Sciences et Médecine
Champs électromagnétiques d'une particule en mouvement
hyperbolique dans un plan
MOUSSÉ Logbo M
.
RÉSUMÉ
Dans cet article nous avons déterminé les expressions du potentiel et du champ électromagnétique d'une particule en mouvement
hyperbolique dans le plan d'un référentiel fixe. Nous nous sommes servi, pour cette détermination, de la méthode de passage au
référentiel non inertiel développée par Gutsunaev Ts.î. (Gutsunaev Ts t, Terlestkii Y. P., 1960,Gutsunaev Ts t, 1972)
ABSTRACT
ln this work we have determinate the potential and the electromagnetic fields of moving particle by using the passage method of non
inertial frame of reference developed by Gutsunaev Ts.1 (Gutsunaev Ts l, Terlestkii Y. P., 1960,Gutsunaev Ts t, 1972)
INTRODUCTION
1 1( 2aZ) 1 2 2 ( 2aZ)-1 1
La définition physique du mouvement accéléré du
ds = c
1+ 7
dt - dx - dy -
1+ 7
dz",
référentiel, en particulier le mouvement uniformément
(4)
accéléré, est un problème qui, depuis longtemps,
tandis que Meksyn D.(Meksyn D, 1931) utilisant l'article
intéresse les chercheurs (Romain J. E., 1963; Salia R l'J.,
de Whittaker E.les formules de transformations, lors du
1965,1967). La différence dans les résultats obtenus se
passage à un référentiel non inertiel, suivantes .•
situe au niveau des postulats physiques que chaque
auteur privilégie dans sa théorie. Toutefois, il faut noter
qu'un même résultat a été interprété différemment
C ~
2a.!:"?
at
Z=-; (1 +-ë7) ch(c )-1
par les chercheurs.
~ 1 ]
En
mécanique
classique
le
mouvement
uniformément accéléré du point matériel est défini
comme un mouvement qui se produit sous l'action
d'une force
Des formules différentes de transformation ont été
obtenues par certains auteurs (Lass H., 1963; Hill E,
Fa =este
a =1,2,3
(1)
1945 ;Taub A, 1961).
constante en valeur et en direction.
Dans l'article (Gutsunaev Ts 1, 1972) la méthode de
La même définition est conservée en relativité. Mais
détermination des formules de transformation des
cette force satisfait aux équations de la mécanique
coordonnées pour un mouvement unidimensionnel,
relativiste
relativiste et arbitraire a été développée. L'auteur a
du i
montré que ces formules peuvent, d'une manière
mc-=O
i = 0,1,2,3
(2).
ds
générale, s'écrire comme suit:
1. Mouvement relativiste unidimensionnel et
uniforme
z=cHtt~tdt}+zc{tt~~dt J
En étudiant le mouvement relativiste unidimen-
sionnel et uniforme Kottler F. (Kottler F, 1921) a obtenu
(6)
la métrique suivante:
T=Htt~tdt}+~s{I~t~tdt J
J
J J( azJ J J
(3)
ds = c 1+ -;;T dt - dX"dK
; a,j3 = 1,2,
Whitaker E. (Whitaker E, 1937), tout en étudiant ce
même mouvement dans le cas d'une accélération
constante et en utilisant une méthode semblable à
UFR-SFA. Université d'Abobo-Adjamé
02 BP80' Abidjan 02 C"te d'Ivoire.
celle de Kottler F., a obtenu la métrique:
Email: mousse@uabobo.ci
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Rev. CAMES - Série A, Vol. OS, 2007
Sciences et Médecine
l
' c
"
" ( '
,-"
,
~
- 1 ·
2.
Formules de transforrnatiçn lors du passage
donne le système d'équations suivant:
d'un référentiel en mouvement lpar rapport àun
référentiel fixe
'
Soit le référentiel S' (x; y; z;t) en mouvement de
c :(:)~ _ (~~): _ (:): =(1 + al Axc~ a:BJ )-,
translation par rapport au référentiel S(X, Y, Z,T)
dans le plan (XOY) sous l'angle eo .
