Série
A
N° d'ordre
806
N° de série
136
THE SE
Présentée
DEVANT L'UNIVERSITE DE RENNES
l
U.E.R. de Mathématiques et Informatique
Pour obtenir
LE TITRE DE DOCTEUR EN TROISIEME CYCLE
Spécialité
Mathématiques
par
Daniel PECKER
Sujet de la Thèse
Fa n.ctio rt6 de. Na.-,f:, h : a.prYW ximat.<-on.,
e.xte.V'.-6..to n., 1ae-to't..t6auo n. .
Soutenue le 19 Septembre ]983 devan'
la Commission dl exa'!1en
M.
J. HOUDEBI:JE
Président
~1M.
M. COSTE
1. GIORGlL'TTI
Examinateurs
L. MAHE
J.-C. TOUGERON

---

TA BLE
DES
MAT 1 E H E S
CHAPITRE 1
Introduction aux fonctions de Nash
0.1
§ 1
Définition et exemples
p.6
§2
Analyse pour les fonctions de Nash à une variable.
p.8
§3
Approximation des fonctions semi-alg6briques continues par
des fonctions de ~ash élémentaires.
CHAPITRE ~ :
Le théor~iTl8 d'a;: .. ~cx i. "7ïation
p.23
§1
Analyse élé~entaire pour les fonctions de Nash.
p.25
§2
Le théorème d'ao=roximation
,
,
p.29
§3
Démonstration utilisant la théurie du spsctre ree..:...
CHAr ITRE 3 :
Le théorème d'Extension
p.37 § 1
Prée.iminaires
'
'
geome t '
r~ques
p.40 §2
Présentation
du théort~me et idée de la preuve.
.
p.44 §3
Démonstration du théorème d'extension.
p.45 §4
Applications.
CHAF' ITRE 4
Propriétés alg'brique~des anneaux de fonctions de r·Jash.
p.48 §1
: Présentation et ex~les.
p.54 §2
Factorisation d'un fonction de Nash selon les composantes
connexes de s~s zéros.
p.61 §3
Quelques· emarques sur la "Noethériani té" de J({lt)
CHAPIF~E
5 :
Remarquc;s sur la cohomologie des fonctions df, i:(,"sh.

---

r
' . - .. --~.. ··'··4~-i?Têh·e~.s···-Xrffrllj<êller'IJ6.1l.0NfT/i16/
•
~:
3/2/~e
~.
1

---

.
•
. , _
' f I f
/16(U6J'
-"
,
J
. '
--------
@~.
:.. -~ J~t:, '
.... ' ,..._---1
~.
1
51",..
,......t
.....-,.'
'i
1
j
~"
1
\\
d
-i
00 (l:J-
i1
i
j
j
i
..."
, '1:

---

a trois racines r~elles distinctes dont I~e seule est
, .
(1
2)
.
f ( )
.
superleure a
+x
,solt
x
cette raclne.
f(x) est bien une fonction de Nash d~finie sur R.
Montrons que f(x) ne s'exprime pas par radicaux.
1
, .
/
Le corps de base est R(x). Comme l'e~uation est irreductible
sur R(x) , (cela r~sulte de crit~re d'Eisenstein. cf:
r:.sarnue~ ou lLa.n~) -Le 6rm.:pe de Galois de l'e'quation est
un groupe transitif de permutation des racines , or,ce
polyn~me ayant trois racines rJelles , la conjugaison
1
complexe est une transposition. Par consequent le groupe
de Galois est le groupe symétrique s~ tout entier, qui
1
n'est pas resoluble.
Exemple 4 1 Soit g(x) l'unique y v~rifiant
g(x) est une fonction de Nash qu'on
peut calculer pour chaque valeur de x par la
"
methode de
Cardan ~ l'aide de radicaux complexes (dU type
4
,
l"1
). Mais. on demontre , dans l'ancienne
2
"théorie des e'quations", qu"on ne peut l'écrire J' l'aide
de radicaux réels(rII.:::AJORIJ oc("~Ô}-[VAN OSR WFtER DEN1)
g(x) n'est donc pas une fonction de
1\\"
h
1 l '
.
l~as
e ementalre.

---

3
,
,
On obtient ainsi la facto~isation
2
3
2
2
x
(y -y-x) = (y-g(x»
(y +g(x).y+ grx) )
dans l'anneau
J{(JR) [y] (Jf<R) dJs i:sne l'anneau des
fonctions de Nash d~finies sur IR)·
,
Cepen. .dant une aut~e factorisation est possible:
3
2
~y2_1)+ ~ Y~x2+(y2_1 )2t~
y -y=x
2
ce qui donne
y2_ 1+ -.!- = =* ~ x +(y2_ 1 )2+y~
2
2
si y (0 on a
y2. 1+
~ <l.1 ~ll-t\\ \\' ~x +(/_1 )2+y~
on voit donc que si
y~O
/ ~ + _1=.J.j"-x-2-+(y-2_-lt-+-y~-tr

---

PRE SEN T A T ION
DUT R,A V AIL
-------------------------------------------
Le chapitre 1 : se veut une introducti.on à l'ensembleoAprès
la définition des fonctions de Nash et l'étude d~ quelques exem-
~les, on y donne une démonstration détaillée d'un théorè~e d'ap-
proxi~ation d?s fonctions de une var~le. On espère ainsi mon-
trer au lecteur les difficultés que pose la démonstration d'un tel
théor~mc pour les fonctions à plusieurs veriables et montrer aus-
si quslc;ucs TTl~thodes typiques ("partitions de l'unité").
Le chapitre 2 : prÉsente deux démonstrations du théor~me d'-
a~proximation de Efroymson (sans précision sur les dérivées).
-
La première est direct~ment inspirée de la démonstration d'Efroy~­
son
(seule la prés2ntation change) qui utilise des arguments de
triangulation ,~t le "saucissonnage" de Cohen(~Éost8,~]
-
La seconde utilise la théorie du spectre réel, qui permet/par
cOTTlpacité,de "maîtriser" 18 comportement à l'infini de la fonction.
Le chapitre 3 : présente une preUVE très rapide du théorème
d'Ext8nsion de Efrymson sous une forme un peu plus générale. Cette
preuve utilise la dcsc~iption d'Artin-Mazur des fonctions de Nash,
qui avait déjà permie à
~.Coste ~ de simplifier sensiblement la
démonstration du lemme de substitution d'Efrymson.
Le chapitre 4 : aborde la fcctorisation dens des anneaux de
fonctions de Nash. On n'a pas h~sité à donner b~aucoup d'exemples
m@me très simples, car les raisonnc:ments élér.,entai:;:es utilisés
pour leur étude sGmblcnt être au coeur de m~thodes plus abstraites
(comi1e le "u r\\..frove d lemma 11 exp os é au chap i tre 5.
Le chapitre 5 : montre très brièvement le lien entre ces ques-
tions d'extension,de factorisation et "une bonna théorie de la co-
homologie ll •
c~ travail a vu le jour grâce à M.Coste
. t '
,
ln erE:sse
idt~s d'Efroymson, c'a dc~andé de l~s ap rofondir.
Je me suis efforcé d'@tre 3ussi clair qu~ possiblo pour rEster
fid~lo au style des articles de synthèse de ~.Coste: [coste il et
lfostc il auxquels ce travail fait sui te en cherchant à provoquer
la discussion plut3t ~u'à la clore.

---

4
et si
y ~ 1
y2+ ~ _ 1 #0
d IO'u
2
--
on voit donc que si
t(x,y)= i_l+~ _VX2+(y2_ 1)2 :.pYtr._
cf>J.x,y) =y2_ l+~ +VX2+V- if + y~
on a
3
2
Y _
y_ x
autre factorisation"explicite" dans l'anneau des fonctions
'1 1
•
...
de Nash e ementalres a deux variables.
~~ SI annulant sur t;
et
~2 s' annu lant sur J;
D'ailleurs ces deux factorisations sont e'quivalentes
1
dans
ft' (IR'-)
Ce qu'on peut facilement voir en
•
utilisant le fait que
J{ (IR 2) est un anneau
factoriel,
le lemme de Gauss, et le fait que deux
,
fonctions de Nash a et b ayant des zeros disjoints
satisfont a une dquation de Bezout
~ +be2: "2 ~=1.,
et sont donc premières entre elles ... · .
Il r'sulte de la factorialité de c~rtains anneaux
rem
(Cf. Ij3ochnak, Kucharz, Shiot~) qu'on
SOl.1VC~
factoriser ainsi un polyn~me
P (X'1.' ... ,Xq,.)
"selon
les composantes connexes de son ensemble de zf!ros"

---

5
On donnera dans le chapitre 4 une demonstration
~lè'menti1ire de ce fait.
Examinons ~ nouveau cet exemples
On a une ,fonction de Nash
F(x, y) = y _ g(x) qui est
~
1
posit~ve sur
E~
la partie du plan situee au dessus du
graphe
~ de g et négative sur E~ partie du plan
situ~e en dessous de ~
Il n'ya pas de polyn~me R de deux variables ayant
( 3
2) 1
cette proprie'té s en effet, p = y - y - x
etarit
un polyn~me irre'ductible,
R s'annullerait sur .r;
et donc serait un multiple de p. Comme ~
doit changer
de signe quand on traverse r;
c'est un multiple d'une
puissance impaire de p, et par conse'quent R change
aussi de signe en traversant ~ ce qui est contraire ~
l' hypothèse.
On peut en d~duire une autre "deff ec tuos i tt" des po lyn(jmes
par rapport aux fonctions de Nash.
Sa i t G " {(x. Y. z) f: fR3
1
z p( x •y) = 1]
G
l
1
d
d
f
1
1
'b
0
0
0
est
a reunLon
e
eux
ermes seml-a ge rLques
disjoints G:l et Gr
Gi:: [ (x, y , z ) 6: G
1
>
y
g(x)' J
et
(;2, = [' (x,y, z) e G
1
y < g(x)]
S'il existait un polyn~me
Q(x,y,z)
positif sur G~.
1
Of
G '
d
0
et ne3atL
sur
~,SL n est assez bran
on vOlt que
R (x, y) = (p(x ,y'K" • Q( x, y, -p......,(......x-~y---')'--) est un
polynbme qui est positif sur
fi.
1
Of (
et neôdtL
au sens
large) sur
E2.
ce qui est impossible comme on vient
de le voir.

---

6
On ê donc tro'-..lv: deux ferm{s semi-a 19ébriques disjoints
dans
rR 3 qu'on ne peut;"s~parer" par un polynS'mer
(cet exemple est d~ ~ [Colliot-Ihtl~n~
)
Nash avait introduit ces fonctions pour étudier des
"
,
morceaux d
."
l'
e vartetes a16ebriques ree 11
(d
es
l
a~s
e cas
compact)
~bstowski a démontré qu'effectivement les
,
fonctions de Nash per~ettent de separer de tels morceaux,
plus précisement on a le théorème de
[Mostows~g [Bochnak-
-Efroyms0r]
Théor~me
Soient F~
et F~
des ferm~s semi-algébriques
disjoints dans n
ouvert semi-a 19~br iq ue de
IR n , il
existe
Cf de Nash sur.a
~ (F
<
1.)
0 el- If( Fi) '> 0
Pour une d~monstration voir
[Cost~ ~1, op remarque auss i
qu'on peut choisir ~ fonction de Nash élJmentaire.
~ 2 Analyse pour les fonctLms de Nash ~ une variable.
**********************~~***********************~~**
Faisons un certain nombre de remarques préliminaires.
~ Si f est semi-alg~brique et d/rivable, sa derivèe
est semi-algeJbrique. En effet si f satisfait a.l'e'quation
polyn'Smiale P(x,f(x»:::: a en de'rivant on obtient
si on"e'limine" f(x) de ces deux e'quations on trouve
une relation polyn~miale
e Toute fonction s~mi-als~brique n'a qu'un nombre fini
,
de zeros.

---

7
1
~Toute fonction semi-algebrique est monotone dans
un voisinage de l'infini.
~En utilisant la".r~gle de L'Hospital" on voit
que, si fi et g sont infiniment petites au voisinage
,
,
de l' inf ini f V" g
~
f ' if' g 1
(dans le cas des fonctions de plusieurs variables il
n'existe rien de tel)
,
D'ailleurs on sait que toute fonction semi-a16ebrique
est de ~ash dans un certain voisinage de l'infini et
d
d l
1
1 .
d
P'
y d
met un
eve oppement en serie
e
Uiseux
(voir
~ieudonn~ il
[Walker]
ou
[Valiro~ )
Cela permet de voir que toute fonction semi-algébrique
1
i~finiment petite ou grande est equivalente a Kx~
dans un voisinage de l'infini (avec 0( ra.tionneL)
1
'" Pour toute fonction f semi-algébrique continue et
strictement positive il existe une fonction
~(x) _
e
telle que f(x)
:> E. eX)
(l
+ x2 )n
(par ce qui pn!c~de si n est assez grand, f(x) ' /
1
~ l'ext/rieur d'un intervalle compact, on n'a p'lus qu'~
multiplier par un nombre e plus petit que le minimum
de f sur cet intervalle compact.)
•
Si _- est
COOet semi-alge'brique, alors f est de
Nash. Rebardons au voisinage de z~ro. f a un dJveloppernent
en serie de Puiseux valable dans
Jo. ft
qu'on
1
peut dériver terme à ter~e autant de fois que l'on veut.

