THESE DE Ph. D
ès-SCIENCES MATHEMATIQUES
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PRESENTEE A
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L'UNIVERSITE D'ETAT DE LA BIELORUSSIE
POUR OBTENIR LE GRADE DE
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DOCTEUR ES-SCIENCES
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SERIGNE ALIOU LO
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SUJET DE LA THESE
OPERATEURS DE DEPLACEMENT AVEC POIDS
DANS CERTAINS ESPACES FONCTIONNELS
DE BANACH
0 0 0
THESE SOUTENUE LE 13 OCTOBRE 1981 A MINSK

'.'.
SOM MAI R E
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-J: - :
Pages
INTRODUCTION
1
1 • • • • • • • • • • ,

t • • • • • • • • •
CHAPITRE l
••••••••••••••••••••••••••••••••••••.••••••••
CHAPITRE II
•••••••••••••••••••••••••••• Ii •••~t •• '••••••••••
35
CHAPITRE III ••••••••••••••••••••••••• oi •• ,.-, •••••••••••••••
52
CHAPITRE r:v
.
LITTERATURE
..............................................
116

- 1 -
l N T R 0 DUC T ION
_:_z_:_:_:_=_:_:_=_:_=_
Actualité
_
4
*
du Thême - L'étude des opérateurs avec déplacement pré-
sente un grand int~rêtt chez les mathématiciens. à cause des nom-
breuses questions, se rencontrant dans divers domaines des mathé-
matiques.
Les opérateurs de d~placement trouvent leurs applications en
Théorie des équations intégrales singulières avec déplacement, en
Théorie des systèmes dynamiques, en Théorie des opérateurs de
convolution et dans d'autres.
L'étude des opérateurs de d~plaoement a connu un développement
aooru dans les travaux des mathématioiens parmi lesquels on peut
citer MOUKHELECHVILE K.I, VEKOUA K.P. , LITVINTHIOUK O.S ••
ZVEROVITCH E.I. , KRABTIENKO V.O. , ANTONEVITCH A.B., KARAPETIANS N.K.,
SAMKO S.G. , AZBELEV N.V. , LEBEDEV A.V •• GORIN E.A., KITOVER A.K.,
LATOUCHKIN y~u. D. , KOURBATOV V.G. , BEREZANSKI L.M. , BASTIAN J.J.,
JOHNSON B.E. , KAMOVITZ X. , SCHEINBERG S. , MONTADOR R.B ••
NORDGREN B.A. , RIDGE V. , CHILLS A.L•• SINKH R.K. , etc.
Actuellement un des problèmes les plus importants est l'étude
des op6rateurs avec un déplacement quelconque (iaea
pas forO§ment
inversible)a Dans cp.tte direction on peut oiter le travail de
LATOUCHKIN Y~U. D., KOURBATOV V.G. , KATS B.A., KITOVER A.K.
Dans ce travail, il a été examine certaines classes d'opéra-
teurs avec un déplacement quelconque a
• • /
• • a

- 2 -
Objet de la recherche - Nous examinons des op€rateurs
agissant dans
des espaces normés
F(X)
de fonctions sur un certain ensemble
X
de forme :
(Au)(x) • ao(x) u(x) • al(x) u(~(x)).
(1)

a : X - > X.
une application donnée de l'ensemble
X
dans lui-m~me,
a
et
Q,
o
des fonctions connues, telles que les opérateurs de multiplication
par les fonctions
a
et
al
conservent l'espace
F(X).
o
L'opérateur
Ta
entrant dans la formule
(1), de forme
(T~u)(x)

u(~(x))
(2)
sera appelé opérateur de dêplacement, et l'opérateur
A
= Ma(x)T
o
a '

Ma(x)
opérateur de multiplication par la fonction
a(x). opé-
rateur de déplacement avec poids.
Objectif de la recherche - Le but du travail est la recherche sur
des opérateurs de forme (1)
dans des espaces de fonctions. diffÉ-
rente de ~(X) et de
LP(X.u)
et dans le cas d'une application
~
non inversible.
MU;hodique de la recherche - Dans ce travail nous utilisons les
méthodes de la Théorie des algèbres de Banach, des C~-alg~bres
et de leurs représentations, la Théorie ergodique, la Théorie des
fonctions intégrales fonctionnelles et des opérateurs différentiels,
la Théorie des perturbations des opérateurs linéaires, la Théorie
de FREDHOLM.
... / ...

- 3 -
Nouveauté scientifiaue et portée pratique du travail.
Pour la première fois, dans ce travail, a ét~ décrit complè-
tement le spectre d'un opérateur quelconque de déplaeement dans
l'eepac~ des fonctions continues Bur un espace topologique compact
et quelconque. Nous avons donné la forme d'un endomorphisme d'une
algêbre commutative eemi-simple de Banach.
Il a été obtenu la formule du rayon spectral de l'opérateur
Ma(x)Ta
pour toute applioation a dans l'espace des fonctions continues
sur un espace topologique compact ; Nous avons isolé des classes
d'application
a 1 pour lesquelles, la recherche de l'inversibilité
de l'opérateur de forme (1)
se ramène ~ la recherche d'ln opérateur
auxilliaire avec une application
a inversible j nous avons établi
une relation entre le spectre de l'opérateur
Ma(x) Ta
dans l'espace
des fonctions de classe
~k(X)
avec le spectre d'un autre opé-
rateur dans l'espace ~o(X). Il a été isolé
un~ certaine classe
d'espaces et d'applications a • pour lesquelles la formule du rayon
spectral connue seulement pour les espaces
~(X) et LP(X.u),
reste vraie.
Les résultats du travail sont déjà utilisés par d'autres
mathématiciens dans leurs recherches sur les opérateurs de déplace-
ment.
Les résultats ont toua étaient publiés.

- ~ -
CHA PIT R E
l
LES
OPERATEURS
DE
DEPLACEMENT
DANS
.-------------------------------------
L'ESPACE
DES
PONCTIONS
CONTINUES SUR
--------------------------------------
§1 - LE SPECTRE DE L'OPERATEUR DE DEPLACEMENT DANS L'ESPACE
(X).
Soit
a
: X --> X
une application continue sur un espace topo-
logique compact
X
dans lui-même ; ~ (X)
désigne l'espace de
Banach des fonctions continues sur l'espace
X
et A valeurs dans
le corps des complexes
œ , muni de la norme du suprémum.
Nous appelerons opérateur de composition ou opérateur de dépla-
aement dans l'espace ~(X), engendré par l'application
a J Itopé-
rateur
Ta ' agissant dans l'espace ~(X)
par la formule:
,
u S't;'(X).
0.1)
Noue ferons une certaine répartition des app'l Lca t Lona
a , liée 2.
leurs propriétés sur les parties de
X.
Examinons d'abord quelques exemples.
1.
Prenons
X = /ll,2~] et
a
, x - > a (x)
= 1sin xl.
Cette application n'est ni injective et ni surjective sur
X, mais
pour tout entier naturel
j)l
elle est injective sur la partie
j
a
(X) c: X
et n'y est point surjective.
2.
Prenons
X = 10,2_]
et
a , x - > a ( x ) :
~Isinxl.
Cette application n'est ni injective et ni surjective sur aucune
partie
aj(x)
de l'espace
X, j
= O. 1, 2 p ••
... ...
/

- 5 -
3.
x =IO.2n]
; a : x--> c tx ) =; 1 sin xl.
Cette application n'~st ni injective et ni surjective sur l'espace
x •
mais elle est injective et surjective sur le sous-ensemble
a(X).
4.
x = @.2n]
; a
x-> o Ix ) = zn j s In xl.
Cette application est surjective, mais elle n'est pas injective sur
l'espace
X.
5.
Prenons
X = r-l,l]
, a : x-> o Ix ) = [x] ,
Cette application n'est ni inJective et ni surjective sur l'espace
X~
mais elle est injective et surjective sur le sous-ensemble n(X) =1.,9,1]
de l'espace
X.
6.
,
a : x-> a(x) = Ix+ll-l.
Cette application n'est ni injective et ni surjective j mais sur la
partie
cdX) :: r:l,1] elle est injective et surjective et de plus
périodique de période 1.
Enfin
7.
Prenons
X = 1-1,3]
; a : x -> a(x) = Ix-ll-l.
Cette application n 1est ni injective et ni 8urjective • mais sur la
partie
n(X) ;; 1-1,1]
elle est injective, surjective et périodique
de pêriode 2.
En liaison des différentes propriétés que peut avoir l'applica-
tion
a.. il nous est nécessaire de formuler certaines définitions.
Comme il apparaïtra plus tard. de ces propriétés dépendront les pro-
priétés spectrales de l'opérateur
Ta."
Défin_~tion 1. Une application
a. d'un ensemble
X
dans lui-même sera
dite potentiellement surjective. s'il existe un entier naturel
tel
N
que pour tout entier
n >N
nous avons
= a O(X).
o'
... / ...

- 6 -
D~finition 2. Une application
a d'un ensemble
X
dans lui-m~me sera
dite potentiellement injective, s'il existe un entier naturel
No
No
tel que l'application
" est inj ective sur la partie " (X) Le.
tout entier
2
~
,,~(x)
~
pour
>N
de
= c (y)
,
(x,y) 9 X
0
No
No
On a
c
(x)
=
c
(y).
D~finition 3. Une application
a
d'un ensemble
X
dans lui-même sera
dite potentiellement bijective si elle est à la fois potentiellement
injective et potentiellement surjective.
Nous dirons qu'une application
Cl
sur l'ensemble
X
est bijective
si ell~ est bijective au sens habituel.
Définition 4. Une application
Cl
d 1 un ensemble
X
dans lui-même est
N
dite pêr-dod Iqu e et de période
" O(x) :: x
si
x e X
et
~
c
(x) i
x
pour tout entier naturel
R..
,
tel que
t (N •
o
Par définition
et
.._,
lN
et
désignent respectivement l'ensemble des entiers naturels
et le corps des nombres complexes.
Par ~ 1
et
Sl
nous comprendrons les ensembles
{À Sa::
1;\\ le 1}
I~I = 1)
respectivement.
Pour le point
x
de l'espaCE:
X
nous dirons qu'il est de pêl"iode
j
9 lN
si sa trajectoire contient
j
points distincts Le.
et
avec
C <2. <
k s j-l,
j> 1.
et il sera dit fixe pour
j
= 1.
Si
West un certain ensemble et
Cl
,
une application de
W dans
LuLe-même , alors par
P(a,\\'!)
nous désignerons l'ensemble des pêr-Lode s
de tous les points de l'ensemble
W.
.../ ...

- 7 -
Notons que la période de l'application
Cl
(de l'espace
X
sur
lui-m~me) peut ne pas être la période d'aucun point de
X
si pour
X nous prenons par exemple trois circonférences concentri-
( .2.::: 1,2,3)
de centre au point
0::: (O,O)
et examinons
l'application
a
Bur l'espace
X
telle que
. 2.
l - -
n~
z ---> a(z) = z
e
= ~ + 2
pour
Z 6 SR,'
Alors
P(a,X)
= {3,4,5)
tandis que la période de l'application Cl
est égale à 60.
Nous noterons le spectre de l'opérateur
Ta
Le théorème suivant décrit toutes les formes possibles du spectre
de l'opérateur
Ta"
Théorème 1.1.: Soit
Ta
un operateur de forme (1.1)
dans l'espace
16b(X). Seuls sont possibles les cas suivants:
1. Si
Cl
est une application périodique, alors
6(T
est
a)
l'union des racines de l'unité d'ordre j
i.e.
=
{).SŒ:
2. Si
a
est une application bijective mais non périodique alors
=
3. Si
a
est une application potentiellement bijective. a(X) " X
sous-ensemble ~:::
N
et sur le
a O(X)
elle est për iod i.que et
de période n, alors
= {O) U~.J
0, S Œ
À j
= 1) , où
jSP(a;S'; )
l'application
a
est bijective sur am(X)}.
... / ...

- 8 -
4. Si
a est une application potentiellement bijective et non
:fr
N
périodique suz- le sous-ensemble
Ji., = Ct °eX), alors
ô(T)
= toi U Sl
a
5. Si
Ct niest
pas une application potentiellement bijective,
alors
Démonstration.
Remarquons avant tout que l'opérateur
Ta
est borné et que sa
norme
Il Ta. Il est égale à 1 et par conséquent son spectre
est contenu dans le disque unitaire é~ 1.
1.
jo
un élément de
P(atX)
et le nombre
). de
li:
t ets
que
1. Nous allons montrer que
À
appartient au spectre
Ô(T )
de l'opérateur
Ta"
a
Désignons par
j
la plus grande des périodes, multiples de
jo
et
Xc
le point de période j .. Choisissons un voisinage nJ- du point
xQ
tel que
O~k, i'-j - L
Montrons que tous les points de ce voisinage sont de période j. En
effet, si la périude du point
x de ~ est
t
alors
nécessairement
le point
C1~(X) appartient à 'l'+-" et il s t ensud.t que t est un mul-
tiple de
j. Mais puisque par définition j
est le plus grand des
multiples de
J"
alors
~ = j
i.e. que tous les points du voisi-
0'
nage
de
sont de période J.
Considérons la fonction
~ Q '{;(x)
telle que ~ ~ a
et dont le sup-
port eupp ~
est contenu dans V- . Alors la fonction
j -1
À -i <1>0 et i
s
=
l
i=a
vérifie
T
g
Àg
-
a
a
••• 1•••

- 9 -
Le.
À
est une valeur propre de l'opérateur
Ta,.
Maintenant montrons que si
Àj # 1
pour tout entier naturel
j
de
P(a.,X) , À 6 œ J alors
À
est une valeur régulière de l'opérateur
Ta," Pour cela, montrons que pour toute fonction
h 6 ~(X), il existt
une solution unique
f
6 X;CX)
de l'équation
Ta f
- H
=
h
(1.2)
j
Soit
at(x)
= x , t El P(a,X)
et
I
f. 1
si
j
El P(a,X).
De l'équation
(1.2)
nOUG obtenons:
f(,,(x»
=
H(x) + ht x )
~)
f(,,2(x»
= ),2f(x) +
),h(x) + h(,,(x»
1\\
.
. . .
. .
.









\\
t-1
,
.
l
),t
f'{x ) +
),"->-1
1
i=O
j
'..../
t
Puisque
a
(x)
= x
et que
1 - ).t ~ 0 , alors de la dernière équa-
tian du système (1.3)
nous définissons de façon unique
(1. 4)
Notons que si pour le point
x
nous avons
certain
k 6 IN
et
k < R,
J
alors
r Cx )
peut avoir une autre repr6-
sentation et plus explicitement
f(x)
=
Il nous reste à prouver que la fonction
f
est continue sur l'ensem-
ble
X.
... / ...

- 10 -
Soit
R.
un é Lêment de
PCCt,X),
X9.,
un GOUS-(": •• .mb e fermé, composé
ï
de points
x
t~;ls que
a,9.. Cx ) = x. De la formule
(1.~) il est
évident que la fonction
f
est continue sur le BOlls-ensemble
Xi"
Ainsi donc, l'espace
X
est enveloppé par un nombre fini de sOUB-
en s cab Le
Xi
de telle sorte que la restriction de
r sur chaque Xi
est continue, donc
f
est une fonction continue sur tout l'espace X.
Remarque: Au lieu de l'ensemble
p(a,X)
des périodes des points de
l'ensemble
X
nous aurions pu dans la formulation du théorème pren-
dre un plus petit ensemble
Po (o.,X)
: pour chaque j
appartenant à
pea,X), de toutes les périodes multiples de
j, dans
poCa.x)
nous
incluons seulement la plus grande.
2.
Cette assertion découle par ~xemple d'un théorème beaucoup plus
général de Kamowitz Sc he dn ber-g
1}9-3Q-q4]
si
T: B _.
_...> B
est un automorphisme non périodique d tune algèbre
commutative de Banach semi··d.mple B
alors la circonférence unitaire;
J
Sl
est contenue dans le spectre
6(T)
de l'opérateur
T. En réa-
lité, l'opérateur
T
dans ce cas est un automorphisme d'algèbre
a
cs>
-o (X). De là nous obtenons aussitôt l'assertion 2 du théorème puis-
que la régularité des points
À 6 a:
contenus â l'intérieur du d Ls quc
unitaire
décolile du fait que le spectre
de l'inverse
, 1
borné
à l'opérateur
se trouve dans le disque
Nous donnerons une démonstration indépendante de
119-30-4-4]
POUl'
le cas de l'espace
,
Lemme 1.1.
.
l '
SOIt
c..1 "1
la fermeture de l'algèbre eneendrée par les
-1
combin3isons finies des opérateurs
Ta
et de
J
Ta
,;;>
cp
leurs puiesances dans l'algèbre
o ( lo (X) )
de tous lE;;8
... / ...

1
-
11 -
1
opérateurs linéaires continus de cg(X)
dans Iuf.-même j
s o ,•t
{u1
~
l ' a 1 -
ge b
re d
es "
ser~es a b
sa I t
umen
convergent es
2
sur la circonférence unitaire
i.e.
J..


zk
i El
,
,
2 = t r (z)
f(z)
e
=
l
Ck
l
1ckl<œ
z =
k=-"'
k=---
o , e , 2.)
Ji
où la norme de
f 9
est définie par
2
k
=
,
f(z)
=
z •
Si l "app Li.cat Lon
Cl
n'est pas pêr-Iod Lque , alors 11appli-
r
r.
cation
f
:
(Hl
_>c./~ , donnée par
r
>
r
k=-m
k=-m
est un isomorphisme isométrique d'algèbres.
Preuve du lemme 1.1.
r
Soit
a::
C
T~ . Puisque
k
Cl
est une application non
k=-m
\\
périodique alors il existe un point
XO
de l'ensemble
X
de t.r-a-
jectoire infinie. Désignons
ak(xo):: x(k)
J
k 9~. Parmi les points
de cette trajectoire prenons les points
x(k)

-m'k'm. Soit
'l"j(k)
x(k)
ai(" .. Ik))'" ""(j) __ ~
1
un voisinage du point
tel que
~
t 1 U
W
si
i
+ k '# J.
Prenons les fonctions
~ (k) de CC:(X) définies par
1 ckl
si
x = x(k)
et
• (k)(x)
=)~
1 0
si
x ~tt(k)
"-
ou
mais
Soit
.= 'f .(k).
k=-m
••• 1 • • •

- 12 -
m
m
Tj
(a ~ )(x)
=
l
re.
[
~(k)(x)])
m
m
~ (k) (aj(x)).
a
l
= .I
l
c j
j=-m
J
k=-m
J =-m
k=-m
Pour
o
x = X
m
(a $)(xo)
~(j)(x(j))
=
l
C,
=
r 1cj 1•
j e -m
J
j =-m
De lit nous déduisons que
m
Il a Il
~
l
1C .1 ,
j =-m
J
D'autre part
m
,
Il a Il
l
1ckl
,
IIT~
=
r
Il
1ckl

k=-m
k=-T,1.
d'où
r
Il a Il =
1C
0.5),
k 1
k=-m
Par conséquent l'application
J
est un isomorphisme isomêtrique
d'algèbres
(A"! et fir
Maintenant continuons la démonstration du point 2 du théorème. En
vertu du lemme 1.1. le spectre
o(Ta'~1) de l'élément Ta dans
l'algèbre
v4,l coincide avec le spectre
6(Z'~2) de l'élément
z
dans l'algèbre
u0 " Mais le spectre
cA
ô l
)
z
,
2
2
e s t
l a
c
i . r c o n -
férence unitaire
Si. De plus le spectre de l'opérateur
Ta
par
définition est son spectre dans l'algèbre
':;1 ( ce (X) ), En général
le spectre dlun ~lé~ent dans une sous-algèbre peut être différent
de Bon spectre dans une a Lgê br e beaucoup plus étendue. Mais en vertu
du t-héor-ème 10. 18 13lù
le spectre dans une sous-algèbre peut être
obtenu en ajoutant les sous-ensembles bornés à la fois fermés et
ouverts du résolvant. Si le spectre
6(Ta)
dans c:g(X)
ne coincide
pas avec la cir~0nférence unitaire
Si, aIras le résolvant ne possède
... / ...

- 13 -
pas d'ensembles bornés fermés et ouverts à la fois et donc ne peut
être obtenue lors du passage à la sous-algèbre en qualité du spectre
une circonférence, donc, le point 2 du théorème est démontr~.
Avant de prouver les points 3 - 4 du théorème 1.1. examinons encor~
un autre lemme auxilliaire.
Si
~ est une application potentiellement bijective, alors le
dé' __
"no (X)
sous-ensemble
-~
~
est invariant par rapport à
a • C'est
pourquoi nous pouvons examiner l'opérateur
TaI.
, donné dans
l'e spac e
CC;, C-..\\!;)
par
(l'~/".U)(X)
=
u Cc tx )

x e
Nous désignerons cet op~rateur comme l'opérateur initial
i.e.
Lemme 1. 2 • Soit
a une application potentiellement bijective et
n
cf'n
a 0 (X)
=','·,#.x.
Alors,
ô(T«X»
~.
v
= (al \\j

no = min
{TI s: lN
l'application a
est bijective sur an(X)}.
Démonstration. Montrons que si l'application
a
n'est pas surjective,
alors l'opérateur
T
dans l'espace
~(X)
n'a pas d'inverse i.e.
c
a e
ô(T
,~(X).
c
Puisque 'Y~ 1- X , alors
a(X) # X
et en vertu du lemme d'Urisohn
il existe une fonction continue
g
X -> œ J g ~ 0
telle que
g(xl = a
11 x e
~(X). Dans ce cas
(T~g)(X) = g(~(x») = a
pd sque
~ (x) e
~ (X)
pour tout point
x
de l'ensemble
X•
.../ ...

