THÈSE
DE DOCTORAT DE TROISIÈME CYCLE DE MATHËMATIQUES PURES
présentée
A L'UNIVERSITÉ SCIENTIFIQUE ET MËDICALE
DE GRENOBLE
par
'.. _-.>~
,
J .•
i z ~.
1... , .
. . . . . . . . . ~ . . ... . ~ ..
. " fi. ..' ..
EQUATIONS
DE
LIE
ET
PROLONGEMENT
DES
GROUPOïDES
DE
LIE
~) .
-- .
'
Soutenue le
10 juin 1972 devant
la
Commission
d'examen
H. GOl DSCHM 1DT
C.CHABAUTY
Président
Examinateurs
B. MALGRANGE

---

-;-:-:"; . "", ,
SOMMAIRE
pages
Introduction
1
Paragraphe 1. -
GROUPOIDE DE LIE
1
Paragraphe 2. -
FAISCEAU DI ALGEBRES DE LIE
5
Paragraphe 3. -
l' APPLICATIO~",EXP.bN.,f:NTIELLE
,
9
,
.
"
J"~\\."'"
~ ""
, ,
'
1J' , ," ,
0
Paragraphe 4. -
LE GRO~PQIb.R.DE- PROLONGEMENT D10RDRE
h
DE
'f
.
14
Paragraphe 5. -
EQUATIONS DE LIE
23
Paragraphe 6. -
1'INTEGRABILITE DES GROUPOIDES DE LIE
29
Bibliographie
35

---

1
INTRODUCTION
Soi ent V une variété différentiable connexe,
~h une équation de
Lie formellement trans itive et formellement intégrable et
~h le groupo1"de
de Lie associé à
Rh
(Le. la forme finie de B.
MALGRANGE
[6]). Le but
de ce travail est de démontrer (§ 5) un théorème qui établit l'égalité entre
1
f
f "
h+1
'é
à
Cl (h)+l
1
è
1
(h)+l
a
orme
mIe
t
as SOCI e
lIlI
et
e 1 me-pro ongement
t
h
de l'équation différentielle
(~ ,a., V) .
Du § 1
au
§ 4 , on démontre certains résultats sur les groupo1"des
de Lie linéaires. Au § 6 , on considère une G-structure
P
d'ordre 1
et le
tenseur de structure
S
de
(~2 (V) ,p 1) dans ~ 2(V) , (définition 6). On dé-
-1
montre (proposition 6) que le groupo1"de de Lie
~ = po P e s t
1-intégrable
si, et seulement si, le tenseur
S
est à valeurs constants.
On utilise ce
résultat pour démontrer la proposition 7. Remarquons que les résultats obtenus
au § 6 (par exemple : propriétés 1 et 2, lemme 9, lemme 10, ... ) peuvent être
appliqués à une G-structure
P
d'ordre
k ~ 1 , et d'après la remarque 1
(§ 6) notre définition 6 nous permet dl étudier les obstructions à l'intégrabilité
de la G-structure
P
[5].

---

C'est aux Professeurs B.
MALGRANGE et A. M. RODRIGUES que je
dois de présenter cette thèse. Ils m'ont donné les conseils pour pouvoir
arriver à faire ce travail. A ces deux personnes, j'exprime ici toute ma
reconnais sance.
Monsieur le Professeur Hubert GOLDSCHMIDT a accepté d'être exa-
minateur. Je l'en remercie vivement, d'autant plus que mes entretiens avec
lui m'ont été d'une grande utilité.
Je remercie Monsieur le Professeur C. CHABAUTY d'avoir bien voulu
accepter de présider le Jury.
Mademoiselle MARCHAND a dactylographié ce travail, je l'en
remercie vivement.
Ce travail a été effectué à raide d'une bourse de C.N.Pq - Rio de Janeiro- BRESIL

---

§ 1 - GROUPOIDE DE liE.
On suppose que toutes les variétés et applications en considération
sont de classe
CCXl
et que les variétés possèdent une base dénombrable
dlouverts.
Définition 1.
Un groupol'de
~
sur 11 ensemble
V
est un ensemble muni dl une
application
(a ,b)
~ - V x V
z - (a(z) ,b(z))
et œ une loi de composition interne associative et partielle, vérifiant les
axiomes suivants
1)
z
&
Zl
étant deux éléments de
~ 1 le composé
zo Zl
est
défini si, et seulement si
a(z) = b(zl) . En plus, on a
b(zo Zl) = b(z)
~
a(zo Zl) = a(zl) .
Les applications
a
et
b
sont appelées respectivement application
IIsource" et IIbut" de
~
11 élément
I(x)
associé à tout
x
de
V 1 œaprès
llaxiome 2 , est unique; il est appelé l'unité en
x
de
~.

---

- 2 -
On vérifie que l'ensemble des éléments de
~
de source et but
confondus au même élément
x
de
V 1 forme un groupe
G
1
appelé le
x
groupe d'isotropie
en
x
de
~
,Si
z
est un élément de
~ 1 de
o
source
x
et de but
y
l'application
z
G
- f
G
o
x
y
-1
z
- f
zozo Z
o
0
est un isomorphisme des groupes,
Dans le cas où 11 application
(a ,b)
est surjective 1 nous dirons que
le groupo1"de
~
est transitif.
~
étant un groupo1"de sur
V 1
~
est un groupo1"de différentiable sur
V 1 s'il existe sur
V
et
~
des structures des variétés différentiables tels
que
1) Les applications
a
et
b
sont différentiable s et 11 application
x -f I(x)
différentiable (cela entraîne que
a
et
b
sont des submersions 1
1. e, 1 surjective et de rang maximal),
2) Appelons
S
l'ensemble des couples
(z IZ)
de
~ x ~
tels que
a(z) = b(~)
; clest une sous-variété régulière (1.e, 1 avec la topologie induite)
de
~ x ~ 1 d'après 1) ). La condition imposée est la différentiabilité de l'ap-
plication
S -f ~
(z z)
1
- f
Zo Z
3) L'application
~ -f ~
-1
z
z
- f
est différentiable,
Définition 2,
Un groupol'de de Lie sur une variété
V
est un groupol'de différentia-
ble
~
sur
V 1 tel gue
(a lb)
~ -f V X V
soit une submersion,

---

- 3 -
O} Un groupe de Lie est un groupol'de différentiable ne possédant qu'une
unité.
l} Désignons par
Jtv , la variété des h-jets inversibles de V dans
V
Jtv est un groupo1'de de Lie sur V , de groupes d'isotropie isomorphe
à
Lh
où
n = dim V •
n
2} Soit
(P,V,TT ,G)
un fibré principal différentiable.
Considérons dans
la variété produit
P x P
la relation d'équivalence
p
définie par
(z'. g , z. g)_ (z' ,z)
où
g E G
. L'espace quotient
~ = P xP est alors muni
p
d'une structure de groupo1'de de Lie sur
V
la clas se d'équivalence
e
de
-1
(z' ,z)
que l'on notera
z' . z
s'identifie à une bijection de
P
= TT -1 (x)
x
sur
P ,
, où
TT(Z} = x ,x' = TT(Z'}
, qui commute
avec l'action de
G
• Le
x
composé des classes de
(z' ,z)
et
(zl,zl)
existe si, et seulement si ~
( )
( ,)
é
1
1
1
d
( '
-1
,
)
0
TT zl
= TT z
; ce compos
est a ors
a casse
e
zl' Z
• Z
,zl
.
n a
donc
a(e} = TT(Z}
,
b(e} = n(z'} .
Dans le cas particulier où
P
est une G-structure d'ordre
h
sur
V ,
le groupol'de
~ = Px P = P. p-1 s'identifie au groupol'de des jets X E J~
p
tels que
XOPa(X} = PS(X} •
Réciproquement
Soient t un groupol'de de Lie sur
V ,
x
un élé-
1
ment de
V
et
~x = a- (x). Munide l'application but b ,
est un fibré
principal différentiable de base
V
ayant pour groupe structural
G
= (a ,b}-l (x ,x) . Si on remplace
x
par un autre point
y
de
V , on
x
obtient un fibré principal
~y
qui est isomorphe à
~x
. Cela résulte du
fait que
~
est transitif. Donc, il existe un élément
z
de
tel que
o
a(z } = x,
b(z} = y . L'application
z ..... Zo Z
est un isomorphisme du
o
o
0
fibré principal
~y
sur le fibré principal
~x
3} Si
E
est un fibré vectoriel sur
V , l'ensemble
des isomor-
phismes linéaires de fibres sur fibres de
E , est un groupoltle de Lie sur V :

