N° d'ordre: 535
THESE
Présentée
DEVANT L'UNIVERSITE DE RENNES l
U.F.R. de Mathématiques
Pour obtenir
Le Titre de Docteur de l'Université de Rennes 1
Mention : ~dathématiques et Applications
.,
par
Mamadou Makhtar DIOP
QUELQUES PROBLEMES CONCERNANT
LES FONCTIONS REGULIERES ET LES FONCTIONS DE NASH
SUR UNE VARIETE ALGEBRIQUE REELLE
Soutenue le 20 Septembre 1990 devant la Commission d'Examen:
MM.
I. GIORGIUTTI
Président
M.COSTE
L.MAHE
Mme
M.-F. ROY
Examinateurs
MM.
H. SEYDI
A. TOGNOLI
Je remercie 1. GIORGIUTTI, d'avoir accepté de présider le jury de cette thèse.
Je remercie Michel COSTE (mon directeur de thèse) de m'avoir guidé pas à
pas pour la réalisation de ce travail avec sa patience et sa compréhension, qu'il
trouve ici toute ma reconnaissance.
Je remercie H. SEYDI, à qui je dois mon initiation à la géométrie algébrique et
de m'avoir présenté M. et Mme COSTE.
Je remercie M.-F. ROY d'avoir accepté de participer au jury.
Je remercie L. MARE et A. TOGNOLI pour avoir bien voulu accepté d'apporter
leurs appréciations sur ce travail.
Je voudrais aussi remercier tous les participants au séminaire de la
géométrie algébrique et tout le personnel de l'IRMAR de. l'accueil chaleureux qu'ils
m'ont réservé tout au long de mon séjour à Rennes.
Enfin je remercie Yvette BRUNEL qui a assuré avec soin et patience la
réalisation matérielle de cette thèse.
Table des matières
Page
Introduction......................................................................................
1
CHAPITRE 0 : Rappels...............................................................
1
CHAPITRE 1 : Cohomologie de faisceau des fonctions régulières sur IR n..
3
CHAPITRE 2 : Cohomologie de faiIceau des fonctions régulières sur V.......
13
CHAPITRE 3 : Faisceaux de Nash A-cohérents.........................................
17
CHAPITRE 4 : Fonctions de Nash dans le plan.........................................
29
Bibliographie.....................................................................................
41
l
Introduction
On sait qu'on n'a pas de bonne cohomologie des faisceaux cohérents en
géométrie algébrique réelle que ce soit avec les fonctions régulières (A. Tognoli) ou
avec les fonctions de Nash (J. Hubbard). Cependant dans ce travail, nous avons
obtenu quelques résultats positifs et des contre-exemples.
Dans la première partie, nous nous intéressons à la cohomologie de faisceaux
des fonctions régulières VlRn avec la topologie de Zariski. On montre tout d'abord
par un contre-exemple que Hia/IRP,VlRP) .., 0 pour p ~ 2 et q quelconque. Ensuite,
on donne une réponse positive à une question posée par A. Tognoli à savoir
l'image du H~ar à coefficient dans le faisceau des fonctions régulières V lR n avec la
topologie de Zariski dans le Hl
à coefficients dans le faisceau des fonctions de
s.a
Nash )(lRn sur le site des ouverts semi-algébriques avec des recouvrements finis,
n > O. On étend ce résultat au cas multiplicatif, i.e. l'image de H ~a/IR n ,V]Rn) ---+
H~.a(IRn,){in) est nulle pour tout n où Vin (resp. .Nin) est le faisceau multiplicatif
des germes de fonctions régulières (resp. de Nash) non nulles sur IRn. Vu qu'un
élément de H~a/IR n,V]Rn) s'identifie à un fibré vectoriel de rang 1 tandis qu'un
élément de H~.a(IRn'){]Rn) s'identifie à un fibré vectoriel de Nash, alors on a que
tout fibré vectoriel algébrique de rang 1 sur IRn est trivial comme fibré de Nash. On
généralise
ce
résultat
en
remarquant
que
l'ensemble
des
classes
d'isomorphismes de fibrés vectoriels algébriques de rang k est en bijection avec
Hl (]R n,GLk(){lR n) est nulle pour tout n. On a des résultats analogues pour une
s.a
variété algébrique irréductible lisse V c ]Rn. En effet, on montre que:
II
· l'image de Hl (V,f!J y ) ~ Hl (V'){y) est contenue dans l'image de
zar
s.a
· l'image de Hl (V,f!)xy ) ~ Hl (V,){xy ) est contenue dans l'image de
zar
s.a
· l'image de Hl (V,G Lk(f!) y)) ~ Hl (V,G Lk(){y)) est contenue dans l'image de
zar
s.a
l
l
H (Spec )([V],G Lk(f!)SpecX[V])) ~ H s.a(V,G L (){y)).
k
Remarquons que même si V est un ensemble quelconque lisse, les propositions
précédentes sont vérifiées.
Dans la deuxième partie, nous regardons le lien entre certains problèmes
ouverts par les fonctions de Nash sur un ouvert semi-algébrique 0 de Rn. On note
)(n le faisceau des fonctions de Nash sur o. Alors on a
Enoncé 3.1 : (Séparation pour 0)
Soit ){[O] (resp. A[O]) l'anneau des fonctions de Nash (resp. analytiques) sur
O. Soitp un idéal premier de )([O]. AlorspA[O] est aussi premier dans A[O].
Enoncé3.3.
a) Tout faisceau d'idéaux de )(n semi-algébriquement localement de type fini
est A-cohérent.
b) Le foncteur "sections globales" [(0,-) est exact sur la catégorie des faisceaux
de Nash A-cohérents.
On déduit de l'énoncé 3.3 le suivant:
Enoncé 3.4. Soit.1 un faisceau d'idéaux de){ semi-algébriquement localement de
type fini, g une section globale de )(/.1. Alors on peut relever g en une fonction
!E){[O].
L'équivalence de certains de ces problèmes a été montrée par M. Shiota dans
son livre "Nash Manifolds" : en effet, il a montré que l'énoncé 3.1 implique
l'énoncé 3.3 a) pour un faisceau d'idéaux réduits de )(n et que l'énoncé 3.3 a)
implique l'énoncé 3.1 quand 0 est une variété de Nash compact.
III
Dans ce travail, on montre l'équivalence de l'énoncé 3.1 et de l'énoncé 3.3 par
passage à l'énoncé suivant:
Enoncé 3.2. Soit (Oi)iel un recouvrement fini de ° par des ouverts seml-
algébriques. On note Pi : X[O] ~ X[Oi] et Gij : X[Oi] ~ X[Oi Iî 0j] les applications
de restrictions. Alors le diagramme
il a-)
iJ )1
li Spec X[Oi Iî 0)
). li Spec X[Oi] -~) Spec X(O]
(i J}Elx!
il a7.1
iE!
il -1
Pi
iJ 1)
i
est un conoyau.
Enfin, on vérifie le résultat annoncé par Efroymson [Efr. 3] sur IR. 2 en
complétant les nombreux trous dans les arguments de sa démonstration. Ainsi
donc les propositions équivalentes sont vérifiées dans le plan.
CHAPITRE 0
RAPPELS
Définition 0.1. Soit X un espace topologique. On appelle q-ième groupe de
cohomologie de X à valeurs dans le faisceau :F et on le note Hq(X,:F), la limite
inductive des groupes Hq(U,:F), définie suivant l'ordonné filtrant des classes de
recouvrement de X au moyen des homomorphismes a(U,Œ) : Hq(Œ,n ~ Hq(U,:F)
définis pour tout entier q ~ O.
En d'autres termes, Hq(X,n est tel qu'un élément est représenté par la donnée
d'un recouvrement U ::; (V i)iEI ouvert de X avec io, ...,iq E l, V; .::; V. n ...n V. et
.O...lq
lO
lq
q+l
fI'
l' E :F(Vl· l') vérifiant la condition de cocycle L(_l)k JI' "'l'k l'
::; 0, le signe 1\\
0..· q
o·.. q
k=O
o·..
'" q+ 1
signifiant que le symbole au-dessus duquel il se trouve doit être omis.
Hq(X,:F) = 0, i.e. un cobord signifie qu'il existe un recouvrement plus fin
11 ::;(V)jEJ d'ouverts de X avec <p : J ~ l, V cV
ji
<p(])' qui induit un cocyle pour
q+l
1I:L(_l)i g , -:-,
::;J. , où g. ~.
E:F(V,
':' .
).
i=O
JO···Ji· ..Jq+ 1
JO···Jq
Jo..·Ji-··Jq+ 1
JO·"Ji- ..Jq+ 1
Notation : H~ar est la cohomologie de IR n ou d'une variété algébrique V c IR n avec
la topologie de Zariski.
H~.a est la cohomologie sur le site des ouverts semi-algébriques avec des
recouvrements finis.
Définition 0.2. Soit X une variété algébrique réelle affine. Un fibré vectoriel
algébrique ç sur X est dit fortement algébrique quand il existe un morphisme
algébrique injectif de ç dans un fibré vectoriel ex (autrement dit, quand ç est
algébriquement isomorphe à un sous-fibré vectoriel algébrique d'un fibré trivial).
2
Définition 0.3. Soit M une sous-variété de Nash. Un fibré vectoriel de Nash ç sur M
est dit fortement de Nash quand il existe un morphisme de Nash injectif de ç dans
un fibré vectoriel trivial.
Théorème 0.4. Soit eun fibré vectoriel algébrique sur une variété algébrique réelle
affine X. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) ç est fortement algébrique.
(ii) Il existe un module projectif de type fini sur l'anneau des fonctions
régulières V[X] .
Démonstration: [B.C.R. 12.1.7].
Théorème 0.5. Soit M une sous-variété de Nash, eun fibré vectoriel de Nash sur M.
Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) eest fortement de Nash.
(ii) TI existe un module projectif de type fini sur l'anneau des fonctions de
Nash.Al"[M].
Démonstration: [B.C.R. 12.7.11].
Théorème 0.6. Soit M une sous-variété de Nash. Alors le faisceau des fonctions de
Nash .AI"M est cohérent.
Démonstration: [Shi. 1.6.6.].
3
CHAPITRE 1
COHOMOLOGIE DE FAISCEAU DES FONCTIONS REGULIERES SUR IRn
Soit (? []R] l'anneau des fonctions régulières sur ]R ; (? IR le faisceau des
fonctions régulières sur ]R.
Démonstration. [cf. Tog.].
Proposition 1.2. Si n ~ 2, alors H~ar(lRn,(?IRn) ~ O.
