THtSE
DE
~~ME CYCLE
AL'lJNIVERsnt DE DAKAP POUR L'nJ:lTENTION DU GRADE.,
DE
DOCTEUR
EN
MAT~tMATIQUES
MEtlTION
~~TH~MATIQUES
APPLIQU~ES
"
~\\ :,,~ l ' .
•
;1
• . . • . "
, '
PAR
),
.
. . ~ .......
MARY TEUW
NJANE
"ApPROXIMATION POLytDRALE D'UNE FONCTION CONVEXE
S.C.I. APPLICATION AL'OPTIMISATION VECTORIELLE-
.
,
---....'~, ~\\ ,:~' ~: ",
DEVANT :Df~ISSION D'EXAMEN
MMM. S. NIANG
Président
C. BADJI
A. COSTE
E. FEDIDA
l Examinateurs
H. SEYDI
D.S. THIAM
J~
-_
=~ '~1;-~
.. _.-
,
-

---

A ma
m~lte
8Tr.UE
SOW
"
y~ ••••• Celle qui .'~lance n l'appel de me. peine.
Celle Qui ~'appelle Arnoult de. autlte.
Celle qui .'il.lumine au bonheult rl'un en6a.nt
C'e~t toi, maman
"
Vl1vid VIOP

---

Pno~e~~eun Sakh,[n
rH1AM qu,[ lt b,[en voulu m'accepten dan~
~on gnoupe de mathêmat,[que~ de la d~c,[~,[on. Il a d,[n,[g~
ce tnava,[! avec beaucoup de comp~lhen~,[on et m'a 6a.-i.t
pno6,[të pM ~U cOtt~e.Le.~ de ~a gnande compUence.
Je nemenc,[e mon~,[eun le Voqen Souleymane NIANG
d'avo,[n b,[en voulu pné~'[den le Jun~.
Je nemenc,[e Me~~,[eun~ le~ Pno6e~~eun~ SAPJl,
COSrE, FEVIVA et SEYPI d'avo,[n b,[en voulu accepten de
6a.,[ne pant,[e du Juny.
Je nemenc,[e, également, mon~,[eun Maquette
r~IAM dont le~ 2ncouna~ement~ et con~e'[l~ ne m'ont
jamaü 6a'[t dé~(l/{t.
Je nemenc,[e tou~ le~ membne~ du gnoupe de mathé-
mat,[que~ de la déc,[~,[on,poun l'amb,[ance ,[ntellectuelle
6~conde et le cl,[mat am,[cal,dan~ te~quel~ j'a,[ pû menen
a bout ce tnava'[l.
Je nemenc,[e le camanade Amath PA~SOKHO poun
l',[nt~nêt qu',[l n'a ce~~é de ponten a ce tnava'[l.
PIT-S
et d~ l'UJrAN poun leu.n~ encounagement~.
En6,[n, je nem~Jr.c,[e madame Pelaado et ,"on~,[eun Seck
pouJ!. le ,o,[n qu''[l' ont apponté n la dactylognaph,[e et a
0:«:
,t~'"
la mult,[gnaph,[e de ~e tnava'[l.

---

TABLE
DES
MATI~RES
00000
Pages
INTRODUCTION
Partie 1
3
§
NotatIons et définitIons
3
§ 2
Minima de Parêto
4
§ 3
Ensembles polyèdraux
caractér 1sat-Jon
de la borne Inférieure d'un ensemble
polyèdral.
9
PartIe
Il
13
§
Fonctions convexes vectoriel les
13
§ 2
FonctIons s.c.i. vectortèlles
16
§ 3
Fonctions polyèdrales vectorielles
16
§ 4
Borne inférieure d'une fonction
polyèdrale vectorielle.
18
§(S
Multi~llcateurs de Kuhnet Tucker d'un
programme de Paréto polyèdral.
21
Partie III
26
§
Convergence au sens des épigraphes
26
§ 2
Approximation polyèdrale de fonctions
convexes s.c.l. propres.
31
Partie IV
39
§
Conjuguée d'une fonction vectoriel le
39
§ 2
Théorème de Fenchel dans
le cas réel
41
§ 3
Théorème de Fenche 1 généra Il sé
42
... / ...

---

Partie V
54
§ 1
Conditions nécessaires et suffisantes
d'existence de minima de Paréto d'une
k
partie
F
de
IR
vérifiant la pro-
55
§ 2
Condttions suffisantes d'existence de
m!nlmas de Paréto pour une fonction
convexe s.c.i. propre.
59
Conclusion
62
Bibi iographie
63
....
- -
. __ .-.~-

---

l N T R 0 DUC T ION
L'étude des minima
de Paréto revêt une grande
importanŒe en économie mathématique; puisque l'optimi-
sation simultanée de plusieurs fonctions-objectifs ou
~
crit~ n'a pas en général de solution. On est donc
ramené, a chercher des valeurs des critères telles que
ces derni~res ne prennent
~ucune autre valeur"plus petite",
c'est-a-dire des minima
de Paréto des fonctions objectifs.
Nous partons, dans ce travail, d'une idée du
Professeur D.S. THIAM, consistant à approcher les fonctions
convexes vectorielles par des fonctions polyèdrales. La
notion de convergence des ensembles introduite par Kuratowski
et développée pour les fonctions, par Wijsman, a été l'outil
utilisé pour l'obtention des théorèmes d'approximation.
Cette méthode d'étud~ des minima
de Paréto des
fon~Tio~s convexes s.c.i. vectorielle~ permet de se ramener
... / ...

---

--
2 -
3 l'étude des minima
de Paréto de fonctions polyèdrales
vectorielles donc à un proeramme de type proRrammation
linéaire. Ainsi, cette méthode se prête-t-elle bien à une
résolution numérique.
Le travail est composé comme suit. Dans la première
partie, nous caractérisons les minima
de Paréto d'un ensem-
ble poly~dral quelconque (proposition 1.10.).
La seconde partie est ~onsacrée à l'étude des fonc-
tions polyèdrales vectorielles, à la caractérisation de
leurs minima de Paréto (proposition II.17) et à l'établis-
sement d'une formule de type Kuhn et Tucker (théorème II.18).
Dans la troisième partie, nous étudions les proprié-
tés de la convergence au sens des ensembles, de parties
convexes fermées et nous en déduisons un théorème d'approxi-
mation des fonctions convexes s.c.i. vectorielles par des
fonctions poly~drales convexes (proposition 111.26).
Dans la quatrième partie, nous utilisons l'existence
d'une approximation polyèdrale pour les fonctions convexes
s.c.i. propres pour démontrer le théorème de Fenchel généra-
lisé proposé par C. Gros dans
[3 ]
.
La cinqui~mè partie rassemble une étude des minima
de Paréto d'ensembles convexes fermées non vides
à cOnes
.
",k
asymtotlques contenant ~+
, mis en ~vidence (ans la première
partie et deux conditions suffisantes d'existence de :ninima
de Parfto de fonctions convexes vectorielles généralisant
des résultats obtenus dans le cas scalaire.

---

PARTIE
-I
MINIMA DE PARETO ET ENSEMBLES POLYEDRAUX
1. Notations et définitions
Nous rappelons dans ce paragraphe,
les notatIons et
défInItions, utIlIsées dans la suIte de ce travaIl. Nous adop-
tons les notatIons de l'artIcle de
C. Gros
[ 3 J .
SoIent
x
et
y
deux éléments de
avec
(Yl
, ••• , Y )
nous écrIvons
k
x ~
y
sI
xl €
YI
pour tout
e { l , •.• , k}
x <
y
sI
x
<
y
et Il exIste un IndIce
1
=
0
tel que
xI
<
YI
0
0
x <
y
sI
xl <
YI
pour tout
€
{ l , ... , k}
x.i y
sIon n'a pas
x ~ y
... / ..

---

-
4 -
b) NotatIons
On note
les ensembles suIvants:
..
k
0
{
a e IR
1 a
> 0 }
c'est le seml-orthant posItif
+
e
..
k
{
a e IR
1 0
> a l
c'est le seml-orthant négatIf.
-
On a
0
'"
-0
-
+
sr
k
A
est une partIe nonvvlde de
IR
, on pose
et
A
A + 0
Les ensembles
0..
et
o
sont convexes.
sr
A
est un convexe alors
A+
et
A-
sont convexes.
2. Minima de Paréto
- DéfInItIons
k
SoIt
A
une partIe non vIde de
IR
•
Un élément
b
de
IR k
est dIt majorant de
A,
sI pour
tout
a 6 A, on a
b
.1 a •
Un élément
c
de
k
IR
est dIt mInorant de
A, sI
pour
tout
a 6 A, on a
a
.1 c •
On note
f~(A)
l'ensemble des majorants de
A
et
m(A)
l'ensemble des mInorants de
A.
... / ...

---

-
5 -
- Exemples
1) Soit
A ={(x,y)
2
2
2
S
IR
/
x
+ y
,
l}
f· lj.
,
-" i
-----
---
---'
--~---
et
0' y ,
1 }
---- ---- --------)-X
Proposition I.l
M(A) est le complémentaire de
A
dans
JRK.
m(A) est le complémentaire de
A+
dans
JRK..
Montrons par exemple la promlère égalité.
b S M(A)
équIvaut à pour tout
a S A
et pour tout
À e 0
on a
a + À ~ b , soit
b
est un élément du com-
plémentalre de
A-.
... / ...

---

- 6 -
fl'oposition I.2
Soit
A
une partie non v1:de de III
on a
-A+ = (-A)
et
M(A)
= -mf-A).
Preuve
------
On a
(-A)
'"
-A + El
soit (-A)
-(A
+
El
)
+
-
d'où
+
(-A)
'" -A 0
SoIt
b 8 M(A) alors pou r tout
a 8 A
et À €
El + on
a
b t a - À soIt
-b + -a + À donc
-b ~ (-A)+
d'où
b 8 -m(-A)
et réciproquement
b)
§~r~~_2~e~rl~~r~_~!_1~i~rl~~r~_2~~~~_2~r!1~_D~D_Y!2~
k
de
IR
~~_2~D.2_2~_~~r~!~
S 1 A est une par t 1e de
IR k,
1a no t a t Ion
A
dés , 9 ne
k
l'adhérence cie
,\\,
pour ia topologie usuelle de
IR
- Borne Inférieure de
A:
A
é tan t
une par t 1e non v 1de de
IR k,
no usa p pel 0 ns b0 r ne
InférIeure de
A
au sens de Paréto,
l'ensemble noté
INF(A) et
défIni
par
- Borne sueérieure de
A
k
Soit A une partie non vide de IR
, nous appelons borne
supérieure de
A
au sens de Paréto,
l'ensemble noté
SUP(A)
et défini
par
SUP(A)"
A
o .
of 000

---

- 7 -
'1 t
''\\
\\
.1
(
j
!
.. __..L._....
~
.'_.
". .
Sur cette fIgure
INF(A)
est
représentée en couleur
2
foncée
;
est
la
borne
inférIeure pour
l'ordre naturel
de
IR
•
INF(A)
= - SUPt-A)
- t
En effet
INF(Al
-;+ Il (-m(-;+') ]
- [ (-Al-r....\\M(-Al.;.)]
d'après
la
propositIon
1.2.
Soit
INF(Al
= -SUPt-Al.
Ainsi
dans
la suite de ce travail,
nous n'êtudlerons
que
INF(Al.
Proposi tion I,3 (Propri~t~ de saturation) •
Soient
A
et
B
deux parties non vides de
JJl te lles
,-
que
A C.B
A+
!,.~-~.--
alors on a
INF(A) =
INF(B).
D'abord,
montrons que
On a
l'Inclusion triviale suivante
A.. ·•
... / ...