~,l,(af)~ (ag)~ (ah): ,
Dans ce cas, il est évident' que ce sont le~
c
ax - ax ,- ax =-1,
coordonnéessp~tialeSX,YettemporaireTqUiSUbiro~~;. /' :[afJ~ [agJ~ [ahJ:
des transformations.
-(
/
C
-
-
-
-
-
= -1,
.>: /
.>
a)'
8)'
éJy
T = f(x,y,Z,t)
;
X = g(x,y,z,t)
;
T
(7)
( )
(
)
(
)
Pour déterminer les fonctions f : g et h nous avons
c: af af - agag - ah ah =o.
ax at
ax éJt
ax at
supposé que le tenseur de courbure Riklm est nul et
avonsconsidéré l'espace tridimensionnel du référentiel
c :[af af J- [agag J_[ah ah J= O.
en mouvement euclidien, c'est-à-dire :
a)' at
a)' éJt
a)' at
avec
c ~( af af )_[agag J-[ah ah J= o.
ax at
ax a)'
ax a)'
l
'
a = j3
j14)
avec 1/ap = {0 ", a:l:-j3
Les fonctions f, g et h sont celles définies dans (7)
alors que les fonctions fO, fl et f2 s'écrivent comme
La supposition (8) a permis d'écrire la métrique du
suit:
référentiel en mouvement sous la forme:
Aa.
f
ea..
f, =
~
1)
1
f,1 = -,-" ~
: = -~--
(15)
,
c .
c
ds' = g....dt ' - dl:
(9)
avec al, a2 des accélérations et A, B des fonctions
Lanullité du tenseur de courbure Riklm donne
de l'angle <pO.
un systèmes d'équations différentielles, desquelles,
avec la condition (9)
Etant donné que le système d'équations (14) ne
'a:F (aF):_o
disposant pas de méthode de résolution en théorie
- . + - -,
d'équations différentielles, par tâtonnements," nous
ax·
ax
avons pu trouver une solution qui n'est, en fait, que les
éJ~F (éJF):_O
formules de transformation des coordonnées spatio-
- + -
-
temporelles dans le cas d'un déplacement dans un
~:
t '
(lm
plan, en posant:
a"F+aF =0
al = a2 = a =este.
axa)' axt
·
M
(' ')
f= T = 'i" : "
où la fonction F est définie de la manière suivante:
2F
go = e
(11)
g= X= [Mch(:')-~}OS<;el)+ Dsin<;el),
(16)
Cherchant la solution de (10) sous la forme
g = X= [ Mch(:' )- ~]sin <;el) - D cos <;el),
F = lnlf..(t) + ~ (t) + Yf: (t)}
(12)
xcose + vsinljl )
c'
,
avec
et la substituant dans (11), puis dans (9) nous
M =f, 1+
"ç'
(
0
:
f, =-; ; D=xslOljlu-Ycos'Pu'
avons obtenu une métrique, qui comparée à celle du
Lesexpressions(16)seramènentauxtransformations
référentiel fixe
relativistes
d'un
mouvement
unidimensionnel
si
ds'
l'on pose <pO =0 (mouvement suivant l'axe des X)
= c ~dt~ - dX: - dY ~ - d/Z:
(13)
ou 'Po =~ (mouvement suivant l'axe des Y) (Gutsunaev
Ts l,Terrestkii Y. P., 1960, 1972 ; 1974).
Rev. CAMES - Série A, Vol. 05,2007
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Sciences et Médecine
Potentiel et champ électromagnétiques
Utilisant les formules liant les potentiels aux champs
Pour déterminer les potentiels dans le référentiel en
électromagnétiques, c'est-à-dire
mouvement, nous avons utilisé lesformules covariantes
-
IdA
du 4-potentiel (Landau L. O., Lifchitz E. M, 1980)
E = -gradAu - - -
H = rotA
(22)
.cdr
,
ln
1
A; = -eg ai;A;m s1=0
nous avons obtenu:
1 ds2
ai =-a'
(17)
avec
4
Xi
et s2 - carré de l'intervalle liant les coordonnées du
point d'observation (x, y, z, t) et celles du point où se
situe la charge (x: y: z; t'). Pour notre modèle, s2 s'écrit:
1
S2
sin
= 2Ç, 2(1+xcosl9o; ysincpo
1+ X'COSl9o; y'
l9o} ( C\\-t) )_ (z'-z y
~ 2(1 rcose,+ySinl9o)2 ~ 2( r'cose,+y'sinl90)1 ri, \\..
