THESE DE DOCTORAT D'ETAT
ES SCIENCES PHYSIQUES
Sgécialité: Didactique des Sciences Physiques
Présentée
A L'UNIVERSITE PARIS 7
par :
Boubacar
Pour obtenir le grade de Docteur ès Sciences
Soutenue le 21 juin 1990 devant le Jury d'examen composé de :
M.
P. LACOMBE
Président
M.
J. CHASTENET DE GERY
Rapporteur
M.
J.-L. MARTINAND
Rapporteur
M.
G. AUDIBERT
Examinateur
M.
M. CAILLOT
Examinateur

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Ce travail est issu d'une collaboration avec M. Hulin. Pro-
fesseur de Physique. avec qui j'avais commencé mes recherches au sein
de son Equipe de Recherches sur la Diffusion et l'Enseignement de la
Physique. à l'Université P&M Curie. Sa disparition m'a profondément
affligé. Je dois à sa mémoire une profonde gratitude pour tout l'appui
qu'il m'a fourni.
Je remercie M. Caillot. du Laboratoire Interuniversitaire de Re-
cherche sur l'Enseignement des Sciences Physiques et de la Techno-
logie de l'Université Paris 7. qui a bien voulu assurer la direction de ce
travail après le décès de M. Hulin. Je lui suis très reconnaissant des
remarques et critiques qui m'ont beaucoup servi lors de la rédaction de
cette thèse.
Je remercie J-L. Martinand. Professeur de Didactique des Scien-
ces à l'Université d'Orsay, dont les suggestions et réflexions m'ont été
d'un grand enseignement.
Je remercie J. Chastenet de Gery, Professeur au Conservatoire
National des Ans et Métiers. ainsi que P. Lacombe. Professeur à l'Uni-
versité Paris 7. d'avoir accepté de faire partie du jury de cette thèse. Je
suis très reconnaissant à G. Audibert. Directeur de l'IREM de Mont-
pellier. un des pionniers de la didactique de la perspective, de l'intérêt
qu'il a toujours manifesté pour ce travail et de ses conseils.
Je remercie également les enseignants de Paris 7. de Dakar et de
Lomé. qui ont accepté aimablement de se soumettre aux questionnaires
et de faire passer les tests à leurs étudiants.
1
1
1

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-3-
INTRODUCTION
LE DESSIN DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA PHYSrOUE
AU PREMIER CYCLE UNIVERSITAIRE
La physique, cherche à produire des modèLes de La réaLité pour décrire
La matière et ses interactions mutueLLes. La matière est ainsi décrite dans
L'espace physique à trois dimensions ou dans d'autres espaces (espace à
quatre dimensions de La reLativité restreinte, espace des phases .•• ). Pour
dégager Les Lois qui gouvernent La matière, pour échanger des informations,
Les physiciens utiLisent beaucoup Le dessin. Le dessin est La représentation
des objets de L'espace de La description sur Le pLan de La figure à deux
dimensions. Les propriétés métriques et topoLogiques du pLan sont mobiLisés
à ce propos. Notons que pour désigner cette représentation des objets on
trouve en physique des termes comme schéma, graphisme, graphique ••• Nous
avons retenu Le mot dessin, parce qu'iL est pLus faciLe à comprendre et très
utiLisé dans Les Livres de Mathématiques (SénéchaL, 1979) et de Physique
(Perrin, 1948). Dans Le dictionnaire Robert, ce mot désigne, entr~ autres,
"La représentation Linéaire exacte et précise, de La forme des objets dans
un but scientifique, industrieL; Technique de cette représentation: dessin
graphique, dessin géométrique, dessin par projection". Par contre Les autres
termes ont un sens pLus restreint: schéma est une représentation simpLifiée
et fonctionneLLe; graphisme est un terme pLutôt Lié à L'écriture, "caractère
propre de L'écriture" ; graphique est actueLLement compris comme La représen-
tation du rapport de deux variabLes par une Ligne joignant des points carac-
téristiques". Dessin a donc un sens pLus généraL qui permet d'engLober toutes

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-4-
Les formes de représentation
rencontrées en physique. Dans ce travaiL
"dessin" est Le terme générique désignant aussi bien Les tracés rendant La
forme des objets que Les schémas, Les graphiques •••• "Dessin" pourrait
être rempLacé de temps à autre par "schéma", "figure" ou "représentation".
Considérons Le dessin suivant :
;..... '.:
.. ' " .
- - - - <i. ~:;.
:~.t·..,
Fi Q. 1
Présenté à des étudiants et à des enseignants de Physique, tous reconnais-
sent La Terre et Le SoLeiL. Certains parLent de L'observateur qui regarde
une étoiLe. Mais seuLs queLques étudiants avancés et des enseignants évoquent
La déviation des rayons Lumineux par Le champ de gravitation. CeLa indique
que La capacité à Lire, à décoder, un dessin dépend d'un certain savoir
acquis.
En effet, Le dessin présenté ici, est réaLisé à L'aide de
- conventions: Les trajets Lumineux et Les corps réeLs sont tracés en
trait pLein; Les trajets et images virtueLs en tiret
codes, comme La représentation d'une étoi~e avec lCl 6 branches,
- habitudes, comme ceLLe de représenter La Terre avec L'Europe au centre;
- méthodes de représentation particuLières
Le dessin de La Terre est
fait en perspective;

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-5-
- une schématisation évidente: plusieurs aspects de la réalité ne sont
pas dessinés -pas de montagnes par exemple- Les échelles ne sont pas respec-
tées. Seuls sont figurés les éléments pertinents à l'objectif du dessin qui
est de représenter la déviation des rayons lumineux par le Soleil. Cet ensem-
ble implicite fait partie de l'acquis de tous ceux qui sont face au dessin.
Il appartient à une culture, une technique, une science.
En Physique les objectifs du dessin ont trois aspects principaux.
Le dessin est à la fois
· outil de représentation de la réalité, ou, mieux, de son modèle
ici
la Terre est dessinée sphérique.
La disposition des continents vise à donner
une image fidèle
· outil de communication du savoir: il s'agit ici de la déviation des
rayons lumineux par le Soleil, corps massif;
• outil d'élaboration de pensée (inférence, calcul, mesure)
: on pourrait
éventuelle~ent évaluer llan9le de déviation du rayon issu de l'étoile.
De ce point de vue, le dessin a toujours intéressé les physiciens.
Maxwell y a consacré quelques articles (1876 a et b). Jean Perrin (1948)
écrivait après quelques calculs: "il peut ne pas être sans intérêt de des-
siner à l'échelle une molécule d'hydrogène en tâchant d'exprimer ces résul-
tats de la façon qui me semble la plus probable". De fait le dessin est depuis
longtemps·ut~lisé dans les manuels et les cours de physique.
Au cours de l'histoire, la représentation plane de l'espace a été
réalisée par des méthodes très variées. QueLLe que soit La méthode utiLisée,
le dessin renvoie toujours à un objet, un espace parfaitement déterminé,
objectif. De ce point de vue, toutes Les méthodes de représentation
de
L'espace sur un pLan sont parfaitement équivalentes dès Lors que L'on sait
comment remonter à L'espace objectif. Le dessin est simpLement un signifiant

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-6-
dont Les formes, pour un même signifié,ont varié au cours de L'histoire,
dépendent des cuLtures, sont fonction d'objectifs artistiques, techniques
ou aut res •••
En particuLier, Le dessin de perspective, même s'iL est Largement utiLisé
ne produit qu'un signifiant. IL est vrai que La perspective a poursuivi au
cours de L'histoire un mouvement d'objectivation de L'espace que Panofski
(1927) décrit comme tendant à "opérer, La transposition de L'espace psycho-
physioLogique en L'espace mathématique, en d'autres termes, L'objectivation
du subjectif". Cependant, même en "ramenant L'impression visueLLe à des
règLes stabLes, d'exactitude mathématique", iL n'en demeure pas moins que
Le dessin de perspective est toujours une "forme symboLique" (Panofski,
1927) qui peut se réaLiser de diverses manières. A côté des perspectives
centraLe et cavaLière classiques, d'autres perspectives -perspective curvi-
Ligne (Barre et FLocon, 1968), perspective sphérique (Bonbon, 1985)-
viennent fournir aujourd'hui des formes symboLiques nouveLLes qui visent à
rendre compte de L'intériorité de L'observateur par rapport à L'espace qu'iL
cherche à représenter. En fait chaque dessin est anaLysé par La pensée
visueLLe, réinterprété et mis en reLation avec L'image mentaLe de L'objet
qu'iL représente; L'image mentaLe étant définie comme une représentation
de L'objet dans Le cerveau du sujet (Changeux, 1983 ; Denis, 1979 ; Imbert,
1983). ELLe se comporte comme si eLLe avait ~ne véritabLe existence physi-
que. ELLe est un outiL mentaL (une "image opérative") important pour Le
raisonnement, L'éLaboration de pensées, La réguLation des activités de
travai L (Ochanine, 1981). Et Denis de suggérer: "si on admet que L'image
mentaLe possède des quaLités figuratives,
iL est fondé de penser que
queLque chose de cette représentation mentaLe passe dans L'activité de
figuration graphique".

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Le caractère essentiellement symbolique du dessin est très bien illustré
dans les problèmes spatiaux en Chimie. La représentation plane d'une
structure tridimensionnelLe peut se faire par
diverses projections comme
par exempLe ceLles de Fischer, de Craw, de Newman (Duboc-Chabanon et aL.,
1987). Chaque projection a ses propres conventions qu'iL est indispensabLe
de respecter. Quand iL s'agit de perspective, Les chimistes insistent
particuLièrement sur Le caractère symboLique de Leur dessin: parLant des
représentations schématiques des états d'hybridation de pLusieurs moLécuLes,
Arnaud (1988) précise: "dans toutes ces figures, Les représentations sont
purement symboLiques. La forme ... permet de rendre Les schémas pLus cLairs
malS ne correspondent pas à La géométrie réeLLe des surfaces d'isodensité".
Tout ceLa montre que L'utiLisation d'une méthode particuLière de dessin
est fondamentaLement un probLème de choix inspiré, comme en physique, par
un certain nombre de raisons.
En pLus des finaLités de représentation de modèLes physiques, d'être
un outi L de communication et de caLcuL, Le dessin peut avoir aussi un
caractère
coonitif.
Le dessin est un outiL queLque peu compLexe, sûrement
important. On y a recours très souvent dans L'enseignement de La physique.
Néanmoins aucune étude didactique sur Le sujet n'a été faite jusqu'ici. Le
dessin est toujours tracé sans référence systématique à un ensembLe de règLes
par Les enseignants comme par Les étudiants. Ceci a au moins une impLication
cans La cLasse: L'enseignant produit un dessin basé sur beaucoup d'impLi-
cites, et ceLui-ci est Lu par chaque étudiant seLon un point de vue, qui
n'est pas nécessairement identique à ceLui de L'enseignant. IL en est de
même dans Les manueLs où Le dessin d'un même objet peut varier d'un ouvrage
à L'autre.

---

-~
IL n'est pas surprenant que des enseignants évoquent aLors La faibLesse des
étudiants à produire un dessin, à Le Lire correctement, à Le comprendre et à
L'utiLiser Lors de La résoLution de probLème. A y regarder de pLus près cet
état de fait est sérieux, car iL peut gêner L'acquisition des connaissances
L'expérience des enseignants ainsi qu'une recherche dans ce domaine (Keita,
1985) montrent une certaine corréLation entre Le dessin de L'étudiant et sa
note.
Même si L'apprentissage est L'art de faire des impasses, et que L'impLicite
est impossibLe à évacuer de La didactigue, iL est nécessaire après avoir
fait Le choix d'une méthode de représentation, de maîtriser certaines règLes
essentieLLes qui
La régissent, de regarder Les difficuLtés qu'elLe présente
et Les erreurs que Les impasses occasionnent.
Doit-on aLors ignorer Les règLes éLémentaires pour produire un dessin?
Doit-on négLiger d'expLiciter Les choix et conventions adoptées pour une
Lecture correcte du dessin? Doit-on continuer à avoir recours si fréquem-
ment au dessin sans examiner son rôLe dans L'enseignement de La physique?
Comment est-iL tracé? Que véhicuLe-t-iL du saVOlr à transmettre?
A ces questions, COmme à beaucoup d'autres, iL nous a sembLé souhaitabLe
de fournir des éLéments de réponse afin de pouvoir anaLyser Les difficuLtés
des étudiants et de Leur proposer des aides pour un meiLLeur usage du
dessin. TeL est L'objectif de ce travai L.
IL est présenté en 3 parties suivies de quatre COMPLéments et de quatre
annexes.

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-9-
Dans La première partie nous examinerons Le rôLe du dessin dans L'enseigne-
ment de La physique. Nous anaLyserons Le dessin en tant qu'outiL à La fois
de représentation, de communication et de caLcuL. Nous examinerons Les types
de dessins utiLisés pour rempLir ce rôLe.
Dans La deuxième partie, nous rappeLLerons Les méthodes cLassiques de repré-
sentation d'objets tridimensionneLs. En particuLier nous présenterons Les
propriétés fondamentaLes de La perspective cavaLière. Par suite, nous exami-
nerons L'intérêt de La perspective dans L'enseignement de La physique. Puis
nous regarderons dans Le cas de La perspective cavaLière La pratique des
enseignants et des étudiants. Nous dégagerons Les erreurs commises par Les
étudiants Lors de tracés de dessins. Nous discuterons des conditions didac-
tiques susceptibLes d'améLiorer Les compétences des étudiants au niveau de
La production du dessin en physique.
Dans La troisième partie, nous anaLyserons ce que Le dessin véhicuLe comme
contenu physique. Nous verrons comment iL peut transmettre La symétrie des
systèmes physiques. Nous examinerons aLors comment L'étudiant interprète
le dessin: comment il procède pour accéder à L'objet, tridimensionneL, en
s'aidant d'un dessin plan. Les types d'erreurs que L'étudiant commet et Les
actions didactiques à promouvoir pour y remédier seront anaLysés.
En conclusion, nous suggérerons queLques propositions pour un enseignement
destiné aux éLèves et aux étudiants afin qu'iLs acquièrent une meiLLeure
maîtrise de La production et de L'interprétation du dessin en physique.
Enfin certains points du texte nécessitent des déveLoppements mathématiques;
ces déveLoppements seront donnés en compLéments. Dans les annexes, seront
aussi présentés Les divers questionnaires et énoncés de probLèmes qui nous
ont permis d'expLorer Les erreurs des étudiants et des enseignants.

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1 PREr1IERE
PARTIEl
LE DESSIN DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA PHYSIQUE

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-11-
1 - LES RELATIONS ENTRE LA PHYSIQUE ET LE DESSIN
Si Le dessin technique a été Largement anaLysé du point de vue
historique (Deforge
1981), expérimentaL ou théorique (WeiLL-Fassina 1969,
RabardeL 1980, ChabaL 1984), iL n'en est pas de même pour Le dessin de La
physique. Pourtant sa Large utiLisation pose certaines questions.
Pourquoi et comment Le dessin est utiLisé en physique? Comment repré-
sente-t-iL La réaLité, Le modèLe? Le dessin aide-t-iL Le physicien à pro-
gresser ? Que permet-iL de pLus par rapport à L'écrit ou à La paroLe?
QueLLe est La spécificité du dessin dans L'activité du physicien?
GénéraLement, Le dessin représente La réaLité perçue; mais souvent La
réaLité est d'abord modéLisée et Le dessin représente pLutôt Le modèLe.
Par suite, Les reLations entre La physique et ses dessins peuvent se struc-
turer ainsi :
RËALITË
~
MODËLES
"DESSINS/'
Ces reLations se traduisent dans Les trois aspects fondamentaux du dessin
outiL de représentation,
- outiL de communication,
- outiL d'éLaboration.

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i1
-12-
\\
1
1\\1!;
1.1
LE DESSIN, OUTIL DE REPRESENTATION
L'espace physique à trois dimensions correspond avec une exceLLente
approximation à L'espace eucLidien à trois dimensions R
• Aussi nous
3
nous autorisons, dans La suite, à noter - R
- L'espace physique.
3
Ceci dit, Le dessin du physicien est Le pLus souvent ceLui d'un modèLe,
de La réaLité modéLisée. La distance pLus ou moins grande entre La réa-
Lité et Le modèLe, affectera sûrement Le dessin dans son rôLe de repré-
sentation.
Pour Les objets matérieLs de L'espace physique (assimiLabLe à R ) à notre
3
écheLLe macroscopique, La réaLité et Le modèLe sont natureLLement confon-
dus. Le dessin est ceLui d'une réaLité teLLe qu'eLLe est perçue par Le
physicien. Pour Les objets matérieLs, à L'écheLLe microscopique ou astro-
nomique, ne pouvant Les apercevoir dans Leur totaLité, L'observateur ne
peut Les dessiner qu'à travers La "perception" d'un modèLe. Il en est de
même des objets non matérieLs (forces, champs ••• ) ou de ceux décrits dans
un espace différent de R
'
Le domaine de La physique débordant Largement
3
La petite fenêtre du monde perceptibLe à nos yeux.
La représentation d'un objet physique dépendra donc de L'écheLLe
(macroscopique, microscopique, astronomique). ELLe dépend aussi de L'espa-
ce de La description; ceci est iLLustré simpLement par Les notions de
trajectoire et d'hodographe d'un point matérieL en mouvement. Dans L'espace
physique Le mouvement est représenté par La trajectoire (Fig. 2a) ; dans
L'espace des vitesses par L'hodographe décrite par L'extrémité du vecteur
vitesse (Fig. 2b).

---

-13-
01
1
a
b
Vecteur accélération et hodographe.
[ Fig. 2. l Kron i g, 1960 fig. 11 j
La muLtipLicité des modèLes, et ceLa dans chaque domaine de La physique,
introduit une muLtipLicité de représentations (de dessins) d'une même
réaLité.
Nous aLLons principaLement regarder comment, en tant qu'outiL de
représentation, Le dessin est variabLe seLon L'écheLLe, L'espace de La
description, et Les différents domaines de La physique.
1.1.1.
Dessins d'objets macroscopiques
De teLs dessins se rencontrent très souvent : ce sont des dessins de
systèmes physiques, d'appareiLLages, de dispositifs expérimentaux servant
à mettre en évidence des Lois. Ici ce qui est dessiné est tout natureL-
Lement comparé à ce qui est perçu et Les méthodes de représentation
ont
une grande importance. Les dessins ne sont acceptabLes que s'iLs s'ap-
prochent de La perception que L'on peut avoir d'eux. Le cas des dessins
d'objets physiques non matérieLs mais décrivant Les propriétés de R3 comme
Les Lignes de champ ou Les surfaces équipotentieLLes est anaLogue: Le
dessin doit aussi ressembLer à sa matériaLisation (par exempLe Les Lignes
de champ magnétique matériaLisées par La LimaiLLe de fer).

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-14-
IL arrive queLque fois que ce type d'objets soit traité dans des espaces
différents de R
comme, par exempLe, L'espace R de La reLativité; Le
3
4
dessin peut y être bien éLoigné de ceLui tracé dans R
• Dans R
La
3
3
sphère en mouvement est représentée par Le tracé du haut de La figure (3).
Dans R pour un observateur fixe, iL est représenté par Le tracé du bas de
4
La figure (3) par suite de La réduction de La Longueur, introduite par
La reLativité, s'opérant dans La direction paraLLèLe au mouvement
(TonneLat,1971).
----8---
- - - 0--'--
-/-lf,-ioV-W'
-
Aplatissement dans le sens du mouvement-
Fig. 3. [Tonne Lat, 1971 Fig. 65 1
D'autre part, suivant Les domaines de La physique, Le dessin d'un même
objet macroscopique (de R ) peut varier. En effet, chaque domaine ayant
3
ses méthodes et ses objectifs particuLiers, Le processus de schématisa-
tion qui régit tout dessin, conduit à différentes informations pertinen-
tes fonction de ce que L'on veut transmettre. L'usage que L'on fait de
La représentation (usage de caLcuL, d'iLLustration) peut aussi faire
varier Le dessin. Ainsi Les représentations en mécanique, en optique, et
en éLectrocinétique, diffèrent gLobabLement. En mécanique, Les dessins
sont assez ressembLants et peuvent utiLiser Les propriétés métriques de
R
' aLors que Les dessins en éLectrocinétique de circuits éLectriques
3

---

-15-
extérieurs s'appuient plutôt sur les propriétés topologiques. En optique,
Le dessin, fortement dépouiLLé, réduit Les objets à Leurs propriétés de
surface de réfLexion, de réfraction etc. Par exempLe, en mécanique, Le
dessin d'un objet demi-cyLindrique ressembLe à L'objet
(Fig. 4a) ; en
optique Le demi-cyLindre, considéré comme une LentiLLe, est représenté
par une doubLe fLêche (Fig. 4b) ; en éLectricité iL pourrait être L'une
des deux armatures d'un condensateur représenté par deux traits (Fig. 4c).
(a)
(b)
(c)
Fig. 4
En résumé, Le dessin d'un objet macroscopique
Lorsqu'iL est décrit dans R
est une représentation de La réaLité qui
3
tend à une certaine ressembLance avec ceLLe-ci;
- Lorsqu'iL est décrit dans d'autres espaces, iL se réfère étroitement à
un modèLe de La réaLité et peut donc être éLoigné de ce qui est perçu
habitueLLement;
- Lorsqu'iL est utiLisé dans un domaine de La physique, Le dessin est
schématisé en fonction d'informations pertinentes pour Les méthodes et
objectifs visés dans La modéLisation.

---

-16-
1.1.2
Dessins d'objets microscopiques ou astronomiques
Les modèLes qui décrivent de teLs objets ont une grande infLuence sur
L'aspect représentation du dessin.
Le processus historique de découverte des moLécuLes iLLustre assez bien
ce fait. L'étude d'une moLécuLe de structure inconnue conduit progres-
sivement à certains résuLtats. A chaque étape on imagine une configura-
tion des atomes compatibLe avec ces résuLtats. Le dessin de cette
configuration représente Le modèLe de La moLécuLe. MaxweLL (1876a) parLe
de ce type de dessins comme "représentations symboLiques, à divers degrés
de cohérence, des différentes composantes de La moLécuLe".
En outre, de teLs dessins dépendent du domaine de La physique.
Prenons L'exempLe de La moLécuLe d'eau. Pour La représenter pLusieurs
dessins sont utiLisés; en voici queLques uns:
p
~
0
0
0
0
I.:..iU
0
Je mer
JK
o
0
p~""
o
0
.... cnll-pCrmL\\lh!t:
1IŒ5 ~ ~IH
u_ ~ _':1
_
(a)
o
0
0
o
0
U
L'.IU
0
,1'1 Il,1)
JllllC
a) [ Bouyssy ~
aL.,
b) [ALonso~,
Finn,
c) [ Kane
&
Sternhein,
1947 Fig. 47 ]
1972 Fig. 1.3(b) 1
1986 Fig. 29. 51
Fig. 5
Le premier (a) est utiLisé en thermodynamique cLassique (gaz, transport) ;
La moLécuLe d'eau est considérée comme une biLLe. Ce qui est important
ici c'est sa masse et sa position, et non sa structure interne, qui sera
prise en compte dans Le deuxième dessin (b) d'usage courant en chimie-

---

-17-
•
physique. Le troisième dessin, reLatif à L'éLectrostatique met en
évidence Le moment dipoLaire t
Les dessins d'objets microscopiques dépendent aussi des espaces
de description
en termes d'orbitaLe La molécuLe d'eau est représentée
ainsi :
1\\(,\\ 1<1
'\\
SI ru,'tu«'
,,'hi'lIIal iqu,'
d"
la
III"I<-rul,'
<l'l'au
ILIl.
l,"
"rhilal,',
:{',
,'1
!.;',
donn ..""' dl"!'t liai,ulI~ lai,ant al'I'ru\\ima-
li'l'nll'nl 'III ancl,' dl' "tI" (l'ancl,' «",1 "'1
dl' lO·f' par 'Ul\\" dl' la «'pu"'"'' l'I",'lm-
,latique entr<' 1<-, d,'u, pruII""),
Fig. 6. [Cohen-Tannoudii
p,
aL.,1973 Fig. 5 p. 857]
Pour iLLustrer La variation en fonction du domaine de La physique et de
L'espace de La description, prenons L'exempLe de La charge éLectrique.
En mécanique quantique cLassique, on considère La charge comme une par-
...
ticuLe éLémentaire représentée par un point (Fig. 7a). En reLativité
généraLe où La charge est considérée comme une propriété de L'espace,
1
on peut La dessiner par La figure(7b); dans La nouveLLe théorie des
quarks une particuLe chargée représente une combinaison de quarks: Le
proton est dessiné sur La figure (7c) •

---

-19-
Dans La figure (8a), L'épaisseur variabLe de La LentiLLe sous-entend
L'existence d'une doubLe réfraction du rayon Lumineux. Mais Le modèLe
des LentiLLes minces ne s'intéresse pas à ce qui se passe dans La
LentiLLe. D'où L'idée de séparer L'espace en 2 parties: avant La
LentiLLe et après La LentiLLe. Cette dernière est aLors représentée
par un dessin codé (Fig. 8b) qui sert à exprimer une propriété de La
LentiLLe
-à savoir faire dévier Le rayon Lumineux- et permet d'ap-
pLiquer La formuLe des distances focaLes, expression condensée du
modèLe.
La variation du dessin, à L'intérieur du modèLe, et sa schématisation
de pLus en pLus réductrice se rencontrent dans d'autres domaines: Le
condensateur en éLectrostatique peut être dessiner par La figure (9a)
qui rappeLLe L'objet ou par La figure (9b) qui est un code.
a
U
';::%:>'.::~ :~::'
.~ ".>:->','
~
.Iv
COlll!ellsa-
teur (l'épaisseur
lllli-
forme ct très peti te :
a) fermé; b) ouvert.
(a)
(b)
[ Fleury & Mathieu,1967 Fig. 5.41
RavaiLLe,1964 Fig. VII.21
Fig. 9

---

-20-
1.2. LE DESSIN DE COMMUNICATION
1.2.1. Caractère symétrique du dessin
La description verbaLe d'un système physique queLconque, même éLémentaire,
utiLise des mots techniques, des concepts non nécessairement connus du
Lecteur. Pour devenir compLète, une description verbaLe risque d'être
Longue, de prendre en compte tous Les éLéments avec Leurs formes et Leurs
reLations. Son caractère Linéaire et Le grand nombre d'informations
qu'eLLe contient rendent maL aisée sa compréhension. Le dessin du système,
quant à Lui, peut nous donner une vue gLobaLe, ou nous faire reconnaître
un objet famiLier. La communication du savoir est faciLitée par ce carac-
tère syncrétique du dessin.
Une bonne partie des connaissances peut être ainsi présentée et transmise
sous forme de dessins. Prenons Le cas des différents dessins des modèLes
atomiques, au début du siècLe, teLs qu'on Les trouve actueLLement dans
Les Livres de physique. Le dessin associé au modèLe de Thomson est La
sphère portant Les charges positives, Les charges négatives étant éparpiL-
Lées à L'intérieur (Fig. 10a). Le dessin du modèLe suivant, ceLui de
Rutherford, est formé d'un point, représentant La charge positive, entou-
ré d'eLLipses correspondant aux trajectoires des éLectrons qui gravitent
autour de La charge ponctueLLe positive (Fig. 10b). L'atome de Bohr où
s'introduisait La notion d'orbites permises est dessiné sur La figure (10c).
(a)
(b)
(c)
Fig. 10

---

-21-
A chaque fois, Le dessin chargé des informations importantes du modèLe
cherche à être Le pLus représentatif pour ceLui qui Le regarde, une
sorte de "monde" de ses propres expériences par LequeL iL peut assimi Ler
un savoir scientifique, voire en extraire un nouveau.
Mais surtout Le dessin procède à une réorganisation des éLéments perti-
nents afin de rendre La communication pLus faciLe. IL séLectionne Les
informations utiLes et par une simpLification, aide à Leur perception
et mémorisation. Le dessin ci-dessous (Fig. 11) présente L'organisation
fonctionneLLe d'une centraLe thermique différente de son organisation
spatiaLe, réeLLe.
Resur-
chauffeur
de la
vapeur BP 4-'T';'=AA.f\\lI\\J"o1l\\
Vapeur
resurchauffée
Pompe
d'alimentatIon
Eau de
Eau
refroidis-
condensée
......_ - -...-
1 sement
Extraction
air humide
Combustible
Fi ri. 11 [ Roy, 1964 C"
, H~.
1.1.2.2°]
Ce dessin, simple, renseigne sur La structure gLobaLe de La centraLe.

---

-22-
1.2.~. Le dessin stéréotype
Un modèLe de La réaLité, une fois qu'iL est admis par La communauté
scientifique, produit un ou pLusieurs paradigmes. Le modèLe n'est pLus
seuLement une théorie utiLisabLe, pour expLiquer une cLasse de phénomènes
mais, par suite de ses succès, peu à peu parait être une copie si fidèLe
de La réaLité qu'iL devient La réaLité eLLe-même dans LaqueLLe s'inscrit
toute réfLexion. Les dessins associés à ces paradigmes, comme outiLs de
représentation et de communication, imprègnent tout Le miLieu scientifi-
que concerné. CeLui-ci Les regarde tous Les jours, Les manipuLe pour en
extraire des informations. Ce type de dessin devient comme Le dessin de
La réaLité. Dans Le processus de communication où on n'expLicite pLus,
Les étapes qui font aboutir au modèLe, où La présentation est simpLifiée
(Ziman/ 1978), L'inaccession à L'expérience concourt à masquer fortement
Le caractère schématique du dessin. IL devient un dessin stéréotype repré-
sentant une réaLité que L'on ne discute pLus. Chaque génération de scien-
tifiques, dans une branche déterminée, produit des paradigmes et Les
dessins correspondants.
Depuis KepLer, Le dessin d'une orbite eLLiptique, pour Le mouvement
d'une pLanète queLconque est un de nos paradigmes. Le dessin associé au
modèLe atomique de Bohr est reproduit automatiquement à chaque fois que
nous sommes face au concept d'atome. Le vecteur, assez tôt utiLisé en
mécanique -notamment par Newton (MaxweLL,1876b)-,devenu après Les travaux
de HamiLton en 1843 et de Grassman en 1844 un être mathématique sur
LequeL on peut faire des opérations, est aujourd'hui d'un usage fréquent.
IL représente des forces, des vitesses, des grandeurs orientées. Son
dessin "~" est un stéréotype uti Lisé, manipuLé par tous Les physiciens.

---

-23-
Mieux encore, on s'en sert pour décrire de nouveLLes situations, repré-
sentations de grandeurs sinusoidaLes (diagrammes de FresneL): modèLe
vectorieL de L'atome, processus de création de particuLe. Le dessin
paradigme, synthèse de beaucoup d'efforts, devient comme une procédure
dirait-on aujourd'hui en Langage informatique: un sous-programme depuis
Longtemps intégré dans un programme pLus vaste, que L'on utiLise pour
obtenir un résuLtat sans chercher à savoir comment iL est fait. Beaucoup
de dessins de La physique sont des dessins paradigmes que La communauté
scientifique reproduit, transmet sans se poser vraiment beaucoup de
questions à Leur sujet.
1.3. LE DESSIN OUTIL D'ELABORATION DE PENSEE
1.3.1.
Le dessin preuve
Lorsque Le physicien veut communiquer des connaissances scientifiques à
L'étudiant ou à un autre physicien, iL cherche aussi à Le convaincre de
La vaLidité et de L'intérêt du modèLe adopté. Là encore, Le dessin joue
un rôLe important, ceLui de servir de preuve. Représentation de La réa-
Lité modéLisée, tracé pour être faciLement LisibLe par tous Les scien-
tifiques, Le dessin permet ainsi de faire jouer Le vieiL adage "voir
pour croire". Le physicien ne s'en prive pas. Pour convaincre iL produit
et utiLise Le dessin. Dans Les discussions on entend faciLement dire:
"je vais vous montrer", "voyez", "voici La position du point", regardes
Le dessin de La surface" et on voit dessiner. Aujourd'hui qu'iL est pos-
sibLe de produire des dessins par ordinateur, La preuve infirmant ou
confirmant une prédiction, est fournie par des dessins qui traduisent
graphiquement des mesures [par exempLe sur Le dénombrement des anneaux
de Saturne, La surface des pLanètes, La présence de tumeurs] ou par des
dessins qui représentent des modèLes (de réactions entre moLécuLes en
infographie, d'écouLement en hydrodynamique).

---

-24-
1.3.2. Le dessin outiL de caLcuL
Comme outiL de représentation et de communication d'un modèLe, Le dessin
est un substitut de La réaLité. IL se révèLe comme un Lieu de réfLexion
et d'investigation. Peu ou prou Les dessins sont des aides à La mesure
et des heuristiques: iLs servent à découvrir de nouveLLes propriétés
du modèLe, de La réaLité. En fonction des informations pertinentes qu'iL
présente et des propriétés du pLan mises en contribution, Le dessin peut
servir à des mesures de grandeurs métriques <par exempLe mesures de
Longueur, d'intensité de grandeurs vectorieLLes) ou topoLogiques <par
exempLe les positions de surfaces équipotentieLLes).
Comme heuristique on peut noter L'usage du dessin chez Les pLus grands
physiciens. Faraday dans ses recherches sur Le champ éLectrique visuaLi-
sait Les Lignes de force, par des tubes courbes dans L'espace. MaxweLL,
grand théoricien, "pour chaque probLème, déveLoppait une image mentaLe"
<Shepard,1978) et est arrivé à ses équations formeLLes à La fin d'une
Longue série de visuaLisations de pLus en pLus éLaborées de modèLes
mécaniques et hydrodynamiques. Einstein, <Shepard,1978), expLiquait son
habiLeté particuLière, non pas dans Le caLcuL mathématique, mais dans La
"visuaLisation des effets, conséquences et possibiLités". Même Les mathé-
maticiens d'aujourd'hui travaiLLant dans des espaces abstraits ne dédai-
gnent point recourir au dessin, vite effacé, pour iLLustrer Leurs propos.
On peut distinguer deux types de dessins qui peuvent servir au caLcuL.
i) OutiL graphique de caLcuL
Considérons L'énoncé suivant: caLcuLer Le champ de gravitation en un
point situé à L'extérieur d'une masse uniformément répartie sur une

---

-25-
coquiLLe sphérique. Pour mener ce caLcuL, on fera un dessin constitué
de ceLui de L'objet (coquiLLe) et de ceLui d'éLéments utiLes au caLcuL
(droites, surfaces éLémentaires, angLes ••• )
Fig. 12 .
}'
L
l Resnick & HaLLiday,1979 Fig. 16.61
[ALonso & Finn,1972 Fig. 13.251
Fig. 12
Fig. 13
Ayant repéré Les éLéments utiLes, on peut aLors effectuer Le caLcuL par
écrit. Toutes Les méthodes de caLcuL peuvent être utiLisées: Les règLes
mathématiques et Les démonstrations déductives (Fig. 12) ou L'anaLogie
comme dans Le cas représenté sur La figure (13). Ici, on cherche à
caLcuLer Le champ créé par une sphère pLeine: on considère différentes
coquiLLes et on appLique Le résuLtat vaLabLe pour une coquiLLe; Le champ
est ceLui de La masse concentré au centre. Nous avons appeLé ces dessins
outi Ls graphiques de caLcuL (Keita, 1985).
Sans ajouter d'autres éLéments, Le dessin peut aussi se prêter à L'ap-
pLication de formuLes. Dans La figure (14).
Rr
~_J) "·~È
Fig. 14 [BreLot ,'& aL.,1967 n° 286 (a) et (b)]

---

-26-
La configuration (a) se réduit à (b) par L'appLication du théorème de
Thévenin ce qui faciLite Le caLcuL du courant i •
Tous ces dessins sont Là pour repérer Les éLéments de caLcuL et
jouent un rôLe important dans Le processus de démonstration.
ii) Diagrammes
Par aiLLeurs, iL existe, des dessins utiLisés pour mesurer des forces,
des impédances, des pLans ..•
En mécanique, Le diagramme des forces (Fig. 15) en est un exempLe. IL
représente Les forces qui agissent sur un corps. Leur direction, sens,
point d'appLication et intensité, avec La même écheLLe, sont précisément
reportés sous forme de vecteurs. Par suite, en mesurant Les Longueurs
des segments tracés, on peut obtenir, compte tenu de L'écheLLe adoptée,
La vaLeur de certaines forces (résuLtantes en particuLier).
(a) [ ALai s
8. aL., 1969 Fig. 3.9 j
(b)
ALais f,
aL.,1969 Fig. 3.10]
Fig. 15

---

-27-
De même, en éLectricité, en représentant Les grandeurs sinusoïdaLes
(courants, tensions) par des vecteurs, Le diagramme de FresneL (Fig. 16)
permet de caLcuLer par exempLe L'impédance Z du circuit, La phase ~ •
B
1
Cw
TI
M
-T
Lw
1.
11
Axe
cr
2
rée'
.0
R
A
'A
Impédance. (Construction de Fresnel).
Fig. 16 [Peschard,1965 Fig. XIV.ZJ
1.4
LES TYPES DE DESSIN ET LEUR FONCTION
L'anaLyse qui précède montre qu'un même dessin est à La fois un outiL
de représentation, de communication et de caLcuL. Nous cherchons Les
types de dessins utiLisés pour prendre en charge ces 3 aspects.
Souvent dans un dessin donné, L'un des aspects domine Les autres et
caractérise par suite ce dessin. En s'appuyant sur Les caractéristiques
de L'aspect dominant on distingue Les types de dessin suivants:
1.4.1
Les dessins symboLiques
Les dessins de type représentation sont en généraL ceux d'objets de R '
3
comme Les soLides. ILs sont souvent des représentations ressembLantes à
La réaLité avec une symboLisation pLus ou moins poussée, comportant codes
et conventions. On L'a vu, même Les dessins d'objets microscopiques (ou
astronomiques) reproduisent Les configurations matérieLLes de ces objets.
Tous ces dessins qui cherchent à donner une image assez fidèLe des objets
seront quaLifiés de symboLiques.