---

-
8 -
-
+
Maintenant soit
a. €
'(A+)', ,
Il
exIste une suite
-
+
d'éléments
(z) de
(A+)
te Ile que
Iim
z
= a.
n
n
ClO
n +
+
z
s'écrit
z
avec
S A
et
À
Y
e e
n
n
n
n
+
POlJr tout
n €
IN
Il
existe
a
8
A
et
V
e e
n
n
+
Coro LLai l'e 1.4
Soit A
une partie non vide de
on a
INP(A) = INF(A) = INF(A+)
Preuve
------
r~ous avons
on appl 'que la proposition
précédente.
Proposi tion I.5
A
est une parti e non vide de
III
. Si nIF(A) est non
vide alors
INF(A) = A n '1'1 ( A+) .
Preuve
------
Comme
p::- C A+
a lors
A 1\\ rd A+)
l - I NF( A).
... / ...

---

-
9 -
Soit
d'où pour t~ut
a B A+
pour tout
v €
(;)
on a
a + a + V
+
SoIent
(a)
une suite d'éléments de
A,
( v )
une suite
n
n
d'éléments de
El
telles que
(a
+ v)
adme~te une
limite.
+
n
n
Soit
v un élément de
e
On a
+
a + Iim
( a
+ V
+ V )
n
n
n ++ 00
Donc pour tout
a
€
A
et
~n S e
tels que
n
+
.
1lm
(a
+
~n )
Cl
, 11 n'exIste pas un élément ~ de
e
n
+
n ++ lX>
tel que
..
à
pa rt 1 r d'un certain ra ng
~n > ~
d'où
Ilm
~n
O.
-
n+ +lX>
On en déduit que
(a )
converge
et
r lm
a
ai
soit
a €
A
n
n
n+ + lX>
c) Q~c~~_l~fé~~~C~_~~~~e~~~D
n
Soit
f
une application de
lR
;. IR k
, on appelle
borne Inférieure de
f
au sens de Paréto (respectivement borne
supérieure de
f),
l'ensemble noté
INF(f)
(resp. SUP(f»
et
défini
par
INF(f) • lNF {f(x) / x B [Rn}
(resp. SUP(f) .. { f(x) / x €
IR n })
2. Ensembles polyèdraux : caractérisation de la borne inférieure
d'un ensemble polyèdral
- Définition
k
Un sous-ensemble
P
de
IR
est dit polyèdral s'II existe
un nombre fIn!
d'éléments
(cI' dl)
de
IRk,~{O} X IR
avec
1 ..
1, ••• ,
s
tels que:
P ..
{
y €
rR k
1 ..
l, ••• ,n}
•
.../ ...

---

10 -
Irf -. dés i 9 ne
1e dUal t
de
IR k
Nous énonçons
les propositions suiventes dont nous aurons
besoIn par
la
suIte
(voir
L9J Stoer-Wltzgall, chap. 2>'
.Pl'oposi ti on I. 6
Un ensemble polyèdl'al est aonvexe et fel'm~.
Pl'oposition I.7
Soit
P
un ensemble polyèdl'al de
:Jll •
L
une appliaation affine de
JRk
dans
JRs
et
T
une appliaation affine de
JRh
dans
JRk
alol's
L(P)
et
T-l(P}
sont des ensembles polyèdl'aux.
Pl'oposi tion I. 8
Un ensemble
P
est polyèdral si et seulement si i l existe
un nombre fini de points
xl ...... " X
de
P
et
des ~Uments
s
v
........ v
de
JRk
te ls que
s+l
r
r
s
À.x.
+
L
~.V.
/
À.
)
o ,
~.
)
0
et
l
À.
= 1 }
"l-"l-
i=s+l"l-"l-
"l-
"l-
i=l
"l-
Proposi tion I. 9
Si
P
et
Q
sont des ensembles poly~draux alors
P + Q
est un ensemble polyèdral.
b)
Ç~~~s!~rl~~!19~_.2~_1~_29~~~_1~f~rl~~r~_11~fl_g:~~_~~~~~21~
!2~1:r:~2r21
Théorème I.10
Soit
P
un ensemble polyèdral non vide de
JRk.
Si INF(P}
est non vide, on a :
un élément
appartient à
INF(P}
si et seulement si
... / ...

---

-
11
-
(i)
iZ exi ste
a e :!ll
teZ que
a < a
(ii)
IJ.
e p
(iii)
t
t
aa ~
aa
pou!' tout
a e p
Les conditions sont suffIsantes
Soit
yB
p+
l
,.
(a
+ v )
a ors
y =
avec
a
€
P
1
1 m
n
n
n
n++ CD
et
v
G 0
n
+
t
t
t
t
,
0' après
(iii)
t
(
ca
ca
donc
ca
ca
+
cv
n
n
n
t ca , t
d'où
cy
Comme
0
< c ,
on
n'a pas
y
<
a
donc
a 6 m(P+)
or
aB P
d'après
(i)
d'où
a 8
P"f, m(P+), salt a €
INF(P
selon
la proposition 1.5.
Les condlnons sont nécessaIres
en effet
k
P +
IR +
or
P
et
p+
sont contenus da ns
p+
d'où
k
P + IR
p+
1
+
Comme
p+ (.~~
k
P +
IR
on a
+
p+
P + IR k
+
k
or
P
et
IR
sont polyèdraux donc d'après
la
+
proposition
1.6 .
est fermé,
soIt
Do nc
P +
IR k
= P +
+
... / ...

---

-
12 -
Comme
p.
est polyédral, on a
p. "
[y 1 c.y ;) d.
j " ,
, ... , r }
avec
J
J
d j
8
IR
et
o < c
pou r-
j
j
1
• • •
,
r
Soit
a 6 lNF(P)
et
{
est non vide puisque
a
n'appartient pas à
l'intérieur
Supposons que toutes
les composantes d'Indice
k
de
cl'
o
pou r toui
i
6 1,
sont nu Iles.
Comme pou r tout
n'appartenant
pas à
1 ,
c.a > dl' si
1
,
k
i
2
e
" t ê 1
8
, ... ,
ô 0
, ...
où
Ô.
désigne
k
'.. k
k
k
8: )
J
0
0
0
0
0 ..
le symbol,~ de Kronecker, alors
Il
existe
t
> 0
te 1 que
o
donc
a
n'appartient pas à
m(P·)
donc
les composantes des
c.
pour
6
1
ne peuvent être tous
1
nuls en même temps.
sr
L
on
pose
C
"
c.
alors on a
i 81
1
0
<
c
soit
(i)
t
t
Soit
6
Y
P
cy
L
t
)
c,Y
L
d,
ca
i 61
8
1
t
d'ail
cy
;::
t ca
d'où
(iii)
CO~ITie
a 8 INF(P)
alors
a 6 P
P
soit
(
i i )
Ce qui achève
la preuve.

---

PARTIE
II
MINIMA DE PARETO DE 1"ONCTIONS POLYEDRALES VECTORIELLES
L'ensemble
dés i 9 ne l ' e nsem b 1e
IR k
auquel, on
a adjoint
les deux éléments
+
œ
et
- 00
qui
vérifIent :
k
pour tout
x 8
IR
x < + 00
- 00 < )(
_
00
X
+ 00=
+
00
X
+
( -
<0
+
00
+
( - 00)
(- 00)
+
00
+ 00
1. Fonctions convexes vectorielles
a)
Définitions
-----------
Soit
______ >
Rk
f
f
est dite convexe si:
pour tous x,y
éléments de
IR n , a., r:.
éléments positIfs de
IR
tels que
0:
+
6 = 1 ; on a
f ( a.x + By)
<
c:d(x)
+
Bf(y).
... / ...

---

-
14
-
Soielnt
f,
, ... ,
f
des fonctions convexes propres de
k
dans
~; soit
f
la fonction
défrnie par
si
< + 00
pour
1 = 1, ••• ,k
et
flx).
+ 00
s'i 1 existe
i
tel
que f,
Ix)=+
o
00
o
La fonction
f
ainsi
définie est convexe.
k
Si
f
est une fonction de
dans
IR
nous déf i-
nissons
les ensembles suivants:
-
Domaine de
f :
Nous élppellerons domaIne de
f
et
nous noterons
dom f
l'e ns em b 1e
dom f
={ x 8 IR n
/
f 1x)
< + oo}
- ~pigraphe de
f
: Nous désignerons par épigraphe de f
'ensemble noté
épilf)
et défini
par
épilf)
= { lx,
À)
x
IR k
/
f 1x) ~ À }
- Hypographe de
f
est
l'ensemble noté
hypolf)
et
défini
par
hypolf)
{ 1x,
À)
8
IR n
x
IR k
/
À ~ f 1x ) }
-
Définition
n
Nous dirons qu'une fonction
f
:
IR
-----> ~
est con-
n
cave si
pour tous
x
et
y
éléments de
IR
, pou r" tous
ct, S
éléments de
IR
tels que
ct
+ S = 1
on a
+
ctf(x)
+
Sf< y)
<
f 1 ctX
+
By)
=
Une fonction convexe
f
Iresp. concave) est dite propre
n
si
pour tout
x 8
IR
- 0 0
<flx)
(resp.
f(x)
<
+ 00
et
n
il existe
e rR
te 1 que
f (x
)
< + 00
(resD.
-
00
<f(x
))
o
o
... / ...

---

-
15 -
b) Proposition II.11
Soi t
f
JRn
JRk
4'
:
~.
;
est convexe
(re 8p i
aonaaôe)
J
si et seu lement
si ~pi( f)
(re sp.
hypo(f})
est un en semble aonvexe.
Preuve
------
On fait
la p reuv e pour
f
convexe.
Supposons que
f
soit
convexe.
Soient
(x,À )
et
(y, ]..l )
di3S
éléments de
épi ( f )
a,S
des réels
positIfs tels
que
a+ S = 1
Nous avons
f( ax + Sy) <
af(x)
+
Sf(y)
or
et
f(y) ~ ]..l
soit
f(ax
+ Sy) < aÀ+ S]..l.
donc
(
(lX
+
By,
rû
+ B]..l
) 6 épi (f)
soit
C«x,À
) +
B(y, À)
6 épi (f)
Réciproquement supposons que
épi (f)
soit
convexe.
Soient
x,y
éléments de
, a
,
6 ) 0
et
a
+
S = 1
; s i
l'un des éléments
f(x)
et
f(y)
vaut
+ 00
alors nous avons
f ( ax
+
By )
<
af(x)
+
Sf(y)
Sin 0 n,
soi en t a , b 8
IR k
tels que
f(x)
~
a
et
f(y) <
b
alors
ax +
By,
aa + Sb) 6
épi(f)
d'où
f ( ax
+
Sy)
<
a
a + S b
faisons tendre
=
respectivem8nt
a
et
b
vers
f(x)
et
f(y)
,
nous obtenons
f( ax + Sy) ~
af(x)
+
Sf(y)
... / ...