---

- 4 -
En effet,
soit
x
dans
V
et
P = (n(E))
11 ensemble des isomorphismes
o
Xo
linéaires de
lRm
sur
E
y EV, où
m
est la dimension de
E.
P e s t
y
un fibré principal de base
V
de groupe structural
GL(m ,lR)
, [4]. De la
définition de
p
, on montre que l' application
R • Px P
.... n(E)
p
(z' ,z)
1
-1
....
zoz
est bien définie et bijective. Donc
n(E)
est muni d'une structure de grou-
pol'de de Lie sur
V
tel que
R,
est un morphisme de groupol'des de Lie.
Définition 3.
Soient
t
I I t l
deux groupol'des de Lie sur
V., Un morphisme de
~I
dans
~
est une application différentiable
~
R,
:
t ' .... ~
telle gue
ao R = a'
,
bo ~ = bl
et si
zo Z'
est défini alors
R(ZOZI) = ~(Z)O~(Z')
...ê.1
R,(z-l) = [ot(z)]-l
Soient
t
...ê.1
~I
deux groupol'des de Lie sur
V.
Nous disons gue
~I
est un sous-groupol'de de Lie de
t
, Si il existe un morphisme injectif
de
t l
dans
1
de
rang = dim ~'
(alors
~'
est une sous-variété de
~).
4) Si
G
est un groupe de Lie,
V
une variété différentiable, alors
~ = V x G x V
à une structure de groupol'de de Lie sur
V , avec la loi de
composition:
(Xl ,gl ,y)o (y ,g ,x) = (x' ,g '. g ,x)
et
(a ,b)(y ,g ,x) = (x, y) .
Le groupol'de de Lie
V x G x V
sera appelé le groupol'de de Lie trivial
de groupe dl isotropie
G.
De 11 exemple 2), nous tirons facilement la proposition
Proposition 1.
~
étant un groupo1'de de Lie sur
V 1 alors pour tout point de
V '.!!.
existe un voisinage ouvert
U
et un difféomorphisme
~ : (a ,b)-l (U x U) .... U x G x U
tel que
~
est un morphisme des groupo1'des de Lie sur
U ,où
G
est un

---

- 5 -
groupe de Lie isomorphe aux groupes d'isotropie de
~.
La proposition 1, affirme que tout grouporde de Lie est localement
trivial.
§ 2 - FAISCEAU DIALGEBRES DE IlE.
Soit
(P,V,n ,G)
un fibré principal de base
V.
Soit
DT.
la transla-
g
tion à droite dans
P
définie par 11 élément
g E G
et soit
(otg)~~ son exten-
sion au fibré tangent
T(P).
Un champ de vecteurs sur
P
sera dit invariant
à droite si toutes les applications
~) *
le laissent invariant. Notons par
g
,
le faisceau sur
V , des champs de vecteurs invariants à droite et par
q
le faisceau des fonctions différentiables de la variété
V.
Le crochet de
deux champs de vecteurs invariants à droite et définis sur
n -1 (U)
,
U
ouvert de
V , est encore invariant à droite, et cela nous permet de munir
'CU)
ct' une structure dl algèbre de Lie sur le corps des réels
IR. Aussi
,.(U)
possède une structure de
q (U)-module. On vérifie [4] que
,
est un
faisceau de q-modules localement libre de rang égal à
dim V + dim G .
Donc, on peut lui associer un fibré vectoriel
F
de base
V , tel que le
faisceau des sections,
L, de
F
est isomorphe au faisceau
,.. La fibre
F
au-dessus de
x E V
est canoniquement isomorphe à 11 espace vectoriel
x
des champs de vecteurs invariants à droite définis sur la fibre
-1
P
= n
(x). Soient
x E V
et
z E P
Il existe un isomorphisme linéaire
x
x
de
F
sur
T (p) . Il sera noté
À(z)
On peut vérifier que
x
z
(R )* 0 À(z) = À (R (z))
pour tout
z
de
P
et
g
de
G
, [4] ou [12].
g
g
V
étant une variété paracompacte, la suite des faisceaux sur
V
(1)
0 .... ot .... ,
(1!1* T(V) .... 0
est exacte, où
~
est le faisceau sur
V
des champs de vecteurs invariants
à droite et tangents aux fibres [4].

---

-
6 -
Soient
E
et
F
deux fibrés vectoriels sur une même base
V.
Rappelons que nous appelons opérateur tout V-morphisme ffi-linéaire
ô
du
faisceau
E
dans le faisceau
..E.
Définition 4.
Un opérateur
ô
de
E
dans
F
sera dit opérateur différentiel d'ordre
k
l i s
étant une section différentiable de
E,
/ s = 0
entratne gue la
x
section
ô(s)
est nulle au point
x .
Jh+l E (*)
,
TI
: Jh+1 E .... Jh
Soient
s
une section locale de
E
la
h
1
projection canonique;
s
et
J (TI 0 s)
étant deux sections de
J1 (ThE)
,
h
d'après la suite exacte [8],
o -> JhE®T* _> J1 (JhE) _> JhE -> 0
des fibrés vectoriels on en déduit que
J1 (TIhO s)-s
est une section de
JhE®T*.
Ainsi, nous définissons un opérateur différentiel d'ordre 1 ,
-->
s --> j1 (TIhO s)-s
Et on vérifie facilement que
D
est le seul.opérateur de
Jh+1 E
dans
T* ®JhE
satisfaisant les conditions suivantes
h+1
1)
D(s) = 0
si, et seulement si,
s
est de la forme
j
11
où
11 E E .
h+1
ii)
D(f. s) = {(Ds) + df®TI (s)
pour tout
f E q
et
s E 1
E.
h
Soit
E
un fibré vectoriel sur
V
et considérons le faisceau des opé-
rateurs différentiels de
E
dans
E. Notons par
j}
ce faisceau.
Il est un
faisceau d'algèbres de Lie, car le commutateur des opérateurs différentiels
[/),ô'] = /)o/)' -
/)'0 /)
est encore un opérateur différentiel de
E
dans
E.
(*)
Jh E
sera la variété des h-jets des sections de
E.