- 14 -
Donc l'opérateur
Ta
possède un noyau non nul et par conséquent il
n'est pas inversible.
Supposons que l'application
a ne Boit pas injective. Montrons que
dans ce cas le transformé de ~(X)
par l'opérateur
!.
n'est pas
tout l'espace
~(X).
En réalité, si
n(x
=
c)
n(x }
pour un certain couple de points
l
Yo et
xl
distincts de l'ensemble
X~ alors pour une fonction
h
quelconque de
TaC '.g'(x»
nous aurons
h(X
= h(x
Mais puisque
o)
1).
l'espace
·~(X)
sépare les points de l'ensemble
X, alors l'ensem-
ble image
Ta (r.:.& (X»
ne coi'lcide pas avec tout l'espace ce.(X),
donc l'opérateur
T
est non inversible.
a , e ,
a El ô (Ta' 't!?(X».
Montrons maintenant que si
À
n'appartient pas au spectre ô (Ta. %(J[ »
de l'opéra.teur
Ta dans l'espace
c.g(c-y;) ct À#.O J alors l'équa-
tion :
Àf
=
g
0.6)
admet une solution unique pour n'importe q~elle fonction
g
de
l'espace
'!?(X)
Le.
À
e
ô (Ta' ''t6 (X».
Puisque
À
e
ô (Ta.
'
(:.;..; (cy~' »
l'équation
(1. 6)
admet une solu-
tion unique
f
sur l'ensemble
~ . Montrons qu'on peut prolongbr
o
cette fonction de façon naturelle jusqu'à une solution de l'équation
(1.6)
sur tout l'espace
X.
Soit
De l'équation
(1.6)
nous obtenons
À -1 fora (x»
_ À -1 g l x )
-2
À
g(a(x»-
n
n
o-1 À i-1 g(ai(x»
- À -1 g(x) = ... = À-no fora orx»~
l
,
i=O
J,..,
, .1:.'
1"
'~••
pour
x El Je

g s
b ( .r- ) .
• •• 1 •••

- 15 -
n -1
-n
o
Posons
f'{x )
= À
0
l
<1. 7)
i=O
pour
x G X.
Pour chaque point
x
de l'espace
X, nous avons
et
donc le membre de dr-o i.t.e de
(1.7)
est défini de façon univoque et
en plus
f
f
sur 'Ji.' . Il est clair que
f
8
cg (X)
et que
f
o"
est solution de l'équation
(1.6).
Pour la démonstration du lemme 1.2 il reste à prouver que
Pour cela, il est largement suffisant de montrer l'inclusion inverse
pour les ensembles résolvants.
Supposons que le complexe
À
soit une valeur régulière pour l'opé-
rateur
Ta
dans l'espace ':g(X). Prenons la fonction
go 8 cg <'31; )
et prolongeons la jusqu'à une fonction
g
continue sur tout l'espace
x. La solution de l'équation (1.6)
sur tout l'espace
X
existe et
est unique et sa restriction sur l'ensemble L~
est solution de
l'équation (1.6) dans l'espace
Supposons, que l' équqt ion homogène
À f
"
0
(1. 8)
admette dans ltespace
"G(~)[) une solution non nulle f o•
Alors de la formule (1.7)
nous aurions que la fonction
-n
f
= À
0
f o 0
serait solution de l'équation homogène (1.8)
dans tout l'espace
X
ce qui contredirait la régularité de
À
et le lemme 1.2. est prouvé.
Continuons maintenant la démonstration du théorème.
... / ...

- 16 -
Les assertions formulées aux points 3 et 4 du théorème 1.1. découlent
immédiatement des points 1, 2 de ce théorème et du lemme 1.2.
;
5.
a) Supposons tout d'abord que l'application
~ ne soit pas po-
!,
tentiellement surjective. Dans ce caS les inclusions liant cette
chaine dtensembles embo1tés sont au sens strict:
X
:J "(X) ::> ....
...
1
1
Puisque
X =
(X, ,,(X)
','
,,(X)
, alors
i,
"n-l(X)
= "n-l (X' ,,(X») U
"n(X). Etant donné Cjue
"n(X)
1
est strictement contenu dans
nn-l eX) 1 alors
,
i.e.
n-l
il existe un point
Xc S (X \\ a(X»
tel que
Cl
(xc)
ntappartien-
ne pas il
"n(X)
~
e t par cons é quen t
l es
'
pOln t 5
Xc'
Cl ( X ) '
..• ,
a
an-l(x
sont tous distincts et n'appartiennent pas à
nn,X).
c)
Fr
'
,
0
a.
.
n ( )
tel que "--nA, .n+l (X)
= 111
enons un vo~slnage
I/
du pOlnt
Cl
Xc
./
n
1.
~
-
et
Soit
go
une fonction continue de 'e(X)
telle que
IIg l
= s ,
o
go ("n (x
= 1
et de support
supp go
dans
1~.
o»)
Définissons la fonction
il
par
n
À n-i
g(x) =
C"i(x»
.I
go
=
l=O
Nous remarquerons que
(Tn+ l go) (x) =
u
coneê quen t
.../ ...

- 17 -
Ainsi donc nous avons l'évaluation suivante:
,
(1.9)
puisque
i.e.
Du fait que
n
est un entier naturel arbitraire et que Ixl<l
de
(1.9)
nous obtenons que l'opérateur
Ta
- XI
n'est pas borné
inférieurement, donc n'est pas inversible.
b) Supposons maintenant que
a
est une application potentiel-
lement surjective mais pas potentiellement injective.
L'opérateur
conjugué
T~
à l'opérateur
agit dans le conjugué de l'espace
a
(~(X) par la formule
T~ f)(h)
=
,
f
6
r~(X)]~
,
i.e
f
est une fonctionnelle linéaire continue sur ~(X).
Montrons que si
0<1'-1 < f , alors
'- 6
6(T:
,[CG(X)]~)et
par conséquent,
À
appartient au spectre de l'opérateur
Tao
Supposons que À e
6 (T~ ,
['f;(X) ]~), Dans ce cas
T~
a
a
po s sèd e un inver se borné
(T~ - '-1)-1 , i,e.
pour toute fonction-
a
est vraie l'inégalité:
Il (T~
xr ir Il
Il
a
f
Il
(1,10)
Prenons
n
suffisamment grand pour que
<
En vertu de la non injectivité de l'application
sur l'ensemble
n
a o(X)
( no = min { n S JN : l'application
Cl
est surjec-
an (X)
tive sur
il existe des points
et
de 1 t ensemble 'Jt
.../ ...

- 18 -
tels que
xl • Y mais
a(x
~
a(y
~
Pour les m~mes raisons
1
1)
1)
x o'
nous trouvons les points
x
et
de l'ensemble cz"r
2
Y2
Jo<.. • x 2 • Y2
mais
a(x
Nous cont inueron
2) ~ xl •
a (Y2) ~ Y1,
5
ce processus
jusqu'à l'obtention des points
et
Y
de l'ensemble}'
,
tels
n
Maintenant définissons la fonctionnelle linéaire
n
C(h)
L
i
À
(h(Xi)
-
h(Yi»'
i::l
Cette fonctionnelle est bornée et de plus
Il (T~
1
f) (h)
(H)(h) Il
,
2 IÀl n +
Ilh Il < fr Ilh Il
en vertu
de
(1.11) •
Deux cas seulement peuvent se présenter
1)
/lcil. 0
et dans ce cas nous entrons en contradiction avec
(1.10).
2)
[r ]
~
0
Si parmi les éléments
v
y
., i '
j
l(i, j(n
i l existe des éléments
identiques nous réunissons les termes semblables et réécrivons
la fonctionnelle
f
sous la forme
C(h)
~


Ck(À)
sont des polynômes par rapport à
À.
Si
C(h) ~ 0
pour toute Conction
h
de ~(X)
alors
Ck(À) ~ 0
et par suite
À
est racine du polynôme. Dans le cas où
À
n'est
pas racine du polynôme, alors nous serons en contradiction avec
(1.10) et par conséquent
À
appartient au spectre

- 19 -
Mais un polynôme a un nombre fini de racines. Et ainsi donc tous les
points du disque ouvert à l'exception d'un nombre fini de pointa ap-
partient au spectre
6(T)f,
r~(X) ]Jie). Mais un spectre est fermé.
a
-
ce qui entraîne que tous ces points et la circonférence unitaire
Si
appartiennent aussi à
6(T" ,
,-,
,_(X) ]" J.
a
Ainsi donc le théorème est complètement démontré.
Notons que la condition de compacité de l'espace topologique
X
est fondamentale. ~ous donnons un exemple c0rrespondant
Exemple : Sur l'ensemble
IR
des nombres réels examinons la plus
faible des topologies contenant les intervalles
Ja,be ' cü aco ,
b.fO
et les semi-intervalles
@ d [
• ail
c)O J a>n.
L'espace topologique ainsi obtenu sera désigné par
X.
Définissons l'application
Il
de
X dans lui-même par la formule
c f x)
=
x
-
1
Cette application est continue et bijective. Dans l'espace CB(X).
des fonctions bornées et continues par rapp~rt à cette topologie
donnée et à valeurs complexes sur
X. avec la norme du supremum.
Le.
IIf Il
=
sup j r Cx ) 1 ,
f S
CB(XJ,
l'opérateur (Taf)(x) = f(x-I)
xSIR
est borné et
Il Tlll\\ = 1 mais l'opérateur Ta n'est pas inversible.
En réalité la fonction
f
appartient à
CB(X)
si et seulement si
elle est continue au sens habituel aux point s
x<O
et semi-cont inue
à droite aux points
X~O.
Ainsi. la fonction se trouvant dans l'espace image de
Ta
i.e.
la
fonction
h
de forme
h(x) = f(x-1)
pour un certain
f S CB(X)
est continue au sens habituel sur
]0.1 [
ce qui veut dire qu'elle
n'est pas une fonction quelconque de l'espace
CB(X).
... / ...

- 20 -
Un résultat analogue au théorème 1.1. a été indépendamment obtenu
par Kourbatov
V. G.
1]3]
Le théorème 1.1. est la généralisation du théorème
~7]
de
Bruce Montador pour le cas du segment 10,1]
Notons que pour le compact
ra J 1] J toute application continue de Cl;
segment dans lui~ême périodique ne peut être qUE de période 1 ou 2.
Pour la démonstration de ce fait établissons d'abord la proposition
suivante.
Proposition 1.1. Toute application continue et injective d'un segment
de
lR
dans lui-même croît ou décroît au sens strict.
Demonstration.
,S(
Soient
et
deux points d Lat Lnçt.s de
Ja,b[.
En vertu de l'injectivité de l'application
0..-
~~& j~ons a.(x t ) ;cr.(x2).
Pour fixer les idées, supposons
x
Ainsi donc-J' ii y a deux pos-
t<x 2 0
sibilitês :
i)
a(x ) > a(x )
1
2
ii)
a(x ) < a(x ) .
1
2
Montrons que si le cas
i)
est r êa l Lsë , alors l'application
a est
strictement décroissante et que
si le cas
ii)
se réalise, Lt app L'i>
t
cation
a est strictement croissante.
Supposons réalisé le cas
i)
et so it
élément de
]x 2,b].
Si
a(x
était inf~rieur strictement à
a(x ) , alors en vertu
2)
3
de la continuité de ltapplication
a il existerait un élément
tel que
Y
=

1
... / ...

- 21 -
x
r
l,2 S ]xl'X 2
et
X 2 , 3 s ]x2,x3r ; ce qui est impossible puis-
que l'application
a est injective. Par conséquent, pour tout §lé-
ment
x
de
]x
nous avons
2,b]
Soit maintenant
Xc
un élément de
1~,x;J. Si
alors à cause de la continuité de l'application
~,il existerait
un élément
Yo
de
tel que


Ce qui est impossible puisque l'application
a
est injective.
Par coneêquerrt pour tout
x
élément de
ra'X [nous avons
1
a (x)
> a (xl)'
a(x
>
a (x)
2)
pour tout élément
x
de]x
et,
2,b]
a(x
<
a (x)
2)
pour tout élément
x
de]a,x l]·
Il s'ensuit
a(x 2) > a (b )
et
a(a)
> a(x l
pour
x 2 ~ b et
xl ~ a.
En appliquant ce qui v5ent d'~tre prouvé en changeant
x
par
2
xl
et
xl
par
a
nous obtiendrons que
a(x
>
a(x)
l)
pour tout
.
élément
x
de
]xl,b] , et en chanBeant
xl
par
x
et
x
par
2
2
b
nous aurons
a(x
<
a(x)
2)
pour tout élément
x
de ra. x2 G
Puisque
a(a)
>
a(x)
pour tout élément
x
de ]a,b]
et
a(b)
< a(x)
pour tout élément
x
de
ra,b[ , alors si les élé-
ments
2
et
1
z2
appartiennent à
]a,b[
et
:?:1 < z2
nous
aurons
a(zl)
> a (z2) . (Il faudra changer
xl
par
a
et
x 2 par
Zl' ou
xl
par
2
et
x
par
b
et appliquer ce qui vient
2
2
d'être démontré ).
... / ...

- 22 -
Ainsi donc nous avons prouvé l'assertion
i).
Pour le cas
ii)
il suffit d'utiliser la transformation
----> -a
Conséquence 1.1 : Si une application continue
a
applique bijective-
ment un segment I"gJ b]
sur lui-même alors
i)
a(a) = b • a(b) = a
et l'application
a
est strictemeDt
décroissante
ou bien
H)
a(a) = a ,
a(b) = b et l'application a est strictement
croissante.
La preuve de cette conséquence découle directement de la proposi-
tian L 1.
Proposition 1.2. Toute application périodique et continue
a d'un
segment
1 a. b]
dans lui-m~me est de période 1 ou 2 seulement.
Démonstration
Remarquons tout d'abord que toute applic~tion périodique est
bijective. C'est pourquoi en vertu de la conséquence 1.1. seuls deux
cas restent possibles :
i)
a(a) = a
et
c Lb ) = b
ou
ii)
a(b) = a
et
u f a ) = b.
Montrons que si le cas
i)
se réalise, alors
c Cx ) _ x
i.e.
l'application
Cl.
est de pêr iode 1.
Désignons par
M = lx 8 ra, b]
,~\\"(x) ~ x l , L'ensemble
M est
ouvert dans
.
b i S '
a, . ' .
...
M
est non vide, alors il est une union
... / ...

- 23 -
d'intervalles disjoints. Soit
]xl'x r un de tels intervalles com-
2
posant l'ensemble
M.
,
a(x
mais
a(x) .. x
pour
2 ) = "2
Xl < x < X
et
a(x)
;>our
x
2
8 ]xl'x 2 [
8
]xl'x 2 [ .
Pour fixer les idées nous supposerons
cf x) > x. Ceci donne
D'où quel que soit l'entier naturel n,
an(x) ~ x
i.e.
l'application est non périodique, ce qui est en contradiction avec
l'hypothèse. Donc
M = 0
et
c Ix ) " x.
Pour le cas
ii)
nous obtenons
2
au cas
i)
nous avons
0.
{ la,b] }
=
la,tIT
i.e. l'application
c
est de période 2.
Dans le cas du segment
X;;;
rO,l] , l'ensemble des p~riodes
P(a,X)
'~.>{1,2).
Dans le cas de la circonférence unitaire
Si = X
l'application
a
peut être de période n quelconque. En guise d'exemple il suffit
de prendre l'application
• 2 TI
t
l -
S7·,X --> a(x)
;;; xe n
Mais dans le cas
X;;; Si J l'ensemble des périodes
P(a,Sl)
ne peut
pas être quelconque
si l'application périodique
a
J
de période n
conserve l'orientation, alors tous les points ont la même période n ;
mais si l'application
a
change l'orientation, alors il existe deux
points fixes (de période 1) et tous les autres roints sont de pério-
de 2
DD.
... / ...

Montrons que pour tout ensemble fini d'entiers naturels
{ni) n , ••• , n
i l existe un espace topologique compact
X
et
2
m}
une application périodique a
tels que
P(a,X):
{n
n2' ••• '~}
l,
Pour cela prenons en qualité de
X
la réunion de
ID
circonférences
deux à deux disjointes et l'application
a
ainsi définie sur
X :

2TI
l~
S. J x ----> a(x)
e J

= x

X = LJ
S .•
"
n1'j'nm J
Ainsi donc, le spectre de l'opérateur
Ta
, pour une application
périodique
~, peut être une réunion arbitraire finie de sous-
groupes finis de la circonférence
Si ={ z e lI: :
Izl
= il ,
1
!
considérée comme un groupe par rapport à la multiplication.
1
j,
Notons aussi qu;il peut arriver que tous les points de l'ensemble X
soient périodiques, alors que l'application
a
ne le soit pas.
1
Examinons maintenant certains exemples.
\\
1.
X =
IO,2IlJ
et
1,
x
- >
Isin xl
Puisque
a(X);;;
IOJ1] 1- X,
l'application
Cl
n'est pas surjective
et du fait que
a(O)
=
o(TI),
elle n'est pas aussi injective. Mais
sur le segment
ra, 1] = ~(X), l'application ~ est injective
\\
(
[s In xl
sur
10,1]
est une fonction strictement monotone).
Danc l'application
Cl
est potentiellement injective; en plus,
puisque
sin x < x
pour tout
x
de
]O,lJ J l'ensemble image
\\
1
n
a +1 (X)
es t un sous-ensem bl e propre ct e
Cln(X)
et par conséquent
1
l'application
a
n'est pas une bijectjon sur
Ainsi l'application
a
n'est pas potenti~llement bijective et en
vertu du théorème 1.1. le spectre de l'opérateur Ta ' agissant danE
l'espace 't;;1~,21T] , par
f - > f 0 ~
c oLnc Lde avec
@1 •
.../ ...

1
- 25 -
1
2.
X = IJ>.2w]
x
~Isin xl.
1
Cette app l.d ca t Lon
Cl
n'est ni injective et ni surjective puisque
a(X) =
~.w]
~ X
et
a(O)
=
a(w). Mais
al Il>.~]) =
~.~], Le'.
que l'application
Cl
est potentiellement surjective avec a(O)
= a(~).
Donc cette application est potentiellement surjective sans être
potentiellement injective. En vertu du théorème 1.1., le spectre
de l'opérateur
Ta
dans l'espace
eç;"lü,2lT]
Ahl.
est le disque
sz>
3.
X = ra,2w]
x ->; Isin xl.
De
a(X) = ra, ; ] ~ X
et
a(O)
= a(w)
nous avons la non injec-
tivité et la non surjectivité de l'application
Cl

De plus
a{@,;j)
=
ra" ;] et sur l'ensemble 10, ;] l'a.pplication
est injective
i.e. que 11 a ppl i c a t i o n
Cl
est potentiellement bijective.
Sur
I],;J l'application Cl n'est pas périodique et par le théorème
1.1., le spectre de l'opérateur
Ta
sur cgrO,21T]
est
ô(T
,
(;10,2w])
= (a) U Sl
a
4.
X = ra, 2w]
x ->2w 1sin xl
Puisque
a(X)
= @,2w]
et
a(O)
=
a(~), ~lors l'application
a
est surjective mais non potentiellement injective et par conséquent
le spectre de l'opérateur
Ta
5.
X = @,2w]
x-> w
Jf l '
s an x 1
... / ...

- 26 -
Puisque
c Oï ) = 1"0, ~] 'X
et
a (0)
=
a.(n)" alors l'application
a
n'est ni injective et ni surjective. De plus sur le segment
1'"0" ~]
l'applicat ion
0.
est monotone croissante, i. e , qu i elle est inj ective
sur le segment
la, i J.
D'autre part
i.e. l'application
a nlest pas potentiellement surjective. D'Où,
le spectre de l'opérateur
sur
est le disque
,G 1.
6.
So ient
X = 1::3,1]
et
x - > Ix+1I-1.
Puisque
a(X)
= 1::1,1]
,
1-3,1]
et
a(-3) = a(l), alors l'appli-
cation
a
n'est ni injectjve et ni surjective. D'autre part sur
nous avons
a(x) = x
Le.
donc que l'application
ct
est bijective et de période 1 sur l'ensemble o.(X), ou encore que
1
1,,
cette application
Cl
est potentiellement bijective et périodique sur
a (X) •
Le spectre de 1 t opérateur
Ta.
est composé de deux
points
0
et
1.
7.
Si
X = 1.;:1,3]
et
x -->IX-11-1
a(O)
=
0(2)
i.e. l'application
a
n'est ni
surjective et ni injective. Mais sur l'ensemble Cl(X) = Gl~l] ,
a(x) ;:: -x , donc l'application
Cl e s t
bijective sur cette partie de
X
et
a 2(x) ;:: x. Par conséquent l'application
a sur
X
est po-
i
tentiellement bijective et périodique de période 2 sur «oo . DIa
1
D'autre part
0.(0)
;:: 0,
ce qui donne que
P(aJX)
;::
{1~2}.
l
•• • 1 •••
1

- 27 -
En vertu du theorème 1.1.
§2.
LES ENDOMORPHISMES D'ALGEBRES COMMUTATIVES SEMI-SIMPLES DE BANACH
Soit lA une algèbre commutative semi-simple de Banach avec
unité. Nous réalisons (..11 comme une sous-algèbre des fonctions continues
sur L' e space
X
de a idéaux maximaux de llalgèbrec.A, Lc e , ,_J1,c~'(X).
Remarquons tout ct 1 abord que tout cpêrat eur de la forme (Ta. f )(x) = r Ic lx)
dans
~(X) est un endomorphisme d'algèbre de Banach ~(X} i.e.
si
f
et
g
appartiennent à
(e(X) alors
Montrons que dans un sens bien défini, tous les endomorphismes d'al-
gèbre commutative semi-simple de Banach sont proches des opérateurs
de déplacement.
Théorème 2.1.
Soit
un endomorphisme d'algèbre commutative
semi-simple de Banach ~ avec unité. Alors,
il existe un ensemble ouvert et fermé à la fois
X ç: X et
o
une application continue
cr.
• X -::> X
tels que

0
(Tf)(x)
= S(x) f(a(x))

" 1
si
x s Xo
)

' i (x)
= X(x)
=
Xo
lo • si x e Xo
Considérons tout d'abo~d le lemme suivant avant de passer à la démons-
tration de ce Théorème.

- 28 -
Lemme 2.1.
Soit
F
un idéal maximal de L CG et
H = F "
(TeR.)
ne co!z,-
cidant pas avec
Tj.~. Alors,
a)
H
est un idéal maximal dans
T.:~
1
b)
T- (H)
est aussi un idéal maximal dans r,/(,.
1G
Si
G
est un certain ensemble de ':..",2
, par TG
et
T-
nous dési-
gnerons respectivement l'image de
G
et l'image inverse àe
G
par
l'opérateur
T.
Démontrons le lemme 2.1.
Les idéaux maximaux de l'algèbre (Jl, correspondent aux points
de l'espace
X
i.8.
El
F
est un idéal maximal de l'algèbre
c.A,
alors il existe un point
Xc e X
tel que
F :
Iu , li B Ji,
def
-
al Soit
H =
F (1 (TjL)
f.
TJl.. Ainsi
H
est contenu dans
l'image de l'algèbre ~, par l'opérateur
T
.
HcT 0.
l.e.
di
V€rifions
que
H
est un idéal dans
T,A.
Premièrement, H
est un sous-espace vectoriel dans
TJI,.
Si
f
e H et
u s TJL
i.e.
f
= Tg
u = Tv
pour certains éléments

g
et
v
de
Ji a.lors Lu s F puisque F est un idéal et
Lu
= Tg. Tv
T(g.ul e TJZ
, i. e •
encore
f. u e H) ce qu'il
fallait prouver.
Deuxièmement un idéal
H
est défini dans
T~k à l'aide d'une fonc-
tionnelle linéaire
~(f) = f(X
= O. Donc le codim de H dans
TJl
o)
est ~gal à 1
et
H
est un idéal maximal.
... / ...