---

-
16 -
2. Fonctions semi-continues inférieurement (s.c.i.)
a)
Définition
----------
Une fonction
f
est dfte s.c.l.
si
pour
k
tout
À
S
IR
est
u n 0 u ver t
dan s
IR n •
-
Remarque
tn
(jasant
+
00
= (+ 00 ,
+
00
, " "
+ ( 0 )
et
-
00
=(- 00, ••• ,_
(0)
cette
définition
équivaut à chacune
des compo-
santes de
f
est
s . t . l .
b)
Cette
remarque permet
de passer
des propriétés
des
fonc-
n
t ion s
s • c • i.
d e
IR n
dans
~
aux
fonctions
s.c.i
de
IR
k
dans
IR -.
~Jous énonçons la proposition suivante
Ppoposition II.12
Soit
f
une fonctioY! de
]Rn
à valeurs dans
-;;;< ; les
propositions suivantes sont équivalentes
( i )
f
est
s.c.L
({i)
évi (f)
est feprrté
n
(iii)
Poup toute suite
(x)
d'éléments de
IR
telZe
n
que
Définition
Une
fonction
est
dite s.c.s.
(seml~contrnue supérieurement)
si
(-f)
est s.c.l.
')
Fonctions poly~drales vectorielles
a)
Définition
--------_._-
Sol t
f
:
IR n
> IR k
une
fonction.
On
dit que
f
est
polyèdrale
vectoriel 1", convexe
(resp.
cone~ve) si
ép i (f )
(resp.
h Y po ( f ) )
est une n sem b 1e pol Yè d rai.
. .. / ...

---

- '7 -
-Remarque
Une
fonction
polyèdrale convexe est s.c.i.
Une
fonction
polyèdrale concave est s.c.s.
Proposition II.13
n
Une fontion
f
de
IR
à vaZeurs dans
~ est poZy~draZe
veatorieZZe convexe si ahacune de ses aomposantes est poZy~draZe
aonvexe de
]Rn
dans ffi
.
Preuve
Soient
X,
, . . . ,
X l ' " ' '
X
k
coptes
de
IR
et
k
f 1
l 'appl ication coordonnée
n 2
i
de
f
avec
f
:
IR n ------;>
XI
k
n
r~ 0 ton s
TI n" x X.
1a pro j e c t Ion de
I~n x IR
sur
IR
x XI
;
nous
1
a von s
II IR n x Xi
[ é p 1 ( f ~ = épi ( fi)
En effet soit
(x'YI)
E
TT
n
[éP!<fil
IR
x
XI
:J
alors
Il
existe
(x,y)
E épi (f)
avec
Comme
1 i ème
composante
de
y
•
Comme
f( x)
< y
alors
f. (x)
< YI
sort
(x, Yi)
E ép 1 (f 1 ) .
1
=
Réciproquement 50 r·t
(x, YI)
E ép 1 ( fi)
posons
yj
f. (x)
J
pour j
+ i
ot
j
=
1
k
,
nous avons
,
•
0
•
,
f (x)
<
Y
et
(x, y)
d ' 0 ù
( x , Yi)
E
JI IR n x X 1 [é p i ( f ) ]
n
k
n
Comme
IR
x
IR
---~) IR x XI
JI IR n x XI
est
linéaire alors d'aDrès
la
proposition
1.7.
TIIRn
x l [ é P I ( f ) ]
x
est polyèdri1l,
donc
épi(f
)
est un ensemble polyèdral
soit
ft
i
... 1 ...

---

- '8 -
n
est une fonction
polyèdrale de
IR
dans
ïR
Remarque
Nous avons un résultat analogue pour
les fonctions polyÀ-
draies concaves.
Coro Haire II. 14
f
est une fonction
polyèdrale convexe de
mn
dans
-;;;r<
iJ~
D
et seulement s-i i l existe un enfJemble polyédral
de mn
tel
que
les fonctions
composantes de
f
s'écrivent :
f·("~)
b.
d.
e -1
7,
=
max
x +
x
!
l'
1 ' j ,k
1- •
1.- •
J
J
r'
f. (x)
= + co
x t
1 1
• 1-
,J
nli
aVec
b.
e JR
et
d.
e m
1- •
1- •
J
J
Preuve
Cette proposition découle de
la proposition
Il.13 et de
l
'éga 1 ité
éD i Cf. )
•
1
4. Borne infgrieure d'une fonction Doly~drale vectorielle convexe
Lorsque
f
est une fonction convexe
(resp. concave)
pro-
k
pre à valeurs dans
IR, on définit
la borne
inférieure de
f
(resp.
la borne supérieure)
par
INF(f)
= INF {f(x) 1 x 6 dom f }
(resp.
SUP(f)
=
SUP
{f(x) 1 x 6 dom f }).
Proposition II.15
Soit
f
une
fonction polyè~~ale vectorielle convexe propre
(resp.
~oncaVe propre), si
INP(f)
(resn.
SUP(f))
est non vide
alors
f
atteint tout point de
l'i/F(f}
(resp.
SUP(f)).
.. '/'"

---

-
19 -
Preuve
Nous
faisons
la preuve Dour
f
polyèdrale convexe propre.
Posons
F ~
:
f (x)
/
x
8 dom
f
}
on a
En off.:Jt
F+ C:.. lT1Rk
(épi
f )
;
comme
épi
f
est un ensem-
b 1e pol Yè d rai
con v ex e 1
11 IR k
( épi
f)
est a u s s i
pol Yè d rai
don c fer-
mé d' 0 )'
+
Comme
F
F
\\..J
on
a
II IR k
( épi
f)
d'où
l'égalité annoncée.
Or
II IR k
( é D i f )
=
donc
Soit
("( €
INF(f)
alors
Cl
=f(x)
+
'J
avec
0 <: 'J
donc
\\J
=
0
d'oll
Cl
~f(x). Ce qui achève la preuvG.
Proposition II.1B
Soit
f
une fonction DoZyèdrale vectorielle convexe
(resp.
concave)
pronre,
si
INF(f)
(resp.
SUP(f))
est non vide
alors on a
k
p+ = INP(f) + IR
(resp.
P
=SUP(fJ + ]Fl )
+
Preuve
------
Soit
f
une
fonction
polyèdrale alors d'après
la preuve
de
la
proposition
précéd8nte on a
+
+
F
II IR k
(ép i
f)
;
donc
F
est un convexe polyèdral.
t
Ecrivons
F+
f
/
)
1
0 , • • • 1 h
}
Y
c.
y
Cl.
avec
1
J
J
k
c. 8
IR
0t
0
~
c.
pour
= 0 , •• '1 h
J
.J
t
Posons
H.
{
Y /
}
0" • • • , h
c,l
y
a.
pour
1
1
.../...

---

-
20 -
C::.l1me
iNF(f)
e~t non vide,
Il
existe un9 partie
de
{l, ••• ,h
} telle que
o
<
(1),
d'après
la pro-
positron
1.10
Soit
y 6 F+
si
y 6
INF(f)
le p~oblème est résolu.
Sinon
il
('JX i ste
t
> 0
et
i
6
{l, . . . , k }
te': s que
o
o
sort un élément do
Yo
y - t
e
0
10
SI
0
< c
alors
Y 6
INF(f),
sinon
d'après (1)
11
0
o
existe
h
6
{l, .•• , h }
i 1 8
{l, ••. , k}
et
t 1 >
0
tels
1
que
H
( \\
F+
comme
est frni
o
cette procédure est finie
et
r tl Hr n
J'
l 1=0
est constitué d'éléments de
INF(f), donc
y
est un
élément de
INF(f)
+
k
IR +
Proposition II.l?
Soit
f
une fonction roly~drale vectorielle convexe propre
de
JRn
J valeurs dans
;
Ct
appa1'tien t
à
INNf)
si et seu-
lement si
il existe
X G dom f
tels que
( i )
Ct
= ,f{x)
(1:i)
0 < c
(iii)
t c f(x) = inf
t c f(x)
x G dom .f
Preuve
C0tte propositIon découle des propositIons
1.\\0,
Il.15
Gt
Il. Î 6.
... / ...

---

-
21
-
S.Multiplicateurs de Kuhn et Tucker d'un urogramme polyèdral
de Paréto
Soit
f
la fonction de
dans
défInie par
f (x 1
max
+
d
1 J.
1 •
~j 1>-'1
J
1 (1 , k
si
A.X
1>
c.
pour
1, ••• , r
1
1
et
A.X = c.
pour
1 = r+1, .•.• s
•
r
1
f(xl
=
+ 00
51
X
ne satisfait pas aux conditions précédentes.
Les éléments
B.
et
sont des matrIces
1 ignes
avec
1 •
J
n colonnes
X
est
1a mat r 1cee 0 Ion ne d u v e c t e u r
x
d e
IR n e t
sont des réels.
fJous considérons
le programme de Paréto polyèdral
suIvant
INF f(xl
(1
(Sl
j x 6 dom f
-
Q
On
dit que
x
est une solutIon de
( ..,)
1
sr
x 6 dom f
et
f(~l €
INF ffxl.
-
Condition de qualification
Nous s.pposons qutl 1 existe
te 1 que
c.
pour
1 , ••• ,
r
1
(CQ)
A.
x
pour
i = r+1, ••. ,s
1
0
est
libre .
. . . 1 ...

---

-
22 -
T7do'1'ème II. lB
Si
la condition de qualification
(CQ)
est satisfaite ;
n
un point
:- e IR
est solution de
fj)) si et seulement si il
existe
> 0
> 0
Pl ~ 0 , ••• ,
Pp ~ 0
et
réels tete que
(I)
Pour tout
(j1,···,J
]
k ) e [l,v;} )( ••• x [l, v k
k
l'
S
l
n· B.
+
l
p. A.
+
l
~ Ai = a
1-
1.- •
7,
1.-
3.[_
i=l
i=l
i=p+1
(II)
Pour tout
i
e { 1,-,'1' }
C.)
= 0
1.-
D'après
la proposition
Il.17,
les éléMents
a
8
INF(f)
sont de
1a forme
a = f(x).
Ai ns I l e théorème
Il.19
permet
d'a b t e n i r t ') U s i e s É: é men t s d e i ~J F ( f ) •
Preuve
D'après P.I 1.17
un3 condition nécessaire et suffisante
i»)
pour que
x soit solution de
est qu'il
existe
n 1 > 0,-, n
>
tels que
k
0
nf <X)
min
avec
n
x 8 dom f
• • • /
• • • l

---

-
23 -
k
on
a
nf ex)
l n·
max
(B
. X + d. .
i = 1
t;
j'Vi
IJ
IJ
1
r r,
l
r:Jax
1
L
Li s1
e j 1 ' ••• , j k ) 8
Q, V 1 ] ••• Q , v ]
k
pour
( C.
l = l , - , r
1
A.X
i=r+',-,r.
1
Les
f~ypothf.:ses de quallfica"'ion étant satisfaites, comme
x
--> nfex)
est convexe
nfex)=
mrn
nfex)
si
et
x8domf
seulement
si
il
existe dr,s multiplicateurs
de
Kuhn
et Tucker,
P,
:;} a
,-,
Il
:;}
réels
tels
que
si
r
0
et
r
s
L(x,p,q)
nfex)
+
l
PI
ell,.x -
Cr)
+
L
qjeAiX -
Cl)
i='
1
l=r+l
on a
( 1 )
L(x,p,q)
inf
L(x,p,q)
(II)
P •• (A.X
-
C.)
=
0
pou r
',-,
r
1
1
1
Î
X + n.d,.)+
L p.(A1X - Ct)
i ~
L(x,p,q)
max
(n.8
-
[
r
= 1
1
JI
1
1 Jr
! .1
1
s
•
- .. / ...

