (u, li -
v) __ o. -J. li -
\\"/v'\\
_Ali
Luc-,
- c
f (u - v) dfJ.j ( (u --- v) cl!-'-]
.l,
" x
OÙ
LI ct
v SOnt des
representants qu.isi-rontinu- de
u ct
v, On a
LI - - li ~ LI -.- '~j ct li
a ru. Il -
\\) e..
1', Il -
V
\\
\\
ApPLICATIONS
al SI" V ~--~ H~ (U); Je sy..rèmc complémentaire (9) se réduu à
IU,---11 1_U2
u,E'H~(Q)
'ilo;ul
)'f."',"~,~) :;,' "n
' ,

---

- 31 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. 1 • N" 1 • 1978
b) Si V =
HI (0), X =
n et si, de plus, on suppose que r appartient
à (Hl (OW, on peut découpler le systeme complémentaire (9). Plus pré-
cisément si f est dans (Hl (0))*, on peut choisir fi el f
dans (HI (0»*
l
telles que f =
fi -
f2 et d'après le théorème 4, on a Au dans (Hl (0»*.
D'autre part, lout r de (Hl (n». se décompose canoniquement de la
façon suivante:
(10)
(f, V)(H'(O»"l-I'W) = ([i.!, v)IHl(ow.H1(n) -i- (cr. yov)lr"'m.H'f'(r)
où ft) E (H 1 (0»* et f" E (Hill (r))"' (cf. [6)). Pour Au dans (Hl (o.»/r,
on a donc;
(Au, v) (H '(n)\\" .H' ml = (7tlu, v) (H' rnn-.H'(n) + (ra (u), YoU)H- l "(r)H' l'(r)'
On pose:
tr
[Li = 7tLu( -
fi
r-
vj = Y.(UI) -
fi
Le système complémentaire (10) se décompose alors en le système équi-
valent:
-
-
u
1
j
E H
(Q )
,
i=1,2
,
4'1
~ U 1 -
va t;;. ~z
L(u - ,~;) du, = 0
-"
i = 1,2
Notons aussi le résultat suivant relatif à l'ordre spécifique.
PROPOSITION 1. -
On suppose que l'hyporhese (H) est vérifiée. Soient
(u[, uz) = min Jet u = p (w[, Tfz,}) = U I -- Uz
alors :
(1/ )
Auz -}~ = (Au --}r
Démons/ra/ion
D'après le théorème 3, on a :
Au -
r = (Au , - ri) - (Au z - rz)
avec
AUI -
ri ~ 0, i = 1,2
donc Au -
r appartient à V. et :
AUI -- ri ~ (Au - r)+
et

---

32 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. 1 _ N° 1 - [978
Soient maintenant VI et v~ dans V les solutions respectives de
Av] = (Au -
f)'" -1- rI
AV2 = (Au -- n- -l r2
Ces cléments vérifient Av; ~ fi, i = 1.2 et A (v, -
vI) ~ Au. Par suite
rv., \\/2)est dans J. Comme évidemment AV s; Au.. alors V; s; u., i
i
0 -
1. 2.
On en déduit que:
v, ~ Il,
1,2
Ce qui achève la demonstration.
3.2. Estimation duale sur "('~J' 'ho f)
TIH'()R~:ME 5. -- Soient IPI cl V'2 E Hl (n) ('PIII ~ {} :0;;;; VIl[/, si
v,--., H6 (a)) tettes que (...1'1'1) '/ lrl (AV').! ;'JE V', alors Il - fJ (1f!;. 'f2'.!)
s érifie Festinmtion dnnle suirantc,
(11)
/
DéI/lOIl.1 1ra1ion
Le convexe K:~ est non vide ('~2 :\\ ('~"
O) E K:,' si v
U~(n». Soit
d.mc U
P('~I' '.t!, 0 el considérons le problème d'ohstacle [KU, A'~l-/ ,Ill
c'cvt-ù-dirc :
jfT"'Y
,,~u
([3) l
~'1'
< /A'~;
(J
__ ....:'
I, rr . -. 1"1'
Av E V
v ;;;; u
Le l'rohll'mr (1.1) ~ldmet Ulll' <olnltuu 'i ('1 ;\\1) :\\
'\\ ,1
., ,..-,
r
D'autre parr
r
Don. ~,('~L UIlC SOll,.,-··"llil:·.'1l .ru probtcmc Il,1). l'al" -nirc '~I ,;: r, et
comme u '-.~ '~), C'Il il
,
-: -; '..).'
"
:- (H. l '\\~' .'
,Il. on ;1 - ~ LI, el
(,\\,,:,,,, )
•

---

- 33 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. 1 - N° J • 1978
Donc'h est une sur-solution du problème [Ku. (Ah) 1\\ (J, donc h ~ T
et comme T ;;<!: u. on a :
Pour avoir (12), d'après les inégalités précédentes, il suffit de prouver
que:
a=1:=u
Comme cr et -r sont dans K:~, on a pour j'I.V, [K:~, f] :
a (u, u -
0) ~ (f, u -
cr)v'v
el en prenant v = u dans (13). on a :
a (cr. (J -
u) ~ «A~,) V f, CI -
u>v'v
En ajoutant membre à membre les deux inégalités on a :
a(l1-u,(J-ul';;; (-r+(A?J) V f,cr-u> .... ,v ~ 0
Par suite la coercivité en (1) de la forme a(.,.) donne:
11 =
u
On montre de même que T = U.
REMARQUES ,.
Notons cette autre démonstration de t'esnmaüon (12). Les hypothèses
du théorème 5 impliquent l'hypothèse (H) : en effet, d'après el el e)
de Ia page l a on a :
Arr = (Atfd V f -
g
avec
g E (V') ..
on résoud les équations :
On choisit fI = F; r1 = O. On a pour i = 1,2
Au; ~ ri ; AU
~
I -
AllI = ArJ
,
donc
~1 ~ lij - ul
'fl
d'où l'hypothèse (H) ou (8) du théorème 2.
Soit donc (Ut, u2) une solution du système d'I.Q.V.
U
rd
j
=
T(~, + UI,
U 2 = T(- 'f2 + Ut, fl)

---

- 34 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. T - N° l - 1978
L'estimation duale de la solution du problème ft un obstacle (cf. 16])
appliquée à chaque u, donne pour i c- 1,2 :
fi ~ Au] .( (AYI + Au,) \\' f,
1'2 ;;:; AU 2 ::;; ( - Ai2 -i- Alli) V f2
pourvu que (A'fl + Au l) \\f fi et (- AU2 +- Alli) li l! C' V'. VérirlOn~
qu'il en est ainsi pour (A'.h
Au l ) '/ fi par exemple. On .1 :
r, - Au! ~ f ~ AI~I li ri
~
(A'.:' 1) V rr, -- ALI!) E V'
Ay) s; A'~I V r i
donc (A'~J) V (fI .- Au z) - AUl =-= (A'~I + AuJ V fi EV'
On vérifie de même que ( - At~2 -j Aud ,./ 1'2 EV'.
Rerranchous maintenant aux deux estimations précédentes AU2 et AUI
respectivement, on obtient alors (12) en utilisant le fait que AUi ~ f', i ---, 1.2.
REMARQUFS 2.
a) Si V
H~ (U), l'estimation duale (12) se réduit il
(12 bis)
L'il r. r:;;: LiJ ~ (q,,) V r
bl Si v _~ HI (U) et si. de plus, r E (HI (n)).., l'estimation (12) se dé-
compose de façon équivalente en
\\ (q~) .. "f'" s; Lu s; ([.'~I) V pf!-'
(12 ter)
l'r.'('~l) '\\ fi' ~ Y., (li) s; '{"('~l) \\' fI'
où f = ft' i' ''{of l ' (voir (10)) ct pf!! est la restriction ;1 H," UI) dt: f!J f' (H 1 (il)'
L'estimation duale (12) i.nnènc numcdiatcmcnt le problème de la régu-
tante W!.~ (il) pour les inéquations nu problème de I~I régulurité w l r
.
(n)
pour le, equation-
on suppose qu. Ie~ coc.ûcicuts :I,j' a,. <II] d',' \\'1 tonne a [.
.) vérifient:
( 141
COROII"'"U J. -
On SI/l'pOSt! que V 1'.\\( lcsnace 111\\ li!) ('f que (14)
e:'-'I'cri/icL Il/ors si If'l ('1 11'1 ': n' (D) iii'/"{
lf'III' ::<;: () "" \\i'~11
,("'.'.. .fFIPi[J)nll'lrS.!) Il < p < + eû)
on
(
r· rl··~·PI'"
,,'(n'
U <« 'l'"
Y'},,) E
,'"
rv
0
~~J

---

- 35 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. 1 - N° 1 - 1978
Démons/ra/ion
L'estimation (12 bis) donne Lu E U (D), donc U E W1,p (.0) (\\ H~ (.o.)
(cf. AGMON, DOUGLIS et NIRENBERG (IJl.
CoROLLAIRE 4. -
On slippuse que V est I'espoee HI (fJ), que' (14) est
vérifiée el que f E Li' (D) (\\ (H 1 (il))' (1 < p < + co), alors si 'P1 et
1f'1 E HI (D) avec (A1j!l) \\ / / el (Al/'l) i\\ / EU (û) (\\ (Hl (D))', on a "
u = P (V'l' 'i'l,f) E W 2,p (D) n JI! (Q)
el
y~ (u) .,-; 0
Démonstration
1"estimation (12) donne Au E U (.n), par suite U E Wl,P (.o.) n Hl (O.)
et r.(u) = o.
4. Propelètès du système d'I.Q.V.
Etant donnees fI' f l E V', on se propose d'étudier ici quelques propriétés
du système d'I.Q.V. (5),
UI '"" 1"(Yt -f- u1,fJ)
( Ul = .(- 'h -t- Ut. fI)
4.1. Existence des solutions: sur l'hypothèse (8)
Nous ayons YU une eondition suffisante d'existence des solutions du
système, à savoir l'hypothèse (8) :
3U,EV
; i=1,2
rets que
Notons alors le résultat relatif à la réalisation de (8).
THéoRÈME 6. -
On suppose que fl er f2 E V*. Si l'une des conditions
sutoames est oérifiée, a/ors l'hvpolhèse (8) est réalisée
l" EC(Q)
'lfl < 'Pl
tians
(c. 3)
('lfi)1" -: () -c lhli"
si
v--= H~(U))

---

- 36 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vl'l. 1 - N° 1 - 1978
Démonstration
On prouve ce résultat en se ramenant il la propriété (ii) du théorème 4
dont la démonstration a montré que s'il existe 0 E V tel que AG E Vit et
:tl ~ 0 ~ 'h, alors l'hypothèse (H) et donc (8) sont vérifiées. Ainsi
-
si on a (c. 1), on prend 0 = ~l ou h
-
si on a (c. 2), soit u = P (YI' YI' fi ---- f 21.
La solution de [TV. [K~:, fi - f 1, l'estimation duale (12) donne Au e V*
2
on prend alors 9 -- u.
-
Supposons maintenant {c. :.\\) vérifiée. Posons:
m
min ['h (x) -
'fI (x)!
>f!J
on Il m > O. NOLIs distinguons le cas V '--= HI (U), H~ (il).
>lIOn suppose. que V est t'espace HI (!2), on a
el puisque YI e t'Hl}, il existe une suite {'~U}l~N d'éléments de Cl tm tels
q",
V: > 0
3 k (E)
tel quo:
k?:- k rd
~-->-
IYI -
YI kkoo(rl) -s; <:
ou encore:
m
Prenons: -.'
el k :?- k (z), aku-s
2
n'
par sune
,n
,
nt
n
•.111 ~I ii .~. C" lU), donc Al).;; J ". (U). par suite !\\!I e V*.
h) :-,j maintenant Y C<;l 1\\'<;piI'"
H,'. (~Il, pu'<que 'JII I
pc-sc
l, 1

---

- 37 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. [ - N° J - 1978
on a mi > 0 (mi #- 0), i = 1,2. Soit alors:
7( =
min (rn, 2 ml. 2 ml)
On a encore:
el
(!.\\JI + "'
-:,-) ~ 0 ~ (")
oh - ?
-
Ir
- .. Ir
et comme '~I E C (o.), i =
l , 2; en reprenant un raisonnement analogue
au précédent. on peut trouver deux fonctions fi et 'h suffisamment régu-
litres telles que ~
"
h+-
"
~h--~
2
2
et telles que:
A
(A,,) V (f, -
f,)
et
A
A
D'autre part, i.\\Jur ~ 0 ~ hlJ-' d'où la condition (c. 2) relative au convexe
A
A
K:: qui est inclus dans K::. On prend 6 ~ P (YI' 'h, f. -
f2) ·
4.2. Estimation duale de la solution minimum du système lQ.V.
THÉORÈME 7. -
On suppose que (8) a lieu. Si 1f1 et "Pl E Hl (D)
(VilP' ~ 0 ~ '1'211' si V =
HA (il) J et telles que (AVIt + Jl) V fi
er ( - Alf'l + fl) V /2 E' V', alors la solution minimum (u p u1) du système
d' 1.Q. V. l'érifie {'estimation duale suivante :
fil ~ AUl ..;;: (A1f'1 + Il) V fi
( 16)
\\I2 ..;;:: AU2 ~ (- A1f2 + Il) V Il
Démonstration
Le convexe JG~ est non vide, soit donc u = P (t\\Jl> h. rI - r2) la solution
de l'I.Y. [K::, r, - r.I. Posons f = fi -- f2, alors;
(A'h + f 2) V fi - f i = (Awi -0+ E Y'
par suite;
(Aifl -
I)" + f = (Ah) V f E Y'
De même: (Ath) 1\\ f E Y'.

---

- 38 -
AFRIKA MATEMATIKA - vot. r - N° 1 - 1978
Donc J'estimation duale (12) donne pour u
(A<.l 2) i\\ r «, Au ~ (A'!l) V f
d'ail :
Par suite .
0'::::; (Au -
n+ <: (A'!l -- f)+
et
0 s; {Au -
F)" ~ (f -
Ah)+-
Soit maintenant tu.. u1) la solution minimum du système d'l.Q.V.,
alors les formules \\11) Je la proposition 1.1 donnent :
fi ~ AU l ~ (Afl - rj- -1- fi
f2 ~ AU 1 .,ç (-- A'h\\- F)" + f2
d'où le resultat cherché.
CORDllAJIU: 5. -
On suppose que V,= HJ (Il) es que ln hypothèses (8)
el ( 14) SOli/ vérifiées. A lars si f, E U (fJ) ri H - 1 (fJ) ..i = l,] (1 < p < 00),
~}l et 1J!2 E Hl (D) ot-ee ..
lf'11/' ~ U,o;;; V'.ll/'
( - LV!'). +f,j V12 E U(fl) n H- l (fJ)
el si (u"
/'1) désigne la sohnion minimum du système d'l.Q.V., on 1.1 :
<J, E W 2 ,p (fJ) n u; ([J)
Démonstration
Il suffit d'appliquer l'estimation (16) et on finit comme au corollaire 3.
Notons que ce résultat a été obtenu par J.-L. JOLY et U. Mosco [8]
sous l'hypothèse supplément.ure L('h -- '~l) ). o.
COROllAIRE t'. -
01/ suppose ql/I' V
III (5)) et que les hrpolhèses (8)
et (/4) sont crritiée-: Alors si t, t7 f.P (D) n
(11 1 (fl))'; i =-= 1,]
(J<r<
lm)
1J!1 el1f'l e fil (D) telles que
(A1f't + 11) V ï,
et
( - A1f!l + fi) V Il E U (Sl) n (Jil iD))'
ct si (I/jo Ill) désil{fIl' la solution minimum du système d'l.Q.V. 0/1 a
Yo(Uj)CO-()
,
j--J,]
l. Demonstration
On applique encore (16).

---

- 39 -
AFRIKA MATEMAT1KA - Vol. I - N° 1 - 1978
4.3. Un théorème d'unicité des solutions du système d'I.Q.V.
Nous avons vu au paragraphe 2 (exemple 1) que le système d'LQ.V.
ne possède pas en général de solution unique. On donne ici, grâce à l'uni-
cité de p (tjJl' t.Vl' rI -
(1), une condition nécessaire et suffisante d'unicité
des solutions du systeme d'I.Q.V. Cette condition est relative à J'ensemble:
-
-
{x, JI. En,
h (x) = ~dx)}
-
-
où th g.s.c.s. et t.Vz q.s.c.l. et telles que:
et
Nous aurons besoin du lemme ci-dessous pour lequel nous introduisons
les notations suivantes:
Soit ~ une fonction définie sur il et à valeurs dans IR. q.s.c.s. et telle que
le convexe K~ est no':,. vide. On désigne par -r = -r (1jI, f) la solution du pro-
blème [K ,
f f], par r (~ + h, I) la solution du problème [K~+h' f] où h E V.
LEMME. -
Soit h dans V telle que Ah E (V') ". Si 0" suppose que
fa mesure de Radon positive sur X associée à Ah est portée par l'ensemble
{x, x E x, t: (x) = ~I (x)} alors :
-
-
r(~ -i- h,f) ~ rlv',J) + h
Démonstration
On va utiliser le système d'inégalités complémentaires caractérisant la
solution des problèmes à un seul obstacle pour établir le résultat.
On a:
,,(t.V, f) + h = -r + h
et
Ah ~ 0
donc:
et
Posons:
~ = A" - f ~ 0
et
v =
Ah ~ 0
on a :
d'où le lemme.