- 29 -
u ) Soit
Etant l'image inverse d'un idéal
est
aussi un idéal
Hi
'
a e Ji
J
alors
Ta • Th! J
-1
Th
Il H
et
Ta Il fi et par conséquent,
Ta Th! e H,
donc a.h
Il T
H)
1
l
dans l'algèbre cA. De plus l'idéal
ne coincide pas avec l'al-
Hl
gèbre,.Jl puisque l'idéal
H
dans
T,ft n'est pas c c nf'ondu avec
TJ1. Le codim de l'idéal
dans l'algèbre cA c at égal à 1
puis-
que l'idéal
Hl
se définit à l'aide d'une fonctionnelle linéaire
(h e Hl
'
si
(Th) (xc)
= 0). Donc
Hl
est un idéal maximal dans
et le lemme est entièrement prouvé.
Maintenant passons à la démonstration du Théor~me 2.1.
Par
Px' nous désignerons l'idéal maximal de l'algèbre ~
J
engen-
dré par le point
x
de l'espace
X
i.e.
~
lu IlJl : uf x ) ~ 01.
Soit
Xc' l'e~semble des points
x
de l'espace X, tels que
,
T"l.
Fixons un point quelconque
de
X
En vertu du lemme 2.1.
o•
l
F
n (ToX) et T-
F
1 \\
(T _A)}
sont des idéaux maximaux
x o
Xo
r€spectivement
dans
T~R, et JI. et par conséquent, l'idéal
se définit par un certain point
X 1
de l'espace
o
x.
En posant par définition
x' ;:
a(x
o
o)' nous établissons ainsi une
certaine correspondance
Πentre les points de l'ensemble
Xo et ceux
de l'espace
X.
Montrons que
(Tu) (x)
~
S(X)
u(,,(x)

x e X et
S(x)
est la fonction caractéristique de l'ensemble
X
et
u
un élément de l'algèbre c.fl .
o
... / ...

- 30 -
Soit
f x une fonctionnelle multiplicative dont le noyau est
l'idéal
Fx• Si l'élément x n'appartient pas à l'ensemble Xc' alors
l'ensemble
T"
est contenu dans l'idéal
F
qui coincide avec le
..' .
x
noyau de la fonctionnelle
f
i. e.
Ti CF = Ker f
et par
x
x
x
conséquent,
(Tu) (x)
= fx(Tu)
= o.
Puisque
S(x) = 0
si
x
n'appartient pas
à
Xc' alors, pour de
tels
x
Lt êg i l Lt.é
(2.1)
est d êmontr-ê ,
Maintenant supposons que l'él€ment
x
ap~artienne à l'ensernhle
Xc'
Considérons les deux fonctionnelles
feu) = fx(Tu)
et
f~(u) = f(u) ,
u (x)
définies par les membres de gauche et de droite de l'égalité
(2.1).
Les deux fonctionnelles sont multiplicatives et pour la démonstration
de l'€galité
(2.1)
c'est suffisant de vérifier que
Ker f = Ker f~.
En effet, désignons par
H
= F f1 (Tc!l). Alors
x
x
Ker f
= {u s cfJ : (Tu)(x) = ol
= Lu eJl : (Tu) e Hxl •
Par définition de l'application
a
Ker f x = (u e Ji:
u Cc Lx )
= ol
= T- 1H
= (u 9jl:(Tu) s Hxl
et
x
donc
f
= f~
i.e.
que l'égalité
(2.1.) est vraie.
Montrons maintenant que l'ensemble
X
est un ensemble euver-t et f cr-n.ê
o
~ la fois. Prenons la fonction
U
telle que
uo(x) = 1
pour tout
o
x. Alors.
(Tu
(x) =
e (x)
est un élément de l'espace
~(X), ce
o)
qui veut dire que les ensembles
X
et
X', X '
comme étant images
o
o
inverses d'ensembles fermés, sont f~rmés, c~ qu'il fallait montrer.
Il noue reste ac t ue TLetnerrt à prouver que l'application
a
est con t Lnue ,
Supposons que l'application
a soit discontinue en un point
X
de
o
1 "en semb.l e
X
Ainsi il existe un voisinage Clc du point
a(x
tel
o'
o)
... / ...

1
1
J
- 31 -
1
1
1
qu t à chaque voisinage/Y du point
X
il existe un point
o
x .'
pour
,
lequel
a(x
)
n'appartiennen pas au voisinage
• Soit la fonc-
1
tion
'{;(X)
telle que
<tex) = 0
en dehors
1
,
du voisinage de
Dans ce cas la fonction
est discontinue
!
puisque
CT $ ) (x o) c 1 et à chaque voisinage
existe un point
x"
tel que
(T$)(x
= $(a(xvJ) = O. Mais, par
V)
d8finition de l'endomorphisme, TlP
est un élément de ~(X).
Nous obtenons une contradiction qui achève la démonstration du Th0o-
rème 2.1.
(1
Considérons maintenant une
c~
algèbre commutative (f0 . Ainsi, ,-
est isométriquement isomorphe à l'algèbre U0(X) . Si T est son
endomorphisme, alors, en vertu du Théorème 2.1., T
se présente sous
la forme
(Tu) (x)
=
6(x) u(a(x».
~
si l'ensemble
X
coincide avec tout l'espace
X, alors l'endo-
o
morphisme
T
est un opérateur de composition ou de d~placement oon-
sidéré dans le Th&orème 1.1. et tous les résultats de ce Th~orème
lui sont applicables.
" Examinons certains exemples où cil ~ ~(X) i.e. cflJ est une
algèbre commutative et que
X
strictement contenu dans
X.
o
1.
X = 10,1] v ~,3]
.,
,
Dans ce cas le spectre de l'endomorphisme
T
de l'algèbre
est
donné par :
8(T,/u)
=
{a) LJ 8(Ta , ,€,12,3]
) •

Ta
est l'opérateur de déplacement dans ~12,3] engendré par
l'application a
induite par Lt endomor-phd sme
T.
• •• 1 •••

- 32 -
2. Soient
X
et
X
comme dans l'exemple 1. Supposons de plus
o
que l'application eng€ndr&e
par l'endomorphisme
T
de l'algèbre J{
soit définie par:
a : x --> x-2.
Ainsi
a(X
-= X;.. X
a)
a
= 10,1] et par conséquent
f U(X- 2)
x e ~,3]
(Tu) (x) =1a
,
x e @,1]
~
D'où
o(T"fD
=
{a),
Dans l'exemple 1, le spectre de l'endomorphisme a le m~me aspect que
celui d~crit dans le Théorème 1.1. L'exemple 2 montre que si
cil ~ ~(X)) mais Xc 1 X , alors le spectre de l'endomorphisme T
de 1 'a1eèbre v'~ peut être très différent de ceux décrit par le
Théorème 1.1.
Remarquons que si l'espace
X
est connexe, alors nous aurons
toujours
X = Xc
et l'endomorphisme
T
5è présente sous la forme;
(Tu) (x)
=
u(,,(x»)
,
et nous pouvons lui appliquer le Théorème 1.1.
Nous donnons maintenant une condition suffisante pour que le
spectre d'un endomorphisme d'algèbre commutative semi-simple de
Banach avec unité coincide avec le disque unitaire
~)1 au cas
X cl X.
a
Proposition 2.1. Si pour un certain point
Xo e (X- X
il existe
o)'
d'éléments de
Xo' telle que:
a(x
=
,
n)
alors,
o(T,jl)
==J\\.
... / ...

1
- 33 -
!1
1
P~êuve • Considérons l'équation
(Tu)(x)
- Xu(x)
= v(x)
• x • O.
En vertu du Théorème 2.1., cette équation devient
8 (x) uf o f x )
ê
I
=
u
x
)
v
C x
)
Prenons l'entier naturel
N
assez grand et posons
x = x
et
N
vf x) = 1
aux points
x. , O'j'N.
J
Ainsi donc de l'équation (2.2.) nous obtenons
-N
N-l
Xc sr x X )
N - l . 1
l
X
8(x) u(x )
X-j-l
0
l X-J-
=
o
0
J' =O
j-O
i.e 8(x
-
o)u(xo)=O
Puisque la suite
n'est pas bornée l'équation
(2.2)
n t aur-a
pas de solution continue et par conséquent
6 (T,j!,)
=
En guise d'exemple prenons
X = lN ~J {+m} • Soit
Ca:> l'espace des
suites numériques
li
= (uo'u1, •.. ,un, •.• ) ~yant une limite à l'in-
fini muni de la norme
L'espace des idéaux maximaux de l'espace
C~
est tout l'ensemble
X.
Considérons l'opérateur de déplacement
Cet opérateur est un endomorphisme d'algèbre. Pour cet endomorphisme
et
c In )
= n-l,
Le point
x
= 0 e (X \\ X ) = (0)
et par conséquent
x
= n
est la
o
0
J
n
suite recherchée. Puisque les conditions de la proposition sont
r-emp Li e s , alors:
o(T,Cn)
='€)Jl.
• •• 1 .....

- 34 -
Pour l'application
a
de l'exemple 2 les conditions de la propoeition
ne sont pas réunies.
Remarque 2.1.
Pour d'autres algèbres de fonctions et même pour les
algèbres uniformes, le spectre de l'opérateur
Ta
peut être essen-
tiellement plus compliqué que celui décrit par le Théorème 11
125J.
Remarque 2.2.
Si l'endomorphisme
T
est nilpotent
i.e.
pour un
no
certain entier naturel
no'
T
:: 0, aj.or a ,
ê(T,Jb =
(a) •
Dans ce cas,
Montrons que c'est le seul cas où
ê(T .Ju = Io l .
En effet, supposons que pour tout entier naturel
n, {an(X
X
~ 0.
o)}'
a
Alors pour
ua -
1
nous avons
Il Tnuoll = 1 , ce qui signifie
IITn Il = 1 et le rayon spectral de l'opérateur T est égal il 1
a
Le.
r(T,vIJ):::
1.

CHAPITRE
I I
- 35 -
LE RAYON SPECTRAL D'UN OPERATEUR DE DEPLACEMENT
-----------------------------------------------
§3 - LA FORMULE DU RAYON SPECTRAL
~
Soient
t:;(X) - l'algèbre des fonctions continues sur un
espace topologique compact
X
et à valeurs sur le corps des cornplex2~,
munie de la norme du suprêmum et
a : X - > X
une application continue de l'espace
X
dans lui-même.
L' opér a t eur
A
de la forme
(Au)(x) = a(x) U(Œ(X»)
oC
a e
t;(X) J sera dit opérateur de déplacement avec poids dans l'es-
pace
'@X).
Si nous examinons des coefficients constants,
a
alors il
k,
n'est pas difficile d'obtenir les conditions d'inversibilité même.
pour un opérateur beaucoup plus compliqué de la forme :
A'
=
l
k=-p
Par exemple, au cas où Cl est une application bijective et
non périodique. du lemme 1.1 §1 du chapitre précédent nOus obtenons
que si la fonction
ne s'annule en aucun point
f
z de
k=-p
S1 =
t z s ~ : [z l : il, Alors l'opérateur
est inversible.
Dans le cas de coefficients variables le problème d'obtention des
conditions d'inversibilité même pour un opérateur à deux membres
a(x) T
+ XI
est généralement compliqué.
Œ
... ...
(

- 36 -
Dans ce chapitre nous obtenons la formule du rayon spectral
de l'opérateur
A
à l'aide de laquelle nous aurons les conditions
suffisantes d'inversibilité de l'opérateur
Faisons un rappel de quelques définitions :
Soit
v- une mesuro sur l'espace
X. Nous dirons que la
mesure j.l est invariante par rapport à l'application
Cl,
si
1
,,(R-
~
~
(œ )
-- "(w)
~
pour t ou t ensembl e mesura bl €
w d e l' espace
X•
Une mesure probable
j.l
,
i.e
j.l(X)
= 1, invariante par
rapport à l'application .,' est dite ez-god i.que ,
si pour tout ensemble
1
mesurable
w
, tel que
j.l
Cw 6 a- (w» :::: 0 nous avons l'une des
égalités vérifiée :
(e )
= 0
\\
j
ou
~(w) = 1 •
Par définition
-1 (
)
.
w l\\ w'
:::: (w" w' ) U (w l " w)
et
CI
W -llnage
inverse de w par l'application
Cl
Théorème 3.1,
Soient
Q-
une application continue d'un espace
topologique compact
X
dans lui-même, a-élément de lles-
pace
\\f;)cx).
Alors, le rayon spectral
r(A) de ltopérateur
A
dans
C~ CX) est donné par la formule :
r
r(A)
1
~n
= max
exp,'
lai d~ ,
j.lSl".o
·JX

l".o - ensemble des mesures ergodiques sur
X
par rapport
à
CI •
... / ...

- 37 -
Démonstration :
Nous allons déterminer le rayon spectral
r(A)
par
la formule
:
lin
dA) =
lim IIAnl1

n++ w
Ensuite,
n-l
(An u) (x) =
TI
et, par conséquent,
i=O
n-l
n-l
IIAnU(x)11 ~ t . JI
n
i=O
i=O
D'autre part, pour
u(x) = 1, nous avons:
n-l
IIAnU(x)11 = Il n
i=O
i.e
donc
:
nn
- l
.
]lln
r(A)
= lim
max [
la(a'(x»1
C3 - 1)
0 ..... +00
X
i=O
Choisissons les points
x
de l'espace
X, tels que
n
nn
- l
.
]lln
- n - l
max [
la(a'(x» 1
=
n
X
i=O
/-1=0
Examinons maintenant la Buite de fonctionn~llcs linéaires continues
f
dans l'espace
n
t;(X)
définies par
n-l
1
fn(u)
=
L
u(ai<x »
n
n
Le O
En vertu du Théorème de Banach - Alaogly, la boule unitaire dans
l'espace conjugué est faiblement compacte dans la topologie faible
1:

Puisque Ilfnll = 1 J alors ces fonctionnelles appartiennent â
la baule unitaire et par conséquent, il existe une soua-suite f nk
et une fonctionnelle
s ,
1 Ifll
~ 1
telles que pour toute
.,/;;1
fonction
li
Si~(X) ,
... / ...

- 38 -
f
(u) ---> feu)
quand
k->+oo 4
n k
Remarque
La suite
r
admet un point d'accumulation
f
dans la
n
topologie faible. Extraire une sous-suite
telle que
f
(~) --->f(~) pour toute fonction ~ S ~(X) est en
nk
général impossible. Mais une telle sous-suite existe pour un ensemble
fini ou dénombrable de fonctions.
Puisque la différence :
n-1
n-1
l:
l:
( i+1
(
)) 1
u ex
x
::
n
i:O
i=O
= 2ju(x) - u~(x
,
2
))1
max lu(x) 1.
n
n
n
n
x
alors pour
n__>+oo , nous obtenons que
feu) = feu 0 a),
i.e
que la fonctionnelle
f
est invariante par rapport â l'appli-
cation
a.
Si la fonction
est non négative, alors
r Cu)
est non
négative et de plus, puisque
fn(ll):: 1 l> alors
rr ir : :: 1 et donc
Il f Il = 1
car
IIfll'l.
La fonctionnelle
f
définit une mesure invariante et probable
~
sur
J:
l'espace
X,
telle que
feu) =
u(x) du.
Soit
~o
une autre mesure invariante et probable quelcon-
que par rapport à l t applicat ion
Cl
sur l t espace
X. Dans ce cas la.
mesure
~o
définit une certaine fonctionnelle linéaire continue
f o
dans l'espace
r;(X)J invariante par rapport à l'application ~ et
de norme égale à l'unité
i . e :
.../ ...

- 39 -
l , l l f l l = l
et
o
= v[ uCx ) dUo
pour toute fonction
u 6
C:(X).
Ensuite, de l'invariance de
f
par rapport r. l'npplication a
o
nous aurons :
n-l
l
i=O
et par conséquent, puisque la fonctionnelle
f
est linéaire,
o
n-l
i
f
( )
" ( 1
u
::: J.
-
l
U
0
a
).
o
o n i=O
Puisque la fonctionnelle
est bornée nous pouvons écrire
1
n-1
max
1 l
(3.2).
X n
i=O
l
- Supposons
a(x)
~ 0
partout sur l'espace
X a
Dans ce cas
n-l
.
lin
n-l
max [.rr
1a(Cl'(x» IJ
=[rr
=
i=O
X
1=0
n-l
l
LeO
En vertu de l'inégalité
(3.2), pour toute mesure invariante proba-
ble
nous avons :
n-l
f
(in 1al) ~ max l.
o
1
l
X
n
i=O
Puisque
fo(in lai) ~ fn(in lai) pour tout entier positif
n ,
alors,
f Un lai) ~ r t zn lall •
o
Mais
riA) = lim exp f
(in lai) = exp f(in lall,
k++l>::l
nk
... / ...

- 40 -
De là et de l'inégalité (3.3), nous obterrons que pour de
telle mesure
\\..lo
exp f
Czn 1 al) s r( A) ~ exp f Ct.n 1al).
<3.4)
o
En plus,
puisque les mesures ergodiques sont les points
extrêmaux
de l'ensemble des mesures invariantes probables (r39],
page
73), alors il existe une mesure ergodique
\\..l~ par rapport
à l'application a telle que
u(tn
lai) = u"Ctn lai),
i.e
J zn 1a1 du = J t.n 1a 1 du" :
X
. X
En réalité, en vertu du Théorème de Choquet-Bishop-De Leeuw
([39], page 27)
u(tn lai)
vUn lai) dm rv )
<3.5)

bQ-ensemble des mesures ergodiques v par rqpport à l'application a,
et
ID
-
mesure probable.
Du fait que pour toutes les mesures ergodiques v de
l'ensemble
6
v(tn lai) < u(tn lai), nous obtenons que
0
j" v(tn lai) dmfv ) < uUn lai)
Ao
et par conséquent,
l'inégalité
(3.5)
n'est pas vérifiée.
C'est pourquoi donc, il existe une mesure ergodique
\\..l~ de
bo
telle que
En vertu de l'inégalité
(3.3)
avec
avons
u"(tn lai)
~ f(tn lai) = u t zn lai)
... / ...

-
~1 -
et donc,
Ainsi, si
a(x)
t 0
sur l'espace
X, alors
r(A) = exp ~x(tn lai) •
II - Supposons maint~nant que
a(x
= a
pour un certain élément
o)
Xc
de l'espace
X.
Si la. (x) 1 --->Ia(x)1 de façon monotone décroissante, alors
l
i-++ œ
,""
ai Ta sont des opérateurs agissant dans l'espace
1"': (X)
par
En réalité, puisque
r(a
Ta)
' Ta)'
i
= r(!a i
1ai 1 Ta
- >
1Il 1 Ta
quand
i -+ +00 , alors de la semi-continuité
supérieure du rayon spectral (r 17 ] J Théorème 3.1, page
26~)
i l s'ensuit que
D'autre part, si
la'(x)j ~ lall(x) 1 partout sur l'espace
X,
alors selon la formule
(3.1) du rayon spGctral nous obtenons:
lim r-t a , Ta) } r(A)
et par conséquent
1
r(ai Ta) - > r(A) •
i -++00
Maintenant définissons le. fonctions
ai
de l'espace
e(X)
de la manière suivante
( [a tx ) ]
si
1 a(x) 1 > 1
~
1

,
i s lNX
ai (x)
= l 1
1
-
si
1a Cx) 1 ~ ~
1
1
••• 1•••

-
~2 -
Pour chaque
Puisque
ll~il 1 = 1, alors comme antérieurement nous pouvons
choisir une sous-suite faiblement convergente
v. -> \\..1 quand
k .... +00 ,
'k
\\..1
étant une certaine mesure inVnriante pro LabIe par rapport
à l'application
1).
Pour
j
> i
i
fixé nous aurons
k
J
avec
k
o
o
v . Un 1a .
1) ~ vJ' (~n I"J 1)
J
'ko
et donc,
lai
1) ---> u(~n
et V~(~n la. 1) -> m(r(A»
ka
k++eo
lk
~+oo
u (~n 1a.
1) ~ ~n(r(A»
pour tout
k

'k
0
0
v.
(~n la. 1) c \\J. (in la. 1 )
pour
i
> i
k
k
-
lk
lk
'k
'k
0
0
k~+ool
l ~ +00
k
~n(r(A) )
u(~n lai 1)
\\/ko
k o
Ensuite, du fait que
\\..I(in
la. 1 ) -> ll(i"'n :af)
pour
'ko
alors
~n(r(A)) ~ u(~n lai)
La fonction
~n la. 1
est continue sur l'espace
x , donc
'k
en vertu du théorème de Choquet-Bishop-De Leeuw
r'
u (~n 1a.
1) - j
v(~nla. 1) dm(v),
'k
-
fi
'k
o

m -une certaine mesure probable sur L' en ëembLe
6,0.
• •• 1 •••

- 43 -
Par ailleurs, pour toute mesure ~ sur l'ensemble
6
nous
0
avons
v Un 1a. 1) - > v (zn 1al) ;
lk
k++'"
i l s'ensuit
:J
u (in
1al) : lim
j v Czn la. 1) dmCv )
v(~n lai) dm(v)
k++<:o·!J.
lk
~o
o
De la même manière qu'au point
l, nous obtenons que pour une
certaine mesure
va
de
6
est vraie l'inégalité:
0
d'où
<3.6)
si pour toute mesure v de l'ensemble
~o' v(tnlal) : - ~ ,
alors de l'inégalité (3.6) il s'enseuit que
Ron(r(A»
= - 00
Si donc, il existe une mesure
v~ de 6
telle que
0
v* (in
1al) : k > - œ
,
alors, comme au point
l , on démontre que
i.n(r(A»
>- v*(i.n lai),
et ainsi le théorème est intégralement démontré.
Remarque 3.1.
Au cas d'une application a inversible un résultat analogue se
trouve dans les travaux
[28] ,[19] . Dans les travaux de Leb edev A.V
[2~ au cas d'une application inversible, la formule du rayon spec-
tral a été obtenue dans une situation beaucoup plus générale i en
particulier si
X
est un espace avec une mesure ~ invariante par
rapport à l'application
a, alors, en cas d'inversibilité de cette
application le rayon spectral de l'opérateur
(Au) ( x ) :
a(x) u (e Cx ) )
... / ...