---

-
24 -
r
5
Ux,p,q) •
max
[
( ; ; 1
r B ..
+
L PiA i +
l
q i Ai) X
1 Ji
i = 1
i = r+ 1
k
r
5
+
L !
L
d r jl -
q i CI
-
L
qrCI
f = 1
1 = 1
r = r + 1
J
or
lnf
Ux,p,q)
est frni
si
et seulement 51
pour tout
k
r
5
on a
L 11. Br'
o
+
l
rrAj
+
L qlA
f
J.
I
i = 1
1
i =1
r =r+ 1
n
en
effet 51
pour
( j 1 ,
, j k) €
~ ,vJ x... x~,vJ et x € IR
0
k
r
s
on
a
'>~ = ( L n. 8 ..
+
L piA
+
L
q . A. )
X
<
0
0
1
1 Ji
i
1
1
0
i = 1
i =1
1 =r+ 1
on
a
Ux,p,q)
~
L(;-Xo,p,q)
~ t
~o + constante
pour tout
t
> 0
ce qui
est
impossible.
C.Q.F.D.
Lorsque
f
est affine et s'écrit
f(x)
on
a
le Corollaire suivant
COl'?Zlail'e II. 1.9
S7.
la cond7:tion de quaUficat7:on
(CQ)
est satisfaite;
un point.
x e JRn est solution de
(~ si et seuZement si
... / ...

---

-
25 -
q
, - ,
1'+1
qs
1'~eZs teZs que
k
l'
S
(I)
I n· B • +
I
p.A.
+
I q. A. = 0
1.
1-
1-
1-
1-
1-
i=l
i=l
i=1'+1
p • •
(A.X-
C.)
= O.
1-
1-
1-

---

PARTI"S
III
APPROXIMATION POLYFDRALE DE FONCTIONS CONVEXES S.C.I. PROPRES
1. Conver7ence au sens des épigraphes
k
Salt
(On)
une suIte de parties de
IR
non vides.
-
L!mlte
Inférieure de
(Q )
n
Or, appelle
1 imite
inférIeure de
(On)
et on
note
k
1 im
Qn
l'ensemble des
éléments
x
de
IR
limite de suite
1
(x
)
telle que
x
f
On
pour tout entier
n
n
n
-
Limite supérieure de
(0 )
n
On appelle
limite supérieure de
( 0 )
et on
note
n
k
Iim (J
l''ensemble des
éléments
x
de
IR
1imite de suite
"'n
'
(x
)
telle que
(n)
est une suite d'entiers strictement
n k
k
croissante
pour tout
... / ...

---

-
27 -
- Remarque
- Remargue 2
est fermé et sI
()
est convexe
- -°
1 i1'1
n
'n
pour tout
n,
nous avons
1 i m On
convexe.
1#:
En effet,
soit
a 8 ~On
alors pour tout
n 8
IN
,
la boule euclidienne de centre
a
ot de
(B(a,J..»
rencontre
n
n
x
un point de cette
intersection.
n
n
n
x
est
Iim 1te d'une suite
(x k)
te Ile que
x
8 Ok
n
k
n
1
Il
existe
k
8
IN
te 1 qU9
k ~
k
alors
x
8
k
B(a'n)'
en
n
n
prenant
k
un entier strictement plus 9 ra nd que
k
, nous
/1 + 1
n
construisons une suite
( k )
strictement croissante.
n
Définissons
n
pour
k
~
k <
k
x
n
n + 1
Yk
k
pour
0 ~
k <
k
Y
x
,
x
un élément
0
k
k
k
quelconque de Ok'
r~ous avons
a = 1 im
Y
et pour tout
k
8
IN,
y 8 Ok
k
k
k++oo
donc
a 8 ~ Ok
Donc
~Qk est fermé.
Maintenant, montrons que
llm Ok
est convexe.
Soient x,Y 8 1 lm Qn '
a,8
réels positifs tels que
a + 8
0/1
a
x
=
1
i m
x
et
y 2
1 im
avec
n
°n .
n-++ oo
n-.++ co
Comme
On
ost convexe
or
1 r rn
ax n +
!3y n)
8
1 i m 0
Z
(lX
+
8y
donc
ax + By
'n
-
Définition
k
Salt (On)
une suite de parties non vides de
R
on dit que
k
la
suite
(On)
converge vers
la
partie
Q
de
IR
sI
TïiTi
0nCQC~Qn
... / ...

---

-
28 -
Remarque :
Nous avo'lo,
Q
1 r 'Tl
1)
Q
existe. On
'n
not'3
0
1 i Ir
Qn •
n-+-+ oo
Proposition III. 20
Soient
Ck
k e IN
et
C
des éléments de
III
non nuls
et
a
des éléments de
m
et
si
lim
C
= C
et
lim
a
= a , alors pou~ tout y e H
k
k
k-++oo
k-++ oo
i l existe une suite strictement croissante d'entiers
n
telle
k
que pour
tout
k
i l existe
et
lim
k-++ oo
Preuve
------
Soit
y 6 H ,
supposons qu' i 1 existe
E: > 0
et
k
6
IN
E:
tels que pour towt
la boule fermée de centre
y
et
do rayon E: (1J'(y,
El)
ne rencontre pas
Hk
Soit
8
=
(sign Cl' ••• ,
sign C )
où
sign Cr
désigne
k
le signe de
"
L,'
j
si
C.
non nu
sinon signC
1
j
1
t
t
c
( Y _Le)-o:
et
c
( Y + L e )--
sont de même signe
k
k
Ok
.{ï
k
.{<
pu:sque
situés dans un même demi-espace ouvert déterminé par
H
•
Il
existe donc une suite d'entiers
n
strictement crols-
k
k
sante pour
I;quelle
les réels
- .!:.el- a
et
Ik
n k
t c
(y+~e)
sont strictoment positifs ou strictement
n k
*=0
négatifs.
. .. / ...

---

-
29 -
...
t
"'€t
Dans
le cas poslt1f
;
on a
c
y - -
c
e
> ct
n
n
k
Ji<
n k
k
E: t
donc pa r passage à
la
! i r.l i to
)
-- c e
0,
qui
est impossIble.
~
Dans
18 cas
nAgatif ; on a
, en
t
' I
J " t
E t
(\\
passan
a
a
1 mie
-
c e ' 'J ,
quI
est Impossible.
li<
Donc
il
exIste une suite d'entiers strIctement croissante
(n )
t811.-:) que,
pour tout
k 8
IN,
B'(y, ~) f\\ H
est non vIde.
k
n k
En prenant
Yn
dans
la suite
répond
k
au
problème.
- DéfinitIon
n
k
Salt
( f )
une suite de fonctions de
IR
dans
IR
n
convexes
(resp. concaves)
propros.;
nous dirons que
f
c::>nverge
n
vers
f
fonction de
dans
au sens des épigraphos si
(f
)
:
épi
(f)
n
.
(res p.
hYPo(f)).
On note
f
1 im
f n
-
R'3marque
D'après
les
remarques du
a),
st
1es fonct ions
(fn)
sont conveX8S alors
f
est convexe.
En plus
f
est s.c.l
quelle que soit
la suite
(f
)
de fonctIons.
n
Proposition III.21
(f )
une suite de fonctions convexes
k
S. c.l:.
propre $
-----:<
de
dan s
m
convergente vers
f
telle que
soi t
une
euite d'éléments de
o
convergente vers
C G El
+
+'
A lors
l'ers
t c f
... / ...

---

-
30 -
Preuve
------
Montrons que
épi(tcf) C
Ilm
ép!(t cm f )
m
Soit
(x,z)
6 épi(t cf )
comme
tet(x)
"z on peut
p r G n d r") fl e IR ~
tel
q u 8
t c
I! (x) + RJ
z
I l e x s i te
t81s que
lim
(x
,y
)
(x,f(x)
+
e )
m
m
m-++ OO
t
puiss'J qU8
épi ( f )
1
=
i m
én 1 (f
)
1 i m
C
Y
= z
m
m
m
m-++ OO
Comme"
f
(x
)
<
Y
'3t
c
6 e
on
a
fil
m
m
m
+
t
t
t
f
(x
)
soit
(x
)
c
6 ép 1 ( t c f )
c m m m
" c Y
Y
m
m
m
m
m
m m
donc
(x, y)
E
1 i m épi
(t c
f
)
- -
m
m
Montrons
1 i m
80 i (t c
f
,)
ép i (t c f )
.
m
m
Soit
une suite
strIctement croissante d'entIers,
«x
,Y
))
une
suIte
d'éléments
de
telle que
n
n k
k
)
c:
'
• (t
Y
'JSpl
C
et
1 i m
(x, y)
n k
n k
k-++
co
t
On
a
c
f
(x
)
+
0
Y
avec
e
réel
positif.
n
n
n
n
n
n
k
k
k
k
k
k
Comme
f
< f
on
a
n k
t c
f (x
)
s;:
t C
f
(x
)
+
e
n
n
n
n
n
n
k
k
k
k
k
k
f
étant
s. c. t.
on
a
...
t c f (x)
1
(,
1 im
c
f (x
)
n k
" y
n k
donc
(x, v)
6
épi (t cf )
... / ...

---

-
31
-
2. Approximation polyèdrale de fonctions convexes propres s.c.i.
Soit
E
une partie de
IR k
,
na us note ra ns
Aff ( El i e
plus peti t
espacé! aff i ne engendré par
E
et
ri (El
l'intérleur
relatif de
E
c'est-à-dIre
i 'intérieur de
E consIdéré comme
partie dE;
Aff(El
mWli
de sa +opologle usuelle.
Propo si t1~on III, 22
Soit
E
un convexe fermé non vide de
~k
j
( p )
une
n
sui te de convexe €
fcrmr s non vide s tel s que
(i)
P
C
!'i(E)
n
(U)
P
L
P
1':
n+ 1
(iii)
lim
P
= F
On'"
n
+00
Alors pour tout
~ e rirE), il existe
N
e JN
tel que
x
n ~ il,
alors
x e P
x
n
Preuve
--_ ... --
On peut se restreindre à
Aff(El
ou ce qui
revtsnt au même,
supposer que
Ë
ri (E 1
(Ë
désigne
l 'int8rieur
de El.
Soit
x
E: E
tel
que, i
ex i ste
N E
IN
et pour tout n ) N ,
k
x ~ P
,alors
il
existe
c
8
IR
\\. {O}
avec
Il c Il
(norme
n
n
n
euclidiennel
et
(i 1
suffit de séparer
le con-
vexe f8rm~
P
avec
le convexe compact
{x}
da n s
IR k
l ,
n
So i t
(C
1
une suite convergente vers
C
extraite de
n k
(Clalors
('to
n
Si
y
est un
po'nt d0 E
co~m6
1 lm
P
E
1 1 ex r ste
n
n-++ oo
une suite
tel le que
et
y
1
im
... / ., .

