THESE DE
DOCTORAT DE TROISIEME CYCLE DE MATHEMATIQUES PURES
présentée
A LA FACULTE DES SCIENCES DE L'UNIVERSITE DE DAKAR
par
Mamadou THIAM
! . . • • . • •
" ' • • . • • • •
- A-
PARAFACTORIALITE DES ALGEBRES LOCALES
NOETHERIENNES
-B-
SUR LE PROBLEME DES CHAINES D'IDEAUX
,
PREMIERS DANS LES ·ANNEAUX NOETHERIENS
Soutenue le 20 avril 1982 devant la Commission d'Examen
MM. E.
FBDIDA
Président
C.
BADJI
A.
COSTE
S.
NIANG
Examinateurs
H.
SEYDI
D.S. THIAM

---

1 N T R 0 DUC T ION
.=.=.=.=.=.=.=-=-=-=-=-=.
Le présent travail se divise en deux parties:
Dans la première partie nous nous donnons un anneau local noethé-
....
rien
A dont le séparé complété
A est normal. puis une A-algè-
bre locale noethérienne. formellem~nt lisse
B. telle que
dim B > dim A. Nous nDUS posons la question de savoir si
B est
parafactorielle.
RAMANUJAM
et
SAMUEL
ont donné une réponse affirmative dans le
cas où le corps résiduel de
B est une extension finie de celui
de
A. (c. f •
(5)
2 1. 14 - 2 )
Nous avons donné des réponses affirmatives dans les cas suivants
1)
Le corps résiduel
K de
B est une extension finie d'un corps K'
qui est une extension algèbrique séparable du corps résiduel
k
de
A
(c.f.
Chapitre 1).
2)
L'anneau local noethérien
A vérifie
R2 • cette démonstration
s'appuie sur un lemme établi par
SEYDI
(c.f. Chapitre 2).
Oans la deuxième partie nous étudions le problème des cha~nes
d'idéaux premiers. qui consiste en l'étude des conditions moyennant
lesquelles un anneau local noethérien est caténaire.
L'étude de ce problème a été inaugurée vers 1956 par NAGATA
qui
a donné un certain nombre de critères intéressants. Malheureusement.
bien que la plupart des résultats obtenus par NAGATA soient vrais.
les démonstrations qu'il en a données. étaient presque toutes
incomplètes, il fallut attendre vers les années 1967-68 pour que
RATLIFF reprenne et complète les démonstrations de NAGATA. D'ail-
leurs le plus beau résultat de toute la théorie a été obtenu par
... / ...

---

- 2 -
kATLIFF et énonce le fait suivant
pour qu'un anneau local
noethérien intègre soit universellement caténaire, il faut et il
suffit que s~
complété
 soit équidimensionnel. RATLIFF déduit
de ce résultat qu'un anneau local noethérien hensélien caténaire
est universellement caténaire.
On pourra distinguer deux sortes dc critères pour qu'un anneau
local noethérien soit caténaire :
D'abord les critères forts ou conditions de chaînes et ensuite les
ctitères faibles ou conditions
T. Beaucoup de résultats ont été
obtenus par NAGATA, RATLIFF et SEYûI sur les premiers critères.
Les conditions
T
ont été introduites par L. J. RATLIFF et
Stephen MC ADAMS.
Dans cette partie nous étudions les anneaux semi-1ocaux noethériens
intègres vérifiant
T
et la
2
conjec~ure CP) suivante
"Soit
A un anneau semi-1oca1 noethérien intègre de dimension> 2
s'il existe une chaîne maximale
OCPC~i
dans
A, d'après
([12J
Proposition 2.2) il existe unG infinité d1idéaux premiers
(P,,)
tels que pour tout
i€I
OCP,,~M
soit une chaîne maximale.
ieI
Alors U P,' = M.
ieI
On sait qu'un anneau local noethérien vérifiant
T2 vérifie la
p.c.c.
le problème est de savoir si un anneau semi-local noethé-
rien intègre vérifie la p.c.c •• Moyennant la conjecture CP),
on démontre qu1un anneau semi-local noethérien intègre vérifiant
T
vérifie la p.c.c ••
2
Nous démontrons en outre le résultat suivant :
Soit
A un anneau local noethérien intègre,
B une A-algèbre
fidèlement plate, vérifiant la p.c.c. et quotient d'un anneau
local régulier telle que
dim B ~ dim A.
.
•
.. / ...

---

- 3 -
Alors
=
nA (où E est l'ensemble des idéaux premiers
pEE P
de
A
de hauteur
1)
est une A-algèbre finie si et seulement si
pour toute chalne
ql C pl
de
B avec
ql €
Ass(B)
si
ht pin A ::. 2
alors
ht pl
>.- 2.
XI

---

Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Monsieur Hamet SEYDI,
Directeur de ma thèse, qui a su m'int~resser l llAlgèbre Commutative
et à la Géométrie Algébrique.
Je remercie Monsieur Edmond FEDIDA d'avoir bien voulu
présider le Jury.
Je remercie également Messieurs BADJI, COSTE, NIANG et
ïHIAM pour avoir accepté de faire partie du Jury.
Mes remerciements vont également à Mesdames S. NOIAYE et
S. MBAVE ainsi qu'à Monsieur M. SECK pour le soin apporté à la
présentation de ce travail.
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-~-=-=-=-

---

PLA N
-0-0-0-0-
A.-
CHAPITRE
0
Définitions et Rapp~ls.
CHAPITRE
1
Algèbres locales noethér1enœs parafactorielles.
CHAPITRE
2
Parafactorialité des ~12èbres locales noethériennes
et la condition
R •
2
CHAPITRE
3
Conjectures.
B.-
CHAPITRE
0
Définitions et rappels.
CHAPITRE
1
Anneaux semi-locaux n08thériens vérifiant la
condition
Tl'
CHAPITRE
2
Anneaux locaux noethériens et la condition
51'

---

CHA PIT R E - 0
1 - Lissité fonnelle et Anneaux. de Cohen :
Dans ce qui suit A désigne un anneau topologique.
1.1. - Lissité formelle.
1.1.1.
~!~.!!!9!!: Une A-algèbre topologique est dite fonnellement lisse
ssi étant donné une A-algèbre discrète C et un idéal nilpotent
1 de
C, tout A-
homomorphisme continu u : B-->C/ l
se factorise en n _v
> C --'P'---'i> Cil
où
v
est un. A-homomorphisme continu et
~
la surjection canoüque.
1.1.2.
rr9P9~!!.!9~:
(i)
A est une A-algèbre formellement lisse
(ii)
Si
B (resp C) est une A-algèbre (resp. B-algèbre) fonnellement
lisse alors
C est une A-algèbre formellement lisse (transitivité).
(iii)
Si
B est une A-algèbre fonnellement lisse alors pour toute
A-algèbre topologique A'.
B 0 A'
est une A' -algèbre formellement lisse.
A
(iv)
Si
B est une A-algèbre fonnellement lisse et
T une partie
multiplicative de
B alors pour toute partie multiplicative
S de A dont l'ima-
ge canonique est contenue dans
T,
T-1n est une
S-lA-algèbre formellement lisse.
(v)
Soit
Bi (i;l, .••• , n)
une A-algèbre topologique; le produit
n
n Bi est une A-algèbre formellement lisse si et seulement si chaque Bi l'est.
1=1
Preuve
(i)
Soit
C une A-algèbre discrète et soit
1 un idéal nilpotent de C ;
l'unique A-homomorphisme de A
i> CIl
est celui qui définit. la structure
de A-algèbre de
Cl· . donc se factorisant en A v i>C
P i> CI 1 où v est
le morphisme dè structure de
C et
4>
la surj ection canonique •
.../ ...

---

- 2 -
(ii)
Soient
E une A-algèbre discrète,
1 un idéal nilpotent de E et
u:C
----;~ EI
tm A-homomorphisme continu
a et
B désignant les homomor-
1
phismes de structure
de
B et
C respectivement,
uoe
est un A-homomorphisme
v
se factorisant alors en
B ----;~E
cp
~E/I
(v=A-homomorphisme continu et
$
= surjection canonique). Par v, E devient une B-algèbre discrète de quo-
tient
El l
;
u
qui est aussi un
B-homomorphisme continu se factorise en
C
W
~E
P >EI
(w = R-homomorphisme contirn).
west également un A-horno-
l
morphisme contirn corrme i l résulte de la corrmutativité du diagramne :
a
u
A --...,.. {\\ --+. C --._'--:,.
,
1
,
1jW
,
1
'~~.
(iii) B Ci) AI
est une AI-algèbre.
A
Soient
C
une
AI-algèbre discrète, l
un idéal nilpotent de
C
et
u : B 0 AI -->CIl
un A1 -homomorphisme continu.
A
Le diagrarrone
est commutatif (a, a' , jB ,jAI étant les morphismes canoniques). Il en résul-
te que le A-homomorphisme contirn
u 0 jB
se factorise en B -L>C
p
~ Cll
(v = A-homomorphisme continu)
Par
v,
C
est une B-algèbre donc un CAl, B) bimodule ; de suite i l existe
w : B <1' AI
~ E
W = AI-homomorphisme contirn.
-1
(iv)
T- 1B est une S-lA-algèbre au moyen du morphisme canonique S a .
Soient
C une
S-lA-algèbre discrète,
l
un idéal nilpotent de
C et
u
r-1B
~ Cil un s-1A-homomorphisme continu.
.../ ...

---

- 3 -
Le diagramme suivant étant commutatif.
le A-homomorphisme uojB se factorise en
v
~
B
> C
> C/ r
(v = A-homomorphisme continu)
Comme pour tout
t
T u(t/l)
est inversible dans
C/ r et que r est nilpotent~
v(t)
est également inversible ; de suite il existe w: T-1 B ---~C factori-
sant v.
(west un
s-1A-homomorphisme continu).
(v)
Soient C une A-algèbre discrète et
r un idéal nilpotent de C.
La donnée de
v A-homomorphisme continu équivaut à celle de
nA-homomorphismes
continu u. , tout comme celle de
v équivaut celle de
nA-homomorphismes con-
1
tinu v· .
1
Pour une A-algèbre topologique
B les conditions suivantes sont
équivalentes
(i)
B est une A-alRèbre formellement lisse
(ii)
B est une A-algèbre formellement lisse
....
(iii)
B est une A-algèbre formellement lisse.
....
....
(A et B désignant les complétés de A et B respectivement).
Preuve
....
....
B est une A-algèbre ; toute A-algèbre discrète C est aussi une
....
A-algèbre discrète
tout A-homomorphisme continu B -----~C
se prolonge con-
....
tirn.unent en
B
> C.
.../ ...