---

-28-
i) Certains sont basés sur les propriétés topologiques du plan:
comme les schémas électriques -dessins simplifiés et fonctionnels d'un
circuit-. Ce qui est important dans un schéma, ce n'est pas la longueur
des fils de jonction ou les positions relatives des différentes parties.
Ce qui est important ce sont l'ordre et les connexions entre ces parties;
par exemple, les résistances sont-elles en série ou en parallèle?
ii) D'autres utilisent les propriétés métriques du plan: on les
appellera dessins d'illustration, car pour l'essentiel, ils respectent
les formes et les dispositions relatives des parties. Ils sont censés
être tracés à l'aide de méthodes bien définies.
1.4.2
Dessins de communication
Ce sont certains dessins symboliques auxquels on fait plutôt jouer un
rôle de communication en leur ajoutant des informations supplémentaires.
Par exemple la figure (17) montre, sur une représentation graphique
classique de la molécule d'ammoniac
NH
'
la vibration de l'atome
3
d'azote à travers le plan des atomes d'hydrogène.
Oscillatillll de ""lllme d'a/.ote enl ft, deux posi·
tions symétriques dans la lllOlécule d'amlllOnia<:.
Fig. 17 [Alonso et Finn 1972 Fig. 2.31

---

-29-
Mais iL Y a surtout Les graphes qui représentent La reLation entre
deux éLéments de L'objet
• Certains ressembLent à L'objet; par exempLe, Le dessin du dépLacement
transversaL des points d'une corde au cours du temps (représentation
spatiaLe à un instant fixé) donne L'image exacte de La corde à cet
instant (Fig. 18).
i 1
t~r1
a
1-0
- - "
i
f0....
b
1
,-te.
V
- x
1
Fig. 18 [ Kronig, 1960 Fig. 36 a et b p. 184 1
D'autres graphes sont moins ressembLants: on sait que Le mouvement
rectiLigne uniforme sinusoïdaL peut être considéré comme La projection
d'un mouvement circuLaire uniforme, (Fig. 19), mais Le graphe (à droite)
ne rappeLLe Le mouvement circuLaire (à gauche) que via La projection.
Fig. 19 ( Kron i g, 1960 Fig. 1 p. 150 1

---

-30-
• Certains, enfin ne rappeLLent pLus L'objet: La figure 20 représente
L'énergie potentieLLe d'interaction entre Les deux moLécuLes de gaz
en fonction de Leur distance.
1':/l' r 1
• i11'\\l\\IISIOIl
1~
l
1
'nc;,11 li III tI'I''lllilillrt'
(if-- --"~/~.---- ----- ---
Fig. 20 [ALonso
& Finn,1972 Fig. 8.23]
Par extension nous considérons Les graphes comme des dessins. Ce sont
des formes de tracés sur un pLan.
"Le graphe présente L'information cLairement, concrètement et de façon
précise" (BonsaLL, 1981). Latour (1985) souLigne son Large empLoi dans
Les articLes de chercheurs qui visent à convaincre Leurs coLLègues Lors
de La communication de Leurs résuLtats.
1.4.3
Dessins de caLcuL
On peut citer:
i) Les outiLs graphiques de caLcuL: sur un dessin symboLique de
base, iLs présentent des éLéments utiLes au caLcuL (Fig. 12)
iD Les diagrammes
de forces (Fig. 15 (b)) ou de FresneL (Fig. 16)
sont de vrais outiLs de caLcuL.

---

-31-
1.5
CONCLUSION
Cette présentation rapide du dessin en physique, révèLe sa reLative
compLexité. IL est à La fois outiL de représentation de La réaLité via
Le modèLe retenu, outiL de communication des éLéments pertinents, et
aide au caLcuL et à L'heuristique. A chaque aspect est Lié un type de
dessin qui utiLise Les propriétés topoLogiques du pLan, ou ses proprié-
tés métriques. En résumé Le dessin sert à rempLacer La réaLité modéLisée
grâce à une réorganisation et une présentation gLobaLes des éLéments.
C'est un partenaire du verbaL ou de L'écrit qui faciLite La transmission
du savoir.
Cependant, cet exposé montre bien que Le dessin n'est qu'une représenta-
tion symboLique de La réaLité physique modéLisée. La muLtipLicité des
modèLes d'une même réaLité, en particuLier suivant Les différents domaines
des sciences physiques, introduit une muLtipLicité de représentation; ce
qui met en exergue, si besoin en était, Le caractère symboLique de ces
dernières. En physique Le diagramme de Feynman iLLustre bien Le propos.
Pour rendre compte des phénomènes de création et d'annihiLation de perti-
cuLes, on représente graphiquement
- une particuLe <argument d'espace-temps <xL»
par un point <.),
-
Le processus de création par un vecteur d'origine xL '
- L'annihiLation par un vecteur d'extrêmité xL '
- toute propagation d'une particuLe de L'argument x. à L'argument x.
,
J
par un segment de droite joignant Les points xi et Xj ,
- tout potentieL d'intéraction V<x.,x.) par un segment discontinu.
,
J

---

-32-
Avec ces conventions La figure
ci-contre représente La diffusion
d'une particuLe (1) par une autre
particuLe (2)
De même, La figure ci-contre
correspond à La diffusion mutueLLe
de 3 particuLes ou à La création
d'une paire de particuLes Lors
~.
d'une diffusion de 2 particuLes.
On aurait pu reorésenter ces intérations d'une autre façon: par Leur
trajectoire sur une pLaque sensibLe, ou même en changeant queLques unes
des conventions adoptées. A L'évidence Les diagrammes de Feynman bien
que commodes car permettant de faire "voir" L'intéraction entre particuLe
ne fournissent ni Les trajectoires, ni Les attributs physiques des par-
ticuLes. ILs ne sont que des représentations symboLiques de L'intéraction.
CeLa est vrai queLLe que soit La méthode de représentation de La réaLité,
même ceLLe de La perspective qui paraît si "natureLLe" ; et Le dessin Le
pLus ressembLant reste toujours une forme symboLique. Ceci est vaLabLe
aussi bien pour Les sciences physiques que pour Le dessin technique.

---

-33-
2 - LE RÔLE DU DESSIN DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA PHYSIQUE
Dans ce chapitre, nous nous proposons de regarder comment
L'enseignement de La physique au niveau du 1er cycLe universitaire
utiLise Le dessin. Les réfLexions précédentes vont nous guider. Aussi
cherchons nous à connaître, La pLace du dessin dans cet enseignement,
à savoir comment ceLui-ci mobiLise Les différents aspects du dessin,
et queL type de dessin pour queL type d'enseignement.
2.1
METHODE D'ANALYSE
2.1.1
Le contenu scientifique et Le dessin
En suivant La division cLassique de La physique, on peut faire Les
remarques suivantes sur Les types de dessins rencontrés. En mécanique,
Les dessins sont Le pLus souvent symboLiques, d'iLLustration. ILs
utiLisent Les propriétés métriques du pLan. Par contre en ELectrocinétique,
Le dessin caractéristique est Le schéma éLectrique qui utiLise pLutôt
Les propriétés topoLogiques du pLan. Les différents objets sont figurés
sous forme de codes: par exempLe [1r- !pour un générateur de tension.
En Optique géométrique, ce qu'on prend en compte, ce sont Les propriétés
optiques de L'objet. Les dessins sont Le pLus souvent des codes: \\t)
pour une LentiLLe. En ELectrostatique, on dessine des distributions
spatiaLes de charges. En mécanique quantique, Les espaces de description
sont souvent différents de R
• Ce sont Les propriétés du modèLe, par
3
exempLe Les fonctions d'ondes, qui sont représentées sous forme de graphes.

---

-34-
Ce rapide tour d'horizon des différents domaines de la physique,
montre que l'analyse détaillée du dessin requiert un contenu scientifique
de référence. C'est par exempLe en mécanique et en éLectrostatique,
discipLines de base du premier cycLe universitaire, que Les questions
du genre "Comment est tracé Le dessin? Quelles sont Les méthodes de
perspective
utiLisées? •• prennent tout Leur sens. Aussi, comme exem-
pLe, nous prendrons La notion de champ.
La première raison de ce choix est que cette notion, introduite dès La
Première (champ éLectrostatique), se rencontre dans tout Le cursus de
L'éLève. ELLe est extrêmement importante en physique où eLLe sert à La
description de nombreux phénomènes. La deuxième raison est que dans Les
Leçons qui présentent cette notion -champ éLectromagnétique, champ de
gravitation- on rencontre Les différents types de dessins: dessins
symboLiques, graphes et outiLs graphiques de caLcuL.
L'enseignement de cette notion, comme ceLui de La physique pLus généraLe-
ment, se donne partieLLement pendant Les cours magistraux et dans des
ouvrages. Dans ce travaiL, nous avons examiné Les dessins des Livres
d'enseignement et Les dessins produits pendant des cours magistraux.
Nous avons compLété L'étude par un questionnaire (dit "ENSEIGNANTS" en
annexe 1) soumis à 17 enseignants de diverses universités.

---

-35-
2.1.2
L'anaLyse des Livres
Nous avons choisi onze Livres de cours fréquemment utiLisés par Les
étudiants du 1er cycLe de L'enseignement supérieur français. Ce sont
LIVRES FRANCAIS
LIVRES AMERICAINS
.
Universitaires
1
CLasses Préparatoires
•
1- FLEURY et MATHIEU
1 • JOYAL et PROVOST
1- FEYNMAN, LEIGHTON et
SANDS
2. BLANC, DEGEILH
2. DEVORE et RIVAUD
et FONTAN
2. ALONSO et FINN
3. ANNEQUIN et
3. VALENTIN
BOUTIGNY
3. KlTTEL, KNIGHT et
RUDERMAN
4. BERTIN, FAROUX
et RENAULT
4. RESNICK et HALLI DAY
Leur présentation est faite dans Les Références BibLiographiques
données en annexe. Notons que parmi Les ouvrages français, Les pLus
anciens (Dévoré et Rivaud, 1964) et (Fleury et Mathieu/1ère édition
1953) adoptent une présentation phénoménoLogique, aLors que Les autres
pLus récents, chacun, à Leur manière, tente une synthèse déductive.
Mais, nouveaux ou anciens ces Livres ne font aucune aLLusion à L'histoire
de La mécanique avant Newton et n'abordent que timidement Les sateLLites
et Les pLanètes conformément au programme qui étaient en vigueur. Les
Livres américains, nés du renouveau pédagogique des années 60 ont été
introduits, sous forme de traduction dans Les années 70 dans L'enseigne-
ment universitaire français. ILs sont pLutôt utiLisés comme Livres de
référence que comme manueLs. Dans ces Livres, L'histoire des théories de
La gravitation et Le mouvement des sateLLites sont effectivement abordés.
Certains auteurs adoptent une démarche unifiante (ALonso et Finn,1979) ;
d'autres une démarche phénoménoLogique (Resnick et HaLLiday, 1972) (voir
références bibL iographiques).

---

-36-
L'anaLyse du dessin dans Les Livres a été abordée par queLques
chercheurs (Kastenbaum,1979). De façon quaLitative, tous souLignent
L'importance du dessin et son caractère réducteur: par exempLe Arnaud
(1984) pour Le Livre de Chimie.
Dans ce travaiL sur La physiqu~ nous avons cherché à mesurer cette
importance (Keita,1987a). Pour ceLa, nous avons choisi deux paramètres
• Le premier est Le rapport (S/D) de La surface occupée par Le
dessin à La surface totaLe; iL donne une idée de La taiLLe des dessins,
• Le second est Le nombre de dessins pour 100 Lignes de texte; iL
indique L'importance du dessin par rapport au texte. Nous avons, en
pLus, regardé La distribution quantitative des types de dessins dans une
Leçon suivant Le type d'enseignement.
Notons que nous comptons, dans un Livre, une figure numérotée (Fig. nO ••• )
comme un dessin unique même s'iL y avait pLusieurs dessins.
2.1.3
AnaLyse des cours magistraux
Nous avons aussi observé des cours dispensés pendant Les premiers semes-
tres des années académiques 1984-1985 et 1985-1986 par Messieurs Les
professeurs Amat,Barrat,Berroir, CaLifano, GuiLLon, Mayer et Moreau.
Les enseignants passaient en revue pLusieurs domaines de La physique
pour "permettre aux étudiants de décider de Leur orientation" au second
semestre. Nous avons choisi d'anaLyser 31 cours portant sur La mécanique
et L'éLectrostatique. Pour ce faire nous avons utiLisé une griLLe qui
prend pour unité de codage Le dessin. Nous avons reLevé Le temps qui Lui
était consacré, Les connaissances exposées à son propos, et Les transfor-
mations qu'iL subissait durant Le cours.

---

-37-
2.1.4
AnaLyse du questionnaire
Notre objectif était de déceLer Les erreurs commises par Les enseignants
quand iLs représentaient des objets de La physique. IL y avait des des-
sins à produire et des dessins à Lire (annexe I). Les entretiens por-
taient sur Le rôLe du dessin, Les méthodes pour Le tracer, et sur ce
qu'iL véhicuLait. Nous rapportons ici Les éLéments apparus avec au moins
Les 2/3 des enseignants.
2.2
LES RESULTATS
LE ROLE DU DESSIN
2.2.1
PLace du dessin
Le dessin occupe en généraL une pLace importante dans L'enseignement de
La physique au niveau du 1er cycLe universitaire. TeL est Le résuLtat
de L'anaLyse.
i) PLace du dessin dans Les Livres.
RappeLons que Le dessin n'a pas toujours eu une pLace importante dans
Les Livres. Ainsi J.L. Lagrange écrivait dans L'avertissement de son
traité de Mécanique AnaLytique: "On ne trouvera point de figure dans
cet ouvrage. Les méthodes que j 'y expose ne demandent ni constructions,
ni raisonnements géométriques ou méchaniques mais seuLement des opéra-
tions aLgébriques assujetties à une marche réguLière et uniforme".
Mais aujourd'hui, en particuLier pour Le 1er cycLe universitaire,
Le recours au dessin est de règLe. Les résuLtats ci-dessous (TabLeau I)
renseignent sur La pLace du dessin dans Le Livre de physique.

---

-38-
RAPPORT SURFACE DESSIN/
NOMBRE DE DESSINS POUR
OUVRAGES
SURFACE TOTALE EN %
100 LIGNES DE TEXTE
,
,
i,
12
FLEURY et MATHIEU
2,6
1
1
,
1
24
BLANC, DEGEILH et
\\
3,8
FONTAN
!,
17
1
VALENTIN
2,3
1
11
JOYAL et PROVOST
1,9
6
DEVORE et RIVAUD
1,5
13
ANNEQUIN et BOUTIGNY
3,5
10
BERTIN, FAROUX et
2,3
RENAULT
16
FEYN~AN,
LEIGHTON et
1,8
SANDS
25
ALONSO et FINN
2,5
30
KITTEL, KNIGHT et
3,6
RUDERMAN
14
RESNICK et HALLIDAY
1,2
(a)
(b)
Tableau l
Les parties (a) et (b) du tableau montrent qu'il y a une différence
entre les auteurs quant à la place qu'ils font au dessin. Par exemple
en terme de surface, Fleury et Mathieu (1965) font de petits dessins
alors que Blanc et al. (1970)en font de plus grands. Kittel et al.
(1972) utilise 3 fois plus de dessins par rapport à l'écrit que ne le
font Resnick et Halliday (1979).

---

-39-
Cependant ces différences entre auteurs ne peuvent cacher queLques
traits communs. En terme de surface, La partie (a) du tabLeau montre bien
que dans Les ouvrages destinés à L'enseignement des cLasses préparatoires,
Le dessin occupe un pourcentage de surface à peu près sembLabLe: enVlron
10 % . Les dessins sont souvent petits. Les Livres universitaires fran-
çais font mieux: environ 17 % . Les Livres américains accordent un peu
pLus de surface au graphisme -environ 20 %- et Les schémas y sont pLus
grands.
La partie (b) du tabLeau ne permet pLus cette distinction : La
différence entre Les divers ~uteurs existe, mais demeure du même ordre
de qrandeur dans Les Livres universitaires (1,5 % d'écart maximum) et
dans Les Livres destinés aux cLasses préparatoires ou dans Les Livres
américains. On pourrait, de ce point de vue, dire que Les auteurs fran-
çais et américains accordent La même importance au dessin par rapport
au texte. CeLa suggère de faire La "moyenne", nombre de dessins d'un
groupe de Livres divisé par Le nombre de Lignes correspondantes. En
pourcentage, eLLe est égaLe, pour L'ensembLe des Livres français, à
2,5 % et pour Les Livres américains à 2,3 % . Ces vaLeurs sont tout à
fait comparabLes.
Nous avons d'autre part, évaLué Les pourcentages
(Surface dessin (SD~
et (Dessin/Ligne) en considérant tout L'ouvrage au Lieu des chapitres

---

-40-
portant sur La notion de champ. Voici Les résuLtats (TabLeau II).
1
(SD) %
OUVRAGES
DESSIN / LIGNE (%)
11
FLEURY et MATHIEU
2,7
24
BLANC,
DEGEILH et FONTAN
3,8
17
VALENTIN
2,2
10
JOYAL et PROVOST
1,9
7
DEVORE et RIVAUD
1,6
13
ANNEQUIN et BOUTIGNY
3,6
11
BERTIN, FAROUX et RENAULT
2,4
15
FEYNMAN, LEIGHTON et SANDS
1,7
26
ALONSO et FINN
2,5
30
KITTEL, KNIGHT et RUDERMAN
3,5
13
RESNICK et HALL! DAY
1,2
TabLeau II
Les résuLtats du tabLeau II sont en tout point sembLabLes à ceux
du tabLeau 1. L'importance accordée au dessin est La même que L'on
considère toute La mécanique ou seuLement L'un de ses chapitres. Chaque
auteur sembLe accorder au dessin une importance dictée par La matière
et sûrement par La façon dont eLLe est en généraL traitée.
Tous ces résuLtats suggèrent La concLusion suivante
iL existe
une différence entre Les Livres concernant La surface et La taiLLe ac-
cordées au dessin. Les Livres de cLasses préparatoires ont des dessins
pLus petits que Les Livres de cLasses universitaires. Les Livres

---

-41-
américains en généraL sont faits avec de grands dessins. Cependant par
rapport au texte écrit Les Livres français et américains accordent pra-
tiquement La même pLace au dessin dans Le cours de mécanique.
ii) PLace du dessin dans Les cours magistraux.
Dans Les cours, iL y a eu une moyenne de 6 dessins distincts par heure
avec d'importantes variations suivant Le professeur et suivant Le sujet
de 3 dessins jusqu'à 16 dessins par exempLe dans un cours sur Le champ
de gravitation de Monsieur Berroir.
Ces variations sont surtout dues au fait que certains professeurs
font peu de dessins mais Les expLoitent beaucoup et pendant Longtemps.
Le dessin vit, se transforme: L'enseignant commence une représentation,
donne un expLication, y revient ensuite soit pour y ajouter, soit pLus
rarement, pour y retrancher queLque chose. Des éLéments s'ajoutent à La
figure qui se transforme avec Le discours de L'enseignant.
D'autres enseignants, presque pour chaque point évoqué, font un dessin.
Par exempLe, La figure (21) a été faite en une seuLe fois pour iLLustrer
L'existence de mouvements rétrogrades d'un certain nombre de pLanètes;
Le professeur n'y est plus revenu.
Ainsi, L'importance du dessin ne se mesure pas seuLement par Le nombre
de dessins par tranche horaire, mais aussi par Le nombre de fois que
L'enseignant revient à un dessin, qu'iL Le transforme. Par exempLe, un
enseignant a compLété 7 fois le dessin représenté sur La figure (22) pour
caLculer Le champ électrique d'un pLan uniformément chargé.
Fig. 21

---

-42-
z
a
-..
E<M ' )
Fi0. 22
La séquence de ces actions est La suivante
- iL commence par tracer 2 segments concourants pour représenter
un pLan chargé. Faisant remarquer que La charge totaLe est infinie, iL
indique qu'iL existait une symétrie de transLation et trace Le segment
- Ensuite, iL expLique que Le champ éLectrique E(M) ne dépend que
de z met un point M et un point H, puis trace un segment orienté a
,
z
met des fLèches sur Les Limites du pLan;
- iL expLique La direction de Oz
efface M, M , remet Les points
2
-..
M et H et trace La fLêche vecteur E(M), perpendicuLaire au pLan.
- évoquant La symétrie du champ par rapport au pLan, iL fait Le
-..
dessin de M' et de E(M').
-..
- iL expLique comment étabLir E par Le théorème de Gauss et trace
un ensembLe formé de 2 eLLipses qu'iL joint par Les extrémités de Leur
grand axe, d'une 3è eLLipse centrée sur H. Cet ensembLe représente Le
cyLindre avec LequeL iL va caLcuLer Le fLux.
- iL effectue ce caLcuL; sur La base supérieure du cyLindre met
des hachures et puis trace 2 vecteurs-fLêches
L'un Le Long du segment
représentant La surface LatéraLe du cyLindre et L'autre normaL à ceLui-ci
--'>
- puis continuant de caLcuLer E et Le potentieL V de part et d'au-
tre du pLan iL revient à La figure pour accompagner ses propos sur La
discontinuité
du champ et sur La continuité du potentieL.

---

-43-
IL est donc tentant d'évaLuer L'importance accordée au dessin dans
un cours par Le nombre totaL de fois que L'enseignant revient sur Le
dessin. Pour une heure, ce nombre varie de 15 à 21 pour Les différents
cours examinés. Ces chiffres indiquent simpLement que La pLace faite au
dessin dans un cours est, somme toute, peu différente d'un professeur
à L'autre.
iii) Pendant Les entretiens.
MaLgré La pLace du dessin dans Les ouvrages et Les cours, Les ensei-
gnants, Lors des entretiens, n'ont pas conscience de son importance.
Au début de L'entretien, iLs Le présentent comme un outiL dont on peut
se servir de temps à autre. ILs ne Lui reconnaissent aucun intérêt
spécifique.
PLusieurs enseignants avouent Leur "inaptitude" à dessiner. L'un d'eux
dit: "je fais maL mes dessins mais je donne assez d'expLications oraLes
pour que Les étudiants comprennent mon exposé". Certains insistent sur
Le fait qu'on peut arriver aux résuLtats d'une démonstration, aux
concLusions d'un exposé sans L'aide d'un schéma. ILs se demandent si Le
dessin est aLors vraiment utiLe. L'un prenant L'exempLe du dessin de
L'atome d'hydrogène dit: "L'atome n'est pas comme ça dans La réaLité.
IL y ri un mouvement incessant des éLectrons" et de concLure
"Le dessin
fige La réaLité iL faut s'en méfier". D'autant, souLigne un autre, que
Le dessin n'est pas toujours correct: je n'ai jamais vu de cube aLLongé
comme on Le trouve dessiné dans certains Livres".

---

-44-
Au cours de L'entretien, à La question: "Dans votre cours dessinez-vous
beaucoup ou peu ?" ,
La majorité des enseignants répondent "pLutôt beau-
coup" et reconnaissent qu'iLs ne feraient sûrement pas de cours sans un
certain nombre de figures. S'agissant, par exempLe, du probLème du disque
uniformément chargé, tous reconnaissent qu'iLs ne caLcuLent pas Le champ
éLectrique en un point M de L'axe sans L'aide d'un dessin.
Peu à peu, certains enseignants concèdent une certaine utiLité au dessin,
et reconnaissent qu'iL peut avoir, en pLus de son rôLe de représentation,
un rôLe de support pour Le caLcuL. Mais pour autant, L'importance du
dessin n'est vraiment pas reconnue. Sauf pour queLques enseignants (2),
déjà convaincus, qui affirment que Le dessin est un "moyen indispensabLe"
pour faire comprendre un cours de physique. "Je m'appLique pour tracer
des dessins très clairs" dit L'un d'eux. Mais même ceux-ci reconnaissent
qu'iLs ne suivent pas de règLes particuLières pour représenter un objet
et ne donnent pas de raisons
qui font du dessin un "moyen indispensabLe".
2.2.2
L'utiLisation des différents aspects du dessin.
i) Dans Les Livres
Pour examiner La manière dont Le dessin est utiLisé par Les auteurs,
queL rôLe -représentation, communication ou outiL de caLcuL- iLs Lui
font jouer, nous aLLons repérer sur Le même corpus, Les types de dessins
utiLisés. IL n'est point besoin de reprendre La catégorisation généraLe
déjà éLaborée (p. 27 ) ; on L'adaptera pLutôt à L'anaLyse des Livres.
Un examen rapide montre que dans Les Livres de mécanique, Les figures
se réduisent aux dessins d'iLLustration pour Le type représentation,
aux graphes pour Le type communication et aux outiLs graphiques de caLcuL
pour Le type caLcuL.

---

-45-
Dans Les chapitres sur Le champ de gravitation, Le tabLeau III donne La
répartition des différents types de dessin.
Type
!
Nbre totaL Nbre de dessins Nbre de 1~:bre d' ou-
Ouvrages
de dessins
d'ouvrages
d'ilLustration graphes~tiLs gra-
ii
i phiques de
1
1
calcuL
FLEURY et MATHIEU
11
9
0
i
2
universitaires
BLANC,
DEGEILH et FONTAN
6
4
1
1
1
francais
i
VALENTIN
10
6
2
2
JOYAL et PROVOST
7
1
3
3
classes
DEVORE et RIVAUD
6
4
0
2
préparatoires
ANNEQUIN et BOUTIGNY
10
3
3
4
BERTIN, FAROUX et RENAULT
10
5
2
3
FEYNMAN, LEIGHTON et SANDS
21
15
2
4
livres
ALONSO et FINN
28
17
6
5
américains
KITTEL, KNIGHT, RUDERMAN
24
6
11
7
RESNICK et HALLIDAY
15
9
1
5
TabLeau III
Le tabLeau ci-dessus montre que Le dessin d'iLLustration est en généraL
pLus empLoyé que Les dessins outiLs de caLcuL ou Les graphes destinés à
La communication des résuLtats. CeLa est net pour Les Livres universi-
taires français (70 %) et américains (64 %), -excepté
KitteL et aL.
(1972) dont Le nombre de graphes est important-.
Dans Les Livres de cLasses préparatoires, L'outiL graphique de caLcuL
est assez Largement utiLisé -presque autant que Le dessin d'iLLustra-
tion. Son pourcentage par rapport à La totaLité des figures va de 33 %
,
1
pour
Devore et Rivaud (1964)
à 43 % pour
JoyaL et Provost (1972)
Ces pourcentages ne sont pas très différents. ALors que ceux reLatifs
aux dessins d'iLLustration varient de 67 % pour
Dévoré et Rivaud
à
14 % pour
JoyaL et Provost
• En résumé, Le dessin d'iLLustration est

---

-46-
très souvent présent, avec La même fréquence, dans Les Livres univer-
sitaires français et américains. Dans Les Livres de cLasses prépara-
toires Les auteurs recourent pLutôt aux outiLs graphiques de caLcuL
avec La même réguLarité.
Ces résuLtats indiquent que Les Livres universitaires priviLégient Le
rôLe de représentation du ues~in
tandis que Les Livres de cLasses
préparatoires s'appuient pLutôt sur son rôLe d'outiL de caLcuL. L'aspect
communication est, pour tout Les Livres -excepté
KitteL et aL. (1972)-
peu utiLisé. CeLa est sûrement dû aux objectifs de chaque type d'ensei-
gnement. L'enseignement universitaire a pour but de présenter des
connaissances généraLes en physique et Les principes de base. Dans ce
cas, L'iLLustration graphique vise à représenter La réaLité que L'on
décrit. Par contre Le but de L'enseignement des cLasses préparatoires
est de préparer Les étudiants à des concours où La maîtrise des techni-
ques de caLcuL est essentieLLe. Recourir au dessin comme un outiL de
caLcuL y sembLe tout à fait natureL.
Cependant en priviLégiant un aspect pLutôt qu'un autre, on perd une
bonne partie de L'utiLité du dessin. Le peu de pLace qu'occupe L'outiL
graphique de caLcuL dans Les Livres universitaires est sûrement pour
queLque chose dans Les difficuLtés que Les étudiants ont à empLoyer Le
dessin dans La résoLution des probLèmes de physique [caiLLot et
CauziniLLe-Marmeche,1984; Keita,1985J.
CeLa dit on constate dans Les Livres, qu'une figure comporte queLquefois
pLusieurs dessins. Par exempLe, pour représenter Le champ
de pesanteur
on rencontre Les figures ci-dessous

---

-47-
/ " -----
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/'
/
/
/
/
/
1
l
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I l L 1
1
-J_+--L-l._,_
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1
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l
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1
1
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1
\\
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1
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.Chalnp dl' pesanh'ur : lignt'~ dt' ful't'l,
j
•
'.
•
\\
/
(Illarqul'l's dl' l1l'r"l',_' l'l '''l'facl's dl' ni"l'aUll'n poiltlilll:1.
/
/'
"-
III Spherl' 1II1l1lolJlIl' [ormél' dl' l'ouclWS l'on('entriqlll"
--
................
---_/
IH)Jllogl'nc~ :
hl Champ unilorlIIe :
1') ,Ellipsoïdl'
illlllloiJii,'
1\\l'IIlIl"!l'n,'
(aplali""'''''ltl
Champ de gravitation à l'extérieur de la Terre,
,'onsllit-rabit-llIl'nl pills ,,!rand «l\\(' l'dui dl' la 'l'l'l'l'l') :
li) Champ ddorlll!' par dl" al'l'id!'nls locaux 1l'11l'1-
lrt· .... l·'\\:agl·n· ..... l"Olllpar~lliy\\'!11c·llt
;111 ca .... dn Ch:lI11p
(t'r·
rl' ... ln· L
Fig. (23)
Fig. (24)
r Bertin & aL., 1977 Chap. 7 n02]
[Fleury
,~ Mathieu,1965 n° 16.81
Le premier dessin est simpLe. Le deuxième est dit composite. Ce dernier
présente pLus d'informations qu'un dessin unique. De pLus ces informa-
tions sont saisies gLobaLement, aLors qu'une succession des mêmes des-
sins, en figures distinctes, Les présentait de façon séparée, sans Lien
apparent.
La composition/juxtaposition de pLusieurs dessins dans une même figur~
est une technique qui renforce Le rôLe de représentation du dessin.
A cause de ceLa, eLLe est spécifiquement mise en oeuvre dans Les Livres
universitaires (TabLeau IV). En effet nous avons repéré dans Le corpus
Le nombre de dessins composites et avons obtenu Les résuLtats suivants
Nbre totaL
Nbre de dessins d'iLLustration
OUVRAGES
de dessins
.
composites
simpLes
1
.
11
3
1
6
FLEURY et MATHIEU
6
1
1
3
BLANC, DEGEILH et FONTAN
VALENTIN
10
3
1
3
JOYAL et PROVOST
7
0
1
1
DEVORE et RIVAUD
6
0
4
ANNEQUIN et BOUTIGNY
10
0
1
3
BERTIN, FAROUX et RENAULT
10
0
1
5
1
FEYNMAN, LEIGHTON et SANDS
21
3
12
ALONSO-FINN
28
7
1
10
KITTEL, KNIGHT et RUDERMAN
24
5
1
1
RESNICK et HALLIDAY
15
2
1
7

---

-48-
Ce tabLeau montre que Le dessin composite est absent des Livres de
cLasses préparatoires. Par contre, dans Les Livres universitaires une
figure d'iLLustration sur trois est composite. La composition est une
modaLité de La représentation/ pLus compLète.
Ce constat nous suggère de rechercher aussi Les modaLités de mise en
oeuvre de L'aspect communication et de L'aspect caLcuL du dessin •
. Lorsqu'il n'est pas trop négLigé, KitteL et aL.
(1972), ALonso et
Finn (1972), ~ graphique
qui sert à La communication, peut être Lui-
même un dessin composite (Fig. 25).
Intérieur de lu sphère
11I1l'rll'lIr dl' 1.\\ ,,,!In,'
.,
~.
1
1
"
1
1
1
1
1"
III
l
,1
!fi
\\
~ - ) -
~;_I/r2
"
1
1_
/:1)
Fig. 25 [ALonso
& Finn,1972 n° 13.241
La composition peut aussi mettre en jeu un graphe et un dessin symboLique
(Fig. 26)
_ _r_-
_
.~
POlIT n ~ f, '.:> U~,,(r). le ll1(lu'o'Cmenl a ileu cnlre
dc... l'0lnle;, de ( rcnrou ...scrncnt )\\ r, ct,~
L'~lrhllc
(,••;t unc clllp"'(, avant \\111 foyer en r Il
Quand J: ... 0,
r,
• , cll'C'ecntru.:lh:
comme pour une paraholc.
Fig. 26 r KitteL
& aL.,1972 p. 2851

---

-49-
Les deux aspects, dessin symbolique et graphe, concourent à rendre la
représentation graphique pLus compLète. L'utiLisation de La composition
peut ainsi renforcer Le rôLe d'outiL de communication du graphe.
Ceci mis à part, La communication est aussi assurée nous L'avons vu,
par Les dessins paradigmes. QueLs sont Les dessins paradigmes reproduits
par Les auteurs?
Les paradigmes scientifiques et Les dessins qui Leur correspondent se
rencontrent bien sûr au niveau de L'énoncé de La Loi de gravitation et
de ce qu'eLLe a pu expLiquer en premier: Le mouvement des pLanètes.
Dans La pLupart des Livres, L'énoncé de La Loi de gravitation est iL-
Lustré par Le même genre de dessin: deux vecteurs-fLêches, de même
direction, égaux et opposés appLiqués aux points représentant Les masses
qui s'attirent mutueLLement
(Tableau V).
DE~S Il'J
-+ .
A
F'
A'
et MATHIEU
1
FLEURY
•
}
·r·
. (
•
m
m'
-+
-+
F
u
BLANC, DEGEl LH et FO~ITAN
,
•
. .
. .
r
. f
'0' (m)
O(m)
VALENTIN
pas de dessin
JOYAL et PREVOST
pas de dessin
-+
-+
0
F
F
0'
DEVORE et RIVAUD
•
•
r
• •
•
-+
ANNEQUIN et BOUTIGNY
~û
f
M'
.
.~
•
mO
m'
-+
U
T
m'
BERTIN, FAROUX et RENAULT
m •
•
. r
4
•
M'
FEYNMAN, LEIGHTON et SANDS iLlustre une conséquence de La Loi: L'indé-
pendance des mouvements verticaL et horizontal
ALONSO et FINN
0
~
. 4
e
m
F
r
F'
m'
KITTEL, KNIGHT et RUDERMAN
pas de dessin
m1
m2
m1
m2
m1
F2
..
RESNICK et HALL! DAY
•
tif
•
---+
4---4~
(a)
r12
(b) r
=-r
(c)
F
=-F
21
12
12
21
TabLeau V

---

-50-
MaLgré des variantes, c'est toujours Le même dessin paradigme qui est
tracé pour iLLustrer La Loi de gravitation. IL en est de même de L'orbite
d'une pLanète. Son dessin a deux aspects; - L'un figuratif: L'orbite
est L'ensembLe des positions de La pLanète vu
par un hypothétique obser-
vateur dans L'espace; - L'autre est fonctionneL: L'orbite est un graphe
dans un système de coordonnées donné. Les auteurs Les distinguent rare-
ment. Toutefois tous présentent Le caractère eLLiptique de L'orbite.
Mais iL y a ceux qui produisent une orbite figurative (TabLeau VI.a),
ceux chez qui prédomine L'aspect fonctionneL du dessin (TabLeau VI.b) et
enfin ceux qui utiLisent Les deux aspects (TabLeau VI.c).