---

- 32 -
t
t
alors
salt
cx
,
cy
-'-
t
d'où
1 cx
inf
cy
c"! qui
est
impossIble puisse que
yE
E
x 8 E .
1 1 ex i ste
N
8
IN
tel
que
x
S
P
comme
(P
)
)(
N
n
x
cro 1ssante,
si
alors
x
6
o
, n
Ppoposition III.23
Soit
E
un convexe fepmé non vide ;
(pi) i
= 1•..•• p une famille finie de suites de papties convexes
n
te7,les que
pi
n
(ii)
pi
C pi
;
i
=
n
n+l
1• . . . .
l'
.
(iii)
L1:m
pi = E
n
co
n....+
p
Si
,/.~....
p
=
alors
n
f 1
i=l
(i) 1
P
C. ri (E )
n
(ii) 1
p
,r- p
n -
'n+l
(iii) 1 lim
P
= E
n ....
n
+co
Preuve
Les
proprIétés
l i ) '
et
l i i ) '
sont trivIales.
Comme
E
est
fermé
Iim
PnCE
Montrons
que
E C
Iim
p n
... / ...

---

-
33 -
Soit
x 6 E,
la suite
est décroIssante
(d est
la dIstance euclidIenne
de
,
Soit
E:
> 0,
j 1 ex i s t a N 1 6
IN
tel
que, x,6 PN tel!
1
que
d(x,x,) < E:
•
Comme
x, 6 rl(E),
donc
P~c. ri (El on a
,
i
il
exista
N
, . . . ,
N
8
IN
tels que
x, 6
pour
2, •.• , r
2
r
Pt-'.
1
d'apr"'s
la proposition 111.22.
Posons
N =
max
{N"
... ,
N }
r
ùlors
n
~ N
ontraine
d(x,P ) < s
soit
1 lm
d(x,P ) = 0
n
n
n-++ 00
k
donc il
existe une suite
( x )
d'éléments de
IR
telle que
n
x
6 P
pour tout
n 6
IN
et
x=llm
x
d'où
n
n
n
E C.!..~ Pn
n -Jo- +00
Proposition III.24
So'[-I;
E
un convexe fermé non v ide de ]Rk, a lors il exis te
une suite ~roissante de parties poly~drales compactes
(P
)
n
tell,e que
OP
C l'irE)
et
lim
P
= E
n
n
n ....+oo
Preuve
------
0;, se
restreInt à
Aff(El.
Salt
a 6 Ê , posons
3 1 ",),n)(\\E
r-
est un convexe compact
n
1
Nous avons
K
c==
B(x, n) ; donc il exIste un nombre
lj
n
xGK n
n
n
fin i
de points
x,
' ... ,
tE,1 s
xiii-
que
n
hn
B(x~
KnCU
1
n
j ~ ,
n
n
8 K
donc
6 Ë
xi
x.
n
1
... / ...

---

-
34 -
Posons
Pl
éga 1 à
l' enve loppe convexe des po 1nts
1
1
p
{ x l " ' "
x
, ra r récurrence
éga 1 à
l' enve 1 oDpe
h }
n
1
convexe
de
{x~ , ... ,
On en déduit que
P
x~ } U p n-l
n
n
est compact convexe et d'après
la
proposition
1.8.,
P e s t
n
F
est contenu dans
ri (El
et la suite
(P l
n
n
est croissantE).
Soit
x
8
E
i 1 e x i ste
N
e IN
tel
que
n
)
N
et
x
x
x 8 K
donc
pour tout
n )
N
11
existe
x
8 P
et
n
x
n
n
.. -
d (x, x l <
d'où
1 im
x
=
x
soit
E
1lm P
t.-
n
n
n
n
n++<Xl
or
~ pC E
donc
1 im
P
E
Ce qui
achève
la preuve.
n
n
n -+ + 00
Proposition III.25
n
Soit
f
: IR
- - > ffi
convexe
s.c.i.
propre. Al.ol's il.
~xiBte une suite de fonctio~s pol.yèdral.es à domaines compacts
( f
l
'Arifiant :
TI.
(i)
-f
, n
(ii)
dom
-f
C 't'i (dom f}
J
n
( i i n
pOUT'
tout
x
El dorn
f. ~
Zim
-f
= f
n -++ "" ' n
o
" . - -
Nous supposons que
d01T1
f
(intérieur de dom fl
est non
vide ce qui
revient à se restreindre à
Aff(dom fl.
dom f
(adhérence de
dom fl
est convexe et fermé,
d'après
la proposition
111.24,
ri
existe une suite croissante d'ensembles
... / ...

---

-
35 -
polyèdraux
(P
)
tels que:
n
o
o
P
C dom f
~
P
compact
n
n
et
1 i m
P
dom f
n
n~OO
0
f
étant convexe est contInue sur
~ donc est un! formément
continue sur
P
alors
t 1 existe
Ô
> 0
tel
que pour tous
n
n
tels que" x - yll
(: ô
alors
If(x) - f(y)1
,
l
n
n
2
où
Il x - y "
max
' i 'n
P
étant compact nous pouvons
le
recouvrir par UFle faml Ile fInie
n
de pavés fermés
de
diamètre plus petit que
ô n
Soit { x~
l'ensemble des sommets
des ensem-
bles polyèoraux
i=1, ••• ,k
posons
n
s
1
n
1
x = Ln À x
,
À
:il 0
1
i = 1
}
f
est po!yèdrale convexe pa r définition de
f
dom
f
P
n
n
n
donc
le domaine de
f
est compact.
So 1 t '. x 8 P
soient
n
sn
5
i
Sn
,,' , ... ,
n..
À
~~
L
À
et
0
l
À i
0
X
%
Xl
0
0
1 = 1
i = 1
0
comme
f
est convexe nous avons
s n
f (x)
L
,,_ 1 f (x ~
o
1
i = 1
... / ...

---

-
36
-
s
s
{ n
n
,
soit
f( x)
~
i n f
L
~f(X~)/ x
L À x,
1 • 1
i = 1
s n
Ài~ a ,
L À i =
}
1 = 1
d'où
f ( x )
~
f
(x)
n
<;'
_1
x 8 dom
f
quI
est égal
à
P
alors' 1 existe
n
n
i
6
{ l , ... ,
k
}
et
8
n n
x
P
qui
est
l'enveloppe convexe
n
KI
n
de
{
~ ,
n
, ... , x
}
avec
)(
ls
, ..... ,
,
. . .
Il
,
5
\\
j
n
donc
x
=
et
[,
À Xl J'
i -1
s
n
nous
avons
f(x)
~ f (x) ~ L ),J f(x .)
J
n
j = 1
J
soit
o ~ f
(x)
-
f ( x )
s;
n
donc
o
~
f
(x)
-
f ( x )
~
n
Comm,.,
ép i (f n) C ép i (f )
on
a
TTm ép J ( f n) C ép , ( f ) •
Montrons que
1 lm
ôp! (f
)~ ép i (f )
ou
encore pour tout
- -
n
- - '
><
8 dom f,
Il
existe une suite
( x )
telle que
n
1 lm
(x
f
(x
))
(x,f(x)).
n
n
n
n-++ co
... / ...

---

-
37 -
Soit
x
6 dom f,
1 1 exl~te une suite
(x')
telle que
n
x'
6 P
et
1 1m
x'
= x
f
étant s.c.i.
11
existe une
n
n
n
n-++ oo
suite
strictement croissante d'entiers
n
telle que
k
Il m
f(x'
)
= f(x)
n
k-++ oo
k
CommE!
o ~
nous
avons
1 lm
k-++ oo
alors
nous
posons
x.
x'
pour
1
1
x
pour
n
pour toot
i
6
IN
Nous avons
x
6 P
pou r
to u t
n 6
IN
n
n
et
1 im
n-++ oo
C.Q.F.D.
Proponition III.26
Soit f
une fonC!tion ci;]
n
IR
C!onvexe s.C!.i.
propr~ alors il existe une suite
( f
) de fonC!tions poly~drales
n
C!onVexes à domaines c!ompac!ts telles que :
(ii)
dom f
< f -
ri(dJm f}
. n -
(iii)
pour tout
x e dom .f"
J n
1
0
< f n (x) - f(x)
<
e
....
- on'"
aveC!
e = (1, ... ,1)
lim
n-++oo
... / ...

---

-
38 -
Preuve
------
Pour chaque composante
f '
de
f
nous construisons
1es suites
f r
et
pl
;
dom f r
• d'après la proposition
n
n
n
1 1 1.25.
t, i
1
Posons
P
• f
(x)
fk(x))
P
(f
(x) . . . . .
n
n
n
n
n
1=1
si
x
(;
P n
et
si
x ~ P
f
(x)
+00
n
n
Nous avons d'après
la proposition
111.23
1 lm
F
dom f
n
n-++ oo
P
est compact et contenu dans
r!Cdom f)
et
n
dom f
;
P
n
n
Comme
f r (x)
~ f( x)
alors
f ( x)
<
f
(x)
n
=
n
1
De même
0
pl
~
fi (x)
f (x),
-
-
pour tout
x
(;
n
n
n
2
,
donc
0
< f
( x)
- f (x)~ -
e
pour tout
x
(;
P
n
n
n
2
Ces propriétés étant. on applique
la construction de
la
fIn do
la démonstratIon
de
la proposition précédente. pour obte-
n i r. pou r x \\0 dom f.
une suite
x
d'éléments de P
telle
n
n
que
Ifm
( x .
f
( x ) )
;
(x.
f ( x ) ) .
n
n
n
n -++00
- Remarque
Lorsque
f
est s.c.s. concave nous avons des pro-
positIons analogues.

---

PARTIE
IV
APPLICf.-:'ION
TH[OREME DE FENCHEL GENERALISE
(cas vectoriel)
k
t~o us notons
Sk
x
{xix 8
IR
et
" x Il
+
k
s
{xix ê
IR
et
Il x Il
1 }
k
+
où
Il . Il désigne la norme eucl idienne sur
IR k •
1. Conjuguée d'une fonction vectorielle
a)
Cas
scalaire
------------
n
Soit
f
:
IR
- - - > IR
, IJ ne fonct ion convexe. On
appelle conjugu€l8
de
f
cd
note
fit
l 'appl icatlon
définie par
4!i.
IRn
>IR
x Â
.;.> f~ (x*)
suph"" x -
f (x)
}
x ê
dom f
... 1 ...