---

- 4 -
Les équivalences annoncées résult~ut de la commutativité du diagramme suivant
'='
u
~ cil
"' • •
A
/
..
", v
~C
.
~
--~
.... -,;,..- - -..
C A-algèbre discrète.
JA et jE morphismes canoniques.
v A-homomorphisme continu factorisant
uojB
1.1.4. E!22Q~i!iQg (Th. de Cohen)
Soit
K une extension d'un corps
k.
Si
k et
K sont munis des topologies discrètes alors
K est une k-algèbre for-
mellement lisse ssi K est une extension séparable de
k.
Preuve:
La nécessité de la condition est une conséquence directe de la pro-
position
(0.19-6-1
). Pour démontrer que la condition est suffisante
il s'agira, de l'établir pour les extensions séparables de type fini, le cas
général se déduisant de celui-ci.
Si
K est de type fini, il existe une sous-extension
K'
de
K telle que
K soit algébrique fini sur
K'. Tout revient donc à prendre soit
K algébri-
que fini sur
k soit
K = K'. Dans le 1er cas le résultat découle de la pro-
ment lisse
k [1'1' .••.. , TnJ
,envertude
(0.19.3.3. [3J
cond cas il suffit d'observer que les groupes de Hotchild Ht (K, L)
sont mlls
pour toute extension L de
K; or
H~ (K, L) = Ext~ (K, L)
pour C = K~K.
Conme
K ~
K est composé direct d'extension de
k dont
K lui-même,
K
k
est un C-module projectif. Le cas général
K est une réunion de famille filtran-
te de sous- extension de
K.
(C.Q.F.D.)
• • e /
• • •

---

- 5 -
A (resp. B)
désignant un anneau local noethérien d'idéal maximal
.,,\\.. (resp ""Ù
de corps résiduel
k
(resp K)
soient
p : A --!>B
un hornomorphis-
me local et
B
=B(i)k
o
les conditions suivantes sont alors équivalentes :
A
Ci)
B
est une A-algèbre formellement lisse.
Cii)
B
est un A-module plat et
B
= B~
est une
k-al-
o
gèbre formellement lisse.
Preuve
cf.
(0 19 - 7 - 1
[3}
)
A étant un anneau local noethérien, soit
l
un idéal de A,
Ao • Ail et Bo un anneau local noethérien complet.
Si B
est une A -algèbre formellement
lisse alors il existe un anneau local
0 0 ·
noethérien complet
B qui est un A-module plat tel que
B
soit isomorphe
o
â
B ~ Ao
A
1.2.
Algèbres et Anneaux de Cohen
1.2.1. Définition:
Soit
A un anneau local noethérien d'idéal maximal '11\\., et
de
corps résiduel
k. Une A-algèbre locale noethérienne
B est dite de Cohen si
(i)
B
est un anneau complet
Cii)
B
est un A-module plat
Ciii)
B ~ k est un corps qui est une extension séparable de k.
A
1.2.2. Définition
Un anneau de Cohen est une algèbre de Cohen sur un
anneau premier (un anneau premier étant un anneau isomorphe à
"Zpl .
.../ ...

---

- 6 -
Soit
A un anneau local noethérien de corps résiduel
k
(i)
Si
B est une A-algèbre de Cohen alors
B est une A-algèbre formellement
lisse. De plus si
C est une A-algèbre locale noethérienne complète et
l
un
idéal de
C, tout A-homomorphisme
u : B ------~C/I
se factorise en
v
B
~C
> Cil
où v
est un A·homomorphisme continu.
(ii) Si
K est une extension séparable de
k, il existe une A-algèbre de Cohen
dont le corps résiduel est isomorphe à
K.
Preuve :
(i)
Le corps
B CE> k est une k-algèbre formellement lisse en vertu de
A
(0.1.14). De
(0.1.1.5)
il résulte que
B est une A-algèbre formellement
lisse.
(ii)
La proposition
(0.1.13)
permet de se ramener au cas où A est com-
plet. La conclusion résulte alors de
(0.1.1 .6)
en prenant l = l1r\\" et
k = Ao '
La proposition précédente s'énonce dans le cas des anneaux de Cohen
(i)
W étant tul anneau de Cohen soient
C un
anneau local noe-
thérien complet
et
l
un idéal de
C ; tout homomorphisme local
u: W--->C/ l
se factorise en
W
v~~ C -------> Cil
(v
local continu)
(ii) Pour tout corps
K, il existe un anneau de Cohen dont le
corps résiduel est isomorphe à
K.
o • • /
• • •

---

- 7 -
2. DIVISEURS
Dans ce qui suit (X, 0X)
est un espace annelé.
~(OX) le sous-faisceau de 0x qui à tout ouvert U associe l'ensemble des~l~-
ménts
réguliers
2. 1.
Définition
On appelle faisceau des gennes de fonctions méromorphes sur
X,
1e faisceau noté (("Lx : U
;:. r eu, 0X) [.r (U, j (Ox) J-1
2.2.
Définition:
) On appelle faiscea~des germes de sections méromorphes sur
X d'un
<lx - ~bdule ÇA
le faisceau ~ Q9 rf1(x X: li
> r(IJ,~ 1 ~ r(IJ.<lxlr(IJ.-1txl.
/vt:
On note
le faisceau de groupes multiplicatifs tel que
r (U,~;(") soit
(pour tout ouvert
U de
X) le groupe des éléments inversibles de
r (U,.1\\) .
t1t:
Nous dirons que les sections de
au-dessus de
X sont les fonctions méro-
morphes régulières.
2.3.
Définition
-----------
Si ~t~ est le faisceau des germes des fonctions méromorphes ré-
gulières sur
X et
O~ celui des germes de sections inversibles de 0X' le
~J;I(--
faisceau quotient
Div
=
X
<" fL'y /
.
définit le faisceau des diviseurs sur
X.
ox)t
A
Notations :
M(X) = ensemble des fonctions méromorphes sur
X.
Div(X) = ensemble des diviseurs sur
X.
2.4.
Définition
On appelle diviseur positif une section sur
X du faisceau image

---

-
8 -
2.5.
P!:2l?2~!!!2!!
Soient
X un schéma localement noethérien et
D €
Div(X). Si
en tout
x €
X tel que
prof(OX
) = 1 D ~ 0, alors
D ~ °
,x
x
(En particulier si
D
::: °
x
en tout
x € X tel que
prof (Ox ,x)
= 1, D:::O).
Preuve:
Soit
f
une section régulière définissant
D il une section inversible
près.
D = div(f)
D ~ ° signifie que x appartient au plus grand ouvert
x
U de
X sur lequel
f
est définie. L'hypothèse entraine que tout
x
tel que
prof(CL
) "" 1,
x 6 U
; de suite pour
T = X - U, codirn(T, X) ~ 2 ; ainsi
-X,x
r (X, Ox) ~ r(U, Ox) il en résulte que 3 s €
r (X, Ox) tel que f = s/U ce
qui est contraire au choix de
U; donc
f = s
et
D
est une section du fais-
ceau image de
j'COx) puisque T = 0 0
1
Le même résultat appliqué à
-D
et
t
montre alors que
D est
une section inversible.
2.6.
Corollaire
----------
Si
X est un schéma localement noethérien alors pour tout point
maximal
x
du support d'un diviseur
D prof (OX
) = 1.
,x
Preuve: Compte tenu dJ[~120-2-11 ct 20-3-6 il suffi de se ramener au cas
x = Spec (OX ) aùquel ca:; supp (D) = {x}
,x
Si prof(Ox
) r 1 alors D
est nune en tout point ou la prof ::: 1 donc D = O.
,x
x
Pour un armeau local noethérien les conditions suivantes sont
équivalentes
(i)
Div (A)
= 0
(où
Div (A)
::: Div(Spec(A)))
(ii)
prof(A) =
0
Preuve:
Div (A)
°
=
signifie que tout élément régulier de A est inversible ;
de suite ~ l'idéal maximal est l'ensemble des diviseurs de zéro donc ~€ Ass(A).
et
prof (A)
°
=
et
réciproqlement.
.../ ....

---

- 9-
Un diviseur
D sur
X est dit principal
ssi
D est la classe
d'une fonction méromorphe régulière
f
D = div(f).
L'ensemble des diviseurs principaux est un sous groupe de Div(X) et se note
Div princ(X).
3. CYCLES
1 - CODIMENSIONNELS
Dans ce qui suit
X désigne un schéma localement noethérien ( c'est-à-
dire
X = UV
où VÀ désigne un ouvert affine tel
que l'anneau de chacun des
Àsl
schémas induit sur
les
V
soit noethérien).
À
3.1.
Définition
-z:
Un cycle
Z
sur
X est un ml tiplet
(nx)x€X
de
pour le-
quel" {x S X / n '1
x
O}
est localement fini. L'ensemble des cycles sur
X est
un groupe noté
2, (X)
et dont les éléments s'écrivent
Z =
L n {x} •
Ci
x€X
x
3.2.
Définition:
Le support d'un cycle est la réunion des adhérences des
x
tels
que n '1 0
dimension et codimension d'un cycle sont celles de son support.
x
3.3.
Définition:
Un cycle sur
X est dit 1-codimensionnel si chacune de ses compo-
sIDltes irréductibles est de codimension 1 ; cette définition se généralise à un
entier quelconque
p ~ 2.
L'ensemble des cycles 1-codimensiom els est un sous-groupe de J{X)
Â
noté
é(X) et dont les éH:-'!11ents sont de la forme
Z =
est
{x 6 X / dim(n-
) = 1 } •
L (1) n
{x}
où
X(1 )
-x,x
xEX
x
Pour un ouvert U de
X,
~(U)
désigne l'ensemble des restric-
cJ<O
tions à U des éléments de
33CX)
et
ot.x : U ---~(U) définit un fais-
. . .1...

---

- 10 -
ceau de groupes dont
~ --~ ~tu) est un sous faisceau.
En vertu de
(21-6.4.2 CS] il existe un morphisme de faisceaux
() : Q)ivx __~~1
qui donne lieu à un homomorphisme de groupes (des sections)
X
-1
cyc : Div(X)
~~(X )
3.4.
Définition:
La multiplicité' . d'un cycle
z sur
X en un point x €
X est
l'entier nx valeur de sa composante de rang x
la multiplicité d'un diviseur
D étant celle de son
cycle image cyc(D).
3.5.
Définition:
----------
Un cycle 1-codimensionnel· z sur X est dit principal si
z
est image d'un diviseur principal c'est à dire de la forme z = cyc(div(f))
.J
l'ensemble des cycles 1-codimensionnels principaux est un sous-groupe de ~ (X)
noté
'2..~ princ(X) ; le quotient "2...A(X) / -1 • (X)
est le groupe des classes
d
d
/2~~
de cycles 1-codimensionnels noté
<5Z(X) .0
.
3.6.
Définition:
----------
Un cycle 1-codirnensionnnel
z
sur X est dit localement prin-
cipal si
z est une section du faisceau image de
~iVx dans ~ .
Si
X est un schéma localement noethérien et normal
alors
-..t
(i)
1 'homomorphisme
cyc : Div(X) --~>'~ (X)
est injectif.
(ii)
Les suivantes sont équivalentes
a)
l'homomorphisme
cyc : Div(X) ..........:> fJ-1 (X) est bijectif.
b)
tout cycle 1-codim ~nsionnel sur X est localement principal.
c)
pour tout
x E X l'anneau local
0x
est factoriel.
,x
. . .1...

---

- 11 -
Preuve
Il convient de rappeler qu'un anneau factoriel est Uil anneau de Krull
dont tout idéal entier divisoriel est principal. Il résulte de (21-6.8 [5])
que pour un anneau
,loethérien intègre intégralement clos
~.Aex) s' identi-
';:.'
fie à Div(A) ensemble des diviseurs de A au sens Bourbaki avec X = Spec(A).
(i)
Comme ~ est le symétrisé derf(Ox), cyc est entièrement
détenniné par son action sur les diviseurs positifs (21-6-4 [51 ) ; puisque
a
Div+(X) 0 (-Div+(X)
= ° et ~-+ (X) (Î (-
..-t(x)
= 0, il suffit de s'as-
surer que l'image réciproque d'un cycle 1-codimensionnel positif est un divi-
seur positif.
Compte tenu de
(0.2.4)
tout revient à établir qu'un diviseur de mul-
tiplicité positive en tout
x E x(1)
est positif.
x ~ X(l)
0x x étant noethérien intègre intégralement clos pour
,
dim(Ox
) = 0 ou
dim(Ox)
~ 2 donc prof (0. - ) = 0
ou
,x
,x
-X,x
prof((L
) ~ 2 ; et pour
x E x(1)
o
est un
anneau de valuation dis-
-x,x
X,x
x E X(1)
crète donc prof(Ox x) = 1. Ainsi seuls les points
sont tels que
,
prof (0._
) = 1.
-X,x
..-1
(ii)
b)
signifie que
(X,
c( t>ïv )) =2>
x
ex)
qui se traduit
='a
encore par cyc (Div ex))
(1) (X)
; de suite
a et b
sont équivalents ;
~x
0x x
est noethérien intègre intégralement clos, de suite c'est
,
un anneau de Krull. En vertu de la remarque faite au début
b)
signifie que
tout diviseur au sens Bourbaki est principal donc
0
est factoriel, ce qui
X,x
établit l'équivalence entre
b)
et
c).
3.8.
Corollaire:
Si
X est un schéma loca:ement noethérien et normal alors
.../ ...