---

- 40
AFRIKA MATEMATIKA • Vol. r - N° 1 ~ 1978
THÉORtME 8. -
Une l'audition nécessaire est suffisante pour que le sys-
!ème d'J.Q.V.
\\ u,
T ('IJI -1 l/2,fl)
r -~
U2
T(--!P2 + lIll.!'z)
admette (Ill plus ulle sahüion es! que i'ensemble
-
-
I' = {x, X E X
'fI (x) = l'2 (x)}
sail polaire.
Démonstration
La condition ..:~t nécessaire
L'ensemble P c~1.. la réunion d'un K.,. et d'un ensemble polaire, c'est-à-
dire que r est la réunion dél1ol11br,\\b\\e de fermés F rk E N) ct d'un ensem-
k
ble polaire.
Si, donc Pest 110n polaire. il existe F ,--- F~ de capacité positive non
nulle Soit nlors h le potentiel capacuaire de F c: P, c'est-à-dire que h
est la solution de l'LV.
Il· v
Il :>- \\ sur ~: q. p.
v
v )- 1 sur F
o ct le SII!'I"'1ï de v c,t porlL' par F,
1"
; ,..:,.,
u-, J'1)
1 ".
,1
!J'
1
Il \\ ' f ~ )
~ 1 1\\ 1
L,! rcnou- ;lpplil.111'-.1 '-'" ft,', ,.:,. ! v ,1 ,111 obst.u-lr dn cy-tème ~'I.Q.V.
donne
",
h
Il L
•
l,
n, ..1 h

---

- 41 -
AFRIKA MATEMATtKA . Vol. 1 • N° 1 • 1978
c'est-à-dire que le couple (Ul + h, u~ + h) est ausst une solution du système
er.o.v.
La condition est suffisante
Supposons que le système d'I.Q.V. possède au moins une solution ct
que l'ensemble P soit polaire. Si (u,. u2) el (v" VI) sont deux solutions,
alors d'après le théorème l , on a :
P(tl' Yz, f -
fz) """ u,-u 2=v,
"
-
Par suite
Vi
= u, +h
où
hEV
Posons:
B,
{x. X E X
u (x) > ~, (x)1
B,
{x. X E X
U (.1[,) < hlx))
Bi est une réunion dénombrable d'ouverts à un polaire près, dore B est
j
mesurable pour toute mesure de Radon d'énergie finie; J =
1, 2 et ~
11 = BI U B] U P
Soit fJ.i = Au; -
fi; i = 1,2. On sait que fLl (resp. [.Lz) est une mesure
de Radon positi ve d'énergie finie portée par {x E X, u, (x) = '~l (x) + Uz {.>:)}
(resp. : (x, U I (x) = -
'h (x) + u , <xl}).
Donc:
= 1,2
De même pour Vi =. Av; -
fi, on a :
Vi (Bi) =- 0
,
i = 1,2
Soit m = Ah, on a m ,..,.- 'J, -
[J'b donc [rn] ~ Vi --J
(.1."
donc;
1 ,..... 1,2
m étant
une mesure d'énergie finie, ne charge pas les polaires, donc
(ml (P) = 0, par suite [rn] (x) = 0, donc [rn]
o c'est-à-dire h = O.
5. Rem.rquf'!l !lur le cas d'évolulion
Le lien existant entre J'LV. [K:~, f] et le système d'I.Q.Y. (5) permet,
dans Je cas des problèmes d'évolution, de définir une solution faible pour
le problème à deux obstacles (cf. O. NAKOULIMA [II).
Signalons, pour terminer, que P, OiARRIER [4] a donné une interpré-
tation stochastique du lien entre ces deux problèmes.

---

- 42 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol
1 - N° 1 - \\918
RF.FER ENCES
[1) AGMo~(S.), l1oUGLI~ (A.). NIIlP'~EIlG (L). _. Comm. Pure, Appl. Math. '2 (19591,
p. ('Il; ·121.
Il) A"l("ONA (A.). -
?l!Nrit' dll Il''1<'wi<'/ "'/Il" tes t\\(uu'''.!.\\ fi'IJ('llol/lwk J forme ('oerci~t',
Cour' lie Y C_'cle ·11I1I!i(':. 1 Ini""rsjlé de P~li~ VI (IQ7)l.
[Jllll,NSOL'~'AN (A.J. 1.IO"'~ (J.L) -c-Compres Rendus Acad. Sc. f'aris. 2711, série A.
1974.
(4) CKAIlIlIfR (P.l.
.Jodnle,',\\ Irl Q V Univer~i!c de Bl'rl\\L-nm 1 Iavril 1911) et Thèse
d'ElUI (à flarJilrc),
[51 FtmIlMA'< (A.!. -
..vn.hfv mtlnOi 1 Re<.'h. All,'Ü 51, (l'lB), f'. J2J.
[hJ 11 ';--i'I.7f 1(H.). ,l"i Yi J. I..}.... C<m1pIC", R.... ,,<.\\u~ Acad. Sc Pariv, 280, série A {197;;l.
[7] lj~l<',Ah"LJ (Y,I.
SlI" I.::s mèquations vali3.lion1\\ellc~. Comfllc~ rendus. Acad
,<;..:i. Paris, 265 (J'I~';I. fl os-ca.
~;'l IULY (J l" 1. )lfos, ,) (LI, Î
1 ·..sl~"cc cr l'è-,,,d~,,lé <l'un sY:itè'T!c cl'[ ,O' V, (;" parullrcJ.
:91 UI.'''S (.1 LI. STM1PMTHI/\\ (G.J. -- Cr-rum ['llhl Aflpl. Math. ::0 {1967J, p. 493-519.
IIOJ .'VIl< ;"';0[" [F. J.
("nrll .ôk- dam les in~'r1H'lIIQn~ \\'arialionnl'ics <:lIirtiqlle~ : Journal
'1 Fur-c-uonnl I\\lIah.'''. .'-' , 1~176I, P 1.;0-1:"
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---

- 43 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. Il . N" 2 _ 19RO
IN~QlJA TlONS VARIATlONNELLES ET SYSTF.ME
D'IN~QlJATlONS QlJASI VARIATIONNELLES D'~VOLlJTION
DE TYPE PARABOLlQlJE
O. NAKOULIMA
[Ouagadougou/Haute- VoilaI
On envisage ici l'étude de la structure de J'ensemble des solutions faibles
d'une inéquation variationnelle (LV.) d'évolution bilatérale avec condition
de Dirichlet el où les contraintes t/li et !JI2 dépendent du temps de manière
peu règuHère.
La méthode employée consiste à remplacer l'LV. bilatérale par un
système de deux inéquations quasi variationnelles (I.Q.V.) unilatérales.
Parmi les solutions du système, on caractérise celle qui est runique valeur
d'adhérence des solutions pénalisées associées à 1'I.V. bilatérale.
On donne ensuite des propriétés (de régularité entre autres) des solu-
lions des deux problèmes.
Ce travail reprend et développe une précédente note 191 et fait suite à
un article relatif aux deux problèmes dam le cas stationnaire elliptique (10].
L'essentiel des résultats contenus dans cet article figure dans le chapitre II
de la thèse de 3~ cycle soutenue par l'auteur en 1977 à J'Université de
Bordeaux J.
1. LES IN~QlJATlONS VARIATIONNELLES [J(.t;,f,.,]
1. Notations. Diverses formulatioM et position des problèmes
Soient il un ouvert borné de ~n de frontière T régulière et T un réel
positif fini. On pose:
Q = il x ]0, T[,
E = r li" ]0. T[:
V = HA(m,
V' = H ~ J(Q) .

---

- 44
AFRIKA MATEMATIKA _ Vol. JI _ N0 2 - 1980
On introduit les espaces de fonctions en x et 1 : si <X, t) ---0 V(X, Il est une
fonction a valeurs réelles définie sur Q, on pose:
v(t) : x t-+ v(x, /)
et v est eonsidèré comme fonction de ]0, T[ à valeurs dans V et on désigne
par:
'U = L 2(0, T; V)
l'espace de Hilbert des (classes de) fonctions v mesurables de )0, T[ dans V
teues que;
Il V Il'U = (J'0 Il v(l) Ilv dt)"1 < + oc; .
On note <1)' = L 2(0, T; V'), le dual de <lJ de sorte que
L'(Q) ~ L'(G, T; L'(ll))
étant identifié à son dual, on a
avec injections continues et denses.
L""(Q) = L"'(O. T ; L"'(f.! 1) est l'espace de Banach des fonctions mesu-
rables bornées de JO, T[ dans L "'(.0) muni de la norme:
Il V Ill"'(Q) =
sup ess 1 v(l) k"(D)'
tE]O.TI
Pour presque tout 1 E (0, T), on considère maintenant la forme bilinéaire
a(t, ... définie et continue sur H1(D) x H\\Q)
ï
+±
+1
a(l, U, v)
f
r
=
J~ ~U
~'t
Qi;
aÔIJ dx
Q;
. v dx
Ja
)» 1
a
[IX,
Xi
,= 1
ex;
a
ï
OÙ Qii' Qi et Qo sont dans L ""(Q).
On suppose que la forme QU,.,.) est coercive sur V
(1)
3'1 > 0: \\t'VEV,
p.p. en
/E(O, T),
Q(t, v. tll ~ 0: Il v II~.
On pose:

---

- 45 -
AFRIKA MATEMATIKA _ Vol. n. N° 2·1980
de sorte que
( LU) Il, V),,"v = a(l, Il, v),
\\:lu E HI(D),
\\:Iv E Y .
Dans la suite, pour simplifier récriture, on noiera
a
a(I,.,.) = a(.,.),
L(t) = L.
E=-+L.
at
On se donne par ailleurs
• le 9.1',
• I/Jl el ljJ2 deux fonctions d'obstacles mesurables de ]0. T[ a valeurs
dans L 2(0) el telles que I/J 1 ~ tjl2 p-p- dans Q,
2
•
lJ o E L ( Q)
el on envisage le problème suivant
trouver une fonction Il qui vérifie
ljJl~U~1/J2
(-(lUar+Lu-f)' (u-ljJj)=O
(2)
au
)-
( (jè + Lu - f
(u -
ljJz) = 0
u=o sur E
u(x, 0) = uo(x)
J)
à condition toutefois que (~; + Lu -
+ et ( ~: + Lu - f) - aient
un sens en tant que fonctions, ce qui suppose une certaine régularité de 1/.
C'est pourquoi on va réécrire ce problème -
formel pour l'instant -
sous une forme variationnelle qui exige moins de régularité.
LV. forte
On considère l'ensemble convexe fermé suivant

---

- 46 -
AFRIKA MATEMATIKA _ VoL Il - N° 2 . 19110
el on cherche Il telle que
èu
UE'U
-Ë"Y
,
(11
(J)
J'("U. u - ,,)v dl + Jo' ,,(u.,'
..
-
l') dl s; J'n (f, Il - L') dl ,
o \\ fI
v
I;fv E KrI',
.,
(Si JE 'U et v E 'U, on note U: v) = </(1), v(t) >V'V p.p. en t.)
Toute solution de (), si elle existe, est appelée solution forte. Mais
le problème (3) n'admet pas toujours de solution. Nous en donnons donc
une formulation affaiblie
LV. faible
On introduit pour cela le convexe « règulier » suivant
et on envisage l'LV. d'évolution faible: trouver Il lclle que
pl dr - ~ 1v(O) -
I~'(n) ~
110
(4 )
~IU'lI-V)dl IfVEX:7
Toute solution de ([4) si elle existe et appelée solution faible.
Si .K:: est non vide, alors (4) admet au moins une solution faible, mais
en général il n'y a pas unicité de la solution faible.
La notation [X::' t. uo] désignera l'LV, faibte (4).
Remarque 1
On vérifie immediatement les assertious suivantes qui résument les
premières propriétés et les rapports entre solutions fortes cl solutions
faibles
al La solution forte, si elle existe, est unique (ceci résulte de la coercivite
en (1lI.

---

- 47 -
AFRIKA MATEMATIKA· Vol. Il - N° 2·1980
b) S'il existe UDe solution Forte, elle est solution faible, et il y a unicité
des solutions faibles.
c) Soit /1 une solution faible. Si u est régulière (c.-à-d. si /1 E 'lI et
~~ E'U') et si l'adhérence dans 'U de .Kt est egaie au convexe K::. alors
Il est solution forte.
Position des problèmes
Les problèmes qui se posent sont alors les suivants
Existence de solution forte :
Structure de l'ensemble des solutions faibles;
- Rcgulantè des solutions.
On ccnnait dèja quelques résulLats d'existence et d'unicité de la solution
forte mais sous des hypothèses de règularitè assez: fortes (en temps! el
en variables d'espace x) sur les données, en particulier sur!J;1 et t/J
rvoir
l
par exemple A. Bensoussan-J. L. Lions [!J, H. Brezis, G. Stampacchia {3].
On trouvera d'autres résultats au paragraphe V. 2 ci-après.
Mais dans de nombreuses applications, les obsracles ë , et 1/12 sont forte-
ment irréguliers (par exemple !J;] et !J;2 mesurables de ]0, TI dans U(!n
1/11 et 1/12 dam (:'O(Q», aussi l'essentiel de ce travail est-il consacré li l'etude
de la structure des solutions faibles de J'l.V. [,K::, J, "ol. Pour ce faire,
une méthode naturelle consiste li considerer
2. Un problème pénalisé associe à [J\\~:. J. "0]
On suppose que le convexe K:~ est non vide. On considère alors l'opè-
rateur f1
'U ---> L "(Q)
L'opérateur f1 est bien defini car !J;l el 1/11 sont mesurables p.p. en ,
el K:: i= 0 (théorème de Lebesgue). On vérifie que f3 est un opérateur
de pénalisation attaché à K:~ el, On associe alors à l'Lv. [J\\,::, I. uo]
les équations (dites de pénalisation) suivantes.
('1 SOlI K un convexe fermé non vide de 'll. on appelle operateur de penali~2,i()n auachè
à K, 10Ut operateur fJ de '\\1 dans 'n' qui verifie .
• fi borne, monotone. hèmicontinu
• K = {l', ue 'U.PÜ'l = O} (cf. J L Lions [r'IJ

---

- 48 -
AFRIKA MATEMATIKA-Vol. II _N02 ·1980
Pour tout t: > 0, l' H LI) + ~ fJ(v) étant monotone, borné, hèmicontinu,
e
coercif de 'U dans '\\J', il existe /J, unique dans 'travee (Ju.liJ, dans 'U', solu-
lion de :
aU,
1
-+Lu +-R(u)~f
(6)
èl
' g ' "
{ u,(O) = Uo .
Mais la seule considération du problème (6) avec (5), sous celle forme,
et insuffisante quant à l'étude des solutions de l'I.V. bilatérale [.x.:~, f, uoJ,
la difficulté essentielle par rapport aux LV. unilatérales étant de carac-
tériser les valeurs d'adhérence de la suite (u.).> o. Ici le comportement des
(u,\\:>o n'est pas monotone!
On lève eeue difficulté en introduisant un système de deux inéquations
quasi variationnelles (LQ.V.) unilatérales qui, outre son intérêt intrinsèque
[ef. : A. Bensoussan-J. L. Lions [2J) permet de trouver de nouvelles pro-
priétés pour l'LV. bilatérale.
If. UN SYSTÈME DE DEUX LQ.V. D'ÈVOLUTION UNILAlÉRALES
1. Rappels sur les I.V. unilatérales
Les notations et rappels suivants sur les T.V. unilatérales seront eons-
ramment utilisés dans la suite.
Nous considérons des convexes de 91 définis par un seul obstacle :
ljJ mesurable de ]0, T[ dans L2(Q )
K>JI = { v, e e 91. l' ~ ljJ p.p. dans Q }
X..
{v.
<tt} .
=
V E" K.o' ~~ E"
La notation [~• .r. uD} désignera l'I.V. faible unilatérale avec données
ljJ, f, u • F. Mignot et J. P. Puel [8] ont montré que si .x."" '# 0, ce pro-
D
blème faible admet une solution faible minimum que nous noterons
(7)
P. Charrier, B. Hanouzer et J. L. Joly [4] ont démontré que 1(ljJ, f, uo)
admet une trace en 1 = O.