- 44 -
dans l'espace
2
L (X, ~)
se détermine par la même formule du Théo-
rème 3.1 • La démonstration au cas d'une application inversible est
basée sur l'égalité
IIAII
;
max la Ix ) 1 •
x
Au cas d'une application non inversible
al une telle assertion
dans l'espace
L2(X,~) est inexacte. Le. IIAII t max [a Ix) ]
x
en général
Par exemple,
si
X = [0, 1J J
~o-mesure de Lebesgue
a
: x - > (2x )

{y} -désigne la partie décimale du réel
y J
alors pour l'opé-
rateur
(Au)(x) ;
a(x) u({2X»
2(X,")
dans
L
IIAII
t max [a tx ) 1
"0
'
x
En réalité
.1
1
; Jo
2
[1 aI.x ) u({2x»)I] d x = 1 \\'
2 Jo
2
1 ~1
uf x ) 1] dx;
+ ! ''a
2
d'où
2 1/2
/(la(x)1 2+ [a I.x + 1)
Il
1
AIl
= max
"2)1
o<X<} .f2
Ainsi donc au cas d'une application a non inversible nous
avons justifié l'isolement de l'espace
I::"(X)
pour lesquel la formule
du rayon spectral conserve la même forme que dans le cas d'une
application inversible.

- 45 -
Dans les espaces
L2(X,~) pour l'application a considérée
dans l'exemple précédent, la formule du rayon spectral s'exprime
en termes plus compliqués dans
125]
§4 - EXEMPLES DE CALCUL DU RAYON SPECTRAL DE CERTAINS OPERATEURS
DE DEPLACEMENT AVEC POIDS
1

Soit
X =
1-:'1
- , 1] ,
.
2
a . x -> x
Le
2).
(Au) (x) = a(x) u(x
Déterminons d'abord les mesures ergodiques par rapport à cette
application
a .
Les points
0
et
1
sont fixes.
Ils sont associés à ces
mesures ergodiques
= 1
,
~o(X'dOl)
=
a
= 1
,
~l(X"'!ll)
=
a
Supposons qu'il existe une autre mesure ergodique v par
rapport à cette application
a. différente de
~o
et de
~1'
Dans ce cas,
v (ra, 1] )
( -1
=
v a
10, 1] ) = v(l.=l, 1] ) = 1.
Puisque \\1 1- ~o
et
v 1- ~1 , alors v({O»
1- 1
et
v (Lt l ) 1- 1
Du fait que
v ({ 0) ~ a- 1 {O} ) = a
nous obtenons
v({O»
= a
et de même
v({i})
= 0
par ergodicité de la mesure
v •
Ainsi donc
v l ]0, l [ ) = 1
i.e
que la mesure \\1 est concen-
trée sur l'ouvert
] 0, 1 [ .
Soit
E - un ensemble mesurable quelconque dans l'ouvert
]0, lr.
... / ...

- ~6 -
Puisque
v( r -1, OJ) = a , alors
v Œ)
= v(aCE)) - .,.
et par conséquent, en vertu de la continuité de la mesure nous
aurons
v(E) = v({o}) = a .
Le caractère arbitraire de
E
donne que
v( JO, te)
= a .
La contradiction obtenue démontre que les seules mesures
ergodiques par rapport à l'application a sont
et
u1 •
D'où
(
dA)
;;; max(exp
j
~nlal
X
= max CI a (0) l,la (1) 1).
2 .
Soit
X = r-1, 1]
a : x - > I x l
(Au) (x) = a (x) u ( 1xl) .
Chaque point
E, e: tQ, '1J engendr-e une mesure ergodique con-
centrée au point
~
i.e
la mesure de Diracq
ÔE,

Si
u .et une mesure ergodique par rapport à cette application
a,
alors
u(\\ëJ, 1]) = u(a- 1 1] , 1]) = uCl.=1, 1]) = 1, ce qui veut
dire que le support Supp 1..1
de la mesure u est dans
~, 1]. C'est
pourquoi nous pouvons nous limiter aux mesures ergodiques ô~ (puisque
si
~o B 11>, :Q et
max [a Lx ) ] = la«o)/'
X
exp J ln lai du ~ la(~o)1
pour toute mesure ergodique 1..1 par rapport
X
l'application
a).
Par conséquent, nous obtenons
J
dA)
= max
rexp
Lnj a ] do~] = max
[a tx ) 1
~ero,:Q
X
xe(9,:Q
••• 1 • • •

- ~7 -
3 .
Soit
X = Sl
(Au) (Z)
= a(Z) U(Zn) ,
La mesure de Lebesgue ~ est invariante par rapport à cette
appli~ation. De plus, les points périodiques par rapport à l'appli-
cation a et de période
j
sont de la forme :
i6
.
k
Zk • =
e
,J
,J

o s
j
k s n - 2
• j S JN •
A chaque point périodique
Zk
.
est aseociée une mesure
• J
ergodique
~k .
définie par la relation
• J
= ~k
j
.(aIZ
.1) = .... = ~
.(a - 1 1Zk
.1) = 1 •
, J
k ,J
k.J
.J
J
Puisque a est une application de dilatation alors
par le
J
lemme 1.8 [32l
ses points périodiques sont partout denses dans lq
circonférence
Si • Selon le théorème précédent nous obtenons une
minoration du rayon spectral de l'opérateur
A
et
plus explici-
tement :
,1
i2 ~
j-1
1/j
j S:Il •
r(A) ~ sup lexp J
~nla(e ~) d~ , ( rr
o
mec
Si par exemple, le maximum du module de la fonction
a(Z)
est atteint à chaque point de la trajectoire d'un certain point
pêr-Jod Lque
Zo
de période
J' o
(Le
= la(a(Z JI = ....
la(ZJ
pour
o
tout point
Z S Si), alors
... / ...

- 48 -
Par exemple si
max la(Z) 1 = la(t) 1
alors
zes'
rCA)
=
la(l) 1 •
4.
Soit JI) - une
Cf:-algèbre composée des fonctions continues sur
TIl.
, périodiques et de période
211'
sur le demi-axe négatif
lH_
et ayant une limite quand
x
tend vers
+00.
Considérons dans l'algèbre LJL , l'opérateur
A
donné par la
formule
(Au)(x) = a(x) u(x - h)

a eJL
Appliquons le Théorème 3.1 pour le calcul du rayon spectral
de cet opérateur.
L'espace
X
des idéaux maximaux de l'algèbre~ s'obtient de
la manière suivante: à l'espace IR, nous adjoignons le point infi-
niment éloigné
(+00)
et ensuite nous introduisons la relation
d'équivalence ~ i.e
(x ~ y)<-->(x ! 0,
Y ~ 0
et
x - y = 2kw ,
k 9 ZZ -ensemble des nombres entiers).
L'espace topologique quotient ainsi obtenu a l'aspect suivant
représenté par ce dessin :
.
-
,-
-
~I -
-
-
~ - - '
,,
'.
r
,
, "..
I l s'obtient de la circonférence unitaire Sl
obtenue après la
J
factorisation du demi-axe négatif
IR_ J et de la demi-droite
1R+
achevée par le point infiniment éloigné
(+00).
• •• 1•••

- 49 -
Cet espace est l'espace des idéaux maximaux de 1 t algèbre 1;;.. .
Soit
T

h
JL-> JL
l'opérateur défini par la formule
(Th u)(x) = u(x -
hl.
...
C'est un endomorphisme de la C~-algèbre .H~ et engendre une
application
a
: X ---> X •
Cette application se définit de la façon suivante
a ( x ) = x - h
si
x ~ h
et
a(x)
est un déplacement de
-x
et une rotation selon les
aiguilles d'une montre d'un angle égal à
x - h
au cas où
x < h
et
x S ffi+
ou simplement ct 'une rotation dans le même sens ct 'un
angle à
-h
si
x
n'appartient pas à
L'application a peut s'écrire de la manière suivante
~
x - h
,
x ~ h
a(x)
=
\\
.
i(x - h )
l i
l
e
,
x < h

a)
Considérons le cas où
h :: 2'1f
Dans ce cas l'application a agit identiquement sur
Si
et
chaque point
x
de
S1
définit une mesur~ ergodique
6x J mesure
concentrée au point
x . Le point
(+~) est fixe; il est associé à
une mesure ergodique
~+~, concentrée en ce point (+~),
Su pp u
= (+ro)
+ro
Supposons qu'il existe encore une autre mesure ergodique
v
différente de celles décrites plus haut. Alors en vertu de l'inva-
riance de la mesure v , pour tout entier
n e m
nous devons avoir
v([n, n+hJl = v(rn+h, n+2hJ)
= ••• = v(I.!?+kh, n+(k+l)h]l = . . . .
.../ ...

1
L
- 50 -
Puisque
mesure 'V est probable, forcément
v( !}l, n+1J)
= o.
I l s'ensuit que si
V.
contenu dans un certain intervalle
Œ. 1J

(l, m) El JN2, est un ensemble mesurable alors, en vertu de
l'additivit~ et de la complétion de la mesure v nous devons avoir
v (V) = 0
( 4 • 1)
Puisque la mesure v est continue et denombrablement additive,
alors l'~galitê
(4.1)
donne
v( rO, +~[) = 0
i.e
que toutes les mesures ergodiques sont concentrées dans l'en-
semble
Il est largement suffisant de se limiter à ces mesures ergo-
diques décrites plus haut car. si
v
est une autre mesure ergo-
o
d Lque diff~!'ente de celles-ci et
max
!a(x)1 = la(x )1 oÙ
xEl(S'(+~))
0
X
El
(S1U{+~)), alors
o
expi
ln lai dv
~ la(xo)1 ,
( 4 • 2)
o
et par conséquent
r(A) = max
1 a Cx) 1
xEl(s"J+~))
h)
Soit
= l'
i.e
un nombre rationnel irréductible.
q
De l'égalité (4.1) de l'exemple
a)
le support de chaque mesure
ergodique est dans l'ensemble
s l U { +œ } • D'autre part,
6+03
est
ergodique et
Supp 0+03= {+03}. De plus, chaque point
x
de la
circonférence unitaire s1
est périodique et de période
q
et
définit une mesure ergodique
~x
telle que j
~x«x)) = ~x(a(x)) = •••
q-1
)
= ~x (a
( x )
= 1/q •
.../ ...

- 51 -
Divisons la circonférence unitaire S1
en
q parties égales
et Boit Sq
une de telles parties. S'il existe une autre mesure
ergodique v et
V - un ensemble mesurable dans
Sq tel que
v(V) ~ v(V')
pour tout autre ensemble mesurable
V'
dans
Sq
par
rapport ! v alors, on doit avoir
-1
v(V) = v(Q
(V»
. ...
et donc,
ou
V(V)
1
= q • où v(V) = 0 •

Si v(V) = 0 • alore v(S1) = 0
et par conséquent la meeure
ne serait pas probable.

Si
v(v) = ~ , a'ors 0n vertu de l'inégalité
(4.2) i l noue
suffit de considérer seulement les mesures
~x
et
15+
et
aP
q-l
r(A) = max ( la(+~) 1 •
max (
fi
x9s
·i=O
c)
Soit
2~ - irrationnel.
Comme aux exemples
a)
et
b)
~+. est une mesure ergo-
dique. D'autre part, puisque
h
~ est irrationnel, alors la mesure
invariante probable de Borel sur la circonférence est unique, c'est
la mesure de Leb~sgue
~~ dx • Donc, dans ce cas il n'y a que deux
mesures ergodiques par rapport à l'application
a ; c'est les mesu-
res
6+~ et
dx
et en vertu du Thêor~me on a :
2W
r(A) =ma,,{la(+~)I. exp(-kJolnla(eiX)1 dx».

- 52 -
CHA PIT R E
III
LES
CONDITIONS
D'INVERSIBILITE
DE
CERTAINES
-----------------------------------------------
CLASSES
D'OPERATEURS
AVEC
UN
DEPLACEMENT
--------------------------------------------
POTENTIELLEMENT
INJECTIF
-------------------------
Soit
X
un certain ensemble; a : X ->X
une application donnêe.
Nous examinerons dans l'espace des fonctions
F(X)
sur
X, les opê-
rateurs de la forme :
(A
= af x ) u(n (x»
(5-1)
1u)(x)
et
(A
(x) = a Cx ) u(n(x»
+ b(x) u(x)
(5-2)
2u)

a(x)
et
b Cx)
sont des fonctions, supposant que ces opêrateurs con-
servent l'espace
F(X).
Comme toujours par
Ta.
nous dêsignerona l'opêrateur de dêplacement
induit par l'application
Cl
i . e :
(Tau) (x)
= u(a(x».
Dans ce présent chapitre nous isolerons certaines classes d'opêrateurs
parmi lesquels, les conditions d'inversibilité seront obtenues en
ramenant l'étude en une étude d'opérateur auxilliaire A déplacment
inversible.
Soit
(X, n ,~)
un espace muni d'une mesure
lJ
; a
une appli-
cation mesurable de l'ensemble
X
dans lui-même.
Définition 5.1 : La mesure
~ sera dite quasiinvariante par rapport
A l'application
n si le. mesure
~n (Ol)
=
... / ...

- 53 -
est absolument continue par rapport ~ la mesure
1.1.
Pour un espace muni d'une mesure, nous introduirons la notion dtappli-
cat ion potentiellement inj ect ive.
§5-
TRANSPORMATION DE L'ETUDE EN UN CAS DE DEPLACMENT INJECTIF
Définition 5.2. Soit
(X, n J~)
un espace muni d'une mesure
').l,
cr.: X ->X
une application mesurable, telle que la mesure
1.1
Boit
quasiinvariante par rapport à l'application
a.
Cette applica.tion
Q
sera dite potentiellement inj ective s'il existe
un entier naturel
no
tel que sur l'ensemble
E
= anO(X)
l'ap-
o
plication
cr.
est injective et
Cl ~("') ,
~a("') , C
~("')
2
pour tout ensemble mesurable
w de
E
; Ci
et
C
étant des
o
2
nombres positifs fixés ~ priori. L'ensemble
Eo étant supposé !tre
élément de
n
i.e.
mesurable.
Montrons que si l'application
Q.
est potentiellement injeetive
de l'espace
(X, n ,lJ)
dans lUi-même$ alors il existe une déeomposi-
2(X,\\.J)
tion de l'espace
L
en somme directe finie de n sous-espaces
telle que les opérateurs de forme
(5-1)
et
(5-2)
aient, selon
l'écriture matricielle d'opérateur, une forme triangulaire et. de
plus, (n-i)
des opérateurs se trouvant 8ur la diagonale soient des
op~rateurs de multiplication par une fonction et l'opérateur restant,
un opérateur de forme
(5-1)
ou
(5-2)
â dépl~cment injectif.
Lemmê 5.1 : Soit
a une application potentiellement injective d'un
espace mini d'une mesure
(X,O,Ji)
dans lui-m~me$
Al
et
A2
des opérateurs bornés de forme (5-1)
et
(5-2)
respectivement
2
dans l'espa.ce
L
(X.v),
••• J •••

- 54 -
SoiEn~
n
E
:
0
0
(X)
o

no: min ln 9 lN
l'application
0
so re injeeU". 8~t' ah(X)}
et les ensembles
E
: lo-l IE » \\ (o-i+l (t »
, l'l'no'
i
o
o
AlorB •
no
~.
2 (
)
:
-:!;)
L
Ei'~
i=O
et pour une telle décompo6ition ao l'~e~aoe
L~()(l~)'
se pr~Bentent BOUS lI! forme 1
o
o •..
o •••
0
e
(\\
o
o .••
o ."
0
o ..•
o .••
0
o
o
o
o
o ...
"












\\





o
o
o.• 0
Aj , j _l '"
\\\\

·.. .




• ••






...

o
o.. .
o
,
,
...
/ A
+ b (x)
0
0
0
0
0 .. . 0
0
Ot O
o
.
1) •
..
••
0
0
0
Il
,
'
\\
Al 0
b ( x )
0
,
1
..
0
.
A
0
0
Ô ... 0
0
2 1
b
,
\\
2(X)
1
0
0
A
b (x)
0
0
3,2
' "
0
0
A =
3
1
2







A4,3











\\
·,.
0
0
o
0
A. . 1 b. (x)·"
0
0
\\
J ,J-
J
\\














1




·
. )
~
0
o
0
• ••
0
0
, .. An ,no-1 bn (XJ
--
o
0
.....-..
.../ ~ ,,

- 55 -
où les opérateurs
A
dans
i j
s e Lr a les I'or'inu Le s
»a x ) u("(x),
x 8 E
et
Ï
i
b (x)
opër-at eur- de multiplication par la fonction
b(x)
j
dans
L2(Ej~~1).
Démonstration :
Puisque les ensembles
sont deux à deux disjoints, et
no
x
:
~-.-1 Ei J alors nous avons l'égalité
i=O
Représentons la fonction
li
9 L2 (X,lJ)
BOUS
la forme
no
u(x)
-
r ui(z),
i=O

Dans ce cas
~o
:
)
1a(x) ui (c Lx )
+ bf x ) ui (x)],(5.3)
'.:0
Décomposons maintenant la fonction
A2u selon les sous-espaces
Le.
écrivons
(A
sous la forme:
2u)(x)
no
r VJo(X), où
j :0
+
+
+



.../ ...

- 56 -
+
I.a(x) u
.(a(x»
+ o Cx)
+
.I!ü-O::
+
@(x) un _l(a(x»
+ b Ix ) un (x)
]xeE

a
a
no
è me
où la i
ligne dans cette d~composition est un él§ment de l'espace
2
L (EiJ~). Cette d§composition en vertu de son unicité signifie que
l'opérateur
A
et par suite
Al
s'écrit sous forme de matrice
2
d'opérateurs, donnée dans la formulation du lemme.
Définition 5-3 : Nous dirons qu'une certaine classe d'opérateurs
d'un espace de Banach dans lui-m~me possède la propriété (d). si
de l'inversibilité à droite pour un opérateur B
de cette classe
s'ensuit son inversibilité à gauche et inversement.
Si
B
est un opérateur d'une telle classe, nous dirons, pour sim-
plifier, que
B
possède la propriété (d ) ,
Par exempj e , la classe des opérateurs de multiplication par une fOllc-
tion, la class~ des opérateurs de Fredholm d'indice nuIt en parti-
culier, la classe des opérateurs agissant dans un espace de dimension
finie, possèdent la propriété (d).
Lem.lle 5-2 : Soit
E
un espace de Banach, décomposable en s omme
directe de n sous-espaces telle que la matrice de l'opérateur
B : E --->E
soit de forme triangulaire dont les (n-l) opéra-
teurs se trouvant sur la diagonale appartiennent à une certaine
classe d'opérateurs possédant la propriété (d). Alors, pour
l'inversibilité de l'opérateur
B
il est nécessaire et suf-
fisant que tous les éléments de la diagonale soient inversibles .
... ./ ....

- 57 -
D~monstration. La condition suffisante est évidènte puisque de faQon
explicite sllicrit Lt opér-abeur- inverse 1~1] ..
Pour la eondition n~ce.saire. la dAmonltratiOn va oe faire par r'cur-
rence.
SupposonS 4uê
n; ~
et l'op~rat~ur
/ B
0
1 1
8
;
821
8 22
/
it'lVersible. Alors, i l existe un opérateut" borné
" C
C
11
12
C
;
C21
C22
tel que
C8
;
8C
;
1.
Supposons que l'opérateur
8
po.sêde la propriété (d). Oel"ga-
11
lité
8e ; l
nous obtenor.a que
a un inverse à droite et par
conséquent a un inverse à gauche
"1
i.e. il existe
8
et de li
11
C
=
C
12
O. Dana ce cas
CB • 1. nous
2 2 = 1. Dé plus, puisque
-1
.
aurons
Le. il existe
5
et par su ï.t e
et
2 2
sont des opérateurs inversibles.
De façon analogue nous vérifions la proposition et dans le ca. où
B22 poaeêde la propriété (d).
SuppOBons maintenant que
B
et
B
soient dee opérateurs inversi-
i 1
22
bles. Dans ce cas l'opérateur
B
est înversible et
o

.. .... / ......

- 58 -
Et ainsi la proposition du lemme est demontrée pour
n = 2.
Maintenant, Bupposons la vraie pour
n'm ~ m>2
et prouvons qu'élIe
a aussi lieu pour
n
= m+l.
m+1
Soient
E
=
o
la décomposition de l'espace
i~o
par l'opérateur
B, en somme directe de
(m+l) souB-e~paoéS
~i
e t ,
.. .
...
B
a
a
a
1 1

...
B
a
a
2 1





B =



Il. 1
B. 2 .••
B. .•..
0
J.
J •
J ,J




B
.
Brtl.+l,l
m+l,J
Bm+1,m+l
m+!
Ecrivons
E
SOUS
la forme
(0 E.) et
i=2
1

...
'B
.2,1
.,

.
=
, 13 =
B. <
...
3
13. 1
• J ,
• J ,


B
2· ••
m+l,
m+1
2
Redê e Ignone
El
par
et
E
= G) E i · Dans ce cas
i=2
E
= El G) E2•
En vertu de la partie déjà démontrée du lemme 5-2
(cas où n = 2),
et du fait que l'opérateur
B
possède la propriété (d), alors l'opé-
1
rateur
B
est inversible si et seulement si les opérateurs
B
et
1
B
sont inversibles. Si c'est l'opérateur
3
Bm+1,m+l qui p055~dc
la propriété (d), alors nous isolons
comme cela a êtA fait
Em+'_
pour
El
et nous
raisonnons de façon analogue.
... / ...

