TH ES E présentée
pour l'obtention
du
DIPLOME
de
DOCTEUR de 3e CYCLE
.a
L· UNIVERSITE DE PARIS VI
specialité :
mention
:
gC'l/6~~r
par
Monsieur
KEITA)
Sujet de la thèse:
THEORIE ASYMETRIQUE DU TYPE D 'EINST~plAFi~"~/ODINGER
~' lit"
AVEC SECOND MEMBRE
~"'~'v
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C \\
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"'. ~ment Sù?e
soutenue le :
devant la Commission corn
e de
Madame TONNEIAT
Pré5ident
MJns1eur ARNOUS
exam inateur
~demo1selle S. MAVRIDES
"
; CO\\15Eil Ar:R1CAiN ET MALGACHE
1 FOUR L'ENSf;jGNE,~M::NT SUPERIEUR
, C. A. M. E. S. -
OUAGAgOUGOU .
: Arrivée ..18 ·MA\\ .~99 .... ,,,, ~
1Enregistré sous nO," D;.O",:1·3' -9 .J

---

Sans l'aide et les conseils de Madame M. A.
TONNELAT.
ce travail n'aurait pas vu le jour.
Qu'elle trouve ici toute ma reconnais-
sance.
Je remercie beaucoup Mademoiselle MAVRIDES pour
tout l'intérêt qu'elle a porté à ce travail.
Mes remerciements à Mademoiselle MAVRIDES et
Monsieur ARNOUS qui me font l'honneur d'être membres du Jury.
A Madame M. J.
LEQUERRE et Mademoiselle C.
TRECUL
pour l'exécution de la mise en page du manuscrit.

---

"
TABIE DES MATIERES
INI'RODueTION.
CHAPITRE
l
LA THEORIE UNITAIRE D' EINsrEIN - SCHRODINGER.
Difficultés des équations sans second membre.
A - LES EQUATIONS DU CHAMP.
Système fort et système faible.
1 ) Le système fort
2 ) Le système faible
B - LES EQUATIONS DE CONSERVATION
1
Procédé variationnel SCHRODINOER - LICHNEROWICZ
2 ) Gén'ralisation des identités de BIANCHI
C - SOLt1I'ION A SYMETRIE SPHERIQUE
l
Définition d'une solution à symétrie sphérique
2 ) Le vecteur de torsion
D - DEFINITION D' UN TENSEUR D'IMPULSION - ENERGIE
l
)
2 ) Difficultés liées à
CHAPITRE
II
PRINCIPE D' UNE THEORIE ~Ql~1
A - IDENI'ITES DE S. MAVRIDES • TRAJECTOIRES
l ) Schéma matière pure
2 ) Schéma fluide parfait
B - RmARQUE SUR LES IDENTITES DE S. MAVRIDES.
C - CONCLUSION.

---

CHAPITRE
III
SOLurION En'ERIEURE A SYMETRIE SPHERIQUE.
EQUATIONS DU MOUVEHENT.
A - EQUATIONS DU MOUVEMENl' ET SYMETRIE SPHERIQUE
1
Forme du
2
Formes des trajectoires
3
Avance du périhélie
4
Déviation des rayons lumineux
B - EQUATIONS DU MOtJVF1.ŒNT D'UNE PARTICUIE CHARGEE
l ) Equations du mouvement d'une particule chargée décrites
à
'
r'
1 aide de
r, 1"1" •
2 ) Equations du mouvement d'une particule chargée décrites
à l'aide de W\\",,,
•
CHAPITRE IV
SOLtJI'ION INTERIEURE.
A - LES EQUATIONS FONDAMENTALES
1 ) Forme générale des équations du champ
2 ) Relation d'équilibre générale
3 ) Equations explicites relatives au cas intérieur
4 ) Relation d'équilibre explicite
5 ) Les équations fondamentales
B - RESOLtJrION DES EQUATIONS FONDAMENTALES
1
Solutions particulières
2
Etude qualitative sur la solution générale.

---

1.
INTRODUCTION
Les theories unitaires se proposent de décrire dans un même
hyperchamp la gravitation et l'électromagnétisme. La théorie d'EINSTEIN-
3ClffiODTNSER SP distingue des autres théories unitaires par le fait qu'elle
utJlli:;,·1 <~ C 'ldr'E' général d lune varlét.é affine quelconque à. quatre dimensions
pOur"V1X'~ cies caractéristiques de structures prouvées par E.CARTAN, à savoir:
a ) Ilne courbure de rotation définie par
qui bénl~rd11s" le t~nseur OP RIEMAN-CHRISTOFFEL.
b ) une courbUL"'e d' homothétie caractérisée par l'invariant
c ) unf' tors:l,on t'erH"'~sentée par le
vecteur
La théorie, in1 tiale, li surtout l ' original1 té de ne pas com-
porter de second rn,'rnlJre; ce t aspec t l'eppe lIe les tentatives analogues des
théories de MIE, de aORN-I~~Eln qui étudiaient le dualisme champ-particules
dans le domaine électromagnétique sa.'1s s'occuper d' une interprétation
géométrique des champs.
Le cadre général de la théorie a ouvert la voie à des perspec-
tives nouvel1es, à la présence d'interactions entre les champs.
Cependant, malgré la simplicité de son principe très général,
extension naturelle de la Relativité Générale, le formalisme de la théorie
se lwurte d' lIne part à des ambigu!tés sur le choix des grandeurs fondamentales,
Lases è-e 1. a théorie. et d' autre part à des difficul tés de calcul et d'inter-
prétation physique; on a une représentation mathématique d'ensemble et il
faut en extraire d'une façon quelquefois
arbitraire les différentes données
expérimf'1l ta lem::~nt connues ( charnpg, courants, etc .••
JUns! dans le développement de la théorie divers problèmes
zurglssent qui nécessitent de nouvelles méthodes de calcul, une interprétation
quelquefois
asseZ différente des êtres mathématiques qui doivent rendre
compte des phénomènes de la nature.

---

2.
Certains de ces problèmes ont reçu des solutions satisfaisantes, d'autres
constituent encore un domaine de recherche : la métrique et les champs
le tenseur d'impulsion-énergie qui n'est pas encore extrait du premier
membre selon les idées d'EINSTEIN restent les problèmes somme toute ouverts.
En général une théorie physique ne peut s'infirmer que dans
la confrontation de ses prévisions avec l'experience et ne peut progresser
Qu'avec la faculté de résoudre les divers problèmes et contradictions Qui
se poseront lors de son développement. I~ nombre de résultats importants
qui ont été acquis nous permet, pour cette théorie unitaire de garder espoir.
La nature des sources et des champs ne sera certainement pas résolue et d'un
coup gr!ce à cette théorie, mais celle-ci devra nous livrer ne serait-ce
qu'une petite facette de la nature àe ces champs et de leurs sources.
Dans ce travail nous essayons d'étudier certains astects
techniques liés directement à la théorie unitaire sous sa forme initiale
et de proposer devant les difficultés rencontrées, une extension de la
théorie basée essentiellement sur l'existence d'un second membre. Cela
constitue évidemment un compromis avec l'espoir d'EINSTEIN - totalement
unitaire - mais néanmoins nous pourrions y trouver un chatnon de la grande
chatne d'explication des liens entre champs et sources.
I~ travail se divise en quatre parties
( l ) La première porte sur les difficultés de la théorie
unitaire d'EINSTEIN-SCHRODINGER conçue comme une théorie sans second membre.
Evidemment nous ne saurions les énumérer toutes car chaque développement
est une source de questions. Nous nous sommes donc intéressés à deux aspects
a ) Le premier est le système fort : sous la forme proposée
par EINSTEIN, ce système est inconsistant et masque le rÔle important
que peut Jouer le quadrivecteur de torsion
b ) Le deuxième d'ailleurs finement analysé par M.A. TONNELAT(2J
se rapporte à la difficulté de construire un tenseur d'impulsion-énergie
extrait du premier membre. Plus précisément les équations du mouvement
auxquelles il conduit constituent de simples identités sans références
aucune aux équations du champ.
L'introduction de la notion de singularité dans cette théorie
n'est pas une rançon mais un abandon de l'idée d'EINSTEIN qui bannit le
concept de singulariué.