---

- 12 -
Ci)
il existe un homomorphisme canonique injectif
Pic (X)
"-?Pf.€cX)
(ii)
si pour tout
x E X Ox xest factoriel alors cet homomorphisme est
,
.
bijectif.
Prewe :
Il convient de rappeler qu'un ex-module inversible est un ex-Module
projectif de rang
1
et de préciser que
Pic (X)
désigne le groupe quotient,
de l'ensemble des
OX-~~dules inversibles par la relation d'isomorphie.
A
Il résulte de la définition
3.5.
que
~ ~inc(X) = cyc(Divprinc(X)
l' homomorphisme
cyc: donne par passage aux quotients un homomorphisme inj ectif
de
Div(X) /Div
(X)-~(p(X).
°
En vertu de
(3.7 (i-j,))
si ex x
est facto-
l ,
p r l n c ,
' , f i
riel pour tout x € X , cyc:
est surjectif ; de suite Div (X) ID"
"
(X) ~U..cX)
1 j lVprlnc
La conclusion vient de l'identification
Pic(X) IV DivCXY DO
"(X)
obtenue
-
lV prlnc
grâce à
(21-3.4 (b)
[5J).
3.9.
Proposition:
Sur un schéma noethérien réduit
X soit
(U~) ~ € L
une
famille filtrante décroissante d'ouverts telle que
a)
pour tout
~ ELYÀ = X - U~
codim (Y ~ , X) ~
2
b)
pour tout
x En U
l'anneau local (L
est factoriel.
À6L ~
-x,x
alors
et
Preuve
Du fait que chaque
U
contient
X(1)
et
en passant aux quotients
..Ge(X) ~ deu~).
.../ ...

---

- 13 ..
er
Il suffit alors d'établir le 1
de ces isomorphismes; le second s'en déduit par
passage aux quotients :
- injectivité de
lim Div(UJ
- ! >
1\\
Soit
T = r;: U ; les U fonnent un système fondamental de voisinage de
x
x
T
(9 - 2 - 4 [2J) ; tout revient donc à démontrer que pour tout D €
Div(Ux)
tel que
cyc (D) = D il existe
~ ~ X
tel que
DIU
= 0 ; ce qui revient à
D = 0
pour tout
x
T. L' identification
~ivx) .: Div(O-- ) (Z1 - 4 -6 L5] )
x
x-
-X,x
permet de se ramener au cas
X = Spec (0-_
). L'anneau
0-_
étant factoriel,
-x,x
-x,x
X est normal et la conclusion vientde la proposition
(3.7 (i)).
'2-1
- bijectivité de
lim Div(U ) - - >() (X)
-----l>
Les mêmes considérations que tout à 1 'heure ramènEnt au cas
X ~ Spec(Ox,x)
où
x E T et la partie
(ii)
de la proposition
(3.7)
permet~' ~onclure•
...... r·
.... ~
3.10.
Corollaire 1
Soit A un anneau local noethérien intègre intégralement clos
tel que dim(A)
~
2. Si
U est le complémentaire du point fenné de
X = Spec(A)
alors les conditions suivantes sont équivalentes :
(i)
A est factoriel
(ii)
Pic(U)
= 0 et pour tout x € U l'anneau Ox x
,
est factoriel.
Preuve:
ème
A factoriel équivaut à
~(X) = 0; il résulte du 2
isomorphis-
me de la PrOposition (3.9) que Pic(U) = 0 avec U = U ':Ix •
x
En outre si A est factoriel il en est de même tout localise de A.
Inversement
Pic(U) = 0
implique que
({jX) = 0 par la Zème isomorphisme •
.../ ...

---

- '4 -
3.11
Corollaire:
Soit
A un anneau local noethérien tel que
dirn(A) ~ 2
5i li est le complémentaire du point fenné de
X = 5pec(A)
alors les condi-
tions suivantes sont équivalentes :
(i)
A est factoriel
(ii)
Pic CU) = 0
pour tout
x €
X
l'anneau CL
est fac-
-X,x
toriel et prof (A) } 2
Preuve
(i)
~ (ii)
résulte du corollaire' puisque A factoriel
X
nonnal
(ii ----;~ (i)
est établi dès qu'il est prouvé que A est normal
c'est-à-dire que
X vérifie
(R,)
et
(52). Comme li vérifie
(R,)
et
(52)
et que prof(A)
~ 2
X vérifie également
(52)
et
(R,).
------------------------

---

- 15 -
4
PARAFACTORIALITE.
----------~---~-
Dans ce qui suit
(X, 0X)
désigne un espace annelé
V un
fermé de
X et
U = X-V. L'attention est centrée sur le foncteur de
restriction transformant les
0X-Modules inversibles en des OU-Modules
inversibles: pour tout ouvert
V
de
X, chaque
0y-Modul,
inversi-
l
ble
est associé 11
~n u sa restriction 11 UnV.
4.1. - Définition:
Le couple (X, Y)
est dit parafactoriel ssi le foncteur de
restriction ~ ~~;lvn u est pleinement fidèle et essentiellement
surjectif (pour tout ouvert
Y de
X).
Il revient au même de dire qu'étant donné un ouvert
V de
X
dl une part pour ~
e t ) 1
des 0y-Modul es i nvers i bl es
HomO <i ' 1/)
est isomorphe à HomO
(i/(,nu ,tlvr. U) et d'autre part t~ut
Vn u 7V
' I
0Y()U-module
inversible est à un isomorphisme près la restriction
d'un
0V-module inversible.
4.2. - Lemme
1
Si
j : U--'7X
est l 1 in je ct ion canonique alors les condi-
tions suivantes sont équivalentes :
( i) l e f 0 nct e ur der est r i ct ion t --). L
hnUest plei nement
fidèle.
(ii)
0x
est isomorphe au faisceau
j*(OU)
image directe
du faisceau
Ou
par
j.
Preuve:
l'équivalence de (i) et (ii) résulte directement de l'équi-
valence des conditions (al) et (b') du corollaire (21-13-3~]
)
4.3. - Lemme 3 :
Si
X est un schéma localement noethérien alors les condi-
tions suivantes sont équivalentes :
(i)
0x
est isomorphe au faisceau
j*(OU)
(i1)
pour tout
yEV
prof(OX,y) ~ 2
. . . 1 .•.

---

- 16 -
Preuve
Ceci nlest qu'une version du lemme (21-13-4
[SJ
4.4. - Proposition
Le couple (X. Y)
est parafactorie1 si et seulement
si
a)
l'homomorphisme canonique
)
°x
j*(OU)
est bijectif.
b)
pour tout ouvert
V de
X
et tout
°vnu-modu1e inversible
te •(jVfi u)* eto) est un 0V-modu1e inversible.
-
Preuve: En vertu du lemme 4.2.
a)
équivaut au fait que
est pleinement fidèle et
b)
au fait que
t ~ t,A'nu est essen-
tiel1ement surjectif; ceci nlest que la traduction de la parafacto-
ria1ité.
4.4.1. - Corollaire
Si le couple
(X. y)
est parafactoriel alors
(i)
pour tout ouvert
W de
X le couple
(l, VnW)
est parafacto-
riel ; inversement si
(W)
est un recouvrement ouvert de
X tel
ex ex
que pour tout
ex
(W.
y n W )
soit parafactorie1 alors (X. V) est
ex
ex
lui-même parafactorie1.
(ii)
pour tout fermé
YI
contenu dans
Y. le couple
(X. YI)
est
parafactoriel.
Preuve
(i)
La condition
a)
de la proposition exprime une propriété lo-
cale ce qui rend évidente la première assertion. Pour démontrer la
seconde il suffit d ' étab1ir que pour tout
OU-module in~ersib1e ~ ,
j*(~) est un 0x-modu1e inversible avec j : U + X ; soit
j ex: W n
ex
u ---7 W
ex ;
par hy pot hè s e
( j ex )* JÂJexnu)
est un 0Wex - mo du1e
inversible. La conclusion résulte alors de la relation
( j * (i )) W = (j ex )* (//w () U)
pui s que 1a no t ion de
0X- m0 du1e i nver -
ex
ex
sib1e est locale.
(ii)
Posant
UI = X-YI
il vient que
U~UI
soient alors
j. jl
et
jll
les injections canoniques :
••• 1•••

---

- 17 -
,
a)
l'isomorphisme
0x ~ j* (Ou')
se traduit par l'i'somorphisme
,OX)
pour tout ouvert
V de
X; il s'agit donc
d'établir le second. De la parafactorialité de
(X, V)
il résulte que
1 'homomorphisme composé
est un isomorphisme pour tout ouvert
V de
X
et pour l'ouvert
v/lu'
cet isomorphisme s'écrit
r(VnU', 0X) ~ r(VnU, 0X) ; il en
résulte que
r(V,
0X) ~ r(VnU', 0x).
11
JI
b)
si
est un 0U,-module inversible, ~/U
ést un OU-module inver-
sible ; de suite
j*~;u) = j~(j; Lt~u)) est un 0X-module inver-
sible. Le couple
(U ' , VnU')
étant parafactoriel en vertu de (iL
!'
Il
.D 1
j * (Z; / U) ~
dan s ces con dit ion s
donc un
0X-module inversible.
4.4.2. - Corollaire
Soient
X un schéma
f : X'---tX
un morphisme fidèlement
plat et quasi-compact et
V' = f- 1 (V).
Si
U est rétrocompact et le
couple
(X', V')
parafactoriel alors
(X, V)
l'est aussi.
Preuve
Soient
U' = f- 1(U) = X' - V'
et
j, j'
les injections
canoniques. Il s'agit d'établir : a) 0x ~ j*(OU)
et
b)
pour tout
OU-module inversible ~,
j*(~) est un 0X-module inversible.
a)
Compte tenu de la fidèle platitude
de
f
pour obtenir
0x ~ j*(OU)
il suffit d'avoir
f * (OX) ~ f * (Ou))
où
f * (OX)
est
l'image réciproque par
f
du faisceau
0X.
Désignant par
f U la
restriction de
f à f- 1 (U)
et observant que
j
est quasi-compact
*
l
,
séparé et
f
plat, il vient
j*(OU') = j*(fU(OU))
canoniquement
isomorphe à
f*"(j*(Ou)).
De l'isomorphisme
0X' ~ j~(OU')
et de
*
*
*
l'identification
f (OX) = 0X' il résulte que f (Ox) ~ f (j*(OU))·
... / ...
'

---

- 18 -
b)
Si ~ est un OU-module inversible,
est un
OUI-module inversible et
j~ (f~(~)) un
*'
0X,-module inversible
s'identifiant canoniquement à
f*(j*(~)) en vertu de (2.3.1. [4) ).
La conclusion que
j*(~) est un 0x-module inversible résulte alors
des hypothèses faites sur
f
et
de
(2.5.2. l4J
).
4.5. - Définition:
Un anneau local est dit parafactoriel ssi le couple (Spec(A), {a})
est parafactoriel
a
désignant le point fermé de
Spec(A).
4.6. - Proposition
A étant un anneau local soient
X = Spec(A)
et
U le complémen-
-
taire du point fermé de
X. Les conditions suivantes sont alors
équivalentes
( i )
A
est un anneau local parafactoriel
(ii)
les conditions suivantes sont vérifiées
a)
A = r(X, 0X) ~ r(U, 0X)
b)
Pic(U)
= °
Il convient de préciser ici que
Pic(U)
désigne le groupe quotient
de l'ensemble des
OU-modules inversibles par la relation d'isomorphie
(idem pour
Pic(X)) ; il faut également rappeler que 1-----7/,hn u
e s sen t i e l lem en t sur j ectif sig nif i e que
Pic ( V)-> Pic ( VnU) est
surjectif.
a)
traduit la condition
a)
de la proposition (4.4) ; pour
b) il
-
suffit d'observer que tous les
0X-modules inversibles sont isomorphes
à
0x
puisque
X est le seul ouvert contenant le point fermé; de ce
fait
Pic(X) = O. Compte tenu de la deuxième remarque la condition
b)
traduit
la surjectivité de
Pic(X) __--r) Pic(U)
et donc la
condition
b)
de la proposition (4.4).
• • .1. • .