Démonstration. [cf. Tog.].
En effet, il existe un polynôme irréductible P dans ]R[XV ...,xn] tel que les zéros
de P sont (0,0,...,0) et (1,0,0" ...,0) dans ]Rn. On peut prendre
P = Xt(XC l)2 + X~+...+ X~.
Pour n=2, on a P = Xi(XC 1)2 + X~ = [X (X
(X
] est l'unique
1
C l)+iX2] [X1
C l)-iX2
factorisation de P dans C[Xl,X2] donc P est irréductible dans ]R[X1,X2].
Soient V 1 = ]R2 - {(O,O)} et V 2 = ]R2 - {(1,0)}.
,
.
1
1
On defimt tm cocycle P =X
2 ~ sur V12 = VI n V 2 •
l(1-Xl) + 2
1
fI
f 2
Supposons - = -
- -
où g. ne s'annule pas sur Vi' i = 1,2.
P
gl
g2
1
Alors P divise g192 donc P divise g 1 ou P divise g2 puisque P est irréductible, ce qui
est impossible donc ~ n'est pas tm cobord, Le. H~ar(R2,(? 2) ~ O.
P
IR
On montre d'une façon analogue que H~ar(lRn'(?IRn) ~ 0 pour n ~ 3 en prenant
•
4
Proposition 1.3. H~r(lR2, (9lRV= O.
Démonstration. [cf. Sil.].
La démonstration est basée sur le lemme suivant:
Lemme 1.4. Soit 1 un idéal de (9[IRn]. Alors pour tout f E .1(z(l)), il existe un entier
m et une fonction régulière g E (9[IR n] tels que
(i) codimz(g) ~ 2
(ii) pn.g El.
Démonstration. [cf. Sil.].
Donnons une idée de la démonstration de la proposition 1.3 : Soit U = (U) un
recouvrement fini de IR 2. Il nous suffit de montrer que pour tout cocycle f.
.
lO, ... Lq
défini sur U à valeurs dans (9lR n, il existe un raffinement r de U tel que l'image de
f·
: dans le complexe G(r, (9lR2) soit un cobord.
LO,····q
On peut choisir une famille d'éléments (g)lsisp de (9 [IR 2] tels que pour tout ion
m,
.
2
zo···zp
ait z(gz') = IR -Vz" Alprs il existe f. ' =
défini sur Vz' z' = Vz' n ...n Vz'
zo···zp
g,
,
o··· p O p
zo···zp
où g.
. ne s'annule pas sur V.
. donc z(g.
.) c IR 2 - V.
"
LO ...Lp
LO •••Lp
LO •••Lp
LO...Lp
D'après le lemme précédent, il existe un entier m tel que (g.
.)mf.
. se
LO •••lp
lO, ••• Lq
prolonge au-dessus de IR 2 - V.
. où V.
. se réduit à un nombre fini de points
.
lO ••• Lp
LO •••lp
(codim ~ 2 dans IR 2).
Comme les f·
.
sont en nombre fini, il existe un entier N tel que les
LO,· .. Lq
(g.
.)Nf.
. possèdent tous la propriété précédente.
LO•••Lp
LO, ...lq
5
Notons F = u v.
. = {Xl, ..XJ et W =IR2 - F.
lO···lp
On pose pour tout i U~i =(IR2_F) u {Xi} .
De ce fait, on obtient un ensemble défini partout sauf sur un nombre fini de
points d'où on construit un recouvrement 11" plus fin que 'li, pour lequel chaque
point est dans un seul ouvert et l'intersection de deux ouverts ne contient aucun
point.
•
Dans [Sil.], R. Silhol a voulu généraliser la proposition 1.3 en montrant que
H~ar(IRP, (?lR~ = 0 pour tout p > 2 mais ceci n'est pas vrai.
En effet, on montre par un contre-exemple que HZar(lR 3'(?lR 3) .. 0 quel que
soit q :
. Si q = 2
on a trois droites et trois points ; et chaque point
appartient à deux droites tandis que chaque droite
contient deux points .
. Si q quelconque : on a q+ 1 courbes irréductibles dans un plan et q+ 1 points
avec chaque point appartenant à q courbes mais pas à la (q+ l)ième courbe, tandis
que chaque courbe contient q points mais pas le (q+l)ième point. Autrement dit, on
a les points Po,Pl, ...,Pq et les courbes YO'Yl, ...,Yq tels que Pi E Yj si i..j et Pi fi Yi .
q
En plus, on a aUCml point commml à toutes les courbes Yi' Le. n Yi =cp •
i=O
2
Ainsi dans le plan IR C IR.3, on prend Pi = (i,O) et Yi =Y -
IJ (x-j)
05:js:q
j .oi
Les courbes Yi sont irréductibles, et on a
Yi n Yj = {Pk ; k .. iJ1 .
En effet, si (x,y) E Yin Yj' alors I1(x-k) = I1(x-k) et
.
k..i
k"j
ou bien x = k, k .. iJ et y = 0
ou bien x-j = x-i ce qui est impossible.
Passons maintenant à la démonstration:
Considérons le recouvrement 'li, = (U i)i=O,...q où U i = IR. 3 - Yi .
q
Soit g = Z. + Y~(X,Y)y ~(X,Y)...y ~(X, Y). On a zéro(g) = U Yi' et g est irréductible.
i=O
6
1
1
, 1
3
q
Un q-cocycle par U est donne par - sur V,
, = IR - U )1 .•
g
10···lq
i=O
1
Montrons que ce n'est pas un cobord pour la cohomologie de Cech.
Soit r un recouvrement plus fin que U. On a dans r, Pi E Vii C Vi où i = O,l, ...q.
. f o
, .
/\\
f 1
f
A
q
SI h- est defim sur VJ' J'
J'
h- sur VJ' J'
J' ••• , h-
sur V.
~, avec
o 1.··· q
0 1.·.. q
JO....Jq
o
1
q
1
q
. J.
q
-
= L(-1)1 hl alors g divise II hi d'où g divise un hi puisque g est irréductible.
g
i=O
i
i=O
Pour fixer les idées, disons que g divise ho.
On a Pi E Vii C Vi' Pi E)li sij~i, donc Vii contient un ouvert de Zariski non vide de )Ii
pour tout j ~ i.
Alors V-:"
.
. contient un ouvert de Zariski non vide de )10 puisque )10 est
JO... Ji.· ..Jq
f
irréductible. Or g divise ho, donc ho s'annule en Po et hO n'est pas défini sur
o
V~
,
, d'où la contradiction.
JO,··Ji,··Jq
En prenant g = X~ +...+ X~ + )I~(Xl'X2)...)I~(Xl'X2) avec un raisonnement analogue,
on montre que H~ar(lRP,VlR~ ~ 0 pour p ~ 3 et q quelconque.
Démonstration. [cf. Hub].
En effet, soient V 1 =]-00,1[, V 2 = ]-1,+00[.
_0lI
_
Sur U 1 n V 2 = ]-1,+1[, on a le cocycle h = .j1-x2.
Supposons qu'on a fe f
= h
2
== /1-x 2 == J1-x /l+x.
Si on tourne autour de -1, /l+x ~ -1f+X
G===;=:::='-8
or f 2 == f 1- h , alors f 1+ h == f 2 + h + h =f 2 + 2h
7
et en tournant autour de +1, ./1-x ~ -./I-x, alors on a 1 - 2h . Ainsi en partant
2
avec 12 après un tour de circuit on a 12 - 2h , après deux tours de circuit on a
12 - 4h, après p tours de circuit on a 12 - 2ph. Donc on a trop de déterminations
pour la fonction algébrique 12 puisque 12 est une fonction de Nash. •
On a vu que H~ar(lRn, (9lRn) ;é 0 pour n > 1 [cf. Tog.] et H~_a(lR,XlRn) ;é 0 pour
n > 0 [cf. Hub.]. Cependant on a la proposition suivante :
Proposition 1.6. L'image de H~ar(IRn, (QlRn) ~ H~_a(IR, X lRn) est nulle pour tout n.
Démonstration: On traite d'abord un cas simple, pour faire comprendre l'essence
de la démonstration.
1er cas: Soit IR n = VI uV 2 où V l' V 2 sont des ouverts de Zariski.
Soit I l ,2 = ~ où g, h des polynômes avec h ;é 0 sur V 1 fi V 2 et I l ,2 est trne fonction
régulière définie sur V 1 fi V 2, et donne donc un cocycle qui représente un élément
L'ouvert D
= {p E Spec(X[IRn]); h lZ: p} où 112 est définie, est un ouvert de
h
Zariski dans Spec(X[IR n]).
On va montrer qu'il existe °1, 02 des ouverts de Spec(X[IRn]) tels que
0i fi IR n = Vi, i = 1,2 et °1fi 02 C Dh'
Alors ~ est définie sur 01 fi 02 donc on est en présence d'trn cocycle pour le
recouvrement °1, 02 de Spec(X[IRn]).
Or pour le faisceau (QSpec(X[lR n]) , on a Hl (Spec(X[IR n]), (Q Spec(X[lRn]) ) = O.
On poura donc résoudre le cocycle donné au moyen des fonctions de Nash.
On sait que h ;é 0 sur V 1 fi V 2.
Supposons l'affirmation précédente fausse, Le. V 01, V 02 avec 0i fi IRn = Vi'
i = 1,2, on a 01 fi 02 CL Dh'
Alors d'après la compacité pour la topologie constructible
8
(î'I D ) CI. D
2
h
D ouvert
2
D (]]R n=U
2
2
Or (î'I Dl) = {p ; zéro(p) î'I V 1 ~ CP} et (î'I Dv= {p ; zéro(p) î'I U 2 ~ CP} •
Soit P E (î'I Dû î'I (î'I D Vet p ft: Dh . On sait que zéro(p) c IRn est un ensemble
connexe, alors zéro(p) î'I V 1 î'I V 2 ~ cP donc p a une spécialisation où h est non nul.
Donc p est contenu dans Dh, d'où la contradiction.
p
gij
Cas général : Soient IR n = UV.
et 1,.. = -
une fraction réduite où hi:}' ne
•
1
Il
h ..
1=1
Il
s'annule pas sur Vi î'I V j et les lij vérifient les conditions de cocycle pour le
recouvrement (V) .
il nous suffit de trouver un recouvrement (Di) de Spec(X[IR n]) par des ouverts de
(fu) pour le recouvrement (Di) à coefficients dans VSpec(X[IRnD est un cobord, i.e. il
existe une fonction de Nash fi sur Di (et donc sur Vi) telle que fij = fi - fj .