---

3.
( II ) " Principe d'une théorie unitaire avec second membre Il
constitue la deuxième partie.
Partant d'une densité lagrangienne
r
r'"
/>
n
>.. ~-.
H
01.. -:. j
1\\.1'''' _1.,
-J t· \\.
qui introduit explicitement un
terme matériel, il est possible d'établir
et les équations du champ et les équations des trajectoires déduites ici des
lois de conservation sous la forme qonnée par S. MAVRIDES.
L'ambiguIté qui existait dans la définition des géodésiques
métrique
et affine
se trouve levée.
Evidemment le problème le plus immédiat est le choix du tenseur
matériel
Tr-'>' introduit par 1-( , et nous avons étudié les cas : schéma
matière pure et schéma fluide parfait.
( III ) Dans la troisième partie
"Solution extérieure à
symétrie sphérique. Equations du mouvement"
se trouvent de manière explicite
les résultats t,echniques sur l'avance de périhélie, déviation des rayons
lumineux. Les équations du mouvement d'une particule chargée semble lier
le quadrivecteur de torsion
rr au potentiel électrique, en présentant des
termes supplémentaires par rapport à la Relativité Générale.
( IV)
La dernière partie
"Solution intérieure"
est aussi
un pendant technique du chapitre II • La solution intérieure sera déduite
naturellement de
selon des méthodes analogues à celles de
la Relativité Générale.
Si l'on arrive assez facilement, par delà des calculs assez
longs, aux équations fondamentales qui régissent cette solution intérieure,
la résolution de ces équations présente dans le cas général des difficultés.
En résumé, la présence d'un second membre qui ne constitue
point une violation inadmissible su principe unitaire d'EINSTEIN comporte
des avantages certains. Théoriquement, la matière par zon tenseur d'impulsion-
énergie est introduite de manière plus précise, se dégageant par là de
l'arbitraire qui pr~sidait à sa Il construction" dans la théorie
initiale.
Les équations du mouvement, mode d'existence de la matière, comportent moins
d'ambigu!tés comme le montre l'étude des schémas matière pure et fluide
parfait.

---

4.
Expérimentalement, des effets Que ne prévoyait
pas la
Relativité Générale apparaissent dans cette théorie de manière plus
naturelle que ne le permet la formulation initiale. La présence d'un
C l ,
é '
"
terme en
dans l avance du p rihelie nous semble etre une chose in-
téressante. La solution intérieure - pour une masse finie - pose des
problèmes physiques de raccordement : la condition
f":. 0 au bord ne
semble plus essentielle.

