-l
UNIVERSITE DE DAKAR
1
1
!
FACULTE DES SCIENCES
1
!;
LABORATOIRE DES SEMI-CONDUCTEURS ET D'ENERGIE SOLAIRE
!1%
CONTRIBUTION A LA THEORIE DES BANDES
1
D'ENERGIE DANS LES ALLIAGES BINAIRES
f
SEMI-CONDUCTEURS
THESE
\\1
présentée à la Faculté des Sciences de Dakar
pour obtenir le grade de Docteur de Troisième Cycle
t~1
par
1
.
l
Papa Mody NDIAYE
Maître ès Sciences
00001
---
11!
t
devant le Jury composé de :
!!i
Président
M. Gérard William COHEN-SOLAL
!
1
Examinateurs
MM. Djibril FALL
Mansour KANE
1
Daniel LAPLAZE
1
Alain COSTE
-
JUIN 1984-
j

---

\\!!1t
Je
d~die ce trav3il:
A
tous mZ6 parents,
A tous ~es am1s,
A mA future
femme.

---

Je dfdie
ce
trnv3il:
A tous m~s p~rents,
A tous mes amis,
A ma
future
femme.

---

Ce tJr..a.vm a. été P..~ 6ectu.~ au .6eù1. du. J!.a.boJulto.vr.e de.6 .6emi-c.onduc.teuM
Je :tien.6 ?f. tr.e?Ie.ltCÂ..eJr. tOM nalLf.i.e.t.LU~Jtement.P..e PJtOéeMewr. 1). Fai.l.
CÜJtec.:tewr. du. Cerif.Jte d' E.:tude.6 et. de P.ec.heJtc.h..e.6 .6 wr..ee.6 En.eJtq.iu Renouve.f..a.bleA
1c. E. P. •E. m pouJr. .P...e .6outi..en. .tant mtU:~JUe.f. que moJr..a1. ou' li n'a c.eM;z d.e
,
m'ac.c.oJrneJt e:t pOUlt o..V(l.iJt a.c.c.e~t~ de palr-tic..iY.)eJt au. ju/ttj mal.{]h..é .6U ftUU..i.r.J.te-6
ohf.Â.ga-t..io~ •
JI expJLime ma t'JtO bonde gMW'..u.cle e.t 1'Ie.6 -6.inc.~1tU JlemeJtc..ieme.nJ'..A au
1'1lo6eueuJl G.tf. Cohen-SoW, don.t le dynœni..6rrte,l'e.6YJJLi..t de. JEipueUlt
.6c..ien.ti6i-que et. P..u .,It~c..ieux
COn6UÛ, m'ont nP..Jr..rnU de
CDn.60Udvr. ma
Je ltemeJtc..ie le PJWôe.6.6ewr. P. Laria.ze, .IA. M. Ko.ne et M. A. CO.6t.e
MtÛtlte.6 de con!èJtenc.e, powr. PgUM ~Jr.U.c.tueMe..6 .6Upr.eI.J:ü.OM et poUJl .P...eUlt
paJLtici..ptLti.o n ttU j ulty•
Je Jf.R.J'/1eft.c..ie é~aJemen.t M. G. Cohen -Soiai. et "f. A.I(' Flt!;!e c.heltc.heUM
au CNRS a ?.>eJ...R..evue rouit f...euJr.Y)ltéc..ieMe c.oU.a.f-,oJrJt:ti.on.
Me.6 JlePIeJtc..ieMe.n.t6 vont égaR..emen:t: à. -"-' en.6embf.e du '?I2.Monnel du C. E. P.. E.~.
powr. l'.in:téJr.i:t qu'i l i n'ont c.e.6-6 é d' ac.c.Oltdell a c.e t.Jta.voi.R..

---

1
~)
L A N
1- Introduction ---- ..-- .... - .. ---------- ---------------.-
2
,.
11- Les processus stochastiques ----------------.-----
J
111- Analyse des phénomènes critiques.
Groupe de renormalisation ------------------.---.
33
IV- Généreli tés sur la tll éorie des bandes -----------
S:l
V- Méthodes classiques de calcul des bandes ---------
Sa
VI- L'approximation du potentiel cohérent.
Calcul de la lare;m.l.r de bande interdite
et du paramètre de réseau -------.----------~.-- 14
VI1- Résultats
expérimentaux -----------------------
û}
VII1- Conclusion-·----~··--------------------------··--'JO
Annexe 1 -..-_.--.._----------------------------------
91.
Annexe 2 --_.......- _
1 1 9
-
.. _.... .... _...... _-- -------------- - - - - - - ...--
Annexe 3 --_ _--
_- --------- -------------_ .._--
12v
Bibliographie .~-_..--------------------------------
131

---

1.
Il~~-..o~JC':?IGH
0c)~is quelques dizaines d'années, l'intérêt
mar-i=~c~~ )on~ les matériaux semi-conducteurs n'a cessé de
croître. ~cwr utilisation pour la fabrication des dispositifs
électro~~~~es e~ la conversiQn directe du rayonnement solaire
en eGt ~ 0el exemple.
~~~C la présente étude, nous nous sommes intéressés
~ la Gt~~ct~re ~es bandes d'énergie des alliages hinaires
saDi-co~ducteurs, Gens une bonne connaissance de laquelle, on
ne pe~t e~~lic.~er leurs propriétés physiques de manière claire.
~&~D le cas de la conversion photovoltaique,
l'i~t~rê~ de telles structures réside dans le fait qu'elles
yermettent è'aj~ster la bande interdite en fonction de la
com?osi"(jio!!. ~~in à..'optimiser le rendement de conversion. Elles
permette~t ê'~~order le domaine des semi-conducteurs à bande
i~te=~~te 2troite atilisés comme dé~ecteur de rayonneaent
infrarO~2e. ~~ effet il apparaît qu'aucun élément ou composé
se~i-co~ducte~~ ~'a une bande interdite comprise entre 0 et
O,15eV [r-t]:Jlles permettent également d'obtenir une struc-
ture stajle n ]artir de matériaux instables.
:~t~nt donné le caractère purement aléatoire de la
répa~titio~ ~es atomes dans un alliage, nous avons examiné
les principales définitions relatives
a~ ~rocecBuD aléatoires ou
stochastiques •
•··.1.<••

---

3
Caoua ozon:lc ~c~s avons examiné les problèmes de D~et de
FriEch et ~lo~rL deDs une approche fonctionnelle de résolution
de l'~~~otio~ ~e 8chrodinger pour un potentiel aléatoire.
Dans un trcisifime
~ chapitre nous avons fait une étude
toe~ochioi~~e dao alliages semi-conducteurs en mettant
l'2,CCC:.l·::' Er.!!' 100 transitions de phases et les phénomènes cri-
tiqt....eE. ::ono ce -::'ernier domaine, nous n'avons pas manqué de
so~liener ~e nouvelle approche sur une méthode de renormali-
Batio~ de ::.:::: :Jilson qui lui a valu le prix Nobel de Physique
Dans' un
quattiènt~ . ~. cha]?itre nous avons tenté d' eJ:~
pliquer coone~t ce forment les bandes d'énergie à partir des
nive~m~ Jtociques et nous avons évalué les largeurs des bandes
pe~iDeo et collen des bandes inerdites pour un cristal pur.
Lu chal)itre 5 nous avons examiné les méthodes
classi~~eo de ce1cul des bandes en mettant l'accent sur la
m3t~ode den li~isons fortes et celle des liaisons faibles, les
a~trec cSthodcs étsnt simplement une combinaison des deux
~reo~èrec. ~a~i ces méthodes classiques, la plus utilisée
est celle a~ poe~dopotentiel qui, dans le cas d'un alliage
0in~ire, ~~ jG~cet ras de calculer analytiquement le terme
l ,
,
,
.IJ
t'
non
~CC~2re ~C~ ~onc ~on de. la composition) du'"
raT' [1- 2).
/.'2 c:-:e.pi tre 6· l' approxima.tion de la matrice T
moye~e ~ntro~~ite par Korringer [1-3] et Beeby [I-~] de
•..1...

---

4
même que l'approximation du potentiel cohérent imaginée par P. Soven
[r-5] et développée par Ve1icky et al [1-6] ont étp étudiées.Nous
avons pu ~ontrer que cette seconde ap~roximation était plus précise
que la première.
Dans le même chapitre, nous avons flaboré une théorie qui nous a
perm1S de calculer la largeur pe ban~e interdite et le paramètre de
réseau en fonction de la concentration.
Au chapitre 7, nous avons comparé nos résultats théoriques à ceux
de l'expérience et noté une bonne concordance entre les deux.
En annexe, nous avons examiné le cas d'un alliage binaire tout
à fait ordonnp (les deux constituants ont la même concentration: 50 %
) .
En conclusion, nous avons tentp ~e justifier l'écart (pourtant
faible) entre nos résultats théoriques et l'expérience.

---

5
lES
. _
E>ROCESSUS
_
STOC5J1STICœS
f t
L) Léfinitions[II-::']
~n appelle variable &léntoire, une ~randeur pouvant
n=e~~=e lOTO d'une exp~rience telle ou telle valeur, inconnue
2'~70~ce. =~ dictincue les varietles al~atoiree discontinues
(~~gC=~~CD: et les variables al~2toires continues.
2~ appelle loi de ré?2rtition d'une variable
[,:,ktc:'re ·~o·;.:te relation éteblislJant une correspondance entre
laD valeu=s ~ossibles de cette variable al'atoire et leurs
!o::' :c =S~~=tition en question.
~o~r une variable cléetoire continue. il est OOD-
~o:e ~'~~::':::'Der non pas la probebilit' de l"v'nement X : x.
,':~:'D 1:-. ~~;;.·o:'Q,-':ili té de l'événement
)(' <. 'X'
où x est une
ce=~~ine v~le~r courante. La probabilité je cet 'vénement
~é~e~2 0vi~enment de x. elle e~ est une certaine fonction.
Cette ~cnct::'on est appel'e fonction de répartition de la
v:-.=~~:~a ~:63toire X. Il est d'usage de la désigner~F (x)
nar
F(~)
:? ~::: CD·~ :.:- cl'.ractéristique ln plus universelle d'une variable
~l~~~c~=e. ~lle existe pour toutes les variables aléatoires,
tê..::~t ~.:'sc::0tes que continues. 1:u point de vue probabiliste
e:;'::'e c8!"~~ctérise complètement t:ne variable aléatoire •
.../ ...

---

6
.7'
f ...l'")
-
.'..::...:.
- G'cot ~~e ~o~ction non décroiGcante
, \\
- y
,==; --... 0
, lorsque x ~ - 00
, '
\\ ;;: , --?1'" 1...
,lorsque x -~>
.... -+ QO
Co~~n~cca~t le tableau de r~?srtition d'une variable
aléato~~et C~ )Cüt ~acilement trouver sa fonction de répartition.
En e:?:?et
~
..... '
::0:":.: :c
étendue à toutes les
x i inférieures à ~
~O~G~~C Z ~~soe par une des vele~rB possibles de la
variable ù:ocr0te ~~, la fonction varie par saut, la grandeur du
saut étnnt St~nt Sc~le ~ la probabilité de cette valeur possible.
_-,2-
:?o:.:ct:.o:: ::e répartition d'une variable di scrète
quelcollg~e cet tC~~OL~S une fonction discontinue en escalier dont
les sa~tG se :~c~~:'ne~t aux points qui so~t les valeurs possibles
de cette v0~i~~:e ~l~~toire et sont égaux aux probabilités de
ces vale~~c. ~c soune de tous les sauts (échelons) de la fonction
F (x) est 6c~le ~ :'ünité.
~ne v~~~~ble aléatoire continue X donnée par 8a
fonctio:: le :.<;~",c;:r.·t=-tian F' (x) que nous supposerone continue et
dérivaLle.
. ..1...

---

Dour cette variable aléatoire de se
•
trouver ël.or.:::l l':':::.-;;eT"fJalle com.pris entre x et x+/)x
F(x)
donc II~ccrcicceLe~t de la fonction de répartition sur cet
intervalle.
Concid0ro~s le rapport de cette probabilité à la longueur
de l'intervalle c' ûE:t-è-dire la probabilité moyenne par unité de
longue~r ùe l'i~te~v~lle et faisons tendre
~x vers zéro.
l~ l~ linite on obtiendra la dérivée de la fonction de
répartition ..!"""
ç ( )t, -t ~"X ) - ~ (x)
I:::::.x~o
6
~
'?o""c+ ~ 0'0 -ê
.....
(x)
- ,.-
-
-
dé~ivée
......
de la fonction de réparti-
tion caractS~i~a la de~sité de répartition des valeurs de la
variable 81~atoire O~ un point donné. Cn l'appelle densité de
r6partitio~ des ?ro~~~ilités ou simplement densité de probabilité
de la varia~le alS~toi~e continue X.
" \\
.-
. .,
--
.
j)
~O~
~e ~Olsson
Cono~d0ronD la variable aléatoire discrète X pouvant pren-
dre sekleoent èes v~leurs entières non nébatives : O,1,2, ••• m•••
la suite QC cec vale~rs n'ayant pas de limite théorique. On dit
que la vaTic~_le a16atoire X est répartie suivant la loi de Poisson
si la ~rcb3~ilit~ ~ou~ qu'elle prenne le valeur m est dennée par
la form~le ~
...
~
-Cl.
; ...
0. e
~\\.

---

O';;;' a es '~:::~8 CG:..··~~:::.==e :;rendeur positive e;::pelée paramètre de la
loi 2oisC0~. :~ ~J
=~tcroi~CDS ~our une variable el~etoire X r~partie
suivant I~ lo~ 28 :oisson, la probabilit~ pour que sa valeur
ne soit
~ :J.-~ ~,.• ~ ,,·_-~c
~ ls:
Soit:;:-
_4_ - ..~-- _ ..... '".~.I.,
iL....
1!
cette probabilité :
n" .-,.: -.--
"- ..... _--
~ue
:~30 ~n0 c~]~rience, une variacle aléatoire prend une
certeine vn:c~r ~n~~ue, bien qu'inconnue d'avance. Souvent on
a affaire Z~ ~GG c~~~Jeurs aléatoires variant d'une manière
contin~e du=~nt l'c~~0rience. De telles crandeurs aléatoires
variant L~r~~t l'c=~Srience, à la difforence des variables
aléatoireG or~~n~i=0o sont appelées fonctions aléatoires.
Cc~vcncnc ~c ~~signer les fonctions aléatoires par des
lettres m~~~GculaD "_ (t), y (t), •••
·pour les distinguer des
fonctio~s non ~~:~toireG que nous dési~nons par des minuscules
.J.
\\ v,. , •••
Soit ~ne co~t~::'~e ~cnction aléatoire Z (t). Supposons qu'elle
ait ét{ SO~:D::'Ge
2. n eX9ériences indépendantes ayant donné n
réalis::'~ior~s ::. ('b;, r:, (t), ••• ,:X
(t), l'indice désignant le
,',
n
nUI!léro de l' e;::..:~:-:i'-'lce. :~videmment chaque réalisation aléatoire
de le ~onct~on ~lS::toirû X (t) ~st une foncti~n non aléatoire •
.../ ...

---

Cl
:'-è:"::C::J.S maintenant une certaine valeur de l'argumen"i t
ct vc;cno cc ~ue devient la f.nction al~atoire X (t). Il est
,..1 ~..: __
.... ..Lw_ ....
~~'olle deviendra une variable alé8toir~ au sens habituel
c.:.o ce tG:.:DC. lIous appelons cette variable aléatoire section
(~O _'" :?O::':lct::'on aléatoire corrcs:?ondant à un ~ donné. Si l'on
CC~8~~~~e l[~ section d'une famille de réalisations correspon-
L3~t ~ ~~ t èonné, on
obtient ~ valeurs prises par la
va::i~~.le ~_lé:J.toire X (t) dans !l expériences. Nous voyons qu'une
~onctio~ G16atoire possède en même temps les propriétés
è'~::J.o v~=::"~~le aléatoire et d'une fonction. Si l'on fixe la
vclo~~ 20 l'argument, elle devient une variable aléatoire
2~~it~c~:e ~ chaque expérience en fournit une réalisation qui
act ~e ~onction ordinaire (non aléatoire)'
~'cc?érance mathémati~ue d'une fonction aléatoire
:: (t~ est ~ne fonction non aléatoire m (t) qui, pour toute
x
vclc~r ~e :'~reument t, est égale à l'espérance mathématique
ce l~ C0ct~O~ correspondante de la fonction aléatoire
(t) =
-r
H~ (t TI
:::1 ~~pelle variance d'une fonction aléatoire X (t) une
~o~ct~o~ ~c~ 3léatoire D
(t) dont 10 valeur pour t quelconque
x
ec-::' SC:1c 2. lz. variance de la section correspondante de la
for-ction ~!éatoire
(t) =n(X (t)]
r ••
c~)!Jelle espérance mathéI:latique d'une variable
~l~~to::'re, la somme des produits de toutes les valeurs possi-
:100 (0 cette variable par lea probabilités de ces valeurs. On
ll~~;clle ~a~fois valeur moyenne:
- L
[ X]
...1...

---

1<1
:.,~~,c::':c v[,riable aléatoire centrée associée à X
o
et on ::c-cc ".. ~ ::'c., C::':::f..5rence X = X - IDX
eci l'espérance oathéu3tique du carré de la
i... l- 2J
0
X
-
~'co~~~~~ce mathématique c
est la variance D
(ou
l'éca..·t
vi :t>;c ') .ont 1••Xcaracté_
ristiques :3 ~lu~ souvent utilisées
processus
al~atoi~ec ce ~S~c~~cnt dans le
homoG~ne. Cc~ :~ccocous sont dits
.. s16etti~c·Et~tionnaire
doit satisfaire deux conditions :
;~/ "C:l cC:12rnnce mathécntique doit être censtante
2.~::'D le temps
(t) = ra
= Const
x
- \\
doit également être constante
k / ' .....
(t) = D
= Conat.
x
...1...

---

11
,-., ~'-":.:_~~: covariance des varieè:les aléatoires X et
Y, l ' en:h~:::"~~nce J::.::t=..5t:::"tique du produit e:"1.es variables centrées.
,_ [_~ yO]
1_
J ....
-
~~ ~~:el:e fonction de corr61etion de la fonction
,
•
-r
r , '
~
t '
,
a12ato~re "_ \\~), ~~c ~onc lon non aleatoire de deux arguments
Zx (t, t.'~, ::"'t:.i -:0-:'::" tOl:t couple de valeurs t, t 1 est égale à la
coveri~~ce ~cc ccctic~s correspondantes de la fonction
aléatoire
r.L .L , '
--
,
'"
v
==
h
X
1
[x (t) ° (t'
..
H
'
,
,,-t,t; ::: L'j
.....
ro!8
_X (t) = D
(t)
X
~û fo~ction de corrélation caractérise le degré de
dépendance eutre les sections d'une fonction aléatoire pour
différentes v~leurs èe t. Ainsi le variance d'une fonction
al~atoi~c J~icc JO~:::" DB caractéristique n'est d'aucune utilité
les cor~c~S~ict:~~es fondamentales d'une fonction aléatoire
sont donc l'er,:~{ra~ce mathénatique et le fonction de corréla-
tion.
