•
-.
','
THÉSE DE ?f CYCLE
A L'UNIVERS ITË DE DAKAR
POlR L'œmITtOO III GRADE DE
DocTELR EN ~THËMATIQUES
MENTION : MATHËMATIŒJES APPLIatES
PAR
GABRIEL 'BIRM MJIAYE
RlAIRE D'UΠFOCTIGl MJLTIVOOJE
AFR.lrATIOO A. L'Œ'J1f'1ISl\\TIOO QBIE)(E
SOl1TEMJE LE 2!fJUIN 1983 DEVANT LA CcJ.T.1ISSION n'ExMN
M.M
S. NIANi
~SIDENT
C. IBt\\DJ1
E. FEDIIY\\
fxN.1INATELRS
H. SE't1H

---

Je dP.die ce travail
- A mon père Henri NDIAYE
- a ma mère Elisabeth FAYE
- ~ mon grand-frêre Gilbert NDIAYE
- a tous mes frères et soeurs
- à Marie Khêmes~e NGOM
à Mr. Alexandre DIOP
- a tous les parrents et amis qui m'ontportêaffection
Je remercie Marie -Khemesse NGOM quit par son soutient affectueux
constant me permet d'aller toujours de l'avant.

---

2
- Je tiens â remercier monsieur Doudou Sakhir THIAM Dour son enca~rement, ses
conseils, ses encouragements. Je le remercie en particulier de m'avoir toujours
soutenu sans réserve.
- Je rp.mercie le Qoyen Souleymane NI~NG d'avoir bien voulu pr~sider le Jury .
- Je remercie également messieurs ~adji,
.~ Fi!>dida et Seydi d'avoir bien
voulu faire partie du Jury.
- Je les remercie tous de leur disponibilité en won endroit.
- Je remercie monsieur Ma~uette THIAM pour son amiti~, ses encouragements et
ses conseils.
- Je remercie tous les membres de lêquipe de Math~matiques aooliquées pour l'am-
biance intellectuelle f~conde et le clim~t amical dans lesquels ils m'ont permis
ete travai 11 er.
- Je remercie mesdames ~1baye et Ndiaye, monsieur Gupye qui ont bien voulu assurer
la dactylogra~h1e et la multi9raohie.
- Je remercie tous les membres ~e la facultp qui de orps ou de loin se sont
toujours intêress~s a ma personne.

---

- 3 -
- INTRODUCTlOfll
4
- CHAPITRE 1
Polaire d1une multiapplication
7
- CHAPITRE 2
Théor~mes de caract~risations
~
20
des solutions de
(fi), ~) et (~)
§1
Etude cie
~)
paqe
20
1
§2
Etude de
(~)
page
31
§3
Etude de
(~)
~
38
- CHAPITRE 3
Appliciitions
paQe
45
-'-
+ §1-3 -
Kuhn et Tucker en dimension infinie
45
+ ~2-3 -
Application â un problpme multicritêres
54
+ §3-3 -
~DDlication au contrôle optima'
71
Problème
d'allocation ~talé dans le temps
79
- CONCLUSION
page
92
- BIPLIOGRAPHIE
~
93
, -
_. J

---

- 4 -
1 N T R 0 0 U C T ION
-=-=-=-=-=-=-=-=-~-~-~-=-
Soient
E
et
F deux esp~cez vectoriels topologiques
localement convexes séparés,
f
une ;onction défini~ sur
E x F
Avaleurs dans
:If
et
rune mu1tiù!"plica"tion' de
E
dans
F
dont
le graphe est noté
Gr{r).
. .
On considère les problèmes s~ivants
(~)
minimiser
f{x,
.
y)
(x, yJ e Gr{r)
minimiser
f(x, y)
y e r(x)
x fixé dans
E
minimiser
f{x, y)
y e f(x)
y fixé dans F
L'objet de ce travail est l'6~uJe de li dualité pour de
tels problèmes d'optimisation.et l'6criture des relations d'extréma-
.:-:
lités usuelles en optimisation COnVQX2.
Pour cela on définit dans le chapitre
1
la .po1aire
d'une multiapp1ication ~ partir dG c~11J d'un
processus convexe
.
{-
'"
.",
avec la condition
(x, y) €
Gr ( r )
ô((x, y) /
)'
=
\\
/Gr(f)
sinon
est la fonction indicatrice de
Gr(r)
•
... / ...

---

- 5 -
Thibault
[17]
J
Hiriart - :.;~~ruty
[gJ J Rockafe11ar [14J
ont génér~lisé cett~ notion de sous-~i;f6rentie1
Jans des B~n~ch
séparables.
Rockafe 11 ar dans [l2]
11~tGnd à des espaces
localement convexes.
Cependant la condition
sous-différentiel au sens de Rocknfcll~r)
nlest que nécessaire pour
.
.
que
f
soit minimum en
x
(Rock~;211Jr
D~)~
o
Le chapitre
( tP1·) ... ( (Y2)
2
est cons~cté ~ l'étuQ8 de
j1
~
et
(~).
(iB)
LE: problème
peut-~·~:'c; traité pal~ li.: théorème 6.9.6
page
187.
J. Laurent
[l0]. Ol! D(~:' L: corollaire
2
(Rockaf~llar
13). cf. proposition 0.2
du chapitre
2.
On obtient les m€mes
condi~i~ns nécessaires et suffisantes
~
en écrivant les relations d'extrém~11~6 entre
(V1)
et le prob1èm~
dua1
(g~ ) rel at ivemen t à une f (lL: °i 11 c' Il Ùdéquate" de per tu r bat ion s •
Cependant le théorème citd ~c
J. Laur~nt n~ donne pas la
sol ut; 0 n de
( ~ ) et
(~ ) SOL! S 12. form'2 prése11t ée dan s ce
travail.
,/"
En écrivant le problème dunl de
(.~~)
on
obtient des conditions nécessaires C~ suffisantes liées ~ la polaire
de la mu1tiapp1ication.
Le problème
(~) peut~t:"e I.li s sous la forme de ( ~)
mais il est parfois plus aisé de lu rdsou~r~ dir~ctGment•
.../ ...

---

- 6 -
Le chapitre
3
présente: :."::::> .:-.~p1icë'.tions
pour les
rés ult at s ,~u cha pit r e
2 •
L'exemple
1
permet de ri·<:;··'}l;v~r 1e·smultip1icateurs de
lagrange-Kuhn et Tucker dans le CfS oD O~ ~ des corttraintes définies
par des inéga1itées.
L'exemple
2
généralise les tésult(l'~s d..::
f'i. Minami
(il] •
On obtient de plus des conditions s~;;isQntes pour un optimum de
Pareto.
l'exemple
3
est un~ applic:-"::ion des résu'ltats du
chapitre
2
au contrôle optimal e~ t~n~s discr2t. Cela permet de
résoudre des problèmes (non station~fir~s) ~'a110cation d~
ressources étudiées par
J. Aubin [~J
[2J
dans le cas statique.
On examine en particulier les condi~1o~s d'obt0ntion d'un optimum
de Pareto faible pour ces prob1èmGs.
----------------------
•
.. '.
.

---

- 7 -
CHAPITRE
1
POLAIRE DIU;]::: [;CL·,'IAPPLICAlIOf,.!
Soient
E
et
F
des espac~s ~2c~oriels topologiques
10cal emen t con ve xel: s é par' s
( e. l • c • s .:
.' '.' 1
2 .~
F i l e tr r dua T.'
.~ 0 pol 0 9 i que. r e s pee tif. r
est une mL! 1':. 'i c. ::': :-; c ~\\~ 'j C;i cl e
E
dan s
F
don t
l e gr aphe est
Gr (r) = { (x, y) 6 ~ :: ;-' / y €
r ( ~ ) }
et de domaine
dom r = {x E E /
r (x) l
,~,}.
On dira que
r
est à graphe con~nXe si '~r(r)
est conv~xe.
Proposition l.!.
r
est à gr aphe con ve xe sie .~ s.: '.' 1:::: :'.12 :1 .:: s i r
vé r i fie
la relation (*)
suivante:
pour tout
À E [0, 1]
et POL: :~ ':.) :.! S
X l '
x 2
é 1é men t s de E.
avec la convention
X + ~ = ~ , pOLir toute pJ.:"''':i~~
X
(1;::
E
Àj = ~
pour tout
~
~
reG . À
•
Preuve
Suppo son s que
(~r (r )
est COI; V;. x.'; •
Montrons alors que la relatic~
1 _.f.: 'J
'.
,
::::s·:: vérifiée.
Soient
xl' x
deux éléments ,:0
~-: et À € D, 1J
2
si
xl ~ dom r
ou
x2 ~ ~: or;; ~l
alors
r(x ) =
) .- :;
t..'J\\,;;C
b, convention
1
~
ou
r(x 2
~~
, $
faite on a Àr(x ) + ( 1
À) r(x ) = ç,
-..
:..
" J
1 * ':
es .~ vérifiée.
-
1
2
... / ...

---

- 8 -
Si
Xl 6 dom r
et
x2 "dom r
Soient
YI €
r(x )
et
1
Y2 6 r !" ,
""2 ;
, ,
ÀYI + (l - À) Y2 € r(À x +
1
( ~
• En effet
J.,
- ~ l,
.~ } x )
2
et
'_:r (f)
convexe
et donc
ÀYl + (1 - À) Y2-6 f(Ax l + ~~.- À: x ) pour tout
2
y. 6 r(x.)
i = 1. 2.
(*)
est donc vd~i~i~e.
1
1
-
R~ciproquement. supposons que
(*)
es~ v6ri;i~e.
Soient
(xi' Yi) e Gr(f)
i
= 1. 2
~.,~
À
€
[0, 1J
\\
x,..,>
(Japrès la relation
(* ) .
,
i e
(À Xl + (l
À) x , ÀYl + (l
À \\
€
Gr(f)
2
- 1 ~'., "L..
d'où
À(xl' YI) + (l - À) (x 2, Y2) 6 ,~~:r' (r )
et
Gr(f)
est donc convexe.
C;~;:i)
Remarque 1.1. :
Si
Gr(f)
est convexe alors
r
CS~ à valeurs convexes
i e
f ( X )
est con vexe pou r t 0 ut
x
(: c
,.•
Il suffit de faire dans la propo~i~ion 1.1
Xl = x
=
2
M•
.../ ...

---

Remarque 2.1. :
Dans toute la suite, on notera
sup<y, yi>
si
v
6 dom r
"
O'(x, yi) =
6*(Y I/f ( x)) =
_00
si-
v
( \\
~ l~or-! r
ri'nf <y, yi>
si
X ~ don r ,-
et
y(x, yi)
·[+00
si
x S dom p...
,où
yi e F 1
dual topologique de
F
---------.-
Propos
.
it i on 2.l. .
Si
Gr(f)
est convexe alors
(1)
y
est convexe en
x
et concave C:l
,,1 ..
~.
( i i )
..
0'
est concave en
x
et
convexe c"
~" .
Preuve
l\\1ontrons
(i )
Soient
x· S domf
i • 1, 2
et
À e J'j,
1. [
l
y(Àx 1 + (l-À) x2, yi) = inf{<y, yi>
~' 6 r (À ,
,
x.
.../ ...

---

Dlaprès la proposition 1.1.
on a
i -- 1,2
llinégalité reste vraie si
À = 0
ou
À = 1
si
xi ~ dom r y(x '
i
yi) = ~
•
Donc y
cs"; convexe en
x.
Montrons que y
est concave en
1
Y •
Soient
'\\1\\ ~ -J 0
C ,
1[
•
Yl', Y21 e FI.
+ (1 - À) inf{<y~ y~>,
y S r(x)}
si
À
= 0
ou
À
= 1
1 'inégalité rcs~e vraie.
Si
x ~ dom r
y(x, yi) = +=
pour tou~
yI
6 FI.
On montre de même
(ii).
Exèmple 1.1. :
Soient
T : E ---> F
une applic~~ion linéaire, C un
convexe non vide de
F
et
r(x)-= T~ ~ C
Gr{r) = EX (TE + C)
est convexe.
... / ...

