N° d'ordre
90S
THE S E
PRESENTEE A
L'UNIVERSITE DE BORDEAUX 1
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR D'ETAT ES SCIENCES
PATRICK
SERIES DE DIRICHLET ASSOCIEES A DES POLYNÔMES
DE PLUSIEURS VARIABLES
Soutenue le 9 Avril
1987
devant la Commission d'Examen
M.
Roger
GAy ••••••••••••••••••••
Président
Mme
Pierrette Cassou-Noguès ••••••••
MM.
Daniel BARLET ••••••••••••••••••
Ben LICHTIN ••••••••••••••••••••
Examinateurs
Bernard iMALGRANGE ••••••••••••••
Gérald TENENBAUM •••••••••••••••

---

Ce travail
a été effectué sous
la direction, par correspon~
dance, de Gérald TENENBAUM.
Pendant cinq années, et avec une três
grande régularité,
ses lettres ont répondu avec précision à toutes
les
questions que
je lui ai posées, compensant très avantageusement
l'iso-
lement dans
lequel
je me suis
trouvé. Je
lui suis
immensement redevable
de tout ce ~u'il a fait pour moi. J'ai beaucoup admiré la simplcité et
l'efficacité avec laquelle Gérald a abordé les problêmes que
je lui ai
soumis, et les réponses
qu'il m'a fournies constituent une leçon
inoubliable.
Le sujet m'a été
initialement proposé par Roger GAY qui en a
suivi de prês toute l'évolution.
Avec patience,
il m'a ouvert l'esprit
aux nombreux problèmes connexes dans
le domaine de
l'Analyse.
Cette
influence a été le plus souvent
impl~cite dans le présent travail, mais
sera tout-à-fait explicite dans
les applications en préparation. Pour
tout cela,
je lui exprime mes remerciements
les plus sincêres.
Mme Pierrette CASSOU·NOGUES et MM.
Daniel Barlet, Ben Lichtin
et Bernard Malgrange, en acceptant de
faire
partie de ce
jury, m'ont
fait un très grand honneur auquel
j ' a i été très
sensible.
Ce travail a été réalisé alors que
j'enseignais à l'Université
de DAKAR. Les responsables du Département de Mathématiques de cette
Université ont
fait
preuve d'une
tr~s grande compr~hension à mon égard,
et je les en remercie.
Cette Thèse n'aurait
jamais vu le
jour sans ma chère épouse
Catherine qui, depuis que
je me suis remis aux Mathématiques en
1978,
m'a déchargé de toute contrainte matérielle et n'a pas cessé de m'en-
courager.
. ;,.
' , '
..

---

PLAN
DE
LA
THESE
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
CHAPITRE
0
Introduction générale
CHAPITRE
l
"Prolongement méromorphe des
séries de
Dirichlet
associées
à des
fractions
rationnelles de
plusieurs
variables",
paru aux Annales de
l'Institut
Fourier,
Tome
34,
fascicule
3,
(1984),
pp 83 -
123.
CHAPITRE
II
"Croissance de certaines séries
de
Dirichlet
et
a p pli c a t ion s " ,
.,-
- n
Reli.·&~·e~ ~a'th'
paru au Journal
...•
367
(1986),
pp
139
-
154.
,q ~- (~
Dirichle~'~~lIres
CHAPITRE III
"Séries de
de Newton".
fJf1r SuÇJo{'
.._~_...
soumis pour publication à Acta Mathematica.
CHAPITRE IV
"Sur
le
problème des diviseurs généralisés",
exposé
au Séminaire de Théorie
des Nombres,
CI R M, Marseille,
Septembre
1985.

---

Chapitre
0
Introduction Générale
Soit
P GE [Xl' ••• '
XnJ
un polynôme
à
n
variables
vérifiant
:
(1)
lim
p(x)
=
+00
X
~
(X)
Pour chaque
t
> 0, on considère le nombre de points entiers
*n
card {\\) G lN
-
P\\V)
~ t }
et
le volume
ces deux quantités
étant
bien définies
grâce
à la condition (1).
Le but de
la Thèse est d'étudier
le comportement
asymptotique,
quand
t
~ + (X) ,de
Np(t)
et de
Vp(t),
et de
comparer entre elles ces
deux quantités, moyennant
certaines hypothèses
sur
P.
L'étude de
Np(t)
et de
Vp(t)
se déduit de
celle du pro-
longement méromorphe de
la série de
Dirichlet
:
et de
l'intégrale
(5)
=
dx
au moyen d'un Théorème Taubérien
(Chapitre
IV, Lemme
6.3).
Les
résultats
principaux sont
:
(a)
le
calcul
explicite du
premier
terme
du développement
asymptotique
de
Np(t)
et de
Vp(t)
(Chapitre
III,
Théorème
1.6, et Chapitre
IV,
Théorème 3.3),
... / ...

---

(b)
le calcul explicite du premier
terme du développement asymptotique
de
Np(t)
Vp(t)
(Chapitre III, Théorème
1.7, et Chapitre IV,
Théorème 4.4),
(c)
une majoration de
Zp (s)
dans
les bandes verticales
(Chapitre II,
Théorème
1), qui permet d'obtenir une estimation du terme-reste dans
le développement asymptotique de
Np(t)
(Chapitre
II, Théorème 2,
et Chapitre IV, Théorème
1.6),
(d)
une description de
la répartition et de
l'ordre des p6les du
prolongement méromorphe de
Zp
(Chapitre III, Théorème
1.4).
La Thèse est composée de quatre articles,
présentés sous
forme
de chapitres.
Au Chapitre
l , on considère une
fraction rationnelle
R(x)
= P(~)/Q(~)
vérifiant
tlJ, où
P
et
Q
sont à coefficients
positifs, et on étudie
la s é r i e :
=
R ( \\) ) -s
On démontre que
les pôles de
ZR sont contenus dans un ensem-
ble qui ne dépend que des mon~mes extrémaux de
P
et
Q (i.e. les
monômes qui correspondent aux sommets des
polyèdres de Newton de P
et Q), et on donne une majoration de
ZR(s)
dans
les bandes verticales.
Ces
résultats améliorent et généralisent,
par une méthode différente,
un résultat de Mellin
[4J
Au Chapitre II,
on apporte une
précision essentielle à
la
majoration de
Zp(s)
dans
les bandes verticales,
lorsque
P
est un
polynôme à coefficients positifs vérifiant
( 1 ) •
Au Chapitre III,
on étudie
la série
Zp(s)
lorsque
P e s t
"non dégénéré"
en un sens voisin de celui
introduit par Mihailov [5J
dans
le cadre des
équations aux dérivées
partielles
(par exemple, un
polynôme à coefficient
positifs est non dégénéré et, parmi les polynômes
... / ...

---

vérifiant
(1) et ayant un poly~dre de Newton donné, "presque tous"
sont
non dégénérés). L'outil essentiel de ce chapitre est le poly~dre de
Newton à l'infini de
P
,
noté
~(P), qui, moyennant certaines cons-
tructions géométriques, permet de décrire
les résultats cherchés.
On adapte une construction géométrique due à Varchenko
[6J
pour exprimer l'abscisse de convergence de
Zp
(Théorème
1.1), et une
autre due à Vasiliev
DJ pour déterminer l'ordre du pôle en ce point
(Théorème
1.2). On démontre que
la construction géométrique,
intro-
duite par
P.
Cassou-Noguès
[2J
pour décrire
la répartition des pôles
de
Zp
lorsque
P
est un polynôme
à
deux variables
à
coefficients
positifs, reste valable en dimension
n ~ 3
pour des
polynômes non
dégénérés
(Théorème
1.4), résolvant ainsi une conjecture de
P.
Cassou-Noguès
[lJ.
On donne ensuite trois constructions géométriques nouvelles,
à
partir de
~(P), qui permettent de décrire d'autres résultats: la
première sert
à majorer l'ordre des
pôles de
Zp
et
Yp
(Théorème
1.4)
la deuxième est utilisée pour exprimer le terme prin-
cipal au premier pôle de
Zp
et de
Yp
(Théorème
1.6)
la troisième
permet de décrire l'ordre du pôle en ce point
de
Zp -
Yp
(Théorème
1.3}_.,
Signalons qu'un article récent
da à B.
Lichtin [3J
~ontre que
la série
Zp
admet un prolongement méromorphe
sous des hypothèses plus
générales que la nôtre.
Enfin,
au Chapitre IV,
on interprète
tous
les résultats
précé-
dents dans
le cadre du problème de
points entiers défini par (2),
en
se restreignant
aux polynômes
à coefficients positifs:.
.../ ...

---

B l B LlO G R A PHI E
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
[tJ- P. Cassou-Noguès
"Abscisse de convergence de certaines s~ries
de Dirichlet
associ~es à un polynôme",
S~minaire de Théorie des Nombres de Paris
(1982-83).
[2J -
P.
Cassou-Noguès
"Séries de Dirichlet et
intégrales associées
à un polynôme à deux ind~terminées",
J.
Number Theory,
23 nOI
(1986),
pl
-
54.
[3J -
B. Lichtin
"Generalized Dirichlet Series and B-Functions",
à parattre à Compositio
Math.
[4J -
H. Mellin
"Eine Formel
f~r den Logarithmus transcen-
denter Funktionen von Endlichen Geschlecht",
Acta Soc.
Scient.
Fennicae,
29
(1900),
p3-49.
[5J -
V. P. Mihailov
"Behaviour at
infinity of certain class of
polynomials",
Proc~ Steklov Inst. Math., 91 (1967), p61-82.
[6J -
A.
N.
Varchenko
'~ewton polyhedra and estimation of oscilla-
ting integrals",
Funkts.
Analyz., Vol
10
nO
3 (1976),
pI3-38.
[7J -
V.A. Vasiliev
"Asymptotic exponential
inte.grals, Newton's
diagram,
and
the classificaition of minimal
points",
Funkts.
Analyz.
Vol
Il, n03
(1977),
p l - I I .

---

GlAPITRE
1
PROLONGEMENT f'tROt'1)RPHE DEs StRIES DE DIRICHLET AsSOCIÉES
A~s FRACTI ONS RATIOONELLES DE PLUS1EURS VAR1ABLES 1
Paru aux Annales de
l'Institut Fourier, ~, 3 (1984) p.83-123.

---

Ann. Inst. Fourier, Grenoble
33,3 (1984),83-123
PROLONGEMENf MÉROMORPHE
DES SÉRIES DE DIRICHLET
ASSOCIÉES À DES FRACTIONS RATIONNELLES
DE PLUSIEURS VARIABLES
par Patrick SARGOS
PLAN DE L'ARTICLE
Pages
O. Introduction et notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
1. Les résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
2. Réduction des polynômes par changements de variables
90
3. Existence d'un demi-plan de convergence
95
4. Prolongement méromorphe de la fonction Y(R , 11 ; s) . . . . .
98
4. 1. Préliminaires.
99
4.2. Cas où P et Q ont
un plus grand monôme
100
4.3. Cas général
~ç.~\\~ ett!-t."1{G:'f ••••••••••••••••
105
4.4. Coefficients de 1 ~.e de La
de la fonction Y
:'::!
CS
aux pôles. . .... /;! ... op.;. lJ\\ ~.
106
;::.
C
CD
5. Démonstration des th
è
s 1.2 et 1 ~...............
110
5.1. Une formule somm '~j
. . . . ~~~Q • • • • • • • • • • • • • • • •
110
5.2. Application àlasérie''''l(R, 11,S)
112
6. Démonstration du théorème lA. '"
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
o. INTRODUCTION ET NOTATIONS
a) Soit D le demi-plan complexe
{z / Re z > O}
On désigne par
0
D [XI' .
X" 1 l'ensemble des polynômes
P(X) = P(X
X,.)
0
•
,
I 'o. 0 ,

---

84
P. SARGOS
dont les coefficients non nuls sont dans D, et par D(X), ... , XI'I)
l'ensemble des fractions rationnelles
R = P/Q où
P
et
Q sont
éléments
de
D [X) , ... , XI'I ].
Soient
xE ]0, + 00 [1'1
et
RE D(X) , ... ,XI'I) alors R(!.) est dans C \\] - 00,0], et, pour
tout
sEC,
on définit
R(x)-" = exp(-s Log R(x)
au moyen
de
la
détennination
principale
du
logarithme
complexe.
Pour
!L = ('1) , ... , '11'1 ) E NI'I , on pose:
Z(R,'1;s) =
-L.
(0.1)
1/1, ... ,1/1'1 = 1
L'étude de la série de Dirichlet Z(P, Q;s) a été introduite par
Mellin:
THEOREME 0.1
(Mellin [12], 1900). - On suppose que le poly-
nôme
P
dépend
effectivement
des
n
variables
X I " ' "
xl'I .
Alors la série
Z(P, Q; s)
converge dans un certain demi-plan. La
fonction
S""'- Z(P, 0 ; s),
définie et holomorphe dans ce demi-
plan, admet un prolongement méromorphe à tout le plan complexe.
dont les pôles sont situés sur l'axe réel. Si on restreint la variable
s à une demi-bande du type
B = {s = 0 + il /0
~
1
0 ~ O2 ' et t ~ l},
alors, pour tout f > O. on a: Z(P, Q; s),= O( e<"'/2 + dt).
b) Les articles qui ont suivi celui de Mellin ont été consacrés
au cas où le polynôme P vérifie la condition d'ellipticité:
/PN(x)1 > 0 pour ~ E [0, + ~fl'l ,~* Q,
où PN est la partie homogène de plus haut degré de P.
THEOREME 0.2. (Mahler [11], 1927). - Soient P E D [XI"'"
XI'I],
de degré N. vérifiant (0.2), et !1. E NI'I. Alors la série Z(p.!l.; s)
i
n + 1'11 l (
converge dans le demi-plan
{Re s >
N -
~ avec la notation
1'1
1'11 = ;~I '11)' et la fonction Z(P,'1;') admet au plus des pôles
simples aux points s = (n + 1'11 - k) N- I , avec kEN et s ~ - N.
Dans la demi-bande
Bk = {s = 0 + it/(n + 1.!1.1- k) N-l < al ~ a ~ a2 et t ~ I} ,

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
8S
on a
Z(P, 11 ; s) =0 (eP t )
pour un certain
p < 1r/2; si P est à
coefficients positifs, alors Z (P , !!. ; s) est O( te") dans Bk'
Les
propriétés
analytiques
de
Z (P , 11 ; s) ,
dans
le
cas
elliptique,
ont
suscité
plusieurs
travaux
récents.
Par exemple,
P. Cassou-Noguès calcule les valeurs aux entiers négatifs et les
résidus aux pôles de
Z (P , !Z. ; s)
(cf [6 D, et en donne des appli-
cations
aritlunétiques
(cf
[5]
et
[6]).
On
trouvera
dans
ces
deux derniers articles un exposé assez complet des motivations
et des développements actuels de ce problème.
c) Cet article développe des méthodes et des résultats annoncés
par l'auteur en
1981
dans
[14].
Les théorèmes essentiels sont
énoncés au
§ 1.
A l'exception du théorème
1.4 concernant la
majoration du prolongement analytique de la série
Z (R '!l ; s),
tous les résultats figurent déjà dans l'article de référence [ 14].
Les théorèmes 1.1,
1.1 et lA généralisent le théorème 0.2
au cadre du théorème 0.1.
En fait les hypothèses choisies ici
sont sensiblement plus générales. On considère une fraction ration-
nelle à la place d'un polynôme. Le théorème 1.3 généralise le fait
que, dans le cas· n = l,
Z(P,!1; - N) est contenu dans le corps
engendré par les coefficients de P. Pour ce dernier point, qui est
un cas particulier des résultats de [6], on trouvera une démonstration
directe dans [ 131.
Nous
verrons
au
§ 5
que
la
série
Z (R , 11 ; s)
peut être
exprimée en fonction d'intégrales du type:
y (T , À ; s) = J
x~ T(x )- j' dx .
-
)1,+00["-
-
-
Le théorème 2.1 pennet de ramener l'étude de ces intégrales
au cas où le comportement asymptotique de la fraction rationnelle
T est monomial. On en déduit d'abord au § 3 le calcul de l'abscisse
de convergence absolue de la série de Dirichlet
Z(P/Q, 11 ; s) en
fonction de !l et -les monômes extrémaux de P et Q, puis au
§ 4
la
nature
du
prolongement
méromorphe
de
la
fonction
s ~ Y(R, .!1; s).
Les
intégrales
Y
sont utilisées ici comme des auxiliaires
techniques.
Elles
apparaissent
toutefois
naturellement
dans
plusieurs problèmes Ivoir par exemple [11 et [3]) et leur étude
peut présenter un intérêt propre.

---

86
P. SARGOS
Plusieurs modifications ont été apportées à la première version
soumise en 1981. En particulier, la démonstration du théorème 2.1
de cet article a été refondue; les théorèmes 1A et 4.8 ont été
introduits en vue d'une application qui sera publiée à part. Cette
nouvelle présentation permet d'accroître la concision et la clarté
des démonstrations des résultats principaux. Elle ne permet pas,
en revanche, de simplifier la preuve de la partie 3 du théorème 1 de
[ 14], que nous préférons de ce fait reporter à un travail ultérieur.
Le lien entre les monômes extrémaux du polynôme
P
et
la distribution des pôles de Z(P, ~; s), esquissé au théorème 1.2,
a été précisé récemment, dans le cas de deux indéterminées, par
P. Cassou-Noguès dans un article à paraître [7].
Notations. - On pose R. = [D, + 00[, R_ = - R., 1 = ]0, 1[,
et
L = ]l , + 00[.
La
lettre
s
désigne
toujours
un nombre
complexe et on note systématiquement
a = Re s
et
t = lm s.
Pour
~ E e , on pose eU) = exp (2 i 11" ü . On désigne par
Arg ~
la "fonction argument" définie "Sur e \\R _. à valeurs dans
] -
11" , 11" [,
par
Arg ~
la fonction argument définie sur e \\ R., à
valeurs dans
]0, 211"[ ,
et par
Log ~
et
log ~
les "fonctions
logarithme" qui leur sont respectivement associées; sauf mention
expresse du contraire ~' signifie exp(s Log ~).
Les lettres soulignées désignent des vecteurs: ;! = (x l , ...• x") ,
"
! = (l , ... , l), etc ... Pour ~ et ~ E e", on pose I~ 1= ~ Iz,1
'=1
et ~e.. = zfl Z~2
z:".
.•.
le sens de
zt' étant donné plus haut.
Les symboles:
[CA. • x) « g(x)
(x EX; À E A),
(0.3)
et
[(À,x) = O(g(x»)
(x EX; À EA)
(DA)
ont le même sens et signifient qu'il existe une constante A > O.
ne dépendant ni de x
ni de À, mais pouvant a priori dépendre
de tous les autres paramètres du problème considéré, telle qu'on
ait: 1[(À,x)1 ~Alg(x)1 pour tout xEX ettout ÀEA.
Le symbole
(0.5)

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
87
signifie qu'on a à la fois f«
g et g «f.
paf convention, nous dirons qu'une fonction f possède un pôle
d'ordre
m E Z
en
So
si
m
est le plus petit
entier tel qu'on
ait, au voisinage de So
f(s) = (s -so)-m g(s),
où g est holomorphe en So .
Enfin, nous ferons un usage constant du résultat classique :
LE~~E 0.3. - Soient
J.L
une mesure de Radon complexe sur
X
(pour les définitions. cf [8] chapitre XII/),
il un ouvert de
en, et (~,~) t-- f( ~ ,~) une application continue sur X x il.
à valeurs dans e. On suppose que:
(i) pour
chaque
~ EX,
la
fonction
z""- f(~ , ~)
est
holomorphe dans il.
Ix
(ii)
1fU ,~) 1dl J.L 1(~) « l,
uniformément
au
voisinage
de chaque point de il (1 J.L 1 est la valeur absolue de la mesure J.L).
Alors la fonction
h (~) = Ix f( ~ , D d J.L(~) est holomorphe
dans il.
L'auteur tient à exprimer ses plus vifs remerciements à R. Gay,
J. Riss et G. Tenenbaum pour les nombreux conseils dont ils ont
bien voulu le faire profiter.
1. LES RESULTATS
Soient
R = P/Q E D(X 1 ' •.. , Xn ),
vérifiant
la
condition
lim
1R(~) 1 = + co,
(1.1)
lx 1-.. + QG
xl.···'xn>l
et
Z(R,71;S)=
La condition (1.1)
est
nécessaire
pour que cette série converge dans un demi-plan

---

88
P. SARGOS
de
la fonne
{a> ao }
le résultat suivant montre qu'elle est
suffisante.
THEOREME
1.1. - Sous la condition (1.1 J, la sene
Z (R , 17 ; s)
possède une abscisse de COnl'ergencc absolue finie aQ = aQ (R , !I) E Q
qui ne dépend que des monômes extrémaux de P et Q, et de 17.
De plus, il)' a dilJergence absolue pour a = aa .
D'autres précisions sur le nombre
aa
sont données au § 3
(théorème 3.1 et lemme 3.2) ; la définition des monômes extrémaux
figure au § 2 .
THEOREME
l.2.-La
série
Z(R,!1;s)
définit une fonction
holomorphe dans le demi-plan
{a > aa}
qui admet un prolonge-
ment méromorphe à tout le plan complexe. Les pôles sont d'ordre
~ n et situés dans un ensemble de la forme:
l
aa -
N N = {aa - k/N ; k = 0, 1, 2, 3, ... } ,
et il existe un entier N'" ne dépendant que des monômes extrémaux
de P et Q tel que N divise N"'.
L'origine est un p6le d 'ordre
~ n - 1;
si
Q == l, alors
tous les entiers négatifs sont des pôles d'ordre au plus n -
1.
Ce dernier point généralise le fait que, dans le cas n = 1 la
fonction
Z (P , !1. ; s)
ne possède pas de pôle aux entiers négatifs.
Les exemples 1.5 et 1.6 montrent que, si l'on ne fait aucune hypo-
thèse supplémentaire sur R, on ne peut rien dire de plus sur l'ordre
des pôles.
On remarque également que si
P
et
Q sont à coefficients
positifs, alors le point aa
est toujours un pôle pour Z(R, 17 ; .);
cela résulte d'un théorème général dû à Landau (cf [15]).
THEOREME 1.3. - Si
So
est un pôle pour
Z(R, 17 ;.),
on
écrit le développement en série de Laurent au voisinage de So
+-
Z(R,17 ; s) =
}
. - j
k=-n
et on désigne par K le sous-corps de C engendré par les coeffi-
cients de P et Q. Alors:

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
89
(i) U_
(so) est algébrique sur K
n
(ii) u_ n + 1 (0) E K; si So E - N. alors u_ n (so) E K
(iü) si Q == 1. et si so E - N. alors u_ n + 1 (so) E K.
Pour chaque polynôme
T(~) = ~ c~ J:C!.E D [Xl' ...• Xn ].
on pose:
a
peT) = max IArg Ca 1.
( 1.2)
f!
-
THEORE.\\tE
1.4. - Il
existe
une
constante
A > 0
qui
ne
dépend que des monômes extrémaux de
P et Q
telle que, pour
tout € > O. on ait :
l(R, Tl; s)«
e1p(P)+p(Q)Jltl (l
( 1.3)
unifonnémentdanschaquerégron:
{sial ~a~a2.ltl~ I} (al et a2 ER).
Exemple
1.5. - Soient
0 E ]0. 1L
n
et
N
deux
entiers
(x 1 ... x )N+ 1
On
pose
n
R(~) = R(x l ' ... ,xn ) = -.0--'-+--------.
et
u
X I " . x n
les) =
L. R(II)-J.
IIEN o n
Partant de l'égalité:
1 +
0
)
(
J
R(~)-1 = (XI' ., Xn)-NJ
XI' . . x n
00
= y
-k=O
on obtient;
....
les) =
'"'
Ok (;) nNs + k)n.
k=O
où
r est la fonction zêta de Riemann. L'abscisse de convergence
absolue de
lest
aa = liN.
et les pôles de
l
sont exactement
les points
aa' a,J -
liN, aa - 2/N, . . ..
L'ordre en chaque pôle
est n, sauf à l'origine où il est n -
1 .
Exemple 1.6. - On choisit (J, n et N comme précédemment,
~t on pose
Z( s l =
~
P(~)-J .
.. ""Non

---

90
P. SARGOS
Par un calcul semblable à celui de J'exemple 1.6, on trouve
GO
_
S
Z(S) =
)
() k (
) J (1\\ s + k)" .
-
k=O
k
1
1
L'ensemble des pôles de Z est exactement - - - N. L'ordre
N
N
en chaque pôle est n, sauf aux entiers négatifs où il est n - 1.
2. REDUCTION DES POLYNOMES PAR
CHANGEMENTS DE VARIABLES
Soit P(x) = ., OCt xC!. un polynôme des n variables Xl"" 'Xn •
-
-Ct - -
On appelle monôme de P un monôme !.~ tel que OCt
soit non
nul, et on désigne par supp P l'ensemble des multi-entiers Cl: pour
lesquels
OCt
est
non nul.
Soit
lb (P)
l'enveloppe convexe du
sous-ensemble de Rn:
{~ - lil C!.. E supp P , fi ER: }.
On dira qu'un monôme x~ de P est extrémal si Cl: est un
point extrémal de
If, (P).
Si
P
n'a qu'un monôme extrémal,
alors il possède un plus grand monôme. Dans ce cas, on peut
écrire: P(~) = OCt ~'!. + I
06 ~~, où l'expression
~ < Cl: signifie
~ - ~ ER: \\ {Q.} ~
p.< ~ -
A
chaque
famille
{~.l' ... , ~ }
de vecteurs linéairement
indépendants de
R:, on associe une application w: L" -
L"
par
w~ = W{~l , •.. bt) (~) = (!.~ , ... ,t'JI),
(2.1)
où la matrice des vecteurs Ei
est obtenue par transposition de
la matrice des vecteurs ~j' i.e :
'Ali = Ilij
(1 ~ i ~ n, 1 ~ j ~ n) .
On désigne par il
l'ensemble des applications du type (2.1)
n
qui sont associées à des vecteurs ~ E N".
Le jacobien de l'application w définie par (2.1) peut s'écrire:

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
91
(2.2)
En
particulier,
pour
W En" ,J
(x)
est
le produit d'un
w
eqtier par un monôme.
Les applications
w En"
transfonnent un monôme en un
monôme et un polynôme en un polynôme (Le P 0 west encore
un polynôme).
Si
west défInie par (2.1), on peut écrire :
(W!)~ =! w~,
où
west la matrice
(À i;)1<;;<,,'
ou encore
1 <; i< "
/%
_
(~l ,g,>
(~.g,>
(
)
(2.3)
W~--Xl
••• x"
'
"
le
symbole
(:!. '1) =
L. x; Y;
désignant
le
produit
scalaire
dans R" .
1
On remarque que si
P possède un plus grand monôme x'!.,
alors P 0 W admet également un plus grand monôme ~W!! •
-
Nous
verrons
dans
la
suite qu'on
sait
calculer certaines
intégrales lorsque les polynômes qui y figurent possèdent tous
un
plus
grand
monôme.
Le
théorème
suivant
pennet de
se
ramener systématiquement à ce cas.
THEOREME 2.1. - Soient
Pl' ... , P,.
des
polynômes
à
n
variables,
et J1t i
la
famille des monômes extrémaux de
P;.
Alors on peut associer à J1t 1 , ••• ,J1t,. des éléments w 1 , ••• , w m
de n" tels que les .deux propriétés suivantes soient vérifiées:
(2.4) La famille
(w k (L"»l<;k<;m
constitue, à un ensemble de
mesure nulle près, une partition de L".
(2.5) Si Qi est un polynôme à n variables admettant :m.; comme
ensemble de monômes extrémaux, alors chaque polynôme Q, 0 w k
possède un plus grand monôme
Ci = l, ... , r; k = l, ... ,m).
Remarque
2.2. - La propriété (2.4) équivaut à l'assertion
"Pour toute fonction q, intégrable sur L" , on a l'égalité:
(2.6)
La démonstration du théorème 2.1 nécessite un résultat géomé-
trique préliminaire. On considère un cône polyédral
de
R"
de

---

9:!
P. SARGOS
sommet
~ E R: \\ {Q}
admettant pour écriture minimale (cf [2];
12. 1. 5 J :
E = {~E R" / <~k ' ~) ~ l , 1 ~ k ~ n + p}
(2.7)
où
p
est un entier
~ 0, et où lk E R: , 1 ~ k ~ n + p. On
pose:
LEMME 2.3. - Avec les hypothèses et notations précédentes, il
existe p + 1 changements de variables du type (2. n, w o ' w , ••• ,w
1
p
possédant les deux propriétés suivantes:
(i) chaque
w (0 ~ i ~ p)
est
associé
à une sous-famille
j
{Àt l ' . . . ,~"} de {~l""'~" + P }
(iD le secteur S est, à un ensemble de mesure nulle près, réunion
disjointe des p + 1 ensembles w t (L" ) (0 ~ i ~ p) .
Démonstration du lemme 2.3. - Soit EO = {1 ER" I</i, 1) tt;;;, 1
pour tout
PEE}
le polaire de
E.
On définit une application
t
de
S
d"'ins
EO
en posant
t(y) = IJ. = (1J. 1 ' ••• , IJ.")
avec
1J.,=Logyj(LogEC!.)-l
(remarquer
-qu'o;
a
(~,~)=l,
et
(~, fi) < 1 pour tout ~ E E \\ {~}).
a) On suppose d'abord
p = O.
Dans ce cas, on doit simple-
ment montrer l'égalité S = w(L") avec w = W~l ' ••. ,~),
L'inclusion
w(L") C S découle immédiatement de (2.3).
Pour prouver l'inclusion inverse, on fixe lES et on cherche
~ EL" vérifiant w ~ = y; on pose ~ = t (l ) .
Comme
E est le polaire de
{À 1 ' ••• , ~ }, on sait, par le
théorème du bipolaire (cf [4]) que -Eo
est-l'enveloppe convexe
"
de
{Q, ~1 ' ••• ,1" },
d'où
l'écriture
IJ. =
~ Bk ~ , avec
-
k=l
e ~ 0 et 1: Bk tt;;;, 1. En fait, on a 1: Bk = 1 à cause de la
k
condition (~,~) = O.
Chaque
ek
est
> 0 : si, par exemple, e1 était nul, on
aurait (~, fi) = 1 pour chaque !i situé sur l'arête de E d'équation
0/ (1 '1) = l ,j = 2 , 3 , ... , n} , ce qui est impossible. On
pose alors :!.= (l81~""'E8"~); ~ est bien dans L"
et vérifie
w:!. =E, ce qui démontle le lemme dans le cas p = O.

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
93
b) On suppose maintenant
p ~ 1 (auquel cas on a néces-
sairement
n ~ 3) .
Le
résultat
intennédiaire
suivant
pennet
de se ramener au cas p = O.
LE.\\fME 2.4. - Soit
C un cône polyédral saillant de
Rn, de
sommet l'origine. admettant p + n génératrices extrémales qui sont
les
demi-droites
Dl"'"
On +P'
Alors il existe
p + 1 cônes
polyédraux à
n
faces
Co' Cl' ... ,Cp
vérifiant les propriétés
suivantes:
(i) Chaque Ci est engendré par une sous-famille
{D
,···,D
i1
in }
de
{Dl"'"
Dn+ p }
(ü) Le cône
C est. aux frontières près. réunion disjointe des
p + 1 cônes Co' Cl ' ... , Cp .
On admet provisoirement le lemme 2.4, et on poursuit la
démonstration en cours.
Soit
Di
la
demi-droite
issue de l'origine et passant par
Ài , et soit C le cône polyédral de R: engendré par °l , ... , On +p •
Comme l'équation (2.7) est minimale, C admet {Dl"'" Dn +p }
comme
ensemble
de
génératrices
extrémales.
On
peut
donc
séparer
C
en
p + 1 cônes Co' Cl'
, Cn + p
comme dans le
lemme 2.4. Si Ci est engendré par {Di l '
, Din } , on pose
W i = W ~i l ' ... '~in) , Ei = {f!./ (E!., ~k ) ~ l , 1 ~ k ~ n} ,
et Si = {~ E Ln /[~ < l~ pour tout ê..E Ei } .
D'après le cas
p = 0,
on a
w (Ln) = Si'
D'autre part,
i
Si
est, à un ensemble de mesure nulle près, égal à f- 1 (Ci () EO ) •
Cela montre que la famille
(Wi )i= 0, l, ... ,p
vérifie la propriété
(ii) du lemme 2.3, et le cas p ~ 1 est démontré.
Démonstralion
du
lemme
2.4. - On' opère
par
récurrence
sur l'entier
p.
Le cas
p = 0
étant évident, on fixe
p ~ l ,
et on suppose le lemme démontré jusqu'à l'ordre p - 1 .
Quitte à effectuer une pennutation des indices, on peut supposer
que Dl ' ... , On _ 1 sont sur une même face de C.
~lais par Dl ' ... , On -2' il passe exactement deux faces (cf [~l,
12.1.12) la deuxième ~tant engendrée, disons, par DI ' ... , Dn _ 2 ' On'

---

94
P. SARGOS
Alors les demi-droites DI"'"
0" _ 2 ' D" ... 1 ne font pas partie
d'une même
face de
C,
et
l'hyperplan qu'elles engendrent
Dl
sépare C en deux cônes polyé-
draux C' et Cil (cf figure l).
o
figure 1
Ces deux cônes admettent respectivement :
{DI'"
.,0" -2 ,0"+ l ' Dil , .•• ,Dik ,}
et
{DI' ... ,0"_2 ' D" + l , Dj l ' ... , Oh"}
comme
ensemble
de génératrices extrémales, avec
{il"'"
ik,} n {j 1 ' ••• ,ik" } = (/J •
En
particulier
on
a
k' + k" = p + l.
Par
hypothèse
de
récurrence, on peut décomposer
C'
et
C"
respectivement en
k'
et
k"
cônes à
n faces. On obtient ainsi une décomposition
de
C
qui répond à la question. Ceci achève la démonstration
du lemme 2.4, et par suite celle du lemme 2.3.
Remarque 2.5. - Soient
w.= W(~I , ... , ~"), w' = w(ql ~I , ••• , q" ~)
où les qi sont des nombres positifs. L'application
w" : ~ -
(X~I •••• • x~")
est une bijection de L"
dans L",
et on a w' = w 0 w". On en
déduit l'égalité w(L") = w' (L").
Supposons
que, dans (2.7), les
l
soient à coordonnées
k
rationnelles.
En
donnant
à
q 1 ' •••• q"
des
valeurs
entières
convenables,
on
peut
alors remplacer,
dans
la
conclusion
du
lemme 2.3,
wi = W(~il""'~) par w; = w(ql ~il , .•.• q" ~") En".

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
95
Démonstration du théorème 2.1. - On considère d'abord le cas
où il y a un seul polynôme
P (cas r = 1). Soit JTt l'ensemble
des
monômes
extrémaux
de
p.
et
soit
!~E JTt.
On pose
SQt = {~ E Ln /!.f! >!t!. pour tout QEJTt.
Q*~}; on désigne
par
EQt
le cône polyédral
de sommet ~ engendré par lb (P) ;
celui-ci- admet une écriture du type (2.7) avec des ~
à coor-
données rationnelles. On en déduit, par la remarque 2.5, qu'il
existe une famille fmie
(wl!oj)j
d'éléments de
nn
telle que
S~
soit
réunion
disjointe.
à
un
ensemble
de
mesure
nulle
près,
des
w~.1 (Ln).
On remarque, par ailleurs, que
(w~.jx)~ est
nécessairement le plus grand monôme de P 0 w~.j .
On procède ainsi
pour chaque
:!~ E Jl!.
et on aboutit à
une famille
(w~.j)~.j d'éléments de nn' Comme les S~ consti-
tuent, à un ensemble de mesure nulle près, une partition de
Ln.
on
voit
que
la
famille
(wQt j)Qt i
vérifie
les
propriétés
(2.4)
_ .
::J
et (2.5).
On suppose maintenant
r = 2
(le cas
r > 2 ne présente
aucune difficulté supplémentaire). A la famille
Jl! 1
des monômes
extrémaux de
Pl'
on associe la famille (W 1 •••• , W m ) comme
ci-dessus.
Puis
on
recommence
pour
chaque
P2 0 wJc;
en
remarquant que les monômes extrémaux de
P2 0 w
ne peuvent
k
provenir que
des monômes extrémaux de
P2'
on en déduit
à nouveau une famille
(W~. l ' ..• , w~.PJc)' qui ne dépend que
des w
et des monômes extrémaux de
P
i
2 '
vérifiant (2.4). et
telle que chaque P2 0 w k 0 W~. 2 possède un plus grand
monôme.
Il est maintenant facile de vérifier que la famille:
(W k 0 W~.2)1 <; k<;m
t<;2<;Pk
vérifie
(2.4) et (2.5). Le théorème 2.1 est entièrement démontré.
3. EXISTENCE D'UN DEMI-PLAN DE CONVERGENCE
:'-tous
nous
proposons
tCt
de
precISer
les
questions
de
convergence attachées à 1'étude de la série
Z (R , 17 ; s) .
Nous
considérons simultanément l'intégrale

---

96
P. SARGOS
(3.1)
dont les propriétés analytiques nous seront utiles plus loin.
THEOREME 3.1. - Soient
17 E Rn
et
R = f.
une
fraction
Q
rationnelle de
D(X
, ••• , X
1
n )
satisfaisant à la condition (1.]).
La
série
Z (R, 17 ; s)
et
l'intégrale
Y(R, 17 ; s)
possèdent
une abscisse de convergence absolue commune finie aa = aa(R, 17)
qui ne dépend que de !1
et des monômes extrémaux de
P et
Q;
si
17 E Nn ,
alors
aa
est un rationnel
> o. De plus, dans
les deux- cas, il y
a convergence uniforme dans chaque demi-
bande
horizontale
fermée
contenue
dans
le
demi-plan
a > aa
et il y a divergence absolue pour a = aa .
Démonstration. - a) On
désigne
par
P*
le
polynôme
déduit de
P
en remplaçant les coefficients de
P par leur partie
réelle. On définit de même
Q*,
et on pose
R* = p* 1Q*, et
p = max {p(P), p(Q)} (cf (1.2)) ; on a p < 'TrI '2- , et
1
cosp R*(x) ~ IR(x)1 =e;;;; - - R*(x) (x E Ln).
(3.2)
-
-
cosp
- -
Utilisant
l'égalité
IR(~)-"I = IR(-!)I-O erAIg R (~),
on
obtient
l'estimation
R(!)-.fXR*(~)-O (!ELn ;a =e;;;;a=e;;;;0z; Itl=e;;;;B)
(3.3)
1
qui montre qu'on peut se restreindre au cas où
P et
Q
sont à
coefficients
positifs,
ce
que
nous
supposerons
dans
toutes
la
suite de la démonstration.
b) A l'aide du théorème des accroissements finis, on obtient :
v~
_ R(~- 0 U
n (v_ + 8)~
_
R(v +
_ 8)-0
_
(3.4)
uniformément
par rapport
à
~ E N*n '!!.. E [0, 1]" , al =e;;;; a ~ az .
En
intégrant
chaque terme
de (3.4)
sur
[0, 1]"
par rapport
à la variable !!.., et en sommant ensuite sur tous les !:. E N*", on
voit que l'intégrale et la série convergent ou divergent en même
temps.
c) On suppose donc
P
et
Q
à coefficients positifs et on
cherche les valeurs de
a
pour lesquelles l'intégrale
Y(R, 17 ; a)
converge.