---

8
Il ne comprend donc pas de terme fractionnaire c'est
1
l ,
donc un developpement en serie ent iere, c'est le
développement de Taylor ,ce qui montre que la fonction
est analytique.
33 Approximation des fonctions semi-alg~brique~ continues
,',,,;'(,,;', ~f,"'/, ~f,..,l( ~';,,;'\\,,;'\\
***
,,;': -;', i': -,,', ,1; -,':,,;': ,,;',-;1,
...,',****.,';
j'; ;'; ;',,,;'; ,',";'; ";',,,;';
j'; ,', ,;'; ";',,,;1; j'('";'; *'";':*;'; j'(
,,;'('";'(,,;'(~',;'( ,,;'(
par des fonctions de Nash él~mentaires .
...
Revenons a l'exemple 4 du paragraphe 1.
1
~/,--x-2- - - - -
La fonction g(x) verifie
g(x)
= y
+ g(x)
•
J
g(x) ~
1 • Essayons de l'approcher a l'aide d'approximations
2
successives ainsi de't-iniesi go (x) ::::. 1 , g':l., (x)
= Vx +- l,
~I x2 3 2
g ~ (x)
V
+ Vx + 1 ,
g n (x)
, on remarque que g n (x) ~ 1
3
2
soit P(y)::.
y
_
y _
x
2
On a alors P(g) -
P(gn) -
(g -
gr, )(g,/ + gr) g + g - 1)
mais aussi P(g) -
P(gll) =
(gn - g,,_,)
,..
ce qui montre que (g -
g .. ) et (g., -
g"_I)
sont de me me
sibne , on en d/duit par r~currence que
1
~ •••
d'autre part on voit que
(g l')-Ii -
g")(gn~ + gh+1 gtt + g;)
(g n - gn-I )
on en d~duit que
i
, •
g" -
gt1-1
<
2 .2/3\\h-1
(2 ~(l+x)
.1
<
x2
g -
gn,.

---

9
.
,
/ .
....
h
d
. ..
;\\
On vOlt qu on a reussl a approci er
e manlere extremement
satisfaisante la fonction de Nash g(x) qui n'est pas
1
,
elementaire, par des fonctions de .\\ash gn.(x) qui sont
élémentaires 1
,
En effe~' l'erreur peut ~tre rendue (si n est assez grand)
plus petite que toute fonction
Z (x)
e
~
,
....
donnee a l'ava~, c'est a dire par les remarques du
paragraphe 2, plus petite que toute fonction strictement
1
l
,
positive semi-algebrique et continue donnee a l'avance.
,
Mais les g n(x)
,~
sont elles de bonnes approximations de
g'(x) ? ...
••• Dans son article fondamental
[Nash]
etudiait
(dans te cas compact) les approximations de certaines
fonctions
C" par des"fonctions de Nash'" dont les
deriv/es approchaie~t les derivdes correspondantes.
En effet pour approcher des variétes de manière
satisfaisante, il fallait, semblait-il les approcher
,
avec leurs plans tangents_qui sont definis à l'aide de
deriv~es_ Il semb le
que
[rOgnOli]
,dans sa
d/monstration de la conjecture de Nash, utilise ce
genre d'approximations
C:~(dans le cas compac~).
~me dans le cas des fonctions à une variable ce
problème n'est pas aussi eVident qu'il parait.
D
d
'
1
.
1
onnons en
eux enonces equlva entSI
énonc~ 1
~ ~tant quelconque, soit f une fonction
semi-alg4brique et
Col, peut-on trouver une fonction
de Nash f
~- proche de f telle que f' soit E- proche
de f'1

---

10
,
1
enonce 2
Etant dormI une fonct ion semi-algé'brique
co~tinue qui a une primitive semi-alg~brique, peut on
l'approcher par une fonction de ~ash qui a une primitive
de Nash?,
"
examinons quelques exemples.
1
1
exemple 1
Sur
entre
x
et ] X
il n'y a
pas de fonction de \\ash a primitive Nash.
[1 00r
1
exemple 2
Sur
f(x)
-
est de :\\'ash
- v-;-
"
. . .
1
a 'prlmltlve Sash,
(f(X) )
- - - est de Nash, mais "salt
x
1\\
primitive n'est pas de Nash, elle n'est meme pas
approchable par une fonction de Nashll
exemple 3
La fonction
~ a une primitive semi-
âlge'brique
~ x 'iN ' on peut facilement approcher
2,.
'!'f';; par une fonction de Nash (par exemple: Y7.b.,.~)
"'-
Pouvez vous l'approcher par une fonction de Nash a
primitive de Nash?
••••
Attaquons ce problème par une série de lemmes.
lemme 0
B )
2 , n > k ent iers , h/,O
a k
1
alors
x;> h
<
I .
DemonstratlOr..:
Il faut voir que dans ce cas
~B) est positif

---

11
J
chaque "~erme ne'gatif de cette somme correspond a un A
tel que 2 A < k , il se paire avec un terme ~= n-ï\\
>
qui est po s i t if c ar 2 (n - À )
2n _
2 ~
)
2n -
k /
k
a2(n -À)
> 2B~
et le terme positif l'emporte car
ce qui entraine que
et d'autre part
~ est plus grand que un
. .
ler::me 1
PO;...l.L tout: uQmbr-e rée 1 h pas t;t if, pour tout ent ier k, pOur toute
fonction ~
,
il existe une fonction de Nash ~llmentaire
'P telle quel Cf ainsi que ses dérivE!es jusqu'à l'ordreR
sont
c:
c::::- proc hes d e
sgn ( )
x
et d e ses d"
1
erlvees en d ehors
de
[-h,h]
(sgn(x) = l
si
x"/, 0,
-1
si x< 0)
I .
Demonstratlonl
Choisissons
~ de la forme E. (x) =-
e
1 . ,
.
soit N un entier superleur a n , et lmpair
~
et soit
f(X) =
Irasons le graphique de f
(bon exercice avec une calculette)

---

12
graphique de f:
,
r
-1
o
_ _ _ _-fIII'!.- - - - --_.- - - -!.
0n remarque que la fonction est irtpaire.
si x est positif, on a
d'où dans un voisinage de +00
on a 1-f(X) V' _~1___
2N
2X
et en vertu des remarques du paragra~he 2, on obtient
1
en derivantl
f'(X) V'
_1_ X-(28 +1)
4~
-(2H+j)
X
2(2N) •••••• (2N + j - 1,

---

13
Par conséquent,
il existe un nombre rIel B qu'on peut
rrendre sup/rieur à 2
,
,
et
/l-f(X) 1 <
Faisons un changement de variab les "pour ramener B en h"
Soit
Cf (x) :: f(+ x)
n
a lors si j ~ k
des que x)h
d'apr~s le lemme 0
•
Les fonctions que fournit le lemme 1 sont satisfaisantes
d h
d
]
.
l
d"
1
. . . . .
en
e ors
e
[
h
- , hj
,malS
es
erlvees successlves a
,
l'int~rieur de
[ -h, hJ
risquent de devenir enormes.
Nous allons montrer qu'en"moyennisant" bien un~ telle
fonction, on obtient une fonction de ~ash (~l~mentaire)
aussi plate que l'on veut en dehors de
[-a,aJ (ce qul
signifie, comme dans lr lemme l,que
z:. Jtant arbitraire
on peut choisir Cf
telle qIJe
f
. .
d"
1
alnsl que ses
erlvees
jusqu ~
1
l'ordre k
sont
Z- proc hes de Stn( x)
et de ses
d~rivées en dehors de [-a, a] )
et dont les d/rivées
successives jusqu'~ l'ordre k sont majorJes par des
constantes~'.e d/PQndant pas de ~ ).

---

14
IJRemPlaC50ns la fane t ion en chaque point par la moyenne
de ses valeurs dans un intervalle
[x - h , x + r:J
entour~nt ee point ,Il [Dieudonne' 2J
on voit que:
~t donc si 1! 1 < R
si on moyennise k fois , soit

---

15
1 .
.
,"
formule qu'on peut deriver jusqu a l'ordre k par
..
rapport a x.
Mais F(x) n'est pas une fonction de ~ash.
.
1
Prenons les sommes de Darboux·pour cette integrale,
DnF obtenues en partageant chaque intervalle r:h.~
1
en n intervalles egaux.
Comme f et toutes ses
deriv~es jusqu'~ l'ordre k sont Lipschitziennes
(f est C-O
et toutes ses ddriv'es bornJes),
on voit que ces sommes de Darboux qui sont des
moyennisations"discr~tes"de f tendent uniforme'ment vers
F, et que les sommes de Darboux pour f~)(qui sont
.
jl
D (F Ci) =- (D F)l
) tendent uaif orm/ment vers Fl-;i)
n
n
Soit DnF
la fonction de Nash 'l~ment~ire ainsi
obtenue, avec n assez grand pour que (D F )(~) < ...,
n
fi~
qui est un intervalle CO~œ~CT.
En dehors de cet intervalle on a D F
n
l'ordre k où
~i (x) -= z(X+(2 Rti)PJ) t ~ (:t - ~k41) PI )
ce qui est arbitrairement petit
si on choisit t. 4$Sfz;
petit
On vient donc de d/montrer le
lemme 2
,
Pour tout nor:'~re ree 1 a pos i tif, poLd:" tout ent ier k,
,
pour tout 2: . Il existe une fonction de Nash
, 1 '
t '
'\\1/'
'1.1f'
"
e emen aire
T
,
d " ' "
"
T
ainsi que ses
erivees Jusqu a
l'ordre k sont
E-proches de sc;n(x) et de ses d~rivdes
en dehors de [-CL 1 a...]
~~ on a. (lDdouJ-:.
•
1-yCi)(x)/ <~2~d)1 /.li ~ ~ k

---

16
.
,
On remar~ue que
les majorations sont lndependantes
de ~ ': Il ne semble pas qu'on puisse am~liorer ces
, .
Pour plus de ~lls sur les m~thodes
IIJ
emPloy/es voir [:>ieudonnè 2J
ou
lFblya- SZego
1
(mais le contexte y est assez different.)
lemme 3
(Pseudo-partition de l'unitJ)
Pour tout nombre _~ r~el positif, pour coute fonction E
.
1
seml-algebrique
strictement positive,
il existe des
fonctions de :'-iash tl/mentaires
'P:t 1 ep~ Ilf~
telles que
1
1
<:Pi
est
~_ plate avec ses derivees
~( .x.~J:l
C:f~ est Z:. - plate avec ses dérivées
~ ~:>-R
~2 est Z:.. - plate avec ses dérivées
t'our rxJ >R.,.j
1 .
,
et les derlvees jusqu'à l'ordre k
l
,
des
sont bornees par une constante ne dependant
que de k.
D '
.
emonstratlonl
Soit ~ donn:e par le lemme 2 avec a = ~
prenons
~~= 1(1 ~ 'Y'(x -(qf})~
prenons
~~(x) = ~:1(-L)
el--- Cfi = i - Cf2 -<P3
•

---

17
lemme 4
Si f est une f
.
.
l
l b ·
c~
1
onctlon seml-a ge rlque
, a ors
il existe un i~ombre réel A, tel que pour toute fonction ~
.
1
continue Jsemi-algebrique et strictement positive,
,.'
il existe
Ii
l.-
d
.
,
procne de f avec ses
erlvees sur [~,+ oor
d
.
,
f~
~- proche de f avec ses
erlvees sur [-f1 ~ f) 1 ij+:i]
f~
z,-procne de f
d
.
1
avec ses
erlvees sur
J_Oo ,- R]
et de plus si
~~R
1f/j) 1 < :i +f ~(1)1
sur n\\
tout entier.
Jé'monstrat ion 1
Posons
~(~)= f(V~-1) . Ru voisinage de l'infini
g a un dJve loppement en sf!rie de Puiseux en y :: (1 ..,.. x2 ) •
.
Cela donne un dJveloppement de f(x) en s'rie de Puiseux de
2
(1 + x ) dans un voisinage de l'infini. Choisissons Rassez
grand pour que ce ddveloppement de Puiseux soit valable
sur [ij-f 1 oo[
~t que le de\\re loppement de Puiseux
au voisinage de _()O
soit valable sur J-Qo -(A-i~ )
tn prenant les premiers termes du d/veloppement de Puiseux
jusqu'aux termes n~gligeables devant E.
et en multipliant
par une fonction de tyç:e "'f' (lemme 2) suffisamment piate
a l ' ext~rieur de [R-~I A]
on obt ient f:::L te 1 qu' G., le
souhaite.
Â
Pour f3 on fait exactement la meme chose.
Pour f~ , on sait qu'on peut approcller feR)
sur

---

18
l'intervalle COrlpdCt
~(~t2) ,[11'2)]
par un
polyn6me (StOrle -rJeierstrass).~ inte'/:-rant k fois
cn obtient un polyn6me qui approche f sur [~t2) AR"2~
l
"
avec ses dérivc:es a
Z-pres, en multipliant par 2 fonctions
1
, '\\Ir
,
du ty pe' T
donnees par le lemme 2 , on obt ient f 3 . •
Thtor~me d'approximation
Soit f une fonction C R semi-alg~brique, alors, pour
toute fonction
z: semi-alge'brique continue et
.IV
strictement positive,
il existe une fonction f de ~ash
1
1
.
l
.
•
et elementaire te le que Sl A (.R
(J ....
1
1
.
Demonstratlon.
Soit A donn~ par le lemme 4, on va prendre des
approximations sur chacun des morceaux du lemme 4 qu·on
11
1 \\ . . . .
• .
d l '
J d '
LJ
va reco
er grace a une partitlon
e
'unlte
onnee par ~
lemme 3. Soit B(x) de Nash,
B(x»
~(2tr'(x)I+1.)
.
Soit ~I <-P ,<f
partition de l'unit{
2
3
une
E(x)
8(x)·2 RI2.
à l'ordre k correspondant à A (lemme 3), soit K un
nombre rIel majorant toutes les deriv~es des ~ .
....
Prenons les f L approximations a
pres sur
chacun des trois morceaux, voyons
convient.