---

- 11 -
Exemple 2.1.
Soit
.
f
. E
> IR U {+oo}
l'.",'
.. '- /onction convexe •
Pour tout
x E E ,
posons
r(x) = {y EIR / f(x) ~ y } .,
L'ensemble
Gr(r)
est alors 1 ' épi 9r ~~ ~~;~:: c;c
f
.
.
qui est convexe.
Gr(r)
est donc convexe.
Exemple 3.1 :
Soit
9
E x F--->JR
une fc~ction convexe. pdso~s
pour tout
x E E
r ( x )
=
{y E F. -/
9 ( x, ~':.
~
O} •
Lie nsem b 1e
Gr ( r) = { (x, y.) E E x F / 9 ( x:, y ) ~ 0 }
est une section de
g,
donc il est conV2xe •
-
_.- -
-
Soit
M
une partie non vide li 1 U;l
e.1.c.s.
X
( X'
le dual topologique de
X) •
On appelle cône polaire pos i';: i 7 .~ ~
-1
,,1..;
Ï'-1
l'ensemble
M* = {x' E X'
pour tout
x E M}
M**
est l'adhérence de l'enveloppe convexe c8nique de
M
On désignera dans la suite par
'1 ! ~ 1
i .. '.1 i t
cônique de
(M - x )
où
o
Xo E X .--
ie
K(M, xc)
= U ~dM
x )
o
À>O
K* (M, x )
[K ([v;,
]*
On pose aussi
=
o
""" J'
... - ..
' j
... / ...

---

- 12 -
SDit 'x E E , à llensemble
r(x; o'n p03Ut associer l'une
des fonctions indicatrices suiva~tes :
px =
ô(.lr(x)
,ou
-
0
,.
1l' ! v \\ )
qx -
-lJ;e
. \\ , \\ j
l
Si on associe à
r(x)
1~ fonctio~
px (resp qx)
on dira que
r(x)
est orienté supériel~rc:]cnt (resp. inférieurement).
Dan s 1e cas 0 ù
r ( x ), ,e s t
con v ;,; :, é:, cet te défin i t 0 0 n
correspond à celle de llorientation (jll~~: c"nV2xe
(cf. Rockafellar
02J
§39
.
Ll1'"
page r_:;
Définition 1.1 :
On dira que
r
est orienté s~~6ricurement
.
.
(resp. inférieurement) si
~x)
est oricn~é supérieurement
(resp. inférieurement) pour tout
xEE.
Remarque 3.1. :
Dan s t 0 utel a sui te, 0 n s upp0 S C\\~ ~ Ci li Cl
r
est 0 rie nt é
inférieurement.
Définition 2.1. :
!
On appelle polaire de
r
par r~~Dort à
(x o' Yo) E E x F
la multiplication
r*
de
FI
d~ns
E'ds graphe
xo'Yo
= ~Yf, Xl) E FiX El,' r..x' ,
. \\

---

-13 -
"
Si
r
étai,t d' ori entati on su péri eure on prendrai t
Rappelons qu'un processus convexe
A' de
E
dans
F
est une multiapplication vérifiant
pour tous
u'l' u2
éléments de
E'.
( i i )
pour tout rË:el
À
et toüt
( i i i )
o 6 AO
ln processus convexe est donc une multiapplication dont
le graphe est un cône convexe de sommet
(0, 0) 6 ~ x F
2t
contenant
(0, 0).
Si
r
est un proc~ssus convexe, la polaire de
r
par rapport à ( U, 0)
~ s t la pol ai.r.e.d,.e. '. r
au sens d~ s processus
convexes.
cf.
R.T. Rockafellar
GD §3S
D~finition 3.1
Soit
y
comme définie à la remarque
2.1.
en appelle multiapplication conjuguée d2
r
en
Xo
la multiapplication
dans
E'
telle que
c(
')
{ I C E I I
'
r x
+ y (x ' yI) ~ y (x, yI); y (x
o' y
=
x ~
< x-xo' X >
o
o' yi) 6 IR }
pour tout
x cie
E
=
ôx y(xo' yI) pour tout
y' €
FI.
.../ .'..

---

-14 -
Si
r
était d'orientation supéri~ure on prencrait
C
r
(x '
o
yi)
comma étant le surdifférentL::l en
X o de
cr(., y').
cr est définie à la r2marqu2
2.1.
Proposition 3.1.
Soi~nt
X
E dom r
2t
un point d-::
o
Or'l a
r
(x', y')
E K* (Gr(r),
si ~t seulement si
Preuve
Soit
(Xl, yi) 6 K* (Gr(r), (x ' Yo))
on a
o
( 1 )
<x -
x , x'>
1 · ·
o
+ <y - Yo' y > ~ U
pour tout
(x, y)
E Gr(r)
dloù
( 2)
<x -
x '
- x' > + <y 0' yi>. ~ y (x, yi)
jJour tout .. x E E,
o
d2
plus
(3)
<Yo' yi> ~
y(x
' yi)
o
... / ...

---

- 15-
'~n
faisant
x = X
dans
o
( 2)
et considérant
( 3 )
on a
( 4 )
y(x o ' y' )
=
<y , y'>
0
*
I?t c-:la si~nifie
yi 6 v (r(x o)' Yo)
"
l'inégalité
(2)
s'écrit alors
< X -
X 0 .'- X '>foy (X 0' y"
~ y ( x, y')
pour tout
x 6 E
donc
(-x') 6 d
y(x
' y') =
y' )
X
o
.*
r,~ciproquE.ment,
si
y' 6 K (r(x )' Yo)
o
'2 t
si
(- x' )
C
6 r
(x, y')
o
on a
<y - Yo' y'> ~ 0
pour tout
et
<x - X0' - Xl> +
y ( x0' y') ~ y ( x, y')
pour tout
x 6 E
et comme
on a
y(x
' y')
=
o
<.Y 0' y' >
d'oO
<x - X
-
x'>
+
0'
et par définition de
y
on a
<x - X
-
x'>
+ <Yo' y'> S <y, y'>
0'
. ..
. .p'ou r tout
(x, y) 6 Gr(r)
qFO
1

---

_ 16 _
Si
r
était dlori~ntation supérieure on aurait,
pour
(Xl,
yi) ~ K* (Gr(r), (x ' Yo))
si at seu12ment si
o
Xl
6 rC(x
,-_yi)
et
o
_
Corollaire 1.1 :
Soient
X
b dom r
et
o
On a
c
,
r
(x
' yi)
si
)
o
r*
(yi)
=
xo'Yo
(
sinon
'---
Clest un~ conséquence de la proposition
3.1.
et
dd la definition
3.1.
r*
est par définition, un procassus convexe fermé.
xo'Yo
Nous défirissons la bipolaire d~
r
par rappo~t â
(x ' Yo)
o
comme étar.t la polair~ de
r*
par rapport à
(0, 0)
xo'Yo
ie
la polaire de
r*
au sens des proc~ssus convexes.
xo'Yo
... / ...

---

Proposition ILL
( i )
est d'orientation contrair~ a r
( i i )
r **
. a pour graphe
ro
(
I.ir r**'
x
y ,
)
=
xo'Yo
0'
0
Preuve :
en a
( i)
d 'a p r è s l e t hé 0 r è m~ J ~. 2
pa 9è 4 1J
[1 2]
Montrons
(ii)
Gr«:,yo)
Er(r~o'Yo]'}
= {,x, y) €
E x F,
(J, - x) €
*
mais ~r(r:o ,y lJ =
x) 6 F xE, <y, y'> + <x, Xl> ~ 0
0
0y,
l
1'---
pour tout
(y l ,
Xl) 6 Gr (r*
)
xo,yo
J
= \\ (y, x) 6 F x E / <y, yi> + <x~ -XI>~O
t pour tout (X',yl) 6 :<* (Gr(r), (Xo'Yo)~
r
i
K
=
'-
t(y, x) 6 FxE /
(-x, y) 6
** (:; r (r ) , (xo'Yo» 11
_ /
donc
Cr (f *
.\\, **
x
y )
=
1(
,Gr (r) , (x o ' y »
0
0'
0
=
C'l FD
.... / ...

---

- 18
-
..'
Exempl ,~s
2ét~rminons lesmuTtiapplications conjuguèas des multiap-
plications données dans l~s ~xe~ples
1.1.
et 2.1.
r(x)
= Tx + C
y(x, yi) = inf <y, yi> = <Tx, yi> + inf <a, yi>
y6r(x)
aGC
X I
6 rC(x ' yi) S1' e t seu 1~men t '
o
S1
inf <a, yi>
0St
aGC
fi ni ê t
<x-x, Xl> Si;
<lx, yi> + inf <a, yi;
o
aGC
- <Tx
yl>_
inf <a, yi>
11
0
aGC
iè
<x - X
'f *y 1 - Xl>
~
0'
0
pour tout
x 6 E
T
désigne la transposé~ d~
T.
On a donc
Xl = T *yi
d 1 oC~
(
*
T yi
si
inf <ail yi>
est fini
C
aGC
r (x ' yi) =
o
Ex~mple 2~!...
L o sinon.
Soi t
f :
E - - > IR u: +co }
Gr(r) = e pi f
(
inf
<y, yi>
si
x S dom r
y(x, yi) ~) y6r(x)
L_ +co
sinon
... / ...

---

- 19 -
Jorn r= {x 6 E
/
f(x) < +oo}
= dom f
soit
x ~.. clom f
on a
in f <y, yi> =
inf y' (f{x) + (3 ) = yi f(x) + i nf Y'(3
y6r(x)
S~a
a~')
Vi
.,
f(x)
si
y' ~ 0
=
-00
si
y' < 0
donc
~ af(x) si a ~ 0 e't s,; x 6 dom f
y(x, a ) =
_00
si a < (J
et si
x €
dOf'1
f
x 6 E, a 6' IR
,
+00
si
x ~ dom f
L
0:1
a donc
,-
r
a(af) (x
\\
o )
si ex ~ 0
et si
X
6 dom f
o
C
i
r (xc' a) =
/l ~
si a < 0
ou si
x
~ dom f
0
Sait
Y
E IR
o '
te 1 que
~
y o
J
si·
o
a(af)
a}
"
r *
(Cl) &:
xo'Yo
L ~
si
Cl < 0
R~marque 4.1. :
~i
j
est und application de
E
dans
m conèave
et soit
Gr(r)
1 'hypoaraphe de
g, on prendrait alors une
orientaticn superieure pour
r .
... / ...

---

- 20 -
CHAPITRE II
Q
~!_:_g~~~-~_E!2~!~~--i-~1)
Le f)roblàn'e' ( ~). s'écrit
(~ )minimiser fex,y)
i (x,y) 6 Gi(r)
si
r
est à graphe convexe et si
f
est convexe sei propre et admet une minorante
affine contime, on obtient des conditions n&:~ssaircs et suffisantes JX'ur qu'un
.
..J
poin~ ,~onn8 de Gr(r) soit solution de C)1) en prenant 9 = f , X = ExF,
C = E x F
, C
1
z = Gr(r) et p = 2 dans le théorème suivant
Théorème
(cf
.3. Laurent
DO]
page 387 - théqr~e 6-9-6)
Soit
X un elcs de dual topologique Xf
Soient
C1'·· ... , C
des convexes fermés d'intérieur non vide de
X,
p_1
p
Cp
un r'')JWexe fenné non vide de
X - On pose
D
= n C.
on suPJX>se que
p-1
. 1
1
1=
(; (1 ~i) nCp t: ~
1=1
Soit
X -~ R
une application conVE'..xe sci propre admettant une
Hl!)J
mino:ante affine centinJe et soit
Ce = [X 6 X /
*ex) <
où
a 6 X. On c:untV\\se
C
-~Yt'~
0 t: ~
• On a
~(a) = min ~(xr si et seUlement si il existe
x€D
. Yo'Y1' .•..... , y
6 X'
tels que :
p
i=1,
,p
., Ï y. = 0
i=O
1
.../ ...

---

- 21 -
Cependant la conditiori
C ~ ~
entraîne que
f
n' ést pas minimum sur
E x F
.
0
en un poiritde
Gr(r).
On pourrait égalanent étudier la condition
0 E a~ +tS(. /Gr(r)V
(X,y).
et donner des hypothèses pour que
en appliquant par exanple la proposition
O~2~··
C'est ainsi que
J. Aubin [1]
aborde de tels· problèmes, mais avec le sous-
différentiel au sens de Clarke.
Proposition à-2
(cf [13] corollaire 1 page 345)
Soient
f
et
f
deux fonctions convexes finies au point
x E E.
1
2
f 1 : E
;» R
f 2 : E
> 1R.
On suppose qu'il existe
xE E tel que f (X) < +00 et f
est borné inférieu-
1
2
ranent sur un voisinage de
x. On a alors
-----------------------
Rappelons aussi l'énoncé suivant qui sera sOlNent utilisé dans les paragraphes
ultérieures :
PrOEosition (0-2)'
(cf [13] corollaire _1 page 348)
Soient
g
F --;» lR
une fonction convexe
A
E--;»F
une application linéaire continue
On suppose que
g
est fini en Ax , x E E et qu'il existe
x E E tel que g
soit borné inférieurement· dans un voisinage de
AX
.../ ...