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
97
Soit
(W I ' .•. , W",)
une famille d'éléments de Sln
aSSOClee
aux monômes extrémaux de P et Q vérifiant (2.4) et (2.5). Pour
chaque
k, 1 ~ k ~ m,
po w
et
Q
possèdent un plus
k
0
w k
grand monôme; on peut donc écrire R 0 w k (!) = !~k f k (!) .
Dans
cette
identité,
f
désigne
une
fraction
rationnelle
k
1
1
en
, . . . ,
à coefficients positifs, non nulle à l'infIni, et
Xl
X n
qui vérifie donc : f C~) ~ 1 (! E L
k
11 ) •
De plus, l'hypothèse (1. 1) implique que chaque Àkl( 1 ~ k ~ m ,
1 ~ j ~ n) est un entier> O.
Maintenant,
en
utilisant
successivement
(2.6) et (2.2), on
obtient:
'"
=
I
k==l
avec C > 0 et & E Rn ; si !1. E Nn , alors Ek E Nn .
k
On
vérifie
alors que
toutes les propriétés annoncées sont
satisfaites si on prend
aa(R,!?) = max{~ki(Àk/)-I/l ~k~m,l ~j~n}.
Le résultat suivant découle simplement de l'étude précédente
LEMME 3.2. - Le
nombre
aa (R , 11)
est
le
plus
petit des
réels a satisfaisant à la majoration:
Démonstration. - Avec les notations précédentes, on a :
(wk~)'l(R 0 w k (~»-a IJ
(~)I = C
Wk
k ~-a~k+~k-~fk(~)-a
pour chaque
k( l ~ k ~ m)
et ! E Ln.
Mais, pour
a ~ aa' on
a J.Lki - aXki ~ 0 (l ~ k ~ m ; l ~ j ~ n), d'où:
i R 0 w
(~) la »
k
(W k .:!)'l.. ~~!.. lJ
(!.) 1(~ E Ln)
wk

---

98
P. SARGOS
et aussi »(Wk ~)~+!... d'après (2.2). On en déduit
IR(~)IO »!~+! (~Ewk(L"».
(3.5)
Cette dernière majoration, vraie pour .! E w (L"), J'est aussi
k
m
pour ! E Yw (L"), donc pour ~ EL", et pour chaque
k
(J ~ (Ja •
D'autre
part,
pour
0 < (Ja'
la majoration (3.5)
ne peut
avoir lieu pour chaque k, d'où le lemme.
Remarque 3.3. - Pour montrer que 0a (R'!I) ne dépend que
de !I et des monômes extrémaux de P et Q, on peut procéder
directement, sans utiliser le théorème 2. 1 : on désigne par Pole
polynôme obtenu en faisant la somme des monômes extrémaux;
définissant de même
Qo' on pose
Ro = Ro/Q o' Notre assertion
est alors conséquence de l'estimation élémentaire:
Remarque
3.4. - Si
P E D [Xl' ... , X" ]
n'est
pas à coef-
ficients positifs, il se peut que 0 Q = OQ (P '!I) ne soit pas un pôle
pour
Y{s) = Y(P '!1 ; s).
Par
exemple,
si
on
prend
n = 2,
P{x ,x
x
+ bX = (ax + b)x
I
2 ) = aX I
2
2
I
2 ,
et
!1 = (2,4),
alors on a 0
=
Q
5, et
Y{s) = [- r-xi x; P{x ,X )-1 dX dX
I
2
I
2
• l
JI
_
x
_
2
1
les)
=--.
= u: (ax +b)SdX
(J:
I )
x;-ldX 2 )
s-5
l
où [
est une fonction holomorphe de s pour (J > 3. Pour un
choix convenable de a et b dans D, on a [(5) = o.
4. PROLONGEMENT MEROMORPHE DE LA FONCTION
Y(R.!l.;s)
On établit maintenant l'analogue des théorèmes 1.2, 1.3 et
1.4 pour l'intégrale
Y,
en vue de l'étude de la série
Z
qui
sera faite aux paragraphes 5 et 6.

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
99
4. 1. Préliminaires.
Le prolongement méromorphe de la fonction
À -
fol x~ f(x)dx
s'obtient
naturellement
au
moyen
d'intégrations
par
parties
(cf [9]). La généralisation au cas des intégrales multiples:
(À I , .•. , À ) -
11···1Ix~I ... x~nf(xl ,... ,xn)dxl ... dx
n
n
o
0
implique des écritures extrêmement lourdes; aussi est-il préférable,
dans le cas où f est analytique, d'utiliser les "contours de Hankel",
dont on rappelle maintenant les propriétés essentielles.
Pour e > 0 assez petit, on défInit le contour de Hankel It
comme étant le "chemin limite" dans
e\\R+ qui part du point
1 + iO, suit l'axe réel jusqu'au point e + iO, décrit le cercle Ct
de centre 0 et de rayon e dans le sens direct, puis suit à nouveau
l'axe réel de e - iO à
1 - iO . Rappelant la convention, concer-
nant la notation e", établie au § 0, on obtient le :
LEMME 4.1. - Soient fez 1 ' ••• , zn) une fonction holomorphe
au voisinage de
[0, 1Jn
dans
en,
et !. un élément de
en
vériFUlnr Re "A; > 0 et À $. N pour chaque
J
j.
Alors pour e > 0
assez petit, on a :
L À
dX
dx
I
n
x-f(x) -
'"
-
ln -
-
XI
X n
où, dans / 'intégrale de droite, on doit prendre ~~ égal à
exp ( i Àj log Zj ) .
1
La
démonstration
du lemme 4.1
se déduit, par itération,
de celle, classique, du cas n =: 1 (cf [ 15 J. § 4.41).
On achève ces préliminaires par l'énoncé de quelques résultats

---

100
P. SARGOS
extrêmement simples; ceux-ci ont été introduits pour alléger les
démonstrations
du
§ 4.2,
dans
lesquelles
on
en
fera,
sans le
mentionner, un usage constant.
LEMME 4.1. - Soient Z l ' ... ,zn E D vérifiant
Arg z/ '" P < 11' / 2 (j = l , . . . , m) .
Alorsona IArg(f. Zj) l ",,"p, et 15: z/ 1~ cosp flz/I.
1
1
1
On rappelle que la fonction
t -
Arg t a été définie, au
§ 0,
dans
C \\R _. On obtient un prolongement
naturel
de la
fonction
t --+ IArg t 1
à
C \\ {O}
en
posant
IArg t 1 = 11'
lorsque t est un réel négatif.
LEMME 4.3. - Soient
u
et
v
deux
nombres
complexes
de module 1. Pour tout K > l, on a :
11'
IArg(u + v/K) l '" IArg u 1 + 2K'
LEMME 4.4. - Soient
u
et
v E D ,
de module l, vérifzant
IArgvl"'IArgul+8(OE;;8<1I'/2-Argu).
Pour
tout
K>l,
on a: IArg(u + v/K) 1 <; IArg u 1 + 8/K.
En particulier, si
u E D et v E C ont même module, on a,
pour
tout
p E[O, 11'/2 [,
IArg(u + v/K) 1 <; IArg u 1 + O(8/K),
(4.1)
unifonnément pour 8 ~ 0, K > 1 •
IArg u 1 E;; p, IArg v 1 <; IArg u 1 + 8.
4.2. Cas où P et Q ont chacun un plus grand mon6me.
Nous nous proposons de construire le prolongement méromorphe
de la fonction
s " ' - Y(R.!l.; s)
dans le cas le plus simple :
celui où
P et
Q possèdent chacun un plus grand monôme. On
pose :

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
101
(aa =1= 0, hg =1= 0; ~ > /3" j = l, ... ,n)
(4.2)
-
-
~ = ~ - ~,~ = !1 + !.' N =
p.p.c.m(À l ,···, À,,).
D'autre part, si H~) = c.§.~! + L coy~! est un polynôme
,.<6
-
possédant un plus grand monôme x!, on pose
H(~) =~~ H(_l ,'" ,_1) =Cs + L C~_!~!.. (4.3)
Xl
X"
-
!<;!
,,"0
Soit également R = P/Q.
"
(1
1)
Par le changement de variables (x l ' " .. ,x,,) ~ - , ... , -
on obtient, pour a > aa :
X 1
X"
-
dx
dx
Y(R,17 ; s) =
F~-~ R(!)-S _1 ... _" .
(4.4)
-
11"
X 1
X"
On cherche maintenant à appliquer le lemme 4.1. Soit
Vt = {~E C/ i~ 1 <; e ou bien ~ E [0, l]}.
Pour
! EV: '
on
peut
é~rire
P(!) = u(!) + ()(e),
avec
IArgu(z)1 ~p(P),
d'où
IArgP(z)1 ~p(P) +O(e),
et de même
IArg Q(~)1 ~ p(Q) + ()(e).
Pour - e> 0
assez
petit,
PCV
et
Q(!) sont dans D lorsque !
re~te dans un voisinage de~ V: dans
C" ,
et
la
fonction
! ~ R(z)-.r = exp(- s Log R(~)
est
holomorphe dans ce voisinage. On obtient donc, pour e > 0 assez
petit et a > aa :
Y(R,17 ; s) = Ii (e(sÀ) - 1)-1 r z.r~-~ R(z )-1 dz 1 '" dz" ,
-
,= 1
1
JI" -
-
Z
z"
t
1
(4.5)
où l'on a posé ~.r~-I! = exp( f
(S~ ~ Il,) log z,).
,= 1
L'intégrale figurant au second membre de (4.5) est bien définie
pour toutes les valeurs de S,
et représente une fonction entière.
"
D'autre
part,
la
fonction
s t----+ jD! (e(s~) -
1)-1
est une
fonction méromorphe dans C; ses pôles sont d'ordre ~ n et situés

---

102
P. SARGOS
aux points s = k/N, k EZ.
La formule (4.5) constitue donc une
écriture du prolongement méromorphe de
Y (R , 11 ;. ).
Nous avons
prouvé le résultat suivant:
LEMME 4.5. - Conservons
les
notations
(4.1).
La fonction
y (R , 11 ; s) .
définie et holomorphe dans le demi-plan
0 > 0 a '
admetun prolongement méromorphe à tout le plan complexe. explicité
par la formule (4.5). Ses pôles sont réels. d 'ordre ~ n. et situés dans
N
l'ensemble 0 a -
N'
On veut maintenant majorer
Y (R , 11 ; s)
lorsque la variable
s reste dans une demi-bande verticale située en deçà de l'abscisse
de convergence absolue. Pour les besoins des § 5 et 6, on cherche
des majorations uniformes par rapport aux coefficients de
P et
Q.
On
conserve
les
notations
(4.2);
on
pose
également
P = pep) + p(Q) (cf (1.2)) et
M = max {la,.!' Ib 1;1
li
E supp P'! E supp Q} ;
-
-
On suppose enfin qu'on a Re ao. ~ 1 et Re b ~ 1.
6
-
-
LEMME 4.6. - Dans ces conditions. on a la majoration
Y(R,'7;s)«ePlfIMICJI+I~I+2n (l +M-CJI~I)
(4.6)
uniformément
pour
pep)
et
p(Q) ~ Po < Tr/2.
Démonstration. - a) Le point de départ est la fonnule (4.5)
dans laquelle on choisit
E = (KMr 1 , K étant une constante assez
grande, qui ne dépend que de Po
et de ~, à fIxer ultérieurement.
Dans un premier temps, on remarque que, pour! E V:' on a,
grâce à la condition Re a~ ~ 1 et Re b~ ~ 1 :
IArg P(!.) 1~ p(P) + O(l/K),
et
IArgQ(!)1 ~p(Q) +O(l/K).
Ceci montre que pour K ~ KI (K 1 ne dépendant que de a),
la fonnule (4.5) est justifiée comme précédemment.

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
103
b) Pour transfonner l'intégrale l" [(=..> d:- qui apparaît dans le
~
deuxième membre de (4.5), on décompose l~ en trois parties: le
segment
orienté
[1 + iO, e + iO]
que,
pour
des
raisons qui
apparaîtront
plus loin,
nous
noterons
l',
le segment orienté
[e - iO, 1 - iO] noté 1", et le cercle C~
parcouru dans le sens
direct, noté 1*, de façon à obtenir la décomposition:
On procède ainsi pour chacune des n intégrations successives
dans l'expression
r . On obtient alors r [~) d~ comme
JI"
JI"
~
~
la somme des 3" tennes qui sont tous, moyennant une permutation
des coordonnées, de la forme:
r , dz.' r "dl" r . [(1' ,1", z.*) dz.* ;
(4.7)
JI'"
JI""
JI-"
dans cette écriture, n', n" et "n* désignent trois entiers ;;;. 0 dont la
somme est n,
et on a posé l = (z~ , .. . ,z~,) = (Zl' .. • ,z,,')'
"
( "
" )
(
' )
z. = Zl'.·. ,Z,," = Z"'+l' ... ,Z"'+,,H , et
c) Pour des raisons de symétrie, on peut, pour prouver (4.6),
se restreindre au cas où t est positif. On suppose donc dans toute
la suite
t;;> 1.
Alors on a
. "
Il
(e(sÀ,) -
1)- 1 = 0(1),
et il
1 = 1
suffit de majorer l'intégrale
On
pose,
pour
simplifier,
X = Tl + 2 = p. + !.
Etant
donnés
n', nIt
et
n*
comme précéd~mment,-on pose Z = (z', z", z*),
"~ = (~' .~" , À*) et X = <!' ,:l' ,X*) (À' étant déf;i -co~me
z.', etc ... ). Le tenne correspondant à (4.7) s'écrit:
J"..
.,.'I~'-X' d' J:
",~"-'l(" d " J:
*.r~--x· ....R( )-1 d *
,
-
-
-
Z
" Z
-
-
Z
•
Z
-
-
Z
Z
l'"
-
-
1""
-
1-"
- -
(4.8)
Il reste à vérifier que le terme (4.8) vérifie la majoration (4.6).

---

104
P. SARGOS
d) Soit ~ = (!' 'J." ,~*) El'''' x 1""" x 1*"· . On pose
• * -- (
i8 1
i6". )
(0
ee
, ... ,ee
< 0Il <,.,
fi
1
~1T,A.=
, •••
*
,n).
On regroupe les tennes de P(;) en deux parties : la première
est
fonnée
de
tous
les
monômes
où
n'apparaît
aucun
des
z;(Q = l, ... , n*),
la
deuxième
étant
constituée
des
autres
monômes. On obtient alors l'écriture
P(z) = u(z', z") + v(z),
avec IArgu(~' ,=..")1 ~ pep), lu«( ,.=")1 ~ I~
- -
PI·
IArg v(;)1 ~ pep) + ~ ex; 011 ,
~= 1
et v (~) = O( 1/K) . On en déduit :
~
( 1
IArg P(z)1 ..; pep) +0 -
-
K
Si on fait de même pour Q, on trouve
l
".
IArg R(.)I ..; p + O( - ~ (ex; + f3;) 011),
K 1
Pour K ~ K
(K
ne dépendant que de ex et de po), on obtient
2
2
PI·
IArg R(=..) 1 ~ p + 1/2 ~ 0
pour
z E l'''' xl""" x 1*":
11 ,
1
D'autre part, on a M- 1 «R(=..)« M <.= E 1"), d'où finalement:
t
PI·
R(.)-" «epr ioi
M
eX
(4.9)
P("2 t 011 )
uniformément pour
t ~ l,
al ~ a ~ a
z El'''' x 1""" x 1*"·
2 ,
-
,
M ~ 1. On majore maintenant I.t~-l! 1; on a
et
PI·
I=.*"~·-~·I";E'0I~I-I~·1 exp(- t ~ À; 0 ),
11
1
d'où
PI·
1!"~-l!.1 ~ 2" e-I~I (1 + E'0 I~I) exp(- t l OrJ
.(4.10)
1
,
H
•
pour
z El'" x 1""
x 1*"
et
t > O. Si on reporte (4.9) et

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
lOS
(4.10) dans (4.8), en remplaçant
e par (KM) - l, on obtient la
majoration annoncée, et le lemme 4.6 est démontré.
4.3. Cas général.
Soient R = P/Q E O(X 1 , •.• , X,,) vérifIant (1.1), et !l E N" .
Nous allons voir que le cas général où P et Q ne possèdent pas
nécessairement un plus grand monôme se ramène à l'étude faite à la
section précédente.
A la fanùlle des monômes extrémaux de P et à celle de Q,
on
associe
w
En", vérifIant (2.4), de façon que
1 , ••• , w m
chacun
des
polynômes
po w
et
Q
possède
un
plus
k
0 w k
grand monôme. O'après (2.6), on a :
Y(R,!l;s) = k~l~" (wk:!)!l Rowk(~)-.r IJWk(:!)I~.
Mais
(w x)!
est un monôme, et
J
k
W k (x)
est le produit
d'un entier par un monôme; on peut donc poser:
.
Pk
R = -
k
Qk
(4.11)
Avec ces notations, on obtient la fonnule :
Y(R 17' s) =
~ c 1 X!lk R (x)-.r dx = V
, _ •
-
k
L" -
le -
-
-
1e=1
1e=1
qui pennet de ramener l'étude de
Y(R J 17 ; s)
à celle du cas
déjà traité où
P et
Q ont chacun un plus grand monôme. On
remarque que si R vérifie (1.1), il en est de même de chaque Rie'
et
qu'on
a
ua (R,17) = max ua (Rk , 171e)'
Comme
conséquence
immédiate de (4.12) et du leIcine 4.5, on obtient le
THEOREME 4.7. - Soient
R = P/Q E O(X , ••• X'I)
vérifiant
1
(1.1), !1EN" et ua = ua (R,!!).
La fonction
Y(R'!1 ; s).
définie et holomorphe dans le demi-
plan
U > ua'
admet un prolongement méromorphe à tout le plan
complexe. Ses pôles sont réels. d'ordre
' n ,
et situés dans
un

---

106
P. SARGOS
1
ensemble de la forme
a -
N N, et il existe un entier }\\'''', ne
Q
dépendant que des monômes extrémaux de P et Q, tel que N
divise N"'.
La formule (4.12) permet également de généraliser le lemme
4.6. On introduit d'abord les notations:
P(x) = ~ aer !.! • Q(~) = I al!..!.~
~
Ib~1/ su~p
} M
max'\\ I:!!.I,
'!' E
p. Il. E supp Q}
(4.13)
\\
p = pep) + p(Q).
On suppose en outre que si !.. ~
est un monôme extrémal
de P (resp. de Q). alors on a Re a er ~ 1 (resp. Re ber ~ 1).
THEOREME 4.8. - Sous
l 'hypothèse précédente, il existe une
constante
BI > 0 qui ne dépend que des monômes extrémaux
de
P et
Q.
et une constante B > 0 qui dépend en outre de
2
11.
tel/es que, pour chaque a 1
et a2 E R (a 1 < a 2) et chaque
Po E(O.1I'/2[, on ait
Y(R.!l ;s)« ePltl Cl + M- B 0
I
) M 101 + B2
(4.14)
uniformément pour
Itl ~ 1.
al ~ a ~ a
pep)
et
2 •
M ~ l,
p(Q) ~ Po'
4.4. Coefficients de la série de Laurent de la fonction Y aux pôles.
Nous allons maintenant établir les résultats concernant l'ordre
des pôles aux entiers négatifs et la nature de certains coefficients
du développement en série de Laurent de
Y
aux pôles. Nous
montrerons au § 5 que, dans le cas n ~ 2, ces coefficients sont
les mêmes pour Y et pour Z.
THEOREME 4.9. - Soit
K' le sous-eorps de
C
engendré par
les coefficients de P et Q.
Si So est un pôle pour Y (R. !1 ; . ),
on pose: Y(R.11 ;s) =
L vI! (so) (s - so)l1. Alors
Il;>-'1

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
107
(i) v_ n (so) est algébrique sur K
(ü) v_ n (0) = 0
et
v_ n + 1 (0) E K ;
si
So E - N
alors
v_ n (so) E K
(ili) si Q == l, et si So est un entier négatif, alors v_ n (so) =0
et V_ +
D
1 (so)EK.
Démonstration. - La fonnule (4.12) pennet de se ramener au
cas où P et Q possèdent chacun un plus grand monôme, hypothèse
que nous supposerons vérifiée dans la suite. On adopte alors les
notations (4.2), et on prend comme point de départ la fonnule
(4.5).
On pose Y(s) = Y(R, 17; s) = f(s)g(s), avec
(2i7r)n
f(s) = - - - - - - , et
n
fI
(e(s\\) - 1)
i =1
1
r
.....
dz
dz
( )
- -
J,'n
z.r1-~ R(~·)-.r _1 ..• _n
g S
= (2 i 7r)n • le
Z 1
Zn
(on rappelle que les ~ et /lI sont des entiers > 0) ;
a) On suppose que
So
est un pôle d'ordre n
pour f, ou,
ce qui est équivalent, que So À
est entier pour chaque j.
On a
I
alors, au voisinage de So 1
et donc
Pour calculer
g(so),
on remarque que, d'après l'hypothèse
"So"i E Z
pour chaque
j",
la fonction ..;. -
.!.r o ~ -~,
définie
au moyen de la fonction "log" (cf lemme 4.1), est holomorphe
dans (C \\ {o})n ; par conséquent:
dz 1
dZ
1
g(so) = .
1 z"o ~- ~ .....
n
R (z )- "0 -
... - ,
(2Z7r)n
c~ -
-
Z 1
Zn
où
Ce
désigne le cercle de centre
0
et de rayon
€
parcouru
dans le sens direct. Pour que So
soit un pôle pour
Y,
il est
nécessaire
d'avoir
So ~ Ua'
ou
encore
/li - So À ~ 0
pour
j
chaque j.

---

108
P. SARGOS
On a donc, pour So ~ a ,
Q
g( s ) -
1
d!!-$O~ (R(x)-SO)I _
o
-
(
_
") ,~
(4.16)
- ! - Q
~
So ~ .
oct 1 + ... + o." )
(avec
la
notation
~! = al ! ... a,,! et d~ =
.
:x
~ QI
0 o."
-
ux 1
'"
x"
De (4.16), on déduit que, dans tous les cas, g(so)
est algébrique
sur
K"
puisque
So
est rationnel. Si de plus So
est un entier
négatif, alors
g(so)
est dans
K.
D'autre part,
g(O)
s'exprime
comme la dérivée d'ordre > 0 d'une fonction constante, et g(O)
est nul.
Enfin,
si
on
suppose
Q == 1
et
So = - q E -
N ,
alors
g(so)
s'exprime
comme
une
dérivée,
d'ordre
/lI + q À
par
i
rapport à chaque
xi'
d'un polynôme dont le degré par rapport
à Xi
est
q À ; cela implique que g (SO )
est encore nul dans ce
/
cas.
Par (4.15),
toutes ces propriétés établies pour
g(so)
sont
également valables pour v_" (so) .
Il reste à voir que v_" + 1 (0)
est dans
K,
et que, si Q == 1
et
q EN,
alors
V_ n + 1 (- q)
est dans
K.
Nous nous conten-
terons de démontrer ce dernier point, le premier pouvant être
établi par un raisonnement analogue.
b) On suppose
Q == 1
et
n ~ 2,
renvoyant
à [13] pour
le cas n = 1. On fixe q EN, et on va montrer que 1:_ n + 1 (- q)
est dans K.
D'après l'égalité
V_ n (- q) = 0
démontrée
ci-dessus, on a,
au voisinage de - q :
Y(s) = g'(-q)
(s + q)-n+l +O(ls + ql-n+2).
À
. . . À
I
n
Il faut donc montrer que g'(- q)
est dans
K.
En dérivant
n
g, on obtient g'(s') = L
À hj(s) -
h(s), où on a posé
i
i=1
,..
dz
dz
z$~-~ P(z)-"' logZj _1 •.. _n,
hj(s) = (2:1T)n J:~ -
-
ZI
Zn
et
1
1 À"
,..
dz 1
dzn
h(s) = - -
Z"'- -~ P(z)-"' Log P(z) -
... - .
(2i1T)n
l~ -
-
Z1
Zn

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
109
On étudie successivement les termes h j (- q) et h(- q).
On
remarque
d'abord
que
la
fonction
Z
~ Zl~-~
est
holomorphe
dans
(C \\ {O} )n
et
donc
que, dans l'écriture de
h (- q),
l'intégrale sur 1~ se réduit à une intégrale sur C~. La
formule de Cauchy implique alors:
h(- q) =
1
[d:~+~ (P(x)q Log P(x)I -o'
(q~ + W!
-
-
- ~--
Si
on
pose
cfl~+~(uv) =
~
c~.:J...d~ud~v, les ca •fJ
~+!=q~+~
étant des entiers, on obtient:
1
q ~
A
h (- q) =
•
Log P(O) [d - +H (P(~))q Ix = 0
(qÀ+,u)!
-
~
+
1 -
r -
l:
Ca iJ[d; P(x)q]x=o [d}LogP(x)Ix=o'
lqÀ T" ,u). a+t1=qÀ+~ -'-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
--
(J :F Q..
Le premier terrnedu membre de droite est nul et le second
est
dans
K,
car
chacun
des
tennes
[d~ P(~)q I~='!. et
[d~ Log PC~)I~=~, pour f!.. =I=~, est dans K.
Il reste à montrer que
h / - q)
est dans
K,
par exemple
pour
i = 1.
Comme
on
a supposé
n ~ 2,
on
peut
écrire
!. = ci, Zn)'
avec !' = (z 1 ' •.. , Zn _ 1)' On pose À = (~' , Àn ),
etc... , et on obtient:
hl (- q) =
l
f
..'-q?J,.'-{
(2 i 1T)n - 1
1n- 1
•
I!
log: (_1f
1
2i1T
le
Mais l'intégrale entre parenthèses est égale à
aqÀn +~n
]
~
(
À
)'
a q~n+Jln
[
p(l,zn)q
= '
q n
,un'
Zn
Zn
0
toujours parce que l'ordre de dérivation dépasse le degré. Cela achève
la démonstration du théorème 4.9.

---

110
P. SARGOS
5. DEMONSTRATION DES THEOREMES 1.2 ET 1.3
5.1. Une fonnule sommatoire.
Dans cette section, on exprime la série
)- f(~) SOUS
J'EN en
forme
d'une
intégrale
complexe
(formule
(5.5»,
moyennant
certaines conditions
sur
l'analyticité
et
la
croissance
de
la
fonction
f;
puis on décompose cette intégrale pour se ramener
soit à des intégrales réelles, soit à des intégrales qui "convergent
bien" (formule (5.6».
Par souci de clarté, on expose d'abord
le cas n = 1.
a) Soit
f(z)
une
fonction
holomorphe
au
voisinage
de
l'ensemble
1
r = re = - + {z E C / 1Arg z 1 ~ e}
2
où e est un réel donné E] 0 , 11"/2]. On définit les deux chemins
"rot et "r _ de la figure 2, de façon à avoir
figure 2
o
1/2
2

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
111
ar désignant le bord orienté de r. On suppose que, pour un
certain 0 > 0, f vérifie la majoration : f(z)«
Iz /-1-6 (z Er).
Par un calcul de résidus, on obtient la formule:
f
1 fez) d
(5.1)
-
f(v) =
al'
(
) _
1 z
JI= 1
e z
(cette formule est bien connue dans le cas
9 = rr/2;
voir par
exemple [10 D. On décompose alors :
1 fez)
e(z)
dz
dz =1 fez) dz +1 fez)
'1+
1 -e(z)
'1+
'Y+
1 - e(z)
et on écrit
-1 fez) dz =1 fez) e(-z) dz'
'1-
1 -e(z)
'1_
1 -e(-z)
,
fmalement, grâce au théorème de Cauchy, on trouve:
Ï f(v) = 1- f(x,) dx
JI = 1
1/2
(
)
l
ez
1
e(- z)
+
fez)
dz +
f(z)
dz.
(5.2)
'1+
1 - e(z)
'1-
1 - e(- z)
L'intérêt
de
cette
décomposition
réside dans le comportement
e(±z)
asymptotique
de
la
fonction
z t---+
pour
z E "'ft. ;
1 - e(± z)
on a
e(z)
- - - = O(e-211'IZI lin 8) (z E"'f+)
1 - e(z)
(5.3)
e(-z)
,
- - - - = O(e- 211'Izi S1I1 8) (z E "'f_J.
1 -e(-z)
b) Soit fez l ' ... ,zn) une fonction holomorphe au voisinage
de r n dans en vérifiant, pour un certain 0 > 0, la majoration :
f(~) «lz
6
Cf E r n
1 ., • zn 1- 1 -
).
(5.4)
Une utilisation répétée de (5. I) donne:
f(v) = J" ... J"
dz 1 ... dz
-
ar
ar
n •
(5.5)
ri
Tl
[e(zj)-l]
i = 1
La décomposition qui permet de passer de (5.1) à (5.2) peut être
appliquée à chacune dt=s
n
intégrations successives ci-dessus. On

---

112
P. SARGOS
obtient alors
V f(~
comme la somme de
3 n
tennes qui sont
-~
chacun,
moyennant
une
pennutation
des
coordonnées,
de
la
fonne:
[ ·.. f (1" "'1"" f(ZI""'Zn"X1""Xn")
. l t
7 ±
1/2
1/2
L . - - - n '
1
n " ---'
dx 1 • • • dxn" )
e(±zl)
e(±zn')
(56)
~-~-- dz l ··· dzn,
.
1 -e(±zl)
1 -e(±zn')
où
n'et
n"
sont deux entiers de somme
Il.
Le tenne qui
correspond à n' = 0 est
f ..
f" f(;5) d;5 = 2- n r f( ~) d~.
1/2
.••
1/2
J Ln
..
5.2. Application à la série Z(R,!l. ;S).
."
...- ..11 R(")-S
On veut maintenant montrer que la fonction .,
~-.,
-
-
-
peut
être
défInie dans un certain
(re )n
et qu'elle y vérifie
une majoration du type (5.4) pour u > Ua'
P
LEMME 5.1 - Soient
R = Q E D(XI ' ... , ~)
vériFUlnt
(1.1), !l. E Nn ,
et ua = ua (R, .!O, Alors il existe des réels () > 0
et Po < 7r/2 tels que:
(i)max(IArgP(f.)I, IArgQ(f.)I)~po (.!E(re)n)
(ii) R(Z) » lzi l + 1 ••. z;n+ 1 II/Ua
(; E (re)n).
Démonstration. - Soit
m = max {I~I; ~ E supp P} .
On
choisit
() > 0
tel que
max {p(P),
p(Q)} + m () < r./2,
et on
pose
Po = max {pep) + p(Q)} + m(}.
Il est facile de voir que la
propriété (i) est vérifiée pour un tel choix de
()
et
po.
La
propriété (ii) découle facilement des lemmes 3.2 et 4.2.
Le point (i) du lemme 5.1 nous pennet de défmir la fonction
~ 1--+ I.!1 R(I.)- S
dans
(re )n
au moyen de la détennination
principale du logarithme. La partie (ii) montre que pour U > ua '
elle vérifie la majoration (5.4), et qu'on peut lui appliquer la
fonnule sommatoire (5.5).

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
113
Finalement, on a montré que Z(R,!l; s) est la somme de 3"
termes, qui sont tous, moyennant une permutation des coordonnées
de la forme
!t(s) =
[
.·.1 l..!!'Yo(R(l,.).,.,";s)
''Y-t
,
'Y~
ra'
e(±z.)
' - - - Il
- - - '
il
1
d
d
Z 1 . ..
Z/I',
'=1 l-e(±z,)
où on a posé
(5.7)
Yo(R(~,. ),~"; s)
r-
=
·f- ~!!"R(;,Xl.···.XII,,)-.rdxl···dxlI'"
• 1/2
••
1/2
n = (n' ,,") .!l' = Z17 1
.,17,,'
!!!" = X17,,'+ 1 ••• X~,~ .
(5.8)
:J.
~, :l
' ::
l ' . '~"
'
1
..
Grâce à l'écriture:
Yo(R,!1 ; s) = f- ... f- ~!l R(!)-.r ~
1/2
1/2
f
(x)-.r
= 2-" - '!II L" !!! R 2"
~ (la première égalité étant une défInition)
on voit que les théorèmes 4.7, 4.8 et 4.9, établis pour la fonction
Y, sont encore valables pour la fonction Y0 •
Démonstration
des
théorèmes
1.2 et 1.3.
-
Nous allons
montrer que chaque terme h(s) défmi par (5.7) vérifie les conclusions
des théorèmes 1.2 et 1.3.
a) Si n' = 0, le terme (5.7) correspondant est h(s) = Yo(R, Tl ;s)
qui vérifie les propriétés annoncées d'après les théorèmes 4.7 et-4.9.
b) Si n" = 0, les termes (5.7) correspondants sont de la forme:
1
1
" e ( ± z ; )
h(s)=
...
~!!R(;)-.rrr
dz.
'Y~
'Y
;=1
1 -e(±z,)
-
t
L . . . . . - -
"
- - - - - - l
D'après (5.3), cette intégrale converge uniformément au voisinage
de chaque point s, et représente une fonction entière de s. Dans
le cas
n ~ 2,
toutes les propriétés annoncées sont trivialement
vérifiées. Dans le cas n = l, on doit encore prouver les parties (iO
et (iü) du théorème 1.3 ; le lecteur en trouvera une démonstration
directe dans [13] (cette dissymétrie entre le cas
n = 1 et le cas
n > 1 s'explique ainsi : prenons l'exemple de la propriété (iii) du

---

114
P, SARGOS
théorème
1.3
; pour
n = 2,
elle signifie que les résidus aux
entiers négatifs sont dans K, ce qui est trivialement vérifié par la
fonction entière h (s),
alors que pour n = l, elle signifie que la
fonction prend, aux entiers négatifs, ses valeurs dans K).
c) Les théorèmes 1.2 et 1.3 sont maintenant conséquences du
résultat suivant, qui combine les arguments des deux cas extrêmes
ci-dessus.
LEMME 5.2. - On suppose
n' et nIt *" O. La fonction h(s),
définie
par (5. 7),
est
holomorphe
dans le demi-plan
G > G •
a
et admet un prolongement méromorphe à tout le plan complexe,
Ses pôles sont d'ordre
~ nIt et situés dans un ensemble de la
1
forme
Ga -
N N.
ou l'entier
N ne dépend que des monômes
extrémaux de P et Q.
De plus. l'ordre du pôle à l'origine est au plus nIt - l,
et
sous l'hypothèse
Q == l, l'ordre du pôle à chaque entier négatif
est au plus nIt - 1 .
Démonstration. - D'après (4.12) et (4.5), on peut trouver un
entier N, qui ne dépend que des monômes extrémaux de P et Q,
r i
tel
que,
si
on
pose
g(s) = (e (Ns) - 1)",
la
fonction
(s,Z) ~ g(s) Yo(R(~,. ),12";s) soit continue dans ex (f,)"',
et holomorphe par rapport à s pour chaque ;. fIXé. On pose :
"
( "
e(± z/)
}
,
f(S,l) =g(s)Y().(RCl,·),T7 ;s)
TI
1
(
)~!1.
-
1=1
-e±zj
On va montrer que
h(s)g(s)=l
···1 f(S,l)dzl ···dz"
'h
')' ~
est une fonction entière de s; par le lemme 0.3, il suffit pour
cela d'obtenir une majoration convenable de f(s ,~.J dans chaque
ensemble de la fonne E x 'Yt. x ... x 'Yt., où E désigne un compact
quelconque du plan des s.
~
Soit
g'
a-
P(z ,~J =
L
a l
~- ,
avec
la
notation
R
aElupp P
g = C!!' , ex") . Pour ~ E Ï't. X ••• x 'Y *, les coefficients
du poly-
nôme ~ ..- PCl ,:!J ont un argument compris entre - Po et Po'

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
115
I I '
et un module qui est o( ~ Iz,lm ) (m et Po sont
choisis
comme
dans la démonstration du lemme 5.l) ; le même résultat vaut pour Q,
et le théorème 4.8 donne alors:
,
"
g(s)Yo(R(;,.),!l";s)«.IT
Izjlk (sEE, ~E"Yrx", x"Yr)
1 = 1
(5.9)
pour un certain k> 0 (en fait, le théorème 4.8 ne considère que
le cas
it 1 ;., l,
en raison des pôles de la fonction
Y;
cette
restriction n'est plus nécessaire ici, puisqu'on a multiplié
Y
par
g(s». De (5.3) et (5.9) on déduit la majoration
,
-6 "
1: IZjl
I(s,~)«e
1
(sEE, ZE'Y~x ... x"Y~)
z!l'( ,,'
h(s) = 1 .. ·1
IT
1'+
1'+
'=1
dz [ ..... f" ~'!1." R~ ,!.)-3 ~
-- • 1/2
1/2
est
absolument
et uniformément
convergente
pour
s E E,
où
E est un compact arbitraire du demi-plan a > aa .
Pour prouver (Ü),
on
remarque que, d'après le théorème
4.9, 1(0, z) est nul pour tout 1, et donc qu'on a g(O) h(O) = O.
Le même raisonnement prouver également (ili).
Cela achève la démonstration du lemme 5.2 et des théorèmes
1.2 et 1.3.

---

116
P. SARGOS
6. DEMONSTRATION DU THEOREME 1.4
a) On
commence
par
une
application
du
théorème
de
Phragmen-Lindelof
qui
permet
d'importantes
simplifications
de calculs.
LEMME 6.1. - Soit
f(s)
une fonction holomorphe au VOIS1-
nage du
demi-plan
t ~ l ,
et soit
0a ER.
On suppose qu'il
existe deux constantes A
et B > 0 tel/es que les deux propriétés
suivantes soient vérifiées:
(i) pour chaque 0
et
ER, on a
1
O 2
f(s) « 1 + t- Au + B(OI ~ 0 ~ O ; t ~ 1)
2
(li) pour chaque
0 > 0a'
on a f(s) = O( 1) (t ~ 1). Alors,
pour tout E > 0, et pour chaque 0) et O ER, on a
2
f(s)«
1 + tA(aa-a)+~ (0) ~ 0 ~ O ; t ~ 1).
2
Démonstration. - Soit
p(o) = inf {a> 01 f(s) « ra (r ~ 1)}.
Alors
[15,
§ 5.65],
p(o)
est
une fonction convexe. Comme
p(o) = 0 pour. 0 > 0a'
on a, par continuité,
p(oa) = O.
Pour
0
<; 0 <; 0a' l'inégalité de convexité s'écrit :
1
o
- 0
A(o
-
0) + B--=-a_-
a
°a- O)
Prenant - 0) arbitrairement grand, on obtient:
p(o) <;; A(oa -
0) pour chaque 0 <; 0a' d'où:
f(s) « 1 + tA(aa-a)+~ (t ~ 1),
pour chaque E > 0 et chaque 0 ER.
Une nouvelle utilisation du théorème de Phragmen-Lindelôf
montre que cette dernière estimation est unifonne par rapport à
o E [0) • O2 ], d'où le lemme.
b) une majoration directe de (5.7) ne pennet pas d'obtenir
( 1.3).
Il
faut
d'abord
modifier la fonnule sommatoire établie
au § 5.1.

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
117
Pour le cas n = 1, on part de (5.2), et on écrit l'identité:
e(z)
q - l
- - - = ,
e(vz) +
e(qz)
(6.1)
1 - e(z)
11-: 1
1 - e(z)
q
étant un entier arbitraire
~ 1. Par le théorème de Cauchy,
on t~ansforme l'intégrale (cf figure 3) :
1 f(z) e(vz) dz =fq + 1/2 f(x) e(vx) dx + f
f(z) e(vz) dz.
'Y+
1/2
q +'Y +
fzgure 3
o
1/2
q + 1/2
La formule (5.2) devient alors:
-
f-
q - l jq+l/2
~ f(v) =
f(x) dx + 2 V
f(x) cos 27rVX dx
11= 1
1/2
II-=' 1
1/2
q - l
q - l
+
I.I
f(z)e(vz)dz+r.l
f(z)e(-vz)dz
11=1
q+'Y+
11=1
q+'Y_
(6.2)
e ( qz )
e ( )
-qz
+1
fez)
dz + 1
fez)
dz.
I-e(z)
1 -e(-z)
'Y.
'Y-
..
On obtient ainsi
,
f(v) comme la somme de O(q) termes
-11=1
qui sont de l'un des quatre types suivants:'
f(x) dx, rq + 1/2 f(y) cos 27rry, 1 feu)
e(± qu) du
J 1/2
'Y±
1-e(±u)
ou 1
f( v) e (± ru) dv ,
où
r
est un entier compris entre
q +'Yt
1 et q - 1.