---

19
pi~)(g;1-A)_ î(J-A)) Y
=0
re()ardons
•
i
>
si x
A
J ('1
es t
€:(x.)
_ proc he de f,
K.~lta
<
si x
A
...
d'ou
A voir cette demonstration, on peut douter de la
possibilitl de l'étendre telle quelle aux fonc~ions de
plusieurs variables. On pourrait imagine~ pour g~n~rali~er
ce thdor~me d'approximatj0n à plusieurs variables,
d'utiliser ce th~orème d~j~ d~montrJ dans le cas de 1
variable, après avoir approcht lan.fonction
Y(x,lj)
par une express ion de la forme
.L Sl.(:'(..)~((~)
,
(comme on avait pu le faire pour Stone-~eierstrass)
Malheureuse11ent,cela n'est pas possible e;l b~n'raU

---

·20
/
definie pour x,y ~
K
et de ~ash.
St soit F) l'espace vectoriel des fonctions r~elles
continu~s sur [K ,oo[ et bornE!es •
5upposons qu'on ait une 4criture du benre:
Soit E l'espace vectoriel de dimension finie des
fonctions r/elles définies sur
[K,Oo[ qui sont à la
fois bornées, continues, et combinaisons linéaires de
Pour chaque valeur entiere i donn~e a y l'inJgalitJ (1)
donne une fonction
ei de E
d( ei. ,f~ ) <~
mais comme
d( Sllg~) ~ 1
on voit que d( el , ej) '> 1/~
Ma is comme
lIei \\1 <. ci(et 1 Si) -iSil < 3
On voit que les et
forment une suite sans point
d'accumulation dans la boule de rayon 3 de E qVi est
de dimension finie. Ce qui est absurde car daùs Uil
espace v2ctoriel norm~ de dimension finie la boule
.
,
un~te est compacte
•

---

21
De plus on peut d/duire de ce qui pr~ède que
1
.
l'approximation des fonctions de ~ash par des serles
de Puiseux "doub les" en _1_ et _1_
Cl' est
en e;e'né'ra l
x
y
pas possible "au voisinage de l'infini".
1
"
k
e
E Cflt(~t (ttii
Si l'on pouvait cfcrire !(x) :
1:\\,# -~o
t ',- eo
valable dans un certain sous-ensemble { x,~Xo)O
~ ~ ~o >0
I
,
.
Par la theorie du rayon de convergence des serles doubles,
on peut supçoser la série absolument convergente
s i x )
1:0 '7 ~
J
~) ~o') ~
R/I'l (~ )e/~
Soit K ==
L
(
Iqel~)
~
Rie
.
Soit 9ù
le domaine
[ ) :. {('.Je, 'j) e fR2/ X~2xD ~ ~2~
1
et soit
E(x) = ..e~~~
(1 of):2.+-'j2.)"0
On voit que si k et 1 sont assez grands
on a d8tlC
Eex)) t~(x)

---

On peut aussi montrer que
-
n'a pas un
VX.~HJ'"
d~veloppement en s!rie de Puiseux au voisinage de O.
~
En se plaiant dans le cadre du spectre reel on peut
observer la chose suivante: Soit 0( le point de
Specm. (fRfX/I])
qui consiste ~ ordonner !R(XIV)
en faisant X positif infiniment petit par rapport ; ~
et Y posittif infiniment petit par rapport ~
R(x)
,
,
L'anneau des ger~es de fonctions de Nash en ~est la
pour cet ordre. Un germe
...
.'.
de fonction
de ~ash en ~ s'identifie a une serie de
Puiseux en Yil coeff ic ients des s/ries de Puiseux en X/
alge'bri~ue sur R(~ '1)
Pour aborder le cas des fonctions de plusieurs variables
il n'est donc pas dtonnant qu'il faille utiliser les
m~thodes plus sophistiquées de la ge~métrie algébrique
(car dans ce cas un point peut tendre vers l'infini
d'une infinité de manièr~s.) •
St'roymson '--ltilise la technique du saucissonnage de
Cohen/typique de la g/oœ/trie alg~brique re~lle.
M.Coste a remarqud qu'on pouvait aussi de mani~re plus
e'\\e~ante et plus abstraite, utiliser la th/orie du
Spec tre Rée 1.

---

C,H-R-PÎtRE 2: Œ THÉoR~HE D'f1PPROXIHF/TioN
~j[ Analyse élémentaire pour les fonctions de Nash.
SiJl est un ouvert semi-algébrique de an, on appellera E l'ensemble des
fonctions de_ Nash de~ dans R, strictement poisitives en tout point de
~ , et Jf(J),) l'er!s~mble de toutes~ les fonctions de Nash de J2 dans 8l..
Proposi tion 1 : Soit F un fermé semi-§lgébrigue de Il.
Pour toute fonctionf oon~1gy. aemi-algébttigue. et stnictement
positive de F dans
1. il existe une fonction ~ de E.
telle gue
~(x) =< f (x).
Démontration : d'aprèsLMostowsk~~ochnak-EfrOymSO~
on sait qu'il
existe b dans E se prolongeant en une fonction continue sur
lJf nulle an
..a.
déhors de
Soit
h(x'2
-1~2:
~ 5·
Fr ~{~E F
( Il "H~ + 1 )
I l 'est clair que tout
1
point limite de F
est tel que
h(x),i 0 clone dans.a. Fr est donc fermé.
r
comme il est aussi borné, il est compact.
La fonction
~ (r) = In! (f(x»
est donc strictement positive, définie
x E: Fr
SJr un intervalle
~'COLdécroissante, et par le princip.. de Tarski-Sei
denberg semi-algébrique. Elle vérifie donc une équation polyn8miale .
('t*n Cr) 4>0-1 Cr)
"O.
+ ...... + "1 Cr»):a (-.0 Cr» "vec "0 (r)
p
Si r )- Ro assez grand, on " : 1"0 Cr
A. on " alors 1
~
'-1
tn
'fer) =
anoer)
(r)
- l'
-a (r)
+ ••••• +a
~ Q{~' '4' A.B.r-m,/AB-:i
V-
1
Soit c = Inf (AB,l (Ro »' On aur- a partout : f (r) , T1 ~ r~a

---

2Jt
dans E.
•
disjo~
, !o-~!-!1 ~eux fonctions semi-algébriguea continue~
~~ J1, ~vec !9o_~E!~ment Egsitive sur Fo. Il existe J:ffi.! foncti-
2!L~~Sh\\MJct~!-R2aitiveCf !!lie gue
~.w-'~o !x) __~_~o et f (!l~1 (x) si x ~~.:.
Preuve: Par la proposition précédente on peut supposer m dans E.
- -
0
Soi t p une fonction de Nash sur J1 strictement positive sur ~1 et
s tr i c tement néga ti ve sur F
0
(f· [MO!>"I"OWSK1J..f30C tiNFt/( • EFIUltHso,J)
Soit l: de E telle que, si x est dans FoLJ F1
(proppsition).)
E(xJ <lcj>lxJ[ • In! ( -rmfllli'l' mo (xl)
'Définissons
g
=
if
et <'f = g + V1+i= :-t\\ï==1::---
c..
V:1 +8'" - ~
on voit
que sur F
P)g) f1l
q>< I~I <
l
1! + 1 >111
et sur Fo
IRO 1
!:!oposition l : lit Partition de l'unité • de Nash). Soit un recouvrement
!!! a E!I'_~Louverts semi-alsébrigu!S1 en nombre fini U., i.1 ••••m.
Alors, :our tout E. de El i l existe des fonctions de Nash .positivas f •.i~
PreUVe. :
Soit F. le complémentaire de U, et soit
<p(X).'Su.~ (d(X,'.)}.
1
l
1=1""m.
1
Ç? est continue semi-algébrique et strictement positive. Alors le8
>
Vi = {x 1d(x,FiJ )
9 (X» recouvrent tD. ·
Soient Gi supérieure à 1 sur Vi inférieure à t. sur Fi et positive •
-Jf-:
Alors les e.t. =
conviennent.
1
La$t
1
•