---

5.
CHAPITRE
l
LA THEORIE D' EINSTEIN - SCHRODINGER
Difficultés des équations sans second membre
Les notations utilisées sont celles de M.A. TONNELAT r . J . Dans
un espace à connexion affine quelconque de classe
Cl 1 C3 par morceaux,
de coefficients de connexion
~ e
, le tenseur fondamental asymétrique
rV'
~~~
peut se décomposer comme suit
Les deux possibilités de
dérivées covariantes de
Le tenseur de RICCI utilisé sera toujours
~
f
n> r r
R~., =. ')f rt".... - ~.,Çf + 't-" Ar
A -
LES EQUATIONS DU CHAMP. Système fort et Système faible
Le principe variationnel s'applique à une densité scalaire ~
r: r
"
CJl.,
fonction de
rf , de ses derivees premières et de <f
. Ces variables
sont supposées indépendantes et leur variation nulle à la limite du
domaine d'intégration.

---

6.
La relation
conduit alors
( LI )
~ o.
( 1.2 )
1.
Le système fort
Si l! on choisit
Â.':. ~ "':,R,.-Icomme dens!té scalaire, les équations
( 1.1
et ( 1.2 ) donnent:
r
. C ~~. :: ... ~ SfY ~ r- r" t ~fl'rf
(a)
a 1\\
3 . <l
( r. 3 )
(b)
R-t'I
or.
()
On rappe lle que
Les équations ( 1.3 ) sont compatibles et peuvent 5 écrire
( 1.3 ) 1
en fonction d'une connexion, de vecteur de torsion nul.
If
:: rr t~sfr.,
L...1''''
r'"
3
tt
1
Einstein l i
1avait proposé d'adjoindre a\\l système ( 1.3 )
la condition
'{ ': 0
• On obtenai t ainsi le système fort.
1" ~
r
') (;-jrf
J ~ 't- jf"" 0
r"" " -----'.> r
,,0
(F)
tRI'..... ~O

---

7.
Sous cette forme le système (F), d'ailleurs non déductible d'un principe
variationnel n'est pas consistant.
En effet le système
r.- y
}t:\\o-' l\\f
r. t--
0
Jf
-:: Q
:4
;f~
détermine entièrement l a connexion
Lft'-~ en fonction des "1'-"' . Or
une telle solution ne peut satisfaire au système
(a) 1!
W~ (,,,~) -::.()
( Ioj )"
(0)"
'IfQ (~~) -... ~ ()~ ry ... J~ rr)
.3 .
qu'en déterminant à un gradient près le quadrivecteur
~~ jusque là
arbitraire. Les équations ( 1.3 )" -b"- Jouent ainsi le r8le ct 'équations
de liaisons incompatibles en général avec la condition
r,,: 0 , bien que
la conséquence
-Wt~,f] =Q
de ces équations reste satisfaite quelque soit
r~ . La solution à
•
symétrie sphérique nous fournira un exemple de l'inconsistance du système
du système fort.
Il faudra donc pour obtenir la condition supplémentaire
partir d'une densité scalaire comportant un multiplicateur de Lagrange,
par exemple
Alors les équations ( I.3 ) se transcrivent:
{S~'! Pt~~'rft~~'r, tsta:
(a)'"
j { : •
1.3 )'"
( b ) tI'
It ~., ~ 0
On aura donc finalement un système
{Pi'

---

8.
fonction d'une connexion
['~~ à un vecteur de torsion nul.
Bien entendu ce système suppose nécessairement
<').- ~ 1") ~O
et ne peut Se ramener à
( P )
2.
Le système faible
En effectuant le ch~lgement de connexion
t f
r' l ft r
L.. r~::
~.; t i r .,
les équations ( I.) ) s'écrivent
( 1.4 )
Ces
équations ( LIt ) sont dites n système faible" et sont entièrement
déductibles d'un principe variationnel avec
B - LES IDENI'ITES DE CONSERVATION
Elles peuvent @tre obtenues par différentes méthodes.
l - Procédé variationnel. SCHRODINGER [-t J- LICHENROWICZ [1. J
En généralisant la méthode de H. WEYL sur le lagrangien
on montre. pour la transformation infinitésimale
que les identités de conservation s'écrivent alors
(!.i)

---

9.
~
où
rf , f-~ l-\\~f
.,
'ff)
H/, l(R.r~3r
et
+ Pc'ra 1
2 - Généraltsation des identités de BIANCHI
1=
En Relati vi té Générale les identités de conservation ~ Sr - 0
découlent de la forme même du tenseur de RICCI. D'après E. CARTAN [~1 les
identités de BIANCHI pour une variété à connexion affine quelconque sont
t
't
~
r. I
l.
f\\t
( 1.6
jr rz Yrr t .hr R. ""'1 - .ur R l''1 t 1... ~
ylt ~
n Jf
"
rH R't
::0
+t IV K Vtl~ -+ t r.f 1 ~rr
j) f es t la ctér1vée covar1ante + écrite avec r,J . R. ~../'" le
tenseur de courbure relatif à
rt'~
D'autre part on sait que l'applicati.on du principe variationnel
à
R,1"'f Cr) conduit aux équations
( r. 7 )
Contractions ( 1.6 ) en
~ et r
et introduisons ( 1.7 ) 11 vient
br(f'r A.~r) -
R.r~rr)
( 1.6 )'
b..(~-Ir~"r) - br t~Yr
n
-t l
R.I'~ RF (~ t ~ ..[rc....r, -R./'""l rrJ) =- 0
Or les conditions d'intégrabilités de
Q~~
~
()
j1::'''
sont ct' après SCHRODINGER(1}
BOSE li J
( 1. 7a )

---

lU.
~i
~
OÙ
ll). f ~ est le tenseur de courbure formé avec L'T
En contractant ( I.7a ) en
~
e t , .
on a
( L'rb )
En tenant compte de ( r. 7b ) et en passant des dérivées .b f aux:
déri vées ordinaires ') f
on obtient :
:0
î~
( 1.6 )"
( ~ l" Rf" t ~~l' lyt) - ~(I'Jr ~(P
La dérivation
~ f est relative à L~.., telle que
4h":f~O
~ t- J
On peut vérifier alors que ( 1.6 )' s'écrit
t4-'i
.y~.,) \\~,,~Pf{ 1 -0
( 1.8 )
[(3'+-Rf-'!tJt·l\\.:f~ ~Jf 0 .. ~f.. jr:
L'identité pécéctente - obtenue par S. MAVRIDES [ -i J_ sera à la base de
l'obtention des lois du mouvement dans l'extenston de la théorie que nous
allons proposer.
C - SOLUTION A SYMETRIE SPHERIQUE
~~QJi~~~n à symétrie
sphérique déterminée par
A. PAPAPETROU
-"'-
()
()
( I.9 )
- ~
11( ~ ":
~
0
.. ~ ~","()
0
_W
0
0
r
Avec
.)
~ ~---
A
1~
_ .. iÇ

---

11.
Cette solution ne co!ncide pas, pour t
grand, avec la solution
qui résulte de l'introduction du
tenseur de MAXWELL dans les équations
que prévoit la Relativité Générale.
D'autre part, la solution dépend de deux constantes arbitraires
et WYMAN a montré qu'il est possible de choisir une métrique telle que
cette solution se ramène à la solution de SCHWARSZSCH1LD
qui dépend d'une
constante. Cette remarque souligne l'arbitrarité de la définition de la
" vraie métrique" et du champ électromagnétique. Tout ce qu'on peut affirmer
est que les ~ "of
sont liés à la métrique et aux champs électromagnétiques
par une expression non encore précisée. Toutes ces remarques nous incitent,
dans le choix de la métrique et des ch&~ps, à confronter les résultats
avec ceux fournis par la Relativité Générale, et à adopter, si possible,
des définitions qui noua permettront de retrouver en théorie unita1re
certains résultats de la théorie électromagnétique, purement euclidienne
de BORN UJ-
INFEID [-1.1
D'autre part, la solution de A. PAPAPETROU nous permet de montrer
l'inconsistance du système (F) en calculant explicltement ~
2 - Le vecteur de torsion
Dans la recherche d'une solution statique à symétrie sphérique,
nous avions utilisé les équations du système faible ( 1.4 ).
La connexion étant
r1 of l fJr.~ r"
r" 1 '"
Ayant déterminé complètement
L.fr~ on constate que
n'est détermln4
qu'à un quadrlvecteur près. On peut donc se poser la question de savoir
comment se présentent les équations écri tes avec
( 1.10 )
Pour résoudre le problème 11 suffit de remplacer
rI"; dans R",,(t). On
remarque d'ailleurs,dans les équations du système faible que la relation
en lf~
n'est pas satisfai te. Si on utilise un terme cosmologique
"")'
Cw)
:: t\\tt
( L1l )
lfl; -;; L;;:
(
+J; ~ ~ I~
41,
L'équation en Il tif ( système faible ) s'écrira
v

---

12.
d'où
( I.12 )
Par intégration, cette dernière équation donne
r _-.! ""tt t !À{l
( 1. n )
4 -
l
ft,'f
..t.
h,
Ainsi le quadrivecteur
~ ne peut être nul; et ce fait montre que le
s stème fort tel qu'il découle de la proposition d'~irtstein n'est pas
consistant.
D - DEFINITION D'UN TENSEUR D'IMPULSION-ENERGIE
1 - Tenseur d'impulsion-énergie matérielle défini à partir du 10 membre
En théorie unitaire d'Einstein-Schrooinger les équations qui décri-
vent le comportement de l'hyperchamp, qui réunit le champ électromagnétique
et le champ de gravitation, sont par définition relatives au cas intérieur
( 1.14 )
Ces équations correspondent au cas intérieur gravitation-électromagnétisme
de la Relativité Générale
I.15 )
-
où
1l"--l'
d' origine phénoménologique, équilibre les effets du champ
de gravitation exprimés par
Sr-"
d' origine géométrique.
En théorie unitaire le tenseur d'impulsion-énergie devrait, en
rpincipe, être extrait du premier membre des équations ( I.14 ); le choix
de la métrique est la première difficulté pour sa construction.
En effet soit
t.t~...
une métrique non spécifiée.
Par définition
( I.16 )

---

13.
en posa.nt
on obtient
e~.., (r) ~
avec
V, r't
i'"
v~
est la dérivée covariante
Par conséquent
( I.17 )
"
et le caractère conservatlf de )~i{ CI condlli t à la relation générale
'If ni
, \\" t
,~o' )-0
( 1.18 )
f
VrS", ~ 0 -ci) 'J (
r 0.. I(,.r" -l Ùl' 0. ((-r(' ==
On peut penser obtenir donc un mouvement géodésique pour une particule
neutre si It on peut poser de façon générale
,
T ~f :; (0. t'ro."r -i GL t-"A fr) R)r-v
( 1.19 )
2 - Difficultés liées à l'obtention des lois du mouvement
On est evidemment tenté d'explorer cette voie générale
pour déterminer les équations du mouvement.
Cependant on se rend compte que malgré la simplicité des formes
( 1.18 ) ( 1.19 ), on tombe en définitive sur des identités qui ne peuvent
conduire aux équations du mouvement
M.A. TONNELAT(.t]
• On peut alors
a) soit introduire des termes phénoménologiques
par l'intermédiaire de la relation

---

14.
et les équations du mouvement ne font intervenir alors que ces termes sans
impliquer aucunement les équations de la gravitation.
b) soit introduire la notion de singularité dans une théorie
qui en bannit le concept même.
Néanmoins dans cet te voie, J. TREDER[ t]
a pu ootenir une contribution
non nulle du champ électromagnétique. Des résultats analogues ont été
obtenus par E. CLAUSERlt 1
Toutes ces difficultés nous incitent, pour obtenir les équations
du mouvement, à utiliser une autre voie - extension de la théorie - qui
constitue l'essentiel du chapitre suivant. Cette extension est basée d'une part
sur la présence d'un second membre et d'autre part sur les conditions de conser-
vation ( 1.8 ).

---

15.
CHAPITRE
II
PRINCIPE D'UNE THEORIE AS'fMETRIQ.UE AVEC SECOND MEMBRE
En présence de matière. les équations d'une théorie unitaire
comportent encore un second membre puisqu'il ne s'agit pas en général. d'in-
tégrer aux champs les sources du champ. Avec une solution statique à symétrie
sphérique on a pu mettre en évidence. dans le cas de la théorie d'Einstein-
Schrodinger. l'existence d'un champ qui reste fini au centre de la singularité
comme dans la théorie euclidienne purement électromagnétique de BORN L1. 1-
INFELD L11. Il est néanmoins difficile d'affirmer que l'intégration au
champ des singularités. sources du champ, dans une certaine géométrie. est
réalisable.
On peut donc penser qu'une théorie asymétrique du champ en
présence de matière, bien que constituant une rançon à l'égard de l'espoir
d'EINSTEIN: intégrer aux champs les sources du champ, pourrait peut-@tre
nous guider vers une conception plus claire de la nature de ces singularités.
Soit alors une densité scalaire de la forme
( II.1
où rtt
rend compte explicitement de la présence de matière avec
)
Un principe variationnel appliqué
pour une variation des ~~" seulement
conduit aux équations
( IL2 )
ou bien
( 11.3

---

16.
A -
Identités de S. MAVRIDES • Trajectoires
On peut poser, généralisant la Relativité Générale
( II.4
ll~y est ici essentiellemen~ un tenseur matériel d'énergie-impulsion
et le premier membre fait intervenir gravitation et électromagnétisme par
les ·~enseurs ~.., et
i ~'/ . Notons que les indices sont élevés et abaissés
à. 11 aide de 11"'"
Par contraction on a :
d'où
( II.5
Pour arriver aux conditions de conservation, remplaQons
,,~~ par son
expression dans les identités de S. MAVRIDES qui ont été écrites sous la
forme
( II.6 )
où
) ~
désigne la dérivée covariante par rapport à
et
R~,» e.t
le tenseur de RICCI écrit avec la connexion quelconque
• de ( II.5 )
dans ( II.6 ). Il en résulte la relation
( rI. 7 )
À{(Sf~ +St; - ~ Sn +~ ç'! 1i.~ + ~r ~TH.-sr,:t~~)
· i (rf: t Sf~'4SnT };~:o
Or
(Sr: t Sftt •P f~J;~ : 0
car
L( : 0
( II.7 ) s'écrit alors
[ ~ lt! Tp~ +,~ t TH. - st ~ ,P.~p.] +1ï ".0

---

17.
mais
et les conditions de conservation s'écrivent donc simplement
( 11.8 )
Il se pose à ce stade évidemment le choix que l'on devra faire pour l'expres-
sion de
lr~, , et ce choix dépend certainement du système considéré. Nous
étudierons successivement le schéma matière pure et schéma fluide parfait.
1 ) Schéma matière pure.
Nous prendrons donc
( II.9 )
"'r-
r.,'fi
1
La candi tion de normalisation sera
1 : t
~l':'_
81
Introduisons dans ( II.8 ) l'expression ( II.9 ) de l ...~
. Il en résul te
alors
où
~k
~,.I'
( 11.10 )
{ 2. Jr (1f.5 ,.~ 11.~) - ~~ ~ AoC k l' - Cfr ~O(~ ,.
r
",.
Lt'
0<
Ir t
0
+ L~~ ~ ft( ~ '"
t
~r ~ II( f ~ ~ J ~
En décomposant
Ltl'v et ,,.." en perties symétriques et antis)'lllétr1qu..
( II.10 ) s'écrit:
II.11
On obtient,

---

18.
r\\
En introduisant cette expression de "'r ~~
dans ( II.U ) on obtient
1
;.
;.
~
r
~~_J~<."-~k~ + L\\<.'! ~~
~
\\<'..
+Lf,l' d~" tI.' lt
( 11.12a )
v
lA
li(
r
-lI;! ~~ 1L'''~ -~~J~~~~~ + L~ W1< 1L f=D
Les termes soulignés se détruisent. En multipliant par ~
et en tenant compte de la condition de normalisation ( II.12a ) s'écrit
( II.12b )
• Dans cette expression calculons le terme
t.,l"tt{ ~~!)\\"u:c'
On obtient
compte tenu de
LA. t4 Jt" (, fo( b.f '"1= 0
~r III Il' '}dt~ ~ U.r,~ u.' ~r li.< + 1.<r,~ l<( '", ~{ ~O
les derniers termes étant identiques on a :
•
0(
'{A.t' Il.~ Ul( \\) q
tt'" ~t~ tl' f)r- tL -: - i
~ d~
En introduisant cette expression dans ( II.12b ) et en utilisant une
nouvelle fois l! expression de J r af.!!
nous obtenons la relation suivante
t
r
( II.13)
-1 "'~ .~.. l~ ,~
o/
+1: t!'~ ~~ I/"~ Il
f)
ut'
Lt"
lJ,~l::o
-
tr-
tt:r
Cl est à dire
V\\'4 u.t" -::. ()
•
).
Rappelons que Vr
est la dérivation covariante par rapport
à
L ~ô
Les équations du mouvement ( II.11 ) deviennent donc
( II.14 )

---

19.
en utilisant les notations de M.A. TONNELAT
L fj- );( -: ~o<,x L~fj'
on a
W \\t~Vr u..( - (L fJ'if +L'if,f )
( 11.15 )
Or on sait que
d'où
( II.16
,f
Mais
L r:.-'"
, les équations ( II.16 ) s'écrivent
( II.17 )
\\~,! sont les symboles formés avec les ,~ • ( II.11 ) montre que
les trajectoires déduites d'une loi de conservation ( II.8 ) sont identigues
aux lignes SJ,j,l ;; 0
ch étant construit avec les ~}'''t
Avec le choix ( II.9 ) on arrive à une conclusion qui semble
englober dans une même démarche les notions de lignes les plus courtes et
de lignes les plus droites dans une variété à connexion affine quelconque.
2 ) Schéma fluide parfait
Nous prendrons comme expression de -
l r"
T~.,:: (rt1) ~ "'i ~4"~ \\Lf
( 11.18
\\1.0' -
1t 'Y''' + C~..,
est le tenseur d'énergie du champ électromagnétIque.
a - Equations générales des trajectoires
En remplaçant
~r~ par son expression dans les équations
de conservation ( II.8 ) on obtient
t(r+t)[H~
( r1.19 )
u.4 ilP. + ~!ft ~til.~Jl;r .tp +Hfjl'''' 0

---

20.
ou bien
( II.20 )
On a noté
).. ?;{ t' ;
'M
En décomposant
Lt'f
et ,-< r en parties symétriques et antisymétriques
( II.20 ) s~écrit. toute réduction fatte
( II.21 )
( II.21 ) est donc la forme générale des trajectoires sane convenir d'une
quelconque métrique.
b - Métrique associée et formes générales des conditions
de conservation.
La forme de ( II.21 ) nous montre que la métrique peut @tre associée l ~ri .
Nous choisirons donc comme métrique
a",,, ~ t
K '6"rv
Avec ce choix ( II.21 ) s'écrit:
( 1I.22 )
ou bien
( II.23

---

21.
Or
0
(" l
~ J
{r l
V
tft' / .. - f~ J/r
A
r Ur ')r "1- l! ~JO- IA.~ t
~ est la dérivée covariante par rapport à a.r-'" et [~,,~ les
symboles formés avec a. l' y
•
Les termes soulignés de ( II.2) ) s'écrivent:
LL~ t~r ~f + L{~L-I;t) ~~ -U~ k~}
et le dernier terme de ( II.2) ) se détruit avec le terme
_ KI la'~ 'f") .."L< ~
Par conséquent ( II.22 ) s'écrIt:
..
~r)
~
( II.2i,)
{
b ~ Jr ti.l~t1") +1..\\l"t1': tlA,\\" "1
;. '/Il... U.1~ L-4~ 11
T
+ Ilrv" ILl" +Il! '"(".?rot, fii.t
r
I
~
; [ { : t L-{;rL "t .. J -J f t
fj r} =0
c - Calcul des termes
Pour simplifier la relation précédente, un calcul explic1te
conduit pour les termes suivants aux valeurs:

---

22.
Compte tenu d'abord de
et de
qui entra1ne
..-.-
4
,[ c1
... J(
soit
....y
~ -
-
-
1"
d - Equations explicites des trajectoires
Munis de tous ces résultats, les conditions de conservation
se transcrivent, après multiplication par
)
l'!\\
(~ I~t~)) t ~ (t'tt) ~f 0, L,kt ... :i (~tt)
( II.25 )
tli. .Ir K' i T .l..\\('
1
k.'
_~,l~t~' ,.1')rL,t' +1(1"+1') \\,ll~r l.,fo/1
_ \\c.f')r}t + ,.' r,(jt' J=0
ou encore
~ (1. (r ~~) IIt') - ~I'~r X + ~l{r-t 1» ~fi> L~ ffi
rl~.
K
-l}K (l't~J ,hrL.,.l<t + It.t Cr;r =0
I
que l'on peut encore écrire
A-
L
( II.26 )
"tJ (K ~ ~ \\J1 +'rI llJ4 J ..
~rotl r
1<."
ou enfin
( II.27 )

---

on a posé par définition
Pour
k -: i
on obt1en t de suite les équations habitue 11e8. Si l'on suppose
aussi que le tenseur d'énergie du champ électromagnétIque
~~~ est nul,
( II.27 ) donne donc l'équation de continuité du fluide parfait
Vr [\\t" • t) ll.~J - tt'" 9r Jl ~ 0
B - Remarques sur les identités de S. MAVRIDES
Effectuons dans les identités de S. MAVRIOES ( I.8 ) le
changement de connexion
on obtient comme on sait
( II.28 )
avec
( 1I.29 )
En introduisant
fZ~.., donn~e par ( 11.28 ) dans ( I.8 ) on constate que
f4. 6-
6'" t' n
St" 0( ~ p 1
2
(1
f\\
C~\\?
t.l
( II.30 )
't ~ ~ .. t
at - r_
-
r ~'t • a( Po : :: ï= rfy',1r a
d
f--
d
~f-t
-+ -)~
v.~
,r,
..~ ~
.., r"R.
Jf ~ , "%. 0
si on part de la densIté lagrangienne SJ
tt y •
!.es 'identités ( 1.8 ) sont donc valables pour lir- v .
C - Conclusion
Nous pouvons conclure au suJet d'un aspect important
qui est
le suivant : 11 existait dans la défini tion des traJecto:1res une oertaine
ambiguïté liée à la définition des géodésiques affine et géodésique métrique
obtenue par