---

118
P. SARGOS
On passe maintenant au cas
n ~ 2.
En procédant comme
au
§ 5.1,
on
voit que
la série
s'exprime comme
la somme de
O(q")
termes, qui sont chacun, moyennant une
permutation des coordonnées, de la forme:
L...-- " ' - - 1
"
( TI e(± ri VJ')) dE.
~+.,.:!:
~+.,.+
• • •
i:=. 1
L - -_ _
"
"
-
q
I 2
+ /
. , . Jq+I/2 (
n'"
)
(6.3)
TI
cos 27Tr;y/
d~
J 1/2
1/2
i :=. 1
l n ' "
-'
où
n',
n" ,
n'"
et
n*
sont
des
entiers
~ 0 vérifiant
n' + n" + n'" + n* = n,
où
on
a
posé
!!. = (u l , ... ,un')'
~=(vI"",vn")' ~=(YI""'Yn"'), et !=(xl'···'xn.),
et où les entiers r, et r; vérifient 1 ~ r, ' r; ~ q - 1 .
c) On prend
R, 11
et
aa
comme
dans le théorème 1.4.
On pose p = p{P) + p(Q) et m = max n~1/~ E supp P}.
Dans
la
formule
sommatoire
ci-dessus,
on
fIxe
un
8 > 0
vérifiant
max (p(P), p{Q)) + m 8 < 7T /2.
Etant
donnés
n', n", n'" et n* comme ci-dessus, on pose L = (ri' ... , rn ,,)
et
L' = (r; , ...• r~H').
Soit
enfin
h(q.
L.
i; s) le terme
(6.3)
dans lequel on a remplacé
f(z)
par
!'1. R~)-.r.
avec
a > aa'
D'après les résultats du
§ 5,
on sait que la fonction
h (q.
!..
!.'; s)
est
holomorphe
au
voisinage
du
demi-plan
{slt ~ l}.
LEMME 6.2. - Avec les notations précédentes.
il existe deux
constantes
A
et
B > 0
qui ne dépendent que des monômes
extrémaux de P et Q (B pouvant dépendre aussi de 11), tel/es
que, pour chaque al ~ aa' on ait :
h(q,!.. i; s)« e pt (l + q-AO+ B)
(6.4)
uniformément pour
al";; a <: aa + 1.
t ~ 1.
q
entier
> mt,
et 1 .,;; r" r; .,;; q - 1.

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
119
On admet provisoirement le lemme 6.2, et on montre comment
on peut en déduire le théorème lA. Pour des raisons de symétrie,
on peut se restreindre au cas
t > 0;
on suppose donc
t ~ 1
dans toute la suite.
Soient
U1 ~ Ua
et
U2 ~ Ua + 1
fIXés.
Pour chaque
t
donné, on pose
q = [mt] + 1 ([ mt] = partie entière de
mt) •
On sait que Z (R , Tl ; s) est la somme de O( qn)
termes qui sont
chacun O(e,;lt (1 ~ q-.~a"" B)), d'où
Z(R,Tl;s) «e pt en (l + t-Aa+B)(U ~u ~ua + l, t~ 1),
l
ce qui peut encore s'écrire:
Z(R'!1; s)«
ept (l + r Aa B
+
')(u l :E;;; U ~ ua + l, t ~ 1),
(6.5)
avec B' = n + max (B, A(u + 1)).
a
D'autre
part,
pour
U ~ ua + l,
une
majoration
directe
de la série absolument convergente
~ E!1 R(E)- S
fournit immé-
diatement l'estimation:
Z(R J!1 ; s) « ept (ua + 1 ~ U :E;;; U 2 ' t ~ 1).
(6.6)
Comme conséquence de (6.5) et (6.6), on a finalement
Z(R ,]; s) e pt (l + r Aa + B') (u
~
1
u:E;;; u 2 J t ~ 1).
Si on applique le lemme 6.2 à la fonction
s ~ ei ps Z (R , !l ; s),
on obtient exactement (1.3), et le théorème lA est démontré.
,
d) Etant
donnés
n,
n"
II'
,
n
,
n* EN,
de somme
n,
on pose
,
n
e(±qu.) )
h(s) -= j"
···1 C~1 '
1
du
l-e(u )
-
(6.7)
'1':!:
'1':!:
j
L - . - n ' - . J
"
~+'1':!:
~+"r1:
fi
») dE
• • •
.,
(t~1 e(± 't Vt
n
'"
fq 1"1/2
"q + 1/2
1/2
1/2
(~"~
.,
,
~
,
"
II'
... J
cos( .. 1l"1l YIl)
~!1.~!! l!!
1
"
1
n
Y0 (R (~ , !! ,l ' .), ~ * ; s) dl

---

120
P. SARGOS
avec Yo {R(y,!2,f, '),!1"'; s)
\\
R(y ,1:: , l )- .r
si n'" = 0
-1 ~> .. ~:
On
doit
montrer
que
h (s)
vérifie
(6.4).
Pour
le
cas
n * = 0,
on procède à une majoration directe qui ne présente
pas de difficulté. On suppose donc n* > 0, on fixe al '" aa' et
on pose
y=y(~)= (~ +~le±j6, ... , ~ +~n'e±j6)={Ul"",Un')'
et
~ = ~(!.> = (~ + q +
~
TI
e± j6 , •.• ,
+ q + Tn" e± j6 )
= (VI"'"
l'n")'
avec ~j E R+ et T
E R+ . On a alors
k
~i sin 0
1Arg U 1 1 = Arc tg
'" 2 ~1 sin 0
1/2 + ~I cos 0
et
T k sin 0
T k
sin 0
IArg vj
=
1
Arc tg
'"
q
1/2 + q + Tk cos 0
Soit:
,
"
M = (j ~
~
1
(l + ~j r ) ( k 1 (l + Tk ) m ) qm.
(6.8)
On considère le polynôme
., a U~' vl!" y2'" x~·
-.J
CIl
- _
CIl
Ses
coefficients
sont
« M et ont des arguments majorés
en valeur absolue par
p(P) + ~ Q;I IArg u j 1 + ~ ~'H IArg vk 1
j
k
n'
n"
m sin 0
~
'" p {P} + 2 m sin 0 ~
~j +
_
T
,
k
j=1
q
k= 1
et
aussi par
p CP) + m 0 < 1r/2. Le
même
résultat vaut encore
pour
le
polynôme
~..- QCE, E., L'.;!)
quand
on
remplace
pep} par p{Q).
On applique maintenant le théorème 4.8 à (R, .!1), et à tous
les couples
{R{~ ,E.,~, . } ,.!l*)
déduits du précédent en fixant

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
121
une
ou
plusieurs
variables.
Il
existe
donc
deux
constantes
Blet
B > 0
qui ne dépendent que des monômes extrémaux
2
de P et Q (B
dépendant en outre de 21) telles que l'on ait:
2
Y
a
B
o (R(~,..E'E"
),!!.." ;s)« M- Bl + 2
I I '
2 m sin 8 ,,"
x exp (p + 4m sin 8 L. ~i +
q
L. T,,) t
(6.9)
1
1
uniformément pour !! E "Y:!: X ••• x "Y-r. ,v E(q + "Y%) x ... x (q + "Y-r.),
'"
KE(1/2,q+l/2]"
,
q
entier
~l,
al <;;a<;;all+l
et
t ~ 1. D'autre part, on a les majorations:
1 - e (± U i)
1
-
l
e(±quj )
«e-2trq(isin9 (u. E"Y.)
(6.10)
2trT
e(±r" v,,)«
e-
" sin9 (v" Eq + "Y-r.' rIe ~ 1)
lUi' <;; 1 + ~i et Iv,,1 <;; q(l + T,,).
On reporte (6.8), (6.9) et (6.10) dans (6.7), et on trouve
uniformément pour q ~ l, ri
et
r; <;; q - l, al <;; a <;; a
+ l,
ll
. .
mt
et
t ~ 1.
Pour
q > ml, les quantltes 2 1r q - 4m t
et
1r -
-q
restent
minorées
par
un
nombre
fixe
> 0, et les intégrales
figurant
dans (6.11)
sont 0(1).
La majoration (6.4) est donc
vérifiée
avec
A = m BI
et
B = m B + 1'111 + n;
le
théorème
2
1.4 est entièrement démontré.

---

122
P. SARGOS
BIBLIOGRAPHIE
[1] M.F. ATIYAH, Resolution
of
singularities
and
division
of
distribution, Comm. Pure Appli. Math., 23, 2 (1970), 145-150.
[2] M. BERGER. Géométrie,
volume
3,
Cedic - Fernand Nathan,
Paris, (1978).
[3] 1.N. BERNSTEIN
and S.l. GEL 'FAND, Meromorphic property of
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[4] N. BOURNAKI,
Espaces
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topologiques,
chapitre
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[5] P. CASSDU .NOGUES,
Applications
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de
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des valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées
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[8] J. DIEUDONNE, Eléments d'analyse,
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[9] l.M. GEL' FAND and G.E. SHlLOV. Generalized Functions. Vol. l,
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[10] E. LINDELOF, Le Calcul des Résidus, Chelsea Publishing Company,
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[Il] K. MAHLER, Uber einer Satz von Mellin, Math. Ann, 100 (1918),
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[12] H. MELLlr\\. Eine Formel für den Logarithmus transcendenter
Funktionen von endIichem Geshlecht, Acta Soc. Scient. Fennicae,
29, N° 4 (1900).
[13] O. MOUSSA, Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet
associées à un polynôme, Mémoire de D.E.A, Université de
Dakar (1983).

---

PROLONGEMENT MEROMORPHE
123
[ 14] P. SARGOS. Séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles
de plusieurs variables, Séminaire de Théorie des nombres, exposé
N° l, Public. Univ. Bordeaux (1981 - 1982).
[15] E.C. TITCHMARSH. The Theory of Functions, Clarendon Press,
Oxford, 1949.
Manuscrit reçu le 18 janvier 1982
révisé le 1e r décembre 1983.
Patrick SARGOS.
Faculté des Sciences
Université de Dakar - Fann
Dakar (Sénégal).

---

---

CHAPITRE II
CROISSANCE DE CERTAINES SERIES
DE DIRICHLET ET APPLICATIONS
Paru au Journal Reine Angew. Math,
367
(1986), pp 139 -
154

---

---

Croissance de certaines séries de Dirichlet
et applications
Par Patrick Sargos à Dakar
§ 1. Introduction
1.1
Soit P(x)=P(x1 , ••• ,x ) un polynôme à coefficients positifs qui dépend
II
effectivement des n variables Xt> ••• , XII. On définit la série de Dirichlet:
<Xl
(1. 1)
Zp(s) =
L
P(v)-s.
•
Vt ••••• v"==!
On note systématiquement s = 0' + i t, et on désigne par 0'a l'abscisse de
convergence absolue de la série (1. 1). On rappelle (cf [1], [2], [3]) que la fonction Zp(s~
définie et
holomorphe dans le demi-plan
{s: 0' > O'a}, admet un prolongement
méromorphe à tout le plan complexe dont les pôles sont d'ordre ~ n et situés dans un
ensemble de la forme
(1. 2)
où N est entier positif.
On sait également [3], Théorème 1. 4 qu'il existe une constante A> 0 telle que,
pour chaque e > 0 et chaque 0' ~ O'a' on ait
(1. 3)
Le but de cet article est de démontrer que, dans (1. 3), on peut prendre A = d, où d
est le degré total du polynôme P. Plus précisément, on a le
Tbéorème 1.
Pour chaque e > 0, et pour chaque a et b E Ill, on a
(1. 4)
uniformément pour a ~ 0' ~ b et 1t 1~ 1.
Exemple 1.
On prend n = 1 et P(x) = X; on a alors ZI'(s) = C(s) (fonction zêta de
Riemann, cf. [4]). En utilisant l'équation fonctionelle de C, et en donnant, dans (1. 3), des
valeurs négatives, arbitrairement grandes, à 0', il est facile de vérifier que la constante
A = d est la meilleure possible pour cet exemple.

---

140
Sargos, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications
1. 2 Citons maintenant l'application du Théorème 1 qui a motivé notre étude.
Etant donnés P comme ci-dessus, et À. > 0, on définit le nombre de points entiers:
(1. 5)
N p(À.) = *{v E N*": P(v) ~ À.},
et on montre l'existence d'un développement asymptotique limité de N p(À.) quand
À. -+ + ex:>.
Pour cela, on désigne par (0'1)1~0 la suite, finie ou non, des pôles de Zp, rangés par
ordre décroissant (un théorème génêral dû à Landau, cf. [5], montre qu'on a 0'0 = O'(J
-1.
Soit m le plus grand des entiers k tels qu'on ait 0'1> 0'0
Pour chaque entier k (0 ~ k ~ ml, on définit le polynôme h E III [X] par la fonnule:
eXS)
(1. 6)
h(X) = e- akX Rés (Zp(s) -
.
s=ak
S
Les polynômes h sont non nuls et de degré ~ n - 1 (car les pôles de Z p sont d'ordre ~ n).
lbéorème 2.
Avec les notations ci-dessus, on a, pour chaque e> 0:
(1. 7)
quand À. -+ + ex:> •
Exemple 2 (Problème des diviseurs généralisés [4], ch. XII). Pour n ~ 2 et À. > 0,
on pose:
D,,(À.) =
l
1.
VI •... '''n EN*
Yt"·Y"::!!,l.
Le résultat
(1. 8)
où 4>" est un polynôme de degré n - 1, peut-être obtenu de façon élémentaire, par
récurrence sur n, avec Œ" = 1 _! [4], § 12.1. Le Théoréme 2, appliqué au polynôme
n
.
P(x) = Xl ••• X", redonne (1. 8) avec cette même valeur de Œ".
Signalons que des valeurs nettement meilleures de Œ" peuvent être obtenues en
utilisant des propriétés fines de la fonction' [4], Théorèmes 12.2, 12.3 et 12.4.
"
Exemple 3.
Soit P(x) = l
ajx
une fonne linéaire à coefficients entiers positifs.
j
j=l
On pose a = al ... a". En appliquant le Théorème 2, on obtient:
N p(À.) = (an!)-l À." + 02(À.,,-1 +2).
Dans cette écriture, l'exposant n - 1 du tenne-reste ne peut pas être remplacé par
un autre plus petit. En effet, l'ordre de grandeur du tenne-reste doit être au moins égal à
celui des discontinuités de la fonction Np, et le nombre de solutions entières de
l'équation
P(v) = ak(k EN) est» k"-l

---

Sa r g 0 5, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications
141
1.3
Le Théorème 2 se déduit du Théorème 1 au moyen de la formule de Perron,
en donnant à (1, dans (1. 4), des valeurs négatives, arbitrairement grandes. Cette
déduction, étant standard, ne sera pas détaillée.
Au § 2, on donne l'énoncé d'un théorème légèrement plus général que le
Théorème 1. Sa démonstration fait l'objet des paragraphes 3 et 4, et est obtenue en
modifiant certains points de celle du Théorème 1. 4 de [3].
L'ensemble de ce travail, depuis son origine jusqu'à sa mise en forme définitive, a
été réalisé grâce aux encouragements et aux conseils de Gérald Tenenbaum. Je lui
exprime toute ma reconnaissance.
Je remercie Madame P. Cassou-Noguès pour les discussions qu'elle m'a accordées
et qui se sont révélées fructueuses.
La présentation de l'article a été remaniée grâce à une suggestion du «referee».
Qu'il en soit remercié.
§ 2. Notations, énoncé du résultat
Soit D={ÇEC: Reç>O}. On définit dans C\\]-oo,O] la «fonction argument»,
notée Arg ç, à valeurs dans] -n, n [, et la «fonction logarithme», notée Log ç, qui lui est
associée.
Soit P(x) = L: 0", x'" un polynôme à n variables, qui dépend effectivement de
'"
chacune d'elles, à coefficients dans D (les lettres en caractères gras désignent des
vecteurs:
x =(Xl'"'' X"), x'" = X~1 ... X:", 1 = (1, ... , 1), etc ...).
Pour chaque XE [1, + 00[", P(x) est dans D, et on pose, pour s = (1 + it E C:
P(xrs=exp(-s LogP(x)).
Soit 1) EN". On désigne par Z(P, 1); s) le prolongement méromorphe de la
fonction
s -
L: v" P(v)-S
ve N·'1
(cf. [3], § 1), et par Y(P, 1); s) celui de la fonction
00
00
s -
J... J x" P(x)-S dx
L..!..-"-!J
(cf. [3], § 4). On pose: supp P = {Ol EN": 0", =1= O},
e = e(P) = max {IArg 0",1: Ol E supp Pl.
"
d=d(P)=max{IOlI;OlESUppP}, avec 10l1= L: aj •
j= l
71
Journal rur Malhemalik. Band 367

---

142
Sargos, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applicatioru
On désigne enfin par Ua = ua(P, 1)) l'abscisse de convergence de la série de Dirichlet
Z(P, 1); s). On rapelle [3], § 3 que Ua est un rationnel positif qui ne dépend que de 1) et
des monômes extrémaux de P (soit Cl E supp P; on dit que x" est un monôme extrémal
de P si Cl est un sommet de l'ensemble
"(P) = enveloppe convexe de (supp P -IR~),
appelé polyèdre de Newton à l'infini de Pl.
Théorème 3.
Pour chaque 6 > 0, la majoration
(2. 1)
a lieu uniformément dans chaque région {s: cl ~ U ~ C2' 1t 1!?; 1}.
Lorsqu'on prend 1) = 0 et P à coefficients positifs, on obtient (1. 4). Le reste de cet
article est consacré à la preuve du Théorème 3.
§ 3. Majoration de l'intégrale
Pour les besoins du § 4, on établit des majorations de Y(P, 1); s) uniformes par
rapport aux coefficients de P. On commence par un cas particulier.
3. 1
Cas où P possède un plus grand monôme. Soit
v
P(x)=avx + L a.. x"
.. <v
un polynôme à n variables, à coefficients dans D, admettant XV comme plus grand
monôme, avec v E rw·" (la relation Cl < v signifiant aj ~ vj (j = 1, ... , n) et Cl =1= v).
Soit (!o E ] 0, i [ fixé. On suppose que les conditions suivantes sont vérifiées:
lav l!?;l, la<ll~M pour tout ClESUPPP, et (!~(!o.
Le résultat suivant précise le Lemme 4. 6 de [3].
Lemme l.
Il existe une constante b = b(v, (!o) > 0 telle que, pour chaque Cl et
C2 e IR, on ait:
uniformément pour ue[cI'c2], Itl!?;l, (!e[O,(!o] et M!?;l.
Avant de passer à la démonstration du lemme 1, on rappelle quatre lemmes faciles
(cf. [3], § 4. 1).

---

Sargos, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applicatioPlS
143
Le premier permet de transformer une intégrale réelle en une intégrale complexe
au moyen du contour de Hankel 1. (cf. figure 1).
t+iO
-
1 + iO
t-iO
-
l-iO
contour 1.
Figure 1
On définit, dans C\\1Il +, la «fonction argument» arg ç à valeurs dans ]0, 2n[, et
la «fonction logarithme» log ç qui lui est associée. Pour tout çeC, on pose
e(ç) = exp (2 in ç).
Lemme 2.
Soit f(z) une fonction holomorphe au voisinage de [0, 1]11 dans Cil, et l.
un élément de Cil vérifiant Re À- > 0, et À- f: N pour chaque j. Alors, pour
j
j
t > 0 assez petit,
on a:
(nll
1)
f 1
dXl
dXII
f -1.
dZ 1
dZII
X f(x) -
•.. -
=
[e(À-j ) - Ir
z-- f(z) -
... - ,
1"
Xl
XII
"=1
1:
Zl
ZII
où dans fintégrale de droite, on doit prendre 'If égal à
Les trois autres lemmes seront utilisés constamment lors de la démonstration du
lemme 1:
Lemme 3.
Soient Zl' ... ' Z". e D, vérifiant IArg zjl ~ e~~ U= 1, ... , ml. Alors on a
Lemme 4.
Soient u et ve C, de module 1. Pour tout K> 1, on a

---

144
Sargos, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications
Lemma 5.
Soient u et v E D, de module 1, vérifiant
IArg v1~ 1Arg u1+8 (0 ~ 8 ~ ~ -1 Arg u1).
3.2. Démonstraôon du Lemme 1.
Pour des raisons de symétrie, on peut se
restreindre au cas où t est positif; on suppose donc, pour toute la suite, t ~ 1.
On pose 6 = (K M) - 1, où K est une constante assez grande, qui ne dépend que de
v et de eo, à déterminer ultérieurement, et on fixe 8> 0 de façon que el = eo + Ivl 8 < ~.
Soit également
v= Ye.8 = {Ç E C: 1ç1~ 6} V {Ç E C: 0 < 1ç1~ 1, et 0 ~ Arg ç~ 8}.
On définit le polynôme P en posant
p(x)=x· P (~, ... , ~),
Xl
X"
et on peut écrire
P(x)=a.+
L âllxll .
lIesuppP
11*0
Soit Z E V"; on décompose l'écriture ci-dessus:
P(z)=a.+ L âllzll+ L âp'IJ,
Il
1\\
où la première sommation porte sur les CE tels que Izlii > 6, et la deuxième, sur les p tels
que 1'IJ1 ~ 6. Si Izlii > 6, alors IArg zlIl ~ Iv18, d'où:
p(z) = a. + u(z) + 0 (~). avec la.1 ~ 1, IArg(a.)/ ~ el
et IArg (u(z))1 ~ el (cf. Lemme 3). D'après les Lemmes 3 et 4, on a
IArg P(z)1 ~ el + 0 (~).
On en déduit qu'il existe Kl>O et e2<~' ne dépendant que de v et de eo, tels que

---

Sargos, CroÎSSœu:e de certaines séries de Dirichlet et applications
145
En particulier, la fonction z -+ p(z)-·, définie au moyen de la détermination principale
du logarithme, est holomorphe dans un certain voisinage de V" dans Cil. On peut alors
appliquer le Lemme 2.
co
co
Y(s) = Y(P,,,; s)= J... JXII P(x)-· dx
• •
• •
= J ... J XSV II
-
- 2 p(x)-· dx
o
0
où on a posé JI = .. + 2. L'égalité a un sens pour
l+n.
1
u>max _ _J,
et
s f- N
U= 1, ... , n),
i
vj
Vj
puis, par prolongement analytique, elle s'étend à tous les SEC tels que
1
.
S f- Z
U= 1, ... , n),
Vj
et constitue une écriture du prolongement méromorphe de Y.
Désignons par y le bord orienté de V privé du point 1 (cf. figure 2).
1 +iO
r-----tn----""i=,;-=iO:;:::===============::;l - iO
..,m
contour y
Figure 2
Par le Théorème de Cauchy, on obtient:
Y(s)
(D.
=
[e(sVj) -Ir·) Lrv-" p(z)-· dz.
72
Journal für Matbcmatik. Band 367

---

146
S argos, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications
"
Comme, pour t ~ 1, on a n [e(svj) -Ir 1 = 0 (1), il suffit de montrer que l'intégrale ci-
j= 1
.
dessus vérifie (3. 1). Si on utilise la décomposition
J=J+J+J+J
7
7'
7"
7'"
.,.
pour chacune des n intégrations successives sur y, on obtient
J sous la forme d'une
7"
somme de 4" intégrales qui sont toutes, moyennant une permutation des coordonnées,
de la forme:
où les entiers n', n", n"', et n* ont pour somme n.
Etant donnés les quatre entiers n', n", n'" et n* comme ci-dessus, et u = (Ul"'" u,,),
on introduit la notation
u=(u', u", a"', u*),
avec
On obtient ainsi l'intégrale J r V -" p(z)-S dz sous la forme d'une somme de 4"
7"
termes du type:
(3. 2)
H()
H
( )
J ,sy·_,.·
Z
dz'
J z""'''-,.'' dz"
s =
(,,'.,,".,,'" .".) s =
y''''
7"PI"
J ",..,"'-,.... d-''' J *..,0-,.. p(' " ", *)-S d *
z
" z
z,z,z,z
Z.
"l"'"'"
,,-*
Il reste à prouver que chacun des termes ci-dessus vérifie (3. 1). Avant de passer à
la majoration de H(s), on procède à un certain nombre de préliminaires. On pose:
z'" = (Xl'"'' X".) e2hr-iO = xe2ilr-iO E y"'''. (e ~ X, ~ 1, 1 ~ 1~ n"'~
z* = (eilj1l , ... , ei'P") = eh" E "1*". (0 ~ 'Pli ~ (J, 1~ h ~ n*).

---

Sargos, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications
147
Avec ces notations, on a les égalités:
,,"
(3.4)
IZ""'''-II', =e"1y"I-III"1 exp(-t L 4>&:v;),
1
De plus, d'après le Lemme 3, on a 1« IP(z)1 «M, d'où
(3.7)
uniformément pour z E V", Cl ~ (J ~ C2' t ~ 0, M ~ 1 et fl~ flo.
D'autre part, soit z E y'''' X y""" X y"'''''' X y..... On peut écrire
comme on a
L d","É" = 0 (KI) et, pour P" =0,
","*0
...
IArg (a, zI)1 ~ fl + Olv'l +L 'Pli v:,
1
on déduit des Lemmes 3 et 4 la majoration:
(3.8)
IArgP(z)1 ~fl +0lv'l +~ 'Pli v: +0 (~).
A partir d'ici, on fixe n', nIt, n'" et n·, et on majore le terme H(s) qui lui
correspond par (3. 2).
1) On suppose n":f: 0 ou bien n"':f: O. Un calcul direct, utilisant les formules (3.3)
à (3. 8) donne:
H(s)« MIIII(1 + M-II(IYI+II) exp [t (fl +o(~) -~ 4>&: v; -211: IV"'I)J,
et en particulier, H(s)« MIIII(1 + M-"IY "+l) exp (t (fl + 0 (~)-O)).
Pour K assez grand, on voit que H (s) vérifie -(3. 1), si on choisit 15 = ~.

---

148
Sargos, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications
2) On suppose nIf = n'" =0, et n' ~ O. On pose
z = (z', z*) E 1"", x y*"o, v = (v', v*),
etc....
On décompose p(z) en la somme de deux termes:
p(z) = {a" +
L
{jsX-} + {
L
d,z'} =u(z)+ vez),
lZesuppP\\(o}
lIesupp P\\(O}
1'1.'1 < 1,,'1
Il' =,,'
disons. On partage 1"", x y*"o en deux parties: El = {z: lu(z)1 ~ 2Iv(z)I}, et son com-
plémentaire E2 , éventuellement vide. On majore successivement les deux intégrales
J 'é"-~ p(z)-S dz' dz* et J 'é"-~ p(z)-S dz' dz*.
El
E2
a) Pour z E El> on a:
II"
IArg u(z)1 ~ l? + (Iv'l-l) 0 + L 'Pit v: ,
1t=1
..0
IArg v(z)1 ~ l? + Iv'l 0 + L 'Pit v:, et lu(z)1 ~ 21 v(z)l·
1
Par le Lemme 5, on en déduit:
II"
0
IArgP(z)1 ~l? + Iv'l 0+ t 'Pit v: -"2'
On utilise maintenant les formules (3.3), (3. 6) et (3. 7), et on trouve:
_ tll
r"-~ p(z)-s«(1 +M- crO"I+l» MI~I ~t e 2'
o
ce qui prouve que l'intégrale J 'é"-~ p(z)-S dz vérifie (3.1) avec b ="2'
El
h) Pour z E E2 , on a
IP(z)1 ~ lu(z)1 + Iv(z)1 ~ 3Iv(z)1 ~ 3 ( L lall'I) r'"
\\.sesuppP
Il'=,,'
d'où: 1« IP(z)l« Mr"'.
On en déduit que, pour z E E2 , on a la majoration:
cr
p(z)-s« {M-crr- ,,' exp(tIArgP(z)l)
pour O'~O,
exp(tIArgP(z)l)
pour O'~O.
Utilisant alors (3. 3), (3. 6), (3. 7), et l'inégalité
II"
IArgP(z)1 ~ l? + 0lv'l + L 'Pit v:,
1
on trouve:
d'où finalement:
J 'é"-~ p(z)-S dz« ~t MI~I (1 + M-").
E2
On a prouvé que H(s) vérifie (3.1) dans le cas"n" = n'" =0, n'~O.

---

Sargos, ('roissance de certaines séries de Dirichlet et applications
149
3) On suppose enfin n' = n" = n'" = 0, et n* = n. Il est facile de voir qu'on a
H(s)= J r-- II p(z)-S dz«~t(l +M-l7),
y*n*
et H(s) vérifie encore (3. 1) dans ce cas. Le Lemme 2 est entièrement démontré.
3.3. Majoration de Y dans le cas général. Soit P(x) = L a", x'" un polynôme à n
'"
variables, à coefficients dans D, de degré total d. On suppose que si x'" est un monôme
extrémal de P, alors 1a",1~ l, et qu'on a la",1 ~ M pour tout Cl E supp P. On fixe
(lo
Jo, i[·
E
Le résultat suivant précise le Théorème 4. 8 de [3].
Théorème 4.
Sous les conditions précédentes, il existe trois constantes positives
B = B(d), B' = B'(d, '1) et b = b(d, (lo) telles qu'on ait:
(3. 11)
Y(P, '1; s)« M 8' (1 + M-l7 + M- Bl7 e- a1tl ) ~Itl,
uniformément pour Itl ~ l, Cl ~ (1 ~ c2 , M ~ 1 et (! ~ (lo.
Le Théorème 4 se déduit immédiatement du Lemme 1 au moyen du Lemme 6 ci-
dessous. Ce dernier n'est qu'une formulation particulière du Théorème 2. 1 de [3], ou de
la formule (4. 12) de [3].
Lemme 6.
Il existe des matrices carrées inversibles d'ordre n, ro l , ... , Will' à
coefficients dans N, telles que, si on pose
P,,(x) = L a",xt1lk("" et '1" = w,,('1 + 1) -1 (k = l, ... , m1
'"
les deux propriétés suivantes soient vérifiées:
III
(i)
Y(P, '1; s) = L Idet w,,1 Y(P", '1,,; s).
"=1
(ii)
Chaque polynôme P" possède un plus grand monôme, et si xt1lk ("') est le plus
grand monôme de P", alors x'" est un monôme extrémal de P.
De plus, la famille (roI"'" rolll) peut être construite uniquement à partir des monômes
extrémaux de P.
§ 4. Démonstration du Théorème 3
4.1. Une formule sommatoire pour la série Z(P, '1; s). Dans cette section, on
expose une formule sommatoire générale (cf. [3], § 5. 1), puis on l'utilise pour
transformer la série Z (P, '1; s) en une somme d'intégrales réelles ou complexes.
a)
Soit f(z) une fonction holomorphe au voisinage de l'ensemble:
1
r=r8 =ï+{ZEC: IArgzl~O},
où () est réel donné
J
E
0, i [.
7,
Journal ru, Mathomali", Band 367

---

150
Sargos, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications
On définit les deux chemins y+ et y_ de la figure 3 de façon à avoir:
f=-f+f
er
1+
1-
où or est le bord orienté de r.
o
Figure 3
On suppose que, pour un certain b > 0, f vérifie la majoration:
f(z)« IZ/- 1 6
-
(z E r)
Enfin, on rappelle la notation e(z) = e2il<Z.
Lemme 7.
Avec les notations ci-dessus, on a, pour chaque entier q ~ 0:
00
q
oc
l f(v)= l f(v) + f f(q+x) dx
.=1
.=1
1
I
e(z)
e( -z)
+1~ f(q+z) l-e(z) dZ+1~ f(q+z) l-e(-z) dz.
Pour la démonstration du Lemme 7, on renvoie au § 5. 1 de [3].
.
d I t " .
e( + z)
Le comportement asymptotique
e a 10nctIon z -+ 1
(
)' pour z E y±, peut
-e ±z
être exprimée comme suit: si on pose
on a
e(z)
«e -21<~.in8 (ZEY )
+ ,
1 - e(z)
(4. 1)
e(-z)
«e-21<~.in8 (
)
ZEy_ .
l-e( -z)

---

Sa r g 0 s, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications
151
b) Soit fez) = f(z., ... , zn) une fonction holomorphe au voisinage de (Fe)n, vérifiant
la condition de croissance:
(4.2)
pour un certain b > O. Par itération de la formule sommatoire du Lemme 7, on obtient
la série
L f(v) omme une somme de (q + 3r termes qui sont tous, moyennant une
"EN'"
permutation des coordonnées, de la forme
(4.3)
<Xl
<Xl
J... Jf(v, q+z, q+x) dx.
• •
~n.2J
Dans cette formule, où n', n" et n* désignent trois entiers ~ 0 de somme n, on a
posé:
v = (v.' .... v
est un entier vérifiant 1 ~ v ~ q;
n,), où chaque vj
j
q+z=(q+z., ... , q+zn") et q+x=(q+x., ... , q+xn*)'
c)
On prend P, fi, Ga' e et d comme dans le Théorème 3. On fixe 0> 0 et eo < i,
de façon à avoir e+ dO ~ eo. On a alors IArg P(z)1 ~ eo pour z E (Fer, ce qui permet de
définir la fonction z 1-+ P(z)-S au voisinage de (Fe)n au moyen de la détermination
principale du logarithme.
On choisit s avec G > Ga' et on pose fez) = z" P(z)-s. D'après le Lemme 5.1 de [3],
la fonction f vérifie (4.2), et on peut lui appliquer la formule sommatoire ci-dessus. Le
terme correspondant à (4. 3) est
h(s) = h(n', n", n*; v) (s) = v'" J ... J z"" ( fi
e(± Zj)
)
7±
Y±
~=. 1-e(±zj)
(4.4)
Ln"~
{
Yo(P(v, q +z, q + ·1 '1*; s) dz .... dzn*,
où
on
a
posé:
'l'=('71, .. ·,'1n');
'l''=('1n'+.'''','1n'+n'');
'1* = ('1n'+n"+.'·'"'1..};
v=(v., ... , v '1
n
où chaque vj est un entier vérifiant 1~vj~q; et enfin
Yo(P(v, q +z, q +.1 '1*; s)
<Xl
<Xl
J ... J x"· pcv, q + Z, q + x)-S dx SI n* > 0,
(4.5)
1
•
= ~n*.2J
P(v., ... ,vn"q+z., ... ,q+zn")-S si n*=O.
4.2. Démonstration du Théorème 3.
Les notations P, fi, Ga' e et d sont celles du
Théorème 3. Comme dans la démonstration du Lemme 1, on se restreint au cas où t est
positif; on suppose donc t ~ 1 dans toute la suite.