---

-51-
/
[Resnick
& HaLLiday, 1979
fig. 16.10.]
[ALonso
P"
Finn, 1972
fig. 13.4.]
Fil. 4.
Mouvemml quasI C1J"C\\Ilaire d'une plaorte autour du soleil.
1-10 : La piaDcIe .. ckplaa: plus rapIdement en Y, qum p •.
[ Bert,'n ~
aL ., 1977]
[ B Lan c & aL., 1970 • ]
TabLeau VIa

---

-52-
y
M
ISI.5,.
périgée
AI-----!:L-::d--~~~/;__-"""i
\\ ; 2 , 0 , '
• IrO
~
P
x
1 /1
!
1
1
1
I l !
1
1
J
1
•
1
1
1
- 1.0
o.~
SOLEIL
o.~
1
Le mouvement calculé d'une planéte
FIG. 42.
autour du Soleil
[JoyaL &.
Provost, 1972]
[ Feynman .&
aL., 1979
Fig. 9.6 J
Annequin
& Boutigny, 1975]
TabLeau VI.b

---

-53-
F1pft \\111.4.
0 . . Ir riferr.od CftICri ni G ln "'lI
éfoün cow,'ers ,., la I"lrifariOllOlM . .
O'ajKtoirn ~~s.. Lnn ,e.i-
0 - rriari." • 1I-1q• • i. .aJIfS _1
....in CD. CI). Q) ...
[ VaLentin, 1983. ]
, ~ . '.
i
~. ~, ,~~~..
,
~~Ib)
1970
~
1970
11~~-~-""::"t:"':":=------T---
-...
OrbIte apparente de SIriUS. La courbe en traIt
gru en la) mODtre le mouvement slDusoidal de
,
l':loile primaITe. la courbe en tral! fin rq>resente
le mouvement slDusoïdal de la nalDe blanche qUI
raccompagne, la courbe en tirets est le: mouve.
ment du centre de masse du systeme; (h, montre
(L..-.l.....L(.........._(1--.........fL,..._.l...(.........._"_-Jf'
les orbues apparentes des deux composantes autour
de leur centre de gravite commun; (cJ est l'orbite:
apparente: du compagnon autour de retoile pn·
Fit. 7-7
malTe. rD 'oprès Siruve. ü'nds eT Pil/oTlS.)
[ Feynman &,
aL., 1979]
[ Kit teL
& aL., 1972
p. 292.]
TabLeau VI.c

---

-54-
Ainsi L'aspect communication, queLque peu négLigé au niveau des graphes,
se trouve tout de même fortement mis en oeuvre par La reproduction des
dessins paradigmes •
• Enfin, rappeLons que Les dessins destinés au caLcuL sont des des-
sins symboLiques sur LesqueLs on a ajouté des éLéments graphiques utiLes
au caLcuL (p.24
). ILs ne sont pas en généraL composites. La composi-
tion qui tend à renforcer Le rôLe d'outiL de représentation du dessin
n'a, bien évidemment, pas un grand intérêt.
On vient de décrire Les différentes manières d'utiLiser Les types
de dessins dans Les Livres. Passons maintenant aux cours.
i.i)
Les différents types de dessins utiLisés dans Les cours
En repérant Les dessins tracés, on trouve qu'environ 40 % sont de type
représentation (dessins symboLiques), 40 % des graphes (de type communi-
cation) et 20 % des outiLs graphiques de caLcuL.
Contrairement à son utiLisation dans Les Livres, Les graphes représen-
tant La variation d'une grandeur en fonction d'une autre, sont Largement
produits en cours. C'est Le moyen de présenter et de communiquer des
informations et des résuLtats de façon concise. Représentation "et com-
muni cation sont
Les deux aspects du dessin que Le professeur met à
contribution, Largement,dans Le cours magistraL. La composition qui
faciLite La représentation est ici rempLacée par La possibiLité d'ef-
facer, de transformer tout, ou une partie, du dessin. Les dessins
paradigmes sont aussi très Largement utiLisés. Tous Les enseignants ont
iLLustré La Loi de La gravitation universeLLe par
FI
o
F
(J'
m
>-
-
- - -
- ~(-------... m'
Fig. 27

---

-55-
et La Loi de CouLomb par
q
F
F'
q'
o ,..,----~). -
-<lt:<-------
(a)
r
O'
-..
F
q
q
F'
(b)
•
•
- .,------+.
r:
r
Q'
Fig. 28
La représentation (a) correspond à des charges q et q' de signes opposés;
(b) correspond au cas où q et q' sont de même signe.
i.i.i) RésuLtats du questionnaire
Le dessin est reconnu de tous comme outiL de représentation, mais Les
enseignants réaLisent rarement que Le dessin puisse servir à La com-
munication et au caLcuL.
D'autre part pour connaître Le rôLe du dessin paradigme, nous avons posé
deux questions •
• "Dessiner un atome d'hydrogène - noyau (1 proton) + un éLectron
autour. De quoi dépend Le graphisme". C'est Le modèLe de Bohr qui
est Largement reproduit (Fig. 29). Aucun commentaire n'est fait,
Le dessin étant considéré comme évident, se suffisant à Lui-même.
Fig. 29

---

-56-
A contrario on note de grandes difficultés à dessiner un objet non
familier. Nous avons donné la tâche suivante •
• "Soit La fonction de deux variabLes x et t suivante: y=f(x-vt)
ou v est une constante. ELLe décrit une surface S dans L'espace
y, x, vt • La section de cette surface par Le pLan y, x (ou bien
Le graphe de y = f(x - vt) dans Le pLan y, x) est donné par La
figure suivante
y
x
Faire un dessin en perspective de la surface y = f(x,tL Représenter
La section de cette surface par le pLan (y,vt)".
Rappelons que y=f(x-vt) peut être L'équation au cours du temps
de L'ébranLement transversaL d'une corde. ELLe se retrouve dans
presque tous Les Livres de physique
de La Première des Lycées,
par exempLe dans
Bramand et aL.,1982 •

---

-57-
Un seuL enseignant parmi Les 17 a été capabLe d'esquisser Le dessin
(Fig. 30 • Trois ont donné La section avec Le pLan (y,vt) (Fig. 31).
y
y
vt
----1.:.---------::::::..-7
Fig. 30
Fig. 31
En résumé, ces entretiens montrent que Les enseignants qui conçoivent
Le dessin comme un outiL de représentation, reproduisent Largement Les
dessins-paradigmes et éprouvent de grandes difficuLtés à produire des
dessins non famiLiers.
2.2.3 ConcLusion
L'étude empirique du rôLe du dessin dans L'enseignement de La physique
au niveau du 1er cycLe universitaire indique que Le dessin peut être
un outiL de représentation, de communication et de caLcuL. Son rôLe
dépend du domaine visé de La physique. Par exempLe, en mécanique et en
éLectrostatique, Le rôLe de représentation est priviLégié. IL dépend
aussi du type d'enseignement: Le dessin comme outiL de caLcuL est
surtout mis à profit dans Les Livres de cLasses préparatoires.
Cependant, dans Les Livres et dans Les cours Le dessin est utiLisé
Largement comme outiL de représentation. Pour renforcer ce rôLe, Les
auteurs font appeL dans Les Livres aux figures composites -chacune

---

-
-58-
formé de pLusieurs dessins. L'importance du rôLe de représentation du
dessin nous incite à regarder cet aspect de pLus près.
L'examen de La recherche didactique sur Le dessin montre que c'est
L'aspect Le moins étudié jusqu'ici. En effet
• Le graphe -de type communication a été Largement anaLysé par divers
auteurs. En mathématiques par Janvier (1978), CLément (1985),
RogaLski (1984), en physique par Mc Dermott et aL. (1983).
• Le rôLe d'outiL de caLcuL a été étudié par SzLichcinski (1979 ;
particuLièrement en Mathématiques par Audibert (1986) et en Physique
par nous-mêmes Keita (1985).
• L'étude du schéma éLectrique a été Largement déveLoppée par Johsua
(1982), CaiLLot et CauziniLLe-Marmeche (1984) dans Le cadre de La
résoLution de probLèmes en physique.
Nous nous inéresserons dans ce travaiL au dessin d'iLLustration
qui est Le type de figure Le pLus fréquent dans L'enseignement et Le
moins anaLysé dans La recherche.
IL y a Lieu de ce fait de regarder d'une part Les probLèmes Liés à La
représentation des formes des objets -notamment tridimensionneLs-,
d'autre part Le contenu physique transmis par Le dessin. Ces deux
points seront abordés dans Les deuxième et troisième parties suivantes.

---

1 DEUXIEME
PARTIE 1
LA REPR~SENTATION EN PERSPECTIVE
D'OBJETS TRIDIMENSIONNELS

---

-
-60-
11 LA PERSPECTIVE DANS L'ENSEIGNE~ENT DE LA PHYSIQUE
1.1. QUESTIONS DIDACTIQUES
La perspective est une forme symboLique (Panofski, 1927). De ce fait,
toutes Les méthodes se vaLent. Si on fait un choix, aLors iL faut en examiner
Les règLes, Les erreurs commises par rapport à ces règLes, et aussi regarder
Les meiLLeurs moyens d'en tirer profit.
Dans L'enseignement de La physique, Les enseignants et Les étudiants
ont souvent à faire des dessins pour représenter objets et systèmes physiques.
Ces dessins aident Les étudiants à comprendre Les situations physiques tri-
dimensionneLLes Lorsqu'eLLes sont figurées sur Le pLan. En généraL, Les
dessins sont tracés en perspective. Mais contrairement au dessin technique,
très codifié, qui exige des compétences particuLières pour être Lu ou produit,
Le dessin en perspective se Limite à suggérer des formes gLobaLes, à donner
des dispositions reLatives. IL est pLus faciLe à Lire et à produire que Le
dessin technique. Le dessin en perspective est néanmoins régi par queLques
règLes et possède des propriétés bien précises.
CeLa dit, Le recours spontané à un certain dessin en perspective, dans
L'enseignement de La physique, sembLe, a priori, ne pas poser de probLèmes,
"on s'en sort jusqu'ici". Pour Les enseignants ceLa est sûrement vrai: iLs
connaissent parfaitement La situation spatiaLe représentée par Le dessin et,
pour eux, Le recours au dessin n'est pas décisif pour La comprendre. IL n'en
est pas de même des étudiants qui cherchent à maîtriser une situation spatia-
Le, et pour ceLa, vont souvent utiLiser Le dessin. Pour L'étudiant, Le pas-
sage d'une figure pLane à La représentation tridimensionneLLe dlun objet
nécessite une connaissance des règLes, des codes et des conventions mis
en
oeuvre pour Le tracé du dessin. En pLus La quaLité du dessin produit par Les
étudiants infLue fortement sur La note obtenue à L'exercice (Keita,1985).
Le probLème didactique se pose ainsi: parmi Les règLes bien étabLies du

---

-61-
dessin en perspective qu'eLLes sont ceLLes qu'iL faut expLiquer aux étudiants
en physique? Est-ce aisé de Le faire? Comment peut-on procéder?
Ce probLème didactique souLève pLusieurs questions.
Est-iL souhaitabLe de Limiter La pratique du dessin en perspective à un
ensembLe d'habitudes manueLLes acquises empiriquement?; L'enseignant peut-iL
continuer à produire des dessins sans un minimum de connaissances de certai-
nes règLes et propriétés de La perspective. Ces règLes et propriétés connues,
L'ensei~nant doit-iL Les appLiquer strictement? ; ou y-a-t-iL Lieu de toLé-
rer certains écarts dans La mesure où La communauté des enseignants de
physique reconnait Les dessins produits et comprend très bien ce qu'iLs
représentent? L'enseignant, doit-iL continuer à ne pas expLiciter aux étu-
diants Les règLes, Les codes et Les conventions (voire Les écarts toLérés)
qu'iL met en oeuvre (souvent impLicitement) pour dessiner?
C'est à ce genre de questions, que nous essaierons d'apporter queLques éLé-
ments de réponse
en nous Limitant au cas du dessin en perspective d'objets
macroscopiques teLs ceux rencontrés en mécanique et en éLectrostatique.
En vue d'3méLiorer Les résuLtats des étudiants, notre objectif est de cerner
Les conditions didactiques qui Leur permettent de produire et d'interpréter
correctement des dessins en apprenant une Leçon de physique ou en résoLvant
un probLème (exercice) cLassique.
Pour ce faire, dans cette deuxième partie, nous examinerons Les probLè-
mes Liés à La production des dessins en perspective d'objets physiques
. dans Le premier chapitre, nous rappeLLerons Les propriétés
fondamentaLes de La perspective;
. dans Le deuxième chapitre, nous verrons Les types d'erreurs
commises par Les étudiants (erreurs par rapport à L'appLication stricte d'une
perspective donnée, en L'occurrence La perspective cavaLière) ;

---

-62-
• dans Le troisième chapitre, nous proposerons certaines règLes
et recommandations qui nous sembLent nécessaires à mettre en oeuvre pour
remédier à ces erreurs.
1.2. PROPRIETES FONDAMENTALES DE LA PERSPECTIVE
Ce paragraphe est très Largement inspiré des Livres sur La perspective
de FLocon et Taton (1963), de Barre et FLocon (1968) et de DéLédicq (1978).
La perspective permet de représenter un objet de teLLe sorte que sa repré-
sentation coincide avec La perception visueLLe qu'aurait un observateur pour
une certaine position de L'objet.
La perspective est une projection des points M de L'espace occupés par
L'objet sur Le pLan de dessin(D). On a L'habitude de distinguer deux types
de perspective ,
• La perspective centraLe (PL)
: projection qui d'un point 0 ,
(centre de projection, oeiL de L'observateur) fait correspondre à tout point
M , un point m du pLan(DlteL que OMm soit rectiLigne [Fig. 32a]
(a)
(b)
Fig. 32

---

-63-
La perspective cavaLière (PC) projection paraLLèLe à un axe ~ ,
qui, à tout point M fait correspondre Le point m de(D)teL que Mm
soit paraL-
LèLe à ~ (Fig. 32b) ; Le point 0 est rejeté à L'infini).
1.2.1
La perspective centraLe
ELLe utiLise Les éLéments auxiLiaires suivants
· un pLan horizontaL (H) passant par O,1
· un pLan verticaL (V) perpendicuLaire à (H), confondu souvent
avec Le pLan de dessin'1
• un pLan de terre (T) qui coupe (V) seLon La Ligne de terre (t),
.,_-----1" , ... , .. ,J-------~-:-:H~
_-----r- ..... , .. .J-------T:-:;7
T
(t)
Fig. 33
L'intersection de (H) et de (V) est La Ligne d'horizon (h) ou "horizon".
C'est L'image du pLan horizontaL dans La perspective de centre 0 • Sur (h),
Le point f intersection du pLan (V) avec Le rayon horizontaL perpendicuLaire
à (V), est Le "point de fuite principaL". C'est L'image d'un point M à
L'infini dans La direction perpendicuLaire à (V). Le pLan (V) est appeLé

---

-64-
aussi "pLan frontaL". Les pLans et droites parallèLes à (V) sont dits fron-
taux; Les pLans et droites perpendicuLaires à (V) sont dits "de bout".
Les propriétés principaLes de La perspective centraLe sont Les suivantes
· La Ligne d'horizon (h) est L'ensembLe des points représentant
Les rayons visueLs horizontaux i
• Les droites paraLLèLes qui coupent Le pLan (V) concourent vers
un point unique qui est Leur point de fuite. Les droites paraLLèLes situées
dans des pLans horizontaux ont Leur point de fuite sur (h);
· Les droites paraLLèLes entre eLLes et au pLan (V), et qui ont
Leur point de fuite rejeté à L'infini, conservent Leur paraLLéLisme.
1.2.2
La perspective cavaLière
Dans Le trièdre trirectangLe (OX,OY,OZ), on pLace Le pLan de dessin(D),
paraLLèLement à L'une de ses faces (ici OY,OZ). L~ direction de projection 6
est choisie non perpendicuLaire à(D). Les figures situées dans des pLans
paraLLèLes à (OY,OZ) sont projetées en "vraie grandeur".
z
m
z
---+
K
y
o
---+
J
---+
l
x
Fi CJ. 34

---

-65-
~
~
~
~
~
~
~
Les vecteurs J et K se conservent : J = j et K = k • Mais Le vecteur l ,
~
~
~
~
~
de bout, se transforme: l t i = 6(1)
Sur Le pLan (D), L'angLe y = (i , j)
~
~
est appeLé angLe de fuite;
Le rapport des moduLes de
i
et de j est Le
Ilili
rapport de réduction r = ~
Un vecteur de L'espace
il Til
~
~
~
~
OM = X l + y J + Z K
a pour image
~
~
~
~
~
~
~
Om = X 6 ( 1) + y J + Z K = X i + y j + Z k
Ainsi une combinaison Linéaire de vecteurs se transforme, en perspective
cavaLière, en une combinaison Linéaire des vecteurs images avec Les mêmes
coefficients. C'est Là une propriété essentieLLe de La perspective cavaLière
très utiLe en physique. En outre,La PC conserve Le paraLLéLisme et Les
rapports de Longueur de deux segments paraLLèLes.
1.2.3
Ambiguité du dessin en perspective
IL existe toujours une ambiguité du dessin en perspective.
Soit, par exempLe, Le dessin ci-dessous (fig. 35a).
A
S
A
S
A
B
D
C
C
C
E
E
E
F
(b)
(a)
(c)
Fig. 35
IL peut être vu comme E F étant au premier pLan et (ASCD) au second pLan.
La direction de visée va aLors de haut en bas et de droite à gauche (Fig. 35b).

---

4
-66-
IL peut aussi être vu comme ayant E F au second pLan et (ASCO) au premier
plan; La Ligne de visée aLLant de bas en haut et de gauche à droite (Fig. 35c~
En fait L'ambiguïté est Liée intrinsèquement à La perspective
pLusieurs
points aLignés, M, M', M" ont La même image m comme indiqué sur La figure
ci-dessous.
l'II"
MI
M
Pour Lever cette ambiguïté iL faudrait donner un second éLément d'informa-
tion : soit La distance mM, soit une deuxième projection ml de M faite sur
un autre pLan (Roubaudi, 1930).
Si on garde Le cadre de La perspective, on a essayé jusqu'ici de Lever
L'ambiguïté en donnant des indications verbaLes, par exempLe: teL point
est devant, teL côté en arrière (HuLin & Quinton, 1986). On peut aussi adop-
ter d'autres conventions comme mettre Les arêtes cachées en pointiLLé -ce que
nous ferons-. Toutefois, notons (compLément IV) que La seuLe connaissance de
L'axe de projection 6 suffit à déterminer Les parties cachées.

---

-67-
1.3. QUELLE PERSPECTIVE DOIT-ON PRIVILEGIER?
Malgré des traits communs (ambiguîté, rapport avec la perception),
les perspectives centrale et cavalière présentent des différences techniques
importantes. La question du choix de l'une ou de l'autre s'est toujours
posée. Ainsi, pour dessiner les grands espaces les artistes utilisent la
perspective centrale. Par contre les architectes emploient la perspective
cavalière pour représenter les bâtiments.
Dans l'enseignement supérieur, certains auteurs, comme Frenkel (1973~ ac-
cordent une grande importance à la perspective centrale. Leurs justifications
sont du genre: "la géométrie projective décrit mieux l'univers sensible que
la géométrie affine", "la vision monoculaire ressemble plus à une projection
conique qu'à une projection parallèle", "notre oeil apprécie mieux les
birapports que les rapports ou les distances" (Frenkel,1973). Ces types de
justifications laissent de côté la nature de la réalité à représenter et
l'échelle de la description.
En physique, la perspective cavalière est intéressante à considérer,
et ce pour plusieurs raisons •
• D'abord la taille des objets à dessiner sont souvent à l'échelle de
la classe; le point de fuite, caractéristique de la perspective centrale
n'est alors plus indispensable. Dans ce cas, la perspective cavalière est
sûrement la plus adéquate. C'est ce que nous avons vu en considérant la
totalité des chapitres de chacun des ouvrages recensés dans la première
partie. Pour cet ensemble, la proportion est de 10 dessins en perspective
cavalière pour 1 dessin en perspective centrale. Dans l'ensemble des cours
magistraux observés, on note un rapport de 6 dessins en perspective cava-
lière pour 1 dessin en perspective centrale.

---

-68-
Ensuite La perspective centraLe produit un dessin propre à un obser-
vateur dont L'oeiL serait au point 0 , centre de La perspective. Pour faire
Le même dessin, tout autre observateur devrait pLacer aussi son oeiL en 0 •
C'est Là une grande contrainte que La perspective cavaLière va partieLLement
Lever. En effet un dessin en perspective cavaLière peut être tracé et regardé
par une infinité d'observateurs tous pLacés dans La même direction ~ • La
perspective cavaLière fournit ainsi un dessin reLativement "indépendant" de
L'observateur .
• De pLus La perspective cavaLière conserve Les reLations Linéaires
entre vecteurs. Une combinaison Linéaire de vecteurs de L'espace R
se projet-
3
te en une combinaison Linéaire avec Les mêmes coefficients. Cette propriété
essentieLLe justifie que L'on puisse faire dans Le pLan, certaines opérations
-comme L'addition- sur des représentations de vecteurs dans Le pLan et Les
tenir pour opérations sur Les vecteurs de L'espace. Une teLLe propriété
n'existe pas en perspective centraLe. CeLa montre bien tout Le parti que Le
physicien peut tirer des constructions de vecteurs (champs de vecteurs,
forces •.. ) en traitant Leurs représentations en perspective cavaLière .
. Enfin La perspective cavaLière conserve Le paraLLéLisme et La nature
des faisceaux de droites: un faisceau de droites paraLLèLes se projette en
un faisceau de droites paraLLèLes; un faisceau de droites concourantes a
pour image un faisceau de droites concourantes. Ainsi
La perspective cava-
Lière est pLus simpLe à mettre en oeuvre que La perspective centraLe qui,
eLLe, ne conserve pas La nature des faisceaux.
En perspective centraLe, L'image d'un référentieL trirectangLe sera un ensem-
bLe de droites concourantes non perpendicuLaires. ELLe pourrait même être un
faisceau de droites paraLLèLes si La droite joignant Le point de concours
(du faisceau) et Le centre 0 de La perspective était paraLLèLe au pLan du

---

-69-
dessins (D) (Fig. 36)
x
y
z
o~
Fig. 36
Pour une perspective centraLe particuLière, où Le référentieL image serait
dessiné avec un angLe droit, un faisceau de droites paraLLèLes serait en
généraL dessiné comme un faisceau de droites concourantes (° ,° ,6
sur La
1
2
3
figure 37).
z
x
Fig. 37
Ainsi, par rapport à La perspective centraLe, La perspective cavaLière a de
réeLs avantages
· eLLe conserve Le paraLLéLisme et Le rapport de Longueurs de deux
segments ;
· eLLe conserve La nature des faisceaux de droites,
• eLLe est, par suite, pLus faciLe à mettre en oeuvre.

---

-70-
MaLgré ces avantages, La perspective cavaLière garde un gros défaut:
Le dessin d'un objet diffère de L'image perçue de L'objet. L'exempLe de La
sphère est Le pLus manifeste: eLLe est toujours perçue circuLaire, aLors
que Le dessin de son contour, en perspective cavaLière, comme en perspective
centraLe, (sauf cas particuLier), est une eLLipse. IL y a Là un confLit
[BaLdy & aL., (1987> ; Bautier & aL., (1987>1 entre L'image de L'objet
perçue et Le dessin trop "déformé".
Résoudre ce confLit est une condition importante pour L'utiLisation du
dessin dans L'enseignement de La physique. On verra que Les enseignants et
Les étudiants, en L'absence d'un apprentissage de La perspective (cavaLière),
résoLvent Le confLit:
- en traçant L'image de ce qu'iLs perçoivent
un cercLe pour représen-
ter Le contour de La sphère,
- en changeant de points de vue pour dessiner Les différentes parties
de La sphère.
Peut-on résoudre ce confLit, tout en respectant Les règLes de La pers-
pective cavaLière? Nous montrerons que oui.
NatureLLement, pour atténuer Le confLit indiqué, entre objet perçu et dessin
déformé, iL est nécessaire que Le dessin se rapproche de ce que L'oeiL per-
çoit. Dans La figure
ci-après, L'observateur est pLacé dans La direction t,
Les différents pLans de dessins (D ), (D ), (D ) sont pLus ou moins incLinés
1
2
3
(Fig. 38).

---

-71-
v
. -8-
.
.
-
.
~
.
... ~ ..
Fi q. 38
Le dessin sur Le pLan (D ), voisin du pLan perperdicuLaire à 6 est Le pLus
3
proche de L'image de L'objet perçue par L'observateur. Ainsi Le dessin en
perspective (cavaLière ou centraLe), Le pLus proche de L'image de L'objet
perçue est ceLui tracé seLon un axe de projection voisin de La perpendi-
cuLaire au pLan de dessin.
Nous venons de passer en revue, Les propriétés principaLes et queLques
probLèmes de La perspective utiLisée dans L'enseignement de La physique.
CeLa nous conduit à :
• choisir, en physique, La perspective cavaLière comme La méthode de
dessin La pLus adéquate;
• et à préciser, Les conditions du dessin acceptabLe
au pLan didacti-
que: La direction de projection doit être voisine de La perpendicuLaire au
pLan de dessin.
Dans Le chapitre suivant, nous aLLons examiner Les types d'erreurs
commises sur La forme des dessins, aussi bien par des étudiants que par des
enseignants; ce en vue de rechercher, parmi Les règLes du dessin en pers-
pective cavaLière, ceLLes qu'iL est utiLe et souhaitabLe de Leur expLiciter,
pour remédier à ces erreurs.

---

-72-
2. PRATIQUES DE LA PERSPECTIVE
DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA PHYSI~UE,
TYPES D'ERREURS
MaLgré L'importance du dessin dans L'enseignement de La physique, Le
professeur appLique rarement de façon systématique Les règLes de La perspec-
tive. Les raisons peuvent être de pLusieurs ordres
· soit parce que L'enseignant évite de consacrer beaucoup trop
de temps au dessin par rapport à ceLui du discours/
• soit parce qu'iL utiLise Le dessin stéréotype,
· soit parce qu'iL s'en tient à ses pratiques de dessins acquises
empiriquement.
Souvent ceLa conduit à des erreurs.
L'étudiant ne reçoit jamais d'expLications sur Les règLes utiLisées pour Le
tracé d'un dessin, aLors que dans de nombreuses situations, iL est amené à
produire un dessin ou à L'interpréter. Aussi est-iL amené à commettre pLu-
sieurs types d'erreurs. De pLus, L'absence depuis pLusieurs années, d'un
enseignement de La géométrie dans L'espace au Lycée, n'arrange pas Les choses.
Les éLèves et Les étudiants sont pLutôt formés à effectuer des caLcuLs aLgé-
briques ou des opérations Logiques qu'à "voir dans L'espace".
Notre objectif, rappeLons-Le, est de cerner Les types d'erreurs commises par
L'étudiant et par L'enseignant en vue de définir une approche pour y porter
remède.

---

-73-
2.1 TYPES D'ERREURS CHEZ LES ENSEIGNANTS
On constate dans Les ouvrages une pratique peu correcte: L'utiLisation
dans un même dessin tantôt de La perspective cavaLière, tantôt de La perspec-
tive centraLe. A titre d'exempLe nous avons choisi Le dessin suivant qui
représente L'interféromètre utiLisé dans L'expérience de MicheLson et MorLey.
Ce dessin est tiré de KitteL et aL., (1972); nousypLaçons Les observateurs.
~-
Vue
en
perspective
de
l'appareil
decril
par
MICHELSON et MORLEY dans leur article de 1887.
Fig. 39 [KitteL & aL., 1972, p. 3351
Le pLateau sur LequeL repose Les miroirs est dessiné en perspective centraLe
(PL) tandis que Le socLe en briques L'est en perspective cavaLière (PC).
A ce méLange des perspectives s'ajoute un autre type d'erreur
: pour une
perspective donnée, on constate La superposition de pLusieurs points de vue
dans un même dessin. CeLa arrive fréquemment dans un cours magistraL où
L'enseignant en transformant son dessin, change aussi de point de vue.
Voici un exempLe. Pour dessiner un osciLLoscope, L'enseignant commence

---

-74-
souvent par une section droite vue de face, du tube (Fig. 40).
Fig. 40
Puis iL compLète Le tracé en dessinant Les pLaques de déviation horizontaLe
Ph et verticaLe P
• Les pLaques P
sont vues de face, en coupe: La dévia-
v
v
tion du faisceau y est faciLe à voir. Par contre, pour La déviation horizon-
taLe, iL Lui faut montrer Les pLaques en perspective (Fig. 41).
Pv
Fig. 41
Remarquons que ces erreurs ne sont pas très importantes : La figure (41) est
pLutôt un schéma où seuLe La disposition des éLéments est importante; dans
La figure (39), Les dessins du socLe et du pLateau sont physiquement, sans
intérêt, aLors que La disposition des miroirs est essentieLLe.
Enfin, on note aussi des erreurs dans Le cas des dessins de corps ronds
(cercLe ou sphère). Ainsi Lors du questionnaire passé aux enseignants
(annexe I) -item II-, iL était demandé de dessiner un cercLe (vu de face à
La figure 42a) Lorsque ceLui-ci est obLique par rapport au pLan de dessin.