---

24.
et
qui conduisent respectivement à
et
Cette amblgutté, pour les trajectoires d'une particule neutre se trouve icl
levée.

---

25.
1
CHAPITRE III
sowrION EXTERIEURE A SYMETRm SPHERIQUE.
EQUATIONS DU MOUVEMENI'.
A - Equations du mouvement et symétrie sphérique.
-1.'"
1 - Forme du M
Nous adoptons comme forme du
~~
( II!.l )
où rllt.l et 'flo\\.) sont fonctions de At seulement.
A l'aide de (III.1) on peut calculer les symboles
qui
ont exactement la même forme qu'en Relativité Générale.
Boit:
{L~.}" ...,'.. 2l'i·~)
1
t:~i'~'
t\\i'f~\\~'Il<._ttlrA>-\\9
•• T"
)
{~~. l':. ...,'
l\\~l' ~~f/...& t.~t·VJ ~
V~t" -~9
•• J
Avec la solution ( 1.9 ) de PAPAPETROU, on peut calculer explioitement o••
expressions des symboles.
En effet
_ ,....
l
1"" _ -<
e 1~'1._ ---.
(.~,.
2 - Formes des traJecto1res.
1
Au lieu d'effectuer un calcul explioite d. toua le. t \\
nous déterminerons seulement les quanti tés nécessures au oalcul des t'orma
des trajectoires.
Les remarques des paragraphes ( I!.A a ) et ( II. C ) noua
permettent de déduire les équations de la condition
( 111.2 )