---

- 7 -
Lemme 1.
Soient
(p,V,TT,GL(n,:ffi))
un fibré principal, et
E = Px:ffin/GL(n,:ffi)
k
n
fibré vectoriel de fibre
IR
associé à
P. Alors le faisceau
"J
n'est autre
gue le faisceau de
q-modules
sur
V
de tous les opérateurs différentiels
ô
d'ordre 1
de
E
dans
E, tels gue pour toute section
s
de
E
&
toute fonction
f
différentiable sur
V , on ait :
ô(f. s) = f. ô(s) + (Xf) s ,
le champ de vecteurs
X
étant
TTi~Ô
dans la suite (l).
Démonstration:
voir [7], p.
511.
DI après le lemme l, la structure de
:ffi-algèbres
de Lie de
"J
est
alors définie par le commutateur des opérateurs différentiels.
Soit
~
un groupoi"de de Lie sur
V. Pour tout
x
de
V , considé-
rons le fibré principal
(~ ,G ,V ,b) . Nous avons donc la suite exacte de
x
x
faisceaux de IR-algèbres de Lie :
(2 )
b*
o -> 6t -> A(~ ) -;> T(V) -> 0
x
où
A(~)
est le fibré vectoriel dont le faisceau des sections
A(~)
est
x
__x_
Ie faisceau des champs de vecteurs de
~x
invariants à droite ([4], p. 85).
Comme le fibré vectoriel
A(~)
est défini à un isomorphisme près (L e. , pour
x
tout autre point
y
de
V , il existe un isomorphisme de fibrés vectoriels
A(~ ) -t A(~))
nous désignerons simplement par
A(~)
le fibré vectoriel
y
x
A(~)
et nous appellerons le faisceau
M!}
le faisceau de IR-algèbres de
x
Lie du groupoi"de de Lie
~.
~~~~pl~~ :
1) Si
~ = JhV , le fibré A(Jtv) est isomorphe au fibré vectoriel
JhT(V) . En effet : il existe sur
rhT(V)
une et une seule structure dl algèbre
de Lie [8], telle que :

---

- 8 -
et
{Sl ,fs ] = fI S ,s2] + (SSl)f. s2
2
1
où
S: JhT(V) ... T(V)
est l'application but et
(Ssl)f
la dérivée de Lie de
la fonction différentiable
f
par le champ de vecteurs
Ss 1 .
Considérons
X
un champ de vecteurs défini sur un ouvert
U
de
V
et dénotons par
ph(X)
son h-prolongement à la variété
J~ [12], alors
l'application
q (U) -linéaire
h (U) : (JhT(V)) (U)
(A (JhV)) (U)
j~
ph(X)
définit un isomorphisme,
h: JhT(V) .... A{J~) , des faisceaux de IR-algèbres
de Lie sur
V.
2) Si
E
est un fibré vectoriel sur
V , le faisceau
A(TT(E))
n'est
autre que le faisceau de q-modules sur
V , de tous les opérateurs différen-
tiels
ô
dlordre 1
de
E
dans
E , tels que
ô(f. s) = f. ô(s) + (b* ô)f. s
En effet, soient
n
la dimension de la fibre de
E
et
x
un point de
V.
n
Alors le fibré vectoriel associé à
(TT(E))
,de fibre
IR
, est isomorphe à
x
E
(voir [4], p. 78) . Ainsi 11 affirmation suit dl après le lemme 1.
3) Si
~
est le groupo1"de de Lie trivial
V x G x V , le faisceau
A.1l1
est le faisceau de q -modules sur
V
des couples
(X ,g)
où
X
est
un champ local de vecteurs, et
g
une fonction locale sur
V
à valeurs
da ns 11 alg èbre de Lie
9
de
G.
La struct ure de IR- alg èbre de Lie de
A(~)
est alors définie par le crochet
[(X,g) ,(XI ,g')] = ([X,X'] ,X.g l -X'g+ [g ,gl])
où
X. g'
désigne la dérivée de Lie de
g'
par le champ
X ,et
[g ,gl]
la nouvelle fonction de
V
à valeurs dans
B , défini par le crochet de
9 .
En effet
Soit
Y
une section globale de
A(~) ,alors
Y = (X ,g)
où
X
est
un champ global sur
V
et
g
une fonction différentiable définie sur
V
et

---

- 9 -
à valeurs dans
g
(VXG, V ,G ,b)
étant trivial, il admet une connexion
w telle que :
dw(y,Y' } = ~ (y.w(y'}-Ylw(Y}-W[Y,YI]J ,
dw (y ,YI) = -} [w (y) ,w (YI)]
et
Y = (X ,w(y)}
Donc pour
YI = (XI ,gl)
on a :
fi
[y ,YI] = ([X,XI],W[Y,YI ])
= ([X ,XI] ,Y. w(YI}-YI • w(y) + [w(Y} ,w(YI }]}
= ([X,XI],X.g l -XI.g + [g,gl]) •
Si
Y
est une section locale de
A(~} , la démonstration est faite
de la
même façon.
En particulier, si
G = (eJ
, on a
..Mù == T(V)
§ 3 - L'APPLICATION EXPONENTIELLE.
~
étant un groupol"de de Lie sur
V , considérons le faisceau
r(~}
des germes des applications différentiables
a
définies sur un ouvert
U
de
V
à valeurs dans
~
telles que
ao a = id(U}
et
boa = un difféomor-
phisme de
U
dans un ouvert
UI
de
V.
r( ~}
e st un groupo1"de s ur
V
En effet, soient
a
et
cr'
dans
r(~}
définis sur
U
et
(boa)(U) = UI • Posons
(j' .a
U
t
x
[a 1 ((bo a'}{x}). a (x)

---

- la -
Ainsi
ao (0'1 .0') = id(U)
et
bo (0' 1 • 0') = (bO' 1)0 (00)
est un difféomorphisme
local de
U
dans
V.
Par conséquent
0' 1.0'
est dans
r (~) . En plus,
l'application
1
V
~
x
I(x)
est telle que
0'.1 = 1. 0' = 0'
-1
Si
0'
est définie dans un ouvert
U
de
V, l'application
0'
définie dans
(boO')(U)
telle que
0'-1[(boO')(x)] = [0'(x)(1
correspond à
l'élément inverse de
0'.
L'associativité étant vérifiée, on a que
r(~)
est
un groupofde sur
V.
Supposons que
~
est un groupol"de de Lie linéaire, 1. e. , un sous-
groupofde de Lie de
rdE)
où
E
est un fibré vectoriel de base
V. Alors
le faisceau
A(~)
est un faisceau des opérateurs différentiels, d'ordre 1, de
E
dans
E
(exemple 2, p. 8 ), et si
0'
est une section de
r (~)
définie
dans un ouvert
U
de
V
telle que
(bo 0' ) (U) = u'
, alors pour toute
section
s
de
E
au-dessus de
ut , nous avons une nouvelle section 1
cr (s) : U ..... E
-1
x
..... 0' (x)
[ (so cp) (x)]
où
cp = bo 0' .
On vérifie l'égalité :
En effet,
[~(s)](x) = (0". O')(x) -1 [(so (cp' 0 cp ))(x)]
= [[ 0' • (cp (x) )] . 0' (x}J -1 [ (s 0 (cp' (cp (x))) ]
= [0'-1 (x). 0' .-1 (cp(x))] [s(cp' (cp(x)))]
= [cr (cr' (s))](x) .

---

- 11 -
Soit
t = V X (e} X V
le groupol'de trivial de groupe dl isotropie
(e}
et
E = V X m
le fibré vectoriel trivial. Dans ce cas
A(~) = T(V)
et
r (~)
s'identifie au faisceau des difféomorphismes locaux de
V.
Notons par
HO (V, T(V))
11 ensemble des champs des vecteurs sur
V ,
c
global à support compact. Alors l'exponnentielle classique nous permet
de définir une application
Exp : HO (V ,Il
.... HO (V ,r (t))
c
x
.... Exp X
où
HO (V ,r (~))
est l'ensemble des sections globales de
r (~) .
Voici la généralisation de ce résultat
Théorème 1.
[ 8]
~
étant un sous-groupol'de de Lie de
n(E)
, il existe une et une
se ule application
Exp : HO (V ,A(~))
.... HO (V, r (t))
c
vérifiant les conditions :
2)
ID..
a est la section nulle de A(~) ,alors Exp a = l = section
unité de
(~,a ,V)
--------- ~
lim
Exp tô(s) - Exp toô(s) = ~
3)
Exp t ô [ ô(s)]
quelle gue soit la
o
t--1o
t - t o
section
s
de
E
t
étant un paramètre.
Démonstration :
a) Supposons dl abord que
~
est un groupoltl.e de Lie trivial.
n
Considérons donc
E = V X m
,
G
un sous-groupe de Lie de
GL(n ,m)
et
~ = V X G x V. Alors si
ô E HO (V ,A(~)) , d'après l'exemple 3 du § 2,
c
- -

---

- 12 -
on a
ô = (X ,Il)
où
X
est un champ de vecteurs sur
V
à support compact
et
Il
une fonction définie sur
V
à valeurs dans
g = l'algèbre de Lie de
G , à support compact.
La section
Exp (tô)
de
r (t)
si elle existe est de
la forme
Exp tô = (Exp(tX),g (t))
où pour chaque
t
,
g (t)
est une fonction
différentiable définie sur
V
à valeurs dans
G. Pour une section
s
de
E , on a :
(&Piô (s))(x) = (Exp tô)(x) -1 [(so Exp tX)(X)]
= (x,g (t) -1 (x))[ (so Exp tX)(x)]
= g (t) -1 (x) [ (so Exp tX) (x)]
pour tout
x
de
V.
De même, on a :
(E;q;tô (ô (s)))(x) = g (t) -1 (x)[ (ô (s)o Exp tX)(x)]
= g (t) -1 (x)[ ((Xs+lls )o Exp tX)(x)]
Ainsi
- -
-1
Exp t ô(s) = g (t)
(so Exp tX)
~
-1
et
Exp tô (ôs) = g (t)
[(Xs + I-1s)o Exp. tX]
La troisième condition du théorème dit que pour chaque section
s
de
E , nous avons :
-1
-1
Hm
g (t)
(so Exp tX) - g (to)
(so Exp toX)
t-4:o
t - t o
-1
= g(t)
[(Xs + Ils)oExp (t X)]
o
0
Considérons
x
dans
V
et
y
l'application qui a
t
associé
o
g(t)-l(x) = g(t,x )-1.
Y
est différentiable, car
o
0
l1m
g (t , x ) -1 - g (t
, x )-1
(1 )
t4:
0
0
0
o
t
-
t o
= g(t ,x ) -1 [(1-10 Exp t X)(x )] .
o
0
0
0

---

' - . ' - - - - - - -
-~--------- - --
- 13 -
En plus
y
vérifie l'équation différentielle suivante :
-1
-g (t ,x)
[ (1J0 Exp tX)(x )]. 9 (t ,x )
o
0
0
En effet,
y
étant différentiable entrafne que
t ... 9 (t ,x)
est différentiable,
o
donc l'application
c : t ... g(t ,x )-1 g (t ,x)
est telle que
o
0
-1
= de = d(g(t ,x
O
o)
)
(t
)
(t
)-1 dg(t ,xo)
dt
dt
. 9
,x0
+ 9
,x0
•
dt
Ainsi,
-1
-g(t ,x)
[(1J0 Exp tX)(x)]. g(t ,x ) .
o
0
Réciproquement,
considérons
x
dans
V
fixé et
9 (t ,x )
une fonc-
0
0
tion différentiable dans
t
à valeurs dans
G
telle que :
dg(t ,x )
-1
0
-1
(2 )
9 (t ,x )
= -g(t,x)
[(lJoExptX)(x )].g(t,x)
, avec
0
dt
o
0
0
g(O ,x ) = e = l'identité de
G.
o
L'équation différentielle (2) admet une et une seule solution
9 (t ,x )
o
qui dépend différentiablement de
x
et telle que
g(O,x) = e = l'élément
o
o
neutre de
G.
Posons par définition :
(Exp ô)(x) = ((Exp X)(x) ,g(1 ,x))
pour tout
x
de
V. Ainsi les trois conditions du théorème sont vérifiées,
car la relation (1) est équivalente à (2).
b) Nous ne donnerons pas la démonstration de ce théorème dans le cas
général pour ne pas alourdir encore plus notre exposé.
~~~~!9~~:
Supposons que
t
est un sous-grouporde de Lie de
et
•
un sous-grouporde de Lie de
t
. Si
ô E H~ (V ,A(t))
est telle
que
Exp t ô E HO (V, r(t))
pour tout
t
, alors
Ô E HO (V,A(t))
• Cela résulte
c
de la démonstration antérieure.