---

152
Sargos, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications
Lemme 8.
Il existe une constante K > 0 telle qu'on ait, pour chaque Cl et C2 E Ill:
(4.6)
Z(P, 1); s)« eQ1 (1 + t- da) t K
uniformément pour t ~ 1 et C1 ~ 0' ~ C2'
Nous allons d'abord montrer comment le Théorème 3 découle du Lemme 8:
Pour des raisons de convergence, on a, pour chaque 0' > 0'/1:
(4.7)
Z(P, 1); s)« etI' (t ~ 1).
Or, toute fonction I(s) holomorphe dans le demi-plan {s: t ~ 1}, vérifiant (4.6) et
(4. 7), vérifie aussi (2. 1).
Cette dernière assertion, qui résulte d'un théorème de Phragmen-Lindelôf [5],
§ 5. 65, est démontrée au § 6 de [3].
Démonstration du Lemme 8. a) Soient n', nIt et n* trois entiers de somme n, q un
entier ~ 1, v E [1, q]"', et z E y± x ... x y± l' On étudie le prolongement analytique au
t..:.=:..-,,"
demi-plan {s E C: t ~ 1} de la fonction
~(s) = Yo(P(v, q +Z, q + -), 1)*; s)
définie par (4.5).
Pour ZA: E y ±, on posé ZA: = ~ + çA: e±i6 (çA: E [0, + ooD. La fonction
x - P(v, q +z, q + x) =
L aIS vlS'(q +Z)IS"(q +x)~
ISESUPPP
est un polynôme en (Xl"'" x"..), de degré ~ d. Ses coefficients sont> 1 et« M avec
,,"
(4.8)
M = t n (1 + çA:)d,
A:=1
et ont des arguments majorés en valeur absolue d'une part par l!o, et d'autre part par
On peut alors appliquer le Théorème 4: la fonction Yo(s) admet un prolongement
analytique au demi-plan {s E C: t ~ 1}, et il existe trois constantes positives B = B(d~
B' = B'(d.1)) et b = b(d.l!o) telles qu'on ait:
(4.9)
Yo(S)«MB'(l+M-a+M-Bae-~exP[(l!+ds~n(J ~çA:)tJ
dans chaque ensemble {s E C: C1 ~ 0' ~ C2' t ~ 1}, uniformément par rapport à q ~ 1,
v E [1, q]"' et z E y± x ... x y± •

---

Sa r g0 s, Croissance de certaines séries de Dirichlet et applications
153
Dans le cas n· = 0, un calcul direct donne
(4.10)
Yo(s) «(1 +M-") exp [(e + d s~n6 ~ Çl) t].
b)
On étudie maintenant le prolongement analytique à la bande
{s e
q
C: 1~ t ~ 1t }
d
de la fonction h(s) définie par (4.4). Si on reporte (4.1) et (4.9) dans (4.4) on obtient:
h(s)« tu +B') ~t j ... j (fi (1 + Çk)ol(l +B'») [1 + q-ol" (fi (1 + Çk)-ol,,)
~~~ 1
1
+ q-dB" (ij (1 + Çk)-olB,,) e-6tJexp {(~ - 21t) sin 6 ~ çt} dÇI .,. dç"".
Mais dans la bande {s: 1 ~ t ~ ~q}, on a 21t - ~t ~ 1t, d'où
h(s)« qdU +B') elt (1 (1 + ç)"U +B') exp( -1t ç sin 6) dç)"
(4. 11)
+ t+olB'-ol" ~t (1 (1 + ç)ol+olB'-d" exp(-1tç sin 6) dç)"
+ qol+dB' -dB" e«(J-6)t (1 (1 + ç)d+dB' -dB" exp (-1t çsin 6) dç)".
Cette majoration est uniforme par rapport à q ~ 1, ve [1, q]'" et
q
.
< <
{
l<t<1t }
se S.C I =(1=C2 ,
= =T '
et montre que l'écriture (4.4) définit une fonction holomorphe dans
{s e
q
C: 1~ t ~ 1t }.
d
Comme les intégrales qui figurent dans (4. 11) sont majorées par une constante qui ne
dépend que de Cl' on a prouvé l'existence de deux constantes K' et K" qui ne
dépendent que de d et de '1 et d'une constante b qui ne dépend que de d et de eo, telles
que, pour chaque Cl et C2 e 1Jl, on ait;
(4.12)
h(s)«elt qK'(1 +q- d1+e«(J-6)t qK'-K"",
uniformément pour q~l, ve[l,q]"', l~t~~q, et CI~(1~C2'

---

154
Sar gos, Croissance tU certaines séries de Dirichlet et applications
c)
La démonstration du Lemme 8 s'obtient ainsi: étant donnés CT E [Cl' Cz] et
t ~ 1, on choisit q égal à la partie entière de dt + 1. Au moyen de la formule sommatoire
7t
du § 4. 1, on écrit Z(P, 1); s) comme la somme de (q + 3)" termes qui vérifient chacun
(4.12), d'où:
Z(P, 1); s)«~' qK'+II(1 +q-da)+e-'" qK'+II-K"a
«el' tK(l + t- da), avec K = K' + n,
ce qui est exactement (4.6). Le Théorème 3 est entièrement démontré.
Bibliographie
[1] P. Cassou-Noguès, Séries de Dirichlet et intégrales associées à un polynôme à deux indétermines, à
paraitre au J. Number Theory.
[2] H. Mellin, Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem Geschlecht, Acta
Societatis Scientiarum Fennicae 19, nO 4 (l900~ 3-49.
[3] P. Sargos, Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de
plusieurs variables, Ann. Jnst. Fourier 34 (1984), 83-123.
[4] E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta function, Oxford 1951.
[5] E. C. Titchmarsh, Theory of functions, Oxford 1949.
Faculté des Sciences, Université de Dakar-Fann, Dakar, Sénégal
Eingegangen 15. Marz 1985, in revidierter Form 24.0ktober 1985
.,

---

CHAPIllif
.II 1
SÉRIES lE DIRICHLET ET POLVtDRES Œ: tOOCI'J
Soumis pour publication à Acta Mathematica

---

---

SERIES DE DIRICHLET ET POLYEDRES DE NEWTON
PATRICK
SARGOS
Faculté des Sciences. Université de Dakar-Fann. DAKAR. Sénégal
Soit P e lR[lc.I ••••• xnJ
un po1yn3me "non dégénéré"
("presque
tous" les po1yn3mes à valeurs positives dans
[1. +<Xl[n vérifiant :
P(!.) + + <Xl
quand
!. + <Xl. !. e [1. +<Xl [ n. soOnt non dégénérés). On étudie
le prolongement méromorphe de la série de Dirich1~t ~t de l'intégrale
et
en rapport avec
f(p).
le polyèdre de Newton à l'infini de
P. On
décrit la répartition et l'ordre des p01es de
Zp et Yp (Théorème
1.4) à l'aide des équations des faces de
l(p) ~t de la codimension
de ceOrtaines facOeOttes de
E(p).
On calcule exp1icïteme'nt la partie
principale au premier pOle de
Zp
et de Yp (Théorème 1.6). ~t de
Zp -
y
(Théorème
1.7). Ce dernier point appliqué au po1yn3me à une
p
•
.
variable
p(x)
= x
redonne la formule bien connue
1
1im
(Z;;(s)
)
où
-
Z;; est la fonction z€ta
de Riemann et y
s=ï
= y •
s+ 1
la constante d'Euler.
Dans le cas de plusieurs variables.
les résu1-
tats s'interprètent dans
le cadre d'un problème de points entiers
( 02J).
N°otre mOéthode permet également d'étudier le compo-rtement
asymptotique. quand
t + +<Xl
• de l'intégrale osci11aOnte
0
•
0
=
lorsque la fonction phase
f
est "non dégénérée". Comme exemple
d'app1ic~tion. on calcule le premier terme du développement asymp-
totique de
j (t)
(Théorème
] .8) •
• • • 1•••

---

PLAN
DE
L'ARTICLE
CHAPITRE
1: INTRODUCTION! ENONCE DES RESULTATS
Il.1 -
Introduction
§1.2 -
Une caractérisation des polynômes non dégénérés
§1.3 -
Calcul de la partie principale de
Zp
et
Yp au premier pôle
§1.4 -
Partie principale de
Zp - Yp au premier pôle
§1.5 -
Application à un problème de points entiers
§1.6 -
Applicatio; au comportement asymptotique d'intégrales oscillantes
§J.7 -
Notations.
CHAPITRE
2 :
PRELIMINAIRES GEOMETRIQUES
§2. J -
Généralités sur! (p)
§2.2 -
Découpage des cônes polyédraux saillants
§2.3 -
Polyèdre de Newton et changements de variables
§2.4 -
Application au calcul de l'abscisse de convergence et de l'ordre du pôle en ce
point
§2.5 -
Application aux polyn6mes non dégénérés.·
CHAPITRE
3:
PROPRIETES GENERALES DE LA FONCTION
Y ( p! !l ; s)
§3.J -
Enoncé des résultats
§3.2 -
Deux lemmes techniques
§3.3 - Cas où
P
admet
x..!.
CODmle plus grand monôme
§3.4 -
Démonstration dans le cas général.
...
CHAPITRE
4
CALCUL DU TERME PRINCIPAL DE
Y ( p! n ; s)
AU PREMIER POLE
§4.J -
Enoncé du résultat
§4.2 -
Une minoration de
PGo
§4.3 -
Preuve du Théorème 4.1
étude d'un cas particulier
§4.4 -
Preuve du Théorème 4.J
complétion de l'argument.
CHAPITRE
5 :
APPLICATION A LA SERIE
Z ( p! .!l ; s)
§5.J -
Une formule sommatoire et ses applications
§5.2
Partie principale de
Z ( p! .!l. ; s) - y ( p! .!l ; s)
au premier pôle.

---

-
3 -
CHAPITRE
1 : INTRODUCTION, ENONCE DES RESULTATS
Dans ce chapitre,
P{~). P{x ' ••• ' x ) désigne un polynOme
l
n
à coefficients réels, qui dépend effectivement des
n variables
x , et qui prend des valeurs positives pour
n
fl.1 -
Introduction:
-
On considlre la série de Dirichlet
:
( 1 • J)
et l'intégrale
J n P(:!!.)-. dx •
o,+CD[
Ces fon~tions de la variable complexe s ont ~té ~tudiées
lorsque
P
e~t a coefficients positifs :
En 1900, Mellin
[8J
a montré que l'intégrale 'et la série
ci-dessus convergent dans un certain demi-plan, et y définissent des
fonctions holomorphes de
s
qui admettent un prolongement méromorphe
à
tout le plan complexe dont les pOles sont situés sur l'axe réel.
Récemment,
l'auteur ' [ I I J
a montré que les qua'nt'ités
(l.1)
•
et (1.2) possèdent une abscisse de 'convergence commune
cr
qui ne
a
dépend que des monOmes extrémaux de
P
(i.e.
les monOmes qui corres-
pondent aux sommets du polyèdre de Newton de
P , n~té
Z{P), dont
la définition est donnée plus loin). De plus,
les pOles de Zp et Yp
sont d'ordre au plus
n
et contenus dans une progression arithmé-
1
tique de la forme
cr a - N lN, où
N
ne dépend que des mo.nOmes extré-
maux de
P . Le point cr
est toujours un pOle pour les deux fonctions.
a
Dans le cas d'un polynOme à deux variables, ces résultats
-
ont ~té précisés par
P. Cassou-Noguès qui décrit
[~ la réparti-
tion et l'ordre des pOles de (I.I) et
(1.2){d'une f~çon qui, dans un
sens précisé à la fin de cette introduction, est probablement
optimale), à l'aide des équations des faces de
,è CP), ~t conjecture
[2J
que les résultats obtenus sont encore valables sous ce~taines
• • .1. • •

---

- 4 -
hypothèses moins restrictives concernant les coefficients de
P.
Un autre risultat de [3J est le calcul du résidu en
a , lorsque ce
.a
pCle est simple, de Zp et de Yp • Il faut cependant signaler que l'ex-
tension de ce dernier risultat au cas de coefficients non nicessai-
rement positifs.," inexacte sous la forme donnée dans
[2J, e'st
vérifiée sous les hypothèses de la conje"cture citie plus ha'ut.
2 - On introduit les notations
a
( 1.3)
P(!.) =
k.n a x-
a
(1.4)
supp p
... {g, e .n
a
~ 0 }
g,
..
(1.5)
ë (p)
conv(supp p) - ]Rn+
(conv(K) = enve loppe convexe de
K,
lR + = @' +co 0 ; ë(p) e'st le
polyèdre de Newton à l'infini de
P. On associe à
p le polynCme
:
*
f "
a
(1.6)
p
(!.)
= aey<p)
x -
,
où ~(P)
est l'ensemble des sommets de
Z(p). On dira que
P e s t
non dégénéré (sous-entendu
: par rapport à son polyèdre de Newton
dans
D, +co[n) s'il vérifie.:
(1.7)
P(!.»>
p*(!.)
(!. e D, +co[n).
Des conditions de ce type ont déjà êtéétudiées par
-
[9J
[4J
"e t'ut i 1 is ée s
V. P. MIHAILOV
et par S. G. GINDIKIN
,
par V. A.. VASILIEV
[14J
pour un problème proche dun"Ctre
(cf. §I.S). Dans le cas
n ... 2, la condition ( 1.7) e'st esse:ntiel-
lement équivalente aux hypothèses formulées dans la conjecture de
P. Cassou-Noguès, citée plus haut,
à laquelle on appo~te une réponse
positive. Nous donnons au Il.2 une caractéris~tion des polynCmes non
dégénérés.
On suppose,
jusqu'à la fin du §1.1, que
P e~t non dégénéré.
n
3 -
Soit !J. = {!. = (t, ••• , t) elR
: t
~ O} la diagonale du premier
octant, 'et soit
t
= ( t
, ••• ,
t
) le point d'interse~tion de
- 0
0
0
avec le bord de
Z (p). On pose:
••• 1•••

---

- 5 -
(1.8)
Théor~me 1.1 : L'intégrale (1.2) et la série (t.l) convergent si et
seulement si
Re(s) > a o • Les fonctions Yp ~t Zp ainsi définies
sont holomorphes dans le demi-plan
Re(s) > a ' ~t admettent un
o
prolongement méromorphe à tout le plan complexe.
Autrement dit, Yp et Zp
admettent une abscisse de conver-
gence commune
aa
qui est égale à
a
;
o
comme dans le cas des poly-
n6mes à coefficients positifs,
aa
ne dépend que de
ë (p). La
cons-
truction géométrique, matérialisée par
( 1.8), de c"e"tte abscisse de
convergence a été introduite par A. N. Varchenko
[If)
pour l'étude
des intégrales oscillantes
(cf Il.5).
4 - Soit
Go
l'intersection de toutes les faces de
~(p) qui ren-
contrent
t::..
(Le.
Go
est la plus petite facette de
~(p) contenant
t
;
la définition des faces et des
facettes e~t rappelée au Il.2).
- 0
On pose
P
= codim G
•
o
0
Théorême
J.2 : Les fonctions
'Zp et Yp
admettent en
ao un p6le
L!'ordre Po'
La construction géométrique de Po
est due à
V. A. Vasiliev [I{]
(cf. 51.5). On déduit du Théorême
J.2 qu'il existe deux constantes
.
positives
A
"et
B
telles qu'on ait,
quand
S
-+- a
o
o
•
"0
-p
_ a )
0
(1
+ O( Is
o -p
_ a )
0
(1
+ O(ls
o
..-
Le fl.3
est consacré au calcul de
A
et
B • On exprime
o
o
explicitement ces constantes en fonction du polyêdre de Newton et
des coefficients de
P, sous une forme
rel~tivement maniable. Dans le
cas
Po = 1, c~tte expression peut-€tre
simplifiée, ~t on r~trouve
une expression due à P.
Cassou-Noguês lorsque
P
vérifie une condition
. • • 1 •••

---

- 6 -
de semi-ellipticiti
[2 ; page 44J
,ou lorsque
P
e~t un poly-
nOme a deux variables a coefficients positifs
[3
; Thiorème
JO]
•
5 - On définit l ' ent ier
p en posant :
0
si toutes les faces de l (p) qui rencontre"nt b. sont bornées,
(l.l1)P= 1max (codim G) sinon,
G
le maximum Itant pris sur l'ensemble des fac~~tes
G
non bornées de
!(p) qui rencontrent
b..
Dans l'énoncé suivant, on convient qu'un pOle d'ordre
0
est un point régulier.
Théorème
1.3 :
La fonction
Zp{s) - Yp{s)
possède en
00
un pOle
1
d'ordre au plus égal à p • Si
P
est à coefficie'nts positifs,
~ 'ordre du pOle est exactement p.
On en déduit du Théorème
1.3 qu ' i l exi"ste une uniquecon'stante
Xem.
telle qu'on ait, quand
s + 00
-'P+ 1
(1.12)
+
)
O{ 1s - ° 1
. 0
.
Exemple
: On prend n = 1
et p{x) = x. Alors on a
Zp{s) =
~(s)
1
(fon"ction z"€ta
de Riemann), Yp{s) = s=r ' 00 = J,
p = 0 ,'et
:
= lim
(~{s) - ...!...) = 'Y (con"sta"nte d'Euler).
8-1
s+ 1
Nous donnerons au Il.4 une méthode générale de calcul de la
constante
X aboutissant à une formule explicite qui fournit immédia-
tement, dans ce cas particulier comme dans d'autres analogues, la
valeur classique attendue.
• • • 1•• •

---

- 7 -
6 -
Avant d"noncer le r'sultat relatif â la r'partition ~t 'l'ordre
des p8les, i l est n'cessaire d'introduire quelques définitions et
notations.
Comme
P
dépend effectivement des
n
variables
Xl'· • • , xn '
les hyperplans d'appui
de
ë(p) ne passent pas par l'origine. Par
conséquent, pour chaque face
F
de
c.(p), il exi"ste un unique
~ e lR: tel qu'on ait <l, ~> .. 1 pour toUt a e F «~' 2. >
n
= ~
n
À.
a.
désigne le produit scalaire dans
lR ). On dira que
À
j=l
J
J
est le vecteur polaire de
F •
Soit
(F.)
la famille des faces de
ë(p), 'et,
pour
1
ieI
chaque
i, soi t
À.
le vecteur polaire de
F . • Soit égaleme~t
- 1
1
p =
+1- supp P.
Pour chaque
i
e I, et chaque
u = (u )
e ~p ,
a
-
aesupp P
on pose
(1
-
<À., a»
u'
,
-1
-
f!.
n
•
avec la notation
= ~
À ••
• Puis on défi~it l'ensemble:
J= 1
1J
•
Co
l
(1.13)
:? = {s. (u)
e lN p} •
1
g
,
~
1
-
Pour chaque
"[ e
, on pose
:
(J.14)
{p
3 ~ e ~P, 3une fac'ette G de è (p), de
codimension
p , tels que, pour chaque face
F. contenant
G, on ait s.(u) = "[l,
1 1 -
et
:
si
-"[ 'lN
v( "[)
-
1
si
-"[ e lN •
• • • l.- ••

---

-
8 -
Soit enfin
:Po
= {l" e CC : P (l") > O} •
On remarque que
le plus grand élément de
1J e'st
o
max
I~. 1 = 00 ' et qu'on a
ieI
1
Théorême
1.4 : L'ensemble des pBles de
Zp ~t
Yp
e~t contenu dans
1
~o ~ Pour chacune de ces deux fonctions,
8
le pBle au poi'nt
est au plus d'ordre
p(T),
!!=~!!g~=!
1) La construction de
l'ensemble
est due à
P. Cassou-Noguès,
qui démontre le Théorème
1.4 lorsque
P
est un polynBme à deux va-
riables,
à coefficients positifs
([3J ,Théorèmes II ~t 12). Signa-
lons cependant que la méthode de
[3J ne permet pas d "étudier le cas
où l'un des coefficients de
P
est négatif, ~t que, pour le problème
de l'ordre des pBles,
le passage en dimension
n ~ 3
fait
apparattre
des complic~tions géométriques, aussi bien au niveau de l'énoncé que
de la démonstration.
2)
On déduit du Théorème
1.4 que, pour chaque
l" e
~o' il existe
deux constantes
A(l") et B(l")
telles qu'on ai t,
quand
s + l"
)-p(l")
Yp(s)
= A(l")
(s
+
0
( 1 s - l" II-P (l" ) )
-
l"
)-p(l")
Zp(s)
= B(l")
(s
+
0
( 1 s - l" II-P (l" ) ) •
-
l"
Au cours de la démonstration, nous montrons que A(l") ~t B(l")
dépendent analytiquement des coefficients de
P, 10rsquJon fixe suppP.
Les formules obtenues sont
très compliquées, et i l semble difficile de
décrire précisément les cas d'annulation, m@me dans le cas n = 2
(cf
[3J
, Théorème
13). Il paratt cependant raisonnable de conjec-
turer que les constantes A(l") et B(l"), considérées comme fon"ctions des
coefficie"nts
(aa)
,
sont non identiquemènt
nulles.
-
~esupp P
• •• 1•• •

---

-
9 -
s ' i l en était ainsi, chaque 't e ~
serait un .pOle, d'ordre
p('t),
sauf peut-@tre si les coefficients de
p
so~t les zéros d'une
fonction analjtique non identiquement nulle.
3)
La con'stru'ction du Théorème
1.4 e'st pureme'nt géométrique. Une
descri~tion pur~me~t algébrique de la répa~tition des pOles de Zp
~t
Yp vie~t d'~tre obtenue par B. Lichtin à l'aide des racines 'd'une cer-
taine b-fonction associée à P (~J , Théorème 1).
4)
Soit 't e :JJ • La condition
vCT) = 1
e's t
équi vale:nte à la
suivante
: il n'existe pas
u e lNP
et deux faces adjacentes F.
et
1 1
tel s qu' 0 n ai t
s.
(u)
= s. (u) = 'te
1
-
1
1 2 -
§1.2 -
Une caractérisation des polynOmes non dégénérés
P
1
.. d
E
d]Rn
d -
.
"'E
our tout po ye re convexe
e
, on
eS1gne par
le
sous-espace vectoriel associé au sous-espace affine engendré par E.
La dimension de
E
e~t le nombre
:
(1.17)
dim E = dim '"
E.
Une fac~tte de
E
est l'interse~tion de
E avec l'un de
ses hyperplans d'appui. Les facettes de dimension zéro s6nt les sommets
de
E. Si E
est de dimension
k ,
les fac~ttes de dimension k-l
sont
les faces de
E. Chaque facette d'un polyèdre
n-dimensionnel
E
est
l'interse~tion des faces qui la contienne~t.
Soit
P e
]R [Xl' ••• '
XnJ • Pour chaque fac'e'tte
G
de
eÇP),
on pose, avec les n'otations du nO
1.1.2
z-
et
(J.18)
=
x-
ete G n suP.p P
On caractérise les polynSmes non dégénérés par un résultat
du type Mihailov-Gindikin
( [ 9 J
, Théorème 4.1
; [4J
, Théorèmes
1 • 5 'e t
1. 8)
:
•
e· .1 ...

---

-
]0 -
.
Théorème
].5
On suppose
p(x) > 0
pour· to·ut x e 0, +CXl Cn • Alors
.
les propriétés suivantes sont équi va ~e·nte s
(i)
P est non dégénéré.
(ii)
Pour chaque facette
G
de
'! (p) , P
e'st non dégénéré.
G
(iii)
Pour chaque facette
G
de
'tep),
P
est > 0
dans
0, +CXl [n •
G
Ce résu·lt·at e·st différent du Théorème
].8 de [4J , dans
lequel les polynBmes
P
associés aux fac·e"ttes
G
non bornées de
G
lep)
n'interviennent pas.
On donne au chapitre 2
une démonst~ation qui ne dépend pas
des idées impliquées dans
[9J ou dans [4J.
§].3 -
Calcul de la partie principale deZ p~Yp
au premier pBle
Etant donné un polynBme
P
non dégénéré,
on donne une
expression des con~tantes
A
et
B
définies par la re~ation (].IO).
o
o
1 - Soient
~I = (1, 0, ••• , 0),
~2 = (0, 1,0, ••• , 0), ••• ,
e
= (0, ••• , 0, 1)
les vecteurs de la base canonique de
mn • Nous
-n
dirons qu'une fac~tte
G
de
ë (p) est parallèle à e.
-
si
G
est
-~
égale à
G -lR
e . • Une face
F
de
ë (p)
e's t
par a Il è 1 e à
e .
si
+ -~
-~
et seulement si son ve~teur polaire est o~thogonal à
e .• Une facette
-~
G
de
~ (p)
est bornée si et seulement si elle n'e~t parallèle à
aucun des vecteurs de base.
3 - On rappelle les notations
et
'"G (cf §1.2).
o
On fait une permutation des coordonnées de
f~çon que les
deux propri·étés suivaOntes soient vérifiées
n
(1.19) On a la décomposition: lR
=
(lR!-1 + ••• + lR e
) {9 '"
G •
-Po
0
(1.20) L'ensemble des vecteurs de base auxquels
Go
e~t parallèle
est
{~+ ] , ••• , en} •
.'.. /~.'..

---

-
1 1 -
Une telle permut~tion est totijours possible, et il peut y en
avoir plusieurs.
Soient
~1' ••• ' ~N
les vecteurS polaires (cf nOI.I.6) des
faces de
l (p) qui rencontrent la diagonale
~. Grâce à (1.19) et
au Lemme 2.3, on vérifie que le polyt~pe :
(1.21)
K = conv {2., ~I'···' ~N '
e l ' ••• '
e
}
P +
-n
-
0
est n-dimensionnel.
Théorème 1.6 :
Les constantes
A
et
B
peuvent être calculées
o
o
au moyen des expressions convergentes suivantes
-0
(1.22)
A
= n! Vol (K)
PG
0
n m (
J
(1.,~, 1)
J
0
dx)
dI.
o,+oo[ -
o
lRm-po
+
L
-0
(1.23)
J
B
= nI
Vol (K)
m-p
(.!., ~, \\l)
0
dx
0
*n-m
IR
\\l
6 JN
0
+
On a utilisé ci-dessus la notation
(.1., ~, z) =
( 1 , ••• ,
x m-p
,
YI'···' Y
).
n-m
o
De plus, l'écriture
est justifiée par le
fait que
m
0,
+00
x 0
Cn-m
P
est à valeurs> 0
dans
]
l ,
+00
G
C
o
d'après le Lemme 2.11
(cf §2.S).
3 - Cas particuliers
a)
Si la facette
Go
est bornée, on a
m = n ,
éè
les expressions
(1.22)
et
(1.23)
se simplifient
0
( 1.24)
=
n! Vol (K)
J
-0
(
x)
.1.,
dx •
••• 1 •••

---

-
12 -
b)
On suppose en outre
Po =
Alors
Go
est une
face
(bornée)
de
~ (p) ; son vecteur polaire
À
n'est dans aucun hyperplan de
coordonnées
; le polytope
K
se réduit
à un simplexe
:
K=conv{0'~'!:.2""'!:.n}'
et
nIVol(K)=ÀI.Onremarqueégale-
ment que toutes
les permutations de coordonnées vérifient
(1.19)
et
(1.20>'
Si on introduit la fonction
r
d'Euler,
on peut, à l'aide de
changements de variables faciles,
transformer
(1.24), et on obtient:
(1.25)
= B
t
=
exp ( -
P
(x»
dx
o
G
lR
o
+
Lorsque
P
est un polyn5me à deux variables, ou lorsque
P
vérifie une condition de semi-ellipticité, cette expression est due
à
P.
Cassou-Noguès
c)
Supposons
P
= 2.
Alors
K
est égal au simplexe
o
K = conv {D, ~I' ~2' !:.3'···' e }
, et on a
-n
•
n!
Vol(K)
=
Mais pour
Po ~ 3,
K
n'est en général pas un simplexe
(cf §4.I,exemple 3).
Si P
= n ,
alors
Go
se réduit à un sommet
a = (a, ••• , a).
o
a
On a
P
(!.)
= a
x -
,
et
G
a
0
lia
(1.26)
A
B
= a
n!
Vol
(K).
=
o
o
a
§1.4 -
Partie principale de
zp
(s) -
Yp (s)
au premier pale
Dans ce paragraphe, on calcule la constante
A
définie par
la
relation (1.12),
lorsque
P
est non dégénéré.
. . .1. . .

---

-
13 -
1 -
Soit 9 l'ensemble des facettes non bornées de
è (p), de codi-
mension
p
, qui rencontrent la diagonale
â . Pour des raisons de
commodité, on convient ici que
è(p)
est une facette de lui-m@me,
parallèle à chacun des
e .
-1
Le nombre d'éléments de Sest au plus
n,
car, pour chaque
i
fixé
( 1 ~
i ~ n), il y a au plus une facette
G G ~
qui soi t
par a Il è le
à
e .
(cf. Lemme 5.7).
- 1
On fixe
G G S ' et on lui associe une constante
comme
suit
On fait une permutation des coordonnées de façon que les deux
propriétés suivantes soient vérifiées
:
(1.27)
= '"G
( lR ~I + ••• +lRe).
-p
(1.28)
L'ensemble des vecteurs de base auxquels
G
est parallèle est
{e
1' ••• '
e
}.
-m+
-n
Comme
G
est non bornée, on a
1 ~ m ~ n-1.
Soient
~I' ••• ' ~N les vecteurs polaires des faces de ~ (p)
qui contiennent
G. L'ensemb1~
conv {~I' ••• ' ~N}
est la facette
po 1 ·
a1re
GO
de
G
(cf Lemme 2.3)
et est de dimension
• On en
déduit que le polytope
:
(1.29)
K = conv
-~N' et'···' e }
-p+
-n
est de dimension
n.
Lemme
1.1
L'expression
L
J
-0
n! Vol(K)
ien-m
m-p
PG (.!.,~,y.>
0
[
V G :N
:R+
est absolument convergente. Le nombre
AG
ainsi défini.ne dépend pas
de la permutation des coordonnées vérifiant (1.27) et (1.28).
Si
P
est à coefficients positifs, alors
AG
est> o •
.. ./ ...

---

-
14 -
Dans l'&cr"iture ci-dessus. on a pos' :
(1. ~. V + e) = () ••••• 1 • x) ••••• x -. v) + e) ••••• V
+ e
)
-
-
L
m-p
,n-m
n-m
'P---L
L'&nonc& signifie que la quantité
e'st finie. Mais l'expression
,
-0
L
J
PG (1. !O. V)
0
dx
*n-m
m-p
V G lN
lR+
converge s i e t seuleme'nt si
p = Po
• c'e'st-à-dire si :et 'seulement
si
Go
e~t non bornée.
Théorème 1.7 : La con'sta'nte
A définie par la relation '('1.12)
peut-~tre exprimée par la formule suivaute :
! - Exemple : On calcule la partie principale de
Zp(s} - Yp(s)
au premierp6le pour le polyn6me à trois variables
k
k
k
1,
1,' 1,
P(x • x
• x ) = al Xl
+ 8
+ XI x
1
2
3
2 x 2
+ a 3 x 3
2 x 3
(al' a
• a
> 0 ;
k ~t 1, entiers ~ 1).
2
3
Premier cas
On suppose
1, ~ k/
(figure 1). Alors Zp ~t Y
3
-----------
p
possède'nt en
°0 = 3/
un p6le simple. et Zp - Y
k
p
est régulière
.
en
ou· Sa valeur en
°0 est
-3/k
'!"3/k
= A =
P(~'
P(~ + i>
[
, '.'. e'l • ••

---

-
15 -
~~~!!!~~_~!! : on suppose
k~ < 1 < k~ (figure
2). Alors
Zp
et
Yp
possèdent en
° • 1/ un pOle triple; Z - y
0
1
p
p
est rEgulière en
° ,
0
et sa valeur en
00
s'exprime comme ci-dessus, en remplaçant l'exposant
-31.k
•
Troisième cas
-------------
on suppose
(figure 3). Zp
et
Yp
possèdent
encore en
00
= I~
un pOle triple
; mais
Zp - Yp
possède cette fois
un pOle simple en
00
de résidu
:
A
=
AG
+ AG
+ AG
1
2
3
<Xl
J
= -k
1:. j
1
+ a
~k + ~1 \\ll)-J/l _
[(aJ
(a
+ a
~k +
2
e' (\\1+6)1)-1/1 d6] d~
J
2
\\1 =. J
J
0
0
<Xl
<Xl
+.!.
L J [(a + a tk + tl \\11)-1/1 _
+ a
t
+ t
2
\\1=1
3
0
J
k
-1
1 -1/1
~ .
(a
(\\I +6»
,d6 _dt
k
2
3
0
J
<Xl
1
+-
1.. J
(a
+ al t
+ ~ (\\1 +6»
J
_d6
.
+ a
~k + ~1 \\11)-1/1_
[(a3
1
. -k
. 1
1 -1/1
.dt.
k
1
3
\\1=1
0
0
.
g~~~!:!!~~-=~!
on suppose
k/
< 1 < k
(figure 4>-
2
Zp
et
Yp
possè-
. ..'
dent un p6le triple en
1/
Y
1
p
possède
pOle double.
°0 =
, et
Zp -
un
Le coefficient de
(s -
)-2
8ans le développement en série de Laurent
°0
.
de
Zp - Yp
en
°0 est égal à
<Xl
1
1
d 6
2
2
1
)
.!.....)
-
r (
-
\\1
\\1=1
J
)
=
3 ( kl
Y ,
A
=
3 ( kl
\\1+6
1 2
1 2
0
où
y est la constante d'Euler.
on supp~se
(figure
5). Les ~ftsultats sont
comme dans le quatrième cas; seule l'expression de
A change.
On trouve
• • • 1.••

---

1
16 -
(
1
t •
,
!
!
-
-
Figure 2
: ê(p) pour k/3 < R.
< k/2
Figure
1
ë (p) pour R. < k/3
-
Figure 4
: E (p) pour
k/2 < R. < k
Figure 3 : !(p)
pour R. •
k/2
2!'~p) pour~~ k.

---

-
] 6 1 _
1 ] .5
Application à un probllme de points entiers
Soit
P '1
lR [X] , ••• ,
xnJ
un polyn8me non dégénéré dans
.
0 , +ClO[ n.
Pour chaque
t
> 0, le nombre de points entiers •
*n
Np (t)
=
{,Y. SE
•
P(,Y.)
•
~
t
}
et le volume
:
sont des quanti~és finies. On étudie le comportement asymptotique,
quand t + + ClO, de
Np(t) et de
Vp(t). Ceux-ci peuvent être déduits de
l'étude précédente au moyen d'un procédé standard, décrit au
.6 de
02J
• En particulier, définissant
cr
par (].S), Po
par (1.9),
o
A
par (].22) et
B
par (].23), on a le
o
o
Corollaire des Théorèmes
]. 2et
1.6:
quand t + + ClO
,
on
cr
p -1
o
B
t
(Log t ) 0
(1
+ 0 (L
1
», et
o
og t
cr
p -]
]
o
=
1
A
t
(Log t ) 0
(]+O(L
».
o
cr
og t
(p -J)I
o
0
Il découle de ce corollaire que
Np(t) et Vp(t)
sont du même
ordre de grandeur quand
t + ~ClO
(une inégalité élémentaire redonner~it
ce même résultat) et que, si la facette
Go
(cf nO
].].4) est bornée,
Np(t) et Vp(t) sont équivalents. Dans ce cas, on se pose la question
de savoir quel est l'ordre de grandeur de
Np(t) -
Vp(t). Pour cela,
-
on définit
p
par
( t . l ] )
et
A
comme dans le Théorème
1.7.
Le résultat suivant exprime, en termes de polyèdre de Newton,
qu'une différence "importante" entre Np(t) et Vp(t) ne peut exïster
".-
que si une fraction "importante"
des points entiers comptés dans Np(t)
se situent 1 proximité des hyperplans de coordonnées.
Corollaire des Théorèmes
1.3 et
1.7
: Quand t
-+-
+ CD
•
on a
:
cr
- IS
o (t 0
)
pour un certain Ô >0, si
p = 0
• • .1. • •

---

- 16"-
Exemple: (Problème des diviseurs de Dirichlet). Soit le polyneme à
deux variables
p(x, y) = xy. Le r~sultatsuivant est bien connu :
vP ( t) = t Log t - t + 1,
e t
Np ( t) = t' Log t
+
(2 Y -
1) t
+ 0 ( ta ) ,
pour un certain
a < 1,
Y d~signant la constante d'Euler.
Les corollaires ci-dessus, appliqu~s à cet exemple, donnent
Remarque
Soi t
p S m~ 1 ' ••• , XnJ • 0 n con s id ère lac 0 n dit ion sur P
p(x)
.... + lX)
Tout polynBme non d~g~n~r~ v~rifie
(*). Inversement, soit r un polyèdre
de Newton fix~. Alors, parmi les polynBmes admettant
r comme polyèdre
de Newton et v~rifiant
(*), "presque tous" sont non d~g~n~r~s
(cf
(!3J
'
§0.1
, ou
[j4J , proposition 1.6).
Sous la seule condition
(*), les quantit~s
Np(t)
et
Vp(t)
sont encore finies, mais les r~sultats ci-dessus ne sont plus valables,
comme le montrent les deux exemples suivants.
2
Exemple
Soit
P(x, y) =
2·
x
+ Y
+ axy + x
(a sm).
On a
cr
= J,
Po = 1
et la fa cet t eGo
est b 0 r n ~ e. Pou r a > - 2,
P est
o
non dég~n~r~ et le premier corollaire donne
P -1
(Log t ) 0
= t •
Pour
a = - 2
P
v~rifie
(*), mais est d~g~n~r~, et on a
3 2
Np (t) g Vp (t) ~ t /
,
ce r~sultat ~tant diff~rent de ce qu'on pouvait atten(f~e du premier
corollaire.
Pour
a < -
2 , P ne vérifie plus
(* ).
2
Exemple
Soit p(x, y)
(y
1) 2
Le polynBme P vérifie (*) ,
= x
-
+ x.
.
mais est dégénér~, et on a
Np (t) g t
Vp (t) U t 1/ 2 Log t .
En particulier
Np(t)
et
Vp(t) ne sont
"
pas du même ordre de
grandeur, contrairement à ce qui se passe dans le cas non d~gén~ré.

---

l
-
17 -
'1.6 - Application au comportement a.ympt~tique d'int'grales
oscillante. :
l - On désigne par
f(x)
• ~
a
x ll'
une s'rie e:nt ière a
-
n
a
Sl.
n
variables, a coefficients réels, non identiquement nulle, qui
converge au voisinage de l'origine dans
mn , qui vérifie
f(~) = 0
et
f'(O) = O. SoIt
~(~)
une fonction de classe
C=, à valeurs ~ 0,
non nulle en
~, dont le support est contenu dans un voisinage suffi-
samment petit de
0
dans
mn • Le problème considéré consiste a déter-
miner le comportement asymptotique, quand ' t + + =, de l ' i:ntégrale
oscillante :
i t f(x)
(1.3])
=
t e - ~(~) dx •
m
Rappelons qu'un résultat de
B. Malgrange ( [7] , Théorème 1.1),
utilisant le Théorème de d&singularisation de Bironaka, m6ntre que
~(t) admet un d&veloppement asymptotique illimité~ En particulier,
il existe un rationnel
cr > 0 , un entier p
(1 ~ P ~ m) ~t un nombre
complexe
Ci'O
tels qu'on ait
:
Ji
- c r '
p- 1
(1.32)
J( t)
= C . t
(Log t)
(J
+ 0
(L~g t » quand' t + + = •
Cette relation ditermine théoriquement les nombres
C, cr et
p ,
mais leur calcul effectif i
partir de ' f
et ~ e~t un problème diffi-
cile qui n'est pas encore entièrement résolu dans' to~te sa généralité.
Plusieurs auteurs ont obtenu des condItions suffisantes pour que
cr et p puissent ~tre explicit~s géométriquement i
pa~tir du polyèdre
de Newton de
f
à l'origine, noté
l
(f), et défini~~ar
o
(1.33)
ë (f) = conv ( {Sl. G]Nn : as;&, i' 0 }) m:
+
o
Plus précisément, on introduit le r~el posItif
t
· tel que
o
t
• 1
soit le point d'intersection de la diagonale
/). == { t • !
t
~ 0 }
o
z:
avec le bord de
(f), et l'intersection
Go
de to~tes les faces
• • .1. • •

---

-
18 -
de
ë (f) qui contiennent
o
t o • J.
On peut alors définir les
constantes géométriques
:
( J .34)
..
"et
(1.35)
.. codim Go •
SQUS la double hypothèse que
f
est non singulière a l'origine
(cf [J3J
, 10.0, "et que t o > 1, A.N. Varchenko 'établIt dans 03J
que l'on a
:
a = a
•
o
Il est a noter que la conclusion peut-~tre en défaut lorsque t
~ 1
o
( [13J
, exemple
2>- V. A. Vasiliev examine dans [I{] le cas
d'une fon'ction
f
non dégénérée au voisinage de
0
.'et pour laquelle
le polyèdre
~ (f) possède un sommet sur chacun des axes de coordonnées.
0
On dit que
.
f
est non dégénérée au voisinage de
0
si l'on a
au voisinage de l'origine, Jf(f)
désignant l'ensemble (fini) des
somm"ets de
lo (f). D'après le~Théorème 1.8 de [4J '
f
e"st non
dégénérée en
0 si ~t seulement si elle e~t non singulière en ce poi~t
et
~ 0
au voisinage de l'origine. Sous les hypothèses sus-mention-
nées, Vasiliev montre qu'on a
:
( 1.37)
et
Par la m"éthode employée pour le Théorème
1.6," nous pouvons étendre
ce résul t"at en mo"ntra"nt que l'on a
( 1.37) sous la seule hyp'othè se que
. -.~
f
est non dégénérée, sans imposer aucune condition suppléme:"ntaire
concernant les sommets de ~ (f). Nous obtenons de plus une formule
explicite pour la constante
C
apparaissant dans
(1.32) en fonction
de
ë (f) et des aa. L'expression est analogue a (1.22).
o
-
Notre résultat fait l'objet du Théorème
1.8 énoncé ci-dessous. Il
est nécessaire d'introduire préalablement quelques n~t~tions'et d'finitions
• • • 1• ••

---

-
19 -
2 - Pour toute série entière
f
non dégénérée en
O.,
nous supposons
d
..
.
.
V _-
r""_b, b:'1 n
onne un V01s1nage
~
~
où
b > 0
est assez petit pour que la
série définissant
f
converge dans
V
et que
(1.36)
ait lieu uni for-
mément pour
x SV.
On fait une permutation des coordonnées de f~çon que les deux
propriétés suivantes soient vérifiées
:
'\\,
lRn
=
(L lR ~k ) Q) Go
( 1.38 )
I~k~po
G
est
o
parallèle à
!m+I' ••• '!n
et à aucun autre des
e .•
-1
On définit la série entière
:
a
(1.39)
=
aa
x-
Il est facile de vérifier que cette série converge dans
m
r:
b:'1 n-m
lR
x L..:"b,
~
et que
f
(x) est> 0
lorsque
x
est dans l'ensemble
Go
m
r""
b:'1 n-m
m. x L.:"b, ~
privé des hyperplans de coordonnées.
Si
F
est une face de
Co(f) rencontrant la diagonale
â , le
support de
F
ne passe pas par l'origine; on peut donc définir le vec-
teur polaire de
F
comme au n°
1.1.6. Soient
~I' ••• ' ~N
les vecteurs
polaires de faces de
'ë (f) qui rencontrent â. On pose
o
K = conv { 0, ~ l ' • • ., ~N '
=-p + l ' • • ., ~n } •
o
On introduit la classe ~(f)
des fonctions de classe
dans
m.n
à valeurs ~ 0,
à
support contenu dans
V
,
non nulles en
Enfin nous adoptons la notation~condensée
y
) •
n-m
Théorème
1.8 :
(i)
Pour chaque
<1> s ce (f)
,
l'expression
J J.....
0
(1.40)
~(<I» =nl
L
Vo1(K)
Po
n-m (
f
(.!!..bz.l-0 dxl
P
G
~S{-I,I}
m.
m.
0
0
est convergente. Le nombre
~(<I»
ainsi défini est
> ~
et ne dépend
as de la permutation des coordonnées vérifiant
(1.38).
( ii)
On fixe
<l>Se:r(f). Alors, quand
t + + lX) ,
on a
p
-0
P -1
(-1) 0
(1.4
i 1t0
J) J (t)
=
r(oo)
o
e
~(<I»
t
0
(Log t) 0
[1 + O(
(po-I)l
Log t
>J
• • .1. ..