:':'0"..:1' ~"":J.e :Zonction aléatoire stationnaire posons
( ....
\\ v,
Ceci siCi.ê.i::ic :--.:"~'G l~ ~onction de corrGlation d'un processus
aléatoire a~~~:o~~~i7e n'est fonction ~uc d'une variable •
. . .1. · ·

---

12
-~ dit que le processus se ~~rouI8nt dans un syst~me
physiqne est Ln ]~ccesGus de Markov (ou r-rocessus sans postac-
i~stant la probabilité d'un état quelconque
~utur dépend seulement de l'état du système
à l'iust~~t ~ctucl (to) ~ana dépendre de la Qanière dont le
systèoc a StS ~ne~S ù~ns cet état.
~\\ .."
' · · t ' d '
f t "
l ' t "
.; ;:;;~::..c:....;s.,J. e
une
one J.on a ea oJ.re
~oit le ~oDction aléatoire X (t) ; elle poss~de
plusieurs ré~lis~tiolls. Choisissons au hasard l'une de ces
réalisations ct i~Lcinons que ll~xpérience nous a fourni cette
rénlis~tiou s~r un intervalle de temps T. Il est évident que
si T est s~~~is~eDt crand, cette r0ulisation unique donne
une in:Zoru:lt::'on s:'.:?:Zioante sur les propriétés de la fon.t.ion
aléatoi~e c~ c~t~c~. ~n particulier en yrenant la moyenne de
cette zoSali::::'::lt::'on suivant l'axe des a1: scies.es, donc sur le
temps, on es)~re o~tenir la moyenne de l'espérance oathénatique
de la ~o~cticn alé~toire.
~~ Lit su'une telle fonction nléatoire ~st douée de
la pro]ri~t~ Clc~codicit6. En vertu de cette propri~té chaque
réeliootion :a~ticulière de la fonction al5atoire équivaut à
l'ensen~le LC~ T0~liontions éventuelles.
ï, ~CG ;lu~ d'événements
L·
J~ ll~~ d'événenents est dit stationnaire si la
probn~ilit: ~cu~ ~~ nombre quelconque d'événements de se
produi:"G (1.::~:10 -.:.::. :ntervalle de temps 't ne dépend que de la
.../ ..

---

13
lon0ue~r Co ~'~~~e~v~lle et ne dépend ?as de sn position sur
l'axe ~es te~~o.
- \\ ..J
n,
d'"
t
0 ; D l~UZ
evene~en s
est dit sans postaction
si po~r to~s interv~lles disjoints le nombre d'événements se
produis~::-c .:l:.~::~~ l'·.'..:~ d'eux ne dépend pas du nombre d'événements
c'
Uri :Z1".:J~ d'événements est dit ordinaire si la
1
prd.n::ili -C0 ~~O::L:' ùO"c'z ou plusieurs événements de se produire
dans l'in-coTva~le élGoentaire
~t est négligeable devant la
co~res?ondante d'un seul événement.
JD fl~= ù'événements doué de ces trois propriétés

---

14
.. ,
:~zenples de processus aléatcires. Lpproche fonctionnelle
2e l'équation ùe 0c~roclincer
Dans les D6tériaux cristallins, le théorèoe de
:~lcc!:-Floquet ratlène l' ,~tucle de l' ensenble du cristal à
~'2tuùe d'une oaille. llalheureuseoent une telle sinplifica-
tio~ ~e peut se fcire pour les solides aoophores. Pour de tels
co:~s
on es t
conf t "
ron e ~ d es
'equ~t·10ns ayant 10 23 .
0 0 _
1nconnues
~~e Dathéoatiquenent on n'arrive pas à résoudre
Plusieurs
~~t~cdes ont été proposées nais elles n'ont pas donné entière
c~tisfaction.
Un certain noobre de problèoes (idéalisés) sur les
o~t6riaux désordonnés sont connus .t les solutions apportées
oct )erais de calculer exactement le spectre énergétique.
~yson[!I-2J a trouvé le speetre de fréquenees d'une chaîne
linénire d'oscillateurs eve. des nasses ~t des constantes de
~~ideur aléatoires. Frish et Llyod (II-Y] ont obtenu le
D~ectre de l'électron dcns un enseoble al~atoire de barrières
~e ?otentiel (type pic de Dirac) dans un réseau linéaire.
=~~yerin [II-~J a résolu le oêne problèoe oais avec un
~otentiel aléatoire ~ une dioension ayant une probabilité
Qc distribution arbit~~ire et dont ~ous les points sont
atotistiqueoent in~~?endB~ts.
Parni les uét~oèes approchées, la plus utilisée est
:'c??roxination du potentiel cohérent [1-5, 1-6J qui décrit
~cletivement bien dans beaucoup de cas la struct~re glo~ale des
.../ ..

---

15
8~-~onCC~8 nous présentons une solution basée sur une idée
concc::,-cL0:':' (; :',~l ~:::'i ';rement simple [11-::] 1. une fonction d'onde
quelcon(~::e \\fi ("t.) C[;t, nssocié un potentiel V(rz.). Si en plus, une
densit2 èo ~~ct~~ilité est donnée dans l'espace de tous les
potentiels ::oGc~~l.eo, on peut la convertir en une densité de probe.
bilits d~ns ~IC8]~CC des
t. L'intéGration sur tout l'espace des
'fi ~vcc J 1:.==0 :1O'OS donne le densit,~ d'états, cependant qu'une
int8G~ctio~ S~~ ~n sous-ensemble de Itec?Bce des 'V (intéEration
sur toue lon ût8tO ~ocalisés par exem~le) nous renseiene sur la
natur~ ùes :Zonctiono d'onde.
Co~oi~S~cnc l'équation de 3chrëdinger
- ~ Ô~ + ttlrz.) 'f'::: ~ 'fi
..:'000:':"0
2, ~t'U!.;)= V1~l
)
E
;~:'le clevie::lt :
--
(11-1)
_"0"_:::- ",:::10 configuration donnée è'un alliage,
on définit
(11-2)
1
13=- ct
fA - le potentiel chimique, il dépend de ln
KT
te!llpé:r~:dj':""'ï'e ct uo la concentration.
o~t~~tc~r adoet pour valeur ?ropre, la fonction de
c1istri ~u:t:'on Je :J'cr'wi-Dirac.
.../ ...

---

16
f (';ft) \\""> ~ t (E",Î \\ ol-)
1 cA.>est ln fonction propre de l' hamiltonien .;:~. de
f(E,,) -::. ie"r [~l~"-f)J + 1 Ti
La conùition Qe nornnlisation de l'opérateur
èC~Dité est:
n - le concentration des êlectran~ (ou nombre
Doyen d'électrons ~8r oite) et 11 - le nombre de sites dans
l'~lliaee.
La moyenne theroodynanique et configurationnelle
J'~~ opérateur à un Glectron s'écrit:
(11-3)
Supposons que B
ne dépende que ,de
~
e~ 8 (Je)
(U-3) -::.) «< 8»:: <T1._~1 ~hl Sh-;jf)nr1}
00
JcÀt 8(ï)f(V ~ [<1î h-1»] (U-4)
oo
<
On pose
A(ï)
~ (Vt ~) >
:0
L
(~) est El.??elé opérateur densité spectral •
.../ ...

---

La quantité
::-,~~~:::.::,[>,it cOJ!lI!le la probel:ilité Doyenne pour qu'un électron
~'{~ergie E soit sur l'ftat
k
00
Il est est clair que
_~ ~ (t. 1E) dE:; < ~ \\i ~ 1~ >\\f.> :: 1
:!1-5) =) k(k,E) peut être considéré comme le nonbre d'électron
:'Snergie E sur l'état(~>hinsi en somnant h(k.E) sur tous les
:~~ts possibles on obtient la densit~ d'états.
Ainsi la densité d'états par site est:
1
- ~A(~,E)~ !.2.<~\\O(E-ït)\\~>= N-~~(A(f)] (n-6)
N -t.
Nt-.
Pour une énergie complexe Z, la fonction de Green
~·,e'.__t être définie comoe l'opérateur réaolvant :
( )
( ....
_ "1:-"0) - 1
~ ~
(11-7)
=.,
".'"
L'élénent de oatrice diagonale en représentation k
c'cz~riDe en fonction èes états propres liés à la
(~,l) ~ <~ \\a(l)l~>:l
co"êicuration lot)
)
1~ ~~:>I t
Cette relatioa contre çue ~ (k,~) est analytique
--:,c.:::,tout dans le plnn cO~lJlexe sauf aux points ~ sur l'axe
.../ ...

---

1.;
soi t
~
,.,:~.;. À- E
E. étont un infir:inent petit positif
-
)
-"1
(II-7)
=> ~ ( E. + " é) -= 5(E"!:) : -~- -
c~, J'~:~~O Canchy
E - ~
.-1
:: pp
A+:.(, TI" f( E:- 'de)
E-t_:R:
[-~
=)
2-' iï StE -:1e) -= ~(f-) - ~(E: +)
b(E.-'*)::: (2rr~r~[~(f-) -~(E"')]
~clon LcbOb~n c()
~ll) -_tJ1 /1 rh,-~)
C~lc~lono ln moyenne confiGuretionnelle de la fonction de
Green.
00
(YJ
<G(t»" G(l) " JJ1 -1 <ô(~-~»=JJ() _~1)
J
_
~.~
00
l ! ~
00
-00
G(t+) = ) J1 ~
A('rll
- 0 0
E-'7.,
l
11. C
r
CA (E. +)J -=
JY] _~
T'I. [A('l)l
- eo
L ~
-1
.
00
J-,. \\'t. [ci- (E ")}- 1Il.At Dlt -t)ÏL [A(11] : -itTl [AlE)]
h~(E)]:: -t j""l'L [G-(E+)}
( 1I-6)
=)
~ (E) "lN !Tt :Jn-. k [~(t: +)J
... ·..

---

19
.I
l
,
,
,
. \\~/ stont une fonction eleotoire, on va calculer la densité
:'éte~G moyenne sur tout~D les valeurs de V (r) possibles
(11-7)
Mathématiquûuent : dire que V (r) est aléatoire
3~cn~fie qu'il existe u~e probabilité ~
dans l'espace X de
tO~8 l~s potentiels possièles telle que pour tout saus-ensenble U
':::'c ~=, DCX, Prob Cv (r) Er uJ =
(11-8)
~
Pour rendre nos fornulcs plus explicites, on noto
(11-9)
C'est-à-dire qu'une densité de probabilité ~ [V{~~
eG·~ ::nsocié à chaque élément de X. 1> \\!(r)Japparaît comme un
(::·l,:'ncnt de vol'lUile dans 1 f espace K.
La densité d'étets moyenne s'écrit alors
(11-10)
Une évaluation explicite de cette formule est dif-
~ic~:~ du fait que la fonction de Green ne peut être écrite de
n~~iè~e explicite en ~én0r~1.
. . .1· · ·

---

L'approche ci-dessous est basée sur le fait suivant
_~c~ que le calcul
et 3 pour un potentiel V (r) donn' soit
~i~~icile, on peut pour le problème inverse avoir
6'f
V ~r) ==
+
(II-11)
\\ft
Linsi pour ~ (~) on
int'gration
une intégr3tio~ èanE
i' 'quation
cC
(T,.
~'\\
t
l '
t·
,. d-
\\~~-~-J
es
une app 1ca 10n h
e;
R 'tant l'ensemble
~CG valeurs de E.
à
Une telle ep~lication n'est pas bijective car/chaque
v~lQ~~ de V (r) peut corres~ondre une infinité de valeurs
~ef.Toutefois pour un voluee L infinioent petit contenant le
:) ::' ( 't',E) g y x R, la correspondance J.. .... H (1.) est bijective.
On définit une grandeur dp
dans Y x li telle que
~ Jf -- 1~tA
(11-12)
A
Mt ~)
Linsi
Jf:: fCV('+!tBIJ\\ }[~JJE (11-13)
c~ J = J (r,E) est le jacobien de la transformation (II-11) •
...../
.

---

21
On va ~ontrer que
(II-1lJ:)
l'e~De~ble des V (r) aosociés à k valeurs propres inférieures
: ~o. Il est évident que:
(1-15)
co
20
(11-16)
Y\\l.lto) = X
On définit la densité d'états intégré 11 (E o , vl't))
~)~:-:lL(Eo, V (r»)=k lOToque V (r) s: V (E
(11-17)
k
o )
Cette grandeur est liée à la densité noyenne d'étcts
do l~ manière suivante
El1
<11 (f. YI'L)) >=~ 9(E)JE
(11-10)
-al;>
Considérons m~intenant l'intégrale
~~
r \\- "\\
-
-1
: t J dr -; 2)~E~~LV('r,tDb\\~(t{II-19)
y 'III. (-O'O,E )
o
_cD
y
Comme chaque !?oint (~I E) !le si tue dans la région
-r
_.
1
00
- ..- ,,- ., E
(B
o ) ,
chaque ~otentiel V (r) E Vk
o )
epparaitra 2 k
::o::'c comme arguaent do :::,. :?uisqu'il apparaît chaque fois 1::
cc~~cidenceB avec l'un èoc états ?ropres ( ~ •
~. ) associés
..... 1
1\\..
è. 1~r) et V( 'f,E) est :?eire par rapport à ,+, .
. .. 1. ·

---

l_:':'.C:'
compte tenu de
(11-12)
~ J, ;;0 ~ :Yt(E V(~))etr
o ,
=
Vt.lE~
VPv.(E 0)
~ Jt ([0 )V(7.)) Jr
X
_
Coupte tenu de (II-1Ç)
\\ ;(El 01 t " ~ _~:o cl ES~ [V('f', E)J1:rI $ [ t J
_
--J"""I
r'o.;,c
Y
V " J
~...)
.,l..
v
oft) -= l )t [vh',E)] \\JI ttJ ['-V]
y
c~ ~ obtenu la relations (II-1~)
:8tt~ relation a une sienification claire: l'inte-
c!'r.:1(le
~ LvI \\.f'1 E.)] \\JI représente la densité de probabilité
è:.:.ns II c c~:~c e 't' pour qu'une fonction d'onde donnée so i t cons idé
r0e cc~c ~o~c~ion propre correspondant à E.
~~ 2ensité moyenne d'~tets comporte une int6gration
D::':'"
~ [ 'tJ car on s' intéresse ~ la valeur propre E et non à
le ~c~ct~o~ ~~o~re. Linsi IIGquatio~ (II-l~) apparaît plus
c~ni~~le ~~C 1iSquation (11-10). Le probl~me central consiste
,~ ::. 1~7C::':-.~.t::_o::. QU jccollien. Dans Gn exemple à une dimension
no:"-c exPl::'c:'-~G!.·Ol1S
le calcul du jacobien.
=~ ~G~t considérer les inté~reles fonctionnelles de
(::C-:'_< COL:::lC 1::. limite lorsque N -:;:> 0() de
N intégrales à une
~"'i:::cnsi 0::>'.
.../ ...

---

O~ Qivise l'espace en cubee élémentaires d'arrête
W._ réel
)
/1.
~'ez]rocc~o~ de la différence finie pour l'op~rateur de
Laplace D' Sc:;,':'·C
(11-21)
~-' eot :':'e iJ.01:1::::0 .:1e coordination (il ù.§'-:,end du nombre de dimensions)
,
2=- es.!.,; 1.::; OOQllC Sl,r tous les voisino de i
.~
~'éc~ction (11-1) de SchrBdinger devient
,
- W L Ct - -t f ..- a.;
i
J
(11-22)
,~
c.,voc
V'J
(11-23)
-= t 2
Z
[-1. = Y(rzi) + t~-
(11-24.)
:""-', ~:· ...::.~·C:"O:1 (11-22) est l'équation aux valeurs propres p.ur
l'bomilto~:'en ~'~~G liaison forte. Il o~ffit ensuite de faire tendre
-:0....-.:' o"btenir le ces co~tinu,
U - E + \\N 0 ai /a~ E;, (a -t)
1
(11-25)
<t
CG·~to :-c::.::;·~ion est analoeue 2. ln relation (II-11) •
.../ ...

---

?Ll
....
Si les fonctions f (r",) satisfont à la condition
:~ nO~J~li8ation
N
On a en coorèonn~es polaires
o..
= u
cos
t:
'1
al.. = u sin rj;:. Cos ~2
(11-26)
Q N.': .u.. l~~ -; 1 ~V\\ 4>2. ' '" Co') ~1'1-1.
ON -=
M.1~~,;JW '+'2
~~N'i
t '
' \\
lf)
li)
rh
t"'
s'Ont des variables indépenden-
~ 1 1 \\ l '1'2 1·" 1T N -1 ) 1,-
L'équation (II-:~) devient
~ (li) ect la densité de proba.bilité dens l'espace
(-~.,
t ' "
,~-60j peu
s ecr1re
DO
'V 1E) ~ Î \\ct~1'" ~'?N-' ~d,.A S(AI- ,<Jo) ~(;) "il (ë, ,.... \\ EN ,.«)
o
ro (~~.)' "~
9
N-11 ,(L 1
-l- 1)()
DO
)) (E) = 1)",,' '" ')""dol' "'.\\(} " S(» -~ 0) f(E<:)~
!
..

---

15
On peut considérer une fonction arbi~raire Jé (~o)
r)::.
[_702-
comme seul e condition
(Mo)duo = 1. Nul tipI ions
o
cc~~c:'e membre de (11-28) per 'X.. (~o)
duo .,
~ puis intér;rons
::.:~
?J(c".,ëN,M) 1
C", '::;ient
:
00 c:tJ
cD
\\
x'V(01,,,.)aN Ë)
00
I
) ~\\EÎ XlUo}~Uo -;:"1 ~\\')Ja, .. Ja~ ~O(~-~o)t~~)J\\Jot~)Y
o
-~
0
r,..r
'V (0': -!
da",.
,~\\
JaN X (IJ.) (Cf<.) tr';)( ["p ,E N
",
(1H")
1. _CYJ _ r:KJ
11)(0 11 ," ,aN/t)
La fonction 'X veut être choisie <!e telle manière que
::"1 :':-:.t'~cra.tion de (11-2n soit faci-1-i-t~e . Elle
est arbitraire.
Ce~~e relation (11-29) est valable pour n'importe quelle
2) Cas à une ~imension
Nous comoencerons par étudier le problème
aux
v~:o~rs propres diB.r~tes repr'sent~ par l'équation (11-22)
c~"::.c l~OUS soucier du sl)ectre continu. C'est le problème de
_J~"co:3. [11-2] qui apparut lors de l'étude du sp~ctre de fréquences
:I~~G chaîne linécire ~'oscillateurs avec des masses aléatoires.
=::.. ::"::.::lGrote les sites lie la gauche vers la. droite par l'index i.
i = - N, - II + 1, •••• ,0,1, •••••••• N
.../ ...

---

76
Comme conèition aux limites, on supp.sera que les
-:oi::ts -(N + 1) et N + 1- correspondent à des barrières
L'équation (II-~?) s'écrit alors
f' N = E. + W (Q-N+1 1Q-N)
E;. = E + \\N (Ct'-1 (Q" + ai.. 1a)
01-30)
4. -
-N+1) C""
1 N-1
EN: E + W (0.. ,.-1.10.. N )
~~oconl3
(11-:, ,.'
"r:,
_
Qo(·+1
Co(.