---

- 14 -
§ 4 - LE GROUPOIDE DE PROLONGEMENT DI ORDRE
h
DE
~.
Soit
~
un groupoi'de de Lie sur la variété différentiable
V.
DI après
sa définition
(t ,a ,V)
est une fibration Ü. e.
a
est surjective et de rang
h
maximal). Considérons llensemble
th = J r (~)
pour tout entier
h ~ 0 •
h
Ainsi
th C. J t .
Proposition 2.
L'ensemble
~h
est un groupoi'de de Lie sur
V 1 pour tout entier
h ~ 0 •
Démonstration :
Considérons les applications
ah: ~h .... V 1
ah (X) = a (X)
où
a
est
l'application source
Jh~ .... V 1 et b : ~h .... V définie par bh(X) = b(S(X))
h
où
S(X)
est le but du jet
X. Alors si
X
et
XI
sont deux éléments de
~k
vérifiant
ah (X) = b (XI)
le composé
X. XI
est défini
h
1
car
r (~)
est
un groupol'de sur
V.
Muni de cette loi de composition interne et partielle
. ~k
est un groupol'de sur
V.
Pour montrer que clest en fait un groupoi'de de Lie sur
V 1 il suffirait
de regarder localement 1 1. e. 1 supposer que
est le groupo1"de de Lie trivial
mn x G x mn . Dans ce cas 1 considérons X un élément de
~k
tel que
ah (X) = x
'
X
est le h-jet dlune section
cr
de
r(~)
de la forme
(f ,g)
o
n
où
f
est un difféomorphisme local de
m
et
g
une application locale à
valeurs dans
G. Dlautre part 1 l'espace
T~{mn ,G) 1 des h-jets des applica-
o
n
tions de
m
dans
G
de source
x
est un groupe de Lie isomorphe au
o
n
n
produit semi-direct
Th
(m
,G) x G 1 où
Th
(m
,G)
est le sous-ensemble
X o ,e
X o ,e
forme des jets de but e = 11 élément neutre de
G . Ainsi
C.Q.F.D.

---

- 15 -
th
sera dit le groupoi"de de prolongement dlordre
h
de
t . Et on
vérifie qulil existe une injection canonique
(th)l p
t +
pour tout entier
h l
h
h ~ 0 , et que
(th ,ah' V)
est une sous-variété fibrée de
(J t,CL, V) •
Si
t = V x (e J x V ,
~h
Si identifie à
JhV
2)
Soit
(P,V,G,n)
une G-structure sur
V
et
t = p.p-l
le grou-
poitle associé à
P. Si lion se donne
a E r (t)
définie dans un ouvert de
l
l
V , avec
(boa Hu) = UI
,
l'application
f: n- (U) -t n- (U I )
f(z) = [a (n(z))](z)
, est un automorphisme local de
P
(1. e. , bijective,
-1
bidifférentiable et
f(z. g) = f(z). 9
pour tout
9
de
G), car 11 inverse
f
de
f
est défini par
Cl (z) = [a- l (n(z))](z) .
Réciproquement,
considérons
f
un automorphisme local de
P
défini
dans un ouvert
U(f)
de
P. Considérons
x E n(U(f))
et
z E n- l (x)
,
-1
alors
a (x) = f(z). z
est un élément de
t . En plus,
a (x)
est bien défini,
car si
Zl E n-l(x)
il existe
9 E G
tel que
Zl = Z.g , d'où
f(zl). z,-l = (f(z).g). (z.g)-l . Cela entraîne que le couple
(f(zl) ,Zl)
est
équivalent au couple
(f(z),z).
Dloù
f(zl).zl-l = f(z).z-l . Ainsi, on peut
considérer la section
x -t a (x) .
Conclusion: Il existe une correspondance biunivoque entre les sections
inversibles de
t
(1. e.
les éléments de
r (t) ) et les automorphismes locaux
du fibré principal
P.
Dénotons par
r
l'ensemble de ces automorphi smes locaux.
r
cons-
titue un pseudo-groupe de transformations sur
P , [12], et on a le diagramme
commutatif :
-->
n
P
- - >

---

- 16 -
où
Jh r
est le groupofde des h-jets des applications
f E r . A tout
jh a
de
Jh r (~)
correspond la famUle des jets
jhf
de
Jh r
où
f
corres-
x
z
-1
pond à la section
0
et
z
parcourant la fibre
P
= n
(x). En plus,
x
Jh r
est l'image réciproque de
(Jhr(~) ,ah ,V) par n
h
h
En effet, si
X E J r ,
X = j f , on a :
z
(no cx.) (X) = ah (j~ (z)o )
Réciproquement, si
z E P ,
j~(z)a E Jhr(~) , U existe un automorphisme
local
f
de
P
défini dans un voisinage
z
tel que
jhf E n*(Jh r (~)) , où
z
n*(Jh r (1))
dénote l'image réciproque de
Jh r (~)
par
n .
3) Considérons sur la variété différentiable
V
une G-structure
(P ,V , n , G)
, et dénotons par
T~(mn,p) la variété de h-jets des applications
n
de
m
dans
P
de source zéro.
L'application
n
induit une fibration
Th(n) : Th(mn ,p) .... Th(m n ,V)
,
n
0
0
Th(rT) (jhf) = jh(no f) ,
où
n = dim V
n
0
0
Considérons l'espace de repère s
p: ~h (V) .... V
et notons par
ch (p)
n
l'image réciproque de
~h (V) par Th(n) . D'où le diagramme commutatif,
n
Ch(P)
nl ~ n
P
- - >
V
d'après les définitions précédentes.
1
Si
~ = P. p-
est le groupol"de de Lie associé à
P ,
~h opère
transitivement et librement sur
Ch (p)
, dans le sens suivant :
n