---

-75-
D
d
d
A
B
a
b
c
c
(c)
(b)
C
(a)
Fig. 42
Le dessin du cercLe est bien esquissé: c'est une eLLipse mais Les diamètres
du cercLe sont maL pLacés. Ce sont Les axes de L'eLLipse qui sont dessinés
(Fig. 42b) à La pLace des diamètres conjugués indiqués sur La figure (42c)
correcte.
Dans Les manueLs comme dans Les cours, Le contour d'une sphère en pers-
pective est invariabLement dessiné comme un cercLe, aLors qu'en généraL
ceLui-ci est une eLLipse. (voir CompLément 1). Le dessin du contour de La
sphère, avons-nous déjà noté, est L'occasion d'un confLit entre Le dessin
(une eLLipse) et ce qui est perçu (un cercLe). IL traduit aussi La manière
de L'enseignant de résoudre cette opposition. En effet, soit Le dessin de
La sphère de La figure (43a) teL qu'on peut Le trouver dans un manueL.
/
/
' "
1
/ '
/ '
~'~_l~/
6 ....
,-
(a) [ALonso & Finn 1972, Fig. 7.19\\
(b)
Fig. 43

---

-76-
Le contour est dessiné évidemment circuLaire. Mais de pLus, tandis que
Le cercLe équatoriaL est dessiné à L'aide d'un axe de projection 6
dirigé
1
du haut vers Le bas, obLique par rapport au pLan équatoriaL, Le dessinateur,
pour montrer deux pôLes a effectué une projection suivant un axe 6
paraL-
2
LèLe au pLan équatoriaL.
Cette manière de résoudre ce confLit ne respecte pas Les règLes de La
perspective. IL nous paraît pLus judicieux de rechercher une autre méthode,
qui respecte Les règLes de La perspective, donc pLus cohérente et pLus
faciLe à justifier aux étudiants. Nous L'exposerons à La fin du chapitre 3.
2.2 TYPES D'ERREURS CHEZ LES ETUDIANTS
La perspective cavaLière est La perspective La pLus utiLisée dans Les
Livres, Les cours et aussi, comme nous Le verrons, par Les étudiants. C'est
sur Les dessins utiLisant cette perspective que nous aLLons chercher Les
erreurs commises par Les étudiants. Ces derniers n'ont pas seuLement à pro-
duire des dessins, iLs ont souvent aussi à Les Lire pour en extraire des
informations. IL est aLors utiLe de savoir qu'eLLes sont parmi Les propriétés
de La perspective, ceLLes que Les étudiants acceptent, empLoient et reprodui-
sent, et, à L'inverse, ceLLes qu'iLs rejettent, ou qu'iLs ne jugent pas
utiLes d'empLoyer.
2.2.1 MéthodoLogie
Nous anaLyserons deux groupes de dessins :
. ceux reLatifs au questionnaire portant sur Le dessin (Annexe II),
. ceux faits au cours de résoLution de probLème; nous regardons
des copies d'exercices dont Les énoncés figurent dans L'annexe(IV).
Nous avons travaiLLé avec deux popuLations d'étudiants de 1ère année
universitaire

---

-77-
• ceLLe soumise au questionnaire. ELLe est formée de 173 étudiants des
Universités Paris 6, Paris 7, de Dakar et de Lomé •
• ceLLe résoLvant par écrit des probLèmes. ELLe est constituée de 487
étudiants des Universités Paris 7 et de Dakar.
En généraL, Les étudiants tracent des dessins sans un très grand soin. Ainsi
tous Les détaiLs ne sont pas dessinés avec suffisamment de précision. Par
suite, notre anaLyse du traitement de La perspective cavaLière portera sur
trois points essentieLs
· La conservation du paraLLéLisme,
· La modification des angLes et des Longueurs. En particuLier nous
regarderons si des Longueurs égaLes de segments de droite de bout et de front
dans L'espace, sont dessinées inégaLes,
· La conservation de La direction de projection paraLLèLe.
A partir des productions des étudiants, nous essaierons de dégager La fré-
quence des différentes catégories de réponses (types d'erreurs, techniques
utiLisées par Les étudiants). La catégorie des non-réponses (NR) regroupe
Les absences de réponse et Les dessins ne correspondant pas à La tâche
demandée.Nous faisons L'hypothèse que Les étudiants utiLisent La (PC). Pour
nous assurer que L'hypothèse est Légitime nous avons soumis Les étudiants aux
items (H) donnés à L'annexe (II) . Dans ces items nous demandons de dessiner
des carrés et des cubes dans différentes positions. Pour savoir si Les étu-
diants utiLisent La (PL) ou La (PC)
Le critère principaL est L'existence ou
non d'un point de fuite. Dans Le cas des items portant sur des dessins à
interpréter Les étudiants ont à indiquer Les dessins qu'iLs jugent impos-
sibLes pour représenter L'objet et cLasser par ordre de préférence Les

---

-78-
dessins proposés (pour un objet donné). IL s'agit de dessins d'objets fami-
Liers tracés en (PC) et en (PL) avec différents points de vue.
2.2.2 Sur L'hypothèse "Les étudiants utiLisent La "PC"
C'est une hypothèse généraLement faite par ceux qui s'intéressent à La
PC dans L'enseignement: Caron-Pargue (1979), DaLLe (1980) pour Le primaire,
Audibert et Bonafe (1986) pour Le coLLège, CaLmez (19~4) pour Le Lycée,
HuLin et Quinton (1986) pour L'université.
Nous nous proposons de La vérifier chez Les étudiants de physique.
Les items H , H , H
(annexe II) mettent en jeu des dessins d'objets fami-
1
2
3
Liers simpLes.
i) Tracé de dessins
• Dans L'item H
La première tâche demandée est de dessiner un carré incLiné
1
d'un petit angLe par rapport à L'horizontaL. Dans Les réponses, iL y a
autant de dessins sans point de fuite (PC) que de dessins avec point de
fuite (PL). Les étudiants pour cet objet famiLier, dans une position cLas-
sique utiLisent soit La(PC)soit La(PU. Cette répartition est sûrement
due au fait que dans L'enseignement, Le dessin d'un carré est très fréquent
et qu'iL est tantôt fait en (PL) tantôt en (PC).
Les étudiants reproduisent L'un ou L'autre dessin (Fig. 44 a et b) •
(a)
"PL"
(b)
"PC"
Fig. 44

---

-79-
Comme deuxième tâche on demande de dessiner un carré dans une position non
cLassique (diagonaLe verticaLe, L'autre diagonaLe horizontaLe faisant un
certain angLe avec une droite de bout. On obtient aLors 75 % de dessins
sans point de fuite et 25 % de dessins avec point de fuite. Dans une posi-
tion inhabitueLLe, Le carré est dessiné en majorité sans point de fuite (PC)
(Fig. 45).
(PC>
(PU
Fig. 45
L'item H met en jeu un objet simpLe mais peu souvent dessiné en physique:
2
iL s'agit du dessin d'un ensembLe de 2 poteaux verticaux reLiés par un fiL
qui pend; L'ensembLe est observé sous un angLe de 60°
par rapport à La
normaLe du pLan de dessin D • C'est La perspective cavaLière [Fig. 46aj qui
est utiLisée par 77 % des étudiants; 23 % d'entre eux tracent Le dessin en
(PU [Fig. 46bl.
(a)
"PC"
(b)
"PL"
Fi g. 46

---

-80-
Les réponses aux deux items H, et HZ nous indiquent que Lorsque Les
étudiants ont à produire un dessin avec Leurs propres techniques -soit
parce que L'objet à dessiner est peu famiLier, soit parce qu'iL est dans
une position peu habitueLLe- iLs utiLisent majoritairement La perspective
cavaLière.
ii) Interprétation de dessins
L'item H
présente Les dessins suivants de carrés et de cubes.
3
....
~
1" 4 ...
..
. -
:
Les étudiants devaient barrer Les dessins qu'iLs jugeaient impossibLes.
Pour Les dessins restants, iLs devaient ordonner Les dessins en fonction
de Leur ressembLance avec L'objet test.
Voici
Les résuLtats donnant Le pourcentage d'étudiants ayant jugé que teL
dessin était impossibLe.

---

-81-
Pour Le carré
Pour Le cube
Dessin
1
Z
3
4
Dessin
1
Z
3
4
impossibLe
10
70
100
0
impossibLe
30
70
100
0
%
%
Les dessins jugés Le pLus fréquemment possibLes sont Les dessin~ du carré
comme du cube, qui sont faits en (PC). Par contre Les dessins (Z) et (3),
tracés en (PL), sont fréquemment jugés impossibLes.
De pLus, concernant Le carré, 87 % des étudiants jugent impossibLes, à La
fois Les dessins (Z) et (3) tracés en (PL). Pour La même paire de dessins,
iLs sont 69 % concernant Le cube, Les paires jugées impossibLes et mettant
en jeu des dessins en (PC) sont rares.
CeLa suggère que c'est bien La PL qui est jugée impossibLe.
Dans L'ordre, Les étudiants préfèrent Les dessins (4), (1), (Z) et (3)
pour représenter Les carrés et Les cubes. Le dessin (4) est tracé en pers-
pective cavaLière sans réduction
Les côtés perpendicuLaires de bout et de
front, sont é~aux sur Le dessin. L'angLe de fuite y du dessin est de 60°
environ.
En concLusion Les réponses aux items H , HZ' H
Légitimement bien
1
3
L'hypothèse: Les étudiants utiLisent en généraL La perspective cavaLière
pour tracer un dessin ou pour L'interpréter. Ce résuLtat vient compLéter
Les travaux déjà cités sur La question. Tous indiquent que La (PC) est
spontanément mise en oeuvre par L'éLève et par L'étudiant et ce depuis L'âge
de 12 ans environ [DoLLe gaL., 1973].
Après ce travaiL préLiminaire nous aLLons examiner qu'eLLes sont Les
erreurs que font Les étudiants dans La pratique de La perspective cavaLière.
Nous regarderons sur Leurs dessins comment iLs traitent d'une part Les

---

-82-
modifications de Longueurs et d'angLes, d'autre part La direction de pro-
jection. Sauf mention contraire tous Les dessins suivants sont tracés en
perspective cavaLière.
2.2.3 Erreurs des étudiants dans La pratique de La PC
Ces erreurs seront recherchées rappeLons-Le, dans Les productions
graphiques aux différents items et dans Les dessins tracés Lors de réso-
Lution de probLème.
i) Erreurs sur Les modifications des Longueurs et des angLes •
. Nous étudions d'abord Les dessins produits Lors de résoLution d'exer-
cice. Nous avons choisi d'anaLyser Le probLème du disque chargé (annexe IV)
où iL faut caLcuLer Le champ éLectrique en un point de L'axe du disque
uniformément chargé. Sur Les dessins trouvés dans Les manueLs, y figurent
Le tracé du disque en (PC) et ceLui d'autres éLéments utiLes au caLcuL du
--..
champ E (Fig. 47).
Il
I l
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
:r/
1
/
1
.:
1
1
1
1
1
~dS ~C
Fig. 47
Fig. 48
[ Dévoré g, Annequin,1966 fig. no161
[Dessin
réeL en PC d'un étudiantl
Au cours du caLcuL, Les étudiants introduisent Le symétrique dS' de dS centré
en P' , et tracent un dessin comme ceLui de La figure(48)ci-dessus : Le disque

---

-83-
doit être tracé en forme d'eLLipse; Les segments obLiques égaux dans L'espace
MPet f1P' ne Le :sont
pLus sur Le dessin. Les angLes sont aussi modifiés; en
particuLier Les angLes en M , à savoir, a et a
égaux dans L'espace, ne Le
s
sont pLus sur Le dessin. Sur Les dessins produits par Les étudiants, nous
comparons systématiquement Les Longueurs des segments r et r
ainsi que Les
s
vaLeurs des angLes a et a
pour voir s'iL y a ou non modificatlon. Lorsque
s
Le dessin du disque est un cercLe, iL n'y a pas de modification des Lon-
gueurs et des angLes.
En associant toute égaLité MP = MP' sur Le dessin, ou tout tracé cir-
cuLaire pour Le disque, à une conservation des Longueurs et de~ an~Les, on
obtient Les résuLtats suivants:
Longueurs
AnqLes
égaLes: inégaLes
1
égaux 1 inégaux
,
,
%
85
1
15
83
1
17
1
1
A pLus de 80 %, Les étudiants ne modifient ni Les Longueurs ni
Les angLes
dans Leurs dessins en perspective cavaLière, Lorsqu'iLs ont à résoudre Le
probLème du disque chargé.
IL en est de même dans Les productions graphiques pour Les autres items.
Dans L'item M iL s'agit de dessiner un objet rigide <Fig. 49) constitué de
2 segments de droites AB et AC tournant autour de La bissectrice "verticaLe"
~
de L'angLe BA C et ceLa pour pLusieurs angLes de rotation (;

---

-84-
A
B
H
Fi,g. 49·
Fig. 50
Le dessin à tracer pour un certain angLe ~ est donné par La figure (50) en
perspective cavaLière. Dans ce dessin, Les côtés sont d'inégaLes Longueurs,
Les angLes de grandeurs différentes. On cherche dans Les réponses graphiques
si ces modifications existent ou non.
Cette question sembLe a priori faciLe puisque seuLement 8 % des étudiants
ne répondent pas. Mais Le tabLeau suivant montrent que Les segments AB et AC
sont très Largement dessinés égaux.
ANGLE DE
REPONSES
N R
%
EGALITE DES
ROTATION 1jJ
%
%
LONGUEURS
45°
92
8
81
135°
92
8
94
225°
92
8
80
IL en est de même pour Les angLes ~ et ~
Les résuLtats sont donnés dans Le tabLeau ci-dessous.
ANGLE DE
REPONSES
N R
%
EGALITE DES
ROTATION let>
%
%
ANGLES
45°
92
8
75
135°
92
8
81
225°
92
8
79

---

-85-
Les réponses à L'item M montrent que Les étudiants ont une forte tendance
à traduire L'égaLité des angLes (resp.
Longueurs) de L'objet par une égaLité
d'angLes (resp. Longueurs) sur Le dessin. En référence au dessin de La
figure (49), et pour, par exempLe W = 45°, Le dessin représentatif de cette
tendance est
C
B
On retrouve La même tendance en considérant Les dessins faits dans L'item
H1 • (dessin d'un carré à diagonaLe verticaLe (Fig. 51)). Les étudiants
dessinent en majorité un Losange (Fig. 52).
B
B
C
A
C
A
D
Fig. 51
Fig. 52
Pour cet item (H ), 84 ~~ des productions graphiques des étudiants conservent
1
Les angLes et Les Longueurs. Ces résuLtats sont tout à fait sembLabLes à
ceux obtenus en examinant Les copies sur L'exercice du disque chargé.
IL s'avère donc que Lorsque L'étudiant trace un dessin en perspective cava-
Lière (même pour Le dessin d'un objet famiLier dans une position peu habi-
tueLLe), iL a tendance à traduire Les angLes égaux de L'objet par des angLes

---

-86-
égaux sur Le dessin. IL en est de même des Longueurs •
• Cette concLusion est à moduLer Lorsque L'étudiant dessine un objet
famiLier dans une position cLassique. En effet, L'apprentissage, c'est-à-
dire La fréquente reproduction d'un dessin connu, peut fortement jouer. Par
exempLe, dans Le dessin du carré Légèrement incLiné (item H ) on obtient
1
Les résuLtats suivants
LONGUEURS
ANGLES
REPONSES
,
égaLes 1 inégaLes
égaux; inégaux
.
•
,
•
100
10
90
0
,
100
1
1
L'apparition de L'inégaLité des angLes et des Longueurs serait due à une
reproduction pure et simpLe de dessins famiLiers.
ii) Erreurs de changement de direction de projection
Si Le pLan du dessin est fixé, pour dessiner un objet en PC on effectue
une projection, paraLLèLement à un axe fixe 6, de toutes Les parties (faces,
arêtes) de L'objet. Sur un même dessin, changer d'axe de projection, pour
représenter Les différentes parties d'un objet, est une erreur. ELLe a été
déjà reLevée dans Les manueLs (dessins de sphères dans LesqueLs Les pôLes
Nord et ~ud sont pLacés sur Le contour circuLaire). IL en est de même dans
Les dessins produits par Les professeurs en cLasse, Lorsqu'iLs compLètent un
dessin déjà existant.
Les étudiants commettent aussi très fréquemment cette erreur dans Les dessins
reLatifs à La résoLution de probLèmes comme Lors des réponses aux items du
questionnaire.
Dans ce qui suit, nous aLLons examiner Le changement de direction ~ sur
des dessins tracés pour résoudre Le probLème du disque chargé (annexe IV).

---

-87-
Le dessin qui sert à caLcuLer Le champ éLectrique en un point M de L'axe du
disque [Fig. 47] est reproduit sur La figure (53) ci-dessous qui, en pLus,
comporte La direction de projection 6 choisie: pLongeante du haut vers Le
bas. Cette direction est très natureLLe car nous avons L'habitude d'observer
Les objets et des dispositifs physiques, pLacés sur une tabLe.
z
M
6
------
Fig. 53
Fig. 54
Percevoir un changement de direction dans un dessin de ce type (c'est-à-dire
L'existence d'un premier axe pour dessiner une eLLipse pour Le disque et d'un
nouveL axe pour dessiner Le triangLe PMP') est assez difficiLe dans un des-
sin à main Levée. Par exempLe Le dessin ci-dessus, (FiC]. 54),peut être
considéré tracé sans changement de direction si Le choix des éLéments de
surface dS et dS' est teL que Le triangLe (PI~P') soit de front, donc vu en
"grandeur nature".
Il y a changement de direction L si, simuLtanément, (PMP ' ) est dessiné comme
sur Les figures ci-dessous et Le disque est tracé circuLaire
M
I~
P'
P
P
P'
(b)
(a)
Fig. 55

---

-88-
En effet Le dessin du disque comme un cercLe signifie que Le disque est
frontaL. Par contre Les dessins du triangLe (PMP')
[Fig.55J
, signifient
que ceLui-ci est soit de front (Fig. 55a) soit obLique (Fig. 55b). Ceci
n'est possibLe que si on a changé de direction pour percevoir PM P' comme
te L.
Oans Les copies d'exercices iL y a 23 % des étudiants qUl procèdent à un teL
changement d'axe.
Regardons maintenant Les erreurs de changement de direction dans Les répon-
ses au questionnaire.
Pour examiner pLus Largement ce type d'erreurs nous avons anaLysé Les
réponses graphiques des items (H, et M). Toutefois iL faut remarquer que
Les objets mis en jeu dans ces items (carré, triangLe) n'ont qu'une face.
Par suite, L'erreur de changement d'axe ne peut être trouvée que si Les
conditions de réaLisation du dessin sont suffisamment précises. La formuLa-
tion des items visait cet objectif.
On part d'une position de départ où L'objet est de front (vu en "vraie
grandeur"). Après rotation iL n'est pLus de front et ne peut donc pLus être
vu en "vraie grandeur" ; par suite tout dessin qui conserve Les Longueurs
ou Les angLes suppose L'une des deux éventuaLités suivantes
soit L'étudiant a changé Le pLan de dessinloJ, soit iL a changé de position.
En fait dans Les deux cas, iL a changé de direction de projection 6 . C'est
avec ceLa en arrière pLan que nous avons recherché s'iL y avait, ou non,
changement de direction dans Les dessins des items H,(b) et M • Les résuLtats
montrent :
pour H,(b), [dessin du carré de diagonaLe verticaLel, 83 % des réponses
sont réaLisées avec un changement de direction 6 •

---

-89-
• pour L'item M, [dessin d'un objet rigide trianguLaire en rotation], on a
Les résuLtats ci-dessous.
AngLe de rotation
Réponses
Changement de direction
~
45 0
100
67
135 0
100
77
225 0
100
71
Ces résuLtats indiquent que L'étudiant procède à des changements de
direction.
iii) Interprétation des erreurs
L'étude de La pratique de La perspective dans L'enseignement de La
physique, nous a montré que La perspective cavaLière est La perspective La
pLus Largement empLoyée. Cependant Les enseignants ne L'utiLisent pas de
façon très rigoureuse: iLs changent souvent de point de vue au cours d'un
même dessin. ILs dessinent maL Les corps ronds (cercLe et sphère).
Les étudiants, si eux aussi utiLisent spontanément La perspective cavaLière,
iLs La maîtrisent maL. Deux erreurs importantes ont été dégagées
• Le changement spontané de direction d'observation,
. La conservation de L'égaLité des Longueurs et des angLes pour des
vues non frontaLes.
Ces erreurs, commises avec des fréquences presque toujours supérieures à
70 %, suggèrent L'existence chez L'étudiant d'une pratique généraLe fortement
ancrée. Quand on sait que Les perspectives (PL et PC) ne sont pas enseignées
on est tenté de donner des éLéments d'expLications pLausibLes pour expLiquer
Les comportements des étudiants.

---

-90-
• Premièrement, La pratique des étudiants à changer de direction
d'observation est à rapprocher de La "perspective frontaLe" utilisée, il
y a des miLLiers d'années, par Les Sumériens et Les Egyptiens. La "perspec-
tive frontaLe" essaie de représenter gLobaLement L'espace en Le divisant
morceau par morceau et en se dépLaçant chaque fois pour dessiner 8n morceau
de front. Aujourd'hui encore, Les enfants L'utiLisent (Debienne, 1968). On
désigne par "erreur de frontaLité" (FLocon & Taton, 1963) La pratique qui
consiste, dans un même dessin, à changer de direction pour avoir de front
Les différentes parties de L'objet à dessiner.
Dans Le cas du disque chargé, L'erreur de frontaLité conduit au dessin de
La figure (56) (Keita, 1987b).
Fig. 56
Le disque est d'abord vu de front, on effectue un dépLacement pour avoir
ensuite Le triangLe de front. Cette erreur a été trouvée chez 20 % des
étudiants. Si on éLargit La notion d'erreur de frontaLité aux cas où L'étu-
diant change L'axe de projection D pour dessiner au mOlns L'une des faces
de front, on trouverait encore pLus d'étudiants pour commettre ce type
d'erreur. Ains~ en considérant tous Les dessins (en PC et en PL) dans L'item
H b (carré de diagonaLe verticaLe), 62 % des étudiants font L'erreur de
1
frontaLité. ILs sont encore 6 sur 10 étudiants à commettre cette erreur dans

---

-91-
L'item HZ (poteaux et fiL pendant) et dans L'item M • Ainsi à pLus de 60 % ,
Les étudiants font des erreurs de frontaLité et produisent un dessin en
méLangeant perspective cavaLière et éLéments de "perspective frontaLe".
Tout ceci nous fait dire que L'erreur de changement de direction d'observa-
tion est fortement Liée à L'importance accordée à ce que L'oeiL perçoit.
• Deuxièmement, pour Les objets simpLes que nous avons utiLisés,
L'étudiant sait que Leurs Longueurs et Leurs angLes sont égaux. Ce savoir,
acquis depuis Longtemps, vérifié dans pLusieurs circonstances, s'impose à
L'étudiant. Les égaLités des éLéments géométriques de L'objet doivent être
traduites par des égaLités sur Le dessin. Autrement dit, iL reporte comme
teL, ce qu'iL sait de L'objet sur Le dessin.
Par suite, L'erreur due à La conservation des Longueurs et des angLes sembLe
Liée à ce que L'étudiant sait de L'objet. Cette infLuence des connaissances
antérieures sur La production du dessin se rencontre aussi dans Le dessin
technique (DoLLe, 1987) ; RabardeL & WeiLL-Fassina, 1986). IL en est de
même s'agissant des représentations pLanes en Mathématiques pour LesqueLLes
Parzysz (1989) a étudié La reLation voir/savoir.
Ainsi L'appLication des règLes de La perspective cavaLière se trouve
confrontée chez L'étudiant, à La fois à ses connaissances et à sa perception
de L'objet à dessiner. Nous nous proposons, dans Le chapitre suivant de
fournir des règLes simpLes susceptibLes de réduire cette confrontation et de
remédier aux erreurs Lors de dessins d'objets tridimensionneLs.
Notre souci de "normaLiser" Le dessin, objet symboLique, n'étonne pLus si
L'on pense au traitement du dessin par L'ordinateur (informatique, dessins
de didacticieLs) pour LequeL La normaLisation est indispensabLe.

---

-92-
3. LE DESSIN D'OBJETS TRIDIMENSIONNELS
REGLES Srr1PLES DE PERSPECTIVE
C.L\\VALIERE
D2ns les deux chapitres précédents, nous avons montré que, chez
l'étudiant, le dessin était un important moyen pour comprendre les situations
physiques spatiales. Toutefois, il fait beaucoup d'erreurs de dessin. Ces
erreurs traduisent la tendance de l'étudiant à reporter sur le dessin ce
qu'il perçoit et ce qu'il sait des formes de l'objet.
Chez l'étudiant, l'absence de maîtrise du tracé des systèmes physiques
influe pratiquement sur
ses
performances. De fait, il existe une cor-
rélation entre la qualité du dessin produit par l'étudiant et sa note: en
analysant 126 copies (sur le disque chargé), on constate que, pour environ
2/3 des étudiants, à un dessin correct correspond une bonne note ( ~ 10) et
a un dessin incorrect correspond une faible note « 10) (Keita, 1985).
Il semble dès lors qu'une des voies possibles pour améliorer les performances
de l'étudiant en physique est de lui fournir des règles simples pour tracer
correctement en PC un dessin proche de l'image perçue de l'objet. Tel est
l'objectif de ce chapitre. De telles règles peuvent aussi se révéler utiles
à l'enseignant. Un dessin en perspective est un substitut de la réalité qui
aide à raisonner. En l'absence physique de l'objet, on peut effectuer plu-
sieurs opérations sur le dessin comme si on disposait de l'objet Lui-même.
Dans L'enseignement on dessine en perspective Les objets, les dispositifs
expérimentaux, les axes de référence, pour garder certaines informations
l · .
. l
3ème d'
.
lees a
a
lmenSl0n.
Le physicien a besoin de règLes simpLes pour dessiner des objets compliqués
tels que par exempLe :

---

-93-
• un réseau cubique à face centrées (Fig. 57),
une surface de Fermi du cuivre (Fig. 58),
• ou pLus habitueLLement, un système de 3 axes de référence et des
objets qui y sont repérés.
H
/.G
""
,
0
~
/
/ '
,-
•
:;
0/
C/
•
•
':J--
•
0
•
:;
•
•
'Y
~~
.F
::;
•
Cf
J
.-
~
a
Fig. 57
Fig. 58
[Fleury & Mathieu, 1956 fig. 16.48]
[KitteL,1983 fig. 28]
c'est grâce à ces règLes qu'iL peut rendre correctement Les formes et
Les dispositions reLatives susceptibLes de suggérer des reLations justes
pour interpréter Le dessin.
L'enseignant a aussi besoin de règLes simpLes de (PC), paradoxaLement
pour "gagner" du temps avec ses étudiants: quand iL trace un dessin suivant
des règLes, codes et conventions expLicitement adoptés, Les étudiants,
connaissant Les codes utiLisés, interprètent pLus vite Le dessin et accèdent
ainsi, d'autant mieux, à La situation physique représentée.
IL est donc uti Le d'enseigner et d'apprendre des règLes simpLes pour
dessiner correctement en perspective cavaLière. Dans ce chapitre, L'étude
des tracés d'objets physiques de forme cubique et sphérique vont nous aider
à Les dégager.
Le cube d'arête unité est intéressant à considérer parce que 3 de ses arêtes
ayant même sommet représentent Le système d'axes orthonormés, si souvent

---

-94-
utiLisé en physique. IL servira à montrer comment L'étudiant peut traduire
sans difficuLté sur Le dessin ce qu'iL sait (égaLité des arêtes et angLes
droits). Le tracé de La sphère en PC est L'occasion de résoudre Le confLit
entre Le dessin et L'image perçue. On rappeLLe ici que Les enseignants et
Les étudiants résoLvent cette difficuLté en traçant ce qu'iLs perçoivent:
un contour circuLaire (au Lieu d'une eLLipse) et en changeant de point de
vue pour représenter Les différents éLéments de La sphère. Le tracé de La
sphère va nous permettre d'iLLustrer une autre manière de résoudre ce
confLit, tout en respectant Les règLes de La perspective cavaLière.
3.1. TECHNIQUES DU DESSIN EN (PC)
Les techniques du dessin en (PC) reposent sur un ensembLe réduit
d'équations que nous aLLons rappeLer. Mais auparavant, précisons queLques
points sur La position de L'observateur et Le pLan du dessin.
Soit un cube (ABCDEFGH) de L'espace d'arête unité, figuré ci-après
(ABCDEFGH)doit être considéré comme L'objet cube dans L'espace.
[Remarque: pour Le représenter nous sommes obLigés d'utiLiser une certaine
perspective auxiLiaire]. Projetons-Le paraLLèLement à La direction ~ (~ non
perpendicuLaire au pLan de La feuiLLe)sur Le pLan du dessin [ici pLan de
La feu; LLe] paraL LèLe à La face (A B C D) • L'image (a b c de f 9 h) es·t Le des-
sin obtenu en (PC) suivant L'axe 0.; (a b cd e f g h) est, sur Le pLan de La
feuiLLe, Le résuLtat de La procédure de mise en oeuvre de La perspective (t)
appLiquée à L'objet cube dans L'espace.

---

-95-
a
b
y
h
-
g
--
-
-~ --
A
B
-
>--
6
-'a
c
1
-f_
- e
- - G
.-
.".
~
-
-
..-
C
..-
4
. F
DESSIN SUR LE
PLAN DE LA FEUILLE
OBSERVATEUR
,,-
CUBE "DANS L'ESPACE"
Fig. 59
• L'oeiL de L'observateur est pLacé dans La direction 6 <direction de
visée).
· Sur Le dessin, nous constatons un aLLongement des segments de bout
type <ag) ; Les segments de front type <gh) gardant Leur Longueur. Introdui-
sons Le rapport, dit de réduction, r = ~ pour décrire La modification des
gh
Longueurs. Les segments de front GH et de bout GA, perpendicuLaires dans
L'espace, forment sur Le pLan du dessin
L'angLe de fuite y , différent
de "r/2 •
• Pour anaLyser La configuration ci-dessus on introduit en généraL un
système de 3 axes orthonormés <O,X,Y,Z) dont L'origine est pLacée au sommet D
du cube et Les troix axes, Le Long de DF , DC et DA. Le pLan de dessin est
repéré par <0 yz) , image de <0 y Z). On confond souvent Le pLan de dessin au
pLan OYZ. Ce que nous ferons. L'axe de projection 6 peut être orienté; sur
--+
La figure <59), nous orienterons 6 vers L'observateur.

---

-96-
3.1.1. Repérage de L'axe de projection
--+ --+ --+
--+ --+
Soit Le référentieL orthonormé (0,1 J K) de L'espace, [ Le pLan <J,K)
est ceLui du dessin] •
u
y
Fig. 60
Sur La figure ci-dessus :
• repérons La position de L'axe de projection!':. dans Le trièdre <o,XY Z)
par deux angLes a et 13 : a est L'angLe de L'axe OX avec Ou, projection
orthogonaLe de !':. sur Le pLan X0 Z ; a = (0 X,O u). Et 13 est L'angLe de L'axe
OX
avec Ov
projection orthogonaLe de 6. sur Le pLan XOY ; 13= (OX,Ov).
Ces angLes indiquent La Latitude et La
Longitude
de L'axe de projection.
L'angLe a est souvent appeLé "hauteur", L'angLe 13
"azimut".
Notons, pour La suite, que OX indique La direction normaLe au pLan de des-
sin; un axe de projection!':. , voisin de La normaLe est repéré par des
angLes a et 13 petits et peu différents.

---

-97-
CeLa dit, sur Le pLan, on montre que L'angLe de fuite y entre Le tracé
de 2 segments perpendicuLaires, L'un de bout OA, et L'autre de front 08,
s'écrit:
=
[ 1 ]
tg
tg a
Y
tg S
Si Les segments 0 A et 08
sont égaux on montre que Leur rapport de réduction
(rapport des Longueurs) r a pour expression [DELEDICQ, 1978)
[ 1 ' 1
A partir du tracé sur La feuiLLe de papier, Les données de y et de r suf-
fisent à déterminer a et S • ELLes permettent donc de faire Le dessin de
n'importe queL objet.
~
• L'axe de projection 6 peut aussi être repéré par ses composantes
( 1 : . , 6 , 6 ) .
x
y
z
Par suite de La coincidence des pLans (0 Y Z) et (0 y z), on écri ra pour pLus
de simpLicité (oxyz) à La pLace de (OXYZ). ALors, L'image d'un point
M(x,y,z) de L'espace est un point du pLan y,z de coordonnées
6
6
[ 21
y--.i....
z
x
,
z - - x
(6
;tO).
6
6
x
x
x
L'image d'un vecteur V(V ,V ,V ) est un vecteur de composantes (v ,v ) teL que
x
y
z
x
y
6
6
[ 2')
v
= V
Y V
et
v
= V
z V
Y
Y
6
x
z
z
6
x
x
x
L'angLe de fuite y et Le rapport de réduction r (ou ce qui est équivaLent,
La hauteur a et L'azimut S) sont Liés aux composantes 6 ,6,6
de L'axe de
x
y
z

---

-98-
projection par Les reLations suivantes:
t, z
r
[3]
(a)
tgy = -
(b)
=_1_jt,2 + t,2
t,
t,
y
z
y
x
ou
t,
t,
[4]
(a)
z
tg CL = -
(b)
tg 13 = -1...
t,
t,
x
x
On peut donc produire Le dessin en partant de La donnée du coupLe (y,r) ou de
ce LLe de (t, ,t, ,t, ) •
x
y
z
3.1.2 Le référentieL, point de départ du dessin
Une fois ces reLations rappeLées considérons comme point de départ Le
coupLe (y,rL Convenons qu'un segment de front horizontaL (OF) d'image (Of)
(Of=OF) est parallèLe au bord inférieur de La feuilLe. Le segment de bout
(0 B) ,
perpendicuLaire et égaL à (0 F) a pour image (0 b) • Sur Le pLan de
dessi n, (0 b) forme avec (0 f) L' ang Le de fui te y et sa Longueur est te LLe
_ 0 b
quer-
<Fig. 61>.
Of
z
b
b
--+
k
y
a
y
r--.......
y
- -
_
a
f
f
x
Fig. 61
Fig. 62
Remarquons que, pour tracer un référentieL sur La feuiLLe, on ne fait que
compLéter La figure (61) en traçant L'axe frontaL Oz . Sur Le pLan Les
-+
-+
Longueurs des vecteurs unitaires j et k sont égaLes mais diffèrent de ceLLes
--+
de i <Fig. 62).

---

-99-
Autrement dit: une fois que L'on sait représenter L'angLe droit de 2 segments
égaux de bout <OB) et de front <0 F)
d'un objet, on sait représenter tout Le
reste de L'objet en utiLisant La conservation du paraLLéLisme et du rapport
de Longueurs
• De même, une fois Le système d'axes tracé, L'angLe aigu
-+
-+
y =(Ox,Oy) et
Le rapport de réduction r = Il i 11 / 11 j Il
sont fixés; tous Les objets
repérés doivent aLors être dessinés avec une perspective dont Les paramètres
sont ainsi
fixés.
3.1.3 Formes du dessin suivant La direction de projection 6
Les reLations
[1 ]
= tg
tg
ct.
Y
;
[ 1 ' 1
r =
ct.
+
tg B
régissent La forme aLLongée ou réduite du dessin suivant L'axe 6 repéré par
ct.
et B •
Nous avons tracé dans Les tabLeaux <V.II a, et b), Le dessin d'un cube pour
différentes vaLeurs de ct. et B ; un sommet du cube est toujours pLacé à
L'origine du système d'axes, Les arêtes qui en sont issues sont portées par
Ox.Oy,Oz . Le tabLeau montre au'au deLà de 40° environ, Le dessin ne refLète
pLus L'image du cube perçue par L'observateur. Par contre si ct. et B sont
petits et du même ordre (~ 15°), La ressembLance est meiLLeure.
Un axe de projection défini par de teLs angLes ct. et B -petits et du même
ordre- est voisin de La direction perpendicuLaire au pLan de dessin. CeLa
se traduit, via Les reLations [1J
et [1'], par un angLe de fuite y voisin
de 45° et un rapport de réduction petit devant L'unité.
Ainsi, tant qu'on ne s'écarte pas trop de La normale au plan de dessin,
le tracé est proche du cube teL qu'on Le perçoit suivant le même axe.
C'est comme si l'image de L'objet perçue, dans le cas de vision nette, était
équivalente au dessin de L'objet dans un plan perpendiculaire à l'axe

---

-100-
Tab Leau VII a
8
0°
10°
20°
25°
35°
40°
Cl
ooDD[]QCJLD
Du DJ c:o CIl CD
10°
EJ u LV LIJ LîJ CîJ
20°
EJ u éJJ BJ LV LV
25°
EJ 0 B B êY LY
35°
1 1
50° . . _.
. ..
I - - - - - - i
~
~
f

---

-101-
TabLeau VII b
ct
0
[TI
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1QOCDCD CO [CI
CîJ CîJ
0
20
LîJ
0
25
/

---

-102-
TabLeau VIII

---

-103-
d'observation. Nous avons donné dans Le tabLeau (VIII), Le dessin du cube
perçu en utiLisant cette équivaLence. Pour obtenir de teLs dessins, iL faut
pour tout 6 (a,S) , projeter sur un pLan (D') normaL à 6. Le référentieL étant
fixe, Le pLan D' tourne avec L'observateur, tout en restant normaL à L'axe.
On arrive au même résuLtat, en fixant L'observateur (6) suivant L'axe ox et
en faisant tourner L'objet en sens inverse (-a,-S). La projection se fait
paraLLèLement à Ox sur Le pLan <0 y z).
La concLusion à tirer de cette discussion sur Les formes des objets
cubiques est que, pour atténuer Le confLit entre Le dessin et L'image de
L'objet perçue, iL est judicieux de choisir un axe de projection pas trop
éLoigné de La normaLe au pLan de dessin. Ceci signifie, sur Le pLan du dessin,
un choix de L'angLe de fuite voisin de 45° et du rapport de réduction infé-
rieur à L'unité. Dans ces conditions, L'image mentaLe créée par L'observation
du dessin est assez sembLabLe à ceLLe de L'objet (construite Lors de La
perception directe de L'objet). Nous dirons d'un teL dessin qu'iL est tracé
dans des conditions proches de La perception.