S'il n'y a pas de recouvrement comme cela, alors pour tout Di avec Di contenant
Vi , il existe iJ tels que Di î'I Dj CI. D
.
hij
Remarquons tout d'abord que si Di ~ Vi, alors (Di) forme un recouvrement de
p
p
Spec(X[IRn]) parce que U Di ~ U Vi = IR n = {points fennés de Spec(X[IRn])} =
i=1
i=1
= {idéaux maximaux}.
Alors la famille filtrante de fermés tous non vide (pour la topologie constructible)
q Di î'I D
est contenue dans q Spec(X[IR n]) qui est
j î'I (D
Wl compact donc
hij
IJ
[
IJ
Il (î'I D) î'I (î'I Dl.) î'I Dh.. est non vide.
iJ
~
On sait que (î'I Di) = fp ; zéro(p) î'I Vi ~ CP} •
Soit P E (î'I Di) î'I (î'I D) î'I (D
alors zéro(p) î'I Vi"" cp, zéro(p) î'I Vj
hij
;Z' cp
et hij E p.
9
Soient XE zéro(p) n ni et y E zéro(p) n nj' zéro(p) étant un ensemble connexe,
alors il existe un chemin y qui joint x à y dans zéro(p) et y traverse
zéro(p) nUl' n U. ~ cp, zéro(p) n U. n U. ~ cp ,..., zéro(p) nU.
n U. ~ cp.
o
11
11
12
lq-l
lq
Si h . . e p, h . . e p,... h.
. e p par conséquent h . .... h.
. e p .
1011
1112
lq-l 1q
1011
1q-l1q
Or f· . +...+ f.
. = f· . et en réduisant au même dénominateur, on a
1011
1q-l1q
101 q
G
gij
= ft . = -
d'où la contradiction car h ij E pet hij divise hi i ...hi
i '
h . . ...h . .
10lq
h..
01
q-l q
1011
lq_l1q
lJ
•
On a un analogue pour le cas multiplicatif. Cependant avant d'énoncer la
proposition, regardons le lien entre
H ~ar(lR n ,CJ IR n) où CJ IR n est le faisceau
multiplicatif des germes de fonctions régulières non nulles sur lR n et les fibrés
vectoriels algébriques de rang 1 : si on se donne un recouvrement (U i)iEI de lR n par
des ouverts de Zariski (on peut supposer 1 fini) et une famille de fonctions
régulières gij : U i n Uj ~ lR * avec gijCX) gjk(X) = gik(x) pour tout x E Ui n Uj n Uk,
alors on construit un fibré vectoriel algébrique ç de rang 1 sur lR n de la manière
suivante: on recolle les U ixlR le long des isomorphismes linéaires réguliers:
UjxlR ::> (U i n U} x lR -----+ (Ui nU} x lR c UixlR
(x,À) ~ (x,g ijCx)À) .
Alors on a une bijection entre H ~ar(lR n ,CJ IR n) et l'ensemble des classes
d'isomorphisme de fibrés vectoriels algébriques de rang 1 sur lRn.
On a H~ar(lR n,CJIRn)~ 0 pour n > 1 [cf. Tog.], H~_a(lR n, ){IRn) ~ 0 pour n > 0 [cf. Hub.].
Cependant on a le résultat suivant:
Proposition 1.7. L'image de
H~ar(lR n,CJIRn) -----+ H~_a(lRn, '}(IRn) est nulle pour
tout n.
1 0
Démonstration: La démonstration est analogue à celle du cas additif: ici on
prend l'ouvert Dgijhij = {p E Spec(X[IR"]) ; gij' hij ft: p}.
Remarquons aussi qu'on récupère un fibré vectoriel de rang 1 sur Spec(X[IR"]) ,
Le. un fibré vectoriel fortement de Nash sur IR" et alors d'après [BeR. 12.7.15],
Soit P E (n ni) n (n n) n (Dgijhij' alors zéro(p) nUi ~ cp, zéro(p) n U ~ cp,
j
hij E P et
gij Ep.
Soient xE zéro(p) nUi et y E zéro(p) n Ur zéro(p) étant un ensemble connexe,
alors il existe un chemin y qui joint x à y dans zéro(p) et y traverse
U. = U., U. ,..., U. =U '. On a alors zéro(p) nU. n U. ~ cp, zéro(p) nU. n U. ~ cp,
lO
l
II
lq
J
lO
II
II
l2
..., zéro(p) n U.
n U. ~ cp.
lq-I
lq
Si h . . ft: p, h . . ft: p, ... h.
. ft: P par conséquent h .. ... h.
. ft: p.
lOll
lIl2
lq-Ilq
lOll
lq-Ilq
Si g .. ft:p,g .. ft:p, ... g.
. ft:p parconséquent g ..... g.
. ft:p.
lOll
lIl2
lq-Ilq
lOll
lq-llq
d'où la contradiction car hij E P et gij E P .
•
Remarquons qu'un élém'ent de H~ar(IR",OlR n) s'identifie à un fibré vectoriel
algébrique de rang 1 tandis qu'un élément de Hl (IR", XXIRn) s'identifie à un fibré
s.a
vectoriel de Nash. Alors on a le théorème suivant:
Théorème 1.8. Un fibré vectoriel algébrique de rang 1 sur IR" est trivial comme
fibré de Nash.
1 1
Exemple: Soit P =X2(X_l)2+y2 E IR[X,Y]. Le polynôme irréductible P n'a que deux
zéros cl = (0,0) et c2 = (1,0) dans IR 2. Posons U i = IR 2 - {ci}, i = 1,2.
Construisons le cocycle avec des fonctions de Nash.
f
i
Soit fi défini et non nul sur U i' i = 1,2 ; alors f 12 =
sur U 1 n U 2 = U 12·
j
12
1
j
12
1
Prenons (,01 =
P+(x - 2) + (x - 2)'
(,02 =
P+(x - 2) - (x - 2) alors (,01(,02 = P.
A " ·
f
t
fi
1 d' ' f
fI
d' fi"
U
mSlona
1=(,01
e
2=-
ou
12=f-=(,Ol(,02
emlsur
12·
(,02
2
La fonction de transition f 12 : U 1 n U 2 ~ GLI(IR) = IR * définie par f 12(x,y) =
P(x,y) nous donne un fibré vectoriel algébrique ede rang 1 sur IR 2.
e
2
D'après [BeR. 12.1.5], F ~ IR n'est pas fortement algébrique, donc F n'est pas
affine car F n'est pas isomorphe à un sous-ensemble algébrique [cf. Tog.]. Ainsi,
en tant que fibré de Nash, il est trivial, donc on a
Ainsi F est une variété algébrique réelle, pas affine, mais Nash difféomorphe à
IRS.
On peut généraliser le théorème 1.8 en remarquant que l'ensemble des classes
d'isomorphismes de fibrés vectoriels algébriques de rang k est en bijection avec
Théorème 1.9. L'image de ~~ar(IR n,G Lk((jIRn)) ~ H~_a(IRn,G Lk(J{IRn)) est nulle
pour tout n.
p
Démonstration: Soit IR n = U U. un recouvrement de Zariski.
1
i=l
Soit mi) une matrice inversible k x k à coefficients des fonctions régulières définies
1 2
Alors à la matrice mij on associe le polynôme h
ainsi défini
ij
h .. = det(m ..) x [produit des dénominateurs des coefficients de m .. sous formes
u
u
u
réduites]k+l
Ainsi sur Dhij' la matrice mij est définie et inversible. Donc on applique la même
démonstration que celle de la proposition 1.7.
•
1 3
CHAPITRE II
COHOMOLOGIE DE FAISCEAU DES FONCTIONS REGULIERES SUR Y
Soit une variété algébrique irréductible, lisse, V c IR n, alors on peut
généraliser les propositions précédentes:
Proposition 2.1. L'image de Hiarcv.Vy) ---4 H~_a(V,Xy) est contenue dans l'image
Or H1(Spec X[V]. VSpec(X[V]) = O. alors l'image de Hia/V,Vy) ---4 H~_a(V,Xy) est
nulle.
Démonstration: Soit (Vi) un recouvrement de V pour la topologie de Zariski tel
p
que V =U Vi. Soit tme fraction rationnelle fij • qui définit tm cocycle pour V tel
i=1
que {pôles de fi} n V ij = cp.
Il nous suffit de trouver un recouvrement (Di) de Spec X[V] par des ouverts de
Zariski avec Di :) Vi tel que (pôles de fijl n Di n Dj = cp où Di n V = Vi' Alors le
cocycle fi) pour le recouvrement (Di) à coefficients dans VSpecX[V] est un cobord.
Si un tel recouvrement n'existe pas, alors il existe iJ tels que pour tout Di:) Vi,
pour tout Dj :) Vj • on a {pôles de fi} n Di n Dj ~ cp.
D'après la compacité de Spec X[V], on a {pôles de fi} n (n Di) n (n D) ~ cp.
Soit p un idéal premier de Spec X[V] . Soient p E {pôles de fij}, p E (n Di).
p E (n D}. alors zéro(p) n Vi ~ CP. zéro(p) n V j ~ cp.
Soit x E zéro(p) n Vi. y E zéro(p) n V j . zéro(p) étant un ensemble connexe, alors il
existe un chemin )i qui joint x à y dans zéro(p) et)i traverse V. = V., V . •...,V. =V,.
LÜ
L
LI
Lq
J
On a alors zéro(p) n V. n V. ~ CP. zéro(p) n V. n V. ~ cp•••.,zéro(p) n V.
n V. ~ cp.
LÜ
LI
LI
L2
Lq-I
Lq
1 4
Donc dans le corps des fractions rationnelles sur Von a f .. = j. . +...+ j.
. avec
LJ
1011
l q_1 1q
P pôle d'aucune des fractions rationnelles, donc p n'est pas un pôle de fij' d'où la
contradiction.
•
Proposition 2.2. L'image de H~a/V,VV) ~ H~_a(V,Xv) est contenue dans l'image
Démonstration: Soit (Vi) un recouvrement de V pour la topologie de Zariski tel
p
que V = U Vi' Soit une fraction rationnelle f
' qui définit un cocycle pour V tel
U
i,,1
que {pôles u zéros de fi} n V ij = cp.
il nous suffit de trouver un recouvrement de (ni) de Spec X*[V] par des ouverts de
Zariski avec ni :::) V i tel que {pôles u zéros de fij} n ni n nj = cp où ni n V = Vi. Alors
le recouvrement (ni) et les fij fournissent un cocycle par HI(Spec X[V], VSpecX[V)'
qui a même image dans Hl
(V,Xv·) que le cocycle donné au départ.
s-a
Si un tel recouvrement n'existe pas, alors il existe iJ tels que 'V ni:::) Vi, 'V nj:::) Vj'
{zéros u pôles de fi} n ni n nj ", cp. D'après la compacité de Spec X*[V], on a {pôles
u zéros de (fi}} n (n ni) n (n n} '" cp.