---

- 17 -
h
Soit
X
=.h
dans
Ch(P)
où
s
est une application définie dans
Jos
n
un ouvert
U de
]Rn
et telle que
TTO s : .U ..... U est un difféomorphisme.
Condidérons
Z = jh
cr E ~k'
cr
définie dans
u
et
x
= (110 s)(o) . Si
X
o
o
l'on considère l'application
s ' : U ..... p
s' (v) = [cr ((110 s)(v))]s(v)
,
le jet
jhS ' E ch(P)
et l'on peut définir
= jh s ' . D'où nous avons
o
n
o
une loi de composition interne partielle
~h x Ch(P) ..... Ch(P)
n
n
et
jh
.h
est définie si
(110 s) (0) = x
x cr * loS
0
o
Ainsi
th
opère sur la variété différentiable
c~(p) • Montrons qu'il
opère transitivement et librement sur
Ch(P)
n
h
h
Considérons
X
= jh S
,
X' h = jh s '
deux éléments de
C (p) • Alors
o
0
n
n
s
et
s'
définissant des difféomorphismes locaux
cp
et
cp'
de
(]R ,0)
sur
V. On définit une section
cr
de
(t ,a , V)
, dont le domaine de défini-
tion e st le domaine de définition de
cp' 0 cp-1
, par
1
cr
: y ..... [s' (v)]. [s(v)f
,
-1
.h
E
.h
h
X
= X,h
où
v = cp
(y) . Le h-jet
lx cr
th
est bien défini et
J
cr
.
x
0
0
*
.h
h
D'ailleurs, c'est le seul h-jet satisfaisant
J
cr
X
= X· h . D'où la
x
*
0
conclusion.
Considérons
(E,TT ,V)
un fibré vectoriel et
~
un sous-groupo1"de de
Lie de
TT (E)
•
Lemme 2.
~h est un sous-groupol'de de Lie de 11(JhE) , pour tout entier h ~ 0 .
Démon stration
Il suffit de considérer le morphisme injectif des groupo1"des de Lie
ainsi défini :

---

- 18 -
-->
-->
où
Lemme 3.
Chaque section
ô
de
A(~)
définit un opérateur différentiel d'ordre 1
de
E ® T*
dans
E ® T* .
Démonstration
Considérons une section de
E ® T*
de la forme
s ® w
et posons
ô(s®w) = ô(s)®w + s®b*(ô).w
où
b*(ô).w
est la dérivée
de Lie de
w
par rapport au champ de vecteurs
b*(ô) . Si
f
est un élément
de
q 1 on vérifie que
ô(f. s®w) = ô(f. s)®w + fs®b*(ô).w = [f. ô(s) + (b*(ô)f). s]®w + fs®b*(ô).w
= ô(s®fw) .
Ainsi si
Tl
est une section locale de
E @ Ti~ 1
alors par définition
ô(Tl) = t ô(f si ® w ) •
i
i
Lemme 4.
Deux sections
s
et
s'
de
JhE
sont identiques si 1 et seulement si 1
TT
- oS = TT _
h 1
h 10 s'
et
D(s)
= D(s') .
Démonstration :
Supposons que
TT
_ 0 s = TT _ o s'
et
D(s-s') = a . Alors il existe
h 1
h 1
une section
"
de
E
telle que
s - s' = jhTl = j1 (jh-1 Tl) • Mais l'opérateur

---

- 19 -
1 h-1
h-l
D
scinde le faisceau
J (J
E)
en une somme de deux faisceaux
J
E
et
T* ® Jh-1 E
• Alors de
s - s' = J.1(jh-1 n)
et
n
s' - n
s
on
h_1°
-
h_1°
1
conclut
s = s' .
Lemme 5.
Le faisceau de 9 -modules
JhA(~) est un sous-faisceau de g-modules
de
A(n(JhE))
1
pour tout entier
h ~ 0 •
Démonstration :
On sait que
JhA(~) est un faisceau de q-modules engendré par les
sections intégrables (1. e.
sections de la forme
jh ô
où
ô E A(~) ).
Pour
h = 0
JO A(~) = A(~) 1
JO E = E 1 et si
ô E A(,)
on a
ô E A(n(E»
car
~
est un sous-groupo1"de de Lie de
n(E) •
Supposons que le lemme soit vérifié pour tout entier
r < h 1
r ~ 0 .
Considérons
cr
une section locale de
JhE 1
cr = ~ fijh s . . Posons
i=l
l
Il faut démontrer que
jh ô
est bien défini (1. e.
ne dépend pas du choix de
Si) :
En effet 1 soit
une section de
E
telle que
f ,h
f ,h
i J s i = i J "'i 1
alors 1
et

---

- 20 -
Par hypothèse de récurrence
est bien défini et
induit, ct' après le lemme 3, un opérateur d'ordre 1 de
Jh-1 E ~ T*
dans
Jh-l E ~ T* .
D'où:
et
= jh-1 6 [D(0)]
On conclut
jhÔ(6fijhS,) = jhô(6fijhT},)
i
1
i
1
d'après le lemme 4. Par conséquent
jh ô
est bien défini.
On vérifie en plus que
jh ô
est un opérateur d'ordre 1
de
dans
JhE . Ainsi,
jh ô E A(n(JhE))
D'après la remarque au début de la
"'
démonstration, si
T
est une sect'km locale de
JhA(t)
, on a que
Test
.~ v ••
unesection de
A(n(JhE)) . D'où \\le lemme.
Corollaire 1.
h
Le faisceau
J A(t)
est un sous-faisceau de IR-algèbres de Lie de
A(n(JhE)) , pour tout entier
h ~ 0 .
Démonstration :
t
étant un sous-groupo1"de de Lie de
n(E)
,
A(~)
est un sous-faisceau
de IR-algèbres de Lie de
A(n(E))
,
où le crochet est donné par le commutateur
des opérateurs différentiels.
h
a) Soient
jh ô ,
deux sections intégrables de
J A(t)
, alors
d'après le lemme 5, on a :
[jh Ô, jhô'](f. jhs) = (jh ôo jhô,)(fjh s) _ (jhÔ'o jhô)(f. jh s)
h
h
h
h
h
h
= j 6 [f. j (ô' s) +((b*ô' ). f). j s] - j ô' [f. j (ôs)+((b*ô). f) j s]
= (jh[ô,ô'])(f.jh s)

---

- 21 -
pour
f
dans
q
et
s
dans
].
. Dloù 1
b) De même 1 on démontre :
h
Ainsi 1
est un sous-faisceau de m-algèbres de Lie de
A(n(J E)) .
Lemme 6.
Soit
ô
un élément de
H~(VtMt)) 1 alors ExP(jhô) = jh(Expô) .
Démonstration :
Remarquons que si
cr
est une section globale de
r(t)
alors
jhcr
est une section globale de
r(~h) 1 pour tout entier
h ~ a . DI autre part 1
JhA(~) est un sous-faisceau de A(nUhE)) 1 et ~h est un sous-groupotde
de Lie de
n(Jh E) . Le lemme est vérifié si nous démontrons la commutativité
du diagramme suivant :
Mais cela résulte de 11 unicité de 11 application exponentielle
Exp
car 11 application
satisfait les conditions du théorème 1.

---

- 22 -
Nous savons, d'après le lemme 2, que
A(~h)
est un sous-faisceau
de q-modules de
A (TT (JhE)) • En plus,
JhA(~) est un sous-faisceau de
q-modules de
A(TT(JhE»
engendré par les sections intégrables
jh ô • Le
lemme précédent dit que si
Ô E HO (V~)
,
alors
EXP(jh ô) = jh(Exp ô)
c
entratne
Exp(jh ô) E HO (V ,r(~h)) h D'où
jh ô E H~(V ,A(~h)) , d'après la
remarque de la page
• Ainsi
l A(t)
est un sous-faisceau de q-modules
de
A(~h)'
D'autre part,
n
= dim V + dim G + dim Lh + dim Th
(m
, G)
n
o,e
= dim A(~) + dim Lh + dim Th
(lR n ,G)
n
o,e
où
n = dim V
et
G
un groupe de Lie isomorphe aux groupes d'isotropie
de
~.
Les affirmations précédentes nous permettent d'énoncer le résultat suivant:
Théorème 2.
~
étant un sous-groupol'de de Lie de
TT(E)
sur la variété différentia-
ble
V
on a
pour tout entier
h ~ 0 .