---

- 20 -
Exemple
Si la fac~~te Go
est bornEe, ce qui sera le cas si, par
exemple, on suppose que
~o (f) possade un sommet sur chaque axe de
coordonnées, alors l'expression (1.40) se réduit à
:
~n
-<J
'1' _
L
.. n 1 Vo1(K)
"'(0)
p0
..p
Cl,!.) "0 dx
!G{-I,t}
m.
0
Si on suppose en o"utre que
Go
est une face , l e rEsu'lt'atse simplifie
encore
=
exp ( - f
(!.»
dx
G
•
o
3 - Les d"étai1sde la preuve du Théorame
1.8 appara'tt.ro'nt dans un
travail u1.térieur. Nous nous contenterons ici de signaler que,
selon
un procédé décrlt au
51
de
[13J, le compo'rteme'nt de 1 'i:n~égra1e
-:
os c i 11 a"n t e
~ "Ct) pe'ut-'@tre déterminé à pa"rtir de l "étude de la qua"ntIté
~(f, <1> ; s)
=
•
En J'occurrence,
nous obtenons par la m"é thode du ThEorame
1.6 le
résultat suivant qui implique facilement le Théorame
1.8
Théorame
1.9 :
L'intégrale
~(f,
<1>;
s)
converge pour
S" > -(J'et
o
diverge pour
s '= - (J
,
et on a
o
-p
~ (f,
<1>
s)
=
~(<I»
(s
+ (Jo)
0
+
quand
s .... -(J
+ 0 .
o
51.1 - N'ot"ations
_ Le re"ste de c'et a"rtic1e est consacré à la preuve des Théorames 1.1
-
à
1.7. Mais les démon"strations font 'appara'ttre la nécess'ité d'un
cadre tras 1égarement plus général que celui décr,'it précédemment.
Nous allons ~tudier les fonctions
:
l • • " / ' . ' • •

---

-
21 -
(1.42)
z
Il-I
(P, !l •, s)
•
L.
P ( ~)-s
n
" -
,
-
- .
"
G lN
"et
.
(1.43)
y
(P, !l , s)
=
,
D, t[O
x !l-I
p ( !. ) -s
dx
lorsque
P
est un Ifpolyn~me généralisé", à coefficie'nts .complexes,
de pa'rtie réelle non dégénérée, e-t où le ve'cteur ,Il
e'st fixé dans
Jo, +OO[n (en fa"it, dans [3J, [8J 'et [IIJ ,on 'été 'étudiées
les fon'ct"ions
(1.42) 'et
(1.43)
lorsque
P
e'st à coeffic'ie'nts de
pa~tie réelle positive).
Nous allons mai"ntena'nt introduire les défin"itions'et les n'ot'ations
qui correspondent à ce nouveau cadre.
! - On appelle polyn6me généralisé à
n variables une fonction de la
forme
:
(1.44)
=
L-
,
a G S
où
S
e~t un sous-ensemble fini de
]Rn
qui n'est contenu dans aucun
+
hyperplan de coordonnées, et où les
aa
so'nt des nombres. complexes
non nuls. Comme pour les polyn8mes, on notera
s = supp P =' { a : a ri' O}.
~
a
Le polyèdre de Newton (à l'infini) de
P
est l'ensemble:
= conv
(supp p)
]Rn
+
•
On pose
:
(1.46)
P'* (!.)
=.L
~G:t(P)
où
":t(P)
désigne l'ensemble des sommets de
ë (p). On dira que le
polyn6me généralisé
P e s t non dégénéré s ' i l vérifie
r
(1.47)
Re ( P (x »
» P '* (!.)
( x GD, +00 [n ).
Enfin, pour chaque facette
G
de
Z (p), on pose :
a
(1.48)
=
L-
a
x-
'g,
a
G G n supp P
'.'../'...

---

- 22 -
3 -
Soient
P
un polyn~me généralisé non 'dégénéré à
n
variables,
e t
!l. G] 0, +00 [ n
f i x é s.
Soi t
( F . )
1 a f ami 11 e des
fa ces de
1
i GI
!(P), ~t, pour chaque
i
G l, soit
1.
le ve~teur polaire de
F .•
- 1
1
On pose
(1.49)
a
=
·a
(p, !l)
<1., n>
o
1::
max
0
•
iGI
- 1
-
On remarque que
a
peut-être défini géometriqueme'nt comme suit
:
o
la demi-droite issue de l'origine, passant par
n ,et soit
le point d'intersection de
f1!!.
avec le bord de
è (p).
Alors on a
a =
l/t
.
o
0
Soit
p :: '# supp P
Pour chaque
i
G I
'et chaque
u ~
G ]N P
u =
(u~).
, on pose :
-
~ G supp P
(1.50)
s.
(u)
=
u)
Si (p, !l.
= <1.,
n>
1
- 1
L
(1 - <1 . , ex » u ,
-1
-
ex
~ G supp P
et
(1.5t)
f = jJ( P, Il.) ::
i
G l
,
Pour chaque
T G ~ , on pose
V(T) = V(P, Il. ; T) =_
(1.52)
max {p
:3~ G ]NP, 3 une facette G de Z (p), de codimension p ,
tels que,
pour chaque face
F.
contenant
G, on ait
1
s.
(u)
= T},
1
-
puis pour chaque
s G et
s)
= r
s ;
~
si
(1.53)
p(s)
=
p( P, Il
V(T)
-
1
si
s G ~() (-]N)
V(T)
si
s G ~ 'et
s ~ (-]N).
Solt enfin
(1.54)
~o = ~o (p, !l) = {s G G:
p(s)
> 0 } •
4 -
Comme annoncé dans
la Remarque 2 du §I.l, nous allons montrer dans
cet art i cl e que 1 e s
qua n t i tés
Y ( P, II ; s) 'e t
z (P, n ; s) dépendent
. -
analytiquement des coefficients de
P
(Th~orèmes 3.2 ~t 5.2).
• . .1. . •

---

- 23 -
Pour définir précisément ce que cela signifie, nous introduisons les
notations et définitions suivantes.
On fixe un sous-ensemble fini
S
de
lR. n
qui n' e'st co'ntenu dans
+
aucun hyperplan de coordonnées. Le polyêdre de Ne~ton de
S
e~t
l'ensemble:
( 1 • 55 )
ë. (S) = conV ( S) - JR+n
SoIt
':/(S)
l'ensemble des sommets de
les). On pose
a
(1.56)
x-
Définition
Nous dirons que le polynOme généralisé
P(~)
ast
S-non dégénéré s' i l véri fie le s troi s propr fêtés sui va'ntes
:
(i)
P
e~t non dégénéré
(ii)
supp P c: S
(iii)
ë (p)
= !.(S).
Soit
P = #=S
• Pour chaque
a = (a )
G ([.p , on pose
-
a
-
a G S
(1.57)
~
(!.)
~
a
=
a
x -
a
a
On désigne par
U(S)
-
l'ensemble des
a = (a~).
G ~p, tels que
- a G S
le polynBme généralisé
~
soit
S-non dégénéré. Pour chaque ô > 0,
a
on pose
.
( 1.58)
U
(S) =
{ !. = (a )
G et P . Re ( ~ a (~»~ô * (!.) ,
~S
ô
i!.aGS
pour tout
x GD, +(1)[ n} •
.
Alors on a
U(S)
=
U
U
(S)
ô
•
ô > 0
Nous laissons au le'cteur la vérification facile du'-fa'it que U(S)
est un ouve'rt connexe de
(tP
contenant
JO,
+(I)[p
+ i lR. P •
Enfin, étant donné
Il. GJO, +(I)[n , on pose
.
{ "0
!l.) = cr
,
p(S,
(S,
(~ l ' !l)
!l. ; .r) =
P(~1'2; 1") ;
0
( 1 .59
1 (S, 11) = 3'J(~ l' !l.) et :Po (S, !l.) = ~ ( ~ l', n),
- .
Où ~l
e'st
le polynOme généralisé
~
(x)
1
= [:-s xg,
- .
•
... / ...

---

-
24 -
.2. - Dans" to'ut c"et a'rticle, lei' lettres en cara'ctêres gras"
d~signent
des ve'cteurs :
Si
f
et
g
sont deux fonctions,
f à valeurs complexesi g à valeurs
positives, le symbole
f{x) «
g{x)
(x G X)
signifie qu'il exi~te une constante
M> 0
telle qu'on ~it
If{x)1 ~ M g{x)
pou~ totit
x G X , et le symbole :
f{x) »
g{x)
(x G X)
signifie que
f
e~t à valeurs positives ~t qu'on a
g ( x), ,< < "f ( x )
(x G X).
Si
f
~t
g
sont à valeurs positives, le symbole:
f{x)
u
n g{x)
, (x G X)
signifie qu'on a à la fois
f{x) «g{x)
et
f{x»> g{x)
pour
x G X.
En particulier, la relatioft (1.47) signifie que, pour
!. GO, +00 [ n e t
P nond~généré,
P (!.) e's t de pa'rt ie r~elle" > 0 ;
P{x) -s
la défin'ition de
dans (1.42) et (1.43) se f~it à l'aide de
la dêtermination principale du Logarithme complexe.
L'a"uteur" tie'nt à exprimer ses remercieme'nts à G~raldTeuenbaum
pour ses encourageme~ts et ses nombreux conseils.
...
• • .1. • •

---

-
25 -
CHAPITRE
2
PRELIMINAIRES GEOMETRIQUES
Apr~s avoir énoncé quelques propriétés générales du poly~dre ~(p)
et de son ensemble polaire
"'f o(P)
au
12.1, nous décrivons aux
12.2 et 2.3 l'argument essentiel de notre méthode: le Lemme 2.8 et
la formule
(2.13). Pour illustrer comment ceux-ci interviennent dans
notre problame, nous calculons au 12.4 l'abscisse de convergence de la
série (1.42) et de l'intégrale (1.43), et l'ordre du pOle en ce point
(Théor~me 2.1). Comm~ deuxi~me application, nous établissons au 12.5
le Théorème 2.2 qui étend le Théorème
1.5 au cadre des polynOmes
généralisés.
Dans' tout ce chapItre, on utilise les tiot'ations 'et les définitions
du
Il.6.
12.1 -
Généralités sur
"tep)
1 - Les résultats de ce chapitre découlent facilement de propri~tés
connues et sont donnés
sans démonstration. Pour plus de d'étails sur les
polyèdres, les faces et les facettes, on renvoie à
[5J
eu [IOJ-
,
par exemple.
On commence par un résultat sur la stru'cture des fac'e'ttes de l'(p)·
Lemme 2.1
DO;
18.3 et
18. 5J
Soi t
G
une f a cet t e de
ë (p), e t
soit
{e.
, ••• ,
e.
}
(0 ~ m < n) l'ensemble des ve~teur8 de base
-1.
-1.
1
m
auxquels
G
est parallèle
(cf nO
1.3.1).
Alors
:
(i)
Les sommets de
G
sont les éléments de
~(P) n G.
m
(ii)
G = conv (Cf (p) n G)
L JR+ e.
k= 1
-1. k
2 -
Soit
m
un entier
(1 ~
m ~ n-I). On désigne par TI la projection
canonique de
sur
mm • Soit
p'
le polynOme généralisé à
m
variables défini
par :
P'(!.') = p(x'
- , J) = P (x j , ••• , x~, l , • • ., 1) •
- - - 1 _ _ _

---

- 26 -
Alors on a
"Z (p') a 'Ir ( ! (p». Le résul tat suiva'nt cara'ctérise les
k-faces
(i.e.
les fac~ttes de dimension
k) de
~(p').
Lemme 2.2 :
(i)
Les k-faces de lep')
sont les proje~tions des
(k+n-m)-faces
de
~(p) qui sont parallèles à !m+I' ••• ' ~n.
(ii) Les facettes bornées de
'l'cp') sont les proje'ctions des facettes
de
"E (P )
qui sont parallèles à
!m+ l ' ••• , ~n ,et à aucun autre
des e.
•
-1
Une application immédiate de la partie (i) du Lemme 2.,2 e'st le
:
Corollaire
: Etant donnés
P
et
p'
comme ci-dessus,
'et,!l. G ] 0, +CXl[ n,
on pose
n'='Ir(!l)·
Alors on a les propriétés suivantes
(i)
cr
(p'
o
'
( i i)
~ (P', !l') C .:P (P, n), e t ;Po ( P', !l') c 3'0 ( P, n).
(iii)
P (p', !l'
; .r>
~
P (p,
n •.r>
- ,
pour chaque
l'
G et.
! - On définit le polaire de f(p)
en posa'nt
< i, a > ~
pour tout
2,G
C(P)}.
n
n
est un polytope de
m
,
contenu dans
m+
'
admettant
o
comme somm~t. Appelons facettes propres de
~o(P)
les facettes de
èO(P)
qui ne contiennent pas
O.
On énonce maintenant l'analogue d'un résult~t classique sur les
polytopes
(cf
[sJ
, 3.4.4).
-,-
Lemme 2.3
Si
G
est une k-face de
C(p), l'ensemble
(2.2)
GO
=
{~G ,!o(p) : <~, a>= 1 pour tout
a G G}
est une
(n-k-I)-face propre de
ëO(p), ~t l'application
G + GO
e'st une bije·ction de l'ensemble des fac'e'ttes de "!,(p)
sur l'ensemble
de s
facet tes propre s de
'E 0 (p) •
• • • 1• ••

---

-
27 -
En particulier, les sommets propres de
ë'°Cp)
sont les ve"cteurs
polaires des faces de
ë' (p) ,
i.e.
les
À.
(i G 1), "et les faces
- l .
0
propres sont les
{~J , que nous noterons
A
, avec
~ S:t(P). Nous
a
-
dirons que
A
est la
a
face polaire de
a.
4 -
Pour tout polyèdre convexe
Q
de
mn , on désigne par
C ( Q)
=
m+
q = {t
~
t~O,
~SQ}
le c6ne polyédral
(de sommet
0)
engendré par
Q. Pour chaque ~ S mn ,
on pose
~~
=
{t.~: t ~ a}.
A l'aide de la proposition
3
du 17 de
[IJ
, on montre le
Lemme 2.4
Soit
~ S ~Cp), et soient
F.
, ••• ,
F.
les faces de
l.1
l.m
contiennent
a
Les génératrices extrémales de
C(A
)
/l{Pl qui
a
sont les demi-droites
~À. , ••• , ~À.
- l . 1
-l.m
Définition: Soit
E un polyèdre convexe de
mn • On appelle découpage
de
E
une famille
El' ••• :
EN
de polyèdres convexes de
mn
vérifiant
N
(i)
E =
E.
U l.
i=1
(ii)
si
i : j j, alors dim(E.nE.) < n.
l.
J
c.
Lemme 2.5
:
[la ; 14 • €l
La famille
(C(A
»
forme un dé~upage
~ a S :I(p)
12.2 -
Découpage des c6nes polyédraux saillants~
Le but de ce paragraphe est de montrer qu'un c6ne polyédral saillant
n
de
m , ayant un nombre quelconque de génér~trices e~trémales, admet un
découpage formé de c6nes polyédraux à
n
génératrices. Le Lemme 2.4
de
0 []
est incorrect et doit ~tre remplacé par le suivant
:
• • .1. • •

---

-
28 -
Lemme 2.6
: Soit
C
un cBne polyédral saillant de
mn
do'nt les géné-
ratrices extrémales sont les demi-droites
DI' ••• '
Dm
(m ~ n).
Alors il exi~te un découpage de
C
formé de cBnes polyédraux de la
forme
conv ( D.
U ... u D. ), avec
< ••• <
m •
1
1
1
n
Démonstration
Comme
n
C
est saillant, il existe un hyperplan
H
de
m , ne conte-
nant pas l'origine, dorit l'iritersection avec
C, n~tée
Q, soit com-
pacte, et tel qu'on ait
C = C(Q)
(cf (2.3»
les somm"ets de
Q
sont
les poirits d'iriterse~tion de
H
avec les géaér~trices e~trémales de
C (cf [1]
,§7).
Supposons qu'on ait construit un découpage
(n-I)-dimensionnel de
Q ,
formé de
(n-I)-simplexes
SI' ••• '
SN' dont les sommets sont pris
parmi ceux de
Q. Alors la famille
(C(SI)' ••• '
C(SN»
e~t un décou-
page de
C
vérifiarit la conclusion du Lemme
2.6.
L'existence du découpage
SI' ••• '
SN
e~t un cas pa~ticulier du
résult~t suivant. Dans la suite de ce paragraphe, on convierit, pour des
raisons de commodité, que
~
et
Q
sont des facettes de
Q.
2
Lemme. 7 : S ·
01ent
Q
un po 1y tope d e
mn ,
L
un sous-espace affine
d
mn
,
t·
e
,
et n
un en 1er
(0 ~
n' ~ n). On suppose que
L
ne contient
aucune
n'-face de
Q.
Alors i l exi~te une famille finie
SI' ••• '
SN
de simplexes de
mn
vérifiarit les propriltés suivantes
(i) La famille
Q.
SI' • • . , SN
constitue un découpage de
-."
(ii)
Les sommets de chacun des
Sk
sont aussi des sommets de
Q.
(iii)
Pour chaque
k = l, ••• , N,
L
ne contient aucune n'-face
Démonstration
On démontre le Lemme par récurrence sur
n, en ~emar-
quant que,
pour
n = 2, il n'y a pas de difficulté (cf figures 6et 7) •
• • • 1•••

---

- 29 -
.. --. -... -
-. '. -- .-. -- L
..'
."
Figure 6
n = 2 et n' =
Figure 7
n = 2et n'=2
On appelle pyramide de
mn
un polytope de
mn
de la forme
Q = conv({!.}U
B), où
B
est un (n-l)-polytope, appelé base de
Q,
et où
x
e~t un,poi~t n'appartenant pas à l'hyperplan affine engendré
par
B. On rappelle
! [SJ , §4.2) que les facettes
G
de
Q
sont
de deux types seulement
: ou bien
G
est une facette de
B, ou bien
G
est de la forme conv({x} U g), où
g
est une facOette de
B.
On suppose d'abord que
Q
est une pyramide do~t le sommet
x
n'est
pas dans L • Par hypothèse de récurrence, on peut décomposer la base
B
en simplexes (n-l)-dimensionne}s
sI' ••• '
sN
qui vérifient la conclusion
du Lemme. On défi~it
les simplexes
SI' ••• '
SN
en posant;
Sk = conv({!.}
U sk). La famille
(SI' ••• '
SN)
vérifie les propriétés
(i),
(ii) et (iii).
''Oo • •
~ • • •
----------L
Figure 8
n = 3, ni = 1, Q e~t une pyramide.
• • •1• • •

---

- 30 -
On se place maintenant dans le cas général , e t on choisît un somm"et
x
de
Q
qui n'est pas dans
L • Soient
F
les faces de
FI' • • • ,
Q
r
qui ne contiennent pas
x • On pose
Q. = conv"( {!.} U F. ) , pour
-
1
1-
i = 1 , ••• , r
• La famille des pyramides
QI' • • • , Qr
forme un découpage
de
Q. On décompose chaque
Q.
en simplexes comme ci-dessus.
1
La famille de" tous les simplexes ainsi con"stru1ts forme un découpage de
Q
~t vérifie (ii) ~t (iii), d'oü le Lemme.
Remarque :
Le Lemme 2.6 et les propriétés (i) et (ii) du Lemme 2.7 seront
utilisés constamment dans la suite, le plus souvent sous la forme du
Lemme 2.8 ci-dessous. Par contre, la propriété (iii) du Lemme 2.7 ne
sera utilisée que pour determiner l'ordre des p~les de la fonction
Y(P, n ; . )
au chapitre
3.
52.3 - Polyèdre de Newton et changements de variables.
- En combinant les Lemmes 2.4, 2.5 et 2.6," on obtie"nt le
Lemme 2.8 : Il existe un ensemble fini Ji de c~nes polyédraux à
.
n
géné~atrices, contenus dans m: ' tels que les deux propriétés
suivantes soient vérifiées
:
(i) Chaque
C G ~ est engendré
par les ve"cteurs polaires de
n
faces sécantes de
~(P).
(ii) La famille des
C G Jt constitue un découpage de
Soit l'applic~tion
__"'_ _> mn
+
(2.5)
1
La propriété (ii) est équivalente à la suivante : Pou~ to~te fonc-
tion
x(~)
intégrable sur
[1, +oo[ n , on a :
• e· • 1 • • •

---

-
31 -
X(!.) dx
On transforme maintenant l'intégrale
X(!.) dx
au moyen d'un
changement de variables.
2 -
Soient
~1' ••• ' ~n n vecteurs linéairement indépendants de m:.
et
C = C(~I' ••• ' ~n)
le c~ne polyédral engendré par
~1' ••• ' ~n. On
consid~re l'appli~ation
n = n(~I' ••• ' 1n ) définie par:
n
'"
---> C
(2.7)
[
Pour toute fonction
X intégrable Sur
C.
ona
:
J
n
(2.8)
XCI) dl.
= 1d'et (~l
~n)
X([·
1
t . E; • ) 'dt
•
• • • • •
Sn j =1 J -J
C
lR +
On définit l'application
W = W (~I •••••
~n) au moyen du diagramme
D. +CXl [ n
'"
l-I (C)
>
W
(2.9)
l~
T l-I
mn
> C
+
n
ou bien par la formule analytique
n E ; . 1
n
E;j2
n
E: jn
(2.10) x G D.+m[n->w!,
ro Cil -1
= (
JI
x. J
JI
x.
• ••••
JI
x.
)
~ r(,
(C).
j= 1
J
j= 1 . J
j= 1
J
Si le cBne
C
est de la forme
C = C(À.
• ••••
À:- ).
on n'otera
- ] .
- ] .
1
n
pour simplifier
Wc
=
W (À.
• ••••
À.
)
- ] .
- ] .
.
1
n
t'application
W
transforme un monBme en un mon~me~:
<~2
g,>
<~n' g,>
=
x 2
•
• • • •
x n
•
• • • 1•••

---

- 32 -
En particulier, si
P
est un polynOme g€néralisé,
P ow
e'st encore
un polynOme g'n'ralisé. On d'finit l'application linéaire
'\\,
ID
:
]Rn _> ]Rn
par
'\\,
(2. ]2)
w a
= ( < i], a> , ... , < F,; , g,> ) ,
n
'\\,
de façon que
,( w x) ~
=
wa
x
-.
La formule du changement de variables qui correspond à (2.8) est
S
dx
dxn
(2. ]3)
X{x) --!
-
x
•••
-
=
x
~-] CC)
1
n
§2.4 - Applièation au calcul de l'abscisse de convergence et de l'ordre du pOle en ce point
- Dan s cep a r a g r a ph e, no usé tab 1 i s son sIe rés u'l ta t sui v a'n t
:
Théorème 2.]
Soit
P
un polynOme généralisé non dégénéré à n variables,
et soit
ll. GJO, +oo[n • On pose
0'0
= 0'0 (P',.!l)
'et
Po = p CP, n ; 0'0) •
Ci)
La série
Z{P, n ; s) .et l'intégrale
Y{P, ll. ; s) convergent
si et seulement si
Re{s) > 0' •
o
(ii) Quand
0' -+ 0'
+ 0, on a
o
-p
-p
Z (P" ll. ;
o
0')
=
({a -
0 ' )
0
et
y (P" .!l ;
l!) = 0
o
((0'
-
l!0)
0) •
(iii) On suppose de ,plus que
P
est à coefficients réels. Alors,
quand
0' -+
0'
+ 0', on a
0
-p
.
-p
Z (P,
)
0
•
0') U (a _ 0')
0
ll. , 0') U
(a -
et
0'0
n
y
CP, .!l ,
n _,_
0
•
Remarques
:
])
Ce résultat n'e~t qu'une version très simplifiée des Théorèmes
4.1 et 5.3, dont les démon~trations compl~tes sont données aux chapitres
4
et
5 • Il nous a cependant paru utile de donBer ci-dessous une
preuve directe du Théorème 2.] afin d'illustrer la méthode des changemènts de variables
,exposée au §2.3.
••• 1•••

---

- 33 -
2)
Par définition, une intégrale multiple
(resp. une série mul-
tiple) converge si et seulement si elle converge absolument. Dans le
cas n = 1, un raisonnement direct montre que la convergence simple et
la convergence absolue de l'intégrale (1.43)
(resp. de la série (1.42»
ont lieu sim~ltanémerit. Cela explique pourquoi nous ne précisons pas
le type de convergence en dimension unité.
! - Nous commençons par établir un résultat très général sur les poly-
nBmes généralisés qui sera utilisé fréquemment dans la suite.
Lemme 2.9
:
Pour chaque polynOme généralisé
P
à
n
variables, on a l'esti-
mation :
..
P (~ 1 «
P
(o!)
Démonstration :
Soit
a S
Ccp) . Chaque
x S î -1 (C(A »
peut s'écrire sous
a
1 1
1n
la forme
x = (t
, ••• ,
t
)
avec
t
~ 1
~t
a
__ t <_~, a> = t
•
x -
Pour chaqu~
a s "t(P), on a
a
x-
=
~
t
• On en déduit
a
a
(2.14)
x- ~
x -
C# -1
»
,
pour tout
x S ~
(C(A
et t o"u t a s
e(p) •
a
-
En appliquant l'inégalité
(2.14)
pour chaque
~ S ~(P), et
U
en remarquant l'égalité:
î- I (C(A » = 0, +oo[n
~sY(P)
a
(cf Lemme 2.5), on obtient
On en déduit
immédi~tement le Lemme 2.9.
3 - Démonstration du Théorème 2.1
: Nous nous contenterons de prouver
la propriété (iii) du Théor~me 2.1 qui est la plus signific~tive. Nous
supposons donc dans ce qui suit que
P
est un polynOme généralisé non
... / ...

---

-
34 -
(2.16)
Y(P'.!l; a) X
(a ... a + 0)
o
a)
Soit
Go
la plus petite facette de C (p)
renco"ntrant
!l!l.
(cf (2.4». Au moyen de condérations élémentaires, on démontre la
propriété :
(2.17) Pour chaque ' i G l, on a l'équivalence: <À., n> =a
~> F., rencontre
!l.
1, ~'O
1
~
On en déduit l'égalité
(2.18)
Po = codim
Go
b)
Soit Ji ~n découpage de
comme dans le Lemme 2.8. On déduit
du Lemme 2.9 l'estimation:
Y (P'!l.; a ) U
n y (p* , !l. ; a), qui est
localement uniforme pour
a ~ o. Utilisant
(2.6)., on obtie'nt
Y(P, n; a)U
-
,.,
*
-a
P
(!.)
.
dx
Fixons
C G 3t • On peut supposer que
C
e~t n-dimensionnel. Il
existe
a G ~(P)
'et
À.
, ••• ,
À.
G C(A')' tels que
C
soit le
-1
- 1
a
1
n
cBne polyédral engendré par
À.
Soit W = Wc • D'après
-1 n
(2. 13)
on a :
J
*
_a
U
S
'"
wn-I
x - - -
P ow (!.)
.
dx
~-I
f'\\
n
(C)
0, +00 C
*
Remarquant que
a
P
(!.)
>.-
x -
,on obtient
J
-.-
!l -I
x
-
dx ,
~-I (C)
c~tte estimation étant localement uniforme pour
a >.- 0 • C'et te
n
-1
dernière intégrale est égale à
II
(cr - < À.
',!l > )
( c f
( 2 • 12 ) )
- 1
k=1
k
pour
• On a toujours
< À.
,
n> ~a
, et ...
-1
'
k
0
•• ,1 •••

---

- 35 -
d'après
(2.17), le nombre des indices k
tels que
< li ',!l. > soit
k
"
égal à
0
est égal au nombre des indices
k . tels que
F.
con-
0
1 k
tienne
G
• Ce nombre ne peut excéder la codimension de
G
puisque
0
0
les vecteurs
~ . , ... , L
sont linéairement indépendants, d'où:
- 1
- 1
1
n
n
-p
II
(
) -1
o - < ~.
, .!l >
«
(0
-
0
)
,0
- 1
o
k=1
k
Reportant dans
(2.19),
on a
finalement démontré:
-p
(2.20)
Y(P~ n ; 0)
« ( 0 - 0
)
0
quand
o ... '!o + O.
0
c) Nous allons maintenant établir l'inégalité inverse de (2.20).
Soit
(G)o
la fac~~te polaire de
G
(cf (2.2». Sa dimension est
o
o
p
-
(cf Lemme 2.3). Choisissons
formant
o
~I , ••• , ~ o
un système affineme"nt libre. Soit
a
un somm·et de
Go. La face polaire
A
contient
(Go)o, et on peut trouver des points
a
G A
tels que la famille
so:it affinement
a
libre. Comme l'enveloppe affine de
A
ne contient pas
0 , les vec-
a
teurs
ri' ... ' ~ so·nt 1inéai~ement indépenda·nts.
Soit
C
le cane polyédral engendré par
ri' ... ' ~,'et soit
w
=
On a,
localement uniformément pour
o >.. 0
:
J
y (P'.!l; 0)
»Y (p., 11; 0) >..
11 -1
x
-
P • (!.) - 0
..
dx.
~-I(C)
D'après (2.14), ce~te dernière intégrale e~t
xn-.!.-o.a
d'où, d'après
(2.13)
:
J
~11-0.I-l
n
-1
y (P, 11; 0»>D,
x
-
-
dx
=
II
(0 - < ~ ,11»
,
+œ[ n
k=1
• • •1• • •

---

- 36 -
uniformément quand
0+ 0
+ O. En utilisant
(2.17), on obtient
0
finaleme'nt
:
-p
Y(P'!l.; 0 » > (0 -
(
)
0
0
ce qui achève la preuve de
(2.16).
i - Pour prouver la partie (iii) du Théorème 2.1, il nousre'ste à établir
l'estim'ation
-p
Z(P, n· o)U
-'
n (0 - CI) 0
o
(0 +
0
+ 0).
o
Mais l'étude de la série
Z ( P', !l. ; 0)
se déduït de celle de
l'intégrale
Y (P'!l. ; 0), et l'estimation (2.21) pe'ut-'~tre obtenue à
partir de
(2.16)
au moyen d'inégalités élémentaires. Plus précisément,
nous allons montrer le
:
Lemme 2. 10
Soït
P
un polyn6me généralisé non dégénéré à
n
variables
à coefficie'nts réels, et soit
n. GJO, +CXl[n • Alorsl'e'stim'ation :
y (P, !l. ; 0) g
Z (P,
n ; CI) ,
entre nombres réels finis ou non, a lieu localement uniformément
pour 0 ~ cro •
Démonst~ation : Ecrivons
y ( P', !;l
En raisonnant comme dans le Lemme 5.10 (cf. chapItre 5), on démo'ntre que
l'es t im'a t ion
J (~+efl-.!.p(~+e)-O de U !l-I
@,on
-
-
- -
n '"
- P (~)-'!
*n
a lieu uniformément pour
'" G ~
et localement uniformément pour
CI ~ 0
lorsque
P
est non dégénéré. En sommant les.,.deux membres de
(2.22) par rapport à
V G m*n, on obtient le ré8u~tat cherché.
12.5 -
Application aux polyn6mes non dégénérés.
1 -
Le btit de ce paragraphe est de démontrer le Théorème suiv~nt qui
étend le Théorème
1.5 dans le cadre des polyn6mes généralisés:
•• •1· • ••

---

-
37 -
Th~orême 2.2 : Soit
P
un polynCme g~n~ralisé à
n
variables, à
coefficients complexes, et on suppose
Re
(P(~»
> 0
pour tout
x GO, +ClO[ n
• Alors les propri~tés suiva'ntes so'nt équivalentes :
(i)
P
est non dég~néré.
(ii) Pour chaque face
F de
c(P) ,
P
e'st non dégénéré.
F
(iii) Pour chaque f ac'et te
G
de
ë (p), on a P (x) > 0
pour tout
G
-
x S 0, +ClO [ n.
-
Soit
G
une facette de è (p). O'après le Lemme 2.1, les deux
polyn6mes g~n~ralisés
et
*
(P)G
sorit ideritiques
; nous noterons
=
=
L'implic'ation (i) ->
(iii) peut @tre d~mo'ntrée comme dans
[ 4
; Th~orême ]. t]
ou dans
Ct 4 ; Th~orème ]. 5J • La même m'éthode
.
permet d'~tablir un résultat plus pr~cis
•
Lemme 2.1]
: Soit
G
une facette de
(:(P). On suppose que
G
n'est
parallèle à aucun des vecteurs
~]' ~2' ••• ' !m'Où
m
est un entier
v~rifiarit
] ~ m ~ n. Alors la condition
(2.23)
implique la condition
:
O~monstration :
Soit
H
un hyperplan d'appui de
C(p) , tel que
G = H t1 C(p),
et soit
~
le vecteur polaire de
H. On fixe
!. GJO,+ClO[m~o,+ClO[n-m,
et on considère un paramètre variable
t
~ ]. On pose
e: =
]
-
max' { < g."
a >
: a G su pp P , a ~ G} •
,
.
Quand
t
..
0+-
+.ClO
on a
f,;
f,;m
f,;n
1 -e:) ,
P ( t
] x] , ••• , t
t
x
)
=
t
P
(x)
+ o ( t
'et
x m' · · · '
n
G
.
f,;
*
f,;n
*
O(t,-e:).
P
( t
] x] , ••• , t
x )
=
t
P
(x) +
n
G
... / ...

---

-
38 -
L'hypothèse sur
G
montre que les
~.
sout > 0
pour i
= I, ••• ,m.
~.
1
Pour
t
as sez grand on aura
t
1
Xi >.. 1 pour
i
= 1, ••• , m, :et donc
.
pour
i
= ] , ... , n , appliquant (2.23), on a
~ 1
~n
Re (pG(~» + 0 "( t -e: )
1
=
Re [pC t
t
x
)] "
xI' • • • ,
~
t
n
15
Il
~ ]
~n
Il
>..
t
)
x
=
o ( t -e:) •
t
P
( t
xI' • • • ,
15 PG
( x)
+
n
En faisa"nt tendre
t
ve rs
+ co, on obt ie"nt
(2.24)
Le re'ste de ce paragraphe est consacré à la démon"str'ation du
Théorème 2.2.
2 - Dans un premier temps, nous allons démontrer l'implication
1
(ii) - > (i)
lorsque
P
admet
x-
comme plus grand monttme
(i.e.
lorsque
-e (p) admet
comme unique sommet).
Soi en t
FI' ••• , F
1 e s n fa ces de
'l (p) , F. 'éta'nt la face qui
n
1
admet
e.
comme ve"cteur polaire. Soit
A = conv(e , ••• , e ) l'unique
-1
- l
-n
face propre de
ë-0 (p). Po~r cha"que
i
(1 ~ i ~ n) 'et chaque
e: > 0 ,
on pose
v
=
<~, a> < 1 - e:
pour to"ut
a S supp P, a ,
F.}
•
];
i,e:
On fixe e: > 0
assez petit pour que la famille
( V )
recouvre A •
.
i, e:
I~'i~n
~
~
On pose sy"stém"atiqueme"nt
X
= t ~ = (t 1, ..., t n)
(t S
D, +eo [, ~ SA)
.
On a, uniformément pour
et " t
>.. 1
~ G V.i,e:
La"
+ 0'( t l-e:) •
<~, ~>
P ( t1 )
=
t
=
- a
~ ~'supp !J,-
•
-"
L'hypothèse
(ii)
s'écrit
Re(P
.
(ti»
» xl
= t
pour ~ sO,+co[n,
F 1
.
et pour chaque
i
= l, ••• , n. On en déduit l'estimation, uniforme par
.
n
rappo"rt à
V.
~ G U
1,e:
i=1
• • • 1•••

---

- 39 -
(t ~
J>.
En particulier, en dehors d'un certain compact, on a
Re ( P (!.»
»!.l.
Rappe lant l ' hypo thèse
Re ( P (!.»
> 0
pour
x GD, +00 [n ,on end é du i t
( i ) •
3 -
Nous allons ensuïte démontrer l'implic'ation (iii) -=>(ii) lorsque
1
P
adm'et
x-
comme plus grand monBme, par récurrence sur le nombre
de variables. Pour cela, nous allons, par exemple, moritrer l'e~timation
Re ( P
(x»
»
1
x-
Fn
On peut écrire
P
(x)
= x
Q(!.')
, avec
F
n
n
où
Q
e~t un polynBme généralisé à
n-] variables adDie'tta'nt
comme plus grand monBme.
Si
G'
est une fac'e'tte de
!(Q),l'ensemble
.
G=G'
x{1}
e'st une fac'et te de ccp) , et on a
x
QG'(x') = PG(!) •
n
-
.
En pa'rt icul ie r
Q
vérifie
(iii) et on a
Re (Q(!.'»>0
dans
[1, +0:) en-] . Par hypothèse de récurrence, on en
déduit que
Q
vérifie
(ii), puis, d'après le ~o2, que
Q
est non
dégénéré. Par conséquent
P
est non dégénéré.
F n
4 -
Enfin, nous allons démontrer l'implication (iii) --->(i) dans le
cas général, ce qui, conjointement avec le Lemme 2.11, suffit à prouver
le Théorème 2.2 • Soït J\\
un découpage de
]Rn
, comme dans le
+
Lemme 2.8
• Nous allons d'abord montrer que, pour chaque
C G~ ,
est non dégénéré.
Soït donc
C G Ji.
• On peut écrire
C = cO..
, ••• , À. ), où les
-~
-~
1
_
n
À.
( 1 ~ k ~ n) so'n t
1 es v ec t e ur s po 1 air e s de s
n
face s F.:
, ••• , F.
-~k
"'1
1 n
séca'ntes de
C. (p).
Soït
Q = powC
,'et soient
Fi , ••• , F~
les faces de 'ê(Q).
Chaque fac'e'tte
G'
de
~ (Q)
peut s'écire, à une permutation des
indices près,
G'
= F'] n ... n F'm
Soit
G = F.
n • •
•
~
• n F.
]
1 m
.... / ...

---

- 40 -
On virifie alors l'ide~tlti : QG' = P
0 Wc
'
qui mo~tre que
G
Re (QG') e'st > 0
dans
0, +CXl[ n • Appliquant alors les résu1.t'ats des
n02 et 3 ci-dessus, on en diduit que
P 0 Wc
~st non dégénéré.
On salt que ,chaque
C G:Ft est contenu dans
C(A')
pour un cer-
a
-
tain
a G
~(P). Pour un tel
~
, l a condition
1
Re ( P 0
Wc
(.!.) ~ »
x-
dans
0, +CXl[ n
e'st iquivale'nte à
':'1
~-1-
Re ( P (z.» »
z.'!.
dans c:e
(C). Comme dans
lIC..
(C),
on a' toujours
'le
a
x- »
P (~) d'après (2.]4), on a montri que, pour chaque
C G Jt,
on a
:
dans
Cette e'stim'ation e'st encore valable dans la riunion (finie) de
tous les
~ -l(C), donc dans
0, +CXl[ n • Le Thiorème 2.2 e'st e'ntiè-
reme'nt démo'ntri.

---

CHAPITRE
3 -
PROPRIETES GENERALES DE LA FONCTION
y (P, !l ;
s)
13.1 - Enonc6 des résultats :
1 -
Le résultat suivant précise la répartition et l'ordre des pOles du
pro ongement méromorphe de la fonctl.on s - >
J
1
.
!l.
x" - 1
-
P (!.) - s
o,+co[ n
et étend les Théorèmes
1.) et
).4 au cadre des polynOmes généralisés.
Les n~t~tions sorit celles du Il.6.
Théorème 3.1
: Soit
P
un polynOme généralisé non dégénéré à
n
varia-
bles, à coefficients complexes, et soit" !l. ~ ] 0, +co[ n.
(i) L'intégrale
Y(P'!l; s)
converge si et seulemerit si
Re(s) > 0
(p, n). La convergence est localemerit uniforme dans le
0
demi-plan
{s
: Re ( s) > 0
(p,
n)}
o
-
•
(ii) La fon~tion
Y(P'!l;
.), définie et holomorphe dans ce
...
~
".
demi-plan, adm"et un prolongement méromorphe à to"ut le plan complexe,
dont les pOles sont contenus dans l'ensemble
3»0 (P, n).
(iii)
Si
3'(p,n)
est. un pOle pour
Y(P" n ; .), l'ordre
o
-
du pOle en ce point est au plus égal à
p (P, n ; '[").
Le poirit (i) découle immédiatement du contenu du 12.4. La démons-
tration de (ii) et de
(iii) est donnée dans la suite de ce chapitre.
2 -
Nous nous intéressons maintenant à la dépendance de
Y(P~ n ; s)
par rapport aux coefficients
a
de
P . Plus précisément, on fixe un
a
sous-ensemble fini
s
de
]Rn
qui n'est contenu dans aucun hyperplan
+
de coordonnées, et on pose
p = "If:. s .
Nous allons êtudier la fonction de
p+l
variables complexes
(!"
s) -------> Y(~a' !l ; s),
les n~tations étant celles du nO
1.1.4 • D'après le Théorème 3.1, elle
est définie dans
U(S)
x
(
CI \\ ~(S, !l»
• .. • 1 •..