---

§2 : Le théorème d'approximation.
Proposition!.
Soit f une fonction semi-algébrigue continue sur ~
vérifiant si x
deux fonctions de Nash sur J1 telles
gue
9<f<Psur ~J et
garde un signe constant si l ,~
et x est dans G : alors. pour tout
~ de E, il existe 7 de Nash sur.o..
telle gue
l7 (x) - f(x) 1<~(x) si x est dans G.
Preuve: Quitte à remplacer P par -P on peut supposer que gp reste
--------
C>::z;
posi tif entre
eet p au dessus de G.
On remarque alors que les conditions suivantes sont
réalisées au dèssus
da G.
~X,y) >. si Y€[~)d~xil
p
(ii)
«x), 6<x» <0
>
P . (x,
0
(iii)
~(x»
l~~:!G:E f<~) <Ini (InS(~(X/~» ,fP(:t/8(x)&p(~/e(~
.
~ ~ [&Il)Je(~TI
Et soit H le fermé semi-algébrique au dessus duquel ~'une des oonditions
(i) (ii)~iii) n'est pas satisfaite. H et G étant disjoints on peut
trouver u et w Nash positives te~les que
:
iL>lp(ZIB(x~1
~ H
W >/P{X/('(=t)) 1
W) {~-~/.llnf (~(C(II;j))/
~~~~)ff~»
Considérons maintenant le nouveau polJn6ae :
PN (x,,,) =P (x,z) + (u + w)~Z-9)_u
\\~-8

---

-LO
On vérifi~ que
a)
PN
(x, e(x») = P~, e(xD- u (x) est négatif même sur H.
en vertu de la première condition.
b)
PN (x,
f(x») =
P (x, ~(x») + 'if (x) est positif, même sur H en
vertu de la deuxième qondition.
,
,
~PN
)
)
c
~ (x,y
=
~~(x,y)
u + w
ést positif si
+ (')-$
y
é [$:x),
f(xU
m~me sur H en vertu de la troisième condition.
Pour tout x de .("l; il existe donc un unique -;:V(x) strictement compris
2ntre
$(x) et ~(x) et vérifiant PN (x, ~~» = O. Le théorème des fonc-
N
tians implicites nous dit que que f est analytique donc Nash. De plus en
appl~nt le théorème des accroissements finis, on voit qu'il
exle\\e
C
entre
() et p
x
IV
I \\ D . ; v .
P(x,f(x»
- P (x,f(x»
=
-'U:-(x,c) (f(x) - f(x»
az.,
x
on a 'surel: -W(x) <op (x,'Xx»
(L.lCx)
< e.,..
d'ob on obtient:
Ip (x,f(x»- P (x,f(X»)
~'4G
·wrnmt.
~p(x, c »u. sur G, on voit que si x appartient à G
<e
'd~
,~
f f (x) - t( x )J
•
Avant de continuer, il faut préciser ici ce qu'on entend par la phrase:
le polyn~me ~
tkJ{"'l.)[s] a un saucissonnage constant au dessu8 de GU.
(iJ' après ~-. coste::l]
On suppose qu'au dessus de G, on a des fonctions semi-algébriques continues
~<"<~.l' telles que pour tout x de G
~x), •••••, ~x)
soit
l'ensemble des zéros de P et de ses dérivées successives par rapport à Z,
e-:; 1U8 le si~e de
P (x,z) et de ses dérivées su~ce8si.vAs pRr rarrort. à z
rte, ~duU- quo. ~ s7,nfJ.. dRJ:) (~ - ~r (x)) ~UJt. G

---

Proposition.2 •
Soi t G un fermé sami-al~.brique de lia, et P un polyn4me
de f(J1) ~] ayant unsaucissonage constant sur G, f une fonction continu~
racine de P au dessus de G ; alors, quel que soi t & de E, il existe une
fonction de N,ash sur J)"
f telle que
(7 - f 1<f sur G.
]imoMt(atiO!1~
1
..
Par rec.. .wrence, sur le degré du polynôme.
,
Si f est racine de
~ , c'est immédiat par l 'hypothèsede r~ cUl1"ence appli-
quée à
~p • On peut donc supposer que "sur f- ~ garde un signe constant
'è)~
e>-
au dessus de G.
a)
S'il existe une racine de
~~SUPérieureà f telle qu'entre f
et ~
~ a un signe constant au dessus de G (saucisson) prenoM E de E
a7a
telle que
~(x) <1oI,{~) -/(:cJ/ au dessus de G et soit ~ de Nash f-proche
J
de 0( sur G
(hypothèse d~ re'cmntnce ).
Prenons une fonction de Nash positive z
u(x)«t: sur G
~
u(x) ;> f(x)
~(x) + 2 !:(x) sur le fermé,disjoint de G où
cette expressio~ est positive ou nulle •.
At!
Alors ~ = OC - 2 E + U
est de Nash,
p> f sur.l1et comme f < P<o(
sur G
~~ garde un signe constant entre f et p .otLr S •
b)
Sinon,~ n'a pas de racine supérieure à f, on prend pour f
une fonction de Nash sup~rieure à f.
On montre de m#me l'existence de 8< f
telle que ~e garde un signe
é)Z
,
constant entre
(get f au dessus de G.
On est donc dans les condi tions d' applica'tion de la proposi tian 't .•
Théorème d'a~~roximation (Efroymson).
Soi t f serni-algébrique continue sur J'la, alors pour tout Z de E, il existe
une fonction de Nash sur J),,'l telle que
1f - f 1<li •
Démonstration :
D'après les résultats de triangulation des semi-algébrique$
[Go~r~~
on sait qu'on a une triangulation de.f1 i.e
qu'on a un homéomorphisme aemi-
algébrique

---

28
'1':11 ~ K, K c,:rplexe si~pplicial fini.
cp
ijent if ie J2 à un~ nt.lf1iùn d~ "s ir:'[' lex2s o'.Jv~rts"
,..
(poines,
aretes sans
l~s SOffi:l,ets, LiCUS
s.3.i1S l~s
l '
dretes.J.
De plus ,on pedt supposer qu'au aesslJs de chacun d~ ces
"simplexes ouverts"
le polyn~me
que v~rifie f, a un
saucisson constant.
1
.
Soit Ki.,
le fer::1e/~lgJbrique de,Q. reU:1l0n d'2s "s imp lexes
"d
d'
.
/ .
ouverts
e
1menSlon ~ l,
~!ontrons que quelle q'.Je soit ~
il existe une fonction
"'"
r
de .\\ast"l
! sur f2 ,
1
E.-proche de
sur K •...
,
Par recurrence sur i
.
Si
L=
o
est alors une r~union finie de points
"....,
et
l'on peut prendre pour ! un polyn~me prenant les
m~e~ valeurs que f en ces points.
Si c'est vrai pour (,='i'
montrons que c'est vrai
pour 1\\.., 1.
""'"
Par hypothèse de r&currence,
il existe fa de ~a'sh sur
L.!'1
~-proche de S sur K ' soit ~ le voisinage
À
d e K~ dans..Q ou
'1- ra, < f
est une réunion finie de fermes Fi
,tels
que chacun des Fi.
est contenu dans 'JO "simplexe" de
dimensi~n Àt1

---

29
D'après la prooosition 5,
il existe ~ de Nash sur Jl ~_pr~
~
.2(...)
de f
sur F.U = 1, •••• k)
soit V.
le voisinaae de F. dansJ'l
~
1.
~
~
où 1lé -cf 1 <. Z4htttft soi t V~ + 1 l,e complémentaire de K~ + 1
dans J'À . Pre/nons maintenant une "partition de l'unité de Nash"
,
associée à cé recouvrement cc~posé des ~-+2 ouver-:s V ,V 1 '···'V. 1
o
k+
li
ée11e ou' è n dehors :
V i ; N
1 <:. 2~ki.i) ( 19/ +hffïl t 1)
On voit alors que
.g ~ f!j ~
convient :
li-r\\=lta-fj)~i +- ~cPk.J<~
Il
iJ Démonstration util~sant la théorie du soectre réel
M.Coste a remarqué que la démonstration précédente S~ traduit
naturellement dans la théorie du spectre réel.
Nous alons donner ici cette démonstration.
Dans un premier temps on donne
(de manière succinte) quel-
ques rappels nécessaires pour la théorie du s~ectre réel (Pour
plus de détails on ,:ourra se reporter à
[fi·/= ·Cosfi- R0'â] )
Puis on a suivi pas à pas la m~thode du §2 pour approcher
f sur des Points fe~més du spectre réel. On remarque un "allège-
ment" appréciable des énoncés par rapport à ceux du paragraphe 2,
dQ pour une part à la simplification des notations, ~t d'autre
part on n'a plus à se préoccuper de la fonction f(sauf 3 la fin)
puisqu'on ne regarde que des POINTS.
Ensuite un argument de compacité et l'habituel I~collage
d'approximations locales à l'aide de ,~artitions de l'unité de
Nash,
=~rmet d'ob-':anir une ap roximation globale.
L'Usage de la Th~orie du Spectre réel a ainsi -~r~~8 de
"maitriser" le "conportement à l'infini" de la fO:lct':.on semi-al-
gébLicue continue f
(ca qui É~eit la difficulté).

---

3D
Un autre avantage de cette démonstration, c'est de montrer
un exe~~le où on a pu remplacer l'usage de technioues "élémen-
':aires" c:=; la géomètrie algébrique réelle
(triangulation, sau-
cis30nage stratification)
par l'usage de la théorie du scectre
réel. Ce qui montre bien (une fois de plus
!) la nat~re profon-
1
dément géom~t~ique de cette t~éQrie).
Signalons l'exlstence d'une généralisation purement abst~ai-
~2 de ce théorème dans le cadre de la théorie du Spectre r~cl
d'un anneau quelcon~ue.
~~otations et rap~els sur le s~ectre réel.
(F~ur tcut ceci se repo=t~r à ~~.F.coste ROY]
50it
R= IR[X~/X21 --- )(t}11 0( ~ S~ecfR(R) 1 o<::(PoIj ~cl)
k( ~ ) est la cléHure réelle du corps ordonné Fr(~/~)
(OIJ Fr(R/p~) est le corps des fractions de A/Pcc. )
Si.P est un ~olynôme de
rR[)(j,_·- ,~t}J
' la "valeur eno(t1
da.la "fonction pli est l'élément de k(o() qui est l'image de P par le
morphisme
••
Si X est un semi-alg~brique de (Rn"
; V
, notons X le constructi-
ble correspondant de Spec~(~) (i.e. défini par la m@m~ collection
d'égalités et d'inégalités polynômes,
par exemple si
S1.
SoitJ'1 un ouvert de 1Rfl,. , si f est une fonction
.
l
~
sem1.-a ge-
A./
brique sur,[2
f
"définit" un2 "fonction" sur
tl
~.
à "valeurs" dans k(Oi)(en rait c'est une section d'un
,\\ 5'
îulsc-=au; 1.
f est définie par un certain nombre d'égalités et d'in2gali~és
...

---

31
Jolyne~iales
du genre
avec lèS a..t €
R alors on
3eut ~ontrer, grâce au principe de Tasski Seidenberg, qu'il
::xiste un é'Îément unique f(o()
de k(O() vérifian.t la m~me col-
lectiJn d'inégalités polynô~iales).
Considérons l'application
:;, ap r~s ce qui précède k (0( ) est alg~brique sur e (~(Jl)) •
en va ~aintenant donner une description de k<ot) en termes de
fonctions de Nash.
Soit
~ =f1r:",Itf(U») l'anneau d"s germes de fonctions de rlash
.
O\\E:U
en ~ • On a un homomorphisme évident
qui à
un ger~e d::: fonctions de N3sh en 0( fait correspondre la "valeur ll
en ~ .On voit aisément que le noyau de cet homomorphisme est l'cn-
semble des éléments non inversibles de 1V~ •
No( est ~nc un an-
.
n=au local d'idéal maximal le noyau. On démontre
(ci ·[M.F:u,~~-RD:;
que Be corps résiduel est exactement
Autrement dit tout élé~ent b de k(~) pe~t se relever en un ger-
~~ de fonction de Nash en ~ :
Il existe U ouvert semi-alg~brique
;V
c= J1
, 0( € lL et Ci de ~J2sh sur U tel:::;ue Çt{o() =. b •
Lemme Soi t ~
un point fermé de
/
t.t E k (al) alors il exis-
i: 2:
f
p 0 s i t ive dan s rJ (J1)
telle :::! u e
1a.1 < i(0{) •

---

32
Démonstration
Soit ~ une fonction de Nash sur U
teL ~ue
0( e ~ et ÇefÂ) =a.,
[CarraI-Coste]
~ontrent que tout point fermé au spectre réel a
,;V
une base de voisinages fermés du tyoe F
,Soit F un fermé se-
J
"""'"
,..."
.
.
l
l b '
,
.
1'\\
m~-a_ge rlq~ oe ~~
tel que
o<eFc.U
La fcnction 1 +~2 est semi-alg~briaue, continue et strictement
positive sur F
, i l existe donc une fonction E dR. E
E: < ~2+i JUIt F ~ C;f2+i < i
de i'~ash sur,a
on a donc
lai < CL2f1 = ~foi)"'1.
•
Théorème de séparation de Mostowski
1'../
Si F
et F
sont deux fermés de J1 qui sont disjoints on peut
1
2
trouver f
de Nash sur ~
"....,
Démon~tration.Chaque fermé de~ est de la for~e suivante
1\\/
où l=:s X.
sont fermés
=.n.
F 1
Xl
semi-alg~briquesdans ~
1
1.
F
-
2 - n~
(fu.F .Coste-Roy])
J
J
...v
; v
ComiTle F1 ()
F
=f la famille formée des Xi et dES Yg
est une
2
famille de fermés d'intersection vide,
par compacité. on peut en
extraire une famille finie d'intersection vide.(en regroupant au
b e soi n)
cel a n 0 usd 0 n n e d ,::; u x fer mé s sem i - a l 9 è b r i que s )C e t y a ve C :
IV
/"v
~
tels que
X~ ~:= ~
r,~ais al0 r s, X e t Y sont :::Jeux fermé s semi - al g~ br i qu<:; s den
qui sont disjoints,
par le th~sr~~e de ~ostowski cl~s3icua il exis~~
... / ...

---

33
n
une fonction f
de Nash sur
: I( X) >0 el f{'1)~ 0
·8répond à la question••
On a la
Proposition 2 bis ,Soient 0( ur. point fermé de:?1
et fun f8r07lé
" -
de J2a
ne ccthtenant Das 0< , ~oient a ') 0
un élément de k(o()
et
A un~ f
t ·
.
l
lb
.
onc lon seml-a ge rloue continue sur F. Alors on
oeut trouver une fonction de Nash positive sur ~ •
<a..
telle que
f(o( )
et
8>A sur F,.,..,
DémoaStration
En re07larc-!Jant que F c.. F 1 avec
On est ~amené à une d07lo.'tration entière07lent analogue à celle
~e la (tr~s simple) proposition 2.
•
:rr ,
Prooosition 4 bis, SoitO( un point fermé de
b un él.é07l~nt
de k(O()
P le polyn6me minimal
de b sur
.Jf(,[1)
e
Soient
etfl deux fonctions de Nash sur ~
()(r
telles que
1
t9{ol) < b <(1"01) tf- p&) a un signe cons-
tant si
Jj E [ 8{rJ.) 1 p(~il
•
Alors pour toute E de E, il existe l' de Nash sur .f2J tel-
le eue
( fro<) - b1< E(~)
DémogStration
:
(Presqu'entière07lent analogue à celle de la propo-
sition 4)
Quitte à renpl~cer P par -P, on peut su=poser que P'(y) reste 00-
en re~arGue alors que lES condit:ons 3uivantes sont réalisées Dour
••

---

34
P/(te))/>O
~ 9 €[5(z) jp(x)] (l)
P(fi{:x» <
(li)
0
P (P(x» ) 0
(Ul)
tp{l'~ f-(~) <Tno(1Jtj(P'{~))
Sait f d e
E
que
AP(9(t())// PM~)))
~d ~ €[B{'d,fl{<4B
ï
~
=t 3'Jit H'
le
f,:::rëié
de JL au d_ S3~3 duc:u,::l l'un2 (au Goins) dc;s
conditions
(i)
,
(ii)
ou
(iii)
n'est pas satisfaite.
P 3 r
l a pro -= '] 5 i t i ù n 2 bis
0 n
0 eut
t r 0 u ver u 2 t
w
îJ ('; s h sur 12 e t
pOé:::'tiv~s
. u.(Z) > 1P{f)(X»)}
LL{~) < flla.) ~(o()
{
eJ- Al ~f H w{x) >1 P(f(1))'
IN (d.) < fl(a.) ~(~)
W{:t) >1P(:t)-((1'lln!q1~») J
.
~t[6(%)/fY~
Considérons maintenant le
nouveau oolynôi:l8
? N (Z)
= p (Z)
+
(IJ +
\\n (~ - (9.)
- u
?-e
On vérifie que
a )
PN(9(x)) = P(é(x~ - utX) est né CJ atif mêr;le sur H 'e n vert u de
lit première candi tion •
~st positif, même sur H en vertu de
, ,
ft.t deuxic:.me condition.
c) PN (~)= P(~) + II tW
est positif si
~ E [ f){:L) ,(>{.x.)]
f>-&
~§~c sur H en vertu de la trùis~~,e
conditicn.
Il existe c::Jnc un unique 1( x) stricto.;;-,ent come ris entre
$(x) ct P{X)
,1
... ...

---

35
et vérifiant
PN r{(x)) = o. Le théorème des fonctions
.IV
implic~t~s nous dit que f est analytique, donc de ~ash. De olus
en ~p~licuant l~ théor;me d~s accroisse~ents finis on voit qu'il
existe ~
e,n"tre 8{~) et (-'{c4)
tel que
,
p([M)-P{b)= P~q) (f(a,j-C)
Gn
a sur
J2s
- W(X) < p{trX » < tL(X)
d'où on obtient
, PCb)
P(f(oI) 1 < E (~) fI{/.,)
etc·: ---~
p'CCo() >f{rJ.)
on voit ,~ue I~) - b / < z{o().
Procosition 5 bis, Soit ~ un point fermé de ~ , b un él~nent
de
k(~) alors qUEl ~ue soit ~ de E, il existe une fonction de
N
/ !(rJ,) - b/ <. Z{q)
Démonstration:
(presqu'analogue à celle de la proposition 5)
Par récurrence sur la degré du polyneme ~inimal de b , P.
a)
S'il existe une racine de P'
~ supérieure à b telle qu'cn- ~
tre b et Cl.
P' (y)
reste de signe constant.
Prenons et.de E
telle que
~(~) < tt-b