Par hypothèse l'inversibilité de l'opérateur
B
est équivalente à
3
l'inversibilité de tous éléments diagonaux puisque au moins
(m-l)
de ses éléments diagonaux possèdent la propriété {d) ; ainsi le lemme
est prouvé.
Remarque : Il existe des opérateurs inversibles, qui. lors de la dé"
composition de l'espace ont une matrioe triangulaire. mais auoun des
éléments de la diagonale n'est inversible; de tels exemples se cons'·
truisent à l'aide des opérateurs de d êp Lac c .ent l'1lfj .
Fournissons un tel exemple.
2(IR)
Supposons que l'opérateur
A
agisse dans l'espace
L
par
(Au)(x)
=
u(x-l).
L'espace
L2(IR)
est décomposable en somme directe de 2 50us-espac~s
=
+

IR+={xElIR
;
IR
= {x El IR
Pour une telle décomposition

les opérateurs
A+, A
.
t
t .
t
ag1ssen
respeo 1vemen
dans
L 2 (IR+)

L2 ( IR - )
de la m~me manière que
A dans
L2 ( IR ) .
L'opérateur
A
est inversible. mais les opérateurs
X(x)
A+
et
A
I"!.+~C
ne sont pas inversibles dans les sous-espaces respectif-;
Lt(IR+)
et
L2 ( IR - ) .
Des lemmes 5-1
et
5-2
nous obtenons la proposition suivante
... / '" ..

- 60 -
Thêorème 5.1 : Soient
(x»n ,~)
un espace muni d'une mesure
1-1,
a
X - > X
une application pot.errt Le.l Lement, injective.
n
Soit
E
a o(X)
o :

no = min In e m : l'application
est injective sur
a n (;<) J.
L'op~rateur
2(X,lJ)
A
dans l'espace
L
est inversible si
2
et seulement si
a)
e s e inrlb(x)1 >0
x9X\\Eo
et
b)
l'opérateur
:
B(X) u(a(x))
+ b(x)
u(x) : (AO,O + bo(x)I)u(x)
est inversible dans l'espace
Démo"nBtration :
Les opérateurs
bi(x)
l'i'no' se trouvant sur la diagonale
dans le lemme 5-1 sont des opérateurs de multiplication par un$
fonction. La classe de tels opérateurs possède la propriété (d). Par
conséquent des lemmes 5-1
et
5-2
nous obtenons notre proposition.
Si sur
Eo l'application a est bijective (:Le. a. -potentiellement
bijective) àlors l'opérateur
AO,O + bo(x)I
est un opérateur avec
un déplacement inversible. Mais les conditions d'inversibilité des
opérateurs à déplacement inversible nous sont connues et par consé-
quent
nous pouvons. d'une façon explicite. donner les conditions
J
d'inversibilité de l'op~rateur
A2•
Donnons un résultat de ce type.
• •• 1 •••

- 61 -
Soient
X
un espace topologique compact J ~ mesure de Borel sur
l'espace
X. Soit a : X---> X une application continue potentielle-
no
ment bij ective et
E
=
o
Q
(X). où
no = min In El lN
a. bij ec t ion sur
Définition 5-4. Nous dirons que l'application
a
satisfait à la.
condition (x)
si pour tout
n Q {~\\{O}} , l'ensemble
X
=
n
n'a pas d'intérieur.
Nous examinerons dans l'espace
2
L (X,~)
les opérateurs de la forme
"

Q' (x)
=
la dérivée de Radon-Nicodim de la mesure
K par la mesure ~ J
a
et
al
étant des fonctions continues sur
o
Lt e spac e
X.
Théor~me 5-2. Soit
a
une application satisfaisant à la condition (M)
sur l'ensemble
Eo J supposé connexe.
2
Alors l'opérateur
A
dans
2
L
(X,~)
est inv-ersible si et
seulement si :
sur
X \\ E
et une des 2 conditions suivantes
o
vérifiée :
i) inflaol>o
sur
E
et pour toute mesure ergodique v
o
par rapport à l'application
~
sur
Eo t
ii) 'infl ao'l >0
sur
E
et pour toute mesure ergodique \\l
o
'par rapport à 1; application
a
sur
E
'
o
zn l a [dv <
E
0
o

- 62 •
Démonstration.
Par le lemme 5-1, nous savons que l'opérateur
A
s'écrit seus
2
forme d'une matrice d'opérateurs triangulaire. Sur la diagonale de
cette matrice se trouvent des opérateurs de multiplicBtior. par une
fonction â l'exception d'un seul. Or, les opérateurs de multiplica-
tion par une fonction possèdent la propriété (d). En vertu du lemme
5-2, pour que l'opérateur
A
soit inversible il faut et il suffit
Z
que des élém~nts diagonaux le Boient. Par conséquent, l'opérateur
AZ est inversible si et seulement si
i)
sur
X\\Eo
ii)
l'opérateur
A
inversible dans
2
Z
L
(Eo'u).
Rappelons que l'opérateur
A
dans l'espace
2
Z
L (Eo'u)
est '\\J.a + bo(x)I.
Puisque l'ensemble
E
est connexe et l'application
a
y est bijec-
o
tive tout en y satisfaisant à la condition (x), alors nous pouvons
appliquer le Théorème 51~~. En accord av~c ce Théorème, l'opérateur
2(E
AO,o + bo(x)I
est inversible dans
L
o'U)
ai et seulement si
a lieu une des conditions
i)
ou
ii).
Lorsque les conditions du Théorème 5-2 sont réalisées alors ~
Conséquence 5-1
=
Conséquence 5-2
si
X # E
'
alors
o
2(X,u»
0(A
L2(Eo'~»
1, L
= la) U 0(A1•


= a Çx) la' (xl 11 / 2 u(a(x».

- 63 -
Démonstra t ion.
La décomposition de 1 10 p é r a t eu r
Ai - ÀI
60US
forme de matrice
d'opérateurs donne sur la diôgonale des opérateurs
ÀI
i4e.
des
opérateurs de multiplication par une fonction identiquement égale à À
à l'exception de l'opérateur
A
0 + bo(x)I
O
= AO,O - ÀI. Donc en

vertu du Th€)r~me 5-1) pour que l'opérateur
Al - ~I
soit inversible
il faut et il
suffit que À 1. 0
et que
À
ni appert ienne pas au
2
spectre
a(Ao,a J L (Eo'U»
iae.
= {a) U a(Al'
d'où
=
exp J~

o
~o
l'ensemble des mesures ergodiques par rapport à l'appliccation u
sur l'ensemble
E "
Q
§6.
TRANSFORMATION DE L'ETUDE EN UN CAS DE DEPLACEMENT BIJECTIF
Puisqu'en accord avoc le Théor~me 5-1
l'étude des opérateurs
do forme (5-1)
et
(5-2)
à déplacement potentiellement injectif se
ramène à l'étude des opérateurs de m~me typ~ mais à déplacement in-
jectif, nous limiterons donc l'examen de c e e opérateurs au seul cas
où l'application
a est simplement injectjve.
Soit
a une application injective d'un espace de mesure
(XjO
jlJ)
dans lui-même. Désignons
E
= X\\ a(X).
o
Le cas où
a(X) = X
est déjà étudié, c'est pour-quo
nous auppo aer-or.s
â
,
que a(X) # X.

- 64 -
Nous construisons un nouvel espace
Y muni d'une mesure, comme étant
la réunion de l'espace
X
avec un nombre dénombrable d'exemplaires
+=
Y
:
X U ( UX_
) .
k
k:l
De façon naturelle, à l'aide des applications bijectives
~k : X_ ----->
k
~o
.
sur
Y
est d(;f'inie une mesure
~y
Si l'enserr;:::',la
V
est dans
X
et
~k(V)
ensemble mesurable
-k
dana
Eo ' alors nous posons
=
~(~k(V»
; si l'ensemble
V
est contenu dans
X
et
est mesurable, alors
Maintenant nous construisons une applicat ic"
13
y-> y
par la
loi suivante :
( ~ -l
~
(
k+l 0
k)
y)
6(y) =
"(y)
,
si
y e x.
a est une application bijective de l'espace Y sur lui-m~me.
Les coefficients
a(x)
et
b tx )
des opêr at eur s de forme (5-1)
et
(5-2)
seront prolongés sur l'espace
Y
respectivement de la
façon suivante :
lao(y) • y e X
al (y) =
,
y s y
X
,
y e X
,
y e y x.
.../ ...

- 65 -
'"
"-
Soient
Al
et
A2 les prolongements respectifs des opérateurs Al
et
A2 dans l'espace L2(y.~y)
i.e.
=
(6-1)
(6-2)
Th€orème
6-1,
Les opérateurs
A
dans
L2(y.~y) et A dans
2
Z
L2(X,~) sont simultanément inversibles ou simultan~ment non
inversibles.
Démonstrat ion.
nEcomposons l'espace
en SOMIne directe de sOUS-
espaces :
Soit
u(y)
=
+

et
=
"-
et l'opérateur
A
se présente sous forme d'une matrice diagonale
2
"-
Conséque~ce 6-1. cr(A
L2(y.~y» = (0) U O(A
L2(X.~»
1•
1•
et par suite
=
.../ ...

- 66 -
La démon5tration découle directement du Théorème puisque 11op~rateur
,
,..
Al (:'
0
0
)
et
Al - U
(:' - u -À:)-
En vertu du Théorème 5-1, It~tude d'un opérateur à déplacement poten-
t~ellement injectif se ramène à l'~tude d'un opérateur â déplacement
injectif. En accord avec le Théorème 6-1
l'~tude d'un opérateur ~
déplacement injectif se ram~ne à l'étude d'un opérateur ft d~placement
bijectif. C'est pourquoi nous pouvons écrire une série de résultats
concrets et dans le cas des opérateur8 OC forme
(5-1)
ou
(5-2) à
d~1ac~~t
potentiellèrnent injectif.
Examinons maintenant certains exemples.
l
-
Désignons par
IR
= (x a IR
x~r)
et étudions dams
+
2(1R+)
l'espace
L
l'équation de type

«(x) = x + 1 •
et
al (x)
et
a
étant des fonctions continues. admet-
2(x)
tant une l!mi te à
+00.
Dans ce cas
En qualité de
Y
nOUB prenons
Y =J"oo.oor:
En vertu du Théorème 6-2) llinversibilité de l'opérateur
'"A dans
2
2
l'espace
L (lR+)
est équivalente à 1 t inversibilité de l t opérateur
••• 1 • • •

- 67 -
2
dE.ns l'~space
L ( IR , d X) . En appliquant à l'opérateur
les
résultats de
Izl!.(
~ nous obtenons Que l'opérateur
A2 dans l 'es-
2
pace
L (1R+ ,dx)
est inversible si et ëeu Lemenf si !
I I .
Considérons dans l'espace
L2( 12.1] ,dx)
l'opérateur
(A
:
a Lx ) ql12 u(qx)
1u)(x)

a(x)
est une fonction continue sur 10.1]
et
O<q< i ,
L'application
Cl
est injective mais n'est pas surjective.
Ici
E
= X\\a(X) =Jq,l]
et par conséquent en qualité de
X_
nou e
o
k
.
_ J -k+l
pouvons prendre les sem1-fermes
q
-kJ
• q
et pour
e l ' appl i-
cation de
X_~:_l
dans
X_
définie de la même manière que llappli-
k
cat âon
Cl
i.e.
a : x-> qx ,
Ainsi donc.
Y = 1-6,+0::{;'
L1espace
Y sera décomposé de la manière suivante
2
:
L21:~.iJ 8
L 11 ..... C.
et par conséquent, l'opérateur
Î(1
se présente BOUS la forme ma-
tricielle
o -,
\\
)
/
où COmT!!€'
antérieurement ~
1\\:1
est le prolongement de
Al
dans
L2 ( y ) .
• •• 1• • •

- 69 -
Done
2
o(li' L2(y))
.
= (0) V o(Al' L @.1J )
-v
2(y»
Mais
r(Al' L
= max
J
exp
tn al du ::: max
ex pl ln a du
ueAOY
US'oY
ye X
a (y) =
puisque
{:(y) ,
l
y

s l x.
A
l'ensemble des mesures ergodique. par rapport à l'application f
oY
sur l'espace
y~ C'est pourquoi
/joY
= {uù,lJ + œ}, on.
\\.lo
.t
lJ+~
sont les mesures ~rgcdiques concentrées respectivement aux
points
0
et
+<0
~ Du fait que
al (+co) c a
nous avons
et par consêquent,
«'k • L2 ( y )

la(O)I.
l
Ensuite, sur l'espace
Y
l'application
satisfait ~ la condition
(~)
2(y)
et puisque le nombre de composantes connexes de
10(~1' L
ne dépasse pas le nombre de composantes connexes de l'ensemble
y 129] f Y
étant a connexe. et du fait que le point
0
et la cir-
2(y»
conrêrence de rayon
,.(0)'
appartiennent au spectre
0(~1' L

alors tout le segment
rn. la(O)/] est aussi du spectre 0(~i'L2(y».
De la propriété circulaire, tout le disque de rayon
la(O>l
constitue
le spectre
21].1]
Puisque les spectres
0(')(1' L2(y))
et
O(Ai' L
ne dirfêrent
que d~ point
0, alors le spectre de l'op8rateur
Al
dans l'espace
2@.1:I
L
coincide avec le disque
.../ ...

- 69 -
§7 -
APPLICATION
A UNE CLASSE D'EQUATIONS DIFFERENTIELLES
DE
FONCTIDNS.
Considérons l'éq~ation différentielle de type:
(Lu j x )
= a(x) u'(x) + b Ix ) u'("(x»
+ c(x) u Cx) + d Ix ) u("(x»
=
Ï
= f(x)
(7-1)

a. : IR - > I R
est une application donnée.
Remarquons que dans la partie principale de l'~quation (7-1)
entre
l'opérateur de forme
(5-2)
(A
-
a(x) u(x)
+
b(x) u(~(x».
2u)(x)
l
-
Nous considérons cette équation dans l'~space
L2(IR)
avec
pour exemple concret) l'application
a
x --->q sin x.
Si l'r"'~"""_+-C"'_""
A
est inversible, alors L' êquat Lon (7-1)
se ramè-
2
ne à une équation sans argument décliné dsns les dérivées. Ainei
donc,
il nous faut obtenir les conditions d'inversibilité de l'opé-
Théorème 7.1 : Soit
" (x) = q s in x • oü
0 c 1q 1 ('" 2 •
et
a(x), b(x)
des fonctions continues telles Que l'opérateur
2(IR,dX)
A
soit borné dana
L
j
supposons que
2
~
b
= b(x)I"'(x)j-1/2
(pour
= 2
i(x)
J
nous supposerons que
b
( x )
soit continue sur
1-=~/2.~/2]).
i
Alors
l'opérateur
2(IR)
11
dans
L
e st inversible si et
J
2
seul ement s i :
... / ...

- 70 -
1) Soit
q = ! . Il existe un réel
<1>0
tel que
la(x) 1 ~ d
sur
IR
1.=; ,~/2] et est v€rifiée une
des conditions suivantes:
x. = O· • ~ /2
, -
J
Hl
b(x) ~ 0
sur
et
X
=
j
0,
!,Tr/2
2) Soit
1<q<n/2. il existe un réel
d>O
tel que
1a Lx) 1 ~ d
sur
IR
et
la(xj)1 > Ib ( x ) j •
1
j

x
• ~ étant la racine positive de 1 1§quation
j
= O· ~V

x =
a(x).
3)
Soit
0 < Iql ,1, n
existe
d>O
tel que
[atx) 1 ~d
sur
IR
et
la(o) 1 > Ib (0) 1.
1
~ )
Soit
-rr/2 < q< -1. ri existe
d>O
tel que
[s x) 1~d
ï
sur
Dl
et
la(o)1 >lb1(0)j •
la(v) a (·V) 1 > Ib (V) b ( - v ) 1
i
1

u
la racine positive de l'équation
x = -a(x) •
5)
Soit
q = -"II' /2. n
existe un r6el
d>O
tel que
1a Cx) 1 ~d
sur
m : C=~/2.~/~ et une des oollllttiQ". Slli-
vantes vêt-f.r dêe
i)
a(x)" a
sur
1.=~/2. ~/2]
et
H)
b(x)" a
sur
~~/2.~/;rr
et
... / ...

- 71 -
Démonstl"a t ion.
1) Soit
q =,,/2. Alors l'ensemble
E
=
Q(IR)'
(:n/2.n/21
o
et sur
I,,:TT/2, Ti/2J l'app;.ication
CI.
est bijective
Le. l'applica-
tian
c
est poLerrt Lc Lk cmerrt bij ective et
n
= 1.
a
Décomposons l'espace
sou s la forme
=
L J en s embLo
est connex~ et l'application
a
y satisfait
la condition (~) ; dc~c~ nous pouvons appliquer le Théorème 5-2.
D' autre part, rur le segment 1:,:TT /2, TT /2]
les mesures ergodiques par
rapport à l'ap:11ic?tio:1
a
sont seulement les mesures concentrées
aux point)
O~ -rr/2
et
n r>,
Par application du Théo7ème 5-2
nous avons le résultat rormul~.
5)
Soit
q = --1T/2. Ainsi comme au point
1), l'application
est
= 1)
et sur L' en semb.I e l1(ffi) =(?n'/2,1I'''J
,
.
elle :c;s.t::'sfait ~ IL c cnd Lt Lcn (,,)
et de plus le segment' - r«, /2.:
est c onnexe ,
Les maeur-c c el',-odiqt'.:,c par- rapport à l ' applicat ion
a
Be déterminent
à p1.rt ir du Dr' '"'!'"'l'. fi::c r.
et des points périodiques et de période 2
.C
• •
••
Le.
les p02.~Ti:;S
-,;;/2
et:
r/2.
'! .. (cOR)
(ol ) = 0
1
= "2
et
Il ne r-eat.e- qu' f e pp.triqu ar' If' Théorème 5-2
pour obtenir le résultat.
2)
Soit
1<q<1:/2. 2
= "OR) = I..:q,cil
et sur cet ensemble
0
llap~)lic2_~~.::'1
". ?E:.: -::'n~.9c.'~ive Ls e ,
donc l'application
a est
... / ....

- 7< -
D'autre part Lt app Ldc at.Lon
Cl
" est
impaire et les points pêriodiques
sont de p~riode 2 ; il est suffisant done de prendre seulement les
racines positives de l'équation
x :: 0. (x)
sur
rn •
Lt espace
rn
n'est pas connexe mais elle est
ex -connexe
Le.
8
connexe. Maintenant, il reste â appliquer les Théor~mes 5-1
et
6-1
pour le r~sultat formul~.
3)
et
4)
se démontrent de façon analogue.
I I -
Soient
a(x)
et
b(x)
des fonctions
2rr -périodiques et
2
L
(Dl )
l'ensemble deo classes d'êquivalence des fonctions mesura-
2lT
bles
2'1' -pêr foddoue e de norme
finie.
Désignons par
l'espace des fonctions
2';-périodiQueB et
absolument continues dont la dêrivée est dans
L~ (Dl),
Nous dirons que pour lés solutions 2n'-périodiques de l'êquation (7-1)
est vraie l'alternative de Fredholm si l'équation homogêne de
(7-1)
a Cx) u'(x) + b Ï.x ) u'(,,(x»
+
c Cx ) u Cx )
+
d Cx ) u(,,(x»
= 0
poseède seulement une solution nulle
~-périodique si et seulemnt
si l'équation non homogène (7-1)
possède une solution de
pour toute fonction
f
de
L~ (Dl).
Théorème 7-2. Soient
c Ix) = Q sin x, ü<lql <TI/2,
et
a(x), b Lx )
des fonctions périodiques de périodE: 2rT .. Alors les conditions
nécessaire
et sur r ta snt e de la validité de l'alternative
.../ .....

- 73 -
de Fredholm pour la solution de l'éQuation (7-1)
sont les
m~mes que celles de l'inversibilité de l'opérateur
A
dans
z
le Théor~me 7··1.
Comme c'est connu
l~ J , l'alternative de Fredholm pour les solutions
périodiques a lieu si et seulement si l'opérateur
A
est inver-
2
2
sible dans
L
(IR)~ L1étude de l'opérateur
dans l'espace
Z",T
2
L2~ (IR)
se reproduit identiquement comme àans le cas du Théorème
2
7-1
pour l'espace
L
(ffi,dx).

- 74 -
CHA P ,1 T R E
l V
LES OPERATEURS DE DEPLACEMENT AVEC POIDS
----------------------------------------
DANS LES ESPACFS DE FONCTIONS DERIVABLES
----------------------------------------
Les opérateurs de déplacement avec poids ont ét~ ~tudi~s
beaucoup plus en détail, généralement dans les espaces de fonctions
continues et dans les espaces de
LP(X. u). Probablement le premier
résultat se rapportant aux opérateurs de déplacement dans un espace
Quelconque est le Théorème de Kamowitz-Scheinberg [30, ~3J , dans
lequel a ~té prouvé que si l'espace
F(X)
est une algèbre commutative
semi-5imple de Banach ~t
Ta- un automorphisme non périodique alors,
le spectre
â(Ta, F(X» de l'opérateur Ta contient la circonférence
unitaire
Si. Dans le travail de Kitover
A. K [1~ une générali-
sation de ce théorème a ~té obtenu~ et dans cetto généralisation a
été affirmé que suivant certaines restrictions sur Itop~rateur
A
«Au)(x): a I x) u(
(x»
; a
: X - > X)
a lieu l'inclusion
spectrale
otA, CCX»~ C
o(A, FeX».
Ensuite dans les travaux
1]8, 43]
a été décrit le spectre
des opérateurs de déplacemEnt avec poids et a été donnée la formul~
générale du rayon spectral
r(A)
de l'opérateur
A
dans les espace~
C(X)
et
LP(X.
~). Des résultats se rapportant aux opérateurs A
dans d'autres espaces
[28, 30, ~~J
et aux opérateurs de dépla-
cement non inversible c'est-à-dire
a est non inversible
[13, 18, 23, 2!1
~3, 47l son peu nombreux.
J
.... / ......

- 75 -
Dans ce présent chapitre nous montrons que pour certains
espaces nous pouvons établir une liaison be~ucoup plus étroite entre
le spectre
a(A, F(X»
et le spectre d'un autre opérateur de
déplacement avec poids d en s l'espace
C(X) •
Nous avons démontré certains théorèmes nous permettant
d'appliquer une série de résultats, connus auparavant dans les
espaces CCX)
et
LP(X, ~), aux opérateurs de forme
A
dans les
espaces
Ck(X) - de fonctions k-fois continûment dérivables et dans
les espaces des fonctions de Halder et dans certains d'autres.
§B - SUR LE SPECTRE DES OPERATEURS DE DEPLACEMENT AVEC POIDS DANS
LES ESPACES DE FONCTIONS DERIVABLES.
Avant tout faisons un rappel de certaines définitions,
qui sera utile par la suite.
Un operateur
T
de l'espace
E
dans l'espace
E'
est dit
opérateur de Fr~dholm si :
1)
l'ensemble image
ImT de l'opérateur
T
est fermé.
2)
la dimension du noyau de l'opérateur
T
est finie
ceest-à-dire
dim Ker T <
.
~
3)
la dimension du co-noyau de l'opérateur
T
est aussi
finie c'est-à-dire
dim co ker' T < <XI.