---

-104-
3.2
DESSINS D'OBJETS
Nous venons d'examiner différents aspects techniques du dessin en (PC).
Regardons maintenant, comment Les introduire dans La cLasse, de façon à
remédier aux deux principaLes erreurs des étudiants, à savoir:
• L'erreur de changement d'axe de projection (Liée à L'opposition
entre L'image de L'objet perçue et Le dessin) •
• L'erreur de conservation des Longueurs et des angLes (Liée à La
tendance de L'étudiant à conserver sur Le dessin ce qu'iL sait sur La forme
de L'objet).
De ce point de vue, Les éLéments techniques exposés ci-dessus condui-
sent, à
- deux conventions
• Les segments de front horizontaux et Les segments de front
verticaux sont tracés paraLLèLement aux bords de La feuiLLe,
• Les parties cachées sont tracées en pointiLLé;
- deux règLes :
Le paraLLéLisme et Le rapport des Longueurs de deux segments
de droite
se conservent,
• un tracé de référentieL étant équivaLent à La donnée d'une (PC),
tous Les objets repérés dans ce référentieL doivent être tracés
avec La même perspective;
- deux recommandations :
iL est souhaitabLe de partir de (y,r) même si un référentieL
n'est pas expLicitement donné,

---

-105-
iL est judicieux de choisir un angLe de fuite y voisin de 45°
et un rapport de réduction r petit devant L'unité.
Dès Lors, en fixant (y,r) pour toute La cLasse, L'enseignant peut faire
fai re à tous Les éLèves des dessins parfaitement sembLabLes. Le respect de ces
règLes, conventions et recommandations empêche un changement de point de vue
et, a fortiori, un changement de perspective. IL rend évident La modification
des Longueurs et des angLes.
Dans L'enseignement de La physique, on fixe Le pLus souvent (y,r) en
traçant Le système
d'axes. Les référentieLs les pLus cLassiques sont figurés
ci-dessous.
z
z
-..
-..
k
k
y
,
y
x
x
(a)
(b)
Fig. 63
Sur L'un des dessins (Fig. 63a) l'angLe de fuite est d'environ 45° ; sur
L'autre (Fig. 63b) L'angle de fuite est de 135° environ. Sur Les deux
-..
-..
-..
dessins, La Longueur de i est voisine de ceLLes, égaLes, de j et de k
Le
rapport de réduction est voisin de L'unité.
Le premier référentieL est dessiné seLon un axe 6 repéré par des angLes
(a) et (3) positifs de L'ordre de 35° . Le deuxième correspond à des angLes

---

-106-
a et S de L'ordre de + 35° et - 35° . Tous Les deux sont donc dessinés seLon
des axes éLoignés de La normaLe
o~ au pLan de dessin. ILs sont produits Loin
des conditions du dessin proche de L'image perçue. C'est Là Leur défaut
--+
--+
majeur dû uniquement au fait que La Longueur de i est voisine de ceLLe de j .
z
Le référentieL Le pLus adéquat
--+
k
pour dessiner est ceLui-ci, figuré
--+
ci-contre; La Longueur de i est
--+
petite devant ceLLe de j • L'angLe
y
de fuite est toujours de 45° .
--+
i
o
IL est indispensabLe pour Le tracé
de La sphère où Le confLit entre
x
Fig. 64
perception et dessin est fLagrant
dès que L'axe de projection s'éLoigne de La normaLe au pLan du dessin.
Une fois Le système d'axes tracé, iL s'agit de dessiner un objet qui
souvent s'avère être un cube (ou ses éLéments~ ou un cercLe, ou une sphère.
Le tracé des corps Limités par des segments de droite est simpLifié par Le
fait qu'un segment de droite se transforme en un segment de droite. De teLs
dessins ne posent pas beaucoup de probLèmes. Pour Les corps ronds (cercLe,
sphère), iL en va tout autrement comme nous Le verrons.
Examinons Le tracé de ces figures géométriques particuLières.

---

-107-
3.2.1 Dessins du cube
On Les obtient faciLement par paraLLéLisme.
ILs apparaissent ressembLants à L'image perçue même pour Les référentieLs
cLassiques (Fig. 65 a et b)
reportés ci-dessous.
z
z
y
- - - - -+---i~
,
y
,
",, ,
"
(a)
x
Fig. 65
x
Le rapport de réduction pouvant être voisin de L'unité, on dispose ainsi, dans
ce cas, d'un grand domaine pour Le choix de L'axe de projection 6 pas néces-
sairement voisin de La perpendicuLaire au pLan du dessin. Aussi voit-on des
dessins de cubes, d'angLe de fuite y =60° et de rapport de réduction r =1
préférés par Les étudiants. ILs correspondent à une hauteur a et un azimut B
de 40° environ, ce qui sembLe constituer La meiLLeure position pour observer
un otjet sur une tabLe.
En résumé, Les référentieLs classiques (Fig. 63 a et b)
tracés avec des
-4-
-4-
Longueurs de i et j voisines sont tout à fait acceptabLes pour dessiner des
cubes.

---

-108-
3.2.2 Dessin du cercLe
En généraL, pour y et r queLconques, iL suffit de 2 ou 3 points
(chacun, par symétrie, fournit 3 autres points) pour avoir La forme de
L'eLLipse image d'un cercLe (compLément 13).
Cependant on peut choisir de faire un dessin sans réduction (r= 1).
Dans ce cas (compLément 13) ,
Les axes de L'eLLipse sont respectivement
La bissectrice intérieure et La bissectrice extérieure de L'angLe y • Ceci
faciLite Le tracé précis et compLet de L'image du cercLe. On peut en même
temps se rapprocher des conditions de La perception. On arrive aLors à
tg Y = 1 • Ai ns i La perspect i ve cava Li ère sans réduct i on, avec un ang Le de
fuite de 45° est La pLus appropriée pour Le dessin d'un cercLe. ELLe cor-
respond à une hauteur de visée a et un azimut B é~aux chacun à environ 35° ,
ce qui correspond aux conditions habitueLLes d'observation. Nous iLLustrons
tout ceLa dans Le dessin qui suit
b
F' ~---------~~----------7
F
m'
b'
Fig. 66

---

-109-
Dans La figure ci-dessus, on part du tracé de OF= Ob. Puis on trace Les
bissectrices intérieure et extérieure de y= (OF, Ob) • Les points m et n
extrêmités des axes s'obtiennent en menant du point H (0 H =.Q.i..)
La paraL-
Ji
LèLe à Ob
(compLément 13) • Enfin on compLète m'et n' par symétrie.
FF'
et bb'
sont des diamètres conjugués; mm'
et nn'
sont Les axes de
L'eLLipse. Ainsi, ces éLéments, que confondent Les étudiants, peuvent être
tracés aisément dans ce cas.
3.2.3 Dessin de La sphère
Sur Le dessin de La sphère teL qu'on L'utiLise en mécanique (sphère
terrestre), on doit faire figurer, avec une certaine précision, Le contour
visibLe, Le grand cercLe horizontaL, Les pôLes et Les points de contact
entre Le cercLe équatoriaL et Le contour etc •• Pour pLacer tous ces éLéments
du dessin, Les étudiants et Les enseignants font pLusieurs erreurs déjà re-
pérées qui portent
• sur La forme du contour. CeLui-ci, ensembLe des points de La
sphère où La direction 6 Lui est tangente, est un grand cercLe, perpendi-
cuLaire à La direction. Le contour a une orientation queLconque par rapport
au pLan de dessin D : son image, donc Le dessin du contour de La sphère,
doit être en généraL une eLLipse (compLément 1). La perception, quant à eLLe,
fait intervenir un pLan D' normaL à L'axe 6 , donc paraLLèLe au contour. Par
suite, La sphère est, queL que soit L'axe, toujours perçue comme un cercLe
de même rayon R . C'est Là une propriété particuLière à La sphère.
Les référentieLs cLassiques, issus d'une projection éLoignée des conditions
de La perception sont inadéquats pour rapprocher Le dessin de La sphère en
(PC) de son image perçue. Là se situe La source des erreurs commises, dont
Les principaLes sont :

---

-110-
• Le changement de direction 6 • Le besoin de représenter pLusieurs
éLéments -un cercLe horizontaL et un cercLe verticaL, Les pôLes et Les
points de contact- pousse, en L'absence de règLes expLicites, à changer
d'axe, pour dessiner chaque éLément dans une position proche de La perception,
• La position incorrecte des pôLes et des points de contact. CeLa
fait natureLLement suite à La difficuLté de pLacer, sur Les eLLipses images,
Les axes et Les diamètres conjugués.
Ceci dit, on peut, en utiLisant Les règLes servant à tracer Les segments et
Les cercLes, faire un dessin correct de La sphère en (PC), proche aussi de
son image perçue.
Pour ceLa, iL est indispensabLe de partir d'un système d'axes teL que
r soit petit devant 1 et y voisin de 45° • Sur Le dessin suivant [Fig. 671
1
nous avons choisi y = 45° et r =
pour dessiner une sphère de centre 0 et
6
de rayon unité.
Se donner (y et r), c'est se donner Le tracé du rayon horizontaL de front
(0 F)
et ceLui du rayon de bout (0 b) ; par suite, Les diamètres conjugués
(FF')
et (bb')
du cercLe horizontaL sont connus, ce qui permet de construi-
re L'eLLipse.
Dès Lors, tous Les éLéments de La sphère de centre 0 et de rayon 0 F
peuvent se construire en queLques étapes (CompLément II).
a) L'ellipse horizontaLe (h) de diamètres conjugués F F'
et bb' •
b) L'eLLipse verticaLe (v) de diamètres conjugués pp'
et bb' • ELLe
est symétrique de (h) par rapport à La droite b b' • Le segment pp'
est perpendicuLaire en 0 en F F'
et Lui est égaL. Les points P et P'
sont Les pôLes, situés à L'intérieur du contour. L'un des 2 est
visibLe.

---

-111-
c) Le contour est presque circuLaire, touchant L'eLLipse horizontaLe et
L'eLLipse verticaLe au voisinage des extrémités de Leur grand-axe.
On obtient de La sorte, un dessin de La sphère et de ses différents
éLéments, respectant Les règLes de La (PC). C'est Là, pensons-nous, une
manière pLus cohérente que ceLLe des étudiants (et des enseignants) de résou-
dre Le confLit entre L'image de La sphère et son dessin.
\\
P
\\
-+\\
1 k
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
1
\\
1
\\
i
1
1
1
b
------r-
-._---
- - - - - - -
i
- - -
1
o '
--~------.------------+---~~
b'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
l! "
.'P'
,11
Fig. 67

---

-112-
3.2.4. ConcLusion
Dans cette partie consacrée aux probLèmes Liés à La production des
dessins d'objets tridimensionneLs, nous venons de donner Les règLes,
conventions, et recommandations utiLes pour tracer un dessin correct. IL
apparaît peu utile d'introduire des "écarts" par rapport à L'appLication
stricte de La (PC). De teLs écarts viennent seuLement compLiquer une pro-
cédure bien simpLe. Les règLes, codes et recommandations sont faciLes à
expLiquer aux étudiants. ELLes devraient Les aider à reLier connaissances
sur L'objet et perception de L'objet dans un dessin; ce qui pourrait mieux
aider L'étudiant à accéder à La situation physique réeLLe.
En résumé, Le pLus important pour produire un dessin est, pour Les
enseignants comme pour Les étudiants, de se pLacer dans Les conditions qui
permettent de réduire L'opposition entre Le dessin et L'image perçue de
L'objet. C'est seuLement dans ces conditions que L'appLication des règLes
simpLifiées de (PC) conduit faciLement à des dessins corrects susceptibLes
de suggérer aux étudiants des reLations justes.
Dans La troisième partie qui suit, nous nous intéresserons aux dif-
ficuLtés qu'ont Les étudiants à interpréter des dessins représentant des
propriétés de symétrie des objets physiques. Nous examinerons, comment Les
connaissances physiques, notamment La symétrie physique, sont traduites dans
Le dessin, et, queLLes sont Les pratiques d'interprétation du dessin par des
étudiants qui cherchent à comprendre et à utiLiser La symétrie des objets
physiques.

---

1 TROISIP1E
PARTIEl
INTERPRËTATION DES DESSINS
DE SYSTÈMES PHYSIQUES

---

-114-
l, SY~ETRIE ET REGLES DE SY~ETRIE
Dans La dernière partie, nous avions anaLysé Les conditions de
production des dessins d'objets. Dans cette partie, nous nous intéressons
à La symétrie des systèmes physiques. Nous anaLysons principaLement
Les
difficuLtés des étudiants à repérer Les éLéments de symétrie de figures
géométriques et d'objets physiques à L'aide des dessins qui
Les
représentent.
Le dessin en perspective permet La reconnaissance de L'objet et
faciLite L'anaLogie avec La vision réeLLe. "La perspective permet de
voir La nature" (Latour, 1985). La physique qui étudie cette "nature",
recherche des invariants dans Les phénomènes qui évoLuent dans Le temps
et dans L'espace. Les objets physiques que L'on est amené à dessiner
ont des propriétés physiques qui, Le pLus souvent, s'expriment en terme
de symétrie. Ceci est un fait généraL qui fait dire à WeyL (1952) que
"tous Les énoncés en physique ont Leur origine dans La symétrie".
D'une certaine manière, Les symétries de La réaLité (ou de son modèLe)
doivent se retrouver dans Le dessin qui
La représente. Le dessin en pers-
pective, souLigne Ivins (1985) "reconstruit Logiquement Les invariances
à travers toutes Les transformations produites par Les dépLacements dans
L' espace".

---

-115-
1.1. DEFINITIONS
La symétrie en physique désigne La symétrie des objets physiques
et ceLLe des Lois physiques. Feynman (1978) donne La définition suivante
"une chose est symétrique si on peut La soumettre à une certaine opération
et qu'eLLe apparaisse exactement La même après L'opération". ELLe rend
compte donc des éLéments de symétrie géométriques d'un objet (pLans, axe~
centre)
,
des transformations géométriques comme La transLation dans
L'espace, La rotation d'un angLe fixe, et des transformations physiques
comme L'échange d'atomes ..•
Ce concept de symétrie joue un grand rôLe en physique. P. Curie (1894) a
montré L'importance des considérations de symétrie dans L'étude des phé-
nomènes physiques. IL a donné La Loi suivante: un phénomène physique
possède tous Les éLéments de symétrie des causes qui
Le produisent, mais
Les effets produits peuvent être pLus symétriques que Les causes.
Pour anaLyser Les reLations entre Les symétries des causes et ceLLes des
effets nous distinguerons La symétrie d'origine géométrique et La symétrie
d'origine physique (FLeury & Mathieu, 1966).

---

-116-
1.1.1. Symétrie d'origine géométrique
D'un point de vue purement géométrique,
- une figure possède un plan de symétrie si tous ses points sont
deux à deux symétriques par rapport à ce plan. Par exemple dans le tétraè-
dre régulier (ABCD)
ci-dessous, les plans (DAH),(DBI) et (DCG) sont
plans de symétrie.
1
1••
1
l
1
/
.,~~
1 1
" "
1
...
.... 4t-
.......
1 M " .....
l
"-
1
"'"
1
A
B
G
- une figure admet un axe de symétrie (~) d'ordre n lorsqu'en
tournant la fi gure d'un ang le 8 = 32:.. autour de cet axe, on l'amène en
n
coincidence avec elle-même. Dans le tétraèdre régulier ci-dessus, l'axe
(DM)
est un axe de symétrie d'ordre 3 • Si l'angle 8 peut prendre une
valeur quelconque, on a un axe de révolution: un cylindre droit à bases
circulaires possède un axe de révolution.
- une figure possède un centre de symétrie (0)
lorsque tous ses
points sont deux à deux symétriques par rapport à 0 : le centre d'une
sphère est son centre de symétrie.
Cela dit, on montre que l'existence de 3 plans de symétrie (perpendi-
culaires
2 à 2) d'un système, entraîne l'existence de 3 axes de symétrie
(perpendiculaires 2 à 2) i que l'existence de 2 plans de symétrie entraîne

---

-117-
ceLLe d'un axe de symétrie; et que L'existence de 3 axes de symétrie
entraîne ceLLe d'un centre de symétrie (Landau & aL., 1967).
1.1.2. Symétrie d'origine physique
Si nous considérons maintenant, non pLus des figures géométriques,
mais des systèmes physiques, Leurs propriétés de symétrie ne dépendent
pas seuLement de Leur forme mais aussi de Leur nature physique et de Leur
état physique. ILLustrons Le propos par L'exempLe, tiré de FLeury et
Mathieu (1966), du cyLindre droit de base circuLaire. Géométriquement ce
dernier a un centre de symétrie (0), un axe de révoLution (zoz'), une
infinité de pLans de symétrie (P) passant par cet axe, un pLan de symétrie
CTT)
perpendicuLaire en 0 à (zo Z') et une infinité d'axes de symétrie
d'ordre 2 dans Le pLan (rr)
(Fig. 68a) • Mais ces propriétés de symétrie
n'apparaissent, dans un cyLindre réeL, que s'iL est homogène, isotrope
et au repos. Si Les bases du cyLindre sont à des températures différentes,
L'homogénéité disparaît et Le pLan (rr) n'est pLus pLan de symétrie pour
Les propriétés thermiques. Si Les extrêmités du cyLindre subissent une
torsion de sens contrai re (Fig 68 b) , iL ne reste pLus comme éLément de
symétrie que L'axe de révoLution. Si Les deux moitiés du cyLindre sont
constituées de matières différentes (Fig 68 c) ,
Le pLan (rr), par exempLe,
n'est
pLan de symétrie.
z'
,
,." ." . " ....
1
1
1
.' ,J •. '.
"
•
1
(b)
z
Fig. 68

---

-118-
Ainsi Les éLéments de symétrie physique dépendent non seuLement de sa
forme géométrique mais aussi de La distribution des masses, des charges,
de La température •••
1.2. LA SYMETRIE DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA PHYSIQUE
RappeLons comment La symétrie est présentée dans Les programmes
actueLs du coLLège, du Lycée et du 1er cycLe de L'université. La symétrie
intéresse aussi bien Les Mathématiques que La Physique.
En Mathématiques, eLLe fait très tôt
L'objet d'un enseignement.
Dès La cLasse de Sième, La symétrie orthogonaLe et La symétrie centraLe
sont introduites (BareiL & Zehren, 1982). Les symétries et Les transfor-
mations géométriques sont étudiées un peu pLus Largement en cLasse de
ième
4
. .
. L
. .
L
L '
d
L
L
-symetrle aXla e, symetrle centra e, trans atlon
ans
e p an-
(RouquairoL & Dehame, 1979). Au Lycée, L'éLève à L'occasion d'étudier
La pLupart des transformations qu'utiLisent Le physicien: en Seconde,
iL étudie Les transLations dans L'espace et en TerminaLe (C et E) iL
aborde Les isométries. Cependant cette étude se fait de manière formaLi-
sée et L'éLève ne se représente pas toujours L'action de ces transfor-
mations sur des objets de R
•
3
De pLus, au Lycée, iL n'y a pas d'enseignement des propriétés de symétrie
en physique. Pratiquement rien n'est fait pour famiLiariser Les éLèves
avec Les éLéments de symétrie des objets physiques.
ière
Jusqu'à récemment, L'étudiant de 1
année à L'Université rencontrait
pour La première fois en physique des démonstrations dites "par raisons
de symétrie". En voici un exempLe. Pour caLcuLer Le champ éLectrique d'une
distribution Linéaire uniforme, FLeury & Mathieu (1967) écrivent:

---

-119-
"Cherchons Le champ créé en un point
P par un ensembLe de charges réparties Le
Long d'un fiL rectiLigne indéfini F avec La
densité Linéaire (charge par unité de Lon-
gueur) uniforme \\ • Par raison de symétrie,
Le champ est partout normaL au fiL et ne
dépend que de La distance à ceLui-ci".
---+
Puis suit Le caLcuL du champ éLectrique E
par appLication du théorème
de Gauss.
Ce type de démonstration "par raison
de symétrie" s'appuie impLicitement
sur Les éLéments de symétrie du système physique. Dans cet exempLe, tout
pLan passant par Le fiL est un pLan de symétrie; iL en est de même de
tout pLan perpendicuLaire au fiL.
Cependant, c'est seuLement un peu pLus tard, Lors de L'étude des cristaux
ou des moLécuLes par exempLe, que Les éLéments de symétrie seront exposés
(Landau & aL., 1967).
Depuis queLques années, Les enseignants tentent de combLer cette Lacune.
Des notions sur Les éLéments de symétrie apparaissent dans des ouvrages
ère
de 1
année d'enseignement universitaire (Boussy & aL., 1987).
IL existe des exposés pLus compLets qui ont pour but d'expLiquer L'origine
et Le sens des "raisons de symétrie" invoquées par Les enseignants pour
simpLifier Leurs anaLyses et Leurs caLcuLs (HuLin, 1975).
1.3. REGLES DE SYMETRIE
Pour obtenir Les règLes de symétrie, considérons un système physique
(S) - [par exempLe une distribution queLconque de charges éLectriquesl-
qui crée des effets (E) - [par exempLe des champs éLectrique et magnétiquel
en certains points de L'espace. Dans un référentieL, Les propriétés du

---

-120-
système physique et ses effets sont décrits par des grandeurs scaLaires
ou vectorieLLes.
Les scaLaires sont invariants dans Les changements de bases ou par
Les opérations de symétrie. Par contre, Les grandeurs vectorieLLes ne
sont pas invariantes dans de teLLes transformations.
Deux types de vecteur sont à distinguer:
• Le vecteur poLaire, ou vrai vecteur ou pLus simpLement
"vecteur",
• Le vecteur axiaL ou "pseudo-vecteur".
ILs sont définis comme suit (HuLin & Quinton, 1986)
"Dans un changement de base respectant Le sens du trièdre de référence,
Les composantes d'un pseudo-vecteur se comportent comme ceLLes d'un
vecteur ;
dans un changement de base modifiant Le sens du trièdre de référence,
Les composantes d'un pseudo-vecteur deviennent Les opposées de ce
qu'eLLes seraient si eLLes étaient composantes d'un vecteur".
Autrement dit, vecteur et pseudo-vecteur se transforment de La même
manière dans une transLation, ou dans un rotation autour d'un axe
(Fig. 69 a et b) •
rz
--+
--+
V
V'
,
--
(b)
(a)

---

-121-
Par contr~dans La symétrie par rapport à un pLan ou un point,
• L'image d'un vecteur est son symétrique (Fig. 70 a) ,
• L'image d'un pseudo-vecteur est L'opposé du symétrique (Fig. 70 b).
-----.
l
~
1
./'
~
1
1
1
1
1
1
1
1
1
~
,
+---1 ......~
r
~
l
~
..)
"
(a) Vecteurs
(b)
Pseudo-vecteurs
Fig. 70
-4-
Le champ éLectrique E est un exempLe de grandeur vectorieLLe, tandis que
-4-
Le champ magnétique B est un exempLe de pseudo-vecteur.
L'étude des transformations du système (S) et ses effets (E) conduit aux
règLes de symétrie suivantes (Faget & Mazzaschi, 1982) :
1. Si un système physique est invariant dans toute transLation
paraLLèLe à un axe Oz , Les effets ne dépendent pas de z • C'est L'inva-
riance par transLation.
2. Si un système physique est invariant dans toute rotation d'angLe G
autour d'un axe C1z, il est de sYfTlétrie axiaLe. En coordonnées cyLindriques
(0,8,z) ses effets ne dépendent que de 0 (distance à L'axe Oz) et de z .
3. Si un système physique est invariant dans toute transLation paraL-
LèLe à un axe Oz et dans toute rotation autour de Oz, iL possède La symétrie
cyLindrique. En coordonnées cyLindriques (0,8,z) ses effets ne dépendent que
de 0 , di stance à L'axe de rotat i on Oz .

---

-122-
4. Si un système physique est invariant dans toute rotation autour
d'un point fixe a , iL présente La symétrie sphérique. En coordonnées
sphériques ses effets ne dépendent que de r, distance au point a .
5. si un système physique admet un pLan de symétrie, en tout point
de ce pLan
- un effet à caractère vectorieL est contenu dans Le pLan;
- un effet à caractère pseudo-vectorieL Lui est perpendicuLaire.
6. Si dans une symétrie par rapport à un pLan un système S est trans-
formé en Si = -S (on parLe dans cas de pLan d'''antisymétrie''), aLors en
tout point de ce pLan :
- un effet à caractère vectorieL est perpendicuLaire au pLan,
- un effet à caractère pseudo-vectorieL est contenu dans ce pLan.
Ce rappeL montre que "comprendre" La symétrie d'un système (S) c'est être
capabLe de reconnaître La direction de ses effets (à caractère vectorieL
ou à caractère pseudo-vectorieL), et de repérer tous ses éLéments de
symétrie.
Le dessin de L'enseignant refLète La maîtrise de La symétrie du sY5tème
-+
physique. Par exempLe, Lors du caLcuL du champ éLectrique E
en un point M
x
de L'axe d'un disque chargé, Les auteurs des différents manueLs déjà étu-
--+
--+
diés tracent Le vecteur-fLêche dE
(ou dE) expLoitant Le fait que Les
x
--+
composantes paraLLèLes au disque des dE s'annuLent deux à deux (Fig. 71).

---

-123-
Puis faisant appeL aux éLéments graphiques
utiLes au caLcuL comme (dS,a,t), iLs
-+
déterminent Le moduLe du champ E
au point
x
M <OM=x) .
Fig. 71
-+
Tous Les éLéments graphiques qui président à La détermination du champ E ,
x
figurent, dans Le dessin type de L'enseignant reproduit ci-dessus, avec
des fréquences éLevées données par Le tabLeau ci-dessous (Keita, 1987a)
Element
Mi lieu de
Origine
Vecteur-flêche
Composante
Centre de
Longueur
de
l'el ement de
du champ
champ
normale
l'ellipse-
du
surface
Angle
surface (dS)
calcule
elementaire
-
disQue
t ra i t (pr~;
de (dE)
! dS
~
P
M
dE
dE
0
,
x
1
i 100
86
100
86
100
57
100
71
Ces fréquences éLevées traduisent Le souci de L'enseignant de donner sur
Le dessin, aussi précisément que possibL~ La direction du vecteur-fLêche
champ
éLectrique.
1.4. SYMETRIE ET DESSIN
QUESTIONS DIDACTIQUES
Les symétries de La réaLité (ou de son modèLe) doivent se retrouver
dans Le dessin qui
La représente avons-nous déjà souLigné. Les étudiants
expLoitent un dessin pour comprendre Les propriétés physiques de L'objet
tridimensionneL représenté. Parmi ces propriétés, Les symétries sont des
caractéristiques très importantes: eLLes permettent très souvent d'expLi-
quer Le comportement d'un système physique (Johsua, 1984 ; Landau & aL.,
1967).

---

-124-
Aussi, en cherchant à savoir comment Les étudiants interprètent un dessin
pour comprendre Le système physique tridimiensionneL représenté, nous
anaLyserons Leurs capacités à repérer Les éLéments de symétrie de figures
géométriques et de systèmes physiques.
A ce sujet, pLusieurs questions se posent: queLs types d'erreur font Les
étudiants en passant du dessin aux propriétés physiques de L'objet repré-
senté ? QueLLes sont Les faciLités ou Les difficuLtés qu'introduit La
perspective? Qu'est-ce qui est souhaitabLe et faciLe à apprendre aux
étudiants pour améLiorer Leur connaissance du système physique représenté
par un dessin? Nous nous intéresserons à ces questions dans Le chapitre
suivant consacré au traitement de La symétrie à partir de
dessins,
par Les étudiants.

---

-125-
2. DE LA MANIERE DES ETUDIANTS DE DEDUIRE LA SYMETRIE
D'UN OBJET APARTIR DE SON DESSIN
L'objectif dans ce chapitre est d'anaLyser comment La symetrie
des systèmes physiques est prise en compte, traitée dans Les dessins
proposés aux étudiants et de connaître Les erreurs commises Lorsqu'iLs
interprètent des dessins.
Pour ceLa nous avons proposé un questionnaire (annexe III) abordant
· Le repérage des éLéments de symétrie de figures géométriques
ou d'objets matérieLs,
• Les opérations de symétrie sur des figures géométriques,
• Les reLations entre Les symétries d'un système (S) et ceLLes
de ses effets (E).
Nous avons essayé de regarder queLLe est L'infLuence des éLéments de
symétrie d'origine géométrique sur Le repérage, par L'étudiant, des
éLéments de symétrie d'origine physique.
ère
Ce questionnaire fut passé auprès de 181 étudiants de 1
année
er
du 1
cycLe de L'Université Paris 7 •

---

-126-
2.1. OBJECTIFS ET EXPLOITATION DU QUESTIONNAIRE
La première étape vise à découvrir si L'étudiant associe à un objet
donné, Les éLéments de symétrie de cet objet. CeLui-ci pourra être soit
une figure géométrique soit un système physique. Les figures géométriques
que nous considérons sont Le carré, L'eLLipse, Le cube et Le cyLindre. Les
éLéments de symétrie sont Liés aux propriétés géométriques des figures
(centre, axes ou pLans de symétrie). Par contre pour un système physique,
Les éLéments de symétrie purement géométriques ne sont peut-être pas Les
seuLs pertinents. IL faut tenir compte des symétries de certaines proprié-
tés physiques, teLLes La répartition des masses ou La distribution de
charges. Si La répartition des masses (points matérieLs) n'est pas inva-
riante dans Les diverses symétries géométriques du système physique,
aLors Les éLéments de symétrie géométrique
ne sont pLus éLéments de
symétrie du système. Ainsi
Le centre de symétrie géométrique de L'objet
(s'il existe) n'est pLus centre de symétrie des masses: iL faut intro-
duire d'une part un nouveau point appeLé centre d'inertie du système qui
refLètera La distribution gLobaLe des masses et d'autre part de nouveaux
axe~appeLés axes d'inertie du soLide,qui traduiront La répartition des
masses. Nous alLons nous centrer dans un premier temps sur Les répartltions
des masses pour ditférents systèmes. Pour différentler symétrles géométri-
ques et symétries des répartltions des masses nous anaLyserons:
- des systèmes rigides (anneau, carré, cyLindre) constitués de
morceaux de matière différents (Items OR , OR ' OR ),
1
Z
3
- des systèmes déformabLes (Items OD , OD ' OD ).
1
Z
3
Une deuxième étape sera consacrée à L'évaLuation de La maîtrise des trans-
formations géométriques dans Le pLan, utiLisées en physique. L'item T1

---

-127-
consiste à dessiner un carré après une rotation de 90° • L'item T~ consiste
c..
--+
à donner L'image d'un triangLe par une transLation 6 donnée. L'item T3
consiste à donner L'image d'objets (ici des Lettres aLphabétiques majus-
cuLes) dans une symétrie par rapport à une droite "verticaLe" (SV) ou
"obLique" (Sa) (par rapport au bord de La feuiLLe).
Dans La troisième étape, seront examinés Les éLéments de symétrie attribués
à des systèmes éLectrostatiques simpLes formés de 2 ou 3 charges ponctueL-
Les. Nous chercherons à voir si
L'étudiant dégage La symétrie en se refé-
rant à La géométrie du système (S) ou à La symétrie de ses effets. Dans Le
premier cas, L'étudiant ne considèrera que Les positions spatiaLes des
charges et Les symétries de La figure formée par ces positions. Les raisons
évoquées aLors seront dites "géométriques". Le deuxième cas consistera à
regarder Les formes du champ et du potentieL et Leurs symétries. Les rai-
sons évoquées dans ce cadre seront di tes "de champ ou de potent ie L (V)".
Les réponses graphiques aux items, seront cLassées en réponses justes
(J)
et réponses fausses (F). Chaque item a ses catégories propres qui se-
ront indiquées au fur et à mesure. Une catégorie (NR) regroupe Les étudiants
qui ne répondent pas à La question posée. Puis nous caLcuLerons Le pourcen-
tage d'étudiants appartenant à une catégorie donnée, c'est-à-dire ayant
donné La même réponse.

---

-128-
2.2. LES RESULTATS
2.2.1. Les éLéments de symétrie de figures pLanes
L'objectif de chaque item était de préciser:
. queL est Le nombre d'axes de symétrie que L'étudiant attribue
à une figure donnée,
. queLs sont ses éLéments de symétrie qu'iL oubLie.
i) Pour Le CARRE <4 axes de symétrie et un centre de symétrie), nous
avons recueiLLi
Les résuLtats suivants. Notons que tous Les étu-
diants ont répondu. Les chiffres expriment des pourcentages.
CENTRE DE
AXES DE SYMETRIE
SYMETRIE - - - - - - - - - - - - - - - - - -
CITE PAR
TOUS CITES PAR
NON CITES
6
6
6
6
1
2
3
4
74
87
3
3
4
3
Les axes 6 , 6 , 6 , G
sont indiqués ci-dessous
1
2
3
4
li,
1
Fig. 72

---

-129-
Ces résuLtats montrent que Les axes de symétrie sont bien connus des
étudiants. IL n'y a pas d'axe particuLièrement pLus oubLié que d'autres.
Le centre de symétrie sembLe pLus Léqèrement oubLié parmi Les éLéments
de symétrie (1 étudiant sur 4).
ii) Pour L'eLLipse (droite), (2 axes de symétrie et un centre de
symétrie), nous avons recueiLLi Les résuLtats suivants.
1
1
NOMBRE D'AXES DE Syr1ETRIE
CENTRE DE SYMETRIE
AXES DE SYMETRIE
;:: axes : 4 axes :infinité d'axes:(NR) cité
(NR)
Tous cités
Non cités
(NR)
1
1
1
1
1
1
1
1
6
1
1
1
1 : 6 2
1
1
1
1
-~--
1
1
1
:
52
1
22
1
17
1
9
70
17
65
4 1 22
9
:
1
1
1
1
i
En référence à La figure(73)ci-contre,
6
est "hori zonta L ", suivant Le grand
1
axe de L' eL Li pse ;
6
est "verticaL", suivant Le petit
2
axe de L'eLLipse.
Fig. 73
Ainsi, un étudiant sur deux repère bien Les axes de symétrie de
L'eLLipse. LorsQue
L'étudiant oubLie un axe, c'est Le pLus souvent 6 ,
2
Le petit axe de L'eLLipse.
On constate donc que, pour ces figures géométriques pLanes, Les étudiants
connaissent bien Les éLéments de symétrie: iLs repèrent correctement Les
axes de symétrie et savent situer Le centre de symétrie.

---

-130-
2.2.2. Les éLéments de symétrie de voLumes de R3
i) RappeLons que Le CUBE, figuré ci-après, possède
• Neuf (9) pLans de symétrie: -six pLans notés (PA) passant par
deux arêtes opposées (par exempLe AD H E) ,
-trois pLans (PM) qui passent par
Le miLieu d'arêtes paraLLèLes.
• Treize (13) axes de symétrie: -six axes <r1A) passant par Le
miLieu de deux arêtes opposées,
-quatre axes (D) qui passent par
deux sommets opposés,
-et trois axes de symétrie (MF)
qUl passent par Le miLieu de deux faces
opposees.
· Un (1) centre de symétrie
noté (C), point de concours des axes
de symétrie.
C
(PM)
A
,
H
<'
- . - - - - (PA)
F
(MF)
Fig. 74

---

-131-
Quand les étudiants repèrent ces éLéments de symétrie, on obtient, en
pourcentage, Les résultats suivants:
PLANS DE Svr1ETRIE
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Nombre de pLans
PLans non cités
-
-.., -
- . - -
r-- -
-
-
-
----r---~---~---~----
l
'
,
1
9:
4 : 3 : Aut res
6(PA) 1 3(PM) , 4(PA) 1 1 (PM) 1 Autres
.
1
1
1
1
1
1
-
19
13
24
38
20
16
12
12
17
AXES DE SYMETRIE
------------------------------
Nombre d'axes
Axes non cités
--r--:--r--,----- ----.--~----r----
1
1
1
1
\\
1
1
1
13 1
7
4 1 5 1 Autres
6(MA) 1
4(D) 1, 3(MF)
1
1
, Autres
1
1
1
1
1
,
,
1
,
0
43
9
9
39
36
16
13
12
Concernant Le nOMbre de pLans ou d'axes de symétrie, tous Les étudiants
répondent. Mais 23 % d'entre eux ne répondent pas quand iL faut Les citer
expLicitement. La catégorie "Autres" regroure
Les réponses très peu
fréquentes du genre "iL ya 1 axe de symétrie". Ceci dit, seuLement un
étudiant sur cinq (19 %) sait repérer tous Les pLans de symétrie du cube.
Les autres en oubLient certains, Le pLus souvent Les pLans (PA) passant
par deux arêtes opposées. Aucun étudiant n'est capabLe de repérer tous Les
axes de symétrie: par exempLe, presque un étudiant sur deux oubLie Les
six axes (MA) passant par Les mi Lieux d'arêtes opposées.