---

~ 49 -
AFRIKA MATEMATIKA . VoL II· N° 2·1980
Nous rappelons brièvement l'essentiel de leurs résultats.
On pose:
w,
2
o}
=
{PE 9J, ~~ EL (Q ), t1(T) =
et on désigne par e+ le cône positif de l'espace des restrictions à Hb(Q)
des éléments de Wf. dual d'ordre de W
('l. On a le résultat suivant.
T
THÉORÈME de Trace [4]. -
Soient U E U(O, T, H l(m),fE U(O, T, H" l(il 1)
tels que Eu - f;:. 0 (au sens de H- J(Ql}. Si li est minore par un élément
de l'ensemble X = {v, V E 'U, ~~ E -u }, alors Eu - f E e + el donc
u admet une Irace entre 1 = 0 avec 1.0'(0) E (H~i(Q))'.
Si de plus U E L"'(0, T, L2(0»), alors 1.0'(0) E U(!n
Soit alors u = t(ljJ, [, uo) on sait ([4]) que
Eu-f~O,
Eu--je(9+,
tl3ljJ
p.p.xfans O
""Ir = 0,
11(0) = Uo
ceci introduit la définition el caractérisation suivante de «y" f, 1.0'0) [4}.
On appelle sur-solution de l'LV. [X::' J; uoJ, route fonction u vérifiant
U ~ t/J,
U Ir Ç- 0,
u(O) ~ 0 .
Alors t(ljJ, f, uo) est la plus petite des sur-solutions dl.' [.K", j: 110],
(') '-ed,,,,ld·ordrI'W~.
W, muni de l'ordre naturel induit par celui de L '(Q) ni un espace de Ries~.
W r est positivement engendré par son cône posuif W,' = { n, U E W ,. ,. ;;" 0 pp. dan. Q J,
c-à-d. :W
= W; - W;.
T
Le dual W; de W, est muni de l'ordre dual: /é \\Vi est dit posilifsi el seulement si
~f," >"",."", ~ 0, v» e W;.
W; n 'CSI pas engendré par son cône p<J~i(if(W',» .
On pose :
Notons que
L'lQl c: Wr
Pour 1""dflails relatifs à ces questions, cf [~l

---

_ 50 _
AFRIKA MATEMATIKA· Vol. II· N° 2 _ 19RO
2. Un système d'I.Q.V.
On précise les hypolhè<;e\\'.
telles que
.f = j~ -!~
01/'
avec
~ E 'U:
telles que pour
1.2
,'1
p.p. dans Q .
Celle hypothèse eSl par exemple vèriûée si.
On introduit par ailleurs pour i = J, 2 les solutions !ii des équations
E~!J = t, (dans Q), !.:JO) = ii",(Ol
alors
(Xl
!:!.i ~!i"
1 = 1. ~
(principe dumaxunum faible).
PROI'()SITIOl"
1. -- 011 suppose l'hypolhh'c (1-11, al.irs il existe (Jl l , li;:)
""/1.\\ 'U '" 'lJ .W//iI/IN du .Iys/(;I/Il' ((I.().\\'. rrl:\\'ollllir>,/ faiMr' slIil'(l/1!
Tlib l + If:_ i.. "1((\\))
(9)
r(-- v. -1- if l " .12' i/,({))).
IJt;,11IJ /I,\\'1ra'!Iii 1
C'est hl methode [Ill pomt fi-c C1llrlt~yi:L P;lf L T'Ht,lT \\12].
Soir
lintervalle Je L~(()) x L 2 ( Q ) defini pilr
l'OUf tout (1'1' l':) dam J. on ;1 d'après (f-ll
Il! _

---

- 51 -
AFRIKA MATEMATIKA - VoL 11- N° 2·,1980
Donc les convexes 'x.;, +~, el J\\._ .;." 1', ne sont pas vides, par suite l'appli-
calionS:
"
est bien définie de ] dans 9J x 'U et il est clair Que tout point fixe de S
est solution du système (9).
S est croissante sur 1 (théorèmes de comparaison de {SI et [41).
Vérifions que J est invariant par S en montrant que
,t
Soit donc (1\\.'1' ""'2) = S(!!l' ~2)' on sait que (cf. rappels en II.1) les
solutions minimums respectives W
et W
j
2 des LV. [XIlo'+I!>' fi' u1(O»
et [X- Ilo1+ U,,fl . uiO)] vérifient:
Bw, ~ I, w,(O).>- u;CO). WilL = 0,
i = 1,2 :
donc
S(~I' !!l) ;? (~1' ~2) (principe du maximum faible) .
.
La seconde inégalité résulte du fait que li} et li sont respectivement
l
suc-solutions des problèmes [X(jr,+ü,' fi' d1(O)) el [X-';l+;;" f2' ü1(Oll
On pose:
J" est non vide et le théorème du point fixe de L. Tanar ll21 donne que:
(Ill' lI
=
min
I)
(V l, lil ) = min J+
(VI.",)ol'
est le point fixe minimum de S dans 1. De plus
( 11)
Il;(0) = iï,.(O) ,
Î =
1,2
par suite le système (9) admet au moins une solution.
L'unicité (èvemuellel des solutions de (9) sera abordée plus loin.
••

---

- 52 -
AFRIKA MATEMATIKA. Vol. II _ N° 2 - 19~O
3. VD systèmed'équations de pénalisation
Soient fi et f2 données dans 'U'. Pour tout E ~ O. on considère le système
d'équations suivant.
Trouver 11
el
telles que
10
!J 20
E UI< - ~(tjll + u20 - u1<)+ =j]>u,,(O) = uj(O)
c
(12)
{ EUh - ~ (- 1/12 + Il,, - 11
.(0)
2, ) + = f2' 11 1
= uiO) .
e
Remarque 2
Le systeme (12) est lié à l'équation de pénalisation (5), (6). En effet si
Il - f2 = Jet si (uIr• !J2.) désigne une solution de (12) on pose
En retranchant membre à membre les deux èquauons de (12), il vient :
1
au
J
Eu + '" P(u) = - ' = Lu + - fJ(u) = f
•
f;
•
at
' e '
u.(O) = !JI)
qui n'est autre que l'équation (6) avec (5). On en déduit alors que le sys-
tème (10) admet au plus une solution. En effet, si (u", !JI') et (Vi<' VI.)
désignent deux solutions éventuelles de (12), on a :
U h
-
!J 2, =
VI. -
l'l.
(unicité des solutions de (6)).
Par suite
ou
ah
h, E 9.1 ,
- ' E 'U'
a,
h,(O) ~ 0
et puisque pour i = l, 2, Vis et U j , vérifient (12) on 9
Eh, = 0,
h,(OJ = 0
donc
h. = 0 .
Voici maintenant un résultat d'existence pour le système (12).

---

" 53 •
AFRIKA MATEMATlKA - Vol. Il - N~ 2·1980
PROPOSITION 2. -
On suppose l'hypothèse (H), alors pour tout e > 0,
Il existe (u J. _ u2. ) unique dans 'U )( eu solution de (12).
Démonstration
Nous employons de nouveau la méthode du point fixe de L Tartar.
1) Définition de J'application S,
Pour tout E > 0 el POUf tout (VI' v1) dans 'U x '\\J, on considère les
équations (indépendantes !) suivantes. Trouver Wh et w z• dans 'U telles
que:
Pour (VI' Vz) E 'U x '\\J, on vérifie que les opérateurs;
J /31(" Vz) : v r-o PI(V, Vz) = - (1/11 + VI - v)+ ...
(13)
t pz(·. ~'J): VH fJl(V. Vj) = - (- IJtz + VI - d
définis de 'U dans L 2(Q) sont des opérateurs de pénalisation attachés
respectivement aux convexes Je..;,+"! et J[-';l+ V, qui ne sont pas vides.
Il existe donc W ro (i = 1, 2) solutions uniques des équations précédentes
qui s'écrivent encore
EWh + ~ 131(w Jt , Ul) = il> w1<(O) = u1(O)
(14)
{
Ew2• + ~ 132(w2<' VI) = il' w2.(O) = u2(O) .
On definit ainsi une apphca rion S. de "\\J x 'U dans "\\J x "\\J par
où (w ' w . ) désigne la solution de (14).
l l
2
Remarquons par ailleurs que les opérateurs (J 1(" v1) el 131(" VI) vérifient
les deux propriétés suivantes :
(lS)
Vi,je{I,2),
i # j ,
vc e-u , fl;(v,v).::>;O
T
(16)
Vu e"\\J, 'rive '0, fo (Piu, u) - 13i(u, v), (u - v+) dt ~ O.

---

- 54
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. 11 - N" ~ - J'WO
2) Propriétés de S,
Nous allons prouver que S. est une application croissante de l'ensemble I,
voir (10), dans lui-même.
S. est croissante
Soient (t'l' V1) el (II' (2)E 9.) x 'U avec 1:,"; li' i = 1,2.
Posons :
et montrons par exemple que:
Puisque wj • el =1< vérifient la première équation de (14) on a
E(1V1' -
:'le) = ~(PI(ZI" Iz) - Pl(W j " v2»)
{ (Wh - ZI.) (0) = O.
On multiplie l'égalité ci-dessus par (~~'h ~ Zlt)''", on obtient après avoir
intégré et utilisé la ccercivitè (1)
Le second membre est égal (à l/c près) à
dont le premier terme est négatif d'après (101; comme Dl ~ 12, et comme
d'après (13) :
le second terme est aussi négatif, par suite

---

• 57 -
AFRIKA MATEMATIKA _ Vol. II _ N° 2 - 1980
L'ensemble 1 est invariant par S.
On a évidemment :
Prouver que
On remarque que pour tout (l'" v2) dans I, les équations en (14) ne
sont autres que les équations de pénalisation associées respectivement aux
LV. unilatérales ['x''''h•. i.. uj(O)] et [Jt,-"'lh,. f2' i/z(O)] dont les solu-
tions minimums respectives w, el W z sont définies par:
(w!, 11.'2) = S(Vl' lJ
(VI' Vz)
2),
E 1
(voit démonstration Proposition 1).
On sait alors (cf. [8]) que si
Alors on a :
Mais comme S(iï" ill ) ... CUl' uz), on en déduit que
S.(û1, u2 ) ~ (u" u1 ) .
Existence d'un point fixe pour St
On pose:
Alors:
(U I., uI , ) =
mm
(t'l' VI) = min l,"
(" ,."')" 1;
est un point fixe de S. dans 1 qui est unique d'après la remacque 2.
Nous donnons maintenant l'un des principaux résultats de ce travail
qui précise le lien entre le système d'I.Q.v. (9) et le système d'équations (12),

---

- 58 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. Il - N° 2 -1980
4. Théorème 1
On suppose l'hyporhèse (H) vérifiée. Soient alors:
(Ill' II~) = S(UI> Ill) = min I+
la solution minimum du svstéme d1.Q.V. (91;
la solution du système d'équation (121; alors pour i = l , 2, IIi. converge
vers IIi dans'\\) faible et dans L1(Q)jorl quand e tend vers :::ùo.
Démonstration
Elle repose sur les quatre étapes suivantes
Ir~ étape
La solution (u , li , ) du système (12) vèrlfie
le
2
O<t::<,,=Ui~';;;lii<' i= 1.2.
Pour montrer cecr, on remarque que pour tout (l!' v ) dans F
2
(cf. F. Mignot et J. P. Pue! [8])
Donc
En effet si (!JI' l'2) E 1+, on a d'après (17) :
donc 1+ c: 1:, doù l'inégalité cherchée.

---

- 59 -
AfRlKA MATEMATIKA - Vol. Il - NQ 2 - 1980
3e étape
Pour j = l , 2, u•• reste dans un borné de CU rv L<n(O, T, L2(Q) .
On va prouver ceci pour "h par exemple. En considérant la première
équation du système (12), on a
(181
D'autre part, puisque U:z ~ U z• et û, ~!JI, + u:Z' l'hypothèse (H) donne
l'~ ~ l#, + "20' c'est-à-dire Pl(V~, "2.) = O. Multiplions alors l'équation
(8) par (ule - v?) el intégrons de 0 à T, il vient
De la monotonie de ]'operateur Pl (., "2.) et de la coerciviré en (1 l, on
déduit, après intégreuon du premier terme, J'estima lion suivante :
~ 1Ul«T) - v?(T) Ii,{n) - ~ 1"1(0) - v?(O) ILm + Il: Il",, - v? lit ~
~ Il! - Ev? Il'Ir Il uh - v? Il'Il"'
Il s'ensuit que (u h - l'V et donc Ul. reste dans un borné de <)J,
Reste à montrer que "10 reste borné dans LW(O, T, L2( Q ) . Pour cela,
on multiplie encore (18) par (ut. -
v~) et on intègre de 0 à r : il vient,
puisque (u" - v~) est borné dans 'lJ :
~ Iul.(t) - v~(t) li'lD) ~ ~ ûl(Ol - v?(Q) li'iDl + C
1
(C = Cre indépendante de (l, d'où:

---

- 60 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. Il - N° 2 - 1980
On montrerait de même que "2, reste borne dans 'U (1 L""(O, T, L2 (Q l).
En consequence
pour i = l , 2, il existe il; E 'U et une « sous-suite »
extraite de la e suite : U;, qui converge vers fil dans 'U faible quand e tend
vers zéro. Mais d'après les deux premières étapes, 111< converge vers D;
dans L2(Q ) fort quand e rend vers zéro el c'est donc toute 1<1 csuitc » /Ji,
qui converge vers il; dans 'U faible ~ on a alors
(191
Le lemme suivant permet d'achever la démonstration du théorème 1.
En effet Si nous admettons un moment ce résultat, alors (Ùj , 1]2) E 1+
et donc
ce qui, joint à ([9), prouve Je théorème
4" étape
démonstration du femme 1
On a évidemment (ill , 112 ) E 1. Pour obtenir J'inégalité du lemme, il suffit
de verifier que Ù I est une sur-solution de l'LV. [X",+û,' Il' Uj(O)] et que
li! est une sur-solution de n.v. pL"" i OL' .I~, liiO)].
Vérifions-le pour il]> c'est-a-dire montrons que
(i)EÙ,?/j·
(ii) il! (0) ? il (0).
i
(iiil rl i ? », + ill..
En reprenant l'équation (lR), on a d'après (15)
Eu j , ~.I~,
on eu déduit (il.
La trace fil(0) est bien définie et fil(0) = u (0) ear Eli
i
l ? Il el li 1 ;?! !il ;?! li j
(théorème de Trace de [14)).
Montrons (iii) en prouvant que

---

- 61 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol II - N° 2 - 1980
En reprenant (18), on a pour toul v ECO:
et on va montrer d'abord les deux propriètès suivantes :
r:
(0)
(!Jl(U 1t, 1.12,), Ill') d' - 0 quand [; - 0
r:
(b)
(PI(U", 1.12,), v) dt
- 0 quand [; - 0, '<Iv E 'lJ
Pour prouver (a) on prend v = Ut, dans (20), on obtient:
r:(Pl(1.11<'u2.),IllE)dl =
-lT
2
2
= E [ [ (f, U
+ ~
l.) dt
0(11", u l . ) dt -
~ 1lih(T) 1
1 ut(O) 1 ]
et puisque !Jl< est borné dans <tT n L~(O, T, L1(Q»), on en déduit (a).
Pour a voir (h) on prend l' régulière dans (20) (C'est-à-dire v E '\\1, ~~ E '\\1')
el on intègre par parties. on obuem alors :
l (!Jl(U!<, lJ1.l,l')dl ,t:U:
=
(f\\. d dt - III.(T) + uj(O).v(O) +
l
+ f:- (~~, Ul!) dt -
o(u\\<, v) dt].
lb) résulte du fait que li], est borné dans '1T rv L""(O. T, U(Q)).

---

- 62 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. 11- N° 2 - 1980
Si maintenant ~' est quelconque dans '\\J, on approche t' par une suite
a,
régulière L'n E '0, -if E -u: et comme l'opérateur v t-+ (1/11 - (!) + est borné
de Cl) dans 'lJ' et que li2, - /.lit est borné dans '\\J, il s'ensuit que
est borné dans 9.)' el on montre par passage il. la limite que (h) est vraie.
Nous pouvons maintenant prouver que fi \\(111' ù ) = 0,
2
Cornme û.f. 11
est monotone, on a pour lout IJE'\\)
2,)
[(/31(U lt,1I2.) - PJ(t', 112,), Ill< - ddl ~ 0
ct quand e tend vers zéro, on a d'après (al et (hl:
r
L(Pl(v,ù2). il] - ,,)dt:!i; 0, VVE'\\) ,
Prenons l' = Ù + {iw avec Il > 0 etw
l
E 'U, il vient:
En divisant par 11 et en faisant tendre }l vers zéro, l'hèmicontinuitè de
flt(·, ù2 ) donne
J~ ((lI(Ù" ùJ,w)dt ~ 0, I1wE'\\J
donc
C.Q.F.D.
5. Une
autre eerectènsanœ
de
la solution
minimwn du système
d'I.Q.V. (9)
On etablit iei une autre caracterisation de la solution minimum de (9) en
considerant la suite croissante détinie apartir de (~I' ~2) et de l'application S
introduite Il.2.1)lus prècisèment, on suppose J'hypothèse (H) vérifiée et on
considère la suite des itérés;
(21)
f(II~'II!):Ü!I'~2: "-.1 __
1(1/ 1, 112 ) - S(u'; ,u2 } - S"'(!.!.J,~;}SIIlJ ;:,1,

---

" 63 -
AFRIKA MATEMATlKA - Vol. II _ N° 1- 1980
Comme S est croissante et laisse l'ensemble 1 invariant, la suite (ui, u';)
est bien définie et croissante en m. De plus u7'(O) = iïlO), i = 1,2.
THÉORÈME 2. -
On suppose (H). Soir (UI, 11
la solution minimum du
2)
système d'lQ.Y. (9), alors, pour i = 1,2, on Il :
li[' H IIi dans L 2(Q )j Orl } quand m ---> + xc.
li[' H IIi dans 'D faible
Démonstration
On a, pour i= 1,2,etpourm 9 l,
__
__
. ) H - j
__
.1"
__
__
-
!!.; """ '"' """ U i
""" ";
"'"
... """ IIi;
donc il existe li .e L2(Q) telle que
li;' -+ Ù i dans L l(Q) fort quand m -+ + OC! •
Montrons maintenant que la suite {ur }.. ~O reste dans un borné (indè-
pendant de m) de-u. On va le prouver pour u,;" par exemple.
Onapourm ~ 1
(22)
c'est-à-dire li'; est la solution minimum de l'LV. unilatérale:
I: (~~,~ - f:
v) dl +
a(u';', uT - v) de -
~
2 ~ f:
-
1 v(O) -
ul(O) 1
u;, li;' - v)dt 'r/VE'x', +u~-j
, ,
el d'après (H), on a pour tout m ~ l
donc
On prend v = v? comme fonction test dans l'LV. vérifiée par uj et en
t
retranchantJo a(v?, ui - u?l dl aux deux membres, on obtient d'après (1) :
.'".1.
lil/~' - u? 11~1 ~ Cl Il ui - v~ Il'1] + C 2
(CI et C constantes indépendantes de m).
2

---

- 64 ,
AFRIKA MATEMATIKA· Vol. Il - N° 2·1980
On en déduit que u7 reste borné dans 9], par suite:
u';~ ..... ÎJ, duos 9J faible quand m --\\0 + co
et de plus
fi; E 'u ,
i = l , 2
(23)
D'autre part d'après (22), on a :
En passant à la limite, on obtient
EÙ1~.rI'
(bi~j;/~)
i1 (O) = uJOI.
1J)O) = ;;210\\
j
donc:
eL donc d'après (23)
$1 rna intenant (II], 1/2) est le pain 1 fix e rninnnu m de S dans 1, DO a :
Par suite:
donc
en conséquence:
C.Q.F.D.