---

- 23 -
§ 5 - EQUATIONS DE LIE
Dans ce paragraphe, nous allons utiliser la théorie des équations
différentielles aux dérivées partielles (linéaires ou non-linéaires) telle
qu'elle est développée dans [1], [2], [11].
Supposons que
V
soit connexe et considérons la proposition suivante
qui a été démontrée dans [12] :
Proposition 3.
Il existe une correspondance biunivoque entre les sous-qroupotdes de
Lie
~h de JhV , tels que les fibres (~h)
sont connexes, et les équa-
h
h
x
tions différentielles d'ordre h ,
~
c J T(V)
, qui vérifient les conditions :
1)
~h est un faisceau d'alqèbres de Lie.
2)
~h est formellement transitive (i, e. 11 application but
13 : ~h -t T(V)
est surjective).
Considérons la variété fibrée
TI 1 : V x V
- t
V,
TI 1 (x, y)
= x .
Alors pour tout entier
h ~ 0 , on peut considérer
a : JhV -t V
comme une
sous-variété fibrée de
a : Jh(V x V) -t V , à travers l'application différentia-
ble
JhV -t Jh(V xV)
qui associe au h-jet
j~ f le h-jet de la section
o
x -t (x, f(x)) . Ainsi si
~h est un sous-groupotde de Lie de JhV , on pourra
considérer
a : ~h -t V
comme une équation différentielle, d'ordre h, sur le
fibré
(V x V , TI 1 ' V) .
Lemme 7.
~h étant un sous-groupotde de Lie de
(~h) n Jh+1 V = ~ (h)+1
1
1
h
où
t (h)+
= 1-prolongement de l'équation différentielle
(~ ,a, V) •

---

- 24 -
Démonstration :
(h)+l
1
h+1
h
h+1
Par définition
~
= J ~ n J
V. Ainsi,
(~) 1 n J
V
est
inclus dans
~(h)+l. Réciproquement si Xh+1 E ~(h)+l , on a
h
X + 1 = j1 cr =
x o
h
où
cr
est une section de
(~ ,0., V)
et
f
un difféomorphisme local de
V.
Un calcul en coordonnées locales nous permet de démontrer que
cr
est une
h 1
section inversible. Par conséquent,
X +
appartient à
(~h) 1 n Jh+1 V .
Dorénavant,
considérons
Rh c JhT(V)
une équation différentielle sa-
tisfaisant les hypothèses de la proposition 3, telle que :
6t (h)+l = Jl 6th n Jh+1T(V)
est une équation différentielle d'ordre
h+1
,sur
T(V)
, et la projection
h 1
TT
: R +
__ Rh
surjective.
h
h
6t (h)+ 1
6t
étant un faisceau d'algèbres de Lie,
est aussi un faisceau
d'algèbres de Lie ([9], p. 198). D'après la proposition
3
,considérons
~h+1
h
(resp.
~h) le groupofde de Lie sur V associé à 6t (h)+l (resp. 6t ).
Lemme 8.
La projection
TT
: Jh+1 V -- JhV
induit une fibration
TT
: ~h+1 .... ~h .
h
h
En plus
TT
est un morphisme des groupo1ties de Lie de base
V.
h
Démonstration :
Soit
x
un élément de
V
et
Jh+1 V
la fibre au-dessus de
x .
x
Considé
h+1
è
d ffé
'
déf
rons sur
J
V
le syst me
i
rentiel
J}
inissant
(~h+1)
~
x
x
à partir de
R(h)+l . Le diagramme suivant,

---

- 25 -
h+1
Àh+1 (z)
0
T (Jh+1 y )
- - >
J~(z)T
>
- - >
0
z x
l
(TI )
h
IT
h i~
\\li
h
(1)
h
À (TI
0
h (z))
h
- - >
J~(z)T
>
TTI (z) (Jxy) --> 0
h
l
l
0
0
étant exact
et commutatif ([3] ou [12]) 1 pour tout
z
de
1
on a
h
où
JJ
est le système différentiel définissant
(th)
à partir de
6t
.
x
Jh+1 y -t Jhy
induit une application différentiable
x
x
-1
h
D'autre part 1 considérons la restriction à
TI
(t )
du système différen-
h
x
tiel
JJ 1 • Soit
P
une variété intégrale maximale de
JJ'
et
TIh : P -t (th) x
h
Le diagramme (1) et la surjectivité de
6t(h)+1 -t 6t
1
entratnent
(TI )* : T (P) -t TTI (z) ((~h)x)
.surjective. Ainsi
TI (p)
est un ouvert de
(th)x
h
z
h
h
pour toute variété intégrale maximale
P
de
JJ 1.
JJ'
étant invariant par le s
translations du groupe structural de la fibration principale
TI~1((~h)x) -t (th)x
on a que toute translation de ce groupe structural transforme
P 1 en une
variété intégrale maximale de
JJI
• Donc si
P
et
pl
sont deux variétés
intégrales maximales 1
TI (p)
et
TI (P')
sont identiques ou disjoints. Comme
h
h
(t h)
e st connexe et
{TIh(P)}
constitue une partition de
(~h) 1 on a
x
x
TI (p) = TI (p') = (~h)
Mais
('" h+1)
'1t
est la variété intégrale maximale de
h
h
x
x o
h 1
JJ 1
pas sant par l'unité
I + (x)
et
TI (~h+1)x ~ (th)x 1 d'où
h
TI (( t h+ 1) ) = (~h)
h
x
x
Par conséquent 1
est surjective.

---

- 26 -
Montrons que
n
est de rang maximal pour terminer la démonstration :
h
h+l
Soit
Z
E ~
de source
x
et considérons le diagramme exact et
commutatif 1
a.
T
0 - - >
((~h+1) )
T (~h+l) - *
- >
T (V) - - >
0
Z
x
- - >
Z
.,
X
l
l
1
(TTh).
(TTh).
Id (T)V))
h
h
0.*
0 - - >
T
() ((~ ) ) - - > T
()(~) --> T (v) --> 0
n
Z
x
n
Z
x
h
h
!
l
0
0
Cela entraîne
(n h)*
T (~h+l)
h
D'où
- - > T
()(~)
surjective.
Z
n
Z
h
notre lemme.
Nous pouvons identifier
Jh+1 V à un sous -groupotde de Lie de
(JhV)1
(d'ailleurs nous avons déjà fait cette identification) 1 à travers
l'application différentiable
-+
UhV) 1
-+
j 1 (jh f,.
x
h
h-l
et considérer
J V
comme un sous-groupotde de Lie de
n(J
T)
1
[3] 1
pour pouvoir appliquer le théorème 2 du paragraphe 4.
h
Les égalités
A(~h+l) = R,(h)+l
= JIA(~h) = A((~h»
1
J10t
jointes aux
faits que
R, (h)+l
est un sous-fibré vectoriel de
JIR,h
et la c~mmutativité
du diagramme suivant 1
0
0
t
~
À. h+ 1 (z)
0 - - > Jh+1T(V)
T Uh+1V)
S(z)
->
Z
x
- - >
0
l
l
pl (l'\\,I
(pl (Id ») •
h
1
h
À.(z)
o --> Jr:l(z) U T)
>
TZ [( UhV) 1)x] - - > 0

---

-
27 -
pour tout
z
de
Jh+l v 1 nous permettent de vérifier que ~h+l
est inclus
x
x
dans
[(~h)l]x • Dloù la proposition suivante :
Proposition 4.
i)
~h+l est inclus dans ~ (h)+l ..
ii)
la projection
~(h)+l .... ~h est surjective.
Démonstration :
(h)+l
h
h+l
L'affirmation 1) résulte de 11 égalité
~
= (~ \\ n J
V
et de
l'inclusion
~h+l c (~h)l n Jh+l V • L'affirmation (ii) résulte de (i) et du
lemme 8.
Proposition 5.
h+l
e st une sous -variété différentiable de
J
v.
h+l
11)
~
cotncide avec la composante connexe de 11 ensemble
(h)+l
des unités dans
~
.
Démonstration :
(h)+l
h+l
~
est une sous-variété différentiable de
J
V 1 car si
x
est
dans
V
la dimension de
T [((~h)l) ] n T (Jh+l V)
ne dépend pas du choix
z
x
z x
de
z
dans
~ (h)+l = ((~h)) n Jh+lV •
x
1 x
x
~h+l
(h)+l
Pour démontrer la deuxième partie 1 nous avons déjà
't'
c
~
et
~h+l connexe 1 pour tout x de V. Un raisonnement assez simple montre
1
que 1: composante connexe
C
de
rh+ (V)
dans
~ (h)+l est un groupotde
h+l
de Lie sur la variété
V
tel que
dim C
= dim ~
pour tout
x
de
V.
x
x
h 1
h+l
Alors
C
- ~
pour tout
x
de
V. Dloù
C = ~ +
x -
't'x