-
~ ..... - N -N+1 ' .... ", N-1 (11-31)
G...~
1
1
'-"T" '01"'\\_)
,..lJ..-:.,;u
s'écrit
(11-32)
avec i = - H + l; ••••••••••••• ,N-l
Le jaco; ~ieL de la transfor~ation
.../ ...

---

s'écrit~
\\J'J
0
0
o 1
....
W "-
-_
\\N
0
o 1
!1..
"-
-PlI
...
..
J:
-::r(-N, N)
,
...
(11-::3)
"
w
W 1
o - j~.~
o
. ~ '1
st'''.1
Tous les teroes extrêmes sont in4iqués pour aontrer
'::,:.0 to\\:s les sites de - II à + N sont 'inclus.
En développent le GGterminant è partir de ln dernière
lic~e, on obtient :
2JN
J (-N) N) =W
+ \\AI/ ~2 r( - N, N-1)
(11-34:)
('/-1
Par itération on établit que :
N=1
WZ + ~ J (-1)0)
3"0
J (-1. ,0) -
-= W + W 1~Z
1
-\\
...1..

---

J (-~ I~):: wL,
?
+
J(-2) 1.)
-1-
W
0
ô
1
_w
J (-2, 11.)~
~_"~
W
o
1.
o
w
--~~ w
.,
o
o
w
. -
!;
1
o
W
3
'JJ
A
-w
1
4 o -
-
~2
()
1
. . .1· · .

---

:sJ.t
::oéc
J(~~, N) =VlN ~ (!.'., 3N-t • • •
(II-36)
: en prenant
3=" = 1)
rJ
les
Si tousvti sont statistiquement indépendants, la
:':0:1Git~ ce probabilit.? f (t i) peut s'écrire:
1(E+ a6N d(éi)~ d(E>V(C) ~(E +N r~tt-tW/I/f)."
t
•
•
ct (E +- IN 3"_1 + W/XN.sl ~ (E ... W /3,...)
(II-j?)
L'(.q~aticL (:-tl) en termes de ~i s'écrit
0()
~
J:Z.,~
(11-38)
YI E)"1..J..dI rI " •
(ê.)WZNiJ!NO' '" ~r
::'e facteur
J
a diG~eru du fait de le parité de f
(E i)
l'
En insérant (11-37) dans (11-33) on obtient en
=ais~~~ le changement de variables
N
(11-39)
Pour simplifier cette expression il convient de
C2~:~i~ deux opérateurs de type intégral Ki et :C
qui, aeissant
2
fonction arbitraire t
(x), conduisent aux résultats
.../ ...

---

(11-4:0)
L.insi,
chaque terne de la sOl!lI!le (11-39) peut être
COmr.1e suit: l'intée;ration sur ~... ,.n.-~
1
~
-Il
+
, •••
••• ,(1.:::<. revient à appliq:'ler N + G fois l'opérateur Ki
s'-.ccessivement, à la fonctioD.
9 (:x.)::- ~ (E -+ x) et
1
1 , .
./-'
t·
n
JJ
~
I r
.
nt •
...p...·11· quer
- ~nv~crD 10n sur ~-1
H-~' .••• ' ~+i reV1e
a u
~
0J:('l):~l1.~·+~2)
lT-:,-:. :"ois l'opérateu;=o, " la fonction
>'ci::- t.nnexe 2).
X 0\\
Xl
ileoarque .: Us-::" == II-N.+ ~T -8-1) et U
1 =
s+
~.-(N·.-8-i)
Finalement l'intégration sur..n.
donne la den8i té
8
00
VlE) : tN t,d-us ( I-<:~s(1)~}\\<~'S'l82) (11-4:2)
.../ ...

---

A
,~-~
•
1 ' "
\\
-J.:.:..:, i
=)
~ K1
A-> 00
00
=>
~ (:x:) -_1 ~ (~) ~(E + -x .. ~J. )JJ (1I-~5)
A
~ \\<2.
A _>00
(11-46)
-)
hinsi, tous lee termes de (11-42) sauf les extrê~es
':: - II et fi :::- N peuvent être approchés par :
00
_~ ~ (-~,l.) cP:/, (MS) (Lu 5
Pour une ch~îne infiniment longue, c'est-à-dire
ccu~o~t~nt une infinité de sites,
la densité d'ét8s par site
00
'V (EL ;ite~ '4J
01-47)
1 (x) 1l tr-) dx
_00
.3 0) r~tudc des oscilla tians lonr;-icidul1ales d'une chaîne
~ ...a---e--~._~.." ' ' ' - - _ _ .'''''' .. _ .
_
_
..-.-....6 _ . .
~
_
li_néaire d.' a-;:omcs de masses a.léntoiros .
. ,"" considéro.r:t dcsL.-ltéractJons entre plus proches VOiSÜ1S
soulc:nent ~ on peut dé:finir 1..1nC cOllscantC! de ra idcur le et 0.3.3i-
rülcr les o.tomes à dC3 osc:_llatcurs harmoniques couplé:].
L'équntion du mouvement de l'o.toae i
s'écrit ainsi:
rrn." œ..: =-~(:x. - X' \\ _ ~ (X, - 'l::'.
) (II-LLo)
~
~
'\\. +1.)
lZ
-1..-~
4.
mi ct Xi étant respectivement la masse ct le déplacement de
l'atome i.
On obticnt~

---

(II-LtS)dcvient
- 2 {. Xi + { (X..:.d . + ~":~JI-50)
(Q, ~- l"n..UJ9.) X~ ::: f;, (Xi+1 + 'X;-i.- 1)
(11-'51 ';
T~ppelons
la relation(~I-22)
- W "'"'
Li Qj + E.t Q,...t, = t: Ct--{.
(( -EJ ct,;.
W 2- 1 aJ.
( II-·I5~)
,
j
La sommation f
ind5_que qi..l2 l'on ne considère que les intc:?rac-
j
~ions entr2 plus proches vo~sins.du site i~
Eotons que tous los sitc's O~1t cleu:: voisins immediats de:: pnrt
el~ d'autre sauf les sites e==iTt>mes qu5. n'en ont qu'un seul.
~II-52)
devient
Les rela tione( II-51 :bt( L>:5~; ~Oj:1t o..nalogues si l' on idejrt.if~_c
(II-54)
k
a
- r
.-. :
8. .
(.1.
.1
Erl conclusion, l'approche définie au paragraphe 2) peut ~tl~e
utilisée pour étudier le snectrl~ de fréquences d'une chaîne 11-
néaire d 1 atomes de I:.lasso:c~ aléatoires.

---

CHA PIT R ~
III
-----~._-_._------
On di-t qu'un alliage bina~ire a une structure ordonnée,lor,sque cha-
o_.,' ·IP atome· de -type :'. n'a d.ans
coon vo·· Sl' nacrp . mme'd' a+ O'·lA d co a+-o
c
- '-
-
"
- -
_
.C>
l
_ tel _
l
I l "
_'-. L:
e "--,
G
me ü
de tyPe B.Pendant 10ngcern}Js on a pensé que la répartition des ato-
mes A et B dans un c:d.stal AB se faisait do manière aléatoire. Ce
n'est qu'en 1919,,'~ur la base d'p':)'J)ériences chimiqw'?s,que Tamman en
arrivaà la conc1us.i.on suivante:un alliage Cu-Au(SO/ .. 50/ ) possé-
de une structure ordonnée.I~ preuve était ainsi faiteJq~l'il existe
u:,ecorrélation entre les propriétés intrinséquesd'un alliage et
,la nature de ses cOQpoi>a~tes.~lautresalliages tels que Fe-Al et
Hg Cd possédent également une structure ordonnée.
3
1) -,1.es elfe.:tsude terrώrature., .
Les travaux de F.C.Ni:;-::,~!.Shoch:ley et al. ~II-1) .. ,LQont montré que,
10rsque la température au.::;mente,l'arrangement des atomes dans les
alliages binaires. devient de plus en plus désordonné.A partir d'u-
ne température critiqw:: Tc, le désordre atteint un ma:dmuI:l.
1 e ch
-l-
angemenl_ d e
' ,
' l
i
s_'.-ces c~rcre ..~e;3 a :omes A e t B ( T:1 •
TI T
1
'J_ T_,_ 1-
.~lg.'. .~..
c-c - -
2 \\..
s'explique par le fai'c que,10r3que la température augmente,l'agita-
tion thermique des atomes augmente et ces derniers peuvent m~ille
perdre leur position üü-ciale.II est clair que pour T)Tc~le désor-
dre va persister.10rsque '=' dimL~ue en dessous de la tOE1pérature
critique,l'arrangemen-:':: ordonné se rétablit peu a peu.
2"_1' énerg,.ie ,et ]"a clJ..~r s.:eéci.fig,u~.
Dans le paragraphe IJrécédcn-~,on avait introduit l'id2e selon la..
quelle Ir énergie assoc; éo à tE' arrangement ordonné d' a-tomes dans
un alliap;e binaire 8St rolati vc:me~:.t faible par rapport 8 celJc
d'un arrangement désordonné.Cola s.i.gnifie qu'il faut de l'énersie
pour créer le désordre .
."

---

Cette énergie due au désordre lorsque la température augmente va
contribuer à la chaleur spécifique du cristal.Cette contributton
est souvent appelée~chaleur spécj_fique de configuration .Pour U.l1.
alliage binaire d'égales concentrations~l'énergieE e.st donnée par
[111-5J :
Efo)
.J... Nws~
(111-1)
s est une:grandeur appr::lée ~ l)ar~mètre ct' ordre.
.'3.,,1
lorsque l'ordre est narfai t 0
s==o
lorsque lê,désordre est total.
N est le nombre d'atomes da~s l'al11age
1. ~=2KT
, T
étant la temnérature cri tique
~
c '
c
~
s est relié à la température(voir F.ig 111-3) par la relation:
s
~e
..------
(111-2)
-- ..... ---_....- ...._-
..,.,
arcth s
1
l- C
1
Finalement la chaleur spécif1que de configuration s'écrit~
(1 '1 7\\
_L _ -.J .'
On constate (voir Fig III··L;. et 1I1-5) que l ' énergi e de l'alliage
est presque constante dés que T~Tc c'est ce qui explique la rapide
décrois,sance de
C lorsoue 'i' devj_ent supérieure à la température
critique.
3 \\ .-~Les ~~~.9..n.:~:..i.:~i 0l1.S_.i!.s..J2h.~~~~II-6, 7J.
Lorsqu'on introduit des a~~or)Jes d'un élèment donné dans le réseau
cristallin d'un autre élèment ou d'un composé (binaire p ternaire .. )
on observe qu'il exi ste sur les diagrammes ct' éta tune régj_ Œl 'lomo-
;,;-ène où i l n'apparaît aucune nouvelle phase.On conviel":-::; de l'appe-
1er solution solide. On di,stingue trois types de solutions solides:
- Les solutions solides de substitution dans lesquelles les ato-
mes du soluté occupent les sites normaux du réseau cristallin qui

---

35
jouent le rÔle de ,solvar:t et ceci ~ sa!1S modification de structure .
.~ 'Les solutions solJc1e.s d'insertion dans lesquelles les atomes du
soluté vont se placer dans les espaces intersticiels du réseau
cristallin du solvant.
~ Les solutions solides JBcunaires dans lesquelles u~ certain
nombre de sites régulier::: du réseau 'restetlt vacants.
Parmi les semi-conduct0ur.s~les solutions solides de substi tu-Uon
sont les plus répandue:::. Une condition nécessaire à la formation
d'une solution solide de substitution est une faible diff6rence
des rayons atomiques der; composantes. Il a étè établi, expéri.menta1e-
ment) que lorsque cette différence excède 14~~ environ, la possi bilj.-
té de formation d'une solut:ion solide de substitution est déjà li-
mitée.
t A+t~l;,
Lorsque
!+% OL dit que le facteur géométrique est favorable.
tte:t- ~
D'autres facteurs sont également nécessaires pour la formation de
solutions solides de substitution tels:
-La similitude des structures des couches électroniques externes
des atomes concen1és.
-La similitude des réseau::: cristallins des composantes.
-La faible différen.ce des affüli tés électroniques.
Lorsque~ seule cette dernière condi t.:on n'est pas rempl:Le~ on voit .ap-
para!tre des composés clümiques et Don pas des solutiOJ.1s solides.
L
-1-
t
..:l'
,
•
t , · e
. I f ' t
orsque GOU es ces COnLèJ. 'C.l ons son
reuDls, l
se' orm8 une SUl e
continue de solutions solides de substitution appelées alliages de
subst:Ltution.On ne s'intéressera qu'à ce type d'alliages.
Les alliages semi-conducteurs les mieux étudiés sont les syst~mes
T
'AllI V A1IBVI
Ge-Si~8e- e,les composes
B ~
et leurs combinaisons.Le
système Ge-Si a ét~ étudié
pour la première fois en 1939 par
Stt3hr et Klemm (111-8]. I,a F.ig 111-6 représente le diagrarl1me dt état
(tempéra ture-composi ti on) de ce système [111-9] .

---

36
Les dLagrammes d'état ou diagrammes de phases const.-i. tuent un moyen
commode pour décrire les pha,s(),s se trouvant en équj.li bre thermody--
namique en fonction dc.~s pa:camètres variables( température,prcs,'üon
et composition) .On déSiGne par phases des états de la matière DOU-
vant coexister à J'équilibre en contact mutuel.
Pour des températures ~n -Celles que TA(T(T
les phases ,solide et li-
B
quide coexisten t en éqlJilibre '~:hermodynamique.
Lorsque T<TA l'alliag2 est dans une phase solide et pour T}TB il
est dans une phase liquide.
Pour une m~me température T comprise entre TA
ses ne peuvent coexister que lorsque x~<XB(X~
sent comme étant les ]j.m.i tes de l'intervalle de coexistence des
phases pour une température donnée comprise entre TA et TB 111-10
Lorsqu"un état d'éQu:i.libre d'un système hétérogène vient à varier,
i l se produj.t un transfert de matière d'une phase à une autre.Les
transferts de matière d'une phase à une autre se manifestant lors-
qu'on modifie l'état d'un système donné, correspondent à ce qu'il
est convenu d'appeler des transi. tiŒls~d.e phase. 0:1 d:L.~,'t:.i_':c;uc les
transitions de phase de premier et de second ordre.Lors d'une
.
Sl t·
d
.
lDTI
e premler ord
rel '
~
'
.
energle; l"
.
1'-
energlelb re l '
th
~
s
en. rop.Lc et
l'enthalpie etc ... var.le11t brusquement au point de transi tion~ ce
qU.i sign.ifie qu' elle::-..> se caractérisent par un effet thermique dont
l'intensi-té est égale à la variation d'enthalpie6H.Lors des tran-
sitions de phase de second ordre~ les fonctions thermodj'l1amiques ne
subissent aucune discontinu:i.t2; contrairement à leurs dérivées pre-
mières qui présentent des pics au point de transition (comme C-cha-
leur spécifique'.
Revenons à la Fig 111.-6. L'énergie libre t0tale F peut s'écrire aD-
proximativement[11I-10J~

---

31
FA .et FB sont les énergies libres molaires des composantes  et B
NA ET NB sont les nombr0s de moles des composantes A Gt B.
De m~me l'enthropiG idéalc peut s'écrire:
(111-5)
XA et xB sont les concentrations des composantes A C-l: B.
X
-:- x
=
1
A
B
Pour un alliage récl,il faut ajouter aux relations 111-4 Gt 111-5
un terme dO. à l'existence d'unG variation d'enthalpie6.H~~AxB
La température critique Tc au-dessus de laquelle deux composan.ts
semi-conducteurs sont mélangeables dans toutes proportions est don-
née par~
T =c:;ll 2R
(111-6) .
c
-1
,-1
R est la constante universelle des gaz. n = 8~3 J.mole .deere
Les courbes de séparation de phase pour une solution solide régu-
a
lière (ne tenanI2 80mpte de é:i H ) sont représentées sur la Fig III
-7 dans le diagramme d'état tGmpérature-composition[III..11].
4) - Nouyell,G app:c:.~Ji~lL.EhéYl.0~ènes cri tiqu..es basEie__~~
l~ métllode du .~rOl~pe de Renorma~iJ:.2.12'
a ) Généralités.
LGS succés du groupe de renormalisation(GR) sont spectaculaires
en particulier dans IG domaine des transitions de phase et pour-
tant pour la majorité des observateurs(voi.rG des utilisateurs}, la
situation théorique reste assez confuse.Les formulations sont tGl-
lement générales que selon rfozières [111-121 on a nar:êois la désa-
-
~
gréable impression dG fabriquer des conclusions sans émettre d'hy-
pothèse.Il Gst souvent difficile en effet de préciser o~ se si~ ,
tuent les hypothèses et si l'on fait ou non des approximations.
Considérons un syst2me physique décrit par un hamiltonien H. Y.,.;,::. ' ~
L'idée de renormalisation consiste à éliminer un cGrtain nombre
de degrés de liberté ou à tronquer l'espace des états possiblGs,

---

38
H étant remplacé par un harül tonien effectif H"censé décrire cor..
rectement les degrés do li.berté qU.i restent.Si l'opération s'effGc-
tUG de proche en proche~on engendre une famille d'hamiltüùens f(
phvs.iquement équi valents~ qui peuvent éventuellement tendre vers
une limite simple~c'est l'j.dée du j1scaling" .Un tel procGSSUS est
familier en physi.que. Pn::rloYls par exemple les électrons de conduc-
tian d'un semi-conducteur"Dénotons par l'indice c la bande conduc-
tion~par n les autrGs bandGs.
L'hamiltonien s'écrit:
H = H + H
.:. H
cc
cn
nn
(Les trois t.ermes de H incorporent tous les couplages possibles:
phonons,champs extérieurs Gtc ... )
L'évolution temporelle de la fonction d'onde est régie par l'opé-
rateur résolvant:
T~( z)
1
== ~._-~-
Z .. H
Si l'on s'intéresse uniquement à la bande de conduction~5.1 suffit
de conna!tre R
qui peut se mettre sous la forme~
cc
1
Z - rI
Les
excursions
dans les bandes n interviennent comme une éner-
gie propre pour les élGctrons de conduction) .H~;' es·t l'hamiltonien
effectif qui décrit l'espace d'hilbert réduit de lü bande de con-
duction.C'est ainsi qu'on définit la masse effectivG,le facteur
de Landé ·elffectif etc ...
Le GR a étè inven-té par StueckGlberg et Petermann [III-13]PUiS dé-
veloppé par Gell-I-Iann Gt LOVl[III-14, 15J .Dans les proce,ssus entre
t ·
l
'l'
L '
l
'
. .
.