---

lorsque
f
est conc1ve,
l 'appl icatlon
conjuguée de
f
est
définie par
n
(
fR
- - >
·IR
f
x
- - - >
f(x
)
'"
Inf
x
x -
f(x)
x
e domf
C. Gros a proposé dans [3J, une extens 1on de 1a
notion de conjuguée,
aux
fonctions
convexes
et concaves à
k
valeurs
j-~ns IR • Cette extention permet d'obtenl'r un théo-
rème
de dua 1; té de type Fenche 1.
Nous adoptons,
la
défJt.litlon
de
Gros,
avec
la
+
restriction
plus
commode
lorsque
l'on étudie des
C
e 5 k '
suites
de
fonctions
_.
DéfinitIon
n
Salt
f :
IR
convexe
(resp.
concave)
~
on appelle application
conjuguée
de
f
et on
note
f
la
multiappllcatlon défInie par
pour tout
(c, b)
e
x
on
a
~ .'
t
4
f"'(c,b)
d;
si
(tcf)'(b)
=
+
00
(resp.
(
cf)
(b)
-00
)
J.,
-'-
;1<
f
(c, b )
{y/t cy = (t cf ) (b)}
si
('cf)
(b)
e IR
51
r
est une multiapplication d'un ensemble
X dans
une n 5 em b 1e
Y,
0 n
a p pelle dcm a in e d e r
l 'ensemb 1e noté
dom r
et défini
par-
dom r ={x e xl r(x)
F $ } .
-
Remarque
Lorsque
k=l,
nous
avons
s~ = {1} et pour
b e dom fk (au
sens
scalaire)
on
a
f'"' (1 , b) = { t( b) }
•.• 1 .••

---

-
41
-
2. Théorème de Fenchel dans le cas réel.
Dans ce
paragra~h~ nous rappelons,
le théorème de dua-
lité de
Fenchel
et
le théorème d'approximation de
Lindberg.
a)
Théorème
de dual ité de Fenchel
------------------------------
Théorème IV.2?
S07~t 1 une [onet ion convexe pr:Jpre de ]Rn et g
une fonction concave pl'opre de
]Rn
cl. valeurs dans
"Ji?
On a :
inf
{f(x)
- g (.7:) } = sup {g*' (x-l') - r(x~)}
:1'
x"
si l'une des conditions suivantes et Bat islai te.
n
(a)
ri
(dom f)
ri(dom g)
t <P
(b)
f
est s.c.i.
j
g
est s.c.s.
et
,
ri
(dom r+')
1
(dom
*'
g ) t
1
ri
<P
Sous la con~ition (~;
la borne sup'rieure est
atteinte en un
j
sous la condition
(b)
la bvrne infê-
-
rieure est atteinte en un point
x
j
Bi les conditions
(a)
et (b)
i30;1t satisfaites en l"1ême temps
la borne inférieure et
la borne supêrieurg sont atteintes et sont finies et égales.
Ce
téorèmù est énoncé dans Rockaffelar
[p] chapitre.i 'i.
Dans
le cas
réGI
Lindberg a établ r un théorème
d'approximation du Théorème
de dualIté de
Fenchel
à partir
d'~PF"CX;:l,jtiong
polYAdrales
des
fonctions
f
et
9
et du
théorème
de dualité de
la
progr3mmation
linéaire •
.../ ...

---

-
42 -
Soient
f
une fonction convexe s.c.i. propre et
g
une
fonction concaVe S.C.s.
propre.
On suppose que
ff)
(reBp.
n
gn)
est une suite de
fonctions poZy~draleB convexes (reBp.
cnncaves)
telleB que:
,
lim
f
:::
~
f
et
a
g
n
f
Um
gn ::: g
f n
. n
n-++ oo
n-++ oo
co •
.
01-
g
polyèdrale, on pose
gn ::: g
AloY'S sous l'une des conditi".!ns
(1)
ou (l' )
(1)
Y'1: (dom f)
\\
Y'i
(dom g)
f $
( l ' )
pouY' tJut entieY'
n
nous avons
lim
inf
{+'- gn}
:::
inf
{P - g }
'n
"
n-++'"
~
lim
sup{ a
on - fk }=
BUP { g-k._ f~ }
n
n-++oo
Ensuite,
toute valeur d'adh~Y'ence
x" d'une suite (:!-)n
Bolution du pY'Jblème lin6aiY'e dual
sup {g! - f : } , est solu-
..
1l"
tion optimale du progY'ammc dual
sup {go'-
f
}.
Enf1:n.,
sous la condition (1)
(x~)
est bOY'née,
BOUS
n
(1')
on peut la choisiY' bOY'née.
c~ ~~8ulta.t est énoncé dan2
P. O.
LindbeY'g
[6J
3. Théorème de Fenchel généralisé
Soit
f
(rssp. g)
une fonctron COnvexe s.c.l. propre
n
(resp. concave s.è.s. propre) de
IR
... / ...

---

-
43 -
Considérons
les
deux
parties
suivantes:
INF(f
-
g)
8
2
INF {f(x)
-
g(x)
1 x .. dom f f\\ dom 9 }
~
SUP (g~'- fl
SUP U {z
1
}
- y
z B
9
(c,b),
y
8 f
(c:,b)
+
". .
f~ )
( c, b)
€
Sk X (dom 9 (jdom
Lorsque
k
1 ,
nous
avons
/ ..-.....\\
....
( \\'1); { sup
g* (b)
- f (b) 1 b € dom '*" . -.
f"}
9
1 \\ dom
....
'
ç~'
((t; { Inf f ( x ) - 9 (x) 1 x B dom f r'i dom 9 }
~~.
non
vide et
ri
dom
f (1 ri
dom 9
+ <p
nous
En
posant
F ;
{f(x)
-
g(x)
1 x €
dom
f()dom
g}
(-~;-t
.-("
10 r s que
\\.._/ : ~ est non
vide
on
a (~\\.est un singleton et est
.-~
la
frontière
de
F+
;
donc ','j (~)
peut être cons f dérer comme
.,~()
l'intériour de'L...J\\,pour
la
topologie
de
IR
Induite sur
la
frontière
de
F+
Dans
ce
paragraphe
nous
énonçons
le théorème
de
Fenchel
généralisé.
Nous
donnerons
une
preuve
en
plusieurs
étapes quI
",.,,,",",
"
)
nous
permettrons
entre autres
de caractérl ser \\ 1. ")
et de
don-
/"'~~-'.i
....
_J.
ner une
approximation
des
él éments
de"(--") à
parti r
des éléments
.j,~....
de l~~
correspondant aux
fonctIons
polyèdrales
f
et
n
approchant
respectivement
f
et
g.
Thlor~me de Fenchel gln~rali86 IV.29
k
Soient
dans
IR
;
f (resp. (1)
convexe s.c.i.
(resp.
concave s.c.s.) propres •
.. ./ ...

---

-
44 -
Si on a :
(i)
INF (f' - g) t ct>
(ii)
ri (dom f)
(Î
ri
(dC'm p) t ct>
(~)
Alol'8 on a . j "
est l'intél'ieul'
•~
(, _. .J
de cS~ p :Jur la topo lo-
gie induite SUl' la
fl'ontière de
F+ .
Dans tout ce qui
suit
f,g
vériflènt
les hypothèses
du théorème
IV.29.
On sait qu'II
existe une suIte
f
(resp.
g
) de
n
n
fonctIons polyèdrales convexes
(resp.
concaves) qui converge
vers
f
(resp. vers
g)
vérifiant certaines propriétés énon-
cées dans
la propositr~n 111.26.
Proposition IV.JO
l'Î--'
'~f"Î
La paY'tie . \\ ~\\
est contenue dans ~-/,LI
l
,
\\,,0,"
,--'_J
Preuve
Nous ferons
la preuve de cette proposition à partir de
deux
lemmes.
Lemme IV.J1
:~r; ~
B
,,"st un élément de J '-..-)aloJ's il existe
c
> o
et
"'E e
n"*'
m
tels que :
t
....
-
t
1f<-
= ('c q)
(b)
-
(
c
f)
(h)
Preuve du
1 eMme
B ,,/r~)
Soit
v J;-..J)'
a lors
il
existe une
d'éléments de
B telle que
Il r'I
n ~ +
... ! ...

---

-
45
-
Pou r tout
n
,
i 1 ex i st(~
et
b
€
IR~ tels
n
que
...-
. (c g) (b ) - (c f)~ (b
c
Sn
)
( 1 )
.
n
Il
n
Il
n
La suite
( c
+
)
étant cOl1stituée d'éléments de
quI
Sk
n
+
est un compact, peu t
être supposée co nvergel1te vers
c 8 Sk
t
t
Comme
f
<
f
et
<
f
:)
f
9 n
9
, 011 a
c
c
,
n
-
n
n
n
t
t
*,-
(t
et
c
c f ~- (b
(t c
~111
1>;
c
9
soit
)
~
f
)
( b )
n
n
Il
n
n
n
Il
et
(t c
gn ;*'(b
)
;,
(te
9 ),.. (b
)
Il
Il
Il
n
(t
~
donc
c
)""(b
(t
9
)
c
)*(
f
b )
:)
(te
g1
(t
( b )
c
f)
(b
)
.
Il
n
n
n
n
n
n
n
n
n
;}.'I::
-'t-
(t
or
c
)'*' (b
(te
)~( b
t
gn
)
-
f
)
(:
sup( c n gn ) (b) - (c f ) ( b !
Il
n
n
n
n
n
n
b €
dom
*
gn
r, dom f*n
le second membre de cette inégalité, d'3près
les propositIons
1 1 1 .21
et
IV.2fl,
conv8rge ve rs
(t
g)
(b)
-*
sup
c
'*
(t
-
c f )4( b )
(tg)
(l)
(t
-
c f )*(b)
( 2)
f.
b 8
dom
"*
9
dom
t
La formule
( 1 ) ,
donne
1 i m
S
E;
( tg)
Cl)
(t c fi (1) ,
c
-
n-++ oo
n
n
t
soit
cS 1>;
(tg)'*(i)
(t
-
c f )-'*'(b)
(3)
La ,-e 1 at i on
(3)
est une égalité,
car sinon,
ri
exIsteraIt
c
(B+w)
= ( c
*'
w
g)
(b)
-
( t"'-
€
El
te
t
t
c t)
1
que
(b)
+
E~I plus
o < c ,
car s i l a c om p0 san t e
i0 de
c e s t
nul 1.;;;, on a pour tout réel
i
> 0 ,
8 + t
el
6 B
; ce
o
qui
achève
la preuve du
lemme
Posons
F
{f
(x)
-
q
(x)
1 x 8 dom
f
n
n
- n
n
... 1 ...

---

-
46 -
Lemme IV.32
IZ exi8t6 une suite d'entieps stpictement croissante
tette que
= fl
Preuve
La conditIon
(1)
du théorème
IV.28, étant vérlfl§e
Il
existe une suite strIctement croIssante
n
d'entIers
k
telle que
( i )
( t c n k
.~
sup
f
) H )
l1
b
k
(ii)
11mb
: b
et
{te
'*
gl
(b)
-
(te f)'*(b)
1q~+<X)
n k
sup
( c
*
t
t
gl
(b)
-
(
c
*-
g)(b)
=
a
( i i i )
1 lm
k-++ co
En posant
H :
{ y /
t c y =a }
'1
existe,
d'après
13
proposition
111.7.0
une sOI;s-suite
Q,k
extrai-te
de
la
su:te (n ) ,
une suite
d'éléments de
HQ,
tels
k
(y ~
k
k
que
1 i m
k~+oo
Nous ;:Jllons approcher
les éléments
y 9.,
de
k
par des éléments de
F;
k
... / ...