---

- 19 -
Il faut noter de plus que si
A
est noethérien
A = r(x, 0x) ~ r(u, 0X)
signifie que prof{A) ~ 2
en vertu du
lemme (4.3.).
4.6.1. - Remarques
a)
Un anneau local dont le complété est parafactoriel
l'est aussi.
b)
Un anneau local noethérien parafactoriel est nécessai-
rement de dimension ~ 2.
c)
Compte tenu de la proposition (:4.6)
et du corollaire
(3.9.1)
un anneau local noethérien factoriel de dimension ~ 2
est un anneau parafactoriel.
d)
Il existe des anneaux locaux noethériens parafactoriels
de dimension ~ 2
qui ne sont pas factoriels (21~13.9 (il;)
(sJ
).
4.7 • • Proposition:
Si
X est un schéma localement noethérien alors les condi·
tions suivantes sont équivalentes
(i)
le couple (X, Y)
est parafactoriel
(ii) pour tout
y!EY
l'anneau local
0x.y
est
par af act 0 rie 1-.
Preuve :
-
Il faut noter que
0x ~ j*(Ou)
équivaut à prof(Ox.y) ~ 2
pour tout
y E Y•
(i)
~(ii)
soient
Ty = Spec{Ox.y) et uy = Ty • {y};
compte tenu de ce qui vient d'être dit il s'agit d'établir que
Pic(U
est
y ) = 0
c'est à dire que tout
Ou -module inversible ~ 0
y
_ .
isomorphe à
Ou
•
Comme
u
de 1a
y
est limite projective d'ouverts
y
forme
V-V nri}.l
est restriction d'un
Uv =
Ou -module inversible
o
.
V
puisque le couple
est parafactoriel.
lv ;
. • •1•.•

---

- 20 -
i~
-
est restriction d1un
°v-module inversible
.
Lv
, V pouvant
être choisi de manière que
Lv ~ 0v
ce qui fait que
do ~ Ou •
y
(ii)
)(i): il slagit d'établir que pour tout
0U·module
inversible
~, j*(~) est un 0X-module inversible. La notion étant
-
locale il convient de se ramener au cas noethérien.
Soit alors
V
l'ensemble des
x<=X
a~ voisinages desquels j*(~) est inversible.
V
est ouvert et il suffit de démontrer que
V = X.
Si
Z = X - V
est non vide, soit
ze z un point maximal. Naturellement Zev
de suite
0Xz
est parafactoriel. La restriction de
j*(~) à
v-vn {y}
étant inversible,
1 = (j*(!))u
llest aussi. Comme
0
z
0Xz
est parafactoriel,
~o est restriction d1un 0T -module
1 1
z
inversible
avec
Tz = spec(ox,z). Tz étant limite projective
de voisinage ouvert de
z, ~I est également restriction d'un
0W-module inversible ci ll •
(W
voisinage ouvert de
z).
Un choix
convenable de
W permet d'obtenir l'identité des restrictions de
et
sur
w-wn {z} •
Posant
VI
= vUW
il apparaît que
si
est un
~
-
0v -module inversible coTncidant respectivement avec
j* (i ) sur V
1
il
et
sur
W
alors
Du fait que
-
0v -module inversible ce qui est contraire
1
au choix de
V donc
z = 0.
.../ ...

---

- 21 -
4.7.1 - Corollaire
Soit
X un schéma localement noethérien
si les conditions
suivantes sont vérifiées :
a)
le couple
( X, V)
est parafactorie1
b)
l'anneau local
°
est factoriel pour tout
x
X,x
x r= u = X-V
alors pour tout
x€ X
°x~x est factoriel.
Preuve :
Soit
ye,V
tel que
°
non factoriel ;
X,y
y
étant choisi de
manière que
dim(OX,y)
soit minimale.
Comme
0X,y
est parafactoriel
prof(OX,y) ~ 2. Posant
T
Uy
y = Spec(OX,y)
et
= TY -
{y},
i 1
vient:
Pic(U
0X,z
est un anneau
y ) = 0
et pour tout
zéU y '
factoriel. Ainsi en vertu du corollaire (3.8.2)
0X,y
est factoriel
absurde 1
4.8. - Proposition
A
et
B étant des anneaux locaux noethériens soit
p :
A ~ B un homomorphisme local faisant de
B un A-module plat.
Si
B est factoriel il en est de même de
A.
Preuve
Il suffit d'établir le résultat pour
A intègre intégralement
clos de dimension ~ 2.
Soient
a
point fermé de
X = Spec(A)
et
cr
=
X' = Spec(B)
~Spec(A) = X
llhomomorphisme déduit de
p.
Pour tout
x IGcr- 1(a)
l'anneau local
0X',x'
est parafactorie1
puisque factoriel de dimension ~ 2 ; de suite
(XI, cr-l(a))
est
parafactorie1 ; il résulte alors du corollaire (4.4.2)
que
(X,{a})
est parafactorie1. Dans ces conditions
prof(A) ~ 2
et
Pic(U) = °
avec
U = X - {a}.
Sous hypothèse de récurrence sur la di~ension,
pour tout
xEU
l'anneau
0x,x
est factoriel; ainsi le ~oro11aire
précédent permet de conclure que
A est factoriel.
1 •••
•
•
t

---

- 22 -
4.9. - Proposition
X étant un schéma localement noethérien normal, pour une
famille filtrante décroissante diouverts
(U)
les conditions
À ÀEL
suivantes sont équivalentes :
a)
Tout cycle l-codimensionnel
sur
X dont la restriction
à l'un des
U
est localement principal est un cycle l-codimensionnel
localement principal.
b)
pour tout
xfn UÀ tel que dim(Ox,x) ~ 2 l'anneau
À
local
0x,x
est parafactoriel.
b')
pour toute partie fermée
Y de codimension ~ 2
contenue dans le complémentaire de l 'un des
U
• le couple (X. Y)
À
est parafactoriel.
Preuve :
b)_
)-b')
soit
À
YCX -
o
tel que
UÀ
si
y/;.Y
alors
o
ytnUÀ
et
dim(Ox.y) ~ 2 ;
de b)
il résulte que
0X,y
est
parafactoriel. Donc le couple
(X, Y)
est parafactoriel en vertu
de la proposition
(4.7);
b • ) ---7 b)
pou r
x f=. UÀ
soi t
Y = (xl C X - UÀ
pour
dim(Ox.x) ~ 2
codim (Y. X) ~ 2
de sorte que
(X, Y)
est parafac-
toriel.
Ainsi
0x,x
est parafactoriel.
...'/...

---

- 23 -
Pour établir l'équivalence entre
a)
et
b)
il convient de
donner une nouvelle version de
a).
Z
étant un cycle l-codimension-
ne1 sur
X soit
N
l'ensemble des
x G X en lesquels
Z
est non
principal.
Si
N
est contenu dans le complémentaire de l'un des
alors
l
est localement principal. Comme
l
est principal en
tout point
xGx
te 1 que
dim(Ox
) = 1 t codim (N. X) ~ 2.
.x
a')
si le complémentaire de l'un des
U
contient
un fermé
y
de codimension ~ 2
tel que
soit localement principal
alors
Z est localement principal.
Pour achever la démonstration il suffit d'établir l'équiva-
lence entre
a')
et
b').
Du fait que
X est normal. en tout
point
y
d'un fermé
Y de codimension ~ 2,
prof(OX
) ~ 2 ; il
.y
où
U = X-Y.
Les conditions
a')
et
b')
exprimant des propriétés locales il suffit de se ramener au
cas noethérien. L'équivalence entre
a'
et
b'
se traduit alors
par la suivante
ail)
Tout cycle 1-codimensionne1 sur
X dont la restriction à
U est localement principale est lui-même localement principal.
bll)
l'homomorphisme canonique
Pic{X) ---7) Pic{U)
est
surjectif.
a Il ) _~ bIl )
Soi t
Wu
Pic ( U) ----r} (U)
1e m0 r phi sm e ca non i que
(injectif) exhibé dans
(3-7-1).
Si
Jo€PiC{U)
alors
wU( Jo) = C~(lo) où Zo est un cycle l-codimensionne1 sur U
lo
est localement principal par construction. Du fait que
codim(Y. X) ~ 2,
3"(X) ~ i(u) ; de suite lo
est restriction
à
U d'un cycle l-codimensionne1
Z
sur
X.
Il résulte de
ail)
que
Z est localement principal. L'homomorphisme canonique (3.7.1)
• . •1...

---

- 24 -
Pic(X)
:>
(X)
étant injectif.
CQ(l)
provient d'un unique
:JEPiC(X)
dont
~o
est la restriction à
U.
b")--7a U)
Soit
l
un cycle 1-codimensionnel sur
X dont la
restriction à
U ,
l/U
est localement principale.
(J«(l/U)
= wU( Jo) où
Jo r; Pic ( U) •
Soit JE"PiC(X)
tel que
JIU
= ))0' Il résulte de
bU
que
w(jJ) =
(Z ' )
où
Z'
est
un cycle 1-codimensionnel sur
X, localement principal tel que l'lU
et
l/U
soient linéairement équivalents. Comme
1
1
1
1
~(X)
~(u). 3
!l:
princ(X)
2)princ(U)
ainsi
l
et
l'
sont
linéairement équivalents. Donc
Z est aussi localement principal.
4.9.1 - Corollaire:
X étant un schéma localement noetherien normal, pour toute
partie
S
de
X les conditions suivantes sont équivalentes
1)
tout cycle l-codimensionnel principal aux points de
S
est
localement principal.
2 )
Pou r t 0 ut po i nt
x t: X tel que
{xl n. s = 0 et
di m(0 X, x) > ...2
l' an ne au 10 cal
0 X, x
est parafactoriel.
Preuve :
Deux observations s'imposent; tout d'abord l'ensemble
.
{xE:X /
{x} n s = ~l
est l'intersection des voisinages ouverts
de
S;
et puis, tout cycle 1-codimensionnel principal aux points
.,
de
S
l'est aussi aux points d'un certain voisinage de
S.
Prenant comme famille filtrante décroissante d'ouverts les voi-
sinages ouverts de
S, la condition
1)
n'est que l'énoncé
a)
de
la proposition
4.9.
En outre {xl
S = ~
équivaut à
x
n'appar-
-
tient pas à l'intersection des voisinages ouverts de
S
ainsi
2)
s'identifie à la condition
b)
de la proposition
4.9 •
.../ ...

---

CHAPITRE
1
-------------------
- 25 -
1.1. - Théorème:
Soient (A, rn,)
et
(B,~)
deux anneaux locaux noethériens.
On suppose vérifiées les conditions suivantes :
1)
Il existe un homomorphisme local
p: A~B
faisant
de
B
une A-algèbre formellement lisse (pour les topologies préadiques)
...
2)
A est intègre et intégralement clos.
3)
dim(B) > dim(A)
4)
le corps résiduel de
B est une extension finie d'un
corps.
K' extension algébrique séparable du corps résiduel de A.
Alors tout cycle l-codimensionne1 sur
Spec(B)
qui est principal au
point
p = ~)B
est un cycle l-codimensionnel principal.
Démonstration :
Posons
k =
~ K=~. %tB est une k-a1gèbre formelle-
ment lisse (pour sa topologie préadique) (0, 19-7-1 [3])
donc régu-
lière, et en particulier intègre et intégralement clos, autrement dit
p = flnB
est un idéal premier de
B ce qui justifie l'énoncé.
Compte tenu des réductions faites dans la démonstration
du théorème (21- 14 - 1.
[5] ). On peut supposer A et B complets,
intègres et intégralement clos.
D1après le théorème (0.19.8.6 (ii)
[31 ) il existe des
anneaux de Cohen
V et
W de corps résiduels respectifs
k
et
K'
de la partie
(i) de ce même théorème, il résulte que
A est une
V-algèbre; en effet l'homomorphisme
V-
) k =
ItrYl se factorise en
V_----->t) A_--,<I>_--t) Ajtn1 0 Ù
<1>
est 1a sur j e ct ion ca non i que.
Considérons le diagramme suivant:
V
)% = k
de la même partie ( i ) 1 l applica-
~r
linéaire de
V
)K'
= YPW
se fa·ctorise en
V
-t W
>K'
W
) KI
= YPW
. . . 1 ...