(1 CL~O V
l )
par ,LCU es e ernen Galres,
es energlE:s ml ses en Jeu
)
e
ou p us.
sont souvent beaucoL:p plus grandes que l'énergie de masse des

---

39
particules cn préseilcc quj. est donc négligeable. Or, aucune théor.ie
de l'électrod\\mamique qUaè1tique ni est appl.icable à de telles éner-
gie,s,d'où la necessité d'lme nouvelle théorie appeléc~mé·thode du
GR.Depuis Gell-liaDD et Law [111-14J qui avaient travaillé sur l' é-
lectrodynamique dans la limite Otl la masse de l'électron est né-
gligée
on sait que le:3 fluctuations quantiques obligent à réintrc-
y
duire une échelle de longueur ../-ünsi, les paramètres de la thE?oric
tels que la charge de l'électron,varient avec l'echelle de dis-
tance qu'on chois.it pour les mesurer.En conséquenc8 pour comprer:;-
f
dre cette limite de la théorie,il est nécessaire de déterminer la
variation avec l'echelle de longueur des paramètres qui détermi-
nent sa dvnamique. C' e::::t l'essence de la méthode du GE que \\Hlson
~11.-16Japrés Kadanoff[jII-17] a développé, en montraYlt ql~'on pou-
vait procéder de manière itérative en résolvant une séquence de
problèmes plus simples.On part d'une échelle microscopique~puis
on élimine progressivement les degrés de liberté correspondant
aux variations spab.ales trés rapides cn calculant, à chaque étape,
la dynamique effective des degrés de liberté résiduels.Cette mé-
thode serait restée Quelque peu abstraite, si elle n'avait Dns
trouvé une illustration dans le problème des phénomènes cr.i tiques
qui apparatssent lors de la transi tian liquide-vapour, de la tra:l-
sition ordre-désordre da~s les alliages ou des mélanges de flui~'
des,de la transition découverte par Curie d'un état magnétique dé-
sordanné(paramagné-tisme) à un état ordonné(ferromagnétisme) J de la
transition fluide normal-superfluide de l'hélium etc ...
On définit une variable de ~hamp n(x) à n composantes,où x est un.
point d'un espace à d dimensions .Lafonction de parti tiŒl Z du

---

40
système s'exprime alors comme une intégrale fonctionnelle sur les
variations spatiales de la variable de champ~
l: ~ ~ t>(M l;x~ exPt~[S F.. (<\\~))Jx- HJM('X.)J,,;]} (III-7)
~~ ~ est l'inverse de 10. température.
F
est l'énergie libre du système.
L
H
est le champ extériour couplé à la variable de champ.
En l'absence
d'anisocropie,s,on choisit pour J~.érlergiè· libre FL
la fonne:
""-
Z
-
F ( M(:x-))
~ +A "/
M. (:):)
L
+
-"':1
~
-t B (f M~ (-X))~
1\\"\\.
+ 1< L t (?M~ Y
1
(111-8)
1. :: 1.. ~;; 1.
'() :x: 0(
Les coefficients A,B,K dépendent de la température.
On peut exprimer Z comme une integrale fonctionnelle sur les
fluctuations de vecteur-d'onde donné M(k)
l _ 5 n
1
et t"1(~) e-"H
(111-9)
1
lK\\(O:
est un paramètre de coupure pour les grands
a
vecteurs d'onde.
H=~ SF ( M (f'{) d ~
GD approchant le point cri t:.tque dl un tel système, nous Sl~pposons
que la longueur de corrélation diverge.Pour un gaz,la long,uour
de corrélation"'5'est l'intervalle minimum qu'il peut occuper tout
en conservant ses propr~ étés quali tati ves [111-16J . Jdépend de la
température et de la pression.Seules interviennent les fluctua-
tions de grandé longueur d'onde.Guidé par ces considérations phy-
diques,on procède aux opérations suivantes qui constitue les opé-
rations du GR.On procède d'abord à une intégration partielle des
variables H(k) de vecteur ct 1 onde 11: compris entre 1 la et 1/sa et

---

41
l'on d~finit un nouvel hamiltonien R'à partir de l'e:~ression:
s
-\\4
e
( <
(111-10)
L'hamiltonien 'fI repTésente un svstème physique donntS.~Jour que "Ft,
appartienne à la m~me facülle que H, il faut d'une part râmener ·le
paramèdrre de coupure do 1;' sa à 1/a en renormal.isant les longueurs
(contraction) et d'autre part réajuster la valeur du coefficient
2
. "
' .
du terme en q
,oe qui ~!~cessite une renormalisation du paramètre
d'ordre.
On peut écrire que'
H' =t(1)
Le GR constitu~ par toutes les transformations fs,munies de leur
produit,n'est strictement qu'un semi-groupe car l'i~tégration par-
tielle est une opération irr~versible.Les 1lr6is'opérations~ inté-
gration partielle (réduction du nombre de degr~s de liberté),con-
traction de l'espace1renormalisation de la taille des spins,sont
illustrées sur la Fig 111-8 dans l'espace réel où ces opérations
correspondent à la formulation des blocs de Kadanoff fr1I-17].
1..a première opération correspond à la formation de.s blc)cs do sp.trL
de taille sa : la deu:;~i2me opéra-cion a pour effet dc' ramener le
réseau de blocs à l'echel1e du réseau de spins initial: la troi'-
sième opération de renormalisation de la taille des spins a le
m~me sens dans l'espace réel et dans l'espace réciproque.
Dans tous les phénomènes cri tiquc.s s.i.x paramètres sont fondamen-
i
taux.On les appelle:exposants critiques.Ce sont:
1
-Les exposants c(et ol.. qU.:L caractérisent le comportement de Cv au
voisinage du point critique

---

4Z
e
Cv
-ot.
IV
)
e
T-Tc
0+
--
?
Tc
0('
Cv N (-G}
g-
),a
0-
)
~L' exposant j3 qui carnc-(::ôri sc;· le paramètre d'ordre au voi s:Lnagc
du point critique
Pour un ferromagnétique:
M
étant l'aimantation.
,
-Les exposants 'lf ct 0 caractérisent la di vergence de la susccpti-·
.
bili té magnétique X au voi.sinage du point cri tique
-1S
e
N
8
--;> 0+
)
X
er'6~
AI (-
e
-L'exposant S'caractérise l'isotherme critique. A
tian M induite par un champ magnétique H à l'intérieur d'un ferro-
magnétique suit la relation
Les théories classiques de Van Der Waals [111-20J, Vlei..ss [111-21J ,
Ising (111- 22] etc ... se caractéris2nt par les valeurs suivm~tes des
paramètres critiques.
0{ -= 0(.' = 0
)
1
0: "6 = --1
)

---

Dopuis 10 début dos am1E~cs 60 :; los travaux de Kac c Co Uhlenbocl~
[111- 231 ct autros s ont montré qu 1 elles no sont pas en mesure d' 0::-
pliquer corroctemont les transitions de phase.Los théories classi-
quos décri vont cles ,systèmes qui mettent en jeu des forces a ttrac-
tives de rayon d'act.iOYl ini'ini, cc qui ne correspond pas à la réa-
lité.Kadanoff est narti do la fonction de partition ~ du Dodèlc
d'Ising [r11-2;:J ~
1: ( K. 1 g) =r eX p( K.~ 6"'" G"j + {f <0,,) (III-11)
Le premier terJol'S"Je ]., e'::po~h~t ost une intéraction entre spins
tandis que 10 second torme représente une intéraction G.voc un
champ magnétique c:::torno H
K.KBT
est une constanto do couplage spin-spin
~ - le spin associé au si te i,
"'
..
~ -porte sur tous les sites voisins de i
t,porte sur toutes les configurations de spins possibles
t~J
T est la température et KB-la constante de Boltzmann.
Les propri étés thormod"TJ:1amiql1es d' lm système sont définies par
l'énergie libre de Gibbs~
-r - Tc.
e ~ , _ .
1
Je.
On définit l'G.imantation comme la valeur moyenne du spin ainsi:
M(e ~)
1
=<6"',,): ~}
(111-12)
ft définit la posi tian du site sur le réseau.
La fonction de corrélation spin-spin s'écrit:
"L
r2. \\ 7., BI ~) :: <. 0 0''2, )
0
IV e-"l
(111-13)
:5 est appelé longueur de corrélation.
Kadanoff eut l'idée de diviser le réseau de sites du modèle

---

d'Isi.ng en résau de blocs de ·cel1e: manière qu~i.l y'ait ~)lusieur,s
. t
d
h
1 -]
1
TT1 C \\
c."
t
La l
'
I I
d
0
. - ,
0
0
Sl
es
ans caque D .oc .vO.l..r.' J.g ~_. -).' • '..>O.L
a -cal .. _,.C
es
blocs,a étant le param~tre du rGseau initial(c'est la distance
Rn·cre deux sj.tes voisins: .Au po:Lnt critique, la longueur de corl~é­
la tion , . di verge. On chois.;. t
L c~e telle sorte. que:
L est une grandeur Saj.1S c1imo~lsion appelée paramètre d'ordre. Dan::>
ce cas ~ chaque bloc contj,eTlt l'~;' grand nombre de s.i tes ponctuels
caractérisés par leur SP.L, .c\\in3~., à l'intér:i.eur d' un m~me bloc, ils
corrèlent si bien qu 1 t13 doivent avoir tous leurs spin::> ve:cs Je
haut ou tous vers le bas. On associe à chaque bloc Wl paramètre fiel..
analogue au sp.i.n (3'"': • Cl1 ramène a5.11si l'étude du réseau de si tes
1,..
à UIle étude d'un réseau de blocs ayant les m~mes propriétés de
symétrie.La corrélation encre blocs est similaire à la corréla-·
tion entre spins.La seule différence entre ces deux problèmes se
si tue au niveau des paramètres e et -ho
e
Soient
et -
~ leurs valeurs dans le modèle de blocs .:8n première
approxima tion on peut écrj,re ~
rv
t
LX-t.,
8
L~ 8
x et y sont des param~tres
J3+ "0
•
'2J+<s'
Comme pour la relation
<~D.):: M( ê') ~)
(l'r T
1'b o
\\
\\
'~ --
[~
l S )
La foncti.on 11 étant la I1~Y;le que dans (111-121
De m~me

---

45
1~ ( .7:
5,
( III-1')~
f
Î-) = <~... ~ 0>
-
J
La fonction r2" étant la D~me que dans(III-13)
Selon Radanoff toutos ces Q0alogies ne sont
acceptables qu'en
cas de validité du IJrillc5_~)2 d 'un.-Lvorsali té qui sti.pule qtiC s01.ùes
les propri étés macroscop:i.ques du s~;-stème sont détermii1an-cos. Il ost
évident que la fonctio:1 do :Dur-cition du modèle de blocs no s' ob-
'Uent pas à partir de (111-11) par substitution de ~ par ~
.
Néanmoins) une telle appro::5.nation peut se faire dans los limi toc;
de validité du principe d'univcr3alité.
Calculons la varia'cion de: l ' é:1ergie libre li' en cas do variation de
~ de Ô~ .
~
r; (F/v.. T):- ~ <~ >S~ -= - r <fJ >
<K
SR'\\.. (III-1 6)
\\
a
rz..
0'.
Car dans les deux problèmes 1 l énergie libre F est la m~me.
1
On peut remplacer la SOlTIE18tion sur les si tes par une sommation sur
les blocs~
~
-
"L-
't..
e(
(111-16) devient
soit
(III-14bis) devient
Ld - <~ > _
Je
M l L'J 8 , LX -h.) (111-17)
Comparons (111-17) et, (111-12);- on obtient~
jM ( e
(111-18)
1 { . )
-= LX -a M ( L'il e)L:;C 1\\.) 1
C'est la loi d'echelle,cllo Dontre que 11 est une fonction homogène

---

46
dG
8 et ~.
Le,s relations (111-18),(111-15) et (1I1-1L~bis) entraînent:
La relation (111-19) rr~lio
los fonctions de corrélation dos d.e"L~:;:
modèles considérés, C'est égaleJ:1Cnt la loi d'échelle sous l.m.e autre
formp-.
Soient F(K ,~) l'énergie libre par stte et F(KL/R\\.. ) l' énergio
libre par bloc.Comme l'énerGie libre totale est la m~rno da:1s le,C)
cloux cas:
(111-20)
.,
.
'.
..
, ".: _.' '.~
":"';
:~
"")
Soient ~(KI ~ et5(t<L 1f\\}1es longueurs de corrélation dans los deu:c:
modèles
'3(K, {) = L '5 (KL ) f1 L')
(III-21 )
Dérivons (111-20)
(lorsque d=--=]) et (111-21) par rapport à L~
o ~ L-3 [_l F(I< f1 \\ + ~1. '0 F(kL/~L) 6 f()~(Kl.ltL)J
L
L,
LJ
clL
roK
+ al
n.P
.
l
0
n~
o: L~ 3(K~,{:\\ ~ éJ'S(K3.) + ~L lOS (k t)
L /
L
dl
<0 K1_ dK..
dhJL
ro~L (III-2?)
~ésolvons ce système par rapport à -
et ~ ,on obtient~
dl
cAL
'0 F"( KL t)
-k;
/
dK~ + 'OF(KL / k) ~ ~ 3 L-t F( \\<1
nk L
dl
()~L
dL
-1
03" (I<L, f1lÎ
cl KI.. +v~( K~l ~L) cl ·k::.- [13"(
f )
!Q k 1.
dL
'ô -t, L
cl L
k L , '1 L
Le déterminant s' éc:..~i.t:
9} ::'0 ~(K\\.lf1\\.) ') 3 (k ~._) ra 3(
tl-J
LI
Kt. I~t.)
0 FJ Kl ,
ro KL
ro~L
!() k
ro
L
f1l.

---

o f (kl. >~i.)
7) f'L
~S(KL' Rt)
'V~ \\...
3 L-' F( k L> RL
~ t(k ~
L1
'-)
..-0 1<1-
('1
• ~!_
I.JOl l-
- -
4(KL)f,,~)
dL
L
.J 1,~_ .2- R '\\f ( K
~:)
,
(111-23 )
L
o\\L -
L
L
avec
. ~
r - ~ ~3ô \\- ] -1.
.Al- ( K
î
SJ
L ) R", J ~ _'3 ~ ( KI.)
40
'il f, ~ + 3" 'Ô ~ L
i
(
0 'ZI)
'\\f \\ KL.
5
J
f"\\l
:: l
( 0 \\ '0F
- ~3 J ~ CD-
KL ) Î'\\L.}") K + 3r
-
J.J
L
-oK\\.-t;L
Les équations (1l1-2.)
sont les équations du
GiL AÂ,ne dépend pas
tl
de
mais de 0
à cause de l r invar.Ï-ance de l'halültonien lo:csque
-
flL
le champ change de .signo.
5) JE.
théorie de '.rilscm
T
'
.L •
d
Gl'
1 TT l
,,- \\ d
. A
l
l
+.
-
( - -, l
"(î \\
'
.Ies equaL,lOnS
u
.c
\\
. .L.
-':'....!)
e lileme que
es re aulorr;:;
1..
- é , )
el~
(111-21) son":: à la base de la théor5.e de Vlilson qu.i SUppOSé:? que
les fonctions;U. et ~ sont analyti.ques par rapport à KL, et {~mê­
me au point critj.que. L'U:l des mérites de cette théorj.e rés5.de dans
le fait qu'à partir d'un s'ystème d'équations différentiel11es dont

---

48
les coeffi cients sorr:~ analytiques J on aboutit à des sil1guJari.tés
critiques.
Le paramètre cl' échelle L ~11 es';~ plus considéré comme un nor;lbre en-'
tier mais comme une variable quelconque pouvant varier de zéro ~,
}ltnfini.Supposons que le modèle initial (L=::1) se trouve dans lm
é'cat légèrement au-dessu,El du jJOi:l;-' critique c'est-à-dire K ~I~c ~
{~o (on rappelle que le est 5_l1versement proportionnel à la ';-'Cfilpé-
rature) .Lorsque L cro!t, la longueur de corrélation J'L:' 3(Kl.) {t.)
décroît d' aprés (I11-21). Une d5,minution de la longueur de corréla-
tion signifie qu'on st éloigne du point cri tique donc I~L clül1inue
(voir Fig 111-9).
Supposons maintenant qu'on se trouve dans un état légèremel1"c en
dessous du point cr:L tique K ~ K
. Dans ce cas, toute augmentation
c
de L entraîne une diminution de Jl et une croissance de EL qui
s'éloigne du pOÜ1t crj.tique(vo).r Fig 111-9).
Si le système initial se c:couve exactement au point cri'tique IC:::ICc~
{""o ,alors 'S ('&<'1°):. 00 par défin:Ltion.Lorsque L augmente,il faut
que 3 -::. OQ pour que la relation (111-21) reste vérifiée.Cela
L.
signifie que pour toute valeur de L finie,le système reste à l'é-
tat critique
_
rr
-~
1)..
.Dans ce cas:
C
Jvl l \\< <. , 0) :; 0
Notons que ~L= ° est une solution évidente de la seconde équation
du GR. Donc lorsqu'un s:;"s';:21:1(' se trouve dans un état IC*,K
donné,
c
il a tendance à s'éloigner du ')oin't cri "ci que (K=K ) lorsque le pa-
c
ramètre d'échelle L aUGmel,-:,:e. On dit que le point cri tique est Ul1
point fixe instable e~:ac'cer,lel1t comme un ballon au sommet cl 'une
colline.
Lorsque deu:;: sys-:~èmes se trouvent à l t état ini-tial(L=1)
'c.rés voisins l'un de l ' au-~-'re e';:; du m~me côté de K
,ils évolueront
c

---

49
lorsque L augmente en res-cant -cTés voisins.
Lorsque deux systèmes sc ~rouvent à l'état initial (L~1) tr~s voi-
sins l'un de l'autre mais de part et d'autre de K ,ils s'éloigne~
c
l'ont l'un de l'autre lorsque L augmcmte. On dj. t
que le point TT
H-
C
un point singulier des équations différentielles (11I-2~'.
,supposons maintenan-c gue I~!_, c<; {'- soient proches de leurs valeurs
cri b.ques K
et O. Pou:c do fa:Lbles valeurs de L ~
disons
c
L « 5 (K) ~) ,la longu0.ur de corrélation effective ~L sera tl~és
grande et~
(k
"
(k' _ \\< )ro AA.(
0
Kc , ) _
..I\\..L\\
C,.,Ol+
L
C
r'1>K
-
1() At ( KCIO)
(111-2L~)
rôK
Les équations du
(I1I~23;deviennent~
JK~
~.M.-lKGoIO)
dL ~ +- (K L - I-<c)d ) d-=
~k
'X-:I\\f(Kc. 0)
~ ~LX
)
(111-25)
(111-25) est un système d' équat5.oüs différentielles l:Lnéaires
Cl'
~c et y sont des nombres finis puisque #
et ~ sont analyticluC'~)
au point critique.II admet pour solution:
(111-26 )
avec
EL == K - KT
E
K
- K
c
~
c
(KL == K et {&..= t. lorsque L==1 )
Pour simplifier les calculs on considérera
E et h posi tifs.
Calculons la valeur de L == L
pour laquelle 1<L == K /2
par e~cC'mplc
c
en supposant (111-25)toujours valable.On obtient à partir de
(111-26) :

---

50
(111-28)
(111-27) et (111-28) SOTC équ5-valents aux lots d'échelle de ::ada-
noff. x et y vériftent les relations (111-14).
\\1ilson a également étucE é un problème plus général consistant à
considérer trois variables au lieu de deux K
et.-e, l .
L
Cette troisième variable notée qL peut ~tre un coefficient de cou-
plage entre second voisins par exemple.Dans ce cas les équations
du GR deviennent:
d\\<L
Â
1:t
-
dl
M ( K L)qL J ~~)
L
~ -1 ~ (1<L ) 9L ) ~~)
~L
L
( 111-20, ':
-' ,
~ ~...