---

- 65 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. II - N° 2·1980
Nous pouvons maintenant étudier l'ensemble des solutions faibles de
J'lY. bilatérale [.Kt:,j, uo). Plus précisément, on met en évidence une
solution faible particulière qui s'avère être une ( bonne ) notion de solution
faible pour [X:;,f, uol :
III. UNE SOLUTION FAIBLE ~(NATURELLE») POUR P(,:~,f. uaJ
1. Déftnition de p("'" "z,J, uo)
On suppose (H) et on note J = J(~1' ':!..2,fpfl) l'ensemble
J = {(Vi' v2 ), Vi E CU, Vi ~ uj , Ev; ~ 1;,1)1(0) - viOl = /./0
!/JI ~ 1)1 -
V z ~ 1jI, p-p- dans Q }
D'après le théorème de Trace de [4] en Il. l, les traces ViCO) intervenant
dans J sont parfaitement définies puisque g, E X.
THÉORÈME 3. -
On suppose (H) et xt; =1- 0, alors l'ensemble J possède
un élément minimum (u!, !J2) qui est lei que:
(i) (u" !J2) est la limite de la suite (rl~', tin, définie en (21), dans 'lJ x 'lJ
faible et dans V(Q) x U(Q)fort quand m ---<0 + xi.
(ii) u = Ut -
J./
est indépendant du choix des éléments ul' Ti
2
2,!1 el f2
intervenant dans (H).
(iii) u = Ut -
J./ est la limite des solutions pénalisées u. de (6) avec (5),
2
dans 'lJ faible et dans U(Q)forl quand e ---<0 O.
(iv) u = U - u
I
2 est une solution faible de l'T.V. [xt,,J. uo] et u(O) = uO'
DÉFINITION. -
L'élément
Il =
u
ainsi caractérisé est
appelé
i
-
U 2
solution 1'1. V. bilatérale d'évolution et est noté:
Avant de prouver ce résultat, nous pouvons déjà remarquer que si
!/I2 = + co, alors p(!/Il' !/Il'!' uo) = t(!/Il,J. J./o) et on retrouve la carac-
térisation de [4] pour la solution minimum de 1'I.V. unilatérale [,K,r/f'J, uo],
à savoir t(1jI1'J, uo) est la plus petite des sur-solutions.
Démonstration du tbéoréme 3
La proposition 1 assure que le système d'T.Q.V. (9) possède une solution.
On va montrer que la plus petite solution de (9) coïncide avec l'élément
minimum de J.

---

• 66 -
AFRIKA MATEMATlKA· VoL Il - N° 2· 1980
Soit (u > u
l
z) la plus petite solution de (9),
Comme tout point fixe de S est è vidcrrnucnt dans J, en particulier (ul> !J2) E J.
D'autre si (VI> D2) E J, VI et vi sont respectivement sur-solutions de T.V.
Donct"(I/Il + vlJ!' IiJ(O») ~ vjetT(-l/Jz + piJz' v2(0))", vz,c'est-à-dm:
que S(v j , v2 ) :s; (VI' VI) el comme P; ~ !!j, i = 1,2 on en déduit que:
Or, le minimum de 11" appartient à J nI: donc l'élément minimum de 1+
est l'élément minimum de J rv l, donc de J
<xci demontre dèja, grâce au théorème 2, l'assertion (il du théorème.
La proposition 2 assure J'existence de (1/1,-' l'!.,! solution du système (12).
Posons alors
Il
-, III,.
-
1/1,.
alors Il, est (cf Remarque 2) la solution de l'equation de pènatisanon (6)
que nous rèècri vons
(6)
Fil,
:- ~IUu)'---(.
, . .
avec
Il est Ul018 immédiat que la propriété (iii) dn théorème 3 est conséquence
du théorème 1. Quant a la proposition (ii}, elle est évidente puisque ", est
irrdèpendaure du choix de il l , u! ~I de la dècompo-auon de [.
Montrons maintenant que /1 =.: 1/ 1
III es! une solution faihle de ITV.
[JC~~, t: 110]'
Soit
f ·
:' , )
L,' ' l ; "
'" le '1
,';' l
"
alors
:'il'.') '-' 0
1
()r
'

---

- 61 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. 11- N° 2 - J980
Multiplions l'équation (6' par v, - o et intégrons de 0 à T, on obtient
f: (oô~·, t) f:
v, -
dt +
a(u•• u. -
v) dt +
+ If'
1: n (/J(u,) - PCv), u. - v)dl = f'0 (f, u. - v) dt
ou encore:
,
,
L(~~.
f (:t
«: -
v) dt +
(u, -
0
v), v; - v) d, +
f:
+
a(u" v, -
v) dt
+ If'
e 0 ({J(u) - PCv), u, - v)dl = f'0 (J, u, - v) dt;
fJ étant monotone, il vient après intégration du second terme :
,
,
L(~~. v; - v) dl +f\\1a(u,. v,- v)dt -
- 2: 1 v(O) - /Jo Œ'(Q):!i:; I
1
0
(f, /J, -
v) dt ,
Nous pouvons maintenant passer à la limite quand e tend vers zéro et ceci
en utilisant la semi-continuité inférieure pour la topologie faible de 'lJ
f:
de l'opérateur v f-+
a(l'. v) dt el le fait que v, tend vers u dans 'lJ faible.
On obtient quand t: [end vers zéro :
f: (~~,
f:
u - v) dl +
a(u, u - v) dt - ~
1~'(f11 ~
1 v(O) -
/Jo
f:
s;
u, u - v) dl
avec
u = U
~
1 -
u2
OÙ
Ul ~ 1#1 + u 2
el
u 2
-
VJ2 + Ul
donc
VJl:!!ii;u:!!ii;1#2
par suite 1/ esr bien une solution faible de [':K:~,J, uo] et u(O) = vc- Ceci
achève la démonstration du théorème 2.

---

- 68 -
AFRIKA MATEMATIKA· Vnl. II· NB "2 - 1980
,
2. Relativemeet à l'.ordre spêctëque, notons le résultat suivant:
PROPOSITION 3. -
On ~UPP(H(! (Hl vénfiee el f.t "" 0. Alors si :
(Ui> /.Il) = min J
et
u = P(1jI1' !/Jl.!' /./0)
on a:
Démonstration
D'après le théorème 2, on a
Eu - f = (Eu j - fi) - (Eu2 - f2)
avec
Eu, - 1; ;::. 0 ; = 1,2
donc Eu - f appartient à 'lJ* (-dual d'ordre de 'l) el
Eu -fl;::' (Eu-/)+
l
el
Eul-il ~ (Eu-/l-
Soient maintenant [.II el v2 dans 'lJ les solutions respecuves de ;
Bo, = (Eu - /)+ + fr'
VI(O) = /l1(D)
Eul = (Eu - .j)- + fl'
Vz(O) = Ul(O).
Ces éléments vérifient EL', ;::. 1;, 1 = l , 2 et
E(v j -
vl ) = El(,
(VI -
(2) (0) =
uo'
Par suite (VI' Vl) est dans J. Comme évidemment Ev,:!i; EUt, alors
Vi s; /.Ii' t =
1,2 (Principe du maximum faible). Donc
Vi =
/J j ,
i = 1, 2 .
IV. PROPRIÉTÉS DE p(~" ~,,J, .0)
Dans la suite, nous désignons par .41'ensemble des (!/I], !/I 2./. uo) vérifiant
(Hl et X:~ -# 0.
l . Théorème de comparaison
THÉORÈME 4. -
L'appticaüon (!/I J, !/I 2,f. 1/0) 1-+ (l(tJt l' tJt2' [, uo) est crois,
.ran/e, c'est-à-dire que quels que soient (!/II' !/I" [. Il!)) el (~\\, Jil' llÎolappar-
tenant fi .-1 avec :

---

- 69 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. Il - N° 2 - 1980.
on a:
Démonstrouon
On utilise les équations de pènatisauons associées' aux ·1.V. bilatérales
[J\\,~;,.r. uo] et [.Kt, l iÎuJ. Soient clone:
1
Eu, + - P(u.l = f,
11/0) = uo'
e
où
(J(v) = - (l/J! - v)+ + (- 1/12 + v)+,
Pep) = - (,fil - v)+ + (- ifiz + V)+_
Pour démontrer le résultat. il suffit en vertu du théorème 2 de prouver que:
'rie > 0,
v, ~ û•.
Pour cela, OD obtient à partir des deux équations de pénalisations prècé-
dentes :
(251
+ ~ f' (P(u,J -- p(ù,J, (u,-ù,n dl ~ J' If- J. (u,-ù,l·) dl.
n
0
Le second membre de (25) est négatif car f -s; j Posons w = (u, - li,) +
et considérons le terme :
LT
Jo (P(u,) - p(û.), w) dt =
( - (1/1 1 - Il,)'' + (-l/t 2 + û,) + , 11') dt +
+ J: (ifil -Ii.)+ - hfl-Û.r'", w) dt
LT
+
(-""2+U.)+ - (-l/tl+Û> w)dt
+ t>-l/tz+U;l+-<-IfÎZ+Ui)T,W)dt.

---

- 70 -
AFRlKA MATEMATIKA - VoL II _ N° 2 - 19BO
Chacun des termes du second membre est positif en vertu d'une part de la
monotonie des opérateurs V 1-+ -
(t/ti -
u}" et VI-+(-ljIz + o}" et
d'autre part des hypothèses: titi ~ ~" i = 1,2.
Par suite, en utilisant la coercivitè de la forme a(.,.), (25) donne:
- ~ 1(u, - û,J' (Ol l' +" II(u, - û,l-II ~"O
et comme (u, - 14,) (0) = U o - Ûo ~ 0, on a (u, - û,) t (0) = 0, d'où
(Ut -
ri,)''" = 0
c'est-à-dire
u.";; û•.
C.Q.F.D.
2. Continuité lipschitzienne dans L'" (Q)
THÉORÈME 5. -
On suppose que le coefficient 00 de Jo forme a(.,.) est
positif. Soient (!Pl' tPz,f, uo) et (~l' .j,2'f, ûo) E A, a/ors si:
ljJj.I/Î,€L"'(Q),i=
1,2
el
uo,ûoEL"'(D),
on a
p(ljJj> !JI2'/'
1
uo) - P(l/Îl' !/i2,f, ùo) IL"'(Q) ~
,
If; L I!JII - ifi,Il."'(Q) + 1U o - Ûo 1L''''(l1)'
'-1
Démonstration
Posons:
a
k = 1"o - Ûo h."'(l1) + L I!JII - !/i, 1t..,(Q) ,
1- 1
A partir des équations pénalisées associées aux LV. bilatérales, on
obtient :
E(u, - û,l + ~ IP(u,J - p(û,J) ~ 0
c
{ u,(O) - û,(O) = Uo - ûo'

---

- 71 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. Il - NQ 2 - ~9g0
Soit w = (u. ~ û.) - k, on a w+ E ·D. On multiplie l'égalité ci-dessus
par w+ et on intègre de 0 à T pour obtenir:
En appelant If' par des éléments réguliers et en utilisant I~'(O) ~ 0 et la
coercivité de la formea(.,.) on montre que:
Considérons le terme
on a:
'
.
fo ({J(u.) ~ ~(û.), ~~,+) dl = J [.B(u) ~ ff(û,l] w+ dl dx
Q
=
[,8(u.) -
p{ûJ] w dt d.r ( (x. Il. w(x, r) ~ O} .
Mais
sur
{(x, 1), w(x. r) ~ O},
on
a
", ~ c, ~ k
et
donc
:
r v, - û. ;;::: k ;;::: 1/11- ~l
lU, - û, ;;::: k ;;::: "'2 - l#l'
Par suite
(t/ll -
Û,
«: (1/11 - Il,)+
(- "'1 + u.)+ ;;::: (- ~2 + a,).
Donc
el le terme envisagé précédemment est alors positif. on en deduit que
a Il w" II-t- ~ 0 et donc w- = 0, c'est-à-dire
li, -
11, ~ k .

---

- 72 -
AFRIKA MATEMArlKA - VoL 11· N~ 2.1980
On démontre de même 'Ille:
Par suite
11.1, - il, IL~IQ) s; k
et comme 1./,
IÎ,
converge vers U'- il dans L1(Q) fort quand G-+ 0,
à la limite on obtient l'inégalité annoncée dans le théorème,
On établit ici quelques résultats de régularité de P(lfl.!/J r- [, l./o)'
1. Inégalité duale sur p(!/J!. !/J2' t: II(J
On suppose que l!/Jj, Ij;z,.f, IloJcsldans"tetquef,/11 el t/JlverJtienl de pfus :
(261
Vtl,!/IZ E L1(O, T, HI(Q))
(27)
(E!/tl) v f
el
(E!/tzl 1\\ fexistentdans'U' .
Sous ces hypothèses el d'après (H), on a :
!/Jl ..:;; iiI - li 2 ..,; I!r - ~2 et EljJj ~ (El.{lj) v f
.!.!.I - f:~ :S;!/Il
et
(E1'1) 1\\ f ~ EljJ2
"
donc d'après le théorème de trace en Il l, les traces 1fI,(O) sont définies el
Nous avons besoin du lemme suivant
LEMME 2. -
On suppose (!/JI> IfIl.f, uo' dans A, (2(11 er (27). Alors pour
tout m ~ 0, el pour i '-' l, 2, la suite { 117' } définie pa! :
(II~, ugl = (::'1' ~ll
{ (/./7,/./';) = S{II';'-I,II;-l) .\\'i nI;<? 1
vérifie :
(28)
EU;"E'IJ',
i = 1,2_
Uesnanstrcuion (par récurrence)
Ona-
ElI~=E!!.,=Ir--='ll', i=I,2.