---

- 26 -
ce qui prouve que
West une V-algèbre.
...
Posons
A =
A
= A
0
@v w
et
AI
o •
D'une manière naturelle
B
est
une
Ao-algèbre donc par passage au complété une
AI-algèbre compte
tenu des réductions faites dans la démonstration du théorème
(21 - 14 - 1
[5J
), il suffit pour établir le théorème de prouver
que
AI
est un anneau local noethérien intègre et intégralement clos
et que
B est une AI-algèbre formellement lisse.
Par définition
AI
est le complété de
Ao pour la topolo-
gi e dé fin i e par les i dé aux
1m(t1ni @ V W) + 1m(A (i) V (pW) j ) .
Posons
Q = Im(tr7L~ VW) + Im(A 0 V p~~}
Al
=
En vertu du lemme (19-7-1-2
[3J)
AI
est un anneau semi-local
noethérien complet ettrr'[A'
est contenu dans son radical de
Jacobson.
A
= (Ak)iEJ
O/
k
t/p0= k @k KI = K'
la
d'où
cr maximal dans A
par suite
o
aA I
est un idéal
maximal de
AI.
CLA'
= Œ
mmU5;) V W)
+ Im(A @ V pwQ (A ®V W) =
/ \\
A.
"""
rrtL(A(yV W)+
pW(A0v W)
=rtn(A®V l4)
= r1'Yl.,A'
Donc
AI est local.
g
50 i t
A _~f_..,) A --~-4
1._
~ B.
On a
%tB plat sur ~frfL A1
(parce que
est un corps)
et
B
est plat sur
A. D'après
~A'
la proposition (6. 6. 19
[1J } B est un AI-module plat B
AI
ét~nt en plus normal.
est normal.
• . .1. • .

---

- 27 -
Reste à prouver que
B est une AI-algèbre formellement
lisse
ce qui est équivalent, en vertu de la proposition
(19
7.1
[3J
à
Bo = B0 I KI
est formellement lisse
A
sur
KI.
Pour cela établissons le lemme suivant:
1. 2. - Lemme :
Soient
k
un corps,
KI
une extension algébrique sépara-
ble de
k,
Bo
une
KI-algèbre locale noethérienne:
Alors
Bo
est formellement lisse sur
k
si et seulement si
Bo
est formellement lisse sur
KI.
Démonstration du lemme
Considérons la suite dlextensions
IF p_ _
;>
k
est le corps premier de
k.
1)
Supposons
B
formellement lisse sur
k.
D'après les propositions
o
(20 - 7 - 2
et
20 - 6 - 19
[3]
). On a :
(*)
soit
v
(**)
O - -.....,~~ Q~ &J k K1_----...;,> n~ 1 ---~) nl K/k --~» 0
KI
étant algébriquement séparable sur
k
on a
= O.
Ce qui donne
l
,"\\Î\\
K 1 r"--
1
Qk 1.Y k
> n KI'
... / ...

---

- 28 -
En tensoriant
(*)
par
K'
on a
Ql
k 0
KI
étant isomorphe à
Q1
1
on a le diagramme suivant qui est
k
K
commutatif
u ~) k KI
B
KI
®
Q\\I
k
o - -
D'après la proposition 20-7-2
B
est formellement lisse
O
sur
KI
si
u'
est inversible à gauche
W 0 u l
= (v ® k KI) 0 (u @k KI)
=
l
1
®k Bo •
Q KI
d'où
Bo formellement lisse sur KI.
2)
Supposons
B
KI
o
formellement lisse sur
KI J
étant formellement
lisse sur
k
comme extension algébrique séparable de
k; d'après la
proposition (19 - 3 - 5 (ii)
[3J
B
est formellement lisse
sur
k.
Compte tenu de ce lemme, pour montrer
B ® AI KI
est for-
mellement lisse sur
KI
il suffira alors àe prouver que
BŒJ
KI
est
A'
formellement lisse sur
k.
A,/
~.y
@
AI
/trrLA
/rm.
1
B
AI
B étant par hypothèse une A-algèbre formellement lisse. dlaprès
l a pro pc s it ion (1 9- 7- 1
[3J
B@KI
est formellement lisse
AI
sur
k.
.../ ...

---

- 29 -
Le théorème précédent est équivalent au corollaire suivant
1.3. - Corollaire:
Sous les hypothèses 1), 2) et 4)
du théorème 1.1.
pour
tout idéal premier
q
de
B non contenu dans
p = ~ B et
tel que
ht(q) ~ 2
Bq
est parafactoriel.
En particulier si
dim B > dim A.
Alors
B est parafactoriel.
Preuve
L'équivalence des énoncés résulte de (21 - 13 - 15
[5]
appliqué à
X = Spec(B)
et
S = {pl •

---

- 30 -
CHA PIT R E
II
----------------._-.
2.1. - Théorème:
Soient
A un anneau local noethérien d'idéal maximal
GnI
qui vérifiE
R2 •
B
un anneau local noethérien. On suppose que les
hypothèses suivantes vérifiées :
1)
Il existe un homomorphisme local
p
:
A---)B
qui fait
de
B
une
A-algèbre formellement lisse.
A
2)
A est normal.
Alors pour tout idéal premier
q
de
B non contenu dans
n0.JB
de hauteur ~ 2
et tel que
dim(Bq) > dim(A(q(lA))
Bq
est parafactorie1.
En particu1 ier si
dim B >
dim A •
Alors
B
est parafactorie1.
Preuve
La démonstration du théorème s'appuie sur le lemme suivant
qui a été établi par
H. SEYDI.
2.2. - Lemme
Soit
A un anneau local noethérien intègre. On suppose que
1
dim A ~ 4
2
prof(A) ~ 2
A
3
A
est intègre.
Alors
A est parafactorie1.
Soit
q
un idéal premier de hauteur ~ 2
non contenu dans
(YY) B •
soit
p = q(\\A
sa trace
sur
A.
si
1)
ht(p) ~ 2 • puisque
A vérifie
R , A
2
p
est régulier. Comme les
fibres du morphisme
Ap __--~~Bq sont géométriquement régulières
(19-6-5
et
19-7-1
[3J
)
alors
Bq
est régulier et dim Bq ~ 2
donc
Bq
est parafactorie1.
..../ ...

---

- 31 -
2)
si
ht(p) ~ 3
puisque
dim(Bq) > dim Ap
on a dim Bq ~ 4,
....
comme
A est excellent et normal on a
~q
normal (intègre et
intégralement clos). prof(Bq) ~ 2.
D1après le lemme
Bq
est parafactoriel.
L'énonc~ du ihéorème est équivalent au sui~ant
2.3. - Corollaire:
Sous les hypothèses du théorème sur
At B
et
p
,si
dim B > dim A.
Alors, tout cycle l-codimensionnel qui est principal
au point
p = nnB
est un cycle
l-codimensionnel principaL
Preuve
L1équivalence des énoncés résulte de
{21-13-15 [~
appliqué à
X = Spec(B)
et
S = {pl •

---

- 32 -
CHA P r T R E
III
-=-=-=-=-=-=-=-=-~-=-~-
Conjecture 1 :
Soit
(A, rrY)) un anneau local nocU1érien de dimension> 0
On suppose
'"
A
normal.
Alors toute A-algèbre locale, noethérienne, formellement lisse
(B,m)
telle qUE:
dim(B) > dim(A), est parafnctorielle.
Commentaires :
Posons
k = ~
et
K = R(/
les corps résiduels de
A et
B.
/fnt
7rYL
Des réponses affirmatives ont été donn6es dans les cas suivants
1)
K
est une extension finie de
l,
1'\\
(par RAfViANUJAf'.'1 et SAMUEL)
2)
K
est une extension séparable t::c
l,
".
(par CUIRO)
3)
A
contient un corps (par BOUT(J"!) •
4)
K
est une extension finie d'un corps
K1
extension algébrique
séparable de
k
(1.3. Coroll~ir2).
5)
A vérifie
R
(ie \\!p
2
€
Spec(A)
ht(p) < 2-=>Ap
régulier
(2.1. Théor.)
6)
dim(A) = 1 : en effe~ soit q 6 Spcc(B)
q
non contenu dans
fITLB
et tel que
ht(q) ~ 2,
soit
p
sa trace sur
A.
Alors
ht(p) ~ 1
ce qui entra'ne
Ap
régulier.
Comme les fibres du morphisme
Ap ----> Bq
sont géométriquement
régulières, Bq
est régulier et dim(Uq) ~ 2. On a Bq parafactoriel en
prenant
q =01 on a
B = Biyt est para·(actori~l.
7) si dim A ~ 3, le résultat découle ~u lemme H. SEYDr (2.2.).
la conjecture 1
peut se poser sous ln forme suivante:
Conjecture 2 :
Soit
(A, rrriJ
un anneau local noethérien de dimension
2
'"
On suppose
A normal.
A10 r s
t 0 ut e A- a 19è brel 0 cal e, no eth é rie nne, ( B, n-L-)
for me 11emen t
lisse de dimension ~ 3
est parafactorielle.

---

- 33 -
CHA PIT R E
0
====================
Tous les anneaux considérées sont supposés commutatifs et
unitaires.
0.1. - Définitions
0.1.1. - Soient
p
et
q
deux idéaux premiers d'un anneau
A une charne dlidéaux premiers entre
p
et
q
est une suite finie
p = PoC Pl C ••••• CPn = q
avec
Pi l' Pj
si
i l' j.l'entier
n
est appelé la longueur de la charnel
- Cet tee ha' ne est dit e sa tu rée s i pou r t 0 ut
i 1 0 ~ i' t. ~n -1 et
pour tout idéal premier
pl
tel que
Pi CplÇ Pi+l
alors on a
p. = pl
ou
l
- Une chatne saturée entre un idéal premier minimal et un idéal
premier maximal est dite cha'ne maximale.
0.1.2. -
La dimension de Krull dlun anneau
A est la borne
supérieure des longueurs des cha'nes maximales dlidéaux premiers de A
et on la note
dim A.
0.1.3. - si
p
est un idéal premier de
A t on appelle hau-
teur de
p
et on note
ht p
(resp. cohauteur de
p
et on note
coht p) la dimension de 1 1 anneau local
Ap
(resp. la dimension de
l'anneau
A/ p).
0.1.4. -
a)
Un anneau
A est dit équidimensionnel si pour tout idéal
premier minimal
p
de
A. On a Coht Po = dim A/po = dim A.
o
b)
llanneau
A est dit équicodimensionne1 si
ht M = d1m A
pour. tout idéal maximal
M de
A.
0.1.5. - Un anneau
A est dit caténaire si pour tout couple
dlidéaux premiers (PI q) tels que
pçq
toutes les charnes maximales
entre
p et q ont la même longueur égale à dim Aq~
•
/pAq
.../ ...