---

-
47 -
Suppc:ons qt!' i 1 existe
v > 0
et
K
8
IN
tels que
0
pour tout
k
IN
k
~
K
~
R'( Y9,
, v )(\\ F;
<fi
0
1<
"k
v
En
posant
( 1 , . . . , 1 ) ,
t F+
C
=
ntJ U c-;
ë:VCHIS
Y~
~
e
k
Ik
~k
Soient
fI<
f,Q,
-
v e
et
Y\\"
9
g~
k
k
k
/k"
k
on a
0;;i (f )(\\ hy~o(gk) = il
en effet
k
si
( x , À)
fi
épi ( ~ k ) (', h Yp 0 ( ; k )
alors il
existe
w, w'
68+
tels ~111 e
.À
f k (x)
+
W
9
(x)
- w'
k
v
soit
y
-
0
+
-
e
f 9
(x)
(x)
+
w + w'
s:l Q,
"k
Ik
~ k
k
+
y V
+
e =8 F 0
impossible.
'k
N k
-
I\\IJSS i
or peut s,<'par8r
épi
(f
)
et
hyoo(9
)
par
k
k
un hYDerplan non vertical
donc il
existe
c
e
s+
j:;"o
6
IR rrt-
tels que
9 k
k
k
[
t -
t
,
[
t -
t
-
SUI'
b
x -
c
f
(x) ]
inf
b
x -
(X[]
9
'k
t
Ct
9 k
9 k
'k
k
k
t
-.ft -
( Ct
9
)
(b
)
k
9
k k
t
\\1
t
t
,
soit
( c
)
(b
)
c~
Y9
+
Ct 8
Q
9,Q,
t
, k
k
,fi<
k
'k
k
k
t
~ -
- ( C9
ft
) (b
)
t
~k
k
k
t
v
t
le preonier' membre converge vers
C
~ +
c e ,
Ik
1e sec,)"d me;nb re est ;najoré par
... / ...

---

-
48 -
t
J<-
sup
(
c 9.
f n
)
qui
converge
(d' ap rès
1a
k
x, k
proposition
IV.28)
vers
~
4".
sup
(te g)
(b)
-
(t,:;
f )
(b)
b
t
'J
+
donc
cS
+
'c
e
ce qui
contre
dit
le
lemme
Aussi,
i l
existe
une
suite strictement
croissante
extraite
de
une suite
d'éléments
de
F+
telles
que
'llk
B = 1 i rr)
P,
k++oo
ml<
Maintenant,
nOlIS
donnons
la
preuve
de
la proposition
IV.30.
,r--
.......-
le
lerrmE!
2
donne
~ns,jite,
le
lemme
et
1e théorème
1V. 27 donnent
t
t : t
t
*'
t
t
cS
sup
(
c g)
(b)
-
(
c
f)
(b)
=
inf
c
f(x)-
cg(x)
b
x
et
0
<
c
t
t
d'où
cS f;
c
(f (x)
- 9 ( x) )
donc
+
+
t
pour
tout
u 8
F
on
a
'cB(;
c
u
soit
1
+
U
(3
donc
g
{;
m(F
)
l'JF
( f
-
g)
•
C. Q. F. D.
... / ...

---

-
49 -
Nous énonçons
deux co Il aires décolJ 1ant de
1 a preuve
de
la propositIon
IV.3D.
Corollaire IV.33
,-----',
l \\ / '
m
Les ~lém'f!ftts 6
de...J ~ sont les éUments de ~ pOUl' les-
quels on a
+
~
(i)
pour tout
e e Sk
tel qu'il existe
b
e ]Rn
0
avec
t
6 ~ (t; g)*(b ) - (te f):Jt(b )
e
o
,
0
t
alors
cR = (te gf*:(b ) - (te rl(b )
o
0
+
(ii)
pour tout
e
e Sk
tel que
te 6= sup (t( f)*(b)
-
(te f) *(b)
alors
o
<
e.
Preuve
([)
L'implication
B <JJentraine (i) et (il) découle de
la preuve du
Lemme
IV.31.
Maintenant soit
B e Π1 t e i
que
les propriétés
(1)
et
(1 1 )
soient satisfaites.
Alors
II
existe
o < c
n
et
b
6
IR '"
te 1s que
o
donc
6 €
B
soit
6 €
B
Soit
11
E H
et
].1
~ B
• Avec une construction
similaire à celle du
Lemme
IV.,1
nous avons
ÎI)
il
existe
c'e S~
te 1 que
g'
( t c'
(b ) - (t c' f j'*( b )
o
0
... / ...

---

-
50 -
t
or
e'a
e < ~J
done
~ (te' *-
g)( b
)
(te'
f )..-( b 0)
-
-
0
t
en app 1 iquant ( 1 ) on a
crS=
(te'
'*
g)
<b )
(te' f)'It <b
-
)
o
0
r::omme
( 1 1 )
donne
0
< e' ,
alors
8 1 II
done
-
a
6
,.l(B
)
d'où
-
f3
6
B
(\\ M(R )
SUP fB ).
Coro lla,:re IV. J4
e r~
Pour tout
S
)il existe une suite
Cl
d'~l~ment8
.....
n
)
\\..,-
k
rn
de .~_~
tels que
k
Preuve
Soit
f3 ~1~, cl' a pr è sie 1e mm e 1V • 32 , Ile x 15 t e une
• ,..J
suite
d'éléments de
F+
tel le que
n k
Or d'apri'1s
la
pronosition
Il.16,
Il
existe
r\\
k
lY.
IR
8~~...-.
et
\\l
8
tels que
n
n
+
k
k
k
Bn
Ct
+
\\l
k
nk.
n k
~'"
• 1
.
+
COf:1me S €\\~
il
existe
e €
Sk
J.___
o < e
et
t
t
'*
t "
e 0= sup
( e g)
(b)
-
(
e f)
(b)
t
on a
eS ~
50 i t
1 1m te \\l
= 0
eomme
0
< \\l
et
o < e
k-++ro
n
n
k
k
... / ...

---

-
51
-
alors
Ilm\\>
= 0
d'où
1 i m
Cl
k++co
n k
k++oo
n k
Proposition IV.35
L '1:ntérieur de<I:L pour Za t.J/JoZogie induite sur la
front1:èl'e de
p+
B'Jt
conte>7.U dans]~ .
Preuve
Soit
un élément de
l'intérieur d'3 Q)..,I pour la .
topologie
induite sur
la frontière de
F+;
Il
existe un réel
E
> 0
tel
que
+
( d
désigne
frontIère
F+)
F
la
de
+
t
t
..
t
Soit
c (;
f )-..( b)
Sk
tel
que
CCl
(:
sup ( c g)(b)-( c
supposons que
c
à
la cO'11posante
1
'lui le,
alors
il
existe
0
un réel
t 1 > 0
et
B + t
e.
6 8(S,E)
pou r tout
1 0
t
S
[ 0 ,
t
[
1
S'i 1 existait
te 1 que
e.
S d F+
1 o
on aurait
B <
B + t
e.
0
1 0
ce qui est impossible.
Il
en r8sulte,
comme
F+
est convexe, que B + t
el
0
0
est un élément de
l'intérieur de
F+
donc
il
existe un réel
11
>
0
te 1 que
B! (
B+
C
+
t
e.
11
F
0
1 0
t
t
soi+
t
t
cS (;
c
(R
!l.
+
t
e.
e)
cS -
o
f1
c e
1 o
Ik
impossible;
d'où
o
< c
.
... / ...

---

-
52 -
t
Comme
c Cl < inf
(te f(x)
-
t c g(x»
alors
il
existe
t
tel
que
c
CH
(J.l)=
inf t c f(x) - t c g(x)
+
soit
u E F
comme
0
< c ,
u 1 Cl + fl
+
(1
or
0:
8
F
donc
=
0
soit
..
t
(t
:t'
e i"t=
su p
c
(t
g)
( b) -
c f ) (b) •
Les conditions
( i )
et
(ii)
du corollaire IV.33 sont
.r:-~,
v0rifiées donc
~ 8J:)
Proposition IV.56
~;) est contenu dans l'intérieur 1e ~~ pour la
topologie induite sur la
fronti.re de
p+
Preuve
.---,
/ '-1.
Soit
f3 6J\\_}.
Supposons qu'il
existe une suite
décroissante
(t.
) de r8els strictemsnt positifs tels que
n
( i )
1 lm
e:
=
0
n
n++ co
( 1 t ) 8'«(3,E:
) (,
d F +
et· (Q
n
(H)
entraine
l'existence d'une suite
( y )
d'éléments de
n
ô F+
te Ile que
1 im
Yn = !3
et
y n ~ (0. pour tout
n~+(Xl
n 6
IN
+
En séparant
Y
et
F
nous
obtenons
n
t
+
c
y
=
in f
(' c
f
_
te
g)
avec
c
n
n
n
n
n
+
Comme
c n B Sk ' on peut supposer que
vars
La proposition
IV.28 donne
t
..:,f
1 i m
su p ( c n 9 n)
(b)
-
(t c n f n )* (b )
n++ oo
,
... / ...

---

-
~ 3 -
comme
f
<
f
et
9
<
n
9
on
a
n
....
4l
+
~
(t c
(t
q
)
( b )
-
c
f
)
(b)
~(tc
9)*(b)
(t
-
c
f)
(b)
n
- n
n
n
n
n
t
t
t
or
c
inf
c
f (x)
g(x)
Y
- c
n
n
n
n
llj;-
t
g)
(b)
-
(
c n
T
*-
t
~-
soii"
,
( c g)
(b)
-
(
c
1
im
f )
(b)
sup
(t c g)
(D)
-
(t c f)
(b)
b
.. -
t
.. -
donc
q)
(b)
-
(
c f)
(b)
fÎ-~
comme
~
€
\\~), on a
0
< c
eT
' d
~-"
t
(t
c
fi
9 *-
c
(t
)
( b )-
c
f)~(h)
Comme
0
<
c
,
if
existe
un entier
K
€
IN
t31
0
que
pour tout Gntier
k ;l
K
on
a
0
Y
6
Cl F +
n k
t
t
c
=
in f
(t c
f
q)
Y
-
c
Il
n
n
n
0
<
c n
..;:)
(il
('...,
entraîne
y
6
pour tout
k
;l
K
n
0
Don c i l
ex i ste
n
6
IN
tel
que
o
donc
fi
appartient
Ji
l'intérieur
de
((:.lpour
la topologie
induite sur
la
k
frontière
de
F+
par
celle dG
IR
C.Q.F.D.