L'opét"ateut"
T
set"a dit semi-Fredholmien si
1)
l'ensemble
ImT
est fet"mé.
2)
dim Ker- T
ou dim coker T
est finie.

L'index d'un opérateut"
T
est un nombt"e noté
ind T
et égal
à :
ind T = dim Ket" T - dim coket" T.
... / ...

- 76 -

Le spectre de Fredholm
O~(T)
d. l'op~rateur
T e s t l'en.emble
des points À de u:
tels que l'opérateur
T - ÀI
ne soit pas de
Fredholm.
Par
Ma(x)
nous désienerons l'opérateur de multiplioation
par la fonction
s(x).
Th€orème
8.1 : Soient
A = Ma(x) Ta
un opérateur de dêplacement
avec' poids dans l'espace
Ck(X)

X
est soit un segment
soit la circonférence unitaire
S1
et
a(x)
une application
bijective
k-ro I e continument dérivable de l'ensemble
X
d ane
Lud-même ,
a Ix ) C Ck(X). Soit
B ' M r'::(x) Ta
un opérateur
de déplacement avec poids dans l ' •• paoe
CCX), oü
"G"(x) = ra'(x)]k a(x).
Alors.
e œ, CCX»~ = O~(A, Ck(X)) ....~O(A, Ck(X)) C o(B, C(X))UO(A, CCX)~
et en plus l'ensemble:
P =
O(A,
Ck(X)" o(B, C(X»)
se compose de valeurs propres de multiplicité finie de l'opé-
rateur
A dans l'espace
CCX).
Démonstration
Soit
X = S1 • Notons par
l'opérateur
J
: Ck(X) _ _ _> Ck- 1(X)
k
agissant selon la formule
(Jku)(x) = u'(x) + u Iü ) ,
Cet opérateur est inversible At son inverse
agit selon la
forme
1
-1
(J
u)(x) =
uC;) de; + (1 - X) S.
u«(;')d(;.
k
o
••• 1•••

~ 71 -
Désignons par
J
l'opérate~~ défini de CkeX) dan. cCX)
par
Ainsi l'opérateur
J
est inversible comme composition d'Op~-
rateurs inversibles.
Ensuite, soit
B
= J 0 A 0 J- 1 •
1
Alors
Bi
est un opérateur de l'espace
C(Sl)
dans lui-même.
En plus) puisque chez les opérateurs semblables le spectre
est le m~me alors
Pour la simplicité nous considérerons le cas où
k = 1
et
alors
B
prendra la forme suivante
1
-1
B
=
1
J
0 A 0 J

1
1
et.
= (J'(x) a I x) ~«J(x)) +
d"<; +
1'(0)

1
+ a Ï û ) \\
u(l) d~ + {a(O)(l -atoll + !2(x) (l - a(x) rr )j ~(é) d~
~O
o
c'est-à-dire que
(B
u i Ix ) = a'(x) a I x I u(a(x» + (Jlu)(x).
1
oü '1/
J'est un opérateur compact.
Pour
f< > 1 nous aurons de façon analogue
(B
u)(x) = ra' (x>Jk a(x) u(J(x» + (1éu) (x)
1
' '1/
ou J\\_' est un opérateur compact.
En vertu de la stabilité d'un opérateur de Fredholm lors de
perturbations compactes
alors le spectre de Fredholm de l'opérateur
t
B
(et donc de l'opérateur
A) coincide avec le spectre de Fredholm
l
de l'opérateur
B.
• 1• • .

- 78 -
Mais chez l'opérateur
B
tout le spectre est de Fredholm
rSO, 31l; donc,
e œ, C(S'»
= O~(B, C(S'»
= o~(~, Ck(S'» c o(~, Ck(S'».
Si À n'appartient pas à
O~(A, Ck(Sl», alors
ind(~ - XI) = ind(B - XI) = 0 ,
et donc, pour l'opérat~ur
A - ÀI
est applicable l'alternative ~
Fredholm et, en particulier, ou À
est une valeur régulière ou
À
est une valeur propre de multiplicité finie pour l'opérateur
A
dans l'espace
Ck(Sl).
Si À est une valeur propre de l'opérateur
A
dans
Ck(Sl),
alors ce À est aussi une valeur propre de l'opérateur
A
dans
l1 e s pa c e
C(Sl), en particulier, À appartient au spectre
O(A, C(S'».
Soient maintenant
X =
[a, bl
c-à-d un segment et
J
Ck(X) ----> CCX)
un opérateur donné par la formule
:
(J u)(x)
= u(k)(x) •
Puisque l'ensemble
Im J
de l'opérateur est tout l'espace
CCX)
alors
lm J
est fermé. De plus,
cod im J
= dim(C(X)/Im j ) ' 0
et le noyau de l'opérateur
J
est de
dimension
k, c'est à dire
dim ker J = k < ~ •
Donc l'opérateur
J
est de Fredholm et par conséquent il
r0
existe pour lui un régularisateur
~L
c'est à dire un opérateur
borné
tel que
JX=I+X
, où
1

et
sont des opérateurs compacts.
'X2
Posons :
B
= J 0 ~ 0

1
.../ ...

- 79 ~
Si l'opérateur
A
~st da F~é~hôlM. alors l'opérateur
Bl
l'eat auaai comme produit d'Op~rateur. aè Frodhblm.
si l'opérateur
B1 est de Fredftbl~ alors.
9è,0 B
0 J = go,o J 0 A 001' 0 or = (1 + ':)
0 A a 0: • :r..,) • A • Yu ,
1
"
où Jl.eat un op~ràteur compact, il" l! Mû," obtenone li\\lè
A
e~it &u8si
lm opérateur de FredhOlm.
Il est aisé de vérifier qulen
nous pouvons prendre l'opérateur
9) agissant de con dans
l ..
selon la formule :
x
('1~u) (x) = j
o
Ainsi
o(x)
O(~_l)
C(X
k
1)
(B
u)(x) = @'(xl]
a Ix) u(o(x»
(k)
\\
(
ç.
1
+..... + a
CX).
\\
......... J
t6) d~
- 0
) 0
0
dx1 .... ~-1
-t>
c'est à dire
J~,
,
o

(B
u ï Ix) = fa'(x)]k
a Cx)
ufo Lx )
et
j( - un opérateur compact.
o
Posons
k = 1
pour la simplicité. Alors
c Ix )
(B
u) (x) =
0 ' (x)
a I x) u(o(x») + a' (x)
u(G) db •
1
Jo
Comme dans le cas
X = Si
nous obtenons que
Et puisque chez l'opérateur
B
tout le spectre est èe Fredholm
alore
• x = Œ. b]

.. .... / ......

- 80 -
Si À n'est pas un élément de
a~ (A. Ck(X»
alors
inde (B
-
~t) + }:J = ind(B - U) = ind «B - U) + fi:: ) -
l
l
1
-
= ind(B - ÀI) = a ce qui nous dOnne
ind J + ind(A - U) + ind R = a •
Maio
ind J • - ind:R,
at done
ind(A - U) = a
et parcon.é-
quant pOur l'opérttaur
A - ~I
est vr&ie l'alternativê d~ Fredholm
et alors ~ est Boit une valeur r~guliêrè ~èit une vBleur propre de
miltipliclté finie pour l'opérat~ur A dans
Ck(X). Si ~ eet une
valeur prOpr~ de l'opé~ateur AdAna
Ck(X). alors il eat b~SBi
un! valeur propre de l'opérateur
A dans
r.(X).
Conséguence 8.1
Si
arA. CCX»~ ,
aIS. C(X», ~lora
a(A. ckeX»
= a(B, CCX»~.
Conséquence 8.2 ~
,- Si a(A. C(X» = a(B. C(X». alora
arA. ckex»
= arA, CCX»~.
flemargue 8.1 : Qualitativenent l'aspect du spectre de l'opérateur
1(X)
de d~placement avec poids dans l'espace
C
est décrit par
d'autres approches dans le travail de
Kitover A. K [19J:
le spectre est constitué d'un anneau et d'un ensemble. pas plue que
dénombrable, de valeurs propres 8itu~es en dehorS de cet anneau.
ConBid~rons certains exemples.
1.
Soient
X ~
~, 1] ct
cdx) - une application bijective
k-.fois
continfiment dérivable de
X
dans lui-même et possédant seulement
deux points .fixes
0
~t
1.
C
"d'
onS1 erons 1" opera t eur
Ta
d ans l ' espace
ck l7l
_
I~ .
il. Pour
fixer les idées nous supposerons que 10' (0) 1 < la' (1) 1•
.../ ...

- 81 -
Pour 1 10pérateur
B
correspondant le spectre
o;B. CCX»~
est un anneau et plus précisément :
ou un disque si
0'(0)
= o.
1("_
Puisque
CCX))
= 8
e œ, CCX))
alors nous aurons
Ck(X))
= o(B, CCX))
2
Par exemple si
a(x) = X
T .
J
k = 2 ; D = MqX2 Ta = Mtr(x) a'
~(O) = 0 alors le spectre de l'opérateur B dans l'espace
C111 J 1]
est un disque de rayon
4
et
Remargue 8.2 : Des théorèmes connus auparavant
[19J nous pourrons
seulement obtenir pour l'exemple donné que le spectre de l'op~rateur
Ta
dans l'espac
Ck(X)
contient la circonférence unitaire
Si.
Quand 10'(0)1 < 1 < 10'(1)1
ou
10'(1)1 < 1 < 10'(0)1
alors, géné-
ralement, l'égalité
a(A, Ck(X)) = o(A, CCX))
n'a pas lieu.
Dans son travail
Il!l]
A. K. Kitover
a construit l'exem-
ple qu suit dans lequel 1& spectre
o(A, CCX))
ni appar-t ient pas
2
au spE.ctre
<J(A, Cl (X) )
soient
X = la, 1] et
a(x) = (X + X ) / 2
1(X)
.
et la f'on r't Lon
a(x)
de
C
est telle que a(O) > 3
a(l) > 0 ,
alors,
ct;«,
l(X))
C
= 0
s œ : 3/2 a(1) ~ [x] ~ ~ a(O)) (a(O)) (a(l))
<J(A, CCX)) = (). s œ : e Ci ) ~ [x ] ~ a o
ï
j l ,
Dans ce cas
a(B, C (X))
=(). s œ
3/2 a(1) ~ Il. 1
1
~ "2 a(O)
et l'ensemble
l
a(A, C ( X) ) '\\
c(B, cCX))
est constitué de deux points
a CO) et ail).
Examinons beaucoup plus en détail les opérations de déplacement de
ce type.
.../ ...

- 82 -
Soit
X = rÔ
l'
et
a(x)
-- .,
une application bijective k-foie
cont inûment dérivable da l'espace
X
dans lui-m~rne et ayant seu-
Lemerrt duux points fixes
0
et
1.
Considérons l'opérateur
(A u)(x) = a(x) u(a{x»
dans l'espace
Ck(X), où
a(x) appartient à
Ck(X).
Dans ce cas nous avons
o{A. CCX»~ = lÀ s ~

ml = min lia ( 0 ) 1 ,
ia (1, 1 )
m
= maxi la(O) 1 , la(1) 1)
2
et
e œ, CCX»~
e
lÀ s ~
m~ ~ IÀI ~ m~)

m~ = min{ 1a ' (0) 1k 1a (0) 1 ,la' (1) 1k 1a (1) 1)
m~
k
k
= max{la'{o)l
la(O)1
,
la'(l)t
la(l)l).
Si
la' (0) 1 = la' (1) 1 = 1
alors,
o(A, C(X»
= 0(8, CCX»~
= otA. Ck{X»
= (À e ~ : ml ' IÀ\\ ~ m2) .
2(1
2).
Par exempLe si
c Ï.x ) = x + x
- x
X;:
l-n
1]
nous avons:
ll
la'(O)1 = 1~'(1)1 = 1
et par conslquent
nIA, CCX)~ = a(A, Ck(X».
RemaI'que 8.3 :
Si
1a' (0) 1 < 1
<
1n' (l) 1
ou 1a' li) 1 < 1 < 1a' (0) 1 alors,
nous pouvons choisir un nombre naturel
k
à partir duquel
dA, CeX»
c-
aCA, C"ex»
et donc
-- --
0(8.
C(X) )
= cr(A. Ck(X».
... / ,..

- 83 -
2.
En vertu du Théorème 2.1
du chapitre l, tout Qut~morphisme T
de l'alg~bre
Ck(X)
est un opérateur de déplacemènt dé fOrme
Tl)

a: X -> X
est une application bijective continue. De plus
k•
cette application est un difféomorphisme d~ claese
C
Soit Comme dan" le Théor~m.
8.1
X la circonférenoe
ou le segment
ra, b]
Appliquons le Théorême 8.1 l l'opérateur
A' Ta • Bn accord
avec le Théorême de Kamowitz-Sdheinberg, dàns le cas d'uns appli-
cation nOn p~riOdique
a, ou en v~rtu du Théorême 2.1 du Ohapitre l
nous avons 1
Sl , aCTa' C(X» c
a(T , Ck(X».
a
,
C'est pourqUQi du Thforêms 8.1 nouS obtenons pour oe oaS donné
aCTa' Ck(X») • a(B, CCX»).
Dana le Oaa d'une ~pplio~tion a périodique par 1& mtme r~i.
80nnement que dans le Thêorème 8 a l nous aUronB :
a(T , Ck(X»
= aCTa' CCX)) - = a(B, cCX»~.
a
Ainei donc nous obtenons la description eompl~te du spectre
de l'automorphisme de l'algèbre
CkCX»
,
Théorème 8.2 ,
Soient
X.
1
S
Ou
X. 1], 1] , T - un automorphisme de
-1'alg8bre de Banach
Ck(X). Alora l'automorphisme est un
Op@rateur de forme
(T u)(x) • u(a(X»
=(Ta u)(x), où
.
a
X->X
Gst,un

difféomorphisme de classe
ck
et
,
m
r;k/,->~
= ," (B
\\
.L
c (X) ) ,
a '
. - k'

Bk - un op~rateur donné par,la formule :

.../ ...

- 84 -
3 • Soient
X, Sl , IR
(mod 1), ,,(,,) ,
x+ h
c'êst-l-dire une
rotation de la circonférence en un angle
h , h - un nombre irra-
tionnel. Dana ce cas
a 1 ex) = 1
et les opêr-at.eur e A et B dans
l'espace
CCX)
sont confondus et selon le Théorème 8.1
nous
aurons :
'la circonférence I~I= exp r ln lai dx,
Bi s(x) # 0 pour tout x d;X X.
"(A, C(X»
ou
disque
0 ~ I~I s expJ' ln lai dx ,
X
a(x
= 0
au moins pour un
Xc
o)
X.
Le Théorême suivant montre que et léS conditions de r~801va­
bilité de l'équation
(L u) (x) = al (x) u Cx) + a
ut x
2(x)
+ h ) = V(x)
( 1)
Théorème 8.3
Soit
L
un opérateur dans l'espace
CCX)
o
donné par la formule
(L
u) (x) = al (x) u x ) + a (x) u Lx + h)
et
L
- un opêr-at eur-
o
ï
2
k
k(Sl)
donné par la même formule que
La'
dans l'espace C
et
a
a
appartiennent à Ck(Sl).
l(x),
2(x)
Alors l'Opérateur
L
est inversible dans l'espace
CCXl,
o
si et seulement si une des deux conditions est remplie :
1)
a
11 ln
l(x) # 0
partout sur
Sl et il ln la ll dx >
1a 2\\ d>
S
S
2) a
~
J
dx •
2(x)
0 partout sur S1 et
ln \\a21 d x >
r ln lall
Sl
~Sl
Démonstration:
Quand la condition
al (x) # 0
ou
a 2(x) # 0
partout sur
51
est réalisée, l'étude de l-opérateur
L
Be ramèn8
à l'examen
du spectre de l'op~rateur de forme:
c'est-à-dire
af x) ut x + h).
... / ...

- 85 -
De la coincidence des spectres de l'opérateur
A dans
k(Sl)
C
et dans
C(S1) s'ensuit la coincidence des conditions
d'inversibilité. C1est pourquoi il est suffisant de montrer Que
si les deux coefficients
al (x) et a
s'annulent en certains
2(x)
points alors, l'opérateur
L
ne serait pas inversible dans
k
l'espace
Ck(Sl).
En r-êa l Lt.é ,
si l'opérateur
La
est inversible alors, l'opé-
rateur
J 0 L
0.1(,
peut être représenté sous la forme
k
rt,
"~
""j/
J 0 L
0 JL = La + ./ l,., , où
· ' w
est un opérateur compact. Donc
k
est un opérateur de Fredholm. Mais dans l'espace
ces1 )
un opérateur
de Fredholm de type
(1) est inversible et nous obtenons une contra-
dict ion avec les cond it ions ct 1 inversibilité de 1 t opêr-at eur-
La
dans l'espace
C(S').
Théorème 8.4:
Soit
a : Si --> Si
un difféomorphisme de la
circonférence de classe
Ck• Si l'application a n'a pas de
points périodiques ou si a est une application périodique
alors :
D(A, Ck(S'»
; D(A, C(Sl».
D@monstration :
1)
Soit a une application p@riodique et de pariode
n . Alors tous
les points
x
de
Si
ont la période
n . L~ spectre de l'opérate~~
A dans l'espace
C(S')
est défini par la condition
on - 1
D(A, C(S'»
;
n

e œ : À
; l rr a(ai(x» pour un certain point
i;O
x e Sl)
Le spectre de l'opérateur
B
est déterminé de la même façon
c ' est -â-d ire
n-1
O(B,
C(S'»
~,n ;;
fi
pour un certain point
i;O
x
do
Sl \\.
.J'
••• 1•••

- 86 ..
on
(B u ) (x) = (2' (x)]k a(x) U(Cl(X» l
ï:;(x)
n-1
n-1
Montrone que:
ft
a(Cli(x» =
ft
t'(Cli(X»
i=O
i=O
En r6alit•
. n-1
n-1
n-1
k
ft
e(Cli(X»
=
ft
a(Cli(x».
ft
(Cl' (Cli(X»)
,
i=O
i=O
i=O
at puieque
Cl(Cln-1(X) _ x
alore, en d6rivant la fonction oompoe'e
Cl(Cln-1(X»
! x
nous obtenone :
n-1
Cl'(Cln-1(X». Cl'(Cln-2(X» ••• Cl'(X) =
ft
Cl'(Cli(X»! 1
i=O
par oonellquent
O(A, e(st»
: O(B, C(S'»
et en vertu de la cons6quence
8.2 noue obtenons l'affirmation
de cette partie dU Th6orême.
2)
Supposone que l'application Cl ne possêde pas de points plIrio-
diques. Dans oe cas le nombre de rotation ~(Cl)
est irrationnel et
pour l'application Cl il y a deux possibilités A envisager
Cl~:
a)
L'application Cl est un difféomorphisme transitif o'eet-A-
c:
dire ·que l'ensemble _J«Cl):
{x 9 S': pour tout voisinage
vx
de
X
i l exiate un nombre
n 9 ZZll (a ZZ" (O})
tel que
an{v
n
x)
v
_ e
est toute la ciroonférence
S1,
x
Soit· 8~{a) - la rotation de la circonférence en un angle 1»(a) qui
s'obtient du d'plao. .ent sur la droite
X --> X + (r(a).
Ainsi l'application a est topologiquement conjugu6e A la rotation
8
a'est-A-<1irs il existe un hom6omorphisme S : S1 - > S1
7,(Cl)
tel que le diagr8Dllle :
.../ ...

- 87 -
a
SI
soit commutatif c-à-d
e~(Cl) 0 a = a 0 Cl.
Cet homéomorphiDme
a transforme toute mesure invariante v par rap-
port à l'application
Ci
en une certaine mesure
1..1
invariante par
1
rapport à la rotation
9~u(a)
c-à-d
~(w) = v(a- (w »
pour tout
ensemble mesurahle
w de
S'.
D'où nous obtenons qu'entre les mesures ergodiques par rapport à
l'application
ct.
et les mesures ergodiques par rapport à la rotation
6~G(a)
il existe une correspondance biunivoque. Mais en vertu de
l'irrationnalité de
IG(a), pour la rotaiton
6'6(0.)' il s » seulement
une mesure invariante probable de Borel, c'est la mesure de Lebesgue
dx
et donc, pour l'application
ct.,
l'ensemble des mesures ergodiques
sur la circonférence
Si
est constitué d'un seul point
vo.
En accord avec la conséquence 8.2 il nous est suffisant de mon-
trer l'égalité des spectres des opérateurs
B
et
A
considérés
seulement dans l'espace
C(S1).
Avant tout montrons que les rayons spectraux
r(A,C(S'»
et
r(B,C(S'»
de ces opérateurs sont égaux.
En réalité selon la formule du rayon" spectral d'un opérateur de dépla-
cement avec poids dans l'espace
C(S')
nous avons
-ra,
J
C(SI»
exp
1n [Cl' <xl]k a Cx) Id",
SI

B
comme au dessus est un opérateur agissant dans l'espace
C(S')
selon la formule :
(Bu)(x)
=
ICl' (x)]k af x ) U(Cl(X».
• •• 1 •••

- 88 -
L'6!alitE dea rayona apectraux dea opErateuro
A
et
B
oera Etabli.
ai auaaitOt nous démontrona que
J tnll1'(x)ldx = o
st
Pour cela conoidErona
~
n
(II
( x» . Par la loi de dérivation d'une
tonotion aompo8~e nous aurons :
=
et par cona5quent,
=
Maia en vertu du Théorème individuel de l' ergodicitE (!!~ et du taiC
1
que la ronotion
tn I~ le L
(S""o)
et
"0
eat ergodique i l
a' enauit que :
n-a
1
l:!.lll
-n tnl~ ("n(x» 1
1
dll
=
lim
("i(x» •
ii
r tnl ax
J1Jl~ld"o'
n -
.......
i=O
B"
~
suppoaona que
J• tn 1~ d"o t O. Alors. ou ,t~ t ni ~, 410 < O.
s
t ~I
ou
tnl
"'''0>0
• Si
~. t n 1 ~1du0 > 0 alora, Hm k tn 1~ b n(x» 1>0 et
n-
dono
lim
tn l&x ("n(x»1
= •• ->Hm
1~ ("n(x» 1 •••. et
n-
n
<lX
ainsi la normalisation de la mesure de Lebesgue ... 0
n'est pas
reapectEe puiaque
li
n
lIo(S')
=
~ (II (x» dx t 1.
t
• • /
• • •

- 89 •

Si
alors d'une taçon analoSUe nous
aurons
lim
l&x (an(x»1 = 0 et donc ~o(Sl) ~ 1.
11""'
Ainsi dono naus obtenons
~. ln !a'(x)\\ dvo = O.
De Il et du tait que l'ensemble des mesures ergodiques par rapport
1 l'applioation a est constitué d'une seule mesure
Vo nous
avons:
r(B. C(S'» = exp 1· ln 1Ca'(x)}k a(x)1 dvo

S'
r1
exp(I
la'(x)l k d
la(x)1 dv ) •
=
ln
+ J
ln

0
S'
0
= exp 1 ln la(x)1 dvo = rIA. C(S'».

Ensuite du tait que les speotres des opérateurs
A et
B
dans
l'espaoe
C(S') ne sont pas vides alors. en vertu de l'irration-
nalitf de
~(a). ils possèdent la propriété circulaire. Puisque
sur la circontérence
Sl
l'application a satistait 1 la condition
(a). c'est-l-4ire que l'ensemble des peints périodiques n'.st nulle
part dense. alors est applicable le Théorème 5 [28J et dono :
i)
si
a(x) _ 0
partout sur
r
a(A. C(S'» • (A 9 II: : 1A 1 = exp.l.
ln
dxJ • ,,(B. C(SI».