- -
1
- t
~~
d.L
L
L I\\J ( 1< L J 9L )
)
Cornrnme on a une tro~;_s.; èr.1e var:Lable, on aUra une ligne critique
définie par 3'lK(,}9? O):·~ lieu d'un potnt critique.A chaque
valeur de q correspond une température critique T (q) ou I~ (q).
c
c
Ce problème conduit DC):.'l seulement au::: lois d'échelle de Kadanoff
comme précédemment na5_s é,jaJ.ement au principe d'uni versali té.
La rigueur de la théor:Le de lCadanoff étant difficilemem-;:: justi-
fiable,Wilson décida de s'attaquer au problème des phénomènes cri-
tiques sur de nouvelles oases ~

---

1:1
.' 1
Tous les sptns i.ndi ·./üiuc:ls peuvent prendre n'importe quelle
valeur comprise en·cre - 00 et .; Cf) .
Le réseau discret est renDlacé par une dj_stribution continue
de spins dans l'espace.
Ainsi le système est décri. t par un champ de spin s (x). ::: étan::
un point de l'espace à d-dime~sions.
ploie une fonction du chau~J do spins Q [s (x)J.
Il aboutit aux équati0l1s du G:~ ,su·i.vantes: 1
Q
(
2
4.\\ :: _:/ ~Y1 Tt (Z~· .I 1j-)
(III-30)
t .. i
<rI
I.e.Lo )
l t étant une fonct;5.on dE'! Qt e-:~ t un indice de sommation
00
1Llt):j;4 l)(r[-l- i Q{\\)+5)-i·Gt h"~ÎJ (III-31)
Uilson sut résoudre les équations (III-3D) et (III-31~ en consi-
dérant la dimension de l'espace d comme une grandeur cont:inue.
Les travaux de \\1ilson conduisent à des valeul~s des paraDèt:res
critiques trés proches de leurs valeurs expérimentales.
Utilisant les travauz: de Wilso,.l, J .Als-Ni.elsen [III-231a calculé
la longueur de corréJ-attŒl ~ en fonction de Q =. T - T(;: du ferro-
Tc
magnétique LiTb.PL~.La ;.;'j.G 1II-10 indique une bonne concordance
avec l'expérience.

---

o
o
o
o
o
o
)='5 In-i
AY"V"Of'l8c9rfH~Ç\\'r ?aV"ÇOlir
o
o
de!b
a~olT,,~.!b
o
o
r - - - - - - - l
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®:.J
o
o
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o
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0:
0
~·\\CS \\1\\ - ~
L...
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.6 rY'uc.tùY'e. dé.~o'f'don(\\~Q.
o
o
o

---

5
1 r---_~
l-..
~---..... T
o
1
~
E(T) - E(0)
NW'
--"-"-- ----
4

---

2
1
T
I--~,---~:---------> -
~
ToC
1
- ' - ' - - ' -
1.400
1
Te.
1
1
---11
i2.00t
1 l+S
1
1
,
1
1
1
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1
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1
1
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1
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1
1
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1
0
20
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60
!80 1CD% s(.
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X
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B
~

---

1
Ttl
STABLE.
c
,
1
.+.
+-
.1
1

---

Kc r - - - ; - - - - - - - - - - - -
1
1
1
1
1
1 .
1
L
~i8 . TIf s

---

10D
1
GR
0 0
0
Va1e.~ Q.X pelU...me('))-Q)e-o
~ x fY'a po ea t\\Ol") de~ \\Ia)eo....~
ex pen-i..meolcQ.e>.,

---

{} -H- A···P 1 ·r· -R {i;.
IV·
Génèrali tés sur la 'chéo:-ci c d2S bandes.
11 Introduction
,_.----_.-
La théori.e des électl~ŒJ.3 lLb'"~cs llOUS renseigne sur des phénomè~les
ï:.létaux mais elle n' e~{D'_.iJlne ."as pourquoi. certains corps sont CO.1-
ducteurs et d' autresj. salarcs <La -::~Î.éorie des bandes nous l'ournj:c
ces explications.
Nous savons que l'éta~ de chaque électron lié à un atome est dé-
fini par quatre nombres CJ.u3.ntiques ~
-Le nornbre quantique pd.'1ci:)al '.1 1 défini t
l'énergie de l'électron
du modèle hydrogènoIde
~( ) ni 2
.e, n =-=-,\\ n
-Le nombre quantique az5.ii1Utal 1 J qui définit le moment c5.nétique
de l'électron Pl
Pl =-= 1l~1 (1,:-1 )'
-Le nombre quantique magr:étique ms qui définit l'orientation du
f..lOmel'lt cinétique d2 l ' 61ec:':rŒ1par rapport à une dj.rec'ci.on do:-r:éc
.:..
-Le spin s 1 qui. défii'l;.t l'orien ca'L:i.on du moment cinét:i.que propre
de l'électron par rappo:;.":: ~) 1..ll1C cErection donnée z
. 1-.
':":';-.....-._ -
..
2
Les états pour lesquels l:-=C ::)On'~-; appelés~ états-s, 1:-:1 é-ca'i:s-J,)s
1:::2 états-d, 1=3 é'ca'::s-f c-tc ..•
Le degré de dégénérescence des états est égal à 21~1.Ainsi!seuls
les états-s no sont pas d6g6n~rés.Les états-p sont trois fois
dégénèrés etc ..

---

53
Lorsque l'atome 3e t;~Ol..lVe 80UE1i:, 3. un potentiel exté:cieuT, la clé-
génerescence est généraloë'lc~TC lc:vée, tau:; les niveau:: d'énergie
de l'a tome libre pouvan-;: se clécor:rr)oser en 21-:-1 sous-niveau:;::.
Lorsque ce potenti el os-(: créé par d' autres atomes (N au -co-cal;,
chaque niveau d'énerL-ç:<:, (ch; J'a-~:oL1e libre) va engendrer r;(21:-1)
30us-niveaux.Ainsi,10rsquc =1 es~ ~randton ne parle plus de ni-
2) Les ..' états :élec-:::ro~1-L(11_1es dans un cristal
Dans un solide ~ les dis-~;ances-;.~ltcra-comiques sont st petites que
chaque atome se t:-couvc dans un champ potentieJ. fort dû 3.11:: alx~:r2S
atomes.Nous allons voir cOŒilent une telle intéraction i2flue sur
les niveaux énergétLqu::s de chaque atome.
A titre d' exempl(~l cO"Jsic1érons cleu-: atomes de sodium Na -'éTés é101-
en és l'un de l' au::Y'c ~ r '>') a , :,:. èl:an·'.-. la dt stance qu;. les s épa-
re et a-le paramètre de :C(~3Cm'_ du sodium. Le schéma éner::;éb.Clue
de la Fig IV-t nous montre q1.~' ils TI' interagtssent pas.
y:. ~1ftt2 'ft* représen-i;:: la dcnsi.té de probabilité.
Les hauteurs de barrière d'électrons appartenant à différents
;1iveaux d'énergie SOlTl: cliL.:0ércntcs.L'existence de la zone hachu-
:cée où f =0 (barri.è,:,c de potcYl-::ie 1_) ne permet pas au:;: électron~:
de passer d'un a tome ~, 1_' 21.1(;1'0. riue se passe-t-:Ll lorsqu'on rap-
proche les deux atoDCG~
o
Lorsque r~a comme dans le cl~j_stal de sodium (a=4,13A),lcs dif-
Corents potentiels aCoELÎ.qu2.S se r'ecoupent et il n'y a plus d' cs-
pace entre les a-cames oü .p s'annule pour les électrons 3s (voj.r
Fig IV-2) .En tirets les éneJ:'Ei_1.es poten·tj.elles atomiques e'~: en
-erai t plein l'éner;ie pateni;:;_clle résultante. Seuls les élec-:::c'Œ1s
3s peuvent passer ct 'un a-cmae 21 un autre.
Conclusion:Les éleccrons js ne sont soumis à aucune barrière de

---

potenttel. On dit qu' .ils sont J.i.bres. Le:ur ensemble cons~;itue un
nuage éle:ctronique .Ouan~ é.I.L~:= électrons 2p) 2s, et 1 s, ils se heur··
tent à des barrières de ~atentiel quoique plus faibles que: pour
des atomes isolés
Ainsi,le rapprochement d'atonos isolés a pour effet de diminuer
les hauteurs des barrières de 90tontiel et de les élargir.
3) Le spectre éner::réticfUo
_~:J....::
.-....-._
dOi:;
__
électrons
• •
__
d'un réseau
cr~U::tall~L:.
:-; -.-. des principau:= probl.è!il"s de la phy,sique du solide consis'se à
déterminer le spectrf' é:lcrgé-cique des électrons dans un cJ~istal.
Le mouvement de !.' élecL::ë:'Œ1 Œ2ns un solide cristalliYl es-;:; décrit
ap~)roximati vement par l' équatJcm de Schrë3dinger:
+
2Jh1 (E-U)\\f
-hl.
- o
E-l'énergie totale de l'électron.
U-l'énergie potentielle de l'élec-tron.
m-la masse de l ' élec::ron.
On .se place dans cle.:3 comli-con.'> O~'l le modèle de Born-Oppenho:1.:.1er
est applicable: séT)ara-~;io:; cler; mouvements électroniques ct de.s
mouvements nucléaires.
Pour un cristal,U(:~': (~si; une fonc::ion périodique,de pértode é3:a1e
au paramètre du réseau 2
U(x+a) == U(x) ,
V~.~
Pour expliquer la structure de bande?s du spectre des électrons
d'un réseau cristallj.n, ~Cro:1ig et PO:'1ney ont étudi é le? modèle
représenté sur la Fig IV-j.Ceci en remplacement de la forme
réelle de
U(x) représentée sur la Fig IV-4.
:'~n écrivant les équa-::ions do Schrndinger pour les domaines 1,2 et
3 (Fig IV-3) et en exigoar;c la cŒlt.inui té de \\fi et do SQ dérivée

---

55
on arrive à la relation suivante~
.À2._~Z .
2~ À .MY'?f:a ~~b + ~aJ'\\b
tA)
=Ch.l ~(a + 6)
avec
\\ 21 -
2J
l' _E)
0)
(
ry) Z
.2 h"\\ E.
1
\\
f'
-
t %.
V1 0
)
0\\..
=:
~t
\\ IV··1 "
La relation (IV-1) t(~11c cJu' ell0 es'~ écri te, est diffj.cilc:mon-c
exploi table. C' est pOl~rqt:o:L Lron-Lg et Penney ont fait de nouvelles
approximations
b-. 0
U o
mais
\\Jo b ~ constante
)
(IV-1) devient alors:
( Tl T
,..,,,
,.1_ ~ - r::....'
avec
P:::: ~im
U~~ CO
~ 2,
b~O
\\J. '0 ~ C. 01l\\.rt"
(IV-2) peut s'écrire~
i(~) ~ cYJ ta..
avec
~lEJ =(A)-:Xa.. + P Sj~~CL
Les bandes autoriséc;:: .sŒI·~: donnée,s par -1 ~ f(E)
<+1
-..::
""
Les bandes interdites
données par 'f(E)) > 1
La courbe de variation de f( 'êea) est représentée sur la ::?igIV-5
Cas
'particulie:r:~:
a) P ~ 00
et la largeur des bandes auto-
risées tend vers zéro.Les bal1dos d'énergie permises deviennent
des niveaux discrets.C'est le cas de l'électron dans un puits
infini de potentiel donc com~lèternent lié.
b) P
~ 0 ' la relat:Lœ.i (~7-:?_) devient:
Les bandes interditcG disparaissent.C'est le cas de l'électroTI

---

56
ü1termédia ire entre les dC;"L'.:= ?-:odèles extrêmes.
Les limites de ba~1dcs sont données par:
Une solution évtdentc CtT:: aea.::'h,.Tf'.Ce3 valeurs représC?n·cent 1e3
limites supéri..euro~; des b8~ld(=:s p:;nn:Lscs .Les valcursncrrüscs de
de a...
peuvent s 1 éc:~tre:
av(=~c
5' <0
"'"

---

r:;'"
-,1
lB largeur des bandes permises est &ga12 à~
"\\;2. th2t TI" 2,
4-
~ E\\"\\ = EnJ\\'Mv - E.
. =
~
p
,..
~,rnl~
Ql'Y' CÀ '
On remarque que
6 E1"\\ augDen-i:c lorsque :n. augmente.
Le gap entre les band0G n ct n-:--1 a pour valeur
2t
'J,
2,
E.
= E
. - t.
=l-\\ (~~,) TI l-1 - ~1-
dn
h+I)tl\\ln
~, hW)'
2 ma'4
p
~2 Y1~ IT~
-t~ TI2J \\-
)2. (
( Y)
~ )
~J
~1
1 - -
- IYL
2, l'1'\\ a.:.z., -
2. fT\\ a 2., -
P
Pour que E~'h dimi_mw lorsQue n aug8ente, il faut et il suffit que
Le modèle de Kronic; cc l:'enc"]cy est le nlus s~Lmple qu5. e~:iste et qui
permet d' expliquer- la S;;::Cilc~ure de bandes du snectrc éj1Cl~g6-cique
de l'électron dans un solide cristallin.

---

~s
~·_---,--t~l-----L...lIfl~----- 15
f("
~
::::!
....
-J
::J
41
....h~~
1. s.z
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èt
l.I.J
Cl
~
t('
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"-CIeCi:::
'l:l::
COI

---

~---_.JOot'---- -~-----r '2> S

---

Ua
1
.2,
j
...
. "
u(x)
--r--------.-------,--------.I~>-
':::x:.
1
1
1
1
1
1
1

---

---

CHA P I T ~:_:=
v
On cons.i.dère quP les élec-crol.ls de conduction sont faiblC?[Jen-;: Ij_
aux atomes et qu'ils peuven-c passer facilement d'un atome à un
autre dans un réseau cri s-::a11in .ciD dj, t
qu' i ls sont fai blenen-:';
li és ou quasi libres.
t'hamiltonien du mouvolJ.C~~-L: d'ur" électron faiblement 1i0 peut s'
crire~
...
...
...
H -= H
-:- uer)
(V-1)
o
Û(r) est une perturba-Uo"!
Dans l'approximation d'ordre zéro~
tZ
Ho ~ -
6
H
admet pour valeurs propres
o
t;~ ')
1,. l._
1":'
(1 )
,-
.l~
J,.{"
::":
• ------ •. -
(V-2)
o
2 m
et pour fonctions propres
1
"ff-
(V-3)
V étant le volume du cristal.
La théorie des perturbations se fixe pour but de déterminer des
corrections à apporter ~l 1 t élwrgie E (k) et à la fonction 'fIoi?
o
d'un système non pertt~r~)é,lorsqu'on lui- impose une perturbation
Considérons les élèmel'_ts t:vJ.-;:riciels de la perturbation
-+
...
'""'4>
Comme Uer) est une :fonction périodique de période a ~ a
' a ,
1
2
3
on peut la développer e:l une triple sér.ie de Fourier

---

59
(V-5)
avec
t>
et
SOll-:~: les vec~;:eurs de base du réseau I"Jéciproque
1
Ainsi
1
V
= ~ C~ b.... -+ =
S
i') f~ +2TT1t
On constate que les éloments matr-tciels
soi t
égaux aux coefficiexcs de la série de Fourier pour U(r).
D'aprés la mécanique quantique,en première approximation,le ter-
me de correction à l'énorGir? E (1\\:)
soit
E (k) est égal ~l l'é12-
o
1
ment matriciel diagonal de l'opérateur perturbation (voir annexe
Autrement di t E (1'.:) est éGaJ_ à la moyenne sur le voluI:le V do
1
l'énergie potentielle U.II est indépendat de k.
E:-l première approximabon,
llc'bergie ne sub.it pas d'autre al.téra-
tion qu'un décalage vers le bas d'une valeur <U> .
En deuxième approximatio~l (voir annexe .) )~

---

oZ
u{ p~
'\\
E: o(-P;) - t. (~)== '€-
,
1
0
Dans ce cas,
l'énerg1e do J'61ectron s'écrira:
<U)+
( . r
,-,)
\\, 'v-c,.
Lorsque lEol[) - f
(h2JIb)I»
0
0, le deuxième terme correceif
devient négligeable~ la fo~ct~on d'onde est alors
(~)
t (~) =~oo {'2.~) + ~
C b>
'-U
1If
~
-
-
(
"
~
)
T_ 7P
":"'>
b
Co ~ )- E (f~+2nb
o/~+2rr);
o
- ~a. ('<.~)
(V-9 '
Lorsque
E l f;)=Eo{~:2nb),on dit que l'état Eo(k) est dcSg(?-
o
nèré pUisqu'à une seule valeur d(~ l'énergie correspond dou:: fonc-
tions d'onde différerr:cs
'f.-lit)et t") (rt") . Dans cc cas on
t ' l '
]
th'
.
d
,O/~ t· oë."t-2ffJtt , d""
1
"':"'.
1...1
l
lse
_a
eorle.(;S pC:~TurDa lons des e a-cs
egeneres sc_on
laquelle la fonction d'oncle d'ordre zéro doit se présenter sous
la forme:
\\SIOC (Î"'):; eX t J't) +
'ft..."
(.1,
Cre) (V-1ü'
, "R
of;'
r
o~... iJïb
1
cl. et 53 sont dos coeflicients.
Pour des états non déG~nèr?,,; J«
0<. .
Pour des états dégén2!',.'~,s 53 et o(sont des quantités du m~~Je
ordre de grandeur.
De m~me, lorsque \\ E \\(). - E \\ ~)+2t\\b)\\\\<\\Cb\\~le deuxième tertIe
o
o
correctif de l'énergie devient trés grand. Ainsi,
la théorie des
perturbations des état::; :-~m~ clégénèrés devient caduque. On utili-
se alors la théorie des per'curbations pOl'.r états dégénèrés,

---

61
.selon laquelle ~
(V-11 ~
zones debrilloui~
avec
(Ut{' 2::U -) -)
U-
--:>
(V-12)
_
<J
~ ~ -t 2lf<1
~+ .2JJ~ ~
cl étant un vecteUl.~ du réseau. réciP~~ue pour lequel il y' a dégé-
n(::rescence de l'énergiE:'.
Aux frontières des zoner; de Brillouin, la discontinuité vau-:
2 lu '(voir Fig V-1)
g
2) .l''1é.tho~Ji~..l...i...a_:!:2gTs :LO}:~g.~:.
(V-1) 3, 4J et (I- 21
,
Elle cons.iste à adopter e:1 Qualité d'approximation d'ordre zero,
l'état d'un électron dan::; u:.i atome isolé. Ainsi, le comportemel1t
d'un électron dans un champ de potentiel périodique d 't!}:. réseat!
cristallin, est défini par l'hamiltonien H, avec:
"
H
(V-13)
Ha étant l 'hamiltonien cl ''cL: a·come isolé
I~
!{' 1\\ + VcA.,
\\, ""
;Zm U
l·i)
(V-15)
Va (r) et E
sont re,snect.L vene~lt l'énerGie potentielle e-:: l' éner~
a
gj_e de l'électron dans t!~1 atome isolé.