---

- 22 -
On a alors
9 (goA) (x)
= A* ag ~(X)]
où A:O",
désigne la transposée de A.
Problème dual (0~ *
)_d_e_.....;(~0;) relativ~ent à une famille de perturbations
Soit la famille de perturbations définie par la fonction
~(x,y,p,q) = f(x+l:',y+q)
+
15((x,y) / Gr(r))
sur
Ex F.x 1; x F
à valeurs dans R
: minimiser
~(x,y,o,O)
) x E E
1 y E F
,
est apnel~e fonction de perturbation de
les perturbations.
r
sup
""'*(O,O,p' ,4' il
p' E E' L
J
q' E F'
OÙ
Q ~
fonction conjuguée de
0
est· définie par
~" (x' ,y' ,pl ,q')
=
sup
lX'X' > + <y~y'>
+
<p,p'>
+ <q,q'> - .(x,y,p,q)]
x,p EE
y,q EF
x' ,pl E E'
;
y' ,q' E F'
On dit que le problème
(~) est stable si ah(O,O)!: Q où h e~t la fonc-
tion définie sur
E x F par
.../ ...

---

- 23 -
h(p,q)
= inf Q (x, y,p,q)
" x €
E
y€F
q;)
On montre dans [8]
ou
~6 ] que le problème (
est stable si et
~eulement si inf ( 9 ) =
1
max
~.~€ lR
et "c ~r adn1et au ~oins une" solu~ion.
détermm.ons
0 ~. On a
o~ (x' ,y' ,p' ,q')
= sup
<x,x'> + <y,y'> + <p,p'> + <q,q'> -
f(x+p,y+q)
x,p €
E
y,q 6 F
y€
r'(x)
rosons
r
= x + P
et
s = y + q
on a
o· (x' ,y' ,p' ,q')
= SUr'
<x,x' > + <y, y' > + <T-X,p'> + <s-y,q' > -
f (r ,s)
X,T 6 E
y,s 6 F
yS r(x)
,"
,"
= sup
LX'x' ,p'> + <y,y'-q'> +
f~ (p' .q'~
X E E
ySr(x)
J
où
f'-
est la fonction conjuguée de
f.
Posons
(u' ,z')
= SUP
I<x,u'>-Y(X,Z')]
X E EL
u' E E~
,z' E F'
où.
y
est définie à la remarque
2-1.
Ona
.../ "..

---

- 24 -
0* (x' ,y' ,p' ,q') = f* (p' ,q') + :'è E["'X'-P'> - y(x,q'-y') ]
=
f'X
(p' ,q')
+
'Y'" (x' _pl ,Q' -y')
X
On déduit que
(~~) s'écrit
[Y~
SUP
(-p' ,q')
-
f'Jy' (p' ,q,)].
p,- €
E'
L
q' e F'
On obtient alors
Théorème '-2 :
Les assertions
(a,)
et
(b,)
suivantes sont équivalentes
1 . (X, Y)
est solution de .
(~~)
1
~ (p' ,q' ) est solution de
,
(U~)
L
-0
-':))j(
0,
et Pl.in 9, = max
e :IR
... "":!
--
~
(p' ,q')
e af (X;y )
j
\\
(-p' )
e r C (X,q' )
!
)
;;
\\
q'
E K x (r Ci) ,Y)
i - @
y
rCi)
L
----------~---------------~--
Preuve
(a,)
signifie
o(X, y,O,O)
= ~* (O,O,p' ,q' )
et la valeur commune est un rsel

---

- 25 -
i.e
(f(i,y )
= -y~ (-p' ,'l' )
x
-
f'lle (Ji' ,"Cl' )
\\
(1 )
1
-1-
t:::':"l
(yEr"x)
'-
d'après la définition de la conjugute d'une fonction, on a
- y:t (-p' ,q' ) ~ y(x,q') + <x,p' >
rour tout x
E E
X
et
<x,p'>
+
<y,q'>
~ f(x,y) + f>~ (p',q' )
pour tout
x E E et
y E F
-
en prenant
x = x et y = y
(1)
s'ecrit:
- y*
(-p' ,q')
x
LYE r(X )
toutes les inép'alités dans
(2)
sont donc des éga1it~s.
(1)
s'écrit donc
c x, p' > +
<y,q' > = f(X,y)
+
f*.(p' ,q')
(3)
y(X,q')
= <y,q' > ,y S r(X)
(4)
y(X,q' )
= <x~-p' >
(S)
o • • /
• • •

---

- 26 -
Or
(3)
signifie
(4)
éQUivaut i'i
q' S K)f(r(i),y) ,
y E r(x)
et
Ce (lUi achève la preuve.
Ranaraue 1-2
, Enonçons le critère de stabilité suivant
(cf Ekeland et Tanaro [8] ou
D.S. Thiam [1(~1) :
Crit~re de stabilité
<)
Si
~ est convexe, inf ~1 E:IR
et s'il existe
(xo'Yo) E E x F
tel Olle
(p,q) --~ ~(xo,yo,p,q) soit finie et centime en
(0,0)
alors
( 9 )
est stn.ble
1
---------------p~---------
d'oil. le crit~re de stabilité suivant pour
Proposition
1-2
On suppose
f
convexe,
Gr(r)
convexe, inf 0~ > -co et il existe un
T'Oint
(xo'Yo) E Gr(r)
en leroel
f
est finie et continue
alors
(~) est stable
.
,
---------------------------
.../ ...

---

- 27 -
en 'effet
~
est convexe
c'est une composition d'une application liné'aire et
d'une fonction corwexe.
et donc
(p,q) --~ ~(xo,yo,p,q)
est finie et continue en
(0,0).
,.......
(0~)
est donc stable.
Rappelons
Soit
X un espa.ce tonnelé et
f ; X->Rune fonction convexe sci
propre alors
f
est continue à l'intérieur de son domaine effectif.
Il suffirait alors de n.<rendre
(x
y)
da,ns
0' 0
Gr(r) n Int(dom f)
,
en particulier un espace nonné est tonnelé.
Renarque 2- 2
La fonction de perturbation
Q1(x,y,P,q)
= f(x,y) + ô (x-p,y-q) / Gr(r)
conduit au même problème dual reur
--------------------------
en effet
~{ (x', y' ,p' ,q') = sup
I<X'X' /' + <y,y'> + <p,p' /' + (q,q'> - f(X,Y]
x,p€
E'
v,Q6 F
l''~T' .-."" n-, (~_.".. .....
\\..J
,~-
"
_._
.../ ...

---

- 28 -
}X'sons
r = x - p
et
5 = y - q
on a
~1
(x' ,y' ,p' ,q')
= sup
<x,x'> + <y,y'> + <x-r,p'> + <y-s,q'> -fCx,y)
x,rÈ E
y,sE F
sEr(r)
-*
= f (x'+p' ,y'+q') + sup '<-r,p'>
,
.
- <s ql>
sEr'Cr)
sE F
rE E
=
ë(x'~p',y'+q') + ~ E [<r'-P >- YCr,q,)]
On a donc
~:f (x', y' ,p' ,q') = f* (x'+p' ,y'+q') + Y! (-p', q' )
x
et
~t (O,O,p' ,q') = f '* (p' ,q' ) + y* C-p' ,q')
x
On obtient donc le mÊme problème dual pJUr
Avec cette fonction de perturbation, on a le critère de stabilité suivant pour
C g~) :
Proposition 2-2 :
On suppose que
f
est COIwexe, Gr (r)
convexe,
dan f IlInt(Gr(r)) ,,~
et
inf
(~) >-00
alors
(01;) est stable.
.../ ...

---

- 29 -
Preuve
~1
est convexe
c'est une camoosition d'une application linéaire et
d'une fonction convexe.
Soit
(xo'Yo) €
dam f n Int(Gr(r)).
-<Xl
< inf CjJl ~ f(xo,Y(J
< +00
donc
inf 0)1 € R
de plus il existe un voisinage V de,'..
(0,0) 6 E x F tel que pour tout
La fonction
(D,q) -----!;> ~1 (xo' Yc,p,q) est donc constante sur V et égale à
f(xo'Yo) € R.
elle est donc finie et continue en
(0,0)-
(8;) est alors stable - CQFD.
Le théorème
1-2 peut donc s'écrire
Corollaire 1-2 :
1°) Si on a les hypothèses de la proposition 1-2 ou de la proposition 2-~
et si (X,y)
est solution de
C~~) alors
" il existe x' € E'
,
y' € F'
tels que
ilx•,y' ) € aflx,y )nK'" (Gr(r) ,lx,Y))
î! - (Ç
\\. y6 r lX )
2°) réciproquement: si les conditions
(Cl) sont réalisées alors (X,y)
(\\)
Q
eS solution de
(~1)
et
(Jl)
est stable
.../ ...

---

- 30 -
Les conditions
(C,)
(ou (b,))
obternes sont la traduction de la relation d' ex-
trénalité
~ (x,y,O,O)- _. ~t (O,O,p' ,q') entre
, .,
... / ...
_
f
-
..

---

- 31 -
.
G)
§2 - ~~~~_1~__ 1_~2)
(j),/:
(J
erOb!~~~_~~~!__l_J 2)__g~__1_~ 2) !~!~!!y~~~!_~-~~_!~!!!~-g~~~!-
turbations
Le théorème 6-9-6
de [10]
cité dans le paragraphe précé-dent, ne
pennet pas de caractériser les solutions de
( ~;).
(minimiser
f(x,y)
, y 6 r(x)
1
Lx fixé dans E
ConsidiSrons la famille de perturbations définie par la fonction
~2 (y,p,q)
=
f(x,y)
+
15((x-p,y-q) / Gr(r))
y 6 F ,p 6 E, q 6 F
la conjugupe
de «:>2
est
---,
,-
~r
i
(y' ,p' ,q')
=
sup
i <y~y'> + <p,p'> + <q,q'> - f(x,y) i
y,qSF L
.-J
peE
(y-q)6r(:x-p)
en faisant le changement de variable
r
= x - p
et
s
=
y - q
Ona
o • • /
• • •

---

- 32 -
~r (y' ,p' ,q') = sur
<y,y'>
+
<x-r~p'> + .. <y-s, q'>
-
f(x,y)
y,sE F
rEE
sEr(r)
si
f*
(x,.)
désigne la conjugu~e de
f(x,.)
y
Ona
(y' ,p' ,q')
= flll (x,y'+q') + <x,p'> + sup tr,-p'> - <s,q" ]
Y
ser{r)
rEE
sEF
d'où
",* ('
,
')
'"'2
Y ,p ,q
=
fi (x,y'+p') + <x,p'> + y; (-p' ,q')
'-"Jk
On en d~duit la défjDition de
{\\ 2 )
~f~
sup
(x a')
L
-
<x,p'>
y
,-
p' E E'
q' E F'
On a alors
Th60rène 2-2 :
Les assertions
(ai)
et
(hZ)
suivantes sont éqtivalentes
Q
a
y
est solution d.e
(J 2)
."
2
t
(x' ,y')
est solution de
(q~)
,r
et min
2 = rnaxcj2*1 E R
.../ ...

---

- 33 -
(-x' )
c·
-
E
r (x,y' )
y' S K* (r(x),y)
y fi r(x)
~--------------~~----------
Preuve:
(a z) s'écrit
\\ f (x,YJ
= - r: (x,y' ) - <x,x'> ,x"k(-x' ,y')
(1 )
LYS r(x)
mais d'après la définition de la conjuvuée d'une fonction, on a
-y~(-x',y') ~.=S y(u,y') +' <u,x'>
X
nour tout
u fi E
et
<y,y'> ,f(x,y) + f
(x,y')
y
pour tout
y fi F
en prenant u = x
et y = y
(1)
s'écrit
«Y'Y'> ,f(x,y:> + f;;orx,y') = <x,x'> -y; (..x' ,y')
(2){ <X,-x>
-y: (-x' ,y') ~ y(x,y') ~ <y,y'>
\\. y fi r (x)
toutes les inégalités dans· (Z)
sont donc des égalités
(1)
s'écrit donc
= f(x,y) + ft (x,y')
(3)
,yS r(x)
(~)
= <x,-x'>
(5)
... / ...