---

-132-
iil Le CYLINDRE DROIT, figuré ci-dessous, possède
• une infinité de pLans de symétrie: -une infinité de pLans verticaux,
notés (PA), coupant Les deux bases suivant
deux diamètres,
- un pLan
hori zonta L (PP),
paraLLèLe et équidistant des deux bases;
• une infinité d'axes de symétrie: -un axe de symétrie (AC), axe du
cyLindre,
-une infinité d'axes (AM) contenus
dans Le pLan (PP) et coupant L'axe (AC) du
cyLindre;
· un (1) centre de symétrie
intersection de tous Les axes de symétrie.
(AC)
(PA)0.
1
...
,
-"'"'J -:-.1.--:-"
•r-... 1 ( C)
"
'l
"
l
, ' .....
1
(PP)
(AM)
Fig. 75

---

-133-
L'analyse des réponses des étudiants donne Les résuLtats suivants
PLArJS DE S'fr1ET RI E
/\\XES DE Sn1E TR::::
- - - - - - - - ---------
-
-- -- - - - - - - _ . _ - _ . _ - - -
Tous
Les (AM)
(AC)
(NR)
VERTICAUX
HORIZONTAL
non
non
- - -- - - - - ---- ----
cités
cités
cités
Nombre
Nombre
Nombre
Le pLan
infini
fini
infini
(pp)
38 %
29 %
14 %
19 %
81 %
14 %
5 %
90 %
A part 5 % d'étudiants qui ne répondent pas, sur Le nombre de pLans de
symétrie, Les autres réponses recueiLLies sont correctes.
Par contr~ Les axes de symétrie sont moins souvent bien repérési (38 %
seuLement de bonnes réponses).
On constate ainsi, à propos de deux voLumes de R
' que Les étudiants
3
éprouvent beaucoup de difficuLtés à repérer tous Leurs éLéments de symé-
trie, en particuLier Les axes de symétrie. CeLa peut surprendre aLors que
Les propriétés géométriques sont vues au Lycée et que ces voLumes sont
utiLisés fréquemment dans L'enseignement des Mathématiques et de La
Physique.
2.2.3. Les éLéments de symétrie de systèmes matérieLs
Pour de teLs systèmes, Les propriétés de symétrie ne dépendent pas
seuLement de Leur forme, mais pLutôt de Leur nature et de Leur état physique.
La symétrie géométrique peut être bien différente de La symétrie physique,
due à La répartition des masses. Nous anaLyserons des systèmes rigides et
des systèmes déformabLes.
Les systèmes rigides que nous considérons ont des parties constituées de
matières différentes introduisant ainsi des dissymétries dans La répartition

---

-134-
des masses. Quand un soLide homogène présente un centre de symétrie (sphère,
paraLLéLépipède), ceLui-ci est aussi son centre d'inertie. Si Le soLide
n'est pas homogène, Le centre d'inertie qui existe to~jours ne coincide
pLus avec Le centre de symétrie s'iL existe.
Les questions portaient sur La position du centre d'inertie et ceLLe du
centre de symétrie s'iL existe. IL était aussi demandé de repérer Les axes
et Les pLans éventueLs de symétrie.
Les systèmes matérieLs considérés sont un anneau circuLaire, un carré, un
cyLindre et une règLe déformabLe.
i) Anneau circuLaire (Item OR )
1
Un anneau circuLaire est constitué de deux demi-circonférences faites d'un
matériau Lourd (pLomb) et d'un matériau Léger (aLuminium) (Fig. 76).
6 2
ALuminium (Léger)
PLomb (Lourd),
Fig. 76
L'item du questionnaire portait sur La justesse des phrases suivantes,
a) Tout diamètre est un éLément de symétrie
(phrase fausse),
b) La droite 6
est un axe de symétrie
(phrase juste),
1
c) Le point G est un centre de symétrie
(ph rase fausse),
2
d) La droite 6
est un axe de symétrie
(phrase fausse),
2

---

-135-
et sur Les positions du centre d'inertie et du centre de symétrie parmi Les
points G , G , G et G
• Le point G
est Le centre d'inertie.
1
2
3
4
1
Voici, toujours en pourcentage, Les résuLtats recueiLLis
Phrases considérées
Centre d'inertie
Centre de symétrie
comme fausses
------------ ---- -------- l- - ---- ..... ------
a)
b)
c)
d)
G
G
Autres points
G
Autres
N'existe pas
1
2
2
57
7
26
53
86
7
7
83
2
15
Notons que tous Les étudiants ont répondu à L'item. On constate que
La phrase b) géométriquement et physiquement juste est considérée comme
correcte par tous Les étudiants. Les deux phrases a) et d) sont fausses du
point de vue des répartitions de masses. Or, presque un étudiant sur deux
ne Les considère pas comme fausses. Le fait que ces ~hrases soient géométri-
quement exactes suggère qu'iL y a Là, dans un système physique, une perma-
nence de considérations géométriques pour décider si une droite est axe de
symétrie ou non. Pour Le centre de symétrie, La phrase c) "Le point G
est
2
un centre de symétrie' n'est pas considérée comme inexacte. Très peu d'étu-
diants (15 %) affirment que Le centre de symétrie n'existe pas. La grande
majorité (83 %) Le pLace en G
cette réponse n'est guidée que par des
2
considérations géométriques. Les étudiants ne prennent pas en compte La
répartition des masses pour anaLyser La symétrie d'un système matérieL.
Par contre Le centre d'inertie ne pose aucun probLème: iL est bien pLacé.
Cet ensembLe montre que La symétrie est reLiée aux propriétés géométriques
et non aux propriétés physiques.

---

-136-
ii) CARRE (Item OR )
2
Les quatre côtés du soLide de forme carrée sont des barreaux en pLomb, fer,
aLuminium, bois
(Fig. 77a) •
Les étudiants devaient pLacer Le centre d'inertie. Vu Les masses voLumiques
reLatives ° des différents matériaux (oPb > 0Fe > 0A~ > 0Bois)' Le centre
dl inertie se situe dans Le quadrant 1 (Fig. 77 b) •
ALuminium.
1
2
PLomb·· ....)
~.··Fer
4
3
..
Bai s·
(a)
(b)
Fig. 77
En référence à La figure (77 b) , Les réponses des étudiants sont
POSITION DU CENTRE D'INERTIE
----------------~-----
- - -
dans Le quadrant
en M
sur 0.
(NR)
1
W1
N°2
N°3
N04
48
0
4
14
17
10
7
Le centre d'inertie est pLacé dans Le quadrant 1 par seuLement La moitié
des étudiants. L'autre moitié Le pLace maL, en considérant souvent des
propriétés de symétrie géométriques: dans ce cas Le centre d'inertie est
pLacé au centre ou sur Llaxe 6
•
1

---

-137-
iii) CYLINDRE (Item OR )
3
• Pour Le soLide, ci-contre (Les parties
sont égaLes),
• Les questions portaient, sur Llexistence
<.~.L.uminium
ou non
d'un axe de symétrie verticaL,
- d'un centre d'inertie,
sur Le nombre de pLans de symétrie
verticaux et horizontaux.
.
, .
En fait Le cyLindre, représenté par ce
dessin a :
- une infinité de pLans de symétrie
Fig. 78
verticaux,
- un axe de symétrie verticaL.
Vu La répartition des masses, iL nly a nl pLan de symétrie horizontaL,
ni centre de symétrie.
• Les réponses des étudiants sont groupées dans Le tabLeau ci-dessous.
Notons que tous Les étudiants ont répondu à cet item, sauf quand iL
siest agi de repérer Les pLans de symétrie verticaux, où iL y a eu 10 %
de non réponses.
Nombre de pLans
Nombre de pLans
Existence
d'un
Centre de
Centre
de symétrie
de symét ri e
axe de symétrie
symétrie
d'inertie
verticaux
horizontaux
verticaL
e - - - -
- - - - - - - - - - - - -- --
- - - - -
--------- --r-- ----
-
N'existe PLacé N'existe PLacédans
infini
1
+ de 1
1
0
Autres
Oui
Non
Le
pas
en M
pas
rLomb
45
31
14
69
24
7
100
0
38
52
4
86
\\

---

-138-
On voit que La reconnaissance de L'existence d'un axe de symétrie verticaL
ne pose aucun probLème. Pour Le pLan de symétrie horizontaL, 69 % des étu-
diants disent qu'iL en existe un ; 24 % seuLement affirment Le contraire.
Encore ici, L'existence d'un pLan de symétrie horizontaL est affirmée à
partir de considérations géométriques. L'existence d'un centre de symétrie
est affirmée de La même manière; et est pLacé au centre géométrique du
corps.
L'existence et La position du centre d'inertie, quant à eLLe, ne pose
aucun probLème.
Cette étude sur queLques soLides nous conduit, en comparant Les résuL-
tats à ceux reLatifs aux voLumes géométriques, à proposer Les concLusions
suivantes :
• Les éLéments de symétrie des soLides sont déduits en grande partie
à partir de considérations purement géométriques et non à partir des répar-
titions des masses .
. La position du centre d'inertie dans Les soLides est en généraL
correcte.
iv) Système physique déformabLe
Le système de départ est une règLe constituée de 3 morceaux identiques
Liés deux à deux et tournant Librement autour de Leur axe de fixation.
Pour chaque configuration proposée, La question portait sur Les éLéments
de symétrie éventueLs ainsi que La position du centre d'inertie.

---

-139-
* Configuration 1 (Item OD )'
1
1
62
1
------,-E~~~91·E·- =M:::::::ir~:3:::"~~~;]----
Fig. 79
Le centre de symétrie et Le centre d'inertie sont confondus en M .
Les réponses suivantes ont été recuiLLies.
CENTRE DE
AXE DE SYMETRI E
CENTRE D' INERTIE
SYMETRIE
6
6
en 1"1
1
(NR)
1
2
1
1
1
Cité
52
66
55
76
1
24
1
1
Non cité
21
3
14
-
(NR)
27
31
31
Le centre de symétrie est moyennement cité. Dans Le pLan, Les axes de
symétrie 6"
6
sont bien cités. IL n'est absoLument pas fait mention de
2
l'axe t
perpendicuLaire à La fois à 6
et à 6
: Le système est considéré
3
1
2
comme pLan.
Le centre d'inertie est Là aussi bien pL~cé.
* Configuration 2 (Item OD )
2
~,
Fig. 80

---

-140-
Là encore Le centre de symétrie et Le centre d'inertie sont confondus
au point M • Mais iL n'existe pLus o'~xe de symétrie.
Voi ci Les résuL télts obtenus
i
EXISTENCE
POSITION DU
- - - - - - - - - - _. - - - - - -
/\\ xe de
Centre de
PLan de
Centre d'inertie
symétrie
symétrie
symétrie
- - , - - - - - , - - - - - - - - - - - - - - - r- - - - - -
1
1
1
1
1
Oui: Non
Oui
1
1 Non
Oui 1 ~Jon
1
en M
1
(NR)
1
1
1
1
,
1
1
1
38
55
83
7
38
48
79
21
1
1
L . . . -
On note que
. 66 % des étudiants pLacent Le centre de symétrie au point M centre
d'inertie (résuLtat compLémentaire),
38 % des étudiants continuent d'affirmer, à tort, L'existence d'un
axe de symétrie.
'''è.
* Configuration
1
2
3
(Item OD ) :
3
1
N'
IL n'existe pLus de centre de symétrie;
,1
mais on compte un axe de symétrie 6
lit
F
2
(Fig. 81).
Dans ce cas, Les différentes réponses
Fig. 81
sont résumées dans Le tabLeau ci-après.

---

-141-
EXISTENCE PLAN
EXISTENCE
POSITION DU CENTRE D'INERTIE
DE SYMETRIE
-
-- - - - - - - - - -- -- - -_.- - - - - - -- -- -- -- - - - - - -- - - - - - - - - - -
1
1
1
1
1
1
1
1
Centre de
A.xe de
1
1
1
1
' )
<-
:-Lans 1 1 PLan
En l"
1 Sur J M, Fr 1 A; LLeurs : rJ R
symétrie
symétrie
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Qu; 1 Non
Oui 1 Non
1
1
1
1
1
69 t
r:-
I
17
55
3
17
17
27
10
46
On constate que Le centre d'inertie, jusqu'ici bien repéré, L'est très maL
dans cette configuration où iL n'existe pas de centre de symétrie: 46 %
de non réponses (NR) pLus 17 % qui Le pLacent en M et la % qui Le pLacent
hors du segment (MF), soit en tout 73 % d'étudiants incapabLes de déterminer
La position du centre d'inertie de ce système.
L'anaLyse des réponses reLatives aux trois configurations étudiées
suggère de retenir Les concLusions suivantes:
• pour ces objets déformabLes, Les axes de symétrie ainsi que Le centre
de symétrie sont bien repérés ;
Le centre d'inertie est bien repéré si L'objet présente aussi un
centre de symétrie; et mieux encore, si ce centre de symétrie coïncide
avec Le centre d'inertie. Car, L'étudiant tend à pLacer Le centre d'inertie
è partir de considérations purement géométriques, au Lieu de tenir compte
de La répartition des masses.
En résumé, Les étudiants ont des difficuLtés dans L'anaLyse des éLéments
de symétrie des voLumes cLassiques. Ces difficuLtés sont augmentées pour Les
éLéments de symétrie des objets physiques: iLs ont tendance à être assimi-
Lés à Leurs homoLogues géométriques sans que La répartition des masses de
L'objet physique ne soit prise en compte.

---

-142-
2.2.4. Sur quelques transformations du plan
Dans cette étude nous cherchons à savoir si les étudiants tracent
correctement l'image d'un objet soumis à une transformation du plan. Il
s'a~it des transformations étudiées en r12thématiques au lycée: rotation
autour d'un point, translation, symétrie par rapport à une droite.
i) Rotation (Item T ).
1
Les étudiants devaient dessiner l'image d'un carré donné après une rotation
d'un angle de YO° dans le plan de la feuille, autour d'un point 0 précisé
(hors du carré) <Fig. 82).
8
r - - - - - { C
\\
\\
\\
\\
A
8
\\
'
\\
\\
L.- _ - --\\ D
A
D
.JC
~
.~ .. '
.....
Fig. 82
0
Voi ci les résu l tats.
Centre de rotation
Angle de rotation
Juste
au centre du carré
très di fférent de 90°
12
56
32
On voit que 88 % des étudiants construisent une image erronée. Certains,
parmi eux, placent le centre de rotation au centre du carré; les autres
tracent l'image en utilisant un angle de rotation nettement différent de
90° • Ainsi pour la majorité d'entre eux, la rotation d'une figure ne
peut s'effectuer qu'autour de son centre de symétrie ou d'un axe passant
par ce centre.

---

-143-
ii) TransLation (Item T ).
2
Les étudiants devaient dessiner L'image d'un triangLe, par une transLation
--+
~ du pLan. Nous présentons des tracés types obtenus.
,
--+
1
1::,
( a )
(b)
( c )
Fig. 83
SeuLs 46 % des étudiants tracent L'image correcte (Fig. 83a) • Les autres,
pour moitié, tracent soit La figure (83b), où La distance entre Les points
--+
correspondants de L'objet et de L'image est différente du moduLe de ~ ,
soit La figure (83 c) où La transLation est effectuée dans une direction
--+
différente de ceLLe de 1::, •

---

-144-
iii) Symétrie par rapport à une droite.
IL s'agit de donner Les images des mots ZUT et BANC par, respectivement,
une symétrie d'axe "verticaL" et d'axe "obLique" (par rapport au bord
verticaL de La feuilLe), (Fig. 84 a et b)'
7UTTUS
D
\\
( a )
(b)
\\( L' )
Fig. 84
Les résuLtats sont Les suivants.
SYMETRIE
1--------- ~-----------------------
d'axe VERTICAL
d'axe
OBLIQUE
Erreur
Erreur sur
Erreurs sur La
Juste
Juste
sur Z
La direction
direction et Les Lettres_.
60
40
21
43
36
Les étudiants effectuent mieux La symétrie d'axe verticaL que La symétrie
d'axe obLique.
En symétrie d'axe verticaL, pLus du tiers des étudiants fait des erreurs
sur L'objet (ici La Lettre Z) qui n'a pas d'axe de symétrie. Aucune erreur
n'est notée par contre sur Les Lettres U et T qui sont symétriques par
rapport à un axe vert i ca L.

---

-145-
En symétrie d'axe obLique <Fig. 84b)
ci-dessus: (L) désigne La Ligne
sur LaqueLLe sont écrites Les Lettres, (L') son image; Les angLes (D,L)
et (D,L') sont égaux. En référence à cette figure, tous Les étudiants qui
donnent une réponse erronée ont dessiné Les angLes (D,L) et (D,L') très
différents. C'est une erreur sur La direction; un exempLe type est La
fi~ure (85a) • L'autre type d'erreur consiste à écrire Les Lettres non
symétriquement par rapport à La droite obLique (D) ; 45 % des étudiants
font aussi une erreur de ce type <Fig. 85 b) •
/
BANC )V1A8 BANC BIINC
D
D
Fi 9. 85
Nous venons de mettre en évidence Les difficuLtés qu'ont Les étudiants à
déterminer Les éLéments de symétrie de voLumes ou de systèmes matérieLs.
Le paragraphe suivant porte sur La symétrie des effets (E) créés par un
système donné (S). C'est un aspect de La symétrie qui n'est pas abordé
dans L'enseignement secondaire.
2.2.5. Maîtrise de La symétrie des effets (E) produits par un système (S)
Comme système physique, nous considérons des systèmes de charges
ponctueLLes égaLes. Géométriquement La forme spatiaLe de La distribution
de charges peut avoir certains éLéments de symétrie. D'autre part, ces
--+
charges créent dans L'espace, un champ E et un potentieL V qui ont d'autres

---

-146-
éLéments de symétrie, puisque Les charges peuvent être de 2 types: charges
positives ou charges négatives. Si toutes Les charges sont de même type, Les
éLéments de symétrie sont Les éLéments de symétrie géométrique de La distri-
bution de charges. Si Les charges sont de signes contraires, iL s'introduit.
une dissymétrie : Les éLéments de symétrie ne sont pLus Les éLéments de
symétrie géométrique de La distribution de charges.
Entre Les éLéments de symétrie d'origine physique, et ceux de La forme
spatiaLe de La distribution, de nature géométrique, que priviLégient Les
étudiants ?
Pour examiner cette question, trois configurations de charges ponctueLLes
ont été proposées aux étudiants; ces derniers devaient repérer dans chaque
cas, Les éLéments de symétrie pertinents du système, en Les justifiant.
La première configuration (Item SEa) est constitué de deux charges égaLes,
de même signe pLacées aux points A et B (Fig. 86a) • Les Lignes de champ
et Les équipotentieLLes correspondantes sont dessinées sur Le pLan de La
feuiLLe contenant Les deux charges (positives), (Fig. 86b) ci-dessous.
(b)
(a)
Fig. R6
Tout pLan (TI ) passant par Les charges est un pLan de symétrie. Le plan
1
(TI
) perpendicuLaire à AB en son milieu en est aussi un.
2

---

-147-
L'axe 6
passant par A et 8 est un axe de symétrie. De même tout axe 6
1
2
du pLan (1T ) passant par M est un axe de symétrie. Le point M est un
2
centre de symétrie.
Pour cette configuration on a recuei LLi Les réponses suivantes
ELEMENTS DE
CENTRE DE
AXE DE
PLAN DE
SYMETRIE
SYMETRI E
SYMETRIE
SYMETRIE
6
1
1 : 6;
if 1 : 1f 2
: ~
1
1
1
CITE
34
21
21
3
1
1
10
1
i
1
:
NON CITE
21
34
34
52
1
1
45
i
::
NR
45
45
45
45
1
1
45
i
:
RappeLons que La catégorie (NR) regroupe ceux qui n'ont pas répondu à
L'item aLors qu'iLs en avaient Le temps etont continué à répondre à d'autres
items. La catégorie (NON CITE) regroupe ceux qui répondent à L'item mais ne
citent pas L'éLément de symétrie considéré.
Ceci dit, Le pourcentage éLevé de (NR) traduit L'embarras des étudiants.
Le caractère tridimensionneLdu champ et du potentieL n'est pas pris en
compte: Les pLans(1T )et(1T?)sont ianorés par Les étudiants. Les raisons
1
qu'iLs évoquent pour pLacer Le centre et Les axes de symétrie se répartis-
sent ainsi.
--
Centre de symétrie pLacé en M
L'axe de symétrie existe pour
pour ries raisons portant sur :
des raisons portant sur :
_.
-
- -- -
-- _
-._-
.•. -- --- _. _. -
._- _. _. _
.
--_.
.._.
.-
-
- -- ._. _.. _. -- -- -- ._. - ._..- --
sur Le champ
Le champ
La géométrie
Les charges
La géométrie
Les charges
(ou V)
(ou V)
80
20
0
75
17
8
1
-~--

---

-148-
Les raisons Les pLus évoquées sont de nature géométrique. La raison, portant
sur Les charges, consiste à dire que Les charges "sont de même signe donc
symétriques".
Dans La deuxième configuration (Item SEb), Les deux charges sont égaLes
et de signes opposés, pLacées en A et B (dipôLe éLectrique), (Fig. 87a).
Les Lignes de champ et Les équipotentieLLes correspondantes sont dessinées
sur La figure <87b) ci-dessous.
A
B
-q
+q
(a)
(b)
Fig. 87
Tout pLan (TI ) passant par Les points A et B est pLan de symétrie. IL s'en-
1
suit que L'axe 6
passant par A et B est axe de symétrie.
1
Les réponses des étudiants sont indiquées sur Le tabLeau suivant : Les
étudiants répondent beaucoup pLus. Mais peu citent Le pLan de symétrie
Le système est traité comme pLan (ceLui de La feuiLLe). L'axe de symétrie
n'est repéré que par un étudiant sur cinq.
AXE DE
PLAN DE
ELEMENT
SYMETRIE
SYMETRIE
CITE
24
5
NON CITE
66
85
(NR)
10
10

---

-149-
De pLus, Les étudiants citent des éLéments de symétrie qui n'existent pas
dans La configuration: 14 % citent (TI ) comme pLan de symétrie, 19 % citent
2
~~)comme axe de symétrie. Mais surtout, presque un étudiant sur deux (47 %)
c.
considère qu'iL existe un centre de symétrie pLacé en M. Les raisons qu'iLs
avancent sont purement géométriques ou découLent de La "symétrie" (+q,-q)
des charges. En fait ces étudiants ne tiennent pas compte de La dissymétrie
introduite par La différence des types de charge. Dans La troisième confi-
Dans La troisième configuration, trois charges q,-q,+2q sont pLacées aux
sommets A, B, C d 1 un triangLe équiLatéraL (Fig. 88a) .
2q
2q
C
C
•
-q
+q
-q
•
•
B
A
B
A
62
(a)
(b)
Fig. 88
A une symétrie géométrique Liée au triangLe équiLatéraL, se superpose une
symétrie (si eLLe existe) due aux charges. Or Les charges sont toutes dis-
symétriques. IL n'y a pas donc de pLan de symétrie (du type TI, ou TI ). SeuL
2
Le pLar(TI ) contenant Les charges est pLan de symétrie. IL n 1 y a ni axe de
3
symétrie, ni centre de symétrie. Les réponses des étudiants sont Les
suivantes

---

-150-
ELEMENT DE
CENTRE DE
AXE DE SYMETRIE
PLAN DE
SYMETRIE
SYMETRIE
1
1
SYMETRIE
111
112 : ll~ : l'ut res
1
•.'
1
-
1
1_-
-
1
1
CITE
33
24
2~ 1 21.. 1
5
0
1 - '
1
1
..l--
1
1
NON CITE
19
28
24 1 28 1
47
52
i
:
1
1
1
NR
48
48
48 1 48 1
48
48
i
1
1
L'embarras ici est assez fort: 48 % ne répondent pas à L'item.
Ceux qui répondent citent, 111,6 ,L
comme axes de symétrie et G comme centre
2
3
de symétrie. Ceci confirme L'hypothèse que Les étudiants prennent en compte
d'abord Les considérations géométriques pour repérer Les symétries d'un
système physique.
Dans Les trois items, Le caractère tridimensionneL du système est tota-
Lement ignoré. Les systèmes sont considérés comme étant à deux dimensions
à L'image des dessins Les représentant. Les étudiants vont repérer Les
éLéments de symétrie de teLs systèmes en s'appuyant sur des considérations
géométriques tirées du dessin.
Au terme de cette anaLyse sur La symétrie on peut concLure
• pour Les figures géométriques pLanes, Les étudiants repèrent bien Leurs
éLéments de symétrie. Mais iLs ont du maL à tracer Les images de ces figures
Lorsqu'eLLes subissent des transformations du pLan comme La rotation, La
transLation, mais surtout La symétrie par rapport à une droite obLique;
. pour Les figures géométriques de L'espace, Les étudiants repèrent maL
tous Leurs éLéments de symétrie, aLors que Les propriétés géométriques de La
symétrie sont vues au coLLège et au Lycée;

---

-151-
• pour Les systèmes physiques -soLides ou systèmes de charges- Les
étudiants recherchent Les éLéments de symétrie par un traitement géométrique,
sans tenir compte de La répartition des masses ou de La forme du champ (ou
du potentieL).
2.3. INTERPRETATION DES ERREURS COMMISES PAR LES ETUDIANTS DANS L'ANALYSE
DES SYMETRIES DES SYSTEMES PHYSIQUES
Les erreurs des étudiants sur La symétrie, appeLLent une remarque
préLiminaire. Bien que L'enseignement des propriétés de symétrie et des
transformations soit fait au coLLège et au Lycée en géométrie, cet ensei-
gnement reste en généraL très formaLisé •
. IL n'aide pas L'étudiant, qui a à rechercher Les éLéments de symétrie
de voLumes de R
• Nous avons déjà noté que trois étudiants sur quatre ne
3
repèrent pas Les axes de symétrie du cube et du cyLindre. Beaucoup ont du
maL à repérer Leurs pLans de symétrie. Et pourtant ces voLumes sont souvent
utiLisés en Mathématiques .
. IL n'aide pas non rLus L'étudiant à opérer des transformations sur des
figures du pLan. Bien que ces transformations soient Largement abordées au
Lycée, un étudiant sur deux n'arrive pas à faire une transLation correcte
d'un objet, quatre sur cinq ne réussissent pas une symétrie obLique et neuf
sur dix n'effectuent pas correctement une rotation.
Ainsi en L'absence d'un enseignement spécifique sur La symétrie en
physique, L'étudiant est maL préparé à anaLyser Les éLéments de symétrie
des objets matérieLs et des systèmes physiques pour Les utiLiser dans des
raisonnements "par raisons de symétrie".

---

-152-
CeLa dit, tentons d'anaLyser Les résuLtats du questionnaire sur La
symétrie.
ième
2.3.1. RôLe de La 3
dimension
Gardons à L'esprit qu'un dessin est un ensembLe de traits sur Le pLan
de La feuiLLe, représentant un voLume géométrique, ou un système physique.
i) - Considérons Les dessins de figures ou d'objets pLans •
. Les dessins des figures pLanes (eLLipse, carré) ont été
tracés frontaLement. Les éLéments de symétrie du dessin correspondent exac-
tement à ceux de La figure.
pLus de 70 % des étudiants Les ont bien repérés •
• Pour Les dessins d'objets pLans, (comme La règLe à 3 morceaux
identiques, (item 00), Les éLéments de symétrie du dessin sont encore iden-
tiques à ceux de L'objet; pour Les trois configurations, au moins 55 % des
étudiants ont répondu correctement.
Les dessins d'objets physiques homogènes pLans, ou de figures pLanes sont
comme des "caLques". Ainsi Leurs éLéments de symétrie correspondent exacte-
ment à ceux de L'objet ou de La fiaure ;
Les étudiants Les repèrent bien.
ii) - Considérons Le dessin des voLumes (ou d'objets) de R
• Dans ce
3
cas, Le dessin réduit Les dimensions de 3 à 2 . Le tracé du dessin peut ne
pas avoir de symétrie en Lui-même. L'étudiant doit faire un va-et-vient
Dessin ~ Objet pour repérer Les éLéments de symétrie. Mais L'enseignement
sur La symétrie qu'iL a reçu ne Lui fournit que peu de connaissances pour Le
faire. En fait cet enseignement réduit sa pratique à aLLer uniquement du
dessin à L'objet. Comment procède-t-i L ?

---

-153-
• Regardons Le cas du dessin du voLume cubique proposé (Item E2(a»
(Fig. 89 a)
(a)
(b)
Fig. 89
ième
Dans Le pLan du dessin, La 3
dimension (La profondeur) est traduite par
Les traits (en gras) de La figure (89b) • Ces traits de profondeur repré-
sentent des segments qui ne sont pas de front. Nous avons déjà constaté
que 50 % des étudiants ne repèrent pas Les pLans de symétrie (PA) passant
par deux arêtes opposées, ni Les axes de symétrie (MA) qui passent par Le
miLieu de deux arêtes opposées. Justement ces éLéments de symétrie sont
figurés avec ces traits de profondeur •
• IL en est de même du voLume cyLindrique de L'item E2(b). Le dessin
(Fig. 90 a)
garde bien La symétrie par rapport à son axe (Fig. 90 b) . Ce
dernier est bien repéré par Les étudiants. Mais Les axes de symétrie (MA),
perpendicuLaires à L'axe de révoLution du cyLindre, traduisant La profondeur
sur Le dessin, sont Les pLus oubLiés.
(a)
(b)
Fig. 90

---

-154-
2.3.2. Influence de la répartition des masses
Quand on examine le cas des objets physiques, les symétries du dessin
semblent aussi être transférées à l'objet. En considérant le dessin de
l'objet plan, anneau, (moitié Plomb, moitié Aluminium), ses éLéments de
symétrie, en tant que tel -les axes 6 ,6
et le point G - par exemple, sont
1
2
2
affirmés comme étant des éléments de symétrie de l'objet réel par respecti-
vement, 43 % et 83 % des étudiants alors qu'il n'en est rien.
Aluminium (Léger)
Plomb (lourd)
Fig. 91
De même, à propos du dessin du cyLindre droit formé de deux parties
égaLes, L'une en pLomb, L'autre en aLuminium (item OR ), reproduit ci-
3
dessous CFifl. 92),
Aluminium
)
1
<>1
1
(... ·PLomb
Fig. 92

---

-155-
l'axe verticaL, éLément de symétrie du dessin est donné par tous Les étudiants
comme éLément de symétrie de L'objet car iL apparaît sur La figure. Un pLan
de symétrie horizontaL, suggéré par Le dessin est transféré à L'objet par
69 % des étudiants, aLors qu'iL n'y existe pas. IL en est de même du centre
de symétrie donné par 62 % des étudiants.
Par contre Les pLans de symétrie verticaux qui existent dans L'objet mais
n'apparaissent pas sur Le dessin sont souvent ignorés: un étudiant sur trois
indique que L'objet a un pLan de symétrie verticaL (ceLui de La feuiLLe) tout
en ignorant Les autres.
En résumé, L'étudiant ne tient absoLument pas compte de La répartition
des masses. Ne L'occupent que Les symétries du dessin, teL qu'iL est sur La
feuiLLe de papier.
Ainsi, pour Les voLumes comme pour Les objets de R
Les étudiants
3
s'appuient uniquement sur Les symétries de Leur représentation pLane. On
constate que tous Les éLéments de symétrie de ceLLe-ci sont attribués à
L'objet ou au voLume. Par contre, Les éLéments de symétrie de L'objet, Liés
ième
à L'extension spatiaLe, à
La 3
dimension, sont systématiquement ignorés.
Ce qui pose probLème à L'étudiant est donc premièrement La maîtrise de La
ième
3
dimension. Dans L'état actueL de L'enseignement où L'étudiant ne sait
ième
ni tracer ni interpréter cette 3
dimension, Le passage du dessin à L'ob-
jet Lui pose natureLLement Les difficuLtés mentionnées. Le recours au dessin
ne Lui permet pas d'accéder compLètement à L'objet de L'espace.
IL y a Là encore, un intérêt à expLiciter aux étudiants Les règLes du dessin.
La diversité des erreurs que font étudiants et enseignants produisant un
dessin, y incitait déjà.
La deuxième source de probLèmes pour L'étudiant, est L'absence d'une
connaissance sur Les éLéments de symétrie de L'objet traduits par Le dessin.

---

-156-
A cause de cette absence, sa pratique d'interprétation est à sens unique
Dessin
~ Objet. Et, L'étudiant, au contraire de L'enseignant, ne peut
utiLiser un savoir sur L'objet comme cLé pour interpréter Le dessin. C'est
une difficuLté didactique importante que pourrait réduire un apprentissage
de La symétrie en physique au Lycée et à L'université. L'usage de La maquet-
te y sera pLus propice: La maquette es~ rappeLons-Le, importante pour pas-
ser de L'objet au dessin. Mc. Dermott et aL. (1983), en anaLysant Les
reLations entre Les phénomènes physiques, Les concepts et Les graphes ont
particuLièrement souLigné Le fait. PLusieurs autres équipes ont constaté
que La présence des objets à dessiner est un éLément essentieL pour La
maîtrise du dessin. Bessot et aL.
(1983), Audibert et Bonafe (1987), Parsysz
(1930) travai LLent avec des maquettes pour L'apprentissage de La P.C.
IL nous a paru, après avoir examiné Les conditions de production et
Les pratiques d'interprétation du dessin que, L'apprentissage nécessaire des
règLes du dessin reLatives à La production, doit se réaLiser avec ceLui de
La symétrie traduite par Le dessin. ParLant de La symétrie, Curie (1894)
écrivait "Dans L'enseignement de La physique, iL vaudrait cependant mieux
exposer franchement ces questions". Dans La concLusion de ce travaiL nous
proposons queLques éLéments dans ce sens.