---

- 28 -
Théorème 3.
h+l
(h}+1
~
= ~
.
Démonstration :
Nous décomposerons la démonstration en deux parties
1ère partie :
~ (h}+1
~
- t
h
Montrons que
est un fibré affine ([6], p. 33).
h
(~ ,a ,V)
étant une variété fibrée sur
V , on dénotera par
h
fibré vectoriel sur
~
de vecteurs
a-verticaux, et par
h
9
= F(~h} n ShT* @ F(VxV} le symbole de l' équation différentielle
(~ ,a,V) ,
h
~h
[1] . Un raisonnement de MALGRANGE [6], montre que
= T* @ gh n Sh+lTi~ @ F(VxV}
est un fibré vectoriel de base
~h
~h
~h
D'après la proposition 4, la projection
13 : ~ (h}+1
~h
- t
est surjective. Cela
entrafne, en tenant compte d'un résultat de [1], que
~ (h)+1 e st un fibré
affine de base
~h de fibré vectoriel associé gh+l
2ème partie
~ (h}+1 est connexe.
~h étant un espace topologique connexe et localement connexe par
arcs entraîne
~h connexe par arcs. En plus, la fibre (~(h}+I}p est connexe
par arcs, pour tout
p
de
~h
(h}+1
h
D'autre part, la première partie, entraîne que
13 : ~
- t
~
est un
espace de HUREWICZ (1. e.
possède la propriété de relèvement de homotopie,
[15] p. 92).
C.Q.F.D.
Mais tout espace de HUREWICZ, au-dessus d'une variété connexe par
arcs, ayant les fibres connexes par arcs est connexe par arcs. Ainsi
t (h}+1
est connexe.
h
Supposons que
6t
soit une équation différentielle, d'ordre
h
sur
T(V)
, formellement transitive et formellement intégrable. Pour tout entier
e
~h+e
ch+€
.
positif, notons par
'i'
le groupo1"de de Lie associé à
"'

---

- 29 -
Corollaire 2.
~ h+€+ 1 = ~ (h)+€+ 1
pour tout entier
€
positif.
Démonstration :
oh
h+1
h
"'
étant formellement transitive,
TT
: ~
- t
~
surjective et
h
h+1
h+1
R
un sous-fibré vectoriel de
J
T(V), le théorème précédent entraîne
(h)+l
h + 1 ,
..
~
= ~
• Diou le corollaire est vérifié pour
€ = 0 . Dl autre part,
~ (h)+1 ~
- t
h
étant un fibré affine, nous avons que
€ -prolongement
de Il équa-
(h)+ 1
h
tion
~
co1"ncide avec
(€+ 1) -prolongement
de Il équation
~
,i.e.
~[(h)+l]+€ = ~(h)+€+l ([1]). Supposons par récurrence, l'égalité ~h+€ = ~(h)+€ .
h
R +€
étant formellement transitive,
TT +€:
~h+€+l
~h+€
- t
surjective et
h
h
6t +€+l
un sous-fibré vectoriel de
Jh+€+l T(V) , nous avons
~h+€+l = ~ (h+€)+l
ct' après le théorème précédent. Alors
~h+€+l = ~ (h+€)+l
= ~ [(h)+€]+l = ~ [(h+1)+€-1]+1
= ~ (h+1)+€
(h)+€+ 1
= t
.
§ 6 - LIINTEGRABILITE DES GROUPOIDES DE LIE
h
h
Considérons l'espace des repères
(Dl, (V),V,L ,p)
, d'ordre
h , sur
n
la variété différentiable
V
et
P
une G-structure d'ordre 1 sur
V.
Propriété 1.
La variété
JI P , fibrée au-dessus de
P
par 11 application but, possède
n
une structure naturelle de fibré principal de groupe structural
T~,e(:m ,G) [5].
On vérifie facilement gue
JI P
est difféomorphe au noyau
pl
de la
double flêche :

---

-
30 -
-2
,1
-1
En effet, si
h
= J s
e st un élément de
P
on a :
po s
un
0
1
difféormorphisme local de
]Rn
dans
V
tel que
s (0) = j (po s) . Ainsi
0
-1
l'application
J1 p
-2
~1
-2
1
-1
de
P
dans
qui à
h
associe
h. [j (po s)]
0
est un difféomorphisme.
En particulier, 11 existe un difféomorphisme de
J1iT,1 (V)
sur le noyau
de la double flêche :
1
bt (V)
qui sera noté
~2 (V) •
Par conséquent,
d'après la propriété 1.
Propriété 2.
2
2
1
1)
N
= ker[L ..... L }
s'identifie de façon naturelle à un sous-groupe
n
n
de Lie de
Tl
CIRn L1)
o,e
' n
1
11)
iT,2 (V) ..... iT, (V)
s'identifie de façon naturelle à un sous-fibré princi-
pale de
~2 (V) ..... iT,1 (V) •
Démonstration :
n
n
1
1
Soit
~
un difféomorphisme
(IR ,0) ..... (IR ,0)
tel que
j
~ = j (Id)lRn .
-
n
1
-
1
0
0
Soit
~ : (lR ,0) ..... L
définie par
~(a) = j (,.
0 ~o,.
1
) , où
,.
désigne
n
o
-a
~- (a)
a
n
-
1
la translation de vecteur
a
dans
IR
. Il est clair que
~ (0) = j (Id)IRn et
1
2
0
que le
j ~
ne dépend que de
j
~ . On vérifie que l'application
2
0
-
0
2
l : j ~ ..... j1 ~ ainsi définie identifie N
à un sous-groupe de Lie de
o
0
n
1
Tl
(IR
L ) •
o,e
' n
Soit
cp
un difféomorphisme
(]Rn ,0) ..... (V ,x)
de source zéro et but
x
,
et soit
cp
la section locale de
~1(V) ..... V au voisinage de x définie par :

---

- 31 -
êp(y) = j1(CP.T
1
)
pour tout
y
voisin de
x.
o
cP- (y)
1~
2
On vérifie aisément que
jxcp
ne dépend que de
jocp • Soit
2
i : j~cP .... ~~1 (j~êp)
11 application
R (V) .... ~2 (V)
ainsi définie 1 où
~1 est
le difféomorphisme de
R2 (V)
sur
J1~1 (V) • On vérifie que (i}) identifie
2
1
R (V) .... ~1 (V)
à un sous-fibré principal de
6t,2 (V) .... 6t (V) •
2
2
On notera
6t (V)
la restriction à
P
du
N -fibré principal
P
1
1
.... R (V)
et
R~(V) la restriction à P du Tl (]Rn ,L )-fibré principal
o,e
n
1
.... 6t (V) •
Définition 5.
.
2
-1
2
1
On dira que
P
est
1-mtéqrable si
~p(V) nP
= ~P (V) nJ P
ni est
2
-1
pas vide (1, e. 11 application but
~p(V) nP
.... P
est surjective).
Lemme 9.
[5]
Il existe une application
et une seule
vérifiant :
i)
.lt(q 1 y) = Y-1 .&(q)
11)
.&(q) = classe dl équivalence de llélément neutre pour tout
Démonstration :
2
2
Soit
h E P
et
q E (R )h . Considérons
ql E (R )h . Alors il existe
2
y E Tl
(]Rn LI)
tel que
ql = q. Y . La classe ct' équivalence
Y. N
de
y
o,e
1
n
n
dans
T~ ,e(m IL~)/N2 ne dépend que de q 1 et 11 application .& ainsi dé-
finie vérifie i) et 11). Si
.&
est une autre application vérifiant 1) et 11) 1 alors
2
si
q E (~2)h
on a :
ql = q. Y
où
ql E (R (V))h . Par conséquent 1 la
classe d'équivalence de 11 élément neutre =
.&(ql) = '&(q. y) = Y-1 '&(q) = y-l.lt(q)
Dloù
-
.&(q)
=.& (q)

---

- 32 -
Lemme 10.
-1
80it
hEP
M
q E (P )h . Alors la classe d'équivalence de
ob (q)
1
1
Tl
(lnn
ID
,G)\\T
(lnn
ID
,L )/N2
ne dé pend que de
h .
o,e
o,e
n
Démonstration :
n
2
Notons par
n
la projection canonique de
Tl
(m
L1)/N
sur
o,e
' n
1
Tl
(lnn,G)\\T1
(ln n,L )/N 2
dé
é é
'
(-1)
ID
ID
et consi
rons un autre
1 ment
q
de
P h .
o,e
o,e
n
Alors
q' = q.y
où
Y
est dans
T~,e(mn,G). Ainsi '&(q') = y-1. ob (q) et
n(ob (q')) = n(ob (q)) .
Définition 6.
n
1
n
1
2
La fonction
8
de
P
dans
Tl
(m
,G) \\T
(m
,L )/N
qui à tout
o,e
o,e
n
h
de
P
associe la classe d'équivalence de
ob(q)
sera appelée tenseur de
structure de
(R~(V) 'pl) dans ~~(V)
~~!!l.?!g~~~:
1) Pour qui la G-structure
P
soit 1-intégrable, il faut
et il suffit que
8
soit nul.
En effet,
supposons
P
intégrable à l'ordre 1 et considérons
h
de
2
-1
P . Alors il existe
q E (Rp(V))h n (P)h
tel que
ob(q) = classe d'équivalence
1
n
1
de 11 élément neutre de
T
(m,L). Cela veut dire que
8(h)
est l' obitre
o,e
n
n
1
2
de 11 élément neutre de
Tl
(m
,L )/N
, pour tout
h
de
P
o,e
n
Réciproquement,
si
8 (h)
e st nul pour tout
h
de
P , il existe
2
q E (i;l)h
q' E (R (V))h
tels que
ql = q. y
où
Y
est un élément de
n
2
2
Tl
(m
G) . Ainsi
h
E (R )
n (pl)
ce qui prouve 11 intégrabilité à 11 ordre 1
o,e
'
h
h
de
P.
n
1
n
n
2) Nous pouvons identifier
Tl
(m
,L )
à
(lRn)i~ ® (m )* ® m ,
2
1
o,e
n
n
n
n
N
à
8 2 (lR )* ® m
,
To,e (m
,G)
à
(mn)i~ ® g où g est 11 algèbre de
Lie de
G , et considérer les structures de groupes abéliens sous-jacentes
aux structures vectorielles.