---

- 34 -
Or
(3)
signifie
l' E ay f (x,Y) \\
(4)
équivaut à
-y' E *
K
(r(x) -
,y) ..-
~ y ~r(x)..
(S)
s'écrit
(-x') E
r'=(x,y')
C Q F D
Renar~e 3-2
si
f(x,y) = g(y)
posons
a (x) -
inf g (y)
y Er(x)
/?~-
la solution
(X', y' )
de
(:1 2) vérifie
;".'
en effet l'ensemble des solutions de
ah
8~) est
~1:O,O) où
h(pq)
= inf ~2(Y,P,q)
yEF
Proposition 3-2
. (critère de stabilité de
(~2))
S'il existe
y
8 F
tel llUe
(x~y) E dan f (l Tnt
o
.
o ·
si
f
est convexe,
Gr(r)
convexe
et
inf (g2)
>-'Xl
alors
fi?2) est stable
------'''''l''----~.:--"'''':-.~--------:-.
la preuve est identique à celle de la proposition 2-2 avec
~2 (y,p,q)
=f(x,y)
+
1S((X-p,Y"'cO:/ Gr(r))
.
Remarque 4-2
", ;
, '
La fam.ille de perturbations définie par la .fonction
".,,,.'
:
.
" ,
~4 (y,p,q)
=
f(x,y+q)
+
1S((x-p,y) j Gr(r))
)'9qG F
PEE
.../ ...

---

- 35 -
conduit au mâne problème dual
(q~
(nous réservons la notation
03
pour l'étude de
en effet
lPt (y' ,p' ,q') = sup
[<y,y,>
+
<q,q'> + <p,p'>
- f(x;y+q) ]
yEr-(x-p)
q,yE F
PEE
en faisant le changement de variable
r = x - p
s = y + q
On obtient
~
~4' (y' ,p' ,q')
= sup
[<y,y,>
+
<s-y,q'>
+ <x-r,p'>
- f(X'S~
yEr (r)
y,sE F
r E E
= Ç'(x,q') + <x,p'> + sup f::r,-p'>
-
Y(X,ql_y ]
r SEL
= f; (x,q') +
<x,p'>
+ yt(-p' ,q'-y')
et donc
ft':: (D,p' ,q') = ~f· (O,p' ,q')
= f; (x, q' ) + <x,p' > + y': (-p' ,q')
C Q F D
On en déduit le critère de stabilité suivant pour
PDnosition 4-2 :
/")
On sunpose
f
convexe,
Gr(r)
convexe et
lnf
(j 2) >_co
5'il existe
Ya E F
tel QUe
f(x,.)
finie et continue en
Yo
et
.../ ...

---

- 36 -
si
x S Tnt [rCyo) J
avec
r (Yo)
=
{z S E / .Yo ~ r(z))
Alors
( ~) est stable
Preuve
-(Xl
<
ER
donc
~4
est convexe
c'est la composition d'une fonction convexe et d'une applica-
tion lint:aire.
De plus il existe un voisina~e U de
0 S E tel que pour tout
p 6 U ,
(x-p) S r (y )
o
est é~al€ à la fonction
(p,q) ----il> f(x,yo+q)
sur
U x F
elle est donc finie et continue en
(0,0)-
(~) est donc stable.
Le théorème 2-2
s'écrit alors
Corollaire 2-2
1°) Sous les hrrothèses de la proncsition 3-2 ou de la proposition 4-2
Si Y est solution de
( 0;)
alors
il existe
x' S E'
, y' 6 Fi
tels ~e
y' S
ayf(x,y)nK*(r(x),y)
-
c -
(-x') E r (x,y')
y S r (x)
.../ ...

---

- 37 -
ZO) réciproGUenent : si les conditions
(CZ) sent réalisées alors
y
est solution de
(~) et (pz) est stable··
"r'"
. . .1. ..

---

- 38 -
~
/
~~_:_~~g~_2~__!__ 3)
rrQgl~~_~~!__i_~__Q~__!_~)__!~!~!!Y~~~!
~_~~_f~!11~_g~_~!~!Q~!!2g~ :
, .(\\)
(
minimiser . f (x, y)
le problème
( j 3):
,
y Er (x)
\\
y fixé dans
F
l
n
peut être ecrit sous la fonne de
('j 2)
avec la mu1 tiaT'T'lication A de praphe
J
,Gr(A) ,=
L(Y'X) El F x E /
(x,y) El Gr(r)
Cerendant certains T'rob1~es (cf exemple 1 chanitre 3)
sont T'lus faciles R trait0r
rW .
sous la forme de
~ 3).
On considère la famille de nerturbations définie ror la fonction
~3(x,P,q) = f(x,y)
+
15((x-p,y-q) / Gr(r))
xEE,
pEE,
qEF
Ona
~~(x' p' q')
3
, . ,
=
SUT'
<x,x ' > + <p,p'> + <q,q'> - f(x,y)
xE E
pEE
x' ,p' E E'
qE F
(y-q)Er (x-p)
q' E F'
en faisant le chanp-anent de vari.ab1e
r = x - p
s = y - Cl.
on a
~*
3 (x' p'
,.., q')
=
sun
[
<x,x'> + <x-r,p'> + '<y-s,q'> - f(X'Y)]
s Èr (r)
r,x E E
s E F
f:
=
(x'tp' ,y)
+ <y,Cl'>
+ SUT'
rr,-p:>.,-
<s,q'> ]
sSr (r)
.
r E E
s E F
.../ ...

---

- 39 -
= <~'(x'+J",y) + <y,q'> + yx.Jf:(-P',q')
/ Î .~
C)~) s'écrit donc
sur
- f* (n' y)
x
,.,
- y/C-P',q·) J
p' E El [
q' E F'
on a a.lors :
Théorème 3-2 :
Les assertions
(a )
et
b )
suivantes sont équivalentes
3
3
-
o
x
est solution de
d 3)
(:;; _
~j;:;J....
,-x' ,y')
~st solu~i;n de (
3)
et
minJ 3 = max:) 3>tEl:R
x' (; Ô f(X,y)
x
(-Xl) E rC(X;y')
y' El K*' ( r (X) ,y)
y El r(X)
Preuve
(FJ. )
signifie
3
j f(x,y) = - f:(XI,y)
-(1 )
Ly 6 r(X)
.../ ...

---

- 40 -
et
' : (-x' ,yt)
~ y(x,y') + <x ,x' >
~r tout
xE E
en faisant
x = x
(1)
st écrit
(2)
-<y,y' >
- y: (-x' ,y')~ - <y~y'> + y (X,y' )
+ <x,x'>
1-<y,y'> + y(x,y') + <x,x'> ~ -<y,y'> + <y,y'> + <x,x'>
\\
y Er(x)
"-
<,
toutes les inégalitps dans
(2)
sont donc des égalités et
(1) s'écrit alors
<x,x'>
= f(X,y) + ft (X' ,y)
y(i,y')
= <y,y'>
Y E
rex)
yex,y') + yt (-x' ;y' ) = <x, -x' >
"
-c Q FD
Proposition 5-2
(
"...
d
h"l" ..
cr1teree sta 1 1te
0
t'our,) 3)
S'il existe
x
E Etel 0Je
(xc'Y) fi dan fnlnt(Gr(r) )
c
si
f
est convexe,
Gr(r)
convexe
et
inf
E/ ) >-00
3
alors
~3) est stable
la nreuve est la mÊme que 119ur la pronosition 2-2
mais
~vec
~3 (x,p,q)
= f(x,y) + ô((x~p,y-q) / Gr(r) )
.../ ...'.

---

- 41
Renarque 5-2 :
La fonction de perturhations
~5(X,P,q) = f(x+p,y)
+
<5((x,y-q) / Gr(r))
x,p E E ; q E F
conduit au même nroblème dual
en effet
"*
~5 (x',p',q')
=
sun
<x,X'> + <p,p'> + <q,q'> - f(X+P,Yl]
x,p E E
x' ~p' E E'
q E F
a' E F'
(y-q) Er (x)
On fait le chammnent de
variahle
r
= X + P
s = y - q
on a
~(,
, ,)
~5
x ,p ,q
+ 'V~x'-p' q')
'x
- ,.
C Q F D
d'où le critère de stabilité suivant:
Prooosition 6-2
On sup"!X)se
~ convexe et
Gr (r)
convexe
s'il existe
X
E Etel 0Ue
f(.~y)
soit finie et continue en
et si
o
Xo
/1
yElnt(r(xo)) et i.nf (j3) >-c:>
alors
(~3) est stable
-- ... - .... -
On nrocpde comme pour la ~rorosition4-2 avec
~5
d~finie à la r~2r~e 5-2
Le thi?orème
3-2
reut donc s' 6crirc :
o • • /
• • •

---

- 42 -
Corollaire 3-2
1°) Si les hypothèses de la prorosition 5-2 ou. de la proposition 6-2
sont réal isées
Soit
i
une solution de
(5~), alors
Il existe xt € Et
yi 6 Ft
telsque
x 6 a
f(X,y)
x
(Xt) 6 r c (X, y)
y' 6 K~ (r Ci) ,y)
y E rCi)
2°) réciproquement: si les conditions
(C ). sont réalisées,-alors
3
1-:)
...-"
x
est solution de
(j 3) et (j~) est stable "
-----------.----------
la fonction
~ (x)
= inf f(x, y)
si
x 6 dom r
y6r (x)
= +co
sinon
est appelée fonction de perfonnance du pr0blème
i?2)'
Voici <1Uelques propri~tés tonologiCjUes pœr ;cette fonction de nerfonnance.
Proposition 7-2
a) si
r est scs en
X
E dom r
et s i f
est ~ci
alors
~
~st sei
o
b) si
f
est scs
et
si r
est sci en
X
Edam r
o
alors
Q est scs en
Xo

---

- 43 -
Preuve
Montrons (b) :
Ceci résulte du théorème 1 page 122
C. Berge
@] •
t
en effet
~(x) = - sup
f(x,y)/ y G f(XD
et
x - > - f(x,y)
est
sei
r
est sei
en
Xc
On a done
x-~-~ (x)
est sei en
X o
ie
~
est ses en
Xc
Montrons
(a):
Soit
e>O
et soit
X
S E, pour tout Yo S r(x )
o
o
on a
f (xo' Yo) ~ 41 (xo)
Crnnne
f
est
sei, i l existe des voisinages
U(x )
et
V(Yo)
tels que pour tout
o
(x,y) S U(x ) x V(y)
on ait
o
0
f(x,y) ~ f(xc'yo) - e: ~ ~(x()) - e
mais
r+ (V(Yo))
est un v()isinage de
X
ear
r est ses en X
(ef [4] théo-
o
o
rème 2 pa~e
115).
Done i l existe
lI' (x )
lm voisinage de Xc tel que si x S Ui (x )
alors
o
o
.. rfx) r. v(y).
'-t.
()
ySr(x)
pour tout
x 6 U" (x )
,
"
0
done
~
est sei en
xo
.../ ...

---

- 44 -
Corollaire 4-2 :
On ranœlle rue
y(x,y')
= inf <y,y'> si x 6 dom r
= +ao
sinon
On a
(i)
si
r est scs en Xo 6 dom r alors y(.,y') est sci en Xo
(ii)
si
r est sci en Xo 6 dam r alors y(.,y') est scs en Xc
Ce corollaire r~sulte aussi des théorèmes
11-20 et
11-21
pages
51 et S2
C. Castaing et M. Valadier [5 ]
o • • /
• • •

---

---

- 45 -
CHAPITRE
3
AP PLI CAT ION S
1.3 - KUHN
ET
TUCKER
EN
DIMENS1..:JJL .IJ.lF11HE
Soient
f, $.
.
, .i =1 ~ • • ., n ·e:t. .1/.1 k
das applications dêfinias sur
[
à v~leurs dans
m
Gn consid6re l~ probltme
(minimiser
f(x)
i =1 , . . ., n
k=l, ••• , m
avec les hypothèses suivant8s :
( a)
f,
Wk
sont convexes,
k = 1 , . . . , '"TI
$ ., es t lineaire et
Int(~i(E)) F 0
pc!ur
i = 1 , • • • , n
et
1/.I k
continue ~n
X
pour
k 6 {l, •.. , ~}
o
en pose
~ = (~l'···' ~ n )
et
1/.1
= (1/.11'···' 1/.Im)
L.es hypothèses habituelles pour le prob10me
sont de l a forme
(H).
... / ...

---

-
46 -
Proposition 1.1.3 :
On suppose les hyrothèses
(H)
réalisi2es
et s(lit
x
une solution Û~
@) alors
-,
il existe
X' 6 [1
0
- 1
6 IR rr;
,
y
3
,
Y
et
I" 6 IR n
tel que
(C~l))
<ep(x), À> + <tjJ(x), -1
<x
x,
- 1
Y > ~
-
-x >
pour tout
x 6 E
Xl 6 af (x)
<~(x), yi> = 0
cp (x)
= 0 ,
tjJ(x) ~ a
2°)
Réciproquement: si les conditions
C~l) sont r0alisées
alors
x
est solution de
(~ et (~ est stable.
les conditions .. ~C~)
restent les mêmes dans le cas
où les contraintes et l~s. .liaisons sont en nombres infîn1es
(cf la preuve).
... / ...