---

26.
qui est équivalente, pour une particule neutre à
( 111.3 )
La résolution des équations ( 111.3 ) est en tout point semblable à celle
que l'on déduit de la Relativité Générale.
On est condu1t aux premi~res conclusions suivantes
• pour f:' L l'équation ( 111.3 ) donne
t!l&
1 4!- 4! _ ~ 9 en1/ (!!)l:. 0
W .. ~ di) ~
\\/».
Avec les cond1t1ons 1n1t1ales
9•• ~
(~J,:;O:r,) c.e.:;Il et ~~ ~ 0
ou
ft ":. ~ . Le mouvement se poursuit dans le plan 9-~ ~.[
COllllle en
Relat1v1tt Générale.
~
• pour f'" 3
(III. 3 ) donne alors
ci] t!: 4!l $~O
lM ~
'te
cl.1
fiLIi
f
• pour
~ ~ l'équat1on ( 111.3 ) donne:
r.t l~ (i- ~)..i - 1C:." (-t t r)-tl~ ~:O
d,.,""
c.z...,,.~
e~"
JtS;
It.'"
dA ~
L'intégration des deux dern1~re8 équations donne
dl-
[l'A l,..
_ ': ~ ~- _ )_l ( {'f ) ..
-1+_
i.J
( 111.4 )
~
-r
\\ ~1.T
,..'4
sont des oonstante. d'intégration en i
; ~ ~ !
"
et
1'"
c.,
,
(,
• pour1"'C -i.
• Il suffit d'lntc§srer la forme ( 111.1 )
dA~~ _f.1 - ~ )- 4.hoa. _ ~}. (cl11'"f ~"& .I~ ") +{,f, - ~ )(t't!.:),ld,t'
..
(}.'(
\\
t"r
~
Eliminons
di et cM de ( 111.1 ) en tenant compte de ( 111.4 )
1
r t
(t .. ~ )\\~
\\
c,"'-r,' \\

---

27.
on obtient
en différentiant par rapport à
~ et éliminant J. \\4
~
t
~~
( III.5 )a
~ tU
t
<'C'lt.l.t"f
(A.."J
-::
"" t-~t
_
..
-
4~1.
~l
(.,1.
l1..
(1. tt'''',~).z.
et
(b)
,\\L ~ :: ~
dJJ
(,
Les équations ( III.5
sont comparables aux 'quat1ons de NEWTON
3 -
Avanoe de
périhélie
Prenons pour le demier terme de ( l1Io5 )a
la quant1W
par approximat10n. Ce terme est en G t
La 80lution de l'équation de NEWTON est
lt.~ ~ (-Lot ~ ~(p-...,)
t~l
1 ·
en posant
Il'\\
A
_
• Alors le par_tre 1"
et l' excentr10i t4 t.
t,\\. ~ t
de l'ellepse sont liés aux dem1-axes par
f': 0. (i. ..c,1)
s01 t
t t. ':. (k ~ ( -! -et) .
D'autre part, le terme supplémentaire doit 8tre petit

---

28.
')
2. 1 \\ D4
'3
,,<
l.. C.
.k,"\\.
l.L
'-
----..--
-
{.."
Cherchons alors une solution de la forme
U. -:. L (1.+~tu")~)
t' ~
avec
1- -; ~~t -l)(~ - Cu)
L
de carré négligeable.
}' voisin
t
• La variation de la
longitude est
Sw ~ ~(~.IQ) •
En portant
\\4
(IIL5) écri te ~ l'approximation, 11 vient
alors :
,~
~
1 . . f
1
~... {
l
tt L'i (1
)
~ ({_~) VAX- + - + ~ ",..,.. -= _ t·- t .. (~~) + _
_ -tttm'
-t1\\
t'
t'
1"
c.1.t'~
.llt'\\
t
t
en nésl1geant
~ et les termes contenant t
on a par identification
~
A
:
t,
1
,
\\.C~
J
l.
G
IJ
,te. f.
t x ~ t (.
( IIL6 )a
7" t ltll,
t l.tl ~
~ ": 1 t ~ t le..t~tt~
(h)
}'
t
Cr f
+',
1.
L
t 't
Ces équations donnent par app~oxlmation
:t: ":. i. t ~ l' lc.~ltt4
(a)
t'
~~t
llt~
( 111.7 )
(b)
~ ': ?>~ t ~ C.\\. l" t \\;
(,'1.1"
.l1.t '"
L'avance de périhélie, par révolution étant
lil':. Ar
6Jt c,l{tt"
~
sx""
( II1.8 )
~ ~ c,~ ~ti.-t~) t ~1.41.. (1._~)1.
1..
et le terme correctif est en c..
!
Quel est l'ordre de grandeur du terme correctif ? On peut
faire une approximation à l'aide des paramètres
~ et t ..

---

29.
l
• Posons
est supposé très petit et A.~
c.~-'
pour un électron; alors le terme correctif s'écrit:
~1l t~~4 ~
l t A.\\ ( 1._(.\\) C" ~4
Cett e expression est en
,.-"
~
et peut certainement @tre négligeable.
2
• On peut aussi poser
le terme correctif s'écrit alors
É·/~i[ ."
.ll.(1_.t') e,t.".
I l peut @tre de l'ordre de gra~deur du premier terme
~n ~
3
• Supposons toujours
Pour
~ très grand on peut prendre ..f:~ ~ 0
,
le
k \\.. e8t
,.....
alors identique à celui de la Relativité Générale et l'avance du périhélie
est donnée seulement par
Il serait de même intéressant d' examiner le cas où Â--rc.w
•
Hormis les détails techniques, il se pose des problèmes physiques qui peuvent
rendre confus cette investigation.
4 - R~ons lumineux. Déviation.
S1.1'on considère que la particule d'épreuve est un photon
de masse nulle, les ~quations de sa trajectoire est donnée par ( 111.5 )
mais ici
Ela ': 0 ce qui entrdne ~ ':: tI> et l'équation relative aux varia·
tians de
U
s'écrit
( III.9 )
Cette équation est identique au cas de la Relativité Générale.
On sait alors, en passant aux coordonnées cartésiennes que
L'équation
(111.9)
a pour solution

---

30.
( III.lO )
le dernier terme représentant une déviation des photons par rapport à la
droite
't .... R
•
les asymptotes de la trajectoire forment un angle ~2 ~
tlR
B - Equation du mouvement d'une particule chargée.
Dans cette extension nous avons posé
Sy-..,' It"" -i ,,,... R-.: -;>. al'''' +TI'''
( III.11 )
ou
( III.12 )
Cependant nous a~ons aussi la possibilité de poser
ou
( III.14 )
A quels résultats arriverons-nous alors?
Rappelons que les équations de S.MAVRIDES pour lfr~ aont
( Ill.15 )
R&1ARQUE
La relation ( 111.15 ) est auesi valable dans le caa du
" système fort Il dédu1 t d' une dans1 té lagrangienne avec un mul t1pl1cateur

---

de LAGRANGE comme indiqué dans le paragraphe
l.A 1 0 ).
Partant. de
on obtient les équations de liaison
..
..,
.
a~~-~
c,
~." _ AIl
rt
lI,
r,f
a
:a
/ f ~
't- il lT j
f. .J. ~ (" ~
rI
il'
\\.J
• l
ou
" ('( ~
l~ .. l~. f
l ,
, j
est la connexion tel Que
1:.;> • 0
i
-
1
D'autre part on a
/'"'
f ) r
.: r" {' ~s
(0
~U:. - - f '1 '
j
3 '<'J
Conditions d'intégrabilités de 6ù
On les trouve en formant
®
En expl1cl tant cette équation à l'aide de G)
on obtient tous calculs fai ta
~
Ai
... '1
)..
l"
of
l'
' / )
J
r'li
\\
~ ~r{ ~ t- R. l>'f ~~ ~ (f6" a.-H - Sf ()..-,~. -+ i ~ et'Qr'J('f
I{,r,~
.. t ' Y )
-+ î \\ J fi
Il''')r
lA.
6. 4,,.
\\
i
On a appelé
En multipliant
et en solMlant on trouve
,
__ Il,..
1.
Relations de BIANCHI
On suit la m3me démarche que dans le paragraphe ( I.B 2- ).
Ici les équations de liaison sont
lA y
- è\\
Y
1
tt-t
J Ji'
j
,\\
~ a., - - ~
';f~
r
J,.
ltf
U
\\
l
On rappelle que