---

- 34 ..
0.1.6. -
un anneau
A est universellement caténaire si
toute A-algèbre de type fini est caténaire.
0.1.7. - un anneau
A satisfait à la première condition
des cha1nes
(p.c.c.) si toute chaîne maximale de
A pour longueur
la dimension de
A.
0.1.8. - un anneau
A satisfait à la deuxième condition des
chatnes (d.c.c.) si pour tout idéal premier minimal
Po
de
A
l'anneau
~/po est tel que toute extension entière intègre vérifie
la
p.c.c.
et
coht Po = dim A.
0.1.9. - un anneau
A satisfait à la condition des cha'nes
(c.c;) si pour tout couple d'idéaux premiers
(P. q)
tels que
é/
vérifie la d.c.c.
PCq
p) q/p
0.1.10.
A vérifie la condition
(Tl)
si pour tout idéal
premier ,p
de
A coht p + ht p €
{1.
dim A}.
0.1.11. - A vérifie la condition
(T )
si pour tout idéal
2
premier
p
de
A ht P + coht p = dim A •
0.1.12. - A vérifie la condition
Sk
(k 6 "') si et seule-
ment si pour tout idéal premier
p
de
A
prof Ap ~ inf(k. dim Ap).
0.2. - Motations et Définitions
0.2.1.
A(l) = (1 Ap
où
F
est l'ensemble des idéaux
p€F
premiers de
A de hauteur
1•
...
A est le séparé complété de l'anneau
A.
0.2.2. : Un anneau local intègre
A est uni branche si sa
clôture intégrale est un anneau local.
.../ ...

---

- 35 -
0.2.3. : A est géométriquement uni branche si
A est uni branche
et si le cnrps résiduel de sa clôture intégrale est une extension
radicie11c de son corps résiduel.
0.2.4.:
Un anneau
A est japonais si la fermeture de
A
dans une extension finie
K de son corps des fractions est une
A-algèbre finie.
On dit que
A est universellement japonais si toute A-a1r:èbre de
type fini intègre est un anneau japonais.
0.2.5. : Le spectre de
A est uni branche (resp. géométrique-
ment unibranche) si pour tout élément
p
de Spec(A) l'anneau
Ap
est unibranche (resp. géométriquement unibranche).
0.3. - Remargues
0.3.1.
(d.c.c.) - > (p.c.c.)
>T 2 -> Tl
A noethérien et vérifie
Tl
alors
A est de dimension finie
A vérifie
T
e ~-
2
l,
ne vérifie pas
Tl
implique l'existence d'un
idéal maximal de hauteur
1
ou d'un idéal premier minimal de
cohauteur
1.
0.3.2.
- Un anneau semi-1oca1
A vérifie la condition
(S1) si et seulement
si tout idéal premier diviseur de zéro est minimal.
- Un anneau semi-loca1
A vérifie la condition (52) si et seulement
si
A vérifie SI et si pour tout élément régulier b de A, l'anneau
B = A/b P.
vér if i e
S1 •
.
,
•• • 1 • • •

---

- 36 -
c ~ 8 ~ 1 l B E _ 1
--------------------_.
1.1. - Anneaux semi-locaux noethériens vérifiant la condition
il )
1
1.l.1. Lemme :
Soit
fC:-P C-P
1
2 C •...•..• C Pn- l C Q
une chaîne saturée
dans un anneau noethérien. Alors il existe une chaîne saturée
PC pli C p I2 C
CP'n-l C- Q
ayant les mêmes extrémités et
telle que
ht P'.,
= h1~ P
°
+ ,.
., = 1, 2, •••••• n- 1•
Preuve :
D'après (uâ
Proposition 2.2) il existe une infinité dtidéaux
premiers
pl
tels que
PC P'C P
soit saturée. D'après
2
(~J Corollaire 1.10J parmi ces pl
il Y en a qui sont tels que
ht pl = ht P + 1.
Soit
p'
un
tel
pl
en procédant par récurrence
1
on a le résultat.
Soie~t
Q.~ M deux idéaux premiers d'un anneau semi-local
noethérien
1\\
n
vérifiant
supposons
M
maximal.
Alors
ou
ht MI.
= L
Q
Preuve
Posons
ht M~ = k et supposons
l<k<Coht Q.
Soit
QcQIC •••••• C. Qk_1L-': M
une chaîne saturée dl idéaux premiers de A.
D'après lemme {l.l.O
nous pouvons supposer que
ht Qk-2 = ht Q+k-2.
Il est clair que
ht o/Q
= 2 > 1. Prouvons que
Coht Qk-2 > 2
k-2
si Coht
= 2.
°1<-2
Puisque
A
vérifie
Tl
on aura alors dim A = ht
+
Qk-2
coht Qk-2
= ht Q + ( 1, - 2) + 2 = ht Q + k = ht Q + Coht Q
et on a ùinsi
'"
Coht Q = 1....
ce qui contredit notre hypothèse, on a ainsi
Coht Qk-2 > 2.
Puisque
ht M/
= 2 > 1
quitte à remplacer
Q
Il k-2
Q par
Qk-2
et
k
par
2.
.../"...

---

- 37 -
Soit
fi ... t>i 1'
M
M2 ' • • • • ,
r
les idéaux maximaux de
A
et soit
, QI
w = { Q /
soit premier et
QCQ'C~~} • Puisque
ht !Vil. = 1<=2.
Q
QI
,
pour
e 1'1 on a ht MI. , = 1
et
ht
le
Soit
W1 :: { QI 6 l'J
Q /Q =
Q
ht Q' = ht Q + 1 } •
Dlaprès [re]
Corollaire 1.10)
W - HI
est
fin i •
Posons
1
H - !1' = {QI'·····, Qin} • Pou r
Q' e w' montrons que
Coht Q' > 1
=
ht M/ , .
Si
Coht QI = 1
Q'
n'étant pas minimal
Q
et
A véiifiant
Tl
on aura
ht
QI + 1 = dim A , c'est à dire
(ht Q+1) + 1 = dim A.
Ceci contredit 1 1 hypothèse Coht Q > 2. Donc pour
QI e W'
o~ a
Coht Q' > ht(M/QI)
ce qui prouve que
QIC M U •••• U M
2
r •
Ain s i
U{ q' 6 ~J ! :~:.: M2 Li ..•. lJ Mr l; QIl U ...• U Q'n • Dia pr è s
[C9] Théorème 142J Î'1
= U{Q' 6 W} et on a ainsi
MC M \\J .... UMrL.J Q'1 U .... U Qin
ce qui est absurde.
2
.
1. 1. 3 • Proposition
Soient
QcP
deux idéaux premiers dlun anneau semi-10cal
noethériei-;. Supposons
Coht P > 0 ,
ht PI.
= 1 et
ht P > il t q + 1.
Q
Alors il 8xiste une infinité dlidéaux premiers
pl
de
A
tels
QCpl
h-:'; P1 = ht Q + 1
et
Coht p' = Coht P < dim A - ht pl.
,
~!:~~y~
Dia pr è s
[[J.~ Pro po s i t ion i1
appliquée à
A/ ,
il existe une
Q
infinité dJidéaux premiers
pl
contenant
Q tels que
ht pl~ = 1
e t
Co ht P1 = Co ht P • Dia pr è s [[a J Cor 011 air e 1. 10]
tous sauf un
nombre fini de ces
pl
vérifient
ht pl =
ht Q + 1.
On a
ht pl + Coh'~ pl = ht Q + 1 + Coht P < ht p + Coht P ~ dim A
et
ainsi
Coh"!: pl < dim A - ht pl.
... / ...

---

- 38 -
1.1.4. Proposition:
Soit
P
un idéal premier non maximal d'un anneau semi-local
noethérien vérifiant
vérifie
Preuve :
Il est évident qu'on peut supposer
dim Ap = ht P ~ 2
ce qui
entraîne que
ht P + Coht p = dim A.
Soit
0
un idéal premier
0
contenu dans
P.
Il suffira alors de prouver que
ht 0
+ ht P~
= dim Ap = ht P.
0
o
Supposons que
ht P~ = k
et
supposons que
k < ht P - ht Qo'
o
Soi t
0 c Q1 c
..... C. Qk-1 C P
une chatne saturée d'idéaux premiers
0
tels que
ht 0i = ht 00 + i
pour
l ~ i ~ k-l.
[O'après le lemme
1.1.1J. On a aussi
= 1.
D'après la proposition (1.1.3), il existe un idéal premier
p'
avec
Qk-1 Co' p'
, ht P1 = ht 0k-1 .:. 1.
etC 0 ht p' ::: Co ht P<di mA - ht pl.
Pu; sque
Qk_1c- p' , p'
n'est pas minimal,
Coht p' = Coht P > 0,
P'
n'est pas maximal ce qui contrecii~ l'inégalité.
(parce que
ht p' + Coht p' =dim A)
1.1.5. Proposition:
Soit
Q
un idéal premier ~Jur. anneau semi-local noethérien
A vérifiant la condition (Tl) • Alors
A~
vérifie
Tl'
Preuve
On peut supposer
Coht Q ~ 2. Soit
P
un idéal premier contenant
strictement
Q
et supposons
ht Pli: .:. Coht P/Q <
dim A/ = Coht Q.
Q
Nous allons alors prouver que
ht p~ ~ Coht P~
= 1 • Si
p
est non
maximal
Q est aussi non maximal ct on a
ht Q + Coht Q = dim A•
.../ ...

---

- 39 -
D'après (1.1.4)
on a
ht P = ht p~ + ht Q
donc
ht P/Q + ht Q + Coht PlO = ht P + coht P
Donc
ht Pl
+ Coht Pl
= Coht
O
O
0
ce qui est en contradiction avec l'hypo-
thèse faite donc
P
est maximal.
On a donc
ht PI
< Coht
Q
0 • D'après la (proposition 1.1.2)
ht PlO :1 1 donc
ht PI
+ Coht
Q
P/1')
.~
L
<',
1.1.6. Corollaire:
Soit
A un anneau semi-locùl noethérien vérifiant la condi-
tion (Tl)' On à alors:
1)
Si
QCP
deux idéaux premiers de
A. alors ht P = ht PlO + ht Q
ou
P
est maximal et on a
ht p ~'!
;=
le
sont des idéaux premiers de
A.
On a alors
=
ou
est maximal
et
= 1.
Preuve :
a)
Supposons
ht P ; ht P~ + ht q. D'après la (proposition 1.1.4)
On a
P
qui est maximal. prouvons 2lors que
ht P~ = 1.
Si
ht Pl
> 1
On a
ht P = ht P -:. Coht P = dim A = ht 0 + Coht Q
O
et Eln a aussi d'après la proposition 1.1. 2
Coht Q = ht PI •
Q
Donc
ht P = ht o + ht PI
ce qui est en contradiction avec
Q
1
ht P ; ht 0 + ht P~.
Donc on a ~)
, ,
.
b)
Appliquons le 1) à l'anneau
"/p
pour .1VOlr
2)
• "1
.../ ...

---

- 40 -
1.1.7. Proposition
Soit (A, M) un anneau local noethérien intègre vérifiant
(T 2), alors A vérifie la p.c.c.
Preuve :
------
Supposons que
A ne vérifie pùs la (p.c.c.).
D'après l[ ]Remar-
que
2 - 3
( i )]
i l e x i ste des i li é aux pre mie r s
QC P
ave c
.p;.""
tels que
ht Q + ht P/Q< ht P • D'ùprès la proposition (1.1.4) on a
ht P = ht Q + ht P~
ce qui est contrudictoire. donc
A vérifie
la p.c.c ••
1.1.8. Corollaire:
Soit (A, M)
un anneau locul noethérien vérifiant la condi-
tion (T )
alors
A
vérifie la p.c.c ••
2
Preuve :
Soit
Qo
un idéal premier minimal de
A. Puisque
A vérifie
T2
on a Coht Q = dim A.
Pour montrer que
A vérifie la p.c.c. il
o
suffit de prouver que
vérifie la p.c.c •• D'après la proposition
(1.1. 5)
A/
vérifie
puisque
A/
Q
Q
~st local
intègre il
o
o
vérifie
T
et on applique la proposition (1.1.7) pour avoir le
2
résultat.
1.1.9. Proposition:
Soit
P
un idéal premier non maximal d'un anneau semi-local
noethérien
A vérifiant
Tl' alors
Ap vérifie la d.c.c.
Preuve :
Nous pouvons supposer évidemment
P
non minimal.
Soit
00
un
idéal premier minimal contenu dans
P. Il nous suffit de montrer que
tip
XA vérifie la d.c.c. et dim I\\p~ = dim Ap = ht P.
p
.r() !\\p
'0
... / ...