---

- 73 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. Il- N° 2 - 1980
Supposons la propriété (28) vraie jusqu'à l'ordre m compris et montrons
qu'elle l'est encore à J'ordre m + 1. On a, pour i = l , par exemple li;' +-l qui
verifie:
et comme u1(O) ~ u'2'(O) + 1tt(O), alors u~" 1 est justiciable de t'inégalité
duale suivante établie dans [41
(29)
t « Eu7+-l ~ (E1tl + Eu'ïl v Il
pourvu que (E1t + Eu';') v fi existe dans '0' (on vérifie aisément qu'il
1
en est ainsi). Donc:
Nous pouvons maintenant établir une inégalité duale sur p(1jJ l' I/J 2' [, Ua)'
THruRE~E6. -- On suppose (1#1.1/12'(, lia) dans .-t:, (261 el (27), alors
Il = p(I/JJ' I/Jl.1 u o) ~'i!rifte l'imJgalilc duale SUiVŒ''''
(30)
Démonstration
On considere la suite (1J~', u';J = SCY;'- 1, u,,;-ll. On a d'après (29) el
pour i = 1 par exemple
En retranchant E1J~ à chacun des membres, on a .
car /2 ~ Eu~.
Et quand m ....... + a, il Vient d'après le theoreme 3
c'est-a-due
Une opération analogue a partir de lIî~ 1 donne:

---

- 74 ~
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. Il . N° 2 - 1980
Par suite
C.Q.F.D.
2. Application de (JO) à la régularité
Une première conséquence du théorème 5 est que ~~ E 'U' c'est-à-dire
que li = p(Y; l' !/tl'/. uo) est une solution faible régulière.
Si donc (cf. Remarque 1. J • c) l'adhérence duns 'U de X:: est égale au
convexe K:~, li est la solution forte de "Lv. [J\\,:~,f, 1/ ], Cette propriété
0
de densité est rèalisèe par exemple quand (tPl' tP2) E (H 1(Q»)2. En effet
comme j)(Q - E) est dense dans L1(O, T, H~(Q)) = 'U el comme H'(Q)
est un sous-espace corèricutê de U(Q), on peur montrer que:
J{,l/1;lJ= Kl/r2
ojt,
.;,
ceci ètablu déjà un résultat d'existence et d'unicité de solution/orle.
Remarque]
On peut établir directement sans avoir recours au système d'I.v. (9),
mais en faisant des hypothèses de régularité sur les données, l'existence
d'une solution forte pour l'I.V. [J(,:~,f, 110]. Plus précisément, on suppose
que:
1
• V;l' V;l € H (Q), V;t :::;; 1/11' I/1111 ~ 0 s; "'111>
(Alors ,x,~~ est non vide Car il contient ("'1 v 0) 1\\ V;l')
• JE L'(Q)
• (EV; J) v f el (EV; 2) 1\\ f existent dans 9]'
•
110 e HMQ)
• "'1(0) ~ 110 :::::; V;2(0).
On montre alors (ef. O. Nekoulima : thèse )e cycle. Bordeaux 1971)
que l'lV. [X::,/, 11
admet une solution forte
0]
Il qui vérifie l'inégalité duale
suivante;
L'estimation (30) permet d'obteuir d'autres résultats de régularité comme
[es suivants et pour lesquels DU suppose que les coefficients a,!, a., aD de la
forme a(.,.) sont suffisamment réguliers:

---

- 75 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. Il _ N° 2 -1980
COROLLAIRE 1. -
On suppose (1/11. !/I",/' uo)eA (26) et (27) et de plus:
(Er#1) v f
et
œ!/r,,) 1\\ f
dans
UCQ)
{ 1.10 E Hb(O).
Alors:
u = p(l/!j, "'1,.r. uo} E U(O, T, H2(Q ) n HW1»)
~~ E U(Q).
La démonstration découle de (30) et de la régularité pour les équaucns
(cf. J. L. Lions et E. Magenes [7J).
Remarque 4
On peut aussi obtenir des résultats de régularité en utilisant les résultats
donnés pour les équations par V. A. Solonnikov (11]. On prend cette fois:
et 1.10 dans un espace de trace convenable (en particulier on pourra prendre 1.10
dans 'D(Q)). alors on obtient:
où
COROLLAIRE 2. ~ On suppose (l/II' !f2'f, uo)eAel deplusu o ~ 0:
alors on a ;
Démonstration
Puisque (1/1" "'2) E (CO(Q»)" et 1.10 E CO(n) n HÔ(Q), il existe deux suites:
{ (~~, il"ill c (C'(Q))'
(L~ J",~o c; 'DCQ)

---

- 76 -
AFRIKA MATEMATIKA' Vol II - N° 2 - 1980
telles que:
(!pi, iPiJ. 'J;;)e A:
dans
LW(Q)} quand
dans
j)(Q)
Considérons alors :
U", = p(iPi. t/li, t. Il;)
d'après le thèorème 5, on a :
Par suite
U'" ---+ U dans L"'(Q) quand m ---+ Cf)
et le résultat sera démontré si on prouve que u'" E e\\Q).
Or d'après la remarque 4 du corollaire 1. on li :
Vm ';>- 0,
U.. EW 2. I ,F(Q ) ,
vr > 1
donc
" . E C°(lO, T], W"'(Q))
(cf [7])
on
choisit
p > Il.
L'injection
de
Sobolcv
donne
alors
et donc
" . E C°(lO, T], CO(Q)) ~ C"(Q) .
C.Q.F.D.
On peut noter que /J", est en fair solution forte de l'LV. [Jl~:f, tfo'J (cf. II.2).
VI PROPRIÉTÉS DU SYSTÈME D'LV, (9)
Comme mentionné précédemment, le système d'Lv. (9) introduit en J[
possède un intérêt intrinsèque. Il intervient dans la modelisation d'un
processus stochastique qui évolue suivant deux phases (cf. [2) où ces auteurs
s ~"·.'sent iPi:2 k, = Ctcs. j = 1, 2). Les problèmes qui sc posent sont \\cs
suivants:

---

- 77 •
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. II _ N° 2 - 1980
-
Que dire des autres solutions du système d'LV. par rapport à lTV.
bilaterale ?
-
Unicité des solutions d'I.Q.V. (même des solutions fortes n
-
Régularité des solutions.
1. A propos des autres solutions de (9)
Soit (ul> u2) une solution quelconque du système d'I.Q.V. (9), a-t-on
U1 - 1/2 = p(t/J,. t/t2'f, uo) ?
La réponse est affirmative dans les cleu". ras suivants
1) Si (u 1, U2) est la solution minimum de (9) (c'est la définition même de
P(t/Jl' t/Jz,f, uo) !).
2) Si (u • 1/ ) est une solvuonforte ëc (9) (cf. Dèmonsrrarion Proposition 4
1
2
ci-après et Remarque 1).
PROPOSITION 4. -
Si (u l' 1/2) es' une solution faible régulière du système
èu
-,
d1.Q.V.
i.e.:
(
U; E 'D, i
E 9.1', i = 1, 2) alors III -
1/ 2 tqut n'est pas
nécessairement égale à p(l/tl' t/J2,f. 11
est néanmoins une solution faible
0))
(régulière) de l'LV. bilatérale [.Kt;,/' uoJ.
Démonstration
Si (loi" u ) est une solution du système (9). alors U
i
j
(par exemple) vérifie
J'inégalité suivante:
Si donc u est régulière, puisque
i
Ut
~ t./Jl + U1, ul(O) = IIjtO). on peut
prendre dans I'inégalnè precédente
èW 1
.
1/1, -.- E 9.J , 0 ~ () ~ 1 .
Vi

---

- 78 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. II _ N° 2 - 1980
Il vient:
En divisant par fJ > 0 et en faisant tendre (} vers 0, on obtient:
f: (~~.UI-Wl)dt +ITa(ul,ul-Wl)dt~
•
:s:; LT([l,Ul-Wt)dt,WtE,x,1Io'1+lr2
On a de même pour 11 régulière
2
f: C;/'
f:
11 2-\\','2) dt +
a(u 2 , 112 - 11/2) dt :s:;
"f: (/2. 112- Kil) dt, Ml2E,x,-';'+ul
Soit maintenant li E .K:: (qui est non vide), on prend respectivement
dans chacun des LV. précèdentes :
et on les ajoute membre à membre, il vient
r(
r
Ut (u. -u,l, u. -u,-,) dt +
aCu" u" u. -u, -'l dt"
l
-r-u.-u,-'ldt
(U 1-U2) (0) = uo •
Ul-u2E.x~~etoùvEJ(,:;
c'est-à-dire III -:», est une solution faible (régulière) de l'LV.
[J(kf, uo]
C.Q.F.D.

---

AFRik.l2tiTEMATIKA' Vol. II - N° 2 -1980·
Si maintenant (ul , ul ) est une solution non régulière de (9) et si
Ul-Ul "ft p(l/I" t/!2'!' uo) ,
a-t-on encore Ul -Ul solution faible de [n::,f, uo] ?
2. Le problème de !'uoidté des solutions de (9)
Les résultats obtenus sont partiels car notre méthode de démonstration
dépend essentiellement du lieu entre les solutions de (9) et celles de "LV.
[x':;,f, uol·
THÉORÈME 7. -
On suppose :
ai}' al' ao réguliers avec ao ~ 0
t.J, E L"(Q)
{ l/Il,l/IlECO(Q)
avec
l/Il <«. dans Q
ul(O), û2(O) E CO(Q) (J HMn) .
Alors;
(i) Le SysTème d'LQ.V. admet au plus une solution forte.
(H) El si P(l/II, l/I2J, uo) est solution forte de/'l.V. [~~,f, uo], le systeme
d'I.Q.V.
admet au plus
une
solution régulière (u
u
lo
z)
au.
Î
( c'est-à-dire u( E 9J el TE 'u' .
ot
1
Démonstration
On va traiter en commun (i) et (ü) en remarquant que si (ul , u2) est une
solution forte du système d'LQ.V., on a :
Egalitè qui est encore vraie dans le cas (H) puisque si (u l' u]) est une solution
régulière quelconque du système d'J.Q.V., on a u, - u] qui est solution
faible de {X::,!, uol (Proposition 4) dont la solution forte P(l/Il' l/Il,f, uo)
est unique, donc on a bien encore égalité entre Ul - Ul régulière et
p(l/I" l/I2,f, uo) forte.
Nous pouvons maintenant passer à la démonstration de Ci) el (ii).
Supposons que le système ait au moins une solution au sens (i) ou {ii]
(avec dans le cas (ii) l'hypothèse que P(l/Il.l/IlJ. uo) est forle, ce qui sera
sous-entendu dans la suite).

---

- BO -
AFRIKA MATEMAT!KA - Vol. Il _ N° 2"· 1980
Si (Ill' IIZ) et (v., vz) désignent deux solutions du système d'I.Q.V. au
sens (i) ou (ii), on a :
Donc
vi=u;+II. i=1,2
oÙ
11 E 9.1,
~~ c-tr, 11(0) = O.
Par ailleurs, d'après le corollaire V.l, on a:
1/ E CO(Q) ,
Considérons alors:
() l = {(x, 1) 1 (x, 1) E Q, u(x, r) > 111 (x, t) }
O 2 = {(x, 1) 1(x, 1) E Q, u(x, 1) < t/Jz(x, 1) l
0 .. est un ouvert car IJ -
t/J i est continue Ci = 1,'2); on vèrifie alors que
Eu; ~ /; = Ev; - /; = 0
sur
Oj (i = 1,2)
Par suite
Eh = 0
sur
{ h(O) ~ 0
d'oùh = o.
3. Régularité des solutions de (9)
THÉOR..ËME 8. -
On suppose (t/! 1> UJz,f, "0) E A: de plu.l·
~"~,, L'(O, T, H'(Q))
{ (Et/t, + f2) v fi, (- Et/t2 + fi) v f2 existent dans '1]' ,
Alors la solution minimum (u
du
l • 11 2)
systeme d'I.Q.Y. vérifie les inégalités
duales suivantes :
fi ~ EUI s; (ElPl + f2) v fi
J~':;; El'l ~ (- EljIl + J;) y 12
Par suite (111' !Il) est UI1C solutionfaible régulière,

---

- 81 -
AFRIKA MATEMATIKA - Vol. Il- N° 2 - 1980
Démonstration
On considère Il = p(l/;r- l/J2'j. uo) el on pose f = fi - il' alors
par suite:
De même :
et donc l'inégalité duale (30) donne pour u
d'où
Par suite:
Soit maintenant (u l • u1) la solution minimum du système d'l.Q,V.,
alors les formules (24) de la proposition 3 donnent
d'où le résultat cherché.
Des inégalités duales, précédentes, on déduit encore d'autres résultats
de régularité pour lesquels on suppose les coefficients 0IJ' al> 00 réguliers:
COROLLAIRE 3. --- On
suppose (t/J l' t/Jl'J, Uo E .le,et de plus:
~"~, E L'ID, T, H'(Q))
(Et/tl +fl) vfl'(- EJt12 +/1) vf2 E L 1(Q )
{ ul(0), U E HJ(Q)
2(O)
alors la solution minimum (u j , u2 ) du système d'T.Q. V. vérifie pour j = l , 2 :

---

" 82 "
AFRlKA MATEMAT1KA - Vol. II _ N° 2·1980
Comme à la remarque V. 4, si ii1(O) et u (O) sont dans un espace de trace
2
convenable et si on prend cette fois-ci (El#" 1 + /1) v fi et (- EI/1.2 + fI) v /1
dans V'(Q) n 9]' (I < p < + 00), alors la solution minimum (ul , u1 )
du système est telle que
P. Charrier et G. Troianiello ([5]) ont obtenu ces résultats de régularité
en faisant l'hypothèse supplémentaire E("'J - ljJ 1) ~ o.
Remarque 5
Signalons pour terminer que si, en plus des hypothèses du théorème 7, on
suppose que I/IllE < 0 < !/t21J:, !pj(O) < ul(O) - u](O) < 1/1](0), alors la
solution minimum du système I.Q.V. est continue sur Q.
BIBLIOGRAPHIE
[IJ BENSOU!iVJ'" (A.j, Lw!":!! O, L.). -
Ouvrage en préparation, Chap. ).
12] BEN.'JOUS.'SAN (A.), Licss (1. L). -
Comptes Rendus A.cad SI:., Puis, 278. série A, 1974.
[3) BREZlS (I-I.), STM'f1'ACCHIA (G.), -
Bull. Soc, MarlI., France, 96, p. 153 (1968).
[41 ('HARRIEJl (p.), HANOUZFr (B.), JOLY (J. I..l. -
Cr>mptes rUlduJ ACiid. Sc., Puis, série A
(1976). P. CHARRIEJl, Thèse, Bordeaux, 1978.
[5] CHARRIER (p.), TROlANIELLO (G.J. -
Cr>mplc,r mldw Acad: Sc., Paris, strie A, 281 (19'5).
(6) LIONS (J. 1.). -
Quelques mèthcdes de résolution des problèmes aux limites non linéaires,
Dunod, Paris, 1969.
[7] LIONS (J. 1.), MAGENIIS (E.). -
Problèmes aux limrres non homo~ne!l el Appli<:aliDDs.
Vol. J et 2, Dunnd, Paris (1968).
[8] MIGN01' (Ft Putt (J, P.). -
Comptes mu/u.T Acad. Sc., Paris, série A, 280 (J975).
[9] NA);DUUWA (Ol -
Comples relldw Âcad. Sc, Paris, 284, série A, 1911, p. 1037.
lJ01 NAIlOUUWA (O.). - Inéquations variationnelles el svslè~ d'inéquations quasi varia-
tionnelles etatlonnaire de type elliptique, à panilre dans Afrika matemalika, ri" 1.
[II] SoWNMKOV (V. A.J. -
A priori estirnates for second arder perabobc equations, Trudy
Mach. Inst. Sceklov, 70, 1964, p. 133.
[12) TAUAlI. (L.). -
Comptes renlNs Acod. Sc., Pari>, série A, 278. p. 1193-1196.
Département de Mathématiques
Faculté des Sciences
Dakar (Sénégal)

---

!JEl.IXIËME PARTIE
INEQUATIONS QUASI-VARIATIONNELLES BILATERALES

---

---

- 87 -
TABLE DES MATIËRES
Pages
CHAPITRE 1.-
I.Q.V
BILATERALES - CAS STATIONNAIRE................
89
1.-
Le problème de jeu stochastique- Diverses
formulations..........................................
89
2.-
Formulation quasi-variationnelle
94
3.-
Existence des solutions...............................
100
4.-
Régularité des solutions..............................
113
5.-
Convergence des itérés
121
6.-
Autres problèmes o.....................................
135
CHAPITRE
2.-
1.-
Formulation du problème ...............................
137
2.-
Existence des solutions faibles
.
140
3.-
R~gu18rité des solutions faibles ..............•.•.•...
145
Bibliographie
159

---

---

- 89 -
CHAPITRE
INEQUATIONS QUASI-VARIATIONNELLES D,LATERALES
CAS STATIONNAIRE
1.- LE PRODLEME DE JEU STOCHASTIQUE- DIVERSES FORMULATIONS.
Notations et hypoth~ses - Présentation du jeu - Points de Nash.
On se donne un espace de probabilité (O. a.p), une famille croissante
de sous- cr algèbres J
deO et un processus de Wierner normalis~ w(t) à
t
valeurs dans an qui soit une at-martingale. Soit
a(x) une matrice de rang n
définie Bur an et soit g(x) un vecteur de an tels que:
g est globalement lipschitzienne et born~e :
n,
3 c > o ;'i x , x'Ea
Ig(x) - g(x')I..;;;c lx - x'l
cr est continue et bornée ;
(1. Il
'0
'x est mesurable et bornée
-1
a . est continue et bornée.
n
Soit y (t), t z 0
•
la diffusion issue de
x ER
de covariance cr et de
x
dérive g • Plus précisément, y
est la solution de l'équation différentielle
x
stochastique
Jdy • g (y(t» dt + o(y(t» dw(t)
( 1.2)
l y ( o ) . x
On se donne les fonctions r ëe Ll es f., cp., w. (i =1,2) dêf'i.n i.ea sur ..n
1 1 1
telles que
f.,
., w.
sont continues et bornées sur ln
(1.
1
1
1
3)
2(l
f. EL
n ) . ~.SCP.
1
1
1

---

-
91 -
Remarques 1. 1.-
Divers
systèmes d'in~galit~s complément~ires
On consid~re maintenant, de façon formelle pour le moment, le problème
suivant : Trouver deux fonctions réelles
Ut et
U z définie sur ln telles que:
(1. 6)
u . ..:;rp.,i:zl,2
1
1
(1. 7)
U.
1:
CP, -.$ou. := ifJ.
i,j = 1,2 • i ..; j
J
J
l.
1.
Sur I:. = (xE ln, u.(x) < p.(x), pour i"; j } ,on a
(1 .8)
1
J
J
Lu. S f,
•
(u.- CP.) (Lu.- f.) = 0
1 . 1 1 1 .
1 1 .
où
L
est l'op~rateur du 2° ordre
n
1.9)
L •
E
o ..
+ a
1J
dX. Bx .
i-l
1
J
dont les coefficients
a .. (x) sont lea termes de la matrice a êa Ïx} Mifinie
1J
par:
*
(1. JO)
a Ïx)
cr cr (x)
•
cr*• transposée de cr •
2
Si maintenant (u1'u
est une solution régulière (*)
Z)
du système
(1.6)-(1.8), alors on peut définir les temps d'arrêts Tl et T
par:
Z
(1.11)
T.
inf {a>olu.(y (a»
.~.(y (a))}
1
1.
x
l.
X
et le couple (TI,T
est alors un point de Nasb pour les fonctions
Z)
De plus
(1.12)
Ce résultat est établi dans [3 J,
o
n
2
""EC (1 ).l:iouvert,Lu.EL
(L),
1
1