Soit p un idéal premier de Spec X*[V]. Soient p E {pôles u zéros de fi}' p E (n ni),
p E (n nj), alors zéro(p) n Vi '" cp, zéro(p) n Vj ", cp.
Soit x E zéro(p) n Vi, YE zéro(p) n Vj .
zéro(p) étant un ensemble connexe, alors il existe un chemin}' qui joint x à y dans
zéro(p) et}' traverse V. = V., V. ,..., V. = V .. On a alors zéro(p) n V. n V. '" cp ,
10
1
11
lq
J
10
11
zéro(p) n V. n V. '" cp ,••., zéro(p) n V.
n V. '" cp .
11
12
lq-1
lq
Donc dans le corps des fractions rationnelles sur V, on a f .. = f· . ... j.
. avec
LJ
1011
Lq_1 Lq
P ni pôle ni zéro d'aucune des fractions rationnelles, donc p n'est ni un pôle, ni un
zéro de fij' d'où la contradiction.
•
1 5
Proposition 2.3. L'image de H~ar(V,G Lk«(jy)) ~ H~_a(V,GL (}{ y)) est contenue
k
Démonstration: Soit (Vi) un recouvrement de V pour la topologie de Zariski tel
p
que V = U Vi. Soit tme matrice carrée mij d'ordre k, à coefficients des fractions
i=1
rationnelles, qui définit un cocycle pour V tel que L(mij) n V ij = cp, i.e. (Cu pôles des
coefficients de mij) u zéro du déterminant de mi) n V ij = cp.
11 nous suffit de trouver un recouvrement
(ni) de Spec G Lk(}{ y) par des
ouverts de Zariski avec ni:) Vi tel que L(mi) n ni n nj = cp où ni n V =Vi. Alors le
recouvrement (ni) et les (mi) fournissent un cocycle par
H1(Spec }([V], GLk(~ SpecX[V]))' qui a même image dans H~_a(V,GLk(}{ y)) que le
cocycle donné au départ.
Si un tel recouvrement n'existe pas, alors il existe iJ tels que V ni :) Vi, V nj :) Vj ,
L(~} n ni n nj ;z: cp
D'après la compacité de Spec(G Lk(}{y)), on a L(mij) n (nn i) n (n nj ) ;z: cp.
Soit p un idéal premier de Spec(G Lk (){y)). Soient p E L(mij), P E (n ni), P E (nn),
alors zéro(p) n Vi ;z: cp, zéro(p) n Vj;z: cp.
Soit XE zéro(p) n Vi, YE zéro(p) n Vj .
zéro(p) étant un ensemble connexe, alors il existe un chemin )1 qui joint x à y dans
zéro(p) et)l traverse V. = V., V. ,..., V. = V,. On a alors zéro(p) n V. n V. ;z: cp,
LO
'L
LI
Lq
J
LO
LI
zéro(p) n V. n V. ;z: cp ,..•, zéro(p) n V.
n V. ;z: cp. Donc ~'J' = ~ .... m.
. avec p
LI
L2
Lq-I
Lq
OLI
Lq-lLq
fi!: L(m..
), r = O, ...,q-l, donc P fi!: L(m..) d'où la contradiction. •
LrLr+1
U
1 6
Les propositions précédentes sont aussi vérifiées dans le cas où V est un
ensemble quelconque lisse. En effet, il suffit pour cela de se ramener au cas
irréductible :
Soit V = uVk une réunion disjointe de composantes irréductibles de V. De
même on a Spec ...v[Y] = u Spec ...v[Vk], alors ...v[Y] = TI ...v[Vk]'
Ainsi on raisonne séparément sur chacun des V k :
Soit un recouvrement (U i) de V pour la topologie de Zariski. Soit une fraction
rationnelle fij qui définit un cocycle pour le recouvrement (U i)' On définit le
recouvrement (Dik) de Spec ...v[Vk] par des ouverts de Zariski avec Dik:) U i tel que
{pôles de fi} (J Dik (J Djk = cp où D ik (J V k =Ui (J Vk'
En conclusion, on peut dire qu'un fibré vectoriel algébrique (ou module
projectif localement libre) comme fibré de Nash, est toujours fortement de Nash
même si au départ il n'était pas fortement algébrique. Donc si on est dans l'espace
affine IRn, il devient trivial.
17
CHAPITRE HI
FAISCEAUX DE NASH A-COHERENTS
Soit V un ensemble algébrique réel, f9 y le faisceau de fonctions régulières sur
V (avec la topologie de Zariski).
Définition 3.1. Un faisceau ~ de f9 y -modules est A-cohérent quand il existe une
suite exacte
o ~ f9V~ f9~ ~ ~ ~ 0 [cf. Tog.].
Si M est un module de présentation finie sur l'anneau f9[V] des fonctions
régulières sur V, on a une suite exacte
et il vient en tensorisant par f9 y au-dessus de f9[V] :
A
o ~ f9V~ f9~~ M =M@f9v~ o.
V[V]
Ainsi à chaque f9[V]-module de présentation finie M, on associe un faisceau
'"
A-cohérent M.
Inversement, à tout faisceau A-cohérent ~, est associé le f9[V]-module des
sections globales [(V,~) de ~ sur V.
Dans [Tog.], Tognoli affirme que [(V,-) associe à une suite exacte de faisceaux
A-cohérents une suite exacte de f9 [V] -modules. Ceci impliquerait alors
l'équivalence de la catégorie des modules de présentation finie sur f9[V] avec celle
A
des faisceaux A-cohérents, au moyen des foncteurs M ~ M et ~ ~ [(V,n.
Cependant ceci n'est pas vrai. En effet, on a
x(i+(x_l)2)x2)
_ _ _ _~~ f9[IR 2]
et en tensorisant par f9, on a
x<i+(x_l)2)x2)
o
2
2 2
---->~ f9
~ f9 ----» f9 / (y +(x-l) X ) --~ 0
18
anneau intègre. Regardons les fibres du faisceau f9 1 (y2+(x-l)2x 2) en un point a.
Si a ~ CO,O) et (1,0), alors (y2+Cx-l)2x2) est inversible dans f9 a et donc
f9 (1,0) / (y2+Cx-l)2x 2), qui n'est pas intègre de toute façon donc n'est pas isomorphe
à f9[IR 2] / ~+(x-l)2x2).
Remarquons que par contre, dans le cas des fonctions de Nash, on a bien
L'anneau de gauche n'est plus intègre, car y2+ x 2(x-l)2 se factorise dans
X[IR 2] (cf. exemple du chap. 1).
Ceci montre que l'argument employé dans le cas des fonctions régulières ne
s'applique plus ici ; mais pour montrer que l'on a effectivement un
isomorphisme, il faut utiliser des résultats qui seront établis au chapitre 4.
Nous allons transporter au cas des fonctions de Nash la notion de faisceau
A-cohérent. Dans toute la suite, 0 sera un ouvert semi-algébrique de IRn, X n le
faisceau des fonctions de Nash sur O.
Définition 3.2. Un faisceau 5i de X n-modules est dit faisceau de Nash A-cohérent
quand il existe une suite exacte (globale)
O~ Xh~ X~~ 5i~0.
On se pose alors naturellement le problème de savoir si le foncteur "sections
globales" [CO,-) est exact sur la catégorie des faisceaux de Nash A-cohérents. Ce
problème est ouvert.
Nous allons voir que ce problème est lié à d'autres problèmes ouverts par les
fonctions de Nash :
- le problème de séparation (l'irréductibilité de Nash entraîne-t-elle
l'irréductibilité analytique ?)
- le problème d'extension des fonctions de Nash.
1 9
Donnons d'abord des énoncés précis de propriétés que nous allons relier:
Enoncé 3.1. (Séparation pour 0) :
Soit X[O] (resp. Jl2[On l'anneau des fonctions de Nash (resp. analytiques) sur
O. Soit P un idéal premier de X[O]. Alors pJl2[O] est aussi premier dans Jl2[O].
Enoncé 3.2. Soit (O)iel un recouvrement fini de 0 par des ouverts semi-
algébriques. On note Pi : X[O] -7 X[Oi] et a ij : X[Oi] -7 X[Oi n O} les applications
de restriction. Alors le diagramme
li a-;-~
. . J ,1
IJ
11
Spec X[Oi n 0) ======::;~ IPEI Spec X[Oi]
) Spec X[O]
(iJ)::lxI
li a:-~
li -1
..
IJ
Pi
IJ
i
est un conoyau. En termes plus explicites, ceci veut dire qu'étant donnés
suite finie i=i o' il"" ir=j et des idéaux premiers p..
de X[O. nO.
], k=O, ...,r-l
lkl k+l
lk
lk+l
tels que ai~i/PioÏ1) = Pi; ai;ir_/Pi r_li ) = Pj ; ai~ik+l(Pikik+l) = ai~ik.l(Pik_lik)'
k=l, ...,r-1.
Avant de donner l'énoncé 3.3, il faut éclaircir le concept de faisceau d'idéaux
localement de type fini de X. TI est clair que si on prend pour J le faisceau des
germes de fonctions de Nash sur IR qui s'annulent sur 7l., il n'y a aucune chance
pour que ce faisceau, qui est localement de type fini au sens usuel, corresponde à
un idéal de X[IR]. Ceci vient du fait que "localement" concerne ICI un
recouvrement infini, ce que nous voudrons éviter.
Soit -
0 le constructible d~ Spec IR[xl""'x
r
n] associé à O. A tout faisceau ~ sur 0
,..,
""'"
" . ,
"'"
correspond le faisceau ~ sur 0, défini par ~(W) = ~(W) pour tout ouvert semi-
algébrique W de O.
Il conviendra de dire qu'un faisceau d'idéaux J de X est semi-algébriquement
,....
localement de type fini quand J est localement de type fini.
Le faisceau décrit ci-dessus n'est pas semi-algébriquement localement de type
fini. Par contre, si M est une sous variété de Nash fermée de 0, le faisceau des
20
germes de fonctions de Nash s'annulant sur M
est semi-algébriquement
localement de type fini ([BeR cor. 9.3.9]).