---

I~s équations de BIANCHI sont exactement celles que donne
S. MAVRIDES - bi.en que
1.- Equations du mouvement d'une particule chargée décrites à l'aide de R~~
Avant d'étudier la seconde possib1lité notée, cherchons à
déduire les équations du mouvement de la première possibilité en posant
( III.l6 )
i;
En introduisant cette expression de
r... 'I"
dans les 1dentltés de conservation
sous la forme de S. MAVRIDES ( II.6 ) on obtient:
~
\\
r ... \\\\
•
4
r<
_
jo" " --l.:{ ~-: ù. lA., t 11r.. \\,(,., If - S/ t t~ \\l.( kA
( 111.17 )
/1. Jr.
Jft
.
r·
l'
~
.;
f
-.
i'\\.
\\+
j
l'
{
+ i 1+! 'Il U
4' ~ P.. l(
S ~ 1!t!. 1J.. \\A l. : U
1
f- ~ 1 T
~ ~t ~ f t
~ ~ j j r
En posant
On a :
On vérifie alors que
ÀLSI: ~ Sr; · 45(Jil" 0 f- \\lr <0 )
(t~'!.'t, lLv't tir.. lt.,lJ,+) -: lw.r~ru./t l. u'r v(14t'
• .
1-
-
i
\\
1
l
If
étant la dérivation covariante par rapport à
~l".!
.(f~~ ~r·1l ~ + f- -;~~ tl.~ ~t.) ~r ~ .. 2. i r' ll., 14,
et l'équation ( II1.17 ) s'écrit
( TIIolS )

---

Or 51
: r
L rJ1
( III.19 )
On peut comparer cette équation à celle d'une particule
chargée en Relativité Générale qui s'écrit
U}" Vr U~ -: .. J ~{t' \\4.r
t'
Le deuxième terme de ( III.19 ) peut alors, par analogie,
conduire théoriquement à une expression du tenseur d'impulsion-énergie. II!
cha~p éleotromagnétique se présente sous la forme d'une combinatson das
tt'1 et l~J
2. - Equation du mouvement d'une particule chargée décri te à l'aide de "lil''' •
Partant de la nouvelle relation de S. MAVRIDES
(1II.lS)
[~lt~ 1,r Jo 41 ~ 111
JI \\' a,{bar
]
.
t
r: f) (,~..:'
4
WF~ 1 d
"'l ft"
f d
wi~)l'· Ç',. fV r <r
introduisons l t expression de 1'1""1"" donnée par (Ill. 1~ !
En choisissant
et la condition de normalisation
t·.
,,'
\\1
d , J' 01 'Py tJ. tr. ~ rt
l'équation s'écrit simplement
t i 11lr ~ f.1 L\\I.~Jr .."+ {~r1
..~...r
( 1ll.20 )
Les calculs sont en tout point semblable
à ceux de { II.A.a } •
D'autre part, on peut éorire
.,...-1
r/..Y
ql"'~ aV
( I11.21 )
(j
a
~ .
\\
..,
j u.
est défini comme courant de convection et J
e8t la den81t~ de
charge.
On a donc en définitive l'équatIon du mouvement d'une parttoule
chargée sous la forme

---

..
34.
( III.22 )
Les trajectoires peuvent se déterminer comme pour le cas des
particules neutres.
Cependant on fi
r, i 0 0
,
avec
() i.))
Les tra.Jectoires différentes des géodésiques de l'espace
de RIEMANN
i"r~... ) sont définies par
t
cA. t l.( -+!.l "l
( III.23 )
tl~l
i
te terme supplémentaire est linéaire par ra.pport à J
densité de charge.
Par ailleurs on peut lier l'équation ( 11I.22 ) aux g~odé81quea
d'un espace de FINSLER déduite de
S jJ..l' ':: (J
J
avec
( III.24 )
1 le r&le
Cette représentation fait jouer au quadriveeteur
d'un potentiel électrique.

---

35.
CHAPITRE
IV
SOLtrrION INTERIEURE
l\\. - Les équa Lions fondamentales
l - Forme générale des équations du champ.
Plaçons nous en sym~t~ie 6phé~1que; pour écrire les équations
du cas intérieur. on formera celles dt.?rivant de
( IV.! )
Nous supposons le tenseur fondamental
statique de la forme suivante
d- rll
_e.t.\\
C
0
e~
~
0
()
( IV.2 )
0
f'(.
- '
~"Y ~
dr
.. 't~.~v.:~
Q
q
0
l .. t~
v
0
0
~
Il suffi t donc de résoudre les équations ( IV.l
sous la forme
.,
'.,1
(
\\" IV.3
)
{ Sr ~ 3-r S~~ • X- Ïr
r~
~ -r
514 ., ... j St # ';
1-1
où
)t"v"1 R. y-~ .. i ~ rw R.
et dans le cas d'un fluide parfait
Tr" <1+ t) (j r-:ll ~ ~ ... 1l.-<~r .. t ~1""
"t'v est la pression et J la densité. Ce sont des fonctions de Ir/
\\
En explicitant, les deux premiers et seconds membres des
équations ( IV.3 ) sont liés par les relations suivanteS

---

-
.36.
~ 4
~ ~ ft
4«-
~i
:
ct
lit t d
R.1l
l'l. 'l )
....S~
Iï
i
I~ rz
:
~ R~l t 5 4~
\\
\\
.,. 1
Tl, ï~ _ T 1, ~ T~ ::.T ~ ... _AI.
!
1~' " ,.., 1.
~
1. -
, . t'
\\ . l'
(
'4
't
~
:).
'~.j.~; j"
;,...'1' ~ i-lt,
~ \\
4
.';'
( Il,,,
"
Les équations ( IV.3 ) donnent en définitive le système
1 (l.;
'5 .L_
Jo
-
( IV.5 )
-:.
'(
• P
.J
s Q
Notons que
( IV.6 )
a) Réduction du système ( IV.5 ).
On peut montrer que 11 équation ( IVe ) est superflue. Ela effet
formant - ( a \\ + ( C ) • On obtient

---

ou bien
1.., (~tt)
"..,'
.
mais d'après la relation ( d )
a, It•.~ • \\1 n
11 .:'.
7\\'-- ~
"- t. t -
~ K.u
~~
a
,
l4
C
c! (~Et à dire
l~
/1
4--
V3" 4
lmpl1que
()
ou
C,' cui flOUS ctonne donc en c'éf1nitl ve
'"I.~
ql
1
\\
(
t' R'\\4 + j'; Q!l: 'f jtt) #-~
~lt~
I,'équation ( e ) est donc une simple conséquence des équations
(
Ho
j
f: t
( e ) f:t les :"eul~s équations significatives sont donc ( a'). ( b ).
( c ) et
d
TJe l 'aD p~ut encorp. écrire en introduisant l'expression
( Iv.6 ) de
R.
b ~ Porme des équations du champ.
( IV.7 )
n
n
La qua.trième équation eTl i', i4
sert à déterminer 'lt
en fonction de J et t ·
Elle permet aussi d'écrire @'
sous une forme utile
( Iv.8 )

---

·
2 - Re l ation ct' équUi ore génêrale.
Pour maintenant établir une relation d'équilibre suivant les
méthodes de la Relativité Générale on égalera (D'et @,
et l'on
comparera à la relation
!~L ,,:,lant
(D'
et @'
on obtient
Il R
t~ rI
( tlt) t
) R
0
~
Il''' ~ ""1.1. t '1 ;'11 J ~~::J 't
Les équations (D'
, ~'
GJ'
..,
• cette
J
font intervenir les
et
dernière intervient par l'intermédiaire de
r'
(l
.-
,
t
f">'ffl,J 11 .t p'
IV.9 )
~ IlJ ~ 'W lb ....... " .. - ~
+ - - -
L -
- ' "
1.
1,
,
~ "! ~
~
3 J
3 "
3 - Equations explicites relatives au cas intérieur.
Après ces considérations générales explioitons les différentes
équations (primées
). Les
~ ~V
sont donnés par PAPAPETROU [i J ·
Un calcul assez long conduit aux résultats suivants:
1
)
\\
..1-
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Q.-
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1.
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3.i ~O]
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~
~

---

ou après simplification
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1
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'1"
( IV.I0 )
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2.
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~.t.
Il.
~ .•'" - --t
~
h -
tv-'-
J
"1
Nous donnons pour les formes explicites suivantes directement les résultats
après simplification :
}
(Jj'{[!i +!'(/_>.\\ -1 (A'_/11 ti ~ lt.((,lf- -~i)
( IV.12 )
1.. - '.2~ ,
Jt, llA. ""1
-~. ~4f~-t~ -l ttt->'·~(1r't,).1 t~...J_~) J ~ X1'-
et enf1n (2)'
s' écrlt de façon explicite
,
( IV.I})
Œ