---

- 93 -
Exemple 1.1.-
On prend
f ~ 0 sur lO.Il 1 i =1.2, ~. et ~. Bont définie sur le
1
1
Bch~ma ci-dessous et pour vE Hl () D,If). On pose Lv" - v"
o
p.
.J,
c:
IL
.6
Il
0
':1.
0
1
,
1
~
lI\\'
~2
.1
1
,
,
1
•
,
,
,1
If
. ,/
ltt,...
•
Figure 1
Considérons maintenant les couples de fonctions (u
et (u
)
1,u2)
1,u2
d'finies sur la figure 1 .
- Etude du couple (u 1,u2)
on a :
1
· "i
Ho (1 o.u i,
u Sfll
sur J c.u
1
l
• [ u2'~ 1 • {c J et
"i (c) c
~1 (c)
· Sur .El '"'] o,«] U] c.ll ,on a - u\\~ 0 (au sens de}J1 d D,Il)
et (u -"p (-uï )'0 .pp
1
De même
1
u E
CP2 sur] o.i t
2
Ho (lO.Ir). u2
[u1"'ll11' {a,b Jet
u
( a ) ·~2(a) , u (b ) ·~2(b)
2
2
· 8ur[2-)O,1[\\ {a,b}, on a
-u"2':s 0 et (u
(-u'\\)= o.
2-('fl2)

---

- 95 -
de sorte que
(1. 23)
Yu~vEv <Lu,v>V'V '" a(u,v)
<,',>V'V
désigne le crochet de dualit~ entre Vi et
V. On suppose que la
forme
a(uJv) est coercive sur
V au sens
2
(1.24)
3 y> D,VU EV
a(u,u»yll u Il .
Soient encore f..ct .• W.
(i""1,2) vérifiant (l.3). On suppose de plus que
1
1
1
(1.25)
cp"
1/J.E V • W.:6~..
i <>1.2.
1
l.
1.
1.
Soit maintenant
Kt et
K deux parties de
an
on d~9igne. pour
2
allèger la notation, par
K~ le complémentaire de K. (dans an) i=1.2 et
1
l
on pose alors
(1. 26)
.
M.(K.)
~. 1 + 'l'. 1
i,j "" 1.2 , i .; J
l
J
l
1
K.
K~
J
J
(1.27)
N. (K.)=(-)
lK~ + W• 1
i ,j = 1,2 , i .; j
1
J
1
;K.
J
J
On vérifie que:
(1.28)
N. (K.) s 1jJ. $ M. (K.) s cp.
(i,j= 1,2 ,
i .; j)
l
J
1
1
J
l
n
De plus l'application
M., définie sur les parties de R • est
1
décroissante au sens :
(1.29)
K. C K~
==> M. (K.) z
M. (K'.)
qv p ,
J
J
1.
J
l.
J
N.
est croissante au sens
l
(1.30)
K. C K~
==>
N. (K.) 5
N. (K'.) qv p
J J
1 J
1 . 1 .

---

- 97 -
La définition de p et les relations (1.28) montrent déj~ que
n
AO
n
U.~ ~.
, , partout dans 1. car u. et ~.E~ (1 ).
,
,
Regardons la relation (1.14). On sait que N.(K.) ~u.~ M.(K.)
1.
J
1.
1.
J
donc
ll.-W. pp sur
, ,
K. et par continuité de u. et1jJ., il vient
u.;w. partout
J
1.
1.
1 . 1 .
sur K ••
J
Vérifions maintenant les relations (1.15). Soit donc r.- eX. l'ouvert
,
J
eaeocd ê
au fe rmê
K. et soit vEV tel que N.(K.) :S:v:S:H.(K.). alore on a pour
J
1 J
1.J
i,j- 1,2, i ;. j
(1.33)
a(u. ,ll.-V) ~ (f. ,ll.-V)
1.
1.
1.
1.
ce qui s'écrit
(1.34)
<Lu.-f., u.-v>V'VSO
i.
i.
,
Prenons consee fonction test
V " u.-8 oü 8~O, BE b(L)(ce qui est
,
,
légitime), il vient:
(1.35)
"BEb(L), 8 z O,<Lu.-f.,8>sO
,
,
i.
i.e
Lu.-f.:S:O
dans.hrO:.)
,
i.
i.
2
et comme par hypothèse
Lu.-f.E L (r.), alors
i.
i.
(1.36)
Lu.-f.
:S: 0
p.p
r.
i.
i.
,
Soit maintenant (!:) une boule ouverte telle que$C $ Cr .•
i.
On peut trouver une suite de fonctions
e E b(an)IO~ e ~ 11 telles que
E
E
8 - 0
hors de
r. 1 8 (x) - - 1 sur S • 8 ----." 0 hors de S
s Le ------. o.
E
1
E
E
Ceci dit. regardons encore (1.34) oil l'on choisit maintenant v=u.- 8
(u.-ep.)
1
E
1
1
ce qui est encore lisible
on obtient :
< Lu.-f., 8 (u.-~.)>s 0
1
1
Ë
1
1

---

- 99 -
n
(1.38)
= 0
(partout dans B. )
et le système d'L Q. V
bilatérales (J. 31)-0. 32) se réduit
à 1'1. V
bilatérale qui int ervient "naturellement" dans la théorie des jeux à somme
nulle. De plus
(1. 39)
Preuve:
En regardant
(1.37), on a déjà
u. + u . = 0
sur
K. (i, j := 1,2 • i 1 j ) .
1
J
J
On considère ensuite l'ouvert L:
n L:
sur lequel, grace au théorème
1
Z
LI •• on a, d'après (1. 15). Lui-f := 0 pp.
et comme f1+f
= 0, alors
i
Z
et comme
Ut + u = 0 sur la frontière de El nEZ' alors Ut + "z = 0
Z
pp.
LI n L:
et
donc
Ut + "z = 0 partout sur Rn. Ceci prouve déjà
Z
la relation (1. 38) .
On va maintenant montrer (1. 39)., Soit donc
u. = P
(N.(K.), M.(K.), f.l el w.= p (1.,'1'.,0, i, j =1, 2, i l j.
1
1 )
1 ) 1
1
1 1 1
On a vu que
N.(K.) s;; ~. s:. M.(K.) s:. cp.
et comme l'application
pest
1 )
1 1 )
1
è
croissante (cf : théorème de comparaison de la 1 re partie), alors
UiS w
' i=I,Z. Ainsi
uls::. w
et
u
!::
w
" Or
UZ=-U
et
on vérifie
i
i
Z
Z
I
facilement toujours dap r ë s
(1. 37) que
w
= - w
Il vient alors
u
w
et
Z
r
I.:
i
u
os: - "r i, e
U{ w
c : q. f. d,
i
r

---

- ID 1 -
Remarque 1.4.•
On pourrait définir, d'une façon plus générale, e. en prenant pour
1
n
image de
K c:: B. toute partie K. de
a.n telle que
,
sup(Lw.-f.)- C K C ~w,.= cp,,] où w = P (N.(K). M.(K). f.) • Soit a.K = K.
1 1
i
i
1
1
1
1
1
On considère maintenant les applications composées
6 0 6
et
9 0 el
1
2
2
notées sim.plement , e.. e.. i, j = 1,2, i l j .
,
J
On garde dans toute la suite les définîtions (1. 40)-( 1.43) pour
el et 92,
Remarque 1. 5. -
Si KI est un point fixe de
el 6
on calcule
2,
U
= p (NZ(K
Mz(K
fZ) • K
a
KI = ~ u
CPZ] et
z
I)·
I).
Z=
Z
Z=
"i = p (NI(K
M\\(K
ft) • de sorte que
aIKZ= ~ u
CPI] et donc
Z)'
Z)'
l=
KI = Cu = Q:'lJ.
par suite (Ut' u
t
z' KI' K z' est une solution du système (1. 3 1)-
(1. 32). De plus
K = 9
est un point fixe de 9
6
.
Z
ZK1
2,
1
De meme si K
est un point fixe de
9
alors (Ut' "z: 6 K
K
Z
29 1,
1 Z'
z)
est une solution de (1. 31)-(1. 32) et
el K z est un point fixe de e 6 .
1 2
Dans toute la suite, nous travaillerons donc avec l'application 6l" 62,
Remarque 1. 6. -
Soit 0 (ljJ.• f.)
la solution de 111. V unilatérale relative au convexe
t.
1
1
è r e
K 1=( v EV. v SV.}.
(cf, 1
partie), soit
p (ljJ •• cp .• f.)
la solution d'une
1
1
1
1
n
1. V. bilatérale et soit K
une partie quelconque de
l i , Comme
è r e
N.(K) :s: t. s M.(K) :s: cp. , on a (théorème de comparaison: 1
partie):
1
1
1
_
1

---

. 1D3 •
Exemple t. 2. -
On prend encore
i, e
0
eur ]0, le . i::: 1, 2~ q). et W. définie 8 sur la
1
l
1
1
difure 2 ci-dessous et
Lv =- v" pour
v E H
(] D,lt)
o
,---"""--,,
A.
~
J""'''---~-f--+-+------'!,i
•,
~.p."",,)~<,,)
•
,
•
r·········
Figure 2
On utilise la remarque précédente pour montrer que
el' 8
nt a drn et
2
pas de point fixe.
On a déjà: (voir définition des fonctions sur la figure).
Si donc Kt est un point fixe de
8
on a d'après
(1. 48)
18 2,

---

_ 105_
L'hypothèse (H) n'e et autre que supposer:
(1. 49)
P
*
(N.(A. ), M.(A.*), f. )
1
J
1
J
1
La fonction
W. ainsi considéré va jouer un r-ôle essentiel dans toute la
1
suite.
Noua donnons quelques relations qu'elle vérifie
LEMME 1.1. -
On a aussi pour
i , j := 1,2. il j :
-
*
(1. 50)
w· = P (N.(K. ) , M. (A j*)' r,
1
"1
J
1
1
*
*
(2.51)
)
s. )
w· = P (N.(A. ), M, (K
1
1
J
j
1
Preuve
Soit w = p(N.
*
(K.), M.
(A.*), r). D'après (Hl) et (1.49) on a
i
1
J
1
J
1
*
-
N. (K.) :s; ~. :s; M. (A"*) . On peut donc prendre W. comme fonction
I J
1
I J
'L
test dana Ill. V
vérifiée par
W., on obtient
1
(1. 52)
D'uut r e part on a
1j.r.:S; w.
qp sur
K *.• donc à fortiori
* 1
*1
J
*
Jj.r.Sw.q.p
surA.c
K .• par suite
N.(A.) ~ w. ~ M. (A.*).
1
1
J
J
1
J
1
1
J
On peut alors prendre
w. comme fonction te et dan a lt L V
vérifiée par
1
Vi' on obtient:
(1. 53)

---

- J07 -
LEMME 1. 2. -
Soit
~. définie par l'hypothèse (H). Alors on a pour i = 1,2
,
(1.56)
V KE ~.*, P (N.(K), M.(K), L)= P (N.(K), *. .r.), i , j "1,2, i 1 i,
J
1 1 1 1 1 1
(1. 57)
*
-
V K E ~. , P (N. (K), M. (K). f.)= P (W. , M. (K), f ), i, j = I, 2, i 1 j .
J
1
1 1 1 1 1
Preuve:
On va vérifier par exemple la relation (L 56). Soit donc_K E & "*
J •
on po ee
w.= p (N.(K), M.(K), r.), i = 1,2, i l j . Et
*
puisque
,. = ~.
sur
,
,
1
1
_
1
1
K., a lo r s
N.(K) • W• • M.(K) et donc:
J
1
1
1
(1.58)
P (N.(K), î., n. w.
i = 1,2.
1
1
1
1
Regardons maintenant w. et *.. On a
A,*C A.
B.= K (puisque
1tU
1
1
J
J
J*
K E d .• ) donc
M,(K):50 M.{A,*'. Comme par ailleurs
K c K .• on a
J
..
1
1 J
*
J
N. (K)' N.(K.), parauite
w.~ p(N.(K.), M.(A.*),n. On regarde
1
I J
1
I J
1 J
1
ensuite la relation (1. 50) du lemme L 1 pour avoir;
-
(1.59)
w. ~
~.
,
, i = l, 2
En considérant (1. 58) et (1, 59) • on peut alors utiliser encore
la technique de démonstration du lemme L 1 (utilisation des fonctions test)
pour obtenir l'égalité (1. 56) cherchée.
On prouverait de la même façon l'égalité (1, 57) .

---

- \\09 -
Preuve:
a) On suppose (H )
-------.--
c
D'après la proposition L l, on a
8
croissante eu r
&1* et (He) assure
2
que
8
est croissante de &1*
~ valeurs dans &2*'
2
Pour les memes raisons
el est croissante de &2* dans cl1* • On a
donc dé jê
8
8
croissante de &1*
1
2
Le théorème sera démontré (cf. L. TARTAR C14J) si on montre que
8
laisse invariant l'intervalle
(Al'"
K~. Soit donc Kt€. (A *.~~J.
18 2
J
I
dtapz-ê s (He)' on a eZK E &2*' donc en pa;ticulier AZ.c 8 1)<= K
On
l
2
Z'
réitère (He)
pour avoir A1*c 8
~c Kt
c, q. r, d,
19Z
b) <:>~ _s_,:~~~s_,: (Hd)
Dans cette version, on obtient que
8
est croissante
de
•
&1
dans
18 Z
comme la composée de deux applications décroissantes (c I. proposi-
8
laisse invariant
•
(Al'
•
tion 1. 1. ). De plus
Kt J .
18 2
Ceci achève donc la démonstration du théorème 1.2 qui assure par
conséquent d'après la remarque 1. 5 que le système d'L Q. V bilatérale,
(1. 31)-( 1. 32) possède au moins une solution.
Nous terminons cette étude par une remarque et une série d'exemples
pour illustrer ce résultat.
Remarg ue 1. 7 :
Nous avons retenu,lors de cette étude deux exemples d'ensembles
inductifs &i'* et
•
&i
sur le aque l s on a fait opérer
8
et
8
D'autres
1
2•
choix sont possibles.
Au paragraphe suivant, nous travaillerons dans un ensemble inductif
dont les éléments sont en particulier des fermés de a~

---

- III -
Les graphes des fonctions
W.= p
•
(N.(K. l,
*
M.(K. ),0) sont r ep r é -
l
.
1
J
l
J
sentée s sur la figure
3.
On prend:
et
P
*
(N.(A.), M.(A.~), 0) = W.= j.
1 )
I J ' "
1 1
l'hypothèse (H) est donc réalisée.
Vérifions maintenant (H ) ou (H )
c d '
er
1
cas
On
vé z-Ifîe que:
et
l'hypothèse (He) est vérîfiée • SI et 8
e cnt croissante r-e apt, sur &?Jfet &1 '"
2
et on voit que
Sr l3z admet deux points fixes dans 8 * :(a} et (a. b ] qui
1
engendrent les couples de fonctions solutions (w ' w ) et (u ' u
1
2
1
z) . Ceci
montre aussi qu'il n'y a pas en général unicité des solutions du problèmes
(1. 3J)-(1. 32).
èm e
2
caB
•
&1 = ( b J, ( a, b J
*
& = ((cJ, (c,dJJ
2

---

- 113 -
et donc
(1. 61)
Lu." f.
,
,
(dans
Ji')
Exemple 1.6.•
L'hypothèse de A. BENSOUSSAN et A. FRIEDMAN C3].
•
•
On suppose que
L~." f. . On prend alors A.:: ~. de aor-te que A.,1r=K," .On cal-
,
,
,
cule ensuite d'une part
~. = Cl (M. (A .• ), L)-et comme d'autre part on a
1
l
J
1
,." M.(A,.) et
L'.S: I. • alors
,. est une sous-solution de PI. V
unîlaté-.
1
l
J
~1
l
_1
_
11'
raIe vérifiée par
, .• donc
,.:10 ~ .. Par suite, '.= ,. sur A. = K ..
1
1
1
1
1*
J*
J
L'hypothèse (H) et donc réalisée et comme de plus A. = ~ • l'exemple 1. 5
,
précédant assure que
8
admet un point fixe
KI
telle que ai (Ut' u
18 2
z' KI' K Z'
est la solution de 1'1. Q. V. bilatérale
(1. 31)-(1, 32) associée, on a encore
u. qui vérifie
(1.60) et (1.61).
,
c'est donc eous Uhypothê ee
L~.s; i, que A. BENSOUSSAN et A.FRIEDMAN
, ,
[3J ont étudié l t e xi s te nc e des solutions
du problème de jeu atcche atique et
comme nous l'avons déjà signalé cette hypothèse est trop restrictive. Ainsi
dans le cas du jeux à somme nulle, on aurait (cf :remarque 1.3)
è r e
e r
( ,',
f )
1
C I '
(1
.
1
. 1 )
d
U{-U2~ P
Ifl'C:PI' 1
et
e
oro laire
1
pa r tae -
ar-ttc e
onne
alors
u =
l'hypothèse
L~2'5i:fZ
l
Cf
(CPI' fI)' De plus comme
CPI::-~2 et fl=-fZ'
entratne
1...q) 2 fI' donc
u
est solution de l-équatton r
Or ceci est loin
1
l
d'être le cas général.
4. _ REGULARITE DES SOLUTIONS
Une méthode maintenant classique dans ltétude de la régularité des
solutions des 1. V
ou 1. Q. V d'obstacles consiste à ramener cette étude
à celle de la régularité des équations et ce, grace à une estimation duale
ère
.
(cf. : 1
partle) .