---

-42 -
Théor~me 3.2 : Soit T G ct • On pose
p . p(S',!l. ; T). Il existe un
voisinage
V
de T dans ct et un réel r > 0 . tels que les deux pro-
priétés suivantes soient vérifiées
(i) la fonction
(!.' s) - > Y(cjla' .!l. ; s)(s - T)P e'st ana1°ytique
dans
U(S) x V.
(ii) pour chaque
6 > 0
fixé,
on a la majoration :
r
(3.1)
Y(cjla' n ; s)(s - T)P «I!.l
(s G V, !. G U
(S»,
6
où on a posé, pour
a = (a~)
-
aGS
-
(3.2)
1!.I
= L a •
a
aSS
En utilisant la formule intégrale de Cauchy, on v6it que la partie
(i) du Théorème 3.2 admet pour conséquence immédiate le
:
Corollaire
: Pour chaque
T G a : ,
les coefficients du développement
en série de Laurent de la fonction
Y(P'!l.; s), au voisinage de
s = T , dépendent analytiquement des coefficients
de
P.
La part ie Ci i) du ThéorètlW! 3.2 nous sera "ut i1e au chapïtre 5 pour
l'étudede la série
Z(P'!l.; s) •
• 3.2 - Deux lemmes techniques
:
l - Nous éno~çons d'abord une variante d'un résuLtat classique sur les
intégrales dépendaOnt ana1°ytiquement d'un ou plusieurs paramOètres. Tous
les problèmes d'ana1jticité seront ainsi ramenés i
de simples majorations
Pour couvrir simultanément tous les cas d'application gont nous aurons
besoin, nous nous p1~çons dans le cadre des mesures de Radon.
Soient p une mesure de Radon sur un espace
X, U
un ouve~t de
ct P , et
D
un ouveOrt de
et • Soient ~ un sous-ensemble discr'et de D ,
et P une apÎ'lication de
D
dans
lN, nulle dans
D\\:P.
Soit
f(~,~, s) une fonction continue s~r X x U x (D'''), l
valeurs complexes vérifiant les trois propriétés suivantes
• • • 1•••

---

- 43 -
(i)
Pour chaque f,; G X et
s G ])'3', la fonction
.!. ->f(f,;, .!., s) est
holomorphe dans
U.
(ii) Pour chaque f,; G X
et
.!. GU, la fonction
s -->f(f,;, .!., s) est
méromorphe dans
D. Ses p~les sont dans ~ , l'ordre d~ p~le en T
étant ~ p('r).
(iii) Pour chaque
TG D,
il existe un voisinage V
de T dans
D, et
une fonction
M(.!.)
, positive et localement bornée dans
U; tels qu'on
ait
j 1 f(f,;, !o, si dllJl 0;;) ~ M(.!.) Is _TI-p(T) (s G V, a GU),
X
où IlJl
désigne la valeur absolue de la mesure
lJ.
On considère alors la fonction
J f(f,;,
s)
d~ (f,;),
X
qui est définie et continue sur
U x
Lemme 3 . ] :
Sous les conditions précédentes, la fon~tion F(.!., s)
est· holomorphe dans
U x (D , , ) . Pour chaque
a
fixé, elle est
méromorphe dans
D
par rapport à
s ; ses p~les sont d~ns ~ ,
l'ordre du p~le au point T etant
~ p(T).
! - Avarit d'énoncer le deuxième lemme, qui consi~te en un simple calcul,
il est nécessaire d'introduire une notation. Pour chaque
u ) G E P , on pose
u ! et, pour chaque
p
p
s G ct :
s (s +
t>... (s + 1~I - ])
(3.3)
,
u!
où
'~1
a été défini
en (3.2)
; cette not~tion coincide avec le
coefficient binomial
( - : ) lorsque
p =
].
Rappelons que, si
z
est un nombre complexe de partie réelle
s
positive, on définit
z
à l'aide de la d~termin~tion principale du
Logarithme.
... / ...

---

- 44 -
Lemme 3.2. : Soit
b = (b , ••• , b )
G ct p" tel que
-
1
P
Re (b 1) > z::..
1b ml.
U~p
Alors on peut écrire le développement convergent :
(3.4)
(b 1 + ••• + b )-s
-s
.. b l
l:.
(-: ) b -1 ~I b~ (s Ger ) •
P
uQNP
1
Ü "0
I
De p1uso, si
Re (b 1) ~ 2
L- 1bml , la série précéde:nte converge
~~p
absolument et unifc.;rmément sur tout compaOct de la variable
s.
§3.4 - Cas où
P
adm"et
x.!.
-------_.-...--.;;..........;.----
comme plus grand monOme.
] - On fixe pour tout ce
§
un sous-ensemble fini
S
de
lR n
qui
+
n'est contenu
dans aucun hyperplan de coordonnées ~t tel que
Z( S)
admette
comme unique sommet.
Le but de ce paragraphe est de démontrer le résultOat suivant qui
est une version affaiblie, dans un cas-particulier, des Théorèmes 3.1
et 3.2 :
Lemme 3.3
(i)
Si
P e s t S-non dégénéré, alors la fonction
Y(P, !l ; s) admOet un prolongement méromorphe à" to:ut le plan com-
plexe dont les p01es sont-d'ordre
~ n ~t contenus dans l'ensemble
3' (S, !l.>'
(iO Soit
-r G et • Il existe un voisinage
V
de -r dans
et ,et un réel r > 0 , tels que la f 0 n"c t ion
(a, s) -->y(~ , fi ; s)(s - -r)n
soit analytique dans
U(S) x V,
-
a
~t tels que la major~tion
)
) (
) n
I!.I r
0.5
Y(~a' fi ; s
s - -r
«
soit vérifiée pour chaque IS > O.
.0"
Avant de passer à la démonstration proprement d~te du Lemme 3.3,
nous allons faire quelques remarques préliminaires.
Tout d'abord,
ë(S)
possède exactement
n
faces (cf figure
15
chapitre 4)
; soit
F.
la face
admettant
e .
comme ve~teur polaire.
1
- 1
Ecrivons
... / ...

---

- 45 -
S • {a l' a 2 , • • • , a }
, avec al •
et a
. ~ 1
pour.' to"ut
~p
. m,J
m = 2, ••• p , et tout
j
• l , • • • , n
a
'éta'nt différent de
pour
-In
m ~ 1•
Pour chaque
~ = (u , ••• , u ) ~ E P ~t chaque
i = 1, ••• , n, la
l
p
not~tion
(1.50) devie~t :
p
s.(u) = s.(S,'" ; u)
=
n· -
L (l-a .}u
1
-
1
~
1
m,1
m
•
m = 1
En particulier, on a
~o = 0o(P, n) = max n·. De m@me, la notation
l~iin' 1
(1.51) devient:
( 3 • 7)
J> (S, n) = ·{s.(u)
l~i~n ,
U
= O}.
1
-
l
Nous allons mai~tenant décrire un cas p~rticulier pour lequel le
Lemme 3.3 e~t immédi~t.
P
a
,
.
Ecrivons
P (!.)
= L
-In
a
x
. supposons qu'on aït
m
•
m=1
(3.8)
Re(a ) ~ 2 t.
l
laml
m=2
(ce qui implique que
P
est S-non dégénéré).
Pour
Re(s) > 00' on peut~remplacer, dans l'intégrale
ote n-l ()-s
)-&
X
-
P x
d!.,
P(~
par
son
développement en série
(3.4). Intégrant terme-à-terme, on obtient finalement:
Y(P, 11 ; s) =
(s-s.(u»-~
a;s L
(-S) a;+~1 !.~ ~~
u~lNP
u
J=1
J
J -
Ü = 0
1
Le membre de droïte est une série de fon"ctions méromorphes dont les
pOles so"nt d 'ordre ~ n "et contenus dans ~ (S, .!l.). C"e"tt;- série converge
localement uniformément dans a: \\~S, .!l.) par rappo"rt à
s ,"et constitue
donc une éc~iture du prolongement méromorphe de
Y(P',11; s) •
• • • 1.· • •

---

46 -
La suite de la d~mon~tration consiste !
se ramener au cas oa la
condition (3.8) e~t réalisée.
2 -
Soi t
P (!.)
= °L
aa!. ~ , et on suppose que
a~S
reste dans
Uô(S) ~ pour un certain
ô > 0 fixé.
On commence par décomposer l'intégrale
!l. - I
x
-
J n
o,+0)[
+00
M
+00
Pour chaque
M > 1°, on écrit
• Procédant ainsi pour
5= S+ S
1
1
M
chacune des
n
intégrOations successives, on obtieOnt l'i:ntégrale
J
n
comme °la somme de
2
termes qui soOnt' tous, moyenna'nt une
Ct, +00 [n
permutation des coordonnées, de la forme:
Sn' J nU , avec n' ~ 0, n" ~ 0 ~t n' + n" = n.
(!f, +00 [
O,l!]
Etant donnés
n'
'et
n"
comme ci-dessus, on pose, pour" to'ut
:J. ~ (tn
v = (v', v") auec v' -
(y'
y' ) - (y
y ) et v" = (y"
y" ) - (y
y )
tL.
tL.
tL.
,y
II-
-
1' • • ., n'. -
1' • • ., n'
II-
1' • • ., n" -
n' + 1' • • ., n '
et
• ,n'-I
n"-1
,
-s
(3.10)
h(s)
x -
-
x"- -
p(
x")
dx'
!. '
d!,". •
On pose
c = min { 1 - a.
a ~ S , a. -1- 1},
et
B(M) ~ { !. ~ ciP - 1~ t ~ ô If- }
J
J
2
Nous allons montrer que
h(s)
admet un prolongement méromorphe
à tout le plan complexe, dont les pBles sont d'ordre ~ n ~t contenus
dans
~ (S".!l.) ; que pour chaque
or G ct , il exïste un voisinage borné
V
de or tel qu'on . i t
:
(3.1J)
(avec
T =
sup
Isl), uniformément pour
s ~ V, M > 1 ~t
\\ s~V ./
!. ~ U
(S) n ïHM)
ô
• • .1. • •

---

- 47 -
(Plus pr~cis~ment : la constante impliquée par le symbole-«
dans
(3.11)
peut d~pendre de
V
et de
~,mais pas de
M, s, ~
choisis
comme indiqu~).
Nous verrons au cours de la d~monstration que les majorations
obtenues sont localement uniformes par rappoyt à
a . D'apras le Lemme
3. l, cela implique que
h(s)
dépend analytiquement des coefficients
n
a
de
P . Comme
Y(P, n ; s)
est somme de
2
" termes du' type
(3.10),
g,
il s'ensuit que la propri~té (3.11) implique (3.5).
Le re"ste de la démonstration du Lemme 3.3 e"st donc consacré à
l'étude du prolongement méromorphe de
h(s) ~t à la preuve de la majo-
ration (3.1 J).
n"
3 - Pour
x" bD, +oo[
,
et
s bct tel que
on pose
(3.12)
f (!o" ; s)
=
n'-1
-s
x'
-
p(x'
x")
d x ' ,
- ,
de so"rte que
J " lIn."-1
.
(3.13)
h(s)
f(!."
s)
dx"
=
x
-
,
•
o,l!} n
•
Un changement de variables dans
(3.12) donne
l!l' 1
,n'-1
f(x"
;
s)
= M
J n x" -
dx'
•
[1, +oo[
Pour simplifier les notations, on désigne par
Q
le polynOme
à
n' variables défini par
Q (!o')
=
P(M x ' ,
x"). On obtie'nt alors:
= MIn. ' 1
f(x"
; s)
Y(Q, n' ; s)
Soit n la proje~tion de
mn
n'
sur
m
~t soit
s' = n(S) ;
C (S')
admet
comme unique somm~t, ~t on a
1
supp Q c: S'
• Posons
Q (!.' )
b
x'-
b
x'!."
1.
1.
. • •• 1•••

---

-
48 -
Pour calculer
b l' on désigne par
G
la facette de C (S), inter-
section des faces
FI' ••• ' F ,.
n
Alors
-
= oL
a"
aa
x"-
= If'
Il ail
a
x --
, :ët de même
°
aGGnS
a
1
n'
b
~'-
(~',
l
= M
PG
x"). D'après le Lemme 2.11, on a
(pour
~ G Uô(S»
:
1
Re (b 1 !.'1)
~ ô Mn' x- , d'où
De plus, pour chaque
a G S, 2. ~ G, on a
nt _ c •, one n dé dul t :
L
a"
n'-c
~"-
1
1 ~ M
x"-
•
aGS
aflG
D'oU finalemerit, pour
a G B(M) n
Uô(S), pour totit
M > 1 ~tO totit
n"
x" G [l, +00 [
,
on a :
)~ c L-
L
(3.15)
Re(b
6M
1b
1 •
1. rf
1.
1
I
I~I
1. '" 1
Pour chaque
q
j
(1 ~ j ~ n' )
et chaque
v = (v)
G E
(avec
q
-
= * S') , on pose
s'. (v) = n .
~
~-,\\YGS'-
-
( 1 - Y .) v ~-. Gr 1 c e à
J
-
J
y
J
r.
(3.15), on peut calculer
Y(Q, !L' ; s) par la formule (3.9), ~t on obtierit
O
Pour chaque T G ~ , il existe un voisinage borné
V
de T tel
O
que la qua ntlté
[~ (s - s.' (!.) )-il (s - T)n solt uniformémeOnt bornée
j=1
J
J
~
pou r
s G V
°e t
v G]N q •
V
L'expression
T)n
(s -
L
b
.TI
(s-s'.
1
J
~
q
vG]N
C) b -I!.I [ u'
(,Y.» -
J=I
v =0
1
est alors uniformément bornée pour
s G V, a G Uô(S) n B(M),
... / ...

---

- 49 -
!a" G 0, ~n"
'et
M > l, d'apras (3.15) et le Lemme 3.2. On en déduit
que la fon'ction
f ex" . s)
- ,
est analytique dans
(Uô(S) n B(M»
x V
et qu'elle vérifie dans cet
ensemble la majoration suivante, qui est uniforme par rapport à M > 1
nn
et
x" G 0, ~
:
T
(s
-
T)n
f (x"
;
.)«
MIn.' 1 Ibll
•
On majore
Ibll
en "utilisant
(3.J4), 'et on r~po'rte le résultat
dans (3. J3)
; on obtie~t ainsi (3.1 J). Le Lemme 3.3 e~t e~tiareme~t
démontré.
13.4 -
Démonstration dans le cas général
:
] - On fixe
S
comme au nO 3.].2, et on_reprend les notations du 13.].
Soit
(F. )
la famille des faces de
C(S), 'et, pour chaque
i, soit
1.
iGI
n
À.
le vecteur polaire de
F .• On considare un c6ne polyédral
C
delR
-1.
1.
+
.
qui est de l'un des' trois' types suivants
n
(3.17)
C =]R
•
+
(3.]8)
Il existe
a G ~(S) te! que
C
soit égal à
C(A)
(cf nO 2.].4).
a
(3. ]9)
I l e x fs te
n
fa ces s é c an tes
F. , ••• , F.
de C(S)' tel que
C
'loi
l. n
soit le c6ne polyédral engendré par
À.
, ••• ,
À.
•
-1.
-1.
]
n
Pour un' tel
C, on pose
(cf (2.5»
(3.20)
Y
(P,
C
!l. ; s) -
J
n - 1
P(x)-s
x -
-
dx
~-] (C)
n
P our
C = ]R+ ' on a
y C (p, !l. ; s)
= y ( P" !l. L.S).
Lemme 3.4
:
(i) Si
P e s t S-non dégénéré, la fonction
Yc (P" .!l. ; s),
définie pour
Re s > a o (P, rr), admet un prolongement méromorphe
à toüt le plan complexe dont les p6les so~t d'ordre ~ n, ~t contenus
dans
J' (S, n).
.../ ...

---

- 50 -
{iU
Solt
'[ G ct
• Il existe un voisinage
V
de '[ dans
ct , ~t un réel r > 0, tels que la fonction
(!., s) - > Yc{<p , n. ; s)(s - '[)n
soit ana1'ytique dans U{S) xV,
a
et tels que la majoration
(3.21>
Y
( '"
) (
_ ... ) n << I!.I r
C.
't'a', n. ; s
8
•
soit vérifiée pour chaque 6 > O.
Démon~tr~tion : On remarque d'abord que, grAce au Lemme 2.8, on peut se
se re~treindre au cas 06
C
est du type
(3.]9). On suppose donc que
C
est de la forme
À.
) ,
que les ve'cteurs
À.
, ••• ,
À.
-1.
-1.
-1.
n
J
n
sont linéairement indépendants, et que les faces
F.
, ••• ,
F.
se
1. J
1. n
coupent en un sommet
a
de
è(S).
....0
Soit
w = w
l'application du changement de variables définie
C
par (2.9) ou (2.]0), ~t soit ~ l'application linéaire associée i
w
par (2.J2). On pose
S' = ~(S) (cf figures 9 'et JO).
t'~
...,
/
u.J~a.
~
F'z.
~~.= i
' /
l(S)~
W' -!.
/ / / /~ ...-
2//« ~,
r, ;: ....
/~
e,
/ '
/ / /
r;
Figure
9
Figure
10
• • •1•••

---

- 51 -
les faces
de
C(S'),
la face
Fk adnie'ttant
!k
comme vecteur polaire.
De 1 '~ga1it~ suiva'nte, valable pour
~k~n 'et
uGE P
:
s.
(S, n, ; ~) = sk (S',~!l. ; u) =
L...
1
(1
-
<À.
,
~» u'
k
1
aGS
- k
a '
on déduit l'inclusion
: ~ (S', ~ n,) c
~(S" n,).
On remarque que si
P
est
S-non dégénéré,
alors le po1yn6me g~né­
ra1isé
P
x '"
0 w(.!.)
= L
a a
w ~
est S' -non dégénéré, 'et,
plus pr~ci-
aGS
sémerit, que
U~(S) e~t coritenu dans
U~(S') pour chaque ~ > O.
On d~duit de (2.13) l'identité
=
Idet
(À.
, •••• ,
À.
)1
Y ( P o w , '"wn,;s).
.
- 1
- 1
1
n
Appliquant alors au po1yn6me
P ow
le Lemme 3.3, on ~btient
immédiatemerit le Lemme 3.4.
2 -
On établit maintenant le résultat concernant l'ordre desp61es.
On conserve les notations ci-dessus. On désigne par
C un c6ne
polyédral de
qui e~t du type (3.17) ou (3.18)
(mais non d~ type
(3.19), car le Lemme ci-dessous est faux dans ce cas).
On suppose que
P
est S-non dégénéré. Alors si T e~t un
y C (P, !l. ;
s),
l ' 0 r d r e du p 61 e en cep 0 Ln t
e's t
T).
Avarit de passer à la démonstration,
signalons que les Lemmes 3.4
et 3.5 imp1iquerit immédi~tement le Théor~me 3.1
• Moritrons également,
au moyen d'un argumerit général, qu'ils
imp1iquerit le Théor~me 3.2.
On fi xe
T
G ct , e ton po s e p = p (S, !l ; T). Pou r
e: > 0 a s se z
petit,
le disque
W C
ct , de centre T et de rayon 2 e: , e'st co'ntenu dans
le voisinage défini par la propriété
(ii)
du Lemme 3.4.
Soit
V
le disque
• • .1. • •

---

- 52 -
de centre ~ et de rayon
€ .
On fixe
a S U CS)
; pour chaque s S V,
le Lemme 3.5 et la formule int'grale de Cauchy donnent :
. J
J (s' -~)n y (IP " !l. ; s')
Y(IP
'!l.; s )
a .
,
a
- 2i1T
1s '-~ r - 2€
ds
n-p
( s ' -~ )
(s ' - s)
Appliquant le Lemme 3.4 ~ la fonction
s'-->{s' - ~)n
y
(IP~' n ; s'),
on en déduit que lespropri't's Ci) et (ii) du Théoz:ême 3.2 so'nt véri-
fiées pour
s S V.
3 - Démontrons maintenant le Lemme 3.5. D'apr~s le Lemme 2.5, on peut se
restreindre au cas où
C
est du type (3.J8). On suppose que
C
est
'gal ~
C (A
), pour un certain
~ S CjJ( S). On f ixe ~ S .:P (S, !l.),
a
, - 0
et on pose :
1. S lN : 3 ~ S :NP, .3 une fac'e'tte
G
de C (p) co'ntenant
0.23) n' = max
~,de codimension
R.,
t.q. pour chaque face Fi conte-
{ nant
G, on ait
s.(u) = ~ ,
1
-
avec la convention
n' ... 0
si
s.{u) t- ~ pour chaque face
F.
conte-
1
-
1
nant
et chaque
~ S ~p. Nous allons montrer que si ~ e~t un pale
pour
Y
(p, !l ; s), l'orere du .pale en ce point e'st
~ n' 'et que si,
C
de plus, ~ e~t un entier n'gatif, alors l'ordre du pale e~t
~ n'- J
;
le Lemme 3.5 sera alors enti~rement d'montr'.
On commence par faire une simplification. Soit P{x) ... L a
x~
-
aSS
a -
où
a ... (aa)
est fixé dans
Uë(S). Pour chaque a sJo,
0 , on pose
- aS S
a
a
- 0
a
(!.)
+ afu
(J
a)
x-o + a P(!.)
Pa
= a
x
a
x-
...
-
a
a
a
- 0
f!o
aJ'a
-
- 0
.,-
D'apr~s le Lemme 2. 1 J , le p-uple
a (a)
form' par les coefficie'nts de
Pa
re's te dans
Uô(S). Pour a > 0
assez petït, on aura ·•
(3.24)
Re ( aa
(a»
'> 2
L- a (a)
~t- ~
a
- 0
Supposons qu'on sache démontrer le résult'at pour chaque
Pa ' lors-
que
(3.24) e'st vérifié. Alors le résultat sera encore vrai pour a ... 1.
• • • 1•••

---

-
53 -
En effet, soit
A
(a)
le coefficient de
, )-k
k
(s -
T
dans le dEvelopp~-
me~t en sErie de Laur~nt, au voisinage de
s a
T, de
Y
(p
~ n ; s) ;
C
d'apras le Lemme 3.4~ il dépend analytiqueme'nt de
a; s'il e'st nul pour
a assez p~tit, il est également nul pour
a a 1.
On
.
peut donc se ramener au cas où on a •
(3.25)
Re(a~ )
~
2
L
1 a~ 1 •
..-0
aGS
ëï"a
-
- 0
Dans la sui te, nous supposerons que l 'hyp'othase (3.25) e'st vérifiée.
a
4 - Comme dans
on a
x-
pour' tout
~G S (cf (2.14»,
-
t
dé
1
P(.!) -s,
on peu
ve opper
au moyen du Lemme 3.2
• En i'ntégra'nt terme
à terme, on obtient
:
; s) = a'-s
C)a~-I~I u
a -
cI>'
(s)
,
~
u
où on a posé
s) =
u
(a - a) - s a - 1
a -,.0.,..
- 0 -
dx.
-
Les fon~tions cl> (s) admettent une expression simple.
u
Lemme 3.6 : Il existe un entier
N
tel que chacune des fon'ctions cl> (s)
u'
s'écrive comme la somme d'au
.
plus N fon'ctions de la forme
n
(u»-I
(3.28)
1 d'e t 0,. , ••• , À. ) 1 n
(s
-1. 1
-1.
- s.
,
n
Jl.= 1
1Jl.
où les
À.
. sont
les vecteurs polaires de ce'rtaines faces de
ë(s)
-1.Jl.
'
contenant
~,et où au p~us
n'
parmi les indices il' • • • , in
-,-
vérifient
s.
(u) = T •
1.
-
Jl.
Adm'e'ttant provisoirement le Lemme 3.6, ou concl'ut la démou'str'ation
du Lemme 3.5 comme suit
:
• • .1. • •

---

Pour des raisons de convergence (cf Lemmes 3.1 et 3.2), la s'rie
de fonctions m'romorphes (3.26) est une fonction m'romorphe pour laquelle
le poïnt
s = L
est au plus un pele d'ordre
max
P
où
(e"st un
u
u GlN P
-
entier
~ 0
qui) d'signe l'ordre du pele en
s .. L de la fon:ction
~
(s). D'aprês l"criture (3.28), chacune des fonctions
u
~u
posslde au plus un pele d'ordre
n'au point s .. T, ce qui donne le
r'sult~t dans le cas où
T
_
( - li).
Supposons maintenant que
P
L
soit un entier n'g~tif, et s~it ~ G li •
Si ~
e~t r'gu1ilre au point
L,
il n'y a rien à montrer. Sinon, on pe~t
u
'cr ire L = S. Cu)
pour un certain i G l
• Comme on a toujours
1
-
Si (~) >- I~I • la fon·ction
s _ ( : )
possède un dro simple au point T
•
d'où l'in'ga1it' : p
~ n' - 1.
u
5 - On d4mo"ntre mai"ntena"nt le Lemme 3.6. Soit H l'hyperplan affine de
]Rn
engendr4 par A"
• On fixe
u G ~p. On d'finit le sous-espace affine Lu
~
de
H
L
={z.GH:
<z.,n.-L
u
(a
- a) -
L a >
= 0 }
u
a
ex
- 0
- 0
G S
Alors
ne contient aucune
n'-face de A
: si
g
e.:st une n '-face
~
o •
~
de A
, on pe~t écrire
g= G
(cf (2.2», où Gast une facatte de
C(S),
~
contena"nt
20' de codimension n'+I. Si
g
:'talt co'ntenue dans
L ,
u
alors pour chaque face
F. co"ntenant
G ,
À.
serai t un somm'et de
g,
1
-1
.
et on aurai t
o·
..
..
s.(u) - L
<Ào
, n.
L u (~ - a) - T ~ > 0,
1.
-
-1.
a
a
ce qui co"ntredirait la d'finition de
n'.
On peut appliquer le Lemme 2.7 au polytope Q .. A
de H. Soit (SI, ••• ,SN)
a
une famille de simp1~xes de
H
qui vErifie les ~opri'ét"s (i), (ii) "et
(iii) du Lemme 2.7.
On pose
C
..
C ( Sk)
(1 ~ k ~ N).
On a l'identité
k
J
N
Il
·
<t-
=I::..
I (C)
k=l
~ -
(Ct)
En utilisant (2.13), il est facile de v'rifier que chacune des
fonctions:
1 !,n. - l Ug, (~- g,) - s 9.0 - dx (l~k~N)
-1
"
~
(C )
est bien de la forme (3.28).
k
Ce dernier point achève la d'monstration du Lemme 3.6
••• 1••• -

---

- 55 -
CHAPITRE
4
CALCUL DU TERME PRINCIPAL DE Y(P, n ; .) AU PREMIER PÔLE
Soient
P
un polyn~me généralisé non dégénéré à
n
variables,
et
!l GJO, +œ[ll, fixés pour tout ce chapitre. Avec les notations du
..
11. 7, soient
a
p (P,
o CI a
(p, 11)
et p
11 ; a o )· On rappelle
0
.
(cf Théor~mes 2. 1 et 3. J) que la fonction
s + y ( P, 11 , s) admet au
point a
un p~le d'ordre au plus
p, ce p~le étant exactement d'ordre
o
p
si
P e s t ' à coefficients réels. On calcule ici le coefficient de
(s - ao)-p
du développement en série de Laurent de
y(P~" ; s) au
voisinage de a
'
ou, ce qui revient au même, on calcule la limite:
o
p
lim
y(P, "
;
s) x
(a - a 0 )
•
a+a +0
o
Ce chapitre est ~ndépendant du chapitre
3.
14.1 -
Enoncé du résultat
Soit
Go
l'intersection de toutes les faces de
~(p) qui ren-
contrent la demi-droite
6"
(cf (2.4». L'expression (1.53) de
p (P, "
a )
o
peut-être simplifiée
(cf
12.4)
; on a
:
p = p (p, "
; a ) .. codim G •
-
0
0
On fait une permutation des coordonnées de façon que les deux
•
propriétés suivantes soient vérifiées
p
.. '"
"'l.
n
(4.3)
]Rn
Go • r ]R e. = G
- 1
0
i=l
• tL ]R ~k
k=p+1
.
(pour la notation
'"
"'J.
G
cf 11.2 ,
G
est l'orthogonal de
0
'"G ), et
o '
0
(4.4)
Go
est parall~le à
!m+l' ••• ' ~n
et à aucun autre des ~i.
Soient
i l ' ••• ' ~
les vecteurs polai~es des faces de
~ (p)
qui rencontrent
6~. On définit le polytope
n-dimensionnel
..•
(4.5)
K = conv
{.2., ~ 1 ' ••• , ~, ~p + 1' ••• , ~n }
On rappelle que, d'après
le Lemme 2.11, le polyn~me généralisé
PG (x) es t
non-dégénéré dans
] 0,
[ m 0
[n-m
+œ
x 1, +œ
; on peut donc,
o
-s
lorsque
~ est dans cet ensemble, définir P
(~)
au moyen de la
Go
détermination principale du Logarithme.
... / ...

---

- 56 -
Lemme 4. J : L'expression:
n
n -1
J
n 1 Vol(K)
(
II
Y. 1
)
1
1==m+1
O
Cn-m
J ,+ClO
k
-(J ]
)
Z)
·9 d!.
[ j
m
n-I
(
II
x k
m-p
k==p+ 1
m.+
(avec la notation
x ),
m
convergente et sa valeur ne d~pend pas de la permtitation des coor-
données vérifiant (4.3) et (4.4). Si
P
est à coeffiëients réels,
alors
A
(p, n)
est
> O.
o
Si on ne suppose pas que
P est à coefficients réels, il peut
arriver que
Ao(P,.!l) soit nul
(cf
00 ' Remarque 3.4>'
Théorème 4. 1 :
Quand
(J -+ (J
+ 0
on a
o
Y ( P , ! l i O ) = A
(p
)
,n
(
) -p
+ O«~ _ ~ )-P+I).
(J - (J
v
v
~)
O
o
0
Exemples en dimension
3
On détermine le polytope
K
lorsqu~
Go
est bornée, selon que
le pOle en
(Jo
est simple, double ou triple.
Exemple
Si
6
coupe -~(P) dans l'intérieur d'une face compacte
n
.
F
de vecteur polaire
.&
(cf figure
11), alors on a p ==
1
et
K == conv {O, .&' ~2' ~3} •
Exemple
2
Si 6
coupe !(p) dans l'intérieur d'une ar.te compacte
11
[~J' So2] , il y a deux faces FI et F 2 contenant [g,I' Soi] (la figure 13
Sol
a 2
. .
correspond au po1ynOme P(!.) == al!.
+
a
x- ). Soient
~I et ~2 les
2
v e c t eu r s pol air e s de FIe t
F2. 0 n a al 0 r s p == 2 °e t
-.-
K == conv {2.'·~1' ~2' =-3}'
2
k
Exemple
3 : Soient
n == (l, l, t) et p(x) == (xI x2 x ) + x
(k entier> 2).
3
3
On trouve: (Jo == 1/2, Go ==
{~} avec a == (2,2,2),p== 3. Soient
~i (l~i~4)
les vecteurs polaires des faces
F. de la figure
15. Dans cet exemple,
1
K == conv {O, t ,
n'est pas un simplexe (figure 16), et on a
l
1
Vo1(K)
----r ) ·
2 k
... / ...

---

- 56' -
figure
11
.
"
-
figure
"12
Le pol"ytope K correspondaiit·-~ la
figure
1 1

---

- 56"-
J
1
1
1
1
--------5 .'
1
figure
13
.f~gure ]4 • Le polytope K
..
corresponda"nt à la figure
13
_ . _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ - - - - : . . . . - _ - - - - - - - - - - 1
\\
\\
. .
/'
\\ .
/
.
~
, "._
~.._.~
.. -=--
....
1"
.
fiP,Ure 15
fi BUre
16

---

- 57 -
14.2 - Une minoration de
PGo
Les domaines d'intégration qui interviennent dans la démonstration
du Théorlme 4.1 autorisent certaines variables à s'approcher de
O. Le
lemme suivant énonce une inégalité géométrique qui permet de résoudre
les prob1lmes inhérents de convergence et do·nt le Lemme 4.1 e'st une consé-
quence immédiate.
.
Lemme 4.2
Il existe un po1ynOme généralisé
Q(!.) de la forme
•
1
-n
cr-
[m
~+e:~
-Sk"""!k]
e:
(4. 1)
Q(!J = x 0
x
II
(x
_
_
+ !.
x (xm+1 ••• x ) ,
n
k·p+1
avec
p
L-
i=1
tel qu'on ait
(4.10)
Re (p(x» »Q(x)
et
Re(P
(x»»
Q(x),r pour
!.GE: ~D, +co[n-m.
Go
Ava·nt d'aborder la démonstration du Lemme 4.2, on 'établ'it une
propriété intermédiaire
:
Lemme 4.3
Soit
G
une facette de
~Cp), "et soit {!m+l' ••• '!J
l'ensemble de tous les vecteurs de base auxquels elle e~t para11~le.
Alors, pour chaque
~ G G, on a
(4.11)
Re (P
(!.» »
!.~
<p(!. "JO, +co[m x
D, +co[n-m ).
G
Démonstration du Lemme 4.3
: d'apr~s la partie (ii) du Lemme 2.1, on peut
écrire
:
n
,avec
a = a - L· t R, ~R,
~ G conv (~cp)n G),et tR, ~ O. On en
R,=m+l
a
déduit l'inégalité
x-
pour
ro
mm
x v
+ x
D'autre part, on a
,
pour
a
'.-
x- " L-
=
(!.)
,
1. G <j'Cp) n G
où l'inéga1ïté est ju"stifiée par convexité
(cf [ 4 J , Lemme
1.», ·et
l'éga1ïté découle de la partie
(i) du Lemme 2.1
• Par le Lemme 2.11, cela
implique
(4. Il ).
• • • 1 • ••

---

-
58 -
Démonstration du Lemme 4.2 : comme
Go
est l'i'nterse'ction des faces de
~(P)
1
qui contiennent le point
- n, ce dernier e"st dans "l'i'ntérieur
a o
relatif de
Go. Il exi~te donc un voisinage
V
de
0
dans
'"Go (pour la
topo logie ve"ctorie Ile)" tel que
J
-
n + V
soIt contenu dans
a
-
o
On Utilise maintenant la décomposition
(4.3). Pour chaque
..
'"
p
k(p+J ~ k ~ m), on écrit
!.k
!!ok - v
, avec ~ G Go ":et !.k G ~ 1Re.
-k
-J •
J = 1
D'autre part, les vecteurs
e
so"nt dans
~
!m+ l ' • • • ,
• On choisit
-n
0
m-p
.
E:
> 0
assez p"etit pour que les
2
vecteurs
•
E: [~(+I
n
+ (!ok + !ok)
+
1:.- ~1J soie'nt dans V. On pose ~ ... E: !.k.
-
R.=m+J
A un tel choix de E: et des
~k
(p+1 ~ k ~ m), on associe le polyn~me
Q(~) par (4.1). Il e~t clair que supp Q
e~t contenu dans
Go.
La relation (4.10) découle alors du Lemme 4.3 •
14.3 - Preuve du Théor~me 4.J
étude d'un cas pa~ticulier
l - L'expression du polyn~me Q, dans le Lemme 4.2, m6ntre que les varia-
,
bles
"
xm+ 1' • • ., xn n apportent
aucune contribution à l'ordre du p~le
en
a
' "et ne joue"nt qu'un r~le de "param"~tres indépenda'nts" dans le
o
calcul de
A
(P, n). L'~tape essentielle de la démon~t~ation consi~te
o
donc à prouver le Théorime 4.1 ~orsque la face~te
G
est bornée (i.e.
o
lorsque m = n)
; cela fait l'objet du résultat suivant
Lemme 4.4 : On suppose
m .. n • Alors on a
~I~) Lim (a - a )p Y ( P, !l •, a) = A ( P,
o
n>-
0
a+a +0
0
La dédu"ction du Théorime 4 • 1 à partir du Lemme 4.4 e'st donnée au
§4.4. On introduit maintenant quelques notations en vue de la démonstra-
tion du Lemme 4.4. Dans ce qui suit, on suppose m ... n •."~
On remarque que, dans ce cas, l'expression de
Ao (P~~) se -
simplifie :
A (p, n) .. nI Vol (K)
o
-
••• 1•••

---

- 59 -
2. Nous introduisons maintenant le c6ne
r
et le cane
Co
qui jouent
un r6le essentiel dans la démonstration du Lemme 4.4.
On remarque d'abord la relation:
(4.14)
conv
=
où
(Go)o
est la facette
plaire de
Go
(cf (2.2). On déduit de
(4.14)
et du Lemme 2.3
que le cane
= lR+ ~1 + ••• +:IR + ~
est de dimension
p
,
et que, d'après
(4.3),
le c6ne
n
(4.16)
r = C +
o
l
lR ~k
k~+1
p
est de dimension n. Pour chaque
a = (a + ' ••• '
an)
G {_I,I}n- ,
soit
p
I
ra
le c6ne polyédral saillant
n
(4.17)
ra = Co + l
ak lR+ !:ok·
k=p + 1
Le résultat géométrique suivant est
immédiat
:
n-p
Lemme 4.5
: (i) La famille {fa:
a G {-I,I}
} forme un découpage de f
n
(ii) Les faces
(resp.
les facettes)
de
f
sont de
la forme
f
+ l
lR ~k
n
k=p' + 1
(resp.
g +
l
lR!:ok)'
où
f
est une face de
Co
(resp.
g
est une fa-
k=p+l
cette de
Co).
n
Pour chaque c6ne polyédral
C
de
m , on rappelle la notation
(4.18)
Y
(P'!l; 0)
=
S
x n-1 P(!.)-o d x •
C
~- 1(C)
Le plan de la démonstration du Lemme 4.4
est le suivant.
La première étape est le calcul explicite de 1 '. intégrale
Y
(P
'!l; cr)
r
Go
au Lemme 4.9. On montre ensuite au Lemme 4.8
l'estimation:
=
Y
(P
' n; 0) + 0
«O-~~o)-P+I) quand
r
Go
o
--> 0
+ O.
Enfin, la relation:
0
(4.20)
. • .1. . •

---

- 60 -
est conséquence
des Lemmes 4.6 et 4.7. Celle-ci s'explique par le fait
que 1 a con tri but ion e s sen t i e Il e deI' in t é g raI e
Y(P, n ; 0) qu and 0+ 0
+ (
0
provient de l' intégrat ion sur les ensembles ~ -1 (C), où
C
est n' importl
n
quel voisinage conique de
dans
~+ (cette remarque a déjà été faite
par V.A. Vasiliev au cours de la démonstration du Théorème 2.1 de
et en particulier sur l'ensemble
3.
Nous pouvons maintenant aborder la démonstration du Lemme 4.4.
Dans toute la suite de ce paragraphe, on suppose
m = n. Pour simplifier
les écritures, on se place dans le cas où
P
est à coefficients réels.
Lemme 4.6. Soit
C
un cOne polyédral contenu dans
r~. Soit
n' = dim (CnC ). Alors il existe cS>
o
0
tel que l'intégrale YC(Q, n ;0)
converge pour
(4.21)
Y
(Q,
n ; 0 )
quand
o -> 0
+ o.
C
0
Dans cette écriture, et dans la suite de ce paragraphe,
Q
désigne le polynOme généraii~é :
.t
c:1
n
-
[
n .
~k
-s -€ e
o
+ €
e k
_k
-k
= x
x
lr
(
x
+ x
-
k=p+ 1
défini au Lemme 4.2. En appliquant le Lemme 4.6
à chaque
, on
obtient le
Corollaire
Il existe
IS > 0
tel que l'intégrale
Yr (Q, n ;0 ) con-
terge pour
Démonstration du Lemme 4.6 : En découpant le cône
C
en cOnes polyédrau:
-.-
à n faces et en démontrant
(4.21) pour chacun d'eux, on se ramène au cas
où
C
est de la forme
C = C ( ~ l ' ••• , ~n)' 0 ù 1 e s
u·
sont des vecteurs
- 1
linéairement indépendants de
r~.
Il Y a exactement
n' vecteurs parmi les
u.
qui sont dans
- 1
Co.
En permutant les indices, on peut supposer que
~I'.··' un'
sont
dans
Co
et que
~n'+I' ••• ' un ~ Co. On pose, pour
i = n'+I, ••• , n
••• 1•• •