3
, J
et 40 i t ct. deN a s h
/l(dt) - ~I < Z{ol)
(hypothèse de récurrence).
Prenons une fonction de Nash positive
iL (0() < ~(a.)
et
paso( où cette exprc:ssion est positive ou nulle.Rlors f=it-2f.+u
est de Nash sur II
P>f
1
et comme b <P(Q() <ct.

---

36
P'(y)
garde un signe constant quant y est compris entre b et ~ (~)
b) 5i non P' nia :J as d:: :- a ci ne su,:':: é rie ure à f, on pre nd 0 our p une
f:Jnction de Nash
P(~)>b.
e
On montre de même l'existence de
de i~ ash telle que (}(ci.)< bet
,
,
P' ( y )
garde un signe constant si y est dans
[é(~) bJ
1
0
On est co ne dans l=s conditions d'a_plications de la p~oposition 4b;
Th'
- "
' t
' . j , . '
-
f o C "
' 1 1
.
, ,e 0 r co ::1 e a a p s r 0 x l,-r: a " l ~ n,
::;, 0 2.
une
Ion c ;; l 0 n S 2 fTl l- a 9 ::; cr.::... C; L.. e c :J n-
tinue sur J! , alors :JDU:- t:Ju:e --"onction t.. de E,
'1
l-
"
:::;,lste
une f cr~
11-
tion de Nash 't sur J). telle ,"uo
g1< E.
/'V'
Démonstration, En c~aque point fermé c\\ de f2 soit C
dO(
telle
gue
1ftl\\(~) - f(~) 1 ~ t.{a<)
Soit ~
l'ouvert
(par continuité) deJ'1
où
"'V
a
c:( E:. V~
Comme chaque point a un s0écialisé qui est un point fer~é il est
contenu dans tout voisinage ouvert de ce point fermé.
,...,
/V'
tb~'IO~
n
voit que les\\l~
for'èent un recouvrement ouvert ae
,on
peut
en extraire un sous-recouvrement fini.
Les \\lq
-
for'~ent
n
alors un recouvrsnent f:li de
.fe collons, grâc,
"parti-
tion de l'unité de Nash" les aporoxi'T,ations fo(
(en nombre fini).
1

---

Chapitre il : Le théor~me d'Extension
§1
Préliminaires g~om~triaues.
D
, . t
f '
d l '
'
ans ce cnap~ re on va
a~re
2
a geo~e t
.
d
r~e
sur
es
~.
ï~gures
qui sont des graphes de fonctions de ~Jash. On utilise~a en par-
I
ticulier les cutils suivants
Tout d'abord, une c~nséquence du th§or~me d'apprbxi~ation
VI'
n
Lem
i~
r;; e
Soi t
e n s E b l e des z é r 0 s de"
f 0 nc t ion de I,J as h sur
Si u(x) est une fonction semi-algébrique continue qui s'annulle
sur ~ • Al 0 ::: S, C U '-, l ~ ue soi t ~ d e E i l =X i s -:: e ü (x) d'" iJ as h ,
~-:Jroche de u, ct s'annullant sur ~.
Preuve:
(On sup~osera v positif ou nul) Soit u
de
Nash
1
·~-p=-oche de u, soit F le fermé semi-algébrique sur 12oucl/u.,/':J ~
~
~~
' . z .
F étant disjoint de -y,
~ ne s'annulle pas sur F, on
1lL11
V
peut donc trouver
~~ de E tel que /UJ/ >E~ sur F. Soit
Soit
Ü, - (2V
) lL1.
Ii ::st de Nash et s' annulle sur ~ •
-
2V 1 f,t
On peut facilc::ent vérifier .que u est
~ -p::-oche de u donc
1
~
Z- proche de u. De plus, on remarque que ü est r:;ultiple de v• •
Un autre outil sera la très importante description d'Artin-Mazur
d c: s f 0 net ion s de f' jas h (c f [C 0 ste.J)
Théor~Ge d'Artin-Mazur
Soi t
f une f':Jnction de ~jash sur un ouvert V de /R"'. Il existe
un::;
ft c. /Rn tp
le
sur fRn ,
~(-:x.) =
U;-L:'
scction c.::ntinue
(X, f~(~), .... fP{x)) de
l'hom!ocor his~e local~~ ~IL telle que
/1('X)=/(X) ~·XEV

---

La condition U~ êta le sur n\\~ Usignifie eue, si l'idéal
de
A est "'ngendré par L:s
polyn~"1Es P~(~/~) 1 P2(X,~),_ ... Pm(:x.,1
1,3 '-atric~ [~~] est de rang ~aximum égal à P.
1
Par suite la"différentielle de la fonction définie par
a pour
Jll'
noyau en un point de
espace
tangent à.ll de dimension n. On
'J Dit
q Ij '" c t te
a p pli c a t ion ':: s t
d e r an g f en t 0 u t po i n t de.A.
-~nfin on utilisera la notion de vois:nage tubulaire (cf[De Rha~
citons cet excellent ouvrage classique.
Soi t
V ur,e vari été deNa S h (,0areX em,0leun 0 uvert de If? ~ )
Ilconsidérons un tel plonge~2nt propre et 'régu~i8r 3: [cte Nas~
~
de V dans IR N . Soi t
la variété de dimension N formée par
tous les couples ('X, ~) constitués par un point X 6 ~V
st
5
un vecteur
de
rRN d'origine x norn:al à~V en x, et soit
f l'application f(X, t) = x.,.~ k~danslRN qui asso-
c ~ 0 à (X, ~ ' ex t ré mit é du ve c te u r ~
•
On vérifie aisément que
cette application possède en (X,G) un Jacobi2n non nul.
A l'aide du théor'me d_s fonctions
implicites on en déduit
l'existei:ce d'une fonction
f(~) définie dans V stric-:snent
'.=ositive ,"t qu'il
:'st t,~,lble desuooùssr [Na.s~]
t:::l~e que
1,1
dans
le dO:;'iJine
C ~
formé
des
(:x: = ~(~) 1 ~ )
tels
f
'le J,:::cobien d3
n::: s' an-

---

nulle pas et l'application ft
restr2inte à ~ soit sans points
critiques et locale~ent topologi~ue •
En tenant compte du fait que g est propre et"biunivoque, on v§-
rifie aisém~~t qu'on peut choisir la fonction f(~) de manière
que l'application
fi- re~treinte à ~~ soit aussi globalement
biunivoque.
Alors
D-:.f 'li est un vDisinage de sV dans (RN appelé
voisinage tubulaire, Soit rv~ l'ense~ble des points du pla~ nor-
mal à SV
en L= ~tei
dont la distance à X est < P(~) .Lors-
que y décrit V , N~ balaye D qui apoarait ainsi comme un es-
pùce fibré par lss ff~.
L'application r de 0 sur V telle que
pZ:' ~
si ~ e. N~ est la pro-
jection de cet espace fibré sur son
l( espaCè:) de base» V .1'
VOÎS;NA6ë TUBuLRiRE t14 il-
C'est l'2xistcnce
r
d=
l'ap=lication
D
V de Nash que

---

40
nous utiliserons.
D'autre part cette citation contient des idées très utiles pour
la d§~onstration du théorè~e d'extension.
§2 Présentation du théor~me et idée de laprBuve
Notre théorème est un analogue pour les fonctions de Nash du
théorè~e d'Extension de TietZe-Urysoh~:
Proposition: Soit une fonction semi-algébrigue. continue. po-
sitive, définie sur F fermé semi-algèbrigue de J2 0 Alors on
Peut l'ét;:;ndr3
de ~anière continue positive et 58ni-alg~-
brigue.
Preuve 1 [Dieudonné~~age 89) montre qUe, si on étend f à J2 ,en
,
N
F
àLfinissant f sur 18 complémentaire dÔ
(:t) :~((d(;~;;fM)
1
cJ,.(x,F)
alors f convient (car il est semi-alg~brique par le principe de
Tarski-Seidenberg) . . .
Théorème d'extension pour l~s fonctions de ~ash (~t~pson)
58mi-alg~br
Soi t /'1 de Nash sur un voisinage
ique IL de? ensem-
ble des zéros de v fonction de Nash sur LC2
•
A10 r s i l e x i ste une f 0 net ion deN a s h sur i l ,g tell e q u ':'- (J-J - ~) =k
dans un voi inage de)9' 0
Avant de comn~ncer la dé~onstration (relativ~m8nt difficile) de
c~ th§or~me, r3ma=~uons que si F
st un voisinag~ semi-alg:bri-
-y
que de
tel que
Fc. Fe. U, .En aopliquant 1" th~or~me d'ex-
t~nsion de Tietze-Urysohn. On voit qu'on ~st r3~ené à 8raUV8r le

---

~I
théorème sous la fo=me suivante
:
/1
Théorèm2 d'extension:
Soit
semi-algèbrique conti~u~ sur~
de :Jash sur un voisinage semi-alg~brique V de1 ense;";lble de
Nash.
Alors, IiI existe une
fonction de ~Jash sur..!2 ,g ,tel-
le que f
=
g sur ~.
1
Idée oénarale de la d'monst=ation.
" THE ADV,; iH AGE
0 F THIS G::: 0 MET R ICA L r" 0 ;] E0 F EXP RES S l UJ
ISO NLY
THAT
IT E::FHASIZi::S
CE~TAIN ALGEBriAIC FC:ATU~ES 'iJHICH ARE
HJDE-
PE~jJA:-;T
N'
OF l'J,
I~:-;D ',JHICH ARE CAPè.,BLE uF 'JI5UP.LIZATICNFOR
3 Il
R.COURANT & H.ROBBINS.
Sur Notre figure l'''axe'' d,~s x représente 1Rra. , l'''axe'' des y
représente IRP , et l' "axe" des z représente IRm •
Par le
théorème d'Artin-Mazur on ~ontrc qu'on peut se ramener
à la situation suivante
:
r est 12 graphe de la fonction f
contenu dans
le "plan"
tRfL )( fRP
si x est dans V (p est une
"famille" de :Tl polyn8m~.
On oeut
choisir un voisinage u.{r) de r dans le "plan" fRfLxl'R P
se
plongeant dans l ' Uespace" tR"x ~p)( (ROI
par l t application
Q(x,~) =('XI ~:V(X)1 P(~/~))
en une sorte de
"feuill,,"
Q (U.(f'))
• ~o i t W un v0 i sinage tub ulairade cet te
"feuille" dans l ' CS,Gace, alors si (X, W(x.))
'Cst une fonction
de Nash à valeurs dans l·espace" qui ap!Jroche
assez bien la fonc-
t ,
.
l
' b ' ·
t '
~on
seml-a g8
rlque
con lnue
à vaLeurs sur 13

---

f~uille
('X, \\AI(X)) est toujours situé dans W
on peut
puis en .
~
donc en projetant d'abord sur la "feuille"
retournant
sur Uer')
(la cor.l~osée est la fonction p de}pe Rhanir) obtenir
une f~nctiori de ~ash.
CUl.
':'st une
"llodification"de f.
En utilisant le le~me on voit
qu~
~ojifier
dans~.
tout ceci peut se faire Sans rien
si x est
La fonction de Nash globale ainsi obtenue a donc les m@mes va-
1.
lcucs lue
f
sur
.../ ...

---

"'~uille
('X, WlX)) est toujours situé dans W
on peut
donc En p:;:-ojetant d'abord sur la "feuille" puis
..
en retou:;:-nant "
sur
(la cor.Jposée est la fonction p de!pe RhanJ) obtenir
une f~nction de ~ash.
est une
"mod:fication"de f.
En utilisant le le:nme on voit
dans~.
que tout ceci peut se faire sans rien modifier si x est
La fonction de ~2sh globale ainsi obtenue 3 donc les m~mes va-
'1 ·
lcuc5 oue
f
sur
.../ ...

---

·FiGURE
POUR LE THEOR.I3HIE DEXT13IJSION.
/1
Courb~ Q(r)~
Ill' Feui.IIR." Q(U(r~
21-11JrOxloWlOtl N(1.~h
k œJtg. courbe
t~endJhors
dt b."~~U)
o
(~.B.) Si on nel veut pas embrouiller la figure il semble préfé=a_
ble de ne pas essayer d'y représenter tous nos r~ns2ign~ments•
.../ ...

---

Par la description d'Artin-Mazur des fonctions de Nash on peut
supposer que si x est dans V, f
~st la première coardonn~e de
1
Pj (~,J(X») = 0
[ p~ (Xt JIx}):= 0
::t l'3:J:Jli-::::i:n (,(,y)r-'---)~(?1(xIY)'.'.o,.• , P,(x,j)
:- 3 - ;
:: J ,
~ -: ::.'1 ': ~ -; :: l à J c: n : ::; u t J:::'Il t ::: -~ 1:: ~-:J :: - :: (x 1 f ( x ) ):J"ù X € V
~ ~- Q(XtlJ):= (:r1 P(:r/~») = (XI ~. vtX) 1 pj (~~) , ..... 1 Pm (x, ~~
~':
r
l 2-: .: s ': .~:: ::::. J ~ i + ::)
-:: ::; ~ ': -:::::. - ': :: ~ :: :: .::: c-::
(r= (f'l:/~) 1XED 1~ fR~ ~
::C~>,
f.
=j(X)J).P3= 1·
eu :-=ilg ccnstant
On ::e'Jt
f(x) ~~: 'ndant continQ:T18nt,
i2nt d~ x,
tel. que Q r~al:'se
un olong::~ent de
IR ntp+m.
dans
Cl R,streint à tt(r) :: [ex,';j) J d(~d{x~ < floc) 5
:3 t
:: :-opre (i.e. S i "~1 --,OQ'
~r~ \\'Q(~) ~ 00 '1 )
, Q .:~alise
un plo n 9 e ,:", e n t
de U(r )
d '3 n s
(Rn. t p +nt
•
Par le théorè~e du voisinage tubulaire (cf
[De ~ha-j ) il 8)(iste
.
.
.
l
lb
.
(
un vo~s~nage sem~-a ge r~ ~e
'J de
r )
(On tpHtI
.
~
1"
c.:1ns
et une
p:-ojection
rt: 'J
d~ ~ash tell a que Ooq = Id
-1
su:- '::J.
(d).
J1
Pa:: le
1·.=-;;-8,
on ::8ut
t::.:uver un:: fonction w(x)
de
~Jash sur

---

suffisamment proche de Ji (x,f(x~ pour que (x,w(x»EW' si x est
dans D
nulle sur'V'et "telle que C·..(x) - fi{x,f(x)
soit :7Iulti-
ple de v.
Soit g{x) = W
U (rt(':r,W{x») (p~.t(.:('Y)=:I) ~ est de Nash
rr2
sur Li) , ;Jui~qulon a, sur un certain voisinage de ~
f(i) = \\'r~/I(ft (X p(.x,S{x)))
1
on voit que f-g est :7Iultiple de v sur un c=rtain voisinage deJb.
Il suffit donc de prend~e l~s premières coordonnées de css fonc-
Re~arcuons ~ue, du théor'me
~t du lemme on C2Ut déduire
ThÉ!or~me "d'2xtension-ap:Jroximation"
Soit f
semi-alg~brique continue sur~ , de Nash sur un voisinage
semi-alglbrique d e ? ,
ens~f'lble de ~Jash (i.e" V= y-(O»)
Alors, pour tout z: de E, il existe une f onc tian d::: l~ as h su r.f2 ,g
telle que
1f{x) -~(x)1 < z{::r.) ~; x~n
S(x) - B(x) = k(:x.) V(x)
oit keW- dl. NatA dtJ1lJ.:,
UII, Voi5fr1~ dL ~.•
Applications.
\\.AICLJ1f~
Si S est une composante connex~i~tJ algJbrique rdelle
, \\clt~
/
non singuliere~ n[ui est l'ensemble des zeros d'une fonction dê
Nash V
(Dans le chapitre suivant,
on nontrera en utilisant le
th~or~me de Mostowski qu'il en est toujours ainsi.)
,
Si f est une fonction definie sur S et telle qu'au
voisinage de chaque point de S,
f
soit la restriction d'une
,
fonction de Nash,
alors on peut etendre f a S
••

---

46
n,
scit U un voisinage tubulaire de S dans
IR et ~ la
projection sur ~,alors il ne reste plus qu'a appliquer le
theoreme d'extension a f'~
pour voir qu'il existe une fonction
de Nash g "globale" de
fRll- dansfR , telle que g=f sur S.
1
,
1
,
Il se peut qu'un tel procede ne puisse etre utilise quand S est
sin6uli~re, s'il n'y a pas de "projection" d'un voisinage U de
S sur S
n, 1 U~ S rLlS = Id.
Re~ardons d'ailleurs l'exem~le suivant (d~ ~ Efroymson)1
rD~ 1
2.
2.
al
H
S~it 5 = (x,y,z) t'"
z(x
+ y
) - x J le ~arapluie de
{
Cartan.
Il est Dien connu que cet ensemble analytiquement
irrJductible est composJ d'une "toile"
de dimension 2 et d'un
"manche".l'axe des z.
(voir ddmonstrations au chapitre IV)
Soit 0 l'origine,
P le point (C,O,l) et M,le point (x,y,z).
Soit f
la fonction définie sur S de la mani~re suivante.
2.
2.
(Z_I)2.
" , , 0
J.
0
:)1
x
.+ y
T
S( X, ~/2) = Co((6PR) _
Ru V01sinage de c~aque ~oint de S, f est la restriction d'une
fn'lC t: ic~ de :-;3sh.

---

47
~ontrons pourtant que f ne s'Jtend pas a ~~.
Si c ·/tait le cas on aurait une fonction de Sash c.;lof)ale 7
2
avec ( x
T y2. T(z_l)2. ) _ (Z_j)2.
s'annulant sur la toile)
elle est donc jTIultiple du")arapluie" et on a:
r(~'~/"l:).
3
(X2 ~2 ~f!.-I)·)
1-
- (2-'). =ktX/"J/~.(~21-~')Z - X )
.2
2.
!2
faisons z=1 , l(x,y, l)(x2. -ry.2 ) = k (x, y, 1 ) (x
TY
_ X w )
2
.2.
:13is dans R.[[x,y]]
qui est un anneau factoriel x
+ y
est
2
2
a
irre'duc t ib le
et ne divise ~as x
+ y
- x
• Il divise donc
~(x.y,l) et on a
f(x,y,l) = k'(x,y,l) (x.l + y2. _ x 3 )
...
d'ou f (0,0,1) = 0
or f(o,o,z) = 1,
ce qui est une contradiction ••
Remarquons aussi qu'il n'existe pas de projection de Nash
ft : fRr'I,,~ S dont la restriction a la"toile" soit l'identit::
sinon x - ~(x) s'annule sur la toile et donc partout sur le
1
,\\ 0 l""!'"
. d p.... IOn.
J'arap ule et
0 '1;
sera lt une extens Lon
e d a '1\\
.

---

Chapitre IV :
Propriétés alg~briques des
anneaux de fonctions de Nash
§1
Présentation et exemples
Si U est un ouvert semi-alg~brique (connexe) de l'ensemble des
p~ints non slnguliers d'une variété algébrique réelle~de H?~
Con s id é r 0 ns l ~ san neau x
ft [\\?] c. eN'(IL) c... alIL.)
[j.J.Risler] a montré queJ{(u') est noethérien (de m~me que IR[Vj)
~ochnak] et ~hiot~ ont montré que J{'(U) et a(lL) sont fac-