On supposera que los îor:'ctions propres
't'C\\,\\ ;t')sont orthonormées
et locali sées; c' ost-à-d.Lre que \\fla.,'$')::: a ' lorsque r /' d
(voir Fie V-·2)
d ét:ant la distance mo-re'_':··H~ e:ïtre deux atomes voisins.
6U(r) contient -:'::O.tlt"'.".
- ~- ln.,:::
~~
' .
corrCC~lons
,
.
?l
necessalres - ~TVa _
1}0'}~~
( ..... )
_ ~_
obtenir le potentiel U(;-~) -:::.1.: ré,seau cristallin (voir l:.'ig V-3)

---

62
Plaçons l'origine cles coordonnées à un noyau. quelconque, nous
pouvons alors décrirc le;~ coordonnées de tous les autrcs noyau:(
par le vecteur de tr2~slation~
Ï1 :::: n ~1 .:. n" ~ .;.
~
21,
(V-17\\
n
1
t_
c.
.--":J
~
En désignant par r le vecteur-posi'tion de l'électron,
la distan-
. ,
,
"' prl]C'i
. . .
......
ce entre l ' electron et le ~y" -'.. ,. noyau est égale à
r - ~'~"~' et la
f.·O''''C'f,',i_o·~. d' ond l
e ce l
... ' '
e l '
eC'I:rOl1
l
ce cond ' .
UCClon du n ièrae,
al::ome
,
e[n.:
~~ lrè -R~).
So."!. t
~(il?) la fonc-cion }Jropre de H, on peut l' écrire ~
->~
~(i')=~e':'~ Rnep(rp_ R:J (V-18)
La fonction ep( iL) 11' e.T~: pas rj.goureusement une fonc-Ciœ1 d'onde
atomique. On l'appelJ.e ~~onction de 1.!anrl.ier.
On peut la représencc),-; comne une combinaison linéaire de fonc-
-tions d'onde atomiques:
tV-1C;1
\\
~
;
C'est pourquoi la méthode des liaisons fortes est souvent appe-
lée méthode LCAO (Linéar Comoinab.ons of Atomic OrbitaIs ).
Appliquons f(i')à l'o:;::HSra'ceur Hdéfj.ni dans (V-13)
A'fi'e):: Ha-'/J(i') +l1uM lf'{t)= E(t)y(~ (V-20)
Hlütiplions par une fonGLj.OIl d'onde atomique arbitraire
.
. ... '
PULS lncegrons.
s\\Pa: ('t) Hell/!~) cbt; + ) 'Va: 6Uf~) \\f'(i?) cli -
E(.[) S'fa: (1) \\f(ii?) J ~
IV ")1 \\
\\
-L.
J

---

63
Le premier terme du yroDier membre peut s'écrire~
S~a: (~) ~a. '\\' \\;z) J(~Q.'f'QnJ~~t'(~)J.Z:=
:=
= E~m ~ ~: (il) '-f(ïZ?) J"i'"
Cornnte tenu de (V.. 1D) et CI/··13\\
- EQ~ ~ bn [ bmn +
+ ~ ~ t: ('c-") tn {if: - R:J e;'f:R:dt" ~
Rh#: 0
= E b~+
~(itj
am
tom
ta:,{t) ~Jf-R:)it~.
· br\\,

---

Quant au second terne;
Œl
peu'::; lE: transformer comme SU.i..t:
S'fa~ (Z?) 6 U\\'i?) IfC~)d~ =
~..-.
:: S~: (iZ') 6. U(~)~ e-Lfd~nl b~tYf-it,,;JiC=
~'"
f'h.
= ~ t: (~) 6 U l~) L b?) ~11 (77) olf~ +
th
-~->
r 1< .\\
-i- KRn -
IV ( ::> ?)"»
A.~
-+- J tm I~J 6 U(if)? e
Lbn loti Ii;-~y\\ a't
;::;> J. 0
rn
. .. ';'
I~ r1 r
.
~
'.
.
.
-..~
~ ~ [ St~ (rt) Ci U (~) tt1 (ii-;') drt' +
~~
+ ~ St:~)6U('Î)'t'l{tt-R;,)e~~R~ol1~
Ft:,/ 0
Le second membre de la :cclatiO:"-1 (V-21) peut s' écrire~
E(f';; J'fa: rit1 l.f(~) d 'Î =
= E (-t:)j ~:(ïi)~ elJf~~ I,~ Y:~(r-R~)d",~=
=E(()5 ~~ (ii) ~ b",lfan(iZ)al"t +
".,
....,~
+ Ë ({;) ~~: (it) ~ e:-~ RnL b", 'fa., (7:-R:)d7.~:: .
Rn :1= 0
""

---

65
E
:0-
($» b77? +
+ E(~)Il- L j'+:.:(7:') t ('t-iC}e<li1b
"YI
if;, :j:. 0
a11
]
"
La relation (V-21) dcv5.e~~,l;:
d'un
niveau-s atomiaue.
_ _
1"
----.-~_.---.:..-,.

---

13 ~ S6 U (~)\\ cp C~)I ~ JIt'
~(~)=S4'~(~)Ô U(t)t(ïi-~)J~
d- (~)::S<Pt~ cp (;z - R:) ~z
~ apparaît comme la vê.leur moyenne de ~U(r).
~R~st une intégrale de tran,sfer-~: -Candis que.,((R~)es-c une
intégrale de recouvrement. ··;n fait elles ne dépendent que
La relation (V-23) s'écrit alors~
.Ainsi,
1
La sommation
L ne por-~e que sur les plus proches vois.-:'l1s.
:=n effet, pour les s.U..:es plus élo.i.gnés, l'intégrale de transfert
~ (iR:~st pratiquement nulle.
Pour un réseau cubique de paramètre al
on obtient à titre d'exem-

---

67
p k E (~) = ES +,,~(o)
+
+ ~ »(a..) ( t'.o1 ~.~ct +CB' t~Q.+()j~~a) (V-26'
3) .~lt~tl.C?.clG.._de9__Qn..d};.,s. )J)-.a}~.~:. [V.-5, 1 6J
1
L'0quation de Schr<5d:L'"J"o:c d'u~! électroy'c soumis à l'action d'un
champ périodioue Uer' oS 1 écr.ï.t:
t,t
-_. 80/
(V-27'
1,,,,,
La solution de cette équatiŒ\\ doi t
~tre de la forme:
~
_ f~ liï') = e-l,~ït 'frit)
(V-28)
{Dlti) étant une f0Y1.c·:-;j_O~1 "Jériodioue, de m~me période que le
1 ~
..
- .l:~
champ de potenttel U( T'). Le;:orme e"" 't.
représente une o:îde
....
plane se propageant da~1 r) le se~'lS du vecteur k. L t expressï.on défi-·
nissa~t (V-28) est appelée onde de Bloch.
0:;-1 peut développer
'f (t:) en sArie de Fourier~
.
4, .....,
>
~iiT ~ ft·
..., Qi e
...g' est un vecteur d'if réseau récinroque.
La relation (V-28) devjJ~'i:~
ii{ tY:: ?f- Q,r
(V•. 2C) )
Le champ cristallin étant également périodique, on peut aussi le
décomposer e'1 série de Faurie::""
C...
b
(V-30)
Utilisant les rela~ions
et (V-30), l'équation de SchrBdin-
gel' (V-27) devien~:

---

Tous les termes de 12 :3o]~,'1a-c_:_o:1 sur t, ,sont nuls sauf lorsque !==t'
Ains.i:

---

69
ou encore
Cette ~elation repré3ente un
d'équations homogènes en
a.~. La condition pour Que cc sys'cème admette une solution permet
de calculer ECk). Ce calcul. est difficile du fait de la faible
convergence des séries; celà est dn au fait qu'à proximité d'un
noyau) la fonction d'onde diffère sensiblement d'une onde plane.
A proximité des noyaux, i~_ est préférable d'utiliser les fonc-
tions d'onde atomiques ~a-j(~-~) . Dans ce cas, l'amplitude de
la fonction de Bloch s' écri·c:
CV-32)
étant un vecteur du. réseau réél.
N- Le nombre d'atomes du cristal.
j
indique un état de: l'atome
j=(n,l,m,s)
Les ondes planes ortho Gcmali3 ées sont telles qu'elles se cOE1por-
tent comme des ondes planes Inin d'un atome et varient rapidement
(oscillations rapides) GU voisLnage d'un site occupé. Elles SOl'l"C
de la forme:
L M~. tf~ (ït)
j.
/ -k~
f<j
(V-33)
La soml11ation porte sur tous les états du coeur atomique.
%l(;z.') est suppos .oe Or-CiIO[;Onale à tous les fi'" Cette candi.tian
a

---

10
permet de déterminer leslfcoefficients d'orthogonalitéll
(V-3l~)
1
(V-35)
lorsque tous les
20:.-~t or-chonormâles.
La méthode des ondes pIanos orthogonalisées a étè appliquée aux
élèments du groupe IV (silicium et germanium), ainsi qu'aux compo-
V
sés semi-conducteurs AIlB
(Zn~ P') et Cd Sb) V-5 . Ces calculs
,
:J
L.-
ont confirmé qu'elle est plus préc:Lse 'que celle des ondes planes.
5) Méthode des onde~~laE~~?p_ociées (Méthode d~_S~ter)
[V-1,6J
Cette méthode consiste Ct présenter la fonction d'onde du cristal
sous la forme d'une combinaison d'ondes planes "hors de l'atome"
ct de fonctions d'onde atomiques "à l'intérieur de l'atome ll
ff:
ç~
(ït) - 8 (t - Iz,,i,) Ov e~ /~
o
+
+ ~
e(~A-
atm
-Jr) tem Ce)
lm,
(V-36 )
r.
étant le rayon de la "sph2Te" atomique.
_1
9 (~) est la fonction de HeavL:;ide
1
x,~O
)
8 (x)
(V-37)
a
x<:O
)
On choisit les coefficients
a.,!-m, de telle sorte que

---

?1
ft.(li) soit continuo en ri·
Elle est surtout u~ilis~o lorsauo le potentiel du réseau cristal-
l .
,
l
d
l
l
. t
( "h
d
J'
-'-
1
11 \\
_ln s annu e
ans __ es zones encre
es SJ: es
_ ors
e __ D. Lome i.
Cette méthode a donnG de banc; résultats concernant le calcul def)
bandes pour les métaux. lIa:L s, pour les semi-conducteurs, 1c'.'3
semi-métaux et les i:;olan-(:s,
ce modèle de potentiel 11' est plus va-
lable ~ si. bien que la J:'1éthode des ondes planes associ ~e2 donne
dans ce cas des résultats moins satisfaisants [V-7].
4) Iv'Iéthode des pseudo.Eot~nt_iels [V-1,S,sJetG::V-10J
La méthode des pseudo-po·tC?~!.tiels ini ti ée par Phillips et Kle5.n-
man V-9 n'est en fait ~l'une amélioration de la méthode des ondes
planes orthogonalisées.
Soient 't,(ii) la solutio~1 dE~ l'équation de Schrodinger (V-27) et
~i -la fonctton d'onde des états de coeur atomique et telle
iir
qu'elle soi t ortho[!,onale ?- la foncti on
(ïi):
St:*{t) 'P (ri) Jt ::: 0
(V-38)
tj
.soit 'f5,(fi) une fonction déJin.ie de la manière suivante~
èp,(~h ~(r[) -? Qr' ~. t~) (V-39)
.. IL' l '
l '
,
"
,:r t'
j
Jo
'\\
b"
t
1;.11
-Llp ..lons sca._a]. reme!""-c co·c-ce equa ,lon p~r ~tlit;' on 0 l:len -:
(~~) '-f~J: (~)f~0 -L ~~J S'<-J
Le premier terme du second membre oit nul dIaprés (V-38). La re-
lation ci-dessus (V-40) E'écrit alors:
- et]">"
( q>t ) ~~)
(V-41)
-
"'fl. J\\..,
Cette relation permet de d~-l;erminer les coefficients
<X."j

---

(V-39) => f~ (le?) = ~... (ïL7 + ~ <2-. ~~. (";z:)
-<~
~
~
~ ikJ
Portons cette valeur de ~(iL)daj1S l'équation (V-27)
[- -;2. 6 + U(ït)]f êp~ + L Q,r. LO..... Jo =
... m
-
~
j
X~ 1~1
- E [~ + ~ rI
\\ 0
J
(V-~·2~
-
~1t;} VL~). ',-
Compte tenu du fait quo
~
J
Soit

---

On pose~
La.... Et(~-E(~)lP(iL:Vn(tJ
i
~~ <Pt (lt)
"J. f.
'1.) (r-; est appel é potentiel de répulsi on. Ajouté au potentiel r6él
...
Uer)) on obtient
If (1) :-: u(1) .:. V (~
n
p
le
v (~') est appelé pseudo-potentiel.
p
D'oG la forme définitive de (V-42):
[- ::: /). + Vp (iL)] éR (ïi)= F(fjèp;(Jt) (V-45)
Lê pseudo-potentiel est f,énérafemont trés faible, ainsi, peut-on
résoudre cette équation pal' la méthode des perturbations.

---

\\
\\
\\
\\
\\
1
\\
t) LLi \\
/
"
o
!.
2.Jr
a.
Q.

---

is
f'.
/ \\
/
/
-..
l1U(rz.)
. --.
!ù
1
1
1
1
·1
1
1
1
l

---

14
C fI A P I '-;..' ~l :~
VI
Calcul de la 1~..rA.~...s.:~ bande interdite et du "par~mè.tre
.
Ser'V)lCONJ)UcTË.UR
de réseau d'un alli_abc b.ina:Lr~ al ég!ej l?~.
1 ~ FormaI i sr:1e
'Toute la diÎÎicul té daES l ' 2tuclo des alliages provte;~t de la non
}JértodJci té du réseaL~ cristallin. Ainsi f le théorème ùe Bloch-
Floauet n'est plus applj.cable. D'importants progrés ont étè réalj.·~
sés[V1-~ dans l'étude de:~eh; sys';~èmesf parttculièrement pou.r les
alliages dilués.
Dans tout ce qui sut t~ 0:.'1 !~'e s' :i.:~lteressera qu'aux alliages de
substitution binaires~ dont la concentration c de l'une des com-
posant es n ' t
es', p l us
.
CODS]. d'
,
<-'
•
Qree comme ..:al bl e. Pour cc l'Cl, nous
ferons appel à ItapprOJ:ima~:ion CPA qui consiste à remplacer le mi-
lieu désordonné réél par un milieu effectif. L'hamiltonien d'un
électron dans ce milieu e=fec'::.i.f décrit les propri été:: Doyennes ùu
système.
Soit H l'hamiltonien réél de ce système désordonné. La fonction
de Green correspondffi1te s'écrit:
c (z) = .__2___
('11-1 )
d
Z-H
Q1
l'appelle également 0:.1érateur résolvant.
Z est une variable cornple::e.
'<t(Z) englobe tous les effet;, de désordre. En prenant la uovenne
de cette fonction sur tOl.ll:Ci-i les configura ti ons possibles (tous
les arrangements 9~t0li1e,s ~)()ssibles~, on obtient~
1
('11-2)
"7
OH
/.. -
e.fl'

---

15
C'est cette valeur !"!loyen~--,e de la fonction de Green qui perme"~ do
déterminer toutes les gral1deurs macroscopiques de l ' al1:L8.{~c •
Il s'agit maintenant de déterminer H f.p.
e . .L
Soi t K uv;e première 8.:p:r:'roXLl2.tion de H
ayant les L:"~L1es pro-
eff
pri étés analytiques [r -5,6]
Remarquons que
1
1
B
- - -
-
-~--
• •
< . _ _
•
_
. •
-~~.-
(VI-3)
A
B
~
~ CA - B'
, -1
L
ou
B
A -- Z - E
, B .
On obtient:
<~(7,»
~~
=:
R(Z' + :l.(Z)/Heff,·K) <~(Z»
aver-
R(Z) = (Z_~:)-1
(VI-4)
>~(Z)::~~\\.(:~) -:- ;'..(:~)(H-E) ~(Z)
(VI-5)
On définit la matr:Lcc '.:,.' dl). système relative à l'opérateur K
comme suit:
(J-S,6Jet{yI-2J
T[K] :: (H - k) + ( H - K) R(~) T [\\<1
(VI-6)
ou encore par l'équation
~(t.) = Rl:t) + Rl:t:)T[K] R (l)
(VI-7)
-::> <~(l):: R(l) + R(Z:)\\T(K1) R(t) (VI-S'
("\\11-4'J e+ ('TI-7'
u v .
e-"'-:-Y>a'ÎnpYl"'-·
Lu...
_o. -- \\,;
R<T) I~ = R ( Hefr - k) <~ >
(VI-9~
(T> R :: \\ Heff - k) <~)

---

16
<T>R =( H"J'{" K) [ R + R <T> RJ
(T)~ (Hef'f-K)[ 1. +R<T>]
(VI-10)
Hais l'équation (1.:t-10) :Deut ~trc difficile à résoudre caT olle
ost transcendente. Dans tous les cas. la matrice T s'avère utile
à connaître. On va c~:prj-Eler 'l' ~n fonction des matrices de diffu-
sion relatives à chaque sit~.
Supposons que
H-K
puis,so s'écrire seus la forme [1 -6J:
H - K -::. z..= V/t't;
(VI-11)
ty"j"
comme une sui te de potentiels aJ.éatoires V
associés au:: s:i.te.s
n
individuels.
(VI-7) =>
~éI) =[1 + R(i':) T[Kll R (1.)
~(tft:o \\.:<.-1. [1. -+ RTJ_i
(VI-5) et (VI-7»
(H - K) ~ -= T"R
(VI-12)
soit
H - k -::: T'R ~_1.
(VI-13)
(VI -1 3) et (VI - Î 1 ) ==>
T R~ -{ = 2= Vl'f\\.,
fYl
soIt
T R R--i [1..~ RTJ-i -:: 1:. V,."
""1
T [--1. + RTJ-1. := ~ V'Y\\;
%
(VI-1h)

---

11
. OU:3
avons exprimG T C0f.1.l:iO l.Clf..) somme do contributions do chaque
site Q
. On peut Dcnser qUG 0
est la matrice de diffusion d'un
n
-
-
n
si l~e n mai s tel n' oSl: pas 1~ cas.
L'équation (VI-6) en fonction Je T admet comme solutio~
t,... =" V'h- (1-'KV ~
1\\\\' )
(-1- V'J) Rj{Vlt1- (VI-16)
(VI-14)
_>
Gt th :: \\l'Y\\, l -i + R ,)
Q"" ~ Ym. [1- + R ~ Qm'l.J
~1Vv ='J~ + V~ KQ/)\\;+ V~KL Q1Yl,.
1Wl:l:IJ1,
(1 - V~ R) Q,~ ~ V (1.
fYV
+ R2- Q,~)
~t 't1;
a1>1. = (-1.-V~RrfVM-({+~LQ,~
m-F/)v
~ t "" (
SO i.t
1 Q 'l'V
1. + 1< k-*9m,) 1 (VI-17 )
T :: ~ Q,trV = L t~ + ~ t ,~ L t-m + , , .
.~
"'Yl..
I)'v
rm t ~

---

(VI-13)
l'absence de corrélati O~l o;,;:re Jos dt fférents s:L tes.