---

-
6J -
n
~i
,
•
!.i
+
2
t.
k ·!ok
K=~+ J
1 ,
avec
t.
k
est un r~e1 vérifiant
ek t. ·k':·~ O. Soit
1 ,
.
1 ,
W
u
)
(cf (2.9». Rappelant la notation (2.12), on a
:=
W (~J' ••• ' -n
J'"
-W.!l
a
n
n
E
t.
k
o
x.
1 ,
Q 0
w (x)
= x
x
11'
+
1
1r
x.1
k= p+ J
i=n'+J
Mais,
pour chaque k fixé,
les t.
k
(n'+J ~i~n)
sont tous de même si-
1 ,
n
Elti,kl
gne, et le terme entre crochets ci-dessus est ~ "'lr
xi
.
, d ' o Q :
i=n'+1
J
a
'"
W .!l
[
o
l 1ti,k 1
.
~
Q 0
W (x)
~
x
x
1r
x.1
i=n'+J
J
Pour chaque
i= n'+J, ••• ,n, u.
n'est
pas dans Co' et la
- 1
somme
2 1t. k 1 est > O. On en déduit l'inégalité:
k
1,
E'
n
Q 0
W (x)
(x
,
J •••
x
)
(x G Q,+=[) ,
n
+
n
pour un certain
E'
> O.
On a alors,
pour
a > a o :
( J- ....Q.)<u. ,Tl>- E'
a
- 1 -
'"
n'
o
w Tl
x
Q 0 w (!,) -a ~
lT'
x.
x.
[
1
j = J
J
Comme pour
j=J, ••• ,n', chacun des nombres < u., n. >
est> 0,
l'in-
-J
.
tégra1e
....Q.)
( 1 -
< u. ,
n'
n>
dX
dx
a o
-J
J
n'
J , ( 1T x.
) -- ... x
j = J
J
x J
n'
[J ,
~
+Cl':l
,
converge pour a > a 0
et est
O(
(a-
)-n )
a
quand a + a
o
o + O. D'autre'
,
(1- a. )<u. ,Tl> _E cr
dx
n
a
- 1 -
dx
,
n
o
n
+ J ... - -
part l'intégrale
1T
x.
)
1
i=n'+J
-.-
x n ' + J
x n
converge lorsque a est suffisamment proche de a o • La conclusion du Lemme
4.6 s'obtient alors avec
(2.J3).
Lemme 4.7
j
Soit
C
un c~ne polyédral de
]Rn tel que
cnr
soit de
+
d imen. iD.
<
n. Alors on a
:
(4.23)
=
o ( (a - a ) -p + J)
quand a + a 0
+ O.
o
• • .1. • •

---

Démonstration: D'aprês le Lemme 2.5,
il suffit de mo~trer (4.23) lors-
que
C
est contenu dans un cOne du ~ype C('A), où
A est la face polairE
d'un sommet
~ de 1[(P). En découpant C en cOnes polyédraux à n
faces comme dans le Lemme 2.6, on peut encore simplifier en supposant
qu' 0 n a
C = C(~J ' ••• , un)' 0 ù
~ J ' • • ., uns 0 n t n v e'c te urs de Ali n é a j
rement indépendants.
Soft
n'
le nombre des
u.
qui sont dans
Co. Montrons que
- 1
e
o
n ' e s t
< P • Soit
C
l'intérieur de
C. L'hypothêse
C "r =~
impli-
que que
C n r
est dans la front iêre de
r, donc dans une face de r
Mais d'près le Lemme 4.5,
les faces de r
ne rencontrent
Co
que sur
des ensembles de dimension
< P ,
d'où notre assertion.
.
. n
On pose
w"" w (~1 , •• ~, un)' Pour
x ~
[,+'.~ [ , on a
'"
1
P 0 w (x)
» x w ~
= x
, c a r
P e s t rion
dégénéré, d'où
'"
< u. ,
w n
.D > - a
-J
x
x.
, pour
a
J
Un raisonnement géométrique simple, utilisant le fait que
n est dans l'intérieur relatif de
Go' montre la propriété:
r' ~ Co -> < u., .!J > = ao
-J
-J
u. ~ Co
- >
< u. , .!J >
<
ao •
-J
•
-J
Exprimant alors
YC(P, .!J j a)
au moyen de (2.13), on en dé-
,
duit
Yc(P,
)
«
(a -
)-n
quand a - >
+ 0, d'où le Lemme.
:
n ;a
ao
ao
Lemme 4.8. Quand
a --> a
+ 0,
on a
o
~.24)
=
n . a )
- ,
+
o ( (a - a ) .;;p:," 1) •
.
.0
Démonstration
Rappelons que, d'après le corollaire du Lemme 4.6,
les
quantités
Y
(p,n
r
j a )
et
Y r (P
' .!J ja)
sont bien définies quand
Go
-.-
a ---> a
+ O. Nous allons montrer l'estimation
o
(4.25)
Y
(P, .!J ;a)
= Y
(P
' .!J ja ) + 0 (
(èr- ao)-P+J), quand
c
c
Go
a-----> a
+ 0, pour chaque cBne polyédral
C
contenu dans
r ·
o
On peut d'abord supposer que
C
est contenu dans un certain
ra. Si
C
est contenu dans
(ra'IR:), la dimension ~e
Cf\\C o
est
< P
(rëmarquer que comme
Go
est unë facette bornée de
~p),
Co
n'est contenu
dans
aucun
~yperplan de
coordonnées)
;
••• 1 •••

---

- 63 -
D'apras le Lemme 4.6 •. (4.25) est v€rifié
dans ce cas. On peut donc se
restreindre au cas où
C
est dans
fa n m: .
-
Raisonnant comme dans le Lemme 4.7. on peut encore simplifier
en supposant qu'il existe un sommet
.....
de
tep). des vecteurs li-
néairement indépendants
~]
u
qui sont sur la face polaire de ~.
-n
tels que
C
soit de la forme
C = C (~] ••••• u ).
n
Soit
n'
= dim C n Co. Alors il y a exa·cteme·nt
n' vecteurs
parmi les
u·
qui sont dans
n'
< 'p.
le Lemme 4.6
montre
-1.
i
nouveau que
(4.25) est réalisé. On suppose ~onc
n' = p. En permutant
les indices. Qn. peut supposer que
u] ••••• u . G Co·et que u
•••• u ~ C
-
-p
.
-p+]
n
0
Pour chaque j : ] •.•• ~.n, soit H
l'hyperplan d'appui de lep) ·orthogonal
j
à
u .• On a
-J
H] n
.•. " Hp .. Co et
H]" ••• n Hn = {~} • On en déduit que
-*
~ 6 Co
et que, comme
.!l.
est ïntérieur à
C· .on a
:
o
0
(4.26)
n ••
<~i'..D >= 0
pour
]~i~p .et <~j • .D>·<o~pourp+
0
o
Soit
w = w (~] , .... u >. On décompose
P
-n
p(x) =
r a x a = t
+
a
l~c = Pc (x) + R(!.). disons.
a -
a'C o
,g
0
0
Comme
P
est non dégénéré. et comme
p(w x)
et
Pc (w x)
admettent
'"
0
w~
.
x
= x
comme plus grand monôme. on a les e·stimations
]
U
p( w x)
x
•
n
-]
n
(4.27)
Pc (w !.) g x
pour
x G Q .+00 [
.
0
- ]
R(w
x
) « x
-
-0
R
Ecrivons
)-0
P
=
(Pc
R)-o
-0
+
( ]
=
D'après
(4.27),
Pc
+
.
0
Pc
0
0
R
]
on a
+
» ]
dans ~-](C>. On en déduit l'e'stimation
Pc
0
R(W
x)
IR(W
!.) 1
-."
(4.28)
!,)-Ol«
----~"':" «
o+]
(
x)
Pc
w
) 0+]
(x, • •• x n
o
qui est uniforme pour
x GD, +00 [ n
et
0
+ ].
0
. . . 1 ...

---

- 64 -
Nous a110us maintenant majorer
R( W x). Soit
g, G supp P,
CL' G •
~
0
D'aprls1'identiti
HIO ••• n Hp
.. Go' il existe
k (14i:~p)
tel que
g,' ~,
,
et on a
< ~,
CL > < 1. Posons
e:
= min {I _.< ui ' g, > : 1~ i ~ P , f!. G supp P, ~'Hi} •
Pour tout
f!. G supp R
et tout
!. G D,-+œ[n
,on a :
'"
xWf!.
~
-E;
-e:
XI • '•• x
(xI
+ ••• + x
), d'où:
n
p
1 R( w x)
x-e:+ •••. +xe:
n
(4.29)
« 1
n
0'+1
(!. S Q,-+œ[ , 0'0 ~ '! ~ '!O + t>.
(
)
xI ••• x
(xI ••• xn)O'
n
On déduit alors de
(2.13), (4.28)
et (4. 29)
la majoration :
X -e:+
+ x~e:
1
•••
n
IYc (P,n,jO') - Yc (P ,ni a)
dx
Go
quand
a + 0'0 + O. En majorant
'"
w li par (4.26), on en déduit
(4.25), d'où le Lemme.
Lemme 4.9 : Il existe Ô > 0
tel que l'intégrale
J
(4.30)
Yo(O')
=
n
~=P+I
n-p (
1R+
, .'
(avec la notation
!. = (xp+I ' ••• ' xn» converge pour a S Ieô-ô~' 0'0 + {I et tel que,
pour
a GJ 0'0' 0'0 + {I , on ait:
(4.3 t>
=
n 1 Vol(K)
'(a - O'o)p
Corollaire : Quand
a --> 0'0 + 0, on a :
[;32)
Tr (P
' !1. ; 0)
=
A
(P, !I.) (0 - 0o)-p
+ O( (0 - oo)-p+1 ),
Go
o
Démonstration du Lemme 4.9 : Dans un premier temps, on réalise un découpage de
r .
on pose
.
.
Aa = COnV {~I'···' ~ , ap+ 1 ~+ l'···' an .!:n} •
D'après
(4.14)
et
(4.3),
A
est un (n-I)-po1ytope dont les sommets sont
1
.
et on a
ra
=
C ( A
).
1

---

-
65 -
Soi t
B · conv { ~ 1 ' ••• , ~}
;
B
est un ( p - }) - p 0 l'y top e. Soi t
(B )
un d'coupage de
B
form' de
(p -1) -s implexes do'nt les somme ts
q
14:q~r
sont pris parmi les
~i
(l~i~N) (cfLemme2.7).Onpose:
B
•
conv
q,~
p
pour! G ~I,
I}n-
C
•
C (B
e )
(cf 2.3)
q, !
q, -
'et
1 ~ q ~ r.
Chaque
B
e~t un (n-I)-simplexe • Pour chaque
e
fixé,
la
q, !
-
famille
(B
)
constitue un découpage de
h!
(remarquer que
q , !
I~q~r
est une pyramide itérée (n-p) fois
(cf [5J '
4.2), de base
B, ~t
raisonner par récurrence sur l'entier
n-p), 'et, par conséque:nt,
la
famille
(C
e)
forme un d'coupage de
re •
q, -
I~q~r
Pour chaque
q
'et chaque
! , on définit le changeme'nt de variables:
(4.34)
W (E;.
, ••• , ~i
'
ep + 1 -pe + 1' • • ., en !.on)'
-1 1
p
où
E;.
, ••• ,~.
sont les sommets de
Bq
-1
1
1
p
Le déterminant
:
(4.35)
â
..
q, !
det (~.
, ••• , ~.
1
1
1
p
ne dépend pas de
e 'et est égal 1
ni Vol ( Sq)' où
Sq
e'st le simplexe:
Sq = conv ({ O} U B I ) •
-
q,-
Comme
K
est la pyramide de sommet
0 'et de base
hl' on voit que
la famille
(5 )
forme un découpage de
K • On a donc, pour chaque
I}n-~ .1.~q4:r
e G {-l,
r
r
(4.36)
>
â
= ni
Vo 1 (5
)
= ni Vol (K)
L
q
•
~I
q , !
q=l
Les préliminaires géométriques 'tant terminés, on en vieut à la
fonction
'"
W
e(n)-I
x q,- -
-
P
(
( X»
-cr dX:
Go
wq ,!
• • .1. • •

---

- 66 -
Utilisa"nt (2.)2)
, on obtient :
(x)
••• X)a Ox [
~
'et
l'
k-p+l
(W
a (x»
•
a
q,-
-
L-
a
a G G n supp P
-
C?
•
, ...
Les int~grales figurant dans (4.37) se simplifient:
(4.38)
Cette derniire 1nt~gra1e ne d~pend pas de
q ; nous la n"oterons
h (a). Repo"rta'nt (4.36) "et (4.38) dans (4.37), on obtient
a
Y
'
n ; a
'" nI Vol (K
(a - a
L
( )
)
)
) -1'
r (P G
o
_
ha a
•
o
.'""
! G{-1 , )} n l'
_
n-p
Mais pour toute fonction .X, positive sur
m+
' on a lridentit~
formelle
L , 1
a
a
p+J
dxp+)
dx
x
n)
n
X(X +
P J , ••• ,
••• -
'"
! G{-l, nn-p
n
x
x
O,+co[n-p
p+J
n
L
dx
dx
p+J
p
X(xp+1'···' x )
n
=
•• •
•
n
x
x
lR+
P+J
n
En particulier, on a
L
ha(a) = Yo(a), d'où le lemme.
a
..'
4 - Fin de la D~mon~t~ation du Lemme 4.4
,
n'apr~s les Lemmes 4.8
et
4.9, la d~mon·àtration du Lemme 4.4
découle immédiatement de l'estimation:
(4 • 39)
y (p
, Il. ; a) -
y r
( P
, ! l ; a) = 0 « a - a 0 ) - p + 1)
quand a -.. a 0 + 0
•
• • .1. • •

---

- 67 -
Posons
:
U = m: n r ,
w •
n
m
"
U
, 'et ~crivons symbo-
+
liqueme'nt
:
1
y
=
,
et
=
~-I( m:)
On a alors
•
La major'ation (4.39) est donc cons~quence des deux suiva'ntes
J
(4.40)
.!l - 1
Q(!.)-o
)-p+1
x
-
dx
=
o « 0 -
)
0
(a + 0
+ 0)
0
~- 1(w)
0
J
(4.41)
.!l - 1
Q(!.)-o
x
-
dx
= 0«0-
)-P+I )
0
(0+0
+ 0).
0
t-I(V)
.
.0
La première découle imm~diatement du Lemme 4.7.
Pour la deuxième, on remarque que,
comme Go
e'st born~e, le cOne
Co
n' e'st co'ntenu dans aucun hyperplan de coordonnées. On en déduit que
l'adhérence de
V
ne rencontre Co
que sur un ensemble de dimension < P •
L'estimation (4.41) découle alors du Lemme 4.6.
Le Lemme 4.4 e~t entièrement démontré.
14.4 -
Preuve du Th~orème 4." : compl'tion de l'argume:nt
:
Dans ce.paragraphe, on démontre le Théorème 4.1 dans le cas général.
~e cas m = n ayant 'été' trai té au §4. 2, on suppose m rj n ; on a donc
1 ~ m ~ n- 1.
n
1 -
SoIt n la proje~tion de
m
sur
mm
définie par
r(x
x
x
) -
(x
x )
On pose
x = (_x', _x"), avec
l'···' m'···'
n
-
l'···'
m·
~'= n(!.)
et
x" = (x + ' ••• '
x
m I
n )
; de mime, on pose, n.r:: ,(.!l'" n").
On i'ntroduit la fon'ction
5 m
o
X 1 !l. 1 - 1
( '
Il ) -0
d
'
P !. ' !.
~ ,
,+co[
.e sorte que
:
y ( P" .!l ; 0)
=
~
x".!l" -1
;
0)
dx" •
O
[ n-m
1 , +co
• . • 1•••

---

- 68 -
Nous allons montrer que la limite
(4.44)
1im
(0
- 0
)4'4\\(x"
. 0 )
a+a+O
0
- '
exïste "et peHt-'@tre calculEe au moyen du Lemme ".4, 'et que l ' ïnter-
version des limites
.0
J
(4.45)
1 im
-
0
"'~(xn
..
_
,
n m
. . ,
o~
( 0 - CT)P
Y ( p. fi
CT)·
x"!i."-l[ 1im (o-a )p
dx"
0
a+a +0
.
o
D,+co[ -
~o
.
est 1Egitime.
2 - Pour chaque
x" fixE dans
D, +CXl[ n-m, on dEfin:it le po1ynOme gEnE-
ra 1 i s é non dé g En Er E P '
,
à m var i ab 1 es, en po s a'n t
P 1 (!. ') • P (~ "
x").
On rappelle
(cf coro 11aire du Lemme 2.2) qu'on a' tauj ours
Le Lemme gEnéral suivant donne une condition nécessaire :et suffi-
s~nte d'EgalitE:
Lemme 4.10
:
(i) Pour que l'EgalitE CTo(P, n) = 0o(P', n') ~it lieu, il
fatit ~t il suffit qu'il exi~te une face
F
de lep) qui soit para1l~le
o
à
!m+l' ••• ' ! n
et qui rencontre
6
.
U
(ii) On suppose qu'une telle face F
exi~te. Alors, pour toti
o
face
F de
par411è1e à, e l ' ••• '
e
,
on a
l'équivalence
-m+
-n
(4.46)
F
renco'ntre
11 < - > 1T (F)
renco'ntre
,Il.
La démon'str'ation de ce Lemme ne prése'nte pas de difficu1.té. Nous 1
laissons au 1e~teur.
Soit
G'o
l'i'nterse'ction de toutes les faces de
CCp') qui rencon-
trerit
6
'0 Soit
(F.)'
la famille de totites les faces de ECp) qui
U
1
iSJ
rencontrent
6
; ces faces contiennent
Go' ~t sorit para11êles à
U
e l ' ••• '
e
0
D'après le Lemme 4.10 et la pa:rtie
(i) du -t.emme 2.2,
les
-m+
-n
faces deC!'(P') qui rencontrent
sont e~ta'cteme:nt les
pour
i S J
On a donc
:
0
(4 47)
G '
-
n 1T(F) = 1T (1·0J F .) = 1T (Go>'
•
0
-
i SJ \\,
i
"
1
On en déduit en pa~ticu1ier les relations
•
e. • 1 •..

---

-
69 -
P~c
(x' ) .. P
(!,', !,")
G
0
0
,
.
p (P', !l'
•
,
)
0'0 )
•
pep, n
0'0
(4.48)
mm ..
'"G ' li
1. me.
0
-3
3=1
"'.1
",.1.
..
G
G '
x {Q} c mm x mn-m
0
0
D'autre pa'rt, la pa'rtie (ii) du Lemme 2.2 mo'ntre que Go'
e'st bornée.
On peut appliquer le· Lemme 4.4 au polynOme p'
• A l'aide de
(4.48), on
obtient
:
.
(4.49)
lim
(a - a )p
~(x" , a) .. m 1 Vol mm
(K' )
x
0
0'+0' 0
x Lp (~
,\\-1
-cr
P
(l,
x , x")
0
dx
~
)
,
G
dX
~+ l'···' m
p + 1 •••
m
lR
k=p+1
0
+
où
K' est le pol'ytope de
mm obtenu par le procédé du nO 4 .. 1.1 (cf(4.S»,
et est égal à
conv {2"
1I'(~1)'···' 11'(~) , .!:.P+I'···' .!:.ua } •
.
On vérifie facileme'nt qu'on a
ml Vol mm (K' ) = ni Vol mn (K).
l
"
- n+ E
a·
-
..
3 - Posons
Q(!.)
Q' (!.' ) x Q" (!,!') , avec
Q"(!.")
= x" 0
, 'et
B ' + e: _e
k
k
x.a~
Q'(x') =
n'xr;
(x , -
+
,
l2c=p+1
où on a posé
~'k ... 1I'(B )· D'après (4.10), on a la major'ation uniforme:
k
~(x" • a) « y (Q',,!l' ; a.) x "Q,,(!.,,)-a
(!." G DI, +O)[n-m
, 0 ' + a
+ 0).
-
,
-
- 0
L'intégrale
Y (Q', !l'
; a)
converge pour
a > a
'et vérifie
:
.
.0
y (Q', !l'
; a) = 0«0' - ao)-p)
quand a + a
+ 0, d'après le Théorème 2.1.
o
On en dédu"it
:
(4.50)
~(_x"; a) « (a - a )-p Q,,(x,,)-a
, quand a + a
+ 0,
o
-
o
uniformément pour
x" G [t, +0)[ n-m •
Par le Théorème de la convergence dominée, c'ette e'stim'ation suffit
à
justifier l'interversion des limites
(4.45). Reportarit alors
(4.49)
dans
(4.45), on obtierit exactement
(4.l).
Le Théorème 4.1 e~t entièrement démontré.

---

-
70 -
CHAPITRE
5 : APPLICATIONS A LA SERIE Z (p, n ; s)
\\
Au moyen d'une formule .ommatoire (cf Lemme 5.4) o~ transforme
la série en une somme d'intEgra1es. On en dEduIt au 15.1 l'analogue pour
la sErie des rE.u1tat. Etablis pour l'intEgra1e aux chapitres 3 ~t 4.
Au 15.2, on en dEduit le calcul de la partie principale en a
de
o
Z (p, n s) - y (P, n ; s).
§s.)
-
Une formule somm'atoire et ses app1ic'ations
:
-
On dEfinit la mesure \\l sur
Ct, +co[ en posa'nt
J
co
l
(s.t>
~x) d\\l (x) • ~ XCv)
X(x) dx •
[1,+co[
"a)
)
Nous allons montrer qu'il existe une mesure complexe à dEcroissance
exponentielle sur un voisinage complexe de
[t, +co[ ,qui reprEse'nte la
m@me "fon'ctionne11e ana1'ytique" que
\\.1.
Pour chaque
a G] 0, 1T /2 [
, on dé fi ni t
le sous-ensemble f è
de ct
(cf figure
17)
:
(5.2) f a= 1 +{z Get: zaO o~ IArgz 1 ~ a}·
On -appelle mesure à dEcroissance expo-
nentie11e sur fa une mesure de Radon complexe
T
définie sur fè vérifiant
•
(5.3)
\\
e~lzI dlTI (z) <+~.
a
pour un ce'l'tain
e: > 0,
'Tl
dé signant la valeur
figure
17
absolue de la mesuré
T.
Pour toute fonction holomorphe dans fa
(Le. co'ntinue sur f a '
holomorphe dans l'i'ntérieur de
f a ) '
on considère la cond:it,ion de crois-
sance
1
1
Izl -)-e:
(5.4) Il exi'ste
e: > 0' tel qu'on ait
fez)
«
~~ur z G fa
Lemme 5.1
: Pour chaque a > 0, il existe une mesure
T" Ta
à décrois-
sance expone'ntie11e sur fa
telle que, pour: toute fon'ction
f ho10-
morpbe sur fa
et vérifiant (5.4), on ait
J f (x) d
If
\\l (x)
a
f ( z) dT (z ) •
. Q, +co[
a
... • 1• • •

---

-
71 -
La démon'str'ation du Lemme 5.1
8 'obtie'nt
au moyen d'un calcul de
résidus
(cf
00
2 -
On fixe
e > 0 'et
T
comme dans
le Lemme 5. 1 • Soit
f(~) =
n
f(zl' ••• '
zn)
une fonction holomorphe sur
f e
vérifiant
-I-e:
(5.5)
Il existe e: > 0 tel qu'on ait
1f(~)1 «
1zi ••• zn I
pour
On transforme la série multiple
L
f(v)
en ,:itéra:nt la
'J GlN*n
~
décomposition (5.1).
SoIt
~
l'ensembTe de' to:utes les parties de
{l,
2, ••• , n} di~tin~tes de
{l, ••• ,
n}
• P~ur chaque
l
S~, on désigne
C
par
I
le complémentaire de
l ,
et par
(,!,l'
l.I c ) le ve:cteur (ul' ••• '~n)
défini par
u. = x. si i S l
et u
= Yi si i ~ 1. On pose n' = ~I,
~
~
i
avec la notation
d ~I'
= d x.
••• d x.
,
il' < ••.• < i
,
:éta:nt1es
li
ln
n
é1éme'nts de
l , 'et
d 1.1 (I. c)
= dU(Y· ) ••• dll(Y'
),
il' < ••• < in"
l
J]
J n "
~tarit
C
les élémerits de I
•
D'après le Lemme 5.1, on peut a~ssi écrire
(5.7)
~ ~" (
.!
=
c ) d !oI )
e
l
Dans la sul te,
nous 'uti lisons
la formule
samm'a toi re
L
(5.8)
Rn
f(~)
=
[ILe" f(x) d x + L IjJI (f)
\\) G-lN
•
l
S :s..
3 -
SoIt
P
un polyn6me généralisé à
n
variables, à coefficierits
n
complexes.
On dira que
P
est non dégénéré dans f e
s ' i l vérifie la
relation
n
(5.9)
Re
(P(!..»
»
P * <I z l, ... ,
pour
z S f
l
Iznl)
e
•
.
Lemme 5.2
Si
P
e'st non dégénéré dans
. 0, +00 [n, alors il e'st non
L dégénéré dans f,n pour e > 0 assez p'et'it.
e
... / ...

---

-
72 -
Le Lemme 5.2 peut-@tre~pr€cis€ en rendant l'esti~ation (5.9) uni-
forme par rapport aux coefficients de
P.
Soit S un sous-ensemble fini de
~: qui n'e~t contenu dans aucun hyperplan de coordonn€es.
On reprend
les notations du nO].1.4.
Lemme 5.3 : Pour chaque ~ et M positifs fix~s. il exi~te e > a tel que
l'estim"ation :
(5. ]0)
Re (~a(!"»
*
»~S (lz]I .. ··.lznl)
(z
S
ait lieu uniform€ment
pour
! G U~ (S) n {! : I~I ~ M} •
,,,:~-
~i:­
D€monstration
du Lemme 5.3
: pour chaque j
= ]••••• n, on pose Zj = r e J
0
J
avec
ro ~]
et
Itol ~ 8. Soient
~ = (r], ••• , r ) et ! = "(t], ••• , t ).
J
J
n
n
Avec ces n~t~tions. on a
~
Ct
(z)
=L a z-
L
Ct
i < t. Ct >
=
a
r -
e
-
a
-
Ct
Ct
Ct
s S
Ct
S S
-
Il existe une constante
A. ne d€pendant
que de S,
telle qu'on ait
1 e i <!, ~> -
] 1 ~ A e pour chaque
Ct
S S • Utilisant
(2. ]5),
on en d€duit
l'in€galit€
:
1 bl
co
r n ' ~,.. etP
va a
e pour
Z
~
~
(p =*"S),
I!I ~ M. Utilisant l'h~po-
8
thèse
a S U~(S). on obtient:·
Re
(~ (z»" ~
(ô
-
AM8)
~s * (~).
a
-
Il suffit alors de choisir
8 < ô/AM
pour obtenir
(5.]0). d'où
le Lemme.
4 -
Soie"nt
P
un polyn~me g€n~ralis€ non d€génér~ dans
D, +(1)[ n, et
TI. s ] 0, +(1) [ n
Soit
= cr (p, n). On rappelle l'inégalïté (cf
DO,
o
-
Lemme 3.2)
:
1
°0 !l
(5.]])
P * (x)
[1, +(1) [ n
."~
»
x
pour
x S
-
On fixe
8 >0
tel que
(5.9)
soit vérifi€.
Pour
s set , on défi-
-8
r n
nit la fonction
Z ->P(z)
dans
au moyen de la àétermination
8
principale du Logarithme complexe. ~tilisant (5.9) et (5.1]), on voit
ll-
que 1
1 P(!.,)-s
~ of 0
(5 5)
pour
Re (s)
> cr
" 0
a
fonct~on !., --->!.,
-
ver~ ~e
•
o·
• • .1. • •

---

- 73 -
Le terme correspondant à
(5.6)
est
n c-1
J
n -1
(5 • ] 2) W ( P, 11 ,
~
ë
, -1 -
-s
.
,
I
.) =
.lI
rr
c -I
xI
P(~,y c)
d.!I) dll (l c)
o
1
1
,-.œ[n
O,+m[n
Il -]
n·-]
n -]
n.-]
I -
II
1
-I c -
II
.
1
avec
XI
=
X.
et
i'71
y c
=
y.
1
1
î ~Ic
1
On écrit les formules
correspondant à
(5.7) et (5.8) sous forme d'un
lemme
:
Lemme 5.4
Si
P
est non dégénéré dans
Q, +00 [n, on a, pour Re(s) > CJ0
.
(5. ]3)
z ( p, n , s) = y ( P, n • s)
+
- ,
Lw ( P, n • s ) •
-
l''~
,
1
De plus, si on choisit a comme dans le Lemme 5.2, 'et T = Ta
comme
.
dans le Lemme 5.], on a
r
• n -]
- c -
j
n -]
-s
s)'"
~
J
c 1
(
n'
'~;I - P(xI ' Z c) d!]:) d'I (!. c).
n"
1
O.+m[
1
1
Te
5 - On conserve les notations ci-dessus, et on 'étudie la fonction
W (P'!l; s).
I
Lemme 5.5
: On fixe
1 ~ n . Alors :
(i) La fon~tion
~I (p, n ; s). définie et holomorphe dans le demi-plan
Re(s) > CJ ,
admet un prolongem~t méromorphe à tout le plan complexe dont
o
les pOles sont contenus dans
~o(P, !l)'
(ii) Soit ~ un pOle de
WI(P,!l;
. ) . Alors l'ordre du pOle en ce point
est ~ pep, n ; T).
Démonstr~tion
On pose
1 = {i] •••• , in'}
, ~t on définit la proje~tion
n
n'
1T
de
lR
sur
lR
en posant
y
) = (y.
, ••• ,
y.
>. Soit
I
n
1]
1
,
n
SI = 1T
(supp p). Pour chaque
Z
s01 t
P ( . , z
) le polynOme
I
-
c
- I c
1
n'
généralisé défini sur
lR
par
z
),~qui e~t non
!.I - > . P ( !.I
- I c
dégénéré d'après le Lemme 5.2.
Les coefficients de
P( •• z
)
sont des polynOmes généralisés en
-
c
1
.
!. c
'
que nous n~terons
b~ (!. c). D'après (5.9), b = (b e (!. c»
1
~
) 1
- nu"'I
!!. " SI
re s te dans un certain
UÔ (SI
lor s que
!.I c var ie dans re
•
On peut appliquer les Théorèmes 3.] et 3.2 à
p(., ~ c). On en déd~it les
1
propriétés suivantes
t
• • • 1 •••.

---

- 74 -
(a)
La fonction
s - > y(P( •• z
). n
; s) adm"et un prolongeme"nt méro
- I c I
morphe ~ totit le plan complexe dont les pBles sotit coritenus dans
~ (SI' .!lI)' l'ordre du p6le au point or étant ~ P (SI',..!lI ; or).
(b)
Soit
or S ~
• On. pose
P = P(SI' ..!lI ; or). Alors il eXLste un voisi
nage
V
de or dans ~ tel que la fonction :
(z
•
s)
>
-
c
y(P( •• ~ c) • .!lI ; s)
- l
l
soit cotitinue dans
x V et admette la major~tion
nIt
(5.15)
Iy(p(.. ~ c) • .!lI
(z
S ra
' s S V)
l
-
c
l
pour un certain
q > O.
Rappelant que la mesure
T
est à décroissance exponetitielle, et
appliquant le Lemme 3. 1 à l'intégrale
n
-1
- I c -
(5.16)
'!JI (p, TI. ; s) =
J
z
s)
dT {z
-
c
n"
l
-
c
ra
l
on a finalemerit démoritré la propriété
.
(c)
La fonOction
(p,
,
'!JI
.!l
s) admet un prolongemeOnt méromorphe à tout
le plan complexe dont les p6les sont contenus dans
'9 (SI'
l'ordre
0
n.I) •
du p6le au point or étant au plus égal à
P (SI'o n.I
or) •
La conclusion du Lemme 5.5 s'obtient alors à l'aide du corollaire
du Lemme 2.2.
Le compo~temetit de
'!JI (p, .!l
a)
quand
a + a o + 0 petit-~tre
exprimé au moyen de
~(p).
Lemme 5.6
:
Soit
G
la plus petite des facettes de
è.CP)
qui rencon-
I
trent
6.!l
et qui sont parallèles à chacun des
e.
pour
- ] .
On pose
PI = codim G • Alors on a
I
)
(
) -
PI )
; a
= 0
(a - a
quand
a + a
+ O.
o
o
DémonstrOation
on reprend les notations 1T , SI °et .!lI de'-la démonOstrOati
I
du Lemme 5.5 • Utilisatit la majoration (5.15), la décroissance exponen-
tielle de la mesure T
dans l'écriture (5.16), ~t la pa~tie (iii) du
Théorème 3.1, on voit que le Lemme est conséquence de l'égarité :
• • .1. • •

---

-
75 -
Supposons d'abord
PI = 0 (ce qui Eevient à dire que
G
= CCp»~.
I
La partie (i) du Lemme 4.JO montre alors que
O'o(SI'. nI) < 0'0' 'et, en
particulier, que
P I · P(SI' !lI
; 0'0)
= O.
Supposons
PI > O. Alors on montre, en 'utilisa'nt la pa'rtie (i) du
Lemme 2.2 ~t la partie (ii) du Lemme 4.JO, que
e'st la plus pe t i te
,
face t te de
C( SI) qui rencontre 6!lI ' et que codimo 1Tl (G ) (dans :mn ) =
I
codim Gi (dans :mn ). Il en résulte l'égalité annoncée.
i.- Comme applic'ation immédiate des Lemmes 5.4 'et 5.5, on p~'ut €noncer
le
n
Th€or~me S.J
: Si
P
e~t non dégénéré dans
[J, +oo[
,alors
(i)
La série
Z (P, !L ;
s) converge si et seulemeOnt si Re (s ha 0 (P, n.).
La convergence e~t localement uniforme dans le demi-plart {s : Re ( s) > cr o} •
(ii) La fonction Z (P~ !L ; .), définie et holomorphe dans ce demi-plan,
admet un prolongement méromorphe à
tout le plan complexe ddnt les pOles
sont contenus dans
~o (P, !L).
(iii) Si
"[ G
~o (P, n..) e'st un pOle pour Z (P'!l ; .), 'l'ordre du pOle
en ce point e~t au plus €gal
à
P (p, !L ; "[).
Soit
S
un sous-ensemble fini de
qui n' e'st co'ntenu dans aucun
hyperplan de coordonnées. Dans }' énoncé suivaOnt, qui mo'ntre que Z ( P, Il; s)
1
dépend analytiqueme'nt des coefficients de
P, on "utilise les on'ot"ations
du nOJ.1.4.'
Théor~me 5.2
La fonction
(~, s) ----> Z(~a' !L
s) e:st holomorphe dans
L u(S) x (et' ':Po (p, n.».
.
Démonstr'ation
Il suffit de montrer que, pour chaque
l
G ~, la fonOction
.
(.!., s)
- > 'JI l ( ~a' Il. ; s)
-0-
est holomorphe dans
U(S) x
(ct\\~(P, !l». On reprend la démon's t ro'at ion du
Lemme 5.5, 'et on mo'ntre que l'estimation (S.JS) e'st localement uniforme
par rapport à
.!. G U(S). Ce dernier point résu~te du Lemme 5.3. La con-
clusion s'obtient à l'aide du Lemme 3.J.
• • .1. • •

---

-
76 -
L - On ~tablit maintenant l'analogue du Théorême 4.1 pour la série
Z (p. n
; s). On adopte toutes les notations du Théorême 4.1. à l'excep-
tion de la notation
p = p(p. n ; a )
o
qui sera remplac~e par :
(5.17)
P6·~~P~P. n ; ~o~~= codim Go·
fhéor~me 5.3: ("0 L'e~;ression":J;:'~--'"
n
" -J
, '11
B
( p. Il)
=
n
o
1
Vol (K)
~
(
II
"1
)
1=m+J
" m+ J •••• , " n =J
(5. J8)
-a
lR
0
(k=~
P
(l,
L_p .
+ 1
Go
xpo+l' •••• xm.~m+J ••••• ~n)
0
0
+
dx
dx
est convergente. Si
P
e"st à
+ J • • • •
coefficients
Po
m
réels, alors
B
(P, n) est
> O.
0
(ii) Quand
a .... a
.
+ 0, on a
0
-p
-p +J
.
(5. J9)
Z ( p.
,
!l
a)
=
B
( P,
o
n)(a - a )
0
+ 0 « a
0
- a) 0 ).
0
Démonstration: La convergence de
(5.J8) est assurée par le Lemme 4.2.
Pour la démonstration de
(5.J9), on se place d'abord dans le cas où la
facette Go est bornée. On suppose donc
m = n
• On remarque qu'alors
A
(P, n ) e t
B
(p, _n)
sont égaux et i l suffit de montrer que. quand
o
-
0
a .... a
+ 0, on a
o
z ( p . ! l . ; a )
Y ( P ' ! l ; a) =
D'apris (5.13). on e~t ramené à prouver que, pour chaquer ~ ~
• on a
-p +J
l/J
(p. Il; a) :: O ..«a
- a )
r
o
0
)
quand
a .... ad + O.
Mais, avec les n~tations du Lemme 5.6, chaque Gr e~t une fac~tte
non bornée de
~(p)
qui contient la facette bornée
Go
• On a donc
:
dim Gr > dim Go
• La conclusion s'obtient par le Lemme 5.6.
Pour démont rer (5. 19) dans le cas général, on procède exa:c tement
comme au 14.3.
§ 5 • 2 -
Par t i e p r in c i pa 1 e de
Z ( P, .!l ; s) - y ( P , .!l ; s ) au pre mie r p 61 e
Dans ce paragraphe, on fixe P et !l' et on suppose que P e~t non
dégénéré dans
0, +00 [ n.
1 -
On définit l'entier
p
en posant
(5.20)
p = p (p. n)
=
max
(codim G).
G
le maximum ltant pris sur l'ensemble des fac~ttes G non bornées de
~(P)
qui rencontrent
6
.
n
. • .1. • •

---

-
77 -
Théorème 5.4
: La fonction
s - > Z (P", !l ; s)
y (P" Il ; s) possède
"L au plus un pOle d'ordre P au point
= 0
(p, !l).
o
Le Théorème 5.4 est une conséquence immédiate de la formule
somma-
toire
(5.13) et du Lemme 5.6.
Le reste de ce chapitre est consacré au calcul du ~oefficie~t de
(s -
ao)-p
dans le développement en série de Laure~t de
Z (P, !!. s)
y (p, .!l. ; s) au voisinage de 0
•
Ce coefficie"nt e"st égal à
0
la limite
:
(5.21)
lim
[ Z ( P , ! l ; s)
-
y ( P, .!l ; s)J
(a - a )p
"0
a ~ 0 + 0
o
2 -
~oit ~ l'ensemble de toutes les facettes non bornées de ~(p), de
codimension
p, qui rencontrent
L\\n. Par exemple, si
Go
e"st non borné,
on a
~ = "{Go} "et P = Po ; si aucune face non bornée ne renco"ntre
L\\
, o n a
a = {ë (p)} "e t P = 0 •
!l
CI
L'ensemble
~ possède au plus
n éléme"nts~
Lemme 5.7
: Pour chaque
i
= l, ••• , n, il y a au plus une fac~~te
~ G ~ qui soit parallèle à e .•
- 1
Car sinon,
l ' inte rse"c t ion .. de deux te Ile s
fac'e't tes renco'n tre rai t
L\\
,
!l
serait non born~e ~t de codimension > ~, ce qui e~t impossible.
A chaque
G G ~
,
on associe une
consta"nte
AG (p, !l) comme suit.
On fait
d'abord une permUtation des
coordonnées de
f~çon que les deux
propriétés suivantes soient vérifiées
•
0 "
(5.24)
K =
conv { S-] , • • . , S-N
!:op+ 1 ' •...•• , ~n } ,
où
s.], ... , S.N sont les vecteurs polaires ies faces de cCp) contenant G.
Dans l'énoncé suivant, on adopte
les n~tations :
."
~ = (u~+I'···' uJll)" n. = (np+ I '···' nm)' y. = (':'m+I'···' ':'n) ,
!ln = (nm+ 1 ' • • ., nn)·