---

-157-
CONCLUSION
APPRENTISSAGE DE LA PRODUCTION ET DE L'INTERPRÉTATION
DE DESSINS EN PERSPECTIVE CAVALIÈRE
DES SYSTÈMES PHYSIQUES TRIDIMENSIONNELS
Le dessin dans L'enseignement de La physique a été L'objet principaL
de cette étude. Nous avons d'abord examiné Le rôLe du dessin du point de
vue de L'enseignant. Nous nous sommes ensuite intéressés aux dessins en
perspective cavaLière d'objets tridimensionneLs rencontrés fréquemment
en mécanique cLassique et en éLectrostatique. Enfin nous avons anaLysé La
symétrie des systèmes physiques et La manière des étudiants de La traiter
sur des dessins.
Ces différentes anaLyses nous ont permis de dégager Les pratiques
habitueLLes et Les erreurs que commettent Les étudiants Lors de La produc-
tion et de L'interprétation de dessins en perspective cavaLière. CeLa va
nous conduire natureLLement à esquisser queLques propositions didactiques
pour un meiLLeur usage, de cet outiL qui est si
Largement utiLisé. Avant
ceLa, résumons ce que cette anaLyse nous a aidé à mieux percevoir.

---

-15~-
l, LES PRINCIPAUX ËLÉMENTS DE CONCLUSION
Le dessin est Le résuLtat d'une projection des objets d'un espace
(espace physique, espace de représentation) sur Le pLan de La figure à
deux dimensions. C'est une "forme symboLique" qui dépend dès Lors de
L'espace de La description choisi, du modèLe décrit et de L'écheLLe de
La description.
Dans L'enseignement de La physique, La perspective cavaLière -projection
paraLLèLe à une 0irection d'observation fixe- est La méthode La pLus utiLi-
sée par Les enseignants et par Les étudiants. En effet, L'existence d'un
point de fuite, caractéristique de La perspective centraLe n'est pas indis-
pensabLe pourLes objets physiques représentés en mécanique et en éLectro-
statique. De pLus La perspective cavaLière est La seuLe à conserver La
nature des faisceaux de droites, Le paraLLéLisme et Le rapport de Longueurs
de deux segments de droite. ELLe est aussi La seuLe à permettre d'effectuer
une opération Linéaire -comme L,addition- sur des vecteurs du pLan et de La
tenir pour La même opération sur Les vecteurs correspondants de L'espace.
Par suite, une fois convenue de La manière de Lever L'ambiguité intrinsèque
du dessin, La perspective cavaLière se révèLe pLus adéquate et pLus faciLe
à mettre en oeuvre que La perspective centraLe.
La Large utiLisation du dessin en perspective vient aussi du fait que
par son caractère syncrétyque iL permet de représenter de façon ressembLante
Les objets et systèmes physiques, même compLexes. Le dessin en perspective
apparaît comme un substitut de La réaLité; iL permet de "voir La nature"
de "manipuLer" L'objet absent. IL prend sa pLace comme Lieu de réfLexion et
d'investigation, aide au caLcuL et à L'heuristique; c'est-à-dire, jusqu'à

---

-159-
un certain poin~ Le seuL objet sur LequeL opère La pensée. IL sert souvent
de preuve, s'appuyant sur L'adage "voir pour croire".
Pour ce faire, Le dessin procède à une réorganisation pertinente des
informations utiLes, susceptibLe de suggérer des reLations justes à ceLui
qui L'examine.
L'étudiant qui cherche à comprendre Les objets et systèmes physiques
qui Lui sont présentés sous La forme de dessin, va utiLiser ceLui-ci comme
moyen d'accès aux situations réeLLes tridimensionneLLes. CeLLes-ci, pos-
sèdent des symétries qui caractérisent Leur état physique et expLiquent Leur
comportement; comprendre un système physique suppose savoir repérer ses
éLéments de symétrie. Ainsi en opérant un va-et-vient Dessin ~ Objet,
L'étudiant recherche, souvent inconsciemment, Les symétries du système tri-
dimensionneL, en expLoitant des informations du dessin pLan. C'est en réus-
sissant cet effort, qu'iL peut vraiment "voir dans L'espace" et maîtriser
L' obj et.
Tout ceLa souLigne L'intérêt du dessin en perspective pour L'étudiant.
Sans que ceLa soit une démarche consciente, Les enseignants, d'une
certaine manière, répondent à cet intérêt. Dans Les manueLs ou dans Leurs
cours, iLs accordent une pLace importante au dessin en perspective. Les
enseignants tracent des dessins pour représenter des systèmes physiques,
pour expLiquer Leurs propriétés, pour caLcuLer certaines de Leurs grandeurs.
ILs utiLisent des techniques particuLières pour rendre pLus efficace Le rôLe
de représentation du dessin: iL en est ainsi de La juxtaposition de pLu-
sieurs dessins sur une même figure.

---

-160-
MaLgré tout, iL apparaît Lors d'entretiens, que Les enseignants tout en
reconnaissant voLontiers qu'iLs utiLisent beaucoup Le dessin dans Leurs
cours, ne Lui accordent pas un intérêt particuLier. Si certains émettent des
réserves sur Le dessin -"iL fige La réaLité"- ou souLignent qu'on peut s'en
passer, pour La majorité des enseignants, La production et L'interprétation
de dessins sembLent natureLLes; d'autant pLus, qu'iL s'agit souvent de
dessins stéréotypés associés à des paradigmes scientifiques exposés dans
L'enseignement de La physique. Pour Les enseignants Le recours spontané au
dessin en perspective va de soi et ne pose aucun probLème.
ParadoxaLement, iL Y a en même temps, de La part des enseignants, La
critique que Les étudiants ne savent ni
Lire ni tracer un dessin, qu'iLs ne
savent pas L'utiLiser Lors de résoLution de probLèmes. Peut-iL en être
autrement?
En cLasse, Les enseignants tracent des dessins en suivant des habitudes
manueLLes acquises par L'expérience, avec beaucoup d'impLicites. ILs Les
interprètent grâce à une exceLLente connaissance du système représenté.
Les étudiants, eux, Lisent Le dessin chacun de son point de vue, avec des
pratiques empiriques. Le résuLtat est, en L'absence de méthodes expLicite-
ment adoptées, que Les étudiants font beaucoup d'erreurs •
• Lors de La production de dessins,
iLs changent de direction d'observation, queLquefois pour avoir de
front chacune des parties de L'objet;
- iLs conservent sur Le dessin, L'égaLité de Longueurs (et d'angLes) de
L'objet réeL.
Ces erreurs proviennent d'une opposition entre Le dessin de L'objet et son
image perçue
sous certaines directions, Le dessin est très déformé par

---

-161-
rapport à L'image perçue et Les étudiants essayent de représenter sur un
seuL dessin ce qu'iL voit de L'objet, suivant pLusieurs points de vue •
• Lors de L'interprétation de dessins,
- Les éLéments de symétrie du dessin sont attribués au voLume ou à L'objet
de R qu'iL représente. Par contre, Les éLéments de symétrie de L'objet
3
L"
. L 3ème d"
. .
les a
a
lmenSlon sont 19nores ;
- L'état physique (répartition des masses, des charges éLectriques) n'est
absoLument pas pris en compte dans La recherche des éLéments de symétrie
de L'objet réeL.
ALors que Le dessin de L'enseignant traduit La symétrie physique (symétrie
géométrique et symétrie des grandeurs physiques), ceLui de L'étudiant ne
représente que La symétrie qéométrique ; c'est peut être Là qu'iL faut situer
Les difficuLtés qu'ont Les étudiants à utiLiser Les raisonnements de symétrie
en physique, à appLiquer judicieusement Les règLes de symétrie. L'existence
de ces types d'erreurs, Leur fréquence très éLevée amènent cette remarque
importante: Le chercheur en didactique, Lorsqu'iL anaLyse Les réponses des
étudiants à un item mettant en jeu un dessin de perspective, devrait prendre
en compte ces types d'erreur.
CeLa dit, Le fait que chez Les étudiants, La quaLité du dessin infLue
sur La note obtenue Lors de La résoLution d'un probLème, conduit à mettre en
évidence L'intérêt que Les étudiants auraient à connaître Les règLes, codes,
conventions utiLes à La production et à L'interprétation de dessins en pers-
pective cavaLière. Les probLèmes didactiques se posent ainsi: parmi Les
règLes bien étabLies de La (PC) d'une part et de La symétrie d'autre part,
qu'eLLes sont ceLLes qu'iL faut expLiquer aux étudiants de physique? Comment
peut-on procéder sans Lourd investissement?

---

-162-
Deux actions essentieLLes se dégagent; La première consiste à produire
un dessin en (PC) teL que L'image mentaLe du dessin et ceLLe de L'objet
soient sembLabLes. La seconde action est de préparer Les étudiants à pouvoir
repérer sur un dessin Les symétries d'un système physique.
Dessiner dans Les conditions proches de La perception réduit Le confLit
entre dessin et image perçue de L'objet, source principaLe des erreurs de
tracés. Dans ces conditions seuLement, L'appLication, au demeurant faciLe,
des règLes simpLifiées de La PC -
conservation du paraLLéLisme et du rapport
de Longueurs de deux segments de droite _. permet de tracer de manière expLi-
cite des dessins d'objets tridimensionneLs acceptabLes pour L'étudiant, et
ème
de maîtriser en même temps Le tracé de La 3
dimension importante pour
L'interprétation du dessin de voLumes et d'objets de R
•
3
A ceLa doit s'ajouter L'expLicitation de codes et de conventions comme
- Les segments de font horizontaux et verticaux sont tracés paraLLèLement
aux bords de La feuiLLe (du tabLeau),
- Les parties cachées sont en pointiLLés.
Ceci vient faciLiter L'usage du dessin par Les étudiants. FaciLite aussi cet
usage, La capacité d'obtenir Le transformé d'un dessin d'objet par des
transformations teLLes La rotation, La transLation, La symétrie par rapport
à une droite. Les étudiants ont une très faibLe maîtrise de ces transforma-
tions S1 souvent utiLisées en physique.
Pratiquement, La perspective cavaLière est compLètement définie dès
que L'on connait L'angLe de fuite (y) entre Les images de deux segments
égaux, L'un de front, L'autre debout et Le rapport de réduction r de Leur
Longueur sur Le pLan. Le tracé d'un référentieL, très habitueL chez

---

-163-
L'enseignant de physique, est équivaLente à La donnée de (y) et de (r) donc
d'une perspective. Les conditions proches de La perception se traduisent
sur Le pLan de La feuiLLe (et du tabLeau) par un angLe de fuite voisin de
45° et un rapport de réduction petit devant L'unité. CeLa signifie qu'iL
-. ->-.
-. -.
est pLus indiqué d'utiliser un référentieL (O,i,j k) avec L'angLe (i,j)
-+
- + - +
voisin de 45° et Le moduLe de i petit devant ceLui de j
(et de k).
En partant de teLLes conditions, on peut produire un dessin, comme ceLui de
La sphère par exempLe, proche de L'image perçue, sans avoir besoin de changer
pLusieurs fois de directions d'observation pour dessiner ses différentes
parties. C'est sûrement Là une manière pLus cohérente que ceLLe, habitueLLe
des enseignants et des étudiants qui consiste précisément à changer d'axe
de projection pour représenter Les différentes parties de La sphère. D'autre
part, ceci montre qu'iL est inuti Le d'introduire des écarts (non justifiés
d'aiLLeurs) par rapport à L'appLication stricte de La (PC). CeLa compLique
une procédure bien simpLe.
La deuxième action, préparer L'étudiant au repérage des éLéments de
symétrie de systèmes physiques, est essentieLLe pour L'aider à interpréter
correctement un dessin. ELLe doit insister en particuLier sur Les éLéments
de symétrie d'origine physique que Les étudiants méconnaissent totalement;
sur Leur apparition ou disparition, sur un objet gardant La même forme, en
fonction de La distribution des masses, des charges, de La température etc.
En un mot sur Les Liens entre symétrie et état physique. Tout ceLa doit~
pensons-nous, permettre à L'étudiant de mieux expLoiter un dessin en vue de
comprendre La situation physique ainsi figurée sur Le pLan et d'améLiorer
ses aptitudes à utiLiser Le dessin dans La résoLution de probLème.

---

-164-
Ainsi, pour nous résumer, Les conditions didactiques requises pour
permettre aux étudiants de produire et d'interpréter correctement un dessin,
reposent sur trois points:
dessiner seLon un axe voisin de La normaLe au pLan de dessin,
appLiquer Les règLes simpLifiées de La PC ,
• repérer Les symétries du système physique.
MaLheureusement de teLLes conditions n'existent pas dans L'enseignement
actueL de La physique. En effet, Les enseignants utiLisent Le pLus souvent
--+
--+
des référentieLs (avec des moduLes de i et de j voisins) tracés Loin des
conditions de La perception, qui exacerbent L'opposition entre L'image
perçue et Le dessin de L'objet. Les enseignants font aussi des erreurs,
par rapport à L'appLication stricte des règLes de PC ; iLs changent de
perspective, et d'axe de projection; certains maîtrisent maL Les dessins
d'objets non famiLiers. D'un autre côté, et suivant en ceLa Les programmes,
Les enseignants n'expLiquent pas Les symétries de systèmes physiques. ILs
n'expLiquent pas non pLus Les règLes et Les conventions qu'iLs adoptent
pour Leurs dessins. NuL doute que dans Les erreurs des étudiants, Les ensei-
gnants ont une responsabiLité certaine. De ce point de vue, eux aussi ont
besoin d'adopter expLicitement Les règLes du dessin.

---

-165-
2, PROPOSITIONS DIDACTIQUES
Après ces queLques éLéments de concLusion, on prend mieux conscience
de L'intérêt à savoir tracer et Lire correctement un dessin. MaLgré Le
caractère symboLique du dessin, si on fait un choix d'une méthode de dessin,
après avoir examiné d'une part ses règLes, d'autre part Les erreurs que Les
étudiants et enseignants commettent en utiLisant cette méthode et Leurs
conséquences, aLors iL faut rechercher Les meiLLeures conditions de son
usage en physique. IL est vrai que Le dessin n'est pas une panacée mais
L'appLication des règLes de La (PC) dans Les conditions didactiques décrites
ci-dessus, nous sembLe importante pour améLiorer Les performances des
étudiants.
La pratique empirique de La perspective cavaLière ne conduit qu'à une
acquisition d'habitudes, sources permanentes d'erreurs. Ainsi, L'absence
d'une cLarification des méthodes pour tracer ou Lire un dessin n'est pas
sans conséquence dans L'enseignement de La physique. S'iL est vrai que
L'apprentissage s'accommode de beaucoup d'impasses et d'un certain degré
d'impLicite, Les risques courus, quand iL s'agit du dessin, sembLent assez
importants pour qu'iL soit nécessaire de combLer queLques unes de ces
impasses. A cet empirisme doit donc se substituer un enseignement intégré
de La perspective cavaLière et de La symétrie des systèmes physiques.
En fait, La perspective cavaLière, comme La symétrie font partie en
Mathématiques de L'étude des transformations. Une Liaison "Math-Physique"
est nécessaire pour L'enseignement visé. De ce point de vue, en Mathématiques,
commence dès La Sème, L'étude des transformations du pLan (symétrie par

---

-166-
nde
rapport à une droite). A partir de La 2
, on aborde La pLupart des trans-
formations dans Le pLan et dans L'espace R
• Les dessins en perspective
3
cavaLière de voLumes de R
sont Largement empLoyés. ParaLLèLement, Les
3
ème
Sciences physiques sont abordées dès La 6
• On y étudie Les propriétés
des corps macroscopiques. Le pLus souvent ce n'est pas L'objet réeL, mais
son dessin qui est présenté aux éLèves.
Un enseignement concomitant en Mathématiques et en Physique est dès Lors
possibLe. IL pourrait s'opérer à trois niveaux.
ème
Un premier niveau, aLLant de La Sème à La 3
, dans LequeL L'éLève dessine
avec une maquette à L'appui. Un deuxième niveau aLLant de La Seconde à La
TerminaLe dans LequeL L'éLève utiLise Les données de L'angLe de fuite y et
du rapport de réduction r ; iL se famiLiarisera avec La symétrie physique
surtout. Un troisième niveau correspond au premier cycLe universitaire dans
LequeL L'étudiant peut aborder Le traitement anaLytique de La perspective
cavaLière ainsi que Les Lois de symétrie physique.
2.1. ENSEIGNEMENT DES MÉTHODES DE TRACÉ ET DE LECTURE
DU DESSIN EN PERSPECTIVE CAVALIÈRE
2.1.1. Premier Niveau
Cinquième - Troisième
ParaLLèLement, en Mathématiques et surtout en Physique L'enseignant
fera exécuter par Les éLèves des dessins à L'aide de maquettes ou d'objets
à L'étude, comme des cubes, des bouLes. Pour ceLa iL demandera de respecter
trois points :
. une convention: La verticaLe et L'horizontaLe paraLLèLes au pLan de
de dessin (tabLeau ou feuiLLe) sont dessinées en "vraie grandeur" paraL-
LèLement aux bords de La feuiLLe;

---

-167-
• une règLe: Le paraLLèLisme entre deux droites de L'objet réeL est
conservé sur Le dessin;
• une convention: Les segments invisibLes sont tracés en pointiLLé.
Un éLève peut tracer en queLques étapes, par exempLe un cube pLacé devant
Lui sur La tabLe.
En Physique, gradueLLement on devra sur Les dessins d'objets, repré-
senter aussi Les éLéments de symétrie (pLan, axe, centre) étudiés en
mathématiques.
2.1.2. Deuxième Niveau
Seconde- TerminaLe (C.D.E.)
A ce niveau, on peut faire, en mathématiques, une présentation de La
perspective cavaLière qui permette d'obtenir Les expressions de L'angLe de
fuite (y) et du rapport de réduction (r), en fonction de La hauteur et de
L'azimut de L'axe d'observation.
Les données de (y) et de (r) permettant de faire Le dessin d'un objet, iL
est aLors faciLe de faire des dessins pour pLusieurs vaLeurs du coupLe (y,r)
et de famiLiariser L'éLève avec La différence qui existe entre La perception
de L'objet et son dessin. Par suite, on peut expLiquer et insister sur La
nécessité de choisir une direction d'observation proche de La perpendicuLaire
au pLan du dessin.
On peut aussi montrer à L'éLève que La donnée de (y,r) est équivaLente à
ceLLe d'un référentieL; que Les dessins habitueLs des référentieLs du mathé-
maticien et du physicien (y = 45° et r = 1) sont inadéquats pour représenter
une sphère. Cependant, iLs sont acceptabLes du point de vue perceptif, pour
dessiner des carrés, des cubes, des cercLes. Dans Le cas du cercLe on utiLi-
sera La condition r = 1 qui faci Lite Le dessin: en effet, Les axes de

---

-168-
L'eLLipse image sont aLors Les bissectrices intérieure et extérieure de
L'angLe de fuite (y).
En physique, outre L'appLication de ces connaissances, on s'attachera
aussi à dessiner mais surtout à distinguer Les éLéments de symétrie géomé-
trique et ceux de La symétrie physique. On réaLisera aussi, Les transformés
de dessins d'objets après une transLation, une rotation, ou une symétrie
par rapport à une droite.
Au bout du compte, L'éLève pourra disposer au sortir du Lycée des moyens
pour tracer correctement un dessin en perspective cavaLière et y repérer Les
éLéments de symétrie du voLume ou de L'objet de L'espace représenté.
2.1.3. Troisième Niveau
Premier cycLe universitaire
De manière intégrée, L'enseignement du Zème niveau pourrait être repris
ici en physique; notamment en Travaux Pratiques et Dirigés. IL peut aussi
L'être dans Les cours de Mathématiques pour étudiants de physique. Cet ensei-
gnement sera compLété par un traitement anaLytique de La perspective cavaLière
d'axe 6(6,6
6). La simpLicité de La correspondance entre un point (x,y,z)
x
y
z
de L'espace et son image sur Le pLan (y,z) de coordonnées
6y
6z
Y - - x
z - - x
6x
'
Lx
permet de tracer aisément et rigoureusement Les dessins d'objets compLexes.
Enfin, un exposé sur La symétrie des systèmes physiques comme Le souhaitait
déjà P. Curie, aidera L'étudiant à comprendre Les raisons de symétrie et La
manière d'en tenir compte dans Le dessin d'un système physique.

---

-169-
Cela dit, dans ces trois niveaux, le noyau de l'enseignement de la
perspective cavalière repose sur:
- deux conventions
• les segments de front horizontaux et verticaux
sont tracés parallèlement aux bords de la feuille,
• les arêtes cachées sont tracées en pointillé;
- deux règles
• le parallélisme et le rapport de longueurs de deux
segments de droite se conservent,
tous les objets repérés dans un même référentiel
doivent être tracés par la même perspective;
- deux recommandations. il est souhaitable de partir de la donnée de (y,r),
· il est judicieux de choisir un angle de fuite voisin
de 45 0 et un rapport de réduction petit devant
1
1
l'unité: entre 6 et 'ITï
Grâce à ces conventions, règles, et recommandations, le lycéen puis l'étu-
diant peuvent rapidement et correctement tracer un dessin utilisable dans
les raisonnements et les calculs. La connaissance de la symétrie (d'origine
physique) aidant, ils interprètent mieux le dessin.
2.2. LIMITES D'UN ENSEIGNEMENT DE LA PERSPECTIVE CAVALIÈRE
Une connaissance même approfondie des méthodes, bien que très utile,
n'assure pas d'éliminer toutes les erreurs que l'on peut faire avec le dessin.
En effet, dessiner est aussi une activité cognitive ayant des caractéristiques
que l'enseignant de physique maîtrise difficilement (Sommers, 1984).
Par ailleurs, le dessin en physique est un outil qui, quelquefois, peut être

---

-170-
négLigé dans une démonstration, un caLcuL. IL peut, dans une société ou
L'utiLité pratique compte beaucoup, paraître un outiL peu important, ne
servant ni à mesurer, ni à quantifier. Le peu de pLace du dessin de repré-
sentation dans Les Livres de cLasses préparatoires est iLLustratif à cet
égard. "Le dessin est un bon indicateur de L'état de La société" Le souLi-
gnait justement Deforge (1981).
Cependant nous disposons aujourd'hui avec L'informatique, d'une puis-
sance de caLcuL énorme qui fait de L'image un outiL de pLus en pLus important.
Non seuLement on peut déveLopper des images sur L'écran des ordinateurs
(infographie des moLécuLes par exempLe), mais on peut aussi
Les modifier
suivant Le point de vue, ou même suivant des transformations physiques ou
chimiques subies par Les objets qu'eLLes représentent. On peut parfaitement
imaginer L'existence de programmes (Berger, 1986) utiLisant à La fois La
perspective centraLe, La perspective cavaLière et Le processus de perception
visueLLe d'un objet. Un choix, cas par cas, de La représentation La pLus
adéquate serait aLors faciLement possibLe. En tout cas L'émergence de Logi-
cieLs de dessins d'objets de La physique représentés en perspective cavaLière
est tout à fait possibLe et pourrait favoriser L'enseignement proposé. Si La
perspective mathématise L'espace visueL, L'informatique introduit une cer-
taine "normaLisation" de La "forme symboLique" qu'est Le dessin, faisant
ainsi un pas de pLus dans "L'objectivation du subjectif". Ceci conforte notre
démarche visant à réduire L'impLicite et à évacuer Les écarts introduits dans
La pratique habitueLLe de La perspective dans L'enseignement actueL. Et de
pLus, comme en infographie, L'ordinateur est capabLe de figurer Les symétries
physiques et géométriques d'un système évoLuant seLon Les transformations Les
pLus diverses. C'est Là une voie à expLorer.

---

-171-
Le fiL conducteur de ce travaiL a été de montrer qu'iL était possibLe,
sans gros investissement, de fournir aux étudiants de physique des moyens de
produire et d'interpréter correctement un dessin en perspective; ce qui
devrait améLiorer Leurs compétences.
Dans La rédaction de ce travaiL nous avons voLontairement évité:
• en amont d'exposer L'évoLution du dessin au cours de L'histoire de
L'enseignement de La physique; aspect certes intéressant mais qui nous
aurait un peu éLoigné des réaLités didactiques actueLLes qui nous oc-
cupent. Lorsque ceLa était nécessaire nous avons fait référence à cette
histoire.
en avaL, nous disposons, après cette étude, de tous Les éLéments utiLes
pour dessiner assez simpLement La pLupart des systèmes rencontrés en
physique comme Les objets réeLs, Les champs (champ éLectromagnétique),
Les surfaces teLLes ceLLes de Gauss, Les niveaux d'énergie ••• etc ••• De
teLs dessins pourraient constituer un fascicuLe utiLe à L'enseignant de
physique. C'est Là une suite natureLLe de ce travaiL.
CeLa dit, ce travaiL a débuté par Le constat d'une ignorance des règLes
du dessin. Au terme, c'est un pLaidoyer pour Leur enseignement. IL n'est
néanmoins qu'une réfLexion théorique sur Le dessin dans L'enseignement de La
physique. IL reste, et c'est Là une suite importante de ce travaiL, d'expé-
rimenter, une pratique de cet enseignement. CeLa est seuL susceptibLe de
fournir Les éLéments tests de son adoption. Cette pratique, si importante,
exige une compLémentarité entre discipLines différentes (mathématiques et
physique notamment), qu'iL peut être trop fragmentaire de fournir des concLu-
sions généraLes au travers d'un seuL exempLe d'enseignement.

---

-172-
Par aiLLeurs, comme ce travaiL Le montre, aussi "natureL" que puisse
paraître Le dessin de perspective même "normaLisé", iL reste une représen-
tation symboLique d'un modèLe de La réaLité construit par Le physicien.
Aussi sera-t-iL intéressant d'examiner pLus gLobaLement Les finaLités du
dessin Liées à La modéLisation des phénomènes physiques.
Dès Lors ce travaiL est une modeste contribution sur Le rôLe du dessin
dans L'enseignement de La physique, La façon dont iL est utiLisé, et Les
moyens pour un meiLLeur usage.

---

-173-
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
LE CORPUS
PRÉSENTATION DES OUVRAGES
1. L'ouvrage de FLEURY et MATHIEU fait partie d'un traité datant de
1953 qui s'appuie sur des descriptions expérimentaLes. On y utiLise
"Le Langage rapide des mathématiques usueLLes". Dans son chapitre
"Attraction universeLLe et champ de pesanteur terrestre", iL expose
de façon phénoménoLogique Les différents points historiquement abor-
dés: Mesure de La constante par Cavendish, mesure de L'accéLération
de La pesanteur terrestre et de ses variations.
2. Le manueL de BLANC, DEGELH et FONTAN est écrit en 1970: Les considé-
rations sur L'attraction
universeLLe
sont dispersées dans Les
anaLyses de notions très généraLes comme Le "champ de vecteur" ,
L'''invariance gaLiLéenne", Le "moment cinétique". L'attraction univer-
seLLe n'est considérée que comme appLication de ces anaLyses généraLes.
IL y a, ici, un souci d'accéder à une vue pLus généraLe pour mieux
situer un fait physique donné par rapport à d'autres. Dans cette vue
d'ensembLe, Les mathématiques servent de moyen de déduction.
3. Le Livre de VALENTIN écrit en 1983 est une "introduction à La physique-
des atomes aux étoiLes - et à ses méthodes - du bricoLage aux grands
principes". Le formaLisme y est réduit. On part d'un exposé des prin-
cipes de La mécanique et L'attraction universeLLe en est une iLLustra-
tion qui Expose, en schématisant, Les arguments qui permirent à Newton
de découvrir La force de gravitation.

---

-174-
Pour Les Livres destinés expLicitement aux cLasses préparatoires
4. CeLui de JOYAL et PROVOST
(1972), en traitant Le "Mouvement d'un point
matérieL soumis à une force centraLe proportionneLLe à L'inverse du
carré de La distance", part des intégraLes premières du mouvement pour
décrire Les trajectoires, Les énergies d'une particuLe et arrive
directement aux Lois de KépLer et de Newton. La démarche utiLise beau-
coup de mathématiques.
5. Le Livre de DEVORE et RIVAUD datant de 1954 part de L'''hypothèse'' de
Newton pour déterminer Le champ de gravitation d'un astre sphérique et
en particuLier ceLui de La terre Largement anaLysé par La suite.
6. Le manueL de ANNEQUIN et BOUTIGNY
(1975), dans une démarche déductive,
part de La Loi de Newton pour L'appLiquer à La terre et aux satellites.
7. Le manueL de BERTIN, FAROUX et RENAULT
(1977), de façon phénoménoLogique,
étudie Les propriétés du champ de pesanteur terrestre et Les mouvements
des pLanètes autour du soLeiL en partant des Lois de Newton.

---

-175-
Concernant Les ouvrages américains
8. Le traité de FEYNMAN et aL. (1979) est pLus qu'un Livre d'enseignement.
C'est une revue généraLe de La physique où sont abordés autant Les
aspects cLassiques que Les aspects modernes, autant des questions réso-
Lues que des questions ouvertes. Le recours aux mathématiques est réduit
au minimum, Les résuLtats exposés sans un chapeLet de caLcuLs. Les
raisonnements généraux "s'appuyant sur Les images et Les anaLogies"
permettent d'aborder "Les grands probLèmes de La physique et Les outiLs
mathématiques indispensabLes pour Les résoudre Le pLus simpLement".
Par Le styLe adopté, La façon toute personneLLe de rattacher certains
points entre eux, des paragraphes qui d'ordinaire sont rattachés à La
théorie de La gravitation se retrouvent dans d'autres Leçons. On y
traite de son histoire, du champ terrestre, des sateLLites et des
pLanètes.
9. L'ouvrage de ALONSO et FINN, (1972) abandonne La division tradition-
neLLe de La physique en mécanique, chaLeur, éLectromagnétisme, optique
au profit d'une présentation pLus unifiée "insistant sur Les Lois de
conservation, Les notions de champ et d'onde". Les bases mathématiques
sont un "minimum d'éLéments sur Le caLcuL différentieL et intégraL".
La gravitation, une des formes d'interaction est anaLysée en terme de
champ et est une iLLustration des principes de La mécanique. On y traite
de L'histoire de La gravitation bien avant Newton, du champ terrestre,
des sateLLites, des pLanètes.
10. Le Livre de KITTEL et aL., (1972) utiLise beaucoup te caLcuL mathémati-
que pour déduire autant que possibLe et de façon assez compLète, Les
Lois physiques. Ainsi Les étudiants ont-iLs besoin de connaissances
mathématiques, en anaLyse surtout, pour suivre Le cours. Le Livre s'y

---

-176-
empLoie avec beaucoup de rappeLs d'anaLyse. C'est sous Le titre de "Loi
de force en inverse du carré de La distance" que Les probLèmes Liés à
La gravitation et à L'éLectrostatique sont abordés avec beaucoup de
caLcuLs mathématiques. Sont encore traités, Le champ terrestre, Les
sateLLites et Les pLanètes. L'histoire est rejetée en appendice.
11. Le Livre de RESNICK et HALLIDAY, (1979) reLie très souvent L'exposé
1
des principes de base de La physique aux phénomènes famiLiers. Tout en
faisant appeL à des éLéments d'anaLyse mathématique, Le formaLisme y
est réduit. L'histoire, Le champ terrestre, Les pLanètes sont traités
de façon phénoménoLogique.
CONTENU SCIENTIFIQUE COMMUN
Le contenu scientifique commun est constitué par Les paragraphes
1) Historique
2) La Loi de La gravitation universeLLe
3) La constante de La gravitation universeLLe G
4) Masse gravitationneLLe et masse d'inertie
5) Variation de L'accéLération gravitationneLLe
6) Effet gravitationneL d'une distribution sphérique de La masse
7) Le mouvement des pLanètes et des sateLLites
8) Le champ gravitationneL
9) Energie potentieLLe d'un système à pLusieurs particuLes
10) Energie potentieLLe de
~ravitation
11) Considérations énergétiques sur Le mouvement des pLanètes et des
sateLLites.