.
1
11)
ai
a(x ) • 0
1 un certain point
o
Xo de S
"(A. C(S'» • {AS II: : !AI,
exp l
ln la(S-1(x)! dû = "(B~ C(gl» •
S'
loi
dx' ~o - la masure normée de Lebesgue sur la circontérence
b)
L'application a est un dittéomorphisme non transitit
o'est-l-41re que l'ensemble~(a)
n'est partout dense •
.../ ...

- 90 •
~~s1gnons par i21(0) = {les extr@mit~s de gauche des in-
tervatLes compl~ment8ires a Jl (0) ) et Boit
.q(a) =n(a) ,.0. (0).
1
Dans ce cas il existe une application continue biunivoque
8 , !22(a) - >
51
(la topologie dans l'ensemble
SL 2(a) est induite de 51) telle
que le diegrlUllllle
a
B
8
80it cOJlllutatit
c'eet-l-dire
.',-(a) 0
B = 8 0 a.
Remarquons que IL 1 (a)
est un ensemble d~nombrable. invariant p",'
rapport 1 l'application
a

Pour toute mesure ergodique v par rapport a l'application a nous
avons:
v(!11(a)) = 0
et puisque le support Supp v
d'une telle mesure ee trouvs dans
.n. (a) I)9. '2J • alors
~ ({22(a»
= 1.
Ainai donc il y a une correspondance biunivoque entre les mesures
eraodiques par rapport a I t s ppl i cat i on a et les mesures ergod1qu~s
par rapport ft la rotation
.Z(o)
c'est-~-dire si v est une mesure
erlOdique pour l'application a alors ft l'aide de l'application
8
se dffinit une mesure u ergodique par rapport ft la rotation
e~(a)
et plus prfcisfment
.../ ...
.....
" .

·,"~.'-,
- 91 -
pour tout eneemble W de la circonférence
51, meeurable par rapport
1 la Meeure
v.
En vertu de l'irrationnalitê de '(;(,,) 11 ex!ete une eeule.
Meeure ergodique par rapport 1 la rotation e'l'. (,,) et 0 'eat efteo-
tiv8llent la mesure normalisée de Lebesgue
~o: dl'
sur la oiroon-
férence
51. Ainsi il ~xiste une seule mesure ergodique
V
sur la
o
oiroonférenoe
51
par rapport 1 l'applioation
a

.f.
De la formule du rayon speotral et du fait que
in la'(x)1 dV
: 0
nous aurons comme au point
a)
o
1

r(B. C(st)) : exp
f
inla(x)! dV
=
o
il<a)
• exp J in la($-l(x))1 dx = r(A, C(S')).

La suite se fait sans ohangement ooœ_e dans
i) et ii)
du point
a).
Ainsi l'affirmation du Théorlme est démontrée.
f 9
LE RAYON SPECTRAL D'UN OPERATEUR DE DEPLACEMENT AVIlC POIOS.
L'établissement de la formule du rayon speotral
'r(A, C(X)) de l'opérateur
A agissant dans l'espaoe
C(X)
par
la formule,
(A u )(x) = a(x) u(a(x»
CI est une applioation oontinue de
X dans lui-m@me, est basé sur
les propriétés suivantes des opérateurs dans oet espace :
1)
la norme IIT"II de l'opérateur de déplacement
Ta
est égale 1
unité.
2)
Pour l'opérateur
"a(x) - opérateur de multiplication par la
fonction
a(x) de C(X) est réalisé: Il"a(x)11 = max la(x)1 •
x
••• 1••

- 92 -
Dans les espaces
Ckex)
de fonctions
k-fois continOment
dérivables sur une variété
X; pour
k 3 1 J
la norme de l'opé-
rateur de multiplication par la fonction
a(x) n'est p~s égale au
maximum du module de la fonction c'est-à-dire
IIMa(X) Il # max [a tx) 1 et immédiatement l'établissement de la
formule du rayon spectral de l'opérateur
A
ne se rapporte plus
à ce cas. Cependant dans ces espaces et dans une série d'autres
espaces le rayon spectral de l'opérateur de multiplication par la
fonction
a I x )
est égal au maximum du module de
a t x ) ce qui dans
certains cas ramène à cette formule du rayon spectral.
Théorème 9.1
Soit
F(X)
un espace de Banach de fonctions
sur un espace topologique compact
X J a - une application
continue de
X
dans lui-même ; soit
0r(X) - une sous-
algèbre (généralement parlant non fermée) dans l'espace
CCX), constituée de fonctions
a(x)
telles que les opéra-
teurs de multiplication
Ma(x)
par la fonction
a(x) sont
des opérateurs bornés dans
F(X)
et supposons que les
conditions suivantes réalisées :
1)
il existe une semi-norme
P
dans
G(X)
telle que
pour toute fonction
a(x) de
G(X)
2)
pour tout ensemble fini
ai (i = 1, ... , n) de fonc-
tions de
G(X)
est vraie l'inégalité
n
n
P( TI
"k) ~
l
P(a k)
k= 1
k= 1
3)
r(Ma(x)' F(X)
= m:x la(x)1 •
Alors si
O(Ta.' F(X))
:::=.:..: Sl
et s'il existe un réel
c > 0

- 93 -
j
tel que
P (T
a) s c Pla)
pour tout entier naturel
j
de
a
lN
et toute fonction
a{x) de
G(X), alors le rayon spectral
r(A, F{X»
de l'opérateur
A
dans l'espace
F(X)
se cal-
cule selon la formule :
dA, F(X»
exp ~ zn 1a 1 du

à
-
l'ensemble des mesures ergodiques par rapport à l'appli-
o
cation ~ sur l'espace
X.
Démonstration : Désignons par
exp] zn [afx) ] du,
X
Le rayon spectral
r(A, F(X)
de l'opérateur
A
dans l'espace
F(X)
se déterminera par la formule
dA, F{X»
= lim IIAnI1 1 / n •
n-+oo
Pour l'opérateur
A -
M
T
-
a(x)
a
nous aurons
(An u)(x) = an{x) u{an(x»

n-l
a Ix ) Il G(X)
; u Lx ) Il F(X)
;
n
a{ai(x)).
i=O
De là nous obtenons :
Par coneêqaent,
IIAnl1 ~ liMa (x)11 • IIT~II
( 9.2 )
n
D'autre part, pour tout
E >
0,
il existe une fonction
u(x)
de
F (X)
telle que :
.../ ...

- 94 -
IIAn ullp(x) = Ilan(x) uCan(x»llp(x) • liMa (x) u(an(x»/Ip(x) ~
n
> (r(Ma (x), p(X» - €) • Ilu(an(x» IIp(x) ~

n
~ (r(Ma (x), F(X»
- €)

IIT;n,,-1 • Ilul'p(x)

n
A:lnoi clone :
r(M~(X)' F(X» .IIT;nll-1
tlAntl
(9.3).
Lora cle l'établi ••ement cle la formule
(9.1) clane le chapitre
I I noue avone clémontré QIle
--~>
.(8) •
n + -
En vertu cle la conclition
3)
rIMa (x), F(X»
• 11~(x)IIC(x) •
n
Ce qui noue clonne en coneiclérant l'inégalité
(9.3):
et en paeeant l la limite,
en tenant compte que
oCTal F(X» C
Sl
c-l-cl
r(~a' P(X» = r(T;l, F(X» = l, loreque n + - noue obtenone 1
.(a)

·r(A, F(X»

(9.4)
Eneuite cle la conclition . 2)
noue aurone :
n-1
Plan) E
r (P(a(ak(x») .11 n
a(ai(x» Ilc(x») E
k=O
OEi~kEn-1
n-1
i)
Soit
a(x) ~ 0
partout eur l'eepace
X.

- 95 -
Ainsi donc, en utilisant la condition 1) nous obtenons l'évaluation
et par conséquent,
l / n
IIAnll
~ r(Const s n • P(a) + 1) • Ilanllc(X)J lIn , II~ill/n
En p~ssant à la limite dans cette dernière inégalité quand
TI
nous avons
rIA, F(X))
S
~(a)
(9.5)
Ainsi des inégalités
(9.4) et
(9.5)
nous obtenons l'égalité (9.1),
ii)
Supposons maintenant que
a(x)
s'annulle sur un certain
sous-ensemble de l'espace
X.
Alors,
n-l
P(a ) SC. Pla}
l
n
k~O
n-l
~ C , P (a)
l
Il n
a(ai(x))
lIn Il
k~O
OO~kSn-l
lIn
C(X)
n-l
~ C • Pla)
l
Il
,
k~O
lIn
CCX)
alors nous avons :
n-l
P (a)
l
" n
(1 a(ai(x}) 1 + lIn) Il C(X) ~
k~O
0:; i~n-l
Pla)
Il
n
(ia(ai(xlll
+ l/n)IIC(x)

0:; i~n-l
Si
TI>
no
alors,
••• 1• • •

- 96 -
et
li a Il
<II il
(la(ai(x»1
+ 1/n ) l l ( x ) •
n
CCX)
O~i~n-1
o
c
C'est pourquoi de la condition
1)
aura lieu l'inégalité
lin
.
lIIl
2
IIMa(x) IIF(X)
n
• P(a)
+ 1)
• Il Il
<la(a'(x»I+ 1/nollc(X)"
O~~n-l
De Lt Lnêga Lâbê
lin
liMa (x) IIF(x)
et celle
n
de
(9.4)
nous obb Lendr-on s quand
n .... a;J :
r(A, F(X»
~r(Mla(x)i + lino Ta' C(X»
= ,(la(x)1 + lino) •
De !il
r(A, F(X) ) s lim
Hla(x)1 + lin
) = $ ( 1al) = ,(a) •
(9.7)
n
0
+~
0
En réalité, puisque
la (x) 1 + lino
1a x ) ,
Ï
n +~
0
de raçon monotone décroissante et dans l'espace C(X)
Ml
1
T
- >
MI
(
1 T
a(x) + lino
a
n +œ
a x)
a
o
alors de la continuité supérieure du rayon spectral nous avons
>
-
-
) TIro reM
T
CCX»~ = lim ~(la(x)1 + lin) •
n +~
la(x)I+1/n
o
o
a'
o
D'autre part, de l'inégalité
[a Ix ) 1 + lino> [a Cx ) 1 + 1/m
... / ...

- 97 -
pour
m > n
nous avons
o
lin
lin
Il la ex )I + 1/ n ll
>
+ l/m Il

n
0
CCX)
CCX)
D'où J
et, par conséquent,
Donc l'égalité dans (9.7) est établie et la démonstration du
Théorème est achevée.
Maintenant considérons certaines applications du Théorème.
1 • Soient
X = Sl = IR (mod 1) ,
a(x) = x + h ,
F(X) = G(X) = C1(X)
avec la norme
Ilull c' (X) = max 1u (x) 1 + max lu'(x)i
x
x
Pla) = max la'(x)1

x
Vérifions la réali-~tion des conditions du Théorème.
a)
Il Ma(x) u Il C • (X) = Il a (x) U (x) 1 1C ' (X)
i
i
Ilullc,(x) • {max 1a I x ) 1 + max
la'(x)I}
x
x
par conséquent
IIMa(x)11 <
Pla) +

Ilallc(x)

.ème
b)
Par
a(i)(x)
nous désigneron s la l
dér ivée de la
1(X)
fonction
a(x) S C
oC
i
S la, 1) ·
Soient
a
a
••• ) an(x)
- des éléments de C1(X). Alors
1{x),
2(x),
n
n
_ . - - - -
(il)
(i2)
(ï,,)
p( TI
a.) = max 1 (TI
a . (x) ) ,
= max 1 L
al (x) 0. (x) ••• "n (x)
1 i
j=l
2
J
x
j=l
J
x
. ,
.
1
11+ 12+···+1n=
i
G'!a,1J
j
l~j~n
.../ ...

- 98 -
n
s
r P(a.) Il ,; a.(x) Ilc(x) •
j=l
J
l(h!Jo<n
,
,
~
c)
Si
),>max!a(x)1
alors,
x
l'équation
a I.x ) u l x ) - ),u(x) = V(x)
1(X)
dans l'espace
C
est ré solvable de façon univoque pour toute
1(X)
fonction
V(x) de C
et
(at x ) - ),)-1 V(x) = u Ix ) ,
Par conséquent
1(X)
• C
~ max la(x)!
(9.8)
x
D'autre part, soient
À
9 Πet
Xc S X
tels que
o
1),01 = m~x 1a Cx ) l , ),0 = a(x
Alors pour
V(x)
"
1
o)'
l'équation
a(x) u(x)
-
À
u(x)
= 1
n'a pas de solution puisque
o
u(x
- ),0 u(x
= 0

1
et par suite,
o)
o)
1(X)
r
(Ma(x)
,
C
3 max
!a Ix) 1 •
x
Des inégalités (9.8) et (9.9) nous obtenons que
1(X)
r
(Ma(x)
, C
= max [a Lx) 1 •
x
1CX»
d)
Le spectre
aCTa' C
de l'opérateur de déplacement
1(X)
Ta dans l'espace
C
se trouve sur la circonférence unitaire
Si
puisque
Ta
est un opérateur isométrique inversible.
1(X).
c)
Soit
a(x) e C
Alors,
P(Tj a)
= max] ra(x + j hl]' 1 = max
1a ' (y) 1 = pra)
a
x
y9JR(mod 1)
donc nous pouvons prendre
c
égal à l'unité.
Donc le Théorème précédent est applicable. C'est pourquoi le rayon
1
spectral de l'opérateur
A
agissant dans l'espace
C CX) selon la
formule :
(A u ) (x)
= a Ix ) u ï x + h )
... / ., .

- 99 -

a(x) S Cl (X)
se calcule par la formule
(9.1)
Ce résultat a été obtenu par une autre méthode dans le paragraphe S.
1
2 - Soient
X e
S
:: IR (mod 1), œLx ) ;:: x + h et
F(X) = G(X) = HYeX) - ensemble des fonctions de Hëlder SUI'
x
dt exposant
Y, de norme
lu(x) 1 + eup 1 u(x') - u(x")L •
:: max
I\\ull y
H (X)
x
x',x"
lx' - x"I Y
t a(x') - a(x")1
Soit
Pf a ) = sup
Xl, x"
lx' - x"I Y
vérifions si les conditions du Théorème sont réalisées :
la(x') u(x') - a(x") u(x")
a) Ila(x) ufx)
1
1 t
=rrex la(x) u(x)1 + sup

HY(X)
x
X' .x"
lx' - x"I Y
Ensuite
a ex t) li ex1) - a (XII) li (x")
a~(x,-'..!.)..::u,,(x,-'..!.)~-",,,,--"-,='-',=,,,--=><,--,-,=,-,-=,-,,
1
1
_
c.1
- afx") ufx" )+a(x")u(x' )-a(x")u(XU») ~
1 x'
- x" 1 y
1x'
- X" 1 y
lu(x') 1 ia(x') - a(x") 1
+ la<x')liu(x') - utx")]
lx' -x,,!Y
Y
lx' - x"I
D'où :
la(x') - a(x")1
Ila(x) u(x)/I y
~ maxla(x) 1 .llull y
+ rrex] ufx) 1 • sup
~
H (X)
x
H (X)
x
x' ,x"
lx' - x"I Y
Ilaii y
. Iluil y

H (X)
H (X)
Par conséquent
IIMa(X) Il
~ P(a) + IlaIIC(X) •
HY(X)
b)
Soient
a i ' 1 ~ i
~ n - un assemblage de
n éléments de
G(X) = HY(X).
... / ...

- 100 -
n
n
1 TI
di (x ') - TI a.(xll)j
n-l
j-l
n-j
i=l
i=l
l
n
:
Il TI a.(x') - l ( TI
"Tl .(x") • TI "k(x'»+
- l
1x'
- x"I Y
i=l
l
j:l
i=O
k:l
n-l
j-l
n-j
n
+
l ( TI
a
.(xl ' )
.
TI ak(x'» -
TI
a.(x") Il/Ix'
(9.10).
j:l
n-a
i=û
k:l
i=l
l
D~ l'égalité
(9.10) nOus obtenons que
n
n
P( TI
a . )
l
a. Il

i=l
l
k:l
l
CCX)
C)
Lt éga Ldté
max
[e I.x) 1
x
s'obtient de la même façon que dans le c) de llexemple
1 ~ partir
de l' équa't ion
a(x) u(x) -
u(x) :
v(x)
dans l'espace
HYeX).
d)
liT
u(x)11 y
:
Ilu(x + h ) Il y
: max
[u I.x + h ) 1 +
a
H (X)
H
(X)
x
lu(x' +h) - u(x"+h) 1
lu(x' +h) - u(xll +h ) L
+ sup
: III3Xlu(x) 1 + sup
:
x' .x''
lx - x"I Y
x
x' IX"
1(x' +h- - (x"+h) IY
lu(x') - u(x") 1
:
lII3X
lu(x)\\ + sup
:
Iluil y
x
x'x"
lx' - x" I Y
H (X)
Ce qui veut dire que
Ta
est une isométrie inversible et par con-
s âquerrt :
aCTa' HY(X»
:
Sl •
e)
Ici en qualité de
c
nous prenons l'unité.
Ainsi nous obtenons le Théorème suivant.
... / ...

- 101 -
Théorème 9.2:
Soient
X;; 1R
(mod 1)1 a(x)
::: X + h 1
a(x) S HY(X), où
h
est un nombre irrationnel et
HY(X)
-
l'espace des fonctions de Holder d'exposant
y . Alors le
rayon spectral
l'(A,
HY(X»
de l'opérateur
A
agissant dans
l'espace
HY(X)
par la formule
(A u ) (x)
= a(x) u ï x + h )
est égal à
1
r(A. HY(X»
= exp \\'
~nlaldx•
.JO
Remargue : Si
a(x) est une fonction dérivable alors en qualité
de
P(al nous pouvons aussi prendre
P{a)
;; max
la'(x)l.
x
3 .
Soit
r(x)
;; B -
l'espace des fonctions absolument continues
sur L' e spac e
X = IR
(rnod 1), pour lesquelles la norme
Soient a(x)
= x + h
et
P(a)
= max la'(x)\\.
x
Dans ce cas :
,1
2
1/2
1
2
lI?
a)
Ila(x) ufx) liB
= (Jo la(x) utx) 1 dx)
= (~ la'(x) u(x)+a(x) u'(x)1 dx)

De l'inégalité intégrale de Minkowski nous avons:
2
1/2
1
2
1/2
utx) + afx) u' (x) 1
dx
~ {~ la'(x) u(x) 1 dx)
+
~O
.1
2
1/2
+{j
la(x) u'(x)1
dx}
o
d'où:
2
1/2
1
2
1/2
Ila(x) tr{x} Il B ~ max!a(x)
( <:
1
1li 1 dx)
... max la(x) 1
[u"]
dx)
+
x
Jo
x
. •1• • .

- 102 -
2
+ max 1 a' ex) 1
e Si lul
dx)1/2 + max la'(x)1
(~1 lu'1 2 dx)1/2 =
x
o
x
'0
1
,1
=
2
2
(maxla'(x)1
+ max laex)1
)
re
\\
lul
dx)1/2 + ( \\ !u'i
dx)1/2] =
x
x
'0
Jo
= (maxia'(x)1
+
max 1a(x) 1 ).lluII B"
x
x
Par conséquent,
,
11
Ma (x) Il
P(a)
+ Ilallc(x)'
b). c)
et
e)
se vérifient de la même façon que dans l'exemple 1.
et par sui te,
cr (T" ,B)
=
Ainsi pour l'opérateur
A
agissant dans l'espace
B
par la formule
(Au)(x)
= a(x) u(x+h)
est vraie l'égalité
(9.1).
Dans tous ces exemples, l'opérateur de déplacement
Ta
est une iso-
métrie. Montrons qu'il existe des opérateurs de déplacement non isomé-
triques mais de rayon spectral égal â l'unité.
l
Soient
F(X)
=
c ro ,u
et
a
: 10,U -> ro.U un difféomor-
phisme ayant seulement deux points fixes
0
et
1
et de plus
la'(o)1
= 10.1 (1) 1 ;;: 1. Dans ce cas l'opérateur de déplacement
Ta.
engendré par l'application
a.
n'est pas isométrique dans l'espace
1(X)
C
mais i~ n'en est pas moins comme il a été montré dans le para-
graphe précédent que
r(T
• C'(X»
=
1.
a
Des raisonnements analogues permet tent d' obtenir la formule du rayon
spectral dans un certain cas beaucoup plus général.
... / ...