toriels pourvu
l
/
/
.
d
U
que
a geometrle
e
soit suffisamment simple
(iee- HJ.(U,2/.2Z) = 0,;
L'anneau des fonctions de 0Jash a donc d'aussi bonn:s propriétés
Jlgébriques que les anneaux de polynômes ou de fonctions analy-
tiques. En fait elles sont mêmes meilleures: d'une part il est
fa cil e de v 0 i r que, s i
Un' est pas b 0 r né a.. (U)' n' est pas ~J 0 eth é-
rien lconséquence du théorème de factorisation de Weierstrass)
D' autre part. soit
Sol" f (X,':I Z) e IR~ 1x.:I.+~2. .,Z'"=:1. J
J
e/- S = {(:lC,Ij,z)EfR3/Xlt92tz"=I j ,la projection radiale
donne un Nash- isomorphisme entre S.1. et $ , et on voi t que)/'l S.l)
est isomorche a teS) (ils sont factoriels tous les deux).par
contre
Œ[S<.] est factoriel alors que IReS] ne l'est pas.
(cf [Eochnak -
Kucharz - 5hiot~ )
[JeJeRisle:! a aussi démontré que l'ensemble des z~ros d'un idé-
al premier de~U) est connexe (cs lui n'est oas vrai pour les
ennelux de polynômes).
.../ ...

---

Un problème important est de savoir si un idéal premier
ou dans 18 ças contraire/coclment il se "décompose" dans ces
anneaux.
Dans ce c~apitre, on va surtout s'intéresser à l'étude des
factarisations des élé~ents de ces anneaux,
puisGue les pro-
priétés de décom~ositicn des idéa~x semblent déjà avoir été
, .
'... d' ,
:J~8n
eC.u ~::es.
J'ailleurs qua~on travaille d~ns des anneaux
factoriels ces dèux points de vue concord~nt.
Examinons quelques exemples
Exem:Jle 1
Sait f l'idéal de rR[~,'1J engendré par le colynOme
y3_ y_ ~2. • an a vu au chapitre 1 ,que cet idéal
ne reste pas premier dans ~~2) ,d'ailleurs l'en-
semble de ses zéros n'est pas connexe.
EX8mple 2
€J)1jfmb& { ~2=(xfr)::l
r{~+I)= 1
-6e ,o~b rU- J.>lOt 6l ;.'?a~ St = 0

---

50
Soit Cl l'idéal de ~L'X, ~,i] engendré par les polynOmes
et 1
(~2_ X~_X2)
==
ef P = ({ul)~ - i)
L'enseor,ble d~s zéros de Q..est connexe, et pourtant Il se "dé"om-
pose" dans l'aP'lneau des fonctions de Nash.
\\
O
l
d '
. t .
\\\\
1"
t
"
n a
a
eco~pos1
10n exp lC1 e
Cl.= (PI ~-::â;;j)(P/M+:âx-t)
dans l'anneau des fonctions de Nash sur le demi plan
X~-:t >0
Soit Yl' ensemble des zéros de la fonction de Nash pj =Vp"+Z~ -z
epJ. =('cJ - z VZIJ) est dé fin i e ::: t de ~'J as h dan sun v0 i sin age se-
:ni-al:Jébrique de;]J, par le tnéc.::ème d' ex~ension, on peut trou-
ver [1 deN a s h sur
FR rJ.,.
fi.
telle que
= ~i'" k'fJ.
dans
y.
un voisinage s. a de
De même on peut trouver f de Nash globa-
2
le
f'4 -= c1>2 + R:l ~
On a alors dans un voisinage semi-algèbrique de ~
i~g2 = Cf ~ ~ p:1
ckru
f!f2 - q
est
iD
P1
analytique dans un voisinage de" ; elle est donc analytique par-
Jif2.
tout et on a
= ~+ Apt avec /1 Nash globale. d' où la dé-
composition de l'idéal~:
tt::: (p'!f) =(p If:!) (p/f2)
Peut on trouver une décompesition de a n'utilisant que des fon~~
tions de Nash "élémentaires"( i.e. une décomposi tion "explici te I~
•
ExemDle 3
Montrons que cet ensem-
ble est analytiquement
irreductible en utilisant
une notion int~oduite par
[Efroymson.J:"la connexité
,..------t-..J....-_.J~.i_
par arc san a ly t i ou es" •
Z ...,.2. __ CA~ (C~tindre
)
oN
()
~ut Jùnd Il

---

5l
Si (Xo/9D)et(X1/~,)sont deux points tels que
~o)O el- 94 'i0
le segment Elui les joint dans (R2 évite la vaLour O. Il est
donc la projection d'un arc analytique sur S " S"est donc
la réunion de' deux morC2aux analytiquement connexes par arcs .
~
et de l'axe des ~
,
on en déduit facilement qu'une fonction
analytique nulle sur un petit ouvert
(non contenu dans le man-
che) est nulle partout.
C' _st à di.re que S est "analyti'uement irréductible" mais
_
u
n'est pas analyti~u8~ent connexe par arcS.
Cette notion ne
semble d'ailleurs pas d'un grand secours
Car on voit que la notion de "composante connexe par arcs ana-
lytiques" n'fOxiste
C{videm'Tlent)
pas.

---

~
Il
C'est le célèbre Jarapluie de Cartan.
(certains auteurs l'attribuent à Whitney, mais [Ëruh,at-'Nhi tneyJ
3e:nblent l'attribuer 3 [arub.at-Cartan])
x,3
Notons 2ussi que les "tranches" à X. fixé non nul, Z: ---~__
X2+~2
Sont une fa~ille de courbes dé~endant du paramètre X(cf figure
\\,
dans chapitre 3)
qu'on appelle cubique d'Agnest (En anglais ':JITCH
Il est piquant de constater que le " f71anche" de cette cubique
5~3it Dass§ cO~Dlèt2~ent inap=erçu jus~u'à c~s dernières années.
Ou plutat/on détournait pudiquement les yeux devant cette "mons-
trueuse singularité".
Cet ensemble S2 compose d'une "toile" qui n'e~t autre que le
grap~e de la fonction f(x,y) =
et du"manche":l'axe des Z.
L'ensemble est le c~ne de sommet 0 construit sur la cubique à
Doint singulier isolé
La toile est aussi un cône, c'est le cÔge de sommet 0 construit
sur la cubique d' Agnesi ~ = _-1.;.-.__
1 f);2-
Dans cette deuxième interprétation, le manche semble ap~araît!e
com~e par magie !
On voit qu'aucun argument
de connexité analytique ~ar arcs ne
Der~ettra de fa~rc le lien entre ce qui se passe sur la toile,
.../ ...

---

53
et ce qui se passe sur la manche.
Cependant, montrons que le ,:parapluiell est analytiqueCl2nt irré-
cl u c t· i b l e dan s Q(U) 0 ù U est u n 0 u ver t con t e n a Vl ' 0 r i gin e ~ 0101 me
tout polynômg ir~éductible et homogène, ou pseudO-hOmOgèn~.
Soit f
une fonction analytique qui s'annule su:;:, la lltoile"
3
;';lontrons ~u':311e :ost multiple de
(Z(X2-t~'2) - X )
- 5i(X,Y,Z)
est un point de la toile,
si t
est assez petit
st dsns le voisinage ~e l'~rigin8 o~ la S2-
rie de Taylor converge.
On a alors
:
0.0
f(xt /Yél Zé) = ~ PILet, 'f,z) t/l..
t{=o
Où
f>n.(X, ~ Z)
est un polynôme qui s' annulle' sur la toile, il
3
est d'onc multiple de
Z(Z2.t~2) - X 1 Pt}. = Qtt· (Z('J!tjJ-Z~
cc~me Pn. est hamagi,ne de dogré.n. • on vait que PIl/O ~ 11.~ '3
on a donc dans un voisinage de l'origine.
t ':!, !(X/~Z) = L: (z (X2+y2)_X~) ttL QfJ(X,",Z)
1)~3
ca qui donne
i(~~'Z) =(~? Qn(lC/'1/Z) tl/.-3)(Z()(2+y,-X'.
Dans tous ces exem~les on a pu déduire la Nash -
irréductibilité
de l'irré~uctibilité analytique'-
Une conjecture pour laquelle on ne connait de ré00nse que quandL
, est je savoir si la Nash irréductibilité ent~Qtne
l 1 i r réd u c t i b i l i t é a n a l y ': i que
(T r a vau x d e [E f r 0 y:c S c ~ )
1
• • • 1 • • •

---

Dans le chapitre suivant nous verrons l'intérêt d'une telle
conjecture pour avoi:- une "ëissez bonne" théorie cohomologique
(ouant n = 2)
Les résultats, sur l'irréductibilité des. idéaux de KlU)(u. con-
nexe) ~euvent s'a~pliquer à l'étude de l'irréductibilité des
élé~ents de l'anneau }feU) quand ce de~nier est un anneau ~-
torie1.
Le th§ort:me de [Eochna~ - [Shiot~
nous dit qU2 clest le
cas si et seule~ent si
H!(U,Z/zz) = 0
Mais encore comme
,
}li(u. 1 Zhz ) ~ IIi (U., 2hz) {712Z (D'l';
'er'puisc;u 'en lisant la "suite exacte des coefficients pour l'ho-
H(u.. ZI )~
mologie"
(cf [GREENEERG]
) on voit que
H1(U.,Z)
j
l
'1~ .2 H1(u.,Z)
La condition de Eochnak - Shiota signifie que
Hi(lL, Z) est
un groupe de torsion impaire
Dans le §2 Nous allons trouver une condition géom{triqû8 sur U
différente de la précédente, pour qu'un élément irréductible
de
){(UL)ait toujours un ensemble de zéros connexe.
Clest ce qu'
[Efro y mson ]a pp elle la factorisation "as far a!>
2
disjoint compone nt indicates"
§2 Factorisation d'une fonction de Nash selon les comoosantes
connexes de ses zéros.
Soit U un ouvert semi-alg~brique de l'ensemble d~s points re-
guliers dlune variété alg:brique.
... ...

---

55
1
Définition Sait f une fonction de I\\lash sur U, on dit que
est
"irréductible d'après 1-::5 com'Josantes connexes" ou "G-irréduc-
-1
_.
S
tible" ssi
(@,oo[) et S(}oo,OJ) sont connexes.
2
Exemple
5 i' f est " G- i r réd u c t i b le" f
au s si, par con s é que n t
on voit que la "G-irréductibtklt' n'implique pas l'irréducti~
Exemple 2 : Soit P2(tR)e..., IR'"
le plongement du plan projectif
dan s fR if don né dan s [H i l b8 r t - C0 h n-IJ 0 s s e J Les fan c t ion s de f'J a s h
sur
s'identifient aux f~nction5 de ~J2sh oairtLsur la sphè-
re
5:2 = [(x,'j,z) 1 X~+~2# Z2= :i 3
I::t}, ~ 2 J ~
sont des fonctions de ~Jash su r 8,(IR) qui sont
"G-irr:ductibles". D'ailleurs il est facile de voir qu'elles
sont irréductibles comme fonctions de Nash sur' B.{IR) :
r
2
regard'ons
si
X _J~('X, 'J)z) · /2 (X, ~I ~
avec f1 et
f2~aires. L'une des deux est multiple de x :
, mais comme jP~ est paire on
voit que ~ est im~aire, comme il ne s'annulle pas sur l'hémis-
phère ~>O , il a un signe contraire sur les deux hémisphères
'X)o el- x< 0 , il s' annulle donc pour x = 0, il est r.1ulti-
2
ple de x ce qui montre que f
est multiple de x •
1
2
De m~me pour y
et xy.
2
2
en a x • Y
=
(x y )
(x y) ce qui mon t r e b ü: n q u::o K(~(IR)) n' [: s t
C3S facto::-iel
~ qui réSulte aussi du th2or~me de 30chnak-
5hiota déjà cité car
H~(~(J1n/~a.)= Z/.zz )
et • • ;'
• • •

---

56
Exemple J
(~isler) soit U une couronne ouverte de fR2 centrée
en 0,
x est "G-irréductible", d'ailleurs x est
irréductible.
Mais comme l'8nse~ble des zéros se x n'est ~as connexe, l'idéal
engendré par x n'est pas pr::mier,
ce qui montre que.J{(u) n'est
Das factoriel.
D'aill~urs on pEut observer les dé~~mGositions différentes de
2
2
x
en ~:oduit de f3ct urs ir~éductib12s x
=
x • x =
x?- (":r.tfl;j·-~)((,.'1.~)ce qui ~ontre aussi la non-f2ctorialité de j'{lL)
(cl~st aussi ur.~ conséquence du théorème de aochna~-Shiota car
H~((l, 71a:) = Zhz )
Théorème
Soit f
une fonction de Na.h sur U on peut la décom-
poser en un produit de fonctions de Nash "G-irréductibles".
Démonstration, Par récurrence sur le nombre de
com~osantes ccn-
-,
i
nexes de
(]-Oo OJ) plus le nombre de composante connexes de
J-'([o cor)
ce nombre est fini et supérieur à 2 •
Si ce nombre est égal à 2 la jé~onstration est t~r~inée~ est
"G-irr6ductibl:::" 1 )
-1
.
Sinon JQ_IO 0
1
] )
(pOlI' -::xemple)
a plus de 2 composantes conne-
>~8S -S-'(J-Oo OJ) == F:i
1
U ~
OÙ- 1=1 eJ F2
sont fermés

---

ST
dans U et disjoints
• Soit ~ une fonction de Nash telle que
P >M sur 8. et ~ <-VIII sur Fi
alo:::-s on a
~= (V! -f Cf2. Cf) · (V1+ lJ2 ~ Cf)
fac:'o:::-isation de f
en fonctions de Nash
,
!=~. SC2
Cft. esi: négativ3 ou nulle sur F et st~ictement positive sur F •
1
2
~-'(J-Oo,oj)
-y
a denc "7loins de composant~s CQnnexes que JP{ ]_00,0])
et
~-I (P Oof)
le même nombre de corposantes conn~xes que
3([0 ~[) par récurrence Cf:1 est alors produit d", fonctions
d i? ~J3 S h li G- i Ir é duc t i b le" , e t
Cf.z au s s i
JI
Rem8rcue : Si l'on avait appliqué le même procédé à la fonction
3
2-
~-~_X
du chapitre
On aurait obtenu la factorisation
suivante (ou une semblable)
en fonctions de Nash élémentaires
~~-"7 ~ _x,2 .=
• R. (XJ~)
2
2 3 (y_})3
'llix/~) - VX2+tj_{j?> f2&('éJ_I/Z)6
~1 (.x,~) = VX2~ -~~ .,..26(~- ~)6 + 2 3 (fJ-1)'3
r-l ais comr;1e on l'a déj à vu, toutes ces factorisations ne diffé-
rent qu'en apparence.
Le théorème
(ou proposition) précédente est agréablement com-
pl~té par le résultat suivant dont la démonstration "semi-al-
gèbrique ll m'a été indiquée par i"1.Coste.
On peut noter aussi que la pr2uve d'un résultat analogue sans
l'hypothèse de sé"7li-algèbricité semble faire
ap~el à des tecR-
niques compliqués de topologie alg~brique.(comme le théorème
... ...
;'

---

58
de séparation d'Alexander)
Théorè~e : Soit ~un ouvert semi-alg'brique de l'ensemble des
points réguliers,d'une variété algèbrique réelle/tel que ftj(LL)
soi t
un groupe de tors ion. Si
Ll = ~ uF~ ,où F1 et F2 sont
des fe~~és 3e~i-algèbriques de iL Gui sont connexes, Alors
f~ n~ est connexe.
Démonstration
Dans l'hypothèse semi-algèbrique, connexe é~uivaut à conn~xe
par arcs
(chaque s~mi-algèbri8ue est un conplsxe si~=licial fi-
ni, V01r [KNE8USCH et DELFSJ
Démontrons tout d'abord le
Lemme. Si 0 et ~~ sont deux chemins semi-alg~briques homoto-
0
pes qans Un alors ils sont semi-algébriquement homotoDes dans U
(à extrémités fixées).
Démonstration : Touj ours par IDe Rham]
soit W Un voisinage tu-
bulaire de II dans fRn.. , rLla projection de W sur U. •
Si ~ est un chemin semi-alg~brique quelconque dans U, O([OJ]) est
un compact inclus dans U, sa distance au complémentaire de V\\I
dans (Rn.
est un nomb;:e
e(~)j 0
Je dis que
: si ~ est un chemin semi-algèbrique d3ns vV ,
tel '1 ue
cL(i,(1) <e(~)
, (3 se projette sur U. en n.((?»
homotope à
'6 dans {L
~omotoPie F(s. t) = It (~~(t) +(!-!)) 0(/-)) )
... / ...

---

On rema rque
aus s i
que si @ et 0 on t même s ex trfmi tés co:; tte ho-
~otopie est a extrt~ités fixées.
i'1a inte n an t,
si
'60 e t ~i sont de ull: chem in s seJï1i-algèbr iques
qui sont homotopes dans tt.,
F{1,t) une homotopie entre ~ et ~
e. < f'1ia.(d(F(r01i)ICW) le{~)le(~))
e t
P{~,r) un polyn ~rne e -p rec he de F à val e urs dans rR n,.
Jn(P ,0» ~(P(~/t~
rt(P{~/i~
b
ct
:J
/L( P(o,é))
lit
"'60
S CJ i t
ao la p r ':J j e c t i ù n sur U. dus e 9~ := nt [a., P(O,O)J ( ::nr ~~~t r ~ )
ai la proj ection sur u.. du sc"g~2nt [a., P(1, O~
(q, e!~ eOr~irz.e CDmnUULQ dt ~ V~! b tbf e'v..tf0rtifJl CD,.,.~1t4.\\
1
/
/
... ...
,'

---

u -
est un lac~t e-proche du lac~t constent En ~
~u~otG~C ~u lacet constant ~ a
~ur Le fi;u:-e '2tte ho-:-oto::i-.: Est \\\\d3ns le t:-ar 2ze l')
Cé
~~~e on co~~tr it l'ho~otopiE à f~i~E figurer da~s le t=-è=~ze 11.
~rtS 10 t:!."''j èzF.: 'o:I or lnet lrho-,-oto:JiiJ ent;-e 1-'s d~ux che;-i s ho-
8:Jto:::es
.
.
on
ob t i ~ n t
u Î e h0-
Dé~onstrati~n du t,~o~~ e
5 ien t a , b
E F~ f) F2,
Alors '<:e",+,-I
est un
laCEt de
point
base q.,dans
U.
Cln a donc ('fI' \\f_,)fL hOr.1otope à zéro pour un ccrta.in entie[' n
W-C)"'"'A'
ff}.&.
(D
~
ou encore ( ~nl
~ homoto e ~
•
qJ-j