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-185-
TABLE DES MATIERES
PAGE
INTRODUCTION
3
PREr~IERE PARTIE
LE DESSIN DANS L/ENSEIGNE~ENT DE LA PHYSI~UE
1. LES RELATIONS ENTRE LA PHYSIQUE ET LE DESSIN.
11
1.1. Le dessin, outiL de représentation.
12
1.1.1. Dessins d'objets macroscropiques.
13
1.1.2. Dessins d'objets microscopiques ou astronomiques.
16
1.1.3. Objectifs du dessin seLon L'utiLisation.
18
1.2. Le dessin outiL de communication.
20
1.2.1. Caractère syncrétique du dessin.
20
1.2.2. Le dessin stéréotype.
22
1.3. Le dessin outiL d'éLaboration de pensée.
23
1.3.1. Le dessin preuve.
23
1.3.2. Le dessin outiL de caLcuL.
24
1.4. Les types de dessin et Leur fonction.
27
1.4.1. Les dessins symboLiques.
27
1.4.2. Dessins de communication.
28
1.4~3. Dessins de caLcuL.
30
1.5. Conclusion.
31

---

-186-
PAGE
2. LE ROLE DU DESSIN DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA PHYSIQUE.
33
2.1. Méthode d'anaLyse.
33
2.1.1. Le contenu scientifique et Le dessin.
33
2.1.2. AnaLyse des Livres.
35
2.1.3. AnaLyse des cours magistraux.
36
2.1.4. AnaLyse du questionnaire.
37
2.2. Les résuLtats: Le rôle du dessin.
37
2.2.1. PLace du dessin.
37
2.2.2. UtiLisation des différents aspects du dessin.
44
2.2.3. ConcLusion.
57
~DEUXIEME PARTIE
LA REPRESENTATION EN PERSPECTIVE
D'OBJETS TRIDIMENSIONNELS
1. LA PERSPECTIVE DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA PHYSIQUE.
60
1.1. Questions didactiques.
60
1.2. Propriétés fondamentaLes de La perspective.
62
1.2.1. La perspective centrale.
63
1.2.2. La perspective cavaLière.
64
1.2.3. Ambiguité du dessin en perspective.
65
1.3. QueLLe perspective doit-on priviLégier?
67

---

-187-
PAGE
2. PRATIQUES DE LA PERSPECTIVE DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA PHYSIQUE.
TYPES D'ERREURS.
72
2.1. Types d'erreurs chez L'enseignant.
73
2.2. Types d'erreurs chez Les étudiants.
76
2.2.1. MéthodoLogie.
76
2.2.2. Sur L'hypothèse: "Les étudiants utilisent La PC".
78
2.2.3. Erreurs des étudiants dans La pratique de La PC.
82
3. LE DESSIN D10BJETS TRIDIMENSIONNELS.
REGLES SIMPLES DE PERSPECTIVE CAVALIERE.
92
3.1. Techniques de dessin en PC.
94
3.1.1. Repérage de L'axe de projection.
96
3.1.2. Le référentieL, point de départ du dessin.
98
3.1.3. Formes du dessin suivant La direction de projection L •
99
3.2. Dessins d'objets.
104
3.2.1. Dessins du cube.
107
3.2.2. Dessin du cercLe.
108
3.2.3. Dessin de La sphère.
109
3.2.4. ConcLusion.
112

---

-188-
PAGE
TRorsrEME PARTIE
INTERPRETATION DES DESSINS DE SYSTEMES PHYSIQUES
1. SYMETRIE ET REGLES DE SYMETRIE.
114
1.1. Définitions.
115
1.1.1. Symétrie d'origine géométrique.
116
1.1.2. Symétrie d'origine physique.
117
1.2. La symétrie dans L'enseignement de La physique.
118
1.3. RègLes de symétrie.
119
1.4. Symétrie et dessin: questions didactiques.
123
2. DE LA MANIERE DES ETUDIANTS DE DEDUIRE LA SYMETRIE D'UN OBJET
A PARTIR DE SON DESSIN.
125
2.1. Objectifs et expLoitation du questionnaire.
126
2.2. Les résuLtats.
128
2.2.1. Les résuLtats de symétrie de figures pLanes.
128
2.2.2. Les éLéments de symétrie de voLumes de R
.
130
3
2.2.3. Les éLéments de symétrie de systèmes matérieLs.
133
2.2.4. Sur queLques transformations du pLan.
142
2.2.5. Maîtrise de La symétrie des effets (E)
produits par un système (S).
145
2.3. Interprétation des erreurs commises par Les étudiants
dans L'anaLyse des symétries des systèmes physiques.
151
ème
2.3.1. RôLe de La 3
dimension.
152
2.3.2. InfLuence de La répartition des masses.
154

---

-189-
PAGE
CONCLUSION
157
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
CORPUS
173
BIBLIOGRAPHIE
178
C0 MP LEM E NT S
1.
P1.AGE D' UN CERCLE
191
II.
DESSIN DE SPHERE APARTlq DE (y,r)
197
III, DESSIN DE LA SPHERE : METHODE ANALYTIOUE
199
IV,
REGLE DES PARTIES CACHEES
204
A N N E X E S
1.
QUESTIONrJAIRE "ENSEIGNANTS"
207
II. QUESTIONNAIRE "ETUDIANTS" SUR LE DESSIN,
210
III. QUESTIONNAIRE "ETUDIANTS" SUR LA SY~ETRIE
212
IV,
ENONCES DE PROBLE~E
221

---

c 0 ~ P L E~ E NT S

---

-191-
l, IMAGE D'UN CERCLE
l,l, EQUATION DE L'IMAGE D'UN CERCLE
Un point (xo'Yo,zO) du cercLe a, seLon La perspective cavaLière de
direction t::. (t::. ,t::. ,t::. ), une image sur Oyz de coordonnées
x
y
z
-
t::.y
t::.z
y =
.
(t::.x
t- 0)
yO
xo
z = z
-
x
0
o
t::.x
t::.x
Dès Lors, pour obtenir L'équation de L'image d'un cercLe sur Le pLan
(y,z) on
• rempLace dans Les équations du cercLe, x par xo ' y par y + t::.y xo
t::.x
. éLimine ensuite Le paramètre xo
Par suite, L'image d'un cercLe d'équations
j / + l + / - Zax - Zby - Zcz + d = 0
Lux + vy + wz = 0
est de La forme quadratique suivanteJ
Z
Z
A y
+ B z
+ Z Cyz. + Z Dy + 2 Ez + F = 0
(1)
2
L'image est donc une eLLipse si C -AB (0
et un cercle si C=O et A=B.
1,2, RËDUCTION DE LA FORME QUADRATIQUE
Dans Le pLan (y,z), Le centre de L'eLLipse donnée par L'équation (1)
f.
t!
n'est pas pLacé à L'origine de La base orthonormée, et Les axes ne sont
f
pas confondus avec Les directions principaLes de L'eLLipse. Pour trouver
1
une base orthonormée qui coïncide avec ces directions principaLes, iL faut
;f

---

-192-
effectuer en généraL une rotation et une transLation (Yéfimov, 1964).
CeLa se fait en partant de La matrice M de La forme quadratique associée
2
2
à (1), ~(x,y) = Ay
+ Bz
+ 2 Cyz :
Les vecteurs propres de M définissent Les deux directions principaLes de
L'eLLipse dont Les vecteurs unitaires forment une base orthonormée. On peut
aLors écrire(1) dans Le nouveau système de coordonnées yi, Z'
soit (1').
Une transLation de L'origine de cette nouveLLe base fournit une base
orthonormée finaLe (Y,Z) dans LaqueLLe (1) va s'écrire
(2)
équation d'une eLLipse dans un repère orthonormé confondu avec ses axes.
En résumé, L'image d'un cercLe en perspective cavaLière est une éLLipse
dont on connait Le centre, Le grand demi-axe et Le petit demi-axe (a et b)
et par suite La position des foyers F et F' . La construction de L'image
va donc pouvoir se faire par Les méthodes cLassiques de construction de
L'eLLipse quand on connait Les axes (Lobjois, 1973).
1.3. POSITIONS DES DIAMÈTRES CONJUGUÉS ET DES AXES DE L'ELLIPSE
IMAGE D'UN CERCLE.
On traite ce probLème en partant de La donnée de (y,r).
Soit un cercLe dans Le pLan horizontaL. IL existe deux diamètres perpendi-
cuLaires, L'un defl"ont AB dessiné en vraie grandeur, L'autre de boutcd=rIABI.
AB et cd images de diamètres perpendicuLaires sont Les diamètres conjugués

---

-193-
de La figure image du cercLe. ILs se dessinent immédiatement avec La
donnée de ~ ou du référentieL
d
A
R
C
IL reste à construire L'eLLipse issue de ces diamètres conjugués ainsi
que ses axes. Un point M du ,cerc Le, (dans L'espace) fig.
(a) suivante, est
2
2
teL que OH = R cos a. et 01 = R sin a. • Sur Le dessin on a Oi=r"R -OH
•
Par suite L'image m correspondante à un H sur AB est donnée par L'intersec-
tion de La paraLLèLe à cd menée de H avec La paraLLèLe à AB menée de
(fig. b)'
D
l
M
d
ï - - - - - - -
-
m
- - - - - - - - ...
o
A
H ,
B
A
B
N'
N
C
C
Fig. (a)
Fig. (b)
Ce type de construction, à L'aide de La règLe et du compas ne pose pas de
difficuLtés. Par suite de La conservation du miLieu, de m on obtient trois
autres points m', n, n'
•

---

-194-
Le rayon am, fonction de OH, passe pas ses extremums aux points H~ et H~
tel que :
+
2
Ces ext remums, di fférents de OH = 0 et OH = R , mont rent que les axes de
l'ellipse ne sont pas en général les diamètres conjugués de front et de
bout.
Dans le cas général, y et r quelconques, on ne peut pas placer
aisément les axes de l'ellipse.
Dans le cas où r = 1 , figure suivante sans réduction, les axes se placent
e
R
facilement. En effet OH
= ±
et les points m et n
qui lui correspon-
12
e
e
dent sont tels que les triangles OHm
et 0 H n
sont isocèles. Les axes
e e
e e
de l'ellipse sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle y .
Le grand demi-axe est Om
=R 1 1+cosy,le petit demi-axe On
= R/1-cosy,.
e
e
les foyers tels que OF=OF'=R 12cosy. L'ellipse peut être tracée par les
méthodes classiques.
d
- me
A
La condition r = 1 permet de tracer complètement l'image du cercle. On
peut en même temps chercher à se rapprocher des conditions de la percep-
tion - CL et B voisins et pas très grands, c'est-à-dire tgy = 1. La pers-
pective cavalière sans réduction avec les droites de bout inclinées à 450
se révèlent la plus appropriée pour le dessin du cercle.

---

-195-
Si Le cercLe est dans une position queLconque, ses axes, comme deux
diamètres conjugués queLconques, peuvent se positionner moyennant queLques
caLcuLs.
Traitons, par La méthode anaLytique, L'exempLe suivant
Soit Le cercLe C défini par Les équations
{:: + y2 + z2 - 2x - 4y + 6z + 5 =0
+ y -
2z - 4 = 0
intersection de La sphère et du pLan P •
Le cent re 0 de La sphère est (1, 2,-3), son rayon R =3 • La di stance
2
de 0 au pLan est égaLe à 2 • Le rayon r de C est donc r =1R - 4 =;'; .
Le centre Co de C appartient à La perpendicuLaire issue de 0 sur P • Les
équations paramétriques de cette perpendicuLaire sont
r = 1 + 20
,
y = 2 +0
z = -3-2p
Dire que Co appartient aussi à (p) signifie que
2(1+20 )+2+ 0 -2(-3-20 )-4 = 0
2
soi t p = - -
3
Les coordonnées de Co sont donc -1/3, 4/3, -5/3 •
Ces précisions faites,
L'image de C par La projection paraLLèLement à
(1, 0, CD est
5 / + 8 z2 - 4 yz - 20 y + 32 z + 20 = 0
C'est ceLLe d'une eLLipse, Le discriminant étant négatif.

---

-196-
Les directions de ses axes principaux sont données par ceLLes des vecteurs
propres de La matrice
J
5
-2
[ -2
8
de vaLeurs propres \\, = 9 et \\2 = 4 ;
Les vecteurs propres unitai res sont
---+
---+
2 ""7
k
---+
1""7
2
---+
U =
J
+
et
v = - - J +
k
15.
/'5
f5
15
Rotation et transLation conduisent dans La base finaLe (Y,Z), à La reLation
+
= 1
(~ 15) 2
3
L'image du cercle C par
La perspective (1, 0,0) est dessinée sur La figure
suivante
.. 1
L
Z
\\
\\
\\
d
Y
1
lm
,
F
,1
,-JI.
...-"
..-/'
. /
b
a
\\
yi
\\
/
.,/
"
/
/
.,/
Y
C
IJ
/ '
"
Le centre (y =O,Z =0) est L'image de C
(-1/3, 4/3 -5/3 par (1,0;0) ;
o
on Le vérifie aisément. Les axes sont bien tracés. Deux diamètres conjugués
queLconques s'obtiennent aisément: en traçant
Le premier (a b)
Le second
(cd)
passe par m miLieu d'une corde (a'b') parallèLe à (ab),

---

-197-
II, DESSIN DE SPHERE APARTIR DE (y,r)
Soit un référentieL, ou Le tracé du rayon horizontaL frontaL OF et
du rayon de bout Ob ; L' image de La sphère de rayon R= 1 centrée en 0
s'obtient comme suit:
• L'image du cercLe horizontaL (H) est L'eLLipse (h) de diamètres
conjugués F'OF et b'ob (Figure suivante). Les points F' et b' symétriques
à F et b par rapport à 0 • On peut tracer L'eLLipse (h) par Les méthodes
class i ques.
p
/
b
1
;--- --
j
,
[;Y
1
F
--6--------'
.
/
Fc
/
/
1
1
J
1
p'
v'c

---

-198-
• Soit OP Le rayon verticaL perpendicuLaire à (H). IL est frontaL et
dessiné en vraie grandeur. Le grand cercLe de bout (V) a deux rayons
perpendicuLaires OP et OB d'images OP et Ob qui sont Les diamètres conju-
gués de son image (v). On peuS comme pour (h) tracer (v).
Concernant Le contour, soit dans L'espace, Le pLan TI perpendicuLaire
à ~ et passant par 0 • IL découpe sur La sphère, Le contour C (Le grand
cercLe perpendicuLaire à ~). Le pLan TI coupe (V) suivant un rayon OVc et
(H) suivant un rayon OFc • Ces deux rayons ne sont pas perpendicuLaires.
Les rayons OP et OVc forment un angLe a • Les rayons OF et OFc forment un
angLe S • Le point Vc est à L'intersection du cercLe verticaL (V) et de son
rayon faisant un angLe a avec (OP). Le point Fc est à L'intersection du
cercLe horizontaL (H) et de son rayon faisant un angLe S avec (OF). Les
points Vc et Fc appartiennent aussi au contour. Dans Le pLan de dessin
L'image fc de Fc est à L'intersection de L'eLLipse horizontaLe (h) et du
rayon qui fait avec OF un angLe S'
(image de S). IL en est de même pour
Le point v
. Les segments of
et ov
peuvent être considérés comme Les
c c c
rayons conjugués du contour dans Les conditions proches de La perception
(a et S petits). Le contour est donc une eLLipse qui peut être tracée
par Les méthodes cLassiques •
• Les eLLipses (h) et (v) sont toutes entières contenues dans L'eL-
Lipse (Ct). ELLes touchent cette dernièr~d'une part, par Les points de
contact fc et son symétrique f'c et, d'autre part, par Les points v
et v'
c
c
Ces points sont différents des points F et F', P et P' . IL s'ensuit que
Les pôLes P et P sont à L'intérieur du contour.

---

-199-
III, LE DESSIN DE LA SPHERE, MËTHODE ANALYTIQUE
L'équation de La sphère de centre w (a,b,c) et de rayon Rest
2
2
2
2
(S)
(x-a-
+ (y-b)
+ (z-c)
= R
(1)
...
L'axe de projection paraLLèLe 6(6 ,6 ,6 ) coupe La sphère en généraL en
x
y
z
deux points M et M' qui ont La même image m •
M' (x',y',z') se déduit de M(x,y,z)
par une transLation
r,--+n
x' = x + \\.l 6 x
yi = Y + 11 6
-
y
= z + u 6
-4
0
z'
y
z
x /
111.1. LE CONTOUR CT DE LA SPHERE (S)
1
Si M et M' sont distincts, L'un est visibLe, L'autre ne L'est pas.
--+
--+
--+
En effet Les poi nts vus sont te L que 6 . n ) 0
(n est La norma Le au poi nt
--+
--+
considéré): C'est-à-dire que L'angLe e de 6 et de n est inférieur à 90° .
Si pour ~1 L'anaLe 8 est inférieur 2':':", on a pour M' ,
)
.:.:.. .
"
2
2
--+
--+
Le contour CT de La sphère, Limite visibLe est donné par 6. n = 0 • Il
a donc pour équations :
(x-a)2 + (Y_b)2 + (z-c)2 = R2
6 (x-a) + 6 (y-b) + 6 (y-c) = 0
x
y
z
intersection de (5) et du pLan (TI) passant par w et perpendicuLaire à 6

---

-200-
De ces équations, on obtient La forme quadratique associée -en posant
2
1 1 : : . 2
2
1
I::. z 2
Q(YZ) = Y [ 1 - -
(....L)
J
,i
+ z [ 1 - -
(-)
1+ 2yz
1::.
1J2
1::.
x
x
ELLe conduit en généraL à une eLLipse Ct •
On obtient un cercle en toute rigueur si 1::.
= 1::.
= 0 <=- (a = 0 s= 0)
~
f. 0
Y
z
"
X
-+
En pratique si 1::.
est très grand par rapport à 1::.
et 1::.
(1::.
presque normaL
x
y
z
au pLan Oyz), Le dessin de La sphère tend à être circuLaire.
111.2 LE CERCLE HORIZONTAL
Des équations
2
H {(x-a)
+
z = c
on tire La forme quadratique associée
1::.
2
1::.
Hyz)
+ (....L) 1 - 2yz ....L
1::.
1::.
z
z
qui conduit à une eLLipse (h)
. (1::.
f. 0).
7
z
Les eLLipses (Ct) et (h) niant pas en généraL Les mêmes axes principaux
sur Le pLan de dessin.
(h) serait un cercle si
=
1::.
0 (S =0) et 1::. = 1::.
(a =~) et L' image Ct
y
x
y
4
serait toujours une eLLipse.

---

-201-
111.3 POINTS PARTICULIERS
111.3.1 Les pôLes: Ce sont Les intersections P
et P
de La sphère avec
1
2
L'axe perpendicuLaire au pLan horizontaL (H). ILs n'appartiennent oas en
généraL au contour CT (i Ls n'appartiennent pas à (-rr).
Leurs images doivent donc être à L'intérieur de L'eLLi psec t7 L'un visibLe,
L'autre non visibLe. Les pôLes sont sur L'eLLipse Ct
si 6 =0 •
z
111.3.2 Les points de contacts : Ce sont Les intersections des cercLes
CT et H (ou, Les points de CT teL que z = c).
111.4 EXEMPLE DE DESSIN D'UNE SPHERE SELON 6(1,1,1)
2 2 2
Soit La sphère S
x + y + Z - 8x + 7 = Ode cen t r e w( 4, 0; 0) et de
rayon R = 3.
111.4.1 Dessin du contour CT
Le contour CT d'équations
2 2 2
+
a
tx + y +
8x 7=
Z
-
(1)
CT
x - 4)+ y + Z
= a
a pour image
2
2
2y
+ 2z
- 2y z + 8y + 8z + 5 = a
(2)
La matrice associée à cette conique a comme vecteurs propres unitaires
.....,.
1
.....,......,.
u =
et
v = -
(-j + k)
/2"
1
l,,
1
{
f'

---

-202-
La rotation du repère dans La direction des vecteurs propres suivie de
La transLation de L'origine transforment (2) en L'eLLipse
+
=
1
(3)
111.4.2 Dessin du cercLe horizontaL
Le cercLe horizontaL
de La même manière, a pour image L'eLLipse d'équation (approximative)
+
=
1
(4)
(1,85) 2
111.4.3 Les points de contact
Ce sont Les points c ' C où Le contour coupe Le pLan horizontaL
1
2
z = 0 . Leurs images sont, dans Le pLan (Y,Z)
9
3
3
Y1 = - 2"
Z1 = + 2"
2"
111.4.4 Le centre
Le contour et Le cercLe horizontaL ont Le même centre. On Le vérifie
en remontant de (y =0, Z =0) par Les transformations inverses associées
à H d'une part ou par ceLLes associées à Cr d'autre part. ELLes condui-
sent toutes au centre image (-4, -4) de M (4,0,0).

---

-203-
Les résuLtats sont résumés dans Le dessin ci-dessous
z~
y
Z(h)
-+------.:;:,
\\
"\\
•
Z(c )
--
t
'
"""",-
/
"
"
~
/
/
/
,.
/
1
;'
1
/
Ce dessin est très éLoigné de L'image perçue de La sphère. D'un point de
vue didactique, iL iLLustre La nécessité, pour dessiner une sphère,
d'utiLiser un axe de projection ~ voisin de La normaLe (1,0,0).

---

-204-
IV, REGLE DES PARTIES CACHEES
-+
La connaissance de L'axe 6 suffit à trouver Les parties cachées.
On convient de tracer en pointiLLé une arête cachée.
Une face d'un objet est visibLe, par un observateur pLacé dans La
-+
-+
-+
direction 6 , si L'angLe e de 6 avec sa normaLe extérieure N est infé-
rieure à 90° • ELLe est invisibLe si e est supérieur à 90°
(Fig. 1)
Fig. 1
~
---+-
~---+
Par suite Le produit scaLaire 6. N = 161Nlcose est positif si La face
est visibLe. Pour une paire de faces paraLLèLes si L'une est visibLe
---+-
---+
---+
--)0
L'autre est invisibLe. Pour des N portées par i, j, k
-+
-+
6 • N = + 6
(ou + /'-,
, ou + 6 )
x
y
z
Les signes + traduisent que Les normaLes sont dans Le sens de
On peut donc sur Le dessin, en se reférant au signe de 6
(6
ou 6 ) ,
x
y
z
indiquer La face visibLe.
Prenons L'exempLe suivant. Soit un cube pLacé dans Le premier quadrant
d'arête unité. Ci-dessous figure Le "cube dans L'espace" (Fig. 2>' Son
-+
dessin par une perspective 6 sur Le pLan (Oyz) ou (OYZ) est indiqué par
Les figures (3 a et b) suivantes.
Z
Fi g. 2
y
x

---

-205-
h . .
--+ (1
1 1)
l
On a c 01Slt 6
-2' -2'
;
es 8 sommets (H.,Q.) ont leur image (h.,Q.)
1
1
1
1
6
6
données par les relations
z
y - -r
et
z -
x. On les a représenté sur
6
6
x
x
le plan (y,z) (Fig. 3.a)i
. on peut tracer le contour, images d'arêtes visibles (Fig. 3.a)i
• des sommets intérieurs au contour sont issues des arêtes parallèles
à des segments du contour. Les arêtes d'un sommet intérieur sont toutes
visibles ou toutes invisibles.
Deux possibilités (Fig. 3 b et c) sont offertes par la figure (3a).
Représentons 6
par une flèche, dirigée vers l'objet, dans le sens (ou à
y
l'opposé) de l'axe Dy si 6y est positif (ou négatif). Faisons de même
--+
--+
pour 6
• La première face rencontrée est invisible (6. N ( 0)
z
Telle est la règle des parties cachées. c'est la figure (3 b) qui cor-
--+
1
1
--+
1
1
respond à 6 (2' "2' 1) • La figure (3 c)
correspond à 6 (- 2' - 2' 1) •
z
z
y
Y
4 o - - - - - f - - - " ?
(a)
(b)
(c)
Fig. 3

---

ANNE XE S

---

-207-
l, QUESTIONNAIRE "ENSEIGNANTS"
PERCEPTION ET GRAPHISMES D'OBJETS
Pour repérer Les objets situés dans L'espace vus par un oeiL 0, on
définit Les trois pLans:
Le "pLan horizontaL" (H), qui passe par L'oeiL 0 ,
- Le "pLan frontaL" (F), c'est un pLan verticaL. Il coupe Le pLan (H)
suivant La "Ligne d'horizon" (6 )
H
'
- Le "pLan de vision" (V), c'est Le pLan verticaL passant par a et
perpendicuLaire au pLan frontaL.
On définit aussi Le "point de fuite" P
comme La projection de 0 sur Le
f
pLan (F).
La droite (OP ) est La "Ligne de visée".
f
pLan de vision
.......--t_pLan frontaL
Ligne d'horizon
~------r..JL--=-------"H
~~
pLan horizontaL
visée
Un point M de L'espace est repéré, sur Le pLan de figure qui est
confondu
avec Le pLan frontaL (F), par L'intersection m de La droite OM
avec Le pLan (F).

---

-208-
Item 1.
Un objet est formé de 2 segments de droites égaux formant un
angLe a • L'objet est dans le pLan
frontaL et est vu comme sur le dessin [1 J
[ 1 J
ci-contre. AG, bissectrice de L'angLe
,,-.
BAC est verticaLe.
C
B
a) L'objet tourne autour de AG
représenter différents aspects de
L'objet lors de la rotation.
b) L'objet est pLacé maintenant dans Le pLan (H), tel que AG soit
sur OP
; on Lui fait subir une rotation autour d'un axe horizontaL contenu
f
dans Le pLan horizontaL: dessiner différentes vues de l'objet.
Item II.
a) Un cercle est inscrit dans un triangLe équilatéral lui-même
inscrit dans un autre cercLe. Initialement Le plan de La figure est confon-
du avec Le pLan frontaL. Puis iL subit une rotation de 60° environ autour
d'un axe horizontaL. Faire Le dessin de l'objet tel qu'il est vu alors.
b) Voi ci, dess i n [2 1 , une membrane
circulaire verticale vue de face (dans le
plan frontaL centré sur P ). On a tracé
f
4 diamètres formant des angles de 45° et
deux cercles concentriques dont Les rayons
sont 1/3 et 2/3 de celui de La membrane.
Cette membrane est mise à L'horizontale et vue en perspective.
1. faire le dessin
la membrane étant pLane et horizontale
2. faire le dessin
la membrane étant bombée vers le haut,
en gardant toujours une symétrie de révolution
3. faire le dessin dans Le cas de la membrane bombée vers Le
bas avec toujours une symétrie de révolution.

---

-Z09-
Item III.
Soient trois cercLes identiques dont Les pLans P
' Pz ' P
1
3
forment un prisme à base équiLatéraLe. Les centres des cercLes sont dans
Le même pLan horizontaL. Les points de contact communs sont Les extrémités
des diamètres horizontaux. Ces points de contact forment un triangLe
équiLatéraL horizontaL contenant Les 3 centres des cercLes verticaux.
Représentez une vue que vous pourriez avoir de cet objet Lorsque
vous L'observez debout.
Item IV.
Dessiner un atome d'hydrogène [noyau (1 proton) + un éLectron
autour] . De quoi dépend Le graphisme? L'ensembLe des positions de
L'éLectron est-iL pLan (Le noyau est supposé fixe) ou sphérique?

---

-210-
Il, QUESTIONNAIRE "ËTUDIANTS" SUR LE DESSIN
Ce questionnaire porte sur La réaLisation ou La Lecture d'un dessin
d'objet par un observateur. L'objet, ou L'observateur ayant une vision
normaLe, peut être soit mobiLe soit fixe; on Le précisera.
Pour réaLiser Les dessins, Les consignes sont Les suivantes
- réaLiser Les dessins avec un styLo à encre ou un styLo à
biLLe (pas de règLes ni de compas) ;
- on peut barrer un tracé et le remplacer par un autre dans un
même dessin; de même on peut barrer tout un dessin et Le rempLacer par
un autre ;
- iL n'y a aucun oaLcul à faire; c'est seuLement pour indiquer
Les ordres de grandeurs que des vaLeurs numériques d'angLe et de Longueur
sont données.
Ce questionnaire ne fait pas L'objet d'une notation. Ne mettez pas
votre nom.

---

-2"-
Item H,
Voici un carré ABCD vu de face (a) par un observateur fixe. _
Le carré verticaL a son centre 0 équidistant des deux yeux et
définissant avec eux un pLan horizontaL. On fait subir au carré
une rotation de 75° environ autour de L'axe horizontaL AB,
L'observateur fixe a La même position. Faire Le dessin (b) de ce
qu'iL voit à La fin de La rotation.
B
D
C
A
A
B
D
dessin (a)
dessin (a')
Le carré est maintenant vu de face par Le même observateur fixe,
son centre 0 toujours pLacé comme dans La première partie de La
question; mais dans cette nouveLLe position (a'), La diagonaLe
DB est verticaLe. Ensuite Le carré subit une rotation de 75°
autour de L'axe BD fixe. Faire Le dessin (b') de ce que voit
L'observateur à La fin de La rotation.
Item H
Deux poteaux P, et P ,
de hauteur 2 m, sont pLantés verticaLe-
2
2
ment et sont distants d'environ 2m. On reLie Les deux extrémités
Les pLus hautes de P
Pz par une corde de 3 m qui pend.
1
a) Faire Le dessin (a) de ce que voit L'observateur debout,
équidistant de P, et Pz et regardant frontaLement Le pLan formé
par P, et Pz .
b) L'observateur tourne circuLairement de 60° environ en
restant à égaLe distance du milieu des poteaux P, et P • Dessiner
2
ce qu'iL voit à La fin de La rotation (dessin (b».

---

-212-
Item H
Voici des vues en perspective
d10bjets de L'espace. Barrer, s'iL
3
en existe, une ou des perspective(s) impossibLe(s). Pour Le(s)
dessin(s) restant(s) marquer dans La case correspondante Le numéro
d10rdre : 1 pour Le dessin qui représente Le mieux L1objet, 2 pour
Le dessin qui représente,après 1 Le mieux L10bjet et ainsi de suite.
J
CARRE
O u
o
+
1
1
CUBE
o
o
o
[ J
Item M.
Un objet rigide est formé de 2 segments égaux formant un angLe
28 fixe. Dans La position initiaLe
iL est vu par L10bservateur bien
en face à une cinquantaine de cm
(dessin ci-contre). AG bissectrice
,-...
de BAC est verticaLe. L'observa-
teur est fixe. L'objet tourne au-
tour de AG (fixe) d'un angLe a •
'G
Faire Les S dessins correspondants pour Les vaLeurs proches de
(a) a=O(TT)/4
(b)
a =(TT)/2
(c)
a =3TTl4
(d)
a = 11"
(e) a =STT/4 •

---

-213-
Ill, QUESTIONNAIRE "ËTUDIANTS" SUR LA SYMËTRIE
Dans cette série (E), iL s'agit de trouver Les éLéments de symétrie
géométriques d'objets géométriques donnés, qu'iLs soient pLans ou
voLumiques.
On notera tous Les axes de symétrie par (~), Les pLans de symétrie par (TI)
et Les centres de symétrie par (C). Les centres de symétrie seront des-
sinés par une croix (+) •
Items E
Soient des objets géométriques pLans. Pour chaque cas
1
• faire Le dessin de L'objet,
• répondez Le pLus cLairement aux questions en mettant Le
chiffre demandé dans La case correspondante. Pour Les
questions suivies de "oui/non", entourer La réponse choisie.
E
(a)
CARRE
1
Combien existe-t-iL d'axes de symétrie?
· Tracez sur Le dessin tous Les éLéments de symétrie de ce carré.
• Dressez La Liste de ces éLéments de symétrie définis avec La
pLus grande concision.
E
(b)
ELLIPSE
Z
• IL existe une infinité d'axes de symétrie
oui
non
• Si vous avez répondu non à La précédente question, combien y
a-t-iL d'axe(s) ?
Existe-t-iL un centre de symétrie?
oui
non
• Tracez sur votre dessin Les éLéments de symétrie de cet objet
et en donner La Liste.

---

-214-
Item E
Les objets suivants sont à 3 dimensions
iLs occupent un certain
2
voLume de L'espace.
Pour chaque objet, répondez aux questions de façon concise et
claire.
E2 (a)
CUBE
1
".- - - - - .. - -
Dans un cube combien y a-t-iL de pLans de symétrie?
• Donner La Liste de ces pLans bien définis.
• Dans un cube combie~ y a-t-iL d'axes de symétrie
• Donner La Liste de ces axes bien définis.
E2 (b) CYLINDRE DE RE'JOLlITl(lt·1 DROIT VERTICAL
• IL existe une infinité de pLans de symétrie verticaux
oui
non
Si vous avez répondu non, combien y a-t-iL de pLans?
IL existe une infinité de pLans de symétrie horizontaux
oui
non
sinon, combien?
CJ
. Donner La Liste des axes de symétrie en Les définissant
cLairement.

---

-215-
Dans cette série (0), nous examinerons des objets physiques particuliers
et les symétries pertinentes qu'ils présentent. Les centres d'inertie (ou
centres de gravité) appelés (1) seront dessinés par un cercle
Gù.
Un centre de symétrie sera toujours dessiné + et appelé C,
un plan de
symétrie n,un axe de symétrie/'" •
Les premières questions portent sur le centre d'inertie, les dernières
sur l'électricité.
Item oR1
Un anneau circulaire de centre G est formé de 2 parties égales
2
soudées, la première en aluminium (léger) et la seconde en plomb
<Lourd),
Plomb (lourd)
Aluminium (léger)
Dessin d'un anneau circulaire de centre G2
Barrez les phrases fausses.
a) Tout diamètre est un élément de symétrie.
b) La droite /',,1 est un axe de symétrie.
c) Le point G est un centre de symétrie.
2
d) La droite /',,2 est un axe de symétrie.
Parmi les points G , G , G , G
indiqués sur le dessin, dites celui qui
1
2
3
4
pourrai t êt re :
. le centre d'inertie ou centre de gravité
~ le centre de symétrie
1
Mettez le cas échéant les signes + et G) représentant les centres de
symétrie et d'inertie sur le dessin.

---

-216-
Item OR2
Les quatre
côtés d'un carré sont constitués de 4 matériaux
différents
bois, aLuminium, fer, pLomb, dans l'ordre croissant
de densité.
Indiquez sur le schéma la position approximative du centre
d'inertie l
(parG)
). Justifier votre réponse.
+ALumini um
Plomb .....
4- Fer
Bois t
Item OR3
Voici un cylindre plein, formé de 2 moitiés, L'une en aluminium,
L'autre en plomb. Le cylindre est posé verticalement.
ALuminium
, , - ---- ...
PLomb
Existe-t-iL un axe de symétrie verticaL ?
OUI
NON
Combien existe-t-il de plans de symétrie verticaux ?
CJ
Combien existe-t-il de pLans de symétrie horizontaux ? 0
Existe-t-iL un centre de symétrie ?
OUI
NON
Existe-t-il un centre d' i nert i e ?
OUI
NON
Mettez, s'ils existent, sur le dessin, à leur position approchée, Les
signes + et ~ qui représentent les centres de symétrie et d'inertie.

---

l
-217-
Items 00
Soit une règLe pLiante formée de 3 minces morceaux pLats identi-
1
1
ques, articuLés et qui peuvent tourner Librement dans un pLan.
J
~
Voici 3 configurations possibLes de cette règLe •
f
1.
• 1
Configuration 001
Configuration 002
Configuration OD3
1) Pour La configuration 001
Citer et faire figurer Les éLéments de symétrie sur Le dessin.
Marquer sur Le dessin Le centre d'inertie 1 toujours par ~ •
2) Pour La configuration OD2
- Existe-t-iL un axe de symétrie?
OUI
NON
- Existe-t-iL un centre de symétrie?
OUI
NON
Existe-t-iL un pLan de symétrie?
OUI
NON
Dessiner sur La représentation OD2 Les éLéments de symétrie
: ~ pour Les
axes, TI pour Les pLans. (C, +) pour Le centre de symétrie, s'iLs existent.
Existe-t-iL un centre d'inertie (ou de gravité) ?
OUI
NON
Si oui, indiquer sa position approximative sur Le dessin par 0
(et 1)
3) Pour La configuration OD3
~
i
- Existe-t-iL un centre de symétrie?
OUI
NON
t
1
t
~
t
- Existe-t-iL un axe de symétrie?
OUI
NON
- Combien existe-t-iL de pLans de symétrie
1
~
Dessiner sur La représentation OD3 Les éLéments de symétrie qui existent
~ pour Les axes, TI pour Les pLans, C+ pour Les centres de symétrie.
Existe-t-iL un centre d'inertie (ou de gravité) ?
OUI
NON
Si oui, indiquez sa position approximative sur Le dessin par G) (et 1).

---

-218-
Dans cette série d'items (T), on étudie des transformations souvent
utiLisées en Physique: La rotation, La transLation et La symétrie par
rapport à un point, une droite, ou un pLan. Les objets qui subissent ces
transformations sont indéformabLes, rigides.
Item T1
On fait subir au carré ABCD une rotation de centre a et d'angLe
n/2 dans Le pLan de La feuiLLe.
Faire Le dessin de L'image
obtenue. Indiquez expLicitement Les images des sommets A, B, C, D•
. A
B
l - -
C
~ D
o +
+
Item T2
Dessiner L'image de ce triangLe Lorsqu'iL subit La transLation ~
vecteur du pLan de La feuiLLe.

---

-219-
1l,
Item T3
Dessiner, à leur exacte place, Les images des objets obtenues
par symétrie par rapport à la droite D •
ZUT
D
dessin (a)
BANC
D
dessin (b)

---

-220-
Dans cette série d'items (SE) on regarde Les symétries pertinentes de
systèmes éLectrostatiques simpLes.
Item SE(a)
Soient deux charges éLectrostatiques égaLes (q), pLacées aux
points fixes A et 8 distants de r
dans L'espace: dessin (a).
r
dessin (a)
Citer Les éLéments de symétrie du système électrique en Les définissant
cLairement. Représenter ces éLéments de symétrie sur Le dessin (a).
Item SE(b)
Soient deux charges éLectriques qA et qB fixes, distantes de
r dans L' espace. Si qA = +q et qB = -q
(dess in (b».
q •
r
• -q
A ~-
->
8
dessin (b)
Citer Les éLéments de symétrie du système éLectrique en Les définissant
cLairement. ~eprésenter ces éLéments de symétrie sur Le dessin (b).
Item SE(c)
Trois charges éLectriques q, -q et +2q sont fixes dans L'espace
et pLacées aux trois sommets d'un triangLe équiLatéraL.
Faites Le dessin de ce système éLectrique.
Citer en Les définissant cLairement, Les éLéments de symétrie
de ce système éLectrique. Dessiner Les éLéments de symétrie sur
votre dessin.

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-221-
IV, ÉNONCÉS DE PROBLÈME
PROBLEME DU DISQUE CHARGE
-+
1°~ CaLcuLer Le champ éLectrique E en un point P situé sur L'axe
d'un disque uniformément chargé de densité superficieLLe de charge cr •
2°~ En déduire Le potentieL au point P et au centre du disque.
PROBLEME DU DIPOLE
EtabLir Les équations des Lignes de champ et des Lignes équipoten-
tieLLes dans Le cas d'un dipoLe rigide constitué de deux charges
ponctueLLes {-q, +q} dont La distance f est petite devant La distance
considérée.

---