---

-
78 -
Lemme 5.8
L'expression
= n 1
Vol (K)
L * n - m
\\) S 'lN
r _
J
[u.]-l
_
0
m- p
_
J
,~,\\i+t)1~dX
u, \\)-0
-
n m t11*-1 (\\i+t>Il."-1 P ( 1
G
m.
@,LI - -
~ -
.
- ~ -
:J-
+
est absolument convergente, et sa valeur ne dépend pas de la permUtation
des coordonnées vérifiant
(5.22)
et
(5.23).
L'énoncé signifie que si on remplace le croch'et ci-dessus par une
valeur absolue, i l y a encore convergence de l'expression obtenue. On
peUt maintenant exprimer la limite
(5.21)
Théorème 5.5
: Quand
a + a
+ 0,
on a
:
o
IHm
(cr -
cr 0) P [z ( p •. !l ; cr) -
y ( p. !l
)
AG' (p, n.).
hq
,-
a + a + 0
.
o
Le re'ste de ce paragraphe est consacré à la démon'str'ation du Théo-
rème 5.5
• Pour simplifier les notations, on suppose que
P
e'st à coef-
ficie'nts réels.
3 -
Pour chaque
G S <à ' on dé fini t la fon'c t ion
l\\J
(a)
comme sui t
.On
G
•
fait une permutation des coordonnées de f~çon que les propri'étés (5.22)
et
(5.23) soiant vérifiées, et on pose
:
n"-I
ç
n'-I
(5.26)
l\\J
(a)
=
\\)-
-
J
x-
G
L * n _ m
\\) G 'lN
O;+oo[m
avec les n'ot'ations
: ~ = (xI' ••• ' x ), n' = (n l ' ••• ' n
m
m), 'et
\\)
'et
n."
~tant comme dans le Lemme 5.8.
Lemme 5 . 9 :
Quand
a + a
+ 0,
on a
:
,0
L
-.-
1 (5.27)
Z ( P" !l ; a) -
y ( P, !l ;a)
=
l!J
(a)
+ O«a
) -p+ 1)
- a
•
G
L
,0
G G~
,
Démonstr'ation : On reprend les notations du Lemme 5.4
• Pour chaque G G ~ ,
on définit l'ensemble
~G des 1 G ~
tels que
G
soit parallèle à chacun
des
e.
pour
i
G IC. Le Lemme 5.9 e~t conséquence de~ trois propri~tés
-1.
suiva'ntes
:
• . .1. • •

---

- 79 -
(a)
r, u
si
~ t alors
G S ~
G
quand
a + a
+ o.
.0
.
(b)
= Litt
'iJr(P, n; a)
r S ÙG .
(c)
Z(P,!l
a) - Y(p, !l
a) •
La première se vérifie à partir du Lemme 5.6 .• La' troisième découle
des Lemmes 5.4 et 5.7. On démontre maintenant la proprLété (b). Rappelant
la décomposition
~ = Sd l.l + ~oo dy , on obtie'nt l'écriture formelle
5C) dy ).
1
n
En développa'nt e'e'tte identité et en la repo'rta'nt dans le deuxième
membre de
(5.26~, on obtient exactement (b), d'où le Lemme.
4 - On résume le principe de la démonstration du Théorème 5.5 • Tout
d'abord, on remarque qu'il suffit de prouver l'asse'rtion suiva:nte
:
(5.28)
lim
(a - a )p
=
o
a+a+O
-
0
Pour calculer le premier membre de
(5.28), on écrit
(5.29)
L
J [ n' -1 n"-1
-CJ
W (a) -
x-
-
\\)-
-
p(x, \\)
G
- \\) Slll:n-m
O,+ro[m
-
-
-
-
J x!l' -1. (_\\) + _t>!l" - 1. PC_x, \\). + t)-CJ dt] dx •
@, Iln-m -
-
-
-
-
Puis on intervèrtit les Hrili. te s :
~ (a - a )p W(a) =
0
G
L*n-m
a+a
+ 0
\\) Sil
0
30l{
rS.
Hm
(a - a )p
a''+ a
J
[tl'-! n"- 1 P(~, \\)-CJ
'V-'"
-
0
m
o + 0
o,+ro[
n'-I
-x- -
!l" 1
(y. +t)
- -

---

- 80 -
Il ne re~te plus alors qu'à calculer la limite e~tre accolades
ci-dessus au moyen du Tb~orême 4.1
• Dans un premier temps, on ~tablit
des majorations qui jus~ifient (5.30) et qui assurent la convergence de
(5.25)
(Lemmes 5.10 à 5.13), puis on calcule la limite cit'e plus baut
(Lemme 5.14).
5 -
On f~Xe"G G ~
jusqu'à la fin de la d~monstr"ation. On fait une per-
mutation des coordonn~es de façon que ~es propriltis (5.22) ~t (5.23)
soient v~rifi~es. On utilisera syst~matiquement les not"ations suivantes
t
<5.31l
Lemme 5. 10
L'estimation:
-cr
n."-1
P ( x, y +" t) - cr dt
P
~
-
(!o' z.)
-
(5.32)
n"-I
11
y)- cr
(
1
«
1.:.J.
-
P (x,
+ ••• +
)
Ym+1
a lieu uniform~ment pour
~ GD, +oo[m, Z. GD, +oo[n-m , "et loca-
leme"nt
uniform~me"nt pour 0>0. De m€me,
on a :
n"-1
r
0
n."-I
1..-
-
PG (!o' 1..) ~ r,"'J nn-m
(y +" t)
-
1-0 , 1..1
(5.33)
n."- I
11
1.) -cr
1
1
(
)
«
~
-
PG (!"
-- + ••• + -
Ym+ 1
Yn
G m.m
I. G 0,
[n-m
"et localement
uniform~ment pour
x
,
+00
,
+
uniform~ment pour
0 > O.
D~monstration : On v~rifie au moyen du Tho~rème des accroisseme~ts finis
que les e~ti~ations (5.32) et (5.33) sont cons~quences des deux majo-
rations suiva~tes :
Ê.L (x
1.) «
P ( !, , 1.)
(!o G 0, +oo[m, 1. G 0,
[n-m
+00
' ) ,
(5.34)
Yk
3y
- '
" k
.3P G
m
o
~(x, 1.) «
P
I.)
[n-m
k=m+l, ••• ,
(5.35)
Yk
G (!o'
(x G m.
,
1. G 1, +00
,
3y
-
-
+
. k
La premiêre d~coule de
(2.15) et la deuxiême du Lemme 4.3.
. . .1. • .

---

-
81 -
Lemme 5. 1 1
.
et
R(Z) = R(y
)
de la forme
m+ I , · · · , Yn
. !l'
m
,[
-
II
E
x
k
-E
~k
(x
+
x
x
)
,
k
et
k
k=p+ 1
.....!.n"[
a
_
n
-E'
R(z.)
Z.
L:..
E
E
E
=
0
Y
x ••• x
x
m+ 1
Y1 - 1
Y1 ;.' x Y
Xo.~
avec
1 + 1
ynj.
l=m+1
1
(5.36) E > 0, o <
,
,
E '
<
.ê. =
,
a
k
<1\\ 1' ••• '
,
8k ,p
0, ••• ,
0)
G mm
o
tels qu'on ait
(5.37)
P * (~, z.) »
Q(~) R(z.)
pour
et Z. G 0, +oo[n-m •
G
Démonstration : Pour chaque 1 = m+ 1 , ••• ,
n,
soït
.!.... n"
cr
-
o
R (z.)
= y
x
x ••• x
Mo:ntrons qu'on
1
peut choisir
E, E',
~+I' ••• ' ~
vérifiant
(5.36), de f~çon à avoir:
m: '
P * (~, :t.) >> Q(~ ) R (:1.)
(!. G
Z. S [l, +00 [ n -m , 1 = m+ 1 , ••• , n ) ;
1
l'inégalité (5.37) en résultera aussit6t. Observons que pour chaque
1 = m+ 1, ••• , n, et chaque
E'
> 0,
le point
L!1. - E' ~ e"st dans l'in-
ao
-x,
térieur relatif de
G (sinon la demi-droite
~'!1. - m+ !n serait entiè-
a0
-x,
rement contenue dans la fr6ntilre relative de
G; il exi~teraït alors
une facette 'stricte
g
de
G, donc de ë(p), qui co"ntiendr~:it L!1. - m e o'
a
+ .-
o
on aurait codim g > codim G , contredisant la défi~ition de
~).
On choisit un voisinage
V de l'origine dans
'"G "tel que l'ensemble
n. - E' ~ + V soi t conte nu dan s
G
pou r
cha que 1. A P a"r tir d' ici,
achève la démonstration en raisonnant comme dans celle du Lemme 4.2.
L'intér~t du polyn6me généralisé R(z.) s'explique par l'inégalité
suivante
:
'.~
Lemme 5.12
Il exi~te deux réels positifs ~ ~t ~" tels que la majoration
-a
1
)-1-~'
(5.38)
U" - 1
Z.
-
R(z.)
(
+ ••• + -
)
« ( y
1 x ••• x Y
Y
n
m+ 1
Yn
m+
ait lieu uniformément pour
Z. S 0," +oo[n-m
et a 6@0' '!o + {J •
.../ ...

---

-
82 -
De m@me, concernant Q , on a le :
Lemme 5.13 , (il L'intlgrale
j
n' - 1
x.:.L
-
converge pour
0,+(1) [m
n.' -1
x
-
Q(!.) -a
(
)-p
dx«
a - ao
pour a > a •
o
(ii) Il existe
Ô > 0
tel que l ' i'ntégrale
n *- 1
u.:.L
-
Q(l, u)-~ du
converge uniformément pour
Ces deux Lemmes se vérifient directement.
La convergence de (5.25) découle immédiatemeOnt des Lemmes 5. 10
à 5. 13
6 -
On pose
n' 1
n"-I
J
'- l
"-1
a) = 1"'"' -- 1.
-
P(!.,
)-0_
z.
!,n.
- (z. +!)ll -
rr !Jn-m
J2,1
•
D'après (5.29), on a, pour
ara'
l\\J
(a)
G
= L*n-m
hG (!.' " ; a) dx
"S E
O,+œ[m
Les Lemmes 5.10 à 5.13
mOntrent qu'on a :
1 Ih ~
) -p
) - 1-Ô '
-
0
[ n-m
dx «
G (!.,
; a)1
(cr - ao
("m+ 1••• ,,~ .
("G l ,+œ
,
a+a +0).
o
D,+œ[m
Le Théorème de la convergence dominée montre alors l'égalité annoncée en (5.30) :
-0-
(5.4 J)
Hm
a+cr +0
o
Il reste à calculer la limite entre accolades ci-dessus.
• • .1. • •

---

- 83 -
Lemme 5. 14 : On a :
lim
(a
a + a
+ 0
o
:
n! Vol
- n! Vol (K)
Démonstration : Pour chaque
O
[ n-m
l. G
1,
+=
, soit
p(., I,) le poly-
nOme généralisé à
m
variables défini
par
P(., L) (~) ~ P(~, ~).
On écrit, pour
a > a
:
o
J
n" -1
hG (x, ~ ; a) dx
~\\I-
-
Y(P(., \\1), .!l' ; a) -
m
0·+=[
n"-I
@~!ln (~ + 1)- - Y(P(., \\1 + 1), .!l' ; a) dt
...
I l fàut calculer les deux HDiites
Hm
(a - ao)p
Y(P(., \\1), n.' ; a), ·et
a+a +0
o
Hm
J
"1
b - a ) P
(\\1 + t).!l - -
Y(P(., ~ ... !.~,.!J ' ;a)
dt.
o
[0, ] n-m
a+a +0
o
•
D'après le Théorème 3.2, la deuxième est égale à
Hm
(a - a )p
{
o
J
Y(P( •• Y.. <' El.!!..' ; a)
'd!.
•
a+a +0
o
et peut~@tre calculée comme la premiire.
Il reste à vérifier qu'on a
*
n -1
y(P(., '1..), !l' ; a) = n! Vol (K)
u-
-
-.-
du
•
Pour calculer cette limite, on peut obtenir une premiire expression en termes
du polyèdre de Newton de
P(., '1..), grâce au Théorème 4.1 • Pour transformer ce résultat
eri termes de ~(P), c'est-à-dire sous la forme (5.42), on·utilise le Lemme 4.10, ·et on
raisonne comme au nO 4.4.2.
Le Théorème 5.5 est entièrement démontré.

---

B I B L I 0 G R A P B I E
---------=-=-=---=-=-=-=---
[ 1J
N. BOURBAKI : ''Espaces vectoriels topologiques", Chapitre 2, Bemann, Paris, 1966
[2J
P. CASSOU-NOGUES : "Abscisse de'convergence de certaines séries de Dirichlet
associées à un polynSme", Séminaire de Théorie-des Nombres de
Paris (1982-83),
p 39 - 49.
[3J
P. CASSOU-NOGUES
"Séries de Dirichlet et intégrales aSSOC1ees à'un polynSme
à de~ indéterminées", J. NoWW\\~t4 'T",,~ , ~ ~ l ",,0' (lQ' ').
[4J
S.G. GINDIKIN
''Energy estimates connected witli the Newton polyhedron",
Trans. Moscou Math. Society, Vol 31 (1974), p-193 - 246 •
..
[SJ
B. GRUNBAUM
"Convex polytopes", Wiley, New-York (1967).
[6]
B. LICBTIN
"Generalized Dirichlet Series and B-Futictions", à parattre à
·•
~mpositio Math.
[7]
B. MALGRANGE
• "Intégrales asymptotiques 'et monodromie", Ann. Scient.
•
Ecole Norm. Sup., série 4, 7, ;no 3 (J974), p 405 ~ 430.
-
-
[8J
H. MELLIN
"Eine Formel für den Logatithmuà transcendenter Furiktionen
von Endlichen Geschlecht", Acta Soc. Scient. Fennicae
29 (1900), p 3 - 49.
..
,
V.P. MIHAILOV
"Behaviour at infinity of a certain claas,of polynomials",
Proc. Steklov Inst. Math. 9J (1967), p6l. - 82.
[JO]
R.T. ROCKAFELLAR
"Convex Analysis", Princeton UniverSity Press (l970).
[11]
P. SARGOS
: '~rolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées
à des fractions rationnelles de plusieurs variables",
Ann. Inst. Fourier, 33, nO 3 (l984), p 82 - 123.
[12]
P. SARGOS
"Sur le problame des diviseurs généralisés".
[13]
A.N. VARCBENKO
''Newton polyhedra and
estimation of oscillating integrals",
Funkts. Analys. Vol 10, 'no 3 (l976), p 13 ~ ,38.
Of!
V.A. VASILIEV
: "Asymptotic exponential integrals, Newton' s diagram, and
the classification of minimal points",
Furikts. Analyz. Vol Il, nO 3 (1977), p 1 - Il.
-,-

---

rnAPIΠ. IV
SUR LE PRœLËME ŒS DIVISEURS GË~RALISËS
Exposé au Séminaire de Théorie des Nombres,
C l
R M,
Marseille,
Septembre
]985.

---

---

SUR LE PROBLEME DES DIVISEURS GENERALISES
PAR
PATRICK
SARGOS
Il - INTRODUCTION
1.1.
: Soit
P{~) =P{xl' •• ~' x ) un polynCme à coefficients posi-
n
tifs, qui dé~end effectivement des
n
variables
x • Pour
n
chaque
t
> 0, on définit le volume
( 1. 1)
VP ( t)
= Vol {!.
s 0, + co [n
p{x) ~ t } ,
et le nombre de points entiers
( 1 .2)
=
{ .Y. s
pCv) ~ t } •
On étudie le comportement asymptotique, quand
t + + co
,de
Vp{t) ,
de
Np{t)
et de
Np{t) -
Vp{t)
• Les rés~ltats sont exprimés
au moyen du polyèdre de Newton à l'infini de
P
(cf §2), noté
~ Cp).
1.2. - Théorème: Il exis~e un nombre rationnel
0"0
> 0, et un
entier
Po' vérifiant
1 ~ P
~ n, calculables géométriquement à
o
partit: de
'tep), et deux constantes
A
et
B
positives, expli-
o
o
citement calculables à partir de
CCp)
et des coefficients de
P ,
t!els qu'on ait, quand
t + +co
0"
p
-1
1
( 1 .3)
Vp{t)
=
A
t
0
(Log t) 0
( J + 0
o
(Log t
» ,
et
0"0
Po -1
1 .-
( 1 .4)
Np(t)
= B
t
(Log t)
( J + 0
o
(Log t»
Au 13, on donne une construction géométrique de
0"0
et de po.
Le calcul de
A
et
B
fait l'objet du Théorème
3.3.
o
o
.../ ...

---

-
2 -
c'est À. N. Varchenko
[SJ qui a introduit l'interprétation
géométrique de l'exposant
0
à partir du poly~dre de Newton. Le ca-
0
dre tr~8 général dans lequel il se place ne contient pas entièrement
la situation décrite ici, et implique, d'autre part, des démonstrations
très sophistiqu~es.
La construction géométrique de l'entier
Po
e'st due à ,V. A.
Vasiliev
[9J
, qui montre directement que, sous des hypothèses légè-
rement plus restrictives que les nBtres, on a
o
P -1
t
0
(Log t ) 0
Les constantes· A
et
B
ont été calculées par
o
o
P. Cassou-Noguès
[IJ
, lorsque
P(x l , x ) e~t un polynOme à deux
2
variables, pour
P
=
(cf exemple
o
3 • 5 ) •
1.3. : Il est facile de vérifier, au moyen d'inégalités élémentai-
res, qu'on a toujours
( 1 .5)
et
( J .6)
( t + + oo
) ,
Ge dernier point étant aussi une conséquence du Théorème
J.2.
Une différence "importante" entre
Np(t)
et
Vp(t)
ne
peut exister que si une fraction "importante" des points entiers,
comptés dans
Np (t) , se trouvent à proximité des hyperplans de coor-
données
(cf
figure
2). Ce phénomène peut-€tre
traduit en termes
•.-
de polyèdre de Newton
1.4. -
Théorème: Il existe un ent~er P vérifiant
0 ~ P ~ n-J
et
P ~ Po ' qui peut-€tre
calculé géométriquement à pa~tir de
lep), et une constante positive,A, explicitement calculable à
partir de
Ccp)
et des coefficients de
P
,
tels qu'on ait,
quand
• • . 1•••

---

-
3 -
o -0
o (t 0
)
pour un certain
0>0, si p=O
o
1
J
A t 0 (Log t) P-
(J + 0 (Log t », si
p > 0 •
La construction géométrique de p est donnée au
14, et le
calcul de
A
fait
l'objet du Théorème
4.4.
1.5. - Exemple: (Problème des diviseurs)
Soit
P(x, y) = xy. Le résultat suivant est bien connu
(cf
[7
; chap. XII]
) :
=
t
Log t
-
t
+ 1
(J.S)
=
a
t
Logt
+ (2'Y -
J)
t
+ 0
(t + E ),
E
pour un certain
a < 1,
'Y
désignant la constante d'Euler.
Notre méthode, appliquée à cet exemple, donne:
'\\,
Np (t)
'\\,
t
Log t
Vp (t) ;.
2'Y t.
1.6. - Théorème:
Il existe une suite décroissante
(Ok)
,
k~O
\\
finie ou non, contenue dans une progression arithmétique de la
l
,
forme
0
-
N
m-, ou
N
est un entier qui ne dépend que de
0
tep), et il existe des polynômes
degrés ~ n - 1,
te ls qu'on ait
Qk (Log t),
pour
t
assez grand, et
o
- Ild +E
(1.10) Np (t)
= L
R
(Log t ) + 0
(t 0
)
k
E
k = 0
quand
t ... + Q)
,
où
d
est le degré total du polynOme
P, et où
m
est le plus grand des entiers
k ~ 0
vérifiant 0 k > 0
-
I/d •
0
.../ ...

---

- 4 -
1.7. -
Remarques:
a) La convergence,
pour
t
assez grand, de la série
(1.9), implique
qu'il existe une constante positive
M = M(P)
telle que les coeffi-
k
cients de
Qk
soient
«M
• En particulier, on a
le développement
asymptotique
illimité
(1.11)
L
Vp(t)
'"
Qk (Log t) •
k ~ 0
b)
Nous verrons à l'exemple
5.3
ci-dessous que
l'égalité (1.9),
appliquée à un po1yn6me
P
à une variable,
permet d'obtenir la racine
de l'équation
(1.12)
p(x)
0=
t
,
qui tend vers
+00
quand
t
+
+00
,
sous forme d'une série de Lagrange
[ 3
;
III, Chap.
5,
SI]
, q u i converge pour
t
assez grand.
c)
L'estimation
(1.10),
appliquée au problème des diviseurs, montre
que, dans
(1.8), on peut prendre
a = 1/2, ce qui n'est la meilleure
valeur de
a
[ 7 ; Théorème
12.2
et
12.4
]
•
Mais si on suppose que
P
est une forme
linéaire à coefficients
entiers, alors l'exposant
cr
-
I/d,
dans le terme-reste de
(1.10),
o
est optimal.
1.8. -
On pose
s
= cr + i T
S ce . On désigne par
Zp(s)
le
prolongement méromorphe de
la série de Dirichlet
:
(1.13)
Zp(s)
=
L
p(~)-s
*n
~S:ti
".-
et par
Yp(s)
celui de la fonction
...
(1.14)
Yp(s)
==
J F(~)-s dx •
n
0, +00 [
Ces fonctions
ont été étudiées dans
[lJ
, [2J ,
. . . 1...

---

-
5 -
Le lien entre
Zp(s)
et
Np(t)
d'une part, entre Yp(s)
et
Vp(t)
d'autre part, est exposé au
16
(Lemme 6.3).
En particulier, si
]
est un ensemble, contenu dans
00
-
if lN ,
pour un certain entier
N,
et contenant les pOles de
Zp
et
Y
'
p
alors, dans le "Théorème
].6, on peut prendre pour
(Ok)
la suite
~
k~O
des éléments de J
U fol, rangés par ordre décroissant.
Au
15, nOus construisons, à
partir des équations des
faces
de
l. (p) et des exposants des mon6mes de P, un ensemble
de p6les
"présumés". Cette construction est due à
P. Cassou-Noguès
dans
le cas
n = 2, et peut ~tre généralisée sans modification pour
n ~ 3.
En s'appuyant sur les expressions qui apparaissent au cours de la
démonstration, on peut conjecturer que chaque élément
so
de l'ensemble
~ ainsi obtenu es"t effectivement un p6le pour les fonctions Yp(s)
et
Zp(s),
sauf peut-~tre si
So
est un entier négatif
(cf
[]J
et
[6J ) , ou si les coefficients de
P
vérifient certaines
équations spécifiques.
•
Nous ne donnerons pas
ici les démonstrations
: grâce au Lemme 6.3,
le Théorème
1.6
est une conséquence des résultats de
[4J
et
[5J ,
et les Théorèmes
1.2,
1.4, 3.3, 4.4
et
5.2
sont conséquence des
résultats de
[6J
Cet exposé résume
l'essentiel des
travaux que
j ' a i effectués
sous la direction de
Gérald Tenenbaum
pendant ces quatre dernières
années. Je profite de l'occasion pour lui exprimer des~ remerciements
particulièrement chaleureux: ses conseils, ses remarques et ses encou-
ragements m'ont été d'un apport
inestimable.
... / ...

---

-
6 -
§2
DEFINITIONS ET NOTATIONS GEOMETRIQUES
n
.
2. J.
: Pour tout polyèdre convexe
E
de
m
, on désigne par
le sous-espace vectoriel associé au sous-espace affine engendré par
E.
La dimension de
E
est
le nombre.
(2. J)
dim E . =
dim '"
E •
Une facette de
E
est l'intersection de
E
avec
l'un de ses
hyperplans d'appui; on conviendra que
E
est une
fac~tte dé lui-même.
Les facettes de dimension zéro sont les sommets de
E.
Si
E
est de
dimension
n,
les
facettes
de dimension n-J
sont
les
faces
de
E
chaque facette de
E , distincte de
E, est l'intersection des faces
qui la contiennent.
2.2.
Pour toute partie
A
de
mn , on pose
conv(A)
= enveloppe convexe de
A.
On désigne par
~J = (J, 0, •.•• , 0), ~2 = (0, 1,0, •••• ,0), ••• ,
e
= (0, •••• ,0, 1)
les
n
vecteurs de la base canonique de
mn •
-n
La diagonale du premier octant est la demi-droite
6. = {(T, ••• , T)
Le produit scalaire des vecteurs
et
n
<~, .ê. > «-~, .ê. >
CX.
Enfin,
pour tout sous-espace vecto-
=~
a· ) .
J
1
J=1
.l
riel
E
de
mn , on désigne par
E
son orthogonal.
2.3.
: Soit
9.-
(2. 3)
=
On appelle support de
P
l'ensemble
supp P
= {~G]Nn
... / ...

---

-
7 -
Le polyèdre de Newton de
P
est
l'ensemble
(2.5)
c (p) = conv (supp p) _ mn+
( m
=
@, +CXl D. Pour chaque facette
G
de
~ (p) , on pose
+
L
(2.6)
P
(x)
a
=
G
a
x-
a
a G G " supp P
On suppose dans toute la suite que
P
dépend effectivement des
n
variables
x
Alors
o
est
intérieur à
et,
pour
n
chaque
face
F
de
~(P), il existe un unique vecteur
tel que
F
soit contenue dans l'hyperplan
<l, a> =I}
On dira que
À
est le vecteur polaire de
F
.
Une
face
F
de
~ (p) est parallèle au vecteur de base e .
-~
si, désignant par
À
le vecteur polaire de
F
, on a < À , e.> = O.
-~
Une facette
G
de
C. (p)
est parallèle à
e .
s~
chaque face qui la
-~
contient est parallèle à
e .•
On conviendra que
~ (p)
est parallèle
- 1
à chaque
e.
(I~i~n).
- 1
Pour qu'une facette de
t (p) soit bornée, il faut et il suffit
qu'elle ne soit parallèle à
aucun des
e .
(i
=
l, ••• ,
n).
- 1
§3
-
CALCUL DE L'EQUIVALENT DE
Np(t)
ET DE
Vp(t)
3. ].
:
So ien t
et
les nombres définis
au Théorème
].2.
Soit
ô
(ô, ••• , ô)
le point d'intersection de
6
avec le bord de
( 3 • ] )
Soit
Go
l'intersection de
toutes
les
faces de
C. (p) qui ren-
contrent
6
(G
est
la plus petite facette de
l ( p )
qui rencontre
o
••• 1 •••

---

-
8 -
Le nombre
Po
est ~ga1 à
p
= codim G
o
0
3.2.
: Le calcul des constantes
A
et
B
n~cessite une
o
o
construction g~om~trique pr~liminaire.
On fait une permutation des coordonn~es de f~çon que les deux
propri~t~s suivantes soient vérifi~es
(3.3)
On a la d~composition
:;: '"G ,
(:IR el
+ ••• +:IR e
)
o
-
-Po
L'ensemble des vecteurs de base auxquels
Go
est parallèle
est
{e
1 " ' "
e
}
-m+
-n
(une telle permutation est toujours possible, et il peut y en avoir
plusieurs).
Soient
i l " ' "
lN
les vecteurs polaires des faces de
qui rencontrent la diagonale
~ • On v~rifie
que le polytope
(3.5)
K = conv {O, il"'"
lN' e
+1"'"
e
}
-
-Po
-n
est de dimension
n.
3.3. - Th~orème : Les constantes
A
et
B
o
o
apparaissant dans
l'énonc~ du Th~orème 1.2 peuvent être d~finies par les expressions
convergentes suivantes
:
n!
Vol (K)
J (J
A
=
o
o (p - J)
o
0
[J
[ n-m
m-p
1+'0
lR
0
,
+
-0
n ! Vol (K)
0
B
=
(
V)
P
dx
0
G
.!.,~,
0
(p
- 1) J
o
0
o
.../ ...

---

-
9 -
Dans cette écriture, on a posé
=
( 1 , ••••• ,
1 ,
x
,
Y I ' · · · '
Y
).
c
m-p
n-m
J
o
3.4. -
Exemple
Si la facette
Go
est bornée, on a m = n,
et les expressions
(3.6)
et
(3.7)
se simplifient
-(1
(3.8)
=
n 1
Vo 1 (K)
0
B
=
(
x)
o
l,
dx
(10
(po- I ) !
3.5. -
Exemple
: On suppose en outre
Po = 1 • Alors
Go
est
une face
(bornée)
de
-1 (p) ; son vecteur polaire A n'est dans
auc~n hyperplan de coordonnées
; le polytope
K
se réd~it à un
simplexe
K = conv
e
, ••• , e
}
et
n!
Vo 1 (K)
= de t (A, e 2 ' • • ., e ) = Al;
- 2
-n
-
-
-n
on remarque également que toutes les permutations de coordonnées
vérifient
(3.3)
et
(3.4).
Si on introduit la fonction
r
d'Euler, on peut,
à l'aide de
changements de variables faciles,
transformer
(3.8), et on obtient
•
A
= B
=
exp ( -
P
(x» dx
o
0
Go
Dans le cas
n = 2, cette expression est due à P. Cassou-Noguès
§4 -
COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DE
Np(t) -
Vp(t)
4 • 1•
Remarquons d'abord que la relation:
L.n
=
V S lN
P(~) ~ t
.../ ...

---

-
10 -
montre que cette quantitE est toujours
~ O,et est
> 0
pour
t
assez grand. On calcule' la partie principale de
(4.1)
lorsque celle-
cr
ci est
» t 0
On construit géométriquement le nombre
P
défini au Théorème
1.4 en posant
p = max
codim G ,
G
où
~. parcourt l'ensemble des facettes non bornées de tep)
qui
rencontrent la diagonale
â
On définit l'ensemble
g
(4.3)
g = {G
G
facette non bornée de
t (p),
codim G = p ,
GO â
~ ~ } •
Il Y a équivalence entre
p = 0
et
g = {~(p)}
• Dans le cas
p > 0, il Y a, pour chaque
i
fixé
(1 ~ i ~ n), au plus une facette
G G g
qui soit parallèle à
e.
(cf i2.3)
; en particulier,
g
a
- 1
au plus
n
éléments.
On suppose p > 0, et on calcule la constante A du Théorème
1.4 •
•
4.2.
: On fixe
G G g. On.lui associe une constante
AG comme
suit. Otl fait une permutation des coordonnées de façon que les deux
propriétés suivantes soient vérifiées
( lR ~I +... + lR !'p )
(4.5)
l'ensemble des vecteurs auxquels
G
est parallèle est
{e
J' ••• '
e
} .
-m+
-n
-.*
Comme
G
est non bornée, on a
1 ~ m ~ n- 1.
Soient
~I'.'.' ~ les vecteurs po.laires des faces de C(p)
qui contiennent la facette
G. Alors le polytope
:
K = conv {Q, ~I , ••• , ).N' ~p+1 , ••• , ~J
est de dimension
n.
• • . 1...

---

-
1 1 -
4.3. -
Lemme
L'expression
A
..
n 1
Vol (K)
G
L*n-m
0
(p -
1) 1
v G ~
0
-0
( l, !.' v+6)
0
dx
est convergente.
Le nombre
AG
ainsi défini est> 0, et ne dépend
pas de la permutation des coordonnées vérifiant
(4.4) et
(4.5)
Dans l'écriture ci-dessus, on a posé
( 1, !.' ~ + 6) =
( l , • • ;,
l
,
x), ••• , x
,vI
V
+6
).
m-p
n-m
n-m
p
Comme la quantité entre crochets, dans
(4.6), est positive,
dire que l'expression ci-dessus est convergente signifie qu'on a
:
-0
-0
(l, !.' v)
0
P
(l, !.' v
G
+ 6)
0
dx < +<Xl •
-0
Par contre, l'expression
v)
0
dx
converge 'si et seulement si p = Po'
donc si et seulement si
Go
est non bornée.
4.4. -
Théorême
: La constante
A
figurarit dans l'e~timation
(1.7)
peut ·être définie par la formule suivante
A
=
L
G G g
4.5. -
Exemple: On reprend l'exemple du problême des diviseurs
(cf fl.5)
qui correspond au polynBme à 2 variables
P(x, y)
= x y.

---

-
12 -
._-_._----_._._--------
t
."
cCf)
- '
l'
o
figure
figure
2
La figure
2 t
en relation avec
.
La formule
(4.6)
s'écrit
ClO
'V)-)
AG
= AG
= L [PC J.
)
2
'V=)
) .
J
da ]
=
'Y
o
'V + a
§5 -
UNE CONSTRUCTION DE LA SUITE
(G'"k)
k~O
5.).
: On associe à
P
un ensemble"
de la façon suivante
:
On désigne par
(F.)
la famille des
faces de
C(p) t et par
1
Ha
le vecteur polaire de
F i .
Soit
p
le nombre dré1éme~ts du
support de
P
(cf (2.4».
Pour chaque
i
G l t
et chaque
'V = ('Vg. )
G lN P
on pose
t
g. G supp P
( 5. 1)
s .
(~) = I~i 1 -
L-
( )
- <À. ta> )
'V
1
- 1
-
a
a G supp P
... / ...

---

-
13 -
n
(avec la notation
1À i 1
=
L- À •• ) . On pose enfin
j
1J
= 1
(5.2)
[P = {s.(\\)
i
S l
, ~ S :fiP } •
1
-
Pour que l'ensemble
ainsi construit soit fini,
i l fatit et il
suffit que
P
soit de la forme
p(x)
=
a.
a
x -
•
f!
On vérifie qu'on a
(5.3)
=
max
1À i 1 ,
iSI
Ainsi, le plus grand élément de
~ est ao
5.2. -
Théorème
: Dans le Théorème
1 • 6,
1 a
sui t e
(a
)
k k:;.O
peut être choisie égale à la suite des éléments de ~U {O}
rangés
par ordre décroissant.
5.3. - Exemple : On suppose que
P
e~t un polynBme à une varia-
ble. On désigne par
u(t)
la solution réelle de l'équ~tion :
(5.4)
p(x) = t
,
•
qui tend vers
+ CXl
quand
t -+ + CXl
•
Alors,
on a
u(t)
=
1 + Vp(t).
L'égalité
(1.9)
permet donc d'exprimer
u(t)
sous la forme d'une
série convergente, pour
t
assez grand.
De façon plus précise, on pose:
m
(5.5)
p(x)
=
L
k
a
x
(avec
a
SlR,
et
a
> 0),
k
k
m
k=O
et
-0"
m
(5.6)
P(x)
L
m-k
=
a
x
k
k=O
(il n'est pas nécessaire, dans
le cas
n = J, de supposer que
P
est à coefficients positifs). La formule
(1.9)
s'écr~t:
• • . 1•••

---

-
14 -
t J / m
a
-k/m
(5. ])
u(t) =
m-I
t
-:T7iii -
L
p(X)k/mJ
k(k+ 01
a
m a
k~J
m
·m
k~m lN
x=O
la série convergeant pour
t
assez grand.
§6 - UN THEOREME TAUBERIEN
On Itab1it le lien entre
Yp(s)
(cf (J. J3»
et
Vp'(t) d'une
part, et
Zp(s)
(cf (1.12»
et
Np(t)
d'autre part, au moyen d'un
résultat général.
6.1.
: Soit
~(t)
une fonction définie sur
lR
,
croissante
+
(au sens large), nulle au voisinage de
O. On suppose qu'il existe
0'0
>
0
tel que
0'
+e:)
( 6. 1)
= 0
(t
0
)
pour tout
e: >
e:
0
•
On pose, pour
S = O ' + i T
"et
-s
dt
f(s)
= s
J ~(t) .t t
o
La fonction
f( s)
est définie et holomorphe pour
0'>0'
•
o
Soit
c > 0'
•
On a la formule d'inversion:
o
c+iOCl
(6.3)
J. f(s)
~s = ~ ~ (t + 0) + ~ (t - 0 ~ '( t > 0),
2 i II
C-1 0Cl
l'intégrale ci-dessus convergeant en valeur principale.
-.-
6.2.
: On suppose que
f(s)
admet un prolongement méromorphe à
tout le plan complexe, que ses pôles sont d'ordre
~ n , et contenus
J
dans un ensemble de la forme
0'0
-
N lN ,où
N
e'st e'st un e'ntier
positif, que
00
est un pôle pour
f
,
et que le pôle
(éventuel)
en zéro est d'ordre
~ n-J.
.../ ...

---

-
15 -
On désigne par
(Ok)
la suite des
p6les de
f(s)/s
rangés
k""O
par ordre décroissant. Pour chaque
k ~ 0, on définit le polyn6me
Qk sm [x]
, de degré ~ n - 1, par la relation:
-0
X
s X
k
e
(6.4)
= e
.
Qk (X)
Rés
( f (s)
)
s=Ok
s
On définit les ensembles du plan complexe
W
= { s S ([ :
a~O';O
+
1 ,
a
o
où
a
est un réel donné, et
w = {s s <r : 01{. 0
+
1 ,
et distance de
s
à
0
On considère les deux hypothèses
suivantes sur
f :
-0
(6.5)
Il existe
M > 0
t • q.
f(s)«
M
pour
s S W •
Il existe
A > 0
t. q.
pour chaque
a S m e t chaque
e: > 0
A( 0
-0)
+ e:
f( s)
« 1
+
11' 1
0
(s
6
W )
•
a
6.3. - Lemme: (i)
On suppose que l'hypothèse
(6.5) est vérifiée.
Alors, pour chaque
t
> M, on a
:
L
(6.7)
<I>(t)
=
k ~O
la série étant convergente.
(ii)
On suppose que
f
vérifie
(6.6). Alors,
pour chaque
e: > 0, on a, quand
t -+ + (Xl
m
o
0
-
I/A+e:
(6.8)
L
c/>(t)
=
t
k
Qk (Log t )
+ 0e: (t 0
) ,
k=O
où
m
est le plus grand entier
k
t.q.
... / ...

---

-
16 -
La déduction du Lemme 6.3
à partir de
(6.3)
est standard.
6.4. -
Exemples
(i)
On prend
~(t) = Vp(t) • Alors on a
f(s)
= Yp(s). Pour
dé:no:ltrer que
Yp(s)
vérifie
(6.5), il suffit d'adapter la démons-
tration du Théorème
4.8
de
[4J
(ii)
On prend
~(t) = Np(t). Alors
f(s)
=
Zp(s). Dans
[4J
'
on montre que
Zp(s)
vérifie
(6.6)
pour un certain
A > 0, et
dans
[sJ
' on montre qu'on peut choisir
A
égal au degré total
d
du polynBme
p
•

---

-
17 -
B l B LlO G R A PHI E
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-8-=_=-
P. CASSOU-BOGUES
"S~ries de Dirichlet et intégrales associées
à un polynSme à deux indéterminées", à
parattre au Journal of Number Theory.
H. MELLIN
"Eine Formelfür den Logarithmus transcen-
denter Funktionen von endlichen Geschlecht",
Acta Soc. Scient. Fennicae 29
(1900),
p.
3 -
49 •
..
[3J
G. POLYA, G. SZEGO
"Problems and Theorems in Analysis l'',
Springer - Verlag
(1972).
P.
SARGOS
"Prolongement méromorphe des séries de
Ann.
[5J
P.
SARGOS
de Dirichlet
et applications",
Journ.
für die Riene and
P.
SARGOS
"Séries de Dirichl'et et polyèdres de
Newton" (en pr~paration).
E.
C. TITCHMA~SH
"The theory of the Riemann zeta function",
Clarendon Press, Oxford
(1951).
[8J
A. N. VARCHENKO
"Newton Polyhedra and estimation of
oscillating integrals". Funkts. Analyz.
Vol.
10, nO
3
(1976),
p.
13 - 38.
V. A. VASILEV
"Asymptotic behaviour of expone~tial
integrals, Newton's diagram and the
clas.sification of minimal points", Funkts.
Analyz. vol
13, nO 4 (1979-)
p.
1 -
12.
Patrick
SARGOS
Faculté des Sciences
UNIVERSITE DE DAKAR-FANN
DAKAR - Sénégal)

---