Enoncé3.3.
a) Tout faisceau d'idéaux de X semi-algébriquement localement de type fini
est A-cohérent.
b) Le foncteur "sections globales" r (n, -) est exact sur la catégorie des
faisceaux de Nash A-cohérents.
Enoncé 3.4. (Extension pour n)
Soit .1 un faisceau d'idéaux de X semi-algébriquement localement de type fini,
g une section globale de X/.1. Alors on peut relever g en une fonction fE X[n].
La validité de ces énoncés reste ouverte. On en connait quelques cas
particuliers (Efroymson, Shiota, voir aussi chapitre 4). Nous allons montrer ici
que ces énoncés sont liés:
Théorème 3.5. On a le schéma d'équivalences et d'implications suivant:
Enoncé 3.1 ~ Enoncé 3.2 ~ Enoncé 3.3 => Enoncé 3.4.
Le reste du chapitre va être consacré à la démonstration de ce résultat:
Enoncé 3.1 => Enoncé 3.2.
Soit p un idéal premier de X[n]. Si p = <!l"",fs)' les fonctions fi, i=l, ...s, sont
définies sur un voisinage ouvert V de n dans en que l'on peut supposer
globalement invariant par la conjugaison a : en ~ en.
En tant que germe le long de n dans en/a, l'ensemble zU(fl, ... ,fs)/a c V/a ne
dépend pas du choix des générateurs de p, et on notera zn(P) ce germe. De même,
la partie non-normale de zU<!l, ...,fs)/a donne un germe le long de n dans e nIa qui
ne dépend que de p, et que l'on notera N(zn(P». Un germe le long de n est connexe
quand il a des représentants connexes dans une base de voisinages ouverts de n
dans en/a.
Puisque p.....a[n] est premier d'après l'énoncé 3.1, on sait que zn(P) \\ N(zn(P)) est
connexe [cf. Nar.].
21
Soit (n)ieI un recouvrement fini de n
par des ouverts semi-algébriques.
Donnons-nous Pi E SpecJt[ni] (resp. Pj' E SpecJt[n -]) tels que p~(p.) = P (resp. p-:-l(p.)
j
l
l
j
j
= p). Par la connexité de zn(P) \\ N(zn(P», il existe i o= i,il' ...,i =j tels que pour tous
s
voisinages ouverts suffisamment petits Vi de ni dans en, i E J, symétriques pour
a, et tous points Z et z' dans des représentants de zoc. (p!,) \\ N(zoc . (p.»
dans V. la
!O
!O
!
!O
(resp. V j de n j dans en,j E J, symétriques pour a, et tous points Z et z' dans des
représentants de z~. (P) \\ N(z~. (P) dans V la), il y a un chemin qui joint z à z'
j
JO
JO
0
dans un représentant de z~(P) \\ N(z~(P» dans U V/a, en passant à travers
iEl
Vio'a, Vi/a, ..., Vila. Ceci donne le "zigzag" de l'énoncé 3.2.
•
Enoncé 3.2 ~ Enoncé 3.1: On utilisera le lemme suivant:
Lemme 3.6. Soit P un idéal premier de X[n]. Alors il existe un recouvrement fini
(ni)ieI de n par des ouverts semi-algébriques, tel que pour tout i E J et tout q idéal
premier de X[n.] "au-dessus" de p(p:-l(q) = p) l'idéal qJ4[n.] est premier.
l
l
l
Ce lemme, avec l'énoncé 3.2, nous donne bien l'énoncé 3.1 :
Si V = U Vi' où les Vi sont des voisinages ouvert suffisamment petits des ni du
iEl
lemme dans en, on montre qu'un représentant de zn(P) \\ N(zn(p» dans VIa est
connexe. Si z E (zn(P) \\ N(znCp») n V/a et z' E (znCp) \\ N(zn(P») n V/a, et en
utilisant le zigzag de l'énoncé 3.2, et le fait que grâce au lemme les représentants
de zni(P) \\ N(zni(P» dans V/a sont connexes pour tout q idéal premier de ...If[n i]
au-dessus de P, on peut bien construire un chemin qui joint Z à z' dans un
représentant de zn(P) \\ N(zn(P» dans VIa.
22
Donnons maintenant une preuve du lemme 3.6, empruntée à R. Huber : soit P
, -
un idéal premier de X[O]. Soit a un point de 0, le constructible de Spec IR[xl" ..'x ]
r
n
associé à O. Soit X a l'anneau des germes de fonctions de Nash en a :
X a = hm X[W].
--;:;;-> .-
aEWcn
On a pXa = ql n ...nqs' où qi sont les idéaux premiers de X a au-dessus de p.
D'après le travail de Huber sur les fonctions isoalgébriques [Hu.], il existe une
.......
base de voisinages semi-algébrique V, symétrique pour a, de a (a E V) dans
en': IR 2n, telle que les représentants des zf/..q) \\ N(zf/..q)) soient connexes. Il existe
donc un voisinage W de a dans 0, tel que pXa = Pl n ...n Ps où les Pi sont tels que
..-
Pi'1Q[W] est premier. On conclut avec la compacité de O.
•
Passons maintenant à l'implication Enoncé 3.2 ~ Enoncé 3.3 :
L'idée va être de comparer ce qui se passe sur --
0 à ce qui se passe dans un
endroit où tout va bien, et qui va être le topos étale de Spec X[O]. Ceci apparaît
--
- '
moins mystérieux quand on sait que 0, avec le faisceau X, est le "topos étale réel"
de X[ 0]. Donnons quelques explications :
Si A est un anneau commutatif unitaire, le site étale réel de Spec A est la
catégorie des morphismes Spec B ~ Spec A (où B est une A-algèbre étale), une
famille finie (Spec C, ~ Spec B ) 'el étant un recouvrement quand la famille
l
~
l
~SpecA
(Specr Ci ~ Specr B) est surjective.
Le topos étale réel de Spec A (topos des faisceaux sur ce site) est équivalent au
topos des faisceaux sur Specr A , que nous noterons Faisc(Specr A). L'équivalence
envoie l'objet Spec B ~ Spec A au site étale réel sur l'espace étalé Specr B ~
Specr A. Le faisceau structural sur le site étale réel est associé au préfaisceau
Spec B ~ B.
J,
Spec A
...,
Si A = X[O], alors Specr A = 0 et le faisceau structural n'est autre que )f (cf.
[Roy]).
23
On a un morphisme de site du site étale de Spec A vers le site étale réel de
Spec A, qui donne un morphisme géométrique de topos <p de Faisc(Specr A) dans le
topos étale (Spec A)ét.
Ce morphisme de site envoie Spec B -+ Spec A sur Spec CB -+ Spec A, où CB est
défini de la manière suivante: si B =A[XI, ...Xpl / (PI, ...P ~ alors
La A~algèbre cB est indépendante de la présentation de B, car B ~ cB fournit
en fait un adjoint à gauche au foncteur C ~ C[i]. On vérifie que si B est une
A~algèbre, cB l'est aussi, et que Spec B -+ Spec cB est bien un morphisme du site
étale dans le site étale réel. Si ~ est un faisceau de (Spec A)ét, <p* ~ est le faisceau
associé au préfaisceau <p# ~ défini par
<p#~(SpecB) = Hm "-(Spec C) ="-(Spec B[iD
Spee cc -----> Spee A
1 /
SpeeB
<p# a un automorphisme canonique induit par conjugaison et sa partie
invariante <pfnv est définie par <pfnv ~(Spec B) :: "-(Spec B) puisque
conj
Spec BU]
i Spec B[i] --+ Spec B est un conoyau dans (Spec A)ét.
Id
<p* hérite de l'automorphisme de <p# et sa partie invariante <pinu est le composé
du foncteur du faisceau associé avec <pfnv'
Il sera plus pratique, dans le cas qui nous intéresse (A = X[n]), d'avoir une
autre description de <p*"- et qJinv~'
Proposition 3.7.
i) <p*~ (resp. <pinv~) est le faisceau associé au préfaisceau <pb~ (resp. <pfnv~)
,.J
sur n donné, pour tout ouvert semi-algébrique W de n, par
24
b
-
(resp. <p inv(S'(W») == hm S'(Spec 8)) .
--.
SpecrB
-
1 L
,.,
W-.U
W-.U
-
ü) <p* (9(SpecN[üDét .=.Atn[i] et <pinu (9(SpecX[üDét .=.Atfi .
iii) <pfnuS' est un préfaisceau séparé.
Démonstration
i) 11 existe un morphisme <pbS' ---+ <p*S' : un élément de <pbS'(V/) est représenté
- '
par une section continue s : W ~ Spec B avec un élément de
~rU
S'(Spec B[i]) = <p# S'(Spec B) qui induit un morphisme j: Specr B ---+ <p*S'.
La composée jos : -
W ---+ <p*S' est indépendante du représentant choisi. D'autre part
<pbS' et <p*S' ont les mêmes fibres en tout point cx de n puisque les germes des
......,
sections de l'homéomorphisme local Specr B ---+ D correspondent bijectivement
aux points de Specr B au-dessus de cx. Alors <p*S' est le faisceau associé à <pbS'.
La même démonstration marche pour <pinu3' et <pfnu3'.
ii) et iii) [cf. Roy].
•
Comme autre étape préparatoire, nous transformons l'énoncé 3.2 en une
propriété plus difficile à formuler, mais qui nous servira plus directement.
Donnons tout d'abord quelques définitions:
Définition 3.8. Etant donné un recouvrement fini de n par des ouverts semi-
algébriques (Di)iEb alors un système étale au-dessus de (Di)iEI est la donné des
){[D]-algèbres étale Bi et Cij et des sections continues:
25
SpecrBi
SpeCrCij
!
L
r \\
s;.: D. YO
et
S .. : fi.nfi.~n
avec toutes les commutations qu'il faut.
..
l
lJ
l
J
Les systèmes étales forment un diagramme filtrant.
On appelle système étale descendant tout système étale admettant un conoyau, Le.
Il Spec C.. ~ Il Spec Bi ~ Spec N[D] est un conoyau.
• .
IJ
l'
IJ
B.~B:
Spec B: ~ Spec B.
t
t
r
x[n(l '\\
t
r
t
Si\\!i
spe:~.~~/specrs~ü
lJ
" \\
tj
c..
, . "
~ 0:.,
D.
n.nff..
tj
tj
l
t
J
sont commutatifs
Lemme 3.10. Pour tout système étale au-dessus de (Di)iEb il existe un système
étale plus fin au-dessus de (Di)iEb et descendant.