---

- 47 -
Corollaire 1.1.3
On suppose que
f, ~k' ~i
sont différentiables
pour
k €
{l, ••• ,mlet
i
€{1,
.. ~, n}
On a
1°) Sous les hypothese
(H),
si
X est solution de (ÇfJ) alors
i l existe
Bk > a
k = 1 , • . . . , m
Bk 6 Ii{
..
T. b lR
i = 1 , . ~ . . , n
,
Xl
6 El
t~ls que
n
(i )
fi (x) = -"L
i=l
( i i i )
i
= 1, ... , n
pour
k = 1, ... , m
2°)
si
(i), (ii)
et
(iii) sont rèalisèes alors
x
est
~.
solution <.Je
(1, et ~ est stàbre
Dans la proposition 1.1.3
les conditions . (C~)
sont les caractérisations usuelles pour l~ problème (~)
(cf R.T. Rockafellar
t=12J proposition
28.3
page
281) •
.../ ...

---

- 48 -
Dans les Banachs l'hypothl;s~~
l I~ :-
" "
réalisée
car les applications lin~~~res continues sont alors
ouvertes.
Nous proposons en applic~~i2~ des résultats du chapitre 2
la preuve suivante où
E
est un
c.l.c.s.
Preuve Proposition 1.1.3. :
Posons
$ = ($1'·····, \\IJ '" ;
<1>
= ( <1> 1 ' . · . . . , <1> ~, ~l
H
f
'i
= 1
r(x) =)
.l. t
• • • • ,
nl
(y, z) E IR m xIR n /
<l>i (x)
= '~i
~ ,II,
$k(x)
.,
!~ == 1 t •••• , mJ
~
"
L
\\
"
où
x E E
z =
( z 1
Z
..
1
C r"
t
• • • • ,
n'
\\
Y =
(y 1 ' •••• • Ym) E m:·1
.li \\
Le problème
(p)
s'écrit
-minimiser
f(x:
o E r(x)
(~ est donc de la forme (iR).
... / ...

---

-
- 49 -
Déterminons la fonction
,.
y
'.
y( x , - yi, À) =
i nf Gy, yi> + <Z ,À>]
À
6 ]Rf':
(y,z)6f(x)
nI'
y ' 6 !R"
x6'C:cnf
= <~(x), À> + <W(x), yi>
+
I I I >
...
ye l"':"
.li ••:.
Remarquons que
dom f = E
••
C
~
'.1
sont des
applications de
E
dans
m.
On a donc
i
<$(x),À> + <~(x),
si
yi
~ 0
y(x, yi,
À) =
)
sinon
l
x E E
yi
6 mm
À e mn
On a aussi
Gr(r)
= {(x, y, z) 6 E x mm x mn !
\\ ,
i
z)
~ ../ 1
e f(x)}
=
[épiW] x $(E)
avec
épiw = {(x, y) € E x mm
1 ~l ! " " ~ Il}
~'. ,,, l
,J'
~ ( E) .= {$ ( x) e mn /
x e E }
Si
west convexe et
~
linéair~ ~lors
Gr(f)
est convexe.
'P"a'r -etéf in i t i on on a : pour tout
Xc: G :: e';: À €
:IR n
... / ...

---

- 50 -
si
y'
~ 0
pour tout
x €
E
c
si
yi
~ 0
r (x ' y', A) = li'
O
Traduisons maintenant la condition
J(Y"
À) e K*(r(x), 0)
L 0 e r(x)
On a
y(x, y', A)
=
0
i e
<cj>(x),A> + <ljJ(x) , y'>. 0
mais
0 €
r(x)
donc
cj> (X)
=
0
on a donc
<l/J (x), y' > .- 0
C'C
,.1 ~ 0
/""\\
la condition
(y',
A) €
K*(r!~;, 0)
i0 € r(x)
,...
-
s'écrit donc
Jcj>(x) ~ 0
"
<ljJ(x) , yi> = :J
\\
yi
~ 0
L
les conditions
du corollair2
s'écrivent donc
.... / ...

---

- 51 -
-il existe
et r e IR n
tel que
pOU r
t 0 U -:;
x €
::
<l/J(X), y'>
= 0
li> (x) = 0
l/J(x) ~ 0
Il reste à montrer qu'on ~ les hypoth~ses de la propo-
sition 5.2.
Gr(r)
= épj l/J
x Q(E:
et
Int épil/J ~ ~
d'après
"
r:, / '\\
r~
\\.
• .1
1
donc
Int (Gr(f)) r ~
et . CO!7i:_jt~
dom f
= E on a 1es" hypo';_::-:~s:~s cie 1a propos i t ion 5.2.
Remarquons que si le prob12;-,.c
CP)· ne présent~ pas les
liaisons
lI>i(x) = 0
i =1 , • • ., n
on ~cut reprendre les calculs
précédents avec
li> i
= O.
L ' hYpo';;:: (~ 5 ,'::
1nt 4> i ( E) 1 0
n'est
plus alors nécessaire et dans les con~itions nécessaires et suffi-
santes on fera
4>.
= 0
. i = 1, •.•. n.
Il en est de même pour les
l
l/J
si
k
le problème
(~ ) ne prés8n~c ~2S lss contraintes
'!Jk(x) ~ 0
k = l , . . . s m.
- . . ... ,.
.../ ...

---

- 52 -
Cas différentiable: (corollaire 1.~.3)
Si on suppose de plus que.:
~J
!D.
l
,
k' . l
sont différentiables
k = 1, .•• , Li
1 = 1 , ..• , ..')
on a
a f (x)
= {f 1 (x)}
soit
h(x)
= <li> ( x ) r>
1
+< l/J ( x ) ,
h
est différentiable et
, r
m
m --
a h (x) = ) ~
+2- Il 1
1
.,/
'F
k=l
k=l
'--
yi = (yJ t ••••• ; yi
..
r.1
Dlaprès la proposition 1.1.3.
pour tout
x e E
*
~~
ie
<x • X
Ij
t
1 (x)J
A + [l/J 1 (x)J
l7 1 .:. f 1 (x) > ~ 0
pour tout
x e E
m
<:;
-;::"1
i e
fi (x)
L
,. ~) 1 (x)
k=1
..
k
.. '.
.'
/ ...

---

- 53 -
les conditions
-.
__ 1
(
il existe
~
Y
0
k
1
=
:~i
Il
.... , ... ,
J
f,
e lR
k
"
I., e lR
i = 1, • • • • , ••
Xl
e El
tels
qli:':;
n
i.f
( i )
fi (x)
= - L À ~ \\ ex)
k
Z Y·I k lI<.(X) .~ : .-
1\\.
•
.
.~,
k=l
' ... .
-.. - -
.-.
m
( i i )
2- , y' l/I (x) :: 0
k
k=l
k
' .
. '.
,. - 1
~
( i i i )
4>1(X) = 0
~
,
• 'i.• .•
' .
l ~
l/I (x) ~. 0
pour
1·
~
,.. .. ~., ••• , rr:
k
Cela correspond aux conditions nécessaires et suffisantes
,usuelles· en. programmation différenti~~1e.
'.

---

- 54 -
2.3 -
APPL 1CATION
A
UN PROBLEME
r;ULT 1CR 1TERES
.
Soient
m applications
,C
1 .;
j
= 1• . . • , ln
J
f.
F -+llf
Soient;
ra. CF
,
J
i =.1 Ji •••• n
avec
Int
(n. ) ~ ~
et
soit
,
n
A cF
posons
ra
= ( Il n.)
, n A
i=l
Définition
.
1.2.3
X o est un optimum de Pareto faible s ' i l n'existe pas
de
x E ra
tel que
fi (x) < fi(x o}'
i :: 1• • • • • rn
Définition 2.2.3. .
Xo est un optimum de PareJ..:os 1 il n'existe pas :de
x E n
tel que
i = 1 •••••• m et il existe
j
e {l ••••• ml
tel que
La recherche d'un optimum pour les
m critères
f j • j = 1 •••.• m
est un p~oblène m~lticritères.
Il est difficile
en pratique d'avoir une solution qui optimise tous les critères.
On se contente alors d'un
x réalisable qui soit cependant satis-
faisant pour l'ensemble des critères: un optimum de Pareto permet
de réaliser cet équilibre.
Pour caractériser un optimu~ de Pareto faible. J. Aubin
dans
[1]
adopte la procédure suivante : soit
Xo 6 n
et soit
(p~)
inf f(x)
x 6 n
avec
f(x)
=
max
[ f i (x) - -( i {X o}]
i =1 •••• m
•• •.f •••

---

- 55 -
On pourrait de m€me
pour un optimu~ ~e Pareto 6o~sidér~r
i nf g{x)
{ x € n
on a :
Proposition 1.2.3 :
1
•
,.
1°)
X o est On optimum de Pareto faible si et seulement si Xo
C)
.. \\
:..,-
est solution du problème
( J 4) •
, .; ,
•• , 1
( ~)
,
2°)
si
X o est solution de
alors
Xo est un optimum
de
Pareto.
Preuve
Nous reprenons ci dessous 'pour le 1°)
la preuve de
J. Aubin
[1]
• Le même procédélPerme·~tra
de montrer le 2°).
1°)
On suppose que
X o est une solution de
(~) s'il existait
x e 0
tel que
pour tout
i
= 1..... m
alo.rs
ie
inf9 < a • Ceci cJntredit le "f~dt que
X
4
o
est solution de
(~).
... / ...

---

- 56 -
Réciproguement :
,
';
Supposons que
X o est un optimum de
Pareto faible et que
(q>4) •
Il existerait
x 6 Q
tel que
f(x) < f(x)
0
o
-
donc
. max
Cf i (x) - fi (Xo)J < a
l=l •••• m
ie
il existe
pour tout
i
= 1...... m
, •• ~
. '
1
ceci contredit le fait que
X o est un optimum de Pareto faible.
((;) ,
solution de
\\..J5}·
S'il existait
x €"
tel que
i :.: 1••••• fi
al 0 r s
. min
Ct i (x) :- f i (x)J < -0
i e
i nf
5 < a .
1=1 •••• m
Ce, qui con t r edit 1e fa i t que
x0
c's t sol ut ion de
( ~ ) •
Remargue 1. 2.3
,.
Si les
i • 1.; ..• m sont·convexes alorsf
est
l
convexe.
Si les
fi
sont continuQsen' x
alors
f
est continue
en
x .
------------------ .,- - -
. . .
~
.. ..
.../ ...

---

- 57 -
Proposition 2~t.3 :
n
On suppose que
n ~ nt {fL} () A ~ ~
i=l
1
et
A ,
SL
i
= 1
n
, .··,
sont convexes.
l
n
si
X e
(1 'L nA
, a lors
1=1
l
n
x,)
=
E
*
K,
'
{,Oi;i X) -:-
*
K (A, xJ
i =l'
Preuve :
si
i e A alors
K*(A, i) =
et donc
A, ai
i = l, •.• ,n étant convexes et
n
n Int 0, n A ~ ~
on a
(cf
propQs1tion 0.2)
i=l
1
n
E ,() 0ri ln , )
i = 1 . '
l
+ ~o(xIA)
n
=
E
* n
-x)
K {
"
* (A -x)
- K
,
CQFD
i=1
l
on en déduit :
Corollaire 1.2.3
Soient
J'"
;
= 1, ••• , n+1
~cs multiapplications à graphes
1
convexes tels q~e :
... / ...

---

- 58 -
_n
n+1
(fj)j
LOllnt (Gr
nGr(fnt!) "1 ~ soit ;'~~ yJ s n' Gr(f.)1
i-=l
* ["tl
), (x, Y~
n':"l
*
.
alors
K
n Gr(f
=
i:
K (Gr(f
i
i ), (x, y))
i=l
i::1
CARACTERISATION D'UN OPTIMUM DE PARETO FAIBLE.
.
,
Soie'nt
r.
• 1 ; '
,
= 1 -
1
n+ 1
.-
.. ...' ~ 'des multiapplications de E
1
n
dans
F • Posons
f(S) =
n f.(S)
. 1
1
1=
et
h(S, x)
=
f ( x) + 6 ( S, x) IG r (r n~I.·~ ) )
Soit alors le problème
(S~)
\\ i nf h(S, x)
,
,
( ~)
: ~
e r(S)
1 x
LS fixé dans' : E~
Remarque 2.2.3
o
On retrouve le problème
(~. l···
. \\"
.-
2°)
X
est solution de
(~) si ct seulement si
o
Xo est
n+1
minimum de Par(;to faiblE sur
fi r'i (S)
i=1
... / ...