---

- 41 -
On a la dernière condition dlaprès la proposition (1.1.4). Reste à
montrer que .~ ~~~ )"Qo
vérifie la d.c.c ••
Dia pr ès l a pro po s i t ion (1. 1 • 5 ) ,
A/0
est un an neau i nt è gr e vér i fia nt
'0
la condition
Tl
et
P/Q
étant non maximal dans
A/Qo ' On peut
o
supposer alors
A intègre. Soit
Dune
Ap.algèbrc finie et soit
1
1
oCP 1 C . · .. · · .. C p n
une chaîne saturée dlidéaux premiers de
o ,
tels que
~1(IAp = P Ap' Nous allons montrer que n = dim A
ht P.
p =
Soit
T
la A-algèbre finie
telle
5- 1 T = 0
avec S = A· P
.
et
P., llidéal premier de T te l que
S-l p
= p~
1
, .
On a alors
OCPl C
..•. c. pn
une cha'ine saturée de
T
et
= P.
Dia pr è s L-[ J Thé 0 r ème
sl i l ex i ste uni déal premier
pl
de
A
avec
ht pl = n
et
Co rd: pl = Coht Pn = Coht P ) O.
Puisque
P
nlest pas minimal
n = ht pl.
Comme
A
vérifie
Tl '
on a
dim A = ht pl + Coht pl = n + Coht P.
On a dlautre part
dim A = ht P + Coht P et ainsi n = ht P = dim Ap•
1. L 10 Lemme
Soit
A un anneau semi-local noethérien vérifiant
Tl'
B
une extension entière intègre de
~.
Si
N
est un idéal maximal
de
B
tel que
ht ( Nri A) > ht N
alors
ht r~ = 1.
Preuve
Soit
N
un idéal maximal de
8
Supposons
ht N = n et
•
1 < n < ht(N nA). D' après [C J Théorème 2] il existe
dans A un
idéal premier
P
tel que
ht P = ~ eJ.
.1.
. ...
Coht P = n-1 ~ 1
Comme
A
•
vérifie
Tl ' on a dim A = ht P + Coht P = 1+n-1 = n < ht(NnA)
~
dim A , ce qui est absurde.
1.1.11. Lemme
Soient
A un anneau semi-local noethérien vérifiant (Tl)'
S
une
A-algèbre entière contenant
A telle que la trace de tout
••• 1 •••

---

- 42 -
idéal premier minimal de
B sur
A soit un idéal premier minimal de
A • Soit
p'
un idéal premier de
8 , on a alors ht(plnA) ;: ht p'
ou
pl
est maximal de hauteur 1.
Preuve
Soit
Q' l'idéal premier minimal de
B
contenu dans
p'
tel que
ht PI -- ht P'/.:Q'
/~
• SOl"t
p;: pIn A
et
Q;: q'n
. A , d'après l'hypothèse
Q est un idéal premier minimal de
A. Supposons
ht P > ht P:
Montrons que
pl
est maximal, si
pl
est non maximal, on a
P non
maximal dlaprès (1.1.9) On a
Ap qui vérifie la d.c.c •• Puisque
Q :: Qin A est min i mal. ht P 1 = ht PIr,' = d i m Ap = ht P ce qui
contredit l'inégalité,
pl
est alors maximal. Prouvons maintenant que
ht pl = 1. Supposons que
ht pl ;: k • $i k > J.
on a
ht P/Q ~ ht P/Q' ;: k > 1, P é~' ., I~ ,'.
... c•• ; l.
maximal on a
ht P/Q ;: Coht Q
dlaprès (1.1.2). Puisque
A
vérifie
' _0
)
et
ht P/Q> 1
On a
~ 1 1
Coht Q ;: ht Q + Coht Q ;: dim A :: h-c p +. Coh-c P :: ht P , ce qui entrat-
1
ne que
ht p = Co ht Q :: ht PIQ' 00 nc ht p/Q :: ht P > ht P
;: ht Pi 1
Q
et
B/Q 1 é tan t en t i ers ur
A/ ,
no U s pou von s su p p0 s e r
A
et
B
Q
"
ln t'egres et pren dre
Q ;: Q' ;: a , a 1ors
h{-~ (P 'n A) > ht pl
entratne
d'après (1.1.10)
que
ht pl = ht P'
1.
1
; :
If) 1
1.1.12. Proposition:
Soient
A un anneau semi-locùl noethérien,
B une A-algèbre
entière contenant
A, telle que 1~ trace de tout idéal premier
minimal de
B sur
A est un idéal premier minimal de
A. Alors
les conditions suivantes sont équ;v~l~ntes :
1°)
A vérifie
(Tl)
2°)
B
vérifie
(Tl)
••• 1 •••

---

- 43 -
Preuve :
Supposons que
B
vérife
Tl- Soient
P
un idéal premier de A
et
P'
un idéal premier de
B
tel que
P'()A = P
et ht pl = ht P.
On a alors
ht P + Coht P = ht P' + Coht pl
le dernier membre
est égal à 1
ou dim B = dim A ce qui entrai ne que
A
vérifie Tl.
On a donc
Prouvons que
1°) =-> 2°).
Supposons
A vérifiant
Tl
et
soit
P'
un idéal premier de
B.
Si
P'
est maximal de hauteur
1, on n
ht P' + Coht P' = 1
si
pl
est non maximal on a d'après {1.1.11)
ht pl = ht(pln A)
ce qui entraine
ht pl + Coht pl - ~t(pln A) + Coht(p'n A)
comme
cette dernière somme est égale à.
ou dim A = dim B on a
B qui
vérifie
Tl.
1.1.13. Proposition:
Soient
A
un anneau semi-local noethérien vérifiant Tl et
B une A-algèbre entière contenant
A
telle que la trace de tout
idéal premier minimal de
B
sur
A est un idéal premier minimal de
A • Alors si
pl
est un idéal premier non maximal de
B
on a
Bpi
qui vérifie la d.c.c.
Preuve :
Soient
P = plnA ,
C
une S-é'• l etèbre
v
ent i ère et
P~c: Pï c
C P~ = P
une chnfne saturée d'idéaux premiers
Il
de C avec
plln B = pl
et
P~ et
p~nB respectivement minimaux
dans
C
et
B. Pour montrer que
Bp '
vérifie la d.c.c., il suffira
de prouver que
n = dim Bpi. Dlaprès le lemme (1.1.11.)
on a
ht pl = ht P
ce qui entrai ne que dim B~l = ht P' = ht P = dim Ap•
C étant
entier sur A, d lapr ès l I!
' l '
1ypOtnese on a POli 1\\
{' A = (pllnB)nA
0
qui est minimal. Dlaprès la proposition (1.1.9)
n = dim Ap = dim Bp '.
. • .1. • .

---

- 44 -
1.1.14 Corollaire:
Tout anneau local noethériGn intègre hensélien, caténaire
est universellement caténaire.
1.1.15
Corollaire:
Soit
A un anneau local noethérien intègre et
B
une
A-algèbre locale enti~re contenant
A et intègre. On a les conditions
suivantes qui sont équivalentes
1)
B
vérifie la p.c.c.
2)
B
vérifie
T2
3)
A vérifie
T2
4)
A
vérifie la p.c.c. .
1.1.16
Proposition:
Soient
A un anneau semi-locDl noethérien intègre,
B
une
A-algèbre entière intègre contenant
A et possédant le même nombre
d'idéaux maximaux que
A. Alors les conditions suivantes sont équi-
valentes
1)
A vérifie
(T )
2
2)
B vérifie
(T )
2
Preuve
1)
=> 2)
Pour tout idéal maximal
M de
A, il existe un idéal
maximal
MI
de
B et un seul au-dessus de
M et ayant même hauteur.
Puisque
A vérifie
T
on en déduit que 12s idéaux maximaux de
B
2
ont même hauteur. D'après (1.1.12)
B
vérifie
Tl' donc
B
vérifie
T •
2

---

- 45 -
1.2 - CONJECTURES
1.2.1.
Conjecture (P)
Soit
A un anneau semi-local noethérien intègre de dimen-
sion> 2
slil Existe une chaîne maximale
Oc.p CI~
dans
A.
d'après ([12]
Prop. 2.2.) il exis'i:e: une infinité dlidéaux premiers
(P . )
tel s que po urt 0 ut
i 6 I"c
o c. P .c ~j
,
soit une cha1'ne
,
i e1
maximale. Alors
UP. = ~·1.
i € 1 '
1.2.2. Conjecture (T) :
Soit
A un anneau semi-10cal noethérien intègre vérifiant
1
(ie VI p
2
€
Spec(A)
ht P + di li, .'V~
= d i mA). P, 10 r s
A vér i fie
. !J
1a p.c.c. .
1.2.3. Proposition
Soit
A un anneau semi-local noethérien int~gre. On a
(P )---> (T).
Pour démontrer cette proposition nous utiliserons le lemme suivant
1.2.4. Lemme:
En supposant (p) vérifiée. soit
A un anneau semi-1ocal
noethérien intègre de dimension> 2. Sl i1 existe une cha1'ne maximale
OC pcr·1
dans
A. alors il exista une cha1ne maximale OCP'CM
OÙ
P'
n'est contenu que dans
M.
Preuve
Soit
OCPCN
une chaîne maximale de
A, on sait d'après
([12J, prop. 2.2. ) qu'il existe une infinité dlidéaux premiers
(Pi)iel
tels que
OCPiCM
soit niaxima1e. Dlaprès l'hypothèse faite
on a
U P. = M.
Soit Ml = M, M2'~ ••• ' Mn
les idéaux maximaux de A.
iEI '
Si chaque
P ., est contenu dans au moins un des
~~i (i., 1)
... / ...

---

- 46 -
n
on a
don c
/JI.:= /d2 l") i
CG
qui est contradictoire.
Donc il existe
P' = Pk
tel que
OCP'r.:1\\1
soit une chatne maximale
de
A et
P'
contenu uniquement dans
~.
Preuve de la proposition 1.2.3. :
Si dim A ~ 2, l'assertion est évidente. Supposons dim A > 2.
Soit
OCP1 C
• ••••••• C Pn- 1 C Pn == f.1
une,chatne maximale de A.
Il est clair que
n > 1. Montrer qua
n > 2 , si n=2
il existe
d'après le (lemme (1.2.4)) une cha'ine maximale.
OC.P'CM
dans
A,
telle que
pl
ne soit contenu que dans
M, donc
ht pl + Coht pl = ht P' + ht M/
==
2 = dim A ,ce qui est en
/p'
contradiction avec l'hypothèse
di;,] P." > ~,
Donc
n > 2.
Puisque
A vérifie
(T )
on a
r;lp~
qui vérifie
(Tl)
d'après
2
(lolo5).
Puisque
n > 2, il n'y a ~as dans
A/Pl
une chatne maximale
de longueur
1 , on a
qui vérifiü
T2 ' on a alors
vérifie
T2• ce qui entratne qu~ n = Mt M = dim A donc A vérifie
la p.c.c ••
1.2.5. Proposition
Soit
A un anneau semi-local noetherien intègre vérifiant
(T ),
2
on a les conditions suivantes qui sont équivalentes ·
1)
A vérifie la p.c.c.
2)
Pour tout idéal premier
P
cie
A
Alp
vérifie
T2•
Preuve
1) -=-=-=-> 2)
A vérifie la p.c.c.
antra'ine que
A~
vérifie la
p. c. c •
pou r t 0 ut i dé a l pre mie r
P
ct (;
Ace qui en t rat ne que AIp
vérifie
T2•
2) -=> 1)
Soi tOC: P1{ • • • • •• .~~ Pk-1 C: Mun e cha 'i ne ma xi mal e de
A•
·.. / ...