Démonstration. Si Wc D est un ouvert semi-algébrique, on sait [cf. Roy] que
X[W] = lim B
où B est une X[D]-algèbre étale et s une section continue et donc
---.
SpecrB
Vl
- ...,
W - O
que Spec X[D] =lim Spec B (limite sur le même diagramme)
..--
n fois
n
1
1
1 ~--- Il
s = S QSl S QSl...QSl S ~-
...V[D ]i
rrXWi]
rr..vr0i]
i
.
~i
i
~
...
n fois
26
-----+
L'équivalence engendrée par Il Spec Ci' -~ Il Spec B. est la réunion des images
. .
')
.
!
!,J
1
des (Spec lRn) ---7 ~ Spec Bi x ~ Spec Bi .:. Spec<J:! Bi ® I! B) pour n = 1,2,....
!
!
! !
Spec .AllO]
.N'rO]
On a la situation analogue pour les Sn, ce qui dit, vu l'énoncé 3.2, que la réunion
des images des Spec Sn dans Spec(Il X[Oi] ® II X[OiD est cet ensemble tout
i
i
...vrO]
entier. En prenant les limites sur les systèmes étales au-dessus de (Oi)ieb on a
X[Oi] = ~Bi et Sn = ~Rn. Un argument de compacité montre alors que les
systèmes étales sont tels qu'il existe un système étale plus fin au-dessus de (Oi)ieI
et descendant afin que la famille des Spec Rn recouvre Spec(Il Bi ® II B) .
i
i
...vrO]
•
Attaquons nous maintenant au a) de l'énoncé 3.3 :
Soit:1 un faisceau d'idéaux semi-algébriquement localement de type fini de X. On
a un recouvrement fini de ° par des ouverts semi-algébriques (Oi)ieI avec pour
p.
chaque i E 1 une suite exacte XI~i ---7 :1
~
IOi
O.
Soient (J . .) E X[O .], j=l, ...,p. les générateurs de :1
' et 1. c X[O.] l'idéal qu'ils
lJ
l
l
lni
l
l
engendrent. On a Ii X[Oi n 0) = lj X[Oi n 0) , puisque tous les deux engendrent
l'idéal:1 x de X x pour tout x E 0i n 0j.
On peut trouver un système étale (Bi,Cij'si,Sij) et des idéaux de Ji de Bi' i E 1 tels que
J. C.. =J. C.. et que J; X[O.] ;::: 1..
1 1 ]
JlJ
•
1 1
D'après le lemme 3.10, on peut de plus supposer que
~ Spec Cu ~ ~ Spec Bi ---7 Spec N[O] est un conoyau.
!,J
!
On peut alors descendre les Ji en un idéal J de X[O] . TI est clair que le faisceau
d'idéaux associé à J n'est autre que :1 .
•
27
Passons au b) : Il suffit de montrer que </'lnu : (Spec X[ODét ---- Faisc(Specr X)
préserve les sections globales. En effet, si M est un X[O]-module de type fini, on a
-
~
</';nu (M ® V(spec..vIO]), ) =M ® X, et on sait que [(Spec X[O], M ® V(S
1JTO]),) = M;
..vIO]
et
..vIO]
XrO]
pee '" L
et
,..,
.."
on en conclura que [CO, M ® Jf) = M, ce qui donne le b) de l'énoncé 3.3.
..vIO]
Soit ~ un faisceau de (Spec X[ODe't . On sait que nSpec X[O], n ---- nn, </'~ n
mu
est injective, il suffit alors de voir qu'une section globale y de </'lnu ~ se remonte en
une section globale de ~. Or d'après la proposition 3.7, une telle section globale y
est donnée par un système étale CBi,Cij'si,si) et des sections Yi E [(Spec Bi'~) telles
que Yi et Yj coïncident sur Spec Cij' On peut d'après le lemme 3.10 supposer que
li Spec Ci' ---- li Spec Bi ---- Spec X[O] est un conoyau, et alors les Yi se
. .
J
.
!J
Z
recollent en une section globale de~.
•
Pour montrer que l'Enoncé 3.3 ~ Enoncé 3.4, il suffit de considérer la suite
exacte
o ---- ! ---- X ---- XI! ---- O.
Enfin pour terminer montrons que l'Enoncé 3.3 ~ Enoncé 3.2.
Soit 0 c lRn un ouvert semi-algébrique et soit COi)iel un recouvrement fini de O.
On sait, par hypothèse, que le foncteur de la section globale [ est exact dans la
catégorie des faisceaux de Nash A-cohérents, alors [(0,-) préserve les suites
exactes de faisceaux A-cohérents. Donc on a l'équivalence de la catégorie des
modules de présentation finie sur X[O] et la catégorie des faisceaux A-cohérents.
Considérons les applications de restictions Pi : X[O] ---- X[Oi] et aij : X[Oi] ----
P E Spec X[O].
28
On sait que ~ Spec ..vIni n n) ====:;.) Il Spec X[ni] engendre une relation
IJ
-1"
i
Il- aji
J
d'équivalence sur {Pi E II Spec X[n.] ; p-.-l(p.) = p}.
...
l
l
l
Montrons alors qu'il existe une seule classe d'équivalence.
Considérons une classe d'équivalence <g c Il Spec ){[ni] .
i
Construisons un faisceau d'idéaux semi-algébriquement localement de type fini
surn.:
l
soient les idéaux Pi "",Pi
tels que ~ n Spec ){[ni] = (Pi "",Pi ), alors
1
li
I i i
p. n p. n· ..n p. est un idéal de ){[n.] .
11
12
Iii
1
Soit le faisceau d'idéaux Ii sur ni associé à Pi n···n Pi c X[ni] .
1
li
Vérifions que Ii 1ninnj = lj 1ninnj' En effet, Ii 1ninnj est engendré par les
(Pi
n ...n Pi ) X[nJ Or (Pi1 n ...n Pil) X[ni] = (Ph n ...n Pli,) X[n) donc on a bien
1
li
l
')
1'1 r. _r. = 1'1 r. ~r. .
l
Hifllo'j
J Hif1Hj
Les Ii sont des faisceaux d'idéaux semi-algébriquement localement de type fini
sur ni' alors ils sont A-cohérents. En recollant les Ii. on obtient un faisceau
d'idéaux 1 sur n qui est A-cohérent. Ce faisceau 1 correspond à un idéal de X[n] et
il contient P donc z(l) c z(P) et, 1 et P ont la même dimension. Or P est irréductible
donc 1 est forcément égal à p.
•
29
CHAPITRE IV
FONCTIONS DE NASH DANS LE PLAN
L'objet principal de ce chapitre est de démontrer le résultat suivant, qui figure
dans [Efr. 3] :
Théorème 4.1. Soit f E X[lR 2] une fonction de Nash irréductible dans X[lR 2]. Alors
l'idéal engendré par f dans l'anneau des fonctions analytiques .IJ [lR 2] sur lR 2 est
premIer.
Ce théorème a pour conséquence la validité de l'énoncé 3.1 du chapitre
précédent, dans le cas du plan :
Corollaire 4.2. Soit p un idéal premier de X[lR 2] . Alors l'idéal p.IJ [lR 2] est premier
dans A[lR2] .
En effet, les idéaux premiers de X [lR 2] sont les idéaux maximaux
correspondant aux points de lR 2, l'idéal nul, et les idéaux principaux engendrés
par un élément irréductible de X[lR 2] .
Pour la démonstration du théorème 4.1, nous allons suivre le schéma donné
dans [E~, en complétant les nombreux trous dans les arguments de cet article.
On se donne un polynôme P(x,y) E lR[x,y], que l'on suppose irréductible. Par des
transformations birégulières de lR 2, on va se ramener à un polynôme que l'on
q
pourra factoriser P(x,y) = II cp i(x,y) où les cp i sont des polynômes en y à coefficients
i=1
des fonctions de Nash en x, et qui sont analytiquement irréductibles. Ceci donnera
le résultat, puisque toute fonction de Nash irréductible sur lR 2 est facteur d'un
polynôme irréductible de lR[x,y], et que l'anneau X[lR2] est factoriel.
On note zC 2(P) l'ensemble des zéros de P dans ([;2 et ZIR2(P) celui des zéros de P
dans lR 2 .
Le but est de se ramener à un polynôme P vérifiant les conditions suivantes:
(i) P(x,y) est unitaire en y.
(ii) Tous les points singuliers (réels ou complexes) de zC2(P) sont sur l'axe
desy.
30
2
ap
a p
(iii) Si (a,b) E ZIRlP), a;=O et si ày (a,b) = 0 alors ày2 (a,b) ;= O.
(iv) Chaque composante connexe de Z 2(P) \\ Z 2(aàyp) a une adhérence qui
IR
IR
coupe l'axe des y.
ap
(v) Si (a,b) E Zc2(P) avec a E lR11 et ày (a,b) = 0, alors b E lR.
Montrons comment on peut se ramener, par des transformations birégulières
de lR 2, à un polynôme vérifiant toutes ces conditions:
Pour (i) : le polynôme P(x+Ày,y) sera unitaire en y, sauf pour un nombre fini de
réels À.
Pour (ii) : soit {(ai,b i), i=1,...,N} l'ensemble fini des points singuliers de zC2(P), On
peut supposer que tous les bi sont distincts, et aussi que P est unitaire en x : en
b.-b.
effet, on peut remplacer P par P(x,Y+llx) où Il ;= _J_l pour tout (iJ) tel que
arai
ai ;= aj, et Il est choisi pour que le polynôme obtenu soit unitaire en x.
Alors il existe une fraction rationnelle J(y) à coefficients réels, définie sur lR
tout entier et tendant vers 0 quand Iyl ~ 00, telle que J(b i) = ai pour i = 1,..., N.
~ Il y-bj
2 N
1
On pose J(y) = [ ~ (
bb ai(l+bi )]
2 N'
i=l j~i
i- j
(l+y )
On remarque que si (abbi) est un point singulier complexe, le conjugué (Czi,5i) l'est
aussi ; ceci montre que J est bien à coefficients réels.
On note J(y) = ~~~ où v et c5 sont des polynômes premiers entre eux ; on a
deg c5 > deg v. On remplace P(x,y) par le polynôme Q(x,y) = P(x-J(y),y).c5(y)e où e est
le degré de P en x.
On vérifie maintenant que:
- Q(x,y) est unitaire en y : si on écrit
P(x,y) = ao,Yd + al(x)yd-l +...+ ad(x) avec ao E lR *
alors le terme de plus haut degré en y dans Q(x,y) vient de ao(c5(y)e.yd), et a donc
pour coefficient une constante non nulle.