---

- 115 -
a
(u, v)
dé ef gne la restriction de a{u, v) à l'ouvert (S •
lS
On a dé jà :
(1.65)
L,. i :<!: ~i 1\\ fi
(dans a)
On va donc montrer que
(1.66)
n
n
Par hypothèse ~i :l: w. q, P li..
et
l.<p. O!: r....q,. 1\\ f. dans a
alors la
1
1
1
1
restriction de
ep. à
(s
,
est une sur-solution de III. V (unilatérale (1. 64),
par suite:
'T i :s;. !Pi
q.p
~
On désigne maintenant par r. le prolongement de 'T. par w. hors de G.
,
"
On a encore T. ~
~. et de plus 1.::0 W.= 1\\l. sur K .• on peut donc prendre
1
1
1
1
1
J
v = r. comme fonction test dans PI. V. vérifiée par w .. on obtient:
,
,
(1. 67)
a(w..
w.
,
,
Quant à (1.64). elle peut s'écrire aussi pour v = w.,
(1.68)
a(c.. 'T'.- w.) ~ ( Lq>. 1\\ f .• r.- w. )
1 1 1
1 1 1 1
On ajoute membre à membre (1. 67) et (1,68) pour avoir
(1. 69)
a(w.-:C.• w,' - r.) ~ (f.- Lq>.l\\f.• w. -:c.)
1 1 1 1 1 1 1 1
et comme
W i
- 'Ti = a
hors de
G
et w.:s;. T. on en déduit que a(w.-T'., w.-;:'.):s;. 0
1
1
1
1
1
1

---

- 117 -
Ce coronaire dont nous aurons besoin dans la suite pour étudier la
régularité des solutions
éventuels de (2. 31)-(1.32) nous amène à chercher
un point fixe de
8
dans une famille de fermés de aD. Nous retiendrons
182
encore deux choix pos s ib le e
er
1
cas
•
3 *
est un ensemble non vide inductif car
Ki
est fermé.
i
èm e
Z
cas
•
a.
•
= ( K: K E ~. • K fermé), i = i, Z
1
1
•
di' aussi est non vide et est inductif.
PROPOSITION l. 3. -
On suppose que (H) est vérifiée et que
t. < cp. (strictement) ; Si de plus on a :
1
1
a)
ou bien (He)
est satisfaite alors l'ensemble des points fixes
•
de l'application
€l18Z
dans l'intervalle d'ordre [A * . Kt] ::
= {K, K E :J * . A * C K C
.Kt1 (A *= adhérence de .
I
-
--
Al) est non vide
I
I
I
et admet un élément rntnirnum et un élément maximum.
b]
ou bien (Hd) est satisfaite, alors l'ensemble des points fixes
- ; - *
*~
*
de 8
dans
t Al' K 1] = {K, K E JI • Al c: K c: K } est non vide et
18Z
l
admet un élément minimum et un élément maximum.

---

- 119 -
La question est donc de savoir si
K.
est effilé en certains de ses
J
points ou non. Si K.= (u.= cp.]. on ne peut espérer à priori que K. ne
J
J
J
J
soit effilé en aucun de ses points. En effet
l'e naemb le de contact
(cr (8)= eJ peut
tr e effilé en certains de ses points; par exemple si E
ë
est un compact effilé en
un point x E àE
et si
e(x) = dfx, E) alors cr (8)!E 0
o
et (cr (8)= e] = E
est bien effilé en un de ses points 1
Remarquons néan-
moins que dans ce cas
Lo a 0
et ne charge pas l'ensemble de contact.
Quant au problème de savoir si le support de cette mesure La
peut etre
effilé en certains de ses points, î1 reste à notre connaissance ouvert: il
sien suit que le choix - par exemple - de K. = supp. Lu. se pr-ête peut ëtre
c
J
J
mieux à la continuité des solutions
de notre problème.
4.3. AUTRE INTERPRETATION DU SYSTEME D'I. a. V BILATERALES
PROPOSITION I. 4. -
On se place sous les hypothèses du Théorème L 3. Soit donc
(U , ll2' Kt' K
une solution du système dI, Q. V (1. 31) et (1. 32) •
l
2)
Alors pour i :::1,2. la re striction de u. , notée encore u
à l'ouvert E
l
i
i
est la solution de 1'1. V
unilatérale avec conditions aux limites non
homogènes sur le bord Cl L. :
i , e encore:
l
1
u , EH
(E;) ,
l
uïloE.=*;' u i s CPi
q. P E.l
(1.73)
l
1
a
(u .• u -v } • (fi' ll,-V) , lvEH (E.), v
. = ~i
1o E
1 vs: CPi
E.
l
l
l
E.
l
l
l
l
Les traces apparaissant dans u. 73) sont à prendre au sens suivant:
Pour u , E Hl CE.). on dit que
u'l
=*. (V. E H\\ an» si et seulement si
1
1
1
aL.
1
1
la fonction
~ définie par û'. = U. 1 dans E. et~. :: W. dans Cr.. appar-
1
1 1
1 1 1 1
.
1
n
trent à H (11 ) •

---

- 121 -
Si maintenant on rapproche les relations (1. 75), (1. 76) et (1. 78).
on tire:
(1. 79)
( 1. 80)
s
démontrant ainsi que ( 1"1' ~ 2) est un point de Nash de notre problème
de jeux.
Remarquons
enfin que si (u , u ' Kt' K
I
2
z) est une solution de (1. 13)-{1. 16)
avec
K.= aupp (Lu.-f.f et définissant 1. comme le temps dl atteinte du fermé
1 1 1
1
K. on a encore
(résultat classique en problème de temps d1arret optimal)
1
.
'ii.(x) = Il ct) ; de la mêrne manière que tout à l'heure on vérifie que (TI' T )
1
x
1
2
est point de Nash de notre problème de jeux comme on Pavait annoncé dans
le premier paragraphe de ce chapitre l .
5. - CONVERGENCE DES ITERES -(AUTRE THEOREME D'EXISTENCE DES
SOLUTIONS)
5.1. - DEFINITION DES ITERES
On pose:
(1.81)
,
u (0)"
p (",
~ r.)
l
'l'~I' 1
(1. 82)
On calcule ensuite
(1.83)

---

_ 123 -
Remarque 1, 9. -
En considérant d-une part la définition des applications
8
et
8
1
2
.
(n)
(n)
.
(cf: (1.40)- (1.43 ) on VOlt que les ensembles K
• K
de la eurre
(5
)
1
2
n
sont obtenus à partir de
el et 6
comme au it :
2
(K (0)
1
•
(1.91)
. (n) K (n)) = (8 K(n-l)
(Kt
•
2
1
2
D'autre part en construisant
el et 6
nous leur avons associé impli-
2,
citement deux applications
Tl et
T
qui opèrent sur des fonctions.
z
Nous allons expliciter ici ces applications gui ont été par ailleurs intro-
duite 5 par A. BENSOUSSA N et A. FRIEDMAN [31 pour étudier le problème
2
n
.
de jeux,
T
est l tapp ll cat icn qui à
VI E L (li.) assocIe:
Z
(1.92)
2
n
.
quant
à
Tl'
à '0'2 E L (Ii. ) elle aSSOCIe
(1. 93)
(n)
{n)
Ainsi les fonctions
Ut
et
u
de la suite
5
sont obtenues à partir
2
n
(0 )
(0) )
u
CL 1
•
2
(1. 94)
(n)
, l 1
•

---

- '25 -
On a
K
= ~
2*
K *
= (a, b J
2
et
~ est un point fixe de 8
qui engendre la solution (u
u2'~' Ca, bJ) les
18 2
I'
fonctions
u
et
"z sont représentées sur la figure 4 ) .
l
D'autre part
( c J
(c) aussi est un point fixe de 8
qui engendre la solution (;;1' 'i'i'Z' (c).9I"),
18 2
ne sont pas comparables 1
(n)
5.2.
PROPRIETES DES [TERES
("i •
LEMME 1. 3. -
On suppose (H) alors l'application
T. est:
,
croissante sur { v : vê L 2 {lLn" r v ~ cp.] E iJ ,*). i, j= 1,2, i l j ;
2
n
J
J
*
décroissante sur ( v : v E L (a ), [ v 2:t'p.J E iJ. ), i, j= 1,2, i Ij
J
J
Preuve:
On va montrer par exemple que
T. est croissante.
2
n
'
.
Pour
vEL (R)telqueCv~cp.JEa., soltw,=T.v, on sait alors
J
J*
l
l
(cf. Lemme 1, 2.)(1. 56) qu'on a aussi
(1.96)
W,= P (N.(( v '",J. W
.• f.l. i , j = 1,2. i 1 j où Wi est
...
l
J
l
l
définie dans (H).

---

- l Z7 -
On démontre alors par récurrence sur
n
que la suite
U~n)e8t
décroissante.
(n)
(n)
(n)
On regarde rna inte nant
"z . Comme "z =::: T 2 "i
et que T let T 2
sont croissantes, on rnontr e encore que u~n) est décroissante.
è m e
Z
cas
On suppose (H) et (Hd).
Dans cette version on a que les applications
T. (i =1,2 ) sont décrois-
,
sante s de 1. dans 1.. i., j= l , 2, i f- j. de sorte que TIT
e at crois sante de
Z
J '
( )
\\
dans Il' On rnontr-e alors que
llin est encore décroissante. Oua nt à
n)
uz • elle est croissante car T 2 est décroissante.
LEMME 1.4. -
(n)
Les suites
(n) et
"1
"Z
sont bornée 8 dan 5 V
Preuve:
n)
On va montrer par exemple que
ui
est bornées
V.
(n)
(n-IL
(n-I)
Par définition Ut = T1T
Ut
- Tl "z
. n a 1 i,e encore
Z
donc
(n)
l n)-v)
a( u 1 •
l , V v E V ,
"
On peut donc prendre v:: ~l comme fonction test, il vient alors
(n)
(n)
a("1
- ~I' "1
d'où

---

- 129 -
que
i.= a
.
-
On sait alors
(M.(K. l, C). (cf : exemple 1. 5 l .
1
1
J
1
*
On prend
*
A. = ~
et on travaillera alors dans l'ensemble &..
L'b ypothê ae
1
1
K c K •
(Hd) est tcujour s vérifiée. On sait aussi que pour toute partie
.•
J
on a :
(1. 10 Il
P (N.(K), M.(K), L) = 0 (M.(Kl, f.}, i= 1,2.
1
1
1
1
1
(n)
{n)
Donc les suites
u
et
"z
définies par (1.94) vérifient aussi
l
et en particulier
n
(1. 102)
f.
(dans
R.
). i = 1,2 .
1
(
(n)
(n».
Soit maintenant
w ' W l 1
(
"z
•
1
z a limite de la suite
ul.
D'après le corollaire 1.2 (Zème cas ),
on a
{n)
2
(1. 103)
u
1
w
dans
L (Rn) fort
1
1
(n)
2
n
(1. 104)
u
W
2
z dans L (R) forl
Noua au eons besoin du lemme suivant établi dans A. ANCONA Cz]

---

- 131 -
dans
V faible, donc
Hm
= 0
[n]
donc
Ut
-----40 w
dans V fort et donc
c.q.f.d.
1
THEOREME 1. 4. -
On suppose (H) , Li. < 1. , 1., !..(p./\\ f , E L P (lt), (p 21)
1
1
1
1
1
)
et
~i < '=Pi (strictement) . Soit (w , w ) la limite de la suite (uin), u~n ).
1
Z
on définit les ensembles fermés
KI = (w = CPt] et K = U cu~n)=et:2]. alors
1
Z
le quadruplet (w , w
) est une solution du système d'!. Q. V bilaté-
1
z' KI' K z
rales (1.31)-(1.32).
Preuve:
2
n
Puisque f ,
i, 1\\ ~. EL (li.:) et que
~. c cp •• alors le corollaire 1, l ,
1
1
1
1
1
montre déjà que pour tout n EN,
(1. 106)
On pose
(1. 107)
alors
et gr-âce au corollaire J. 1.
On va maintenant étudier les couples (w , K
et (w
Kt)
1
Z)
Z'

---

- 133 -
Etude de
W z et KI
(n)
Considérons
KI = [ W{ CPl J. Comme
LUI
~ fI et que
u\\n)--:. w
dans
V
faible. on a aussi
LW
~ 'i : par suite W admet
1
l
1
un représentant canonique
s. c , s.
';1 et donc Kt [;.{ CPI] est fermé.
(n)
(n)
Comme
W 1 :II:
u 1
:II: CPI'
alor s
[wt CP1J c: [u
:::!',pl ] ; par suite pour
1
(n)
(n)
tout n
(wl=CPll c: (u
=CPI l c: (u
= W2 l et donc :
l
2
Soit maintenant
(1. 110)
u •
existe et est unique. On va montrer que
w
= U •
Z
z q. p.
Cette égalité est déjà vraie dans
Ki" On va l'établir localement dans
l'ouvert
CK .
1
Soit donc
x ECK 1. Comme
u (n) ----1' w
q. P il existe un rang n
l
( )
1
0
tel que xE CK n = r: (n) ouvert
Vn <!: n
;
Soit donc
~ une boule ouverte
1
2
_
(n)
0
contenant x
et telle
lS C (go c: L: 2
.
n
On choisit alors une suite
lS
de fonction de .&(R )
telle que
o ~ e ~ 1. e = a hors de L: (n~ e ------310 1 sur lS. e -- 0 hors de lS
E
E
2
E -
- - -,
E
quand
E
.....
0
•
On prend maintenant:
v = a '
{n) = u (n) _ e ()n~
•
E
"z + (l- eE ) "z
2
E
2
u 2 )
comme fonction test
(n)
dans PI. V. bilatérale vérifiée par
u
' on a
2

---

- 135 -
Ceci achève
la démonstration du théorème
1. 4
Remargu,e 1. Il. -
Il faut remarquer ici que (w , w
est une solution du système
1
z' K1,K Z)
(n)
dIt. Q. V (1. 31)-( 1. 32) • et K = U C"z :::: !':PZ] n'est pas nécessairement
Z
l'ensemble
de contact [w = epZ ]
!
Z
6. - AUTRES PROBLEMES.
Le problème que nous venons dt é tudi e r dans
an peut se poser de
façon plus générale dans un ouvert (2
régulier non nécessairement borné
avec soit des conditions de Dirichlet,
soit des conditions de Neumann.
On pourrait aussi envisager le cas d'un système gouverné par deux
opérateurs distincts
Li et L
L I t L
.
Z'
Z

---

_ 137 _
CHAPITRE 2
I.Q.V BILATERALE D'EVOLUTION
1. - FORMULATION DU PROBLEME
1. 1. - NOTATIONS - HYPOTHESES
n
Soit
T
Un réel positif fini.
On pose
Q::::Il)( JO. TC.
.
1 n
-1
fi
• •
enc
l'espace
et
son
V
d é
s f g n e
o
r
e
H
( R
)
V '
: : :
H
( R )
d u a l .
O n
t n t
r
o d u î t
les espaces 'If :: LZ(O. T, V), 'If'::: L 2(0. T, VI)
munis de leurs norrnes
ère
naturelles (cf : 1
partie) .
Pour presque tout
t E (D, T),
on
considère la forme bilinéaire
a(t, .•. ) = a (. J. ) définie et continue sur V)( V :
OU
n
OU
a(u, v)
~
0
S[ E a .. - -
+ E
a
- - v +
,. ,
a u vJ dx
an i, j= 1
ox.
o X.
o
1)
Cl Xi
J
îe l
1
2 -
0
-
où
a .. EC
(a) J a E C (0) avec a
O!:.
On suppose que la forme
a( .•. }
1)
a
0
est coe r c i ve sur V au sens:
2
(2. 1)
3a.>o,'luEVp.p. en
tEtO,T), a(t, u, u] 2 Cliluil
V
On pose
o
n
il
il
L
a.-7'- + a 1
0 -
E - - ( a.. - - ) + E
i J' a x.
o
IJ
CI X.
1
à x.
' J
1
i= 1
1
de sorte que
V u,
v EV
-c Lu, v>
:: a(u, v)
V'V
On introduit l'opérateur parabolique:

---

- 139 -
n
On se donne enfin deux fonctions réelles
u . définies sur 11.
telles que:
01
2
n
(2. la)
u
. E L (B. ) • continues, i = l, Z •
0, 1
Nous pouvons maintenant formuler
1. 2. - LE SYSTEME D'1. Q. V. BILATERALES.
On s'intéresse au problème suivant: Trouver deux fonctions
u1et "z
de 'tr, deux parties
KI et K
de
Q
telles que:
Z
(2. 11)
u =
2
avec
(2. 12)
eupp (Eu. - r. J-c: K. c: Cu. = ",.]
1
1
1
1
1
où
Cu = (Pi] = ( (x, 1) E Q
u. (x, 1) = "'. (x, 1)
)
i
1
1
Rappelons maintenant que nous notons
p (Xl' XtI, Ua) l'unique solution
(ai elle existe) du problème bilatéral d-évo luti on défini par les obstacles
Xl' Xz (Xl s. Xz) • le s econd membre f et la condition initiale ua ; la d~Ii~
nition précise de cette solution est donnée dans la première partie de cette
thèse (Zèrne article,
Paragraphe III, Théorème 3) ainsi que les conditions
d'existence.