---

- 59 -
Hypothèses :
a)
f.
:
,
F---->~
convexe
i = 1••••• m
(H 1)
b)
convexe
i
- 1
.
.:.
n+1
c)
il existe
i €F
tel ~~e
(S. x) dom h flInt Gr(f)
( 0 "
.' " , ' "
/ ]
Le problème
(~j6)
est de la ~or~e
(l.\\)
et les
"1
,..
(.J2'
•
1
hypothèses pbs4es sont l~s hypothèses cl e 1a pro p0 5'1 t i on' 3 • 2.
Le corollaire 2.2 sl~crit
Proposition 3.2.3. :
1°)
Sous les hypothèses
(Hl)
n+1
Si
X
n
o
est un minimum de Pareto faible sur
filS)
;=1
alors
existe
Xl €
ri, !I e FI
tels que
Xl e a
)
x h (S. xo
.
(C )
,
* (Gr(f). (S•
\\
(S'
x l' ) S"K
4
Xo}
X e
o
f(S)
2°)
Réciproquement: si les condi~ions
(C )
sont ~éa~isées alors
4
n+1
X est un m~nimum de Pareto 'faible sur
n fi(S)
i =1'
,
... / ...

---

- 60 -
d)
il existe
X
e
o
r n+1(S) tel que of.
, ,
finie et continue
(H2)
en
X
,
o
i = l , ... , m
.
Remarquons aussi que dans
(Hl), (C)
s'écrit:
i l existe
xe domf tel que (5, xieC01Int Gr(ri8nGr(rn+l)
La rro:'''sition' n~ 2. permet d'écrire
a h (S, x )
x
x
o
= af{x o) + ax ô{(S,
i
1 Gr (r r;l.t1))
o ;
= af{x )
K* (r +
)
o
n 1 )(s), xp
mais d1après le corollaire 1.2.3.
n
E
i=1
x' e ax h{S, xc) si et seulement,sin eX.iste
telsque
\\
i
.
-1
- 1
- 1
x
=
et
x: ' e
xl - x
rn~3.(S)
2
~ r '.
0
l
~
(S' , Xl)
*
X )
de même
e K (Gr(r), {S, . 0 ('
-,.
signifie qul;l existe
- 1
e El
e FI
S,
. y.
,
,
i = 1, .... , n
tels que
n
--,
n
.
avec
- ,
t-
'1"""'.
S
=
E v~
l.o
~
x . =
"'-1
,-
"
i +1 '" 1
lapropositi~n 3.2.3.
s'écrit donc
... / ...

---

- 61 -
Corollaire 2.2.3 :
. - ':
On suppose les hypothèses
(H:) ct (H2) réalisées.
:.:.. "
-
n+1
~o
est un minimum de Pareto ~aible sur
n r.(s)
;=1
1
si et sëulement on a :
(" il
-,
existe
X , -.
y~ 6 ,: ,
,
i
o -
1 , • • • ,
Yn+1
n
1
S! €
E' ,
i = l , . . . • n
tels que
1
x'
-,
e af(x )
~I
,
*
o
Yn+1 6 .'.
(r .1.1 (S ), xo)
(CS)
n·
y! e *
K
(r.{S), x
l
1
o )
r C
'
-
( -!, . )
-,
6
(xo"
i
= 1 , ... , n
.
1
1
Yi
..:..
n+1
x' = 1:
i=1
Rappelons que
f(x)
- . max
fi.(x)
f.(x )~-,'.,
i=1, •• ,m
-1
1
0 ~
Nous allons -donner t-otltez 18S hypothèses en
y ajoutant une
hypothèse qui permettra d'écrire
af(v 1
sous une forme faisant
.
\\ '" 0 1
intervenir
af . (x )
i = 1, ... , n.
.
1
0
Hypothèses
(H3)
1 )
fi
F----»JR
convexe, continue
i = 1, ... , n
(H3)
2)
Gr(r;)
convexe,
; = 1, ••• , n+l
-----------------
Les hypC"thèses
(H3 )entr<:. ;non-:: 1es hYPo,thèses
(Hl)
et
(H2). D'où:
... / ...

---

62 -
Théorème 1.2.3 :
On suppose les hypothèses
(H3)
réalisées.
..
.
Xo est un optimum de Pareto faible sur
si et seulement si on a
..
(' il existe
- 1
- 1
G FI
,
i
1, ..• fil
xi
=
y., e F 1 i = 1••.. , n+1
(
1
1
!~ e El
i = 1
a.
t • • • t
Il
,
SR
avec
,
m
1 = 1, •... ,m
1::
ai
= 1
;=1
tels que :
i
:: 1, .•.. , n
- 1
y., e *
K
(fi(S), x )
i :: l,.', .. , n+1
o
- 1
C
..
- 1 }
'
(-S.) 6. f.
(x o '
y.
i = 1,
n
,
,
,
;. • o' '.' J
m
n+1
n+l
- 1
ct
X
e
1::
a. -1
.1::
o
,
/l ri (S)
Xi
=
Yi
i=1
i=l
'=1
Remarque :
Les
B.,
sont appelés multiplications de Pareto.
------------~~-~--"
Preuve
Ai = {x E F / f i (x) < f i Cx a ) }
,n
Ji.
::
A. :: {x t F 1 f (X)' < 'f(x }
o
- 0
,
iD1
... / ...

---

- 63 -
A et
Ai
i = 1, ••• , m sont des convexes ouverts.
car
f
et
fi
i = 1, ••. , m sont convexes continues-
est donc le cône des déplacements intérieurs da
A.,
..~ '" "
à'partir de
x •
-ô
-'
o
(cf P. J. Laurent 1101
pages
'2
et
:10);,
.' ..
D'après proposition
6.9.1.
paoe 383
et
~fopositfon6.9.2
page
384
de
P. J.
Laurent
1101 •
On a
C"é(Ai' 'aD =
et
[ - K*(A, xoD
=
U af(x )
•
O,
À~o.·
mais d'après la proposition 2.2.3
et coMme
*
* ...;.
x ')
=
K ÇA., x')
K
(Ai'
,
o
0
*
* ...;.
K (A, x
=
K (A, x
o )
o )
m
on a
•
L
i=l
et
'X, e af(x
0,
o )
si et seulement si i l existe
À i ~
et
- 1
Xi e afi(x o )
i = 1
m
te15 que
I ..a . • • ,
m
'X'
- 1
=
L
À
X.
i =l' i
1
Mon t r 0 ns que 1e s .\\'
ne son t pas .~ 0 us nul s
1 i
si
À
pour tout
i = 1, .•• , Q
i = 0
alors
-,
X
= 0
et avt:c la condition
'(C'5)
du corollaire 2.'2.3
-,
n+1
x
=
E
- ,
t-
y. = ..
,
avec
• • . 1.•.
i=1

---

-
- 64 -
-
' .
On en déduit d1après le lemme de
DuboVitskii-Milyutin
Icf' ·M. Millami
llll
page
4721
:
Mais cela contredit
[.n K (Int(f;(5)), 'o0fl K (l'n+1(5), '0) = ~ •
1=1
]
1 1 hYpot hè s e (3)
de
( H3 ). Enef f (;! t :
'5,0 i t
x e[[1 1nt (ri ( 5 ) )J n r n+1(S )
i=1
À.
Soit alors
IL
=
1
'. On a
1
m
L À.
i =1 1
:x•.: ~:. :
m
L
IL = 1
i=1
1
n-:-1
dans
(Cs), la condition
- 1
x
=
L
y~
;-::'1
l
n+1
slécrit
L
'\\
- 1
1\\
y.
ou
1
À =-.....;;;..--
1=1
1
n
t'
À.
'''1
1=
1
ce qUi. permet d léc"irc (C )
sous
5
la.. -:=orme (~:6)
CQFD
•
•
•
/
•
.!II
,.

---

- 65 -
Cas particulier de
('.
)
1.,-
On a
r. (s)
=
Q',
i = 1, ••• 0' n
1
1
r·· . (5)=
A
pour tout
S e E
n+1
c
la condition
(-Si) e
( 5, -1 )
s'écrit
ri
y.1
- 1
<x
<t
$,
~~> ..
- Xo' y.> ::.
1
- i
pour
t e E
et
x e ri (t)
pour tout
t S'E;'P}'cnons
x = xo
on a
<t - 5
s'. > ~ 0
pour tout
t 's E
donc
s~
= 0
1
l.
,
Proposition 4.2.3.
On suppose
f .
F ->1R
convexe; continue
1
i = 1, ... , m
A et
Q.
(·i = 1 , ••. t -n)·
COl1v<=xes et
1
0
( .n lot Qi) nA
f ~
on a
1=1
,
1
Xo est un minimum de Pareto faible ~ur .Q si et seulement si les
conditions suivantes sont réalisées.
...'/ ...
'

---

- 66
-,
; 1 existe
e F'
xi
i
=1, •••• , m
. '. ......._.. ::J.
-, e F'
Yi
13.,., elR •
i
= 1., ...... , m
m
avec
l
13· = 1
,
tf;ls que
i=l
,
i
= 1, ..•.•• m
* (A
xo)
Yn+1 e K
,
- ,
y. 6
*
K
(n. t x )
i.
,
, o
= 1••..• ."•. Il
, ,
m
,
n+1
. l
.; 13 • x.
=
l
y.
i ..l
'
1
1-1
1
'.
.
' :
. -. ,..-
."- - - -
X
e n
o
'---*--~----------~'---~~
..
~
",
... ",..
.
Remarque 3.2.3. :
Dans la preuve du théorème 1.2.3. nous remarquons que les
'.
s'écrivent:
il existe
x~ e K*(A i J • X0 )'
, ~i c'; î~·.;'·~ J' m
non tous nuls
et
*
K
UL, x )
1
0
*
.
\\
i = 1~ •..• n
K (At xo)
n+1
m _,
tels que
L
y~ +
L
x_j :: ,0
1
i=l
i=1
C'est sous cette forme que les cond'itions nécessaires et suffisantes
sont présentées dans
M. Minami 111\\ •
Ces conditions sont obtenues
par l'optimisation Via les cônes de déplacements.
." .. / . ....

---

~---
- - - - -
- 67 -
Nous avons ici, suivant un procéd&utilis~ par
J. P. Aubin 111 ,
...... ; ,
écrit un problème multicr1tères sous la forme d'un problème de
minimisation où la contrainte est définie par une multiapplication.
CONDITIONS SUFFISANTES DI EXISTENCE DI UN r/1Ifw:1U!,j DE PARETO
Nous faisons les hypothèses sui~antes
(H3)
(2
et
3)
f. :
F------>~
continue
i = 1, ••• nI
1
est convexe
Théorème 2.2.3~
...
'! •.
Sous 1es hypothèses (H4)~ ~t les cbri~iti6ns (Cg) sont réali-
n+1
sées alors
X
est un
o
0 pt -j mu m de Par e Je 0
sur
n r i (S) •
i=l
-,
i l exi ste
x
y~ e FI
,
-~
i :: J., .• • ., n+1
!~, e E'
;
= 1 ,.•••• ,. n'
m
il e
(1 af,.(xo)
i=l
. - ,.,
~
,
1
-
_ , . . . . ,
n+1
i
~ 1,....., n
n
- 1
X
= l
yi
. ,
i = 1 i
... / ...

---

- 68 -
Preuve
50 i t
k ( S. x) = g(x) + 6((s.~)IGr(rn+l»
j :
:
On considère le problème
minimiser
k(S, x)
x e r(S)
S
fixé dans
E
l'?
n
où
r(s)
= n r.(S)
. 1
1
1 =
,
•
t
"
Comme pour la proposition
1.2.3 (2°~),
si
Xo est
solut1·on de
(Ci)
JI· )
alors
X
d
1
• •
Pareto sur
7
o
es~
un m1n1mum
e
n+1
n ri(S).
1=1
Il s'agit donc de donner des 'Cond'fti6ns suffisantes pour que
X
soit solution de
(g;).
o
On applique. pour cela. le corollaire 2.2
(cf chapitre 2).
On a les conditions suffisantes suivantes
"
i l ex i,ste
y e a
k(S.- xc)
x
sie E'
tel que
(S' • y' ) e ,K *
'r)
.(Gr(. (s• xc) )
X
e r(S)
,
"
o
avec l'hypothèse
.(H,4.)
(2°»
'et làproposition'~0.2.
on a
a
k (S
)
a (
) + a"
•
X
~,(,(s. x")IGr(r, '1»
x
o
::;:.g x o · x
~
0
·n't'
)
. *.(l',
( )
)
=ag(xo -.K
n+1 S. xo'
-,
et
y' ::;: x
où
i'
... / ...