---

'+v.
Prenant ®Il
à la place de ®'
le système ( IV.7 ) relatif au cas intérieur
s'écrit de façon explicite
,;
\\,
~
1
l r~
'\\ tI ~ ,
\\", ".. - .
;'n;;- ';-c: '"
:
,';lr:,<
J.a rplation d'équilibre sous forme explicite,
ajoutons mem'c:-'A
' .:
'.,
..•;.:,' ".:' -{
®
()'IS
et
Q:i) du syst~me ( IV.14 ).
On trouve :
.'f .•. ,'!.
./y~.. ":';'.: _~ 1-- 1. e~f"3.À ..2..,
L,;.
::
At
1,\\,
h ... .J
Ir..
( IV.15
Par ailleurs en faisant @ + @D on trouve que
f,"~(
fl,"')L J~rt~·)
l
"
..~!) ..~!lf").."]:.~(jtt)
( IV.17 )
... -
"1-)\\ 1 -+ -
L 1":
~
If.,.
't,.
"
ft.,
0'"
Dérivons alors
0 et ajoutons à @ . On aura

---

( IV.18 )
On a posé
0"1" '",ont on snit que la condition Of ~ îq ~ D • toujours valable A
l'intérieur est satisfaite si
t
"'1{ -
~ G"
t~
• _
I\\."+t~
c'est à dire
~ 1~ -~.v _ 1,~
- 1\\,'4+t~
suivant les notations de PAPAPETROU. Avec cette expression on vérifie
aisément que
par conséquent on a les identités
et
On vérifie, d'autre part, que le terme entre parenthèses de ( IV.l8 ) est
de m@me nul.
L'équation ( IV.1B ) peut s'écrire alors
,
( IV.20 )
t 1(t +j) ~ b
4 - Les équations fondamentales.
En tenant compte de
f ~ [~tf~i'-:i.] =
'V\\,
1(..
nous obtenons finalement les équations fondamentales suivantes :

---

42 •
( a)
Q,-~ ~L ... i') ~ tlt ...>
l-
e..
-~ ~ -~ t
't,1
If..
-
Jl,"
,ft,"
ft.~+t'4
(b)
)
( IV.21 )
.1- e,-f. 1
' )
• A
.. - \\ -- !:... -1- +/\\
-: -/-.J
/(""
,~
\\. "l.
,
(0)
~ tI(}+!\\
-:: 0
d..-\\.
Nous avons introduit un terme cosmologique Il. Les équations précédentes
rappellent beaucoup celle. du cas intérieur de la RelativIté Générale. Sauf
qu'ici nous avons supposé que j: 1(~)
. Les équations ( IV.21 ) peuvent
aussi se mettre sous les formes différentielle et intégrale
suivantes.
On a posé
Q
....3--
:1
ft!
Forme différentielle
Forme intégrale
-l
1
....
~ lU
1
...
,
,
1
"l'
J
~-Jrtr.Lt.
lq rr,:
ô
~
f' :
- --
-e.
l
II'"
C
"'" R","/a. ... C. r .eJ)"'f'J~

---

B - Résolution des équations fondamentales
1 - Solutions particulières.
a ) Si l'on suppose i -:. 0 et que l'on se donne l'équation
d'état
/.A '"
~" '" ete
l
on retrouve alors tous les résultats de la Relativité Générale. Noua suivons
par là
TOlMAN [1 J .
Le
~t. prend la forme :
t
( IV.22
/,uL" _ ~:_ _ <t' (4h,\\ 4"""& .If) +fA- s v~t] J.tt.
t -
,,,'tJ
[ "
Avec :
~ Ir
3
1
1.
~
t'P\\, -.
-
~;'"
R : -
~
~1t ro
On a supposé
À ';J 0 • Ir,1 est le rayon de la sphère de mat1~re avec les
conditions
b ) Si nous prenons maintenant l'hypothèse suivante à l'intérieur
t:: 0 avec l'équation d'état }4 ':: t'•• di. . On peut tenter de faire le
raccordement avec la solution extérieure. Les
~Ill ~
et
'Jf ~Il ~
étant
continus au bord
•
On a les égalItés suIvantes
( IV.23 )
( IV.24 )
au point !t,1
et l'égalité obtenue par dérivation prise au point j~l

---

44.
Le calcul
( IV.25 )
C rV.26
On a posé
Par ailleurs la solution
( IV.27 )
Les relations ( IV.25 - 26 - 27 ) définissent dans ce cas la
solution intérieure.
Or au bord
la condition
entratne
Il Y a donc en général une incompatibilité entre les conditions
}f(~')' 0
\\~..)'...\\ ,\\~..l'fA<r
Sauf evidemment 51
Cette condition se traduit par une relation entre la masse et le rayon du
corps considéré
( IV.28 )
Devant l'incompatibilité des conditions

---

Il est possible de supposer que la pression ~e s'annule
pas au bord mais seulement pour une distance
It. p différente de IL
~p est alors solution de
II-p ' P.' (L ~ ~~ )
dépend de
, de
f
et de ...t .
2 - Etude qualitative de la solution générale
a ) Dans la résolution des équations ( IV.21 ) où l'on suppose
t i li , Jl'0 et t l't) , on se heurte en premier lieu à la difficulté
suivante: pour
Il __, 0
' le premier membre de l'équation ( a ) tend vers
l'infini, et par conséquent 1t'l,} aurait donc une singulari té au point A,,: ()
ce qui est physiquement inacceptable.
Le fai t que
J dépende de /'(, n'arrange guère la situation
et la ronne formelle que l'on peut obtenir pour
e,)\\
est difficile à
utiliser.
b ) Equations fondamentales et conditions cosmologiques
On sait que pour obtenir les différents modèles d'univers
homogènes et statiques, il faut nécessairement imposer certaines conditions
aux équations fondamentales ( IV.2l ).
Primo, la pression, mesurée localement, doit gtre partout la
même pour assurer l'homogénéité.
Secondo, la dens1 té Jn" Jh..> doit
être constante partout
pour être en accord avec le principe d'homogénéité du modèle d'Univers.
Tertio, pour un domaine limité - donc ~ petit - les effets
du champ de gravitation sont à négliger et la Relativité Restreinte est
valable.
Alors trois possibilités sont fournies par
( IV.29 )
1-
Le modèle d'EINSTEIN
,
Ce modèle Suppose
~ ~ 0 • L intégration de cette dernière
relation jointe à 1a troisième condi tian cosmologique donne
\\) -_ 0
Par conséquent ( IV.21 ) (a) donne

---

46.
e -/t Li + ~ t y l ~ 1. -fJ\\ - X. ~o ) Ivt
( IV.30
1\\,'t4- C' J
r
Si pour
i\\. ~ 0
À -"".> 0
, on doit avoir
t -::. ()
On obtient donc le modèle d'EINSTEIN conforme à la Relativité
Générale.
2- ) Le modèle de DE SITTER
• L'équation (b) s'écrit donc
On considère
11'0 -1 " -:: 0
( IV. 31 )
i: \\ .,,'-+ Xl + !i~ _e..- ~ ":. C>
ft:,
1\\,
Ao'Lt VI
Pour les petites distances
h -) 0
~ et .." _, 0
. Et l' orr doi t
prendre t~o . On obtient de nouveau, le modèle de DE SITTER fourni
en partant de la Relativité Générale.
) - ) Modèle de la Relativité Restreinte
r
Dans ce cas
y -- Q
On a alors
~-;>."::.~
Le
~\\ est celui de la Relativité Restreinte.
Cette étude indique-t-elle
- que la résolution des équations fondamentales doit se faire
en considérant t. ':. Q
à l'intérieur de la masse comme nous l'avions fait?
- ou que les modèles statiques ne se distingant
pas de ceux
fournis par la Relativité Générale, le véri~able intérêt consisterait à
étudier les modèles dynamiques ?
La seconde idée est certainement la plus intéressante et pour-
rait du point de vue cosmologique conduire à des modèles dynamiques
différents de ceux fournis en partant de la Relativité Générale.
c ) Forme approchée de la solution générale
Nous nous proposons de résoudre les équations fondamentales
dans le cas général
t-:. Q
1-: r(~)
!;: ~ ("-)
Il semble résonable de postuler :
- au bord ~-:- 0
et
j ~ J<)~ ~li
":.
- ,,"- et . " sont finies à l'origine
j ft..
\\
-
et
.
f
sont des fonctions décroissantes de /t..
1>>

---

Sous ces hypothèses
peut s'intégrer une fois par parties. En majorant par une constante (
la partie intégrale sous le sl~ne r
et
en
considérant
IL --?> rJ
prenons alors
C -:. 0
-'
On a à cette approximation
( IV.33 )
De m@me on peut calculer
i
et
t
En introduisant
IV.33 ) dans ( IV.21 ) (b) J
satisfait
à l'équation différentielle
l
1
"t
-RtlJ- - f r-:.i)
<J
4
J ~
qui admet la solution
et
au bord
En calculant les constantes
A et
B
à l'aide de ces
dernières relations
on obtient l'expression suivante pour jl'\\.)
( IV.:l6)
J('L): 3~ t(1"\\- ,,~' J..) 1(; ~ 1'lA +j.. - ~ tM- ~'r-.)
Le paragraphe
c)
en effet l'approximation dans ( IV.33 ) est tout