---

61
So;~ ft UftL Aamofore ~'- ~'6r/~UIl .tAlfiL ~ dMJJt ckntihu
Soit
(en blanc sur dessin)
F: 1i-l(Finli)
(en clair sur dessüd
UJ = ft-'([F<)
(en foncé sur dessin)
U-l:: ~-I([ F;)
ll~ est un buvert semi-algébrique du rectangle, la frontière
de chacune de ses composantes connexes
(en nombre fini)
est un
fer:;;é se~i-21gébrique, c'est une réunion finie de Hsi~ole~~e
dimension ~
1 autrement dit c'est une réunion finie de courbes
et de poi.nts.
Partons du coin supérieur gauche du r2ctangle qui a a pour ima-
g8 et dirigeons nous vers la droi te, on est sur un des "segments ff l'
on risque de rencontrer la frontière d'une ~omcosante connexe de
(l~ , si tel est le cas on continue sur la courbe jusqu'à son
autre extrémité qui est encore sLir un "segment q " ou l'extrémi-
té de droite d'un tel segment.
Continuons de marcher vp.rs la droite (si on est resté à l'inté-
\\\\
Il
rieur d'un tel segment) et répétons l'opération. On progresse
toujours vers la droite et on arrive toujours sur un d2S " seg _
!.lents
ÇJ " •.~près un nombre fini de détours on arrivera finalE.:-
ment à l'"xtrémité de droite d' 'ln des segments "!J Il qui a b pour
image. L' I~age du chemin que nous venons de suivre joint Q...à b
sur la "0.ioethérianité" de
~.J.Risle~a r.lOntré que si U ,,:st un ouvert se:;;i-alg§brique de !Rn"
•••

---

62
)(~~st Noéthérien.
Nous allons voir dans ce paragraphe,
comment gr5ce à la fac-
torisation de fonctio~ de ~~2sh, (obtenue par le théorèi7le de
,
séparation ~e Mostowski). On peut complèter le théorème de
Risler dans la cas ou U n'est pas semi-algébrique.
Tout d'abord un exemple.
EX:3:nple i
u = JR2_ {(XI ~""X) 1X)OJ
~ 2
"
(C'~sttR ";"joins une d:::mi-sinusoideJ
'"
Soi -t Jn.l' id~al des fonction de
N2Sh ~ K'(u.) s' annull-tsur [n co[ nU
les :J~ forment une suite croissante
d'idéaux.
iri. = Vii 2 f fe-ni - p:-n)
~ontre que cette suite croi?sants est non-Stationnaire ce qui
montre queA(a) n'pst ~ Noethérien.(Le r§ciproque énoncée par
risle:]
ne s'appliquait pas à cet exemple) • •
Soit U un ouvert da/R"'(pas nécessairement semi-algébriClue)
E un sous-snsemble de ~. on dit que E est irréductible au ser ~
de r·1estowski (dans U) si toute fonction de)((U.)ne s'annullQ..n}-
~as sur E a un signe constant sur E.
~n:= déco":-.:Josition E = E U E •••• ••• • tJ En u -._
1
2
... / ...

---

s'appelle décomposition de Mostowski de E si chaque E.
est
1.
Mostowski-irréductible
(M-irréductible)
et s ' i l existe pour
chaque E.
une fonction
~
Si Uest sem~~algébrique, et E un fermé semi-algébrique le
thecr~~e d2 séparation de
)ostowski, ~ontre Gue la déco~po-
sition an composantes connexes fofthit un~ déco~oosition de
;·'osto"Jski.
(les hypothèses de connExité locale sont alors vé-
rif:.é~3).
En g6~~r31
une M-composante sera r~un~on d'une ou ~lusicurs
co~p~sant2s connexes, co~me on peut le voir sur d~s ex~mples •••
Exemole 2 :
2
Soit
LL:: fR3_ {(x,ë X ) 1XE fRS
S'il existait une fonction Sds2. }f{U,)
_X 2
stricL:ël,-,nt posi tive si Z : 0
H<. e.
_Z2 ~-----...- - ._,.----~
le>
strictemé:nt négative si ..z =0
fi >e
1••
Consid'rons la restriction
••
de f
au semi-algébrique
"axe des x"
et soit
fJ(Xo) = cL ((Xo,O, 0) 1['(0) n{ X=XoJ)
est semi-algébrique et strictement positive
X 2
de plus on a
Cj{X) < :l ë
(facile a voir)
ca Gui est contrair~ à l'irrég31ité d2 Lojasiewicz
•
Jan 5
ce c 2 s E n ' a qu' une co mp:] 5 3 nt e de, 0 S '::::; wski
(C.3 n s Q)
mai s
a 2 CO~oosantes connexes

---

Exe:nple 3
•1
1 •
•
1
... -- -.....
_ .
O!
--.
".11 . "
....
_ . . .
~
_
_
.....
_
_
_
. -
_
..,.,
. .
1
1
2
(
)2
(n
-2
- x-n
1 fl2. -=
Soit
~fl.(x):= e
. e
~Uf (%1 -----/Pfl-)
Soit
G-= U (gr~phes das f:l)' et LL= 1R~ G
n,),.A'
AI:Jrs rR 2-G qui a un": infinité de composantes conn::?X2S es"':
~-irréductible (d-monstration analogue ~ c~lle de l'Gxemple
précéd::-;nt. )
De plus comme
Il est facile de voir que G rencontre toute courbe algébrique
en un nombre fini de points, et donc tout ense~ble algébrique
,
11)2.
qui ne contient pas le plan'~
en un nombre fini de Doints •
On voit donc que U s~tisfait à l'hypoth~se (pl) (voisine de
la condition (P) de Risler)
(pl) Pour toute variété algébrique V , UnV
n'a qu'un nom-
bre fini de M-comcDsantes
•
D'ailleurs, si on pouvait démont
~r qu: toute fonction de Nash
sur U s ' annul~sur une composante connexe de u."tR 2 s'annul-
le sur
fR2 tout enti::-;:::-, le r3isonnerTlent de [~isleJ :Jourrait
(Qrobable~ent) s'appliquer et cela montrerait que ~(~ est
... / ...