---

- 141
i, j =1, Z, i -1 j telles que f,= g'l- g. Ji::: 1,2 ;
1
1
12
(0)
0 ",(0)
3 ~ .. E'Ir, 3 v
E~ avec ~ E~ 1 telles que pour i, j::: i, 2
')
j
(2. 16)
(0 )
2
n
on ait Et.- g .. E e +, v.
,
~ ij , ~.. (0) EL (II. ) ;
)
')
)
')
et que
ov
(2. 17)
VKCQ,[v:vE'Ir,
E 'Ir',
N. (K) ~ v s M. (K). pp } 1 ~ i
0'
•
•
::: I, 2
~.
ov
(2, lB)
~ • = [ v :vE'1r.~E'1r'. v s ~i pp Jill, i = 1,2.
Remarque 2. 2. -
L'hypothèse (2. 18) assure l'existence de la solution
cr (~., f.. u
.) de
~.
1
1
0,1
PI. V
unilatérale relative au convexe
'C l, au second membre f. et à la
•
condition initiale
u . ([ Il)~ quant à Uhypothë se (2. 17), elle impose l'existence
o.
d'une fonction "r-é
Hê r-e"
v .
entre
N.(K) et M.(K) ; ce qui
g u
c c r n p
r f
e e
01
1
1
signifie que
v . come Ide sur
K avec~. ; K
étant arbitraire (pouvant conte-
o.
•
nir des ouverts
très "g'r o e" ) ceci impose de fait
à
~. dë tr e elle mëme
•
régulière sur
K. et par conséquent sur
Q.
LEMME
2. 1.-
On suppose (2,10)-(2, 14)-{2. 17) . Soit
K une pa r-tre de O. alors. pour
i = 1,2. il existe
w.
unique dana
'tr
telle que
•
w." p(N.(K), M.(K), l.,u .] i = 1,2
1 1 1 1 0 1
De plus
(2. 19)
Ew. E®
•

---

- 143 -
Nous sommes maintenant en mesure de construire les applications
8
et
8
On se place donc BOUS les hypothèses (2.10). (2. 14)-(2. 18).
1
2,
A toute partie K
de
Q .
on associe
K. C Q
définie par
1
K.= [w,= q,. ] où W. est définie de façon unique
par le lemme 2. 1.
1
1
1
1
On construit ainsi deux applications
sur les parties de
0 en
posant
e. K = K. = ( w. = <p. ]
1
1
1
1
où
= P (N.(K), M.(K). L, u
.), i = l, 2 .
1
1
1
0, 1
On considère ensuite l'application composée
818Z'
Si maintenant Kt est un point fixe de
8
on pose
16Z'
u
P (NZ(K
Mz(K
f ' u
Z). ensuit. K =( u = "'Z]
2=
I),
I),
Z
o,
2
Z
et enfin -. =p (Ni(K
M1(K
= CUl = ~l] et
Z)'
z). ft' ua. i)' de sorte que KI
par Suite le quadruplet
(u
"z: Kt' K
est une eol.utîon du système (2. Il),
I'
Z)
(Z. IZ).
On voit donc que, comme au chapitre l , il s'agit de trouver un point
fixe de
8
Pour ce faire on peut
reprendre sans difficulté toute la
18Z'
technique du chapitre l .
Soient
donc
cr (W .• f.. u
.) la solution d'une 1. V unilatérale (au sens
1
1
0, 1
de [11]) et p (W .• ep .• f .• u
.).la solution de 1'1. V bilatérale relative aux
1
1
1
0 . 1
obstacles
W. et ep .•
,
1
D'après (2.3). (Z.4) et (Z. 15) le, fonctions
cr (,.. L, u ) et p (,., <p., 1., u
.)
1
1
0
1
1
1
o. 1
sont continues. On int roduit alors
les ensembles fermés de 0 :

---

_ 145 _
auquel cas on suppose
(Hd)
VKE
*
~.
e.K
*
E~.
i, j = l, 2. i 1 j .
1
J
J
THEOREME 2. 1. -
Outre les hypothèses (2.10), (2.14)-(2.18), on suppose (H) et (He) ou bien
(H) et (Hd), alors lvapp l.lcat ion
B}e
admet un point fixe soit dans
Z
"1* si on a (H) et (He), soit dans crt si on a (H) et (Hd) •
La démonstration de ce résultat ne présente aucune nouveauté. Elle
est l-analogue du Théorème I. 2. du chapitre 1 . On peut mont r e r alors
que
8 e est une application croissante (comme la composée de deux ap-
1 Z
plications qui sont: soit croissantes si on a (H) et (He), soit décroissantes
si on a (H) et (Hd»
qui lai e ee invariantes un intervalle d'ordre.
3.
REGULARITE DES SOLUTIONS.
3. 1. - ESTIMATION DUALE LOCALE.
c
Soit K un fermé de
Q.
on pose
L ::: K
et pour i= 1,2
::: p (N,(K), M.(K), f.. u
.).
Pour obtenir une estimation duale sur w.
l
l
l
0, l
l
ne peut pas adapter
i
et directement la technique de
f a c
l
e r n e n t
d é r n o n a t
r
a - .
tion de la version elliptique. Cette technique utilisait essentiellement la
solution d'un problème unilatéral "non homogène" dont
w. est précisément
1
la donnée "non
gene" sur le bord. Mais on sait (cf
par
h o m
o
C 4
]
e x e r n p
l e
)
que la résolution des problèmes "non homo gê ne s" dans le cas d'évolution
demande des conditions de régularité sur w .• Or le but de ce paragraphe
1
est jus ternent
l'étude de la régularité de
W.
1
Nous allons donc commencer par donner un résultat de régularité
W2. 1. 2 (I:) sur
loc
w i

---

_ 147 _
Ceci dit, remarquons que
(2. 24)
On a donc
(2.25)
Prenons comme fonction test (w.
- ep.)+E1r, il vient
"
1
+
(2.26)
1
-
J
+
+
<E(w.
- ~.). (w. -~.):>
+
(w.
-M.(K»
(w. -~.) dxdt
re
1
lE
1
1r'1r
E:
Q
re
1
re
1
.
J
+
+
+
-
(N.(K)- w.
) (w.
-~.) dxdt = <f.-E~ .• (w. -~.) '> •
Q
1
re
re
1
1
1
i e
l
"Ir'''!r
Regardons alors les deux derniers termes du premier membre.
+
c
On a vu en (2.24) que (N.(K)-w.
) = 0 sur
K
; sur
K
1
"
on a
(N.(K)- w. )+ = (W.-w.
)+ et cette quantité est non nulle si et seulement
1
lE
1
le
+
si
,. > w.
ce qui entratne
cp. > w.
et donc (w. - e.) = 0,
d'où:
1
re
1
i e
i t
1
J
+
+
a (N . (K ) - w.)
(w. -~.) dxdt = 0
1
ie
lE
1
J
+
+
Quant au terme
(w. - M.(K))
(w. -~.) dxdt; puisque pour tout K,
re
1
lE
1
M. (K) :s:: cp., il vient:
Q
1
1
J
+
+
+ 2
a (w . - M.(K» (w. - ~.) dxdt ~ JUw. -~.) J dxdt
.
le
1
re
1
Q
i c
1
/

---

- 149-
PROPOSITION 2. 2. -
c
Soit K
un fermé de
Q
et 1: = K . On se place sous les hypothè-
se e de la Proposition
2. L. alors pour
i::: 1,2
W.= P (N.(K), M.(K),I., u
.)
vérifie
1
1
1
1
0, 1
(2.30)
Ecp./\\ r.
:s; Ew.
:s; f.
sur 1:
1
1
1
1
p
p
n
Si de plus
r, EL (0), Eq>. /do E L (0), u
. E b(1I. )
1
1
1
0, 1
on a
(2.31)
w2 , i, P (l: )
loc
Preuve:
L'idée de la démonstration est Itanal ogue du cas elliptique. Plus préci-
sément soit q = ~l( )t • te un ouvert cylindrique de Q tel que q cq c 1:
o
1
n
avec ~
une boule ouverte de R.
et
0 ~ t
< t s T; quitte à changer
o
l
t
en
t-t ' onpeutrnettreq
souslaforrne
q=~x]o.TIC{Tl=tl-toJ.
o
On désigne
par
y =o~xJo.TlC le manteau du cylindre
q.
On pourrait prendre plus généralement
u
. dans! es espaces de Besov
0, 1
le
des traces en t = C
des éléments de
2
2,I,p()
[
1
ê
v
0 v
~
2() . .
1
)
W
Q:::
v
V, -
.....
""
'
.... 1
E L
Q. 1, J=
,2, ..• n
OX.
oX.oX.
0
1
1
J
(cf par exemple
J. L.LIONS el J. PEETRE CIO])

---

- 15! -
2(O,
2(O.
Soit maintenant
v E L
Tl' H\\~)) tel que ~: E L
Tl' (HI(~ ))') •
v =w
sur y, v s; CPi
pp q;
on désigne par
-;;
le prolongement de
v
par
i
w.
hors de
q,
alors
'; s (p.
pp. Q
et ~ =w. ::; W.
sur
K
et
donc
1
1
1
l.
~.(v).O.
1
Multiplions alors les équations pénalisées ci-dessus par e (w. - ~) et
~ "
intégrons de
0
à
T ; comme
e = 0 hors de r:. on obtient (puisque
2
u
+
Ew. EL (Q)
et que ~.(w.
). (w.
- .,.)
sur E).
le
1
lE
le:
1
J
I
J
+
+
(Ew.
)e (w. -v)dxdt + -
[(w.-<g.) _(v._~.)] e (w. - v.)dxdt+ J(Ew. )e (wcw.)dxdt
lE
IJ
i e
E
H:
1
1
1
IJ
le
1
.
\\,
lE
IJ lE 1
q
.
q
E,q
1
+
+
t -JC(w. -<g.) -(w.-.,.) Je (w.-w.)dxdt .Jf.e (w.-v)dxdt + J f. e
(w.-w.)dxdt,
E
>,\\,
re
1
1
1
f.l.
i e
1
1 IJ
1
1
IJ
lE
1
"~
q
E~
et quand
IJ ..... 0
on obtient
(2.36)
(Ew. )(w. -vjdxdt + L JC(w.-.,.)+-(v-<g.)+] (w.-v)dxdt
J
u:
re
E
lE
1
1
re
q
q
= Jf.(w.-v)dxdt
l
"
q
ou encore:
Tl
TI
ëv
JTI
~
)
J <-,w.-v>dt+
<~t(w.-v.w.- vrdt +J
a,(w. • w. -v] dt +
at
le
\\:;1
re
rs
0
re
le
o
o
0
+ 1 J' ((w. _<g.)+ -(v-<g.)+](w. -v) dxdt = J f,(w. -v) dxdt
E
re
1
1
le
1
ae
q
q
ob. le crochet de dualité est à prendre dans
2
I
2(O.T
I(,)).
L (o T
(H (, ») . )
L
H
' 1 '
~.
I,
0

---

- 153 -
COROLLAIRE 2. 1. -
On se place dans les hypothèses des Propositions 2. L et Z. 2. et on
n).
suppose en outre que
CE LP(Q). E~." i.E LP(Q), u
.Eb(a
1
1
1
O. 1
C
Soit K un fe z-m é de Q, on pose r::= K
alors
pour i =1,2
0
2
1
n
(2.37)
)
w.=p (N.(K), M.(K), f., u
. EC (,;)nL (0, T, H (B.))
1
1
1
1
o~
Si de plus on suppose que
w.< ~. (strictement dans 0 "
1
1
alors
(2.38)
[ W.= ~.] est fermé
1
1
Preuve:
Par une technique analogue à celle de la démonstration du corollaire 2.
è r e
(1
tre,
on trouve
que pour tout cy Indre
p a
r
.
2 è m e as-t.tc 1e ) •
fa c .t le ment
l'
-
0 -
ouvert
q c:q c: E. on a
w. Ee: (Q).
1
Ceci montre déjà (2.37). Si donc
~.<I:P.' alors l'ensemble [w.= i!'.] Be
1
1
1
1
trouve justement inclus dans
L. donc il est fermé.
A partir de ce corollaire 2. L . on peut maintenant étudier par des
méthodes analogues à celles du cas elliptique la régularité des solutions du
e yetèrne d'1. Q. V (2. 11), (2. 12).
On se place donc dans l'une ou l'autre des intervalles fermés suivants
soit :
3i * = (K
K E ~i*' K fermé] , i = i, 2
soit
*
~. =
*
(K,KES.
, K fermé 1. i = i, 2
1
1

---

- 155 -
THEOREME 2. 3. -
On se place BOUS les hypothèses du Théorème 2.2. alors les solu-
-Hona (ur "z: KI' K
du système dl!. Q. V
bilatérales (2. 11), (2. 12) sont
z)
caractérisées par les conditions suivantes:
(2.39)
pp
Q. i = 1. 2
U." cp.
1
1
(2.40)
u. (x. 0) = u
.(x)
i = l , 2
1
O. 1
(2.41)
Surleierrné
K .• ona
u.=w. pp. i,j=l,2. i f j ;
J
1
1
(2.42)
Sur
E. = CK .• on a Eu.-f " 0 pp. L. (u.-<p.)(Eu.-f.)=O pp.E.
l
J
l i
1 1 1
1 1
1
(2.43 )
Supp (Eu.-f.)- C K. C (u.= <p.]
1
l
l
1
l
Preuve:
1) Les conditions sont nécessaires. En effet les relations (2.39)-(2.41)
sont conséquences immédiates de la définition de l'appli-cation p . Pour
vérifier (2.42), on va utiliser lIinégalité vérifi~e par U., i, e pour tout
z E'Ir
1
telle que
..&.LE '/fI
et N.(K.):' z:' M,(K.), i,j:;: 1,2. i'l i . on
at
l
J
1
J
T
T
T
1
2
(2.44)
S <~ • u. -z)dt + S a(u.• u. -z)dt - -2 1 z(o)-u . \\ 2 " S(i., u.-z.)dt
o
l
l
l
o
~ t
1
0
1
1
0, l
L
(]ln)
Si maintenant
eE.b (Q), e ~ 0, supp e C E. et soit
1
v:' M.(K.). alors pour tout 1-1>0
1
J
on a aussi
N.(K.) :'v-lJe :' M.(K.)
et on peut donc prendre
Z
v v-u ë
dans
l
J
l
J
(2.44), il vient
:
T
1
2
Sa (u .• u.-v+~8)dt--2 Ho)-~e(o)-u
'\\ 2
o
l
l
0, l
L (an)
T
" S (f.. u, -v + ~ e)dt
1
1
o

---

- 157 -
Remarg ue 2. 5. -
On peut mentionner ici le cas où le système d'L O. V bilatérale se
réduit à une 1. V.
bilatérale, celle précisément étudiée dans la première
partie de la thèse. En effet si (u
u
désigne une
solution r é gu-
l,
z' KI' K Z'
Hère de (z , Il), (2. 12) (cf ~ Théorème 2. 2. ) et si de plus on suppose que:
dans
Q
n
o
0
dans
Il
alors
= 0
pp
Q
et de plus
3.3. - SUR LA CONTiNUITE DE "i. i =1. Z
----_.----.--------------
Sous les hypothèses du Théorème 2.2., on a évidemment
u. EC,°(t.) et comme
,.Ec.°(a). alors ici aussi comme dans le cas station-
1 1 1
naire les seuls problèmes de continuité de u . se présentent sur le bord ~r: ..
1
1
Mais contrairement
au c a s elliptique où la continuité (sur
r.)
ê
est le cas
1
Il naturel" et d'éventuelles discontinuités
une "exceptton'", dans le cas para-
bolique des discontinuités
sur
ê
E. semblent l'naturelles" et la continuité en
1
tout point de
0 L. plutot une l'exception"
1
Ceci dit, on pourrait envisager une étude plus fine de la continuité de u,1
et ce grace à la notion de capacité parabolique définie par
P. CHARRIER[6J
et M. PIERRE [12J. Mais on est alors confrontés à de nouveaux problèmes
qui semblent-ils sont encore ouverts. Il s'agit essentiellement d'étudier en
évolution la version elliptique de la notion d'effilement d'un fermé en certaine de ses
point. (cf: M. BRELOT [5J) .

---

-159 -
On considère maintenant le couple de fonction (u
u
I'
z) définies sur la
figure.
Ut et
"z sont indépendantes du temps !
YtE]O,T[, Kln[(l,~]=~ et alors
uZI ~Z sur [(l,~].
o
On vérifie ensuite grace au Théorème 2. 3
que le quadruplet
(u " u
est une solution du système dl!, Q. V
bilatérale (2. Il). (2. 12).
I
z, Kt' K Z)
Si maintenant
<;lI("
t} "descend"
vers
~
au cours du temps i, e
lorsque
t ... +00 (meme de façon très régu~ière) on voit qu'au moment du
contact sur (a. j3 J. alors
u = ~ Z sur Ca, B 1 et il y a
discontinuité.
Z
. . . .
- .- . . -. -
~

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BIBLIOGRAPHIE
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boundary for solutions of elliptic partial differential equations
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t9]
P. CHARRIER et G. M. TROlANIELLO - Un résultat d'existence et régu-
larité pour les solutions fortes d'un problème unilatéral d'évolution
avec obstacle dépendant du temps. J. Math. Anal. Appl. 64 (I97S).

---

~u
et
approuvé,
Talence,
le
22 Janvier 1981
le Président de l'Université
de Bordeaux
1

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