Or,
L: <Qm> = <T> - <al)V)
~*'M.-
-> <an? = <in) + <tt» ~~-c) - <t,,) R <Q~>
L1+(~n>~(Qn>=<ilh>L~+ R(T>1
<0,,,, >= [1. + (+nt) Rr1<t,,) [ 1. + R(T>]
(VJ:-20)
(VI-8) s'écrit~
_
-1
~f:F k + ~ <a'Yl>L1.+ R<T>]
(VI-21)
Compte tenu de (VI-2G)
H..ff= K. + ~ [1. + <i't\\.)Rl1.< t",>
ou
-
1-1-
H = K + ~ <t ) L-1 + R'.. t "-
('/I-22~
eff
'ho
/)1.
%
r
en eHet [-1-+.( {.'> Rl\\i'lo '> -= <i"..) [11+ Rd.:>r1.
car leurs inverses son·:~ iGr-;G.',l-,::
Ct",)-1 [1. + <1:",) R] =[1 + R <.-t",>] <t ....)1.

---

79
--
T
d
. ,
L
d
( u-c
.... \\
'
t I f
d
'
-Je
eUXlemeLJerme
c \\,-:..-~.:':! r?presenJe
es e' fets
c dc=sol....o.re.
J~n prenant (t ) ~O , on obtient
n
Hc=ff = K. K étant donné par
l'équation (t ) =0.
n
Cette méthode de calcul (L~ l 'haniltonien effectif est a"'lto-cohé-
rente.
Cons.idéron,s maj.ntC:~lan·;,,; U:l modèJJ: à une bande tel q'J.e':
H = H
+- H '
(VI-23)
p
r
Les élèments de rI
sont non-d:Lagonaux mais admettent une symétrie
p
de translation cependant que les élèments de H
sont diagonau::
r
mais aléatoires
[V-~ .
H
\\.LI (k-'
r-+ )'
C' l,' î1 J' \\Jj (~ ; ... )
p r e ,
= C;;
-,
T.,
r
Il existe deux types do Cot t28. Ceux qui sont occupés pa):' les
atomes A et ceux quJ. sont nccupés par les atomes B. On note leurs
contributions dans H
par VA r:t; V
r
B respectivement.
Soit
c et 1-c sont respectivcDen'~ les concentrations des atomes B et A
On peut choisir H
de ·;";2J.~.e sorte que V
=0. ~ns ce cas, un tel
p
o
Ir
est appelé ham.il tonLe;J du 'cr..istal virtuel.
p
Dans l'approximation du. J)oter~t_Lel cohérent
1
R =
---~~,---....-,......-.__.
(VI-26)
~/-;'1
Z - t (ft: _.. .L-. \\. /_~ /
L(Z) ne dépend pa.s de ~: 111a:Ls seulemi?nt de Z. C'est une g:L~al1-
deur complexe qu'on ap:)cl1e: ]., énerg:Li? propre (self (mergy) ~
Dans ce cas:
t"" = [V.... - 2: (2)J4 -f(l.)[V'rl--I(tU} (VI-27)

---

~
ave"
(i:) =L.Q /(1"11/'J fcP~ [~ -t l') -2:("lTI-1
.( -t~ > :: c i g + (1. - c) tA
t: V8 - 2 (l)
t =
,
VA - ~ (i!:)
)
e ~ - F(l) [Ve -L fi]
,li
1- F~) LVA- ~ (1:D
("Ir]-
r.lO ~
\\~
'/ __ -
L.v' ..
c. ( Ve, - ~(~») + (-t - C) [VA - i (lB
1 - F(i:) [V
-1
B - f ("iTI
1 - r{l) [V
(l)]
Pt
c [VB - L (l)] - c [ V6 - f (+)JF(~) [ VA - :2. (~TI +
+ (1- C) [ VA - L (l)J - 0 - c) [VA - 2: ("l;ÙF1~)[VB- i{til: 0
Va - Z(~) -[VA-2..~)J r(~)[Vo-L(~)J=O
L(l) =Vo - [VA -2~l.)JF(t)LYfÇfWJ ('II-29)
On démontre ~T-~, qun. r:;ct·;:2~·el.ation est équi.vQle:T~:c à7
~
_
CFA
'" CPA
V
C. (1. -<2) 6.
\\-
(VI-JO)
L
\\ ~) :;
+ 1 _ {(1-
[V LC(~)]J FCPA
(1
Ze)Ô .j.
-
o
,6 == Ve - VA
C~?A
En remplaçant r.l8.~1[) 1<' i,ccond l'1embre d::- (VI-30)
L. :~~'\\ Tl2.l" '1 '
0
on obtient l ' e}=2:)l'c L:.si ():.~; de ]' énergie propre dans -L' alipro:::ü12.-'ci on
de la matrice T r,lOY2:r n2 (ATA'
('11-31)

---

"T.
(
Donc l'ATA peut ~tre son:;-Ldérée commo une première i-céra-cfon du
CPA. V
est une Drerniére aI:)pro~ümat-:_on de 2(Z). Une fois qu'on ar-
o
,-
-
ri ve à déterminer ~(n, :1.' èlCrgie E: s' obtient ~l partir des peles
de l'onérateur R
f:
~VI-32)
Il peut arriver que ~ (/~) ai t un pele. Dans C0. cas ~J-5 J~ on po-
se
(VI-33)
{VI-29)
s'écrit
s -== [C t:. + S] ç \\J1\\ - c) 6. - 5J (VI- 3L,)
en effet
VA - L :: YA - cV'8 -lA - C) VA -S = - c 6 - s
Va -~ =: 'la -CVa -(It-c)YA-S-:.(1- c)Ô--S
C'
(~ ( ." ,
• J
jl>.l
•
t
,.)upposons que ..:> t'--) a.l.~ U11 pu_.(; au p01.D
z. Au voisinage de ce
point
( i! - ~., ~_._.~ CO" AL-lSi
1.
1
E'
+
,-
+ .. ~
r-)...-[
i.-I:
(~-I:).e
-+
Si G CE) est la densit~ d'états correspondant à E(k), alors:
o
~
r(p~ 8~I-E(~)\\l
)
(E-') =- Q,
()
(2n)3J '
Le
:li
F(z) ~ (1. -.è..y1.S dE.'GJE') ::(l- ry1
(VI-34) devient:
S ':: [ c 6 -4- -s) [ 2: .- ~ J-1 [( 1. - c.)~ - S J
s (~ - ~) = Cc II + SJ [ (-1.- c) ~ - S]

---

t
s(:r-Vo-s) = c(1_c)6 -l- SK1-C)6-c~J-s~
S [2. -Vo -(1.-~c)6J= e(-1-c)6~
(VI-35)
Les énergies permises sont déterminées par la relation (VI-32)
~
E - E (~) - ~ (E) :: 0
E - l:,(f:) - Vo -
A
=0
(VI-36)
.2
_
f-E o
A::.C(1-C) t:i ct t. a -= Vo ""(1- ZC).6 :: /1- c) ~ + C VA
_
_~
\\:
B
(VI - 36 )
>LE - t l~ )-V J
0
[E - E 0] - A -= 0
E~-(f.+Vo+Eo)E -A + t.o(étVo)=O (VI-37)
j) =(E + VO + Eo)9.; + 14 A- ~ E0 (E + Vo)
1) -= ft-f- "o~+ ~o~ -1- tLVo - :ZEE.o-.<;VoEo+ 4A
1):: (E. + Va - Ea)~ + 4 A ~ 0
t
i[[tl~
co
+ Eo + VQJ + [( E(~ + Vo - Eo)2+ lt-AT/j
Q"
A«
Eol~
c,l
1€(~) + V -
O
c'est-à-dire
alors

---

f(tJ= ~ [t{~I~Ep+Ifc]:[€(rl+vo-[oJ[1+[€(t~+:_Eot]
(1[1-38)
E
~_A
-:= 1. r~ E0 -
oZ A
} = E0
__
-
.'4 L
ElW)+Vo·E o
El~)+Vo-Eo
Pour c=O; 1 , A=::.O et
~~_ '-"1':0
soluti.on déjà e~-:clue
Donc le signe II_" no conv:i.0i.1"C pas
[E(-~") +Eo+V..] +[E~)+\\/o-EoJx
[
.'Z A
Je
-1 ~ [E({l+V<l-C~~
f (-t) + V0 +
A"
E(~) +"0 - E0
(YI-Y) )
On constate que ~~ :1' est pas une fonction linéaiTe do la concen-
tration et que 10 terme non linéaire est propor-dol1l101 au produit

---

84
des concentra':.;ioYliJ dC3 cormo,santes c ~t 1-c.
E varie en fonG U.O;l c1.c -t
1: ~l '~;ravers
c
Co C....
k) s"'· uJ_ern"cn'l'~.
c . \\:;;
.
Lorsque c=O,
EPo = t. -\\- VA
(VI-40)
Lorsque c:::1
t.. '3 = E. + V B
En multipliant CII- l l.0) pai.' 1-c c:t (VI-41) par c puis en ajoutant
b
" b
- ,.
,
mem re a mem r~,
Oll
0 Ln:L en'c:
EA et EB sont les ~nGrgic:s dans les cristaux pures A et B •
2
Dans (VI-39) le coefficient de c( 1-e) t:l
peut s' écrire~
1.
1
IV
i
_
- - +
E-+-(tc-1)b
E+Vo-E o E+Vo
1
+
E: + 1
(E+ Vo)3
1.
(V1.·43 )
cEg +0- c )E:A
La relation (VI-39) compte tenu de (VI-42) et (V1-L:·3) d~vtent:
E. -: c t.B + l'" - C) E. Ii +
Considérons maL1h::n2.n':~ un modèle à deux bandes et CŒlvc:nons d' ap-
pelc:r E
le bas de la ba~dc
e
::;up ért euro Cde cor'duct~ O'~l \\
n'"
-,
le
"
. ' . .
1
.-
'-'
-,-, v
haut de la bande tnf ér.i. eu.r~ (rle va lonee ) .
oZ
C(A-C)~
c. EBc. + (1.-C) EAc
-
~
C(
/
-1- C)~.?J (111- +5)
Cr t:9,'l
-+ 0-c) t A~ +- - - - -
c.Ee>v +\\."-c..) E. AV

---

85
La largeur de band(~ interdi te E
est donnée par la différence?
g
E - E
C
v
E =
-E ,,)+
d c (Esc -E av) +(1.- C')(EAC
fI
+c(-i- c) 62f 1.
. __ 1
JVI-46)
t2 f~c +(1..-c)E
Ct:.a\\J+~-C)EA~
AC
Notons que:
EBe - E.B\\I
Ede
(VI-47)
tAO - EAII
Ed-'A
la relation (VI-I+S) devient:
E~
avec
Les relations (V-5: et (VI·JI-8) permettent d'obtenir:
~
A
C(",-c.) 6-
- -
1..-
,
o:~
CL étant le paramètre de réseau du cristal "virtuel" qui a
pour largeur de bande in terdi te Ea:

---

86
Soi t
1
avec
J'V
c
- +
Q2J
e,
QA et aa sont respect.i veme:',t les paramètres de réseau
des cristaux pures A et B.

---

CHA P l
'i' ': ~':
VII
·-----..-_--
---....----
Le sulfure de c;admiŒ:'. (:t Je sulfure de zinc sont tous dele dos
compos és binaire:::; II-VI qui cri ~~tallis~nt sous deŒ( form~s a1J.o-
troptques:
- une structure cubiquo de '(;ype blende
- un~ structure hexago~'lale de type wurtzi tc:.
,
Ce sont tous deux des semi-conducteurs de type 11 8. gap direct
où la conductio~ se fait essentiel19ment par lacunes de soufre
~II-1 ,2J.
La première zone do Bril10L-ü;1 pour la structure blende es-t U~,',
tétraèdre tronqué et 1..11-:' ~"'riSDC he:;.agonal pour la structul'e wur-c-
zite (Fig VII-1).
Pour le Cd S son associe le bas de la bande de conductio~ au
ni veau 5s du cadmium ta:1di.s que le ni veau 3p du soufre eS"l:
associ é au sommet de la baèlde de valence.
Pour le Zn ::\\ 12.'] 'ü VeatD'.: ]cl_l~s du soufre et 4p_l~d du Z"LèlC
sont assoct és à la bande do conduct.i.on tandis que les ni veau:: ,)S-
3p du soufre et 4s du zi:;.,c [)ont aS~JOci és à la bande de vale:::1ce.
Les travaux' de BaJJca'lSl;~.i.['111-2] ont montré que 1e r:5.nimum de
la bande de conductiŒl. c<; le :na~:imum de la bande de valence du
compos é Cd _
Zn~: ;:;
1
SOEt
s:L tués au point r. Ct est une nropr16-(;6
x
caractéristique des cnmpo,c:;E:Ss bj.naires II-VI
La figure V1I-2 r2prése~te la variation de la largeur rte ba0de
•
-1-
d' t
d
' rd
'J.
0
f t ·
d l ' -1-'
""
.1nl...er l e u compose J"1_< L,"1;r ,.) en
onc lon
e
a compo.'":1.1...:1.0n .,.
La figure V11-3 elle ~
re!îl~6sel1-(;e la varia ti on du paramètre de
réseau du m~me composé en toncb,on de x. En trai t plein$ noUG

---

avons tracé les variations li.néaires de la largeur de lé\\. bande
interdj.te et du paraF'ètre de réseau. L'approximation qui consiste
à considèrer que pour un composé binaire le paramètre de réseau
varie linéairement en fonction do la composition
est appelée~
t
loi de Végard.
Sur ces deux figu.res?
on note une bonne concordance e:lcre nos
résultats théoriques et los valeurs expérimentales.
2) ,Le composé ..I1E:Ù;-CdT.e
Les alliages HgTe-CdTe cristallisent tous deux dans le syst~~
me cubique faces-centrées de la blende de zinc. Le paramètre de
réseau est presque le m~me pour le tellurure de mercure et pour
o
0
le tellurure de cadmiuID.(respectivement 6 t 46 A et 6,43 A ) •
. Les -traveaux de Goryunova et al6:11-3] et de Lavlson [VI1-l~
ont montré que les solu-cions solides, entre les deuA composé,s,
représentées par la fornule Hg _
Cd
Tet existent daYls tout l e 2
1 x
x
domaine de composi 'Uon (0 <:: <1) et que les propr.i étés physiques
de l'alliage varient de façon continue et monotonB dans le domai-
ne consj.deré entre celles de CdTe et celles de HgTe [1/11-5).
Pour ces deux COI!lPOsés ~ lec, e}:trema des bandes d'états
occupés par les électrons qui ~articipent à la conduction sont
si tués au point )ç::=o de }.a zono de Brillouin et les fonct.i.ons
d' onde décrivant ces états appartiennent à l'une des repr(~sc:nta-'""
tions réductibles r6 ' r ." ou r
7
s
du double groupe du ~JOÜlt
Le tellurure de cadmium est un sc:mi-conducteur à gap direct
(1,6';f§V') dont la bande de conduction est issue de r • La ba:;'1de de
6 -+
valence est consti tuée de dew: branches dégénèrées à k=o: une

---

8S;
bande de trous lourds ct une bande de trous légers.
La structure de ba:1de du tellurure de mr:>rcure Gst d6cri te par
le modèle di t
lIinver,séil ]lroposé pour la première fois Dar Groves
et Paul [VII-2] pour J.' éta:L~ Gris. Cette configuration d.i.ffère
uniquement de celle rencQ)~'cr6c da~1s CdTe par une invcrsi on des
positions relatives, da~ls l'e:;cIlcl1e des énergies, des niveaŒ{ rG
",:'
:-: E( r )-E( (8) est j.ci négati-
"'-'g
6
ve. HgTe se présente comme un semi-conducteur à gap nul ou un
semi-métal à recouvrCEle::1t nul.
Dans les solutions solides Hg
Cd
Te, la structure de ",
1 -x
v
.A.
bande évolue de façon cOl'lt.i:rue entre celle de CdTe et celle de
HgTe. Il exi ste une composi"U on intermédiaire 0, 1 <x t.. 0,2
pour
laquelle on a une:; conLLguration semi-conductrice(Fig VII-Li,).
La fig VII-S représente la variation de la largeur de bande
interdite en fonction de la composition. Encore une fois,
on note
une bonne concordance entre nos résultats théoriques et les
valeurs expérimentales. ;)1 -crai t plein, nous avons tracé la
variation linéaire de

---

"

---

"41 ,
do ~a- ..
uJ
.... a
QI
t Jo-
13
.u
c
...&.
ù
el
J-
E
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FiS- VII - 4
Cd Je.
CJ~Hq Te.
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J
cf)
~
LL
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7
~~
0"
.,..
C'iI"
o
o

---

VIII
C () I~ C L U ,~ ION
Dans cette contri'Yl~tto;~t iJ. la '~héoriC' des alltages bLla5.rGs
semi-conducteurs~ nous avo~s nbordé et discuté le caractère
purement aléatoj_re dr: la réparti-;-,i.on des différentes cOrJposantcs
:~uivant les noeuds du réSeD.tl cristallin, La distribution dos
atomes suivant les sites n'étn~t plus périodique~ on ne peut plus
utiliser le théorème de Bloch-Floquet. Comme solution nous avons
opté pour l 'appro~::ir;1ation du potentiel cohérent qui tient comnte
des effets de désordre par l'intermédiaire d'une grandeur
appelée~ la self-énergLe.
Ceux qui l'ont cO:.lçue e-:~ développée [I-5 6Js' en servaient pour
f
calculer la densité d'états dr::,g alliages. Nous sommes parvenus à
eil faire un autre usage qui nous a permis de calculer théorique-
Dent les variations non lii1éaires de la largeur de bande interdite
et du paramètre de réseau.
Les résultats théoriques que nous avons obtenus co.i .:1cident
bi.en avec l ' e:Q)érience.
Deux raisons principales peuvent justifier l'écart (~ourtant
faible) entre notre théorie et les résultats expérimentau:;~:
1) L'utilisatiOl"c de Elodèle sj.mplifié pour détermi;~t2r les
limites de bandes.
2) L'existence de lacunes dans le cristal dont nous n'avons
pas tenu compte. ~~n e:[:[e'~~ ~
da:ls les cri staux~ tous les 3i tes l1e
sont pas nécessairement occupé,':).
Il se produit continuellement
dans les cristaux réels s 1..U
déplacement de lacunes appelé:
diffusion quantique. C'e~3t l'e~:istence d'une teI1e diffuS.Lon qui

---

91
est à la base de l'introduction récente du terme"cristal quan-ciqulY
Contrairement au cristal idéal, les cristaux quantiques
tiennent compte dG l'existence de lacunes. L'exploration de ce
nouveau domaine de la phjTsi que [VIII-1] se poursuit et nous aVOl1.r.; '.
l'intention de nous y intéressGr à l'avenir.

---

92
k"'.·: e:~e 1
I~ V(~)
,...-- Va
- -
.----
)..V o
, -
-
1
2
3
Le
5
.....
..Q..-b
-
-b
o
a.+b
/
!
-Q..-,t b
2a+b
Le schéma ci-dessus représente une succession de barrières de
potentiels d'une cha!ne LL"léaire comportant deux types d'atomes
placés alternativement et de telle sorte que la distance e;}tre
deux atomes voisins soit é~ale à
a.