---

b5
Llnrn2~Jinfinité
connexes~é'
noethérien avec
de composantes
On a néanmoins
:
P:-oDosition
:' Si U"est un ouv'~rt de IRf1. qui ne posssde pas la
pr:J::n iété
(P '. y
)((U)
f
n'es t
pas Noe thér ie n.
Démonstration: Soit \\1 une variété algébrique de U qui se
.J)
d
Il
.
f '
.
, d
~co~:Jose
3~S ~ en une
ln lnlte
e co~p:Jsantes de Mostowski
v= V1UV2 U V3U-----
est l'sns,::'ble d~s zéros d'une fonction
V
Soit
Cif)<o sur
~ U V2 .-- u Vn,
~n>O
u '-.-- ..
sur
VI). #, V V"f2
2
la f 0 net ion V
V~f Cf" - CP"
s'annulle identiauement sur li \\(~
.
R~ 0..1
mais n.e s'annulle j a~ ,:lis sur
(ce~:_r(J~::ep;_f&X'V~~î ~~
1
~a suite d'Idéaux
J(UV4) c rr.UVIl) C I(YVIl)c ...-
~),
R)2
~3
est donc une suite croissante non stationnaire d'id8aux de ~(ll)
Il

---

66
Cno .:; u t
c h ..c :: c h ,_ r
3
ob t ~ n i r,
G..cl 2 n i ~ r co di:: _ ct::,
'.1 n ,~
t h ~ 0 rie
. 1 c 1 0 S:: u .:. '"= 'J r~ :: u
''-
iJn
S 0 U \\/~: n t
s
Tl t c: :
:;. ::- ::. ~: s ~ .. j"
c n n ri u _::;
0 ,0 '.1 =-
K -= fR
,te")
_. -ct
ci 1 é t. _ n (~ r 8
CC -ïJ 5
clos
"-; l.. c.; 1. C Ci n --:1 u::; ,
1";1 j
\\1 '.J ' t
:-:1 ë] 1
co, -,-
n-: ~:;uvc;aux.
J 1 ~]:j ": ::: .:; ", :: t 12 "1 i s cau p a i n t d-~ 5 -- ~ t il :J des co' ,0 1 i:: u (; ::' S d 8 l a
,
... ..., 71 .......
- .
L,it
• ...J • .:.. ._
J..L
qu-::
1::8
~s-
,': a c: s
t 0 ,:)0 1 c 9 ici U. S L s ::<.. u s sr ~ r, ,~ r a u x a u x C ..J : l s :~ ~ L; s' a;;;-= ~ i que
_1 c .
:.J .;. :) 1.
l ,
l. _ _
d~s
..
. , . .
f"
:~
,_
,
....... c-
__ X' <0 '::::
.............
c-
...J l ' 1 ..
_ :'l )tJfln
. .1
J . l e
l
.">
..:..,_.~ U X
ln'_ CC'
_ . . ~
. . . .~
.
de
tJ ':JlC;:"
fl::.J·:"':bin_,toi~2" S~,Tlbl nt suffi!:': (c.f c~·::.::ci.-::'-.·' IV).
j
d'Al
Uil
co,
1
- . '
c2.:::::
;::u~2.concu R (co---
J.. .
C :5
_ L " ;
c~ur8:s po1y-
J : n -: 2.. ,"~r; ~ ~..; .. J. ;:: S ~,:: [1 '.: L
(0 U:: i3 n -~ - -':J b j i. n 2J ) •
ur_
si::"
(suo osons
,-- ., ....... 1ifi.:.:)
-...J":'"
'
... ...
,

---

Série
A
N° d'ordre
806
N° de série
136
THE SE
Présentée
DEVANT L'UNIVERSITE DE RENNES
l
U.E.R. de Mathématiques et Informatique
Pour obtenir
LE TITRE DE DOCTEUR EN TROISIEME CYCLE
Spécialité
Mathématiques
par
Daniel PECKER
Sujet de la Thèse
F°nctio f1.6 de. Na..o h : apy:J/wx.hrrat.<.on,
e.xte.f'1Ârlon, 6ae.-to-'trl6ation.
Soutenue le 19 Septembre 1983 devan'
la Commission d' exa'11en
M.
J. HOUDEBINE
Président
t1M •
M. COSTE
1. GIORGIUTTI
Examinateurs
L. MAHE
J.-C. TOUGERON

---

67
Si Pest un point
un: ds~i-croite d'origine P
cu~ la parité ce
dc-
péossant 2== P, il Y j
JCJnc
ci::: s
points
'1
\\l
If
"
t
' -~=:2_r3
c:t
on v:Jit
qU2
S -2
,--.; .~ cc, . 0 S [3
,:c; n
2 c Cl p 0 ~3 a n t, S
con n x 8 S •
.
Si V es":
un,
, '
C û G l ':": ~ n 5 l ~ n
'n ~+1 co~oos~nt2s connc-
· C
pl:.JS
on
3
un crit~~= explicite
1 ...
. '
...J
•
sont dans L3,-'cme co",,:::;csant:; connexe de IRrt_ V
On
v 0 i t
don c,
que
fii ê . , c
c:J El n s
ecce :J n t ._ x t c.
Ou une. "bonne" théo-
~le de
l'ho~ologie et de la cc~o~ol:Jgie ~xiste, on a parfois
\\\\
'f
intCr~t à revenir ~ d~s r:l~tho~8S t r ~s é l ,~- ::; n t cl L,' cc S 0
E n c:' CJ u i
con c ;; r n e ~'éJ i nt; n 2 ri t
1J t, :, CJ l' l t~ ~:
::. ::l
co h 0 -:10 log i::;
des
,1
faisc=aux
l~ situ2tion ~s~ 2nC~~2 plus r~~3rq~abl'J~_nt
/1
1:
cohocolcgi ::u-.:s.
Co ~'
l
"
l
S: =- Ll i -:
u n-
C :J ii -: ,~ c:; u e n c e
f L1 C i 2.
• • • 1
• • • •

---

68
::JVC
a mont=§ ~u'il n'y ::J =aS d2
,1
(~= n j
' -
_ .
~< ~
t
l '
~ 5 t
.. (Rn.. t V
'. I j 2
o
Jf.a
3urjctiDn,
ut.!
f ·";l~-
(
)
1
fini.~~
G
OU\\, _ ~-t~
--~~ -l-'b-"
:";'-.I...l.-'.i
'j ~
1..2-
' .....
'
... - - '-
-:;u
-"
= :::OUV:.'é1nt
VI(O) ct si lel» fi sont d·::;
i.i
tt
',"0 i n i:: s
sur
l , '3
t" l ~ .e s : u, s u :r
U.i nUj P. p. - 1-.•.V
dt. - dJ - l'(U
S ~J r
UJ' () U·J
élloci
i l
I~ r:m C tic n
avec
i<, :.lsh su:
=2.ffi::ul-;;,~
c~hJ-
" l Cl 9 i .
:J GU=-
l
,c,
f" i -; ::
J LI X
de
r1 Cl s h Il A- C::1 ~ .~ :::-'~ nt S'l.
Li n
1

---

69
~ un _-:: ilcele, "c 0 nj c tu :- 31 l _m!Ti a " dl? aif fic ul t é a p , a r '='-
:= 1.
:~
N(t2i)
-3
5 i 9 " i. f i. ~ e u s i pc: -:; t PJ
sc., tG.~, i -:;,~ Cl Li X ;] r .;C l :: S ::J E;
;,~ N'(~) r~s';
pi. ()
cti'J',= n,:,
t, ls:u::
J{'(lÀ) =. p
et Pi n]((112) = P
,'n'-,
- ' l
"
\\Lhal'ne
L . .
f ' n
_.L 1 - i
d ' :i cl< aux
~j r ":_
& • '
• _
pL à, Pi /1
. , ,
c
•
t. :
ftiq,
(..0 1 (,~I
f.,'L -= j
,--':;
d
::;
i" '..:J''': < ~:: - " "S
LIq+1
N(
(J IJ _
J c
..ait! n.fliltH)
t
ls
Plle-, ~ nJY(J2lk): fl"'ÎIt+l" J((.n.ik)
Pto~ () Jf(Jli) = Pi
t
fi2., il Il K(J2j) ::: fi
- ~ Ç']
(1 U \\/ -. [' L
_ ' _ . ' J....
t _ lJ
.....
:-: C .-: ~ "._ =',1 ~ - ..
:
l

---

70
fait
;Jour n := 2 ce
~ Li l
i::1clic:ue qu'on
a un3
bon;:=:;
(Ls
id~2S utilis~~s ~a~ Efroy~son sont d'ai21 u urs tr~s voisines
~onJ'
~
'-c+-l,;-;-,l")
-
\\...~ - -
.
Dé è1 C n s t rat ~:c n
f{{~~) U J{'(J1j)
::: s s s:c c t i v ,--- " t
PLn}((J1)=p et PJnN'{J2)=-p
sont DL;S
idcSaux "JI'
Pl (1,(,12i.)
et
Pi CL(J2j)
de
a.(J2l) et (l{,flJ) r,:::,: ~; st i v ~: il t·
[0:;-.:118
le
conjectural cs-: vrai pour lCS-lnnëéJUX de Tcnctions
analytiqul-OS
(car i l y a aL:rs
un::
"bonne thr~oric de la caho;nolo-
""1'",,)
':J
-
•
, ..,ü\\
On
p::; u t " j ::;.i n d r sc:: s de u x
ici' é:i U X pa!.' U n -:0
ch:::; î n e
d' ici·'· ~ u :< P::: c:: '1 i crs"
de
fonc:ions
Gé::
r.3sh,
on obtient
p~ i~Jod = Pl'ktivf () )('(Jlikn[l"kH)
:; u i
::; s tune'
cha î n [' ,:' i ci,~ a u x iJ r
i~.r: s r co lia l, t pi.el- fJ
•
I l r_ste donc ~ ss~~rer lCl que des arqu~_nts ~l~~sntair::;s vien-
c:: c
1
,.,.
--. ~
c:; n j ._ C ~ û :: ~ l ,
C 2

---

1
'"' .
Su.;
1:::
s
nn
-! --.
f",J2.sh
1~''''\\
211-212
1 .
-
ç=--'-~'.'
r
y
~
...J. L
l
'~
'.1 .
_~,",r~h'
\\
-~-'-"-
1
•
r_
' /
.
T'
-'
l il
,
-- , +-
;.-.. ~-
,
...
, , ,
-'~
LI!
1 _ r,
, '-1
:; -
ï
U
l
ct:LJ-
s
nO
':'--",T -H. ,j'--, ~T~E Y.
.U
"ltaJ.
::315.
F.-- LJ_o/\\T-H.Î
;0.
~
, .C,J .- T
'n
'.L.-ces: _
:.0
+-.-c;uJ.
.,n :: l
.1
-
'1
'J 5 ~. )
:J •
,-:: -::
\\../ ,~-
::' u ~ 2. • S'J C •. , ~ -: ~ • F :- a n c '.-
tJ·
51 •
,
r-':~ T-=-
-
l..,.. L. .......
,
__
J'
1
2
: ......
i._
l 'J
,. '" ': i s - ., :J:~ d F
.
,':j :: c 3.. -= L.: 1.
n G , ~
' J
\\
,
)

---

-2-
C:::::;I::
~ DY
=~y
"
,.... i~
T
-:-=-
L
- _..f.- ..,..-.~
-
. - - -.~
: .
T
'~
~
"
,04
-. i
,-1
,
1
8,
.: , ..
, .
1
;
-~.-:::'--
-~ - .
' / '
~
, A, ,
l,.. l
s
': u _.'
~, 0
.1 •
c::n
( Tl' ans • I~\\ ,...." • " -=-: -: ~ • S:J C •
. , 0
/
.-ll
- ) .
,~
'_, _
l,:-";'
,;2c;.~-
Tu
1 '
) .
\\
. , - ,
..
1
:J" - ,
1
.:_""",
d e , - ' .
9 \\1
--:: 1) ': \\}
II(F72)
,1
:; ~ -
,~
. . . . . .
J
q
.. .
",
~j .._
- ,
1""
: .
•
ov
c'::" :
ci
-
j
o
d
_L:-,
scur:-:
f' -+- ~abl
n
tiC
' )
.:::..
c'"
J.
(:
.J
'J
....-
-'
1
L.
c CJ:: ,
_s •
n'""": .'
n
- T
-
•
.•
1
~
-,
-:0
1

---

un~
\\/--1 )
........ ~-
, ,
. ,
( :-
-
.
~,
(
)
- .-
-
-- ~ '"
.
--
--
. .
,
Li
-::
,
-
--
ri
'- ~
c_
ab l ' :::: •
(
\\
l
,
•
~ • \\-Î •
Su:::
l'iJr.r,
~-'r'-~-
~:-r
-..-: ,
l '-"
...... •.J
i~_
~c.
-:r:~
~,7P
f. O :--- .5u~
+~, • --L
. . . . . .
- "
1,..;
~
- - '
_J
. . . . . . .
,-
l=ue
~ -- -', .. "' ~ ( COi -- . C L, _: ~_ -, ~.
. "
_. 'c: III i
.
_ . . . . .
_
_
d . ~~ fi )
sr-; ET P,.:' • L: r:
Ur, ::. =; u·.
ru~ctiGn~
Putl.R.l.
c,
. .
( . - . \\
~
, -
~
..=~j-~';tl
T[' r; ,.
l • r, •
r=-.c:ad,' le
( ~
Vil ~
c::. ThCC:T~[
\\1
D: f''.:.
"
,
.
U
:. ~_~ ·L~ .=.. n g:. . .-
,
.
-
1
Doc! [
~.

---

ve :
vc :
Le Président de la Thèse
Le Directeur de Thèse
J.
HOLDEBIt\\E
:1. COSTE
Vl' et APPROL'VE
Rennes,
le
Le Directeur de l'e.E.R.
,
J. GUER I:'lDO~
VU pour autorisation de scutenance
REN~ES, le
Le Président de l'Université de RE~~SS l
J.P. Cl'RTES

---