---

- 47 -
D'a pr è s 2)
di m A - 1 = Co ht P1 = Il t η1,'P.' En rai son nan t par rée ur -
l
rence sur
dim A • on a
A/p
qui vérifie la p.c.c.
et
1.
ht M/p
= k-l ->k = dim A'. donc
r vérifie la p.c.c.
,{
1
1.2.6. Corollaire
Si l'on a (P) et si A un anneau semi-local noethérien intègr~
alors pour tout idéal premier p
uc
A
A~
vérifie
T •
2
Preuve :
D'après (1.2.3) et (1.2.5).
1.2.7. Proposition
Si lion a (P). alors la c16ture intégrale
A'
d'un anneau
local noethérien intègre et caténaire, v~rifie la c.e.
Preuve :
Soit
B une extension entière intègre finie de A , on sait que
B
vé ri fie
T1 (1. 1. 12). D' a pr è s ([:. 3J
10 • le ].
10. 1. 2) (1. 2 • 3 )
et l'hypothèse faite, on a
B qui est caténaire. donc
A'
vérifie
lac. c •
( c •f. (l3]
11. 1. 6 <..........-.....> 1~.• 1. l ).
1.2.8. Proposition
Si l'on a (P). soit
A un anneau local noethérien intègre
(
" )
,,, \\ ....
-
qui vérifie la p.c.c. et tel que
-
}-\\
(l Ap (oD E est l'ensemble
p61[
des 'idéaux premiers de hauteur
1
de
A) soit une A-algèbre finie.
Alors
A vérifie la d.c.c.
Preuve
D'après ([14J
1.10) il suffit dc prouver que toute A-algèbre
finie intègre
B contenant
A. véri~i2 ln p.c.c. D'après ([~].
5.10.17) si
q
est un idéal premier de B de hauteur 1. On a
ht(qnA) = 1
ce qui entraine que G est un anneau semi-local noe-
thérien intègre vérifiant T • donc B vérifie la p.c.c. D'après 1.2.3
2
par suite vérifie
A vérifie la d.c.c.

---

- 48 -
CHA PIT R E
II
2.1.1.
Proposition:
Soient
A
un anneau local no~thérien intègre,
B
une
A-algèbre fidèlement plate, quotientii1un anneau local régulier.
Soient
X = Spec(A) et XI = Spec(B). Alors les conditions suivantes
sont équivalentes :
a)
A( 1) est une A-algèbre finiG.
b)
Pour toute partie
fermée
T
d.e
X de cod i men s ion ~ 2 ,
si lIon désigne par
i . X-T - > v
.
1\\
llinjection canonique
i*(OX_T)
est un
°X-Module cohérent.
c )
Pou r t 0 ut
x 1 6 As s ( ° XI)
eoc;; 0 LI t e partie fermée
T
de
-
X
de
codimension ~ 2, on a codim (f- 1 (T) (î {Xi}
{Xl})
~ 2.
Preuve :
Po son s
f : A - > B
1 1 ho m0 m0 r p :-:1 s~(I8 st r uct ur al. Soi en t
Z = Z ( 2 ) ( X) = {p e Sp e c ( A)
tel s q Li (;
:: oc
p ~ 2}
et Z 1 = f - 1 ( Z )
qui sont des parties stables par spécialisation; les conditions
a) et b) équivalent respectivement ~ux propriétés suivantes:
est cohérent
est cohérent pour toute partie fermée
T
de
X
de codimension ~ 2. Compte tenu de (L1J, 5.S.5) ces deux dernières
propriétés équivalent respectivement ~
\\Vo
al)
1
Ob~, (OX 1 )
est cohérent
1
posant
TI = f- (T) ,
°
%Xj;0l (J \\' 1 )
. ,
est cohérent pour toute
, \\
partie fermée
T
de
X de codimension ~ 2. Or tout point de Ass(OX1)
.../ ...

---

- 49 -
se projette sur
X
sur le point générique de
X
puisque
f
est
un morphisme plat
( [4] , 3.3.2). Comme paY' définition ce point n'ap-
partient pas à
Z , on voit que
Ass (OX
ne r2ncontre pas
I )
Z '
,
l'équivalence de
ail)
et
b'
)
rés l: l'~ e de
( (4) , 5.11.5)
puisque
1
B est quotient d'anneau régulier. Pour cette raison, les conditions
bill
et
c)
sont aussi équivalentes sn vertu de ([4J, 5.11.4).
2.1.2.
Remarque:
Les hypothèses étant celles
G.~
(2.1.1.) Compte tenu de
lléquivalence de
a)
et
c)
de (L.l.~).
A(l)
est une A-algèbre finie si et sQulement si,
pl
et
ql
étant
deux idéaux premiers de
B
pl C ql , pl 6 P.ss(B)
si
ht(q'n A) ~ 2
On a
ht q ~
~ 2.
/ pl
2.1.3.
Question
Soient
(A, M)
un anneau local noethérien, intègre, (B, MI)
une A-algèbre fidèlement plate quotion~ d'un anneau local régulier.
On suppose vérifié~ les conditions suiva~tes
1 )
B
vérifie la p.c.c.
et à i ;',1 nl) = dim A.
2 )
A(l)
n
:
Ap
(où
E
est ï I~nsemble des idéaux premi e,r s de
pEE
A
de hauteur
A) . est une
A-algèbre ·;'inie.
3)
Soient
pl €
Ass(B), et
1
~ piC
",-
1
= pl/'
,r-p
POe...
l
,--- i':Î 1
une chaîne maximale
1
····L-P
k ~ ••••• --
n- ~~ -
de
B
telle que
pl
rj A = P • t O.
n-1
n-!
Soit
g': {ql e Spec(B) , tels que:
et
• . .1. • .

---

- 50 -
/ - .
Existe-t-il un élément minimal
ql dG ~. contenant
pl 1
2.1.4. : Si la réponse est oui. on a les résultats suivants.
2.1.5. Proposition:
Les notations et les hypothèses étant celles de
(2.1.3).
On a
B qui vérifie
SJ.
Preuve
B vérifie
Sl
est équivalent à àire que tout
pl S Ass(B)
est minimal. Nous allons raisonner par récurrence sur
n = dim A =
dim B.
a)
si
n = 1 : on a ht MI = 1
donc
Ass{B}
ne contient que des
iddaux premiers minimaux.
b}
si
n = 2 : soit
pl €
Ass(B). supposons
pl
non minimal.
B
vérifiant la p.c.c.
on a une chaîne maximale.
ht ~~ 1/
= 1
/pl
dlapr~s (2.1.2 Remarque) ceci contredit llhypothèse
A(l}
est une
A-algèbre finie. donc
pl
est minimal.
c)
Cas
où
n > 2.
Soit
p l 6 Ass(8)
non minimal posons
ht pl = k ,
B vérifiant la p.c.c.
on a une chaîne maximale de
B:
pl
-
p' r--
r '"' 1
,.- M ,
OC p Il C
•••••• C P Ik -
' - .
•
•
•
•
•
•
\\..-
~.J n_I - 1'1 •
Posons
p
11.
I
_
A =
si
n 1
P
1. D'après la remarque
2.1.2.
k = n-1
n-
On a
ht M' ('i A
= n > 2
et
ht
ce qui est contradic-
l~ln_l = J.
toire puisque
A(l)
est une
A-algèbre finie donc
k < n-1 •
.../ ,. ..

---

- 51 -
Soi t
P={q' 6 Spee (B), tel s qliC q n
1
A = Pn_1 et q 'e p 'n -1} •
D'après 2.1.4, il existe un élément minimal
q' de ~ contenant pl.
Considérons maintenant 1 'homomorphis~le fidèlement plat de
A
- - - > B-,
puisque
d i m B-:-, ,'X' !< ( p
q
1)
= 0, 0 n a
Pn-1
C;'.!Y
n- ...
dim A
= di m Bq' < n •
Pn-1
Il est facile de voir que
Bq'
est ~uo~ient d'un anneau local
régulier,
B-
vérifie la p.c.c.
A{l)
est une A
-a1oèbre
q ,
Pn-l
Pn-1"
finie {c.f [4], 5.10.17 (iii), d'après 1 'hypothèse de récurrence
vérifie
Sl
ce qui entraîne que
est minimal.
2.1.6.
Corollaire:
Soit (A, M)
un anneau local nOGthérien intègre, universe1-
( 4
\\ -
1ement caténaire, on suppose que
1-',,:")::.:
f) A
(où
E
est l'ensemble
peE p
des idéaux premiers de
A de hauteur' 1) est une A-algèbre finie.
Alors le séparé complété
 de
A v6rifie la condition
Sl.
Preuve
À
On sait qU2
A est quotientd'un anneau local régulier
...
(c.f. [3],19.8.8),
d'autre part
"
est fidèlement plat
1\\
....
...
dim  = dim A et
A vérifie la p.c.c •• D'après (2.1.5)
A vc§rifie Sl.
2.1.7.
Corollaire:
Soit
A un anneau local noethJrien intègre, universellement
caténaire. Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
....
1)
A
vérifie
Sl
est une
A-algèbre finie
Preuve
1 )
...........> 2)
d'après
[[l8J -
Corollaire 1.5)
2)
---> 1)
d'après
2.1.6)
... / ...

---

- 52 -
2.1.8. Corollaire:
Soit
A un anneau local noethérien intègre, normal et
...
universellement caténaire alors
A vérifie
Preuve
A
étant normal on a
A , donc un
A-module de type fini,
...
d'après 2.1.6
A vérifie
SI.
2.1.9 Corollaire:
Soit
A un annBau local noth6rien, japonais et universelle-
A
ment caténaire. Alors
A vérifie
S,.
Preuve :
Soit
AI
la clôture intégrale dG
Jo"
on sait que
A(l)C AI,
A étant un anneau japonais entra'ne que
est un A-module de
type fini donc
A(I)
est un A-module de type fini, ce qui entratne
...
que
A vérifie
SI
d'après
2.1.6.

---

e l 6 ~ 1 Q G B 8 e U l E
---------------------------
A. GROTHENDIECK
et
J. DIEUDONNE
[1]
E•G. A.
1
[2J
E. G. A.
III
[3J
E. G. A.
IV
nO 20
Etude locale des schémas et morphismes de
schémas
ère
(1
par~ie).
[4J
E.G.A.
IV
nO 24
Etude locale des schémas et morphismes de
schémas
(2 ème partie).
[5J
E.G.A.
IV
nO 32
Etude locale des schémas et morphismes de
schémas
ème
(4
partie).
ère
[6J
S.G.A.
1
partie .
. Théorèm~ locaux et globaux de Lefschetz.
N.
BOURBAKI
[7]
Algèbre commutative
Chapitre
7
l ' ·
.
,.:1Vlseurs.
[81
E. G. Houston
et
S. Mc ADAM, Rank in Noetherian rings,
J. of Algebra, 37 (1975)
64-73.
[9]
S. Mc ADAM, Satured chains in noethcrian rings, Indiana Univ.
Math. J 23 (1974) 712-728.
UO)
M. NAGATA. Local rings, Interscience, New-York,
1962.
le J. RATLIFF
[11J
Characterisation of catenary rings, Amer. J. Math. 93
1971,
1070-1108.
[12]
Characterisation of catenary rings, and the altitude formula,
Amer. J. Math. 94
(1972) 458-466.
U3]
Chain conjectures in ring theory 647 Lecture Notes in Math.
Springer - Verlag Berlin Heidelberg New-York
(1978).
.../ ...

---

H. SEYDI
[14]
Anneaux henséliens et conditions de chaîn~s (1) - Bull. Soc. Math.
de France - 87,
1970, p. 9-31.
[15]
Anneaux henséliens
et conditions de chaînes - Compte - Rendus
des Séances de l'Académie des Sciences ( T. 271. Séries A et
B
nO 3
(20 Juillet 1970)
p. 120-121.
[16J
Anneaux henséliens et conditions de chaînes II - La formule des
dimensions. Compte - Rendus - T. 270 n0 11 - Séries A et
B
(16 Mars 1970)
p. 696-698.
[17J
Anneaux henséliens et conditions de chaînes. Bull Soc Math. de
France - 98, 1970, p. 329-336.
H. SEYDI
et
Marcel BASSENE
D8]
Sur les fibres formelles d'un anneau local noethérien et le
problème des chaînes d1idéaux premiers dans les anneaux noethériens
Ann. Fac; Sc. Dakar, 1978, t.31
p. '9-21.

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