- zC 2(Q) est birégulièrement isomorphe- à l'ouvert de Zariski de ZC2(P) formé
31
des points tels que 6(y) ~ 0 : il suffit de vérifier que
Z«e2(Q) (] Z«e 2(6) = cp •
Si on écrit
P(x,y) = bOXe + b1(y)xe- 1 +...+ be(y), bo E IR *
alors Q(x,y) = (_l)e bov(y)e + 6(y)R(x,y) et puisque 6 et v sont permiers entre eux :
- Tous les points singuliers réels ou complexes de z«e 2(Q) sont sur l'axe des y.
Ceci vient du choix de fCy), et de la remarque précédente qui montre que la
transformation n'introduit pas de nouveaux points singuliers.
Pour (iii) : La condition revient à dire qu'en dehors de l'axe des y, il n'y a pas de
point d'inflexion réel à tangente verticale. On va transformer de tels points
d'inflexion à tangente verticale :
- s'ils sont d'ordre impair, on fait disparaître la tangente verticale:
- s'ils sont d'ordre pair, on fait disparaître l'inflexion
J
On utilise une transformation (x,y) -~ (x- fCy),y)
où fCy) est une fraction
rationnelle bien choisie. On ne veut pas déranger les points singuliers, ni les
autres points à tangente verticale.
des y, et des points de ZlR2(P) à tangente verticale, qui ne sont pas point d'inflexion.
Soit {(cj,dj ), j = 1,...,Nz} (resp. {(ek,fk), k = 1,...,Ns}) l'ensemble des points zlR 2(P) en
dehors de l'axe des y, à tangente verticale, et qui sont des points d'inflexions
d'ordre impair (resp. pair).
32
On peut supposer comme ci-dessus que P est unitaire en x, et que tous les bi,dj et
fk sont distincts.
Sur chaque intervalle délimité par les dj et fk' on choisit un réel gz,
l = 1,..., N 2+N3+1.
NI
N2
N3
N2+N3+I
i
Il(Y-bit Il(Y-d) Il(Y-f k)2
I l
(y_g/l
Posons
f(y) = _i==_l
j==_l
k=_l--=-~--l-=I----
K(1+y2)N
n faut dire comment choisir ai' N, f (égal à 0 ou 1) et K.
Z
Introduisons les fonctions :
ap ap
ap
1 ay / ax (x,y) 1 si ax (x,y) ~ 0
ap
ap
p(x,y) =
1 si ax(x,y) = 0 et ay(x,y) ~ 0
ap
ap
o si ax(x,y) = 0 et ay(x,y) = 0
J.l(y) = inf {p(x,y); x tel que (x,y) E zC2(P) } .
De la sorte, si x = <p(y) localement sur zC 2(P), on a toujours 1<p'(Y)1 ~ J.l(Y). La fonction
J.l est semi-algébrique (sur IR, ou sur C =IR2) et n'a qu'un nombre fini de zérosqui
sont les ordonnées des points singuliers ou des points à tangente verticale.
Choix des ai : 11 existe d'après la remarque précédente un plus petit entier ai ~ 1
tel que Iy-bilai-l = O<JJ.(y)) quand y ~ bi" On aura alors f(b ) = 0, et il existera un
i
voisinage de bi sur lequel, pour K suffisamment grand, on aura If'(Y)I;s; J.l(y) avec
égalité possible seulement si y = b i et J.l(b i) = O. Donc la transformation
(x,y) -~ (x-f(Y),y) ne bouge pas (ai,bû et ne crée pas de nouveaux points à
tangente verticale avec y au voisinage de bi. De plus, pour K suffisamment grand,
les points à tangente verticale ne deviennent pas des points d'inflexion.
Choix de N : Soit a(oo) le plus petit entier ~ 1 tel que
1
- - (-) = O<JJ.(y))
quand Iyl ~ 00
ly1a 00
33
NI
et on prend N tel que 2N - Lai - 2Nz - 3N3 - 1 ~ a(oo) .
i=1
De la sorte, on a IJ(Y)I ~ 0 quand Iyl ~ 00 et le polynôme Q(x,y) obtenu par la
transformation reste unitaire en y. On a aussi pour Iyl proche de l'infini, et quand
K suffisamment grand, IJ'(Y)I < 1J.(y) ; donc la transformation n'ajoute pas de
nouveaux points à tangente verticale pour Iyl proche de l'infini.
Choix de el : L'entier ~l est égal à 0 ou 1, et on le choisit pour que:
. si x = Cj + À(y-d)2/3+1 + O(Y-d}2/3+1 au voisinage de (cj,dj ), alors le signe de À est
opposé à celui de j'Cd}; au voisinage de (cj,dj) et pour K suffisamment grand, on
aura x-J(y) comme fonction de y avec une dérivée qui ne s'annule pas : il n'y a
plus, après transformation, de points à tangente verticale.
. si x = ek + À(y-Jk)2/3 + O(y-Jk)2/3 au voisil"lCJge de (ek,fk), alors le signe de À est
opposé à celui de j"(Jk); au voisinage de (ek,fk) et pour K suffisamment grand, on
aura x-J(y) comme fonction de y avec une dérivée qui change de signe en Jk' et
une dérivée seconde qui ne s'annule pas. Ainsi le point à tangente verticale ne
bouge pas dans la transformation, mais n'est plus point d'inflexion.
Choix de K : Il doit être suffisamment grand pour que tout se passe comme
indiqué ci-dessus pour y voisins des bi , d} ,fk et Iyl voisin de l'infini. On le prend
aussi suffisamment grand pour que
IJ'(y)1 < 1J.(y)
sur le compact de IR.
complémentaire de ces voisinages.
De cette façon, on n'ajoute pas dans la transformation de points à tangente
verticale, et on réalise (iii) en gardant (i) et (ii).
Pour (iv) : Compte tenu des conditions (i), (ii) et (iii), la condition (iv) revient à dire
qu'il n'existe pas de points (a,b) E zIRz(P) avec a '" 0 et x = a+À(y-b)2+ 0(y-b)2 sur
ZIRz(P) au voisinage de (a,b), où a et À sont de même signe:
y
y
b
-_oC
ou
)-- b
1
X
~x
a
a
34
Si on rencontre une telle situation, on va la perturber par une transformation
(x,y) ~ (x- jCy),y) pour obtenir
y
ou
b
- - 1 ' - - - - ' - - - - + X
----'---+-----+x
a
a
En préliminaire, il faut veiller à ce qu'une telle perturbation ne crée. pas de
nouveaux problèmes de l'autre côté de l'axe des y. On utilise pour cela une
transformation (x,y) ~ (x,y-cx2L+I), où cet L sont choisis pour que
Ml = min {b E IR ;::1 a ~ 0, P(a,b-ca2L+I) = 0 }
et
M 2 = max {b E IR ;::1 a ~ 0, P(a,b-ca2L+I) = 0 }
soient tous les deux finis.
Donnons-nous maintenant un point (a,b) E ZlR2(P) avec a> 0 et au voisinage
duquel on a
x = a + ÀCy-b)2 + OCy-b)2, À > O.
On peut supposer que pour tout x E IR, X;z: a
dP
dP
(x,b) E ZlR2(P) => dx (x,b) ;z: 0 et
ày (x,b) ;z: 0 et x> 0
et aussi que b> M 2.
On peut toujours se ramener à cette situation par une transformation (x,y) -~
(x,y-Ilx) avec Il > O. On choisit aussi Il pour que le nouveau polynôme soit unitaire
en x. Enfin, on peut supposer b = O.
Soient (ci,d)i=I •...•Nl les points d'intersection de zC 2(P) avec l'axe des y, et les
points de zlR 2(P) en dehors de l'axe des y, à tangente verticale, sauf (a,O).
On pose jCy) =
RCy)
où
RCy) E IR [y]
qui:
.
(1+Ky2)N
- s'annule en di' i=1, ...,N , à l'ordre cxi où, comme ci-dessus ai est le plus petit
1
35
entier~ 1 tel que ly_d.l<Xi-l = O(j.l(y)) quand y -+ d.;
l
l
- vérifie R(O) = M> sup {x E IR ; P(x,O) = 0 } ;
- vérifie R'(O) = 0 ;
- vérifie R"(O) = -1.
NI
On peut prendre R(y) de degré La +2. On choisit N tel que 2N - deg R(y) ~
i
a(oo),
i=1
où a(oo) est défini comme ci-dessus pour (iii). De la sorte, f(y) -+ 0 quand
Iyl -+ 00, et 1f'(Y) 1< 1l(Y) pour Iyl voisin à l'infini.
Fixons nous maintenant un voisinage ]-€,€[
de 0 sur lequel
M
1
"2 ~R(y)~M
et
-2~R"(y)~-2'
Avec les choix qui ont été faits, on peut prendre K suffisamment grand pour qu'en
dehors de IR x ]-€,d,
la transformation (x,y) --+ (x-f(y),y) ne fasse apparaître
aucun nouveau point à tangente verticale, laisse sur place les anciens sans les
faire devenir point d'inflexion s'ils sont en dehors de l'axe de y, et sans non plus
les faire devenir "mauvais" pour la condition (iv).
Examinons maintenant ce qui se passe pour Iyl < €.
Au voisinage de (0,0), on a sur zlR. 2(P) :
(1)
x = ° + Ày2 + 0(y2) avec À> O.
Si (e,O) est un autre point de zlR. 2(P), e ;<' 0, on a
(2)
x = e + IlY + O(y) avec Il;<, O.
d2x
On peut supposer que sur ]-[ ,d, on a dans le premier cas À~ -2 ~ 4À ,
dy
.,
IIlI
dx
et dans le deUXleme cas 2
~ 1dy 1 ~ 21111 .
Un nouveau point à tangente verticale va apparaître suite à la transformation si
:-f'(Y)=o.ona
f'(Y) =
R'(y)
2R(y)NKy = R'(y)(1+Kyl-2NKyR(Y)
(l+KylN '(1+KylN+I
(1+KylN+I
On va mener les calculs en supposant K infiniment grand positif: on passe au
1
corps réel clos des séries de Puiseux réelles algébriques en K'
1
On utilisera la valuation v sur le corps, qui vérifie v(K) = 1.
Considérons d'abord le premier cas: on a
36
dx
dy - l' (y) =yS(y) où S(y) > 0 sm ]-E ,f[
dx
M
R' (y)
1
car dY/ y ~À>O, R(y)~ 2>0 et y
~-2<0 sm ]-E,f[.