---

CONe LUSlON
GENERALE
La théorie que nous proposons,
est ainsi une e~~ension
de la théorie unitaire d'Einstein-SchrOdinger,
qui généralise la Relativité
Générale.
Elle emprUnte à la théorie unitaire d'Einstein-Schrodinger
son cadre général constitué par une variété affine quelconque munie
d'un tenseur fondamental
~~." et de coefficients de connexion rf\\~
tous asymétriques là la Relativité Générale sa formulation des équations
fondamentale s
formées d'un premier membre géométrique et d'un second membre
phénéménologique.
Nous avons rencontré dans la théorie unitaire d'Einstein-
SchrOdinger des difficultés qui semblent provenir pour une grande part
de l'arbitraire qui est à la base de tous les choix : des grandeurs
t .....;
géométriques assez différentes comme
ou leurs com-
'6' r-~ 1
binaisons peuvent,
suivant les cas,
être interprétées comme métriques.
ot'y
'î
De même
t l , ({' \\d 1
\\ •.
'1'../
ou leurs combinaisons sont aussi
susceptibles d'être interprétées comme les champs.
Cette liberté de
choix a permis évidemment beaucoup d'interprétations, bien des argu-
ments pour justifier un choix suivant le cas étudié.
Et des résultats
importants sont acquis.
Cependant, nous croyons que l'espoir unitaire d'une métrique générale
ou d'un champ général n'est pas pour autant confirmé.
Bien sar,
son
principe général est d'une grande simplicité et d'une
logique élégante.
Mais son formalisme conduit à une technique sinon
pénible, du moins ardue,
où le jeu technique d'investigation cache quel-
... /' ..

---

quefois pendant trop longtemps le sens physique.
La géométrisation complète de la nature montre ainsi toutes ses diffi-
cultés.
La Relativité Générale se base sur une équation dont les
deux membres sont aussi différents que le "marbre du bois".
Elle se
présente donc moins esthétique que la théorie unitaire et logiquement
moins satisfaisante.
Mais elle est pourtant moins sujette aUlC choix
-~.-..
arbitraires.
Son second membre
(
i \\..,'" ) bien que dérivant d'un choix
1
est directement inspiré des théories électromagnétiques modernes.
Nous avons voulu ainsi allier au cadre général proposé
par Einstein, pour décrire la matière et qui ne semble rien négliger
dans cette description,
la présence d'un second membre dont les
caractéristiques pour de vastes classes de matière dans leur mou-
vement sont pour l'essentiel connues.
L'étude du système fort ( F ) dans la théorie unitaire
nous a guidé.
En effet,
le système ( F ) n'est pas consistant: la
condition
r
dans les équations de liaison est incompatible avec
lIr f
la solution
~
qui eux sont dtHinis à un quadrivecteur pris par
les
équations
Et dans le cas particulier de la solution statique à symétrie sphérique
de Papapetrou,
ce quadrivecteur a les composantes
o
o
_ ~ ft"'.t t + t )l
<,-
.~
':t./~
'w'
V
et peut même jouer le rôle de potentiel électromagnétique.
Il a fallu,pour rendre consistant le système ( F ) introduire un multi-
plicateur de Lagrange,
donc partir d'une densité lagrangenne
... /' ..

---

Alors les équations du champ,
avec la condition
{1f' -.. 0
conduisent
à de nouvelles équations de liaison.
1.
~ r. l"•. rJ,.
.4Î. r -:a
_
:::
)/
IV
~
l<j
,1
Les identités de conservation de S.
Mavrides restent inchangées.
Cette situation nous a suggéré de partir dans la théorie proposée
d'une densité lagrangienne
1
\\
1
:'lV,"O
2\\f
,1'n'l
r)
J
Li 1
ï\\.~
-
.l\\
-1 • "11., "liA"',
y
IJ
\\. fil
' i
l"'{,. ':
~.
~
..
~
qui introduit donc essentiellement un second membre matériel par
{\\il
l'intermédiaire de ,ij\\
Les équations fondamentales dans cette
''-''
théorie sont alors
-SfY .... _.À~~., i-T"v
'v
est le tenseur d'impulsion matériel.
rWi ..... R\\~y - ~ ~,..'I IL
n'a pas la symétrie classique de la Relativité
G;~érale.' Il:~ est de même de :s'~; ~ Wr" - l :jt'/1(
Les équations du mouvement des particules sont alors déduites des
identités de conservation de S.
Mavrides.
• • 1\\"
.- r' .' '"1
71r
IV
+:,
li y \\
- J, ~,' '" ~ ~ "';> : lA :
"
... ,;
. '
~!·.JJr'
~"'(1
On obtient ainsi,
pensons -nous,
une théorie où
'"
l'arbitraire est plus
restrèint que dans la théorie unitaire,
bien qu'on ait à faire un choix
explicite pour les
,""'1
1
.
La définition des géodésiques n'a plus d'ambiguité malgré l'asymétrie
i' {
des
; II 'f
tout au moins dans le cas des schémas matière pure et
fluide parfait.
Par ailleurs,
on peut trouver dans une descrition effec-
, des équations du mouvement d'une particule
chargée,
sans avoir recours à la notion de singularité.
D'autre part.
nous avons essayé.
au niveau des expériences qui sont
fondamentales dans toutes théories physiques.
de présenter des équations
qui rendent compte de l'écart de la théorie d'avec la Relativité Générale
... /' ..

---

il est surtout apparu dans l'avance du périhélie des planètes un terme
supplémentaire (après approximation)
.~.
,
~LDl.I
\\»)(
C ~
1.-
"7-;--;:-; - -:-Î\\i.
"h
(.1.
i:"-- (
.'
qui pose d'une part le problème de son ordre de grandeur,
et d'autre
part des relations qili. lient les paramètres k,
l,
m,
a,
entre-eux ou
1
avec des grandeur s connues.
Si l'on choisit
t::..!. -f p
ou
\\.fJ
est le rayon de l'élection.
_,1,
'1
"1)'>,"
L
le terme supplémentaire est en
par conséquent considéré comme
_2.
petit par rapport au terme donné par la Relativité Générale qui est en C
La théorie offrant la possibilité de définir une solution
intérieure nouS avons cherché à l'établir dans le cas statique à symétrie
sphérique.
Cependant,
la solution complète et générale n'est pas donnée.
Cette solution intérieure est régie par le s équations
f1\\
1
-Î' ; ,4
.' l ,
~ t 4 €- -\\
X.
l:"
:...
e.
\\-,,+- 1-
- -
-,... -:. -. f-
"(1.
. Il,
T i
i.'" A.'i+t\\l
j
\\
1
,1
.1
®
1
Je
\\
~
+ ; \\
- ;&. y- ---
. \\
~ x. p
'(
ït...,
.)
,t-?
i
\\
,.
;'~
"1
+
! l' tJ 1
-:. v
\\v
t't.-
- , ,
'-~
1.
1
qui ressemblent beaucoup à celles de la Relativité Générale mais en
diffèrent notablement par la présence de termes divergents et le fait
que J
dépend de r en général.
Les problèmes de raccordement avec une solution extérieure du type
Papapetrou posent des problèmes techniques d'une part,
et dlautre
part physiques,
intéressants : la pression ne serait pas nulle au bord
de la masse pour rétablir une compatibilité des conditions de raccor-
dement.
La valeur pour laquelle la pression est nulle ~era donnée par r p
At
f) l
i ~
~'"
;"- - --
... J. ..

---

A et B sont les constantes que l'on trouve dans la solution intérieure
J .• t
r
.---- l~ll
JA\\'1 -~
t1rd&\\A~l.êd~l) + LA - F>VI-'t){lJ o.t
-1. ~ t....Jp.. "
obtenue si l'on suppose le = 0 à l'intérieur de la masse
Si certains résultats semblent être probants comme
l'avance du périhélie. il y a évidemment une foule de choses qui
nlont été qu'indiquées et nlont rien d'achevées comme la solution
générale du cas intérieur et les problèmes physiques connexes.

---

BIBUOGRAPHIE
BORN et INFEID
1. Fondements de la nouvelle théorie du champ
( Proceed. Roy. Soc.
A, t. 14 , 1934 • p. 425
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théorie unitaire • ( C.R. Acad. Sciences
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2. Une théorie du champ unitaire avec
( J. Phys. Rad.
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CARTAN
1. Sur les équations de la gravitation d'EINSTEIN
( Soc. Math.
fase. l, 1922, p. 141 ).
2. Les espaces à connexion affine et la théorie de
la Relativité Générale ( Ann. So. Ec.
Norm. Sup. , t. 40
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de la relativité unitaire ( Alli. Accad. nazion. Lincel.,
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MAVRIDES
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théorie unitaire d'EINSTEIN-SCHRODINGER ( C.R. Acad.
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Masson ).
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---