- 103 -
Théorème 9.3. Soient
FCX)
un espace de Banach de fonctions sur un
espace topologique compacte
X.
une application continue de
X
dans lui-même et soit
G(X)
une sous-alg~bre (pas obli-
gatoirement fermée) de l'espace
CCX), constituée de fonctions
a(x)
telles que les opérateurs de multiplication
Ma(x)
par
la fonction
a(x)
soie~t des opérateurs bornés dans
FeX).
De plus, supposons remplir les conditions suivantes :
1) il existe une semi-norme
P
dans
GCX)
telle que
pour toute fonction
a(x)
de
G(X)
IIMa(x) Il 'P(a)
+
lia Il c l x)
2) pour tout assemblage fini
ai' l(i(n
de fonctions
de
GCX)
a lieu l'inégalité
n
n
p(
TI
, L
II c ( x ) •
k=l
k=l
3) r(Ma(x) , FIX))
=
max [af x) 1
x
Alors, stil existe une fonction
S(x)
de
G(X)
et un nombre
c>O
tels que le spectre de l'opérateur
a = MS(x) T~
soit
contenu dans
Si
et
P(Tj a)
,
C • Pla)
pour tout entier
a
naturel
j
de
lN
alors,
le rayon spectral de l'opérateur
A =
Ma(x) T~
dans l'espace
F(X)
est déterminé par la formule
(9.1).
Démonstration. Soit
u(x)
un élément de
F(X).
= IIM n-l
TI
i=O
, IIM njj' aIc'(x) IIF(x)
i=O
... / ...

- 104 -
par conséquent,
n-l
.
Il
'1I1i~11
.
F(X)
TI
a( '(x»
F(X)
i=O
Lors de la démonstration du Théorème (9.1) a été montré que
1 / n
lim
.
11
= Ha)
n"~
a(o.'(x)
F(X)
et donc J
r(A, F(X»
, $ (ai.
Ensuite 'd e > 0, il existe une fonction
u(x) de
F(X)
telle que
, F(X»
- EJ. Ilu~ uIlF(x)
a(o.i(x»
} r r(M _
n
F(X)) - EJ. IIIÇI ,-1 . IluIIF(X)'
1
TI
a(o.i(x»,
i=O
c'est-à-dire
II Anll}[r(M _
, F(X»
- El. IllÇII-l •
n 1
TI
a(o.i(x»
i:=.Q
De là nous obtiendrons If inégalité inverse
r(A, F(X»
} $(a).
et le Théorême se démontre d'une façon analogue au Théorème précédent.
Remarque :
A la différence du Théorème 8.1, le Théorème 9.1 n'utilise
pas la dimension unitaire de la variété
X
et pour exemple nous
pouvons considérer les opérateurs dans les espaces de fonctions
sur un tore
rn
TT
avec le déplacement en standard.
... / ...

- 105 -
Dans ce cas, pour tous ces exemples dans les espaces des
1(TT
fonctions dérivables
C
ffi ) , d~ns les espaces de fonctions de
y
m
~(
m
HêLd er-
H (TT
), dans les espaces de Sobelev
W
'lT
), la formule
2
du rayon spectral a la même forme que dans C(TT ID ) et dans
2CTrm
L
)
[5, 19].
Les conditions du Théorème axiomatisent certaines propriétés
de la semi-norme
P(a) = max lal(x)l. Nous pouvons obtenir un résul-
x
tat analogue en axiomatisant les propriétés de la serni norme
Pla) = max laCk)(x)l.
x
En vue de la construction grandiose nous nous limiterons
à la formulation et à la démonstration d'un Théorème analogue pour
2(TT
le cas particulier de l'espace
C
ffi )
avec le déplacement:
(Th u) (x)
= uj x + h ) ,
Théorème 9.4
Soient la fonction
a I x ) 8 Ck(Tl,rn) J
a t x) .;. 0 ,
a.(;~) = x
ffi
+h
,
TT
-
un tore de dimension m, r-êa Li eê comme
IR m(mod 1). Supposons que tous les nombres
h"l~i~m
1
soient rationnellement indépendants, où
h = (hl'~ •• t hm).
Alors
s:
expJ·
zn lai du
m
Tr
où,
~
la mesure normalisée de Lebesgue,
~ = Ma(x) Th •
Démonstration :
Nous démonstrons le Théorème pour
k = 2.
2(TT m)
La norme dans llespace
C
sera définie de la façon suivante
••• 1•••

- 106 -
m
m
a2
m
Ilul/ 2 = 1: J ~I u 1 + J max
+
a:;
max lui
i=l J=l
axiax
1
1
j
J=l
x
x
1(TI m
et dans les espaces
C
)
et
C (TI m)
respectivement par
m
Ilu 111
=
l
max I~I + max lui
j =1
x
aX
x
j
Iluil o = max 1u 1
x
Soit
u(x)
un
m
élément de
2
C (TI
)
alors
(An u)(x)
=
an(x) u(x + nh) "

n-l
an(x)
=
TI
a(x + ~h).
~=O
n-l
a
a(x + ~h) • u(x + nh)] = TI a(x + ~) • ax. [u(x + nh)] +
l=O
J
a
n-l
+ ufx + nh) • a
TI
a(x + ~h)] •
Xj
~=O
Donc,
n-f
max la~ [TI
a(x + ~h) • utx + nhITI ~ II~II
• Ilulil + 11an Il
.llull

x
j
R.=O
0
1
0
D'autre part J
= ....L
ax.l
.../ ...

-
107 -
par conséquent,
~2
max
~xo ~xo @n(x) u(x. nh)l (211~111' IIul1
x
1

l
J
.llanllo
• Il u11 2• Ilanl12· Iluil o s
~ 411anll . Iluil •
2
2
C'est pourquoi,
lia (x) u(x>nh) 112 s 4m2 lia Il .llull +mlla Il •
n
n
2
n
2
2
2
=
(4 m + m + 1)
Ilanll
Iluil
.
2
2
D'où l'évaluation
(9.11)
oil
2
C ::: 4 m
+ m + 1.
L
l ~~ [a(x Hh)] • ~; [a(x + ph)] x
0
0
~p'~~n-1 l. J
l
n-1
"\\
n-t
x
Il
a(x+kh),+ L
atx -s kh) •
k=0
,j
t:::Q
k>!~
k>!p
Désignons par
ra
~
(x)]
[a(x)]
1 = C
;
max
1
= C
2
1

x
1 ~x"
,X j
J
Puisque
n-1
.~
li
a(x+kh).
a
@(x + ~h)] •
~x"
L
dx 0
J
~=O
0<k'~<n-1
,
,
J
alors
m
oL
max
J =1
x
.../ ...

- 108 -

9
est une certaine constante.
1
De plus,
max
x

O
- constante.
2
Ainsi donc
2
2
2
2
Soit
P2(n) = n
m
e Cl + TI ID C 0
+ 1
c-à-d un polynôme
1
2
2
de degr€
2
par rapport à
n . Alors
Il an Il
~
P2(n) Ilanll
2
0
De l'inégalité
(9.11)
nous aurons
Comme il a été montr~ plus haut
Ilanll~/n
> exp
~n
la 1 du ,
n
n -
Tr
ce qui donne
lin
m
dA, Ck(Tr
»
P
]l/n
~ lim
[c
2(n)
Ijanll
=
n+ oo
0
J
= exp
~n lai d~ •
(9.12) •
m
Tr
De plus, du fait que
a(x)
~ 0
partout sur le tore
'!Tm. alors il
1
existe
A-
agissant selon la formule
l
(A-
u)(x) = [a(x - b ) ]-1
u I.x - hl.

- 109 -
-1
Pour l'op~rateur
A
nous aurons J en vertu de l'évaluation (9.12)
que
r(A-\\ ck('rrm»
s
exP(-J m zn lai du)
(9.13)
']T
Des inégalités (9.12)
et
(9.13)
i l s'ensuit
rIA, Ck(']Tm»
:
exp)
zn lai du.
']Tm
Pour
k > 2
le théorème se démontre de la même façon, seulement
les calculs sont grandioses.
Soient
X = '!Tm - un tore de dimension
ID,
réalisé comme
mm (mod 1)
,
a.: X - > X -
le déplacement en standard c-à-d
rn
n(x) = x + h,

h e TT
J
h = (hl"'"
hm)'
Rappelons que l'orbite
du point
de
'ITID
par rapport à
l'application a. est appelée la fermeture de l'ensemble
(,J(x
i
El ZZ
),
o),
Si parmi les nombres
h i ' 1 ~ i ~ ID
il Y a un irrationnel, alors
chaque orbite B(x) d'un point
x
est un tore ou une union finie
de tores et sur elle est définie la mesure de Lebesgue
~B(x) •
Th -
ê
eor me 9 5 : S'
Olent
a f x ) ~1:1 Ck(']Tm) ,
a(x)
~ 0
et

(Th u){x) : u I.x + h)
,
1)
Si parmi les nombres
h . , 1 < ~
....L
<
..
m, il existe un
,
irrationnel alors, le spectre de l'opérateur
A
dans
Ck(Tr m)
est 1 t anneau
cr (A, Ck(']Tm»
: {<El ~ : min eXPj( ln lai du
a(x)
B(x)
B(x)
(
exp)
zn lai d
)
B(x)
~B(x) .../ ...

- 110 -

min
et
max
sont pris par l'appert à l'ensemble de
toutes les orbites.
2)
Si tous les
hi
sont
p
rationnels alors J
n-l
TI
a(ai(x»
au moins pour
i:O
un certain
x
de
n - le plus petit commun
dénominateur des fractions
hi}.
Dêmonstration
1)
Supposons que parmi les nombres
h.
qu'il y ait un irrationnel.
,
Nous le fixons et le désignons par
h .

'0
Nous démontrons avant tout que le spectre de l'opérateur
A
possède
m)
la propriété circulaire c'est-à-dire, si ;\\0 9 cr(A, Ck('l'r
et
IÀI : lÀ 1 alors
À El a(A.
Ck(TJ'rn)).
o
dé!
En r êa Lâ t
soit
ê
,
À
El
a(A. Ck(TJ'rn))
et
S
:
M
o
i2wkx i
e
0
i211'kx.
l'opérateur de multiplication par la fonction
e
~o.
Alors,
i2wk(x. +h.
)
e
'0 '0
u(x + hl) :
-i211'kx.
i2wk(x. +h.
)
'0
• e
~o
~o
:
e
• a(x)
• u(x+h)
• a Cx) .u(x+h) •
et par conséquent J
ei2Trkhio
S-l 0 A 0 S :
A •
De
i2Wkh
S-l
i o
0
(A
À
1) 0
S
e
-
:
o
.. .. / ...

- 111 -
-i2~kh.
il s'ensuit que
Xc e
1 0
aussi appartient au spectre
-i2~kh.
a(A, Ck(TT m». Lors de la variation de
k
le point
).0
e
1 0
se déplaçant sur la circonférence ne répétera aucune de ses posi-
tians déjà prises en vertu de l'irrationnalité de
hi. Ces points
o
sont disposés partout de façon dense sur la circonférence de rayon
IÀol. c'est-à-dire que chaque arc de cette circonférence contient
Un point du spectre
a(A, Ck(Tr m)
de l'opérateur
A.
Du fait que le spectre est fermé il s'ensuit que toute la

circonférence de rayon
Ixol
appartient au spectre
a(A. Ck(TT
et donc la propriété circulaire est démontrée.
Rappelons que l'orbite
B{x)
est une aoua-var-Lêt
dont la
ê
dimension est égale au nombre
N
des nombres
hi' 1 ~ i ~ m,
rationnellement indépendants.
Le tore
TT m
sc stratifie en ensemble
B(x)
sur chacun
desquels est définie la mesure naturelle de Lebesgue ~B(x)' inva-
riante par rapport au déplacement
n. Ces mesures (et elles seule-
ment) sont ergodiques par rapport à l'application
n
[29J.
Montrons que sur chaque orbite a(x)
le spectre de l'opérateur
A
est une circonférence.
Puisque
a(x) ~ 0
partout sur
TT m,
alors il existe un
opérateur inverse
A-1
pour l'opérateur
A
et
1
(A-
u ) ( x )
= [a(x-h)]-l
u(x-h).
Par le Théorème 9.4
nous avons
k
-1
= [r(A. C ( (x»)]

Puisque le spectre d'un opérateur borné n'est jamais vide alors
le spectre
a(A, Ck(B(x»)) contient toute une circonférence en vertu
vertu de la propriété circulaire.
... / ...

- 112 -
En évaluant le rayon spectral comme au Théorème 9.4
nous obtenons
k(
que le spectre
ê(A, C
Tm»
se trouve dans l'anneau:
min
exp}"
zn 1a Id~ B( )' 1À l' max exp)-
~n1a 1duB( )'
B(x)
B(x)
x
B(x)
B(x)
x
Montrons que le spectre
ô(A
Ck( Tm»
est tout l'anneau.
J
En réalité, si l'opérateur
AIB(x) - H
(AIB(x)
est la restriction
de l'opérateur
A
sur l'orbite
Bex»
ne possède pas d'inverse,
alors l'équation
nta pas de solution sur l'orbite
B(x)
pour une certaine fonction
f
de
Ck(B(x». En effet, supposons que l'image de l'opérateur
AI B(x) -H
dans
Ck(B(x»
co!ncide avec tout l'espace
Ck(B(x». Ainsi son
noyau doit être non nul. Par conséquent, l'opérateur
AjS(x) - ÀI
est semi-Fredholmie~ et son indexe est positif.
Ensuite, lors d'une petite perturbation de l'opérateur l'indexe se
conserve. Mais lors d'une petite perturbation
À
l'indexe de l'opé-
rateur
-u peut devenir nul et nous obtenons une contra-
diction. Donc, l'image de l'opérateur
AIS(x) -
ÀI
ne correspond
pas â tout l'espace.
Cette fonction
r
nous allons la prolonger sur tout le tore et soit
F
son prolongement. Ainsi, l'équation
(A -
ÀI)u
=
F
n'est pas résolvable sur tout le tore et de là nous obtiendrons que
et. par conséquent,
.../ ...

- 113 -
x~'II""
k(
k(
m
â(A 1 Bf x )
, C
B(x»
C:... â(A, C 'lr )) .
Le spectre
â(AIB(x)
, Ck(B(x»)
lorsque
a(x);' 0
est une circon-
I
férence de rayon
exp
~nlalduB() et ce spectre dépend con-
. B(x)
x
tinuellement de
x
et quand
x
balaie tout le tore alors tout
l'anneau sera rempli.
2) Supposons maintenant que tous les
hi
soient rationnels.
Les nombres
hi
seront représentes sous la forme
hi = Pi/Qi ' où
(Pi' qi) El :1\\ x
( m ' (0))
,
fraction irréductible.
Soit
0 # n
le plus petit COmmun multiple parmi les nombres
qi-
Nous considérerons l'équation
(Au)(x)
-
Àu(x) = v x )
Ï
ou le système ~quivalent d'équations:
a(x + (i-l)h). u(x+ih)
- ÀU(x+
(i-l)h)
= v(x+ (i-l)h)
Remarquons que
u(x+nh) = u(x+p) = u(x)
j
P = (Pi'···' Pm).
Le déterminant
det(x)
du sytème d'équations (9.14)
est égal à
n-l
de t
(x)
=
(_l)n-l (_À n +
TI
a(x+~h».
~=O
Ainsi donc le système d'équations (9.14)
est univoquement resulvable
pour tout nombre
À
de
Πtel que
n-l
;.
TI
a(x+~h)
~=O
pour tout point
x
du tore
'Jr"l.
Il reste maintenant à montrer que si le nombre
~o
est tel que
n-l
=
TI
a Lx
+ ~h)
hO
0
.../ ...

- 114 -
pour un certain point
Xc
du tore
~m ~ alors, l'équation
a Cx) uf x- h )
~o u(x) = v l x )
k
ne pos eêde pas de solution pour toute fonction
v x )
de
C
( ~).
Ï
En réalité, supposons qu'il existe un nombre
Xc
de
« tel que
n-l
=
il
a(x
+ ~h)
o
~=O
Considérons la matrice
,
-~
a(x
0
0
... 0
0
-,
0
o)
-,
0
-~
a(xo+hJ
0
0
0
\\
0
·..
0
0

a~xo+2h) .. ~
0


.0
E
=



1




1
\\ 0
0
0
0
·.. -~0 a(xo+(n-,
a(x + (n-l)h
0
0
0
• ••
0
-~
0
0
Puisque le déterminant det E
de la matrice
E
est égal à
n-l
det E
=
+
il
a(x
+ ~h)
= o
~=O
G
alors il existe un point
(~~
y
=
\\Yn-l
tel que l'équation matricielle
E • C
= y
ne possède pas de solution
.../ ...

- 115 -
Supposons que l'équation
a(x) u(x+l1)
À
u Cx)
=
v f x )
O
k(
soit ré solvable pour toute partie de droite
v(x)
de
C
rrrM).
Puisqu 1 il existe une fonction
v(x)
de
Ck( 'II'ffi)
telle que
=
y~

0 ,9.( n-l
nous obtenons une contradiction avec la non résolvabilité de l'équa-
tian
E • C
= y
du fait qu1en qualité de
C
nous pourrions prendre
( C
CO
• 1
C
=

Cn-l
=
Et ainsi le théorème est démontré.

- 116 -
LIT TER A T URE
-=-:-=-~-=-=-=-=-=-:-
1.
AZBELEV N.V - RAKHMATOULINA L.F. - Equations différentielles
fonctionnelles.
Equations différentielles,
1978, T. 14)0 n? 5,
p. 771 - 797.
2.
ANTONEVITCH A.B.
, RIVKIN V.B. - Sur les conditions Fredhol-
miennes d'un opérateur intégral singulier avec dépla-
cement.
Rapports A.N. URSS, 1975. T. 19, nO 1 , p. 5-7.
3.
ANTONEVITCH A.B. Sur une certaine classe d'opérateurs pseudo-
différentiels à argument décliné sur un tore.
Equations différentielles 1975, T. i , n" 9 p. 1550 -1557.
4.
ANTONEVITCH A.B. Sur les opérateurs de convolution à coeffi-
cients vibratoires.
Izv. A.N. R.S.S.B. , Série Phys. Math N. 1976,
n? 2
p. 42 - 116.
5.
ANTONEVITCH A.B., VOL PERT - YOU V. Sur un opérateur de dépla-
cement diagonal avec poids sur un tore.
Izv. A.N. R.S.S.B. , série Phys. Math. N., 1976,
n" 3 p. 48 - 53.
6.
ANTONEVITCH A.B. Sur les opérateurs, engendrés par des pro-
longements linéaires de difféomorphismes.
Rap , A.N. U.R.S.S. , 1978, T. 243, N° 4, p. 825 - 828.
7.
ANTONEVITCH A.B.
, LEBEDEV A.V., Prolongement des algèbres
d'opérateurs à l'aide d'opérateurs unitaires, engen-
drant des automorphismes.
Rap. A.N. R.S.S.B. 1980 , N° 5
p. 404 - 407.

- 117 -
8.
ANTONEVITCH A.B. SERIGNE ALIOU La. Sur le spectre des opérateurs
de déplcement avec poids dans les espaces de fonctions
différentiables. Analyse fonctionnelle et ses appli-
cations, 1981, T. 15, Vipousk 3.
9.
ANTONEVITCH A.B.
• SERIGNE ALIOU LO.
Les opérateurs de dépla-
cement avec poids dans les espaces de fonctions dif-
férentiables. Izv. A.N. R.S.S.B., Série Phys. Math. N.~
1981, n"
3, p.
39 - 43.
10.
ARZOUMANIAN V.A., Structure et représentations des algèbres
involutives, associées aux semi-groupes des endomor-
phismes. Dissertation. Cand. Phys. Math. N. ,
Léningrad, 1979 , 89 pages.
11.
BEREZANSKI L.M. , Les équations fonctionnelles linéaire6, et
les éQuations différentielles fonctionnelles ~ argu-
ment décliné. Autoref. Dissert. Cand. Phys. Math. N.,
Alma - Ata, 1979.
12.
GAMELIN T. Les algèbres uniformes M. , Mir, 1973, 334 pages.
13.
E. GaRIN. Sur le spectre des endomorphismes des algèbres uni-
formes. Thèses de conférence: "Les questions Thêori-
que s et pratiques de la mathématique" Tartou 1980 -
p. 108 - 110.
14.
DIXMIER J. Les clt algèbres et leurs représentations. M. ;
N.
1974, 399 p.
15.
KARAPETIANS N.K. Sur une classe d'opérateurs de déplacement.
Izv. Sud Caucase, centre scientifique d'Ecole Supé-
rieure, Série Sciences Naturelles, 1976, nO 3,
p.11-12.
... / ...

- 118 -
16.
KARAPETIANS N.K.
1
SAMKO S.G.
Sur l'équation f'onctionnelle
$(x+a)
- b tx )
$ (x) = g Ix )
Iav • A.N. Arm. R.S.S.
t
Série fl-1ath., 1970, T.5 , n? 5
p.
441 - 448.
17.
KATa T.
Théorie des perturbations des opérateurs Lî.né a Ir-e s ,
N.
: Nir, 1972, 740 pages.
18.
KATS B.A.
Problème de t'rontière à déplacement non homéomorphe.
Rap , A.N. U.R.S.S. 1974, T.
219, n? 4 p. 781 - 784.
19.
KITOVER A.K. Sur 'le spectre des automorphismes avec poids et
le Théorème de Kamovitz - Scheinberg.
Analyse fonctionnelle et ses applications, 1979, T.3
n? 1 - p.
70 - 71-
20.
KITOVER A.K. Sur les opérateurs disjoints dans les chaînes de
Banach. Sap , A.N. U.R.S.S.
,
1980 T. 250, N° 4,
p. 800 - 802.
21.
KRAVTIENKO V.G. Sur un opérateur intégral singulier avec
dêp'l ac cment , Rap , A.N.
U.R.S.S.
,
1974, T.
215 N° 6,
p. 1301 - 1304.
22.
KRAVTIENKO V.G. Sur une équation fonctionnelle avec déplacement
dans l'espace des fonctions continues.
Remarques math. 1977, T.
33 N° 2
p. 301 - 311.
23.
KOURBATOV V.G. Sur le spectre d'un opérateur de superposition.
Varonège université (manuscrit Dep. VINITI 20/12/1979>
N° 4317 - 79 Dep) 1979, 20 pages.
... / ...

- 119 -
2~.
LATOUCHKIN YOD. D. Sur les opérateurs intégraIs singuliers
avec déplacement non inversible. 2e syrnp. republ.
d'équations différentielles et intégrales: Thèses
de rap. Odessa, 1978, p; 87 - 88.
25.
LATOUCHKIN YOD. D. Les Théories de Neter des opérateurs inté-
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