---

- 33 -
Avec ces identifications, on peut démontrer que :
2
= t\\ (m n) *181 mn
ô ((m n) *i81g
où
ô
est l'opérateur d'antisymétrisation
n
n
n
n
n
ô: (m )*i81(m )*i81m
-0
t\\2(m )*i81IR
1
ô(cp)(u,v) ="2 [cp(u,v)-cp(v,u)] ,
n
pour tout
u
et
v
de
IR
3) Notre définition de tenseur de structure
S
entraîne la définition de
tenseur de structure donnée dans [14], p. 41, au moyen de la 1-forme fondamen-
1
n
tale
w
: T(~ (V))
1
-0
IR
1
Soit en effet,
w
T(bt (V)) ... mn
la forme fondamentale [14], [13] .
1
1
Nous savons que tout élément
h E (bt (V))
induit
un
isomorphisme linéaire,
x
noté
h , de
mn
sur
T (V)
et que tout élément
q E (~ 1 )
s'identifie à un
h
x
1
sous-espace horizontal
Q
de
Th (bt (V))
tel que
P-l~ : Q -0 T (V)
est un
x
-
2 n
n
isomorphisme linéaire. Notons
'&(q): t\\ m
-0
IR
l'application définie par
-
h
h
'&(q)(u ,v) = dW (X ,Y-)
l
h _11
-1
h
où
(X ,Y-)
sont deux vecteurs de
Q
tels que
(h
0 p) (X
) = u
et
n
n
(h- 1o P*)(0) = v . On vérifie que la fonction
ÎJ: ~l(V) -0 t\\2(m )*6{)IR
vérifie
le s conditions du lemme 9 [ 14] . DI aprè s l'unicité de la fonction
.&, définie
dans le lemme 9, on a que
.&
col'ncide avec
.&. D'où notre affirmation.
Définition 7.
Soit
~
un sous-groupol'de de Lie de
Jhv . Le groupol'de de Lie
~
q
sera dit g- intégrable sil' application but
(~) n Jh+ v
~
-0
est surjective.
q
Proposition 6.
-1
Pour gue le groupol'de de Lie
~ = Po P
soit 1- intégrable, il fa ut et
il suffit gue le tenseur de structure
S
du fibré principal
P
soit à valeur
constante.

---

- 34 -
Démonstration :
En effet, si
S(p)
est une orbitre fixe pour tout
couple
(h ,hl)
dl élé-
ments de
P , 11 ensemble des valeurs prises par
de tous les éléments de
(pl)
est identique à 11 ensemble des valeurs prises par
J)
de tous les élé-
h
-1
-1
ments de
(P)h' Donc pour tout
q E (p )h ' on peut lui associer
-1
-1
ql E (p )hl
tel que
J) (q) = J) (ql)
. DI autre part,
ql. q
E ~1 ' car
q
et
ql
appartiennent à
Cl (p)
et
~1 opère transitivement sur Cl (p) (voir § 4 ,
n
n
-1
remarque 3).
Un raisonnement simple montre que
ql. q
appartient aussi au
2
2
1
groupotde
J2 V = 6t (V)o[&t (V)]-1 . Comme tout élément
8
de
po p-
est
-1
de la forme
hl 0 h
, ce groupotde est 1- intégrable.
-1
Réciproquement,
si
~ = Po P e s t 1-intégrable, pour tout élément
e = h
2
i
h -1
de
~ il
O
existe
8
E ~1 n J V
qui se projette sur
8 .
2
-1
-1
Considérons
q E (P \\
0'
:Alors
8 *q E (p )h
2
l
, où
*
représente l'opération
définie dans § 4, remarcr,~é/3. Comme
8
E J2V , on démontre, dl après les
2
définitions, que
J)(B2:;}-:~<~(q) • Cela signifie qulà tout q E (Ï;l)h on
associe
8 *q
de
(P )h
-l~q) = J)(q) • A fortiori,
S(h) = S(hl)
2
l
tel que
J)(8 2
pour tout couple
(h ,hl')
d' éléments de
P.
Proposition 7.
Soit une G-structure
P
dl ordre 1 satisfaisant les conditions
-1
1)
~ = Po P
est un groupotde aux fibres connexes.
2)
Le prolongement
[A(~)]l de A(~) est un sous-fibré vectoriel
2
de
J T(V) .
1
3)
La projection
TIl : [A(~)]
.... A(~)
est surjective.
Alors le tenseur de structure
S
est constant.
En effet,
lléquation différentielle, d'ordre l,
A(~)
sur le fibré tangent
T(V)
satisfait les conditions du théorème 3. Cela entra[ne que 11 application but
2
~ : ~ 1 n J V .... ~
est surjective, autrement dit
~
est 1-intégrable. En tenant
compte de notre résultat précédent le tenseur de structure
S
est constant.
Dloù notre proposition.

---

BIBLIOGRAPHIE
[1]
H. GOLDSCHMIDT
-
"Integrability criteria for systems of non-linear
partial differential equations" -
J. of diff. geometry - Vol.
l,no
3 1 1967.
[2]
H. GOLDSCHMIDT
- " Existence theorems for analytic linear partial
differential equations" -
Ann. of Math.
86 (1967) pp.
246-270.
[3]
GUILLEMIN and STERNBERG -
"Deformation theory of pseudo group
structures" -
Mem. Amer.
Math. Soc.
64 (1966) pp. 1-80.
[ 4]
J.1.
KOSZUL
-
"Lectures on fibre bundles and differential goeme-
try" -
Tata Institute of Fundamental Research - Bombay
1960.
[ 5]
D.
LEHMANN
-
"Sur les obstructions à l'intégrabilité des G-struc-
tures" .
Annales de l'Institut Fourier - 1971 - pp.
83-93.
[6]
B.
MALGRANGE
- "Pseudo groupes de Lie elliptiques" -
Séminaire LERAY - Collège de France
1969-1970.
[ 7]
H. NICKERSON
- "On differential operators and connections".
Trans. Amer.
Math. Soc.
(1961) 99 - 509-539.
[ 8]
'"
N. VAN QUE
- "Non abelian spencer cohomology and de formation
theory" .
J.
of Diff.
Geometry - Vol.
3 , nO 2 , June 1969.

---

[9]
"
N. VAN QUE
- "Du prolongement des espaces fibrés et des struc-
tures infinitésimales".
Ann. Inst.
Fourier (Grenoble) 17 (1967) 157-223.
[10]
"
N. VAN QUE
- "Sur l'espace de prolongement différentiable".
J. Diff. G. 2(1968) pp. 33-40.
[11]
QUILLEN
- "FormaI properties of over-determinèd systems of
l1near partial differential equation".
Ph. D. thesis Harvard University (1964).
[12]
A. RODRIGUES
- "G-structures et pseudo-groupes de Lie".
Cours donné en 1967-1968 à Grenoble.
[13]
A. RODRIGUES
- "The first and second fundamental theorems of Lie
for Lie pseudo-groups".
Am. J. of Math.
(1962).
[14]
LM. SINGER et S. STERNBERG - "The infinite groups of Lie and Cartan".
Part. l (the transitive groups) - Journ.
d'Analyse Math.
- Vol. XV - pp. 1-114
(1965).
[15]
Edwin H. SPANIER - "Algebratc Topology".
Mc GRAW - Hill Series in Higher Mathematics (1966).

---

COHEN-ADDAD J.P.
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VU, et permis d'imprimer
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Le président de l'Université
scientifique et médicale 1

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