(y' \\..
l
.,
+
ç
-., 1+
ç
-lV-x}ltnl9o- -y,.osl9oJ
/
(18)
(23)
Enutilisant l'équation (17) et la condition x'=y'=z'=O,
c'est-à-dire que la charge est confondue avec l'origine
CONCLUSION
du référentiel en mouvement, nous avons obtenu les
Lespotentiels(20)etleschampsélectromagnétiques
composantes spatiale et temporaire du potentiel dans
(23) obtenus ont la même forme que ceux obtenus
le référentiel en mouvement et en utilisant les formules
dans l'article (Gutsunaev Ts l, 1972) dans le cas d'un
de transformation du 4 - potentiel suivantes
mouvement unidimensionnel. La différence avec ceux
obtenus par nous se situe au niveau de l'angle <pO (sous
dx/,
(19)
lequel le référentiel S' se déplace) que contiennent
A =--A/
ces formules et de l'existence de deux composantes
m
dx m
des champs électromagnétiques correspondants au
les composantes spatiale et temporaire du potentiel
mouvement dans le plan considéré.
dans le référentiel fixe.
En fait
si nous
considérons
le
mouvement
uniquement suivant ; (vecteur rayon de la particule)
alors celui-ci seraconsidéré comme la superposition de
deux mouvements hyperboliques. D'où la conclusion,
la superposition de mouvements hyperboliques est un
mouvement hyperbolique.
RÉFÉRENCES
1- GUTSUNAEV TS.I. Dans le recueil « les problèmes
de la physique statistique et la théorie des champs »,
Edition Université de l'Amitié des peuples., Moscou ,
Lorsque <pO =0 (mouvement suivant l'axe des X) ou
1972, p. 115
fi
"'0 ="2 (mouvement suivant l'axe des Y) les formules (20)
2- GUTSUNAEV TS. 1., TERLETSKII Y. P. Journal de la
tendent vers celles obtenues dans (Gutsunaev Ts l,
physique théorique, fascicule 5, n030, 1960, p. 491
1972). Ensuite, lorsque a ~ 0, avec les conditions
(en russe)
précédentes on aboutit à
3- GUTSUNAEV TS. 1. Ann. Henri Poincaré, vol. XXVII,
(21)
n'T, 1972, p. 71
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..,..,..,.
Sciences et Médecine
4- GUTSUNAEV TS. 1., ERMOLAEV Y. H., TERLETSKII
10- ROMAIN J. E., Rev.Mod. Phys.,35, 1963, p. 376
Y. P. Revue des grandes écoles, série physique, n05,
1974,p.151
11- SALIA R. N. Les problèmes comntemporains de
5- HILL E. Phys.Rev., n° 11, 1945, p. 53
la gravitation. Recueil de travaux de la conférence
soviétique sur la gravitation. T.2, 1967., p. 532 (en
6- KOTTLER F., PHYSYK ZEITSHER, T.. XXII, n09, 1921,
russe)
p.274
12- SALIA R. N. Communication de l'Académie des
7- LASS H.A., Am. Journal of physic,31, 1963, p. 274
Sciences de l'URSS, T. 38, fascicule t. n045, 1965 (en
russe)
8- LANDAU L. D., LlFCHITZ E. M. Théorie des champs,
Editions MIR,1980
13- TAUB A. Annals of Math., 1961, p.53
Whittaker E., Proe. Roy. Soe., A 11, London, 1937, p.
9- MEKSYN D., Proe. Roy. Soe.,A51, Edingburg, 1931/ p.
720
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