Le comportemenc d'un électron dans un tel système de
potentiels est le m~me que dans un alliage binaire tout à fait
ordonné à une dimension.
Le
'
paramet,re '\\
'
l'ves·c "
r'
.Li::
"
crlour ou ,egal 'a 1
Tl"
"__
J.n d"lque l e d
'
egre
de différence entre les deux t'Tes d'atomes.
Considèrons les dornaj.,")es @(~, ®, ® et ® tels qu' i.ls sont
défi.nis sur le schéma. 20u1' chacun d'eux ~ écrivons la fonction
d'onde correspondante~
-l.oI-X-
B 'le
+
)

---

(Y··'
.... !
La continui té de la fOl~,C cion d'onde et de sa dérivée aux
frontières entre les domailles engendre les relations suivantes~
x,;-6
)
A~ + 13.21
A
+
6
3
3
_
~~f13 - ~o(B~
-.t.caC..Q,
A
i av
J
0-1(0..-
8 3 e
-
t.. e
+ D4Ç..
_..(.~ a.
-t <.v
- (J'ct..
.iv f A3 e..\\.o{~ _ ..t..l \\?>3e
='IA e
-
e
4
"iB4
'l:. -=. (),. -+ b
."'\\
"1(a~b)
-~(a+b)
2~~lo.+b)
t-\\ lt .Q,
+ B e,
-= e
'"
4
- .~o«(
l
q+ b)
~o( ( Q -+ 6)]
A1. e
-+ 61.. e
y.
'6 f\\ e<y(q-l-b) _ 0' B.. e:"(c...·b) =: e,t;.1?.(c ....b) •
e '<'o«("-~b~
C'est un système de 8 équations à 8 inconnues que sont

---

de
On va déterminer
A'-t et B~ en fonction V A", et B1..
e )"(0 ... 6)
-J(G\\ .... b)
e
- -2;-(
-
Der- = teo'(o+'c)
-1!(Q+b)
-'te.,

---

S5
(~.c: ~ + 't )(4 + b)
B~::_e
_
-z t
Exprimons
A~ et 6~ en fonction de
Aif et
B~
e. _-<"0<0..,[
-0
f
(
a...
_10..\\ (
"'(0.,
_7fOw~
A =
.
e + B~ e 1- iA~e - o'B
3
- k P(
A4
y e
1
-~~d..
A
~~:o...[ ~
=.
A i +- A,e() e°o..-+ B~ (- i-+ ,\\,rA) e-'6'J
3
4
e 1..-<1..0..
A/, e-ta..+ 13 e- ia-
4

---

Exprimons
A3 ,.....t
" .
B
f
3 en - onction de
A1... et 81..

---

---

---

99
:~xprimons
A2J
et
6~ en ÏonctioY1 de
A3 et
83
~
-1
DJ-::
=- ~ J>
~?J
-~
A~ -of- 6
-1.
3
On cor;state que ftf., et Bx,dépendellt des sommes A~ + i3> 3 el:;
F1& - B~ que nous alloYJs calculer.

---

+ 2..01.0 ",b'b ë"olo...+ (""
)'~)
2._
,A "ib e.-,to(.cLJ +
+ B~e.{.c((Q+bl l.2~olO' c.t~bi""\\ (t~ ,/) ~rbe-i..l.q.. -
_ ((S ~ 0(2) ;J, ~ b e --<- ""J
0(

---

1 (11
+ (""t _t~-) ~ t b e:A.<J.Q.._ Cl'
~
t + <Âl. )
l'b e .:. ""ct] -
,{, al. (ct + b) G t~)
-~~ OL-
J
-tCllQ
_ 131. e
~ y + 00< ~"tb e
+ 2.';' 0( ~ vi,l' be +
+ ('if t_ o(t) ;,Q., 0' b e À""J
-
_ A.o(t,~ob~o(O--l~~lb ~cXQ.l -
_61. e.Â,G((Q+blGÜJ, '6 be""'\\ '6 t 4 il, Do cl ex. -
_~o(~~ob ~~Q;l
-
.
e2.t,~ (0..+ b)
q
(\\
-.t.ot. (0+ b) L-' t
/ . t ::
r'''1. e
..{, r M '(6 !.l~oLQ. +
J;... r 't

---

102
~
b
l
2,
-Lo{(a+b)
_ ivrJ.. ~l
~O(~ -"0 ~"(b WJo<o.._ -B1. e
,.
"Go( ird, ob e..(,,(0.+ ~ t~ 7fb Cd:7r;;(Q - ..t.ol.t~l'b~o\\uJ
~~(a.-+b)
B2, = _e
_
c.",0'
+ d.t ~u'b ('..,,0 ol.Q, + Ad /( c i 6e -,i..o(oc.] +
À,o(. (a ..... b) \\
.
y'
n '/6
~o(O-
, t . 0
)
+ \\31- eL"''''' 0 u:, ~ e
+ A"'6 '*' <fil Av....,(a -
_ rJ..~ pt, 0' b cro 01. o.-J
t J i
.
t
-
2J
l B ~c4Q+-b)
_
Â; 0(.
~ ob flrw' 0{ Q, - -t ~ 0' b ~ 0( ~ - 1.e
)(
•[lo<.iet ~\\, iota.+ 1l' t,t 3'b
g(~
Cft) al a. - À. 01..?'do bA;"

---

103

---

1 CJL:-
(1.)
(Z)
Autres formes
de
A2 et 8z en fonction deR 1 e-I: B-i
à parti.r des deux premU~res équations ~

---

10S
~b
e

---

106
Les équations
(A) ) (.2,) ,C'~) et (4) peuvent s'écrire
respectivement~
Avec

---

107
Le. candi tian pour que ce s·(rst?~me admette une solution
non nulle est~

---

100
0"1 va cale 1
~T
T"
.'-
TI"
1.
U
er"'1
. "'"? el, ..\\.-
' , -
)

---

109

---

110
)( ~ti.a. cm Ja. _ A- (1. + ~) ( ~ + ~ ) ~tb ci 46oorA4 .,.
.J \\ t ~
2.J
.~ ""0. - ( -1. - ~ ) (1.- + i.,(1 ~
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'6 b ct '6b ~ otav c.notQ+
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111
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+ ;J)~ib~J~Cl+
0
+ i (1- + ~ ) et '6 b e-À ,/(l.] e.:- ':"1 +1.: 1l'1t J)e(Ld-J) \\
+ G(i. - ~2.)~)'b~ olQ + (' ~ +~"\\ ~ ob ~O<Q -t
Lltol 2JO
2. 'il
2J> l '
+ t (1-+ -y)c!, ob éotJ e":oC(o+b! 1(-1+ 1)e-(':C<-~) b
ï
On constate que
e"i: e SOEt cOD,jugués. Donc,

---

112
1<1. ~ ~ - e = ), ~ r-
\\'A ~ l-(-.l -+- ~)~ 15b~~~ +(~_1-\\~~bwJQ +
\\
~~
2~~
2i
l?)
+ l (
-1)
1- - ~<><) cl ob e.-1:01<:<-} 1(1.
e-\\p(Ove-s-b +
+[( 1+ ~~) ~"tb ~.A'Â- ("t,o{ _ t \\~6b em~a +
01..
2y.0
fi
2f)
+
1-1)
A<. (
cl ib e- "011tl1- ~)é":o(o-e?b
~ =i (1- ~) ( y + ~Z\\J:6'o ~o(o. (e.tol~e-J~
\\
2J
p ' 2-ol
2f'( J
+ e-;"cJ.Ove ~ 6) + 1- ( {_ ~) (;'d.. - Y-) ,dib unola x
~
S3
2"6
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)( (.e~"~e-j1b _ e-A-olo.e~b) +: ({-1~Ycl'6b.
(e~olo..
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x \\
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2. ft)
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2. f
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~
Z
= (1. _;~)( ~ + ÀcoI ) p! Db fJ'~ J.Ov (Û>?o{Ol et J'o -
\\
J
2col.
2.).>0

---

113
~
~ ~b
_
:.,
otQ.
) + (~- Ào<)f ÀoJ. - 3-\\ ~ib ~o{o. J(
r
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\\2.i
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b)
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[
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·
-+).. (o(~
'li
- -
)~
b'
At 0' ~oI.O. 'J(
\\
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~J -
~
~~)
( CU> r<Q c! J\\, -,t ~ ~Q %Jb) + [(- ~ -+
-\\-
U
+
(~'t
~~b ~~a(_ ~
À,
+ : ;
J'b e=o(Q -t
+ ~ ~ 0<0. cJ" Jb) + 1[( ~-1~) -~let '61:, •
~ ( Cff) 5Zda el f-'b - À ~ toto.- M- fb )
i ~ ï -::. I~ ~b !~ o{Ov [c~ - ~ \\C<5JJo- cl ~b -
~
2~ 2fJ
J
_(1 + ~~ \\ ~o\\o.- ~B~\\ + ~Db ~c1o. j.
:;'<>1.
lf' 3 )
J -
~ [_ (~ + ~) ~ ~b teî d-Q + (_:i... + r:J,.t )~aJJb\\-
2'6
2f
2-f
2j;Ô
J
-tJ~b[({--i) ~iola .J,rb-+- ~ ~.l.,(iQ J,f 6J

---

---

115
La relation
devient:
Soit
-~ K~.J::::-~~6~~:iJ~OvclBb(~_1-)+
"\\..
ld,.
J
~~
9.J IX
+ Ai.. rh ~'l.oI.Q,d,)? '0 (.!f -+ ,J.,2 \\ + ~ )(b CIl.}o!Q •
2J.t
.tr.)"'!)
"At ~ b (1. + ~\\ + cl'6 bl-(-l _~ \\ ~iol.Q ~~b+
J
2.'6
~f )
- ~ol
2. ~ )
j
+ ~ 2.-'0- cl ~b J -=

---

116
Considèrons maintena~1t les cas particuliers Â, ==0 et Àt"",1
~ (À Va - E) _ -~ m[ =: i 0(
i!J
--})~
Cft:> 2h (CH 6) = J, (":'0< b) et Ï'b ~ ~ .W.. + M, [..l,o( h) A~l'b.
-
'.
0( 4
~cJ...9v
pot - o(t,
)( \\ ktMtJ..o...
- ~ g .+ CdJ~o{ÛJ
J +
-
B~Jo(
~;:oéJ3
+ ~ t'<Q [ ul (~o(b) ),J'6 53::;t.. + At(,i,(b)J,fb~~:: ]

---

117
On obttent la formule de Krontg et Penney > lorsque le
paramètre de réseau est 2a-:-b

---

118
On retrouve hien la formule de Kronig et Pennev.

---

119
Annexe 2
CCI
\\1'12
1<
t
-1. ~ (-x:) ::
i (~) éJ ( r + 'X + d-) dd
+00
2
1< ?o ~ ('>L):: L ~t ~ (~) d(E+ d+ ~t ) et d-
Ces opérateurs ,sont de la forml:~
Pour
K
on a
2
~
2
\\(.21 ('l:J ~):: Wz '}(i +- :i- + ~ J:: 1<2Jl:,~)
x:
K: 'fd~ :: ) K11\\1 ('l:,t) {(-t) Jt
"-00
K1N ('r) +):: ) KtN-ik.}~) k-1 (~It) clJ
-
CIO
Atnsi:
+00
k1. th:) =_~ K1A ('1:) ~1.) t (~1)d.~1
+00
1<1Z, ~ ('r.) =t K-1l (x ~tJ t (~2,) d~2J
1
k~ {(:l) ~ I).k1~ (X, d~)-R (d~) d;j~
N -
-
-
+c() -
-
- -
-
-
K"1 -t (-7;;) =_).... K1 ri lx, ~ ,,) ~ (~ rt ) d, j N

---

120
+00
K~..JX;I ~ l'Il :: _\\"" k~l~-l)C) ~N-J \\(-1.(~Ij-\\ d
?
lJ) ddN-I
-te.
~
~
~N-J
\\-{1.(li-j) '1. ) '}•..J ::._ ~ l< 1,....
II-J
l, \\ 1:)
k.... ldll-L )
J ~N-~
4-QIÔ
V-
(~) ~~)
(~? I~~)
1M :: ), .. \\ k1
'1
k1(~h ~t) k1
.. ·
_00
.. k
~
î
1. (
N- \\ ) ~ N J ~,,, . J:JN-l
+00
k91'~" )~,1 k1.l~) ~~) 1< (~)jJ". k~
-i
1JN+s-1 '
~
\\ J\\.t.' . · J~
QN~S) ~
dN+~-~

---

121
.+00
\\<:<-5 -R[~):: _~~ k1.,N+~l~)~r\\~~{(*rl+~J&NtS
Lorsque
-h b:) -= &1.(-:t) :: <J ([ +'X)
~)rocèdons à un changemen-;~ de var1ables en remplaçant
~1. par
M .>-1
~ 2t par
4 s-2a
'a 3 par
AJ. St - 3
- - - - -
-+00
k-i..,N-+S l'X) -u. -lII) = ~ ")1< 1 ( X ) AJ-s-J K'1(4. .• )
s
- 0 0
ÂJ.. . \\ · "
k (-'Il
s
1/
\\
d."u , .. cLu_I'J
t .)
'1. \\
-N+\\) 'lA,. -N)
5-\\
-toC
-- ~..J~(E+ ':C + V/IUs-0 ~~+Us-' +~?'/AAs_~'"
_00
,. · d(~+J.,CrlH + W&fALH)J-U LUs-~ .,
S - t

---

122
.... 00
N~5
\\
(
1< 1.
d\\E+ 'Je,) ::. )") d(E- + .JJ--N) d(E +M..-1-1+1.+
-00
+ \\N%.I
-~î ~
V/'/,,{LN+~
Al
(E + AA-N+2. .}
, .' .
. , d(E.+ÂA.\\;-,+~'iJIAAS_2.) ~(E+X.+~~)J.s_/J.) t
cl{{ N cl ÂJ..
J
et
J.,u ~_~
J I .
•
•
Â,l
0
-
- N+,
"\\A _ N 4o.Y,
S - A"
,J

---

123
+00
2
W2
Kg" tr~) ~) VJ~ ..f,(~) ~(E +~+ -;: ) ~
- 0 0
~
-+00
kt, {0c) == ~ k~ (~I 'J) t (~) J}
-00
Avec
Il
W~
-
\\j\\
)
k2 (1:: 'i)::: ~ g(l:- + d+ ~
-+00
kt2. %("'-) :: J.., 1<202. ('l: ~) {(~
1
cl}
avec
4 d:)
k't.,t l't I~) ~ ~ kt ('X, d) k..(~, â) d d-
-OQ
+00
k~t l'l:) =J", k'L,
~,J{ \\~rt)
N ( 'C,
J d,,'
+00
~2.,N ('t1dNl '" )':\\ 1<1. ('t, ~~ kl (~'1~" . · · · · ·
.·kdt., 1'}"l J~1.dd2: .. JdN_1.
';'00
k~t\\'A): ~~J t(~Nl k~l~'J1.) k1(~1Id9-)' .
· · k2,l dN'1 ., dNÎ d;h à\\h .. , dd-rJ
K;'S" t('lè):: r~'1~ (~N.;J kt ('le, ~~) \\<~ l~i ~2}
)
·
· . \\<.lo ~ \\\\
~ il J~l'
N-S- L )
,.-5-
dd1.
• . dd-N_ 5.1.

---

124
Procèdons à un changement de variables en remplaçant
par
par
par
~N·$- 1 par A....l N- i
Lorsque
on obtient:

---

12')
\\ · · . dA..-l 1
N-
A.ins.i:

---

Annexe ~;
1\\
"
H - Ho + lA (~)
-
On pose
"
U (,:t) -
E Vl~)
- €. est un paramètre
-
"-
t-i o \\f~ :: e
~
V't1
WI
(1)
,..
H'fn, = lW\\ ~vYl
(1)
On
suppose que
lf et En, peuvent s'écrJre
M
comme suit:
avec
L'équation de ::;chrodin.ger devi.ent:
ce
~
L.
p~ 0

---

1 ?7
t
,...
"
-
h.-
l""')
E'l\\+1
t~)
Hp L E
~
+V L
--
~
~
00
t'YV
- L
E~ L E (i) \\..LI (~--t)
-
i\\o\\.':-O
FV\\.
l~
t:o
Procèdons par identification des coefficients correspondant
à des termes de m~me :')"lÜ ssancc de f
(5)
C S : .
,..
~(~)
"\\.li (5-1.)
~ - lt) \\lJ(5--t)
c
-
Ho lM
+ \\f
1~
:: 2.
E-h\\
lm
(l,)
i:. o
\\~ \\1;(S) \\", \\J.l (S-1.) E (0) w(s) +
o 1"1
+ V 1rn
-=-
~
I"n'\\
~-1
)
)
+ E~) 'f~O) + ~ C~ 't (S-t
t=1
m
( l~ - E(0») Ij/(S)
"11I(S-1) _
[\\") \\,j) (0) +
. , CP
~
(
h1
+ \\1 lM
_ L t"n
1m
S--i
+L E(1:)U/(s--l:)
(1)
~~
t"'f\\
TYn
--ç:-t
(0)*
Hultiplions par \\frY'l
puis intégrons par rapport à "1
5't'n,(o)l((fi,- 1~)\\f~o) dZ +- \\ 'f",~*Vr~>-~) d.'i =
~ 5r *
(0)
[(5) r,(o) ~ + fi. f~tlS'P.(o)* t.v (s-t.)d. z:
M
",
1'\\"\\
t:-i
l'l1
lm
Le premier terme de cc-:~te équation intégrale est ,'luI.

---

128
Seri vons cette relatiŒ: suivant la notation de Dirac:~
Soit
Pour
5-= 1.
(s)
_ (1)
<I\\'Y\\(O) l V\\ fn1(<» )
t:- "'" ::-
('j )
t~1.)
Z-
(1 )
~(O)
Soit
-
Q
-
(~o)
~~M
-&
-{~
~O) et (=1-)
pour
S :: -1
==-)

---

129
+ ~ 'f'~o) * V'fJ",(O) d i~ :: l= ~~)5 o/~O)* r~ol d ~
(t-
<
CO)
_
E (0)) n (1)
(0) \\ "l
<.)\\. _ [(-i) ('
IV\\.
~
\\.A. 'h" ""'- +
/Yl;
V ~ / -
Pl\\- 0 m ".,
(11 )
Le. relation (11) devient~
(e" - e m.) d.~m. + <~O)\\ V1~O»
-
= < trt\\.lo) \\ V1~.)> ~m-~
Pour
M.. t
h\\..
On peut prendre

---

130
(1:~)
La relation (8) pour
.03=0,2
donne~
(~) ~ <~Q) V\\
\\
tJ1\\ >- E~ <m5") \\ m (1) > (14)
(Il 3 ) -) M.(~) =fl'I,lo) + L
/J'rn(0) \\ V1r'Y\\,(Q) >(ml")
lm :1= IV\\..
el\\-\\- - e ~
car
car
<.fY\\
>
(0) t fhl to)
=0
lorsque
rm ::f fn.,
Ainsi. ~r - - - - - - - - - - - - .

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Phys.
Math.,
Moscou,
1976
(en Russe)

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