---

PAR'I'IE
V
QUI:LQUES DROPRIET2:1 DES MINIMAS DE PARETO ET
DES COWîITIONS SUFFISANTES D' EnSTENCE DE MlmMAS DE PARETO
Dans
la
partie
1 nous avons
vu
que
la
recherche de
k
minimas de Paréto d'une partie
A
non vide de
IR
était
ramenée ~ ce Ile des min i mas de Paréto de
A+
Aussi
dans cette partie,
nous
étudierons
les Il'linimas
k
de Paréto des parti es
F
de
IR
vérifiant
la
propriété
~) suivante
F
est une partie
non vide convexe fermée
~
k
de
telle que
F
+
IR
C F
+
Ensuite,
nous donnerons deux conditions
suffisantes,
pour qu'une fonction
de
dans
atteigne ses minimas
de Paréto,
ce qui
général ise deux
propositions du
cours
de 3ième cycle de D.S.
THIAM
[jQ]
... / ...

---

- 55 -
1. Conditions suffisantes d'existence de minimas de Paréto
cl' une partie
F
de
JRk
vérifiant <1'5).
Provosition V.Z7.
.
.
d
k
. '
O (
\\J
.
Sot-t
F
une part1.- e
e
IR
vér1.-f1.-ant
...,
;
S1-
k
F
est minorée pOUl' l'ordre pa!'tie7. de
IR
alors
MIN(F)
est non vide.
Preuve
k
Soit
a 8
IR
tel
que pour tout
x 8 F
on a
k
a ~ x.
Soit
d
la distanco
eucl idrenne sur
IR
alors
lnf
d(a,x)
est atteint sur
F
soit en
x .
x6F
-
on a
x
8 f-1 1N ( F )
car
s i fh"
i 1 ex 1ste rai t
Y E F
-
te 1 que
y < x
2
2
1
•
2
1
or
(yi
_ ai)·,
(Xi_
ai)
(x - yi) ... 2 (x
yl)(X i
_ ai)
...
(xl
_ a')2
et cette
Inégal ité est
stricte pour au moins un
IndIce
i
S {1, .•• ,
k}
donc
d(a,y)
<
d(a,x)
ce quI
o
est
Impossible.
Cette proposition est
vraie pour
F
fermé
non vIde.
Propos1:tion V.38
k
Soit
F
une partie de
IR
vérifiant la propriété
si
MI.V( F)
est non vide,
alors on a :
k
F = MIN(F) + IR +
... / ...

---

-
56 -
Preuve
Il
suffit de montrer que
F C
MIN(F)
+ IR~
Soit
x
El F
et
= { x 8 F / x < x
}
alors
lx
o
=
0
o
est convexe L)rmé non vice.
Soit
A
l'application défInie
comme suit
- - - - > IR +
x
si
sup Li(x) < + 00
alors
1
est bornée
comme
Li
x 0
x81 x0
est con tin ue, a 1 0 r s
6
atteint son minimum su r
1
en
x0
X et on a
X 8 MI~~(F).
Si
~~~
A(x)
= + ro ,
alors
II exJste une suite (x n )
x o
d'éléments de
1
te Ile que
1 im
Il x Il
+ 00
X
n
0
n ++00
De
la suite [1;:11 ] , on peut entralner une sous-
'"'ter ~
convergente vers
~
te 1 que
Il ~ Il = 1
J
Il x n kil
on a pour tout
k 8
IN
<
donc
t;,
<
O.
=
Comme
1 i m Il x
+ O'J
i l
exrste
n k "
K
8
IN
k++
0
oo
1
tel
que
k )
K
alors
0
< - - -
< 1
0
Il x nk Il
.. / ...

---

-
57 -
donc
1 -
X
+
avec
x e MINIF).
F
étant fermé,
en passant aux
limites
X
+
~
e F
ce qui est impossIble.
Donc,
1 1 ex i ste
p 8 MINIF)
et
p ~ X
donc
o
x
p
+
Ix
-
p)
d'où
S MINIF)
+
IJl(k
o
o
+
On d8slgne par
ASIF)
,
le e8ne asymptottque du
convexe fermé
F , c'est-ê-dlr~ l'ensemble des éléments
~ IR k
Y b ,
tels que pour tout
x 8 F
et
t
réel
str!cte-
ment positif, on a
x + t y e F .
Proposition V.39
Soit
F
une part·ie de
III
vérifiant
On a
MIN(P)
non vide si et seulement si
= {a}
Preuve
Supposons
MINIF)
~ cp
soit
t;. E: ASIF)
et
p 6
M!NIF),
on a
donc
~.1 0
d'où
AS 1F) n IR k
{O}
Réciproqu~ment si
AS
n
1F)
IR k
=
{ 0 }
soit
x
S F
et
1
l' ensemb 1e déf 1n i
dans
o
x o
la
proposition précédente.
Il
n'y a qu'une possibl 1 rté
sup
~Ix)
fini,
donc il
exista
x
E:
MINIF).
xe 1xo
... ,...

---

-
58 -
Proposition V.40
r '
k
,'-,)
Soit
F
une partie de
IR·
1J~rifiant (v j
;
la partie
F
a un minimum absolu pour l'ordre vartiel de
k
IR
s'i et seulement id
MIN(F)
est un singleton.
Preuve
Si
F
a un minimum absolu
m,
F
est mInoré donc
MIN(F)
est non vIde
so i t P 8
MIN (F),
on a
!Tl
~ P
donc
m = p
d'où
MIN(F)
{ml
Si
MIN<F)
{ml ,
la proposition V.38
donne
,.,k
F
m +
IC\\
donc
m
est un minimum absolu.
+
La proposition suivante caractérise les facettes de
F
qui
sont contenues dans
MIN(FL
Proposition V.41
o
k
Soit
F
une partie de
lR
ayant la propriété
(J ).
Si (Y- est une facette propre de
F
on a :
,-..-/
ou bien
Pi ( YJ
(1 MIN(F) = <P
~.-
ou b1:en
(J-l )
1'1:
n MnV(F) t cp
alors
CYc MITV(F) •
Preuve J
r .
Si y
est un singleto~ la proposition est évidente.
Supposons que (~ est différent d'un sIngleton et que
,.-.---
ri(~) Cl MIN(F) non vide.
~
On suppose qu' il
existe
p
8 \\J..I
et
u
€
F
~(:(
tels que
u ~ p
SoIt
n
fl 0
€
MIN ( F)
r i ( .J. )
alors
il
existe
p' E\\}( et
Po
E ]
p,p'[
posons
.. . 1 . •.

---

-
59 -
ap
+
(3p'
avec
a,S
EJO,l[
et
L'enveloppe convexe des points
p,
pl
et
u
est
contenue dans
F
Soit~) la demi-droIte
{p
- t(p -u)
/
t
>
o}
o
D
rS'ncontre
le segment
[ p ' ,~
en effet
Po - t
(
p- u)
= p' - t 1 ( p'
U )
pour
t
t 1 = a
donc
Po - a
( 0
-u) S F
or
0
< p - u
d'où
Po - a(p
u)
< Po
ce qui
est impossIblE>. Donc
pour tout
~Yo~
p 8
a
p
'"'
~
~~IN(F).
?. Conditions suffisantes d'existence de minimas de Paréto
pour une fonction convexe s.c.i. propre.
Proposition V.42
00it
A
une partie convexe compacte,
f
une ap-
plication convexe s.c.i,
de
A
dans
mk
AZors
MIN(F)
est non vide
et
f
atteint ses
minimas de Pa~~to.
Preuve
On a
f
<A>
+
En effet, soit
(x
)
une suite d'él~ments de
A
n
et
k
(V)
une suite d'éléments d0
IR
,
telles que
n
+
1 im
f (x
)
+ V
=
Ct
ê
IR k
de
la suite
x
n
n
n
on peut .Jxtra!re une sous-suite
converÇ1ente vers
X 8 A.
donc
... / ...

---

-
60 -
k
d'où
('(
8
f<A,>
+
IR +
f
étant s .c. i.
sur 1e compact
A,
chacune ce ses composan-
tes est minorée sur
A,
donc
f < A, > est minorée d'où d'après
la
propositfon V.37
l,' 1N(f < A, >
+
est non vide.
D'où
f
a,
au moins,
un minima de Paréto et en plus
f
atteint ses mlnlmas.
PY'oposition V.43
Soit
f
une
fonction convexe s.c.i. t'lrop1'e de ]Rn
est une suite d"l'ments de
telle que
lin
alo1's on a
n-++
lim
Il f(x n ) Il = + ""
n-++ co
Si
MIN(F)
est non vide alors
f
atteint Ses
minimas de ParAto.
Preuve
Soit
a 8 MIN(f)
et
(x)
une suite d'éléments de
n
te Ile qu e
('( =
1 i m
f (x
)
n
n...... + oo
SI
{
x
n 8
IN
8st borné a lors
il
ex 1ste
n
une sous-suite convergente
(x
)
vers
x
et on a
n k
f(x)
<
Iim
f(x
) = Ci donc
Cl
= f(x)
n k
Si
{ x
n (;
IN
}
8 s t
non b0 r né, a 10 r son peu t
n
supposer que
1 i 1'!1
+""
De
la suite
n-+
+ co
, on pout extraire
une sous-suite convergente
vers un
... / ...

---

-
61
-
dlément
s + 0,
or
1 i rn
1 i m
o
k-++ oo
!
k-++ oo
1 f (x n
1 Il
IIf(x
III
n
k
k
ce qui est impossible.

---

CON C LUS ION
Dans ce travail nous nous sommes limité à la dimen-
sion finie pour des raisons d'utilisation pratique des résul-
tats établis.
Nous allons poursuivre ce travail dans le sens de
l'établissement d'un al~orithme numérique, pour l'obtention
des minima cte Par6to d'une fonction convexe s.c.i., à partir
da celles des fonctions poly~drales l'approchant et dans le
sens de la g~néralisatio!1 des différents résultats à la dimen-
sion infinie.

---

B l
B L l
0 G R A PHI E
) )0«
[lJ
C. BrRCr.
Espaces topologiaues - fonctions mul-
tivoques - Dunod-Paris 19n6.
[2J
Méthode itérative de sélection de so-
lutions de probl~mes d'optimisation
~ plusieurs crit~res. Cahiers de mathé-
~atiques de la dpcision nO 7305.
[3J
C. GROS
Conjuguée d'une fon:tion vectorielle con-
vexe et dualité en optimisation convexe
multicritère.
Ann.
Fac. Sciences -
Dakar, tow~ 30, 1977.
J.
L. JOLY
Une famille de topologies et de conver-
gences sur l'ensemble des fonctionnelles
convexes. Thèse de Doctorat d'Etat.
Facultf des Sciences, Grenoble, 1970.
CSJ
K. KURATOWSKI
Topology. Academie Press
New York and London, 1966.
[5J
P. 0. LINDBERG
Fenchel duality from L.P. duality
math. op€rationsforsch,
statist, Sec.
Optimization, vol.
11, nO 2, 171-180,
1980.
r t l
L_
MOULIN -
FOGELMANN
La convexité dans les mathémati-
ques de la décision.
Hermann, 1979 .
.../ ...

---

-
64
-
GJ
R. T. ROCKAFELLAR
Convcx analysis.
Princeton University Press, 1970.
DJ
STOER-WITZGALL
Convexity and optimization in finite
dimensions 1.
Springer-Verla~, Berlin-Heidelberg,
New-York, 1970.
D.S. THIAH
Cours Oral de 3ème Cycle. 1981-1982.
on
Optimality in parametric systems.
1
VINCENT-GRANTHAM
Willey-Interscience, 1981.

---