---

- 69 -
avec lrhypothèse
(H4)
1°)
on a
n
n
et donc
Si = t
- 1
- 1
- 1
Y = x
t
y.
i=1
i=1
1
(~il
_1)
*
)
\\.
avec
.)
, Yi
e K (Gr(f i ' (S, xoU
! .
i
= 1,..., n
m
mais aussi
ag(x o) = n afi(X o)
.. 1=1
Ce qui achève la preuve.
Cas particulier
fies)
= 0i
i
= 1,..., n
f n-:,1
(S) = A
pour tout
S e E
Comme pour la proposition
5.2.3.
on a
~'.
.)
= 0
i = 1 t • • • • ., n
.
1
le théorème 2.2.3.
s'écrit alors:
• ~ 1
..
" .
'
Propo~'t~on 5.2.~.
On suppose
fi : F ---> ~
to~tinue
i
= l, ••.. t m
convexe
A t
O.
convexes
i = 1, • '.' • t. III e
et
1
n
.,
(
n Int 0; ) Il A ;-
;=1
... / ...

---

- 70 -
Si les conditions
réalisées alors, x
est un
,
, "
0,
minimum de Pareto sur
n
. n =,' .(1. :.n; ·n,~
,\\
,=1
.
Fl
- 1
existe
e FI
X
i = 1, 0 o. •• n+ 1
tels que
m
- 1
C
./
x
e n af. (x )
.
,
0
10
i=1
"
,
' , : ' j "
' : f"
- 1
* (n .• x )
Yi e K
, o
i - i
n
' 0
0
• • •
,
n+l
- 1
.. .e 'n' ."-"' ....
X
= L-
X
i=1
o
. '
---------------_ .. ---
•
;
, ' , . !
'.
Remarquons que
a9 ( x
c..
0 )
~ -H x0 ) •
En pre n8 nt dan s 1a
- 1
- 1
proposition' 4.2.3
X.
= x
,
; ·==1:,. ••• , JO
on
On a
De mê'me
... / ...

---

- 71 -
~-3 - APPLICI\\TJO'J Ali CONTROLF OPTÜfAl ENTE+tPS'OISePFr' ;,':"
~oie"t
n: E - > IR
et r
IJne M,u1tiannlication re
F
- , '.
......
rlans
E. nn considpre le Dror'~me
\\ ~
" minimiser g(x )
N
X.,+l €
r(x n)
n = nt .•.. ~ ~!- 1
.~: ~J ? .:~ r~J ~ \\_~.:~.'.~.
On cherche
(io~ ••..• ) xN) solution rie , 'inclusion ~UX r,iifff.rences finies et
t~' Que 9 soit l1'i",i~uJ!l en Xw (xo~'
~ =x~..) est une t.rajectoire opti"''''e.
Lp. criti~re
ç
est ~ini"'tll" ~ '''' rfate finale
N.
~
~-1 ~ E~
i:/), ..... ,N-l
avec
u = (u·~ .... ~u
) ~
N-'
et
Y(u) =
f \\ Yi (II)
'; ="
["N+1
F
et soient
fi :
l:
- - - 1 ; . .
= f l '
F.~!+l
l<
\\(Xo' .... .,X~I ~
(II'";
e
est un ~î~nt':f1x6 diHlS
F.
r
\\
c;'ocrit
, ..lnl..lser (""n (xo, •••• ,xNJ + ~«(xn"."~~N) /K}~! i
, ~.~ .
(x , .... ,x ) ~ Y(O)
o
N
,
.
Xi ç F
,. .. / ...

---

- 72 -
.•..:. "
r:J
(j U )
(x t •••• qX~J) G..Y(u:)
o
o
,
0
U
fix p dans
N
E . ,.. :
o
Hypo.thêses. :.
..
'
'(
( ' 1)
9
f - > lP
'. convexe
(H~)
?)
Gr{r)
convexe
3).
il,exist.e, {xot ••••• t x } ;,K ,tel'Que xNG .. dom 9
N
et
-------------------~--------
..
,
On a
Th~orpl1le 1-~-3
nn supDose que les hyrot~pses (H5)
sont r~aliséeSt et
N~ 2
(xo,····q x
(q
)
est solution de
u' .) ','
N
o
et
min
....--->
Il existe
T
v!
1
€
F. 1 t
bEl
i =0
, l
t • • • • t N-l
tels que
(Dl)
['12
... / ....

---

- 73 -
- ,
t:'
r C (N-l
-
, J..).
YN-l ç
uo . : xN- 1
~
•
'
", r •
.
. • .
'f'S
ag(xN)(1 K* (r(u~ ..J + )(N-l 'lx~1
x
; x = €'
i+1 6 r (U~ + xi)
i=n, .... ,N-l
o
1...-._ _ >
Si
N = l
(D2)
s'pcrit: il existe
'f'
-yi
Vi P E'
tels que
.~. 0
~
w]
"
x
=e
o
Preuve
r-r(r)
ptant convexe,
Gr(Y )
l'est aussi pour i=O, ..... ,N-l
et
i
donc Gr(Y)
est convexe avec les hypothèses
(H5)
on a les hypothpsûs du co-
rollaire 2-2
(cf chaoitre ?)
car
(Uo~ ~) 6 Int (Gr(Y»).
x = (xo, ..... ,xN) est solutionrle
et min (q )Ç, lR
Uo
si et seulemen~ si .
•
-
(
N+J
il eXlste
x' €
E')'
, yi € (E ')N
tel Que
x F. V(u ) Î} K
o
.../ ...

---

- 74 -
.. ,
N
Nous (tési çmons Dar
[
, J 1e crochet de dual i té entre E +1
ou encore entre
.,
,
EN
et
(F,)N. «. , .>
d~siane le crochet de dualitp entre f :et E'.
soit alors la fonction
w(u,x') = inf(x,x') si
u Ç, dom Y
x6Y(u)
= +00
si
u ~ dom Y
f ..,.
est ~quivalent à
w(u,x')
-
wluo'x')
?:
~-Uo'Y]
pour tout
u € E~
On a donc
: ,
oour tout
x 6 Y(u)
faisons le chanaement de variahle
[ N-lï , Xi~]
< x.
-,
, + <
t,x'] ~ E-uo,y]
;=0
'
N~'l
- ~
<x. ,y~>
'=0
' ,
.... / ...

---

- 75 -
ie.
r·.... -,
V;â; > -
-
<xi' Y; >
. ,
avec
î
x'+ 1 b
r( v,.I
1
, -
1
(
T'(- +u;)
x
G
(
i +1
,.. x;
0
J
X =':'e
o
GeE
v. 6 E
,
Posons
yi
= 0
et
t
U1
+
N
; "
0
xi
i=0, ••... ,N-1
On a :
iJ-l
1
< XO'YO' +<XO-XO,x~ >
~
l1=0
- -
-,
+ <t.-x.,-y.>
, , ,
j
1
L
ie
r t
N-l
<v .-t. ;y~>
'=0
" ,
et comme
x~ = Xo = p
on a
-
~'-1
J(
(1) r
[ -,
<'1.-t. ,y. >
,
1
1
<X i +1 - xi +!' ''1+1 + Yl+1>
0
1=()
pour
.,
S
r (v. )
v. € E
, , ,
"; +J
; =() , •••• ,N ~ 1
ç;
r (t.
x
,
,
~
i +]
J '\\..../....

---

- 76 -
pour
i # i
(1)
~evient alors
/' < V,. - t. -yi>
-
"
i
i
-
= u + x.
o
,
pour
i:: 0, .•... ,N-l
ou encC're
JlIax
r -.
<V,V.>
-
,
'
(v,x) 6 Gr(r)
(3)
::
' r
- .
cl;i'Yi>
-
T
i -
{.. :: U
+ x.
,
n
,
X
:: e
()
ceci
s ' ~cri t aus si
.../ ...

---

- 77 -
X;+1 Ç. r(ti )
(4)
-
i
-
t. = u + x·
,
0
,
,
x
= e
o
i=O ••..'.• tJ-l
nu bien
- .
- 1
~.~ ( (- ) -
x
,
,
~
f +1' + Yi+l p ~;,
r t i 7xi+l .
... ; ..
(5)
i
"t,. =
u
+ x.
o
,
x
= e
o
pour
; = n, •..• N-l
mais
'XI S a (q'ln + 6(. /K) (x)
= n* a g(x ) + ,~(x /K)
N
na
n*
est la transpospe de
TI
(cf oroposition 0-2 du chapitre 2).
il existe donc
tels que
Xl = n* TI + e
filais
ë b 3~(x/K) , d'mc
avec
e € E'
o
Par d~f;nition de
TI
on a aussi
n* .1
•
=
(0 , •••• 0
" T 1)
raopelons que
YN =~
1es 'relati cns
(5)
Si i5cri vent donc

---

- 78 -
(03)
î =0, •.. ,N-l
-.
c( N-l
-
1)
(fi)
YN-l G r
u~
+ xN-l~ ~
i =0, .... ~ N-l
R.emarquons que si
N=l. les calculs prflcédents restent possibles
C'n
sUPDrime seulement les formules
(03)'·
On a donc le résultat annoncê .
. :"
.../,- ..

---

- 79 -
Exemple
PRO~LEME O'~LLOCATIO~
ET~LE DANS LE TE~PS
Soient V =~t l'espace des bins
y C V l'ensemble des biens dispnnibles à allouer à m crmsom-
mateurs - Chaque consol'1mateur dispose d'un ensemble de conso!111lation Xi
i=l, ... ,m
On [\\ose
X = Tf Xie lJ = vl'f1
i=l
Soient A € ,:f(u.V)
et
r(S) = . {x E X. Ax E Y+Sl
~ l'ensemble des allocations possibles des
biens c1isponibles et d'une ressource variable
S E V.
On d~signe par
~(xn) =
{x € X 1 Ax S y + B xnl
l'ensemhle des allocations
possibles à la date
(n+1)
Avec ~ G'~(U,V). S = B Xn est la reSS0urce variable.
Elle est d0nc fonction ne l'allocation
xn effcctu~e ~ la date n.
N?: 2
p.st la date finale.
(-f)
U ----~> ~
d~siqne la fonctio" de satisfactiôn des èonsomma-
teurs.
On se oose le problpme
n=O ••...• N-l
. X
- ,P.
f' [3
1 X
dans U.
o
.../ ...

---

• 80 -
t'ne trajectoire ontiJ1'lôle seri'} alors une solution
-
(-
. --)
de
(0rJ )
x =
xc,·····) xN
~ a
-111
~vec
, ••• ') x
)
n=O, •... ,N
n
x,.. = 8
X
. ~tant " a
n
11 ncati nn effectuée: à 1a date ,n.
On veut dnnc minimiser le mécontentement (ie maximiser la s~tisfaction)
des consommateurs à la ~ate f;".~le
N.
Chaque consommateur i
est donc repr~sentê par
~ne re.ssourcç; i nit~ale x~
- ses pr~fére:nces {1 a. foncti on de sati sfacti on des C0nsommateurs' est (-f)' :
- son ensp,mble de consn.mmation
Xi
Voici deux exernoles possibles oour '"'' fonction.' f :\\
ExeJT!Dle 1 :
On supnnse que 10 (.:'t1smr:mateur
i
est muni dl un (lbjectif de consol1111ati on
i
u G V , i=l, •.•. ~M p0ur la date n=N et mesure son m~contentement Dar une
norme
'\\
~., sur "
.. 1
:
e
~
~gcnn t.ent emen t es t
'\\.(.xi_ui
~
). s,"
xi f'~ \\.r
est la qu"'nt'·tï5
,
" . .
de biens qui lui est alloué.
1
m i ; 2
S~:d t r\\ lors
f(x)
= 7
I
Ài (x ~u )
;=J.
1
m
x=(x, ••• osx)6U.
Exemple 2 :
Chaque C(lnSG~mdteur dispose d'une fonction d'ut;litê U : Xi
~ R
i
... / ...

---

- 81 -
On dira que x 6 r(S.) -est une allocat~on f;dbêment. optimale au sens de Pareto
sur r(S)
s'il n'existe pas de
y 6 r(S)
tel ·Que
oour tout consommateur
j
i.
Soit f(x) = mClx [u;j{X ) - Uj(xj~ +Hx/X)
J.=l, .. ,Pl
"
( 1
ln)
m
x = X •••• ,x
6 V
Remi\\rque 1-3-3
x E r(S)
est une allocation faiblement optimale au sens de Pareto sur
r (S) .si e,t ,se~,le.ment si,
0 = f(x) = ,i nf f( x)
x6r(S)
-------------~--~-----------
Preuve
Supposons qu'il existe y 6 r(S)
tel Que
f(x) > f{y)
et que
x soit
une allocation faihlement optimale au sens de Pi1reto.
Comme
f(x) = 0
cn ~
o
j
j
> max
[ UjCxj) - Uj{y ) ]
~ [uj(X ) - u.i{yj) ]
pour tout
j=l, ... ,m
j=l, ... ,m
,-:" '0,' ~
ie
ceci contredit le fait que x est faible~ent opti~ale au sens de P~reto.
Qéc1proquement : supposons que x ·vérifie
o =f(X) =inf f(x)
et x n'est' pes un optimim d€ Pareto.
xeres)
.../ ...