On ne voit pas apparaître de nouveau point à tangente verticale, et l'ancien (a,O)
devient (a-M,O) avec a-M < O.
d2x
Comme par ailleurs -2 (0) - 1"(0) est infiniment grand positif, puisque
dy
RH(y)
2
4NKyR'(y)
2NKR(y)
4N(N+l)K R(y)y2
1"(y) =
+
(I+ Ky1N
(1+Ky1N+l
(1+Ky1N+l
(1+Ky1N+2
R"(y)
4NKyR'(y)
2NKR(y)
2
=
+
lN+2 [(2N+l)Ky -1]
(1+Ky1N
(1+Ki)N+l
(1+Ky
d2x
En effet, -2 (0) - 1"(0) = 2À+l+2NKM > 0, le point à tangente verticale n'est pas
dy
mauvais pour la condition (iv).
dx
Considérons maintenant le deuxième cas: sur ]-E,f[, dy est du signe de Jl
tandis que f'(y) est du signe opposé à y, comme on l'a vu précédemment. Donc
:
- f' (y) ne peut s'annuler que quand y est du signe opposé à jJ..
dx
dx
Par aillems, si dy - l' (y) = 0 on doit avoir v(f' (y)) = v(d) = 0 .
Or on calcule :
1
si v(y) ~ 2' vif (y)) = inf(v(y), -1+v(y)) = -1 +v(Y)
1
si v(y) ~ 2' v(f'(y)) = inf(-I+v(y)-(N+l)(2v(y)-I),v(y)-N(2v(y)-I)) =
= -1+v(y) - (N+ lX2v(W-l).
N
On ne peut avoir v(f'(y)) = 0 que si v(y) = 1 ou si v(y) = 2N+ 1 .
dx
Donc d - 1'(y) ne peut s'annuler que deux fois au plus: une quand v(y) = 1 et
y
,
N
que y est du signe opposé àJl, l'autre quand v(y) = 2N+l et que y est du signe
opposé à Jl.
n s'annule effectivement ces deux fois, puisqu'il est du signe de Jl quand Iyl n'est
pas infiniment petit, et de signe opposé à Jl quand y est du signe opposé à Jl, avec
1
v(y) = 2'
37
Soit Yo le zéro avec v(Y1Y = 1. On a x-!(YO) infiniment voisin de e-M, donc
2
d x
strictement négatif, et - 2 - j"(Yo) infiniment grand positif.
dy
N
Soit YlIe zéro avec v(Yl) = 2N+l' on a x-!(Yl) infiniment voisin de e, donc
2
d x
strictement positif, et -2 - j"(Yl) infiniment grand négatif.
dy
Aucun de ces points à tangente verticale n'est point d'inflexion, ni mauvais
pour (iv) :
Jl<O
Y
+f-+--~---
YI
- f --I-----~'"
- Yo
Cette situation reste la même quand K, au lieu d'être infiniment grand, est
suffisamment grand.
On vient de faire baisser d'un le nombre de mauvais points, en conservant les
propriétés (i), (ii) et (iii).
En répétant l'opération, on arrive à satisfaire (iv).
Pour (v) : Soit {Cai,bi), i=l, ... ,NÜ l'ensemble des points d'intersection de Z(;2CP) avec
l'axe des Y et des points de Z(;2CP) en dehors de l'axe des y, à tangente verticale, tels
quebiE:IR ouaiE C\\:IR.
Soit {Ccj,d}, CCj,dj ), j=l,...,Nz) l'ensemble des points de Z(;2CP) avec cj E :IR*, dj E C \\:IR et
à tangente verticale (ce sont les mauvais points).
On suppose que l'on est dans la situation où P est aussi unitaire par rapport à x, et
où tous les bi et dj sont distincts.
Soit JE C \\ :IR, choisi pour que pour tout e E C tel que Ce,j) E Z(;2CP), Ce,j) est un point
dP
non singulier avec e Et: :IR et è)y Ce,j) ~ O.
On peut choisir un petit disque D dans le plan complexe de centre! dont
l'adhérence ne coupe pas l'axe réel, et des réels a, A, b tels que
38
"il xE C, "il y E D, (x,y) E zcz(P) =>
ap
ay
o < a ~ 1 ap (~) 1 ~ A
ax
0< b < IIm xl
Posons Q(y) = (y-/)(y-/) E R[y] .
NI
Nz
Nz
Choisissons N tel que 2N - La(bi) - La(d) - La(d ) - 1 ~ a(oo) où les a sont
j
i=1
j=1
j=1
définis comme pour (iii), et soit R(y) E R[y] un polynôme de degré
NI
Nz
L a(bi) + 2 L a(d ) + l, tel que:
j
i=1
j=1
· R s'annule à l'ordre a(b ) en b ;
i
i
R
R
-
R ,
-
· (-i/(d) = i, (-i/(d) = - i et (N) s'annule à l'ordre a(dj ) - 1 = a(dj ) - 1
Q
Q
Q
· R(f) = R(f) = 1.
1
On peut supposer D suffisamment petit pour que IRI ~ "2 sur D.
On effectue maintenant la transformation (x,y) ----+ (x- f(y),y) où f(y) =
R(y) N •
KQ(Y)
Avec les choix qui ont été faits, pour K suffisamment grand, on a 1f'(Y)1~ J.L(y) en
dehors de D et du disque conjugué D, avec égalité seulement si J.L(b )
i = 0 comme en
(iii).
Donc la transformation n'ajoute pas de nouveaux points à tangente verticale à
coordonnée en dehors de D et D, conserve (i), (ii), (iii) et (iv), ne bouge pas les
points à tangente vertical~ qui ne sont pas mauvais, et pousse l'abscisse des
mauvais points à tangente verticale pour qu'elle devienne non réelle.
TI y aura sûrement des points à tangente verticale ajoutés avec ordonnées
dans D et D . TI faut vérifier que leurs abscisses ne sont pas réelles.
Supposons, comme nous l'avons déjà fait, K infiniment grand positif. On
utilisera toujours la valuation v.
39
dx
Un nouveau point à tangente verticale peut apparaître quand dy - f' (y) = 0, et
ceci peut se produire seulement si v(j'(y)) = O.
1
R'(y)
NR(y)(2y-f- h
Or f' (y) = -
[-----:-:--"":"":
K
(y_f)N(y_])N
(y_f)N+l(y_h N+1 ] .
dx
1
Donc v(j'(y)) = l-(N+l)v(ly-fI) et on ne peut avoir dy - f'(Y)=O que si v(ly-fi) = N+l'
N
Mais alors v(j(y)) = 1 - N+ 1 > 0, et donc puisque f(y) est infiniment petit et
Ilm xl ~ b, x-f(y) n'est pas réel. Cette situation reste vraie si K, au lieu d'être
infiniment grand, est un réel suffisamment grand.
Maintenant terminons la démonstration du théorème 4.1 :
Soit le polynôme P(x,y) vérifiant les conditions (i) à (v). Alors P(x,y) se factorise et
s
on a P(x,y) = n(Y-clx)) où Clx) sont des séries de Puiseux complexes algébriques
J=l
sur IR. [x] . En regroupant les séries de Puiseux de même branche analytique ou de
r
branches analytiques conjuguées, on écrit P(x,y) = u(x,y) III/I/x,y) où u(x,y) est un
}=1
élément inversible et I/IjCx,y) des polynômes en y à coefficients des fonctions de
Nash en x avec 1/I)(O,b} = °pour un b) racine réelle de P(O,y) = O. De plus, chaque 1/1)
est analytiquement irréductible (germe en (O,b i)).
Du fait des conditions (ii) à (v), on peut regrouper 1/1) et I/Ik ayant une tangente
verticale commune au point d'abscisse a telle que C) et Ck ne se prolongent pas au
delà de a, mais les coefficients de (y- Ck(x))(y- CjCx)) se prolongent au delà de a.
q
Donc P(x,y) s'écrit P(x,y) = u(x,y) n<p/x,y) où <Pl est une fonction de Nash globale
J=l
correspondant à une composante analytique de P(x,y).
D'après le chapitre précédent, on a comme conséquences dans le plan:
Corollaire 4.3. Soit (D.)iE! un recouvrement fini de IR. 2. Soient les applications de
restriction Pi: X[D.] -+ X[D. i] ; ai): X[D. i] -+ X[D. i (1 D.jJ et a)i: X[D.) -+ X[D. i (1 D.l
2
Alors ~ Spec X[D.i (1 D.) ==::;. IJ Spec X[D. i] ~ Spec X[IR.] est un conoyau.
1,)
1
40
Corollaire 4.4.
a) Tout faisceau d'idéaux de Jf]R2 semi-algébriquement localement de type fini
est A-cohérent.
b) Le foncteur de la "section globale" r est exact dans la catégorie des
faisceaux de Nash A-cohérents.
Corollaire 4.5. Soit.1 un faisceau d'idéaux de Jf]R2 semi-algébriquement
localement de type fini, g une section globale de Jf]R2/.1.
Alors on peut relever g en une fonction de Nash f E Jf[lR 2] .
41
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ilU :
~e ?~ésiden: ~e la ~~ése
vu
et
APPROUVE
RENNES, le
$_ T- 9 0
Le Directeur de l'U••• R.
vu pour autorisation de soutenance
RENNES, le
Le ~ésident de l'Universi:é de ~S I,
J.C. EiARDOUIN
Résumé
Dans ce travail, on s'intéresse à des propriétés de nature cohomologique des
fonctions régulières et des fonctions de Nash sur une variété algébrique réelle. On
donne quelques contre:..exemples concernant ·les fonctions régulièrei. On memtre
que l'image du Hl à coefficients dans le faisceau dèl fonctions ré~ière& dans le
Hl à coefficients dans le'faisceau defondi<ms de Nash est nulle. On- ~te:p.dceet. au
cas multiplicatif (par leS1fibrés vectoriels).
On établit l'équivalence' de problèmes ouverts concernant lesfonctiolls de
Nash : le problème de la sé~aration des composantes analytiques par les fonctions
de Nash, et le problème de savoir si un faisceau cohérent d'idéaux de fonctions de
Nash est engendré par ses sections globales, et si une' section globale!du faisèea\\l
quotient se relève en une fonction de'Nash. On donne une preuve complèt~'duefait
(annoncé par Efroymson) que ces problèmes ont une réponse affirmàtive:dails 'le
cas du plan.
Mots-clés
cohomologie 'de faisceaux cohérents
fonctions régulières
fonctions de Nash.