---

- 82 -
i
(-i)
Il e·xiste alors· .y E r(S)
tel queui (y ) > ui x .
pour tout
i S" {1 t .... tm }
ie
pour taut
i=l t •...•m
et donc
i
f(x) = 0 > .max [u.CX ) ~ UiCyiJ :: f(y)
, =1 •••••~
Ce qui contredit le fait que x est solution.
Ces problèmes constituent des versions non stationnaires dé 'ceux ptudîés par
J. 1I.U~IN dans [2J Mur l'expmple 1 et dans
[lJ
pour l'exemple 2.
J.Atl8I~ traite l'exemple 2 dAns le cas statique. en application d.u grandient
généralisé (au sens de CLARKE) d.e llenvûloppe supérieure d'une famille finie de
fonctions Lipschit7iennes.
Nous faisons les hypothèses suivantes
Hypnth?oses (H7)
(1)
f
est convexe
>eN S do", f et
pour
n=O ••...• ,N-1
... / ...

---

- 83 -
(3)
DI"Ur t~ut
y'.. S U'
dual. t()pclogiqu~ <le
I,~,; ,ilexiste il 6 dom· r
tel
que r continue en ü et
y (u,y') € R
avec
y(u,y')
= inf < y,y'> si u G dom r
= +00
sinon-
(4)
Y Xi
. 1
t
,
,= ,.... ,m son crnvexes
/ .
",
-----------------------------
Si on d~signe par
A* (r.esp. B*)
la transQosêe de
A(resp.~) on a alors
TMorèrne 2-3-:3
On suppos~que les hypl"thp.ses
(H7)
sont réalisées.
-
-
- ) est solution de (Q
-......J x >
et m,'n
10,.\\
(':-j 8)
l
6 'ri
Si
N~ 2, x = (xo, .... ,xN
.1\\
...
., '.~ ":' :.~
si et seulement si
Il existe" P .(; VI , n=O, •.. ,N-l
tels que
n
; ,
n=O, •.. ~N-l
n=O, ... ,N-2
... / ...

---

- 84 -
Si N = 1
OS
s'~crit: il existe P S V'
tel que
':
,
,-
,
"
\\
Preuve
y , Xi
i=l, .... ,m
~tant convexes, Gr(r) et Gr{~) sont convexes.
avec l'hypothèse H7 (2°»)
on a
'.
xNb dom f
et avec l'hypothèse (H7)
(1°)
on peut appliquer le thporèmel-3-3
,
'
x=
(xo, .... ,x )
est solution de
(~) si et seulement si
N
r-- il existe
n=O, •••• , ~!-1
et
tels que
n=O, •.. ,N-2
(1)
( - ' )
c{-
. )
-YN-l
6 ~
xN-1' ~.
, ~,
,
l'
1
.../ ...

---

- 85 -
mais
~(x)
= r (8x) d0nc avec
(H?) (301)
· 1 '
\\
en effet soit
w(u,y')
=
inf <y,yl>
L! €
dom ~ .
y6~(u)
= +0).
-- si non
on a
W(X,yl)
= y(Rx,y') .-y(.,y')OB(x):
et
a w(x,y')
= ay ( . ,y
x
1 )OB(x)
Or
ay( . ,yi )OB(x)
= R* a y(flx,y')
x
Car
B est linpaire continue et de plus d'après c0ro11aire 4-2 et Hl (3°/)
Il existe ü 6 dom r
tel que
y(.,yl)
finie et continue en ü;
y(.,y')
est convexe car
r est convexe. ~n peut donc apo1iQuer la proposition
(n-2) 1
(cf chapitre 2 )
"'ous avons donc
Il exi ste donc
P (; VI
n
tel que
~
(t)
y'
=
B* P
pour
n=O, ... ,N-l
n
n
les conditions
(1)
s'~crivent alors
Il existe
P e V'
, n=O, ..• ,N-l
n
et
tels que:
• .<1. 7~'• ~.,

---

- 86 -
(3)
n=O, •••. ;N-2
les formules
(A2)
et A3
~vec
n=N-l
slêcrivent
onur tout
v G V
,:16
af(X )
N
x € r(Bx _ )
N
N
ie
il existe y € Y
tel que
1
On a donc
pour tout
x e. r(v)
,v € V
ie
Ax = y + v
avec .v G y
dIcO
[X-XN, 't'J ~ < Ax-y - AXN + y , -l'"N-l>
pour tout x G X et y € Y
.../ ...

---

- 87 -
On en déduit :
pour tout
x 6 X et y e y
en faisant
x = x~'" y
quelconque oui s
y =y = AXN- RXN_ ' x quelconque on obtient
1
~
· f ·
On note aussi que
(A~'
signifie
-; "
(5)
,
n=O, .... ,N-l
les formules
(Al)
et
(A~)
s'écrivent
Soit
n 6' { 0, •... ,N-21
Y(V,-B*Pn+l ) - Y(8Xn,-~*Pn+l) ~ <v- Rxn,-Pn>
y (BXn,-O* Pn+1) =[ xn+1' -B* Pn+1]
AXn+l - B'Xn ç Y, ie il existe y 6 Y tel que
..". / ...

---

• 88 -
On a clonc
Dour tout
v € V et
x ~ r(Rv)
ie
Ax = y + "
avec y 6 Y
>:
d'Ol)
pour tout
x € X et y 6 Y
';
,
[ -
*~
*1'f
]
- 1 ' f
ie
x-xn+l' p. 'n - R t'n+1 ~ <y-y,t'n>
Dour tout x 6 X
et y € Y
en faisant
x = x +
n 1' y quelconque
nuis
y =y
et
x quelc0nque
on obtient :
(6)
pour
n=O, .•• ,N-2
.,'
m~is par dp.finition
On a donc
rit j
(7)
fK" (X.x) •
(X .x.i)
l Dour x =(xl,....,x~) 6 X
... / ...

---

- 90 -
il existe
P 6 V'
tel que
m
•
m
\\'
xJ
-
y
,.
- BXn €
,
(-P) 6 K* (V ~
\\'
xj - Bx J
J=l
1
3=1 l
f)
Dans le cas de l'exemole 1
Soit
~ = 1
y = {O}
f.x = Ex
<
('1
Soit
w fix~
tel que
Bx =w
o
le proh'~~e s'écrit
f "';n;m;ser {
l Ax =w
les c~nditions
(05)
s'écrivent
Il existe
P 6 V'
tel que
(1)
ie
(2)
Si
pour j = 1, ... ,m
on ~
( 4)
.../ ...

---

- 89 -
(7), (6), (5) et (4)
donnent le r~sultat désiré.
~---------------------------
Remarque 2-3-3
1°)
dans l'exemple 1
nn a
oa
L. est l'opérateur de dualitp ass~ciê ~ la norme ~j
J
?
ie
x,x > • rj(X~ .
2°) dans l'exemple 2
on a
, .
rour t~ut
~j ,j.l, ... ~m
tels que
=
j
~
rP . €
V' / <x.i-xj, P.> + u.(x )
u.J.(xj)J
J
l
J
J
pour tout
xj € xj
Remarquons que dans l'exemple 2, si
m
.
Ax
= r
xJ
*
A P = (P, .... ,P)
.1=1
et pour.. N.=.1
les conditi~ns (~5)
s'~crivent
.../ ...

---

- 91 -
et
si
j = 1
(4)
Si pcrit
A*P + L(x-u) = (l
mi'lis alors
(i1où
-
-1
*-
œ = Ax = Au - AL
A P
(~)
et
( 4)
slêcrirait donc
Ax = 1IJ
ce qui correspond l'lUX caractiSrisations di'lns le cas stationMire
(cf J,tIIIRIN ŒJ)

---

- 92 -
C Q ~ C LUS 1 Q N
---------------------
L'utilisation de la notion de polaire d'une fonction
.
.
multivoque dans la théorie de l'optimisation nous a permis de
retrouver certains résultats essen~iels de cette théorie tout en
contribuant modestement à l'établissement de résultats nouveaux à
notre connaissance et à l'élaboration 'de nouvelles démonstrations
"simplifiées" pour des théor~mes dont la preuve habituelle est
jugée difficile.
-
Apr~s avoir étudié dans le cadre de ce travail le problème
de contr&le optimal en temps discrc~t nos recherches s'orientent
..
maintemant vers les mod~les dynamiques en temps continu et les
mod~les stochastiques.
---------------------"-----

---

~
_- l
__ a L l Q G
.-e-.-.-_- B
__ 8 f"U ,r E
.-_-_-'_-_-_
- 93 -
[lJ
J. AUBIN
"Systèmes évolutifs multivoques"
UER - Math
de la décision.
Univ. Paris IX - Dauphine.
"
Il
"Modèles quadratiques de l'économie"
UER - Math de la décision.
Univ. Paris IX - Dauphine.
[3]
J. AUBIN - I. EKELAND :
"Estimates of the duality gap of non-convex
optimisation problems" ~lathematics Research
Center 1974.
[4] - ·C. BERGE
"Espaces topologic;ues et fonctions multivoques"
Dunod
1966.
-
[5]
CASTAING et VALADIER
"Convcx analysis and measurables
mult-j fUl1ctions"
Springer - Verlag
1977.
F. H. CLARKE
"Necessary conditions for nonsmooth problems
in optimal control and the calculus of
var i at ion s "
O( hé sis
Uni v. 0 f ~J ashi n9ton,
Seattle
(1 07 3\\J.
- '
0
(7J
1. EKELAND
"Une estimation du saut de dualité".
Cahiers de mathématique de la décision.
"
-
Univ. Paris IX - Dauphine
1974.
[a]
1. EKELAND
et
TEMAM:
"Anùl~'se convexe et problèmes
variationnel, lI
-Dunod •
.../ ...

---

- 94 -
[9J
- J.B. HIRIART - URRUTY
"Contributions à la programmation
mathé~atique, cas déterministe et
cas stochastique, thèse, Univ. de
Cler~oMt-Ferrand
II
(1977).
[10J -
P. J. LAURENT
IIApproximation et Optimisation
Hermann.
[11]
- M. MINAMI
1I1,!eak pareto optimality of multi-
-
objective problems in a Locally convex
linear topological space".
J. of optimization théory and appli-
cations.
Vol. 34 - N° 4 - August 81.
[12]
R.T. ROCKAFELLAR
IIConvcx analysis ll
Printcton,
1970.
[l3)
"
Il
IIDirectionally Lipschitzian
functions and subdiffirential
Calculus ll
Proceedings of the London Math. Soc.
Série 3 - Vol.39 - Part 2 - Sept. 1979-
"
"
"Clarke's tangent cônes and the
bo~nC;~\\"ies
n
of closed sets in
lR "
Noulin. Analysis. Th. Math. Appli.
3. (1979), p. 331 - 355.
... / ...

---

- 95 -
05]
R.T. ROCKAFELLAR
"GeneralizeJ directionnal derivatives
and subgr<'.dients of non Convex functions ll •
Cano J. r-lv.th, Vol 32 , N° 2, 1980,
257 - 280.
[16]
0.. S. THIAM
e
Cours de 3
Cycle - 1979 - 1980
Univ. Dtd(/\\R.
[17J
L. THIBAULT
"Propriétés des sous-différentiels de
fonctions localement lipschitziennes
-
-
définies sur un espace de Banach sépara-
ble.
A~plications - Thèse, Univ. des
Sciences ~t Techniques du Languedoc,
Montpellier (1976).

---

={Sup
Pages 9 et 44
a(x,y' )
<y,y' > si x b dom r
. y 6 f(x)
-~
si x ~ dom r
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Page 42
lIlexiste i' € E', y' ,6F' telsque
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Pages 49 et 51
Gr(r)
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Pages 61, 6Z et 67: -------
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1 ) ~~~_QQ_!l_l~~_~~_!!~!~~~_~!~~_çgg!!~!Q!~~
l'eIIlplacer l' hypothèse
(H)
par
<?
(B')
(rJ)
est stable
..
ZD) s!~_2f._!Ln~L~_E!~_~_!!ê!~~
prendre
G:<r)
:=
épi 1/1
conserver l' hypothèse
(B) en enlevant tout ce qui a trait aux
9i •
prendre
~ = 0 dans les propositions 1.1.3 et corollaire 1.1.3.

---